Гидродинамика и теплообмен МГД-течений в каналах - Генин Л.Г. Свиридов В.Г.

1. Краткое введен не в магнитную гидродинамику

1.2. Система уравнений электромагнитной газодинамики

1.3. Интегральная форма уравнений максвелла

1.4. Условия однозначности задач электромагнитной газодинамики

1.5. Закон сохранения энергии электромагнитного поля

1 б. Система уравнений магнитной газодинамики

1.7. Система уравнений магнитной гидродинамики

1.9. Безразмерные критерии магнитной гидродинамики

2. Ламинарные магнитогидродинамические течения

2.3. Гидродинамика и теплообмен при течении в круглой трубе в поперечном магнитном поле

3. Турбулентные МГД-течения в продольном магнитном поле

3.2. Экспериментальные методы исследования турбулентных МГД-течений в продольном магнитном поле

3.3. Результаты экспериментальных исследований полей скорости и температуры, коэффициентов сопротивления и теплоотдачи, статистических характеристик пульсационного температурного поля на участке стабилизированного течения

3.4. Температурные поля и теплоотдача при течении в продольном магнитном поле соленоида с учетом концевых эффектов

3.5. Обобщение опытных данных, расчетные соотношения для гидравлического сопротивления и теплообмена при течении электропроводной жидкости в продольном магнитном поле

4. Турбулентные течения в поперечном магнитном поле

5. Вырождение однородной МГД-турбулентности

5.2. Анализ вырождения однородной МГД-турбулентности методом энергетического баланса

5.3. Спектры вырождающейся однородной МГД-турбулентности

Author: Генин Л.Г. Свиридов В.Г.

Tags: теплофизика механика жидкостей и газа магнитная гидродинамика

ISBN: 5-7046-0650-4

Year: 2001

Similar

Теплообмен, массообмен и гидродинамика закрученных потоков в осесимметричных каналах

Теплообмен в турбомашинах

Течения и теплообмен в каналах и вращающихся полостях

Курс «Магнитная гидродинамика»

Text

Л.Г. Гвнин
В.Г. Свиридов
Гидродинамика
и теплообмен
МГД-течений
в каналах
Гидродинамика
и теплообмен
МГД-течений
в каналах
ПРЕДИСЛОВИЕ
Жидкие металлы, использование которых в качестве теплоносителей
связано прежде всего с атомной энергетикой, находят широкое приме-
нение в самых различных областях науки и техники. Одним из важней-
ших приложений, где применение жидких металлов имеет хорошие пер-
спективы, является термоядерная энергетика, и прежде всего разработка
термоядерного реактора типа «токамак» с магнитным удержанием плаз-
мы. Здесь жидкие металлы могут использоваться в качестве теплоноси-
теля для охлаждения бланкета и дивертора, для защиты первой стенки,
в системах воспроизводства трития. В термоядерном реакторе жидкоме-
таллические системы будут работать при наличии очень сильных маг-
нитных полей. В связи с этим проблема исследования эффектов, связан-
ных с влиянием магнитных полей на гидродинамику и теплообмен при
течении жидких металлов, является весьма актуальной как в научном,
так и в практическом плане.
Закономерности влияния магнитного поля на течение электропро-
водной жидкости в канале зависят в значительной степени от взаимной
ориентации магнитного поля и направления движения жидкости. Наи-
более характерными в этом отношении являются крайние случаи — те-
чение в поперечном магнитном поле и течение в продольном магнитном
поле. При течении электропроводной жидкости в поперечном магнит-
ном поле значительную роль играет так называемый эффект Гартмана.
В условиях реактора токамака этот эффект может привести к возникно-
вению неприемлемо больших, «гартМановских», гидравлических сопро-
тивлений. Поскольку в реальных конструкциях бланкета невозможно
исключить движение теплоносителя поперек силовых линий магнитно-
го поля и избежать поворотов потока в поле, указанные трудности дол-
гое время казались непреодолимыми. Однако в настоящее время экспе-
риментально показано, что рациональным выбором формы сечения ка-
налов и их разумным расположением в магнитном поле можно снизить
гидравлические потери до приемлемых значений. Но наиболее ради-
кальным и естественным, с позиций магнитной гидродинамики, спосо-
бом снижения гидравлических потерь является организация течения
жидкого металла вдоль силовых линий магнитного поля, т.е. течение
в продольном магнитном поле.
Течение и теплообмен жидких металлов в магнитных полях исследо-
вались в достаточно большом числе работ, обзор которых можно найти
в литературе [1—6].
На кафедре инженерной теплофизики Московского энергетического
института исследования гидродинамики и теплообмена при течении
жидкого металла в продольном магнитном поле проводятся с начала
60-х годов. Накоплен значительный экспериментальный и расчетно-
теоретический материал, опубликованный в основном в журнальных
статьях, докладах конференций и диссертациях, в том числе в доктор-
ских диссертациях авторов настоящей монографии [7, 8]. В данной
книге авторы сделали попытку обобщить и систематизировать накоп-
ленный экспериментальный и расчетно-теоретический материал.
В первой главе монографии приведены краткие сведения из теории
магнитной гидродинамики. Знакомство с основами магнитной гидроди-
намики необходимо для понимания последующих глав монографии.
Вторая глава монографии посвящена ламинарным МГД-течениям.
Магнитные поля существенно затягивают переход ламинарного режи-
ма течения в турбулентный. Поэтому в магнитной гидродинамике
практическое значение ламинарных течений значительно возрастает.
Существенной особенностью ламинарных течений является возмож-
ность аналитического решения многих задач. Приведено решение клас-
сической задачи Гартмана, проанализировано влияние проводимости
стенок канала на коэффициент гидравлического сопротивления, реше-
на задача о теплообмене при течении в плоском канале в условиях по-
перечного магнитного поля.
Третья глава посвящена проблемам турбулентных течений в про-
дольном магнитном поле. В случае турбулентных течений вследствие
принципиальной незамкнутое™ системы осреднснных уравнений, ис-
пользуемой для их описания, основным инструментом исследования яв-
ляется эксперимент.
В этой главе, естественно, рассматриваются результаты, получен-
ные разными авторами. Но главное место уделено описанию результа-
тов, полученных коллективом сотрудников кафедры инженерной теп-
лофизики МЭИ.
Наши эксперименты проводились на ртутном контуре с использова-
нием различных зондовых методов измерений. В настоящей моногра-
фии рассмотрены полученные в экспериментах результаты по профи-
лям скорости и температуры, коэффициентам теплоотдачи, коэффици-
ентам турбулентного переноса. Эти характеристики подробно исследо-
ваны не только на участке стабилизированного в магнитогидродинами-
ческом отношении течения, но и на входном и выходном из магнитно-
го поля участках.
Приведены подробные данные о влиянии продольного магнитного
поля на статистические характеристики турбулентных пульсаций темпе-
ратуры: интенсивность, временные и пространственные корреляционные
функции, частотные спектры, временные и пространственные масштабы.
Столь подробные опытные данные об интегральных и локальных ха-
рактеристиках МГД-теплообмена представлены впервые. Поэтому не
случайно третья глава настоящей монографии, посвященная исследова-
ниям турбулентных течений электропроводящих жидкостей в круглой
трубе в продольном магнитном поле, является самой объемной.
В книге не приводятся многочисленные расчетные соотношения по
коэффициентам сопротивления и теплоотдачи, опубликованные различ-
ными авторами, в том числе и нами в более ранних работах. На основа-
нии предложенной авторами модели воздействия магнитного поля на
турбулентное течение в круглой трубе с использованием всего имеюще-
гося экспериментального материала удалось разработать методику тео-
ретического расчета профилей скорости и температуры, а также коэф-
фициентов сопротивления и теплоотдачи при течении в продольном
магнитном поле. Обобщение полученных таким образом результатов
позволило получить расчетные формулы для коэффициентов сопротив-
ления и теплоотдачи на участке стабилизированного в магнитогидроди-
намическом отношении течения. Именно эти формулы как наиболее со-
вершенные, по нашему мнению, на данный момент и рекомендуются
авторами монографии к использованию при проведении гидравличе-
ских и тепловых расчетов в зоне стабилизированного МГД-течения.
В третьей главе также приведены экспериментальные данные и реко-
мендуемые расчетные соотношения для коэффициентов теплоотдачи на
участках входа турбулентного потока в магнитное поле и выхода из него.
Упомянутая модель воздействия продольного магнитного поля на
турбулентное течение оказалась пригодной и для обобщения имеющих-
ся экспериментальных данных, а также для разработки методики расче-
та турбулентных течений в плоском канале в поперечном магнитном
поле. Этой проблеме посвящена четвертая глава. В этом случае при
обобщении имеющихся данных по гидравлическому сопротивлению
раздельно учитывались два эффекта, характерных для течения в попе-
речном магнитном поле: эффект Гартмана и эффект подавления турбу-
лентности. Такой подход позволил получить не только удачное обобще-
ние для коэффициентов сопротивления, но и информацию о коэффици-
ентах подавления турбулентности поперечным магнитным полем. Эта
информация была использована для разработки численных методов рас-
чета полей скорости и температуры, а также коэффициентов сопротив-
ления и теплоотдачи при течении в поперечном магнитном поле. В ре-
зультате удалось получить удобные в инженерных расчетах формулы
для коэффициентов сопротивления и коэффициентов теплоотдачи при
течении в поперечном магнитном поле. Экспериментальные работы
в этой области малочисленны, а их результаты противоречивы.
Авторы сочли полезным включить в монографию и пятую главу,
посвященную теоретическому анализу процесса вырождения одно-
родной турбулентности в магнитном поле. Полученные результаты
позволяют лучше понять механизм взаимодействия турбулентности и
магнитного поля.
Необходимо отметить, что на определенных этапах исследований
в работах принимали участие сотрудники и аспиранты МЭИ: В.А. Во-
рончихин, В.Г. Жилин, Ю.П. Ивочкин, Као Ба Нинь, С.И. Ковалев,
Т.Е. Краснощекова, Е.В. Кудрявцева, С.П. Манчха, Ю.А. Пахотин,
Н.Г. Разуванов, Е.В. Свиридов, А.В. Устинов, В.Р. Цой, Ю.С. Шпан-
ский, которым авторы выражают искреннюю признательность. Авторы
весьма высоко ценят полезные дискуссии по материалам данной кни-
ги, в которых принимали участие Е.П. Валуева, Ю.Б. Колесников,.
И.Р. Кириллов, Е.Ю. Красильников, В.Б. Левин, О.Е. Лиелаусис,
Е.В. Муравьев, А.Ф. Поляков, А.В. Тананаев, А.Б. Цинобер и другие
видные специалисты.
Весьма полезными были обсуждения материалов книги на
заседаниях секции тепло- и массообмена отделения Физико-техничес-
ких проблем энергетики РАН под председательством академика
А.И. Леонтьева.
На протяжении многих лет работа проводилась в рамках договоров с
заинтересованными предприятиями, а также при финансовой поддерж-
ке Российского фонда фундаментальных исследований, Минобразова-
ния РФ, Миннауки РФ и научно-производственной фирмы АОЗТ ЦАТИ.
1
КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ В МАГНИТНУЮ
ГИДРОДИНАМИКУ
1.1. ПРЕДМЕТ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
И ЕЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Магнитная гидродинамика — это область науки, изучающая явле-
ния, связанные с движением электропроводных несжимаемых жидко-
стей в электрических и магнитных полях.
Отличие магнитной гидродинамики от обычной состоит в том, что
она изучает движение жидкости с учетом электромагнитных сил. По-
этому магнитная гидродинамика является более общей областью науки
по сравнению с обычной гидродинамикой. Естественно, что система
уравнений магнитной гидродинамики также является значительно более
сложной. Обычную гидродинамику можно рассматривать как частный
случай магнитной гидродинамики, когда электромагнитными эффекта-
ми можно пренебречь.
Очевидно, что в магнитной гидродинамике рассматриваются только
электропроводные жидкости. Рассматривают три группы жидкостей,
обладающих достаточно высокой электропроводностью: плазма, жид-
кие металлы и растворы электролитов. Настоящая монография посвя-
щена рассмотрению результатов экспериментальных и теоретических
исследований применительно к жидкометаллическим теплоносителям,
поэтому только о них будет идти речь в дальнейшем.
В качестве жидкометаллических теплоносителей можно использо-
вать расплавы многих металлов, таких, например, как натрий, калий,
литий, галлий, свинец, висмут и разнообразные их сплавы. Основное
достоинство жидких металлов, выгодно отличающее их от воды, — вы-
сокая температура кипения. Благодаря этому жидкометаллические теп-
лоносители можно нагревать до 500—700 °C при невысоких давлениях
в корпусе ядерного реактора и первичном контуре. Очевидно, что сни-
жение давления теплоносителя в реакторе позволяет значительно
уменьшить толщину стенок, упростить конструкцию и снизить стои-
мость корпуса — одной из самых сложных в изготовлении и дорогих
частей ядерного реактора. Снижение давления в контуре охлаждения
также является важным фактором при использовании жидких металлов
в качестве теплоносителей в бланкете термоядерного реактора.
Другое ценное свойство некоторых жидких металлов, таких, напри-
мер, как натрий, важное при их использовании в реакторах на быстрых
нейтронах, — это слабое замедление нейтронов. Для охлаждения реак-
торов этого типа нельзя применять воду, широко используемую в реак-
торах на тепловых нейтронах, так как она сильно замедляет нейтроны.
Кроме уже отмеченных достоинств жидкометаллические теплоноси-
тели обладают еще одним — высокой теплопроводностью, обеспечи-
вающей большие значения коэффициентов теплоотдачи (обычно не-
сколько выше, чем для воды), что также весьма существенно для тепло-
носителей ядерных и термоядерных реакторов.
Как уже упоминалось, для охлаждения активных зон и отвода тепла
в реакторах на быстрых нейтронах применяется исключительно расплав-
ленный натрий. При этом широко используется возможность электромаг-
нитных методов воздействия на жидкий металл. Электромагнитные расхо-
домеры позволяют достаточно просто и удобно измерять расход натрия
в различных контурах реактора. Электромагнитные насосы, не имеющие
движущихся частей, также весьма эффективны и надежны.
Еще более широк круг проблем, которые намечается решать с помо-
щью жидких металлов в термоядерных реакторах. Прежде всего жидкие
металлы представляются весьма перспективными теплоносителями для
отвода тепла из бланкета термоядерного реактора. Если для этой цели
удастся использовать расплавленный литий, то одновременно с этим в
контуре охлаждения будет осуществляться наработка трития. Одна из
сложнейших проблем — защита мишеней дивертора от разрушения по-
током частиц — также может быть решена с использованием жидкоме-
таллических контактных устройств.
1.2. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ
ГАЗОДИНАМИКИ
Вначале следует сказать несколько слов о терминологии. Магнитная
гидродинамика — сравнительно молодая область науки с еще не уста-
новившейся терминологией. Иногда одну и ту же область исследования
разные авторы называют по-разному. Иногда, наоборот, одно и то же
название применяют к различным областям. Мы будем использовать
терминологию, предложенную Бай Ши-и [9].
Систему уравнений, описывающих движение электропроводных
сред постоянного состава в электрических и магнитных полях, он пред-
ложил называть электромагнитной газодинамикой. Во многих случаях,
когда энергия электрического поля значительно меньше энергии маг-
нитного поля, эту систему можно упростить. Такую область исследова-
ния предложено называть магнитной газодинамикой. Иногда соответ-
ствующая система уравнений называется низкочастотным приближе-
нием. И, наконец, если рассматривается движение несжимаемых жид-
костей, то соответствующая область науки называется магнитной гид-
родинамикой.
Система уравнений электромагнитной газодинамики прежде всего
включает в себя уравнения обычной газодинамики — уравнение нераз-
рывности, уравнение движения и уравнение энергии, которые выража-
ют фундаментальные законы сохранения массы, количества движения и
энергии применительно к элементарному объему жидкости.
Уравнение неразрывности
— + pdivu = 0, (1.1)
dr
d... Э...
где ---=----+ (uV)... — так называемая субстанциональная произ-
dr dt
водная.
Уравнение движения
р =-Vp + T|V2u + jxB + peE. (1.2)
dr
Это уравнение отличается от уравнения движения в обычной газоди-
намике наличием двух последних слагаемых в правой части, представ-
ляющих собой объемную электромагнитную и кулоновскую силы, дей-
ствующие на элементарный объем жидкости.
Уравнение энергии
рс ЁГ = Р +XV2r+.o(E + iixB)2 (1.3)
dr р dr
также отличается от уравнения энергии в обычной газодинамике допол-
нительным слагаемым, учитывающим джоулево тепловыделение.
К этой системе необходимо добавить уравнение состояния. Обычно
в качестве такового используют уравнение идеального газа
p = pRT. (1.4)
В обычной газодинамике эта система из шести уравнений (уравне-
ние (1.2) — векторное и эквивалентно трем скалярным уравнениям)
образует замкнутую систему относительно соответствующего числа
неизвестных — р, р, и, Т. В магнитной газодинамике благодаря нали-
чию дополнительных слагаемых, в которых фигурируют дополнитель-
ные неизвестные, эта система является незамкнутой. Для ее замыкания
необходимо добавить уравнения электродинамики (уравнения Мак-
свелла) и закон Ома.
Первое уравнение Максвелла
э о
rotH = j + — . (1.5)
dt
Здесь Н и D — компоненты векторов напряженности магнитного поля и
индукции электрического поля; rot Н характеризует завихренность маг-
нитного поля в рассматриваемой точке пространства; j — плотность то-
ка в рассматриваемой точке пространства; SD/Э t — ток смещения.
Физический смысл первого уравнения Максвелла можно трактовать
следующим образом: если в какой-то точке среды имеет место ток
проводимости или ток смещения, то в этой точке rot Н ф 0, т.е. маг-
нитное поле является вихревым. И наоборот, если в какой-то точке
среды rot Н ф 0, то в этой точке имеет место электрический ток (про-
водимости или смещения).
Второе уравнение Максвелла записывается следующим образом:
rotE=- —. (1.6)
dt
Здесь Е и В — компоненты векторов напряженности электрического
поля и индукции магнитного поля. Эти величины для большинства сред
связаны с величинами, фигурирующими в уравнении (1.5), следующими
простыми соотношениями:
D=eE; В = рН,
где е и ц — диэлектрическая и магнитная проницаемость среды.
Для жидких металлов эти величины равны диэлектрической и маг-
нитной проницаемости вакуума и в системе СИ соответственно равны:
10 _1 ? _ 7
Eq =---- = 8,854 • 10 10 * 12Ф/м; ц0 = 4л 10 7 Гн/м.
. 36л
Отметим, что еоц 0 = 1 /с1, где с — скорость света в вакууме.
Физический смысл второго уравнения Максвелла заключается в сле-
дующем: если в рассматриваемой точке пространства происходит из-
менение во времени магнитного поля, то в этой точке rot Е 0, т.е.
электрическое поле является вихревым. И наоборот, если в какой-либо
точке rot Е & 0, то в этой точке имеет место изменение магнитного
поля во времени.
Третье уравнение Максвелла
divD = pe, (1.7)
где ре — плотность электрического заряда в рассматриваемой точке.
Это уравнение отражает хорошо известный факт, что источниками
электрического поля являются электрические заряды. Или иными слова-
ми, силовые линии электрического поля начинаются на положительных
и заканчиваются на отрицательных электрических зарядах.
Четвертое уравнение Максвелла
divB = 0 (1.8)
констатирует тот факт, что магнитное поле не имеет зарядов и силовые
линии магнитного поля нигде не начинаются и нигде не оканчиваются
(чаще всего это замкнутые линии).
Закон Ома будем использовать в виде
j = о(Е + и х В) + реи.
Левая часть этого уравнения j — плотность тока в рассматриваемой
точке пространства (А/м2). Первое слагаемое в правой части СЕ —
ток, обусловленный приложенным электрическим полем. Второе —
(j[u х В] — индуцированный ток, возникающий при движении электро-
проводной среды в магнитном поле. Сумма этих слагаемых — ток про-
водимости. Третье слагаемое ре и — ток конвекции.
Имеет смысл записать всю систему уравнений электромагнитной га-
зодинамики в одном месте:
dp
— + pdivu = 0;
dr
р — =-Vp + T]V2u + j x В + peE;
dr
pc — = 5 + XV2T + <J(E + u x B)2;
dr p dr
p = ?RT-,
rotH=j + l^; (1.9)
О t
div D = pe;
div В = 0;
j = <j(E + и x В) + peu.
1.3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
Чтобы получить интегральную форму первого уравнения Максвелла,
проинтегрируем уравнение (1.5) по произвольной поверхности S, опи-
рающейся на контур / (рис. 1.1):
JrotHdS = jfj + — IdS.
S s' J
Левую часть этого выражения в соответствии с теоремой Стокса—
Остроградского можно представить в виде:
JrotHdS = jHdl.
S I
Правая часть — это полный ток, пронизывающий поверхность S, ог-
раниченную контуром I («натянутую» на этот контур). Обозначив эту
величину через I, окончательно получим
Jh di = I, (1.10)
/
где J Н dl — циркуляция вектора Н по контуру I.
I
Итак, в соответствии с первым законом Максвелла в интегральной
форме циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произ-
вольному контуру равна полному току, пронизывающему поверхность,
«натянутую» на этот контур. В электротехнике этот закон называют за-
коном полного тока.
Закон полного тока в ряде случаев позволяет легко рассчитать на-
пряженность магнитного поля. В качестве примера рассмотрим магнит-
ные поля линейного и плоского токов.
В случае линейного тока (рис. 1.2, а) силовые линии магнитного поля
представляют собой концентрические окружности. Выбирая в качестве
контура I в выражении (1.10) окружность произвольного радиуса г и учи-
S
I______. dS
Рис. 1.1. Схема интегрирования первого
и второго уравнение Максвелла
I
Рнс. 1.2. Магнитное ноле линейного тока
Рис. 1.3. Магнитное поле плоского тока
тывая, что напряженность магнитного поля вдоль этой окружности посто-
янна и циркуляция вектора Н по этому контуру равна 2пгН, получаем
т.е. напряженность магнитного поля линейного тока обратно пропор-
циональна расстоянию от проводника (рис. 1.2, б).
Силовые линии магнитного поля плоского тока, который характери-
зуется линейной плотностью тока /, А/м, (рис. 1.3, а), представляют со-
бой прямые линии, параллельные поверхности плоского проводника.
Выберем в качестве контура / в выражении (1.10) прямоугольник klmn,
две стороны которого kl и тп равны а и совпадают с силовыми линия-
ми магнитного поля, отстоящими на расстоянии b от проводника, а две
другие стороны 1т и пк перпендикулярны силовым линиям магнитного
поля. Циркуляция вектора Н на отрезках контура kl и тп равна аН, а
циркуляция вдоль сторон 1т и пк равна нулю, так как вектор d 1 здесь
перпендикулярен вектору Н. Полный ток, в нашем случае это ток, про-
ходящий через сечение проводника на участке ef и равный ai. В ре-
зультате закон полного тока запишется в виде
2аН = ai
или
Н=И2.
Таким образом, напряженность магнитного поля плоского тока по-
стоянна, не зависит от расстояния и численно равна половине линейной
плотности тока (рис. 1.3, б).
Для получения интегральной формы второго уравнения Максвелла
проинтегрируем по поверхности S (см. рис. 1.1) уравнение (1.6)
[rot Е dS =- - [BdS.
Левая часть этого уравнения в соответствии с формулой Стокса—
Остроградского представляет собой циркуляцию вектора Е по контуру I,
а интеграл в правой части
Ф= /BdS
V
— полный поток магнитной индукции, пронизывающий поверхность S,
«натянутую» на контур I. В результате получаем
Это уравнение представляет собой математическое выражение зако-
на Фарадея (1831 г.): электродвижущая сила, генерируемая в контуре
(равная циркуляции напряженности электрического поля по контуру),
равна скорости изменения потока магнитной индукции, пронизываю-
щего поверхность, «натянутую» на контур. На принципе, выражаемом
этим законом, основано действие электрогенераторов.
Интегральная форма третьего закона Максвелла может быть получе-
на интегрированием уравнения (1.7) по произвольному объему V, огра-
ниченному поверхностью S:
JdivDdK = JpgdK.
v у
Левая часть этого выражения в соответствии с формулой Гаусса—
Остроградского равна потоку вектора D через поверхность S:
JdivD dK = JD dS.
У s
Правая часть 0 = JpgdE — это суммарный электрический заряд
у
в объеме V.
Таким образом,
Jd dS = 0,
V
т.е. поток вектора электрической индукции через произвольную замкну-
тую поверхность равен суммарному электрическому заряду, заключен-
ному внутри этой поверхности.
Аналогичные операции, выполненные с уравнением (1.8), позволяют
получить интегральную форму четвертого уравнения Максвелла
|BdS = О,
S
в соответствии с которым поток вектора магнитной индукции через лю-
бую замкнутую поверхность равен нулю.
1.4. УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ
ГАЗОДИНАМИКИ
Система уравнений (1.9) описывает все многообразие задач электро-
магнитной газодинамики. Для того чтобы из этого многообразия выде-
лить конкретную задачу, необходимо задать так называемые условия
однозначности, включающие в себя:
геометрию рассматриваемой области;
физические свойства рассматриваемой среды;
краевые условия — начальные и граничные условия рассматри-
ваемой задачи.
Почти все условия однозначности задач электромагнитной газодина-
мики не отличаются от условий однозначности задач обычной газодина-
мики. И только вопрос о граничных условиях требует более подробного
рассмотрения.
Для таких гидродинамических переменных, как давление, скорость и
температура, способ задания граничных условий обычный. Для давле-
ния необходимо задать точку отсчета — давление в какой-либо точке
потока. Скорость течения на твердых границах области течения равна
нулю, а на свободных участках границы должна быть задана. При реше-
нии уравнения энергии на твердых границах обычно задают либо тем-
пературу поверхности (граничные условия первого рода), либо плот-
ность теплового потока (граничные условия второго рода). В более
сложных случаях задают так называемые условия сопряжения.
Помимо перечисленных необходимо также задать граничные усло-
вия для электромагнитных переменных — Е, D, Н и В. На свободных
границах значения этих переменных должны быть заданы. На твердых
же участках границы значения этих переменных определяются с помо-
щью соотношений, определяющих правила их изменения при переходе
через границу раздела двух сред. Такие соотношения можно получить,
применив интегральные уравнения Максвелла к некоторому контуру
(или объему), часть которого находится в первой среде, а часть — во
второй. Приведем эти соотношения без вывода:
Еи-Е2/ °; (1-11)
Hlz-H2z = in х п; (1.12)
В>1п~В>2п = &п’ (1-13)
В1п~В2п = 0- (1-14)
Здесь нижний индекс 1 или 2 показывает, в какой из сред по обе стороны
границы раздела рассматривается соответствующий электромагнитный
параметр. Индексами / и и отмечаются касательные и нормальные по от-
ношению к поверхности раздела компоненты векторов. Величины i„ и
•$„ означают соответственно плотность поверхностного тока и плот-
ность поверхностного электрического заряда на поверхности раздела,
п — это единичный вектор нормали к поверхности раздела.
Соотношения (1.11)—(1.14) показывают, что при переходе через гра-
ницу раздела двух сред:
а) касательная составляющая вектора напряженности электрическо-
го поля не терпит разрыва;
б) касательная составляющая вектора напряженности магнитного
поля изменяется и по значению, и по направлению, причем это измене-
ние определяется вектором плотности поверхностного тока;
в) нормальная составляющая вектора индукции электрического по-
ля изменяется на значение плотности поверхностного электрического
заряда;
г) нормальная составляющая вектора индукции магнитного поля не
терпит разрыва.
Во многих задачах как поверхностный ток, так и поверхностный за-
ряд отсутствуют и соотношения (1.11)—(1.14) значительно упрощаются:
17 17 — Л. (1-15)
Ни-Н2, = 0; (1-16)
^1л-£)2л = 0! (1.17)
В1п~В2п = 0- (1.18)
Значения векторов, характеризующих напряженность и индукцию
электрического и магнитного полей по одну сторону границы раздела
двух сред либо заданы, либо достаточно просто определяются. Соотно-
шения (1.11)—(1.14) или (1.15)—(1.18) позволяют определить значения
этих векторов по другую сторону границы.
Рис. 1.5. Схема расчета напря-
женности магнитного поля
магнитного ноля при переходе через границу
раздела двух сред
в зазоре электромагнита
Рис. 1.4. Изменение вектора напряженности
Н — силовая линия магнитного поля
В качестве примера на рис. 1.4 рассмотрим изменение напряженно-
сти магнитного поля при переходе из первой среды (индекс 1) во вто-
рую (индекс 2). Естественно, что при этом необходимо задать значения
магнитной проницаемости обеих сред — величины р.] и ц2. Для про-
стоты будем считать, что поверхностный ток вдоль границы раздела от-
сутствует. Прежде всего заданный вектор Н j необходимо разложить на
нормальную Н 1п и касательную Hlz составляющие, так как они по-раз-
ному изменяются при переходе через границу раздела. Из соотношения
(1.16) следует, что
Н— о
н2/-
Изменение нормальной компоненты вектора Н определяется соотно-
шением (1.18), которое можно записать в виде
М-1^1И-Н2^2» = °>
откуда следует, что
Н2п = ~н1п-
2л н2 1л
Если для конкретности принять, что ц]/ц2 = 0,5, то Н2п = 0,5Я1и.
Соответствующий вектор Н2 построен на рис. 1.4. Чтобы не затемнять
чертеж, начало этого вектора перенесено из точки b в точку с. На этом
рисунке справа изображена силовая линия магнитного поля.
В качестве полезной иллюстрации использования приведенных вы-
ше соотношений рассмотрим самый элементарный способ расчета на-
пряженности магнитного поля в зазоре электромагнита, изображенного
на рис. 1.5. Обмотка магнита имеет w витков, и по ней течет ток силой
/ ампер. Используем закон полного тока, выбрав в качестве контура, по
которому рассчитывается циркуляция, силовую линию магнитного по-
ля, изображенную на рисунке штрихом. Ширину зазора между полюса-
ми магнита обозначим через 8, и магнитное поле в зазоре Нх также бу-
дем считать постоянным. Длину той части силовой линии, которая рас-
положена в магнитопроводе, обозначим через /, а магнитное поле вдоль
этой линии Я2 будем считать постоянным. Циркуляция вектора напря-
женности по выбранному контуру будет равна 1Н2 + З/Zj, а полный
ток, пронизывающий контур, равен wl. Таким образом,
/Я2+ЗЯ1=и-/. (1.19)
Связь между напряженностями магнитного поля Я] и Я2 устанавли-
вается соотношением (1.18):
U 1-^1 ~ Р-2^2-
Магнитопроводы магнитов изготавливаются из материалов, относи-
тельная магнитная проницаемость которых равна по крайней мере 10 4
т.е. Ц]/ц2 ~ 10"4- Следовательно, Я2/Я] = 10~4. Таким образом, пер-
вым слагаемым в левой части соотношения (1.19) можно пренебречь по
сравнению со вторым и
При постоянных «ампер-витках» (w/ = const) напряженность магнит-
ного поля в зазоре магнита обратно пропорциональна ширине зазора.
1.5. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Для получения уравнения сохранения энергии электромагнитного
поля воспользуемся первым и вторым уравнениями Максвелла, запи-
санными в следующем виде:
„ • ЭЕ
rot Н = 1 + е —,
8/
„ ЭН
rot Е = - ц —.
аг
Умножим скалярно первое уравнение на Е, а второе на Н и просум-
мируем полученные выражения. В результате после несложных преоб-
разований имеем
( „2 гг2\
а е£ |1Я
2 + 2 ,
= -JE-(HrotE -ErotH),
но
Н rot Е - Е rot Н = div [Е х Н] = divS.
Таким образом,
/ „2 rr2\
Э е£ цЯ
— ----+-— = -jE-divS.
Э4 2 2 J
Это уравнение и представляет собой закон сохранения энергии элек-
тромагнитного поля, левая часть которого — скорость изменения энер-
гии электромагнитного поля в рассматриваемой точке пространства.
Слагаемые в правой части показывают причину этого изменения. Первое
слагаемое характеризует обмен энергией между средой и электромагнит-
ным полем. Оно может быть и положительным, и отрицательным. Если
jE > 0, то с учетом знака минус перед этим слагаемым энергия электро-
магнитного поля уменьшается, т.е. происходит передача энергии движу-
щейся среде (такой процесс имеет место в МГД-насосе). В режиме МГД-
генератора векторы j и Е имеют противоположное направление, их ска-
лярное произведение отрицательно и передача энергии происходит от
движущейся среды к электромагнитному полю.
Вектор S во втором слагаемом, равный [Е х Н], называется векто-
ром Умова—Пойнтинга и имеет смысл плотности потока энергии элек-
тромагнитного поля. Второе слагаемое описывает перенос энергии по
пространству из тех точек, где divS > 0, в те точки, где divS < 0.
В пустоте первое слагаемое равно нулю и имеет место только перенос
энергии электромагнитного поля вектором Умова—Пойнтинга. В прак-
тических задачах, наоборот, наибольший интерес представляет про-
цесс обмена энергией между электромагнитным полем и средой, опи-
сываемый слагаемым jE.
1.6. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ
Система уравнений электромагнитной газодинамики (см. пара-
граф 1.2) является очень сложной и трудно разрешимой даже при
рассмотрении сравнительно простых задач. Однако, как сказано вы-
ше, во многих случаях некоторыми слагаемыми в уравнениях элек-
тромагнитной газодинамики можно пренебречь. Для этого необхо-
димо выполнение следующих условий:
а) характерный временной масштаб процесса должен быть не очень ма-
лым — (rowo)//o > 1 (не рассматриваются высокочастотные процессы);
б) характерные напряженности электрического поля по порядку ве-
личины не должны превышать индуцированное электрическое поле —
Е0/(М()В0) - 1 ’
в) характерные для задачи скорости должны быть значительно мень-
ше скорости света — w0/c0 <2- 1.
При этом пренебрежимо малыми оказываются: ток смещения в пер-
вом уравнении Максвелла, ток конвекции в законе Ома, кулоновская со-
ставляющая в электромагнитной силе. Применимость этих упрощений
к жидким металлам не вызывает сомнений. Эта упрощенная система,
называемая системой уравнений магнитной газодинамики (иногда назы-
ваемая низкочастотным приближением уравнений электромагнитной
газодинамики), имеет вид:
dp
— + pdivu = 0;
dt
d.u
p — = -Vp + т| V2 u + j x B;
dt
pc d? = P +XV27’+j2/o;
dt p dt
р = рЯТ;
rotH =j;
г- ЭВ
rot E =----;
at
div D = pg;
div В = 0;
j = a (E + u x B).
(1-20)
1.7. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
В тех случаях, когда исследуется течение в электрических и магнит-
ных полях несжимаемой жидкости, а именно такие течения рассматри-
ваются в настоящей монографии, система уравнений еще более упроща-
ется и имеет вид:
div u = 0;
p — = -Vp+T|V2u + j x B;
dt
pc — =XV2r+;2/ff;
dt
rotH = j;
_ ЭВ
ГОС —...» *
at ’
divD =pe;
div В = 0;
j = o(E + u x B).
(1-21)
Довольно часто оказывается более удобным использовать эти урав-
нения в тензорной форме записи:
рс
dT dT)
— + и. -
dt кЭх*
ЪЕ 2т hh
-------1----5
Эх*Эх* о
dt ’
dH,
zikl з
Эх*
dEj
E.kt _ =
dDk
=р«;
Эх*
ЭВ*
— = 0;
Эх*
Л=а(£/ + Чк1иквГ>-
(1.22)
1.8. УРАВНЕНИЕ ИНДУКЦИИ
Первое и второе уравнения Максвелла и закон Ома, входящие в систе-
му уравнений магнитной газодинамики или магнитной гидродинамики:
rotH = j;
„ ЭН
rot Е = - Ц — ;
dt
j = о(Е + ци х Н),
образуют систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными величи-
нами — и, j, Е и Н. Эту систему можно свести к одному уравнению
с двумя неизвестными.
Первое и третье уравнения позволяют получить выражение
Е = - rotH - ц [и х Н].
о
Подставив это выражение во второе уравнение, получим уравнение,
в котором фигурируют две неизвестные величины и и Н,
— = rot [и х Н] — rot
dt
1
— rot Н .
цо
(1.23)
Данное уравнение называется уравнением магнитной индукции. Оно
описывает скорость изменения напряженности (или индукции) магнит-
1
ного поля в произвольной точке пространства. Величина — имеет раз-
цсг
мерность кинематического коэффициента вязкости и называется маг-
2
нитной вязкостью среды, м /с
= (124)
Во многих задачах электропроводность среды, а следовательно, и
магнитную вязкость можно считать постоянной величиной и вынести ее
из-под оператора rot. Это допущение в случае жидкометаллических теп-
лоносителей не вызывает никаких сомнений. В этом случае уравнение
магнитной индукции упрощается и имеет вид
ЭН г „2„
— = rot [и х Н] + vmV Н. (1.25)
Чтобы проанализировать физический смысл слагаемых в правой час-
ти этого уравнения, рассмотрим два крайних случая.
Первый случай, когда первым слагаемым в правой части можно пре-
небречь, например, если магнитная вязкость vm достаточно велика (про-
водимость среды о мала). В этом случае уравнение (1.25) имеет вид
^=v„,V2H, (1.26)
представляет собой дифференциальное уравнение диффузионного типа
и описывает диффузию магнитного поля в среде. Причем «скорость»
диффузии определяется магнитной вязкостью среды. При этом скорость
движения среды выпала из уравнения индукции, т.е. движение среды не
оказывает никакого влияния на магнитное поле.
Проиллюстрируем процесс диффузии магнитного поля следующим
примером (рис. 1.6). Пусть в среде, движущейся со скоростью и0, в мо-
мент времени t каким-то образом создано одномерное магнитное поле,
показанное на рисунке сплошной линией, а распределение магнитного
поля в соответствии с уравнением (1.26) через небольшой промежуток
Рис. 1.6. Диффузия магнитного поля
в среде
поля в движущуюся среду
Рис. 1.7. «Вмороженность» магнитного
времени Ат изображено штриховой линией. Еще раз подчеркнем, что в
этом случае магнитное поле ничего «не знает» о движении среды.
Второй крайний случай — хорошо проводящие среды, у которых
магнитная вязкость мала и в правой части уравнения индукции (1.25)
можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым. Здесь
уравнение индукции имеет вид
ЭН г тт,
— =rot [и х Н],
э/
но
rot [и х Н] = и div Н - (и V)H + (Н V)u - Н div и.
Первое и последнее слагаемые в этом выражении равны нулю, так как
div u = div Н = 0. Для большей наглядности анализа положим, что среда
движется с постоянной скоростью, т.е. u = const = и0, тогда и третье сла-
гаемое также равно нулю. Уравнение индукции принимает вид:
ЭН z dH Л
— =-(uV)H или — =0.
Эг dr
Это выражение показывает, что в системе координат, движущейся
вместе со средой, магнитное поле в каждой точке потока не изменяется
или, образно говоря, магнитное поле оказывается «вмороженным»
в среду. Влияние движения среды на магнитное поле при этом оказыва-
ется очень сильным. Применительно к рассмотренному выше примеру
характер изменения магнитного поля во времени иллюстрируется
рис. 1.7. Импульс магнитного поля, не изменяя своей формы, перено-
сится со скоростью Uq вместе с движущейся средой.
Итак, первое слагаемое в правой части уравнения индукции харак-
теризует «вмороженность» магнитного поля в движущуюся среду, а
второе — его диффузию. Если второе слагаемое существенно больше
Рис. 1.8. Динамика имиульса магнитного
ноля нрн совместном действии процессов
«вмороженности» и диффузии
первого, то влияние движения среды на магнитное поле пренебрежи-
мо мало и имеет место процесс диффузии магнитного поля в среде.
Если же, наоборот, доминирует первое слагаемое, то влияние движе-
ния среды на магнитное поле велико — магнитное поле оказывается
«вмороженным» в движущуюся среду. Условия, определяющие соот-
ношение слагаемых в уравнении индукции, более подробно будут рас-
смотрены в параграфе 1.9.
Если оба слагаемых в правой части уравнения индукции существен-
ны, то имеют место оба процесса — и перенос магнитного поля движу-
щейся средой, и диффузия магнитного поля в среде (рис. 1.8).
При использовании уравнения индукции система уравнений, описы-
вающая движение электропроводных жидкостей в магнитном поле, сво-
дится к четырем уравнениям с четырьмя неизвестными:
div и = 0; (1.27)
du _ р — = -Vp + nv u - ц [Н х rotH]; dr (1.28)
— =rot [uxH] + v V2H; 3r (1.29)
2 pc — = XV2r+7-. (1.30)
Эг о
Последнее слагаемое в уравнении движения, представляющее собой
пондеромоторную силу, характеризует влияние магнитного поля на
движение среды. Первое слагаемое в правой части уравнения индукции
характеризует влияние движения среды на магнитное поле.
Во многих задачах влиянием движения среды на магнитное поле
можно пренебречь (см. параграф 1.9). В этом случае магнитное поле
можно считать заданным, надобность в уравнении (1.29) отпадает и сис-
тема уравнений магнитной гидродинамики сводится к трем уравнениям:
div u = 0;
(1.31)
p — =-Vp + T|V2u-p.[HxrotH]; (1.32)
dr
pc — = lN1T+j-.
Эг о
(1.33)
В тензорной форме эта система имеет вид:
дик
— - 0;
Эхл

'Эм-
р — + и, —
кЪхк)
Эх,. + Л
ЭхлЭхА
+ ZiklhBl>
(1.34)
[ЭГ
рск+м*
эг
Эхъ
э2г ikh
----+ —.
о
ЭхАЭх*
= 1
Если свойства жидкости постоянны (течение изотермично), то урав-
нение (1.33) можно опустить тогда движение электропроводной жидко-
сти в магнитном поле описывается, как и в обычной гидродинамике,
всего двумя уравнениями:
div и = 0;
р — = -Vp + т| V2 и - ц [Н х rot Н],
dr
а влияние магнитного поля на движение среды учитывается последним
слагаемым в уравнении движения.
1.9. БЕЗРАЗМЕРНЫЕ КРИТЕРИИ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
Особенность задач магнитной гидродинамики состоит в том, что в об-
щем случае заранее не известны ни поле скорости, ни магнитное поле.
При этом магнитное поле влияет на движение среды, а движение среды,
в свою очередь, влияет на магнитное поле. Влияние магнитного поля на
поле скорости выражается последним слагаемым в уравнении движения
(1.28), представляющим собой пондеромоторную силу. Влияние движе-
ния среды на магнитное поле характеризуется первым слагаемым в пра-
вой части уравнения индукции (1.29). Чтобы получить безразмерные
критерии, определяющие относительную роль этих слагаемых, необхо-
димо привести уравнения движения и индукции к безразмерному виду.
Для этой цели выберем следующие масштабы: для координат и ли-
нейных размеров — Zo, для скоростей — w0, для времени — т0 = Z0/w0,
для давления — р0 = pw0, для индукции магнитного поля — Яо. Поль-
зуясь этими масштабами, введем безразмерные величины, обозначае-
мые звездочкой:
V* = /0V, u* = u/m0, t* = tw0//0,
p* = p/pUQ, Н* = Н/Я0, rot* Н* = (/о/Яо) rotH.
Начнем анализ с уравнения индукции. Подставив в (1.29) вместо раз-
мерных величин произведения безразмерных величин на их масштабы и
выполнив простейшие преобразования, получим
ЭН* vm 7
——- = rot* [u* х Н*] + —— (V*)ZH*.
at* м0/0
В этом уравнении фигурирует единственный безразмерный ком-
плекс, структура которого совпадает со структурой числа Рейнольдса.
Благодаря этому сходству этот критерий назвали магнитным числом
Рейнольдса:
Сходство между магнитным числом Рейнольдса и обычным числом
Рейнольдса чисто внешнее. Физический смысл этих критериев совер-
шенно различен.
Итак, безразмерное уравнение индукции имеет вид
ЭН* 1 7
-— = rot* [и* хН*]+---- (V*)2H.
at* Rem
Таким образом, как хорошо видно из этого уравнения, относитель-
ная роль слагаемых в уравнении индукции и степень влияния движения
среды на магнитное поле определяются не только магнитной вязкостью
среды, но и целым комплексом величин, образующих магнитное число
Рейнольдса. Если Rem 1, то в уравнении индукции можно пренеб-
речь первым слагаемым. В этом случае имеет место диффузия магнит-
ного поля в среде, движение среды не влияет на магнитное поле. Если
же Rem 1, то можно пренебречь вторым слагаемым. В этом случае
влияние движения среды на магнитное поле очень сильное — магнит-
ное поле оказывается «вмороженным» в движущуюся среду.
Рис. 1.9. Схема, иллюстрирующая влияние движения среды на магнитное поле
в зависимости от значения числа Rem
Таким образом, физический смысл магнитного числа Рейнольдса
следующий: магнитное число Рейнольдса характеризует степень влия-
ния движения среды на магнитное поле.
Проиллюстрируем это утверждение еще одним примером. В рас-
смотренном в предыдущем параграфе примере магнитное поле не было
«закреплено» в пространстве и в случае «вмороженности» могло сво-
бодно переноситься движущейся средой. Теперь рассмотрим «закреп-
ленное» магнитное поле — магнитное поле в зазоре закрепленного на
опоре электромагнита (рис. 1.9). Будем выстреливать в зазор между по-
люсами магнита стержень, постепенно увеличивая Rem (например, уве-
личивая электропроводность материала или скорость стержня). На
рис. 1.9, а показано магнитное поле в неподвижной среде, для простоты
считаем его однородным. Если движение стержня в зазоре характеризу-
ется небольшим значением магнитного числа Рейнольдса (Rem <ЗС 1), то
магнитное поле не «чувствует» движения среды и остается неизменным
(рис. 1.9, б). При числах Rem = 1 силовые линии магнитного поля в дви-
жущемся стержне изгибаются и вытягиваются наподобие резиновых
шнуров (рис. 1.9, в). И наконец, если ReM 1, силовые линии магнит-
ного поля «вмораживаются» на переднем конце стержня и по мере его
движения все более растягиваются. Но это растяжение не может про-
должаться до бесконечности. Поэтому возможны два различных конеч-
ных результата в проводимом эксперименте.
Если магнит надежно закреплен на опоре, то по мере движения
стержня его энергия передается магнитному полю (растяжение сило-
вых линий магнитного поля), скорость стержня уменьшается и рано
или поздно он останавливается. Затем начинается обратный процесс —
магнитное поле отдает энергию стержню, который начинает двигаться
в обратном направлении. Действие силовых линий магнитного поля на
стержень подобно действию резиновых шнуров в рогатке. В результате
стержень выбрасывается из магнита с той же скоростью, с которой он
был «выстрелен» в межполюсный зазор. Если же магнит закреплен
плохо, то, возможно, что он будет сорван с опоры и начнет двигаться
вместе со стержнем.
Магнитному числу Рейнольдса можно дать и иную трактовку. При
движении среды со скоростью в магнитном поле с индукцией Но воз-
никают индуцированные токи, значения которых в соответствии с зако-
ном Ома имеют порядок цоа0Н0. Эти токи сопровождаются индуциро-
ванным магнитным полем, порядок величины которого определяется
первым уравнением Максвелла:
^инд ~ М- ® Iq ,
откуда
н
линд . п
= \1<5ий1й = Re„.
Таким образом, магнитное число Рейнольдса можно трактовать как
критерий, характеризующий отношение индуцированного магнитного
поля к приложенному магнитному полю.
При решении подавляющего числа задач магнитной гидродинами-
ки принимается допущение о малости магнитного числа Рейнольдса
(Rem 1). Или, как говорят, задача решается в безындукционном при-
ближении. Такое допущение оправдано для большинства практических
задач и позволяет существенно упростить их решение. При этом в систе-
ме уравнений магнитной гидродинамики (1.27)—(1.30) остаются только
два первых уравнения, т.е. проблема сводится к решению уравнения дви-
жения с дополнительным по сравнению с обычной гидродинамикой сла-
гаемым, учитывающим влияние магнитного поля на движение среды.
Безразмерный критерий, характеризующий степень этого влияния,
получим, приведя к безразмерному виду уравнение движения. При этом
пондеромоторную силу представим в виде ц [j х Н], в качестве масшта-
ба тока выберем величину цсти0Я0 (из закона Ома). Тогда безразмер-
ный ток будет равен j* =-----.
В результате получим
2 2
du* Т| 2 Я0 ^0
— = -v*p* + —У— (V*) п* +---------— [j*xH*].
dz* ра0/0 ра0
В правой части этого уравнения фигурируют два безразмерных кри-
терия. Первый из них — это хорошо известное число Рейнольдса
pw0/0 UqIq
Re =----- =-----,
Т| v
характеризующее отношение сил инерции к силам вязкости.
Второй критерий
„ 2„2 СТ/О
N = И Но ----
Р«0
называется параметром магнитогидродинамического взаимодействия
(иногда его называют числом Стюарта). Физический смысл этого крите-
рия весьма очевиден. Параметр магнитогидродинамического взаимо-
действия характеризует степень влияния магнитного поля на движение
среды, и его можно трактовать как отношение электромагнитных сил к
силам инерции.
Итак, уравнение движения в безразмерном виде выглядит следую-
щим образом:
du* 1 2
—- = -V*p* + — (V*) и* +Л” [j* х H*].
dr* Re
Если N мало, последним слагаемым в этом уравнении можно пренеб-
речь, и уравнение (1.28) превращается в обычное уравнение движения.
В литературе встречаются и другие критерии, по смыслу совпадаю-
щие с параметром магнитогидродинамического взаимодействия. Так,
если при выборе масштаба тока воспользоваться первым уравнением
Максвелла и принять jQ = Яо//0, то влияние магнитного поля на движе-
ние среды будет характеризоваться не параметром магнитогидродина-
мического взаимодействия N, а числом Альфвена:
А1 ЦЯ0 N
Al =----- =-----.
2 Re
Р«0
Во многих задачах левая часть уравнения движения равна нулю, т.е.
силы инерции отсутствуют. В этом случае в уравнении движения оста-
ются две силы — сила вязкости и пондеромоторная сила. При обезраз-
Рис. 1.10. Схема, иллюстрирующая роль безразмер-
ных параметров в процессе взаимного влияния дви-
жения среды и магнитного поля
меривании такого уравнения движения в нем появляется всего один
критерий. Этот критерий играет важную роль в магнитной гидродина-
мике и называется числом Гартмана
На = цЯ0/0 7о/т]-
Число Гартмана (его квадрат) есть отношение пондеромоторных сил
к силам вязкости. Оно, как и параметр магнитогидродинамического
взаимодействия и число Альфвена, характеризует степень влияния маг-
нитного поля на движение среды.
В заключение приведем простую схему, иллюстрирующую взаимное
влияние поля скорости и магнитного поля (рис. 1.10).
2
ЛАМИНАРНЫЕ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ
ТЕЧЕНИЯ
2.1. РОЛЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ В МАГНИТНОЙ
ГИДРОДИНАМИКЕ
Рассмотрим последовательность процессов, происходящих при взаи-
модействии магнитного поля и поля скорости. При движении электро-
проводной среды в магнитном поле в произвольной точке потока возни-
кает индуцируемое электрическое поле Е инд = ц [u х Н] и электрический
ток, пропорциональный j ~ цо[и х Н]. В результате взаимодействия то-
ка с магнитным полем появляется пондеромоторная сила Fe = ц [j х Н].
Так как пондеромоторная сила неравномерно распределена по объему
движущейся жидкости, то происходит изменение профиля скорости, из-
меняются гидравлическое сопротивление и теплоотдача. Индуцирован-
ный электрический ток сопровождается также возникновением собст-
венного индуцированного магнитного поля. Таким образом, результи-
рующее магнитное поле в каждой точке потока оказывается равным
сумме приложенного и индуцированного магнитных полей.
Так как индуцированное электрическое поле Еинд, с которого начи-
нается этот процесс, зависит от взаимной ориентации векторов и и Н,
то очевидно, что. характер и степень влияния магнитного поля на гидро-
динамику также в значительной степени зависит от ориентации магнит-
ного поля по отношению к вектору скорости. Обычно рассматривают
два крайних случая:
а) векторы и и Н параллельны — течение в продольном магнитном
поле;
б) магнитное поле направлено перпендикулярно вектору скорости —
течение в поперечном магнитном поле.
В случае стабилизированного ламинарного течения в каналах посто-
янного сечения в продольном магнитном поле векторное произведение
[и х Н] = 0 и, таким образом, продольное магнитное поле не оказывает
никакого влияния ни на гидродинамику, ни на теплообмен таких тече-
ний. Естественно, что на тех участках потока, где происходит пере-
стройка профиля скорости и где возникает поперечная компонента век-
тора скорости, например на начальном участке, магнитное поле влияет
на профиль скорости.
При ламинарном течении в поперечном магнитном поле векторное
произведение [u х Н] Ф 0 и в потоке возникают электрические токи, ин-
дуцированные магнитные поля, пондеромоторные силы. В этом случае
влияние магнитного поля на гидродинамику и теплообмен может быть
очень сильным.
Отметим одну важную особенность ламинарных течений. При изуче-
нии турбулентных течений основную роль играет эксперимент. В слу-
чае же ламинарных течений преобладают аналитические методы иссле-
дований. И если результаты эксперимента ие согласуются с теоретиче-
ским решением, то, как говорят, тем хуже для эксперимента. А именно
это значит, что либо в экспериментальных измерениях была допущена
ошибка, либо условия эксперимента не соответствовали условиям тео-
ретического решения.
И, наконец, еще одно важное обстоятельство, существенно увеличи-
вающее значимость ламинарных течений в прикладной магнитной гид-
родинамике. В обычной гидродинамике ламинарные течения играют
весьма скромную роль. Подавляющее число течений в природе и техни-
ке являются турбулентными. Иная картина имеет место в магнитной
гидродинамике. Магнитное поле активно подавляет турбулентные пуль-
сации скорости (подробнее об этом речь пойдет в следующей главе) и
тем самым ламинаризует турбулентные течения. При этом даже
в не очень сильных поперечных магнитных полях течения могут оста-
ваться ламинарными до чисел Рейнольдса порядка 105 и даже выше, т.е.
подавляющее большинство магнитогидродинамических течений в попе-
речном поле являются ламинарными.
2.2. ТЕЧЕНИЕ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ В ПОПЕРЕЧНОМ МАГНИТНОМ
ПОЛЕ (ЗАДАЧА ГАРТМАНА)
2.2.1. Гидродинамическая часть задачи
Рассмотрим ламинарное течение электропроводной жидкости в кана-
ле, образованном двумя бесконечными плоскими пластинами, расстоя-
ние между которыми равно 25, в поперечном магнитном поле напряжен-
ностью Но (рис. 2.1). Примем предварительно следующие условия:
течение и теплообмен стационарны, т.е. Э/Э/ =0;
физические свойства жидкости постоянны;
рассматривается течение вдали от входа, там где оно стабилизиро-
вано в гидродинамическом и тепловом отношении (при этом век-
тор скорости имеет только продольную компоненту).
Эта задача была решена Гартманом в 1937 г. [10]. В настоящее время
она является классической задачей магнитной гидродинамики, носит
название задачи Гартмана и приводится практически в любой книге, по-
Рис. 2.1. Схема течения в задаче Гартмана
Рис. 2.2. Схема проточной части
МГД-машииы
1 — электроды; 2 — изоляционные
стенки
священной проблемам магнитной гидродинамики. Тепловая часть зада-
чи решена в работе [11] и рассматривается в п. 2.2.2 настоящей книги.
Отметим, что не принимается никаких допущений о малости магнит-
ного числа Рейнольдса. Поэтому задача Гартмана позволяет продемон-
стрировать оба характерных для магнитной гидродинамики эффекта:
эффект влияния магнитного поля на гидродинамику и эффект влияния
течения жидкости на магнитное поле.
Анализ течения в плоском канале имеет важное как теоретическое,
так и практическое значение, так как проточные части многих магнито-
гидродинамических машин выполняются в виде прямоугольных кана-
лов с большим отношением ширины канала а к его высоте h (рис. 2.2).
Вдали от боковых стенок течение в таких каналах можно рассматривать
как течение в плоском канале.
Боковые стенки каналов (в задаче Гартмана они удалены в z = ± °о раз)
являются электродами, через которые к каналу подводится или от него
отводится электрический ток. Очевидно, что эти стенки изготавливают-
ся из материалов, хорошо проводящих электрический ток. Горизонталь-
ные стенки канала обычно изготавливаются из материалов, не проводя-
щих электричество. Но во многих случаях выполнить эти стенки из не-
проводящих материалов очень сложно или вообще невозможно. Кроме
того, при высоких температурах, характерных для МГД-генераторов, лю-
бые изоляционные материалы становятся в большей или меньшей степе-
ни электропроводными. Поэтому вначале рассмотрим задачу для каналов
с неэлектропроводными горизонтальными стенками, а затем проанализи-
руем влияние электропроводности этих стенок на течение в канале.
Рассматриваемый канал в зависимости от того, что включено во
внешней электрической цепи, может работать в различных режимах. Ес-
ли во внешней цепи включена активная нагрузка с сопротивлением Лн,
то канал работает в режиме МГД-генератора. Если во внешней цепи
включен источник тока, то канал может работать как в режиме МГД-на-
coca, так и в режиме МГД-вентиля. В любом режиме, зная характери-
стику внешней цепи, несложно определить разность потенциалов на
электродах канала Д(7 или напряженность электрического поля, прило-
женного к каналу, £0 = МПа. Чтобы не заниматься рассмотрением
внешней цепи, будем считать, что величина Ео, определяющая режим
работы канала, задана.
Итак, переходя к решению задачи Гартмана, запишем исходную сис-
тему уравнений в следующем виде:
О = -Vp + T|V2u + ц [j х Н]; (2.1)
d7 -> 2
pc— =XVT+^-; (2.2)
dt О
rotH=j; (2.3)
rotE=0; (2.4)
divE = 0; (2.5)
divH = 0; (2.6)
j = <5 (E + p. [u x H]). (2.7)
Расчет температурного поля с помощью уравнения (2.2) рассматри-
вается в следующем параграфе.
При упрощении этих уравнений учтем, что вектор скорости имеет
только одну продольную компоненту и = {и, 0, 0}, вектор напряженно-
сти электрического поля Е = {0, 0, Е.}, а вектор магнитного поля кроме
приложенной составляющей вдоль оси у может иметь и индуцируемую
компоненту Нх — И = {Нх, Ну, 0}. Неочевидно отсутствие разделения
зарядов — ноль в правой части уравнения (2.5). В задачах подобного ро-
да эту проблему следует решать так. Возьмем дивергенцию от обеих час-
тей уравнения (2.7) и с учетом того, что div j = 0, получим
divE = -pdiv[uxH] = -|J.(urotH -Hrotu).
Так как в задаче Гартмана rotH и rot и направлены вдоль оси z, то
скалярные произведения u rotH = Н rot и = 0. Следовательно, divE = 0.
Отметим, что при течении в круглой трубе в поперечном магнитном по-
ле divE Ф 0, т.е. имеет место процесс разделения зарядов.
Упрощение системы (2.1)—(2.7) начнем с уравнений (2.4) и (2.5), из
которых следует, что
Ег = const = Eq ,
т.е. напряженность электрического поля в канале постоянна и равна на-
пряженности приложенного поля.
Из уравнения (2.6) следует, что дНу! Эу = 0, или
Ну = const = Hq ,
т.е. компонента вектора напряженности магнитного поля, перпендику-
лярная стенкам канала, постоянна и равна напряженности приложенно-
го магнитного поля.
Векторное произведение в законе Ома (2.7) равно
оГ «Г
[ихН] = и 0 0 = “Яоез
яо 0
где ер е2, е3 — единичные векторы вдоль осейх,у, z.
Таким образом, все слагаемые в законе Ома имеют отличную от нуля
компоненту только вдоль оси z, т.е. ток в канале течет вдоль оси z. Учи-
тывая и помня это, в дальнейшем будем закон Ома записывать в виде
j = о(£0 + циЯ0).
Нетрудно убедиться, что в rot Н отлична от нуля только компонента
вдоль оси z, равная дНх /ду и уравнение (2.3) можно записать в виде
dHx/dy=-j-
И, наконец, рассмотрим уравнение движения (2.1). Последнее сла-
гаемое в правой части этого уравнения равно:
е1 е2 е3
M-[jxH] = ц 0 о j = -MJ#oei + VJHxe2
нх н0 0
Таким образом, пондеромоторная сила в задаче Гартмана имеет две
составляющие: составляющую вдоль оси х, равную Fex - - ц jH0, и со-
ставляющую вдоль оси у, равную Fey = ц jHx. Следовательно, и уравне-
ние движения имеет смысл:
в проекции на осьх
др d^w
О =-^ + 4—-Ц/Яо;
Эх dy
и в проекции на ось у
Q — др [ . „
Из этих уравнений следует, что давление в задаче Гартмана изменя-
ется не только вдоль оси х, но и в поперечном сечении канала.
Итак, система уравнений задачи Гартмана состоит из четырех урав-
нений:
О =-^ + п^-ц7Н0; (2.8)
дх dy
О=-|^ + ц/Я; (2.9)
дНх
-^=-Л (2-10)
j = <т(£0 + ц wH0), (2.11)
описывающих изменение четырех переменных — и, p,j, Нх.
Прежде чем приступить к решению этой системы, проанализируем
различные режимы работы канала, воспользовавшись законом Ома —
уравнением (2.11).
Будем считать, что напряженность магнитного поля и расход жидко-
сти постоянны и изменяется только напряженность электрического по-
ля, т.е. и = const, Но = const, £0 = var.
Нетрудно видеть, что эпюру тока в канале можно рассматривать со-
стоящей из двух составляющих. Составляющая ajiuH0 не зависит от
Ео, т.е. не изменяется от режима к режиму, но переменна по высоте ка-
нала, так как и(у). Эпюра этой составляющей изображена на рис. 2.3, а.
Вторая составляющая сЕ0 постоянна по сечению канала (рис. 2.3, б),
но изменяется от режима к режиму.
Начнем анализ с рассмотрения канала, работающего в режиме МГД-
генератора. При работе любого генератора крайними режимами являют-
ся режим короткого замыкания и режим холостого хода.
Режим короткого замыкания (к.з.) характеризуется тем, что сопро-
тивление внешней нагрузки равно нулю (рис. 2.4, а) и, следовательно,
Рис. 2.3. Эпюры слагаемых в законе Ома

«н=°
оциЯ0
Рис. 2.4. Профиль тока при работе канала в режиме короткого замыкания
-ориЯ0

ариЯ0
Рис. 2.5. Профиль тока при работе канала в режиме холостого хода
Ео = 0. Таким образом, эпюра тока в этом случае состоит только из од-
ной составляющей (рис. 2.4, б). Так как ток j положителен по всему по-
перечному сечению канала, то горизонтальная компонента пондеромо-
торной силы, равная ц jH0, по всему сечению отрицательна, т.е. понде-
ромоторная сила по всему сечению тормозит поток, причем в центре
сильнее, чем у стенок. Не решая пока уравнения движения, уже можно
ожидать, что вследствие воздействия поперечного магнитного поля на
поток параболический при течении без поля профиль скорости должен
становиться более плоским — уплощаться.
Так как Ео = 0, то jE0 = 0 и никакой энергии электрическое поле не
получает. Вся отбираемая от потока механическая энергия превращает-
ся в тепло.
В режиме холостого хода (х.х.) внешняя цепь разомкнута, или, ины-
ми словами, сопротивление нагрузки равно бесконечности (рис 2.5, а).
Очевидно, что ток во внешней цепи равен нулю, чего ни в коем случае
нельзя сказать про ток в канале. Плотность тока в канале изменяется по
высоте, и если в какой-то точке канала она и равна нулю, то в других
точках канала отлична от нуля. Равен нулю полный ток в канале. Вос-
пользуемся этим условием, чтобы найти величину Ео, характеризую-
щую режим холостого хода. С учетом того, что пока рассматриваем ка-
нал с непроводящими стенками и весь ток течет только по жидкости,
имеем для полного тока следующее выражение:
5 С 1 s А
7=j <y(E0 + liuHg) dy = 25 ст£0 + сгц/70 — J и dy
-5 k 2° -5 7
(2-12)
1 r ,
но — \ и dy
23_J5
= и — средняя скорость течения в канале. Таким образом,
/ = 25<т(Е0 +ца Яо). (2.13)
Приравняв полный ток нулю, получим, что напряженность электри-
ческого поля в режиме холостого тока равна
£xx=-pwH0. (2.14)
Теперь нетрудно построить эпюру тока в канале, соответствующую
режиму холостого хода. Для этого надо эпюру оцмЯ0 сложить с эпю-
рой - gjj. и Яо, что и показано на рис. 2.5, б. Из самого способа построе-
ния этой эпюры очевидно, что полный ток в канале равен нулю. В цен-
тре канала ток течет в положительном направлении оси z, а у стенок —
в обратном направлении. В задаче Гартмана замыкание токов происхо-
дит в бесконечности, в реальных каналах — у боковых стенок канала.
Так как в центральной части канала j > 0, а у стенок j < 0, то в цен-
тральной части канала пондеромоторная сила отрицательна и тормозит
поток, а у стенок канала — положительна и ускоряет поток, т.е. и в ре-
жиме холостого хода влияние магнитного поля приводит к уплощению
профиля скорости. На основании результата, полученного при решении
уравнения движения, будет показано, что профиль скорости в задаче
Гартмана определяется значением магнитного поля и не зависит от ре-
жима работы канала, а именно во всех режимах под воздействием попе-
речного магнитного поля происходит уплощение профиля скорости.
Соотношение (2.14) интересно еще и тем, что напряженность элек-
трического поля Ео в режиме холостого хода пропорциональна средней
скорости течения а или объемному расходу жидкости в канале. Таким
образом, МГД-канал, работающий в режиме холостого хода (внешняя
цепь разомкнута), можно использовать в качестве расходомера. Для это-
го необходимо измерять разность потенциалов между электродными
стенками канала. Схема МГД-расходомера показана на рис. 2.6. Важны-
ми преимуществами МГД-расходомеров являются отсутствие каких-ли-
бо отверстий в стенках жидкометаллического контура и линейность ха-
рактеристики расходомера. Электромагнитные расходомеры широко
применяются для измерения расхода в разнообразных жидкометалличе- ..
Рис. 2.6. Схема МГД-расхо-
домера
Рис. 2.7. Профиль тока при работе канала в режиме
МГД-генератора
ских контурах, например в системах охлаждения активных зон реакто-
ров на быстрых нейтронах.
Электромагнитные расходомеры применяются и на жидкостях, обла-
дающих значительно меньшей электропроводностью, чем жидкие ме-
таллы. Так, МГД-расходомеры широко используются для измерения
расхода чистой и загрязненной воды.
Схема канала, работающего в режиме МГД-генератора, показана
на рис. 2.7, а. Во внешнюю цепь включена нагрузка, сопротивление ко-
торой 0 < RH < оо. Нетрудно понять, что напряженность электрического
поля Ео при работе в режиме МГД-генератора будет принимать некото-
рое промежуточное значение и находиться между значениями этой ве-
личины, соответствующими режиму холостого хода и короткого замы-
кания, т.е. - у. йН0 < Ео <0 (рис. 2.7, б). Средний ток в этом случае по-
ложителен J = //28>0, электрическое поле отрицательно Ео < 0 и,
следовательно, jE0 <0, т.е. происходит передача энергии от движу-
щейся среды электрическому полю.
В режиме МГД-насоса, в отличие от режима МГД-генератора, где
пондеромоторная сила тормозит поток, все происходит наоборот. К ка-
налу необходимо приложить напряжение от внешнего источника, элек-
трическое поле при этом отдает энергию потоку, а пондеромоторная си-
ла положительна. Но так как Fex = -[kjHQ, то, следовательно, в режи-
ме МГД-насоса средний ток должен быть отрицательным, т.е. J < 0 . Из
соотношения (2.13) следует, что
’ Eq <-ц uHq,
т.е. внешний источник должен быть подключен так, как это показано на
схеме рис. 2.8, а. Соответствующая эпюра тока показана на рис. 2.8, б.
У
б
Рис. 2.8. Профиль тока при работе канала в режиме МГД-иасоса
Рис. 2.9. Профиль тока нри работе капала в режиме МГД-вептпля
Рис. 2.10. Карта режимов работы
х.х П к.з Ш МГД-капала
! * ♦ ‘ >
-рйЯ0 0 Ео I — МГД-насос; II — МГД-генератор;
III — МГД-вентиль
Схема режима МГД-вентиля показана на рис. 2.9, а, а эпюра тока —
на рис. 2.9, б. В этом случае ток по всему сечению канала положителен,
а пондеромоторная сила отрицательна, т.е. в этом режиме канал тормо-
зит поток и тем сильнее, чем больше приложенная к каналу ЭДС. Регу-
лируя величину Ео, можно изменять расход жидкости в контуре. Поэто-
му данный режим и называется режимом МГД-вентиля.
Смысл воздействия канала, работающего в этом режиме, на поток
становится более ясным, если понять, что МГД-вентиль — это МГД-на-
сос, включенный навстречу потоку. Резонно поставить вопрос, можно
ли с помощью МГД-вентиля полностью затормозить поток. При приня-
том выше условии й = const такая постановка вопроса лишена смысла.
В реальных же условиях МГД-вентиль позволяет не только полностью
остановить поток, но и обратить его вспять.
В режиме МГД-вентиля и энергия, отдаваемая полем потоку, и кине-
тическая энергия, отбираемая от потока, превращаются в тепло.
Полезно все рассмотренные режимы -изобразить на прямой, вдоль
которой откладываются соответствующие значения Ео (рис. 2.10). На
отрицательной ветви этой прямой расположены режим МГД-генератора
и МГД-насоса. Область Ео > 0 соответствует режиму МГД-вентиля.
Возвращаясь к задаче Гартмана, начнем решение уравнений системы
с уравнения движения (2.8). Подставив в последнее слагаемое этого
уравнения j в соответствии с законом Ома (2.11) и введя для экономии
записей обозначениеР=-др/дх, получим
d2a 22
Т|-----ор Яо а = оцЯ0£0 -Р. (2.15)
dy2
Решением этого неоднородного дифференциального уравнения явля-
ется сумма U} + а2, где — общее решение однородного уравнения, а
а2 — частное решение неоднородного уравнения.
Соответствующее однородное уравнение имеет вид
d2"l 2 2
П—=0. (2.16)
dy
Введем безразмерную координату Y = у/3. В результате уравнение
(2.16) запишем в следующем виде:
.2
“ “1 2..2S2 О п
...— О — = U
dr2 Я
или
.2
d М1 2
-----На и, =0,
7 1
dK2
где На = цЯ0Зл/о/т].
Решением этого уравнения является выражение
aj = q sh (На Г) + С2 ch (На У).
Частное решение неоднородного уравнения можно искать в виде по-
стоянной. Подставляя а2 = С3 в (2.15), получаем
-оц2Я02 С3 = giiHqE0 -Р,
откуда
г Р Е°
3 2 2 иН’
ар Но ио
Итак, решение уравнения (2.15) имеет вид
И(У) = Cjsh (НаУ) + C2ch (На У) + С3.
Для определения постоянных С, и С2 используются граничные ус-
ловия, в соответствии с которыми на стенках канала при У = ±1 ско-
рость равна нулю. В результате получаем
с
(УУ _ , сЬ(НаУ)
u(Y) = Со 1----------
\ ch(Ha)
Р
2„2
оц Но
сЬ(НаУ)"
ch(Ha) ,
(2.17)
Средняя скорость потока
1 8 1
и — — j и dy = jи d У -
25 -8 о
Р
2 „2
ац Яо
Ео Г Ф(НаУ)'
цЯ0 J На ,
(2.18)
Эта формула позволяет понять, что же изменяется в канале при из-
менении Ео в условиях, при которых анализировались различные режи-
мы работы канала — На = const и и = const. Так как левая часть этой
формулы и вторая скобка — константы, то и
р Е0 _
......—-----— const
Оц2Я2 НЯ0
или
Р - с>ц//0£0 = const = Ро.
Уравнение
Р = Ро + °ЦЯ0£0
в координатах Р(£о) представляет собой прямую линию. Соответст-
вующий график с изображением на нем всех режимов работы канала
показан на рис. 2.11. Таким образом, видим, что при постоянном расхо-
де изменение Ео связано с изменением градиента давления Р.
Рис. 2.11. График зависимости градиен-
та давления от напряженности электри-
ческого поля
I — МГД-насос; II — МГД-генератор;
III — МГД-вентиль
В режиме МГД-насоса градиент давления, как это и должно быть,
положителен (напомним, что Р = -др/дх). Точка А на графике соответ-
ствует такому течению, при котором МГД-насос только-только «справ-
ляется» с собственными потерями на трение. В режимах МГД-генерато-
ра и МГД-вентиля градиент давления отрицателен. В режиме МГД-вен-
тиля градиент давления тем больше, чем больше приложенное к каналу
электрическое поле £0: при постоянном расходе жидкости в канале
для преодоления возрастающей тормозящей силы требуется все боль-
ший перепад давления.
Вернемся теперь к анализу выражения, полученного для профиля
скорости. Характер воздействия магнитного поля на профиль скорости
нагляднее всего проявляется при рассмотрении безразмерного профиля
скорости. Поделив выражение (2.17) на (2.18), получим
= = ch(Ha) - ch(HaK) (2 J9)
и ch(Ha)-— sh(Ha)
На
При анализе этого выражения прежде всего необходимо убедиться,
что при На —> 0 оно вырождается в параболу. Прямая подстановка На = О
приводит к неопределенности типа 0/0. Проще всего эта неопределен-
ность раскрывается с использованием разложения гиперболических
функций в ряд:
тт 2
На
ch(Ha) = 1 + — + ...;
2
сЬ(НаУ) = 1 + (НаУ) + ...; (2.20)
2
На3
sh(Ha) = На + —+ ...
Подставив (2.20) в (2.19) и устремив На -* 0, получим
3 7
что соответствует профилю скорости при ламинарном течении в плос-
ком канале без магнитного поля.
Теперь рассмотрим другой крайний случай — На -* со. Для этого
воспользуемся следующим выражением, справедливым при больших
значениях числа Гартмана:
ch (На) = sh (На) = еНа/2;
сЬ(НаГ) = еНяГ/2.
Рис. 2.12. Влияние числа Гартмана
на безразмерный профиль скорости
Подставив (2.21) в (2.19), получим
На На Г
е -е
lim На -> оо — 1*т На ->
На 1 На
е - — е
На >
Пренебрегая вторым слагаемым в знаменателе, получаем:
приО<К<1 limHa_ ooU= 1;
(2.22)
(2.23)
при Y= 1 U = 0.
Таким образом, при больших числах На профиль скорости стремится
к стержневому.
При не очень больших числах На профиль скорости рассчитывается
по формуле (2.19). Эти три профиля скорости — параболический,
стержневой и промежуточный показаны на рис. 2.12.
Итак, поперечное магнитное поле, наложенное на течение электро-
проводной жидкости в плоском канале, вызывает уплощение профиля
скорости. Этот эффект, называемый в литературе «эффектом Гартма-
на», был качественно предсказан выше при анализе режимов течения и
объясняется неравномерностью распределения пондеромоторной силы
по поперечному сечению канала. Уплощение профиля скорости, как
это нетрудно видеть, приводит к увеличению градиента скорости на
стенках канала, а следовательно, при этом должно возрастать гидрав-
лическое сопротивление канала. Этот эффект более подробно будет
проанализирован ниже.
Полезно рассмотреть, при каких же значениях чисел На профиль
скорости практически можно считать стержневым. Как было показано
выше, выражение (2.22) превращается в (2.23) в результате отбрасыва-
ния в знаменателе второго слагаемого. Будем считать, что практически
это справедливо, когда второе слагаемое составляет не более 0,01 от
первого, т.е. при На > 100. Таким образом, при На > 100 профиль скоро-
сти в канале практически является стержневым.
При дальнейшем решении системы уравнений (2.8) — (2.12) примем
следующее упрощающее допущение. Так как нас интересуют эффекты,
связанные с течением электропроводных жидкостей в каналах, к кото-
рым не приложено никаких внешних электрических полей, то при реше-
нии остальных уравнений системы (2.8) — (2.12) будем рассматривать
только канал, работающий в режиме холостого хода, т.е. при отсутствии
внешней электрической цепи. В этом случае Ео = -цйЯ0. Подставив
это значение в (2.18), найдем выражение для средней скорости течения
в канале, работающем в режиме холостого хода:
Р ( На
Оц2Я02^(На)_ J
(2.24)
Распределение тока в канале, работающем в режиме холостого хода,
удобно получить, преобразовав закон Ома следующим образом:
J = о(£0 + ЦиЯ0) = оцН0(и- й) = g\iHqu(U- 1). (2.25)
Подставив сюда 1/и м в соответствии с (2.19) и (2.24), получим
сЬ(НаУ)>
цЯ0 sh(Ha) ,
(2.26)
Эпюра распределения плотности тока в канале, как это видно из вы-
ражений (2.25) и (2.26), повторяет эпюру профиля скорости. При боль-
ших числах Гартмана плотность тока почти по всей высоте канала прак-
тически равна нулю и только вблизи стенок канала в тонком слое, тол-
щина которого пропорциональна 1 /На, текут значительные токи. Обра-
зование тонких гартмановских токовых слоев вблизи стенок, перпенди-
кулярных силовым линиям магнитного поля, имеет место во многих за-
дачах магнитной гидродинамики.
Распределение индуцированного магнитного поля найдем, проинтег-
рировав уравнение (2.10):
Hx = -jjdy = -5j/dr.
Подставив сюда величину тока в соответствии с (2.25), получим

Р5 ( sh(Harf
sh(Ha) J
Так как распределение тока в канале всегда симметрично относи-
тельно начала координат, то при У = 0 Нх - 0. Следовательно, при лю-
бом режиме работы канала постоянная С = 0. Таким образом,
Р8 ( _ зЬ(НаУ)'
Ц#о I sh(Ha) j
Рнс. 2.13. Распределение индуцированного магнитного поля в канале (режим холо-
стого хода)
На рис. 2.13 показана эпюра Нх, а справа от нее изображена соответ-
ствующая этой эпюре силовая линия магнитного поля. Хорошо видно,
что под действием движущейся жидкости силовые линии магнитного
поля изгибаются в направлении движения жидкости. Так как степень
влияния движения среды на магнитное поле характеризуется магнит-
ным числом Рейнольдса, то показанный на рис. 2.13 изгиб силовых ли-
ний увеличивается по мере роста числа Re т.
И наконец, обратимся к уравнению (2.9). Подставив в него j в соот-
ветствии с (2.10), получим
Эр=_а_
ду dy 2
к /
Интегрируя это уравнение, получаем
„2
р = --у^ +С(х),
где С (х) — константа интегрирования (не зависящая от у), учитывающая
изменение давления по длине канала, которую можно записать в виде
С (х) = - Рх = р0 + — х,
Эх
а р0 — давление при у = 0 на входе в канал (х = 0).
Эпюра распределения давления по поперечному сечению канала по-
казана на рис. 2.14.
Одной из наиболее важных гидродинамических характеристик кана-
ла является коэффициент его гидравлического сопротивления £, опреде-
ляемый формулой Дарси—Вейсбаха
Ар _ е Р«
а/ s 2 аэ’
где Ар/А/ = —Эр/Эх = Р — градиент давления.
Рис. 2.14. Распределение давления
по поперечному сечению канала
Рис. 2.15. Зависимость коэффициента гид-
равлического сонротивления при течении
в плоском канале от чисел Re и На
Эквивалентный диаметр плоского канала с/э = 45. Тогда
^=-^3- (2.27)
ри и
Связь градиента давления Р со средней скоростью й в режиме холо-
стого хода определяется зависимостью (2.24). Выразив из нее отношение
Р/ и и подставив его в (2.27) после несложных преобразований, получим
32На На th(Ha)
Re Ha-th(Ha)’
w45 I---
где Re =---, Ha = ц5/70>/o/t| .
v
При Ha -» 0 значение второго множителя в этом выражении стре-
мится к трем и
limHa^0E, = 96/Re,
что соответствует коэффициенту сопротивления плоского канала при
ламинарном течении без магнитного поля.
При Насю th(Ha)~► 1 и
lim На оо = • (2.28)
Re
График зависимости коэффициента сопротивления от числа На при
фиксированных значениях чисел Re показан на рис. 2.15. Хорошо вид-
но, что с увеличением На коэффициент сопротивления неограниченно
возрастает. Это возрастание есть следствие «эффекта Гартмана» — уве-
личения градиента скорости на стенке канала.
Одновременно с теоретическим решением задачи Гартман выполнил
и экспериментальную работу, имея в виду получить экспериментальное
подтверждение полученных результатов. Из всех фигурирующих в зада-
че величин проще всего экспериментальному измерению поддается ко-
эффициент гидравлического сопротивления канала.
Проведение эксперимента при небольших числа Рейнольдса связано
с преодолением немалых измерительных проблем. Гартман преодолел
эти трудности и получил удовлетворительное согласование эксперимен-
та с теоретическим решением. Более того, ему удалось в экспериментах
частично захватить и турбулентную область течения.
Подведем итоги решения гидродинамической части задачи Гартмана.
Влияние поперечного магнитного поля на гидродинамику электро-
проводной жидкости в плоском канале характеризуется эффектом Гарт-
мана — уплощением профиля скорости. Этот эффект приводит к увели-
чению градиента скорости на стенке и значительному увеличению ко-
эффициента гидравлического сопротивления. Степень этого влияния
определяется значением числа Гартмана. При больших числах На. в ка-
нале имеет место практически стержневой профиль скорости. Электри-
ческий ток, протекающий через канал в режиме холостого хода сосре-
доточен в тонких гартмановских слоях вблизи стенок канала.
Влияние течения среды на магнитное поле проявляется в появле-
нии индуцированного магнитного поля, что отражается на форме си-
ловых линий магнитного поля — их изгибе в направлении движения
среды. Степень этого влияния определяется значением магнитного
числа Рейнольдса Rem.
В заключение этого параграфа рассмотрим, какое влияние на течение
в задаче Гартмана оказывает электропроводность горизонтальных стенок
канала. Если эти стенки являются электропроводными, то электрический
ток течет не только по электропроводной жидкости, но и по стенкам ка-
нала. Доля тока, протекающего по стенкам канала, определяется отноше-
нием проводимости стенок канала 8сос к проводимости жидкости 8 о,
где 8С и 8 — соответственно толщина электропроводной стенки и полу-
ширина канала, а ос ио — электропроводность стенок и жидкости.
При работе в режиме МГД-насоса или МГД-вентиля напряженность
электрического поля задана, — и проводимость стенок канала приводит
только к протеканию дополнительного тока по стенкам канала и никак
не влияет на гидродинамику. L
В режиме МГД-генератора электрическое поле создается самим ка-
налом, величина £0 зависит от сопротивления внешней нагрузки.
Рис. 2.16. Влияние проводимо-
сти стенок канала на градиент
давлении
В этом случае проводящие стенки представляют собой дополнительную
нагрузку, включенную параллельно внешней нагрузке R*. Зависимость
перепада давления Р от напряженности электрического поля Ео, изо-
браженная на рис 2.11, остается неизменной. Но точка В, соответствую-
щая режиму холостого хода, смещается вправо. Положение точки С, со-
ответствующей режиму холостого хода канала с проводящими стенка-
ми, Е= Ехх (рис. 2.16), найдем, снова приравняв полный ток в канале
(включая стенки канала) нулю:
8
/ = 28сстсЕ'х + |о(Е'х+цмЯ0)<1у =
-8
= 28сосЕ' + 28оЕ' + 28оц йЯ0 = 0.
с V Л.Л Л.Л. * V
Отсюда
8С°С
где а =-------относительная проводимость стенок канала.
8о
Для непроводящих стенок а = 0 и £'х = Ехх. Если проводимость
стенок велика, а —> то Е'хх -* 0, т.е. такие стенки практически за-
мыкают канал накоротко.
Из графика на рис. 2.16 видно, что при смещении точки, характери-
зующей режим холостого хода, вправо происходит увеличение градиен-
та давления в канале. Понять причину этого нетрудно. В случае непрово-
дящих стенок канала полный ток в канале равен нулю и средняя по сече-
нию канала пондеромоторная сила равна нулю. Приложенный к каналу
градиент давления Рх х идет только на преодоление вязких сил. В канале
с проводящими стенками полный ток, протекающий по жидкости, не ра-
вен нулю. Собственно МГД-канал работает в режиме МГД-генератора,
обслуживая внешнюю нагрузку в виде стенок канала (если относитель-
ная проводимость стенок канала а достаточно велика, то МГД-канал
фактически работает в режиме короткого замыкания). При этом появля-
ется тормозящая пондеромоторная сила, для преодоления которой необ-
ходим дополнительный перепад давления. При расчете гидравлического
сопротивления канала обычно вводится эффективный коэффициент со-
противления, включающий в себя и этот дополнительный перепад.
Из графика на рис. 2.16 следует, что при изменении относительной
проводимости стенок а от 0 до 00 напряженность электрического поля из-
меняется от Ек х = -ц и Но до £' х = 0, а перепад давления от Рх х до
Рк 3. При некоторой относительной проводимости стенок канала а напря-
женность электрического поля Е' х определяется формулой (2.29), а со-
ответствующий градиент давления обозначим Р' (точка С на графике).
Вначале получим формулы, определяющие Рх х и Рк 3. Для этого вос-
пользуемся выражением (2.18). При Ео = Ех х =-р. и Но имеем (2.24):
Рхх = ор.2Яп21/---------------
х.х о На
th(Ha)
В режиме короткого замыкания Ео = 0 и
рк.з = Яо "
1
} th(Ha)
На
Соответствующие этим перепадам давления коэффициенты сопро-
тивления имеют вид:
. 32 На2 th(Ha)
хх ” Re Ha-th(Ha)’
к 32 На3
G = ......... .
кз ReHa-th(Ha)
Из подобия треугольников на графике 2.16 следует, что
(2.30)
(2.31)
Р' = Р
х.х . к.з
Ркз р* х = р _л_ . р _1_
1 + а к 3 1 + а х х 1 + а ‘
Рис. 2.17. Влияние проводимости
стенок канала на коэффициент
гидравлического сопротивления
Достаточно очевидно, что аналогичное соотношение можно записать
и для коэффициентов сопротивления:
^хх (2-32)
1 + а 1 + а
Подставив (2.30) и (2.31) в (2.32), получим общую формулу для ко-
эффициента сопротивления, пригодную как для каналов с непроводя-
щими стенками, так и для каналов с проводящими стенками:
32На Hath(Ha) ф
Re Ha-th(Ha) ’
где Ф =------------ — множитель, учитывающий влияние проводи-
1 + а
мости стенок на коэффициент сопротивления.
Зависимость коэффициента Ф от числа Гартмана показана на рис. 2.17.
Формула (2.33) может быть представлена в более простом виде:
хх Re iHa-th(Ha) 1 + a J
Нетрудно убедиться, что при На —» 0 формула (2.34) преобразуется к виду
Е =^^=32tV, (2.35)
хх Re
которую интересно сопоставить с формулой (2.28) для случая а = 0.
Подведем итоги.
Коэффициент сопротивления при течении в плоском канале без маг-
нитного поля
При течении в поперечном магнитном поле в канале с непроводящи-
ми стенками при числах Гартмана На > 10:
_ 32 На На
^На= Re 3 ’
т.е. при На = 100 коэффициент сопротивления возрастает более чем
в 30 раз.
При течении в канале, у которого проводимость стенок 8сос равна
проводимости жидкости 5 о (а = 1) коэффициент сопротивления
Е = Е —
Ьа = 1 ЬНа 2 >
т.е. при На = 100 увеличивается еще в 50 раз.
И, наконец, если проводимость стенок велика, т.е. а —* оо; коэффи-
циент сопротивления
а = оо — Ha^a>
т.е. при На = 100 коэффициент сопротивления в 100 раз больше по
сравнению с коэффициентом сопротивления канала с непроводящими
стенками.
Эти оценки показывают, насколько важна проблема изоляции внут-
ренней поверхности каналов, по которым течет жидкометаллический
теплоноситель в системах, работающих в сильных поперечных магнит-
ных полях, таких, например, как системы охлаждения бланкета термо-
ядерного реактора.
2.2.2. Теплообмен при течении в плоском канале в поперечном
магнитном поле [11]
Уравнение энергии, описывающее температурное поле в задаче
Гартмана, имеет вид
дТ , д2Т
реи — =X — + qv,
Эх Эу2
где qv — внутренние источники тепла, обусловленные вязкой диссипа-
цией и джоулевым тепловыделением.
Проблему теплообмена применительно к задаче Гартмана рассмот-
рим для двух случаев:
а) двусторонний обогрев канала, когда на обеих стенках канала зада-
на постоянная плотность теплового потока qc = const;
Рис. 2.18. Теплообмен в плоском «авале
прп двустороннем обогреве
б) односторонний обогрев канала, когда на одной стенке канала
плотность теплового потока qc = const, а другая стенка теплоизолирова-
на (qc = 0).
Двусторонний обогрев канала. Схема задачи с двусторонним под-
водом тепла изображена на рис. 2.18. В плоском канале шириной 2 5
в направлении оси х течет несжимаемая электропроводная жидкость.
Перпендикулярно потоку жидкости в направлении оси у приложено
внешнее магнитное поле напряженностью Яр, а в направлении оси
z — электрическое поле Ео. На обеих стенках канала задана постоян-
ная плотность теплового потока qc = const, и, естественно, профиль
температуры в этом случае будет симметричным. Гидродинамическая
часть этой задачи рассмотрена в п. 2.2.1, где получено выражение для
профиля скорости.
На участке стабилизированного течения при условии qc = const и не-
изменном по длине канала распределении тепловыделения продольная
компонента градиента температуры ЪТ!Ъх постоянна как по сечению,
так и по длине канала и легко находится из теплового баланса
ЭТ _ 2?с + ?и25 _ <?с +
Эх pcw25 pcw5
С учетом этого уравнение энергии можно записать в виде
д2Т
ЭУ2
S2 - г2
<?с5
= — и+-?— (U-Qv),
X X и
(2-36)
где U - и/и — безразмерная скорость; Qv = qv/ qv — безразмерная
плотность внутренних источников тепла; ~qv — средняя плотность
внутренних источников тепла.
При двустороннем симметричном обогреве профиль температуры
также симметричен и
эт
Эу
= 0.
(2.37)
у=0
Дважды интегрируя уравнение (2.36) с учетом (2.37) и обозначая
температуру стенки через Тс, для профиля температуры Т(У) получаем
следующее выражение:
я2 1 к - е2 ] y
9с5 г г г г
Тй-Т(У) =4- Jdyjc/dr+4- jdyj(t/-eu)dy. (2.38)
Луо 4 у о
Покажем, что роль второго слагаемого, связанного с внутренними
источниками тепла, незначительна. Если пренебречь этим слагаемым,
то для температурного профиля запишем выражение в виде
s2 1 К s2
г г ?с5 Г 1 "Г1
TC~T{Y) = ^-jdyjt/dy = ^- ch(Ha) - — sh(Ha) х
Л- у Q A L На J
X
1 - У 1
------ch(Ha) -----(ch(Ha) - сЬ(НаУ))
2 На2
(2.39)
В частности, для разности температуры стенки и температуры на оси
потока (У= 0) получаем
я2
<?с8 г 1 1
Тс-Т0 = 4- ch(Ha)-— sh(Ha)
A L Ha J
-1Г1 1
-ch(Ha)-----(ch(Ha)-l) .
2 Ha2
Для разности между температурой стенки Тс и среднемассовой тем-
пературой жидкости Тж, применив к (2.38) прием, предложенный Лайо-
ном, получим:
а 5 1
т! *
Л V п
Т’с-Т’ж
2 - х2 1 rY
ЯцО
6У+ —
I X
0 L0 0
Как всегда, когда имеется тепловыделение в потоке, полезно ввести
понятие адиабатической температуры стенки Та с — такой температу-
ры, которую стенка принимает при отсутствии теплового потока на
стенке = 0):
,2 1 гГ Y -|
- J JUdY j(U-Q) dy dy.
0 Lo о
При отнесении коэффициента теплоотдачи к разности температур
(Тс - Тл число Нуссельта выражается, как обычно, в виде интеграла
Лайона:
^а.с ~
X
(2.40)
1
Nu
(Т’с-Т’а.сА
2
<7с48
(2.41)
Число Нуссельта, как это видно из уравнения (2.41), целиком опре-
деляется профилем безразмерной скорости. Так как профиль скорости
не зависит от напряженности электрического поля и однозначно опреде-
ляется значением числа Гартмана, то и число Нуссельта при ламинар-
ном магнитогидродинамическом течении в плоском канале зависит
только от напряженности магнитного поля.
Подставив выражение для профиля скорости в соответствии с (2.19)
в (2.41) и выполнив интегрирование, получим зависимость для числа
Нуссельта
1
Nu
2 5 1
ch (На) +-----sh(2Ha)-----—
4 На3 2На2-
х |~4 fch(Ha)-— sh(Ha)
На
(2.42)
При числах На > 10 можно пользоваться более простой формулой
Nu = 12 1--—
На+ 4
(2.43)
отличающейся при этих значениях На от формулы (2.42) менее чем
на 1 %.
На рис. 2.19, изображающем зависимость (2.42), видно, что при из-
менении числа Гартмана от 0 до 00 число Нуссельта увеличивается
с 8,24 до 12, что соответствует переходу от режима течения с параболи-
ческим профилем скорости к течению со стержневым профилем скоро-
сти. Таким образом, при ламинарном течении в плоском канале под воз-
действием поперечного магнитного поля теплоотдача может увеличить-
ся приблизительно на 50 %.
Проанализируем влияние на теплоотдачу внутренних источников те-
пла, отражаемое величиной адиабатической температуры стенки, —
уравнение (2.40).
Плотность внутренних источников тепла, обусловленных джоулевой
диссипацией энергии, запишем в виде
q’u =J2/<s = с(Е0 +цм//0)2.
С помощью безразмерного параметра К, характеризующего напря-
женность электрического поля,
Рис. 2.19. Зависимость числа Нуссельта
от числа Гартмана при двустороннем
обогреве плоского канала
Рис. 2.20. Средняя плотность внутренних
источников тепла, обусловленных вязкой
и джоулевой днсснпацией
1 — 10 — К = -100; -80; -40; -20; -10;
-На; 0; 10; 20; 40
9„82/(т|и2)
выражение для q'v можно переписать следующим образом:
q'v = (£+Hat7)2.
52
(2.44)
Плотность внутренних источников тепла, обусловленных вязкой
диссипацией энергии, определяется следующим образом:
й2Т] На2 sh2(HaK)
d ch(Ha)-------sh(Ha)
v На 7
(2.45)
Средняя плотность внутренних источников тепла qv , необходимая
для расчета адиабатической температуры стенки и для определения ве-
личины нагрева жидкости в канале, находится интегрированием выра-
жений (2.44) и (2.45) по сечению канала и равна
-2
и Т| 2 Hash(Ha)
qv = qv + qv = (К + На) +-------------J-------
5 ch(Ha) - — sh(Ha)
L На
(2.46)
Зависимость средней плотности внутренних источников тепла от чи-
сел На и К, рассчитанная по формуле (2.46), построена на рис. 2.20. Вид-
но, что при положительных К средняя плотность тепловыделения в пото-
ке монотонно увеличивается с увеличением числа На. При отрицатель-
ных значениях К увеличение числа На сначала приводит к уменьшению
средней плотности внутренних источников тепла. Это объясняется тем,
что при увеличении числа На возрастает индуцированное поле ЦиЯ0,
направленное против внешнего поля £0, и уменьшается суммарный ток
через канал. Минимальное тепловыделение в потоке имеет место при ра-
боте канала в режиме расходомера, когда На = К. При дальнейшем уве-
личении числа На канал начинает работать как электромагнитный насос
и плотность внутренних источников тепла быстро возрастает.
После того как найдена средняя плотность внутренних источников
тепла, можно провести, хотя и несложное, но достаточно трудоемкое
вычисление интегралов в выражении (2.40). Результаты этих расчетов
можно записать в виде
(Тас-Тж)Х 2
АГа с = ---- = у(На) + К ф(На) + %(На).
Здесь функции
ф(На) = ГсЬ(На)-—sh(Ha)"| х
L На J
(2.47)
1 4
—— sh (На) +
24На/
13 5
8 8На2,
7
sh (На) -
На 23 I 7 5 5
— +----- sh(2Ha) sh (На) ----sh(2Ha) +-
12 48На J 8На 8
и
(2.48)
/С2<р(На) = K2[ch(Ha)-^- sh(Ha)j
-4Т 1
лНа6
J 5
На4 ЗНа /
л
sh (На) -
3 19 ,2/тт ч
----+------ sh (На) +
v2Ha4 6Ha2J
3
4 На5
17 ! 1,
12На3 6На>
7
sh(2Ha) sh (На) +
<4На
1
6 На
sh(2Ha)------.
2На2-
(2.49)
связаны с джоулевой, а член
Х(На) = Fch(Ha) --J-sh(Ha)l~4
L На J
23 1
Л24На2 4
2
5 112
----+ - sh (На)+
\8На2 8J
На 11
12 48На
7
sh (На) sh(2Ha) -
- — sh(2Ha) + -
8На 8
sh4(Ha) +
(2.50)
— с вязкой диссипацией энергии. Зависимость функций ф, ф и % от чис-
ла Гартмана показана на рис. 2.21.
Из выражений (2.48) — (2.50), а также рис. 2.21 следует, что раз-
ность температур, связанная с вязкой диссипацией (функция %), при
увеличении напряженности магнитного поля растет примерно пропор-
ционально значению На/6, что объясняется увеличением градиента ско-
рости на стенке. Разность температур, обусловленная джоулевой дисси-
пацией энергии, при отсутствии электрического поля (функция у) отри-
цательна, так как основное тепловыделение происходит в ядре потока, и
Гж > Т’ас, и с ростом числа Гартмана увеличивается пропорционально
На/6. Таким образом, при отсутствии электрического поля и больших
числах Гартмана температурные поля, связанные с джоулевой и вязкой
диссипацией энергии, компенсируют друг друга и адиабатическая раз-
ность температур остается постоянной и равной ДГас = 1/2.
Вклад электрического поля в адиабатическую разность температур
2
(функция ф) при нулевом магнитном поле равен ЗК /35 и соответству-
разиости температур в выражении
(2.47)
ет случаю равномерных источников
тепла при параболическом профи-
ле скорости. С увеличением числа
На функция ф быстро убывает, и
при На -> °° ф —► 0. Такой харак-
тер изменения ф вполне понятен с
физической точки зрения. При уве-
личении числа На профиль скорости
стремится к равномерному U= 1, а
так как внутренние источники теп-
ла, обусловленные электрическим
полем, также равномерно распреде-
лены по сечению потока, то соглас-
но формуле (2.40) А Га с —> 0.
В соответствии с выражением
(2.47) на рис. 2.22 построена зависи-
мость безразмерной адиабатической
разности температур от числа На.
В качестве параметра взято число К.
Из рис. 2.22 и формулы (2.47) хоро-
шо видно, что адиабатическая раз-
ность температур не зависит от на-
правления электрического поля £0.
Линия К = 0 на графике соответству-
ет режиму короткого замыкания.
При К > 0 направление внешнего по-
ля совпадает с направлением инду-
цированного поля и канал работает в
режиме электромагнитного вентиля.
При К < 0 внешнее электрическое
Рис. 2.22. Зависимость адиабатической
разности температур от чисел На и К
1 — 7 — К= 0; + 10; + 20; +40; ±80;
+ 100; ±На
поле направлено противоположно индуцированному, что в зависимости
от значения К соответствует режиму расходомера, генератора или насоса.
Так, область, ограниченная линиями К = 0 и К = На, соответствует рабо-
те канала в режиме МГД-генератора, причем линия К= -На соответству-
ет режиму холостого хода. В эту же область попадают точки, соответст-
вующие работе канала в режиме расходомера, причем линия К = 0 соот-
ветствует бесконечно проводящим, а линия К = -На — непроводящим
стенкам канала. Область, лежащая выше линии К = -На, соответствует
работе канала в режиме электромагнитного насоса.
Анализ рис. 2.22 свидетельствует о том, что минимальная разность
температур в сечении канала получается при его работе в режиме ко-
роткого замыкания. Большие температурные перепады в канале могут
возникнуть при его работе в режиме электромагнитного насоса или вен-
тиля. В случае достаточно больших чисел Гартмана (На > 100) и значе-
ниях числа К = 100 адиабатическая разность температур имеет порядок
А Та с « 30—40. Рассчитанная для этих случаев размерная разность тем-
ператур Тзс- Тж при течении жидких металлов невелика и в большин-
стве случаев не превышает 1 °C.
Таким образом, при ламинарном течении жидких металлов в плос-
ком канале в перпендикулярных магнитном и электрическом полях на-
I.!..Щ
Рис. 2.23. Теплообмен в плоском канале
при одностороннем обогреве
TW
Zp /////7/7/
личие внутреннего тепловыделения, связанного с джоулевой и вязкой
диссипацией энергии, не приводит к возникновению заметных темпера-
турных перепадов между стенкой и жидкостью. Основное влияние маг-
нитного поля на теплообмен обусловлено перестройкой профиля скоро-
сти. При двустороннем обогреве канала коэффициент теплоотдачи мо-
жет быть увеличен за счет магнитного поля примерно на 50 %.
Односторонний обогрев канала. При одностороннем подводе тепла
постоянная плотность теплового потока задана на одной — верхней
стенке канала. Нижняя стенка теплоизолирована, т.е. граничное условие
на этой стенке имеет вид
'эг'
ЛЛ=-5
= 0 (рис. 2.23). Очевидно, что
в этом случае профиль температуры уже не будет симметричным.
Такая задача представляет практический интерес применительно
к системе охлаждения мишени дивертора термоядерного реактора. Ох-
лаждение будет наиболее эффективным при прямоугольной форме по-
перечного сечения охлаждающих каналов. Подвод тепла к каналам бу-
дет осуществляться с одной стороны. При использовании в качестве те-
плоносителя жидкого металла в условиях очень сильных магнитных по-
лей течение в каналах будет ламинарным.
При решении задачи с двусторонним подводом тепла была подробно
проанализирована роль внутренних источников тепла, обусловленных
вязкой диссипацией и джоулевым тепловыделением, и было показано,
что их влияние на теплообмен несущественно. Этот результат, естест-
венно, можно распространить и на случай одностороннего обогрева.
Поэтому в самом начале пренебрежем внутренними источниками тепла
и будем решать уравнение энергии в виде
В случае одностороннего обогрева при отсутствии внутренних ис-
точников тепла
дТ _ ?с
Эх рсй25
и уравнение (2.36) можно представить следующим образом:
«г/ п
2Х
(2.51)
Э2Г
ЭГ2
Проинтегрировав это уравнение
нижней стенке, получим
с учетом граничного условия на
г
-1
к
(2.52)
ЭТ <7с5 г
— = Z£_ f [7dy.
dy 2 Л, 1
Повторное интегрирование дает:
я2 у
<7со с t
T(Y) = Л— J dr J UdY+C.
Обозначив температуру верхней стенки канала через Тс1, получим
Лн J dr J[7dr+C.
И окончательно для профиля температуры получаем выражение
1
Y -1
Подставив в это выражение профиль скорости в соответствии
с (2,19) и выполнив интегрирование, получим
s2
Чс° Г 1 "I-1
Тс1-Т(Г) ch(Ha)-—sh(Ha) х
2 Л L На J
3 „ Y
х
2 2
3 г 1 1 1
--Г----ch(Ha)-(1 - Г) — sh(Ha) +-(ch(Ha)- сЬ(НаГ)) .
X2 2 J На На2
Отсюда температура на нижней стенке канала (Г= -1)
х2
ТС2=ТС1-—.
л.
Рис. 2.24. Зависимость числа Нуссельта от чис-
ла Гартмана ири одностороннем обогреве плос-
кого канала
\2
Для разности 7С1 - 7’ж> необходимой при нахождении коэффициен-
та теплоотдачи и числа Нуссельта, получаем
ГС1 -гж = ТГ I iudY dy-
4л _i _i
И соответственно число Нуссельта
1
Nu
(ГС1-ГЖ)Х
<7с-45
(2.53)
Чтобы избежать весьма утомительного вычисления интегралов
в этом выражении, ограничимся нахождением чисел Нуссельта для
крайних случаев: На = 0 и На * сю.
При На = 0 в канале имеет место течение с параболическим профи-
3 2
лем скорости U = - (1 - Y ). В этом случае из формулы (2.53) получим
Nu= — = 5,385.
13
При На —* оо и = 1 и Nu = 6.
Соответствующий график показан на рис. 2.24.
Таким образом, при одностороннем обогреве плоского канала попереч-
ное магнитное поле может увеличить теплообмен всего примерно на 10 %.
2.3. ГИДРОДИНАМИКА И ТЕПЛООБМЕН ПРИ ТЕЧЕНИИ В КРУГЛОЙ
ТРУБЕ В ПОПЕРЕЧНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Перестройка профиля скорости под влиянием поперечного магнитного
поля при течении в круглой трубе оказывается более сложной по сравне-
нию с перестройкой профиля скорости в плоском канале (см. п. 2.2.1).
При течении в поперечном магнитном поле скорость в круглой трубе яв-
ляется функцией не только радиуса трубы г, но и угловой координаты <р.
Влияние магнитного поля оказывается наиболее сильным в плоскости, па-
раллельной силовым линиям магнитного поля, для ориентации, изобра-
женной на рис. 2.25, — в вертикальной плоскости. Вдоль вертикального
диаметра происходит уплощение профиля
скорости примерно так же, как и в плоском ка-
нале (рис. 2.26, а). Влияние магнитного поля
на распределение скорости вдоль горизонталь-
ного диаметра незначительно, и профиль оста-
ется близким к параболическому (рис. 2.26, б).
Точное решение задачи о распределении
скорости представляется в виде рядов по
функциям Бесселя [12, 13] и является весьма
громоздким. Столь же громоздко и точное вы-
ражение для коэффициента сопротивления.
Однако, очевидно, что при На = 0 коэффици-
ент сопротивления
= 64/Re.
Рис. 2.25. Схема течения
в круглой трубе в попереч-
ном магнитном поле
При значениях числа Гартмана На > 10 для коэффициента сопротивле-
ния справедлива асимптотическая формула
Зя На ( Зя '
2 Re[ 2На?
(2.54)
(в качестве определяющего геометрического размера в числах Re и На
используется диаметр трубы). При больших числах Гартмана (На > 100)
вторым слагаемым в выражении (2.54) можно пренебречь и соответст-
вующая асимптота будет иметь вид
Зтг На
2 Re'
(2.55)
Рис. 2.26. Профили скорости в круглой трубе в поперечном магпнтиом поле
а — по диаметру, параллельному магнитному полю; б — по диаметру, перпендикуляр-
ному магнитному полю; 1 — 4 — На = 1,2; 2; 4; 10
Рис. 2.27. Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления от числа
Гартмана при течении в круглой трубе в поперечном магнитном поле
7 — точное решение; 2 — расчет по формуле (2.54); 3 — расчет по формуле (2.55)
График зависимости коэффициента гидравлического сопротивления
при течении в поперечном магнитном поле в круглой трубе изображен
на рис. 2.27. Нетрудно заметить, что характер влияния магнитного поля
на течение в круглой трубе такой же, как и при течении в плоском кана-
ле (см. рис. 2.15): в больших магнитных полях коэффициент сопротив-
ления пропорционален числу Гартмана и неограниченно возрастает при
увеличении напряженности магнитного поля.
Как и в плоском канале проводимость стенок канала увеличивает
гидравлическое сопротивление. При больших значениях коэффициента
относительной проводимости стенок а = ос5с/(о5) — поправочный
коэффициент, учитывающий влияние проводимости стенок канала на
гидравлическое сопротивление при течении в круглой трубе в попереч-
ном магнитном поле, в соответствии с [3] равен:
4На а
ф =-----------
я 1 + а
и при а —► оо асимптотическое выражение для коэффициента сопротив-
ления имеет вид:
2
с Зтг На . На
с, =------Ф = 6------,
2 Re Re
т.е., как и в случае плоского канала, при больших числах Гартмана ко-
эффициент сопротивления канала с бесконечно проводящими стенками
пропорционален квадрату числа Гартмана.
Рис. 2.28. Зависимость сред-
него по периметру числа
Нуссельта от числа Гартма-
на при течении в круглой
трубе в поиеречном магнит-
ном иоле при qc — const
1 — точное решение; 2 —
расчет по формуле (2.56)
Профиль температуры в круглой трубе под влиянием поперечного
магнитного поля также деформируется достаточно сложным образом.
В частности, температура стенки, а следовательно, и коэффициент те-
плоотдачи изменяются по периметру трубы. Но если говорить о сред-
нем коэффициенте теплоотдачи, то характер его зависимости от числа
Гартмана аналогичен зависимости для течения в плоском канале
(рис. 2.28): число Нуссельта возрастает от 4,36 при отсутствии магнит-
ного поля, стремясь к асимптотическому значению 7 при больших
числах Гартмана [13].
По аналогии с выражением (2.43) для чисел На > 10 можно предло-
жить достаточно простую формулу
Ыцл = 7
fl---— .
Ha+lJ
(2.56)
В заключение следует отметить полное качественное совпадение ха-
рактера влияния поперечного магнитного поля на сопротивление и теп-
лообмен для круглой трубы и плоского канала. В количественном плане
и сопротивление и теплообмен для круглой трубы примерно в 1,5 раза
меньше соответствующих величин для плоского канала.
3
ТУРБУЛЕНТНЫЕ МГД-ТЕЧЕНИЯ В ПРОДОЛЬНОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ
3.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ
И ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ
В ПРОДОЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
3.1.1. Система осредненных уравнений
В большинстве реальных турбулентных МГД-течений магнитное
число Рейнольдса значительно меньше единицы. Поэтому при исследо-
вании таких течений индуцированными магнитными полями пренебре-
гают и рассматривают течение электропроводных жидкостей
в магнитных полях заданной конфигурации (чаще всего в однородных
магнитных полях). При этом система уравнений, описывающих гидро-
динамику и теплообмен, как и в обычной гидродинамике, включает
в себя всего три уравнения: уравнение неразрывности, уравнение дви-
жения и уравнение энергии (1.34). Влияние магнитного поля на гидро-
динамику и теплообмен отражается в этих уравнениях:
а) появлением в уравнении движения дополнительного слагаемого
Ft — пондеромоторной силы, а в уравнении энергии —- слагаемого Q,
учитывающего джоулеву диссипацию энергии;
б) изменением под действием магнитного поля коэффициентов тур-
булентного переноса импульса и тепла.
Для описания турбулентных течений используется общепринятый
подход, предложенный О. Рейнольдсом, основанный на представлении
актуальных значений параметров потока в виде суммы осредненного
значения и пульсационной составляющей:
Ui = Uj +Ui;
Р=Р +р; (3.1)
г= т + &,
где иь Р , Т — осредненные значения; w/; р и тЗ — пульсационные со-
ставляющие соответствующих актуальных значений параметров, и по-
следующего осреднения системы (1.34). В результате получается систе-
ма осредненных уравнений:
dUj
---- = 0;
dXj
(3.2)
'dUj - dUj'
tar AaxJ
a? a
.. + ..
dxf Эх.
17 Э1/, ____
(3.3)
pc
ar - ar
— + Uk —
dr dxt
a
Эх.
d у _____'
- X —-pc«.i3 +Q.
k L dxk J
(3.4)
+ F.;
Уравнение (3.3) называют уравнением Рейнольдса.
В дальнейшем для упрощения записи знаки осреднения над всеми
переменными, за исключением uiuk nuti, будем опускать.
Основной недостаток системы (3.2) — (3.4) — ее незамкнутость, ко-
торая связана с появлением новых неизвестных величин — членов
р U'Uk, описывающих дополнительные напряжения в потоке, обуслов-
ленные турбулентным переносом количества движения (напряжения
Рейнольдса), и слагаемых рсикЪ, описывающих турбулентный пере-
нос тепла. Для замыкания системы (3.2) — (3.4) используют те или
иные полуэмпирические соотношения, базирующиеся на некоторых мо-
делях турбулентного переноса.
Прежде всего используется гипотеза Буссинеска о градиентном ха-
рактере турбулентного переноса и вводятся коэффициенты турбу-
лентного переноса количества движения Еа и турбулентного переноса
тепла Е-
ч
___ щ
~Puiuk=£a^-’ (3-5)
ЭхА
_ э т
-рсик$ = eq —. (3.6)
dxA
Естественно, что соотношения (3.5) и (3.6) не позволяют осуществить
замыкание системы осредненных уравнений, поскольку вместо прежних
неизвестных (левые части соотношений) появляются новые — Е„ и £_.
Существует очень большое число различных моделей, позволяющих
с использованием экспериментальных данных получить соотношения
для Еа и Eq. Эти соотношения позволяют замкнуть систему (3.2) —
(3.4) и с помощью численных методов осуществить расчет полей скоро-
сти и температуры практически для любой реальной задачи. Наиболее
известной и широко применяемой моделью является модель Прандтля,
использующая понятие длины пути перемешивания.
В случае МГД-течений проблема существенно усложняется, так как
магнитные поля оказывают сильное влияние на турбулентные пульса-
ции. Магнитные поля частично или полностью подавляют турбулент-
ные пульсации скорости и тем самым частично или полностью подавля-
ют турбулентный перенос. Для разработки полуэмпирических методов
расчета турбулентных МГД-течений необходимы соотношения для ко-
эффициентов турбулентного переноса количества движения и тепла при
течении в магнитных полях. Очевидно, что такие соотношения можно
получить только на основании экспериментальных данных. Поэтому од-
ной из главных задач при экспериментальном исследовании турбулент-
ных МГД-течений является получение информации о коэффициентах
турбулентного переноса.
Использование коэффициентов турбулентного переноса — это замы-
кание исходной системы осредненных уравнений на уровне моментов
первого порядка — уравнений для осредненных величин Uj, Р и Т.
Существует большое число полуэмпирических подходов, базирующих-
ся на замыкании системы осредненных уравнений на уровне моментов
второго порядка. При построении таких моделей часто используют
уравнение баланса турбулентной энергии
Э ( ««Л Э Г 1 ___________ (Эм-
v i i I v _ - .. L ......... .. ..... |
D ....... I ****' —... rj (_/1 U . U — О U • U • U l “I” P U i T) U • . ......
ar 2 J axA|_H k ' • 2 K ' k F k '(эхА ax J
i ii
Это уравнение описывает процесс изменения плотности турбулент-
ной энергии в произвольной точке потока. Левая часть этого соотноше-
ния представляет собой скорость изменения плотности турбулентной
энергии Et = pw/«//2. Если в соотношении (3.7) не осуществляется
суммирование по индексу i, то оно описывает изменение энергии одной
из компонент пульсационной скорости. Если же предусматривается
суммирование по i, то это уравнение описывает энергетический баланс
всех трех компонент пульсационного поля скорости. Итак, скорость из-
менения плотности турбулентной энергии определяется совокупным
действием следующих процессов:
• переносом энергии Et по пространству осредненным движением,
турбулентной вязкостью, пульсациями давления и молекулярной вязко-
стью — слагаемое II;
• работой массовых сил — слагаемое III;
• вязкой диссипацией энергии — слагаемое IV;
• обменом энергией с осредненным движением — слагаемое V.
Последнее слагаемое обычно обеспечивает подвод энергии к пуль-
сационному полю скорости и компенсирует вязкую диссипацию этой
энергии.
При анализе процессов в неизотермической турбулентности широко
используется температурный аналог уравнения (3.7) — уравнение ба-
ланса «энергии» турбулентных пульсаций температуры
д$2
dt
I
Э1З Э1З
Эхд. дхк
IV
(3.8)
Слово «энергия» в названии этого уравнения взято в кавычки пото-
„2 с
му, что v не является энергией турбулентных температурных пульса-
ций. Эта величина, как было предложено А.М. Обуховым [14], исполь-
зуется в качестве меры температурных неоднородностей в среде. Если в
замкнутой системе в начальный момент времени создать некоторый
уровень температурных неоднородностей -&2, то очевидно, что за счет
теплопроводности неоднородности температурного поля будут вырав-
ниваться и рано или поздно система придет в состояние термодинами-
тт „2
ческого равновесия. Причем изменение $ характеризует изменение
энтропии единицы массы системы в этом процессе.
.. Э 0
В соответствии с уравнением (3.8) величина —— — скорость изме-
dt
нения «энергии» температурных пульсаций в произвольной точке пото-
ка определяется следующими процессами:
• переносом «энергии» по пространству осредненной скоростью,
турбулентной и молекулярной диффузией — слагаемое II;
• генерацией турбулентных пульсаций температуры в термически
неоднородной среде — слагаемое III;
• диссипацией температурных неоднородностей, т.е. их выравнива-
нием благодаря молекулярной теплопроводности — слагаемое IV.
Исследование слагаемых, входящих в уравнения (3.7) и (3.8), по-
зволяет получить более полное представление о процессах подвода
«энергии» к турбулентности, ее переносу по пространству и диссипа-
ции (описание соответствующих экспериментов и их результатов при-
ведено в п. 3.3.4).
3.1.2. Турбулентное течение в круглой трубе
При исследовании МГД-течений в продольном магнитном поле
форма поперечного сечения канала не имеет большого значения, по-
этому все экспериментальные работы проводятся на круглых трубах.
При ламинарном течении в продольном магнитном поле векторы п и В
параллельны и, следовательно, индуцированное электрическое поле
Е инд = u х В отсутствует. Так как в реальных ситуациях к каналу, в ко-
тором течет электропроводная жидкость, не прикладывают никаких
внешних электрических полей, то электрические токи в канале отсутст-
вуют. Вследствие этого равны нулю пондеромоторные силы Fe = j х В и
внутренние источники тепла, обусловленные джоулевой диссипацией
энергии j / а. Таким образом, на ламинарное течение продольное маг-
нитное поле не оказывает никакого влияния.
Переходя к описанию гидродинамики и теплообмена при турбулент-
ном течении в круглой трубе в продольном магнитном поле, сформули-
руем некоторые допущения.
Будем рассматривать только квазистационарные турбулентные тече-
ния, у которых все осредненные параметры потока не зависят от време-
ни. Физические свойства жидких металлов слабо зависят от температу-
ры, перепады температуры в поперечном сечении трубы вследствие их
высокой теплопроводности невелики. Поэтому естественно считать фи-
зические свойства теплоносителя постоянными. Осредненные пондеро-
моторные силы F( при течении в продольном магнитном поле отсутст-
вуют, джоулевым тепловыделением Q пренебрегаем.
На участке стабилизированного в магнитогидродинамическом отно-
шении течения в круглой трубе (см. п. 3.3.1) уравнения движения (3.3) и
энергии (3.4) записываются в следующем виде:
р dx
г dr L к v 7 dr
(3.9)
ЭГ
Эх
а Э ‘ Л + ЭГ
г Эг . \ а) Эг.
(3.10)
Влияние продольного магнитного поля на гидродинамику и теплооб-
мен в этом случае проявляется через воздействие магнитного поля на
коэффициенты турбулентного переноса импульса еа и тепла £?.
Напомним, что обычно коэффициент турбулентного переноса тепла
выражают через коэффициент турбулентного переноса импульса:
а а еа v PrT v ’
£
а турбулентное число Прандтля Ргт = — принимают равным единице.
Тогда
Уравнение движения (3.9) достаточно легко интегрируется, и полу-
ченное для безразмерной скорости выражение имеет вид [15]
где <р = Ux/u* ; т] - yu*/v ;
и* = 7тс/р = С/7^/8 —динамическая скорость;
т с — касательное напряжение на стенке;
U — средняя скорость по сечению трубы;
Е, — коэффициент сопротивления;
у — расстояние от стенки;
г = г0 - у — расстояние от оси трубы;
г0 — радиус трубы;
R - г/г0 — безразмерное расстояние от оси трубы.
Тепловую задачу будем рассматривать при граничных условиях второ-
го рода — qz = const. В этом случае на участке стабилизированного тече-
ния производная ЪТ/Ъх не зависит ни от г ни от х, т.е. является постоян-
ной и может быть легко определена из теплового баланса участка трубы
дТ _ &Т _ 2<?с
Эх Дх pCijr0
Подставив это выражение в (3.10), получаем
1 1
X R dR L
’ f, n е<Т\ дТ
R 1 + Рг — — ,
v / Э/d
(3-12)
где U = Ux/U;d=2r0.
После интегрирования (3.12) имеем
л
ЪТ
ЭЛ
\URdR
^_р_______
х ( е<Л
1 +Рг —
к v У
Интегрируя еще раз, получаем
R
, , ГUR ЭЛ
ad1 i.
т -т = — j —------------ал, (3.13)
Ь Я (
( 1+Рг —|Л
к V)
где Тс — температура стенки в рассматриваемом сечении трубы.
Для определения числа Нуссельта
1(Те-Г)
необходимо определить среднемассовую температуру Т.
По определению
1
Т^-Т =2 j (T^-TjURdR. (3.14)
О
Подставив в (3.14) выражение для (Гс - Т) из (3.13), получим
2?С^ !•
(7’С-Т) = —- judv, (3.15)
Л О
где
R
1 /^ал R
и = J —2-------ал; dv= ur ал; v= Jw? ал.
Интегрирование выражения (3.15) выполним по частям, используя
прием, предложенный Р. Лайоном [16]:
1 г 1
(тс-т) = —Ьа». (3.16)
Учитывая, что [ми]0 =0, так как а(1) = 0 и и(0) = 0, подставляя
в (3.16) значения и и da, получаем
2^cd f
(Тс —Т)-------J
х о
Jt/лал
<0
ал.
1+Рг — I R
v )
В результате для числа Нуссельта имеем следующее выражение, на-
зываемое интегралом Лайона:
/Я \2
Jt/лал
Nu '
I 1 +Рг-
k V
ал.
(3.17)
Формулы (3.11), (3.13) и (3.17), если известна зависимость для коэф-
фициента турбулентного переноса импульса £о / V, позволяют с исполь-
зованием численных методов рассчитывать на ЭВМ профили скорости
и температуры, а также коэффициенты сопротивления и теплоотдачи.
С другой стороны, эти формулы позволяют по измеренным в экспери-
ментах профилям скорости или температуры определять коэффициент
турбулентного переноса импульса eG /v.
Различными авторами предложено большое количество зависимо-
стей для коэффициента турбулентного переноса. При расчетах турбу-
лентных течений без магнитного поля предпочтительно использовать
зависимость Рейхардта [17]:
— = 0,4(ri - 11 th —1 при т| < 50;
v \ 117
(3-18)
— = 0,133т|(0,5+Л2)(1 +Л) при т|>50.
v
При расчетах в области сравнительно малых чисел Рейнольдса (Re <
<2-104) целесообразно использовать модифицированные В.Н. Попо-
вым и В.М. Беляевым [5] соотношения Рейхардта:
£ ( 71
— = 0,41 Т|~Л» Л ~
v I nBJ
при Т| <Т16;
(3.19)
еа 0,41 2
= ^~ (Л-Пв1)(0,5+Л2)(1+Л)
при т|б<Л<Л0’
где т]в = 11,1ч-
' 396 ¥-3
Ло +10°,
;п0 =
гои*
г По
115 = 9,2 Llg 237’0,17 th
lg(n0/237)-.
0,17 .
+ 18,7;
3 [Т18-Пв th (П6/Пв)]
nBi = H6-------------------------------•
[0,5 + (1 -n8/Tlo) K2-Vno)
Предлагаемый способ учета влияния магнитного поля на коэффициент
турбулентного переноса импульса подробно изложен в параграфе 3.5.
3.1.3. Статистические характеристики турбулентных пульсаций
Пусть и (х, Г) — некоторое стационарное случайное поле, обладаю-
щее свойством эргодичности. В роли м(х, Г) может, например, высту-
пать поле температурных пульсаций или r-я компонента пульсационно-
го поля скорости. Для определенности будем считать процесс а(х0, f)
в каждой точке х0 центрированным, т.е. u(t) = 0.
При экспериментальных исследованиях структуры турбулентности
сложился некий «стандартный перечень» наиболее важных для практи-
ки статистических характеристик [19].
Это прежде всего одноточечные моменты различных порядков:
, т
2 1 f 2
• дисперсия Оц = - Ju (Г) dr;
т о
1 Т
• автокорреляционная функция Лии(т) = - Jм(Г)м(Г + т) dr
^0
и моменты более высокого порядка;
“з
• коэффициент асимметрии А =-------;
2 3/2
• коэффициент эксцесса Е =----.
2 2
«й
Для гауссовских случайных процессов Я = 0 и £ = 3 [19].
Одной из важнейших характеристик стационарного случайного про-
цесса в точке является временная спектральная плотность Fuu(co), кото-
рую обычно для краткости называют временным (частотным) спектром.
Согласно теореме Винера—Хинчина автокорелляционная функция &ии(т)
и частотный спектр Fuu(w) связаны взаимным Фурье-преобразованием:
СО
лии(т) = J Fuu(®> C0S“T d®;
„оо
1 00
Fut№) = — J kuu(x) COSCOT dx.
Автокорреляционная функция Auu(t), частотный спектр Fuu(co), а
2
также коэффициент автокорреляции 7?ии(т) = ^uu(t)/ou и нормирован-
* 2
ный спектр Е*и((о) = 2Fuu(a)/cи, где со > О, — весьма информатив-
ные функции. В частности, они используются для определения:
а) тейлоровских интегральных временных масштабов
СО
Лс= (3-20)
о
На практике часто в качестве верхнего предела интегрирования
в формуле (3.20) выбирают т0 — координату первого пересечения
функции R ии(т) с осью абсцисс. Тогда
то
л,= f лии(т) ;
о
б) тейлоровских временных микромасштабов
— = - [ co2E*(co) dco
1? 2 о
или
1 1
.2 2 1 2
.L ОТ Jt=0
Автокорреляционная функция и частотный спектр дают возмож-
ность получить и другую интересную информацию о временных стати-
стических связях, характерных для рассматриваемого случайного про-
цесса. Однако они не позволяют непосредственно судить о пространст-
венной структуре турбулентности, поскольку вид функций Аии(т) и
E*u(o>) определяется не только формой, размерами и временем жизни
структурных образований, но и величиной местной осредненной ско-
рости течения U(R).
Сведения о пространственной структуре турбулентности можно по-
лучить из пространственных корреляционных функций и пространствен-
ных спектров. В наших исследованиях определялись следующие корре-
ляционныя функции:
поперечная (по отношению к потоку)
1 Т
*и„(5) = “ Ои^ + З, Г) dr;
т о
продольная
1 Т
кии(Г) = - Ja(x, t)u(x +1, t) dr.
т о
Данные пространственные характеристики определяются прямыми
измерениями в потоке. Продольную корреляционную функцию можно
также рассчитать с использованием гипотезы Тейлора о «замороженной
турбулентности». Справедливость этой гипотезы обсуждается в работах
[19, 20, 22] и для течений в трубах обычно не встречает больших возра-
жений, кроме областей течения в непосредственной близости стенки.
Воспользовавшись гипотезой Тейлора и зная из опыта функции R (т) и
Е*(ш), можно произвести расчет продольной корреляции R(l) и норми-
рованного продольного спектра Е* (кх) по формулам:
7?(/) = Е(т), где l = tUx(R);
Е*(кх)= UX(R)E*(S}), где кх = m/Ux(R). (3.21)
Термин «продольный» в данном случае означает направление, совпа-
дающее с направлением осредненного течения. Измерения пространст-
венных корреляций пульсаций в других направлениях возможны с помо-
щью двух датчиков, один из которых перемещается относительно другого
(см. параграф 3.2.). Что касается пространственных спектров, то их непо-
средственное экспериментальное определение в настоящее время техни-
чески неосуществимо, ибо для этого необходимо уметь фиксировать
«мгновенную фотографию» случайного поля, т.е. уметь измерить в дан-
ный момент времени значение случайной величины в большом числе про-
странственных точек. Поэтому экспериментальное определение одномер-
ных спектров всегда сводится либо к формуле (3.21), либо к преобразова-
нию Фурье измеренной пространственной корреляционной функции.
Еще одной важной статистической характеристикой, позволяющей
получить интересную информацию о структуре турбулентности, явля-
ется продольная пространственно-временная функция к (I, т) или соот-
ветствующий коэффициент пространственно-временной корреляции
1 Т
R (I, т) =------fu(t + т, х + /) u(t, х) d t.
*(0,0) Т J
Известно, что последняя характеристика позволяет проверить сте-
пень выполнения гипотезы Тейлора о «замороженной турбулентности»
[19, 20]. Данные о /?(/, т) в сочетании с гипотезой Тейлора позволяют
определить местную осредненную скорость потока (корреляционный
датчик скорости).
При теоретических исследованиях турбулентных течений часто ис-
пользуют модель однородной турбулентности. Если пульсационное поле
однородно, то оказываются продуктивными понятия корреляционного
Кц(г, f) и спектрального Fy(k, 0 тензоров. Динамическое уравнение кор-
реляционного тензора однородного поля скорости имеет вид [19,20, 22]:
g
Km„(r, 0 = — [&„,/ „(г, t) - Km„ ,(r, г)] -
drj
1 ГЭК (r, t) dKm (r, r)-| d2Kmn(r, 0
P Эг dr dr,dr,
r L m nJ it
Применив к (3.22) трехмерное преобразование Фурье, получим ди-
намическое уравнение для спектрального тензора однородной турбу-
лентности
3F (к, Г) ,
----Т----- = '*/ п (к> 0 - F„t, m (- к, 0] - - lknFmp (к, 0 -
at--------р
-kmF„p(k,t)]-2vk2Fmn(k,t).
В этом уравнении положим m = и (но по индексам не суммируем).
В результате получим хорошо известное [20, 22] уравнение энергети-
ческого спектра, которое для j-й компоненты однородного поля ско-
рости имеет вид:
3F (к, Г) 2
—------- = Гук, 0 + пук, t) - 2vrFyy(k, t). (3.23)
{ I II III
Как видно из этого уравнения, скорость изменения спектральной плот-
ности энергии J-ik компоненты пульсационной скорости (левая часть урав-
нения) определяется интенсивностью процессов переноса энергии по
спектру (слагаемое I), обмена энергией с другими компонентами пульса-
ционной скорости за счет пульсаций давления (слагаемое И) и вязкой дис-
сипацией (слагаемое Ш). При суммировании по всем трем значениям ин-
декса j второе слагаемое обращается в ноль и единственной неизвестной
величиной, необходимой для определения формы спектра, является сла-
гаемое I. Известно большое число различных гипотез и моделей [30], на-
правленных на поиски формулы, описывающей зависимость 1}у(к, t). Од-
нако, по нашему мнению, какой-либо универсальной формулы, описы-
вающей эту зависимость, не существует. Процесс переноса энергии по
спектру в значительной степени зависит от того, в какую часть спектра
осуществляется подвод энергии, и для каждой конкретной турбулентно-
сти зависимость Г^(к, t) имеет индивидуальный характер.
3.2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
ТУРБУЛЕНТНЫХ МГД-ТЕЧЕНИЙ В ПРОДОЛЬНОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Экспериментальные исследования МГД-течений осуществлялись
многими авторами [26, 27, 31, 32].
Техника эксперимента в большинстве работ более или менее одинако-
ва. В качестве рабочей жидкости обычно используются либо ртуть, либо
сплав галлия, индия и олова — металлов, являющихся жидкими при ком-
натных температурах. Исследования проводятся при течении жидкости
либо в поперечном магнитном поле (опытный участок помещается между
полюсами мощного электромагнита), либо в продольном магнитном поле
(опытный участок вводится во внутреннюю полость соленоида).
Более подробно остановимся на описании экспериментальной техни-
ки, использовавшейся в наших экспериментах по исследованию гидро-
динамики, теплообмена и статистических характеристик турбулентно-
сти при течении в продольном магнитном поле.
3.2.1. Описание ртутного контура
Экспериментальные исследования выполнялись на замкнутом ртут-
ном контуре, схема которого показана на рис. 3.1. Ртуть из резервуара
подается центробежным насосом в напорный бачок, расположенный на
высоте 3,5 м над уровнем ртути в резервуаре. Этот бачок предназначен
для создания постоянного напора на входе в рабочий участок и для га-
шения пульсаций, возникающих при работе насоса, что достигается пе-
реливом части ртути через края разделительной перегородки в бачке об-
ратно в резервуар насоса. Из напорного бачка ртуть поступает в рабо-
чий участок, затем проходит расходомерное устройство, запорно-рету-
лировочный вентиль и снова поступает в резервуар насоса. На напорной
Рис. 3.1. Схема экспериментального ртутного контура МЭИ
1 — вакуумный насос; 2 — регулировочный вентиль; 3 — труба Вентури; 4 — ртутный
насос; 5 — переливной бачок; 6 — опытный участок; 7 — соленоид; 8 — нагреватель
и сливной линиях установлены холодильники типа «труба в трубе» для
термостабилизации потока.
Для прокачки ртути использовался ртутный насос погружного типа
подачей около 7500 кг/ч при напоре примерно 6 бар. Привод насоса осу-
ществлялся от двигателя постоянного тока, что позволяло плавно регу-
лировать расход ртути в результате изменения числа оборотов. Конст-
рукция насоса обеспечивала его полную герметизацию, так как и сам
насос, и двигатель были размещены внутри специального кожуха. Замк-
нутый объем над уровнем ртути в насосе был заполнен аргоном.
В качестве расходомерного устройства использовалась труба Венту-
ри, предварительно протарированная на воде весовым способом.
Продольное магнитное поле создавалось соленоидом, конструкция
которого представлена на рис. 3.2. Обмотка соленоида набрана из
66 плоских спиральных секций, намотанных из прямоугольной шины
2
сечением 2 х 10 мм , по 33 витка в каждой секции. Радиальные зазоры
между витками обеспечивались целлулоидными прокладками толщи-
ной 0,5 мм. Для изоляции дисков друг от друга между ними проклады-
вались перфорированные диски из гетинакса толщиной 0,5 мм. Внеш-
ний диаметр обмотки соленоида 210, внутренний — 38 мм. Соленоид
смонтирован на трубе внутренним диаметром 30 мм, внутрь которой
вставлялся рабочий участок. Секции соленоида соединялись между со-
бой с помощью перемычек, пропаянных оловом. Собранный таким об-
разом соленоид длиной 706 мм помещен в стальной кожух. Токоподво-
дящие шины выведены через боковые текстолитовые фланцы. Солено-
ид охлаждается водопроводной водой, протекающей в осевом направле-
нии через зазоры между витками секций.
Питание соленоида осуществлялось от генератора постоянного тока
ПН-400 мощностью 65 кВт. Сила тока в обмотке соленоида изменялась
с помощью специального водоохлаждаемого балластного реостата. Бо-
лее тонкая регулировка тока производилась реостатом, включенным по-
следовательно с обмоткой возбуждения генератора.
Распределение индукции магнитного поля, создаваемого соленои-
дом, показано на рис. 3.3. На центральном участке длиной примерно
400 мм (примерно 21 d) соленоид позволял получать практически рав-
номерное магнитное поле. При максимальной силе тока в обмотке соле-
ноида 283 А значение индукции магнитного поля на этом участке дос-
тигало Вх = 1,1 Тл. На входе и выходе из соленоида значение магнитно-
го поля снижается вдвое. Длина концевых участков, на которых магнит-
ное поле изменяется от максимального значения до нуля, равна пример-
но 300 мм (примерно 15с/). Вследствие искривления силовых линий
магнитного поля на этих участках возникает достаточно большая попе-
речная составляющая магнитного поля Вг.
4
5
1100
Рис. 3.2. Конструкция водоохлаждаемого соленоида
1 — токоввод; 2 — внутренняя труба соленоида; 3 — фланец; 4, 5 — кожух и обмотка соленоида
Рис. 3.3. Распределение по длнне соленонда продольной Вх н поперечной Вг ком-
понент индукцин магнитного поля
Конструкция крепления соленоида обеспечивала возможность его пе-
ремещения вдоль опытного участка, что позволяло в экспериментах по
исследованию теплообмена реализовывать различные схемы взаимного
расположения магнитного поля и обогреваемой части опытного участка.
Опытные участки, использовавшиеся в экспериментах, изготавлива-
лись из нержавеющей трубы внутренним диаметром 19 мм и толщиной
стенки 0,5 мм. Внутренняя поверхность опытных участков обрабатыва-
лась чугунными притирами. Сверху на трубу через слой изоляции нама-
тывались электрические нагреватели из нихромовой ленты. Для умень-
шения тепловых потерь с наружной поверхности нагревателя использу-
ется тепловой экран. Экран представляет собой тонкостенную нержа-
веющую трубу внутренним диаметром 27 мм, расположенную соосно
с опытным участком. Воздушный зазор между экраном и нагревателем
толщиной 2 мм обеспечивает эффективную изоляцию опытного участка.
Для определения тепловых потерь в нескольких сечениях по длине на-
гревателя установлены дифференциальные термопары. В ходе предвари-
тельных опытов было установлено, что такая конструкция нагревателя
обеспечивает с хорошей степенью точности постоянство теплового пото-
ка как по длине, так и по периметру рабочего участка.
Рабочий участок и соленоид могли устанавливаться как горизонталь-
но, так и вертикально. В последнем случае движение ртути осуществля-
лось сверху вниз. На входе и выходе из опытного участка установлены
термопары для измерения среднемассовой температуры ртути.
Для измерений профилей скорости использовались трубка Пито и
корреляционный датчик скорости. В качестве датчиков температуры
служили медно-константановые термопары с оголенными спаями. Диа-
метр корольков термопар в разных опытах составлял 50—100 мкм. Теп-
ловая инерционность таких термопар достаточно мала, что позволяло
использовать их как для измерений осредненной температуры, так и для
измерения пульсаций во всем спектре температурных пульсаций в пото-
ке жидкого металла. Для измерения пульсаций скорости использова-
лись волоконно-оптические измерительные преобразователи (ВОИПС)
или кондукционные датчики.
3.2.2. Техника зондовых измерений в потоке жидкого металла
Большая часть экспериментальной информации получена измерени-
ем локальных характеристик потока — профилей скорости и температу-
ры, статистических характеристик пульсационного температурного по-
ля. Эти измерения осуществлялись с помощью датчиков, вводимых
в поток ртути специальными зондами. При разработке и изготовлении
зондов учитывались особенности, связанные с измерениями в потоке
ртути при наличии магнитного поля.
Прежде всего сам датчик и зонд не должны вносить заметных иска-
жений в измеряемые величины. Для этого датчики должны иметь не-
большие размеры, а диаметр опытного участка должен быть не очень
малым. Диаметры использовавшихся Датчиков не превышали несколь-
ких десятых долей миллиметра, а диаметр опытного участка был равен
19 мм. Результаты измерений профилей скорости и температуры при те-
чении без магнитного поля, а также рассчитанные по профилям темпе-
ратуры коэффициенты теплоотдачи достаточно хорошо согласуются
с данными других исследователей, что свидетельствует о надежности
применяемой методики.
Зонды, вводимые в поток ртути, должны обладать достаточной
прочностью и жесткостью, чтобы противостоять воздействию архиме-
довых сил и динамическому напору набегающего потока. Специально
проведенные расчеты и тарировочные опыты показали, что в условиях
экспериментов деформацией зондов под влиянием указанных сил мож-
но пренебречь.
Для снижения тепловой инерционности термопар, вводимых в поток
ртути, использовались неизолированные, непосредственно контакти-
рующие со ртутью корольки. При этом, как правило, оказываются весь-
ма значительными помехи общего вида в цепи термопары, связанные
с неодинаковостью электрических потенциалов жидкого металла и
«земли» предусилителя или цифрового вольтметра. Для подавления
этих помех применялись трехпроводные термопары, причем третий, за-
щитный электрод вваривался непосредственно в королек термопары.
При измерениях в продольном магнитном поле необходимо также
учитывать возможное ухудшение обтекания зондов, связанное с обра-
зованием так называемого «переднего следа». Размеры кончиков зон-
дов, в которых закреплялись датчики, выбирались таким образом, что-
бы «передний след» от элементов конструкций зондов не достигал ок-
рестностей датчиков. Результаты работы [23] свидетельствуют о том,
что при локальных числах Стюарта, рассчитанных по диаметру обте-
каемого тела, меньших 0,7, цилиндрическое тело в продольном маг-
нитном поле обтекается практически так же, как и при его отсутствии.
К счастью, в условиях экспериментов обеспечение выполнения этого
условия было вполне технически осуществимо.
Вышеперечисленные трудности зондовых измерений в жидкометал-
лических потоках отчасти компенсируются следующими благоприятны-
ми особенностями температурных полей в жидких металлах.
Благодаря высокой молекулярной теплопроводности жидких метал-
лов профили осредненной температуры и статистических характери-
стик температурных пульсаций в любой области течения, даже вблизи
обогреваемой стенки, изменяются достаточно плавно. Вследствие этого
при измерениях в потоке ртути к размерам спаев термопар и точности
установки их координат предъявляются не столь высокие требования,
как при температурных измерениях, скажем, в потоке воды.
При зондовых измерениях, особенно при работе со сложными мно-
готермопарными зондами, приходится мириться с неизбежностью вне-
сения мелкомасштабных возмущений в поля скорости. Однако в жид-
ких металлах эти возмущения практически не влияют на структуру тем-
пературного пульсационного поля. Это связано с тем, что в жидких ме-
таллах возможно существование только сравнительно крупных темпе-
ратурных неоднородностей, так как более мелкие «рассасываются» бла-
годаря высокой молекулярной теплопроводности. Действительно, в не-
изотермической изотропной турбулентности справедливо следующее
соотношение между тейлоровскими микромасштабами скорости X и
температуры Х0 [21]: X = Х0Л/Рг .
Выполненные нами измерения коэффициентов пространственной
корреляции показывают, что температурные микромасштабы в потоке
ртути действительно довольно велики — достигают нескольких милли-
метров. Это подтверждает наш вывод о малой чувствительности темпе-
ратурного поля в жидком металле к локальным мелкомасштабным воз-
мущениям поля скорости.
3.2.3. Конструкции зондов
Рассмотрим конструкции зондов, использовавшихся в эксперимен-
тальных исследованиях турбулентных МГД-течений.
Для исследования параметров потока в одном поперечном сечении
применялся зонд со сферическим шарниром, показанный на рис. 3.4, а.
Зонд представляет собой рычаг, способный поворачиваться вокруг шар-
нира «шар по конусу». Длинное плечо рычага, стержень переменного се-
чения, вводится через сильфон в опытный участок навстречу потоку. На
его конце при измерениях профиля скорости монтировалась трубка Пито
или кондукционный датчик скорости, при исследовании температурных
350-370
| 0,05
К усилителю
a
К усилителю
Illi II
д
Рис. 3.4. Конструкции координатннка и
зондов, используемых при измерениях в
потоке ртути
а — зонд с одной термопарой (в) и корреля-
ционным термодатчиком (г); б — зонд с дву-
мя термопарами для измерения поперечных
корреляций (<Э — конец зонда — увеличено)
полей — микротермопара (рис. 3.4, в), при исследовании коэффициентов
корреляции — датчик, состоящий из одной неподвижной и одной под-
вижной термопары (рис. 3.4, б). Корольки термопар укреплялись эпок-
сидной смолой на конце нержавеющего капилляра наружным диаметром
0,3 мм таким образом, чтобы провода термопары проходили внутри ка-
пилляра. Последний, в свою очередь, вклеивался эпоксидной смолой
в капилляр диаметром 0,7 мм, и эта конструкция укреплялась на конце
рычага зонда. Меньшее плечо рычага связано с координатным механиз-
мом, позволяющим перемещать датчик в двух взаимно перпендикуляр-
ных направлениях по сечению трубы. Поскольку длина зонда (примерно
370 мм) велика по сравнению с радиусом опытного участка (9,5 мм),
можно считать, что при повороте стержня датчик, перемещаясь по ра-
диусу, остается практически в одной плоскости, перпендикулярной оси
трубы. Конструкция такого зонда обеспечивает надежное уплотнение
вывода зонда, возможность помещения датчика в любую точку исследуе-
мого поперечного сечения, простой способ выведения датчика в диамет-
ральную плоскость опытного участка. Основной недостаток такого зонда
невозможность перемещения датчика по длине опытного участка.
Для исследования характеристик потока по длине опытного участка
использовались так называемые продольные зонды.
В качестве примера на рис. 3.5 показан зонд, позволявший проводить
исследования статистических характеристик турбулентных пульсаций
температуры в различных сечениях по длине опытного участка. Основ-
ными элементами зонда являются две коаксиально расположенные труб-
ки, способные поворачиваться вокруг своей оси и перемещаться вдоль
потока как одно целое или одна относительно другой. К каждой из тру-
бок эпоксидной смолой приклеены державки, на концах которых укреп-
лены оголенные корольки микротермопар. Ось вращения зонда располо-
жена эксцентрично по отношению к оси опытного участка таким обра-
зом, чтобы при его вращении можно было траверсировать все попереч-
ное сечение трубы. В этой конструкции использовались сальниковые уп-
лотнения зонда с фторпластовыми уплотняющими кольцами.
Такая конструкция позволяла перемещать одновременно обе термо-
пары вдоль потока по всей длине обогреваемого участка, перемещать
первую термопару относительно второй на расстояние L = 0—50 мм, а
также поворотом зонда перемещать термопары по сечению трубы
вплоть до касания ими стенки опытного участка. Момент касания, как и
в случае рычажных зондов, при установке зонда определялся по элек-
трическому контакту, а в процессе работы — по излому температурного
профиля. По мере приближения спая термопары к стенке температура
Рис. 3.5. Продольный зонд
: эксцентричной осью вращения
2 — термопары; 3 — пружина;
!,6 — уплотнения; 5 — механизм
перемещения
Рис. 3.6. Способ определе-
ння координаты стенки
увеличивается (рис. 3.6), а затем показания тер-
мопары перестают изменяться, несмотря на
дальнейшее перемещение зонда координатным
механизмом. Очевидно, что при значении коор-
динаты, соответствующем точке излома, коро-
лек термопары касается стенки и дальнейшее
движение зонда приводит лишь к его изгибу.
Считалось, что в этот момент измеряемая вели-
чина соответствует расстоянию от стенки, рав-
ному половине диаметра королька термопары.
Данный зонд обладает рядом недостатков:
значительные технологические трудности из-
готовления; наличие двух сальниковых уплот-
нений, что увеличивает вероятность разгерме-
тизации, недопустимой в опытах со ртутью; относительно короткий
срок службы зонда; невозможность повторного его использования по-
сле демонтажа. Поэтому объем экспериментального материала, полу-
ченного с помощью этого зонда, был сравнительно невелик. Однако
эти данные имели принципиальное значение для дальнейших работ.
Во-первых, была получена информация о длине участка термической
стабилизации статистических характеристик турбулентных пульсаций
температуры в потоке ртути. Во-вторых, впервые были проведены из-
мерения коэффициентов пространственно-временной корреляции,
подтвердившие применимость гипотезы о «замороженной турбулент-
ности» в условиях наших экспериментов.
Наиболее широко в экспериментах использовались зонды типа «гре-
бенка». Идея подобного зонда принадлежит Л.С. Кокореву и В.И. Ряпо-
сову [24], которые первыми применили такой зонд при измерениях про-
филей температуры в потоке ртути по длине трубы. Идея заключалась
в том, что в потоке жидких металлов из-за их высокой теплопроводно-
сти осредненная температура плавно изменяется даже вблизи стенки.
Поэтому, измерив осредненную температуру в нескольких точках по ра-
диусу трубы, можно интерполяцией с большой достоверностью восста-
новить весь температурный профиль в потоке. Нами была разработана
усовершенствованная конструкция зонда типа «гребенка», что позволи-
ло производить измерения не только осредненных температур, но и ста-
тистических характеристик турбулентных температурных пульсаций.
Одна из модификаций такого зонда показана на рис. 3.7. Зонд позво-
ляет производить измерения температуры в пяти точках по радиусу по
всей длине обогреваемого участка. Основные его элементы: державка,
укрепленная на конце полого стержня, центрирующие кольца, уплотне-
ние, механизм перемещения. В державку эпоксидной смолой вклеива-
1
Рис. 3.7. Конструкция продольного зонда тина
«гребенка»
а — зонд в рабочем положении: 1 — нагреватель;
2 — стенка рабочего участка; 3 — экран; 4 — дер-
жавка зонда; 5 — кольца; 6 — стержень; 7 — уп-
лотнение; 8 — механизм перемещения; б — дер-
жавка с микротермопарами 9—13
лись пять нержавеющих капилляров наружным диаметром 0,8 мм, пере-
ходящих в капилляры меньшего диаметра — 0,3 мм. В эти капилляры
вставлялись стеклянные капилляры диаметром 0,15 мм, на концах кото-
рых эпоксидной смолой укреплялись оголенные корольки микротермо-
пар, расположенные в одной плоскости с убывающим шагом по радиу-
су. Использовались медно-константановые термопары диаметрами спа-
ев порядка 50—70 мкм. Координаты спаев определялись предваритель-
ной оптической тарировкой с помощью катетометра. При этом спай
первой термопары устанавливался на оси трубы (R = 0), а пятой термо-
пары — в непосредственной близости от стенки (R = 0,96—0,98). Для
фиксации зонда в радиальном направлении использовались притертые
по внутренней поверхности трубы центрирующие кольца, закрепленные
на полом стержне соосно с ним. Термопровода выводились через капил-
ляры и полый стержень на разъем.
Координатный механизм не только позволял перемещать зонд «гре-
бенку» по длине обогреваемого участка, но также и поворачивать его на
любой угол вокруг своей оси. Последнее позволило в ходе специальных
опытов убедиться в осевой симметрии температурного поля в исследуе-
мом потоке при течении в вертикальной трубе. Герметичное соединение
подвижного стержня с неподвижным фланцем было выполнено через
сальниковое уплотнение с фторопластовыми сальниками или сальника-
ми из вакуумной резины.
Как уже упоминалось, по измерениям осредненных температур
в пяти точках по радиусу восстанавливался весь профиль температуры
в исследуемом сечении опытного участка. Для этого в наших работах
была развита специальная методика аппроксимации [30]. В соответст-
вии с этой методикой для каждой /-Й термопары зонда оценки матема-
л 2
тического ожидания Qt и дисперсии температуры рассчитывались
по выборке из данных 40 замеров, сделанных цифровым вольтметром,
причем интервалы между замерами равнялись 2 с. Затем с помощью
ЭВМ методом сплайн-регрессии восстанавливалась функциональная
зависимость температуры от безразмерного радиуса. Сплайн для про-
филя температуры 0(Я) строился в виде трех полиномов второй степе-
ни, при этом задавались значения производной на оси трубы 0'(О) = 0
и на стенке 0'( 1) = <7С/2Х. Коэффициенты полинома рассчитывались
из условия минимизации функционала
______ — — 2 7
ф = Х(0(л,)-0,) /<.
Особенность метода состояла в том, что узлы сопряжения полино-
мов не фиксировались, а подбирались итерационной процедурой. По-
Рис. 3.8. Сплайн-иптерполяция профи-
лей температуры
Re = 1,9 • 104; qc = 5 кВт/м2; На = 0; 1 —
X = 1; 2 — Х= 50; 3 — расчет по (3.13)
скольку в формуле функционала квадраты отклонений выбирались с ве-
сами, обратно пропорциональными дисперсиям, риск ошибки в поведе-
нии сплайна существенно уменьшался. На рис. 3.8 приведен тестовый
пример, иллюстрирующий хорошую точность восстановления профиля
температуры по пяти точкам на различных расстояниях от начала обог-
рева. На этом же рисунке звездочками обозначен профиль температуры,
рассчитанный по формуле Лайона (3.13), где Ea/v рассчитывалось по
зависимости Рейхардта (3.18).
3.3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ПОЛЕЙ
СКОРОСТИ И ТЕМПЕРАТУРЫ, КОЭФФИЦИЕНТОВ
СОПРОТИВЛЕНИЯ И ТЕПЛООТДАЧИ, СТАТИСТИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ПУЛЬСАЦИОННОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ
НА УЧАСТКЕ СТАБИЛИЗИРОВАННОГО ТЕЧЕНИЯ
3.3.1. Схема турбулентного потока в продольном магнитном поле
При течении в продольном магнитном поле векторы и и В парал-
лельны, их векторное произведение и х В равно нулю и поэтому отсут-
ствует эффект Гартмана, обусловленный взаимодействием магнитного
поля с осредненным течением (см. п. 3.1.2). Влияние магнитного поля
на течение в этом случае обусловлено только его воздействием на тур-
булентные пульсации скорости.
Следовательно, при ламинарном течении продольное магнитное по-
ле не оказывает никакого влияния ни на гидродинамику потока, ни на
теплообмен. При турбулентном течении магнитное поле тормозит пере-
мещение в потоке турбулентных молей, тем самым подавляя частично
или полностью турбулентный перенос количества движения и тепла.
Таким образом, при течении в продольном магнитном поле следует
ожидать снижения как коэффициентов сопротивления, так и коэффици-
ентов теплоотдачи.
На основе многочисленных исследований представим следующую
схему поведения турбулентного потока в продольном магнитном поле
Рис. 3.9. Изменение по длине канала индукции магнитного поля Вх, коэффициента
подавлении турбулентности у и коэффициента гидравлического сопротивления
конечной длины — рис. 3.9. Верхняя кривая на рисунке показывает рас-
пределение магнитного поля, создаваемого соленоидом длиной LM,
средняя — изменение по длине канала коэффициента подавления тур-
булентности магнитным полем у, нижняя кривая — изменение по длине
коэффициента гидравлического сопротивления .
Все течение по длине трубы можно разбить на семь участков.
Участок I соответствует развитому турбулентному течению без маг-
нитного поля при заданном числе Рейнольдса.
На сравнительно коротком участке II происходит подавление турбу-
лентного переноса магнитным полем. При Re < ReKp На магнитное поле
полностью подавляет турбулентный перенос, коэффициенты турбулент-
ного переноса количества движения и тепла обращаются в ноль. При
Re > Re кр На турбулентные пульсации подавляются не полностью, ко-
эффициенты турбулентного переноса снижаются до некоторого уровня,
определяемого соотношением чисел Re и На. На этом участке, который
назовем переходным, начинаются перестройка профилей скорости и
температуры и снижение коэффициентов сопротивления и теплоотдачи.
Процесс перестройки профилей скорости и температуры в соответст-
вии с новым уровнем коэффициентов турбулентного переноса продолжа-
ется на участке III. В тех случаях, когда коэффициенты турбулентного
переноса снижаются не очень сильно, перестройка профилей происходит
на относительно небольшой длине. При полном подавлении турбулент-
ного переноса магнитным полем перестройка профилей скорости и тем-
пературы происходит довольно медленно и длина участка III может дос-
тигать нескольких сот калибров. Ту часть потока, которая соответствует
II и III участкам будем называть начальным МГД-участком.
Участок IV соответствует стабилизированному течению в магнит-
ном поле. При Re < ReKpHa это чисто ламинарное течение с параболи-
ческим профилем скорости, при Re > Re На — турбулентное течение с
пониженным уровнем турбулентных пульсаций. В коротком соленоиде
этот участок может отсутствовать.
На выходе из соленоида все описанные выше процессы происходят
в обратном направлении. На участке V коэффициенты турбулентного
переноса восстанавливаются до значений, соответствующих турбулент-
ному течению без магнитного поля. Начинаются обратная перестройка
профилей скорости н температуры, восстановление до прежнего уровня
коэффициентов сопротивления и теплоотдачи. Эта перестройка закан-
чивается на участке VI. И наконец, участок VII — стабилизированное
турбулентное течение при отсутствии магнитного поля.
Рассмотренная схема является весьма упрощенной. Картина течения
на выходе из соленоида в действительности является более сложной, и
в предложенную схему придется вносить соответствующие уточнения.
3.3.2. Влияние продольного магнитного поля на профиль скорости
и гидравлическое сопротивление потока
К настоящему времени накоплено большое число эксперименталь-
ных и расчетно-теоретических работ, посвященных исследованию гид-
родинамики жидких металлов в трубах в продольном магнитном поле.
В большинстве экспериментальных работ изучалось влияние продоль-
ного магнитного поля на осредненные характеристики потока, в частно-
сти, на коэффициент гидравлического сопротивления.
Первая работа, посвященная исследованию влияния продольного маг-
нитного поля на коэффициент сопротивления при турбулентном течении
в круглой трубе, выполнена С. Глоубом [26]. Реализованный в этой рабо-
те интервал чисел Гартмана сравнительно невелик: На = 0—80. В работе
Д.С. Ковнера и Е.Ю. Красильникова [27] предельные числа Гартмана
были доведены до 300. В наших работах [28, 29] удалось «поднять
планку» до На = 614. И наконец, в экспериментах В.Б. Левина и
И.А. Чиненкова [31] число Гартмана доведено до 2000. Во всех пере-
численных работах авторы стремились исследовать коэффициенты со-
противления на участке стабилизированного течения. Но в большинст-
ве работ длина опытного участка была сравнительно небольшой и в не-
которых режимах явно недостаточной для гидродинамической стаби-
лизации потока. В этом отношении следует отметить работу [32], в ко-
торой длина опытного участка в магнитном поле достигала 335 калиб-
ров и с большой степенью уверенности можно было утверждать, что
достигается полная МГД-стабилизация потока.
Профили скорости при течении в продольном магнитном поле изме-
рялись в работах [28, 29]. В [33] исследовалось влияние магнитного по-
ля на коэффициент турбулентного переноса. Полученные результаты
авторы каждой работы, как правило, обобщали своей интерполяцион-
ной формулой. Так, в [27, 29, 31] предложены эмпирические зависимо-
сти для коэффициента гидравлического сопротивления, в работе [33] —
зависимости, описывающие влияние магнитного поля на коэффициент
турбулентного переноса и профиль скорости.
Известно большое число расчетно-теоретических работ (см., напри-
мер, обзор [34]), в которых полученный экспериментальный материал
используется для построения полуэмпирических моделей МГД-турбу-
лентных течений. Одиако до сих пор не проведено тщательного сопос-
тавления и обобщения имеющегося экспериментального материала.
Экспериментальные данные всех авторов по влиянию продольного
магнитного поля на коэффициент гидравлического сопротивления не-
плохо согласуются между собой. На рис. 3.10 показаны результаты на-
ших экспериментов [28, 29].
Основные выводы, которые следуют из имеющихся эксперименталь-
ных данных таковы.
1. Продольное магнитное поле затягивает переход ламинарного ре-
жима течения в турбулентный, что выражается в росте критического
числа Рейнольдса. Для определения значения критического числа Рей-
нольдса при течении в круглой трубе в продольном магнитном поле
обычно используют формулу Фрейма—Хайзера [35]
= 1 + 0,4 , (3.24)
ReKp 0 ReKp На
где ReKp0 = 2250 — критическое число Рейнольдса при течении без
магнитного поля.
В явном виде это соотношение представляет собой квадратное урав-
нение
ReKpHa — ReKpOReKpHa — 0,4На ReKpo —0,
решение которого имеет вид
„ „fl Б 0,4 На2 "I
ReKpHa Re кр 0 « + 1Т + „ • (3.25)
I2 1 4 Кекр 0 /
Зависимость Re кр На(На) иллюстрируется графиком на рис. 3.11.
Рис. 3.10. Влияние продольного магнитного поля на коэффициент гидравлического сопротивления
а — без магнитного поля; б — при наличии магнитного поля; 1 — = 64/Re; 2 — Е, = 0,3164/Re0,25; 3 — 11 — На = 40,4; 66,5; 93,5; 120;
146; 279; 390; 502; 614
Рис. 3.11. Зависимость критического числа Рейнольдса от числа Гартмана
1 — расчет по (3.25); 2 — Re^Ha = 30 На; 3 — Re^Ha ~ 1125 + 30 На
2. Магнитное поле, подавляя турбулентный перенос, снижает коэф-
фициент сопротивления. Как свидетельствуют опытные данные
(рис. 3.10), при любом числе Re с помощью достаточно сильного маг-
нитного поля можно полностью подавить турбулентный перенос. При
этом течение в трубе становится ламинарным, а коэффициент сопротив-
ления описывается формулой Пуазейля.
3. При фиксированном числе Гартмана и увеличении числа Рей-
нольдса коэффициент сопротивления увеличивается, стремясь к значе-
ниям, соответствующим формуле Блазиуса. Иными словами, при доста-
точно больших числах Рейнольдса (Re > 30 000) и достижимых в экспе-
риментах напряженностях магнитного поля влияние продольного маг-
нитного поля на турбулентное течение в трубе пренебрежимо мало.
Здесь мы не приводим интерполяционные формулы, предлагавшиеся
различными авторами для описания зависимости ^(Re, На), так как счи-
таем, что наиболее совершенной является формула (3.49), полученная
в результате расчетно-теоретического обобщения имеющегося экспери-
ментального материала и приведенная на с. 141.
Измерение профилей скорости в потоке жидкого металла — довольно
сложная задача. Впервые систематические измерения профилей скорости
при течении жидкого металла в продольном магнитном поле в изотерми-
ческом потоке были проведены в работе [29]. Для измерения профилей
скорости использовался зонд, конструкция которого показана на рис. 3.4.
На конце зонда укреплялась трубка полного напора (трубка Пито), изго-
товленная из нержавеющего капилляра диаметром 0,5 х 0,1 мм, кончик
которого был сплющен до поперечного размера 0,34 мм. Динамические
Рис. 3.12. Влияние продольного магнитного ноли иа профиль скорости
а — На = 0, Re = (2-^1,25) 104; б — Re = 2 • 104; в — Re = 2,39 1014; г — Re = 3 • 104;
д — Re =3,48 • 10 4; е — Re = 4,25 • 104; 1 — расчет по Рсйхардту, Re = 104; 2 — расчет
по Рейхардту, Re = 105; 3 — На = 0; 4 — На = 279; 5 — На = 390; 6 — На = 502;
7 — На = 614; 8 — параболический профиль
напоры, изменявшиеся в опытах от 0,05 до 5 мм рт.ст., измерялись с по-
мощью катетометра. В работе [30] измерение локальных скоростей осу-
ществлялось корреляционным датчиком в условиях МГД-теплообмена.
На рис. 3.12 показаны в безразмерных координатах <р—т) профили
скорости, полученные в [29]. При отсутствии магнитного поля
(рис. 3.12, а) опытные данные вполне удовлетворительно согласуются
с зависимостями, предложенными Никурадзе, Рейхардтом и Дайслером.
На рис. 3.12, б—е для пяти значений числа Рейнольдса показаны
профили скорости при числах Гартмана, изменяющихся от 0 до 614.
Как и следовало ожидать, благодаря ламинаризирующему влиянию
магнитного поля при увеличении числа На происходит вытягивание
профилей скорости. С ростом числа Re влияние магнитного поля на
профиль скорости ослабевает. При Re = 104 и На = 614 следовало ожи-
дать полной ламинаризации потока и установления параболического
профиля скорости. Однако перестройка профиля скорости при полном
подавлении турбулентного переноса происходит на расстояниях, зна-
чительно превышающих длину нашего рабочего участка. Поэтому по-
лучить параболический профиль скорости (кривая 8 на рис. 3.12, б) не
удалось. По этой же причине при докритических значениях чисел Рей-
нольдса Re < Re кр На опытные точки на рис. 3.10 располагаются выше
зависимости Пуазейля.
3.3.3. Влияние продольного магнитного поля на профиль
температуры и теплоотдачу
Теплообмен при течении жидких металлов в круглой трубе при от-
сутствии магнитного поля исследовался многими авторами. Полезный
обзор и анализ имеющихся данных по этой проблеме приведен в [6, 8,
15,34,36, 37].
Для турбулентного течения на стабилизированном участке наиболее
надежные данные для чистых металлов группируются между двумя за-
висимостями:
формулой Лайона [16]
Nu то 0 = 7 + 0,025 Ре °’8 (3.26)
и формулой ФЭИ [37]
Nu о,, 0 = 5 + 0,025 Ре °’8, (3.27)
где Nu оо 0 — стабилизированное значение числа Нуссельта без магнит-
ного поля.
Различие между этими формулами невелико, особенно при больших
числах Пекле. Наши опытные данные и теоретические расчеты с ис-
пользованием для коэффициента турбулентного переноса соотношений
(3.19) лучше согласуются с формулой (3.26). Поэтому именно эта фор-
мула используется в дальнейшем для определения чисел Нуссельта при
течении без магнитного поля.
Первые работы по исследованию влияния продольного магнитного
поля на теплообмен относятся к середине 60-х годов [38, 39].
Рнс. 3.13. Влияние продольного g _д
магнитного поля на профиль тем- —----
4
пературы (Re = 10 )
7—5 — На = 0; 250; 400; 500; 550 q j
В работе Д.С. Ковнера,
Е.Ю. Красильникова и И.Г. Пане-
вина [39] исследование теплооб- 0,2
мена выполнено на опытном уча-
стке диаметром 16,9 мм длиной
1000 мм. Опытные данные полу-
чены в диапазоне чисел Рей-
нольдса Re = 3 • 103—1,5 • 105 при
числах Гартмана На = 380 и 550. о
В работах [40, 41] влияние
продольного магнитного поля на профили температуры и теплоотдачу
исследовалось на вертикальном опытном участке диаметром 19 мм в се-
чении, отстоящем на 25 калибров от начала обогрева и 30 калибров от
входа потока в магнитное поле соленоида. Диапазон исследований ох-
3 4
ватывал по числам Рейнольдса Re = 7 • 10 —5 • 10 при числах Гартмана
На = 0, 250, 400, 500 и 550. Коэффициенты теплоотдачи определялись
расчетным путем по измеренным профилям температуры.
Типичные профили температуры показаны на рис. 3.13. Увеличение
магнитного поля, естественно, приводит к вытягиванию профилей тем-
пературы. При На = 500 и 550 турбулентный перенос полностью подав-
лен магнитным полем и профили температуры соответствуют расчет-
ным профилям при ламинарном режиме течения.
При течении жидких металлов (0,006 < Рг < 0,42) без магнитного по-
ля опытные данные по профилям температуры были обобщены П.Л. Ки-
рилловым единой зависимостью [42], аналогичной универсальному
профилю скорости:
0 = т]Рг при Т| Рг < 1;
0= 1,87In(т|Рг - 1) + 0,0659т] Рг-0,36 при l<nPr<H,7; (3.28)
0 =2,51л(Т|Рг - 1) при Т|Рг > 11,7,
где 0 = (Гс ~T)pcu*/qc; r\ = uty/v; и* = J\7p = и .Д7& .
Оказалось, что зависимость (3.28) позволяет обобщить и данные по
профилям температуры при течении в продольном магнитном поле, ес-
ли коэффициент сопротивления £ в (3.28) рассчитывать по формуле
Рис. 3.14. Сравнение данных по профилям температуры с зависимостью (3.28)
I — qc = 0,4 104, Re = 0,7 • 104, На = 0; 2 — 9с = 0,7 • 104, Re = 1,0 • 104, На = 0; 3 —
qc = 2,4 • 104, Re = 2,3 104, На = 0; 4 — qc = 2,7 • 104, Re = 5,0 • 104, На = 0;
5— qc = 2,5- 104, Re = 5,0-104, На = 550; 6— qc = 2,3 104, Re = 2,3 104,
На = 500; 7 — qc = 0,4 • 104, Re = 0,7 104, На = 500; 8 — qc = 1,3 104, Re =
= 1,0 • IO4, Ha = 500; 9 - 9c = 2,5 104, Re = 2,3 • 104, Ha = 400; 10 — qc = 2,5 • 104,
Re = 2,3 • 104, Ha = 550; 1—4— Ha = 0; 5, SO — Ha = 550; 6—8 — Ha = 500;
9 — Ha s 400
(3.49), учитывающей воздействие на него магнитного поля. Сопоставле-
ние наших опытных данных при течении без поля и в продольном маг-
нитном поле с соотношением (3.28) показано на рис. 3.14.
Влияние магнитного поля на теплоотдачу иллюстрирует рис. 3.15.
Магнитное поле, как и следовало этого ожидать, подавляя турбулентный
перенос, снижает коэффициенты теплоотдачи. Хорошо видно, что при
На = 550 и Ре = 200 (Re - 104) теплоотдача снижается до уровня, соот-
ветствующего теплоотдаче при ламинарном течении (NUqo 0 = 4,36).
Особого внимания, по нашему мнению, заслуживает работа Б.Н. Бау-
шева, Е.Ю. Красильникова, В.Г. Лущика и И.Г. Паневина [43], результа-
ты которой по исследованию теплоотдачи в продольном магнитном по-
ле хорошо согласуются с нашими результатами [40, 41] (см. рис. 3.15).
Основное достоинство этой работы — использование длинного рабоче-
го участка (П d = 260), помещенного в длинный соленоид. Авторами
этой работы впервые экспериментально доказано (см. рис. 3.15, б), что
при достаточно больших соотношениях На /Re магнитное поле способ-
но полностью подавить турбулентный перенос тепла, при этом на боль-
Рис. 3.15. Влияние продольного магнитного поля на теплоотдачу в круглой трубе
а — опытные данные работы [40, 41]: // d = 25; 1—3 — На = 0; 400; 550; б — опытные
данные работы [43]: Ud> 0,06 ReKp; 4—б — На = 0; 70; 200; 7 — Nu = 7 + О,О25Ре0’8;
8 — Nu, = 4,36
ших расстояниях от входа в магнитное поле значения коэффициентов
теплоотдачи равны стабилизированному ламинарному значению.
В работе подтверждено, что продольное магнитное поле приводит
к увеличению критического числа Рейнольдса. На больших расстояниях
от входа (при xtd> 0,06Re) и числах Рейнольдса меньших критическо-
го значение коэффициента теплоотдачи остается равным Мил = 4,36.
При превышении числом Рейнольдса значения Re кр На теплоотдача уве-
личивается, приближаясь к зависимости (3.26). Очень важно, что впер-
вые экспериментально был доказан кризисный характер увеличения
числа Нуссельта при переходе через Re кр На как при отсутствии, так и
при наличии магнитного поля.
Полученные опытные данные авторы работ [40, 41, 43] обобщали
соответствующими расчетными рекомендациями. Как и в случае гид-
равлического сопротивления, мы эти формулы не приводим, так как
считаем наиболее обоснованной формулу (3.50), полученную в ре-
зультате расчетно-теоретического анализа всего массива имеющихся
опытных данных (стр. 143).
По измеренным в экспериментах температурным профилям были
рассчитаны коэффициенты турбулентного переноса тепла. Соответст-
вующие графики показаны на рис. 3.16. Эти графики еще раз иллюстри-
руют эффект подавления турбулентного переноса магнитным полем.
Более интересный и важный вывод, который можно сделать на основа-
нии этих графиков, состоит в том, что турбулентный перенос подавля-
ется магнитным полем равномерно по всему сечению трубы. Этот ре-
зультат позволил сформулировать достаточно простую физическую мо-
a
Рис. 3.16. Влияние продольного магнитного ноля на коэффициент турбулентного
переноса тепла
а — Re = 2,3 • 104; б — Re = 5 • 104; 1 — 4 — На = 0; 250; 400; 550
дель воздействия магнитного поля на турбулентный поток. На основе
этой модели удалось удачно обобщить имеющиеся опытные данные по
гидродинамике и теплообмену при течении электропроводных жидко-
стей в продольном магнитном поле (см. параграф 3.5). Эта же модель
оказалась пригодной и для обобщения опытных данных и разработки
методики теплогидравлического расчета при течении в плоском канале
в поперечном магнитном поле (см. параграф 4.2).
Теплоотдача на участке входа турбулентного потока в магнитное по-
ле изучалась в работах [45, 64—68], а на участке выхода из магнитного
поля — в работах [67, 68]. Полученные результаты подробно описыва-
ются в параграфе 3.4.
3.3.4. Влияние продольного магнитного поля на статистические
характеристики турбулентности
Более глубокие представления о процессах генерации, переноса и
диссипации энергии в турбулентных потоках позволяет получить ин-
формацию о статистических характеристиках турбулентных пульсаций
скорости и температуры.
Некоторые сведения о влиянии магнитного поля на статистические
характеристики пульсаций скорости были получены в работах [44, 45],
а на пульсационные температурные характеристики — в [46].
Однако наиболее полное и систематическое исследование структу-
ры пульсаций температуры в МГД-турбулентности выполнено в рабо-
тах [47—52].
В работе [47] на ртутном кон-
туре (см. параграф 3.2) с помо-
щью микротермопарных зондов
впервые проведены комплексные
измерения структуры температур-
ной МГД-турбулентности в сече-
нии круглой трубы, удаленном на
25 калибров от входа потока в зо-
ну обогрева и однородного про-
дольного магнитного поля.
Как видно из рис. 3.17, магнит-
ное поле существенно снижает
интенсивность пульсаций темпе-
ратуры, причем чем меньше Re,
тем это влияние значительнее.
Этот график также подтверждает
факт практически равномерного
подавления турбулентности по
всему сечению канала. При Re =
Рис. 3.17. Влияние продольного магнитно-
го поля яа яитенснвность температурных
пульсации (Re = 2,3 * 104)
/ — 5 — На = 0; 400; 550
= 104 и На = 550, судя по формуле
(3.24), поток должен быть полностью ламинаризированным. Однако в
наших экспериментах в этих условиях в потоке сохраняется довольно
высокий уровень пульсаций. Этот эффект, наблюдаемый и в экспери-
ментах некоторых других авторов в аналогичных условиях, объясняется
сносом турбулентных пульсаций в исследуемую область.
Результаты измерений коэффициентов корреляции в радиальном на-
правлении, выполненных в работе [47], а также в более поздней [52], сви-
детельствуют о том, что поперечные микромасштабы слабо зависят от по-
перечной координаты и практически не изменяются в магнитном поле.
В работе [47] также проведены исследования коэффициентов авто-
корреляции 7?(т), по которым с использованием гипотезы Тейлора о «за-
мороженной турбулентности» были рассчитаны коэффициенты корре-
ляции в продольном направлении R(I). На рис. 3.18 в качестве примера
показано изменение корреляционных кривых под действием продольно-
4 4
го магнитного поля при Re = 10 и 2,3 • 10 . Из этого графика хорошо
видно, что по мере роста продольного магнитного поля происходит уве-
личение продольных корреляций, что свидетельствует о вытягивании
температурных неоднородностей в направлении поля.
И наконец, в работе [47] получены данные о влиянии продольного
магнитного поля на спектры турбулентных пульсаций температуры.
Эти данные (рис. 3.19) свидетельствуют о том, что снижение турбулент-
Рис. 3.18. Коэффициенты корреляции в продольном направлении
а — Re = 104; б — Re = 2,3 • 104; I — 3 — На = 0; 400; 550
Рпс. 3.19. Влииние продольного магнитного ноля яа спектр пульсаций температу-
ры (Re = 104)
а — R = 0; б — R = 0,83; 1 — 4 — На = 0; 250; 400; 550
ных пульсаций под действием продольного магнитного поля происхо-
дит за счет высокочастотной части спектра. Иными словами, магнитное
поле в первую очередь подавляет мелкомасштабные неоднородности.
Опытные данные по статистическим характеристикам турбулентных
пульсаций температуры были использованы нами [50] для расчета сла-
гаемых в уравнении баланса «энергии» температурных пульсаций (3.8).
Для начального МГД-участка круглой трубы в продольном однородном
Рис. 3.20. Слагаемые уравнения баланса «энергии» температурных пульсаций
а — На = 0; б — На = 550; I — генерация; II — конвекция; V — молекулярная диф-
фузия; VI — диссипация
магнитном поле это уравнение в результате обезразмеривания может
быть записано в виде
2игФ I эе Эг Э<4 1 Э ~ — г и дг IV д2 - г
+ -
Эх дг г
II III
2 (2 2 2 )
2 1 э 8 = 0,
—— — г ч— — + — + —
Ре г дг V Эг Ре к VI 4J
(3.29)
где Хх, Хг, Хф — пространственные микромасштабы температурного по-
ля. Физический смысл слагаемых этого уравнения следующий: I — гене-
рация, II и III — конвективный перенос осредненной скоростью, IV —
турбулентная диффузия, V — молекулярная диффузия и VI — диссипа-
ция «энергии» турбулентных пульсаций температуры. Результаты рас-
чета слагаемых уравнения (3.29) представлены на рис. 3.20. Основными
процессами, определяющими поле температурных пульсаций, являются
процесс генерации I и процесс диссипации VI. Остальные слагаемые
этого уравнения малы. В ядре потока заметна роль конвективного пере-
носа в продольном направлении II, благодаря которому в эксперимен-
тах наблюдаются пульсации в тех сечениях, где генерация полностью
подавлена. Анализ этого рисунка показывает, что, хотя слагаемые урав-
нения баланса «энергии» температурных пульсаций при наложении
продольного магнитного поля заметно уменьшаются, однако их относи-
тельная величина остается примерно такой же, как и без поля.
3.3.5. Температурные поля и теплообмен жидкого металла
в условиях совместного влияния продольного магнитного поля
и термогравитационной конвекции
Во всех экспериментальных работах, описанных в предыдущем па-
раграфе, авторы старались избежать влияния термогравитационной кон-
векции, поддерживая значения тепловых потоков, подводимых к опыт-
ным участкам, на сравнительно невысоком уровне. Тем не менее, как
показано в работе А.Ф. Полякова [53], полностью устранить влияние
термогравитационной конвекции на гидродинамику и теплообмен уда-
валось не всегда.
В реальных условиях очевидно стремление реализовывать как мож-
но более высокие значения тепловых нагрузок и влияние термогравита-
ционной конвекции на гидродинамику и теплообмен может быть очень
значительным.
Из немногих экспериментальных работ, посвященных исследованию
совместного влияния на гидродинамику и теплообмен магнитного поля
и термогравитационной конвекции, можно отметить работу Р. Гарднера
и П. Ликодиса [54]. В этой работе исследовалось влияние поперечного
магнитного поля и термогравитационной конвекции на температурные
поля и теплоотдачу при течении ртути в горизонтальной трубе. Магнит-
ное поле значительно ослабляло влияние термогравитационной конвек-
ции на профили температуры, хотя это влияние и прослеживалось до
очень высоких чисел Рейнольдса — более 105. Влияние термогравита-
циониой конвекции на гидродинамику и теплообмен в значительной
степени зависит от ориентации канала. Применительно к реальным ус-
ловиям представляют интерес течения в вертикальных и горизонталь-
ных трубах. В связи с этим подробно исследовались оба эти случая. Ис-
следовались совместное влияние продольного магнитного поля и термо-
гравитационной конвекции на температурные поля, теплообмен и ста-
тистические характеристики пульсаций температуры как при однород-
ном, так и при неоднородном по периметру канала обогреве.
При изучении явлений, связанных с термогравитационной конвекци-
ей, определяющую роль играет безразмерное число Грасгофа
gPA0</3
Or =--------
или число Рэлея
Ra = Gr Рг.
Величина Д0, фигурирующая в числе Грасгофа, представляет собой
некоторую разность температур, характерную для рассматриваемой за-
дачи и определяющую интенсивность термогравитационной конвекции.
При течении жидкости в вертикальных трубах интенсивность термо-
гравитационной конвекции определяется продольным градиентом темпе-
ратуры и в качестве Д0 используется «аксиальный» перепад температуры:
Д0А = •
А ХРе
Соответствующие значения чисел Грасгофа и Рэлея при этом рассчи-
тываются по формулам:
g₽A0Arf3
GrA=-------2--; RaA = GrAPr.
v
При течении в горизонтальных трубах определяющим является по-
перечный, радиальный температурный напор
Д0 = ----- '
я X
В этом случае числа Грасгофа и Рэлея представляют в виде:
Gr =--------— =--------;
q 2 2.
v v X
Ra? = Gr?Pr-
Нетрудно видеть, что
Такое же соотношение связывает Gr. с Gr„ и Ra. с Ra„.
л Ч ЛЧ
Начнем с рассмотрения результатов экспериментов по исследованию
температурных полей и теплообмена в вертикальной трубе при равно-
мерном по периметру обогреве.
В наших экспериментах при опускном течении ртути в вертикальной
трубе с обогревом (неустойчивая стратификация) в продольном магнит-
ном поле [25, 30, 56, 57] диапазон режимов выбирался таким, чтобы ох-
ватить режимы, соответствующие полному или значительному подавле-
нию турбулентности магнитным полем. Именно в этих случаях влияние
(ес-0)/(«с</Д)
(0с-е)/(«с</Д)
Рнс.3.21. Совместное влияние продольного магнитного поля и термогравитацион-
ной конвекции на ирофили температуры
а — На = 0; б — На = 300; Re = 1,9 • 104; I — 3 — RaA = 2280; 7220; 14 800;
4 — расчет по (3.13)
термогравитационной конвекции должно быть наиболее значительным.
Числа Рейнольдса в опытах не превышали 5 • 104, максимальные значе-
ния чисел Гартмана и Рэлея достигали соответственно 450 и 3 • 104.
Совместное влияние продольного магнитного поля и термогравита-
ционной конвекции на турбулентное течение электропроводной жидко-
сти при опускном течении в вертикальной трубе иллюстрируется их
воздействием на профили температуры на рис. 3.21. При отсутствии
магнитного поля (рис. 3.21, а) в рассматриваемом диапазоне режимных
параметров влияние термогравитационной конвекции незначительно.
При течении в магнитном поле и малой тепловой нагрузке (RaA/Re =
= 0,12) наблюдается вытягивание профиля температуры, что объясняет-
ся подавлением турбулентного переноса продольным магнитным по-
лем. С ростом тепловой нагрузки (RaA/Re = 0,78) профиль температу-
ры становится более заполненным, стремясь по форме к профилю в тур-
булентном потоке без магнитного поля.
Естественно, что соответствующие эффекты, связанные с совмест-
ным влиянием продольного магнитного поля и термогравитационной
конвекции, проявляются и в поведении коэффициента теплоотдачи. На
рис. 3.22 показана зависимость чисел Нуссельта от числа RaA при тече-
нии без поля и при трех значениях числа На. Хорошо видно, что в от-
сутствие магнитного поля термогравитационная конвекция практически
не влияет на коэффициент теплоотдачи. При небольших числах RaA
магнитное поле снижает теплоотдачу примерно на 30 %. Но увеличе-
Рис. 3.22. Влияние термогравитаци-
оиной конвекции на теплоотдачу
при течении в продольном магнит-
ном поле (Ре = 480)
1 — 4 — На = 0; 100; 200; 300;
5 — Nu- Над4
4
ние числа RaA приводит к росту теплоотдачи и при RaA = 1,5 • 10 ко-
эффициент теплоотдачи принимает значения, равные практически зна-
чениям коэффициентов теплоотдачи при развитом турбулентном тече-
нии без магнитного поля.
Экспериментальные данные по теплоотдаче при совместном дейст-
вии продольного магнитного поля и термогравитационной конвекции
в диапазоне чисел Ре = 220—480, чисел Ra = (2—22)103 и чисел На =
= 0— 300 обобщены следующей формулой [30]:
Nu = 4,36 + | Nun —-— 4,36 I expf- 68 — Z-y],
( °thZ1 J \ Re 2)
где Zj = 0,05 Raj25; Z2 = exp(-RaA Jle/106), Nu0 = 6 + O,O25Pe0’8.
В работах [30, 56, 57] также исследовалось совместное влияние про-
дольного магнитного поля и термогравитационной конвекции на стати-
стические характеристики турбулентных пульсаций температуры. Ре-
зультаты этих исследований свидетельствуют о весьма своеобразной
структуре турбулентных течений в этих условиях [56]. Оказывается, что
продольное магнитное поле не только не подавляет термогравитацион-
ную конвекцию, а напротив, способствует образованию крупномас-
штабных вихревых структур, вытянутых вдоль магнитного поля и ус-
тойчивых в продольном магнитном поле. Этот эффект приводит к росту
теплоотдачи. Важно отметить, что под влиянием продольного магнит-
ного поля в пристенной зоне потока развиваются низкочастотные пуль-
сации температуры неожиданно высокой амплитуды (рис. 3.23). Прони-
кая в стенку теплообменного канала, они могут привести к термическим
усталостным разрушениям.
Таким образом, при опускном течении в обогреваемой трубе, т.е.
в случае встречной термогравитационной конвекции, отрицательное
влияние продольного магнитного поля на теплоотдачу компенсируется
Рис. 3.23. Развитие низкочастотных пульсаций температуры высокой интенсивно-
сти в пристенной зоне потока
а—в — На = 0; 200; 400
частично или полностью положительным влиянием термогравитацион-
ной конвекции. При достаточно больших тепловых нагрузках коэффи-
циенты теплоотдачи при течении в магнитном поле могут стать практи-
чески равными их значениям при течении без магнитного поля.
Следующая серия экспериментов была проведена при течении
в продольном магнитном поле в обогреваемой горизонтальной трубе [58,
59]. Исследования проводились в диапазонах определяющих параметров:
Re = 6 • 103—5 • 104; На = 0—450; Ra= 0—2 • 106; Ra_/Re = 0—120.
ч ч
Хорошо известно [60, 61], что при течении без магнитного поля
в этом случае под влиянием термогравитационной конвекции возникает
существенная асимметрия профилей температуры в вертикальной плос-
кости. Экстремум температурного профиля смещается вниз. Верхняя
часть трубы оказывается нагретой до более высоких температур, чем
нижняя. В горизонтальной плоскости при достаточно больших числах
Рэлея профиль температуры становится М-образным.
Наложение продольного магнитного поля еще более усиливает эти
эффекты. Локальные коэффициенты теплоотдачи сильно изменяются
по периметру трубы. В верхней части трубы образуется зона ухудшен-
ного, а в нижней части — улучшенного теплообмена. Распределение ко-
эффициентов теплоотдачи по периметру трубы удобно характеризовать
безразмерной температурой
(Г -Т)Х
0 = —-------,
величина которой обратна величине локального числа Нуссельта.
Для безразмерной температуры на верхней образующей трубы по ре-
зультатам экспериментов получена следующая формула:
п
° верх
J^+0,2
№оо10
1 - exp
( Ra°’5(Ha + 800) \
4
I 2Pe2 J.
(3.30)
Для безразмерной температуры на нижней образующей
( 2Ra°’5(Ha + 200) Y
1-ехр ------ч----------
0ннз = —------0,lR3g°5
ннз Мп ’
^Чоо, О
Изменение безмерной температуры по периметру описывается сле-
дующим соотношением:
2
(Pe+ 1000)
(3.31)
0((p) = 1-cospt(<pW]
(3.32)
где 0(<р) =
щей, рад;
9((Р)-9низ
А — А
° верх °низ
(р — угол, отсчитываемый от нижней образую-
1 + 1500 —*
Г, 2
1 + 1,2
На2
Re
2
1 + 800 —~
„ 2
1 + —
Re
Сопоставление экспериментальных результатов с данными расчетов
по формулам (3.30) и (3.31) показано на рис. 3.24.
Анализ опытных данных по статистическим характеристикам турбу-
лентных пульсаций температуры свидетельствует о том, что по мере
увеличения магнитного поля его воздействие на поток сначала велико, а
потом, при дальнейшем увеличении поля, постепенно начинает ослабе-
вать, т.е. течение как бы «подстраивается» под магнитное поле путем
формирования продольных вторичных вихрей, которые почти не взаи-
модействуют с магнитным полем. Этот эффект «насыщения» позволяет
говорить о возможности экстраполяции экспериментальных данных на
большие числа Гартмана, характерные для термоядерных реакторов.
Общий уровень интенсивности пульсаций температуры под воздей-
ствием магнитного поля несколько снижается. Магнитное поле подав-
ляет в основном мелкомасштабную турбулентность. Развития вблизи
стенки низкочастотных пульсаций температуры аномально большой ин-
тенсивности при течении в горизонтальной трубе не обнаружено.
Применительно к проблеме охлаждения бланкета термоядерного ре-
актора-токамака большой интерес представляет задача о теплообмене
при течении жидких металлов в продольном магнитном поле в горизон-
тальной трубе при неоднородном по периметру обогреве. В соответст-
вующих экспериментах [62, 63] были реализованы три варианта обогре-
ва опытного участка: однородный, односторонний и двусторонний не-
однородный (рис. 3.25). Естественно, результаты при однородном (рав-
номерном) обогреве совпали с описанными в п. 3.3.3.
Рис. 3.25. Схемы неоднородного по периметру обогрева опытного участка при те-
чении в иродольиом магнитном иоле
а — однородный обогрев; б — двусторонний неоднородный обогрев; в — односторон-
ний обогрев
Рис. 3.26. Профили вертикальной компонен-
ты скорости при неоднородном но перимет-
ру обогреве горизонтальной трубы
(Re = 3,5-104; На = 450)
а — однородный обогрев, qi = q2 = 35 кВт/м2;
б — односторонний обогрев, q{ = 35 кВт/м2,
q2 = 0; в — двусторонний неоднородный обог-
рев, qi = 35 кВт/м2, q2 = 15 кВт/м2
Выполненные в экспериментах с по-
мощью корреляционного датчика изме-
рения вертикальной компоненты ско-
рости v показали, что под влиянием
термогравитационной конвекции в тру-
бе возникает вторичное течение,
имеющее форму вихрей с осями, па-
раллельными оси трубы. Это хорошо
иллюстрируется графиками распреде-
ления вертикальной компоненты ско-
рости, приведенными на рис. 3.26, на
котором изображено распределение
отношения вертикальной компоненты
скорости к средней по сечению скоро-
сти. При однородном обогреве образу-
ются два симметричных относительно
вертикальной плоскости вихря, при од-
ностороннем обогреве — один вихрь,
при двустороннем неоднородном обог-
реве могут существовать либо два не-
симметричных вихря, либо один вихрь. Скорость вторичных течений
составляет несколько процентов от средней скорости течения в трубе.
Влияние термогравитационной конвекции на поля скорости, темпера-
туры и теплоотдачу при неоднородном обогреве качественно было таким
же, как и при однородном обогреве. Однако в случае неоднородного
обогрева нарушается симметрия профилей температуры и относительно
вертикальной диаметральной плоскости, что иллюстрирует рис. 3.27.
Характерное распределение по периметру трубы безразмерной тем-
пературы 0 = 1 /Nu показано на рис. 3.28. Результаты исследований по-
зволяют сделать следующие выводы. Средние по периметру числа Нус-
сельта для различных схем обогрева как при наличии продольного маг-
v/u
0,03
0,02
0,01
о
-0,01
-0,02
-0,03
V/U
0,03
0,02
0,01
о
-0,01
-0,02
-0,03
б
V/U
0,03
0,02
0,01
о
-0,01
-0,02
-0,03
-1,0 -0,5 О 0,5 Л
в
Рис. 3.27. Профили безразмерной температуры при однородном обогреяе
(Re = 3,5-104)
а — вдоль горизонтального диаметра; б — вдоль вертикального диаметра; q{ = q2 =
= 35 кВт/м2, Gr? = 7,9• 107; Rag = 1,9• 106; 1, 2 — На = 0; 450
нитного поля, так и при его отсутствии мало отличаются от значений,
рассчитанных по формуле Лайона (3.26). Локальные коэффициенты те-
плоотдачи в верхней части трубы оказываются значительно более низ-
кими, а в нижней части трубы — более высокими.
При обобщении экспериментальных данных за основу были приняты
формулы (3.31) и (3.32), полученные ранее для случая однородного обо-
грева. Неоднородность обогрева учитывалась параметром
|?1“?2|
А ---------.
<71+?2
В случае однородного обогрева А = 0, при одностороннем обогреве
А = 1, а при двустороннем неоднородном обогреве 0 < А < 1.
Для безразмерной температуры стенки на верхней образующей тру-
бы предложена следующая формула:
е
верх
1 Г ( Ra°’5(Z) „На + 800 П
------+ 0,2В„ 1-ехр - Си—q-----------5----------
Nu~, 0 L I 2,8Ре1 2 J
(3.33)
где коэффициенты, учитывающие неоднородность нагрузки, соответст-
венно равны:
Вв = 1 -0,35 sin(n^),
Св
7
= 1 + 4 sm
-А ,
2
Ds= 1 +ЗЛЧ
в.
о
о
-0,1
0,2 -
0,1
аа
rf S 8
0,1
-0,1
9с
°* » 9 ф $
б
Ч в , .
* о ° Ъ
а .в
в? $
о
0,10
0,05
вс
0,15
%
й1£
О fl
• а 8 S
а
в
____।_______।
60 120 180 240 300 <р
в
Рис. 3.28. Распределение безразмерной температуры по периметру трубы
а — равномерный обогрев: Re = 3,5• 104, Ra? = 1,9 106, qt = q2 = 35 кВт/м2;
б — односторонний обогрев: Re = 5 • 104, Ra? = 9,6 • 10б, q\ = 35 кВт/м2, q2 = 0;
1 — 4 — На = 0; 150; 300; 450; в — двусторонний неоднородный обогрев: Re = 5 • 104,
Rag = 1,6 107, qx = 35 кВт/м2, q2 = 25 кВт/м2
Для безразмерной температуры стенки на нижней образующей трубы:
4RaJ’5(Z)HHa + 200)Y
еннз = -----O,llBHRa°’05
Nuoo,0
где Вп = 1; Си = 1 + 6,5sin 2
1-ехр ~СН
2
(Ре + 1000)
, (3.34)
я
2
-л , вн = 1-л0’2
Рнс.3.29. Сопоставление результатов расчета безразмерных температур -0верх
и -0Н1П прн неоднородном обогреве по формулам (3.33) н (3.34) с эксперименталь-
ными данными
д —~ Ra^ = 1,37 * 10 , д [ ~ 50 кВт/м , д2 ~ 0; б — Ra^ = 1,63 * 10 , д । = 35 кВт/м ,
д2 - 25; /, 5 — На = 0; 2, 6 — На = 150; 3, 7 — На = 300; 4, 8 — На = 450
При равномерном обогреве (А = 0) коэффициенты В, С и D в обеих
формулах принимают значения, равные единице, и выражения (3.33) и
(3.34) вырождаются в зависимости (3.30) и (3.31).
Сопоставление опытных точек с результатами расчетов по форму-
лам (3.33) и (3.34) приведено на рис. 3.29. Отклонение эксперименталь-
ных данных от расчетных по формулам не превышает 20 %.
Анализ экспериментальных данных свидетельствует о том, что с рос-
том числа Гартмана заметно возрастает температура на верхней образую-
щей трубы. Таким образом, с ростом На увеличивается «расслоение» тем-
ператур по периметру, характеризуемое величиной 6верх - 6НИ3. Влияние
магнитного поля на эту разность температур оказывается тем более силь-
ным, чем равномернее распределен тепловой поток по периметру.
Как и в случае однородного обогрева, при неоднородном обогреве
горизонтальной трубы магнитное поле снижает уровень температурных
пульсаций, подавляя главным образом высокочастотную часть спектра.
В пристенной области интенсивность пульсаций температуры оказыва-
ется значительно более низкой, чем в ядре потока.
3.4. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ И ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ТЕЧЕНИИ
В ПРОДОЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ СОЛЕНОИДА С УЧЕТОМ
КОНЦЕВЫХ ЭФФЕКТОВ
В предыдущем параграфе рассматривались результаты исследований
гидродинамики и теплообмена на участке стабилизированного течения.
Полученные в результате обобщения этих данных расчетные формулы
для коэффициентов сопротивления и теплоотдачи назовем асимптота-
ческими, так как в некоторых случаях длина начального МГД-участка
может достигать нескольких сотен калибров.
На практике протяженность участков жидкометаллических конту-
ров, расположенных в продольном магнитном поле, вряд ли будет очень
большой. Поэтому в практическом плане важно знать, как ведет себя
турбулентный поток электропроводной жидкости на входе в продоль-
ное магнитное поле и на выходе из него. В работах [64—68] исследова-
нию концевых эффектов уделялось большое внимание.
Эксперименты проводились на ртутном стенде (см. в п. 3.2.1). Опыт-
ный участок представлял собой трубу из нержавеющей стали диаметром
19 мм, на которой на длине 70 d был смонтирован электронагреватель из
нихромовой ленты, позволявший реализовывать плотности теплового
потока до qz = 2,5- 104 Вт/м2. Обогреваемому участку предшествовал
участок гидродинамической стабилизации длиной 60 d. Продольное маг-
нитное поле создавалось соленоидом (см. в п. 3.2.1). Длина обмотки со-
леноида L = 700 мм (L/d = 36,8), однако длина участка с однородным
магнитным полем составляет примерно 27 калибров. Максимальная ин-
дукция магнитного поля, создаваемого соленоидом, 5*= 1,1Тл, что
обеспечивало возможность реализации в экспериментах чисел Гартмана
в диапазоне 0—550. Соленоид мог перемещаться вдоль опытного участ-
ка, что позволяло на сравнительно небольшом обогреваемом участке ис-
следовать концевые эффекты как на входе в магнитное поле, так и на вы-
ходе из него. Для измерения температурных полей использовался зонд
типа «гребенка» (см. п. 3.2.2), снабженный пятью термопарами. Переме-
щая гребенку по длине опытного участка, можно было измерять профи-
ли температуры в большом количестве сечений.
Прежде чем перейти к рассмотрению полученных эксперименталь-
ных данных по теплообмену, напомним картину перестройки профилей
скорости на начальном МГД-участке (см. рис. 3.9, участки II и III). На
участке II происходит подавление турбулентного переноса магнитным
полем (см. п. 3.1.1). Длина этого участка не превышает 10 калибров.
При Re < Re кр На магнитное поле полностью подавляет турбулентный
перенос, коэффициенты турбулентного переноса количества движения
и тепла обращаются в ноль. При Re > ReKpHa турбулентные пульсации
подавляются не полностью, коэффициенты турбулентного переноса
снижаются до некоторого уровня, определяемого соотношением чисел
Re и На. Начавшаяся на этом участке перестройка профилей скорости в
соответствии с новым уровнем коэффициентов турбулентного переноса
продолжается на участке III. Участки II и III образуют участок МГД-
стабилизации — начальный МГД-участок. По данным работы [75], дли-
на участка гидродинамической стабилизации в этом случае описывает-
ся обычной для ламинарного течения формулой
Гцмг ~------ = 0,06 Re. (3.35)
Так как вследствие подавления турбулентности ламинарный режим
течения в магнитном поле может существовать при числах Рейнольдса
10 000 и выше, то значение /нмг может достигать нескольких сот и да-
же тысяч калибров. При таких режимах (Re < ReKpHa) участок стабили-
зированного течения (см. рис. 3.9, участок IV) в реальных устройствах
может отсутствовать.
При неполном подавлении турбулентности магнитным полем (Re >
> КекрИа) ДлиИа начального МГД-участка оказывается более короткой.
На основании сопоставления имеющегося экспериментального материа-
ла с результатами расчетов получена следующая оценочная зависи-
мость для определения длины начального МГД-участка [69, 70]:
, Л На
£ нмг 0,022 ,
ln(Re/ReKpHa + 6)
(3.36)
где
Ь= ехр
0,022
На
0,06ReKpHa.
Величина b мала и изменяется от 0,005 при На = 40 до 0,012 при
На= 1000. Эта поправка существенна только при числах Рейнольдса,
близких к критическому, и обеспечивает предельный переход формулы
(3.36) при Re —> ReKpHa в соотношение (3.35).
3.4.1. Температурные поля, теплоотдача и статистические
характеристики турбулентных пульсаций температуры
на начальном термическом участке
Эксперименты по исследованию температурных полей и теплоотда-
чи на начальном термическом участке в продольном магнитном поле
проводились при двух различных конфигурациях взаимного расположе-
ния обогреваемого участка и соленоида, показанных на рис. 3.30.
В первом случае (рис. 3.30, а) начало обогреваемого участка совпадало
с началом зоны однородного магнитного поля. В этом случае магнитное
поле накладывалось на «обычный» начальный термический участок.
Во втором случае (рис. 3.30, б) вход в соленоид отстоял от начала
обогреваемого участка на 25 калибров. На участке 0 < X < 25 форми-
Рис. 3.30. Схема взаимного расположения обогреваемого участка относительно соле-
ноида при исследовании температурных полей и теплоотдачи на начальном участке
а — начало обогреваемого участка совпадает с началом зоны однородного магнитного
поля; б —- вход в соленоид отстоит от начала обогреваемого участка на расстояние / = 25 d
ровался стабилизированный без магнитного поля профиль температу-
ры, а затем при X > 25 под действием магнитного поля происходила
его перестройка.
Качественно влияние магнитного поля на профили температуры и ко-
эффициент теплоотдачи в обоих случаях было одинаковым. При входе
в магнитное поле вследствие подавления коэффициентов турбулентного
переноса начинается перестройка не только профилей скорости, но и
профилей температуры, сопровождающаяся снижением коэффициентов
теплоотдачи. Участок канала, на котором коэффициент теплоотдачи сни-
жается до некоторого постоянного значения, в первом случае назовем на-
чальным термическим участком и обозначим /нт, а во втором случае —
участком термического перехода и обозначим /пер. За этим участком,
как сказано выше, следует участок, на котором значение коэффициента
теплоотдачи в пределах точности эксперимента оставалось постоян-
ным. Однако значение числа Нуссельта на этом участке не всегда дости-
гало значения Nu На — стабилизированного в магнитном поле числа
Нуссельта, определяемого формулой (3.50) (см. стр. 143).
Этот факт требует более подробного рассмотрения. При течении
в магнитном поле развитие теплоотдачи происходит на фоне изменяю-
щегося по длине профиля скорости, т.е. в зоне начального МГД-участ-
ка, длина которого может быть очень большой. Естественно, что пере-
стройка профиля скорости сопровождается и перестройкой профиля
температуры, и изменением коэффициента теплоотдачи. Но этот про-
цесс в случае ламинаризированных режимов течения происходит
очень медленно, и на длине использованного в наших экспериментах
опытного участка это изменение оказывается незаметным. Таким обра-
зом, употреблять термин стабилизированное состояние в этом случае
неправильно. Течение в этих условиях будем характеризовать терми-
ном «квазистабилизированное» течение, а число Нуссельта на этом
участке обозначать NuK ст.
При анализе этого явления следует различать два случая:
1. При Re < ReKpHa магнитное поле полностью ламинаризует поток и
происходит это на коротком участке трубы. Но перестройка профиля ско-
рости в этом случае протекает очень медленно, и длина начального МГД-
участка достигает, по крайней мере, нескольких сотен калибров. Следова-
тельно, на участке теплообмена, длина которого не превышает ста калиб-
ров, профиль скорости не успевает существенно перестроиться, он на
этом участке практически не меняется по длине. В таких условиях изме-
нение по длине коэффициента теплоотдачи (рис. 3.31, а) и формирование
профилей осредненной температуры воспринимается в опытах как стаби-
лизация. «Стабилизированное» таким образом значение числа Нуссельта
выше асимптотического значения Nuoo 0 = 4,36. Это «кажущееся» стаби-
Рис. 3.31. Влииняе продольного
магнитного поля иа коэффициент
теплоотдачи па начальном терми-
ческом участке
a—Re = 7-Ю3, Ре = 190, На = 250,
Re < Re^na; б — Re = 104, Ре =
= 270, На = 250, Re > ReKpHa; в —
Re = 2,3 • 104, Ре = 690, На = 500,
Re > Re^pga; / — по опытным дан-
ным, На = 0; 2 — аналитическое ре-
шение (3.17) для стабилизированно-
го ламинарного течения; 3 —
Nu = 4,36; 4 — по опытным данным
(На * 0); 5 — граница однородного
магнитного поля
лизированным значение, которое назовем «квазистабилизированным»,
представляет практический интерес! Заметим, что оно на многих режимах
близко к расчетному по интегралу Лайона, если положить турбулентный
перенос тепла равным нулю, а профиль скорости рассчитывать по форму-
ле для развитого турбулентного течения.
2. Если Re > ReKpHa, то это означает, что магнитное поле лишь от-
части подавляет турбулентный перенос импульса еа. Профиль скоро-
сти, перестраиваясь по длине в соответствии с новым значением еа,
сохраняет все черты турбулентного профиля скорости. Такая неполная
перестройка турбулентного профиля скорости происходит, вне всякого
сомнения, достаточно интенсивно и завершается на участке трубы дли-
ной максимум в несколько десятков калибров, т.е. практически в пре-
делах участка теплообмена. Наблюдаемая в данном случае стабилиза-
ция числа Нуссельта (рис. 3.31, в) является таковой в обычном понима-
нии этого термина.
Перейдем теперь к рассмотрению обеих конфигураций, показанных
на рис. 3.30.
а) Начало участка с магнитным полем совпадает с началом обогре-
ваемого участка. Результаты соответствующих исследований описаны
в работах [8, 64—68].
На рис. 3.32 показано, как изменяются профили температуры по дли-
не обогреваемого участка без поля и в магнитном поле. Отметим, что
а б
Рис. 3.32. Профили температуры на начальном термическом участке
(Re = 2,3 104)
а — На = 0; б — На = 550; 1 — 11 — X = 1; 2; 4; 5; 6; 8; 10; 16; 20; 24; 30
характер этого изменения качественно одинаков. Действительно, в обо-
их случаях на входе в обогреваемый участок при X = 0 поток остается
изотермическим практически по всему сечению и только ближайшая
к стенке микротермопара зонда «гребенка» фиксирует повышение тем-
пературы. По мере увеличения X профили температуры сначала моно-
тонно вытягиваются, а начиная с некоторого X (зависящего от Re и На),
становятся себе подобными. Таким образом, и в случае На 0 имеет ме-
сто стабилизация температурного поля, которая успевает завершиться
в пределах зоны однородного магнитного поля. При некоторых режимах
течения правильнее говорить о «квазистабилизации» течения. Под воз-
действием магнитного поля профили температуры сильно вытягиваются,
особенно при таком соотношении чисел На и Re, когда Re < ReKp На.
Эксперименты без магнитного поля позволили получить зависи-
мость изменения теплоотдачи на начальном термическом участке:
NuHa4 0(Х) = Nu „ 0 + 0,006 (А7Ре) ~'’2, (3.37)
где Nu нач 0 — значение числа Нуссельта на начальном участке без
магнитного поля; Nu 0 — число Нуссельта на участке стабилизиро-
ванного теплообмена, рассчитываемое по формуле (3.26).
Магнитное поле существенно снижает турбулентный перенос, поэто-
му в его присутствии данные по коэффициентам теплоотдачи должны
располагаться ниже, чем без поля. Обратимся к рис. 3.31. Кривые 1 на
этом рисунке построены по опытным точкам при На = 0 (сами точки на-
несены только на рис. 3.31, в). Очевидно, что кривые 1 ограничивают по-
ле опытных точек при На Ф 0 сверху. Кривые 2 построены на основании
аналитического решения для случая теплообмена на начальном термиче-
ском участке при ламинарном течении жидкости с параболическим про-
филем скорости. Эти кривые ограничивают возможные значения чисел
Нуссельта при На Ф 0 снизу при любом соотношении параметров Re и На.
Кривые 4 аппроксимируют опытные данные о числах Нуссельта при
наличии магнитного поля в докритическом (Re < ReKpHa, см.
рис. 3.31, а) и закритическом (Re > ReKpHa, см. рис. 3.31, б, в) состояни-
ях МГД-течения. Кривые зависимости Nu(X) на этих рисунках выгля-
дят качественно очень похожими. От входа в участок теплообмена по
мере увеличения X коэффициент теплоотдачи существенно падает,
стремясь и в докритическом и в закритическом случаях к некоторому
зависящему от На и Re «квазистабилизированному» значению, которое
обозначаем NuKCT.
Рис. 3.33. Длина начального термического участка
О 04 Ре
1 — расчет по [731; 2 — расчет по ------- [741; 3. 4 — опытные данные
ит 1+0,002Ре
работы [74]; 5, 6 — опытные данные работ [64, 65], соответственно На = 0 н На = 500;
7 —Хпер (см. (3.40))
Полученные опытные данные по коэффициентам теплоотдачи на на-
чальном термическом участке в продольном магнитном поле с разбро-
сом не более 10 % описываются эмпирической формулой [65]
NuHa4(jr)=NuKCT+ 0,006 + 0,13
ReAPeJ
(3.38)
«Квазистабилизированное» значение NuKCT при длине обогреваемой
части канала, находящейся в магнитном поле, равной примерно 30 d
рассчитывается по формуле:
Nu -4,36
Nu кст =------------ = exp(-32Ha/Re),
Nu TOi 0 - 4,36
a NUqo о — по формуле (3.26). При На 0 формула (3.38) переходит
в (3.37).
Полученные опытные данные позволили проанализировать влияние
магнитного поля на длину начального термического участка /нт. Без маг-
нитного поля наши результаты хорошо согласуются с данными других ав-
торов [73, 74] (рис. 3.33). При течении в магнитном поле длина начально-
го термического участка увеличивается в 1,5—2 раза. На этом же графике
нанесены опытные данные о длине термического перехода Znep.
В наших экспериментах на начальном участке также исследовались
статистические характеристики турбулентных пульсаций температуры.
Результаты измерений интенсивности температурных пульсаций ст0
без поля и в магнитном поле представлены на рис. 3.34. При течении
Рис. 3.34. Влияние магнитного поля на интенсивность пульсации температуры на
начальном участке
а — R = 0,63, Re = 1,7 104; 1 — 3 — На = 0; 400; 550; б — R = 0,63, Re = 2,3 104;
1—3 — На = 0; 400; 550; в — R = 0;85, 4 — Re = 1,7 104, На = 0; 5 — Re = 2,3 • 104,
На = 440; 6 — Re = 2,3 • 104, На = 550; 7 — Re = 1,7 • 104; На = 550; I — граница од-
нородного поля;
без магнитного поля (На = 0) величина монотонно возрастает по
длине, асимптотически приближаясь к значению о)«” котоРое на
рис. 3.34 используется в качестве масштаба для приведения данных
к безразмерному виду. При наложении магнитного поля картина суще-
ственно меняется. Прежде всего отметим, что развитие интенсивности
пульсаций по длине при наличии магнитного поля происходит значи-
тельно медленнее, чем при На = 0. Ход кривых (особенно хорошо это
видно на рис. 3.34, б) не позволяет уверенно говорить о достижении ста-
билизации ае в пределах участка с магнитным полем.
На входе в обогреваемый участок уровень температурных пульсаций
при наложении магнитного поля практически сразу становится ниже, чем
без поля. Однако на большем удалении от входа на некоторых режимах
при Re > Re кр На интенсивность пульсаций, возрастая по длине, превы-
шала стабилизированный уровень пульсаций без поля (см. рис. 3.34, б).
Заметный рост интенсивности температурных пульсаций наблюдается на
выходе из магнитного поля (X > 26), где уровень пульсаций превышает
стабилизированные значения при отсутствии поля (ст^ 0) .
Здесь не будем приводить многочисленные экспериментальные дан-
ные о коэффициентах автокорреляции, коэффициентах поперечной кор-
реляции и некоторых других статистических характеристиках пульса-
ционного температурного поля. Соответствующие сведения можно най-
ти в [8, 47, 48]. Отметим лишь, что эти данные свидетельствуют о вытя-
гивании температурных неоднородностей («вихрей») вдоль поля. По-
скольку магнитное поле воздействует на температурные пульсации не
непосредственно, а через гидродинамику, то очевидно, что такие изме-
нения структуры температурного поля отражают реакцию структуры
турбулентного потока на приложенное магнитное поле, т.е. МГД-турбу-
лентность в трубе в продольном магнитном поле становится существен-
но более анизотропной из-за вытягивания крупных вихрей вдоль поля.
б) Влияние продольного магнитного поля на стабилизированный тур-
булентный теплообмен. В этом случае входное сечение соленоида от-
стояло от начала обогреваемого участка на 25 калибров (см. рис. 3.30, б).
Соответствующие исследования рассмотрены в работах [8, 64, 65].
Характер изменения коэффициента теплоотдачи по длине обогревае-
мого участка показан на рис. 3.35. Участок 0 <Х <Хй представляет со-
бой начальный термический участок без магнитного поля, на котором
формируется стабилизированный профиль температуры и достигается
стабилизированное без магнитного поля значение числа Нуссельта
NUqo 0. На участке XQ <Х <Хпер происходит подавление турбулентно-
го переноса магнитным полем, перестройка профиля температуры и ус-
тановление, как и в предыдущем случае, нового стабилизированного
или «квазистабилизированного» значения числа Нуссельта NuK ст.
На рис. 3.36, а приведены экспериментальные данные об изменении
коэффициента теплоотдачи по длине опытного участка при Re =
= 3,2* 104 и двух значениях числа Гартмана, а на рис. 3.36, б — при
Рис. 3.35. Изменение числа
Нуссельта по длине начально-
го участка при наложении
магнитного поля
Рнс. 3.36. Изменение коэффи-
циента теплоотдачи но длине
опытного участка
а — Re = 3,2 • 104; 1, 2 — На =
= 250; 500; б — 7 — Re = 104; 2
— Re = 1,5 • 104; 3 — Re =
= 3,2- IO4; 4 — Re = 5-104;
Ha = 500
Ha = 500 и нескольких значениях числа Рейнольдса. Вертикальной
штриховой линией отмечено положение входного сечения соленоида.
Как видно из этих рисунков, процесс снижения коэффициента тепло-
отдачи начинается еще до вступления потока в область однородного
магнитного поля. Расстояние Хвх - Хо увеличивается с ростом числа
Гартмана, но не превышает 1—2 калибров.
Для расчета «квазистабилизированного» значения числа Нуссельта
при длине обогреваемой части канала, находящейся в магнитном по-
ле, равной примерно 30 d, в этом случае в [67] предложена следующая
формула:
Nu - 4,36
Nu кст = ——--------- = exp(-0,1004 -23,83 На/Re). (3.39)
NuTO 0-4,36
Для практических расчетов теплообмена на входе в магнитное поле
важно знать «длину участка термического перехода» £пер = А"пер -Хо.
Это длина участка теплообмена, на котором коэффициент теплоотдачи
снижается от стабилизированного без поля значения NuTC 0 до «квази-
стабилизированного» в продольном магнитном поле значения NuKCT.
Очевидно, что длина термического перехода L пер по физическому смыс-
лу отличается от длины начального термического участка /нт, рассмот-
ренной в предыдущей главе. Если L пер определить традиционно как рас-
стояние от начала влияния магнитного поля Хо до координаты А"пер, где
число Нуссельта снижается до величины l,05NuKCT, то длина термиче-
ского перехода может быть рассчитана по следующей формуле:
£пер = 18,5Ре0,08 + 0,02На - 30. (3.40)
В исследованном интервале чисел На и Re величина L пер находится
в пределах 5—9 калибров. Соответствующие экспериментальные точки
нанесены на рис. 3.33.
Для коэффициента теплоотдачи в переходной области соленоида по-
добрана следующая эмпирическая зависимость:
Nu пер
Nu -Nu
пер к.ст
NUco0-NuKCT
= exp
-2,5
'Х-ХЛ”-
ч ^пер / _
(3.41)
где
Хо = 7 + Хт -0,02На; и = 5,4-0,008 На;
NUqq о вычисляется по формуле (3.26), aNuKCT — по формуле (3.39).
Зависимость (3.41) с погрешностью не более 5 % описывает экспери-
ментальные данные в диапазоне параметров Ре = 165 - 1200, На = 0 - 550.
Показанный на рис. 3.37 характер изменения интенсивности пульса-
ций температуры полностью коррелирует с описанным выше поведени-
ем профилей температуры и теплоотдачи. При отсутствии магнитного
Рис. 3.37. Изменение интенсив-
ности пульсаций температуры
по длине во входной области со-
леноида (Re - 1,5 • 10 4; Я = 0,46)
1—3 — На = 0; 250; 500
(ал/А0)На
поля интенсивность пульсаций температуры монотонно возрастает по
длине обогреваемого участка, приближаясь к стабилизированному зна-
чению (ай / Д0)о, где (стй оо)0 и (Д0)о — соответственно стабили-
зированные значения интенсивности пульсаций температуры и темпе-
ратурного напора при течении без магнитного поля. При наложении на
турбулентный поток продольного магнитного поля наблюдается подав-
ление пульсаций температуры, причем степень подавления увеличива-
ется с ростом числа На.
3.4.2. Температурные поля, теплоотдача и статистические
характеристики турбулентных пульсаций температуры на выходе
потока из магнитного поля
На схеме, изображенной на рис. 3.9, показана весьма упрощенная
картина изменения параметров турбулентного потока на выходе из
соленоида.
В действительности, как об этом свидетельствуют эксперименталь-
ные данные [8, 67, 68], коэффициент теплоотдачи на выходе из соленои-
да изменяется более сложным образом. Реальная схема МГД-теплооб-
мена на выходе из магнитного поля соленоида показана на рис. 3.38.
Изменение по длине обогреваемого участка экспериментальных значе-
ний коэффициентов теплоотдачи показано на рис. 3.39. Приведенные дан-
ные соответствуют экспериментам, в которых начало обогреваемого уча-
стка совпадало с началом зоны однородного магнитного поля. На
рис. 3.39, а изображены опытные данные при Re = 2 • 104 и двух значени-
ях числа Гартмана — 250 и 500. На рис. 3.39, б приведены данные для
трех значений числа Рейнольдса при На = 500. Изменение коэффициентов
теплоотдачи в выходном из магнитного поля участке начинается пример-
но с сечения х!d ~ 25. Эта координата на схеме рис. 3.38 обозначена как
X* . При X < Х^ имеет место стаби-
лизированный в магнитном поле ре-
жим течения и число Нуссельта рав-
но его стабилизированному значе-
нию, определяемому формулой
(3.50), приведенной на с. 143, либо,
если длина обогреваемого участка,
находящегося в магнитном поле, не-
Рнс. 3.38. Схема изменения коэффициента
теплоотдачи на выходе нз магнитного по-
ля соленоида
Nu
Рнс. 3.39. Изменение коэффициента теплоотдачи на выходе из магнитного поля
(экспериментальные данные)
а — Re = 2 • 104; 1 — 2 — На = 250; 500; б — На = 500, 1 — Re = 104;
2 — Re = 2,0 ИО4; 3 — Re = 5,0 -104
велика, на этом участке реализуется «квазистационарный» режим и число
Нуссельта в условиях нашего эксперимента соответствует формуле (3.39).
При X> X* изменение числа Nu по длине участка теплообмена в области
выхода потока из магнитного поля носит немонотонный характер, имеет
место появление четко выраженного максимума. Сопоставляя графики
рис. 3.39, а и 3.39, б, видим, что положение точки Х$ для всех кривых
практически одинаково, т.е. оно не зависит от значения На и Re, а опреде-
ляется только топографией магнитного поля. Координата Х§ примерно
Рнс. 3.40. Зависимость чис-
ла NuM в точке максимума
от отношения На/Re
1 — расчет по формуле (3.42);
2—4 — На = 250; 400; 500
совпадает с границей участка однородного поля соленоида. Возможные
причины появления максимума на зависимости NuCY) в выходной облас-
ти соленоида рассмотрены на с. 133.
Обратившись к рис. 3.39, б, отметим, что при заданном значении
числа На по мере роста Re различие между максимальным и стабилизи-
рованным значениями — Nu м - Nu „ 0 уменьшается, стремясь к нулю,
т.е. процесс перехода становится монотонным. Зависимость максималь-
ного значения числа Нуссельта от отношения На/Re изображена на
рис. 3.40. Она может быть аппроксимирована выражением
Nu -4,36
Nu м =------------- = 0,722 + 73,25 (На/Re). (3.42)
Nuco, На _ 4,36
Анализируя опытные данные, можно определить такое граничное
соотношение Ha/Re, при котором максимум вырождается, т.е. переход
становится монотонным. Это граничное соотношение равно
(Ha/Re)rp = 0,00608.
При Ha/Re > 0,00608, т.е. для режимов с немонотонным переходом
значения коэффициентов теплоотдачи могут быть рассчитаны с помо-
щью интерполяционной зависимости, обобщающей опытные точки
с разбросом не более 6 %:
Nu -4,36
Nu вых = хт ВЫХ л = 1 - (1 - Nuк.ст)ехр(-3Z")(BZra - 1);
NuKCT-4,36
Z=(JY-A'0*)/(0,02Ha +9);
В = 1 +20 Л/,
где М= (Nu M/Nu к.ст- 1)(1 - Nuкст); т = 3 п(В - \)1В, п = 2,4.
Значение Nu к в этой формуле должно быть вычислено по фор-
муле (3.39), а значение NuM — по формуле (3.42), — это коорди-
ната, в которой значение индукции магнитного поля составляет 0,95
от ее максимального значения, т.е. граница области однородного по-
ля, которая практически совпадает с координатой начала перехода.
Выражение (3.42) справедливо при Re = (7—50)103, На = 0—550,
X > Х$ и Ha/Re > 0,00608.
При Ha/Re < 0,00608, т.е. для режимов с монотонным переходом,
можно использовать формулу
Nu ВЬ1Х
Nubhx Nuoo> q
NuK.CT - Nu°°, 0
= exp(-3Z”).
Изменение профилей температуры на выходе из соленоида показано
на рис. 3.41. Так как описанные выше данные по коэффициентам тепло-
отдачи были рассчитаны по профилям температуры, то между графика-
ми на рис. 3.41 и 3.39 наблюдается полное соответствие. До сечения Х =
= 24 имеет место «квазистабилизированный» в магнитном поле профиль
температуры. Начиная с Xq профиль температуры уплощается, а после
X = 48 для указанных значений чисел На и Re профиль температуры на-
чинает вытягиваться, приближаясь к стабилизированной форме без маг-
нитного поля.
Поведение интенсивности
турбулентных пульсаций тем-
пературы на выходе из соле-
ноида, показанное на рис. 3.42,
хорошо коррелирует с поведе-
нием коэффициента теплоотда-
чи. Это изменение также носит
немонотонный характер, при-
чем положение максимума
температурных пульсаций при-
мерно совпадает с максимумом
теплоотдачи (см. рис. 3.38). Но
если значение числа NuM пре-
вышает стабилизированное зна-
чение без поля Nu оо о не более
чем на 10—15 %, то макси-
мальное значение (стй/Д0)На
в 1,5—2 раза превышает стаби-
лизированное значение интен-
сивности пульсаций при отсут-
ствии магнитного поля.
Это явление генерации тем-
пературных пульсаций ано-
Рис. 3.41. Изменение профилей температуры
на выходе из соленоида
1—8 — X = 24; 28; 30; 40; 44; 48; 56; 60
(Рй/Д9)На
Рис. 3.42. Изменение интенсивности пульсаций температуры на выходе из соленои-
да (Re = 1,5 104; R = 0)
1—3 — На = 0; 250; 500
мально высокой интенсивности в зоне выхода потока из магнитного по-
ля может представлять определенную опасность для стенок канала, так
как температурные пульсации, проникая в стенки канала, генерируют
там соответствующие термические напряжения и могут привести к ус-
талостному разрушению стенок канала.
Описанные в предыдущих параграфах этой главы эксперименталь-
ные данные позволяют получить полную картину изменения темпера-
турных полей, теплоотдачи и интенсивности температурных пульсаций
при наложении на обогреваемый участок канала магнитного поля соле-
ноида конечной длины.
На рис. 3.43 показано изменение по длине обогреваемого участка
(%=0 соответствует началу обогреваемого участка) среднемассовой
температуры Тж, температуры на оси трубы То, температуры стенки Тс
и числа Нуссельта Nu.
В левой части графиков наблюдаем обычную картину термической
стабилизации гидравлически стабилизированного потока до его входа
в магнитное поле. Далее стабилизированный в гидродинамическом и те-
пловом отношении поток попадает в магнитное поле соленоида. При
этом можно сделать следующие выводы.
Процесс перестройки профиля температуры и изменения коэффици-
ента теплоотдачи начинается до входа потока в область однородного
Рнс. 3.43. Изменение по длине обогреиаемого участка среднемассовой температуры
Гж, температуры на оси трубы Гд, температуры стенки Тс и числа Нуссельта Nu
ири Re = 2,3 * 104 и На = 500
продольного магнитного поля и заканчивается далеко за его пределами,
т.е. влияние неоднородных участков поля на теплообмен существенно.
Уменьшение значения числа Нуссельта во входной области соленоида
при переходе от стабилизированного значения без поля Nu <*> 0 к «ста-
билизированному» значению в поле NuKCT происходит монотонно. Об-
ратный переход в выходной области соленоида может происходить не-
монотонно с образованием максимума теплоотдачи, значение которого
зависит от соотношения чисел На и Re.
Рассматривая возможные причины образования максимумов на зави-
симости Nu(T) и о0(АЭ в выходной области соленоида, выдвинем три
возможные гипотезы:
1. Одной из причин образования максимума может быть различная
инерционность осредненных и пульсационных характеристик по отно-
шению к воздействию магнитного поля. Можно предположить, что на
выходе из соленоида существует такая область, где пульсации скорости
уже почти восстановили свое значение, а профили осредненной темпе-
ратуры еще сохраняют вытянутую форму, сформировавшуюся на участ-
ке «стабилизированного» течения. Сочетание высокого уровня пульса-
ций скорости и больших градиентов осредненной температуры должно
привести к генерации температурных пульсаций повышенной интенсив-
ности, превышающих интенсивность пульсаций в развитом турбулент-
ном течении без поля. Анализ графиков на рис. 3.39 и 3.42 показывает,
что эта гипотеза небезосновательна: координата максимума числа Нус-
сельта действительно заметно смещена вниз по потоку по сравнению с
координатой максимума температурных пульсаций, т.е. интегральная
характеристика более «инерционна», чем локальная.
2. Неоднородное магнитное поле на выходе из соленоида может ге-
нерировать дополнительные радиальные пульсации скорости, что также
должно приводить к интенсификации теплообмена.
3. Появление пика теплоотдачи можно также объяснить влиянием на
поток радиальной компоненты магнитного поля Вг. На выходе из соле-
ноида пондеромоторные силы, обусловленные взаимодействием компо-
ненты Вг с индуцируемыми в потоке электрическими токами, приводят
к уплощению профиля скорости и увеличению коэффициента теплоот-
дачи. При большой величине индукции магнитного поля профиль ско-
рости в принципе может принять М-образную форму. Естественно, что
такое изменение профиля скорости вызывает рост теплоотдачи.
К сожалению, пока нет экспериментальных данных о характеристи-
ках осредненных и пульсационных скоростей в данной области течения.
Поэтому трудно судить о достоверности высказанных предположений и
об относительной роли каждого из трех названных факторов.
3.5. ОБОБЩЕНИЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ, РАСЧЕТНЫЕ
СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
И ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ТЕЧЕНИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ
ЖИДКОСТИ В ПРОДОЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
3.5.1. Течение в круглой трубе
Как показано в предыдущем параграфе, поля скорости и температуры,
а следовательно, и коэффициенты сопротивления и теплоотдачи при тур-
булентном течении электропроводной жидкости изменяются вдоль участ-
ка канала, находящегося в магнитном поле, весьма сложным образом.
Обобщение полученных экспериментальных данных следует начи-
нать с участка стабилизированного течения (см. рис. 3.9, участок IV).
На этом участке профили скорости и температуры не изменяются по
длине канала и интегрирование уравнений движения и энергии осуще-
ствляется наиболее просто. Полученные на этом участке коэффициенты
сопротивления и теплоотдачи впоследствии используются в качестве
«асимптотических» значений при обобщении опытных данных на на-
чальном МГД-участке.
В результате интегрирования (см. п. 3.1.2) уравнений движения и
энергии для профилей скорости и температуры, а также коэффициентов
сопротивления и теплоотдачи можно получить следующие выражения:
(3.43)
4cd f
TC-T(R) = — J
Л R
\URAR
(3.44)
1 +Рг
2
1
/ф(Я)Я О
о
(3.45)
1
Nu
/Я л2
j fl/Я О
= 2 J ——-----------— ал.
°f fe</| 1
1 + Pr — /?
ч IV УНа J
(3.46)
Здесь, как и ранее, полагаем Ргт = 1.
Очевидно, что при течении в продольном магнитном поле коэффи-
циент турбулентного переноса (еа /v)Ha должен учитывать влияние маг-
нитного поля на турбулентность.
Существует немало работ, авторы которых пытаются учесть влияние
магнитного поля на коэффициент турбулентного переноса с использова-
нием каких-либо физических моделей. Наиболее надежный способ оп-
ределения коэффициента турбулентного переноса — расчет по экспери-
ментальным данным. Именно такой подход использован нами при по-
строении достаточно простой физической модели.
Как следует из полученных экспериментальных данных, продольное
магнитное поле подавляет турбулентный перенос более или менее рав-
номерно по всему сечению трубы. Об этом свидетельствуют данные о
профилях скорости (см. рис. 3.12), профилях температуры (см.
рис. 3.13), коэффициентах турбулентного переноса в магнитном поле
(см. рис. 3.16), профилях интенсивности пульсаций температуры (см.
рис. 3.17). Поэтому, выражаем коэффициент турбулентного переноса
при течении в продольном магнитном поле в виде
(? \ (г \
— =7 - ,
IV /На I V Jo
(3-47)
где у — коэффициент подавления турбулентного переноса продольным
магнитным полем. Полагаем, что у не зависит от радиуса (постоянен по
всему поперечному сечению трубы) и на участке стабилизированного
МГД-течения (у= у^) зависит только от чисел Re и На; (Eff/v)0 — со-
ответствующий коэффициент турбулентного переноса при течении без
поля. Для расчета этого коэффициента используются формулы
В.Н. Попова и В.М. Беляева (3.19), значительно улучшающие сходи-
мость расчетов с экспериментом в области невысоких значений чисел
Рейнольдса. Для течения в продольном магнитном поле это обстоятель-
ство весьма существенно, так как наиболее сильное влияние магнитного
поля на турбулентное течение наблюдается в экспериментах в интерва-
ле чисел Re = (2—30)103 (см. рис. 3.10).
Для построения зависимости yTO(Re, На) были использованы экспе-
риментальные данные по профилям скорости и коэффициентам гидрав-
лического сопротивления. В первых работах [70, 71] для коэффициента
подавления турбулентности магнитным полем применялась степенная
зависимость от параметра магнитного взаимодействия N = На /Re.
Позже [75, 77] для этой цели была использована экспоненциальная
функция, аналогичная по форме зависимости, предложенной в [76].
Экспоненциальная форма оказалась очень удачной при обобщении ре-
зультатов расчетов и использовалась также при построении зависимо-
стей для коэффициентов сопротивления и теплоотдачи.
Значения коэффициентов, фигурирующих в зависимости у^ (Re, На),
вначале подбирались по экспериментально измеренным профилям ско-
рости (см. рис. 3.12), а затем уточнялись сопоставлением результатов
расчетов с экспериментальными данными по коэффициентам гидравли-
ческого сопротивления (см. рис. 3.10). В результате получена следую-
щая зависимость [75]:
Yoo = 1 - ехр
Re ReKp HaY*
. ReKPHa J .
при Re>ReKpHa;
(3-48)
lYoo = 0 при Re<ReKpHa,
где
Л=11/На0,4, и = 0,5 для 40 < На < 200;
к = 14/На0’42, п = 0,6 для 200 < На < 1000,
a ReKpHa вычисляется по формуле (3.24).
Расчеты профилей скорости и коэффициентов гидравлического со-
противления по соотношениям (3.43) и (3.45) выполнялись на ЭВМ ме-
тодом последовательных приближений. Для заданных значений На и Re
выбирается некоторое приближенное значение коэффициента гидравли-
ческого сопротивления и по нему рассчитывается значение безразмер-
ной координаты центра трубы Т] 0 = 0,5 Re 7^/8 5 которое в дальнейшем
сохраняется неизменным. Радиус трубы с помощью неравномерной ло-
гарифмической сетки разбивается на М интервалов. В проведенных рас-
четах принималось значение М= 100. Проверено, что увеличение числа
узлов, например М= 200, не приводит к сколько-нибудь существенному
изменению результатов. Для всех узловых точек по формулам (3.19)
рассчитывается коэффициент турбулентного переноса импульса при те-
чении без магнитного поля и по формуле (3.48) — коэффициент подав-
ления турбулентности магнитным полем. Затем по формуле (3.43) рас-
считывается профиль скорости и по профилю скорости рассчитываются
значения числа Рейнольдса и коэффициента гидравлического сопротив-
ления, соответствующие принятому значению т|0:
Ло
Re = 4j<p^dT|; = 32(r|0/Re)2.
о
Расчет повторяется методом последовательных приближений до тех
пор, пока отличие значений Re и £ в последующем и предыдущем при-
ближениях становится менее 0,2 %.
Рассчитанное по описанной методике распределение еа /V по радиу-
су трубы для двух значений числа Рейнольдса при различных числах
Гартмана представлено на рис. 3.44.
Расчеты коэффициентов гидравлического сопротивления и сравне-
ние с имеющимися экспериментальными данными были проведены
в широком диапазоне чисел Рейнольдса и Гартмана: Re = (3—100)103,
На = 40—1000. Так как результаты расчетов относятся к области стаби-
лизированного течения, то при докритических и близких к критическим
числах Рейнольдса можно ожидать хорошего согласования результатов
расчета лишь с теми опытными данными, которые получены на доста-
точно больших расстояниях от входа в магнитное поле. На рис. 3.45 по-
Рис. 3.44. Влияние магнитного поля иа коэффициент турбулентного переноса
импульса
Рис. 3.45. Сравнение результатов расчета коэффициентов сопротивлении с экспе-
риментальными данными [32]
1 — 5Я = 64/Re; 2 — = O,3164/Re0’25; 3—5 — На = 52; 98; 158
Рнс. 3.46. Сопоставление расчетных профилей скорости (сплошные линии) с экспе-
риментальными данными (29)
а — Re = 3,48 • 104; б — Re = 4,25 • 104; 2—5 — На = 0; 279; 390; 502; 614; 6 — па-
раболический профиль
казано сравнение с результатами работы [32], в которой измерения бы-
ли проведены на расстоянии 335 диаметров от входа в однородное маг-
нитное поле, т.е. в опытах заведомо измерялось значение стабилизиро-
ванного коэффициента сопротивления. Как видно из этого рисунка, рас-
четы хорошо согласуются с экспериментальными данными.
На рис. 3.46 показано сравнение рассчитанных нами профилей ско-
рости с экспериментальными данными. Как видно из этого рисунка, при
Re = 34,8 • 10 и 42,5 • 10 , т.е. при числах Рейнольдса, существенно пре-
вышающих критическое значение для тех чисел Гартмана, которые были
реализованы в опытах, совпадение результатов с экспериментом вполне
удовлетворительное. При уменьшении числа Рейнольдса и приближении
его к критическому значению в магнитном поле расчетные кривые ока-
зываются ближе к ламинарному параболическому профилю, чем экспе-
риментальные, что объясняется недостаточной длиной рабочего участка
(25 диаметров), находившегося в магнитном поле в опытах [29].
Та же картина наблюдается и при сопоставлении расчетных и опыт-
ных данных по гидравлическому сопротивлению. Большинство экспе-
риментов по измерению коэффициентов гидравлического сопротивле-
ния в продольном магнитном поле также выполнено на рабочих участ-
ках с небольшими относительными длинами. На рис. 3.47 показано
сравнение расчета с результатами опытов [29]. В этой работе измерения
проведены при l/d= 100 в диапазоне На = 40—146 и при Ud= 25 в диа-
пазоне На = 279—614.
Из анализа рис. 3.47 видно, что при числах Рейнольдса, существенно
превышающих критические значения в магнитном поле (Re > Re крНа),
наши расчеты удовлетворительно описывают опытные данные. При
Рис. 3.47. Сравнение результатов расчета (сплошные линии) с экспериментальны-
ми данными [29]
I — = 64/Re; 2 — = 0,3164/Re0'25; 3—13 — На = 40,4; 66,5; 93,5; 120; 146; 279;
390; 502; 614; 800; 1000
приближении к критическому значению числа Рейнольдса и в области
Re < ReKpHa> как этого и следовало ожидать, наблюдается системати-
ческое превышение экспериментальных значений коэффициента сопро-
тивления над расчетными. В этом случае применявшиеся в эксперимен-
тах длины рабочих участков были уже недостаточными для полной ста-
билизации потока. Соотношение (3.36) позволяет по заданному значе-
нию числа Гартмана и относительной координаты ltd оценить мини-
мальное число Рейнольдса Remin, начиная с которого можно пользо-
ваться соотношением (3.49) для стабилизированного течения.
Результаты расчетов для коэффициентов сопротивления обобщены
в виде зависимости приведенного коэффициента сопротивления, опре-
деляемого по формуле
- _ £оо, На-^л
ТОО, На ~ к _е
тт тл
(где = 64/Re; = O,3164/Re0’25), от чисел Рейнольдса и Гартма-
на. Очевидно, что На в области Re < ReKp На имеет значение, соот-
ветствующее ламинарному течению (£ю На = 0), а при Re > ReKpHa и
Ha/Re -* 0 коэффициент На должен стремиться к единице. По-
прежнему наиболее удобной формой обобщения является экспоненци-
альная зависимость. Во всем диапазоне чисел На = 40—1000 и Re =
= (3—100)10 результаты экспериментов и расчетов обобщаются сле-
дующей интерполяционной зависимостью:
Soo,Ha = 1- еХР
^-ДЧрНаГ
< ReKpHa / _
при Re>ReKpHa
(3.49)
^=о,На = ° ПРИ Re^ReKpHa>
где
при 40 < На <200 к =11 /На0,4, и = 0,5
при 200 < На < 1000 к= 13/На0’42, и = 0,6.
Среднеквадратичное отклонение экспериментальных значений коэф-
фициента гидравлического сопротивления от рассчитанных по формуле
(3.49) в области Re > Remin составляет 3—5 %.
Пользуясь обобщением (3.49), можно по заданным значениям На и
Re найти значение коэффициента гидравлического сопротивления и
безразмерную координату Т|о = 0,5 Re 7^/8 . Имея определенное таким
образом значение т|0, нетрудно по соотношениям (3.48) и (3.43) рас-
считать распределение по сечению коэффициента турбулентного пере-
носа импульса (eff/v)Ha и скорости ф, не прибегая к методу последова-
тельных приближений.
Полученные выражения для коэффициента турбулентного переноса
(3.47) и (3.48) позволяют осуществить интегрирование и уравнения
энергии и рассчитать профиль температуры и коэффициент теплоотда-
чи при течении в продольном магнитном поле. При постоянной плотно-
сти теплового потока уравнение энергии интегрируется аналитически и
расчет профиля температуры и коэффициента теплоотдачи выполняется
с использованием выражений (3.44) и (3.46).
Расчеты профилей температуры и коэффициентов теплоотдачи для
жидких металлов проведены в широком диапазоне определяющих пара-
метров. Числа Рейнольдса варьировались в диапазоне Re = (3—100)103,
Рис. 3.48. Результаты расчета теплоотдачи для ртути (Рг = 0,0265)
1—9 — На = 0; 40,4; 93,5; 146; 250; 400; 550; 800; 1000
Рис. 3.49. Сопоставление расчетных и экспериментальных данных по теплоотдаче
Рг = 0,05; 1—3 — На = 0; 70; 200
числа Гартмана На = 40—1000, числа Прандтля Рг = 0,005—0,05. На
рис. 3.48 представлены результаты расчета теплоотдачи для ртути (Рг =
= 0,0265). Как и в случае гидравлического сопротивления, результаты
расчетов коэффициентов теплоотдачи следует сопоставлять с теми
опытными данными, которые получены на достаточно больших рас-
стояниях от входа в магнитное поле. Такие данные по коэффициентам
теплоотдачи получены в работе [43]. В этой работе эксперименты со
сплавом индий—галлий—олово (Рг = 0,05) проводились на расстоянии
220 диаметров от входа в однородное магнитное поле. Как видно из
рис. 3.49, результаты расчетов хорошо согласуются с опытными данны-
ми при На = 70, которые по оценкам авторов работы [43] соответствуют
стабилизированному течению. В то же время опытные данные при На =
= 200, соответствующие числам Рейнольдса близким к критическим, ле-
жат выше расчетной кривой. По мнению авторов работы [43], длина ис-
пользованного в экспериментах рабочего участка в этом случае уже не-
достаточна для гидродинамической стабилизации ламинаризированно-
го потока. Действительно, при На = 200 критическое число Рейнольдса
равно приблизительно 7200, и согласно условию Иd> 0,06Re длина на-
чального МГД-участка составляет не менее 430 d, что значительно пре-
вышает длину опытного участка, использованного в этой работе.
Результаты расчета теплоотдачи при стабилизированном течении
жидких металлов в продольном магнитном поле во всем указанном вы-
ше диапазоне чисел Re, На и Рг обобщаются следующей интерполяци-
онной формулой:
Nu oot ria — 1 exp
Re-ReKPHaW0,005
. ReKpHa ) I Pr ) _
при Re>Re H ;
P (3.50)
Nuoo,Ha = 0 при Re<ReKpHa,
где
NuTO Ha-4,36
Nu oo Ha =-----—-------;
NuT-4,36
при 40 < Ha <200 k= ll/На0’4, n = 0,5;
при 200 <Ha < 1000 k= 14/Ha0’42, и = 0,6.
Число Нуссельта при стабилизированном турбулентном течении без
магнитного поля рассчитывается по формуле (3.26).
В области чисел Прандтля от 0,02 до 0,05 отклонение интерполяци-
онной зависимости (3.50) от результатов расчета во всем диапазоне чи-
сел Гартмана не превышает 4 %. Для меньших чисел Прандтля
(до 0,005) при больших числах Гартмана На = 200—1000 отклонение
интерполяционной зависимости (3.50) от результатов расчета для чисел
Рейнольдса, близких к ReKpHa, увеличивается до 9 %.
Предложенная формула (3.50) для расчета коэффициентов теплоот-
дачи справедлива, строго говоря, для участка стабилизированного тече-
ния и теплообмена I > /нмг, где ^нмг оценивается по формуле (3.36).
С другой стороны, ясно, что значения коэффициентов теплоотдачи на
начальном участке выше, чем стабилизированные. Таким образом, ис-
пользование предлагаемого соотношения для расчета коэффициентов
теплоотдачи и на начальном участке позволяет получить результаты
с некоторым запасом.
3.5.2. Течение в плоском канале
Все имеющиеся опытные данные по гидродинамике (см. п. 3.5.1) при
стабилизированном турбулентном течении в круглой трубе в продоль-
ном магнитном поле обобщены в предположении, что влияние магнит-
ного поля на коэффициенты турбулентного переноса можно учесть
с помощью коэффициента подавления турбулентности у (Re, На), не за-
висящего от координат и определяемого только числами Рейнольдса и
Гартмана. Для этого коэффициента получена зависимость (3.48).
Так как при течениях в магнитном поле прямоугольная форма попе-
речного сечения каналов является наиболее удобной, то для практики
представляет интерес задача о течении электропроводной жидкости в
продольном магнитном поле в канале с прямоугольной формой попереч-
ного сечения. При достаточно большом отношении ширины канала к вы-
соте его с хорошей степенью приближения можно рассматривать как пло-
скую бесконечную щель, образованную двумя параллельными стенками.
Логично предположить, что влияние продольного магнитного поля
на турбулентный перенос слабо зависит от формы канала, и использо-
вать зависимость (3.48) для расчета профилей скорости и температуры,
а также коэффициентов сопротивления и теплоотдачи при турбулент-
ном течении в плоском канале [77].
Итак, рассмотрим стационарное стабилизированное в гидродинами-
ческом и тепловом отношении турбулентное течение несжимаемой элек-
тропроводной жидкости с постоянными физическими свойствами в
плоском канале шириной 25. Считаем, что критическое число Рейнольд-
са ReкрНа и для плоского канала можно рассчитывать по формуле (3.25).
Расчеты профиля скорости и коэффициента гидравлического сопро-
тивления, а также числа Нуссельта проводились на ЭВМ методом после-
довательных приближений. Техника расчетов (Zo/v)Ha была такой же,
как и в случае круглой трубы (см. п. 3.5.1).
Профиль скорости вычислялся по известному выражению для гидро-
динамически стабилизированного течения жидкости в плоском канале
с постоянными физическими свойствами, но с учетом влияния магнит-
ного поля на коэффициент турбулентного переноса импульса:
? I TloJ
<p = J ----------dr].
о l+y(eCT/v)0
По рассчитанному профилю скорости вычислялись новые значения
числа Рейнольдса и коэффициента гидравлического сопротивления, со-
ответствующие принятому значению т|0:
По
Re = 4 J (р dr];
о
128 (л 0/Re)2.
Расчет повторялся методом последовательных приближений до тех
пор, пока отличие значений Re и в последующем и предыдущем при-
ближениях становилось менее 0,2 %.
Результаты расчетов, выполненных в диапазоне чисел Рейнольдса
(3—100)103 и чисел Гартмана 40—1000 показаны на рис. 3.50. Результаты
расчетов обобщены, как и для течения в круглой трубе, в виде зависимо-
сти приведенного коэффициента сопротивления Е, = (Е, - £л)/ (J;T - ^л) от
чисел Рейнольдса и Гартмана:
-к
<Re-RevnHA”q
______кр На
< ReKpHa J -
при Re>ReKpHa;
1Д=0 ПРИ Re^ReKpHa’
Рис. 3.50. Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления от чисел Re
и На при течении в плоском канале в продольном магнитном поле (расчет) [77]
= 96/Re; = 0,3164/Re0-25; 1—8 — На = 40; 60; 100; 200; 400; 500; 800; 1000
= 1 - ехр
к = 8 / На0’4, п = 0,5 для 40 < На < 200;
к = 14/На0’42, и = 0,6 для 200 < На < 1000.
Как и в случае круглой трубы, информация о влиянии продольного
магнитного поля на турбулентный перенос позволяет решить численны-
ми методами уравнение энергии и рассчитать при течении в плоском ка-
нале в продольном магнитном поле профили температуры и теплоотда-
чу. Эта задача решена для случаев двустороннего и одностороннего
обогрева канала. Расчеты коэффициентов теплоотдачи для жидких ме-
таллов проведены в широком диапазоне определяющих параметров:
Re = (3—100)103, На = 40—1000, Рг = 0,005—0,05.
В случае двустороннего обогрева при qc = const интеграл Лайона
выглядит следующим образом:
1
Nu
Результаты расчета теплоотдачи для случая двустороннего обогрева и
Рг = 0,05 показаны на рис. 3.51, о.
Для ламинарного течения в плоском канале при двустороннем обог-
реве Nun = 8,24. При турбулентном течении без магнитного поля ре-
3
зультаты расчета в диапазоне чисел Re = (3—100)10 и Рг = 0,005—0,05
обобщаются зависимостью
NUoo о= 10+ 0,025 Ре °’8.
Результаты расчета теплоотдачи при течении в магнитном поле
во всем исследованном диапазоне определяющих параметров в случае
двустороннего обогрева обобщаются интерполяционной формулой,
имеющей вид, аналогичный зависимости для коэффициента подавления
турбулентного переноса импульса (3.48):
Nu го На = 1 - ехр
(Re-Re „ УП
^крНа
ч ^екрНа J _
при Re>ReKpHa;
Nu =0 при Re<ReKpHa.
где Nu оо на = (Nu „ На - 8,24) / (Nu „ 0 - 8,24);
Nu
Рис. 3.51. Теплообмен в плоском канале в продольном магнитном иоле (Рг = 0,05)
а — двусторонний обогрев: Кил = 8,24, NuT = 10 + О,О25Ре0’8; б — односторонний
обогрев: Nun = 5,38, NuT = 5,4 + 0,018Ре0,8; 1—6 — На = 40; 100; 200; 500; 800; 1000
А = 8/На0’4 и = 0,5 для 40 < На <200;
к= 14/На0,42, и = 0,6 для 200 < На < 1000.
В случае одностороннего обогрева канала, когда постоянный тепло-
вой поток </с = const подводится к одной из стенок канала, а вторая
стенка теплоизолирована, профиль скорости остается симметричным, а
профиль температуры становится несимметричным. В этом случае вы-
ражение для числа Нуссельта имеет вид:
Результаты расчета теплоотдачи для Рг = 0,05 показаны иа рис. 3.51, б.
Для ламинарного течения в плоском канале при одностороннем
обогреве Ыил = 5,38. В случае турбулентного течения в отсутствие маг-
нитного поля результаты расчета во всем диапазоне чисел Re и Рг обоб-
щаются зависимостью
NuT = 5,4 + 0,018Ре°’8.
При течении в магнитном поле результаты расчета теплоотдачи для
случая одностороннего обогрева во всем исследованном диапазоне опре-
деляющих параметров Re (3—100)103; На = 40—1000 и Рг = 0,005—0,05
обобщаются интерполяционной формулой:
Nu оо,на = 1-ехР
<Re-Re[(p На
V ReKP На .
при Re>ReKpHa;
Nuoo На=° ПРИ ReSReKPHa>
где Nu го>на = (NuTO> На - 5,38)/(NUoO; 0 - 5,38);
&=7/На0,4 и = 0,5 для 40 < На <200;
к = 12/На0’42, и = 0,6 для 200 < На < 1000.
Предложенные формулы сегодня являются единственным способом
расчета коэффициентов гидравлического сопротивления и теплоотдачи
при течении электропроводной жидкости в плоском канале в продоль-
ном магнитном поле, так как какие-либо экспериментальные данные
применительно к рассматриваемой задаче отсутствуют.
4
ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ПОПЕРЕЧНОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ
4.1. ТЕЧЕНИЕ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ
4.1Л. Обобщение экспериментальных данных по гидравлическому
сопротивлению
Начало исследований течения электропроводных жидкостей в попе-
речном магнитном поле положено уже упоминавшимися работами
Гартмана [10] и Гартмана и Лазаруса [78]. В работе [10] приведено ана-
литическое решение задачи для ламинарного течения в плоском канале.
Работа [78] посвящена экспериментальному исследованию этой задачи.
Причем авторы получили экспериментальные данные о коэффициентах
сопротивления при течении в поперечном магнитном поле не только
для ламинарного, но и для турбулентного режимов течения.
Позже эта задача в значительно более широком диапазоне чисел
Рейнольдса и Гартмана исследовалась многими авторами. Наиболее из-
вестны экспериментальные работы Маргетройда [79], Ликодиса [80,
81], Брановера и Лиелаусиса [82].
Некоторые особенности техники эксперимента при исследовании
МГД-течений в поперечном магнитном поле будут рассмотрены в пара-
графе 4.2 на примере экспериментального контура ОИВТ РАН.
Подробный обзор имеющихся экспериментальных исследований
в этой области приведен в [83, 84]. На рис. 4.1 показан график, заимство-
ванный из этих работ, на котором изображена зависимость коэффициен-
та сопротивления при течении в плоском канале в поперечном магнит-
ном поле от чисел Рейнольдса и Гартмана, определяемых по формулам:
Re = и На = рЯЗ^о/т],
v
где 3 — полуширина плоского канала.
Из этого графика видно, что при небольших значениях чисел Рей-
нольдса наложение магнитного поля на турбулентный поток вначале
вызывает снижение коэффициента сопротивления, а при дальнейшем
Рис. 4.1. Экспериментальные данные по коэффициентам сопротивления при турбу-
лентном течении в плоском канале в поперечном магнитном поле [84]
1—7 Re = 400- 103; 280-103; 180- 103; 150-103; ПО- 103; 77- 103; 57-Ю3 [80];
8—12 — Re = 121-103; 101 • 103; 89-Ю3; 80 - 103; 30- 103 [79]; 13—16 —
Re = 138 • 102; 86 102; 65,6 • 102; 56,5 • 102 [82]; 17—19 — Re = 49 102; 40,5 • 102;
32,5- 10 2 [78]
увеличении числа На коэффициент сопротивления начинает увеличи-
ваться, стремясь к асимптоте,
„ ___На
с = 32 —
Re
(4-1)
Уже Гартман, анализируя результаты своих экспериментов, пони-
мал, что такое поведение коэффициента сопротивления связано с нали-
чием двух эффектов, один из которых приводит к росту гидравлическо-
го сопротивления, а другой — к его снижению. Тот эффект, который
приводит к безграничному росту коэффициента сопротивления обнару-
живается уже при анализе ламинарного течения. Он связан с уплощени-
ем профиля скорости при течении в поперечном магнитном поле и на-
зывается эффектом Гартмана. Снижение же коэффициента сопротивле-
ния при небольших числах Рейнольдса может быть объяснено только
подавлением турбулентного переноса количества движения магнитным
полем (см. рис. 4.1, кривые 16—19). Этот эффект — эффект подавления
турбулентных пульсаций скорости, конечно, имеет место и при боль-
ших значениях чисел Рейнольдса. Но снижение коэффициента сопро-
тивления при этом незаметно, поскольку в этом случае преобладает эф-
фект Гартмана. Принято считать, что экспериментальные точки «выхо-
дят» на зависимость (4.1) при Ha/Re ~ 900. Иными словами:
Re кр На = 900 На. (4.2)
Так как зависимость (4.1) характерна для ламинарного течения при
больших числах Гартмана, то выход экспериментальных точек на эту
зависимость свидетельствует о полном подавлении турбулентного пере-
носа магнитным полем. Если взять не очень большое, легко реализуе-
мое в эксперименте значение На = 100, то при числах Рейнольдса до
90 000 течение в поперечном поле будет ламинарным. Таким образом,
область ламинарных режимов при течении в поперечном магнитном по-
ле оказывается значительно более широкой, чем в обычной гидродина-
мике. Более того, при тех значениях магнитных полей, которые будут
реализованы в термоядерных реакторах, практически все течения жид-
ких металлов в поперечных полях будут ламинарными.
Естественно стремление многих авторов обобщить имеющийся экс-
периментальный материал и на этой основе предложить расчетные фор-
мулы для коэффициентов сопротивления при течении в плоских кана-
лах в поперечном магнитном поле. Работы подобного рода рассмотрены
в [83]. Часть авторов, используя полуэмпирические модели турбулент-
ных течений в магнитном поле, получали выражения для профиля ско-
рости при течении в плоском канале и на этой основе рассчитывали ко-
эффициенты сопротивления. Другие авторы предлагают интерполяци-
онные зависимости для коэффициентов сопротивления, используя неко-
торый более или менее очевидный характер подавления турбулентности
магнитным полем. По нашему мнению, большинству подходов свойст-
вен один и тот же недостаток: попытка «свалить в кучу» и обобщить
вместе два различных по физической сути эффекта, характерных для
турбулентного течения в поперечном магнитном поле: эффект Гартмана
и подавление турбулентности магнитным полем.
Авторы настоящей монографии для обобщения имеющихся экспери-
ментальных данных по гидравлическому сопротивлению при течении
в поперечном магнитном поле применили подходы и приемы, хорошо
зарекомендовавшие себя при обобщении экспериментальных данных
при течении в продольном магнитном поле (см. гл. 3). При обобщении
опытных данных для течения в поперечном поле основная идея состоя-
ла в необходимости разделения эффекта Гартмана и эффекта подавле-
ния турбулентности [75, 85]. Такой подход позволил не только обоб-
щить опытные данные по гидравлическому сопротивлению, но н полу-
чить очень важную информацию о коэффициентах подавления турбу-
лентности поперечным магнитным полем.
При этом исходили из следующих посылок. В области больших значе-
ний Ha/Re зависимость коэффициента сопротивления от Ha/Re для тур-
булентного течения практически совпадает с зависимостью для лами-
нарного течения. Поэтому будем полагать, что вклад эффекта Гартмана
в гидравлическое сопротивление при турбулентном течении такой же,
как и в случае ламинарного течения, и описывается хорошо известным
соотношением
к 32На На th (На) „ч
=-----------'—~ • (4.3)
На Re На-th (На)
Вычитая из экспериментальных значений коэффициентов сопротив-
ления величину £На, получаем ту часть сопротивления, которая обу-
словлена турбулентным переносом количества движения. Для удобства
обобщения добавляем к этой величине коэффициент сопротивления при
ламинарном течении без магнитного поля:
£n=96/Re. (4.4)
Зависимость получившейся в результате величины
представляющей собой коэффициент сопротивления без учета эффекта
Гартмана, от чисел Re и На показана на рис. 4.2. По экспериментальным
точкам на полученном графике проведены линии, соответствующие
средним для указанных на графике интервалов значений чисел Гартма-
на. Эти кривые использовались в качестве исходного эксперименталь-
ного материала при подборе обобщающей зависимости для коэффици-
ентов j и получении зависимостей для коэффициента подавления тур-
булентности поперечным магнитным полем.
Качественно график, изображенный на рис. 4.2, очень похож на со-
ответствующий график при течении в продольном магнитном поле (см.
рис. 3.10), а именно магнитное поле увеличивает значение критического
Рис. 4.2. Зависимость «турбулентной» составлиющей коэффициента сопротивле-
ния от чисел Рейнольдса и Гартмана
1 — 2,9 < На < 4; 2 — 4 < На < 7; 3 — 7 < На < 13; 4 — 13 < На < 17; 5 —
17 < На < 25; 6 — 25 < На < 40; 7 — 40 < На < 60; 8 — 60 < На < 80; 9 —
80 < На < 130; I-IX — На = 3; 5; 10; 15; 20; 30; 50; 70; 100
числа Рейнольдса ReKpHa. При фиксированном числе Рейнольдса
с увеличением числа На коэффициент сопротивления уменьшается
от значения £т, соответствующего турбулентному течению без магнит-
ного поля и определяемого формулой Блазиуса
_ 0,3164
о °.25 ’
Re
до значения, соответствующего чисто ламинарному течению с парабо-
лическим профилем скорости (4.4). Иными словами, имея достаточ-
но сильные магнитные поля, можно полностью ламинаризовать любое
турбулентное течение. И наоборот, при постоянном числе На с увели-
чением числа Re коэффициент сопротивления j увеличивается, стре-
мясь к — величине, соответствующей турбулентному течению без
магнитного поля.
Качество имеющегося экспериментального материала достаточно
наглядно иллюстрирует рис. 4.2. Экспериментальные точки имеют
большой разброс. Многие точки, особенно при низких значениях чисел
Re, лежат даже ниже прямой Пуазейля. Одним из достоинств используе-
мого метода обобщения является возможность обнаружения таких «по-
дозрительных» точек.
Приступая к разработке обобщающей зависимости j (Re, На), преж-
де всего необходимо подобрать формулу для критического числа Рей-
нольдса. Обычно в качестве такой зависимости используют выражение
(4.2). График, построенный на рис. 4.2, позволяет получить несколько
более точную формулу для определения критического числа Рейнольд-
са. С использованием зависимости, аналогичной формуле (3.25), для те-
чения в поперечном магнитном поле получена формула
Re кр На = 1125 (1 + 71 +0,92 На2). (4.5)
При На > 10 можно пользоваться более простым соотношением
Re кр на = 1100На-
Влияние поперечного магнитного поля на турбулентность оказыва-
ется значительно более сильным по сравнению с продольным полем.
Если в продольном магнитном поле при На = 600 критическое число
Рейнольдса возрастает до 17-10 , то в поперечном поле в соответствии
с (4.5) при На = 100 критическое число Рейнольдса равно 110 • 103, а по-
давление турбулентности магнитным полем, как это видно из рис. 4.2,
проявляется вплоть до чисел Re = 5 • 105. Это различие вполне объясни-
мо. Магнитное поле непосредственно воздействует и подавляет турбу-
лентные пульсации скорости, направленные перпендикулярно силовым
линиям магнитного поля. В случае продольного магнитного поля — это
поперечные компоненты пульсаций скорости, а поперечное магнитное
поле подавляет продольные компоненты пульсаций скорости. Известно,
что подвод энергии от осредненного течения к пульсационному возмо-
жен только через продольную компоненту пульсаций. Поэтому подав-
ление продольной компоненты пульсационной скорости оказывается
значительно более эффективным средством снижения турбулентности,
чем подавление поперечных компонент пульсаций.
Обобщение результатов по гидравлическому сопротивлению выпол-
нено в виде зависимости приведенного коэффициента сопротивления
Ё; = (^ 1 -^л)/(^т-^л)от чисел Re и На. В результате в диапазоне чисел
з
Re = (4—500)10 получена зависимость, аналогичная зависимости при те-
чении в продольном магнитном поле (3.49):
крНа
= 1 - ехр -к
1,8-
при Re>ReKpHa;
1Л=0 при Re<ReKpHa,
где
к = 3,25/На0'7 для 3 < На < 20;
к = 0,4 для 20 < На < 100.
Такая форма аппроксимирующей зависимости весьма удобна, так
как она автоматически обеспечивает асимптотический переход к
при Re => Re кр На и к при Re => оо.
Сопоставление расчетных значений Е, j по формуле
^=^ + <(^4,) (4.6)
с исходными экспериментальными кривыми свидетельствует о доста-
точно удачном решении поставленной задачи.
Полный коэффициент сопротивления
(4-7)
учитывает и эффект подавления турбулентности, и эффект Гартмана.
Сопоставление результатов его расчета (штриховые линии) с экспери-
ментальными кривыми (сплошные линии) показано на рис. 4.3.
Величины и £л рассчитываются соответственно по формулам
(4.6) и (4.4), а ^На — по формуле (4.3) или по формуле:
32
^На = — (На+ 1),
Re
отличающейся при На > 10 от (4.3) не более чем на 1 %.
Таким образом, предлагаемая методика обобщения эксперименталь-
ных данных, учитывающая наличие двух различных по физической
природе эффектов в процессе воздействия поперечного магнитного по-
ля на турбулентное течение в плоском канале, позволяет получить рас-
четные зависимости, описывающие экспериментальные данные в широ-
ком диапазоне чисел Re и На с вполне удовлетворительной для инже-
нерной практики точностью.
Более того, полученная в результате обработки экспериментальных
данных по сопротивлению информация о степени подавления магнит-
ным полем «турбулентной составляющей» гидравлического сопротив-
ления — величины £ [ позволяет учесть влияние магнитного поля на ко-
Рис. 4.3. Сравнение результатов расчета коэффициентов гидравлического сопро-
тивления с экспериментальными данными
I—V — Re = 8640; 13 840; 30 000; 56 800; 180 000;---------эксперимент;
- — —--------расчет по (4.7);------------расчет по профилю скорости (4.11)
эффициент турбулентного переноса количества движения и тепла и от-
крывает возможности расчета полей скорости и температуры, коэффи-
циентов сопротивления и теплоотдачи с использованием уравнений
движения и энергии.
Так же как и при обобщении опытных данных при течении в про-
дольном магнитном поле [75, 86], для учета влияния поперечного маг-
нитного поля на турбулентный перенос количества движения и тепла
введем коэффициент подавления турбулентности поперечным магнит-
ным полем у и коэффициенты турбулентного переноса в магнитном по-
ле представим в виде:
Г£о
v/На
1а7На
(4.8)
где (ea/v)0 — коэффициент турбулентного переноса количества дви-
жения при течении без магнитного поля. В (4.8) принято обычное допу-
щение о том, что турбулентное число Прандтля равно единице.
В отношении коэффициента подавления турбулентности магнитным
полем, как и прежде, принимается допущение о том, что этот коэффи-
циент постоянен по поперечному сечению канала и зависит только от
чисел Re и На.
С учетом сказанного уравнения движения и энергии, описывающие
поля скорости и температуры при турбулентном течении в плоском ка-
нале в поперечном магнитном поле, имеют следующий вид:
d ГГ, е<Л dal Ар 2ГГ2.
т] — 1+Y— -------HQ(u-и) = 0; (4.9)
dy IA v) dyj dx
ЭГ
Эх
а — 1 + у Рг —
Эу Lv v.
ЭГ
Эу.
(4.10)
При расчетах полей скорости и коэффициентов сопротивления на
основе численного решения уравнения (4.9) коэффициент у, учитываю-
щий подавление турбулентного переноса магнитным полем, вначале
принимался равным £. Однако для лучшего совпадения результатов
расчета коэффициента сопротивления с экспериментальными данными
оказалось необходимым провести небольшую корректировку. Оконча-
тельно для коэффициента подавления турбулентного переноса попереч-
ным магнитным полем получена следующая зависимость [85]:
Y = 1 - ехр -к
-Re-Re^W
< ReKPHa > .
при Re>ReKpHa;
lY = 0 при Re<ReKpHa,
где
к = 3,75/На0’7 для 3 < На < 20;
к =0,46 для 20 < На < 100. (4.11)
В качестве примера на рис. 4.4 показаны рассчитанные профили ско-
роста для Re = 30 • 10 при нескольких значениях числа На. Эффект по-
давления турбулентного переноса на профилях скорости практически
незаметен, а уплощение профиля скорости под влиянием эффекта Гарт-
мана видно очень отчетливо. При На > 100 в канале имеет место прак-
тически стержневое течение.
Рис. 4.4. Влияние поперечного магнитного поля на профили скорости при турбу-
лентном течении в плоском канале
1 — ламинарное течение; 2—5 — турбулентное течение, Re = 3 • 104; 2—5 — На = 0;
10; 50; 100
Коэффициенты сопротивления, рассчитанные по профилям скоро-
сти, нанесены на рис. 4.3 штрихпунктирными линиями. Они также хо-
рошо согласуются с исходными экспериментальными кривыми.
4.1.2. Теплообмен при течении в поперечном магнитном поле
Уравнение энергии (4.10) при постоянной плотности теплового по-
тока на стенке допускает аналитическое интегрирование. Рассмотрим
задачу о теплообмене при двустороннем подводе тепла.
В этом случае будем считать, что на обеих стенках канала задана
одинаковая плотность теплового потока qc = const. При этом на участ-
ке стабилизированного в тепловом отношении течения во всех точках
потока устанавливается один и тот же постоянный градиент темпера-
туры, величина которого легко определяется из теплового баланса
элемента канала
ЭГ _ 9С
Эх рсмЗ
Подстановка этого выражения в (4.10) приводит к уравнению
х эу L’
1 тэ £<г>1 дТ~
1 + у Рг — — ,
(4.12)
где U = и/и ; У = у/8.
Интегрирование уравнения (4.12) позволяет получить выражение, опи-
сывающее распределение температуры по поперечному сечению канала:
^с5 г
Т-Т = — I
С •х J
/V y
Y
Jf/dK
—-------dy,
е_
1 + уРг —
v
(4.13)
где Тс — температура стенки канала.
Для определения числа Нуссельта
хт а48 Vs
Nu =---- =------— ,
Х Х(ТС-Г)
где Т — среднемассовая температура жидкости в рассматриваемом се-
чении, необходимо рассчитать разность (Гс - Т ).
По определению
5
jw(y)T(y)dy j j
Т = ----------- = \U(Y)T{Y) dK, а Tz-T = ](T<.-T)UdY.
«8 о о
Подставляя сюда (Гс - Т), в соответствии с (4.13) получаем
—
с_ - —
Y
jUdY
_J-----dy
1 + у Рг —
V
l/dy.
1
о
1
Y
Используя интегрирование по частям, аналогичное выполненному
в гл. 3, получаем
- <?с5
Г ПГ» , w
~~ 1 —
с X
/Г \2
Jl/dy
—-----~~dY.
1 +уРг —
V
1
о
В результате для числа Нуссельта получаем следующее выражение:
Nu 4}0
(Y У
Jt/dr
——)_ dy
1 +Рг у —
(4.14)
В случае ламинарного режима течения
еа п chHa-chHaK
— = 0 и U -----------------
v 1
ch На----sh На
На
и для числа Нуссельта получается зависимость (2.42), приведенная
в гл. 2. Напомним, что при На = 0 имеет место ламинарное течение с па-
раболическим профилем скорости и число Нуссельта Nu = 8,24. С уве-
личением числа Гартмана профиль скорости уплощается, число Нус-
сельта растет. При На > 100 профиль скорости является практически
плоским, а число Нуссельта Nu = 12.
В случае турбулентного течения расчеты профилей температуры и
коэффициентов теплоотдачи по формулам (4.13) и (4.14) с использова-
нием для коэффициента у выражения (4.11) выполнены для чисел
Прандтля Рг = 0,001; 0,005; 0,01 и 0,02 в интервале чисел Рейнольдса
Re = (5—500)103 и чисел Гартмана На = 0—100.
Результаты расчетов теплообмена при отсутствии магнитного поля
(На = 0), как и в случае круглых труб, для всех чисел Рг удается обоб-
щить единой зависимостью
NuT= 10+ 0,025 Ре °’8, (4.15)
которая совпадает с соответствующей формулой, приведенной в [89].
Влияние магнитного поля на теплообмен иллюстрируется рис. 4.5,
на котором показана зависимость числа Nu от Ре для Рг = 0,02. При ла-
минарном течении (Re < Re кр) коэффициент теплоотдачи в соответст-
вии с вышесказанным увеличивается с ростом числа На от 8,24 до 12.
При турбулентном течении магнитное поле за счет подавления турбу-
лентного переноса снижает теплоотдачу, и тем сильнее, чем больше
число Гартмана.
Зависимость числа Нуссельта от числа Пекле при постоянном числе
Гартмана На = 100 для различных значений числа Прандтля показана на
Рис. 4.5. Результаты расчета теплоотдачи при течении в плоском канале в попе-
речном магнитном поле (Рг = 0,02)
1 — Nu =10 + O,O25Re0’® (На = 0); 2—5 — На = 5; 10; 50; 100
рис. 4.6. Влияние магнитного поля на теплообмен ослабевает с умень-
шением числа Прандтля, и при Рг = 0,001 оно пренебрежимо мало.
Все расчетные данные по теплообмену в указанных выше диапазонах
изменения определяющих параметров хорошо обобщаются (с отклоне-
нием не более 2—3 %) следующей интерполяционной зависимостью:
~ 0 25
Nu = 1 - exp -0,25 На 5
^e-ReKpHaf8-
ч ReKPHa J .
(4.16)
где
Nu-Nu„
Nu =--------
Nut-NUjj
Nu T — число Нуссельта при турбулентном течении без магнитного по-
ля рассчитывается по формуле (4.15); Nufl — число Нуссельта при ла-
минарном течении (Re <= ReKpHa, турбулентный перенос полностью по-
давлен магнитным полем) рассчитывается по формуле (2.42) или по бо-
лее простой формуле (2.43):
Рис. 4.6. Результаты расчета теплоотдачи при течении в плоском канале в попе-
речном магнитном иоле
На = 100; I — Nu = 10 + О,О25Ре0,8; 2—4 — Рг = 0,001; 0,01; 0,02
Рис. 4.7. Сравнение резуль-
татов расчета (2) теплоотда-
чи с опытными данными
[87] — (3) при На = 120
1 — Nu = 10 + 0,025Ре°’8
результаты расчетов по которой при На > 10 отличаются от формулы
(2.42) менее чем на 1 %.
Естественно, что полученные результаты нуждаются в эксперимен-
тальном подтверждении. Нам известна только одна экспериментальная
работа по исследованию теплообмена при течении в прямоугольном ка-
нале в поперечном магнитном поле [87]. На рис. 4.7 показано сравнение
наших расчетов с экспериментальными данными при На = 120. Наблю-
дается удовлетворительное качественное совпадение результатов. При
ламинарном течении с числом Гартмана На = 120 число Нуссельта
практически равно 12. Опытные же данные работы [87] лежат сущест-
венно ниже этого значения. На экспериментальных кривых не наблюда-
ется кризисный переход от ламинарного режима течения к турбулент-
ному. По-видимому, условия эксперимента не полностью соответство-
вали условиям, принятым при решении задачи. В частности, отсутствие
кризисного перехода, вероятно, объясняется недостаточной длиной
опытного участка.
4.2. ТЕЧЕНИЕ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ
Гидродинамика и теплообмен при течении в круглой трубе в попе-
речном магнитном поле являются значительно более сложными явле-
ниями по сравнению с течением в плоском канале. В круглой трубе ско-
рость и температура изменяются не только по радиусу трубы, но в зави-
симости от угловой координаты. В теоретическом и экспериментальном
плане течение в круглой трубе в поперечном магнитном поле изучено
значительно слабее, чем течение в плоском канале.
В случае ламинарных течений задача о нахождении профилей скоро-
сти и температуры, расчетах коэффициентов сопротивления и теплоот-
дачи решается аналитически. Полученные выражения имеют довольно
сложный вид, и приводить их здесь не имеет смысла. Обзор работ, по-
священных этому вопросу, приведен в [4, 5, 84].
При турбулентных течениях основная роль принадлежит экспери-
ментальным исследованиям. Но соответствующих работ в этой области
совсем немного. Немногочисленные данные о влиянии поперечного
магнитного поля на коэффициент сопротивления приведены в обзоре
[6]. По исследованию теплообмена в круглой трубе в поперечном маг-
нитном поле прежде всего следует назвать работу Гарднера и Ликодиса
[54], в которой проведено тщательное исследование температурных по-
лей и теплоотдачи, а также влияния на них термогравитационной кон-
векции. Эта же проблема исследовалась в работах [88, 89]. При исследо-
вании гидродинамики данные различных авторов удовлетворительно
согласуются между собой и физически непротиворечивы, а в области
теплообмена объем экспериментальных данных невелик и согласование
результатов оставляет желать лучшего.
Развивая метод анализа и обобщений, примененный к течению в плос-
ком канале, попытаемся разобраться в имеющихся экспериментальных
результатах по гидродинамике и теплообмену при течении в круглой тру-
бе, а также получить новые экспериментальные данные [90].
Весьма полезно начать анализ с сопоставления имеющихся данных
для течения в круглой трубе и плоском канале. Зависимости для коэф-
Рис. 4.8. Коэффициент сопротивления
при ламинарном течении в поперечном
магнитном поле в плоском канале (1) н
в круглой трубе (2), Re = 5000
Рнс. 4.9. Теплоотдача при ламинарном те-
чении в поперечном магнитном поле в
плоском канале (1) н в круглой трубе (2)
фициентов сопротивления и теплоотдачи этих течений обладают каче-
ственной, а в ряде моментов и количественной аналогией.
Сопоставление течений в плоском и круглом каналах начнем с лами-
нарного режима течения. В этом случае обе задачи допускают аналити-
ческое решение и результаты свободны от каких-либо эксперименталь-
ных погрешностей.
В качестве определяющего геометрического размера в числах Гарт-
мана и Рейнольдса используется эквивалентный диаметр канала. В слу-
чае круглой трубы это ее диаметр, а в случае плоского канала d3 = 48
(8 — полуширина плоского канала). На рис. 4.8 сравниваются зависимо-
сти для коэффициента гидравлического сопротивления круглой трубы и
плоского канала.
При больших значениях Ha/Re для плоского канала
_ „ На
£ = 8 —,
Re
а для круглой трубы
2 Re'
Качественное совпадение зависимостей очевидно. В количественном
отношении коэффициент сопротивления в плоском канале примерно
в 1,7 раза больше, чем в круглой трубе.
Зависимости чисел Нуссельта от числа Гартмана при граничных ус-
ловиях второго рода (дс = const) изображены на рис. 4.9. При течении
в круглой трубе число Нуссельта изменяется по периметру трубы, на
Рис. 4.10. Экспериментальные
данные по коэффициентам сопро-
тивления при турбулентном тече-
нии в круглой трубе в попереч-
ном магнитном поле [1|
1—6 — Re = 12 000; 7000; 5000;
3930; 3325; 2750
рис. 4.9 изображено среднее (по периметру) значение числа Нуссельта.
В плоском канале с ростом числа Гартмана число Нуссельта увеличива-
ется от 8,24 до 12, а в круглой трубе — от 4,36 до 7.
И в этом случае имеем полную качественную аналогию, коэффици-
ент теплоотдачи для плоского канала примерно в 1,7 раза выше, чем
в круглой трубе.
Экспериментальные данные по коэффициентам сопротивления при
турбулентном течении в круглой трубе в поперечном магнитном поле
показаны на рис. 4.10 [1]. Сравнение этого рисунка с рис. 4.1 также сви-
детельствует об аналогичном поведении коэффициентов сопротивления
в магнитном поле для плоского канала и круглой трубы.
И, наконец, на рис. 4.11 изображены зависимости числа Нуссельта
от Ре и На. График на рис. 4.11, а для плоского канала получен в резуль-
тате теоретического расчета, основанного на численном решении урав-
нения энергии [85]. На рис. 4.11, б для круглой трубы сплошными ли-
ниями показаны числа Нуссельта для ламинарных режимов течения
(с ростом числа На число Nu увеличивается от 4,36 до 7) и для турбу-
лентного течения без магнитного поля.
Заметим, что без магнитного поля теплоотдача в плоском канале оп-
ределяется формулой
Nu= 10+ 0,025 Ре °’8, (4.17)
а в круглой трубе — формулой
Nu = 7 + 0,025 Ре °’8. (4.18)
При не очень больших значениях чисел Ре теплоотдача в плоском ка-
нале (формула (4.17)) оказывается примерно в 1,5 раза выше, чем
в круглой трубе (формула (4.18)).
Рис. 4.П. Зависимость числа Нуссельта от чисел Пекле и Гартмана для турбулент-
ного течения в поперечном магнитном поле
а — в плоском канале; б — в круглой трубе («ожидаемая»); / — 4 — На = 10; 20; 50;
100; 5—8 — На = 50; 100; 200; 300
Штриховыми линиями на рис. 4.11,б показаны «ожидаемые» зависи-
мости для чисел Нуссельта при течении в круглой трубе в поперечном
магнитном поле. Значения критических чисел ReKpHa для круглой тру-
бы в соответствии с рекомендациями [89] рассчитывались по соотноше-
нию Re крНа = 150 На.
Перейдем теперь к рассмотрению экспериментальных данных по те-
плообмену в круглой трубе в поперечном магнитном поле. Начнем
с описания результатов, полученных в наших экспериментах.
Кратко опишем технику этих экспериментов. Исследования выпол-
нялись на экспериментальном стенде Объединенного института высо-
ких температур РАН с использованием рабочего участка и комплекта
измерительной аппаратуры, разработанных в МЭИ.
Стенд представляет собой замкнутый контур, по которому циркули-
рует жидкий металл — ртуть. На рис. 4.12 представлена схема контура.
Циркуляция ртути осуществляется с помощью электромагнитного насо-
са 6. Из насоса ртуть попадает в холодильник типа «труба в трубе» 7, ох-
лаждаемый водопроводной водой. Такой же холодильник 5 смонтирован
перед входом в насос. Пройдя холодильник, ртуть поступает в рабочий
участок 1. Рабочий участок расположен в зазоре между полюсами элек-
тромагнита постоянного тока 9. Выйдя из рабочего участка, ртуть прохо-
дит через расходомер 3, холодильник 5 и возвращается в насос.
Рабочий участок 1 представляет собой прямую круглую трубу из не-
ржавеющей стали длиной 2 м внутренним диаметром 19 мм с толщиной
стенки 0,5 мм. Труба заканчивается камерой смешения. На трубе смон-
4
Рис. 4.12. Схема экспериментальной установки ОИВТ РАН
1 — рабочий участок; 2 — термопарный зонд; 3 — расходомер; 4 — дифманометр;
5 и 7 — холодильники; 6 — электромагнитный насос; 8 — сосуд с ртутью; 9 — элек-
тромагнит, 10, II — термопары; 12 — нагреватель
тирован нагреватель в виде нихромовой ленты сечением 0,2 х 6 мм,
продетой в чулок из кварцевой ткани. Лента нагревателя плотно, без за-
зоров бифилярно намотана на трубу. Между лентой и трубой находится
подложка из кварцевой ткани, пропитанной кремнийорганическим ла-
ком, что обеспечивает электрическую изоляцию нагревателя. Длина
участка обогрева 812 мм, что составляет 43 калибра. Участку обогрева
предшествует необогреваемый участок гидродинамической стабилиза-
ции длиной 50 калибров.
С торца рабочего участка через фланец в поток вводится зонд. Зонд-
качалка рычажного типа, на конце которого установлена медь-констан-
тановая термопара с диаметром королька 0,25 мм, позволяет перемещать
ее в любую точку поперечного сечения потока. Сечение, в котором про-
водятся измерения, удалено на 37 калибров от начала обогрева и на рас-
стояние 25 калибров от начала области однородного магнитного поля.
Кроме того, на стенде установлены шесть хромель-копелевых тер-
мопар (на рис. 4.12 они отмечены цифрами 10 и 11). Две термопары
предназначены для измерения температуры на входе в рабочий уча-
сток, две — на выходе, одна определяет температуру расходомера,
другая — температуру воздуха.
Водоохлаждаемый электромагнит создает однородное поперечное
магнитное поле в зазоре между полюсами, куда помещен опытный уча-
сток. Значение магнитной индукции В определяется по току, который,
в свою очередь, определяется по падению напряжения на образцовом
сопротивлении. Максимально достижимое значение В — 2 Тл.
Проведение эксперимента на стенде практически полностью авто-
матизировано. Автоматизированная система научных исследований
создана на базе персонального компьютера со встроенной интерфейс-
ной картой IEEE-488 фирмы «National Instrument» и отечественной из-
мерительной техники: коммутатора измерительных сигналов Ф7078К и
цифрового вольтметра В7-39. Сигналы от всех термопар на стенде, теп-
ломеров, сигналы, соответствующие току и напряжению нагревателя,
току в электромагните подаются через коммутатор на цифровой вольт-
метр. Управление коммутатором и вольтметром, считывание и обра-
ботка, накопление получаемой информации производится на персо-
нальном компьютере с помощью специальных программ, написанных
в среде программирования LabWindows/CVI™.
Экспериментальный стенд позволял осуществить проведение иссле-
дований в следующем диапазоне режимных параметров: Re — до
120 000, Ре —до 3000, На —0— 1000.
Измерения полей осредненной температуры в потоке жидкого ме-
талла проводились следующим образом. Локальная осредненная темпе-
ратура жидкости находилась осреднением по ансамблю некореллиро-
ванных выборочных значений. Для этого показания термопары, поме-
щенной в некоторую точку сечения потока, снимались с интервалом
0,5—2 с и через 40 измерений усреднялись. С использованием этой про-
цедуры измерялись температуры примерно в 300 точках поперечного се-
чения и по ним строились профили осредненной температуры в потоке и
распределения температуры стенки по периметру сечения трубы.
Локальные коэффициенты теплоотдачи определялись по формуле
Nu(<p) = (<7fcб//Х)/(Гс(ф)- Тж), (4.19)
где Тс (ф) — температура стенки; ф — угловая координата, отсчитывае-
мая от нижней точки окружности трубы; Тж — среднемассовая темпе-
ратура жидкости в данном сечении; qc — плотность теплового потока
на стенке; X — теплопроводность ртути.
Температура стенки Тс определялась зондовым методом, экстрапо-
ляцией профиля температуры, измеренного в потоке, на стенку. При
этом важно отметить, что термопара могла касаться стенки при любом
значении угловой координаты ф. Измерение Тс зондовым методом име-
ет важное преимущество перед часто используемым способом измере-
ния с помощью термопар, закладываемых в стенку опытного участка,
поскольку позволяет избежать методической погрешности, связанной
с наличием в жидком металле окислов и примесей, концентрирующихся
в тонком слое вблизи стенки.
Среднемассовая температура жидкости в исследуемом сечении пото-
ка Тж определялась по температуре на входе Твх и на выходе рабочего
участка Тпп1 линейной интерполяцией по формуле
7'ж = ^ВХ + (Т’вых —
где Х= x/d — координата сечения — длина в калибрах от входа в зону
обогрева; d — диаметр трубы; L = И d= 43 — безразмерная длина зоны
обогрева.
Средние по периметру числа Нуссельта Nu определялись по форму-
ле, аналогичной формуле (4.19), но вместо Тс(ф) подставлялось среднее
по периметру значение температуры стенки Тс.
Результаты, полученные в наших экспериментах, показаны на
рис. 4.13.
Качественное согласование опытных и «ожидаемых» данных (см.
рис. 4.11, б) по теплообмену вполне удовлетворительное. Однако кри-
зисный характер перехода ламинарной формы течения в турбулентную
в значительной степени размыт. Но этот эффект характерен практиче-
ски для всех экспериментальных данных как в магнитном поле, так и
без поля и связан с недостаточной для полной стабилизации потока
длиной опытного участка. В связи с этим надежда извлечь из получен-
Рис. 4.13. Опытные данные
по средним числам Нус-
сельта при течении в круг-
лой трубе в поперечном
магнитном поле [93]
На: 1 — 0-2— 100; 3 —
220; 4 — 320; 5 — 400; 6 —
500; 7 — 7 + 0,025 Ре0>8
ных опытных данных информацию о зависимости ReKpHa (На) для
круглой трубы не оправдалась.
В наших экспериментах (как и в рассматриваемых ниже эксперимен-
тах Гарднера и Ликодиса [90]) значительное влияние на температурные
профили и распределение коэффициентов теплоотдачи по периметру
трубы оказывала термогравитационная конвекция.
Температурные поля в сечении потока без магнитного поля и при на-
личии магнитного поля показаны на рис. 4.14. Термогравитационная
конвекция нарушает осевую симметрию полей скорости и температуры
и приводит к тому, что температура стенки растет от нижней к верхней
образующей. Магнитное поле существенно ослабляет этот эффект, но
не устраняет его полностью. На рис. 4.15 показана зависимость значе-
ний величины 1/Nu (<р) на нижней и верхней образующих от числа Ре
при На = 0. Величина 1/Nu(<p), в соответствии с формулой (4.19) есть
безразмерная разность температуры стенки и среднемассовой темпера-
туры в данном сечении трубы.
Рис. 4.14. Температурные ноля ирн течении в горизонтальной круглой трубе
а — без магнитного поля, На = 0; б — при наличии поперечного магнитного поля,
На = 500
Рис. 4.15. Локальные (на верхней и
нижней образующих) и средние зна-
чения 1/Nu при течении в горизон-
тальной трубе в поперечном магнит-
ном поле
1 — средние 1/Nu; 2 — локальные на
верхней и нижней образующих;
qc: 3 — 15; 4 — 35 кВт/м ;
NuT= 7 + О,О25Ре0,8; Nua = 4,36
Нетрудно видеть, что влияние термогравитационной конвекции ос-
лабевает при увеличении числа Ре и уменьшении плотности теплового
потока.
В этих условиях средние по периметру трубы значения числа Нус-
сельта при течении без магнитного поля хорошо согласовывались
с формулой Лайона (4.18).
При обобщении опытных данных учитывалось то обстоятельство, что
с увеличением числа Re влияние магнитного поля на турбулентный поток
должно ослабевать, и числа Nu должны стремиться к значениям, опреде-
ляемым формулой (4.18). Это достигается введением во второе слагаемое
формулы (4.18) дополнительного множителя, зависящего от числа На и
стремящегося к единице при увеличении числа Ре. В результате получена
следующая формула, обобщающая полученные опытные данные:
Nu = 7 +0,025 Ре °’8----—-----------. (4.20)
( Ре 1
1 + ехр 1-14----
I На)
Результаты расчетов по этой формуле на рис. 4.13 изображены
сплошными линиями.
Аналогичные исследования по теплообмену в поперечном магнит-
ном поле были выполнены Гарднером и Ликодисом в 1971 г. [54]. Полу-
ченные в этой работе результаты показаны на рис. 4.16. В качественном
плане они очень хорошо согласуются с нашими данными. Основное от-
личие данных Гарднера и Ликодиса от наших — это существенное не-
совпадение коэффициентов теплоотдачи при течении без магнитного
поля с формулой (4.18). По-видимому, это обстоятельство связано с на-
личием окислов в жидком металле в опытах [54]. Как указывалось, в на-
ших опытах коэффициенты теплоотдачи рассчитывались по профилям
Рис. 4.16. Опытные данные Гард-
нера и Ликодиса [54] по средним
числам Нуссельта в горизонталь-
ной трубе в поперечном магнит-
ном поле
1 — Nu = 7 + О,О25Ре0,8; 2—7 —
На = 0; 90; 180; 362; 725; 1180
температуры, полученным с помощью зондовых измерений. При этом
наличие окислов в металле не отражается на экспериментальных дан-
ных, о чем свидетельствует хорошее совпадение опытных данных без
магнитного поля с формулой Лайона (4.18).
Для сопоставления экспериментальных данных Гарднера и Ликоди-
са с предложенным обобщением (формула (4.20)) была подобрана фор-
мула, описывающая их результаты при течении без магнитного поля, и
во второе слагаемое добавлен такой же, как и в формуле (4.20), множи-
тель, учитывающий влияние магнитного поля:
Nu = 3,5 +0,015 Ре 0,8-------------.
1 fi in Ре1
1 + ехр 1-14---
I На2/
Сравнение расчетов по этой формуле с экспериментальными данны-
ми [54] показано на рис. 4.16 (результаты расчетов изображены сплош-
ными линиями). Следует отметить очень неплохое согласование опыт-
ных данных с расчетными кривыми.
В опытах японских авторов [88, 89] практически не обнаружено су-
щественного влияния на теплообмен не только магнитного поля, но и
числа Пекле. Отсутствие влияния магнитного поля противоречит и на-
шим результатам и результатам Гарднера и Ликодиса, а нечувствитель-
ность теплоотдачи к изменению расхода противоречит многочислен-
ным опытным данным по теплообмену жидких металлов в отсутствие
магнитного поля. Такие результаты, по-видимому, можно объяснить
«экранирующим» эффектом окислов, содержащихся в жидком металле.
Таким образом, для расчета среднего по периметру коэффициента
теплоотдачи при турбулентном течении электропроводных жидкостей
в круглой трубе в поперечном магнитном поле можно рекомендовать
формулу (4.20). Нетрудно видеть, что и средние коэффициенты тепло-
отдачи для круглой трубы при одинаковых числах Пекле примерно
на 30—40 % ниже, чем для плоского канала.
5
ВЫРОЖДЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ
МГД-ТУРБУЛЕНТНОСТИ
5.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Современная теория турбулентности основана на статистическом
подходе к изучению и описанию рассматриваемого явления. Хорошо
известно, что турбулентность как статистический ансамбль характери-
зуется бесконечной совокупностью многомерных моментов, и поэтому
система осредненных уравнений, описывающих турбулентное движе-
ние, содержит бесконечное число уравнений. Практически при исследо-
вании турбулентности эту систему приходится обрывать, обычно на
уравнениях для моментов второго или третьего порядка. При этом сис-
тема уравнений, описывающих турбулентное течение, становится не-
замкнутой, так как уравнение для моментов N-ro порядка содержит мо-
менты N + 1-го порядка. Для замыкания этой системы уравнений необ-
ходимо с помощью каких-либо гипотез моменты N + 1-го порядка выра-
зить через моменты более низкого порядка. Очевидно, что используе-
мые гипотезы и получаемые с их помощью результаты в каждом кон-
кретном случае нуждаются в экспериментальной проверке. Поэтому
любая статистическая теория турбулентности является полуэмпириче-
ской. В теоретическом плане наибольшие успехи достигнуты при иссле-
довании закономерностей однородной турбулентности. «Обычная» (без
магнитного поля) однородная турбулентность, изолированная от внеш-
них воздействий (без подвода энергии), вырождающаяся под действием
вязкой диссипации, стремится к изотропному состоянию, даже если
в начальный момент она была анизотропной.
Естественно, представляет интерес задача о вырождении однородной
МГД-турбулентности. Для замыкания системы уравнений МГД-турбу-
лентности необходимо еще большее число гипотез, чем при замыкании
системы уравнений «обычной» турбулентности. Наличие большого чис-
ла гипотез существенно затрудняет экспериментальную проверку каж-
дой из них в отдельности и оставляет место для сомнений в случае лю-
бых теоретически полученных результатов. При решении системы урав-
нений, описывающих МГД-турбулентность, различные авторы использо-
вали разные гипотезы, правомерность которых, как всегда, является дос-
таточно спорной. И результаты, получаемые различными авторами, су-
щественно отличаются между собой. Так, в соответствии с анализом, вы-
полненным в работах [91—93], МГД-турбулентность в процессе вырож-
дения остается изотропной. В работе [96] утверждается, что под действи-
ем магнитного поля преимущественно подавляется продольная по отно-
шению к полю пульсационная компонента скорости. В нашей работе
[95] утверждается обратное — магнитное поле в первую очередь подав-
ляет поперечные компоненты пульсаций скорости.
Развитие процесса вырождения первоначально однородной и изо-
тропной турбулентности при наложении на нее внешнего однородного
магнитного поля можно представить себе следующим образом. Внешнее
магнитное поле выделяет в пространстве некоторое преимущественное
направление, и поле скорости в этих условиях уже не может оставаться
изотропным. В результате взаимодействия пульсационного движения
жидкости с магнитным полем в жидкости возникают пульсационные
электрические токи, сопровождающиеся возникновением пульсационно-
го магнитного поля. При этом часть энергии пульсационного поля скоро-
сти передается пульсационному магнитному полю и, кроме того, появля-
ется дополнительный механизм диссипации энергии, обусловленный
джоулевым тепловыделением. Поэтому следует ожидать, что скорость
вырождения турбулентности в магнитном поле будет более высокой по
сравнению со скоростью вырождения в отсутствие поля.
Так как передача энергии от разных компонент пульсационной ско-
рости к пульсациям магнитного поля происходит с различной интенсив-
ностью, то первоначально изотропное поле скорости становится анизо-
тропным. Как будет показано ниже, магнитное поле также оказывает
воздействие и на спектры турбулентных пульсаций скорости.
В работе [95] механизм взаимодействия поля пульсационных скоро-
стей и магнитного поля при вырождении однородной турбулентности
проанализирован без привлечения каких-либо гипотез с помощью урав-
нений баланса энергии компонент поля скорости и энергии компонент
пульсационного магнитного поля. Такой подход позволяет лучше по-
нять процессы, протекающие при вырождении однородной турбулент-
ности в магнитном поле, а также проанализировать физический смысл
гипотез, используемых при решении этой задачи различными авторами.
Вначале рассмотрим механизм воздействия магнитного поля на тур-
булентность и ожидаемые последствия этого воздействия в самых об-
щих чертах. Хорошо известно, что магнитное поле не оказывает ника-
кого влияния на движение проводящей среды вдоль силовых линий и
тормозит любое движение поперек силовых линий магнитного поля.
Механизм этого торможения можно пояснить следующим примером.
Пусть жидкая частица (турбулентный моль) движется со скоростью и
в положительном направлении оси х в присутствии магнитного поля
с индукцией В, направленного в положительном направлении оси у
(рис. 5.1). При этом в частице индуцируется
электрическое поле Е = и х В, направленное
в положительном направлении оси z. Благо-
даря проводимости внешней среды электри-
ческая цепь оказывается каким-либо обра-
зом замкнутой и в движущейся частице по-
является ток плотностью j = Е= иВ, направ-
ленный также в положительном направле-
нии оси z. Появление электрического тока
сопровождается возникновением пондеро-
2
моторной силы Fe = j х В - иВ , направлен-
ной в отрицательном направлении оси х.
Пондеромоторная сила во всех случаях на-
в
Рис. 5.1. Схема торможения
турбулентного моля магнит-
ным полем
правлена против вектора скорости и тем самым всегда тормозит движе-
ние, с которого начинается рассматриваемый выше процесс.
Таким образом, приступая к анализу воздействия магнитного поля
на турбулентный поток, заранее знаем, что магнитное поле должно по-
давлять пульсации скорости, характерные для турбулентного течения
жидкости. Из рассмотренного примера достаточно очевидно, что маг-
нитное поле подавляет только те компоненты пульсационной скорости,
которые перпендикулярны вектору индукции магнитного поля, и непо-
средственно не влияет на продольную по отношению к полю компонен-
ту, так как в этом случае и х В = 0.
Приведенные рассуждения позволяют сформулировать следующую
схему поведения первоначально изотропной турбулентности в магнит-
ном поле. Воздействие магнитного поля на турбулентность начинается
с подавления поперечных по отношению к полю компонент пульсаци-
онной скорости. Благодаря возникающей при этом анизотропии начи-
нается обмен энергией между компонентами пульсационной скорости.
В этом процессе, естественно, продольная компонента отдает энергию
поперечным компонентам пульсаций скорости. Таким образом, маг-
нитное поле, непосредственно взаимодействуя только с поперечными
компонентами пульсаций, подавляет и поперечные и продольную ком-
поненты пульсационной скорости. Согласно этой схеме в процессе вы-
рождения однородная МГД-турбулентность становится анизотропной,
причем интенсивность (энергия) продольной компоненты пульсаций
скорости все время остается большей, чем интенсивность поперечных
пульсационных компонент.
Иная схема воздействия магнитного поля на однородную турбулент-
ность была предложена сотрудниками Института физики АН Латвий-
ской ССР [96]. Идея этой схемы базировалась на отождествлении тур-
булентного вихря с твердым электропроводным волчком. При враще-
нии такого волчка в магнитном поле в нем индуцируются электриче-
ские токи и возникающие при этом пондеромоторные силы стремятся
повернуть волчок таким образом, чтобы его ось вращения стала парал-
лельной направлению магнитного поля. При этом протекание токов в
волчке прекращается и магнитное поле перестает воздействовать на не-
го. Если предположить, что все турбулентные вихри в соответствии с
рассмотренной схемой развернутся своими осями вращения вдоль маг-
нитного поля, то в потоке останутся только поперечные по отношению
к полю компоненты пульсаций скорости, т.е. в соответствии с такой
схемой под действием магнитного поля должна «исчезнуть» продольная
компонента пульсаций скорости и в результате возникает так называе-
мая двумерная турбулентность.
Очевидно, что две рассмотренные схемы являются взаимно исклю-
чающими. Приведенный анализ подтверждает справедливость первой
из этих схем (см. параграф 5.2). Двумерная турбулентность, как показы-
вают результаты ряда экспериментов, может возникать при определен-
ных граничных условиях. Но применительно к однородной безгранич-
ной турбулентности вторая схема оказывается неверной. По-видимому,
результаты, полученные для единичного вихря, нельзя распространять
на ансамбль, состоящий из большого числа вихрей.
5.2. АНАЛИЗ ВЫРОЖДЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ МГД-
ТУРБУЛЕНТНОСТИ МЕТОДОМ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА
Перейдем теперь к более подробному анализу поставленной задачи.
Будем рассматривать процесс вырождения однородного первоначально
изотропного турбулентного поля скорости электропроводной жидкости,
на которое наложено однородное внешнее магнитное поле с индукцией
В. Напомним, что однородной называется такая турбулентность, осред-
ненные характеристики которой не зависят от пространственных коор-
динат. Эту задачу удобнее рассматривать, используя тензорную симво-
лику. При этом условие однородности запишем в виде
3 ___
— (...)= 0. (5.1)
Эх*
Так как исходная турбулентность является изотропной, то средняя
скорость течения должна быть равна нулю. Поэтому в дальнейшем под
и,- будем понимать компоненты пульсационой скорости. Магнитное по-
ле в любой точке потока складывается из постоянного (не зависящего
ни от времени, ни от координат) внешнего поля В и индуцированной
пульсационной компоненты Ь. Система уравнений, описывающих дина-
мику турбулентности в несжимаемой электропроводной жидкости,
включает в себя уравнения неразрывности, движения, энергии и индук-
ции (1.25). В тензорной записи эти уравнения имеют вид:
Эи,
— =0;
Зхк
(5.2)
-.2
а и.
'д и( Э а,'
Р
+ л ---i-. + Е у + £, ) •
dxj дхкдхк
(5.3)
дТ
рс — + и,
Э/ 1
дТ
dxt
, д2Т Зик hik
— X ------- + Т jl j-F 1
Зх1?хк 3х1
(5.4)
ъь,
Э
dt ~ £ik' dxk £
d2bt
lmnum (В„ + + Vm д 3' ‘
3хк3хк
(5.5)
к
В уравнение энергии помимо джоулевой диссипации включено сла-
гаемое тк,---, учитывающее вязкую диссипацию энергии.
Эх/
Преобразуем некоторые слагаемые, входящие в эту систему. Пульса-
ционный ток, фигурирующий в уравнениях (5.3) и (5.4), выразим через
пульсационное магнитное поле в соответствии с первым уравнением
Максвелла (1.5):
1 ЗЬп
ik = -4mn^~- (5-6)
L1
• m
Тогда
1 ЗЬп
^klJk(.Bl+bl)=^ikl4mn ; (в/+6/) =
ц Эхот
1 Зьп ! (dbj дЬЛ
= $1п&п - 5/л5,.ш) - (В, + Ь,) -- = - (В, + ~ .
Ц ахт ц [дХ[ dXfj
Проделав аналогичную операцию с первым слагаемым в правой час-
ти уравнения (5.5), получим:
Э Эи,- Э6,
ei^Z Е/тпит^Вп + bn^ ~ (Вк + bk) - ик '
Джоулева диссипация энергии — последнее слагаемое в уравнении
(5.4) — при соответствующей подстановке приобретает вид
hh 1 дЬп dbS 1 (дЬп ЪЬп дЬп дЬт\
а ^^2 ктп дхт k,S дхг ац2 дхт дхт Ъхп>
И наконец, вязкая диссипация энергии при выражении компонент
тензора вязких напряжений в соответствии с законом Навье—Стокса
для несжимаемой жидкости
4l
'~дик ди^
= л ----+ —
дхк)
преобразуется к виду
дик (^ик ^ик
Эх7 ^Эх, дхк) дх.
В результате подстановки полученных выражений в систему (5.3) —
(5.5) имеем:
rduj ЗиЛ Зр Э* 2 и{ j дЬЛ
........... ——...— ......................—..... *7^
1Э/ дхк) Эх; дхкдхк р. к\дхк dxj’
dbt db{ 1 Э2^
— = (Вк+Ьк) —-ик — +-------------
Э/ Ъхк к дхк ОЦ дхкдхк
1
'dbk dbk дЬк дЬ/
ац2^ЭХ/ЭХ/ dXldxk
(5-9)
Положим вначале, что индуцированное магнитное поле существенно
меньше приложенного, и в выражении (Вк+ Ьк) пренебрежем пульсаци-
онными компонентами Ьк. Ниже отдельно проанализируем физический
смысл отбрасываемых при этом слагаемых.
Умножим уравнение (5.7) на uh а уравнение (5.8) — на bt /р. и, прове-
дя осреднение полученных выражений и уравнения (5.9), получаем урав-
нения, описывающие баланс энергии компонент поля скорости, компо-
нент пульсационного магнитного поля и внутренней энергии жидкости:
и I' Зхк ' 3xi ,
(5.10)
э (/ вк, Ъи, 1 3bt i ,
— — = — о,------------- tub, — +----о,--------;
Э/J И ЭхЛ ц дхк стц2 дхкдхк
(5.Н)
рс
(дТ Э?/
— + и, —
Зхк)
. д2Т
- Л-------+Т1
Зхкдхк
'<$ик ди/ А дик
----+------ -----+
^дх/ dxkJ дх^
1
+ —
(5.12)
rdbk dbk ЪЬкЪЬ1''
оц21Эх/Эх/ 3х13хк/
(В этих уравнениях суммирование по i не производится!)
Условия однородности (5.1) и неразрывности (5.2) позволяют пока-
зать, что некоторые слагаемые в этих уравнениях равны нулю, а другие
преобразовать к виду, имеющему более ясный физический смысл:
Э«< 1 Э Л 1 2 дик п
и,ик “ Т- (ui ик) - ~ ui Z— = 0 >
' к дхк 1Ъхк 1 к 2 ' Ъхк
так как первое слагаемое равно нулю в соответствии с (5.1), а второе
слагаемое равно нулю в соответствии с (5.2). Последующие слагаемые
запишем в виде:
Эр - и, — = 'Эх, Э — Эи, Эи, - — (р«,) +р — = р —; дхь дХ; ОХ; Л 11
и д2ц* _ Э ' дхкдхк дхк Г Эи/ < ' дхк, Эи, Эи, Эи, Эи,- дхк дхк дхк дхк
ЪЬ, д Эи; Эи;
и- — = — (и- Ь) — Ь- — = — Ь- — :
1 дхк Эх/ ' 1дхк 'Эх/
аналогично
3bk , 3ui
dXj k Эх;.
3bi _ 1 Э ( ГгЛ 1 ,2 3uk _
k ' dxk 2 dxk< k ’) 2 ' dxk
d2bl. э dbf db, db, db,
*,------- — — ь. — _----------------= _----------
dxkdxk dxk dxk J dxk dxk dxk dxk
dT
uk T"
ЭхЛ
Э --- 3uk
= —(«ЛГ)-Т— =0;
oX^. ®xk
^ = 0-,
dxkdxk
3ul Зик Э f Зик} э (ЗиЛ
3xk 3xi 3xk I 3xl) 3xl 1Эхл J
аналогично
dbk db,
— — = 0.
dx, dxk
В результате этих преобразований система (5.10) — (5.12) приобре-
тает вид, очень удобный для трактовки физического смысла самих урав-
нений и входящих в них слагаемых:
2 ри, du, du, du,
— -------- = p------------т| ----------
Э/ 2 Эх. Эх. Эхj.
\ j I к к
I II III
Bk L 3ui Bk L 3ui
— bj — + — bk — ;
ц дхк ц Эх;
IV V
(5.13)
2 Bt du, i db; db; ___ * 1 * f . । л\
dt 2p у H '3xk GP3xk3xk
VI VII VIII
э du; du; i db; db;
dt( pcF) = T\ — — + — . (5.15) Зхк Зхк ац2 dxk dxk
[X X XI
Проанализируем физический смысл уравнений (5.13) -— (5.15) и вхо-
дящих в них слагаемых. Левые части этих уравнений — члены I, VI и
IX представляют собой соответственно изменение энергии i-й компо-
ненты поля скорости, Z-й компоненты пульсационного магнитного поля
и внутренней энергии среды.
Слагаемые II характеризуют обмен энергией между тремя компонен-
тами поля скорости за счет пульсаций давления. Если в уравнении (5.13)
произвести суммирование по i, т.е. перейти к полной энергии поля ско-
рости, то, как следует из уравнения неразрывности, сумма этих слагае-
мых обратится в ноль. Аналогичные рассуждения справедливы также и
по отношению к слагаемым V, описывающим обмен энергией между тре-
мя компонентами поля скорости за счет пульсаций магнитного давления.
Таким образом, члены II и V только перераспределяют энергию между
тремя компонентами, не изменяя полной энергии поля скорости.
Слагаемые III характеризуют величину вязкой диссипации энергии.
Аналогичные, но противоположные по знаку слагаемые фигурируют
в уравнении (5.15). Таким образом, очевидно, что эти слагаемые описы-
вают превращение части энергии поля скорости в теплоту.
Физический смысл слагаемых IV становится ясным, если усмотреть
такие же, но с противоположным знаком, слагаемые VII в уравнении
(5.14). Очевидно, что эти слагаемые описывают обмен энергией между
компонентами пульсаций скорости и магнитного поля. Знак этих сла-
гаемых может быть любым, т.е. возможен перенос энергии от поля ско-
рости к магнитному полю и в обратном направлении.
И, наконец, слагаемые VIII описывают джоулеву диссипацию энер-
гии. Такие же слагаемые, но с противоположным знаком, мы видим
в уравнении баланса внутренней энергии среды.
Из проведенного анализа следует, что часто используемая трактовка
двух последних слагаемых в уравнении (5.13) как джоулевой диссипа-
ции энергии неверна. Члены V вообще не имеют никакого отношения к
джоулевой диссипации. А члены IV можно трактовать как джоулеву
диссипацию лишь в том случае, если левая часть уравнения (5.14) пре-
небрежимо мала и слагаемое IV становится равным джоулевой диссипа-
ции энергии — слагаемому VIII.
Уравнения (5.13) и (5.14) значительно упрощаются, а их анализ ста-
новится более наглядным, если одну из осей системы координат (напри-
мер, ось х3) сориентировать вдоль приложенного магнитного поля. При
этом = В2 = 0 и тогда
3 (puj dut дг/j ди-
— — = р ------Т]----------
dt 2 dXj dxk dxk
I II III
В, Эи, B-, dUf
— b. — + — ;
p Эх3 p dxt
IV V
(5.16)
Рис. 5.2. Схема энергетического взаимодействия пульсационного поля скорости
н пульсационного магнитного поли
э Вз , Эм/
dt. 2ц ц Эх3
VI vn
1 Э6,
сц2 дхк Ъхк
VIII
(5.17)
1 / т\ - 1 dl>i dl>i
dt рс ПЭх*Эх£ сц2^Эх/
IX X XI
(5.18)
Энергетическое взаимодействие компонент поля скорости и пульса-
ционного магнитного поля в соответствии с уравнениями (5.16)—(5.18)
можно наглядно проиллюстрировать схемой, изображенной на рис. 5.2.
Как видно из рисунка, энергия, подводимая к продольной по отно-
шению к магнитному полю компоненте пульсаций скорости и3 за счет
электромагнитного взаимодействия, в точности равна энергии, отводи-
мой от нее к соответствующей компоненте пульсационного магнитного
поля. Поэтому эту схему можно представить несколько иначе, так, как
это показано на рис. 5.3.
Схема, изображенная на рис. 5.3, позволяет провести качественный
анализ влияния магнитного поля на первоначально изотропную турбу-
лентность. Как следует из схемы, магнитное поле непосредственно не
взаимодействует с продольной по отношению к полю компонентой
пульсаций скорости и3. Этот же вывод следует прямо из уравнения дви-
жения, так как электромагнитная сила не входит в проекцию уравнения
движения на направление, параллельное приложенному магнитному по-
Рис. 5.3. Схема, иллюстрирующая преимущественное подавление поперечных ком-
понент пульсационного поля скорости
лю. Таким образом, магнитное поле вначале начинает подавлять только
поперечные компоненты пульсаций скорости. В результате возникаю-
щей при этом анизотропии вступает в действие механизм обмена энер-
гией между компонентами пульсаций скорости за счет пульсаций обыч-
ного «гидродинамического» и магнитного давлений — слагаемые II и V,
и начинает отбираться энергия и от продольной компоненты. Следова-
тельно, в процессе вырождения МГД-турбулентности энергия продоль-
ной компоненты пульсаций скорости все время остается выше, чем
энергия поперечных компонент.
В зависимости от соотношения интенсивностей отдельных процес-
сов обмена энергией вырождение МГД-турбулентности может проте-
кать по-разному. Например, если интенсивность вязкой и джоулевой
диссипации энергии примерно одинакова, то в процессе энергетиче-
ского взаимодействия энергетические связи между полем скорости и
магнитным полем должны ослабевать. Так как эти энергетические свя-
зи пропорциональны производным Э/Эх3, то такому состоянию соот-
ветствует подавление градиентов пульсационных величин вдоль поля.
Строгое доказательство такого поведения спектров — превращения их
в двумерные, дано в работе [92]. При этом прекращается и обмен энер-
гией между продольной и поперечными компонентами пульсаций ско-
рости, так как рди^/дх^ = 0.
Таким образом, при вырождении МГД-турбулентности может насту-
пить такое состояние (рис. 5.4), при котором спектры всех пульсацион-
ных величин вырождаются в двумерные (Э/Эх3 = 0), продольная и по-
Рис. 5.4. Схема, иллюстрирующая прекращение взаимодействия пульсационного
поля скорости н пульсационного магнитного поля
перечные компоненты пульсаций скорости, не взаимодействуя между
собой, вырождаются под действием вязких сил, а пульсационное маг-
нитное поле вырождается под действием джоулевой диссипации.
При выводе уравнений баланса энергии для большей наглядности
пренебрегаем пульсационным магнитным полем Ьк по сравнению
с приложенным полем Вк. Дополнительные энергетические связи, обу-
словленные отбрасываемыми при этом слагаемыми, изображены на схе-
ме, показанной на рис. 5.5. Очевидно, что если в какой-то момент уб-
рать внешнее магнитное поле, то взаимодействие поля скорости и маг-
нитного поля будет обусловлено только этими связями.
Переходя к анализу допущений, используемых различными автора-
ми при решении системы уравнений (5.2)—(5.5), рассмотрим прежде
Рис. 5.5. Дополнительные энергетические связи, обусловленные пульсационным
магнитным нолем
всего работы [91—93], авторы которых, по существу, рассматривают ог-
раниченную в пространстве турбулентную область. Помимо обычно ис-
пользуемой процедуры линеаризации уравнений (отбрасывание нели-
нейных членов в уравнении движения означает пренебрежение перено-
сом энергии по спектрам) в этих работах осуществляется дальнейшее
упрощение исходной системы уравнений. Дополнительные связи, нала-
гаемые граничными условиями, позволяют произвести упрощение, эк-
вивалентное отбрасыванию II и V слагаемых в уравнении (5.13), т.е.
Эи,
Эи. Вк
р — + — Ьк— = 0 .
Эх- |1 к Эх,
(5.19)
Так как слагаемые в выражении (5.19) при анизотропной турбулент-
ности не равны нулю, то условие (5.19) означает, что в рассматриваемой
модели турбулентный перенос энергии за счет пульсаций магнитного
давления происходит в направлении, противоположном переносу энер-
гии за счет пульсаций «обычного» гидродинамического давления, и пол-
ностью компенсирует его. Ротта [98] показал, что за счет пульсаций дав-
ления энергия переносится от более энергосодержащих компонент пуль-
саций скорости к менее энергосодержащим. Таким образом, в модели
турбулентности, анализируемой в работах [91—93], пульсации магнит-
ного давления переносят энергию от менее энергосодержащих компо-
нент пульсаций скорости к более энергосодержащим компонентам.
Такой характер переноса энергии противоречит обычным физиче-
ским представлениям. Более того, воспользовавшись рассуждениями,
аналогичными рассуждениям Ротта, покажем, что в процессе обмена,
вк ^ui
обусловленного слагаемыми — Ьк —, энергия также переносится от
ц Эх,
более энергосодержащей компоненты к менее энергосодержащим.
Пусть в некоторый момент времени в окрестности произвольно взя-
той точки О энергия одной из компонент пульсаций скорости существен-
_ ~2 ~2 ~2
но больше энергии двух других компонент, например > и2 ~ и3 и
Эи^Эх] < 0, как это показано на рис. 5.6. Из уравнения неразрывности
следует, что Эи2/Эх2 = Эи3/Эх3 > 0. Так как «[ существенно больше и2
и и3, то будем учитывать только то пульсационное магнитное поле, ко-
торое обусловлено компонентой И] . Если приложенное внешнее магнит-
ное поле В сориентировано в положительном направлении оси х3, то
Рис. 5.6. Схема, иллюстрирующая про-
цесс обмена энергией между компо-
нентами пульсационной скорости за
счет пульсаций магнитного давления
векторы индуцированных токов в окрестности точки О будут лежать
в плоскости х j х2 (их направление показано на рис. 5.6), а магнитное по-
ле этих токов Ь, будет направлено в положительном направлении оси х 3,
В3 В3 Эн2 В3 Эн3
т.е. Z>3 > 0. Таким образом, — Ь3-< 0, а — Ь3 ----= — Ь3 ----> 0 .
|1 3xj ц 3*2 Ц Эх3
В случае Эи1/Эх1 > 0 получим, что Ь3 < 0 и знаки приведенных нера-
венств сохраняются.
Следовательно, указанные соотношения должны быть верны и
$3 3 и । В3 3 w2
для осредненных величин, т.е. — Ь-. --------< 0, а — Ь3 ------- ~
ц 3xj ц Эх2
53 3 г/3
= — ь ----->0. В соответствии с уравнением (5.16) энергия компо-
ц. Эх3
ненты Hj при этом убывает, а энергия компонент н2 и и3 возрастает,
т.е. происходит перенос энергии от более энергосодержащей компо-
ненты к менее энергосодержащим.
Схема энергетического взаимодействия, соответствующая системе
уравнений, решавшихся в работах [91—93], изображена на рис. 5.7. Как
следует из этой схемы, влияние магнитного поля на все три компоненты
пульсаций скорости в рассматриваемой модели одинаково, и, если ис-
ходная турбулентность была изотропной, энергии всех компонент
в процессе затухания равны между собой. Такой результат является
следствием того, что в отличие от схемы рис. 5.3, в соответствии с кото-
рой магнитное поле не взаимодействует непосредственно с продольной
компонентой пульсаций скорости н3, в рассматриваемой модели маг-
нитное поле подавляет и эту компоненту, так же как и поперечные.
Значительно более физичной, на наш взгляд, является модель, рас-
смотренная В.М. Иевлевым [99]. Так как отношение энергии пульсаци-
онного магнитного поля к энергии пульсаций скорости имеет порядок
Рис. 5.7. Схема вырождения однородной МГД-турбулептности, рассматривавшаяся
в работах |91—93]
Рис. 5.8. Схема вырождения однородной МГД-турбулентности в соответствии с мо-
делью В.М. Иевлева
|1О2В2£2/р, а эта величина для большинства практических случаев
значительно меньше единицы, то В.М. Иевлев предложил пренебречь
левой частью уравнения (5.14). При этом слагаемое IV в уравнении
(5.13) становится равным джоулевой диссипации энергии (слагаемому
VIII) и анализ уравнения (5.13) упрощается. Схема энергетического
взаимодействия, соответствующая такой модели, показана на рис. 5.8.
Итак, при вырождении однородной МГД-турбулентности происходят
следующие процессы преобразования энергии: обмен энергией между
тремя компонентами поля скорости, обмен энергией между полем скоро-
сти и пульсационным магнитным полем, вязкая и джоулева диссипация
энергии, а также перенос энергии по спектрам, не отражаемый уравнени-
ем (5.13). При этом магнитное поле по-разному воздействует на продоль-
ную и поперечные компоненты пульсаций скорости. Под воздействием
магнитного поля претерпевают изменение и спектры этих компонент.
5.3. СПЕКТРЫ ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ ОДНОРОДНОЙ
МГД-ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Остановимся подробнее на рассмотрении причины и характера
воздействия магнитного поля на спектры пульсационных компонент
скорости.
Спектральные уравнения вырождающейся однородной МГД-турбу-
лентности имеют следующий вид [99]:
Э 7
F,,(k) = Г,,-(к) + П,-.(к)-2vk2Fn(K) + Аи(к) + Вп(к); (5.20)
dt
Э 7
- Ф,.,.(к) = -Д/,.(к)-2уйгЛ2Фп.(к). (5.21)
ot
Зависимость слагаемых этих уравнений от времени для краткости не
указывается.
Уравнение (5.20) отличается от уравнения (3.23) последними двумя
слагаемыми, смысл которых будет рассмотрен ниже.
Левые части этих уравнений характеризуют скорость изменения
спектральной плотности энергии к-й гармоники поля скорости Л(Дк) и
энергии пульсационного магнитного поля Ф,7(к).
Слагаемое Г/( (к) при интегрировании по всем волновым числам об-
ращается в ноль. Таким образом, оно связано с процессом, не изменяю-
щим суммарную энергию i-й компоненты скорости, а только перерас-
пределяющим ее по волновому пространству. Этот процесс, отражаю-
щий нелинейность уравнения Навье—Стокса, называют переносом
энергии по спектру.
Сумма слагаемых П и (к) обращается в ноль при суммировании по i.
Следовательно, эти слагаемые связаны с процессом, не изменяющим
суммарной энергии трех компонент скорости, а только перераспреде-
ляющим энергию между этими компонентами. Этот процесс обмена
энергией между компонентами пульсационной скорости обусловлен
пульсациями давления.
2
Слагаемое 2vk Fj7(k), как это совершенно очевидно, описывает про-
цесс вязкой диссипации энергии поля скорости. Хорошо видно, что ос-
новную роль в диссипативном процессе играет высокочастотная часть
спектра (большие значения к).
Слагаемое Л;,-(к) присутствует в обоих уравнениях (5.20) и (5.21)
с разными знаками. Следовательно, оно описывает процесс обмена
энергией между соответствующими гармониками поля скорости и пуль-
сационного магнитного поля.
Сумма слагаемых Bit (к), как и Пп(к), при суммировании по i обра-
щается в ноль. Эти слагаемые описывают процесс обмена энергией ме-
жду тремя компонентами пульсационной скорости за счет пульсаций
магнитного давления.
И, наконец, слагаемое 2vm Л2Ф;г(к) связано с джоулевой диссипаци-
ей энергии.
Процесс обмена энергией между пульсационным полем скорости и
пульсационным магнитным полем исследовался в работах [91—93]. Не-
смотря на сравнительно грубые «модели», использовавшиеся авторами
этих работ, им удалось установить весьма важный результат, характер-
ный для взаимодействия турбулентности с магнитным полем. Было по-
казано, что обмен энергией между полем скорости и магнитным полем,
описываемый в уравнениях (5.20) и (5.21) слагаемым A tj (к), имеет явно
выраженную анизотропию. Если ось х3 совместить с направлением
приложенного магнитного поля, то
В.
Ап (к) = - — — F/(-(k). (5.22)
к2 vm
Из этого выражения видно, что в процессе обмена основную роль иг-
рают гармоники, волновой вектор которых направлен вдоль приложен-
ного магнитного поля. Для гармоник, перпендикулярных магнитному
полю (Л3 = 0), Ait (к) = 0, т.е. обмен энергией отсутствует. Таким обра-
зом, продольные по отношению к магнитному полю гармоники вырож-
даются быстрее перпендикулярных. Благодаря этому трехмерные спек-
тры пульсаций скорости при наложении однородного магнитного поля
должны вырождаться в двумерные. В физическом пространстве такому
поведению спектров в волновом пространстве соответствует стремле-
э... п
ние------” и, т.е. все параметры турбулентности перестают зависеть от
пространственной координаты, направленной вдоль приложенного маг-
нитного поля, а коэффициенты продольной корреляции увеличиваются,
стремясь к бесконечности.
Естественно, что полученные теоретическим путем результаты же-
лательно подтвердить экспериментально. Следует сразу отметить, что
получить в лабораторных условиях однородную турбулентность прак-
тически невозможно. Во многих экспериментальных работах процесс
вырождения МГД-турбулентности исследовался в течениях за решетка-
ми, и полученные результаты не применимы к однородной турбулент-
ности. Только в двух известных работах [102, 103], в которых турбу-
лентность создавалась в большом баке с жидким металлом путем про-
таскивания через металл турбулизирующей решетки, генерируемую тур-
булентность можно было считать более или менее однородной. В работе
[102] исследовалось вырождение продольной компоненты, а в работе
[103] были измерены как продольные, так и поперечные компоненты
пульсаций скорости. Получены данные о влиянии магнитного поля на
темп вырождения, на корреляционные функции и спектры. Но получить
четкое экспериментальное представление о том, какие из компонент ско-
рости подавляются более интенсивно, не удалось. Результаты опытов
свидетельствуют о том, что на протяжении всего процесса вырождения
МГД-турбулентность сохраняет трехмерную структуру.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гельгафт Ю.М., Лиелаусис О.А., Щербинин Э.В. Жидкий металл под
действием электромагнитных сил. Рига: Зинатне, 1976. 246 с.
2. Тананаев А.В. Течение в каналах МГД-устройств. М.: Атомиздат, 1979.
363 с.
3. Блум Э.Я., Михайлов Ю.А., Озолс Р.Я. Тепло- и массообмен в магнит-
ном поле. Рига: Зинатне, 1980. 352 с.
4. Генин Л.Г., Краснощекова Т.Е., Свиридов В.Г. Теплообмен при тече-
нии жидкометаллических теплоносителей в термоядерном реакторе типа
токамака // Вопр. атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез:
Науч.-техн. сб. 1985. Вып. 3. С. 41—46.
5. Барановер Г.Г., Цинобер А.Б. Магнитная гидродинамика несжимаемых
сред. М.: Наука, 1970. 379 с.
6. Боришанский В.М., Кутателадзе С.С., Новиков И.И., Федынекий О.С.
Жидкометаллические теплоносители. 3-е. изд. М.: Атомиздат, 1976. 328 с.
7. Генин Л.Г. Экспериментальное исследование и теоретический анализ
турбулентных течений электропроводной жидкости в магнитном поле:
Дис... докт. техн; наук. М., 1977.
8. Свиридов В.Г. Исследование гидродинамики и теплообмена в каналах
применительно к проблеме создания термоядерного энергетического ре-
актора: Дис... докт. техн. наук. М., 1989.
9. Бай Ши. Магнитная гидродинамика и динамика плазмы. М.: Мир, 1964.
301 с.
10. Hartmann J. Hg-Dynamics J. Theory of the laminar flow of an electrically
conductive liquid in a homogeneous magnetic field. Mat.-Fys. Medd Kgl. Dan-
ske vid selskab. 1937. Vol. 15. № 6.
11. Генин Л.Г., Подшибякин A.K. Влияние электрического и магнитного
полей на теплообмен при ламинарном течении жидкости в плоском ка-
нале И Теплофизика высоких температур. 1966. Т. 4. № 3. С. 369—374.
12. Ватажин А.Б., Любимов Г.А., Регирер С.А. Магнитогидродинамические
течения в каналах. М.: Наука, 1970. 672 с.
13. lhara S., Tajima К., Matsushima A. The flow of conducting fluids in circular
pipes with finife conductivity under uniform transverse magnetic fields // Trans
ASME. 1967. E. 89. № 1. P. 29—36. № 4. P. 1047—1048.
14. Обухов A.M. Структура температурного поля в турбулентном потоке //
Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1949. Т. 13. № 1. С. 58—69.
15. Петухов Б.С., Генин Л.Г., Ковалев С.А. Теплообмен в ядерных энерге-
тических установках. М.: Энергоатомиздат, 1986. 470 с.
16. Lyon R.N. Liqud metal heat transfer coefficients. Chem. Eng. Progress. 1951.
Vol 47. № 2. P. 87.
17. Reichardt H. Die grundlagen des turbulenten Warmeubergangs. Arch. Ges.
Warmetechnic. 1951. Helf 6/7. S. 129.
18. Попов B.H., Беляев B.M. Теплоотдача при переходном и турбулентном с
малыми числами Рейнольдса режимах течения жидкости в круглой трубе
// Теплофизика высоких температур. 1975. Т. 13. № 2. С. 370—378.
19. Моннн А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Ч. 1. М.: Нау-
ка, 1965.640 с.
20. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Ч. 2. М.: Нау-
ка, 1967. 720 с.
21. Хинце И.О. Турбулентность. М.: Физматгиз, 1963. 680 с.
22. Генин Л.Г., Свиридов В.Г. Введение в статистическую теорию турбу-
лентности. М.: Моск, энерг. ин-т, 1987. 80 с.
23. Поляков Н.Н. Тарировка трубки Пито в продольном магнитном поле И
Десятое рижское совещание по магнитной гидродинамике. Т. 1. Рига: Зи-
натне, 1981. С. 113.
24. Кокорев Л.С., Ряпосов В.И. Измерения распределения температуры
в турбулентном потоке ртути в круглой трубе И Жидкие металлы. М.:
Атомиздат, 1963. С. 124—138.
25. Генин Л.Г., Ковалев С.И., Свиридов В.Г. Теплообмен жидкометалличе-
ского теплоносителя в трубе в условиях совместного влияния продольно-
го магнитного поля и термогравитационной конвекции //Магнитная гид-
родинамика. 1987. № 4. С. 31—36.
26. Глоуб С. Влияние магнитного поля на течение ртути в трубе И Теплопе-
редача. 1963. Т.83. № 4. С. 69—81.
27. Ковнер Д.С., Красильников Е.Ю. Экспериментальное исследование
турбулентного течения электропроводной жидкости в трубе в продоль-
ном магнитном поле И Докл. АН СССР. 1965. Т. 163. № 5. С. 1096—1099.
28. Генин Л.Г., Жилин В.Г. Влияние продольного магнитного поля на коэф-
фициент сопротивления при течении ртути в круглой трубе // Теплофизи-
ка высоких температур. 1966. Т. 4. № 2. С. 233—237.
29. Генин Л.Г., Жилин В.Г., Петухов Б.С. Экспериментальное исследование
турбулентного течения ртути в круглой трубе в продольном магнитном
поле И Теплофизика высоких температур. 1967. Т.5. № 2. С. 302—307.
30. Ковалев С.И. Влияние продольного магнитного поля и термогравитаци-
онной конвекции на теплоотдачу при течении жидкого металла (экспери-
менты и расчетные рекомендации): Дис... канд. техн. наук. М., 1988. 109 с.
31. Левин В.Б., Чиненков И.А. Экспериментальное исследование влияния
продольного магнитного поля на гидравлическое сопротивление при тур-
булентном течении электропроводной жидкости в трубе // Магнитная
гидродинамика. 1970. № 3. С. 145—146.
32. Красильников Е.Ю., Лущик В.Г., Николаенко В.С., Паневин И.Г. Экс-
периментальное исследование течения электропроводной жидкости
в круглой трубе в продольном магнитном поле // Изв. АН СССР. Механи-
ка жидкости и газа. 1971. № 2. С. 151—155.
33. Генин Л.Г., Маичха С.П., Свиридов В.Г. Коэффициент турбулентного
переноса при течении жидкого металла в трубе в продольном магнитном
поле И Магнитная гидродинамика. 1978. № 2. С. 54—59.
34. Таианаев А.В. Течения в каналах МГД-устройств. М.: Атомиздат, 1979.
363 с.
35. Fraim F.W., Heiser W.H. The effect of a strong longitudinal magnetic field on
the flow of mercury in a circular tube // J. of Fluid Meeh. 1968. Vol. 33. № 2.
P. 397—413.
36. Гидродинамика и теплообмен в атомных энергетических установках (ос-
новы расчета) / В.И. Субботин, М.Х. Ибрагимов, П.А. Ушаков и др. М.:
Атомиздат, 1975.
37. Теплообмен при течении жидких металлов в круглых трубах / В.И. Суб-
ботин, П.А. Ушаков, Б.Н. Габрилович и др. // Инженерно-физический
журнал. 1963. Т. 6. № 44. С. 16.
38. Красильников Е.Ю. Исследование влияния магнитного поля на конвек-
тивный теплообмен при турбулентном течении электропроводной жидко-
сти в каналах: Автореф. дис... канд. техн. наук. М., 1966.
39. Ковнер Д.С., Красильников Е.Ю., Паневнн И.Г. Экспериментальное
исследование влияния продольного магнитного поля на конвективный те-
плообмен при турбулентном течении жидкости в трубе И Магнитная гид-
родинамика. 1966. № 4. С. 101—108.
40. Генин Л.Г., Маичха С.П., Свиридов В.Г. Влияние продольного магнит-
ного поля на температурные поля и теплоотдачу при течении ртути в
круглой трубе И Сб. тр. МЭИ. 1972. Вып. 155. С. 139—153.
41. Гении Л.Г., Маичха С.П., Свиридов В.Г. Влияние продольного магнит-
ного поля на профили температуры, теплоотдачу и коэффициент турбу-
лентного переноса тепла при течении ртути // Магнитная гидродинамика.
1974. № 1. С. 70—74.
42. Кириллов П.Л. Обобщение опытных данных по переносу тепла в жид-
ких металлах // Атомная энергия. 1962. Т. 13. Вып. 5.
43. Баушев Б.Н., Красильников Е.Ю., Лущик В.Г., Паневии И.Г. Исследо-
вание конвективного теплообмена при течении жидкого металла в трубе
в продольном магнитном поле И Теплообмен, Советские исследования.
М.: Наука. 1975. С. 154—160.
44. Экспериментальное исследование пульсационных характеристик турбу-
лентного течения проводящей жидкости в трубе в продольном магнитном
поле / Е.Ю. Красильников, В.Г. Лущик, В.С. Николаенко и др. // Докл.
АН СССР. 1975. Т. 225. № 6. С.1281—1283.
45. Красильников Е.Ю., Николаенко В.С., Платниекс И.А. Эксперимен-
тальное исследование развития течения жидкого металла в трубе в про-
дольном магнитном поле // Материалы X Рижского совещания по маг-
нитной гидродинамике. Рига: Институт физики АН Латв. ССР. 1981. Т. 1.
С. 15—16.
46. Ибрагимов М.Х., Логинов Н.И., Субботин В.И. Влияние магнитного
поля на турбулентные характеристики потока жидкого металла И Магнит-
ная гидродинамика. 1968. № 3. С. 19—22.
47. Генин Л.Г., Маичха С.П., Свиридов В.Г. Влияние продольного магнит-
ного поля на статистические характеристики турбулентных пульсаций
температуры при течении ртути И Магнитная гидродинамика. 1973. № 4.
С. 31—37.
48. Генин Л.Г., Краснощекова Т.Е., Маичха С.П., Свиридов В.Г. Исследо-
вание статистических характеристик пульсаций температуры в турбу-
лентном потоке ртути И Теплофизика высоких температур. 1974. Т. 12.
№ 3. С. 550—558.
49. Свиридов В.Г., Генин Л.Г., Краснощекова Т.Е., Манчха С.П. Структу-
ра температурных возмущений в турбулентном потоке ртути в круглой
трубе И Теплофизика высоких температур. 1975. Т. 13. № 1. С. 146—150.
50. Свиридов В.Г., Гении Л.Г., Краснощекова Т.Е., Манчха С.П. Баланс
«энергии» пульсаций температуры // Теплофизика высоких температур.
1975. Т. 13. № 2. С. 354—360.
51. Генин Л.Г., Ворончихнн В.А., Свиридов В.Г. Применение уравнения
Корсика для анализа неизотермической МГД-турбулентиости И Магнит-
ная гидродинамика. 1976. № 2. С. 17—22.
52. Генин Л.Г., Маичха С.П., Свиридов В.Г. Исследование поперечных кор-
реляций пульсаций температуры в продольном магнитном поле // Маг-
нитная гидродинамика. 1977. № 2. С. 136—137.
53. Поляков А.Ф. Границы и характер начала влияния термогравитации на
турбулентное течение и теплообмен жидких металлов в вертикальных
трубах И Теплофизика высоких температур. 1977. Т. 15. № 4. С. 802—807.
54. Gardner R.A., Lykoudis P.S. Magneto-fluid-mechanic pipe flow in a trans-
versl magnetic, field. Part 2. Heat transfer U J. Fluid Meeh. 1971. Vol. 48. № 1.
P. 129—141.
55. Генин Л.Г., Ковалев С.И., Свиридов В.Г. Теплоотдача жидкого металла
в трубе в условиях влияния термогравитационной конвекции и продоль-
ного магнитного поля И Магнитная гидродинамика. 1987. № 4. С. 18.
56. Генин Л.Г., Ковалев С.И., Свиридов В.Г. Интенсификация теплоотдачи
жидкого металла в продольном магнитном поле термогравитационной
конвекцией // Сб. тр. МЭИ. 1988. Вып. 153. С. 80—86.
57. Ковалев С.И., Свиридов В.Г. Влияние термогравитационной конвекции
на теплообмен жидкого металла в продольном магнитном поле // Жидкие
металлы в ядерной энергетике: Тр. ЦКТИ. Л., 1990. Вып. 264. С. 70—80.
58. Шпанский Ю.С. Теплообмен жидкого металла в канале применительно
к проблеме создания термоядерного реактора-токамака: Дис... канд. техн,
наук. М., 1966.
59. Sviridov V.G., Shpanskij Yu.S., Razuvanov N.G., Ustjnov A.V. Heat trans-
fer and secondary motion in liquid metal flow in horizontal duct under fusion
relevant conditions // Book of Abstracts of the 19th Symp. on Fusion Tech-
nolodgy, 1996, Lisbon, Portugal.
60. Петухов Б.С., Поляков А.Ф. Теплообмен при смешанной турбулентной
конвекции. М.: Наука, 1986. 192 с.
61. Петухов Б.С., Поляков А.Ф. О влиянии свободной конвекции на тепло-
отдачу при вынужденном течении в горизонтальной трубе // Теплофизика
высоких температур. 1967. Т. 5. № 11. С. 87—95.
62. Разуванов Н.Г. Лабораторное моделирование теплообмена жидкого метал-
ла в условиях реактора-токамака: Дис... канд. техн. наук. М., 1997.
63. Разуванов Н.Г., Свиридов В.Г., Устинов А.В. О структуре вторичных
течений в потоке жидкого металла в условиях реактора-токамака // Теп-
лоэнергетика. 1996. № 12. С. 64—66.
64. Кудрявцева Е.В. Температурные поля и теплоотдача на начальном тер-
мическом участке при течении жидкого металла в продольном магнитном
поле: Дис... канд. техн. наук. М., 1981. 119 с.
65. Генин Л.Г., Кудрявцева Е.В., Пахотин Ю.А., Свиридов В.Г. Темпера-
турные поля и теплоотдача при турбулентном течении жидкого металла
на начальном термическом участке // Теплофизика высоких температур.
1978. Т. 16. № 6. С. 1243—1249.
66. Гении Л.Г., Свиридов В.Г. Теплоотдача и температурные поля на на-
чальном термическом участке при течении жидкого металла в продоль-
ном магнитном поле И Магнитная гидродинамика. 1983. № 2. С. 32—38.
67. Као Ба Нинь. Температурные поля и теплоотдача жидкометаллического
теплоносителя в продольном магнитном поле соленоида с учетом конце-
вых эффектов: Дис... канд. техн. наук. М., 1983.
68. Генин Л.Г., Као Ба Нинь, Пахотин Ю.А., Свиридов В.Г. Теплообмен
жидкого металла в трубе в продольном магнитном поле соленоида с учетом
концевых эффектов И Магнитная гидродинамика. 1983. № 3. С. 46—52.
69. Краснощекова Т.Е. Разработка расчетных рекомендаций по гидродинами-
ке и теплообмену при стабилизированном течении электропроводной жид-
кости в продольном магнитном поле: Дис... канд. техн. наук. М., 1983.
70. Генин Л.Г., Краснощекова Т.Е. Течение электропроводной жидкости в
трубе в продольном магнитном поле И Магнитная гидродинамика. 1982.
№ 3. С. 57—62.
71. Генин Л.Г., Краснощекова Т.Е., Свиридов В.Г. Теплообмен при тече-
нии жидкометаллических теплоносителей в термоядерном реакторе типа
токамака // Вопр. атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез:
Научн. сб. 1985. Вып. 3. С. 41—46.
72. Баушев Б.Н., Красильников Е.Ю. Переход от ламинарного режима тече-
ния к турбулентному для нестабилизированного МГД-течения в трубе //
IX Рижское совещание по магнитной гидродинамике: Сб. тез. Рига, 1978.
Ч. 1. С. 22—23.
73. Булеев Н.И., Ельцова Л.Д., Бирюкова Г.П. Расчет температурного поля
в турбулентном потоке жидкости в круглой трубе на начальном участке //
Теплофизика высоких температур. 1966. Т. 4. С. 540—551.
74. Субботин В.И., Ибрагимов М.Х. Номофилов Е.В. Теплоотдача на уча-
стке тепловой стабилизации при турбулентном течении жидкого металла
в трубе // Атомная энергия. 1962. Т. 13. № 2.
75. Генин Л.Г., Краснощекова Т.Е. Петрина Л.В. Гидродинамика и тепло-
обмен электропроводной жидкости в трубе в продольном магнитном поле
И Магнитная гидродинамика. 1990. № 1. С. 60—66.
76. Вулис Л.А., Фоменко Б.А. О переходных режимах течения в магнитной
гидродинамике//Магнитная гидродинамика. 1966. Ха 1. С.74—84.
77. Гении Л.Г., Краснощекова Т.Е. Гидродинамика и теплообмен при тече-
нии электропроводной жидкости в плоском канале в продольном магнит-
ном поле И Вести. МЭИ. 1998. № 2. С. 59—62.
78. Hartmann J., Lazarus F. Det Kgl.Danske Vidensk. Selsk.,Math.-fys.Medd.
1937. Vol. 15. №7.
79. Murgatroyd W. Experiment on Magneto-Hydrodynamic Channel Flow // Phi-
los. Mag. 1953. № 44. P. 1348—1354.
80. Ликодис П. Экспериментальные исследования процессов переноса в тур-
булентном потоке проводящей среды в присутствии магнитного поля //
Междун. симпоз. по свойствам и применению низкотемпературной плаз-
мы. М., 1965.
81. Brouilette Е.С., Lykoudis P.S. Measurements of skin friction for turbulent
MHD-channel flow. Lafayette (Ind.), 1962.
82. Брановер Г.Г., Лиелаусис O.A. О влиянии магнитного поля на процессы
турбулентного переноса в потоке ртути // Вопр. магнитной гидродинами-
ки и динамики плазмы. Рига: Изд-во АН Латв. ССР, 1962. С. 591.
83. Брановер Г.Г. Турбулентные магнитогидродинамические течения в тру-
бах. Рига: Зинатне, 1967. 206 с.
84. Глухих В.А., Тананаев А.В., Кириллов И.Р. Магнитная гидродинамика
в ядер ной энергетике. М.: Энергоатомиздат. 1987. 264 с.
85. Генин Л.Г., Краснощекова Т.Е., Свиридов Е.В. Теплофизика высоких
температур. 1998. Т. 36. № 3. С. 461—469.
86. Генин Л.Г., Краснощекова Т.Е., Петрииа Л.В. Течение и теплообмен
электропроводной жидкости в трубе в продольном магнитном поле со-
леноида конечной длины // Магнитная гидродинамика. 1994. № 1.
С. 103—110.
87. Красильников Е.Ю., Ковнер Д.С., Николаенко В.С., Паневин И.Г.
Экспериментальное исследование влияния поперечного магнитного поля
на конвективный теплообмен при турбулентном течении проводящей
жидкости в канале // III Всесоюз. съезд по теоретической и прикладной
механике. М., 1968. 162 с.
88. Takahashi М., Aritomi М., Inoue A., Matsuzaki М. MHD Pressure Drop
and Heat Transfer of Lithium Single-Phase Flow in a Rectangular Channel un-
der Transverse Magnetic Field. E-mail: mtakahas@nr.titech.ac.jp
89. Takahashi M., Inoue A., Matsuzaki M., Aritomi M., Umeda N. Heat trans-
fer of Lithium Single-Phase Flow and Helium-Lithium Two-Phase Flow in a
Circular Channel under Tranverse Magnetic field. Magnetohydrodynamics, 31.
P. 397—406.
90. Гидродинамика и теплообмен при течении электропроводных жидко-
стей в круглой трубе в поперечном магнитном поле / Л.Г. Генин, В.Г. Жи-
лин, В.Г. Свиридов и др. И Теплоэнергетика. 2000. № 6. С. 61—65.
91. Lehnert В. The decay of magneto-turbulence in the presence of a magnetic
field and coriolis forse // Quart. Appl. Math. 1955. Vol. 12. № 4. P. 321—341.
92. Deissler R.B. Magneto-fluid dynamic turbulence with an uniform imposed
magnetic field // Phys. Fluids. 1963. Vol. 6. № 9. P.1250—1259.
93. Moffat H.K. On the suppresion of turbulence by an uniform magnetic field //
J. Fluid Meeh. 1967. Vol. 28. № 3. P. 571—592.
94. Moreau R., Alemany A. Aspects specifiques de la turbulence homogene
MHD aux faibles nombres de Reynolds magnetiques // Journ. Phys. (France).
1976. Vol. 37. № 1. P. 101—103.
95. Генин Л.Г., Манчха С.П., Свиридов В.Г. Вырождение однородной
МГД-турбулентности //Магнитная гидродинамика. 1974. №. 2. С. 87.
96. Цинобер А.Б. Магнитогидродинамическая турбулентность // Магнитная
гидродинамика. 1975. № 1. С. 7.
97. Моро Р. О магнитогидродинамической турбулентности // Магнитная гид-
родинамика. 1970. № 4. С 31.
98. Rotta J. Styatistische Teorie nichthomodener Turbulenze // Ztschr. Phys. 1951.
Vol. 129. № 5. P. 547—572.
99. Иевлев В.М. О влиянии магнитного поля на характеристики однородной
турбулентности И IV Рижское совещание по магнитной гидродинамике:
Сб. тез. Рига, 1964.
100. Генин Л.Г., Ковалев С.И., Краснощекова Т.Е. Вывод и анализ ампли-
тудных уравнений турбулентности // Теплообмен и гидродинамика: Тр.
Московского энергетического института. 1975. Вып. 235. С. 43.
101. Генин Л.Г., Маичха С.П. Численное моделирование МГД-турбулент-
ности в пространстве волновых чисел // Магнитная гидродинамика.
1976. №1. С. 89.
102. Alemany A., Moreau R., Sulem P.L., Frish U. Influence of an external mag-
netic field on homogeneous MHD-turbulence // J. De Mecanique. 1979.
Vol. 18. №2. P. 277—313.
103. Ворончнхин B.A., Гении Л.Г., Левин В.Б., Свиридов В.Г. Эксперимен-
тальное исследование затухания решеточной турбулентности в однород-
ном магнитном поле // Магнитная гидродинамика. 1985. № 4. С. 131—134.