Author: Синайский Э.Г. Лапига Е.Я. Зайцев Ю.В.
Tags: химия геофизические науки нефтяная промышленность
ISBN: 5-8365-0089-4
Year: 2002
Text
SEPARATION
OF MULТlPHASE
MULТlCOMPONENT
SYSTEMS
EI ..
СЕ ПАР АЦИН
мноrОФАЗНЫХ
мноrОКОМПОНЕНТНЫХ
СИСТЕМ
E.G.Sinaiski E.'.Lapiga Yu.V.Zaitscv
SEPARATION
OF MULTIPHASE
MULTICOMPONENT
SYSTEMS
C:Jiii
Moscow NEDRA 2002
Э.f.СИНАЙСКИЙ Е.8.ААПИfА Ю.В.ЗАЙЦЕВ
СЕПАРАЦИЯ
мноrОФА3НЫХ
мноrОКОМПОНЕНТНЫХ
СИСТЕМ
EI ..
='
Москва НЕдРА 2002
УДК 541.123.7
ББК 26.2
С 38
Рецензент академик РАЕН, нрофессор В. И. Mapo1-t
Синайский э. [., Лапиrа Е. я., Зайцев ю. В.
С 38 Сепарация мноrофазных мноrокомпонентных систем. М.: 000 Heд
ра БизнесцеIlТР», 2002. 621 с.: ил.
ISBN S 836S 0089 4
в книrе изложены теоретические основы процесса сепарации мноrофазных MHOTOKOM
понентных систем: растворов, суспензий, rазожидкостных и жидкоrазовых смесей, с прило
жением к основным технолоrическим процессам подrотовки нефти, rаза и конденсата к
транспорту сепарации природноrо rаза, осушки rаза, извлечения из rаза тяжелых уrлево
дородов и предотвращения образования rидратов, обезвоживания и сепарации нефти.
Для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов нефтяных, механи
ческих и химико технолоrических факультетов технических вузов.
Siпаiski Е. G., Lapiga Е. J., Zaitsev Yu. У.
Separation of Multiphase Multicomponent Systems.
The Book contains Theoretical Fundamentals of Scparation Processes of Multiphase
Multicomponent Systems: Solutions, Suspensions, Emulsions, Gas Liquid and Liquid Gas Systems
with App]ication to Main Technological Processes of Oil,Natural Gas and Condensate Treatment
before Transport: Separation of Natural Gas, Natura1 Gas Dewatel'ing, Extraction of High
Hydrocarbons from Natural Gas, Hydrate Inhibiting of Natural Gas, Dewatering and Separation
of Oil.
The book is directed toward researchers as well as graduate and senior year students
of petroleum, mechanical and chemical engineering departments of technical institutes.
Книrа выпущена при содействии ОАО fазпром
ISBN 5 8365 0089 4
@ э. [. Синайский, Е. Я. Лапиrа, Ю. В. Зайцев, 2002
@ Оформление. 000 «Недра Бизнесцентр , 2002
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книrа содержит изложение теоретических основ процессов разделения
(сепарации) мноrофазных мноrокомпонентных систем с приложением к про
цессам подrотовки уrлеводородных смесей (нефти, природноrо rаза и KOHдeH
сата) к транспорту. Текст состоит из семи разделов.
В разделе 1 (вводном) изложены основные процессы, технолоrические схемы
и элементы оборудования в системах промысловой подrотовки нефти, rаза и
конденсата. Основное внимание уделяется конструкциям и припципам работы
сепараторов, абсорберов и охлаждающих устройств, т. е. тех устройств, MaTeMa
тическому моделированию процессов в которых посвящены последующие раз
делы книrи.
Поскольку среды, с которыми приходится иметь дело при исследовании
процессов нодrотовки yr леводородных систем, представляют собой мноrофаз
ные мноrокомпонентные смеси, то в разделе 11 изложены основы rидромеханики
физико
химических процессов, пеобходимые для пониманиЯ специалыюrо MaTe
риала, содержащеrося в последующих разделах. К ним относятся: явления
переноса количества движения, тепла, массы и заряда, уравнения сохранения для
изотермических инеизотермических процессов, мноrокомпонептных и MHoro
фазных смесей, уравнения состояния, основные феноменолоrические COOTHO
шеlIИЯ.
Природные уrлеводородные системы представляют собой растворы, суспен
зии, коллоидные системы, эмульсии, rазожидкостные и жидкоrазовые смеси.
В связи с этим разделы 111
VIII посвящены каждому из перечисленпых видов
систем.
В разделе 111 изложена теория и методы, позволяющие исследовать пове
депие мпоrокомпопентпых растворов (незаряженных и заряженных). Основное
внимапие при рассмотрении незаряжеШIЫХ растворов уделено нроцессам диф
фузии с учетом и без учета химических реакций, движению растворов в KaHa
лах и трубах, процессам на полупроницаемых мембранах (обратному осмосу),
массообмепу частиц, капель и пузырьков с окружающей средой. Для заряжен
ных растворов рассмотрены процессы в электролитической ячейке, элеК1'родиа
лиз, структура двойноrо электрическоrо слоя, электрокинетические явления и
электроосмос.
Поведение суспензий и коллоидных систем, в том числе пезаряженных и
заряженных суспензий, устойчивость суспепзий, коаrуляция и осаждение частиц
на препятствиях, рассматриваются в разделе IV. В rлаве 8, посвящепной неза
ряженным суспензиям, даны введение в микроrидродинамику частиц, основы
теории БРОУllовскоrо движения, рассмотрена вязкость разбавленных суспензий,
а также освещены вопросы сепарации суспензиЙ в поле rравитационной и цeHT
робежпой сил. В rлаве 9 о заряженных суспепзиях рассмотрены вопросы оп
ределения заряда частиц, явление электрофореза, движение проводящих капель
в электрическом поле, а также образование седимептациошюrо потенциала.
В rлаве 10 рассмотрены вопросы устойчивости коллоидных систем, различные
механизмы Koary ляции частиц и захват частиц препятствием при прохождении
суспензии через фильтры.
5
Поведение эмульсий рассматривается в разделе V в связи с процессом
обезвоживания нефти. Обсуждаются актуальные проблемы укрупнения капель
эмульсии. Показано, что наиболее эффективно этот процесс происходит, если
эмульсию обрабатывать в электрическом поле. В связи с этим подробно обсуж
дается новедение проводящих капель в эмульсиях, взаимодействие капель в
электрическом поле и коалесценция капель в эмульсиях. В качестве приложе
ний рассмотрепы процессы разделения эмульсий в отстойпиках, электродеrидра
торах и электрических фильтрах.
Процессы разделения rазожидкостных (rазоконденсатпых) смесей paCCMaT
риваются в разделе VI. Изучаются следующие процессы: формирование жид
кой фазы в потоке rаза в трубах; коалесценция капель в турбулентном потоке
rаза; конденсация жидкости в дросселях, теплообменниках и турбодетандерах;
явления, связанные с поверхностным натяжением; эффективность разделения
rазожидкостных смесей в rазовых сепараторах; эффективность разделения [a
зоконденсатных смесей в сепараторах, оборудованных каплеуловительными
насадками различной конструкции жалюзийными, центробежпыми, CTPYHHЫ
ми и сетчатыми; абсорбционное извлечение из rаза влаrи и тяжелых уrлеводо
родов; предотвращепие образовапия в природном rазе rидратов.
Жидкоrазовым (нефтеrазовым) смесям посвящен раздел УН, в котором
исследуется динамика rазовых пузырьков в мпоrОКОМIюнентном растворе; ce
парация жидкоrазовых смесей в нефтяных сепараторах без учета и с учетом
стеспешLOСТИ всплытия пузырьков; коаrуляция пузырьков в жидкости.
В конце каждоrо раздела помещен список используемой литературы.
Все рассмотренные процессы имеют отношение к разделению (сепарации)
мноrофазных МllOrокомпонентных сред, чем и обусловлено название книrи.
Следует отметить, что в теХllOлоrии подrотовки нефти, rаза и конденсата к
транспорту под сенарацией традиционно понимается только процесс отделения
от rаза канель кондепсата Il воды, а также отделение от нефти rазовых нузырь
ков (окклюдироваШlOrо rаза). Поэтому используемое в книrе понятие сепара
ции подразумевает любое разделение как компонентов в МПOl'ОКОМllOнеНТIIЫХ
смесях, так и фаз в мноrофазных системах.
Материал ЮlИrи основан на ряде курсов лекций, читаемых студентам
rосударствешlOЙ Академии нефти и rаза им. И. М. rубкина.
1
ТЕхнолоrиЧЕСКИЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
подrотовки природныx
уrЛЕВОДОРОДОВ К ТРАНСПОРТУ
ВВЕДЕНИЕ
Продукция скважип на нефтяных, rазовых и rазоконденсатпых месторож
дениях нредставляет собой мноrофазную мнorОКОМllOнентную смесь. При под
I'отовке добываемоrо уrлеВОДОРОДllOrо сырья к маrистралыlOМУ транснорту, подаче
ero на rазобензиновые и нефтеперерабатывающие заводы и фракционирующие
устаповки широкое нрименепие на современных нефтяных и rазовых IIрОМЫС
лах получили технолоrичсские нроцессы, основанные на ИСllOльзовании прин
ципа разделения (сепарации) пластовой смеси на жидкую и rазовую фазы в
результате действия естественпых сил: rравитации, инерции и друrих.
rазонефтяные и I'азоконденсатные системы соответственно состоят из неф
ти и rаза или rаза и конденсата. Состояние и свойства этих систем определя
ются влиянием различных нараметров, среди которых основными являются
давление, темнература, удельные объемы и компонентные составы фаз. При
движении у[леIЮДОРОДНОЙ системы но всей цепочке нласт скважина систе
ма сбора и нодrотовки маrистраЛЫIЫЙ трубопровод непрерывно изменяются
давление и температура. В результате изменяется фазовое состояние системы,
а также компонентный состав фаз. Кроме то[о, в нроцессе движения в систему
мшут вводиться или из системы моуут отбираться некоторые составляющие
смеси (жидкая, rазовая или твердая фазы), что также нриводит к изменению
как фазовоI'О, так и KOMHoHeHTHoro состава смеси.
Природные rазы содержат уrлеводородные компоненты метан, этан, про
пан, бутап и более тяжелые компоненты (эти компоненты обычно обозначаются
С 1 , С 2 ,...), кислые rазы двуокись УI'лерода, сероводороды, меркаптаны, а также
друrие компоненты. Кроме перечисленных КОМllOпептов природный [аз coдep
жит пары воды, а также механические нримеси, которые выносятся вместе с
добываемым rазом из скважин. Состав пластовоrо rаза в процессе экснлуата
ции месторождения не остается ПОСТОЯIlIIЫМ, а измепяется со временем эксплуа
тации, поскольку надает пластовое давление. О темнах изменения пластовоrо
давления можно судить по данным табл. 1, в которой нредставлены НРОПlOзные
значения нластовоrо давления одноrо из rаЗОКОIfденсатных месторождений.
Природный [аз и продукты ero переработки этан, пропан, бутап, широкая
7
Таблица 1
fодыпслеc начала 1 5 10 15 25
эксплуатапии
fодовой отбор rаза, 3,9 7 7 7 6,38
млрд. м З
Пластовое давление, 26,6 30,1 23,2 25,6 19,6 21,5 16,3 17,8 10 11.4
МПа
у стьевое давление, 16,67 12,37 9,09 6,24 1,86
МПа'
фракция леrких уrлеводородов (ШФЛУ), конденсат являются топливом для
промышлешlOСТИ и бытовых потребителей и исходным сырьем для переработки
на rазоперерабатывающем заводе. При использовании природноrо rаза и про
дуктов ero переработки в качестве топлива и сырья к ним предъявляют Tpe
бования, с одпой стороны, по качеству товарной продукции, а с друrой по
оrраничению уровней возможных заrрязнений окружающей среды. Технические
условия и стандарты на природный rаз зависят от Toro, куда он поставляется.
Основные требования к при родному rазу, подаваемому в маrистральный rазо
провод, и количественные данные представлены в табл. 2.
ОrраlIИчение по точке росы для yr леводородов предусмотрено для природ
нorо rаза с содержанием yr леводородов C s + не менее 1 r / м З .
Оrраничения по точке росы для влаrи и уrлеводородов обусловлены Tpe
бованиями, чтобы при транспортировке rаза в маrистральном трубопроводе по
мере охлаждения rаза в пем не образовывались rидраты и не выпадал KOHдeH
сат. Содержание влаrи в rазе определяют по заданпым значениям температуры
точки росы и давлению, используя HOMorpaMMbI или расчетные формулы, полу
ченные эмпирически [1]. Точка росы по уrлеводородам зависит не только от
давления rаза, но и от ero состава. Для ее определения используют специаль
ные таблицы или про водят расчеты парожидкостноrо равповесия мноrокомпо
нентпой системы [2].
Тяжелые уrЛеводороды, конденсирующиеся из rаза в процессе ero добычи,
представляют собой rазовый конденсат, обоrащенный rруппой уrлеводородов C s +.
Он является важпым товарным продуктом rазодобывающих и rазоперерабаты
вающих предприятий. Конденсат используется в качестве сырья на нефтепере
рабатывающих и rазобензиновых заводах для получения бензина. Конденсаты,
Таблица 2
Климатический район
Показатели Умеренный Холодный
1.V 30.IX 1.X 30.IV 1.У 30.IX 1.X 30.IX
Точка росы, ос:
по влаrе, не более О 5 10 20
по уrлеводородам, не более О О 5 10
Масса механических примесей 0,003 0,003 0,003 0,003
в 1 м З rаза, т, не более
Масса сероводорода в 1 м З rаза, 0,02 0,02 0,02 0,02
т, не более
Масса меркаптановой серы в 1 м З 0,036 0,036 0,036 0,036
rаза, r, не более
Объемная доля кислорода, %, не 0,1 0,1 0,1 0,1
более
8
выделенные из rазов на различных месторождениях, различаются между собой
по фракционному составу. Различают стабильный конденсат, содержащий С s +, и
нестабильный, содержащий кроме С 5 + И более леrкие компоненты. Сорт KOHдeH
сата определяется упруrостыо паров рвас И выкипапием до 25 85 % при TeM
пературе 50 ос и атмосферном давлепии. Упруrость паров стабилыюrо KOHдeH
сата должна быть такова, чтобы обеспечивалось ero хранение в жидком COCTO
янии при температуре 37,8 ОС.
ДЛЯ Toro чтобы добываемый природный rаз и копденсат удовлетворяли
предъявляемым к пим требованиям, перед подачей в маrистральный трубопро
вод, на rазоперерабатывающий завод или на коммуналыю бытовые пужды их
нужпо подверrнуть тщательной обработке, включающей:
1) отделение от rаза механической примеси, капельпой воды и конденсата.
Этот процесс принято называть сепарацией;
2) удаление из rаза паров воды. Этот процесс называется осушкой rаза.
Поскольку при осушке rаза понижается температура образования rидратов, то
сюда же относится и процесс предотвращения rидратообразования;
3) извлечение из rаза тяжелых уrлеводородов.
Перечисленные процессы осуществляются в установках комплексной под
rотовки rаза (УКП[), располаrаемых па промысле. По сложности технолоrи
ческих нроцессов и насыщенrюсти оборудованием, необходимым для реализа
ции этих процессов, укпr приближаются к заводским установкам.
Нефть более тяжелая жидкость, чем конденсат, и содержит значительно
больше масел, парафИIIOВ и друrих высокомолекулярных соединений. Мноrие
нефти более чем на 99 % состоят из yr леводородов , наиболее широко из которых
представлепы уrлеводороды парафиповоrо и пафтеновоrо рядов. В нефтях также
имеются в небольших количествах друrие классы орrанических соединений
кислородные, сернистые, асфальтосмолистые и др. Большинство сернистых и
кисЛородсодержащих соединений являются hobePXHOCTJ-IO активными соедине
ниями. Они аrрессивны по отношению к металлу и вызывают сильную KOppO
зию. Обычной примесью в нефти является пластовая минерализованная вода,
которая вызывает значительные осложпения при сборе и транспорте нефти.
Отрицательное качество пластовой воды ее способность образовывать BOДO
нефтяные эмульсии, которые осложняют движение нефтяных систем по трубо
проводам (скопление воды в изrибах и замерзание, приводящее к разрыву
трубопроводов), а также подrотовку и переработку нефти. Поверхностно актив
ные вещества способствуют образованию эмульсий и поэтому называются эму ль
rаторами. Присутствие в нефти поверхностно активных веществ облеrчает об
разование эмульсий и повышает их устойчивость (свойство сохранять эмуль
сию в течение длительноrо времени). В пефти содержатся также низкомолеку
лярные комноненты, которыми особо боrата леrкая нефть. Эти компоненты
MorYT находиться как в жидкой, так и в rазовой фазах. Измепение давления
и температуры в процессе движения нефти по цепочке пласт скважина
система сбора и подrотовки маrистральный трубопровод при водит к интен
сивному выделению из нефти леrких компонент, в результате чеrо повышается
rазовый фактор (объем rаза в единице объема нефтяной смеси, мЗjм З ). Нали
чие свободнorо rаза в нефти (нефтяной rаз) также вызывает осложнения при
добыче, сборе, нодrотовке и транспортировке пефти. Иноrда наблюдается про
рыв rаза в продуктивные скважины из rазовой шапки пласта или из rазосодер
жащих rоризонтов, что приводит к увеличению rазовоrо фактора добываемой
нефти.
Cor ласно действующим [ОСТ, нефть считается кондиционной для постав
9
ки ее на нефтеперерабатывающий завод, если в ней содержится не более 0,1 %
воды и пе более 40 Mr / л хлорпых солей. Помимо этих двух существуют и
друrие показатели. Поэтому перед подачей нефти в машстральный трубопро
вод ее пеобходимо подверПlУТЬ обработке, включающей:
1) удаление из нефти леrких rазов, находящихся в свободном или в pa
створешюм СОСТОЯIlИи. Этот процесс называется сепарацией;
2) отделепие от нефти воды. Этот процесс называется обезвоживанием
нефти;
3) извлечепие из нефти растворенных в ней солей. Этот процесс называ
ется обессоливапием нефти.
Более подробные сведения о свойствах, а также о процесс ах сбора и
подrотовки природных rазов и нефтей можно найти в работах [3, 4].
1
ТЕхнолоrИЧЕСКИЕ СХЕМЫ УСТАНОВОК
КОМПЛЕКСНОЙ подrотовки НЕФТИ, rАЗА
и КОНДЕНСАТА К ТРАНСПОРТУ
Продукция скважин, добытая на rазовых и rазокопденсатных месторожде
ниях, нредставляет собой сложную rетероrенную смесь, состоящую из смеси
rазов, пасыщенных парами воды и тяжелых уrлеводородов, жидких уrлеводоро
ДОВ (нефти или конденсата) и воды, твердых частиц породы и друrих компо
нентов. Для Toro чтобы rаз, подаваемый потребителю, удовлетворял предъявляе
мым к нему требованиям, необходимо перед подачей в rазопровод удалить из
Hero твердую и жидкую фазы, а также часть паров воды и тяжелых yr леводо
родов. Эти процессы осуществляются в специальных промысловых установках
комплексной Iюдrотовки rаза и кондепсата (УКПП. Типичная проектная схема
технолоrической нитки укпr на одном из rазокопденсатных месторождепий
показана на рис. 1.1. Подrотовка rаза осуществляется методом пизкотемпера
турной сепарации (НТС).
На рисунке введены следующие обозпачения: СI, С2, СЗ сепараторы 1,
11 и 111 ступеней; РI, Р2 трехфазные разделители 1 и 11 ступеней; ДI, Д2,
ДЗ дроссели; ТI, Т2, ТЗ теплообменники; ТДА турбодетандерный arpe
[ат (или испарительный холодильник); ф факел.
В табл. 1.1 представлены примерпые значепия давлепий и температур в
соответствующих точках технолоrической схемы.
rаз поступает на укпr с температурой 35 ос при давлении 17,5 МПа.
Перед сепаратором 1 ступени расположеп дроссель, при прохождепии которorо
давление спижается до 13,1 МПа. Соответствешю rаз охлаждается до темпе
ратуры 21 ос. В сепараторе 1 ступени СI от rаза отделяется капельпая жид
кость. Отсепарированный rаз охлаждается в теплообменнике ТI дО температу
ры О ос, а образовавшийся в результате охлаждения конденсат отделяется от
rаза в сепараторе второй ступени. Конденсат из сепараторов 1 и 11 ступеней
собирается вместе и, проходя через дроссель Д2, направляется в трехфазный
разделитель РI, в котором от конденсата отделяется rаз, содержащий леrкие
yr леводороды. В разделителе происходит стабилизация конденсата. r лубокое
10
Таблица 1.1
Точка 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Давление, МПа 17 13 13 13 13 8 7,8 7,8 7,7 7,5 7,4
Температура, 'с 35 21 21 О 15 зо зо зо 9 12 1O
Точка 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Давление, МПа 7,8 8 7,2 7,9 7,8 7,8 7,8 7,6 7,2 7.2
Температура, 'с 13 13 13 13 22 зо 25 25 25 1
охлаждение [аза до зо ос происходит в результате последователыlO[О охлаж
дения в теплообменнике Т2 и дросселирования в ДЗ. Поскольку со временем
устьевое давлепие падает, то падает давление в Укпr. Поэтому запаса давле
ния в ДЗ может не хватить для достижения требуемой темнературы зо ос.
С учетом этorо в схеме предусмотрена возможность подключения турбодетан
дера т ДА дЛЯ дополнителыlO[О охлаждения [аза. Охлажденпый [аз с большим
расходом смешивается в эжекторе с [азом выветривания, поступающим из
разделителя РI с относительно небольшим расходом. В сепараторе третьей
ступени, концевом сепараторе, происходит окончательное отделение конденсата
от [аза. Отсепарированный [аз после подо[рева в теплообменниках ТI и Т2
поступает в [азопровод, а конденсат в трехфазный разделитель Р2. Выделив
шийся [аз из Р2 идет либо на факел Ф, либо в эжектор, [де смешивается с
основным потоком [аза сепарации. Конденсат из РI и Р2 поступает в KOHдeH
сатопровод и далее на установку сбора и стабилизации конденсата (УСК) или
на установку деэтанизации конденсата.
Отметим еще некоторые особеННО(,l11 описанной техноло[ической схемы Укпr.
Используемые в схеме теплообменники, кроме ТI, охлаждают или нarревают
рабочее тело ([аз или жидкость), используя уже охлажденные или натретые
нотоки. Так, например, охлаждение [аза в ТЗ осуществляется с помощью ХОЛОk
но[о конденсата, поступающеro из сенаратора концевой ступени СЗ. Как правило,
ИСllOЛЬЗУЮТСЯ кожухотрубчатые теплообменники, но впутренним трубкам KOTO
рых движется холодный или теплый [аз или жидкость. В межтрубном прострап
стве движется рабочее тело ([аз или жидкость), которое охлаждается или
на[ревается при коптакте с llOBepxllOcTbIO трубок. Вторая особенность схемы
состоит в возможности вводить часть выветреIШО[О в разделителе РI конденсата
через эжектор в поток [аза сепарации. Поскольку температура конденсата выше
температуры [аза сепарации (сравните условия в точках 6 и 16), то вводимый в
[аз копденсат обладает хорошей способностыо абсорбировать из [аза тяжелые
у[леводороды (С з + И C s +). Этим дости[ается одна из целей под[отовки [аза
извлечь из не[о как можно больше тяжелых у[леводородов.
В схеме, изображенной на рис. 1.1, отсутствует установка по осушке [аза.
Поэтому осушку [аза от вла[и осуществляют путем ввода в ноток [аза перед
укпr высококонцентрировашlO[О раствора метанола. Этим дости[аются две
цели: удаляют из [азов ой фазы пары воды и снижают температуру образования
[идратов. В некоторых техноло[ических схемах предусматривают установку
специальных абсорберов осушки [аза от вла[и с помощыо жидко[о по[ лотите
ля абсорбента. В качестве абсорбента чаще все[о используют ди(ДЭr) и
триэтилеНfЛИКОЛЬ (ТЭr). Использование [ликолей приводит к необходимости
устанавливать дополнительное оборудование для улова уносимо[о с [азом
абсорбента и ре[енерации (восстановлению) отработанно[о абсорбента.
11
в Ma2иcт
ральный
2азопровод
13
15
20
14
На УСК u
установку
деэтанuзаЦ!lU
21
Рис. 1.1. Схема ннзкотемпературной сепарации (НТС)
Для rазовоrо месторождения с содержанием метана более 95 % и малым
содержанием тяжелых yr леводородов нет необходимости в столь большой УКПf.
Для TaKoro месторождения в схеме подrотовки rаза достаточно предусмотреть
только сепарацию и осушку rаза.
Несколько иная проектная схема подrотовки rаза на rазоконденсатном
месторождении изображена на рис. 1.2. В этой схеме используется процесс
низкотемпературной абсорбции (НТ А).
Здесь обозначены: ДI, Д2, ДЗ, Д4 дроссели; ТI, Т2, ТЗ теплообмен
ники; АI абсорбер осушки rаза; А2 абсорбер по извлечению тяжелых
уrлеводородов; Т турбина; СI, С2, СЗ сепараторы; ТДА турбодетандер
ный arperaT; РI, Р2 трехфазные разделители; В выветриватель абсорбера;
УПК комплекс, включающий компрессор Т ДА, воздушный холодильник и
теплообменник. fаз на входе УКПf имеет давление 15 МПа и температуру
26,8 ос (табл. 1.2).
Перед сепаратором первой ступени СI rаз дросселируется в ДI дО давле
ния 10,5 МПа и температуры 15 ос. fаз сепарации из СI поступает в абсорбер
осушки rаза АI, а затем после последовательноrо сжатия в компрессоре и
охлаждения в теплообменнике в сепаратор С2. fаз сенарации далее охлаж
дается в Т ДА в результате совершения работы на турбине и подается в нижнюю
часть контактной камеры абсорбера уrлеводородов А2. В верхнюю часть кон-
тактной камеры абсорбера подается конденсат, который поступает из раздели
теля РI и из сепаратора второй ступени С2. В результате контакта rаза сепа
Таблица 1.2
и(N) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
р, МПа 15 10,5 7.7 12 7,65 7,7 7,65 7,7 3,5 7,4
Т, ос 26,8 15 11,56 3,4 25, 1 15,1 23,9 5,8 3,9 2,1
12
2 Сl
10
з
з
в сазопровод
т
2
Д2
5
Таз от
скважuн
А2
з
6
к дкс сазов
выветривания
9
9
9
ДЗ
в конденсатопровод
Рис. 1.2. Схема иизкотемпературной абсорбции (НТА)
рации и конденсата, который служит абсорбентом, из rаза извлекаются тяжелые
уrлеводороды. Далее rаз из А2 сепарируется в концевом сепараторе СЗ и после
подоrрева в ТI подается в rазопровод. Отработанный конденсат выводится из
абсорбера А2 и после подоrрева в Т2 подается в выветриватель В, в котором
из конденсата испаряются леrкие уrлеводороды. Образовавшаяся паровая фаза
снова подается в контактную камеру абсорбера для удаления из нее остатков
тяжелых уrлеводородов. Образующийся после выветривания в В конденсат
после дросселирования в ДЗ поступает в разделитель Р2, rде происходит ero
окончательная стабилизация. Из Р2 конденсат поступает в конденсатопровод,
а паровая фаза в ДКС rазов выветривания.
В рассмотренной схеме предусмотрено размещение дожимной компрессор
ной станции (ДКС), которая начинает действовать, коrда давление на входе в
укпr (т. 1) станет меньше требуемоrо давления в сепараторе первой ступени.
Как видно, основное отличие схемы на рис. 1.2 от схемы на рис. 1.1 co
стоит в следующем.
1. Процесс осушки rаза происходит в специальном абсорбере А 1, что
позволяет более качественно произвести осушку rаза.
2. Процесс извлечения из rаза тяжелых уrлеводородов производится в
специальном мноrоступенчатом абсорбере с установкой выветривания KOHдeH
сата. Тем самым достиrается большая эффективность извлечения из rаза сепа
рации тяжелых уrлеводородов и качественная стабилизация конденсата.
3. Использование турбодетандерноrо arperaTa для охлаждения rаза позво
ляет при падении давления на 4 МПа охладить rаз более чем на 20 ОС. Следует
отметить, что тот же самый перепад давления на дросселе cMor бы охладить rаз
только на 12 ОС.
13
" ц
z '"
u:x:
:!I
-.::>
о
.,
.;:
:r
О
!'J
.,
о
о
'"
12
:х:
t:I
:>:
!'
101....
= i
= '"
:.:
ID S
S I
Q -
1:: '"
""
; g
I
t.)!:X:I
'"".е-
t3
1..1
:::;
Отметим еще, что блоки А2, СЗ и В установлены в одном трехступенчатом
вертикальном аппарате, что позволило значительно уменьшить площадь разме
щения Укпr.
Современные установки комплексной подrотовки rаза и конденсата по
сложности, МJIоrофункционалыюсти и качеству обработки yr леВОДОРОДIlоrо сырья
приближаются к заводским. Основным разработчиком оборудования для укпr
является ЦКБН (цешральное конструкторское бюро нефтеаппаратуры).
Таким образом, в нроцессе подrотовки rаза и конденсата к транспорту
наиболее иснользуемыми элементами оборудования являются: сепараторы, раз
делители, абсорберы, теплообменники и турбодетандерные arperaTbI.
В схеме подrотовки нефти предусмотрена орrанизация процессов разrази
рования, обезвоживания и обессоливапия нефти. На рис. 1.3 ноказана типовая
технолоrическая схема I10дrотовки нефти. Она включает следующие элементы:
ЕР блок дозировки peareIIТa для разрушения водонефтяной эмульсии в сбор
ном коллекторе; СI сепаратор первой ступени сепарации; КI каплеобра
зователь; 01 отстойник предварителыюrо обезвоживания нефти; ПI печь
для HarpeBa эмульсии; 02 отстойник rлубокоrо обезвоживания; С смеси
тель для перемешивания нресной воды В с обезвоженной нефтью для .ее пред
варителыюrо обессоливания; 31 электродеrидратор для rлубокоrо обессоли
вания нефти; СЗ rорячий сепаратор третьей ступени; РI резервуар для
приема товарной нефти; А автомат по измерению качества и количества
нефти. Кроме Toro, в схеме предусмотрена установка по подrотовке rаза сепа
рации, а также установка по нодrотовке сточной воды, т. е. воды, которая
образуется в процессе обезвоживания и которая иснользуется в процессе обес
соливания.
Отметим некоторые особенности процессов подrотовки нефти. Разrазиро
вание нефти (сепарация нефти) оБЫЧllО осуществляется в нескольких сепара
торах, соединеIIlIЫХ последовательно. В каждом сепараторе происходит падение
давления, в результате чеrо из нефти последовательно выделяется определенная
фракция леrких уrлеводородных компонент. Если разrазирование происходит
без отбора rаза из емкости, то такая сепарация называется контактной. Если в
процессе разrазирования rаз отбирается, то такая сенарация называется диффе
ренциалыюй. Друrая особенность состоит в орrанизации процесса обезвожива
ния и обессоливания нефти. Основная проблема состоит в удалении из нефти
маленьких капель воды, для чеrо нужно уменьшить вязкость нефти, подоrревая
ее, либо укрупнить капли воды, используя электрическое поле в электродеrид
раторе и перемешивая эмульсию.
Анализ и математическое моделирование процессов, про исходящих в при
ведеIШЫХ технолоrических схемах, является предметом книrи. Они JIоследова
телыю рассматриваются в соответствующих разделах. В дальнейшем будут
рассмотрены I'лавные механизмы процессов разделения мноrофазных MJIOrOKOM
попеIIТНЫХ уrлеводородных систем, к которым относятся нриродные rазы и
нефти. В следующей rлаве рассмотрены конструктивные особенности HeKOTO
рых элементов технолоrических схем: сепараторов, разделителей, отстойников,
абсорберов и теплообменных аппаратов.
2
КОНСТРУКЦИЯ ТИПОВЫХ АППАРАТОВ
2.1. СЕПАРАТОРЫ, РАЗДЕЛИТЕЛИ И ОТСТОЙНИКИ
Сепараторы являются обязательным элементом любой технолоrической схемы
промысловой подrотовки нефти и rаза на нефтяных и rазоконденсатных Me
сторождениях, а также составной частью оборудования в процессе переработки
rазовоrо конденсата, компримирования rаза и ero охлаждения на заключитель
ной стадии эксплуатации месторождения, в установках для сайклинr процесса,
rазлифта и др. [S 9].
В зависимости от вида обрабатываемой продукции сепараторы подразделяют
ся на rазонефтяные и rазовые (рис. 2.1). fазонефтяные сепараторы применяют
для разделения нефти и нефтянorо rаза, а rазовые для отделения природноrо
rаза от капель конденсата, воды и твердых частиц. В rазовых сепараторах, как
правило, обрабатывают rазожидкостную смесь с относительно неБОЛЫIIИМ co
держанием жидкой фазы. Возможны также режимы захлебывания, коrда в
сепараторы попадают большие объемы жидкости в результате аварийных BЫ
бросов скопившихся В трубах воды или конденсата.
Сепараторы состоят из нескольких секций, каждая из которых выполняет
определенную функцию. Секция ввода rазожидкостной смеси обеспечивает
максимальное отделение крупнодисперсной фазы, особенно при высоком Ha
чальном содержании жидкой фазы, а также равномерный ввод rазожидкостной
смеси в аппарат, в том числе в секцию окончательной очистки rаза. Секция
Koary ляции мелких капель жидкости располаrается в зоне осаждения перед
секцией окончательной очистки и предназначена для укрупнения мелких капель
жидкости, отделения укрупненных капель и выравнивания подачи rаза в ceK
цию окончательной очистки. Секция окончательной очистки rаза обеспечивает
заданную эффективность сепарации в проектном диапазоне ero наrрузок как по
rазу, так и по жидкости. Секция сбора отсепарированной жидкости обеспечи
вает устойчивую работу приборов pery лирования и сиrнализации BepxHero и
нижнеrо предельных уровней, разrазирования жидкости, ее отвода без образо
вания воронки и разделения при необходимости на составляющие фракции.
По форме сепараторы MorYT быть в виде шара и цилиндра, а по располо
жению rоризонтальными и вертикальными.
Шаровые сепараторы более компактны и менее металлоемки . Эти преиму
щества проявляются тем более, чем выше давление и производительность сепа
ратора. Основным недостатком шаровых сепараторов является оrраниченность
пространства, исключающая возможность размещения в корпусе Koary лирую
щей секции и секции сбора жидкости. В результате эффективность обработки
rазовых потоков с мелкодисперсным распределением жидкости и начальным ее
содержанием более 100 см З / м З В шаровых сепараторах невелика.
Основное преимущество rоризонтальных цилиндрических сепараторов
состоит в том, что они MorYT быть больпrой единичной мощности. Эти сепара
торы предназначены для разделения rазожиДКОСТНОЙ смеси с высоким содержа
нием жидкости и для разделения жидкостей, склонных к пенообразованию.
Недостатком rоризонтальных сепараторов является трудность вывода из сепа
ратора твердых примесей. Этоrо недостатка лишены вертикальные цилиндри
16
Совмещенный с разделителем
По расположению сборника жидкости
По форме корпуса
Входные
,=
'"
'"
u:;:;:t
'" '-< '"
::;; о >:
oa u
I:;
Сепараторы
;.,>:
'" :Е
Е-< :I:
U :I:
С м
::: = '"
a -e-
p..
'"
о
1:;'"
U
Двухфазные
Промежуточные
Концевые
Трехфазные
Рис. 2.1. Классификация сепараторов
ческие сепараторы. Эллиптическое днище этих сепараторов обеспечивает сток
жидкости и твердых примесей в нижнюю часть аппарата и их отвод в дренаж
ную систему. Секция сбора жидкости может выноситься из корпуса сепаратора
и выполняться в виде шара или цилиндра (чаще Bcero rоризонтальноrо ци
линдра). Шаровые сборники применяются при высоком давлении.
Осаждение капель жидкости в rравитационном сепараторе происходит в
основном за счет сил rравитации. Эффективность разделения rазожидкостноrо
потока в таких сепараторах тем выше, чем больше размер капель жидкости в
rазовом потоке и ниже скорость caMoro потока в сепараторе. Позтому при
больших объемах добычи rаза и дроблении крупных капель при движении
потока в промысловом коллекторе трудно добиться высокой эффективности
работы rравитационных сепараторов.
2 1461 11
В инерционных сепараторах отделение жидкости от rаза нроисходит пре
имущественно за счет действия сил инерции, чаще Bcero центробежных сил.
Основной элемент насадочных инерционных сепараторов насадки различной
конструкции, которые устанавливаются в секции окончательной очистки rаза.
На нефтяных месторождениях наряду с друrими начинают при менять CTPYH
ные насадки, представляющие собой набор рамок с намотанной на них прово
локой диаметром О,з о,S мм.
Эффективность пасадочных инерционных сепараторов определяется в oc
новном конструкцией применяемой насадки, а также расположением ее в KOp
пусе сенаратора и может достиrать 99,S 99,8 % нри скоростях rаза в з s раз
выше скорости rаза в rравитационных сепараторах. Высокая эффективность
этих сепараторов обусловливается большой поверхностью контакта сепарирую
щих элементов с rазожидкостным потоком, которая обеспечивает отделение
капель жидкости диаметром не менее 3 5 мкм для сеток и 1 О 20 мкм для
жалюзей.
В центробежных сепараторах для преобразования поступательноrо движе
ния нотока во вращательное используют завихрю'ель. Основным преимуще
ством центробежных сепараторов является высокая рабочая скорость rаза в
корнусе центробежноrо элемента. За счет действия центробежных сил из rазо
Boro потока можно выделить капли жидкости диаметром более 1 О 20 мкм.
Эффективность центробежных сенараторов при высоком давлении колеблется
от 80 до 99 %. Для повышения эффективности мноrопатрубковые центробежные
сепараторы оснащают центробежными элементами малоrо диаметра циклонами.
Поскольку практически все сепараторы оборудованы каплеуловительными
насадками, то рассмотрим их более подробно.
rравитационные rазосепараторы MorYT быть снабжены плоскопараллельны
ми пластинами Диксона (рис. 2.2, а), позволяющими несколько увеличить pa
бочую скорость и увеличить эффективность осаждения капель жидкости, а TaK
же жалюзийными насадками, увеличивающими по сравнению с предыдущей
конструкцией рабочую площадь, производительность по rазу и эффективность
сепарации. Изоrнутая поверхность жалюзей позволяет использовать силы инер
ции капель и увеличить эффективность сепарации. Кроме Toro, для лучшеrо
осаждения капель следует уменьшать зазор между поверхностями жалюзей
вдоль направления потока. В rоризонтальном корпусе жалюзийные насадки
устанавливаются в поперечном сечении (рис. 2.2, б) или по обе стороны от оси
аппарата (рис. 2.2, в). Вертикальные rазосепараторы с жалюзийной насадкой
(рис. 2.3) отличаются друr от друrа в основном компановкой пакетов жалю
зийных насадок, расположением патрубков входа и выхода rаза по отношению
к насадкам. С целью повышения нроизводительности жалюзийные насадки
MorYT быть OДHO (рис. 2.3, а) или двухсекционными (рис. 2.3, б). Сепаратор
на рис. 2.3, в отличается от предыдущих кольцевым расположепием насадок,
что увеличивает эффективпость ero работы. В отечественной нрактике жалюзий
ные сепараторы используются в установках НТС в качестве входных, промежу
точных и концевых ступеней, но основное их применение предварительное
отделение жидкости от rаза. В зарубежной нрактике жалюзийные сепараторы
используются для нромысловой И заводской очистки rаза от жидких примесей.
Известны случаи применения таких сепараторов в качестве нредварительной
ступени отделения жидкости от rаза на компрессорных станциях маrистраль
ных rазопроводов.
Сепараторы с rоризонтальными сетчатыми насадками (рис. 2.4) отличаlOТ
ся друr от друrа в основном конструкцией секции ввода rазожидкосТlЮЙ смеси:
18
а t r
2
rж
Ж
c c c c
б
t r
в
1
rж
Рис. 2.2. fазожидкостные rравитаЦионные сепараторы:
f пластины Диксона, 2 жалюзийные насадки
B B
отбойная переrородка и поворот потока на 900 (рис. 2.4, а); коническая обечайка
и поворот потока на 1800 (рис. 2.4,6); цилиндрическая обечайка, завихритель
потока между корпусом и обечайкой и поворот потока на 1800 (рис. 2.4, в).
Вертикальные сетчатые сепараторы применяют на промыслах в качестве
концевых сепараторов в установках НТС, промежуточных и концевых сепара
торов на rазоперерабатывающих заводах (пrз), при очистке rаза от жидкости
перед подачей ero на факел. В случае необходимости высокоэффективной очистки
rаза перед абсорбером осушки сетчатый сепаратор может быть применен в
качестве входноrо.
Эскизы однопатрубковых центробежных прямоточных rазосепараторов без
устройства предварительноrо отделения жидкости показаны на рис. 2.5. Это
сепараторы с rоризонтальным движением враrцающеrося потока (рис. 2.5, а, 6)
и сепаратор, очистка rаза от жидкости в котором происходит во вращающемся
потоке, двюкущемся сверху вниз (рис. 2.5, б). Реrулируемый завихритель 1
предназначен для поддержания эффективной скорости сепарации при изме
нении производительности и давления, а канал отсоса 2 для повышения
эффективности и производительности сепаратора. Центробежный злемент Kac
кадноrо типа (рис. 2.5, в) позволяет вести эффективную очистку rаза при
пониженном rидравлическом сопротивлении аппарата. В сепараторах, изобра
2. 19
I .. ,
== ,=
= Q =
"':<: '"
15 ,.
::а
..
,; I '"
'"
:а'ё :iG
:Е;;!
i: 8 ,;:
Q. о о:
.... 'с '"
C:I !Е ь =
. (,)
....
N:2I '"
Q. :.::
,j Q I
= !;
Q. "'-
t
'10
t
t
t
t
t
t
, '"
:: :::
g,;; Q:
:: Q со
CI.:.::...
Q '1 '"
... '" '"
'" '" 1:)
!s u
,; I
Q Q'" :.::
.... 'i
'" '" '"
CW::r.c u
'" ..
= '" "
'" '" !;i
U,= CI.
. Q
==:
. ... '"
.....'1'"
'" со
.. I
С.
t
ос
............
\::,
t
t:t
t
21
rж
........
2
д
t rж
1
ж
ж
в
1
r
tr
fЖ
4
ж
.........
Рис. 2.5. Центробежные однопатрубковые сепараторы
женных на рис. 2.5, 2, д, е, предусмотрены устройства для предварительноrо
отделения жидкости в виде отбойной пластины и поворота потока на 900.
Наличие отверстий 3 (рис. 2.5, д) и трубы 4 (рис. 2.5, е) рециркуляции rаза
способствует повышению производительности и эффективности сепарации.
Сепараторы MorYT изrотавливаться с шаровым сборником жидкости (рис. 2.5, б,
д, е), что позволяет увеличить жидкостную наrрузку аппаратов и уменьшить их
массу.
Сепараторы, показанные на рис. 2.6, представляют собой центробежные
мноrопатрубковые (мультициклонные) конструкции, из которых первые два не
имеют устройств для предварительноrо отделения примесей. В первой KOH
струкции (рис. 2.6, а) использована батарея циклонов, ввод rаза в каждый
циклон осуществляется непосредственно из трубы входа rаза. [азоочистители
аппарата на рис. 2.6, б представляют собой циклонные элементы противоточной
конструкции, смонтированные на решетке, расположенной ниже патрубка ввода
rаза. Выходные трубки из этих элементов закреплены в решетке, расположен
ные выше патрубка ввода rаза. Опыт применения сепараторов такой KOHCTPYK
цИИ показал, что завихрители MorYT забиваться различными примесями, поэтому
одна из конструкций (рис. 2.6, в) выполнена с камерой предварительноrо OT
деления примесей и расположением завихрителей циклонов у верхней решет
ки. Однако при использовании этоrо аппарата также наблюдаются случаи
забивания завихрителей циклонов и нарушения эффективной работы аппарата.
В аппаратах, основная сепарационная секция которых выполнена в виде пря
моточных центробежных элементов (рис. 2.6, 2, д, е, Ж), предусмотрен отсос
части rаза (рис. 2.6, 2, д) и рециркуляция (рис. 2.6, е, Ж). В сепараторах
конструкции, приведенной на рис. 2.6, 2, применяют патрубки с осевыми и
танrенциальными завихрителями. Предварительную очистку rаза осуществляют
22
rж
rж
ж
ж ж
2 .т д +т е
а
б
T
+Т
ж
........,...
trж
ж
в tr
rж
.........,.
ж
r
ж
.........,...
rж
r
Рис. 2.6. Центробежные l'1Ноrопатрубковые сепараторы
за счет радиаЛЬНО IЦелевоrо ввода в свободный объем сепаратора. Предвари
тельную очистку rаза в сепараторах с центробежными элементами KacKaдHoro
типа (рис. 2.6, д) проводят за счет центробежных сил в трубе подвода rаза,
KOTopa51 выполнена как самостоятельный центробежный сепарационный эле
мент. В некоторых сепараторах используют прямоточные элементы, которые
располаrают между двумя решетками (рис. 2.6, е, ж). Элементы снабжены Ka
налами рециркуляции и MorYT обеспечить эффективную очистку rаза при их
расположении rоризонтально или вертикально, в последнем случае с движе
23
а
t r
rж
.........
ж
2
t t t r
rж
.........,.
б
t r
в
t r
rж
......,..
д
rж
...........,..
...............
.............
оо
rж
ж
ж
Рис. 2.7. Сепараторы с се-rчатым коarулятором
нием потока сверху вниз или снизу вверх. Предварительная очистка rаза
происходит за счет столкновения потока с переrородкой в свободном объеме
пространства при повороте потока на 900 (рис. 2.6, е). Центробежные сепара
торы применяют в основном в качестве входных и промежуточных ступеней
очистки в установках комплексной подrОтQВКИ rаза, а также на маrистральных
rазопроводах. Иноrда [(ентробежные сепараторы применяют на концевой ступе
ни очистки rаза.
Более тщательное отделение жидкости от rаза осуществляется в сепарато
рах, снабженных сетчатыми (рис. 2.7) уши стекловолокнистыми (рис. 2.8)
Koary ляторами. fоризонтальный сетчатый Koary лятор (рис. 2.7, а, б) YCTaHaB
ливается в обе чайке сепаратора, соосной корпусу, И выполняет роль устройства
предварительноrо отделения жидкости от rаза, а также служит для укрупнения
мелких капель. На входе сепаратора на рис. 2.7, б расположен винтовой завих
24
а
tr
б
t r
ж
........
ж
......
t t trж
в
фrж
д
..rж
r
...........
-I.
ж
2 t rж е frж
r
ж
Рис. 2.8. Сепараторы со стекловолокиистым коаrулятором
ритель. Окончательная секция очистки rаза выполнена в виде rоризонтальной
сетчатой насадки. Вертикальные сетчатые коаrуляторы (рис. 2.7, в, 2, д) pac
положены в сепараторах за патрубком ввода таза в аппарат. Предварительное
отделение жидкости от rаза осуществляется в свободном объеме (рис. 2.7, д).
Окончательное отделение жидкости проводится в сетчатой насадке или в цeH
тробежных прямоточных элементах. При наличии в rазе очень мелких капель
жидкости используют сепараторы со стекловолокнистым Koary лятором, предназ
наченным для укрупнения капель жидкости (рис. 2.8). Окончательное отделе
ние укрупненных капель жидкости происходит в основной сепарационной ceK
25
а
б
IЖ
в
2
r
1
t r
fЖ
2
ж
..........
fЖ
Рис. 2.9. Нефтеrазовые rидроциклонные сепараторы:
f наклонные плоскости (полки), 2 rидроциклон, 3 каплеотбойная насадка
ЦИИ, выполненной в виде сетчатой насадки (рис. 2.8, а, 2), центробежной KOH
струкции (рис. 2.8, б, д, е) или жалюзийной насадки (рис. 2.8, в).
Принцип использования центробежной силы для отделения жидкости от
rаза находит применение также в rазонефтяных rидроциклонных сепараторах
(рис. 2.9). Для создания в них центробежноrо потока применяют rидроциклон,
устанавливаемый на боковой поверхности сепаратора и являющийся как бы ero
приставкой (рис. 2.9, а, б, в). Обычно rидроциклон представляет собой верти
кальный аппарат с ПЛОским танrенциальным вводом и направляющим патруб
ком в верхней части для отвода rаза и секцией перетока жидкости в нижней
части. Технолоrическую емкость выполняют в виде rоризонтальноrо сепаратора
с различными устройствами для дополнительноrо отделения жидкости от rаза,
характерными для нефтеrазовых сепараторов. Аналоrичные сепараторы приме
няются за рубежом.
Конструкции некоторых центробежных элементов, при меняемых в rазосе
параторах, приведены на рис. 2.10. Патрубки с осевыми и танrенциальными
завихрителями применяют в мноrопатру6ковых сепараторах, показанных на
рис. 2.6.
В rазонефтяных сепараторах обрабатывают rазожидкостную смесь со cpaB
нительно небольшим содержанием rаза, поэтому такую смесь следует называть
жидкоrазовой. [аз присутствует в ней в виде пузырьков. Разделение нефти и
rаза в них происходит в основном за счет rравитационной силы. Обычно в
конструкции rазонефтяных сепараторов предусматривают козырьки, дефлекто
ры, танrенциально расположенный вводный патрубок и друrие устройства, спо
собствующие повьппению эффективности процесса отделения rаза от нефти за
26
6 в
а ,, \ 2
l' l'
V (
I !
I
I I . I
I ;/
I
1
1
! \
д / \
t
,
........... r
'-...
Рис. 2.10. Центробежные элеl'1ентЫ rазосепараторов:
а, 6 с ташенциаЛЬНЫI>1: заВl!хрителем; в, l, д с осевым завихрителем; l, д с каналом
рециркуляции
счет истюльзования си.ll инерции и адrезии. Для интенсификации коалесценциИ
пузырьков rаза, а следовательно их укрупнения и быстроТ'о выделения из неф
ти, устанющивают эл ктромаrнитные, пневмовибраторные и ультразвуковые
источники. Осадительные секции 1'азонефтяных сепараторов нереДКО оборуду
ют наклонными плоскостями (пластинами, полками), предназначенными для
уменьшения толщины слОя нефти и более интенсивно1'О выделеНИ51 1'аза. Bыдe
ляющийся из нефти rаз захватывает каплИ жидкости, которые затем уносятся
потоком. Поэтому в верхней части сепаратора перед патрубком выхода rаза для
отделения капель жидкости, уносимых потоком 1'аза, устанавливают каплеотбой
ники насадки, в качестве которых MOryT использоваться швеллера, сетки, жалюзи
и т. Д. Поскольку при поступлении нефтеrазовой смеси в приемную секцию
нередко образуется пена, осложняющая процесс ВЫделения 1'аза из нефти, то
для ее 1'аrпения, а также снижения перемеII1ивания в сепараторе устанавливают
специальные переrородки, решетки и друrие подобные устройства.
Принципиальные схемы rравитационных вертикальных сепараторов с pa
27
диально щелевым вводом и rоризонтальных сепараторов тарельчатоrо типа
представлены на рис. 2.11. Для повышения эффективности работы нефтеrазо
Boro сепаратора, предназначенноrо для обработки нефти с высоким содержани
ем rаза, непосредственно перед сепаратором проводится отбор rаза, выделивше
rося из нефти в подводящем трубопроводе (рис. 2.11, 2). в этом случае rаз с
каплями жидкости направляется в каплеотбойник, располаrаемый над сепарато
а 2
2
lAL A A
1
rж r
......
1
3
в t r t r
2
trж 1 Фж tж
2
6 7 2
r
5
Лж 4
Рис. 2.11. fравитационные нефтеrазовые сепараторы:
а, б вертикальные с радиально щелевым вводом; в, l rоризонтальные тарельчатоrо типа; 1
наклонные плоскости; 2 каплеотбойные насадки; 3 СЛИВ жидкости; 4 подводящий трубопро
вод; 5 rазоотводные трубки; 6 сборный коллектор (депульсатор); 7 корпус каплеуловителя
28
ром. Устройство для предварительноrо отбора rаза позволяет также уменьшить
пульсацию потока и обеспечивает более равномерное поступление нефтеrазовой
смеси в сепаратор, поэтому это устройство называют депульсатором. Нередко
перед входом в сепаратор устанавливают дисперrатор, в котором происходит
дробление смеси, приводящее к увеличению поверхности контакта нефть rаз.
В каплеотбойниках для отделения капель нефти от rаза обычно используют
сетчатые насадки (рис. 2.12). В последнее время применяют каплеотбойники
со струнными насадками. Вертикальная сетчатая насадка является секцией
окончательноrо отделения капель жидкости (рис. 2.12, а) или осуществляет
предварительное отделение и выполняет функцию коаrулятора (рис. 2.12, в).
Тоrда окончательное отделение капель осуществляется в rоризонтальной сетке,
устанавливаемой перед патрубком выхода rаза. В некоторых rравитационных
rазонефтяных сепараторах rазожидкостный поток направляют на специальный
отражатель дефлектор, роль KOToporo может иrрать и стенка вертикальноrо
сепаратора. В результате удара жидкоrазовой смеси о препятствие происходит
первичное отделение rаза от жидкости. Для обеспечения плавноrо течения
жидкости без пенообразования в сепараторе устанавливают ряд rоризонталь
ных и наклонных поверхностей в виде полок, конусов, полусфер.
Разделители, которые используются в установках комплексной ПОДrотовки
rаза и конденсата, предназначены для отделения rаза от конденсата. ИХ KOH
струкция примерно такая же, как у нефтеrазовых сепараторов.
Обезвоживание нефти производится в аппаратах для разделения водонеф
тяных эмульсий rравитационных отстойниках, в которых разделение эмуль
сии происходит за счет силы rравитации. Малые размеры капель воды и неболь
тая разница плотностей нефти и воды требуют использования больших по
размеру аппаратов. Поэтому оснОвная проблема, решаемая в отстойниках,
укрупнение капель. Для укрупнения капель воды в результате их коалесценции
используют термохимические методы и обработку эмульсии в электрическом
поле. Аппараты, работа которых основана на этих принципах, называются Tep
мохимическими установками и электродеrидраторами.
; { !:п;
t Ж Ж
r Щ
t Ж
Рис. 2.12. Каплеотбойннки с сетчатыми насадками:
а, б для Оf{ончательнorо отделения жидкости; в длЯ предварительноrо отделения и коаrуляции
капель; f сетчатая насадка; 2 патрубок ввода СМеси
29
Основным принципом работы термохимических отстойных аппаратов яв
ляется ПОДоrрев эмульсии, что уменьшает вязкость нефти и тем самым увели
чивает скорость осаждения капель воды. Добавление в эмульсию химических
peareHToB деэму льrаторов способствует дестабилизации эмульсии и увеличе
пию скорости коалесцеIIЦИИ капель. Термохимические отстойники по KOHCTPYK
цИИ мало чем отличаются от rравитационных rазовых сепараторов. Отстойники
отличаются друr от друrа rеометрией емкости, копструкцией вводных и BЫBOД
IIЫХ устройств, а также некоторыми особенностями орrанизации rидродинами
ческоrо режима внутри отстойника. В настоящее время применяют в основном
rоризонтальные отстойные апнараты с отношением длины к диаметру, равным
примерно шести. Отличительной особешlOСТЬЮ отстойников является использо
вание специальных устройств ввода и вывода эмульсии, называемых маточни
ками, нредназначение которых состоит в равномерном распределении эмульсии
по сечениIO аппарата. Распределители для ввода эмульсии в аппараты MorYT
различаться. Это отличие зависит от Toro, подается эмульсия под слой дренаж
ной воды или прямо в нефтяную фазу. Если водопефтяная эмульсия подается
под слой дренажной воды, которая собирается в нижней части анпарата, то для
ускорепия разрушения струек нефти с каплями воды, вытекающих из отверстий
трубчатоrо маточника, отверстия в маточниках делают в нижней или боковой
части. Для paBllOMepHoro распределения эмульсии по сечению аппарата труб
чатые маточники устапавливают по высоте аппарата. Такое расноложение пе
всеrда удобно. Друrим устройством является маточник в виде короба, OTKpЫ
Toro снизу, с отверстиями в верхпей части. Эти короба устанавливают на пе
котором расстоянии друr от друrа па двух распределительных трубах, OTBep
стия в которых находятся прямо под коробами. В коробах происходит caMO
произвольпое разделение пефти и воды. Нефть вытекает сверху из отверстий
короба, а вода остается в нижней части. При подаче эмульсии в слой нефти
используют трубчатые маточНики с отверстиями в верхней части. При этом
возникает проблема распределения отверстий по длипе трубы для обеспечения
равпомерllOrо расхода жидкости. Неравномерпый расход приводит к нежела
тельному перемешиванию эмульсии ванпарате.
Водонефтяная эмульсия в объеме отстойника разделяется на воду, которая
раСlюлаrается в нижней части, и нефть. Четкой rраницы между нефтью и водой
пет, носкольку обе фазы разделяет нромеЖУТОЧlIЫЙ эмульсионный слой. Этот
слой существует в любом отстойнике и выполняет важные технолоrические
функции. Через этот слой проходит вся отстаивающаяся вода. Он способствует
процессу коалесценции на rранице раздела фаз, в самом слое может нроисхо
дить межкапельная коалесцеIIЦИИ, там же может фильтроваться мелкодиснерс
ная составляющая эмульсии, КOI"да сырая нефть проходит через промежуточныЙ
слой. Промежуточный слой может паходиться в состояпии дипамическоrо paB
новесия, коrда ero толщипа пе изменяется, уменьшаться или увеличиваться в
размерах. Стабилизация эмульсии в промежуточном слое приводит к замедле
нию коалесцеIIЦИИ капель, к росту высоты слоя и выпосу ero из аппарата, что
ухудшает качество обезвоживания нефти. Подобные явления часто паблюдаются
при обезвоживании ВЫСОКОl!арафюIИСТЫХ нефтей при IюпижеIIIIЫХ температурах.
Присутствие в пластовой воде солей обусловливает высокую элеКТРОIlро
водимость воды в ВОДОlIефтяной эмульсии, что используется для укрупнения
капель воды в электрическом поле. Апнараты для разделения водонефтяных
эму льсий с применением электрических полей называются электродеrидрато
рами. По тину используемоrо напряжения их делят на электродеrидраторы,
работающие на наlIряжении промышлешюй частоты, и электростатические дe
30
Рис. 2.13. Электродеrидратор:
1 электроды; 2 rраница раздела фаз, J pac
пределительное устройство (маточник)
t
3
2
rидраторы, работающие на постоянном электрическом токе. Наибольшее при
менение имеют электростатические деrидраторы. Они создаются на основе
отстойников всех типов: шаровых, цилиндрических вертикальных и rоризон
тальных. Во всех ПРОМЫIlIленных образцах электродеrидраторов распредели
тельные устройства располаrаются так, чтобы обеспечить вертикальный BOCXO
дящий потОк жидкости (рис. 2.13). Возможны устройства, в которых эмульсия
перед поступлением в отстойник предварительно укрупняется в электрическом
поле в электрокоалесценторе.
2.2. АБСОРБЕРЫ
в нефтяной и rазовой промышленности широкое распространение при
обработке приводных и попутных rазов получили процессы осушки и очистки
rаза, процессы rазоразделения методами низкотемпературной абсорбции, низко
темпераТУРfЮЙ конденсации и ректификации, а также стабилизации конденсата.
При этом, если в недалеком прошлом подrотовка rаза на промыслах оrраничи
валась осушкой и выделением конденсата, то в последние [оды в связи с
открытием и вводом в эксплуатацию крупных месторождений rаза, в составе
которorо наряду с леrкими yr леводородами мorут содержаться в большом
количестве тяжелые уrлеводороды, сероводород, диокись уrлерода, меркаптаны
и тяжелые парафиновые yr леводороды , промысловая подrотовка rаза по своим
функциям 11 процессам стала приближаться к технолоrии, на которой базируют
ся очистка 11 переработка rазов на rазо и нефтеперерабатывающих заводах [1 О].
Процесс массообмена между rазом и жидкостью в абсорберах осушки и
очистки rаЗа характеризуется высоким давлением (4 12 МПа), наличием в
промысловыIx установках достаточной энерrии rаза, требованием к минимально
му уносу дорorостоящеrо абсорбента (до 10 15 r на 1000 м З rаза), большими
расходами rаза (до 5 1 О млн. м З rаза в сутки на аппарат), малыми расходами
по жидкости (1 5 25 Kr на 1000 м з rаза) в абсорберах осушки и большими
31
расходами по жидкости и rазу в абсорберах очистки rаза от примесей и тяже
лых yr левородов [11]. Специфические условия процессов lIодrотовки rаза,
требования к созданию оборудования высокой производительности и эффектив
ности, а также условия транспортировки, моптажа и привязки оборудования в
отдалеппых труднодоступных и малонаселепных районах выдвиrают задачи по
созданию технолоrических аппаратов с минимальной удельной металлоемко
стыо. В связи с этим большое впимание уделяется вопросу интенсификации
нроцесса в колонных аппаратах за счет впедрения проrрессивных контактных
устройств, нозволяющих существенпо повысить удельные паrрузки по паровой
и жидкой фазам при сохранении высокой эффективпости разделения. MHoro
образие процессов промысловой подrотовки и различные нриродные и рабочие
условия свидетельствуют, что пе может быть единой универсальной KOHCTPYK
цИИ абсорбционноrо аппарата.
В установках комнлексной подrотовки rаза абсорберы применяются для
осушки rаза от влаrи и для извлечения из rаза тяжелых уrлеводородов.
Существуют два способа извлечения из rаза целевоrо компопента: адсорб
ЦИOIшый с использованием в качестве Ilor лотителей цеолитов и абсорбционный
с применением жидких пor лотителей абсорбентов. Первый снособ является
периодическим, поскольку он требует периодической смены твердоrо поrлотите
ля, для чеrо нужпо часто переключать потоки rаза и соответственно разоrревать
и охлаждать оборудование. Второй способ непрерывный, имеет меньшие
эксплуатационные затраты и стоимость оборудования, IIовышает надежность
работы, нрост в управлепии и контроле. Поэтому на промыслах используется
абсорбционный способ осушки rаза и извлечения тяжелых yr леводородов.
Cor ласно данным [12, 22], все мнorообразие абсорберов можно разделить
на три класса: барботажные, поверхностные и распыливающие.
В барботажных абсорберах I'аз проходит через слой жидкости в виде пузырь
ков или струи. Барботажпые абсорберы составляют следующие основпые rруппы.
1. Абсорберы со сплошным барботажным слоем, в котором осуществляется
непрерывный коптакт между фазами.
2. Абсорберы тарельчатоrо типа со ступепчатым контактом между фазами.
3. Абсорберы с подвижной (плавающей) насадкой.
4. Абсорберы с механическим перемешивапием жидкости.
К классу поверхностных абсорберов относятся апнараты, в которых по
верхпость коптакта фаз определяется rеометрической новерхпостью элементов
абсорбера. Эти аппараты делятся на следующие классы.
1. Поверхностные абсорберы с rоризонтальпым зеркалом жидкости.
2. Пленочные абсорберы.
З. Насадочпые абсорберы (с неподвижной насадкой).
4. Механические нленочпые абсорберы.
В распыливающих абсорберах поверхность контаюа фаз образуется путем
распыления жидкости в l'азе па мелкие капли. Этот класс абсорберов делится
на следующие l'руппы.
1. Абсорберы, в которых распыление жидкости производится форсунками.
2. Скоростные прямоточные расныливающие абсорберы, в которых распы
ление жидкости осуществляется за счет кинетической энерI'ИИ движущеrося с
большой скоростыо rазовоrо потока.
3. Механические раСl!ыливающие абсорберы, в которых жидкость распы
ливается вращающимися деталями.
Однако четкоrо разделения между указанными классами аппаратов прове
сти нельзя, так как при определенных rидродинамических условиях может
32
изменяться характер и метод образования межфазной поверхности. Так, в аб
сорберах тарельчатоrо типа при больших скоростях rазовоrо потока наступает
инверсия фаз, и абсорберы начинают работать как скоростные прямоточные
распыливающие. Работа абсорберов с подвижной насадкой при низких CKOpO
стях rаза не отличается от работы аппаратов с неподвижной насадкой. Можно
привести мпоrо друrих аналоrичных примеров.
В каждой из перечисленных rрупн аппаратов можно выделить KOHCTPYK
ции вертикалыюrо и rоризоптальноrо исполнения.
Для процессов абсорбЦИOIIIIОЙ осушки rаза и абсорбЦИOIшоrо извлечения
из rаза тяжелых уrлеводородов в установках комплексной подrотовки rаза
широко при меняются барботажные абсорберы тарельчатоrо типа, поверхностные
абсорберы пленочноrо и насадочпоrо типов, а также распыливающие форсуноч
ные и скоростные нрямоточные абсорберы.
На рис. 2.14, а показан вертикальный мнorоступенчатый тарельчатый аб
сорбер. Аппарат состоит из трех секций. Первая по ходу rаза секция сепарации
состоит из сетчатоrо отбойника, расположеrlIIоrо непосредствепно на входе rаза,
и сепарационной тарелки с 178 сепарационными элемеНтами центробежноrо
типа диаметром 60 мм (рис. 2.14, 6). Следующая по ходу rаза секция Macco
обмена включает нять контактпых ступеней, каждая из которых состоит из
ситчатой тарелки с отверстиями диаметром 6,3 мм (рис. 2.14, в), на которой
происходит массообмен, и сепарационной тарелки, оснащенной центробежными
элементами диаметром 60 мм. Последпяя но ходу rаза секция у лавливапия
абсорбента, например rликоля, состоит из переrородки с размещенными на ней
фильтр патронами длиной 1100 мм и диаметром 100 мм и сепарационной Tapek
ки, такой же, как и в секции сепарации. Фильтр патроны выполнены в виде
перфорировашюrо цилиндрическоrо каркаса с намоткой 10 15 слоев стекло
холста или техполотна из синтетических волокон. Изнутри и снаружи слой
фильтрующеrо материала закрепляется двумя тремя СЛОЯми рукавной сетки.
Подача абсорбента (при осушке rаза это реrенерированный rликоль) осуществ
ляется через патрубок диаметром 80 мм на верхшою ситчатую тарелку, а слив
насыщешюrо абсорбента через патрубок на полуrлухой тарелке. Сырой rаз
из системы сбора постунает через входной патрубок в сепарационную часть
мноrофУНКЦИOIraльноrо аппарата. Отделение большоrо количества жидкости,
содержащеrося в rазе в капельном виде, происходит на сетчатом отбойнике и
в межтарельчатом пространстве за счет силы rравитации. Отсепарировашraя
жидкость и механические примеси скапливаются в нижней части аппарата,
защищенной от возмущения потоком rаза нереrородкой из просечешюrо листа.
Частично очищенный rаз поступает на сепарационную тарелку, [де от Hero под
действием цеrпробежной силы отделяются мелкодисперсные капли, которые в
виде жидкой пленки стекают на полотно тарелки и далее через сливную трубу
в накопительную часть сепарационной секции. Очищенный от капельной жид
кости rаз нанравляется через конусообразный патрубок полуr лухой тарелки в
секцию массообмена. В верхшою часть массообмешюй секции подается pere-
нерИроВаrшЫЙ абсорбеrIТ, который контактирует с потоком rаза, осушает ero,
т. е. извлекает из rаза целевой компонент (в случае осушки это пары воды,
а в случае обработки rаза тяжелые уrлеводороды). Заметим, что в процессе
осушки rаза в качестве абсорбента используется r ликоль/ а в нроцессе извле
чения тяжелых уrлеводородов трансформаторное масло, нефть, конденсат и др.
Интенсивное контактирование фаз достиrается нутем барботажа rаза через слой
абсорбента на ситчатой тарелке, работающей в режиме уноса. Увлеченный потоком
rаза с ситчатой тарелки канельный абсорбент улавливается расналоженной сверху
3 1461 33
а
б 1f
Всесо 178
элементов J \
Всесо 120
фWlьтр
коаzулuрующux ......
патронов "'1
.......
....... .......
.., ,.
..... Всесо 172
элемента
......
'"
.......
Всесо на
.......
т елке
12 52 отв. eJ 6,3
'"
11 Всесо на
в
о--
таf,елке
....... 79 4 отв. eJ 6,3 ......
....... х .......
'"
lr)
.......
.......
о--
.......
о--
.
......
"'1
.......
.......
t--..
.......
Рис. 2.14. Вертикальный мноrоступенчатый тарельчатый абсорбер
сепарационной тарелкой и через rидрозатвор возвращается на повторное KOH
тактирование на ситчатую тарелку. Таким образом осуществляется циркуляция
абсорбента внутри ступени контакта. Осушенный rаз из массообменной секции
направляется в секцию улавливания, [де от Hero отделяется унесенный капель
ный абсорбент. Отработанный абсорбент, насыщенный извлеченным из rаза
компонентом (влаrой или тяжелыми уrлеводородами), направляется далее на
реrенерацию, в процессе которой он восстанавливается до рабочеrо состояния.
Такой же аппарат, но в rоризонтальном исполнении, показан на рис. 2.15.
В нем секция предварительной очистки rаза от жидкости представляет собой
сетчатый коаrулЯТОр, смонтированный на входе rаза в аппарат, и одну сепара
ционную тарелку. Секция массообмена состоит из пяти ступеней контакта,
представляющих собой комбинацию ситчатой тарелки с установленной над ней
на расстоянии 650 мм сепарационной тарелки. Секция окончательной очистки
rаза состоит из коалесцирующей насадки и сепарационной тарелки, предотвра
щающей унос абсорбента из аппарата. Тип сепарационных элементов во всех
секциях один и тот же прямоточно центробежный с танrенциальными завих
рителями. Работа rоризонтальнorо абсорбера основана на принципе противо
точноrо движения rаза и жидкости, причем переток жидкости от одной ступени
контакта к друrой осуществляется за счет использования энерrии rаза.
Из пленочных абсорберов наибольшее распространение в rазовой промьшr
ленности получили абсорберы с восходящим движением пленки. Принцип действия
аппаратов этоrо типа основан на том, что при достаточно высоких скоростях (более
1 О м/с) движущийся снизу вверх rаз увлекает жидкую пленку абсорбента в
направлении cBoero движения. Тем самым реализуется восходящий прямоток.
В таких аппаратах абсорбция проводится при больших скоростях (до 40 м/с), чем
достиrаются высокие коэффициенты массообмена фаз. На рис. 2.16 представлена
одна из конструкций абсорбера с восходящим потоком пленки. Аппарат включает
корпус с вмонтированными в Hero тарелками с инжекционнымИ элементами. Корпус
разделен на камеры вертикальными переrородками, не доходящими до ero стенок
и образующими каналы для прохождения rаза. Тарелки каждой камеры оснащены
инжекционными элементами, в верхней части которых расположены переrородки
для сбора отсепарированной жидкости в соседнюю камеру. Такая конструкция
обеспечивает противоточное движение rаза и жидкости по аппарату. Контактиро
вание фаз на каждой тарелке осуществляется в режиме восходящеrо прямотока.
К rруппе пленочных аппаратов можно отнести абсорберы с центробежны
ми контактными элементами, в которых поступающий снизу rаз проходит через
завихритель и увлекает вверх жидкость. Под действием центробежной силы
жидкость отбрасывается на стенку трубы, образуя на ней винтообразную дви
жущуюся вверх пленку. Подобные абсорберы с центробежными контактными
элементами имеют преимущество по сравнению с друrими конструкциями пленоч
ных абсорберов. Существует несколько конструкций центробежных контактных
элементов: с осевыми завихрителями вертикальноrо и rоризонтальноrо распо
ложения; с танrенциальными завихрителями. Диаметр элементов составляет
100 мм, все они оснащены устройствами для осуществления рецирку ляции и
отсоса rаза, способствующими повыениюю рабочей скорости, эффективности
сепарации и диапазона эффективной работы. Элементы с осевым завихрителем
снабжены осевыми лопаточными завихрителями с yr лом закрутки около 45°.
Третий элемент имеет танrенциальный завихритель; фактически это даже не
специальный завихритель, а просто поток rаза поступает в элемент по касатель
ной к поверхности через специальные щелевые прорези в стенке. Длина эле
ментов составляет три диаметра. Испытания танrенциальных элементов показа
3*
35
...
<=:з
со
'" ::
'&
Q '"
'" "1
'; ::
':: 1:
'"
$
'"
.а
"1
'"
со 1::[
...
0:= ==
1::[
Q
:: >'i
'" '"
= Q
'" '"
Q
.. со
Q '"
::
1:
Q
'" 0:= '"
....... '1
) ::
.а
"1 ci,
...
:: N
Q
'" c.i
::
со ::
Q
...
,...;
....
N
..;
::
а
11
б
iJ
t' 0100 \
, .,..
.".::'
,.."
, .........
........
.......
в
lf
...
Рис. 2.17. Вертикальный абсорбер пленочноrо типа
ли, что их эффективность больше, чем осевых элементов. На рис. 2.17, а
показана одна из конструкций мноrоФункциональноrо абсорбера, в котором
входная и выходная сепарационные секции оснащены танrенциальными цeHTpo
37
бежными элементами с устройствами для рецирку ляции и отсоса rаза (рис. 2.17, 6,
в). Контактирование rаза с абсорбентом осуществляется на четырех KOHTaKT
ных тарелках, оснащенных такими же центробежными элементами.
Насадочные абсорберы представляют собой колонны, контактная зона KO
торых заполнена телами различной формы. Контактирование rаза с жидкостью
происходит в основном на смоченной поверхности насадки, по которой стекает
орошающая жидкость. Поверхность насадки в единице объема аппарата боль
пrая, поэтому в сравнительно небольших объемах можно создать значительные
поверхности контакта, необходимые для эффективноrо массообмена фаз. Одна
из конструкций TaKoro абсорбера показана на рис. 2.18. Абсорбер состоит из
11
....
3
38
Рис. 2.18. МпоrоФупкциопальпый пасадочпый абсорбер
2
1
»
входноrо сепаратора {, контактной зоны, заполненной насадкой 2 и фильтр
сепаратора З. На этом же рисунке показаны виды насадок.
Форсуночные абсорберы, как правило, представляют собой аппараты rори
зонтальноrо типа и предназначены для установок подrотовки rаза с небольши
ми расходами. Их схемы представлены на рис. 2.19, а, 6. Аппараты снабжены
входными и выходными сепараторами. Контактная зона состоит из нескольких
одинаковых ступеней. В каждую ступень контакта реrенерированный абсорбент
подается через форсунку либо вдоль, либо против потока. Распыленный абсор
беf!Т блаrодаря большой поверхности контакта хорошо пorлощает целевой KOM
ПОнент из rаза. Отработанный абсорбент отделяется от rаза в узле сепарации
на каждой контактной ступени. Отличие абсорберов на рис. 2.19, а и рис. 2.19,6
сОстоит в обвязке подачи абсорбента. На первом рисунке показана прямоточ
ная. мноrоступенчатая абсорбция, а на втором ступенчатая прямоточно проти
ВОl'очная абсорбция. Второй способ подачи отличается от первоrо меньшим pac
Ходом абсорбента и более четким разделением. Ero недостатком является слож
Насть перекачки абсорбента из одной секции в друrую.
а
Входной
сепаратор
r
А
Концевой
сепаратор
,
Абсорбер
Реzенерuрованный абсорбент
I
I
I
Конденсат
Насыщенный абсорбент
б
Реzенерuрованный абсорбент
с:>
I
I
I
I
I
I
.
Конденсат
Насыщенный абсорбент
Рис. 2.19. Схема обвязки форсуночных абсорберов:
а прямоточная мноrоступенчатая абсорбция; б ступенчатая Пря.\!()Точно противоточная абсорбция
39
2.3. ОХЛАЖДАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Основными устройствами для получения холода на промысле являются
дроссели, теплообменники, турбодетандеры, аппараты воздушноrо охлаждения и
установки искусственноrо холода.
Дросселирование rаза производится в дросселях, которые представляют
собой устройства (шайбы, сопла), уменьшающие поперечное сечение трубопро
вода, по которому движется rаз. В результате резкоrо сужения сечения трубы
увеличивается скорость rаза и уменьШается давление и температура. Падение
температуры примерно пропорционально падению давления. Коэффициент
пропорциональности определяется из термодинамических соотношений в COOT
ветствии с эффектом Джоуля Томпсона. Для уrлеводородных природных
rазов он имеет порядок 0,3 rрад/атм. Так, для охлаждения rаза на десять
rрадусов необходим перепад давления в 3 МПа. Низкая термодинамическая
эффективность эффекта дросселирования оrраничивает срок ero использования,
поскольку с течением времени эксплуатации месторождения пластовое давле
ние падает, а следовательно, падает давление и на входе установки комплексной
подrотовки rаза. Примерно через десять лет эксплуатации месторождения при
существующих темпах отбора rаза дросселирование rаза перестает давать He
обходимый холод, и В дальнейшем необходимо либо увеличивать давление с
помощью дожимной компрессорной станции, либо использовать друrие источни
ки холода.
Эффективной установкой получения холода является турбодетандерный
arperaT [13]. Охлаждение rаза в Т ДА достиrается орrанизацией процесса pac
ширения rаза, протекающеrо через Т ДА, с совершением внешней работы. В pe
зультате происходит снижение давления и температуры rаза. На рис. 2.20
схематично показано меридиональное сечение проточной части турбодетандера.
В ступени турбодетандера элементами, в которых преобразуется энерrия rаза,
являются неподвижныЙ сопло вый аппарат 1 с сопловыми лопатками 2 и Bpa
щающееся колесо 4 с рабочими лопатками З. Развертка на плоскости цилинд
рическоrо сечения лопаточных аппаратов турбодетандера показана на рис. 2.21.
Там же отмечены характерные скорости rаза и силы, возникающие в результате
взаимодействия rаза с рабочими лопатками колеса. Вращающаяся часть турбо
детандера, состоящая из колеса с лопатками и вала с подшипниками, называется
ротором, а неподвижная часть корпус, сопло вый аппарат и друrие детали
статором. Принцип действия турбодетандера состоит в следующем. [аз со CKO
ростью Vo поступает в межлопаточные каналы сопловоrо аппарата и расширяет
I
2 I I
{"'- "'- "'- "'- "
I I
I 3
I
A
4
Рис. 2.20. Схема меридио
нальноrо сечения проточ
ной части ступени турбо
детандера
40
Рис. 2.21. Развертка на плос
кости цилиидрическоrо сече
ния А А турбодетандера
(см. рис. 2.20)
и
ио
ся в них от начальноrо давления Ро до давления Р1 < Ро. В результате скорость
rаза увеличивается дО V1, а температура уменьшается. Выйдя из сопловоrо
аппарата под yr лом а 1 к плоскости вращения колеса, rазовая струя попадает в
каналы между ero рабочими лопатками, в которых осуществляется дальнейшее
расширение rаза до давления Р2 < Р1, а следовательно, ero охлаждение. Вместе
с этим на рабочих лопатках достиrается значительное изменение направления
движения rаза в результате поворота струи. Изменение количества движения
приводит к появлению силы, действующей на рабочие лопатки и заставляющей
их вращаться.
В зависимости от направления потока rаза различают осевые и радиаль
ные турбодетандеры. В первых поток в основном движется вдоль цилиндриче
ских поверхностей, оси которых совпадают с осью вращения колеса. В pa
диальных центробежных турбодетандерах rаз движется от оси рабочеrо колеса
к периферии, а в центростремительных в обратном направлении. Особенно
стью работы радиальных турбодетандеров является то, что в рабочем колесе
rазовый поток, расширяясь, производит работу в поле центробежных сил. При
прочих равных условиях это приводит К уменьшению скорости выхода rаза из
колеса TaKoro детандера по сравнению с осевым. Из за этоrо эффекта в цeH
тростремительных турбодетандерах на рабочих колесах применяют повышен
ные перепады давления rаза.
Осевые и радиальные турбодетандеры MorYT быть OДHO и мноrоступенча
тыми. Применение мноrоступенчатых турбодетандеров целесообразно при необ
ходимости болыпоrо понижения давления и температуры rаза. Радиальные
турбодетандеры применяют rлавным образом в установках с небольшими pac
ходами rаза. Осевые турбодетандеры используют для получения холода в yc
тановках с большими расходами rаза.
Поскольку на валу турбодетандера развивается большая мощность, то
потребителями ее MorYT быть reHepaTopbl, насосы и компрессоры. В этом состоит
основное преимущество использования турбодетандеров по сравнению с дpoc
селями, поскольку в последних энерrия от потери давления пропадает.
Теплообменники используются на промыслах для HarpeBa, охлаждения
конденсации и испарения жидкости, rаза, пара и их смесей. Наиболее распро
странены теплообменники типа труба в трубе, кожухотрубчатые и аппараты
воздушноrо охлаждения (АВО). Теплообменник типа труба в трубе представ
ляет собой две коаксиальные трубы, по внутренней трубе движется наrреваемая
41
или охлаждаемая среда (rаз, жиДкость), а по межтрубному пространству
наrреваемый или охлаждаемый areHT (rаз, жидкость). Движение areHTa и среды
может нроисходить как в прямотоке, так и в противотоке. Обычно теплообмен
ники TaKoro типа состоят из нескольких секций. Простота конструкции и He
сложная система подачи в них инrибитора rидротообразования обусловливает
использование таких теплообменников в установках НТС. Охлаждающим areH
том является отсепарированный холодный rаз, ноступающий из низкотемпера
TypHoro сепаратора в межтрубное пространство теплообменника. Кожухотруб
чатый теплообменник по сравнению с теплообмеНIiИКОМ типа труба в трубе
имеет большее применение, что объясняется ero меньшей металлоемкостью. Но
из за отсутствия надежной системы подачи инrибитора rидратообразования эти
теплообменники применяются, если охлаждение в них rаза производится до
температуры не ниже температуры rидратообразования или если перед тепло
обменником rаз предварительно осушается от влаrи.
В зависимости от вида охлаждаемоrо areHTa и охлаждаемой среды разли
чают тенлообменники типа rаз rаз, rаз вода, конденсат конденсат и т. п.
Аппараты воздушноrо охлаждения предназначены для работы на открытом
воздухе в районах с умеренным и холодным климатом. Различают конструкции
АВО дЛЯ охлаждения природноrо rаза, для охлаждения природноrо rаза и
конденсата, для охлаждения воды.
Подробные сведения об остальном оборудовании (насосы, компрессоры
и др.) можно найти в работах [14 16].
3
3. ОСНОВНЫЕ ПРОЦЕССЫ РАЗДЕЛЕНИЯ
мноrОФАЗНЫХ мноrОКОМПОНЕНТНЫХ
v
уrЛЕВОДОРОДНЫХ СМЕСЕИ
Добываемое уrлеводородное сырье представляет собой мrюrофазную MHO
rокомпонентную смесь. Формирование мноrофазпой смеси, включая и водонеф
тянуто эмульсию, начинается в пласте, затем продолжается при движении в
скважине, в элементах системы сбора и подrотовки и в маrистралыюм трубо
проводе в результате изменения термобарических условий, а также rеометриче
ских размеров областей, по которым движется смесь. Если эти изменения проис
ходят достаточпо медленно по сравнению с характерными временами YCTaHOB
ления в системе фазовоrо равновесия, например при движении смеси в пласте
и в скважине, то можно считать, что движепие смеси происходит в условиях
термодинамическоrо и динамическоrо равновесия. Это значит, что, задав исход
пый компонентный состав всей смеси и зная давление и температуру в Иlrтере
сующей точке, в принципе можно определить удельные объемы и компонентпый
состав фаз, используя уравнепия фазовоrо равновесия. В настоящее время
имеется хорошо развитая полуэмпирическая теория расчета парожидкостноrо
равновесия систем природпых уrлеводородов [2], позволяющая с достаточной
степенью точности проводить подобные расчеты (этому посвящен раздел 5.7).
Сложней обстоит дело с расчетами фазовоrо равновесия систем, содержащих
воду. Этому вопросу посвящены работы [17 20]. Изложенные в них резу ль
42
таты позволяют в пекоторой степени оценить равновесное содержание влаrи в
уrлеводородном rазе и, в частности, температуру образования rидратов. Данные,
необходимые для проведения расчетов трехфазных систем, например нефть
rаз вода или конденсат rаз вода, в настоящее время отсутствуют.
Отсутствие в системе фазовоrо и динамическоrо равновесия приводит к
необходимости учитывать кинетику процессов. Подобное имеет место при pac
смотрении движения смесей в областях с быстро изменяющимися внешними
условиями, которые существуют в дросселях, теплообменниках, турбодетандерах,
в сепараторах, отстойниках, абсорберах и друrих устройствах. Нарушение Tep
модинамическоrо и динамическоrо равновесия приводит к интенсивному обра
зованию (нуклеации) одной из фаз (жидкой, rазовой) с образованием капель
и пузырьков и дальнейшему их росту в результате межфазноrо массообмена
(конденсации, испарения), сопровождающеrося процессами взаимодействия Ka
пель, пузырьков и друrих образований, нриводящих к коаrуляции, коалесценции
и дроблению.
Анализ физических процессов, происходящих в установках подrотовки
нефти, rаза и конденсата, позволяет сделать вывод, что основными процессами
являются разделение фаз (жидкости от rаза, I'аза от жидкости, жидкости от
жидкости, твердых частиц примеси от rаза или от жидкости), а также извлече
ние определенных компонент из rазовой или жидкой смеси. В специальной
литературе, носвященной этим процессам, каждый процесс имеет свое название.
Так, процесс отделения жидкости от rаза или rаза от жидкости называется ce
парацией, жидкости от жидкости деэмульсацией, разделение суспензий, т. е. жид
костей или rазов с твердыми частицами, седиментацией и т. д. С физической
точки зрения любой из неречисленных процессов нроисходит под действием
определенных движущих сил, заставляющих фазы или компоненты одпой из
фаз разделяться. Для rетероrепных смесей такими движущими силами являют
ся силы I равитации, иперции, поверхностные и rидродинамические силы, элект
ромаrнитные силы и термодинамические силы. Для rOMoreHHbIx смесей, например
смеси rазов или растворов, Дl3ижущими силами являются I'радиенты KOHцeHTpa
ций, температуры, давления, химических потенциалов. Математическое модели
рование этих процессов основывается на единых физических законах coxpaHe
ния массы, количества и момента количества движения, энерrии, дополненных
феноменолоrическими соотношениями, конкретизирующими модель рассматри
ваемой среды, а также начальными и rраничными условиями. Сказанное позво
ляет объединить все мноrообразие рассматриваемых физических процессов в
рамках единой теории сепарации мноrофазных мноrокомпопентных систем. Для
лучшеrо понимания специалыюrо материала в разделах 111 VII в разделе 11
изложены физико химические основы процессов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Жданова Н, В., Халuф А. Л. Осушка природных rазов. М.: Недра, 1975. 158 с.
2. Баталuн О. Ю., Брусuловскuй А. И., Захаров М. Ю. Фазовые равновесия в системах
природных уrлеводородов. М.: Недра, 1992. 272 с,
3. Тужов А. И. Совместный сбор и транспорт нефти и rаза. М,: Недра, 1973. 280 с.
4. ЛОluнов В. И. Обезвоживание и обессоливание нефтей. М.: Химия, 1979. 216 с.
5. Берлuн М, А., Тореченков В. Т., Волков Н. П, Переработка нефтяных и природных
rазов. М.: Химия, 1981. 472 с. .
6. Триценко А. И., Александров И. А., Таланuн И. А. Физические основы переработки и
использования rаза. М.: Недра, 1981. 224 с.
7. Маринин Н. С" Савватеев Ю, Н. Разrазирование и предварительное обезвоживание
нефти в системах сбора. М.: Недра, 1982. 171 с.
43
8 Бараз В И Добыча нефтяноrо rаза М Недра, 1983 252 с
9 Сuнайскuй Э Т, Туревuч Т Р, Кащuцкuu Ю А н др Эффективность сепарационноrо
оборудования в установках промысловой подrотовки rаза/ /Обзор М ВНИИЭfАЗПРОМ
1986 Вып 6 41 с
10 Мuльштеuн Л М, Бойко С И, Запорожец Е П Нефтеrазопромысловая сепарацион
ная техника CnpaIj пособие/Под ред Л М Мильштейна М Недра, 1992 236 с
11 Тореченков В Т и др Состояние и перспективы развития абсорбционных процессов
очистки rаза/ /fазовая промышленность Обз инф Сер Подrотовка и переработка та1а и rазо
Boro конденсата М ВНИИЭfАЗПРОМ 1984 .NO 7 С 1 4
12 Зuберт Т К, Александров И А Контактные устройства массообменных аппаратов для
процессов подrотовки и переработки природных и попутных rазов/ /Экспресс информация М
ЦИНТЕХИМНЕФТЕМАШ 1980 No 6
13 Рамм В М Абсорбция rазов М Химия, 1976 656 с
14 Язик А В Турбодетандеры в системах промысловой подrотовки природноrо rаза М
Недра, 1977 173 с
15 Тазовое оборудование, приборы и арматура Справ пособие/Под ред Н И Рябцева
М Недра, 1985 527 с
16 Твоздев Б В, Триценко А И, Корнилов А Е Эксплуатация rазовых и rазоконденсат
ных месторождений М Недра, 1988 575 с
17 Добыча, подrотовка и транспорт природноrо rаза и конденсата Справ руководство
В 2 т/Под ред ю П Коротаева, Р Д Марryлова М Недра, 1984
18 Намиот А Ю Фазовые равновесия в добыче нефти М Недра, 1976 183 с
19 Намиот А ЮРастворимость rазов в воде Справ пособие М Недра, 1991 167 с
20 Aпdersoп F Е, Prausтtz J М InhlbltIOn of gas hydrates Ьу methanol/ / AICHE J
1986 V 32 No 8 Р 1321 1333
21 Истомин В А, Якушев В С fазовые rидраты в природных условиях М Недра,
1992 2З6 с
22 Скобло А И, Молокаllов Ю К, Владuмuров А И, Щелкунов В А Процессы и
аппараты нефтеrазопереработки и нефтехимии М Недра, 2000 677 с
11
ФИ3ИКО ХИМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕхнолоrИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
4
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
4.1. ФЕНОМЕнолоrИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Поведение сплошной среды описывается уравнениями, следующими из
законов сохранения массы, заряда, количества движения, момента количества
движения и энерrИИ. Эти уравнения должны быть дополнены соотношениями,
отражающими принятую модель сплошной среды, которые называются опре
деляющими уравнениями или феноменолоrическими соотношениями. Приме
рами определяющих уравнений являются закон Навье Стокса, который yc
танавливает линейную зависимость тензора напряжений от тензора скоростей
деформаций; закон Фурье, соrласно которому поток тепла пропорционален
rрадиенту температуры; закон Фика, в соответствии с которым поток массы
пропорционалеп rрадиенту концентрации вещества; закон Ома, который r ла
сит, что сила тока в проводящей среде пропорциопальна напряженности прило
женноrо электрическоrо поля или rрадиенту потепциала. Эти определяющие
уравнения были получены эксперимептально. Коэффициенты пропорциональ
ности коэффициенты вязкости, теплонроводности, диффузии, электропровод
ности, называемые коэффициентами переноса, MorYT быть получены ЭКСIIери
менталыю, а в некоторых случаях и теоретически с использованием кинети
ческой теории [1].
у равпения сохранения и определяющие уравнения образуют феноменоло
rическую модель сплошной среды.
Если рассматривается жидкость, содержащая частицы, то дисперсная фаза
также рассматривается как сплошная среда, и для ее описания необходима своя
феномеполorическая модель, определяющие уравнения которой MorYT отличать
ся от определяющих уравпепий пепрерывной фазы.
Поток массы и энерrии осуществляется в сплошной среде при наличии
пространственных rрадиентов параметров состояния, таких, как температура,
давление, электрический потенциал. Переменные, подобные объему системы, ее
массе, числу молей, называются экстенсивными, так как их значения зависят от
общеrо количества вещества в системе. В противоположность им перемепные,
подобные температуре, давлению, мольной доле компонента, электрическому
45
потенциалу, являются интенсивными, так как они имеют определенные значения
в каждой точке системы. Поэтому определяющие уравнения задают связь меж
ду потоками и rрадиентами интенсивных параметров. В перечисленных выше
определяющих уравнениях поток зависит только от rрадиента одноrо парамет
ра. Возможны случаи, коrда поток является суперпозицией rрадиентов несколь
ких параметров. Так, поток массы определяется rрадиентами концентрации,
давления, электрическоrо потенциала, поэтому определяющее уравнение связы
вает поток массы с перечисленными rрадиентами. Эти связи носят тензорный
характер. Заметим, что скаляр и вектор являются тензорами соответственно
нулевorо и первоrо paHra. В механике сплошной среды используются еще
тензоры BToporo paHra тензоры напряжений и скоростей деформаций. Так,
законы Фурье, Фика и Ома для изотропных сред являются векторными, а закон
Навье Сток са тензорным.
4.2. ПЕРЕНОС КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Реальная жидкость вязкая, характеризуется внутренними сдвиrовыми Ha
пряжениями и вязкой диссипацией энерrии. Процессы, происходящие в вязкой
жидкости, термодинамически необратимы и обладают пространственной HeOДHO
родностью.
Рассмотрим жидкость, подчиняющуюся ньютоновскому закону пропорци
ональности сдвиrовоrо напряжения скорости сдвиrа, на примере течения Куэтта
(рис. 4.1).
Течение Куэтта представляет собой стационарное сдвиrовое течение между
двумя бесконечными параллельными плоскостями, находящимися на малом pac
стоянии h друr от друrа. Одна из плоскостей покоится, а друrая движется
поступательно с постоянной скоростью и вдоль оси х. Давление р в жидкости
постоянное. Скорость жидкости имеет одну составляющую u (у) вдоль оси х,
удовлетворяющую условиям прилипания жидкости на поверхностях у'" о и
у'" h, т. е. U (О) '" о и u (h) '" U. Рассмотрим произвольный бесконечно малый
и
.,.., .........---...........
/',/ дт ух .......
/' Tyx+ Y"
/ ду '\
/ \
I \
I \
I \
\ I
\ I
\ I
\ /
'\ Т ух /
" /'/'
....................... ----/
и
у
х
Рис. 4.1. Течение Куэтта
46
элемент жидкости (см. рис. 4.1). Баланс сил, действующих на элемент со
стороны жидкости, дает
(Луt
Ft == дijD.ytu .1.
(4.1)
Здесь .ух проекция сдвиrовоrо напряжения на площадке, перпендику
лярной оси у, на ось х. В дальнейшем условимся брать .ух на площадке с
внешней нормалью n, направленной по оси координат, со знаком плюс, а на
площадке с нормалью, направленной в противоположном направлении, со
знаком минус.
Из BToporo закона Ньютона для рассматриваемоrо жидкоrо элемента сле
дует, что
L. Fx == Р !:J.ytu .1, (4.2)
rде р плотность жидкости; Du/Dt субстанциональная ПРОИЗБодная:
Du ди ди
Dt = дt + u дх ' (4.3)
В рассматриваемом случае L Ft == О, и соrласно (4.1) получим
.ух == const. (4.4)
В соответствиИ с ныооповскимM определяющим уравнением имеем
du
.ух == 11 dy ' (4.5)
Здесь 11 динамический коэффициент вязкости жидкости, зависящий от
температуры и в меньшей степени от давлепия.
Жидкость, подчиняющаяся закопу (4.5), называется ньютоновской. Все
rазы и большинство жидкостей можно считать НЬЮтоновскими. Однако суще
ствуют ЖИДКОСТИ, например нолимерные растворы, суспензии с большой KOHцeHT
рацией частиц дисперсной фазы, которые не подчиняются закону (4.5). Такие
жидкости называются неныотоновскими.
Из (4.5) и (4.4) с учетом rраничных условий находим распределение
скорости
и==u К
h
(4.6)
и сдвиrовое напряжение
и
· У" 11 h .
(4.7)
Выражение для сдвиrовоrо напряжения можно трактовать [2] как поток
x ro компонента количества движения вязкой Жидкости в направлении, проти
воположНОМ направлению оси у. Этот поток индуцируется верхней движущейся
плоскостЬЮ, а поскольку нижняя плоскость покоится, ТО поток количества дви
жения вызывает движение жидкости в направлении оси х.
Таким образом, поток количества движения направлеп против направления
rрадиента скорости, поэтому rрадиепт скорости можно рассматривать как дви
жущую силу процесса Ilере юса количества движения.
Наряду с динамическои вязкостью 11 вводят кинематическую вязкость
v = Il/p.
(4.8)
Кинематическая вязкость имеет размерность м 2 / с. Такую же размерность
47
имеет коэффициент диффузии, поэтому v можно трактовать как коэффициент
диффузии количества движения в вязкой жидкости.
Как уже отмечалось, коэффициент вязкости зависит от температуры, но
практически не зависит от давления. С ростом температуры вязкость rазов
увеличивается, а вязкость жидкости уменьшается. Подобное различие объяс
няется различными механизмами переноса количествами движения в rазе и в жид
кости. В rазе молекулы находятся относительно далеко друr от друrа и xapaK
теризуются средней длиной свободноrо IIробеrа молекул 1. Поэтому в rазе
v =и1, (4.9)
[де u средняя скорость молекулы, пропорциональная п.
в жидкости картина ипая. Поскольку молекулы в жидкости находятся близко
друr от друrа, то им требуется rораздо большая энерrия активации I1С, чтобы
переместиться в соседнее вакантное положение. fрадиент скорости в направлении,
перIIендикулярном направлению движения жидкости (du/dy) , равен напряжепию
сдвиrа .ух, умноженному на ехр ( I1С / АТ), [де А rазовая постоянная, имеющая
смысл вероятности попадания молекулы в соседнее вакантное положение. Если
жидкость течет в направлении перемещения молекулы, то эта вероятность пропор
циональна .уп поскольку напряжение сдвиrа заставляет молекулу совершать дo
полнителыIIo работу в направлении течения. В силу соотношения (4.5) получим,
что v ехр ( I1C/ АТ), т. е. вязкость убывает с увеличением температуры.
Обобщим теперь закон (4.5) для TpexMepHoro случая. Напряжение па
площадке в жидкости зависит от ориентации этой площадки, т. е. от паIIрав
ления внешней нормали n (рис. 4.2).
Рассмотрим точку жидкости х (Х, у, z) в не который момент времени и в
окрестности этой точки три взаимно ортоrопальные площадки, перпендикуляр
ные векторам i, j, k. Обозпачим через t и), t (j) и t (k) напряжения на этих
площадках. Каждое из этих напряжений можно разложить по координатным
осям (рис. 4.3). Torдa проекции напряжения t на площадку произвольной
ориентации с нормалью n имеют вид
t r = .нnх + .ухnу + .пn"
t y = .хуn, + .ууn'l + .",n"
t z = .rznr + .yzn y + .zzn z .
(4.10)
t(i)
t(j)
z
у
Рис. 4.2. СИЛЫ на площадках, перпендикудяриых координатным осям
48
Рис. 4.3. Напряжеиия на площад
ках, перпендикулярных координат
ным осям
z
Tzz
В 'ti] первый индекс обо
значает ось, к которой пер'
пендикулярна рассматривае
мая площадка, а второй
проекцию напряжения на co
ответствующую ось. Таким
образом, 'tij образуют девять
компонент, зависящих от х
и t. Они являются компо
нентами тензора BToporo paH
ra Т, который называется
тензором напряжений. Co
кращенно (4.10) можно за
писать в виде
х
у
t; 'tji nj,
(4.11 )
имея в виду, что в правой части производится суммирование по повторяющимся
индексам.
Определенный таким образом тензор напряжений характеризует напря
женное состояние жидкости в точке х. Если в жидкости отсутствуют BHYTpeH
ние распределенные моменты (пары), то тензор напряжений симметричный,
т. е. 'tij 'tji.
Коrда rоворят, что жидкость ньютоновская, то предполаrается что:
1) жидкость изотропная, т. е. ее свойства одинаковы во всех направлениях;
2) если жидкость невязкая или находится в состоянии покоя, то
т pI,
(4.12)
rде 1 единичный тензор с компонентами
8.. { О при i *- j,
'} 1,
1 при 1 J;
3) если жидкость вязкая, то тензор напряжений является линейной функ
цией тензора скоростей деформации Е
т ( р + 2: е)I + 2JlE рI + П.
(4.13)
Компоненты тензора скоростей деформаций равны
1 ( дИ; дUj )
tij 2' дх j + .
(4.14)
Входящее в (4.13) е Ен V . и является первым инвариантом тензора
скоростей деформации.
Если ньютоновская жидкость несжимаема, то V . и О и в декартовой системе
координат из (4.14) следует
4 1461 49
ди ди 2 дш
't xr == p + 211 дх ' 't yy == p + 211 ду ' 't zz == p + llдZ'
( ди ди ) ( ди дШ )
't ху == 't у< == 11 ду + дх ' 't <z == 't п == 11 iJz + '
(4.15)
( ди дШ )
't yz == 't zy == 11 iJz + '
rде и, v и w компоненты скорости u.
4.3. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ПЕРЕНОС ТЕПЛА
Перенос тепла в жидкости может осуществляться за счет теплопровод
ности, конвекции, диффузии и излучения. Поскольку перенос тепла за счет
конвекции и диффузии будет рассмотрен в соответствующих разделах, а пе
ренос тепла за счет излучения мал (он существен только при очень высоких
температурах), то рассмотрим только перенос тепла за счет теплопроводности.
Если в жидкости имеется rрадиент температуры 'УТ, то в соответствии с
законом Фурье поток тепла пропорционален 'УТ и направлен в сторону, про
тивоноложную 'УТ:
q== kVT.
(4.16)
Коэффициент k называется коэффициентом теплопроводности. Наряду с
ним часто вводят коэффициент температуропроводности (иноrда ero называют
коэффициентом теплопроводности)
а== k/Cpp,
(4.17)
rде С р удельная теплоемкость при постоянном давлении. Заметим, что для
несжимаемой жидкости С р == Си == С.
Размерпость а такая же, как у коэффициента диффузии и кинематической
вязкости, поэтому процесс переноса тепла за счет теплопроводности можно Tpaк
товать как диффузию тепла с коэффициентом диффузии а, имея в виду, что
механизмы переноса при диффузии и теплопроводности идентичны. Коэффициент
теплопроводности rазов увеличивается с ростом температуры. Для большинства
жидкостей k уменьшается с увеличением Т. Полярные жидкости, например вода,
являются исключением. Для них зависимость k (Т) имеет максимум. Как и коэф
фициент вязкости, коэффициент теплопроводности слабо зависит от давления.
Поток тепла может быть вызван также rрадиентом концентрации (эффект
Дюфура). Однако он, как правило, мал, поэтому в дальнейшем будем им пре
небреrать.
4.4. ДИФФУЗИЯ И ПЕРЕНОС МАССЫ
Диффузия или перенос массы i ro компонента в мноrокомпонентной смеси
возможен, если есть пространственный rрадиент концентрации этоrо компонента
(обычная диффузия), rрадиент давления (бародиффузия), rрадиент TeMIIepaTY
ры (термодиффузия) и есть внещние силы, избирательно действующие на pac
сматриваемый компонент (принудительная диффузия) [2]. Поэтому rрадиенты
концентрации, давления, темнературы и внешние силы можно рассматривать как
движущие силы процесс а диффузии. В этом разделе рассмотрим диффузию
только за счет rрадиента концентрации.
Начнем рассмотрение с процесса диффузии в бинарной смеси, например
50
диффузии красящеrо вещества в воде. Если в какой то точке жидкости ввести
красящее вещество, то оно растекается в жидкости. Поток краски нанравлен из
области большей ее концентрации в область меньшей концентрации. OДHOBpe
менно наблюдается перенос молекул жидкости в противоположном направ
лении. Через некоторое время процесс устанавливается, диффузия нрекраща
ется и раствор становится однородным. ПриведеШIЫЙ пример является ти
пичным примером бинарной диффузии, причем коэффициеrrт диффузии D 12
краски относительно воды равен коэффициенту диффузии D 21 воды относитель
но краски.
Существует несколько способов задания концентрации вещества [2]:
1) массовые концентрации
т, масса i ro компонента
р, v объем смеси
( ) .
м З '
(4.18)
2) мольные концентрации
С !!:!. число молей l ro компонента
, v объем смеси
( моль ) .
мЗ ,
(4.19)
3) массовые доли (безразмерные)
(о == Е..!.. == массовая концентрация i ro компонента .
, Р плотность смеси
(4.20)
4) мольные доли
С, мольная концентрация l ro компонента
Х, == С == мольная плотность смеси
Средняя мольная масса смеси определяется соотношением
М == р/с.
(4.21)
(4.22)
в табл. 4.1 приведены формулы, дающие связь между концентрациями,
определенными соотношениями (4.18) (4.22).
Имеется [2] несколько определений средней скорости движения мнorоком
понентной смеси, в которой компоненты движутся с разными скоростями и,.
Среднемассовая скорость смеси
U == t LP,U,.
Среднемольная скорость определяется соотношением
и* == L,C,u,.
(4.23)
(4.24)
Таблица 4.1
Концентрации
массовые мольные
Llй, =1 т, Р, LX, = 1
т, = п,М,; р, = С,М,; п, = М, ; С, = М, ;
m=Lm" P=LP,; (L :,) 1 = М n == L n 1 ; C=LC,; Lx,M, = М
т, Р, х,М, п, С, ш,/М,
(01 ==m' Ш'=р; lй Х, = п=С=
' LXjMj Llйj/Мj
4*
S1
в правых частях (4.23) и (4.24) стоят индивидуальные потоки
. .* С
}, :=: Р,Иi, },:=: ,И,.
(4.25)
Заметим, что Р, И" С, И" ри и Си* нредставляют собой потоки l ro компо
нента и всей смеси относительно некоторой неподвижной системы координат.
Для предельно разбавленных растворов и в случае М 1 :=: М 2 == ... == М п имеем
и == И*.
В мноrокомпонентных системах интерес представляют не индивидуальные
потоки, а потоки относительно всей смеси:
Ji :=: Рi(Иi И), Ji* :=: Сi(Иi и*). (4.26)
Рассмотрим сначала бинарную смесь. Соrласно закону Фика
J . D J *.* *
1==}1 Р1И== Р 12'1(01, 1 ==}1 С1И == CD12'1XI,
* *
причем D 12 :=: D21' J2 :=: JI' J2 :=: JI .
В частном случае ностояшюй плотности жидкости Р получим
(4.27)
Jl == D12'1Pl'
(4.28)
Коэффициент D 12 называется коэффициентом бинарной диффузии, хотя
часто ero обозначают просто D. В rазах D 12 практически не зависит от состава,
увеличивается с ростом температуры и обратно пропорционален давлению.
В жидкости D 12 сильно зависит от концентраций компонентов и увеличивается
с ростом температуры. Поэтому в мноrОКОМIюнентных системах поток i ro
компонента зависит от rрадиентов концентраций всех компонентов.
В Мlюrокомпонентных смесях потоки относительно неподвижной системы
координат и относительные потоки связаны соотношениями, вытекающими из
(4.25) и (4.26):
. . J * .* .*
Ji ==}; (OiL.J}j, j ==); X'L.J}j,
(4.29)
из которых следует, что
LJj == LJi* == О.
(4.30)
Для бесконечно разбавленных растворов коэффициент диффузии каждоrо
компонента можно рассматривать как коэффициент бинарной диффузии этоrо
компонента относительно всей смеси. Поэтому для каждоrо предельно разбав
леШlOrо компонента имеет место закон Фика в виде (4.27). Кроме Toro, при
ближение предельно разбавленнorо раствора позволяет оценить коэффициент
бинарной диффузии, иснользуя нростые термодинамические соображения. Бу
дем рассматривать движение молекулы pacTBopeHHoro вещества как броунов
ское движение с кинетической энерrией тепловorо движения kT (k ПОСТОЯlI
ная Больцмана). Вязкость жидкости оказывает сопротивление движению, сила
которorо оценивается формулой Стокса /l2U1 d 1 (d 1 средний диаметр молеку
лы, И1 средняя скорость молекулы, /l2 вязкость жидкости). Работа, которую
совершает молекула по преодолению сопротивления жидкости на пути 1, равна
/l2U1 d 1 1. Приравнивая работу кинетической энерrии и полаrая D12 u 1 1, получим
D 12 ==kT//l 2 d 1 .
Используя далее зависимость вязкости от температуры, найдем
kT (
Д2 :=: d; ехр AG/An.
(4.31)
52
Полученная формула rодится как для молекул, так и для частиц, взвешен
ных в жидкости. В случае молекул нод d 1 следует понимать линейный размер 8
кубической ячейки, сод ержащей молекулу, который в пре дпо ложении их нлот
ной упаковки равен (V;/N А )1/З, [де N A число ABoraдpo, v; мольный объем
частиц 1.
В заключение заметим, что перенос массы возможен также за счет rради
ента температуры (эффект Соре).
4.5. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ И ПЕРЕНОС ЗАРЯДА
Рассмотрим перенос массы в смеси, компоненты которой несут различные
заряды. При наложении внешнеrо электрическоrо поля на заряженные компо
ненты действуют различные электрические силы. Такое движение компонентов
в электрическом поле называется миrрацией, хотя в некотором смысле ero
можно рассматривать и как диффузию в избирательном направлении, посколь
ку заряженные частицы, с одной стороны, ускоряются внешним электрическим
полем, а с друrой стороны, сталкиваются с частицами раствора.
Для простоты рассмотрим только предельно разбавленные растворы, для
которых можно пренебречь взаимодействием заряженных компонентов. Если к
раствору, содержащему заряженный компонент, например электролиту, прило
жено электрическое поле Е V<p, то сила, действующая на один моль paCTBO
peHHoro компонента, равна 2,FV<p, [де 2, заряд ионов i ro компонента,
F NAe 9,65. 104 К/моль постоянная Фарадея, е заряд электрона. Оп
ределяющее уравнение для процесса переноса заряда аналоrично онределяю
щим уравнениям для нроцессов диффузии и теплопроводности. Поэтому моль
ный поток заряженноrо вещества в электрическом поле пропорционален силе,
действующей на частицы, и концентрации частиц:
j,* v,2,FC, VФ == v,2,FC,E (моль/м 2 с). (4.32)
Коэффициент пропорциональности и" как и коэффициент теплопровоДIIO
сти и диффузии, является коэффициентом нереноса и называется подвижнос
тыо, поскольку оп характеризует способность заряженной частицы двиrаться в
среде под действием движущей силы электрическоrо поля. Ero можно интер
претировать как среднюю скорость движения заряженной частицы в растворе
под действием силы, равной 1 Н/моль. Размерность и, равна H 1. М. c 1.
Понятие подвижности, с которым мы будем часто встречаться в дальней
шем, является обобщенным понятием, поскольку она характеризует снособность
к движению частицы в жидкости под действием любых сил (электрических,
маrнитных, rравитационных, центробежных и т. д.).
Наряду с мольным потоком (4.32) можно ввести массовый поток
j, VI2,Fp, VФ v,2,Fp,E (Kr /м 2 с). (4.33)
При исследовании электрохимических процессов обычно используется
мольный поток.
КоэффициеlIТ диффузии и подвижность частицы связаны между собой.
Как было показано в разделе 4.4, D, u,l, для пределыlо разбавленных paCTBO
ров и rазов. Умножив и разделив правую часть 31'оrо равенства на N A Fv" [де
F vl сила вязкоrо сопротивления частицы, получим
D, N U ' F,nl,NA v,Fv,l,N A v,kTN A и,Т А.
А "'
(4.34)
53
При выводе учтено определение rазовой постоянной А == kN A .
Соотношение (4.34) называется уравнением Нернста Эйнштейна.
Движение заряженных частиц под действием внешнеrо электрическоrо
поля можно рассматривать как электрический ток с плотностью
i == FLz,j (А/м 2 ). (4.35)
Если в системе нет друrих движущих сил кроме электрическоrо поля, то
i == аЕ == crVф, (4.36)
rдe
cr == F2 z 2 v С
L.J 1 1 1
(4.37)
называется электропроводностью раствора. Уравнение (4.36) является законом
Ома для раствора, содержащеrо заряженные компоненты.
Наряду с обычной проводимостью, определяемой по (4.37), вводят моль
ную проводимость
А == == F2v
'с, }'
(4.38)
Мольная проводимость экспоненциально растет с увеличением температу
ры аналоrично коэффициенту диффузии. Она также зависит от концептрации
электролита, убывая с увеличением концентрации.
5
УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ И СОСТОЯНИЯ
5.1. ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Рассмотрим уравнения сохранения массы и количества движения вязкой
НЬЮТОIЮВСКОЙ жидкости. В случае изоrермическоrо течения несжимаемой жиk
кости этих уравнений, к которым добавлено определяющее уравнение (4.13) и
соответствующие начальные и rраничные условия, достаточно для нахождения
распределения скоростей и напряжений в любой точке пространства, занимае
Moro жидкостью, в произвольный момент времени. Если течение неизотермиче
ское, то для нахождения распределеНI1Я температуры в жидкости нужно нри
влечь уравнение сохранения энерrии. Если жидкость к тому же сжимаема, то
необходимо добавить уравнение состояния.
Вывод уравнений сохранения содержится, например, в работе [3].
Прежде чем нереходить к выводу уравнений сохранения, напомним две
важные фОРj\'УЛЫ. Первая формула формула [аусса, позволяющая преобра
зовать поверхностный интеrрал в объемный:
f Fп,ds f :, dV. (5.1)
L V
Формула (5.1) снраведлива для скалярной, векторной или тензорной
54
функции F при фиксированном индексе i, допускается также суммирование
по i. Функция F предполаrается ненрерывно дифференцируемой в объеме V,
orраничешюм достаточно rладкой поверхностью L. Через п, обозначены компо
ненты (направляющие косинусы) внешней к V нормали п. Если F == и, KOM
поненты скорости, то, суммируя (5.1) по i, получим
J u . п ds == J v . u dV.
1: V
(5.2)
Положим F == elJk И" ,,-де elJk перестановочный символ Леви Чивита,
равный 1, если индексы ijk образуют круrовую перестаrювку из чисел 123; О,
если среди ijk имеются хотя бы два одинаковых числа из набора 123; и 1 в
остальных случаях. Известно, что компоненты BeKTopHoro произведения
(Ьхс), == elJkb;Ck' Torдa из (5.1) найдем
Jпxuds== JvxudV.
1: V
(5.3)
Поверхностные интеrралы в (5.2) и (5.3) можно занисать в друrом виде,
если ввести в рассмотрение ориентированные элементы поверхности ds == пds:
J u . п ds == J u . ds,
1: 1:
Jпxuds== Jdsxu.
1: 1:
(5.4)
Если F тензор Т, то формула (5.2) нримет вид
JT.пds== JV.TdV.
1: V
(5.5)
Здесь слева стоит скалярное произведение тензора и вектора, а справа
диверrенция тензора. По определению они являются векторами с координатами
(Т. п) == т n (v. Т) , == JT1 j /Jx ; . (5.6)
1 }l 1 J
Вторая формула формула дифференцирования интеrрала по подвижно
му объему V*:
t f FdV == H +F V,u)dV.
V' V
(5.7)
Учитывая выражение (4.3) для субстанциональной нроизводной, можно
преобразовать подынтеrралыюе выражение в правой чаС1И (5.7);
DF aF
m+FV,u==-дt+V.(Fu). (5.8)
Применяя к интеrралу в правой части (5.7) формулу [аусса, и восполь
зовавшись (5.8), нолучим
gt f FdV== f dV+ f Fu.пds. (5.9)
V' V 1:
Используя формулы (5.1) (5.9), нетрудно нолучить уравнения coxpaHe
пия массы и количества движения.
Рассмотрим движущийся объем V*. Обозначим через m массу этorо объе
ма. Тorда условие сохранения массы имеет следующий вид:
55
Dm == .Е...... f р dV == О.
Dt Dt
V'
(5.10)
Воспользуемся теперь формулой (5.7)
gt f pdV == f ( + р V .U)dV == О.
V' V
(5.11 )
Поскольку (5.11) справедлива для любоrо объема, то получим
Dp + р V . U == + v' . ( Р и ) == О.
Dt ot
(5.12)
Уравнение (5.12) называется уравнением неразрывности. Если жидкость
несжимаема, то Dpj Dt == О и из (5.12) следует
V . U =' о. (5.13)
Не следует путать понятия несжимаемости и однородности жидкости.
Жидкость называется однородной, если llЛОТIlOСТЬ р одинакова во всех части
цах жидкости, т. е. р не зависит от пространственных координат х, у, Z.
В ПрО'fивном случае ЖИДКОС'fЬ называе'fСЯ неоднородной. Условие песжимаемо
сти Dp / Dt == О означает, что плотность данной жидкой частицы остается по
стоян ной во время ее движения, но может быть разной для различных частиц.
Поэтому уравнение (5.13) rодится как для однородных, так и для HeOДHOpoд
ных жидкостей. Следовательно, если жидкость несжимаема и однородна, то
р == const в пространстве, в то время как для несжимаемой неоднородной жид
кости должны выполняться следующие условия:
V . U == О, Dp др + U . Vp == о. (5.14)
Dt ot
Перейдем теперь к выводу уравнения сохранения количества движения.
В дальнейшем нам понадобится формула, которая вытекает из (5.7) и (5.12):
gt f pF dV == f р dV.
v v
Соrласно постулату, который называетСя принципом напряжений Коши, для
любой замкнутой поверхноcrи существует распределение вектора напряженности t
с результирующей и моментом, эквивалентнЫМИ полю сил, действующих на сплош
ную среду, заключенную в объеме V внутри , со стороны среды, расположенной
вне . Предполаrается, что t зависит только от положения и ориентации элемента
поверхности ds, т. е. t == t (Х, t, п). СоrласнО друrому ностулату, для объема V
жидкости, оrраничеШlOrо поверхностью , по аllалоrии с системой материальных
точек, справедливо следующее уравнение сохранения количества движения:
(5.15)
gt f ри dv == f р! dv + f t ds,
V V k
[де f плотность массовых сил. Это Moryт быть сила тяжести, электрические или
электромarнитные силы. В частности, для силы тяжести имеем f == у, [де g YCKO
рение свободноrо падения.
Рассмотрим поверхностпый интеr'рал в (5.16). Подставляя в Hero выраже
llие (4.11) и преобразуя интеrрал в объемнЫЙ с помощью (5.5), получим
(5.16)
f t ds == f т . п ds == f V . т dv.
k k V
(5.17)
56
Возвращаясь к (5.16) и иснользуя (5.15), найдем
f (р р f V . т) d v = О.
v
(5.18)
Поскольку последнее равенство справедливо для любоrо объема, то вместо
интеrралыюrо уравнения получаем дифференциальное уравнение движения
р : =рf+V-Т. (5.19)
Если жидкость ныотоновская, то тензор напряжений Т связан с тензором
скоростей деформации соотношением (4.14). В частности, в декартовой системе
координат уравпения движения ньютоновской жидкости в проекциях на оси
координат имеют вид
( + U ) = l' !..E... + ( ( ди, + ди ] 8 д щ ))
р at J дх ] Р /, дх, дх ] 11 дх ] дх, 3 '] aXk .
(5.20)
Напомним, что но повторяющимся индексам производится суммирование,
ai,j=1,2,3.
Если жидкость несжимаема, то д Uk/J Xk= V . U = О и (5.20) упрощается.
В векторном виде уравнения движения несжимаемой жидкости имеют вид
Du
Р Dt =pf Vp+l1/';.u.
(5.21 )
Изотермическое течение несжимаемой Жидкости онисывается уравнениями
(5.13) и (5.21), причем коэффициеIlТ вязкости 11= const. Следовательно, имеем
четыре уравнения для четырех неизвестных давления Р и компонент CKOpO
стей и, и, W, т. е. система уравнений замкнута. Для ее решения необходимо
сформулировать начальные и rраничные условия. Обсудим возможные rранич
ные условия. Рассмотрим условия на rранице двух сред 1 и 2. Вид и число
rраничных условий зависит от Toro, задана ли rраничная новерхность или ее
надо находить в процессе решения, а также от нринятой модели сплошной
среды. Рассмотрим сначала rраницу невязкой жидкости и твердоrо тела. По
скольку уравнения движепия невязкой жидкости содержат нервые производные
скорости, то на rранице L нужно задать одно условие ненротекания: и п 1 = и п 2, [де
и п нормальная составляющая скорости. Уравнения движения ВЯЗкой жидко
сти содержат НРОИЗВОДlIые EТoporo порядка, ноэтому на rранице с твердым Te
лом нужно задать два условия, вытекающие из условия прилинапия: и п1 = и п 2,
U,1 = и,2, [де и, касательная к L составляющая скорости. Если rраница L
является rраницей раздела двух жидкостей с разпыми свойствами или жидко
сти И rаза (межфазная новерхность), то условие равенства скоростей нужно
дополнить кинематическим равепством и 1 = и2 = и а , r де и а скорость поверXIIO
сти, и равенством на L нормальных и касательных нанряжений 'C(l) = 'С(2)
'C(l) = 'С(2) В случае несжимаемой невязкой жидкости последние усло';;ия c no'
д ся ктравенству па L давлений. Кривизна межфазной новерхности нриводит
к появлению донолпительноrо давления, называемоrо капиллярным, в той фазе,
[де лежит центр кривизпы поверхности. Поэтому на L должеп быть скачок
{'С пп } = Рсар' Этот вонрос будет обсуждаться более нодробно в rлаве, посвященной
новерхностному натяжению.
5.2. НЕИ30ТЕРМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Процессы, при которых происходит изменение температуры, называются
неизотермическими. Изменение температуры может быть вызвано подводом или
отводом тепла на rранице среды L, выделением тенла внутри объема жидкости V,
нан рим ер джоулевым тенлом, в результате химических реакций, вязкой дисси
пацией энерrии при движении среды, изменением фазовorо СОСтояния среды
(иснарением, конденсацией, плавлением).
Тепловая энерrия жидкой частицы определяется нлотностью внутренней
энерrии, зависящей от параметров локальноrо термодинамическоrо состояния.
Соrласно первому закону термодинамики,
dq == de dw ,
(5.22)
rде dq количество тепла, подведенноrо извне к единице массы жидкости;
de изменение внутренней энерrии; dw работа, совершаемая над единицей
массы жидкости.
Оrраничимся рассмотрением переноса тепла в системе только за счет теп
лопроводности и не будем учитывать внутреннее выделение тепла за счет
джоулева тепла и химических реакций.
Рассмотрим жидкий элемент объема V, оrраничеШIЫЙ поверхностью L.
Определим полную энерrию рассматриваемоrо объема как сумму кинетиче
ской Х и внутренней (5 энерrии, r де
л== fрU2dV,
v
(g == f pedV.
v
(5.23)
Заметим, что термодинамическая интерпретация е существенно различна
для сжимаемой и несжимаемой жидкости. Сжимаемую жидкость можно pac
сматривать как двухпараметрическую систему. Соrласно второму закону TepMO
динамики, существует функция состояния энтропия s, являющаяся термоди
намическим Н01енциалом. Если в качестве независимых параметров взять е и
удельный объем l/р, 10 уравнение состояния сжимаемоrо rаза примет вид
s == s (е, 1/ р), нричем полный дифференциал энтропии
ds == !...de + E-d ( .!. ) .
1: Т Р
(5.24)
Из (5.24) следует, что р == р (р, s), т. е. давление является функцией пара
метров состояния.
Для несжимаемой жидкости вместо (5.24) имеем
ds == .lde
т
(5.25)
и е == e(s). Поскольку давление не входит в (5.25), то р является незави('имой
величиной.
Примем в качестве аксиомы следующий закон сохранения полной ЭlIерrии
жидкой частицы: скорость изменения полной энеРj'ИИ объема, движущеrося с
жидкостью, равна сумме мощностей сил, приложенных к объему, и количеству
теплоты, полученной объемом в единицу времени:
gJ x +ro) == f pf.udV + f t.uds f q. nds.
V k k
(5.26)
58
Преобразуя интеrрал в левой части (5.26) с использованием формулы
(5.15) к виду
D f D ( и 2 )
Dt (Л + (f) = р Dt '"2 + е dV,
v
а поверхностные интеrралы в правой части в объемные по формуле [аусса:
f t . uds = f(T.п).uds= fV.(T.u)dV,
k k V
f q . п ds = f V . q dV,
k l'
получим
Нр gt (1; + е) р! . u V. (Т . и) + V. q )dV = О.
V
Поскольку равенство (5.27) справедливо для любоrо объема V, то
p gt(u 2 2 +e)=pf'u+V.(T.u) V.q, (5.28)
(5.27)
или, раскрывая скалярные произведения, получим
D ( и2 ) дц, д ( ) ( 5 )
Р Dt Т + е = р{.и, + дх ; 'tJ,u, . .29
Подставляя, далее, в (5.28) выражение (4.16) для потока тепла q, paCKpы
вая V. (Т, и) с использованием онределения (4.13) тензора скоростей дефор
маций и учитывая уравнение движения (5.19), получим
р = Т:Е + V. (kVn. (5.30)
Здесь через Т: Е обозначено скалярное произведение тензоров, которое по
определению равно
Т . Е Т Е д и, 2 ( I 2 }
. '] '] p дх, + E'JEl) 3 Еll
(5.31 )
Второе слаrаемое в правой части (5.31) называется диссипативной функ
цией ф, поскольку она характеризует скорость вязкой диссипации энерrии в
единице объема жидкости.
В декартовой системе координат
Ф = 2 (( ди ) 2 + ( ди ) 2 + ( дш ) 2 ) + (( ди + ди ) 2 + ( дШ + ди ) 2 + ( ди + дш ) 2 )
дх ду dz дх ду ду dz dz дх
1. ( ди + ди + дш ) 2 (5.32)
3 дх ду dz
В случае несжимаемой жидкости носледнее слаrаемое в (5.32) равно нулю.
Отметим, что для вязкой жидкости Ф > О.
Таким образом, при движении вязкой жидкости происходит переход Mexa
нической энерrии, обусловленной работой сил внутренних напряжений, в тепло
(член Ф, необратимый нроцесс) и во внутреннюю энерrию (член р ди, jдх"
обратимый нроцесс). Приведем друrие формы уравпения сохранения энерrии
(5.30). Если вместо е введем в рассмотрение h (удельную энтальпию), s (удель
ную энтропию) и используем известные термодинамические соотношения
59
dh==de+d( } Tds==dh d: ,
(5.33)
то вместо (5.30) получим
Dh Dp
Рш == Dt + v' . (kV'r) + Ф, (5.34)
рТ z: == V' . (kV'r) + Ф. (5.35)
В уравнениях (5.30), (5.34) и (5.35) учитываются только теПЛОПРОВОk
ность и вязкая диссипация энерrии. Учет друrих видов энерrии, таких, как,
например, химические реакции или джоулево тепло, можно леrко осуществить,
добавив в правую часть соответствующие слаrаемые. Случай несжимаемой
жидкости и небольших изменений температуры и давления представляет особый
интерес, поскольку он реализуется во мноrих задачах. В этом случае нлотность
и коэффициепты переноса можно считать не зависящими от р и Т, и уравнения
движения и энерrии расщепляются. Это значит, что распределения u и р можно
найти, не используя уравнение эперrии, а затем из уравнения энерrии найти
распределение температуры. Жидкость или rаз можно считать несжимаемыми,
если скорость течения мала но сравнению со скоростыо звука а. Поэтому
критерием несжимаемости является малость числа Маха М == и/а.
Для несжимаемой жидкости выполняются следующие термодинамические
СООТlIошения [4]:
: == ( :;' )" , V's == ( п " V'т. (5.36)
Из (5.35) и (5.36) следует, что в случае несжимаемой жидкости и неболь
ших изменений скоростей, давления и температуры, коrда можно пренебречь
вязкой диссипацией, уравнепие энерrии сводится к уравнению тенлопровод
ности
DT
Dt == afJ.
(5.37)
в заключение отметим, что в случае сжимаемой жидкости к уравнениям
перазрывности, движения и энерrии нужно добавить уравпение состояния. При
давлениях и темнературе, близких к нормальным, состояние rаза хорошо опи
сывается уравнением состояния идеалыiOI'О rаза
T ( )
Р == или pV == пАТ, 5.38
[де А == 8,3 Дж/К'моль rазовая IЮСТОЯIшая; М молекулярная масса rаза;
р == пM/V.
Соответствешю для жидкости
р == ро(1 а(Т То) + rз(р ро».
(5.39)
Здесь То и ро опорные значения температуры и давления, а и rз
коэффициенты тепловOl'О и объемнOl'О расширения жидкости. В частности, для
воды при нормальных условиях а == 2, 1.1 0 4 K 1, rз == 4,6'1 0 10 Па l.
Уравнения состояния реалыюrо I'аза и единые уравнения состояния для
rаза и жидкости будут рассмотрены в разделе 5.6.
60
5.3. мноrОКОМПОНЕНТНЫЕ СМЕСИ
До сих пор нри выводе уравнений сохранения были рассмотрены только
однородные и rOMoreHHble среды. Рассмотрим тенерь уравнения сохранения для
мноrокомпонентных систем, в которых MorYT протекать химические реакции.
В однородных rOMoreHHblx средах перенос массы осуществляется, если скорость
среды отлична от нуля или (и) на среду действуют внешние массовые силы.
В мноrокомпонентной системе перенос массы может осуществляться еще и за
счет пространственных rрадиентов копцентраций. Одновременно с переносом
массы в таких системах осуществляется перенос количества движения и тепла,
Для мноrокомпонентных систем можно нолучить уравнения неразрывно
сти для каждоrо компонента. Пусть Ui, Pi скорости И плотности i ro компо
нента. Если этот компонент не образуется в объеме смеси, то уравпение нераз
рывности для этоrо компонента имеет вид (5.12) с заменой U и Р на Ui и Pi.
Если в объеме происходит химическая реакция с образовапием i ro компонента
со скоростью ri, то уравнение сохранения массы запишется как
Dmi f
Dt == ridV.
v
(5.40)
Повторяя процедуру вывода уравнения (5.12), петрудпо получить ypaBHe
ние неразрывности l ro компонента
др (
...........'..+V. р и. ) ==т.
дt 1 1 ,.
(5.41)
Заметим, что в реакциях с образованием i ro компонента r, > О, а с поrло
щением ri < О. Значения r, определяются кинетикой химических реакций,
локальным термодинамическим состоянием и стехиометрическими коэффициен
тами, характерными для химических реакций. Соrласно химической термодина
мике [5], скорость изменепия массы i ro компонента в ходе химической реакции
определяется формулой
dm, d
ri == dt == viM i (П'
(5.42)
rде Vi стехиометрические коэффициенты; степень полноты реакции, или
просто координата реакции. Поскольку общая масса в результате химических
реакций остается неизменной, то суммируя (5.42) по компонентам, получим
>; == О или L ViMi == О. (5.43)
Ранее в разделе 4.4 были введены среднемассовые скорости U (см. (4.23»
и массовые потоки J, относительно средней скорости (см. (4.26». с учетом
этих соотношений уравнения (5.41) можно переписать в виде
дРi
дt + V . (PiU) == V . J, + r, (5.44)
или
' + Pi V ' U == v. Ji + ri'
(5.45)
Уравнение неразрывности для всей смеси можно получить из (5.44), про
суммировав ero по всем компонентам
дLРi ( )
+V. LPi U == V'LJi+Lr..
(5.46)
61
Поскольку Р == L,Pi плотность смеси, а соrласно (4.30) и (5.43) L,Ji == О
И L, r; == О, то уравнение (5.46) сводится к уравнению неразрывности чистой
жидкости (5.12).
у равнения движения вязкой жидкости можно при менять и к мноrокомпо
нентным смесям до тех пор, пока массовые силы действуют одинаково на все
компоненты смеси. Такой силой, например, является сила тяжести. Электриче
ская сила может действовать избирательно на некоторые компоненты, например,
на электролит, смешанный с электрически нейтральной жидкостью. Основная
причина этorо факта состоит в том, что феноменолorическое уравнение вязкой
жидкости (4.13), определяющее вид тензора напряжений, не зависит от rрадиен
тов концентраций компонент. Поскольку уравнение (4.13) тензорное, в которое
входят тензоры BToporo paHra, то если бы такая зависимость и существовала, то
только от Vpi VPj, так как эта комбинация является тензором вторorо paHra.
Однако члены Vpi VPj имеют второй порядок малости по сравнению с тензором
скоростей деформации. Напомним, что закон (4.13) справедлив для малых
скоростей деформаций. Следовательно, в этом приближении тензор напряжений
не зависит от rрадиентов концентраций.
Иначе обстоит дело с уравнением энерrии. Если на среду действует только
сила тяжести, то уравнение энерrии для мноrокомпонентной смеси такое же, как
и для чистой жидкости (5.28), но выражение для потока тепла требует учета
мноrокомпонентности. Cor ласно [2], определяющим уравнением, обобщающим
закон Фурье для мноrокомпонентной смеси, является уравнение
q == L,hJi kVT,
(5.47)
[де h i парциальная удельная энтальпия i ro компонента.
В уравнения неразрывности и энерrии мноrокомпонентной смеси входят
потоки Ji относительно среднемассовой скорости, поэтому к этим уравнениям
нужно добавить определяющие уравнения, связывающие Ji с движущими сила
ми, под действием которых происходит перенос массы компонент. В п. 1.4
показано, что такими движущими силами являются rрадиенты концентраций и
внешнее электрическое поле. Влияние электрическоrо поля рассматривается в
следующем разделе. Возможен также поток за счет rрадиента давления (баро
диффузия), однако он обычно мал, за исключением случаев больших rрадиен
тов давления, например в процессах центрифуrирования. Наконец, возможен
поток за счет rрадиента температуры (эффект Соре). Подробное обсуждение
этих эффектов и оценка их вклада в перенос массы содержится в работах [1, 2].
Оrраничимся рассмотрением обычной диффузии.
В основе термодинамики обычной диффузии лежит положение, что движу
щей силой является rрадиент химическоrо потенциала. Химический потенциал
определяется следующим образом [5].
Рассмотрим мноrокомпонентную систему, определяемую следующими пара
метрами: энтропией 5, мольным объемом V и количеством молей компонент пj,
п2,"', пN' Тоrда внутренняя энерrия системы запишется как
Е==Е (5, V, пt, п2,"', пN)'
(5.48)
Из фундаментальноrо уравнения rиббса следует, что
dE == Td5 pdV + L( ) . dпi'
S.V.n}
(5.49)
62
Коэффициенты при dпi называются химическими потенциалами:
Ili == ( )5 V n. (5.50)
. . J
Химический потенциал является парциалыlOЙ мольной величиной, а ноэто
му интенсивпой величиной, и о пем можно rоворить так же, как о концентрации
или МОЛЬНОЙ доле. При наличии в системе химических реакций условие хими
ческоrо равновесия имеет вид
L Villi == О.
(5.51)
Дадим еще определение идеаЛЫlOrо раствора. Раствор называется идеаль
ным, если химические потенциалы
Ili == 1l?(T, р) + АТ ln Xi'
(5.52)
Экснериментально установлено, что все достаточно разбавленные растворы,
мы их раньше называли предельно разбавленные, ведут себя как идеальные.
Для неидеаЛЫlOrо раствора химический потенциал также имеет вид (5.52),
но вместо МОЛЫIЫХ долей Xi в выражение входят активности комнонент Oi.
Активности связаны с Xi соотношениями Oi == YiXi, [де Yi коэффициенты актив
ности. Таким образом, для неидеальнorо раствора
Jli == 1l?(T, р) + АТ ln Oi' (5.53)
Заметим, что для идеальноrо раствора Yi == 1 и Oi == Xi.
Для характеристики неидеалыlOСТИ раствора но отношению к растворите
лю часто предпочтительнее вместо коэффициента активности использовать
осмотический коэффициент 3
Ili == 1l?(T, р) + 3 АТ 1nxl' (5.54)
[де Х1 мольная доля растворителя.
Сравпивая (5.53) с (5.54), получим
R== 1 + 1nY1
lп Хl'
(5.55)
в соответствии с принцинами термодинамики неравновесных процессов
относительные потоки
С2 ( Xj )
Ji == Р L.J MiMjDij АТ V'Il j .
j
(5.56)
Здесь выражение в скобках безразмерная движущая сила процесс а
обычпой диффузии j ro компонента, D ij коэффициенты бинарной диффузии.
Подставляя выражения для 11; из (5.53) в (5.56), получим
J == С 2 ММ.D. ( V'IПЩ ) Vx.. (5.57)
1 р 1 } '} v' ln Xj Т }
} ,р
в случае предельно разбавлеШIorо раствора Oi == Xi И из (5.57) следует
С 2
Ji == Р 4- М;МjДj V'Xj.
}
(5.58)
в частности для бинарноrо раствора имеем Х2 == 1 Х 1 , D 12 == D 21 И
J с2
1 == pM1M2Д2'YX1'
(5.59)
63
Покажем, что из (5.59)
долю Хl через массовую:
Ы1/ М l
Х 1 ==
Ыl/ М! + Ы2/ М2 '
следует закон Фика (4.27). Выразим мольную
v VWl М 2
Хl == М1М2(Ы!/М! + Ы2/ М 2)2 == М 1 М 2 VW 1
(5.60)
и подставим в (5.59). Учитывая, что М == р/С, получим
11 == pD 12 V (йl.
(5.61 )
Возвращаясь к (5.44), получим уравнение неразрывности для бинарной
смеси
дР1
дt + иl . V'p, == Д2 Д Рl + 1j
(5.62)
или
дс! С
дt + иl . V 1 == D 12 ДС 1 + R 1 .
(5.63)
При отсутствии химических реакций r1 == R 1 == О И уравнение (5.63) пере
ходит в известное уравнение конвективной диффузии.
5.4. мноrОФА3НЫЕ СМЕСИ
Мноrофазные смеси, в отличие от rомоrеШIЫХ смесей (растворов, смесей
rазов и т. п.), характеризуются наличием макроскопических неОДПОРОДIюстей
или включепий (твердые частицы, пузырьки, капли, макромолекулы). Мнorо
фазные смеси называют также rетероrеШIЫМИ. Сюда отпосятся смеси rаза с
частицами аэрозоли, смеси жидкости с частицами суспензии, смеси rаза
с каплями rазожидкостпые смеси, смеси жидкости с пузырьками жидкоrа
зовые смеси, а также смеси жидкости с каплями друrой жидкости эмульсии.
Промежуточпое положение между rетероrеШIЫМИ и rомоrенными смесями зани
мают коллоидпые смеси, которые часто называют просто коллоидами, а также
мицеллярные растворы.
Перечисленные виды мноrофазных смесей составляют класс дисперсных сред,
которые состоят из двух фаз: снлошной или дисперсиошюй фазы, т. е. фазы,
в которой взвешены включепия, и дисперсной фазы, состоящей из частиц раз
личной природы капель, твердых частиц, пузырьков.
При рассмотрении нроцессов, происходящих в мнorофаЗllЫХ смесях)практи
чески всеrда делается предположепие, что размеры включепий в смеси (размеры
частиц, капель, пузырьков, характерный линейный размер пор в пористых средах)
во Мlюrо раз больше размеров молекул. Это предположение, называемое rипо
тезой сплошпости, позволяет использовать уравнепия мехапики СПЛОШIЮЙ среды
для описапия процессов, нроисходящих внутри или около отдельпых включе
пий. Для описапия физических свойств фаз, таких как вязкость, теплонровод
ность и т. П., можно использовать уравпепия и параметры соответствующих
однофазных сред.
Если среднее расстояние между включениями MHoro меньше характерных
размеров СНЛОШIЮЙ фазы, па которых изменяются макроскопические параметры
(скорость, давление, темнература и т. п.), то макроскопические процессы, про
исходящие в rетероrешюй смеси, можно описывать тоже методами механики
сплошных сред с помощью усредпенных или макроскопических llapaMeTpoB.
При этом вводится в рассмотрение понятие MHorocKopocTHoro континуума [6],
64
представляющеrо собой совокупность N континуумов, rдe N число рассматри
ваемых фаз, каждый из которых относится к своей фазе смеси и заполняет один
и тот же объем. Для каждоrо из этих составляющих континуумов в каждой
точке определяется обычным образом нлотность, которая называется приведен
ной плотностью
т, масса l Й фазы
р, == 11 == объем смеси '
(5.64)
скорость и, и друrие параметры. В каждой точке пространства, занятоrо смесью,
определяется N ПЛОТlIостей, N скоростей и т. д. Так же, как и для rOMoreHHblx
смесей (растворов), можно определить параметры, характеризующие смесь в
целом. Для плотности смеси и средн ем ассов ой (барицентрическоЮ скорости
имеем
N 1 N
Р == L Р.. U == р L Р Uj.
,= 1 ,= 1
(5.65)
Так же, как для растворов, вводят скорости фазы относительно центра
массы смеси или среды в целом
W, == И; и.
(5.66)
Из (5.65) и (5.66) следует, что
N
LP,w, == О.
,= 1
(5.67)
Особенностью мноrофазной среды является то, что необходимо ввести две
субстанциональные производные:
d, д t7 д k t7k д k д
dt == дt + и, . V == дt + и, . V == дt + и, . axk '
.!L == 1... + U . V == 1... + u k . Vk == 1... + u k ......L. (5.68)
dt at at at ax k
В (5.68) суммирование производится по повторяющимся индексам.
Механика мноrофазных смесей строится на основе законов сохранения
массы, количества движения и энерrии для каждой фазы. Основное отличие от
rомоrеШIЫХ растворов заключается в том, что между фазами может происхо
дить обмен массой, количеством движения и энерrии.
Обозначим через 1), интенсивность перехода массы (испарение, KOHдeHca
ция, химические реакции) из j й фазы в i ю фазу или наоборот. В последнем
случае 1}, < О. Тorда уравнение неразрывности для i й фазы в интеrральной
форме имеет вид
N
f д:; dV == f p,u,пds + f L 1}, dV.
v 5 V}=1
(5.69)
Здесь формально положено 1" == О. Из закона сохранения массы при фи
зико химических превращениях следует, что 1л == 1ч,
Уравнение (5.69) с использованием формулы [аусса (5.1) переходит в
уравнение массы для каждой фазы
N
д:; +V.(p,U,)== Ll]l и==1,2,..., N).
} = 1
(5.70)
5 1461
65
Заметим, что если просуммируем (5.70) по i, то получим уравнение нераз
рывности смеси в целом, имеющее обычный вид уравнения для rомоrенной
среды.
Уравнение количества движения для каждой фазы в интеrралыюй форме
имеет вид
N
f д Иi dV = f Piujurds + f tpds + f pJi dV + f L P]i dV ,
v s s v v]=1
(5.71)
[де первое слаrаемое правой части соответствует притоку количества движения
i й фазы через поверхность s; второе и третье слаrаемые воздействию внеш
них поверхностных и массовых сил, приходящихся на i ю фазу и характери
зуемых тензором напряжений 't l и вектором массовых сил fi, а Pji интенсив
ность обмена количеством движения между j й и i й фазами. Из закона coxpa
нения количества движения следует, что Pji= Pjj, Pij=O. Применяя к (5.71)
формулу [аусса, получим уравнение движения i й фазы, которое с учетом
уравнения (5.70) и соотношения (5.67) примет вид
N
Р; d i = Vkt j k + pJi + L(Pjj JjiU); (i = 1, 2, ..., N).
]=1
(5.72)
Если определить тензор напряжепий поверхностных сил и вектор Macco
вых сил для среды в целом как
N N
t = Lt i , pf = LPJi
i = 1 i = 1
(5.73)
и просуммировать (5.72) по i, то, используя (5.66), можно получить
N
Р = Vkt k + pf L Vk . (P;l.e!7w).
j = 1
(5.74)
Это уравнение отличается от уравнения движения для rомоrешюй среды
тем, что в Hero входят не абсолютные, а относительпые скорости.
Перейдем теперь к уравнению энерrии для мнorофазной смеси. Введем
удельную энерrию как сумму удельных кинетической и внутренней энерrий:
U = k + е,
(5.75)
[де припимается, что внутренняя энерrия аддитивна по массе входящих в нее
составляющих:
N
е = t LPje j ,
1=1
(5.76)
а кинетическая энерrия определяется соотношением
N 2
k = t L Pi;j .
i =: 1
(5.77)
Тоrда энерrия смеси
N ( 2 ) N
U = Lpj е; + и = LPiUi'
,= 1 ,= 1
(5.78)
66
Уравнение баланса энерrии i й фазы можно записать в интеrральной форме
в виде
N
f д , dV = f pIU,u ds + f c ds + f p,f. u,dV + f L UJ,dV f q ds, (5.79)
v s s v VJ 1 S
rде первое слаrаемое в правой части соответствует притоку энерrии i й фазы
через поверхность 5, второе и третье слаrаемые работе внешних поверх
ностных (c = t .и) и массовых сил, приходящихся на i ю фазу, U J , интен
сивность обмена энерrий между i й и j й фазами, причем UJ1 = UlJ И U ll = О, пятое
слаrаемое представляет собой приток теПла через поверхность 5, характеризу
емый вектором потока тепла q.
Применяя к (5.79) формулу [аусса и используя выражения (5.68), (5.70),
получим
р, (е, + ип = V . (С, q) + р,!. . и, + ( U J , JJ'( е, + и1) )-
Таким образом, уравнения (5.70), (5.72) и (5.80) описывают поведение
МIIоrофазной смеси при условии, что известны выражения дЛЯ JJ" P J " U JI , е" 't 1
и q,. Более I10дробное изложение этоrо вопроса можно найти в работе [6].
В отличие от rOMoreHHbIx смесей reTeporeHIIbIe смеси в общем случае
описываются МlIоrОСКОРОСТIIОЙ моделью с учетом динамических эффектов из за
несовпадения скоростей фаз. Скорости опюсителыюrо движения фаз W, по
порядку величины MorYT быть равны скоростям абсолютноrо движения и, или
среднемассовым скоростям и. Друrое отличие rетерorешюй смеси от rомоrеНlЮЙ
состоит в том, что каждая компонента rомоrенной смеси рассматривается как
занимающая весь объем равноправно с друrими компонентами, поэтому для нее
V I = V 2 = ... = V N = V, В то время как для rетероrенной смеси каждая фаза
занимает лишь часть объема, т. е. V I +V 2 +...+V N =V. Поэтому в теории
reTeporeHHbIx смесей вводят доли объема W" занимаемоrо фазами, так что
(5.80)
N
LW, =1.
l = 1
(5.81)
Эти параметры называют также объемной концентрацией или объемным
содержанием фазы.
Помимо приведеШIЫХ плотностей р, определяются истинные плотности
веществ
о щ масса i й фазы р,
р, объем i й фазы W, .
(5.82)
в reTeporeHHbIx средах осложняются законы, описывающие относительное
движение фаз, поскольку эти движения определяются процессами взаимодей
сrвия фаз, например обтекание частиц несущей жидкостью, а инorда и OДHOBpe
меIШЫМ взаимодействием частиц между собой.
Иноrда, кorда инерционные эффекты относительнorо движения фаз Hecy
щественны, для описаний движения reTeporeIIНbIx сред можно использовать и
ОДIIОЖИДКОСТIIое приближение. В качестве примера можпо указать безьшер
ЦИОШIЫЙ закон, описывающий отпосительное движение фаз в пористой среде,
называемый законом фильтрации Дарси
p,W, = X,Vp,
(5.83)
67
5*
который используется в моделях насыщенных пористых сред и в моделях
rазожидкостных потоков.
Особо отметим случай rетероrенной смеси с малым объемным содержанием
дисперсной фазы W i « 1. В этом случае можно считать, что дисперсная фаза
оказывает слабое влияние на сплошную фазу. Тorда поле скоростей, давлений,
температур и друrих параметров сплошной фазы можпо определить, используя
односкоростную модель, а затем по заданному распределению параметров опре
делить поведение дисперсной фазы. Если дисперсная фаза представляет собой
дискретную систему включений (твердые частицы, капли, пузырьки, макромоле
кулы) , то их можно охарактеризовать распределением n (V, t, Р) включений
по объемам V в точке пространства Р. Сами включения MorYT обмениваться со
сплошной фазой массой, например за счет испарения, конденсации, плавления
и т. д., а также MorYT взаимодействовать между собой сталкиваться, коаrули
ровать, коалесцировать, дробиться, образуя включения различноrо размера. Кроме
Toro, фаза может зарождаться в условиях пересыщения смеси, а затем увели
чиваться в размерах за счет фазовых переходов. Уравнение, описывающее
изменение распределения включений по размерам с учетом только парпых
столкновений, имеет вид
дп д ( dV )
дt + "У(иn) + дУ жn = Icoag + I br + Inacl,
(5.84)
rде U скорость движения частицы объема V; dV /dt скорость изменения
объема за счет изменения фазовоrо состояния; I coag , I br И Inacl интенсивности
образования включений объема V за счет процессов Koary ляции, дробления и
нуклеации.
Большинство рассматриваемых в дальнейшем процессов характеризуется
малым объемпым содержанием диснерсной фазы, поэтому основное внимание
будет уделено поведению дисперсной фазы.
5.5. ЗАРЯЖЕННЫЕ СМЕСИ
в разделе 4.5. было показано, что наличие внешнеrо электрическоrо поля
при водит к миrрации заряженных комнонент в смеси. Наряду с этим перенос
смеси происходит за счет конвекции и диффузии. Рассмотрим, как изменяется
уравнения переlIоса с учетом заряженных компонент и внешнеrо электрическо
ro поля. Оrраничимся случаем нредельно разбавленных смесей.
Прежде Bcero заметим, что уравнения для относительных потоков (5.56)
справедливы и для заряженных компонент, но для этих компонент под I-I-i
следует понимать электрохимический потенциал, который зависит от давления,
температуры, химическоrо состава инараметров электрическоrо состояния. Пос
ледние, в свою очередь, описываются самостоятельными уравнениями. Что Ka
сается феноменолоrических уравнений для концентрированных смесей, то они
сложны и требуют большоrо числа эмпирических нараметров.
В нриближении предельно разбавленноrо раствора молыIйй поток i ro
компонента является суммой потоков, обусловленных миrрацией, диффузией и
конвекцией. Используя выражения (4.27) и (4.32), получим
j; = ViZiFСiVФ ДVС i + Ciu. (5.85)
В (5.85) и* заменено на и,' поскольку для пределыIo разбавленнorо paCTBO
ра и* =: и. В электрохимии принято использовать мольные lIОТОКИ j;, но cpeд
68
немассовую скорость и. Аналоrичное уравнение можно написать для MaccoBoro
потока
J '* == u.z.F р .V ф D.V p . + Р u
1 1 1 1 1 1 1.
(5.86)
Напомним, что Uj подвижность, D j коэффициент бинарной диффузии,
связанный с подвижностью формулой D j == А TUj. Уравнения (5.85) и (5.86)
называются уравнениями Нернста Планка.
Движение заряженных компонент приводит к появлению электрическоrо
тока, плотность KOToporo в соответствии с (4.35) равна
i == р" Z' J '* == crV ф р" z.D.VC- + Р и" z.C-
L.i , 1 L.i "1 L.i 1 .,
(5.87)
rдe cr == F2 L zlv,-C,- электропроводность раствора.
Для определения потоков jj и плотности тока i нужно знать VФ или Е,
дЛЯ чеrо необходимо воспользоваться уравнениями электродинамики ypaB
нениями Максвелла. В общем случае внешнее электрическое поле индуциру
ет в жидкости электрическое и маПIИПlOе поля, которые в свою очередь
влияют на внешнее поле. Однако, если внешнее маrнипюе поле отсутствует,
а внешнее электрическое поле мало изменяется со временем, то электродина
мическая задача сводится к электростатической, а именно к определению pac
предепия в жидкости электрическоrо потепциала, описываемоrо уравнением
Пуассона
Рв
дф == T, 10 == fоfт,
(5.88)
Здесь Рв == FLZ;C; плотность электрическоrо заряда в жидкости,
100 == 8,85 . 10 12 К2 . м 2 /Н диэлектрическая проницаемость в вакууме, f , OT
носительная диэлектрическая пропицаемость. Для воды f , == 78,3.
В соответствии с законом Лорепца, массовая электрическая сила, действу
ющая па жидкость, несущую заряд Рв, равна
fB == рвЕ. (5.89)
Практически важным случаем является случай электрически нейтральной
смеси. В этом приближении РВ == О И
L z,-C,- == О. (5.90)
Обычно это условие выполняется приближенно. В отсутствии процессов,
приводящих к разделению зарядов, электрическая нейтральность существует в
потоке за исключением областей, прилеrающих к заряженным поверхностям.
Эти области называются двойными электрическими слоями или дебаевскимн
слоями. Толщина этих слоев мала (от 1 до 10 пм). Учет этих слоев важен при
рассмотрении взаимодействия маленьких частиц и процессов, происходящих в
непосредствешюй близости от заряжепных поверхностей.
Рассмотрим бинарпый раствор электролита, состоящий из неионизованнorо
растворителя и полпостью ионизоваШlOrо растворешюrо вещества, например
соли очень малой концентрации. Растворенное вещество состоит из положи
телыlO и отрицательно заряжепных ионов с числом ионов V+ И V , образующих
ся при диссоциации одной молекулы, и МОЛЫIЫМИ концентрациями С+ И C
соответственно. Рассмотрим случай, коrда химические реакции отсутствуют,
т. е. rj == О. Из условия электронейтралыюсти (5.90) следует, что
z+C++z C==O. (5.91)
69
Введем приведенную концентрацию ионов
с= C = C .
y y
(5.92)
Определенная таким образом концентрация С удовлетворяет уравнению
(5.91). Из уравнения неразрывности (5.44) при условии несжимаемости pacт
ворителя (V' U == О) и отсутствия химических реакций (r. == О) следует. что
дС (
дt + U . VC == Zt.Vt.FV. СVф) + Dt.!:I.G. (5.93)
Предполаrаем, что V", и D", постоянпые. Вычтем из уравнения (5.93) для
положительных ионов это же уравнение для отрицательных ионов. Получим
(Z V Z V ) FV . (СVф) + (D D )!:I.C = О. (5.94)
Выразив отсюда слаrаемое с электрическим потенциалом и подставив в
(5.93), получим уравнение конвективной диффузии
дС + U . VC = D!:I.C (5.95)
at
с эффективным коэффициентом диффузии D, paBHblJ':f
D = z+v+D z v D . (5.96)
z v z v
Поскольку D", == ATv"" то D можно преобразовать:
D=D l z /z .
1 z D+/z D
(5.97)
В частности, если D == D , то D == D == D .
Таким образом, в бинарпом предельно разбавленпом растворе элетролита
раснределение приведепной концентрации описывается таким же уравнени
ем (5.95), как и для пезаряжеШIЫХ компопент, но только с друrим коэффи
циеrпом диффузии.
Распределение электрическоrо потенциала дается уравнением (5.94), KOTO
рое имеет смысл уравнения неразрывности для нлотности электрическоrо тока.
Действительно, (5.87) с учетом условия электрической нейтралыюсти (5.91)
можно переписать в виде
v j F = (Z V z v )FСVф + (D D )VC. (5.98)
z+
Если возьмем от левой и правой части (5.98) диверrеIЩИЮ, то правая часть
соrласно (5.94) обратится в нуль и получим v. i == О. Это есть уравнение
неразрывности для плотности тока i.
5.6. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ
В предыдущих разделах получены уравнепия переноса чистой и MHoroKoM
понентной жидкостей, а также смеси, содержащей заряженные компоненты.
Начальные и rраничные условия для этих уравнений будут подробно paCCMOT
рены в дальнейшем в связи с конкретными приложениями. В настоящем раз
деле будет рассмотрена наиболее часто иснользуемая система уравнений и
выявлены параметры подобия.
Имея в виду дальнейшие приложения, оrраничимся рассмотрением бинар
пых предельпо разбавленпых несжимаемых растворов, без химических peaK
70
ций. При наличии электролита будем предполаrать раствор электрически ней
тральным. Считаем также, что все физико химические параметры и коэффи
циенты переноса постоянные. Из массовых сил действует только сила тяжести.
Сделанные предположения позволяют записать уравнения неразрывности,
количества движения, энерrии и диффузии в виде
V.u==O,
Du 1п
т = р v Р + v!ш + g,
(5.99)
(5.100)
DT
т = а.АТ,
DC
т == DAC.
(5.101)
(5.102)
В уравнении энерrии опущены члены с переносом тепла за счет переноса
массы, вязкой диссипации и внутренним выделением энерrии.
Приведем систему (5.99) (5.102) к безразмерному виду, для чеrо введем
характерные значения длины L, скорости И и времени 't. Заметим, что xapaK
терное время вводится обычно в задачах, в которых рассматриваются процессы
под действием изменяющихся со временем внешних воздействий. Тоrда под 't
следует понимать характерное время действия этих воздействий. Во мноrих
задачах 't не является независимой величиной, а определяется как 't == L/U.
Введем безразмерные величины
х' == x/L, t' == t/'t, и' = и/ U. (5.103)
В качестве характернorо давления возьмем р U 2 характерный динамиче
ский напор. Тоrда безразмерное давление
Р ' = р ро
рU2 .
Здесь Ро заданное давление, например давление в жидкости в невозму
щенном течении.
В качестве безразмерных температуры и концентрации возьмем
(5.104)
Т' т То с' С СО
To Tи" Co Cw'
(5.105)
rде индексом О обозначается, как правило, начальное значение, а w значение
на поверхности, оrраничивающей жидкость.
Переходя в (5.99) (5.102) к безразмерным переменным, получим
V. и' == о,
St дu' ( ' П ) , п, 1 А' 1 g
дt + u . v U = v Р + Re ди + Fr "у'
St д ' + (и' . V)T' = P T АТ,
дС' 1
St дt + (и' . V)C' = Рет Ас.
Здесь введены следующие безразмерные параметры.
1. Число Струхаля
L L / U характерное время течения
St= = =
,U 't характерное время воздействия
(5.106)
(5.107)
(5.108)
(5.109)
(5.110)
71
2. Число Фруда
Fr = U2 = pU2/L = сила инерции .
gL pg сила тяжести
(5.111)
3. Число Рейнольдса
Re pUL рU2 / L сила инерции
U/L2 сила вязкости
(5.112)
4. Число Пекле
Р UL РСрU(То Tw)/L тепло за счет конвекции
СТ а k(To Tw)/U тепло за счет теплопроводности
UL U(Со Cw)/L масса за счет конвекuии
Реп = D = D(Co Cw)/U = масса за счет диффузии '
Первый параметр, число Струхаля, является мерой нестационарности процес
са. При St« 1 или 't'» LjU первыми слаrаемыми в левой части (5.107)
(5.109) можпо пренебречь. При этом течение можно рассматривать как CTa
ционарное. В связи с этим следует заметить, что существуют задачи, в которых
нестационарпость может существовать па rранице, например в задачах с изме
няющейся со временем межфаЗIIОЙ поверхпостью (деформация поверхности Ka
пель, пузырьков, волны на поверхности жидкости и т. п.). в этом случае течение
в толще потока можно считать стационарным, а в тонком слое возле поверхно
сти нестационарным. Такая постановка задачи пазывается квазистационарной.
Число Фруда характеризует влияние силы тяжести на движение жидко
сти. Во мноrих задачах Fr» 1, т. е. сила тяжести оказывает слабое влияпие,
поэтому последним слаrаемым в правой части (5.107) можно пренебречь.
Важным параметром является число Рейнольдса. При Re» 1 вязкие члены
в (5.107) малы по сравнепию с инерционными. Препебреrая ими, получим ypaB
нения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера). Эти уравнения опи
сывают движение жидкости в потоке, кроме небольших областей, прилеrающих
к поверхпости обтекаемоrо тела. Вблизи этих поверхпостей силы вязкости мorут
быть сравнимы с инерционными, что приводит к образованию вязкоro поrранич
поrо слоя толщины (5 L/Re l /2, тде L характерный размер тела. Приближение
Re« 1 приводит к безынеРЦИОНIIОМУ течению жидкости, описываемому ypaBHe
пиями Стокса. Эти уравнения следуют из (5.107), в которых опущены инер
ционные члепы. К таким уравнениям сводятся задачи микроrидродинамики, Ha
при мер задачи о движении маленьких частиц в жидкости.
Число Пекле определяется как тепловое число Пекле (5.113) и диффу
ЗИОIIное (5.114). При Рет» 1 основной вклад в перепос тепла дает копвек
ция, а при Рет« 1 теплопроводность. Аналоrичпые выводы можно сделать
относительно Реп.
В задачах тепломассообмена кроме числа Пекле используют также сле
дующие величины.
S. Число Прандтля
(5.113)
(5.114)
Pr = v / а., Ре т = Re Pr.
(5.115)
6. Число Шмидта
Sc = v / D, Реп = Re Sc.
(5.116)
7. Число Льюиса
Le=a./D.
(5.117)
72
Таблица 5.1
Температура, Число
Вещество Прандтля
ос Pr v / а
Ртуть 27 2.72 . 1 0 2
Воздух 27 7,12 . 10 1
Вода 27 5,65
fлицерин 20 1,16'104
Таблица 5.2
Темпера Число Число
Вещество Шмидта Льюиса
Тура, ос Sc v /D Le a/D
02 N2 О 7,3' 10 I 1
Предельно 20 1 1
разбавлен
ная rазовая
смесь
Водный 20 7' 102 102
раствор
NaC!
Предельно 20 103 102
разбавлен
ный раствор
Числа Прандтля, Шмидта и Льюиса характеризуют свойства жидкости.
В табл. 5.1 и 5.2 приведены некоторые значения этих чисел для различных
веществ [7].
Зная свойства жидкостей, можно найти Pr, Sc, Le, а следовательно, и числа
Пекле для различных значений Re. Подобные оценки имеют большое значение,
поскольку позволяют упростить систему уравнений (5.106) (5.109).
Так как для жидкостей Sc» 1, то из (5.116) следует, что PeD» 1 для
значений Re 1, т. е, конвективный поток доминирует над диффузией в жид
костях при конечных, а иноrда и при малых числах Рейнольдса. В высоковяз
ких жидкостях Pr» 1 и из (5.115) следует, что Рет» 1 при не очень малых
числах Re. Следовательно, в этом случае перенос тепла осуществляется в oc
новном за счет конвекции.
Число Льюиса появляется в задачах, в которых одновременно рассматри
вается перепос вещества и тепла. Из данных табл. 5.2 следует, что для rазов
Le 1, т. е. оба нроцесса равноправны, в то время как в жидкости Le» 1,
т. е. перенос тепла доминирует над диффузионным переносом массы.
В заключение приведем еще два безразмерных параметра, характеризую
щих процесс передачи тепла и вещества при конвективном движении среды.
Сначала определим коэффициент теплопередачи а. как отношение тепловorо
потока к разности температур, т. е. q = а. I1T, и коэффициент массоотдачи 13 как
отношение диффузионноrо потока к разности концентраций j = 13 I1C. Тоrда
можно ввести два безразмерных числа Нусельта
ad (3d )
NUT=Y' NUD=l)' (5.118
Числа Нусельта, которые являются функциями чисел Re и Pr, использу
ются для определения коэффициентов тепло и массопередачи.
Отметим, что приведенными безразмерными параметрами не оrраничивает
ся весь набор параметров. Остальные параметры будут указаны при paCCMOT
рении конкретных задач.
5.7. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОЮ fA3A И ИДЕАЛЬНОЙ fА30ВОЙ СМЕСИ
Идеальный rаз определяется как rаз, подчиняющийся следующим законам:
1) закону Джоуля, соrласно которому внутренняя энерrия е одното моля
rаза зависит только от абсолютной температуры Т. Если rаз состоит из п молей,
то ето внутренняя энерrия
== пе(Т);
(5.119)
2) закону Бойля, соrласно которому при постоянной температуре объем V,
занимаемый данным числом молей rаза, изменяется обратно пропорционально
давлению р:
V = п {(Т>
р ,
(5.120)
rдe {(Т) функция, не зависящая от природы rаза.
Изменение внутренней энерrии в системе, в которой происходят обратимые
процессы, равно
d == TdS pdV,
(5.121)
тде S энтропия системы.
Разделив (5.120 на число молей п, получим
d = de+pdv =!:!!.. dT +E. d
s т т т и,
тде введены v == V /п мольный объем; C v == de/dT теплоемкость при постоян
ном объеме. Поскольку е == е (Т), то C v == cv(T). Рассматривая (5.122) как ПОk
ный дифференциал функции s (Т, и), имеем
C v ( дs ) Р ( дs )
т дТ v' Т дv т'
Дифференцируя первое уравнение (5.123) по и, а второе по Т и учиты
вая, что соrласно (5.120) р == ((Т) /и, получим
.1... ( !:!!.. ) == .l... ( Е ) = .l... ( f(T» )
дv Т дТ Т дТ Tv .
(5.122)
(5.123)
Поскольку cv/T зависит только от Т, то
д ( f(T» ) {(Т) (
дТ т-- = о или т---- const. 5.124)
Эта постояпная называется rазовой постоянной А. Подстановка в (5.120)
приводит к следующему уравнению состояния идеальноrо rаза:
ри == АТ.
(5.125)
Значение rазовой постоянной А == 8,314 Дж/rрад. моль.
Напомним некоторые простые свойства идеальноrо rаза. Уравнение, свя
зывающее мольные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давле
нии, имеет вид
С р C v == А. (5.126)
Используя выражение C v (Т) == de/dT, найдем изменение внутренней энер
rии идеальноrо rаза при изменении ето температуры от То дО Т:
J.t
т
е(Т) е(Т о ) == f C v (Т) dT.
То
(5.127)
АналоrиЧlIО для мольной энтальпии h == е + pv == е + АТ имеем dh == de + AdT ==
== cpdT и
т
h(r) h(T o ) == f cp(ndT.
То
(5.128)
Для определения мольной ЭIIТропии нужно (5.122) проинтеrрировать от
состояния (То, vo) до состояния (Т, V). В итоrе получим
,(т, v) = (S(T" v.) + 1. ""7) dT А ln v,) + А ln v =
= (S(T" v.) + 1. "7' dT + А [n р,) А [n р = ,(О)(Т) А [n р. (5.129)
Используя соотношение для Химическоrо потенциала
== h Ts,
(5.130)
получим выражение для химическоrо потенциала идеалыIrоo rаза
(T, р) == (o) (т) + АТ lnp.
(5.131)
Таким образом, термодинамические функции идеальноrо rаза е, h, s и
определяются зависимостью теплоемкости (С р или c v ) от температуры, завися
щей от молекулярноrо строения rаза. Выражения для теплоемкости ИДеальных
тазов можно найти, например, в работе [1].
Рассмотрим теперь смеси rазов. Введем понятие парциальноrо дaB
ления
р, == рх"
(5.132)
rде Х; мольная доля l ro компонента.
Из этоrо определения следует, что полное давление смеси
р == L,p,.
(5.137)
Смесь тазов в объеме V при температуре Т называется идеальной, если ее
свободная энерrия F == TS равна сумме свободных энерrий, которые имели
бы отдельные компоненты, если бы каждый из них занимал тот же самый объем
при той же температуре. Из этоrо определения следует, что для смеси идеаль
IIЫХ rазов справедливо уравнение состояния
pv==AT, (5.134)
rде р определяется уравнением (5.133); v == Vjп == V/L,п,; п, число молей
i ro компонента в объеме V.
Соответственно для каждоrо компонента
piVi==AT, Vi== V/пi.
(5.135)
75
Если ввести мольную концентрацию C j = l/Vj, то уравнение состояния (5.135)
можно переписать в виде
pj= САТ.
(5.136)
Термодинамические функции для идеальной смеси rазов имеют следующий
вид [5]:
внутренняя энерrия
= LпjUj(T) = L i(T, п),
i i
энтальпия
Н= + пАТ,
свободная энерrия
F = Lп.tj = Lf/T, V, п),
j
энтропия
S = LпjSj = Lпj(s(O)(T, р) А ln(px).
i i
Для каждоrо компонента химический потенциал определяется в COOTBeT
ствии с (5.135);
; = /T) + АТ lnpj = I-l О)(r) + АТ ln(px) =
= O)(T, р) + АТ ln(x), (5.137)
rде O)(T, р) химический потенциал чистоrо rаза при температуре Т и дaB
лении р.
Заметим, что химический потенциал компонентов идеальной смеси rазов по
виду совпадает с химическим потенциалом идеальнorо раствора. Отличие co
стоит в виде O)(T, р).
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ РЕАльноrо rАЗА И РЕАЛЬНОЙ СМЕСИ rАЗОВ
Большинство rазов и rазовых смесей при давлениях и температурах, незна
чительно отклоняющихся от нормальных, ведут себя как идеальные. Однако
при больших отклонениях давления и температуры от нормальных rазы и rазо
вые смеси не подчиняются уравнениям (5.125) и (5.135). в качестве примера
можпо привести природный rаз, который представляет собой МIiоrокомпопент
ную систему, состоящую из уrлеводородных и неуrлеводородных компонентов.
В пластовых условиях давления составляют десятки меrапаскаль, а температу
ра сотни rрадусов Цельсия. При этих условиях природный rаз, как правило,
находится в rазообраЗIIОМ состоянии. В процессе добычи, подrотовки, перера
ботки и транспортировки rаза давление может изменяться от пластовоrо дaB
ления до атмосферноrо и ниже, а температура от пластовой температуры до
низких температур, вплоть до криоrенных. Изменение термобарических усло
вий приводит К изменению фазовorо состояния смеси от однофазпorо в пласте
до двухфазноro (жидкость пар). Для построения математической модели
движепия уrлеводородной смеси от пласта до поверхности, а затем по элемен
там технолоrических установок подrотовки, переработки и транспорта необхо
димо уметь описывать фазовое состояние системы в условиях термодинамиче
76
ското равновесия. Уравнения состояния мноrокомпонентной системы в большом
диапазоне давлений и температур являются осповой для проведения термоди
намических расчетов фазовorо равновесия и свойств системы. Уравнение co
стояния идеалыюrо rаза и идеальной смеси rазов для этих целей не rодится,
а необходимы уравнения состояния реальноrо rаза и реальной смеси rазов.
Основные требования, которые предъявляются к уравнениям состояния,
заключаются в возможности их ИСПОJJ:ьзовапия в большом диапазоне давлений
и температур, а также в возможпости описывать состояние как rазовой, так и
жидкой фазы. Поэтому предложепные в последнее время уравнения состояния
называются едипыми уравнениями сОстояния.
К настоящему времени предложено большое число уравнений состояния [8, 9].
Большинство из них предназначены для описания поведения ут леводородных
систем. Эти уравнения можно условно разделить на два основных вида: MHO
rокоэффициентные и кубические.
Рассмотрим сначала уравнепия состояния для чистых веществ. В основе
мноrокоэффициентных уравнений сОСтояпия лежит представление уравпения в
вириальной форме. Давлепие rаза с высокой степенью точпости можно пред
ставить в виде ряда по степеням l/v, тде v мольный объем вещества:
Р == А: (1 + + 3 + ...). (5.138)
Коэффициенты В, С,... называются вириальными коэффициентами. Для
чистых веществ они зависят только от температуры и характеризуют молеку
лярные взаимодействия вещества: В парные взаимодействия, С тройные
взаимодействия и т. д. Вириальные коэффициенты мотут быть вычислены для
rазов малой плотности, а значит, для невысоких давлений методами статистиче
ской физики. Чаще всето вычисления оrраничиваются вторым слаrаемым CYM
мы в правой части (5.138), поскольку учет непарпых взаимодействий зпачитель
но осложняет процедуру расчета. Поэтому для rазов, слабо отклоняющихся от
идеальных, можно положить
АТ ( В )
P==l)' 1+-и.
(5.139)
Для тото чтобы получить уравнение состояния, приrодное для реальноrо
rаза и имеющее вид уравнения в вириальной форме, использовали результаты
эспериментов. В итоrе были предложены эмпирические уравнения состояния, в
которых давление представлено в виде полинома от мольной плотности Be
щества р == l/v с коэффициентами, зависящими от температуры. Из предло
женных уравнений состояния большое распространение получило уравнение
Бенедикта Вебера Рубина (BWR) и ето модификации. Приведем одну из
удачпых, с точки зрения точности расчетов, модификаций уравнение CTap
линrа Хана
р == АТр + (ВоАТ Ао ; + ) р2 + ( АТЬ а %) рЗ +
+ а.( а + %)р6 + ; (1 + ур2) exp( yp2), (5.140)
тде Ао, ВО, СО, Do, Ео, а, Ь, с, d, а., у эмпирические коэффициенты.
Заметим, что ряд (5.140) аналоrичен ряду (5.138). Последнее слаrаемое с
экспоненциальным множителем выбрано таким образом, чтобы компенсировать
остаток ряда.
Таким образом, мноrокоэффициентные уравнения при заданных значе
77
ниях р И Т представляют собой уравнения относительно мольной плотности р.
Для нахождения корней этоrо уравнения необходимо решить нелинейное алrеб
раическое уравнение.
Для инженерных расчетов более удобны кубические уравнения состояния.
Самым простым кубическим уравнением является уравнение состояния BaH
дep Ваальса
АТ а (5.141)
P== ;2'
те а и Ь постоянные коэффициенты.
При выводе этоrо уравнения Ван дер Ваальс учел силы взаимодействия
молекул, считая их твердыми и сферическими: первое слаrаемое в правой части
(5.141) соответствует силе отталкивания, а второе силе притяжения. Если
заданы р и Т, то уравнение (5. 141) представляет собой кубическое уравнение
относительно мольноrо объема v или мольной плотности р == 1/v. Заметим, что
для слабо неидеальноrо rаза b/v» 1 и, разложив правую часть (5.141) в ряд
по степеням 1/v, получим уравнение состояние в вириальной форме, rде второй
вириальный коэффициент равен
В(Т) == Ь :Т ' (5.142)
Зависимость р (v) при фиксированной температуре (изотерма) показана на
рис. 5.1.
Кривые 1, 2, 3 различаются значениями температуры. Кривая 3 COOTBeT
ствует температуре, превышающей критическую (Т> Те)' В этом состоянии
кривая изменяется плавно, давление падает с ростом v и вещество может
находиться в равновесном состоянии только будучи в rазообразном виде. BTO
рая кривая соответствует критической температуре Те наивысшей температу
ре, при которой жидкость и пар MorYT находиться в состоянии равновесия друr
с друrом. При температуре Т < Те (кривая 1) зависимость р (v) ведет себя
немонотонно. Слева от точки В (линия АВ) вещество находится в однофазном
жидком состоянии, справа от точки G (линия СН) вещество находится в
однофазном паровом состоянии. Область между точками В и G соответствует
равновесному двухфазному состоянию жидкость пар. Соrласно условию
Р
Ps
3
Ре
Т<Те
1
VEV e
V"
V
Рис. 5.1. Изотермы состоя
ния реальиоrо rаза
78
Максвелла, площади областей BDE и EFG равны, Из вида изотерм следует, что
в докритической области (Т < Те) кубическое уравнение (5.140 имеет три
действительных положительных корня V', VE И v", причем меньший корень
соответствует молыюму объему жидкой фазы, а б6льuшй корень rазовой фазы.
Корень VE не имеет физическоrо смысла. В критической и сверхкритической
области имеется один действительный положительный корень уравнения (5.141).
Кроме Toro, в критической точке удовлетворяются условия (точка переrиба)
-др -д 2 р
== == о при Т == Те; V == V C ' (5.143)
ov ov 2
Подстановка (5.140 в условия (5.143) позволяет определить коэффи
циенты а и Ь:
Введем
27 А2т1 Ь == V c АТс
а 3р v 2 == ==
с с 64рс' 3 8рс .
безразмерные давление pr, температуру Tr и мольный объем V r :
р Т V
Pr == p , Tr == Т. ' V r == v'
с с с
(5.144)
(5.145)
Параметры, определенные таким образом, называются приведенными. В этих
перемепных уравнение Ван дер Ваальса запишется в виде
(Pr + :; )c3V r 1) == 8Tr. (5.146)
Уравнение (5.146) содержит только безразмерные приведенные парамет
ры, поэтому если два разных вещества описываются уравнением Ван дер Вааль
са и имеют одинаковые значения pr И Т" то совпадают и их приведенные
мольные объемы V r . Этот закон называется принципом соответственных COCTO
яний. Он лежит в основе теории термодинамическоrо подобия.
Большинство модификаций кубических уравнений основано на уравнении
Ван дер Ваальса. К настоящему времени предложено MHoro кубических ypaB
нений состояния [8, 9]. Приведем некоторые из наиболее используемых.
1. Уравнение Редлиха KBoнra
АТ а (5.147)
Р == v Ь TO.5v(v + Ь)'
ИЗ условий (5.143) в критической точке нетрудно найти коэффициеmы а и Ь:
А2тс25 АТс
а == 0,42747 ; Ь == 0,08664 . (5.148)
Уравнение Редлиха KBoHra не имеет теоретическоrо обоснования, оно
получено эмпирически. Это уравнение широко использовалось для расчета
свойств rазовой фазы. Однако при расчетах свойств жидкой фазы оно давало
большую поrрешность. Поэтому модификация Вильсона была предназначена
для расчетов свойств как rазовой, так и жидкой фазы. Модификации подверrся
коэффициент а в уравнении (5.147):
а == 4,934(1 + (1,45 + 1,62(()(Tr 1 1) Tr O ,12)ЬАТI,5. (5.149)
Здесь введен дополнительный параметр ((), называемый ацентрическим
фактором. Ero физический смысл состоит в учете отклонения формы молекул
от сферической. Чем больше форма молекул отличается от сферической, тем
больше фактор (().
79
2. Уравнение Соава Редлиха Квоша
= АТ (5.150)
р v Ь и(и + Ь) .
Коэффициент Ь в этом уравнении вычисляется по формуле (5.148), а KO
эффициент
а = аса.(Т" ш),
(5.151)
тде
ас = 0,427 А2Тl , а.(Т" ш) = (1 + т (1 Tr o ,S»2;
Ре
т = 0,48 + 1,S74w О,17ш 2 .
3. Уравнение Пенrа Ро6инсона
АТ а (5.152)
р = v Ь и(и +Ь) + Ь(и Ь) .
Коэффициент а вычисляется по формуле (5.151), в которой следует взять
А2Т}
ас = 0,457 ; т = 0,375 + 1,S42ffi О,27ы 2 ,
а коэффициент Ь = 0,078 c .
Уравнения Редлиха Квоша, Соава Редлиха Квонта и Пенrа Po
6инсона можно применять и для мноrокомпонеНТIIЫХ смесей. Для первых двух
уравнений в этом случае коэффициенты а и Ь определяются соотношениями
а = [ IYia?,sJ, Ь = i Yibi,
тде N число компонентов в смеси; ai и b i коэффициенты чистоrо i ro Be
щества; Yi МОЛЫfая доля i ro компонента.
При расчетах мноrокомпонентных систем по уравнению Пенrа Ро6инсо
на коэффициенты а и Ь вычисляют по форму лам
(5.153)
N N
а = L(l Ci)Yiy/a,a)O,S, Ь = LYibi,
i, j; 1 i; 1
(5.154)
тде C i ! коэффициенты парноrо взаимодействия молекул i ro и j ro компонен
тов, определяемые эмпирически.
Зная уравнение состояние для рассматриваемой мноrокомпонеНТlIОЙ систе
мы, можно 'определить термодинамические функции в соответствии с OCHOBHЫ
ми термодинамическими соотношениями [5]. Имея в виду приложения к pac
чету паРОЖИДКОСТlIоrо равновесия, рассмотрим определение химических потен
циалов компонентов. Для реальной rазовой смеси химический потенциал i ro
компонента
!-li(Т, р) = !-l\О)(r) + АТ ln (;,
(5.155)
тде /l\O)(T) химический потенциал идеальноrо i ro компонента при темпера
туре Т и давлении, равном единице в принятой системе единиц измерений; fi
летучесть i ro компонента.
Сравнивая (5.155) с аналоrичным выражением для идеальной rазовой
смеси (5.137), получим, что для идеальной смеси rазов {; = р,. С друrой стороны,
выражение (5.155) можно записать в несколько ином виде:
80
f.!;(T, р) = f.!jO)(T, р) + АТ lna;,
(5.156)
rде а; активность l ro компонента.
В основе расчета f.!i или {; лежит известное термодинамическое СООТIюше
вие для производной химическоrо потенциала
( J i ) ( JV )
v.
др дn; ..
Т, n} Т,р, п} '# п ,
(5.157)
Вывод уравнения для J..4 rромоздкий и здесь не приводится. Подробности
можно найти в работе [9].
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПАРОЖИДКОСТНОro РАВНОВЕСИЯ
Основной задачей в инженерной практике является расчет фазовоrо COCTO
яния MHoroKoMHoHeHTHbIx систем, например уrлеводородных смесей. Под этим
понимается определение составов паровой и жидкой фаз при заданных значе
ниях давления, температуры и общем составе смеси.
Рассмотрим мноrокомпонентную систему, состав которой задан в виде моль
ных долей 'Y\i входящих в нее компонентов. При давлении р и температуре Т
система разделилась на паровую и жидкую фазы. Обозначим через Х, и У;
мольные доли комнонентов в жидкой и наровой фазах, а через V и L
мольные доли наровой и жидкой фаз. Онределим константы равновесия KOM
понептов К. как отношения мольпых долей:
К ; = У'/ Xi (i = 1, N ). (5.158)
Условием равновесия фаз является равенство химических потенциалов
компонентов в обеих фазах:
f.! L) = f.! V) (i = 1, N ). (5.159)
в силу соотношений (5.155) равенства (5.159) эквивалентны равенствам
летучестей
t.(L) = t.(V) (i = 1, N ). (5.160)
Добавим к уравнениям (5.160) уравнения материальнorо баланса каждоrо
комнонента
'Y\i=YiV+XiL (i=1,N). (5.160
Поскольку V + L = 1, а У; = к.Х ; соrласпо (5.158), то (5.161) можно преоб
разовать к виду
rJi rJiKi
Xi = V(Ki 1)+1 ' Yi = V(K. 1)+1 ' (5.162)
Уравнения (5.162) называются уравнениями фазовых концентраций KOM
нонентов смеси. Они позволяют найти мольные доли компонентов в фазах, ec
ли состав смеси 'Y\i, константы равновесия К; и мольная доля наровой фазы
известны. Просуммировав (5.162) по i и учитывая очевидные равенства
L х, = L У. = 1, получим уравпение для определения V по известным значе
ниям 'У\. и K i :
N
F(V) = L rJi(Ki 1) = о.
i = 1 V(Ki 1) + 1
(5.163)
6 1461
81
Функция F(V) является монотонно убывающей, поскольку P(V) < о.
Это свойство позволяет получить следующие критерии фазовorо состояния
смеси.
1. V < о. Этот случай соответствует однофазному ненасыщенному жидко
му состоянию. Поскольку F(O) < о, то необходимым критерием Toro, что при
заданных значениях К ; и 'У\; смесь находится в однофазном ненасыщенном
жидком состоянии, является выполнение неравенства
N
L'Y\i K i<1.
i = 1
(5.164)
2. V == О. Этот случай соответствует насыщенному жидкому состоянию (точка
кипения). Из условия F (О) == о следует, что необходимым условием однофаз
Horo насыщенноrо жидкоrо состояния является выполнение равенства
N
L 'У\,К; == 1.
i = 1
(5.165)
3. О < V < 1. Этот случай соответствует двухфазному нарожидкостному
состоянию. Из условия F (1) == о следует, что необходимым условием двухфаз
Horo состояния является выполнение неравенств
N N
"" Т];
L.J 'Y\iKi > 1 и L.J к > 1.
i:= 1 i = 1 l
(5.166)
4. V == 1. Этот случай соответствует однофазному насыщенному состоянию
(точка росы). Из условия F(O == о следует необходимое условие существова
пия смеси в насыщенном rазовом состоянии
N
L i!i == 1.
i = 1
(5.167)
S. V> 1. Этот случай соответствует однофазному ненасыщенному rазово
му состоянию. Из условия F (1) > о следует необходимое условие
N
L i!i < 1.
i = 1
(5.168)
Заметим, что критерии 1 и 5 физически не реализуются, поэтому их можно
рассматривать лишь как всномоrательные критерии в процессе численноrо
решения соответствующей задачи.
Таким образом, для определения 2N + 2 неизвестных Х" Yi, V И L имеем
систему 2N + 2 уравнений
r;Ш == f,(V) (i == 1, N ),
'У\; == УУ + xiL (i == 1, N),
LYi== 1,
(5.169)
(5.170)
(5.171)
V + L == 1.
(5.172)
Отметим, что летучести (?) и r;(V) рассчитываются на основе термодина
мических соотношений с использованием одноrо из уравнений состояния. Си
82
стема уравнений (5.169)
(5.172) представляет собой нелинейную систему
алrебраических уравнений, решение которой можно получить, используя COOT
ветствующие численные методы.
5.8. БАЛАНС ЭНТРОПИИ. сооrnОШЕНИЯ ВЗАИМНОСТИ ОНЗAfЕРА
Феноменолоrические соотношения, определенные в подразделе 1.1, иrрают
важную роль в термодинамике необратимых процессов. Общую основу MaK
роскопическоrо описания необратимых процессов составляет неравновесная
термодинамика, которая строится как теория сплошной среды и параметры
которой, в отличие от равновесной термодинамики, являются функциями про
странственных координат и времени. Центральное место в неравновесной Tep
модинамике иrрает уравнение баланса энтропии [1 О]. Это уравнение выражает
тот факт, что энтропия HeKoToporo элемента объема сплошной среды изменя
ется со временем за счет потока энтропии в рассматриваемый объем извне и
за счет IIоложительноrо источника энтропии, обусловленноrо необходимыми
процессами внутри объема. При обратимых процессах источники энтропии
отсутствуют. В этом состоит локальная формулировка BToporo закона TepMO
динамики. Поэтому основной задачей в теории необратимых процессов явля
ется получение выражения для источника энтропии. Для этоrо необходимо
использовать законы сохранения массы, количества движения и энерrии в
дифференциальной форме, полученные в разделе 1. В уравнения сохранения
входят потоки диффузии, тепла и теllЗОр папряжений, которые характеризуют
перенос массы, энерrии и импульса. Важную роль иrрает термодинамическое
уравнение rиббса (5.49), которое связывает скорость изменения эптропии со
скоростями изменения энерrии и состава смеси. Оказывается, что выражение
для интенсивности источника энтропии представляет собой сумму членов, каж
дый из которых является произведением потока, характеризующеrо необрати
мый процесс, и величины, называемой термодипамической силой. Термодинами
ческая сила связана с неоднородностью системы или с отклонением параметра
от ero paBHoBecHoro значения. Потоки, в свою очередь, в первом приближении
линейпо зависят от термодинамических сил в соответствии с феноменолоrиче
скими соотношениями. Эти линейные законы отражают зависимость потока от
всех термодинамических сил, т. е. учитывают перекрестные эффекты. Так,
поток вещества зависит не только от rрадиента копцентрации, но и от rpa
диентов давления, температуры, электрическоrо потенциала и т. д. HepaBHOBec
ная термодинамика оrраничивается в основном изучением линейных феноме
нолоrических соотношений.
Таким образом, интенсивность источника энтропии является квадратичной
формой термодинамических сил. Матрица феноменолоrических коэффициен
тов этой формы обладает замечательными свойствами. Эти свойства, сформу
лированные в виде теоремы взаимности Опзаrера, позволяют уменьшить число
независимых величин и связывают между собой различные физические эф
фекты.
Изменение энтропии системы
d5 = d e 5 + d,5,
(5.173)
rде d e 5
энтропия, поступающая в систему извне; d,5
энтропия, возникаю
щая в самой системе.
Соrласно второму закону термодинамики для равновесных процессов d,5 = О,
а для перавновесных процессов d,5
О. ДЛЯ адиабатически изолированной
б. 83
системы, т. е. системы, которая не может обмениваться с окружающей средой
ни теплом, ни веществом, d e 5
О и из (5.119) следует, что
d5
d,5? О.
(5.174)
Для замкнутой системы, т. е. системы, которая может обмениваться с
окружающей средой только тепловой энерrией, справедливо уравнение Карно
Клаузиуса
dQ
d e 5
Т'
(5.175)
[де dQ
теплота, поступающая к системе извне.
Из (5.173) и (5.175) следует, что для замкнутой системы
d5
d,5 + di ? di . (5.176)
Формулы (5.174) и (5.176) представляют собой формы записи BToporo
закона термодинамики соответственно для адиабатически изолированной и зам
кнутой систем.
Наибольший интерес представляют открытые системы, т. е. системы, KOTO
рые MorYT обмениваться с окружающей средой как тепловой энерrией, так и
веществом.
Введем плотность энтронии s соотношепием
5 = f psdV.
v
(5.177)
Поскольку d p 5 есть энтропия, поступающая в систему извне через поверх
ность 1;, оrраничивающую объем V, то ее изменение за время dt равно
d e 5 =
f j,d1;dt,
t
[де js
поток энтропии через единичную поверхность; d1;
ориентированный
элемент поверхности.
Обозначим через О' интенсивность производства энтропии в объеме. Тоrда
изменение энтропии за время dt в объеме за счет неравновесных процессов
составляет
(5.178)
d,5 = f O'dVdt, О'? О.
v
(5.179)
Подставляя (5.177)
(5.179) в (5.173) и преобразуя поверхностный ин
теrрал в объемный по формуле [аусса (5.1), получим
f ( DPS . )
Dt + V . 1s
О' dV = О.
v
(5.180)
В силу произволыюсти объема из (5.180) получим дифференциальное
уравнение, соответствующее локальной формулировке BToporo закона термоди
намики открытой системы,
Dps . О
=
Y' . 1 +..... ..... >
Dt s v, v
.
Используя уравнение неразрывности (5.12), можно нреобразовать ypaBHe
(5.180 к виду
(5.181)
ние
м
р g == v . Js + 0', о';? О,
[де J5 == j5 psU относительный поток.
Воспользуемся теперь формулой rиббса (5.49),
образом:
(5.182)
переписав ее следующим
n
Ds De Dv "" DWk
Т Dt == Dt +Pт L.Jf.!kDt,
k = 1
(5.183)
[де Wk массовая концентрация k ro компонента; f.!k химический потенциал
k ro компонента.
Для определения De/Dt и DWk/Dt нужно воспользоваться уравнением
энерrии (5.30) и диффузии (5.45). Заметим, что уравнение (5.30) написано без
учета мноrокомпоненпlOСТИ и химических реакций. С учетом этих явлений оно
перепишется как [1 О]
р g == Т: Е V . J q + i J k . F k ,
k = 1
(5.184)
[де J q поток тепла (в разделе 3.2 ero обозначили через q); Jk диффузи
онпый поток k ro компонента (см. (4.26»; Fk внешняя сила, действующая на
k й компонент.
Скалярное произведение тензоров напряжений и скоростей деформации
Т:Е определяется уравнением (5.31). Тоrда (5.184) примет следующий вид:
р g == v .Jq pv.u +п:vu + tJk' Fk'
k = 1
(5.185)
[де Vu == (JUi/aXk rрадиент вектора, ЯВЛЯlOщийся тензором BToporo paнra.
Уравнение диффузии запишем как
D k == v. Jk + rk, (5.186)
[де rk скорость образования k ro компонента в единице объема в результате
химической реакции; Wk масовые доли k ro компонента.
Образование k ro компонепта может про исходить в результате нескольких
одновременно протекающих реакций. Если реакции не сопровождаются измене
нием объема, то для каждоrо образующеrося компонента справедливо равенство
r
rk == L. vkjMkJj') ,
j = 1
(5.187)
[де Vk) стехиометрический коэффициент k ro компонента в j й реакции; M k
молекулярная масса; Jj') == pa j /at скорость j й химической реакции в еди
нице объема. Из условия сохранения массы в каждой химической реакции
следует, что
r
L.MkVkj == О.
k = 1
(5.188)
Уравнение (5.186) с учетом соотношений (5.45), (5.46) и (5.187) можно
переписать в виде
DWk r (у)
== V . Jk + L. vkjMkJ j .
j = 1
(5.189)
85
Подставляя теперь (5.185) и (5.189) в выражение (5.183), получим
n n r
Ds 1 1 1 1 J 1 (r) ( )
Р Dt = тV'Jq+тП:VU+тL-Jk.Fk+тL-llkV' k тL-АjJj' 5.190
k=1 k=1 j=1
r
Здесь введены Aj = LMkVkjllk химические сродства реакций [5].
k=1
Следующим шаrом является приведение уравнения (5. 190) к виду (5. 182),
для чеrо нужно собрать слаrаемые, содержащие диверrенцию. После неслож
ных преобразований получим выражения для потока энтропии Js и источника
энтропии 0', который называют также диссипативной функцией:
Js = t( J q ktl llkJk )'
о' = }2 J q . VT t Z J k -( 1v ( 7 ) Fk) +
(5.191)
r
1 П . {7 1 "" А J (r) > О
+т .vu TL.J j j .
j = I
Выражение для Js показывает, что для открытых систем поток энтропии
состоит из двух частей: потока, связанноrо с переносом тепла, и потока, связан
Horo с диффузией. Второе выражение состоит из четырех членов, обусловлен
ных соответственно теплопроводностью, диффузией, вязким потоком и химичес
кими реакциями. Выражение для диссипативной фупкции о' имеет вид KBaдpa
тичной формы. Оно представляет собой сумму произведений двух сомножите
лей: потока (поток тепла J q , диффузионный поток Jk, поток импульса П и
скорость химической реакции J(r» И термодинамической силы, нропорциональ
ной rрадиенту пекоторой иптен ивной переменной состояния (температуры, хи
мическоrо потенциала и скорости). Второй сомножитель может также включать
внешнюю силу Fk и химическое сродство AJ'
ДЛЯ широкоrо класса необратимых процессов потоки являются линейны
ми фупкциями термодинамических сил, что выражается фепоменолоrическими
закопами. Некоторые из этих законов были приведепы ранее, например законы
Фурье и Фика. Сюда же относятся и законы смешанных или перекрестных
явлений, папример термодиффузии, коrда диффузионный поток линейно зави
сит от rрадиепта концентрации и от rрадиента температуры. В общем случае
линейные феноменолоrические соотношения можно записать в виде
(5.192)
J i = LLikX k ,
k
rде Ji и Х ; декартовы компоненты пезависимых потоков и термодинамиче
ских сил, входящих В выражение для диссипативной функции
(5.193)
о' = LJiX k .
(5.194)
Величины Lik называются феноменолоrическими или кинетическими коэф
фициентами. Подставляя выражение (5.193) в (5.194), получим
I'Т = L.. X Х.
v L.J L.J ') 1 ) .
(5.195)
i j
86
В силу условия о' 2 О квадратичная форма (5.195) должна быть поло
жительпо определенной или, но крайней мере, пеотрицательной. Достаточным
условием для этоrо является положительность диаrональпых элементов матри
цы {L;k} и выполнение неравенства L;;Lkk 2 (L;k + LkY для педиаrональных
элементов.
Прежде чем сформулировать основной результат теории Онзаrера, преоб
разуем выражение для диссипативной функции 0'. Воспользуемся термодинами
ческим соотношением [5]
Td( ) = (df.tk)T i dT,
(5.196)
[де Т указывает на то, что дифференциал берется при постоянной температуре,
а h k удельная парциальная энтальпия.
Введем теперь в соответствии с (5.47) тепловой поток, который учитывает
перенос тепла только за счет теплопроводности,
n
J = J q LhkJk'
k = 1
(5.197)
Тоrда (5.192) перепишется в виде
n т
о' = ;'2 J . VT f L-Jk . «Vf.tk)T F k ) + fп:vu f L-АjJj'). (5.198)
k=1 j=1
Поскольку парциальная удельная энтропия компонента Sk == (f.tk hk)/T,
то с учетом (5.197) поток энтропии запишем как
n
J5 = fJ + LSkJk'
k=1
(5.199)
Представим тепзор вязких напряжений П и тензор Vu в виде
П = ПI + П,
(5.200)
1 о
Vu = (v. и)I + Vu, (5.201)
rде п = tП:1 = tп(Ш = tТr(П), Тr(П след матрицы П. Заметим, что V. u =
==Vu:I==дUi/дХi==Тr(Vu). В силу этоrо тензоры П и Vu обладают нулевым
следом, поскольку П: 1 = О и Vu = О. Составим скалярное про изведение П : V и.
о о
Используя (5.200), (5.200 и приведенные выше свойства П и Vu, IIОЛУЧИМ
П :Vu = (Ш + П):(t(V. u»)I + Vu = П :Vu + ПVu. (5.202)
о
Разобьем тензор V u на симметричную и аптисимметричную части:
Vu = (Vu)' + (Vu)O, (5.203)
rде (VU)5 = .!.(Vu + (VU)T), (Vu)O = .!.(Vu (VU)T). Индекс «T означает опе
2 2
рацию транспонирования.
Компоненты этих тензоров равны
о s 1 ( ди ди а ) 1 ди у
(V и)a = 2' дХ а + дx зОа дху ,
87
('{7 и)а = 1. ( ди диа ) .
ajJ 2 дХа дx
Напомним, что по повторяющимся индексам производится суммирование.
Подставляя (5.203) в (5.202), получим
П: Vu = П: «VU)' + (VU)Q) + ПV. u = П: (VU)' + ПV. и. (5.204)
Здесь использовано то, что скалярное произведение симметричноrо П и
антисимметричноrо (V и)а тепзора равно ну лlO.
Подставим выражение (5.204) в (5.198). в итоrе получим
о' = ..1... J . VT 1.. i Jk . «Vllk)T F k ) +
Т2 т k = 1
10.0 s 1 1 (r)
+ т П . (У' и) т ПV . u т LJ AJj .
j = 1
(5.205)
Получим теперь феноменолоrические уравнения вида (5.193) в COOTBeT
ствии с выражением (5.205). Ранее было сказано, что каждый ноток является
липейной функцией всех термодипамических сил. Однако потоки и термодина
мические силы, входящие в выражение (5.205) для диссипативной функции,
обладают различными тензорными свойствами. Некоторые являются скалярами,
друrие векторами, а третьи представляют собой тензоры BToporo рапrа. Это
значит, что при преобразованиях системы координат их компоненты преобразу
ются различным образом. В результате оказывается, что при наличии симмет
рии материальной среды компоненты потоков будут зависеть не от всех компо
нент термодинамических сил. Это обстоятельство называют принципом симмет
рии Кюри. Самой распространенной и простой средой является изотропная
среда, т. е. среда, свойства которой в равновесном состоянии одинаковы во всех
направлениях. Для такой среды потоки и термодинамические силы различной
тензорной размерности не MorYT быть связаны друr с друrом. Поэтому BeKTOp
ные потоки должпы линейно выражаться через векторные термодинамические
силы, тензорные потоки через тензорные термодинамические силы, а скаляр
пые потоки через скалярные термодинамические силы. Сказанное позволяет
написать следующие линейные феноменолоrические уравнения:
J ' = L 'УТ L ('Yj.1k)T Fk (5.206)
q qq Т2 L.J qk Т '
k=1
'УТ ('Vj.1k)T Fk" )
Ji = LщТ2 L.JLik т ,(1=1,2,..., n,
k=1
(5.207)
о L s
ПajJ = T(vu)ajJ (а, f3 = 1, 2, 3),
(5.208)
r
П 1 'У.и "" 1 Ат
= "" -----т L.J "т Т,
т==1
(5.209 )
r
(r) 1 'У.и "" 1 Ат ( " 1 2 )
] j = jv -----т L.J jm т 1 = , ,..., т .
т=1
(5.210)
Уравнения (5.206) и (5.207) онисываlOТ векторные явления теПЛОПРОВОk
ности, диффузии и нерекрестные эффекты. КоэффициеIlТЫ L{{q, Lqk' L iq И Lik
88
являются скалярами. Уравнения (5.208) связывают компоненты тензора Ilапря
жений iI с компонеIlТами симметричноrо тензора (Vu)s. Уравнения (5.209) и
(5.210) описывают скалярные процессы химическоrо характера, связанные с
явлениями объемной вязкости, и перекрестные явления.
В случае анизотропной среды, например анизотропных кристаллов, при
отсутствии химических реакций феноменолоrические уравнения имеют вид (5.206)
и (5.207), но величины L q (1' Lqk' L'k И Ltq являются тензорами. В частности Lqq
пропорционален тепзору теплопроводности.
Феноменолоrические уравнения (5.206) (5.210) получены из условия
прострапствешюй симметрии среды. Друrое свойство, которым должны обла
дать физические явления, состоит в инвариантности уравнений движения Час
тиц, из которых состоит среда, относительно обращения времени. Это свойство
означает, что уравнения движения симметричны относительно времени, т. е. при
изменении знака всех скоростей частицы будут проходить пройденные до этоrо
траектории в обратном направлении. На этом принципе основана теорема
Онзаrера (ее доказательство содержится в работе [10]): в изотропной жидкости
или rазе в отсутствии маrнитноrо ноля для феноменолоrических коэффициен
тов справедливы следующие соотношения:
Lq, '= Lzq, L'k'= Lk..
(5.211)
1т '= 1,о, 1}т'= 1т}'
в качестве примера рассмотрим частный случай процесса, в котором учи
тываются только теплонроводность и диффузия. Этот и друrие случаи подроб
но рассмотрены в работе [1 О].
Пусть в смеси концентрация и температура неоднородны в объеме. Смесь
считаем изотропной, вязкостью пренебреrаем, химические реакции и внешние
силы отсутствуют. При этих условиях давление в системе можно считать по
СТОЯIШЫМ. Тоrда диссипативная функция (5.205) нриме1 вид
о' = i2 J; . VT t iJk . (Vllk)T.p'
k = 1
(5.212)
Рассмотрим сумму в правой части выражения. Из СООТIlошения для диффу
n п !
ЗИОШIЫХ нотоков }2Jk = О (см. (4.30» можно пайти поток J. = }2Jk' После
k = 1 k = 1
подстановки в (5.212) получим
о' = i2 J; . VT t iJk . «Vllk 1l,,)7,p)'
k = 1
(5.213)
Воспользуемся термодинамическим соотношением rиббса Дюrема, cor ласно
которому нри ПОСТОЯIlIIЫХ Р И Т изменения химических потенциалов KOMHO
нент Ollk в п компоненпIOЙ системе удовлетворяют равенству
п
}2(OkOllk = О.
k = 1
Это уравнение позволяет исключить 11" из (5.213). в итоrе получим
(5.214)
n 1 n 1
о' = i2 J; . VT t }2 }2Jk A k1'" (Vllk)T.p,
k = 1 m = 1
(5.215)
rде A km = Okm + (й т /(0".
89
Поскольку химические потенциалы f.!m == f.!m (р, Т, (О,), то
(Vf.!m)p.T == ( ) P'T'(OJV(o"
Обозначим f.! , == ( 7 ) . Тоrда феноменолоrические уравнения (5.206)
p.J'(OJ
и (5.207) примут следующии вид:
(5.216)
J ' == L 'УТ n 1 n IL Akmf.l JVWJ
q qq Т2 L.J L.J L.J qk Т '
k=lm=IJ=1
(5.217)
J == L 'УТ n ln ln IL Akтf.l JVWJ
, Щ Т2 L.J L.J L.J ,k Т .
k = 1т = l] = 1
(5.218)
Соотношения Онзаrера для фепоменолоrических коэффициентов этих
уравнений имеют вид
Lщ==L q " L,k==L k . (i, k==1, 2,..., п 1). (5.219)
Коэффициенты Lqq и L'k связаны с коэффициентами теплопроводности и
диффузии. Коэффициенты Ltq характеризуют явлепия термодиффузии (эффеК1
Соре). Коэффициепты Lqk характеризуют обратное явление, состоящее в появ
лении тепловorо потока за счет rрадиента концентраций (эффект Дюфура).
Рассмотрим частный случай бинарпой системы (п == 2). Находим А 11 == 1 +
+ (01/(02 == 1/(02 , так как (01 + (02 == 1. Тоrда феноменолоrические уравнепия CBO
дятся к уравнениям
, 'УТ f.lfl VW l
J q == Lqq т2 Lql '
(5.220)
'УТ f.lfl VW l
Jl == Llq т2 L 11 (;)Т.
(5.221)
Соотпошепия Онзаrера сводятся к L lq == Lql' а достаточные условия поло
жителыIOСТИ квадратичной формы о' дают неравенства
Lq'i О, 1 О, Lqq 1 (L1'i + LqY /4 == Lqq 1 Li q о. (5.222)
Вместо феноменолоrических коэффициентов обычпо вводят следующие
коэффициепты:
коэффициент теплопроводпости л == Lq'i/T2 ;
коэффициент Дюфура D" == L'i l / Р (01(02 Т2 ;
коэффициент термодиффузии D' = L 1'1/ р (01 (02 т2 ;
коэффициеlIТ диффузии D = L 11 f.!fl/ Р (02 Т.
КоэффициеlIТ термодиффузии D' имеет норядок 1 0 12 1 0 14 м 2 / с . rрад в
жидкостях и 10 8 10 10 м 2 /с . rрад в rазах.
С учетом введенных коэффициентов ФеномеПОЛOI'ические уравнения при
нимают вид
J; == лVТ Plf.! ITD"V(OI'
Jl = Pl(OI(02D'VT pDV(OI'
(5.223)
(5.224)
Соответствующие уравнения перепоса тепла и вещества получаются из ypaB
нений сохранения энерrии, массы и фепоменолоrических уравпепий (5.223) и (5.224):
90-
рС р == v. J == V. (лVТ + pt).lltTD"V(J)t),
дд ! == v . (JI / Р) == v . «(J)t(J)2D'VT + DV(J)I)'
Заметим, что уравнения (5.225) и (5.226) отличаются от полученных ранее
уравнений диффузии и теплопроводности (см. (5.37) и (5.62» 6лаrодаря учету
перекрестных эффектов.
(5.225)
(5.226)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Тиршфелъдер Дж., Кертисе Ч., Берд Р. Молекулярная теория rазов и жидкостей М
ИЛ, 1961 429 с
2 Берд Р., Стъюарт В., Лайтфут Е Явления переноса М Химия, 1974 688 с
З Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости М ИЛ, 196З
256 с
4 Ландау Л. д., Лифшиц Е М Теоретическая физика Т УI fидродинамика М
Наука, 1988 7З6 с
5 ПРИlОЖUН П., Дефэй Р Химическая термодинамика М Наука, 1966 509 с
6 Ниzматуллин Р. И. Динамика мноrофазных сред В 26 т М Наука, 1987
7 Probsteт R F. Phystcochem1Ca] hydrodynamtcs Butterworths, 1989 318 р
8 Уэйлес С. Фазовые равновесия в химической технолоrии В 2 т М Мир, 1989
9 БаrпаЛИIi О Ю, Брусuловскuй А. И., Захаров М. Ю. Фазовые равновесия в системах
при родных уrлеводородов М Недра, 1992 272 с
10 Де Троот С, Мазур П Неравновесная термодинамика М Мир, 1964 456 с
111
РАСТВОРЫ
6
РАСТВОРЫ, СОДЕРЖАЩИЕ
НЕ3АРЯЖЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ
6.1. диФФузия И КИНЕТИКА ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ
Рассмотрим процесс переноса массы за счет конвективной диффузии при
условии изотермичности в растворе, содержащем незаряженпые компоненты [1].
Возможны реакции, посящие химический, физико химический и биохимический
характер. Если реакции происходят во всей толще раствора, то опи носят
название rOMoreHHbIx или объемных. В случае, если реакции происходят в
оrраничешюй области, папример на rранице или части rраницы области, занятой
раствором, то такие реакции называются rетероrенными или поверхпостными.
В нервом случае производство компонента в ходе реакции учитывается члена
ми типа источников в уравнениях перепоса, а во втором в rраничных усло
виях па реаrирующих поверхностях.
rOMoreHHbIe реакции иноrда сопровождаются зпачительным выделением
тепла, ноэтому в уравпепии энерrии необходимо учитывать выделение тепла в
объеме. В настоящей rлаве будем рассматривать процессы без выделения тепла
в объеме, так что предположение об изотермичности допустимо.
Большой класс задач составляют задачи о течениях с rетероrенными
реакциями на твердых и межфазпых поверхпостях, в частности мембранах,
нроцессы растворепия и осаждения вещества из раствора или расплава и т. п.
re1eporeIIНbIe реакции СОС10ЯТ из нескольких этапов. Первым этапом, называ
емым транспортным, является доставка реаrирующеrо компонента к реаrируе
мой поверхности. Второй этап состоит из caMoro процесса химической реакции
па поверхпости. Этот этап в свою очередь может состоять из пескольких этапов,
включающих дифузию реаrирующеrо вещества через степку или поверхност
llЫЙ слой, адсорбцию вещества на новерхности, химическую реакцию, десорбцию
продуктов реакции и их диффузию из степки или 1I0BepXHOCTHoro слоя. Третий
этап заключается в перепосе нродуктов реакции в 10ЛЩУ потока. Каждый этап
определяется своим характерным времепем. Этап, обладающий наибольшим
характерным временем, будем пазывать лимитирующим этапом, а соответствую
щий ему нроцесс коптролирующим. В случае, если лимитирующим является
первый или третий из перечисленных выше этапов, то соответствующий процесс
называется диффузионно контролируемым. Уравнения, описывающие этот этап,
92
являются уравнениями диффузии. Если наибольшим временем обладает второй
этап, то rоворят, что он контролируется кинетикой реакции или является кине
тически контролируемым. Поскольку этот этан сам состоит из нескольких
подэтапов , то внутри этоrо этапа можно rоворить о диффузиошlO и кинетически
контролируемых подэтапах. Если характерные времена этапов или IIодэтапов
имеют одинаковый порядок, то такая реакция называется смешанной.
Удельная мольная скорость производства i ro компонента в ходе rOMoreH
ной реакции определяется выражением
R" == 1... dni
, V dt '
(6.1)
[де V объем смеси; n; == с; v число молей i ro компонента с KOHцeHTpa
цией C i .
В общем случае R зависит от Т, р и концентраций компонент, участвую
щих в реакции, например катализатора или инrибитора.
rетероrенная реакция происходит на поверхности, ноэтому удельная МОль
ная скорость реакции онределяется как
RS == .1 dni (6.2)
1 5 dt '
[де S площадь реаrируемой поверхности.
Теория rомоrеIШЫХ и reTepOl'eHHbIx химических реакций совпадает. Пере
ход от одной реакции к друrой можно осуществить, используя формулу
R ")V == R S)S. (6.3)
Простой реакцией называется реакция, скорость которой при заданной
температуре зависит только от скорости столкновепия реаrирующих молекул
или, в соответствии с законом действующих масс, пропорциональна KOHцellTpa
циям вступающих в реакцию компонентов:
R; == k i ПС?; V == >j,
J j
[де k константа реакции; Vj норядок реакции; V суммарный порядок
реакции.
В случае обратимой или двухсторонней реакции под скоростыо реакции
следует понимать разность скоростей нрямой и обратной реакций. В момепт
установления равновесия этих реакций R; == О, а константы прямой (f) и обрат
ной (r) реакций связаны соотношением
(6.4)
k == kr/k"
(6.5)
[де k константа равновесия обратимой реакции.
Под сложной реакцией понимается реакция, скорость которой зависит как
от Концентраций компонентов, вступающих в реакцию, так и от концентраций
нромежуточных и конечных продуктов реакции. Для сложных реакций норя
док реакции часто не известен, тем не менее и для таких реакций нрименяlOТ
закон (6.4), но ноказатели степени MorYT быть нецелыми и не обязательно
положитеЛЫIЫМИ.
Если механизм реакции не известен, то часто скорость реакции берут в
виде эмпирической зависимости
R i ==k,C;v.
(6.6)
Константа реакции, входящая в формулы (6.4) и (6.6), вообще rоворя, не
93
является константой. Она зависит от температуры в соответствии с законом
Аррениуса
k == в exp( iT )'
(6.7)
[де Е энерrия активации, т. е. энерrия, необходимая молекуле, чтобы прореа
rировать; В постоянная реакции; А rазовая постоянная.
Для reTeporeHHbIx реакций также справедливы законы (6.4) и (6.6), но
константы реакции имеют друrую размерность, IIОСКОЛЬКУ скорость реакции
отнесена к еДИнице поверхности, а пе 06ъема. в частности, эмпирический закон
(6.6) записывается в виде
(R:S)w =' (k:C )rv'
(6.8)
Индекс w означает, что реакция происходит на поверхности.
Рассмотрим подробнее, что происходит на реаrируемой поверхности, по
скольку условие (6.8) по сути является rрапичным условием для решения ypaB
нений диффузии. В процессе rетероrенпОЙ реакции молекулы реаrирующеrо
вещества адсорбируются на поверхности. Если поверхность однородная и на ней
образуется монослой адсорбируемоrо ветества, то процесс адсорбции описывает
СК изотермой Ленrм-юра, СВRзывающей количество адсорбируемоrо на поверхно
сти вещества с концентрацией С этоrо вещества в растворе возле поверхности:
е == С/(С + Ь) . (6.9)
Здесь е доля поверхности, заняТОЙ молекулами адсорбируемоrо веще
ства, Ь константа адсорбции.
Если скорость адсорбции большая, а скорость химической реакции на
поверхпости мала, то
R(S) == k ' e == k'
а а С+Ь'
(6.10)
[де k констапта поверхностпой реакциИ.
Такой процесс называется физической адсорбцией. В физической адсорб
ции действуют межмолеку лярпые силы типа вапдерваальсовскоrо или диполь
поrо взаимодействия. Поэтому физическая адсорбция не требует энерrии акти
вации и протекает очепь быстро. В часТПОСТИ, при малой копцентрации aдcop
бируемоrо вещества в растворе возле поверхности R(S) С, а при большой
концентрации R(S) 1. Следовательно, физическую адсорбцию можно paCCMaT
ривать как химическую реакцию, порядок которой 0< v < 1.
Друrим предельным случаем является медленная адсорбция вещества и
быстрая химическая реакция па поверхностИ. Такой процесс пазывается хими
ческой адсорбцией или хемосорбцией. Здесь адсорбированные молекулы связыва
ются с поверхностью химическими силамИ Toro же типа, что и силы, осуществ
ЛЯlOщие валентпуlO связь. Для Toro чтобы эти силы действовали, молекула
должна перейти в деформироваппое состояпие и преодолеть активациоппый
барьер. Поэтому химическая адсорбция требует энерrии активации. Иноrда ее
называют активированной адсорбцией. Химическая адсорбция тесно связапа с
процессом rетероrеlIIюrо катализа. Скорость реакции в случае химической aд
сорбции дается выражепием
R(S) k' (l e ) k' ( 6. 1 1 )
C+Ь'
ДЛЯ неоДlIОрОД1iОЙ поверхности вмесТО (6.9) имеет место изотерма Фрейндлиха
е==k'С1/п (п>l). (6.12)
94
Мольный поток незаряженноrо i ro компонента на поверхности равен
(j7)w == (CjU ДVСJw' (6.13)
Если поверхность непроницаема и rетероrенная реакция не сопровождает
ся локальным изменением нлотности, то на поверхности удовлетворяется усло
вие прилипания U == о. В противном случае возле поверхности существует KOH
вективный поток реаrирующей смеси по нормали к поверхности. Этот поток
называется стефановским. Он обычно не оказывает заметноrо влияния на
химические и биохимические reTeporeHHble реакции и ero можно не учитывать.
Однако в задачах с интенсивным плавлением, испарением и конденсацией ве-
щества стефановский поток может быть не мал и ero нужно учитывать.
Если поверхность, на которой происходит rетероrенпая реакция, проницае
ма или полупропицаема (мембрана), то также имеется поток в направлении
нормали к поверхности. Условия на такой поверхности будут обсуждаться в
дальнейшем в связи с процессом фильтрации в мембранах.
Вернемся к случаю непроницаемой поверхности. Возьмем местную систему
координат, связанную с новерхпостью, причем ось у направим по нормали в
направлении, противоположном направлению V С,. Тоrда из условий (6.13)
следует
D ( ac ) == k'Cv
ду W'
w
(6.14)
Здесь для простоты индекс i опущен.
Условие (6.14) приводит к появлению дополнительноrо
критерия. Действительно, введем безразмерные параметры
у* == y/L, С* == С/Со,
безразмернorо
rДе L характерный линейный размер; Со характерпая концентрация, напри
мер копцентрация в толще раствора вдали от поверхности.
Считая D и k' НОСТОЯIШЫМИ, из (6.14) получим
1 ( дС' )
==С:,.
Da ду' w
(6.15)
Безразмерный параметр
k'CV 1
Оа== D L ==
скорость реакции
скорость диффузии
(6.16)
называется числом Дамколера. При Оа» 1 скорость производства продукции
реакции на поверхности HaMHoro больше скорости доставки вещества к поверх
ности за счет диффузии. При этом условие (6.15) сводится к
C w == о.
(6.17)
Физический смысл этоrо условия состоит в том, что скорость реакции на
поверхности настолько велика, что частицы (молекулы) реаrирующеrо вещества,
Достиrающие поверхности в результате диффузии, мпювешю вступают в peaK
цию с поверхностью и исчезают из раствора. Поскольку поток вещества к
поверхности пропорциопален Со C w , то при С ш == о этот поток достиrает мак-
симальноrо значения, который называется предельпым нотоком. rраничное
условие (6.17) формулируется для мноrих задач диффузии, называемых диф
фузионно контролируемыми.
При Оа« 1 скорость образования продуктов реакции мала по сравнению
95
со скоростью диффузионноrо подвода реаrирующеrо вещества к поверхности.
Поэтому приближенно можно считать, что диффузионный поток на поверхности
равен нулю, т. е.
( дс* l
ду* = О.
(6.18)
в этом приближении на поверхности можно считать С "" Со и скорость
реакции примерно равной k'C .
6.2. КОНВЕКТИВНАЯ ДИФФУЗИЯ
Ранее было показано, что для предельно разбавленноrо раствора Sc» 1,
следствием чеrо является неравенство PeD» 1 для не очень малых значений Re.
В предельном случае (PeD 00) уравнение (5.109) принимает вид
DCjDt=O. (6.19)
Из (6.19) следует, что С остается постоянной в процессе движения жидкой
частицы. Если в толще потока С = Со, а на поверхности C w = О, то не существует
решения уравнения (6.19), удовлетворяющеrо этим условиям. Поэтому по aHa
лоrии с теорией вязкоrо поrраничноrо слоя возле поверхности должен сущест
вовать тонкий диффузионный поrраничный слой толщины OD, В котором KOHцeH
трация изменяется от Со дО С". Внутри этоrо слоя производные по нормали
(ось у) мнorо больше производных по касательной (ось х) к поверхности.
Напомним, что толщина вязкоrо поrраничноrо слоя оценивается выраже
нием [2]
( "'у""" ) 1/2
L J'& UL .
Коэффициент диффузии иrрает ту же роль, что и коэффициент кинемати
ческой вязкости У, а поскольку Sc» 1, т. е. у» D, то OD «Ои (рис. 6.1).
(6.20)
х
Рис. 6.1. Диффузиоииый и вязкий поrраиичиый слой иа теле
96
в диффузионном I10rраничном слое д 2 С / х 2 д « д 2 С/д у2, поэтому ypaBHe
ние конвективной диффузии в слое принимает вид
дС дС дС д 2 С
дt + U дх + Vдi/ == D д у 2 . (6.21)
Рассмотрим нроцесс диффузии на бесконечной плоской стенке [3, 4]. Oцe
ним толщину диффузионноrо поrраничноrо слоя. Для простоты будем счи
тать процесс стационарным. Из теории вязкоrо поrраничноrо слоя известно, что
v/u 8 D /L, поэтому идС/дх VдC/дy. Поскольку 8 D «8 и , то профиль скорости
в диффузионном слое равен скорости в непосредственной близости от стенки:
O . (6.22)
Следовательно,
и дС И JL. (Со С ш ) VOD(C O С ш )
дх Ои х O
(6.23)
Здесь учтено, что у 8 D И 8 ь /х УU.
ДЛЯ оценки (6.23) необходимо знать концентрацию С Ш ' Если процесс диф
фузиошю контролируемый, то С ш == О. Друrим примером является поверхность,
материал которой может растворяться в жидкости. Если растворение происходит
HaмHoro быстрее, чем отвод pacTBopeIlНoro вещества в толщу жидкости, то С ш == C sat .
[де C sat раВIIовесная концентрация раствореlшоrо вещества в жидкости возле
llOверхности. Для случаев смешанных rетероrеШIЫХ реакций и проницаемой
поверхности значения С"' будут определены в соответствующих разделах.
Внутри поrраничноrо слоя у 8 D И D д 2 С/д у2 U д С/дх. Оценивая члены
в последнем равенстве, получим
D (Со С ш ) v8 D (C O С ш )
8ъ 8 '
откуда находим
( D ) 1/ 3 8и .Jxv/U
8 D V 8и == Sc1/3 s;)73""' (6.24)
Для предельно разбавленных растворов Sc 103, поэтому 8 D 1 O I 8 и . Сле
дователыю, 8 D « 8и и распределение скоростей в диффузионном поrраничном
слое находится независимо из решения соответствующей rидродинамической
задачи. В качестве примера рассмотрим стационарное ламинарное течение вязкой
несжимаемой жидкости в плоском канале. Известно, что на некотором paCCTO
янии от входа в канал нрофиль скорости нереходит в параболический пуазей
левский (рис. 6.2) [5].
На рис. 6.2 показано развитие нрофиля скорости от однородноrо и == И
на входе до параболическоrо и == u (У), который устанавливается на некотором
расстоянии Lu. Это расстояние называется ДЛИНОЙ входноrо участка [5]. Пунк
тирной линией показано изменение толщины вязкоrо поrраничноrо слоя по
длине х. Характерное время, за которое слой достиrнет оси канала (8 и h),
оценивается как t v I z 2/ v . Cor ласно [4, 5] длина входноrо участка
Lu О, 16h Re, Re == h И /У. (6.25)
Так, для значения Re == 103 имеем Lu 80 (2h).
Аналоrичная картина наблюдается для течения нредельно разбавленнorо
раствора с диффузией pacTBopeHHoro компонента от стенки канала (рис. 6.3).
7 1461 97
Пуазейлевский профuль и(у)
х
;==--
............
r
"'..........
о
............
......
,/
,/
Длина входНО20 участка
Lu
Область развитО20 течения
Рис. 6.2. Развитие течеиия в каиале
Поскольку для предельно разбавленноrо раствора у» D, то длина Ha
чальноrо концентрационноrо участка L D » Lu. На рис. 6.3 показан случай,
коrда растворенное вещество поступает в поток от растворяемой стенки. При
чем на входе на стенке С О, а при х> О С С ш C sat . Растворенное вещество
диффундирует от стенки к оси канала.
Возможен также друrой случай, коrда стенка адсорбирует компонент, pa
створенный в жидкости, поступающей на вход канала с концентрацией Со.
В этом случае на стенке выполняется rраничное условие С О при х > О и
картина развития течения аналоrична рис. 6.2 с заменой И на Со, 8и на 8 D ,
Lu на L D . В отличие от развития профиля скорости концентрация на оси
канала остается постоянной по длине входноrо участка, а далее убывает с yBe
личением Х, поскольку растворенное вещество адсорбируется на поверхности.
Профиль скорости в развитом плоском течении имеет вид
( (у h)2 ) 2 h2 dp
U == и mах 1 ' и mах == 3 и == 211 dx .
Соответственно в круrлой трубе
U == и mах (1 ), И mаХ == 2U.
(6.26)
(6.27)
Везде стенки y/h» 1 и, пренебреrая в (6.26) членом y2/h2, получим
2у
U "" и mах h' (6.28)
C O
C w
о
r
..s::
Начальный концентрационный участок
L D
Область развитой концентрации
Рис. 6.3. Развитие профиля концентрации в канале
98
Поскольку 80« 8 и , то в диффузионпом поrрапичпом слое можно для
скорости взять выражение (6.28). Это позволяет более точно оценить толщину 80'
Имеем
д 2 С ас
D д у 2 U дх '
откуда
D (со с ш ) 28 о (со с ш )
8ь и тах h х
и
( h ) 2/3 ( D ) 1/3
80 X
х umaxh
Сравпивая (6.29) с (6.24), можно заключить, что на бескопечпой плоской
стенке 80 х 1 /2, В то время как на стенке канала 8 о х 1 / 3 . Для оцепки Длины
входноrо концеIlТраЦИОIlIIOrо участка Lo следует в (6.29) положить 80 h, х Lo
и и тах U. в Итоrе получим
(6.29)
Lo Uh
h D == Ре о .
(6.30)
Следовательно, в рассматриваемой задаче число Рео иrрает ту же роль, что
число Re в соответствующей rидродипамической задаче.
В рассмотрепных выше задачах о диффузиоппом поrраничном слое на
бесконечпой ПЛОСКОЙ стенке и в плоском канале можно определить поток Be
щества на стенку, считая про филь концентрации возле стенки линейпым:
.* D (со с ш ) (6.31)
J 80
Подставляя в (6.31) выражения для 80 из (6.29) или (6.24), найдем
измепение диффУЗИОIlIIOrо потока на стенку но длипе.
В заключение заметим, что рассмотренные в настоящем разделе методы
можно без изменепия примепить к задачам теплообмена, поскольку paCHpeдe
лепие температур описывается таким же уравнением, как уравнепие диффузии.
АналOl"ИЧПО формулируются и rраничные условия. Нужно только D заменить
на коэффициент температуропроводности, а число Ре о на Рет. COOTBeTCTBY
IOщий IIоrраничный слой называется тепловым. Подробности решения задач
теплопроводности можпо найти в [6].
6.3. ТЕЧЕНИЕ В КАНАЛЕ
С РЕАrИРУЮЩЕЙ СТЕНКОЙ
в предыдущем разделе в приближении Sc» 1 была оценена толщина
диффУЗИОIIlюrо поrраничноrо слоя на стенке канала. Рассмотрим теперь решение
уравпения конвективной диффузии в области развития слоя, коrда 8 0 /h« 1,
т. е. па небольших расстояпиях от входа в канал. Предположим, что стенка
капала сделана из материала, снособноrо растворяться в потоке жидкости, по
этому rрапичным условием на стенке будет С == С"и а вдали от стенки С == О.
в случае, если рассматривается задача адсорбции па стенке из предельно раз
бавлеlllIOrо бипарноrо раствора с концентрацией компонента СО, то на стенке
С == С и; == О, а вдали от стенки С == Со. Рассмотрим диффузию в области rидро
7* 99
динамически развитоrо течения. Тоrда можно положить v == О, а в качестве
продольной скорости взять выражение (6.28). Заметим, что аналоrичный случай
реализуется в развитой тонкой пленке толщиной 8, текущей под действием силы
тяжести по плоской вертикальной стенке [3]. Профиль скорости в ней парабо
лический, максимальная скорость
и mах == g8 2 /2V (6.32)
достиrается на свободной поверхности пленки. Толщина пленки
8 == (3v Q/g )1/3,
(6.33)
r де Q
объемный расход жидкости через единичное сечение пленки.
Сделанные предположения позволяют написать уравнение стационарной
конвективной диффузии
2 К и дС == D д 2 С
h mах дх д у 2
(6.34)
с rраничными условиями
С == c.at при У == о; С == О при У
00.
(6.35)
Заметим, что второе условие, вообще rоворя, должно формулироваться при
У == h, но, имея в виду, что рассматривается область У / h « 1, это условие можно
сформу лировать при У
00 .
Уравнение (6.34) с условиями (6.35) имеет автомодельное решение. Чтобы
получить это решение, поступим следующим образом. Из вида (6.34) следует, что
C: t == (( х, У, 2
x J. (6.36)
Поскольку левая часть (6.36) безразмерная, то должна быть безразмерной
и правая часть. Из трех параметров х, У и 2u max /Dh нопытаемся найти один
безразмерный комплекс
т] == ха y
(2U max /Dh)r,
(6.37)
такой, чтобы
С
C==
C ==(Т]) (6.38)
sat
удовлетворял уравнению (6.34). Имеем
; == ('(Т])axa
ly
C
/;x у ('(
a1']
дС ( ( 2иmах ) У r (1'])
1']
дii == (' Т])ха13у
1 Dh ==
д 2 С ==
х аА
1 ( 2и mа х ) У
( ( ')
r'(ll)
ll ==
21l
( ( ')'
r'(ll)
1']
ду2 у fJY Dh d1'] т] у2 у2 d1'] т] у2'
Подставляя полученные выражения в (6.34), найдем
( c;
; )1/3 у)3 а(' == 13 2 (Т](,),
13('.
(6.39)
Из этоrо уравнения следует, что если
( 2и т а х ) 1/3
т]
У Dhx '
(6.40)
100
то решение уравнения (6.34) можно искать в виде (6.37), положив а::: 1/3,
13 == 1, У == 1 /3, причем (( YJ ) будет удовлетворять уравнению
(" + YJ2(' == О. (6.41)
rраничные условия (6.35) преобразуются к
(== 1 при YJ == о, (== о при YJ 00.
Уравнение (6.41) можно преобразовать к виду
:Т] Оп (') == .
(6.42)
(6.43)
Дважды проинтеrрировав это уравпение, найдем
т1
( == Af е Т1З/9dYJ + В.
о
Используя rраничные условия (6.42), окончательно получим
т1
J е Т1З /9 dY]
(==1
J е 1]З/9dТ]
о
Иптеrрал в знаменателе выражается через полную rамма функцию
( 6.44)
r(z) == f Zn le zdz, n> О.
о
Действительно, сделав замену 1']3/9 == z, получим
f е 1]З/9dl1 == f Z 2/3e zdz == 1858
'1 31/3 ' .
о о
Таким образом,
т1
С С == ((YJ) == 1 0,538 f е 1]З/9dYJ.
sat
О
(6.45)
Диффузионный поток на стенку равен
* ( дС ) ( 2итах ) 1/3 ( ' ( ) О 678С D ( 2итах ) 113 (6.46)
J == D ду w == CsatD Dhx YJ '" , "t D/zx .
Подставляя (6.46) в (6.44), получим выражепие для толщины диффузион
lIoro слоя:
8 D == 1,47s ( ) 2/3 ( ) 1/3. (6.47)
х umaxh
Если решается аналоrиЧlIая задача об адсорбции па быстро реаrирующей
степке, то в качестве rрапичпых условий следует брать
С == С ш == о при у::: О, С == Со при у 00. (6.48)
Повторяя приведенные выше выкладки, нетрудно получить
1]
g == 0,S38f е Т1З/9dYJ.
о
(6.49)
101
Далее можно получить выражение для потока, который будет направлен
не от стенки, а к ней, и толщину диффузионноrо поrраничноrо слоя. Очевидно,
эти характеристики совпадают с (6.46) и (6.47), но в них следует заменить C,at
на Со.
6.4. ОБРАТНЫЙ ОСМОС
Метод обратноrо осмоса [7] заключается в фильтрации растворов под
давлением через полупроницаемые мембраны, пропускающие растворитель и
полностью или частично эадерживающие молекулы либо ионы растворенных
веществ. В основе метода лежит явление осмоса самопроизвольноrо перехо
да растворителя через полупроницаемую мембрану в раствор (рис. 6.4, а) при
перепаде давления I1Р, меньшем HeKoToporo значения ТС. Давление п, при KOTO
ром наступает равновесие, называется осмотическим (рис. 6.4, б). Если со
стороны раствора приложить давление р' > р" + п, то перенос растворителя будет
осуществляться в обратном направлении, поэтому этот процесс называется
обратным осмосом (рис. 6.4, в). Иэ сказанноrо следует, что движущей силой
обратноrо осмоса в случае идеальной полупроницаемой мембраны является
I1р I1Р п, (6.50)
rде I1Р избыточное (рабочее) давление над раствором; 1t осмотическое
давление раствора.
Однако на практике мембрана не обладает идеальной полупроницаем остью
и наблюдается некоторый переход через мембрану pacTBopeHHoro вещества.
В этом случае (6.50) принимает вид
I1р (р' р") I1п, I1п п' п",
(6.51)
rде п' И п" осмотические давления в растворе перед мембраной и фильтрате
за мембраной.
В химической термодинамике для определения осмотическоrо давления
поступают слеДУЮIlJ;ИМ образом [8]. Рассмотрим равновесие раствора, ХИмиче
ский потенциал KOToporo равен jl', с растворителем, химический потенциал
KOToporo jl". Раствор и растворитель разделены полупроницаемой мембра
ной. Химическое (осмотическое) равновесие между ними наступает при yc
ловии
а
I1P<тt
. . -..,
н 2 о .... :.'" .
: - - .
.... ..
-' .....
Вода Раствор
: . :
н 2 о .:',: ..:. ::
-,.,
-.- :.'" ..
: - - .
. .
ОСМОС
102
б
!1P тt
!
....
н 2 о . '.- .:.: .
: . :
',., . .
.....
....
Вода Раствор
: . :
HP : .
.
. . .-.
.... -- .--
: - . :
.
Равновесие
Рис. 6.4. Осмос и обратиый осмос
в
!1P>тt
. ....
. --
HP :
-.' .
....
Вода Раствор
: :
HP
. . .',
.... .:':'. ..
: .
..... . .
.
Обратный ОСМОС
Il ' == Il ,
(6.52)
rде i == 1 для растворителя, i == 2 для pacTBopeHHoro вещества.
Воспользовавшись выражением (5.54) раздела 11 для химическоrо потен
циала, получим для растворителя в растворе
III == 1l?(T, р,) + 3ATlnxl (6.53)
и для растворителя в фильтрате, т. е. в жидкости, про шедшей через идеальную
мембрану,
Ilj'== 1l?(T, р").
Из (6.52) (6.54) находим
1l?(T, р,,) 1l?(T, р') == 3ATlnxl'
(6.54)
(6.55)
Из последнеrо равенства следует, что р" == р' только при хl == 1, а поскольку
Х! < 1, то р" i:- р'. Используя выражен:ие дЛЯ 1l?(T, р) [8], получим, что при oc
мотическом равновесии
" 3ATlnxl
1t == р' р == о
иI
(6.56)
rде Vp мольный объем чистоrо растворителя при давлении 0,5 (р' + р").
В разделе 5.3 было отмечено, что предельно разбавленные растворы ведут
себя как идеальные. Обратное, вообще rоворя, неверно. Рассмотрим предельно раз
бавленный раствор, в котором Х! 1. а L х, О. Тоrда из (6.56) следует, что
'''1
1t == T ln ( 1 LX, J "" T LX, == 3АоТ LC,v 1 0 == 3АТС, (6.57>
иI '''1 и! '''1 иI ,,,1
rде С, и С мольные концентрации растворенных компонент.
Уравнение (6.57> для осмотическоrо давления в идеальном предельно
разбавленном растворе называется уравнением Вант rоффа. ОНО похоже на
уравнение состояния для идеальноrо rаза.
Из (6.57) следует, что осмотическое давление является свойством раствора
и не связано со свойствами вещества мембраны.
В табл. 6.1 приведены значениSl осмотическоrо давления для некоторых
водных растворов при стандартной температуре для различных концентраций
pacTBopeHHoro вещества [4].
Из приведенных в таблице данных следует, что для заданноrо компонента
1t убывает с уменьшением концентрации компонента. Осмотическое давление
Таблица 61
Растворенный KOHцeHTpa Осмотическое
компонент ци Я , кт/м 3 давление, МПа
NaCl (М 58,5) 50 4,609
10 0,844
5 0,421
Мочевина (М 60) 50 2,127
10 0,427
5 0,213
Сахароза (М 342) 50 0,380
10 0,076
5 0,038
103
уменьшается также с увеличением молекулярноrо веса компонента при фикси
ров анной концентрации. Расход растворителя, пропускаемоrо мембраной, равен
j; '" A(LlP Lш), (6.58)
[де А коэффициент проницаемости мембраны по отношению к растворителю.
Как уже было отмечено, мембрана не полностью задерживает растворенное
вещество. Поскольку движущей силой переноса растворешюrо вещества через
мембрану является разность ero концентраций до и после мембраны, то поток
этоrо вещества дается выражением
j; '" в I1С ш "" BCwRs. (6.59)
Здесь В коэффициент проницаемости мембраны по отношению к paCTBO
ренному веществу, С ш концентрация pacTBopeHHoro вещества в растворе пе
ред мембраной (считается, что за мембрапой С ш1 «С Ш ), Rs коэффициеIIТ
задержания мембраны. Поскольку осмотическое давление для предельно раз
бавлеШIЫХ растворов cor ласпо (6.57) пропорционально концентрации paCTBO
peHHoro вещества, то, используя формулы (6.57) и (6.58), можно оценить CKO
рость фильтрации раствора через мембрану [4]
J А ' ( Си по )
V w '" р = LlP 1 Rs СоМ '
(6.60)
Здесь А' "'А/СА' СА мольная концентрация растворителя в растворе, СО
концентрация раствореШIOrо вещества в толще потока перед мембраной, по
осмотическое давление, соответствующее концентрации Со.
Заметим, что при I1Р» 1to коэффициепт задержания мембраны Rs 1.
От личителыroй чертой нроцесса фильтрации раствора через мембрану
является то, что концентрация раствореюrorо вещества на поверхности перед
мембраной больше, чем в толще раствора. Этот эффект называется KOHцeHTpa
ционной поляризацией. Отметим некоторые отрицательпые последствия явле
ния поляризации. Во первых, увеличение поверхностной концентрации приво
дит к увеличению осмотическоrо давлепия перед мембраной, в результате чеrо
при заданном перепаде rидростатическоrо давления на мембране I1Р увеньша
ется поток растворителя через мембрану (см. (6.58». BO BTOpЫX, соrласно
(6.59) увеличивается поток pacTBopeIIНoro вещества через мембрану, что неже
лательно.
Степень концентрациошroй поляризации зависит от rидродинамики потока
перед мембраной и от rеометрии поверхности мембраны. Поэтому уменьшить
отрицательные последствия эффекта копцентрационной поляризации можно путем
воздействия на rидродинамику потока и rеометрию поверхности. Так, увеличе
ние скорости потока вдоль поверхности мембраны, в частности турбулизация
потока, способствует переносу растворешrorо вещества от стенки и ослабляет
эффект поляризации.
Проиллюстрируем эффект концентрационной поляризации решением COOT
ветствующей стационарной задачи конвективной диффузии бинарlrorо нредель
но разбавлешюrо раствора в канале, стенками KOToporo являются полупрони
цаемые мембраны [9, 10]. Качественная картина распределения концентраций
растворешюrо вещества показана на рис. 6.5.
На входе в канал профиль концентрации считается однородным по сече
нию канала. Коrда раствор втекает в канал, растворитель фильтруется через
стенки, т. е. паряду с продольным конвективным переносом наблюдается Hepe
нос растворешrorо вещества к стенке. Поскольку растворенное вещество прак
104
о
...t::
r
...t::
Начаqьный концентрационный участок
L D
Область развитой концентрации
Рис. 6.5. I\опвективиая диффузия в каиале, стенки KOToporo полупроиицаемые мембраиы
тически не проходит через мембрану, то ето концентрация у стенки увеличива
ется, т. е. С ш > Со. Разность концентраций Си Со является движущей силой
диффузионноrо потока растворенното вещества от стенки к оси канала. В итоrе
профиль концентрации деформируется по длине канала, возле стенки образу
ется концентрационный поrраничный слой, толщина которorо растет. Длина, на
которой он достиrает оси канала, называется длиной входното участка. Каче
ственно картина выrлядит так же, как в диффузионной задаче, рассмотренной
в разделе 5.3. Поскольку Sc» 1, то толщина диффузионноrо слоя мнorо
меньше толщины вязкоrо поrраничноrо слоя и при рассмотрении конвективной
диффузии в качестве скорости потока можно взять распределение скоростей в
развитом течении в канале. Однако в отличие от рассмотренной в разделе 5.3
задачи о диффузии в канале с растворимой или быстро реаrирующей стенкой
в задаче с полупроницаемой стенкой необходимо учитывать поперечную COCTaB
ляющую скорости V, которая на стенке равна V ., скорости растворителя на
стенке. В рассматриваемом случае уравнение диффузии имеет вид
дС дС д 2 С ( )
U дх + V-д-ij = D д у 2 ' 6.61
Для определения скоростей необходимо решить rидродинамическую зада
чу о развитом течении в канале с проницаемой стенкОй. В случае, котда число
Рейнольдса, соответствующее скорости фильтрации жидкости V w через стенку,
мало (это условие ввиду малости V u обычно выполняется), продольная скорость
имеет тот же вид, что и при течении в канале с непроницаемыми стенками
(течение Пуазейля):
( r2 ) 3 ( r2 )
U = и тах 1 h2 = '2 U 1 h2 '
(6.62)
а поперечная скорость равна [11]
V = и ш {h (3 ), h w «1. (6.63)
Поступим так же, как и в разделе 5.3. Введем вместо r координату у == r + h
и, поскольку рассматривается входной участок недалеко от входното сечения
канала, будем считать y/h « 1. Тотда из (6.62) и (6.63) приближенно имеем
2 у 3 у
U = и тах 7i = U 7i '
(6.64)
(6.65)
v = vw'
Сформулируем теперь rраничные условия. На входе
С == СО при х == О.
(6.66)
105
rраничное условие на стенке (мембране) формулируем, используя условие
сохранения расхода pacTBopeHHoro вещества через мембрану
и С D ( dC ) == (1 Rs)v С (6.67)
w w ду w w Ш'
Здесь слева стоит разность между конвективным потоком pacTBopeHHoro
вещества к стенке и диффузионным потоком от стенки, справа поток этоrо
же вещества через стенку.
Условие (6.67) упрощается и принимает вид
RsvwC w == D( )ш' (6.68)
Условие (6.68) соответствует случаю, коrда мембрана пропускает paCTBO
ренное вещество (R s < 1). в случае идеальной полупроницаемой мембраны Rs 1
и условие (6.68) принимает вид
ишС ш == D( ) ш (6.69)
Сравним полученное rраничное условие с условием для смешанной [eTe
роrенной реакции
k'C:, == D O ) w (6.70)
При Rs ==: 1 условие (6.69) аналоrично условию для смешанной reTeporeH
ной реакции первorо порядка (у 1). в случае Rs С;; условие на стенке
соответствует условию для реакции порядка v т + 1.
Аналоrия между задачей о конвективной диффузии в канале с полупрони
цаемыми стенками и задачей о смешанной rетероrеююй реакции позволяет pac
сматривать эти задачи вместе и выводы, справедливые для одной задачи, спра
ведливы и для друrой, несмотря па различие этих процессов как с физической,
так и с химической точек зрения. Кроме Toro, аналоrия с химическими реакциями
позволяет ввести безразмерный параметр задачи (см. (6.16» число Дамколера
Da скорость фильтрации
D / h скорость диффузии . (6.71 )
С друrой стороны, ero можно интерпретировать как диффузионное число
Пекле
Ре ==: vwh == перенос массы при фильтрации
D D перенос массы при диффузии
(6.72)
в области, занятой диффузионным поrраничным слоем, можно ввести чис
ло Пекле, определенное по толщине поrраничноrо слоя OD, причем для Hero
выполняется неравенство
Р VwOD 1
eD= « .
(6.73)
Если речь идет о диффузии с условием на стенке, соответствующим смешан
ной rетероreнной реакции, то неравенство (6.73) аналоrичнО неравенству Da« 1.
Это значит, что скорость образования продуктов реакции мала по сравнению с
диффузионным потоком.
Оценим по порядку величины концентрацию pacTBopeHHoro вещества на
поверхности мембраны, считая ее идеально полупроницаемой. Из (6.69) следу
106
ет, что при относительно небольших изменениях концентрации на входном
участке (Сш/С о 1)
С ш СО и ш 8 D 1
со «.
(6.74)
Толщину диффузионноrо слоя можно оценить, используя выражение (6.29).
в итоrе из (6.74) найдем
Сшс Со 1/3, == (V;h (3 (3 h )(*).
(6.75)
Число 3 здесь введено для удобства при дальнейших выкладках.
Параметр (С Ш Со) /С О характеризует степень концентрационной поляри
зации. Уравнение (6.61) с выражениями для скоростей (6.64) и (6.65) и
rраничными условиями (6.69) на стенке и С ----7 СО при У ----7 00 (это условие
соответствует постоянству концентрации вне диффузионноrо поrраничноrо слоя
в толще потока, а поскольку y/h« 1, то оно формулируется при у ----700) имеет
автомодельное решение, которое можно получить так же, как в п. 1.3. Ищем
решение в виде
o = ((11), 11 == Y( h x (3 = ( ).
или с учетом (6.75) в виде
С*== Сшс Со == 1/3((11).
(6.76)
(6.77)
Далее находим
дС = С дС' = С ( дС' д + дС' дТ] ) = С 1/3 ( ( ( ')
дх о дх о д дх дТ] дх о 3х 11,
дС дС' ( 3и ) 1/3 ,
. Ty = СО дУ = СО hDx tl3( (11),
д 2 С = С д 2 С' = С ( 3и ) 2/3 I/3("(11)'
д у 2 о д у 2 О hDx
Подставляя полученные производные в уравнение диффузии (6.61), най
дем, что при OD ----7 О И 1/3 ----7 О
(" + (' ч; == о. (6.78)
Соответственно преобразуются rраничные условия:
('== 1 при 11==0, (----70 при 11----700. (6.79)
Решение уравнения (6.78) ищем в виде
((11) == l1q (11). (6.80)
Подстановка в (6.78) приводит к уравнению
l1q"+( +2)q'=0, (6.81)
решение KOToporo с учетом BToporo условия (6.79) имеет вид
q " A[ ' /' + * [ e '"/'d ). (6.82)
107
Первое rраничное условие (6.79) позволяет найти А:
А = ( l f Т]е 1]З/9dТ] ) 1 = = 1536.
3 f(2/З) ,
о
в итоrе получим
f ( ) 1,536 ( e '" /" i l e '" /'d )
Из (6.77) и (6.83) находим изменение концентрации pacTBopeHHoro веще
ства в растворе перед мембраной
= 1 + 1/3f(0) == 1 + 1,S36 1/3. (6.84)
Как уже отмечалось, решение (6.83) и (6.84) rодится при 1/3 О. Деталь
ный анализ показывает, что оно справедливо при :::; 0,02.
До сих пор рассматривался один из процессов, связанный с мембранным
разделением смесей, обратный осмос. Перечислим некоторые друrие процессы.
Диализ. Если в процесс осмоса вместе с растворителем переносится и
часть раствореШlOrо вещества, то такой нроцесс называется диализом.
УЛhтрафИЛhтрация сепарационный процесс, в котором молекулы или
коллоидные частицы фильтруются из раствора через мембраны. Особенностью
процесса, отличающеrо ero от обратноrо осмоса, является то, что разделяются
системы, в которых молекулярная масса растворенных компопентов HaMHoro
больше молекулярной массы растворителя. Движущей силой процесса, как и в
обратном осмосе и диализе, является rрадиент давления.
Электродиализ процесс, в котором ионы раствореннorо вещества прохо
дят через мембрану под действием электрическоrо поля. В этом процессе дви
жущей силой является rрадиент электрическоrо потенциала.
В заключение отметим, что обратный осмос и ультрафильтрация принци
пиалыlO отличаются от обычной фильтрации. Если при обычной фильтрации
продукт откладывается в виде осадка па поверхности фильтра, то при обратном
осмосе или ультрафильтрации образуются два раствора по обе стороны мемб
раны, один из которых обоrащен растворенным веществом.
(6.83)
6.5. ДИФФУЗИЯ К ДВИЖУЩЕЙСЯ В РАСТВОРЕ
ТВЕРДОЙ ЧАСТИЦЕ
Рассмотрим конвективную диффузию к сферической твердой частице pa
диуса R, движущейся поступательно с постоянной скоростью И в бинарном
бесконечно разбавленном растворе [3]. Будем нреднолаrать частицу настолько
малой, что число Рейнольдса Re = UR/v «1. При этом режим обтекания
частицы раствором будет стоксовым и на поверхности не будет вязкоrо поrра
ничноrо слоя. Диффузионное число Пекле равно PeD = Re Sc, для предельно
разбавленных растворов Sc 103, стоксово обтекание rодится до значений Re 0,5,
поэтому вполне допустимо предположение, что PeD» 1. При этом на поверх
ности существует тонкий диффузионный поrраНИЧJfЫЙ слой Предположим, что
на поверхности частицы происходит быстрая rетероrенная реакция или частица
растворяется в жидкости. Уравнение конвективной диффузии в поrраничном
108
диффузионном слое в сферической системе координат r, 8, <р с учетом Toro, что
от азимуталЫlOrо yr ла <р концентрация не зависит, имеет вид
аС UfJ дС ( д 2 С 2 дС ) (
и ' дr + Уд8 == D дr2 + Yдr . 6.85)
В правой части уравнения диффузии опущено слаrаемое лапласиана
r2s n8 ;8 (Sin8 ), поскольку в поrраничном слое производные по касательно
му к поверхности направлению малы по сравнению с производными по нормали
к поверхности, Т. е. по радиусу. Из решения задачи о стоксовом обтекании
шара [12] известно, что функция тока
\j1 == и sin 2 8 ( r2 l Rr + 1. RЗ ) (6.86)
2 2 2 r .
Поскольку рассматривается диффузия в поrраничном слое, толщина KOTO
poro OD« R, то, вводя вместо r координату у == r R, имеющую смысл расстоя
ния от поверхности шара, и считая y/R « 1, приближенно получим
\j1 == %Uу2 sin 2 8. (6.87)
Уравнение неразрывности в сферической системе координат имеет вид
;/ sin 8 r 2 u r ) + (r sin t)Ив) == о. (6.88)
Вид уравнения (6.88) позволяет выразить скорости через функцию тока
1 alJl 1 alJl
и r == r2 sin8 дё' иfj == rsin8 дr. (6.89)
Переходя в (6.89) от r к у и считая y/R « 1, получим
1 alJl 1 alJl 3 у.
И ' == R2 sш8 дО ' иfj "" Rsш8 дУ == 2 и R 5ш8. (6.90)
Вернемся теперь к уравнению диффузии (6.85). Введем вместо r и t)
новые переменные \j1 и t). Имеем
aC(r, 8) дС дС alJl дС 2' дС
дв---- == д8 + alJl де "" д8 + R sш 8 и r alJl '
aC(r, 8) дС a\jf R . t) дС
ar alJl дт sш Ив alJl '
д 2 с ==д... aC(r, 8) "" ..1.... ( R sin8 и дС ) "" R2 sin 2 8 и д-. ( и ) .
дт 2 дт ar ду alJl в d\iI fj alJl fj d\jf
2 дС д 2 С v
что у дr « д-;:2' ДеиствителыlO,
2 дС 2 дС
у дr "" R ду '
д 2 с д 2 С l... ( дС ) ....L дС
д-;:2 ду2 ду ду 8 D ду'
а поскольку oD/R « 1, то
1 дС . д 2 С дС . ....L дС == 28 D «1
r ar . ду 2 R ду . 8 D ду R .
Подставляя в (6.85) полученные выражения, найдем
дС DR З' 2 8 д ( дС )
де == sш alJl Ufj alJl .
Покажем,
(6.91)
109
Выразив Ив через \If из (6.87) и (6.90), окончательно получим
дС == DЮ.J3U sin 2 8.l.... ( '\v дС \
де до/ V до/!
rраничными условиями для уравнения (6.92) являются:
С == О при \If == О (поверхность частицы),
С СО при \If 00 (вдали от частицы),
С == СО при 1'} == о и \If == О .
(6.92)
(6.93)
Здесь условие в толще потока формулируется при r 00 (или при \If 00).
Последнее условие (6.93) имеет простой смысл. Точка 8 == О и \If == О COOTBeT
ствует точке набеrания потока на сферу. В этой точке (рис. 6.6) поток еще не
обеднен диффузией и концентрация pacTBopeHHoro вещества совпадает с KOH
центрацией СО в толще потока.
Для интеrрирования уравнения (6.92) введем вместо 8 новую переменную
t == Dю.J3Иf sin 2 8 d8 == DR2 2 J3И (8 si e )+ А. (6.94)
Тоrда (6.92) сводится к уравнению
дС д ( еде )
дt == д 0/ v \If dijf ,
(6.95)
которое имеет автомодельное решение вида
С == С( 11), 11 == t2 З .
(6.96)
Имеем
дС 2 \\f ( ' 2 ( ' дС 1 ( '
дt== З t5/З == з11, до/ == t2/З '
д (J'i ) == t f ч ( f').
Torдa (6.95) преобразуется к обыкновенному дифференциальному уравнению
f ч ( f') == 11f'.
Вводя z ==.JТi, удается свести (6.97) к уравнению
d 2 f .! 2 df
dz2 + 3 z dz О,
(6.97)
--
Рис. 6.6. Коифективиая диффузия к твердой части
це в растворе
и
110
решение KOToporo дается выражением
2
(2) == в1 е 42З/9d2 + Е,
о
(6.98)
rде
JЗтj уsше
2 (DR2 /? ( е SШ 2 2е ) + А}/З .
Для определения постоянных А, В, Е воспользуемся rраничными условия
ми (6.93). Из первorо условия при \11 == О (или 2 == О) следует, что (О) == Е == О.
Второе условие сводится к (00) == СО, откуда находим
( \jl ) 1/2
2 == .J1l == t 2 / З
(6.99)
В == (l е 42З/9d2 ) 1 СО == С о ( (iY/3 )) 1 == 1 05 '
Рассмотрим теперь последнее rраничное условие. В области вблизи точки
набеrания значения уrла е небольшие, поэтому, разлаrая в (6.99) sinx в ряд
по Х, получим
2 == /Jfly e (Df2 2 З J3И + А ) I/З.
(6.100)
Для вынолнения условия С == СО при е == о необходимо, чтобы А == О. Дей
ствительно, если А:# О, то из (6.100) следует, что 2 '6, и при '6 О имеем 2 О.
Следовательно, С == (2) о, и условие в точке набеrания не выполняется. Таким
образом, А == О и
v зи ysine
2 4DR2 (е sш/е )I/З '
z
С == 1 1 е 42З/9d2.
, о
(6.101)
Определим теперь диффузионный поток на поверхность частицы
. D ( ac ) DCo V зи sшt) (6.102)
Jw ду у = о 1,15 4DR2 (е SШ 2 2t) У/З
Поток оказывается пропорционален СО, U 1 / З , D2/З, R 2/З. Поток зависит
также от уrла е. В точке е == n/2 эта функция уrла равна (2/n)I/З, при е == n
она равна О, а в точке IId6еrания при е == о функция равна 1. Таким образом,
поток убывает с ростом е, принимания наибольшее значение в точке на6еrания
потока, а наименьшее в кормовой точке. Толщина диффузионноrо пorранич
Horo слоя оценивается из формулы
( дС ) СО .
ду w 8 D '
( ) 1/З
1,15 е sш2е
8 D 2 V 4DR2 .
sш е зи
(6.103)
111
Толщина слоя растет с увеличением е и обращается в бесконечность при
е == п. Напомним, что основным предположением было OD« R, однако начиная
с HeKoToporo уrла е, OD становится сравнимым с радиусом R. в этой области
уrлов изложенная теория не rодится. Однако, поскольку поток быстро убывает
с ростом е, область уrлов, близких к кормовой части, не вносит заметный вклад
в полный поток на частицу. Поэтому, чтобы определить полный поток 1, можно
проинтеrрировать (6.102) по всей поверхности сферы, т. е. по е от о ДО п.
В итоrе получим
тt
1 == f jw ds == 2пЮ f jw sinede ==
о
тt
== 2п DC o R2 V ЗИ f sin2 ede == 798С D2/ЗUI/ З R4/З
1,15 4DR2 ( Sln2 е J I/З ,о .
e
о 2
До сих пор рассматривался случай PeD» 1. Если PeD« 1, то из (5.114)
раздела 11 следует. что перенос вещества к сфере происходит за счет чистой
диффузии, а конвективным потоком можно пренебречь. Уравнепие диффузии
сводится к
(6.104)
дС == о.
(6.105)
Поскольку обтекание сферы потоком не учитывается, то распределение
концентраций будет зависеть только от У. Поэтому уравнение (6.105) примет вид
J... ( 2 dC )
у 2 dr r dr о.
(6.106)
Решение этоrо уравнения с rраничными условиями С == О при r == R. С == СО
при r 00 равно
С == СО (1 ).
(6.107)
Соответственно поток на поверхности сферы
. ( дС ) DCo
Jw==Dдrr=R== '
(6.108)
Интеrрируя jw по поверхности сферы, найдем полный поток на частицу в
случае Pe D « 1
1 == 4nDRC o .
(6.109)
Особый интерес представляет диффузия к поверхности капли с внутреп
ней вязкостью fl'. Эта задача рассмотрена в работе [3]. Основное отличие от
диффузии к твердой частице состоит в том, что необходимо учитывать возмож
ность проскальзывания жидкости вдоль поверхности капли, вызванноrо BHYT
ренним движением жидкости. Для случая, коrда вещество адсорбируется на
поверхности, по не ПРОllикает внутрь капли, выражение для диффУЗИОНllOrо
потока на поверхности имеет вид
I==8 ( ) 1/2 ( DM ) 1I2а2СU1l2. (6.110)
3 2а (м + м') о
Сравнивая выражение для диффузионных потоков па твердую (6.104) и
112
на жидкую (6.110) частицы, можно сделать вывод, что при равных условиях
поток на жидкую частицу больше, чем на твердую. Это связано с более бла
rоприятными условиями доставки вещества к поверхности, поскольку возле
поверхности капли происходит перемешивание раствора.
Решения задач конвективной диффузии к частицам при конечных числах
Re и PeD, а также для rраничных условий более общеrо вида, чем (6.93), можно
найти в работе [13].
6.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВА, ВВЕДЕнноrо
В поток ЖИДКОСТИ
Измерение скорости потока путем введения в некотором сечении радиоактив
Horo вещества или электролита и последующеrо измерения активности или элек
тропроводности в дрyrом сечении ниже по потоку получило широкое применение
в разных областях техники и в особенности в физиолоrии (измерение скорости
течения крови в артериях). Основная сложность при использовании TaKoro метода
состоит в том, что введенное вещество диффундирует как вдоль, так и против и
поперек потока. Если в поток введена некоторая порция вещества, то блаrодаря
конвекции и диффузии контуры объема, заполненноrо веществом, деформируются
и размываются. Это приводит к тому, что при измерении, например, электропровод
ности или активности в точке, лежащей ниже по течению, они в некоторый момент
времени начинают увеличиваться, достиrают максимума, а затем падают до нуля.
Теория этоrо метода для случая движения жидкости в трубе была разработана
Тейлором [14]. При отсутствии молекулярной диффузии качественная картина
распределения средней концентрации введенноrо вещества в потоке показана на
рис. 6.7, а для случая, коrда в начальный момент вещество занимает в потоке по
лубесконечную область и на рис. 6.8, а, коrда вещество занимает конечную область.
б
С
СО
а
' с=о
.
х
х=о х
СО
2Ut
х
Рис. 6.7. Распределение средней концеитрации при конвективном переносе Be
щества, занимающеrо полубесконечную область
8 1461
113
а
б
С
СО
( o
C O
x o X
x o X
х
СО
(>
2U
2Ut
2Ut+
2Ut
2Ut+
х
Рис. 6.8. Распределение средней концентрации при конвективном переносе вещества,
занимающеrо конечную область
Рассмотрим сначала как размывается полубесконечный
счет конвекции (см. рис. 6.7, б). Считаем течение развитым,
имеет только продольную составляющую
и(т) 2U (1 22 )'
слой только за
так что скорость
(6.111)
rде R радиус трубы.
Передний фронт слоя изменяется со временем по закону
х 2U t (1 ).
Введем в рассмотрение среднюю но сечению концентрацию
R
С пk2 f С(т )2пrdr.
о
(6.112)
(6.113)
Используя (6.112), получим
j Co при х < О,
C
С о (1 2 t ) при 0< х < 2Ut.
На рис. 6.7, б показано распределение С (х).
В случае, коrда в начальный момент вещество введено в виде слоя конеч
ной толщины Д (см. рис. 6.8, а), распределение средней концентрации (рис. 6.8, б)
можно получить как суперпозицию двух способов ввода
(6.114)
С = СО при х < Д и С = О при х > д,
с = со при х < О и С = О при х > О.
(6.115)
(6.116)
114
rn ._
( O
t t 1 >0
t t2>tl
t tз>t2
t t4»tl
Рис. 6.9. Действительная картина растекания вещеСТВа
Используя (6.J 14) применительно к (6.115) и (6.116) и складывая най
денные значения С, получим для времени t > Д/2 И
О при х < О,
СО 2 t при 0< х < д,
С = СО 2tt при Д < х < 2Ut,
С (/l + 2Иt х) П р и 2Ut < х < 2Ut + д '
о 2Ut
О при х > Д + 2U t.
(6.117)
в действительности картина растекания слоя вещества (рис. 6.9) отлича
ется от изображенной на рис. 6.8.
Сравнение скоростей размывания слоя, особенно при больших временах,
показывает, что одним конвективным механизмом нельзя объяснить реально
наблюдаемую картину. Очевидно, необходимо учитывать молекулярную диф
фузию.
Рассмотрим
уравнение конвективной диффузии в развитом течении
дС + и(т) дС = D ( д2С + 1. (дС )) .
Jt дх дх 2 r Jr \Cir
Критерием чисто конвективноrо переноса вещества является малость диф
фузионных членов в правой части (6.118) по сравнению с конвективным чле
ном в левой части. Правая часть содержит два слаrаемых. Первое определяет
продольную диффузию с характерным временем t ш L 2 / D, rде L xapaктep
ная длина, а второе слаrаемое поперечную (радиальную) диффузию с xapaK
терным временем t RD R 2 / D. Характерное время конвективноrо переноса paB
но t o L/U. Составляя отношения характерных времен диффузии и конвекции,
получим
(6.118)
tLD L2U = RU .!:... = Ре .!:... tRD ЮU = Ре в...
tc DL D R D R' tc DL D L
Если t ш » t c или PeD» R/ L, то продольная конвекция преобладает над
продольной диффузией, а при t RD » t c или PeD» L / R продольная конвекция
преобладает над радиальной диффузией. В случае L »R оба условия ВЫПОk
няются, И мы имеем случай чисто конвективноrо переноса вещества, т. е. случай,
изображенный на рис. 6.8. При этом профиль средней концентрации (6.117)
можно рассматривать как усредненное решение уравнения
дС + и(т) дС = о.
Jt дх
(6.119)
в друrом предельном случае t RD « t c или PeD« L / R радиальная диф
фузия происходит очень быстро и она быстро размывает неоднородности KOH
1U
центрации в радиальном направлении. Если t LD « t c или Ре[)« R/ L, то oce
вая диффузия происходит rораздо быстрее, чем конвективный неренос, и осевая
неоднородность концентрации очень быстро размывается. В случае L > R и BЫ
нолнения условия Ре[)« R/ L автоматически выполняется условие Ре[)« L/ R.
Сравним еще скорости радиальной и нродольной диффузии. Имеем
tLD/t R [) (L/ R)2. ДЛЯ процессов диффузии, происходящих в тонких трубках,
например в капиллярах, обычно выполняется условие L» R, поэтому радиаль
ная диффузия преобладает над осевой.
Таким образом, при выполнении условий L/ R » 1 и Ре[»> 1 перенос
вещества в осевом направлении осуществляется конвекцией, а в радиальном
направлении молекулярной диффузией.
Решение удобно проводить в системе координат, движущейся со скоростью И
относительно стенок трубы. В этой системе координат уравнение кОнвективной
диффузии (6.118) с учетом неравенств L/R» 1 и Ре[»> 1 примет вид
; +и(y) ;: =D+ ;r } x'=x Ut. (6.120)
Входящая в (6.120) скорость
и(У)=2U(1 22 ) U=U(1 : } (6.121)
[раничными условиями являются отсутствие радиальных потоков на CTeH
ке и на оси трубы:
; = О при r = R и при r = о. (6.122)
Предположим, что в первом нриближении течение квазистационарное по
отношению к подвижной системе координат. Фактически это coorBeTcTByeT асимп
тотическому решению при t» R 2 / D. Друrое предноложение состоит в ПОСТОЯII
стве продолыюrо rрадиента концентрации, т. е. д С/дх' '" const. Тоrда в нервом
приближении концентрация зависит только от r и описывается уравнением
d 2 C + 1. dC = !L ( 1 ) дС (6.123)
dr 2 r dr D R2 дх' .
Решение этоrо уравнения с условиями (6.122) имеет вид
ию ( r2 r 4 ) дС
С = СО + 4D Ю 2R4 дх"
Найдем теперь среднюю по сечению концентрацию
(6.124)
ию дС ( 5)
С = СО + 12D дх' . 6.12
Сравнивая (6.124) с (6.125), получим
С'" С + rg ( + 22 ; 4 ) ;: . (6.126)
Таким образом, концентрация С складывается из средней концентрации и
возмущения концентрации, зависящеrо от Т. Условие д С/д х' '" const можно запи
сать в виде д С/д х' '" де /д х', из которorо С учетом (6.126) следует, что оно
выполняется при выполнении условия R 2 U/4DL « 1 или
Ре[)« 4L/R. (6.127)
Следовательно, в рассматриваемой задаче число Пекле должно удовлетво
рять неравенству
116
1 « PeD« 4LjR.
Найдем теперь поток вещества через сечение трубы
(6.128)
R
Q '" 2п f Cu(r)rdr '" пR2 U 2 Ю дС
48D дх'
о
(6.129)
и плотность потока (ноток через единичную площадку)
Q ( U2 R2 ) дС
] '" nR2 '" 48D дх"
(6.130)
В движущейся системе координат найденный поток ] является аналоrом
относительноrо потока, введеШlOrо в разделе 11. Поэтому выражение (6.130)
можно рассматривать как закон Фика с эффективным коэффициентом диффу
зии, называемым коэффициентом Тейлора,
D cff '" U 2 R 2 j48D. (6.131)
Введение D cff позволяет записать уравнение диффузии для средней KOH
центрации в неподвижной системе координат в виде
дС дС д 2 С ( 1 )
дt + и ах '" D eff дх 2 . 6. 32
Условие нрименимости этоrо уравнения вытекает из условия, что продоль
ная тейлоровская диффузия превосходит продольную молекулярную диффу
зию, т. е. D cff »D. Это условие с учетом (6.131) и (6.127) дает окончательное
условие применимости рассмотреШlOrо решения
7« Pe D « 4 . (6.133)
В качестве примера использования уравнения (6.132) рассмотрим следу
ющую задачу. Некоторое количество вещества N o введено в поток в момент
времени t == О в начале координат х == О в небольшой области по сравнению с
радиусом трубы. Начальная концентрация равна
N
С О '" 8 ( x) (6.134)
пR 2 '
rде 8 (х) дельта функция.
Решение уравнения (6.132) с условием (6.134) имеет вид
(r Ut)2
С == No е 4Derrl . (6.135)
пR2(пD c ff t )I/2
Входящий в (6.135) единсrвенный параметр D rff можно определит,Е, эксне
риментально, измеряя изменение со временем средней концентрации С. Зная
Dcff' можно по формуле (6.135) определить скорость потока и раствореШlOrо
вещества, т. е. решить подставленную в начале раздела задачу.
6.7. диффузионный ПОТОК ПРИ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ
Одним из часто используемых способов размешивания растворов является
естественная конвекция, при которой движение раствора происходит под влия
нием сил, возникающих в самом процессе rетероrешlOЙ реакции, приводящей к
изменению плотности раствора. Естественная конвекция возникает только Tor
да, коrда изменение плотности происходит в поле силы тяжести и при этом
117
rрадиент плотности нанравлен перпендикулярно силе тяжести или так, что
плотность возрастает снизу вверх.
Рассмотрим вертикальную пластинку, помещенную в rpавитационное поле [3].
Предположим, что на поверхности происходит быстрая химическая реакция, так
что концентрация реаrируlOщеrо вещества на пластинке равна нулю. Вдали от
пластинки концентрация равна Со. Предположим, что плотность раствора слабо
зависит от концентрации С, так что можно считать
Р(С о ) =: р(о) + (: l=o Со.
Аналоrично в любой точке, занятой раствором, имеем
р(С) =: Р(С о ) + ( : l=co (С Со).
(6.136)
(6.137)
Выберем систему координат так, чтобы ось у была направлена перпенди
кулярно плаСТИНКе в сторону раствора, а ось х вертикально вверх. Нижний
край пластинки соответствует значению х =: о. Предположим, что основное из
менение концентрации происходит в диффузионном поrраничном слое. По
скольку движение жидкости вызвано изменением концентрации, то оно проис
ходит тоже в этом слое, т. е. вязкий ноrраничный слой совпадает с диффузи
онным. На единицу объема раствора действует сила тяжести pg. Поскольку р
изменяется, то от точки к точке изменяется и сила. При р =' р (СО) ==- const эта
сила не вызывает движение, носкольку она уравновешена rрадиентом давления.
Движение может быть вызвано отклонением плотности от р (СО). Так как
отклонение Др =: I р( Со) р( С) I мало, то в первом приближении уравнения
движения записЫваются в виде
ди< ди х д 2 и х Р(С о ) р(С)
ИХ + И у ау = v д у 2 + 9 Р(С о )
+ диу =о (6.139)
дх ду .
Раснределение концентраций описывается уравнением конвективной диф
фузии
(6.138)
дС дС д 2 С
ИХ дх + И у ду = D д у 2 .
Введем безразмерную концентрацию
ер = (СО С) / СО .
Тоrда уравнения (6.138) и (6.140) с учетом (6.137) преобразуются к виду
ди х ди х д 2 и< ( 141 )
ИХ дх +И =y + gaep 6.
у ду д у 2 '
д д2
ИХ дх + И у ду = D д у 2 ' (6.142)
(6.140)
rде а=: P o) ( : Jc=co.
rраничными условиями являются
И< =' И у =: о, ер =' 1 при у =: о,
ИХ =' И у =: о, ер = о при у 00.
(6.143)
(6.144)
118
Система уравнений (6.139), (6.141) и (6.142) с условиями (6.143) и (6.144)
имеет автомодельное решение. Действительно, если введем безразмерную пере
менную
( а ) 1/4
Т] 9 у
4у 2 x l / 4
(6.145)
и будем искать функцию тока в виде
( ) 1/4
\jI == 4у х 3 / 4 ((Т]),
4у 2
(6.146)
то получим
дw ( ) 1/2
И == == 4у gax ( '( Т] )
х ду 4у 2 '
И == д1/f = V ( ) 1/4 (r,f' Зf) .
у дх 4у2 xl/4
Подставляя найденные значения ИХ и И у в (6.141), получим
('" + 3((" 2((')2 + ер == О.
Аналоrично ищем ер = ер (Т]). Тоrда из (6.142) находим
ер" + 3 Sc (ер' = О,
(6.147)
(6.148)
(6.149)
(6.150)
[де Sc = v / D число Шмидта.
Соответственно преобразуlOТСЯ rраничные условия
(=('==0, ер=l при Т]=О,
(' = О, ер == О при 1'] ----700.
(6.151)
(6.152)
Решение уравнений (6.149) и (6.150) ищем в виде ер=ер(п. Тоrда после
несложных преобразований llОЛУЧИМ
[f ЗSСl (d1J ](f ЗSСl (d1J ] I
ер == 1 е о dr] е о d1']
о о
(6.153)
Как уже указывалось, для предельно разбавленных растворов Sc» 1.
Блаrодаря этому неравенству интеrралы сходятся быстро. Поэтому при малых Т]
значения интеrралов онределяется в основном значением (, в то время как при
больших Т] поведение ( не оказывает заметноrо влияния на распределение ер.
В силу сказанноrо без большой ошибки l'раничное условие на бесконечности
можно заменить на условие на конечном расстоянии 1']0 от стенки, принимая ero
равным толщине поrраничноrо слоя, т. е.
(' = О , ер == О при Т] = Т]о,
(6.154)
причем вне поrраничноrо слоя, т. е. при Т] > Т]о, скорость равна нулю. Внутри
слоя (О < 1'] < Т]о) ищем ((Т]) в виде ряда по степеням 1']. Учитывая условие
(6.152), получим
( = Т]2 + Т]3 + '"
2 32
(6.155)
119
Оставляя в ряде (6.155) только первый член и подставляя ero в (6.158),
найдем
" 1 (j e "'"' />d ]O e '&" /> d J' (6.156)
Для вычисления интеrралов сделаем замену переменных t =' ( Sс/2)I/З 11.
Тоrда (6.156) преобразуется к
( Sc/2)1/.J
ep=l [ е tЗdr(ir(1)} (6.157)
Если ( Sс/2)I/З 11» 1, то верхний предел можно приближенно заменить
на 00. Torдa получим ер "" о. В случае ФSс/2)I/З 11« 1 разложим подьштеrpаль
ное выражение в ряд в окрестности t"" о. В итоrе получим
( SC /2)1/З
ep=l [ (1 tз+...)dr(ir(1)}=
"" 1 (I3Sс/2)I/З 11 = 1 (I3 Sс / 2 )I/З 11 . (6.158)
rи) 0,89
Воспользуемся теперь вторым условием (6.154) и определим толщину
поrраничноrо слоя
Вернемся к уравнению
для ер, получим
0,89
110 = (I3Sc / 2)1 /311
(6.149). Подставляя
(6.159)
в Hero выражение (6.158)
{'" + 3{{" 2({')2 + 1 (I3Sс I/З11 = О. (6.160)
Воспользуемся выражением (6.155) для { и подставим ero в полученное
уравнение. В итоrе найдем
f = 112 1113 + (I3Sс/2)I/З 11 114 +... (6.161)
2 6 24 0,89
Первое rраничное условие (6.154) позволяет найти . Получим
= 0,48/SC I / 4 . (6.162)
Теперь можно найти все параметры задачи. Распределение концентрации
имеет вид
с = 0,7SCI/4 ( J!!!.. ) 1/4 УСо .
4у 2 х l / 4
Диффузионный поток на пластинку равен
J=rf d a C ) =0,7DSCI/4 ( 9 ) 1/4 СО
У у=о 4у х 1 / 4
1 14
= 07 DSC 1 / 4 ( gCo ( ) J I
, 4у 2 р дС с=со хl/4.
(6.163)
(6.164)
120
Интеrрируя (6.164) по поверхности пластинки длиной
получим полный диффузионный ноток на нластинку
( ) 1/4
1 = 0,9Sc 1 / 4 !V Ьh З / 4 DС о .
h и шириной Ь,
(6.165)
Выражение для полноrо потока можно представить в безразмерном виде.
Введем в рассмотрение безразмерный параметр, который в задачах естественной
конвекции называется числом fрассrофа
Gr==gа..h З /4v 2 , (6.166)
и число fIуссельта
Nu == hI/DSC o , S == hb.
Тотда (6.165) можно представить в виде
Nu == 0,9Sc J / 4 Gr 1J4 .
(6.167)
(6.168)
6.8. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКА В РАСТВОРЕ
Динамика rазовых пузырьков в жидкостях нредставляет значительный
интерес по мноrим нричинам. Во первых, изучение движения пузырьков дает
ценные сведения о свойствах пр ост ей шей rраницы раздела фаз жидкость rаз
и о закопомерностях фазовых превращений (испарении, копденсации) и хими
ческих реакциях на поверхности. BO BTOpЫX, этот процесс интересен и с чисто
технической точки зрения. В таких областях промышленности, как rазовая,
нефтяная и химическая широко используются процессы и аппараты, действие
которых непосредственно связано с закономерностями движепия нузырьков.
Речь идет о нроцессах сепарации rаза от жидкости, барботаже нузырьков через
слой смеси, которая нри этом обоrащается различными реаrентами, содержащи
мися в пузырьках, нроцессе флотации, используемом при очистке заrрязпеШIЫХ
жидкостей и т. д.
В настоящем разделе основпое внимание бу дет уделено не движепию
пузырька относительпо жидкости, а движепию ето поверхпости из за измепения
объема пузырька. Объем пузырька может изменяться за счет процессов испа
рения жидкой фазы или копденсации rазовой фазы. Если жидкость и пузырек
представляют собой мнотокомнонентные смеси, то возможпы химические peaK
ции на поверXIЮСТИ пузырька, что тоже может приводить к изменению размера
пузырька.
Рассмотрим сферический rазовый пузырек пачалыюrо радиуса Ro, HOMe
щенпый в покоящуюся жидкость [15]. Будем предполаI'ать, что цептр пузырька
не движется ОТIюсителыю жидкости, объем же пузырька изменяется со BpeMe
нем за счет разпости давлений внутри пузырька и в окружающей ето жидкости,
а также в результате ДИIlамическоrо и тенломассообмепноrо взаимодействия
между rазовой и жидкой фазами. В большипстве работ, Ilосвящепных исследо
ванию динамики пузырьков, НРИIlимается, что параметры rаза в пузырьке, такие
как давлепие, температура, копцентрации и ДРУI'ие, однородны по объему HY
зырька и изменяются только со времепем. Считаем, что нузырек состоит из
ипертноrо rаза (i) и паров жидкости (v). Жидкость представляет собой бинар
пый раствор, который может иснаряться с повеРХIlОСТИ пузырька.
Занишем основные уравнения, ОIIИсывающие поведение жидкости.
121
Уравнение неразрывности
DPL
+PLVU=O
Dt .
(6.169)
Поскольку жидкость считается несжимаемой и задача сферически симмет
ричная, то (6.169) сводится к
U r- == u R R2 = {(О,
(6.170)
rде и, UR радиальная составляющая скорости в жидкости и на поверхности
пузырька; R радиус пузырька; r радиальная координата, причем r = О co
ответствует цeIlТpy пузырька.
Скорость движения жидкости UR и скорость движения rраницы пузырька
не равны, если на поверхности происходят фазовые превращения, поскольку
последние приводят к появлепию потока массы
rh = 4nЮРL(I UR), (6.171)
rде PL ПЛОТIlость жидкости; R = dR / dt.
Выражепие (6.171) позволяет написать балапс массы rаза в пузырьке
d ( 4 J .
dt 7tRЗРе =47tR2PL(R UR)' (6.172)
В процессе роста пузырька ero объем сильно изменяется, в то время как
плотность rаза Ре изменяется слабо. Поэтому, IIолаrая в (6.172) Ре = const,
получим
U R = R (PL pe) = ER.
PL
(6.173)
Заметим, что,. как правило, выполняется перавенство PL» Ре и Е"" 1. Это
значит, что U R "" R.
Подставляя (6.173) в (6.170), получим
ur 2 = ERR2.
Уравнение движения
Pz. = V.T+PzI. (6.175)
Будем рассматривать случай отсутствия объемных сил (1=0). Тоrда (6.175)
сводится к уравнению
(6.174)
ди + u ди = ...L <п тт 2у д 2 и ( 6.176 )
дt дr Р L дr дr 2 .
Подставляя в (6.176) выражение (6.174) для скорости жидкости и ИIIТеr
рируя полученпое уравнение по r от R до 00, получим
'1: тт (оо) '1: тт (Ю = RR + lR2 + 4у R . (6.177)
EPL 2 R
Входящие в (6.177) радиальные составляющие тензора напряжений 't rr
равны
't rr (00) = p ,
'trr(R) = p р, + z: .
(6.178)
(6.179)
Здесь p давлепие в жидкости вдали от нузырька, р" и р, парциаль
122
ные давления пара жидкости и инертноrо rаза, L коэффициент поверхност
Horo натяжения.
Условие (6. 179) представляет собой баланс сил на rранице пузырька,
действующих со стороны rаза и жидкости.
Учитывая (6.178) и (6.179), можно представить (6.177) в виде
рv+р, р П;/R ==Rk l R '2 4 R (6.180)
EPL + 2 + V R'
Уравнение (6.180) называется уравнением Релея. Оно описывает измене
ние со временем радиуса пузырька за счет изменения разности, давлений BHYT
ри и вне нузырька.
Для определения парциальноrо давления пара р" необходимо воспользо
ваться термодинамическими соотношениями. Сделаем обычное в задачах Taкoro
рода предположение о существовании на поверхности пузырька локаЛЫlOrо
термодинамическоrо равновесия между жидкой и rазовой фазами. Тоrда из
соотношепий термодинамики следует, что
PV==Y1XIPJ+Y2(1 X1)P2, (6.181)
[де у коэффициент активности; х МОльпая доля компонента в растворе;
р давление насыщешюrо пара; индексами 1 и 2 обозначены растворенное
вещество и растворитель.
Поскольку парциаЛЫlые давления зависят от температуры и концентраций
KOMHOHeIlТOB, то к уравнениям (6.180) и (6.181) нужно добавить уравнения
энерrии и переlIоса массы.
Уравнение энерrии
Пренебреrая вязкой диссипацией, считая, что извне к системе нет нодвода
тепла и перенос энерrии вызван только теплопроводпостью, получим
дТ + u дт == а ( д 2 Т + . дT )
at дт дт2 r дт
(6.182)
или с учетом (6.174)
дТ == а ( д 2 Т + 1 дT ) ER2R дТ
at дт2 r дт т 2 дт'
Уравнение переноса массы
Для бинарной смеси в отсутствии химических реакций в объеме уравпение
переноса масс сводится к уравнению конвективной диффузии. Обозначим че
рез С концентрацию раствореШlOrо вещества. Тоrда имеем
дС +и дС ==D ( a 2 C +l aC ) .
at дт дт 2 r дт
Подставляя сюда выражение для скорости и, получим
дС = D ( д2С + 1 дС J ER2R дС
at дт 2 r дт т 2 дт'
(6.183)
(6.184)
(6.185)
Сформулируем теперь начальные и rраничные условия. Начальными yc
ловиями являются
2I .
R(O)=R o = р +р p , що)=о, T(r,O)=T o , C(r, О) = Со.
,о "о
(6.186)
123
в качестве первorо начальноrо условия выбран начальный радиус Ro,
равный равновесному радиусу, соответствующему балансу начальных давлений
и силы поверхностноrо натяжения, хотя в качестве начальноrо радиуса можно
было взять произвольное значение.
rраничные условия вдали от пузырька имеет смысл взять в виде
Т(оо, t)==T o , С(оо, t)==C o .
(6.187)
Сложнее выrлядят условия на новерхности пузырька. На поверхности
пузырька можно записать баланс массы компонента 1
. . ( дС\
mPc R == C(R, t)(R U R ) + D а; 1, =R'
[де т массовая доля компонента 1.
Здесь слева стоит скорость изменения массы компонента 1 в пузырьке,
а справа сумма конвективпоrо и диффузионноrо потоков в жидкости. Ис
пользуя выражение (6.173) для UR, нолучим
mpci == C(R, t)(1 fJR + D( ; }=R'
(6.188)
(6.189 )
Это условие является первым l'раниЧным условием. Вторым
будет условие 6аланса энерrии на поверхности пузырька. Очевидно,
нение кинетической энерrии мало, поэтому можно записать
:t ( 1 пRЗ рс (те ! + (1 т)е 2 ) + 4пЮL) + 4пЮ Rp ==
== 4пю( hj(C(R, t»(1 E)R + D( )'=R)+
+ (PL C(R,t»(1 E)R D( )r=R +a( )r=R}
[де е удельная внутренняя энерrия пара, h удельная эптальпия компонента
в жидкости, индексы 1 и 2 соответствуют компонентам.
Условие (6.190) означает, что скорость изменения полной эперrии rаза в
пузырьке (левая часть), которая складывается из внутренней энерrии пара и
энерrии поверхностноrо натяжения, плюс работа, совершаемая пузырьком по
преодолению сил давления, равна скорости изменения эперrии, поступающей в
пузырек извне и складывающейся из эперrии испарения компонентов и тепла
за счет теплонроводности. В общем виде это условие rромоздко и неудобно для
использования. Не все слаrаемые в нем равноценны. Естественным является
предположение, что в процессе роста пузырька изменепия плотности пара и
внутренней энерrии незначительпы. Несуществен также член с поверхност
ной эперrией и работой нротив сил давления. Если для пара ввести среднюю
внутреннюю энерrию е == те! + (1 т) е2 и Дополпительпо нредноложить, что
ЭIIТальпии жидких компонент равны (h j == h 2 ), то условие (6.190) упростится и
примет вид
условием
что изме
(6.190)
Pc Re == P L h(1 E)R + а ( п r=R'
Средняя впутрепняя энерrия пара равна сумме 1еплоты парообразования 1
и удельной энтальпии пара:
ё == 1 + Се (T(R, t) То). (6.192)
(6.191)
124
Удельная энтальпия жидкости в свою очередь равна
h==CL(T(R, O To).
(6.193)
Здесь CL и CG удельные теплоемкости жидкости и rаза.
Несмотря на ряд принятых допущений, система уравнений (6.180), (6. 181),
(6.183) и (6.185) с начальными условиями (6.186) и rраничными условиями
(6.187), (6.189) и (6.191) все еще слишком сложная и может быть решена
только ЧИСленно. Рассмотрим некоторые дополнительные упрощения. Первое
основано на предположении о малости слаrаемых в правой части (6.180),
имеющих Смысл сил инерции и вязкости на поверхности пузырька. Учет этих
членов важен только на начальной стадии роста пузырька. Если, кроме Toro,
считать пузырек чисто паровым, то р, == о и (6.180) сводится к
pv = p + . (6.194)
Если пузырек достаточно большой, то 2 "L/R «p и давление пара внутри
пузырька можно считать постоянным:
pv == p .
(6.195)
При рассмотрении задачи о динамике rазовоrо пузырька учитывается как
теплообмен, так и массообмен пузырька с окружающей ero жидкостью. В за
висимости от важности этих процессов их можно рассматривать отдельно.
Если рост или уменьшение пузырька вызван в основном теплообменом, то
rоворят, что такой процесс контролируется теплообменом. Уравнения, описы
вающие ИЗменение температуры в жидкости и радиуса пузырька, сводятся к
следующим:
де == а ( д 2 е + дe ) ER2R де
ot or 2 r or r 2 or '
(6.196)
8(r, о) = 8(00, t) = о; 8(R, t) = То ;oTsat ,
8(R, t) = ( + (1 Е)О) То ;oTsat }
T To PGl CL CG
rде 8 == ; == , о) = ; 'F.at температура насыщения при задан
10 PLCиO CL
ном давлении.
Более подробные сведения о динамике пузырька можно найти в обзорах
[16, 17].
6.9. ИСПАРЕНИЕ мноrОКОМПОНЕНПIОЙ КАПЛИ
в ИНЕРПIЫЙ r АЗ
XapaKl'ep испарения юшли МНОТОХОМ110нентното раствора в инерпlОМ тазе,
например в воздухе, иrрает важную роль в таких процессах, как осушка и
увлажнение rаза методом распыливания струй, rорение жидкоrо топлива, впрыс
киваемоrо 13 камеру сrорания двиrателей и отопительных систем, и т. д.
Рассмотрим сферическую каплю, состоящую из n компонентов, которые
испаряются в окружающий каплю инертный (нейтральный) rаз [18]. Под ней
тральным r<lзом нонимается rаз, который не участвует в процессе массообмена,
125
т. е. не конденсируется и не испаряется на поверхности капли. Нас интересует
изменение со временем температуры капли и rаза, размера капли, а также
изменение концентраций компонентов в капле и rазе. Общая постановка зада
чи с учетом изменения температур и концентрации во времени и в простран
стве, как было показано в предыдущем разделе, представляет собой чрезвычай
но сложную проблему. Поэтому сделаем ряд упрощающих предположений,
некоторые из которых совпадают с принятыми в предыдущем разделе допуще
ниями.
Во первых, используем уже упоминавшийся ранее квазистационарный под
ход. В основе ero лежит предположение о том, что характерные времена тепло
и массопереноса в rазовой фазе MHoro меньше, чем в жидкой, поскольку в rазе
коэффициенты диффузии и теплопроводности HaмHoro превосходят COOTBeT
ствующие коэффициенты в жидкости. Поэтому распределение параметров в
rазе можно считать стационарными, а в жидкости нестационарными. С дpy
rой стороны, малость объема капли позволяет считать распределение в ней
температуры и концентраций однородными, в то время как в rазе эти параметры
зависят от нространственных координат. Друrое предположение состоит в том,
что центр капли не движется относительно rаза. Это очень сильное предполо
жение, нотому что в реальных процессах, например при распыливании жидко
сти в камере сrорания, капли движутся относительно rаза за счет инерции и
силы rравитации. Однако, если размер капель мал (меньше 1 мкм) и процесс
тепломассообмена протекает достаточно быстро, то предположение допустимо.
На поверхности капли, как оБЫЧllО, предполаrается существование локальноrо
термодинамическоrо равновесия и равенство давлений фаз. Последнее условие
было сформулировано в конце раздела 6.7.
Обозначим ч ерез Х; и у, мольные доли компонент в жидкой и rазовой
фазах, причем i = 1, n, так что Уn + 1 мольная ДОЛЯ нейтральноrо компонента в
rазе. В силу сделанных предположений и учитывая сферическую симметрич
ность задачи, имеем Х; = Х; и) и У; = y;(r).
Воспользуемся выражениями (4.29) и (5.47) раздела 11 для мольных
потоков компонент и потока энерrии
.* * п+I.* dYi n+1.*
Ji =Ji +YiLJj = CGD,тd+Y,LJj,
J=1 r j=1
dТo n+1
q = k........Q.. + Lhc;j;,
dr j= 1
[де C G мольная плотность rаза; D iт коэффициент бинарной диффузии в
rазе; h GJ молярная энтальпия компонентов в rазе; k коэффициент тепло
проводности rаза.
На поверхности
(6.197)
(6.198)
капли радиуса R имеем следующие условия:
У; = У,ш, т G = TI_ при r = R (О,
(6.199)
а вдали от капли в толще раствора
У; = Yi , T G = TG при r 00,
(6.200)
[де T L температура капли.
Значения Yi и Т G заданы и считаются постоянными, а значение Yiw под
лежит определению. Заметим, что если рассматривается не одна капля, а aH
самбль капель, то значения Yi и Т с;.. будут изменяться со временем, причем CKO
ростЬ их изменения будет зависеть от объемной концентрации капель. В этом
126
случае условие на бесконечности нужно заменить на условие при конечном
значении радиуса, равном среднему расстоянию между центрами капель. 3Ha
чения Yi и Т Goo находятся из уравнения баланса массы и энерrии единицы
объема смеси rаза с каплями.
Из уравнения неразрывности следует, что V . j* == О, ИЛИ В сферической
системе координат
!L(r2 j*) == О,
r 2 dr
(6.201)
откуда находим
r 2 j* == R2j:.
.*
Подставляя выражение (6.197) для J j, получим
n+l
.* CGD;m 2 dYi .*
Jiw r dr + У; L.JJjw.
j=1
(6.202)
(6.203)
n + I
Обозначим через j:' == L j;", суммарный мольный
j=1
капли и сделаем замену координаты Т'I == 1/ r. Torдa
уравнению относительно У,
dy, R2 ( '* .* )
d ::::: C D . Jiw YiJw.
r G zт
поток на поверхности
(6.203) преобразуется к
(6.204)
Решение этоrо уравнения находится без труда:
( j;R2 1 ) j w
У. ==Аехр + .
, CGD;m r j:
Условие (6.200) дает возможность найти А, а затем
У,,,. == ( Yi < J exp ( / J + j;, .
Jw G ,т J",
Разрешим (6.206) относительно потоков:
(6.205)
из (6.199) получить
(6.206)
exp ( ) 1
CGD im
Поскольку на поверхности капли нет потока нейтралыюrо rаза, то j(: + 1)ш == О
И из (6.207) следует, что
(i == [n).
(6.207)
у(n + 1)ш ехр
Yi
.*
Jw
== О,
откуда находим
У(n + 1) ( j:.R )
==exp
У(n + I)w CGD(n + От .
(6.208)
127
Обозначим
n
1 L Yi
В = У(n + 1) = j
У(n+l)ш n
1 LYiW
1
Torдa из (6.208) можно найти суммарный поток на поверхности капли
.* CCD(n + От 1 В (6.209)
}ш R п,
а из (6.207) мольные потоки компонентов
.* = C c D(n+1)m 1 B( YiwBD("+O"'/Di"' YiOO )
}'ш n .
R BD(n+o.../Di... 1
(6.210)
Предположим, что жидкая фаза представляет собой идеальный раствор,
а rаз смесь идеальных rазов. Из условия термодинамическоrо равновесия на
поверхности капли следует, что равны химические потенциалы компонент в
обеих фазах:
f = y.
(6.211)
Используя выражения для химических потенциалов идеальных систем [8],
получим
?(T, р) + AT L ln Xi = М(Т) + АТс ln Pi'
(6.212)
Здесь р, парциальное давление пара i ro компонента, ? химический
потенциал чистой жидкости, ! химический потенциал пара при давлении 1,
А rазовая постоянная.
Уравнение (6.212) можно переписать как
pi=kiXi,
(6.213)
[де
k i = ех р ( /!? ;:t )-
Рассмотрим частные случаи. Для чистой жидкости Х; = 1 и k i = р?, [де р?
давление пара чистой ЖИДКОСТИ. При этом (6.213) принимает вид
Р; = P?Xi'
(6.214)
Следовательно, в идеальном растворе давление пара каждоrо компонента
пропорционально ero молыIйй доле в растворе, а коэффициент пропорциональ
ности равен давлению пара чистой жидкости. Этот закон называется законом
Рауля. Если rаз является смесью идеальных rазов, то полное давление
Р = LPi = LPPXi'
(6.215)
Рассмотрим теперь равновесие идеальнorо предельно разбавленноrо paCT
n
вора со своим наром. Torдa Xj 1, L,Xi О И из (6.213) следует, что для
i = 2
растворителя
pj=PPXj,
(6.216)
128
а для всех остальных компонент
p,=k,x, (i= 2,n ).
(6.217)
Следовательно, в идеальном предельно разбавленном растворе давление
пара растворенных веществ пропорционально их мольной доле в растворе.
Этот закон называется законом fенри, а k, постоянными fенри.
Для неидеальных растворов соотношение (6.213) переходит в
р, = k,x,y,. (6.218)
Вернемся теперь к нашей задаче. Предположение об идеальности раствора
и rаза позволяет определить мольные концентрации в rазе в толще раствора
и на поверхности капли
y, = p, /P. у,ш = р,/р.
Используя закон Рауля (6.214), получим
x,p?(T L )
у,ш = р ,
(6.219)
(6.220)
rде р = L. р, полное давление пара.
3ав симость давления пара чистой жидкости от температуры жидкости
имеет вид
р? (T L ) = ехр (и, V, T L ).
(6.221)
Постоянные и, и v, зависят от свойств жидкости.
Подставляя (6.220) в (6.21 О), получим окончательное выражение для
молы-orоo потока l ro испаряющеrося компонента:
.* = C G D(n+1)m 1 B ( X,P?(TL)BD(n+oтID,,. PY' )
1,ш pR n BD(n+o..ID,,. 1 '
(6.222)
p f,p,
В= 1
Р f,x,p?(T L )
1
Рассмотрим теперь поток тепла. С учетом сделанных предположений
уравнение сохранения энерrии в rазе сводится к
V'q=O
(6.223)
или
J... (r 2 q ) = О
т 2 dr '
(6.224)
откуда находим
rq = R2qw.
(6.225)
rде qw поток энерrии на поверхности капли.
Подставляя в (6.225) выражение (6.198) для q, получим
2 dT G h .*
qw 2 r d + L.J G;l;ш.
R r ;=1
Для идеальноrо rаза мольная энтальпия равна
9 1461
( 6.226)
129
hc j == h;;j + cGpj(T G T ),
rде h;;j значение энтальпии при некоторой опорной температуре T .
Поэтому
(6.227)
k 2 dTG .* ( 1.' (т. "" »
qw R2 r т+ L.J}jw ''Gj +CGpj G JG .
r j;!
Уравнение (6.228) решается так же, как (6.203). Решение имеет вид
TG(r) == Аех р ( c;; ) *,
R п .*
d == k L}jwCGpj'
j;!
(6.228)
(6.229)
(6.230)
ь == [ ij;wh j T 'i>;wcGpj qw J ,
J;! J;!
Подстановка в rраничные условия (6.199) и (6.200) дает
T L == ( т Goo + ) e d *,
(6.231 )
откуда
ь == d т Goo T L e d
e d 1
Подставляя найденные выражения в (6.228), получим
== . ( 1.'. .т.' ) d (ТG ТLеd)
qw L.J}Jw ''GJ CGpJ G R d 1 .
j;! е
(6.232)
Полаrая Т Goo == Т G, поскольку изменение температуры
мало, преобразуем (6.232) к виду
.* ( h' т.' ) kd (TLe d T G )
qw == L.J}jw Gj CGpj G + R d .
j;! е 1
rаза пренебрежимо
(6.233)
Из (6.233) следует, что полный поток энерrии на поверхности капли склады
вается из суммы потоков энтальпий испаряющихся компонент и потока энерrии,
переносимоrо веществом. Если массообмен отсутствует, то d О и d/(e d 1) 1.
При учете массообмена d i:- О и d/(e d 1) < 1. Следовательно, массообмен YMeнь
шает перенос тепла.
Перейдем теперь к жидкой фазе. Рассмотрим уравнения сохранения объе
ма, массы и энерrии капли. Обозначим через V d == 4nR 3 /3 объем капли.
Тоrда уравнение сохранения объема капли имеет вид
dVd 4 02 .*
dt 11..fi L.JVj}jw
J; 1
(6.234)
или
dR .*
dt == L.J Vj} jw'
J; 1
(6.235)
Здесь справа стоит суммарный объемный поток испаряющихся компонент.
130
Выразим массу капель в молях. Пусть N d число молей в капле. Имеем
очевидное равенство
п п
V d = Lx,Ndv, = N d LX'V' = Ndv m ,
1==1 1=1
(6.236)
rде V m мольный объем раствора, усредненный по мольному составу.
Условие сохранения числа молей i ro компонента в капле имеет вид
.!!... (N) 4 02'*
dt Х, d '1I.л. },W
(6.237)
или
N dx, dN d 4 R 2 .*
d"dt+&X, 1t },w'
(6.238)
Аналоrично можно написать условие сохранения числа молей для смеси в
капле
dNd = 41tR2 .*
dt },w,
,= I
(6.239)
Объединяя (6.238) с (6.239) и разрешая относительно dx,/dt,
d:; = V m ij;w [ x, .;..,' ] .
J=1 JJW
J
получим
(6.240)
Изменение энерrии капли равно энерrии, уносимой испаряющимися компо
нентами и работе W, совершаемой каплей при изменении ее объема:
dE d 4 W
= 1tR 2 q
dt W'
(6.241)
Полная энерrия капли равна сумме парциальных энерrий компонент:
Ed = i N dx,E, = i N dx,E, (h и pv,),
,= 1 ,= 1
(6.242)
rде h L , молярная энтальпия i ro компонента раствора, равная
h L , = hf, + CLp,(T L Т{).
Из (6.242) нетрудно найти
dEd d ( )(h ) dh и
dt= dt Ndx, L, PV, +Nd X,&=
,= I ,= 1
(6.243)
4 02 .* (h ) N dTL
'1I.л. },W L, pv, + d X,CLp' dt
,= 1 ,= I
4 02 .* (h ) N dTL
л,л. },w L, pv, + dCLpm dt '
,= 1
(6.244)
п
rде CLpm = LX,CLp' средняя удельная теплоемкость раствора.
,=1
Работа, которую совершает капля при изменении объема, равна работе rаза
над каплей с противоположным знаком:
9'
131
W dVd 4 02 .*
Р& /I.Л. Р L.JV]}]w.
]; 1
Подставляя (6.233), (6.244) и (6.245) в уравнение (6.241), получим ypaB
нение энерrии капли. Разрешая ero относительно dTL/dt, найдем
dT L = 4пR 2 ( kd (TG TLed) .* ( l, h »)
d N R d L.J}'W '«;, Lr .
r CLpmd e 1 ,;1
Рассмотрим разность энтальпий в последнем слаrаемом. Поскольку на
поверхности TG = TL' то, приняв T = Т{, получим
hCJ, h L , = h , + CGp,(T L T ) h , cLp,(T L Т{) =
= 1: + (C GP ' cLp,)(T L Т{). (6.247)
теплота парообразования i ro компонента при опор
(6.245)
(6.246)
Здесь 1; = 11;;. hf.
ной температуре.
Подставив (6.247) и (6.236) в уравнение (6.246), окончательно получим
dT L 3V m ( kd (T G T L ) .* ( /' ( )( Т Т' »)
d = R d L.J}'w ,+ cGp. CLp' L L .
r CLpm R е 1 ,; 1
Таким образом, уравнения (6.235), (6.240), (6.248) с дополнительными
соотношениями (6.222), (6.233) и (6.230) образуют замкнутую систему ypaBHe
ний для мольных долей компонент х, в капле, радиуса капли R и температуры
капли Т [. Эта система представляет собой систему обыкновенных дифференци
альных уравнений вида
(6.248)
d;, = ;2 j;(x],T L ),
dR2
& = h(X], T L ),
dTL =....!... rз(х T L )
dt R2 ] ,
(6.249)
с начальными условиями
х,(О)=х.о, R(O)==R o , TL(O)==T LO '
6.10. rЕЛЬ ХРОМАТОfPАФИЯ
Под хроматоrрафией понимается физико химический метод разделения и
анализа смесей и растворов, основанный на распределении их компонентов
между двумя фазами неподвижной (сорбентом) и подвижной (элюентом),
протекающей через неподвижную. В зависимости от природы взаимодействия,
обусловливающеrо распределение компонентов между двумя фазами, различают
следующие виды хроматоrрафии: адсорбционную, распределительную, ионооб
мепную, эксклюзионную и осадочную.
Адсорбционная хроматоrрафия основана па различной сорбируемости раз
деляемых веществ сорбентом, который, как правило, представляет собой твердое
вещество с развитой поверхностью. Распределительная хроматorрафия OCHOBa
на на разной растворимости компонентов смеси в неподвижной фазе, представ
132
ляющей собой твердое макропористое вещество, которое обработано высококи
пящей жидкостью, и в элюенте. Ионообменная хроматоrрафия основана на
различии констант ионо06менноrо равновесия между неподвижной фазой (иони
том) и компонентами разделяемой смеси. Эксклюзионная хроматоrрафия, назы
ваемая также rель хроматоrрафией или молекулярно ситовой хроматоrрафией,
основана на разной проницаемости молекул компонентов в неподвижную фазу,
представляющую собой высокопористый неионоrенный rель. Этот вид xpOMa
тоrрафии в свою очередь подразделяется на rель проникающую, в которой
элюент неводный растворитель, и rель фильтрацию, в которой элюентом яв
ляется вода. Осадочная хроматоrрафия основана на различной способности
разделяемых компонент выпадать в осадок на твердой неподвижной фазе.
В соответствии с arperaTHbIM состоянием элюента различают rазовую и
жидкостную хроматоrрафию.
В зависимости от способа перемещения разделяемой смеси вдоль слоя
сорбента различают следующие варианты хроматоrpафии: фронтальный, про
явительный и вытеснительный. При фронтальном варианте в слой сорбента
непрерывно вводится разделяемая смесь, состоящая из несущей среды (rаз
носитель) и разделяемых компонентов 1, 2, 3,..., n. Через некоторое время после
начала процесс а наименее сорбируемый компонент 1 опережает остальные
и выходит в виде чистоrо вещества раньше всех, а за ним в порядке cop
бируемости располarаются зоны смесей компонентов 1 + 2, 1 + 2 + 3, и т. д.
(рис. 6.10, а). При проявительном варианте через слой сорбента непрерывно
проходит поток элюента и периодически в слой сорбента вводится разделяемая
смесь вещества. Через определенное время происходит разделение смеси на
чистые вещества, располаrающиеся отдельНыми зонами, между которыми Ha
ходится элюент (рис. 6.10,6). При вытеснительном варианте в сорбент BBO
дится разделяемая смесь, а затем поток rаза носителя, содержащеrо вытесни
тель (элюент). При движении вытеснителя через некоторое время смесь раз
делится на зоны чистых веществ, между которыми окажутся зоны их смеси
(рис. 6.10, в).
а
б
1+2+3
2+3
в
3 1+2
3
2
1+2
1
3
1+2+3+4
3
1+2
3
1+2
1
1+3
3
Рис. 6.10. Различиые варианты хроматоrрафии:
а фронтальный; б проявительный; в вытеснительный; Э элюент
133
Рис. 6.11. Типичный вид xpoMaTorpaмм
На выходе помещены специальные приборы хроматоrрафы, которые
фиксируют изменение концентрации во времени прохождения через них смеси.
Типичный вид xpoMa,orpaMM показан на рис. 6.11.
Оrраничимся рассмотрением эксклюзионной, или rель хроматоrpафии. Этот
процесс можно рассматривать как процесс сепарации раствора, при котором
компоненты разделяются (фракционируются) в соответСТвии с размером моле
кул. В качестве сорбента, или, как ero еще называют, молекулярноrо сита,
используют пористые полимерные шарики. При прохождении молекул через
слой сорбента в микропоры шариков проникают молекулы, размер которых
меньше размера пор. Молекулы большеrо размера в поры не проникают. На
рис. 6.12 схематично показан процесс сепарации молекул двух сортов, разли
чающихся размерами [4].
Сосуд заполнен слоем маленьких порис,ых шариков, например смолы;
сверху подается раствор, в котором в качестве pacTBopeHHoro вещества coдep
жатся молекулы двух размеров маленьких и больших по сравнению с раз
мером пор шариков. Молекулы больших размеров беспрепятственно протекают
через слой сорбента, в то время как маленькие молекулы в процесс е диффузии
проникают внутрь шариков и выходят наружу с вероятностью тем б6льшей, чем
меньше размер молекул. Растворитель свободно проходит сверху вниз с He
большой скоростью, достаточной для установления диффузионноrо равновесия
на поверхности частиц сорбента. Таким образом, в растворе на выходе сосуда
........
........
0000
о о о
о 000
о о о
о о о о
Растворитель
t I
I
0000
. .
.0.6>.0.
о. O.G) О
.
OG)O
00 О О
!
00 00
00G
G).0G 0
.0.G).0.
QO. O.
!
134.
Рис. 6.12. Процесс сепарации раствора, СОСТОJlщеrо из молекул двух сортов
содержатся молекулы pacTBopeHHoro вещества, молекулярная масса которых со
временем уменьшается.
Рассматриваемый процесс можно охарактеризовать коэффициентом разде
ления (сепарации) О, имеющим смысл вероятности задержки молекул слоем
rеля
0== Рш /Р == m ш /Р V ш ,
(6.250)
rде Р массовая концентрация pacTBopeHHoro вещества в подаваемом сверху
растворе; Р,n И щn массовая концентрация и масса pacTBopeHHoro вещества в
rеле; V ш объем пор в частицах rеля.
Для идеальноrо rеля все поры частиц одинаковые, поэтому о == 1 дЛЯ MO
леку л , размер которых меньше размера пор, и о == О для больших молекул. Если
размер пор неодинаковый, а характеризуется непрерывным распределением, то
о является функцией молекулярной массы молекул М. Распространенной KOp
реляцией о и М является
о == alnM + Ь, (6.251)
rде а и Ь эмпирические постоянные.
Обозначим через V объем сосуда, а через Е объемную долю простран
ства между слоем частиц. Torдa объем раствора в сосуде равен
V e == EV + оV ш . (6.252)
Правая часть (6.252) равна объему, занятому растворителем и частью
pacTBopeHHoro вещества, oTToprHYToro сорбентом, для молекул KOToporo о == О,
плюс объем pacTBopeHHoro вещества, состоящеrо из маленьких молекул, проник
ших в поры частиц и для которых о < 1.
С друrой стороны, можно положить
V e == aSL,
(6.253)
rдe S площадь поперечноrо сечения сосуда; L высота сосуда; а доля
поперечноrо сечения, равная
а == t( е[ + cri n )- (6.254)
Первый член в фиrурных скобках равен поперечному сечению пустот
между частицами, а второй поперечному сечению пустот внутри частиц cop
бента, заПОлненных растворенным веществом.
Средняя эффективная скорость раствора в сосуде
Q L ( )
и 6.255
е aS t'
rде Q постоянный объемный расход растворителя; t время, нужное слою
растворителя для достижения выхода из сосуда:
t == (EV + oV;n).
(6.256)
Посмотрим, что происходит с тонким слоем растворителя, содержащим
несколько сортов молекул растворенных компонентов. По мере продвижения
вниз доля молекул разноrо размера, проникающих в поры частиц, изменяется
в силу закона (6.251). Поэтому вначале тонкий слой, в котором на входе
содержатся растворенные компоненты, по мере движения вниз расширяется.
Форма слоя и концентрация в нем молекул разноrо сорта влияет на степень
135
сепарации различных сортов молекул, а значит, и на вид xpoMaTorpaмм (см. 6.11).
Распределение концентрации компонент в растворителе на выходе из сосуда
может быть найдено путем решения соответствующей задачи о конвективной
диффузии примеси, введенной в виде TOHKoro слоя на входе сосуда, аналоrично
тому, как была решена задача о распространении примеси в канале (см. раз
дел 6.6).
Ввод TOHKoro слоя pacTBopeHHoro вещества можно рассматривать как зада
ние начальной концентрации в виде (6.134). Torдa изменение концентрации по
длине сосуда х в различные моменты времени дается выражением (6.135), в KO
тором следует положить 1tR 2 = a.S, х ut = х Qtja.S, t = V /Q, х = L = Ve/a.S,
rдe V e объем элюента; V суммарный объем смеси, протекающей через co
суд. Поскольку измерение концентрации с помощью хроматоrpафа производит
ся на выходе сосуда, то берется х = L. Про изводя указанную замену перемен
ных в (6.135), получим следующую зависимость концентрации pacTBopeHHoro
вещества в растворе от объемноrо расхода потока:
С = N o ( ) 1/2 exp ( Q(Ve V)2 ) (6.257)
2 aS 7tD e ffV 4aS27tDeffV .
Неизвестный коэффициент продольной диффузии Dell определяется экспе
риментально.
Из (6.257) сл едует, что уменьшение D eff приводит К уменьшению дисперсии
распределения С по продольной координате х, что приводит К более четкой
разрешающей способности xpoMaTorpaMM. Одним из путей уменьшения D eff
является уменьшение проницаемости k слоя сорбиента, например путем YMeHЬ
шения размеров шариков (это следует из Toro, что D eff уменьшается с YMeHЬ
шением числа Пекле PeD = RU /D, rде R радиус микрокапилляра, который
убывает с уменьшением k). При этом следует иметь в виду, что уменьшение k
приводит к необходимости увеличения перепада давления в сосуде для обес
печения заданноrо объемноrо расхода смеси. Жидкостная хроматоrрафия BЫ
СОКой разрешающей способности требует использования очень маленьких шари
ков радиусом 10 мкм И большоrо rрадиента давления в процесс е xpoMaTorpa
фии. Полученные xpoMaTorpaMMbI характеризуются наличием узких и резких
пиков, как на рис. 6.11.
6.11. КАПИЛЛЯРНАЯ МОДЕЛЬ НИЗКОПРОНИЦАЕМОЙ
ПОРИСТОЙ СРЕДЫ
Рассмотренное в предыдущем разделе движение раствора через слой rеля
представляет собой движение через пористую среду. При малых числах Рей
нольдса такое движение характеризуется тем, что rрадиент давления пропор
ционален скорости движения жидкости (фильтрации) И (закон Дарси):
; = U. (6.258)
Скорость И определяется как отношение объемноrо расхода жидкости к
поперечному сечению пустот в рассматриваемом слое пористой среды. ОчеВИk
но, что И < И.. поскольку в U е входит еще объемный расход жидкости через
поры частиц. Постоянная k называется проницаемостью (ее размерность м 2 ).
Для определения k необходимо выбрать определенную модель пористой среды.
Малопроницаемую пористую среду можно представить как среду, состоящую из
136
набора микроканалов с диаметром d., называемым rидравлическим, или эквива
лентным, диаметром. Этот диаметр обычно определяется как
d e ==4V v /5,
(6.259)
rдe V v объем пустот между частицами. Коэффициент 4 обусловлен тем, что
1tD2 == 5/4, D диаметр поперечноrо сечения сосуда.
Пористость по определению равна доле пустот слоя rеля
Е == Vv/V.
Теперь (6.259) можно представить как
d e == 4EV /5.
(6.260)
(6.261)
Введем еще один параметр s удельную площадь, равную отношению
площади поперечноrо сечения сосуда к объемной доле частиц rеля в сосуде:
s==5j(1 E)V. (6.262)
Torдa из (6.261) следует, что
d e == 4ЕЛ 1 Е) S.
(6.263)
Скорость раствора И е связана со скоростью И соотношением
И е == И/Е.
(6.264)
Подставляя в (6.258) И е вместо И и полаrая k di, получим
dp Ks2(1 е)2
dx == J..I.И fЗ
(6.265)
rдe k постоянная Козени.
Сравнивая (6.265) с (6.258), получим следующее выражение для прони
цаемости пористой среды:
k==Е З /К s 2(1 E)2.
(6.266)
Формула (6.266) для малопроницаемой пористой среды называется фор
мулой Козени Кармана. Постоянная Козени К равна приближенно S. В част
ности, если пори стая среда состоит из одинаковых сферических частиц диамет
ром d, то s == 6/ d и
k==d 2 Е З /180(1 E)2.
(6.267)
7
РАСТВОРЫ ЭЛЕКТРОЛИТОВ
7.1. ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКАЯ ЯЧЕЙКА
В разделе 5.5 рассмотрен перенос заряженных смесей и получены OCHOB
ные уравнения переноса. Напомним, что для предельно разбавленных смесей
перенос ионов осуществляется за счет их миrрации в электрическом поле,
137
диффузии и конвекции. Как и в разделе 5.5, оrpаничимся рассмотрением би
нарной смеси электролита, для KOTOporO в случае электронейтральности смеси
распределение приведенной концентрации ионов описываетсЯ уравнением KOH
вективной диффузии с эффективным коэффициентом диффузии (5.96). Реше
ние уравнения (5.94) позвОляет найти распределение электрическоrо потенциа
ла. Если обе части уравнения (5.98) умножим скалярно на dx, rдe х радиус
вектор, и используем связь коэффициентов диффузии ионов с их подвижностью
D = ATv , то, интerpируя получеlШое выражение, найдем разность потеlЩИалов Ll<p
между двумя точками смеси:
Llф = АТ f 1.idX AT(D+ D ) f VОпС)dх.
F2 Zty +(z+D+ z D ) С F(z+D+ z D )
Выражение для разности потенциалов состоит из двух слarаемых. Первое
имеет смысл омическоrо падения потенциала, вызванноrо сопротивлением cpe
ды прохождению электрическоrо тока плотности i. Второе слarаемое, называе
мое диффузионным падением потенциала, связано с rрадиентом концентрации,
т. е. с наличием областей концентрационной поляризации Последнее обуслов
лен о различными скоростями диффузии заряженных частиц и появлением диф
фузионноrо тока (второе слаrаемое в уравнении (5.98».
Чтобы решить уравнение для электрическоrо потенциал:а (5.94) и ypaвHe
ние диффузии (5.93), необходимо задать начальные и rраничные условия.
Обычно электролит расположен в области, оrpаниченной электродами, представ
ляющими собой металлические пластинки, например медные пластинки, поrру
женные в раствор медноrо купороса.
Систему, состоящую из двух электродов, соединенных жидким проводни
ком (электролитом), называют электролитической ячейкой. Если через электро
литическую ячейку протекает электрический ток, вызванный внешней ЭДС, то
rоворят, что в ячейке происходит процесс электролиза. В случае, если электри
ческий ток вызван ЭДС, возникающей за счет химических реакций на электроде,
такая система называется rальванической ячейкой. В дальнейшем оrраничимся
рассмотрением процесс а электролиза.
Независимо от Toro, течет электрический ток или нет, электролит в области
между электродами можно считать электрически нейтральным за исключением
небольших областей возле электродов. На электроде образуется тонкий слой,
называемый дебаевским или двойным электрическим слоем, представляющий
собой плоский слой, поверхности KOTOporO имеют заряды противоположноrо
знака с внешней стороны это электрод, несущий заряд определенноrо знака
(плюс на аноде, минус на катоде), а с внутренней стороны поверхность элект
ролита с зарядом друrоrо знака. Структура двойноrо слоя будет подробно
обсуждаться в разделе 7.3. Отметим, что при рассмотрении процесса, происхо
дящеrо в электролитической ячейке, им можно пренебречь.
Рассмотрим электролитическую ячейку (рис. 7.1), состоящую, например, из
медных электродов, между которыми находится слой электролита, например
водноrо раствора медноrо купороса [3, 4].
Раствор медноrо купороса содержит ионы Си 2 + и SO . Если к раствору
приложена разность потенциалов, то движение катионов Си 2 + к катоду и анио
нов SO к аноду образует электрический ток. На аноде происходит paCTBO
рение меди. Этот процесс можно записать в виде химической реакции
(7.1)
Си Си 2 + + 2e .
(7.2)
В то же время на катоде наблюдается осаждение меди. Хотя в электроли
138
Рис. 7.1. ЭлектрО.IIИТИЧеская ячейка
+
тической ячейке присутствуют ионы Си 2 + И SO , В pe
акцию с электродами вступают только ионы Си 2 +,
поэтому электрод можно рассматривать как полупро
ницаемую мембрану, которая пропускает Си 2 + И за
держивает SO . Анионы собираются возле анода, что
приводит к появлению возле электродов rрадиента
концентрации ионов. Этот эффект, как и раньше, будем
называть поляризационной концентрацией. Cor лас
но (7.1) появление возле электрода rpадиента Koнцeнт
рации приводит к дополнительному падению потен
циала. Поскольку возле электрода образуется тонкий
двойной слой, в котором при установлении равновесия
ток не течет, то падение потенциала в этом слое BЫ
звано только rpадиентом концентрации. Толщина двой
Horo слоя очень Маленькая, поэтому можно считать,
что падение потенциала на электроде равно разности
потенциалов на внешней и внутренней поверхности
rарницы, разделяющей твердую и жидкую фазы.
Из сказанноrо следует, что раствор электролита можно считать электри
чески нейтральным. Только в непосредственной близости от электрода на по
верхности раздела металл раствор наблюдаются ионы одноrо знака. Это так
называемая ионная часть двойноrо слоя.
Сформулируем условия термодинамическоrо равновесия на rранице Me
талл раствор. Рассмотрим раствор вида Ме'+ Х Z , rде через Ме'+ обозначены
ионы металла (катионы) с зарядом z+, а XZ ионы раствора (анионы) с за
рядом z . rраница раздела металл раствор непроницаема для Х Z И прони
цаема для Ме'+. На этой rранице происходит процесс разряда ионов Ме'+ с
превращением их в атомы на катоде, а на аноде происходит переход ионов
металла из решетки в раствор. По аналоrии с (7.2) последнюю реакцию можно
записать в виде
- Е
- ;
so;-
h
у
Ме Ме'+ + z e .
(7.3)
в стационарных условиях устанавливается частичное равновесие по отноше
нию к ионам Ме'+, проникающим через электрод (мембрану). у словие термоди
намическоrо равновесия записывается в виде равенства химических потенциалов
Me = Me'+'
(7.4)
rде Me И Me'+ химические потенциалы частиц в металле и ионов в растворе.
Поскольку частицы, проходящие через rраницу металл раствор, заряже
ны, то на этой rранице имеется электрическое поле и
Me = + nFФМе; Me'+ = l+ + nFф.. (7.5)
rде , ;l+ стандартные химические потенциалы, т. е. потенциалы, KOTO
рые имели бы незаряженные частицы; фМе И фs электрические потенциалы в
соответствующих фазах; F число Фарадея; n валентность ионов металла.
Обозначим межфазный скачок потенциала .1ф = фМе фs' Torдa условие
равновесия (7.4) с учетом (7.5) запишется в виде
= '+ nF.1ф. (7.6)
139
Заметим, что если раствор не является идеальным, то в качестве CTaHдapT
Horo потенциала следует взять выражение (5.53) раздела 11
'-+ = ",(р, т) + АТ lп (a m .,-+ ), (7.7)
rде a m .,-+ активность металла в растворе.
Для предельно разбавленноrо раствора активность можно заменить на
мольную концентрацию металла в растворе С м .,-+:
'-+ = ",(р, Т) + АТ lп (С м .,-+), (7.8)
Подставляя (7.8) в (7.6), найдем межфазное падение потенциала
Аф = ; lп (C M . z + ) + n (",(р, Т) ) = ; lп (CM.z+ ) + ф О). (7.9)
Формула (7.9) определяет связь между концентрацией ионов металла в
растворе и падением потенциала на rpанице раздела металл раствор. Из
этоrо выражения находим
CM.Z+ = сопst . ехр (nF Аф / АТ).
(7.10)
Полученное выражение называется формулой Нернста. Знак падения
потенциала выбран так, что если на электроде происходит разряд ионов Ме1'ал
ла (катод), то Аф < О, и если ионы металла переходят в раствор на электроде
(анод), то Аф> О.
На практике задается или измеряется не разность потенциалов на одчой
rранице раздела фаз Аф (см. формулу (7.9», а разность потенциалов или ЭДС
между двумя электродами в ячейке. Поэтому следует написать соотношение,
аналоrичное (7.9) для системы, состоящей из двух одинаковых электродов. На
каждом электроде имеется падение потенциала. Поэтому разность потенциалов
между электродами (ЭДС цепи) равна
v = АФl АФ2 = АТ lП(Сl) АТ lп(С 2 ) = АТ ln ( .9.. ) , (7.11)
nF nF nF С2
rдe С ! и С 2 концентрации ионов возле электродов 1 и 2.
Перейдем теперь к механизму электролиза. Прохождение тока через элект
ролитичесКую ячейку можно рассматривать как специальный случай reTepo
rенной химической реакции. Как уже отмечалось (см. раздел 6.1), reTeporeH
ная реакция состоит из трех этапов: 1) транспортноrо переноса ионов из
толщи раствора к поверхности электрода; 2) собственно электрокинетической
реакции с участием ионов и молекул; 3) образования конечных продуктов
реакции и их осаждения на поверхности электродов или отвод от этой по
верхности. Скорость rетероrенной реакции определяется самым медленным
этапом. Для по.zщержания конечной скорости реакции требуется наложение
внешней ЭДС. Чаще Bcero самым медленным этапом является первый. Не
менее важным, хотя и реже встречающимся на практике, является случай,
коrда медленным этапом является второй или третий. В теоретической элект
ротехнике основное внимание уделено именно этим двум этапам. Оrраничим
ся рассмотрением первorо случая, т. е. будем считать, что процесс лимитиру
ется транспортным этапом.
Как было ранее показано, прохождение тока через электролит приводит к
изменению концентрации у одноrо из электродов и появлению в связи с этим
концентрационноrо перенапряжения Фсоnс' В состоянии равновесия на rранице
металл раствор существует падение потенциала, даваемое формулой (7.1).
14.0
При наложении потенциала, отличноrо от paвHoBecHoro, концентрация разря
жающихся на электроде ионов Се вблизи катода становится ниже, чем в толще
раствора Со. Реакция на электроде протекает очень быстро, поэтому можно
считать, что Се имеет равновесное значение и соrласно (7.9) на катоде
Фе = Фо + J lnC e .
Соответствующее равновесное значение в растворе равно
Ф. = Фо + J lnC o .
(7.12)
(7.13)
Падение потенциала в слое, в котором концентрация ионов меняется от Со
до Се, называется концентрационным перенапряжением и равно
Фсопе = (Ф. Фе) = J ln( )- (7.14)
Изменение потенциала имеет знак минус, так как в условиях равновесия
оно стремится препятствовать дальнейшему изменению потенциала. В термоди
намике это утверждение соответствует принципу Ла Шателье [8]: 4ВСЯКая
система, находившаяся в состоянии химическоrо равновесия, претерпевает в
результате изменения одноrо из факторов, определяющих равновесие, такое
изменение, которое, происходя само по себе, вызвало бы изменение рассматри
BaeMoro фактора в противоположном направлении .
Таким образом, коrда самой медленной стадией является перенос ионов,
падение потенциала между электродами складывается из трех частей: омиче
cKoro падения АФ от, концентрационноrо перенапряжения Феопе И paBHOBeCHO
ro АФ ), соответствующеrо случаю отсутствия тока. Последняя величина, как
правило, равна нулю. Соответственно приложенную к электродам ЭДС можно
представить в виде
v = АФ + АТ ln ( C e ) + АФ(О)
от пР Со eq .
в этом выражении опущен член, характеризующий концентрационное пе
ренапряжение у анода, поскольку в реальных условиях оно обычно HaMHoro
меньше, чем у катода [4].
Основной характеристикой электролитической ячейки является вольт ам
перная характеристика i = f(V), именуемая в электрохимии поляризационной
кривой. Для ее определения необходимо знать Се и АФот'
Будем считать электролит неподвижным, а электроды бесконечными плос
костями. Тоrда задача сводится к определению потока ионов металла (катио
нов) на катод. Плотность электрическоrо тока i = Fz 1 J:. Используя выражения
(5.85) раздела 11 для мольных потоков j: при условии u = О, получим
. D F dC+ P2 z f-D+C+ dф
l+ + Z+ dy АТ dy ,
. D F dC F22lD C dф
L Z dy АТ dy .
В формуле (5.85) подвижности выражены через коэффициенты диффузии
v",=D",jAT.
Из условия электрической нейтральности электролита следует, что
Z+ С+ + Z C = О.
(7.15)
(7.16)
(7.17 )
(7.18)
1(1
Поскольку ионы металла беспрепятственно осаждаются на катоде, а анионы
задерживаются возле анода, то поток анионов отсутствует.
Следовательно,
i == О.
(7.19)
Так же, как в разделе 5.5, введем приведенные концентрации
С == С+ ;V+ == C jv ,
(7.20)
rде v+ И v число положительных и отрицательных ионов, образующихся при
диссоциации молекул электролита.
Torдa выражения для плотностей тока (7.16) и (7.17) можно переписать
в виде
. D F dC F2z D+v+C dф
1+ + Z+ V + dy АТ dy ,
0 = D F dC F2z D v C dф
Z V dy АТ dy .
(7.21)
(7.22)
Из (7.22) находим
dф .д.!:... dC (7.23)
dy Fz C dy .
Это значит, что миrрация анионов в электрическом поле уравновешивается
их диффузией под действием rрадиента концентрации.
Теперь можно исключить dфjdу из (7.21). Учитывая, что z+v+jz == v ,
получим
i+ = D+Fv (z+ z ) .
(7.24)
Поскольку плотность электрическоrо тока в электролитической ячейке
постоянна, то из (7.24) следует, что распределение концентрации катионов яв
ляется линейной функцией у. Далее из условий i+ > О и z+ z > О следует, что
dCjdy < О, т. е. концентрация катионов убывает от анода к катоду. Падение
потенциала происходит в том же направлении. Поскольку из электронейтраль
ности следует, что C j С+ == const, то распределение анионов ведет себя так же,
как распределение катионов.
Найдем теперь распределение концентрации. Положительные ионы метал
ла образуются на аноде, поэтому в качестве rраничноrо условия следует взять
С == Са при У == О. (7.25)
Интеrрируя (7.24) и воспользовавшись условием (7.25), получим
с = с l+y
а D+Fv (z+ z )
В частности, на катоде (у == h) концентрация катионов равна
(7.26)
С ::: С l+y
с а D+Fv (z+ z )
Теперь плотность тока можно представить в виде
. ::: ( С С ) D+Fv (z+ z )
Z+ а с h .
Из (7.28) следует, что плотность тока достиrает максимальноrо значения il,m
(7.27)
(7.28)
1(2
при Се == о. Обозначив через СО начальное значение приведенной KOHцeHT
рации и учитывая, что для бинарноrо электролита должно выполняться условие
сохранения Са + Се == 2С о , получим следующее выражение для предельной плот
ности электрическоrо тока:
. 2С D+Fv (z+ z ) ( 7 . 2 9)
lllm О h .
По смыслу предельная плотность тока достиrается, коrда катионы MrHoBeH
но поrлощаются катодом. Это возможно при достаточно больших значениях
приложенной разности потенциалов.
Определим теперь распределение потенциалов, для чеrо подставим (7.26)
в (7.21) и проинтеrрируем полученное выражение по у от О до h. В итоrе
получим
dф == ф(о) Ф(h) == AT(z+ z ) ln ( lj,m + ) + АТ ln ( Са ) .
z+Fz l]lm + l+ z+F Се
Формула (7.30) дает выражение для омическоrо падения потенциала. Она
состоит из двух частей. Первая часть обычное омическое падение потенциала
в растворе, электропроводность KOToporo обусловлена подвижностью ионов
металла. Отрицательные ионы раствора в целом неподвижны и не создают
результирующеrо тока. Тем не менее наличие неподвижных анионов ПрИБОДИТ
к дополнительному падению потенциала. Оно выражено вторым слаrаемым в
(7.30).
Cor ласно
(7.30)
(7.15) приложенная ЭДС равна
V == dф + Ф + dФ(О) == AT(z+ z ) ln ( l,m l+ ) .
om еаnе eq z+Fz llim + l+
Разрешая (7.31) относительно i+, находим вольт амперную характеристику
l+ 1 ехр (z+z FV /(z+ z )АТ)
l],m 1 + exp(z+z FV /(z+ z )AT) .
Зависимость i+ == f(V) показана на рис. 7.2. При малых значениях FV /АТ
зависимость близка к линейной и с увеличением FV / АТ плотность тока экспо
ненциально стремится к i!,m' Такая вольт амперная характеристика соответствует
идеальному электролиту. Поэтому в идеальном электролите тока, большеrо,
(7.31)
(7.32)
i+
Рис. 7 .2. Вольт ампериая
характеристика
/
FV
/ АТ
/
/
r
/
/
/
/
/
h
/
/
/
/
,/
'\
Неuдеальная
. h l
111m
v
1(3
чем i lim , быть не может. Это оrраничение характерно для неподвижноrо элект
ролита. Если электролит движется, например ero перемешивают, то поляриза
ция ионов у электролита уменьшается и тем самым увеличивается предельный
поток, а следовательно, и i lim . Для неидеальноrо электролита возможны значе
ния i+, превосходящие i 11m В связи С диссоциацией растворителя при больших
значениях V.
7.2. ЭЛЕКТРОДИАЛИЗ
Электродиализ процесс, в котором ионы, содержащиеся в растворе, yдa
ляются с использованием мембран под действием внешнеrо электрическоrо
поля. Мембраны, используемые в этом процессе, называются ионообменными
мембранами. Они бывают двух типов: катионообменные, которые пропускают
только катионы, и анионообменные, KOTol?bIe пропускают только анионы.
Установка электродиализа (рис. 7.3) представляет собой набор пакетов
плоских мембран, один из которых показан на рис. 7.3. Анионо и катионооб
менные мембраны в пакете чередуются. С обеих сторон пакет мембран оrрани
чен электродами. Раствор, содержащий ионы (примем для определенности, что
это ионы поваренной соли Na+ и Cl ), течет в плоских каналах между мембра
нами. Под действием внешнеrо электрическоro поля, перпендикулярноrо плоскocrи
мембран, ионы Na+ проходят через катионообменные мембраны, а ионы Cl
через анионообменные мембраны. В итоrе уменьшается содержание соли в
канале левой пары мембран, называемом каналом диализата, и увеличивается
соответственно в канале правой пары мембран, называемом каналом KOHцeHTpa
та. Раствор соли прокачивается через оба канала, причем в процессе движения
соль переходит из канала диализата в канал концентрата. Часть секции, вклю
чающая каналы диализата и концентрата с прилеrающими к ним мембранами,
+
211
2h
211+
Cl
Na+
fi:
211
Cl
Катод
;::
;:r-
;::
1«
Рис. 7.3. Пакет устаиовки электродиализа
называется ячеичной парой. В электродиализном пакете обычно содержится от
50 до 300 ячеичных пар. Число пакетов в установке электродиализа выбира
ются, исходя из требуемоrо уровня очистки раствора от соли. По мере YMeHЬ
шения концентрации соли в канале диализата проводимость раствора падает.
Характерная ширина каналов составляет 1 мм, длина каналов равна 0,25 1 м.
Ионообменные мембраны изrотавливают из орrанических полимерных
материалов, толщина мембраны равна примерно 0,5 мм. На рис. 7.4 показано
распределение концентрации ионов внутри и вне катионообменной мембраны
для случая одинаковorо числа положительных и отрицательных ионов (у+ = y ),
так что С+ = C .
Движение ионов приводит к появлению rрадиента их концентрации в
растворе у поверхности мембран. Проявляющаяся концентрационная поляриза
ция, аналоrичная поляризации в электролитической ячейке, приводит к малой
концентрации соли и большой напряженности электрическоrо поля возле MeM
браны в канале диализата.
Проиллюстрируем явление концентрационной поляризации в электродиа
лизной ячейке [19]. Для этоrо рассмотрим развитие течения в каналах KOHцeHT
рата и диализатора (рис. 7.5) при условии равенства концентрации соли в
растворе на входе в эти каналы. Это условие означает, что раствор обладает
постоянной электропроводностью. Во входном сечении про филь скорости счи
тается развитым, а про филь концентрации однородным. Поэтому вблизи входа
распределение концентрации соли близко к однородному и раствор под дей
ствием электрическоrо поля ведет себя как среда с постоянной по сечению
электропроводностью. В частности, в такой среде и в мембранах падение потен
циала линейное. Дальше, вниз по течению концентрация возле мембран в Ka
нале диализата падает, а в канале концентрата растет. У поверхности образу
ется концентрационный поrраничный слой, толщина KOToporo растет с увеличе
нием расстояния от входа. В канале диализата падение потенциала, вызванное
rрадиентом концентрации у мембран, больше, чем падение в растворе с такой
же однородной средней электропроводностью. Резкое падение потенциала возле
поверхности мембраны имеет ту же природу , что и падение потенциала возле
злектрода (см. раздел 7.1). После Toro, как концентрационные поrраничные
слои достиrают оси канала, концентрация ионов начинает изменяться и на осях
С+
Концентрация подвuжных
катионов в мембране
Концентрация фиксированных
анионов в мембране
Са
в концентрате
с+=с
в диШlUзате
с+=с
C
Концентрация подвuжных
анионов в мембране
Рис. 7.4. Распределеиие коицеитрации иоиов виутри и вие мембраиы
10 1461
145
Область
развития
Развитая
область
Длина.......... 00
. . . .
. . .
. ..
КанШl
дИШluзата
.+ ,- ..+ .-
КанШl
концентрата
. ,- : .....:,. : ....: . : .....:. . ....::: : .....::,. : ....
..:. .
. . .
.+:.
Рис. 7.5. Развитие течеиия в каналах диализата н коицеитрата
каналов диализата и концентрата. На достаточно большом расстоянии от входа
распределение концентрации ионов устанавливается по сечению каналов. COOT
ветственно устанавливается и падение потенциалов.
По аналоrии с задачей конвеКТИВJlОЙ диффузии в канале с растворимой
стенкой (см. раздел 6.3) и в канале с ембранными стенками (см. раздел 6.4)
можно ввести понятие области развития концентрации и понятие развитой
концентрации (см. рис. 7.5).
Пусть процессы, происходящие в я:чейках, составляющих пакет, одинако
вы. Рассмотрим одну ячейку, включающую каналы диализата и концентрата с
прилеrающими мембранами (см. рис. 7.5). Если пренебречь падением потен
циала в электродных ячейках по сравJlению с падением потенциала в пакете
мембран, то падение потенциала поперек каждой ячейки одинаково и равно
полному падению потенциала в
х пакете, деленному на число ячеек
i в пакете. Поскольку распределе
h h ние параметров в каналах сим
метрично относительно осей, то
ДИШluзат Концентрат электродиализную ячейку можно
моделировать одной половиной
канала диализата и одной поло
виной канала концентрата с раз
деляющей их катионообменной
мембраной (рис. 7.6).
Предположим для простоты,
что омическое сопротивление Meм
бран мало и им можно прене
бречь. Кроме Toro, примем, что
электролит состоит из одноrо по
о
у
Рис. 7.6. Схематичное распределение кои
цеитраций в диализате и коицеитрате
Поток
Поток
146
ложительноrо и одноrо отрицательноrо составляющих с одинаковыми количе
ствами ионов
V+ == V == V
(7.33)
и одинаковыми коэффициентами диффузии
D+ == D == D.
(7.34)
Заметим, что эти предположения не являются принципиальными, они нуж
ны только для упрощения выкладок.
Принимаем, что течение раствора в каждом канале развитое со средней
скоростью U. На входе распределение концентрации однородное, так что
С == СО при х == о. (7.35)
Уравнения, описывающие распределение концентраций ионов и электри
ческоrо потенциала, были получены в разделе 5.5. При условии
С+ == С == С и z+ == z (7.36)
эти уравнения имеют вид
) дС д 2 С
и(у дх == D д у 2 '
дф r(y)AT ( )
ду 2F2z2DC ' 7.38
Сформулируем теперь rраничные условия. На катионообменной мембране
выполняется условие i == О. в разделе 7.1 это условие использовалось на Ka
тоде. В рассматриваемом случае из (7.17) следует, что
D дС == ........!...... при У == о. (7.39)
ду 2z+F
На анионообменной мембране выполняется аналоrичное условие, но знак
в правой части (7.39) изменяется на противоположный.
Вторым rpаничным условием является условие симметрии на осях каналов
(7.37)
== о при у == -1:.h . (7.40)
Уравнение (7.37) с условиями (7.35), (7.39) и (7.40) те же, что и в задаче
о развитии профиля концентрации в задаче обратноrо осмоса (см. раздел 6.4).
Сравнение с этой задачей показывает, что условие (7.39) в задаче обратноrо
осмоса имеет место с заменой i /2z+ F на V", С",. Плотность тока i == Fz+ j +, rдe
j+ поток ионов. Теперь можно воспользоваться полученным в разделе 6.4
решением. На не60ЛЬШИХ расстояниях от входа (x/h О) толщина диффузион
Horo слоя невелика и можно ввести автомодельную координату (6.76)
fI == у ( hЗХх J/3. (7.41)
В качестве продольной координаты введем
( Z+FV\3 ( D ) Х
== 2АТ ) 3Uh h'
(7.42)
rде V постоянное приложенное внешнее падение потенциала в рассматривае
мой системе.
10.
147
Число Пекле
PeD == 'Uwh/D.
Сравнивая (6.75) с (7.42), получим
'U w == Dz+FV /2ATh.
Тоrда число Пекле примет вид
PeD==z+FV/2AT== V* /2.
Здесь введено безразмерное падение потенциала
V* ==z+FV/AT.
(7.43)
Оценка толщины диффузионноrо слоя производится в соответствии с (6.29):
81 h3 (З h ) ' (7.44)
Теперь можно оценить концентрацию ионов на поверхности мембраны,
используя (7.39):
Со Сш ZOD
СО 2z+FC o D .
Входящее в правую часть (7.45) значение i можно оценить, используя (7.38):
. v 2F2ztDCo
l 2h АТ
(7.45)
(7.46)
Теперь из (7.45) нетрудно найти
СО C,.. 1/З. (7.47)
Со
Заметим, что оценка (7.47) rодится для канала диализата, поскольку в нем
Со > С Ш '
Уравнение диффузии (7.37) решаем так же, как в разделе 6.4. Определяем
функцию f('YJ) соотношением (6.76), далее решаем обыкновенное дифферен
циальное уравнение (6.78) для f('YJ). Из (6.77) находим концентрацию ионов
на стенке
: == 1 1,S3 I/З. (7.48)
Определив распределение концентрации ионов, можно из (7.38) найти pac
пределение потенциала. Предварительно заметим, что общее падение потенциала
складывается из падения в каналах диализата и концентрата плюс падение на
мембране. Падение потенциала на мембране аналоrично концентрационному
перенапряжению на электроде и вызвано разностью концентраций ионов на по
верхностях мембраны. Для катионообменной мембраны падение потенциала равно
АТ 1 (Сш)сопс
'YJover n ( ) ,
z+F С ,.. dшl
(7.49)
rде (Сш)сопс и (Cw)dlal значения концентрации ионов на поверхностях мембра
ны, обращенных к каналам концентрата и диализата соответственно.
Таким образом, приложенный внешний потенциал
V == М АТ ln (Сш)сопс , (7.50)
z+F (Сw)dшl
1(8
rде ф падение потенциала в жидкости, которое можно найти из (7.38):
ф= Z AT Q ( J O dy + J h dY ] .
2F2z D С С
h О
(7.51)
Подставляя сюда выражение дЛЯ С, получим
.* 2 1/3
l V. 1 3,072 v* ,
rдe
(7.52)
. * zh
l =
2z+FC o D .
(7.53)
Полученные решения (7.48) и (7.52) справедливы при условии малости 1;1/3
и 1;1/3/V*. Существуют два предельных случая: 1; 0 и V* OO. При больших
значениях V* значение тока i близко к предельному значению
il m = V* /2. (7.54)
Из (7.48) можно найти значение 1;, при котором концентрация на поверх
ности мембраны равна нулю:
1;',т == (1 ,S36) 1 == 0,276 . (7.55)
7.3. ДВОЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ СЛОЙ
в предыдущих разделах были рассмотрены процессы переноса зарядов в
электронейтральных электролитах применительно к электролитической и элект
родиализной ячейкам. У большинства веществ при контакте с окружающей водной
(полярноЮ средой на поверхности появляется поверхностный электрический заряд
за счет процессов ионизации, адсорбции ионов и диссоциации [20, 21]. Если
заряженную поверхность поместить в раствор электролита, то содержащиеся в
растворе ионы противоположноrо знака (противоионы) притянутся к поверхно
сти, в то время как ионы Toro же знака (коионы) оттолкнутся от нее (рис. 7.7).
На процессы притяжения и отталкивания ионов накладывается тепловое
движение ионов, что приводит наряду с миrрацией ионов к их перемешиванию.
е еее е
е еее
е ее е
е е ее
е ее е
е ее
е е е
е ее е
е
е е е
е ее
е е е
С
ф
Фw
СО
о
л'D
х
л'D
х О
Рис. 7.7. Двойиой электрический слой иа заряжеииой поверхности в растворе
149
в итоrе у поверхности образуется двойной электрический слой, в котором число
противоионов превосходит число коионов. Образующийся заряд двойноrо слоя
компенсирует (экранирует) заряд поверхности, причем распределение ионов
носит диффузионный характер. Без учета тепловorо движения ионов число
противоионов В двойном слое полностью компенсировало бы заряд поверхно
сти. Такое состояние называется идеальным экранированием. Случайное теп
ловое движение ионов позволяет некоторым ионам Toro же знака, что и знак
поверхности, преодолеть потенциальный барьер и при близиться к поверхности.
С друrой стороны, ионы противоположноrо знака MoryT удалиться от поверхно
сти. В итоrе толщину двойноrо слоя можно оценить, приравнивая потенциаль
ную энерrию тепЛовой энерrии противоионов (АТ /2 энерrия одноrо моля,
приходящаяся на одну степень свободы, А rазовая постоянная, Т абсолют
ная температура).
Оценим толщину двойноrо слоя для плоскоrо случая (см. рис. 7.7), Korдa
электрическое поле перпендикулярно плоскости заряженной поверхности х == о.
Рассмотрим полностью диссоциированную симметричную соль в растворе, для
которой заряд положительных и отрицательных ионов одинаков, т. е.
Z+ == Z == Z.
(7.56)
Пусть для определенности поверхность несет положительный заряд. Oцe
ним сначала толщину двойноrо слоя при условии идеальноrо экранирования,
т. е. Korдa в слое отсутствуют положительные ионы (коионы). Из уравнения
Пуассона (5.88) раздела 11 следует, что потенциал в двойном слое удовлетво
ряет уравнению
d 2 ф FzC
dx 2
Здесь С средняя мольная концентрация отрицательных ионов (противо
ионов) .
Мольная электрическая Эllерrия ионов равна
(7.57)
w == Fzф.
(7.58)
Если принять, что электрическое поле исчезает на одной стороне плоскоrо
двойноrо слоя, то интеrpируя (7.57) при условии dф/dх == О при х == О, можно
найти изменение W поперек двойноrо слоя
W== p2Cz2X2/2E. (7.59)
Толщину двойноrо слоя можно определить из условия равенства !1 W
энерrии тепловоrо движения ионов в плоском случае (степень свободы равна
двум)
!1W==AT.
(7.60)
Подставляя в (7.60) выражение (7.59), найдем толщину двойноrо слоя ЛD:
х == Л D == ( 2; C }/2 (7.61)
Двойной слой иноrда называют дебаевским слоем, а Л D толщиной или
радиусом дебаевскоrо слоя. Для водноrо раствора симметричноrо электролита
при Т== 25 ос
л 9,61 10 9
D (z2C)I/2
(7.62)
150
Размерность л-о дается в метрах, а С в моль/ м 3 . Для одловалелтлоrо
электролита Z 1 при С 102 моль/м 3 имеем л о 1 нм, а при С 1 моль/м 3
ЛО 10 нм.
Из (7.62) следует, что Л О 112. Это значит, что с увеличением С число
противоионов на единицу длины увеличивается. Толщина слоя уменьшается
также с увеличением заряда ионов, поскольку чем больше заряд ионов, тем
меньше нужно ионов, чтобы экранировать заряд поверхности. Значение ЛО
растет с увеличением АТ. Это значит, что при отсутствии тепловоrо движения
ионов толщина двойноrо слоя стремится к нулю. Полученные значения ЛО
позволяют теперь уточнить понятие электронейтральноrо раствора. Если xapaк
терный линейный размер системы L» Л о , то появление локальноrо заряда
экранирует ero в растворе на расстоянии Ло, малом по сравнению с размером
электролита L. Тем самым толща раствора остается электрически нейтральной и
внешний потенциал в толще раствора не искажается. Поэтому пока Л О 1 10 нм,
в большинстве задач, представляющих практический интерес, раствор можно
считать электрически нейтральным. Однако в системах, в которых L s; Ло, Ha
пример в микроскопических капиллярах или микропористых средах, раствор
уже нельзя считать электрически нейтральным и необходимо учитывать CTPYK
туру двойноrо слоя при расчете концентраций и массовых потоков.
В приведенной выше оценке толщины двойноrо слоя предполarалось, что
С const в слое. В действительности концентрация ионов в двойном слое
распределена по закону Больцмана
С ;; = СО ех р ( + Ф )-
Значение СО соответствует концентрации ионов
верхности (С Со при Ф О). При этом плотность
РЕ = FLz,C,.
(7.63)
вдали от заряженной по
заряда в двойном слое
(7.64)
с учетом (7.63) имеем
РЕ = FZC{ ех р ( : ) ех р ( : )) = 2FZCoSh( : )-
Теперь уравнение Пуассона можно записать в виде
d 2 ф = 2FzC o h ( ZFф )
dx2 Е s АТ'
ДЛЯ малых значений zFф/ А Т « 1 можно разложить rиперболический
синус в ряд и, оставляя в нем только только первый член, получим
(7.65)
(7.66)
d 2 ф Ф
(7.67)
dx 2 Л-Ъ .
Приближение, в котором записано уравнение (7.67), называется приближе
нием Дебая Хюккеля. Интеrрируем это уравнение при условиях Ф == Фw при
х = О и Ф dф/dх О при х 00. в итоrе получим
ф ф", ех р ( :0 )-
Таким образом, в рассматриваемом случае дебаевская толщина Л О это
расстояние от заряженной плоскости, на которой потенциал убывает в е раз.
151
(7.68)
В действительности вблизи поверхности потенциал не всеrда мал, приближение
Дебая Хюккеля может нарушиться и Ф падает быстрее, чем по закону (7.68).
Двойн-ой слой, в котором Ф изменяется от значения Фw до О в соответствии с
(7.66) или (7.67) называется диффузионным двойным слоем.
Дальнейшее уточнение модели двойноrо слоя состоит в учете конечноrо
размера ионов (ранее они считались точечными зарядами). При этом rраница
двойноrо слоя, прилеrающая к заряженной поверхности, отодвиrается на вели
чину порядка радиуса ионов (рис. 7.8).
Учет этоrо эффекта приводит к появлению слоя Штерна и плоскости
Штерна. Обозначим через == Ф. дзита потенциал. Он еще называется электро
кинеТИЧеским потенциалом и характеризует падение потенциала в сдвиrовом
слое, 1'. е. слое, по которому электролит может проскальзывать вдоль заряжен
ной поверхности. Подобное представление структуры двойноrо Слоя приводит
к ПОЮlТию электрокинетическоrо явления. Под этим понимаются явления, про
ЯВЛЯющиеся во взаимодействии ДВижущеrося вдоль заряженной поверхности
электролита с внешним электрическим полем.
Если внешнее электрическое поле приложено параллельно заряженной
поверхности, то на ионы в двойном диффузионном электрическом слое действу
ет сила, направленная вдоль поверхности и приводящая к миrрации ионов
вдоль стенки, а следовательно, и Bcero раствора электролита.
Если в электролите содержатся твердые частицы, то на каждой частице
образуется двойной слой. В этом случае электрокинетическое явление состоит
в возможности движения этих частиц во внешнем электрическом поле.
7.4. ЭЛЕКТРОКИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
Под частицами, находящимися в растворах электролита, будем понимать
частицы настолько больших размеров, что их можно считать образующими
отдельную фазу, например коллоидные частицы различной природы и проис
СдвИ20вый слой
I
I
l е
I
I
I(t)
I
(t)1
,
I
I(t)
(t)1
'е
I
(t)
е
е
Слой
Штерна
Диффузионный слой
ф
Фw
152
Рис. 7.8. Уточиеиная модель двойиоrо слоя
хождения, Частицы эмульсии воды в масле (в/м) и масла в воде (м/в) и т. п.
Эти частицы, как правило, несут отрицательный заряд.
На rранице раздела фаз, одной из которых является раствор электролита,
возникает область заряженноrо раствора двойной электрический слой, нали
чие которorо обусловливает своеобразные электроrидродинамические эффекты,
проявляющиеся при движении частиц в растворах электролита. Эти эффекты
получили общее название электрокинетич ских явлений. Все электрокинетиче
ские явления имеют общей механизм и связаны со взаимным относительным
перемещением фаз [3, 22].
Если на раствор, содержащий взвесь дисперсных частиц, наложить внешнее
электрическое поле, то частицы придут в движение. Такое движение называется
электрофорезом. Наряду с электрофорезом наблюдается и обратный эффект
при движении частиц, вызванном неэлектрическими силами, в растворе возни
кает электрическое поле. Если происходит осаждение частиц в rравитационном
поле, то появляется седиментационный потенциал. В случае движения частиц в
потоке появляется потенциал течения. В любом случае относительных движе
ний фаз наблюдается появление разности потенциалов в смеси. I
Те же самые явления на6\lIюдаются, если движущей фазой являются не
частицы, а сам раствор. Так, если электрическое поле приложено к rранице
раздела твердая фаза раствор, т. е. твердая фаза не дисперrирована, а явля
ется неподвижной заряженной стенкой, то в движение приходит раствор. Это
движение называется электроосмосом.
Очевидно, что имеет значение только относительное движение фаз, поэтому
оба явления имеют одинаковую физическую природу , хотя проявляются они по
разному.
При движении раствора электролита вдоль стенки возникает эффект, Ha
зываемый потенциалом течений, который по существу ничем не отличается от
седиментационноrо потенциала.
Для электрокинетических явлений характерны два предельных случая.
В первом толщина двойноrо электрическоrо слоя считается малой по cpaBHe
нию с характерным линейным размером задачи. В случае электроосмотическо
ro течения таким линейным размером может быть диаметр капилляра, в KOТO
ром происходит течение. При электрофорезе характерным линейным размером
является радиус частицы. В рассматриваемом предельном случае раствор можно
считать электронейтральным везде, кроме очень TOHKoro слоя, прилеrающеrо к
поверхности Твердоrо тела. Второй предельный случай характеризуется тем, что
толщина двойноrо слоя превосходит линейный размер задачи. Теоретическое
рассмотрение этоrо случая представляет наибольшие трудности, поскольку pa
створ уже нельзя считать электронейтральным. С прикладной точки зрения
этот случай имеет большое значение в биолоrии, поскольку размер биолоrиче
ских частицы, как правило, меньше толщины дебаевскоrо слоя. В большинстве
практических случаев приходится иметь дело с rораздо большими размерами
частиц, поэтому основное внимание в дальнейшем уделяется первому предель
ному случаю.
7.5. ЭЛЕКТРООСМОС
Известно, что частицы rлины, песка и друrие частицы минеральноro проис
хождения при контакте с водными растворами, несущими, как правило, paCTBO
ренные в них соли, приобретают отрицательный поверхностный заряд. Поэтому
153
в образующихся на частицах двойных электрических слоях преобладают поло
жительно заряженные ионы и при наложении внешнеrо электрическоrо поля
эти ионы стремятся миrрировать к катоду. Силы вязкоrо трения заставляют
вместе с ионами двиrаться жидкость в пространстве между частицами. Если
речь идет о пористой среде, то жидкость движется в межпоровом пространстве.
Это явление называется электроосмосом.
Электроосмос используется во мноrих технических приложениях, напри
мер при удалении влаrи из rpYHTa в процессе строительства, обезвоживании
отходов производства, в биолоrических процессах и т. д.
Рассмотрим электроосмотическое движение в пористой среде. Будем Moдe
лировать ее системой параллельных цилиндрических микрокапилляров. Pac
смотрим такой капилляр и будем считать ero стенку заряженной. Движение
жидкости в нем происходит под действием внешнеrо электрическоrо поля, па
раллельноrо оси капилляра (рис. 7.9).
Пусть РЕ объемная плотность электрическоrо заряда жидкости. Тоrда
сила, действующая на единицу объема жидкости, равна Р f '"' РЕЕ + g и ypaBHe
ние движения вязкой жидкости (5.17) примет вид
Р = V. т + Ри + РЕЕ. (7.69)
В рассматриваемой задаче можно пренебречь силой тяжести и инерцией
жидкости. В случае, коrда rрадиент давления отсутствует, уравнение (7.69)
сводится к балансу вязкой и электрической сил
J.I. U '"' РЕЕ. (7.70)
Направим ось х вдоль оси капилляра по направлению к катоду и будем
считать, что скорость имеет одну составляющую u (у). Для узкоrо капилляра
подобное допущение справедливо. Пусть толщина дебаевскоrо слоя на стенке
капилляра ЛD мала по сравнению с радиусом капилляра а, т. е. Л D « а. Torдa
в области, прилеrающей к стенке, кривизной стенки капилляра можно прене
бречь и уравнение (7.70) сводится к
d2u d 2 ф
J.l. dy2 = PEEx =E dy2 Ех. (7.71)
Ось у направлена перпендику лярно стенке внутрь капилляра, на нижней
стенке у'"' О.
Е
).
еееееееееееееее
Аноо +1
е е е е е е е е ........... "),е е е е е
е е е
е
е е е
е е------+- и е е е
е е
ее е е
е е е е е / е е е е
aтoo
е е е е е е е е е е е е е е е
Рис. 7.9. Электроосмотическое движение жидкости в капилляре
154
Интеrрируя (7.71) при условии du/dy == d<p/dy == О при у 00, что COOТBeT
ствует внешней rpанице двойноrо слоя, получим
J! == их : . (7.72)
Интеrрируем теперь (7.72) по у от 00 дО О, rде О толщина сдвиrовоrо
слоя, а вдали от плоскости CKOpOCfb равна электроосмотической (и == И) и Ф о
при х 00. Тоrда получим
u== E Ex/J!. (7.73)
Из формулы (7.73) следует, что электролит проскальзывает вдоль за
ряженной поверхности со скоростью u. Эта формула называется формулой
[ельмrольца Смолуховскоrо.
Заметим, что в приближении малой толщины двойноrо слоя движение
жидкости в капилляре носит характер поршневоrо движения со скоростью u.
Если толщина двойноrо слоя малая, но конечная величина, то профиль скорости
имеет вид, изображенный на рис. 7.9. Для характернorо значения == 0,1 В,
Ех == 103 В/м имеем для воды И == 1 0 4 м/с. Таким образом, скорость электро
осмотическоrо движения жидкости чрезвычайно мала.
Заметим, что расход жидкости в электроосмотичесом движении Qel == па 2 U,
в то время как rидравлический расход жидкости за счет заданноrо rрадиента
давления равен Qhydr == паЧdр/dх) /8J!. Следовательно Qe/ /Qhydr 1/ а 2 . Это
значит, что уменьшение размера капилляра может привести к тому, что OCHOB
ную роль В движении жидкости будет иrpать электроосмотическое движение
жидкости, а не rидравлика. Этот вывод естественно справедлив до тех пор, пока
а » ЛD'
Решение аналorичной задачи с учетом rрадиента давления в случае про
извольноrо отношения Л D / а содержится в [23]. Как и ранее, считаем течение
безынерционным, но учитываем rрадиент давления. Раствор электролита счи
тается бесконечно разбавленным и бинарным. Сделанные предположения по
зволяют написать уравнения движения в виде
Vp + J! U F (z+C + z c ) Vф == о. (7.74)
Здесь напряженность электрическоrо поля Е заменена на Vф, а плотность
зарядов РЕ == F >.C.
.
Дальнейшее упрощение состоит в предположении, что раствор содержит
полностью диссоциированное симметричное растворенное вещество (соль), так
что z+ == z == z. Течение осесимметрическое, скорость имеет одну продольную
компоненту, поэтому в цилиндрической системе координат (х, т) уравнение
(7.74) сводится к уравнению
Jl д ( ди ) др ( ) дф
T ar r ar == дх +Fz с+ c dX'
Потенциал электрическоrо поля описывается уравнением
(7 75)
<p == РЕ /Е.
Пуассона
(7.76)
Течение в узком капилляре характеризуется тем, что L »а. Тоrда в
операторе Лапласа можно пренебречь слаrаемым д 2 ф/дх 2 . Уравнение (7.76)
сводится к
i. ( r дФ ) == Fz (c c).
r ar ar Е +
(7 77)
155
Решение уравнения (7.77) ищем в виде
ф(х, т) == ф(.х) + 'J1(X, т).
(7.78)
Поскольку на поверхности капилляра нет радиальноrо потока ионов, то
i; == о и и , == О. Из уравнения Нернста Планка (5.85) следует
aC:t zF С a'l'
дТ==+iiТ :t-дт'
Интеrрируя (7.79) при условии С,., == Со(х) при 'J1 == О (это соответствует
условию электронейтральности раствора электролита), получим распределение
Больцмана (см. (7.63»
C:t(x, т) == Со(.х) ех р ( =+= ; } (7.80)
в безразмерных переменных т* == r / а, А * == AD / а, '1'* == zF'I' / АТ уравнение
(7.77) относительно функции 'J1* с учетом (7.79) примет вид
А*2 .J..... ( т* a'l'* ) == sh ('1'*). (7.81)
дт* дт*
(7.79)
fраничными условиями являются условие на поверхности капилляра
'J1* == * при т* == 1 (7.82)
и условие симметрии на оси капилляра
a'l'*
а;:; == о при
т* == О.
(7.83)
Аналитическое решение уравнения (7.81) можно получить только при
А й / а «1. В случае произвольных значений А й / а уравнение нужно решать
численно. На рис. 7.10 показаны результаты численноrо интеrрирования ypaв
нения (7.81) при А* == 2,79 для различнЫХ значений А*. Для значений А* < 0,1
потенциал '1' в толще раствора равен нулю, он отличен от нуля только вблизи
заряженной стенки капилляра. При А* >- 10 распределение 'J1 по сечению каПИk
ляра постоянно.
Определим теперь распределение скоростей и расход жидкости. Из (7.75)
и (7.77) находим
0/*
I! д ( ди ) dp е д ( д\jI ) dФ
-; дт r дт == dx --; дт r 1;:- dx '
Интеrpируем это уравнение
при условиях
ди дш О
== о .....:r.. == О при r == .
дт 'дт '
u == О, '1' == при r == а. (7.85)
(7.84)
3
в итоrе получим распре
деление скорости
о
Рис. 7.10. Распределеиие 6езразмер-
иоrо потеициала электрическоrо поля
в сечеиии капилляра для различных
1 r* ==r/a зиачений л. ЛD/а
156
( ) е(", О dФ т 2 а 2 dp
и r Jl dx + dx .
Объемный расход жидкости равен
(7.86)
а а
Q == f u (r)21trdr == f е(", ) dФ 21trdr м 4 dP .
Jl dx 8!.! dx
о о
Рассмотрим предельный случай f...D/ а « 1, коrда решение можно написать
в аналитическом виде. Тоrда '1' == О всюду, кроме небольшой области возле
стенки, rде r а » Ао. в этой области в уравнении (7.81) можно пренебречь
кривизной стенки и, введя координату у* == у /f...D, rде у == а т, получим
д 2 ",*
==sh'l'*. (7.88)
ду*2
Используя линеаризацию Дебая Хюккеля (см. (7.68», получим
'1' == e (a r)j).D. (7.89)
(7.87)
Подставляя теперь (7.89) в (786) и (7.87), найдем
и(т) == E (1 е (а rИ'D) dФ + т 2 а 2 dP .
Jl dx 4!.! dx
( 7 .90 )
При dp/dx == О,
сти (7.73).
В друrом предельном случае Ао/ а » 1 вся область капилляра входит в
двойной слой, потенциал постоянный (ф == ) и распределение концентрации в
нем дается выражением
C (x, ') == Со(х) ех р ( + j ). (7.92)
в этом случае нужно интеrрировать уравнение (7.74) при условиях и == О
при r == а, д и/д r == О при r == О. Заметим, что уравнение Пуассона уже не нуж
но использовать, поскольку Ф == , а концентрация дается уравнением (7.92).
в итоrе находим
Q == e dф rta 2 ( 1 2 ЛD ) м4 dP .
Jl dx а 8!.! dx
Ао/ а О и dф/dх == Ех получаем выражение для CKOpO
(7.91)
и(т) == т 2 а 2 ( p 2zFС о Ф sh ZF ) (7.93)
4!.! dx АТ '
Q == 7Jl4 :х (р 2zFС о Ф sh ; ). (7.94)
Из (7.94) следует, что отношение расходов с учетом и без учета rрадиента
давления не зависит от радиуса капилляра, хотя ранее было показано, что оно
a2. Из этоrо можно сделать вывод, что при больших значениях f...D/ а приме
нение электрическоrо поля не предпочтительней rрадиента давления даже в
случае очень малых капилляров.
157
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Франк Ка.менецкuй д. Ф. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.:
Наука, 1987. 502 с.
2. ШлuхтU1ll Т. Теория поrpаничноrо слоя. М.: Наука, 1969. 742 с.
3. Левuч В. Т. Физико-химическая rидродинамика. М.: fИФМЛ, 1959. 699 с.
4. Probstein R. Р. Physicochemica] hydrodynamics. Butterworths, 1989. 318 р.
5. Tapz С. М. Основные задачи теории ламинарных течений. М.: fИТТЛ, 1951. 420 с.
6. Карслоу Т., 3zep Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 487 с.
7. Дытнерскuй Ю. Н. Обратный осмос и ультрафильтрация. М.: Химия. 1978. 352 с.
8. Прuzожuн Н., Дефэй Р. Химическая термодинамика. М.: Наука, 1966. 509 с.
9. Sherwood Т. К., Впаn Р. L. Т., Fisher R. Е., Dresner L. Sa]t concentration at phase
boundaries in desalination Ьу reverse osmosis/ /Ind. & Еng. СЬет. Fundamenta\s. 1965. У. 4.
Р. 113 118.
10. Solan А., Winograd У. Boundary ]ayer ana]ysis of po]arisation in e]ectrodia]ysis in а two
dimensiona] ]aminar flow / /Phys. F]uids. 1969. У. 12. Р. 1372 1377.
11. Веrmаn А. S. Laminar flow in channe]s wlth porous walls/ /]. Арр]. Phys. 1953.
У. 24. Р. 1232 1235.
12. Лойцянскuй Л. Т. Механика жидкости и rаза. М.: Наука, 1970. 904 с.
13. Тупало Ю. П., Полянuн А. д., Рязанцев Ю. С. Массообмен реаrирующих частиц с
потоком. М.: Наука, 1985. 336 с.
14. Taylor G. 1. Dispersion of soluba] matter in so]vent flowing s]owly through а tube/ /Proc.
Roy. Soc. 1953. А 219. Р. 186 203.
15. Scriven L. Е. Оп the dynamics of phase growths/ /СЬет. Eng. Sci. 1959. У. 10.
М 1. P. 71 80.
16. Plesset М. S., Prosperetti А. ВиЬЫе dynamlcs and cavitation/ / Апп. Rev. F]uid. МесЬ.
1977. У. 9. Р. 145 185.
17. Bankoff S. G. DiffuslOn controlled ЬиЬЫе growth/ / Advan. СЬет. Eng. 1966. У. 6.
Р. 1 60.
18. Newbold Р. R., Amundson N. R. А mode] for evaporation of а multicomponent drop]et/ /
AICHE ]ourna]. 1973. У. 19. N2 1 Р. 22 30.
19. Probstein R. Р. Desalination: Some f]uid mechanica] probIems/ /Trans. ASME ]. Basic
Eng. 1972 У. 94. Р. 286 313.
20. Кройт Т. Р. Наука о коллоидах. Т. 1. Необратимые системы. М.: ИЛ, 1955. 538 с.
21. Духин С. с., Деряzuн Б. В. Электрофорез. М.: Наука, 1976. 332 с.
22. Saville D. А. Electrokinetic effects with small partic]es/ / Апп. Rev. F]uid МесЬ. 1977.
У. 9. Р. 321 237.
23. Gross R. J., Osterle J. Р. Membrane transport characterlstics of u]trafine capillars/ /
]. СЬет. Phys. 1968. Р. 228 234.
158
IV
СУСПЕНЗИИ И КОЛЛОИДНЫЕ
СИСТЕМЫ
8
СУСПЕНЗИИ, СОДЕРЖАЩИЕ
НЕЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
8.t. микРоrИДРОДИНАМИКА ЧАСТИЦ
Основное внимание в настоящем разделе уделяется rидродинамике смесей, co
держащих незаряженные частицы и макромолекулы, т. е. молекулы с молекулярной
массой, превышающей 105, и частицы, размер которых лежит в интервале от 0,1 до
100 мкм. Бэтчелор [1] назвал раздел rидpодинамики, изучающий движение жидк<r
сти, содерЖащей макромолекулы и частицы небольших размеров, микроrидpодина
микой. orличительныIи особенностями микроrидpoдинамики являются следующие.
1. Силы инерции, как правило, малы по сравнению с вязкими, поэтому
rидродинамические уравнения сводятся к уравнениям Стокса, соответствующим
rидродинамике при малых числах Рейнольдса.
2. Существенно броуновское движение частиц в жидкости.
3. Скорость осаждения частиц в жидкости в поле силы тяжести мала, так
что частицы можно считать свободно взвешенными в жидкости. Объемная
концентрация частиц влияет на реолоrические свойства жидкости.
4. Силы поверхностноrо натяжения иrрают б6льшую роль, чем объемные
силы, поскольку поверхностные силы пропорциональны площади поверхности
частиц, т. е. квадрату их линейноrо размера, в то время как объемные силы
пропорциональны кубу линейноrо размера.
S. Существенны электрокинетические явления, так как твердые и жидкие
коллоидные частицы в водных растворах обладают зарядом, объемным или
поверхностным. В настоящем разделе эти вопросы обсуждаться не будут.
Рассмотрим некоторые основные вопросы rидродинамики при малых чис
лах Рейнольдса (в частности, им посвящена моноrpафия [2]).
Начнем с изолированных частиц в неоrpаниченном объеме жидкости.
Если в уравнениях Навье Стокса пренебречь инерционными членами и
объемной силой, то они сводятся к уравнениям Стокса
Vp == J.I..1u,
.1. и == О.
(8.1)
(8.2)
159
Отличительной чертой этих уравнений является их линейность, поэтому
сложные движения можно рассматривать как суперпозицию более простых
движений. Следствием этоrо является выражение для силы, действующей на
тело произвольной формы, движущееся подступательно со скоростью И [3]:
F, '" 61t11RIJ И} '" {l} И}' (8.3)
Иноrда удобнее записать это соотношение в виде
И, '" v'} F}. (8.4)
Тензор R,} называется трансляционным, или тензором сопротивления. Ero
компоненты зависят от размеров и формы частицы и имеют размерность длины.
Их можно интерпретировать как эквивалентные радиусы тела. Тензор {l} назы
вается тензором трения, а VIJ подвижностями, аналоrичными подвижностям,
введенным в разделе 4.5. Поэтому тензор с компонентами VIJ называется TeH
зором подвижности.
Соотношения (8.3) и
(8.4) сокращенно можно записать в виде
F"'f. и u"'Y.F,
(8.5)
rде через f и у обозначены тензоры сопротивления и подвижности, которые
связаны очевидным соотношением
{",Y 1.
(8,6)
Если тело представляет собой жидкую сферическую частицу радиуса а с
внутренней вязкостью 11" поrруженную в жидкость друrой вязкости Ile, то
R. } '" lo. } a (!le + 3!l./2) . (8.7)
3 (!le +!l,)
При l1e /Jl, 00 имеем
R,} = 1о,}а,
(8.8)
что соответствует движению пузырька в жидкости.
При 11, /l1e 00 получим выражение для твердой частицы
R!} '" Оl}а. (8.9)
Форма мноrих частиц отличается от сферической. Иноrда их форму мож
но аппроксимировать эллипсоидом. Пусть а l , а2, аз полуоси эллипсоида, а RI'
R2' R з компоненты трансляционноrо тензора в направлении этих полуосей.
В частном случае а l == а, а2 == аз'" Ь эти компоненты равны
8 а 2 Ь 2
R 1 =
3 (2а 2 b 2 )S 2а '
16 a2 b2
R 2 = R з = (8. 1 О)
3 (2а 2 ЗЬ 2 )S + 2а '
rде для вытянутоrо эллипсоида (а > Ь)
S = 2(а2 b2) 1/2 ln( а + (а 2 ;Ь 2 )1/2 )
И для сплюснутоrо эллипсоида (а < Ь)
S = 2(Ь2 a2)1/2 tg 1 ( Ь 2 :2)1/2 )-
160
В случае а == Ь из (8.10) получим значение R для сферы.
Броуновское движение эллипсоидальной частицы или частицы произволь
ной формы носит случайный характер. Соответственно случайной является
ориентация частицы. Поэтому для Taкoro движения вводятся понятия средних
коэффициентов сопротивления, трения и подвижности
==.!. ( ...!...+....!...+....!... ) ,
R 3 Rt R 2 R3
f==t U + А + Jз } (8.11)
V == .!.(Vt + V2 + Vз).
3
Индексами 1, 2, 3 обозначены rлавные оси квадратичной формы, которой
описывается поверхность частицы.
Приведем еще две формулы для коэффициентов сопротивления очень
вытянутых (а» Ь) сфероидов. При движении вдоль вытянутой полуоси
R 2/3а (8.12)
a ln(2a/b) O,5'
а при движении вдоль полуоси Ь
R 4/3а (8.13)
ь ln(2a/b)+O,5
Приближенное выражение для коэффициента сопротивления при поступа
тельном движении вытянутоrо цилиндра длины 2а и радиуса Ь вдоль ero оси имеет
вид (8.12) с заменой 0,5 на 0,72. В случае, если такой цилиндр движется перпен
дикулярно оси, коэффициент сопротивления приближенно оценивается формулой
(8.13). При а» Ь силы сопротивления в этих двух случаях оцениваются как
РЬ/Ра 2. Оказывается, что подобная оценка справедлива для лю60rо вытянутоrо
осесимметрическоro тела, т. е. сила сопротивления при движении перпендикулярно
оси тела почти в 2 раза больше силыI сопротивления при движении вдоль оси тела.
Друrим важным параметром является момент частицы, вращающейся OT
носительно центра с уrловой скоростью т,
Т, == 6Jl 0.1) O)J' (8.14)
Здесь О)] компоненты yr ловой скорости относительно координатных осей,
6по.I) компоненты ротационноrо тензора. Размерность 0.1) равна кубу длины,
поэтому тензор интерпретируется как эквивалентный объем. Заметим, что co
отношение (8.14) можно представить в виде, аналоrичном (8.5),
т==а. т, m==Q t. т, (8.15)
rде Q ротационный тензор.
Если частица имеет форму сферы радиуса а, то
а ц == пa3()1) == Vт()IJ'
Для эллипсоида вращения справедливы формулы
16 (а 2 b2)b2
0.1 == 7t ,
9 (2а b 2 S)
16 а 4 b4
0.2 == 0.3 == 7t .
9 (2а 2 3b 2 )S 2а
(8.16)
11 1461
161
в случае TOHKoro вытянутоrо эллипсоида а » Ь коэффициент вращения
BOKpyr оси Ь равен
Q 4тra 3 /9
ь ]п (2а / Ь) 0,5
Если очень длинный цилиндр радиуса Ь вращается BOKpyr оси Ь, то
Q 4тra 3 /9 Q О
ь ]п(2а/Ь) О,8' а'" .
Поскольку выражения (8.5) и (8.15) идентичны, то их можно объединить,
вводя в рассмотрение r лобальные тензоры трения f и подвижности V, включа
ющие трансляционные и ротационные компоненты. В стоксовом течении эти
тензоры обладают некоторыми универсальными свойствами [2], среди которых
основными являются: зависимость от мrновенной конфиrурации и независи
мость от скорости, а также симметричность и положит льная определенность
матриц {{ц} и {V'J}'
Поскольку уравнения Стокса линейные, то поле скоростей в рассматрива
емой точке равно сумме скоростей, обусловленных влиянием нескольких сил.
Таким образом можно оценить влияние окружающих частиц на движение pac
сматриваемой частицы (пробной частицы). Для этоrо нужно воспользоваться
выражением для скорости и в точке r жидкости за счет силы Р, приложенной
в начале координат [2]:
и = ( p + (Р т)т ) . (8.17)
8Щ.lr , 2
Присутствие в жидкости частиц друrой фазы приводит к изменению peo
лоrических свойств смеси. Если рассматривается движение пробной частицы в Ta
кой дисперсной среде, то оказывается, что это движение аналоrично движению
в вязкой жидкости, но с эффективным коэффициентом вязкости J.4ff' зависящим
от объемной концентрации частиц «>. В частности, при «> о имеем J.4ff /le.
Особый интерес представляет rидродинамическое влияние на рассматри
ваемую твердую частицу, движущуюся в вязкой жидкости, друrих частиц, дви
жущихся в жидкости. Если объемное содержание твердых частиц мало, то
частицы находятся относительно далеко и слабо влияют друr на друrа и в
первом приближении можно считать, что они движутся независимо, так что
приведенные выше выражения для скоростей и сопротивлений частиц справед
ливы. Однако при сближении частиц до расстояний порядка их линейноrо
размера rидродинамическое влияние частиц друr на друrа становится суще
ственным и им пренебреrать уже нельзя.
Степень rидродинамическоrо взаимодействия частиц зависит от следую
щих параметров:
а) формы и размеров частиц;
б) расстояний между ними;
в) ориентации частиц относительно друr друrа;
r) ориентации частиц относительно силы тяжести;
д) скорости поступательноrо и вращательноrо движения частиц;
е) положения частиц относительно rраниц области (стенок, межфазной по
верхности).
Основной интерес представляет влияние указанных параметров на rид
родинамические силы и моменты, действующие на частицы со стороны жид
кости. Если эти силы и моменты для определенной совокупности частиц из
162
вестны, то можно решить обратную задачу определения картины движения
частиц по известным массовым силам и моментам (например, rравитационным
силам) .
В Taкoro рода задачах поле скоростей и давлений описывается уравнени
ями Сток са (8.!) и (8.2). В наиболее общем случае частицы MOryт совершать
как поступательное, так и вращательное движение. Поскольку уравнения CTOK
са и rраничные условия линейны, то можно оба движения рассматривать OT
дельно, а затем провести суперпозицию решений. В случае малых объемных
концентраций частиц можно оrраничиться рассмотрением взаимодействия двух
частиц (парные взаимодействия). Для поступательноrо движения частиц rpa
ничные условия на поверхности частиц имеют вид
u иoHa5o, u иьHa5ь. (8.18)
Если, кроме Toro, рассматривается движение частиц в покоящейся жидко
сти, то на бесконечности должно выполняться условие
u Оприr оо. (8.19)
Решение сформулированной задачи представляет знаЧИтельные математи
ческие трудности, однако для случая сферических частиц имеются хорошо
разработанные аналитические методы.
Существуют два метода решения задачи. Первый метод, называемый MeTO
дом отражений, приближенный. Он аналоrичен методу последовательных при
ближений и был впервые применен Смолуховским для системы из n твердых
частиц, находящихся относительно далеко друr от друrа. Изложим общую Идею
метода для случая двух сферических частиц, движущихся поступательно в
плоскости xz со скоростями и о и и ь (рис. 8.!).
Уравнения (8.1) и (8.2) нужно решать с rраничными условиями (8. 18) и
(8.19). в качестве нулевorо приближения возьмем движение изолированной
частицы 50 в бесконечной жидкости. Сила сопротивления частицы 50 равна
Fош = j.1Кoиo = j.1Кo(Uoxi + Uozk) , (8.20)
rде Ко 6nа коэффициент сопротивления частицы 50'
Влияние частицы 50 на частицу
5 ь рассматривается в первом прибли
жении как влияние поля силы (8.20), z
приложенной в точке центра части
цы 50' Соrласно данным работы [2],
поле скоростей u(О, удовлетворяющее
условию u ш и о на 50' и поле давле
ний р(О, вызванное точечной силой FоШ,
равны: соответственно
р(I> 2 1
u(l) = ....!.......... 'У(р(l) . 'Y) ......
61tW 24Хl1 о r' (8.21)
Р (l> :::: (p(l> . 'У).!
4х о r '
rде r расстояние от центра сферы 50'
Рис. 8.1. Поступательиое движеиие двух
сферических частиц
11*
Fa
х
163
В выбранной системе координат (см. рис. 8.1) имеем
и(О = КоИ ох ( i + 2.. r ) + КоИоz ( k +..!..... r ) .
81[r r 2 81[r r 2
Значение и(1) в центре частицы 5ь (х = о, У'= О, Z'= 1) равно
(О КО ( ' И 2kU )
и Ь 81[[ l ох + О' .
Теперь можно вычислить силу, действующую на частицу 5 ь .
F,(2) = ,,17 (И и(O) = ,,17 ( И КоИ ох ) i ,,17 ( И КоИ оz ) k
Ь I-'--''Ь Ь Ь .....Ч Ьх 81[[ I-'--'Ч Ь' 41[[ .
Используя этот же метод применительно к частице 50' вычислим поле CKO
ростей и(2), порожденное силой Р ь (2) и удовлетворяющее условию и(2) = U Ш + И Ь
на 5 ь . В итоrе найдем второе приближение скорости .
и(2) = КЬ ( И КоИ ох ) i + КЬ ( И КоИ оz ) k
о 81[[ Ьх 81[[ 41[[ Ь' 41[[
и вклад в величину силы, действующей на частицу 50'
F,(З) = ,,17 и(2) = КЬ И о ( И КОИ ох ) i + КЬКо ( И КОИ о' ) k
Ь ....."0 о 81[[ Ьх 81[[ 41[[ Ь' 41[[
(8.22)
(8.23)
(8.24)
(8.25)
(8.26)
и т. д.
В итоrе найдем силу, действующую на частицу 50'
РО = рот + РР) + РР) + ... = о ( Иох Кь И ьх/ 8 1[[ i И оz КЬИЬz/ 41[[ k ) . (8.27)
1 КОКЬ /(81[l)2 1 КоКЬ /(41[l)2
Для определения силы РЬ нужно В (8.27) поменять местами индексы Ь и а.
Если скорости частиц известны, то, используя (8.27), можно найти силы,
действующие на частицы. В случае, коrда силы известны, например при pac
смотрении осаждения частиц в поле силы тяжести, можно найти скорости дви
жения частиц. В частном случае одинаковых сферических частиц (а = Ь, и о = И Ь )
выражение (8.27) примет вид
F = 67tflll ( 1 + ;/ 4[ i + 1+ >2[ k )-
Поскольку выражение (8.28) справедливо при a/l« 1, то силу F можно
представить в виде ряда по степеням a/l:
F = 67tflll( И f(%Uxi + %Uzk )+...)- (8.29)
Друrой метод состоит в точном решении задачи о движении двух сфери
ческих частиц при произвольных значениях a/l. Решение получается в спе
циальной биполярной системе координат [4]. В качестве иллюстрации метода
рассмотрим движение двух одинаковых твердых сфер с постоянными и оди
наковыми скоростями вдоль линии центров сфер. Введем вектор вихря
00= "Ух U = ( ди т ди , ) i = ( ( .!. дlj1 ) + ( .!. дlj1 )) i =.!.Р i
дz дr <Р дz r дz дr r дr <Р r \jf <Р'
[де Е2 =r ( .!. ) + ' \jf функция тока.
дr r дz дz 2 '
164
(8.28)
(8.30)
Рис. 8.2. Биполярная система координат Z
Нетрудно показать, что уравнения <:::>
11
(8.1) и (8.2) прео6разуются к ypaB 1='
нению
Е4 \{I == О. (8.31 )
При выводе (8.30) и (8.31) уч
тено, что течение осесимметричное и
и", == О, и т И U z зависят только от Z, r.
Перейдем от координат Z, r к , 11 с
помощью конформноrо прео6разования ==o
Z + ir == ci ctg ('1) + Ж ) (8.32) 11
2 ' 1=' r
rде с положительная постоянная.
Находим
sh sш '1) . (8.33)
z==c . r==c
сЬ cOS'l) , сЬ cos'l)
Исключая из (8.33) , получим
(z с cth )2 + r == с 2 /Sh2 . (8.34) <:::>
11
1='
Таким образом, == 1;0 семейство
сфер с центром на оси z. Если o > О,
то сфера находится над плоскостью Z == О, а при o < О под плоскостью Z == О
(рис. 8.2).
Итак, две внешние по отношению друr к друrу сферы даются равенствами
== а и == J3, причем а> О и J3 < О. Если радиусы сфер rt, r2 заданы и заданы
также расстояния центров сфер от начала координат d j и d 2 , то имеем
rj == s:a ' r2 == s , d t == с ctha, d 2 == c cthJ3. (8.35)
Решение уравнения (8.31) в биполярной системе координат приведено в
работе [2]. В частном случае равных сфер радиуса а сила сопротивления
равна (Ии == И Ь == И)
F == 61tJ.1tlИл.,
(8.36)
( ( ) ! J
Л. == sh а n (n + 1) 1 2sh (2n + 1) а + (2n + 1) sh 2а
4 (2n 1)(2n + 3) 4sh 2 (n + 1/ 2) a (2n + 1)2sh 2 а .
Особый интерес представляет движение двух различных сфер с разными
скоростями. Решение этой задачи проводится аналоrично. В частном случае,
Коrда размер одной из сфер HaMHoro больше друrой, можно рассматривать
движение маленькой сферы возле твердой плоскости. Если сфера движется
перпендикулярно плоской стенке, коэффициент л. в выражении для силы сопро
тивления сферы (8.36) равен
л. 3 h n(n + 1) ( 2sh(2n + 1)а + (2n + 1)sh2a
== 4' s а (2n 1)(2n + 3) 4sh 2 (n + 1 / 2)a (2n + 1) 2 sh 2 а
[де а == arch (h/ а), h расстояние от центра сферы до плоскости.
1}
(8.37)
165
z+
I
I
I
I
I
I В
ПР
I
Рис. 8.3. Движение частицы в трубе
';::) t:
Следует отметить, что при h/a 1,
т. е. Korдa зазор между сферой и плоскостью
стремится к нулю, л. 00 как a/(h а).
Движение суспензии в трубе [5] пред
ставляет интерес в связи с мноrими Tex
ническими приложениями (например, Te
чение жидкости, содержащей paCTBopeH
ные в ней макромолеку лы, движений цеk
ЛЮЛОзной пульпы, движение крови,
содержащей различные частицы и клетки,
течение полимерных растворов и т. д,).
Предположим, что суспензия пред
ставляет собой ньютоновскую жидкость,
объемное содержание частиц в жидко
сти мало, течение суспензии ламинарное,
движение частиц относительно жидкости
безынерционное. Тоrда движение частиц
определяется двумя параметрами:
Ret == И mR/v, л. == а/ R, (8.38)
rде R радиус трубы; а характерный
размер частицы; U т скорость потока в
центре трубы; Ret число Рейнольдса
потока.
цилиндрической трубе (рис. 8.3) описыва
у
Движение чистой жидкости в
ется уравнениями Навье Стокса
Jl L1u Vp == р(и . V) и,
V'u==O.
(8.39)
(8.40)
При условии равенства нулю скорости на стенке трубы для развитоrо
течения u == (и, о), rде продольная скорость
u == Uт(1 22 )k, (8.41)
а rрадиент давления
dp == 4 U т (8.42)
dz Jl R2 .
Если Re t о, то уравнения Навье Стокса сводятся к уравнениям Стокса
и Vp == о, (8.43)
L1. u == О. (8.44)
Линейность уравнений (8.43) и (8.44) позволяет сделать общий вывод о
характере движения частицы, находящейся в потоке жидкости. Самым важным
является то, что если на сферическую частицу действует внешняя сила Р,
направленная параллельно оси трубы, например сила тяжести, то скорость
частицы параллельна оси трубы, т. е. частица не движется в радиальном Ha
правлении.
166
Рассмотрим частицу, движущуюся в жидкости поступательно со скоростью Uk
и вращающуюся с уrловой скоростью .о i BOKpyr оси, проходящей через центр
частицы. Сила F и момент G, действующие на частицу, были получены в рабо
те [2] методом отражений. В случае')..,« 1 они равны:
F = 6 ( и ито 2) + 2U т Л- 2 /3 И 0(')..,3» ) k (8.45)
1tJ..lLl 1 Л-fф) + т ,
G = 81tJla2i«aQ Uт ')..,) + (И Uт(1 2»g( )(1 + ')..,r( » + 0(')..,4», (8.46)
rде Р = b/R; ')..,« 1 P условие Toro, что расстояние частицы от стенки трубы
велико по сравнению с размером частицы; функции (р) и g (р) приводятся В [2].
Если F и G заданы, то из (8.45) можно найти И и .о. в частности, если
частица свободно взвешена в жидкости (Р = G = О), то
U=Um(1 P2) i')..,2 +0(')..,3)}
Q = и ат (Р').., + 0(')..,4 ».
(8.47)
Если частица осаждается в жидкости под действием силы тяжести Fk, то
G=O и
И = (1 ').., f (R) + 0(')..,3»
61tjи 1-' ,
Q = (')..,2gф)+0(')..,4»,
61[j.1ll2
(8.48)
в случае, если форма частицы отклоняется от сферической, общие выраже
ния для компонент силы и момента, действующих на частицу, имеют вид
Р, = Jl (Ац И] + Вц.Q]),
G i = Jl (Сц И] + Д] Qj ),
(8.49)
rде Ai]' B ij , С,]' D ij тензоры, зависящие от формы и размера частицы.
Экспериментальные исследования движения частиц в трубе показали, что
частицы, взвешенные в потоке жидкости, движутся в радиальном направлении.
Так, частицы, плотность которых больше плотности жидкости, в восходящем
потоке (или частицы с плотностью, меньшей плотности жидкости, в нисходящем
потоке) миrрируют в радиальном направлении к стенке трубы. В частности,
свободно взвешенные в потоке частицы собираются у стенки трубы на расстоя
нии от O,SR дО 0,6R от оси трубы. Обнаружено, что если суспензия, содержа
щая твердые частицы, движется таким образом, что частицы миrрируют от
стенки к оси трубы, то возле стенки образуется слой жидкости, свободный от
частиц, толщина KOТOpOro б зависит от объемной КOJщентрации частиц <р (рис. 8.4).
Теоретические исследования показали, что радиальная миrрация частиц
обусловлена влиянием нелинейных инерционных членов в уравнении движения
(8.39). Для малых значений Reu = аU /v сила F и момент G, действующие на
сферическую частицу, которая движется поступательно со скоростью U и
вращается с yr ловой скоростью а, равны:
F = 61tJ..lLlU(1 + Reu )+ 1[';;3 Reu.a х U + J..lLlU o(Re u ),
G = 81tJ..lLl3.a (1 + о (Re u ».
(8.50)
167
боо/R
Рис. 8.4. Зависимость толщиIIы чистоro слоя ЖИДК
сти у стенки трубы от концентрации частиц в потоке
Выражение для силы содержит два
слаrаемых. Первое сопротивление посту
пательному движению частицы, а второе
поперечная сила, перпендику лярная BeKTO
рам Q и и Если и = ::!: Uk, то эта сила
направлена по радиусу, что объясняет по
перечный дрейф частиц при движении их в
потоке жидкости в трубе.
В настоящее время имеется мнOfО pa
бот, посвященных медленному относителъ
ному движению двух частиц различноrо раз
мера В этих работах охвачены практически
все виды движений (см например [6 8]
Приведенные выше выражения для
силы сопротивления, испытываемой части
цей при медленном движении в вязкой жидкости, справедливы при условии, что
частицы твердые На практике имеют дело не только с твердыми, но и с
жидкими и rазообразными частицами каплями и пузырьками Такие частицы
в потоке несущей жидкости MOryT деформироваться под действием HeOДHO
родных полей скоростей и давлений внеШнеrо и BHYTpeHHero течения жидкости
или rаза Особенно заметна деформация относительно крупных частиц, а TaK
же частиц, находящихся в потоке возле rраницы области течения стенок,
межфазных поверхностей, rде значительны изменения скорости потока на pac
стояниях, сравнимых с размером частиц Если жидкие или rазообразные час
тицы находятся близко друr от друrа, то относительное движение частицы
вызывает rидродинамическую силу сопротивления, зависящую от расстояния
между их поверхностями В частности, при сближении частиц по линии центров,
сила сопротивления при малых зазорах б между поверхностями возрастает как
1/б а , rде а = 1 для твердых частиц и а = 0,5 для жидких частиц [7] Степень
деформации частиц определяется модиФицированным капиллярным числом
Са = еИаЬ/(а + Ь) 1: [9], rде e ВЯЗКОСть несущей жидкости; U скорость
сближения капель радиуса а и Ь, 1: коэффициент поверхностноrо натяжения
капель При Са« 1 деформация капель мала
Медленное движение капель с учетом деформации представляет собой дocтa
точно сложную математическую проблему, поскольку необходимо решать уравне--
ния Стокса для внеllIНей и внутренней ЖИДКостей с учетом кинематических и дина
мических условий на неизвестной подвижной межфазной поверхности капли Метод
решения задач Taкoro рода основан на интеrpальном представлении решения [10]
1 N f
и.(x)=и;-(x) в;:t 2, J./x y)f/y)dSy,
I! a= 1s o.
0,3
0,2
0,1
о
0,1
0,2
0,3
<р
(8 51)
rде и, (х) компоненты скорости жидкости в точке х вне частиц; и;-(х)
компоненты скорости жидкости в точке х в отсутствии частиц; Sa поверх
ность частицы а, у координата точки на поверхности частиц, Jt] функция
rрина свободноrо (без частиц) CToKcoBoro течения, равная
J ( ) = r,r J .
'! r r + rЗ '
168
r == х У, r ==1 r 1, (У) плотность i й компоненты силы в точке У на поверх
ности частицы. Эта сила следующим образом выражается через компоненты
тензора напряжений 'tJk:
(У) == 'tJk(Y) nk(Y),
rде nk(Y) компоненты вектора нормали, внешнеrо к S. в точке У.
Суммирование в правой части (8.51) производится по всем N частицам.
Суммарные сила F и момент Т, действующие на частицу а, равны
F,a = Jr.(y)dS y , т,а = JElJk(YJ Xf)fk(y)dSy,
Sa Sa
rде Х; координаты центра частицы; ElJk символ Леви Чивита, равный нулю,
если среди индексов i, j, k имеются хотя бы два повторяющихся, равный 1, если
индексы образуют круrовую перестановку, и равный 1 в остальных случаях.
Этот метод называется методом rраничных интеrральных уравнений. Обзор
соответствующих работ представлен в [11].
До сих пор мы оrраничивались рассмотрением поведения изолированных
частиц или rидродинамическоrо взаимодействия двух частиц (парноrо взаимо
действия). Однако для концентрированных суспензий возможны мноrочастич
ные взаимодействия, которыми пренебреrать уже нельзя. Определение силы и
момента, действующих на частицу в суспензии с учетом остальных частиц,
представляет собой очень сложную и до сих пор до конца не решенную
проблему. Однако в последние rоды в этом направлении достиrнут значитель
ный проrресс [12]. В конце следующеrо раздела будет представлено одно из
развиваемых сейчас направлений применительно к процессу броуновской диф
фузии В сдвиrовом потоке. Здесь же рассмотрим, какой вклад в тензоры трения f
и подвижности V вносит учет мноrочастичных (больше двух) rидродинамиче
ских взаимодействий частиц.
В работе [13] метод отражений был применен для расчета взаимодействия
трех и четырех частиц. Было показано, что по сравнению с парными взаимо
действиями, тройные и четверные взаимодействия дают поправки к cooтвeTCTBY
ющим возмущениям скоростей порядка о (1/У!) и 0(1/r 7 ), rде r характерное
расстояние между поверхностями частиц. Обобщение на случай N частиц было
сделано в работе [14]. Возмущение скорости оказалось порядка 0(1/r 3N+5).
В этой же работе получены выражения для функций подвижности до членов
порядка 0(1/ r 7 ). Следует заметить, что соответствующие выражения представ
ляют собой ряды по степеням 1/ r и для Toro, чтобы рассчитывать скорости при
небольших значениях зазоров между частицами, а именно этот случай представ
ляет наибольший интерес, необходимо учитывать мнOfО членов ряда или мнOfО
раз повторять процедуру отражения. Кроме аналитических решений имеются
также и численные решения аналоrичной задачи, например [15]. При малых
значениях зазора применение численных методов затруднено увеличением числа
элементов, на которые должны разбиваться поверхности частиц для достижения
точности решения.
В [16] для рассмотрения мноrочастичноrо взаимодействия в концентриро
ванных суспензиях предложено два подхода, в основе которых лежат предпо
ложения об адитивности скоростей парных взаимодействий и адитивности сил
парных взаимодействий. Первым методом определяется тензор подвижности, а
вторым тензор трения. Как отмечено ранее, учет тройных и более высоких
взаимодействий сказывается при расчете подвижностей в членах порядка не
ниже 0(1/У!), в то время как при расчете компонент тензора трения в
169
членах порядка 0(1 I r). Поэтому для концентрированных суспензий, для KO
торых зазор между частицами мал, предпочтителен второй подход, в то время
как для малоконцентрированных суспензий первый. Более подробные CBeдe
ния содержатся в обзоре [12].
8.2. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Начнем с рассмотрения частиц малой объемной концентрации, взвешенных
в покоящейся или движущейся поступательно с постоянной скоростью жид
кости.
Случайное тепловое движение маленьких частиц, взвешенных в жидкости,
называется броуновским движением. В отсутствии внешних сил, действую
щих на частицу произвольноrо размера, часТицы имеют одинаковую кинетиче
3
скую энерrию тепловоrо движения, равную '2kT, rде k постоянная Больцма
на; т абсолютная температура. Поэтому для рассматриваемой частицы можно
написать
1 3
т <U 2 > == kT
22'
(8.52)
откуда
<U 2 > == 3kT 1т.
(8.53)
Здесь m масса частицы, <([2> средний квадрат скорости частицы.
Однако наблюдаемая средняя скорость движения частицы rораздо меньше
скорости, определяемой соотношением (8.53). В частности, для частицы радиу
сом 1 мкм С плотностью, равной плотности воды, значение ,j<U 2 > составляет
1,7 мм I с при комнатной температуре. Исследуя проблему броуновскоrо дви
жения, Эйнштейн [17] указал, что поскольку частица в процессе тепловorо дви
жения под действием соударений с молекулами жидкости может менять направ
ление движения миллионы раз в секунду, то путь, который она проходит за одну
секунду, невозможно проследить визуально. Эйнштейн предположил, что в Ka
честве параметра, который можно определить в процессе наблюдений и cpaB
нить с соответствующим теоретическим значением, следует взять средний KBaд
рат перемещения частицы в единицу времени. Этот параметр имеет смысл
коэффициента диффузии. Поэтому основное предположение состоит в том, что
броуновское движение частиц, взвешенных в жидкости, можно рассматривать
как диффузию.
Существуют два подхода к определению коэффициента диффузии. Pac
смотрим их последовательно. Для простоТЫ начнем с анализа одномерноrо
движения, т. е. с проблемы одномерноrо случайноrо блуждания частицы. Be
роятность Toro, что смещение частицы лежит в интервале (х, х + dx) после n
случайных перемещений с шаrом [, дается rayccoBbIM распределением
Р(n, x)dx == (21tn[2) t/2e x2/21tl2. (8.54)
Рассмотрим теперь процесс диффузии в тонком слое жидкости, в которую
в начальный момент t == О в точке х == О введено вещество (частицы) с KOHцeH
трацией СО . Вещество диффундирует в жидкости. Имея в виду аналоrию между
диффузией и случайным блужданием частиц, будем считать, что за время t
частица совершает n смещений, пропорциональных t:
n == Kt. (8.55)
170
Случайное движение частиц вдоль оси х приводит К их размыванию, так
что концентрация в точке х в момент времени t равна
С = сор(х, О. (8.56)
С друrой стороны, если рассматривается задача диффузии, то С удовлет
воряет одномерному уравнению диффузии
дС = D д 2 С (8.57)
дt дх 2 '
решение KOToporo в случае ввода вещества в начальный момент в точке х = О
имеет вид
С
С = e x2/4Dt. (8.58)
2 .J7tDt
Сравнивая выражения (8.54) (8.56) с (8.58), найдем, что если
К = 2D/t 2 , (8.59)
ТО В смеси, содержащей невзаимодействующие частицы, случайное тепловое
движение этих частиц аналоrично молекулярной диффузии в бинарном беско
нечно разбавленном растворе с некоторым коэффициентом диффузии D.
ДЛЯ пространственноrо броуновскоro движения формула (8.58) переходит в
С = СО e r2/4Dt. (8.60)
8(7tDt)312
Вероятность нахождения частицы в интервале расстояний (r, r + dr) от
начала координат в момент времени t дается выражением
P(r t) dr = 41tr 2 dr = 1 e r2/4Dtr2dr. (8.61)
, СО 2(7tD 3 t 3 )1/2
Очевидно, что среднее перемещение равно нулю, поскольку частица с
одинаковой вероятностью может смещаться как в положительном, так и в OT
рицательном направлении. Поэтому <r> не может характеризовать перемеще
ние частицы. Такой характеристикой является .J<r 2 >. Она может быть полу
чена с использованием распределения (8.61):
<r 2 > = J r 2 P(r, t)dr = 6Dt.
о
Коэффициент D называется трансляционным коэффициентом диффузии.
До сих пор рассматривались только случайные поступательные движения
частиц. Однако кроме поступательноrо движения частицы MorYT совершать и
случайные вращательные движения. Обозначим через s уrол случайноrо пово
рота между двумя последовательными положениями частицы. Рассуждения,
аналоrичные проведенным выше, позволяют получить формулу
<S2> = 4D,ott. (8.63)
(8.62)
Коэффициент D,ot называется ротационным коэффициентом диффузии.
Перейдем теперь к определению коэффициента диффузии.
Стационарное состояние в системе жидкость частицы наступает, коrда
трансляционный диффузионный поток уравновешивается конвективным пото
ком, обусловленным стационарной rидродинамической силой, действующей на
каждую частицу. В качестве такой силы возьмем стоксову силу
171
F= fU= U/v,
(8.64)
rде f средний коэффициент трения в переносном движении; v средняя
подвижность.
Поскольку размеры частиц малы, можно считать их движение безынерци
онным, так что скорость частиц устанавливается очень быстро, несмотря на
MHoroKpaTHoe изменение направления движения.
Обозначим через n числовую концентрацию частиц. Тоrда условие paBHO
весия имеет вид
DVn=nU
(8.65)
или с учетом (8.64)
fD V(ln n) = F.
(8.66)
С друrой стороны, система находится в термодинамическом равновесии.
Эйнштейн предположил, что частица находится в термодинамическом paBHOBe
сии, если действующая на нее rидродинамическая сила уравновешивается Tep
модинамической силой, потенциал которой равен свободной энерrии rиббса,
приходящейся на одну частицу.
Как уже отмечалось ранее, смесь, состоящую из жидкости и коллоидных
частиц или макромолекул небольшой объемной концентрации, можно paCCMaT
ривать как предельно разбавленный раствор, поскольку взаимодействие частиц
отсутствует. К такому раствору можно применить предельные термодинамиче
ские соотношения идеальноrо раствора [18]. в частности, свободная энерrия
rиббса, приходящаяся на одну молекулу pacTBopeHHoro вещества, равна
2 = А(р, т) kT ln n. (8.67)
Поэтому термодинамическая сила, действующая на одну частицу, имеет вид
l\herm = v( 2 )= kTV(Inn). (8.68)
Подставляя (8.68) в (8.66), получим выражение для трансляционноrо
коэффициента диффузии
D = k! ::: vkT.
f
Если частицы представляют собой твердые сферы радиуса а, то
D = kT /6пIИ.
(8.69)
(8.70)
Это выражение называется уравнением Стокса Эйнштейна.
Соответствующее выражение для ротационноrо коэффициента диффузии
имеет вид
D = kT /frot.
(8.71)
в частности, для сферических частиц
D = kT /8п .
(8.72)
Друrой подход [19] состоит в описании движения частицы с помощью
уравнения Ланжевена
т d 2 r = G(t) F.
dt 2
(8.73)
172
В правой части уравнения Ланжевена стоят две силы. Первая G(t)
случайная сила, обусловленная действием на частицу молекул жидкости. Эта
сила со временем изменяет свое направление случайным образом, причем xa
рактерное время этоrо изменения чрезвычайно мало ( 10 13 с). Вторая сила F
rидродинамическая сила сопротивления движению частицы. Используя Bыpa
жение для F в стоксовом приближении, получим
т d 2 r = G(t) 1 dr . (8.74)
dt 2 dt
Усреднять уравнение (8.74) не имеет смысла, поскольку средние значения
скорости и ускорения равны нулю. Поэтому умножим сначала левую и правую
части (8.74) скалярно на r, получим
2
т d 2 (r 2 ) m ( dr J = r. G(t) !.. dr2
2 dt 2 dt 2 dt '
а затем усредним это выражение:
d 2 <r 2 > L d<r 2 > = 3kT ( 8.75 )
2 dt + 2 dt .
При выводе уравнения (8.75) пренебреrаем членом <r. G (О>, поскольку
характерное время флуктуации G (О мало, а т (dr / d0 2 == 3kT удвоенная
кинетическая энерrия тепловоrо движения частицы.
Интеrрирование уравнения (8.75) при условии <r 2 > == О при t == О приво
дит К выражению
d< d r2 > = 6 T (1 e lt/т). (8.76)
t f
Из этorо уравнения следует, что xapaKTepHoe время установления <r>
равно t т/7. Через это время d<r> / dt 6kT / f и
<r2> 6 T t. (8.77)
f
Но соrласно (8.62) <r 2 > 6Dt. Поэтому
D == kT /7,
(8.78)
что совпадает с полученным ранее выражением (8.69).
Таким образом, коэффициент броуновской диффузии частиц малой объем
ной концентрации <р, взвешенных в покоящейся или движущейся поступательно
с постоянной скоростью жидкости, является величиной постоянной и одинако
вой во всех направлениях.
Рассмотрим теперь случай, коrда жидкость движется снеоднородным
профилем скорости, который может иметь место, например, при движении жид.
кости в трубе (пуазейлевское течение) или в канале, стенки KOToporo движутся
поступательно с различными скоростями (течение Куэтта) [20]. Поскольку
рассматриваются частицы очень малоrо размера, то на расстояниях порядка
нескольких размеров частицы неоднородный профиль скорости можно принять
линейным, а течение считать сдвиrовым. Будем для простоты считать течение
двумерным. Так как <р « 1, то можно, как и ранее, оrраничиться рассмотре-
нием одной частицы. Обозначим через V == (а.у, О) скорость жидкости в точке
х=(х(о, уи», а через и==(и(О, v(t» скорость частицы.
В рассматриваемом случае движение частицы происходит под действием
173
силы rидродинамическоrо сопротивления {( и V) и случайной броуновской
силы а(о, поэтому уравнение Ланжевена (8.73) можно записать в виде
т dd = f(U V) + G(t), (8.79)
rде f коэффициент rидродинамическоrо сопротивления частицы; т масса
частицы.
Относительно случайной силы G (t) предполаrается, что она является ra
уссовской, поэтому ее среднее значение и взаимная корреляционная функция
равны [21]
<G;(t» =0 , <G,(tt) Gl(t2»=2kTfo'10(tt t2), (8.80)
rде G, i я компонента силы G (i, j = х, у); 0'1 символ Кронекера; 0(0
дельта функция. Заметим, что усреднение проводится по ансамблю случайных
сил, действующих на частицу.
Пусть в начальный момент рассматриваемая частица находится в начале
координат (О, О). Torдa из (8.79) находим
хЩ = 1. и(О) (1 e yt) + v(O) t(1 + e yt)
r r
t f
v(O)(l e yt) + у J d't J (1 + e r<t f» Ру (а) da
о о
t t
J (1 e r<t f» Ру ('t) d't + J (1 e y(t f» РХ ('t) d't,
о о
t
у(О = и(O)(l e yt) + J (1 e r(t f»Py('t)d't,
о
(8.81)
(8.82)
rдe y=flт, P(t)=G(Olm. Усредним теперь х(о и у(О по начальным CKO
ростям. Учитывая условия (8.80), получим
< хЩ > = < и(О) >0 (1 e yt) + < v(O) >0 t(l + e yt) < v(O) >0 (1 e yt),
<y(t»= <v(O»o (1 e yt). (8.83)
Здесь через < > обозначено усреднение по случайным силам и по началь
ным скоростям, а через < >0 только по начальным скоростям.
Для определения коэффициента 6роуновской диффузии нужно определить
на средние, а среднеквадратичные смещения частицы (см. (8.62». Эти значения
нетрудно получить, используя выражения (8.81) и (8.82). Примем, что распре
деление начальной скорости частиц максвелловское, как в бесстолкновительном
разреженном rазе, с нулевым средним значением (подобное может быть, если на
оси х скорость жидкости равна нулю). Тоrда
<и(о»о = <v(O»o = <u(O)v(O»o = О,
<и2(О»о = < v2(O) >0 = kT lm. (8.84)
Для времен t» 1 Iy выражения (8.81) и (8.82) упрощаются. Опуская
длинные выкладки, приведем Окончательные выражения для среднеквадратич
ных смещений частицы при t» 1 1 у:
<x 2 (t» = 2Dt + tDаЧЗ,
174
< у2(О > = 2Dt,
(8.85)
rдe D == kt/f коэффициент броуновской диффузии для покоящейся жидкости.
Из (8.85) следует, что при отсyrствии сдвиrовоrо течения (а == О) <х2 (О> ==
== <у2 и» == 2Dt, т. е. коэффициенты диффузии в направлении осей координат
равны D, в то время как сдвиrовое течение жидкости приводит к анизотропии
броуновской диффузии с разными значениями коэффициентов диффузии вдоль
и поперек направления потока несущей жидкости. Соответствующие коэффи
циенты диффузии MorYT быть определены как
D = <х 2 (О> = D(1 1. 2 t з )
х 2t + за,
D = <y2(t» = D ( 8.86 )
у 2t .
Рассмотренные случаи оrраничены тем, что частицы не взаимодействуют
между собой, что справедливо для суспензий с очень малой объемной KOHцeHT
рацией частиц. Увеличение объемной концентрации частиц приводит к YMeHЬ
шению среднеrо расстояния между ними и к необходимости учитывать rидро
динамическое взаимодействие частиц. Кроме Toro, броуновское движение частиц
суспензии, расположенной в оrраниченной области, например в пористой среде,
требует учета взаимодействия частиц с rраницей области. Обсуждение HeKOTO
рых из этих вопросов содержится в обзоре [22].
Учет rидродинамическоrо взаимодействия частиц одинаковоrо радиуса а в
процессе броуновской диффузии в покоящейся жидкости был осуществлен в
работах [23 2S] введением в коэффициент броуновской диффузии (8.70) (см.
раздел 8.1) коэффициента л., учитывающеrо отклонение сопротивления частицы
от CToKcoBoro закона
D == Do /л.(r /а),
(8.87)
rде Do коэффициент броуновской диффузии, определенный по формуле (8.70),
соответствующий нестесненному броуновскому движению частиц. Поправочный
коэффициент л. зависит от относительноrо расстояния между сближающимися
частицами и может быть определен из закона сопротивления F == 6п 1.1 а и л. (r / а),
соответствующеrо относительному движению частиц по линии центров со CKO
ростью и, из выражения (8.36).
Для учета взаимодействия частиц различноrо радиуса в движущейся и
достаточно разбавленной суспензии, коrда можно оrраничиться рассмотрением
только парных взаимодействий, вводят парную (двухчастичную) функцию pac
пределения p(r) [26], имеющую смысл вероятности нахождения частицы pa
диусом aj, центр которой находится в точке с радиусом вектором r, при условии,
что центр второй частицы радиусом а2 находится в начале выбранной системы
координат. Эта функция удовлетворяет квазистационарному уравнению Фок
кера Планка
V . (P(r) V;2 (r» == О,
(8.88)
rдe V t2 (r) == V j V 2 относительная скорость движения рассматриваемой пары
частиц.
Для определения V t2 (r) необходимо решить соответствующую rидродина
мическую задачу о медленном безынерционном относительном движении двух
взаимодействующих сферических частиц, свободно взвешенных во внешней
жидкости. Для случая двух частиц в безrраничной жидкости, движущейся вдали
175
от частиц со скоростью, соответствующей простому сдвиrовому течению, Bыpa
жение для относительной скорости имеет вид [26]
V;2(r)::;:: (VV ). r (Апп + B(I пп». Е. r Dt( )(ппG +
D(O)
+ (I пп)H. V(ln(P(r») k l ; (ппа + (I пп)Н). VФt2(r), (8.89)
rде V. скорость жидкости на бесконечности; Е тензор скоростей дефор
мации; п '" r / r единичный вектор, направленный вдоль линии центров час
тиц; 1 единичный тензор; Dt( ) коэффициент относительной броуновской
диффузии двух частиц, без учета их взаимодействия; ФI2(r) потенциал моле
кулярноrо взаимодействия частиц; k постоянная Больцмана; Т абсолютная
температура; А, B.z... G и Н функции подвижности, зависящие от отношений
радиусов частиц л. == а2 / at, отношений вязкости внутренней и внешней жид
костей iI '" 11.111. и от относительноrо зазора между поверхностями частиц
s '" 2r / (а, + а2 ). Выражения для функций подвижности и обзор соответствую
щих работ можно найти в [27].
К уравнению (8.88) нужно добавить следующие rраничные условия. Пер
вое условие соответствует условию, что каждое столкновение частиц приводит
к их коаryляции ДЛЯ твердых частиц или коалесценции ДЛЯ капель. Тоrда
Р'" о при r = аl + а2' (8.90)
Если частицы находятся далеко друr от друrа, то
Р 1 при r 00. (8.91)
в процессе движения частицы MorYT сталкиваться. Тоrда частота парных
столкновений определяется диффузионным потоком на сферической поверхно
сти радиуса а! + а2 (более подробно об этом см. раздел 10):
112 ::;:: п1 п 2 J PV t2 . п ds, (8.92)
r =Й1+а2
rде п, и п2 численные концентрации частиц сорта 1 и 2.
Поскольку численная концентрация частиц обоих сортов пt2 выражается
через парную функцию распределения:
пt2(r, t)"'пtп2P(r, О, (8.93)
то уравнение (8.88) сводится к
V(ftJ 2 V'2(r» '" О, (8.94)
п12 (r а! + а2) ::;:: о; пt2 (r 00) п! п2.
Уравнение (8.94) аналоrично уравнению стационарной диффузии. OTHO
сительное влияние конвективнЫх и диффузионных членов характеризуется
диффузионным числом Пекле
Р Ivv la2. а! +а2
eD (О) , a .
D t2
(8.95)
Большинство работ, посвященных исследованию броуновскоrо движения,
оrpаничено случаями PeD« 1 (чисто броуновская диффузия) или PeD» 1
(взаимодействие частиц без учета броуновской диффузии). Случай произволь
ных чисел Пекле рассмотрен в работе [27].
Кроме rидродинамическоrо взаимодействия между частицами возможны
176
молекулярное и электростатическое взаимодействия. Тем, кто интересуется этой
проблемой, советуем обратиться к работам [24 28].
Особое значение имеет случай концентрированных суспензий, для которых
объемная концентрация дисперсной фазы не мала. Микроструктура таких cyc
пензий зависит от соотношений между rидродинамическими силами взаимодей
ствия частиц и термодинамическими силами, обусловливающими броуновское
движение. В последние rоды исследование динамики концентрированных cyc
пензий (стоксовая динамика [29]) развивается на основе использования ypaB
нения Ланжевена для ансамбля из N частиц
dU, Р , + Р , + Р , ( . 1 N )
тi'dt н в р l , ,
(8.96)
rде m, масса i й частицы; р н rидродинамическая сила, действующая на i ю
частицу; РА стохастическая сила со стороны молекул окружающей частицу
жидкости; Рр сила взаимодействия, имеющая неrидродинамический характер,
например сила молекулярноrо взаимодействия частиц или внешняя сила.
Выражение для rидродинамической силы в случае сдвиrовоrо течения при
малых числах Рейнольдса Re == ра 2 у / 1.1 « 1 имеет вид
Fk == fJu . (И; ИJ) + fJE : Е, (8.97)
rде и == f' . х' скорость жидкости в точке, занимаемой центром i й частицы;
Ifil ==у скорость сдвиrа; Е тензор скоростей деформации жидкости; fFU И
f FE тензоры трения при движении частицы относительно жидкости и вместе
с жидкостью, метод определения которых и соответствующие выражения для
мноrочастичноrо взаимодействия в предельном случае малых зазоров между
частицами содержатся в работах [12, 30].
Стохастическая 6роуновская сила удовлетворяет условиям
<Р в > == О <РВСО) Рв(О> == 2kTfFUO(t), (8.98)
rдe k постоянная Больцмана; Т абсолютная температура; о дельта функ
ция. Первое условие (8.98) очевидное, а второе является следствием теоремы
о диссипации флуктуаций в системе, содержащей N частиц. Это условие было
использовано ранее (см. (8.80».
Из уравнений (8.88) следует, что основными безразмерными параметра
ми, влияющими на эволюцию системы, являются число Пекле Ре == уа 2 / D&p ==
== 6п 1.1 аЗ У / kT, характеризующее отношение rидрОJ.;!инамической силы сдвиrовоrо
течения к термодинамической броуновской силе, у== 61tlla2 у /IFpl безразмер
ная скорость сдвиrа, равная отношению rидродинамической силы сдвиrовоrо
течения к силе неrидродинамическоrо взаимодействия, а также объемная KOH
центрация частиц .
Знак < > в уравнении (8.98) означает усреднение по ансамблю случайных
сил. В результате интеrpирования уравнений (8.88) в интервале Ы» 't == т/пIИ,
rде 't характерное время установления (см. (8.76», можно определить CMe
щение частиц !:J.x' за время !:J.t.
Макроскопические параметры MorYT быть определены путем усреднения по
ансамблю частиц и по времени.
Аналоrично тому, как это было сделано ранее для одиночной частицы в
покоящейся ЖИДКОСТИ, можно найти коэффициент броуновской диффузии
п"" == kTfib. (8.99)
Однако в рассматриваемом случае он не скаляр, а тензор BToporo paHra.
12 1461 177
Для концентрированных суспензий и несжимаемой жидкости феноменоло
rическое соотношение, связывающее тензоры напряжений и скоростей деформа
ций, имеет вид
<Т> == pl + 21lE + <Ер>.
(8.100)
Сравнение с законом Навье Стокса (4.2) показывает, что наличие час
тиц в жидкости приводит К дополнительНЫм напряжениям, характеризуемым
<Ер>. Ero можно представить в виде
< Ер> == nkTI + n{<SH> + <Sp> + <SB>}, (8.101)
<SH> == <fsu. (рЬ' fFE fSE>: <Е>,
<Sp> == «fsu . (р& + xI). F p >,
< S в> == kT < V . (fsu . f Рй ) > .
Первое слarаемое в правой части (8.101) представляет собой изотропное
напряжение, аналоrичное давлению, обусловленное тепловым (броуновским)
движением частиц численной концентрации п. Второе слаrаемое разбито на три,
каждое из которых характеризует определенный вклад в напряжение: <S н>
rидродинамическая составляющая от сдвиrовоrо потока несущей жидкости; <S р>
составляющая от неrидродинамическоrо взаимодействия частиц; <S в> девиа
торная часть напряжения от броуновскоrо движения. Выражения для входя
щих В (8.101) тензоров трения fsu, fFU, fFE И fSE представлены в работах [12, 30].
Используя решение уравнений (8.96), можно из (8.100 найти реолоrические
свойства суспензии. В частности, задав начальную конфиrурацию суспензии,
можно проследить ее дальнейшую эволюцию и предсказать возникновение arpe
rационных структур [29].
8.3. ВЯЗКОСТЬ РАЗБАВЛЕННЫХ СУСПЕНЗИЙ
Рассмотрим предельно разбавленную суспензию, состоящую из вязкой
жидкости и взвешенных в ней маленьких сферических частиц. Малая объемная
концентрация частиц позволяет пренебречь их взаимодействием и считать, что
каждая частица ведет себя так, как если бы она была окружена бесконечным
объемом жидкости. Очевидно, что с увеличением объемной концентрации час
тиц их влияние друr на друrа будет иrрать все большую роль и ими прене
бреrать уже нельзя. В дальнейшем для простоты будем пренебреrать броунов
ским движением. Кроме Toro, считаем частицы достаточно маленькими, так что
можно пренебречь влиянием силы тяжести, а также считать движение частиц
безынерционным. Это значит, что скорость движения частиц равна скорости
движения жидкости, т. е. частицы свободно взвешены в жидкости.
Присyrствие частиц в жидкости вносит возмущение в поле скоростей
жидкости, которое она имела бы в отсутствие частиц. Известно [31], что при
стоксовом поступательном движении изолированной твердой сферы в неоrрани
ченном объеме вязкой жидкости rидродинамическое возмущение поля CKOpoc
тей затухает с увеличением r как l/r. Это достаточно медленное затухание,
которое приводит к математическим осложнениям при определении возмуще
ний, вызываемых наличием в жидкости большоrо количества частиц. В частно
сти, это приводит К медленно сходящимся, а иноrда и к расходящимся рядам
и интеrралам.
178
РИС. 8.5. ПрофlUlЬ CKOpocm В сдвиroвом течении
у
х
Добавление к чистой жидкости
твердых частиц приводит к увеличению
вязкой диссипации, поскольку увеличи
вается площадь твердых поверхностей.
Поэтому, если суспензию рассматривать
как ньютоновскую ЖИДКОСТЬ, то ее вяз
кость должна быть больше вязкости
чистой жидкости. Эйнштейн [17] впер
вые рассмотрел задачу определения
вязкости суспензий. Он оrраничился z
случаем КУЭ1'Товскоrо течения бесконеч
но разбавленной суспензии.
Как было отмечено в разделе 4.2,
течение Куэтта (сдвиrовое течение)
характеризуется линейным профилем скорости (рис. 8.5), который в декартовой
системе координат имеет вид
u = ух, V = О, w = О,
(8.102)
rде скорость сдвиrа
У . = 2Е = du = U
ух dy h .
(8.103)
Здесь h малое расстояние между стенками, одна из которых движется
поступательно относительно друrой со скоростью U.
Соответствующие напряжение сдвиrа 't и вязкая диссипация Ф равны
du U ( )
't='t yx =ll dy =Il h , 8.104
Ф = 'tyxEyx = Il( : J = Il( * J. (8.105)
П рисyrствие в жидкости частиц существенно осложняет rидродинамичес
кую задачу, поскольку для определения поля скоростей необходимо решать
краевую задачу с дополнительными rраничными условиями прилипания на
поверхности всех частиц. Физически задача сводится к определению возмуще
ний, которые вносит в поле скоростей ЧИСТОй жидкости наличие в жидкости
частиц. Допущение о малости объемной концентрации частиц позволяет снача
ла определить возмущение, которое вносит одна частица, а поскольку в paCCMaT
риваемом приближении частицы не взаимодействуют, то суммарное возмущение
является суперпозицией возмущений в предположении однородности распреде
ления частиц в объеме жидкости. Ниже приводится решение, полученное в [32].
Рассмотрим твердую сферическую частицу, взвешенную в куэтrовском потоке
вязкой жидкости. fраничными условиями являются условие прилипания на
поверхности частицы и равенство скорости жидкости вдали от частицы скорости,
даваемой выражением (8.102). Поступательная скорость центра частицы Vo
равна скороСти невозмущенноrо движения жидкости в точке пространства,
которую занимает центр частицы. В системе координат, связанной с центром
частицы и движущейся поступательно со скоростью Uo, компоненты скорости
жидкости имеют вид (8.102) (см. рис. 8.5). В выбранной системе координат
12* 179
поступательная скорость частицы paBH::t нулю, но частица может вращаться
BOKpyr оси Z с уrловой скоростью
1 1 I 1 ( ди дu ) у
ro := '2 V х и := '2 дх ду := '2'
Знак минус обусловлен тем, что с положительноrо направления оси Z
видно, что вращение происходит по часОВОЙ стрелке.
Из вида yr ловой скорости следует, что скорость в точке поверхности сферы
равна
(8.106)
и == тХ r
и
и:= yY, v:= YX, w:= О. (8.107)
Поле скоростей на поверхности с(реры соответствует влиянию невозму
щенноrо внешнеrо потока на сферу. В свою очередь вращение сферы оказы
вает влияние на распределение скоростей в жидкости. Пусть эти возмущения
u' == (и', v', w') малы по сравнению с неВОЗJl1Y1Ценной скоростью. Скорость жидкости
теперь равна
и + и' == (и + и', v', w'),
(8.108)
причем на сфере должно выполняться условие и'. п == О, а вдали от сферы
(r oo) u' O.
Решение уравнений Стокса с указ3НJfЫМИ rpаничными условиями приво
дит К следующим выражениям для компонент возмущенной скорости:
и,:= аЗух2у +..!.i'а 5 ( З У 15Х 2У ) ,
2 т5 6 т5 т7
v':= а З уху 2 +..!.i'а5 ( ЗХ 15 ху 2 ) ,
2 т5 6 т5 т7
, 5 a 3 yxyz 1 5 ( 15XYZ )
w := +- ya ,
2 т5 6 т7
rде а радиус частицы, r == (х 2 + у2 + Z2)1/2.
Если оrраничиться рассмотрением JЗозмущений вдали от частицы, то при
a/r« 1 в выражениях (8.109) достаточНО оrраничиться только первыми сла
rаемыми в правой части:
, 5 а 3 ух2у , 5 tJ.3yxy2 , 5 аЗухуz
и "" '2 ' v "" '2 w := '2 (8.110)
Из (8.110) следует, что возмущени.я скорости в жидкости затухают вдали
от частицы как a/r.
Рассмотрим теперь плоскости у == У! Ц у:= У2 (рис. 8.6). Невозмущенные CKO
расти жидкости В точках, лежащих на эти": плоскостях, равны и ! := УОУI И и2 := УОУ2'
Пусть теперь в жидкости имеются твердьtе сферические частицы, однородно pac
пределенные в объеме с численной концентРацией п. Рассмотрим слой суспензии
ТОЛЩИJfЫ dy с ординатой у, параллеЛЬНЫD плоскости XZ. Обозначим через Х., у, Zs
координаты центра частицы в этом слое. Возмущение скорости в жидкости от
присyrствия частицы дается выражением (8.110). В частности, в точке At(O, Yt, О)
и' := 5 а 3 УОХНУ1 у) t2 == х2 + ( У У )2 + Z2 ( 8.111 )
s 2 5 ,S s 1 <'
Т.
(8.109)
180
У1
у
А 1
VVJ dy
x s ' у, Zs
О Х
А 2
У2
Рис. 8.6. К расчету вязкости предельно разбавленной суспеизии
в малом объеме, который заштрихован на рис. 8.6, содержится n dxsdy dz s
частиц. Поэтому х компонента возмущения скорости от всех этих частиц равна
и'п dxsdy dz s . Проинтеrрировав это выражение по всему слою, получим измене
ние продольной скорости в точке A j , вызванное присутствием частиц в слое
жидкости,
Аи1 == %Yoa3(YI y)ndy j j :! dxsdz s .
CIIO s
(8.112)
Интеrрал вычисляется без труда. В итоrе получим
Аи! == t t-УоаЗndу.
(8.113)
Изменение продольной скорости отрицательно, т. е. присутствие твердых
частиц уменьшает скорость жидкости в направлении оси х. Это изменение не
зависит от положения слоя, т. е. от у, и от выбора точки А I на плоскости у == УI'
Аналоrично определяется изменение скорости жидкости в точке А 2 на
плоскости у == У2:
5
Аи2 == з 1rfо аЗпd у.
(8.114)
Скорость верхней плоскости относительно нижней в невозмущенном тече
нии была равна И! и2 == 10 (у! + У2)' Теперь в присутствии твердых частиц эта
скорость изменилась на величину
/).и! 2 == Аи 1 + /).и2 == 1 t-УоаЗпdу. (8.115)
Проинтеrpировав теперь (8.115) по всем у от У2 дО УI, получим выражение
для относительной скорости двух плоскостей
и 1 2 == 1о(и1 + И 2 )( 1 130 1ta З n)- (8.116)
Объемная концентрация частиц, т. е. объем частиц в единичном объеме
суспензии, равна
сп == .! 1tа З п
"1" 3 '
поэтому (8.116) можно переписать в виде
Uj 2 == 1о(и 1 +u2)(1 2,s<p).
(8.117)
(8.118)
181
Теперь определим дополнительное сдвиrовое напряжение на плоскости
у == УI по формуле
, du'
1'1 == dy .
(8.119)
Если в качестве и' возьмем выражение (8.111), то получим сдвиrовое
напряжение с учетом влияния одной частицы
, 5 ( Х; 5ХНУ1 у)2 )
ТI== уоаЗ .
2 Ts5 Т/
Проинтеrрировав (8.120) по всем частицам и по всем слоям, получим
т' == О. Аналоrично получим т' == О и при у == У2' Следовательно, добавление ча
стиц к жидкости уменьшило скорость жидкости, но не повлияло на напряжение
сдвиrа на плоскостях у == УI И У == У2'
Вернемся теперь к течению Куэтта. Пусть плоскостями у == УI И У == У2
являются стенки канала, причем УI + У2 == h, а и относительная скорость дви
жения стенок. Коrда в канале течет чистая жидкость, невомущенное сдвиrовое
напряжение
(8.120)
U О
То == o Т'
(8.121)
flаличие в потоке частиц приводит к новой относительной скорости дви
жения стенок канала, даваемой выражением (8.118),
и == Yoh (1 2,s<p). (8.122)
Поскольку суспензия считается ньютоновской жидкостью, то по определе
нию сдвиrовое напряжение на стенке
т == * == * o (1 2,S<p). (8.123)
rде * коэффициент вязкости суспензии.
Выше было показано, что сдвиrовые напряжения на стенке для чистой
жидкости и для сильно разбавленной суспензии совпадают, т. е. т == То. Следо
вательно
o и; == * o (t 2,S<p) ,
(8.124)
откуда находим коэффициент вязкости сильно разбавленной суспензии
* == 1 ;,5Ф "" oO + 2,S<p). (8.125)
Здесь учтено то, что для сильно разбавленной суспензии <р« 1.
Формула (8.125) была впервые получена Эйнштейном и носит ero имя.
Экспериментальная проверка показала, что формула Эйнштейна хорошо
описывает вязкость суспензий для объемных концентраций твердых частиц
<р < 0,02, хотя иноrда эту формулу используют вплоть до значения <р == 0,1.
Если суспензия содержит не твердые частицы, а капли, внутренняя вяз
кость которых . отличается от вязкости . окружающей жидкости (в этом
случае rоворят не о суспензии, а о эмульсии), то вязкость определяется фор
мулой Тейлора [33].
(1 2,511. + 11. )
* == o + 11. + 11. <р .
(8.126)
182
Для твердых частиц i/ e oo И из (8.126) в пределе получается форму
ла Эйнштейна (8.125). Если частицы представляют собой rазовые пузырьки, то
;/ O и из (8.126) следует, что
*== o(1+<p). (8.127)
Обсудим полученные результаты. Из выражения для вязкости предельно
разбавленной суспензии следует, что коэффициент вязкости не зависит от pac
пределения частиц по размерам. Физическое объяснение этоrо факта состоит
в том, что в предельно разбавленной суспензии (<р« 1) частицы находятся
далеко друт от друта по сравнению с размером частиц и взаимным влиянием
частиц можно пренебречь. Кроме тото, при условии a/h« 1 можно пренебречь
взаимодействием частиц со стенками. Можно также показать, что в предельно
разбавленной суспензии, содержащей сферические частицы, броуновское движе
ние частиц не оказывает влияние на вязкость суспензий. Однако, если форма
частиц отличается от сферической, то броуновское ротационное движение может
влиять на вязкость суспензии. Это объясняется тем, что частицы несферической
формы, например тонкие вытянутые цилиндры, в сдвиrовом потоке имеют
преимущественную ориентацию (в случае цилиндров ориентация оси цилин
дра по направлению скорости потока), несмотря на случайные флуктуации
ориентации, вызванные броуновским ротационным движением.
Увеличение объемной концентрации частиц приводит к тому, что влиянием
частиц друт на друта уже нельзя пренебреrать. Соответствующая поправка к
формуле Эйнштейна была получена Бэтчелором и имеет порядок <р2 [34]:
== J.Ц> (1 + 2,S<p + 6,2<р2). (8.128)
в ряде работ предлarаются эмпирические зависимости вида
== J.Ц> (1 + 2, S<p + k <р2).
(8.129)
Эмпирическая постоянная k имеет порядок 1 О, а формула (8.129) с успе
хом используется для суспензий с объемным содержанием частиц до значений
<р == 0,4. Это значение <р намното превосходит те значения, при которых спра
ведливы основные теоретические формулы. Действительно, в основе всех теорий
лежит предположение о том, что суспензия сильно разбавлена. Значение же
<р == 0,4 близко к значению для суспензии с плотной упаковкой частиц. Так, для
твердых сферических частиц предельное значение <р, соответствующее плотной
упаковке в неподвижной суспензии, равно 0,74, для движущейся суспензии оно
несколько меньше. В частности, в сильно сдвиrовом потоке <Ртах == 0,62.
8.4. СЕПАРАЦИЯ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Если плотность частиц (твердых или жидких) больше плотности OKpy
жающей их жидкости, то они движутся в ЖУ'дкости В направлении силы тяжести,
в противном случае частицы всплывают. В первом случае процесс называется
осажденим (седиментацией), а во втором флотацией. Оба процесса иrрают
важную роль в различных областях техники.
В настоящем разделе рассмотрим процесс седиментации. Будем считать,
что перенос частиц под действием силы тяжести превалирует над диффузион
ным потоком, направленным в противоположную сторону.
Свободное движение частицы в жидкости в rравитационном поле происхо
дит под действием разности сил тяжести и архимедовой силы
183
F;==(p pr)giV==m(1 P: )gi' (8.130)
rде Р и Р! плотности частицы и внешней жидкости; V объем частицы; т
масса частицы.
При р> Р! частица движется вниз (седиментация), а при Р < Р! вверх
(флотация). Заметим, что Р ; не зависит от формы частИЦЫ и ее ориентации в
пространстве.
С друrой стороны, на частицу действует сила сопротивления со стороны
жидкости. Скорость осаждения частицы устанавливается очень быстро. XapaK
терное время установления оценивается величиной а 2 / v, равной времени релак
сации вязкой силы. Так, для значений v 1 0 6 м 2 / с а 100 мкм время COCTaв
ляет примерно 1 0 2 с. Нас интересуют частицы малоrо размера, поэтому можно
считать их движение безынерционным и в качестве силы вязкоrо сопротивле
ния взять выражение
(Fi)v == {;] U j .
(8.131)
в безынерционном приближении уравнение движения частицы имеет вид
F i (F;)v == о (8.132)
или
r.Pj == т(l Р; )g,. (8.133)
Компоненты тензора (;j зависят от формы и ориентации частицы. Если
частица имеет сферическую форму, то fi] не зависит от ориентации частицы и
(8.133) можно переписать в виде
6л аи == 11tаз(р Pr) g, (8.134)
откуда следует известное выражение для скорости свободноrо осаждения сфе
рической твердой частицы в безrраничном объеме вязкой жидкости:
U==li!.. ( ..f.. l ) g. (8.135)
9 V Р!
Таким образом, скорость осаждения частицы сильно зависит от ее радиуса.
Число Рейнольдса, посчитанное по скорости осаждения,
Re== Uа ==li!.. ( ..f.. l ) g. (8.136)
V 9 v2 Р!
ДЛЯ значений v 10 6 м 2 /с, P/Pr 2 имеем Re 2(104a)3. Следовательно,
число Re < 1 для частиц с а < 75 мкм.
Аналоrично можно получить скорость осаждения сферической капли с
внутренней вязкостью J.!;, отличной от вязкости внешней жидкости Ile,
И 1 а 2 l1е +l1i ( Р 1 ) (8.137)
d зV; l1е +311,/2 Р! g.
в пределе ;/ e ----7 00 получим (8.135) скорость осаждения твердой час
тицы, а при ;/ e ----7 О И Р / Р! ----7 О получим скорость всплытия rазовоrо пузырька
1 а 2 ( )
и ь == g. 8.138
3 V e
184.
Если Число Рейнольдса частицы Re > 1, то сила сопротивления частицы
отличается от стоксовой и равна
F==0,Sf1ta 2 pl.P, (8.139)
rде f коэффициент сопротивления:
{ 24/Re при Re < 2,
f = 18,S/Re0.6 при 2 < Re < 500,
0,44 при Re > 500.
(8.140 )
Прираnнивая силу сопротивления архимедовой силе, получим
относителыю скорости частицы. Приближенное выражение для и
и JlAr
2ар(18 + 0,575 Ar O ,5) ,
v 8а З р 2 g
rде р и плотность и вязкость несущеи среды; Ar = 2 число Архи
v v pJl
меда; Ар разность плотностеи частицы и несущеи среды.
Рассмотрим теперь процесс седиментации в контейнере, содержащем cyc
пензию, в которой в начальный момент частицы однородно распределены по
объему (рис. 8.7, а) [35].
Частицы осаждаются на дно контейнера и через некоторое время в объеме
можно различить три области с четкими rраницами (рис. 8.7,6). Сверху pac
положен слой чистой жидкости, затем слой суспензии, причем верхняя rраница
этоrо слоя со временем движется вниз, и третий слой слой твердоrо осадка.
Через некоторое время 't все частицы выпадут из жидкости, суспензия полно
стью разделится на чистую жидкость и слой твердоrо осадка и процесс седи
ментации завершится установлением седиментационноrо равновесия (рис. 8.7, в).
rраницы между слоями характеризуются скачками плотности и называются
контактными разрывами. Определим скорости движения поверхностей разры
ва. Рассмотрим движение верхней rраницы BToporo слоя на рис. 8.7, 6. Обо
значим через u скорость движения rраницы (она направлена вниз). Как это
обычно делается в rидродинамике, выберем систему координат, связанную с
движущейся поверхностью. В этой системе координат поверхность разрыва
неподвижна. Будем обозначать значения параметров перед скачком (сверху)
индексом 1, а за скачком (внизу) индексом 2 (рис. 8.8, а).
Запишем условие сохранения твердой фазы на скачке
уравнение
имеет вид
(8.141)
а
{=о
б
о <t< 't
в
t ;;:: 't
....
r
; :: : .:; :: :
: ::{; \ :/; :
(.:\ ::':.(,:: :.::
!g
. :' ::> : ::':: ....:
:.'. : :: : :.': :::
. . .. :... .:..,:,,:
Начальное
состояние
Промежуточное
состояние
Конечное
состояние
Рнс. 8.7. Седнментацня в контейнере
185
б
Рис. 8.8. Контактный
разрыв
а
Q)
иJ
и
.. ......
+. :+ ..:." ...:+ .::." +.+:
.. .. ....::.... .. :: .. ....
.:-:: Р Ро . ":'
.....: :..........: :..:.....
. : :.:. :.: и lюt . .
",. .."
19
и.!
(j)
Р=Р т
Р1(и 1 и) Р2(U 2 и), (8.142)
r де Р плотность твердой фазы, т. е. массовая концентрация частиц (не путать
с плотностью самой частицы).
Обозначим через j == Ри поток твердой фазы относительно неподвижной
системы координат, например, стенок контейнера. Тоrда (8.142) перепишется в виде
U==(j2 jl)/(P2 PI)' (8.143)
Для предельно разбавленной суспензии можно положить U 1 == и 2 == и о , rде
и о скорость осаждения изолированной частицы, определяемой по формуле
(8.135), если частицы твердые. В начальный момент рассматриваемая поверх
ность разрыва совпадает со свободной rраницей суспензии. Обозначим скорость
rраницы в начальный момент времени через иtop' Очевидно, что при этом РI == О
И Р2 == Ро, rде Ро массовая концентрация твердой фазы в исходной суспензии.
Torдa из (8.142) находим
Utop == и о . (8.144)
Это очевидное соотношение, поскольку в начальный момент в бесконечно
разбавленной суспензии частицы осаждаются со стоксовой скоростью.
Совершенно аналоrично можно определить начальную скорость движения
поверхности разрыва нижнеrо слоя осадка (эта скорость направлена вверх)
(рис. 8.8, б). Для этоrо нужно в (8.143) положить РI Ро И Р2 == Рт, rде Рт
максимальная массовая плотность твердой фазы в осадке (это может быть плот
ность, соответствующая стационарной плотной упаковке частиц). Кроме Toro, на
этой поверхности j2 == О, поскольку за поверхностью разрыва нет потока частиц.
Таким образом, получим
poUo РО
Ubot == Рт РО == Рт Ро U top '
(8.145)
Знак «минус означает, что скорость направлена вверх. В дальнейшем
условимся считать скорость положительной, если ее направление совпадает с g.
Положение поверхностей разрыва можно схематично изобразить на плос
кости (Х, t), rде Х вертикальная координата, откладываемая от свободной
поверхности вниз (рис. 8.9).
На начальном этапе седиментации верхняя и нижняя поверхности разры
вов изменяются со временем по линейному закону
X top == Utopt,
XЬot == н Utopt.
(8.146)
186
Рис. 8.9. Положеиие поверхностей раз
рыва иа ПЛОCl(ости (х, t) при седимеи
тации без учета стесиенности движения
частиц
о
х
P O
в с
Р=Р т
::z::
А
Время установления равновесия 't можно оценить, приравнивая Хtop == Xbot,
откуда найдем
't= (1 : } (8.147)
Соответственно можно найти высоту установившеrося слоя осадка
h Н utop't H . (8.148)
Рт
Используя формулы (8.147) и (8.148), можно экспериментально определять
свойства сильно разбавленных суспензий, содержащих частицы одинаковых разм
ров (монодисперсная суспензия), такие как массовая концентрация и размеры час
тиц. Если в суспензии находятся частицы разноrо размера (полидисперсная суспен
зия), то, разбивая весь спектр размеров частиц от а mах до a min на конечное число
фракций, можно для каждой фракции провести изложенные выше рассуждения
и определить законы движения соответствующих поверхностей разрыва. Измеряя
в эксперименте скорости движения поверхностей разрыва, можно определить
характеристики каждой фракции и тем самым распределение частиц по размерам.
До сих пор исследование было оrраничено предельно разбавленной cyc
пензией. Перейдем теперь к рассмотрению случая, коrда концентрация частиц
не мала, так что скорость осаждения частицы уже нельзя определять по фор
муле (8.135), а нужно учитывать стесненность движения частицы. В этом
случае скорость должна зависеть от объемной концентрации частиц.
Движение частицы в жидкости с учетом взаимодействия с соседними ча
стицами называется стесненным. Для монодисперсной системы учитывать CTec
ненность необходимо начиная с объемных концентраций <р "" 0,15. В общем виде
скорость cTecHeHHoro осаждения частиЦЫ равна
u== UоС(<р),
(8.149)
rде U о скорость осаждения одиночной частицы, даваемая формулой (8.135),
а О < G (<р) < 1. Функция G (<р) характеризует замедление осаждения частицы
в условиях стесненности. Причем замедление частицы зависит только от объем
ной концентрации частиц в суспензии.
Существуют два подхода к определению функции G (<р) [36, 37]. Соrласно
первому, уменьшение скорости является следствием увеличения вязкости cyc
пензии с увеличением <р. Второй подход основан на моделировании суспензии
пористой средой, и сила сопротивления частицы определяется в процессе ее
движения в микроканалах пористой среды.
187
Широкое распространение получило следующее эмпирическое выражение
дЛЯ G(<p) [38]:
G(<p) == (1 <р)n,
(8.150)
rде п=4,7.
Посмотрим, к чему приводит учет зависимости скорости осаждения частиц
от объемной концентрации или, что то же, от массовой концентрации частиц р
в процессе седиментации суспензии.
Осаждение частиц приводит к увеличению их массовой концентрации р
внизу контейнера, которое распространяется наверх, поскольку частицы, попа
дающие в область больших значений р, осаждаются все медленнее и медленнее.
Распространение наверх изменения р можно рассматривать как движение по
верхности возмущения р.
Возвращаясь к схеме осаждения с поверхностями разрыва, можно показать,
что теперь на поверхности разрыва вместо условия (8.143) должно выполнять
ся условие
и(p)== : , j=pU(p). (8.150
Это условие получается из (8.143) путем предельноrо перехода j2 ----7 j" Р2 ----7 р,.
при условии непрерывности функции j(p) потока частиц, направленноrо вниз.
Подчеркнем, что теперь речь идет не о движении поверхности разрыва, а
о движении через жидкость возмущений массовой концентрации частиц р. Эти
возмущения называются концентрационными, или кинематическими, волнами.
Поскольку j(p), как правило, нелинейная функция р, то по аналоrии с теорией
течения сжимаемой невязкой жидкости кинематические волны аналоrичны вол
нам Римана. Известно [39], что распространение таких волн приводит к обра
зованию разрывов скачков.
Изменение массовой концентрации частиц р(х, t) описывается уравнением
неразрывности
др д]" О
дt+ дx ,
из KOToporo следует, что поверхности постоянной плотности
уравнения (8.152» распространяются наверх со скоростью
== и(p).
(8.152)
(характеристики
(8.153)
Поскольку вдоль характеристик р == const, то и u (р) == const. Следователь
но, характеристики на плоскости х, t являются прямыми. У равнение движения
наверх волны уплотнения имеет вид
х == н и(р) t.
(8.154)
На рис. 8.10 эти характеристики показаны пунктирными линиями. Диаr-
рамма на плоскости х, t несколько отличается от диаrpаммы для случая пре-
дельно разбавленной суспензии (см. рис. 8.9).
Соответственно волна разрежения, распространяющаяся вниз, дается выра-
жением
dx == и(р)
dt .
(8.155)
Исследование процесса седиментации с учетом стесненности проведено в [40],
поэтому детали анализа здесь при водить не будем. Отметим только ряд особен-
188
ностей. Одна из них состоит в
том, что поток j (р) == Р и (р) яв ::r::
ляется немонотонной функцией Р
(рис. 8.11). в области малых
значений Р (предельно разбавлен
ная суспензия) осаждение про
исходит быстро, затем Р увели
чивается при приближении к
основанию контейнера и j YMeHЬ
шается, падая почти до нуля возле слоя осадка. Дрyrой особенностью является
распространение наверх волны сжатия (увеличения р), что замедляет процесс
седиментации. Для Toro чтобы этоrо избежать на практике, в нижней части
контейнера нужно отбирать осевшую твердую фазу. Можно подобрать такую
скорость отбора, чтобы скорость распространения наверх концентрационной волны
была равна нулю. В этом случае поток j складывается из двух потоков
седиментационноrо и конвективноrо. Зависимость cYMMapHoro потока от р в этом
случае показана на рис. 8.12 [41].
В последнее время используется эффективный способ сепарации жидкости
от частиц в наклонном канале. Впервые увеличение скорости седиментации
частиц было показано в [42] применительно к осаждению частиц в крови. Этот
эффект называется эффектом Бойкота. Картина осаждения частиц показана на
рис. 8.13.
При осаждении в наклонном канале частицы оседают не только на дно
канала, как в вертикальном канале, но и на боковую стенку. Скорость осажде
ния определяется скоростью уменьшения высоты Н слоя суспензии. При осаж
дении над поверхностью суспензии образуется слой чистой жидкости шириной
мнOfО меньше шир:ины канала Ь. Большая часть этой жидкости накапливается
в верхней части. Образующийся наверху кинематический скачок движется с
большей вертикальной скоростью, чем стесненная скорость осаждения частиц и
в вертикальном канале. rидродинамический анализ rравитационной седимента
ции частиц в наклонном канале был проведен в [43]. Скорость изменения
межфазной поверхности, т. е. поверхности, разделяющей слой чистой жидкости
от слоя суспензии, равна
dH = U ( 1+ H cose ) . (8.156)
dt ь
Второе Слаrаемое в правой j
части (8.156) характеризует YBe
личение скорости седиментации за
счет наклона канала. Это увели
чение тем больше, чем меньше yrол
наклона е и ширина канала Ь.
Рис. 8.1О. Положение поверхностей
разрыва на ПJJОСКОСТИ (х, t) при ce
диментации с учетом стесненности
движения частиц
Рис. 8.11. Массовый поток при седимен
тации с учетом стесненностн движения
частиц
о
х
D
р==О
//
/ 1/// /....-
/ / Jr/
I /.""-
II/L. ......-
r
Р=Р т
А
't
I
Р
189
Отделение частиц от несущей
среды (сепарация) имеет большое
практическое применение в нефтя
ной и rазовой промышленности.
Перед подачей нефти и ПрИРОk
Horo rаза в нефте и rазопровоДЫ
необходимо предварительно OTдe
лить от нефти воду (обезвожива
ние) , а от rаза механические примеси, rазовый конденсат и воду. Эти процессы
производятся в специальных аппаратах отстойниках, сепараторах, мноrофазных
разделителях, в которых разделение фаз происходит под действием rpавитаци
онных, центробежных и друrих сил. Используемые методы при моделировании
процессов сепарации уrлеводородных систем изложены в работе [44].
В качестве примера рассмотрим процесс седиментации капель конденсата
в природном rазе, движущемся в rоризонтальном сепараторе, который будем
моделировать объемом прямоуrольноrо сечения длиной L и высотой D (этот
процесс будет подробно рассмотрен в разделе уо. На вход сепаратора посту
пает rаз, содержащий капли. Дисперсный состав смеси характеризуется распре
делением капель по радиусам по(а), объемное содержание капель в rазе
J
J max
J m1П
Рm1П
Рис. 8.12. Массовый поток при седи
ментации с отбором осевшей дисперс
ной фазы в нижней части контейнера
р
<1'0 = J 1t(2З по (а) da
о
мало, поэтому стесненностью в процессе осаждения капель можно пренебречь
везде, за исключением небольшой области, прилеrающей к нижней стенке сепа
ратора, на которой образуется слой осевшей жидкости.
Распределение по (а) можно рассматривать как распределение капель, KO
торое формируется в подводящем к сепаратору трубопроводе (см. рис. 14.1
раздела уо. Это распределение имеет вид лоrарифмически нормальноrо pac
пределения
Чистая жидкость
--::--
"----
:t:
190
(8.157)
1.
по(а) = n.а! Х
аа (8.158)
х exp( ]П2 а1) }
rде n* =3<1'0 ехр ( 2,S(J2)/41t..fiit а: у ;
а! = аауехр ( O,S<Y); (J дисперсия
распределения, равная O,4 O,S;
аау средний радиус капель, об
разующихся в турбу лентном по
токе в трубопроводе:
аау = 0,12d( J/7 Wе З/7. (8.159)
Рис. 8.13. Седиментация в иаклониом
канале
Здесь d диаметр трубы, PG и PL плотности rаза и конденсата, We ==
== PGuld/'f. число Вебера, Ut скорость потока rаза в трубопроводе, 'f. KO
эффициент поверхностноrо натяжения капель.
Рассмотрим теперь rравитационное осаждение капель в сепараторе. BBe
дем параметр, называемый коэффициентом эффективности и равный отношению
объема дисперсной фазы, выпавшей из потока rаза на длине сепаратора, к
объему, содержащемуся в потоке на входе:
QmD
q>, 1 f f 4м3no(а) d
Т} а
q>o Зq>о'
о Уа
(8.160)
rде а т минимальный радиус осевших капель, т. е. такой радиус капель, что
на выходе не содержится капель большеrо радиуса; уо == UL/u высота во
входном сечении, с которой на ДЛИНе сепаратора выпадают капли радиуса а;
и скорость осаждения капли, определяемая формулой (8.141); u скорость
rаза в сепараторе. Очевидно, что уо (а т ) == D.
Рассматривая траектории капель, можно показать, что
а "" а ( 1 + 0,28 '/4 )
т тс 2+0,42 '/4'
rде атс == (9Il G Du/2ilpgL)1/2; u средняя поступательная скорость rаза в сепа
раторе; == u 3 D 3 PbIIlGilpgL3.
Подставляя соотношения (8.158) и (8.161) в (8.160), получим
11 == 1 exp( 3a2) Z f m Z2 ( 1 'tz 2 ) exp ( ]n2(z/z,) } dZ,
.J2iё cr 1 + 0032 Ar'/2 z3/2 2а 2
О ,av
(8.161)
(8.162)
rде Z == а/ a,v; z, == а,/ a,v; 'с == zи,v/uD; и,v == 2g ilp aivl9/lG; Ar,v == 8a vPG ilpg /Ilb;
zm == а т / a,v'
Выражение (8.162) дает зависимость эффективности сепарации rазокон
денсатной смеси в сепараторе от параметров аппарата и подводящеrо трубопро
вода, расхода rаза, давления и температуры, а также от физико химических
свойств фаз, определяемых их компонентным составом.
На рис. 5.2.2 раздела УI показ ша зависимость коэффициента эффектив
ности сепаратора 11 от расхода rаза и от диаметра подводящеro трубопровода d.
Увеличение расхода rаза, а также уменьшение диаметра трубопровода при
прочих равных условиях приводят к уменьшению эффективности сепарации,
поскольку уменьшается средний радиус капель в трубопроводе и уменьшается
время пребывания смеси в сепараторе.
8.5. СЕПАРАЦИЯ В ПОЛЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ
В предыдущем разделе был рассмотрен метод rравитационной седимента
ции, который применяется для отделения от жидкости относительно больших
частиц. Особенностью процесса является пренебрежимо малый диффузионный
поток и наличие четкой rраницы между чистой жидкостью, суспензией и TBep
дым осадком.
Однако, если размер частиц оче»ь мал, то диффузия может доминировать
над rравитационным осаждением. Можно сказать, что диффузия обратно про
порциональна массе частиц, в то время как rравитационное осаждение пропор
191
ционально массе. Перенос массы в процессе диффузии не приводит к появ
лению скачков плотности. Из сказанноrо следует, что для очень маленьких
частиц rравитационная седиментация происходит очень медленно и неэффек
тивна. Более эффективным методом отделения от жидкости таких частиц яв
ляется способ центрифуrирования [45]. Этот метод заключается в интенсивном
вращении суспензии, в результате чеrо на частицы действуют большие цeHTpo
бежные силы, равные m00 2 r, которые заставляют их двиrаться относительно
жидкости. Поскольку сила растет с увеличением расстояния r от оси вращения,
то частица под действием этой силы не достиrнет постоянной скорости, как в
rравитационном поле. Скорость частицы в направлении радиуса называется
скоростью дрейфа, или миrрации, частицы. При вращении жидкости возникает
радиальный rрадиент давления, который служит движущей СИЛОй диффузии
частиц.
Рассмотрим вращение жидкости с постоянной уrловой скоростью 00. OTHO
сительно системы координат, связанной с вращающейся жидкостью, жидкость
покоится. Если частицы движутся вместе с жидкостью с той же уrловой CKO
ростью, то на них действует центробежная сила (rравитационной силой прене
бреrаем). Тоrда частица отбрасывается на периферию, если р> Pr, и к оси
вращения, если Р < Pr. Приравнивая силу инерции силе сопротивления, получим
скорость радиальноrо дрейфа частицы
U , == т 1 r (1 Р; ). (8.163)
rде f средний коэффициент вязкоrо трения.
eTOД центрифуrирования часто используется в биолоrии для отделения
макромолекул в физиолоrических растворах и называется ультрацентрифуrи
рованием. Часто вместо плотности частиц (макромолекул) Р используется удель
ный объем макромолекул v == aV /дт. Тоrда v == l/р, а вместо скорости U ,
вводят параметр
и , т(1 vPr)
s
ю 2 r l'
называемый седиментационным коэффициентом. Типичные значения s в про
цессе ультрацентрифуrирования растворов лежат в интервале от 15 до 1005,
rде 15 == 10 13 с единица измерения s, называемая Сведберrом. Современные
ультрацентрифуrи характеризуются большими значениями уrловых скоростей
(до 70000 об/мин), при которых достиrаются orpoMHbIe ускорения.
В принципе картина изменения концентрации макромолекул или коллоид
ных частиц по радиусу в центрифуrе примерно такая же, как распределение в
контейнере по высоте при rравитационной седиментации.
Рассмотрим процесс центрифуrирования смеси в центрифуrе, изображен
ной на рис. 8.14 [35, 45, 46]. Имеются следующие поверхности: 1) свободная
поверхность r == r т, разделяющая очищенную жидкость (растворитель) и воздух;
2) кинематический разрыв r == r* поверхность, разделяющая растворитель и
смесь; 3) кинематический разрыв r == rb поверхность, разделяющая смесь и
слой осадка на внешней стенке центрифуrи. Рассматриваемый цилиндрический
сектор заполненный бинарной смесью, вращается как целое с уrловой CKO
ростью 00. Введем цилиндрическую систему координат, связанную с вращаю
щейся смесью. Тоrда относительно этой системы координат движение paCTBO
peHHoro вещества происходит в радиальном направлении и все параметры смеси
зависят только от r и t. Обозначим, как и раньше, через р массовую KOHцeHT
(8.164)
192
(j)
,=0
Верх сосуда
'ь
Кинематические
скачки
Рис. 8.14. Разделеиие смеси в цеитрифуrе
,*
Поверхность
рацию pacTBopeHHoro вещества. Уравнение неразрывности в движущейся сис
теме координат имеет вид
: == + :r (r( D psr02r )} (8.165)
В литературе, посвященной процессам центрифуrирования, это уравнение
называется уравнением Лемма.
Если смесь представляет собой предельно разбавленный раствор, то D и
s не зависят от р и являются постоянными. В этом случае уравнение (8.165)
сводится к
др == D l.. ( r aP ) S0:i2 l..(pr2). (8.166)
at r ar ar r ar
В начальный момент смесь представляет собой однородный раствор, поэто
му начальное условие имеет вид
p==po(rт<r<rb) при t==O. (8.167)
в качестве rраничных условий следует взять условия отсутствия потока
pacTBopeHHoro вещества на свободной поверхности и на боковой стенке цeHT
рифyrи
D( 1=r.. sr02rтpт == О,
D( 1=rь sr02rbpb == О.
Если бы мы прене6реrли диффузией, то картина распределения р по радиу
су была бы подобна распределению р по высоте контейнера при rравитацион
ной седиментации. В частности, имели бы место волны резкоro изменения р
(кинематические скачки): одна волна, отделяющая слой чистоrо растворителя
от смеси, перемещалась бы к стенке центрифуrи а друrая, отделяющая слой
смеси от слоя осадка, к оси центрифуrи. Но даже в этом случае имелось бы
13 1461 193
(8.168)
принципиальное отличие от rравитационной седиментации. Оно состоит в том,
что концентрация частиц одинаковоrо размера в слое смеси не остается по
стоянной, как в rравитационной седиментации, а уменьшается со временем из
за Toro, что с увеличением r линейно с r увеличивается площадь поперечноrо
сечения, а следовательно, и объем. Этот эффект называется радиальным разбав
лением смеси.
Поскольку смесь может содержать частицы различноrо размера, то pac
смотрим сначала частицы достаточно большие, чтобы можно было пренебречь их
переносом за счет диффузии. Учтем также стесненность движения частиц.
Torдa s = s (р) и уравнение (8.165) примет вид
др ,." d(sp) др 2 ,." (8 169)
дt + rш-- dP dr рsш--. .
Для этоrо уравнения условий (8.168) слишком MHoro. Поэтому в качестве
rраничноrо условия возьмем первое из этих условий, а начальным условием
будет (8.167).
Уравнение (8.169) решаем методом характеристик. Для этоrо рассмотрим
выражение
dp =: dt + dr. (8.170)
Исключая из (8.169) и (8.170) ap/ar, получим
rr02d(ps) + 2r02psdr =: (rr02 d :) dt dr )-
Это уравнение выполняется при
dr =: rro2 d(sp) dp + 2(J)2psdt =: О (8.171)
dt dp , .
Первое уравнение (8.171) является характеристикой в плоскости r, t, вдоль
которой должно выполняться второе условие (8.171).
Для простоты оrpаничимся рассмотрением предельно разбавленной смеси,
для которой s = So = const. Тоrда (8.171) сводятся к уравнениям
dr =: r(J)2s d P + 2ro 2 p s dt = О (8.172)
dt о, о,
решение которых нетрудно получить:
р =: Ce 2S0r02t, pr 2 =: d,
rде С и d постоянные интеrрирования.
Таким образом, вдоль характеристики
pr 2 =: r2e 2sor02t =: 11 =: const,
(8.173)
(8.174)
причем соrласно первому уравнению (8.173) р = р(О. Это означает, что реше
ние уравнения (8.169) при s = So можно искать в виде р = g(Т}) (О. Подставляя
во второе уравнение (8.171), получаем уравнение для (
(' = 2o-r so(, (8.175)
откуда находим
( =: e 2S0r02t.
Таким образом, общее решение имеет вид
р =: 9 (r2e 2S0m2t) e 2S0m2t.
(8.176)
194
Воспользуемся теперь начальным (8.167) и первым rраничным условием
(8.168) при D = О
р = о при У т у < У.., t> О,
Р = poe 2sor02t при У.. < У Уь, t> О. (8.177)
Поверхность у = У* является поверхностью кинематическоrо скачка. Закон
движения этой поверхности определяется первым уравнением (8.173), решение
KOToporo имеет вид
у*(О::: Ymesor02t. (8.178)
Распределение концентраций по у в случае отсутствия диффузии показано
на рис. 8.15.
Выражение (8.178) можно представить в виде
lп у* = lп Ут + ООЧ50' (8.179)
Линейная зависимость (8.179) удобна для определения коэффициента седи
ментации 50 по измерениям движения поверхности скачка у*(О в процессе
эксперимента.
Из (8.177) и (8.178) следует, что
Р T
= или ру';::: const.
Ро r:;
Перейдем теперь к случаю, коrда учитывается диффузия частиц. Оrрани
чимся случаем D = const и 5 = const. Для решения уравнения (8.166) введем
новые переменные
(8.180)
1t = e2sor02t, 't::: 2500Ч, = In ( .!.... ) 2.
Ро Т т
В новых переменных уравнение (8.166) преобразуется к виду
;т + ;т = e д 2 х
д-t д PeD 2 .
Здесь введено диффузионное число Пекле
(8.181)
(8.182)
Ре D = sWr = UrT m
D D
Решение уравнения (8.182) представляет значительные математические
трудности. Поэтому поступим так же, как в разделе 6.4 при решении диф
Фузионной задачи обратноrо осмоса. Рассмотрим решение при значениях У,
близких кут, т. е. оrраничимся областью, прилеrающей к свободной поверхно
сти. Это ОЗначает что paCCMaT
ривается начальная стадия про
цесса. Тоrда можно положить
e '" 1 и ть/ r т = 00 И уравнение
(8.182) ведется к
д1t + дn = д 2 х (8.184)
д-t д PeD д 2 .
(8.183)
t 1
р
РО
t o
t 2
Поверхности
разрыва
Рис. 8.15. Распределеиие коицеитра
ции частиц по радиусу в цеитрифуrе
13*
'т
'* (t 1 )
,*(t2)
195
Начальное условие (8.167) перейдет в
7t == 1 при 't == О, О < < 00.
(8.185)
в качестве rраничных условий возьмем условие на свободной поверхности
1д1t
X== при ==o, 't> О (8.186)
PeD д
и условие оrраниченности 7t на бесконечности при 00.
Сформулированная краевая задача имеет аналитическое решение [45], однако
оно rpомоздко и здесь не приводится. Отметим только, что необходимым yc
ловием paccMoTpeHHoro приближения является PeD» 1, в противном случае
нельзя формулировать условие на бесконечности. При центрифyrировании xa
рактерные значения числа Пекле равны 102 103, поэтому сделанное допущение
оправдано. Друrое предположение было о малости времени. Время входит в
число Струхаля
St == == (8.187)
oY-st Urt '
поэтому необходимо выполнение условия St» 1. Для характерных значений
s '" 1 0 13 с, ro '" 5000 с это неравенство выполняется для времен t» 4 . 1 аз с '" 1 час.
Поскольку центрифуrирование длится часами, то и это предположение допус
тимо.
Использование центробежных сил нашло широкое применение в процессе
сепарации rазоконденсатных уrлеводородныХ смесей. В предыдущем разделе
был рассмотрен процесс сепарации в rравитационном поле. Однако он имеет
небольшую эффективность, особенно при больших расходах rаза. Для увели
чения эффективности сепарации сепараторы оборудуют специальными устрой
ствами, которые способны улавливать капли, не осевшие в rpавитационной oca
дительной секции [44]. В качестве таких устройств используют центробежные
патрубки (циклоны), представляющие собой вертикальные цилиндры, в которых
поток rаза, содержащий мелкие капли, закручивается на входе. По способу
закрутки циклоны делятся на осевые, в которых поток закручивается при об
текании установленноrо на входе завихрителя, и на танrенциальные, в которых
поток поступает в полость цилиндра через танrенциальные прорези в стенках.
В циклонах первоrо типа скорость закрутки потока можно реryлировать по
закону uч> == Cr k , rде r радиус, откладываемый от оси циклона. При k == 1
поток закручивается по закону постоянства циркуляции (потенциальное враще
ние), при k == О обеспечивается постоянство уrла закрутки по радиусу, а при
k == 1 закрутка осуществляется по закону твердоrо тела (квазитвердое враще
ние).
В работе [44] теоретически исследовано влияние законов закручивания
потока на эффективность сепарации rазоконденсатных смесей, а также paCCMOT
рены методы расчетов сепараторов, оборудованных циклонами. Подробный aHa
лиз этих процессов содержится в разделе 6.2.
9
СУСПЕНЗИИ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ
ЧАСТИЦЫ
9.1. ЗАРЯД ЧАсmц
Большинство частиц при КОнтакте с полярной жидкостью приобретают
поверхностный заряд, приводящий к скачку потенциала в тонком поверхностном
слое потенциалу. Определим связь между зарядом частицы q и потенциа
лом. Для этоrо нужно воспользоваться условием сохранения заряда, ypaBHe
нием Пуассона и условием, что q должно быть равно и противоположно по
знаку суммарному заряду двойноrо электрическоrо слоя.
Рассмотрим пример Taкoro расчета [35] для сферически симметричноrо
диффузионноrо двойноrо слоя, образующеrося на непроводящей сферической
частице радиуса а. В сферическом двойном слое толщины dr содержится заряд
dq==41trp E dr, (9.1)
rде РЕ объемная плотность заряда; r расстояние от центра частицы до
рассматриваемоrо слоя.
Подставляя в (9.1)
значение РЕ из уравнения Пуассона
Р Е :::: e ( r2 дФ )
r 2 ar ar
получим полный заряд двойноrо слоя
(9.2)
и интеrрируя по r,
q:::: f 41te ( r2 дФ ) dr.
ar ar
о
(9.3)
Используя условие dф/dr о при r 00, из (9.3) найдем
q:::: 41tW2( ),=0'
Будем рассматривать q как заряд частицы. Поскольку частица непрово
дящая, то весь заряд частицы распределен по поверхности. Введем поверхност
ную плотность заряда qs соотношением
(9.4)
q :::: 41ta 2 qs.
Тоrда из (9.4) и (9.5) следует, что
qs :::: e ( ) .
r=a
(9.5)
(9.6)
Таким образом, qs связано с распределением Ф в двойном слое. В случае
TOHKoro двойноrо слоя под r пони мается координата, направленная по нормали
к поверхности. В приближении Дебая Хюккеля имеем
r; :r (r2 : ) = лt . (9.7)
197
Введем == rф. Torдa (9.7) преобразуется к уравнению
d2
dr 2 л.ъ .
Это уравнение совпадает с (7.67) раздела 111. Решение, удовлетворяющее
условию Ф о при r 00, имеет вид
Ф = l!. e T Л.D
r .
(9.8)
(9.9)
Постоянную А находим из условия, что на поверхности частицы r == а
(фактически на плоскости Штерна) Ф == :
А == а еа/ЛD. (9.10)
Подставляя (9.10) в (9.9), получим
( д Ф ) == ( J..+ ) . (9.11)
д, т=а а л.D
Теперь из (9.6) получим
qs = e ( + л ).
(9.12)
а из (9.5)
= q
4ХЕа (1+а/л.D)
(9.13)
или
q q (9.14)
41t€a 41t€(а+л.D)'
Таким образом, потенциал представляет собой сумму двух потенциалов:
один обусловлен зарядом q на поверхности сферы радиуса а, а второй заря
дом q на концентрической сфере радиуса а+ л.D' Друrими словами, потен
циал равен разности потенциалов на двух одинаково, но противоположно заря
женных концентрических сферах, отстоящих на расстоянии л.D'
ИЗ (9.12) следует, что для тонкоro дебаевскоrо слоя л.D« а
qs == е /л.D'
(9.15)
В различных задачах используют приближения постоянства потенциала
поверхности частицы или постоянства поверхностноrо заряда. Для заряженных
смесей электролита полаrают qs = const, а в задачах коллоидной химии, в KOTO
рых поверхностный заряд коллоидов может изменяться, полаrают == const.
9.2. ЭЛЕКТРОФОРЕЗ
Рассмотрим электрофоретическое движение заряженной сферической час
тицы радиуса а, помещенной в раствор электролита, под действием приложен
Horo электрическоrо поля (рис. 9.0.
Рассмотрим сначала предельный случай а «л.D. В этом случае частицу
можно рассматривать как точечный заряд, помещенный в невозмущенное элект
рическое поле Е Х' Приравнивая электрическую силу точечноrо заряда силе
вязкоrо сопротивления частицы, найдем
qEx == 6ЩlаU.
(9.16)
198
Рис. 9.1. Электрофоретическое движеиие частицы
Подставляя сюда вместо q выражение
(9.13), получаем
u=з' Е(1+а/л.D)Ех ",3. EEx (9.17)
3 J.1 3 J.1 .
Полученное выражение для скорости
электрофореза частицы, размер которой мал
по сравнению с толщиной дебаевскоrо слоя,
называется уравнением Хюккеля.
Иноrда вместо скорости электрофореза
частицы вводят ее подвижность
и 2 E
b= "'
Ех 3 J.1 .
(9.18)
Ех
..
Рассмотрим теперь друrой предельный
случай: л'D« а. Этот случай чаще Bcero
реализуется для дисперсных систем. В частности, для коллоидных систем а О, 1
1 мкм И при л'D 1 О нм имеем л'D / а 1 0 1 1 0 2. В этом случае кривизной
частицы можно пренебречь и рассматривать диффузионный двойной слой как
слой на плоской поверхности, т. е. рассматривать задачу как локально плоскую.
В этом приближении электрическое поле в двойном слое параллельно поверх
ности, поскольку частица диэлектрик. Движение заряженных ионов в двой
ном слое можно рассматривать как электроосмотическое движение вдоль по
верхности так же, как в разделе 7.5. Из (7.72) следует, что
е<рЕ х = JlU + const, (9.19)
rде U скорость течения жидкости вдоль поверхности частицы; Ех напря
женность электрическоrо поля, параллельная поверхности.
Из rраничных условий Ф = О, U = О на внешней rранице двойноrо слоя и
Ф = , U = и на поверхности частицы из (9.19) находим
и = eEx/Jl. (9.20)
Это уравнение rельмrольца Смолуховскоrо. Следовательно, по величине
скорость электрофореза при л'D« а совпадает со скоростью электроосмоса, что
и следовало ожидать, поскольку электрофорез явление, обратное электроос
мосу.
Сравнение (9.20) с (9. 17) показывает, что скорости электрофореза для
двух предельных случаев отличаются друr от друrа на коэффициент 2/3.
Рассмотрим теперь случай конечной толщины двойноrо слоя л'D' При этом
нужно выделить три эффекта [47, 48], блаrодаря которым скорость электрофо
реза будет отличаться от уравнений Хюккеля (9.17) и rельмrольца Смолу
XOBCKoro (9.20): электрофоретическая ретардация (запаздывание); поверхност
ная проводимость; релаксация. Рассмотрим их последовательно.
Электрофоретическая ретардация состоит в том, что ионы в двойном слое
движутся в направлении, противоположном движению частицы. Блаrодаря силам
Бязкоrо трения они индуцируют электроосмотическое движение жидкости, KO
торое препятствует движению частицы. Следуя исследованию [48], рассмотрим
электрофоретическое движение частицы, считая что двойной слой остается
сферическим в процессе движения частицы и потенциал поверхности достаточ
199
но мал, так что справедливо приближение Дебая Хюккеля. Движение счита
ется безынерционным. Введем систему координат, движущуюся со скоростью U
частицы, так что в выбранной системе координат частица неподвижна, а на
бесконечности скорость потока равна U (рис. 9.2).
Электрическое поле является суперпозицией внешнеrо поля <р и поля "',
создаваемоrо непроводящей заряженной сферой, причем Е == Vф. Для BHellIНe
ro поля имеем
V<p==O
(9.20
с rраничными условиями
<р == Exr cos е при r 00,
= О при r = а. (9.22)
Второе условие (9.22) равенство нулю нормальной составляющей силы
тока на поверхности диэлектрика.
Решение уравнения (9.21) с условиями (9.22) имеет вид
Ф == Ex (т + }ose. (9.23)
Потенциал в двойном слое удовлетворяет уравнению Пуассона, поэтому
возмущение электрическоrо поля '" удовлетворяет уравнению
il", = РЕ je. (9.24)
В приближении Дебая Хюккеля '" равно (см. (9.9) и (9.10»
'" = (; )е (r аИD. (9.25)
Для определения поля скоростей нужно воспользоваться уравнениями
Стокса
V. и==О; Jlilu+Vp= PEV(<P+"'),
причем в соответствии с (9.24) РЕ == e il",.
rраничными условиями служат
Ur= Ucose, ив= Usine, ",=0 при r oo,
и , == ив = О, '" == о при r == а.
(9.26)
(9.27)
и
Рис. 9.2. Электрофорез при коиечиых зиачеииях ЛD/ а
200
Решение уравнений (9.26) с условиями (9.27) можно получить так же, как
при решении задачи о стоксовом обтекании сферы. В результате находим
распределение скоростей и давления на поверхности сферы и касательное Ha
пряжение 't rx на сфере. Тоrда rидродинамическая сила, действующая на сферу,
равна
"
2м2 J 't rx sin е de.
о
С дрyrой стороны, на сферу действует электрическая сила, обусловленная
зарядом q поверхности (см. (9.4», равная
qEx == 4пfЛ2( )=аЕх.
Здесь учтено, что (дф/дr)r а == О (см. (9.22».
Поскольку в выбранной системе координат частица покоится, то сумма сил
равна нулю. Опуская промежуточные выкладки, запишем итоrовый результат
этоrо условия
6.IШИ + 6л1;еЕ,а( 1 + 5а' 1 ,;. dr 2а' 1 ,;. dr ) = О. (9.28)
Подставляя сюда значение", из (9.25) и производя интеrpирование, получим
и == 3. t;,EEx ( а) (9.29)
311'
rде а == а/Ай обратный дебаевский радиус, а
{(а) == 1 ...!.. а 2 аЗ ....!.... а4 + 1. а 4еа ( 1 а,2 )J a e t dt.
16 48 96 8 12 t
Это уравнение называется уравнением rенри. в случаях а 00 и а О по
лучаются решения rельмrольца Смолуховскоrо (А й « а) и Хюккеля (Ай» а).
Функция {(а) монотонно растет от 1 до 3/2 с увеличением а (рис. 9.3).
Рассмотрим теперь второй эффект, который называется поверхностной
проводимостью [49]. Поскольку рассматривается конечная толщина двойноrо
слоя, то вблизи поверхности частицы имеется область, в которой отсутствует
нейтральность раствора и в которой имеется избыток противоионов по cpaвHe
нию с толщей раствора. Большая концентрация противоионов приводит к появ
лению слоя повышенной элект
ропроводности, за счет чеrо сни f(a)
жается напряженность электри
ческоro поля. Оценим этот эффект
при условии Ай / а« 1. Примем 1,5
следующую модель. BOKpyr по
верхности сферической частицы
имеется тонкая сферическая обо
Рис. 9.3. поправочIIый коэффициеш {(а,)
в выражении для скорости электро-
фореза
1,0
0,1
1,0
10
100 а =a.IJ... D
201
лочка с проводимостью <f.. Вне двойноrо слоя проводймость (Jb равна прово
димости электролита. Электрический потенциал удовлетворяет уравнению Лап
ласа, решение которото в слоистой области имеет следующий вид:
{ Ех(Т + Ar 3 ) cose в жидкости,
ф==
Ех(ВТ+ з ) cos8 в двойном слое.
(9.30)
ПОС1'оянные А, В, С находя1'СЯ из rраничных условий непрерывности Ф и
(J V Ф на частице (Т = а) и на внешней rранице двойноrо слоя (Т = а + 8), r де о
толщина оболочки. Б ИТОrе получим
2(а + 0)3(crb O ,) + а 3 (оь + 2<fs)
(а + 5)3 2(а + 5)3 (2оь + <fs) + 2а 3 (оь <fs) . (9.31)
Обозначим в (9.31) (J O::::: (Js (поверхностная проводимость) и будем счи
тать, что о/а« 1. Torдa (9.30 можно упростить и найти
А == Оь 20 s / а . (9.32)
2 (оь 20 , / а)
Б пределе 8/ а О в (9.30) на поверхности вмесТО r можно положить
Т::::: а. В ИТОrе получим
ф = (1 + А)Еха cos 8.
(9.33)
Если не учитывать поверхностную проводимость , то А = 1 /2 й
Ф == Exacos8,
2
что совпадает с (9.23) для электрофоретической ретардацИи. СравшlВая (9.33)
с (9.34), получаем, что если вместо Ех ввести новое эффективное поле
E. ff = 2( 1 + А) Ех/3, то скорость электрофореза будет совпадать с (9.29), поэтому
и = eEx ((а). (9.35)
311(1 + Os/Oba)
Последний эффект, называемый релаксацией [50], связан с деформацией
двойноrо слоя за счет движения ионов в направлении, противоположном дви
жению частицы (рис. 9.4).
Движение ионов стремится как бы оторвать двойной слой от частицы, так
что центр двойноrо слоя лежит за центром частицы. Слово релаксация озна
чает, что для восстановленИЯ двойно
то слоя за счет миrpации и диффу
зии ионов требуется конечное время.
Для предельных случаев боль
ших и малых значений л'D/ а влия
нием ЭТОrО эффекта можно прене
бречь.
(9.34)
""..,...---- .................
.,/ + ........
// + + "
'\
/ ++ + + + \
++ + \
+ + +/
\ +- + + + + + /
\ + + /
" /'
......... .,/
""'-.................. .."."".
Ех
..
Рис. 9.4.. ЭффеК'J реJlаI'сации
202
9.3. ДВИЖЕНИЕ КАПЛИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Рассмотрим движение капли в растворе электролита под действием при
ложеННОrО электрическоrо поля [51]. Будем предполаrать, что толщина двой
НОто электрическоrо слоя мала по сравнению с радиусом капли (ЛD« а), капля
идеально поляризуема, т. е. на поверхности капли не происходит разряд или
образование ионов, так что ток через каплю не протекает. Кроме тото, считаем,
что капля имеет сферическую форму. В разделе V будет показано, что капля
под действием внешнеrо электрическоrо поля может деформироваться, вытяrи
ваясь вдоль направления напряженности поля и принимая форму эллипсоида.
Подобное предположение справедливо, если напряженность внешнеrО поля не
превосходит некоторото критическоrо значения. Потенциал электрическоrо поля
описывается уравнением Пуассона (9.24)
Аф == PE /е. (9.36)
Вдали от капли Ф == Е r cos 8 совпадает с потенциалом приложеННоrо поля,
а на поверхности Ф == фw (для удобства в дальнейшем возьмем ето за нуль
потенциал, т. е. Ф == о при r == а).
Рассмотрим сначала случай, котда про водим ость капли мното больше
проводимости раствора, что справедливо, например, для жидкометаллическоii:
капли или капли пластовой воды в нефти. Обозначим через Аф == фо фр раз
ность потенциалов между каплей и раствором. Состояние поверхностноrо слоя,
а значит, и поверхностноrо натяжения L на rранице капля раствор однознач
но определяется величиной Аф. При движении капли ионы в двойном слое
смещаются к кормовой части капли, тем самым Аф изменяется вдоль поверхно
сти капли. Изменяется также и L. На поверхности капли появляется дополни
тельная танrенциальная сила, равная Ft == V 8 L rрадиенту по направлению
касательной к поверхности. Поверхностное натяжение L связано со скачком
потенциала Аф и поверхностным зарядом капли q.. т. е. зарядом единицы
поверхности подвижной части двойноrо слоя, уравнением Липпмана rельм
rольца
д
д (ilф) == q s.
Поскольку L==L(8) и dL== (dL/d8)d8== (дL/д(АФ»(д(Аф)/д8)d8, то
(9.37)
е 8
I д д(Llф) I д(ilФ)
L(8) L"/2 + д(Llф) де d8 L"/2 qs де d8,
,,/2 ,,/2
тде L,,/2 значение L на экваторе капли.
Если приложенное поле мало, то оно слабо влияет на q.. поэтому qs можно
считать не зависящим от е и
L(8) == L,,/2 qsАф.
(9.38)
Наличие изменяющеrося с 8 поверхностноrо натяжения приводит к появ
лению на поверхности капли нормальноrо 't ) == Р п и касатеЛЬНОrО 't ) == F;
напряжений, причем
F. == 2 == 2 "/2 2q s ilф
n а а а'
(9.39)
( 1 д(ilф)
F; == V 8 L == qsV8 Аф) == qs -;iдi)""
(9.40)
203
Вне двойноrо слоя раствор электронейтрален, поэтому там потенциал удов-
летворяет уравнению Лапласа
Аф == О. (9.41)
fраничным условием для Hero является условие вдали от капли
<p Ercose при T OO. (9.42)
Осталось сформулировать условие на rранице раствор двойной слой
(т == а + л.D)' Под действием внешнеrо поля ионы в двойном слое приходят
в движение со скоростью и по направлению касательной к поверхности капли.
Это движение приводит к появлению поверхностноrо конвективноrо тока
плотности i. == q. и&. Поскольку Uf} изменяется вдоль поверхности капли, то
V e . (q.Ue)"# О. Из закона сохранения заряда на rранице раствор двойной
слой следует, что
дф
а ь ar == V e . (q.u e ),
(9.43)
rде аь электропроводность раствора.
Физический смысл условия (9.43) состоит в том, что конвективный пере
нос ионов в двойном слое равен потоку ионов через внешнюю rраницу двой
HOrO слоя. Заметим, что условие (9.43) записано в предположении идеально
поляризуемой капли. Если капля неидеально поляризуема, то ионы MOryт раз
ряжаться и образовываться на поверхности капли, т. е. между каплей и внеш.
ней средой может происходить обмен ионами. В этом случае через поверхность
капли может происходить обмен ионами, т. е. через поверхность капли может
протекать ток, плотность KOToporo нужно добавить в правую часть (9.43).
Таким образом, условие (9.43) является вторым rраничным условием для ре-
шения уравнения (9.41).
Перейдем теперь к формулировке rидродинамической задачи. Движение
капли считаем безынерционным. Введем систему координат, движущуюся с
каплей. Тоrда в силу сферической симметрии задача аналоrична задаче о CTOK
совом обтекании жидкой капли. В сферической системе координат система
уравнений, описывающая течение внутри и вне капли, имеет вид
( д2и , + д 2 u,. + ди , + ctge дu,. 2. дие 2u,. 2ctge и& ) == др
ar 2 r 2 де 2 r ar r 2 ае r 2 ае r 2 r 2 ar '
( а2и& 1 а2ив 2 аив ctg е аие 2 ди , ив ) 1 ар
ar 2 +;2 ае 2 + -;д;'" + 7дё +;2дё r 2 sin 2 е == -; ае '
аu,. +1. аие + 2и, + ив ctg е == о.
ar r де r r
(9.44)
(9.45)
(9.46)
Здесь (9.44) и (9.45) уравнения движения, а (9.46) уравнение не-
разрывности как для внешнеrо, так и для BHyтpeHHero течений жидкости.
В дальнейшем параметры течения внутри капли будем обозначать штрихом
наверху.
fраничными условиями для уравнений (9.44) (9.46) являются условия
вдали от капли
и , и cos е, и& u sin е при r 00,
(9.47)
условия конечности и; и и в центре капли и равенства скоростей и напряжений
на поверхности капли
204
И r = и; = О, Ив = и при т= а, (9.48)
't ) + 't ) = 't;"', 't ) + 't ) = t're. (9.49)
Здесь через 't(w) и t(I;) обозначены вязкие и капиллярные напряжения (по
верхностное натяжение), причем
t (v) :: p + 2 11 дVr 't (v) 11 ( 1 ди т + див ив )
rr t" дт' тв t" r де дТ --;:-- .
Таким образом, задача сводится к решению rидродинамических и электро
динамических уравнений с соответствующими rраничными условиями. Опуская
длинные выкладки, приведем окончательные результаты для потенциала элект
рическоrо поля
(9.50)
ф = Е cos е ( Т + ( .!. qsU ) аЗ )
2 2 аьЕа т 2
И скорости движения капли
(9.51)
и = qsEa (9.52)
211 + 311' + q'f /оь
Из формулы (9.51) следует, что наибольшая разность потенциалов на
поверхности неподвижной капли равна Афо = 3Еа. Если ввести подвижность Ь
капли радиуса а = 1, то
Ь :: U(а = 1) = qs
Е 211 + 311' + q'fcrb
И (9.52) можно представить в виде
и = .!.ЬАфо.
3
(9.53)
Рассмотрим теперь важный для приложения случай движения в электри
ческом поле капель эмульсии. В отличие от paccMoTpeHHoro выше случая,
электропроводность капель эмульсии может быть меньше или равна электро
проводности внешней жидкости. Для такой системы внутри капли может cy
ществовать электрическое поле и условие (9.41) должно выполняться не толь
ко для внешней, но и для внутренней жидкости.
Соответствующее выражение для скорости капли имеет вид
и :: qsEa , (9.54)
211 + 311' + q'f(1/crb + 2/аЬ)
rде аь электропроводность внутренней жидкости.
При аь» аь выражение (9.54) переходит в (9.52). Для эмульсии типа
вода в масле (например, капли воды в нефти) это неравенство выполняется, и
скорость движения капель воды подчиняется закону (9.52). Для обратной эмуль
сии типа масло в воде имеем аь« аь и формула (9.54) переходит в
и = qsEa "" cr'b Ea (9.55)
211 + 311' + 2q'f / crb 2qs
Поскольку аь мала, то скорость движения капель масла в воде мала.
Наличие заряда на поверхности капель имеет существенное значение не
только при движении капли, но и при ее осаждении в поле силы тяжести.
Задача формулируется аналоrичным образом, но в rиДРОДИНамических ypaBHe
ниях внешней жидкости нужно учесть силу Архимеда
Vp = 11 Аи + (р р') и. (9.56)
205
Вводя давление 1t = (р р') gz, rде ось z направлена по направлению g
(р и р' плотности внешней и внутренней жидкостей), получаем выражение
'У(р п) = 11 Аи, (9.57)
которое по форме тождественно уравнениям (9.44) и (9.45), но р нужно за
менить на р 1t. Поэтому решение проводится аналОrичным образом. Для капли,
проводимость которой превосходит проводимость внешней жидкости, скорость
осаждения в поле силы тяжести равна
и = 2(р р') уа 2 ( 11 + 11' + q'f / 3а ь ) . (9.58)
311 211 + 311' + qf! аь
При 211 + 3J.1.'» q'f /а ь выражение (9.58) переходит в формулу Лдамара
Рыбчинскоrо. Если 211 + 311'« q; /аь, то скорость капли совпадает со скоростью
твердоrо шара (формула Стокса).
Распределение потенциала электрическоrо поля вдоль поверхности капли
Ф = qs(p р') уа аЗ cos 8 (9 59)
3(211 + 311' + q'f /оь) аь r 2 ' .
откуда следует, что максимальное падение потенциала вдоль поверхности капли
Аф == 2qs (р р') уа 2
3 (211 + 311' + q'f / аь) аь
(9.60)
9.4. СЕДИМЕНТАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
в предыдущем разделе было показано, что при падении заряженной капли
в растворе электролита на концах капли возникает разность потенциалов, оп
ределяемая формулой (9.60). Если в растворе последовательно друr за друrом
падает серия капель, то вдоль столба смеси устанавливается разность потенциа
лов, называемая седиментационным потенциалом [51]. Определим эту разность
потенциалов.
Предположим, что объемное содержание капель мало, так что капли Haxo
дятся достаточно далеко друr от друrа и падение каждой капли происходит
независимо и электрические поля, создаваемые каплями, аддитивны. Рассмотрим
сначала случай ОД.!lой капли, падающей в столбе жидкости. Найдем среДНее зна
чение потенциала Фd в некоторой части плоскости над каплей на расстоянии, малом
по сравнению с радиусом столба капель, причем линейные размеры столба велики
по сравнению с размерами капли. Поместим начало координат в центре капли.
Площадь той части плоскости, что лежlfI' между yrлами 8 и е + de, равна 2тcr2 tg 8 de.
Torдa среднее значение потенциала Фd получим, используя формулу (9.59):
"
Фd = I 21tr2фtgеd8= 21Щs(р р')gа4 I Sin8d8==
S S3crb (211 + 311' + q'f /оь)
,,/2
21t qs(p р') уа 4
3 S 30Ь (211 + 311' + qf! аь) .
Подобным же образом для части плоскости, лежащей ниже капли, имеем
ф ' 21t q.(p р') уа 4
d "3 Scrb (211 + 311' + qf!crb) (9.62)
(9.61)
206
Откуда следует, что седиментационный потенциал, вызванный падением
одной капли,
, 41t qs(p р') уа 4
Фsеd Фd Фd S 3 (2 3' 2/ )
ОЬ 11 + 11 + qs аь
Пусть n число капель в единице объема. Тоrда седиментационный по
тенциал в столбе смеси равен
Ф nS(ф ' Ф ) 4mщs(р р')уа 4
sed d d
30ь (211 + 311' + q'i /аь)
(9.63)
(9.64)
Если замкнyrь цепь, образованную столбом жидкости длиной L и сечением S,
через внешнее сопротивление W, то во внешней цепи произойдет выравнивание
потенциала и потечет ток 1, равный
1 = Фsеd L (9.65)
L/Scrb + W
10
УСТОЙЧИВОСТЬ СУСПЕНЗИЙ, KOAfY ЛЯЦИЯ
ЧАСТИЦ И ОСАЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ
НА ПРЕПЯТСТВИЯХ
10.1. УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЛОИДНЫХ СИСТЕМ
При отсутствии внешних сил (rравитационных, центробежных, электриче
ских) незаряженные частицы, дисперrированные в покоящейся жидкости, долж
ны быть распределены однородно. В действительности между частицами всеrда
есть взаимодействие: электростатическое отталкивание (для заряженных час
тиц, окруженных двойными электрическими слоями), молекулярное притяжение
(силы Ван дер Ваальса), rидродинамические силы (силы, возникающие при вза
имном влиянии полей скоростей жидкости и частиц).
Электростатические силы отталкивания одинаково заряженных частиц
поддерживают однородное распределение частиц. Способность к сохранению в
течение длительноrо времени однородноrо распределения частиц в жидкости
называется в коллоидной химии устойчивостью коллоидной системы. Это по
нятие rодится только для лиофобных коллоидов, Т.е. коллоидов, не раствори
мых в жидкости.
На практике в большинстве двухфазных коллоидных систем число частиц
со временем уменьшается, одновременно увеличивается их размер. Для эмуль
сий столкновение двух капель приводит к их слиянию (коалесценции) с обра
зованием одной капли большеrо размера. Частицы при столкновении MOryT не
коалесцировать, а образовывать arperaTbI. Аrреrация частиц происходит за счет
молекулярных сил притяжения Ван дер Ваальса.
Системы, в которых происходит аrреrация частиц, называются неустойчи
выми или нестабильными.
207
В отсутствии внешних и rидродинамических сил устойчивость коллоидной
системы зависит от взаимодействия частиц, вызванноrо поверхностными силами:
электростатическим отталкиванием и молекулярным притяжением [52]. Для
Toro чтобы частицы взаимодействовали под влиянием этих сил, они должны
находиться достаточно близко. Сближение частиц в жидкости происходит под
действием броуновскоrо движения, под влиянием внешних сил, например силы
тяжести, или за счет rидродинамических сил. Исследование устойчивости KOk
лоидной системы должно проводиться с учетом всех перечисленных факторов.
В общем случае задача достаточно сложная, поэтому рассмотрим сначала взаи
модействие частиц под действием только электростатических и молекулярных
сил. Теория устойчивости коллоидов при таком взаимодействии носит название
ДЛФО по первым буквам ее создателей Деряrина, Ландау, Фервея и OBep
бека [53].
Энерrию отталкивания частиц можно определить, используя теорию двой
Horo слоя (см. раздел 7.3). Для простоты рассмотрим сначала случай электро
статическоrо отталкивания двух параллельных плоскостей, несущих поверхност
ный заряд одноrо знака (отрицательный) и имеющих одинаковый потенциал <р",.
Эти плоскости помещены в бесконечный объем раствора электролита с KOHцeН7
рацией растворенноrо ионизованноrо вещества СО вдали от плоскости (рис. 10 1).
Возле каждой плоскости образуется двойной электрический слой толщины л. D .
Если расстояние между плоскостями таково, что двойные слои накладываются
друr на друrа, то плоскости взаимодействуют между собой. В силу симметрии
минимальное значение распределения потенциала между плоскостями достиrа
ется на оси симметрии плоскостей (х == h/2). На этой плоскости dф/ dx == О,
т. е. электрическое поле отсутствует. На оси имеется избыток ионов Toro же
знака, что и заряд плоскостей, что приводит к увеличению осмотическоrо дaв
ления, которое внутри пытается оттолкнуть плоскость от плоскости.
Условие равновесия плоскостей в случае покоящейся жидкости сводится
к балансу электрической силы и rрадиента давления
Vp+PEE=O. (10.1)
Электролит
Электролит
+ +
+ + +
+ +
++
+
ЛD
х
Рис. 10.1. Электростатическое взаимодействие двух одноименных
заряженных плоскостей в растворе электролита
208
Поскольку Е == V<I>, то (10.1) сводится к уравнению
dp +РЕ dф == о.
dx dx
Исключая РЕ с помощью уравнения Пуассона (9.24), получим
dp е d 2 ф dф = о.
dx dx dx
(10.2)
(10.3)
Из этоrо уравнения следует первый интеrрал
p ( :: J = const. (10.4)
Следствием этоrо уравнения является постоянство разности между rИДрО
статическим и электростатическим давлениями. Полаrая dф/dх == О, Р == Рт при
х == h/2, найдем постоянную. В ИТОrе получим
Е ( dф ) 2
P 2 dx = Рт'
Заметим, что значение Рт пока неизвестно. Воспользуемся теперь выраже
нием (7.65) раздела 111 дЛЯ РЕ и подставим ero в (10.2). В итоrе получим
dp = 2FzC o sh( : )d Ф . (10.6)
Воспользуемся условиями Р == Ро при Ф == о и Р == Рт при Ф == Фт' Torдa из
(10.6) находим
(10.5)
те = Рт Ро = 2АТС{ ch( z m ) 1)-
Разность давлений те имеет смысл силы, действующей на единичную пло
щадь rраничной плоскости и стремящейся оттолкнуть плоскость от плоскости.
По смыслу те избыточное осмотическое давление на оси симметрии плоскос
тей по сравнению с давлением в толще раствора.
Выражение (10.7) для малых значений zF<I>m/AT можно упростить до
те = АТСо( z m J. (10.8)
Приближение Дебая Хюккеля дает распределение потенциала в двой
ном слое в виде <l>w == ехр ( Х/ЛD)' Torдa на оси симметрии имеем
<l>т = <1>1 + <1>2 = 2<1>w ехр ( h /2ЛD ) . ( 1 0.9 )
Подставляя (10.9) в (10.8), получим силу, действующую на единичную
площадку
(10.7)
те "= 2Еф exp ( ) . (10.10)
ль ЛD
Здесь использовано выражение (7.61) раздела 111 дЛЯ ЛD' Заметим, что Фw
обычно имеет смысл потенциала.
В литературе по коллоидной химии взаимодействие между частицами обычно
определяется в терминах потенциальных энерrий взаимодействий с единичной
площадкой. Для определения этой энерrии нужно проинтеrрировать те по х
от 00 до h и учесть, что энерrия стремится к О при х 00:
14 1461
209
v: 1ane = J h 1tdx = 2еф&, ехр ( ) . ( 1 0.11)
Ай Ай
Из (10.11) следует, что потенциал сил отталкивания убывает с увеличени
ем концентрации противоионов электролита СО, поскольку соrласно (7.61) раз
дела 111 ЛD С о 1 / 2 И
v: 1ane Cci/ 2 exp( constCci/2).
(10.12)
Заметим, что выражение (1 0.11) справедливо при малых значениях Фт И
Фw = . Приведем без вывода значение vi ane при малых Фт И больших Фw:
vplane = ( 4AT'Y ) 2 ( ) . = t h ( ZFФw )
R Ай zF ехр AD' 'у 4АТ'
(10.13)
Аналоrичный расчет можно провести для потенциальной энерrии сил OT
талкивания двух одинаковых сферических частиц. В случае, коrда толщина
двойноrо слоя этих частиц мала по сравнению с их радиусами, взаимодействие
двойных слоев сфер, соrласно Деряrину, можно рассматривать как суперпози
цию взаимодействий бесконечно узких параллельных колец (рис. 10.2) [52].
Полная энерrия отrалкивания сфер равна
о
v phere = J v: 1ane 21tHdH.
(10.14)
Основной вклад во взаимодействие дают значения интеrрала в OKpeCT
ности минимальноrо расстояния ho между поверхностями. В ЭТОй области
(h ho)/2«a и 2HdH=adh и (10.14) примет вид
ho
v phere = тta JV:1anedh.
(10.15)
h
02
ho
r
210
Рис. 10.2. К расчету силы oтrалкивания двух одинаковых сферических частиц
Подставим сюда значение для VJlane из (10.10 для малых значений Фт И Фw.
В итоrе найдем
v phere = 21twф ехр( ho/л.D)'
(10.16)
Для малРIХ Фт И больших Фw из (10.13) получим
v phere = 21ШЕ( 4::1 J ех р ( )- (10.17)
Электростатический потенциал для двух различных сфер радиусов а и Ь
(а < Ь), расстояние между центрами которых r, равен [54]
Vsphere = ЕЬФБ ( 2 Фа ln 1 e Xho + ( 1 + Ф ) ln (1 e xho ) J
R 4 (а + Ь) Фь 1 + e Xho ФБ '
Фь потенциалы поверхностей частиц; Х обратный дебаевский pa
(10.18)
rде Фа и
диус.
Силы прflтяжения Ван дер Ваальса являются силами молекулярноrо про
исхождения, ){отя в их основе лежат электрические взаимодействия. Эти силы
по своей природе обусловлены поляризацией молекулы под влиянием флук
туаций распределения заряда в соседней молекуле и наоборот. Эти силы извест
ны также под названием дисперсионной силы Лондона. Потенциальная энерrия
молекулярноrО взаимодействия (энерrия притяжения Лондона) равна
V A = b I2 /r6,
(10.19)
rдe r расстоflние между молекулами; Ь 12 коэффициент, зависящий от свойств
вещества.
PaccMoTpflM две частицы с конечными объемами, через nl и n2 обозначим
число молекуJ1 в единице объема каждой частицы. Тоrда энерrия притяжения
этих частиц
V Ь J dV;dV2 r J dV;dV2
А 12 n t n 2 .
r6 1[2 r 6
( 10.20)
Постоянная r называется постоянной [амакера, характерные значения ее
равны 10 20 10 19 Дж. Силы молекулярноrо притяжения между двумя параk
лельными плоскостями и двумя сферическими частицами были получена [aMa
кером [55]. ИМ было показано, что убывание силы притяжения с увеличением
расстояния меЖДУ частицами происходит медленней, чем в соответствии с за
коном Лондона для взаимодействия между молекулами. В частности, для двух
параллельных плоскостей энерrия притяжения, ПрИХОДЯщаяся на единичную
площадку, равна
vx 1ane = r /121th 2 ,
(10.20
rде h расстояние между плоскостями. А для двух одинаковых сферических
частиц радиуса а при условии ho« а, rде ho минимальное расстояние между
их поверхностЯМИ, энерrия равна
Vlphere = ar /12ho. (10.22)
Для одинаковых сфер при произвольном расстоянии r между их центрами
V1Phere= ( 2а2 + 2a2 +1n ( r2 4a2 )J ' (10.23)
6 r 2 4а 2 r 2 а 2
14*
211
В случае двух различных сфер с радиусами а и Ь
vsphere r ( 8(а/Ь) 8(а/ь» )
А = 6 (s2 4)(1 + а/Ь)2 + s2(a/b + 1)2 4(1 а/Ь)2 +
+ ln ( (s2 4)(1 + а/Ь)2 ) ,
s2(1 + а/Ь)2 4(1 а/Ь)2
( 10.24)
rде s = 2r /(а + Ь).
Полная потенциальная энерrия взаимодействия двух сферических частиц
равна сумме их энерrий:
v = V A + V R.
(10.25)
На рис. 10.3 показана характерная зависимость V двух одинаковых сфе
рических частиц, полученная в виде трех различных энерrий отталкивания Vk l ) ,
Vk 2 ) И Vk З ) С одной и той же энерrией притяжения V A .
Энерrия отталкивания экспоненциально убывает с ростом ho с характерным
линейным размером ЛD' Энерrия притяжения убывает как 1/ ho. Поэтому сила
притяжения Ван дер Ваальса превалирует на относительно малых и больших
расстояниях между частицами, в то время как на промежуточных расстояниях
доминирует сила отталкивания. Кривая V(1) соответствует устойчивой системе,
поскольку сила отталкивания между частицами препятствует их коarуляции.
Кривая v<з) соответствует неустойчивому состоянию системы. Про такую сис
тему rоворят, что в ней происходит быстрая коаrуляция. Кривая V(2) COOTBeт
ствует переходному состоянию между устойчивым и неустойчивым состоянием.
"
" v:(l)
,R
,
"v(2) "
'-! "
,
Устойчивая система
.....
.....
.....
..............
....... .....
Рис. 10.3. Эиерrия взаимодействия частиц
212
Если максимальное значение V HaмHoro превосходит тепловую энерrию
АТ частиц, то система должна быть устойчивой, в противном случае она спо
собна к коaryляции, т. е. неустойчива. Величина энерrетическоrо барьера зави
сит от значения потенциала частиц и дебаевскоrо радиуса. Друrой отличи
тельной чертой коллоидных лиофобных систем является чувствительность CKO
рости коаryляции частиц к концентрации электролита. Соrласно (7.61) увели
чение концентрации электролита приводит к уменьшению толщины двойноrо
слоя. Это значит, что частицы MOryT сблизиться на меньшее расстояние без
взаимодействия двойных слоев, т. е. им леrче коаrулировать.
В коллоидной химии известно, что необходимая для быстрой коаryляции
коллоидов концентрация электролита СО сильно зависит от заряда противо
ионов, т. е. ионов, несущих заряд, противоположный заряду частиц. С друrой
стороны, устойчивость коллоидной системы практически не зависит от заряда
ионов и от концентрации коллоидных частиц. Это соответствует правилу
Шульца Харди, соrласно которому основное влияние на устойчивость колло
идной системы оказывает валентность противоионов.
Этот вывод непосредственно следует из теории ДЛФО [35]. Действитель
но, первый максимум на потенциальной кривой V(2) на рис. 10.3 разделяет
устойчивое и неустойчивое состояния системы [56]. В этой точке выполняются
два условия:
V= V A + vR=o,
dV dVA + dVR О
dh dh dh .
(10.26)
( 10.27)
Рассмотрим случай больших значений ФW' Подставляя (10.17) и (10.22)
в (10.26), получим
21ШЕ ( 4АТ 'У ) 2 exp ( ) ar = О.
zF ЛD 12ho
Условие (10.27) при этом примет вид
VR VA = О
ЛD ho .
(10.28)
(10.29)
Из последнеrо уравнения следует, что первый максимум кривой V(2) дo
стиrается при ho = A.D' Подставляя это значение в (10.28), получим приближен
ное значение критическоrо дебаевскоrо радиуса
(A.D)Cflt rz2/12. (10.30)
Соrласно (7.61) раздела 111 имеем A.D (CZ2) 1/2, поэтому из (10.30) сле
дует, что критическое значение концентрации электролита, начиная с KOToporo
коллоидная система теряет устойчивость, равна
с стп 14 /r 2 Z6. (10.31)
При больших значениях поверхностноrо потенциала коллоидных частиц
Фw параметр 1 1, поэтому из 00.31) следует, что
C crit 1/z6. (10.32)
Пусть раствор электролита содержит противоионы Na+, Са 2 + и АР+. Тоrда
отношение зарядов равно ZI : Z2: Z3 = 1 : 2 : 3. В соответствии с (10.31) для Toro, что
бы происходила спонтанная коаrуляция коллоидов, критическая концентрация
этих противоионов должна удовлетворять пропорции 1 : 2 : 3 ИJШ 100: 1,56: 0,137.
213
Отметим, что критическая концентрация электролита при низких поверх
ностных потенциалах частиц Фw сильно зависит от потенциала, а при больших
значениях Фw она практически не зависит от . Кроме Toro, критическая KOH
центрация не зависит от размера частиц при заданном значении ФW'
10.2. БРОУНОВСКАЯ, rРАДИЕНТНАЯ (сдвиrОВАЯ)
и ТУРБУЛЕНТНАЯ КОМУ ЛЯЦИЯ
В предыдущем разделе рассматривалась возможность Koary ляции частиц
при условии, что частицы сблизились на достаточно близкое расстояние. При
этом для Toro, чтобы коаrуляция была возможна, суспензия должна быть Heyc
тойчива. Скорость коaryляции в системе определяется частотой, с которой частицы
Moryт сталкиваться друr с друrом в результате относительноrо движения час
тиц в окружающей их жидкости.
Имеется несколько механизмов, приводящих к сближению частиц. Первым
механизмом является броуновское движение. Коаrуляция в этом случае назы
вается также перикинетической. Механизм броуновской коаrулЯции лежит в
основе Koary ляции частиц, размер которых меньше одноrо микрона. В основе
BToporo механизма лежит относительное движение частиц в поле rрадиента
скорости несущей жидкости. Эта коаryляция называется rрадиентной, сдвиrо
вой, а также ортокинетической. Она характерна для частиц, размер которых
превосходит один микрон. Возможна также коаryляция частиц за счет разной
скорости их движения в покоящейся жидкости под действием силы тяжести
(при седиментации). Такая коаryляция называется rравитационной.
Перечисленные механизмы, как правило, существуют в покоящейся или в
движущейся в ламинарном режиме жидкости.
Третий механизм, называемый турбулентной коаryляцией, характерен для
коarуляции частиц, взвешенных в турбулентном потоке, например в трубе ИЛи
в специальных смесительных устройствах мешалках, турбулизаторах. В He
котором смысле турбулентная коarуляция близка к броуновской, поскольку
В первом случае сближение частиц происходит за счет случайных турбу
лентных пульсаций, а во втором за счет случайноrо тепловоrо движения
частиц.
Все виды коаrуляции делят на два класса: быструю и медленную Koary
ляцию. Если система полностью неустойчива, т. е. силы отталкивания не учи
тываются, то каждое столкновение частиц приводит к их коаrуляции. Такая
коаryляция называется быстрой. Присутствие в жидкости стабилизатора элект
ролита приводит к появлению сил отталкивания блаrодаря наличию на поверх
ности частиц двойных электрических слоев. Это значит, что коаrуляция замед
ляется. Такая коаrуляциЯ называется медленной.
Для количественноrо описания медленной Koary ляции СМОЛУХОВСКИЙ преk
ложил формальным образом ввести в выражение для числа столкновений (час
тоты столкновения) частиц в единицу времени коэффициент а$;1, характери
зующий долю столкновений, приводящих к образованию arperaToB. Введение
этоrо коэффициента равносильно увеличению xapaкTepHoro времени коarуля
ции в 1/а раз. Скорость коarуляции можно охарактеризовать фактором устой
чивости W, равным отношению числа столкновения частиц без учета и с учетом
силы электростатическоrо отталкивания [57]:
W=I/I R . (10.33)
21(
При быстрой коаryляции I R == 1 и W == 1, а при медленной коarуляции I R < 1
и W> 1.
Введение фактора устойчивости придало физический смысл коэффициенту а.
Поскольку а == 1/ W, то скорость коаrуляции замедляется в W раз.
В частности, для броуновской коаryляции одинаковых сферических частиц
радиуса а [52]
W == 2a J ev<r) dr
2 '
r
20
( 10.34)
rде V (r) потенциал сил взаимодействия частиц; r расстояние между цeHT
рами частиц.
В дальнейшем мы оrраничимся рассмотрением быстрой коаryляции, уделяя
основное внимание определению частоты столкновения частиц. Медленная
коarуляция будет рассмотрена в разделе У.
БРОУНО8ская коаrуляция
Рассмотрим задачу определения частоты столкновения маленьких сфери
ческих частиц, совершающих броуновское движение в покоящейся жидкости.
В разделе 8.2 было рассмотрено броуновское движение как диффузия с эф
фективным коэффициентом диффузии. Предполаrалось, что суспензия ДOCTa
точно разбавлена, так что можно оrраничиться рассмотрением только парных
взаимодействий частиц. Чтобы упростить задачу, рассмотрим бидисперсную
систему частиц, т. е. суспензию, состоящую из частиц двух сортов: частиц
радиуса аl и частиц радиуса а2. В такой постановке задача была впервые pac
смотрена Смолуховским [58].
В процессе броуновскоrо движения частицы совершают хаотические дви
жения и MoryT случайно сталкиваться между собой. Выберем одну частицу
радиуса а l , назовем ее пробной частицей и возьмем систему координат, связан
ную с этой частицей, с началом в центре частицы (рис. 10.4).
Принятая диффузионная модель броуновскоrо движения позволяет pac
сматривать частоту столкновения частиц радИуса а2 с пробной частицей радиу
са аl как диффузионный поток частиц а2 на частицу аl' Примем поверхность
частицы аl идеально поrлощающей. Это значит, что как только частица а2
соприкоснется с поверхностью частицы а l , она поr лотится частицей аl' Друrи
ми словами, поrлощение происходит, как ТОЛько центр частицы а2 окажется
на поверхности сферы радиуса Rc == аl + а2. Величина Rc называется радиу
сом коaryляции. Следовательно, KOH
центрация частиц а2 равна нулю при
r == а l + а2 .
Характерное время броуновской
диффузии оценивается выражением
а 2 6щи 3
t brown Dbr == .
(10.35)
Для частиц радиуса а 0,1 мкм
В водном растворе при нормальных
Рис. 10.4. Модель броуиовской коаrулJIЦИИ
частиц соrласио Смолуховскому
/
/
I
I
\
\
\
"
'-
..............
.......,
"-
'\
\
\
r
I
/
/
/
...../
215
условиях это время t brown 5 . 10 3 с. Следовательно, если нас интересуют Bpe
мена, большие t brown , то процесс диффузии частиц а2 можно считать стационар
ным. Численная концентрация этих частиц n описывается уравнением диффузии
D 12 J.... .!!.... ( r 2 dn ) == О (10.36)
r 2 dr dr
с коэффициентом диффузии D12' называемым коэффициентом броуновской диф
фузии И характеризующим относительное движение двух частиц. Поскольку
движение частиц считается независимым, то D 12 == D I + D2' rде D I и D 2 коэф
фициенты броуновской диффузии частиц а l и а2, даваемые формулой (8.70).
rраничными условиями служат условие постоянства концентрации частиц а2
в толще жидкости и условие идеальноrо поrлощения на поверхности частицы аl
n n2 при r oo; n==О при r==a l +a2' (10.37)
Решение уравнения (10.36) с условиями (10.37) имеет вид
( 1 щ + а2 )
n n2 .
Частота столкновения частиц а2 с пробной частицей аl по определению
равна
(10.38)
<012 == D 12 ( 41tr 2 1 .
= Qt + 02
( 10.39)
Если <012 умножить на число частиц а l , то результат даст частоту столк
новений (1/ м 3 . с) частиц а2 с частицами а! при условии a l :F- а2
12==41tnln2DI2(al +а2)' (10.40)
в случае монодисперсной системы (аl == а2) выражение для частоты столк
новений нужно разделить на 2, поскольку учет столкновений производится
дважды один раз частица считается пробной, а второй диффундирующей:
А 8 2 D 4kTn'f
/-'.. == пn,а, ,==
3!!
(10.41)
в простой модели, коrда одинаковые Частицы заполняют некоторый объем
и происходит броуновская коaryляция, изменение численной концентрации частиц
со временем при условии, что суспензия остается монодисперсной , описывается
уравнением баланса частиц
dn == .! kT N 2
dt 3 j.L .
Если в начальный момент задана концентрация частиц n == 1lo, то
n== 1+ /'t ' 1:==( k: по Т, (10.43)
r де 1: характерное время кошу ляции По смыслу через время t == 1: первона
чальное число частиц уменьшится в 2 раза.
Заметим, что учет сил поверхностноrо взаимодействия частиц может быть
сделан путем введения в уравнение диффузии (10.36) конвективноrо потока,
обусловленноrо центральным силовым взаимодействием частиц:
J.... .!!.... ( D I 2 r 2 dn + ) == О. (10.44)
r 2 dr dr 61ЧJll
(10.42)
216
Учитывая, что F == dV jdr и используя приведенные выше выражения
для V(r), интеrрируя (10.44), можно найти диффузионный поток и фактор
устойчивости системы.
fрадиентная (сдвиrовая) коarуляция
Вторым механизмом коаrуляции является коаrуляция частиц, взвешенных
в ламинарном потоке жидкости, скорость которой изменяется в пространстве.
Поскольку расстояния, на которых взаимодействуют частицы, малы, то профиль
скорости на таких линейных масштабах можно считать линейным, т. е. считать
поток сдвиrовым. Этим и объясняется название механизма коаrуляции. Эта
задача была также рассмотрена Смолуховским [58].
В безынерционном приближении частицы движутся в поле сдвиrовоrо
поступательноrо потока по прямым траекториям, если пренебречь их враще
нием. Заметим, что вращение частиц приводит к их поперечному дрейфу.
При движении одной частицы в области большей скорости, а друrой в об
ласти меньшей скорости при условии, что расстояние между частицами в
направлении rрадиента скорости не превышает аl + а2, частицы столкнутся.
Такой вид столкновения имеет чисто rеометрический характер, поскольку при
этом пренебреrают броуновским движением и rидродинамическим взаимодей
ствием частиц.
Рассмотрим пробную частицу радиуса а l и поместим в ее центре начало
координат. Частица радиуса а2 движется относительно нее в линейном поле
скорости (рис. 10.5).
Из рис. 10.5 следует, что столкновение частицы а2 с пробной частицеЙ а l
происходит, если расстояние по оси у между ними ::;(аl + а2) sin е. Скорость
частицы а2 относительно аl равна
du .
и == dy У == уу.
Здесь через у обозначена скорость сдвиrа.
( 10.45)
dy
у
2(а 1 +а 2 )соsЭ
/
I
t....
\
\
'\
"
Вид спереди
Вид сбоку
Рис. 10.5. Модель rрадиентиой (сдвиrовой) коаrуляции частиц соrласио
Смолуховскому
217
Рассмотрим полоску шириной dy. Число частиц а2, пересекающих полоску dy
в единицу времени, равно
dO)12 == иn22 (а l + а2) cos е dy. (10.46)
Полная частота столкновений
Qt +02
0)12 == 2 J 2n2и (аl + а2) cos е dy.
о
( 10.47)
Подставляя в (10.47) выражение (10.45) для u и учитывая, что у == (аl +
+ а2 ) sin е, получим
11/2
0)12 == 4n2 у (аl + а2)3 f cos 2 е sin ede.
о
Умножая далее (10.48) на число пробных частиц n1 и производя интеrри
рование, получим частоту столкновений частиц а2 с частицами а l
12 == n1n2y(a1 +а2)3. (10.49)
Если размеры частиц совпадают (аl == а2 ), то необходимо частоту столкно
вения разделить на два. В итоrе получим
А 16. 2 3 (10 50)
1-'11 yп,a" .
3
Введем объемную концентрацию частиц
<p== пa3n. (10.50
Тоrда уравнение, описывающее изменение со временем численной KOHцeHT
рации частиц монодисперсной суспензии, имеет вид
dn == iyq,n (10.52)
dt 1t .
Сравнивая уравнение (10.42) с (10.52), можно сделать вывод, что броунов
ская коаryляция (10.42) соответствует химической реакции BToporo порядка,
а rрадиентная коаrуЛЯЦИЯ (10.52) реакции первorо порядка.
Интеrрируя (10.52) с начальным условием n == по и учитывая, что при Koa
rуЛЯЦИИ <р == const, получим
n == noe t/', 't == 1t/4yq,. (10.53)
Сравним частоты сдвиrовой и броуновской коarуляции:
roshear 4а 3 у (10.54)
robrown 1t (kT / ) n kT /
Из (10.54) следует, что увеличение размера частиц а и скорости сдвиrа у
увеличивает частоту сдвиrовой коаryляции по сравнению с броуновской. Oco
бенно сильное влияние оказывает радиус частиц ( a3). Отметим, что параметр
(10.54) есть не что иное, как число Пекле, равное отношению характернorо
времени броуновской коarуЛЯЦИИ к характерному времени rрадиентной Koary
ляции.
(10.48)
218
Турбулентная коarуляция
Механизм коаryляции в ламинарном потоке имеет на практике оrраничен
ное применение, поскольку в большинстве приложений движение жидкости
носит турбулентный характер. При турбулентном движении частота столкнове
ния частиц существенно увеличивается по сравнению с неподвижной средой и
с ламинарным движением. Рассмотрим механизм коаrуляции частиц в турбу
лентном потоке, предложенный в работе [51].
Пусть частицы взвешены в турбулентном потоке со средней концентрацией n.
Турбулентные пульсации характеризуются как величиной скорости V.., так и pac
стоянием А, на протяжении KOToporo скорость пульсации претерпевает заметное
изменение. В турбулентном потоке существуют крупномасштабные пульсации, orpa
ниченные сверху линейным размером области 1, например диаметром трубы, и Mek
комаСIIIтабные пульсации. В крупномасштабных пульсациях заключена основная
часть кинетической энерrии движения. Каждой пульсации отвечает свое число
Рейнольдса Rел. vл. А/У, rдe V коэффициент кинематической вязкости жидкости.
Для крупномасштабных пульсаций Re..» 1, поэтому эти пульсации носят невязкий
характер. При некотором А Ао имеем Re.. o == 1. Это значит, что мелкомасштабные
пульсации с А < Ао носят вязкий характер. Значение Ао I/Rе З / 4 , rде Re число
Рейнольдса потока, называется внутренним масштабом турбулентности. Одним из
характерных параметров турбулентноrо движения является удельная диссипация
энерrии fo, имеющая порядок из /1, rде И средняя скорость потока. Тоrда
Ао (VЗ/Ео)I/4. (10.55)
При интенсивном турбулентном перемешивании жидкости Ао 10 4 м.
Рассмотрим частицы радиуса а «Ао и предположим, что в процессе их
движения в жидкости они полностью увлекаются теми турбулентными пульса
циями, которые иrрают основную роль в механизме встреч взвешенных частиц.
Тоrда можно считать, что перенос частиц осуществляется изотропной турбулент
ностью. Поскольку частицы хаотически перемещаются по объему жидкости, их
движение сходно с броуновским И ero можно рассматривать как диффузию с
некоторым эффективным коэффициентом турбулентной диффузии Dturb' Так
же, как в случае броуновской коаrуляции, можно рассмотреть диффузию частиц
радиуса 02 на пробную частицу радиуса 01' Распределение частиц 02 xapaKTe
ризуется стационарным уравнением диффузии
1 d (D 2 dn ) О
;2 dr turb r dr .
Выражение для D ttJrb зависит от масштаба турбулентных пульсаций А и
оценивается выражением [51]
{ (ЕОА)И А при А> Ао,
Dturb V..A
vEo/V А 2 при А < Ао.
(10.56)
(10.57)
Как и в случае броуновской Koary ляции , введем радиус Koary ляции
Rc о, + 02. Torдa rраничными условиями для уравнения (10.56) являются
n o при r Rc a1+02' n n2 при r oo. (10.58)
В работе [51] показано, что относительно крупномасштабные пульсации
(А> Ао » Rc) настолько энерrично размешивают жидкость, что обеспечивают
равномерное распределение частиц в объеме жидкости. Тоrда основное диффу
зионное сопротивление лежит в области r < "'-о. Опуская промежуточные BЫ
219
кладки, приведем полученное в [51] выражение для частоты коаrулЯЦИИ час
тиц 02 с проб ной частицей 01
(012 "" 12nn{ J/ 2 (01 + 02)3' (10.59)
Умножив (012 на число пробных частиц, найдем частоту столкновений час
тиц 02 с частицами о,
Выражая fo через
получим
( ) 1/2
1312 = 12nn 1 n2 (01 + 02)3'
скорость потока И и характерный
(10.60)
линейный размер 1,
А 1 U3/2 ( ) 3 ( ) 3 Re3/2
1-'12= 2nn1n2 ) 01+02 =12n 01+02 Yn1n2'
(у[1/2 [2
Если рассматривается монодисперсная суспензия (О, = 02)' то выражение
частоты Koary ляции нужно разделить на 2. В итorе получим
(10.61)
для
13 48 3 2 Re 3 / 2
..= 1tVo.n. .
11 . 1 1 [2
(10.62)
Таким образом, в случае коаrуляции в турбулентном потоке частота Koa
rуляции соответствует реакции вторorо порядка и пропорциональна 0(, как и
в ламинарном потоке.
Изменение числа частиц описывается уравнением
dn 36 v Re 3 / 2
dt п<p,
(10.63)
rде <р объемная концентрация частиц, остающаясЯ в процессе коаrуляции
постоянной.
Решение уравнения (10.63) при начальном условии n = по имеет вид
n=noe t/t, "C=!2/36vRe 3 / 2 <p. (10.64)
Сравним частоты броуновской и турбулентной Koary ляции:
<P,2)turb ( ) 1/2 Rl (10.65)
<Р12 )Ьrоwп v Dbrown
Для частиц, размер которых превышает 0,1 мкм, (12)turЬ > (1312)brown'
Приведенные в этом разделе выражения для частот столкновения в про
цессах броуновской, сдвиrовой и турбулентной коаrуляции получены без учета
rидродинамическorо молекулярноrо и электростатическоrо взаимодействий час
тиц. Учет этих взаимодействий значительно осложняет задачу. В частности, в
коэффициентах 6роуновской и турбулентной диффузии необходимо учитывать
rидродинамическое сопротивление частицы с учетом искажения поля скоростей,
вызванноrо присутствием соседних частиц, а в уравнении диффузии учитывать
конвективный поток за счет сил молеку лярноrо взаимодействия частиц. В случае
rрадиентной коаrуляции в ламинарном потоке необходимо рассматривать TpaeK
тории относительноrо движения частиц с учетом rидродинамических и молеку
лярных сил взаимодействия.
Учет rидродинамическоrо взаимодействия в процессе 6роуновской диффу
зии 06суждался в разделе 6.2. Рассмотрим теперь учет rидродинамическоrо
взаимодействия при турбулентной коаrуляции. Формально ero можно учесть
220
так же, как и при броуновском движении, вводя поправочный множитель в
коэффициент турбулентной диффузии (10.57). Друrой, более корректный путь
(см. раздел 11.3) состоит в использовании уравнения Ланжевена, с помощью
которorо В разделе 6.2 был определен коэффициент броуновской диффузии. Как
показано в работе [59], коэффициент турбулентной диффузии обратно пропор
ционален второй степени коэффициента rидродинамическоrо сопротивления:
D D(O) 1 (10.66)
turb turb 2(T / а)
Обсуждение этих вопросов и обзор работ содержится в работах [60 62]
(см. также раздел V).
10.3. ОСАЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ НА ПРЕПЯТСТВИЯХ
Рассмотрим теперь некоторые технические приложения развитых ранее
представлений о взаимодействии частиц без учета сил rидродинамическоrо
взаимодействия.
Распространенным способом очистки жидкости от взвешенных в ней час
тиц является осаждение частиц на различных препятствиях (коллекторах) при
обтекании их жидкостью. Коллекторами MorYT служить более крупные частицы,
фильтры, пористые среды, сетки и друrие препятствия. Осаждающиеся на пре
пятствиях частицы образуют слой твердоrо осадка. Следует заметить, что, как
правило, размер частиц не превосходит линейноrо размера элементов коллек
тора, поэтому захват частиц препятствием имеет не просто rеометрический
характер, но определяется характером обтекания потоком препятствий и силами
молеку лярноrо и электростатическоrо взаимодействия частиц с коллектором.
Эти силы действуют, если частицы находятся достаточно близко к поверхности
коллектора, поэтому важно знать вид траекторий частиц в потоке несущей
жидкости. Следуя [60], оrраничимся случаем медленноrо обтекания суспензией
коллектора, при условии малости размера частиц по сравнению с линейным
размером элементов коллектора. В настоящем разделе будут рассмотрены два
основных механизма захвата частиц препятствием: броуновская диффузия очень
маленьких частиц (а:::; 1 мкм). Последний процесс не носит диффузионный
характер. Из за малости частиц ero можно считать безынерционным и paCCMaT
ривать как rеометрическое столкновение с препятствием блаrодаря тому, что
траектории частиц, совпадающих с линиЯми тока жидкости, пересекут препят
ствие. Заметим, что подобное представление rодится для частиц, плотность
которых мало отличается от плотности жидкости. Если рассматривается анало
rичная задача о течении rаза с взвешенными в нем твердыми частицами, то
большая разность плотностей частиц и rаза приводит к возможности движения
частиц относительно rаза, т. е. к необходимости учитывать инерцию частиц,
особенно вблизи препятствий, поскольку там частицы тормозятся, изменяют
направление и обладают значительными отрицательными ускорениями. Такой
механизм СТОЛКНОвения частиц с препятствием или между собой в работе [51]
назван инерционным.
В дальнейшем мы будем пренебреrать инерцией частиц. Кроме Toro, не
будем учитывать поверхностные (молекулярные и электростатические) взаимо
действия. Учет поверхностных сил рассмотрим в следующем разделе, а инер
ции в разделе 10.5. Вопросы осаждения маленьких частиц на препятствиях
освещены в работах [35,51,57,60].
221
БРОУНО8ская диффузия
Рассмотрим осаждение частиц на препятствии за счет броуновской диффу
зии при медленном обтекании со скоростью И вдали от препятствия [35].
В качестве препятствия рассмотрим твердую сферу радиуса а.
Предположим, что осаждение на сфере идеальное, т. е. каждое столкновение
частицы со сферой приводит к захвату частицы. Коэффициент броуновской диф
фузии D br kT /б1tJ..lLl р , [де ар радиус частицы, Haмнoro меньше коэффициента MO
лекулярной диффузии, поэтому диффузионное число Пекле PeD Uа/ Dbr» 1.
В силу этоrо неравенства (см. раздел 6.5) диффузионный поток частиц на сферу
можно найти из решения стационарноrо уравнения конвективной диффузии
при условии малости толщины диффузионноrо поrраничноrо слоя. При Этом
частицы можно рассматривать как точки, а уравнение диффузии примет вид
др ив др д 2 р
И, ду + 7 де = D br д;:2'
(10.67)
[де р массовая концентрация частиц и (2/r) др/дr« д 2 р/дr2.
[раничными условиями, очевидно, являются
р о при r а, р ро при r 00.
(10.68)
Первое условие соответствует идеальному поr лощению на сфере, а BTO
рое условие постоянства концентрации вдали от сферы.
Напомним, что уравнение (10.67) написано в приближении поrраничноrо
слоя, а И Т и Ив компоненты стоксовой скорости обтекания шара. Поскольку
число Шмидта Sc» 1, то толщина вязкоrо поrраничноrо слоя мнorо больше
толщины диффузионноrо поrраничноrо слоя, поэтому решение задачи можно
найти так же, как в задаче о диффузии к движущейся в растворе твердой частице.
Компоненты скорости при медленном обтекании сферы равны
И е (1 3 а 1 аЗ ) И . е (1 3 а 1 аз )
И = COS + Ив = SШ .
, 2 r 2 r З ' 4 r 4 уЗ
Нас интересует распределение скоростей вблизи поверхности сферы в диф
фузионном поrpаничном слое. Введем местную систему координат (у, е), [де ось у
перпендикулярна поверхности, е направлена по касательной. Torдa r / а 1 + у/а.
Считая у / а « 1, разложим (1 0.69) в ряды по степеням у / а. В итоrе получим
и ",, ( !!... ) 2ucose И в "" ( !!... ) USine.
, 2 а ' 2 а
Таким образом, задача сводится к решению уравнения (10.67) с выраже
ниями (10.70) для компонент скорости и rраничными условиями (10.68). Pe
шение этой задачи представлено в разделе 6.5. В частности, диффузионный
поток на сферу
I,pb = 7,98PoaDb{ J/ З (10.71)
Эффективность захвата можно охарактеризовать безразмерным параметром
E,ь= = , (10.72)
р ла 2 Uро Ре 2 / З
D
(10.69)
(10.70)
Этот параметр имеет смысл отношения числа частиц, захватываемых сфе
рой в единицу времени, к числу частиц, пересекающих в единицу времени вдали
222
от сферы сечение, равное площади большоrо Kpyra сферы. Поскольку D br ар!
и PeD Dbi, то E sph a 2/3, т. е. эффективность захвата убывает с увеличением
размера частиц. Коrда коллектор представляет собой сетку, то осаждение на
ней можно моделировать осаждением на цилиндрах при поперечном обтекании
их потоком. В работе [60] приводится выражение для эффективности осажде
ния частиц на цилиндре
Е I = = 4,63po(UaD r)!/3 = 2,32
су 2аиро 2аиро Ре2/3
D
(10.73)
Следует отметить одинаковые закономерности для эффективности осажде
ния частиц на сфере и цилиндре.
Столкновение частиц с препятствием
Коrда размер частиц ар> 1 мкм, броуновская диффузия не иrрает замет
ной роли, и осаждение частиц, взвешенных в потоке жидкости, можно исследо
вать методом анализа их траекторий при обтекании вместе с несущей жидкостью
препятствий. Столкновение частиц с препятствием происходит при соприкосно
вении их поверхностей. Случай столКновения частиц с цилиндром при попереч
ном обтекании ero потоком суспензии показан на рис. 10.6.
Будем рассматривать столкновение частицы с препятствием без учета поверх
HOCTНbIX сил И силы вязкоrо сопротивления, возникающей при вьщавливании слоя
ЖИДКОСТИ, разделяющеrо на малых расстояниях поверхности частицы и препятствия.
Рассмотрим сначала столкновеНИе частиц со сферой. Будем считать дви
жение частиц безынерционным. Тоrда траектория частиц совпадает с линиями
тока. Функция тока при стоксовом обтекании сферы равна
1 и 2 . 2 е (1 3 а 1 а з )
'1' = r sш + .
2 2 r 2 r 3
Введем местную систему координат (у, е), rде r / а == 1 + у/а. Тоrда вблизи
поверхности у/а « 1 и
'1' "'" Uу2 sin 2 е = U(r а)2 sin 2 е
4 4 .
(10.74)
(10.75)
Предельная
mрClекmорuя
Е суl cl
ЧJ==О
\
\
"
"-
'- а
....... T р
\jJ == \jJ 11т
Рис. 10.6. Столкиовеиие частиц с цилиндром
223
По смыслу разность 2х ('1'1 '1'2) равна объемному расходу жидкости меж
ду двумя поверхностями тока '1' = '1'1 И '1' = '1'2' Если частицы вдали от сферы
распределены равномерно с массовой концентрацией Ро, то массовый поток час
тиц на сферу равен
I sph = 21tpo 'I',
(10.76)
rде 'I'= 'l'I,m (см. рис. 10.6). Здесь 'l'I,m значение функции тока на предель
ной траектории.
Чтобы определить 'l'llm, положим В (1 0.75) r = а + ар и е = 1t / 2. В итоrе
получим
з и 2
'l'lIm 4' ар.
(10.77)
Таким образом,
Используя (10.72),
I sph = ХUа ро.
найдем эффективность захвата частиц сферой
( ) 2
3 ар
E sph ::= '2 а .
(10.78)
( 10.79)
Аналоrично можно получить выражение для потока на цилиндрическое
препятствие при поперечном обтекании. Сложность состоит в том, что стоксовое
обтекание цилиндра не существует. Однако можно воспользоваться решением
Озеена, в котором частично учтены инерционные члены в уравнениях Навье
Стокса (заменой члена (и' V)U на (и. v)u). Это приближение справедливо
при Re $; 1. Воспользуемся решением этой задачи [63], из которorо следует, что
вблизи поверхности цилиндра
\f( "" иАс у ! (r а)2 sin е (10.80)
"1" а '
Асу! = ( 2 ln e и ) т
Полаrая в (10.80) r=a+a p и е=х/2, найдем 'l'lIm=UAcYla /a. Теперь
находим массовый поток частиц на цилиндр
[ суl = 2PO'l'llm = 2poUAcYla /a (10.81)
и сечение захвата
( ) 2
1 су! ар
Е суl = 2аиро ::= А суl а .
(10.82)
На рис. 10.6 показано расстояние Ecyla предельной траектории от оси е = о
при r 00, поэтому 'l'I,m = аЕ суl U. Заметим, что для сферы расстояние предельной
траектории от оси е = о при r 00 равно E:/t,2 a .
Сравнение эффективностей захвата частиц сферой (10.79) и цилиндром
(10.82) показывает, что они различаются только числовыми коэффициентами.
Это объясняется сходством полей скоростей возле поверхности. Основное OT
личие захвата крупных частиц от захвата мелких вследствие диффузионноrо
механизма осаждения состоит в зависимОСти от радиуса частиц. При диффу
зионном механизме захвата Ed1ff а;2/3, в то время как для крупных частиц
ЕсоlI a .
224
Е sph
10-1
E difI
]0-2 (диффузия)
]0-3
10-4
10 2 10 I 1 10 102 ар, мкм
Рис. 10.7. Эффективиость аахвата сферой частиц радиуса а"
На рис. 10.7 показана эффективность захвата частиц сферическим коллек-
тором при обтекании ero водяной суспензией при нормальной температуре [35].
Показаны зависимости для двух рассмотренных механизмов захвата, а в Про
межуточной области нарисована зависимость, равная сумме эффективностей
Ed1ff + Еео" за счет обоих механизмов захвата.
10.4. ЗАХВАТ ЧАСПlЦ С УЧЕТОМ ПОВЕрхносmых
и rИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ
Исследование захвата частиц, проведенное в предыдущем разделе, сделано
в предположении, что на частицы не действуют силы со стороны системы жид
кость коллектор. В действительности на частицу, оказавшуюся вблизи поверх
ности коллектора, действуют поверхностные (молекулярные и электростатичес-
кие) силы взаимодействия поверхностей частицы и коллектора, а также сила
rидродинамическоrо взаимодействия, обусловленная вязким сопротивлением
частицы со стороны слоя жидкости, разделяющеrо поверхности частицы и KOk
лектора. у чет этих сил значительно осложняет задачу определения эффектив
ности захвата частиц препятствием.
Прежде чем переходить к задаче, определим понятие поверхностной силы.
Рассмотрим две фазы 1 и 2, разделенные прослойкой третьей фазы 3 (рис. 10.8).
Внутри однородной объемной фазы при ее макроскопическом описании в отсут-
ствии внешних полей никаких сил нет. Точки объемной фазы характеризуются
только плотностями составляющих фазу компонентов, а также плотностями
свободной и полной энерrий и энтропии. При микроскопическом описании
объемной фазы нужно рассматривать локальные электрические и молекулярные
поля. Эти поля при усреднении по объемам сплошной среды обращаются в
нуль. В областях, прилеrающих к зоне перехода от одной фазы к дрyrой, в OT
личие от объемной фазы локальные электрические и молекулярные поля зату
хают при уrлублении в каждую из смежных фаз, поэтому средние поля в
переходной зоне отличны от нуля. В итоrе в тонком слое, разделяющем две
фазы, имеются отличные от нуля силы, действующие на каждую фазу со CTO
роны смежной фазы. Эти силы называются поверхностными. Заметим, что в
15 1461 225
а
б
Фаза 1
,
Фаза 3 ::::>c:::===::: ::::::::::
--
Фаза 2
Рис. 10.8. Прослойка между двумя фазами
этой переходной зоне изменяются и интенсивные параметры (плотности компо
нент, плотности энерrий и энтропий) в направлении нормали к условной поверх
ности, разделяющей фазы (межфазной поверхности). В теории капиллярности,
развитой rиббсом, предполаrается, что межфазная поверхность это rеометри
ческая поверхность, не имеющая толщины. В действительности эта поверхность
заменяет слой малой, но конечной толщины, состоящей из двух переходных зон
в каждой из смежных фаз.
В литературе, посвященной поверхностным силам [64], различают два ви
да поверхностных сил. Для Toro чтобы понять разницу между этими силами,
рассмотрим рис. 10.8. Если толщины переходных областей в фазах 1 3 и
2 3 малы по сравнению с толщиной прослойки h, то фаза 3 может рассматри
ваться как объемная фаза, в которой сохраняются интенсивные свойства
(рис. 10.8, а). Это положение лежит в основе классической теории капилляр
ности rиббса, из которой, в частности, следует, что натяжение прослойки 3 равно
сумме поверхностных натяжений межфазных поверхностей 1 3 и 2 3. Поверх
ностные силы, действующие между фазами в этом приближении, называются
поверхностными силами первоrо рода. Сюда относятся молекулярные силы,
действующие между молекулами, и силы электростатические, действующие на
ионы пропорционально их зарядам. Если межфазные переходные зоны перекры
ваются в фазе 3 (рис. 10.8,6), т. е. толщины этих зон больше h/2, то свойства
фазы 3 нельзя характеризовать интенсивными параметрами. В этом случае
поверхностные силы первorо рода перекрываются в области 3. Для расчета
поверхностных сил в рассматриваемом случае необходимо использовать микро
скопический подход, и решение задачи представляет очень сложную физиче
скую и математическую проблему. Возникающие при этом поверхностные силы
называются силами BToporo рода Эти силы приводят К появлению в прослойке
избыточноrо (положительноrо или отрицательноrо) давления, названноrо OT
крывшим это явление Б. В. Деряrиным расклинивающим давлением. Мы не
будем подробно останавливаться на этом явлении. Интересующихся читателей
отошлем к моноrрафии [64]. Заметим только, что поскольку толщина переХОk
ных зон чрезвычайно мала (она порядка 100 нм И меньше), то в дальнейшем
оrраничимся рассмотрением только поверхностных сил первоrо рода.
Рассмотрим задачу о столкновении частиц размером более 1 мкм С коллек
тором с учетом только силы молеку лярноrо притяжения и rидродинамической
силы сопротивления. Частицы считаются незаряженными и их осаждением в
поле силы тяжести пренебреrаем. Рассмотрим осаждение частиц на цилиндре,
радиус которorо намнorо больше радиуса частиц. Последнее условие позволяет
считать, что частицы практически не возмущают поле скоростей вдали от ци
226
линдра. Частица может изменять поле скоростей только внепосредственной
близости от поверхности цилиндра. Кроме Toro, при рассмотрении движения
частицы возле цилиндра ero поверхность можно рассматривать как плоскую.
Примем, что невозмущенное поле скоростей соответствует решению Озеена,
которое вблизи поверхности цилиндра равно (10.80). На рис. 10.9 схематично
показано движение частицы в окрестности поверхности цилиндра [65].
Радиальная rидродинамическая компонента силы обозначена через Fsc.
rидродинамическая сила представляет собой сумму внешней силы, действующей
на частицу со стороны обтекающеrо потока ЖИДКОСТИ, который может как при
ближать частицу к поверхности, так и удалять частицу от нее, и силы вязкоrо
сопротивления слоя жидкости, разделяющеrо поверхности частицы и цилиндра.
Заметим, что сила вязкоrо сопротивления отрицательна. Через Fad обозначена
молекулярная сила притяжения Ван дер Ваальса. Эта сила направлена по линии,
соединяющей центры частицы и KpyroBoro сечения цилиндра (линия центров).
ПОСКОЛЬКУ уравнения Навье Стокса в приближении Озеена линейны, то силы
и поля скоростей от этих сил аддитивны.
Рассмотрим невозмущенное поле скоростей (10.80) возле поверхности
цилиндра. Оно распадается на два течения. Первым является плоское течение
типа течения в окрестности точки застоя (рис. 10.8, 6). Скорость в окрестности
этой точки связана с компонентой скорости, направленной по линии центров.
Друrим течением является сдвиrовое течение, перпендикулярное линии центров
и показанное на рис. (10.8, в). При условии а» (х 2 + y2)J/2 »а р скорости,
соответствующие этим двум течениям, равны [65]
U sc == Асу! cos ер (2xyi e y 2 i r ), (10.83)
а 2
2и.1 . е .
Ush == a.n.cyl sш р У'в'
2UAcy/sine p .
Ush == а У'е
15*
(10.84)
2UAcy/cos8 p (; . у2. )
u st == а 2 XY'e 2"
Рис. 10.9. Движение частицы возле поверх
иости препятствия:
а движение под действием приложенной
силы; б неподвижная частица; в свобод
ное движение частицы
227
Здесь введены у == r а, х == а (е ер), rде ер уrол между положением
частицы и передней критической точкой. Из рис. 10.8, а следует, что координаты
центра частицы х == О, У == ар + h, rде h просвет между поверхностями частицы
и цилиндра.
В силу линейности задачи силы, действующие на частицу, аддитивны, по
этому суммарная сила равна
F n == Fst + Fad.
( 10.85)
Пусть под действием силы F n происходит сближение частицы с цилинд
ром. Обозначим через и , радиальную составляющую скорости. Можно показать,
что из условия безынерционности движения частицы возле поверхности коллек
тора при равенстве нулю скорости частицы на поверхности коллектора следует
F n == 61t pUrfl (h/ ар). (10.86)
Очевидно, что
)
ur dt dt' (10.87
Если частица находится вдали от цилиндра, т. е. при h» ар, то сила F n
близка к стоксовой и
{1(h/r):=<1 при h/a p » 1.
(10.88)
Если частица находится вблизи поверхности коллектора, то сила F n cy
щественно отличается от стоксовой. Решение подобной задачи можно найти
в [2] (см. раздел 8.1), из которorо следует, что при h/a p » 1
{1 (h/ ар) :=< ар / h при h/ ар « 1. (10.89)
Заметим, что зависимость (10.89) соответствует случаю приближения TBep
дой сферической частицы к твердой плоскости.
Потенциал молекулярных сил притяжения двух сферических частиц pa
диуса а 1 и а2 определяется по формуле (10.24)
V ad == ( 8k + 8k + ln ( (s2 4)(1 + k)2 )] , (10.90)
6 (s2 4)(1 + k)2 s2(k + 1)2 4(1 k)2 s2(k + 1)2 4(1 k)2
rде r поС'(оянная [амакера, k == а2/ аl, s == 2r /(аl + а2) == 2h/(al + а2) + 2, r
расстояние между центрами частиц.
Сила притяжения находится из выражения
dV A 2r [ s (8k (1 k) 2 ( 2 4»
Fad d 3 (1 k) + S +
r аl + (s2 4)(1+k)2
+ s(1+k)2 (8k+S2(1+k)2 4(1 k)2» ) . (10.91)
(s2(k + 1)2 4(1 k)2)2
Заметим, что при малых зазорах между каплями
F 2rk
ad Заl (1 + k)3(s 2)2
Если рассматривается сила притяжения между сферой радиуса ар и плос
костью, то, считая в (10.91) а2 == а р « аl, найдем
2r 1 1 2r ( h )
Fad:=< 3 ар (2 + h/ap)2 (h/a p )2 == 3 ар t.d ар .
(10.92)
(10.93)
228
Коrда частица находится далеко от плоскости, то h/ ар» 1 и
{м ( а: ) ( J при h/ ар » 1.
В случае малоrо зазора между частицей и плоскостью
r.{ :р ) ( ; J при h/a p « 1. (10.95)
Рассмотрим теперь составляющую rидродинамической силы, действующую
на частицу со стороны внешнеrо потока. Поскольку нас интересует сближение
с поверхностью, т. е. движение по нормали к поверхности цилиндра, то в Ka
честве rидродинамической силы Fst возьмем силу, соответствующую рис. 10.8, 6.
В этом случае нужно решить rидродинамическую задачу о стоксовом движении
частицы ар в окрестности плоскости в поле скорости несущей жидкости (10.80)
и при условии равенства нулю скоростей жидкости на поверхностях частицы и
цилиндра. Решение этой задачи дает
F.t= 6Л: UA"Y1cosep{{ a: )- (10.96)
Вдали от плоскости (h» ар) сила сопротивления близка к стоксовой,
а Fad О. Тоrда уравнение движения частицы 00.85) сводится к
Fn = Fst = 61tJla p u" (10.97)
(10.94)
rде и . скорость несущей жидкости, которую можно найти из (10.80), полarая
Ur= (1/r)д'l'/де:
ИАсуl (h ) 2 ( h ) 2
и . = COSep + ар UА"у! cose p а .
Сопоставляя (10.96) и (10.97) с (10.98), найдем, что при h» ар
Nh/a p ) "" (h/a p )2. (10.99)
( 10.98)
Если частица находится вблизи поверхности, то h «ар. В этом случае
{2 сопst [66]:
{2 (h/ ар) == 3,2 при h « ар.
(10.100)
Сравнение по порядку величин силы молекулярноrо притяжения Fad (10.93)
и составляющей rидродинамической силы Fst (10.96) показывает, что
Fad =Nd{ ( )
F.t а ар cose p '
(10.100
ra 2
N ad = 4 '
9л риАсуl
rде N ad безразмерный параметр адrезии. В случае N ad » 1 молекулярная
сила превосходит составляющую rидродинамической силы Fst.
В общем случае для решения задачи о столкновении частиц ар с поверх
ностью цилиндра нужно решить уравнение движения частицы ар под действием
сил молекулярноrо притяжения (10.93) и сил rидродинамическоrо сопротивле
ния (10.86) и (10.96). Эта задача может быть решена численными методами,
однако в предельном случае N ad »1 и h» ар удается аналитически определить
229
эффективность захвата цилиндром частиц из набеrающеrо потока [65]. 3aмe
тим, что без учета сил молекулярноrо притяжения и rидродинамическоrо сопро
тивления эффективность захвата была оI1ределена в разделе 13.3 (см. форму
лу (10.82».
в рассматриваемом случае осаждение частиц на поверхность цилиндра
схематично изображено на рис. 1 0.1 О.
Основное отличие схемы захвата ч стиц в случае учета молекулярной и
rидродинамической сил (рис 10.10) от зах:вата без учета этих сил (см. рис. 10.7)
состоит в виде предельной траектории, которая разделяет все семейство TpaeK
торий на траектории, двиrаясь по KOTOPbI)VI частицы сталкиваются с цилиндром,
и траектории, проносящие частицы мимо IJ;Илиндра. В первом случае предельная
траектория заканчивается у кормовой кри:тической точки цилиндра ер == n, в то
время как во втором случае в точке з цепления частицы ар с поверхностью
цилиндра при ер == n/2.
в случае N ad » 1 можно считать, чТО предельная траектория проходит в
области h» ар. При выполнении этих нсравенств уравнения безынерционноrо
движения частицы по нормали к поверхности цилиндра с учетом выражений
(10.86), (10.93), (10.94), (10.96) и (10.99) примет вид
6nJla p dh == ..!:.. ( а р ) 4 6л UА" I COS е ( ..!:.... J l (10.102)
dt 3 ар h а 2 у р ар
Это уравнение можно преобразоватt> к виду
: = u ;,aj (N..{ а; J +cose{ :, J) (10103)
Для определения проекции уравнения движения на касательную к поверх
ности цилиндра найдем танrенциальную составляющую скорости ив == а (de p / dt)
из (10.84) (см. рис. 10.9, в). Torдa в приближении h» ар получим
de p = 2UAc y la p sш8 р ( ..!:.... ) . (10 104)
dt а2 ар
Таким образом, уравнения (10.103) 1I (10.104) описывают траектории час
тиц ар, обтекающих поверхность цилиндра, включая и предельную траекторию,
при условии N ad » 1 и h/a p » 1.
Предельная
траектория
8 р ==п
и
..
Ecy1a
Рис. 10.10. Столкновение частиц с цилиндром с }"JeToM поверхностных и rидродииамических сил
230
Покажем, как не решая эти уравнения, можно найти предельную TpaeKTO
рию и эффективность столкновения частиц с цилиндром. Предельная TpaeK
тория (см. рис. 10.10) заканчивается в кормовой точке ер == х, У == у*. Опреде
лить у* можно следующим образом. При движении частицы по критической
траектории возле задней точки застоя скорость и, == ив == О, а поскольку в OK
рестности этой точки частица движется параллельно поверхности цилиндра, то
dh/dt==O. Тоrда из (10.103) следует, что
N ad ( а; J +cose p ( J == О. (10.105)
Полarая в этом уравнении ер == х, h == у* ар"" h*, поскольку h» ар, получим
У . h.
"" == N :6 »1. (10.106)
ар ар
Из уравнений (10.103) и (10.104) следует, что
d(h/a p )6 + 3ct е ( ) 6 == 3 :'м. .
de g р ар sш ер
Решение этоrо уравнения находится без труда. В
дельной траектории имеем
(10.107)
частности, вдоль пре
( :, r ,'nВ, (ЗN" l "n' ede J;;
Используя теперь определение (10.81) и (10.82),
захвата цилиндром частиц ар
Е суl == "'11т / аU.
Для определения "'11т воспользуемся выражением
В итоrе получим
(10.108)
можно найти сечение
(10.109)
(10.80) при h» ар.
'v А су lУ. ( ар ) ( h ) .
== Slnep == А суl 2 2 Slne p '
аU а2 а ар
При '" "'11т находим
(10.110)
. [ ( ар ) 2 ( У ) 2. ) ( ар ) 2 ( 311: ) 1/3
Е суl == J: А суl а ар SШ ер == А суl а 2 N ad .
(10.111)
Поскольку N ad 1/a , то Е суl а 13, т. е. зависимость Е суl от радиуса час
тиц ар более слабая, чем в случае неучета молекулярных и rидродинамиче
ских сил.
Для случая захвата частиц сферой при аналоrичных предположениях
эффективность захвата имеет вид
EsPh==%( a; J( ( N: h )/3} (10.112)
rде N : b определяется выражением (1 0.1 О 1), в котором нужно положить А суl == 1.
На рис. 10.11 показано сравнение зависимости (10.111) с зависимостью,
полученной путем численноrо решения уравнений движения частицы возле
цилиндра [67].
231
Ecyf 1. а ) 2
Acyf \а р
2,0
/
1,0
?'
7
/'
/
/
/
/ Приближенное
/ решение
/ (10.111)
/
/
/
/
/
Точное
решение
0,5
0,2
0,1
1O 6
1O 5
10-4
10-3
10 2
1O I
1
10 N ad
Рис. 10.11. Сечеиие захвата частиц цилиндром
в заключение отметим, что если сила тяжести существенна, то на частицы
будет действовать дополнительная сила
Fgr == M (P p{)gcosep'
(10.113)
в этом случае в уравнениях движения появляется дополнительный 6езраз
мерный параметр
N == Fgr == 2(р Р{) ga 2
gr F,t 9I1 UА су] '
влияющий на эффективность захвата частиц цилиндром.
Обзор работ, посвященных изложенной теме, содержится в [60].
(10.114)
10.5. ИНЕРЦИОННОЕ ОСАЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ НА ПРЕПЯТСТВИЯХ
Рассмотрим теперь эффект инерционноrо осаждения, иrрающеrо заметную
роль в осаждении на препятствиях частиц относительно крупных размеров или
частиц, плотность которых сильно отличается от плотности окружающей жидкости.
Пусть в ламинарном потоке, обтекающем некоторое тело, взвешены частицы
достаточно 60ЛЬШИХ размеров, так что их броуновской диффузией можно пре-
небречь. С дрyrой стороны, размер частиц пренебрежимо мал по сравнению с
размером o6TeKaeMoro тела. Кроме Toro, считаем, что плотность частицы намното
больше плотности жидкости, так что инерцией Частиц при рассмотрении их
движения относительно o6TeKaeMoro тела прене6речь нельзя. Если при расчете
движения частиц не принимать во внимание их rидродинамическое и молеку-
лярное взаимодействия с телом, то без учета, с одной стороны, инерции, а с дру-
rой конечноrо размера частиц, они не смоrли бы достичь поверхности тела.
Инерция частиц приводит к отклонению их траекторий от линий тока жидкости
при обтекании тела, особенно заметному в точках изrиба линий тока вблизи
232
поверхности тела. Если бы инерцию частиц не учитывали, то траектории частиц
совпали бы с линиями тока. При этом ЧастИЦЫ нулевоrо размера обоrнули бы
тело и не коснулись ето поверхности. Частицы конечноrо размера мотут столк
нуться С телом, если они движутся по линиям тока, минимальное расстояние
которых от поверхности тела не превосходит радиуса частиц. Если рассматри
вается обтекание шара радиуса а, то в этом случае сечение столкновения
E pb = тch;' /тса 2 , (10.115)
тде h расстояние предельной линии тока от прямой, проходящей через центр
шара и параллельной скорости набеrающеrо на шар потока.
Если инерцией частиц прене6речь, то предельная траектория проходит на
расстоянии ар от тела. В работе [57] этот эффект назван эффектом зацепления.
Там же показано, что при потенциальном обтекании шара
ESPh= ( 1+ ap ) 2 1 ::: За р . (10.116)
о а 1 + а/ар а
В друтом предельном случае очень большой инерции частиц можно при
ближенно считать, что частицы движутся по прямым траекториям. Тотда сече
ние столкновения можно найти из простых rеометрических соображений
ESPh ( ap+a ) 2 1 2ар ( 10.117 )
о +й'
В общем случае траектории частиц, увлекаемых потоком, определяются из
уравнения движения, которое имеет вид
.!тса3р d 2 r = 6 ТCf.lL2 ( U dr ) . (10.118)
З р dt 2 dt
Здесь предполаrается, что частицы движутся по стоксовому закону, а U
скорость потока несущей жидкости.
Вводя безразмерные переменные
r' =!:. 't = U t V =.!!.... s = 4U pa
а' а ' U ' 18 '
преобразуем уравнение (10.116) к виду
S d 2 r' + dr' = V(r).
d't 2 d't
( 10.119)
Безразмерный параметр S называется числом Стокса. Он характеризует
меру инерции частицы. lIри S« 1 инерция частицы мала и из (10.119) следует,
что траектория частицы близка к линии тока. При S» 1 из (10.119) находим,
что d 2 r / dt 2 ::: О, т. е. траектории прямые линии.
Задав закон обтекания тела, из (1 0.199) можно найти семейство TpaeKTO
рий частиц, затем определить предельную траекторию и сечение столкновения
частиц с телом.
Особенностью инерционноrо осаждения частиц на теле является существо
вание критическоrо числа Стокса SCfI такото, что при S < Scr захват частиц телом
невозможен, т. е. инерции частиц недостаточно, чтобы преодолеть увлечение их
потоком несущей жидкости [68]. Для цилиндра имеем следующие значения Scr:
0,0625 потенциальное обтекание (приближенное решение [57]); О, 1 потен
циальное обтекание (численное решение). Учет образования на поверхности
тела поrраничноrо слоя приводит к значению Scr::: 0,25 [69].
233
Существование критическоrо числа Стокса означает, что существует мини
мальный радиус капель, которые мотут захватываться препятствием:
( 2J.1ll ) 1/2
(ар)mш = 1,5 U р 5cr
(10.120)
10.6. КИНЕТИКА КОАfУЛЯЦИИ
в разделе 10.2 были изложены основные механизмы коаrуляции частиц и
в качестве примера рассмотрены простые задачи об изменении числа частиц со
временем в предположении, что в начальный момент и в последующие моменты
времени суспензия монодисперсная. Подобное предположение является идеали
зацией реальноrо процесса. Действильно, даже если в начальный момент Bpe
мени все частицы имели одинаковый размер, то на начальной стадии коarуляции
их еще можно рассматривать как монодисперсные, однако затем после первых
актов коаryляции образуются двойные частицы, которые коаrулируют не толь
ко между собой, но и с одиночными частицами. Со временем образуются трой
ные частицы и Т. п., которые коаryлируют с одиночными, двойными частицами
и между собой и т. д. Следовательно, со временем начальное монодисперсное
распределение становится полидисперсным. Изменение со временем, а в случае
неоднородности распределения частиц и в пространстве, называется кинетикой
коaryляции. В дальнейшем оrраничимся случаем однородното распределения
частиц в рассматриваемом объеме суспензии.
Рассмотрим броуновскую коaryляцию [52], хотя излаrаемый подход можно
обобщить на случай любоrо дрyrоrо механизма коarуляции.
Пусть в момент времени t в объеме имеется полидисперсное распределение
частиц. Разобьем частицы на rpуппы одинаковоrо размера и). Пронумеруем эти
rруппы в порядке возрастания их размера, считая, что в rруппу 1 входят
первичные частицы, в rруппу 2 двойные частицы и т. д. Частота столкнове
ний (число столкновений в единицу времени) между первичными частицами,
т. е. частицами, имеющими наименьший радиус, определяется выражением (10.41)
1311 = (41tDl1R1tnп, (10.120
тде D 11 коэффициент взаимной диффузии одиночных частиц; R 11 = 2а1 pa
диус коаrуляции; n1 численная концентрация одиночных частиц.
Аналоrично можно найти частоту столкновений между частицами типа i и
типа j (см. (10.40»:
13'1': 4х D'IR'I n,n),
( 10.122)
тде D'J = D, + D); n, и n! численная концентрация частиц сорта i и j в момент
времени t; R'J = а, + а).
Рассмотрим баланс частиц сорта k. Их число увеличивается при столкно
вении частиц сорта i и k i и уменьшается при столкновении частиц сортов k
и i. Уравнение, описывающее кинетику коarуляции, примет вид
J%k 1 ,%
dnk 1 R
"dt = '2 4тcD'JR'Jn'nJ Щ 4тcD'k ,k n ,'
1< k ,%1
J;:k t
(10.123)
При коarуляции твердых частиц они слипаются, поэтому приближенно
можно считать R'J "" R, + RJ'
234
Коэффициент броуновской диффузии D i 1/ а; (см. (8.70», поэтому
D R.. = (D + D.)(a. + а.) = Dlal ( + ) (a. + а.) (10.124)
1] IJ 1. ] t ] й; aj t J.
Если а; и aj несильно отличаются, что имеет место на начальной стадии
коаrуляции исходной монодисперсной смеси, то (а; + а) (а;1 + ajl) "" 4. Поэтому
D'JRij"" 4D, а, =2D j R, rде R=2a"
Сделанные упрощения позволяют преобразовать уравнение (10.123) к виду
d;k =4-тrRд ( j=-f inj 2щifni J ' (10.125)
«k .=1
f k ,
Если просуммировать левую и правую части (1 0.125) по k и использовать
равенство L nk = n суммарное число частиц в единице объема, то получим
k
d d n = 41tRд [ ifj :ninj 2kf ifnkn; ) =
t i=1 j=1 k=1 i=1
= 4-тrRдifjfninj == 4-тrRд [ ifnk ) 2 == 4-тrRDln2.
i = 1 j= 1 i =1
Если n = по при t == О, то из (10.126) следует, что
n = 1 + /t ' 't == 1/41tДRno.
(10.126)
(10.127)
Полученное выражение для полноrо числа частиц совпадает с выражением
(10.43).
Используя теперь (10.127), можно из (10.125) найти выражения для KOH
центраций первичных n" вторичных n2 и друrих частиц:
no not/t no(t/t)k 1
n = (1 + t/t)2 ' n = (1 + t/t)3 , ..., n = (1 + t/t) k + 1 .
10.12 показаны зависимости nk (О и суммарной концентрации n(t)
(10.128)
На рис.
частиц.
Заметим, что характерное время коаryляции 't == 31l/4k Тnо. Если жидкой
фазой является вода при Т = 298 ОС, то 1 2. 1011/ по, т. е. характерное время
зависит только от начальной концентрации частиц. Начальное объемное co
держание частиц <Ро == 4М5nо;3' Если по == 1014, ао = 1 мкм, то <i' = 4 . 1 O 4,
1=2. 10 З с.
При рассмотрении процесса коaryляции в полидисперсныIx системах удоб
но пользоваться не дискретным распределением частиц, а 'непрерывным распре
делением частиц по 06ъемам. Если считать распределение однородным по объему
суспензии, то n == n(V, О, rде V объем Частиц. В таком случае ndV число
частиц в единице объема суспензии, объем которых заключен в интервале
(V, V + dV). Полное число частиц в единице объема суспензии N и объемную
концентрацию этих частиц W находят из выражений
N = f n(V, OdV, W == fVn(V, t)dt.
о о
(10.129)
235
п/по
1,0
0,5
о
1
2
3
4 t/t
Рис. 10.12. Кииетика броуиовской коаryляции
Зная N и W, можно определить средний объем частиц по формуле
Vav W/N. (10.130)
Уравнение, описьmающее изменение со временем n(V, t), аналоrично (10.123),
но суммирование следует заменить на интеrрирование (см. (5.84) раздела 11)
v
дn , t) f K(V и, и) n(V и, t) п(и, t)du
о
v
n(V, t) f К(и, V) п(и, t)du.
о
Здесь К (и, V) фУНК1I.ия, называемая константой коarуля1I.ИИ. Она xa
рактеризует частоту столкновения частиц объема V u и u и удовлетворяет
условию К(и, V) K(V, и).
Для решения интеrpo дифференциальноrо кинетическоrо уравнения (10.131)
необходимо задать начальное условие n (V, О) nо( V) и потребовать выполне
ния условий n(V, t) о при V о и V 00 О. Решение этоrо уравнения пред
ставляет значительное математические трудности. Известен ряд аналитических
и приближенных решений для некоторых видов констант коаryляции. Подроб
ный анализ уравнения (10.131) можно lfайти в работе [70].
(10.131)
tO.7. ФИЛЬТРОВАНИЕ И МОДЕЛЬ ВЫСОКОПРОНИЦАЕМОЙ
ПОРИСТОЙ СРЕДЫ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Под фильтрованием понимается процесс сепарации частиц суспензии от
несущей жидкости при прохождении суспензии через проницаемый материал,
называемый фильтром. Основное отличие от процесса фильтрации состоит в
236
высокой nроницаемости пористоrо материала. Фильтром может служить пори
стый rранулированный материал или фибровый материал. Сепарированное
вещество может осаждаться в виде твердоrо осадка на поверхности фильтра и
внутренних порах материала. Частицы, размер которых меньше размеров пор
фильтра, осаждаются на поверхности rранул, из которых состоит фильтр, за
счет сил rидродинамическоrо, молеку лярноrо и электростатическоrо взаимодей
ствия. Возможны также и друrие виды взаимодействий.
ВО мноrих случаях фильтры представляют собой пористую среду с большой
проницаемостью. Например, весьма распространенным способом очистки rаза от
примесей (жидких или твердых) является применение сетчатых насадок, при
про хождении через которые частицы осаждаются на поверхности сетки. Очевид
но, что проницаемость Taкoro фильтра высока и капиллярная модель не rодится.
В разделе 6.11 обсуждался вопрос о медленном течении жидкости через
высокопроницаемую пористую среду в связи с процессом хроматоrрафии.
Скорость определялась законом Дарси. Проницаемость среды k зависит от
принятой модели пори стой среды. В частности, если среда состоит из одинако
вых сферических частиц, то для k справедлива формула Козени Кармана
(6.266). Эта формула получена в предположении, что движение жидкости мож
но рассматривать как движение через систему микрокапилляров, диаметр KO
торых определялся формулой (6.263), поэтому такая модель называется капиk
лярной. Она справедлива для среды с относительно малой проницаемостью. Из
формулы Козени Кармана следует, что проницаемость k резко возрастает при
е 1, rде е пористость среды, равная отношению объема пустот V v к CYM
марному объему среды V. При е« 1 представление пористой среды в виде
системы капилляров допустимо. Однако при е 1 объем, занимаемый твердой
фазой среды, мал и течение через пористую среду представляет собой течение
через систему относительно далеко отстоящих друr от друrа твердых частиц
набивки фильтра. Следовательно, переход от случая е« 1 к случаю е 1
приводит К коренному изменению структуры течения. Капиллярная модель уже
не rодится, и нужно рассматривать обтекание одной неподвижной частицы с
учетом влияния соседних частиц, т. е. с учетом стесненности. Такая модель
высокопроницаемой пористой среды называется моделью с сопротивлением.
Решение этой задачи представлено в работе [2].
Рассмотрим пористую среду, состоящую из ансамбля случайным образом
расположенных твердых сферических частиц одинаковоrо радиуса. Учет при
сутствия соседних частиц (учет стесненности) может быть сделан на основе
ячеичной модели, суть которой состоит в следующем. Введем объемную долю
твердых частиц в рассматриваемом объеме пористой среды q> = 1 е и обозна
чим через а радиус частиц. Окружим каждую частицу жидким сферическим
слоем с радиусом (рис. 10.13)
Ь=а/q>I/З.
(10.132)
Если Частицы находятся на одинаковом расстоянии друr от дрyrа, то сис
темы сфер, окружающих Частицы, заполняют область фильтра и не пересекают
ся. Действительно, имеем очевидные соотношения
V= V v + V p , V p = Vq>,
rде V p объем, занятый частицами.
Поскольку V p = 4х а З n/3 и все частицы одинаковы, то
4мЗ п 4мЗ п 4л:(аЗ ЬЗ)п 4м З п
"" V v + -----з = з + ---З------'
(10.133)
237
r
и
...... ........
/ /' ........ '<' Траница ячейки
\
\
Рис. 10.13. К учету стесиеииости движения частицы
откуда следует, что
аЗ == q> Ь З .
Предположим, что каждая ячейка остается сферической и напряжения на
ее внешней поверхности равны нулю. Течение жидкости через ячейку считаем
медленным, так что Re« 1. Тоrда оно описывается уравнениями Стокса
v. и==О, дu==Vр (10.134)
с rраничными условиями
И r == Ив == О при r == а; И r == И cOS е, 't"' == О при r == Ь.
(10.135)
Заметим, что течение, как обычно, рассматривается в системе координат,
связанной с частицей. В случае обтекания одиночной сферической частицы в
бесконечной жидкости функция тока имеет вид (10.75). Учет стесненности обу
словлен требованием выполнения rpаничноrо условия при r == Ь и приводит К
следующему выражению для функции тока:
3
'11 == '4uл.рh (Т а)2 sm 2 е, (10.136)
,, 2(1 <р5/З)
п. s h
р 2 3q>I/З + 3<р5/З 2q>2
Сопротивление, испытываемое одной частицей, равно
F == 61tf.lL2U 3 + 2q>5/З
3 4,5q>I/З + 4,5<р5/З 3q>2
( 10.137)
Соrласно модели пористой среды с сопротивлением падение давления на
единицу длины среды равно силе Р, деленной на объем ячейки 41tЬ З /3, т. е.
dp 3Р
dx 41tЬ З . (10.138)
Поскольку dp/dx== U/k, то из (10.137) и (10.138) находим проницае
мость фильтра
k == 3 4,5q>I/З + 4,5q>5/З 3q>2 (2а)2.
18q>(3 + 2q>5/З)
Положив q> == 1 Е И В пределе Е О, из (10 139) найдем
k "" Е З d 2 / 162.
(10.139)
(10.140)
238
Аналоrичное разложение для формулы Козени Кармана дает
k=-E 3 d 2 /180. (10.141)
Выражения (1 0.140) и (1 0.141) для проницаемости различаются числовым
коэффициентом. Это различие объясняется тем, что формула (10.140) получена
из (10.139), которая справедлива при q> о или Е 1 (высокопроницаемая
среда), в то время как формула (10.141) rодится для Е О.
Количество твердой фазы суспензии, протекающей через фильтр и захва
тываемой частицами фильтра, может быть найдено при рассмотрении обтекания
суспензией сферических или цилиндрических препятствий, из которых состоит
фильтр. Методы решения задач такото рода были изложены в предыдущих
разделах настоящей rлавы.
10.8. ЯВЛЕНИЕ rИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ДИФФУЗИИ
Отметим еще один механизм движения частиц в суспензии с учетом влия
ния окружающих частиц. До сих пор в основном рассматривалось медленное
движение пробной частицы с учетом взаимодействия с соседними частицами, но
при условии их достаточно малой объемной концентрации <р. Несмотря на это,
оrраничение формулу (8.150) для скорости стесненното движения частицы
используют для относительно больших значений <р, т. е. применительно к KOH
центрированным суспензиям. В таких суспензиях движение частиц (rравита
ционное осаждение или течение в сдвиrовом потоке) носит случайный характер,
но не такой, как при броуновском движении, поскольку размер частиц ДOCTa
точно большой. Такой характер движения вызван rидродинамическим взаимо
действием с соседними частицами.
Так, в концентрированной суспензии в сдвиrовом потоке частицы движутся
не вдоль линии тока, а совершают случайное движение среди окружающих
частиц (рис. 10.14, а) в направлении, противоположном rрадиентам числа ча
стиц и скорости. Это вызвано тем, что частоты встреч пробной частицы с
окружающими частицами на противоположных сторонах поверхности про6ной
Частицы различны. Дрyrим примером является rравитационное осаждение час
тиц в концентрированной суспензии (рис. 10.14, 6). Частицы осаждаются не с
а
@0:У-С7
е '- ..... .....- '"
-0k)-0f)
-0k)
б
QQ?CV Q
(,') QI(,') Q
'YQ \'t'C\)
К!
Рис. 10.14. Схематичиое изображение скоростей частиц и траекторни
(пуиктириая линия) пробиой частицы:
а движение суспензии в сдвиrовом потоке; 6 rравитационное осаждение
239
постоянной скоростью и даже не со скоростью, определяемой законом CTeCHeH
ното осаждения, а совершают случайное движение как вдоль направления yc
корения свободноrо падения и, так и в поперечном направлении. Эти движения
частиц носят диффузионный характер и получили название rидродинамической
диффузии [71].
Движение частиц в процессе rравитационной седиментации можно pac
сматривать как явление самодиффузии, если распределение частиц в суспензии
однородно. Неоднородность в распределении частиц при водит к явлению Tpa
диентной или обычной диффузии. Эксперименты [72] показали, что флуктуации
скорости частиц достиrают их средней скорости движения, причем иноrда ча
стицы движутся даже против силы тяжести. Сильная анизотропия rидродина-
мической диффузии приводит к тому, что коэффициент самодиффузии в на-
правлении g равен D{ = 8аU, а в поперечном направлении Di = 2аU, тде а
радиус частиц, И средняя скорость стесненното осаждения частиц. Отмечено
также, что эффект самодиффузии заметно уменьшается, котда концентрация
частиц становится больше 30 %. Самодиффузия наблюдалась также при осаж
денни тяжелой частицы в суспензии леrких Частиц. Если учитывать только
парные rидродинамические взаимодействия частиц, то при стоксовом течении
rориэонтальная составляющая rидродинамической самодиффузии оказывается
равной нулю [73]. Этот факт свидетельствует о том, что поперечная составля
ющая самодиффузии в суспензии вызвана, по видимому, не парныи,, а MHOro
частичными rидродинамическими взаимодействиями.
fрадиентная диффузия проявляется в дрейфе частиц против rрадиента
концентрации частиц. В [73] получено следующее выражение для коэффици
ента поперечной диффузии Df = 8аU.
Явление rидродинамической диффузии в сдвиrовом потоке, а также воз-
можные приложения рассмотрены в работе [71].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Batchefor О. К. Deve]opments in microhydrodynamics/ln theoretical and аррliес! mechanics;
Ed. W. Т. Koiter. Amsterdam: North Holland, 1976. Р. 33 55.
2. Хаnnель Дж., Бреннер Т. fидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир,
1976. 630 с.
3. Втеnnет Н. Hydrodynamic resistance of particles at small Reynolds numbers/ / Advan.
Chem. Eng. 1966. У. 6. Р. 287 438.
4. Морс Ф., Фешбах Т. Методы математической физики: В 2 т. М.: ИЛ, 1958.
5. Сох Я. О., Мшоп S. О. Suspended partic]es in f]uid f]ow through tubes/ / Ann. Rev.
Fluid Mecb. 1971. У. 3. р. 291 316.
6. НаЬет S., Hetsroni О., Solan А. Оп the ]ow Reyno]ds number motion of two drops/ /
Int. J. Mu]tiphase Flow. 1973. У. 1. .Nl 1. Р. 57 71.
7. Зинченко А. З. К расчету rидродинамическоro взаимодействия капель при малых числах
Рейнольдса/ /ПММ. 1978. Т. 42. М 5. С. 955 959.
8. Davis R. Н., Schonberg J. А., Raffison J. М. The ]ubrication force between two viscous
drops/ /Phys. Fluids A. У. 1. Р. 77 81.
9. Viaпtsios S. О., Davis R. Н. C]ose approach and deformation of two viscous drops due
to gravity and Van der Waa]s forces/ /J. Colloid Interface Sci. 1991. У. 144. Р. 412 433.
10. Ладыженсхая О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидко
сти. М.: Наука, 1970. 288 с.
11. Raffison J. М. ТЬе deformation of small viscous drops and bubbIes in shear flows/ / Аnn.
Rev. F]uid МесЬ. 1984. У. 16. Р. 4S 66.
12. Brady J. Р., Bossis G. Stoksian Dynamlcs/ /Ann. Rev. Fluid Mecb. 1988. У. 20.
Р. 111.
13. Kyпch G. J. The stow motion of two or more spheres through а visCQUS f]uid/ / J. Ftuid
Mech. 1959. У. 5. Р. 193 208.
14. Mazur Р., van Saar/oos W. Many sphere hydrodynamic interaction and mobilities in а
suspension/ /Physica. 1982. У. 115 А. Р. 21 57.
240
15. Ganatos Р., Pfeffer R., Weinbaum S. А numerica] solution technic for three dimensional
Stokes flows, with application to the motion of strongly interacting spheres in а plane/ /1. F]uid
Mecb. 1978. V. 84. Р. 79 111.
16. Bossis G., Brady j. Р. Dynamic simulation of shear suspensions. 1. Genera] Method/ /
1. СЬет. Phys. 1984. V. 80. Р. 5141 5154.
17. Эйнштейн А., Смолуховскuй М. Броуновское движение. М.: ОНТИ, 1936.
18. Прuzoжuн И., Дефэй Р. Химическая термодинамика. М.: Наука, 1966. 509 с.
19. Леонтовuч М. Л. Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука,
1983. 416 с.
20. Katayama У., Terauti R. Brownian motion of а sing]e partic]e under shear flow / /Eur.
1. Phys. 1966. V. 17. Р. 136 140.
21. Van Катреп N. G. Stochastic processes in physics and chemistry. Amsterdam: North
Holland, 1992.
22. Russel W. В. Вrоwпiап motion of small particles suspended in liquids/ / Ann. Rev. Fluid
Mecb. 1981. V. 13. Р. 425 455.
23. Деряzuн Б. В., Муллер В. М. О медленной коarуляции rидрофобных коллиоидов/ /
Дом. АН CCCP. 1967. Т. 176. С. 869 872.
24. Spielman L. А. Viscous interaction in Brownian coagu]ation/ /1. Colloid Interface Sci.
1970. V. 33. Р. 562 571.
25. Honig Е. Р., Roebersen G., Wiersema Р. Н. Effect of hydrodynamic interaction оп the
coagu]ation rate of hydrophobic colloids/ /1. Colloid Interface Sci. 1971. V. 36. Р. 91 109.
26. Batchelor G. К. Brownian diffusion of partic]es with hydrodynamic interaction/ /1. Fluid
Mecb. 1976. V. 74. р. 1 29.
27. Zinchenko А., Davis R. Н. ColJision rates of spherica] drops or partic]es in as chear flow
at arbitrary Pec]et numbers/ /Phys. Fluids A. 1995. V. 7. Р. 2310 2327.
28. Сuнайскuй Э. r. Броуиовская и турбулентная коaryляция капель в вязкой жидкости и
устойчивость эмульсий/ /Коллоид. журн. 1994. Т. 56. M 1. С. 105 112.
29. Phung Т. N., Brady j. Р., Bossis G. Stoksian Dynamics Simu]ation of Brownian Syspen
sions// 1. F]uid Mecb. 1996. Y. 313. P. 181 207.
30. Durlofsky L. j., Brady j. Р., Bossis G. Dynamic Simu]ation of hydrodynamically interacting
partic]es/ /1. F]uid Mecb. 1987. V. 180. Р. 21.
31. Ламб r. fидродинамика. М.: ОfИЗ, 1947. 928 с.
32. Sadron Ch. Dilute so]utions of impenetrable rigid particles/ln flow properties of disperse
systems; Ed. 1. 1. Hermans. Amsterdam: North Holland, 1953. Р. 131 198.
33. Taylor G. 1. ТЬе viscosity of а f]uid containing small drops of another fluid/ /Proc. Roy.
Soc. 1932. А 138. Р. 41 48.
34. Batchelor G. К. ТЬе effect of Brownian motion оп the bu]k stress in а suspension of
spherica] partic]es/ /1. Fluid Mecb. 1977. V. 83. Р. 97 117.
35. Probstein R. Р. Physicochemica] hydrodynamics. Butterworths, 1989. 318 р.
36. Manders/oot W. G. В., Scott К. j., Geyer С. Р. Sedimentation in the hindered settling
regime/Advances in solid-liquid separation; Ed. Н. S. Muralidhara. 1986. Р. 63 77.
37. Davis R. Н., Acrivos А. Sedimantation of noncolloida] particles at low Reynolds num
bers/ /Ann. Rev. Fluid Mecb. 1985. V. 17. Р. 91 118.
38. Уоллuс r. Одномерные двухфазные течения. М.: Мир, 1972. 440 с.
39. Мuзес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М., ИЛ, 1961. 588 с.
40. Kyпch G. j. А theory of sedimentation/ /Trans. Faraday Soc. 1952. V. 48. Р. 166 176.
41. Petty С. А. Continuous sedimentation of suspension with а nonconvex fI ux law / / СЬет.
Eng. Sci. 1975. V. 30. Р. 1451 1458.
42. Boycott А. Е. Sedimentation of blood corpuscles/ /Nature. 1920. У. 104. Р. 532.
43. Activos А., Herbolzheimer Е. Enhanced sedimentation in settJing tапks with inclined
walls/ /1. Fluid Mecb. 1979. У. 92. Р. 435 457.
44. Сuнайскuй Э. r. Разделение двухфазных мнотокомпонентных смесей в нефтеrазопромыс
ловом оборудовании. М.: Недра, 1990. 272 с.
45. Fujita Н. Foundation of ultracentrifuga] ana]ysis. New York: Wiley, 1975. 459 р.
46. Greeпspan Н. Р. ОП centrifugal separation of а mixture/ /1. F]uid МесЬ. 1983. 127.
Р. 91 101.
47. Духин С. С., Деряzuн В. В. Электрофорез. М.: Наука, 1976. 332 с.
48. Henry D. С. ТЬе catophoresis of suspended particles. Part 1. ТЬе equation of catopho
resis//Proc. Roy. Soc. 1931. A 133. P. 106 129.
49. Henry D. С. ТЬе catophoresis of suspended particles. Part IV ТЬе surface conductivity
effect/ /Тrапs. Faraday Soc. 1948. У. 44. Р. 1021 1026.
50. Wiersema Р. Н., Loeb А. L., Overbeek j. Th. G. Calcu]ation of the electrophoretic
mobility of spherical colloid particle/ /1. Colloid Interface Sce. 1966. У. 22. Р. 78 99.
51. Левuч В. r. Физико химическая rидродинамика. М.: fИФМЛ, 1959. 699 с.
52. Кройт r. Р. Наука о коллоидах. Т. 1: Необратимые системы. М.: ИЛ, 1955. 538 с.
16 1461 241
53. Hiemeпz Р. С. Principles of colIoid and surface chemistry. New York: Матсеl Dekker,
1986, 815 р.
54. Hogg R., Healy Т. W., Fuersteпau D. W. Mutual coagulation of colIoidal dispersions/ /
Trans. Faraday Soc. 1966. V. 62. P. 1638 1651.
55. Hamaker Н. С. ТЬе London Van der WaaIs attraction between sphericaI particles/ /
Physica. 1937. У. 4. Р. 1058 1072.
56. Муллер В. М., ДерЯlUН Б. В. О зависимости пороrовой концентрации электролита от
размера коллоидных частиц/ / Докл. АН СССР. 1967. Т. 176. С. 1111 1113.
57. Фукс Н. А. Механика азрозолей. М.: Изд. АН СССР, 1955. 351 с.
58. Смолуховскuй М. В с6. Коarуляция коллоидов. М.: ОНТИ, 1936.
59. Ентов В. М., Камuнскuй В. А., ЛапUlа Е. Я. К расчету скорости коалесценции эмуль
сий в турбулентном потоке/ /Изв. АН СССР. МЖf. 1976. М 3. С. 47 55.
60. Spielmaп L. А. Particle capture from Iow speed laminar f1ows/ / Ann. Rev. Fluid Mecb.
1977. V. 9. Р. 297 319.
61. Schowalter W. R. Stability and coagulation of colIoids in shear fields/ / Ann. Rev. Fluid
Mecb. 1984. У. 16. Р. 214 261.
62. Сuнайскuй Э. r. Коaryляция капель в турбулентном потоке вязкой жидкости/ /Колло
ид. журн. 1993. Т. 55. Nq 4. С. 91 103.
63. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.
64. ДерЯlUН Б. В., Чураев Н. В., Муллер В. М. Поверхностные силы. М.: Наука, 1985.
398 с.
65. Spie/maп L. А., Goreп S. L. Capture of smalJ particles Ьу London forces from Iow speed
Jiquid flows/ /Environ. Sci. Technol. 1970. У. 42. Р. 135 140.
66. Goreп S. L. ТЬе norma! force exerted Ьу creeping flow оп а small sphere touching а
plane/ /1. Fluid Mecb. 1970. У. 41. Р. 619 625.
67. Spielmaп L. А., Fizpatrick J. А. Theory for particle collection under London and gravity
forces/ /1. Colloid Interface Sci. 1973. V. 42. Р. 607 623.
68. Лашмюр И. В с6. Физика образования ОСадКов. (Ред. Б. В. Деряrnн и А. Х. Хрrиан).
М.: ИЛ, 1951. 255 с.
69. Сuнайскuй Э. r., Толстов В. А., rорбаткuн А. Т., Никuфоров В. А. Метод расчета
сепараторов, оборудованных сетчатыми каплеуловительными секциями/ /Изв. вузов. Сер. Нефть
и rаз. 1987. М 11. С. 51 54.
70. Волощук В. М. Кинетическая теория коаryляции. М.: fидрометиздат, 1984. 283 с.
71. Davis R. Н. Hydrodynamic diffusion of suspended particles: а simposium/ /1. Fluid Mech.
1996. V. 310. Р. 325 335.
72. Nicolai н., Herzhaft В., Hinch Е. J., Oger L., Guazzelli Е. Particle velocity f1uctuations
and hydrodynamic self diffusion of sedimenting non Bro nian spheres/ /Phys. Fluids. 1995. V. 7.
Р. 12 23.
73. Davis R. Н., Hasseп М. А. Spreading of the interface at the top of а sJightly polydisperse
sedimentating suspension/ /1. Fluid Mecb. 1988. V. 196. р. 107 134.
v
ЭМУЛЬСИИ
Эмульсия определяется как дисперсная система, состоящая из двух HepaCT
воримых жидкостей. Примером является водонефтяная эмульсия, которая пред
ставляет собой rрубодисперсную систему с размером капель дисперсной фазы
от 0,1 мкм И выше. Водонефтяные эмульсии бывают двух видов. Если объем
ная концентрация воды мала по сравнению с объемной концентрацией нефти, то
сплошной фазой является нефть, а вода в виде взвешенных в нефти капель
представляет собой дисперсную фазу. TaKoro вида эмульсии называются обрат
ными или эмульсиями типа вода в масле (в/м). Если объемная концентрация
нефти мала по сравнению с объемной концентрацией воды, то такая эмульсия
называется прямой или масло в воде (м/в). При этом вода служит сплошной,
а нефть дисперсной фазой.
Эмульсии широко распространены в природе и в технике. Кроме водонеф
тяных эмульсий, можно привести друrие виды эмульсий: молоко, битумы, плас
тические смазки, охлаждающие жидкости, водоэмульсионные краски и т. д.
В природе наиболее распространенными эмульсиями являются эмульсии, обра
зованные водой и какой либо орrанической жидкостью.
Эмульсия образуется в результате смешениЯ двух нерастворимых жидко
стей. Ее дисперсность зависит от устойчивости эмульсии. Если смеlпать две
жидкости с разными объемами, то в процесс е перемешивания образуются капли
одной жидкости, взвешенные в друrой жидкости. При отсутствии в системе
электролита, который, как известно, может стабилизировать эмульсию, эмульсии
термодинамически неустойчивы. В состоянии покоя капли эмульсии имеют
тенденцию к укрупнению :За счет процесса коалесценции. При движении эмуль-
сии в неоднородном поле скоростей капли MorYT деформироваться и дробиться,
а также сближаться и коалесцировать. В результате происходит два конкури
рующих процесс а дробление и коалесценция капель. В зависимости от харак-
терных времен этих процессов эмульсия может становитьсЯ более мелкодис
персной (скорость дробления превосходит скорость коалесценции) или более
крупнодисперсной (в противном случае). Если скорости дробления и коалес-
ценции совпадают, то эмульсия находится в состоянии динамическоrо равнове-
сия и дисперсное состояние не изменяется.
Процессами дробления и коалесценции можно управлятв. Если в эмуль-
сию добавить деэмульrатор, то он адсорбируется на поверхностях капель и
снижает их поверхностное натяжение L. Тем самым увеличивается число Be
бера. При определенной концентрации деэмульrатора число Вебера становится
больше критическоrо значения и капля дробится. С друrой стороны, перемеши
вание эмульсии может увеличивать частоту столкновения и коалесценцию Ka
пель. Однако слишком интенсивное перемешивание может способствовать не
только коалесценции, но и дроблению капель.
16* 243
Природные жидкости, например нефть, содержат большое количество He
растворимых тонкодисперсных твердых веществ, которые, адсорбируясь на
поверхностях капель, образуют прочные бронирующие оболочки, уменьшающие
подвижность поверхности капель и препятствующие их коалесцении. Таким
образом, наличие заrрязнений способствует стабилизации эмульсии. Поэтому со
временем эмульсии стабилизируются или, как rоворят, стареют.
В дальнейшем оrраничимся рассмотрением обратных водонефтяных эмуль
сий типа в/м. Сплошная фаза нефть является веществом с очень низкой про
водимостью (1 0 13 1 0 6 1/ Ом . м). Дисперсная фаза вода, содержащаяся в
добываемой нефти, имеет MHoro растворимых минеральных солей, что обуслов
ливает ее высокую проводимость (10 4 10 1 1/0м' м). Поэтому обратную
водонефтяную эмульсию можно рассматривать как дисперсную систему, в KO
торой дисперсная фаза (капли воды) проводящая, а сплошная фаза (нефть)
диэлектрик. Это значит, что на дисперсную фазу водонефтяной эмульсии мож
но избирательно воздействовать внешним электрическим полем. Под действием
электрическоrо поля капли воды поляризуются, притяrиваются друr к друry,
сталкиваются и коалесцируют. Тем самым внешнее электрическое поле способ
ствует укрупнению эмульсии. В дальнейшем будет показано, что высокая Ha
пряженность электрическоrо поля может приводить и к дроблению капель.
Важным технолоrическим процессом подrотовки нефти к транспорту являет
ся обезвоживание нефти, т. е. удаление из нефти воды. Осуществляется этот про
цесс в специальных емкостях (отстойниках), в которых капли воды отделяются от
нефти путем rравитационной седиментации. Размер этих емкостей должен обеспе
чить осаждение из нефти достаточно мелких капель. Размер капель, как правило,
мал, так что скорость их осаждения подчиняется закону Стокса И"" 2tJ.pgR 2 /9/l e ,
rде tJ.p разность плотностей фаз, /le динамическая вязкость сплошной фазы.
Для характерных значений tJ.p == 200 Kr /м 3 , /le == 10 2 Па' с, R == 10 мкм имеем
u==o,S' 10 5 м/с. Это значит, что из слоя водонефтяной эмульсии высотой 1 м
вьтадут все капли радиусом более 10 мкм за время t 2' 105 с == 50 ч. Для R == 100 мкм
это время составит t 0,5 ч. Таким образом, если удастся увеличить радиус капель
воды в эмульсии в 10 раз (например, от 10 до 100 мкм), то время разделения
эмульсии уменьшится на два порядка, а следовательно, во столько же раз YMeHЬ
шится объем (длина) отстойника. Столь большое увеличение размера капель за
относительно небольшое время можно осуществить, поместив эмульсию в oднopoд
ное внешнее электрическое поле. Для определения времени, необходимоrо для
укрупнения капель воды в нужное число раз, следует определить скорость коалес
ценции капель, т. е. исследовать динамику процесса укрупнения капель в эмульсии.
11
ПОВЕДЕНИЕ КАПЕЛЬ В ЭМУЛЬСИЯХ
11.1. ДИНАМИКА ПРОЦЕССА УКРУПНЕНИЯ КАПЕЛЬ
Динамика процесс а укрупнения капель в полидисперсной эмульсии за счет
их столкновения и слияниЯ (коалесценции) в пространственно однородном
случае при малом объемном содержании дисперсной фазы, коrда можно orpa
244
ничиться учетом только парных взаимодействий капель, описывается следую
щим кинетическим уравнением:
v
дп<;:, t) = f K(V щ 0) n(V Щ t) n(щ t) dO) n(V, t) f K(V, 0) n(щ t)dщ (11.1)
о о
тде n(V, t) распределение капель по 06ъемам V в момент времени t, K(V, 0)
ядро кинетическоrо уравнения, имеющеrо смысл частоты столкновения капель
объема V и о) в единице объема дисперсной фазы при единичной концентрации
этих капель.
Первый член в правой части уравнения (11.1) соответствует скорости
образованию капель объема V за счет слияния капель, имеющих объемы V о)
и 0), а второй скорости убывания капель объема V при коалесценции капель
объема V с друrими каплями.
Решение уравнения (11.1) при заданном начальном распределении по (V)
позволяет проследить эволюцию со временем распределения капель по объемам
и определить следующие основные параметры распределения: численную KOH
центрацию капель, т. е. число капель в единичном объеме эмульсии
N(t) = J n(V, t)dV,
о
объемное содержание капель, т. е. объем капель в единичном объеме эмульсии,
( 11.2)
W(t) = J V n(V, t) dV,
о
( 11.3)
средний объем кahель
Vav(t) == W(t) / N (t).
( 11.4)
Ядро K(V, 0) определяет механизм взаимодействия капель, поэтому иссле
дование общих свойств наряду с конкретным видом ядра для различных про
цессов составляет самостоятельный раздел теории физики дисперсных сред.
Важным свойством ядра кинетическоrо уравнения является симметрич
ность относительно размеров сталкивающихся капель, т. е. К( V, 0) == К(О), V).
Умножим обе части уравнения (11.1) на V и проинтеrрируем по V от О до 00.
Учитывая выражение (11.3), получим
v
dd = J JV K(V щ O)n(V Щ t)n(щ t)dVdO)
о о
J J K(V, 0) n(V, t) n(щ t) dV dO).
о о
В первом интеrрале (11.5) сделаем замену переменных z == V 0), о) == ro,
позволяющую преобразовать область интеrрирования О$; V < 00, о $; о) < V в об
ласть О$; z < 00, о $; о) < 00. При этом уравнение (11.5) примет вид
(11.5)
dd = t J J (z + O)K(z, 0) n(z, t) n(щ t) dzdO)
о о
J J K(V, O)n(V, t)n(щ t)dVdO).
о о
(11.6)
245
Обозначим теперь z через V. Torдa (11.6) перепишется в виде
d:; = t J J (ooK(V, oo) V K(V, oo»n(V, t)n(щ t)dVdoo.
о о
(11.7)
Поскольку рассматривается только коалесценция капель, то со временем
суммарный объем капель, т. е. объемное содержание капель W, остается по
стоянным. Это означает, что
J J (ooK(V, (0) V K(V, (0» n(V, t) n(щ t) dV doo = О.
о о
(11.8)
Поменяв местами V и 00 в первом слаrаемом интеrрала (11.8), что, очевид
но, не повлияет на значение интеrрала, получим
J J V(К(щ V) K(V, oo»n(V, t) n(щ t)dVdoo = О.
о о
Из (11.9) следует, что условие симметричности ядра кинетическоrо ypaB
нения К (V, (0) = к (00, V) является достаточным условием постоянства объем
ной концентрации капель W. Покажем необходимость этоrо условия. COOTHO
шение (11.9), как следствие кинетическоrо уравнения (11.1), должно ВЫПОk
няться для любых физически допустимых распределений капель по объемам
n (V, t), в том числе и для бидисперсноrо распределения, т. е. для системы,
состоящей из капель двух объемов V! и V 2 . ДЛЯ такой системы
n(V, t) = no( o(V V;) + (1 ) o(V V 2 ». (11.10)
( 11.9)
Здесь no число капель объема V!, (1 )no число капель объема V 2 ,
а о(х) дельта функция.
Подставляя (11.10) в (11.9) и используя свойство дельта функции
J F(x) О(Х хо) dx = F(xo), получим
о
nб(V; V2) (1 )(К(V2, V;) K(V;, V 2 »=0. (11.11)
Для бидисперсной системы no:F- О, V!:F- V 2, :F- О и :F- 1, поэтому
K(V 2 , V!) =K(V!, V 2 ). (11.12)
Поскольку выбор V! и V 2 произволен, то равенство (11.12) должно BЫ
полняться для любых объемов капель из области их определения.
Нарушение условия симметричности ядра кинетическоrо уравнения озна
чает, что объемная концентрация капель не остается постоянной, что эквива
лент но неrласному введению в систему источников и стоков, интенсивность KO
торых зависит от степени и вида асимметрии ядра. Следствием симметричности
ядра K(V, (0) является также то, что при фиксированной сумме объемов капель
V + 00 = Z = const функция К (V, (0) имеет экстремадьную точку при V == 00.
Ядро кинетическоrо уравнения характеризует частоту столкновения Ka
пель и чаще всето рассчитывается путем численноrо решения задачи о взаимо
действии капель и последующей аппроксимации результатов решения. Поэтому
условие симметрии, являясь необходимым, накладывает оrраничения на выбор
аппроксимирующих выражений. Эффективный метод симметризации ядра по
имеющимся численным значениям изложен в работе [1].
Кинетическое уравнение (11.1) является нелинейным интеrродифферен
246
циальным уравнением, общей теории решения которото в настоящее время не
существует. Имеющиеся точные решения основаны на использовании опера
ционных методов применительно к случаю линейной зависимости К (V, 0) от
каждоrо из объемов капель [2]. Для решения уравнения (11.1) с ядрами более
общеrо вида используются приближенные методы параметрические методы и
метод моментов, а также численные методы. Параметрические методы и метод
моментов основаны на сведении кинетическоrо уравнения к системе уравнений
относительно моментов распределения капель по объемам. Однако образую
щаяся система уравнений, как правило, оказывается незамкнутой, поскольку в нее
кроме целых моментов входят дробные моменты, наличие которых обусловлено
степенной зависимостью ядра К (V, 0) от объемов капель. Для замыкания
системы уравнений необходимы дополнительные соотношения или оrраничения
на вид распределения капель по размерам. Так, использование параметриче
ското метода основано на предположении, что распределение принадлежит оп
ределенному классу, например классу лоrарифмически нормальных распреде
лений, параметры которото изменяются со временем и подлежат определению.
Метод интерполяции дробных моментов не оrраничен видом распределения, но
требует дополнительных соотношений. В дальнейшем при решении конкретных
задач будут использованы оба метода. Рассмотрим их подробнее.
В большинстве практических случаев наибольший интерес представляет не
само распределение капель по объемам n (V, t), а несколько первых ее MOMeH
тов или их комбинаций, которые имеют физический смысл и относительно
леrко MOryT быть найдены экспериментально. При этом экспериментальные
результаты MOryT дать ответ на вопрос, соответствует ли принятая модель взаи
модействия капель действительности, поскольку выбор механизма коалесцен
ции капель, как правило, основан на ряде допущений.
Под моментами распределения капель или друrих частиц по объемам по
нимаются следующие выражения:
mk == JVkn(V, t)dV; (k == 0,1,2, ..,).
о
Значению k == О отвечает нулевой момент то, имеющий смысл числа капель
(численной концентрации капель), содержащихся в единичном объеме эмуль
сии; значению k == 1 соответствует момент первоrо порядка, равный объему,
занимаемому каплями, в единичном объеме эмульсии (объемная концентрация
( 3 ) 1/3 тl/3
или объемное содержание капель). Комбинации моментов дают: 4п 7n()'
средний радиус капель, ;: средний объем капель, (36п) 1/3 т2/3 площадь
всех капель (площадь межфазной поверхности) в еди нич ном объеме эмульсии.
Кроме Toro, зная первые пять моментов т,(i == 0,4), можно определить,
используя диаrрамму Пирсона [3], к какому классу относится распределение
n(V, t) (рис. 11.1). На диаrрамме по осям координат отложены параметры 1
и 2, которые называются квадратом асимметрии и эксцессом распределения и
выражаются через моменты распределения следующим образом:
1 == ( 2 ) 2, 2 == 11 '
112 112
т2 ( тl ) 2 тз 3 т2тl 2 ( тl ) 3
fl2 flз +
mo mo' mo та mo'
(11.13)
247
[32
1
Экспоненциальное
распределение
2
3
4
5
б
7
8
9
10
О
1
2
3
4 [31
Рис. 11.1. Диаrрамма Пирсона
т4 4 тзтt 6 m2т'f з( т t ) 4
f.!4 + .
то тб mg mo
Для тото чтобы от кинетическоrо уравнения (11.1) перейти к уравнениям
для моментов тk, умножим обе части этоrо уравнения на V k и проинтеrрируем
полученное выражение по V в пределах от О до 00. В итоrе получим
;t ( j Vkn(V, t)dV ) == jJVkK(V Щ O)n(V Щ t)n(щ t)drodV
о о о
JJVkк(v,О)n(v,t)n(щt)drodV. (11.14)
о о
Поступая так же, как и при выводе уравнения (11.6), сделаем в (11.14)
замену переменных z == V + 0), о) == 0). При этом (11.14) примет вид
d':t k == j j (z + O)k K(z, 0) n(z, t) n(щ t) drodz
о о
J JVkK(V, O)n(V, t)n(щ t)drodV.
о о
Заменив в первом интеrрале z на V, перепишем это уравнение в виде,
обычно используемом в методе моментов:
248
d;;k = [[( f (V + oo)k Vk )K(V, (0) n(V, t) n(щ t) drodV.
Большинство из известных ядер кинетичеСКОrо уравнения имеет вид CTe
пенных функций объемов частиц. Учитывая, что К (V, (0) должно обладать
симметрией относительно V и 00, ето можно в общем случае представить в виде
/
K(V, (0) = I,G)(vaJWJ +ooaJV J). (11.16)
)=0
(11.15)
Подставим теперь выражение (11.6) для ядра в уравнение (11.15) и pac
кроем бином в первом интеrpале правой части. В итоrе получим
d';k = :t G) ( t ( ) (m.+aJmk '+ J +m'+ Jmk .+aJ)
) =0 ,=0
(т mk + + та mk + а » ) (k = О, 1, 2, ...). (11.17)
} } J J
Выражение (11.17) представляет собой бесконечную систему обыкновен
ных дифференциальных уравнений относительно моментов mk' Если а) и р)
отличны от нуля или единицы, то число уравнений любой конечнОЙ подсистемы
меньше числа неизвестных и все конечные подмножества системы уравнений
незамкнуты. Некоторые выражения для ядер содержат дробные показатели
степеней объемов, поэтому в правой части (11.17) появляются дробные MOMeH
ты. В этом случае до определение системы уравнений (11.17) можно провести
либо путем интерполяции дробных моментов через целые с помощью метода,
предложенноrо в [1], либо сделав дополнительное предположение относительно
вида распределения (параметрический метод). Рассмотрим сначала первый метод.
Пусть в начальный момент времени t == О заданы моменты mk(O). Введем
безразмерные моменты mk(t) = mk(t)/mk(O), тде k MOryт быть как целыми зна
чениями, так и дробными. В левую часть уравнений (11.17) входят только
целые моменты, а в правой части мотут оказаться и дробные моменты. Задача
состоит в том, чтобы дробные моменты выразить через целые. Рассмотрим
дробный момент порядка j + , тде j ближайшее целое число а О < < 1, и
целые моменты m s , m s + 1 ,..., m s +" причем s < j + < s + т. Будем искать лоrарифм
дробноrо момента в виде интерполяционноrо мноrочлена
s + т
ln(т)+ )= I,L )(j+ )ln(mq(t»; (j=1,2,...), (11.18)
q=s
тде L )(j + ) коэффициенты интерполяционноrо мноrочлена при интерполя
ции по r + 1 узлам, которые находятся из уравнения
s + т
L(T)( j ' + ) = П J + Т .
q q p
p=s
p*q
(11.19)
Выражение (11.19) позволяет представить дробные момент
т (О s+ т ( т (t) ) L \) + )
)+ = П ; s j s+r, O< <1
т) + (О) q = s mq(O)
и тем самым доопределить систему уравнений (11. 17).
в виде
(11.20)
249
п рименим этот метод к кинетическому уравнению с ядром вида
K(V, ro)==Gvaro a ; О:О:::;а:О:::;1.
(11.21)
Используем первые четыре момента системы уравнений (11.17), а для
дробных моментов, входящих в правую часть, воспользуемся двухточечной
интерполяцией, выражая моменты порядка m j + a через целые моменты т } и m j +l'
В итоrе получим замкнутую систему уравнений относительно первых четырех
моментов:
dmo == .! Gm& (О) ( mo(О ) 2 2а ( тlт ) 2а,
dt 2 mo(О) тl(О)
dm1 == О
dt '
dт2 == Gm 2 (0) ( m 1 (t) ) 2 2a ( т2т ) 2а
dt l+а тl(О) т2(0) ,
dтз == 3Gm 2 (О)т (0) ( т1Щ ) 1 a ( т2т ) а.
dt 2+а 1+а тl(О) т2(0)
(11.22)
Решение полученной системы уравнений имеет следующий вид:
при a:;t0,5
( В ) 8
mo('t)==mo(O) 1+ '! ,ml('t)==ml(O),
( В2'! ) 8
m2('t) == т2(0) 1+ т '
( J '
в В'! 1+8 т:а
тз('t) == тз (О) 1 + 2:2 (1 + + ) ;
( 11.23)
при а = 0,5
то (1) == mo(O)e Bot; т 1 (1) == т 1 (0),
m2('t) == miO)e B2t ; тз('t) == тЗ(О)( :: е В2' +1 Т'
(11.24)
rде
т 2 (О) 1
't == Gmfat; Во == а ; () == ;
2mo(0)mfa 1 2«
mf+a(O)
В 2 == ;
m2(0)mf a
В тl+а(0)т2+а(0)
з
тз (O)mfa
Рассмотрим теперь параметрический метод. Как уже было сказано, в ero
основе лежит предположение о принадлежности распределения к определенно
му классу. Выбор класса распределений делается на основе общих соображений
о возможном вИде распределения, формирующемся при конкретном физическом
процессе. Например, если рассматривается турбулентное течение эмульсии в
трубе, то распределение имеет вид лоrарифмически нормальноrо или raMMa pac
пределения. Рассмотрим оба эти класса распределений.
250
Пусть распределение капель по объемам принадлежит к классу лоrариф
мически нормальных [4]
n(V,t)== N e xp ( ln2(V/Vo» ) , (11.25)
з..J21t aV 18 ]п2 а
rде N численная концентрация капель; 0'2 дисперсия распределения; V o
параметр, связанный со средним объемом V av капель соотношением V av == V o х
х ехр (1,5 In 2 0').
Со временем вид распределения не изменяется, а изменяются только ero
параметры N(t), Vo(t) и O'(t).
Подставляем далее (11.25) в уравнения для моментов (11.15) и полаrаем
последовательно k = о, 1, 2. В случае степенной зависимости ядра К (V, (О) от V
и (о в правой части уравнений MorYT присутствовать дробные и целые моменты,
отличные от первых трех моментов. Полученную систему уравнений можно
доопределить, используя свойство распределений вида (11.25),
тk ==тIVok lexP( %(k2 1)ln20')- (11.26)
В итоrе получается замкнутая система уравнений относительно т1, V o и 0'.
Фактически здесь имеются только два неизвестных, поскольку тl = const.
Пусть распределение принадлежит к классу rамма распределений [4]
n(V, t) == к и: 1) ( ) ; ехр ( ) , (11.27)
V 0 2 l! Vo Vo
rде W объемная концентрация капель, остающаяся в процессе коалесценции
постоянной, а V o и i параметры распределения, связанные со средним объемом
и дисперсией соотношениями V o = Vav/(i + 1), О' = Vav! .Ji + 1 . Со временем вид pac
пределения не изменяется, а изменяются только N и V o . Распределение (11.27)
позволяет искать решение уравнений (11.15) для моментов в виде разложения
n (V, t) по системе ортоrональных присоединенных полиномов Лаrерра [5] L ki :
n(V, t) = ( J ех р ( 1toakLk{ )- (11.28)
Первые два полинома равны
1-0; = 1; L I . == i + 1 ,
Vo
а остальные определяются рекуррентным соотношением
(n + 1)L п + l . i ( 2n + i + 1 )L пi + (n +i)Lп 1" = о.
Условие ортоrональности полиномов позволяет найти коэффициенты раз
ложения (11.28)
ak == k!. f Lk' ( ) n(V' t)d ( ) ,
r(k + 1 + 1) Vo Vo
о
rде r(x) rамма функция.
В частности, первые два коэффициента равны
ао == f n(V,t)d ( , ) ; а1 ==0.
r(k + 1) 'О
о
(11.29)
251
Если оrраничиться только двумя первыми моментами, то из (11.15) и
(11.28) найдем
п(V, t) = ( 2::.. ) i exp ( 2::.. ) ,
Voz! Vo Vo
d(N/Vo) = .! ( !:!... ) 2 J J ехр ( 00+ V ) K(V, (O) ( 2::.. ) i ( ) i drodV,
dt 2 V o Vo V o V o
о о
(i+1)NV o =W.
Система уравнений (11.30) в двухмоментном приближении позволяет най
ти изменение со временем распределения капель по объемам и параметры этоrо
распределения.
Опыт использования метода моментов показывает, что он удовлетворитель
но описывает кинетику коалесценции только на начальной стадии. При OTpa
ничениях, накладываемых на вид ядра кинетическоrо уравнения и на начальное
распределение [6], существует автомодельное решение кинетическоrо уравнения
при больших временах. В общем же случае решение можно получить с исполь
зованием численных методов.
(11.30)
11.2. ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЗМЫ КОАЛЕСЦЕНЦИЯ КАПЕЛЬ
Небольшая разность плотностей капель и окружающей их жидкости, а TaK
же малые размеры капель в эмульсии приводят К малым скоростям осаждения
капель в поле силы тяжести. Поэтому основная проблема при сепарации эмуль
сий состоит В увеличении размера капель. Эта проблема может быть разрешена
путем интенсификации процесса коалесценции капель. Факторами, влияющими
на скорость укрупнения капель, являются применение электрическоrо поля и
турбулизация потока. Прежде чем переходить к исследованию этих воздей
ствий, рассмотрим в общих чертах процесс коалесценции капель в эмульсии.
Процесс коалесценции капель можно условно разбить на два этапа. На
первом этапе, называемом транспортным, происходит сближение капель до их
касания, а на втором, называемом кинетическим, их слияние. Эксперимен
тальные исследования коалесценции капель на плоской rранице раздела двух
жидких сред дают основание считать [7], что время слияния капель значитель
но меньше времени их сближения. Это означает, что процесс коалесценции
лимитируется транспортной стадией. Сказанное означает, что ядро кинетиче
ското уравнения можно рассчитать путем детальноrо анализа процесс а сближе ,
ния капель вплоть до их соприкосновения, считая, что каждое столкновение
капель приводит к их слиянию.
Характер сближения капель, а значит, и их столкновения, зависит от rид
родинамическоrо режима движения эмульсии. Рассмотрим сначала коалесцен
цию капель, осаждающихся под действием силы тяжести внеподвижной жиk
кости. Такой вид коалесценции назовем rравитационной.
Капли разноrо размера под действием силы тяжести осаждаются с различ
ной скоростью. В результате крупные капли доrоняют мелкие, и возможно их
столкновение. Каждая капля имеет свою траекторию, определение которой co
ставляет основную задачу нахождения частоты столкновения капель. В боль
шинстве случаев принимают, что объемное содержание капель мало, так что
можно оrраничиться рассмотрением относительноrо движения двух капель.
252
Исследование проводится в сферической системе координат, связанной с цeHT
ром большой капли (рис. 11.2). В этой системе координат поток внешней
жидкости движется относительно большой капли, причем вдали от капли CKO
рость можно считать постоянной, равной скорости осаждения рассматриваемой
капли. Друrая капля меньшеrо размера движется вместе с ПОтоком относитель
но большой капли, обтекает ее и либо коснется ее, либо пройдет мимо. Движе
ние капель из за малости их размеров можно считать безынерционным. Поэто
му траектория маленькой капли относительно большой на больших по cpaBHe
нию с радиусом большой капли расстояниях совпадает с линией тока внешней
жидкости, а на малых расстояниях заметно отклоняется от линии тока, что
вызвано как силой взаимодействия капли с внешней жидкостью, так и силами
взаимодействия капель. Силы взаимодействия представляют собой rидродина
мические, молекулярные и электростатические силы. rидродинамические силы
являются силами сопротивления движению капли, они неоrраниченно возрастают
при уменьшении зазора между поверхностями капель. Молекулярные силы
силы притяжения Ван дер Ваальса Лондона, действующие на малых расстоя
ниях. Электростатические силы это силы отrалкивания, обусловленные двойны
z
и! Н!
82
I У
I
I
I
I
<р I
, I
х '1
Рис. 11.2. Сферическая система коордииат (r, в, ер), связаииая
с центром большой капли
253
ми электрическими слоями на поверхностях капель, или силы взаимодействия
проводящих капель, несущих или не несущих электрический заряд, помещенных
во внешнее электрическое поле. Для определения относительных траекторий
капель необходимо знать все указанные силы, для нахождения которых требу
ются решения самостоятельных rидродинамических и физических задач. В даль
нейшем эти вопросы будут подробно обсуждаться.
Все множество траекторий меньшей капли относительно большей можно
разделить на два класса: траектории, которые не оканчиваются на поверхности
большой капли, и траектории, приводящие к столкновению капель (рис. 11.3).
Назовем траекторию, разделяющую эти два класса, предельной. Тотда в
набеrающем на большую каплю потоке вдали от нее предельные траектории
образуют трубку тока, площадь нормальноrо сечения Q8( V, (0) которой назовем
сечением столкновения двух капель заданноrо объема V и 00 (V> (0). Torдa
частота столкновения капель объемов V и 00 может быть определена как
K(V, oo)==Q8(V, oo)IUv и оо \,
(11.31)
тде через U v и и ю обозначены скорости осаждениЯ капель объемов V и 00, котда
они расположены далеко друт от друта. Их можно принять равными COOTBeT
ствующим стоксовым скоростям.
Траектории движения капли определяются из уравнений движения
du. dQ. dr..
m;df- == F';; J; d/ == Т;; И; == d; '
. .
(11.32)
тде т; масса капли; Р;, Т ; силы И моменты, действующие на капли; Ji
момент инерции, i = 1, 2.
Если размеры капель достаточно малы и отношение плотностей внутренней
и внешней жидкостей мало отклоняется от единицы, то течение жидкости можно
считать медленным, а движение капель безынерционным. Этот случай реали
зуется при расслоении эмульсий типа вода в масле. Torдa уравнения (11.32)
сводятся к уравнениям безынерционноrо движения капель в квазистатическом
приближении
L F'; == о; L 1: == о; И; == .
. I
( 11.33)
Задавая начальные положения капли 2 и интеrрируя (11.33), находим
семейство траекторий капли 2 относительно капли 1. В сферической системе
g
)1
и
)1
&
ro
Рис. 11.3. Траектории движеиия капли 2 отиосительио капли 1
254
координат начальное положение капли 2 задается начальными значениями
координат центра то, во, <Ро. Для определения сечения захвата рассмотрим трубку
тока, поверхность которой содержит предельные траектории (см. рис. 11.3).
Обозначим через в*(<р) уrол, который составляет вектор ro с точкой на крити
ческой (предельной) траектории в фиксированном нормальном сечении этой
трубки тока z == То cos в*. В общем случае нормальное сечение этой трубки тока
вдали от капли 2, т. е. при То 00 и в* О, HeKpyroBoe, и ero площадь может
быть определена из простых rеометрических соображений:
Q8 == Нт ( 1 Т02 2 J " sin 2 (в* (<р» d<P ) ' (11.34)
'IJ.... 2
8.....0 О
Если течение жидкости и относительное движение капель осесимметричное,
то в* от <р не зависит, форма сечения столкновения круrовая и
Q8 = Нт (ХТ 0 2 sin 2 (e*». (11.35)
'IJ....
8.....0
Расчету сечения столкновения частиц посвящено довольно MHoro работ,
которые можно разделить на три rpуппы в зависимости от степени учета сил
взаимодействия частиц. Укажем лишь некоторые из них. Первые работы были
выполнены Смолуховским [8]; в них построена теория коаryляции коллоидов
без учета rидродинамических сил взаимодействия частиц. В большинстве по
следующих работ рассматривалось движение частиц в маловязкой среде приме
нительно к проблемам коаryляции капель и частиц в атмосфере [9, 10]. Учет
rидродинамическоrо взаимодействия двух медленно движущихся сферических
частиц в вязкой жидкости на основе приближенных выражений, полученных
методом отображений и справедливых, только если частицы находятся относи
тельно далеко друr от друrа, был сделан в работах [11 13]. В частности, в [11]
таким образом определено сечение столкновения для двух сферических частиц
разноrо радиуса, осаждающихся в поле силы тяжести. Результаты этой работы
были использованы в [12] для расчета сечения столкновения частиц сравнимых
размеров в электрическом поле. Расчет сечения столкновения двух заряженных
частиц, коrда одна из них значительно меньше друrой, сделан авторами работы
[14]. Более точный учет rидродинамических сил был осуществлен в [13, 15, 16].
Отметим, что в [15] определено сечение столкновения проводящих капель
различноrо размера во внешнем электрическом поле, а в [16] и с учетом
заряженных капель. В последних двух работах учитывались как rидродинами
ческие, так и электрические силы, полученные при точном решении COOTBeT
ствующих rидродинамических и электростатических задач. Во всех указанных
работах рассматривалось взаимодействие частиц без учета внутренней вязкости.
В работе [17] определено сечение столкновения двух сферических капель,
внутренняя вязкость которых отлична от вязкости окружающей жидкости. Там
же учтена также сила молекулярноrо взаимодействия капель, обеспечивающая
возможность их коалесценции.
Использование турбулентноrо режима течения эмульсии для укрупнения
капель обусловлено значительным увеличением частоты столкновения капель
по сравнению с частотой столкновения при их осаждении в покоящейся жид
кости или при ламинарном режиме течения. Дисперсные частицы, взвешенные
в жидкости, увлекаются турбулентными пульсациями и хаотически перемеща
ются по объему, и их движением сходно с броуновским движением. Поэтому
пульсационное движение частиц можно охарактеризовать эффективным коэф
255
фициентом турбулентной диффузии D T и свести задачу определения частоты
столкновения частиц к диффузионной задаче, как это сделал впервые Смолу
ховский для броуновскоrо движения [18]. Подобный подход был впервые
предложен и реализован в [19] применительно к коaryляции невзаимодействую
щих частиц. Именно этот факт привел к тому, что найденная частота столкно
вения оказалась намното выше частоты, определенной в экспериментах по тyp
булентному движению эмульсии в трубах и мешалках [20, 21].
Влияние rидродинамическоrо взаимодействия частиц на величину коэффи
циента взаимной диффузии частиц исследовано в работе [22]. Это послужило
основой для определения частоты столкновения частиц в условиях турбу лент
ното движения. Влияние внутренней вязкости капель на частоту их столкнове
ния было рассмотрено в [23 26]. Показано, что правильный учет rидродина
мическоrо взаимодействия обеспечивает соrласие теории с экспериментом.
Число столкновений частиц радиусов R I и R 2 В единицу времени при
диффузионном механизме их сближения равно потоку частиц радиуса R 2 на
частицу радиуса R 1 Если предположить, что диффузионное равновесие YCTa
навливается намното быстрее, чем концентрационное, то задача сводится к pe
шению стационарноrо уравнения диффузии в силовом поле [27]
V(DTVC C)==O, (11.36)
тде С численная концентрация частиц 2; F сила взаимодействия частиц 1
и 2, вызванная наличием полей (электрическое, rравитационное, молекулярное,
электростатическое); h коэффициент rидродинамическоrо сопротивления сбли
жению частиц вдоль линии, соединяющей центры частиц. Если через u обозна
чить относительную скорость сближения частиц, направленную по линии их
центров, рь rидродинамическую силу сопротивления, испытываемую части
цей 2, то
Fh==hu.
(11.37)
Иноrда вместо коэффициента rидродинамическоrо сопротивления вводят
подвижность Ь == h l, выражая тем самым скорость через силу:
и==ЬР.
(11 38)
Если каждое столкновение частиц приводит к их слиянию, то rраничными
условиями для уравнения (11.36) являются
С == О при r == R 1 + R 2 ; С == Со при r <х>. (11.39)
Здесь Со концентрация частиц 2 вдали от пробной частицы 1.
Определив из (11.36) и (11.39) распределение С, можно найти поток
частиц 2 на выделенную частицу 1
J == fJ(DTVC С) nds.
(11.40)
Имеется ряд работ, в которых определяется частота столкновений частиц
при диффузионном механизме их сближения. Однако лишь немноrие учитывают
rидродинамическое взаимодейcrвие частиц. Для броуновской диффузии оно учтено
в работах [28 31], а для движения чаcrиц в турбулентном потоке в [22 26, 32].
Таким образом, для определения частоты столкновения частиц и капель
необходимо предварительно определить силы взаимодействия частиц, а затем
найти траектории их движения и сечение столкновения или диффузионный
256
поток. В последнем случае нужно найти коэффициент турбулентной диффузии.
В итоrе определяется ядро кинетическоrо уравнения. Если полученное таким
образом ядро окажется несимметричным, то ето нужно симметризовать. После
этоrо можно переходить к рассмотрению кинетики процесса, включающей оп
ределение изменения со временем распределения частиц по размерам и пара
метров этоrо распределения.
11.3. ДВИЖЕНИЕ КАПЕЛЬ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ
Перенос маленьких частиц и капель в турбулентном потоке можно pac
сматривать как диффузию с эффеюивным коэффициентом диффузии [19].
Прежде чем переходить к ето определению, рассмотрим основные закономерно
сти движения жидкости в турбулентном потоке. Для развитой турбулентности
эти закономерности хорошо изучены и содержатся в работах [19, 33 3S], по
этому оrраничимся рассмотрением лишь тех, которые имеют отношение к оп
ределению столкновений частиц и капель.
При турбулентном течении жидкости на среднее движение в определенном
направлении, происходящее со скоростью и, накладывается случайное пульса
ционное движение, которое характеризуется множеством пульсационных CKOpO
стей И).,. Турбулентные пульсации определяются не только скоростями, но и
расстояниями, на которых эти скорости претерпевают заметное изменение. Эти
расстояния называются масштабами пульсаций и обозначаются через 1... MHO
жество значений л. представляет собой спектр турбулентных пульсаций, изме
няющихся от О до максимальноrо значения, имеющеrо порядок линейноrо Mac
штаба области течения. Так, при движении в трубе диаметром L наибольшее
значение л. равно L. Каждое пульсационное движение характеризуется числом
Рейнольдса Re)., = л.и).,/v, тде v кинематическая вязкость несущей жидкости.
Пульсации, у которых л. L, называются крупномасштабными. Для них Re).,»
1, поэтому течение жидкости, вызванное этими пульсациями, носит невязкий
характер. Уменьшение масштаба пульсаций приводит к уменьшению числа
Рейнольдса. При некотором значении л. = А.о, называемом внутренним масшта
бом турбулентности, число Рейнольдса
Re = Re).,o = л.ОU).,о /v 1. ( 11.41)
Это означает, что пульсации, для которых л. < А.о, носят вязкий характер и
пу льсационное движение такото масштаба сопровождается диссипацией энер
rии. Пульсации с 1..« L называются мелкомасштабными. Они порождаются
крупномасштабными, энерrия которых передается мелкомасштабным движениям,
а затем переходит в тепловую. Таким образом, турбулентное течение жидкости
сопровождается значительной диссипацией энерrии, потери которой на единицу
массы в единицу времени характеризуются величиной 100, называемой удельной
диссипацией энерrии. Поскольку энерrия черпается из крупномасштабных пуль
саций, то Ео зависит от и и L. Значение 100 можно оценить из соображений
размерности:
Eo U3/L.
(11.42)
Рассмотрим мелкомасштабные невязкие пульсации с 1..0 « л. «L. CKO
рость таких пульсаций может зависеть только от Ео и 1.., поэтому
И)., (1001..) 1/3.
(11.43)
257
17 1461
Поскольку при А 1-.0 выполняется условие Rе ло 1, то из (11.41) и (11.43)
найдем внутренний масштаб турбулентности
Ao и Y (V3/Eo)I/4. (11.44)
1.0
Как уже было сказано, движение жидкости в пульсации с А < 1-.0 носит
вязкий характер. Соrласно rипотезе Л. Д. Ландау и в. [. Левича, такие пуль
сации не исчезают внезапно, а затухают постепенно. Движение жидкости при
обретает характер не зависящих друr от друrа периодических движений, перио
ды которых Т постоянны для всех А < 1-.0. Значение Т можно оценить величиной
т v / Ео . При этом скорости пульсаций масштабов А < 1-.0 оценивается как
Ил А Ео/V . (11.45)
Объединяя (11.43) и (11.45), получим общее выражение для скорости
турбу лентных пульсаций масштаба А
И { (ЕОА)1/3 при А> Ао,
(11.46)
Л А<Ео /V)I/2 при А < Ао.
Рассмотрим теперь движение маленьких частиц в турбулентном потоке
жидкости. Будем предполаrать, что объемная концентрация частиц достаточно
мала, так что можно пренебречь их влиянием на движение жидкости. Пульса
ции крупноrо масштаба переносят частицу вместе с прилеrающими к ней сло
ями жидкости. Мелкомасштабные пульсации с A«R, rде R радиус частицы,
не cMorYT увлекать в свое движение частицу, которая по отношению к ним
ведет себя как неподвижное тело. Пульсации промежуточноrо масштаба не
полностью вовлекают в свое движение частицу. Рассмотрим наиболее интерес
ный для приложений случай, коrда плотности частицы Pi и внешней жидкости
Ре отличаются незначительно, а радиус частицы значительно меньше BHYTpeH
Hero масштаба турбулентности, т. е. R «1-.0. Так, для водонефтяных эмульсий
Pi/ Ре 1, 1 1,5. Пусть и о скорость жидкости в том месте, rде находится
частица, а и1 скорость частицы относительно жидкости. При полном увле
чении частицы жидкостью на частицу действовала бы такая же сила, как и
4 duo
на жидкость, заключенную в том же объеме, т. е. тcR3Pe d . Однако из за
3 t
неполноrо увлечения частицы жидкостью частица испытывает сопротивление Р,
которое при R « 1-.0 и при условии И j < U Ло определяется формулой Стокса
F == 6тcpv Ru l . У равнение движения частицы запишется в виде [19, 36].
dUI 4 R3 ( dUo dUI ) 4 R3 dUo 6 R ( 1147 )
т& + -З ТС Ре ----ёit + & -З ТС Ре ----ёit ТCPV и 1 , .
rде т == 2тcR3 Pe /3 присоединенная масса частицы.
Оценим входящие в (11.47) ускорения. Поскольку для движений маСlIIта
ба А < 1-.0 период т постоянный, то
dUI и1
"'dt т UIVtO/V. (11.48)
Для оценки ускорения жидкости там, rде находится частица, возьмем MaK
симальное ускорение пульсационноrо движения в рассматриваемом интервале
масштабов, т. е. при А == 1-.0
du o Е ( Еб ) 1/4 (11.49)
dt Т о л. V
2S8
Подставляя (11.48) в (11.47), получим, что векторы " 1 и duo/dt прибли
женно коллинеарны, а с учетом соотношения (11.49) найдем решение ypaBHe
ния (11.47)
2Ю1Ре Рilл.оЕоv 1
И1 =
2R2(Pi + о,5Ре)Еь/2у 1Л + 9ру
Степень увлечения частицы пульсацией масштаба л. можно оценить по
величине отношения И t /и ло ' Так, если И t /и)..о « 1, то происходит полное увле
чение частицыI' а при иt/и)..о» 1 увлечение частицы не происходит. Для пуль
саций с Л. < из (11.46) и (11.50) следует, что
(11.50)
и1 2Ю1Ре PiIEb/2V 1/2
и).. R2 (р; + 2Ре) Eb/2y ! /2 + 9ру
Для водонефтяной эмульсии типа в/м имеем Ре"" 800 кт /м 3 , Pi"" 1200 кт /м 3 ,
V "" 10 S м 2 /с, л. о "" 10 4 м, 100"" 10 Дж/кr . с. Torдa из (11.51) следует, что
= 8Ю « 1 .
и).. 28R2 + 72 .10 3
(11.51)
Следовательно, капли воды радиусом R < л. < Ао практически полностью
увлекаются пульсациями масштаба л..
Перенос капель радиусом R « Ао определяется двумя параметрами: CKO
ростью И).. И масштабом л. пульсаций. Из них можно составить комбинацию,
имеющую размерность коэффициента диффузии
Dт л.и)... (11.52)
Подставляя в (11.52) скорость пульсаций из (11.46), получим выражение
для коэффициента диффузии частиц, взвешенных в турбулентном потоке жиk
кости
{ (Е л.4 )1/3 П р и Л. > л.
D о О,
т = л. 2 (Е о /V)1/2 при Л. < л. о '
(11.53)
Рассмотрим теперь применение полученных соотношений к диффузионно
му взаимодействию частиц. Обозначим через r расстояние между центрами
двух частиц. Как показано в [19], основное диффузионное сопротивление сбли
жению частиц приходится на область r < Ао, т. е. основное сопротивление ча
стицы ИСПЫТЬJВают, если зазор между их поверхностями 8 < Ао (R t + R 2 ), тде
R 1 и R 2 радиусы частиц. Коэффициент диффузии в этой области соrлас
но (11.53) равен
Еь/2у2 vл. 2
DT= '
Vб Vб
(11.54)
Остается открытым вопрос, пульсации каких масштабов заставляют части
цы сблизиться, поскольку крупные пульсации будут переносить ДВе капли вместе
с окружающей их жидкостью как единое целое и не в состоянии заметно
сблизить частицы. Очевидно, что для тото, чтобы сблизить частицы примерно
одинаковоrо радиуса R 1 R2' масштабы пульсаций должны быть порядка paCCTO
яния между центрами частиц, т. е. Л. r. Частицы же, сильно различающиеся по
размерам (R 1 » R 2 ), мотут сблизить пульсации масштаба, равното расстоянию
между центром маленькой частицы и поверхностью большой, т. е. пульсации с
17* 259
л. r R!, поскольку В этом случае большую частицу можно рассматривать как
плоскую стенку, при приближении к которой пульсации затухают. Для опреде
ления масштабов пульсаций, способных сблизить частицы в промежуточной
области их размеров, воспользуемся аппроксимацией, которая удовлетворяет
двум указанным предельным случаям, а также очевидному условию симметрии
коэффициента диффузии относительно радиусов частиц D T (R l , R 2 ) '" D T (R 2 , R l ),
Л. (R l +R2) ( r R! R2 + R 1 R2 ) . (11.55)
R 1 + R 2 R? + Щ R!R2
Возвращаясь к (11.54), получим следующее выражение для коэффициента
взаимной диффузии частиц радиусами R 1 и R 2 :
D T = 2..(R1 + R 2 )2 ( r R 1 R2 + R 1 R2 ) 2. (11.56)
Л-Ъ R 1 +R2 R?+Щ R1R2
Здесь введен поправочный коэффициент , имеющий порядок 1, поскольку
выражения (11.54) и (11.55) оценены по порядку величин.
Выражение (11.56) получено в предположении, что частицы полностью
увлекаются в относительное движение пульсациями масштаба л.. Поэтому фор
мулой (11.56) можно пользоваться, только если частицы находятся относитель
но далеко друr от друrа. Однако при сближении частиц до значений зазора
между ними 8 порядка радиуса большей частицы на скорость их сближения
будет заметно влиять сила rидродинамическоrо сопротивления, которая, как
отмечалось ранее в разделе 8.1, возрастает до бесконечности при 8 О. ДЛЯ
учета этой силы воспользуемся подходом, используемым в статистической фи
зике при рассмотрении броуновскоrо движения частицы под действием случай
ной внешней силы и основанном на уравнении Ланжевена [37, 38] (см. также
раздел 8.2).
Под действием случайных турбулентных пульсаций частица в течение
неболыпоrо промежутка времени мнorо раз изменяет направление движения.
Поэтому путь частицы, который она проходит, трудно проследить визуально.
Перемещения частицы не MOryT служить характеристикой ее движения, посколь
ку среднее значение перемещений за конечный промежуток времени равно
нулю. Для такото промежутка времени основной характеристикой движения
частицы служит средний квадрат смещения. При этом следует иметь в виду, что
«cpeДHee понимается не как среднее по времени, а как среднее по совокупно
сти частиц. Средний квадрат смещения имеет смысл коэффициента диффузии
частицы под действием случайной внешней силы.
Рассмотрим два момента времени: t 1 и t> t l . Принимаем, что за эти Bpe
мена частица мното раз изменит направление своето движения, причем смеще
ния частицы за два неперекрывающихся промежутка времени независимы.
Оrраничимся для простоты случаем одномерноro движения. Обозначим через 5 .
путь, который проходит частица в течение промежутка времени (О, О, через 51
путь за промежуток (О, t 1 ), а через 52 путь за промежуток и!, t). Из статис
тической независимости 51 и 52 И равной вероятности положительных и отри
цательных смещений следует, что средний квадрат смещения
52 = (51 + 52)2 = 5? + 5i .
Обозначив 52 = \V(t), перепишем уравнение (11.57) в виде
ЧF(О = ЧFиl ) + ЧFи t 1 ).
(11.57)
(11.58)
260
Решение этоrо уравнения имеет вид
'1/(0 = 52 = 2D T t,
(11.59)
rде D T коэффициент турбулентной диффузии, подлежащий определению.
Рассмотрим теперь уравнение движения частицы под действием силы со
стороны окружающей ее среды. Эта сила состоит из систематической части,
силы трения, и случайной силы Р, среднее значение которой равно нулю. Кроме
этой силы на частицу может действовать внешняя по отношению к системе
жидкость частицы сила, например сила тяжести. Пренебрежем в дальнейшем
внешней силой. В безынерционном приближении уравнение движения частицы
вдоль оси Х, уравнение Ланжевена, имеет вид
h dx + Р = о
dt '
(11.60)
rде h коэффициент rидродинамическоrо сопротивления.
Из (11.60) следует, что смещение частицы из начальноrо положения Ха за
время t равно
1
Х Ха = * f р( 't) d't.
а
Интеrрал в правой части (11.61) имеет смысл импульса случайной силы F
за время t, и для любоrо 0< t l < t ero можно представить в виде
(11.6!)
1 11 1
f р( 't) d't = f р( 't) d't + f р( 't) d't.
а о 11
(11.62)
Возводя обе части (11.62) в квадрат, усредняя полученное выражение и
учитывая независимость случайных импульсов за два непересекающихся про
межутка времени, получим
(t F(,)dT J "и р(,) d, J + и F(,)d, J. (1163)
Уравнение (11.63) аналоrично уравнению (11.57) и ero решение имеет
такой же вид, как (11.59):
(t р( ,) dT J "2Bt. (1J .64)
Определив теперь из (11.61) средний квадрат смещения частицы
(х хо)' " ,; (t р(,) d, J (11.65)
и подставив в полученное выражение соотношения (11.59) и (11.64), получим
D T =!!..' B= (f l F('t)d't J 2. (11.66)
h 2 ' 2t
о
Поскольку аналоrичный подход в [37] осуществлен для броуновской диф
261
фузии, то отметим основное отличие турбулентной диффузии от броуновской.
В процессе броуновской диффузии частицы совершают случайное тепловое
движение под действием соударений со стороны молекул окружающей жидкости.
В [37] соответствующая сила, действующая на рассматриваемую частицу, учтена
в виде квазиупруrой силы, пропорциональной смещению частицы F улр == ах.
В итоrе изменяется вид уравнения (11.60), появляется член, пропорциональ
ный Х, И из условия термодинамическоrо равновесия системы следует, что
В == hkT, D 6p == kT /11. (11.67)
Следовательно, коэффициент броуновской диффузии обратно пропорцио
нален первой степени коэффициента rидродинамическоrо сопротивления частицы.
В случае турбулентной диффузии дело обстоит несколько иначе. Движе
ние частиц под действием турбулентных пульсаций не связано с тепловыми
флуктуациями. Поэтому В == const и коэффициент турбулентной диффузии
обратно пропорционален второй степени коэффициента rидродинамическоrо co
противления.
Если коэффициент rидродинамическоrо сопротивления изменяется на pac
стояниях, больших по сравнению с перемещением частицы в пульсации, то
входящее в (11.66) h зависит от перемещения х. Подобное имеет место при
движении частиц возле стенки или при взаимном сближении частиц.
Рассмотрим сближение двух сферических частиц радиусов R 1 и R 2 (R t 2:: R 2 )
вдоль линии центров. В безынерционном приближении уравнение движения
частицы относительно друrой, которая считается неподвижной, имеет вид
Ftr + Р, == О, Ftr == hJЩ, Р, == h,.ur' (11.68)
Здесь F 1r сила, которая действовала бы на неподвижную частицу со
стороны обтекающеrо ее потока, Р, сила сопротивления собственному движе
нию частицы, и скорость жидкости в том месте, rде находится частица, и ,
скорость частицы.
При больших по сравнению с размерами расстояниях между частицами
каждая из них полностью увлекается жидкостью и == h,., и == U r . Уменьшение
расстояния между частицами приводит к изменению коэффициентов rидроди
намическоrо сопротивления частиц и h r . Первый коэффициент изменяется
незначительно, тоrда как второй возрастает и обращается в бесконечность в
момент касания частиц.
Из (11.68) следует, что скорость движения частицы в окрестности друrой
частицы носит стесненный характер и равна
(
и , == h; и . 11.69)
Уравнение (11.69) для малых перемещений описывает движение, аналоrич
ное движению нестесненной частицы с коэффициентом подобия, равным hJ / h r .
Сказанное позволяет теперь представить коэффициент турбулентной диффузии
(11.66) в аналоrичном виде
D T == DTO(r) (hJ / h,.)2,
(11.70)
rде D TO (r) коэффициент турбулентной диффузии в условиях HecTecHeHHoro
движения частиц, определяемый формулой (11.56).
Выражение (11.70) для коэффициента турбулентной диффузии не учиты
вает движение второй частицы. Для Toro чтобы учесть взаимное влияние частиц
на скорость их сближения, поступим следующим образом. Пусть U скорость
262
движения одной частицы относительно друrой, а И! и и2 Скорости частиц
относительно системы отсчета, центр которой лежит между частицами на линии
их центроВ. Тотда U = и1 и2. Силы F, действующие на частицы, равны и про
тивоположны по направлению. Тоrда коэффициент rидродинамическоrо Сопро
тивлениЯ сближению частиц можно представить в виде
h F
r и! + 112 F / h j + F / h 2 h j + h 2 .
Здесь через h i обозначены коэффициенты rидродинамическоrо СОПроТИвле
ния движению каждой частицы (i = 1, 2).
При больших расстояниях между частицами влияние частиц друт на друrа
незначительно, h i =6npvR i и из (11.71) находим
RR
1. = 1.0 = 6п р у 1 2 . r» R R.
11.,. "i (R I + R 2 ) , 1 , 2
На малых расстояниях 8 = r R I R 2 между поверхностями частиц коэф
фициент сопротивления ведет себя как 1/8 для твердых частиц [13] и как
1/ J8 для капель [39], обладающих подвижной поверхностью. Оrраничимся
пока случаем твердых частиц. Для них при малых зазорах между частицами
коэффициент Сопротивления
(11.71)
(11.72)
h = hO R 1 R2 (R j + R2)
r r (R 1 + R2)2 (r Rl R 2 )
(11.73)
ОбъединяЯ дальнюю (11.72) и ближнюю (11.73) асимптотn:ки, получим
следующее аппроксимационное выражение:
h 6 RjR2 (1 R\R2 (R j + R 2 ) )
r пру + .
(Rj + R2) (R\ + R2)2 (r R\ R 2 )
Выражение для коэффициента rидродинамическоrо сопротивления капель
с подвижной межфазной поверхностью приведено в разделе 13.7, в котором
рассмотрена КОалесценция капель в эмульсии.
Подставим теперь соотношения (11.56), (11.72) и (11.74) в (11.70), полу
чим следующее выражение для коэффициента взаимной турбулентной диффу
зии сферических частиц с учетом rидродинамическоrо взаимодействия:
D T = р2... (R I + R2)2(s + y)2s2
л.ъ (S + х)2
Здесь введены следующие безразмерные параметры:
s=(r Rl R2)/(Rj +R 2 ), у=R1R2/(Щ+Ri R1R2)' X=R 1 R 2 /(R j +R 2 )2.
(11.74)
(11.75)
11.4. СИЛЫ rИДРОДИНАМИЧЕскоrо ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КАПЕЛЬ
Для определения частоты столкновения капель необходимо рассмотреть
относительное движения капель под действием сил взаимодействия капель между
собой и с окружающей их жидкостью.
fидродинамические силы, действующие на капли, проявляются при их
движении относительно окружающей жидкости и относительно друт друrа. Эти
силы мотут, вообще rоворя, деформировать капли особенно сильно, коrда при
сближении капель зазор между ними станет меньше радиуса капель. Однако,
если размер Капель достаточно мал и их поверхность покрыта бронирующими
263
оболочками, то деформацией капель можно пренебречь. Поэтому в дальнейшем
будет считать капли сферическими и недеформируемыми. На величину rидро
динамических сил влияют поле скоростей несущей среды и налцчие соседних
капель. Для капель размером до 100 мкм можно считать, что движенце про
исходит при малых числах Рейнольдса. Поэтому, если в каждый момент CKO
рость поступательноrо двцженця и yrловая скорость вращенця каI1ЛЦ задаНЫ, то
rидродцнамическая сцла, действующая на каплю, может быть определена из
9ешения У9авпений Стокса. В задачах TaKoro 90да обычно П9едполаrается, что
объемная концентрация дисперсной фазы мала. Это позволяет оrраничиться
рассмотрением взаимодействия двух капель (парные взаимодействия). В сис
теме координат, связанной с центром большой капли SI (см. рис. 11.2), ypaB
нения Стокса и rраничные условия имеют вид
V. и=О; J.I. VU=Ap,
uISi=Vi+gix(r ri), Ir r;I=Ri; (i=1,2),
u и ( и cos е, и sin е) при r 00,
(11.76)
(11.77)
rдe Vi поступательная скорость движения центра капли Si; и скорость
несущей жидкости вдали от капель (в дальнейшем оrpаничимся случаем и const);
а; уrловая скорость вращения капли Si; '; радиус вектор центра частицы;
R i радиусы частиц.
Сила и момент, действующие на каплю со стороны внешней жидкости,
даются выражениями [14]
F; = ff ds. ( pI + 2JlE); 1'; = ff (r ri) х ( pI + 2JlE). ds, (11.78)
s,
s,
[де Е тензор скоростей деформаций; 1 единичный тензор; ds == dsn ориен
тированный в сторону жидкости элемент поверхности.
Таким образом, из решения краевой задачи (11.76), (11.77) можно найти
Fi и Ti как функции 9азме90В и СК090стей частиц, 9асстояния между ними и
вязкости внешней жидкости J.l.e. Если рассматривается задача о rидродинамиче
ском взаимодействии капель с подвижной поверхностью, то кроме перечислен
ных параметров появляется еще один вязкость внутренней жидкости J.l.i:
Fih = F;(R I , R2' V I , V2, 01' 02, '2 ' 1 , l1е, l1i)'
(11.79)
т,h = T i (R 1 , R2' V I , V2, 01' О2, '2 rl, 11.. 11,).
В силу линейности уравнений Стокса искомые выражения для Fih и Tih
MOryT быть найдены путем суперпозиции и аппроксимации известных частных
решений о движении капли S2 относительно SI в покоящейся жидкости и
обтекании потоком со скоростью и на бесконечности двух неподвижных Ka
пель S2 и SI' находящихся на фиксированном расстоянии друr от дрyrа. Исходя
из сказанноrо, силу Fh и момент Th можно представить в виде
Fh=Fs+Fe; Th=Ts+Te. (11.80)
Слаrаемые Fs и Т" стоксовые составляющие, отвечают закрепленной сфе
ре SI при условии V I = а1 = О И U::f. О, а слаrаемые Ре и Те, собственные COCTaB
ляющие, соответствуют вкладу в rидродинамическую силу и момент собствен
Horo движения капли S2 при V2::f. О и Q 2 ::f. О в жидкости, покоящейся на беско
нечности, т. е. при и = О. Выражения для Fs и Ts MOryT быть определены
следующим образом. Обозначим через ио скорость CToKcoBoro обтекания оди
264
ночной частицы S\. Тотда компоненты этой скорости в меридиональной плоско
сти (q> == const) равны [19]
( 3R RЗ ) . ( 3R RЗ )
иО . = и cos е 1 ; иов = и sш е + 1 .
2у 2r З 4у 4r З
Характерный масштаб изменения поля скоростей (11.81) равен R. Это
означает, что в любой области размером MHoro меньше R поток можно прибли
женно рассматривать как квазиплоский в меридиональной плоскости, образуе
мый наложением однородното потока и простоrо сдвиrа. Однородный поток
индуцирует силу Fs на каплю S2, а сдвиrовый поток момент Ts. При этом на
достаточном удалении от капли S2 имеем
Fs = 61t1leR2uo; Ts = 41t1leRi'Y Х и о .
(11.81)
( 11.82)
Уменьшение зазора 8 между каплями SI и S2 приводит К нарушению
зависимостей (11.82). Учесть влияние искажения поля скоростей при малых
значениях 5 можно, введя в (11.82) коэффициенты сопротивления. При этом
необходимо учесть, что коэффициенты сопротивления имеют разный вид для
движений капли S2 вдоль и перпендикулярно поверхности SI' поэтому
Fsr = 61tlleR2fsrUOr; Fse = 61tlleR2fseUoe;
(11.83)
Tsrp == 81tlleRitsrpG,
rде fsr и fse трансляционные коэффициенты сопротивления движению перпен
дикулярно и параллельно поверхности SI; t,rp ротационный коэффициент
сопротивления; G = 0,5 I'Y Х uol. Отметим, что эти коэффициенты зависят от
относительноrо зазора между каплями А = (r R\ R 2 ) / (R\ + R 2 ) и отношения
радиусов капель k=R 2 /R I .
Достаточно полный обзор ранных работ по определению rидродинамиче
ското взаимодействия пары твердых сферических частиц содержится в [13].
Это в основном работы по определению сил и моментов, действующих на
частицы, находящиеся относительно далеко друт от друrа, а также при посту
пательном движении частицы перпендикулярно и параллельно плоской поверх
ности и при поступательном движении одной частицы относительно друrой
вдоль и перпендикулярно линии центров. Более общий случай поступательноrо
движения и вращения двух твердых частиц был рассмотрен в [40, 41]. rидро
динамическое взаимодействие двух капель с учетом подвижности их поверхно
стей и внутренней циркуляции исследовано в [39, 42 49].
Анализ решений соответствующих rидродинамических задач показывает,
что коэффициенты fs" fse и t srp мало отличаются от единицы на расстояниях от SI'
равных нескольким радиусам малой частицы S2 и меньше. В области малых
зазоров эти коэффициенты остаются конечными. Поскольку, как будет показано
далее, аналоrичные коэффициенты в силе Fe и моменте Те неоrраниченно воз
растают при стремлении зазора между каплями к нулю, то без ущерба для
точности расчетов можно принять fs" fse и t"P '" 1.
Рассмотрим теперь rидродинамическую силу и момент от собственноrо
движения капли S2. Эта задача в настоящее время достаточно хорошо изучена.
Имеющиеся решения позволяют охватить все три типа собственноrо движения
частицы S2: движение вдоль линии центров, движение перпендикулярно к линии
центров в меридиональной плоскости и вращение BOKpyr оси, перпендикулярной
к меридиональной плоскости [41]. Полученные в этих работах численные pe
зультаты существенным образом дополняются асимптотическими выражениями
265
[39,41,50] для случая движения сферы 'Вблизи дрyroй сферы или плоскости, Korдa
зазор между сферами мал по сравнению с радиусом меньшей частицы. Указанные
три типа движения приводят к следующим выражениям для момента Те И KOM
понент силы Ре.В меридиональной плоскости, действующих на твердую частицу:
Ре. = 61tJ 1 e R 2f. r V" F.o == 61Clle R 2f.e v e + 61C1le R Uee! О,
Т е<р == 87tllеЩtе<рVо 81ClleRitecP! О.
Приведем асимптотические выражения для коэффициентов сопротивления
твердых частиц. Введем безразмерное расстояние от центра большой частицы S\
до поверхности малой частицы S2 вдоль линии центров ХI == (r R 2 ) / R\. При
малых величинах зазора (1 < ХI < 1,5) можно пользоваться ближними асимп
тотическими представлениями
, '" 2(2 + k + 2k2) ln (х 1) + О 959
,ее 15(1+k)З \ "
r. '" 2(1 + 4k) ln (х 1) о 2526
ее! 15(1 + k)2 \ "
te'P '" '\. + 4.k 1n (Х I 1) + 0,29,
10(1 + k)2
te<p! '" 2 ln (х\ 1) + 0,3817,
5(1 + k)2
, '" 1 1+7k+k 2 1n (x 1)+097.
'е. (1 + k)2(x\ 1) 5(1 + k) 1 ,
В области х\ » 1 / k для значений k « 1 справедливы следующие дальние
асимптотичеСкие представления:
( ) 1
9 1 1
{ее '" 1 15х + 8 з ; {ее! '" 8 4 '
\ Х I Х I
1 5
te<p '" ; te'P! '" 1 + тб---- '
32xt ХI
, '" 1 1,125 + 1,266
'е. + 15х\ Х['
а для произвольных значений k 1
, 1 ., 1 .
[ет= , /ее= ,
1 2,25k (kx\ + 1) 2 1 0,56k (kXI + 1) 2
t O,56k 2 (kx\ + j) З
е'Р 1 O,56k (kx\ + 1) 2 .
( 11.84)
01.85)
( 11.86)
(11.87)
Коэффициенты сопротивления в промежуtQЧflОЙ области представлены в
указанных выше работах в виде бесконечных рядов, а их численные значения
приведены в таблицах.
Подробный анализ относительноrо движения капель вдоль линии центров
при малых зазорах между ними проведен в работе [17]. Приближенное Bыpa
жение для коэффициента сопротивле:н:ия капли S2 имеет вид
h ( R\R2 ) 2 {(т)
== 67tll e R2{er '" 61CIle R\ + R2 ""т '
rдe 5 == r R\ R 2 зазор между каплями;
266
( 11.88)
(т) = 1 + О,402т . т = ..!. ( R,R2 ) 1/2. iI = Jli
1+1,711т+О,461т 2 ' iI (R , +R2) , !le'
Параметр т характеризует подвижность поверхности капли. Так, при т« 1
поверхность капли практически полностью заторможена и в rидродинамиче
ском смысле она ведет себя как твердая частица. Torдa коэффициент сопро
тивления
h '" 61t/l.( R R 2 J i. (11.89)
Выражение (11.89) совпадает с первым членом асимптотическоrо разложе
ния (11.85) для (ет. Из вида коэффициента сопротивления следует, что он имеет
неинтеrрируемую особенность при 5 ----7 О, поэтому контакт капель с заторможен
ной поверхностью невозможен за конечное время под действием конечной силы.
Дрyrой предельный случай т» 1 соответствует почти полностью подвиж
ной поверхности. При этом капля ведет се6я как rазовый пузырь и коэффи
циент сопротивления имеет вид
h", 61t/le ( R,R2 ) 2 0'872iI ( RI +R2 ) 1/2. (11.90)
R I + R2 01/2 R , R2
При О ----7 О выражение для h для капли с подвижной поверхностью имеет
интеrpируемую особенность, поэтому в ламинарном потоке, в частности при
rравитационном осаждении капель, контакт капель возможен даже в отсутствии
молекулярной силы притяжения капель. В турбулентном потоке коэффициент
турбу лентной диффузии Dr 1/ h 2 , поэтому В отсутствии молекулярной силы
притяжения контакт капель с полностью подвижной поверхностью невозможен.
В заключение отметим, что в работе [39] найдены асимптотические Bыpa
жения при 5 ----7 О для коэффициентов сопротивления относительноrо движения
двух сферических капель различной внутренней вязкости /l\') и /l 2), помещен
ных в жидкость вязкости /le:
h '" л 2 kI/2(iI ') +iIP» , (11.91)
16 (1 + k)2(s 2)1/2
rдe s = 2r /(R I + R 2 ); iI I,2) = /l ',2) //le.
Если одна из капель имеет полностью заторможенную поверхность, что co
ответствует случаю относительноro движения капли и твердой частицы, то асимп
тотическое выражение для коэффициента сопротивления при 5 ----7 О имеет вид
h '" k + 9л 2 kiIi (11.92)
2(1 + k)З(s 2) 64(1 + k)2(s 2)1/2
11.5. МОЛЕКУЛЯРНАЯ И ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ СИЛЫ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КАПЕЛЬ
Силы молеку лярноrо и электростатическоrо взаимодействий частиц были
подробно рассмотрены в разделе 10.1. Поэтому приведем только соотношения,
необходимые в дальнейшем.
При отсутствии внешних сил (rравитационных, центробежных, электриче
ских) незаряженные частицы и капли, дисперrированные в покоящейся жидко
сти, должны быть распределены однородно. Между частицами Bcerдa существу
267
ет взаимодействие: электростатическое отталкивание (для заряженных частиц
и частиц, окруженных двойными электрическими слоями), молекулярное притя
жение (силы Ван дер Ваальса Лондона), rидродинамические силы (силы, воз
никающие при взаимном влиянии полей скоростей жидкости и частиц).
Электростатические силы отталкивания одинаково заряженных частиц
поддерживают однородное распределение частиц. Способность к сохранению в
течение длительноrо времени однородноrо распределения частиц в жидкости
характеризует устойчивость системы.
На практике в большинстве двухфазных дисперсных системах число час
тиц со временем уменьшается, одновременно увеличивается их размер. Для
эмульсий столкновение двух капель приводит к их слиянию (коалесценции)
с образованием одной капли большеrо размера. Частицы при столкновении
MOryT и не коалесцировать, а образовывать arperaTbI. Аrреrация частиц проис
ходит за счет молекулярных сил притяжения Ван дер Ваальса Лондона.
Системы, в которых происходит аrреrация, коаrуляция или коалесценция
частиц, называются неустойчивыми или нестабильными.
В отсутствии внешних и rидродинамических сил устойчивость дисперсной
системы зависит от взаимодействия частиц, вызванноrо поверхностными силами:
электрическим отталкиванием и молекулярным притяжением [51].
Электростатические силы это силы отталкивания, обусловленные двой
ными электрическими слоями на поверхностях частиц или капель. Электроста
тический потенциал для двух различных сфер радиусов R 1 и R 2 (R 1 > R 2 ),
расстояние между центрами которых равно r, [S2]
v phere = eRlq> R 2 ( 2 q>2 ln ( 1 e 1.11(J ) + ( 1 + q> ) ln (1 e 2xho ) ) ,
4(R 1 + R2) q>1 1 + e Xho q>r
<!>2 потенциалы поверхностей частиц; Х обратный дебаевский pa
( 11.93)
rде <!>1 и
диус.
Силу электростатическоrо отталкивания двух сферических частиц находят
из соотношения
F R = dVR = eRlq>rx I' R
dr 2 /J'
(11.94)
fR = k k 1 ( 2 q>2 ( 1 + ) e a ) , а = 0,SR 1 X<1 + k) ( R 2r R ) .
+ 1 e 2a q>1 Ч'f 1 + 2
Из (11.94) следует наиболее часто используемая формула для электроста
тическоrо взаимодействия одинаковых частиц радиуса R, обладающих равными
поверхностными потенциалами <!>о:
F R = ER<!>5X /2(1 + е а ). (11.95)
Сила притяжения Ван дер Ваальса Лондона является силой молекуляр
Horo происхо ения, хотя в ее основе лежат электрические взаимодействия.
Эта сила по своей природе обусловлена поляризацией молекулы под влиянием
флуктуаций распределения заряда в соседней молекуле и наоборот. Она извест
на также под названием дисперсионной силы Лондона.
Сила молекулярноrо притяжения между двумя параллельными плоскостя
ми и двумя сферическими частицами была получена raMaкepoM [53]. Cooтвeт
ствующая энерrия притяжения
vx 1ane = T /127th 2 , (11.96)
268
rдe h расстояние между плоскостями; r постоянная raMaкepa, характерные
значения которой равны 10 20 10 \9 Дж.
Для двух одинаковых сферических частиц радиуса R при условии ho« R,
rде ho минимальное расстояние между их поверхностями, энерrия равна
Vlpbere == Rr /12110. (11.97)
Для одинаковых сфер при произвольном расстоянии r между их центрами
V1Pbere= I.. ( 2Ю + 2R2 +1n ( r2 4R2 )) . (11.98)
6 r2 4R2 r 2 r 2
В случае двух различных сфер с радиусами R I и R 2
vspbere == I.. ( 8k + 8k +
А 6 (s2 4)(1 + k)2 s2(k + 1)2 4(1 k)2
1 ( (s2 4)(1 + k)2 ))
+ n s2(k + 1)2 4(1 k)2 '
rде s=2r/(R I +R 2 ); k=R 2 /R\.
Соответствующая молекулярная сила притяжения двух различных сфери
ческих частиц
(11.99)
FA= dVA == l:I....{A' (11.100)
dr ЗR\
(А == ) ( )s (8k (1 + k)2(s2 4» +
(1 + k (s2 4 (1 + k)2
+ s(1 + k)2 (8k + S2 (1 + k)2 4(1 k)2 » ) .
(s2(k + 1)2 4(1 k)2)2
В выражении (11.100) не учитывается эффект электромarнитноrо запаз
дывания, приводящеrо к уменьшению силы Ван дер Ваальса. Приближенное
выражение для молекулярной силы с учетом этоrо эффекта приведено в [54]
и имеет вид
{А == (АФ(Р),
(11.101)
rде
{ 1 + 11,77Р при р::; 0,57,
Ф(р) 2,45 2,17 0,59
60р + 120р2 420р3 при Р > 0,57,
rде р == 2zt (r R I R 2 ) J...L; J...L лондоновская длина волны, имеющая поря
док 103 А.
Полная потенциальная энерrия взаимодействия двух сферических частиц
равна сумме потенциалов электростатическоrо и молекулярноrо взаимодействий
частиц:
V==VA+V R .
(11.102)
Энерrия отталкивания экспоненциально убывает с ростом ho с xapaктep
ным линейным размером J...D' Энерrия притяжения убывает как 1/ ho. Поэтому
сила притяжения Лондона превалирует на относительно малых и больших
269
расстояниях между частицами, в то время как на промежуточных расстояниях
доминирует ...сила отталкивания.
Коаryляция бывает быстрой и медденной. Быстрая коаryляция это Koa
rуляция при учете только молекулярн:ых сил при-rяжения. Если кроме сил
притяжения учитываются силы электростатическоrо отталкивания, то такая
коаryляция называется медленной. Известно, что необходимая для быстрой
коаryляции концентрация электроли-rа СО сильно зависит от заряда противо
ионов, т. е. ионов, несущих заряд, противоположный заряду частиц. С друrой
стороны, устойчивость системы практически не зависит от заряда ионов и от
концентрации частиц. Это соответствует правилу Шульца Харди, соrласно
которому основное влияние на устойчuвость системы оказывает валентность
противоионов. Значения потенциалов модекулярноrо и электростатическоrо взаи
модействий частиц в ТОЧКе, разделяющей устойчивое и неустойчивое состояния
системы, находятся из следующей системы уравнений:
V==VA+VR==O,
dV dVA + dVR О
dr dr dr .
(11.103)
(11.104)
Если система полностью неустойчива, т. е. силы отталкивания не учитываются,
то каждое столкновение частиц приводит к их коaryляции. Присутствие в ЖИДКО--
сти стабилизатора электролита приводи-r к появлению сил отталкивания блarо
даря наличию на поверхности частиц двойных электрических слоев. Это значит,
что коaryляция замедляется. Поэтому такая коaryляция называетСЯ медленной.
Скорость Koary ляции характеризуется фактором устойчивости w, равным
отношению числа столкновений частиц без учета и с учетом силы электроста
тическоrо отталкивания [9]:
w== I/I R .
(11.105)
При быстрой Koary ляции 1 R == 1 и W == 1, а при медленной Koary ляции 1 R < 1
и w> 1.
11.6. ПРОВОДЯЩИЕ КАПЛИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
В этом разделе обсудим в общих чертах поведение капель во внешнем
электрическом поле в предположении малой объемной концентрации капель.
Korдa капли находятся относительно далеко друr от друrа, влияние соседних
капель мало и можно оrраничиться рассмотрением одной капли в бесконечной
жидкости. Уменьшение расстояния между каплями приводит к искажению
внешнеrо электрическоrо поля возле поверхностей капель, что оказывает cy
щественное влияние на форму капель. Взаимодействие двух проводящих Ka
пель во внешн:ем электрическом поле будет рассмотрено в следующей rлаве.
Здесь оrраничимся рассмотрением поведения одиночной капли, а также обсудим
вопрос об устойчивости капли в электрическом поле.
Если внутренняя и внешняя жидкости представляют собой идеальные
диэлектрики и на межфазной поверхности нет свободных зарядов или жидкость
в капле обладает высокой проводимостью , а внешняя жидкость изолятор, то
внешнее электрическое поле приводит к появлению распределенн:ОЙ по поверх
ности капли силе, обусловлен:ной разрывом электрическоrо поля на межфазной
поверхности [55]. Эта сила перпендикулярна межфазной поверХНОСТИ и Ha
правлена от жидкости с большей диэлектрической проницаемостью или от
210
проводящей жидкости в сторону жидкости с меньшей диэлектрической прони
цаемостью или изолятора. Для сохранения равновесия фиryры неподвижной
капли в неподвижной жидкости необходимо, чтобы выполнялось условие paвeH
ства поверхностной электрической силы силе поверхностноrо натяжения. В pe
зультате в статических условиях капля принимает форму тела вращения (Эk
липсоида) , вытянутоrо вдоль направления внешнеrо электрическоrо поля.
Теория статическоrо равновесия капли в электрическом поле (электроrид
ростатика) развита в работах [S6 62] для идеальных сред диэлектриков и
проводников. Однако реальные жидкости представляют собой жидкости с
конечной проводимостью и диэлектрики с конечной диэлектрической проница
емостью. Исключение составляют сверхпроводящие жидкости при очень низ
ких температурах, например жидкий rелий. Учет конечной проводимости зна
чительно осложняет задачу как математически, так и физически, поскольку
возможные формы капли отличны от форм идеально проводящих капель. Так,
капля может принять форму вытянутоrо вдоль направления электрическоrо
поля эллипсоида, вытянутоrо вдоль направления, перпендику лярноrо электри
ческому полю эллипсоида, а также сферическую форму, что наблюдалось в
экспериментах [63]. Теоретическое объяснение этим феноменам дано в работе
[64]. Показано, что у капли конечной проводимости электрический заряд aкKY
мулируется в поверхностном слое капли, порождая неоднородное поверхност
ное танrенциальное электрическое напряжение. Это напряжение индуцирует в
жидкости касательные rидродинамические напряжения, влияющие на деформа
цию капли. Величины напряжений зависят от свойств жидкостей и от напря
женности внешнеrо электрическоrо поля. Поэтому в зависимости от соотноше
ния между электрическими и rидродинамическими поверхностными напряже
ниями капля может принимать одну из перечисленных выше форм. Решение
задачи с учетом внутренней циркуляции жидкости проведено в [64] в предпо
ложении малой деформации поверхности капель и медленноrо стоксова течения,
что позволило получить приближенное асимптотическое решение.
Эксперименты, результаты которых содержатся в [65], показали лишь качест
венное соrласие с теорией [64], в то время как количественное расхождение,
в частности степень деформации капли, оказалось значительным. Попытка учесть
в асимптотическом разложении члены более BbIcoKoro порядка была сделана
в [66], но она не ликвидировала расхождение с результатами экспериментов.
Следует заметить, что проведение экспериментов осложнено необходимостью
выполнения довольно жесткоrо условия отсутствия движения (осаждения или
всплытия) капель, для чеrо необходимо, чтобы капли были очень маленькоrо
размера, а плотности внутренней и внешней жидкости различались незначительно.
Более общий случай представлен в работе [67], в которой рассмотрено
поведение капли конечной проводимости, свободно взвешенной в жидкости друrой
конечной проводимости. В уравнении движения учтены нелинейные инерцион-
ные члены. Задача решалась численным методом конечных элементов. Пока-
зано, что учет конечной проводимости и нелинейных эффектов приводит к
хорошему соrласию с результатами экспериментов.
Отметим еще некоторые работы, в которых исследуется влияние электри-
ческоrо поля на друrие процессы. В [68 75] показано, что электрическое поле
интенсифицирует процесс тепломассообмена между каплями и окружающей их
жидкостью, а в [76] исследуется возможность дробления капель конечной про
водимости в электрическом поле.
Оrpаничимся здесь простыми оценками, для чеrо рассмотрим идеально
проводящую каплю, взвешенную в идеальном диэлектрике. Движением жидко
271
Ео
.
Рис. 11.(. ДеформаЦIIII ПрОВОДJIЩей КЗПJIИ
В электрическом поле
r
сти внутри И вне капли пренебреrа
ем. В этом случае проводящие капли,
взвешенные в диэлектрической жид
кости, под действием внешнеrо элект
рическоrо поля поляризуются и дефор
мируются, принимая форму эллипсои
да с большей осью, направленной по
направлению вектора напряженности
внешнеrо электрическоrо поля Ео.
Рассмотрим несколько подробнее
поведение одиночной проводящей сфе
рической капли радиуса R, свободно
взвешенной в неподвижной диэлектрической жидкости постоянной диэлектри
ческой проводимости е в присутствии однородноrо внешнеrо электрическоrо
поля напряженности Ео (рис. 11.4).
Так как вне сферы заряд отсутствует, то потенциал электрическоrо поля q>
удовлетворяет уравнению Лапласа
Aq> = О.
(11.106)
Поверхность проводящей капли является эквипотенциальной, поэтому можно
принять, что на ней
<р=0 на SR'
(11.107)
Вдали от капли напряженность поля совпадает с напряженностью внеш
Hero поля:
Vq> Eo при T oo.
(11.108)
Электрическое поле внутри капли отсутствует, а индуцируемый внешним
полем заряд распределен по поверхности с плотностью 0', равной
2хО' = д <р/д п,
(11.109)
rде п внешняя к SR нормаль.
Суммарный заряд капли равен нулю, поэтому должно выполняться yc
ловие
f дrp
дп ds == О.
SR
(11.110)
Найдем условие Toro, что капля слабо деформируется. Torдa можно при
нять форму капли сферической. Уравнение Лапласа в сферической системе
координат при условии сферической симметрии имеет вид
. е д ( 2д<р ) д ( . e д<p ) o
sш дт r дт + де sш де .
(11.111)
fраничными условиями являются
<р=0 при r=R; Eocose при T oo.
272
(11.112)
Решение равно
q> = Е{ r : }os е. ( 11.11 3)
Из (11.113) определим напряженность электрическоrо поля на поверхно
сти капли
E R = ( l=R = 3Ео cose. (11.114)
Найдем теперь силу, действующую на проводящую каплю. Плотность потока
импульса в электрическом поле определяется максвелловским тензором напря
жений [77]
t'k = ( E2 8'k E,Ek ) .
4п 2
действующая на ориентированный элемент поверхности ds,
t'kds k = t'kпkds.
Значение t'kпk является силой, действующей на единичную поверхность.
Поскольку на поверхности капли вектор напряженности направлен по нормали
к поверхности, то E,E k :::: Ek8'k' Сила, действующая изнутри на единичную пло
щадку поверхности капли, эквивалентна давлению
Ek 9Е2
Ар = 8it 8: cos 2 е. (11.116)
(11.115)
Сила,
равна
Наибольшеrо значения это давление достиrает при е == о и е == х, т. е. на
полюсах капли, лежащих на прямой, параллельной Ео. Потому деформация
капли достиrает наибольшеrо значения в окрестности этих точек. В резуль
тате капля принимает форму эллипсоида с большой осью, направленной
по Во.
Условием равновесия капли является равенство электрическоrо давления
силе поверхностноrо натяжения. Если сила электрическоrо давления превосхо
дит силу поверхностноrо натяжения, то капля деформируется до тех пор, пока
уменьшающиеся rлавные радиусы кривизны в полюсах капли не увеличат по
верхностное натяжение, которое компенсирует внутреннее давление. Значитель
ная деформация капли может вызвать потерю устойчивости капли и привести
к ее дроблению. Значение критической напряженности внешнеrо электрическо
то поля Eer можно оценить из равенства
9E r 2k (11.117)
81t R'
из которото следует, что устойчивость капли характеризуется безразмерным
параметром
Х 2 электрическая сила 2 R
сила поверхностноrо натяжения = Ео У .
(11.118)
Приведенная выше простая оценка дает критическое значение параметра
Xcr 4Jiё/з. Более точный расчет с учетом деформации капли [58, 78] при
водит к значению Xer= 1,62'5. Для воды в нефти L==3. 10 2 Н/м и для кап
ли воды радиуса 1 см критическая напряженность электрическоrо поля
Eer = 2,67 кВ/см. Поэтому напряженность электрическоrо поля Во < 3 кВ/см
18 1461 273
Таблица 11.1
o/R 00 10 1 0,1 0,01 0,001
Хс, 1,625 1,555 0,9889 0,0789 3,91 . 10 3 1,9 . 10 4
не будет заметно деформировать далеко отстоящие друr от друrа капли
радиусом R « 1 см.
Иначе обстоит дело, коrда капли расположены близко друr от друrа.
В этом случае уменьшение расстояния между каплями приводит к значитель
ному увеличению локальной напряженности электрическоrо поля в зазоре между
поверхностями капель. В [79] показано, что устойчивость системы двух прово
дящих капель определяется тоже параметром Х, но, в отличие от случая оди
ночной капли, он зависит не только от Ео, R и L, но также от относительноrо
зазора '6/ R между поверхностями капель. В табл. 11.1 приведены значения хс"
зависящие от '6/ R.
Из приведенных в таблице значений Хс, следует, что даже маленькие капли,
находясь достаточно близко друr от друrа, MorYT терять устойчивость в относи
тельно небольших внешних электрических полях. Однако это происходит при столь
малых зазорах между каплями, что силы молекулярноrо взаимодействия способ
ствуют захвату и слиянию образующихся в результате дробления мелких капель.
11.7. ДРОБЛЕНИЕ КАПЕЛЬ
в предыдущем разделе был затронут вопрос о деформации проводящих
капель и возможности их дробления. Рассмотрим теперь проблему дробления
непроводящих капель.
Рассматривая движение малых капель и окружающей их жидкости в рамках
CToKcOBoro приближения, видим, что оно не приводит к большой деформации
поверхности капель, а значит, и к их дроблению. Дроблению капли предшеству
ет значительная деформация ее поверхности, что возможно, если в слоях жид
костей, прилеrающих с обеих сторон поверхности капли, имеются значительные
rрадиенты скорости и давления, способные преодолеть поверхностнее натяже
ние межфазной поверхности. Поэтому для описания деформации капли необ
ходимо учитывать совместное влияние инерционных и вязких эффектов и сил
поверхностноrо натяжения. Исчерпывающий обзор, посвященный вопросам
деформации и дробления капель в вязкой жидкости при малых числах Рей
нольдса, содержится в работе [80]. Некоторые данные по дроблению капель
при больших числах Рейнольдса содержатся в [81].
Промысловые водонефтяные эмульсии содержат капли воды от долей
микрона и выше. Основные трудности в процессе сепарации водонефтяных
эмульсий обусловлены мелкодисперсной составляющей, т. е. каплями размером
до 100 мкм. Деформация таких капель при rравитационном осаждении или в
ламинарном потоке невелика. Поэтому дробление столь малых капель проис
ходит в основном при движении эмульсии в турбулентном режиме течения под
действием турбулентных пульсаций, Порождающих в окрестности капель cpeд
нее локальное сдвиrовое течение со скоростью сдвиrа у == (4f.o /1 S1tV е) 1/2, rде Ео
удельная диссипация энерrии.
В разделе 11.1 приведено кинетическое уравнение, описывающее динамику
распределения капель по объемам n(V, 0) в процессе их коалесценции. Повед
274
ние водонефтяных эмульсий в процессах д06ычи, подrотовки и транспорта нефти
характеризуется тем, что наряду с коалесценцией капель дисперсной фазы наблю
дается дробление капель, размер которых превосходит некоторый критический
размер. Как правило, движение эмульсий в элементах технолоrическоrо оборудо
вания и в трубопроводах происходит в турбулентном режиме течения, поэтому
дробление капель следует рассматривать как случайный процесс, характеризуемый
следующими параметрами: частотой f(V) др06ления капель в интервале 06ъемов
(V, V + dV); вероятностью P(V, (0) 06разования капли объемом, лежащим в ин
тервале (V, V + dV), при дроблении большей капли, объем которой заключен в
интервале (00, 00+ dro); минимальным радиусом др06ящейся капли R mш . Кинетиче
ское уравнение с учетом как коалесценции, так и дробления капель имеет вид
v
дn , t) == f K(V ro, oo)n(V ro, Оn(ro, t)doo n(V, t) f K(V, оо)n(ro, t)doo+
о о
+ f f(oo)P(V, оо)n(ro, t)doo f(V)n(V, О.
v
Начнем с оценки минимальноrо радиуса дробящейся капли. Для этоrо
нужно оценить силы, действующие на каплю в турбулентном потоке и способ
ные ее деформировать.
На каплю, помещенную в поле однородной и изотропной турбулентности,
действуют следующие силы со стороны внешней жидкости: динамический напор
Q == krPeu2/2, rде k r коэффициент, имеющий порядок 0,5; Ре плотность
внешней жидкости; и скорость внешней жидкости относительно капли; сила
вязкоrо трения F v !le 1, rде J.l.e коэффициент вязкости внешней жидкости;
1== (4Eo/1Snv e )\/2 средняя скорость сдвиrа; Ео удельная диссипация энер
rии; V e ==!le/ Ре коэффициент кинематической вязкости. Кроме Toro, на поверх
ность капли действует сила поверхностноrо натяжения Рсар == 2L/ R, rде L
коэффициент поверхностноrо натяжения; R радиус капли. В зависимости от
Toro, какая из внешних сил, действующих на поверхность капли, доминирует,
возможны два механизма дробления капли.
Пусть основное воздействие оказывает динамический напор [19]. Torдa
деформация капли вызывается разностью динамических напоров, действующих
на протиповоложные стороны капли:
Q ==k Pe(ur uP (11.120)
r 2 '
(11.119)
rде и\ и и2 скорости на противоположных сторонах капли, отстоящих друr от
друrа на расстоянии 2R.
Рассмотрим сначала капли размером R > 1..0, rде 1..0 внутренний масштаб
турбулентности. Тоrда крупномасштабные пульсации (1..0« л « L), сравнитель
но мало изменяющиеся на расстояниях порядка размера капли, не оказывают
на нее заметное воздействие. Следовательно, деформация и дробление капли
может быть вызвана только мелкомасштабными пульсациями. Для таких пуль
саций изменение пульсационной скорости ил на расстоянии порядка размера
капли 2R cor ласно (11.43) равно
ил'" (Еол)1/3", (Eo2R)\/3. (11.121)
Из (11.120) и (11.121) следует, что
Q '" krPe E /3(2R)2/3. (11.122)
2
18*
275
Если разность динамических напоров (11.122) превосходит силу поверх
HocTHoro натяжения капли, то происходит заметная деформация капли и она
может раздробиться. Поэтому условием дробления капли является
kr;e E /3(2R)2/3 '" . (11.123)
Подставляя сюда выражение (11.42) для Ео, получим следующее соотноше
ние для минимальноrо радиуса дробящейся капли:
R л L2/5I:.3/5
min kJI5p /5U6/5 .
Здесь L характерный линейный масштаб области течения, И средняя
скорость потока.
Заметим, что формула (11.124) получена в предположении, что плотности
внутренней и внешней жидкостей незначительно различаются, в противном случае
нужно было бы оценивать также динамический напор со стороны внутренней
жидкости.
Введем число Вебера
( 11.124)
динамический напор 2Rp e U 2
e == сила поверхностноrо иатяжеиия ==
Тоrда выражение (11.124) можно переписать в виде
R 211 /4
== e 3/2 C e 3/2. (11.126)
L k{/2
Рассмотрим теперь капли, размер которых меньше BHyтpeHHero масштаба
турбулентности (R« ). Очевидно, что дробление таких капель MOryт вызвать
только пульсации, масштаб которых л < , т. е. пульсации, движение которых
характеризуется значительными силами вязкоrо трения. Поэтому основным
механизмом, вызывающим деформацию капли, может быть только сила вязкоro
трения на поверхности капли. Критерием сильной деформации капли является
равенство силы вязкоrо трения силе поверхностноrо натяжения
( 4€o ) 1/2 2I:.
/le 151tV e '" R' (11.127)
Из этоrо соотношения найдем минимальный радиус дробящейся капли
I:. L ( )
R min ,,1 S1t ) с . 11. 128
Pe(Ye€O 1/2 Pe(y e €O)1/2
В таком виде выражение для минимальноrо радиуса капли приведено в [82].
Введем безразмерный параметр число Онзорrе
Oh == /le ;<2RPeL)1/2. (11.129)
Torдa соотношение (11.128) можно переписать в виде
R ( 151t ) 1/4Re 3/40h 1 ( 11.130 )
n 4 J
rде Re == UL/v число Рейнольдса потока.
Перейдем теперь к определению частоты дробления капель f(V). Будем
следовать работе [83], в которой предложена модель дробления капель в ло
кально изотропном развитом турбулентном потоке. В основе модели лежит
(11.125)
276
предположение о том, что дробление одиночной капли полностью определяется
флуктуациями диссипации энерrии в ее окрестности. Дробление капли проис
ходит, если значение удельной диссипации энерrии, усредненное по объему,
имеющему порядок объема капли V, превосходит критическое значение e,/V).
Для заданноrо размера капли критическое значение удельной диссипации энер
rии равно соответствующему значению to, входящему в формулу для минималь
Horo радиуса дробящейся капли. Предположим, что основной силой, приводя
щей к деформации и дроблению капли, является сила вязкоrо трения. Тоrда
можно воспользоваться формулой (11.128), из которой следует, что
'. (V) (( . )'/' с p J v.V;I" (11.130
Примем, что распределение диссипации энерrии в окрестности капли paB
номерное со средним значением e(t). Тоrда частоту дробления, т. е. количество
актов дробления, происходящих в единицу времени, можно трактовать как
вероятность пересечения случайным процессом е( t) уровня e cr ( V), который
остается постоянным, и для ero определения применить подход, развитый в
работе [84].
Рассмотрим два близких момента времени t и t + At. Пусть в момент
времени t энерrия е( t) < e cr ( V) , а в момент t + Ы имеем е (t + А t) > e cr ( V).
Torдa частоту дробления можно представить как
f(V) = lim ( P(E(t)<Ecr(V); E (t+At»Ecr(V» ) . 01.132)
61---+0 ы P(E(t) < Ecr(V»
В правой части стоит отношение вероятности Toro, что в момент времени t
среднее значение удельной диссипации энерrии меньше, а в момент времени
t + At больше критическоrо значения. В знаменателе СТОИт вероятность Toro,
что в начальный момент t значение удельной диссипации энерrии меньше кри
тическоrо значения.
Раскладывая далее е (t + At) в ряд по At и считая случайный процесс
стационарным, преобразуем (11.132) к виду
f(V) = j tp(e cr , ё) dt / J р(е) dt, (11.133)
о о
rде р(е, ё) совместная плотность распределения случайных величин еи) и
t(t) в один и тот же момент времени t; р(е) одномерное распределение
случайной величины е( t).
Соrласно [84] совместная плотность распределения p(e cr , ё) выражается
через совместную плотность распределения случайной величины е (t) в разные
моменты времени:
Р (е e)=limAtg ( e+ M e e Ы € ) (11.134)
сro 61.....0 2' 2'
Для определения одномерноrо распределения р(е) воспользуемся выводом
работы [34] о том, что оно хорошо аппроксимируется лоrарифмически нормаль
ным законом распределения
р(е) = exp ( (Inxe)2 ) , (11.135)
.J2itш 2а 2
277
rде а 2 == ln(02/E2 +1); х=ехр(а 2 /2)/Е; 'Е и 02 среднее значение и диспер
сия распределения удельной диссипации <знерrии. В [85] показано, что из пред
положения о справедливости rипотезы Миллионщикова о том, что четвертые
моменты rpадиентов скоростей связаны со вторыми так же, как при нормальном
распределении, следует
02 = 0,4'Е 2 .
(11.136)
в [83] определена совместная плот ость распределений
p(E cr , Е) = 2х: 2 ех р ( {f) 2 2 (lnXE)2 )-
То = .Jv /"Е , с = 1 exp( a2).
Подставляя (11.135) и (11.137) в (11.133), получим выражение для час
тоты дробления
(11.137)
((у) == i..(lпФ(у»,
,, 2хТ оа dy
01.138)
у
Ф(у) = J e y2/2 dy, у = ln(XEcr(V»,
..[2;.
Заменяя здесь Ес. с использованием (11.131) и учитывая
получим окончательно
связь (11.136),
((х) = 1 (lпФ(х»,
2,ОЗ..[2;.т о dx
х = 1,11п(1,з v: n ). V min = X R in'
В [83] приводится выражение, которое аппроксимирует достаточно точно
выражение (11.139) и удобно д ля пров едения расчетов:
{ х + 1 ' 685X при х О,
2,озJ2iёТ о f(х) = ( 2 )
h ехр (1 + exp( 1,6Sx» при х О.
( 11. 139)
Определим теперь вероятность образования капли Р ( V, 0).
в экспериментах по исследованию дробления одиночныIx капель [82] в
зависимости от rидродинамических условий наблюдаются различные варианты
распада капель. При дроблении капли чаще Bcro образуются две одинаковые
(дочерние) капли и одна или несколько более мелких капель (сателлитов).
При этом ни в одной из работ не отмечалась корреляция между различными
вариантами дробления и размерами дробящихся капель. Это позволяет пред
положить, что вероятность дробления при фиксированных СВОйствах BHYTpeH
ней и внешней жидкостей зависит только от отношения объемов дробящейся о)
и образующихся V капель и имеет вид
P(V, 0) = k 9( } (11.140)
Из условия сохранения cYMMapHoro объема образующихся после дробле
ния капель
278
'"
JVP(V,O)dV=O) (11.141)
о
с учетом <11.140) следует, что среднее значение плотности распределения g(y)
равно
\
9 = J yg(y)dy = .
о
Из сказанноrо выше о характере дробления капли следует, что функция
g(y) является бимодальной с двумя четко выраженными максимумами, один из
которых расположен в области размеров сателлитов, а друrой в области
размеров дочерних капель. Torдa ее можно представить как сумму двух взве
шенных одномодальных плотностей распределений g\(y) и g2(y), определенных
на интервале (О, 1) и имеющих средние значения 91 = l1t/0) и 92 = V 2 /0):
P(V, 0) = k\ g\ ( ) + k 2 g2 ( )- (11.142)
Для выполнения условия сохранений (11.141) необходимо, чтобы
k 1 y\ + k 2 Y2= 1. (11.143)
в предельном случае, коrда после дробления образуются дочерние капли
одинаковоrо размера и сателлиты тоже одинаковоrо, но друrоrо размера, диспер
сии плотностей распределений 9 \ (у) И g2(y) равны нулю и (11.142) принимает
простой вид:
р (V, 0) = k1 )(V У10) + k 2 3(V У20) , (11.144)
rде ь(х) дельта функция.
В случае, коrда вероятность дробления не бимодальная функция, а муль
тимодальная, ее можно представить в виде
n n
p(v, 0) = L k,3(V У,О); L k,y, = 1.
, \ , \
( 11.145)
в большинстве теоретических работ, в которых учитывается дробление
частиц, принимают, что после дробления образуются две одинаковые капли.
Соответствующая этой простейшей модели вероятность дробления
P(V, 0)=2b(V 0,SO). (11.146)
Если использовать вероятность дробления в виде (11.146) и подставить в
уравнение (11.119) без учета первых двух интеrралов в правой части, что
соответствует дроблению капель без коалесценции, то, использовав известные
свойства дельта функции, получим
дn , t) = 2f(2V) n(2V, t) f(V) n(V, О. (11.147)
В [83] рассмотрена процедура получения решения этоrо уравнения в виде
суммы независимых решетm с дискретными спектрами. Рассмотрены частные случаи
монодисперсноrо и paвHoMepHoro на некотором интервале начальных распределе--
ний. На основе полученных решений найдены первые чеrыре момента распреде
ления капель по объемам и с использованием диarpаммы Пирсона (см. рис. 11.1)
показано, что решение сходится к лоrарифмически нормальному распределению.
Это находится в полном соответствии с результатом работы [86], в которой пред
полarалось, что частота дробления {( V) постоянна и не зависит от размера капель.
279
12
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ПРО ВОДЯЩИХ
СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ В ОДНОРОДНОМ
ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
12.1. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕскоrо ПОЛЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ ВНЕ КАПЕЛЬ
Рассмотрим две проводящие сферические частицы с радиусами R 1 и R2'
несущие заряды ql и q2 И помещенные в однородное внешнее электрическое
поле напряженности Ео (рис. 12.0. Обозначим через е уrол между линией,
соединяющей центры частиц, и вектором Ео. Пространство между частицами
заполнено покоящимся однородным изотропным диэлектриком с диэлектриче
ской проницаемостью Е, частицы не движутся относительно диэлектрика. Так
как вне сфер свободные зарядЫ отсутствуют, то потенциал электрическоrо
поля q> в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа
Aq>=O. (12.1)
Сформулируем теперь rраничные условия. Вдали от частиц напряжен
ность электрическоrо поля стремится к напряженности внешнеrо поля
E== Vq> Eo== Vq>o. (12.2)
х
Ео
х
z
S,
1-1= 1-12
z
1-1=1-1,
Рис. 12.1. Две проводящие сферические частицы в одиородиом виешием
электрическом поле
280
Поскольку система координат выбрана таким образом, что вектор Ео лежит
в плоскости xOz, то fPo, очевидно, не зависит от у и равен
fPo = Eo (z cos 8 + Х sin 8). (12.3)
Из условия эквипотенциальности поверхностей проводящих частиц сле
дует, что
fP51 = V;, fP52 = V 2 , (12.4)
rде V I и V 2 постоянные потенциалы поверхностей, для определения которых
необходимо воспользоваться условием Toro, что заряд проводящей частицы
распределен по поверхности [77]
Е J д<р
41t дп ds = q, (i = 1, 2).
5,
( 12.5)
Здесь п внешняя нормаль к поверхности частицы.
Решение краевой задачи (12.1) (12.5) следует прОВОДИТЬ в бисферической
системе координат (11, , Ф), связанной с декартовой системой координат (х, у, z),
изображенной на рис. 12.1, соотношениями [87]
аsшТ'lСОSФ
х= ,
chl1 cOSТ'l
asin Т'lsin Ф ash 11
y z
chl1 COSТ'l' chl1 cOSТ'l
( 12.6)
(O ll<1t, oo< <oo, О Ф 21t).
Бисферическая система координат характеризуется координатными поверх
ностями, изображенными на рис. 12.2. В частности, поверхностям сфер 51 и 52
х
Jl O
Т"l O
Jl const
z
Рис. 12.2. БисферическаJl система координат ('1'\, 11, Ф)
281
соответствуют координатные поверхности == 1 И == 2, rде 1 и 2 поло
жительные постоянные. Параметр а, входящий в (12.6), выражается через радиусы
частиц соотношениями
a==Rlsh I==R2Sh 2' (12.7)
В бисферической системе координат уравнение Лапласа (12. 1) преобразу
ется к виду
( siпТ\ д<P ) + ( siпТ\ д<р ) + 1 д 2 <р ==0. (12.8)
дт] chl1 СОSТ\ дт] al1 chl1 СОSТ\ al1 siпТ\(сhl1 СОSТ\) дф
Рассмотрим теперь rраничные условия (12.4) и (12.5). Первые условия
очевидны:
<1'1'=1'1 == V I , <1'1'=1'2 == V 2 .
( 12.9)
Для Toro чтобы преобразовать вторые условия, воспользуемся выражения
ми для производной по внешней нормали к поверхности сферы
д 1 ( h ) 1/2 д
= с cos 11
дп а al1
и для элемента поверхности сферы == const
(12.10)
2 .
ds == а SШТ\ dlldФ.
(ch 11 cos Т\)2
Тоrда условия (12.5) примут вид
ЕД J sin Т\ д<р d dФ
4п (ch 11 cos Т\)3/2 al1 11 q,
S,
(1' = 1',)
(i == 1, 2).
(12.11)
Условие (12.2) вдали от частиц нетрудно преобразовать, используя Bыpa
жения (12.3) для <1'0 и (12.6) для декартовых координат.
Общее решение уравнения (12.8), оrpаниченное при 11 = О, имеет вид ряда
по функциям [87]
1/2 ( exp«п+1/2) ) m с оsтФ )
<l'т, п (ch cos 11) ( ( 1 2) ) Рп (cos 11). Ф .
ехр п + / sш т
(12.12)
Здесь рпт присоединенные полиномы Лежандра.
Используем теперь условие (12.2), разложив предварительно <ро в ряд по
полиномам Лежандра:
. = J2aE.(ch СО5Ч)>/'(. Уn + j)ex p ( (n + )I I)р.(СО5Ч) I I СО5е +
+ 2 .t1 ex ( ( п + i )1 I ) PJ ( cos 11) sin в cos Ф )- ( 12. 13)
Будем искать решение уравнения (12.8) в виде, аналоrичном (12.13):
= (ch СО5Ч)'/'(. .( А. ех р (( n+ ) )+ В. ех+( n+ ) }
282
J2aE o (2п + Оех р ( (п + )[!.tI) ! 1 cos в )Р n (cos1'\) +
+ cos Ф 1( G n ехр ( ( п + i ) ) + Н n ехр С ( п + i ) )
2J2aE. sin вех р ( ( " + i )11'1 ) )РJ(СОS Ч ) J
Для определения неизвестных коэффициентов А т Вт Gnи Нn разделим обе
части (12.4) на (ch COS 1'\)1/2, воспользуемся далее rpаничными условиями (12.9)
и линейной независимостью полиномов Лежандра для произвольных т. Pac
кладывая (ch COS 1'\) 1/2 В ряд по полиномам Лежандра
( 12.14)
(ch COS1'\) 1/2 = n oPn(cos1'\)exp( (п + )I I}
приходим к бесконечной системе линейных уравнений относительно коэффи
циентов А т Вт Gnи Нn
( 12.15)
( J2 ехр ( ( п + i ) 1 ) Аn ехр (( п + i ) 1 ) Вn ехр ( ( п + i ) 1 ) +
+ J2(2п + 1)аЕ о ех р ( (п + i ) 1 }os в )Pn(COS1'\) = О,
( G n ех р ( (п + i ) 1 )+ Нn ех р ( (п + i ) 1 )
2J2aE o ехр ( ( п + i ) 1 }in в }os Ф PJ (cos 1'\) = о,
(12.16)
( J2v 2 ех р ( (п + i ) 2 ) Аn ех р ( (п + i ) 2 ) Вn ех р ( (п + i ) 2 )
J2(2п + 1)аЕ о ех р ( (п + i ) 2 }os в )Pn(COS1'\) = О,
(Gn ех р ( (п+i ) 2 )+Нn exp((п+i ) 2)
2J2aE o ех р ( (п + i ) 2 }in в }оsФ PJ (cos1'\) = о.
Для произвольноrо значения п (п = О, 1, 2,...) система уравнений (12.16)
имеет решение
Аn = J2 (2n + 1)аЕ о (ехр«2n + 1)112)+1)cos8 + V I ехр«2n + 1)112) V 2 ,
ехр«2n + 1)(111 + 112» 1
Вn = J2 (2n + 1)аЕ о (ехр«2n + 1)111)+1)cos8 + vj V 2 ехр«2n + 1)111) , (12.17)
ехр «2n + 1)(111 + 112» 1
283
G = 2.J2 аЕо (ехр«2п + 1)112) 1)sin8
n ехр«2n+1)(111 +112» 1 '
Нn = 2.J2 аЕ о (ехр«2п + 1)111) 1)sin8 .
ехр «2n + 1)(111 + 112» 1
Коэффициенты Аn, Вт G n и Нn выражены через неизвестные значения потен
циала поверхностей частиц V I и V 2 . ДЛЯ их определения воспользуемся усло
виями (12.11) и соотношениями, следующими из (12.14):
( : 1=1'1 o = (ch 1 СОSll)З/2 (n o(2п + 1)ех р ( (п + i ) 1 )A n P n(CoS ll ) +
+СОSФ. ,<2n + оех р ( (n + i}. )G.P.' (СOS Ч )}
( 12.18)
( : 1=1'2 +0 = (Ch 2 СОSll)З/2 (n o(2п + 1) ех р ( (п + i ) 2 )ВnРn (COS11) +
+соsФ 1(2п + j)ex p (( п +i}2 )ЯnРnl(СОSll)}
В итоrе получим
f l а f (2п + 1) ехр (( п + 2 1 ) 1 ) АnРn (О dt = ql,
(Ch111 t)I/2 n=о Е
1
f l а f(2n + 1)ех р (( п + 2 1 ) 2 ) BnPn(t)dt = q2'
(Ch111 t)1/ 2 n=о Е
1
( 12.19)
Здесь обозначено t = cos 11.
Воспользовавшись теперь выражением (12.15) и условием ортоrонально
сти пОлиномов Лежандра на интервале ( 1, 1)
1
f Pn(OPm(Odt = n 1 Отn,
1
получим
1 1
LAn = ql; :LBn = q2'
n = О .fiaE n = О .fiaE
Подставляя теперь в (12.20) выражения (12.17) для Аn и Вт найдем
потенциалы частиц
( 12.20)
н ql q2 Е CI
У1 = 0;11 + 0;12 + О;lз а о COSu,
аЕ аЕ
(12.21 )
V ql q2 Е CI
2 = 0;21 + 0;22 + 0;2з а о COS u,
llE аЕ
rде
SI sO s2
0;11 = 2 ; 0;12 = 0;21 :::: 2 ; 0;22 = 2 ;
284
« +« H + H
О;IЗ = ; 0;2З = 1 О 1 О О 1 О 1 ;
d d
d = SБSБ s8s8; s!n = Sт( I); S = Sт( 2); т = 0,1,2,
( J: ) (2n + 1)т ехр«2n + 1) ) J:
sт kJ ' < 1 + 2'
n=о ехр«2n + 1)(111 + 112» 1
Подставляя найденные коэффициенты в (12.14), получим
<1' = EoR2<1'1 cos в + EoR2<1'2 sin в + <l'з + q R 2 <1'4'
2 Е 2
Здесь введены следующие безразмерные параметры:
<1'1 = Sh 2(ch COS1'\)1 / 2 n d ln ех р ( (п + ) )+ d 2n ех р ( (п + ) )+
+ d зn ех р ( (п + t )I I)1fu )Рn (cos 1'\),
<1'2 = Sh 2(ch COS1'\)1 / 2 J d 4n ех р ( (п + ) )+ d sn ех р ( (п + ) )
2fi d зn ех р ( (п + )I I) }ОSФР (СОS1'\),
<рз = CShJl2(chJl cOSТ'l)1/2 d6n ех{( п+ } )+ d 7n ех р ( (п+ } r (coS1l),
<1'4 = CSh 2(ch COS1'\)1 / 2 ld8n ехр( (п + ) )+ d 9n ех р ( (п + ) ) P n l(COS1'\),
( 12.22)
rде
d ln = а1n + а 2n О;1З + а зn 0;2З; d 2n = Ь 1n + Ь 2n О;1З + Ьзn0;2З;
d зn = .J2(2п + О; d 4n = 2(ехр«2п + 0 2) 1)L n ; d Sn = 2(ехр«2п + 0 1) OLn;
d 6n = а 2n О;11 + а зn 0;21; d 7n = nO;I1 + Ь зn 0;21;
d 8n = а2nО;12 + азnО;22; d 9n = nO;12 + ЬзnО;22;
а 1n :::: (2п + 1)(ехр «2п + 1) 2) + 1) Ln; а 2n = (ехр«2п + 1) 2» Ln;
Ь 1n = (2п + О(ехр «2п + 1) 1) + 1) Ln; Ь 2n = а зn :::: Ln;
Ьзn=2(ехр«2п+0 1) ОLn; L n =.J2 1 .
ехр «2n + 1)(111 + 112» 1
Таким образом, формула (12.22) дает решение поставленной задачи и
представляет собой распределение потенциала электрическоrо поля в простран
стве вне сферических частиц.
Для расчета потенциала необходимо задать значения радиусов частиц RI'
R2' расстояние между центрами частиц r и координаты х, у, z точки, в которой
ищется потенциал, затем через эти значения определить параметры 1' 2, , 1'\, Ф.
ДЛЯ этоrо следует воспользоваться выражениями (12.6) и (12.7), связывающи
285
ми декартовые координаты с бисферическими координатами. Как было отмече
но ранее, поверхностям == const соотве'l'СТВУЮТ сферы радиуса а I csh I
X2+y2+(Z cth )2== ; ( oo< <oo). (12.23)
sh 2 11
Из (12.7) и (12.23) следует, что, задав R!, R 2 и Т, можно найти 1, 2 И а
из системы уравнений
R I ==acsh l' R2=acsh 2, r=a(cth 1 +Cth 2)'
Решая (12.24), получим
1 == ln (ы 1 + .Jb 1 2 1 ); /-1.2 == ln (Ь 2 + .Jbi 1 );
а == RI .Jb? 1 :: R2 .Jbi 1 ,
( 12.24)
(12.25)
[де
Ь! == 1 + uk2(1 + и / 2) ; == 1 + и (1 + uk /2) ;
1+k(1+u) 1+k(1+u)
u==(r RI R2)/R2; k==R 2 /R I ; k l.
Для определения бисферических координат точки , '11, Ф по заданным
значениям декартовых координат х, у, z воспользуемся формулами обратноrо
преобразования [88]
i 1 «х2 + у2 )1/2 ia)2 + z2 ( . )
'I1== n l2== 1,
2 «х2 + y2)!/2 + ia)2+ z2
1 1 х2 + у2 + (z + а)2 у
== n Ф == arctg .
2 x2+y2+(z a)2' х
( 12.26)
12.2. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕскоrо ПОЛЯ
в ЗАЗОРЕ МЕЖДУ КАПЛЯМИ
Перейдем теперь к определению напряженности электрическоrо поля в про
странстве вне частиц. Известно [89], что сближение проводящих незаряженных
сферических частиц в электрическом поле сопровождается ростом напряженности
поля в зазоре между частицами. При малой величине зазора напряженность элект
рическоrо поля может в десятки и сотни раз увеличивать напряженность, что при
водит к разрушению диэлектрических свойств сплошной среды. Авторы раБотыI [89]
наблюдали даже искровой разряд между близко расположенными частицами. Как
будет показано в дальнейшем, перераспределение зарядов между частицами в p
зультате их столкновения существенно влияет на силы взаимодействия между ними.
Все сказанное объясняет повышенный ИНТерес к расчету напряженности электри
ческоrо поля в зазоре между частицами, особенно при малыIx величинах зазора.
Для любой точки пространства напряженность электрическоrо поля опре
деляется из соотношения
E== V<p.
( 12.27)
Потенциал электрическоrо поля был определен в разделе 12.1 в виде
бесконечных рядов, скорость сходимости которых уменьшается с уменьшением
зазора между частицами, т. е. в области, представляющей наибольший интерес.
286
При малых величинах зазора между поверхностями сферических частиц BeK
тор напряженности электрическоrо поля мало отклоняется от направления
нормали к поверхности. Это обстоятельство позволяет провести асимптотиче
ский анализ при расчете напряженности электрическоrо поля возле поверхно
сти одной из частиц.
Рассмотрим область в зазоре между частицами вблизи меньшей из них,
т. е. в окрестности точки с бисферическими координатами 11 == х, == /-1.2, Ф == о
(см. рис. 12.1, точка А). В этой точке выполняются условия t == cos 11 == 1, Р п ( 1) ==
== ( 1)п, Pпl( 1) == о. Torдa из (12.10) и (12.18) находим
Е А = ( д д <P ) = 1. (ch 2 + 1)З/2 f ( 1)"(2п + 1) ехр (( п + 1. ) 2 ) Вп. (12.28)
n l' = 1'2 + О а 2
=n п=О
Подставляя сюда выражения (12.17) для В п и (12.20 дЛЯ V I и V 2 , получим
Е А = (Elql + E 2 q2) + ЕзЕ о cos8, (12.29)
еЩ
rде
Ri {;:; 2( h 1) З/2 ( Л ( J.L2 ) л ( J.L2 ) ) .
Е 2 "';;ivL. С 2 + 51 /-1.1 + 2 а 21 51 2 а 11 ,
Ri {;:; 2( h 1) З/2 ( Л ( J.L2 ) л ( J.L2 ) ) .
E2 "';;iVL. С 2+ 51 /-1.1+2 a22 512 а 12 ,
{;:; 2( h 1) З/2 ( л ( J.L2 ) л ( J.L2 ) л ( J.L2 ) л ( J.L2 )) .
Е з vL. С /-1.2 + 51 1 + 2 а 2з 51 2 а lз 52 /-1.1 + 2 52 2 '
( 12.30)
л ( 1' ) = ( 1) п (2n + от ехр«2n + O ) l' = О 1 2
5 т '::> ' '::> < 1 + 2, т ".
п=О ехр«2n + 1)(J.L1 + J.L2» 1
Коэффициенты E J , Е 2 и Е з зависят от относительноrо зазора между частица
ми == (т R I R 2 ) / R 2 И отношения радиусов частиц k == R 2 / R I . На рис. 12.3, а,
6, в представлены зависимости Е, ( , k), из которых следует, что при малых
зазорах «1 зависимость Е, от близка к степенной для всех значений k.
Это позволяет достаточно точно получить значения Е, путем интерполяции
численных данных.
Друrим методом получения зависимостей Е, ( , k) при малых зазорах
между частицами является исследование асимптотическоrо поведения коэффи
циентов Е, при о. Покажем, что если величина зазора между частицами
мнorо меньше радиусов частиц, то электрическое поле в зазоре вблизи линии
центров частиц близко к однородному. Введем цилиндрическую систему KOOp
динат (р, Ф, Z), как показано на рис. 12.4.
Так как частицы проводящие, то вблизи поверхности вектор напряженно
сти мало отклоняется от нормали к ней и при р« R) (j == 1; 2) проеющи
вектора напряженности на оси р и Z равны
E," E," :, +0(( :, J} E,, E,"(1 )+0( (:, J}
(12.31 )
Здесь индекс j соответствует номеру сферы. Поскольку рассматриваются
сферы различноrо радиуса (R 2 R I ), то наибольшая неоднородность в распре
делении напряженности электрическоrо поля будет возле поверхности меньшей
сферы, поэтому оrраничимся рассмотрением области возле сферы 2.
287
а
EI
10 3
б
Е 2
10 I 104
1
10 I 2 102
3
4
5
10 З б 10 о
10-4 10-2 100 l1 10 4 10 2 100 l1
в
Е з
104
102
7
1
Рис. 12.3. Зависимость коэффициентов Е; от отиоси
тельноro зазора между ЮUIЛJDIII А и отношеШIЯ радиусов
капель k:
1 k 1; 2 0,5; 3 0,2; 4 0,1; 5 0,05; 6 0,02;
7 0,01
100
10-4
10-2
100 l1
Подставляя выражения (12.31) в уравнение V . Е = О, получим для rлав
ных членов разложения
.!. ( PE2 .i.. ) + дЕ2n = О. (12.32)
р др n R2 az
Вблизи сферы 2 имеем Е 2n Е 2. И при р о
.!. ( РЕ 2n .i.. ) = .i.. дЕ 2. + 2 Е2. 2 Е 2. .
Р др R2 R2 др R2 R2
В итоrе (12.32) принимает вид
2 Е 2. + дЕ2. = О. (12.33)
R2 az
Из (12.33) следует, что при малом зазоре между сферами l1z r R 1 R 2
I !!.Е2. I 2 дz 2 « 1.
Е2. R2
Следовательно, I E2zl« Е 2 п т. е. составляющую напряженности вдоль
288
Рис. 12.4. ЦиJПfндрическaJI система KO
ординат (р, Ф, z)
линии центров при о можно
считать однородной и равной
Е= V2 Vi = V2 Vi . (12.34)
r RI R 2 М 2
Входящие сюда значения
потенциалов сфер V I и V 2 сле
дует брать при О, дЛЯ чеrо
необходимо найти асимптотиче
ские значения 1' 2, а и Sт(;).
Первые три параметра нетрудно
получить из (12.25), расклады
вая их в ряды по степеням :
х
z
1 = k .J 2 /(k + 1) + O( ); 2 = .J 2 /(k + 1) + О(М;
а = R2 .J 2 /(k + 1) + О(М.
( 12.35)
Перейдем теперь к определению асимптотических значений Sт( ) при 1' 2
И « 1. Рассмотрим сначала случай т = О. Имеем
ехр«2n + 1) )
so( ) = kJ ехр«2n + 1) ) 1; < 13 = 1 + 112'
n=о
Представим so( ) в виде
so( )= t exp«2n 1) ) + 1: exp«2n 1) ) =st'( )+s;(;), (12.37)
n = 1 ехр «2n 1) ) 1 n = N + 1 ехр «2n 1) ) 1
rдеN»1.
Выберем N, удовлетворяющее условиям .J1/13 «N« 1/213. Так, если
N 13 2/3, то эти условия удовлетворяются. Тоrда st'( ) можно найти, разложив
предварительно экспоненту в ряд при малых значениях NI3, а при расчете oc
таточноrо члена S ( ) заменив сумму интеrралом. В итоrе при 13 о получим
t ехр«2n Щ) =..!. i>.. + ( а ..!. ) N + l3 ( а 2 + ) f (2п 1) + O(j3N),
n = 1 ехр «2n 1) ) 1 n = 1 2n 1 2 2 2 12 n = 1
rде а = /13.
Определив входящие в это выражение суммы, найдем
st'( ) = ..!. ( .f + lnN + In2 + ) + ( a ..!. ) N + I3N2 ( а 2 + ) + O(j3N) (12.38)
2 2 48N2 2 2 2 12 '
rде С = 0,5772... постоянная Эйлера.
Для вычисления S заменим сумму интеrралом, аналоrично тому, как это
делается при численном интеrрировании по формуле трапеций:
( 12.36)
S ( )= 1 +..!. ( a ..!. ) + f ехр(ш) dz+R(N),
2(2N + 1) 2 2 2 exp(z) 1
(2N + I)
19 1461
( 12.39)
289
rде R(N) остаточный член, оцениваемый как R(N) $1/2N 2 . Если выбрать
N 2/3, то R(N) 4/3 и при « 1 имеем R(N) O( ). Преобразуем интеrрал
в (12.39) к виду
(2N+I)
f ехр(ш) d f exP(a,z) 1 d f 1 d f exp(a,z) 1 d
z == z + z z.
ехр (z) 1 ехр (z) 1 ехр (z) 1 ехр (z) 1
(2N+1) О (2N+I) О
Последний интеrрал можно найти, если учесть, что (2N + 1) « 1, и разло
жить подынтеrральное выражение в ряд по z. В итоrе получим
f ехр(ш) dz == ln«2N + 1) ) с + '1'(1 а) +
exp(z) 1 2 2
(2N +1)
+ 2N + 1 (1 2а) + (2N + 1)2 (6a 6а 2 1) + ОфN). (12.40)
4 48
Подставляя (12.38) и (12.39) в (12.37) и учитывая (12.40), получим
So( ) == J..."' ( 1 ) + ОфN). (12.41)
2 2 2
Здесь "'(х) пси функция Эйлера [5].
Для определения Sт( ) при т == 1, 2, 3,... воспользуемся очевидным свой
ством
5т( ) == ; : (so( »,
используя которое найдем коэффициенты, входящие в (12.21):
58 == 21 (ln + ",(1)). 56 == 21 (ln + ",( )). Sб == 21 (ln + )).
SO == \If'(1) SI == \If' ( 2 ) S2 == \I(' ( )
1 2 2 't" '1 2 2 't" ' 1 2 2 't" '
а 11 == (ln + ",( ))+ Оф); а 12 == а 21 == (ln + ",(1) )+ Оф),
а lз == ;s (ln ( ",,( ) ",,( )) + "'( )( ",'(1) + ",,( 1 ))
",(1)( ",'(1) + ",' ( )) + Оф),
а 22 == (ln + ",( ))+ Оф); а 2 з == ;s (ln +( ",'( 1 ) ",,( ))
'" ( х ",'(1) + ",' ( )); ",(1)( ",'(1) + ",' ( 1 )) J + O( ),
s == ln ( "'( )+ '" ( ) 2",(1) ) + "'( )"'( ) (",(1)2.
Подставляя найденные коэффициенты а,) в (12.21) и учитывая, что при
« 1 справедливы равенства 1 / == k/(k + 1) + О ( ) и 2 / == 1/(k + 1) + O( ),
290
найдем потенциалы частиц V I и V 2 , а из (12.34) среднюю напряженность
электрическоrо поля вдоль линии центров частиц при условии « 1
ql * q2 * * ( )
E= EI + E2 +E3Eocose, 12.42
ЕЯ 2 ЕЯ
rде
* с, (k) ( ) . 3
Е, = Мlпд + co(k» + О Ll ; 1 = 1, 2, ; Ll« 1
2 ( 'I'(1)'I'(1) 'I' ( k 1 ) 'I' ( k 1 )) ( )
с ( k ) = + ln k + 1 .
о d 2 '
2(k+1)('I'( k 1 ) 'I'(1)). 2(k+1)('I'(1) 'I'( k 1 )
cl(k) d ' С2(Ю d
2( 'I"(1)d + '1'(1)( '1"( k 1 )+ '1"( k 1 )) '1'( k 1 )чt( k 1 ) '1"( k 1 )'1"( k 1 Л.
сз(k) d(k + 1) ,
d = 2\j1(1) \jI ( k 1 ) \jI ( k 1 ).
Сравнение с результатами численноrо расчета Е, по точным формулам (12.30)
показало, что отличие полученных выражений дЛЯ Е,* от соответствующих зна
чений Е, не превосходит 2 % в области Ll < 0,1 и при Ll О Е; Е, .
12.3. СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ СФЕРИЧЕСКИХ
ПРОВОДЯЩИХ КАПЕЛЬ
Силы Р! И Р2' действующие на первую и вторую частицы, несущие заряды qt
И q2, связаны очевидным соотношением
Р 1 +F 2 =E o (ql +q2), (12.43)
rде Ео напряженность однородноrо внешнеrо поля.
Поэтому достаточно оrpаничиться определением одной из сил, например Р 2 .
Из определения максвелловскоrо тензора напряжений [90] следует, что
проекция силы, действующей на частицу 2 в направлении единичноrо вектора р,
равна
Е J( d<P ) 2
P'p= п.pds.
8п дп
52
( 12.44)
Выбирая в качестве р последовательно единичные векторы е ! и е2 в
направлении осей OZ и ох и используя свойства ej . п == n" е 2 . п = n х и BЫ
ражения проекций внешней нормали п в бисферической системе координат
1 ch 11 cosl1 sh IlS1il 11 Ф
n = . n = cos
z chll COSl1' х chll cosl1 '
из (1244) с учетом (12.10) и (12.18) при = 2 получим
19*
291
F = 8: r dФ 1.[.t.. (2. + 1) ех р ( ( · + ) , )В.р.(!) +
+со,Ф %,(2' + 1)ех р ((. + }, )н.РЮ) J (1 ch ,t)dt,
F" = 8: r dФ!. ,b , СО'Ф(.t.(2' + 1)ех р ((. + ) , )В.р.(!) +
+со, Ф j;, (2. + 1) ехр (( . + }, )Н.Р' (t) J dt. (12.45)
Интеrрируя выражения (12.45) по ф от О ДО 2п И t от 1 до 1 и используя
свойства полиномов Лежандра
(2n + 1) tP n (t) = (n + 1) Р п + 1 (t) + n Р п 1 (t) ,
(2n + 1)tP n l(t) = (n+ 1)P I(t) + nP +I(O,
(1 t 2 )1/ 2 (2n + 1) t Р,! (t) = n(n + 1)(Р п 1 (t) Р п + 1 (О),
1 1
J Pn(t)Pm(t)dt = 2n 2 + 1 Отп; J Pnl(t)P (t)dt = 2n2 n++/) Отп,
1 1
получим
F 2z = (п o(2n + 1) ехр «2n + 1) 112) В п ( В п ;n: \ (1 + ехр (2112» В п + 1 )+
+ п 1n(n + 1)(2п + 1) ехр «2n + 1) 112) Н п ( Н п ;n ++21 (1 + ехр (2112» Н п + 1)}
Р 2х = sh 112 (п o(n + 1)ехр«2n + 1) I12)«n + 2) ВпН п + 1 nВ п + I Н п)'
Подставляя в полученные выражения значения коэффициентов В п и Н п из
(12.17) из (12.21), окончательно получим
F;z = ЕR'.f.Еб(f; cos 2 8 + (2 sin 2 8) + Ео соs8(fзql + f4q2) +
+ (fsq'f + fBq1q2 + f7q'.f.) + Eoq2 cos 8, (12.46)
eR 2
Р 2х = ЕR'.f.Ебfв sin 28 + Ео sin 8 (f9ql + f;Oq2) + Eoq2 sin 8, (12.47)
rде
i' а 2 ( 2 2 ) f 2а2
/1 = ""'2 SI + S2<Х IЗ + Sз<Х 2з + S4<X 11 + Ss<Х 2з + Sв<Х 1З <Х 2з ; 2 = '""'"2 S4;
fз = S4<Х 1 З + Ss<Х 2з + 2s 2 <х 11 <х 1 з + 2s з <х 21 <х 2 з + Sв(<Х 1З <Х 21 + <Х 1 1<Х 2З );
(4 = S4<X 12 + SS<X22 + 2S2<Х12<ХIЗ + 2SЗ<Х22<Х2З + Sв(<Х 1 З<Х 22 + <Х 12 <Х 2 З);
292
i' Щ ( 2 2 ) i' Щ ( )
/5 = <Х 11 52 + <Х 21 51 ; /6 = <Х11<Х 12 + <Х22<Х 21 56;
а 2 а 2
щ а 2 )
fт = 2(<X 252 + <X 251); {8 = R 2 (58 + 5 9 <Х 2з + 5 10 <Х 13 ;
а 2
(9 = 2(5 9 <Х 21 + 5 10 <Х 11 ); Ао = 2(5 9 <Х 22 + 5 1О <Х 12 );
51 = i а2. nь" ( 2n + 1) (n + 1) СI ) ; 52 = i аl. n а 2. n ( 2п + 1 СI ) ;
n = О аз, n аз, n аз, n + 1 n = О аз, n аз, n аз, n + 1
5з = i аl. n а 2, n ( 2n + 1) аl, n (n + 1) СI аl, n + 1 ) ;
О аз, n аз, n аз, n + 1
n=
54 = i а2,n ( 2(2п + 1) (п + 1)СI Ь N + ь"+1 ) ;
О аз, n аз, n аз, n + t
n=
55 = i а2. n ( 2(2n + 1) аl, nЬn (n + 1) С 1 Ь n а 1, n + 1 + ь" + l а l, n ) ;
О аз. n аз. n аз. n + 1
n=
56 = i а2, n ( 2(2п + 1) аl. n (n + 1) С I аl, n + аl, n + 1 ) ;
О аз, n аз, n аз. n + 1
n=
57 = fn(n + 1) а2.n d n ( 2n + 1) (п +2)Сl ) .
n = О аз, n аз, n аз, n + 1
( 1) а2. n ( dnbn + 1 ( 2) dn + 1 Ь n ) .
58 C2 n+ n п+ ,
n = 1 аз. n аз, n + 1 аз, n + 1
59 = f С 2 (n + 1) :2, n ( п + 2) d + l а l, n n d al, n + 1 ) ;
n = 1 з, n з, n + 1 З. n + 1
( 1) а2.n ( 2) dn+1 d n ) .
510= C2 п+ n+ n ,
n = 1 аз, n аз. n + 1 аз, n + 1
а 1 , n = ехр «2n + 1) 1); а 2 . n = ехр «2n + 1) 2);
аз, n = а l , n а 2, n 1; Ь n = (2п + 1) (а l , n + 1);
Сl = 1 + ехр (2 2); С 2 = ;2 = sh 2; d n = а l , n 1.
Таким образом, формулы (12.46) и (12.47), дополнеюше выражениями (12.25)
для 1 и 2, позволяют определить силы взаимодействия двух проводящих сфе
рических частиц радиуса R I и R 2 , расстояние между центрами которых r > R I + R 2 .
Коэффициенты f; являются безразмерными величинами и зависят от относи
тельноrо зазора между поверхностями частиц Ll = (у R 1 R 2 ) / R 2 И от OTHO
шения радиусов частиц k = R 2 / R 1. Эти зависимости показаны на рис. 12.5.
Следует отметить, что скорость сходимости рядов быстро уменьшается по мере
уменьшения Ll, поэтому для сохранения точности расчетов при малых значениях Ll
необходимо учитывать все большее число членов рядов.
Из приведенных rрафиков следует, что в зависимости f; от относительноrо
зазора между частицами можно выделить три области: область малых зазоров
293
10 О 10-2
7
7 6
10 3 6 10-4 5
5 4
4
3 3
10-6 10-6
10-4 10 2 10° 102 !1 10-4 10-2 10° 102 !1
в 2
:13 14
103 1234567 103
а
11
103
б
:12
10°
10° 10 О
7
6
5
10-3 10-3 4
3
2
10 6 10-6 1
lO 4 10-2 10° 102 !1 10-4 10 2 10° 102 !1
д е
15 :16
102 102
10 6
10-10
10-4
10-2
10°
294
10 О
10-2
10-4
102 !1 10-4
10°
102 !1
10-2
ж
17
102
10°
Jo. 2
Jo-4
Jo. 6
10.4
u
19
10 О
Jo. 2
Jo 4
}0-6
10-4
1
2
3
4
10-2
10°
з
-18
102
10 О
10.2
1
2
3
4
5
10-4
7
6
5
4
6
7
10 2
10°
7
6
5
102 Ll
3
10-6
10 4
10 2
10°
к
-110
10 О
3
10 2
7
6
5
4
10-4
10.6
102 Ll 10 4
2
1
102 Ll
10 2
10°
I)ис. 12.5. Зависимость коэффициеитов {, от относительиоrо зазора 4 между частицами
и оmошения радиусов частиц k:
1 k 1; 2 0,5, 3 0,2, 4 0,1, 5 0,05; 6 0,02, 7 0,01
Ll -< 0,1; область больших зазоров Ll > 3/ k и промежуточную область 0,1 < Ll <3/ k.
В Ilервой и третьей областях зависимость f, от Ll близка к степенной. В част
НОQти, при Ll----t О справедлива следующая степенная аппроксимация коэффи
ЦИ нтов {! , (2 И (в, представляющих наибольший интерес, поскольку они COOTBeT
СТВуют силам взаимодействия незаряженных частиц:
f,(k) "" at(k) (i = 1, 2, 8).
Ll , (k)
Значения a,(k) и ,(k) приведены в табл. 12.1.
( 12.48)
295
Таблица 12.1
k аl 1 а2 2 ав B
0,01 O,980 0,824 0,0010 0,0120 0,048 0,059
0,05 0,975 0,823 0,0035 O,O111 0,091 0,061
0,1 o ,949 0,810 0,0491 о,ООБЗ О,ЗОО 0,071
0,2 0,831 0,805 0,1037 O,OO15 O,381 0,082
0,5 0,492 0,805 0,1400 0,0111 0,298 0,133
1,0 O,214 0,815 0,0915 0,0141 O,170 0,122
Наряду с получением общеrо решения задачи определения сил взаимо
действия двух проводящих частиц большое значение имеет исследование асимп
тотическоrо поведения сил на больших и малых расстояниях между их
поверхностями. Взаимодействие частиц на больших расстояниях в прибли
жениях диполь дипольноrо, диполь кулоновскоrо и кулоновскоrо взаимодей
ствий изучено достаточно полно [91]. Поэтому в этой области основным
является вопрос о точности указанных приближений. Для случая малых pac
стоян ий между частицами силы электростатическоrо взаимодействия изучены
меньше. В следующих разделах будут рассмотрены два указанных предель
ных случая.
12.4. СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ УДАЛЕННЫХ
ДРуr ОТ ДРуrА КАПЕЛЬ
При решении задачи расчета сил электростатическоrо взаимодействия двух
проводящих частиц часто используют приближения диполь дипольноrо, диполь
кулоновскоrо и кулоновскоrо взаимодействий. В рамках этих приближений
взаимодействие частиц рассматривается соответственно как взаимодействие двух
электрических диполей, диполя и точечноrо заряда либо двух точечных заря
дов. При этом размеры частиц определяют лишь значения дипольных MOMeH
тов. Поэтому такие приближения можно использовать, только если расстояния
между частицами HaMHoro больше суммы радиусов частиц. Однако довольно
часто этими приближениями пользуются и тоrда, коrда зазор между поверхно
стями частиц сравним или меньше размеров частиц. В связи с этим возникает
проблема оценки точности указанных приближений для различных значений
расстояний между частицами.
Силы, действующие на про водящие сферические частицы, находящиеся на
большом расстоянии друr от друrа, приведены в [91]. Их можно представить
в виде, соответствующем формулам (12.46) и (12.47), если положить
1'0 = 6 R{ R2 { О = 3 Rr R2 ( О = 2 R 1'0 = 2 Rr
11 r 4 ' 2 r 4 ' 3 r 3 ' 14 r 3 '
R5(2r2 R2) R5(2r 2 R2)
/;0 2 2 {,О 2 2 (12 )
5 r 3 (r 2 Щ)2' 7 r 3 (r 2 Щ)2 ' .49
1'0 ..2. + R R3 ( 1 + 1 1 1 )
16 :: 1 2;; (r 2 R[ Щ)2 (r 2 Щ)2 (r2 R[)2 '
1'0 3 Rr R2 1'0 Щ 1'0 3
18 r 4 ' 19 r 3 ' 110 r 3 .
296
Здесь r расстояние между центрами частиц.
Сравним теперь точные значения коэффициентов f;, даваемые формулами
(12.47), (12.48), с приближенными (12.49). Введем относительные отклонения
l fj fjO I
crj .
fj
На рис. 12.6 представлены зависимости crj (сплошная линия) от относи
тельноrо расстояния между поверхностями Ll и отношения радиусов частиц
k==R 2 /R I .
Анализ результатов сравнения показывает, что при одних и тех же значе
ниях Ll и k точность приближения П к fj различна. Наиболее точны прибли
жения N П и {во /; , т. е. в основном те коэффициенты, которые определяют
взаимодействие незаряженных частиц в электрическом поле. Для расстояний
Ll > 3 (1/ k + 1) поrрешность в определении коэффициентов f; по приближен
ным формулам (12.49) составляет не более 2 %.
Для Toro чтобы повысить точность определения коэффициентов f; в случае,
коrда частицы расположены относительно далеко друr от друrа, воспользуемся
методом отражений, который позволяет получить приближенное решение задачи
в виде ряда по степеням r k и, тем самым учесть члены более BbIcoKoro порядка
малости в формулах (11.76). Опуская несложные, но rромоздкие вычисления,
с точностью до членов порядка y 3 получим
J'1 6 Rr R2 (1 2Щr3 2Rrrз )
11 + + ,
r 4 (r2 Rf)3 (r2 Щ)3
R 3 R ( R 3 3 R 3 3 )
П==3 1 2 r I r ,
r4 (r2 R,.2)3 (r2 Щ)3
RЗ ( R3r3 J R3 ( R3 r 3 )
1 2'''2 1 + 5 1 1 2 1 1 + 5 '''2
щ , щ '
J'1 <О <1 <О f. 1 f. 0
15 15' 16 16' 7 7'
R3R2 ( 1 R 3 r 3 1 R 3 r 3 )
1==3 1+ 1 + 2
{в r4 2 (r2 Щ)3 2 (r 2 Rf)3 '
R3 ( 2R3r3 J R3 ( 2R3r3 J
1:=....1..1+ 1 1:= 1+ 2
{9 r3 (r 2 Щ )3 '/;О r3 (r2 Rf)3 .
(12.50)
Сравнение коэффициентов П с точными значениями fj показало, что при
Ll 5 для всех значений k различие между ними не превосходит 2 %, а при
Ll 3 з s %. На рис. 12.6 пунктирной линией показаны зависимости поrреш
ностей crj от Ll, в которых вместо П взяты П.
12.5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ СОПРИКАСАЮЩИХСЯ КАПЕЛЬ
Прежде чем переходить к рассмотрению случая, коrда частицы расположе
ны близко (Ll« 1), изучим взаимодействие частиц в предельном случае сопри
касающихся частиц (Ll == О).
Рассмотрим две соприкасающиеся сферические частицы с радиусами R 1 И
297
а\
1,0
0,5
cr з
1,0
0,5
О
10°
101
СУ 5
1,0
0,5
О
10°
101
СУ 2
1,0
0,5
О
100
101
102 t:..
СУ 4
1,0
0,5
12345
102 t:..
102 t:..
101
СУ 6
1,0
0,5
5
4
102 t:..
о
10°
101
102 t:..
(57
1,0
(58
1,0
0,5
0,5
101
101
102 Ll
о
10°
102 Ll
о
10°
(59
1,0
(5JO
1,0
0,5
0,5
123
о
10°
101
102 Ll
о
10°
101
102 Ll
Рис. 12.6. Относнтельные отклоиеиия О, коэффициентов 1, от 1;° (сплошные лииии) и от f/
(пуиктнриые JlИИИИ):
1 k 1; 2 0,5; 3 0,2; 4 0,1; 5 0,05
R2' помещенные в однородное внешнее электрическое поле напряженности Ео,
составляющей уrол е с линией центров частиц (рис. 12.7).
Заряды частиц неизвестны, но суммарный заряд обеих частиц считается
заданным и равным Q. Частицы ПрОВОДЯщие, а пространство вне частиц заПОk
нено однородным изотропным диэлектриком с диэлектрической проницаемо
стью Е. Основная задача состоит в определении сил взаимодействия частиц и
их зарядов.
Уравнения и rраничные условия для потенциала электрическоrо поля в
области вне частиц сформулированы в разделе 12.1 и имеют вид
Ll<p = О,
<PSj = <PS2 = V, V<p ---7 Eo при r ---7 00,
(12.51)
( 12.52)
299
х
х
Ео
z
z
Рис. 12.7. две соприкасающиеся сферические часmцы
f д<р ds == Q,
4х дп
St +S2
(12.53)
rде S; поверхности частиц; V потенциал частиц, подлежащий определению.
Отличие задачи (12.50 (12.53) от аналоrичной задачи, рассмотренной в п. 12.1,
состоит в том, что потенциалы обеих частиц одинаковы, заданы не заряды частиц,
а их суммарный заряд, и частицы соприкасаются. Последнее условие приводит
к необходимости использовать не бисферическую систему координат (12.6),
авырожденную бисферическую систему координат ( , Т'I, ф) (рис. 12.8), которая
получается из бисферической системы ( ', Т'I', ф) путем предельноrо перехода
'-----t0 и T'I'-----tО [92].
Связь декартовых координат с вырожденными бисферическими координа
тами дается соотношениями
а соsФ а siпФ а11 ( )
X== ' y== ' Z== ' 12.54
112 + 2 ' 112 + 2 ' Т]2 + 2 '
rдe О < 00, 00 < Т'I < 00, О Ф 2п, а параметр, задающий линейный размер,
a==2R I Т'11==2R 2 Т'12' (12.55)
Уравнения соприкасающихся сфер в вырожденной бисферической системе
координат задаются уравнениями Т'I == Т'l! И Т'I == Т'l2' В дальнейшем понадобятся
выражения для элемента поверхности ds и проекций внешней нормали к этому
элементу на оси декартовой системы координат
ds == а2 d dФ , (12.56)
Т]2 + 2
2 11 cos Ф 2 11 sin Ф 2 112
N Х == 112 + 2 ' nу Т]2 + 2 ' N Z == 112 + 2 '
( 12.57)
300
х
Т1>0
z
Рис. 12.8. Вырожденная 6исферическая система коордииат ( , 1'\, Ф)
а также выражение для производной по внешней нормали к сфере
д 1 д
дп = a( 2 +112) д1'\ ' (12.58)
Общее решение уравнения Лапласа (12.51) в вырожденной бисферической
системе координат, оrраниченное при О, имеет вид
<Рт t = ( 2 + 112)1/2 exp(:J:t11) Jт(t ) [ с sт ф Ф ] , (12.59)
. Slfi n
rдe Jm(t ) функция Бесселя порядка т.
Поскольку декартова система координат выбрана таким образом, что BeK
тор Ео лежит в плоскости XOZ, то потенциал однородноrо внешнеrо поля
<ро = Eo (х sin е + z cos е). (12.60)
Представим <Ро в виде разложения по функциям Бесселя, для чеrо восполь
зуемся известныIM равенством [5]
( 2 +112) 1/2 = J exp( tl11I)Jo(t )dt.'
о
(12.61)
Дифференцируя (12.61) по 11 и отдельно по и сравнивая полученные
выражения с (12.54), получим
z = a( 2 +112)1/2 J texp( tl11I)Jo(t )dt,
/11 I о
301
х = а ( 2 + 112 )1/2 соsФ J t exp( tl11I)JI(t ) dt.
о
Полученные выражения позволяют записать общее решение уравнения
Лапласа, оrраниченное при 00 и удовлетворяющее второму условию (12.52),
в виде
<p( , 11, ф) ::= ( 2 + 112 )1/2[(( мЩ ехр (t11) + N(t) ехр ( t11)
aEot exp( tl11 р cos е ' I )1o(t ) + (кШ ехр (t11) + L(t) exp( t11)
aEot exp( tl11l>sine) 11(t )соsФ )dt. (12.62)
Для определения неизвестных коэффициентов М, N, К и L подставим
(12.62) в первое условие (12.52), воспользуемся равенством (12.61) и учтем,
что V зависит только от 11. В итоrе получим систему уравнений, решение
которой имеет вид
М(О = exp( tfIl)(Vsh(tfI2) + аЕо Ch(tfI2)COSe)
Sh(t(fIl+fI2» ,
N(t) = еХРНТ)I)(VSh(tЧI) аЕосh(tТ)l)соsе) , (12.63)
sh(t(тl1 + Т)2»
к(о = аЕоtехр( tТ)l)sh(t112)SlПе , L(t) = аЕоtехр( tТ)l)sh(tТ)2)SlПе .
Sh(t(fIl + Т)2» sh(t(111 + 112»
Найденные коэффициенты позволяют определить потенциал частиц V. Из
выражения для общеrо решения (12.62) и первоrо условия (12.52) следует, что
V J (( мт ехр (t11) + N(t) ехр ( t11)
( 2 +Т)2)1 /2 о
aEot exp( tl111> cos е ' I Yo(t ) + (к(о exp(t11) + цп exp( t11)
aEot exp( t 1111> sin е) 11 (t )соsФ )dt. (12.64)
Представим теперь левую часть (12.64) в виде интеrрала по функциям
Бесселя, для чеrо воспользуемся равенством (12.61). в итоrе получим
1( v exp( t 1111) 1o(t ) ( мЩ exp(t11) + N(t) exp( t11)
aEot ехр ( tl111> cos О ' I Yo(t ) + (кщ ехр (t11) + L(t) exp( t11)
aEot exp( tl11l)sine) 11(t )соsФ )dt = о. (12.65)
Равенство (12.65) выполняется для всех и Ф, поэтому подынтеrральное
выражение равно нулю. Дом ножи м подынтеrральное выIажениеe (12.65) на t,
а затем проинтеrрируем первое слаrаемое, содержащее V:
302
Vf) = j t (( M(t) exp(tI1) + N(t) exp( tI1)
(112 + 2 )3/2 о
aEot exp( t 1111) cos 0 .2!.. ) 1o(t ) + (КШ exp(tI1) + L(t) ехр ( tI1)
'Т)I
aEot exp( tl11l)sin О) 11 (t )cos Ф )dt. (12.66)
Беря от (12.62) производную по нормали по правилу (12.58) и учитывая
соотношение (12.66), получим
( : 1 = 111 = 2 ( 2 + 2)3/2 j t ехр (tI11 )ио (t ) М(О + 11 (t ) К(О cos Ф) dt,
о (12.67)
( : 1 = 112 = 2 ( 2 + :2)3/2 [ t exp(tI12)(1o(t ) N(t) + 11 (t ) ЦО cos ф) dt.
Подставляя (12.67) и (12.56) в условие (12.53) и интеrрируя полученное
выражение по Ф в пределах от О ДО 2п и по в пределах от О до 00, найдем
J (M(t) + N(t»dt =!I.
ае
о
( 12.68)
Подставляя в (12.68) выражения (12.63) для М (О и N (О и Проинтеrри
ровав полученное выражение, найдем
v = EOalRcose+ ;;: , (12.69)
rде
ljI'(a) 1jf'(1 а) 1
= ;а= ;
21jf(1) Ijf(a) 1jf(1 а) 2 21jf(1) Ijf(a) 1jf(1 а)
R= R1 R 2 ; a.= = .
RI + R 2 Т)1 + 1'12 R I + R 2
Здесь ",(х) пси Функция Эйлера.
Таким образом, формулы (12.62), (12.63) и (12.69) дают распределение
потенциала электрическоrо поля в области вне соприкасающихся частиц. Пе
рейдем теперь к определению зарядов ql и q2 И сил взаимодействия частиц.
Суммарный заряд частиц считается заданным, поэтому
ql +q2=Q.
(12.70)
Силы, действующие на первую и вторую частицы, связаны соотношением
F., + Р 2 = EoQ.
(12.71)
Связи (12.70) и (12.71) между зарядами и силами позволяют оrрани
читься определением этих величин для одной из частиц, например для части
цы 2.
Выразим заряд частицы 2 через ero поверхностную плотность:
q2= f a<P ds. (12.72)
4х дп
52
303
Подставляя в это выражение значение производной по нормали из (12.67)
и формулу (12.56) для ds, найдем
q2 == aeJ N(t)dt.
о
Воспользовавшись значением N(t) соrласно (12.63) и проинтеrрировав
полученное выражение, получим
q2 == e БоША j cos е +A 2 Q, (12.74)
(12.73)
rде
А (",(1 а) + С)у(а) + (",(а) + С)у(1 а) 1t 2 .
j +
2С + ",(а) + ",(1 а) 6 '
А ",(а)+С a.== '
2 2С + ",(а) + ",(1 а) Rj + R2 '
С == 0,5772... постоянная Эйлера.
. Если внешнее злеКТJ,Jическое поле направлено по линии центров, т. е. е == О,
и если, кроме Toro, частицы имеют одинаковыIй: размер (R j == R 2 ) И суммарный
заряд частиц равен нулю (Q == О), что соответствует зарядке частиц у плоскоrо
конденсатора, то из (12.74) следует
А 2 п 2 . q 'C' OR 2 1t2
l з ' 2 tD 26'
При е==о, Q==O и R 2 «R j имеем
(12.75)
1t 2 Е R 2 1t2
А ! == ; q2 == e о j .
2 2
Из выражений (12.75) и (12.76) следует, что заряд, получаемый маленькой
частицей при соприкосновении с большой, в 3 раза больше заряда, получаемоrо
при контакте с такой же по размерам частицей. Это объясняется тем, что MaK
симальная напряженность электрическоrо поля вблизи меньшей проводящей
частицЫ в 3 раза больше напряженности однородноrо внешнеrо поля. Для
одинаковых по размеру частиц R j == R 2 заряд между частицами распределен
поровну. Заметим, что в случае двух удаленных друr от друrа частиц, имеющих
равные потенциалыI поверхностей, заряд частицы 2 равен
q2 R2
Q == Rj + R 2
(12.76)
(12.77)
и в случае R 2 «R I имеем q2 QR 2 / R j «qj.
Коэффициенты А! и А 2 являются функциями k == R 2 / R j и обладают свой
ствами
A j (1/ k) ==Aj(k); Az(1/ k) == 1 A 2 (k).
Это значит, что, знаяА j иА 2 для значений k::; 1, можно найти значения этих
коэффициентов для k > 1.
На рис. 12.9 представленыI зависимОСТИ коэффициентов А ! и А 2 ОТ k для
значений k::; 1. Пунктирной линией пока.заны асимптоты зависимостей A I (k) и
Az{k) при k О. Точками показаны экспериментальные значения, полученные
в L93]. Эксперименты проводились на с'fальных шариках и каплях воды в Ba
зелиновом масле. В обоих случаях было получено хорошее соответствие теории
и экспериментов.
304
Рис. 12.9. Зависимость коэффициеи А 1 А 2
тов А; от k:
пунктирная линия асимптотические зна
чения при k о; точки эксперименталь
ные значения 6,8 1 О О
Для оценки зарядов можно
пользоваться следующей аппрок
симацией численных результатов
при k 1:
А I = 1 ,64( 1 + k)2 Х
Х (3 3,Sk( 1 0,24k)2);
А = 16k2 ( 1 0,96k ) .
2, 1 + 0,4k2
Для оnpeделеJПfЯ силы F;, дей
ствующей на частицу 2, воспользу
емся формулой (12.44). Исполь
зуя выражения (12.56), (12.57) и
(12.67), получим
Р" = е [ ( ' чР[(l tN, (t)J, (tf) d t J + (l t1., (О J,(tE) dt J )d ;
Р,. = 2e[ 'ч, (l tN,(t) J,(Щdt)( [tL,(t)J,(t )dt )d ,
rде
5,8
10 2
4,8 10-4
100
101
10 2 1/!
(12.78)
N I (O = N(t) ехр (tI12); Lj(O = L(t) ехр (tI12)'
Для вычисления интеrpалов, входящих в (12.78), нужно воспользоваться
равенством [94], следующим из теоремы Парсеваля для интеrральноrо преобра
зования Ханкеля:
j <P(t)Jn 1 (t ) d = <p(t)J n (t ) 1: j t n Jn (t ) d ( <Pt ) ) .
о о
Выполняя в (12.78) интеrрирование по с учетом (12.79), получим
Р" = ечj[N N,'(О+tЦ(О Н+{Н( ";" у + t Щ; ))}}
( 12.80)
Р 2х = 2e1Ъ J t (t)( d 1 J dt.
(12.79)
Подставив в (12.80) N I (О и L j (О, в итоrе получим
F 2z = EEoR2( cos 2 е + h sin 2 е) + QЕоfз cos О + Q2 1. + Q2EO cos е, (12.80
ER2
Р 2х = ЕЕоЮh sin(20) + QEofв sin е + Q2EO sin е,
20 1461 305
а
1\
1
2 10 I
5 10-2
8 10 3
100
102
/02 //k
в
2
15 10 ..tб
3
2
1
102
/о2 1 /!
б
13
JlJO
7/4
10 2
1/15
1/30 10--6
о о
/00
102
102 1/!
Рис. 12.10. Зависимость коэффициeJl1'ОВ 1;
от k
rде введены следующие безразмерные коэффициенты , зависящие от отноше
ния радиусов частиц k:
{;=jj+A j ; f2=1'2; fз=1'з А2;
{'=1'4; f5=1'5+ A j/2; f6=1'6+ A 2;
1'j = J (C СБН dt; 1'2 = J (СТ ьпt з dt;
о о
1'з = 2а 2 J (СjСЗ bjco)t dt; 1'4 = J (cr br)t dt;
о о
1'5 = 2 J Ьjсзt2dt; 1'6 = 4a2 J b j c j t 2 dt;
о о
Со = a.(ajb j 2tb 2 ); с! = рь ! Ь 2 ch(t);
С2 = + ptb j tb 2 cth(t); сз = а 1 с ! 2С2;
b j = shфО ; = сhфt) ; a.= ; p=l a..
sh (t) sh (О Rj + R2
Параметры аl, а2, А ! и А 2 определяются в соответствии с формулами (12.69)
и (12.74).
Зависимость коэффициентов от отношения радиусов частиц показана на
рис. 12.10. Как и следовало ожидать, соприкасающиеся проводящие частицы
отrалкиваются друr от друrа независимо от ориентации пары относительно
внешнеrо поля.
12.6. СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ БЛИЗКО
РАСПОЛОЖЕННЫХ КАПЕЛЬ
Рассмотрим теперь случай, коrда зазор между частицами мал по cpaBHe
нию с размерами частиц, т. е. « 1. Поскольку силы, действующие на частицы,
связаны соотношением (12.43), то оrраничимся определением силы Р 2 . Восполь
зуемся выражением (12.44), разбив поверхность частицы 52 на две части 5*
и 52 5*, rде 5* часть поверхности, расположенной вблизи линии центров
частиц:
Р 2 . Р = .!:..... f Е2п . pds + f Е2п . pds.
8п 8п
S' S2 S'
( 12.82)
Смысл подобноrо разбиения площади частицы состоит в том, что напря
женность электрическоrо поля в зазоре при о неоrраниченно возрастает
вдоль линии центров, оставаясь конечной в остальной частиц области зазора.
Оценим теперь напряженность электрическоrо поля в зазоре вблизи линии
центров. Введем цилиндрическую систему координат (р, Ф, z) (рис. 12.11),
в которой уравнение V . Е О запишется в виде
.! ( Е )+.! дЕф + дЕ, = О.
р др Р р р дФ дz
( 12.83)
20*
307
х
Ео
х
z
z
Рис. 12.11. Декартова (х, у, z), цилиндрическая (р, Ф, z) и сферическая (Т, 1, Ф)
системы коордииат, связаииые с меиьшей частицей
Область наибольшей неоднородности электрическоrо поля расположена у
поверхности меньшей частицы 2, причем вектор Е в этой области мало откло
няется от внешней нормали п к поверхности 52. Поэтому в рассматриваемой
области справедливы соотношения, аналоrичные (12.30:
р ( р2 ) . ( р2 ) J р2 ) .
Ер Е п R 2 + О Щ , Е. Е п 1 2Щ + l щ ,
Е = O ( ) . ..Е....« 1
ф R2' R2 .
2
Из (12.84) следует, что
Ер = Е. ;2 (1 + о( ;2 )}
( р2 ) . дЕф ( р2 )
Е ф EzO Щ , дф EzO Щ .
Подставляя (12.85) в (12.83), получим
дЕ . 1 д ( ( р ( р )))
дZ = р др Ezp R2 + О R2 .
Интеrрируем (12.86) по z. В И'I'оrе найдем
Ez(p, Ф, z) Ez(p, Ф, Z2) = ;р (<р(р, Ф, z) <р(р, Ф, Z2)) (1 + о( ;2 ))}
( 12.84)
( 12.85)
( 12.86)
308
Выполняя дифференцирование в правой части полученноrо соотношения
и учитывая, что
: = Ep= Ez ;2 (1+0( ;2 )}
придем к выражению
Ez(p, Ф, z) Ez(p, Ф, 22) = (Ez(p, Ф, z) Ez(p, Ф, Z2» ;2 (1 + о( ;2 ))+
+ ;2 <р(р, Ф, z) <р(р, Ф, Z2»( 1 + о( ;2 ))-
Полученное равенство позволяет оценить
IEz(p, Ф, z) Ez(p, Ф, z2)1 2 (<р(р, Ф, z) <р(р, Ф, Z2»(1 + о( :2 )]
:::; 2 IVj V21; «1, ;2 :::;1. (12.87)
Здесь учтено, что потенциал электрическоrо поля в зазоре между частица
ми Достиrает максимальноrо и минимальноrо значений на поверхностях частиц,
т. е. V 2 <р(р, Ф, z) V j , если V 2 > V j , И V j q> (р, Ф, z) V 2 , если V j > V 2 .
При сближении частиц, т. е. при о, I V j V 2 1 о как 1 /ln . Позтому
отклонение напряженности поля от среднеrо значения в зазоре между частица
ми <Ez(p, Ф» при р = const тоже стремится к нулю при о и р/ R 2 « 1.
Следовательно, для оценки напряженности электрическоrо поля вблизи 52 можно
воспользоваться ее средним значением по z
Е(р, Ф, Z2) =<Ez(p, Ф» (1 + о( ;2 )) =
= h(1p) 1 Ez (р, Ф, z) (1 + о( ;2 ) )dZ = V p; (1 + о( ;2 )).
h(p) [А+( ;, J ';1 f' +R'{ }
Перейдем теперь к определению силы, действующей на частицу 2. Для этоrо
введем сферическую систему координат (т, у, Ф) (см. рис. 12.10. В этой системе
координат выражение (12.44) для проекции силы в направлении произвольноrо BeK
тора р с учетом соотношения (12.88) при « у* «1 можно переписать в виде
р. р = ff ( V Zp 2 J п. pds + ff Е 2 п. pds + 0 ( ;2 ) . (12.89)
у<У' у>у.
О';Ф<2х О';Ф<2х
(12.88)
Выбирая единичный вектор сначала в направлении оси OZ (р = еl), а за
тем в направлении оси ОХ (р = е2), переходя от h (р) к h (у, R 2 ) И учитывая,
что при у< у* « 1
n z = cos у = 1 + 0(у2), N Х = sin усоsФ = усоsФ + 0(у3),
ds = R} sin уdуdФ = R}уdуdФ + 0(у2),
из (12.89) получим
309
2" 1'*
F Е f dФ f П'j V2)2 d
2z 8п (д + y2(k + 1)/2)2 у< У +
о о
ff E2n z ds + О(у*),
у>у.
0S;Ф<2"
( 12.90)
2л у'"
F 2x = 8 Е f СОSФdФ f (Vj V2)2 y 2 dy+ ff E2n x ds+O(Y*).
1t (д + y2(k + 1)/2)2
о о у>у'
оs;ф <2"
Вычисляя первые интеrралы в (12.90), найдем
F E(Vj V 2 )2 E(Vj V 2 )2 JJ E2 d О(у*)
2z = M(k + 1) + 2(k + 1)(2д + y*(k + 1)) n z s + ,
у> 1'*
о S;Ф <2"
F 2x = н E2n x ds + о(у*).
у> 1'*
о,; ф <2"
( 12.90
Первое слаrаемое в выражении (12.90 для F 2z является rлавным членом
асимптотическоrо разложения при /}, О и V j V 2 i:- О, второе слаrаемое CTpe
мится к нулю как 1/ ОП /},)2 при /}, О, а третье слаrаемое стремится к KOHCTaH
те. В пределе при /}, О получаются соприкасающиеся сферы, которые были
раССМ.9трены в предыдущем разделе. Для соприкасающихся сфер V j == V 2 И
F iz == F,z. Torдa (12.91) в пределе при /}, О примет вид
Н E2n z ds + О( у*) == F 2z + О(/},).
у> 1'*
о,; ф <2"
Возвращаясь теперь к (12.91), получим
E(Vj V 2 )2 ( )
F 2z == + F 2z + О/},; /},« 1.
4Ll(k + 1)
Аналоrично для F 2х получим следующее асимптотическое выражение
F 2x = р 2х + О(/},); /},« 1. (12.93)
Выражая из (12.21) V j и V 2 В случае /},« 1 через Ео, ql' q2, R j , R 2 И /},
И подставляя полученные выражения в (12.92), найдем
F;z = F 2z + еЩ R:] cos 2 е{;* + Ео cos е(fз* qj + (4* q2) +
+" 2 ({5* qr + fв* q1q2 + N q:j) + О(/},) , (12.94)
2
(12.92)
rде
( * bj(k) .' 1 3 4 5 6 7
J дОпд + со)2 ' J = , , , , , ;
с 2
bj(k) = k: 1 ; Ьз(k) = 2СIСЗ; b 4 (k) = 2С2СЗ;
Ь 5 (Ю = cr(k + 1}; bB(k) = 2CjC2(k + 1); (k) = c:j(k + 1);
со = H H J .тV(1)J +In( ';' }
310
"'( k 1 ) ",(1) С ! = ",(1) "'( ) "
С! = d d
с, = _(1)[ ,,( тh ]+ фh JJ -(.;т H.h ] ,,( тh H.h ] + 0/'(1);
d = 2",(1) '" ( k : 1 ) '" ( k 1 ); k = 1.
Здесь", (х) пси функция Эйлера.
Сравнивая выражение (12.46) для электростатической силы при произ
вольных расстояниях Ll между частицами с выражением (12.94) при Ll« 1,
можно сделать вывод, что коэффициенты ()* являются rлавными членами асимп
тотическоrо разложения электростатической силы вдоль линии центров частиц
при малых величинах зазора между частицами. Из вида (12.92) следует, что
сила, действующая на частицу 2 вдоль линии центров, состоит из двух сла
raeMbIx, первое из которых положительное и определяет силу притяжения ча
стиц, а второе силу соприкасающихся частиц, которая, как было показано
в предыдущем разделе, отрицательна, т. е. является силой отталкивания. По
этому, чтобы ответить на вопрос, притяrиваются или отталкиваются частицы,
находящиеся на малом расстоянии друr от друrа, нужно оценить соотношение
этих слаrаемых. Если частицы имеют одинаковые потенциалы V j == V 2 , то они
отталкиваются. Если V j -:F- V 2 , то однозначно ответить на поставленный вопрос
нельзя. Однако можно показать, что в этом случае между частицами MorYT
действовать силы притяжения даже тоrда, коrда они имеют заряды одинаковorо
знака.
Для простоты рассмотрим случай двух заряженных частиц в отсутствии
внешнеrо электрическorо поля. Тоща соrласно (12.46) электростатическая сила,
действующая на частицу 2 вдоль линии центров, равна
F2z = (fsq'[ + rбqjq2 + (7qi). (12.95)
еЩ
С друrой стороны, если зазор между частицами мал, то соrласно (12.92)
и (12.94) имеем
F = F + E(Vj V2)2 + O(Ll) =
2z 2z 4Mk + 1)
( 12.96)
= F;z + «(5* q'[ + (6* qt q2 + (/ qi) + O(Ll); Ll« 1.
ЕЩ
Поскольку F 2z определяет силу отталкивания частиц, а второе слаrаемое
в (12.96) силу притяжения, то при Ll« 1 сила отталкивания будет макси
мальной пр условии V j = V 2 или при выполнении следующеrо соотношения
между зарядами частиц:
J'* 2 J'* f. * 2 О
/5 qj + /6 qjq2 + 7 q2 .
(12.97)
Подставляя в (12.97) приведенные выше выражения для ()*, получим
соотношение, связывающее заряды и размеры частиц:
( ",(1) "'( k: 1 )}! + ( ",(1) "'( k 1 )}2 = О,
311
откуда следует, что при Ll« 1 сила отталкивания частиц будет максимальной
при условии
qt ",(1) ",(k/(k + 1»
ХО = q2 = ",(1) ",(1/(k + 1» .
(12.98)
Из теоремы о невозможности УСТоЙчивorо равновесия зарядов под действи
ем только электростатических сил [77] следует, что если при Ll = Llo частицы
отталкиваются, то они отталкиваются и при всех Ll > Llo, и наоборот, если при
Ll = Llo частицы притяrиваются, то они Ilритяrиваются и при всех Ll < Llo. Эта
теорема позволяет для любоrо отношеНlJ:я радиусов частиц k разделить плос
кость XOZ на области притяжения и О'rталкивания частиц. Обозначим через
x(Llo, k) отношение ql / q2 такое, что ПРlJ: Ll = Llo и заданном значении Х ВЫПОk
няется условие F 2z = О. Torдa при Ll> Llo 'lастицы отталкиваются, а при Ll < Llo
притяrиваются. Сказанное позволяет найти уравнения кривых, разделяющих
плоскость XOZ на области притяжения и отталкивания:
F 2z (X, Ll, k) = О
fs(Ll, k) Х 2 + (6(Ll, k) Х + (iLl, k) = О.
Решая квадратное уравнение (12.99 ), нахо дим
f6 :t f; 4f5f7
ХI,2 = 2fs ' (12.100)
Поскольку {s > О, {7 > О И (6 < О дл;J: всех значений k и Ll, то оба корня
положительные и ХI > Х2' Torдa для ПРОизвольноrо Ll при Х2 < Х < ХI частицы
отталкиваются, а при остальных значениях Х притяrиваются. С увеличением
относительнorо расстояния между поверхностями частиц Ll область отталкива
ния расширяется. Действительно, из (12.49) следует, что на больших расстоя
ниях при Ll 00 коэффициенты h ведут себя как {5 Ll 3, (7 Ll 3, {6 Ll 2. При
этом Х2 О И ХI 00. С друrой стороны, при Ll О области, соответствующие
отталкиванию частиц, сужаются. ДеЙСтвительно, при этом {6 2 .J fs(7 И (5' (6'
{7 00 как (Llln Ll) 1, а из (12.94)
следует, что уравнение (12.99) пре
образуется к виду
2x2 2 x + 1 + а = О, (12.101)
rде = .Jfsk t , а О при Ll О как
Llln Ll. Последнее означает, что с
точностью До членов порядка Ll
корни уравнения (12.101) совпада
ют, т. е. ХI Х2 1/ .
На рис. 12.12 показаны обла
сти притяжения и отталкивания
или
%
102
101
100
10 1
10-2
104
312
3
2
1
10-3
10 2
10-1
100 Д
(12.99)
Рис. 12.12. Области притяжеиия и 01Тал
киваиия (заIПТриховаиная область) одио
нмеиио заряжеииых частиц иа плоско
сти (Х, &):
1 k 1; 2 k 0,5; 3 k 0.2
одноименно заряженных частиц на плоскости (Х, Ll) для частиц с отношением
радиусов k = 1; 0,5 и 0,2. В частности, для частиц одинаковorо размера (k = 1)
при Ll = 1 величина ХI = 11,3, что сorласуется с результатом работы [95], сorлас
но которой Х = 12.
Сужение области отталкивания частиц (заштрихованная область на рис. 12.12)
при Ll О означает, что даже незначительное отклонение отношения зарядов от
равновеснorо значения Ха, определяемоrо равенством (12.98), приводит к при
тяжению частиц.
На рис. 12.13 показаны зависимости безразмерной электростатической силы
А ER F2z
F 2z = == x2fs + Xf6 + {7' (12.102)
q2
действующей на частицу 2 вдоль линии центров двух одноименно заряженных
частиц, от Ll для А различных значений отношений заРllДОВ q! / q2 И радиусов
k = R 2 / R!. При F 2z > О частицы притяrиваются, а при F 2z < О отталкиваются.
При качественном анализе силы электростатическorо взаимодействия OДHO
именно заряженных частиц представляет интерес определение характера этой
а б
л л
F2z F 2z
1,5 1,5
1,0 1,0
0,5 0,5
О О
1
0,5 10 3 10 2 10 I 10° 101 l:1 0,5 10 3 10 2 10 I 10° 10 1 l:1
104 104
в
л
F 2z
1,5
1,0
0,5
Рис. 12.13. Завнсимость безразмериой злект
О ростатической силы, действующей вдоль ли
нин центров на частицу 2, от 4, Х" q,j q2 И
k.. R,j R 2 :
0,5 а k = 1; 1 X = 1; 2 1,2; 3 1,5; 4 2; 5 5;
б k = 0,5; 1 X = 3,45; 2 3; 3 5; 4 2; 5 1;
6 10;
104 10 3 10-2 10-1 10° 101 l:1 в k = 0,2; 1 X = 25; 2 10; 3 5; 4 2; 5 so
313
'Х,*
102
100
10 l
104
10 2
100 l:1
Рис. 12.14. Области притяжения и OT
талкиваиия (заштриховаииая область)
частиц с различными зиаченнямн k на
плоскости (х., &)
силы, т. е. является ли она си
лой притяжения или отталки
вания для различных значений
отношений радиусов частиц k.
Оказывается, что для различ
ных k области притяжения и OT
талкивания в плоскости (х, д)
MOryT быть совмещены при пе
реходе от Х к новому параметру
х* = l =
Ха
",(1) '" (1j(k + 1»
= х ",(1) ",(k/(k + 1))
( 12.103)
в плоскости (х*, д) области притяжения и отталкивания для частиц с
различными значениями k совпадают (рис. 12.14).
12.7. ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАРЯДОВ ПРОВОДЯЩИХ КАПЕЛЬ
Исследование поведения дисперсной среды связано с проблемой определе
ния зарядов составляющих ее частиц. Нейтральные проводящие частицы, по
мещенные во внешнее электрическое поле, со временем MorYT приобрести заряд
при контакте друr с друrом, при пробое разделяющеrо их слоя диэлектрика,
в результате сближения частиц или при разрыве частиц, например при дроб
лении капель эмульсии. Кроме TorO, частицы MorYT заряжаться за счет отбора
зарядов окружающих их ионов, а также при контакте с поверхностями [96].
Процесс зарядки про водящей сферической частицы при контакте с плос
ким электродом описан в [97]. В этой работе определен заряд, приобретаемый
частицей, и рассчитана сила взаимодействия частицы с плоским электродом.
Частицы MorYT приобретать заряд не обязательно в результате контакта
друr с друrом, но и в результате электрическorо раЗрЯда в зазоре между
частицами. В этом случае необходимо знать величину напряженности электри
ческоrо поля в зазоре.
Естественным условием при непосредственном контакте частиц является
равенство потенциалов их поверхностей. Если же заряд приобретается в pe
зультате пробоя, то это условие выполняется не всеrда.
Таким образом, процесс перераспределения зарядов между частицами ДОk
жен начинаться еще до их соприкосновения, что вызвано значительным ростом
напряженности электрическоrо поля в зазоре между частицами (см. раздел 12.2).
Однако из за неполнorо выравнивания потенциалов частиц и наличия молеку
лярных сил взаимодействия он может протекать незаметно. В rрубодисперсных
системах, в которых размер частиц R 1 200 мкм, процесс перераспределения
зарядов может быть основным тормозом на пути процесса укрупнения дисперс
ной фазы. Так, при обработке водонефтяных эмульсий в электрическом поле
невысокой напряженности (Е а < 2кВ / см) скорость укрупнения капель воды
314
возрастает, а при обработке в полях высокой напряженности (Е а > 2 кВ / см)
убывает. Такое изменение поведения водонефтяной эмульсии обычно связыва
лось [100] с дроблением капель. Однако процесс дробления даже относительно
крупных капель (R 100 мкм) начинается при напряженности поля порядка
1 О кВ / см. Перераспределение зарядов и последующее взаимодействие частиц
дает удовлетворительное объяснение этому эффекту.
Рассмотрим процесс перераспределения зарядов между двумя проводящи
ми сферическими частицами радиусов R I и R 2 при их столкновении в однородном
внешнем электрическом поле напряженности Еа. Заряды частиц до столкнове
ния известны и равны qp и qg. Заметим, что при перераспределении зарядов
суммарный заряд частиц Q == qp + qg сохраняется. Задача определения зарядов
и сил электростатическоrо взаимодействия частиц после их соприкосновения
сводится к рассмотренной в разделе 12.5 задаче взаимодействия двух соприка
сающихся частиц. Сorласно (12.74) заряды частиц после столкновения равны
q2== f.EaR2AICOSe+A2(qp+qg); ql==qP+qg q2' (12.104)
rдe
А I == ("'О а) + С) 'I"(а) + (",(а) + С) ",'(1 а) + .
2С + ",(а) + ",(1 а) 6 '
А ",(а) + С . а. == . R == R 1 R2 .
2 2С + ",(а) + ",(1 а) , RI + R2 ' RI + R2 '
с == 0,5772.. постоянная Эйлера.
Силы электростатическorо взаимодействия частиц после соприкосновения
определяются выражениями (12.81), если частицы продолжают находиться в KOH
такте, и (12.46), (12.47), если перераспределение зарядов привело к разъедине
нию частиц.
Рассмотрим теперь случай, коrда перераспределение зарядов происходит
за счет электрическоrо разряда в зазоре между сблизившимися частицами без
их непосредственнorо соприкосновения. Предположим, что напряженность элект
рическоrо поля Е т , при которой возможен электрический разряд в диэлектрике,
rораздо больше напряженности внешнеrо электрическоrо поля Еа и что элект
рический разряд приводит к полному выравниванию потенциалов частиц, не
изменяя при этом суммарнorо заряда. Так как в силу первorо предположения
Е т / Еа» 1, то из выражения (12.29) и рис. 12.3 для напряженности электри
ческоrо поля в зазоре между частицами следует, что подобное возможно лишь
при /J.« 1, т. е. кorда зазор между частицами достаточно мал. В силу BToporo
предположения после перераспределения зарядов частиц выполняется условие
V I == V 2 . При этом В силу (12.34) значение средней напряженности вдоль линии
центров в узком зазоре между частицами равно нулю. Учитывая связь средней
напряженности поля в зазоре с зарядами частиц (см. (12.42», получим следую
щие уравнения для определения зарядов частиц после перезарядки:
q1E + q 2 E; + Е: Еа cos е == О,
ql + q2 == qp + qg.
Решение системы уравнений (12.105) дает для ql и q2 те же самые значе
ния (12.104), что и в случае контакта частиц. Кроме Toro, поскольку /J.« 1, то
из (12.82) и (12.83) следует, что при V 1 == V 2 С точностью до членов порядка /J.
сила электростатическоrо взаимодействия частиц после перераспределения за
рядов оказывается такой же, как и для соприкасающихся частиц.
( 12.105)
315
Конечно, условие полноrо выравнивания потенциалов частиц за счет элект
рическorо разряда в зазоре является идеализацией реальнorо процесса. Опре
делим условия, при которых подобное возможно. Рассмотрим асимптотическое
выражение (12.92) для электростатической силы вдоль линии центров частиц.
Для Toro чтобы электростатическая сила после перераспределения зарядов при
пробое была такой же, как при контакте частиц, необходимо, чтобы при Ll« 1
выполнялось условие
Е (Vj V2)2
F 2z » 4(k + 1) . (12.106)
При Ll« 1 из (12.34) следует, что V 2 V t = R2LlEs, а из (12.80) получаем
F 2z = fEJR2 + Q2/еЩ. (12.107)
Torдa условие (12.106) выполняется при выполнении хотя бы одноrо из
следующих условий:
« или Ll« ( :; J, Q = о;
ЕsЩ « или Ll« ( ) 2, Еа=О, (12.108)
Q ЕsЩ
rде Es напряженность поля в зазоре, при которой прекращается процесс пе
рераспределения зарядов.
Оценим теперь величину зазора между частицами, при которой их по
тенциалы можно считать равными. Положим Es / Еа 102, что характерно для
водонефтяной эмульсии при Еа 1 s кВ/см и R 2 10 мкм. Torдa из (12.108)
находим
« R 2 (E a / Es)2 1 0 3 мкм.
Столь малое значение свидетельствует о том, что для приведенных yc
ловий потенциалы частиц выравниваются практически при контакте друr с дpy
rOM. Заметим еще, что полученное значение меньше радиуса действия моле
ку лярных сил притяжения ( s . 1 0 2 мкм). Этим объясняется то, что процесс
перераспределения зарядов между мелкими частицами протекает незаметно.
Кроме Toro, из проведенных оценок следует, что исследование процесса взаи
модействия проводящих частиц дисперсной среды в присутствии внешнеrо элект
рическоrо поля необходимо проводитъ с учетом как электростатических, так и
молекулярных сил между частицами, особенно на конечной стадии сближения
частиц.
В заключение отметим,
что при выполнении неравенства
Е (Vj V2)2
F >
2z 4(k + 1)
(12.109)
электростатическая сила взаимодействия частиц будет силой отталкивания.
13
КОАЛЕСЦЕНЦИЯ КАПЕЛЬ
Процесс коалесценции капель состоит из двух этапов. Первый этап, TpaHC
портный, включает в себя сближение капель вплоть до касания поверхностей.
Второй этап, кинетический, состоит в самой коалесценции, т. е. в слиянии капель
в одну каплю. Предположим, что основное время приходится на транспортную
стадию. Кроме Toro, будем считать, что каждое столкновение капель приводит
к их коалесценции. Т rда основная задача состоит в определении частоты
столкновения капель различноrо размера.
Рассмarрим сближение вплоть до столкновения двух сферических проводя
щих капель разноrо радиуса, взвешенных в диэлектрической жидкости, в присyr
ствии однородноrо внешнеrо электрическоrо поля напряженности Ео. Предполо
жение о том, что капли сохраняют сферическую форму вплоть до контакта, не
совсем корректно, поскольку, как уже было ранее отмечено, при малых зазорах
между сближающимися каплями электрические и rидродинамические силы Heorpa
ниченно возрастают, что может привести к значительной деформации поверхностей
капель и содействовать их разрыву. Однако, если капли малы, напряженность
внешнеrо электрическоrо поля не превосходит Ecr и поверхности капель затормо
жены бронирующими оболочками, то капли можно считать малодеформируемыми.
Сказанное позволяет также считать, что капли движyrся, как твердые частицы
13.1. КОАЛЕСЦЕНЦИЯ КАПЕЛЬ В ПРОЦЕССЕ ОСАЖДЕНИЯ
В fРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
Рассмотрим медленное движение проводящих заряженных капель под
действием силы тяжести в покоящейся жидкости в присутствии однороднorо
внешнеrо электрическоrо поля.
Осаждение капель происходит под действием силы тяжести и архимедовой
силы. Результирующая этих двух сил для i й капли
F A 4 D3A (13 1)
, 3 м", ,-"pg, .
rдe Llp ==1 Ре Р,I разность плотностей сплошной и дисперсной фаз.
Рассмотрим сначала случай, коrда направление вектора напряженности
внешнеrо электрическоrо поля Ео совпадает с направлением силы тяжести,
т. е. с направлением вектора у. Тorда движение капли 52 относительно кап
ли 51 можно рассматривать как плоское движение в меридиональной плоскости
q>==const сферической системы координат (r, е, <р) (см. рис. 11.2). В этом случае
задача оказывается симметричной по q> относительно оси 01 Z, И уrол между
направлением вектора Ео и линией центров капель совпадает с уrлом е сфе
рической системы координат. Выражения для электрических сил, действующих
на две проводящие заряженные капли, были получены в разделе 11.2. Проек
ции этих сил на оси r и е для каждой капли равны
P2 = F 2z ; F.. I == Eo(qt +q2)cose F2":;
( 13.2)
Р 2 "{, == Р 2х ; F.. = Ео (ql + q2) cos е F 2 eJ,
rде Р 2х и Р 2. определяются выражениями (12.46) и (12.47).
317
На заключительной стадии сближения капель необходимо учесть молеку
лярные силы притяжения (11.100), которые при малых зазорах между каплями
имеют вид
ртаl TR 1 1
2т = 6R 2 (RI +R 2 ) !!.2 '
rдe r постоянная [амакера; Ll = (r R 1 R 2 ) / R 2 безразмерный зазор меж
ду поверхностями капель.
В зависимости от размеров частиц, разности плотностей фаз, величины Ha
пряженности внешнеrо электрическоrо поля и зарядов капель область проявле
ния сил взаимодействия между каплями может быть различной. Так, для колло
идных частиц (R 1 мкм) основная роль в процессе их сближения принадлежит
силам молекулярнorо и электростатическorо (за счет зарядов) взаимодействия.
Для rрубодисперсных систем (R > 1 мкм) необходимо учитывать все силы.
rидродинамические силы и моменты, действующие на капли со стороны
внешней Жидкости, были рассмотрены в разделе 11.4. Приведем выражения для
сил и моментов, действующих на каплю 2, через поступательные и уrловые
скорости капель [15]:
(13.3)
p,hyd = p,hyd + p, hyd r hyd = r hyd + rhyd
2 25 2е' 2 25 2е'
F 2 7 d = 61t1lR2 (иOтf5T V2тfer) ,
(13.4)
F 2 7r d = 61t1lR2(U08fsв V28fe1J + RJJ'(.81),
Т25'" = 81tllRi (R 2 Gt 5 ", + V8 t e", R 2 Qt e ",I)'
Здесь F ir И F i8 проекции rидродинамической силы, действующей на i ю
каплю, на направления вдоль и перпендикулярно к линии центров капель, ИО r
И И08 проекции вектора стоксовой скорости обтекания капли 2 (см. (11.8!),
V2r И V28 компоненты скорости капли 2 относительно капли 1, G = 0,5 I v' х ио 1.
Коэффициенты f,n {sв, {ет, {ее, (тfJl' t 5 "" t e "" t e ",1 представлены в разделе 11.4.
В безынерционном приближении уравнения движения капли 2 относитель
но капли 1 сводЯ' 'Я к следующим уравнениям:
р'А + рта! + ре! + Fhyd = О
2 2 2 2 '
T 2 7 d + T2 d = О, (13.5)
dr de
dt = V2п rd"i = V28'
Вид BToporo уравнения (13.5) обусловлен тем, что моменты молекулярных
и электрических сил равны нулю.
Проектируя (13.5) на оси r и G и учитывая выражения (13.!) (13.4)
для сил взаимодействия капель, получим систему уравнений для компонент
поступательной скорости движения капли 2 относительно капли 1 и уrловой
скорости капли 2. Решая эту систему уравнений с начальными условиями
r(O) = ro, G (О) = 80, получим семейство траекторий движения капли радиуса R 2
относительно капли радиуса R 1 .
Введем следующие безразмерные переменные:
r R I R2 Ut v2r li28 nR2 k = R 2
Ll = R 2 ,'t = R 2 ' V r = и' V8 = и' (j) = и' R 1 '
h = GR 2 5 2!!.рgЩ 5 2 = ( eR 2 Е б ) 1/2, 5 3 r
И' 1 9JlU' 61tJlU 361tJ.lЩU '
318
N t == ql , N 2 == q2 , u== 2Щ ру .
(61tJlЕR и)1 /2 (61tJlЕщи)I/2 9Jl 6щ.lЩИ
В этих переменных система уравнений (13.5) примет вид
(.TVT {ет d + 51 cos 8 52 (А. cos 2 е + (2 sin 2 8)
d't
S2(N l fз + (ft. + ON 2 ) cos8 N[fs N 1 N 2 f6 N[f7 5 з fl1 == О,
fseve (.е ( Д + 1 + i ) + 5} {8 sin 28 51 sin 8 +
+ 52 (f g N l + (fl0 + 1) N 2 ) + mfeel == О,
t e { Д + 1 + i ) mt e q>1 + htsq> == О.
Коэффициенты {; при i== 1,2,..., 10 определяются из (12.46) и (12.47),
а {11 == (1 + k) 1 к 2 .
Исключая из (13.6) ш, получим
d 1
dt =: (ет ( 1 cos 2 8 + 2 cos 8 + з),
(13.6)
de sin е ( !' J' )
d == а (t r. r. t ) 4 cos 8 + s ,
't еч> ее е81 е<р1
(13.7)
rде
1 =: 5i(fl (2), 2 == fs,lJ r + 51 52 (N l fз + (f4 + 1)N 2 ),
з == N?fs N 1 N 2 f6 Nif7 SзА.l 5и2' 4 == 25и8'
s =: Vefse 51 + 52 (N 1 h + (А.о + 1) N 2 ) + t а t :e81 ,
k . 3 1 1 1
а == (k + 1 + М)2 ' v r == '2 (k + 1 + М) '2 (k + 1 + М)З '
3 1 1 1
Ve =: 1 4' (k + 1 + М) 4' (k + 1 + k )З .
Будем решать уравнения (13.7) при начальных условиях
МО) == ДО, 8(0) =: 80.
(13.8)
Перебирая различные значения до и 80, можно определить траектории
движения капли 52 относительно капли 51. В процессе движения капля 52
столкнется с 51 или пройдет мимо. Траектории, соответствующие этим случаям,
образуют два семейства: траектории, заканчивающиеся на расстоянии r =: R 2 + R l
от центра сферы 51 (столкновение), и траектории, проходящие мимо 51 и yxo
дящие в бесконечность. Эти два семейства разделяет предельная траектория.
Рассмотрим в набеrающем потоке капель 52 на большом расстоянии от
сферы 51 сечение, перпендикулярное вектору у. Назовем сечением столкнове
ния сечение, через контур KOTOporO проходят все предельные траектории. Если
уrол 80 между векторами Ео и 9 равен нулю, то этот контур представляет собой
окружность радиуса d. Очевидно, что капли 52, движущиеся вдали от 51 по
траекториям, пересекающим Kpyr, оrраниченный этим контуром, сталкиваются с
каплей 51' Площадь сечения столкновения $ назовем сечением захвата кап
лей 51 капель 52. Частота столкновения капель 52 с каплями 51 пропорцио
319
нальна QS. Поэтому основная задача состоит в определении сечения столкно
вений.
Система уравнений (13.7) с условиями (13.8) решалась численными Me
тодами. Но прежде, чем излаrать результаты, про ведем качественное исследо
вание системы уравнений (13.7).
Система уравнений (13.7) является автономной, поэтому исследование
проведем в фазовом пространстве (х, 8), rдe через х обозначено Ll. ДЛЯ OTЫC
кания особых точек поля скоростей малой капли 2 приравняем нулю правые
части уравнений (13.7). В итorе получим следующую систему уравнений:
1(X) cos 2 8 + 2(X) cos 8 + з(х) = О, ( (x) cos 8 + 5(X» sin 8 = О. (13.9)
Первое уравнение представляет собой уравнение изоклины нуля, а BTO
рое изоклины бесконечности. Особые точки поля скоростей капель 2 являют
ся точками пересечения этих Изоклин.
Решение первоrо уравнения относит ельно 8 имеет в ид
8( ) [ 2(X):!: (x) 4 I(X) з(х» )
х = arccos
2 1 (х)
(13.10)
при
1(X)::F- О, (x) 4 I(Х) З(Х), I 2(X):!: (x) 4 I(X) з(х) I 1
2 1 (х)
и
8(х) = arccos ( з(х» ) при 1 (х) = о, I 3(X) I 1. (13.11)
2(X) 2(X)
Таким образом, для каждorо значения х первое уравнение (13.9) допуска
ет не более двух решений, а второе уравнение может иметь два или три pe
шения:
8(х) == о, 8(х) == п, 8(х) == arccos ( 5(X» ) П р и I 5 « X) I 1. (13.12)
4(X) 4 х)
Рассмотрим поведение решения системы уравнений (13.7) для случая неза
ряженных частиц при N 1 = N 2 = О. Если, кроме этоrо, отсутствует внешнее элект
рическое поле (52=0), то 1(X)=O, (x)=O. При этом из (13.10) (13.12) следу
ет, что в фазовом пространстве имеется одна изоклина нуля 1}(х) = arccos ( : ; )
и две изоклины бесконечности 8 (х) = о и 8 (х) = 1t (рис. 13.1, а). Пересечение
изоклины ну ля и изоклины бесконечности 8 = 1t дает единственную особую точ
ку А (седло). Сепаратриса точки А делит фазовое пространство на две обла
сти. Все траектории первой области достиrают rраницы (капли сталкиваются),
а все траектории второй области rраницы не достиrают (столкновение капель
не происходит). Следовательно, сепаратриса особой точки А представляет собой
предельную траекторию малой капли относительно большой. Если присутствует
внешнее электрическое поле, то 5 2 ::F- о; 1 (х), 2 (х), 4 (х) < о и (х) > о для
всех х; 3 (х) < О лишь при х » 1, а при остальных х имеем (х) о. При
х 00 имеем (х) о, (х) о, 2 (х) 1, 5 1.
При не слишком большой напряженности внешнеrо электрическоrо поля
(1521 1,5) множество фазовых траекторий тополоrически эквивалентно множе
ству траекторий при 52 = О (рис. 13.1, а, 6, в). Для рассматриваемых случаев
характерно наличие лишь одной особой точки А (седло), сепаратриса которой
320
а
х
б
х
1 2 3 1 2 3
I
II I II
1
1
I
\/4
\ А
"-
А 1 "-
е е
о тrl2 1t О тr/2 1t
в 2
х Х
11
11
II \ \ II
3 \ \
1 \ \
\\
6...А \....... 4
\ \
\ \
\ \
'-
А
е е
о тrl2 1t О
Рис. 13.1. Особые точки поля скоростей малой частицы иа фазовой плоскости (х, 8). Случай
незаряжеииых частиц (N t - N 2 - О):
а 51 о; 6 51 0,1; в 51 1; l 51 4; 1, 3, 5 изоклины бесконечности; 2 изоклина
нуля; 4 се пара три са особой точки А седло; 6, 7 се парат риса особой точки в седло; С
особая точка неустойчивый узел
(кривая А) представляет критическую траекторию движения малой капли OT
носительно 60ЛЫliОЙ.
При S1 0,3 имеем 1 (0)1 1 5(0)1 и появляется еще одна изоклина 6ec
конечности (кривая 5 на рис. 13.1, в), которая с ростом S1 перемещается
навстречу изоклине нуля (кривая 2). Начиная с HeKoToporo значения S1 4
кривые 5 и 4 пересекаются, и тополоrия фазовоrо пространства существенно
изменяется. Появляется пара особых точек В (седло) и с (неустойчивый узел),
в результате чеrо фазовое пространство разбивается сепаратрисами точек А и
В на пять отдельных областей (рис. 13.1, z).
21 1461 321
иl вl
Рис. 13.2. Траектории движеиия малой частицы OT
иосительио большой при N t N 2 о; k 0,1:
СПЛOlШlые линии s = 5; пунктирные линии s = 0,1;
1, 2 околокритические траектории
С точки зрения расчета сечений столк
новения капель 06ласти IV и V oco6oro
интереса не представляют, поскольку в си
лу замкнутости этих 06ластей траектории,
начинающиеся вдали от прямой х = О, по
пасть в них не MorYT. Фазовые траектории
06ластей 1 и 111 достиrают rраницы х = О,
т. е. капли сталкиваются. Траектории, BXO
дящие в 06ласть 11, не достиrают rраницы,
т. е. капли не сталкиваются. Следователь
но, так же как и в рассмотренном выше
случае, сепаратриса осо60Й точки А являет
ся предельной траекторией, определяющей
сечение столкновение капель.
Траектории движения малой капли OT
носительно 60ЛЬШОЙ определялись путем чис
ленноrо интеrрирования уравнений движе
ния (13.7) при значениях параметров
N 1 = N 2 = О, что соответствует случаю неза
ряженных капель [15].
На рис. 13.2 показаны характерные
траектории движения маленькой капли OT
носительно 60ЛЬШОЙ (k = 0,1) для двух зна
чений параметра электроrидродинамиче
cKoro взаимодействия 5 = 5 (сплошные
линии) и 5i = 0,1 (пунктирные JПШИИ). Циф
рами 1 и 2 060значены траектории, 6лиз
кие к критическим. Соответствующие фа
зовые траектории для 5 = 5 показаны на
рис. 13.3.
Поскольку рассматривается случай, коrда направление Во совпадает с направ
леIOlем и(8 0 = О), то сечеIOlе столкновеlШЯ представляет собой окружность радиуса d.
На рис. 13.4 показаны зависимости 6езразмерноro радиуса сечения столкновения
d/ R j от параметра электроrидродинамическоrо взаимодействия 52 и от отношения
радиусов капель k = R 2 / R j . Сечение столкновения растет с увеличением k и 52.
Влияние вязкоrо сопротивления слоя жидкости, разделяющеrо с6лижаю
щиеся капли, можно проследить, если прене6речь отклонением коэффициентов
сопротивления от стоксовых значений, т. е. положить {ет = fsr = fse = {ее = 1, {ее1 = О.
ДЛЯ простоты прене6режем также молекулярным взаимодействием, положив
5з = О. Упрощенная система уравнений имеет вид
= И r 5 ({; cos 2 8 + (2 sin 2 8),
d6 ие + s1fs sin26
=
d't (Х! + 1/k)
(13.13)
rде И r И Ие 6езразмерные компоненты стоксовой скорости (11.81).
322
х
10
5
о
тr/2
1t 8
Рис. 13.3. Фазовые траектории движения маленькой частицы отиоситель
ио большой при (N t - N 2 - о; k - 0,1; Sl = 5):
1, 3, 5 изоклины бесконечности; 2 изоклина нуля; 4 сепаратриса oco
бой точки А седло; 6, 7 сепаратрисы особой точки в седло; С особая
точка неустойчивый узел
Этот случай для k = 0,1 изображен на рис. 13.4 пунктирной линией.
Видно, что при S1 1 вязкое сопротивление не оказывает заметноrо влияния
на сечение захвата капель. Это объясняется тем, что при малых значениях S1
капля 2 длительное время движется вдоль поверхности капли 1, испытывая
значительное вязкое сопротивление, в то время как при S1> 1 капля 2 быстро
проходит раздетпельный слой почти под прямым yrлом К поверхности капли 1.
Сложнее обстоит дело, если 0< 80 < п/2, т. е. если вектор напряженности
электрическоrо поля Во составляет с линией центров капель острый yrол
(рис. 13.5). В этом случае движение капли 2 не является плоским, ее траектории
не лежат в меридиональной плоскости, и нужно рассматривать пространственное
движение. Чтобы упростить расчеты, прене6режем вязким сопротивлением, считая
S1 1. В рассматриваемом случае составляющие электрической силы равны
Р, = (fj cos 2 '1' + (2 sin 2 '1') e r ; Р"I = (в sin 2'1' e"l' (13.14)
rде е , и е"l единичные векторы, направленные по r и перпендикулярно к r
в плоскости (r, Во). В сферической системе координат (Т, 8, '\'J-) (см. рис. 13.5)
уравнения движения капли 2 относительно капли 1 имеют вид
= и , S1 ({; cos2(8 + 80) + (2 sin2(8 + 80»,
21*
323
d/R!
k==0,5
1,5
k==O, 1
1,0 ..... .....
k==O, 03
0,5 k==O, 01
о
1
2
3
4
5 82
Рис. 13.4. Зависимость радиуса сечеиия столкновения от 82 и k
z
и)
82
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
.............. \
..............,
Рис. 13.5. Простраиствениое расположение взаимодействующих капель
щ Щ . .
d 1/k + (acos 8cos<p + f}соs8sш<р уSШ<р),
't Xj+ (xj+1Ik) a2+132+'Y2 (13.15)
dq> S1fs sin '" <13 cos q> а sin q»
d't (XI+1Ik)Sine a2+132+y2'
тде cos '1' == cos 80 cos 8 sin 80 sin 8 sin <р; а == xz cos 80 ху sin 80; f} == х 2 sin 80 +
+ yz cos 80 + Z2 sin 80; У == х 2 cos 80 у2 cos 80 yz sin 80; х == (ХI + 1/ k) sin 8 cos <р;
у == (Х! + 1/ k) sin 8 sin <р; z == (Х! + 1/ k) cos <р.
Сечения столкновения, полученные путем численноrо интеrрирования ypaB
нений (13.15), для различных уrлов 80 показаны на рис. 13.6.
324
Рис. 13.6. Формы сечеиий столкиовеиий
капель для различиых зиачеиий уrла 80
между Ео и 9
Оказалось, что площади сечений
столкновеlШЯ для разJПfЧных yr лов во
отличаются незначительно. Это озна
чает, что частота столкновений капель
практически не зависит от ориента
ции электрическоrо поля по отноше
нию к направлению силы тяжести.
Сечение захвата QВ аппроксимирует
ся следующим выражением:
= 0,S71tЩ5i(1 ехр ( S,7Sk».
<13.16)
у
80=0
х
При rpавитационном осаждении
капли различноrо размера движут
ся со скоростями U 1 = 2!:!.pgR I 2/9J.1e
и U 2 = 2!:!.pgRi/9J.1e' При этом час
тот а столкновений этих капель оп
ределяется выражением
I I 2!!.Р9Rt
f}12 = И! и2 n2nl = (1 k2)QВn2nl'
9!!е
По физическому смыслу константа коаryляции К, входящая в кинетиче
ское уравнение Koary ляции (11.1), равна частоте столкновения капель единич
ной концентрации, поэтому
<13.17)
К = 2!!.Р9Rt (1 k2) .
9!!е
Как отмечалось в разделе 11.1, константа коаrуляции является симметрич
ной функцией объемов взаимодействующих капель V и Ф. Поэтому должно
выполняться условие K(V, Ю) = К(ro, V). Поскольку зависимость 03.18) с уче
том <13.16) не обладает этим свойством, то в качестве симметричной функции К
можно использовать приближенное выражение [99]
K(V ф)=0131 ЕЕ (VOO)2/3 ( 1 24 (VOO)I/3 ) . <13.19)
, '!!е (Vl/3 + 001/3) '(V1/3 + 001/3)2
Рассмотрим теперь поведение решения системы уравнений (13.7), коrда капJШ
несут свободные заряды, т. е. N 1 О И N 2 О. Если внешнее электрическое поле
отсутствует (52 == О), то 1(X) == (x) == О, 2(X) < О И В фазовом пространстве (х, 8)
имеются две изоклины бесконечности 8(х) == О, 8(х) == 1t и одна изоклина нуля
8{l') == arccos ( з(х) / 2(X»' В тех случаях, коrда электрические силы являются
силами притяжения для всех х (заряд имеет лишь одна из капель N 1 N 2 == О или
капли обладают разноименными зарядами N 1 N 2 < О), отношение (x) / 2(X) < О
для всех х, и изоклина нуля полностью лежит в области 8(х) п/2 (рис. 13.7,
а, б). Пересечение изоклины ну ля и изоклины бесконечности 8 (х) == 1t дает един
ственную особую точку А (седло). Как и в случае незаряженных капель, сепа
ратриса точки А делит фазовое пространство на две области и представляет
собой критическую траекторию движения малой капли относительно большой.
325
<13.18)
а б
х х
I
\
I \
I \
I 1 2 3 \____4 3
I
I \
\
I 1 \
r "-
"-
I "-
"-
I ,
"
I 4 '.....
f'"" ...........
I А В
"- В
О ТrI2 1t О ТrI2 1t
в 2
х х
I I
I
\ I
I /
I 1 3 5-.........; /
I /
I ./
./
I 4 ./ 3
./
r ---"
I ......""
I
\ 2
"- С
..... А
В А В
О ТrI2 1t О ТrI2 1t
Рис. 13.7. Изок.лииы нуля и бескоиечиости и особые точки поля скоростей малеиькой капли.
Виешиее электрическое поле отсутствует (82 - О):
а N, = N 2 = о; 6 N,N 2 < о; в 0< N,N 2 < 1; z N,N 2 ;;:: 1,5; 1, 3 изоклины бесконечности;
2 изоклина нуля; 4 сепаратриса особой точки А седло; 5 сепаратриса особой точки в
седло; С особая точка неустойчивый узел
Ситуация несколько изменится, если капли обладают зарядами одноrо
знака (N j N 2 > О), поскольку, как показано в разделе 12.6, в зависимости от
соотношения радиусов и зарядов капель и расстояния между ними они MorYT
как притяrиваться, так и отталкиваться друr от друrа. При тех значениях х, при
которых электрические силы проявляются как силы отталкивания, 3 (х) > О,
изоклина нуля В(х) == arccos ( з(х) / 2(X» лежит в области В(х) < п/2, а для
остальных х в области В(х) п/2. Если N I N 2 < 1,5, то з(х) < 2(X) для
всех х. В этом случае пересечение изоклины ну ля и изоклины бесконечности
В(х) == 1t дает единственную точку А (седло). Сечение столкновения капель
определяется сепаратрисой точки А (рис. 13.7, в). При N j N 2 1 ,5 пересечение
326
изоклины нуля и бесконечности в(х) = о дает две особые точки В (седло)
и с (неустойчивый узел) (рис. 13.7, z). Сепаратриса точки В (кривая 5) не
пересекает rраницы х == О, поэтому ни одна траектория из области х » 1 не
достиrнет rраницы х == О, и столкновение капель в этом случае не происходит.
Поведение решения уравнений (13.7) значительно усложняется, если заря
женные капли находятся во внешнем электрическом поле (52'# О). Если N 2 5 2 > О,
а N 1 5 2 < О, то (x) / I(X) > J2j2 и изоклина нуля лежит в области в (х) > п/4.
в этом случае имеются либо три, либо одна особые точки поля скоростей. Для
частноrо случая N I == О эти случаи показаны на рис. 13.8.
б
х
\
\
\
1 \ 2
\
\
\
\,4
\
\
\
"-
1t О тrl2
2
х
\
\
I
3 1 'v4 2
\
\
\
\
\
\
\
\
А \
"-
е "-
............
1t О ТrI2
а
х
о
в
х
\
\
\
\ 2
\ 4
1 У
\
\
\
\
\
\
\
\
"-
'-:
5
О тrl2
3
в
1t
3
А е
1t
Рис. 13.8. Изоклииы иуля и бескоиечиости и особые точки поля скоростей малеиькой капли.
Большая капля ие заряжеиа (N t - О); N,s2> о:
a S 4; S2N2«1;6 S :53; S2N2 O,5;e O,5:5S2N2:51;z S2N2 1; 1,3,5 изоклины
бесконечности; 2 изоклина нуля; 4 сепаратриса особой точки А седло; 6, 7 сепаратрисы
особой точки В седло; С особая точка неустойчивый узел
327
Рассмотрим их последовательно. Если 51 4 и 5 2 N 2 « 1, то существуют
три особые точки: А (седло), в (седло) и с (неустойчивый узел) (рис. 13.8, а).
При 51 < 3 или 5 2 N 2 1 имеется лишь одна особая точка А (седло) (рис. 13.8, б,
в, z). Критическая траектория при N 2 5 2 > О И N 1 5 2 О Bcerдa определяется
сепаратрисой особой точки А независимо от значений 52, N I и N 2 .
Если N 2 5 2 < О, то в зависимости от значений параметров 52, N I и N 2
отношение 3(X) / 1 (х) может принимать различные значения от 00 до + 00.
При этом возможны четыре различных случая, показанные на рис. 13.9 для
значения N I = О.
а
х
б
х
2
3
,.,.,.....1
о
в
х
е
1t О
2
х
п/2
п/2
1
\
\
I
I
I
7 I
-----t
I
I
Е
е
о
о
п/2
п/2
1t
3
......
\
\
7
\
е
1t
I
8
I
I 3
I
I
I
I
I
I
I
/
/
/
5
е
1t
Рис. 13.9. Изоклииы иуля и бескоиечиости и особые точки поля скоростей малеиькой капли.
Большая капля ие заряжена (N t - О); N 2 S 2 < о:
а О> S2N2 0,2; 6 O,2 > S2N2 0,5; в O,5 > S2N2 1; l S2N2 < 1; 1, 3, 5 изокли
ны бесконечности; 2 изоклина нуля; 4 сепаратриса особой точки А (седло); 6, 7 сепаратрисы
особой точки В (седло); 8 сепаратриса особой точки Е (седло); с особая точка неустойчи
вый узел; D особая точка устойчивый узел
328
1. I S2N 2 1« 1, S2N2 < о. в этом случае имеется лишь одна особая точка А
(седло), сепаратриса кarорой определяет сечеIOlе столкновения капель (рис. 13.9, а).
2. O,S < S2N 2 $; 0,2. В этом случае особых точек три: точка А седло,
точка В седло и точка С неустойчивый узел (рис. 13.9, б). Сечение столк
новения определяется сепаратрисой точки А.
3. S2N 2 1. В этом случае имеется пять особых точек: А седло, В
седло, С неустойчивый узел, D устойчивый узел, Е седло (рис. 13.9, в).
Сечение столкновения определяется сепаратрисами точек А и В.
4. S2N2 < 1. В этом случае направление движения маленькой капли
относительно большой вдали от нее изменяется на противоположное и сечение
столкновения определяется так же, как и при S2N2> О (рис. 13.9, z).
а иl Е'l б иl Е'!
\\\
1\\
\ \ \
\\\
\ \
\\
\
\
01
01
Рис. 13.10. Траектории движения малеиькой заряженной капли относительно
большой иезаряжеииой п и k 0,1; N t о:
а N 2 > о; 6 N 2 < о; сплошные линии 52 1; I N 2 1 0,2; пунктирные 5 1,
N2 0
329
Траектории движения малой заряженной капли относительно большой He
заряженной, полученные численным интеrpированием уравнений (13.7) [16] по
казаны на рис. 13.10, а для случая N I = о; N 2 = 0,2; k = 0,1,52 = 1 и на рис. 13.10, б
для случая N I = о; k = 0,1; 52 = 1 и N 2 = 0,2. Для сравнения на рис. 13.10
пунктирными линиями показаны траектории незаряженных частиц при тех же
значеlШЯХ парамerpoв k и 52. Заметим, что околокритическая траектория рис. 13.11
соответствует случаю 2. Зависимости радиуса сечения столкновения от величи
ны заряда малой частицы при k = 0,1 и N 1 = О приведены на рис. 13.12.
Кривые с номерами ar 1 до 5 соответствуют значениям параметра электроrид
родинамическоro взаимодействия 5i = 3; 1; 0,5; 0,1 и о. При N 2 > О меньшая капля
несет положительныIй заряд и сечеIOlе столкновения увеличивается с ростом N 2 . При
N 2 < О капля заряжена arpицательно и сечеIOlе столкновеIOlЯ резко уменьшается с
ростом IN 2 1, обращаясь в нуль при значении N 2 = 1/52' Аналоrичная задача реша
лась в [14] на основе приближенных выражений для сил взаимодействия капель.
В этой работе было получено следующее выражеIOlе для радиуса сечеlШЯ захвата:
d/R I = (2kN 2 )1/2 (13.20)
Рис. 13.11. Околокритическая траектория движения
малеиькОЙ заряжеииой капли отиосительио большой
иезаряжеииой при k - 0,1; 82 - t; N t - о; N 2 - 0,5
иl Еоl
Рис. 13.12. Зависимость радиуса сечения столкиове
иия малеиькой заряжеииой капли с большой иезаря-
жеииой от N 2 при k - 0,1; N t - о:
1 5 si 3; 1; 0,5; 0,1. Пунктирная линия зави
симость (13.20) при k O,1
330
d/R!
1,5
1,0
0,5
о
1
о
1
2 N 2
в предположении, что внешнее электрическое поле отсутствует и 2k« N 2 .
Зависимость (13.20) показана на рис. 13.12 пунктирной линией. Сравнение
этой кривой с соответствующей ей кривой 5, полученной с использованием
точных выражений для сил взаимодействия капель, показывает, что использо
вание в расчетах приближенных выражений для сил электрическоrо и rидро
динамическоrо взаимодействий капель приводит к существенному завышению
сечения столкновения, особенно заметному при малых и умеренных значениях
параметра N 2 . С увеличением N 2 основная часть предельной траектории yдa
ляется от поверхности большой капли на расстояние, на котором силы взаимо
действия хорошо описываются приближенными выражениями. Помимо увели
чения сечения столкновения капель с ростом I N 2 1 возрастает также скорость их
сближения, что приводит к дополнительному увеличению частоты столкновения
капель. Поэтому интенсивность захвата мелких заряженных капель крупными
незаряженными каплями зависит не только от величины заряда капель, но и от
направления вектора напряженности внешнеrо электрическоrо поля.
13.2. КИНЕТИКА КОАЛЕСЦЕНЦИИ КАПЕЛЬ
ПРИ rРАВИТАЦИОННОМ РАССЛОЕНИИ ЭМУЛЬСИИ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Для Toro чтобы рассмотреть динамику процесса укрупнения капель при
расслоении эмульсии в поле силы тяжести, необходимо обратиться к кинетиче
скому уравнению (11.1), описывающему изменение со временем распределения
капель по объемам n(V, О. Входящее в Hero ядро коалесценции K(V, (0)
определяется выражением (13.19). Сделаем только одно замечание относитель
но этоrо выражения. Оно имеет смысл частоты столкновения капель объемов V
и 00. Однако не каждое СТОлкновение проводящих капель в электрическом поле
может привести к их слиянию. Действительно, как было показано в разделе 12.5,
после соприкосновения капли испытывают силу отталкивания и, если молеку
лярные силы притяжения не компенсируют силу отталкивания, то слияния
капель не произойдет. Электрическую силу отталкивания соприкасающихся
первоначально незаряженных капель можно оценить по формуле (12.81)
R 2 FЧ
Fе1=f-Щ<р(k) ( 1 ) ' <P(k)=j; AI' (13.21)
Rt + R2 2
Сила молеку лярноrо притяжения двух соприкасающихся сферических
капель определяется формулой Б. В. Деряrина [100]
F 2т:оR t R2
то! R I + R2 '
( 13.22)
rде Io коэффициент поверхностноrо натяжения капли.
у словие слияния капель после соприкосновения можно теперь записать
в виде
2т:оR1 R 2 > f-ЕJ<р(k) RlFЧ
RI + R2 (RI + R 2 )2
ДЛЯ оценки размера капель положим k = 1, т. е. рассмотрим капли одина
ковorо размера. Для этоrо случая <р(1) = 5,46 и (13.23) переходит в
R < 2,3Lof- 1 Ео2.
( 13.23)
331
Более точную оценку можно сделать, используя результаты экспериментов,
проведенных в [93, 100]:
R < 0,7SLoe IEo2 == Rcr.
Переходя к объемам капель, перепишем (13.24) в виде
1;3
V < V cr == S,3 .
е Ео
Таким образом, для капель с объемами V < V cr каждое столкновение приводит
к слиянию и ядро коалесценции таких капель равно частоте их столкновения.
В дальнейшем для проведения вычислений удобно К (V, w) представить
в виде степенной функции объемов, используя следующую аппроксимацию [1]:
(V(O)2/3 "" О SVII2(OI/2
VI/3 + (01/3' ,
( 13.24)
( 13.25)
что позволяет записать ядро коалесценции в виде
K(V, (О) == { 0'026 е:.-б VO,5(OO,5 при V, (о < \1;,,,
О при V, (О> \1;,r.
Если средний объем капель в эмульсии V av « Vcr> то доля капель с объе
мами V;;:: V cr мала и при расчетах эти капли можно не учитывать и считать, что
(13.26)
К ( У (О ) == 0026 eE-б VO,5ro<J 5
, , 11.
( 13.27)
во всем интервале объемов капель.
С дрyrой стороны, если Yav» ус" то можно считать, что укрупнение капель
практически не происходит.
Для характерных значений Ео 2 кВ / см, Io 1 0 2 Н / м и е 2ео имеем
Rcr 1 0 2 м. Поскольку интересующий нас размер капель HaMHoro меньше
(R 10 4 м), то В качестве ядра коaryляции в дальнейшем будем брать Bыpa
жение (13.27).
Рассмотрим теперь динамику укрупнения капель. Начнем с проereйшеrо случая
монодисперсной эмульсии. Предположим, что эмульсия в процессе коалесценции
остается монодисперсной. Torдa частоту столкновений капель одинаковоrо объема
можно найти из (13.27), умножив К на численную концентрацию капель N и
разделив на 2, поскольку при V == (о число столкновений учитывается дважды:
1 w-б еЕ 2
РII == K(V, Y)N == 0,013 VN == 0,013 W, (13.28)
2 11. 11.
rде w== VN объемная концентрация капель в эмульсии. В процессе коалес
ценции W остается постоянной, если дисперсная фаза не удаляется из paCCMaT
риваемоrо объема.
Изменение численной концентрации капель описывается уравнением ба
ланса числа капель
== PIIN; N(O) == N o .
Подставляя в (13.29) выражение (13.28) дЛЯ РII, получим
N(t) == N o ех р ( 0,013 -б Wt )-
( 13.29)
( 13.30)
332
Поскольку объем капель V =' W / N, то изменение со временем радиуса
капель получим из следующеrо выражения:
R(t) :::: R{ )/3 :::: Ro ех р ( 0,004 е:в б Wt). (13.31)
rде Ro начальный радиус капель.
Из (13.31) следует, что характерное время укрупнения капель, т. е. время,
за которое радиус капли увеличится в е раз, равно
Тmопо:::: 2S0 e /еЕБW. (13.32)
Скорость укрупнения капель растет с уменьшением вязкости окружающей
каплю ЖИДКОСТИ, а также с увеличением напряженности электрическоro поля и
с увеличением объемной концентрации капель. Отметим, что в рамках принятой
модели парных столкновений необходимо, чтобы W« 1. При этом среднее
расстояние между каплями радиуса R оценивается как r. v R/ W 13 »1. Это
неравенство позволяет оrраничиться рассмотрением только парных столкновений.
Для характерных значений параметров e = 10 2 Па. с, е=' 2ео, Ео = 1 кВ/см,
W=' 0,01 время Тmопо =' 12,5 с. Так, для увеличения радиуса капель от 10 до
100 мкм требуется обрабатывать эмульсию в течение 25 с.
Приведенная простая модель может служить основой для проведения оценки
характерното времени укрупнения капель эмульсии. Б действительности капли
имеют различные размеры, и их можно характеризовать непрерывным распре
делением по объемам n(V, О, тде V объем капель.
Рассмотрим теперь коалесценцию капель полидисперсной эмульсии при
осаждении в поле силы тяжести в присутствии однородното внешнеrо электри
ческоrо поля. Поскольку сечение захвата капель слабо зависит от ориентации
электрическоrо поля, то направление Ео считается произвольным.
Оrpаничимся рассмотрением пространственно однородноrо случая, т. е. слу
чая, котда распределение капель по размерам зависит только от V и t. Физи
чески это может соответствовать процессу коалесценции капель в условиях
слабorо перемешивания, при котором отсутствует дробление капель. В paCCMaT
риваемом случае кинетическое уравнение (11.1) примет вид
; = 1 со11 ; n(V, О) = no(V). (13.33)
Отметим, что ядро коаryляции (13.27) не удовлетворяет необходимым
условиям существования автомодельноrо решения. Поэтому рассмотрим HeKO
торые результаты численноrо решения и получим приближенное решение ypaB
нения (13.33) методом моментов.
Возьмем в качестве начальноrо распределения лоrарифмически нормаль
ное распределение
(V) п..Vо ( In2(V /VO) }
no = 5 V ехр 2 2 '
О 50
характерное для эмульсий, движущихся В трубах. Здесь 5б дисперсия распре
деления, V o = V.<J) ехр ( 55 /2), V. O) средний объем капли в начальном pac
пределении (13.34), п* параметр, который выбирается из условия задания
в начальный момент объемной концентрации капель
( 13.34)
W = JVno dn.
о
( 13.35)
333
На рис. 13.13 показана динамика распределения капель по размерам для
двух начальных распределений (13.34) с одинаковыми средними объемами
капель v;. ), но с разными дисперсиями 56 = 0,09 (рис. 13.13, а) и 56 = 1
(рис. 13.13, б). Для удобства по оси абсцисс отложен безразмерный радиус
капель У, = (v /V O )1/3 И введено безразмерное время 't == 0,024eE6Wt/1t e И
W == VVon/W.
Со временем скорость коалесценции замедляется, поскольку значительно
уменьшается число капель в единице объема эмульсии N(t) (рис. 13.14). Xa
рактерное время коалесценции оценивается из равенства 't "" 1, откуда находим
T po1y "" 130 е/еЕБW. (13.36)
Теперь можно сравнить характерные времена коалесценции в MOHO и
полидисперсной эмульсиях. Из (13.32) и (13.36) следует, что
а
w
4
3
2
1
о
1
2
3
N/N o
О
0,5
1,0
334
т mопо /T po1y "" 2.
2,100
1,575
1,050
0,525
r l
( 13.37)
б
w
О
1
2
3 r l
Рнс. 13.13. Дннамнка распределения Ka
пель по размерам:
а Sб 0,09; б Sб 1
Рис. 13.14. Изменение со времеием чис
ленной концентрацин капель:
1 численное решение, 2 приближенное
1,5't' решение (3.41) при k 2
Таким образом, скорость коалесценции полидисперсной эмульсии почти в
два раза меньше, чем в монодисперсной. Это объясняется тем, что в электри
ческом поле частота столкновения капель соизмеримых размеров больше, чем
частота столкновений сильно отличающихся по размерам капель (см. рис. 13.4).
Найдем теперь приближенное решение методом моментов (см. раздел 11.1),
используя параметрический метод и предполаrая, что начальное распределение
является rамма распределением,
nO(V) == ) k ) ( VJO) J ех р ( vJo) )- (13.38)
Входящие в это распределение параметры V o и k связаны со средним
объемом va<g) и дисперсией 56 соотношениями
v<o) == (k + 1)V;' == (k + 1) 1/2 (13.39)
av о' <о) .
V av
Пусть В процессе коалесценции распределение n( V, t) остается в классе
rамма распределений
n(V, t) == w :r 1) ( J ех р ( } (13.40)
а со временем изменяются средний объем капель V av == (k + 1)V o и дисперсия
5 == Vav(k + 1) 1/2. При этом объемная концентрация капель W остается посто
янной, а численная концентрация капель N == W /V av изменяется.
В итоrе найдем изменение со временем числа капель в единице объема
эмульсии
N == N o exp( ak't).
Здесь 't введенное выше безразмерное время, а
1,2(2k + 2) JФ(1; 2k + 3; k + 2,45; 0,5)
ak == ,
(k + 1,45)(k + 1)22k + 3 (kr)2
rде Ф(а; р; у; z) rиперrеометрическая функция [5].
На рис. 13.14 показана зависимость (13.41) при k == 2. Сравнение с чис
ленным решением показывает, что приближенное решение достаточно хорошо
приближает точное до значений 't 1. При 't > 1 точное решение дает более
быстрое затухание процесса коалесценции, чем приближенное.
В заключение оценим время, по истечении KOToporo процесс коалесценции
капель в электрическом поле закончится. Для этоrо необходимо, чтобы средний
радиус капель стал равным Rcrt который определяется формулой (13.24). Boc
пользуемся выражением (13.30) для изменения со временем радиуса капли в
монодисперсной эмульсии. В итоrе получим
t coa1 Ттопо ln(0,75Loe IEo2Rol), (13.42)
(13.41)
rде Ro начальный радиус капель до включения электрическоrо поля.
Для характерных значений Eo 1 кВ/см, 10 2 Н/м и e 2Eo, e==
== 1 0 2 Па' с имеем
t coa \ 8,2Тmопп 100 с.
( 13.43)
335
13.3. rРАВИТАЦИОННАЯ СЕДИМЕНТАЦИЯ БИДИСПЕРСНОЙ
ЭМУЛЬСИИ В ЭЛЕКтРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
в качестве приложения рассмотрим процесс седиментации бидисперсной
эмульсии. Пусть в начальный момент имеется эмульсия, дисперсная фаза KO
торой состоит из проводящих незаряженнЫх капель двух сортов объемом V t и
V 2 , причем V I > V 2 , объемной концентрации С 10 и С 20 . Эмульсия помещена в
однородное электрическое поле напряженнОсти Ео, параллельное направлению
силы тяжести. При t> О происходит осаждение капель. Предположим, что в
процессе осаждения объем маленьких капель V 2 и численная концентрация
больших капель n1 постоянны. Физически это означает, что большие капли
между собой не взаимодействуют, а укрупняются в процессе столкновения с
малыми каплями объемом V 2 , которые между собой также не взаимодействуют.
С учетом сделанных предположений получим следующие уравнения, описываю
щие изменение объема капель сорта 1:
dd; F 1tR nl (У, V 2 ); V 2 (n20 n2) == (V 2 v'o )n1;
Vt(O) == V to .
Подставляя в (13.44) выражение (13.16) для сечения столкновения и
вводя безразмерные переменные 't == О,О24еЕБСt/1t е' k == R 2 / RI' получим
dk == k2(1 ех р ( S 7Sk) ) ( 1 С 10 kJ ) .
d-r 'С k3 '
С2 == 1 С10 ( ) 3. k ( O) == J.,
с с k' "О'
rде С объемная концентрация всей дисперсной фазы.
На рис. 13.15 представлены зависимоСти С 2 /С от 't для различных зна
чений начальноrО отношения радиуса капель ko и С I0 /С == 0,5.
При 't 00 имеем С 2 / с О, причем характерное время 't cro за которое
крупные капли выбирают мелкие, уменьшается с увеличением ko. Это означает,
что капли сорта 1 тем быстрее выбирают капли сорта 2, чем меньше они
отличаются по размерам.
С 2 /С
0,5
0,4
О,З
0,2
0,1
О
336
20
ЗО 't'
10
( 13.44)
(13.45)
в случае С 2 / с « 1 из (13.45)
можно получить следующее при6ли
женное решение:
C:!
C
"" { c o exp( 17,2SB3't) при ko« 0,15,
C O exp( 3B2't) при ko 0,15,
(13.46)
rде введен параметр В == (C to /C)1/ 3 k o .
Рис. 13.15. Изменение со времеием отио
снтельиой концеитраЦНJI маленькнх капеJIЬ.
ПУНRТИРНая линия зависимость (13.49)
Из (13.46) следует, что при седиментации капель с ko« 1 характерное
время 't'cr ko 2, В то время как при седиментации капель, несильно различаю
щихся по размерам, 't cr k(;3. Зависимость (13.46) показана на рис. 13.1 5 пунк
тирной линией (k o == 0,1; С 2О / с == 0,5).
Рассмотрим теперь бидисперсную эмульсию, в начальный момент OДHOpOД
но распределенную в слое между параллельными плоскостями z == О и z == Н, rде
ось z направлена от верхней плоскости к нижней и совпадает по направлению
с направлением силы тяжести. Объемные концентрации капель в начальный
момент малы (С IО и С 2О « 1), так что стесненностью осаждения можно прене
бречь. Через некоторое время все крупные капли сорта 1 выпадут. Нас инте
ресует, сколько мелких капель останется в столбе эмульсии единичноrо сече
ния. Подобная задача представляет интерес при лабораторных исследованиях
влияния электрическоrо поля на скорость отстоя эмульсии.
Обозначим через C 2 (z) объемную концентрацию капель сорта 2, которые
останутся в сечении z после прохождения через Hero крупных капель, находив
шихся в начальный момент в слое над z. Скорость осаждения мелких капель
мала по сраВнению с крупными, поэтому для простоты будем считать, что они
не осаждаются. Тоrда после осаждения крупных капель в слое 0< z < Н OT
ношение объема оставшихся мелких капель ко всему первоначальному объему
капель будет равно
н
N 2 == c J C 2 (z)dz.
о
( 13.47)
Используем полученное ранее уравнение (13.45), замеюm dC 2 /d't == k(; 2 dC 2 / dz,
и приближенное решение (13.46). При условии С 2 /С« 1 получим
С 2 { c o exp( 17,2SB3 ) при ko« 0,15,
(13.48)
с C o exp( 3B2 ) при ko 0,15,
rде == СfEJz/29,1f1рgЩ.
Зависимость N 2 от В для различных значений безразмерной высоты слоя
Н ==CfEJH/29,1f1pgRi показана на рис. 13.16, а.
Рассмотрим теперь случай осаждения капель обоих сортов. За время t
мелкие капли, осаждаясь со скоростью и 2 == 2АрgЩ /9 e' пройдут расстояние
а б
N 2 А
1,0 1,0 ko==O, 1
0,5 0,5
О
0,1
0,2
0,3
0,4 В О
100
200
300
400 't'
Рис. 13.16. БидиспеРСНaJI эмульсия:
а относитеЛЬНое объемное содержание маленьких капель, б влияние электрическоrо поля на
седиментацию бидисперсной эмульсии
22 1461
337
t
h 2 = U 2 t, а большие капли ht = JUtdt. Используя соотношения (13.48), по
о
лучим
1 Н
N 2 ('t) = С 20 (1 exp( (H! -c») + 1 ,
аНС Н
(13.49)
н 1 ( 1 ( ео' + с 20 /зс ) + С20 ( 1 1 ))
t аВ2 n 1 + С 2 0/ЗС 3С еО' + С20/ 3С 1 + С20/ 3С '
а = { 17,2SB3 при ko« 0,15,
3В2 при ko'? 0,15.
Влияние электрическоrо поля на процесс седиментации можно oxapaKTe
ризовать параметром А, равным отношению объемов маленьких капель, OCTaB
шихся в слое через время t при осаждении в электрическом поле и без Hero
А = CHN2('t) (13.50)
С20(Н h},) + С10(Н ht)
ЗависимостьА('t) представлена на рис. 13.16, б для значения С 20 /С=0,3.
Как видно, имеются три отличающиеся друr от друrа зависимОСТИ. Первая
лежит в области 0< 't < 40. Резкое убывание А на этом участке объясняется
тем, что за это время происходит значительное укрупнение больших капель и
при 't O они все выпадают из слоя. На друrом полоrом участке 40 < 't < 300
идет медленное осаждение мелких капель. Возрастание А при 300 < 't < 370
обусловлено тем, что за это время верхний слой эмульсии, в котором KOHцeH
трация маленьких капель максимальна, достиrает нижней rраницы слоя.
13.4. ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕскоrо ПОЛЯ НА ПРОЦЕСС
СЕПАРАЦИИ ЭМУ ЛЪСИИ В fРАВИТАЦИОННОМ ОТСТОЙНИКЕ
Важным технолоrическим процессом является отделение воды от нефти.
Вода в нефти находится в виде капель, размер которых может лежать в диа
пазоне радиусов от одноrо до сотен мкм. Этот процесс осуществляется в rpa
витационных отстойниках, представляющих собой большие емкости в rоризон-
тальном или вертикальном исполнении. Отделение воды от нефти происходит
в них за счет rравитационной седиментации капель. Разность плотностей воды
и нефти невелика (Ар 100 Kr / м 3 ), размеры капель малы, поэтому скорость
седиментации мала, и для качественноrо отделения воды от нефти требуются
большое время, а значит, и большие rабариты отстойников. Размеры аппаратов
можно существенно уменьшить, если предварительно увеличить средний объем
капель воды. Одним из эффективных способов является обработка эмульсии
в электрическом поле. Электрическое поле можно создавать в самом отстойнике
(электродеrидраторе). Можно также предварительно укрупнять эмульсию в OT
дельном аппарате (электрокоалесценторе), устанавливаемом перед отстойником.
Рассмотрим случай, коrда эмульсия перед тем, как попасть в отстойник,
предварительно укрупняется в электрокоалесценторе. Обозначим через t время,
в течение KOToporo эмульсия находится в электрокоалесценторе, через nо( V)
распределение капель по объемам в исходной (сырой) эмульсии на входе в
электрокоалесцентор, а через n( V, t) распределение капель на выходе из Hero.
338
После электрокоалесцентора эмульсия попадает в отстойник, поэтому n(V, t)
можно рассматривать как распределение капель в эмульсии на входе в отстой
ник. Обозначим через nt(V, t) распределение капель в эмульсии на выходе
отстойника. Эффективность разделения эмульсии в отстойнике характеризует
ся коэффициентом уноса, равным отношению объема воды, содержащеrося в
единице объема эмульсии на выходе отстойника, к той же величине на входе:
л = = fVnt(V, t)dv / fvn(v, t)dV. (13.50
о о
Очевидно, что чем меньше Л, тем эффективнее происходит разделение
эмульсии в отстойнике.
Назовем передаточной функцией отстойника отношение
Ф(У) = nt(V, t)/n(V, О. (13.52)
Передаточная функция зависит от rидродинамическоrо режима движения
капель в осадительной области отстойника. В простейшем случае осаждения
капель без учета взаимодействия между ними выражения для Ф(У) леrко по
лучить для случаев движения эмульсии перпендикулярно и параллельно (про
тив) силе тяжести [4]. В первом случае отстойник называется rоризонтальным
и для нето
( ) { 1 (у/у с .)2 при У < ус"
Фh У
О при у Y cr '
Во втором случае отстойник называется вертикальным и
{ 1 при у < ус"
Фv(У) = О
при у Ycr'
(13.53)
(13.54)
Величина f cr = (9HQ e/2Ap V)1/ 2 соответствует максимальному радиусу Ka
пель на выходе отстойника, Н и V высота и объем отстойника, Q объемный
расход эмульсии, вязкость сплошной фазы, Ар разность плотностей дис
персной и сплошной фаз.
Подставляя значения Ф(У) в формулу (13.51), получим выражения для
коэффициента уноса соответственно вертикальноrо и rоризонтальноrо отстой
ников:
л v = fVnt(V, t)dv / Jvn(v, t)dV,
о о
лh = л v f vn t (V, t) dV / f Vn(V, t) dV,
о о
тде V cr = 4пyc / 3 критический объем капель.
Из (13.55) и (13.56) следует, что лh < л v при условии равенства Y cr rори
зонтальноrо и вертикальноrо отстойников. Большая эффективность разделения
эмульсии в rоризонтальном отстойнике по сравнению с вертикальным объясня
ется видом распределений капель на выходе отстойников (рис. 13.17). В Bep
тикальном отстойнике от распределения на входе отсекается часть с V> V cro
поскольку капли такото объема не мотут двиrаться против силы тяжести.
В rоризонтальном отстойнике происходит непрерывное осаждение капель всех
22* 339
( 13.55)
(13.56)
а
пl
п
V cr б !g
V
V cr
// '/ / / !g о о....... о о
о о о/о О О О
/ О / '/ / '-о о
/0 /00/ О о"""" О
О / О / "'-о, о
/0 /0 О О
/0 О
О 0/ О / О 'о о
/ О О
О О О О О О о',
/ / О / О О О
O.l!0 o О О
70' О 0/ О О О О О ,
О
п п пl
п
V
V
V cr
V
Рис. 13.17. Схематичиое изображение вертикальиоrо (о) и roризонтальиоrо (6) отстойников
размеров по длине, причем капли с V> V cr выпадают все, а кроме них выпадает
и часть капель с V < V cп что не происходит в вертикальном отстойнике.
Для определения коэффициента уноса необходимо найти предварительно
n(V, t) распределение капель, которое установится в эмульсии после ее об
работки в течение времени t в электрическом поле. Воспользуемся ранее най
денным приближенным решением (11.30)
n(V, t) = N2( + 1) ( J ех р ( )- (13.57)
Здесь N = N o ехр ( a.k't), V o = V a \?) exp(a.k't)/(k + 1), W = W o , 't = 0,024ЕЕб х
х Wot/1t e, N o , W o и V a \?) начальные значения, т. е. значения в исходной
эмульсии численной и объемной концентраций и среднеrо объема капель,
a.k определяется соотношением (13.41).
Подставляя (13.57) в (13.55) и (13.56), получим
y(k + 2, х) y(k + 8/3, х)
Л V = (k + 1)! ; Лh = Л V (k + фх 2 / 3 ' (13.58)
rде х = VcrlV o ; у(а., х) неполная rамма функция [5].
Выражения (13.58) представляют собой зависимости коэффициентов YHO
са вертикальноrо и rоризонтальноrо отстойников от параметров исходноrо
распределения капель k и V a \?) = Wo/N o , безразмерноrо времени 't обработки
эмульсии в электрическом поле, а также от параметра V cro характеризующеrо
rеометрические и rидродинамические параметры отстойника.
Зависимости Лh (сплошные линии) и A.v (штриховые линии) от параметра
хо = V cr /V a \?) для различных значений 't показаны на рис. 13.18. Кривые при
340
л,
-т: o
-т: 0,34
-т: 0,б8 "[ J,02
1,0
0,5
О
1
2
3
4
ХО
Рис. 13.18. ВЛИJlИие времени 't обработки эмульсии в электрическом поле на
коэффициент уиоса roризонтальноrо (сплоmиые линии) и вертикальноrо
(пуиктириые линии) отстойников
't о соответствуют значениям л'h(О, Ха) и л'v(О, Ха) без предварительноrо укруп
нения эмульсии. Остальные кривые соответствуют увеличивающемуся времени
обработки эмульсии 't == 0,34; 0,68; 1,02. Как и следовало ожидать, увеличение
't приводит к существенному уменьшению уноса воды из отстойника.
Сравним теперь коэффициенты уноса rоризонтальноrо и вертикальноrо
отстойников. Для этоrо введем параметр
'" == л'h(-Т:, Ха)/л'v(-т:, Ха). (13.59)
При одинаковых значениях объемной концентрации воды на входе двух
сравниваемых отстойников параметр '" равен отношению объемных KOHцeHTpa
ций на выходе отстойников. Очевидно, что", < 1 для всех значений Ха и '[> О.
Используя асимптотическое поведение неполной rамма функции, найдем, что
при малых значениях Ха
2 ( k+2 )
'" "" (3k + 8) 1 Ха (k + 3)(k + 11/3) ,
( 13.60)
а при Ха» 1
"" 1 х 2/З r(k+8/3) (1361)
'" а (k + 1)' .
в частности, при Ха О имеем '" 2/ (3k + 8), а при Ха 00 '" 1. По
скольку при малых Ха значения '" убывают, а при больших Ха возрастают, то
'" имеет минимум. Коэффициент уноса rоризонтальноrо отстойника более чув
ствителен к времени обработки эмульсии в электрическом поле, чем коэффи
циент уноса вертикальноrо отстойника.
Полученные зависимости можно использовать для определения времени
обработки эмульсии в электрическом поле, необходимоrо для достижения за
данной объемной концентрации дисперсной фазы на выходе отстойника
341
13.5. ПРОХОЖДЕНИЕ ЭМУ ЛЪСИИ
ЧЕРЕЗ ЭЛЕК1РИЧЕСКИЕ филъ1ры
Существующая технолоrия удаления воды из нефтепродуктов позволяет
получать топливо с содержанием остаточной воды порядка 0,01 %. Однако даже
столь малое содержание воды может отрицательно повлиять на работоспособ
ность топлива в двиrателях, особенно в условиях эксплуатации при низких
температурах. Для r лубокоrо обезвоживания нефтепродуктов можно применять
электрическое поле, а для отделения от эмульсии воды С очень малой объемной
концентрацией можно использовать пакет сетчатых насадок электродов, распо
ложенных поперек набеrающеrо потока эмульсии (рис. 13.19).
Основной принчип работы электрическоrо фильтра состоит в следующем.
Если проводящим капелькам воды сообщить некоторый заряд и поместить их
в межэлектродное пространство, то под действием внешнеrо электрическоrо
поля они будут двиrаться к одному из электродов, в зависимости от знака
заряда капель. При соприкосновении с электродом капли воды перезаряжаются
и движутся от электрода в противоположном направлении. Таким образом, в
пространстве между электродами образуются два встречных потока разноимен
но заряженных капель, что увеличивает частоту их столкновения. В результате
капли коалесцируют, укрупняются и осаждаются. Если электроды представляют
собой сетку, то часть капель может пройти без столкновения через сетку. Если
устройство состоит из пакета сеток, то капли последовательно будут задержи
ваться каждым рядом сеток.
Описанный процесс можно рассматривать как процесс фильтрации дисперс
ной фазы через систему сетчатых электродов. Основной задачей является опреде
ление количества остаточной воды в нефтепродукте на выходе фильтра. Объемная
концентраци.я БОды W out на выходе зависит от объемной концентрации на входе Иl;n,
дисперсноrо состава эмульсии, напряженности электрическоrо поля, от KOH
структивных параметров устройства и от физико химических свойств эмульсии.
Введем коэффициент уноса одной секции фильтра как отношение объем
ных концентраций воды в эмульсии на выходе и входе этой секции
Х; == W out . i/Win. i.
( 13.62)
10
5
6
7
8
Q
1
2
3
4
9
Рис. 13.19. Схематическое изображение электрическоrо фильтра:
1 корпус; 2 4 секции фильтрации; 5 8 сетчатые электроды; 9
дренирующее устройство; 10 демпфер
342
Тоща коэффициент уноса фильтра
J{ = П.J{,.
( 13.63)
Таким образом, для определения объемной концентрации воды на выходе
фильтра W out = ЖWIfl необходимо знать коэффициент уноса каждой секции
фильтра. Будем считать секции фильтра одинаковыми и рассмотрим процесс,
происходящий в одной секции.
Принимаем, что эмульсия состоит из непроводящей сплошной фазы и про
водящей дисперrированной фазы в виде одинаковых маленьких сферических
капель радиуса R, несущих постоянный заряд q. Капли движутся между двумя
плоскими параллельными сетчатыми электродами. Вдали от поверхности элект
родов капли движутся перпендикулярно поверхности электродов. Примем, что
капли приобретают заряд в результате столкновения с электродом. Тоща co
rласно [97]
q = 1tЗfоfЕоRЗ. (13.64)
Заметим, что формула (13.64) была получена для плоскоrо сплошноrо
электрода. Если размер капель мал по сравнению с диаметром проволочек, из
которых изrотовлен электрод, то капля возле цилиндрической проволочки ведет
себя как возле плоской стенки, поэтому использование соотношения (13.64)
допустимо.
Малое объемное содержание воды в эмульсии позволяет оrраничиться
рассмотрением движения изолированных капель и не учитывать их влияние
друr на друrа и на сплошную фазу. Поскольку траектория капель искривля
ется только возле электрода, то достаточно рассмотреть поведение капель в
непосредственной близости от элементов электрода цилиндрических проволо
чек. Движение заряженных частиц при обтекании одноrо цилиндрическоrо
электрода было рассмотрено в работе [101].
Выберем систему координат xyz, связанную с плоскостью одноrо из
электродов (рис. 3.20).
z
kh
h
о
h
kh
х
Рис. 13.20. Система координат, связаниая с ПJI0СКОСТЬЮ электрода
343
У равнение движения капли в безынерционном приближении и без учета
силы тяжести имеет вид
Fh + Fel == О,
rде сила rидродинамическоrо сопротивления капли
Fh == 61Clleaf(u и),
( 13.65)
(13.66)
а электрическая сила
Fel == qE.
( 13.67)
Здесь и скорость капли, а радиус капли, U скорость потока жидко
сти, Е напряженность электрическоrо поля. В дальнейшем будем считать, что
напряженность электрическоrо поля достаточно велика, так что при рассмотрении
захвата капель цилиндрическими проволочками коэффициент сопротивления f в
выражении для rидродинамической силы можно положить равным единице.
Если расстояние между двумя электродами велико по сравнению с xapaк
терным размером ячейки сетчатоrо электрода, то неоднородности в распределе
нии скорости и напряженности электрическоrо поля имеются лишь вблизи элект
рода до расстояний порядка размера ячейки. Вне этой области распределения Е
и U можно считать невозмущенными. Будем моделировать сетчатыIй электрод
двумя взаимно перпендикулярными системами бесконечных параллельных ци-
линдров радиуса Re, расположенных на одинаковом расстоянии h дрyr от дрyrа
и лежащих в одной плоскости. Torдa электрическое поле равно суперпозиции
полей, создаваемых каждым электродом, а поле скоростей определяется из зада-
чи о поперечном обтекании бесконечноrо цилиндра, при условии, что остальные
цилиндры мало искажают поле скоростей. Подобная картина будет искажаться
в окрестности узлов сетки и возле края цилиндра. Однако, если размер сетки
веJПIК по сравнению с h, а период сетки мноrо больше Re, то такое предполо-
жение допустимо. В рассматриваемой постановке распределение rидродинамиче
ских и электрических параметров в плоскости, проходящей через векторы Е и
U и перпендику лярной плоскости электродов, одинаково.
Электрическое поле, создаваемое одним электродом, равно
Е == 2л. (13.68)
у 2 '
rде r расстояние от центра поперечноrо сечения проволочки до рассматри
ваемой точки; л. поверхностная плотность заряда на проволочке.
Полное электрическое поле равно суперпозиции полей от каждоrо цилинд
ра, поэтому
Е == (Еох + EkX }х +( E oz + EkZ)" (13.69)
rде Еах и E oz компоненты напряженности, создаваемой выбранным цилиндром,
а Еь; и E kz цилиндрами, отстоящими от Hero на расстояниях hk и hk. Из
уравнений (13.68) и (13.69) находим
Ех==2л.2..+4А.х (r2 h2k2) , (13.70)
у 2 (hk)4 + 2(hk)2(z2 х 2 ) + у 4
Ez == 2л. + 4л.z L (r 2 + h 2 k 2 ) .
у 2 k (hk)4 + 2(hk)2 (z2 х 2 ) + у 4
На рис. 13.21 показало распределение безразмерных компонент напряжен
344
ности E ,. == hЕх,z/Л- по безразмер
ным координатам х' = х / h и 2' == 2/ h.
Видно, что на расстояниях от плоско 4
сти электрода порядка размера ячей
ки сетки h электрическое поле CTa I
новится практически однородным и I
равным полю плоскоrо конденсатора. 3 I
Следовательно, влияние сетчатой cтpyк \
туры сказывается лишь на расстояни
ях 2 $ h. \
Рассмотрим теперь поле CKOpOC 2
тей. При медленном обтекании бес
конечноrо цилиндра потоком вязкой
жидкости (Re < 1) со скоростью V
вдали от цилиндра течение на расстоя J
ниях т> Rc/Re можно считать прак
тически невозмущенным, а в области
r < Rc/ Re компоненты скорости в ци
линдрической системе координат т, 8, О
связанной с цилиндром, равны [102]
U r 2 (1 r 1 Rt ) . 8
== п + Sln
V Re2 1 21n (Re) Rc 2 2r 2 '
и8 == 2 ( 1П.2:..... + 1. Rt ) cos 8.
V Re 2 1 2 In (Re) Rc 2 2r 2
Рис. 13.21. Распределение иапряжеlШОС1И элект Е I
рическоrо поля возле электрода:
сплошные линии E'z. пунктирные E
5
" ,, ,./ х'==0,4
,
......
........................
.................. ......
.................. ...................
0,25
0,75
1,00 z'
0,50
(13.71)
При этом компоненты rидродинамической силы определяются соотноше
нием (13.66)
Fr == 6п ( U r + ); F8 == 6п ( U 8 + r )- ( 1 3.72)
Введем безразмерные переменные
==r/h, ,,==Vj/h, U:==Ur/V , U ==U8/V , Ь==2qЛ-/61tJlhV Rc,
d = Rc / h, f,. == hF,. /Л-q, (8 == hF 8 /'Л.q.
В новых переменных уравнения (13.72) примут вид
d = и ' b f, ' j: de == И' b F
d-r r " ':> dT 8 18'
(13.73)
Начальными условиями являются
== o; 8==80 при ,,==0. (13.74)
Решая уравнения <13.73) для различных начальных значений o и 80'
найдем семейство траекторий движения капель. Часть капель столкнется с
цилиндром, перезарядится, отразится от Hero и уйдет или вверх или вниз по
потоку. Назовем траекторию, разделяющую два указанных семейства TpaeKTO
рий, предельной. Введем понятие сечения пропускания одной ячейки сетки как
345
площадь сечения вдали от сетки, че
рез которую проходят траектории Ka
пель, которые уходят вниз по потоку.
Если X O) начальная координата кап
ли, которая движется по предельной
траектории, то сечение пропускания
QВ=h2(1 2 X: J. (13.75)
Теперь можно найти коэффициент
уноса сетчатоrо электрода
Ki=(1 2 X: J. (13.76)
Таким образом, задача определе
ния K i сводится К нахождению пре
дельной траектории движения капли.
Рассмотрим захват и отражение Ka
пель цилиндром (рис. 13.22). Сплошной линией показаны траектории подходя
щих капель. Вдали от цилиндра капли движутся прямо линейно , поскольку на
расстояниях z > h электрическое поле и поток жидкости практически OДHOpOД
ны. На расстояниях z < h появляется составляющая силы, параллельная плос
кости электрода. поэтому на расстояниях r < h/2 от сетки траектории заметно
отклоняются от прямых. При r < Rc/Re капли попадают в область возмуще
ния, вносимоrо сеткой, и скорость жидкости снижается от скорости невозмущен
Horo потока V дО нуля на поверхности сетки. На rранице области возмущения
линии тока искривляются, но абсолютная величина скорости еще близка к V ,
поэтому происходит изменение направления движения капли, и она несколько
смещается вниз по потоку, приближаясь к цилиндру. Однако вблизи цилиндра
скорость падает, и капля под действием электрической силы осаждается на
цилиндре. Пунктирной линией показаны траектории движения отраженных
капель. Существует критический уrол e cr такой, что для любоrо f > О после
перезарядки в точке (R o e cr + Е) капля остается в зоне фильтрования и уходит
вверх против потока, а после перезарядки в точке (R c , e cr Е) покидает зону
и уходит вниз по потоку. Для траекторий отраженных капель при е> e cr
наблюдается значительное искривление траекторий. Таким образом, возле ceT
чатоrо электрода возникают два встречных потока разноименно заряженных
капель повышенной объемной концентрации. Эти капли MorYT интенсивно вза
имодействовать друr с друrом, что при водит к увеличению частоты столкнове
ния и укрупнению капель. Учет этоrо эффекта довольно сложен и требует
решения кинетическоrо уравнения для распределения капель не только по
размерам, но и по зарядам. Если этим эффектом пренебречь, то получаемый
коэффициент уноса (идеальный коэффициент) будет несколько завышен.
Используя результаты численноrо решения уравнений (13.73) и (13.74),
можно определить идеальный коэффициент уноса. Он зависит от трех безраз
мерных параметров; Ь, характеризующеrо соотношение между электрической и
rидродинамической силами, действующими на каплю, Re, характеризующеrо
346
V'"
о
Рис. 13.22. Траектории капель ВОЗJIе
электрода
I
J
I
I
t
/
/
./
I
I
/
I
х
к- К.
/ /
1,0 d==O, 1 1,0
0,5 /d O'2 0,5
О
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Re
О
0,05 0,10 0,15 0,20 d
К/
1,0
0,5
О
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 Ь
Рис. 13.23. Зависимость коэффициента
уиоса К; сетчатоrо электрода от пара
метров Re, d и Ь
структуру потока, и d, характеризующеrо сетчатый электрод. Зависимости К; от
этих параметров показаны на рис. 13.23.
Для увеличения сил, способстсвующих отстою капель эмульсии, сетчатые
электроды можно ставить под уrлом к потоку. В этом случае при заряде капель,
превышающем критическое значение, возникает составляющая электрической
силы, суммирующаяся с силой тяжести. Проведенные расчеты показали, что при
изменении уrла наклона сетчатых электродов от О до 45° коэффициент пропус
кания изменяется незначительно. Следовательно, расположение электродов под
уrлом к направлению потока увеличивает скорость седиментации капель, не
оказывая заметноrо влияния на фильтрационную характеристику сетчатоrо
электрода.
13.6. КОАЛЕСЦЕНЦИЯ КАПЕЛЬ С ПОЛНОСТЬЮ
ЗАТОРМОЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ ЭМУЛЬСИИ
Рассмотрим процесс коалесценции капель с ПОЛНОСтью заторможенной
поверхностью, коrда они ведут себя как твердые частицы, в развитом турбулент
ном течении малоконцентрированной эмульсии в предположении, что размеры
капель значительно меньше BHYTpeHHero масштаба турбулентности (R« Д-О),
капли не деформируются, а значит, и не дробятся. В этих условиях коэффи
циент взаимной диффузии капель с учетом их rидродинамическоrо взаимодей
347
ствия определяется выражением (11.70). Для определения частоты столкнове
ния капель радиусов R 1 и R 2 (R 1 < R 2 ) необходимо решить уравнение диффу
зии (11.36) с rраничными условиями (11.39). Поместим начало сферической
системы координат (Т, е, ф) в центр большой частицы радиуса R 1 . Если силы
взаимодействия капель обладают свойством сферической симметрии, то ypaBHe
ние (11.36) с условиями (11.39) принимает вид
...!...!!... ( r2 ( DT dn F N )) == О, (13.77)
r 2 dr dr h
n == О при r == R 1 + R 2 ; n == по при r 00, (13.78)
rде n численная концентрация капель радиуса R 2 ; D T коэффициент взаим
ной турбулентной диффузии; F сила взаимодействия капель (молекулярная,
электростатическая, электрическая); h коэффициент rидродинамическоrо co
противления движению капли.
Общее решение уравнения (13.77) имеет вид
n(т) == еии ( с! J C2 e и(p) d P ) ' g(r) == J C2 F(r) dr. (13.79)
pD T 2(p) h(r)DT(r)
r р
[раничные условия (13.78) позволяют найти постоянные С 1 и С 2 :
( J e g(z) J 1
С 1 == по; С 2 == ПО dz
z2DT(Z)
RI+ R 2
в итоrе получим
[ J g(z) / f g(z) J
n(т) == nоеиИ 1 е dz е dz .
z2DT(Z) z2DT(Z)
r RI + R2
Диффузионный поток капель 2 на выделенную каплю 1 определяется
Соотношением (11.40), которое в сферически симметричном случае равно
j==41t(Rl+R2>(DT ; fn} (13.81)
Подставляя в (13.81) выражение (13.80), найдем
j(Rl,R2)==41tn o ( J rЧ;;(r) exp ( J h(z Z;(z» )J 1
R, + R2 r
(13.80)
( 13.82)
Представим выражение для потока в виде
j(R j , R 2 ) == с .
( 13.83)
Здесь t == (v e lEo)I/2 характерный масштаб времени в турбулентном пото
ке с удельной диссипацией энерrии Ео, W == 41tRino/3 объемная KOHцeHTpa
ция капель сорта 2 в потоке, С параметр, значение KOToporo зависит от
принятой модели коаrуляции капель в турбулентном потоке.
Первый теоретический анализ коаrуляции частиц в турбулентном потоке
был сделан в работе [103], в которой турбулентный поток в окрестности Bыдe
ленной частицы мишени рассматривался как СДвиrовый со скоростью сдвиrа
348
у = (Ео / V е) 1/2. Скорость Koary ляции определялась по методу Смолуховскоrо
[ 104]. в результате получено значение С == 1,27. В дальнейшем этот подход
был развит в [105] с более детальным рассмотрением поля течения BOKpyr
частицы. Найденный поток имеет вид (13.83) со значением С == 1,23. Поправка
на искажение поля скоростей с учетом влияния малой частицы 2 сделана в
работе [106], в результате чеrо получена формула (13.83) с поправочным
множителем, зависящим от отношения радиусов частиц R 2 / R 1 . Как отмечено в
[107] полученные в указанных работах выражения для потока j справедливы
для турбулентных потоков с относительно небольшими значениями удельной
диссипации энерrии €o < 0,1 Дж/кr' с и большими значениями BHYTpeHHero
масштаба турбулентности, например для воды > 5 . 10 4 М И для воздуха
> 5 . 10 5 м. Поскольку €o из и U 3/4, то приведенные оrраничения pac
пространяются на потоки с относительно небольшими скоростями. В случае
более интенсивной турбулизации потока, приводящей к большим значениям €o
и меньшим значениям Д-О, при рассмотрении относительноrо движения частиц
требуется учитывать их инерцию. Подобный анализ проведен в работе [107],
и оценен минимальный размер капель, для которых справедлива предложенная
модель. Модель турбулентной коаrуляции частиц, основанная на диффузионном
механизме столкновения частиц, рассмотрена в [19]. Для размера частиц, MeHЬ
ших внутреннеrо масштаба турбулентности (R« Д-О), диффузионный поток имеет
вид (13.83) со значением С == 9,24. Следует также отметить работу [20], в KO
торой предложена модель коаrуляции частиц, основанная на понятии средней
длины свободноrо пробеrа по аналоrии с теорией столкновения молекул в раз
реженном rазе. В результате получено выражение для потока вида (13.83) с
коэффициентом С == 0,77.
Результаты экспериментов по исследованию коаryлЯЦИИ частиц в турбулент
ном потоке в трубе и в мешалке представлены в работах [20, 108]. В этих
работах показано, что из указанных теоретических моделей лучше всех описы
вает коаrуляцию частиц в турбулентном потоке в трубе модель, предложенная
в [20], в то время как диффузионная модель, предложенная в [19] дает сильно
завышенные значения скорости Koary ляции для турбу лентноrо потока как в
трубе, так и в мешалке.
Во всех упомянутых работах использовались простые модели взаимодей
ствия частиц без учета rидродинамических сил сопротивления, возникающих
при сближении частиц, особенно заметных при малых зазорах между ними,
а также без учета сил молекулярноrо взаимодействия, обеспечивающих сцепле
ние частиц на стадии их столкновения. Поэтому наблюдаемые в экспериментах
расхождения теоретических результатов с экспериментальными для rидрозолей
значительно больше, чем для аэрозолей.
Чтобы понять основную причину несоответствия теории турбулентной KO
аrуляции, основанной на диффузионном механизме столкновения, рассмотрим
последовательно взаимодействие капель с учетом rидродинамических, молеку
лярных, электростатических и электрических сил.
Начнем со случая, коrда поверхность капель полностью заторможена, т. е. их
можно рассматривать как твердые недеформированные частицы. Кроме Toro,
будем считать, что коалесценция происходит при совместном воздействии толь
ко турбулетных пул.ьсаций и молекулярных сил притяжения. Сила молекуляр
Horo притяжения двух сферических частиц определяется формулой (11. 100), из
которой следует, что эта сила определяется расстоянием между поверхностями
частиц и не зависит от их ориентации, т. е. является сферически симметричной
относительно центра частицы радиуса R 1 . Поскольку сила молекулярноrо при
349
тяжения проявляется только при малых зазорах Ll между частицами, то возьмем
ее асимптотическое выражение при Ll О
F A = rR 1 R2 1 ,
6(Rl + R2)З tJ?
rде Ll == (т R 1 R 2 ) I(R 1 + R 2 ) безразмерный зазор между поверхностями Ka
пель; r постоянная [амакера.
в качестве коэффициента rИДРОДIIнамическоrо сопротивления возьмем
приближенное выражение
h 6 R1R2 ( R1R2 1)
= пYePe + ,
R 1 + R 2 (R 1 + R 2 )Ц,
которое получается в результате объеДИ1iения дальней и ближней асимптотик
силы rидродинамическоrо взаимодействия капель при сближении их вдоль линии
центров (см. раздел 11.4).
Коэффициент взаимной турбу лен'J'НОЙ диффузии был получен ранее
(см. (11.70»:
D = (R + R )2( r R\ R 2 + R\Rl ) 2 ( Мо) 'У
т л'ъ 1 2 l R 1 + R 2 Rf + Щ R 1 R 2 h) .
Подставляя теперь соотношения (13.84) (13.86) в выражение (13.82),
получим
( 13.84)
( 13.85)
( 1З.8б)
'(R R ) 41tnOVe(R1 + R2)3
J 1 , 2 Л,2 <1'1 ,
О
( 13.87)
1 f (д + Дl)2 [ S f (дl + z)dz ]d A
<1'1 = ехр А Ll,
О д2(1 + д)2(д + Д2)2 z3(z + Д2)3
R 1 R 2 R 1 R2 u
rде Ll 1 = ; Ll 1 = ; параметр молукулярноrо взаимодеиствия
(R 1 + R2)2 Rr + Щ R 1 R2
SA = rл.ы/61tреvнR11 + R 2 )3.
ДЛЯ эмульсии типа вода в нефти этот параметр мал. Так, при r 10 20 Дж,
А.о 10 3 м, V e 5 . 10 5 м 2 /с, Ре 103 Kr 1м3 имеем SA 4 . 10 23(Rl + R2) 3. Ma
лость параметра SA позволяет найти аСIIмптотическое выражение <1'1. Для Ka
пель сравнимых размеров ОСновной вклад в интеrрал, входящий в выражение
для <1'11, дают значение Ll « 1, Ll 1 , Ll 2 . Раскладывая подынтеrральное выражение
в ряд по Ll и сохраняя rлавные члены разложения, получим
f д [ S f Д ldZ ]d
<1'11 = ехр А Ll.
д2 д 2 Z3Д3 2
О 2 О
Вычисляя интеrралы, получим
<I' 1 д /2 ( 1t ) 1/2
1 = 2s; .
Подставляя (13.89) в (13.87), найдем асимптотическое выражение для
диффузионноrо потока при S А « 1
. (R R ) 2.J2rt/ 2 (Rl + R2)9/2
} 1, 2 по.
л'о .jРе R 1 R 2 (Щ + Щ R1 R 2)
( 13.88)
( 13.89)
( 13.90)
350
Турбулентная коалесцеlЩИЯ капель была исследована в работах [22, 32]. В [22]
получили выражение для потока j(R I , R 2 ), считая большую частицу 1 закреплен
ной. Найденный поток не удовлетворяет условию симметрии по размерам частиц.
Для закрепленной частицы 1 выражение для потока, полученное в [22],
имеет вид
. ( R R ) == 2J2rJ/2(R I + R2)11/2 n
J1 1, 2 С 3 1/2 1/2 О.
л.о"РеRI R 1 R 2
Отношение потоков для случаев закрепленной и свободной частицы можно
оценить как j11 j (R? + Ri>RI 3 при R I ? R2' jllj 1 при R I »R 2 и j11 j 2 при
R I R 2 . Таким образом, приближение закрепленной частицы приводит к увели
чению потока или частоты столкновения самое большее в 2 раза.
Дрyrим следствием несимметрии потока является разрыв производной дjlдR 2
в точке R 1 == R 2 == R:
( д 2 ) == 9f o 2 7 / 2 R3/2; ( д 2 ) == 3fo27/2R3/2,
R2 = Rt О R2 = Rt + О
rде (о постоянная, не зависящая от размеров частиц.
В [32] рассмотрен случай движения обеих частиц, но взятый масштаб
пульсаций, способных сблизить частицы, не обладает симметрией. Асимметрия
потока относительно размеров частиц приводит к несимметрии ядра коалесцен
ции, что нарушает необходимое условие, которому должно удовлетворять ядро
кинетическоrо уравнения (11.1)
Основным недостатком модели турбулентной коаrуляции, предложенной
В. r. Левичем [19] и отверrаемой мнorими исследователями, является значи
тельное завышение частоты столкновений капель. Поэтому в настоящее время
наиболее распространенной моделью коаrуляции частиц в турбулентном потоке
является модель сдвиrовой коаrуляции [109]. Поскольку в модели В. r. Левича
не учитывалось rидродинамическое взаимодействие частиц, то оценим влияние
rидродинамическоrо взаимодействия частиц на частоту их столкновения.
Обозначим через jo диффузионный поток в случае HecTeCH HHoro движе .
ния частиц при h == ho == 6пpeveR. Поскольку в этом случае коалесценция воз
можна без учета молекулярных сил, то для простоты положим F A == О И SA == О.
Тоrда из (13.87) найдем
(13.91)
( )
. 4тtVe(R1 + R 2 )3 1 2 2 1!J.
Jo == л.ъ Д2 1 + (Д2 1)2 (Д2 1)3 n 2 ПО.
При R I ==R 2 поток (13.92) совпадает с потоком, полученным в [19].
Для оценки влияния rидродинамических сил составим отношение jolj, rде
в качестве jo возьмем выражение (13.92), а в качестве j выражение (13.90)
для одинаковых частиц R 1 == R 2 == R:
J == зJ2тtV е R3/2.
J r 1 / 2 л.о
( 13.92)
(13.93)
Для характерных для водонефтяных эмульсий значений параметров Ао
10 3 10 4 м, R 10 5 м, У е 10 5 м 2 I с, Ре 103 Kr 1м3, r 10 20 Дж имеем jolj
1 О 102. Это значит, что rидродинамическое сопротивление частиц уменьшает
частоту их столкновения на 1 2 порядка, что соrласуется с имеющимися в
литературе экспериментальными данными и устраняет основное противоречие
в модели турбулентной коaryляции. Влияние rидродинамическоrо взаимодействия
351
на величину диффузионноrо потока уменьшается с уменьшением размера частиц.
При R 10 8 М отношение jo/j 1 и при R 10 8 М rидродинамическое взаимодей
ствие частиц можно вообще не учитывать. Заметим, что для таких размеров частиц
радиус действия молекулярных сил становится больше размеров самих частиц.
Для броуновской диффузии маленьких частиц влияние rидродинамическоrо
взаимодействия на частоту столкновения было исследовано в работах [28, 29],
в которых также отмечено уменьшение в 1 ,5 2 раза частоты столкновения. Это
уменьшение не такое сильное, как в случае турбулентной коатуляции. Столь
существенная разница в степени влияния rидродинамическоrо взаимодействия на
частоту столкновения частиц в турбулентном потоке и при броуновском движе
нии объясняется, во первых, разницей в размерах частиц (характерный размер
частиц, участвующий в броуновском движении, HaMHoro меньше размера частиц,
характерных при турбулентном движении эмульсий), а BO BTOpЫX различным
влиянием rидродинамических сил (коэффициент броуновской диффузии обратно
пропорционален первой степени коэффициента rидродинамическоrо сопротивле
ния h, в то время как коэффициент турбулентной диффузии второй степени М.
Асимптотическое выражение (13.93) для диффузионноrо потока rодится для
капель не сильно различающихся по размерам, поскольку при k = R 2 / R I О
даже при малых значениях SA в подынтеrpальных выражениях (13.87) нельзя
пренебречь величиной /J. по сравнению с /J. 1 и /J. 2 . При k О пренебрежем в подын
теrpальных выражениях величинами /J. 1 и /J. 2 по сравнению с /J.. В итоre получим
,' = 1 ex+s, 1 : Jd6
( 13.94)
После интеrрирования найдем
1 З I / з r(4/З)л.ъ
<1>1 sY3v e (R I + R 2 )3 '
( 13.95)
rде r(X) rамма функция.
Возвращаясь теперь к (13.87), получим следующее асимптотическое Bыpa
жение для диффузионноrо потока маленьких частиц на большую (R 2 « R 1 ):
j(R I , R 2 ) =
<1>1
10-1
10-4
100
352
101
102
103 k. 1
2 4 / 3 п 2 ( rVe ) 1/3
= 3[(4/3) (R 1 + R 2 ) 1tРел. по.
( 13.96)
Зависимость <1>1 от отношения
радиусов частиц k = R 2 / R 1 дЛЯ
различных значений параметра MO
лекулярноrо взаимодействия SA,
полученная в резу льтате числен
Horo интеrрирования выражения
(13.87), представлена на рис. 13.24.
Пунктиром показана асимптотика
(13.95) для R 2 « R 1 .
Рис. 13.24. Зависимость ер! от отпоmе
пия радиусов капель k и параметра
молекуляриоrо взаимодействия SA
Определим теперь ядро коалесценции K(V, 00). При диффузионном Mexa
низме столкновения капель ядро коалесценции равно диффузионному потоку
частиц радиуса R 2 при их единичной концентрации на частицу радиуса R 1 .
Используя выражения (13.93) и (13.96) для потоков близких и сильно разли
чающихся по размерам частиц, получим
( ) J2r1/2(V1/3 + rol/3)9/2(Vro) 1/6
кр V,oo = при V 00,
ло '/ЗРе1t (V2/3 + 002/3 V I / 3 ro1/ 3 )
KO(V 00) = 1 (V1/3 + ОО1/3)2 ( ТУе ) 1/3 при V» 00.
2' З1/зr(4/З) Релt
Сшивку полученных асимптотических выражений можно осуществить с
помощью весовой функции a=4Voo/(V+00)2 [1]:
КО (V, 00) = аКр (V, 00) + (1 a)K (V, (О). (13.99)
Ядро вида (13.99) неудобно для расчетов, поэтому заменим ero аппрокси
мирующим выражением
KO(V,OO) = 16[r /31tРел'о]1/2(V1/ 3 оо1/6 + VI/6oo1l3).
( 13.97)
( 13.98)
(13.100)
13.7. КОАЛЕСЦЕНЦИЯ КАПЕЛЬ С ПОДВИЖНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ ЭМУЛЬСИИ
Рассмотрим эмульсию, состоящую из сплошной фазы вязкой жидкости
плотностью Ре и вязкостью l1е и дисперсной фазы различных сферических
капель друrой жидкости плотностью Р, и вязкостью 11,. Будем предполаrать, что
капли не деформируются в процессе сближения и остаются сферическими.
Следует заметить, что сближение капель при малых зазорах () между их по
верхностями приводит к увеличению силы вязкоrо трения при выдавливания
TOHKoro слоя внешней жидкости, что может привести к деформированию Ka
пель. Однако если модифицированное капиллярное число
С !!euR1R2 1
а = r(RI + R2)Б « , (13.101)
rде L коэффициент поверхностноrо натяжения капли; u скорость сближе
ния капель, то деформация капель мала и ею можно пренебречь.
При () '""7 О условие (13.101) может нарушиться, однако при этом становит
ся существенной сила молекулярноrо притяжения, которая обеспечивает коалес
ценцию капель на конечной стадии. Поэтому возможная деформация капли
может быть заметной только на конечной стадии сближения и несколько замеk
лит коалесценцию, но не повлияет существенно на частоту столкновения капель.
Сделаюrые предположения позволяют рассматривать процесс коалесцен
ции капель с подвижной поверхностью так же, как и коалесценцию капель с
заторможенной поверхностью. Основное отличие от случая, paccMoTpeHHoro в
разделе 13.6, состоит в виде коэффициента rидродинамическоrо сопротивления.
Если капли находятся далеко друт от друта, то коэффициент rидродинамиче
cKoro сопротивления h(O) при относительном движении капли определяется по
формуле (11.71), в которой каждый из коэффициентов h 1 и h 2 определяется в
соответствии с формулой Адамара Рыбчинскоrо
h(O)h(O)
h(O) = "1 "2 = 6л е R1R2 2 + З!! .
(O) + h!;,0) 11 RI +R2 3+ зр:
(13.102)
23 1461
353
При малых величинах зазора о ме,кду каплями имеем следующее асимп
тотическое выражение [см. (11.88)]:
h == 6п ( RjR2 ) 2 {(т) . ( (т) == 1 + 0,402т .
6 11. Rj + R2 /)' 1 + 1,711т + 0,461т2 '
1 ( RjR2 ) 1/2
т == -= ( ) ; о == l' R I R2'
1.1 Rj + R2 /)
rде введен безразмерный параметр jI:;: Ili/Il.. Случай iI 00 соответствует
каплям с полностью заторможенной поверхностью, а jI == о rазовым пу
зырькам.
Возьмем в качестве коэффициента rидродинамическоrо сопротивления
выражение
( 13.103)
h == hO [ 1 + 3+3 ((т) ]
R j +R2 2+3 /) ,
(13.104)
правильно отражающее поведение h прfl больших и малых значениях зазора
между каплями.
К ффvш,V\ Ю 'У ))() J\\ 'ПЮv. дV\ффу У>V\ & ,<;:.'Л 'ъ 'bV\ДO'c (B. }, v,,))V\ 'Ъъ\'Ъ 'д'C
KOToporo предполаrалось, что размер к,tпель мал по сравнению с внутренним
масштабом турбулентности R« .
Будем учитывать силы молекулярJ-tоrо и электростатическоrо взаимодей
ствия капель (см. раздел 11.5). Суммарную силу этих взаимодействий можно
представить в виде
2Т f ( ) EXRI<P
F==FA+FR== АФ Р + fR'
3Rj 2
rде {А и fR безразмерные силы молекуJIярноrо и электростатическоrо взаимо
действия,
( 13.105)
{ А == { s [8k (1 + k)2 (S2 4)] +
(k + 1) (s2 4)(1 + k)2
+ s(1+k)2 [8k-1'(1+k)2S2 4(1 k)2] } ;
(s2(1 + k)2 4(1 k)2)
f R == [2a (1 + (2)e 0].
(k + 1) 1 e 20
Множитель Ф(Р) характеризует электромаrнитное запаздывание молеку
лярноrо взаимодействия:
{ 1+1,I 77р при р:::; 0,57;
Ф(р) == 2,45 2,17 0,59
60р + 180р2 420р3 при Р > 0,57.
Здесь введены следующие параметры: r постоянная raMaKepa; е ди
электрическая проницаемость внешней жидкости; Х обратный дебаевский радиус,
х== 1/ЛD; л.D толщинадвойноrо слоя [см. (11.98)]; a==<P2/<\>j; <\>! и<Р2 потенциа
лыI поверхностей капель; k == R 2 / R I отношение радиусов капель; s == 21' / (R I + R 2 )
безразмерное расстояние между центрамИ капель (безразмерный зазор между
каплями А == s 2); а == O,SXRj(1 + k)(s 2); р == 2п(,. R j R 2 )л.L; л.L лондонов
ская длина волны.
354
Подставляя выражения для h, D T И F в уравнение (13.82) для диффу
зионноrо потока капель сорта 2 на каплю сорта 1, получаем следующее COOT
ношение для безразмерноrо потока:
2).2 .
1= 01 = (1+k)3<\>1; (13.106)
1tV eR ? п20
'1',' = J ":: :)' ехр [ «; : p) 1 (: X;)' ( s, Ф(р) (, (х) + S " {. (х)) dx ] ds
Здесь введены следующие безразмерные параметры:
S 2П.ъ
А ЗR3 2 параметр молекулярноrо взаимодействия;
1 1tV .Р.
S Е<pj1лъ
R параметр электростатическоrо взаимодействия;
3Rf1tV p.
't = R I X = отношение радиуса капли к толщине двойноrо слоя BOKpyr
капли ('t» 1);
I!; фф u u
II = I!. отношение коэ ициентов вязкости внутреннеи и внешнеи жид
костей;
R1 2(1 k)2
p=y(1+k)(s 2); y=п ; = .
ЛL 1 + k 2 k
Для определения потока удобно представить выражение (13.106) в виде
двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
dfi (1 + )h(x) r ]
dx = k(2+3 )(х )2 lSАФ(р)fА(Х)+SR'tfR(Х);
df2 h2(x)
dx х(х 13)2 ехр[!; (х)],
j; (00) = (2(ОО) = о, (2 < х < 00).
(13.107)
Решая систему уравнений (13.107), найдем (2(2), которая в соответствии с
(13.106) равна искомому потоку или частоте коалесценции:
,= М2). (13.108)
Система уравнений (13.107) решал ась численно. Ниже излаrаются OCHOB
ные результаты расчетов.
Частота коалесценции , зависит от безразмерных параметров k, jI, SA, SR, 't,
У и а. Параметр k характеризует относительный размер взаимодействующих Ka
пель; jI относительную вязкость капель и окружающей их жидкости; SA И SR
силы молекулярноrо притяжения и электростатическоrо отталкивания капель;
't относительную толщину ДБойноrо электрическоrо слоя, зависящую, в чаcrности,
от концентрации электролита в окружающей капли жидкости; у электромar
нитное запаздьmание молеку лярноrо взаимодействия; а относительный потенциал
поверхности взаимодействующих капель. Оценим значения этих параметров. Для
Пfдрозолей постоянная raмaкepa имеет порядок r 10 20 Дж. В качестве вязкости
и плотности внешней жидкости возьмем У. 10 5 10 м 2 I с, Ре 1ОЗ кr 1м3. Осталь
ные параметры имеют порядок Х 107 108 M 1, <\>1 20 мВ, Л L 10 3 А, 'л<> 10 4 м.
W
Torдa для капель, радиус которых изменяется от 1 до 100 мкм, имеем SA 10 8
10 2, SR 10 3 102 м, 't 10 104, у? 3. Неопределенным остается значение
параметра а, поскольку в настоящее время отсутствуют данные, позволяющие
определять зависимость потенциалов поверхностей капель от их размеров, от Х
и свойств жидкостей. Практически во всех публикациях рассматривается слу
чай а == 1, поэтому основное внимание уделим этому случаю.
В зависимости от значений указанных параметров можно различить режи
мы быстрой и медленной коалесценции, или коаrуляции, как обычно принято
rоворить. Рассмотрим их последовательно.
Коаryляция капель при наличии только молекулярной силы притяжения Р А
называется быстрой. В наших обозначениях это соответствует значению парамет
ра SR == О. Соответствующий диффузионный поток обозначим через 'А' Влияние
rидродинамических и молекулярных сил на частоту коалесценци можно просле
дить, сравнивая поток 'А с потоком ,О без учета этих сил взаимодействия. Этот
поток можно получить из (13.82), если положить F == О, h == ho и D T == D тo :
'0== 2(1+k)3[ 2 ) +%ln(1 %)T (13.109)
Анализ выражения (13.109) показывает, что наибольшей частотой коалес
ценции обладают капли одинаковоrо размера, причем частота столкновения Ka
пель одинаковоrо размера на два порядка больше частоты столкновения капель
с отношением радиусов k == 0,1.
Учет сил отталкивания приводит к замедлению процесса коaryляции, поэтому
такой процесс называется медленной коaryляцией. По аналоrии с теорией броунов
ской коaryляции введем фактор устойчивости дисперсной системы при тур6улент
ной коаryляции, равный отношению частот коaryляции в отсутствие силы электро
статическоrо отталкивания (F R == О) к частоте коаryЛЯЦии с учетом этой силы:
f=='A/" (13.110)
В случае быстрой Koary ляции имеем f == 1, а при медленной Koary ляции
f> 1.
Заметим, что параметр С в
формуле (13.83)
3
С==-В'А'
выражается соотношением
(13.111)
откуда следует, что в отличие от простейших моделей коаrуляции, он не явля
ется постоянной величиной, а зависит от k, jI, Sл, У и а.
Перейдем теперь к анализу результатов расчета.
Быстрая Koary ляция
Рассмотрим сначала коалесценцию капель под действием силы молекуляр
Horo притяжения в отсутствие электростатической силы отталкивания (SR == О).
Зависимость частоты коалесценции 1л от отношения радиусов капель k для
различных значений отношения вязкостей жидкостей jI без учета электромаr
нитноrо запаздывания (у== О) представлена на рис. 13.25. Частота коалесцен
ции растет с увеличением относительноrо размера капель и с уменьшением
относительной вязкости капель. Это объясняется снижением вязкоrо сопротив
ления TOHKoro слоя внешней жидкости, разделяющеrо сближающиеся капли,
с уменьшением jI. На этом же рисунке пункт ир ной линией показана зависи
мость ,О от k, рассчитанная по формуле (13.109) без учета rидродинамиче
cKoro сопротивления и молекулярной силы. Влияние rидродинамическоrо co
356
'А
200
150
100
50
О
'А 110
1,2 l
1,0
0,8
0,6
0,4
10 О 0,2
102
0,5 1,0 k О 0,5
Рис. 13.25. Зависимость частоты коалесцеи
ции капель 1 А от их отиосительноrо размера k
и отиоmеиия вязкостей виутреиией и виеmией
жидкостей 11:
SA 10 2; SR о; y о; 10 частота коалесцен
ции без учета rидродинамическоrо и молеку ляр
Horo взаимодействий
10'2
10.1
100
102
1,0 k
Рис. 13.26. Зависимость 1А/1. от k и 11.
Обозиачения см. иа рис. 13.25
противления и молекулярноrо взаимодействия капель на частоту коалесценции
показано на рис. 13.26, на котором показана зависимость отношения потоков
'AI'o от k и j:i. Несмотря на rидродинамическое сопротивление капель, при
относительно больших значениях параметра молеку лярноrо взаимодействия
SA 10 2, малых значениях k 5, 0,2 и j:i 5, 0,1 возможны случаи, коrда 'А> ,О,
Влияние параметра SA на частоту коалесценции иллюстрируется рис. 13.27.
Следует отметить, что с увеличением k чувствительность частоты коалес
ценции к ИЗменению SA ослабевает. Так, для капель одинаковоrо радиуса (k == 1)
заметное отличие значений 'А дЛЯ SA == 10 2 И SA == 10 6 наблюдается лишь при
j:i 1. Аналоrичное влияние на 'А оказывает электромаrнитное запаздывание
молекулярноrо взаимодействия (рис. 13.28). Уменьшение SA и увеличение k
ослабляют влияние "( на частоту коалесценции. Параметр С, введенный COOTHO
шением (13.111), оказывается равным 1,05 для значений k == 1, j:i == 102, SA == 10 2
И "(==0.
Медленная коаrуляцИЯ
Рассмотрим теперь процесс коалесценции с учетом молекулярной и элект
ростатической сил. В рассматриваемом случае наибольший интерес представля
ет зависимость фактора устойчивости f от параметров задачи k, j:i, SA, SR, 't
и а, а также определение критерия перехода медленной коаryляции в быструю.
В разделе 11.5 было рассмотрено условие переход а медленной Koary ляции в
быструю в рамках теории ДЛФО одинаковых коллоидных частиц без учета
rидродинамическоrо взаимодействия
О dVл dVR О
VA+VR . +
, dr dr '
(13.112)
357
'А 'А
2,0 2,0
1,5 1,5
1,0 1,0
0,5 0,5
о
10-2 10 1 100 101 102 f.I
о
10 2 10.1 100 101 102 il
Рис. 13.27. ВЛИJlИие параметра молекуляриоrо
взаимодействия S А иа частоту коалесцепции
капель при S R .. о; 'У" о; k.. 0,1
Рис. 13.28. Влияние параметра электромаr
иитпоrо запаздывания молекуляриоrо взаимо
действия 'у иа частоту коалесцеиции капель
при SA .. 10 2; SR" о; k.. 0,1
rде V A и V R потенциалы молекулярноrо и электростатическоrо взаимодей
ствий капель [см. (11.93) и (11.99)].
Условие (13. 112) соответствует точке максимума на кривой потенциальной
энерrии взаимодействия частиц там, rде она касается оси абсцисс. Если ввести
безразмерные потенциалы VA и VR соотношениями
r ( ) ER1'1'r ( )
VA= 6VA S ; VR= VR S ,
(13.113)
то условие (13.112) можно переписать в виде
SA vA
'tVAfR 2VRfA = о; SR 0,5 VR = о,
( 13.114)
из KOToporo следует, что переход от медленной Koary ляции к быстрой зависит
от двух параметров: 't и 5 R /5 A = 3R 1 f.<i>r /2С Линия, разделяющая плоскость
(5 R/ 5 А, 't) на области медленной f> 1 (над кривой) и быстрой f = 1 (под
кривой) коаrуляции представляет собой прямую (рис. 13.29, пунктирная ли
ния).
В работе [32] показано, что учет rидродинамическоrо взаимодействия при
турбулентной коаrуляции одинаковых твердых частиц приводит примерно к
такому же результату. Метод, с помощью KOToporo получен этот результат, co
стоял в асимптотической оценке интеrрала типа (13.106) путем исследования
поведения подынтеrральной функции в окрестности 5 = 2. Поскольку для твep
дых частиц при s 2 коэффициент rидродинамической силы ведет себя как
h(s) 1/(5 2), то основной вклад в значение интеrpала дает значение подын
теrральной функции в области s 2. Однако для капель с подвижной повер
хностью при 5 2 имеем h(s) 1 /(s 2)1/2, и подынтеrральная функция в
окрестности 5 = 2 не дает основной вклад в значение интеrрала. Поэтому зна
чение интеrрала приходится определять численно и находить значения пара
метров 5 A /5 R и 't, при которых f станет равным 1 (см. рис. 13.29).
На рис. 13.30 13.33 по казаны зависимости фактора устойчивости f от
параметров t, jI, 5 R И 5л- Заметим, что в отличие от броуновской коаrуляции
358
SR/SA
500
400
300
200
100
О 5
=10 2
100
10 1
10.2
[89]
10
15
t'10 2
Рис. 13.29. rраница областей быстрой и Meд
Леииой коаryляции
191
60
k=0,1
1
24
16
8
2
3 19t
Рис. 13.30. Зависимость фактора устойчиво
сти от t и JI дЛЯ S,4 10 2; k 1; SR 2; 'Y о;
a 1
191
20
12
4
О
2 3 19t 1 2
40
20
Рис. 13.31. ЗаВИСИМОСТЬ фактора устойчиво
сти ОТ t и k для S,4 10 2; SR 2; JI 1()2;
'у о; а 1
S =10
А
з 4 19t
Рис. 13.32. Зависимость фактора устойчиво
сти от t и S,4 для S,4 10 2; k 1; JI 102;
'у о; а 1
зависимость 1( 't) носит немонотонный характер. Характерной чертой является
наличие маl<симума, положение KOToporo не зависит от k и jI. Максимальное
значение f смещается в область больших значений 't с увеличением параметра
электростаrnческоrо взаимодействия SR и уменьшением параметра молекулярноrо
взаимодействия SA' Наличие максимума объясняется взаимным влиянием rид
359
родинамических, молекулярных и электростатических сил на характер сближения
капель при малых зазорах между поверхностями. В то время как rидродина
мическая сила монотонно возрастает с уменьшением зазора, суммарная сила
молекулярноrо и электростатическоrо взаимодействий изменяется немонотонно
как по s, так и по ". Максимальное значение 1 достиrается при 't(s 2) == 1,28.
Экспериментальные исследования турбулентной коаrуляции частиц, проведен
ные в [20], не подтверждают немонотонный характер зависимости 1( ")' Чтобы
понять это несоответствие, необходимо определить, при каких значениях 't
про водился эксперимент. В [20] приводится зависимость фактора устойчивости
не от ", а от объемной концентрации добавляемоrо в поток воды антикоаrулян
та электролита. Параметр 't зависит следующим образом [52] от концентрации
электролита С (моль/л):
't = 3 . 107 zRJё,
(13.115)
rде z валентность антикоаrулянта, R радиус частиц в см.
В эксперименте в качестве антикоaryлянта использовали смесь 1 моль I л НС]
и 5,6 моль/ л CaCl 2 , средний размер частиц составлял 0,6 мкм, объемная KOH
центрация антикоатулянта изменял ась от 1 до 10 %. Приведенные данные co
ответствуют изменению 't в интервале от 850 до 2700. Оценим, далее, пара
метры 5 А и 5 R . Эксперимент проводился в трубе диаметром d == 2,54 . 10 2 м,
средний объемный расход жидкости составлял Q== 1,14' 10 3 м 3 /с. Для воды
У е == 10 6 м 2 /с, Ре == 103 Kr 1м3, е== 80ео. По этим значениям находим Ао == 7 . 10 5 м.
Для частиц латекса, используемых в эксперименте, r == 10 21 Дж И 5 А == 5 . 10 3.
Для определения параметра 5 R необходимо знать поверхностный потенциал
частиц. По экспериментальной зависимости 1( <!>D)' rде <!>D объемная KOHцeHT
рация антикоаrу лянта, находится единственное значение <рl == 13мВ (5 R == 1,7),
при котором теоретическая зависимость дает наилучшее приближение к экспе
риментальной (рис. 13.34).
Следует заметить, что рассматриваемый диапазон изменения 't при 5 А ==
== 5. 1(J3 И 5 R == 1,7 приходится на область убывания функции 1('t). Максималь
ное значение 1 на теоретической кривой реализуется при 't 400, соответствую
щее концентрации электролита <!>D 0,005. Эксперименты проводились при KOH
191'
20
12
4
О
1 2
s 10.4
А
з
4 19t
Рис. 13.33. Зависимость фактора устойчиво
сти от t и SA для SR 2; k 1; JI 10'; 'у о;
a 1
360
l'
16
12
8
4
о
10 2
10.1
<i>D
Рис. 13.34. Зависимость фактора устойчиво
сти от коицеитрации аитикоаryляита:
1 эксперимент [33]; 2 расчет при SA 5. 1(J3;
SR 1,7; k 1; fI 103; 'Y o; a 1
центрациях <PD 0,01, поэтому наиболее интересную область кривой 1( 't) нельзя
сравнить с экспериментом. Кроме Toro, малый размер частиц, используемых в
эксперименте, заставляет усомниться в преимущественной турбулентной Koary
ляции частиц, поскольку при столь малых размерах частиц броуновская кошу
ляция может превалировать или быть, по крайней мере, ОДНоrо порядка с TYP
бу летной Koary ляцией [19].
Диффузионная модель турбулентной коarуляции применима к OДHOpOДHO
му И изотропному турбулентному потоку. При развитом турбулентном потоке
эмульсии в трубе течение в ядре потока можно рассматривать как изотропное.
Однако турбулентное движение жидкости в мешалке (турбулизаторе) не явля
еl'СЯ однородным и изотропным. Поэтому применимость диффузионной модели
к процессу коаryляции в мешалке вызывает сомнения.
Сравним скорость Koary ляции в мешалке по диффузионной модели со
скоростью коаrуляции, найденной в [109] по модели сдвиrовой коаrуляции и
подтвержденной результатами экспериментов [108]. На рис. 13.35 по оси op
динат отложено а.т отношение частоты коаrуляции твердых частиц одинако
Boro размера, найденной путем определения относительных траекторий частиц
в сдвиrовом потоке со средней скоростью сдвиrа у = (4E o /1S1tV e )I/2 С учетом
молекулярноrо и rидродинамическоrо взаимодействия частиц, к частоте Koary
ляции, найденной в [105] по простой модели сдвиrовой коаrуляции без учета
молекулярных и rидродинамических сил. По оси абсцисс отложен безразмер
ный параметр N T = 61tl1eRfy/r. Для модели турбулентной коаryляции с учетом
Вt3еденных ранее безразмерных параметров получим SA= 1,16/N T , a.T=0,1S1.
Сравнение значений а.т, рассчитанных по моделям сдвиrовой и турбулентной
коаrуляции, дает заметную поrрешность при определении скорости коаryляции
в мешалке, особенно в областях малых и больших значений параметра молеку
лярноrо взаимодействия частиц.
В заключение рассмотрим случай взаимодействия капель, обладающих
различными вязкостями 111 и 112, которые отличаются от вязкости окружающей
их жидкости. Поступим так же, как в рассмотренном выше случае взаимодей
ствия капель одинаковой внутренней вязкости, но изменим выражение для
коэффициента rидродинамическоrо сопротивления h. Для этоrо рассмотрим две
капли сорта 1 и 2, которые под действием турбулентных пульсаций движутся
с абсолютными скоростями и1 и и2' В безынерционном приближении уравнения
движения капель имеют вид
F == u l h jj + u 2 h 12 == u 1 h 21 + U2h22. ( 13.116)
Введем коэффициент сопротив
ления капли 2 в движении относи
тельно друrой капли:
h == F /(и1 + и2)'
Torдa из (13.116) и
найдем
а. т
(13.117)
(13.117)
100
h h ll /122 h 1 2 h 21 ( )
hll+h22 hI2 f121 ' 13.118
10 1
Рпс. 13.35. Скорость коarуляции в м:еmалке:
1, 2 диффузионная и сдвиrовая модели
100
101
102
103
104
N T
361
При нестесненном движении, коrда капли находятся относительно далеко
друr от друrа,
h == h(O) == 6п R2(2 + 3iIt)(2 + 3iI2) (13.119)
11. (2 + 3iII )(3 + 3iI2) + k(2 + 3iI2)(3 + 3iI\)
Здесь введены обозначения iI2 == 112/11.. iI\ == 11\ /11..
Коэффициенты rидродинамическоrо сопротивления h;j зависят от относи
тельноrо расстояния между каплями s. В [43] решена задача р медленном
центральном движении двух капель различной вязкости в жидкости друrой
вязкости и определены hij в виде бесконечных рядов. Приближенное решение
аналоrичной задачи методом изображений получено в [46], в результате чеrо
определены hij в виде рядов по степеням отношений R\/r и R2/r, которые
можно рассматривать как асимптотические выражения коэффициентов h;j при
s» 2. Для малых значений зазора. между каплями при s ----7 2 асимПтотическое
выражение для h получено в [39] и имеет вид
h == h == 1t 2 kl/2(iI\ + iI2) + O[(s 2) И]. (13.120)
/) 16(1 + k)2(s 2)1/2
Для предельноrо случая, коrда одна из капель является твердой частицей
(iI\ == 00),
h == k + 91t 2 k1/ 2 iI2 +0[(s 2) \/2]. (13.121)
/) 2(1 + k)3(s 2) 64(1 + k)2(s 2)t/ 2
Асимптотические выражения (13.120) и (13.120 справедливы на расстоя
ниях s, удовлетворяющих соответственно неравенствам
o\/2/lnol« и 01/211по/« ,
тах (/1\/12) /12
rде 0==(1 + k)(s 2) /2k.
Для Toro чтобы избежать rромоздких вычислений, возьмем в качестве h
выражение
h == h(O) + ho,
( 13.122)
отражающее поведение h при s ----7 О И при s ----700. Как показывают расчеты,
приближенное выражение <13.122) удовлетворительно описывает поведение h
для значений О < k < 1 и 0:5 фр iI2) :5 1.
Вводя те же безразмерные переменные, что и ранее, получаем следующее
выражение для диффузионноrо потока капель сорта 2 на каплю 1:
21..2 .
3' == OJ :::: (1 + k)3q>\, 03.123)
1tV . 3n20
\ == f h2(s) ех ( 2 + 3iI\)(1 + iI2) + (2 + 3iI2)(1 + iI\) ><
q>\ s2(s )2 Р k(1 + k)(2 + 311\)(2 + 3112)
2
Х f ( SАФ(Р) (А (х) + SR't fR (Х»dX ) dS'
(х )2
s
На рис. 13.36 представлена зависиМОСть частоты коаryляции от вязкости
меньшей капли iI2 для различных значений вязкости большей капли iI\. По
скольку выражение (13.122) для h справедливо в области 0:5 ф\. iI!) :5 1 для
362
капель конечной вязкости и 0:5: 2:5: 1, 150
iIl = 00 при взаимодействии капли с
твердой частицей t то на rpафике про--
межуточная область показана при
ближенно пунктирной линией. YBe
личение вязкостей взаимодействую
щих капель приводит к уменьшению
частоты коалесценции, причем чем
меньше различаются капли по раз
мерам, тем более чувствительна час
тот а их коалесценции к изменению
внутренней вязкости капель.
Введем в рассмотрение пара
метр А, равный отношению частоты
коалесценции капель различной вязкости к частоте коалесценции капель оди
наковой вязкости. Этот параметр характеризует влияние различия вязкостей
капель на частоту их коалесценции, что иллюстрирует рис. 13.37.
Результаты, представленные на рис. 13.36 и 13.37, соответствуют быстрой
коалесценции (SR = О). При медленной коалесценции следует, как и раньше,
ввести фактор устойчивости 1, зависимость KOToporo от параметра t для капель
различной внутренней вязкости показана на рис. 13.38. Как и для капель
одинаковой вязкости, эта зависимость немонотонна и имеет максимум, который
с увеличением вязкости капель смещается в область больших значений t.
Рис. 13.36. Зависимость частоты коaryЛJI ,
ции капель от отиосительиой ВJlЗкости iIt
и iI2 ДЛJl k 1; S", 10 2; SR О 200
л
8
6
4
2
О
2 1
-
/'/' ,,-
/'/' /'-::..---
.... ./ /'/' /'
/' /'
./ '"
/'
./
...........
,.. .......
'-.............--.,..,.,..,
100
50
"-
"
,,-"-
........-::::........
::: -===-.
00
о
2
1
2
00 19 i:i2
1
о
Igf
30
"-
"- 10
......... .............. ......
О 1 00 19;12 О 100 300 500 700 't
Рис. 13.37. Зависимость А от iI2 И k ДЛJl
iIt 10 2; S", 10 2; SR О
Рис. 13.38. Зависимость фактора устойчиво
сти' ОТ 't и iIt дли iI2 1; k O.1; SR 2;
S", 10 2
363
Зависимость критическоrо значения t от SR/ SA так же, как и для капель с
одинаковой вязкостью, носит линейный характер. Влияние параметров SA и SR
на частоту коалесценции и фактор устойчивости носит тот же характер, что и
для капель с одинаковой вязкостью.
13.8. КОАЛЕСЦЕНЦИЯ ПРОВОДЯЩИХ КАПЕЛЬ ЭМУЛЬСИИ
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ В ПРИСУТСТВИИ
ВНЕШНЕrо ЭЛЕКТРИЧЕскоrо ПОЛЯ
Определим теперь частоту столкновения проводящих незаряженных сфе
рических капель в турбулентном потоке диэлектрической жидкости в присут
ствии однородноrо внешнеrо электрическоrо поля. Считаем, как и раньше, поток
развитым турбулентным, а размеры капель меньше BHyтpeHHero масштаба
турбулентности. Принимаем, что капли не деформируются, что возможно, если
напряженность внешнеrо электрическоrо поля Ео не превосходит критическоrо
значения Еcro а размер капель достачно мал. При этих условиях коэффициент
взаимной диффузии капель двух сортов 1 и 2 с учетом rидродинамическоrо
взаимодействия возьмем в виде 03.86), причем в качестве h и h(O) берем
выражения, соответствующие каплям с полностью заторможенной поверхностью
(13.85). Будем учитывать молекулярные и электрические силы взаимодействия
капель.
Рассмотрим относительное движение двух капель радиусом R I и R 2 под
действием rидродинамических, электрических и молекулярных сил. Введем сфе
рическую систему координат (r, е, Ф), связанную с центром большой капли 1,
причем уrол е отсчитывается от направления вектора напряженности внешнеrо
электрическоrо поля Б о . Выражение (12.46) соответствует радиальной электри
ческой силе, действующей на каплю 2. Если обе капли не заряженыI' то ql = q2 = О И
Р 2Т = ЕЕБRIR2( COs 2 е + {2 sin 2 е). (13.124)
Заметим, что сила Р 2Т представлена в форме, симметричной относительно pa
диусов капель. При этом коэффициенты {; следующим образом выражаются через
введенные в 02.46) коэффициенты (;:
h(k, М = kf;[k М1 + k I)], i = 1, 2; 03.125)
R2 r R I R2
k= ; =
R I R I + R 2
Суммарная сила, действующая на каплю, равна сумме молекулярной и
электрической сил:
F 2 (R I , R2' r, е) = F 2A (R I , R2' r) + Р 2т (Е о , R!, R2' r, е). 03.126)
Силу молекулярноrо взаимодействия берем в приближенном виде (13.84)
rR1R2 1
Р 2А = 6(Rl + R2)3 t} (13.127)
В отличие от paccMoTpeHHoro в разделе 13.6 случая коалесценции капель
в отсутствие электрическоrо поля, коrда сила взаимодействия капель обладала
сферической симметрией, в рассматриваемом случае присутствие электрическоrо
поля приводит к тому, что сила зависит от ориентации пары капель относитель
но вектора напряженности Б о и поэтому обладает не сферической, а осевой
симметрией. В итоrе в уравнении диффузии (11.36) появляется частная про
364
изводная BToporo порядка по 8, что не только осложняет решение, но и приво
дит К возможности вращения пары капель относительно поля в условиях TYP
булентноrо движения жидкости. В связи с этим попытаемся оценить диффу
зионный поток, используя следующий прием [22].
Определим сначала диффузионный поток jo(O) в единице телесноrо yrла,
предполarая, что сила взаимодействия капель является чисто радиальной. Затем
проинтеrpируем полученное выражение по поверхности сферы радиуса коarуляции
R == R\ + R2' учитывая зависимость силы взаимодействия от yrла ориентации пары
относительно электрическоrо поля 8. Определенный таким образом поток можно
рассматривать как первое приближение в оценке cyммapHoro диффузионноro потока j
капель радиусом R 2 на каплю радиусом R\. Проведя указанные действия, найдем
jo(O) =: i (R\ + R 2 )<I>\(e) п o,
о
1</2
j == 41t(R\ +R)2 f jo(0)sin8d8,
о
(13.128)
rде 11{) численная концентрация капель 2, а <1>\(8) определяется аналоrично (13.87).
Учитывая выражения (13.85) для h, (13.86) для DT' (13.126) для силы
взаимодействия капель и вводя те же безразмерные переменные, то и в разде
ле 13.6, получаем
. 4 (R\ + R2)3v e
J пп20 л. 2 <1'1'
О
( 13.129)
1</2
<1', == f <I>,(8)sin8 d8,
о
( h (8» \ f (А+А\)2 [ S f (A\+z)dz
<1', == ехр А
&(1 + М2(А + А2)2 z3(z + А2)3
о 4
S E f (А\ + z)(A cos 2 е + 12 sш 2 е) dZ ] '
z(z + А2)2
4
А R,R2
Ll\
(R\ + R2)2
R\R2 . S rл.ъ . S E == f.Eбл.ъ
2 2 2 ,A 2 ' 2
R\ + R 2 R\R2 Зб1tРеVе(R\ + R2)3 б1tРеVе'
Возможен друrой способ оценки диффузионноrо потока j, основанный на
естественном предположении, что за время сближения двух капель ориентация
пары относительно электрическоrо поля MHoroKpaTHo изменяется. Это приведет
к размыт ию профиля концентрации п2, и определить ero можно путем ycpeд
нения по уrлу 8. Подставим в (13.82) выражения (13.126) и (13.124) для силы,
действующей на каплю 2, усредненной по поверхности сферы:
1<
F 2 (R\, R2' ) =: J F 2 (R j , R2' ' 8) sin8d8 ==
о
( 13.130)
== F 2A (R j , R2' r)+ F 2r (E o , R\, R2' r, 8),
1 h h
Р 2т (Е о , R\, R2' r, 8) =: зЕЕБR\R2(ft + 2f2)'
365
Выражение для потока j в этом случае имеет вид (13.129), но изменится
формула для <1'1:
I f ( + I)2 [ S f ( I + z)dz
<1'1 := .12(1 + }2( + 2)2 ехр А z3(z + 2)3
О 4
SE f ( I + z)(j" + 212) dZ ] . (13.131)
3z (z + 2}2
4
Численные расчеты показали, что потоки, даваемые формулой (13.129), для
двух рассмотренных методов, приводящих к разным выражениям для <1'1' дают
максимальное расхождение (5 %) в широком диапазоне изменения параметров SA
и SE' Поскольку (13.131) требует меньшеrо объема вычислений, то расчеты
проводились по ЭТОй формуле. На рис. 13.39 приведены зависимости <1'1 от
отношения радиусов капель k для различных значений параметров молекуляр
Horo SA и электрическоrо S Е взаимодействия. Из приведенных зависимостей
следует, что с увеличением S А и С уменьшением S Е влияние электрическоrо
поля на частоту столкновения уменьшается. Поскольку S Е не зависит от раз
меров капель, а SA увеличивается с уменьшением размеров, то с уменьшением
радиусов капель влияние электрическоrо поля на частоту столкновения капель
в турбулентном потоке снижается.
Влияние электрическоrо поля на частоту столкновения капель характери
зует отношение диффузионных потоков при наличии поля и без поля:
= j(SA. SE) .
j(SA, О)
Зависимости от SA при SE:' 1 показаны на рис. 13.40.
Для характерных значений параметров водонефтяных эмульсий в турбу
лентном потоке е 2ео, Ео 0,9 кВ/см, V. 10 5 м 2 /с, А.о 10 3 м, Р 900 Kr /м 3 ,
r 10 20 Дж величина SE 1, а для одинаковых капель радиусом R 10 5 М:, 10 мкм
параметр SA 10 7. При этих значениях параметров имеем 30. Это означает,
что в рассматриваемом случае наличие электрическоrо поля увеличивает час
тоту столкновения в 30 раз. Поскольку SA R 3, то рост радиуса капли влечет
за собой значительное повышение частоты коалесценции.
Однако несмотря на такое влияние, даже достаточно сильные электриче
ские поля не в состоянии полностью компенсировать влияние rидродинамиче
cKoro взаимодействия сближающихся капель на частоту их коалесценции в TYP
булентном потоке. Чтобы оценить влияние rидродинамическоrо взаимодействия,
введем, как в разделе 13.7, отношение потоков без учета и с учетом взаимодей
ствия
10 3
,= Ч'1
(13.132)
При SE 5 отношение '0/' 10, а при SE 1 имеем '0/' 50. Таким
образом, даже в достаточно сильных полях, обеспечивающих относительно
большое значение параметра электроrидродинамическоrо взаимодействия SE,
наличие rидродинамическоrо сопротивления при сближении капель с полностью
заторможенной поверхностью уменьшает частоту столкновения на порядок по
сравнению с невзаимодействующими каплями. Заметим, что в случае капель
с подвижной поверхностью роль rидродинамическоrо взаимодействия не такая
366
а
<Рl
100
SE==10
10 l
10 2
10 3
10
10 О
101
10 2 k l 10 О
101
10 2 k l
в
<Рl
10°
10 l
О
10 2
10 О
101
10 2 k l
б
<Рl
100
10 l
10 2
Рис. 13.39. 3авИСИ!lfOСТЬ ер\ ОТ k и SE дли
зиачеиий S",:
а 10 8; 6 10 ; в 10 .
Рис. 13.40. Зависимость от SA И k для
SE 1
102
k==1
0,1
0,05
0,02
сильная, поскольку при малых зазо
рах между каплями rидродинамиче
ское сопротивление растет не как 1 /
для твердых частиц, а как 1/ 1/2.
Обработка результатов числен
ных расчетов позволила аппроксими
ровать поток (13.129) следующим BЫ
ражением:
j == 0,241iS Е v е Л: r ?(Rl/3Щ/3 +
+R /3Щ/3)п20' (13.133)
В заключение определим выражение для ядра K(V, (0) кинетическоrо
уравнения (11.1). Поскольку величина диффузионноrо потока капель радиуса R 2
на каплю радиуса RI при единичной концентрации п20 == 1 имеет смысл ядра
кинетическоrо уравнения, то, заменяя в (13.133) радиусы на объемы, получим
K(V, (0) == 0,01еЩVёIРёl(VI/9r02/9 + 001/9V2/9)3. (13.134)
101
10 7
10 5
1 О 3 S
А
13.9. КИНЕТИКА КОАЛЕСЦЕНЦИИ КАПЕЛЬ ЭМУЛЬСИИ
В ТУРБУ ЛЕнmом ПОТОКЕ
Рассмотрим сначала динамику процесс а укрупнения капель с полностью
заторможенной поверхностью в отсутствии электрическоrо поля. Если капли не
заряжены, то ядро кинетическоrо уравнения дается соотношением (13.100):
K(V, (0) == ( ) 1/2 (VI/3001/6 + 001/3VI/6). (13.135)
31tРеЛ;о
Воспользуемся теперь методом моментов для решения кинетическоrо ypaB
нения коалесценции (11.1), тоrда из (11.15) с учетом выражения (13.135)
получим для нулевorо момента, имеющеrо смысл численной концентрации Ka
лель, следующее уравнение:
d; == 1 G[щ/з(t)Щ/6(t) + т j /6(t)тl/ з (t)] , (13.136)
rде G == [r /(31tРел. )]I/2.
В правую часть (13.136) входят дробные моменты. Для их определения
воспользуемся методом интерполяции дробных моментов через целые (см. раз
дел 11.1). Используя двухточечную схему интерполяции, выразим дробные MO
менты через два момента то и т! соrласно (11.20). В итоrе получим
driIQ == G тl/з(0)тI/6(0) 3/2 а) л 1/2(t) (13.137)
dt то (О) то Щ .
Здесь введены безразмерные моменты
л то(о л тl(t)
тои) == то(О) ; щ(t) == тj(O) ,
rде mk(O) значение k ro момента в начальный момент времени.
368
Поскольку рассматривается только процесс коалесценции, то объемная
концентрация капель со временем не изменяется и т\ (О = 1. Тоrда решение
уравнения (13.137) с начальным условием то (О) = 1 имеет вид
то (О = то(о = [ 1 + 8G т\/з(0)тl/6(0) t ] 2 (13.138)
то(о) mo(О)
Оценим начальные значения дробных моментов тоже по двухточечной
схеме интерполяции. Тоrда имеем
mr/з(О)mr/6(О):о: [mo(0)]З/2mf/2. (13.139)
Теперь из (13.138) и (13.139) найдем закон изменения со временем чис
ленной концентрации капель
тош:о: {1 + 8G[mo(0)]\/2m;/2t} 2 (13.140)
и среднеrо объема капель
V av (t) {1 8G [V, (О) ] \/2 } 2
Vav(O) moт + av m\t .
Здесь учтено, что Vav(O) = m\lmo(O).
Теперь можно оценить характерное время коалесценции, т. е. время, за
которое средний объем капель увеличится в е раз:
ТА (Je ;:i2(0) ( 31t л.ъ J/2. (13.142)
Пусть т\ = 0,01; Ао = 5 . 10 4 м; r = 10 20 Дж; Ре = 850 Kr 1м3; V av = 4 . 10 \S м З
(капли радиусом 10 мкм). Тоща характерное время укрупнения ТА 100 с.
Поскольку учет rИДРОДинамическоrо сопротивления уменьшает диффузионный
поток (для выбранных значений параметров) на два порядка (см. раздел 13.6)
по сравнению со случаем турбулентной коалесценции без учета rидродинами
ческоrо сопротивления, то во столько же раз увеличивается характерное время
коалесценции.
Рассмотрим теперь динамику укрупнения проводящих капель во внешнем
электрическом поле напряженности Ео при условии, что оно не превосходит
критическоrо значения, при котором происходит дробление сблизившихся Ka
пель. В этом случае ядро кинетическоrо уравнения определяется выражением
(13.134)
(13.141)
K(V, (О) = G\(V\/9r02/ 9 + (О\/9р/9)3,
( 13.143)
rде G\ = 0,01еЩv;;\р;;\.
В рассматриваемом случае уравнение для нулевоrо момента то принима
ет вид
dmo G т\/з(О) т2/3(0) + 3т4/9(0) mS/9(0) А ( ) А ( )
d't \ mo(О) mo t m. t .
Решение этоrо уравнения находится без труда:
mo(t) = тo(O)e Bт.
(13.144)
(13.145)
rде t = G\m\t;
в = тl/3(0)т2/З(0) + 3m 4 / 9 (0)m S / 9 (0) .
mo(О)
24 1461
369
Теперь можно, как и в рассмотренном выше случае, оценить характерное
время коалесценции:
TE = 2511.
G\т\B ЕЕб т \'
Положим т\ 0,01; Ile 5 . 10 3 Kr /м . с; Ео 1 кВ/см; Е 2Ео. Torдa ТЕ 6 с.
Если при тех же условиях увеличить напряженность электрическоrо поля до
2 кВ/см, то Время уменьшится до 1,5 с.
Аналоrично тому, как это сделано в разделе 13.2, можно оценить xapaкTep
ное время, по истечении KOToporo закончится укрупнение капель в электриче
ском поле:
( 13.146)
t 2511. 1 [ 5,31;3 ]
соаl n .
еЕбт\ e 3 EgV av (0)
Так, для капель начальноrо радиуса 10 мкм при Ео 2 кВ/см и тех же
остальных параметрах, что и ранее, имеем t coal 30 с.
В заключение сравним характерные времена укрупнения капель в турбу
лентном потОке Ti urb и при rравитационном расслоении эмульсии Tl rav в элект
рическом поле:
( 13.147)
Tl rav
Tturb 2 + 3.
Е
Заметим, что в отличие от раздела 13.2 оценка характерных времен про
водится по среднему объему, а не по радиусу капель. При этом следует учесть,
что характерное время изменения среднеrо радиуса капель примерно в 3 раза
болыпе xapaKTepHoro времени изменения среднеrо объема.
( 13.148)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лоzuнов В. И. Обезвоживание и обессоливание нефтей. М.: Химия, 1979. 216 с.
2. ВОЛОЩУI( В. М. Кинетическая теория коаryляции. М.: fидрометиздат, 1984. 283 с.
3. Хан Т., Шаnuро С. Статистические модели в инженерных задачах. М.: Мир, 1969.
395 с.
4. СuнаЙСI(UЙ Э. Т. Разделение двухфазных мноroкомпонентных смесей в нефтеrазопромыс
ловом 060рудовании. М.: Недра, 1990. 272 с.
5. rрадштейн И. с., Рыжuк И. М. Таблицы иитеrpалов, сумм, рядов и произведеиий. М.:
Наука, 1971. 1108 с.
6. Ruckenstein Е. Condition for rhe size distribution of aerosols to Ье self preserving/ /
]. Colloid Interface Sci. 1975. V. 50. N 3. P. 508 518.
7. Джеффрuс Т. В., Дэвuс Т. А. Коалесценция капель и дисперсий/ /Последние достиж
ния В области жидкостной экстракции. Под ред. К. Хансона. М.: Химия, 1974. C. 255 322.
8. Смолуховскuй М. Коaryляция коллоидов. М.: ОНТИ, 1936.
9. Фукс Н. А. Механика аэрозолей. М.: АН СССР, 1955. 420 с.
10. Friedlander S. К. Smoke, dust and haze: Fundamentals of aerosol behavior. Wiley,
Interscience, 1977. 317 р.
11. Hocking L. М. Mutual hydrodynamic interference in flow around two spheres/ /Quart.
]. Roy. Meteorol. Sci. 1959. У. 85. P. 363.
12. КрасноZорская Н. В. Расчет столкновения частиц сравнимах размеров/ / ДАН CCCP.
1964. Т. 154. 2. С. 325 328.
13. Хаnnель Д., Бреннер Т. fидродинамика при малых числах РеЙнольдса. М.: Мир,
1976. 630 с.
14. Смирнов Л. П., Деряzuн Б. В. О безынерционном электростатическом осаждении
частиц аэрозоля на сфере, обтекаемой вязким потоком/ /Коллоидный журн. 1967. 3.
С. 408 412.
15. Ентов В. М., Камuнскuй В. А., Сuнайскuй Э. Т. О захвате мелких капель крупными
в электрическом поле/ /Изв. АН СССР. МЖf. 1973. 5. С. 61 68.
370
16. ЛаnUlа Е. Я., Сuнайскuй Э. r. о захвате мелких заряженных частиц крупной незаря
женной частицей во внешнем электрическом поле/ /Коллоидный журн. 1978. Т. 40. .N!! 2.
С. 357 360.
17. Zhang х., Davis R. Н. ТЬе rate of collision due to brownian and gravitational motion
of small drops/ /J. Fluid Mecb. 1991. У. 230. Р. 479 504.
18. Эйнштейн А., Смолуховскuй М. Броуновское движение. М.: ОНТИ, 1936.
19. Левuч В. r. Физико химическая rидродинамика. М.: fИФМЛ, 1959. 699 с.
20. Delichatsios М. А., Probstein R. F. Coagulation in turbulent flow: theory and experiment./ /
J. Colloid Interface Sci. 1975. У. 51. Р. 394 405.
21. De Вое, G. В. J., Hoedamakers G. F. М., Thorres D. Coagulation in turbulent flow. Р. 1//
СЬет. Eng. Res. and Des. 1989. У. 67. N 3. Р. 301 307.
22. Ентов В. М., Ка.мuнс"uй В. А., ЛаnUlа Е. Я. К расчету скорости коалесценции эмуль
сий в турбулентном потоке/ /Изв. АН СССР. МЖf. 1976. .N!! 3. С. 47 55.
23. Сuнайскuй Э. r., Рудкевuч А. М. О коarуляции пузырьков в вязкой жидкости в Typ
булеНТНQМ потоке/ /Коллоидный журн. 1981. Т. 43. .N!! 2. С. 369 371.
24. Сuнайскuй Э. r. Коarуляция капель в турбулентном потоке вязкой жидкости/ /KOk
лоидный журн. 1993. Т. 55. .N!! 4. С. 91 103.
25. Сuнайскuй Э. r. Броуновская и турбулентная коаryляция кanель в вязкой жидкости и
устойчивость эмульсий/ /Коллоидный журн. 1994. Т. 56. .N!! 1. С. 105 112.
26. Сuнайскuй Э. r. Коaryляция капель различной вязкости в турбулентном потоке вязкой
жидкости/ /Коллоидный журн. 1994. Т. 56. N 2. С. 222 225.
27. Тунuцкuй А. Н., Ка.мU1lCкuй В. А., Тuмашев С. Ф. Методы физико химической кинети
ки. М.: Химия, 1972. С. 197.
28. ДерЯlUН Б. В., Муллер В. М. О медленной коaryляции rидрофобных коллоидов/ /
ДАН CCCP. 1967. Т. 176. .N!! 4. С. 869 872.
29. 5pielman О. А. Viscous interactions in brownian coagulation/ / J. Colloid Interface Sci.
1970. У. 33. Р. 562 571.
30. Honig Е. Р., Roebersen G., Wiersema Р. Н. Effect of hydrodynamic interaction оп the
coagulation of hydrophobic colloids/ /J. Colloid Interface Sci. 1971. У. 36. Р. 91 104.
31. Batchelor G. К. Brownian diffusion of particles with hydrodynamic interaction/ / J. Fluid
Mech. 1976. У. 74. Р. 1 29.
32. Ка.мuнс"uй В. А. О кинетике турбулентной коarуляции/ /Коллоидный журн. 1976.
Т. 38. .N!! 5. С. 907 912.
33. Хинце И. О. Турбулентность. М.: Физматrиз, 1963. 680 с.
34. Монин А. С., Ямом А. М. Статистическая rидромеханика: В 2 т. М.: Наука, 1967.
Т. 1 2.
35. ШлuxтU1ll r. Теория поrpаничноro слоя. М.: Наука, 1974. 742 с.
36. Седов Л. И. Механика сплоmной среды: В 2 T. М.: Наука, 1973. Т. 1 2.
37. Леонтовuч М. Л. Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука,
1983. 416 с.
38. Rиssel W. д. Brownian motion of small particles suspended in liquids/ / Anп. Rev. Fluid
МесЬ. 1981. У. 13. Р. 425 455.
39. Зuнченко А. З. К расчету rидродинамическоrо взаимодействия капель при малых числах
Рейнольдса/ /ПММ. 1978. .N!! 5. С. 955 959.
40. Davis М. Н. ТЬе slow translation and rotation of two unequal spheres in а viscous fluid/
/ СЬет. Eng. Sci. 1969. У. 24. Р. 1769 1776.
41. O'Neil М. Е., Majumdar 5. R. Assymetrical slow viscous fluid motion caused Ьу the
translation or rotation of two spheres. Р. 1, 11/ /ZAMP. 1970. У. 21. Р. 164.
42. Wacholder Е., Weihs D. Slow motion of а fluid sphere in the vicinity of another sphere
ос а plane boundary/ /СЬет. Eng. Sci. 1972. У. 27. Р. 1817 1827.
43. НаЬе, 5., Hetsroni G., 501an А. Оп the low Reynolds number motion of two droplets/ /
J. Multiphase Flow. 1973. У. 1. Р. 57 71.
44. Rиshton Е., Davies G. А. ТЬе slow unsteady settling of two fluid spheres aling their liпе
of centres/ /Appl. Sci. Res. 1973. У. 28. Р. 37 61.
45. Reed L. D., Morrison F. А. ТЬе slow motion of two touching fluid spheres along their
liпе of centres/ /J. Multiphase Flow. 1974. У. 1. Р. 573 583.
46. Hetsroni G., НаЬе, 5. Low Reynolds number motion of two drops sudmerged in an
unbounded arbitrary velocity field/ /J. Multiphase Flow. 1978. У. 4. Р. 1 17.
47. Зuнченко А. З. Медленное асимметричное движение двух кanель в вязкой среде/ /
ПММ. 1980. .N!! 1. С. 30 37.
48. Fuentes У. О., Kim 5., Jeffrey D. J. Mobility functions for two unequal viscous drops
in Stokes flow. Р. 1. Axisymmertric motions. Р. 11. Nonaxisymmertric motions/ /Phys. Fluids.
1988. У. 31. Р. 2445 2455; Phys. Fluids. A. 1989. У. 1. Р. б1 76.
49. Davis R, Н., 5chonberg J. А., Rallison J. М. ТЬе lubrication force between two viscous
drops/ /Phys. Fluids. A. 1989. У. 1. Р. 77 81.
24* 371
50. 3инче1ll'О А. 3. Расчет близкоrо взаИмодействия капель с учетом внутренней циркуляции
и эффектов скольжения/ /ПММ. 1981. Т. 45. С. 759 763.
51. Кройт Т. Р. Наука о коллоидах: В 2 т. Т. 1. Не06ратимые системы. М.: ИЛ, 1955. 538 с.
52. Hogg R., Healy Т. W., Fuerstenau D. W. Mutual coagulation of colloidal dispersions/ /
Trans. Faraday Soc. 1966. У. 62. Р. 1638 1651.
53. Hamaker Н. С. The London Van der Waals attraction between spherical particles/ /
Physica. 1937. У. 4. Р. 1058 1978.
54. Shenkel J. N.. Kitchener J. А. А test of the Derjaguin Verwey Overbeek theory with а
colloidal suspension/ /Trans. Faraday Soc. 1960. У. 56. Р. 161 173.
55. Melcher J. R., Taylor С. 1. Electrohydrodynamics: а review of the role of interfaciaI shear
stress/ /Anп. Rev. Fluid. Mech. 1969. У. 1. Р. 111 146.
56. O'Konski С. Т., Thacher Н. С. The distortion of aerosol droplets Ьу ап electric field/ /
J. Phys. Chem. 1953. V. 57. P. 955 958.
57. Garton С. С., Krasucki Z. Bubbles in insulating liquids: stability in ап electric field/ /
Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1964. Y. 280. P. 211 222.
58. Taylor С. 1. Disintegration of water drops in ап electric field. Proc. Roy. Soc. Lond. А.
1964. У. 280. Р. 383 397.
59. Rosenklide С. Е. А dielectric fluid drop in ап electric field. Proc. Roy. Soc. Lond. А.
1969. У. 312. Р. 473 494.
60. Miskis М. J. Shape of а drop in ап electric field/ /Phys. Fluids. 1981. У. 24.
Р. 1967 1972.
61. Adornato Р. М., Brown R. А. Shape and stability of electrostatically levitated drops/ /
Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1983. У. 389. Р. 101 117.
62. Basaraп ]. А., Scriveп L. Е. Axjsymmetric shape and stаЬШtу of charged drops jn ап
electric field/ /Phys. Fluids. A. 1989. У. 1. Р. 799 809.
63. Аllаn R. S., Mason S. С. Particle behaviour in shear and electric fields. 1. Deformation
and burst of fluid drops/ /Proc. Roy. Soc. Lond. А. 1962. У. 267. Р. 45 61.
64. Taylor С. 1. Studies in electrohydrodynamics. 1. The circulation produced in а drop Ьу an
electric field//Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1966. Y. 291. P. 159 166.
65. Torza S., Сох R. С., Mason S. С. Electrohydrodynamic deformation and burst of liquid
drops/ /РЬil. Trans. R. Soc. Lond. 1971. У. 269. Р. 295 319.
66. Ajaya О. О. А note оп Taylor's electrohydrodynamic theory / /Proc. Roy. Soc. Lond. А.
1978. У. 3б4. Р. 499 507.
67. Feng J. Q., Scott Т. С. А computational analysis of electrohydrodynamics of а leaky di
electric drop in ап electric field/ /J. Fluid Mecb. 1966. У. 311. Р. 289 326.
68. Thornton J. D. Тhe application of electrical energy to chemical and physical rate processes/ /
Rev. Pure Appl. Chem. 1968. У. 18. Р. 197 218.
69. Harker J. Н., Ahmadzadeh J. ТЬе eff t of electric field оп mass transfer from falling
drops/ /Int. J. Heat Mass Transfer. 1974. У. 17. Р. 1219 1225.
70. Bailes Р. J. Solvent extraction in an electric field. Industr. Епgng. Chem. Process Des. Dev.
1981. У. 20. Р. 5б4 570.
71. Baird М. Н. 1. Electrostatic effects оп extraction. In Handbook of Solvent Extraction;
Ed. 1. С. Lo, М. Н. 1. Baird, С. Hanson. John Wiley & Sons, 1983. У. 20. Р. 268 269.
72. Scott Т. С. Use of electric fields in soIvent extraction/ / А review and prospects. Sep. Pu
rH. Methods. V. 18. P. 65 109.
73. Weatherley L. R. Electrically enhanced extraction. Science and Practice of liquid liquid
Extraction; Ed. 1. D. Thornton. Oxford University Press, 1968. У. 2. Р. 407 419.
74. Platsinski К. J., Kerkhof Р. J. Н. М. Electric field driven separations: Phenomena and
applications/ /Sep. Sci. Technol. 1992. У. 27. Р. 995 1021.
75. Не W., Baird М. Н. 1., Chang J. S. The effect of electric field оп mass transfer from
drops dispersed in а viscous liquid/ /Сan. J. СЬет. Eng. 1993. У. 71. Р. 366 376.
76. Sherwood J. D. Breakup of fluid droplets in electric and magnetic fields/ / J. Fluid. Mech.
1988. У. 188. Р. 133 146.
77. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных cpeд. М.: fИТЛ, 1957.
532 с.
78. Аиsтаn Е. L., Brook М. Distortion and disintegration of water drops in strong electric
fields/ /J. Geophys. Res. 1967. У. 72. Р. 6131 6141.
79. Brazier Smith Р. R. Stability and shape of isolated pair of water drops in an electric field/ /
Phys. Fluids. 1971. У. 14. N 1 6.
80. Stone Н. А. Dynamics of drop deformation and breakup in viscous fluids/ / Anп. Rev.
Fluid. Mech. 1994. У. 26. Р. 65 102.
81. Ниlматуллин Р. И. Динамика мноrофазных сред: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1987.
82. Эмульсии: Пер. с анrл./Под ред. Абрамзона А. A. Л.: Химия, 1972. 448 с.
83. ЛОlинов В. И. Динамика процесса дробления капельной жидкости в турбулентном по
токе/ /ПМТФ. 1985. N 4. С. 66 73.
372
84. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. М.: Наука, 1970. 392 с.
85. rолицын Т. С. Флюктуации диссипации энерrии в локально изотропном тур6улентном
потоке/ / ДАН СССР. 1962. Т. 144. N 3. С. 520 523.
86. КОЛJolоzoров А. Н. О лоrарифмически нормальном законе распределения частиц при
дроблении/ /ДАН CCCP. 1941. Т. З1. М 2. С. 99 101.
87. Морс Ф., Фешбах Т. Методы теоретической физики: В 2 т. Т. 2. М.: ИЛ, 1960. 886 с.
88. Корн Т., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1970. 720 с.
89. Аllаn R. 5., Mason 5. G. Effects of electrical field оп coalescence in liquid liquid sys
tems/ /Trans. Faraday Sос. 19б1. У. 57. Р. 2027.
90. Ландау Л. Д., Лuфшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука, 1973. 400 с.
91. Стрэттон Дж. Теория электромarнетизма. М.: fостехиздат, 1948. 539 с.
92. Лебедев Н. Н., С"альская И. П., Уфлянд Я. С. Сборник задач по математической
физике. М.: rтТЛИ, 1955. 394 с.
93. ВЫlовской В. П. Перераспределение зарядов при контакте проводящих сфер в элект
рическом поле/ /Коллоидный журн. 1981. Т. 43. N 5. С. 967.
94. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: ид 1955. 667 с.
95. Russel А. Two charged spherical conductors interaction forces/ /Proc. Phys. Soc. 1922.
У. 35. Р. 10.
96. Соу С. Динамика заряженных суспензий/ /Реолоrия суспензий; Под ред. В. В. foro
сова, В. Н. Николаевскоrо. М.: Мир, 1970.
97. Лебедев Н. Н. Сила, действующая на проводящий шарик, помещенный в поле плоскоrо
конденсатора/ /ЖТФ. 1962. Т. 32. N 2. С. 375.
98. Левченко Д. Н., Берlштейн В. В., Худя"ова А. д., Николаева Н. М. Эмульсии нефти
с водой и методы их разрушения. М.: Химия, 1967. 200 с.
99. Лаnиlа Е. Я., ЛОlинов В. И. О ядрах кинетическоrо уравнения коалесценции/ /Изв.
АН СССР. МЖf. 1980. С. 32 38.
100. Анисимов Б. Ф., Емельяненко В. Т. Критерий коалесценции капель эмульсий обратноrо
типа в однородном электрическом поле/ /Коллоидный журн. 1977. Т. З9. N 3. С. 528.
101. Hochraider D., Hidy G. М., Zebel G. Creeping motion of charged particles around а cy
linder in ап electric field/ / J. Colloid Interface Sci. 1969. У. 30. N 1.
102. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Наука, 1967. С. 310.
103. Сатр Т. R., 5tein Р. С. Velocity gradients and internal work in turbulent clouds/ /
J. Boston Soc. Civ. Eng. 1943. У. 30. Р. 219.
104. 5тoluchowski М. Versuch einer Mathematischen Theorie der Koagulations Кinetik kolloider
Losungen/ /Z. Phys. Chem. 1917. B. 92. S. 129 168.
105. 5аПтаn Р. G., Тите, J. 5. Оп the collision of drops in turbulent clouds/ / J. Fluid.
Mech. 1956. У. 1. Р. 16 ЗО.
106. Pnueli D., Gutfinger с., Fichтan М. А turbulent brownian тodеl for aerosol coagulation/ /
Aerosol Sci. Technol. 1991. У. 14. Р. 201 209.
107. Abrahamson J. ColJision rates of smalJ particles in а vigorously turbulenf fluid/ /Chem.
Eng. Sci. 1975. У. 30. Р. 1371 1379.
108. Higashitani К., Yaтauchi К., Mafsuno У., Hosokawa G. Turbulent coagulation of par
ticles dispersed in а viscous fluid/ / J. Chem. Eng. Japan. 1983. У. 16. Р. 299 304.
109. Higachitani К., Ogawa R., Hosokawa G., Matsuno У. Кinetic theory of shear coagulation
for particles in а viscous fluid/ /J. Chem. Eng. Japan. 1983. У. 16. Р. 299 304.
VI
r А30ЖИДКОСТНЫЕ СМЕСИ
Под rазожидкостной смесью будем понимать двухфазную среду, в которой
сплошной фазой является rаз, а дисперсная фаза представляет собой капли
жидкости. В таком состоянии находится природный rаз rазоконденсатных
месторождений, поступающий в установки комплексной подrотовки rаза и KOH
денсата (см. раздел 1). В основе подrотовки rаза и конденсата лежат следу
ющие процессы: отделение от rаза конденсата, паров воды и тяжелых уrлево
дородов; стабилизация отделившеrося конденсата, т. е. удаление из Hero леrких
уrлеводородов и нейтральных компонентов. Отделение конденсата от rаза (ce
парация) производится в rазовых сепараторах, извлечение из rаза паров воды
(осушка) и тяжелых уrлеводородов в абсорберах с использованием спе
циальных жидких поrлотителей абсорбентов, а стабилизация конденсата
в разделителях или выветривателях, которые по конструкции аналоrичны неф
теrазовым сепараторам. Типовые технолоrические схемы НТС и НТ А установок
комплексной подrотовки rаза представлены на рис. 1.1 и 1.2.
В этом разделе рассматриваются основные процессы, связанные с подrо
товкой rаза и конденсата к транспорту: сепарация rазоконденсатных смесей в
сепараторах, абсорбционнная осушка rаза и абсорбционное извлечение из rаза
тяжелых уrлеводородов и предотвращение образования rидратов.
14
ФОРМИРОВАНИЕ ЖИДКОЙ ФАЗЫ
В ПОТОКЕ fАЗА
Поток, поступающий из подводящей трубы в сепаратор (рис. 14.1), преk
ставляет собой двухфазную rазожидкостную смесь. Жидкая фаза в подводящей
трубе находится в виде взвешенных в потоке капель различноrо размера и в виде
тонкой пленки на стенке трубы. Поскольку объемное содержание жидкой фазы
в потоке невелико (порядка 100 r на 1 м 3 rаза, что соответствует объемной
концентрации жидкости 10 4 м 3 /м 3 ), а скорость потока в трубе большая (до
10 м/с), то основная масса жидкости будет находиться во взвешенном состоя
нии. Движение потока в трубе носит турбулентный характер, что Приводит к
интенсивной Koary ляции мелких и дроблению образовавшихся крупных капель.
В результате в потоке устанавливается динамическое равновесие между этими
374
4
ж
Рис. 14.1. Элемент техиолоrической схемы устройство предварнтельиой кои
деисации (УПК) подводящий трубопровод сепаратор:
1, 3 ПОДВОДЯЩИЙ трубопровод, 2 УПК, 4 сепаратор, r rаз, Ж жидкость
двумя процессами, приводящее к формированию paBHoBecHoro распределения
капель по радиусам пo(R) Кроме коаrуляции и дробления на процесс YCTaHOB
ления распределения пo(R) может оказать влияние межфазный массообмен (ис
парение или конденсация капель). Действительно, по мере движения двухфазно
ro потока Moryт изменяться давление и температура, например при прохождении
через дроссели, теплообменники, турбодетандеры. В результате термодинамичес
кое равновесие нарушается, что приводит к нуклеации жидкой фазы и дальней
шему ее росту в условиях пересыщения. Поэтому если в технолоrической схеме
перед сепаратором расположены эти устройства, то необходимо учитывать меж
фазный массообмен. В дальнейшем будем называть устройства, при прохождении
через которые нарушается термодинамическое равновесие между rазовой и жид
кой фазами, устройствами предварительной конденсации (УПК), поскольку oc
новное предназначение этих устройств состоит не просто в понижении темпера
туры, а в создании условий для выпадения конденсата.
Таким образом, возможны два случая: 1) УПК отсутствует или находится
достаточно далеко от сепаратора (это расстояние в дальнейшем будет оценено);
2) УПК находится достаточно близко от сепаратора. В первом случае распре
деление капель по размерам в потоке в подводящем трубопроводе устанавли
вается только за счет процессов коаrуляции и дробления капель, а во втором
за УПК образуются очень мелкие капли, размер которых изменяется не только
за счет коаryляции и дробления, но и за счет интенсивноrо массообмена в
условиях пересыщения смеси.
Итак, перед сепаратором возможно формирование капель двух видов за
счет разных механизмов их образования. Рассмотрим оба механизма образова
ния капель, что позволит оценить пара метры , необходимые для определения
эффективности разделения rазожидкостной смеси в rазовом сепараторе.
14.1. ФОРМИРОВАНИЕ ЖИДКОЙ ФАЗЫ
В ОТСУТСТВИЕ КОНДЕНСАЦИИ
в рассматриваемом случае основными механизмами формирования капель
в турбулентном потоке rаза являются процессы коаryляции и дробления Ka
пель. Оба эти процесса протекают одновременно. В результате уставливается
распределение капель по размерам, которое в предположении об однородности
и изотропности турбу лентноrо потока имеет вид лоrарифмически нормальноrо
распределения [1]
375
п(R) = 1 exp[ ln 2 <:;RI) ]. (14.1)
rде п*=3Wexp ( 2,Scr2)/41C&R v; R I ==Ravexp ( 0,Scr2), W объемная KOH
центрация жидкой фазы; а 2 дисперсия распределения; Rav средний радиус
капель.
Для определения среднеrо радиуса необходимо рассмотреть процессы KO
аrуляции и дробления капель. Капли в турбулентном потоке rаза дробятся,
если их радиус превосходит некоторый критический радиус [2]. Капли радиуса
меньше критическоrо MorYT только коаryлировать. В действительности между
каплями, которые MorYT коаrулировать и дробиться, нет такой четкой rpаницы,
поскольку эти процессы носят случайный характер. Поэтому правильнее CKa
зать, что чем меньше радиус капель критическоrо значений, тем меньше Bepo
ятность их дробления. Если радиус капель становится больше критическоrо, то
они с высокой вероятностью MOryT раздробиться, образуя, как правило, две
капли примерно одинаковоrо размера (дочерние капли) и несколько маленьких
капель, которые принято называть сателлитами. Поэтому при проведении oцeH
ки среднеrо размера капель при установлении динамическоrо равновесия про
цессов Koary ляции и дробления ero можно считать равным критическому pa
диусу.
Дробление капель в турбулентном потоке rаза происходит за счет инер
ционноrо эффекта, обусловленноrо значительной разностью плотностей жидко
сти и rаза, а также за счет разности пульсационных скоростей, т. е. скоростей
турбулентных пульсаций, обтекающих каплю, в противоположных концах кап
ли. Дробление капли при этом происходит за счет деформации ее поверхности.
Капля плотностью PL, взвешенная в турбулентном потоке rаза плот
ностью Ре« PL' только частично увлекается rазом, поэтому rаз обтекает каплю
с относительной скоростью порядка
и f: 1/3 ( 'p'!:" ) 1/3 ( ) 1/3 ( ) 1/3 (14.2)
.J3 о Ре S kf '
rде Ео удельная диссипация энерrии, V и S объем и поперечное сечение
капли, k f коэффициент аэродинамическоrо сопротивления капли, k f == 0,4.
Соответствующий этой скорости динамический напор, действующий на каплю,
( ) 2/3
Q kfpe 'p'!:" Е2/3 R2/3.
2 Ре о
( 14.3)
Кроме динамическоrо напора Q, обусловленноrо инерцией частицы в пото
ке rаза, на каплю действует также напор, обусловленный изменением пульсаци
онной скорости по длине капли:
pc(Uf и )
Qп k f 2 '
( 14.4)
rде И I и И2 скорости rаза в точках, удаленных на расстоянии 2R друr от
друrа.
Деформацию и дробление капли вызывают мелкомасштабные пульсации л
(см. раздел 11.3), поскольку крупномасштабные пульсации сравнительно мало
изменяются на расстояниях порядка диаметра капли. Пульсационная скорость
ИЛ таких пульсаций зависит от Toro, больше или меньше л BHYTpeHHero масш
таба турбулентности л о :
376
d
Ао == Rе З / 4 '
( 14.5)
r де d диаметр трубы; Re == Рс И d / /lG число Рейнольдса потока в трубе,
И средняя скорость потока, /lG динамическая вязкость rаза.
Для характерных значений d==0,1 м; u== 10 м/с; рс==40 Kr/M и
I!G== 1,2 . 10 5 Па. с имеем Ао== 1,5 . 10 6 м == 1,5 мкм. Средний размер капель в
потоке, как правило, больше этоrо значения, поэтому имеет смысл рассматривать
пульсации с Л>ЛQ. ДЛЯ таких пульсаций [см. (11.46)] имеем
ил == (ЕоА)I/З. (14.6)
Полаrая в (14.6) А== 2R и подставляя полученное выражение в (14.4),
получаем
Qп 0,Sk f РG( 2RЕ о)1/З.
Из (14.3) и (14.7) следует, что
.я. ( ) 2/\> 1.
Qп Рс
Последнее неравенство означает, что Q» Qn и основной вклад в процесс
дробления капли вносит динамический напор Q. Капля не дробится до тех пор,
пока динамический напор уравновешивается Силой поверхностноrо натяжения.
Поэтому условием равновесия капли является равенство указанных величин:
(14.7)
( 14.8)
о S р 2/ЗЕ2/З R 2/З == 2k
, J. о R .
( 14.9)
Соотношение (14.9) позволяет найти критический радиус капли, т. е. радиус,
при превышении KOTOporO капля с большой вероятностью дробится. Выражая
в (14.9) Ео через параметры потока
V З
G
Ео ==v
О
(14.10)
и воспользовавшись (14.5), получим выражение для критическоrо радиуса
капли:
R ( ) З/5 ( РG ) 2/5 d2/5 .
cr kfPG PL U6/5
Введем безразмерный параметр, называемый числом Вебера:
W е == Динамичес!(ий напор P G U 2 d
Сила повеРХНОСтноrо натяжения
(14.11)
(14.12)
т orдa выражение (14.11) можно представить в виде
R r == kjЗ/5Wе з/s( У/ 5 ,
которое является связью трех безразмерных параметров: Rcr/d, We и PG/PL' ДЛЯ
значений рс==40 кr/м З ; PL==800 Kr/M3; u== 10 м/с; L==S. 10 3 Н/м и d==0,1 м
имеем W е 105, Рс / PL 5 . 1 0 2 И Rcr/ d 1 о з. Следовательно, в рассматривае
мом случае критический радиус каш:rи имеет порядок Rcr 100 мкм.
Как уже отмечалось, формула (14.13) действительна для капель, взвешен
377
( 14.13)
ных В однородном И изотропном турбулентном потоке. Движение rазожидко
стной смеси в ядре потока можно считать однородным и изотропным, но возле
стенки это предположение нарушается. Кроме Toro, с образующейся на поверх
ности стенки жидкой пленки MorYT срываться капли, а часть капель может
осаждаться на стенке. Все это приводит к изменению закона (14.13). Измере
ния среднеrо устойчивоrо размера капель rазожидкостной смеси в турбулент
ном потоке в трубе, проведенные в [3], показали, что средний размер капель
описывается следующим соотношением:
( ) 1/7
Rcr == О 12We 3/7
d' PL'
Отличие формулы (14.14) от (14.13) состоит в основном в числовом
коэффициенте, так как показатели степени отличаются незначительно. Посколь
ку kr 3/5 1,5, а в формуле (14.14) этот коэффициент равен 0,12, то выражение
(14.14) дает на порядок меньшее значение среднеrо устойчивоrо радиуса Ka
пель, чем формула (14.13).
В дальнейшем будем пользоваться формулой (14.14) для Gреднеrо YCTaHO
вившеrося радиуса капель распределения, формирующеrося в подводящем к
сепаратору трубопроводе.
( 14.14)
14.2. ОБРАЗОВАНИЕ ЖИДКОЙ ФАЗЫ
В ПРОЦЕССЕ КОНДЕНСАЦИИ
При наличии перед сепаратором устройств, изменяющих температуру и
давление rаза, в потоке возможно зарождение (нуклеация) мелких капель.
Такими устройствами являются дроссель, теплообменник и турбодетандер.
Поскольку механизм образования жидкой фазы в зтих устройствах по существу
одинаков, paccm-о1'РИМ- ero на прим-ере дросселя.
В основе механизма образования жидкой фазы (тумана) за дросселем,
помещенным в подводящую трубу перед сепаратором, лежит процесс адиабати
ческоrо раСUlирения rазовой смеси, при котором одновременно увеличивается
объем смеси, понижаются давление пара и температура, поскольку работа pac
ширения совершается за счет внутренней энерrии rаза. Давление насыщенноrо
пара понижается с уменьшением температуры и приводит к увеличению пере
сыщения пара. Под степенью пересыщения s понимают отношение давления
пара в rазе Pv к давлению насыщенноrо пара Pvoo над плоской поверхностью той
же жидкости:
s == : ; Pvoo == ехр ( С ).
( 14.15)
[де Т абсолютная температура; С постоянная; Е == 0,12 ML1, M 1 . молеку
лярная масса конденсирующеrося пара; 1 удельная теплота парообразования.
Над вьшуклой поверхностью, которую имеют капли, давление насыщенноrо
пара выше, чем над плоской, за счет капиллярноrо давления и увеличивается
с уменьшением радиуса капли, поскольку Р сар == 2L/ R, [де L коэффициент
поверхностноrо натяжения капли. Поэтому необходимым условием KOHдeHca
ции пара в объеме rаза является наличие пересыщения пара, позволяющее
компенсировать повышенное давление.
Если образование капель происходит на ядрах конденсации, то процесс
378
называют rетероrенной конденсацией. Такими ядрами MorYT быть частицы при
месей, заrрязнений, капли и т. п. Если же образование капель происходит в
результате конденсации пара на самопроизвольно образующихся зародышах,
то rомоrенной кондесацией.
Процесс rомоrенной конденсации состоит из трех стадий: образование
пересыщенноrо пара, образование зародышей, конденсация пара на поверхности
зародышей и дальнейший их рост. Конденсация пара начинается лишь при
определенном пересыщении, называемом критическим:
[ М ( L ) 3/2 ]
Scr = ехр 1,74.107 Р: т '
(14.16)
rде PL плотность жидкости.
Процесс rетероrенной конденсации происходит при наличии ядер KOHдeH
СЮ.щи. Если ядрами служат мелкие капли, то при установлении равновесия на
поверхности капель имеет место формула Кельвина
2LML
!n(s) = ATpLR ' (14.17)
[де А rазовая постоянная.
Из формулы (14 17), зная радиус капли R, можно найти равновесное зна
чение парциальноrо давления пара над каплей, отличающееся от давления пара
РUФ Над плоской поверхностью.
При rомоrенной конденсации в rазовой смеси при давлении, большем дaB
лени я насыщения, возникают зародыши жидкой фазы со скоростью, определя
емой формулой Френкеля [4]
а ( ) 1/2 ( р ) 2 [ M2L3 J
1=1,82.1026 SPL MLcr Т ехр 1,76.1016(lns) 2 pi 3 .
(14.18)
Здесь а коэффициент конденсации, имеющий смысл доли молекул пара,
которые, ударившись о поверхность жидкости, остались на ней. В литературе
содержатся экспериментальные значения а для некоторых чистых жидкостей,
однако у разных авторов эти значения для одних и тех же жидкостей суще
ственно различаются. Поэтому надежных данных для определения коэффици
ента конденсации в настоящее время, по видимому, нет. В связи с этим в
дальнейшем будем полаrать а = 1. Это равносильно предположению, что все
молекулы пара, ударившись о поверхность капли, остаются на ней.
Из сказанноrо следует, что необходимым условием образования конденси
рованной фазы является наличие таких процессов, при которых повышается
пересыщение смеси, например в,результате понижения температуры или повы
шения давления rаза. На практике обычно одновременно изменяются и темпе
ратура, и давление, поэтому изменяется и пересыщение смеси. Например, при
адиабатическом расширении rаза понижаются давление и температура. Первое
приводит к уменьшению пересыщения, а второе к увеличению. Однако с
уменьшением температуры давление насыщения падает HaMHoro сильнее, что
приводит В итоrе к увеличению пересыщения смеси. Пересыщение смеси резко
возрастает только на начальном этапе процесса конденсации. В процессе KOH
денсации температура смеси несколько увеличивается, со временем значения
парциальноrо давления пара вдали от капли и на ее поверхности выравнива
ются за счет уменьшения концентрации пара Поскольку поток пара к поверх
ности капли уменьшается, то уменьшается и пересыщение и в конечном счете
процесс образования зародышей прекращается. На рис 14.2 показаны xapaK
379
s
Рис. 14.2. Зависимость пересыщения пара
от времени:
1, 2 соответственно без учета и с учетом
зарождения жидкой фазы; 3 критическое
пересыщение
терные изменения пересыщения пара
со времененм, иллюстрирующее CKa
занное выше.
Скорость процесса конденсации
на поверхности капли определяется
диффузией пара к поверхности, по
этому при большой скорости измене
ния пересыщения ds / dt (например,
в процессах, вызывающих быстрое
увеличение пересыщение пара и свя
занных с небольшой объемной концентрацией капель) скорость диффузии может
оказаться недостаточной для выравнивания давления пара во всем объеме. При
этом давление пара у поверхности капель может значительно отличаться от
давления пара в толще смеси. В итоrе возникает большое пересыщение, при
водящее к интенсивному зародышеобразованию на начальной стадии процесса.
Таким образом, в зависимости от соотношения между скоростью пересы
щения пара и концентрацией капелек (ядер конденсации) возможны два пре
дельных случая:
1) скорость диффузии пара к поверхности капель велика, и пересыщение
не достиrает критической величины, поэтому зародыши не образуются;
2) скорость диффузии пара мала, пересыщение становится больше крити
ческоrо и идет интенсивное зародышеобразование со скоростью, оцениваемой
соотношением (14.18).
Один из способов охлаждения и образования пересыщения смеси ади
абатическое расширение rаза, лежащее в основе дроссель эффекта. На rазовых
и rазоконденсатных месторождениях применяют схемы низкотемпературной
сепарации (НТС), которая включает в себя комплекс технолоrических процес
сов, направленных на охлаждение продукции скважин до нужных температур
с последующей ее сепарацией. НТС применяют после Toro, как rаз освобожда
ется от основной массы капельной взвеси в сепараторе 1 ступени практически
без изменения давления и температуры. На последующих ступенях про водят
НТС в целях конденсации паров воды и тяжелых уrлеводоров (УВ). НТС
включает в себя следующие процессы.
1. Охлаждение rаза в теплообменнике или холодильнике до минимально
возможной температуры, при которой не образуются rазовые rидраты. В pe
зультате охлаждения из rаза выделяются rазовый конденсат и вода, которые
далее отделяются от rаза в сепараторах. На выходе из сепаратора в поток rаза
вводят инrибитор rидратообразования.
2. Дросселирование rаза понижение температуры и давления rаза без
совершения рабо1'Ы и теплообмена. Дросселирование осуществляется с помо
щью штуцера.
3. Адиабатическое расширение с совершением внешней работы, приводя
щее к понижению температуры. Этот процесс осуществляется в турбодетан
дере.
380
t
Дросселирование и адиабатическое расширение rаза в турбодетандере ocy
ществляется за счет движения rаза в трубах и каналах переменноrо попереч
Horo сечения. Для определения температуры, давления и степени пересыщения
смеси в этих устройствах необходимо провести соответствующие rазодинами
чески е расчеты. Ниже изложен подход к проведению подобных расчетов, OCHO
вы которых содержатся в [5]. Пусть в некотором сечении трубы заданы CKO
рость U 1 , давление Р1' температура Т1' плотность rаза PG1 и площадь поперечноrо
сечения 51' Задан также закон изменения площади поперечноrо сечения по
длине трубы 5( х). Рассмотрим произвольное сечение трубы 52' rазодинамичес
кие параметры в этом сечении определяются из одномерных уравнений coxpa
нения расхода, количества движения, энерrии и состояния rаза [5].
Уравнение сохранения расхода rаза имеет вид
Рй U 1 5! == PG2U 2' (14.19)
Уравнение энерrии
Q+ ==L+Lfr+g(Z2 z1)+E2 E! + 2 ' (14.20)
PG1 PG2
rде Q количество теплоты, подводимое к 1 Kr rаза; L техническая работа,
совершаемая 1 Kr rаза; L fr работа сил трения, приходящаяся на 1 Kr rаза; z
высота расположения рассматриваемоrо сечения, Е внутренняя энерrия rаза.
Представим Q как сумму потоков тепла:
Q == Qs + Q"
(14.21)
rде Qs поток тепла извне за счет теплообмена через стенку трубы; Q,
поток тепла изнутри, за счет преобразования в тепло сил трения.
Используя очевидное равенство Qi == L fr , а также уравнение состояния rаза,
которое примем в простейшем виде, считая rаз идеальным,
р == ApG T
(14.22)
и соответствующие термодинамические соотношения идеальноrо rаза
С р == c v + А; h == Е + АТ == СрТ (14.23)
(h энтальпия rаза, С р и cv удельные теплоемкости соответственно при посто
янном давлении и объеме), получаем из (14.20)
U ( 1 )
Qs L == h 2 h 1 + g(Z2 Z1) + 2 4.24
Если труба rоризонтальная, то изменением потенциальной энерrии можно
пренебречь и (14.24) примет вид
U ul ( 25)
Qs L == h 2 h 1 + 2 14.
в частном случае, коrда теплообмен с окружающей средой отсутствует
(Qs== О) и rаз не совершает механической работы (L == О), вместо (14.25) имеем
U u 1 2 ( 6)
2 == /11 /12 == С р1 11 С р2 Т 2 . 14.2
Если скорость rаза в трубе изменяется незначительно (U 1 == U 2 ), то из
(14.25) следует, что
Qs L == С р2 Т 2 cptT!.
( 14.27)
381
В частности, при Qs == о имеем
С р2 Т 2 == С РI Т I L. (14.28)
Аналоrичное соотношение с учетом изменения скорости запишется в виде
щ щ ( )
С р 2 Т 2 == С р1 т, L 2 14.29
Из последних двух уравнений следует, что температура rаза уменьшается
даже в отсутствии теплоотдачи через стенку трубы за счет совершения rазом
механической работы и изменения кинетической энерrии.
Уранение сохранения количества движения для цилиндрической трубки
тока имеет вид
d d dFfr dF
Р+Ре U U== s s,
(14.30)
rде F Er сила трения, приложенная к боковой поверхности трубки тока в Ha
правлении, противоположном давлению rаза; F внешняя сила.
Если эти силы отсутствуют или не изменяются, то уравнение (14.30) при
нимает простой вид
peul peuj
Р1 + 2"""'""' == Р2 + 2"""'"""
(14.31)
Это уравнение называется уравнением Бернулли,
Таким образом, из уравнений сохранения массы, количества движения и
энерrии следует, что на скорость движения rаза, а также на распределение
давления, температуры и плотности влияют механическое, тепловое и rеометри
ческое воздействия. Рассмотрим подробнее эти воздействия в рамках предпо
ложения об идеальности rаза.
Из уравнения сохранения MaccoBoro расхода rаза, которое запишем в виде
G == PeUS == const,
( 14.32)
следует, что
dG dS dpe dU
== + +
G S Ре И '
( 14.33)
а из уравнения состояния
dp == A ( dT + Т d P G ) .
Ре Ре
( 14.34)
Исключая из (14.34) dPel Ре и используя уравнение <14.33), получаем
dp == AdT + AT ( dG dS dU ) . (14.35)
PG G S И
Из уравнения сохранения количества движения <14.30) следует, что
dp
== U d И dL dL f
Ре r'
( 14.36)
Из последних двух уравнений получим
а 2 ( dG dS ) ( а2 ) dU
AdT + + U2 + dL + dL f == О,
k G S k И r
(14.37)
382
rде а 2 == (МТ)!/2 скорость звука в идеальном rазе; k == С р / С" постоянная
адиабаты.
Представим
теперь уравнение энерrии (14.25) в виде
dU2 kA
dQs == dh + + dL == k 1 dT + И dU + dL.
( 14.38)
Здесь использовано следующее соотношение для энтальпии:
dh == d(CpT) == k 1 dT.
Исключая теперь из (14.37) температуру с помощью уравнения (14.38),
получаем
dU d5 dG dL k 1 k
( М2 1 ) == d Qs dL f
и 5 G а 2 а 2 а 2 r>
(14.39)
rде М == И/а число Маха.
Поскольку выражение в левой части уравнения (14.39) меняет знак при
переходе через скорость звука, характер влияния различных воздействий на
течение rаза при дозвуковом и сверхзвуковом режимах противоположен. При
дозвуковом течении (М < 1) ускорение потока (d И > О) вызывается сужением
канала (dS < О), подводом дополнительной массы rаза (dG> О), совершением
rазом работы (dL > О) и подводом тепла (dQs> О). Эти же воздействия в
сверхзвуковом потоке (М> 1) при водят К замедлению потока. Следовательно,
для Toro чтобы перевести скорость rаза через критическую (М == 1), нужно,
например, сначала сужать, а потом расширять канал, либо сначала подводить
тепло, а потом отводить и т. д. Рассмотрим отдельно некоторые воздействия,
представляющие практический интерес.
1. fеометрическое воздействие (сопло, дроссель)
Принимаем, что dG == dQs == dL == dL fr == О, dS::/= О. ИЗ (14.39) следует, что
dU d5
(М2 1)и == s' (14.40)
При М < 1 знаки dU и dS противоположны. Следовательно, для увеличе
ния скорости rаза до значения М == 1 площадь поперечноrо сечения S нужно
уменьшить до значения Scr> а затем, чтобы получить М> 1, увеличить. Отноше
ние площади поперечноrо сечения к соответствующему критическому значению
5 (1 + 0,5(k 1)м2 }(k + I)/Щ 1)
5cr м( 0,5k + 0,5 {k + 2 ) /2 (k , )
Для смеси уrлеводородных rазов k == 1,2 и
5 (1 + О,1М2)
5cr 1,55М
Зависимость (14.42) показана на рис. 14.3.
Зная значения скорости, плотности, давления, температуры и закон S(x)
изменения площади поперечноrо сечения сопла или дросселя, можно найти
значения этих параметров в любом сечении из следующей системы уравнений
pGUS == PG,u,S1; РРс/ == PIPG ; Р == ApGT;
U2 Uf
СрТ == С р 1 Т ' 2
( 14.41)
( 14.42)
( 14.43)
383
S/S cr
5
4
3
2
1
о
1
Рис. 14.3. Зависимость S / S.r от числа Маха
2 М
Падения давления и температуры
вдоль сопла или дросселя при водят к
появлению пересыщения смеси и в
потоке возможна конденсация паров
воды или тяжелых yr леводородов.
Поскольку время нахождения смеси в
сопле или дросселе мало, то образую
щиеся мелкие капли (туман) не успе
ют заметно увеличиться в размерах.
Поэтому основной рост капель ДОk
жен происходить в потоке за срезом
сопла или дросселя, rде выходящая
струя rаза образует в пространстве как
бы расширяющееся сопло.
2. Механическое воздействие
В рассматриваемом случае принимаем dS == dG == dQs == dL fr == О, dL *- О. При
этом из (14.39) следует, что
(М2 1) d:/ == :; .
( 14.44)
Если dL > О, что соответствует случаю, коrда rазовый поток совершает
работу, например, на колесе турбины в турбодетандере, то в дозвуковом потоке
(М < 1) он ускоряется, а в сверхзвуковом (М> 1) замедляется. При подводе
к rазу энерrии (dL < О), например в компрессоре, в дозвуковом течении CKO
рость rаза снижается, а в сверхзвуковом увеличивается. Основное свойство
механическоrо сопла (турбины, компрессора) заключается в том, что при про
хождении через Hero rаза скорость ero увеличивается, а давление, плотность и
температура снижаются в соответствии с выражением
М2 == ( ТI ) O,5(k+I)/(k l) == ( Р1 ) O.5(k+I)/k == ( РО1 ) O,5(k+l)
М ! Т 2 Р2 РО2 (14.45)
3. Тепловое воздействие
Принимаем dS == dG == dL == dL fr == О, dQs *- о. Из уравнения (14.39) находим
dU k 1
(М2 1)u == '"(i2dQs. (14.46)
Сравнение этоrо уравнения с (14.44) показывает, что поскольку k> 1, оба
уравнения идентичны. Поэтому воздействие подвода тепла (dQs> О) и отвода
тепла (dQs < О) в звуковом потоке соответственно ускоряет или замедляет
поток. В сверхзвуковом потоке картина обратная.
Таким образом, проведенный анализ показал, что при про хождении потока
rазовой смеси через устройства предварительной конденсации возможно пони
жени е температуры, вследствие чеrо создаются блаrоприятные условия для
конденсации паров воды и тяжелых уrлеводородов.
Пусть rазовая смесь содержит компонент, который конденсируется в pe
384
зультате понижения температуры. Обозначим через pvl И Pv парциальные дaB
ления этоrо компонента до расширения смеси и после Hero. Для определенно
сти рассмотрим прохождение смеси через дроссель. Тоrда в соответствии с
уравнениями (14.43) имеем
( T ) k/(k j) ( ) k
pv == pvl 11 == pvl !
Подставляя теперь (14.47) в выражение (14.15) для пересыщения 5, полу
чаем
(14.47)
5 == рех р [ В(? ) J.
(14.48)
rде Т ! и Т значения температуры до расширения и в процессе расширения.
Если известно изменение р и Т по длине устройства, то из уравнения
(14.48) определяем пересыщение 5, а затем (если, конечно, 5> 5cr) находим
скорость образования зародышей новой фазы 1 в соответствии с формулой
(14.18). Зная время t нахождения смеси в устройстве, нетрудно определить
численную и объемную концентрацию капель, образующихся в устройстве в
резу льтате расширения смеси:
t
N == f 1 dt,
о
t
W == f V nuc1 1 dt,
о
(14.49)
rде V nuc1 объем зародившихся капелек.
Критический радиус зародышей можно найти из условия равенства давле
ний на поверхности капельки
2L
Pd == Pvp + R'
rде Pvp давление упрyrости пара над поверхностью капли,
Pvp == р", ехр ( 2;k V ;) ;
(14.50)
(14.51)
V L объем, приходящийся на одну молекулу жидкости; k постоянная Больц
мана, k == 1,3 . 10 29 Дж/К
Подставляя (14.51) в (14.50), получаем уравнение для определения ради
уса зародившейся капли:
2L ( 2LV L )
Р R == р", ехр RkT .
( 14.52)
Дальнейший рост капель обусловлен процессом диффузии пара к поверх
ности.
25 1461
15
КОАЛЕСЦЕНЦИЯ КАПЕЛЬ
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ fA3A
При движении в турбулентном потоке rаза в трубе капли Moryт дробиться
и коаrулировать (коалесцировать). Эти процессы происходят одновременно, и
в результате между ними устанавливается динамическое равновесие. В резу ль
тате устанавливается распределение капель со средним радиусом Rav. Будем
считать, что капли, радиус которых превосходит Rav, дробятся, в то время как
капли с R < Rav коarулируют.
Радиус капель, образующихся в устройствах предварительной конденсации,
HaMHoro меньше Rav, определяемоrо параметрами потока rаза в трубе. Поэтому
после прохождения через УПК капли укрупняются в результате двух процес
сов конденсационноrо роста и коаrуляции до тех пор, пока их радиус не
станет равным Rav. Начиная с этоrо момента средний размер капель не изме
няется. Следовательно, определив это время, можно найти расстояние, на KOTO
ром нужно расположить УПК перед сепаратором, чтобы дать возможность
каплям укрупниться до максимальноrо размера. Но предварительно необходи
мо оценить, как влияют на укрупнение капель конденсация и коаrуляция.
Рассмотрим сначала скорость укрупнения капель за счет коаrуляции.
Существуют два основных механизма Koary ляции капель в турбулентном
потоке [2]: инерционный и механизм турбулентной диффузии. В основе инер
ционноrо механизма лежит предположение о том, что турбулентные пульсации
не полностью увлекают каплю. В результате относительные скорости, приобре
таемые каплями за счет турбулентных пульсаций, зависят от массы капель.
Разность пульсационных скоростей капель различноrо радиуса обусловливает
их сближение и увеличивает вероятность столкновения. В основе механизма
турбулентной диффузии лежит предположение о полном увлечении капель
турбулентными пульсациями Toro масштаба, который иrрает основную роль в
механизме сближения капель. Поскольку капли хаотически движутся под дей
ствием турбулентных пульсаций, их движение сходно с явлением диффузии и
может быть охарактеризовано турбулентным коэффициентом диффузии.
Распределение капель по объемам n(t, Р, V) в точке пространства Р в
момент времени t в приближении парных взаимодействий, справедливом при
небольших объемных концентрациях капель, описывается следующим кинети
ческим уравнением:
; + V. (nu) + at (n :) = Iспзg + I br + IаЬ! + Inuci, (15.1)
[де и скорость капли объема V, dV / dt скорость изменения объема капли
в результате ее массообмена с окружающим rазом (испарение, конденсация).
Слаrаемые в правой части (15. 1) имеют смысл соответственно скоростей
изменения распределения за счет процессоВ коаrуляции, дробления, осаждения
и уноса на rранице области движения, например на стенке трубы, и нуклеации.
Так, интенсивность образования капель объема V в результате коаryляции
v
Iспав = f К(О), V 0) n (0), t, Р) n (V 0), t,P)dO)
о
386
.,
п(У, t, р) fX(ro, у) п (ro, t, р) d(j).
о
( 15.2)
Интенсивность образования капель объема V за счет дробления
.,
/br = ff«(j), у) 9 (ю)n(ю, t, р) d(j) n(У, t, Р) 9 (У).
v
( 15.3)
Интенсивность образования капель объема V в результате нуклеации
/писl = /8 (У V nuc1 )' (15.4)
Надежных данных для определения осаждения и уноса капель на rранице
области в настоящее время, к сожалению, нет.
Здесь введены следующие обозначения: к(ю, У) частота столкновений
капель объемами (j) и V при их единичной концентрации; {(ю, У) число
капель объемом ю, образующихся при дроблении капли объемом У, g(V)
вероятность дробления капли объемом У, I интенсивность образования заро
дышей, определяемая формулой (14.18), 8(х) дельта Функция, У пис1 объем
зародыша, определяемый из уравнения (14.52).
Частота столкновения и вероятность дробления определяются в результате
исследования взаимодействия капель, взвешенных в поле турбулентных пуль
саций. Их определение представляет самостоятельную задачу. Подобная задача
для взаимодействия капель в эмульсии была подробно рассмотрена в разделе У.
Механизм коаrуляции капель зависит от режима движения смеси. В ла
минарном потоке Koary ляция обусловлена сближением капель за счет разных
скоростей их движения либо в неоднородном поле скоростей внешней среды,
либо при осаждении в rравитационном поле. В турбулентном потоке сближение
капель происходит за счет хаотических турбулентных пульсаций. По cpaBHe
нию с ламинарным потоком число столкновений капель в единицу времени
увеличивается. Любое, даже незначительное, перемешивание потока при водит к
увеличению частоты столкновения.
Дроблению капли предшествует значительная деформация поверхности
капли. Эта деформация вызывается воздействием на поверхность напряжений
со стороны внешнеrо и BHYTpeHHero течений, для чеrо нужны значительные
rрадиенты Сl<оростей и динамических напоров. В ламинарном потоке rрадиенты
скорости возникают при течении возле стенок, поэтому основное дробление
капель наблюдается в пристеночной области, rде течение носит сдвиrовый xa
рактер. В турбулентном потоке rрадиенты скорости возникают в окрестности
капель при обтекании их мелкомасштабными пульсациями. Поэтому размер
капель, которые MorYT дробиться в турбулентном потоке, меньше, чем в лами
нарном потоке. В дальнейшем для простоты будем считать, что критический
размер капель [см. формулу (14.14)] разделяет капли на дробящиеся (R > Rcr)
и не дробящиеся (R < Rcr). Последние капли MorYT только коаryлировать.
15.1. ИНЕРЦИОННЫЙ МЕХАНИЗМ КОЛfУЛЯЦИИ
Рассмотрим каплю радиусом R 2 . Число встреч этой капли с каплями
радиусом Rj в единицу времени за счет инерционноrо механизма в турбулент
ном потоке оценивается следующим выражением [2J:
25*
387
3/4
( ) 2 ( 2 2 ) PL&O
t2 =п R I +R 2 R I R2 "'""""'"'37nt,
PGVG
rде Eo удельная энерrия диссипация; v коэффициент кинематической вязко
сти; n 1 число капель радиусом R I в единице объема.
Поскольку ЕО = из / d, то
9/4
( ) 2 ( 2 2 ) Р L И .
12 = 1t R I + R 2 R I R 2 5/4 d 3/4 n 1 .
PGVG
Таким образом, в рассматриваемом случае частота коаryляции, входящая в
уравнение (15.1),
( 15.5)
( 15.6)
( ) 2 1 2 2 [ PLU9/4
К = 1t R I + R 2 Rt R 2 5/4 d 3/4 .
PGvG
Оценим скорость роста капель, считая их одинаковыми. Тоrда частоту
коаryляции (15.6) нужно усреднить по разм ерам капель:
2 Р u 9 / 4
12 = 1t(RI + R 2 ) (Щ Rп L 4 3/4 n 1 . (15.8)
PGV d
Черта сверху означает усреднение по размерам. Значение средней величи
ны, конечно, зависит от вида распределения капель по размерам. Не задаваясь
конкретным видом распределения, можно для оценки положить
(15.7)
(Rt + R 2 )2(Rr Щ) R v.
( 15.9)
Теперь нетрудно написать уравнение баланса числа капель n:
dn 1 R 4 PLu9/4 2
Ж= 2п av 5/43/4 N.
pGvG d
В правой части (15.1 О) стоит коэффициент 1/2, поскольку при подсчете
числа столкновений взаимодействие одинаковых капель учитывается дважды.
Введем объемное содержание капель:
4
W = з 1tRJ v n' (15.11)
(15.10)
Тоrда (15.10) можно переписать в виде
.!!.. ( Rav ) W ( Rav ) 2 О PLU 9 / 4
dt R O 8 R O Rav 5/4 d 3/4 '
av av PGVG
(15.12)
rде R9v начальный радиус капель.
Решение уравнения (15.12) имеет вид
Rav 1
RO = 1 t/'t ;
av
w PLU 9 / 4
"C 1 = 8' R9v 5/4 3/4 '
PGVG d
( 15.13)
Время't можно рассматривать, как характерное время укрупнения капель
за счет инерционноrо механизма. Ero удобно выразить не через объемное W,
а через массовое содержание жидкой фазы q = WPL:
( 9/4 ) !
't = R9v /4d3/4
PGVG
(15.14)
388
Для характерных значений q == 0,2 Kr /м 3 , Ре == 40 Kr /м 3 . d == 0,25 м,
Vе==Зх 10 7M2/c. U==О,4 м/с, Rav==S. 10 5 М имеем 't з с. В частности, увели
чение радиуса капли в два раза происходит за время порядка 1,5 с.
Заметим, что при проведении расчетов не учтены такие факторы, как rИk
родинамическое сопротивление движению капель, а также силы молекулярноrо
взаимодействия. В дальнейшем будет показано, что прав ильный учет этих сил
заметно увеличивает характерное время коаrуляции капель.
15.2. МЕХАНИЗМ ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ
Выясним, какие пульсации MorYT заставить сблизиться капли радиусами R\
и R 2 . Рассмотрим два предельных случая R 2 « R\ и R 2 R\ без учета сопро
тивления окружающей средЫ. Очевидно, что в первом случае сблизиться капли
заставят пульсации масштаба л r R\, а во втором л r, [де r расстояние
между центрами рассматриваемых капель. Используя эти предельные COOTHO
шения, а также условие симметрии л(r, R\. R 2 ) == Л(r, R 2 . R\), получаем следую
щую оценку для масштаба пульсаций, которые MorYT сблизить капли произ
вольноrо радиуса:
R R R\R2(R\ + R2)
л r \ 2+ 2 2 .
R\ + R 2 R\R2
Поскольку коэффициент турбулентной диффузии без
движения капель [2]
(15.15)
учета стесненности
DtO== л2 (15.16)
реl..Ъ
(л о внутренний масштаб турбулентности). подставляя выражение (15.15) в
(15.16), получаем
D [ R R R\R2(R\ + R2) ] 2
10 2 r \ 2 + 2 2 .
Реl..О R\ +R 2 R\R2
Частота столкновений капель радиусом R 2 с каплей радиусом R j равна
диффузионному потоку J 1 , определяемому из решения стационарноrо уравнения
диффузии, которое в сферически симметричном случае имеет вид
(15.17)
1 d ( dn2 )
r2Dt == о.
у 2 dr dr
(15.18)
rраничными условиями являются условие MrHoBeHHoro поr лощения каплей
радиусом R\ капель радиусом R 2 при их соприкосновении
n 2 ==о при r==R j +R 2 (15.19)
и условия постоянства концентрации капель радиусом R 2 вдали от капли pa
диусом R j
n 2 == n 20 при r 00.
(15.20)
Решая задачу (15.18) (15.20), получаем выражение для потока:
( dn2 )
J 1 == 411: r2Dtd
r r=R\ +R2
== 411: [ fr2 :(r) (
Rf + R2 J
(15.21)
389
Подставляя в (15.21) выражение (15.17) для коэффициента турбулентной
диффузии и учитывая, что ло== d/Rе З / 4 , получаем
J ==4пп а2 ( из ) 1/2 ( 1 + + ln I R1+R2 Ct II 1 (15.22)
t 20 vGd RI + R2 а R 1 + R2 а RI + R 2 U '
RI +R2 R1R2(RI +R 2 )
[де а ==
(Rf+Щ RIR2) .
в частности, для капель одинаковоrо размера (R 1 == R 2 )
З ( иЗ ) 1/2
J t == 961tn 20 R 2 vGd (15.23)
Переходя в (15.22) от радиусов к объемам капель и учитывая, что ядро
кинетическоrо уравнения коаrуляции К( V, 0) равно диффузионному потоку
капель с единичной концентрацией, получаем
( иЗ ) 1/2 ( V2/3 + ш2/3
K(V, 0) == За 2 vGd (Vm)I/3(VI/З + ml/ З ) +
2 l ! (Vm)1j3 1
+ n
а v2/3 + m2/З (Vm)I/3
(15.24)
Оценим теперь скорость роста капель за счет механизма турбулентной
диффузии. Для простоты считаем, что капли одинаковоrо размера. Тоrда час
тот а столкновения определяется как
( ) 1/2
)311 == 36n 2 V
(15.25)
Поскольку w== Vn, уравнение баланса числа капель можно записать как
dn ( из ) 1/2.
dt == )311 == 36Wn VGd ,п(О) == по. (15.26)
Решение имеет вид
п == по ехр [ 36W ( ) 1/2 t ].
Соответственно радиус капель увеличивается со временем по закону
Rav == Rg v eX P [12W( Y /2 t].
(15.27)
(15.28)
Таким образом,
характерное время увеличения
[ 1/2 ] I
'turb 12W( ) t
среднеrо размера капель
(15.29)
Сравним характерные времена укрупнения капель за счет инерционноrо
механизма и механизма турбулентной диффузии:
96EQ. Rе З/4.
ЧurЬ Р 1. Rg v
(15.30)
Для rазожидкостных смесей, характерных для природных rазов, можно
принять PG/PL O,OS; d/Rgv 105; Re 106. Torдa отношение времен имеет
390
порядок 'tin/'tturb 10. Это значит, что основным механизмом укрупнения Ma
леньких капель в турбулентном потоке является механизм турбулентной диф
фузии.
Заметим, что при выводе формулы (15.29) не учитывались силы rидроди
намическоrо и молекулярноrо взаимодействия капель. Поэтому следует ожи
дать, что характерное время укрупнения капель будет меньше действительноrо
времени.
Учет rидродинамическоrо и молекулярноrо взаимодействий капель можно
сделать так же, как это было ранее сделано для эмульсий в разделе У. При
сближении капель под действием турбулентных пульсаций до расстояний, MeHЬ
ших Л О , они испытывают значительное сопротивление окружающей среды, а
также силы молекулярноrо притяжения, которые и обеспечивают столкновение
и слияние капель. Если основным механизмом коаrуляции капель является
механизм турбулентной диффузии, то коэффициент турбулентной диффузии
зависит от коэффициента rидродинамическоrо сопротивления [см. (11.70), (11.72)
и (11.74)], а следовательно, и от относительноrо зазора между сближающимися
каплями
Dt(r) == DtO H2 (t) ,
Н(О == [ 1 + R 1 R 2 ] 1
(r R 1 R2)(R 1 + R 2 ) ,
[де DtO коэффициент турбулентной диффузии при нестесненном движении
капель, определяемый формулой (15.17). Напомним смысл коэффициента Н(О.
Пока капли находятся далеко друr от друrа (r» R 1 + R 2 ), можно считать, что
они движутся независимо (например, по закону Стокса) , и хоэффициент сопро
тивления ho == 6ЩleyR2' т. е. Н == 1. Коrда капли сближаются, сила сопротивления
растет обратно пропорционально расстоянию между поверхностями капель, если
поверхность капель полностью заторможена и
h == 6пlla R R 1 R R 2 H(r),
1+ 2
сила молекулярнorо взаимодействия (см. раздел У) приближенно равна
F TR 1 R 2
А 6(R 1 + R2)(r R 1 R2)2 '
rде r постоянная [амакера, для аэрозолей r == 5 . 1 0 20 Дж.
Для капель, соизмеримых (R 1 R 2 ) и сильно отличающихся по размерам
(R 1 » R 2 ), диффузионный поток С учетом rидродинамических и молекулярных
сил даются формулами (13.90) и (13.96), а соответствующие частоты коаrуля
ции формулами (13.97) и (13.98). Оба предельных выражения, а также
значения частот коаrуляции в промежуточной области размеров капель аппрок
симируются следующим выражением [6]:
K(V, ш) 5,65 a(Vw)I/4+ ь (V 2 /3 + ш 2 / 3 1,6 (Vw)1/ 3 ),
(15.31)
(15.32)
(15.33)
1/2 va 33/2 1/3 Va r
[де а = 125т 2; Ь = r ( 4 / 3 ) 5т 2; 5т = 27 2 А ; r(x) rамма функция.
Ао Ао РаУа о
Укажем еще одну удачную аппроксимацию, которая была использована
при исследовании коаrуляции капель в эмульсиях (см. раздел У):
К( V, ш) = G (V1/3 W 1 / 6 + w 1 / 3 V1/6), (15.34)
[де G == (т /3пРал )1/2.
391
15.3. КОАЛЕСЦЕНЦИЯ ПОЛИДИСПЕРсноrо АНСАМБЛЯ КАПЕЛЬ
Проведенные в разделе 15.2 оценки характерных времен укрупнения Ka
пель выполнены в простейшем случае монодисперсноrо распределения капель
без учета сил rидродинамическоrо и молеку лярноrо взаимодействий капель.
Рассмотрим теперь кинетику укрупнения полидисперсноrо ансамбля капель с
учетом этих сил.
Изменение со временем распределения капель по размерам n(V, t) в
предположении пространственной однородности распределения и с учетом только
коаrуляции капель описывается кинетическим уравнением коаrуляции, которое
следует из (15.1):
v ф
: == fK(O), V 0) n (0), t)n(V 0), t) dO) n(V, t) fK(O), V) n (0), t)dO). (15.3.5)
о о
Уравнение (15.35) представляет собой нелинейное интеrродифференциаль
ное уравнение, решение KOToporo в случае ядра 1<оаryляции вида (15.33) можно
получить численными или приближенными методами. Оrраничимся прибли
женныM решением, поскольку оно позволяет получить относительно простое и
обозримое решение. В разделе V изложен основной приближенный метод pe
шения кинетическоrо уравнения метод моментов, и отмечено существование
двух модификаций метода параметрическоrо метода и метода дробных MO
ментов. В основе метода лежит сведение уравнения (15.35) к бесконечной
системе уравнений относительно моментов распределения m k :
ф
mk == fVk n (V, t) dV; k == О, 1, 2,... (15.36)
о
Первые два момента имеют простой физический смысл: то численная
концентрация капель, тl объемная концентрация капель:
ф ф
то == fn(V, t)dV==N(t); щ == fVn(V, t)dV==W(t).
о о
Заметим, что средний объем капель
тl
Vav(t) == то . (15.38)
Кроме целых моментов (k целое число) возможны дробные моменты,
соответствующие нецелыIM значениям k. Из дробных моментов физический
смысл имеют т l / З и т 2 /'3> характеризующие средний радиус и среднюю поверх
ность капель в единице объема смеси (межфазную поверхность):
Щ/3 == fV1/ 3 n (V, t) dV == ( 7t )Ravmo;
О
ф ( ) 1/3
т2/3 == fV2/3n (V, t) dV == 3 7t Sav.
о
(15.37)
( 15.39)
Иноrда вместо распределения капель по объемам n( V, t) удобно пользо
ваться распределением капель по радиусам n(R, t) [таким распределением
является (14. 1 )]. Связь этих двух распределений можно найти, воспользовав
392
шись тем, что n(V, t)dV== n(R, t)dR имеет смысл числа капель с объемом или
радиусом соответственно в интервале (V, V + dv') или (R, R + dR). Torдa
1
n(R, t) = (36п) 113 V2/3n (V, t) или n(V, t) = 47tR 2 n(R, О. (15.40)
Умножим обе части уравнения (15.35) на V' и проинтеrpируем по V от
О до 00. Используя симметричность ядра K(V,O) == К(О), V), получаем следую
щие уравнения относительно моментов т,:
dd ' = 11 к (О), V)( (V + 0)' v.) п (0), t) n(V, t) dO)dV; i == О, 1, 2,... (15.41)
о о
Для замыкания системы уравнений (15.41) необходимо правые части
выразить через моменты. Для этоrо ядро должно иметь специальный вид (Ha
пример, вид однородноrо мноrочлена степеней V и 0) или нужно принять
допущение о принадлежности распределения к определенному классу (напри
мер, лоrарифмически нормальному или rамма распределению). Первый метод
называется методом дробных моментов, а второй параметрическим методом.
Примем, что распределение капель по размеру принадлежит к классу raM
ма распределений
(V t) = W (k + О ( ) k v/vQ
п, vJ k! Vo е .
Здесь V o и k параметры распределения, связанные со средним объемом
и дисперсией 0'2 соотношениями
Vo vJ
V av = k + l ' 0'2 = k + 1 .
( 15.42)
V av
( 15.43)
Основное предположение в параметрическом методе состоит в том, что
распределение с течением времени остается в классе rамма распределений, но
у Hero со временем изменяется параметр V O ' Заметим, что учет только Koary
ляции капель при водит к постоянству объемной концентрации W, т. е. т 1 .
Оrpаничившись двухмоментным приближением, получим систему уравнений
(11.30) относительно п (V, О, V o и численной концентрации капель N. Под
ставляя в эти уравнения выражения (15.42), (15.33) и исключая V o , получаем
обыкновенное дифференциальное уравнение для определения N(t):
dN N2 [ WI/2 W2/3 ]
lit = 2(k!)2 aQ,kl NI/2(k + 01/2 + bQ,k2 N2/3(k + 1)2/3 '
(1S.44a)
rде Q,kl = 5,65 r 2 (k + 5/4); Q,k2 = 2r(k + 5/3) r(k + 1) 1,6P(k + 4/3).
Значения Q,k! и Q,k2 для различных значений k приведены ниже.
k ............ о
Он . . . . . . . . . . . ., 4,64
Ok2' . . . .. ...... 0,53
1
7,25
0,74
2
36,69
3,70
3
387,49
39,38
Поскольку нас интересует средний объем капель, переходя в уравнение
(15.44) от N к V av == W / N и учитывая, что W= const, получим вместо (15.44)
следующее уравнение для V av :
d [ 1/2 1/2 ]
V av W Q, V aV + Ьо. V aV
2(kl)2 а kl (k + 1)1/2 k2 (k + 1)2/3 '
(15.44)
решение KOToporo с начальным условием Vav(O) = VaO V имеет вид
393
!.. == и 2 uб С(и 2 ио) С 2 1 ( с + ви )
6 2В В2 + В2 n СВио .
Здесь введены следующие обозначения:
1/6. ( о ) 1/6. bWOk2 . aWOkl
U V av , ио V av , В 2(k!)2(k + 1)2/3 ' С 2(k!)2(k + 1)1/2 .
При турбулентной коаryляции основной вклад в диффузионный поток или
в частоту коаrуляции дают капли соизмеримых размеров (это было показано
в разделе V для коarуляции капель в эмульсии). Torдa второе слаrаемое в
правой части (lS.44a) мало по сравнению с первым. Пренебреrая им, получаем
решение в явном виде:
V av == ( 1 + ) 2 , ' 't 1 == 4(k 1)2(k + 1)1/2( Va )1/2
Va '[1 aWOkl (15.46)
(15.45)
Так же, как и раньше, будем рассматривать "1 как характерное время
коаryляции полидисперсноrо ансамбля капель, обусловленной механизмом TYP
бу лентной диффузии с учетом сил rидродинамическоrо и молеку ЛЯрноrо взаи
модействий. Оценим это время. Для характерных значений потока PG== 40 Kr / м 2 ,
"-о == 5 . 10--6 м, I-I-G== 1,2 . 1()5 Па . с, W == 2 . 10 4 м 3 /м 3 И параметров распределения
R v == 10 5 м, k == 3 имеем l/'t J == 0,257. При этом увеличение радиуса капель
в 2 раза происходит за время t 7 с. Это время почти на два порядка больше,
чем для монодисперсноrо распределения без учета rидродинамических и моле
кулярных сил. Такая большая разница характерных времен обусловлена, KO
нечно, не учетом полидисперсности распределения, поскольку и метод моментов
и сделанное упрощение при определении решения уравнения (lS.44a) нивели
рует полидисперсность, а учетом сил взаимодействия.
Рассмотрим теперь коаryляцию, обусловленную инерционным механизмом.
В этом случае учет молекулярных и rидродинамических сил приводит к сле
дующей частоте коarуляции [7]:
[( ) 1/3 ( ) 1/3 ] 2
K(V, 0) == 41t"f + % '
( 15.47)
rде у == r /б1tI-l-G.
Заметим, что формула (15.47) справедлива для капель, значительно разли
чающихся по размерам. Для инерционноrо механизма коаryляции именно этот
случай представляет наибольший интерес, поскольку для капель соизмеримых
размеров основной механизм коаrуляции турбулентная диффузия.
Поступая так же, как в рассмотренном выше случае, получаем следующее
уравнение, описывающее изменение со временем среднеrо объема капель:
d;;v == 41tyA k W; Ak == (k )2 [r(k + S/з)r(k + 1/3) + P(k + 1)]. (15.48)
Из этоrо уравнения следует, что средний объем капель растет по ЛИf{ей
ному закону
( ) о
o t. Vav
V av V av 1 + ' 't2 47tyA k W '
(15.49)
Конечно, линейный закон роста капель соответствует только начальному
этапу коаrуляции.
394
Оценим характерное время 't2 укрупнения капель за счет инерционноrо
механизма. Для значений k==3; W==2' 10 4 мЗ/м З ; r==s. 10 20 Дж;
/lG == 1,2 . 10 5 Па' с; Rau == 10 6 М имеем Аз == 2,28 и 1/'t 2 == 0,34. Радиус капель
увеличивается в 2 раза за время 20 с.
Таким образом, и в рассматриваемом случае основным механизмом Koary
ляции капель является механизм турбулентной диффузии.
Рассмотрим теперь класс лоrарифмически нормальных распределений. Пусть
распределение капель по объемам имеет вид
N ( ln2(V /vo» )
n (V, О == з.л; 1 ехр I 2 .
271V па 18 n а
(15.50)
Введем моменты распределения (15.50):
N "' f [ In2(V /vo) ]
m, == з.л;l VH ехр I 2 dV.
271 n а О 18 n а
Воспользуемся аппроксимацией (15.34) для частоты коаrулЯЦИИ и подста
вим ее в (15.41). Полаrая далее i== 1,2,3, получаем следующую систему ypaB
нений для первых трех моментов: то, т l и т 2 :
dmo dml
dt == Gт1/з т l/6; dt == о;
(15.51)
(15.52)
dm2 ( 1 1 )
dt == G 2' тIЗ/5 т l/6 + тI0/з т 7/6 + т7 /з т IЗ/6 2' т 2 5/6 т l/з т I9/6 т 4/З .
В правы е части полученной системы уравнений входят дробные моменты.
Поэтому для замыкания системы уравнений их нужно выразить через целые
моменты. Для этоrо воспользуемся свойством [8] интеrpалов вида (15.51),
которое позволяет выразить mk через т l и параметры V o и о' распределения
(15.50):
mk == т1Щ 1 exp[ (k2 1)ln 2 о' J. (15.53)
Выражая с помощью (15.53) дробные моменты через целые !I подставляя
в (15.52), получаем
dmo Gm'f ( 67 1 2 J. dml О .
dt v /2 ехр "8 n ' (ft ,
d:;;2 == Gm V05/2[ ехр ( 6 5 1n2 0') + ехр ( 3 7 ln 2 0') +
+ ехр ( 2 3 In 2 0') ехр ( 5 7 In 2 0') + ехр ( 2 7 In2 0') J.
Учитывая, что
то == ех р ( % In 2 0'); т2 == ЩV О ех р ( 2; In 2 о' ).
( 15.54)
( 15.55)
получаем замкнутую систему уравнений относительно
рые, найдем средний объем капель
Vau(t) == Vo(O ехр [1 ,Sln 2 0' (О].
V o и 0', определив KOTO
( 15.56)
395
Система уравнений (15.54) соответствует трехмоментному приближению.
Учет следующих моментов нетрудно сделать, но это приводит К усложнению
системы уравнений. Для проведения оценки скорости укрупнения капель мож
но воспользоваться двухмоментным приближением. В нашем случае это COOT
ветствует предположению, что дисперсия не изменяется, а изменяется только V o .
Тоrда оставляя в системе уравнений (15.54) только первые два уравнения,
получаем
Vav(t) = VaOv [ l + G:т t exp ( 4 8 1 1п2 0' )] 2, (15.57)
2(V av )I/2
N(t) = N(O)exp ( 2 91П2 0' ) [ 1 + G:т t exp ( 4 8 1 1П2 0' )] 2. (15.58)
2(V av )I/2
Из (15.57) следует, что характерное время коаryляции оценивается как
2(V a O v )I/2 ( 411 2 ) ( 15.59 )
't GW ехр 8 пО'.
Отметим
одно характерное свойство. Через достаточно
[ ( )] 2
G2W2t 2 41
Vav(t) ехр 81п2 о' .
большое время
( 15.60)
Это означает, что коrда капли достаточно укрупнились, они забывают
свой начальный объем.
Если данных о виде распределения капель по объемам нет, то нужно
использовать метод аппроксимации дробных моментов (см. раздел V). Приме
ним этот метод для коаryляции капель с частотой коаryляции (15.34). Orpa
ничившись первыми двумя моментами то и m l , получим
dmo dml
dt = Gт1l3Щ/6; dt = о; (15.61)
то(О) =: N o ; т l = W =: const.
Аппроксимируем дробные моменты через целые в соответствии с (11.20)
по двухточечной схеме:
тl/з(t) т /3Щ т// 3 Щ т /3Щ .
ml/3(0) т /3(0) m l / 3 (0) т /3(o) '
(15.62)
ml/6(t) mg/ 6 (t) т// 6 Щ mg/ 6 (t)
ml/6(0) mg/ 6 (0) т l / 6 (0) mg/ 6 (0) '
Здесь учтено, что т l в процессе коаryляции остается постоянной. Подстав
ляя (15.62) в (15.61), получаем
d [ J 3/2
:;: = Gщ/з(О) ти6(0) :: O) . (15.63)
Решение имеет вид
то(о = т о (О)(l + +) 2;
2 [ ] 1/2
't = G то(О) щ(О) .
(15.64)
Соответственно средний объем капель изменяется со временем по закону
396
Vav(t) = V av (O>(l + f у.
Для относительно больших времен имеем
64W 2 rt 2
Vav(t) 3 ')..2
1tPG О
(15.65)
( 15.66)
16
ОБРАЗОВАНИЕ ЖИДКОЙ ФАЗЫ В УСТРОЙСТВАХ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ КОНДЕНСАЦИИ
При движении двухфазной мноrокомпонентной смеси в трубе в условиях
медленноrо изменения давления и температуры в ней успевает установиться
термодинамическое равновесие. Равновесные значения концентраций компонен
тов в каждой фазе и объемные доли фаз можно определить, используя ypas--
нения парожидкостноrо равновесия (см. раздел 5.7). В установках комплекс
ной подrотовки rаза после первой ступени сепарации, в которой от rаза OTдe
ляется основная масса капельной жидкости, rаз поступает на вторую ступень
сепарации. В схеме низкотемпературной сепарации (НТС) перед второй ступ-е
нью сепарации размещают устройства предварительной конденсации (дроссель,
теплообменник, турбодетандер). В результате резкоrо снижения давления и
температуры при про хождении через эти устройства в смеси нарушается TepMO
динамическое равновесие, при водящее к интенсивному образованию ЖИДl{ОЙ
фазы и межфазному массообмену на поверхности капель до тех пор, пока не
установится фазовое равновесие, но уже при дрyrих значениях давления, TeM
пературы и составов фаз. В данном разделе изложены методы, позволяющие
определить скорость конденсационноrо роста капель и количество жидкой фазы,
образующейся в устройствах предварительной конденсации в условиях HepaB
новесности.
16.1. КОНДЕНСАЦИОННЫЙ РОСТ КАПЕЛЬ
В ПОКОЯЩЕЙСЯ fАЗОЖИДКОСТНОЙ СМЕСИ
Рассмотрим rазовую смесь, состоящую из двух компонентов с молярными
долями УIО И У20 при давлении РI и температуре Т,. В некоторый момент
времени, который мы будем считать начальным, давление и температура резко
изменяются и становятся равными Р2 и Т 2 , которые затем остаются постоянны
ми. При этом в системе нарушится термодинамическое равновесие, которое
существовало при РI и Т" и при определенных значениях Р2 и Т 2 В смеси за
счет процесса rомоrенной конденсации возникают капли жидкой фазы со cpeд
ним радиусом Ro = Rnucl' С течением времени образовавшиеся капли растут до
тех пор, пока в системе не установится равновесие, соответствующеее значениям
Р2 и Т 2 .
Предположим, что образовавшиеся капли состоят только из компонента 1
397
и в процессе дальнейшеrо конденсационноrо роста капли на поверхности KOH
денсируется только компонент 1, т. е. компонент 2 является нейтральным и в
процессе массообмена между фазами не участвует. Оrраничимся случаем поко
ящейся среды. Тоrда основным механизмом доставки компонента 1 к поверх
ности капли является диффузия. Кроме Toro, принимаем, что на межфазной
поверхности имеет место термодинамическое равновесие, поскольку оно YCTa
навливается HaMHoro быстрее, чем равновесие в объеме. Характерные времена
диффузионных процессов в rазовой фазе обычно HaMHoro меньше, чем в жиk
кой фазе, поскольку отношение коэффициентов диффузии DiG/DiL » 1. Поэто
му можно рассмотреть квазистационарную задачу, полаrая, что распределение
концентраций компонентов в rазовой фазе носит стационарный характер. Это
означает, что молярные концентрации в rазе У; зависят только от расстояния до
центра капли, в то время как параметры капли (масса и радиус капли) зависят
от времени. Задача о динамике капли в rазе в подобной постановке была
рассмотрена в разделе 6.9.
Поток i ro компонента в rазовой фазе следующим образом выражается
через молярные доли компонент Yi:
dYi ( )
J i == СGД2Gdr+УJ i==l, 2, (16.1)
rде J == LJ i суммарный поток, r расстояние от центра капли, C G мольная
i
плотность rаза (моль/м 3 ).
Из условия сохранения потоков
!!.. ( тч. ) == о
у 2 dr ·
(16.2)
следует, что
R2
Ji == Jiw ---:;2;
R2
J i ==Jw---:;2'
(16.3)
rде R(t) текущий радиус капли: индексом w обозначены соответствующие
значения на поверхности капли.
Подставляя (16.3) в (16.1), получаем уравнения, описывающие изменения
со временем концентрации компонент в rазе:
у 2 dYi
C G D 12G R2 (f; yJw == J.w. (16.4)
Зададим значения концентраций на поверхности капли:
Yi==Yiw при r==R.
(16.5)
Поскольку на межфазной поверхности существует локальное термодина
мическое равновесие, то значение Yiw определяется из соответствующих paBHO
весных соотношений. Простейшим является выражение, справедливое для иде
альной rазовой смеси:
Psat (Т 2 )
Yiw== ,
(16.6)
rде Psat(T 2 ) давление насыщения пара 1 ro компонента над поверхностью
жидкости при температуре Т 2 . Температура принимается постоянной.
Если объемная концентрация капель мала (W« 1), то в первом прибли
жении влиянием соседних капель (стесненностью) можно пренебречь и pac
сматривать изолированную каплю, окруженную бесконечным объемом rаза. Тоrда
398
вторым rраничным условием будет условие постоянства концентрации вдали от
капли:
y. y!", при T OO.
Значения у,оо считаются заданными.
Условие (16.7) позволяет записать реllIение уравнения
J. w ( J.w ) ( R2]w )
у. == т;; + у.оо т;; ехр C G D. 2G r .
ВоспользоваВllIИСЬ условием (16.5), найдем
J == J Y.w У.", еХР( ЮwIСGD.2G) (16.9)
tW w 1 ехр( RJш/СGDt2G) .
Из условия нейтральности компонента 2 следует, что J 2w == О. Тотда из
(16.9) найдем
(16.7)
(16.4) в виде
( 16.8)
J C G D 12G 1 ( 1 УI"' ) (16.10)
w R n 1 Ylw .
Входящие сюда радиус капли R и молярная концентрация у.оо вдали от
капли зависят от времени. Уравнение баланса объема капли
== 41tЮV1LJlw, (16.11)
тде V'L молярный объем 1 TO компонента, служит для определения радиуса
капли.
Поскольку J,w==J w ' то, подставляя (16.10) в (16.11), получаем
== 4п( ) 1/3 V IL C G Dt2G ln (: = ::). (16.12)
Получим теперь уравнение дЛЯ У100(О' Пусть капли характеризуются pac
пределением по объемам n( V, О. Если рассматривается изменение распределе
ния только за счет конденсационноrо раста капель, то из кинетическоrо ypaB
нения (15.1) следует, что
an д ( dV ) О
дt + av n'dt == .
(16.13)
Счетная и объемная концентрации капель определяются формулами
00 00
N == Jn(V, t) dV; W == JVn(V, t) dV,
о о
(16.14)
причем в рассматриваемом случае N == const.
Рассматривая теперь баланс массы 1 TO компонента, нетрудно получить
уравнение, описывающее изменение со временем у,,,,:
dYI00 471 OO J 2 ( ) d
"dt==c R Jw n V,t V.
G О
Подставив сюда выражение (16.10) для J w , получим
d ", == 4п ( 4 ) 1/3 Дю ln ( = ::) 1 V1/ 3 n (V, t) dV.
( 16.15)
(16.16)
399
Таким образом, уравнения (16.12), (16.13) и (16.16) образуют замкнутую
систему для определения V(t), n (V, t) и Уlоо' Их следует решать при началь-
ных условиях
n(V, t) == no(V), V(O) == V o , УIОО(О) == У10'
(16.17)
Решаем полученную систему методом моментов. Введем моменты i ro
порядка
'"
т. == JV'n(V, t) dV (i == о, 1, 2,...). (16.18)
о
Напомним, что то == N, а тl == W.
Умножая (16.13) на V i , интеrрируя по V от О до 00 и оrраничиваясь двумя
первыми моментами, получаем после несложных преобразований
00
dmo == о; dml == f dV n(V t) dV.
dt dt dt '
о
Воспользовавшись (16.12), найдем
dd 1 == 4п( 4 } /3 VjLD 12G C G ln C = ::) Щ/3'
(16.19)
(16.20)
Введение моментов позволяет переписать уравнение (16.16) в виде
d oo == 4п ( 4 } /3 D 12G ln ( = ::) тиз' (16.21)
Уравнение для радиуса капли следует из (16.12):
dR CGDI2GvIL ( 1 УI00 )
dt == R ln 1 У1'" тиз'
(16.22)
Уравнения (16.20) (16.22) MorYT быть решены в случае предельно раз
бавленных смесей, коrда либо первый компонент, либо второй присутствует в
смеси rаз.а в небольшом количестве. Наибольший интерес представляет случай
малоrо содержания первоrо, т. е. конденсирующеrося компонента. Для процес
сов, происходящих в дросселе, теплообменнике или турбодетандере, конденсиру
ются пары воды или тяжелые уrлеводороды. В природном rазе эти компоненты,
каК правило, содержатся в небольшом количестве, поэтому приближение пре
дельно разбавленной смеси оправдано.
Сделанное предположение позволяет считать У'''' « 1 и УI00 « 1. Тоrда
ln (: = ::) (УI00 YIW) == AYI (16.23)
и система уравнений примет вид
dml ( 3 ) 1/3
dt == 4п 4; V1LD12GCG т1jз А УI,
d(t..YI) ( 3 ) 1/3
== 4п 4; D 12G т1jз А УI,
dR CGD12Gv1L А
dt R Yt.
(16.24)
( 16.25)
( 16.26)
400
В правые части уравнений (16.24) и (16.25) входят дробные моменты
т1/3' которые выразим через целые, используя интерполяционные формулы
(11.20) для схемы двухточечной интерполяции:
т l /з(t) == т5/3тf/3(t). (16.27)
Здесь введены безразмерные моменты т; == т;(О/т;(О). Поскольку нуле
вой момент представляет собой численную концентрацию капель, то то(о == 1,
поэтому
тl/з(t) == т:/ 3 (О. (16.28)
Последнее соотношение позволяет преобразовать уравнение (16.24) к виду
dml д.У1 1/3
(ft == д.УI (О) т , ,
(16.29)
тде 't == 3ViLCGD'2G YI(O)t/ Ю(О).
Выразив из (16.25) Y1 через тl и подставив в (16.29), получим уравнение
dm, ( b ) 1/3. (О) 1
d't == а тl тl ,т l ==;
Ь тl (О) .
VILCG YI(O)' а==l+Ь,
(16.30)
решение которото находится в неявном виде:
л.3 1 [ (тi/з л)2(1+л+л2)
't == O,Sln 2 +
л (ml/ 3 + тl/ 3 + 1..2)(1 л)
( 2ml/3+ л
+JЗ arctg vIз
2+ Л )]
arctg лvlз '
(16.31)
тде л. == (а/Ь)I/3.
Выражение (16.31) позволяет определить изменение со временем объем
ното содержания капель тl(t). При 't 00 система стремится к равновесному
состоянию. При этом Y1 О И из соотношения, которое вытекает из уравнений
(16.24) и (16.25),
тl(t) + VILCd'% == тl(O) + VILCG Y1(0)
(16.32)
следует, что т , ('t) л. з . В частности, определив тl и использовав условие
постоянства численной концентрации капель, можно найти средний объем Ka
пель:
Vav(t) == Vav(O)тl('t),
(16.33)
тде Vav(O) начальный средний объем капель.
Поскольку равновесие в системе наступает при 't 00, то для оценки xa
рактерното времени установления равновесия 'teq определим ето как время, через
которое объемное содержание капель будет отличаться от соответствую
щеrо равновесното значения т 1eq == л. з на 10 %. На рис 16.1 представлено изме
нение безразмерноrо параметра, характеризующеrо средний радиус капель
z == [V av /V av (0)]1/3 со временем 't для различных значений параметра л.. Для
удобства по оси ординат отложена z == (z 1)j(л. 1). Зависимость xapaктepHO
то времени установления равновесия в системе 'teq от л. показана на рис. 16.2.
26 1461 401
z
1,0
2
3
4
5
5 10 15 20 't
0,5
О
Рис. 16.1. Зависимость z от 't для различных
зиачений л:
1 1,5; 2 3; 3 5; 4 7; 5 10
л.
10
5
1 50 100 150 'teq
Рис. 16.2. Зависимость безразмериоrо Bpe
мени установления равновесия T от Л
Полученное выше решение справедливо при малых значениях объемноrо
содержания жидкой фазы. Среднее расстояние между каплями пропорциональ
113
но т l ,поэтому с ростом т , среднее расстояние между каплями уменьшается,
что приводит к необходимости учитывать влияние капель друr на дрyrа, т. е.
учитывать стесненность. При этом rраничное условие в толще rаза нужно
формулировать, исходя из ячеичной модели (см. раздел 10.7)
УI == Yloo при R == Rc, (16.34)
rде Rc == R(t)/m:/ 3 (t) радиус ячейки, равный среднему расстоянию между
каплями.
Возвращаясь к уравнению (16.4) и используя это rраничное условие,
получаем
Jiw (Yloo Ylw)exp( R2jw/CGDI2Gr)
У, == J:: + exp( R2 Jw/CGDI2GRc) exp( RJw/CGDI2G)'
Jiw Ylw ехр ( R2 Jw/CGDI2GRc) Yloo( RJw/CGDI2G)
J w exp( R2Jw/CGDI2GRc) exp( RJw/CGDI2G)
Полаrая в (16.35) J 2w == О, найдем
== C G D '2G ln ( 1 Yloo )
J UJ R(1 R/Rc) 1 Ylw .
В приближении предельно разбавленной смеси имеем
J == C G D I2G
w R(1 R/Rc) YI'
Уравнения дЛЯ YI и т l примут вид
dтl ( 3 ) 1/3 I
"dt == 4п 4; 1/3 VILD I2G C G Щ/3 УI(1 Щ ) .
d(д.УI) ( 3 ) ( 1/3 I
dt == 4п 4;" 1/3 Д2а m1/3 YI 1 Щ ) .
Выражая дробный момент т l / З через целые то и m l , найдем
( Ь ) 1/3
dml а тl тl . (
d ' т l О) == 1,
t == (1 т, т, (о) )1/3
4.02
(16.35)
( 16.36)
( 16.37)
(16.38)
( 16.39)
(16.40)
откуда
л. 3 1 [ (тl/3 л.у(1 + л + л 2 )
't = O,Sln 2 +
л (т /3 + л тf/3 + л 2 )(1 л)
r;:; ( 2т:13 + л 2+ Л )J ( Ьт, )
+,,3 arctg л.J3 arctg л.J3 +(л.3 1)т,(0)lп 1 1+b '
rде л. =(1 +VIIC YI(0)/m,(0»1/3, Ь = (л. 3 1) 1.
Сравним выражения (16.31) и (16.41), соответствующие нестесненному и
стесненному случаям. Видно, что для одних и тех же значений параметров
значение 't, определенное из (16.41), меньше значения 't, определенноrо из (16.31).
Следовательно, учет стесненности приводит к более быстрому установлению
равновесия в системе.
Рассмотрим теперь случай, коrда в результате изменения давления и TeM
пературы происходит rомоrенная конденсация в объеме. Обозначим через 1
скорость образования зародышей новой фазы (число капель, образующихся в
единице объема в единицу времени). Объем зарождающихся капель V nuc1 при
нимается постоянным. Torдa в уравнении (16.13) в правой части появится член,
характеризующий интенсивность зарождения жидкой фазы:
дп д ( dV ) ( )
дt + av п'dt = 18 V V nuc1 . (16.42)
В рассматриваемом случае система уравнений для первых двух моментов
принимает вид
(16.41)
dmo
d'f=1;
dтl "' f dV
dt = п(jfdV + IV nucl -
о
(16.43)
Из первorо уравнения находим
t
то = то(О) + f Idt,
о
( 16.44)
а второе уравнение преобразуется к виду
dтl ( 3 ) 1/3
dt = 4п 4; VILDI2GCG т1/з l1 у, + 1V nuc1 '
( 16.45)
Уравнение для YI не изменится [см. (16.26)]. Выражая дробный момент
ml/3 через целые то и т l и воспользовавшись выражением (16.44), получаем
[ t ] 2/3
тl/3 = т:/ 3 1 + то l (о) [ 1dt
(16.46)
в отличие от paccMoTpeHHoro ранее случая, здесь следует учесть зависи
мость Уlш от времени, так как соrласно соотношению (166) изменяются при
расширении rаза Plsat И р. Torдa будет изменяться также и Са, и уравнение
(1625) изменится'
d(f).YI С а ) ( 3 ) 1/3 d(YlwCG)
dt + 4п 4; D 12G C G тl/з l1 УI + dt = IVnucICL'
Вводя безразмерные переменные
(16.47)
26*
4.03
д.УI
I1УI = д.Уl(О) ;
У1ш С а
У,ш = д.УI(О) ; С а = СаО ;
IV nuc ICZR2(0)
1 = 2
3CGoD'2G (д.УI (0»2 '
3CGoD'2Gt.
't=
R2(O)C L '
получим вместо (16.47)
d(д.УI ё а )
d't + V,LDt2G C GO I1УI (О) + С G m l/з/1fJ, +
d(д.Уlw ё G)
+ V1LD,2GCGO l1у, (О) d't = 1.
Уравнение для первоrо момента преобразуется к виду
dт, 1/3 2/3 I ()
d't т , то 't.
(16.48)
(16.49)
Из последних двух уравнений следует, что
d ( ) d ( )
d't m,щ(О) + V'LCGOCG I1УI(О)I1УI + V ,L C GO I1Yl(O) d't С а УI == 1
(16.50)
или
m , т , (О) + V 1L cGi5G YI (О)l1у, + V 'L С аО С а УIШ (О)Уlш =
,
= т , (О) + V1LCGO Yl(0) + V ,L C GO Y'W(O) + fld't. (16.51)
о
Выразив YI из (16.51) и подставив в (16.49), получим уравнение для
определения объемноrо содержания жидкой фазы
d;, [ 1+ fId't ] 2/3(a bml)m:/3 =у, (16.52)
't т 1 (0) О
Ь то (О) Ь Y1",,(O) Y1<,,(T) ( ) ' f d
rде = С ( ) ; а = + ( ) + V1LCGO YI О 1 't.
V'L аод.УI О д.УI О О
Таким образом, уравнение (16.52) описывает изменение со временем объем
Horo содержания жидкой фазы в процессе rомоrенной конденсации капель
одинаковоrо объема V nuc1 С интенсивностью 1 при заданном изменении давления
и температуры.
Если зарождение жидкой фазы отсутствует, то изменение давления и TeM
пературы приводит к изменению объемной концентрации уже имеющейся жид
кой фазы. При этом в (16.52) следует положить 1 = О и оно сводится к
dm , ( Ь ) 1/3 . ( )
d;- а т , т , ,т , О = 1,
rде Ь= т,(о) . а=Ь+ УI",,(О) УIШ(Т)
V1LСGод.УI(О) , д.УI(О)'
В дальнейшем нам понадобится выражение (16.31), однако пользоваться
им неудобно. Как показывают расчеты, хорошую аппроксимацию в интервале
1 :s; л :s; 7 дает следующее выражение:
z = = = l exp( a't); а = : 0,026. (16.54)
(16.53)
(04.
16.2. КОНДЕНСАЦИОННЫЙ РОСТ КАПЕЛЬ
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ rАЗОЖИДКОСТНОЙ СМЕСИ
Результаты, полученные в разделе 16.1, применимы к смеси, находящей
ся в состоянии покоя или слабоrо перемешивания. В действительности, по
ток rаза со взвешенными в нем каплями конденсата в элементах промыс
ловоrо оборудования, особенно в трубопроводах, характеризуется интенсивной
турбулентностью, приводящей к сильному перемешиванию смеси и выравни
ванию концентраций компонентов в rазовой фазе. Характерные значения па
раметров потока rаза в трубопроводе следующие: и 10 50 м/с, d 0,2 м,
Ра 50 Kr / м 3 , a 1 0 5 Па' с. Соответствующее этим параметрам число Рей
нольдса Re 107 + 2,5' lОВ, а внyrpенний масштаб турбулентности /-... (0,1 + 5,6) х
х 10 6 М == 0,1 + 5,6 мкм.
Движение rаза в элементах оборудования 6ольшеrо размера, например в сепа
раторах, характеризуется следующими скоростями и диаметрами: и 0,1 + 1 м/с,
d 1 + 2 м. При этом Re 5 . 105 + 107 И /-...0 (5,6 + 53) . 10 6 м == 5,6 + 53 мкм.
Внутренний масштаб турбулентности /-...0 определяет характер rидродина
мических и массообменных процессов в областях, размер которых больше или
меньше /-...0' Поскольку нас интересуют эти процессы в окрестности капель, то
размер этих областей соизмерим с размерами капель. Пусть Rav средний
радиус рассматриваемоrо ансамбля капель. Torдa характер процессов зависит
от отношения Rav//-...o.
Рассмотрим массообмен капли радиуса R, взвешенной в турбулентном потоке
rаза. В начальный момент задан компонентный состав капли в виде массовых
концентраций P,OL (Kr / м 3 ), а также компонентный состав rаза Р,оа, r де i == 1,
2,..., s; s число компонентов. Сделаем ряд упрощающих предположений.
1. На поверхности капли термодинамическое равновесие устанавливается
HaMHoro быстрее, чем в объеме rаза. Тоrда на межфазной поверхности суще
ствует локальное термодинамическое равновесие, что позволяет найти paBHOBec
ные значения концентраций компонентов в обеих фазах, используя уравнения
парожидкостноrо равновесия (см. раздел 5.7).
2. Основным механизмом доставки компонентов к межфазной поверхнос
ти в rазовой фазе является перенос турбулентными пульсациями, характеризу
емыми масштабом /-.... Величина потока компонентов ]; к капле (или от нее)
зависит от отношения Rav//-...o и равна [2]
( 2 ) 1/3 2/3 ( PL ) 1/3 R2U3/4
8 з.J3 D jтG Ра v /12d'/4 p;
при R« /-...0;
]; ==
(16.55)
( ) 1/3 UR'/3
47tifi Е.!:.. .........,..... / 3 Ар,
Ра d
rде D iтG коэффициент бинарной диффузии i ro компонента в rазе, PL и Ра
плотности rаза и жидкости, и средняя скорость потока, У а кинематическая
вязкость rаза, Pi== Рю РiGш разность массовых концентраций i ro компонен
та в rазовой фазе в толще потока и на межфазной поверхности.
Два выражения для коэффициента диффузии компонента в турбулентном
потоке свидетельствуют о различных механизмах ero доставки к поверхности
капли. В частности, при R» /-...0 доминирует не молекулярная, а турбулентная
диффузия.
при R» /-...0'
(05
3. Основное изменение концентраций Рю происходит в тонком слое возле
поверхности капли. Вне этоrо слоя (в толще потока) концентрация Рю OДHO
родна и изменяется только со временем.
4. Распределение компонентов в жидкой фазе (в капле) однородно и
изменяется только со временем.
По истечении определенноrо времени teq, назовем ero характерным BpeMe
нем установления равновесия в смеси, процесс массообмена практически пре
кратится, т. е. Рю почти сравняется с РiGш'
Введем в рассмотрение распределение капель по объемам п( V, О. Torдa
баланс массы i ro компонента в единице объема смеси в rазовой фазе можно
записать в виде
dpiG "' !
dt == J; п(V, t)dV.
о
к этому уравнению добавим уравнение баланса массы капли
d S
(PL V) == LJi'
dt ;=1
(16.56)
(16.57)
и уравнение, описывающее изменение п (V, t) с учетом
капель только за счет конденсационноrо массообмена
дn + ( п av ) ==o
Bt av Bt .
Поскольку PL == LP;L, то вместо (16.57) имеем
i
изменения объема
(16.58)
d ( S ) S
dt LPiL V == LJ i .
.=1 .=1
(16.59)
Под P;L понимается средняя по объему капли концентрация i ro компонен
та. Тоrда из условия баланса массы i ro компонента в капле
d(PiL V) == J.
dt ·
(16.60)
можно найти изменение PiL со временем.
Таким образом, определив РiGш И задав начальные концентрации компонент
в rазовой Рю и жидкой PiL фазах, а также начальные объем V o и распределение
по объемам пo(V) из уравнений (16.56), (16.58) (16.60), с учетом выражения
(16.55) можно найти состояние смеси в любой момент времени, а также xapaк
терное время установления равновесия.
Однако, прежде чем переходить к решению поставленной задачи, следует
выяснить, каким из двух выражений (16.55) для J i следует пользоваться. Для
этоrо нужно оценить средний радиус капель.
Распределение капель формируется в интенсивном турбулентном потоке в
трубопроводе со средним радиусом
Rav == 0,09 d [ ( : )1/2 J/7 ( )1;7. (16.61)
Оценим возможные значения Rav. Если рассматривается движение rазоЖИД
костной смеси в трубопроводе, то d 0,2 1 м, PL 7S0 кr/м З , PG SO кr/м З ,
5 . 10 З Н/м, и 10 50 м/с и Rav (10 100) . 10 6M == 10 100 мкм. CpaB
4.06
нение с найденными ранее значениями Ао показывает, что в трубопроводе Ао < Rav.
Для працесса в сепараторе имеем d 1 2 м, и О, 1 1 м/с, и оценка среднето
радиуса капе.IIь показывает, что в сепараторе возможны случаи как л,о < Rav, так
и л,о > Rav.
Рассмотрим случай л,о < Rav. Torдa из (16.55) следует, что
J == 504.1 ) I13 R713UI:.Pi (16.62)
, "\Ра d l13 '
В простейшем случае монодисперсной смеси уравнения (16.56), (16.58)
(16.60) Сводятся к
dp,G 3W o J i
dt == 4nR6 '
(16.63)
d ( S ) S
dt t;PiL V == t1 J "
d(PiL V) == J
dt "
Подстав.lIЯЯ в первые два уравнения выражение (16.62) и считая в первом
приближении PL == const, получаем
(16.64)
(16.65)
d(I:.Pi) == E ( ) 7/9. (16.66)
dt Р, Vo
d(V/Vo) == ( ) 7/9 S p' (16.67)
. dt PLW o Vo "
rде Е == S,04п(3/41t)7/9(PL/PG)I13WoUlVo2/9dV3.
Просуммировав первое уравнение по i, сложив со вторым и проинтеrри
ровав, ПОЛУЧИ:м
S S
L I:.р; == L I:.р,(О) + W o W o .
,=1 PL '=1 PL О
(16.68)
Подстави:м теперь (16.68) в уравнение (16.67). В итоrе получим
Et V T dz (16.69)
Wo о Z7/9( l:.p,(O)/PL + W o WOZ)
Интеrрa.rr в (16.69) не берется в квадратурах, поэтому поступим следую
щим образом. Из (16.63) (16.65) следует, что характерное время изменения
объема капли: V больше xapaKTepHoro времени изменения концентрации компо
нент Р,а в rqЗОВОЙ фазе. ЭТо означает, что при рассмотрении изменения со
временем Рю значение R можно считать постоянным, положив ero равным Ro.
Torдa из (16.66) находим
Рю == РЮО + (Рюо РiGш) e At, ( 16.70)
rде А == 3,78 (РL/РG)I/ЗUW о / R о 2/Зd l / З .
Поскольку средний радиус капель формируется в трубопроводе, то в Ka
честве Ro в формуле (16.70) следует взять RaVl определяемый выражением
(16.61). Значение параметра А зависит от Toro, rде рассматривается процесс
4.07
массообмена капель в трубопроводе или в сепараторе. В первом случае под
d следует понимать диаметр трубопровода и
14,зи4;7р Wо
А::: A pipe ::: 5;7 2;7 3;7 (16.71)
d Ро
Если процесс происходит в сепараторе, то
4;7 5;7
А::: А.е ::: 14,3И PL WОИ s
р d8/2\ 2;7 P D 1 /3 .
(16.72)
Здесь U s == U(d / D)2 средняя скорость потока в сепараторе, D диа
метр сепаратора.
Рассмотрим сначала процесс в трубопроводе. Поскольку показатель экс
поненты в (16.70) не зависит от свойств компонентов, то характерное время
установления равновесия одинаково для всех компонентов t eq Л;i е' Время
установления равновесия в системе примем как время, за которое отклонение
от равновесия составит 1%, т. е. I Рю РЮw I ::: О,Оl юш . В итorе получим
t. :::007 d5;7p;7p In [ 100 ( PiGO 1 )] . (16.73)
,еч 'ИII;7р Wо PiGw
Определенное таким образом время установления равновесия для компо
нентов rаза будет различным.
Из (16.73) следует, что увеличение скорости потока и уменьшение диамет
ра трубы приводит к снижению времени установления равновесия. Расстояние,
на котором устанавливается равновесие,
L ie ==d O '07 ( Pp ) И 1П [ 100 ( РЮО 1 )] . (16.74)
q W o И 4 рld 2 РЮw
Для характерных для трубопровода значений 5 . 10 3 Н/м, РО 50 Kr/M 3 ,
U 30 м/с, PL 750 Kr/M 3 , d 0,1 м, W o 10 4, PiGO/PiGw 2 получим L ieq 4,5 м
и tieq O,lS с.
Если процесс происходит в сепараторе, то выражения (16.73) и (16.74)
несколько видоизменяются:
D\/3 2;7 d8/2\ 3;7 [ ( )]
t ie == 0,07 Ро ln 100 Рюо 1 ;
q И4;7р WоИs PiGw
(16.75)
D\/3 2;7 d8/21 3;7 [ ( )]
L i == d 0,07 Ро ln 100 Рюо 1 .
eq W o И4;7р РЮw
Изменение объема капли можно найти из уравнения (16.64), которое после
подстановки в Hero выражения (16.70) ДЛЯ Рю примет вид
(16.76)
dV VoA ( . . ) At ( 16.77)
dt Р w; L. Р,оо Р,Ош е .
L О ,=\
Решая это уравнение, найдем относительное приращение объема капли
V Vo 1 ( )( )
== L. Рюо РЮш 1 e At . ( 16.78)
V o pLW O i=\
4.08
Перейдем к мольным долям компонентов в rазовой У, и жидкой х, фазах
с помощью соотношений
У = р,аМа Х = p,LM L
, раМ,' , PLM, .
(16.79)
Tor да (16.78) перепишутся в виде
V Vo Ра М ( )( 1 At )
V; w; М ,у,о у,ш е .
о PL О а, = j
Максимальное относительное увеличение объема капли
( V Vo ) = ;,а М tM,(y,o Y,w)=E. (16.80)
о mах Р L О G ,=1
Для характерных значений параметров W o 1 0 4 1 0 5 м 3 / м 3 , Ра/ PL 1 0 1,
М,/Ма 0,25 и У,о/ У,ш 10 2 10 3 имеем В 1 ,25 26. Следовательно, измене
ние объема капли за счет конденсационноrо роста при определенных условиях
может быть значительным и окажет заметное влияние на скорость отделения
жидкой фазы от rаза в сепараторе.
Изменение компонентноrо состава капли можно получить из уравнения
( 16.65), решение KOToporo имеет вид
...E!.L. = (1 + P,ao Р'GwЮ е Аt)/WОР'LО (16.80
P,LO 1 + (PG/PL Wo)'L (у,о у,ш)/м а
Полученное решение соответствует монодисперсному распределению Ka
пель без учета коаrуляции. Рассмотрим возможные решения с учетом полидис
персноrо распределения и коаryляции капель.
Учесть непрерывное распределение капель по объемам можно, воспользо
вавшись уравнениями (16.56) и (16.62):
d G = Лдр,т7/9; Л = 41tV2( ;п У/9 и }/З d ' (16.82)
rде т 7 / 9 дробный момент порядка 7/9.
У равнения для первых двух моментов то и т , можно получить обычным
способом из кинетическоrо уравнения (1658):
dmo = О.
dt '
dтj = "' f п(V t) dV dV
dt ' dt .
о
(16.83)
Учитывая, что
из (16.83) получим
s
dV = лL: ilp, v 7 /9,
dt ,=1 PL
dт, L: S ilp,
=Л т7/9
dt PL'
,=1
(16.84)
Выражая, далее, дробный момент через целые по двухточечной схеме ин
терполяции т 7 /9 = m /9mJ/9 и подставляя ero в (16.82) и (16.84), получаем
dp,G Л 2/9 7/9
dt = ДР,ат о т 1 ,
4.09
s
dml Л "" ДР; 2/9 7/9
= L.. mO т l .
dt ;=1 PL
(16.85)
Из (16.85) следует, что
s s
lпjPL + LClp; = lпj(O)PL + L ;(O).
;=1 ;=1
(16.86)
s
Выражая из (16.86) LClPi и подставляя в (16.85), находим
dmj = л m2/9m7/9 [ ДР; + m (О) m ] .
dt о 1 L.. PL 1 j
;=1
( 16.87)
в рассматриваемом случае численная концентрация капель то остается
постоянной, поэтому из (16.87) следует
тl
л t 2/9 J dml
то ( ) .
тl(О) т;/9 t ДРI (О) + тl (О) тl
( 16.88)
Полученное выражение дает в неявном виде зависимость т ! от t, анало
rичное соотношению (16.69).
Можно одновременно учесть Конденсационный рост и коаrуляцию капель,
вводя в правую чаСть уравнения (16.58) столкновительный член
: + at (п ) = Icoag. (16.90)
При этом уравнение (16.82) не изменится, а уравнения для первых двух
моментов примут вид
dmo dml LlPi
dt = Gml/3mI/6, L.. т7/9'
dt ;=1 PL
Выражая дробные моменты через целые и вводя следующие безразмерные
переменные
Л W 0 7 /9t
't= ,
V o
( 16.90
то тl G Рю ДРю
тo= , ml= ' y= , P;a= , /';.PiG= ,
то(О) mj(O) ЛV о PL PI.
получаем
dmo 3/2 I/2пт5/9. dml 2/9 7/9A .
d't уто т l VVo , тo т l L>p;,
d(Llp;) w; А 2/9 7/9
OL>p;mo т l ,
то(О) = тl(O) = 1; /';.Pi(O) = /';.Р;о.
Решая систему уравнений (16.92), можно найти изменение во времени KOH
центрации компонентов в rазе, а также изменение дисперсноrо состава смеси:
то = N численной концентрации капель, т l = W объемноrо содержания
капель, ml/mo = V av среднеrо объема капель.
Перейдем теперь ко второму случаю, коrда Rav < 1..0' Диффузионный поток
при этом
4.10
(16.92)
V. O ( V ) 213 D213 uЗ/4w; Р I13
J А А А 2 35 ,тG О L
,== , ,-,р,; ,==, 5/12 1/14 113 113 .
W o Vo VG d V o PG
Подставляя (16.93) в уравнения (16.63) (16.65), получаем
d(f>p,) == А ( ..!:::. ) 2 13 i'CJ.
dt 'vo Р, ,
d(V ЛО) == L А, ( ..!:::. ) ZIЗ
dt ,pLW O Vo
Коэффициенты А, отличаются только коэффициентами диффузии D,тG'
Поскольку для различных компонентов в rазовой фазе они имеют один поря
док, положим их для простоты одинаковыми (А, == А == const). Torдa уравнения
(16.94) допускают точное решение. Если ввести безразмерное время 't == At и
перейти от массовых концентраций к мольным долям, то это решение имеет вид
1 [ (1 а)З (zЗ аЗ) r;; ( 2 + а 2z + а )]
-== 2 O,Sln (З "з arctg'""f;; arctg , (16.95)
а (1 аЗ) z а) а"З а"з
тде аЗ == 1 + PGL,M,i'cJ.Y,o/PLMGW o , z == V IV o , м, и MG молекулярные массы
компонентов и 'всето rаза; у, мольная доля i ro компонента, Ду,о== у,о y,w
разность мольных долей при PI' ТI И Р2' Т 2 соответственно.
Выражение ( 16. 95) в неявном виде дает зависимость безразмерноrо
радиуса капли R I Ro от безразмерноrо времени ". Поскольку z а при
" OO и z l при a l, то удобно вместо z ввести ZI==(z l)/(a l). Из
формулы (16.95) следует, что изменение размера капли зависит от двух
пара метров начальноrо объемноrо содержания жидкой фазы W и парамет
ра == PGL,M,i'cJ.Y,o/PLM G , характеризующеrо отклонение состояния смеси от
paBHoBecHdro. На рис. 16.3 показана зависимость ZI от 't для различных
значений параметра а. Видно, что с увеличением объемноrо содержания
капель W o время роста и конечный объем капель уменьшаются. Так, для
значения W o == 7 . 1 0 4 м З 1м3 радиус капли увеличивается в 1,4 раза за
время t == 1,5 с, в то время как для W o == 7 . 1 0 5 м 3 I м З он увеличивается в
2,7 раза за время t == 6 с. Поскольку смесь, поступающая в сепаратор, co
держит 100 r Iм З жидкой фазы (конденсата) при давлении 100 МПа, что
соответствует W o 7 . 1 0 4 м 3 I м З , а характерное время пребывания смеси в
сепараторе порядка 20 с, то можно сделать вывод, что смесь в сепараторе
находится в состоянии фазовоrо равновесия.
Формула (16.95) rромоздка и неудобна для расчетов. С достаточной точ
ностью она может быть аппроксимирована выражением
Z == 1 + (а 1)(1 e B'); В == 4,3В(а 1) (а 1)2.
(16.93)
(16.94)
(16.96)
Рассмотрим теперь последовательно учет полидисперсности распределения
капель и возможность их коаrуляции.
Непрерывное распределение капель по объемам учитывается так же, как
и в случае Rav > "'о, отличие состоит только в выборе друтото выражения для
диффузионноrо потока J,. Так, распределение концентраций в rазовой фазе
описывается уравнениями
d d P' t G == Лi'cJ.р,m213; Л, == 2,25 D,тG ( ) 113 5 !/4 .
PG VG DI/4
(16.97)
411
Z\
1,0
0,5
О
0,5
Рис. 16.3. Зависимость Zt от 't ДJlИ различ
значеиий а:
1 2,71; 2 2,15; 3 1,44
Выражение (16.97) написано для
случая, коrда процесс происходит в ce
параторе, поэтому в Л i вошли скорость
потока U s и диаметр D сепаратора.
Уравнение для момента т 1 (MO
мент то остается постоянным) примет
вид
't
dт1 '" P;
= Лi т213' (16.98)
dt i PL
Переход от дробноrо момента к
целым позволяет записать уравнения
(16.97) и (16.98) в виде
dpiG = л. I1 Р .1»!l3 т 2 13. dтl '" л P; 113 213
dt · I .."\) l' "7 i P'Z" то т 1 .
Примем для простоты, что коэффициенты диффузии D iтG одинаковые
(Л i = Л). Torдa система уравнений имеет точное решение:
Л ( w о ) 113 t = [ o 5 ln (1 a)(z3 а 3 )
V o Wo' (1 a3)(z a)
л( arctg ::т; arctg 2;:з а JJ. (16.100)
(16.99)
rдеz=R/R о , а 3 =1+PGLM i I1YiO/P L M G W o .
При одновременном eTe полидисперсности и коаryляции капель получа
ется следующая система уравнений:
dрю = M p ' тll3 т213 W o .
dt · о 1 113 '
V o
dтl Л "'" 113 213.
d L... 113 то т 1 ,
t i PL V o
dтo G 3/2 1/2 W o
d то т 1 1/3'
t V o
Вводя безразмерные переменные 't = Лt/Vо1 13 , Ар; = Api/PL' У = G/Л V о 1 / б ,
то = то/то(О), т 1 = т 1 /т 1 (0), получаем
dрю A 113 2l3пт
d';"" = LlPi то т 1 уу о,
dтl '" 11 113 213
d;" Р; то т 1 ,
.
(16.101)
(16.102)
412
dтo 3/2 1/2
d;" = y то т 1
16.3. УКРУПНЕНИЕ КАПЕЛЬ ПРИ ПРОХОЖДЕНИИ
rАЗОЖИДКОСТНОЙ СМЕСИ ЧЕРЕЗ УСТРОЙСТВА
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ КОНДЕНСАЦИИ
в схеме низкотемпературной сепарации перед сепаратором размещают
устройства предварительной конденсации (УПК) дроссель, теплообменник или
турбодетандер, основное назначение которых состоит в снижении температуры
смеси. При прохождении rазоконденсатной смеси через эти устройства, наруша
ется фазовое равновесие, которое установилось при движении этой смеси в
трубопроводе. В результате возможно образование жидкой фазы за счет про
цесса нуклеации, а также переход компонентов из одной фазы в друrую за счет
процессов массообмена испарения и конденсации. Нарушение термодинами
ческоrо равновесия фаз вызвано изменением давления р и температуры Т.
Основной интерес представляют такие изменения этих параметров, при которых
размер капель конденсата увеличивается, поскольку это облеrчает отделение их
от rаза в сепараторе.
В разделе 16.2 был рассмотрен процесс укрупнения капель при изменении
термобарических условий и были получены простые формулы, позволяющие
оценить приращение объема капель [см., например, формулу (16.100)]. Очевид
но, что в общем случае размер капель может как возрастать, так и убывать.
Рост капель происходит при выполнении условия а > 1 или
I.M. Ау.о > о,
(16.103)
rде l1у.о разность равновесных молярных долей i ro компонента при РI' Т I И
Р2' Т 2 .
Поскольку '2: м, у,о = M GO И '2: м, Y.w = M Gw , то неравенство (16.103)
. .
можно переписать в виде
Mco>MGw' (16.104)
Таким образом, для Toro, чтобы происходило укрупнение капель, не06ходи
мо так изменить давление и температуру, чт06ы выполнялось неравенство (16.104).
в следующих разделах будут расмотрены процессы, происходящие в различных
устройствах. Здесь же оrраничимся некоторыми оценками, которые позволят
судить о роли различных УПК и их эффективности как устройств предвари
тельноrо укрупнения капель конденсата перед сепаратором. Поэтому, не pac
сматривая поведение rазожидкостной смеси в УПК, предположим, что в подво
дящем к нему трубопроводе rаз, содержащий капли конденсата, при РI' Т I
находится в термодинамическом равновесии с жидкостью. В некотором сечении
трубопровода давление и температура резко изменяются и становятся равными
Р2 и Т 2 (Р2<;;;'РI Т 2 < Т I ). в дальнейшем при движении смеси в ней установится
термодинамическое равновесие, но уже при значениях Р2 и Т 2 . Равновесные
состояния смеси MOryT быть определены с помощью уравнений парожидкостно
ro равновесия на основе уравнения состояния Пенrа Робинсона. В качестве
примера расмотрим смесь при Т I = 20 ос и трех значениях давления РI == 1 о; 7
и 4 МПа. Рассмотрим три различные rазожидкостные смеси, отличающиеся
содержанием в них конденсата q== 100; 500 и 2000 r/M 3 . В табл. 16.1 приве
дены общие составы смеси при указанных значениях параметра q. Принимается,
что смесь состоит из двух нейтральных компонентов, первых четырех уrлево
дородных компонентов и остатка С 5 +, разбитоrо на пять фракций.
413
Таблица 16.1
q С0 2 N 2 С ! С 2 С З С 4 F, F 2 F3 F4 Fs
100 0,0015 0,0458 0,7909 0,0866 0,0353 0,0145 0,0115 0,0066 0,0037 0,0021 0,0015
500 0.0018 0,0421 0,7266 0.0826 0,0393 0,0198 О .оЗО6 0,0260 0,0164 0,0092 0,0066
2000 0,0011 0,0325 0,5544 0,0716 0,0506 0,0341 0,0806 ОЩ67 0,0500 0,0281 0,0203
в табл. 16.2 представлены составы rазовой фазы при различных значениях
давления Рl перед УПК и разных q.
т а б л и ц а 16.2
р, Fs
q = 100 r/м3
10 / 0'0015/ 0'0478/ 0,8156 / 0'0847/ 0'0317/ 0,0110 / 0'0058/ 0'0015/ 0,0003 / 0,0 / 0,0
7 0,0015 0,0478 0,8174 0,0854 0,0316 0,0105 0,0047 0,0009 0,0001 0,0 0,0
4 0,0015 0,0474 0,8148 0,0867 0,0329 0,0112 0,0047 0,0007 0,0001 0,0 0,0
q=500r/м3
10 I 0'00171 0,0511 I 0,82881 0,0756 1 0'02651 0'00841 0'00591 0,0016 I 0,0003 1 0,0 1 0,0
7 0,0018 0,0501 0,8290 0,0783 0,0271 0,0080 0,0046 0,0010 0,0001 0,0 0,0
4 0,0019 0,0487 0,8217 0,0830 0,0300 0,0090 0,0045 0,0008 0,0008 0,0 0,0
q= 2000r/M 3
10 0,0009 0,0627 0,8435 0,0568 0,0213 0,0069 0,0059 0,0016 0,0003 0,0 0,0
7 0,0010 0,0579 0,8442 0,0620 0,0224 0,0066 0,0046 0,0010 0,0001 0,0 0.0
4 0,0012 0,0529 0,8328 0,0725 0,0275 0,0077 0,0045 0,0008 0,0001 0,0 0,0
Составы rазовой фазы за УПК представлены в табл. 16.3
Т а 6 л и ц а 16.3
Т, Fs
q .. 100 r /м3
Р2 = 10 МПа
10 0,0015 0,0483 0,8199 0,0836 0,0303 0,0101 0,0049 0,0011 0,0002 0,0 0,0
О 0,0014 0,0489 0,8248 0,0820 0,0287 0,0090 0,0040 0,0009 0,0001 0,0 0,0
10 0,0014 0,0497 0,8300 0,0800 0,0269 0,0080 0,0034 0,0009 0,0001 0,0 0,0
20 0,0013 0,0506 0,8349 0,0773 0,0250 0,0072 0,0029 0,0006 0,0001 0,0 0,0
Р2 = 7 МПа
10 0,0015 0,0482 0,8224 0,0843 0,0300 0,0093 0,0036 0,0006 0,0001 0,0 0,0
О 0,0014 0,0488 0,8284 0,0826 0,0279 0,0078 0,0026 0,0004 0,00 0,0 0,0
10 0,0014 0,0496 0,8355 0,0800 о.oz51 0,0063 0,0018 0,0002 0,00 0,0 0,0
20 0,0013 0,0507 0,8438 0,0762 0,0217 0,0048 0,0012 0,0001 0,00 0,0 0,0
Р2= 4МПа
10 0,0015 0,0477 0,8194 0,0861 0,0316 0,0098 0,0033 0,0004 0,0 0,0 0,0
О 0,0015 0,0482 0,8250 0,0850 0,0296 0,0082 0,0022 0,0002 0,0 0,0 0,0
10 0,0015 0,0487 0,8317 0,0833 0,0269 0,0063 0,0013 0,0001 0.0 0,0 0,0
20 0,0014 0,0495 0,8400 0,0806 0,0232 0,0045 0,0008 0,0001 0,0 0,0 0,0
414
Продолжение т аб л. 16.3
Т, Fs
q .. 500 r /М-З
Р2 = 10 МПа
10 0,0016 0,0522 0,8357 0,0728 0,0242 0,0073 0,0047 0,0021 0,0002 0,0 0,0
О 0,0016 0,0534 0,8425 0,0695 0,0218 0,0062 0,0038 0,0009 0,0001 0,0 0.0
10 0,0015 0,0560 0,8491 0,0656 0,0195 0,0053 0,0031 0,0007 0,0001 0,0 0,0
20 0,0014 0,0565 0,8584 0,0610 0,0163 0,0039 0,0020 0,0004 0,0001 0,0 0,0
Р2 = 7 МПа
10 0,0017 0,0510 0,8367 ОЩ55 0,0244 0,0066 0,0034 0,0007 0,0 0,0 0.0
О 0,0016 0,0520 0,8448 ОЩ20 ОЩ14 0,0053 0,0024 0,0004 0,0 0,0 0,0
10 0,0015 0,0534 0,8532 0,0674 0,0182 0,0040 0,0017 0,0003 0,0 0,0 0,0
20 0,0014 0,0551 0,8618 0,0619 0,0151 0,0031 0,0012 0,0002 0,0 0,0 0,0
Р2=4МПа
10 0,0018 0,0493 0,8294 0.0810 0,0276 0,0073 0,0031 0,0005 0,0 0,0 0,0
О 0,0017 0,0501 0,8377 ОЩ82 0,0243 0,0058 0,0020 0,0002 0,0 0,0 0,0
10 0,0017 0,0510 0,8466 0,0744 0,0205 0,0041 0.0013 0,0002 0,0 0,0 0,0
20 0,0016 0,0520 0,8464 0.0694 0,0166 0,0029 0,0008 0,0001 0,0 0,0 0,0
q 2000 r /М-З
Р2 = 10 МПа
О I 0'00081 0'06951 0,8561 1 0'04791 0,0160 1 0'00481 0.00381 0'00091 0,0001 I 0.0 I 0,0
10 0,0007 ОЩ44 0,8600 0,0432 0,0138 0,0040 0,0030 0,0007 0,0001 0,0 0,0
20 0,0006 0,0811 0,8613 0,0386 0,0118 0,0033 0,0025 0,0006 0,0001 0,0 0,0
Р2 = 7 МПа
О I 0'00091 0'06271 0'86141 0'05191 0,01591 0,0041 I 0.00251 0'00051 0,0 0,0 I 0,0
10 0,0008 0,0660 0,8687 0,0462 0,0130 0,0031 0,0018 0,0003 0,0 0,0 0,0
20 0,0007 0,0704 0,8742 0,0403 0,0105 0,0024 0,0013 0,0002 0,0 0,0 0,0
Р2= 4МПа
О 0,0011 0,0560 0,8545 0,0625 0,0192 0,0044 0.0021 0,0003 0,0 0,0 0,0
10 0,0010 0,0579 0,8649 0,0562 0,0152 0,0032 0,0014 0,0002 0,0 0,0 0,0
20 0,0008 0,0602 0,8747 0,0492 0,0118 0,0022 0,0009 0,0001 0,0 0,0 0,0
Используя приведенные в таблицах данные, нетрудно найти максимально
возможный радиус укрупнившихся капель после прохождения упк. PaCCMOT
рим случай, коrда в качестве УПК используется теплообменник. Пусть на вход
теплообменника поступает rазожидкостная смесь при температуре Т 1 == 20 ос и
давлении Р\ == 4; 7 и 1 О МПа. Давление в теплообменнике остается практически
постоянным (Р2 == Рl)' в результате охлаждения смеси в теплообменнике фазо
вое равновесие нарушается, часть компонентов переходит из жидкой фазы в
rазовую, а друrая часть из rазовой в жидкую фазу. Размер капель при этом
растет по закону
== 1 + (а 1)(1 e BT); В == 4,3В(а 1) (а 1)2, (16.105)
rде аЗ ==1+PGLM,AY,o/P L M G W o .
,
Из (16.105) следует, что после наступления равновесия за теплообменни
ком (при 't <XJ) радиус капли становится равным aR. Следовательно, пара
метр а определяет, во сколько раз увеличивается начальный радиус капли.
Этот параметр зависит от Рl, Тl' Р2' Т2' начальноrо состава смеси и rазоконден
415
а
4
а
4
3
3
2
2
2
3
10 О 10 Т 2 'ОС
Рис. 16.4. Зависимость а от Т 2 для раЗJIИЧИЫХ
зиачеиий q, Kr/M S , при р, Р2 10 МПа;
Т, 20.C:
1 q 0,1; 2 q O,5; 3 q З
1
4 5 6 7 8 9 р,МПа
Рис. 16.5. Зависимость а от р для раЗJIИЧИЫХ
зиачений q, Kr/w, при Т, 20 .с; Т 2 10 .с:
1 q O,l; 2 q 0,5; 3 q З
caTHoro фактора q. На рис. 16.4 и 16.5 показаны эти зависимости. При фик
сированных значениях давления, температуры на входе в теплообменник и
rазоконденсатноrо фактора значения а растут с уменьшением температуры на
выходе, что очевидно. На рост капель заметное влияние оказывает и q. Ero
уменьшение приводит также к увеличению степени укрупнения капель, хотя и
за большее время. Это можно объяснить следующим образом. Объемное coдep
жание капель определяется как w= qIPL' Так, для рассматриваемых значений
q= 100; 500 и 2000 r/м3 и PL =700 кr/м3имеем w= 1,4' 10 4; 7' 10 4 И 2,8 .1(r 3 .
Параметр W определяет среднее расстояние между каплями в смеси. Для
указанных значений параметров эти расстояния равны соответственно 20R;
11,2R и 7 R. Следовательно, уменьшение W приводит к увеличению среднеrо
расстояния между каплями и соответственно к уменьшению их численной KOH
центрации. При этом время установления равновесия в системе увеличивается,
что создает более блаrоприятные условия для роста капель. Увеличение дaв
ления также способствует росту капель. Характерное время укрупнения капель
для случая Р1 = Р2 = 1 О МПа, Т 1 = 20 ОС, Т 2 = О ОС, q = 100 r I м3 составляет t = 1,4 с.
Изменение Т 2 слабо влияет на t, в то время как увеличение q приводит к
существенному уменьшению t.
Если в качестве УПК используется дроссель, то выполняются следующие
условия: Р2 < Р1' Т 2 < Т 1 . Так, для значений Р1 = 10 МПа, Т 1 = 20 ОС, Р2 = 7 МПа,
Т 2 = 10 ОС, q = 100 r 1м3 после прохождения дросселя радиус капель увеличива
ется в 3 раза. При тех же значениях параметров в теплообменнике капли
укрупняются в 4 раза. Следовательно, теплообменник обладает по сравнению
с дросселем тем преимуществом, что он позволяет выращивать более крупные
капли. Кроме Toro, существенным недостатком дросселя как устройства KOHдeH
сации капель является то, что резкое сужение поперечноrо сечения трубы и
соответствующее увеличение скорости потока приводят к дроблению капель,
взвешенных в потоке, и, следовательно, к уменьшению их среднеrо размера. как
будет показано ниже, большое количество мелких капелек, зарождающихся в
rазе при прохождении через дроссель, приводит к их интенсивной коarуляции.
В результате рост капель за дросселем в основном обусловлен процессом
коаrуляции, а не конденсации.
416
16.4. ОБРАЗОВАНИЕ ЖИДКОЙ ФАЗЫ
В ДРОССЕЛИРУЮЩЕМ УСТРОЙСТВЕ
Дросселирование rаза осуществляется с помощью штуцера, помещенноrо в
подводящий к сепаратору трубопровод. Скорость rаза при течении в штуцере,
представляющем собой коническую вставку с сужающимся поперечным сечени
ем, увеличивается, в результате чеrо снижаются давление и температура rаза.
Пусть перед дросселем давление, температура и скорость rаза равны COOT
ветственно Pj, Т I и и 2 , а на выходе Р2, Т 2 И и 2 (Р2 < Pj, Т 2 < T j , и 2 > U j ). Для
простоты расчета примем, что rаз представляет собой смесь двух rазов, которые
условно назовем rаз и пар. Их парциальные давления обозначим pG и Pv'
Понижение давления и температуры в дросселе может привести к конденсации
пара. Рассмотрим условия, при которых это возможно. Основным параметром,
характеризующим возможность и скорость нуклеации жидкой фазы, является
пересыщение 5, равное отношению давления пара Р" к давлению насыщения
Psat(T) при температуре Т [см. (14.15)]:
5==Pv/Psat(n. (16.106)
Необходимое условие конденсации пара выполнение неравенства 5 > 1.
Но этоrо условия недостаточно. Нужно также, чтобы пересыщение было больше
критическоrо значения'
s > '" = еХ+74. 10' ;: ( )3a]. (16.107)
Здесь М] и PL молекулярная масса и плотность конденсирующеrося
компонента; L коэффициент поверхностноrо натяжения жидкой фазы. По
скольку L зависит от давления и температуры (см. раздел 17.1), то 5п тоже
зависит от этих параметров. Таким образом, если при значениях Р2 и Т 2 за
дросселем имеем 1 < 5 < 5 т то образования новой фазы в дросселе не происхо
дит. Будем рассматривать случай 5> 5cr' Значение парциальноrо давления пара
можно найти, если известна ero мольная доля Yv. Для оценки воспользуемся
соотношением для идеальноrо rаза Р" == Р2У" И выражением для Psat [9]
P"t == per eX P [h(l Т; JJ
(16.108)
rде Per И Ter критические давление и температура пара, h параметр.
Если учесть, что pvj == Psat(T j ) , то условие отсутствия rомоrенной KOHдeHca
ции примет вид
ех р ( hТ<{ ;, ;, )) < :: «+7410' ;: ( ; )И h7;{ ;, ;, ) } (16 109)
Таким образом, если конструкция дросселя такова, что РI' ТI' Р2 И Т 2 YДOB
летворяют неравенству (16.109), то в потоке не происходит rOMoreHHoro зарож
дения жидкой фазы. При таком условии конденсация может происходить лишь
при наличии ядер конденсации, например, уже сформировавшихся капель KOH
денсата в потоке перед дросселем. Если параметры дросселя таковы, что Pj, T j ,
Р2 И Т 2 удовлетворяют неравенству 5> 5 т то В потоке в дросселе, а возможно,
и за ним происходит образование новой фазы, интенсивность KOToporo зависит
от степени пересыщения смеси.
27 1461
417
Укажем характерные значения параметров. В качестве примера paCCMOT
рим метан пропановую смесь. Пусть в дросселе давление и температура снижа
ются от РI = 12 МПа, Т I = 293 К до Р2::= 7,5 МПа, Т 2 = 269 К. Давление Hacы
щения пропана изменяется от 0,796 МПа до 0,419 МПа. Соответствующие этим
значениям равновесные мольные доли пропана равны Yvl = 0,066 и Yv2 = 0,056.
Считая, что перед дросселем s= 1, получим за дросселем s= 1,18.
При образовании жидкой фазы в процессе rомоrенной конденсации про
исходит выделение теплоты Qin' характеризующееся теплотой конденсации 1
(кДж/кr), за счет чеrо температура в дросселе снижается не так значительно,
как в отсутствие конденсации. Для учета тепловыделения в уравнении баланса
энерrии следует учесть Qin- Если принять, что зародыши образуются практичес
ки MrHoBeHHo, то Qin будет состоять из двух слarаемых. Первое слаrаемое xa
рактеризует выделение теплоты при образовании зародышей, а второе при
дальнейшем конденсационном росте капель:
Qin = Qinl + Qin2'
Течение rаза в дросселе считаем одномерным и стационарным, ось х Ha
правим вдоль оси дросселя, причем х = О соответствует входному сечению.
Полная система уравнений, описывающая течение в дросселе, состоит из сле
дующих уравнений:
уравнения сохранения MaccOBoro расхода rаза
d(PGUS) = О.
dx '
(16.110)
уравнения энерrии при отсутствии технической работы и теплообмена с
окружающей средой
d(Cpn dp
PGu =и dx =+Qin;
(16.111)
уравнения движения
du dp
PGU := ;
dx dx
(16.112)
уравнения состояния rаза
APGT
Р = z MG .
(16.113)
Здесь PG плотность rаза; и, р, Т соответственно скорость, давление и
температура rаза; S площадь поперечноrо сечения дросселя; С р удельная
теплоемкость rаза; Qin тепло, выделяющееся в процессе конденсации; z
коэффициент сжимаемости rаза; А rазовая постоянная; MG молекулярная
масса rаза.
Энерrия конденсации складывается из энерrии, выделяющейся при нукле
ации жидкой фазы и при конденсационном росте образовавшихся капелек:
Qin = IlPLVnucl + MLl f4пR2JIWп(V, x)dV, (16.114)
rде V nuc1 объем зародыша, 1 теплота конденсации, 1 интенсивность зарож
дения жидкой фазы, Р L И М L плотность И молекулярная масса жидкой фазы,
J lw поток конденсирующеrося пара на каплю объема V, п(V, х) распреде
ление капель по объемам в сечении х.
К приведенным уравнениям нужно добавить полученные в разделе 16.3
уравнения, описывающие динамику капли и изменение п(V, х) с учетом KOH
418
денсационноrо роста и коаryляции капель. Примем, что в процессе нуклеации
конденсируется только пропан, а метан остается нейтральным компонентом.
Рассмотрим модель роста капли при наличии нейтральноrо компонента (см. раз
дел 16.0. При этом система уравнений, описывающая поведение капель, при
мет вид:
дп + ( п d d V ) == пHv Vnuc1)+/coag;
Bt av t
dV .1 зv ) l/3 .
dt== 4пR 2 u 1L Jlw ==4'\4; PGDI2GAYUIL,
d(Y1<"PG) ( зv ) i/3 "' ! .
dt 411: 4; РGД2G l1 у VI/3ndV /PL V nuc1 ,
О
V nuc1 == 11: e: J, YI'" (0)= psa Тi) , У1ш == Psa (T) , Ау == УI'" Ylw' (16.118)
Применяя к системе уравнений (16 115) (16 118) метод моментов, полу
чаем
dmo d ( 3 ) 1/3 .
dt / Gml/3ml/6, 411: 411: PGDI2GAYU1Lm1l3 + /V nuc1 ,
d(6.YPG) 4 ( 3 ) 1/3 D А d(YlwPG)
dt 11: 411: PG 12GlJ.yml/3 dt /PLVnucl
Выразим теперь дробные моменты через целые:
2/3 1/3 5/6 1/6
тl/3 = то т l , тl/6 == то т l .
При этом уравнения (16.119) и (16.120) примут вид
dmo / GтЗ/2т1/2
dt о 1,
dтl ( 3 ) 1/3 2/3 1/3
dt 411: 411 PGD12GAYU1LmO т l + /V nuc1 '
d(6.YPG) ( 3 ) 1/3 D А 2/3 1/3 d(YlwPG) / V.
dt = 411: 411: PG 12GIJ.yт O т l dt PL пис/'
то(О) = т l (О) == Ау(О) == о.
(16.115)
(16.116)
(16.117)
(16.119)
(16.120)
(16.121)
(16.122)
(16.123)
(16.124)
К этим уравнениям добавим уравнения (16.111) (16.114), которые после
преобразований примут вид'
PGuS== PGIUISI; (16.125)
d(cp T ) du 3211:L. 3 1 pL I ( 3 ) 1/3 2/3 1/3.
PGU dX == PGU2 dx + 3 р 3 +411: 411: РGД2G М L Аут о т l , (16.126)
PGU ; == ; (16.127)
ApGT ( )
p==z MG . 16.128
Кроме Toro, имеем следующие выражения:
/ = 1,82. 1026 п ( f У (М LL.)1/2 (sp L ) 1 У1 2 ", Х
27'
419
х ех р [ 1,76' 10"( : )' (у)' 'п ' '}
s == Y1 P == 1 + .
psat (Т) Y1w '
psat == ра ехр [h( 1 ; }J
Следует учесть, что L, z и 1 зависят от температуры и давления. Зависи
мость L от давления может быть получена аппроксимацией экспериментальных
данных в интервале р == 1 12 МПа (см. раздел 17.1):
L == 10 3(21 ,04 3, 74р + 0,37 р 2 0,01Sp3). (16.130)
(16.129)
Зависимость L от температуры для уrлеводородных систем в рассматри
ваемом интервале давлений относительнО слабая, и ее учитывать не будем.
Зависимость z от р и Т представлена в [1 О]:
z == (0,41g Т, + 0,73)Pr+ 0,1 р"
rде Т, и р, приведенные давление и температура (см. раздел
Теплота конденсации определяется по формуле [11]:
(16.131)
5.7).
1 == :1 [7,08 (1 1',.1 )0,354 + 10,95 о) (1 T r1 )0,456 ].
(16.132)
Нижний индекс 1 относится к конденсирующемуся компоненту, через о)
обозначен фактор ацентричности, который характеризует отклонение формы
молекулы от сферической. Так, для метана он равен 0,08, для этана 0,098, для
пропана 0,152 и т. д.
В частности, для пропана при T r1 == 0,79; Те! == 390 К; М 1 == 44 Kr /кмоль
имеем о) == 0,152, 1 == 360 кДж/кr.
Прежде чем переходить к решению общей задачи, попытаемся оценить
объем образующейся жидкой фазы на основе упрощенной постановки. Предпо
ложим, что Koary ляция и конденсационный рост капель в дросселе отсутствует.
Течение считается адиабатическим. Тоrда распределение параметров потока
описывается следующей системой уравнений:
PGuS == PG1 U 1 S 1;
pp k Р P k. 'т' P (H)/k T p (1 k)/k.
G1 ! G, 11 1 ,
d(срТ) 2 du
PGu == PGu dx + VnuclPLlI, (16.133)
rде k показатель адиабаты.
Преобразуем последнее уравнение к виду
PG1 u 1 S 1 d ( 5 2 ) 1
dx СрТ + О, u == V nuc1 PL /,
которое после интеrрирования сводится к
х
( ) OS( 2 2 ) PLl J S(X) v d
CpT Cp1 + , u и1 nucl/ Х.
PG1 U 1 О 1
Подстановка в (16.134) выражений (16.118) и (16.129)
приводит к следующему уравнению:
420
(16.134)
для V nuc1 И I
(СрТ С рl 11) + 0,S(U 2 и ) == <р(х) ,
1/2L7/З 2 х ( ) 7/2 ( ) 2
<р(х) == 1,92.1027 1tlM L 12 Уlсо J .J!.... S 1 Х
РLЩТ I РI 51 LI РI 11
О
xex 1,7610"( : ю: )'( :, )'( i )' ln' +х
Приведем уравнения (16.134) и (16.136) к удобному для дальнейшеrо
использования виду:
== ( ) 2 ( 1 2 ft>(x/L) 2 Т. 1 СрТ /С р l11 ) (I k)/k
т. 5 + 2 + С р l 1 2 '
1 1 и1 Щ
5 ( ) 1/(I k) ( ) kj(l k)
u 1 Т . Р Т . PG Щ S I ( )
Uj s 11 ' K 11 ' Pт ' 16.137
r де L ДЛИна дросселя.
Задав закон изменения площади поперечноrо сечения дросселя S(x), а также
значения параметров на входе РI, и 1 , ТI' Рй, из (16.137) можно найти распре
деление эТих параметров по ДЛИне. Наибольший интерес представляет объем
ное содержание жидкой фазы W. От нето, в частности, зависят скорости Koa
rуляции и конденсационноrо роста капель. В рассматриваемом приближении
этот параметр
06.135)
06.136)
1 х
W(x) == fVnuc1ldx. (16.138)
и(х) о
Воспользовавшись (16.129), перепишем это выражение в виде
W(x) == 1,92.1027 nмr:;a J X ( ) 7a ( 11 ) 2 ylcoS 1 Х
PLul1 РI LI Р Т
о
х ex 1,76.10"( :)'( })' In.' +ыо. (16.139)
Примем РI == 12 МПа, Рй == 100 кт /м 3 , L I == 3,54 . 10 9 Н/м, M L == 44 кт /
кмоль, PL== 700 кт /м 3 , Т I == 293 К. Изменения температуры Т, давления р, давле
ния насыщения р" коэффициента поверхностноrо натяжения L, пересыщения s,
объема зародышей V nucl И интенсивности образования жидкой фазы 1 представ
лены в табл. 16.4. Значение параметра 2Cp111/и == 500.
Из приведенных результатов следует, что образование жидкой фазы про
исходит на небольшом участке дросселя, на котором сужение изменяется от 0,3
до 0,24. CI<OpOCTb в последнем сечении равна S,3U I .
Пусть радиус поперечноrо сечения дросселя по длине изменяется по ли
нейному зю<ону от У 1 == 0,05 м на входе дО У 2 == 0,0245 м на выходе. Если длина
дросселя L == 0,1 м, то радиус сечения, при котором S / S 1 == 0,3, равен 0,027 м.
Соответственно длина, на которой происходит образование жидкой фазы, равна
0,008 м. Torдa нетрудно оценить объемное содержание жидкости на выходе
дросселя:
1 0,1
W J IVnuc1dx 10 5.
и2 0,092
06.140)
421
Таблица 16.4
S/S, Т,К р, МПа р" МПа L' 103, Н/М V noc11 м 3 1 V nue !, М 3 / С
1 293 12 0,8 3,5 8,2 . 1 0 28 О
0,45 290 11,3 0,76 4,4 1,9 . 10 27 О
0,3 285 10,2 0,67 5,4 4,9 . 1 0 27 О
0,27 281,3 9,6 0,6 6 7.7 . 10 27 0,9 . 10 3
0,25 277,2 8,7 0,53 6,6 1,4' 10 26 2,9 . 10 2
0,24 271 7,5 0,44 7,5 3' 10 26 2 . 10 1
Столь малое объемное содержание жидкости объясняется тем, что не учтен
рост капель за счет конденсации пара и коarуляция капель. Ниже будет по
казано, что, несмотря на малые времена процессов, учет этих факторов увели
чивает vv на два порядка.
Теперь перейдем к решению общей залачи и рассмотрим систему ypaBHe
ний (16.122) (16.132). Введем следующие безразмерные переменные:
Р Т PG U S х
P = Pl ; T . P . и s ' 1' .
Т I ' PGl ' ; S;-' т. '
L
= ; то ==тoVnuel(O);
'у . 8 Ll(O) .
С р l11 ' РGIЩС р l Т I '
( 1iЗ 1/2 712
V nue \ == ; f: == 4п 3/4п) 1;:; 12G M L ; 1(0) = 1,92.1027 1tM L ;1 ;
V nue ] (О) CplUITIVnue] (О) P L T I РI
j 1. ')." == Рт и [ . А == 176 '1016 ( МL ) 2 ( ) З. z = 3.... ' .
"Ir;' РI' 1-', PL Т I ' ZI
а = Ll(O)Vnue\(O) . f == а..!!..!:.... Ь == G(O)L с = 2.
щ , PGI' V;;;?!(О)щ р С р l'
С = 4п(3/4п)1/3 LD I2 G V 1LPGI . P fu. f = Теl . d = 4п(3/4п)1!3 D 12G .
2/3 ( 0 ) ,с Р1' с 1'. 1 ' V 2 /3 (0) ,
и1 V nucl иl nuc!
G(O) == ( 16r 2 J I12;
31tРG1л'0
2rl
').,,0 = Rе Зj4 ;
R 2r1ЩРGl
e
.
J.lG
С вводом новых переменных система уравнений примет вид
рй5 '" 1;
d(ёрТ) du 1 2/3 1/3
pи = 'Yp2и2 dl; + u + f: р!:"у то т l ;
712 ( )
1 LI У[оо .
2 ехр 2 '
11 Рl S Тз In s
du dp
')."ри dl; "" dl; ;
Р = zpT;
d З12 1iЗ
b mo m 1 .
U d а V. lj2 s 7/8 '
., nuel Р
(16.141)
422
й dml == а/ + C p !1 у т2/3 тl/З.
d о l'
d(6.y) d A 2/З 1/З d(PYlw) А dp I' ] V:
ри == lJ.yт o т 1 Р u u lJ.y d 1" nucl;
S == 1 + ; Ylw == : ехр [ h (1 )}
z == (0,41g ТТ + 0,7З)Рт + О,1Рт;
== 21,04 З,74(10 6 Р1Р) + 0.37(10 6 Рlр)2 o,015(10 6 РIР)З
21,04 З,74(10 6 РI) + o,37(10 6 Рl)2 o,OI5(10 6 Рl)З
Заметим, что вхоДящее в последнее уравнение Рl имеет размерность [РI] == Па,
в отличие от формулы (16.130), в которой давление берется в МПа. Этим
объясняется появление множителя 10 6.
Система уравнений (16.141) описывает изменение rазо и термодинамичес
ких параметров при течении в коническом конфузоре с заданным изменением
площади поперечноrо сечения по длине s(x). Если заданы условия на входе
р(О) == Т(О) == р(О) == й(О) == 1; то(О) == т l (О) == !1У(О) == О, (16.142)
то, решая эту систему уравнений, можно найти значения р, Т, р, й, то, тl и s в
любом сечении, в котором скорость потока не достиrла скорости звука, т. е. при
выполнении условия М < 1, rде М число Маха.
Уравнения (16.141) с условиями (16.142) решались численно. В качестве
примера рассматривается бинарная смесь, состоящая из метана (90 %) и пропа
на (10 %). Молекулярная масса такой смеси Мс == 18,84 кr/кмоль. Ее тепло
физические свойства нетрудно найти, используя методы для мноrокомпонент
ных смесей [9 11]. В частности, для смесей критические значения температуры
и давления (они называются псевдокритическими), а также ацентрический фак
тор определяются из следующих выражений:
Т рс == Lт,су,; Ррс == LP,cY,; ОО рс == LW,y"
, ,
rде Т,с, р,с и W, соответствующие значения для чистых компонентов; у,
мольные доли зтих компонентов в смеси.
При расчете берутся следующие значения параметров: Т I == 293 ОС, PL == 590 кr /м3,
с == 3,74 кДж/(кr. К), MI_ == 44 Kr /кмоль, D 12G == 10 7 м 2 /с, r == 5 .10 20 Дж,
l == 0,1 м, У1 == 0,1 м. Давления на входе брались равными РI == 12; 10; 8; 6 МПа,
а скорости и 1 == 5; 10; 30; 50 м/с. Радиус конфузора убывал по линейному
закону, поэтому площадь поперечноrо сечения задавалась в виде
2
S == (1 0,51;) .
Для сравнения влияния на рост капель различных факторов решались
последовательно следующие задачи.
1. [азодинамическая задача рассматривали изменение только rазодина
мических параметров р, й, р и Т, пренебреrая коаrуляцией и фазовыми пре
вращениями. Интеrрировались уравнения (16.141) при ь == С == 8 == Е == О. Интеr
рирование проводилось в дозвуковой области течеНl!Я, т. е. до критическоrо
сечения. В табл. 16 5 приведены значения р, й, р, Т и s внепосредственной
близости от критическоrо сечения при РI == 12 МПа. Для сравнения со случаем
учета коаryляции и фазовых превращений в табл. 16.5 приведены числен
ная то и объемная т l концентрации капель, определенные по найденным зна
чениям rазодинамических параметров.
423
Т а б л J1 Ц а 16.5
и" м/с 1;., р й р т то .104 т,' 10' s
50 1 0,629 6,11 0,655 0,96 1,64 2,89 1,38
30 1,222 0,629 10,08 0,655 0,96 1,6 2,85 1,38
10 1,55 0,627 30,25 0,653 0,96 1,53 2,79 1,39
5 1,682 0,618 61,31 0,645 0,959 1,5 2,59 1,4
2. Учет коarуляции капель без учета фазовых превращений. При этом
интеrрируются уравнения (16.141) при Е == С == О. По сравнению с первым случа
ем изменяется только значение то численная концентрация капель оно CTa
новится меньше, поэтому средНИЙ объем I<апель V av = т l /то увеличивается пример
но в 102 раз по сравнению с первым случаем (при РI = 12 МПа и и 1 = 50 м/с).
3. Учет фазовых превращений без учета I<оаrуляции капель. При этом в
уравнениях (16.140 нужно положить Ь = О. Сравнение с первым случаем
показывает, что объемное содержание капель возрастает (т 1 = 8,08 . 10 З против
2,59 . 10 5 при Р\ = 12 МПа и и 1 == 5 м/с), а численная концентрация капель
HaM Horo уменьшается. Соответственно увеличиваются средний объем капель
[V == Vav/Vav(O) = 8.109 против 2. 101] И пересыщение смеси. Сравнение слу
чаев 2 и 3 показывает, что основной рост капель в дросселе обусловлен фазо
выми превращениями (конденсацией).
4. Общий случай, коrда учитываются коаrуляция капель и фазовые пре
вращения. Наибольший интерес представляет зависимость объемноrо содержа
ния жидкой фазы т l на выходе из дросселя от скорости и 1 И давления Рl на
входе (рис. 16.6). При фиксированном давлении РI значение т l увеличивается
с ростом скорости и 1 , причем это увеличение тем больше, чем больше давление
РI' Повышение давления при неизменном значении и 1 тоже приводит к росту
т 1 . Учет коаrуляции и фазовых превращений значительно увеличивает (в 109
1010 раз) средний объем капель на выходе дросселя (рис. 16.7). Заметим, что
основное изменение rазодинамических параметров происходит в небольшой
области возле критическоrо сечения.
j7'10 9
т '103 8
\
9
6
7 1
2 4
5 3 2
3
О 10 20 30 40 и\, м!с
Рис. 16.6. Зависимость т, от и, для различ
иых зиачеиий р" МПа:
1 12; 2 10; 3 6
О
7 8 9 10 11 Р\, МПа
Рис. 16.7. Зависимость средиеrо объема Ka
лель V от давлеиия р, для различных зиаче
иий и" м/с:
1 50; 2 30; 3 10
424
Приведенные результаты по
лучены в предположении, что пе
ред дросселем конденсирующийся 5 '10 3
компонент (пар) находится в co
стоянии насыщения, т. е. YI(O) = О
И S( О) = 1. Если этот компонент
в rазе перед дросселем еще не
достиr состояния насыщения
[LlYj(O) < О], то в дросселе при оп
ределенных условиях конденсация
может и не произойти (рис. 16.8).
С увеличением отклонения пара от состояния насыщения область, в которой
происходит конденсация пара отодвиrается все дальше от входноrо сечения
и начиная с определенноrо значения Yl(O) конденсация в дросселе прекраща
ется.
Таким образом, проведенные расчеты показывают, что конденсация в дpoc
селе происходит только при определенных значениях параметров. Если KOH
денсация происходит, то основной вклад в укрупнение капель вносит KOHдeHca
ционный рост капель, а не их коаryляция. Это объясняется тем, что характерное
время Конденсации мало по сравнению с характерным временем коаrуляции.
Отсюда следует, что за дросселем термодинамическое равновесие установится
очень быстро и дальнейшее укрупнение капель до максимально возможноrо
размера будет происходить за счет коаrуляции.
Рис. 16.8. Измеиеиие объемиоrо coдep
жаннн жидlCОЙ фазы т. по мине дpoc
селя для различиых значеиий ду,(О):
1 о; 2 10 4. 3 5'10 3. 4 10 3
тl
10 2
10 3
0,8
0,9
16.5. ОБРАЗОВАНИЕ ЖИДКОЙ ФАЗЫ В ТЕПЛООБМЕННИКЕ
в отличие от дросселирующеrо устройства, в теплообменнике процесс
конденсации происходит практически при постоянном давлении. Охлаждение
rаза осуществляется при движении в трубах испарителя. Стенки трубок охлаж
даются с внешней стороны жидким или rазовым areHToM до температуры 18 ос
и ниже. Основная задача состоит в определении количества жидкой фазы, KOH
денсирующейся в холодильном устройстве.
Как было показано в предыдущем парarрафе, образование жидкой фазы
при конденсации паров тяжелых уrлеводородов начинается при условии BЫ
полнения неравенства S > SeT' Решая это неравенство относительно температуры,
можно определить температуру ТСТ> при которой начинается конденсация паров.
Поскольку температура на входе выше ТСТ> то по мере движения rаза в тепло
обменнике ero температура снижается и в некотором сечение станет равной Тет'
Начиная с этоrо сечения в rазе появляются зародыши жидкой фазы, которые
затем увеличиваются в размерах за счет фазовых превращений на поверхности
и коаryляции капель. Интенсивная нуклеация и конденсация пара приводит к
выделению теплоты конденсации, которая может несколько повысить темпера
туру rаза. Поскольку объемное содержание жидкой фазы мало, а интенсивность
охлаждения rаза по длине теплообменника достаточно большая, то в первом
425
приближении теплотой конденсации можно пренебречь. Поэтому распределение
температуры по длине трубы можно найти независимо, а затем по известному
распределению температуры определить количество образующейся жидкой фазы.
Пусть rаз на входе имеет температуру ТО, температура стенки Tw, CKO
рость rаза U. Рассмотрим сначала случай, коrда охлаждение rаза происходит
за счет механизма теплопроводности. Тоrда изменение температуры описывает
ся уравнением
и дТ Л-G 1 д ( дТ )
дх == PGc p r ar Уа;:
( 16.143)
при условии, что
Т(О, у) == То; Т(х, УС> == Tw; ( }=о == о,
(16.144)
rде л'G коэффициент теплопроводности rаза; С р изобарная теплоемкость rаза;
r текущий радиус; УС радиус трубки; ось х направлена по оси трубки; х == О
соответствует входному сечению.
Решение уравнения (16.143) с условиями (16.144) имеет вид
8== T To ==1 2f Jo(Pkrlrc) е Ф, (16.145)
Т'" То k=1 Pk11 (Pk)
rдe 't == л'Gх/r с 2 uр G с р ; 10 и 11 функции Бесселя; Pk корни уравнения 1 0 (Pk) == О,
причем РI == 2,4; Р2 == 5,52; Рз == 8,65; Р4 == 11,79 и т. д. Соответствующие значения
1 1 (Pk) следующие: 1 1 (РI) == 0,519; 1/Р2) == 0,34; 1 1 (р 3) == 0,27; 1 1 (Р4) == 0,23
и т. д.
Введем среднюю температуру по сечению трубки
'с
f == 2yc 2 fTrdr.
о
( 16.146)
Подставляя формулу (16.145) в (16.146), получаем
т. ( т. ) '"
2:.. == + 4 1 I pj;2 е Ф.
То То То k=1
Ряд в правой части (16.147) сходится быстро при 't>0,
в нем только первый член
т ( т. ) '"
0,694 1 I e S.76,.
То То k=1
Поскольку трубки, по которым движется охлаждаемый rаз, достаточно
узкие (2ус« L), то в качестве температуры можно использовать выражение
(16.147) или (16.148). Если ввести безразмерную температуру
( 16.147)
поэтому оставим
(16.148)
т To
8
Т'" То '
то выражение (16.147) можно переписать в виде
'" 2
81 == 4Ipj;2e Pk'.
k=1
Зависимость 8 1 ('t) представлена на рис. 16.9. Используя выражение (16.149),
( 16.149)
426
Рис. 16.9. Зависимость безразмерной темпе
ратуры 0 ! от 't
можно определить ряд конструктивных
параметров теплообменника. Наиболее
рациональной конструкцией теплообмен
ника (см. раздел I) является кожухо
трубчатый теплообменник, представля
ющий собой пучок из N параллельных
трубок радиусом УС и длиной L, заклю
ченных в кожух радиусом Rk' Если
радиус подводящей к теплообменнику
трубы равен Rt, то из условия coxpaHe
ния расхода в предположении, что плот
ность rаза постоянна, следует
01
1,0
0,5
О
0,2 0,3
0,4
0,5
0,6 L
0,1
Rt 2U t == N ус2и == QG , (16.150)
1t
rде U t И U соответственно скорости rаза в подводящей трубе и в трубке
теплообменника; QG объемный расход rаза при давлении р и температуре Т.
Расход rаза обычно задают при нормальных условиях Qn Связь между
QG и Qn дается формулой
QG == zTpnQn/тnp,
(16.151)
rде Тn и рn нормальные температура и давление (Т n == 293 К, рn == 0,1 МПа),
z коэффициент сжимаемости rаза
Рассмотрим входящий в уравнение (16.149) параметр '[. Используя Bыpa
жение (16.150), ero можно представить в виде
"с == 1tA G Nx/QGPGC p ' (16.152)
Из выражений (16.151) и (16.152) можно определить число трубок в
теплообменнике:
N == PGcp"CzTpnQn/1tAGLTnp.
( 16.153)
Основные параметры теплообменника число трубок в пучке N, их pa
диус УС и длина L Если задать L и УС, то N определяется, если известны давле
иие ро и температура То на входе, температура стенки Tw и rаза на выходе ТI'
а также расход rаза Qn и радиус подводящей трубы. По заданным значениям
определяем по rрафику 16.9 значение "С, а из формулы (16.153) находим N.
Рассмотрим пример. Пусть нужно охладить rаз от температуры То == 293 К
до температуры Т w == 263 К. Температура стенки охлаждаемых трубок поддер
живается при температуре Т w == 253 К, давление на входе ро == 10 МПа, расход
rаза составляет Qn == 0,1 млн. м 3 / сут == 0,121 м 3 / с. Остальные параметры сле
дующие: PG== 100 Kr/M3; С р ==3,26 кДж/(кr' К); AG== 1,26' 10 4 Вт/(м' К);
L == 6 м. Из rрафика определяем "с == 0,175, а из формулы (16.153) находим
N == 210
Приведенный метод расчета приrоден для течений с относительно неболь
шими скоростями, коrда теплопередача осуществляется за счет теплопроводно
сти. При больших скоростях rаза поток в охлаждающих трубках турбулентный,
и теплопередача осуществляется в основном в процессе интенсивноrо попереч
427
Horo перемешивания потока, выравнивающеrо температуру в поперечном сече
нии трубки. Ниже излаrается общепринятый в настоящее время расчет распре
деления температуры в трубках теплообменника.
Рассмотрим течение rаза по цилиндрической трубке радиусом УС' Темпера
тура на входе равна ТО, температура стенки поддерживается постоянной, равной
Tw < То. Введем в рассмотрение средние по сечению трубки скорость потока И
и температуру rаза Т. Примем, что количество теплоты, уходящее через стенки
трубы во внешнюю среду, определяется выражением
Qw = kT(T T,,,)St,
(16.154)
rде k T коэффициент теплопередачи на стенке трубки, S площадь поверхно
сти трубки, t время.
Величина k T вычисляется по формуле
1 1 1 h
= + + (16.155)
kr аl а2 л. w '
rде <Х1 и <Х2 коэффициенты теплоотдачи соответственно от охлаждаемоrо rаза
к стенке и от стенки во внешнюю среду; h толщина стенки; л. w коэффици
ент теплопроводности стенки.
Вообще rоворя, k T зависит от температуры Т, но учесть эту зависимость
сложно. Кроме Toro, эта зависимость не будет сильно влиять на среднюю
температуру rаза. Поэтому примем, что k T постоянная.
Направим ось х вдоль оси трубки и запишем баланс тепла в цилиндри
ческом объеме радиуса УС и длины dx. Вследствие конвективноrо переноса
тепла в этот объем в единицу времени войдет количество теплоты, равное
тtr?PGcpUT, а выйдет тtr?PGcpU(T + dT). Следовательно, приток тепла в pac
сматриваемом объеме в единицу времени составляет тtrlpGcpUdT. С друrой
стороны, из рассматриваемоrо объема через стенки трубы в единицу времени
уйдет количество теплоты, которое в соответствии с формулой (16.154) равно
2тtr c kiT Tw)dx. В рассматриваемом объеме в результате процесс а нуклеации
и дальнейшеrо конденсационноrо роста капель выделяется энерrия
Е = [VnucIPLlI + MLl14тt.R2 l1wn(V, X)dV]2тtr c dx.
( 16.156)
Приравнивая потоки тепла, получаем
rcPGcpUdT = 2kiT Т w)dx + Е.
Учитывая, что V nuc1 = 32тt ;З /3р3, воспользовавшись выражением для потока
конденсирующеrося компонента l 1w (см. раздел 16.1), имеем
и dT 2kr(T Tw) 32тЙ:. 3 1р L I
pGc p d + 3 3 +
Х Тс Р
( 3 ) 1/3
+ 4тt 4п М Llp LД 2G f1ут'ffтуз.
( 16.157)
Если пренебречь теплотой конденсации, то решение уравнения (16.157) с
условием Т(О) = ТО имеет вид
T 7:
el= =e P ,
То Tw
(16.158)
rде 131; ==2тtk T r cNx/ CpPGQG'
428
Поскольку площадь поверхности теплообменника S == 21tr c LN, то уравнение
(16.158) можно переписать в виде
( kTSX )
81 == ехр .
PGCpQGL
( 16.159)
Задав температуру Т 1 на выходе теплообменника, из (16.159) найдем
площадь теплообмена
S== PGCpQG ln ( TO Tw ) . (16.160)
k T Т 1 Tw
Коэффициент теплопередачи k T определяется выражением (16.155), при
чем вид коэффициентов <Х1 и <Х 2 зависит от конструкции теплообменника. Как
отмечалось в разделе 1, на установках НТС используют два типа теплообмен
ников: «труба в трубе*- и кожухотрубчатые. Теплообменник первorо типа co
стоит из двух коаксиальных труб внутренней диаметром d 1 и наружной
диаметром d 2 . По внутренней трубе движется охлаждаемый rаз, а в межтрубное
пространство подается охлаждающий areHT (rаз или жидкость). Кожухотруб
чатый теплообменник состоит из пучка трубок, заключенных в цилиндрический
кожух. По трубкам течет охлаждаемый rаз, а в межтрубном пространстве
охлаждающий areHT. Коэффициент теплоотдачи для охлаждаемоrо rаза опре
деляется по формуле
<Хl == 0,023( ) ReO. 8 PrO,4, (16.161)
rде Re == 2Ur c PG/J.!G число Рейнольдса; Pr == J.!Gср/л.G число Прандтля.
Коэффициент <Х 2 для теплообменника типа «труба в трубе*-
<Х2 = 0,023( 7 )( )0.45 Re O . 8 Pr 0 .4, (16.162)
а для кожухотрубчатоrо теплообменника
<Х2 = 0,2 ( 7 ) ReO,6 PrO. 33 . (16.163)
Заметим, что числа Re и Pr вычисляются по значениям параметров в
межтрубном пространстве, причем в кожухотру6чатом теплообменнике в каче
стве диаметра берут эффективный диаметр
d eff == (/SM ) ,SM=1t(di Ndп. (16.164)
1t 2 + Nd 1
Рассмотрим теперь движение бинарной пароrазовой смеси в теплообменни
ке с учетом конденсации и коаryляции. Система уравнений аналоrич на (16.141).
Основное отличие состоит в постоянстве сечения трубки, т. е. S == 1. Таким
образом, имеем
рй == 1;
d(c/> 2 du 1 2;3 1;3 А (T Т. )
pи = yp2и d'f" +8 +Ердут о т! 1-'1 w ;
712 2 ( I3 З )
1:::: Уl00 ехр ;
TNjs тЗ ln 2 s
429
л. du dp
ри d = d ;
Р = zpT;
d З/2 1/3
й.!!!2.. == а ь то тl
d V nuc \ 151/2
(16.165)
й dml = аУ + C p !1 у т2/3тl/3.
d о 1,
d(/)"y) d!1 2/3 1jЗ d(15Ylw) !1 d15 fY V. .
ри d ут о т l Р u d u У d " nuc!'
1 /)"у Ре h (1 Те )
s == + ; Ylw = ехр --:;- ;
Yl w , Р т
z =- (0,41gT r + О,7з)Рr + O,1Pr'
== 21,04 з,74(10 6Р1Р) + 0,37(10 6plP)2 0,015(10 Р1Р)З
21,04 3,7 4(1 0 6 Рl) + 0,37 (1 0 6 Рl)2 0,015 (1 0 6 РI)
Кроме безразмерных параметров, введенных в (16.141), здесь дополнитель
но введены
Tw == Tw ; 131 = 21tk r r c NL .
Т 1 c p p G1 U I QG
Систему уравнений (16.165) решаем при следующих начальных условиях:
Т(О) == р(О) == й(О) == 1; то == Щ(О) == !1У(О) == о.
(16.166)
Рассмотрим при мер численноrо решения уравнений (16.165) с условиями
(16.166) для кожухотрубчатоrо теплообменника, состоящеrо из 281 трубки
диаметром 2Уе == 0,025 м и длиной L == 12 м. Коэффициент теплоотдачи равен
k r == О ,42 кВт / (м 2 . К). На вход теплообменника поступает бинарная rазовая
смесь, содержащая 90 % метана и 10 % пропана. Расход rаза составляет
QG == 0,7 м 3 / с при давлении РI == 5 МПа и температуре Т I == 293 К. Кроме Toro,
Tw == 253 К. С р == 2,77 кДж/(кr' К), PGl == 40 Kr /м 3 , U 1 == 9 м/с. На рис. 16.10 и
16.11 показаны изменения объемноrо содержания жидкой фазы т 1 и отклонение
мольной концентрации конденсирующеrося компонента (пропана) !1у от paBHO
BecHoro значения по длине теплообменника для различных значений давления
р. Зарождение капель происходит на некотором расстоянии от входа. Это
расстояние тем меньше, чем больше давление rаза. Повышение давления от 4
до 8 МПа увеличивает объем жидкой фазы почти в 2 раза. Снижение темпе
ратуры в теплообменнике сначала приводит к резкому пересыщению смеси
(увеличению !1у), а затем после начала интенсивной конденсации пара к
уменьшению !1у.
В заключение отметим, что рассмотренный метод оrраничен условием по
стоянства температуры стенки трубок теплообменника. В действительности
температура Т w изменяется по длине трубок. Для ее определения необходимо
решать внешнюю тепловую задачу, т. е. определять распределение температуры
430
!1у
8
т . 103 м 3 /МЗ 6
I '
8
6 4
4
2
2
О
0,5
1,0
О
1
Рис. 16.10. Измеиеиие объемиоrо содерЖа
им жидкой фазы т ! по длиие теплообменни
ка при Т! - 20 ос; Т'" - 20 ос; и ! - 9 м/с
для различных зиаченнй р, МПа:
1 8, 2 6, 3 4
Рис. 16.11. Измеиенне отклоиення мольиой
коицеитрации коидеисирующеrося компоиеи
та в тазовой фазе ду по длиие теплообменни
ка при Т! - 20 ос; Т'" - 20 ос; и ! - 9 м/с
для различных зиаченнй р, МПа:
1 4, 2 6, 3 8
в межтрубном пространстве. Принципиальных трудностей при этом не возни
кает. Усложняется только процедура решения, особенно в случае, коrда охлаж
дающий areHT движется в направлении, противоположном направлению движе
ния охлаждаемоrо rаза.
17
ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
17.1. ФИЗИКА ПОВЕРхносrnоrо НАТЯЖЕНИЯ
Явление поверхностноrо натяжения отмечается во мноrих процессах, с
которыми приходится сталкиваться не только в технике, но и в быту.
Достаточно упомянуть следующие: образование мыльных пузырей, их подъем
и разрыв; подъем жидкости в капиллярных трубках на высоту, большую,
чем высота жидкости в резервуаре, в которую поrружена трубка; дробление
жидкости на капли, при вытекании струи из TOHKoro сопла, насадки, форсун
ки; процесс печатания в струйных принтерах; образование TOHKoro слоя
жидкости, остающеrося на поверхности тела, извлекаемоrо из жидкости;
поведение капли жидкости на твердой плоской поверхности она может
оставаться каплей или растекаться по поверхности в зависимости от сил
взаимодействия между жидкостью, твердой поверхностью и воздухом. Oco
бенно важную роль иrрает поверхностное натяжение в процессах формиро
431
rаз
Рис. 17.1. Межфазиая поверхность
вания капель при распаде жидких струй и дроблении крупных капель в
потоках rаза и жидкости.
Жидкость состоит из движущихся молекул, которые удерживаются на
относительно небольших расстояниях друr от друrа молекулярными силами
притяжения Ван дер Ваальса. Поскольку жидкость рассматривается как сплошная
среда, в основе которой лежит rипотеза сплошности, то, рассматривая малый
элемент сплошной среды, можно ero характеризовать наличием HeKoToporo
среднеrо молекулярноrо поля, TaKoro, что в среднем силы притяжения любой
молекулы в этом элементе в любом направлении одинаковы.
Подобное предположение нарушается на межфазной поверхности, напри
мер на поверхности, разделяющей жидкость и rаз, поскольку движение молекул
в жидкости менее свободно, чем в rазе. В rазе взаимодействие молекул слабее,
чем в жидкости. Взаимодействие молекул в жидкости препятствует им поки
дать жидкость через межфазную поверхность (испарение). Поэтому на моле
кулы жидкости, находящиеся на поверхности, действуют силы, направленные
вдоль и внутрь поверхности (рис. 17.1>.
В результате поверхность находится в напряженном состоянии, как MeM
брана, и пытается как бы уменьшиться в размере. Следует подчеркнуть, что
представление межфазной поверхности как rладкой поверхности менисковоrо
типа, на которой концентрация молекул терпит разрыв, является идеализацией,
поскольку в действительности эта поверхность имеет толщину порядка 1 О
100 нм, В которой концентрация молекул изменяется непрерывно от значения в
жидкой фазе до значения в тазовой фазе.
Поведение межфазной поверхности можно описать, используя энерrетичес
кий подход. Поскольку молекулы жидкости на межфазной поверхности испы
тывают меньшее притяжение со стороны соседних молекул, чем молекулы, Ha
ходящиеся в толще жидкости, то энерrия притяжения, приходящаяся на одну
молекулу жидкости на поверхности, меньше энерrии притяжения молекулы в
толще жидкости. Вследствие этоrо энерrия поверхностной молекулы составляет
только часть энерrии внутренних молекул. Поскольку свободная энерrия сис
темы стремится к минимуму, то поверхность жидкости стремится уменьшиться.
Обозначим через L силу, действующую на единицу длины и стремящуюся
уменьшить поверхность. Тоrда, вводя свободную энерrию F [12]
F==E TS, (17.1)
имеем следующее выражение для L:
432
'L дР /as,
(17.2)
rде s площадь поверхности.
Из (17.2) следует, что 'L> О при условии уменьшения F и s. Величина 'L
(Н/ м) называется коэффициентом поверхностноrо натяжения. Ниже представ
лены значения 'L некоторых чистых жидкостей со своим паром при нормальной
температуре.
Вещество L, МН/М
Вода 72,88
Нитрометан 32,66
Бензин 28,88
Метанол 22,50
Ртуть 486,5
Коэффициент поверхностноrо натяжения уменьшается с увеличением темпе
ратуры, поэтому
BL < О
дТ .
(17.3)
Падение 'L с ростом Т происходит практически линейно и оценивается
величиной o, 1 Н/К
Поверхностное натяжение природных yr леводородных жидкостей зависит
как от температуры, так и от давления. На рис. 17.2 показана характерная за
висимость 'L от давления для конденсата природноrо rаза.
Известно, что адсорбция поверхностно активных веществ (ПАВ) на меж
фазной поверхности приводит к образованию на поверхности ориентирован
Horo монослоя, снижающеrо поверхностное натяжение. Типичные водные
растворы ПАВ содержат орrанические молекулы с длинными уrлеводородны
ми хвостами*, и полярными rоловками [13]. Уrлеводороды практически He
растворимы в воде, а вода является высокополярной жидкостью. На рис. 17.3
показано, как молекулы идеальноrо ПАВ адсорбируются на поверхности воды.
Полярные rоловки молекул проникают в воду, а уrлеводородные XBOCTЫ*,
остаются в rазовой фазе. Для образования монослоя требуется относительно
HeMHoro молекул.
Введем понятие поверхностной концентрации ПАВ r (моль/м 2 ) [2].
Если внешняя среда представляет собой бинарный раствор с объемной моляр
ной концентрацией pacTBopeHHoro в ней ПАВ С, то при равновесии значения r
и С связаны уравнением rиббса (изотерма rиббса):
r BL (17.4)
АТ дС'
rде А rазовая постоянная.
Из (17.4) следует, что увеличение концентрации ПАВ С в растворе
приводит к снижению поверхностноrо натяжения при условии, что ПАВ aд
сорбируется на поверхности, т. е. r> о. Если концентрация ПАВ в растворе
мала, то молекулы ПАВ ведут себя независимо. Увеличение С приводит к их
аrреrированию и образованию мицелл. Мицеллы это образования, форму
которых можно приближенно считать сферической. Они содержат от 50 до
1 00 молекул.
Полярные rоловки молекул окружены двойными слоями и находятся в
воде, в то время как уrлеводородные XBOCTЫ*, собраны вместе в области, в
которой отсутствует вода. Мицеллы образуются при превышении концентрации
ПАВ критическоrо значения С еТО называемоrо концентрацией мицеллообразова
28 1461 433
1: . и/, н/м
Рис. 17.2. Характерная зависимость козф
фициента поверхностноro иатяжения коидеи
сата природиоrо rаза от давлеиия
24
14
4
О
5
10
р,МПа
Воздух
) ;:t
5
с
:х:
Рис. 17.3. Адсорбция ПАВ иа межфазиой поверхности
ния. Увеличение С сверх С е. не изменяет L, оно приводит только К дополни
тельному образованию мицелл [14].
Перейдем теперь к кинетике процесса адсорбции. Характерное время, He
обходимое для установления paBHoBecHoro значения L поверхности жидкости,
оценивается выражением t [2/ D, rде D коэффициент диффузии молекул
ПАВ, 1 размер молекул. Это время имеет смысл времени, в течение которorо
поверхностные молекулы обмениваются с соседними молекулами в жидкости.
Для характерных значений D 10 9 м 2 /с и 1 0,3 нм (диаметр молекулы воды)
имеем t 10 1O с. Следовательно, установление L происходит практически MrHo
венно.
Друrим характерным временем является время пребывания молекулы
на поверхности при условии равновесия с паром жидкости, т. е. при усло
вии, что число испаряющихся молекул равно числу конденсирующихся
молекул. Для паров воды коэффициент диффузии D 10 6 м 2 /с, а толщина
паровоrо слоя 1 0,1 мкм. Тоrда можно оценить частоту столкновения молекул
пара с поверхностью: D / [2 1 08 c l. Если доля молекул, способных KOHдeH
сироваться, составляет 0,1, то характерное время жизни молекулы на поверх
434
ности 10 7 с. Это время больше времени установления L, но все равно
достаточно мало.
Проведенные рассуждения для межфазной поверхности жидкость rаз
можно применить для межфазной поверхности, разделяющей две несмешиваю
щиеся жидкости. Значение поверхностноrо натяжения межфазной поверхности
жидкость жидкость лежит между L 1 и L 2 поверхностными натяжениями
каждой жидкости.
До этоrо момента мы рассматривали плоскую межфазную поверхность.
Поверхностное натяжение стремится искривить поверхность, в результате чеrо
появляется отрицательный скачок давления при переходе через поверхность со
стороны, в которой расположен центр кривизны. Выражение для перепада
давления называется уравнением R)Hra Лапласа
др L ( + J.... ) , (17.5)
R j R 2
rде R 1 и R 2 rлавные кривизны межфазной поверхности.
В частном случае, коrда рассматриваются сферические капли или пузырь
ки, R 1 == R 2 == а и
др == р, Ре == 2L/ а,
(17.6)
rде р" Ре внутреннее и внешнее давления; а радиус капли.
Вид формулы (17.6) отражает тот факт, что при условии наступления
термодинамическоrо равновесия поверхностная энерrия должна быть мини
мальной, а при заданной величине объема жидкости минимальной площади
поверхности соответствует площадь сферы. Из (17.6) следует, что при а 00
(плоская поверхность) др О.
Перейдем теперь к рассмотрению поведения жидкости на твердой поверх
ности. Молекулы твердой поверхности в отличие от жидкости или пара непод
вижны. Если на рис. 17.1 область, занятую rазом, заменить твердой поверхно
стью (например, стеклом), то молекулы жидкости на межфазной поверхности
испытывают со стороны молекул твердоrо тела большее притяжение, чем со
стороны внутренних молекул жидкости. Твердая поверхность в отличие от
жидкой не бывает абсолютно однородной (чистой). Наличие неровностей и
различных примесей влияет на поверхностное натяжение жидкости. Поэтому
силы притяжения со стороны молекул реальноrо твердоrо тела MorYT быть
меньше, чем для идеальной rладкой поверхности.
Жидкая капля, помещенная на твердую поверхность, испытывает взаимо
действие не только с поверхностью твердоrо тела, но и с окружающим rазом
(рис. 17.4). Возможны два случая: капля свободно растекается по поверхности
твердоrо тела или остается в форме капли, поверхность которой в точках
контакта с твердой поверхностью составляет конечный уrол е, как показало на
рис. 17.4. Вдоль поверхности в точках контакта действует сила, равная L,
направленная по касательной к межфазной поверхности. Тоrда на линию KOH
такта твердоrо тела и капли действуют силы LSG между молекулами твердоrо
тела и rаза, LLG между молекулами твердоrо тела и жидкости и L cos е
проекция силы поверхностноrо натяжения жидкость rаз на плоскость TBep
доrо тела. Из условия равновесия контактной поверхности следует уравнение
R)Hra
L cos е == LSG LLG'
(17.7)
Из (17.7) следует, что
28*
435
rаз
Жидкость
Твердое тело
Рис. 17.4. Жидкая капля иа твердой поверхности
k LSG LSL е
== ==cos.
L
Влечина k называется коэффициентом смачивания. Очевидно, что 1 k 1.
Если контактный уrол е == О, то k == 1 и жидкая капля полностью растекается по
твердой поверхности. В этом случае поверхность называется полностью смачи
ваемой. При 0< k < 1 имеем О < е < п/2. В этом случае rоворят, что поверх
ность твердоrо тела смачиваемая, точнее, нужно rоворить, что она частично
смачиваемая. Друrой предельный случай соответствует k == 1, т. е. е == п. При
этом твердая поверхность называется полностью несмачиваемой. Из (17.8)
следует, что этот случай соответствует большим значениям LSL' близким к L.
При 1 < k < О имеем п/2 < е < п. В этом случае rоворят, что поверхность
несмачиваемая. Примером может служить капля ртути на стекле, для которой
уrол контакта е 140 о.
Перепишем (17.8) в виде
(17.8)
k == 1+ , S == LSG LSL L.
L
Параметр S называется коэффициентом растекания. Если S> О, то k> 1.
В этом случае линия контакта не может находиться в равновесии.
у словие равновесия контактной линии (17.7) действительно, если KOHTaK
тная линия неподвижна. В задачах о движении жидкости по твердой поверх
ности необходимо рассматривать подвижную контактную линию [15]. В таких
задачах вводится понятие динамической контактной линии или KOHTaKTHoro
yr ла. Условие на контактной линии является rраничным условием COOTBeTCTBY
ющей rидродинамической задачи, в котором необходимо учитывать кроме сил
поверхностноrо натяжения и силы вязкоrо сопротивления.
(17.9)
17.2. КАПИЛЛЯРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Под явлением капиллярности понимается способность жидкости при KOH
такте с твердой стенкой составлять конечный или нулевой уrол. На практике
под явлением капиллярности понимается способность жидкости подниматься
или опускаться в очень тонких капиллярных трубках или в пористой среде,
436
характеризуемой микрокапиллярной внутренней структурой. В связи с этим
под капиллярным движением понимается движение, индуцированное действием
поверхностных сил. Простейшей демонстрацией явления капиллярности явля
ется подъем жидкости в вертикальной капиллярной трубке, опущенной одним
концом в резервуар с жидкостью, а друrим концом открытым в атмосферу.
При этом жидкость может подниматься на высоту, которая больше высоты
жидкости в резервуаре. Друrими примерами служат растекание капли по про
мокательной бумаrе, смачивающее течение жидкости по твердой поверхности. В
приведенных случаях поверхностное натяжение является движущей силой Te
чения.
Поверхностное натяжение может не быть постоянным на всей межфазной
поверхности, поскольку коэффициент поверхностноrо натяжения зависит от
концентрации адсорбирующихся на поверхности ПАВ, от температуры и элек
трическоrо заряда поверхности. Изменение L приводит к изменению баланса
сил, действующих на межфазную поверхность, а следовательно, может вызвать
течение жидкости. Действительно, rраничными условиями на межфазной повер
хности, разделяющей две несмешивающиеся жидкости, является равенство HOp
мальных и касательных напряжений. В условие непрерывности нормальных
напряжений входят давления, которые на искривленной поверхности связаны
уравнением Юнrа Лапласа (17.5). Если имеется rрадиент поверхностноrо
натяжения в направлении касательной к межфазной поверхности, то непрерыв
ность касательных напряжений требует изменения значений вязких напряжений
вдоль поверхности, а следовательно, поля скоростей в жидкой фазе и формы
межфазной поверхности.
В разделе 17.2 рассмотрим капиллярное движение в вертикальной уз
кой трубке [2]. Смачивающее течение и течение, вызванное поверхностным
rрадиентом nOBepxHocTHoro натяжения , будут рассмотрены в разделах 17.3
и 17.5.
Рассмотрим подъем жидкости в вертикальной капиллярной цилиндричес
кой трубке радиусом а, один конец которой опущен в резервуар с жидкостью,
а друrой конец открыт в атмосферу (рис. 17.5).
В узкой трубке KpyroBoro поперечноrо сечения мениск жидкости имеет
,-..... ............ /
./ " /
/ "
1\1
I \
I I
I 1 I \
\ h I \
\ I \
Но I \
/ "
./ "
hI
\
\
\
\
I
I
I
/
/
I
/
" I /
" ./
...... I ,-
...................... ........""",.
а
Н
Рис. 17.5. Подъем жидкости в вертика.льиом капилляре
437
приблизительно форму части сферы с постоянным радиусом кривизны
R = a/cos е, rде В статический контактный уrол. Отклонение формы менис
ка от сферической может быть вызвано влиянием силы тяжести. Отношение
rравитационной силы к силе поверхностноrо натяжения характеризуется без
размерным параметром, называемым числом Бонда:
2
В Сила тяжести pgL
0=
Сила поверхностиоrо натяжения Т'
(17.10)
rде L характерный линейный размер.
При Во» 1 силой поверхностноrо натяжения можно пренебречь по cpaB
нению с силой тяжести. При Во« 1, наоборот, сила тяжести несущественна.
Рассматривая область, занятую мениском, следует взять L = h. Тоrда усло
вием Toro, что сила тяжести слабо искажает сферическую форму мениска, яв
ляется Во« 1, т. е. h 2 pg« L, откуда следует, что
( L ) 1/2
h« pg ;: Llc . ( 17.11 )
Величина Llc имеет размерность длины и называется капиллярной длиной.
Рассмотрим теперь условие равновесия столба жидкости высотой НО' Из
условия Юнrа Лапласа (17.5) следует, что перепад давления на мениске
Llp = Patm Pliq = 2L cos L/ а, rде Pliq среднее давление в жидкости на межфаз
ной поверхности. rидростатическое давление жидкости у входа трубки в резер
вуаре Pliq + pgHo "" Patm' Из этих двух соотношений следует, что
pgHo= 2LCOS В/а. (17.12)
Отсюда находим равновесную высоту столба жидкости
Но = 2 ( ) cosO = 2 М cose. (17.13)
pg а а
В зависимости от величины KOHTaKTHoro yr ла высота столба изменяется в
интервале
!!l- !!l-
2......E.<Ho<2......E..
а а
В частности, для столба ртути В"" 1400, и столб не поднимается, а опуска
ется ниже уровня ртути в резервуаре.
Из (17.13) следует, что чем меньше радиус капилляра, тем выше (ниже)
может подняться (опуститься) жидкость. Так, для воды L = 73 мН/м и в
стеклянном капилляре с а = 0,1 мм имеем Но = 0,15 м. Кроме Toro, измеряя
высоту поднятия (опускания) столба жидкости в капилляре, можно с большой
точностью определить значения коэффициента поверхностноrо натяжения.
Определим теперь скорость поднятия жидкости в капилляре. Предполо
жим, что профиль скорости в капилляре пуазейлевский с и тах = 2U и h = а/Л.
Тоrда получим
dH а 2 !1р
И= =
dt 811 н'
(17.14)
rде Н Но расстояние от поверхности жидкости в резервуаре до свободной
поверхности в капилляре в момент времени t.
Известно, что пуазейлевский профиль устанавливается в развитом течении
438
через время t» а 2 / У, поэтому сделанное предположение является приближе
нием к действительному профилю скорости. Значение др, входящее в (17.14),
можно рассматривать как разность rидростатическоrо давления на установив
шейся высоте Но и на текущей высоте Н. Тоrда с учетом (17.12) имеем
2Lcose
др=рgНо рgН= рgН. (17.15)
а
Подставляя (17.15) в (17.14), получаем
j.I dH 1 ( а pga 2 )
'"fdt' = '8 2 н cosa T . (17.16)
Здесь параметр pga 2 /L = Во, определенный по радиусу капилляра. Друrой
безразмерный параметр следует из вида левой части (17. 16). Обозначим через
и характерную скорость. Тоrда можно ввести капиллярное число
Са = Вязкая сила = j.lU (17.17)
Сила поверхностноrо натяжения L
Решение уравнения (17.16) при условии Н = О при t = О имеет вид
t = 't' ( ln 1 ..!!.... )
1 H/Ho Но'
(17.18)
rде введен параметр
't' = 8j.IН о = 8.!:. Но .
pga 2 L Во
Поскольку Н Н о при t 00 и первое слаrаемое в правой части (17.18)
HaMHoro больше BToporo, то можно приближенно написать
(17.19)
н 1 иT
Но е .
Тоrда 't' можно рассматривать как характерное время поднятия столба
жидкости. Для воды в рассмотренном выше примере (НО = 0,15 м, а = 0,1 мм)
имеем 't' = 12 с. Заметим, что при этом а 2 /У 10 2 С И условие т» а 2 /у, при
котором получено решение, удовлетворяется. Число Бонда в рассматриваемом
примере Во == 1,3' 10 З, что свидетельствует [см. (17.10)1 о малости силы тяже
сти по сравнению с силой поверхностноrо натяжения.
(17.20)
17.3. СМАЧИВАЮЩЕЕ ТЕЧЕНИЕ
Под смачивающим течением понимается течение TOHKoro слоя жидкости по
твердой поверхности. Обзор работ в этой области содержится в работе [16], в
соответствии с которой основная задача заставить жидкость растечься TOH
ким слоем по возможно большей поверхности. Хотя напряжения, обусловлен
ные поверхностными силами, малы по сравнению с перепадом давления, требу
емым для преодоления вязких сил, их учет необходим при фиксированном
расходе жидкости.
rидродинамическая задача смачивающеrо течения состоит в определении
стационарноrо решения, дающеrо связь между rеометрией пленки, свойствами
жидкости, скоростью течения пленки и ее толщиной. Двумерность течения,
наличие неизвестной свободной rраницы и нелинейность вызывают наибольшие
439
и)
gJ
8!
Пленка, налипшая
на мастину
у
Область статической
поверхности
Жидкость
Рис. 17.б. Извлечеиие пластины из вязкой жидкости
математические трудности при решении 'этой задачи. Кроме Toro, важная зада
ча исследование устойчивости TaKoro течения.
Классической задачей является задача определения толщины смачивающей
пленки на плоскости, которую извлекают из резервуара, заполненноrо вязкой
жидкостью [2]. Оrраничимся рассмотрением течения при малых капиллярных
числах Са« 1. Считаем также, что толщина пленки 8 f , налипшей на пластину
после извлечения ее из резервуара, мала по сравнению с характерным линей
ным размером течения (рис. 17.6).
Сила вязкости важна при течении в слое пленки, но пренебрежимо мала
в области статической поверхности жидкости в резервуаре, в которой форма
мениска определяется балансом силы поверхностноrо натяжения и rидростати
ческоrо давления. Переход от статической поверхности к поверхности YCTaHO
вившейся пленки происходит через искривленную в форме мениска поверх
ность. Поскольку установившаяся толщина пленки мала, то поверхность пленки
должна быть полностью смачиваема и контактный уrол должен быть равен
нулю. Если R радиус кривизны мениска в переходной области, то xapaKTep
ный линейный масштаб течения в этой области равен R. Следовательно, условие
малости толщины пленки сводится к неравенству 8f« R. Течение в пленке
можно считать почти параллельным поверхности пластины.
Рассмотрим течение в пленке. Поскольку нас интересует толщина yc
тановившейся пленки, то пренебрежем в уравнениях нестационарными чле
нами. Условие стационарности означает, что t» t eq == R2 / У, rде teq время
установления равновесия. Предполаrается также малость числа Рейнольдса
Re == р и R / Jl « 1, поэтому инерционными членами в уравнениях Навье
Стокса можно пренебречь. Кроме Toro, считаем малыми rравитационные эф
фекты. Это означает, что число Бонда Во == pgR 2 'L« 1.
Сделанные предположения позволяют свести уравнения движения просто
к условию баланса rрадиента давления и rрадиента сдвиrовых напряжений.
Если коэффициент поверхностноrо натяжения остается постоянным на межфаз
ной поверхности, то капиллярное давление в жидкости
L LБ'
"Yp 'L8". (17.21)
R (1+Б'2)3/2
При выводе (17.21) использовано, что R 1 ==oo, R 2 ==R==(1+8'2)3/2/8"
440
радиус кривизны поверхности 8 = 8 (х). Кроме Toro, в области течения
пленки (8')2« 1.
Уравнения Навье Стокса с учетом сделанных предположений сводятся
к равенству вязких и поверхностных сил:
l: d 3 8 + /l д 2 и = О,
dx 3 д у 2
rде u скорость в пленке вдоль оси Х.
Используя rраничные условия прилипания на пластине
и= U при у=О (17.23)
и равенства нулю касательноrо напряжения на свободной поверхности пленки
ди О У =8(х) (17.24)
/l ду = при
и интеrрируя (17.22) по у, получаем
(17.22)
u = U d 3 8 ( 8 У ) ,
I! dx 3 2
Уравнение (17.25) позволяет найти расход жидкости в пленке
3(х) L d38 83
Q = f udy = И8+ . (17.26)
I! dx 3 3
О
В пленке вдали от поверхности резервуара 8 8r = const и
Q 8r'
Приравнивая (17.26) и (17.27), найдем
838"' +( З U )8 = ( З U )8r'
Заметим, что /lU /l: = Са. Введем безразмерные переменные
8 х ( 31!и ) 1/3
1l=-бf' =-бf Т .
В этих переменных уравнение (17.28) перепишется в виде
,,3,,'" = 1 ".
( 17.25)
(17.27)
(17.28)
(17.29)
(17.30)
Для решения уравнения (17.30) необходимы три условия, а для определе
ния 8r требуется еще одно условие.
Первое условие очевидно:
" 1 при 00. (17.31)
Оно означает, что 8 8r при X 00 (см. рис. 17.6). При " 1 решение
уравнения (17.30) стремится к
" 1 + Ae . (17.32)
Остальные экспоненты при 00 неоrраниченно возрастают, поэтому KO
эффициенты при них должны быть равны нулю, а поскольку 00, то выраже
ние (17.32) должно быть инвариантно относительно выбора . Это означает,
что в (17.32) можно положить А = 1.
441
Последним является условие сопряжения кривизны поверхностей пленки и
мениска. Для TOrO чтобы сформулировать это условие, делается предположение,
что в переходной области кривизна мениска постоянна. Тоrда переход от плен
ки к статической поверхности осуществляется таким образом, что кривизны зтих
областей в месте сопряжения равны постоянной кривизне переходной области.
В безразмерных переменных (17.29) это условие равносильно выполнению
условий [2]
( d 2 1'\ ) ( d21'\ ) = а.
d't,2 '1--+0 = d't,2 '1--+00
Здесь а постоянная, которая может быть найдена путем численноrо
интеrрирования уравнения (17.30).
Для определения постоянной кривизны мениска в переходной области
воспользуемся условием на свободной поверхности, образующей ну левой KOH
тактный уrол с твердой поверхностью (см. рис. 17.6). Это условие вытекает из
равенства rидростатическоrо давления капиллярному:
(17.33)
Lo'
(1 + 0'2 )3/2 = pgx.
Использовав первое условие, что жидкость на поверхности резервуара
должна быть rоризонтальна, т. е. 8' oo при х О, и проинтеrрировав (17.34)
один раз по х, найдем
(17.34)
, 2
u = pgx 1
(1 + 0,2)1/2 2L .
Друrое условие СОСТОит в условии перехода к режиму пленочноrо течения,
коrда пленка почти параллельна пластине, т. е. 8' О. При этом из (17.34) и
(17.35) следует, что кривизна асимптотически стремится к
(17.35)
8" ( 2 g ) l/2 .J2
'
(17.36)
rде ""-с введенная в (17.11) капиллярная длина. Тоrда
( d 2 ,, ) =.J2 (Ca) 2/3. (17.37)
d't, 2 '1--+0 Ilc
В силу условия (17.33) (d2Т)/d 2)Т)--+0=а, причем соrласно [2] а=0,643.
Тоrда из (17.37) найдем
: = 0,946 (Са)2/3. (17.38)
Поскольку 0"= l/R [см. (17.21)] и ""-с =.J2/8" [см. (17.36)], то (17.38)
перепишется в виде
= о 643 ( 3 Са ) 2/3
Il' .
с
(17.39)
Проведенный анализ сделан при условии 8r/R« 1, поэтому из (17.39)
следует, что Са« 1.
Более подробный асимптотический анализ решения задачи можно найти в
[ 17]. Формальная процедура сращивания асимптотических разложений показы
вает, что решение вида (17.38) и (17.39) rодитсЯ при Ca O. В частности,
442
и
I
I Воздух
I
.uj 1
х
Рис. 17.7. Выдавливаиие воздухом ВJlЗКОЙ жидкости из каПИJlЛJlра
можно показать, что в этом приближении сила тяжести не оказывает влияние
на течение в пленке. В случае конечных значений Са < 1 выражение (17.38)
видоизменяется [17]:
! = 0,946(Са)213(1 0,113Саl/3 + ...). (17.40)
с
Близкой по характеру к рассмотренной выше задаче является задача о
кавитации в тонком слое между двумя вращающимися цилиндрами [18]. Bpa
щение двух цилиндров приводит К вытеканию вязкой жидкости из резервуара
с образованием TOHKoro смачивающеrо слоя на поверхности цилиндров. Зазор
между поверхностями цилиндров мал, поэтому течение в образующейся пленке
происходит под действием сил вязкости и поверхностноrо натяжения. В обла
сти зазора между цилиндрами жидкость течет параллельно поверхности. Xa
рактер течения такой же, как в пленке на поверхности пластины, извлекаемой
из жидкости.
Друrой аналоrичной задачей является задача о выдавливании воздухом
вязкой жидкости из капилляра (рис. 17.7) [19]. Течение аналоrично течению
в задаче о смазочном слое между вращающимися цилиндрами. Чтобы в этом
убедиться, нужно связать систему координат с движущимся с постоянной CKO
ростью и пузырем. Тоrда пузырь неподвижен, а стенки капилляра движутся
со скоростью и налево относительно пузыря. Возле фронта пузыря поверх
ность жидкости образует межфазную поверхность типа мениска, которая затем
переходит в пленочное течение на поверхности капилляра. При малых числах
Re и Са уравнение движения сводится к балансу вязких и капиллярных сил.
В переходной области возле фронта пузыря толщина слоя жидкости изменя
ется по закону
1 х 2
8 = '2 ----;; + 1,79 (3 Са) 2/3 а.
(17.41)
17.4. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
И ДРОБЛЕНИЕ СТРУЙ
В предыдущем параrрафе были рассмотрены равновесные формы межфаз
ной поверхности в некоторых смачивающих течениях. Открытым остался воп
рос о поведении возмущений межфазной поверхности. Если частицы жидкости,
находящиеся на ее поверхности, испытывают под действием случайных возму
443
щений малое смещение так, что поверхность жидкости деформируется и откло
няется от равновесной формы, то возникают силы, стремящиеся вернуть повер
хность к равновесной форме. Это может быть вызвано двумя причинами.
Деформация формы поверхности приводит к увеличению свободной энерrии
поверхности, в результате чеrо появляются капиллярные силы, стремящиеся
сократить общую поверхность, придав ей равновесную форму. Если жидкость
находится в поле тяжести, а ее поверхность плоская, то возмущение поверхно
сти сопровождается появлением сил, стремящихся вернуть поверхности плос
кую форму. Под действием этих сил жидкие частицы, смещенные из положения
равновесия, будут стремиться вернуться в Hero. Однако по инерции они будут
проходить положение равновесия, затем вновь испытывать действие BOCCTaHO
вительных сил и т. д. Поэтому на поверхности жидкости, подверrшейся случай
ному возмущению, будут возникать волны.
Если основной причиной возникновения волн служит поверхностное натя
жение, то такие волны называются капиллярными. В случае rравитационных
сил rоворят о rравитационных волнах. Примером может служить истечение
струи жидкости из насадка в воздух. На некотором расстоянии от насадка
поверхность жидкой струи покрывается волнами, а затем струя распадается на
капли (дробится). Друrим примером являются волны на поверхности жиk
кости.
Рассмотрим плоские волны синусоидальной формы с малой амплитудой.
Обозначим через л длину волны, а через а амплитуду. Волны возникают на
поверхности воздух вода и распространяются в положительном направлении
оси х со скоростью С (рис. 17.8). Считаем воду невязкой несжимаемой жид
костью. Поскольку вязкая диссипация отсутствует, то амплитуду волны можно
считать неизменной. Обозначим через l;;(x, t) вертикальное возмущение меж
фазной поверхности, которая в состоянии равновесия находится в rоризонталь
ном положении. Тоrда l;; можно представить в виде
z == l;;(x, t) == а sin (O)t kx), (17.42)
rде волновое число k и частота о) связаны с периодом 't и длиной волны л
соотношениями
о) == 2п , k == == 2п , Л == C't.
't с Л.
(17 .43)
Отсутствие вязкости жидкости означает, что амплитуда не может YMeHЬ
шаться или увеличиваться, но волна может рассеиваться, т. е. о) может зависеть
от k. В [2] показано, что возмущения, амплитуда которых мала по сравнению
с длиной волны (а« л), описываются линеаризованным уравнением
с Воздух g j
Zj JfJ ..
Вода
Рис. 17.8. Волиы иа поверхности жидкости
444
дii
pдi' == Vp..
(17.44)
rде u скорость возмущений, Ре == P pgz полное давление.
Обозначим через Ра атмосферное давление. Тоrда при равновесии rидро
статическое давление в )Кидкости
РО == Ра pgz.
( 1 7.45 )
в возмущенном состоянии
Р==РО+(Р.)у, (17.46)
rде (Р.)у возмущение давления.
На ме)Кфазной поверхности ДОЛ)КНО выполняться условие Р == Ра' Тоrда из
(17.45) и (17.46) следует, что
(Pe)g==pgt:,. (17.47)
Искривление ме)Кфазной поверхности приводит к появлению капиллярно
ro давления
L 821;
(Ре)у == . (17.48)
R 8х
Здесь учтено уравнение Юнrа Лапласа (17.5) при условии R j == 00, R 2 ==
== t:,xx для малых возмущений [см. (17.21)].
Из (17.42) следует, что t:,xx == k2t:, И
(p.)g== k2t:,. (17.49)
Избыточное давление в )Кидкости возле ме)Кфазной поверхности склады
вается из капиллярноrо и rидростатическоrо давлений
( k 2 L )
Ре == Р g+p t:, == pt:,geff.
(17.50)
Из (17.50) следует, что поверхностное натя)Кение эквивалентно повыше
нию rидростатическоrо давления за счет увеличения силы тя)Кести от 9 до geff'
Если сила поверхностноro напря)Кения HaMHoro превосходит силу тя)Кести,
то волны являются капиллярными. Это условие МО)КНО записать в виде
k2 / р »g или с учетом равенства k == 21t/л:
л «21t( )112 == 2п c.
В друrом предельном случае k2'r. / р «g или
( L ) 112
Л »2тс pg == 2п c
(17.51)
(17.52)
волны являются rравитационными.
Таким образом, капиллярная длина c является характерным линейным
масштабом, разделяющим капиллярные (л« ) и rравитационные (л» )
волны. Например, для воды (l: == 73 мН/ м, р == 1000 кr / м3) имеем 2пД, == 1,7 . 1 0 2 м.
Следовательно, для капиллярных волн 1..« 10 2 м (малая длина волны, боль
шая частота), а для rравитационных волн л» 1 0 2 м (длинные волны).
Из уравнения (17.44) и уравнения неразрывности V. и == О следует, что
возмущения поля скоростей потенциальны и == VФ и потенциал Ф удовлетворяет
уравнению Лапласа ф == О. Из уравнения (17.44) следует, что
445
PV( : )= VPe
или
Р дф == Pe + F(t),
Bt
rде F(t) произвольная Функция времени.
Ее можно положить равной нулю, поскольку если она не равна нулю, то
можно ввести новый потенциал
ф'==ф+ JFdt,
при котором F(t) ВЫпадает из уравнения. Таким образом, имеем
дф
Ре == Pдt'
Используя далее условие в жидкости (17.50),
фазной поверхности
(17.53)
получаем условие на меж
( ) == ge(((,'
z;o
(17.54)
Заметим, что исходя из условия малости амплитуды (а« л) это условие
формулируется не при z == (" а при z == О, т. е. rраничное условие на возмущенной
поверхности снесено на невозмущенную поверхность, что соответствует линеа
ризации rраничноrо условия.
Второе rраничное условие на межфазной поверхности следует из кинема
тическоrО условия равенства вертикальной скорости частиц жидкости скорости
вертикальноrо перемещения поверхности:
D(,/Dt == w при z == (,. (17.55)
Поскольку D(,/ Dt == д(,/ at + и . V(" то линеаризируя этот оператор, отбра
сывая член высшеrо порядка и . V (, и снося это условие на невозмущенную
поверхность z == О, получаем
д<; == w == ( д Ф ) . (17.56)
Bt Bz z;O
Друrие rраничные условия зависят от rеометрии рассматриваемой задачи.
Так, если рассматриваются волны на поверхности жидкости большой rлубины,
то, предполаrая, что вдали от поверхности возмущения отсутствуют, имеем
Ф == const при z oo. (17.57)
В случае волн на поверхности жидкости большой r лубины ищем решение
уравнения Лапласа в виде
Ф == Ae kz cos (rot kx). (17.58)
Нетрудно проверить, что выражение (17.58) удовлетворяет условиям (17.54)
и (17.56) при
ro 2 == kg eff , А == roа (17.59)
и при условии, что возмущения на поверхности жидкости имеют вид (17.42).
Возмущения экспоненциально затухают при z OO, характерная rлубина зату
хания 1/ k == 1./21[.
446
Скорость распространения поверхностных волн
с == == ( geff ) 112 == ( лgеff ) 112 == ( 27tL + gл ) 1 12 . (17.60)
k k 2п рл 2п
Скорость распространения волн имеет по л минимум
C min ==( gл.: i П У12, Лmiп ==21t( )V2 ==2п c. (17.61)
Для воды Лmiп== 1,7. 10 2 м И C min == 0,23 м/с.
Для капиллярных ВОЛн из (17.60) следует
Ссар == e;; )V2 (17.62)
Это соотношение между скоростью распространения капиллярных волн и
коэффициентом поверхностноrо натяжения часто используют для эксперимен
тальноrо определения . Неучет вязкости жидкости приводит К тому, что aM
плитуды плоских поверхностных волн не изменяются. Учет вязкости и изме
нения коэффициента поверхностноrо натяжения приводит к затуханию поверх
ностных волн. В следующем разделе будет обсуждаться вопрос о rашении волн
поверхностно активными веществами.
Рассмотрим теперь волны, образующиеся на свободной поверхности цилин
дрической жидкой струи. Эти волны являются причиной дробления струи на
капли. Поэтому нас интересуют условия, при которых малые капиллярные
возмущения увеличивают амплитуду возмущений и приводят в итоrе к дробле
нию струи. С физической точки зрения дробление медленно текущей цилинk
рической струи происходит по следующей причине. Если струя в KaKOM TO
сечении утолщилась, то поверхностное натяжение стремится уменьшить своБОk
ную поверхность так, чтобы минимизировать свободную энерrию. Простые reo
метрические соображения показывают [20], что поверхность цилиндра заданно
ro объема уменьшится/ если этот объем разобьется на сферические капли, pa
диус которых более чем в 1,5 раза больше радиуса цилиндра. Действительно,
рассмотрим цилиндр радиусом R и длиной L. Тоrда ero объем и площадь
поверхности V c == 1tR2L, 5с == 21tRL, так что V c == 5fl./2. Пусть этот цилиндр
распадается на п шаров радиусом r. Тоrда объем шаров и их поверхность
V 5 ==41t,зп/3, 5 5 ==41trп==3V 5 /r. Из условия V S == Vсследует, что 5 5 ==3V c /r==
== 35fl./2r == 1, S5fl./r или r / R == 1, S5 c /5 5 . Из условия 5с/55 > 1 следует, что
r> 1,SR. Кроме Toro, можно показать, что если струя дробится на п 2 одина
ковых сферических капель, то среднее расстояние между каплями будет более
1,Srп/(п 1), причем 1 < п/(п 1) 2.
Причиной дробления является неустойчивость возмущений формы поверх
ности цилиндрической струи, приводящая к сильному утоньшению поперечноrо
сечения и в итоrе к разрыву и выделению свободной энерrии. Поскольку
суммарная площадь поверхности образующихся капель меньше площади поверх
ности цилиндрической струи, то поверхностная энерrия уменьшается. Все CKa
занное является следствием осевой симметрии струи, в плоском случае подоб
Horo не происходит.
Имеется MHoro различных видов дробления струи. Рассмотрим те, которые
приводят к распаду струи на сферические капли под действием капиллярных
сил. Скорость истечения струи в воздух будем предполаrать малой. Если CKO
рость истечения струи большая, то на устойчивость поверхности струи влияет
динамика внешней среды, в частности силы вязкоrо трения и изменение давле
447
ния. Поэтому дробление высокоскоростных струй имеет друrой характер по
сравнению с дроблением низкоскоростных струй. Так, струя, вытекающая в rаз
с малой скоростью, распадается на относительно крупные капли, в то время как
при большой скорости истечения струя дробится на множество мелких капель
различноrо размера.
Теория rидродинамической устойчивости малых возмущений низкоскоро
стных струй относительно проста. Если возмущения не малы по сравнению с
радиусом струи, то необходимо учитывать нелинейные эффекты, что значитель
но усложняет задачу. Подробное обсуждение этоrо вопроса можно найти в
обзоре [21].
Задача о линейной устойчивости несжимаемой невязкой жидкости в форме
бесконечно длинноrо цилиндра KpyroBoro сечения, окруженноro воздухом, была
впервые рассмотрена Релеем [22]. Эта и последующие за ней работы [23, 24]
по rидродинамической устойчивости включают четыре этапа. Первый состоит в
определении параметров OCHoBHoro невозмущенноrо течения: полей скоростей,
давлений, температур. Следующим этапом является предположение о малости
возмущений этих параметров и линеаризация уравнений и rраничных условий.
В итоrе получается однородная линейная система уравнений в частных произ
водных, коэффициенты которой MOryT зависеть от пространственных координат,
но не зависят от времени. Третий этап состоит в определении элементарноrо
решения для выбранноro начальноrо возмущения. Обычно решение ищется в
виде комплексноro Фурье представления периодических функций. Например,
элементарное решение можно искать в виде нормальной моды
ф(х, z, t)==Ф(z)еi(roНtt), (17.63)
rде Ф и ffi комплексные числа; k действительное число.
Действительная часть Ф представляет собой одномерную волну, распрост
раняющуюся в направлении оси х. Эта волна может расти, затухать или не
изменяться со временем. Последний случай реализуется, например, в виде (17.58).
Положим ffi == Ф , + iffij. Тоrда при ffi; < о в (17.63) показатель экспоненты, зави
сящий от времени, положительный и Ф неоrраниченно растет со временем. Это
значит, что возмущения неустойчивы и со временем растут. Для ffi; > о показа
тель экспоненты отрицательный и возмущения со временем убывают. Это оз
начает, что возмущения устойчивы. При ffi j == О Ф либо не зависит от t, если Ф , == О,
или является периодической функцией t. В этом случае rоворят о нейтральной
устойчивости.
Обычно возмущения удобно представлять в виде суперпозиции нормаль
ных мод, каждую из которых можно рассматривать независимо, поскольку
уравнения линейны. В этом случае основная задача состоит в определении
спектра нормальных мод, определяющеrо возмущение.
Последним четвертым этапом является нахождение собственных функций
ф(х) и соответствующих комплексных волновых скоростей с. При этом линей
ная система уравнений в частных производных сводится к линейной системе
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод исследования устойчивости малых возмущений цилиндрической струи
невязкой несжимаемой жидкости аналоrичен рассмотренной выше задаче о малыIx
возмущениях. Основное отличие от плоскоrо случая заключаетсЯ в осевой
симметричности задачи с характерным линейным размером а радиусом струи.
В системе координат, движущейся со скоростью струи, струя неподвижна. Будем
пренебреrать силой тяжести и учитывать только силу поверхностноrо натяже
ния. Тоща давление вдоль струи Р == Ра + /a (так как Rt == 00, R 2 == а). Перей
4.4.8
дем теперь к ЛИНеаризации уравнений и rраничных условий. Принимаем, что
возмущения течения малы. Рассмотрим уравнение движения. После линеари
зации, т. е. после отбрасывания членов BToporo порядка малости для возмуще
ний скорости и полноrо давления, получим уравнение (17.44). Поскольку Te
чение потенциальное, то возмущение потенциала скорости удовлетворяет ypaB
нению Лапласа ф == О, которое в цилиндрической системе координат (r, в, z)
имеет вид
1 В ( дФ ) 1 В2ф В2ф
;: Вт r дr +;2 В82 + Вт 2 == О.
(17.64)
П усть радиальное смещение поверхности струи при малом возмущении
r==(,(z, в, О. (17.65)
Линеаризованное rраничное условие на поверхности струи аналоrично
(17.48) для плоской поверхности. Для осесимметрической задачи оно принима
ет вид
(P.)g == ( ::; + а 12 ; ; + a )r=a'
Аналоrично (17.56) записывается кинематическое условие на поверхности
струи
(17.66)
ВС; == ( Вф )
Bt Вт .
r=a
(17.67)
Отметим, что так же, как и в плоской задаче, условия (17.66) и (17.67)
снесены на невозмущенную поверхность струи r == а.
Таким образом, уравнения (17.64) и условия (17.66) и (17.67) представ
ляют собой линеаризованные уравнения и rраничные условия.
Переходим теперь к определению возмущений. Ищем возмущения в воде,
следующем из общеrо представления нормальной моды (17.63):
ф(r, е, z, О== ф(r)е tсоs(kz+nе), (17.68)
rде k осевое волновое число; n положительное целое; 13 коэффициент
усиления или затухания.
Подставим выражение (17.68) в уравнение (17.64). Разделяя переменные,
получаем для Ф(r) уравнение Бесселя
d 2 ф 1 dФ ( п2 )
+ +k2 Ф == о
dr 2 r dr т 2 '
(17.69)
общее решение которorо имеет вид
Ф ==Aln(kr) + BKn(kr) ,
(17.70)
rде In и Кn модифицированные функции Бесселя первorо и BToporo порядка.
Поскольку Кn имеет особенность, т. е. 00 при r 00, из условия оrраничен
ности Ф следует, что В == О, поэтому
Ф==Аln(kr). (17.71)
Воспользовавшись теперь кинематическим условием (17.67) и видом Ф из
(17.68) и (17.71), получим выражение для радиальноrо смещения возмущенной
поверхности
29 1461
449
AkI' (kr)
l;;= n ePtcos(kz+ne). (17.72)
f3
Подставляя (17.72) в (17.66), найдем полное давление Ре' Используя, далее,
уравнение Бернулли (17.53) Ре + рдф/дt == о, можно исключить постоянную А.
В итоrе получаем дисперсионное уравнение, связывающее параметры возмуще
ния Ф (17.68):
2 == ( ) aI (a) (1 а 2 п2),
ра In(а)
а == ak.
у равнение (17.73) определяет условия устойчивости струи. Заметим, что
2 / раЗ, в то время как в плоском случае для капиллярных волн на r лубокой
жидкости соrласно (17.60) имели ш2 /рлЗ. Эти возмущения можно также
получить из (17.73). Действительно, рассмотрим случай а == ak» 1 или а» Л,
т. е. рассмотрим возмущения с длиной волны, малой по сравнению с радиусом
струи. Torдa из свойств функции Бесселя следует, что I (a)/In(a) '" 1. Поло
жив в (17.73) ==i(f), найдем (f)2==kЗ /р /рлЗ, что соответствует нейтрально
устойчивым капиллярным волнам на поверхности rлубокой воды (17.60).
Наибольший интерес представляют решения с 2 > О, соответствующие
неустойчивости возмущений. Поскольку I a/lna > О для всех а #- о, то из
(17.73) следует, что 2<0 для всех а при п#-О или для lal 1 при п==О.
При указанных значениях а и п фактор мнимый. Это означает, что волны
на поверхности струи не затухают и не увеличиваются. Из вида возмущений
поверхности (17.72) следует, что при п #- О возмущения не обладают осевой
симметрией (они зависят от е), в то время как п == О соответствует осесиммет
ричным возмущениям. Из сказанноrо следует, что при асимметричных возму
щениях струя всеrда устойчива. Кроме Toro, из (17.73) видно, что 2 > О для
1 < а < 1 при п == О. Поскольку а == ak == а21t/л, это условие означает, что л 2тса,
т. е. струя неустойчива к осесимметричным возмущениям, если длина волны
л == 2тс/ k этих возмущений превосходит периметр KpyroBoro сечения 2па невоз
мущенной струи.
Из (17.73) можно найти максимальное значение коэффициента увеличе
ния тax С изменением а при п == о:
(17.73)
тax == 0,34з ( ) 112 при а == 0,697.
раЗ
Найденное значение соответствует самому быстрорастущему
с длиной волны
(17.74)
возмущению
2п 2па 9 02
л mах == == == , а.
тах 0,697
(17.75)
Соrласно предположению Релея, именно эта мода приводит к дроблению
струи.
Полученные результаты отвечают стационарной струе, т. е. струе без учета
ее движения. Тем не менее их можно использовать для оценки длины LB' на
которой струя, движущаяся с постоянной скоростью и, будет дробиться. По .
ложим
L B == Ut B .
(17.76)
Здесь через t B обозначено время, за которое самая быстрорастущая мода
450
увеличит амплитуду начальноrо возмущения от малоrо начальноrо значения до
значения порядка 2па периметра невозмущенноrо сечения струи. Увеличе
ние начальной амплитуды в е раз приводит к значению f3maxtB = 1 или к зна
чению
( ) 112
t B = ::=2,92
13тах раЗ
(17.77)
Увеличение амплитуды в 100 раз (fЗmахtв = 4,61) приводит к значению
( ) 112
t B = ::= 13,4
13тах раЗ
(17.78)
Например, для струи воды диаметром 5 мм имеем (раЗ /L)I/2::= 4,14 . 10 2 с.
Если скорость струи равна и = 0,1 м/с, то она может потерять устойчивость
и раздробиться очень быстро (L B 10 2 м).
Найденную ранее длину волны (17.75) этих возмущений можно paCCMaT
ривать как расстояние между каплями, на которые раздробится струя. Из
объема жидкости цилиндра длиной л'mах образуется капля диаметром d, поэтому
1td З
""'"6 ::= 1tа 2 л'mах'
(17.79 )
Подставляя сюда л'mах из (17.76), найдем диаметр образующихся капель
d::= 3,78а. (17.80)
Любопытно, что приведенная ранее простая rеометрическая оценка дает
л, > 1 ,Sd при дроблении струи на одинаковые капли с d::::: 3а, что дает неплохое
приближение к (17.80).
17.5. ТЕЧЕНИЯ, ВЫЗВАННЫЕ rРАДИЕНТОМ
ПОВЕрхносrnоrо НАТЯЖЕНИЯ.
ЭФФЕКТ МАРАНrони
Как уже отмечал ось в разделе 17.1, изменение поверхностноrо натяжения
L вдоль межфазной поверхности приводит к дополнительным касательным
напряжениям (напряжениям Маранrони) на этой поверхности, а следовательно,
и к силам, действующим на среды, прилеrающие к обеим сторонам поверхности.
Эти силы в дополнение к силам вязкоrо трения приводят к изменению поля
скоростей и давлений в этих средах. В частности, если межфазная поверхность
разделяет две неподвижные жидкости или жидкость и rаз, то изменение L
может вызвать движение жидкости. Это явление называется эффектом MapaH
rони.
Изменение L может происходить и в направлении нормали к поверхности,
что приводит к особому виду неустойчивости, называемой неустойчивостью
Маранrони. Этот вид неустойчивости аналоrичен конвективной неустойчивости,
которая возникает в среде с rрадиентом плотности, направленным против силы
тяжести (сверху расположена более тяжелая жидкость, чем внизу).
Весьма широкое распространение получила модель межфазной поверхно
сти как TOHKoro слоя повышенной вязкости модель Буссинеска [2]. Для
этоrо слоя записывается свое феноменолоrическое соотношение, связывающее
29* 451
тензор поверхностных напряжений с теfIЗОрОМ поверхностных скоростей дe
формаций [25]. В работе [26] эта модель использована в задаче о влиянии
поверхностно активноrо вещества на динамику свободной межфазной поверх
ности.
Рассмотрим только изменение L в направлении касательной к межфазной
поверхности. Изменение поверхностноrо натяжения может быть вызвано изме
нением температуры [см. (17.3)], изменением концентрации ПАВ или заrрязне
ний на поверхности [см. (17.4)], а также наличием на поверхности электричес
Koro заряда или поверхностноrо электрическоrо потенциала. В зависимости от
механизма, вызывающеrо изменение L, соответствующее течение называется Tep
MO , диффузо И электрокапиллярным.
Можно привести MHoro примеров течений, вызванных rрадиентом поверх
HocTHoro натяжения. Достаточно напомнитЬ об известном еще с древнейших
времен факте демпфирования волн на воде с помощью масла, вылитоro тонким
слоем на поверхность. Известно также, что шарик твердой камфары начинает
как бы плясать на поверхности воды. Все эти явления вызваны изменением L.
Таким образом, для Toro чтобы реш1iТЬ rидродинамическую задачу о дви
жении жидкости с учетом изменения L на межфазной поверхности, необходимо
предварительно знать распределение КОIlцентрации вещества, температуры и
заряда на поверхности. Их распределение, в свою очередь, связано с распреде
лением rидродинамических параметров. Таким образом, решение этой задачи
требует привлечения уравнений сохранеН1iЯ массы, количества движения, энер
rии и заряда с соответствующими rраничными условиями, отражающими баланс
сил на межфазной поверхности: равенствО танrенциальных сил и скачок HOp
мальных сил, равный капиллярному давлению, а в случае модели Буссинеска
учет поверхностной вязкости слоя. В дальнейшем поверхностная вязкость учи
тываться не будет.
Изменение коэффициента поверхностноrо натяжения вдоль межфазной
поверхности приводит к появлению танrенциальной силы, направленной от
меньшеrо значения L к большему:
f==VsL. (17.81)
Обозначим через f' и F силы, действующие на межфазную поверхность со
стороны жидкостей а и 13, разделенных этой поверхностью. Torдa
{«== n . Та + nра,
rь== n. T n p ,
( 17.82)
rде Т тензор вязких напряжений; n нормаль к межфазной поверхности,
направленная в сторону жидкости 13.
Условия баланса сил в проекциях на направления касательной и нормали
к поверхности с учетом (17.81) и (17.82) запишутся в виде
fsа+П+VsL==О, (17.83)
fs a +П ==L( 1 + J . (17.84)
В качестве примера рассмотрим термокапиллярное движение TOHKOro слоя
жидкости в мелком прямоуrольном лотке (рис. 17.9) [2, 27, 28]. Изменение
поверхностноrо натяжения вызвано разностью температур (Т I > Т 2 ), при KOTO
рых поддерживается температура боковы,с стенок лотка. В итоrе вдоль свобод
ной поверхности имеется rрадиент температуры, что приводит к rрадиенту
452
а Т, Воздух 12
К)
И mаХ
h, ( Жидкость ) h 2
1- Х L .1
б
L L2
L,
х
Рис. 17.9. ТермокаПИJIJIярное движение жидкости в мелком прямоуrольиом лотке (а)
и измеиение коэффициента поверхиостиоro иатяжеиия по длине лотка (б)
поверхностноrо натяжения. Напомним, что для жидкости a'L./BT < О. Предпо
лаrаем, что размер лотка в направлении, перпендикулярном к плоскости XOZ,
и длина лотка 1 по оси х HaMHoro больше высоты слоя жидкости h. При этом
неоднородность течения возле стенок лотка занимает малую область и течение
можно считать двумерным. Условие h « 1 позволяет приближенно считать, что
течение почти параллельно оси х, а высота лотка слабо изменяется по длине.
Поэтому в жидкости имеется малая по сравнению с продольной вертикальная
составляющая скорости. Предположим, что число Рейнольдса возникающеrо
течения мало по сравнению с единицей. Для оценки Re возьмем в качестве
xapaKTepHoro линейноrо размера h 1 , а в качестве характерной скорости и тах
максимальную продольную скорость на свободной поверхности, индуцирован
ную rрадиентом поверхностноrо натяжения. Так как форма поверхности изме
няется медленно по х, то приближенно считаем ! Y's'L.! d'L./ dx. Из условия
(17.83) следует, что jJ.(ди/ду)s == d'L./ dx. Поскольку (ди/ду)s И mах / h J , то
h\ d'L. h\ ('L. 2 'L.\)
и mах dx j.! 1
Найдем теперь число Рейнольдса
Re == Umaxh\ == ( !:J.. ) 2 ('L.2 'L.\) 1 « 1.
v 1 pv 2
Если выполняется условие (17.86), то уравнения движения в безынерци
онном приближении с учетом очевидных неравенств д 2 и/дх 2 « B 2 U/BZ 2 , и« и,
и Toro, что кривизна поверхности жидкости очень большая, имеют вид
др д 2 и др
дх == f..t az 2 ' дх == pg.
(17.85)
(17.86)
( 17.87)
П роинтеrрируем уравнение неразрывности
дu + дv ==O
дх az
(17.88)
453
по z от О до h и учетом, что v == О при z == О и v О при z == h. Тоrда получим
уравнение сохранения расхода в слое жидкости
Их)
Ju(z)dx == О.
о
(17.89)
При выводе (17.89) использовано, что h(x) медленно изменяющаяся функ
циях, т. е. Ih'(x) I h/l«1). Отметим, что (17.89) справедливо везде, кроме
областей вблизи концов слоя, в которых вертикальная скорость v может быть
одноrо порядка или даже больше и.
Добавим к уравнениям (17.87), (17.88) и (17.89) rраничные условия на
дне лотка
u == о при z == О
и на межфазной поверхности [см. (17.83)]
ди aL h ( )
f..t az == дх при z == х.
(17.90)
(17.91)
Мы пренебреrаем вязкими напряжениями со стороны воздуха. Далее,
поскольку кривизна поверхности мала, то нормальные rрадиенты на поверхно
сти отсутствуют и условие (17.84) сводится к равенству давлений
Р==Ра при z==h(x), (17.92)
[де Ра атмосферное давление воздуха.
Интеrрируя (17.87) по z и используя условия (17.90) и (17.91), получаем
f..tu== ( dL h дp ) z+.!. aP Z2. (17.93)
dx дх 2 дх
Воспользуемся выражением для rидростатическоrо давления
Р == Ра + pg(h z),
( 17.94)
откуда следует, что
др dh
дх == pg dx .
Используя (17.93) вместе с (17.95) и (17.89), находим
L Ll == P; (h 2 hп, (17.96)
[де L == L 1 И h == h J при Х == О.
Условие (17.96) дает связь изменения h(x) с изменением L(X). Теперь из
( 17.93) можно найти продольную скорость
u == ( зz 1 ) dL (17.97)
2j.! 2h dx
(17.95)
и ее максимальное значение, которое реализуется на свободной поверхности
h dL
и тах == 4j.! dx .
(17.98)
Скорость равна нулю на высоте z == 2h/3, а максимальное значение скорости
достиrается еще на высоте z == /1/3. Пусть число Рейнольдса Re == hJumax/V 0,1.
Тоrда находим
454
h 2 0,4pv 2 ( 1 7.99)
1 d'L./dx'
Зависимость 'f.(T) дЛЯ жидкости почти линейная. Так, для воды d'f./ dT '"
'" o, 15 мН/м . К. Поэтому, если dT / dx == 100 к/м, то d'f./ dx == 1,5 мН/м2.
При У == 10 6 м 2 /с, Р == 103 Kr/M 3 , 'f. 1 == 73 мН/м и для h!> определенному с учетом
(17.99), число Бонда Во == pghj'f. 1 == 3,6. 10 3. Малость Во свидетельствует о
преимущественном влиянии сил поверхностноrо натяжения по сравнению с
силой rравитации.
Таким образом, приведенная оценка показывает, что в рассмотренной зада
че об одномерном термокапиллярном течении TOHKoro слоя, поверхностное
натяжение иrрает основную роль в формировании течения.
Если изменение поверхностноrо натяжения межфазной поверхности выз
вано адсорбцией ПАВ из раствора, то необходимо дополнительно определить
концентрацию ПАВ возле межфазной поверхности.
Обозначим через r мольную концентрацию ПАВ на межфазной поверхно
сти (моль/м 3 ). Тоrда уравнение, описывающее изменение Т, имеет вид ypaBHe
ния конвективной диффузии с учетом доставки вещества из жидкостей, которые
разделяет межфазная поверхность. В предположении, что каждая жидкость
является бинарным раствором, уравнение диффузии можно получить так же,
как в разделе 4.4. Пусть химические реакции отсутствуют, диффузия подчиня
ется закону Фика и коэффициенты диффузии постоянны. Torдa уравнение
диффузии ПАВ на межфазной поверхности имеет вид [2]
ar
+ V's . (Ju s ) == Ds/)"sr + [DV'C]. n,
at
(17.100)
rде и ' средняя мольная скорость переноса ПАВ по межфазной поверхности;
Ds и D бинарные коэффициенты диффузии на поверхности и в растворе; C
мольная концентрация ПАВ в растворе; n внешняя к поверхности нормаль;
квадратные скобки означают скачок соответствующей величины при переход е
через межфазную поверхность.
Уравнение (17.100) показывает, что изменение концентрации ПАВ на
поверхности происходит за счет локальноrо изменения Т, конвективноrо пере
носа ПАВ вдоль межфазной поверхности, поверхностной диффузии и доставки
вещества из раствора. Последняя составляющая записана в приближении адсорб
ционно десорбционной кинетики, т. е. в предположении, что процесс адсорб
ции десорбции происходит HaMHoro быстрее, чем диффузия. Чтобы решить
уравнение (17.100), необходимо знать распределения скоростей и концентраций
в растворах. Все это значительно усложняет задачу. Решение некоторых подоб
Horo вида задач можно найти в [2, 20].
Остановимся на кратком изложении ряда актуальных прикладных проб
лем, возможных методах их решения и некоторых результатах.
Один из методов повышения нефтеотдачи пористоrо пласта закачка в
пласт пены или ПАВ. Сложность процесса состоит в том, что необходимо
учитывать факторы, влияющие на форму rазовых пузырьков, и стремление
пузырьков блокировать микрокапилляры. Поэтому основная задача состоит в
том, чтобы заставить пузырьки двиrаться по микрокапиллярам и при своем
движении выталкивать нефть и увлекать пленку нефти, покрывающую стенки
капилляров. Задача аналоrична рассмотренной в разделе 17.3 (см. рис. 17.7)
задаче о движении длиннorо пузыря в капилляре, заполненном вязкой жидко
стью. Отличие состоит в том, что необходимо учитывать адсорбцию ПАВ на
поверхности пузыря, что приводит К изменению коэффициента поверхностноrо
455
U 1 II
..
Корма
. .
а Р2
U
III I IV I V
I I
I
I I
I Воздух I р
I . . . . о
I I
I I
I
_1
z
Рис. 17.10. Выдавливаиие воздухом вязкой жидкости из капилляра в присутствии ПАВ:
/, V задняя и передняя полусферические шапки; I/, /V задняя и передняя преходные
06ласти; II/ 06ласть цилиндрической смачивающей пленки
натяжения. Поэтому рассмотренная в разделе 17.3 rидродинамическая задача
должна быть дополнена уравнением переноса ПАВ (17.100) из жидкости к
межфазной поверхности и условиями (17.83) и (17.84). Наличие ПАВ приво
дит к дополнительному перепаду давления, проталкивающему пузырь, скорость
движения KOToporo через капилляр оказывается HaMHoro больше скорости ero
движения в отсутствии ПАВ [20].
На рис. 17.7 было изображено движение полубесконечноrо пузыря в
капилляре в отсутствие ПАВ. Рассмотрим теперь случай присутствия ПАВ в
жидкости. Введем систему координат, в которой пузырек покоится, а стенки
капилляра движутся справа налево со скоростью U (рис. 17.10). Наибольший
интерес представляют два параметра, которые MorYT быть рассчитаны и опре
делены экспериментально: толщина пленки жидкости между пузырем и стекой
капилляра (jr и дополнительный перепад давления /)"р в жидкости, обусловлен
ный наличием пузыря.
Подробный анализ работ в этой области содержится в работах [29 31].
Если в жидкости отсутствует ПАВ, то движение длиннorо пузыря в капилляр
ной трубке, заполненной вязкой жидкостью, рассмотрено в [19]. В этой работе
показано, что при малом числе Рейнольдса и без учета силы тяжести течение
зависит только от одноrо безразмерноrо параметра капиллярноrо числа
Са == f..tU /L, rде f..t вязкость жидкости, U скорость движения пузыря, L
коэффициент поверхностноro натяжения поверхности rаз жидкость. При асимп
тотически малых значениях Са( Са О) течение можно разбить на пять обла
стей, как это показано на рис. 17.1 О. На каждом конце пузыря образуется
полусферическая шапка, в которой давление и форма контролируются только
капиллярными силами. Полусферические шапки сопряrаются с цилиндрически
ми областями через переходные области. Показано, что в цилиндрической об
ласти толщина смачивающей пленки и дополнительный перепад давления оп
ределяются выражениями
== 134Са2/З al:1p == 94Са2/З ( 17.101 )
а' 'L' .
Было проведено MHoro экспериментов [32, 33] по проверке выражений
(17.101). Наибольшие трудности в проведении экспериментов состоят в ВЫПОk
нении условия чистоты межфазной поверхности от ПАВ и заrрязнений. Поэто
му в каждом эксперименте существовали следы заrрязнений и ПАВ. Во всех
экспериментах с чистой межфазной поверхностью толщина смачивающей плен
ки была больше, чем в формуле (17.1 О 1), причем расхождение увеличивалось
456
с ростом Са в противоречии с теорией [19] Расхождения отмечены1 и в изме
рениях др. Они были выше, чем в формуле (17.101), в частности, величина др
оказалась зависимой от размеров (длины) пузыря [34].
Аналоrичные результаты наблюдались в экспериментах с добавлением ПАВ
в жидкость [35 37]. Давление сначала увеличивалось с ростом длины пузыря,
а затем стремил ось асимптотически к постоянной, значительно большей той,
которая имеет место для чистой поверхности.
Эксперименты показали, что адсорбция ПАВ на межфазной поверхности
создает дополнительные напряжения, препятствующие движению длинных пу
зырей в капиллярах. В результате наличие этих напряжений приводит к He
обходимости создавать больший перепад давления для проталкивания пузырей,
и, кроме Toro, увеличивается толщина смачивающей пленки на стенках каПИk
ляра.
В теоретических работах [29 31, 38 42] методами малых возмущений и
численными методами исследуется влияние ПАВ на движение длинных пузы
рей и капель. Для бесконечно длинных пузырей [38, 39] присутствие ПАВ
приводит к увеличению давления в передней части пузыря и толщине смачи
вающеrо слоя в 42/3 по сравнению со случаем чистой жидкости. Влияние KO
нечной длины относительно длинных пузырей исследовано в работе [42], в KO
торой показано, что дополнительный перепад давления зависит от длины пу
зыря.
Оценим теперь дополнительный перепад давления, обусловленный наличи
ем ПАВ в жидкости. Хотя в действительности форма поверхности пузыря в
передней и форма задней части несколько различаются (радиус кривизны зад
ней шапки больше передней), для простоты будем считать их одинаковыми
сферическими с радиусом, равным радиусу капилляра. Длина пленки жидкости,
заключенной между стенкой и пузырем, равна 1. Присутствие ПАВ в жидкости,
обтекающей неподвижный пузырь, приводит к переносу ПАВ к поверхности
пузыря механизмом конвективной диффузии. В результате на поверхности
пузыря образуется неоднородное распределение ПАВ. ПАВ сносится к корме
пузыря и там накапливается. Увеличение ПАВ приводит к уменьшению L.
Следовательно, L уменьшается от фронта пузыря к корме. В итоrе давление в
корме пузыря становится больше, чем перед пузырем, и разность Р2 р! долж
на увеличивать скорость движения пузыря.
Воспользуемся некоторыми результатами решения задачи о движении
пузыря в отсутствие ПАВ. В этом случае касательное напряжение на поверх
ности пузыря равно нулю, поскольку вязкость rаза пренебрежимо мала по
сравнению с жидкостью. При малых значениях капиллярноrо числа Са« 1
изменение толщины слоя вблизи фронта пузыря дается формулой (17.39).
Тоrда кривизна в переходной области переднеrо мениска пузыря оценивается
как 1/ R 1 + 1/ R 2 '= 8" + 1/ а '= 2( 1 + 1, 79(3Са)2/3) / а. Здесь R 1 радиус кри
визны мениска пузыря в поперечном сечении, а R 2 в осевом сечении. Очевид
но, что вклад в осевой перепад давления дает второе слаrаемое. Поэтому пе
репад давлений на фронте пузыря др! '= 3,S8(L/ а)( Са)2/3. Изменение кривиз
ны в кормовой части пузыря, как уже отмечалось, несколько иное, чем впереди.
В корме пузыря перепад давлений ДР2 =о 0,94(L/ а)(3Са)2/3. В итоrе разность
давлений между задней и передней частью пузыря
L
Р2 Рl '= 9,4Са 2/3 .
а
(17.102)
Пусть теперь в жидкости имеется ПАВ. ДЛЯ ПрОС10ТЫ анализа предполо
457
жим, что ПАВ распространяется по поверхности пузыря только за счет поверх
ностной конвекции со скоростью U s ' Тотда из (17.100) следует, что Y's . (Ти) = О.
Из уравнения неразрывности Y'su s = О. Поэтому из этих двух уравнений следует,
что
(У' J) . U s = о.
(17.103)
Так как У' J параллельно u s ' то из этоrо уравнения находим U s = о. Это
означает, что ПАВ не переносится по поверхности пузыря, т. е. поверхность
пузыря полностью заторможена, и он движется как твердое тело, что значительно
увеличивает касательное напряжение на поверхности пузыря. Баланс сил в
направлении оси х на поверхности пузыря можно приближенно записать в виде
па 2 (Р2 Р) = 21tal't s = 21talj.tU /8(. (17.104)
Оценим толщину 8(. Считаем L медленно меняющейся функцией х, а
профиль скорости в пленке линейным, удовлетворяющим условиям
и==О при у=8(х), и== U при у==О. (17.105)
Тотда из условия сохранения расхода в пленке (17.26) имеем
Q == и8(. (17.106)
Для определения а( воспользуемся уравнением (17.22) с условиями (17.105).
Ето решение проводится так же, как в разделе 17.3. В итоrе получим
5( ::: 0,643(6Са)2/3. (17.107)
а
Подставляя (17.107) в (17.104), найдем перепад давлений между концами
пузыря:
L 1
Р2 Р! == 0,942 Са 1/3 аа'
( 17 .108)
Заметим, что Р2 Р! фактически представляет собой разность капиллярных
давлений между фронтом и кормой пузыря, поскольку сот ласно (17.6)
Р2 Р1 == (Р2 Ро) (Р1 Ро) == 2;2 + 2;1 == (L J L 2 ). ( 17.109)
Приравнивая (17.108) и (17.109), найдем максимальную разность коэффи
циентов поверхностноrо натяжения на поверхности пузыря
L1 L2 == О 471 Са 1/3 .!...
L ' а
(17.110)
Заметим, что соотношение (17.11 О) получено в приближении Са« 1 и в
предположении малоrо изменения L, что позволило пренебречь в уравнении
движения членом dL/ dx.
Сравним теперь формулы (17.108) и (17.102). Перепад давлений между
концами пузыря в случае присутствия ПАВ пропорционален (Са)I/Зl/ а, в то
время как в отсутствие ПАВ он пропорционален (Са)2/З. Так, если Са 10 6, то
разность давлений с учетом ПАВ на два порядка больше, чем без учета ПАВ.
Сравнение значений 8(в обоих случаях [см. (17.107) и (17.39)] показывает, что
они отличаются незначительно.
Таким образом, скорость движения пузыря относительно стенки капилляра
в случае присутствия ПАВ будет намното больше, чем в случае отсутствия
ПАВ.
458
Рассмотрим важный для приложения случай движения капли в жидкости,
содержащей ПАВ, который может адсорбироваться на поверхности капли [2].
Движение капли приводит к тому, что в передней части поверхностная плот
ность молекул адсорбированноrо ПАВ из за постоянноrо растяжения поверхно
сти будет меньше, чем в состоянии равновесия с раствором. В кормовой части
капли поверхностная плотность будет превышать равновесную. Поскольку
поверхность капли в отличие от поверхности твердой частицы подвижная, то
молекулы ПАВ движением жидкости будут сноситься к кормовой части капли
и там накапливаться. Скопление ПАВ приводит к понижению поверхностноrо
натяжения в кормовой части капли. В то же время увеличение концентрации
ПАВ в кормовой части капли приводит к появлению поверхностноrо диффу
зионноrо потока, направленноrо от кормы к передней части капли. Этот поток
стремится затормозить поверхностный перенос ПАВ и тем самым препятствует
дальнейшему накоплению ПАВ в кормовой части капли.
В частном случае, коrда скорость обмена ПАВ между внешней жидкостью
и поверхностью капли лимитируется процессом адсорбции десорбции, KOH
центрация ПАВ на поверхности капли близка к равновесному значению, капля
осаждается в жидкости под действием силы тяжести со стоксовой скоростью И
не деформируется. Выражение для скорости осаждения капли было получено
в [2]:
и = ЗU о ,H '+Y ,
2 +3 ' +3у
2(p' p)ga2 v 2ro a'L
rде U о = стоксовая скорость осаждения твердои частицы, у = 3 ar ;
9 аа
[о равновесная поверхностная концентрация ПАВ: а коэффициент про
порциональности скорости процесса адсорбции десорбции и отклонения по
верхностной концентрации ПАВ от paBHoBecHoro значения.
Рассмотрим коэффициент у. Перепишем ero в виде
= 2r о a'L = 2r о дСо
У 3аа ar 3аа дСо aro '
(17.111)
rде СО концентрация ПАВ в объеме вдали от капли.
Cor ласно формуле [иббса (17.4)
a'L roAT
дСо '
поэтому
2r AT дСо
У = 3ааСо aro .
(17.112)
Входящее в правую часть дС о / д[о зависит от механизма адсорбционноro
процесса. Обычно принимается, что значения СО и [о связаны адсорбционной
изотермой Ленrмюра [13]
kCo
ro = 1+kCoff '" '
rде ['" предельная поверхностная концентрация ПАВ, соответствующая ПОk
ному заполнению поверхности, что выполняется при условии со 00. При этом
[о ["'.
При у» f.! + f.!' выражение (17.111) переходит в формулу Стокса, что
соответствует полностью заторможенной поверхности капли, а при у« f.! + f.!'
459
(17.113)
в формулу Адамара Рыбчинскоrо. В общем случае учет ПАВ при водит к
торможению скорости осаждения капли.
В случае, коrда адсорбция ПАВ на поверхности капли определяется CKO
ростью доставки ero из объема к поверхности, т. е. процессом конвективной
диффузии, требуется решить соответствующую диффузионную задачу с услови
ем С = СО вдали от капли и С = С ) на поверхности капли, rде С\ KOHцeHTpa
ция ПАВ в растворе, равновесная с поверхностной концентрацией ПАВ [.
В этом случае скорость осаждения капли определяется формулой (17.111), но
с друrим значением у [2].
Одним из видов зависимости L от [ является так называемое уравнение
состояния межфазной поверхности [43]
L = L", + (L p L"')L{ ;J ; о T С"
rде Lp поверхностное натяжение чистой жидкости, а LJ([ /[",) зависит от
свойств ПАВ.
Соrласно [44] эта функция
L\(X) = (а + 1)[1 + е(а)х] З а,
е(а)=(1+ }13 1.
Параметр а характеризует ПАВ. Так, для значений а «1 имеем LJ L""
и для а» 1 имеем LJ 1 [/["'.
Рассмотрим теперь дрyrой пример влияния ПАВ на поверхностное натя
жение rашение волн на поверхности воды с помощью разлитоrо слоя масла.
В разделе 17.4 были рассмотрены капиллярные волны на чистой поверхности
воды без учета вязкости жидкости. В случае присутствия слоя масла необхо
димо учитывать вязкость. Кроме Toro, наличие ПАВ изменяет поверхностное
натяжение межфазной поверхности, приводя к появлению поверхностноrо rpa
диента L.
Рассмотрим сначала влияние вязкости жидкости на затухание плоских
капиллярных волн на rлубокой воде. Будем считать жидкость маловязкой,
поэтому вязкие эффекты проявляются только в тонком поrраничном слое возле
межфазной поверхности. Следовательно, вне поrраничноrо слоя движение
жидкости потенциальное, причем потенциал описывается уравнением Лапласа,
а возле поверхности движение жидкости описывается уравнениями поrранич
Horo слоя с условием равенства нулю касательноrо вязкоrо напряжения на
свободной межфазной поверхности. Решение этой задачи можно найти в [2].
Основное отличие от случая невязкой жидкости состоит в том, что в выражении
для возмущений вертикальноrо перемещения поверхности появляется коэффи
циент вида ехр ( /3\ О, rде
/3\== (2k)kv;
(17.114)
k волновое число; v кинематическая вязкость.
Учет вязкости приводит к проникновению возмущений на r луб ину 1/ k
в жидкость под межфазную поверхность и экспоненциальному затуханию этих
возмущений со временем.
Пусть теперь на поверхности имеется ПАВ. Как и ранее, оrраничимся
случаем, коrда перенос ПАВ по поверхности осуществляется только за счет
конвекции. Тоrда справедливо уравнение (17.113), а в случае малых возмуще
ний формы поверхности можно считать, что
460
U s == о при z == О.
(17.115)
Это условие означает, что межфазная поверхность полностью заторможена
ПАВ и скорость в вязком слое изменяется более сильно, чем в случае чистой
поверхности. При этом задача аналоrична поведению возмущений в вязком
поrраничном слое бесконечной жидкости, оrраниченной твердой упруrой повер
хностью, совершающей малые колебания [45]. Колебания поверхности ПРИВОДЯТ
к rармоническим колебаниям продольноrо rрадиента давления др / дх с часто
той ro и соответствующему возмущению скорости в жидкости U(Z, t). Возника
ющий при этом вязкий поrраничный слой имеет толщину
8 2 (2у/ro)1I2.
(17.116)
Затухание со временем возмущений на поверхности жидкости имеет экс
поненциальный характер, причем в этом законе затухания коэффициент
132 ==Цro/2v)l/2kv.
2
(17.117)
Составим теперь отношение коэффициентов затухания возмущений с уче
том и без учета ПАВ. Имеем
Р2 ( (о ) 1/2 ( сл ) 1/2
В == j3;" vk 2 == 2пу '
rде л длина волны; t скорость распространения волны.
Оценим полученные результаты. Возьмем в качестве длины волны л min И
скорости волны С mШ ИЗ (17.61). Для воды (у == 1 O 6 м 2 / с) имеем лm!n == 1,7 х
х 10 2 М, С mШ == 0,23 м/с и B==2S. Следовательно, В» 1 и 131 «132'
Таким образом, присутствие на межфазной поверхности ПАВ способствует
быстрому затуханию волн на поверхности жидкости. Скорость затухания за
счет ПАВ более интенсивная, чем за счет вязкости.
(17.118)
17.6. РАСПЫЛИВАНИЕ ЖИДКОСТИ И ДРОБЛЕНИЕ КАПЕЛЬ
В ПОТОКЕ r АЗА
Распыливание жидкости происходит при истечении струи жидкости под
большим давлением в rазовую среду. Процесс представляет интерес в связи с
мноrочисленными техническими приложениями. Сюда относятся распыливание
rорючей жидкости в отопительных системах, rазовых турбинах, дизельных и
ракетных двиrателях, нанесение краски на поверхность методом распыла, раз
брызrивание воды при сельскохозяйственных работах и мноrие дрyrие процессы
в различных областях, связанные с дисперrированием жидкости, включая меди
цину и метеоролоrию. Разработано MHoro устройств, с ПОМОЩЬЮ которых yдa
ется распыливать жидкость до капель мельчайшеrо размера. Важность пробле
мы распыливания жидкости привела к тому, что мноrочисленные исследования
в этой области сформировали самостоятельное направление науки и техни
ки [46].
В разделе 17.4 было показано, что при медленном истечении жидкости в
покоящийся rаз малые возмущения поверхности струи приводят к неустойчи
вости, в результате чеrо струя распадается на капли примерно одинаковоrо
размера. В промышленных установках истечение жидкости из сопел, форсунок
и друrих устройств происходит с большой скоростью. Возмущения межфазной
461
поверхности жидкость rаз, вызванные взаимодействием жидкости со cтeHKa
ми устройств и с окружающей rазовой средой, приводит к быстрой потере
струей устойчивости на небольшом расстоянии от места ввода жидкости в rаз.
В результате струя распадается на множество капель различноrо размера.
Спектр образующихся капель зависит от параметров распыливающеrо устрой
ства, rидродинамики струи, аэродинамики окружающеrо rаза, тепло и массооб
мена жидкой и rазовой фаз и в конечном счете от свойств жидкости и rаза.
Большое влияние на формирование спектра образующихся капель оказывает
режим течения ламинарный или турбулентный. В настоящее время OTCYT
ствует совершенная теория, позволяющая определить такие параметры, как
распределение капель по размерам, образующееся в результате распада струи,
rидро и аэродинамические характеристики потока и т. п. Поэтому основной
путь исследования процесса распыления струй экспериментальный, в KOTO
ром определяют дисперсность образующейся rазожидкостной смеси, структуру
потока и проверяют некоторые результаты упрощенных теоретических моделей.
Струи мотут быть созданы различными способами. Наиболее важное Tpe
бование большая скорость жидкости относительно rаза, rарантирующая Mek
кодисперсный распыл струи. Существует ряд способов введения жидкости в
поток rаза: инжекция через сопло в стенке канала, по которому движется rаз,
а также ввод жидкости непосредственно в толщу rаза по потоку или против
нето. Для достижения большой скорости истечения rаза из распыливающеrо
устройства необходимо создать на нем большой перепад давления. При вводе
жидкости в поток rаза через маленькое отверстие при большом препаде дaB
ления энерrия сжатия переходит в кинетическую энерrию, в результате чеrо
жидкость вытекает из сопла с большой скоростью. Приведем некоторые зна
чения скорости истечения жидкости. Для уrлеводородной rорючей смеси без
учета потерь на трение в форсунке перепад давления в 0,14 МПа приводит к
скорости истечения около 19 м/с. Повышение перепада давления до 5,5 МПа
увеличивает скорость до 117 м/с.
у стройства по распыливанию жидкости форсунки делятся на прямо
струйные, из которых вытекает цилиндрическая струя, и центробежные, созда
ющие закрученную коаксиальную струю, внутри которой расположено rазовое
ядро. На выходе форсунки образуется тонкий жидкий цилиндрический слой
(пелена), который радиально расширяется по мере удаления от места ввода.
В итоrе образуется расширяющаяся от 300 до 1800 коническая пелена, которая
быстро распадается на мелкие капли. Имеется большое разнообразие форсунок
указанных двух типов, конструкция которых зависит от вида рабочей жидкости,
условий их применения и требуемой дисперсности образующихся капель. Раз
личные виды форсунок приводятся В [46], там же обсуждаются их положитель
ные и отрицательные стороны и способы применения.
В основе распыливания жидкости лежат два основных процесса: потеря
устойчивости струи, вытекающей из форсунки, с образованием относительно
крупных капель и дробление этих кап ль на более мелкие. Потеря устойчиво
сти цилиндрической струи в простейшем случае обсуждалась ранее в разделе
17.4. Рассмотрим теперь второй процесс дробление капель.
Начнем с рассмотрения самото элементарноrо процесса формирования капли,
медленно вытекающей из небольшоrо отверстия диаметром d o (крана, пипетки
и т. п.) под действием силы тяжести. Диаметр образующейся в момент отрыва
капли D может быть найден, если приравнять силу тяжести капли 1СРLgDЗ /6
к силе поверхностноrо натяжения 1Cd o L, действующей по периметру сечения
ВЫХОДното отверстия. В итоrе получим
462
D = (6d О "Z/РLg)I/З.
(17.119)
Используя данные (см. раздел 17.1), найдем, что для воды, вытекающей из
отверстия с d o = 1 мм, D = 3,6 мм. Уменьшение размера отверстия до d o = 10 мкм
приводит К диаметру капли D = 784 мкм.
Более детальный анализ показывает, что диаметр капли, отрывающейся
вниз от rоризонтальной смоченной поверхности,
D = 3,3 ("Z/РLg)I/З. (17.120)
Для капли воды формула (17.120) дает D = 9 мм.
Таким образом, в случае медленноrо истечения жидкости (капания) в
основе процесса формирования капель лежит баланс силы тяжести и силы
поверхностноrо натяжения, а размер образующихся капель довольно большой.
Очевидно, что подобный подход не приrоден для большинства случаев дробле
ния струй, поскольку они характеризуются большой скоростью истечения и
малым размером образующихся капель ( 1 100 мкм). На процесс образова
ния капель при дроблении высокоскоростных жидких струй сила тяжести не
оказывает заметноrо влияния.
Рассмотрим теперь формирование капель при дроблении большой капли,
движущейся в потоке rаза. На каплю действуют внешние аэродинамические
силы (давление PG)' которые должны быть уравновешены внутренним давлением
капли PL и капиллярным давлением Ра
PL=Pa+PG=const. (17.121)
Напомним, что для сферической капли
Ра = 4"Z/D.
(17.122)
Капля остается устойчивой, пока изменение Ра компенсируется изменением Ра
так, чтобы PL оставалось постоянным. Если Ра »Ра, что справедливо для
больших капель, то PL:::; Ра И изменение Ра компенсировать нечем, и капля дe
формируется и дробится на более мелкие капли до тех пор, пока не увеличится Ра
и не компенсирует Ра' Подобные рассуждения приводят к понятию критиче
cKoro размера капли, такому, что чем больше размер капли критическоrо зна
чения, тем больше вероятность (меньше время) ее дробления. Можно сказать,
что критический размер капли определяется максимальным значением диамет
ра, при превышении которorо капля будет дробиться.
Форма, которую принимает капля в потоке rаза, зависит как от характера
течения в окрестности капли, так и от свойств жидкости и rаза, а именно от
плотностей, коэффициентов вязкости и поверхностноrо натяжения. В [47]
выделены три основных вида деформаций капли (рис. 17. 11).
1. Капля имеет вид сплюснутоrо сфероида (рис. 17.11, а). При дальней
шей деформации капля принимает вид тора, который вытяrивается и распада
ется на мелкие капли.
2. Капля принимает вид вытянутоrо цилиндрическоrо тела с закруr лен
ными концами (сиrара) (рис. 17.11, 6). Затем капля распадается на более
мелкие.
3. Локальные деформации капли приводят к нереrулярным вмятинам и
выступам, которые затем отрываются и образуют мелкие капли (рис. 17.11, 6).
Первая форма капель образуется, коrда на поверхность капли действуют
давление и вязкие напряжения при обтекании капли поступательным и враща
тельным потоком rаза. В сдвиrовом потоке капли принимают вторую форму.
463
а
"',..................
/ "
<C :>
\. I
, ./
...... .......
б
" --"......
'" "
JI :[
\ /
" '"
'...........",
Рис. 17.11. Осиовиые формы деформируемых капель в потоке rаза
Третья форма характерна для нереryлярноrо потока rаза, например турбулен
THoro потока.
Чаще Bcero крупная капля распадается на две капли примерно одинако
Boro размера и несколько капель меньшеrо размера. Последние капли называ
ются сателлитами.
Для определения формы поверхности капель необходимо написать баланс
сил (динамическое давление, вязкие и поверхностные силы), действующих на
каплю. Если капля маловязкая, то можно оrраничиться балансом силы аэроди
намическоrо сопротивления, имеющей порядок рсиа, и силы поверхностноrо
натяжения, имеющей порядок / D. Отношение этих сил образует безразмер
ный параметр
We = Аэродинамическое сопротивлеиие = PcUl D ,
Сила nOBepxнoCТHoro натяжения L
(17. 123)
называемый числом Вебера. Обозначим через S = тcD2 / 4 наибольшее сечение
капли, перпендикулярное скорости набеrающеrо потока rаза и с . Torдa paBeH
ство аэродинамической силы и силы поверхностноrо натяжения принимает вид
1tl)2 5 2 D
CDO, рсис = п"" ,
[де C D коэффициент сопротивления, зависящий от Re.
Равенство (17.124) можно рассматривать как начальное условие, при KO
тором капля начинает деформироваться и дробиться. Ero можно переписать в
виде
(17.124)
We cr = 8/C D ,
(17.125)
[де W cr критическое значение числа Вебера, при превышении KOToporo капля
дробится.
У равнение (17.124) позволяет оценить максимальный размер устойчивой
капли
Dmax = 8 /CDPCUl
(17.126)
и критическую скорость rаза, при превышении которой капля диаметром D
дробится,
U cr = (8 /CDPcD)I/2.
(17.127)
Учет вязких напряжений в выражении для баланса сил на поверхности
капли приводит к появлению дополнительноrо безразмерноrо параметра, назы
BaeMoro числом Онзорrе:
464
ОЬ 1.1[ == ( E.Q.. ) 112 We!/2
(PLLD)!;2 PL ReL'
rде IlL коэффициент вязкости капли.
Тоrда критическое число Вебера, соответствующее состоянию капли перед
дроблением, '
(17.128)
We cr == We )[l + f(Oh)],
(17.129)
rде We ) критическое число Вебера без учета вязкости капли, даваемое, Ha
пример , уравнением (17. 125).
Имеется следующая эмпирическая корреляция формулы (17. 129):
We cr == We )(l+ 14 Oh). (17.130)
Особый интерес представляет процесс дробления капли в турбулентном
потоке rаза. В [2] приводится выражение для динамическоrо напора, действу
ющеrо на поверхность капли в изотропном турбулентном потоке rаза,
Q CDPe ( ) 2/'З I;;2/З R2/3 (17.131)
2 Ре Рzrз ,
rде PL и Ре плотности жидкости и rаза; R радиус капли; Е удельная
диссипация энерrии в турбулентном потоке rаза, Е PeU L; L характерный
линейный размер области течения, например диаметр трубы.
Приравнивая динамический напор Q силе поверхностноrо натяжения капли
2L/ R, получим выражение для максимальноrо устойчивоrо диаметра капли
D ( ) 3/5 ( ) 2/5 /Р5 (17.132)
тах CDPL Ре u 5 .
Перепишем (17.132) в виде
Dmax == с ( / Ре )3/5 E 2/5 .
Соrласно [46] постоянная С == 0,725. Найдем теперь We cr .
с [47]
(17.133)
В соответствии
W 2Ре 2/3 D 5 /3 118
e cr E тах , .
L
(17.134)
При дроблении струи, истекающей из форсунки, в зависимости от значи
мости rравитационных, инерционных, вязких и поверхностных сил возможны
три режима дробления струи [46].
1. Дробление без учета влияния окружающеrо rаза при малых скоростях
истечения струи (Re L « 1), в результате чеrо образуются относительно крупные
капли. Это случай релеевской неустойчивости, рассмотренный в разделе 17.4.
2. Дробление струи при конечных числах ReL с учетом влияния окружа
ющеrо rаза. При этом образуется спектр капель.
3. Дробление струи при Re L » 1. Распад струи происходит практически
от места ввода жидкости в rаз. При этом образуется спектр капель, диаметр
которых HaMHoro меньше диаметра истекающей струи.
Спектр капель, образующихся при распаде струи, характеризуется распре
делением капель по диаметрам (D) или по объемам ( V), r де V == тr.D3 / 6.
Типичный вид этих распределений представлен на рис. 17.12.
Экспериментально полученные распределения капель по размерам MorYT
30 1461 465
f
Рис. 17.12. Распределеиие капель по раз
мерам в струе жидкости, вытекающей из
форсунки
быть приближены [68] некоторыми
известными теоретическими распреде
лениями, среди которых нормальное
распределение
D
(D) == exp [ (D D )2 ]
..[2;. Sn 2s
( D математическое ожидание; s дисперсия);
лоrарифмически нормальное распределение
(D) == ..[2;.1 exp [ ОП D 1п D )2 ] ;
2п DS g 2S g
распределение Накаяма Тонасава
f(D) == aDP exp( bDq)
(17.135)
(17.136)
(17.137)
(а, р, q эмпирические постоянные).
В настоящее время наиболее часто используемым является распределение
Розин Рамлера
f(D) == qbDq l exp( bDq),
(17.138)
rде q и Ь постоянные распределения.
В распределении (17. 138) чем больше q, тем ближе распределение к MO
нодисперсному. При q 00 получаем монодисперсное распределение капель.
Для большинства струй 1,5 < q < 4, хотя для некоторых центробежных форсу
нок q может достиrать значения 7.
В заключение приведем кинетическое уравнение, которое описывает из
менение со временем распределения n(V, t) капель по объемам V с учетом
процессов коалесценции и дробления капель. Напомним, что в случае учета
только коалесценции или Koary ляции частиц соответствующее кинетическое
уравнение имеет вид (15.35). Для учета процесса дробления капель введем
{(и, V) число капель объемом V, которое образуется в результате дробления
капли объемом и, g(u) вероятность дробления капли объемом и. Torдa ки
нетическое уравнение, имеющее смысл баланса числа капель объемом V, при
мет вид
v 00
дn ==..!. f K (и, V u)(V и, Оп (и, t)du n(V, t) f K (и, V)n(u, t)du +
Bt 2
о о
00
+ ff(u, V) g(u)n(u, t)du g(V)n(V, О.
о
(17.139)
Входящие в (17.139) константа коаryляции К(и, V) и функции {(и, V)
и g(u), характеризующие процессы коалесценции и дробления капель, опре
деляются путем анализа поведения капель в поле rидродинамических, поверх
466
ностных, молекулярных, электростатических и внешних сил, являющихся следcrви
ем взаимодействия капель между собой и с внешней средой. Теория этих про
цессов находится сеrодня в стадии интенсивноrо исследования. Более подроб
ный анализ процессов дробления капель можно найти в работах [1, 2, 48 51 ].
18
ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАЗДЕЛЕНИЯ
fАЗОЖИДКОСТНЫХ СМЕСЕЙ В СЕПАРАТОРАХ
Несмотря на большое разнообразие конструкций сепараторов (см. раздел
2), их можно условно разделить на два класса в соответствии с физическими
принципами разделения rазожидкостной смеси: rравитационные и инерцион
ные. В rравитационных сепараторах, представляющих собой большие rоризон
тальные или вертикальные емкости, разделение фаз происходит за счет силы
тяжести. Поскольку размеры капель, попадающих в сепаратор из подводящеrо
трубопровода, малы, для эффективноrо удаления их из потока только за счет
силы тяжести требуется относительно длительное время и, как следствие этоrо,
сепараторы должны иметь большие размеры. В инерционных сепараторах раз
деление фаз происходит за счет сил инерции при обтекании потоком различ
ных препятствий (жалюзей, сеток, струн и т. п.) И при закручивании потока в
центробежных устройствах.
В современных конструкциях сепараторов обычно используются оба прин
ципа, поэтому сепаратор, как правило, состоит из двух секций: осадительной и
концевой. В осадительной секции происходит осаждение капель за счет силы
тяжести, а в некоторых конструкциях при танrенциальном вводе rаза и за счет
центробежной силы. Концевая секция оборудуется различными каплеулови
тельными устройствами: центробежными патрубками, сетчатыми и струнными
насадками и т. д. В этих устройствах отделение капель от rаза происходит за
счет сил инерции. Для тонкой очистки rаза от очень маленьких капель исполь
зуют фильтр патроны, представляющие собой цилиндры с волокнистой набив
кой, через которую фильтруется смесь.
Степень разделения rазожидкостной смеси в сепараторах зависит от CKO
рости (расхода) rаза, термобарических условий, физико химических свойств
фаз, rеометрических параметров и, самое rлавное, от дисперсности жидкой фазы
(распределения капель по размерам и параметров этоrо распределения), вноси
мых В сепаратор с потоком rаза из подводящеrо трубопровода. Основным
параметром является средний размер капель, формирующийся в потоке в TPy
бопровода и поэтому зависящий от параметров трубопровода, а также от па
раметров устройства предварительной конденсации (УПК), который, как прави
ло, установлен на некотором расстоянии от сепаратора (см. технолоrические
схемы укпr в разделе 1). Поэтому на эффективность разделения rазожидко
стной смеси в сепараторе влияют не только параметры сепаратора, но и особен
ности технолоrической схемы перед сепаратором.
Основным параметром, характеризующим степень отделения жидкости от
rаза в сепараторе, является коэффициент эффективности (КЭ), равный отноше
3 4
нию объема жидкой фазы, осевшей в сепараторе, к количеству жидкой фазы,
содержащейся на входе в сепаратор:
11 == W s == W o W j == 1 w j == 1 К (18.1)
W o W o W o '
rде W o , W j , W s объемные содержания жидкой фазы на входе и выходе
сепаратора и доля объема, осевшеrо в сепараторе; К коэффициент уноса.
Обозначим через no(R) распределение капель по радиусам на входе, а
через nj(R) на выходе сепаратора. Torдa
00
W o == J 1tR3no(R)dR,
о
00
W j == J тtR3nj(R)dR.
о
Определим передаточную функцию сепаратора как отношение распределе
ний капель по размерам на выходе и входе сепаратора
Ф(R) == nj(R) .
по (Ю
Torдa выражение (18.1) можно представить в виде
(18.2)
00 00
11 == 1 f 4 тtR 3 ф (R) no(R)dR /f 4 1tR3n o(R)dR.
о о
(18.3)
Если сепаратор состоит из нескольких последовательно соединенных ceK
ций, каждая из которых характеризуется своей передаточной функцией Ф,(R),
то передаточная функция Bcero сепаратора
N
Ф(R) == ПФ,(R). (18.4)
, !
Из формул (18.3) и (18.4) найдем кэ сепаратора, состоящеrо из несколь
ких последовательно соединенных секций:
N
11 == 1 П К"
, !
(18.5)
rде К, коэффициент уноса каждой секции,
00 00
К, == f 1tR 3 ф, (R) по (Ю dR / f 1tR 3 n o (R) dR.
о о
В случае параллельноrо соединения секций в формулах (18.4) и (18.5)
умножение нужно заменить на суммирование. Таким образом, для определения
КЭ сепаратора необходимо знать распределение капель no(R), поступающих в
сепаратор, а также передаточные функции всех секций Ф,(R).
Поскольку КЭ зависит от среднеrо размера капель, то любое воздействие
на rазожидкостную смесь, которое может привести к укрупнению капель, повы
шает КЭ сепаратора. Существуют два основных механизма укрупнения капель:
коaryляция и конденсация. Первый механизм обусловлен взаимодействием капель,
приводящим к их столкновению и дальнейшей коаrуляции. В основе BToporo
механизма лежит массообмен между жидкой и rазовой фазами в результате
нарушения фазоrо равновесия при про хождении смеси через упк. Скорости
укрупнения капель при конденсации и коаrуляции зависят от начальных раз
меров капель, их объемноrо содержания, термобарических условий, свойств фаз
468
(18.6)
и пара метров потока. Если перед сепаратором помещено УПК, то в потоке
наряду с имеющимися каплями конденсата формируются очень маленькие капли,
размер которых при движении в трубопроводе от УПК дО сепаратора интен
сив но увеличивается за счет одновременно протекающих процессов KOHдeHca
ции и коаryляции. Поскольку каждый из этих процессов характеризуется оп
ределенным временем, зная закон изменения радиуса капель со временем, мож
но определить расстояние до сепаратора, на котором нужно расположить УПК,
чтобы обеспечить максимально возможный КЭ сепаратора.
В техническом паспорте сепаратора содержится ero эффективность, как
правило, довольно высокая, но не указывается, при каких условиях она дости
rается. Поэтому основная задача состоит в определении зависимости КЭ сепа
ратора определенной конструкции от давления, температуры, расхода rаза и
конструктивных параметров.
Этот раздел посвящен методам расчета КЭ простейших rравитационных
сепараторов, а также содержит исследование влияние на КЭ пара метров под
водящеrо трубопровода и УПК Поскольку ввод смеси осуществляется, как
правило, таким образом, что на входе формируется неоднородныЙ по сечению
профиль продольной скорости и, кроме Toro, капли MOryт изменять свой размер,
выражение дЛЯ КЭ получено с учетом неоднородности профиля скорости и
возможноrо изменения радиуса капель. Методы расчета rpавитационных сепа
раторов будут использованы в разделе 19 для определения КЭ осадительной
секции сепараторов с дополнительными каплеуловительными секциями различ
ной конструкции.
18.1. ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ ПРОФИЛЯ СКОРОСТИ
НА КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ
rОРИ30НТАльноrо rРАВИТАционноrо СЕПАРАТОРА
На вход в сепаратор поступает rазожидкостная смесь с не60ЛЬШИМ объем
ным содержанием жидкой фазы (W o « 1). Это означает, что жидкая фаза
практически не влияет на распределение скорости потока. Можно пренебречь
также взаимным влиянием капель, т. е. стесненностью их движения. Пусть на
входе сепаратора задан профиль скорости ио(у). Направим ось х вдоль оси
сепаратора, а у перпендикулярно оси. Для простоты рассмотрим сепаратор
прямоуrольноrо поперечноrо сечения. Влияние кривизны стенок в случае KPy
rOBoro сечения будет рассмотрено в дальнейшем. Уравнения движения капли
радиуса R в безынерционном приближении имеют вид
dx d Y
=И' =и и (18.7)
dt Х' dt у "
rде и х и И у компоненты скорости rаза; U s скорость осаждения капли, равная
стоксовой скорости
2to.pgR 2
U s = ; ,1Р = PL Ро. (18.8)
Считается, что радиус капель в процессе движения не изменяется, т. е. не
учитываются конденсация и коаrуляция капель.
Поскольку скорость rаза мала по сравнению со скоростью звука, rаз He
сжимаемый и Ро постоянная. Тоrда из уравнения неразрывности следует, что
U дIv. U дIV (189)
X дy ' y дx ' .
rде \jI функция тока.
469
O,5D
у
ио(у)
O,5D
Рис. 18.1. Втекаиие смеси в сепаратор
Из уравнений (18.7) и (18.9) следует, что
dy дIV/ Bx+u s
dx = дIv/дy
Из уравнения (18.1 О) находим
d\jl = usdx
(18.10)
или
\jI (Х, у) = с UsX,
(18.11)
Если \jI(x, у) найдена из решения соответствующей rидродинамической
задачи, то выражение (18.11) является уравнением траектории капли. Посто
янная С определяется из условия задания начальноrо положения капли на
входе в сепаратор. Поскольку диаметр патрубка ввода rаза HaMHoro меньше
поперечноrо размера сепаратора, то rаз втекает в сепаратор в виде затопленной
расширяющейся струи с уrлом раствора 2а..: 280 (рис. 18.1). Torдa длина, на
которой струя Достиrает стенки сепаратора
XL":2do( 1} (18.12)
[де d o и D диаметры патрубка ввода rаза и сепаратора. В частности, при
D» d o , что практически всеrда выполняется, X L ..: 2D.
Таким образом, в области х XL устанавливается профиль продольной
скорости ио(у).
Как правило, на входе в сепаратор расположено специальное устройство
(отбойник, успокоитель и др.), способствующее увеличению уrла раствора струи
и уменьшению застойных областей между стенкой сепаратора и rраницей струи.
Тем самым установившийся профиль продольной скорости формируется на
небольшом расстоянии от входа в сепаратор. Рассмотрим осаждение капель в
этой области. Средняя скорость потока
D \
и = fuo(y)dy.
о
Обозначим через yo(R) высоту слоя, из которorо выпадут все капли
радиусом R по длине сепаратора L. Тоrда передаточная функция будет
470
УО(Щ
Ф(R)=l fuo(y)dy=l IjI :;O) . (18.13)
о
При выводе (18.13) учтены выражения (18.2), (18.9). Кроме Toro, исполь
зовано условие x 1 _ «L, что позволило условие при х = x L снести на х = о. Для
определения 'V( О, уо) воспользуемся выражением (18.11), для чеrо рассмотрим
траекторию, которая начинается в точке (О, уо) и заканчивается в точке (L, О).
В итоrе получим
'11 (О, Уо) = '11 (L, О) + Lu s '
( 18.14)
По смыслу разность между двумя значениями функции тока '111 и '112 равна
расходу rаза между линиями тока '11 = '111 И '11 ='112' Поскольку суммарный ли
нейный расход rаза
D
Q = [ио (у) dy,
о
а функция тока определяется с точностью до постоянной, то на нижней CTeH
ке сепаратора берем 'V(x, О) = О. Тоrда имеем 'V(X, D) = Q. в связи с этим
'V(L, О) = о и из соотношения (18.14) находим '11(0, уО) = Lu s .
Теперь из выражения (18.2) можно найти передаточную функцию сепаратора
ф(R) { ( :')'
при R Rm;
при R > Rm'
(18.15)
[де Rm = (9DQcl-!с/2t.рgV)I/2; Qc объемный расход rаза; V объем осади
тельной секции.
Если в процессе движения изменяется радиус капли R = R(x, Ro), [де
Ro начальный радиус капли на входе в сепаратор, то формула (18.11) He
сколько изменится:
х
'11 = '11(0, уо) fUs(x, Ro)dx.
о
Передаточная функция в этом случае примет вид
L
Ф (R o ) = 1 f Us(x, Ro)dx.
DU
о
Коэффициент эффективности определяется соотношением (18.3), но интеr
рирование следует проводить по начальному радиусу капель Ro.
В заклЮчение отметим, что вид коэффициента эффективности свидетель
ствует о том, что для rоризонтальноrо rравитационноrо сепаратора он не зави
сит от профиля скорости при условии постоянства расхода rаза.
( 18.16)
(18.17)
18.2. КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ rОРИ30НТАльноrо
rРАВИТАционноrо СЕПАРАТОРА
Будем моделировать сепаратор объемом прямоуrольноrо сечения, длиной L
и высотой D. Пусть на входе задано распределение капель по радиусам no(R).
Смысл no(R) заключается в том, что no(R)dR равно числу капель, радиус
471
которых заключен в интервале (R, R + dR), а число капель и их объем в
единице объема смеси соответственно
00 00
N o == fno(R)dR, w == fVno(R)dR, V == 1tR3. (18.18)
о о
Рассмотрим осаждение капель под действием силы тяжести, считая, что
капли движутся независимо друr от друrа. Направим ось х вдоль оси сепара
тора, а ось у перпендикулярно к ней против силы тяжести. Тоrда уравнения
движения капли примут вид
47tR 3 PL dv x О S fi R2 1 I ( U ) .
3 dt , PG1t и т и х ,
47tR 3 PL dv y == 47tR 3 дрg О S fi R2 1 I
3 dt 3 ,PG1t и т и у .
Здесь и т == (И их. и у ) скорость капли относительно rаза; и х == dx/ dt и
и у == dy / dt составляющие скорости капли; И скорость rаза; f коэффи
циент сопротивления,
(18.19)
{ 24 Re 1 при Re < 2
f == 18,5 Rе о,б при 2 < R < 500
0,44 при Re > 500;
(18.20)
Re == 2RpGU T IlG число Рейнольдса капли.
В начальный момент нужно задать положение и скорость капли:
х (о) == о, у (о) == уо, (dx/dt)t o == о, (dy / dt)t o == о.
(18.21)
Решая уравнения (18.19) с условиями (18.21), получаем траектории дви
жения капли радиуса R. Перебирая все значения уо, можно найти минимальный
радиус капель Rm' осевших в сепараторе. Смысл Rm заключается в том, что все
капли с радиусом R Rm выпадут из потока rаза в сепараторе. Для определе
ния Rm нужно из всех траекторий выбрать ту, которая начинается в точке (о, D)
и заканчивается в (L, о).
В общем случае уравнения (18.19) нужно решать численно. Однако такая
процедура неудобна, поскольку результаты нужно будет использовать для оп
ределения КЭ сепаратора. Попытаемся упростить уравнения, для чеrо оценим
входящие в них члены.
Перепишем первое уравнение (18.19) в виде
Е d(vx/U) == Ы ( 1 2 ) (18.22)
d(t/Т e ) и и'
8RpL
rде Те == L / и характерное время пребывания капли в сепараторе, Е == 3 и
PGTe
безразмерный параметр.
Для rазожидкостных смесей в сепараторах имеем следующие оценки:
R/ L 10 5; PL/ PG 10 2; f 1 и Е 10 2. При этом из (18.22) следует, что
и х U. Затем, что с увеличением размера капель возрастают отношение R/ L
и параметр Е. Следовательно, неравенство Е« 1 может нарушиться. Так, дЛЯ
R/ L 10 3 имеем Е 1 (например, L 1 м, R 10 3 м). Однако такие крупные
капли не MorYT формироваться в турбулентном потоке в трубопроводе, а если
они и есть, то их очень мало. Кроме Toro, крупные капли без труда отделяются
4.72
от rаза в осадительной секции. Таким образом, предположение 1>« 1 означает,
что инерцией капель в продольном движении можно пренебречь. При этом
I и . I ,., v у и второе уравнение (18. 19) перепишется в виде
1 dv y Др 3{
== и2 (18.23)
g dt PL 8RgPL у'
Оценка инерционноrо члена в левой части уравнения (18.23) проводится
аналоrично. Имеем dVy/dt v;D. Отношение силы инерции к силе сопротив
ления капли
1 dv y . ( 3{ 2 ) L
I>I g ' 8RgPL и у I> D "
При 1>« 10 2 и L/D 3 имеем I>, 3' 10 3.
Таким образом, при выполнении неравенств 1>« 1 и 1>, « 1 в уравнениях
(18.19) инерционными членами можно пренебречь. Тотда из второто уравнения
( 18. 19) следует, что
и; == 8Rf:..pg/3PGf.
(18.24)
Поскольку соrласно (18.20) f зависит от и у , то соотношение (18.24) пред
ставляет собой нелинейное уравнение относительно и у , Введем безразмерный
параметр, называемый числом Архимеда:
Ar == 8R3pbgp/3PGllb. (18.25)
Соrласно [52] выражение для коэффициента сопротивления частицы мож
но представить в виде
(== 4Ar /3Re 2 , (18.26)
причем числа Рейнольдса и Архимеда в соответствии с формулой (18.20)
связаны следующей приближенной зависимостью:
Ar
Re ==
18 + 0,S75Ar l /2
Теперь, используя выражения (18.25) и (18.26), из (18.24) можно опреде
лить скорость осаждения капли радиуса R
I!GAr
V ==
у 2RpG(18 + O,575Ar l /2)
( 18.27)
(18.28)
Уравнения движения капли радиуса R в безынерционном приближении в
пренебрежении архимедовой силой сводятся к следующим:
dx ==u' dy == и' х(о)==о' У (О)== Уо . (18.29)
dt 'dt у' ,
Принимая И постоянной, получаем
vyx
У == УО u'
( 18.30)
Принимая в (18.30) Уо == D, х == L, У == О и воспользовавшись соотношением
(18.28), получаем следующее уравнение для минимальноrо радиуса капель:
Ar
18 + O,575Ar l /2
2RUDpG
LI!G
(18.31 )
4.73
Обозначим через R,1iS минимальный радиус капель, при условии, что они
осаждаются со стоксовой скоростью [см. формулу (18.16)]
R ( 9UD G ) 1/2
ms L 2"'-pg L '
o,28 1/4
r m 1+
2 + 0,42\31/4
Перейдем теперь к определению КЭ сепаратора. Рассмотрим сначала
случай, коrда на вход поступает монодисперсная смесь, содержащая капли.
одинаковоrо размера Rav' Задано объемное содержание жидкости на входе W o
(при заданных значениях давления и температуры ero можно определить по
уравнениям парожидкостноrо равновесия). Найдем количество жидкой фазы,
выпавшей в сепараторе. Для этоrо достаточно определить во входном ce
чении начальное положение капли, которая на выходе окажется в точке с
координатами (О, L). Из (18.30) найдем уо VyL/ и. Теперь нетрудно найти
объемное содержание жидкой фазы на выходе W j (1 уо) W o и КЭ сепа
ратора
( 18.32)
( 18.33)
11 Yo/D.
Подставляя сюда выражения для Уо и и у из (18.28), получаем
LAr
11
2Rav Re(18 + 0,57 5Ar 1/2) .
Обозначим t L / U время пребывания смеси в сепараторе, а t d == 2RavRe х
х (18 + 0,S7SAr1/2) / ArU время, за которое капля радиуса R выпадет из слоя
высоты D. Тоrда (18.35) примет простой вид:
( 18.34)
( 18.35)
11 t/ t d ; t s; t d .
( 18.36)
Таким образом, КЭ монодисперсной смеси линейно зависит от времени
пребывания в сепараторе.
Рассмотрим теперь случай, коrда на вход поступает rазожидкостная смесь
с непрерывным распределением капель по размерам no(R, у) с объемным
содержанием
00
W o == J } тrR3пo (R, у) dR.
о
Объем жидкой фазы на входе при условии paBHoMepHoro распределения
капель по высоте равен WoDZ, [де Z поперечный размер сепаратора. По
скольку на выходе отсутствуют капли радиуса R > R m , то количество жидкой
фазы на выходе
R m D
w; z f H тr R 3 пo (R, y)dydR.
о о
Теперь можно определить КЭ сепаратора
R m D
11 1 з о f H тr R 3 пo (R,y)dydR.
о уо
( 18.37)
4.74.
Возьмем в качестве начальноrо распределения капель распределение (14.1),
которое формируется в подводящем к сепаратору трубопроводе. Тотда, считая
распределение на входе однородным по сечению, из выражения (18.37) полу
чаем
11 = exp( 3a2) R f т R2 ( 1 J exp [ l n2(R/R1) ] dR.
..п;; cr W o о D 2а 2
Введем следующие безразмерные переменные:
R R 1 ( ) t zU s
Z= ' Z1 = =exp OS0'2 . 't= = '
Rav 'Rav "tds и D '
( 18.38)
А 8Rg v PGD.pg . Rm
rav 2 ,Zm
J.lG Rav
Здесь t время пребывания смеси в сепараторе; t ds время, за которое
капля радиуса R выпадает из слоя высоты D, если она будет двиrаться со
стоксовой скоростью UsO = 2gLlpR vI9j.!e.
В новых переменных выражение (18.38) дЛЯ КЭ сепаратора примет вид
1 ехр( 3(2) f zт 2 (1 1:Z2 )
11= Z х
..п;; cr о 1 + o,032Ar:'; z3/2
[ l n2(z/zl) ]d
х ехр Z.
2а 2
( 18.39)
Входящее в (18.39) Zm с учетом (18.33)
Z =1+ ( 0,28\31/4 ) 't I/2.
m 2 + 0,42131/4
Передаточная функция рассматриваемоrо сепаратора
( ) { 1 при R < Rm,
Ф R = О 1 + о,оз;:1: r l/2z3/2
при R > Rm.
Таким образом, выражение (18.39) дает зависимость КЭ rоризонтальноrо
rравитационноrо сепаратора от безразмерных параметров 13, 0', 't, ZI И Arav, xapaK
теризующих дисперсность потока, rеометрические размеры сепаратора, а также
rидродинамические и физико химические параметры потока. Заметим, что дис
персия о' распределения капель по радиусам, формирующеrося в подводящем
к сепаратору трубопроводе, как показано в [3], в большом диапазоне скоростей
изменяется в пределах от 0,4 до 0,5, поэтому в дальнейших расчетах она
берется равной 0,45.
На рис. 18.2 показана зависимость 11 от параметров 't и Arav. В качестве
примера рассмотрим расчет сепаратора при следующих значениях параметров:
D == 1,6 м; L = 3 м; Р == 5 МПа; Т == 250 К; PL == 750 кт 1м3; Ре == 40 кт 1м3;
j.!e == 1,2 . 10 s Па' с. На рис. 18.3 показана зависимость КЭ сепаратора от
расхода rаза Qe при нормальных условиях для различных значений диаметра
подводящеrо к сепаратору трубопровода d. Из приведенной зависимости следу
ет, что КЭ уменьшается с увеличением расхода rаза и с уменьшением диаметра
трубопровода. Последний факт объясняется тем, что уменьшение d при прочих
475
( 18.40)
(18.41)
11
1,0
0,5
О
1
Рис. 18.2. Зависимость коэффициеита эффек
ТИвиости rоризоитальиоrо rравитациоииоrо
сепаратора 1'] от и Ar.. при cr - 0,5:
' 1; 2 10; 3 102; 4 103
11.
1,0
0,5
't
О
1,0
2,0 3,0
QG' млнм 3/ сут
Рис. 18.3. Зависимость коэффициеита эффек
тивиости rОРИЗ0итальиоrо rравитациониоrо ce
паратора 1'] от расхода rаза Qc для различиых
зиачеиий d, м:
1 0,35; 2 0,3; 3 0,25; 4 0,2; 5 0,15
равных условиях при водит к уменьшению среднеrо радиуса капель [Rav == R m
rде Rcr дается формулой (14.14)], а следовательно, и к уменьшению скорости их
осаждения в сепараторе. Поскольку по оси абсцисс отложен расход, COOTBeT
ствующий нормальным условиям, как это обычно принято, то повышение дaB
ления и снижение температуры rаза при прочих равных условиях при водят к
уменьшению расхода rаза при рабочих условиях, а следовательно, к уменьше
нию скорости rаза и увеличению КЭ сепаратора. Подобная зависимОСТЬ КЭ от
давления характерна не для всех сепараторов. В дальнейшем будет показано,
что для некоторых типов сепараторов зависимость КЭ от р носит HeMOHOTOH
ный характер.
18.3. КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ ВЕРТИКАЛьноrо
rРАВИТАционноrо СЕПАРАТОРА
Рассмотрим теперь процесс отделения жидкости от rаза в вертикальном
rравитационном сепараторе, в котором поток движется против силы тяжести.
Очевидно, что на выходе сепаратора будут находиться капли, размер которых
удовлетворяет неравенству U s < и, rде U s скорость осаждения капли радиуса
R, а и скорость движения потока, которую будем считать постоянной.
инимальный размер капель определяется из условия U S == U. Воспользуемся
выражением (18.28) для скорости u s ' Тоrда для определения минимальноrо
радиуса капель получим следующее уравнение:
Ar == UpG (18.42)
2R (18 + 0,575 Ar'/2) I!G
4.76
Сравнение уравнений (18.31) и (18.42) для минимальноrо радиуса капель
rоризонтальноrо и вертикальноrо сепараторов показывает, что при выполнении
равенства U V / U h == Dh/Dv, [де нижние индексы v и h соответствуют параметрам
этих сепараторов, при прочих равных условиях, минимальные радиусы капель
сепараторов совпадают. Но это совсем не означает, что совпадают их КЭ.
Действительно, на выходе вертикальноrо сепаратора объем жидкой фазы
Rm D
W; == Z f f inЯЗnо(R,у)dуdR.
о о
Сравнение с аналоrичным выражением для rоризонтальноrо сепаратора
показывает, что W;<h) < Wj<v), даже если минимальные радиусы этих сепараторов
совпадают.
Если взять в качестве начальноrо распределения (14.1) и считать ero
однородным на входе, то КЭ вертикальноrо сепаратора можно представить в
виде
1 ехр( Зcr2) Z f m 2 ( l n2(z/zl» )d
11 == Z ехр Z,
..п.;. cr 2а 2
О
(18.43)
[де Zm == rm(U /U)1/2; r m ==Rm/Rms; R"iS == (9j.! G U /2дрg)1/2; 13 == UЗР /j.!Gдрg; r m оп
ределяется выражением (18.33).
КЭ вертикальноrо rравитационноrо сепаратора зависит от параметров а, 13,
U / и . и Arav. Характер зависимостей 11 от этих параметров тот же, что и для
rоризонтальноrо сепаратора. Однако при прочих равных условиях одно и то
же значение КЭ достиrается в вертикальном сепараторе при значительно MeHЬ
ших расходах rаза, чем в rоризонтальном. Следует еще заметить, что соrласно
выражению (18.43) 11 не зависит от высоты сепаратора L. Это противоречит
экспериментальным результатам, соrласно которым при заданной скорости rаза
и прочих равных условиях, количество отделяемоrо от rаза конденсата несколь
ко увеличивается с ростом высоты L, причем этот эффект тем заметнее, чем
больше скорость rаза И. Из экспериментов следует также, что начиная с He
которой высоты КЭ сепаратора практически не изменяется. Это означает, что
процесс, ответственный за этот эффект, действует лишь конечное время, через
которое он затухает.
Одним из механизмов, влияющих на количество отделяемоrо от rаза KOH
денсата, является коаrуляция капель. В процессе коаryляции средний объем
капель увеличивается. Мелкие капли, скорость осаждения которых и . < И, дви
жутся вверх по потоку и в процессе движения MorYT коаrулировать. Скорость
коаrуляции зависит от объемноrо содержания капель. Поскольку основная
масса, заключенная в крупных каплях, удаляется уже на входе сепаратора, то
объемное содержание капель в восходящем потоке невелико, поэтому Koary
ляция капель происходит достаточно медленно. Пусть характерное время Koa
rуляции равно (oag. Тоrда, если время пребывания смеси в сепараторе
t == L/ U < t coag , то изменение высоты L будет влиять на КЭ, а при t> t coag не
будет. Увеличение скорости rаза И, с одной стороны, увеличивает минимальный
радиус капель и ухудшает эффективность сепаРaJ\ИИ, а с друrой стороны
интенсифицирует коаryляцию капель, что приводит к более сильной зависимо
сти количества выпавшеrо конденсата от L. Все сказанное соrласуется с зави
симостью КЭ от L и И, полученной в экспериментах.
Рост капель в потоке может происходить также за счет конденсационноrо
4.77
роста, но для этоrо необходимо, чтобы
в объеме отсутствовало фазовое paB
новесие. Ранее было показано, что
фазовое равновесие наступает HaMHO
ro быстрее, чем динамическое. Поэто
му конденсационный рост капель в ce
параторе возможен только, если УПК
расположено в непосредственной бли
зости от сепаратора, например непо
средственно на входе.
В дальнейшем будет оценено
влияние, которое оказывают на вели
чину КЭ Koary ляция и конденсация
капель.
Без учета этих процессов основными параметрами, влияющими на КЭ
вертикальноrо rравитационноrо сепаратора, являются расход rаза при нормаль
ных условиях Q, давление р, температура Т, а также диаметры сепаратора D и
подводящеrо трубопровода d. Характер этих зависимостей тот же, что и для
rоризонтальноrо сепаратора, но при одинаковых значениях параметров КЭ
вертикальноrо сепаратора меньше, чем rоризонтальноrо. На рис. 18.4 показана
зависимость КЭ от Q и d.
Если принять, что капли осаждаются со стоксовой скоростью, то передаточ
ная функция вертикальноrо rравитационноrо сепаратора записывается в про
стой форме:
11
1,0
0,5
5
о
1,0
1,5
2,0
QG' МЛН м 3/ сут
Рис. 18.4. Зависимость коэффициента эф
фективиости вертикальиоrо rравитациоиио
ro сепаратора 11 от расхода raaa QG дЛЯ
рааличных аиачеиий d, м:
1 0,35; 2 0,3; 3 0,25; 4 0,2; 5 0,15
Ф(R) = { 1 при R < R m ,
О при R R m ,
(18.44)
18.4. ВЛИЯНИЕ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ
НА КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ СЕПАРАТОРА
Как отмечено в разделе 18.3, на величину КЭ может влиять KOHдeHca
ционный рост капель, попадающих в сепаратор из подводящеrо трубопровода,
при условии, что на входе нарушается термодинамическое равновесие фаз,
например, если на входе расположено одно из устройств предварительной KOH
денсации.
Пусть давление и температура в сепараторе Р2 и Т 2 отличаются от COOT
веrствующих значений Р1 и Т] В трубопроводе. При движении потока в трубо
проводе устанавливается фазовое равновесие, соответствующее значениям Р1 и
Т]' В сепараторе равновесие нарушается, что приводит к конденсационному
росту капель. В разделе 16.1 исследованы два возможных механизма KOHдeH
сационноrо роста капель: диффузионный в условиях слабоrо перемешивания и
турбулентный. Рассмотрим последовательно оба механизма.
478
Диффузионный механизм роста капель в бинарной смеси приводит к
следующему закону изменения радиуса капли [см. (16.S4)J:
==l+(л. 1)(1 е а,),
( 18.45)
rде Ro начальный радиус капли, например средний радиус капель, форми
рующихся в подводящем трубопроводе; л. == (1 + PeLly(0)/Pl.Wo)I/2; Ре и PL
плотности rаза и жидкости; ду(О) разность равновесных мольных долей
конденсирующеrося компонента соответственно при Pj, Т I И Р2' Т 2 ; W o началь
ное объемное содержание жидкой фазы в rазе; а == 0,331/(л. 1) 0,026;
-r == 3PeDI2Lly(0)t/PLRJ; D 12 коэффициент бинарной диффузии конденсирую
щеrося компонента в rазе.
Рассмотрим сначала КЭ rоризонтальноrо сепаратора. Для простоты при
мем, что капли осаждаются со стоксовой скоростью us(R), равной
( ) 2 2ДрgR
U s == Uso 1 + (л. 1)(1 e a') ; U so == .
( 18.46)
Считая продольную скорость rаза U в сепараторе постоянной и переходя
в (18.46) к переменной х == Ut, а также воспользовавшись выражением (18.17),
получим следующее выражение для передаточной функции сепаратора:
Ф (R o ) == 1 uso Ro) ; (18.47)
J(R o ) == л.2 (л. 1)(1 e a'L + (л. 1)2 (1 e 2a'L);
a L a L
ЗРе D 12 ду(О)L
-r L ==
PLURi
При отсутствии конденсационноrо рОСТй- капель (а == О) из (18.46) следует
формула (18.15).
Оценим величину, входящих в правую часть выражения (18.46) членов.
Для характерных значений L == 3 м; D == 1 м; U == 0,2 0,5 м; Ile == 10 5 Па. с;
PL == 750 Kr/M3; Ре == 50 Kr/M3; Ro==10 5 м; DI2==10 7 м 2 /с; Lly(0)==10 2; Wo==10 4
получим Л. == 2; а == 0,3; L == 30 и a-rL== 9. Такое значение параметра ат/ позво
ляет в выражении для I(R o ) пренебречь вторым и третьим слаrаемыми. В итоrе
формула (18.47) примет вид
ф (R o ) 1 л. 2 .
( 18.48)
Для определения КЭ сепаратора необходимо предварительно найти мини
мальный радиус капель R nl , Он может быть найден из выражения (18.16),
в котором следует принять х == L, \jI == О, \jI(O, D) == UD. Тоrда получим
L
fUsdx == UD.
о
Подставляя сюда соотношение (18.46) для и" проинтеrрировав получен
ное выражение и учитывая сделанные выте оценки, получим минимальный
радиус капель
(18.49)
R m == R o ;
R == ( 9 eDu ) 112
то L 2дрgL
( 18.50)
4.79
Здесь Rmo минимальный радиус
капель без учета конденсационноrо
роста.
Таким образом, учет фазовых пре
вращений приводит к уменьшению
(л > 1, конденсация) или к увеличению
(О < л < 1, испарение) минимальноrо
радиуса капель в л раз.
Для определения КЭ сепаратора
следует под ставить в уравнение по
лученные выражения для Rm и Ф(R о ).
Вводя безразмерные переменные
z == Rol Rav; Z j == R j I Rav; t == LusOl UD;
U sO == 2дрgR;vI9J.tG' получаем
1 exp( 3a2) zт f 2(1 2 2) ( l n2(Z/ZI» )d
11 == Z л. tZ ехр Z,
..[2;. cr 2а 2
О
11
1,0
0,5
О
0,05
Рис. 18.5. Зависимость 11 rоризоитальиоro тра-
витациоииоrо сепаратора от ДЛЯ л:
1 2; 2 1,7; 3 1,4; 4 1
t
(18.51)
rде Zm == t1/2/ л .
На рис. 18.5 показана зависимость 11 от безразмерноrо времени t пребы-
вания смеси в сепараторе для различных значений Л, характеризующих степень
пересыщения смеси. Случай л == 1 соответствует отсутствию фазовых превраще-
ний. Из рисунка видно, что увеличение л приводит к росту КЭ, поскольку при
этом увеличивается размер капель. Зависимость КЭ от скорости потока в
сепараторе И представлена на рис. 18.6 для следующих значений параметров:
р == 5 МПа; D == 1 м; J.tG== 10-5 Па. с; PG == 40 Kr 1м3; PL == 750 Kr 1м3; L == 3 м.
Определение КЭ дЛЯ вертикальноrо rравитационноrо сепаратора прово
дится аналоrичным образом. Выражение для 11 имеет вид
11 == 1 exj;;cr 2 ) J Z2 exp ( ln 2 (Z ZI » ) dz, (18.52)
211 cr о 2а
rде zm == (И I U sO )I/2 Iл.
Зависимость 11 от И I Uso для различных значений л показана на рис. 18.7.
Рассмотрим теперь укрупнение капель за счет фазовых превращений в
турбулентном потоке. В разделе 16.1 для случая Rav > ло было получено BЫ
ражение (16.78) для изменения среднеrо объема капель V:
== 1+ L(P'GO РiGw)(1 е-Асt), (18.53)
о PI, о ,
rде Ас == 14,зu:/7Р WоUld8121DII3 2/7р;r; U t и И скорости потока в подво-
дящем трубопроводе и сепараторе; W o объемное содержание жидкой фазы на
входе в сепаратор; d и D диаметры трубопровода и сепаратора; коэф-
фициент поверхностноrо натяжения капель.
Оrраничимся рассмотрением осаждения капель в rоризонталъном rравита-
ционном сепараторе. Если размер капель не изменяется и они осаждаются со
стоксовой скоростью, то передаточная функция определяется формулой (18.15).
4.80
11
1,0
0,5
О
0,25
0,50
U, м!с
Рис. 18.6. Заввсимость 1'\ rоризоитальиоrо rpa
витаЦИОИllоrо сепаратора от и для различиых
значеиий л:
1 2, 2 1,4; 3 1
11
1,0
0,5
О
4
U/usa
Рис. 18.7. Зависимость 1'\ rоризоитальиоrо rpa
витационноrо сепаратора от и / и.. ДЛЯ раз
личных зиачеиий л:
1 2; 2 1,4; 3 1,2; 4 1
2
Пусть теперь размер капель растет по закону (18.53). Тоrда траектории ycpeд
HeHHoro движения капель определяются уравнением
dy = D ( ) 2 = D ( ) 2 [1 + В(1 е АсХIИ)]
dx L R тo L R тo
( 18.54)
с начальным условием у(О) = Уо' Здесь обозначено В = L(p,GO P,Gw) / PL W o , R тO
минимальный радиус нерастущих капель.
Решение уравнения (18.54) имеет вид
( ) 2
D Ro
У = уо С;
L R тo
С = зu { 0,5 (Z2 1) + 0,5 a.2 [ 0,s ln (1 0.)3(z3 0.3) +
Ас (1 0.3 )(z 0.)3
r::: ( 2 + о. 2z + О. )]}
+ v 3 arctg о.JЗ arctg о.JЗ '
( 18.55)
rде а. = (1 + В)1IЗ; Z = [1 + В(1 е Асх/U) ]113.
Для определения минимальноrо радиуса капель нужно в формуле (18.55)
положить Уо = D, У = О и х = L. В итоrе найдем
( ) 1/2
R = R тo . л = Ac L
т л' 3UC L
( 18.56)
Здесь C L значение параметра С при х = L.
31 1461
481
Т а б л и Ц а 18.1
Значення параиетра л. при разлнчных W o н и
и, м/с
W o , м 3 /м 3
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
1 . 1 0 5 2,27 2,27 2,5 2,68 2,82 2,97
5 . 1 0 5 1,68 1,81 1,88 1,93 1,95 1,97
1 . 10 4 1.47 1,57 1,55 1,56 1,56 1,56
5 . 10 4 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15
1 . 1 0 3 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04
Таким образом, учет фазовых превращений сводится к введению поправоч
Horo коэффициента л 1 в выражении для минимальноrо радиуса капель. КЭ
сепаратора определяется формулой (18.51), в которой в качестве Rm нужно
взять выражение (18.56). Наибольший интерес представляет зависимость л от
скорости rаза в сепараторе и и объемноrо содержания жидкой фазы на входе
W o . Значения л приведены в табл. 18.1 при d==O,l м; D==l м; L==S.10 3H/M;
Pf. == 750 Kr 1м3; L == 3 м; ду(О) == 10 2. Зависимость КЭ 11 от и для различных
значений W o представлена на рис. 18.8. Для фиксированной скорости потока и
КЭ уменьшается с ростом W o , поскольку при этом уменьшается среднее pac
стояние между каплями, быстрее устанавливается фазовое равновесие и замед
ляется рост капель.
Если Rav < Л О , то в приведенных выражениях нужно Ас заменить на А"
который определяется соотношением (16.93). Зависимости 11 от и и W o в
рассматриваемом случае практически совпадают со случаем Rav > л о '
Таким образом, проведенные расчеты показывают, что конденсационный рост
капель может оказать заметное влияние на КЭ сепаратора в случае существо
вания достаточно сильноrо пересыщения смеси ду (не менее 10 2) и при He
больших объемных содержаниях жидкой фазы W o (не более 5 . 1 0 4 м 3 1м3),
что возможно, если конденсирующее устройство расположено практически на
входе сепаратора. Однако при зто м эффективность удаления из потока обра
зующихся в устройстве маленьких Ka
пель чрезвычайно мала. Поэтому при
расчетах l(Э сепаратора конденсаци
онным ростом капель можно прене
бречь.
11
1,0
0,5
О
0,25
0,50
U, м!с
482
Рис. 18.8. 3аансниость 11 rорнзонтальноrо
rрааптаЦИОШlOrо сепаратора от и для разлнч
ных значений W o , и 3 / м":
1 1 0 5; 2 5 . 1 0 5; 3 отсутствие фазовых
превращений
18.5. ВЛИЯНИЕ КОАЛЕСЦЕНЦИИ КАПЕЛЬ
НА КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ СЕПАРАТОРА
Koary ляция капель в турбулентном потоке rаза была рассмотрена в раз
деле 15.2. Закон изменения среднеrо объема капель имеет вид
;, 0 ==(1+pt)2; P ==8W o ( r 2 ) 1/2, (18.57)
3прс Vo",o
rде V o начальный объем капель; r постоянная raMaKepa; л. о внутренний
маСllIтаб турбулентности.
Рассмотрим коаrуляцию капель в rоризонтальном rравитационном сепара
торе. Пусть на входе в сепаратор капли имеют одинаковый объем, равный
среднему объему капель V av , формирующихся В подводящем трубопроводе.
Рассмотрим элементарный объем, содержащий на входе N капель объемом V av '
и будем следить за этим объемом, полаrая, что капли ero не покидают. В про
цессе движения объема в сепараторе содержащиеся в нем капли Koary лируют
между собой, число их уменыlIется,' суммарный объем капель сохраняется,
а объем капель увеличивается в соответствии с выражением (18.57). Отметим,
что при этом время пребывания капель в сепараторе зависит от начальноrо
положения объема во входном сечении. Для определения КЭ сепаратора BOC
пользуемся СООТНОllIениями (18.3) и (18.17). Если считать, что капли осажда
ются со стоксовой скоростью, то получим
L ( ) 213
а 213. 3 26.pg
'l'\coag DИ J V dx, а- 4п 9J.1c .
о
( 18.58)
Подставив сюда выражение (18.57), найдем
3aV 0 213 [( L ) 713 ]
'l'\coag == wj3 1 + и 1 .
(18.59)
Без учета Koary ляции КЭ в рассматриваемом приближении
'1'\ == a-V 0 2 13 jUD.
( 18.60)
Составим ОТНОllIение приведенных коэффициентов эффективности:
Е == I1coag == зи [( 1 + L ) 713 1 ] . (18.61)
11 7 Lj3 И
Из выражения (18.60 следует, что влияние коаrуляции капель на КЭ ce
паратора определяется параметром pL / u. наиБолыlIйй интерес представляет
зависимость от объемноrо содержания жидкой фазы W и скорости rаза u. Ис
пользуя выражения для р, л. о и V o == V av , найдем, что PL/ и UW. ДЛЯ xapaK
терных значений параметров D == 1 м; d == 0,1 м; Рс== 50 Kr /м 3 ; PL == 750 Kr /м 3 ;
r== 5 . 10 20 Дж; L == 10 2 Н/м; J.!c == 10 s Па. с; L == 3 м; W:::; Ю 3 w /иJ; и:::; 1 м/с
получим PL/ и 0,3. Малое значение этоrо параметра позволяет принять
2j3L
E;::;1+ .
зu
( 18.62)
Таким образом, при учете коаrуляции капель в сепараторе КЭ ПОВЫllIается
на величину, равную 2pL'I'\ / 3 U. Основное влияние оказывают скорость потока и
31* 483
11
1,0
0,5
О
0,25
0,50
U, м/с
1 м 3 смеси при рабочих условиях, то
температуры:
Рис. 18.9. Зависимость 1'\ roрИЗОНТllJIЬиоrо rpa
витациошlOro сепаратора от скорости rаза И:
1 без учета коаryляции; 2 с учетом коа-
rуляции при W 5.10 3 м 3 /м 3
и объемное содержание жидкости W.
ДЛЯ приведенноrо выше при мера KO
ary ляция оказывает заметное влияние
на КЭ лишь при W;?: 10 3 м 3 /м 3 И
и;?: 1 м/с. Однако при таких CKOpO
стях потока эффективность rравита-
ционноrо сепаратора практически paB
на нулю и учет Koary ляции не MO
жет ero заметно увеличить. Следует
принять во внимание, что поскольку
объемное содержание определено как
объем жидкой фазы, приходящийся на
величина W зависит от давления и
W = w: 293р
п zT '
( 18.63)
[де z сжимаемость rаза; W n объемное содержание жидкости при нормаль-
ных условиях.
Это означает, что при фиксированных значениях W n (именно этот пара-
метр используется на практике, ero называют конденсатным фактором) объем
ное содержание жидкой фазы W увеличивается с ростом давления и уменьше
нием температуры. При этом растет и скорость коаrуляции капель. На рис. 18.9
показана зависимость КЭ rоризонтальноrо rравитационноrо сепаратора от CKO
рости потока и в сепараторе с учетом и без учета Koary ляции капель. Посколь
ку в rравитационных сепараторах скорость не превосходит 0,3 м/с, то из
приведенных оценок можно сделать вывод, что Koary ляция оказывает незначи
тельное влияние на КЭ сепаратора и при проведении расчетов коаrуляцию
можно не учитывать.
18.6. ВЛИЯНИЕ КРИВИЗНЫ СТЕНОК СЕПАРАТОРА
НА КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ
До рассматриваемоrо момента для просто ты расчетов КЭ сепаратора мо-
делировался объемом прямоуrольноrо поперечноrо сечения. Очевидно, что по-
добное приближение не скажется на КЭ вертикальноrо аппарата. Однако для
rоризонтальноrо сепаратора подобное утверждение неочевидно.
Рассмотрим осаждение капель в rоризонтальном сепараторе круrлоrо по-
перечноrо сечения. Пусть rаз движется в трубе диаметром D с постоянной по
сечению скоростью, равной среднемассовой скорости U. Разобъем сечение трубы
на т вертикальных полосок одинаковой ширины Д. Высота каждой полоски z
зависит от ее расстояния от оси трубы
0= 2(0,SD2 o2)1I2 (18.64)
484
Т а б л и ц а 18.2
Коэффициент эффективности rоризонтальиоrо сепаратора
Скорость и, м/с
Сечение
0,086 0,13 0,23 0,3 0,4 0,5
П рямоуrольное 0,99 0,97 0,64 0,4 0,2 0,12
Круrлое 0,99 0,97 0,69 0,46 0,25 0,14
Разобъем теперь внутреннюю область трубы на rоризонтальные слои
плоскостями, параллельными оси трубы. Каждый такой слой можно paCCMaT
ривать как rоризонтальный сепаратор прямоуrольноrо поперечноrо сечения,
КЭ KOTOporO '11/ нетрудно определить. Для определения КЭ Bcero сепаратора
нужно проинтеrрировать '11/ по Б. В табл. 18.2 приводятся результаты pac
чета КЭ rоризонтальноrо rравитационноrо сепаратора прямоуrольноrо и
KpyroBoro поперечноrо сечения при следующих значениях параметров:
р == 5 МПа; /-I-e == 1,2 . 10 5 Па. с; Ре = 40 Kr /м 3 ; PL == 750 Kr /м 3 ; d == 0,1 м;
L == 10 2 Н/м. Из приведенных результатов следует, что кривизна стенок
приводит к увеличению КЭ сепаратора, но это увеличение незначительно.
Таким образом, кривизна стенок оказывает заметное влияние на КЭ
сепаратора только при относительно больших скоростях потока, при KOTO
рых эффективность сепарации мала. Поскольку эта область скоростей не
представляет практическоrо интереса, то можно сделать вывод, что для
практических расчетов сепаратор можно моделировать объемом прямоуrоль
Horo сечения.
18.7. ВЛИЯНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ УСТРОЙСТВА
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ КОНДЕНСАЦИИ ДО СЕПАРАТОРА
НА КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ
Выше были подробно рассмотрены процессы, про исходящие в устройствах
предварительной конденсации (УПК), в подводящем трубопроводе и в сепара
торе. Было показано, что эффективность сепарации существенно зависит от
поведения rазожидкостной смеси во всех трех элементах технолоrической cxe
мы. Рассмотрим теперь вопрос о влиянии взаимноrо расположения этих эле
ментов. В частности, важным параметром является расстояние от УПК до
сепаратора.
При прохождении rазожидкостной смеси через УПК (дроссель, тепло
обменник или турбодетандер) в результате понижения температуры и дaB
ления в потоке образуются мелкие капли (туман), размер которых HaMHoro
меньше минимальноrо радиуса капель, xapaKTepHoro для сепаратора. Если
УПК поместить у входа в сепаратор, то образующиеся капли не уловятся
сепаратором. Для эффективноrо осаждения их необходимо укрупнить. YK
рупнение капель начинается непосредственно в УПк. Однако малое время
пребывания в УПК не позволяет им укрупниться до нужноrо размера и
дальнейшее укрупнение капель происходит в трубопроводе, соединяющем
УПК и сепаратор. Ранее было показано, что основным механизмом укруп
нения капель в трубопроводе является их Koary ляция в турбу лентном по
токе rаза. Для этоrо им необходимо достаточно большое время, которое
485
зависит от параметров потока, диаметра трубопровода, термобарических yc
ловий и свойств фаз. В то же время капли не MorYT неоrраниченно YBe
личиваться в размерах, поскольку при заданных параметрах потока и TPy
бопровода существует критический размер капель, при превышении KOTOporO
они начинают дробиться. Зная закон укрупнения капель и максимально
возможный размер, можно определить такое расстояние от УПК дО сепара
тора, чтобы капли успели укрупниться до максимально возможноrо размера.
В процессе коаrуляции размер капель увеличивается по закону (18.57).
Для характерных значений параметров PG = 50 Kr / м 3 ; W = 5 . 1 0 3 м 3 / м 3 ;
r = 5 . 1 0 20 Дж; "'о = 1 0 6 М имеем (3t» 1. Это неравенство позволяет запи
сать закон изменения среднеrо объема капель в виде
64w 2 п 2
у""
3л 1tРG
Заметим, что для t» 1 /(3 размер капель не зависит от начальноrо раз
мера.
Потребуем, чтобы конечный размер капель был равен среднему размеру Rcr
[см. (14.14)], формирующемуся в турбулентном потоке в трубе. Используя
выражение Y av = 41tR r/3 и соотношение (14.5) для "'о и полаrая t = L/ и,
получаем требуемое расстояние от УПК дО сепаратора
1-13/4 (2L)9/14 d31128
L = 0021 G (18.66)
, rll2pf1U29128pr8w'
( 18.65)
Расстояние L уменьшается с увеличением скорости потока и и с YMeHЬ
шением диаметра d трубопровода. Это объясняется тем, что увеличение и и
уменьшение d при водит , с одной стороны, к уменьшению среднеrо размера
капель в потоке, а с друrой к повышению скорости коаrуляции капель.
Оценим возможные значения L. Пусть перед сепаратором расположен
дроссель. За дросселем давление р = 10 МПа; температура Т = 273 К; скорость
rаза в трубопроводе и = 1 О м/с; диаметр трубопровода d = 0,4 м; плотность
жидкости и rаза соответственно PL = 750 Kr /м 3 ; PG = 100 Kr /м 3 ; коэффициент
поверхностноrо натяжения жидкости L:= 5 . 10 3 Н/м; коэффициент вязкости
I-tG = 10 5 Па. с; объемное содержание жидкой фазы в потоке w= 5,5 . 10 3 м 3 /м 3 ;
постоянная [амакера r = 5 . 1 0 20 Дж. При этих значениях пара метров из BЫ
ражения (18.66) имеем L:= 90 м. При тех же значениях параметров YMeHЬ
шение диаметра трубопровода до d = 0,2 м приводит к снижению значения L
до 11 м, но при этом уменьшается минимальный размер капель, осаждающихся
в сепараторе, а следовательно, уменьшается КЭ сепаратора.
Таким образом, расстояние от УПК дО сепаратора следует выбирать такое,
чтобы, с одной стороны, оно было не слишком большое, а с друrой чтобы при
этом не уменьшился КЭ сепаратора.
Приведенные данные соrласуются с результатами экспериментов [53],
в которых определялось оптимальное расстояние от дросселя до сепаратора,
при котором КЭ становится максимальным.
19
ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАЗДЕЛЕНИЯ
fАЗОЖИДКОСТНЫХ СМЕСЕЙ В СЕПАРАТОРАХ
С КАПЛЕУЛОВИТЕЛЬНЫМИ НАСАДКАМИ
fравитационные сепараторы обладают небольшой эффективностью и малой
производительностью по rазу. Для повышения производительности и эффек
тивности работы нужно увеличивать их rабариты или оборудовать сепараторы
дополнительными каплеуловительными секциями, способными улавливать мел
кодисперсную составляющую rазожидкостноrо потока, не успевшую осесть в
осадительной секции. Обзор конструкций каплеуловительных секций coдep
жится в разделе 1. Наибольшее распространение получили следующие виды
каплеуловительных секций: жалюзийные, центробежные, сетчатые и струнные.
В этих секциях отделение жидкости от rаза происходит в основном за счет сил
инерции, поверхностных сил, а также rидродинамических сил. Отметим, что
большинство сепараторов, оборудованных каплеуловительными секциями, пред
став ля ют собой вертикальные аппараты.
Сепаратор схематично можно представить состоящим из двух последова
тельно соединенных секций: осадительной и концевой каплеуловительной.
Процесс разделения смеси в таком сепараторе можно представить следующим
образом. На вход сепаратора поступает rазожидкостная смесь с известным
распределением капель по радиусам no(R) (рис. 19.1). в осадительной секции,
которая характеризуется своим минимальным радиусом капель R т , удаляются
все капли, радиус которых R> R т , В осадительной секции rоризонтальноrо
rравитационноrо типа кроме этих капель из потока удаляется также часть
капель размером в интервале О < R < R m (rоризонтально заштрихованная об
ласть на рис. 19.1). fазожидкостная смесь, освобожденная от крупных капель,
попадает в концевую секцию, оборудованную каплеуловительными насадками,
которая может характеризоваться своим минимальным радиусом R ml < R nI ,
В итоrе от распределения капель по радиусам отсекается дополнительная часть
(вертикальная штриховка) и на выходе сепаратора остается небольшая часть
распределения с 0< R < R ml . Как будет показано в дальнейшем, минимальный
радиус капель существует не для
всех типов насадок, поэтому BBeдe
ние R ml является условным. п
Если известны передаточные
функции секций, то коэффициент
уноса и коэффициент эффективнос
ти сепаратора MorYT быть определе
ны по формулам (18.3) и (18.6).
в разделе 18 были получены
по
Рнс. 19.1. Распределение капель по pa
диусам
R m !
R m
R
487
выражения для КЭ rpавитационных сепараторов, которые можно рассматривать
как КЭ осадительной секции '111' Здесь 6удут рассмотрены процессы сепарации
в каплеуловительных насадках и получены соответствующие выражения для 112.
19.1. КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ
С ЖАЛЮЗИЙНОЙ НАСАДКОЙ
Рассмотрим вертикальный сепаратор, состоящий из двух секций: rравита
ционной осадительной и каплеуловительной, 060рудованной жалюзийной Hacaд
кой, ориентированной по направлению силы тяжести перпендикулярно плоско
сти рисунка. Жалюзийная насадка (рис. 19.2) представляет с060Й пакет rоф
рированных пластин, расстояние между которыми равно ho. Как правило, зна
чение ho 6ерется постоянным. Центральный уrол rофр составляет 2«>" причем
i == О соответствует уrлу во входном сечении. Между смежными пластинами
06разуются зиrзаrо06разные каналы для прохода rаза. Поток rаза с некоторым
распределением капель по радиусам поступает на вход жалюзийной насадки.
Скорость rаза на входе равна U. Предположим, что осаждение капель на
стенках канала происходит в основном за счет инерции капель, скорость потока
в сечении насадки однородна и параллельна стенкам, капли малы, поэтому сила
сопротивления стоксовая. Анализ уравнений движения капли радиуса R
показывает, что передаточная функция насадки зависит от числа Сток са
S == 2R2 pL U /9Ll-tc, характеризующеrо инерцию капли, и от rеометрических па
раметров а о == ho/ L, «>0' «>1'"'' «>п' rде n число изrи60В. Определяя траектории
капель, можно найти передаточную функцию жалюзийной насадки
п
Ф(R) == П(l А,).
,=0
(19.1 )
Параметры А" характеризующие интенсивность осаждения капель радиуса
R на стенках насадки,
и
и
Рис. 19.2. Схематичное изображение жалюзийиой насадки
488
(!)g
Ао == s c g 1/>0 (1 e 11S );
о
А I == S ctg 1/>1 (1 e 11S );
[ао ctg 1/>0 S (1 e VS)]
А, == s (ctg 1/>, ctg 1/>' 2) (1 e llS) (i 2).
(ао (ctgl/>H ctgl/>' 2)S (1 e VS»)
Минимальное число Стокса и соответствующий минимальный радиус капель
для каждоrо изrиба определяется из условия А, == 1. Для Toro чтобы минималь
нЫй радиус капель убывал с увеличением номера изrиба, необходимо, чтобы
убывал yrол наклона «>, с ростом i. В противном случае капли будут осаждаться
только на первых двух изrибах. В рассматриваемом случае при «>0> «>1 > ...> «>n
наименьшее значение минимальноrо радиуса капель достиrается на последнем
изrибе. При выполнении неравенства а о < 0,4 (ctg «>n + ctg «>n ) получим следую
щее приближенное выражение для минимальноrо числа Стокса:
S 00
т
ctg I/>n + ctg I/>n 1
(19.2)
Для значений ho == 0,01 м; L == 0,025 м; ctg «>, == (6 + i) 112; PL == 650 Kr 1м3;
И == 1 M/c; I-te == 10 s Па. с; n == 7 получим Sm == 0,19. Используя выражение
для числа Стокса, найдем минимальный радиус улавливаемых капель R m == 1,8 х
х 10 S м == 18 мкм. Для улавливания капель радиусом 10 мкм при тех же зна
чениях параметров нужно взять n == 35. Уменьшение R m может быть достиrнуто
увеличением скорости И, а также изменением rеометрических параметров.
В частности, сужение поперечноrо сечения и уменьшение yr ла наклона стенок
способствует более эффективному улавливанию капель. В качестве примера
расчета КЭ сепаратора с жалюзийной насадкой рассмотрим вертикальный ce
паратор со следующими значениями параметров: диаметр аппарата D == 1,6 м;
диаметр подводящеrо трубопровода d == 0,3 м; давление р == 13 МПа; темпера
тура т == 293 К; плотности жидкости и rаза PL == 615 Kr 1м3, Ре == 143 Kr 1м3;
вязкость rаза I-te == 1,73 . 10 s Па . с. На
рис. 19.3 показана рассчитанная за
висимость КЭ сепаратора от расхода 11
rаза Q при нормальных условиях.
Сравнение с аналоrичной зависимос
тью (см. рис. 18.4) показывает, что
u tO
жалюзииная каплеуловительная ceK
ция увеличивает КЭ сепаратора. Сле
дует заметить, что повышение CKOpO
сти потока сверх критическоrо значе
ния может привести к срыву капель
с поверхности жидкой пленки, обра
зующейся на стенках жалюзей, и тем 0,9
самым к дополнительному уменьше
нию эффективности сепарации. Зна
чение критической скорости обычно
устанавливают экспериментально.
Рис. 19.3. Зависимость коэффициента эф
фективности сепаратора с жалюзийиой Ha
садкой от расхода rаза
0,8
О
J
2
3
4 5 6
Q, млн м 3 /сут
489
19.2. КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ
С МУЛЬТИЦИКЛОННОЙ НАСАДКОЙ
Дополнительная секция, оборудованная центробежными патрубками (муль
тициклонами), устанавливается, как правило, в верхней части вертикальноrо
сепаратора на rоризонтальной платформе. Каждый патрубок представляет co
бой цилиндр, на входе KOToporo поток закручивается специальным устройством.
В зависимости от способа закрутки потока патрубки делятся на танrенциаль
ные и осевые. В первом типе поток подается по касательной к стенке через
специальные прорези в стенке патрубка, а во втором поток закручивается на
входе обтекателем со специальными лопатками, установленными под определен
ным yr лом к потоку.
Рассмотрим движение rазожидкостной смеси в патрубке, который будем
моделировать цилиндром радиуса Rc и длиной Lc. Примем, что скорость rаза
имеет две составляющие: осевую V z и танrенциальную Vq>' Радиальная COCTaB
ляющая скорости rаза мала по сравнению с V z и Vq>' и в первом приближении
ее влиянием на процесс осаждения капель на стенке патрубка можно пренеб
речь. Предполаrая, что поток rаза набеrает на насадку с центробежными пат
рубками равномерно по сечению аппарата, можно найти среднюю продольную
скорость rаза в патрубке
S1
V z == и S2 '
( 19,3)
rде и средняя скорость rаза в осадительной секции; 51 и 52 площади
рабочих сечений осадительной и концевой секций.
Рассмотрим движение капли радиуса R в центробежном патрубке. По
скольку крупные капли отделились от rаза в осадительной секции, то в патруб
ке движутся относительно мелкие капли, сопротивление которых подчиняется
закону Стокса. Пренебрежем также силой тяжести. Сделанные предположения
позволяют представить уравнения движения капли в виде
4 du z 4 6 ( )
7r.RЗРL == 7r.RЗtiрg 7r.llcRlJ.z Vz ,
3 dt 3
4 du, 4 и
7r.RЗ РL == 67r.I' C RlJ. + 7r.RЗ РL
3 dt r r 3 r '
4 ( dUq> и,иЧJ ) б R( )
7r. R 3 PL + == п" с lJ. V
3 dt r r q> 'Р'
(19.4)
rде lJ.z, и , И ич> составляющие скорости капли.
Оценим порядок величины инерционных членов в левой части уравнений
(19.4). Имеем
4 тr.R 3 dUZ /6 R 2R2 pLVz .
Е! 3 PL dt ТCllc V z 9LcIlC'
4 du r / 2R2PLVz
1>2 == 7r.R З р L d 6ТCIlCRlJ.r 9 ;
3 t LcJ.lc
4 тr.RЗ ( dUq> urUq» /6 R 2R2PL ( VZ иу )
1>3 PL + 7r.llc lJ. + .
3 dt r q> 9J.1c Lc r
Для характерных значений параметров PL 750 Kr / М З ; V z 5 м/с;
Ilc 10 S Па. с; L c ;?:0,3 м; R 2.10 S м имеем I>1==I>2 O,1. Это означает, что
490
инерционные члены в левой части первых двух уравнений (19.4) малы и
ими можно пренебречь. При этом Ur/r 2R2 PL (j)2/9J..LG' [де (j) уrловая CKO
рость закрутки потока на входе патрубка, и
2 R2PL ( V Z 2R2PLOO2 )
I>з + .
9!-1G Lc 9!-1G
Отсюда следует, что 1>3 S 0,1 при (j) s 50 C I.
Таким образом, при скоростях закрутки потока (j) s 50 c 1 уравнения дви
жения капель, радиус которых R s 2 . 10 5 м, а именно такие капли поступают
на вход центробежных патрубков, имеют вид
6 R( dZ ) 4пR3l1рg
1tJ..LG и . dt 3 '
6п R dr = 4пR3РLgv .
J..LG dt 3r' и", = и",;
z(O) = о; r(O) = ro (о < ro < R).
Как уже отмечалось, центробежные патрубки бывают двух типов: осевые
и танrенциальные. Принципиально они отличаются способом ввода смеси. Кроме
Toro, от конструкции патрубка зависит профиль танrенциальной составляющей
скорости rаза v",(r) [54, 55]. Объединим рассмотрение патрубков обоих видов,
предположив, что каждый из них характеризуется значением среднеrо уrла
закрутки потока <р. Для осевorо патрубка ero можно считать равным уrлу
закрутки потока на входе <Ро, а для танrенциальноrо патрубка q>t можно опре
делить следующим образом. Обозначим через L ap , h ap и пар высоту, ширину и
число танrенциальных прорезей в нижней части стенки патрубка. Средняя
танrенциальная скорость rаза, поступающеrо через прорези,
и", = Q / NпaphapLap,
[де N число патрубков; Q расход rаза.
Средний уrол закрутки потока q>av можно оценить из соотношения
t v", п(Rl Rl>
g q>av V h L .
z Пар ар ар
(19.5)
( 19.6)
(19.7)
в числителе выражения (19. 7) площадь кольцевorо сечения закручен
Horo потока в патрубке, а Rt = п ap h ap /2 внутренний радиус этоrо сечения.
В работах [54, 55] показано, что в осевых патрубках танrенциальная co
ставляющая скорости в зависимости от конструкции завихрителя определяется
выражением
v",=Cr k . (19.8)
При k = 1 поток закручивается по закону постоянства циркуляции (по
тенциальное вращение), при k = О обеспечивается постоянство yr ла закрутки по
радиусу, а при k = 1 закрутка осуществляется по закону твердоrо тела (квази
твердое вращение). Для реализации законов вращения (19.8) лопатки завих
рителя на выходе должны иметь определенную зависимость yr ла закрутки от
радиуса. Вопрос о законе для танrенциальноrо патрубка остается открытым и
требует экспериментальной проверки.
Оrраничим выбор зависимостей (19.8) условием сохранения среднеrо
значения TaHreHca уrла закрутки потока
Rc
tgq>=+ frv",dr
тtR c V z о
(19.9)
491
в предположении, что осевая составляющая скорости остается постоянной. Из
условия (19.9) находится постоянная С, входящая в (19.8),
с = (k + 22) V z tgq> (k > 2).
2Rc
Рассмотрим теперь уравнения движения капли
dz . dr 2PLR2v .
dt V z иSI dt 91!GT '
( ) ( ) 2!!.pgR2
z 0=0; r О =То; Us= '
радиуса R в патрубке:
(19.10)
Критическая траектория капли соответствует такому значению то, при
котором капля на выходе патрубка попадает на стенку т = Rc. Из решения
уравнения (19.1 о) находим критическое значение То
[1 (1 k)(k+2)2PLR2vztg2<pLc ] 1/(I k) k 1
при *- ,
9J.1 G Rl (1 Uso/V z )
[ P LR2vzLctg2<p ]
ехр
9J.1 G Rl(1 Uso/v z )
( : Y
(19.11)
при k = 1.
Минимальный радиус капель R ml определяется из уравнения (19.11) при
условии То = О. Очевидно, R ml существует лишь при значениях k < 1. Коэффи
циент эффективности патрубка
rде W OI и
патрубка.
Заметим, что в случае, коrда минимальный радиус не существует, то Bepx
ний предел интеrрала в выражении (19.12) следует заменить на R"" rде Rm
минимальный радиус капель в осадительной секции. Объемное содержание
капель W OI на входе патрубка равно объемному содержанию капель на выходе
осадительной секции, поэтому
R m l 2
1 fR З (R) i dR
'I1 р ЭW; nОI 2 '
01 Rc
о
no l (R) объемное содержание и распределение
(19.12)
капель на входе
Rm
W OI =.! f RЗnо(R)dR.
3 о
Заметим еще, что продольная скорость потока в патрубках большая
(Vz 1 м/с), поэтому для всех капель, поступающих в патрубок, выполняется
неравнество U s « V z .
Рассмотрим теперь различные законы закручивания потока (19.8)
1. Постоянный уrол вращения по радиусу (k = о).
Имеем
(19.13)
v =vztgq>; Rml=( 4р::z::;g2<р )И; ( J 2 =[1 ( J 2J
ИЗ уравнения (19.12) находим КЭ патрубка
'т1
1 exp( 3cr2) f 2(1 4 2) [ I n2(z/zl) ]d
1"1 = z y z ех р z
. Ip ..п;; cr 9 2cr 2 '
О
(19.14)
492
Zm! == ( 4 J 1/2; y == R v:: ;g2fP
2. Квазитвердое вращение (k == 1).
в рассматриваемом случае находим
3r t ( ro ) 2 ( R2vzLCPLtg2q»
V 2R V z g <р, ехр 2'
с Rc J.lGR c
КЭ рассматриваемоrо патрубка
2 т
1 exp( 3a2) f 2 [ 2 I n2(Z/ZI) ]d
11р {;;""'" z ехр у z 2 2 Z.
,,2п cr cr
О
3. Потенциальное вращение (k == 1).
09.15)
V == V z tgq>;
R ( 9J.1GRl ) 1/2. ( ) 2 == [ 1 ( DR. ) 2 ] 1/2
т1 2р LV z L c t g 2 <p ' .l"C ..I"1п,
КЭ патрубка
'т! ) 1/2 [ ]
1 exp( 3a2) J 2 (1 2 2 In2(Z/ZI) d
11р == r;::---- z ехр 9 Y z ехр 2 Z,
,, a
, о
(19.16)
( ) 1/2
Zml ==
2y
Зависимости КЭ oceBoro патрубка от параметра у, для различных законов
закрутки (различные k) потока показаны на рис. 19.4, а. В области y » 1
наибольшей эффективностью обладает патрубок с завихрителем, обеспечивающим
вращение потока с постоянным yrлом закрутки (k == О). С увеличением параметра y
различие между КЭ патрубков с разJlliЧными законами вращения потока YMeнь
шаются. Заметим, что для характерных значений параметров в rазовых патрубках
а
11
1,0
б
1')
1,0
1
0,9
0,5
0,8
О
5
10 y о
0,5
1,0 y
Рис. 19.4. Зависимости КЭ центрооежноrо патрубка rазовоrо ЦИКJlоиа (о) и
rидроциклоиа (6) от параметра У. для разJlИЧИЫХ зиачений k:
1 1; 2 о; з 0,5; 4 2; 5 1
493
(циклонах) практически всеrда выполняется неравенство У'Р » 1. Поэтому КЭ
rазовых циклонов мало чувствителен к изменению закона вращения потока.
Для rидроциклонов, в которых плотность дисперсной фазы больше плотно
сти сплошной фазы, У'Р < 1, и их КЭ (рис. 19.4, 6) мал и существенно зависит от
профиля танrенциальной скорости потока. Из трех рассмотренных законов Bpa
щения наибольшую эффективность обеспечивает квазитвердое вращение потока.
Рассмотрим теперь танrенциальный патрубок, для KOToporo уrол закрутки
оценивается соотношением (19.7). Повторяя изложенные выше рассуждения,
нетрудно найти выражение дЛЯ КЭ
2 т 1
1 exp( 3a2) J 2 ( 1 2 2 ) [ ln2(Z/ZI) ] d
'I1P ..j2; cr Z S 9 У 'PtZ ехр 2а 2 Z,
О
rде s =: Rt/ К; Y'P t =: У'Р/(1 R; /R;).
Если конструкция танrенциальноrо патрубка такова, что naphap =: 2Rc, то
s =: О, И расчет КЭ танrенциальноrо патрубка про изводится так же, как и КЭ
oceBoro. Отличие состоит только в определении уrла закрутки потока.
Исследуем теперь зависимости КЭ вертикальноrо сепаратора, оборудован
Horo центробежными патрубками (мультициклонами) от различных парамет
ров. Наибольший интерес представляют зависимости от термобарических усло
вий (давления и температуры), rеометрических параметров (диаметра подводя
щеrо трубопровода, длины патрубков), а также от расхода rаза.
КЭ сепаратора с ростом давления сначала увеличивается, а затем уменьша
ется. Максимальное значение КЭ достиrается при р =: 3 4 МПа (рис. 19.5).
'11
1,00
1
0,99
2
0,98
0,97
О
8
р,МПа
4
Рис. 19.5. Зависимость 1'\ сепаратора с таи
rеициальиыми центробежными патрубками от
давлеНИJI для различных зиачений расхода raза
Q, м.ли ,.r /еут (п 1,6 м; d 0,35 м; Т О .С;
N 92; L. 0,3 м; 2R. 0,1 м; L. p 0,075 м;
h. p 0,005 м; п. р 20):
1 5; 2 9; 3 12; 4 15
.t9.t
(19.17)
т"1
1,0
0,9
0,8
0,7
О
20
Q, млн М 3/ сут
Рис. 19.6. Зависимость 1'\ сепаратора с таи
rенциальиыми центробежиыми патрубками от
расхода rаза Q, илн м З / сут для различных
значеиий d, м (р 10 МПа, остальиые пара
метры те же, что на рис. 19.5):
1 0,4; 2 0,3
10
Рис. 19.7. Зависимость 11 сепаратора с TaнreH т"1
цизльными центробежными патрубками от дли-
ны патрубков Lc ДЛЯ различных зиачеиий pac 1,00
хода raзa Q, млн,.r jcyт (п 0,4.5 м; d 0,15 м;
T 10.C; N 7; 2Rc 0,1 м; р-=3 МПа):
1 1; 2 2; 3 3 0,99
0,98
У величение расхода rаза (он берется
при нормальных условиях) приводит к
уменьшению КЭ сепаратора (рис. 19.6). 0,97
Давление влияет на расход rаза при
рабочих условиях, на плотность rаза
и коэффициент поверхностноrо натя- 0,96
жения капель. От перечисленных па-
раметров зависит размер капель, по- 0,95
ступающих в сепаратор. Увеличение
давления приводит к уменьшению рас-
хода rаза и коэффициента поверхно- 0,94
CTHoro натяжения. Снижение расхода,
в свою очередь, приводит к росту сред- 0,93
Hero радиуса капель, формирующихся 0,15
в трубопроводе, и центробежной си-
лы в патрубках. Однако при сниже-
нии расхода уменьшается скорость rаза,
а следовательно, и центробежная сила. В результате взаимодействие этих
факторов при водит к снижению КЭ сепаратора с расходом rаза. Коэффи
циент поверхностноrо натяжения сначала заметно уменьшается с ростом
давления до 9 МПа, а при р 9 МПа изменяется слабо. Поэтому увеличение
давления сначала уменьшает средний размер капель, а затем оказывает на
Hero незначительное влияние. Это приводит к немонотонному изменению
КЭ. Следует отметить, что без учета осадительной сеКЦИИ КЭ центробежных
патрубков имеет максимум в области малых расходов. Поскольку в этой
области высок КЭ осадительной секции, то КЭ Bcero сепаратора монотонно
убывает с увеличением расхода rаза.
Изменение температуры несущественно влияет на КЭ сепаратора. Измене-
ние диаметра подводящеrо трубопровода оказывает такое же ВЛИЯНие, как и в
rравитационных сепараторах.
Увеличение длины патрубков тоже приводит к повышению КЭ сепаратора
(рис. 19.7).
0,23
0,35
Lc, м
19.3. КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ
СО СТРУННОЙ НАСАДКОЙ
Блок CTpYHHoro каплеуловителя состоит из набора сепарирующих пакетов
(секций), каждый из которых изrотовлен в виде ряда рамок с натянутыми на
них нитями из проволоки, нейлона и т. п. Нити ориентируются параллельно
силе тяжести и перпендикулярно потоку rаза. Рамки и пакеты соединены пос
ледовательно.
Как и ранее, под коэффициентом эффективности (КЭ) будем понимать
4.95
отношение количества (объема) жидкой фазы, задержанной каплеуловителем, к
количеству жидкой фазы на входе каплеуловителя:
'11 = = 1 Qout = 1 К, ( 19.18)
Qiп Qiп
rде К коэффициент уноса.
Величина '11 зависит от скорости rаза, объемноrо содержания и дисперсно
сти жидкой фазы, rеометрических размеров каплеуловительной секции, давле
ния, температуры и т. д.
Обозначим через K i коэффициент уноса i й рамки. Поскольку в пакете
рамки соединены последовательно, то соrласно (18.5) КЭ пакета, состоящеrо из
N рамок,
N
'I1=1 ПКi'
(19.20)
Аналоrично КЭ блока, содержащеrо М пакетов,
;=1
'11==1 П ( fI Кij ) ,
j=1 i=1
(19.21)
Здесь через Кц обозначен КЭ i й рамки в j M пакете.
Если все рамки и пакеты одинаковы, то Кц == К и КЭ блока
'11 == 1 KMN.
b
tи
4.96
( 19.22)
Таким образом, для определения КЭ
струнной каплеуловительной секции достаточ
но знать КЭ одной рамки К.
Рамка представляет собой ряд параллель
ных цилиндрических струн диаметром
d l == 0,3 0,5 мм, находящихся на расстоянии
l==2 3 мм. Отметим, что dJ21« 1. Малая
величина этоrо параметра означает, что coceд
ние струны не оказывают заметноrо влияния
на картину обтекания одной струны потоком
rаза, и достаточно рассмотреть осаждение Ka
пель на одном цилиндре, а потом перейти к
рассмотрению всей рамки.
Итак, рассмотрим осаждение капель за
данноro размера на одном цилиндре (рис. 19.8).
Механизм осаждения капель зависит от режи
ма течениЯ, а также от отношения радиуса
капель R к радиусу цилиндра Те = dJ2. Oцe
ним число Рейнольдса при обтекании потоком
rаза струны. Для характерных значений
U=2,S 10 м/с; rc=(1,S 2,S)'10 4 м;
f..tG = 10 5 Па' с; PG == 50 Kr /м 3 имеем Re = 375
2500. Набеrающий на цилиндр поток rаза
может иметь ламинарный характер, однако за
Рис. 19.8. Осаждеиие капель иа цилиидре
цилиндром может возникать турбулентный след, вызванный срывом поrранич
Horo слоя. Большие значения числа Re означают, что захват капель цилиндром
имеют инерционный характер и может быть рассмотрен в рамках инерционноrо
механизма, paccMoTpeHHoro в разделе 10.5. При обтекании цилиндра потоком
траектории движения капель за счет их инерции отклоняются от линий тока,
и они осаждаются на поверхности цилиндра. Эти отклонения тем больше, чем
больше размер капель. Для сравнительно крупных капель их траектории близки
к прямым линиям. Коэффициент эффективности одноrо цилиндра при захвате
крупных капель определяется по формуле
'I1e == (r e + R)(0,S1 + rC>. (19.23)
В то же время очень мелкие капли, инерция которых мала, следуют за
линиями тока. В этом случае КЭ зхвата таких капель с учетом их зацепления
'I1c == 2rj 1. (19.24)
Действительное значение КЭ лежит между этими двумя значениями, и
может быть определено при рассмотрении движения капель при обтекании
цилиндра.
Рассмотрим осаждение капель одинаковоrо радиуса из потока rаза при
поперечном обтекании цилиндра со скоростью и вдали от цилиндра. Предпо
ложим, что капли достаточно малы, поэтому для определения силы сопротивле
ния можно пользоваться формулой Стокса. Тоrда траектории движения капель
определятся уравнением
4п d 2 r ( dr )
RЗ Р L = 6п " GR и
3 dt 2 '" dt '
( 19.25)
rде
r радиус вектор центра капли.
В проекциях на радиальное и танrенциальное направления
d 2 r ( de ) 2 9Jla ( dr )
dfi = r di + 2R 2 Р L и т di '
r d 2 e = 2 dr de + ( иe r de ) .
dt 2 dt dt 2R2 PL dt
Введем следующие безразмерные переменные:
r ut S 4UPLR. V иT. ие
Х = ;;; 't = ;:; 9Jl G d , ' т и' Ve = u'
В новых переменных уравнения (19.26) примут вид
d 2 x ( de ) 2 1 ( dX ) .
d;2 х d. + S V T d. '
d 2 e dx de ( de )
x = 2 +S' Ve X '
d. 2 d. d. d. '
имеем
( 19.26)
( 19.27)
х(О)=Хо; 8(0)=80'
В правую часть системы уравнений (19.27) входит безразмерный пара
метр S число Стокса. Известно [56], что капли заданноrо размера не при
всех значениях S достиrают обтекаемоrо цилиндра. Существует такое критиче
ское значение SCP что осаждение на цилиндре возможно при S > Scr. Для потен
циальноrо обтекания цилиндра приближенное решение уравнений (19.27) дает
значение Scr = 0,0625. Однако при Re» 1 возле поверхности цилиндра обра
32 1461 497
зуется вязкий поrраничный слой толщины 8 rc/ , при водящий к более
сильному, по сравнению с потенциальным обтеканием, искривлению линий тока
вблизи поверхности. В итоrе траектории несколько отодвиrаются от поверхно
сти. Это значит, что число частиц, достиrающих поверхности в единицу времени,
уменьшается. Учет поля скоростей при наличии поrраничноrо слоя можно
сделать, если воспользоваться решением Блазиуса [57].
Траектории движения капель получаются интеrрированием уравнений
(19.27) при различных значениях координат начальноrо положения капель.
Все траектории MorYT быть разбиты на два класса: оканчивающиеся на поверх
ности цилиндра и оrибающие цилиндр. Траектория, разделяющая эти два клас
са, называется предельной. Она отстоит от прямой, проходящей через ось ци
линдра и параллельной скорости набеrающеrо потока вдали от цилиндра, на
расстоянии Ь. Очевидно, что поток капель, захватываемых цилиндром, пропор
ционален Ь. Назовем отношение Q8 == blrc безразмерным радиусом сечения за
хвата цилиндром капель радиуса R. Численное интеrpирование уравнений (19.27)
позволило получить зависимость Q8 от числа Стокса S (рис. 19.9). Если поле
скоростей соответствует потенциальному обтеканию цилиндра, то получается
зависимость (кривая 2), хорошо соrласующаяся с приближенным решением
(кривая 1) в области S> 1. При малых значениях числа Стокса отличие
заметно, причем критическое значение Scr == 0,1. Влияние поrраничноrо слоя
(кривая 3) при S> 10 незначительно, а при S < 1 существенно. В частности,
Scr == 0,25. Следовательно, минимальный радиус капель, захватываемых цилинд
ром, с учетом поrраничноrо слоя больше, чем в случае потенциальноrо течения.
Зависимость Q8 от S можно аппроксимировать следующим выражением:
Q8 == ( ) 2
S+A
( 19.28)
Постоянная А имеет следующие значения: 0,35 для потенциальноrо тече
ния, приближенное решение; 0,44 для потенциальноrо обтекания, численное
решение; 0,66 для обтекания с учетом поrраничноrо слоя, численное решение.
Теперь можно перейти к рассмотрению захвата капель рамкой. Коэффи
циент уноса рамки
K==1 .
l/rc + 2
Если капли имеют одинаковый радиус, то КЭ пакета
'11 == 1 ( 1 ) MN
l/rc+ 2
Для значений параметров, характерных для струнных насадок, выполняют
ся условия 2Ь 1(1 + 2r) «1 и MN» 1. При этом
'11 1 exp ( 2MN ) . (19.30
1/rc+ 2
Рассмотрим пример. Пусть PL == 750 Kr 1м3; I!G == 10 5 Па' с; R == 1,34 . 10 6 м;
rc == 5 . 10 4 м; 1 == 3 . 10 3 м; N == 10; М == 4. Тоrда S == 0,5; Q8 == 0,25 и '11 == 0,92.
Если на вход струнноrо каплеуловителя поступает rазожидкостная смесь с
объемным содержанием жидкости W o == 5 . 1 0 4 Kr I м 3 , то на выходе останется
W j == 0,2 . 1 0 4 Kr I м 3 . Зависимость '11 от скорости rаза и представлена на
рис. 19.10. Для выбранных значений параметров критическая скорость, т. е. CKO
498
(19.29)
(19.30)
QВ
11
1,0
1,0
0,5
0,5
О 0,1 Scr
1
10
100 S
О
5
и, м/с
Рис. 19.9. ЗавИСИl'!.Ость I!I от числа Стокса S:
1 потенциальное обтекание, приближенное
решение; 2 потенциальное обтекание, числен
ное решение; 3 обтекание с образованием по
rраничноrо слоя, чнсленное решение
Рис. 19.10. Зависимость 11 струииой
иасадки от скорости rаза и
рость, при которой S'" Scp равна U ;) '" 1,56 м/с. Это значит, что при и < U ;)
эффективность каплеуловительной секции практически равна нулю. Заметим,
что если размер капель различный, то критическое число Стокса нужно опре
делять по среднему р иусу капель.
Существование критическоrо числа Стокса означает, что струны не способ
ны улавливать капли, р иус которых меньше критическоrо
R "'07S ( J.l G d l ) l/2 (19.32)
cr , 2UPL
Из (19.32) следует, что при повышении скорости потока уменьшается
минимальный р иус захватываемых капель, а следовательно, увеличивается КЭ
CTpYHHoro каплеуловителя. Однако возрастание скорости может привести к
потере устойчивости пленки жидкости, образующейся на струнах, и к срыву с
ее поверхности капель, что уменьшит КЭ.
Таким образом, струнная насадка характеризуется двумя критическими
скоростями. Первая критическая скорость оrраничивает размер захватываемых
капель и определяется из условия Scr'" 0,25. Вторая критическая скорость
соответствует началу вторичноrо уноса капель с поверхности пленки жидкости,
образующейся на струнах. Оценим значение второй критической скорости.
Рассмотрим поперечное обтекание вертикальной цилиндрической струны
потоком rаза со взвешенными в нем каплями. Капли осаждаются на струне,
образуя ТОНКий слой стекающей жидкости. Толщина слоя увеличивается по
направлению силы тяжести. На некотором расстоянии от BepxHero основания
струны толщина пленки достиrнет для з анной скорости rаза критическоrо
значения, при котором устойчивость пленки нарушится, в результате чеrо воз
можно разрушение пленки и унос с ее поверхности капель. Направим ось х от
BepxHero основания струны вниз по направлению силы тяжести. Обозначим че
рез h толщину пленки. Скорость стекания жидкости по поверхности струны можно
оценить, приравнивая силу тяжести к силе вязкоrо трения. В итоrе получим
Их'" pL9h 2 /3I!L' (19.33)
32* 499
Для определения h по высоте струны запишем условие сохранения pacxo
да жидкости: расход через поперечное сечение стекающей пленки равен коли
честву жидкости, осаждающейся из потока rаза на струне до рассматриваемоrо
сечения:
2rchux = 2bUxW.
Подставляя в (19.34) выражение (19.33), находим
h = ( 3ЬJ.lLUWХ ) !/З.
rcPLg
( 19.34)
(19.35)
Для определения критической толщины h cr ' при которой возможен срыв
пленки, рассмотрим силы, действующие на нее при поперечном обтекании. Со
стороны rаза действует динамический напор, под действием KOToporo пленка
накапливается в кормовой части струны. Силы вязкоrо трения на стенке и
поверхностноrо натяжения на свободной поверхности препятствуют срыву.
Поэтому срыв возможен при выполнении неравенства
О 5 U 2 h > 7tJ.lL r c U
, pg + 2h .
(19.36)
Из (19.36) находим критическое значение толщины пленки
h cr = [ 1 + ( 1 + 27tpa r cJ.l L U3 ) 1/2 ] .
Ра И Р
(19.37)
Подставляя в (19.37) выражение для (19.35), находим расстояние X cr от
BepxHero основания струны, на котором возможен срыв пленки набеrающим
потоком
Х = PLgrc [( ) 3 ( 1 + 27tpa r cJ.lLU3 ) 1/2 ] 3
cr J.lLUWb Ра И2 2
(19.38)
Таким образом, для TOrO чтобы при обтекании струны потоком rаза OTCYТ
ствовал вторичный унос при заданных значениях параметров, входящих в правую
часть уравнения (19.38), высота струны не должна превосходить Xcr'
С ростом скорости rаза критическая высота струны уменьшается. Поэтому
один ряд струн недостаточен для эффективноrо улавливания капель из потока
rаза. Увеличение числа рядов струн приводит К тому, что при скоростях, б6ль
ших критической, последующие ряды улавливают из потока капли, которые не
задержались на предыдущих рядах. Поскольку каждый ряд струн улавливает
из потока часть жидкости, что приводит К последовательному уменьшению
объемноrо содержания жидкости W в rазе и росту X cr для каждоrо последу
ющеrо ряда, то с увеличением числа рядов струн критическая скорость rаза
будет возрастать.
Рассмотрим N последовательно расположенных рядов струн. Предполо
жим, что расстояние между рядами велико по сравнению с диаметром струн.
В таком случае возмущение поля скоростей при обтекании следующеrо ряда
со стороны предыдущеrо мало. Пусть W o объемное содержание жидкости
перед струнной насадкой, а x p критическая высота первоrо ряда струн.
Примем для расчета следующую модель. В области струны с О < Х < X ;)
часть капель осаждается на струне, в то время как при x p < Х < Н, rде Н
500
высота струны, все капли уносятся потоком. С учетом сделанноrо предполо
жения на второй ряд струн набеrает поток со следующим объемным coдep
жанием капель:
w== { W I при o<x<x :),
W; (1) Н
о при X cr < Х < ,
(19.39)
rдe
W I = W O ( 1 (bX :) » ) .
н 1 + 2rc
При этом условие сохранения расхода жидкой фазы примет вид
2rchux =2bUk:)w; +(x x :»Wo]. (19.40
Уравнение (19.41) с учетом выражений (19.33) и (19.40) позволяет найти
критическую высоту BToporo ряда струн
х(2) = х(1) + х(1) { 1 [ 1 bx p ]}
с, cr cr H(l+ 2r c)'
Повторяя рассуждения для последующих рядов, найдем критическую высоту
для произвольноrо ряда струн
{ N I [ (') ]}
X(k + 1) = х(1) + X(k) 1 П 1 ьх с : .
cr с, с, I = 1 Н (1 + 2rc)
(19.40)
( 19.42)
(19.43)
Из последнеrо соотношения следует, что расстояние от BepxHero основания
струны до точки срыва пленки увеличивается с ростом числа рядов струн. При
заданных значениях скорости потока и высоты струн число их рядов следует
выбирать из условия, чтобы на струнах последнеrо ряда не происходил срыв
пленки, т. е. чтобы выполнялось неравенство
(1) (N + 1) { N 1 [ Ь (i) ]}
X cr + 1 П 1 X cr 1.
н н i=1 Н(l + 2rc)
(19.44)
Число рядов струн, выбранное в соответствии снеравенством (19.44),
обеспечит безотрывный режим работы CTpYHHoro каплеуловителя.
Для определения критическоrо расхода rаза и КЭ сепаратора, оборудо
BaHHoro струнной каплеуловительной насадкой, необходимо предварительно
определить параметры rазожидкостноrо потока во всей системе, включающей
подводящий трубопровод, осадительную секцию и каплеуловительную насадку,
так же, как это было сделано ранее при расчете сепаратора с центробежной
насадкой. В итоrе получим следующие выражения дЛЯ КЭ вертикальноrо
сепаратора
( 3 2 ) Zmv ( ( 2 ) 2
1 ехр а 2 N Sav Z
1'\ = cr f z ехр f + 2 Savz2 + 0,66
l n 2 (Z/ZI» ) dZ
2а 2
( 19.45)
и для КЭ rоризонтальноrо сепаратора
501
Z",h ( 2 )
1 exp( 3a2) 2 1 1:Z
1'\ == Z ехр х
.j2;; cr f 1 + 0,032 Ar,Yv2 zЗ/2
( N ( Savz2 J 2 l n2(Z/Zl) ]d
х ехр Z
f + 2 Sav z2 + 0,66 2а 2 '
(19.46)
rДе Zmv И Zm/, безразмерные минимальные радиусы капель в осадительных
секциях соответственно вертикальноrо и rоризонтальноrо сепараторов;
Sov == 2UstPLRa/ /9 Grc; U st скорость В струнной насадке; Arav число Архиме
да, подсчитанное по среднему радиусу капель Rav, формирующихся В подводя
щем трубопроводе; Z 1 == ехр( a2); t безразмерное время пребывания смеси в
осадительной секции; {== l/rc.
Струнную насадку можно размещать как в rоризонтальном, так и в Bep
тикальном сепараторах. В rоризонтальном сепараторе насадку удобно располо
жить вертикально в сечении аппарата (рис. 19.11). При этом для сохранения
безотрывноrо режима требуется разделить насадку на секции, исходя из рассчи
танной критической высоты струн. Размещение насадки в вертикальном аппа
рате требует перестройки потока, что может привести к уменьшению рабочеrо
сечения насадки и увеличению в ней скорости потока сверх критическоrо зна
чения. Одним из перспективных способов увеличения производительности и
эффективности вертикальноrо сепаратора установка струнной секции на выходе
сепаратора, как показано на рис. 19.12. Малые rабариты CTpYHHoro блока по
зволяют использовать ero для переоборудования низкопроизводительных и
r
с>
r+ж
Ж
Рис. 19.11. Размещеиие струнной иасадки в rоризоитальиом сепараторе:
r rаз; Ж жидкость; сп секционирующие перerородки
502
r
Ж
r+ж
с;>
Рис. 19.12. Размещеиие струииой иасадки иа выходе вертикальиоrо
сецаратора
малоэффективных сепараторов, а также для очистки нефтяноrо rаза и rаза,
идущеrо на факел.
Расчеты КЭ сепараторов, оборудованных струнной насадкой, показали их
высокую эффективность в докритической области расходов rаза, поэтому OCHOB
ной интерес представляет определение критическоrо расхода rаза и ero зави
симости от различных параметров.
Рассмотрим rоризонтальный сепаратор со струнной насадкой, расположен
ной в ero поперечном сечении (см. рис. 19.11). Пусть площадь насадки COCTaB
ляет 2/3 площади рабочеrо сечения сепаратора. Выберем следующие значения
параметров: D = 1 м; d = 0,15 м; Р = 5 МПа; Т = 280 К; PL = 750 Kr 1м3;
Ре = 50 Kr Iw; L = 10 2 H/M; !-!L = 10 3 Па . с; d j = 5 . 10 4 м; 1 = 2,5 . 10 3 м. Hacaд
ка СОстоит из нескольких секций. Высота струн Н одинакова. На рис. 19.13, а
показана зависимость критическоrо расхода rаза Qcr> приведенноrо к нормаль
ным условиям, от числа рядов струн N для различных значений Н при KOHдeH
сатном факторе, равном W o = 100 cw 1м3. Критический расход увеличивается с
SОЗ
а
Q cr' млн нмЗ/сут
2,7
2,5
2,3
2,1
1,9
б
Q cr' МЛН нмЗ/сут
2,7
1
2,5
2
3 2,3 1
2
4 3
2,1
5 4
1,9
5
1,7 1,7
1,5 1,5
20 40 60 80 100 N 3 5 7 9 11 р, МПа
Рис. 19.13. Зависимость критическоro расхода rаза Q.. roРИЗОИТlL1JЬиоro сепаратора со струнной
насадкой от числа рядов струн N (о) и давлеНИJI (6) ДJlи различных значений высоты струн Н, м:
f 0,141; 2 0,177; 3 О,2З6; 4 0,354; 5 O,707
уменьшением Н и W o и с увеличением числа рядов N. Влияние давления на
критический расход rаза иллюстрирует рис. 19.13, б. Существует давление (оно
порядка 9 МПа), при котором допустимый расход rаза максимален. На значе
ние критическоrо расхода заметное влияние оказывает вязкость и объемное
иср м/с
3,5
2,5
1,5
0,5
10-6
10-5
10-4 10 З
W O , мЗ/м З
504
Рис. 19.14. Зависимость критической скорости
rаза U. , rоризонтальиоrо сепаратора со cтpyн
иой иасадкой от кондеисатиоrо фактора W.:
Номер кривой
на рисунке. . .
N.........
Н.........
f
100
0,141
234
40 100 40
0,141 0,707 0,707
содержание сепарируемой жидкости. Уменьшение !-!l, приводит к увеличению
скорости стекания жидкости по струнам, уменьшению толщины пленки, а, следо
вательно, и к увеличению критическоrо расхода. Зависимость критической CKO
рости U cr rаза в сепараторе от конденсатноrо фактора W o показана на рис. 19.14.
С уменьшением W o критическая скорость увеличивается. Это означает, что с
наибольшей эффективностью струнную насадку следует использовать при сепа
рации rаза с не60ЛЬШИМ содержанием жидкой фазы. Отметим, что обычно KOH
денсатный фактор задается при нормальных условиях, а в приведенных выше
расчетных формулах W берется при рабочих условиях. Этот факт следует иметь
в виду при сравнении теоретических результатов с экспериментаьными.
19.4. КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ СЕПАРАТОРА
С СЕТЧАТОЙ НАСАДКОЙ
Сетчатые каплеуловительные насадки изrотавливают из рукавной вязаной
сетки и размещают в вертикальных и rоризонтальных сепараторах в попереч
ном сечении аппаратов.
Осаждение капель на про волочках сетки аналоrично осаждению капель на
струнах, рассмотренному в предыдущем параrрафе. В отличие от струнной
внутренняя структура сетчатой насадки характеризуется хаотичным расположе
нием ячеек по толщине насадки. Ее можно рассматривать как высокопроница
емую пористую среду, определяемую следующими параметрами: долей свобод
Horo объема Ev (м 3 /м 3 ); толщиной насадки Н; средним размером ячеек сетки
1 х 1; диаметром проволочек d""
Будем моделировать сетчатую насадку N плоскими параллельными слоями
сетки, расстояние между которыми h считаемым постоянным. Удельный объем
Ev нетрудно выразить через rеометрические параметры сетки:
1td 2
Ev == 1 2/ . (19.47)
Теперь можно определить удельную поверхность сетки а, а также paCCTO
яние между слоями h и число слоев N:
а == 4(1 E v ) . h == 1tdJ, . N == 2Нl (1 Ev) (19.48)
d w ' 2/(1 Ev)' 1tdJ,'
Для характерных значений d", == 3 . 1 0 4 м; Ev == 0,975 м 3 /м 3 ; 1 == 3 . 1 0 3 м;
Н==0,1 м имеем а==330 м 2 /м 3 ; h==1,8.10 3 м; N==SS.
Будем моделировать каждый слой сетки двумя рамками с натянутыми на
них струнами, расположенными перпендикулярно дрyr к друrу. При этом мож
но ВОСПОльзоваться результатами раздела 19.3. Если в набеrающем на сетча
тую насадку потоке все капли имеют одинаковый размер, то КЭ сетчатой Ha
садки
Т1==1 exp ( 4Nb ) , (19.49)
/ + 2rc
rде ус радиус проволочек; Ь == YcQВ, rде QВ дается формулой (19.28). Для He
прерывноrо распределения капель по размерам КЭ сепаратора с сетчатыми
насадками определяется выражениями (19.45) и (19.46), в которых вместо N
следует принять 2N.
Сетчатые насадки, как и струнные, характеризуются критической CKOpO
50S
стью или расходом, при превышении KOl'oporo начинается вторичный унос Ka
пель. Механизм уноса зависит от ориентации насадКИ относительно направле
ния силы тяжести. Рассмотрим сначала вертикальную насадку. При осаждении
капель на проволочках сетки жидкость стекает вниз. Однако возможность
поперечноrо перетекания жидкости по rоризонтальным составляющим сетки
приводит к тому, что поток жидкости ка}{ бы удваивается. Следовательно, TOk
щи на образующейся на вертикальных проволочках пленки увеличивается по
сравнению со струнами, поэтому критическая скорость сетчатой насадки меньше
струнной. Для определения критической скорости можно использовать резуль
таты предыдущеrо параrрафа, но в соответствующих формулах вместо W нуж
но взять 2 W.
Рассмотрим теперь определение критической скорости rоризонтальной ceT
чатой насадкИ. Для критической скоросп!: обычно принимают следующее Bыpa
жени е
[ ] 1/4
== К g2L(Pl. Ре)
U cr 2 '
Ре
(19.50)
rде К эмпирическая постоянная.
Однако формула (19.50) не учитывает мноrих факторов, в частности CTPYК
туру насадки, поэтому определение К 'f'ребует проведения болылоrо объема
экспериментов с различными сетчатыми насадками.
Для определения критической скорости примем следующую модель. CeT
чатая насадка представляет собой высокопроницаемую пористую среду. fаз в
насадке движется по микроканалам, эффективный диаметр которых
d eff = = (19.51)
а (1 6v) .
Скорость rаза равна расходу rаза, деленному на суммарную площадь ce
чения микроканалов Sch == f-uS / ak' rде S рабочая площадь насадки; ak == 1/ h
коэффициент, учитывающий кривизну каналов.
Капли, срывающиеся с поверхности проволочек, движутся вместе С rазом
по микроканалам. В процессе движения они дробятся. Средний радиус капель
в микроканалах можно оценить по формуле (14.14), в которой в качестве
диаметра следует принять d eff . Если скорость восходящеrо потока в насадке
превосходит скорость осаждения
капель, то капли будут уноситься
из насадки. Приравняв обе CKOpO
сти, найдем критическую скорость
rаза, при превышении которой Ha
чинается вторичный унос капель и
насадки:
И СР м/с
1
0,3
2
3
4
5
0,2
0,1
О
506
6
10 р, МПа
2
4
8
Рис. 19.15. Зависимость критической CKO
рости И.. вертикальиоrо сепаратора с ro
ризонтальиой сетчатой иасадкой от давле
ния р для различных зиачений удельиой
поверхиости сетки а, м 2 /м 3 (6 0,975;
D 1 М' d О 15 М' d О 00035 М' Т 1 .С'
, , Н.:. 0 15 ):' ,
f 400; 2 600; 3 800; 4 1000; 5 1200
Таблица 19.1
р, МПа (атм ) Ро, Kr / М-З PL' Kr /м 3 I!o . 105, L' 102, Н/м К ЭКСП к,..,р
Па'с
2,5 (25) 19,7 996 1,3 6,7 0,46 0,49
3,52 (35,2) 27,3 695 1.5 1,4 0,66 0,57
2,1 (21) 16,6 760 1,2 2 0,56 0,52
3,6 (36) 27 720 1,6 1,5 0,63 0,55
5,0 (50) 49 704 1,8 1,2 0,72 0,74
0 06 25 d2 '2;6/39 2/19 ( ) 7/19 ( d ) 8/19
, 11 Еи lL' Ре /:"pg Еи lL'
U =
cr [ 2 (1 ) 8/19 J.le 1 Е
Еи Р L v
(19.52)
Выражение (19.52) можно привести к виду (19.50) и найти COOTBeTCTBY
ющий коэффициент К. Теоретические и экспериментальные значения этоrо
коэффициента приведены в табл. 19.1.
Из формулы (19.52) следует, что основными параметрами, влияющими на
и СР являются давление р (рис. 19.15), от KOToporo зависят коэффициенты '2;, J..I.e
и Ре, а также параметры Е т dlL' И 1, характеризующие структуру сетчатой Ha
садки. Критическая скорость сетчатой насадКИ убывает с увеличением давления
Q cr' млн нм 3 /сут
3
2
1
О
3
9
11
5
7
13 р, МПа
Рис. 19.16. Зависимость критичеСКоrо расхода
rаза Q., вертикальноrо сепаратора с roрИЗОlПаль
иой сетчатой иасадкой от давления для разлнч
иых зиачеиий Е (остальные параметры те же, что
иа рис. 19.15):
f 0,98; 2 0,975; 3 O,97
т]
1,00
0,95
2
0,90
0,1
0,6 1,1
Q, млн нм 3 /сут
Рис. 19.11. Зависимость 11 вертикальиоrо сепа
ратора от расхода raзa Q (р 11 МПа; Т 5 .с;
остальные параметры те же, что на рис. 19.15):
f с roризонтальной сетчатой насадкой; 2 без
иасадки
501
и диаметра проволочек (или поверхности сетки). Хотя критическая скорость
rоризонтальной сетчатой насадки HaMHoro меньше вертикальной, но она обла
дает и преимуществом: ее не надо секционировать, как вертикальную сетку.
В отличие от скорости критический расход Qcr является немонотонной функ
цией давления (рис. 19.16). Наибольшее значение Qcr достиrает при р 11 МПа.
Это свидетельствует о том, что сетчатые сепараторы следует использовать при
больших давлениях. Поскольку со временем эксплуатации давление падает, то
падает и производительность сетчатых сепараторов.
Оборудование сепараторов сетчатой насадкой значительно повышает КЭ.
На рис. 19.17 показана зависимость КЭ сетчатоrо сепаратора от расхода rаза.
Там же для сравнения приведена эта же зависимость для rравитационноrо
сепаратора без сетчатой насадки.
20
АБСОРБЦИОННОЕ ИЗВЛЕЧЕНИЕ
ТЯЖЕЛЫХ Yf ЛЕВОДОРОДОВ И ПАРОВ ВОДЫ
И ПРИРОДНОfО fАЗА
Одним из методов извлечения уrлеводородов, образующих rазовый KOHдeH
сат, и паров воды из добываемоrо природноrо rаза является поrлощение их
жидким абсорбентом, вводимым в поток rаза, поступающеrо в аппараты промыс
ловоrо оборудования по физической переработке уrлеводородноrо сырья. В раз
деле 2.2 рассмотрены устройства и способы орrанизации процессов абсорбцион
Horo извлечения тяжелых уrлеводородов и осушки rаза. Отмечено, что суще
ствует два принципиально различных способа: ввод абсорбента непосредствен
но в поток rаза в условиях прямотока, коrда rаз и абсорбент движутся в одном
направлении, и ввод абсорбента против потока rаза противоток.
Первый способ осуществляется при впрыске абсорбента в трубопровод, по
которому движется rаз (этот способ называется внутритрубной абсорбцией),
или в контактные секции прямоточноrо абсорбера распыливающеrо типа. BTO
рой способ реализуется в абсорбционных вертикальных колоннах тарельчатоrо
типа, в которых rаз поступает в нижнюю часть аппарата, а абсорбент подается
сверху и последовательно перетекает с одной контактной тарелки на друrую.
В последнем случае, в завиСИМОСТИ от конструкции контактных тарелок, на
каждой тарелке возможен как прямоток, так и противоток.
В процессе извлечения тяжелых yrлеводородов в качестве абсорбента берется
жидкость, насыщенная тяжелыми уrлеводородами, например нефть, соляровое
или трансформаторное масло, выветренный конденсат и др. Для абсорбционной
осушки rаза используют rликоли: диэтиленrликоль (ДЭr) или триэтиленrли
коль (ТЭr).
Рассмотрим последовательно методы расчета процесс а абсорбции при BНYТ
ритрубной абсорбции в прямоточных аппаратах распыливающеrо типа и про
тивоточных абсорберах.
508
20.1. ПРЯМО ТОЧНАЯ АБСОРБЦИЯ ТЯЖЕЛЫХ уrЛЕВОДОРОДОВ
Абсорбент в виде мелких капель подается в поток мноrокомпонентной
rазовой смеси, движущейся в трубе постоянноrо сечения. Примем, что капли
имеют одинаковый радиус R, состав жидкой фазы задан массовыми KOHцeHTpa
циями компонентов PiO (Kr 1м3) либо мольными долями X iO . Давление Р и
температура Т в трубе заданы и отличаются от значений Ра И Та, при которых
приrотовлен абсорбент. Это означает, что мольные доли XiO соответствуют paB
новесным значениям при Ра И Та, исходном составе смеси и объемном содержа
нии абсорбента W. :При значениях р и Т, т. е. в момент ввода абсорбента в
поток rаза, равновесие между фазами нарушается и происходит массообмен
между жидкой и rазовой фазами до тех пор, пока не установится равновесие
в объеме. Рассмотрим процесс массообмена в упрощенной (см. раздел 16.2)
квазистационарной постановке при условии локальноrо термодинамическоrо
равновесия на поверхности капель.
Пусть PiL текущая массовая концентрация i ro компонента в капле, PiGw
массовая концентрация i ro компонента в rазе на внешней rранице капли, PiG
массовая концентрация i ro компонента в толще rаза. Поскольку объемное
содержание абсорбента в rазе мало, то можно считать, что в процессе массооб
мена капли не оказывают влияния друr на друrа.
Уравнения, описывающие изменение концентраций компонент в жидкой и
rазовой фазах, а также объема капли V аналоrичны уравнениям (16.63)
(16.65):
dPiC ::; WoJi . d(VPiL) ::; J .' dV ::;".!i..
dt V o ' dt "dt L.JPl"'
.
(20.1 )
rде W o начальное объемное содержание жидкой фазы; V o и V COOTBeT
ственно начальный и текущий объем капли; Ji массовый поток i ro компонен
та, равный соrласно (16.55)
( ) 1/3 7/3
J . ::; 4 3'2 Е..!:.. UR Pi .
· rt'JL. Рс dl/3'
(20.2)
PL И Рс плотности фаз; И скорость rаза в трубе; ДРi::; PiG PiGw; d диа
метр трубы.
В качестве начальных условий возьмем PiC = PiCO, PiL = PiLO, V::; V o , rде PiGO
массовые концентрации компонентОВ в потоке rаза до ввода в Hero абсорбента;
PiLO маССовые концентрации свежеrо абсорбента до впрыска ero в поток.
Абсорбент подается в поток различными способами. Наиболее распростра
ненным является инжектирование через форсунки, обеспечивающие мелкодис
персный распыл, в направлении или против потока. Возможно инжектирование
через специальные отверстия в стенке трубы, при котором струя жидкости
вводится перпендикулярно направлению потока и практически сразу дробится,
образуя спектр капель. Поскольку поток турбулентный, то в процессе дробле
ния и коаryляции распределение капель по размерам стабилизируется и oцe
нивается распределением (14.1) со средним радиусом ( 14.11). в процессе
массообмена с rазом размер капель будет увеличиваться, их радиус пр евы сит
устойчивый Rcr> характерный для параметров потока в трубе, и они с большой
вероятностью раздробятся. Сказанное позволяет предположить, что в процессе
массообмена в трубе размер капель в среднем не изменяется, т. е. V::; V o = V av .
Тоrда система уравнений упростится и примет вид
509
dYi == E ( . . ) ИI,' dXi == EPGML(Yi Yiw)
dt У, Y,w о, dt PLM G '
(20.3)
[де Е == 3,78Uprd l13 p:f R;;:, Xi U Yi мольные доли компонент в жидкой и
rазовой фазах.
При заданных р, Т, Х iO И Ую значениЯ Yiw остаются постоянными. Кроме
Toro, молекулярная масса Мс и плотность Рс rаза изменяются незначительно,
поэтому решение уравнений (20.3) имеет вид
У; == Yiw + (Ую Yiи,)e \ (20.4)
[де t == EWot.
Из формулы (20.4) следует, что характерное время установления paвHOBe
сия в rазовой фазе оценивается выражением
R 2 / 3 d 1l3 ( ) 113
t(G) == 0264 av Рс
eq EW o ' wou PL '
(20.5)
[де Rav средний радиус капель, формирующихся в турбулентном потоке в
трубе.
Из BToporo уравнения (20.3) можно оценить характерное время YCTaHOB
ления равновесия в жидкой фазе
t(L) WoPLMG {С)
eq eq .
PGM L
Поскольку WoPLMG/P L «1, то tЦ)« t ). Следовательно, равновесие
в жидкой фазе устанавливается HaMHoro быстрее, чем в rазовой, и время YCTa
новления фазовоrо равновесия в смеси оценивается самым большим временем,
т. е. t ). Подставляя в (20.5) выражение (14.11) для Rav> получаем xapaKTep
ное время установления фазовоrо равновесия
d 5 ;7"j);7 P P
t e q 0,06 ,
qUl1;7
массовый расход абсорбента при рабочих условиях, Kr на
(20.6)
(20.7)
[де q удельный
1 м 3 rаза.
Важным параметром
фазовое равновесие,
является расстояние, на котором устанавливается
d 5 /7'L 2 ;7 3/7 2/7
Leq 0,06 P 7 Р L
qU4
Из формулы (20.8) следует, что длина, на которой происходит абсорбция,
уменьшается с увеличением расхода абсорбента q и скорости И, а также с
уменьшением диаметра трубы d. Увеличение расхода приводит к возрастанию
объемноrо содержания абсорбента W o , а следовательно, к увеличению поверх
ности контакта фаз. Соответственно при возрастании скорости и уменьшении
диаметра трубы уменьшается размер капель в потоке rаза, а следовательно,
увеличивается поверхность контакта.
Для характерных значений параметров d == 0,4 м; Р == 5 МПа; Т == 293 к;
L==10 3 Н/м; PL==7S0 Kr/M3; рс==40 Kr/M 3 ; q==0,1 Kr/M 3 ; U==1S м/с (это
соответствует расходу rаза QG == 10 млн. м 3 /сут при нормальных условиях или
2 м 3 /с при рабочих условиях; имеем Leq 0,32 м. Уменьшение расхода rаза до
1 млн. м 3 / сут при тех же значениях остальных параметров приводит к Leq '" 3,73 м.
510
(20.8)
На практике эти оценки позволяют определить расстояние, на котором надо BBO
дИТЬ свежий абсорбент в поток rаза при мноrоступенчатой абсорбции. Отработан
ный абсорбент желательно удалять из потока после каждой ступени контакта.
Наибольший интерес представляет количество извлеченных из rаза тяже
лых уrлеводородов с з + и C S + (в % к исходному содержанию)
(i /iGO i /iG )
mCk+ = N 100,
LPiGO
i = k
( MGoPG IYiMi ]
. 1 i = k 1 00
т 4 += N .
MGPGO i'"fkYiOMi
Подставляя в выражение (20.10) соотношения (20.4), получаем
mCk+ = ( 1 Мо,Ро ; ""M; ] (1 e t) .100.
MGPGO LYiOMi
i = k
Равновесные значения тс". получаются из (20.11) при 1: 00:
[ MGoPG .I YiWMi ]
(mCkJeq = 1 · :k .100.
MGPGO LYiO M ,
i=k
Входящие в выражения (20.11) и (20.12) значения Yiw должны определять
ся с помощью уравнений парожидкостноrо равновесия с использованием еди
Horo уравнения состояния rазожидкостной смеси (см. раздел 5.7).
Таким образом, расчет процесс а абсорбции в потоке rаза проводится сле
дующим образом.
1. Задаемся начальными составами абсорбента Х;о и rаза У;о, а также pacxo
дом абсорбента при рабочих условиях или объемным содержанием абсорбента
WO=qjpL'
2. Рассчитываем состав образующейся rазожидкостной смеси:
или в мольных долях
1'Ji = (1 аО) У;о + аохю;
0,02404 q
аО=
L MiXiO O,02404q
(20.9)
(20.10)
(20.11)
(20.12)
(20.13)
3. При заданных значениях р и Т рассчитываем парожидкостное paBHOBe
сие смеси состава (20.13), а также плотности и молекулярные массы жидкой и
rазовой фаз, используя уравнение состояния Пенrа Робинсона (см. раздел 5.7).
4. Определяем безразмерное время 1: и оцениваем характерное время t eq и
длину Leq.
511
Т а б л и ц а 20.1
Нач8JIЬИЫЙ состав rазожидкостной смеси
Содержание компонентов Молекулярная
Компонент масса компо
нентов М;,
в rазе, Ую в жидкости, Х;О Kr / кмоль
С0 2 0,0015 0,0050 44,01
N 2 0,0469 0,00010 28,01
С, 0,8091 0,00500 16,04
С 2 0,0878 0,03678 30,01
С З 0,0341 0,08619 44,1
С. 0,0130 0,07970 58,12
F, 0,0063 0,24093 80
F 2 0,0012 0,23984 100
F3 0,0001 0,15798 128
F. О 0,08895 172
Fs О 0,06403 240
S. Находим количество (в %) извлеченных из rаза тяжелых уrлеводоро
дОВ С 3 + и C S +.
Рассмотрим пример расчета процесс а внутритрубной абсорбции в потоке
rазожидкостной смеси, состав которой приведен в табл. 20.1
В таблице через F j обозначены фракции, в которые собраны компоненты,
входящие в C S +.
Ниже приводятся результаты расчета равновесных значений (mCk)eq' Pac
чет проводился при девяти значениях давления и пяти значениях температуры,
изменяющихся соответственно в интервалах от 4 до 12 МПа и от 253 до 293 К.
и трех значениях расхода абсорбента, изменяющеrося от 0,1 до 2 Kr 1м3. Pe
зультаты расчетов представлены на рис. 20.1 и 20.2.
На эффективность извлечения из rаза тяжелых уrлеводородов заметное
влияние оказывают давление р и температура Т. С ростом давления до 6
7 МПа извлечение уrлеводородов rруппы С з + растет на 1 2 % при температуре
а б в
те ,% те ,% те ,%
k+ k+ k+
100 : :::: 2 1 100 100
75
........., .
50 ' '........ ,. 50 50
. '".
.<'\"
. .\
, , \ 25
1
' ]]
О О О
4 8 12 4 8 12 4 6 8 10 12
р,МПа
Рис. 20.1. Зависимость зффектнвиостн извлечения из rаза тяжелых yr леводородов т. k + от дaB
леиия для различиых зиачеиий Т, .С:
а, б, в qсоответственно 0,1; 0,5 н 2 кт/м'; 1 20; 2 10; 3 o; 4 10; 5 20; 1 С З +; II C s +
512
Рис. 20.2. Зависимость зффективиостн из
влечеиия из rаза тяжелых уrлеводоро
дов тон от времени (р 6 МПа; Т - О .с;
q 0,5 кr/м з ):
1 C S +; 2 С З +
те ,%
k+
75
1
50
ниже 263 К и на 10 20 % при TeM
пературе выше 263 К. При давле
нии выше 7 МПа степень извлече 25
ния резко снижается: на 30 70 %
при T 293 К и 1S 9S % при
т 253 К. Чем выше расход аб
сорбента q, тем меньше снижение О 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 1:
(тС з )еq' Величина (mcs)eq с ростом
давления до 6 МПа увеличивается на 3 5 %, а затем уменьшается на 82 85 %
при 293 К и SO 90 % при 253 К.
С ростом температуры значения (т сз )eq и (mcs)eq снижаются за исключе
нием изобары 12 МПа при q 0,1 Kr/M 3 . При друrих значениях q уменьшение
степени извлечения уrлеводородов с ростом температуры наблюдается при всех
рассматриваемых давлениях.
С увеличением q до 1 1 ,2 Kr /м 3 величина (тс з )eq растет, а затем стаби
лизируется: (mcs)eq с ростом q практически не изменяется.
Выявленные особенности изменения степени извлечения тяжелых yr лево
дородов объясняются фазовыми превращениями, происходящими при контакти
ровании абсорбента с потоком rаза. Из выражения (20.12) следует, что OCHOB
ное влияние на (т с ) eq оказывает разница значений Yiw И У.о. Отношение
3+
MGOPG/MGPGO 1. Так, при изменении давления от 4 до 12 МПа при q 0,1 Kr/M 3
мольные доли Ущ. увеличились на один.два порядка. Аналоrичная картина
наблюдается и при друrих значениях q.
Таким образом, наибольшая степень извлечения тяжелых уrлеводородов из
rазовоrо потока достиrается при давлениях 4 6 МПа. При этом чем ниже
температура, тем выше степень извлечения. Увеличение объемноrо содержания
капель W (или расхода q) приводит к существенному увеличению q лишь в
области изменения q от 0,1 Kr /м 3 до 1,2 Kr /м 3 . В указанных областях изме
нения р, q и температуре ниже 263 К степень извлечения тяжелых уrлеводо
родов (т сз )eq может достиrать SO 60 %, а (mcs)eq 8S 90 %.
Если при заданных значениях р, Т, q, Хю и Ую степень извлечения не
удовлетворяет требуемому значению, то процесс абсорбции нужно про водить в
несколько этапов (мноrоступенчатая абсорбция). При этом на каждой ступени
в поток rаза нужно вводить свежий абсорбент, а отработанный удалять из rаза.
Орrанизация TaKoro мноrоступенчатоrо процесс а в трубопроводе представляет
большие сложности. Поэтому мноrоступенчатую абсорбцию осуществляют в
специальных мноrоступенчатых абсорберах, работающих в условиях прямотока.
2
20.2. мноrОСТУПЕНЧАТАЯ ПРЯМОТОЧНАЯ АБСОРБЦИЯ
ТЯЖЕЛЫХ уrЛЕВОДОРОДОВ
Рассмотрим теперь расчет мноrоступенчатой прямоточной абсорбции на
примерах абсорбера распыливающеrо типа и внутритрубной абсорбции.
Одна из конструкций прямоточноrо абсорбера распыливающеrо типа преk
33 1461 513
"> 125 8
Qj ""' ">
Q с
се
//I A #I ,,>е
"'......
1000 250 250 500
Рис. 20.3. Прямоточный миоrоступеичатый абсорбер распыливающеrо типа
ставлена схематично на рис. 20.3. Каждая ступень абсорбера состоит из пос
ледовательно расположенных контактной камеры и сетчатоrо сепаратора. Для
простоты расчета примем, что сепаратор работает со 100% ной эффективностью,
т. е. из контактной ступени выходит сухой rаз. Состав rаза на входе в абсор
бер и состав свежеrо абсорбента (соляровое масло) приведен в табл. 20.2.
Через F j обозначены фракции, в которые сrруппированы уrлеводороды С 6 +.
При заданных значениях р, Т, и Qe можно определить длину контактной
зоны, потребовав, например, чтобы значения мольных концентраций на выходе
составляли 1 % от соответствующих равновесных значений. Используя выраже
ния (20.4), найдем
d 5 /7"L 2 /7 3/7 2/7
L == О 29 Ре Р L
k I qU 4 /7
Если на каждую ступень подается Свежий абсорбент с одинаковым COCTa
вом и расходом, то длина каждой ступени одинакова и определяется соотноше
ни ем (20.14). Поскольку весь отработанный абсорбент удаляется из rаза в
сепараторе, то состав rаза, поступающеrо на n ю ступень, равен составу rаза на
выходе из n 1 й ступени:
(20.14)
т а б л н 1.{ а 20.2
Исходный состав rаза и абсорбента (мольиая доля, %)
Компонент Состав rаза У;о Состав
абсорбента Х;о
С0 2 0,15 0,00
С, 93,42 0,00
С 2 4,99 0,00
С З 0,83 0,00
С. 0,39 0,00
C S 0,22 0,00
F, 0,00 22,00
F 2 0,00 10,00
F3 0,00 10,00
F. 0,00 20,00
Fs 0,00 38,00
514
а
те ,%
k+
ВО
60
40
20
4
в
те ,%
k+
100
80
60
40
20
б
те ,%
k+
I ВО
II
60
2
40 2
1 20 1
.............................
О
6 В 10 12 р, МПа 10 О 10 20 Т, ос
2
1
Рис. 20.4. Зависимость коэффициента
извлечения из rаза тяжеJIЫX уrлеводо
родов т.,. от давлеиия (о), темпера
туры (6) и расхода абсорбента (8):
1 одна ступень; 2 восемь ступеней;
1 Cs.; Il с з .
О
0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 q, м 3 /тыс. м 3
Уio. n = Yiw, п----1 + 0,01 (Уio. n 1 Yiw, n t>.
(20.15)
Расчет каждой ступени проводится изложенным в предыдущем параrрафе
методом до тех пор, пока степень извлечения mc k + не достиrнет заданной вели
чины. При этом определится число ступеней контакта.
Расчет абсорбера, изображенноrо на рис. 20.1, проводился в диапазоне
изменения давления от 2 до 12 МПа, температур от 10 до 25 ос и расходе
абсорбента q от 0,01 до 0,1 м 3 на 1 тыс. м 3 rаза. Расход rаза составляет
Qc = 1,2 млн м 3 jCYT. Результаты расчета представлены на рис. 20.4. Зависи
мость тСМ от давления носит немонотонный характер. Наибольшая степень
извлечения достиrается при давлении р = 4 6 МПа.
Количество извлекаемых из rаза yr леводородов (т / сут) можно опреде
лить по формуле
Qh = 44,64 QCL(Yio Yi)M i .
k+
(20.16)
На рис. 20.5 показана зависимость Qh от суммарнorо количества вводимо
ro абсорбента Q а (т j сут) И числа ступеней контакта. Из приведенных зависи
мостей следует, что соляровое масло является эффективным абсорбентом при
ЗЗ* 515
Qh' т/сут
25 I
II
..-""
..-""
Рис. 20.5. Зависимость количества извлекае-
мых из rаза тяжелых yrлеводородов Qh от
расхода абсорбеита Q.:
1 одна ступень; 2 восемь ступеней; 1 С5+;
II С з +
15
.....-
.....-
/'
/'
/
/
/
/
/
20
определенных термобарических усло
виях. Однако ero использование на
ряде rазоконденсатных месторождений
Севера осложняется трудностью дoc
тавки в больших количествах. Поэто
му в последнее время в качестве аб
сорбента предлаrается использовать
90 Qa' т/сут выветренный конденсат.
В качестве примера рассмотрим
расчет процесса прямоточной абсорбции применительно к rазоконденсатному
месторождению, характеризующемуся низким пластовым давлением и положи
тельными значениями температуры rаза на Укпr. Такие термобарические yc
лови я позволяют проводить внутритрубную абсорбцию даже с низкоэффектив
ным абсорбентом, которым является выветренный конденсат. Для увеличения
конденсатоотдачи rаза в процессе абсорбции можно вводить абсорбент в поток
rаза в трубопровод перед сепараторами пункта замера rаза. Прежде чем пере
ходить к расчету процесса абсорбции, необходимо определить состав BЫBeTpeH
Horo конденсата, отбираемоrо после первой ступени сепарации. Обозначим че
рез Р. и Т. давление и температуру в разделителе, в котором про изводится
выветривание конденсата. Состав конденсата, отбираемоrо после первой ступе
ни сепарации, а также состав пластовоrо rаза представлены в табл. 20.3.
На пункте замера rаз из подводящеrо трубопровода распределяется на
16 сепараторов. Возможны два способа орrанизации процесса. Первый предус
матривает одноступенчатый ввод BbIBeTpeHHoro конденсата в rаз перед каждым
сепаратором. Второй способ состоит в двухступенчатой абсорбции путем после
довательноrо соединения двух сепараторов и вводом BbIBeтpeHHoro конденсата
перед каждым сепаратором.
Расчет процесс а абсорбции состоит из следующих этапов:
1) определение составов rаза и конденсата после первой ступени сепа
рации;
2) определение состава BbIBeTpeHHoro конденсата при заданных значениях
Р. и Т.;
2
10
.....-.....---------......
..-""..-""
..-""
1
5
10
30
50
70
т а б л и ц а 20.3
Компонент Конденсат Пластовый rаз Компонент Конденсат Пластовый rаз
N 2 0,36 4,68 С 6 15.22 0,65
с, 18,3 79,6 С, 14,96 0,43
С 2 11,39 9,38 Св 9,11 0.22
С з 13,83 3,56 С. 0,88 0,02
С. 3,44 0,43 С,о 1,37 0,03
C S 11,16 1,02
516
а
m извл , т/сут
б
m извл . т/сут
10
20
20
5
C s +
15
10
С З
C S +
С 4
СЗ+
о
0,1
C s
С 6 'С 7
С в
C10 5
0,2 q, МЗ/ТЫС. м З
о
1
2
3 р, МПа
в
m извл , т/сут
2
m извл . т/сут
д
m извл . т/сут
24
20
16
12
8
4
О
4 1O О
8
15
15
СЗ+
0.6 Рв' МПа
C s +
10
10
5
20 30 ,ОС
Рис. 20.6. Зависимость т.... от q (о), Р (6), Т (в), Р. (z), Т. (д), в техиолоrической схеме
одиоступеичатой абсорбции:
а Т. 20 ОС; р. 0,1 МПа; T 10 ОС; Р 3 МПа; б q 0,1 м 3 /тыс. м 3 ; T 10 ОС; Т. 20 ОС;
р. 0,1 МПа; в Т. 20 ОС; р. 0,1 МПа; р 3 МПа; 1 С З +; q 0.1 м 3 /тыс. м 3 ; 2 С З +;
q 0,03 м 3 /тыс. м 3 ; 3 C S +; q 0,1 м 3 /тыс. м 3 ; 4 C S +; q 0,03 м 3 /тыс. м 3 ; z q 0,1 м 3 /тыс. м 3 ;
T 10 ОС; p 2 МПа; T. 20 ОС; д q O,1 м 3 /тыс. м 3 ; T 10 ОС; p 2 МПа; p. 0,1 МПа
3) определение составов rаза и конденсата после их смешения перед пунктом
замера;
4) определения количества дополнительно извлекаемых из rаза тяжелых
yr леводородов rрупп С з + И C s +.
Результаты расчетов для одноступенчатой абсорбции показаны на рис. 20.6.
Следует отметить, что при некоторых значениях давления и температуры ряд
компонентов десорбируется из жидкой в rазовую фазу (это соответствует OT
рицательным значениям m извл ). Так, для конденсата, BbIBeтpeHHoro при ТВ == 20 ОС
и РВ == 0,1 МПа, де сорбция наблюдается при Т 15 ос ир::; 1,2 МПа. Сниже
ние ТВ и повышение РВ приводит к де сорбции тяжелых уrлеводородов при
больших значениях Р и меньших значениях Т.
Двухступенчатая схема абсорбции позволяет извлекать дополнительное
количество уrлеводородов по сравнению с одноступенчатой схемой при условии
отсутствия десорбции. Так, при ТВ == 20 ОС; Рв== 0,1 МПа; Т == 10 ОС; Р == 3 МПа;
517
ПрИ одноступенчатом вводе 100 л/тыс. мЗвыветренноrо конденсата извлекается
15,7 т/сут С з + И 5,71 т/сут. C s +. При двухступенчатой системе ввода Toro же
количества абсорбента (по 50 л/тыс. м З на каждой ступени) извлекается co
ответственно 16,7 т / сут С з + И 6, 1 т / сут C s +'
Таким образом, проведенные расчеты показали, что выветренный конденсат
можно использовать в качестве абсорбента для извлечения тяжелых уrлеводо
родов. Эффективность извлечения существенно зависит от условий выветрива
ния конденсата, термобарических условий, количества вводимоrо абсорбента, а
также от числа ступеней контакта.
20.3. ПРОТИВОТОЧНАЯ АБСОРБЦИЯ ТЯЖЕЛЫХ Yf ЛЕВОДОРОДОВ
Рассмотрим теперь абсорбционное извлечение тяжелых уrлеводородов в
условиях противотока в колонном абсорбере, схематично изображенном на рис.
20.7. [аз заданноrо состава Уо'" (Уо], УО2'"'' УОп) , [де Уо. мольная доля i ro
компонента, с расходом Qco поступает в нижнюю часть колонны, а сверху
подается абсорбент состава Хо'" (Хо], ХО2'"'' Хоп) с расходом Qo. Число ступеней
контакта равно N. Каждая ступень оборудована сетчатой тарелкой, работающей
в режиме уноса. Это зна
чит, что жидкость не Ha
капливается на тарелке, а
нахоДИТСЯ в межтарельча
том пространстве в дис
перrированном состоянии.
Каждая контактная ступень
содержит сепарационное
устройство, например ceT
чатую каплеуловительную
насадку, в которой отрабо
танный на ступени абсор
бент отделяется от rаза и
направляется затем на сле
дующую по ходу движения
Х N 2' q N-2 абсорбента тарелку. Для
простоты будем считать, что
насадка полностью сепари
рует rаз ОТ жидкости.
Средняя скорость дви
жения rаза в контактной
ступени
t YN
N я ступень
xo,qo
(исходный
абсорбент)
ХN З' q N З
t Уз
Х N J' q N-J
XN,QN
1 я ступень
Уо
' J l
шт II
(исходный 2аз)
518
Рис. 20.7. Схематнчиое изобра
жеиие колоииоrо тарельчатоrо
абсорбера:
1 контактная тарелка; Il ce
парационное устройство
U == 4QGp = O,4TzDQGH
1tD2 тcl) 2 29Зр'
(20.17)
[де QGp и QGH расходы rаза соответственно при рабочих и нормальных yc
ловиях, млн. м 3 /сут; z коэффициент сжимаемости rаза; р и Т давление и
температура; D диаметр рабочеrо сечения колонны.
Так, при QGH = 10 млн. м 3 /сут; D == 2, 4 м; Р == 8 МПа; Т == 253 К; z == 0,7
имеем И == 0,2 м/с. Число Рейнольдса Re == PGUDjV G == 5 .107. Соответствую
щий внутренний масштаб турбулентности л.о == 5 мкм. Зная среднюю скорость
восходящеrо потока rаза, можно определить максимальный размер уносимых с
потоком капель, воспользовавшись формулой Стокса
[ ] 1/2
R 9 GU
т 2(PL PG)g
(20.18)
Для значений /-lG=2. 10 5 Па. с; PL =650 Kr/M3; PG== 100 Kr/M3; U==О,2 м/с
имеем R m = S6 мкм. Таким образом, в межтарельчатом пространстве вместе с
потоком движутся капли размером не более R m . Эти капли в процессе движе
ния изменяют свой размер за счет массообмена с rазом и Koary ляции между
собой. Каждый из этих процессов характеризуется своим временем. Так, xapaк
терное время массообмена
t(1) 026 R2/3 DI/3 ( ) I/3
eq , WU PG '
(20.19)
[де W объемное содержание абсорбента в потоке rаза,
w == 29,2 .10 4qp .
zT '
(20.20)
q расход абсорбента при нормальных условиях, л на 1000 м 3 rаза; р
давление, МПа.
Так, для значений q == 220 л/тыс. м 3 ; р = 8 МПа; z == 0,7; Т = 253 К;
R == 4 . 10 5 м; D == 2,4 м; И == 0,2 м/с; PG == 100 Kr jM 3 ; PL == 650 Kr /м 3 получим
w== 2,5 . 10 2 м 3 /м 3 И t 2 = 0,2 с.
Таким образом, малые размеры и относительное большое объемное coдep
жание капель обеспечивает быстрое установление фазовorо равновесия в меж
тарельчатом пространстве.
Характерное время укрупнения капель за счет их коаrуляции оценивается
выражением
( 2 2 2 ) 1/2
t(2) 1t РGлоR
eq 16rw2 '
(20.21)
[де R конечный радиус капли; r постоянная [амакера, r== 5 . 10 20 Дж.
Для paCCMoTpeHHoro выше примера и для конечноrо размера капли
R == 50 мкм имеем t > 2,5 с. Таким образом, t >>> Щ>.
Выбирать расстояние между контактными тарелками следует из условий
установления фазовоrо и динамическоrо равновесия при движении смеси в
519
Т а б л н ц а 20.4
Исходные составы rаза и абсорбента (мольиые %)
Компонент fаз Абсорбент Компонент fаз Абсорбент
С0 2 0,71 0,76 C S 0,32 5,96
N 2 0,32 0,03 С 6 0,20 7,69
С, 90,37 30,68 С 7 0,11 8,53
С 2 5,64 8,35 С 8 0,06 8,22
С з 1,69 6,09 С 9 ОЩ 4,91
С 4 0,52 4,39 С'О+ 0,01 14,39
При м е ч а н н е. Свойства фракции С 'О +: температура кипения 510,1 К; молекулярная
масса 205 кт /кмоль.
межтарельчатом пространстве. Для этоrо время пребывания смеси должно быть
равно t ), а расстояние между контактными тарелками
О 4 ( 2 2 2 ) 1/2
L Ut(2) = ,TzDQGH 1t РGл.оR
k eq 1tD2293p 16rw 2
(20.22)
Выполнение условия (20.22) обеспечивает установление фазовorо paBHO
весия в межтарельчатом пространстве и позволяет уменьшить унос отработан
Horo абсорбента.
Перейдем теперь к расчету процесса массообмена в абсорбере. Введем
обозначения: Yj 1 состав rаза на входе j й ступени контакта; Qj расход rаза
на j й ступени; XN J состав жидкости на входе j й ступени; qN J расход
жидкости на j й ступени. На каждой ступени контакта эти фазы смешиваются,
состав смеси определяется из условия парожидкостноrо равновесия при задан
ных значениях р, Т, молекулярных масс компонетов и расходов фаз.
Условия термодинамическоrо равновесия фаз мноrокомпонентной системы
записываются в виде системы уравнений
р(а) = рЩ; T(G) = ТЩ;
/".(G) = f, Щ
I i "
(20.23)
Здесь i = (1, 2,..., n) номер компонента; f летучесть; индексы G и L
обозначают rазовую и жидкую фазы.
Для определения летучести компонентов в каждой фазе необходимо восполь
зоваться единым уравнением состояния Пенrа Робинсона (см. раздел 5.7).
Система уравнений (20.23), дополненная уравнениями баланса масс, реша
лась численно методом последовательных приближений с заданием точности
определения мольных концентраций компонентов, а также определены свойства
фаз. В качестве примера приведем некоторые результаты расчета колонноrо
абсорбера, оборудованноrо десятью контактными сетчатыми тарелками, pa
ботающими в режиме уноса. Выбирались следующие значения параметров:
p=7,6S МПа; T= 240C; Q=10 млн м 3 /сут; q=217 л/тыс. м 3 ; D=2,4 м.
Составы исходноrо rаза и абсорбента представлены в табл. 20.4.
Для выбранных значений параметров оценка минимальноrо расстояния
между контактными тарелками дает Lk = 0,5 м. Заметим, что в действующем
абсорбере это расстояние составляет 0,6 м.
520
Т а б л и ц а 20.5
Эффективность извлечеиия из rаза тяжелых yr леводородов
Содержание Компонентоотдача, Жидкая фаза Количество
Номер в rазе, r /м З т/сут л/тыс. м З извлеченной
ступени С з + C S + С з + C S + Вход Выход жидкости,
л/тыс. из
1 42,31 6,45 286,00 198.79 286,67 346,40 77,78
2 39,46 5,46 29,84 10,13 277 ,62 286,67 9,11
3 38,24 5,35 12,67 1,19 273,64 277,62 4,05
4 37,49 5,37 7,88 0,15 271,16 273,64 2,57
5 36,93 5,40 5,96 O,33 269,23 271,16 2,01
6 36,42 5,44 5,29 0,32 267,47 269,23 1,83
7 35,86 5,47 5,91 0,27 265,42 267,47 2,14
8 35,06 5,50 8.47 O,25 262,15 265,42 3,31
9 33,67 5,54 14,75 0,25 255,37 262,15 6,83
10 30,98 5,60 31,96 0,33 216,95 255,37 38,42
По всему armapaтy 408,73 208,86 148,06
Приведем результаты расчета количества извлеченных из rаза тяжелых
уrлеводородов на каждой ступени и по всему аппарату (табл. 20.5).
20.4. ОСУШКА fA3A ОТ ВЛAfИ В УСЛОВИЯХ ПРЯМОТОКА
Процесс абсорбционной осушки rаза от влаrи в принципе ничем не отли
чается от абсорбционноrо извлечения из rаза тяжелых ут леводородов за исклю
чением тото, что в качестве абсорбента используется друrая жидкость rли
коль (дэr или тЭr), обладающая способностью поrлощать из rаза пары воды.
Растворимость в rликолях уrлеводородов мала по сравнению с водой, поэтому
в первом приближении можно принять, что при контакте жидкоrо rликоля с
природным rазом в процессе массообмена участвуют только пары воды. PaB
новесие в системе rликоль природный rаз при заданном давлении р и TeM
пературе Т устанавливается через определенное время teq. Равновесное coдep
жание влаrи в rазе может быть найдено, используя приближенные соотношения
или rрафики типа, изображенноrо на рис. 20.8 [58].
Для осушки rаза от влаrи в процессе промысловой подrотовки rаза к
транспорту на rазовых месторождениях с небольшим дебитом часто использу
ются прямоточные абсорберы распыливающеrо Типа, состоящие из ряда после
довательно соединенных ступеней. Каждая ступень представляет собой KOHTaKT
ную камеру и следующий за ней сепаратор. Абсорбент дэr с расходом q
впрыскивается в контактную камеру через форсунку. Поскольку размер Ka
пель, образующихся при распыливании зависит от скорости капель относитель
но потока rаза, то обычно впрыскивание осуществляется против потока rаза.
Это способствует образованию мелких капель в процессе вторичноrо дробле
ния. Капли сначала некоторое время движутся против потока, а затем увлека
ются потоком. За время контакта с rазом капли абсорбируют из rаза содержа
щиеся в нем пары воды. Затем rазожидкостный поток попадает в сепаратор,
в котором жидкая фаза отделяется от rаза. Для определения параметров одной
ступени необходимо знать динамику процесса абсорбции, а также эффектив
ность улавливания капель сепаратором. Рассмотрим теперь динамику процесса
массообмена капель дэrа с влажным rазом. Для простоты будем считать, что
сепаратор полностью улавливает все капли и ступени абсорбера одинаковы.
521
Р иО , r!нм з
300
100
80
60
50
40
30
20
./
./ ./
7 ./
/ ./" ./
/ /' ,/
./ 1/ '"7'
./ ./ ./
/ .7 / ./ /
200
10
8
6
5
4
3
2
./
/
p 1 шм /
./ ./ ./
./ ./ 7
./ ./////./
/ /,,,,,./"//
5 //0 / ,п .4
./ /7 /./ /'
j
/
/
/
/
/ /
/ ./ "./
/ /r7/",,////
1
0,8
0,6
0.5
0,4
0,3
0,2
/
/
./ / /' ./
/ / / /' ./ '7./
/ 7 / ./ '..// '7'./
/ //./ /" /'/.//// /
/ //7/ '/'
/
/ / /
// /
/ / /
/ / / /
/ ./
?
/
/
/ / / J / / '/
/ /f/ /. {'/ )
/ //
/ '7 '7 ,,__
0,1
0,08
0,06
0.05
0,04
0,03
0,02
/ / /
/ /
/ //
/ //
.
0,01
0,008
0,006
0,005
0,004
0,002
40 зо 20 10
О
10 20 30 40 50 60 70 80
90 100 Т. ос
Рис. 20.8. Равиовесиое содержаиие влаrи в природном rазе
Наиболее распространенным методом расчета процесса осушки rаза от
влаrи является метод, основанный на предположении о существовании фазовоrо
равновесия между абсорбентом (высококонцентрированным раствором ДЭfа) и
522
rазом, содержащим пары воды [58]. Этот метод позволяет определить paBHOBec
ные концентрации воды в паровой и жидкой фазах, а при известном начальном
содержании максимально возможное при заданных значениях р и Т коли
чество извлекаемой из rаза влаrи. Если на каждую ступень подается одинако
вое количество абсорбента, то полученные данные дают возможность найти
число теоретических ступеней контакта, исходя из заданной степени ОСУllIКИ
rаза на выходе абсорбера. Поскольку равновесие наступает через время teq, то,
задаВllIИСЬ отклонением от равновесия на каждой ступени контакта, можно
найти число рабочих ступеней.
Рассмотрим процесс поr лощения каплями абсорбента влаrи из потока rаза.
Пусть на входе в контактную камеру поступает rаз, содержащий водяной пар
с массовой концентрацией РGo (Kr 1м3). Обозначим через Рс! концентрацию
пара в rазе на выходе из контактной камеры. Заметим, что значения массовых
концентраций берутся при рабочих условиях. Определим коэффициент осуllIКИ
как ОТНОllIение количества влаrи, извлеченной из rаза в контактной камере,
к содержанию влarи в rазе на входе в контактную камеру:
11 == 1 Рс! .
Рса
l1ноrда степень ОСУllIКИ rаза характеризуется параметром
ер Уа УI
Уа Yeq ,
(20.24)
(20.25)
[де Уо и УI мольные доли влаrи в rазе соответственно на входе и выходе
контактной камеры; Yeq равновесная при заданных значениях р и Т мольная
доля влarи над раствором дэrа на входе.
Введенные параметры связаны между собой СООТНОllIением
ер == 1] (20.26)
(! 803,5 кхо/ Рсо) ,
[де К константа равновесия, а ХО мольная доля воды в абсорбенте.
Основная задача состоит в определении зависимости 11 от параметров rаза
и абсорбента и rеометрических размеров контактной камеры. Направим ось х
вдоль оси контактной камеры, причем х == О соответствует входному сечению.
Примем, что абсорбент распыливается в потоке rаза и образует капли одина
KOBoro радиуса, paBHoro устойчивому радиусу в турбулентном потоке
( L ) 3/7 ( ) 1/7
Rav == 0,09 Dk Щ LDk '
(20.27)
[де Dk диаметр контактной камеры; и, скорость жидкости, истекающей из
форсунки, относительно rаза; Рс и PL плотности rаза и абсорбента.
Обычно расход абсорбента составляет 8 14 л на 1000 м 3 rаза, что COOT
ветствует объемному содержанию жидкости w== 8' 10 4 1,4' 10 3 м 3 . При
этом среднее расстояние между каплями 1 RI vw 10R и стесненностью
капель можно пренебречь.
Массообмен капли, взвеllIенной в турбулентном потоке, происходит за счет
доставки вещества к поверхности капли турбулентными пульсациями и за счет
механизма молекулярной диффузии. Как показано в разделе 16.2, выражение
для MaccoBoro потока вещества на поверхности капли зависит от СООТНОllIения
между радиусом капли и внутренним масштабом турбулентности 1..0 == D k IRe 3 / 4 ,
[де Dk диаметр рабочеrо сечения абсорбера; Re число Рейнольдса. Для
523
характерных значений параметров PG 50 Kr 1м3; и 3 M/c; Dk 0,4 м; !J.G ==
10 5 Па' с имеем Re 6' 106 И "'о 5 . 10 6 м. Поскольку размеры капель
R 2 . 1 0 5 М, то выполняется неравенство "'о < R и основная доставка вещества
к поверхности капель осуществляется турбулентными пульсациями. При этом
массовый поток на поверхность капли [см. (16.68)]
J == s,041t и }/3 R7/3 и дрD;;I/3, (20.28)
rде ДР PvG PwG; PvG И PwG массовые концентрации влarи соответственно в
толще rаза и на внешней поверхности капли.
Как обычно принимаем, что на поверхности капли существует локальное
термодинамическое равновесие. Torдa PwG равно равновесной концентрации влarи
над поверхностью раствора. При термодинамическом равновесии системы аб
сорбент природный rаз пары воды массовая концентрация паров воды PwG
определяется давлением р, температурой Т и массовой долей r ликоля в paCTBO
ре абсорбента <Iw. Зависимость PwG(p, Т, <Iw) обычно [59] приводится в виде
двух выражений PwG от Р И температуры точки росы Т d И <Iw от Т d И Т. Первая
имеет вид
PWG == 4,67 .10 6[exp(0,073S Td 0,00027 Tj) ]p 1 +
+ 0,0418 ехр (0,054 Td 0,0002тl).
(20.29)
Вторая зависимость приведена в [59] в виде rрафика. Ее можно аппрок
симировать выражением
А(1 <Iw)B Td + 273,
А 277,0793 + 1,1972 Т; В 0,033258 + 0,000297 Т
в интервале 5 ос < Т < 35 ос; 0,9 < <Iw < 0,995. Входящие в формулы (20.29) и
(20.30) Т измеряются в ос, р в МПа, а PwG В r 1м3.
Обозначим через N число капель в единице объема смеси. Тоrда ypaBHe
ние, описывающее изменение концентрации влаrи в rазе, примет вид
d ;G NJ. (20.31)
(20.30)
Выразим N через объемное содержание абсорбента W и объем капли:
N зw I 41tR3.
(20.32)
Обычно расход абсорбента q задается в литрах на 1000 м 3 при нормаль
ных условиях. Torдa W определяется соотношением (20.20). ИЗ (20.31) и
(20.32) следует, что
d PvG 3JW ( )
dt 41tR3 ' PvG О POG'
(20.33)
Изменение массовой концентрации влаrи в капле описывается уравнением
диффузии
BPvL D ( r2 BPVL ) (О < r < R)
Bt L r2 Br Br
(20.34)
со следующими начальными и rраничными условиями:
PVL(r, О) POL; PVL(R, t) == PwL; (дрvLlдr)Т20 О,
(20.35)
52,(
rде D L коэффициент диффузии воды в абсорбенте, D L = 1,9. 10 10 м 2 /с; PoL
начальная концентрация воды в капле.
К уравнениям (20.33) и (20.34) нужно добавить уравнения баланса массы
на поверхности капли
J = 41tR 2 DL( a L }=R
(20.36)
и всей капли
J = ;t ( 1tRЗРVL ).
(20.37)
Масса влаrи в rазе мала по сравнению с массой вводимоrо абсорбента,
поэтому объем капли будет увеличиваться не значительно и в первом прибли
жении им можно пренебречь и считать радиус капли R постоянным, равным
среднему радиусу Rav, образующемуся при распыливании в турбулентном пото
ке rаза. С учетом этоrо система уравнений, описывающая изменение со BpeMe
нем PvG И Рии примет вид
дpvL = D ( 2 a P V L ) .
at L r2 дr r дr '
dPvG = 378 ( El. ) 113 R 2I3U (p p ) D II3.
dt ' PG оО wG k ,
DL( aZ L )r=R = 1,26( }13 R 713 U (РоО PwG) D;;II3;
PwG = f(a w , р, Т);
pvL(r, О) = POL, PvL(R, t) = PwL; (дрvL/дr) = о; PvG(O) = POG'
(20.38)
Система уравнений (20.38) допускает аналитическое решение при условии
линейной зависимости
PwL = а(р, Т) Ь(р, т) a w .
(20.39)
Заметим, что линейная аппроксимация дает неплохое приближение к pe
аль ной зависимости в некоторых диапазонах изменения риТ.
Введем в рассмотрение вместо массовой концентрации PvL массовую долю
rликоля в водном растворе абсорбента а, связанную с PvL соотношением
PvL == р.(1 а), rде Р. плотность воды, и перейдем в уравнениях (20.38) и
(20.39) к безразмерным переменным по формулам
Z PиO Poo . ZL = a ao ; 't DLt
G POG' аО R2 ;
): =.!..,. л = 1 26 ( ) V3 R 4I3UD V3D I'
..., R ' 'ро k L ,
= р.ао . = а Ьао . 8 = Ьао
'у Роо' POG' Роо '
rде Р. плотность воды; PL плотность rликоля; Ро начальная массовая
доля rликоля в абсорбенте; U среднемассовая скорость потока в абсорбере.
525
в новых переменных уравнения (20.38) примут вид
BZ L == J.....!!.. ( J::2 az L ) (О J:: 1) '
д-t 2 ..., д < ..., < ,
д == 3WЛ(ZG zwo); (20.40)
zwo+1== 8zwL; л (zо zwо)== у ( д:{. ) ;
1
( д: ) o == о; ZL( , о) == о; ZL(1, 't) == ZwL; zo(O) == О.
Применяя к уравнениям (20.40) преобразование Лапласа, получаем pe
шение
ZO== E(1 I3) [ 2t (Pk tgpk)exp( pl-r) ] ,
3+& k 1 Pk (2& + vpl) + & tg Pk (p 'Ар: 2)
(20.41)
тде Pk корни трансцендентното уравнения
t &Pk(1 'АрР
g Pk 2 ( 2 ) .
Pk + & 1 'APk
Здесь введены следующие безразмерные параметры: Е == 3 W Рв/ Ь;
л. == 0,26D L (D k PG/ P L R4)1/3 /WU; v == Ьао/(а Ьа о ).
При 't 00 решение (20.41) стремится к равновесному,
(щ) & (1 j3)
ZG == .
(20.42)
(20.43)
По смыслу величина ZG равна доле извлеченной из rаза влаrи, поэтому
эффективность процесса осушки rаза может быть определена параметром
'Тl== ZG==E(1 P) [ 2t (Pk tgpk)exp( p -r) ] . (20.44)
3 + & k=1 Pk(2& + vp ) +& tgpk(pl 'Ар: 2)
Более простое решение можно получить, если перейти в уравнениях (20.38)
к усредненным по объему абсорбента массовой концентрации PvL И COOTBeT
ствующей массовой доли r ликоля а. в итоrе получим следующую систему
уравнений:
dpvG W]. dPvL ] .
dt V' dt V '
PvL ==PB(1 a); PwG ==a ba; v== 47t R3;
3
Pvo(O) == POG; а(О) == 0.0,
(20.45)
решение которой
а == 0.0 (1 e BT); Pvo == Роо W(ao о:);
A==1 a ba.o ; B= bвW+b ; 't l ==3,78 L k ( POG )( PL ) 113.
Роо POG Рв PvGDkR2
(20.46)
526
Здесь Lk длина контактной зоны.
Далее уточнить полученное решение (20.46) можно, учтя реальную зави
СИМ ость PwG от р, Т и а. При этом получаются уравнения
d/i [1 р. W ( ) PwG ] (O)
== аО а ; а == а О ;
dTj PvG Роо
PvG == РОО + Р. W ("а а),
к которым нужно добавить соотношения (20.29) и (20.30).
Приведенные уравнения позволяют рассчитать остаточное влarосодержа
ние в rазе на выходе одной ступени контакта. Для расчета следующей ступени
в качестве начальноrо условия следует взять содержание влаrи в rазе на
выходе предыдущей ступени контакта. Точку росы осушенноrо rаза Т d можно
теперь найти, используя rрафическую зависимость PvG от Р И Т (см. рис. 20.8)
либо решив уравнение (20.29) относительно Td'
В качестве примера рассмотрим расчет прямоточноrо мноrоступенчатоrо аб
сорбера распыливающеrо типа, конструкция и результаты испытания которото
содержатся в [60]. Абсорбер состоит из четырех последовательных контактных
ступеней. Абсорбент высококонцентрированный водный раствор дэrа, подается
с различным расходом на каждую степень, а после каждой ступени отработан
ный абсорбент отделяется от rаза в сепараторе. Исследования проводились при
давлении р == 2,1 МПа и температуре 25 ос, расход rаза QG == 1 млн м З / сут,
влarосодержание rаза на входе POG == 1,3 r / м З при нормальных условиях.
Результаты расчетов и испытаний представлены в табл. 20.6.
Из приведенных результатов следует, что наиболее близки к эксперимен
тальным значениям расчетные данные, полученные по уравнениям (20.47). На
рис. 20.9 показаны зависимости массовой концентрации влаrи в rазе PvG на
выходе каждой ступени контакта от расхода абсорбента, одинаковоrо на каждой
ступени, и от давления.
Длина контактной камеры связана с безразмерным временем соотношением
L k == ЮИ-r/D L , или Lk == (Р./ РОG)(рvc;DkЮ/ РL)I/З-rj/3, 78. Для определения Lk
необходимо знать 1: или 1:1' Возможны два способа их определения в зависи
мости от требований, накладываемых на процесс абсорбции. В первом случае
можно потребовать, чтобы за время -r количество влаrи в rазе на выходе из
контактной камеры составляло бы S % от соответствующеrо равновесното зна
чения. Тотда значение -r определится из условия
(20.47)
Таблица 206
Результаты расчетов влаrосодержаиия rаза после каждой ступени коитакта
в прямоточном абсорбере распыливающеrо типа
Параметры Ступени контакта
1 II III IV
Удельный расход ДЭfа, кт /тыс. м З 14 16,5 13 18
Блаrосодержание rаза Роа, r /м":
рассчитанное по уравнениям:
(20.44) 0,33 0,1 0,053 0,041
(20.46) 0,32 0,095 0,052 0,041
(2047) 0,35 0,114 0,067 0,041
экспериментальное [60] 0,34 0,125 0,067 0,038
527
а
P vG ' r/M 3
0,50
0,25
О
20 40
q, Kr/Tы.. м 3
б
Р t>G ' r/M 3
0,4
1
0,2
2
3
4
О
5
10
р,МПа
Рис. 20.9. Зависимость массовой коицентрации влаrи в rазе на выходе ступени контакта r.G
от количества впрыскиваемоrо абсорбента (о) и давления (6):
t 4 номера ступеней
( 1 P )
1 11==O,01S 1 E .
3+е
(20.48)
Во втором случае оrраничение накладывается на массовое содержание
rликоля в отработанном абсорбенте 0:. Torдa из BToporo уравнения (20.47)
получим
11 == p.W(ao O:)/POG'
(20.49)
Таким образом, уравнения (20.47) и (20.48) позволяют найти безразмерное
время 't или 't l' а затем и необходимую для этоrо длину ступени контакта.
Влаrосодержание в rазе с эффективностью осушки 11 на каждой ступени
связано соотношением
PvG== POG(1 11).
(20.50)
Эффективность осушки мноrоступенчатоrо прямоточноrо аппарата с N
ступенями контакта
N
11N == 1 П (1 11.).
. = 1
(20.51)
Если все ступени одинаковы и их эффективность равна 11, то
11N== 1 (1 11)N.
(20.52)
Если эффективность каждой ступени определена, то, задав степень осушки
rаза или температуру точки росы, из (20.52) можно определить число ступеней
контакта N.
ДЛЯ paccMoTpeHHoro выше примера, найденная длина контактной камеры
Lk == 0,54 м соответствует условию, чтобы на каждой ступени отклонение от
528
равновесия на выходе составляло 1 О %. Если требуемая точка росы rаза COCTaB
ляет 8 .С, то достаточно одной ступени контакта, а для достижения точки росы
1S.C необходимо три ступени, причем длина каждой ступени должна быть
0,54 м.
20.5. ОСУШКА fA3A В ПРОТИВОТОЧНОМ АБСОРБЕРЕ
С ВЫСОКОСКОРОСТНЫМИ СЕПАРАЦИОННО КОНТАКТНЫМИ
ЭЛЕМЕНТАМИ
в последнее время в колонных абсорберах для осушки rаза от влаrи стали
применяться высокоскоростные прямоточные центробежные сепарационно кон
тактные элементы с танrенциальным вводом rаза и ре циркуляцией абсорбента
(см. рис. 2.17). Эти элементы устанавливаются на rоризонтальных тарелках в
вертикальных противоточных аппаратах. Подаваемый сверху абсорбент (BЫCO
коконцентрированный водный раствор дэrа) перетекает сверху вниз с тарелки
на тарелку. Слой абсорбента на каждой тарелке поддерживается на некоторой
высоте, которая, вообще rоворя, может быть различной для разных тарелок.
Абсорбент через специальную трубку попадает в сепарационно контактный
элемент и истекает из трубки в набеrающий закрученный поток rаза. В резуль
тате жидкость дробится, образующиеся мелкие капли подхватываются потоком
и отбрасываются на стенку элемента. В результате в элементе одновременно
происходят два процесса: массообмен капель с rазом и сепарация капель от
rаза.
Поскольку абсорбент непрерывно перетекает с тарелки на тарелку и, кроме
тото, мнотократно разбавляется абсорбентом, поступающим из элементов, то
состояние налитоrо на тарелки слоя абсорбента можно охарактеризовать Bpe
менами пребывания: в элементе t e == Le/ue и на тарелке tt == V /Qo' тде V
объем абсорбента на тарелке, Le высота элемента; Qo расход абсорбента;
и е среднерасходная скорость rаза в элементе. Сравнение времен для xapaK
терных значений параметров показывает, что t e « tt. Это означает, что за время
пребывания на тарелке абсорбент успеет мнorо раз вступить в контакт с rазом
в элементах, установленных на этой тарелке.
Основным параметром, характеризующим состояние абсорбента, является
число рециркуляции, определяемое как отношение расхода абсорбента через
контактные элементы qo к общему расходу абсорбента в аппарате Qo:
n == qo/Qo. (20.53)
Фактически параметр n определяет, сколько раз объем V абсорбента за
время пребывания на тарелке tt пройдет через элементы, расположенные на
одной тарелке.
Основная задача состоит в определении зависимости концентрации rлико
ля в растворе абсорбента и влаrосодержания rаза на выходе элементов от
числа рециркуляции n.
Предположим, что на тарелке происходит равномерное перемешивание
абсорбента, в результате чеrо концентрация r ликоля в растворе абсорбента
изменяется только со временем. Кроме тото, предположим, что унос жидкости
с потоком rаза из центробежных элементов мал и им можно пренебречь
Последнее предположение справедливо, если элементы работают в докритиче
ском режиме.
34 1461 529
Обозначим через аа и аа массовые доли r ликоля в растворе абсорбента
соответственно в элементе и в слое на тарелке, а через ааО и аа! соответствую
щие значения в абсорбенте, стекающем с. предыдущей тарелки на рассматрива
емую тарелку, и на выходе элемента.
Уравнение, описывающее изменение аа' аналоrично уравнению (20.47) и
имеет вид
da.a == [1 P'W ( ) PWG J ' (O) ==
d p аа ар Р ,аа аа'
't ОС ОС
(20.54)
тде t == З,78 ( рос )( ) 113 uet безразмерное время; Poc массовая KOHцeнт
р. P O d e R2
рация паров воды в rазе на входе в элемент; Р., Ра И Ре соответственно
плотность воды, абсорбента и rаза; R и W средний радиус и объемное coдep
жание капель абсорбента в потоке rаза в элементах; d e диаметр элемента;
PwG равновесная концентрация паров воды над раствором абсорбента с KOH
центрацией rликоля аа при рассматривсtемых значениях риТ.
В качестве среднето радиуса капеЛl) R, образующихся при распаде струи,
втекающей в сепарационно контактный элемент, возьмем средний радиус Ka
пель Rav, формирующийся В турбулентном потоке ICM. (20.27)). В эту формулу
нужно подставить параметры элемента.
Уравнение (20.54) описывает изменение массовой доли rликоля в растворе
абсорбента в контактном элементе 13 интервале безразмерноrо времени
0< 't < t<t.).
Соотношение для баланса массы абсорбента на тарелке с учетом рецирку
ляции и перетекания абсорбента с тарелки на тарелку позволяет получить
следующее уравнение для аа:
d a == [(n+1)aa aao naa1]; аа(О)==аао, (20.55)
тде == Q aLe/ t e V и с == 1/ tt, tt == t( tt) безразмерное время пребывания абсор
бента на тарелке.
Уравнение (20.55) описывает изменение массовой доли rликоля ааО в
растворе абсорбента на тарелке в интервале безразмерноrо времени О < 't < 'tt.
К уравнениям (20.54) и (20.55) нужно добавить соотношение, связываю
щее равновесную концентрацию водяноrо пара в rазе PwG С р, И Т и аа' которое,
соrласно [59], имеет вид
PwG == 10 6 р. ( 7 9 + В).
В == ехр [0,06858 (0,01 1)4 0,3798 (0,01 Т)3 +
+ 1,06606 (0,01 Т)2 2,00075 (0,01 Т) + 4,2216];
рв == Р: ху;
Р: == exp( 0,60212(0,01Т)4 + 1,475 (О,О1Т)3
2,97304 (0,01 Т)2 + 7,19863 (0,01 Т) + 6,41465);
== ex p[ ( + n ) 2 ] .
у 273 + Т 1 х 1 ,
(20.56)
1 а.а
х== .
1 а.а + 18,О2а. а /М а
530
Здесь х и у мольная доля Boды в растворе абсорбента и коэффициент
активности; m и п ! постоянные, для ДЭТа т O,0245 и п 1 O,137; Мо
молекулярная масса абсорбента.
Выражение (20.56) rромоздко и неудобно для дальнейшеrо использова
ния. С большой степенью точности для раствора дэrа в интервале 0,9 < а о < 1
ero можно аппроксимировать выражением
Ри>С== а(1 а о ), (20.57)
а = 3 9S'10 6 p * ( 749 +B ) ex p( )
, · р 273 + Т .
Таким образом, система уравнений (20.54), (20.55) и (20.57) описывает
изменение со временем концентрацию дэrа в слое абсорбента на тарелке с
учетом рецирку ляции ero в контактных элементах.
Изменение концентрации водяноrо пара в осушаемом rазе определяется
вторым уравнением (20.47):
PvC = РОС + Р. W (а 0 1 аа),
(20.58)
rде Рос влаrосодержание rаза на входе в контактный элемент.
Для решения полученной системы уравнений необходимо предварительно
определить число рециркуляций п, объемное содержание абсорбента в rазе W
и объем абсорбента на тарелке V.
Число рецирку ляций зависит от конструкции элемента, числа элементов на
тарелке N.. расходов rаза QC и абсорбента Qo, а также от высоты слоя абсор
бента на тарелке над уровнем ввода жидкости в элемент Н. Обработка резуль
татов испытаний элементов позволила получить следующую эмпирическую
зависимость:
п = 3,456 .10 3 N e .J2gH (QcQo) 1.
(20.59)
Входящие в это выражение расходы имеют следующую размерность:
[Qс]==млн м 3 /сут; [Qo]==M 3 /TbIC. м 3 .
Объем абсорбента на тарелке
V = 0,25 лИ (D 2 Ned;), (20.60)
rде D диаметр тарелки; d e диаметр KOHTaKTHoro элемента.
Объемное содержание абсорбента в потоке rаза определяется выражением
W==Qo/Qc. (20.61)
Расходы, входящие в это выражение, следует брать при рабочих условиях
(м 3 /с). .
Поскольку характерное время изменения концентрации rликоля в абсор
бенте в элеМенте мало по сравнению со временем изменения концентрации на
тарелке ('t'e« 't't), то можно принять, что за время пребывания абсорбента в
контактном элементе массовая доля rликоля в абсорбенте на тарелке а о не
изменяется. При этом решение упрощается. Сначала из уравнения (20.54)
находим ai't) при постоянном а о , а затем из (20.55) определяем ao('t'). В pe
зу льтате получаем
а о = Аа о + G;
( аоо + nG ) ( 1 пA) '/' t
а = а e n +
а 00 п + 1 пА
аоо + nG
+ .
п+l пA'
(20.62)
34*
531
А == e (5+ii)tl + . G == Ii 1 (1 e (5+ii)tl)'
о+а о+а' о+а '
s:: р. W. а
и ,a .
Роа Роа
Если расход абсорбента задается в л/тыс. м 3 при нормальных условиях,
то w== 10 6пqa (м 3 /м 3 ) и О == 10 зпqaPOG'
Из (20.62) следует, что при 't' ""'* 00 значение аа стремится к COOTBeTCTBY
ющему равновесному значению
() ааО + nG
аа eq ==
2n + 1 пА
(20.63)
В момент времени 't' == 't't, что соответствует концу пребывания абсорбента
на тарелке, массовая доля r лик оля в отработанном абсорбенте при условии
большоrо числа циркуляций (п» 1) будет
( ааО + (Ii 1 )POG/10 зqa ) (1 / 10 3 )
а "" а Q e +aPOG q. +
а а 1 + liPOG/10 3qa
На рис. 20.10 представлена рассчитанная зависимость массовой доли аа
rликоля в слое абсорбента на тарелке в момент времени после п кратной pe
цирку ляции абсорбента в сепарационно контактных элементах от числа pe
циркуляций п. Расчеты проводились для следующих значений основных парамет
ров: р == 7,5 МПа; Т == 13,5 ос; Роа == 0,24 r 1м3; ааО == 0,9916; QG == 12,8 млн м 3 / сут;
Qa == 5,5 Kr ITbIC. м 3 .
Из приведенных результатов следует, что основное изменение аа проис
ходит в интервале значений п от 1 до 7. Увеличение числа рециркуляций сверх
7 мало изменяет значение аа, и оно близко к значению, определяемому форму
лой (20.64). Это означает, что состояние абсорбента близко к насыщению.
Рассмотрим теперь процесс осушки в противоточном вертикальном абсор
бере, схематично изображенном на рис. 20.7. Снизу в аппарат поступает rаз с
массовой концентрацией влаrи Роа (Kr I м 3 при нормальных условиях), сверху
раствор с массовой долей дэrа ай. Соответствующие концентрации на каждой
ступени обозначим через PN " G И a,(i == 1,N ),
rде N число ступеней контакта. HYMepa
ция ступеней идет сверху вниз. Введем сле
дующие обозначения: Н, высота слоя аб
сорбента на i й тарелке над уровнем BBO
да жидкости в элементы; QG расход rаза
при нормальных условиях; Qa расход а&
сорбента в аппарате; q ') расход абсор
бента через элемент на i й тарелке;
п, == q ') /Qa число рециркуляций на Ta
релке; 't'(,)== 3, 78(PN "GI р.)u с t(Ра/р.Юd е )1/3.
аа
0,99
0,98
0,98
О 2
10 п
6
4
8
532
ааО + (а 1)poa/10 3 qa
+ .
1 + iipoG/10 3qa
(20.64)
Рис. 20.10. Зависимость массовой доли rликоля в
растворе абсорбента иа тарелке аа от числа ре-
циркуляций п
Torдa для каждой тарелки можно записать систему уравнений
da.t = A ( п. + 1 ) а. а. j п.а. 1 ] . 0:. ( 0 ) = а. j .
d't(i) 1-' r I I , I ' ' I , ,
dai [1 Р. W; ( ) Pi.wG ] . (о) .
ai ai ,ai ai,
d't(') PN i+1.G PN i+1.G
PN i+1.G == PN i.G р.Иli(ан ai);
Pi,,,'G == а(1 aJpN i+ 1, а'
(20.65)
Для решения уравнений (20.65) необходимо знать число рециркуляций
для каждой тарелки п i . Примем, что OH определяется формулой (20.59). Pe
шение осложняется тем, что значения аО и Роа задаются на разных концах
абсорбера. Поэтому численная процедура решения реализуется методом после
довательных приближений сверху вниз. У словия 't' i)« 't' i) позволяют суще
ственно упростить решение. Поскольку в каждом приближении предполаrается,
что входящее в (20.65) значение PN i+1. G известно из предыдущеrо приближе
ния, то первые два уравнения MOryT быть проинтеrрированы независимо друr
от друrа. В результате получим
ai j = A,ai + G i ;
( а.; 1 + ЩGi ) (п. + j п А.),т/,т a.i 1 + n;G i .
а. а. 1 е,. . t + ,
I , n;+1 щАi n;+1 niAi
(20.66)
А- == e aA;). С. == (1 А-) ( 1 PN i + 1. а ) .
I '1 I apN i.G
Приведем пример расчета противоточноrо абсорбера, оборудованноrо сепа
рационно-контактными элементами, при следующих значениях основных пара
метров: р == 5,5 МПа; Т == 15 ос; QG == 10 млн м 3 / сут; Qa == 7 . 10 3 м 3 /тыс. м 3 rаза
при нормальных условиях; аО == 0,9915.
На рис. 20.11 показана зависимость OT PvG/P OG
носительноrо влаrосодержания Роа/ Роа
осушенноrо rаза на выходе абсорбе 0,5
ра от числа ступеней контакта для
различных значений числа рецирку
ляций п. Принималось, что число pe 0,4
циркуляций одинаково на каждой CTY
пени.
В табл. 20.7 приведены результа 0,3
ты расчета температуры точки росы ocy
шенноrо rаза и результаты испытаний
трехступенчатоrо абсорбера.
0,2
Рис. 20.11. Зависимость относительноrо Вла
rосодержания PvG/ РОО осymенноrо rаза иа BЫ
ходе абсорбера от числа ступеней контакта N
для различных зиачеиий числа рециркуля
ций п:
1 2,08; 2 3,81; 3 5,38; 4 11,42
0,1
О
2 3 4 5 6 7 8 9 N
533
Таблица 20.7
Расход rаза, Расход Давление, Температура, Концентрация ДЭf Температура
млн. м 3 /сут абсорбента, МПа .С в абсорбенте точки росы,
103 м 3 /тыс. м-з .С
12,8 4,92 7,5 13,5 0,9617/0,9619 19/ 20
11,5 4,83 7,0 13,2 0,9651/0,9569 19/ 19
8,5 7,16 7,3 15 0,9596/0,9656 20/ 17
При м е ч а н и е. В числителе расчетное значение, в знаменателе эксплуатационное.
Важное следствие уменьшение числа ступеней контакта при увеличе
нии числа рециркуляций п. Так, значение влаrосодержания в осушенном rазе
Раа/ Poa 0,1 при п 2 достиrается в шести ступенчатом аб'сорбере, а при повы
шении числа рециркуляций до 11 в двухступенчатом. Заметим, что в реаль
ных аппаратах число рециркуляций на ступенях абсорбера может быть различ
ным. Поскольку на нижние ступени поступает абсорбент с повышенным, по
сравнению с исходным, содержанием воды, то имеет смысл на нижних ступенях
увеличивать число рециркуляций. Последнее можно достичь, например, увели
чив толщину слоя абсорбента на тарелке.
Таким образом, ре циркуляция абсорбента на каждой ступени абсорбера
позволяет более полно использовать ero абсорбирующую способность на каж
дой ступени контакта и тем самым уменьшить число ступеней. Однако при этом
следует иметь в виду, что повышение числа рецирку ляций п приводит к про
порциональному возрастанию [см. формулы (20.53) и (20.61)] объемноrо co
держания жидкой фазы W в rазе и, как следствие этоrо, к увеличению уноса
жидкости из элемента.
21
ПРЕДОТВРАЩЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ fИДРАТОВ
В ПРИРОДНОМ fАЗЕ
в связи с вводом в эксплуатацию rазовых и rазоконденсатных месторож
дений в осложненных условиях на Крайнем Севере при наличии в rазе cepo
водорода идиоксида yr лер ода актуальной стала задача совершенствования
процесса и технолоrии применения инrибиторов rидратов в системах добычи и
подrотовки rаза к транспорту.
rидраты природных rазов образуются в скважинах, в элементах промыс
ловоrо оборудования подrотовки rаза, а также в rазопроводах при определен
ных значениях давления и температуры, которые можно найти с использовани
ем фазовых диаrpамм reTeporeHHoro равновесия. На практике для определения
условий начала образования rидратов используется rрафический метод: расчет
ный по константам равновесия, rрафо аналитический по уравнению Барре
ра Стюарта и экспериментальный.
Различают простые и смешанные rидраты. Простые rидраты представляют
534
собой rидраты отдельных rазов. Эти rидраты образуются из молекул воды и
rидратообразователя, которым является один из уrлеводородных rазов. В CMe
шанных rидратах и rидратах природных rазов rидратообразователями являют
ся не отдельные rазы, а смесь rазов. Состав смешанных rидратов и их компо
нентный состав изменяются в зависимости от парциальноrо давления компонен
тов в rазовой фазе и температуры.
Методы, используемые для предотвращения образования rидратов, опреде
ляются физико химической природой процессов. Поскольку равновесные пара
метры образования rидратов зависят от парциальноrо давления паров воды в
rидратообразующей среде, то любое воздействие, снижающее парциальное дaB
ление паров воды, позволяет уменьшить температуру rидратообразования. На
практике применяют два способа: осушку rаза от влаrи и ввод в rазовый поток
различных водопоr лощающих веществ инrибиторов.
Эффективный и надежный метод предупреждения образования rидратов
осушка rазов в процессе ero подrотовки перед подачей в маrистральный rазо
провод. Необходимо осушать rаз до температуры точки росы на несколько
rрадусов ниже минимально возможной температуры rаза в rазопроводе. Инrи
битором rидратов при этом является высококонцентрированный водный pa
створ rликоля (дэrа). Процесс осушки rаза от влаrи был подробно paCCMOT
рен в разделе 20.
Второй способ состоит в вводе инrибитора rидратообразования в поток
rаза непосредственно в трубопровод или в элементы промысловоrо оборудова
ния перед, как rоворят, защищаемой точкой, т. е. местом, в котором ожидаемая
температура может быть ниже температуры образования rидратов. Под воздей
ствием инrибитора нарушаются структурные связи молекул воды и изменяется
энерrия их взаимодействия. В итоrе снижается давление паров воды в rазовой
фазе, а следовательно, уменьшается температура образования rидратов. Наибо
лее распространенный инrибитор rидратообразования в рассматриваемом спо
собе высококонцентрированный водный раствор метанола. Преимуществами
ero использования по сравнению с друrими инrибиторами являются сравни
тельно низкая стоимость, высокая антиrидратная активность (наибольшее сни
жение температуры образования rидратов при прочих равных условиях), низ
кая вязкость, низкая температура замерзания, малая растворимость в нестабиль
ном конденсате и др.
В настоящее время накоплен большой опыт применения метанола в rазо
вой промышленности. Большой объем промысловых и лабораторных экспери
ментов в сочетании с теоретическими работами по термодинамики уrлеводород
ных систем позволили установить влияние инrибитора на систему природный
rаз вода [59, 61 63J.
Существующие методы технолоrическоrо расчета процесса инrибирования
[63] основаны на предположении о существовании термодинамическоrо paBHO
весия между жидкой (инrибитор) и rазовой (природный rаз) фазами. Приме
нение этоrо метода позволяет определить равновесные значения концентрации
паров воды и инrибитора в rазе при заданных значениях давления, температуры,
массовой концентрации инrибитора в растворе, состава rаза и удельноrо pacxo
да инrибитора, необходимоrо для заданнorо снижения температуры образования
rидратов
f1T == То Т2'
(21.1)
rде ТО температура образования rидратов в rазе без ввода инrибитора; Т 2
температура в защищаемой точке.
535
Инrибитор вводится в поток rаза в точке 1, в которой температура равна
T t (T 2 < ТО < Т).
Если в точке 2 существует фазовое равновесие, то f1T определяется следу
ющим соотношением [63]:
f1T == Aln(Ywrxwr);
lnYi ==lnYi[1+ (:: )( :;: )Т 2 (i, j==w,I(i*j»;
Y ==2,2 5;0 ; Yi ==3,1 7i 5 ; (243К<Т<320К),
(21.2)
rде х",,, Х/ ' мольные доли воды и инrибитора в растворе; Yw' YI коэффици
енты активности воды и инrибитора; У;, Yi предельные значения коэффици
ентов тивности воды и инrибитора; А эмпирическая постоянная, для MeTa
нола А == 85.
После ввода инrибитора в точке 1 равновесия в системе rаз пары воды
нарушается. В процессе движения потока rаза с каплями раствора инrибитора
от точки 1 до точки 2 изменяются температура rаза Т а, температура капель TL'
а также концентрации воды и инrибитора в rазе Yw' У/ и В капле Xw, Х/.
Поскольку входящие в (21.2) значения Xw и Х/ соответствуют равновесным
значениям, то основная задача состоит в определении расстояния от точки 1 ДО
точки 2, или в определении времени установления равновесия t в системе
rаз капли инrибитора. Значение t eq зависит от р, T L , Та, начальных KOHцeHT
раций XwQ, Х/О, относительноrо расхода инrибитора q (в Kr на тыс. м 3 rаза при
нормальных условиях), состава rаза и параметров, характеризующих особенно
сти течения rазожидкостной смеси. Для решения задачи определения t необ
ходимо рассмотреть динамику процесса массообмена капель инrибитора с OK
ружающим их rазом.
Одним из распространенных способов ввода инrибитора в поток rаза в
трубопроводе является распыливание с помощью форсунок, обеспечивающих
такой режим истечения струи жидкости, при котором она распадается на мелкие
капли различноrо диаметра. В итоrе на выходе форсунки формируется следу
ющее распределение капель по размерам [49]:
{ Nф/32 ехрф) ( Dmax ) 3 exp ( 13 Dmax ) ; D:o:; Dmax;
пф(D) == (1 + /3)D max D D
о; D>Dmax,
(21.3)
rде D диаметр капли; N ф число капель в единице объема; 13 параметр,
определяемый конструкцией форсунки (для центробежной форсунки 13 == 0,19;
для прямоструйной 13 == 0,35); Dma:x максимальный диаметр капель, характери
зующий одно из основных предположений при выводе распределения (21.3).
Соответствующие выражения Dmax для форсунок указанных типов можно
найти в [49, 64].
Из (21.3) следует, что основные пара метры распределения средний диа
метр капель и дисперсия
Dmax
Dc == ф JDп(D)dD == 1 /3 Dmax;
О
(21.4)
536
0'2 = ф DT(D Dпn(D)dD = IЗ\е: р /3ф) D ax[ Ei( ) e p;1) J.
о
[де El( ) интеrральная показательная функция.
Важным параметром является также объемное содержание капель в rазе
W. Если удельный расход жидкости из форсунки q L задан, то W == q 1 / Р L' r Де
PL плотность жидкости, и из (21.3) следует, что
N = q L V. = пDЗ / 6
ф 3PI VJax[exp( j3) + jЗЕз ( jЗ)]' тах тах'
(21.5)
Движение образовавшеrося ансамбля капель с потоком rаза сопровожда
ется непрерывным изменением распределения капель по размерам в результате
одновременно протекающих процессов массообмена капель с окружающим их
rазом, коаrуляцией и дроблением капель под действием интенсивных турбулен
тных пульсаций различноrо масштаба, а также осаждения капель на стенках
трубы и срыва капель с поверхности тонкой жидкой пленки, формирующейся
на внутренней поверхности трубы.
Как показывают экспериментальные исследования [3] движения в трубах
rазожидкостных потоков с небольшим содержанием жидкой фазы, на HeKOTO
ром расстоянии от места появления жидкости в потоке rаза (за дросселем или
форсункой) распределение капель по размерам стабилизируется и хорошо
описывается лоrарифмически нормальным законом распределения, характери
зуемым средним радиусом
в == о 09d [ ( ) 1/2 ] 617 ( PG ) 1/7
cr , U PLd PI'
(21.6)
rде d диаметр трубы; u среднерасходная скорость rаза; L коэффициент
поверхностноrо натяжения жидкости; Ра плотность rаза; PL плотность
жидкости.
Стабилизация спектра капель происходит в результате установления как
термодинамическоrо равновесия между жидкой и rазовой фазами, так и дина
мичеСКОrО равновесия между процессами ко аrуляции , дробления, осаждения и
срыва капель со стенки трубы.
Характерная особенность рассматриваемоrо процесса малое объемное
содержание жидкой фазы в rазе. Для предотвращения образования rидратов в
природный rаз вводят инrибитор в виде высококонцентрированноrо водноrо
раствора метанола в количестве не более 1 кТ' на 1000 м З rаза, приведенноrо к
стандартным условиям. Это соответствует объемному содержанию жидкости
W $; 5 . 1 0 5 м З / м З при характерном давлении 5 МПа. Столь малое значение W
позволяет пренебречь влиянием капель на rазодинамические параметры и pac
сматривать динамику ансамбля капель под действием невозмущенноrо диспер
сной фазой потока
Важной задачей является исследование изменения началЬНОrО спектра капель,
описываемоrо распределением (21.3), под действием массообмена (испарение
метанола, конденсация паров воды), коаrуляции, дробления и осаждения капель
на стенке трубы. Учесть поток капель от стенки не представляется возможным,
поскольку в настоящее время в литературе отсутствуют для этоrо надежные
данные.
Дисперсность потока характеризуется распределением капель по объемам
537
п, которое в приближении парных взаимодействий в пространственно однород
ном случае описывается кинетическим уравнением
дn д ( дV )
7ft + дV пж = lcoag + lьс ldep'
(21.7)
в левой части этоrо уравнения dV / dt скорость изменения объема кап
ли за счет массообмена с окружающим rазом. Слаrаемые в правой части xa
рактеризуют скорость изменения распределения за счет коату ляции, дробления
и осаждения капель на стенке и имеют следующий вид [см. (11.119)]:
v v
lcoag = t f к (<.о, V ш) п (со, t) п (V со, t) dw п (V, t) f к (V, ш) п (со, t) dro;
о о
00
lь. = f р (V, ш) f (ш) п (со, t) dw п (V, t) f(V);
о
(21.8)
ldep='::",
t/
rде t/ среднее время нахождения капли в потоке, время «жизни капли.
Рассмотрим последовательно массообмен между каплями и yr леводород
ным rазом, коаrуляцию и дробление капель, а также их осаждение на стенках
трубы, что позволит определить dV jdt, lcoag, lь" И ldep'
Исследование начнем с рассмотрения поведения изолированной капли в
покоящемся rазе, а затем рассмотрим процесс массообмена ансамбля капель в
покоящемся rазе и' турбулентном потоке rаза, движущемся в трубе. Затем
проанализируем поведение спектра капель, вводимых в поток rаза с помощью
распыливающих форсунок.
21.1. ДИНАМИКА МАССООБМЕНА КАПЕЛЬ инrИБИТОРА
rИДРАТОВ С уrЛЕВОДОРОДНЫМ rA30M
[[усть в некоторой точке 1 rазопровода в поток rаза введен инrибитор в
виде капель малоrо диаметра. Способ ввода инrибитора рассматривать не будем,
предположим только, что суммарный объем капель мал по сравнению с объемом
rаза, поэтому капли не оказывают заметноrо влияния на движение rаза. Капли
инrибитора состоят из высококонцентрированноrо водометанольноrо раствора.
[[осле ввода инrибитора в точке 1 равновесие в системе rаз пары воды
нарушается. В процессе движения потока rаза с каплями инrибитора от точки 1
до интересующей нас точки 2 изменяются температура rаза Т а, температура Ka
пель TL' а также концетрации воды и метанола в rазе Yw' Ум и капле Х и " ХМ'
Основная задача состоит в определении изменения со временем перечис
ленных выше параметров и xapaKTepHoro времени установления равновесия t eq
в системе rаз капли инrибитора. Значение teq зависит от давления р, темпе
ратур жидкости и rаза Т L' Т а' начальных концентраций компонентов жидкости
Х и ' О ' Х МО относительноrо расхода инrибитора q (в Kr на тыс. м З rаза при HOp
мальных условиях), состава rаза и параметров, характеризующих особенности
течения rазожидкостной смеси. Для решения задачи определения t eq необходи
мо рассмотреть динамику процесса массообмена капель инrибитора с окружаю
щим их yr леводородным rазом.
538
Вначале рассмотрим поведение изолированной капли в покоящемся rазе, а
затем процес массообмена ансамбля капель в покоящемся rазе и турбулентном
потоке rаза, движущеrося в трубе.
Рассмотрим сферическую жидкую каплю в безrраничной rазовой среде.
Жидкая фаза представляет собой раствор, состоящий из иниrибитора водноrо
раствора метанола. Обозначим мольные доли воды и метанола в капле через
Xw и Хм. rазовая фаза представляет собой мноrокомпонентную смесь, включа
ющую природный rаз с мольными концентрациями компонентов У.. а также
пары воды Yw И метанола Ум' В начальный момент времени t О заданы
радиус капли Ro, темпераryры капли T Lo и Т со, молъные концентрации жидкой Х иф
Х мо И rазовой у,о' ywQ, Умо фаз.
Сделаем следующие предположения: rаз неподвижный, капля не движется
относительно rаза; на межфазной поверхности жидкость rаз существует ло
кальное термодинамическое равновесие; давления в rазовой и жидкой фазах
равны и постоянны; природный rаз считается нейтральным. Это означает, что
он не растворяется в жидкой фазе, в то время как возможен перенос воды и
метанола через межфазную поверхность; характерное время процесса тепломас
сопереноса в rазовой фазе мало по сравнению с характерным временем в
жидкой фазе. Это предположение позволяет сформулировать задачу в квази
стационарном приближении: распределение концентраций компонентов и TeM
пературы в rазе является стационарным и зависит только от расстояния r от
центра капли, в то время как концентрации компонентов и температура в
жидкой фазе изменяются со временем и однородны по объему капли; природ
ный rаз рассматривается как один компонент (псевдоrаз), свойства KOToporo
определяются по известным правилам усреднения для мноrокомпонентных смесей
[9]. Мольная концентрация псевдоrаза обозначается УпС; перенос массы компо
нентов в rазе обусловлен механизмом молекулярной диффузии, характеризуе
мым бинарным коэффициентом диффузии D,т; перекрестными эффектами
пренебреrаем.
Задача об испарении капли в идеальную rазовую среду в подобной поста
новке рассматривалась в разделе 6.9. Уравнения, описывающие перенос массы
и тепла в rазовой фазе с учетом сферической симметрии и стационарности
процесса, имеют вид
;r (r2j,) о; ;r (r 2 E) = о (i = W, М, пG),
(21.9)
rде J, удельный мольный поток i ro компонента; Е удельный поток тепла.
Потоки массы и тепла в мноrокомпонентном rазе
J РСДт dy, " ! ( " М G)
, = Мс d; + Y'.L.- } 2, ] = W, , п ,
;
Е = лс dJ; + LJ;H c ;,
;
(21.10)
rде Рс, Ме, Лс, Не; плотность, молекулярная масса, коэффициент теплопро
водности rаза и мольная энтальпия j ro компонента rаза.
rраничные условия для (21.9) и (21.10) следующие:
J, J'B; E EB; Y' Y'B; Tc TB при r R. (21.11)
Вдали от капли заданы концентрации компонентов, температура и условия
оrраниченности потоков
539
y, y,oo; Ta Too; If,I, IEI<C при r oo.
(21.12)
Cor ласно четвертому предположению поток массы природноrо rаза на
поверхности капли
f"GB == О.
(21.13)
Уравнения, описывающие изменения со временем концентраций компонен
тов, температуры и объема капли, MorYT быть получены из условий баланса
массы, энерrии и объема:
:t (Nx,) == 4rr.R2j,B; 2>} == 1; i, j == W, М;
}
dN 4 R 2" f .
dt 1t L-}B'
}
(21.14)
== 41tR2LvLjf}B;
}
:t [ N"fx} (н Lj Р VLj)] == 41tR2"f HG}Bf}B Р .
Здесь N == V /LVL}X} == V /VLт число молей в капле; v z !, V Lт мольные
}
объемы j ro компонента и смеси жидкой фазы; R, V радиус и объем капли;
Нц мольная энтальпия j ro компонента жидкой фазы.
Системы уравнений (21.9), (21.10) и (21.14) следует дополнить выражени
ями для энтальпий
на} == Hg} +Сра/Т а TO); H L ; == Н2} +CpLj(T L TO) (21.15)
и условиями, накладываемыми на температуры rаза и жидкости и мольные
энтальпии на межфазной поверхности
Та == T L == ТВ; На}в HL;B == 1 + (С ра ) CpL)(TL TO), (21.16)
rде С ра !, C pL } удельные мольные теплоемкости компонентов rазовой и жидкой
фаз; Hg;, Н2;, lJ мольные значения энтальпии и теплоты парообразования
соответствующих компонентов при температуре ТО.
Начальными условиями для уравнения (21.14) являются
Х,(О)==х,о; TL(O)==T Lo , R(O)==R o (21.17)
Для замыкания системы уравнений (21.9) (21.17) к ним необходимо дo
бавить соотношения, связывающие значения концентраций в обеих фазах на
межфазной поверхности. Предположение о термодинамическом равновесии на
межфазной поверхности позволяет воспользоваться результатами работ [62, 63],
соrласно которым равновесные значения массовых концентраций паров воды
СиВ И метанола С мв в rазе следующие:
С 2,93 10 4YtLXu [18 31 3816,44 103
wB ехр , +
T L TL 46,13
+ 18р + 2/3тР ] .
ATL zATL + а т /3тР ,
540
с = 3,9psYMXM [ lL ( 15 VLMN )] .
тВ zT ехр АТ 2'
L Т.
а т = La}Y}B; 13т = L13}Y}B'
} }
(21.18)
Здесь z коэффициент сжимаемости rазовой фазы; А rазовая постоян
ная; 8 эмпирический коэффициент; V LMN мольный объем метанола при
нормальных условиях; Ps давление насыщения паров метанола, определяемое
по формуле Антуана
ps = 1,33 .10 4 eX P ( 18,S9 3626,55 ) .
п 34,29
Значения коэффициентов а} и 13} подобны с использованием экспери
ментальных данных по влаrосодержанию чистых rазов: СН 4 а = 0,725,
1п 13 = 6,87 0,0093 T L ; дЛЯ С 2 Н в а =о 0,76, 1n 13 =о 7, 19 0,008 T L ; дЛЯ СО 2 и С з +
а =о 0,568 0,0008 Тт, 1n 13 =о 8,85 0,0117 T L ; дЛЯ H 2 S а =о 0,56 0,0009 TL'
1n 13 = 8,44 0,0091 T L .
Эмпирический коэффициент 8 определяется по форму лам
15 { eXP(7,83 0,Q1TL) при 280K<T L ::;340К,
exp(8,103 0,011TL) при 243К::; ТТ ::; 280к.
Следует заметить, что входящее в (21.18) давление Р измеряется в МПа.
Используя далее связь мольных концентраций с массовыми
С,в
У.в =
M,L(C}B/M})
J
и подставляя в (21.18), найдем необходимые зависимости У,в от Х} И T L .
Таким образом, система уравнений (21.9), (21.10), (21.14), (21.15), (21.19)
с rраничными и начальными условиями (21.1!) (21.13), (21.16), (21.17) и
соотношения (21.18) описывают динамику тепломассообмена водометанольной
капли внеподвижном rазе в рамках сделанных ранее предположений.
Уравнения (21.9), (21.10) с условиями (21.1!) (21.13) решаются неза
висимо от остальных. Вводя безразмерные переменные
(21.19)
R = . 't = 3VLwopc D wm t . f =o .
Ro ' М R 2 ' L Т '
с О LO
т Тс . T О ТО . d D.m . vLm .
lC T ' -;;:;-----,."' D 'V Lm ,
LO lLO wm VLwO
VT. . 1 J.RoMc. CpLm .
v и , , D ,c pLm ,
VLwO Рс wm CpLw
1 О 10 . СрС. . CpL. .
, 1 2 ' Срс. ' CpL. ,
.w pCw pTw
cpcu,PcDwm CpCw 18.
Е= . /--L . V=
лсМс ' CpLw ' TLocpCw'
получаем систему уравнений, описывающих изменение безразмерных KOHцeHT
раций компонентов, температуры и радиуса капли;
541
d Х, VLm ( " 1 1 ) ( . )
'd; == R Х, 7 } ,в 1 == W, М ;
dT L J.lvLm { а(Тс T L )
'd; == f;RcpLw R(exp(a) 1)
ЕV I}B[ O + y ( Cpc) СрL} )(t т о)]}
dR 1" 1 .
dТ зL..JVL} }В'
}
1 1 У}В У}оо exp( RIB/d}B) ( . )
}В В } W, М, nG ;
1 exp( RIB/d}B)
1 В == d,. B 1» ( 1 Ywoo УМОО ) ;
R 1 YwB УМВ
а == E R L I}вСрс} ;
}
VLm == LX}VL}; CpLm == LX}CpL};
} }
к этим уравнениям следует добавить начальные условия
х,(О) == Х'О; t(O) == R (O) == 1 (i == W, М),
(21.20)
(21.21)
а также условия (21.18), (21.19), переведя их в безразмерные соответствующим
образом.
Xw
I
Il
1,0
0,5
О
75
150 't
Рис. 21.1. Зависимость мольиой концентрации
воды в капле Xw от 't для различных зиачений
давлеиия и иачальныx массовых содержаиий
метавола (T Lo - 313 К; Т GO - 288 К):
f 12 МПа; 2 8 МПа; 3 4 МПа, 4 2 МПа,
1 Х МО '" 70 %; II Х МО '" 95 %
542
Система уравнений (21. 19)
(21.21) решается численно. В резуль
тате определяются изменения со Bpe
менем концентрации воды и метанола
в капле, их температуры и радиуса Ka
пель. Входящие в уравнения тепло
физические свойства rазовой и жидкой
фаз MOryT быть определены с помо
щью методов, приведенных в [9]. Pac
четы проводились для различных зна
чеЮ1Й давлеюlЯ, начальных температур
капли и rаза и исходной KOHцeHTpa
ции метанола в растворе инrибитора.
Состав rаза, используемый в расчетах,
зависит от р, Т и должен предвари
тельно определяться с помощью ypaB
нений парожидкостноrо равновесия.
Так, для р == 8 МПа и Т == 313 К имеем
следующий состав (% мольные):
N 2 ""0,81; СО 2 == 0,22; СН 4 ==96,97;
С 2 Н в ==1,74; С з Н в ""0,16; i C4==0,07;
n C4 == 0,03.
На рис. 21.1 показана зависи
мость мольной концентрации воды в
капле от безразмерноrо времени 't' для 't' eq
различных значений давления и началь 180
ных массовых содержаний метанола
70 % и 95 %. Со временем метанол ПОk
ностью испаряется из капли. Обозна
чим через 't'eq характерное время YCTa
новления равновесия, определяемое по
заданному отклонению Xw от paBHOBec
Horo значения. Для случая 1 % ro OT 140
клонения зависимость 't'e<J.yOT давления
показана на рис. 21.2. Из приведен
ных расчетов следует, Что в интервале
начальных концентраций метанола 50
100 % определенное таким образом 't eq
практически не зависит от Х мо'
Переход к размерным величинам 100
показывает, что значению 'teq == 1 00 coт 2
ветствует время t == 25 с для капли с Ha
чальным радиусом Ro == 1 0 4 М == 100 мкм.
Поскольку t Rg't', то уменьшение Ro
до 2 . 1 0 5 М снижает t до 1 с. Данные,
представленные на рис. 21.1 и 21.2, co
ответcrвуют температуре rаза Те == 313 К и начальной температуре капли T Lo == 288 К.
Со временем температура капли растет до температуры rаза, причем xapaKTep
ное время проrрева капли тт HaMHoro меньше 't eq . Представляет интерес изме
нение со временем мольных концентраций воды и метанола в rазовой фазе на
поверхности капель. Значение YwB монотонно растет и стремится к соответствую
щему значению насыщения. Мольная концентрация метанола Умв сначала рез
ко возрастает и достиrает максимальноrо значения за время тт, После Toro, как
температура капли достиrла температуры rаза, поток испаряющеrося метанола
уменьшается, что приводит к снижению Умв в приповерхностном слое. Расчеты,
проведенные для различных значений начальных температур rаза и капли,
показали, что на динамику массообмена капли с rазом основное влияние OKa
зывает температура rаза, а не разность начальных температур rаза и капли.
Это объясняется тем, что характерное время установления температурноrо paBHO
весия на порядок меныпе xapaкTepHoro времени установления концентрацион
Horo равновесия. Поскольку испарение метанола происходит более интенсивно,
чем конденсация на капле паров влаrи, то размер капли со временем уменьша
ется. Повышение давления приводит к уменьшению paвHoBecHoro размера капли.
Рассмотрим процесс массообмена ансамбля капель с одинаковым началь
ным радиусом Ro. Обозначим через W o и n начальную объемную и счетную
концентрации капель, через q массовый расход инrибитора, в Kr на тыс. м 3
rаза при нормальных условиях. Введенные величины связаны следующими
соотношениями:
7
12
р,МПа
Рис. 21.2. Зависимость xapaKTepHoro времеии
установления равиовесия в капле т'ч от дaB
ления р (T Lo 313 К; Т 00 288 К; XMO 95 %)
пт 4 R 3 2,93pq
ууо п on .
3 ZTePL
Предположим, что дробление и коаrуляция капель отсутствует. Это озна
чает, что n остается постоянным.
Среднее расстояние между каплями оценивается формулой Lav R/ VW ,
поэтому увеличение давления и расхода инrибитора уменьшает Lav. При этом
(21.22)
543
на массообмен рассматриваемой капли с r"азом оказывают влияние соседние
капли. В таком случае rоворят о массообмене капли с учетом стесненности.
Рассмотрим массообмен выделенной капли с окружающим rазом. Оставим
в силе все сделанные ранее предположения. В таком случае уравнения (21.9),
(21.10) и (21.14) сохраняются. Справедливы также условия (21.11), (21.13) и
(21.16) на поверхности капли, в то время как условия (21.12) вдали от капли
должны формулироваться на расстоянии r = R j = R/2'VW. Кроме Toro, в pac
сматриваемом случае со временем изменяются W, Yioo И Т с.
Уравнения, описывающие изменения Yioo И Тс MorYT быть получены из
соотношений баланса массы и энерrии единицы объема rазожидкостной смеси,
которые в безразмерных переменных, введенных выше, имеют вид
I iB YiooLI}B
dYioo w; R 2 J
<p о I W
dTc q>lPW o { а(Тс T L )
= (1 W)cpcт R(exp(a(1 R/R j » 1)
EV IjB[li + y ( CpCj CpLj)(fr TO)]}
а = d{ 'lJjBCpCj; W = R 3; Yioo(O) = УiO; ТС(О) = fco.
j
(21.23)
Здесь дополнительно введены безразмерные параметры
W = W;1Vo; <р = MC/vLwOpc; R j = RI/Ro; ТСО = Tco/I'Lo,
В рассматриваемом случае наиболъший интерес представляет влияние pacxo
да инrибитора q на динамику массообмена капли с rазом. На рис. 21.3 показано
изменение со временем х'" для различных значений q. Увеличение расхода инrи
битора приводит к более сильному влиянию стесненности на процесс массообмена
и, как следствие этоrо, к менее интенсивному испарению метанола. Изменение со
временем влаrосодержания в rазе носит немонотонный характер (рис. 21.4).
Минимальное значение У",О с увеличением расхода инrибитора становится более
резко выраженным и смещается в область меньших значений <. Характерное время
установления равновесия в системе, определяемое по влarосодержанию в rазовой
фазе, уменьшается с увеличением расхода инrибитора (рис. 21.5). Изменение q
влияет также на установившийся размер капель. Этот размер с ростом q увели
чивается, так как каждая капля отдает rазу меньше метанола. Но посколъку число
капелъ данноrо радиуса с ростом q увеличивается, то суммарное количество Meтa
нола, перешедшее в rазовую фазу, возрастает. В итоrе это приводит к увеличению
u .
молънои концентрации метанола и уменьшению концентрации паров воды в rазе.
В результате уменьшается температура rидратообразования. Теплообмен капель с
окружающим их rазом слабо влияет на характерное время установлеI-ПIЯ paBHOBe
сия в системе и соответствующие равновесные значения концентрации воды и
метанола в жидкой и rазовой фазах. Это подтверждается расчетами, проведенными
без уравнения энерrии [второе уравнение в (21.20)]. Результаты представлены на
рис. 21.3 и 21.4 штриховыми ЛИI-ПIями.
Движение двухфазной смеси в скважине, трубах и элементах промыслово
ro оборудования характеризуется развитой турбулентностью, которая приводит
к интенсивному перемешиванию смеси и более быстрому тепломассообмену
капель с потоком rаза. Наряду с этим турбулентность приводит к дроблению
544
Xw
1,0
0,5
О
100
200 't {),6
У .103
woo
1,2
1,0
0,8
Рис. 21.3. Зависимость мольиой концеитрации
воды в капле от , для различных значеннй рас-
хода ивrи6итора q (Kr/Tblc. 1013 при иормальных
условиях):
f 1; 2 з; 3 5; 4 10; 5 20; 6 50; 7 0,4
100; Р 8 МПа; T LO 313 К; Т со 288 К; XMO 95 %
Рис. 21.4. Измеиение со временем , влаrосо
держаиия в r 6 азе Yu>«o дЛЯ различиых значений 0,2
расхода ииrи итора q (Kr/Tblc. 1013 при нормаль
иых условиях):
f q 1; 2 3; 3 5; 4 10; 5 20; 6 50; 7
100; Р 8 МПа; T LO 313 К; Т со 288 К; XMO 95 % О
100
400 t
и коаrуляции капель. При турбулентном движении двухфазноrо дисперсноrо
потока с небольшим содержанием жидкой фазы в трубе формируется распре
деление капель со средним радиусом
Rav == 0,12d( У;7 We 3;7, (21.24)
rде d диаметр трубы; We == рси2 /L чис 500
ло Вебера; u средняя скорость rаза в TPy
бе; L коэффициент поверхностноrо натя
жения жидкой фазы.
Оценка значений Rav для характерных
значений параметров показала, что Rav» 1..0'
r де 1..0 == d / Re 3 / 4 внутренний масштаб тyp 250
булентности. В турбулентном потоке по cpaв
нению с покоящимся интенсифицируются как
тепло, так и массообмен капли с rазом, при
Рис. 21.5. Зависимость характериоrо времени YCTa
иовлеиия равиовесия в системе 'еч от q (р 8 МПа;
TLO 313 К; Too 288 К; XMo 95%)
35 1461
't' eq
О
50 100
q, кr/тыс. м 3
545
чем доставка вещества и тепла к поверхности капли или отвод их от нее
происходит за счет механизмов турбулентной диффузии и теплопроводности.
Оценки характерных времен обоих процессов с использованием выражений для
коэффициентов переноса в турбулентном потоке показали, что в рассматрива
емом случае малых объемных концентраций жидкой фазы тепловое равновесие
устанавливается быстрее концентрационноrо. В связи с этим можно пренебречь
разностью температур rаза и жидкости и считать температуру капель равной
температуре rаза. Оставим в силе сделанные ранее предположения и, кроме
Toro, предположим, что в начальный момент все капли имеют одинаковый pa
диус (21.24). При этом процесс массообмена рассматриваемой капли описыва
ется теми же уравнениями, что и ранее, в которых в качестве мольных потоков
компонентов на поверхности капли следует взять соответствующие выражения
для диффузионных потоков к частицам, взвешенным в турбулентном потоке
(см. раздел 16.2). В безразмерных переменных (нижний индекс O означает
значение параметра при начальных условиях)
'ifi prp UVLwt
't .
1 М G d l /3R 2IЗ '
av
R
R .
Ravo '
E== ;
PGVLB
VLj VLm .
VLj == ; VLm V '
VLw Lw
Mi
!:.Yj == Yjoo YjВ; i == MG
уравнения, описывающие изменение концентрации компонентов в капле и rазе,
принимают вид
dx w == [Хш( ш!:.Уш + M!:.YM) ш!:.У",];
dtl R
хм=1 хш;
dYioo 3&W O R7/3 r ( )]
== (1 W) LC,i!:.Yi Yioo rJ!!:.Yw + M!:.YM (i == w, М);
d d R == R VЗ(vLw!:.уw + VLM!:.YM);
Т1
Хш(О) = ХшО; ХМ (О) == ХМО; R (O) == 1; Уwoo(О) = УшО; УМоо(О) = О.
в качестве примера рассмотрим процесс
массообмена капель водометанольноrо paCTBO
ра, введенноrо в турбулентный поток rаза в
трубе при следующих значениях параметров:
диаметр трубы d == 0,4 м; давление р == 8 МПа;
температура rаза Т G == 313 К; расход инrибито
ра q == 1 Kr /тыс. нм 3 ; начальная массовая KOH
центрация метанола в растворе ХМО == 95 %. На
рис. 21.6 показана зависимость xapaKTepHoro
времени установления равновесия в системе teq
от расхода rаза Q, приведенноrо к нормаль
ным условиям. Падение teq с ростом Q объяс
няется уменьшением среднеrо размера капель.
teq, с
3
2
1
о
1
3 5
Q, млн.нм 3 /сут
546
(21.25)
Рис. 21.6. Зависимость характериоrо времени устаиов
ления равиовесия в системе T от расхода raза
Время teq растет с увеличением диаметра трубы и давления при прочих равных
условиях. Зная teq' нетрудно найти расстояние L от места вввода раствора до
точки, в которой наступает равновесие. Так, для paccMoTpeHHoro выше примера
и расхода rаза Q == 5 млн. нм 3 / сут получаем L == 2 м. С уменьшением темпе
ратуры rаза длина L увеличивается. Снижение температуры до 288 К приводит
к росту L до 12 м.
21.2. ЭВОЛЮЦИЯ СПЕКТРА КАПЕЛЬ инrиБИТОРА rиДРАТОВ,
ВВОДИМЫХ В ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОТОК
Наиболее эффективным способом ввода инrибитора rидратов в поток
природноrо rаза, движущийся в трубопроводе, является распыление с помощью
форсунок, в результате чеrо в потоке образуется спектр капель с распределе
ни ем (21.3). Средний размер образующихся капель меньше устойчивоrо раз
мера, xapaKTepHoro для турбулентноrо потока. В процессе движения размер
капель изменяется за счет массообмена с rазом, а также Koary ляции и дробле
ния. Кроме Toro, капли MorYT осаждаться на стенке трубы и срываться с по
верхности жидкой пленки, образующейся на стенке.
Рассмотрим изменение начальноrо спектра капель, описываемоrо распреде
лени ем (21.3), под действием массообмена (испарение метанола, конденсация
паров воды), коаrуляции, дробления и осаждения капель на стенке трубы.
Учесть поток капель от стенки, к сожалению, не представляется возможным,
поскольку в настоящее время в литературе отсутствуют для этоrо надежные
данные.
Эволюция распределения капель по объемам n( V, t) описывается кинети
ческим уравнением (21.7), для решения KOTOporO необходимо знать выражения
для скоростей изменения n(V, t) в правой части уравнения.
Входящее в выражение для Icoag ядро коаrуляции К(ro, V), называемое
иноrда константой коaryляции, обусловливает частоту столкновения капель 06ъeMa
ми ro и V и может быть определено в результате исследования относительноrо
движения двух капель под действием различных сил взаимодействия rрави
тационной, rидродинамической, молекулярной. Характер rидродинамической силы
зависит от структуры потока. В ламинарном потоке относительное движение
капель различноrо размера происходит за счет rравитационноrо ос ения и
rрадиента скорости несущей среды. При этом К(ro, V) определяется сечением
столкновения капель и находится в результате анализа траекторий движения
одной капли относительно друrой [см. раздел 13.1]. В турбулентном потоке
сближение капель происходит за счет хаотических пульсаций, приводящих к
большему по сравнению с ламинарным потоком числу актов столкновения в
единицу времени. Существуют три основных механизма, обусловливающих сбли
жение и коаryляцию капель в турбулентном потоке: инерционный, за счет раз
личных скоростей движения отличных по размерам капель; сдвиrовый (rради
ентный), вызванный наличием сдвиrовоrо течения в окрестности рассматривае
мой капли при обтекании ее пульсациями различноrо масштаба; тур6улентная
диффузия, в основе которой лежит предположение об аналоrии между процессом
диффузии и движением капель под действием случайных турбулентных пульса
ций. В разделе 13.6 показано, что применительно к рассматриваемому процессу
основной вклад в скорость Коаrуляции капель в турбулентном потоке дает Me
ханизм турбулентной диффузии, и ядро коаryляции с учетом сил rидродинами
ческоrо и молекулярноrо взаимодействия капель имеет вид
35* 541
K(V, (О) G(V1/3(01/6 + (VI/6(01/3), (21.26)
rде G = 16 (r /31tРGл. )1/2; r постоянная [амакера, для аэрозолей r= 5 . 1 0 20 Дж;
A.o d /Re 3 /4 внутренний масштаб турбулентности; Re число Рейнольдса по
тока rаза.
Скорость изменения n за счет дробления капель выражена через частоту
дробления ( V) капли объемом в интервале (V, V + dV) и вероятность Р( V, (О)
образования капли объемом в интервале (V, V + dV) при дроблении капли
объемом в интервале «(О, (о + d(O). Модель дробления капель рассмотрена в
разделе 11.7 в предположении, что дробление одиночной капли полностью
определяется флуктуациями диссипации энерrии в ее окрестности. При этом,
если среднее по объему порядка размера капли значение диссипации энерrии
превосходит критическое значение, происходит акт дробления. Отмечено, что
независимо от начальноrо спектра капель через одределенное время в резуль
тате дробления распределение капель становится лоrарифмически нормальным.
Для определения частоты дробления ( V) необходимо оценить минимальный
радиус R min капель, дробящихся в турбулентном потоке. Теоретически этот
размер можно определить, сравнивая силы, действующие на каплю и приводя
щие к значительной деформации ее поверхности. В [6S} приводится выражение
для R min путем сравнения силы вязкоrо трения и капиллярной силы, а в [2}
динамическоrо напора внутри капли и капиллярной силы. Движение капель в
rазе не приводит к значительным силам вязкоrо трения, поэтому предпочти
тельней вторая модель и в качестве R mш имеет смысл взять выражение
:[3/5
R min = 2,64 1/5 '
PG Ё2/5
(21.27)
rде Е = PGu 3 /d средняя удельная диссипация энерrии в потоке.
Частота дробления капли объемом V получена в разделе 11.7:
(V) у(х); у(х) = ..{i;1 exp( x2/2); (21.28)
2,03 211 То 211 ф(х)
х
х aln(bV /Vmin); V min = 41tR in/3; ф(х) = J ех р ( Y; )dY,
'"
rде То = .J Gfi постоянная времени корреляции случайноrо процесса I>(О;
Е(О среднее значение распределения диссипации энерrии в окрестности кап
ли; G динамическая вязкость rаза; параметры а и Ь зависят от вида зависи
мости R min от Е, так, для зависимости (21.27) имеем а 1,44 и Ь 1,22.
Из (21.28) следует, что f(V) монотонно растет с увеличением V. Для объемов
капель, малых по сравнению с минимальным V« V min (Х» 1), частота дроб
ления стремится к нулю как (2л) 1I2 ехр ( x2 /2), в то время как для V» V min
(Х « 1) частота дробления линейная функция ( X.
Как показывают экспериментальные исследования динамики дробления
капель [65], они, как правило, делятся на две примерно одинаковые капли и ряд
сателлитов значительно меньшеrо размера. Поэтому допустимо предположить,
что капля при дроблении делится ровно на две капли одинаковоrо объема. При
этом вероятность дробления может быть представлена в виде
p(V, (О) = 28(V ),
(21.29)
rде 8(х) дельта функция.
548
Подстановка (21.29) в выражение для I br С использованием свойств дель
та функции приводит к следующему результату
I br == 4f(2V)n(2V, t) f(V) n(V, О.
(21.30)
в выражение для скорости изменения распределения капель за счет осаж
дения на стенке трубы I dep входит среднее время жизни капли объемом V в
потоке rаза ft. Ero можно интерпретировать как время, за которое капля объе
мом V достиrнет стенки трубы, усредненное по всем начальным положениям
капли в поперечном сечении потока. Для определения ft необходимо сначала
оценить скорость поперечноrо движения капли в потоке rаза. В [67] показано,
что поперечный дрейф капель в ядре турбу лентноrо потока происходит за счет
rравитационной силы и скорость дрейфа
и . == trg,
(21.31)
rде t r время релаксации капли, причем дЛЯ BЫCOKO и rрубодисперсных ча
стиц t r == P L D2/18J!a; 9 ускорение свободноrо падения.
В тонком пристеночном слое скорость миrрации частиц к стенке опреде
ляется полуэмпирической зависимостью
{ 7,2S '10 4 ( Т+ ) 2 Ud при 1 Т+ < 16,6;
и т == 1 + 0>+,+ + 0>+,+
0, 2U d при 1 '+ 16,6,
+ 0>+,+
(21.32)
rде "+ == D2PLU /18vbPa безразмерное время релаксации капель; 0)+== 2Ov а Ра/
dPLUd безразмерная частота крупномасштабных пульсаций; Ud == u(k r /8)1/2
динамическая скорость rаза; k r коэффициент сопротивления трению; Уа
кинематическая вязкость rаза.
Оценка скоростей rравитационноrо осаждения и миrрации капель показы
вает, что U s « и т . Это означает, что время жизни капли определяется BpeMe
нем ее пребывания в ядре потока. После усреднения t/ по всем начальным
положениям в сечении ядра потока получим
lt == 36dJ!a/ 1t gp L D2.
(21.33)
Таким образом, кинетическое уравнение (21.7) и соответствующие ypaBHe
ния (21.8), (21.26), (21.28) (21.30), которые нужно дополнить уравнениями
(21.25) для определения изменения объема капель за счет массообмена, описы
вают изменение начальноrо распределения капель по объемам n ф ( V, t) за
форсункой, которое связано с распределением по диаметрам nф(D, t) COOTHO
шением
nф(V, t) == 2 nф(D, t).
в общем случае полученная система уравнений может быть решена чис
ленными методами. Оценка характерных времен процессов позволяет суще
ственно упростить систему уравнений и метод решения.
Характерные времена массообмена и коаrуляции капли среднеrо объема V c
оцениваются выражениями
(21.34)
Маd1lЗVс
t mass 1/3 2/3
Р/ Ра UVLw
1/2
t
coag GW O
549
Здесь V cl средний объем капли после завершения процесса массообмена.
Для характерных значений параметров MG 20 Kr /кмоль, d == 0,5 м, V c ==
==10 15мз. Vcl 3'10 17M3, PL==103 Kr / M 3, РG==SОкr/мз. U==1SM/C, v Lw ==2x
х 10 5 м 3 /моль, W o == 5 '10 5 м 3 /м 3 отношение характерных времен массообмена
и коаrуляции tmass/t coag 10 4. Это означает, что в процесс е массообмена Koary
ляцию капель можно не учитывать. Кроме Toro, если средний объем капель,
формирующийся на выходе форсунки, меньше минимальноrо радиуса дробя
щихся капель, то MO HO пренебречь и дроблением капель. Для выбранных
значений параметров t/ t coag , поэтому можно не учитывать также осаждение
капель на стенке трубы.
Таким образом, процесс массообмена капель протекает HaMHoro быстрее
друrих процессов. При этом эволюция начальноrо распределения (21.3) опи
сывается уравнением
: + at (n )==o; n(V,О)==nф(V), (21.35)
которое вместе с системой уравнений, описывающей массообмен капли, позволя
ет исследовать динамику массообмена полидисперсноrо ансамбля капель с
уrлеводородным rазом.
Отметим, что в процессе массообмена сохраняется счетная концентрация
00
капель N == Jn(V, t)dV, а объемная концентрация и средний размер капель
о
уменьшаются за счет более интенсивноrо испарения метанола по сравнению с
конденсацией паров воды.
Заменим распределение (21.3) лоrарифмически нормальным распределе
нием капель по объемам
(V) ( In2(V /V.» )
пф r ехр 2'
а"п V а
(21.36)
Параметры а иV* этоrо распределения выберем таким образом, чтобы у
соответствующеrо распределения капель по диаметрам и исходноrо распреде
ления (21.3) совпадали значения средних диаметров и дисперсий:
.
а == {181n [ (1 + /3) ехр (J3)Ei ( /3) DI/2;
3 { } 3
1tf). 1t
v: D3
· 6 6 тах (1+ )H1+ )exp( )EH )]I/2
(21.37)
Рассмотрим изменение распределения капель по объемам только за счет
процесс а массообмена с окружающим ra30M.
Пусть в начальный момент распределение имеет вид (21.3). Распределение
(21.3) характеризуется тремя параметрами: N, и Dma:x. По смыслу N число
капель в единице объема rазожидкостной смеси; /3 параметр, характеризую
щий конструкцию форсунки и равный соответственно 0,35 для прямоструйной
и 0,19 для центробежной форсунок. Выражение для Dmax получено для прямо
струйной форсунки В результате обработки экспериментов по пневматическому
распыливанию [67]
( )( 1+ 1061-11 ) 1/12 ( 1 0,S PG ) ==4,8'10 5
PLu 2 D max PLDmax PL
И для центробежной форсунки [47]
550
(21.38)
Dmax ==8,S ( ) '/3 ( 1+ 10б!!i ) I/IО ( 1 0,S РG ) . (21.39)
h АРфh PL"i.h PL
Здесь L коэффициент поверхностноrо натяжения жидкости; PL' PG
плотности жидкости и rаза; u скорость истечения жидкости из форсунки;
J.1L динамическая вязкость жидкости; f..рф перепад давления на форсунке;
h толщина пелены жидкости на срезе сопла форсунки.
Параметр N можно выразить через удельный массовый расход ЖИДI<ОСТИ QL,
а также максимальный объем капель V тах И параметр :
N==Сф) ;
pLV max
сф)== (1+ ) ,
(1 + exp( )Ei( )]
rде Ei( ) интеrpальная показательная функция.
Наряду с распределением капель по диаметрам (21.3) введем распределе
ние их по объемам
(21.40)
dD 2
пф(V) == пф(D) == пф(D) .
dV 1tlJ2
Подставив (21.3) в (21.41), получим
(21.41)
пф(V) == { NФ( V ax У/3 exp[ ( v;x )'/3].
О,
V Vmax;
(21.42)
V > Vmax;
N qL
Ф 3PL V ax[exp( ) + Ei( )]
Рассмотрим единичный объем уrлеводородноrо rаза, в котором в началь
ный момент однородно распылен водометанольный раствор cYMMapHoro объема
QL/ PL в виде капель с распределением (21.42). fаз характеризуется мольными
долями компонентов У; (i == w, м для паров воды и метанола и i == 1, S для
остальных компонентов). Состав капли задается мольными долями, воды И
метанола X j (j == w, м). Температуры и давления в жидкой и rазовой фазах
одинаковы.
Предположим, что rаз неподвижный и капли не движутся относительно
rаза; объемное содержание rаза мало; природный rаз нейтральный; на межфаз
ной поверхности существует равновесие; характерное время тепломассопереноса .
в rазовой фазе мало по сравнению с характерным временем в жидкой фазе;
природный rаз рассматривается как один компонент (псевдоrаз), свойства KO
Toporo определяются по известным правилам усреднения для мноrокомпонент
ных смесей; коаryляция и дробление капель отсутствуют; распределение капель
по объемам изменяется со временем в результате изменения размера капель за
счет испарения метанола и конденсации паров воды.
Динамика процесса массообмена монодисперсноrо ансамбля капель инrи
битора с уrлеводородным rазом в рамках сделанных предположений в квази
стационарном приближении рассмотрена в разделе 21.1. В безразмерных пере
менных
V V 3vLwoP G D w t D D j .
== V o ; 't == MG(3V o /41t)2/3 ; j Dw '
551
J i M G (3V o /41t)1/3
V Щт . [; == ;
Lm vLmO ' PGd w
W
w==
W o
система уравнений, описывающая изменение со временем концентрации воды и
метанола в капле и объема капли, имеет вид
dxw dVLm ( " )
d;- == VI/3 XWL;[jВ [wБ , ХМ == 1 Xw;
dV == l V 2;'3"vL'[B'
d't 3 } } ,
}
[ [ УjБ ехр( VI;'3IБ2W /Dj) Yj ехр( V1/3IБ/Dj)
jБ Б ехр( Vl/3IБ2 /Dj) ехр( Vl/3IБ/Dj)
1 Б == !!.nGБ ln ( 1 Yw ) ;
V 1;'3 1 УwБ
УiБ == f(ХjБ) (i, j == w, М).
Здесь V o характерный объем капель, в качестве KOToporo выбран V max ;
V мольный объем; Dj бинарный коэффициент диффузии; 1 j молярный
поток; М молекулярная масса; нижние индексы L, Q обозначают параметры
жидкой и rазовой фаз; О, т значения в начальный момент времени и ycpeд
ненные по составу; В значения на межфазной поверхности.
Из условия баланса массы единицы объема rазожидкостной смеси с распре
делением капель по объемам п( V, О следуют уравнения для молярных KOH
центраций компонентов в rазовой фазе:
(21.43)
dYi <pW o "' f ( L )
== V 2;'3 [' Б У . 1 . Б п dV
d't 1 W " . } '
о }
(21.44)
'"
rде ер == MGqL/PGVLmOPL; W o == QL/PL; n == n3PL VJax/QL; W == W o f V n d V .
о
По смыслу W o и W начальное и текущее объемные содержания жидкой
фазы 11 смеси.
Для замыкания системы уравнений (21.43) и (21.44) необходимо ypaBHe
ние, описывающее изменение п(V, О. Поскольку изменение распределения
капель по объемам происходит только за счет массообмена капель с окружа
ющим их rазом, то это уравнение имеет вид
дn + ( п dV ) == О.
дт: av d't
(21.45)
Таким образом, система уравнений (21.43) (21.45) с начальными усло
виями
Xw(O) == XwO; V (O) == V O ; Yi(O) == УiO; n(V,O) == пф( V )
(21.46)
описывает изменение со временем концентрации воды и метанола в обеих фазах
и распределение капель по объемам.
Для случая малых объемных концентраций капель ( W « 1) уравнения
(21.43) и (21.44) можно решить независимо от (21.45), а затем из (21.45)
определить изменение со временем распределения п ( V , -r). в то же время
552
решение уравнения (21.45) можно получить, используя выражение для d V / dr:
и мольных ПОТОКОВ 1. в , 1 В на поверхности капель. Обозначив
d;: = V1I3f(т:); {(т:) = LV/JB V 1/3
}
(21.47)
и введя вместо т: и V новые переменные
f
= Jf(т:)dт:, 1'] = 1,S V 2/3,
о
(21.48)
преобразуем уравнение (21.45) к виду
: [ С; )'/3 n] + [ ( Ч ) 1/2 n] = О.
(21.49)
Общее решение уравнения (21.49) имеет вид
( ) 1/2
п(1'], ) = Ч Р(1'] ).
(21.50)
Использовав далее начальное условие (21.42)
( ) I/2
2ч
п(V,О)=п ф (V)="3 F (1']) ,
получим
n( V , т:) = { Nф Сзч У1/2[ 2(Чз ) T2 exp{ [ (1'] )T/2},
О,
1'] ::5: 1,5;
1'] > 1,5.
(21.51)
На рис. 21.7 показаны рассчитанные изменения со временем плотности
распределения капель по диаметрам для прямоструйной и центробежной фор
сунок. Параметры rаза и инrибитора rидратообразования те же, что и в примере
расчета, приведенном в разделе 21.1.
Рассмотрим теперь массообмен капель в турбулентном потоке. В качестве
начальноrо распределения возьмем лоrарифмически нормальное распределение
(21.36), которым мы приблизили исходное распределение (21.3)
одель динамики массообмена монодисперсноrо ансамбля водометаноль
ных капель, взвешенных в турбулентном потоке уrлеводородноrо rаза была
рассмотрена в разделе 21.1. Основными допущениями являлись нейтральность
уrлеводородных компонентов, локальное термодинамическое равновесие на
межфазной поверхности и квазистационарность, соrласно которой распределе
ние компонентов в жидкой фазе однородно по объему и нестационарно, в то
время как в rазовой фазе в приповерхностном слое оно устанавливается прак
тически MrHoBeHHo. Аналоrичный подход в полидисперсном случае с непрерыв
ным распределением капель по объемам п( V, t) позволяет получить следую
щую систему уравнений, описывающую изменение молярных концентраций воды
Х и , и метанола ХМ = 1 Хи в ЖИДI<ОЙ фазе, компонентов в rазовой фазе У.. а также
объема капли V:
dxw 3VLm [ ( ) ]
= V 2 19 XW wf..Yw + MДYM wf..Yw ;
553
8
б
(п/N) . 10 з
56 3
2
а
(п/N) . 10 з
8
24
40
16
24
О
40
80
120
150 200 О
Дмкм
40
80
120
D, мкм
Рис. 21.7. Измеиение со времеием плотности распределения капель по диаметрам для прямо
струйиой (о) И цеитробежиой (6) Форсуиок:
1 1 с; 2 15 с; 3 100 с
dy. 3Б [ "' f "' f )
--i-= 1 W ; V7I9ДУiпdV У.L i V 7 19ДУjпdV ;
о } о
dV L
=3 V L -V 719 Д у . r ..
d, .} }'-J}'
}
(21.52)
YjВ = {(х;) (i, j = w, М).
Здесь введены следующие безразмерные переменные:
prp UVLW . V V. VLj. п = nV 0 2;
't = M G DII3(3V o /41'.)219 ' Vo ' VLj vLw '
vLm r М; s: MG
V Lm =v; '-о; = М ; U= p V ; ДУj =Yj YjВ,
Lw G G Lw
rде VLm = LVLXj среднее значение мольноrо объема жидкой фазы; М ;
j
молекулярная масса i ro компонента; V o начальный объем капли; индекс В
соответствует значению на межфазной поверхности.
Последнее уравнение в (21.52), устанавливающее связь между KOHцeHTpa
циями компонентов на межфазной поверхности, вытекает из соответствующих
равновесных соотношений и зависит от давления и температуры.
К уравнениям (21.52) нужно добавить начальные условия
хш(О) = хшо; Yi(O) = У;о; V (O) = 1 (i = w, М).
Изменение начальноrо распределения описывается уравнением
: + at (п ) = о; п (V, о) = пф(V),
(21.53)
которое вместе с системой уравнений (21.52) позволяет исследовать динамику
массообмена полидисперсноrо ансамбля капель с уrлеводородным rазом.
554
Рис. 21.8. Эволюция pac (п/N)' 103
пределеиия капель ииrиби
тора rидратов по диаметрам
при их массообмеие с уrле 10
водородным rазом:
f 0,2 с; 2 0,02 с, 3
0,002 с
5
О
10
20
30
Дмкм
в качестве примера рассмотрим массообмен водометанольных капель с
природным rазом при температуре 293 К и давлении 6 МПа. Расход инrиби
тора составляет 1 Kr на 1000 м З rаза при стандартных условиях. Массообмен
происходит в трубе диаметром 0,4 м, расход rаза составляет 10 млн мЗ/сут.
Начальное распределение капель по диаметрам (21.3) характеризуется следу
ющими значениями параметров: 13='0,19; Dmax=' 1,25' 10 4 м. Для соответствую-
щеrо лоrарифмически нормальноrо распределения имеем а=' 3,38 и D. =' 1,3 . 1 0 5 м.
Система уравнений (21.52), (21.53) решалась численно. На рис. 21.8 показана
эволюция распределения капель по диаметрам. Со временем средний диаметр
капель уменьшается от начальноrо значения 2' 10 5 М до 7,9' 10 6 м, а диспер
сия от 1,61 . 10 5 м до 8,6 . 10 6 м. Характерное время установления paBHO
весия равно 0,2 с. На этом же рисунке пунктирной линией показано лоrариф
мически нормальное распределение с параметрами а=' 3,75 и D. =' 5,35 . 10 6 м,
которым аппроксимируется установившееся распределение.
После завершения массообмена капель с rазом эволюция распределения
происходит за счет коаryляции, в результате чеrо средний радиус капель YBe
личивается, и, коrда он достиrнет величины порядка минимальноrо радиуса
дробящихся капель, дробление начинает оказывать заметное влияние на изме
нение распределения по объемам. Одновременно происходит осаждение капель
на стенке, уменьшающее, наряду с дроблением, количество крупных капель. При
этом n( V, t) описывается уравнением
дn
дt = Icoag + lь, I dep '
(21.54)
При решении уравнения (21.54) в качестве начальноrо зflачения n (V, О)
следует взять распределение, которое установится после завершения массообме
на капель с rазом.
Неучет потока капель с поверхности жидкой пленки, образующейся на
стенке трубы, означает, что n О при 't 00. Если дополнительно пренебречь
555
осаждением капель на стенке трубы, то существует от личное от ну ля стацио
нарное решение уравнения (21.54), удовлетворяющее соотношению
Icoag + [Ьт == О. (21.55)
Решение уравнения (21.55) можно трактовать также как распределение
капель, которое установится в потоке rаза в результате наступления равновесия
процессов массообмена, коаrуляции, дробления, осаждения и срыва капель при
условии равенства потоков капель на стенку и со стенки.
Перейдем теперь к решению уравнения (21.54). Один из приближенных
методов ero решения метод моментов, который позволяет свести (21.54) к
системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно моментов
распределения n(V, t) [см. раздел 11.1]:
ос
тk == fVkn(V, t)dV (k == О, 1, 2,...).
о
Счетная N и объемная W концентрации капель, а также дисперсия распре
деления а 2 выражаются через первые три момента
т2то т[
N == то, W == mt, а 2 == (21.56)
то
Умножая обе части уравнения (21.56) на Vk, интеrрируя по V в пределах
от О до 00 и воспользовавшись симметрией ядра коаrулЯЦИИ К(оо, V), получаем
d k == ffK(V, oo)[i(V + oo)k VkJn(V,t)n(ro,t)dV doo+
о о
ос 2
+(2t k 1) fVkf(V)n(V, t)dV ( ) з :LG mk+2 ' (21.57)
о
Степенная зависимость K(V, (0) от V и 00 (21.26) позволяет выразить
первое слаrаемое в правой части (21.57) через моменты распределения. Для
Toro чтобы произвести подобную процедуру со вторым слаrаемым, воспользуем
ся асимптотическим поведением {(х) при х« 1 их» 1 и представим частоту
дробления в виде
{ exp( 2 ) x, x O;
2,оз..{i;Т о f(х)== 1 ( Х2 ) (21.58)
exp х:2:0.
.л;. 2 '
Приближение (21.58) хорошо аппроксимирует {(х) в области х Е (----00, 2) U (1,
00). На оставшемся интервале ( 2, 1) наибольшая поrрешность составляет 50 %
при х == О, однако на конечный результат она не оказывает заметноrо влияния.
Будем искать решение уравнения (21.57) в классе лоrарифмически HOp
мальных (21.36), считая параметры распределения N, а и V. зависящими от
времени.
В таком случае момент любоrо порядка может быть выражен через mt, V.
и а следующим образом:
т == vk t e x p[ a2(k2 1) J m
k * 4 1
И интеrpал в правой части (21.57) вычисляется
556
(21.59)
ос k
fVkf(V)n(V, t)dV == Vm1nmO I k ; (21.60)
о 4,06пТ о
Ik == k { exP(Ck)+ ,;;1 eXP(Fk)[exP( E'p ,J;Ek(1 0(Ek»]1;
ааЬ А 2D2
A== ( l+ ) \/2; C k == (2S ka2)2 S2 . D '
2 а 2 а 2 2а2(2+а 2 а 2 ) а 2 ' aa'
Е == 2S ka2 . F. == k ( s a2k ) . S==ln ( Vmin ) '
k 2а' k 4 ' bv. '
0(z) == fexP( z2)dZ.
"п о
Полаrая в (21.57) k == о; 1; 2 и учитывая приведенные выше соотношения,
получаем уравнения для определения первых трех моментов:
d 9S/72 31/36 219 819
== то т\ то тl
13/72 <р 119 + \jI [о то ;
d'tl т 2 т 2
dml ( 5а б ) т(719 .
d epexp 9 1719 1119'
тl то т2
d ( 2 ) 67/36 23/72 (344 2 ) 9419
т2 2 ао тl т 2 а о т 1
d ехр \3/72 ер ехр S0I9 3SI9
тl 4 то 144 то т 2
2 ( 2 )
",I 2 V m1n а о
2 ехр 2 то;
(21.61)
то (о) == тl (О) == т2 (0) == 1.
Здесь введены следующие безразмерные переменные:
GWot mk
'tl == 1 / 2 ; mk ( '
V c (О) exp(13afi/144) == mk О) .
0.139PLv:/6(0)exp(5a /144). V V m1n . V.
ер dJ.lGGW o ' mln Vc(O) , V. == Vc(O) ;
0,078V c 1 /2 (О) ехр (13a /144)
\jI == ТоО W o '
а через W o и <ХО обозначены соответствующие начальные значения.
Поскольку Ik зависит от <х и V., то к (21.61) нужно добавить соотношения,
вытекающие из (21.56) и позволяющие выразить эти параметры через моменты
распределения
.5!:.... == [ 1 + .2.1 n ( т тo )] 1/2 ;
ао a т?
2 .
тl
V. == 1;2 3/2 V.(O).
т 2 то
(21.62)
Таким образом, решая уравнения (21.61) и (21.62), находим безразмерные
моменты то , тl , т2 , что дает возможность проследить эволюцию распределе
ния капель по объемам и изменение основных характеристик распределения:
557
среднеrо объема V c и объемноrо содержания капель W, а также дисперсии
распределения 0'2:
V c тl W а2 exp(a /2)т2тo т?
Vc(O) = то ; W o = тl; а2(О) exp(a /2) 1
Рассмотрим частные случаи, позволяющие упростить уравнения (21.61).
1. Коаrуляция
Пусть распределение капель по размерам изменяется только за счет про
цесса коаrуляции. Полаrая в (21.61) ер = '1' = О, получаем
d 95172
тo тo .
'
dT, т 2
d 23172
т2 2 2/4 т 2
е а о .
'3Л2 '
1 то
(21.63)
т 1 =1; то (0)= т2 (0)=1.
Из (21.63) следует, что
т2 = [(1 h) .,%f; + h]2 /mо , h = 2e a /4 .
(21.64)
Входящий в (21.64) параметр h« 1, поэтому второй момент т2 изменя
ется незначительно. Полаrая в (21.64) т2 = 1, получаем приближенно
т ::::: ( 1 + О 32't ) З,IЗ. l::::: ( 1 + О 32't ) 3.13.
О ,1, V c (О) ,',
..!!:....::::: 1 6,16 !n(1 + 0,32'tl);
ао a
(21.65)
::::: (1 + о 32't )4.69.
V.(O) "
Для значений параметров paccMoTpeHHoro ранее примера и <Хо = 3,7S имеем
t = 12'tl' ИЗ (21.65) следует, что средний размер капель увеличится в 2 раза за
время t 3S с.
2. Коаrуляция и дробление
Пусть эволюция распределения капель осуществляется только за счет
коаryляции и дробления. При этом объемное содержание капель W или первый
момент распределения т 1 остается постоянным и уравнения (21.63) принима
ют вид
d 95172
то то 1 . т ' = 1' ,
d '3172 + '1' ото,
Тl т2
d 23/12 1 a
т2 2 a2/4 т2 'v 2 v. 2
d == е о '3172 mlne 2 то.
Т, то 2
ИЗ этих уравнений следует, что моментыI и параметры установившеrося
распределения
(21.66)
то ('I'9I2IgI2ПЗI8) I; т2 L2 mJ ;
L = 12 Vm n/4Io exp(<x /4);
558
v. == 4 6 .10 3 ех р ( 31(Ха ) ш2712 V 31/4[7/8/31/8.
V.(O) , 32 '1" mln О 2 ,
[ 36 ] 112
== 1 ln (\jI[0L1/4)
ао (Ха
(21.67)
При этом установившийся средний радиус капель
R eq v: 1/3 [ «Х2 (Ха) ]
с с ехр
18
== 0236 \jI712 V 25/12 [59124 [25124 exp ( 25аа ) . (21.68)
, mln О 2 96
Рассмотрим численный пример. Положим d == 0,5 м; J.1G == 10 5 Па' с, PG==
== 50 Kr /м 3 ; PL == 103 Kr /м 3 ; u == 10 м/с; L == 10 2 н/м; W o == 5 . 10 5 м 3 /м 3 . Из
(21.68) находим а=:3; то =: 1,6 . 1 0 3 И R == 3,4 . 1 0 5 м. Полученное значение
установившеrося среднеrо радиуса капель хорошо соrласуется с результатами
работы [3]. Для выбранных значений параметров экспериментальное значение
R =: 3,6 .10 5 м.
3. Осаждение на стенке
Учет только осаждения капель позволяет получить точное решение кине
тическоrо уравнения. В рассматриваемом случае это уравнение сводится к
дn =: ( ) VЗ 1tgPL V2/3n' n(V,О)==nф(V), (21.69)
at 1t 36df.lG '
откуда находим
n =exp( cp v 2/3'tl)' nф(V).
oMeHтыI полученноrо распределения
то ==N==N(O) (X fexp{ htexP( Z )}dZ;
'"
(21.70)
тl == N(O)V a }ex [ ht ех р ( Z ) + Z ]dZ;
'"
(21.71)
т2 == N(0)(V.o)2 a Jexp[ : ht ех р ( ) + 2z ]dZ,
z. == ( v*(0» ) 2/З
rде'<j VC(O) cp't.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. КОЛМОZОРО6 А. Н. О лоrарифмически нормальном законе распределения частиц при дp06
лении/ /ДАН CCCP. 1941. Т. 31. .N.! 2. С. 99 101.
2. Левuч В. Т. Физико химическая rидродинамика. М.: fИФМЛ, 1959. 699 с.
3. rусейнов Ч. С., Асатурян А. т. Определение модальноro размера капель в двухфазном
потоке/ /ЖПХ. 1977. Т. 50. .N.! 4. С. 848 853.
4. Амелuн А. Т. Теоретические основы образования тумана при конденсации пара. М.:
Химия, 1966. 294 с.
559
5. Абрамовuч Т. Н. Прикладная rазовая динамика. М.: Наука, 1976. 888 с.
6. Лоzuнов В. И. Обезвоживание и обессолнвание нефтей. М.: Химия, 1979. 216 с.
7. Деряzuн Б. В., Смирнов Л. П. О безынерционном осаждении на сфере частиц из потока
жидкости под действием сил притяжения Ван.дер-Ваальса/ /Исследования в области поверхнос-
тных сил. М.: Наука, 1962. 188 с.
8. rрадштейн И. С., Рыжuк И. М. Таблицы интеrралов, сумм, рядов и произведений. М.:
Наука, 1971. 1108 с.
9. Рид Р., Прауснuц Дж., Шервуд Т. Свойства rазов и жидкостей. Л: Химия, 1982.
592 с.
10. rуревuч Т. Р., Брусuловскuй А. И. Справочное пособие по расчету фазовоrо состояния
и свойств rазоконденсатных смесей. М.: Недра, 1984. 264 с.
11. Руководство по добыче, транспорту и переработке природноrо rаза/ д. Л. Катц, Л. Kop
нелл, Р. Ка60яmи и др. М: Недра, 1965. 676 с.
12. Прuzожuн И., Дефэй Р. Химическая термодинамика. М.: Наука, 1966. 509 с.
13. Фрuдрuxсберz Д. А. Курс коллоидной химии. Л.: Химия, 1974. 352 с.
14. Hieтenz Р. С. Principles of colloid and surface chemistry. New York: Marcel Dekker,
1986. 815 р.
15. Dussan V. Е. В. Оп the spreading of liqulds оп solid surfaces: Static and dynamic contact
lines/ /Ann. Rev. Fluid Mech. 1979. У. 11. Р. 371 400.
16. Ruschak К. J. Coating flows//Ann. Rev. Fluid Mech. 1985. Y. 10. P. 65 89.
17. Wi/son 5. D. R. The drag out problem in film coating/ / J. Engg. Math. 1982.
У. 16. Р. 209 221.
18. Тау/от О. 1. Cavitation of а viscous fluid in narrow passages/ /J. Fluid Mech. 1963.
У. 16. Р. 595 619.
19. Bretherton К. J. The motion of long bubbles in tubes/ /J. Fluid Mech. 1961. У. 10.
Р. 166 188.
20. Probstein R. F. Physicochemical hydrodynamics. Butterworths, 1989. 318 р.
21. Bogy D. В. Drop formation in circular liquid jet/ /Ann. Rev. Fluid Mech. 1979.
Y.11. Р. 207 228.
22. Релей Д. Теория звука. Т. 11. М.: fостехиздат, 1955. 475 с.
23. иn С. С. The theory of hydrodynamic stability. Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1955. 155 р.
24. Drazin Р. О., Reid W. Н. Hydrodynamic stability. Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1981. 525 р.
25. 5/attery ]. С. Interfacial transport phenomena. Springer Verlag, New.York. 1990.
26. Bou/ton.5tone J. М. The effect of surfactant оп bursting gas bubbIes/ / J. Fluid Mech.
1995. У. 302. Р. 231 257.
27. Yih С 5. Fluid motion induced Ьу surface tension variation/ /Phys. Fluids. 1983.
У. 11. Р. 477 480.
28. Piтpukar 5. М., Ostrach 5. Transient thermocapillary flow in thin liquid layers/ /Phys.
Fluids. 1980. У. 23. Р. 1281 1285.
29. Ratu/owski Л., Chang Н. С. Marangoni effects of trace impurities оп the motion of long
gas bubbIes in capillaries/ /J. Fluid Mech. 1990. У. 210. Р. 303 328.
30. 5tebe К. 5., Lin 5. У., MaldareUy С. Remobilization surfactant retarded particle interfaces.
1. Stress free conditions at the interfaces of micellar solutions of surfactants with fast sorption
kinetics//Phys. Fluids. A. 1991. Y. 3 (1). P. 3 20.
31. 5tebe К. 5., Bartes.Biese/ D. Marangoni effects of adsorption desorption controlled surfactants
оп the leading end of an infinitely long ЬиЬЫе in capillary/ /J. Fluid Mech. 1995. У. 286.
Р. 25 48.
32. Chen J. D Measuring the filт thickness surrounding а ЬиЬЫе inside а capillary / / J. col
loid Interface Sci. 1985. У. 109. Р. 341 349.
33. 5chwartz L. W., Puinceп Н. М., Kiss А. D. Оп the motion of bubbles in сарillзry tubes/ /
J. Fluid Mech. 1986. Y. 172. P. 259 275.
34. Marchessau/t R. F., Mason 5. О. Flow of entrapped bubbles through а capillary/ /lnd.
Engng. Chem. 1960. У. 52 (1). Р. 79 81.
35. Bartes.Biese/ D., Moulai.Mostefa V., Meister Е. Effect of surfactant оп the flow of large
gas bubbles оп capillary tubes: Proc. Physicochem. Hydrod. Nato Conf., La Rabida, Spain: Ed. М.
Verlarde.
36. Hirasaki S., Lawson J. В. Mechanism of foam flow in porous media: apparent viscosity in
smooth capillaries/ /Soc. Petr. Engng. 1986. У. 25. Р. 176 190.
37. 5intey О. М., Radke С. J. The influence of solubIe surfactants оп the flow of long
bubbIes through а cylindrical capillary/ /ACS Symp. Series. 1989. У. 396. Р. 480 501.
38. Herbo/zheiтer Е. The effect of surfactant оп the motion of а ЬиЬЫе in а capillary / /
AIChE Anпиаl Meetings. 1987. 15 20 November. New York. Paper 68.
560
39. Chang Н. С., Ratulowski J. ВиЬЫе transport in capillary / / AIChE Аппиаl Meetings.
1987. 15 20 November. New York. Paper 681.
40. Park С. W. Effects of insolubIe surtactants оп di р coating/ / J. Colloid Interface Sci.
1991. У. 146. Р. 382 394.
41. Borhan А., Мао C. F. Effects of surfactants оп the motion of drops through circular
tubes/ /Phys. Fluids. А. 1992. У. 4(12). Р. 2628 2640.
42. Park С. W. Influence of а solubIe surfactants оп the motion of а finite ЬиЬЫе in а capil
lary tube/ /Phys. Fluids. A. 1992. У. 4 (1O. Р. 2335 2346.
43. Jensen О. Е., Grotberg J. В. Insoluble surfactant spreading оп а thin viscous filт: shock
evolution and filт rapture/ /J. Fluid Mech. 1992. У. 240. Р. 259 288.
44. Gaver D. Р., Grotberg J. В. The dynamics of а localized surfactant оп а thin filт/ /
J. Fluid Mecb. 1990. У. 213. Р. 127 148.
45. Ландау Л. Д., Лифшuц Е. М. Теоретическая физика. Т. VI. fидродинамика. М.:
Наука, 1988. 736 с.
46. Lefebvre А. Н. Atomization and sprays. Hemisphere, 1989. 421 р.
47. Hinze J. О. Fundamentals of the hydrodynamic mechanics of splitting in dispersion
processes/ /AIChE J. 1955. У. 1. N 3. Р. 289 295.
48. Кол.мО20ров А. Н. О дроблении капель в турбулентном потоке/ / ДАН СССР. 1949.
Т. 66. N! 5. С. 825 829
49. Треш Т. Распыливание жидкостей/ /BPT. 1955. N! 4. С. 15 20.
50. Лоzuнов В. И. Динамика процессов дробления капельной жидкости в турбулентном
потоке/ /ПМТФ. 1985. М 4. С. 66 73.
51. Сuнайс"uй Э. Т., Михалева Т. В. Эволюция спектра капель инrибитора rидратов в
турбулентном потоке природноrо rаза/ /ЖПХ. 1993. Т. 66. N! 3. С. 544 555.
52. Касат"ин А. Т. Основные процессы и аппараты химической технолоrии. М.: Химия,
1971. 784 с.
53. Тривус Н. А., Тихонен"о Н. Ф., Федорuн Е. П. Повышение эффективности работы
низкотемпературноrо сепаратора/ /fазовое дело. 1972. N! 1 С. 26 29.
54. Щу"uн В. К., Халатов А. А. Теплообмен, массообмен и rидродинамика закрученных
потоков в осесимметричных каналах. М.: Машиностроение, 1982.
55. Туnта А., Лuллu Д., Сайред Н. Закрученные потоки. М.: Мир, 1987.
56. Фу"с Н. А. Механика аэрозолей М.: Изд. АН СССР, 1955. 351 с.
57. Шлихтuнz Т. Теория поrраничноrо слоя. М.: Наука, 1969. 742 с.
58. Жданова Н. В., Халuф А. Л. Осушка природных rазов М.: Недра, 1975. 158 с.
59. Тух.ман Л. И. Подroтовка rаза северных месторождений к дальнему транспорту. Л.:
Недра, 1980. 161 с.
60. Сун А. М. Осушка rаза дэrом в высокоскоростном прямоточном абсорбере распыли
вающеro типа/ /fазовая пром сть. 1976. N! 10. С. 56 58.
61. Бы" С. ш., Макаzoн Ю. Ф., Фомuна В. И. fазовые rидраты. М.: Химия, 1980.
296 с.
62. Бухzалтер Э. Б. Метанол и еro использование в rазовой промышленности. М.: Недра,
1986. 238 с.
63. Истомuн В. А. Предупреждение и ликвидация rазовых rидратов в системах сбора и
промысловой обработки rаза и нефти. М.: ВНИИfАЗ, 1990. 214 с.
64. Толов"ов Л. Т. Распределение капель по размерам при распыливании жидкости цeHтpO
бежными форсунками/ /Инж. физ. журн. 1964. Т. 7. N2 11. С. 55 61.
65. Эмульсuu: Пер. с анrл./Под ред. А. А. Абрамзона. Л.: Химия, 1972.
66. ]iang У. J., Umemura А., Law С. К. Ап experimental investigation оп the collision
behaviour of hydrocarbon droplets/l1. Fluid Mecb. 1992. У. 234. Р. 171 190.
67. Медников Е. П. Турбулентный перенос и осаждение аэрозолей. М.: Наука, 1981.
176 с.
68. Paloposki Т. Drop size distributions in sprays. Acta politecnica scandinavia. Mechanical
engineering series. 1994. N 114. Р. 1 209.
36 1461
VII
ЖИДКОfА30ВЫЕ СМЕСИ
Под жидкоrазовыми смесями будем понимать смеси, в которых сплошной
фазой является жидкость, а дисперсной rаз. Примером служат нефтеrазовые
смеси, образующиеся при движении нефти по скважинам, элементам промысло
Boro оборудования и нефтепроводам.
Добываемая нефть содержит большое количество растворенных в ней при
больших пластовых давлениях низкомолекулярных компонентов. К ним OTHO
сятся предельные уrлеводороды парафиновоrо ряда метан, этан, пропан и т. д.;
естественные rазы уrлекислый rаз, азот, сероводород и др. При движении
нефти по скважинам и трубопроводам изменяются термобарические условия
(падает давление, изменяется температура), что приводит к нарушению фазово
[о равновесия и выделению из нефти леrких компонентов. В итоrе уже в
скважинах формируется жидкоrазовая или rазожидкостная смесь и в зависи
мости от соотношения объемов rаза и жидкости возможны различные структуры
течения: пузырьковая, пробковая, стержневая и др.
По фракционному составу нефтяные rазы различных месторождений отли
чаются друr от друrа, но, как правило, в них содержится больше Bcero метана
(от 30 до 95 %). При нормальных условиях количественные соотношения меж
ду фазами уrлеводородной системы оцениваются величиной, называемой rазо
вым фактором и имеющей размерность [м 3 /м 3 ] или [м 3 IT]. rазовый фактор
уrлеводородных систем колеблется в широких пределах, от низких, измеряемых
единицами и десятками, до высоких, измеряемых сотнями и тысячами м 3 rаза на
1 т или на 1 м 3 нефти. Очевидно, что при низких значениях rазовоrо фактора
смесь является жидкоrазовой, а при больших rазожидкостной. Поэтому в
первом случае rоворят о нефтеrазовых системах, а во втором о rазоконден
сатных.
Каждое нефтяное месторождение характеризуется своим rазовым факто
ром. Высоким rазовым фактором характеризуются месторождения леrкой He
фти. rазовый фактор может быть небольшим и тоrда, коrда при эксплуатации
месторождения наблюдается прорыв rаза в продуктивные скважины из rазовой
шапки пласта или rазосодержащих rоризонтов. Имеются также месторождения
с очень низким rазовым фактором.
Нефть, поступающая в маrистральный нефтепровод, обладает низким rазо
вым фактором, потому что большая часть rаза, выделившеrося из добытой
нефти, отделяется от нефти в сепараторах в процессе ее подrотовки. Сепарация
нефти от rаза является важным технолоrическим процессом. Реализуется она
в несколько этапов. На первом этапе совершается предварительное отделение
свободноrо rаза, образовавшеrося при движении нефти по скважинам и систе
мам сбора. Дальнейшая сепарация производится в последовательно располо
женных сепараторах, в каждом из которых понижается давление. Такая ступен
562
чатая сепарация способствует отделению от нефти определенной rруппы леrких
уrлеводородов и не позволяет выделиться из нефти сразу большому количеству
rаза. Выделение из нефти большоrо количества rаза приводит к вспениванию
нефти и нарушению нормальноrо режима работы оборудования.
Фазовое состояние нефтеrазовых систем в равновесных условиях опреде
ляется с помощью уравнений парожидкостноrо равновесия на основе единоrо
уравнения состояния (см. раздел 5.7). Чаще Bcero используется уравнение
состояния Пенrа Робинсона.
Разrазирование нефти в процессе ее подrотовки может производиться двумя
способами. Первый способ, называемый дифференциальной сепарацией, состоит в
постепенном мноrоступенчатом разrазировании. На каждой ступени сбрасывается
давление и выделившийся rаз отводится из системы. В результате жидкая фаза
обоrащается высококипящими компонентами, так как вместе с rазом отводится
леrкая часть уrлеводородов. При втором способе, называемом контактной сепа
рацией, производится разовый сброс давления, выделяющийся rаз не отводится
из системы, в результате чеrо суммарный состав смеси во время процесса OCTa
ется неизменным. Суммарное количество rаза, выделяющееся при дифференци
альнам разrазировании, меньше, чем при контактном, поскольку ступенчатое па
дени е давления с одновременным отбором rаза приводит к увеличению KOHцeH
трации в оставшейся нефти тяжелых уrлеводородов и к уменьшению количества
выделяющеrося rаза при дальнейшем понижении давления. Несмотря на это
дифференциальная сепарация имеет то преимущество по сравнению с Koнтaкт
ной, что нефть полнее освобождается от леrких rазов. Конечно, на практике
сепарация не бывает чисто дифференциальной или контактной. Поэтому реаль
ный процесс может быть близок к одному из этих способов сепарации.
Существующие методы расчета процессов сепарации основаны на предпо
ложении о существовании в системе фазовоrо равновесия. На практике боль
шой интерес представляет динамика процесса, в частности определение xapaK
терных времен установления в жидкоrазовой системе равновесия. Учет HepaB
новесности важен при исследовании процесса сепарации, поскольку образующа
яся в rазе rазовая дисперсная фаза не сразу отделяется от жидкости, а необходима
некоторое время, чтобы rазовые пузырьки всплыли к поверхности. В процессе
движения пузырьков в жидкости они изменяют свой размер за счет процессов
массообмена и коаrуляции. Пузырьки, не успевшие всплыть за время пребыва
ния смеси в сепараторе, уносятся из аппарата, и эффективность сепарирующеrо
устройства снижается.
Таким образом, при рассмотрении жидкоrазовых систем возникают пробле
мы, аналоrичные рассмотренным в разделе УI дЛЯ rазожидкостных систем.
22
ДИНАМИКА rАЗОВЫХ ПУЗЫРЬКОВ
в мноrОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ
Если пузырек радиусом Ro в начальный момент поместить в пересыщен
ную при заданном давлении и температуре смесь, то за счет разности KOHцeHT
раций P == PLoo PLu' pacTBopeHHoro в жидкости rаза вдали от пузырька и paB
З6" 563
HOBecHoro значения на ero поверхности возникает направленный диффузион
ный поток pacTBopeHHoro вещества к поверхности. На межфазной поверхности
происходит переход вещества из жидкоrо состояния в rазообразное, в резуль
тате чеrо объем пузырька увеличивается. Рост пузырька, в свою очередь, при
водит к возрастанию скорости ero всплытия и к увеличению конвективноrо
диффузионноrо потока. Постановка задачи и основные уравнения динамики
пузырька в растворе были рассмотрены в разделе 6.8.
Рассмотрим мноrокомпонентный раствор. Распределение концентраций
растворенных веществ описывается уравнением конвективной диффузии
BPiL +и BpiL +И в .! BPiL =D. r2 BPiL (22.1)
Bt r вт r де ,т r 2 Br Вт'
[де И r И Ив радиальная и танrенциальная составляющие скорости потока, об
текающеrо пузырек; r и в сферические координаты; PiL массовые KOHцeHT
рации растворенных компонентов; D im коэффициент бинарной диффузии.
Уравнение баланса массы rаза в пузырьке записывается в виде
.!!.. ( i 1tR 3p.G ) = 41tR2D. ( B PiL ) (22.2)
Bt з' 1т вт r=R'
[де PiG массовая концентрация i ro компонента rаза в пузырьке.
Уравнение динамическоrо равновесия пузырька уравнение Релея име
ет вид
[ .. з . 1 . ] 2L
PL RR+"2(R)2+4vL R R =PG Pro R'
(22.3)
rдe PL плотность жидкой фазы; R радиус пузырька; VL кинематический
коэффициент вязкости жидкости; L коэффициент поверхностноrо натяже
ния; PG давление rаза в пузырьке; Рro давление вдали от пузырька.
Предположим, что rаз в пузырьке представляет собой идеальную rазовую
смесь. Тоrда
Р = LPi; Р; = ATpiG/Mi'
i
(22.4)
[де Р; парциальное давление i ro компонента в rазе; А rазовая постоянная;
М ; молекулярная масса i ro компонента; Т температура в rазе и растворе,
принимаемая постоянной.
Оrраничимся рассмотрением предельно разбавленноrо раствора. Тоrда,
исходя из закона rенри, на межфазной rранице имеем следующую связь между
концентрацией i ro компонета PiwG И парциальным давлением этоrо компонента
в пузырьке:
В piwG/Mi
Р; = i ,
Ps/Ms + L PiWG/Mj
j
(22.5)
[де В ; постоянная rенри; Р.. Ms соответственно плотность и молекулярная
масса растворителя.
К уравнениям (22.1) (22.S) нужно добавить следующие начальные и
rраничные условия:
PiL(r, О) = Piro; PiL(ro, t) = Piro; PiL(R, t) = Piw;
R(O) = Ro; R(O) = о.
(22.6)
564
Уравнения (22.1) (22.5) с условиями (22.6) описывают динамику пу
зырька в растворе при условии, что поле скоростей потока, обтекающеrо пузы
рек, задано, а сам он предполarается недеформируемым.
Ввиду нелинейности задачи ее решение нельзя представить в виде супер
позиции двух решений: задачи о росте невсплывающеrо пузырька и всплытии
нерастущеrо пузырька. Тем не менее существуют два предельных случая, коrда
подобное разбиение задачи возможно. Это случай пузырьков маленьких разме
ров, коrда их всплытием можно пренебречь, и случай пузырьков больших раз
меров, коrда их рост можно не учитывать. При некоторых дополнительных
условиях, которые будут указаны ниже, в первом случае диффузионный поток
на поверхности пузырька определяется из решения задачи о диффузионном
росте невсплывающеrо пузырька, а во втором из решения задачи о KOHBeK
тивной диффузии нерастущеrо всплывающеrо пузырька.
22.1. ДВИЖЕНИЕ НЕР АСТУЩЕrо ПУЗЫРЬКА
В БИНАРНОМ РАСТВОРЕ
Конвективная диффузия на сферическую частицу, помещенную в бинар
ный предельно разбавленный раствор, хорошо изучена для Re 1 [1]. Движе
ние rазовых пузырьков, вообще rоворя, отличается от движения твердой части
цы. Основное отличие состоит в том, что поверхность пузырька свободна или,
как rоворят, незаторможена. Поэтому rидродинамическое сопротивление, испы
тываемое пузырьком при всплытии, меньше, чем у твердой частицы. Однако при
движении пузырька в реальной жидкости ero поверхность стабилизирована
присутствующими в жидкости примесями, в том числе поверхностно активными
веществами. В результате подвижность поверхности пузырька снижается иноr
да до нуля, поэтому они движутся в жидкости, как твердые частицы. Этот факт
отмечен в обзоре [2], посвященном определению скорости всплывающих пу
зырьков.
Оrраничимся всплытием пузырька при Re« 1. Тоrда режим обтекания
пузырька вязкий и распределение скоростей обусловлено решением задачи в
стоксовом приближении. Для предельно разбавленноrо раствора диффузионное
число Пекле Pe D » 1, и при движении пузырька на ero поверхности образуется
диффузионный поrраничный слой, в котором происходит основное изменение
концентрации диффундирующеrо компонента. Нерастущий пузырек всплывает
с постоянной скоростью, и распределение концентрации pacTBopeHHoro в жид
кости вещества описывается стационарным уравнением конвективной диффу
зии. Решение соответствующей диффузионной задачи для твердой частицы и
для пузырька с незаторможенной поверхностью при Re« 1 дают следующие
выражения для диффузионноrо потока на частицу:
для твердой частицы
1 == 7,98(РI00 Рlw)D fUI/2R4;З;
(22.7)
для пузырька
1 == 8( 1[ u }/2 Ю(РI<t> Р1ш)'
Здесь D IL коэффициент диффузии pacTBopeHHoro вещества, который
обозначен индексом 1; и == aR2 скорость всплытия (осаждения) частицы,
(22.8)
565
для твердой частицы а. = 2дрg /9 L' дЛЯ пузырька со свободной rраницей
а. = дрg/3 L'
Считаем, что пузырек содержит rаз только компонента 1. Тоrда выражение
для диФФузионноrо потока позволяет оценить увеличение размера пузырька,
разумеется, при условии, что ero рост происходит достаточно медленно. Пусть
пузырек движется, как твердая частица. Подставляя выражение (22.7) для
потока в уравнение (22.2), получаем уравнение для определения изменения со
временем радиуса пузырька с полностью заторможенной поверхностью:
:t (1 1tR3P ,G ) = 7,98 (Рl'" Рlш) D t 2fu V2 R4/3. (22.9)
К этому уравнению добавим уравнение (22.3), в котором пренебрежем
инерционными и вязкими членами (это можно сделать для относительно боль
ших пузырьков),
2:Е
PG = р"" +'7f'
уравнение состояния rаза в пузырьке
ATp'G
pG=
М 1
И соотношение, вытекающее из закона rенри,
В PlwL/Ml
Рю = 1 /
Ps/Ms + P twL М 1
Рассмотрим всплытие пузырька начальноrо радиуса Ro в слое раствора
толщиной Н. Направим ось х по направлению силы тяжести, поместив начало
на поверхности слоя. Введем следующие безразмерные переменные:
R R . У 6D;fpsAT х' fn = . С = Pl"'L M sBl .
Ro ' пR6 а2 / 3 B1 M s '''!'' Rop", , '" psMtP", '
(22.10)
(22.1!)
(22.12)
С 1 . а= <р .
eq 1 Р",,/Вl ' С", C eq
В новых переменных решение системы уравнений (22.9) (22.12) имeer вид
R 3 1 + 0,5 (2ч> + 3a)( R 2 1) + а (2ч> + 3a)( R 1) +
+ а2(2ч> + 3а) ln R а = (С"" Ceq)(Yo У),
1 а
rде Уо безразмерная rлубина, на которой находился в начальный момент
пузырек.
В частном случае q> « 1, т. е. коrда капиллярным давлением можно пре
небречь, решение (1.1.7) упрощается
( ) 1/3
R о:: 1+(C", Ceq)(Yo Y) . (22.14)
В частности, безразмерное время t, за которое радиус пузырька станет
равным R, определяется соотношением
3 R l ( 2 3 ) In[<R a)/(1 a)]
t С C + <Р+ а С C '
rде t ='ool13D1LATt/1tR081Ml'
566
(22.13)
(22.15)
а б
19R 19R
3 I
II
3
2
2
1
1
о
4
2
о
2
4
6
о
8 19(y yo) l
о
1
2
з 19't
Рис. 22.1. Зависимость IgR от 19 (Уо У) (о) и 19't для раЗJlИЧИЫХ зиачеиий c:
1 50, 2 10, 3 1.5, 4 1.05, 1 точное решение; II без учета капиллярноro давления
При ер« 1 имеем приближенно
3 R 1
't"" .
Сю Ceq
(22.16)
Ha рис. 22.1 представлена зависимость безразмерноrо радиуса пузырь
ка R от r лубины УО у, на которой он находится в момент времени 't, И от 't
для различных значений пересыщения смеси dC == С", Ceq при ер == 1. Сплош
ными линиями показаны кривые, найденные по формулам (22.13) и (22.15), а
пунктирными по формулам (22.14) и (22.16). Из приведенных зависимостей
видно, что при малых значениях dC ер приближенные зависимости (22.14)
(22.16) MOryT привести к завышеннь значениям радиуса пузырька. С увели
чением dC ер отличие в значениях R сдвиrается в область меньших значений
Уо У. Таким образом, при dC» ер капиллярное давление оказывает заметное
влияние лишь на начальной стадии роста пузырька. При Уо 1()4 радиус пу
зырька RH' достиrающеrо поверхности слоя (х == О), определяется с достаточной
Точностью по формуле
[ ] V3
R"" l+(С", Ceq)YH ,
(22.17)
а при выполнении неравенства dCYH» 1, которое практически всеrда ВЫПОk
няется, имеем
r ')1/3
R""l(C", Ceq)YHj .
(22.18)
Здесь Ун безразмерная высота слоя жидкости.
Поскольку R H == RH/Ro, а УН RQ3, то из (22.18) следует, что размер пу
зырька, прошедшеrо через слой высотой Н» Ro, практически не зависит от
\ начальноrо радиуса.
567
В заключение отметим, что полученные результаты справедливы только в
предельном случае, коrда изменение размера пузырька слабо влияет на CKO
рость ero всплытия. В дальнейшем будет показано, Что это возможно, если
размер пузырька превосходит некоторый критический размер.
22.2. диффузионный РОСТ НЕподвижноrо ПУЗЫРЬКА
в БИНАРНОМ РАСТВОРЕ
Рассмотрим теперь диффузионный рост изолированноrо неподвижноrо
пузырька в бинарном растворе. Обозначим через PtL массовую концентрацию
pacTBopeHHoro компонента в жидкости. fазовый пузырек состоит из компонен
та 1. Процесс сферически симметричный, и распределение PtL описывается ypaB
нением кон ективной диффузии (22.1), в котором следует положить ив== О, а
И r == (R/r)2 R при условии Рю« PL:
BPiL + ( !! ) 2 R BPIL == D т r 2 BPIL .
Bt т ат 1 т2 дт Вт
(22.19)
Баланс массы пузырька (22.2) сводится к уравнению
!!... ( i1tR3P1G ) == l ш == 41tR2DiL ( BP1L ) .
Bt 3 дт r=R
(22.20)
Пренебрежем в уравнении (22.3) вязкими и инерционными членами. Tor
да это уравнение примет вид
2L
PG == Рro + R'
к этим уравнениям добавим уравнение состояния rаза в пузырьке
А ю )
PG == рю == , (22.22
.
(22.21)
закон fенри
В PlwL/MI
Рю == 1
Ps/Ms + P 1wL /M I
(22.23)
и начальные и rраничные условия
P1L (r, О) == PlroL; P1L (00, t) == PlroL; P1L (R, t) == PlwL;
R(O) = Ro; п(о) = о.
(22.24)
Существование возле поверхности пузырька TOHKoro диффузионноrо по
rраничноrо слоя позволяет найти приближенное решение сформулированной
задачи. Воспользуемся методом интеrралЬных соотношений, суть KOToporo co
стоит в выделении BOKpyr пузырька диффузионноrо слоя толщиной 8 «R и
предположении, Что изменение концентрации pacTBopeHHoro компонента в жид
кости ОТ PlroL до PlwL происходит В этом слое, т. е. выполняются условия
P1L(R+8,t)==PILro; ( a L ) =0; P1L(R,t)==P1wL'
r=R+o
(22.25)
568
Условия (22.25) позволяют искать распределение концентрации PtL В виде
(x==(r R)/8)
PIL Plrol. == { (1 х)2 при О х 1,
О и х>1
(22.26)
Проинтеrрируем уравнение (22.19) по r в пределах от R до R + 8. Учи
тывая выражения (22.26), (22.25) и условие 8/R« 1, с точностью до членов
порядка 8 / R получаем уравнение
Б P1GR3 P1GoR6
R R3(PlroC PtwL) .
Теперь можно определить диффузионный поток на поверхности пузырька:
(22.27)
1 4 R 2 D ( дрп ) 8 R 4 D (PlroL PlwL)2
1D 1t tL 1t IL 3 .
Br r=R (p1GR3 P1GoRo)
Подставляя найденный поток в уравнение баланса массы пузырька (22.20),
получаем
(22.28)
d(p1G R3 ) == 6R 4D (PtroL PtwL)2
IL 3 .
dt (p1GR3 P1GORO )
(22.29)
Перейдем в уравнениях (22.21) (22.23), (22.27) и (22.29) к безразмер
ным переменным
R == Ji.. . == ( PlroLAT ) 2 D t. а == . q 2L . К == !i.
R ," М O IL , ' R ' Р
о IРro Н {) PI00L оРro ro
Тоrда эти уравнения примут вид
dR == 2Щ [ 1 a(R + q) ] . R (О) == 1;
d-c (R + 2q/З)(R3 1 q) (К 1)R q ,
1) ProMtZ .
R ATptroL '
(1 q 1+q )(1 a(R+q) ) t.
z +
R R3 (К 1) R q ,
Р1С == 1 + q/R
Р1СО 1 + q .
(22.30)
Зависимости R (,,) и z(R), полученные численным интеrрированием ypaB
нения (22.30), показаны на рис. 22.2 и 22.3 для различных значений параметров q
и к. Заметное влияние на рост пузырька на начальном этапе оказывает поверх
ностное натяжение, характеризуемое параметром q. Сначала рост пузырька
сдерживается поверхностным натяжением, внешняя rра ни ца поrраничноrо слоя
удаляется от межфазной поверхности, а затем с ростом R роль поверхностноrо
натяжения уменьшается, толщина поверхностноrо слоя стабилизируется и OCTa
ется со временем постоянной. При этом z (1 + q) 1 и, как следует из послед
Hero уравнения (22.30), относительная плотность rаза в пузырьке уменьшается
и тоже остается постоянной.
Сравним теперь диффузионные потоки для двух рассмотренных предель
569
1
R
32
16
О
100
200
11
R
32
16
300 t О
300 t
100
200
Рис. 22.2. Зависимость радиуса IgR пузырька от времени 't:
1: К== 100; а==5; q: f о; 2 0,5; 3 1; 4 5; [[: q== 1; а ==0,5; К: f 100; 2 10; 3 3
ных случаев. В случае конвективной ДJfффУЗИИ на всплывающий нерастУЩИЙ
пузырек со свободной rраницей диффузионный поток
) ( D'LgR5 ) 1/2
1 = S,8(P'ooL P'tIIL . (22.31)
Диффузионный поток на растущий
невсплывающий пузырек определяется
выражением (22.27). Составив отноше
ние этих потоков, получим
z
3
2
1
О
1
570
10
1 6,8 ( Rc\') ) 3/2 .
lш R '
Rc \} = ( P OOLA2T2D'LVL ) 1/3
MfplRgg
Поскольку z 1, то из (22.32) сле
дует, что при выполнении неравенства
R « 3,16 Rc ') диффузионный поток опре--
деляется выражением (22.28) для невсплы
вающеrо пузырька, а при R» 3,16 Rc I)
выражением (22.31) для всплывающе
ro нерастущеrо пузырька.
Аналоrичная процедура, проведен
ная для пузырька с полностью затор
моженной поверхностью, приводит к
отношению потоков
(22.32)
Рис. 22.3. Зависимость относительиой ТОЛЩllЩ>l
диффузиоииоrо слоя z от радиуса пузырька R
для различиых зиачеиий q (о 5; К 100):
20 R f 5; 2 1; 3 0,5; 4 О
...!......= 3,12 ( R!!» 3/2; Rc 2> = ( pr""LA3T3DILVL J I/3
lш Z R M(plgRJ
Из зтоrо выражения следует, что при выполнении неравенства R «S,12 Rc O
диффузионный п от ок опр ед еляется выражением (22.28) для невсплывающеrо
пузырька, а при R» 5,12 Rc o выражением
(22.33)
( 2D2 9R6 ) 1/3
1 = 7,98(PI""L PlwL) IL
9VL
(22.34)
для всплывающеrо нерастущеrо пузырька.
В заключение заметим, что при проведении оценок принималось, что диф
фузионные потоки I ш для пузырьков со свободной и заторможенной поверх
ностью равны. В действительности поверхностно активные вещества, адсорби
рующиеся на поверхности пузырька, MOryт препятствовать переходу компонен
та 1 из жидкой фазы в rазовую. Этот вопрос будет рассмотрен в разделе 22.5.
22.3. НАЧАЛЬНАЯ СТАДИЯ РОСТА ПУЗЫРЬКА
В мноrОКОМПОНЕНТНОМ РАСТВОРЕ
Рассмотрим начальную стадию роста сферическоrо rазовоrо пузырька
начальноrо радиуса Ro в мноrокомпонентном пересыщенном растворе в процес
се диффузии в Hero растворенных в жидкости компонентов небольшой KOHцeнт
рации. Принимаем, что процесс изотермический, коэффициенты D'L' В, и L
постоянные. Пузырек достаточно мал, так что всплытием ero в жидкости можно
пренебречь.
Уравнения, описывающие динамику роста пузырька, сводятся к уравнени
ям (22.1) (22.5), в которых нужно положить ив=О.
Воспользуемся приближенным выражением для концентрации paCTBopeH
Horo компонента в жидкости в окрестности поверхности пузырька [3]
t
( D'L ) I/2 J R2(X)(BP,L/aт)r=R d
P.wL P,,,,,L ---;-- [ t ] 1/2 х.
. f R4(y)dy
о х
(22.35)
Из уравнения (22.2) выразим
( др ) 1 d(PtGR3)
a L r=R = 3R2 p . L dt
и подставим в выражение (22.35)
t
= ( D.L ) 1/2 М,В. J R2 (x)(dR2 p ,wL/dx) dx
P.wl р.",,[ 7t 3ATD tL [ t ] 1/2 .
J R4(y)dy
о х
(22.36)
Произведя замену переменных по формулам
571
t t
U == fR4(y)dy; v == fR4(y)dy,
о о
преобразуем уравнение (22.36) к виду
( D'L ) I/2 М,В, f U (dR3p,wL/dv) d
P,wL P,ooL и.
7t 3ATD L (и V)I/2
, О
Пренебреrая в уравнении (22.3) инерционными и вязкими силами и учи
тывая соотношения (22.4) и (22.5), получаем
(22.37)
2:2: L B,P,wL/ M ,
роо + R == L Р,о == '
, ро/М. + L Р )wL/ M }
}
(22.38)
Поскольку последнее уравнение справедливо и в начальный момент, то
2:2: L B,P,wLO/ M ,
роо + == '
Ro РО/М. + LP}wLO/M}
}
(22.39)
Вычитая соотношение (22.39) из (22.38), получаем
2:2: ( ) B,P,wLO/ M ,
Ro l R == РО/М. + LP}WLO/ M } Х
}
X [ l B'P'WL/M{ps/Ms+ P'WLO/M') ] .
(B,P,WLO/ M ,) (Ро/м. + P )WL/ M } )
(22.40)
Введем следующие безразмерные переменные:
R
R= '
Ro '
Х == P,wL . Х == P,wLO .
lW , lWO ,
P,,,,L P,ooL
B,P,ooLMsRo
(1, ==
2M,Ps:2:
R == ( D 1L ) I/2 М,В, . == p,ooLM L
1-', D В ' 'У, М .
,L М I 1 Р. ,
При зтом уравнения (22.37) и (22.40) примут вид
u 3
Х == l R J (dR x,w/dv) dv
,ш 1-" (и v)l/2 '
О
(22.41)
"с/. Х [ L(C/.,X,w) ( 1 + LY J X}WO )]
1 L..J 1 lШО 1
1 == ' 1 }
R 1 + L У}Х}шо ( ) .
} (С/.,Х,wO) 1+ YJx}W
(22.42)
572
На начальной стадии роста ищем решение в виде
R = 1 + (; Х;и> = Х;wO(1 + <р),
(22.43)
rде f и <Р;« 1.
Подставив (22.43) в (22.41) и (22.42) и обозначив G; = IPx;w, получим
f U C
х;шо(1 + <Р;) = 1 ; · dv;
(и и)112
О
[ 1 L (c/' j x;wo)(1 + IJ>j) ] L c/';x iwO
(=Е 1 · ; Е= ' .
E1+ YjX}wo(1+lJ>j) 1+ YjXjWO
Разложив G i в ряд по степеням f и <Pi И оставив только члены первоrо
порядка малости, получим
G i = xju.o( 1 + 3f + <pj)'
Тоrда система уравнений, описывающая начальную стадию роста пузырька,
принимает вид
f U C
Х;wO(l + <Р) = 1 ; · dv;
(и и)1I2
О
f Е '" YjXiu'O с/';
= LJ 'l'i<Pi; 'l'i = .
i 1 + L YjXjwO L c/'jXjwO
j j
Применяя к уравнениям (22.44) преобразование Лапласа и учитывая, что
в правой части первоrо уравнения интеrрал представляет собой c epTKY ВВУХ
функций, получаем следующую систему уравнений для изображений Gi(S), f(S)
и q>i(S):
(22.44)
х. 0( 1. + <P . ) = R. ( 2: ) II2 ( SG. х. О ) .
.и> S · S 1-'. S "ш'
1 = E 'I';q>i; с; = Х;wO( t + з1 + Ф;).
решение которых имеет вид
1/S XiwO/S 3BiБS xiwol
<Pi = ;
XiwO (1 + f3i"7tS)
1 = EL'I'i 1 x;wo ( 1+3EL'I' i l3i Ы ) 1
i Sx.wo (1 + f3.БS) i 1 + f3iБS
Поскольку решение ищется при малых отклонениях от начальноrо састоя
ния (t О), то разложим полученные выражения для изображений в ряды в
окрестности бесконечно удаленной точки и оставим только rлавные члены
разложения
( ) 1
1 x'0 1
f=EL'I'i .j;,'w 1+3EL'I'i +...,
i f3i 7tXiwO i S"S
573
{ L"'J(1 XJWO)/f3JXJWO }
<р, = 1 r 1 Х. шо 3Ex. wo l3. J L 1(;;' + '"
f3.,,7t 1 + 3Е "'1 S"S
J
Переходя к ориrиналам, получаем
(:: 2Е2, \jI. 1 Х.шо ( 1 + 3Е2, \jI. ) ! Jt + ...,
. I3,1tX,wO .
[ L "'. (1 X,wo)/f3'X'WO ]
<р, = 1 х,шо 3Ex,wol3, 1 L Jt + ..,
f3.7t 1 + 3Е "'.
J
Из (22.43) находим теперь закон изменения радиуса пузырька на началь
ной стадии роста:
( ) 1
1 Х,шо
R = 1 + 2EL\jI, 1 + 3E2,\jI. Jt +...
. 7tf3.x. w o .
(22.45)
22.4. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКА В мноrОКОМПОНЕНrnом РАСТВОРЕ
Рассмотрим динамику пузырька в мноrокомпонентном растворе при усло
вии, что ero всплытием можно пренебречь. Систему уравнений (22.1) (22.6)
при И в = О будем решать приближенным методом, использованным в разделе
22.2 для бинарноrо раствора. Выделим BOKpyr пузырька характерный для
каждоrо pacTBopeHHoro в жидкости компонента тонкий диффузионный слой
толщиной 8. « R. В каждом слое ищем распределение концентрации в виде
P.C!,ooL = (1 х.)2 (R 5 r 5 R + 8),
P.wL P.ooL
(22.46)
а вне слоя
P,L = P.ooL (r > R + 8). (22.47)
Интеrрируем уравнения (22.1) при Ив = О по r в пределах от R до R + 8.
В итоrе с точностью до членов порядка 8/ R получим уравнение (22.27) для
толщины слоя 8,
8 = p.GR3 p.GoRg
, R2(p.ooL P,wL)'
(22.48)
Введем следующие безразмерные переменные:
't 6psATD1L t. = . d = D.L .
ВjМLRб ,Р.а P,G В I М. ' · DjL'
М.
х,ш = Р'Ш м ;
,р.
М.
х. оо = Р,оо M ;
,Р.
В.М.
а. .
· АТр. '
36PsDfL л.= '
у = R 2; 3 D '
роо о Р. IL
м,. R В,. 2 . К ВI. R = ..!i..
I!. M ' 1-" B ' q R ' , R
s 1 Роо О р", О
В новых переменных система уравнений, описывающая в рассматриваемом
5и
приближении диффузионный рост пузырька в мноrокомпонентном растворе,
примет вид
dp'G d. (X,,,,, X,w)2 3p,GV . dR
d ( 3 ) R ' V == d;;
't (/,.13, p,GR P.GO
dv (/,r( K 13,p,a t q/R ул.V/(/,IR) 3v 2 .
== ( ) R '
yR t Jl.x,w
(22.49)
Р.а .
x, w == 1 ,, '
"-' Р JG
J
P,G(O) == Р.ао; R (O) == 1; V(O) == О
Для решения полученной системы уравнений необходимо задать начальные
значения безразмерных плотностей компонентов rаза Р.ао в пузырьке. Эти
значения заранее неизвестны. Проведенные расчеты показывают, что при любом
начальном составе rаза в пузырьке, компонентный состав rаза устанавливается
очень быстро и в дальнейшем практически не изменяется. Начальный состав
раствора принято задавать в виде массовых процентов компонентов П,. Моль
ные доли следующим образом выражаются через массовые проценты:
х."" ==
П,М s
М.(100 ПJ )'
(22.50)
Обозначим через у,о начальные мольные доли компонент в пузьрьке
( y.o == О J Очевидно, что
У Р,ао/М,
,о .
LP'Go/MJ
J
(22.51)
Из условия динамическоrо равновесия пузырька в начальный момент сле
дует, что
'" ATp,GO 2
L...J == р"" + Ro .
,
(22.52)
Подставляя выражение (22.51) в (22.52) и переходя к введенным
безразмерным переменным, получаем начальные условия для Рюо:
у,о(! + q)
Р,со == K13.
ранее
(22.53)
в качестве примера рассмотрим рост rазовоrо пузырька в растворе, в
котором растворены два компонента с массовыми содержаниями П j == 7 % и
П 2 == 3,5 %. Остальные параметры: а.! == 1,6; а.2 == 0,16; d l == d 2 == 1; I!j == 0,05; 1!2 == 0,1;
x l ",==2,S; х 2 ",==0,6; q== 1; К== 100. Начальный состав пузырька равен ую==0,99
и У20 == 0,01. На рис. 22.4 показаны изменения со временем радиуса пузырька
и массовых концентраций в пузырьке.
575
б
p,G
90
R
50
60
2
а
25
30
о
0,5
1, О 't О
0,25
0,50 't
Рис. 22.4. Измеиения со времеием 't радиуса пузырька ii (о) и плотности компо-
нентов Рю rаза в пузырьке (6):
f i 1;2 i 2
Проведенные расчеты позволяют сделать следующие выводы:
1) начальная стадия роста пузырька характеризуется резким увеличением
давления и плотности rаза, в дальнейшем они снижаются и остаются практи-
чески постоянными;
2) инерционные и вязкие члены в уравнении динамическоrо равновесия
пузырька существенны только на начальной стадии роста;
3) существенное влияние на рост пузырька оказывает поверхностное на-
тяжение, в результате чеrо в начале роста диффузионный поrраничный слой
увеличивается, а затем с течением времени уменьшается и стабилизируется;
4) установившийся фракционный состав rаза в пузырьке не зависит от
начальноrо.
22.5. ВЛИЯНИЕ ПОВЕРхносrnО АКТИВНЫХ ВЕЩЕСТВ
НА РОСТ ПУЗЫРЬКА
В большинстве работ, посвященных исследованию диффузионноrо роста
rазовоrо пузырька в пересыщенном растворе, коэффициент поверхностноrо на-
тяжения L принимается постоянным и количество rаза, поступающеrо в пузы-
рек, определяется диффузионным потоком pacTBopeHHoro в жидкости rаза на
поверхности пузырька. В действительности в растворе, например в природной
уrлеводородной смеси, всеrда присутствуют ПАВ, которые, адсорбируясь на
межфазной поверхности, с одной стороны, уменьшают L, а с друrой препят-
ствуют переходу pacTBopeHHoro вещества из раствора в пузырек. Влияние ПАВ
на величину L известно [4], а влияние ПАВ на переход rаза из pacTBopeHHoro
состояния в rазообразное изучено слабо.
Для исследования влияния ПАВ на рост пузырька, рассмотрим следую-
щую задачу. Сферический rазовый пузырек помещен в бинарный раствор, пе-
576
ресыщенный при заданном давлении и температуре. В результате появляется
диффузионный поток к поверхности пузырька. Процесс сопровождается aдcop6
цией ПАВ, присутствующих в жидкости, на поверхности пузырька. Примем, что
процесс диффузионно контролируемый, т. е. адсорбция десорбция молекул
ПАВ на межфазной поверхности происходит достаточно быстро. В таком слу
чае поверхностную концентрацию ПАВ f можно принять равной равновесному
значению [4]:
r k 1 P2wL
r 00 1 + k 1 P2wL '
(22.54)
rде [оо концентрация ПАВ при насыщении (предельная адсорбция); k l
константа равновесия адсорбционноrо процесса; P2wL концентрация ПАВ в
растворе на rранице с пузырьком.
При адсорбции молекул ПАВ на межфазной поверхности rаз жидкость
образуется мономолекулярный слой. При малой поверхностной концентрации
ПАВ, далекой от насыщения, молекулы как бы плавают на поверхности
С ростом концентрации число молекул в поверхностном слое увеличивается.
В состоянии наСЫщения межфазная поверхность покрыта слоем из плотно упа
кованных молекул ПАВ. Этот слой препятствует переходу молекул paCTBopeH
Horo в жидкости rаза через межфазную поверхность. Доля площади поверхно
сти 5, занятой ПАВ, пропорциональна 1 f /f oo , позтому имеет смысл предполо
жить, что диффузионный поток pacTBopeHHoro в жидкости компонента 1 явля
ется некоторой степенной функцией доли поверхности, занятой ПАВ:
11 = 41tR2D1L(1 ;" J( a L }=R'
(22.55)
Следует отметить одну из попыток учесть влияние пленки ПАВ на поверх
ности пузырька на скорость диффузионноrо роста [5], основанную на предпо
ложении, что интенсивность переноса вещества через свободную от ПАВ и через
покрытую ПАВ поверхности характеризуются различными коэффициентами
диффузии. В предложенной модели вводятся параметры, определение которых
требует проведения большоrо объема экспериментов и задания характеристик
ПАВ.
Рассматриваемый процесс описывается следующей системой уравнений:
др'L + ( !!.. ) 2 R BP 'L =D J... ( 2 дР'L ) . ('=1'2)'
дt r дr ,L т 2 дr r дr ,1 , ,
:t ( n peR3) == 41tR2D1L(1 ;J n( д; L }=R'
( .. 3 . 4VL ) 2
Р L RR + 2 RR2 + R R = Ре Роо R;
!!.. (rR2) = R2D ( B P2L ) .
dt 2L ar '
r=R
(22.56)
АТРе
Pa= ;
B 1 P1 M 2 M L
Ра = .
M1 M 2PL + M 2 M L P1w + M j M L P2w '
L == Lo ; ln(1 + k 2 P2w}
37 1461
577
К системе уравнений (22.56) добавим следующие начальные и rpаничные
условия:
PiL(O, r) == PiLoo; PiL(t, 00) == PiLoo; PiL(t, R) == Piw;
r(O) == о; R(O) == Ro; R(O) == о.
(22.57)
Для решения полученной системы уравнений воспользуемся paCCMOTpeH
ным ранее приближенным методом интеrральных соотношений. Выделим BOK
pyr пузырька два тонких диффузионных слоя pacTBopeHHoro rаза и ПАВ TOk
щиной 01 «R и 02 « R, внутри которых распределение массовых концентраций
равно
Р Р r R
IL 100L ==(1 J: 1 )2. , J: . (R5:r5:R+o l )' ,
PjwL PlooL 1 '
P2L P200L ==(1 !: )2' J: r R (R< <R о)
P2wL P200L 2, 2 == т; r + 2 .
Проинтеrрировав первое уравнение (22.56) по r в пределах от R до R + 01
при i == 1 и от R до R + 02 при i == 2, с точностью до членов порядка oJ R
получим
(22.58)
s: зr
и2
P200L P2wL
d(R2 Т) D 2L R2(P200C P2wL) .
dt зr '
d [( ) oR2 ] 6D1L(P2OOL P2WL)R2 .
dt PlooL PlwL j 01 '
(22.59)
d(R3 pc )
dt
6D 1L R2(PlooC PlwL)(1 т/тоо)n
01
Введем безразмерные переменные
't == 6P L ATD 1L t . R R .
ВjМLRб' Ro '
G Т. 1'1 == . 'f .
Тоо ' R ' '
х. == PiooML .
'00 MiPL'
х. == PiwML .
IШ MiPL'
P == .
В I '
АТ
q> == Po o ;
R == aD 2L R op L m 2 .
1-' r '
00
З6РLDfL MLB j
У == рооRб ; а. == PLAT ;
2
q .
PooRo '
к == . к- == k;M 2 PL .
РОО ' I М L '
М.
rn '.
i ML '
л.== .
Зр L D 1L
При этом уравнения примут вид
.!!.... ( дR 3 ( » ) == aR(Xloo XjW) .
d-r Хlоо Х1ш д'
d(PR3) == R(1 G)n(XI00 Xlw)
d-r д
d(GR3) f3R3(x!00 Х1ш)n .
d-r G '
(22.60)
578
а
2
1
2
б
R
3
Зt
2
1
2.
Рис. 22.5. Зависимость радиуса пузырька от времеии (К - 4,45; Х...о - 0,8; Х.", - 1; q - 1):
а n. f О, 2 0,5; 3 1, 4 2, 1 о (без ПАВ), II 10; б n. f 1000,
2 100, 3 10, 4 О
L = 1 q>ln{1 + К2Х2ш);
у ( .. 3 ) q лу
""'2 = (1 + ХlшТnI +Х2ш Тn 2) RR+ R2 = KP 1 --=-+ R;
с/. 2 R C/.R
Р = Х1ш . G = K j X 2w .
1 + Х1ш Х2ш ' 1 + KjX2w '
R (O) = 1; G(O) = 1'1(0) = о; р(о) = Ро.
Пузырек будет увеличиваться в
размерах при вьmолнении неравенства
КР о 1 q > О, в противном случае он
растворяется в жидкости.
Некоторые результаты численно
ro решения уравнений (22.60) пока
залы на рис. 22.S 22.7. Наибольший
интерес представляют зависимости от
параметров 13 и n, характеризующих
влияние ПАВ, а также от параметра
К, определяющеrо влияние давления.
При малых временах. влияние ПАВ
сказывается на уменьшении поверх
G
0,50
0,25
Рис. 22.6. Зависимость поверхиостной кои
цеитрации ПАН G от времени 't для различ
ных значеиий 13 (К - 4,45; п - о; X. - 1;
q -1)
37*
13=1000
О
0,5
1,0 .
579
HOCTHoro натяжения и пузырек pac
тет быстрее, чем в отсутствие ПАВ.
При n == О слой ПАВ на поверхности
не препятствует переходу paCTBopeH
Horo вещества в пузырек и влияние
ПАВ сказывается только в уменьше
нии поверхностноrо натяжения.
С увеличением n скорость роста пу
зырька существенно замедляется.
Рост параметра К (уменьшение дaB
ления Роо) приводит к увеличению
скорости роста пузырька. На рис. 22.6
показано изменение поверхностной
концентрации ПАВ дЛЯ значений
К == 4,45; n == о; X 100 == 1 и q == 1 для
различных значений 13. Увеличение
13, с одной стороны, приводит К росту
размера пузырька (рис. 22.5, 6), а с
друrой стороны, поскольку xapaKTep
ное время изменения поверхностной
концентрации ПАВ t 13 1, приводит
К уменьшению времени установления
paвHoBecHoro значения С. Увеличе
ние К при тех же значениях остальных параметров приводит к уменьшению С.
Последнее объясняется тем, что с увеличением К скорость роста пузырька
увеличивается, в то время как поток ПАВ на поверхности изменяется незначи
тельно. Изменение со временем плотности rаза в пузырьке представлено на
рис. 22.7. Как видно, основное изменение Ре происходит на начальной стадии
роста, коrда существенны инерционные, вязкие и капиллярные силы.
Р G /р GO
2,5
1,5
2
5 3
О 2,5 5.. .10
Рис. 22.7. Зависимость плотиости rаза в пузырьке
от времени для различных зиачений К:
f K 100; 2 К"'4,45
23
СЕПАРАЦИЯ ЖИДКОfА30ВЫХ СМЕСЕЙ
Рассмотрим неподвижную однородную жидкоrазовую смесь плотностью PL
и вязкостью I!L' занимающую объем V с высотой слоя Н. Мас совые KOHцeHT
рации растворенных в жидкости компонентов равны P,L (i == 1, s). В начальный
момент давление над поверхностью смеси равно РО и смесь находится в paB
новесии. При резком снижении давления над поверхностью до Роо < Ро В жид
кости образуются мелкие пузырьки (зародыши), которые затем начинают расти
за счет диффузии в них некоторых растворенных в жидкости компонентов и,
если слой достаточно высокий, то и с уменьшением rидростатическоrо давления
при всплытии пузырьков. Достиrая поверхности смеси, пузырьки лопаются,
освобождая содержащийся в них rаз. Если давление над поверхностью смеси
поддерживается постоянным, что возможно, коrда выделившийся rаз отбирается
из системы, то такой процесс называется дифференциальной сепарацией. Если
выделившийся rаз накапливается над поверхностью смеси, то давление со Bpe
580
менем растет. Этот процесс называется контактным разrазированием. В обоих
случаях с течением времени раствор обедняется растворенными компонентами
и интенси ность кипения уменьшается. Через некоторое время teq кипение
практически прекращается и в системе устанавливается равновесие.
Обозначим через Р. массовую концентрацию растворителя, а через P'G
массовые концентрации компонентов в rазовой фазе. Будет считать процесс
изотермическим. Torдa уравнение неразрывности для компонентов в растворе
запишется в виде
B L + V . (P,L W,L) = i J)'L J'G1 + J'G2'
) 1
, ")
(23.1 )
rдe J)lL интенсивность массообмена между j M и i M компонентами в жидкой
фазе; J'GI и J'G2 интенсивности испарения и конденсации при фазовых пре
вращениях на межфазной поверхности; W,L относительная скорость i ro KOM
понента в растворе.
ПреДIЮЛОЖИМ, что массообмен между компонентами в растворе и KOHдeH
сация отсутствуют. Тоrда J)lL = О И J'G2 '= О И уравнение (23.1) упрощается:
Bp,L ( ) J (23 2)
T+ V ' P,LW,L = ,GI' .
[азовая фаза представляет собой сферические пузырьки малоrо размера и
небольшой объемной концентрации, поэтому их стесненностью можно пренеб
речь. Радиусы пузырьков изменяются от радиуса зародыша Rn до максималь
Horo R т , зародившеrося на дне и достиrшеrо поверхности смеси.
Состояние rазовой фазы в каждый момент времени t в любой точке объема
р можно охарактеризовать непрерывным распределением пузырьков по массам
i ro компонента n,(т" t, Р), удовлетворяющим кинетическому уравнению, KOTO
рое без учета дробления и Koary ляции пузырьков имеет вид
B f + V. (n,uG) + :п, (n, dd ' ) = J nucl , (23.3)
rдe [писl скорость образования пузырьков за счет нуклеации (см. раздел 15),
U G скорость движения пузырька.
Умножим обе части уравнения (23.3) на m, и проинтеrрируем по m, от О
до 00. В итоrе получим
BM,G Q f "" ( dт, ) f ""
+V. , n, dt dm, + [nuclm,dm"
О О
(23.4)
""
rде M'G масса i ro компонента в единице объема смеси; Q, = J m,n,uGdm,
о v
поток массы l ro компонента через поверхность, оrраничивающую единичныи
объем смеси.
Поскольку масса i ro компонента изменяется за счет перехода ero из
жидкой в rазовую фазу, то
J BM,G Q
Gl = +V. .
, Bt '
Относительная скорость i ro компонента в растворе
(23.5)
581
PL D V ( PiL ) .
Ют 'L
I PiL I PL'
PL = Р. + LPiL;
(23.6)
rде D iL коэффициент бинарной диффузии в растворе.
Оrраничимся рассмотрением предельно разбавленноrо раствора. Torдa
LPiL «PL' PL Р. И соотношение (23.6) перепишется в виде
DiL
W;L = V(PiL)' (23.7)
PiL
Таким образом, уравнение (23.2) теперь примет вид
00 00
B ;L = ДLА(РiL) f n; ( dd7 )dm; f Inuc1m;dm;.
а а
(23.8)
23.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СЕПАРАЦИЯ БИНАРНОЙ СМЕСИ
Рассмотрим случай, коrда раствор состоит из двух компонентов, один из
которых при снижении давления над поверхностью смеси выделяется в rазовую
фазу. Давление подцерживается постоянным. Рассмотрим тонкий слой смеси
объема V и высоты Н. Примем, что параметры зависят от времени и от одной
координаты Х, направление которой совпадает с направлением силы тяжести.
Поверхности слоя соответствует значение Х = о. Сделанные предположения
позволяют записать уравнение (23.8) в виде
BP1L D a2P1L f OO ( dm1 ) d f OO d
------дt" = 1L дх 2 n1 dt т; Inuclm1 т1'
а а
(23.9)
По смыслу dm 1 / dt скорость изменения массы компонента 1 в пузырьке,
поэтому
dт1 = u dт1 = I D
dt dx '
(23.10)
rдe u = а V2/З скорость всплытия пузырька; 1 D диффузионный поток 1 ro
компонента через поверхность пузырька; V объем пузырька.
Выражения для диффузионноrо потока для различных случаев приведены
в разделе 22. Для решения уравнения (23.9) необходимо знать распределение
пузырьков по массам. Пусть Nn(x a , t) число пузырьков, образующихся в
единице объема в единицу времени на r лубине ха в момент времени t. Очевид
но, что число зародышей уменьшается со временем и с уменьшением rлубины
ха по мере обеднения смеси. Поток пузырьков через фиксированное единичное
сечение сохраняется, поэтому
un 1 dm t = Nn(x a , t)dxa. (23.11)
в этом выражении слева поток через сечение вертикальноrо столба на
rлубине Х в момент t, а справа на rлубине Ха> Х. Пусть известен закон роста
пузырьков т 1 = т1(Х' Ха, т п ), rде т п масса зародыша. Это выражение дает
массу пузырька, зародившеrося на rлубине Ха, которую он приобретает, всплыв
до rлубины х. При фиксированном Х имеем dm 1 = (am1/axa)dxa и из выраже
ния (23.11) находим
582
Nn(xo, t)
ип = .
дтl/дхо
Пусть размеры и масса зарождающихся пузырьков одинаковы и не изме
няются со временем и по высоте слоя. Тоrда
(23.12)
IпиСl = Ni)(m l т п ).
(23.13)
Подставляя выражение (23.12) и (23.13) в (23.9), получим
2 Н
BPIL D д PIL N f IDNn d
IL m ХО
Bt дх2 п п и .
х
(23.14)
Возьмем в качестве I D выражение (22.7), справедливое для пузырьков,
радиус которых превосходит критический Rcr. При достаточно большом пере
сыщении смеси размер пузырька быстро увеличивается и ero радиус быстро
достиrает критическоrо размера, так что подобное допущение оправдано. При
мем, что основное изменение концентрации pacTBopeHHoro компонента происхо
дит за счет уноса ero пузырьками. Torдa в правой части уравнения (23.14)
первым слаrаемым можно пренебречь. Кроме Toro, если слой достаточно тонкий,
а также если пузырек быстро растет, то можно считать, что плотность rаза в
нем остается постоянной. Сделанные предположения позволяют представить
уравнение (23 14) в виде
н
BPIL 8D 1L ( ) J
7 = PG VnN n """2/3 PIL PlwL N ndxo;
а. х
(23.15)
PIL (О, х) = Р1LO'
Число зародИвшихся в единицу времени в единице объема пузырьков N n
оценим по известному выражению [6] для чистой жидкости
N n = ZI exp ( k л. т ) 6L (3 Ь) пт exp [ 16п 2 ] ,
ЗkТ(t!. р 2)
(23.16)
rде ZI число молекул жидкости в 1 СМ З ; Л молекулярная теплота испаре
ния при температуре Т; k постоянная Больцмана; L коэффициент поверх
HocTHoro натяжения жидкости; Ь = f1p/p; f1p = Р р", (р > р",); m масса моле
кулы.
Из вида зависимости N n от f1p следует, что N n в неболь шом интервале
изменения f1p резко увеличивается от О до N пт ZI 18L т п е лlkТ. В этой
области зависимость (23.16) можно аппроксимировать выражением N n = С(f1р)Л
(Л 2: 1). Значение показателя степени Л зависит от входящих в уравнение
(23 16) физических постоянных, характеризующих свойства жидкости. Поскольку
f1p Рп Рlр, rде Рlр равновесное при давлении р", значение массовой KOHцeH
трации pacTBopeHHoro компонента, то N n можно представить в виде
N n = N o ( Р1l Рlр ) Л
PILO Рlр
(23.17)
Здесь N o значение N n в начальный момент времени.
Введя безразмерные переменные
583
= ; ;
2/3
8N o D1L Ht .
T 0:2/3 '
MsBI .
PIL = PIL
M l psp", '
1 .
Рlр = 1 Р",/ВI '
A PIL Рlр
С.Р =
PILO Рlр
6D;f АТН
УО = R 3 2/3 В М '
11 О о: 1 s
преобразуем уравнение (23.15) к виду
дРI (.1р) л ( ) f l ( А ) л d )O.
PIL РI L->p ,
сп Уо р
Поскольку рассматривается предельно разбавленный раствор, то Ps= PL
считается постоянной.
Интеrральное уравнение (23.18) решаем методом последовательных прибли
жений, беря в качестве ну левоrо приближения РILО , а остальные приближения
находятся по формуле
PtL( , О) = PILO'
(23.18)
B (j}
д-t
(.1p j 1) )Л
Уо
1 .
(p { l) Ptp) J (ь'р(Н})Л d .
(23.19)
Параметр УО» 1, поэтому первое слаrаемое в правой части мало. С учетом
этоrо точностью до TpeTbero приближения имеем
РI = exp{A I[Ei ( z) ln z С]); z = А(1 ) т. (23.20)
Численное решение уравнения (23.19) показало, что приближенное реше
ние (23.20) хорошо соответствует точному.
Зависимость относительноrо пересыщения раствора ь.р от времени т на
различной rлубине слоя х/Н показана на рис. 23.1 для значения А=3. YBe
личение А, соответствующее более быстрому убыванию числа зарождающихся
пузырьков с уменьшением ь.р, приводит К заметному замедлению процесса раз
rазирования. Концентрация pacTBopeHHoro rаза распределена по rлубине смеси
неравномерно и убывает с увеличением rлубины. Это объясняется тем, что
число пузырьков в единице объема с уменьшением r лубины возрастает, так как
к зарождающимся пузырькам присоединя:ются пузырьки, всплывающие из ни
жележащих слоев. Это приводит к более интенсивному обеднению верхних
слоев смеси. В области, прилеrающей ко дну объема, смесь обедняется в OCHOB
ном за счет зарождающихся пузырьков. Поэтому в этой области в уравнении
(23.18) можно оставить только первое слаrаемое в правой части
дрl = (.1р)Л
д-t Уо
(23.21)
Решение этоrо уравнения имеет вид
{ [1 + (А 1)Т/УО(РILО Рlр)]Н
р=
exp( T/Yo)
при
при
А*- 1,
А = 1.
(23.22)
Заметим, что характерное время изменения концентрации в окрестности дна
сосуда в Уо раз больше, чем в приповерхностном слое. Это означает, что paBHO
весие у поверхности смеси устанавливается HaMHoro быстрее, чем возле дна.
Обозначим через J G поток rаза с единичной площади поверхности смеси.
Тоrда из условия баланса массы столба смеси единичноrо сечения, найдем
584
Зависимость 11 ( т) показана на
рис. 23.2. Эффективность сепара
ции сначала быстро возрастает, а
затем, по мере обеднения смеси, 11
медленно стремится к 1.
Полученная зависимость позво
ляет оценить характерное время yc
тановления равновесия в смеси.
Видно, что при т 10 значение 11
практически не изменяется. Это оз 11
начает, что характерное время YCTa 1,0
новления равновесия оценивается
как т"'! 10.
В заключение обсудим влия
ние r лубины слоя Н на эффектив
ность сепарации. Поскольку t H 1, 0,5
то характерное время установления
равновесия обратно пропорциональ
но rлубине слоя. Это означает, что
если один и тот же 06-ьем смеси
разлить двумя слоями толщины H j
и Н2' rде H j > Н2' то раньше фазо
вое равновесие установится в слое
rлубиной HI' При этом нужно иметь
в виду, что произвольно большую
rлубину слоя устанавливать нельзя,
поскольку может нарушиться предположение о том, что время всплытия
зырьков меньше xapaKTepHoro времени установления равновесия.
J G = O,SH d L . (23.22а)
Эффективность сепарации
объема смеси можно охарактеризо
вать параметром 11, равным отноше
нию количества выделившеrося за
время t rаза к полному количеству
rаза, которое может выделиться к
моменту установления равновесия.
Нетрудно получить
j
11 = 1 f l\p d .
о
(23.23)
p
1,0
0,5
8
О
1,Ох/Н
0,5
Рис. 23.1. Зависимость отиосительиоrо пересы
щения раствора Ар на различной rлубние слоя
х/Н от времени '[:
1 0,2, 2 0,5; 3 1; 4 2, 5 3,5, 6 5,
7 10, 8 15
1
2
3
О
10
15т
5
Рис. 23.2. Зависимость Т"I от 't для рааличиых
зиачеиий Л:
1 1; 2 2, 3 3
пу
23.2. КОНТАКПIАЯ СЕПАРАЦИЯ БИНАРНОЙ СМЕСИ
Рассмотрим теперь случай, КОl'да выделяющийся rаз накапливается над
поверхностью смеси в объеме ВЫСОтой h. Оставим в силе все сделанные в
предыдущем параrрафе предположения и, кроме Toro, предположим, что за
время подъема пузырьков давление над смесью изменяется незначительно.
585
11
1,0
РОО
11
0,5
6
0,1
1
11
21 К]
О
5
10 r:
Рис. 23.3. Зависимость коэффициеита эффек
тивиости сепарации Т"I от 't для различных
эиачеиий G (К ! 10; л 1)
Рис. 23.4. Зависимость устаиовивmеrося дaB
ления над поверхностью смеси от параметра К !
дЛЯ различиых зиачеиий G
к уравнению (23.15), описывающему изменение массовой концентрации paCTBO
peHHoro в жидкости rаза, нужно добавить уравнение, описывающее изменение
давление над поверхностью смеси. Обозначим через JG(t> поток rаза через
единичную поверхность смеси в момент t, а через РООО начальное давление над
поверхностью жидкости. Тоrда давление над поверхностью в любой момент
времени t > О при условии, что rаз идеальный
t
p (t) = р""а + Th JJG(t).
1 а
(23.24)
При t 00 давление стремится к равновесному значению
""
р""и) = р""а + Th JJG(t).
1 а
(23.25)
Для интенсивности образования пузырьков возьмем, как и ранее, выраже-
ние (23.17).
Введем следующие безразмерные переменные:
х
j: .
':> н '
2/3
8N a D1L Ht .
r: 0:2/3 '
М'
Рп = Pп ;
М 1 Р'
р""
P",,= .
Р""а
р""
Ptp = К I р"" ;
Sp = PIL Рlр .
PII.a Рlр
6D;f АТН
Уа = DЗ 2/3 8 М '
1IЛа о: 1 s
к 81 .
1 Р""а '
G = АТНр,
2pooa M s h '
Тоrда система уравнений, описывающая процесс KOHTaKTHoro разrазирова
ния, примет вид
586
д(.1'р) = К l р", (l1p) л д'р I f (Д,р)л d К I 1 d ( р", ) ;
д-t Уо PtO (К 1 1) d-r: К I р",
1
р", = 1 + G f д'р d ;
о
(23.26)
Д,p( , О) == 1; р", (О) == 1.
На рис 233 и 23.4 показаны некоторые результаты численноrо решения
уравнений (23.26): изменение со временем эффективности сепарации для раз
личных значений параметра G, характеризующеrо отношение объемов жидкости
и rазовой шапки, и зависимость установившеrося давления в rазовой шапке от
параметров К I и G. При контактном разrазировании эффективность сепарации
меньше, чем при дифференциальном, причем эта раэница тем больше, чем тяже
лее растворенный компонент, т. е чем меньше параметр К I .
23.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СЕПАРАЦИЯ
мноrОКОМПОНЕнmой СМЕСИ
Рассмотрим процесс дифференциальноrо разrазирования неподвижноrо
объема мноrокомпонентной жидкоrазовой смеси, дисперсная фаза которой co
стоит из сферических пузырьков одинаковоrо размера. Принимаем, что объем
ное содержание пузырьков мало, поэтому их взаимодействием можно пренеб
речь. Задача сводится к рассмотрению массообмена одноrо пузырька началь
Horo радиуса Ro, помещенноrо в мноrокомпонентный раствор. Предположим, что
процесс изотермический, давление над поверхностью смеси поддерживается по
стоянным.
Распределение концентраций компонентов в растворе описывается ypaBHe
нием диффузии
Bp'L + u Bp,l = D L т2 Bp,L ( . 1 )
Bt дr 'r 2 дr дr 1 == ,
(23.27)
rде u скорость движения rраницы пузырька,
u = (7 J R;
(23.28)
r расстояние от центра пузырька; R радиус пузырька
Условие динамическоrо равновесия поверхности пузырька с учетом инер
ционных, вязких и капиллярных сил сводится к уравнению
3 R 1 ( 2L 41-1L R )
RR+ 2 = pG p
2 PL R R '" ,
(23 29)
rде PL плотность жидкости, L коэффициент поверхностноrо натяжения; J.!L
вязкость жидкости; PG давление в пузырьке, р", давление вдали от пузырька.
Предполаrая, что параметры rаза в пузырьке однородны, но зависят от
времени, имеем следующие уравнения:
баланс массы i ro компонента в пузырьке
dт,G = ] = 41tR2 ( BP'L ) . 4 3
dt D, дr' m,G 3 P'G,
r=R
(23 30)
587
уравнение состояние rаза в предположении, что он идеальный,
" " ATPiG
PG =о L..JPiG =о L..J
. .,
. ,
(23.31)
(А rазовая постоянная; Т температура; М ; молекулярная масса i ro KOM
понента);
уравнения, выражающие закон [енри в предположении, что раствор пре
дельно разбавленный,
В Piw/Mi
PiG =о i
Ps/Ms + L.Pjw/Mj
j
(23.32)
(В ; постоянная [енри; Piw массовая концентрация i ro компонента в pa
створе на поверхности пузырька; Ps массовая концентрация растворителя;
Ms молекулярная масса растворителя).
к уравнениям нужно добавить следующие начальные и rраничные yc
ловия:
PiL (r, О) =о PiLO; PiL (R, t) =о PiwL; PiL (00, t) =о PiooL;
R(O) =о Ro; R(O) =о о; PiG(O) =о PiGO'
(23.33)
Если концентрации компонентов в толще раствора постоянны, то ypaBHe
ний (23.27) (23.33) достаточно для решения поставленной задачи. В дей
ствительности PiooL со временем изменяются, поскольку в растворе находится не
один пузырек. Для определения уравнения, описывающеrо изменение PiL со
временем, нужно рассмотреть баланс массы единичноrо объема жидкоrазовой
смеси при условии малости объемноrо содержания пузырьков W« 1. В MO
мент времени t массы i ro компонента в жидкой и rазовой фазах равны COOT
ветственно
та. =о (1 W)PiooL; ЩG == WPiG,
причем объемное содержание пузырьков
W == 1tR3N == Wo( J,
rдe N число пузырьков в единице объема смеси.
Масса i ro компонента, перешедшеrо из жидкой фазы в rазовую,
А [1 (1 W) Рi<юL ]
/J.mi miO .
(1 WO)PiLO
(23.34)
Теперь условие баланса массы i ro компонента в растворе можно записать
в виде
dРi<юL == NJ =о 3WoDiL ( !!... ) З ( д РiL )
dt D R O дr '
О Н{) r;R
Рi<юL (о) =о PiLO'
(23.35)
Заметим, что учет стесненности выполнен не совсем корректно, поскольку
rраничное условие (23.33) для PiL вдали от капли нужно было формулировать
не при r 00, а при r =о R G , rде RG радиус ячейки, равный среднему расстоя
588
нию между пузырьками. Поэтому сформулированную задачу можно рассматри
вать как первое приближение к учету стесненности.
Условие предельной разбавленности раствора позволяет принять
PL == Ps И M L == Ms.
Введем следующие безразмерные переменные:
P,L P,Lw R R . -r tD'L.
Р, == ;
P,LO P,Lw Ro ' RJ '
r R
х .
'
5
У 1 .
5+x '
P,wL
P,w == ;
P,LO
P,ooL
Р,,,, == P ;
,LO
d == D'L .
, D 1L '
2L
q .
Rop", '
D 2
а == B,Msp,LO . Р == .
, M,psp", ' p",RJ '
41-1 L DlI
Y== R 2 ;
р", О
3АТр L
Е, == B,ML .
Введение безразмерной координаты у вместо r приводит к тому, что BHe
шняя область R r < 00 переходит в полосу О У < 1. Подобное преобразование
удобно для численной процедуры решения.
В новых переменных уравнения (23.27) (23.33) и (23.35) примут вид
ap, + { (1 Y)2dR + [ R( +Y) ] 2 (1 Y)2dR
а. 5 d't 5у + R(1 + у) 5 d't
':d, (1 у)2 } д'Р, == d, (1 у)2 а [ (1 у)2 д'Р' ] +
5[R(1 у) + 5у] ду 52 ау ау
+ ( P,L : t ) д'P,w ;
1 P,w д't
[ : R +%( : )2] == a,p,w 1 ; ;
d(R3 p ,w) == d,E,R2 ( д'Р, ) ( 1 ) .
d 5 а P,w ,
't У y
д'P,w == 3W o d, (1 Р ) R 2 ( д'Р' )
д't 5 'w ау у=О'
Уравнения (23.36) будем решать при следующих условиях:
(23.36)
р.(у, о) ==1; R(O) == 1; R ==O; р,,,,(0)==1;
р, (О, т) == о; р, (1, Т) == р,,,,.
(23.37)
В результате решения находим распределения р,(у, Т); p,w(-r); R (-r) и
р,,,,(Т), после чеrо можно найти безразмерную массу i ro компонента, перешед
шеrо за время -r из жидкой фазы в rазовую:
11 т, == 6.т, == 1 р,,,,(1 W O R3) .
т,о 1 W o
589
Т а б л и ц а 23.1
Компонент
Параметр С, С 2 С з
i = С. п=С.
Уio
1 вариант 0,15 0,25 0,4 0,1 0,1
II вариант 0,025 0,15 0,3 0,225 0,3
У;й' 0,05 0,186 0,385 0,115 0,264
Х.о' % 0,01 0,33 1,19 0,54 2,43
При м е ч а н и е. Обозначения: Уio началь
ные мольные доли компонентов в пузырьке; Х,"
начальные мольные проценты компонентов в paCT
воре; y;'G соответствующие равновесные значения.
Переход к мольным долям можно осуществить по формулам
Х. "" PiLM L . У; = рю/М;
, PLM j ' L.PjG/Mj
j
Исходный состав раствора иноrда задают в весовых про центах П j . Torдa
мольные доли компонентов в толще раствора следующим образом выражаются
через массовые проценты:
Xj", =
ПjМ L
M{100 ;:П j )'
При численном интеrрировании системы уравнений (23.36) основная про
блема заключается в задании начальноrо состава пузырька Ую, который заранее
не известен. Расчеты показывают, что какой бы начальный состав не задать, он
со временем очень быстро
устанавливается и в дальнейшем не изменяется.
Рассмотрим пример численноrо pe
шения задачи для пятикомпонентной сме--
си для следующих значений парамет
ров: d i = 1; q=0,1; у=4' 10 B; (3= 10 10;
<1}=0,187; ==0,33; а.з=0,649; =O,168;
<15= 0,364; I>! = 2,54; 1>2= 25,4; 1>3 = 31,7;
1>4=42,3; 1>5==63,5. Рассмотрены два
варианта задания начальноrо состава
пузырька, представленные в табл. 23.1.
Мольный состав в пузырьке YCTa
навливается очень быстро (рис. 23.5).
Сплошной линией показаны зависимо
сти y;C-с) для первorо варианта, а пунк
тирной для BToporo.
Равновесие в rазовой фазе YCTa
навливается HaMHoro быстрее, чем в
0,01т жидкой. Для примера рассмотрены три
варианта задания начальноrо компо
HeHrnoro состава раствора, представлен
ные в табл. 23.2.
Х;
0,50
0,25
3
5
2
4
1
о
0,005
Рис. 23.5. Иэмеиение мольиых долей компо
иеитов в пузырьке со времеием:
1 5 номера компонентов
590
Изменение радиуса пузырька со
временем показано на рис. 23.6. Пе
реход к размерному времени показы
вает, что для характерных значений
D 1 1 O м 2 / с и Ro 1 o . м имеем
t == О, 1't. Поэтому характерное время
роста пузырька оценивается временем
t 1 О с. На рис. 23.7 представлены из-
менения со временем массовых KoнцeHT Рис. 23.6.
раций KoмnoHeнroB в жидкой фазе, отне--
сеЮIЫХ к соответствующим начальным
значениям для 1 варианта табл. 23.3.
Начальное объемное содержание rазовой
фазы составляло W o == 3 . 1 0 4. Со временем объемное содержание пузырьков
растет (рис. 23.8). За время 't 200 (t 20 с) оно увеJШЧИВается до значения W 0,1.
Наибольший интерес вызывает определение времени установления равно-
весия в системе 'teq. На рис. 23.9 показана зависимость 'teq от начальноrо
т а б л и ц а 23.2
Номер Компонент П.
варианта С 1 С 2 С З 1 = С. n= С.
1 0,01 0,33 1,19 0,54 2,43
II 0,015 0,35 1,25 0,6 2,5
III 0,01 0,03 1,1 0,5 2,25
Р/ ОО
1,0
R
10
1111I1
5
о
100 't
50
Измеиеиие радиуса пузырька со
временем:
1 1 II варианты задания начальноrо состава
жидкости (см. табл 23 2)
0,5
О
50
100
150't
Рис. 23.7. Зависимость массовых коицеитраций компоиеитов в жидкой фазе от
безразмериоrо времени .:
1 5 номера компонентов
591
W
0,2
0,1
о
200
400 't
Рис. 23.8. Измеиение со временем объемноro
содержания rазовой фазы
't eq
500
250
о
5
10
W o . 104
Рис. 23.9. Зависимость Х!iрактериоro BpeMe
ни установления равновесня t. q от иачадь
Horo объемиоro содержаиия rазовой фазы:
I 1 II варианты начальноro состава ЖИДКОЙ
фазы
объемноrо содержания пузырьков W o . Так, при W o 10 4 имеем teq 60 с, в то
время как при W o 5 . 10 4 t eq 5 10 с.
Следует отметить, что приведенные результаты MOryT рассматриваться как
оценочные, поскольку для реальных уrлеводородных смесей, особенно при
60ЛЬШИХ давлениях, нужно использовать уравнения состояния реальных CMe
сей. Кроме Toro, приближение предельно разбавленноrо раствора может не
соответствовать реальной картине. Метод решения может быть 6ез oc060ro
труда об06щен для реальных жидкоrазовЫХ смесей.
23.4. СЕПАРАЦИЯ ДВИЖУЩЕrося слоя
Задача о сепарации движущеrося слоя жидкоrазовой смеси представляет
интерес при исследовании эффективности разделения смеси в нефтяных сепа
раторах. [азовая фаза состоит из пузырьков, приносимых потоком из подводя
щеrо тру60провода, и из пузырьков, зародившихся в сепараторе в результате
резкоrо снижения давления. Отметим, что большинство нефтяных сепараторов
оборудовано специальным устройством предварительноrо от60ра rаза перед
сепаратором, поэтому в сепаратор поступает небольшая часть rаза, выделившая
ся в подводящем трубопроводе. Исходя из этоrо будем считать, что объем
дисперсной фазы в смеси, движущейся в сепараторе, мал, поэтому стесненнОСТЬЮ
пузырьков в первом приближении можно прене6речь. Учет стесненности 6удет
выполнен в дальнейшем. Если смесь достаточно 06еднена растворенными компо
нентами, что может отмечаться, напри ер, на последней ступени в схеме диффе
ренциальной сепарации, то в 06ъеме присутствуют в основном пузырьки пер
Boro типа. Для смеси, 060rащенной растворенными компонентами, например, на
первой ступени сепарации, в 06ъеме присутствуют пузырьки обоих типов. С уче
том указанноrо, возможны два случая. В первом случае заносимые с потоком
592
Рис. 23.10. Схема течения смеси по иа
клоииой полке
пузырьки не растут, а просто
всплывают и удаляются из объе
ма смеси. Во втором случае в
смеси присутствуют пузырьки !
двух сортов, которые в отличие g
от первorо случая всплывают и
одновременно увеличиваются в
размерах за счет диффузии в них
растворенных в жидкости компо
нентов. Рассмотрим последова
тельно 06а случая.
Рассмотрим слой смеси длиной L и высотой Н, движущийся по наклонной
плоскости (рис. 23.10). На входе задано распределение пузырьков по радиусам
пo(R). 060значим соответствующее распределение на выходе слоя через пl(R).
Для оценки эффективности отделения пузырьков от жидкости введем переда
точную функцию соотношением (см. раздел 18)
Ф(R) == п l (R)/пo(R). (23.38)
Если известна передаточная функция, то по заданному распределению на
входе можно найти распределение на выходе.
Примем, что слой смеси достаточно тонкий, поэтому Н / L «1 и Н и L
постоянные. Torдa профиль продольной скорости п можно определить из ypaB
нения движения тонкой пленки
d 2 u .
!lL dy2 == PLgslfia.
Интеrрируя ето при условиях u == О при у == о и du/ dy == О при у == н и
используя условие сохранения массовото линейноrо расхода Q, получаем
и== H2PLgSino. ( 0,SL+.!L ) ; Н== ( 31-1L? ) 1/2. (23.40)
I-IL н2 Н PL 9 SJПо.
(23.39)
Средняя по высоте скорость слоя
u == H 2 PLgsina/3!lL'
Траектории безынерционноrо движения пузырька радиусом R в слое при
условии, что он движется как твердая частица со стоксовой скоростью, описы
ваются уравнениями движения
dx 2R2 pLgs ino.
и .
7ft 91-1L'
dy 2R2 pL 9 coso. .
7ft 91-1L
(23.41)
х(о) == о; у(о) == Уо,
решение которых в безразмерных переменных
X== ' y==.!L. R R.
н' н' Ro '
имеет вид
38 1461
I-ILU
v .
H2 pL у '
9н2
А2 .
1-' 2R 2 '
О
L
X L ==
Н
593
[ ]
R 2 Х cos а. = /32 sin а. 0,5 (У2 Уо2) т +
+ R 2(Y Yo)sina..
(23.42)
Расстояние от входа, на котором всплывет пузырек, получится из (23.42),
если в нем положить У = 1
2tgo. [ 1 у:з ]
X cr = IP 0,5(1 Уо2) + (1 + Yo)tga..
(23.43)
Теперь нетрудно найти критический радиус пузырька, т. е. такой радиус,
при котором пузырек, находящийся на входе в точке (0,0), всплывает в точ
ке (L, Н):
[ J32tgo. ] 1/2
Rcr = .
6(X L tgo.)
Поскольку X L » 1 и а. 6 10', то
(23.44)
[ п 2o. J II2
R
cr 1080X L .
(23.45)
Е сл и на вход поступают пузырьки различноrо размера, то все пузырьки
с R > Rcr эа время пребывания в слое усп ева ют всплыть и удаляются из
объема, в то время как часть пузырьков с R < RCI унесется потоком. Если
распределение пузыр ьк ов на входе однородно по сечению, то отношение числа
пузырьков радиусом R, унесенных потоком, к числу пузырьков Toro же радиу
са на входе равно передаточной функции Ф(R), которая, в свою очередь, равна У Ocr'
rде У осе такое значение У О на входе, при котором, находясь на входе в точке
(О, У Осе), всплывет в точке (X L , 1). Значение У Ocr находится из решения кубиче
cKoro уравнения (23.42), в котором нужно положить Х = X L И У О = Y Ocr ' По
скольку решение имеет rpомоздкий вид, то оценим ero, заменив параболический
профиль скорости (23.40) на однородный u = и. Torдa найдем
3J32XL R 2
Y Ocr =1 =1 """'2;
J3 tgo. Rcr
Rcr = ( 9j.1LQ ) 112.
2PL gL
(23.46)
Сравнивая выражения (23.45) и (23.46) для критическоrо радиуса, видим,
что замена профиля скорости на однородный приводит к увеличению Rcr в
..fi раза.
Передаточная функция с учетом (23.46) примет вид
Ф(R) = { (R/Rcr)2
при R < Rcr,
при R Rcr.
(23.47)
Теперь можно определить объем rаза, уносимоrо потоком. Масса rаза в
пузырьках на входе и выходе соответственно
00 00
Мо = Ра JVno(V)dV и М 1 = Ра JФ(R)Vno(V)dV.
о о
Коэффициент эффективности сепарации
59'
00
I Ф(R)Vno(V)dV
М I о
"==1 ==1
'1 м 00
О IVno(V)dV
о
(23.48)
Подставляя выражение (23.47) в (23.48), найдем
V cr
I (1 R2/Щr) Vno(V)dV
11=1 о 00
IVno(V)dV
о
v: 4 D3
cr .....1l...Л. сr .
3
(23.49)
Рассмотрим пример. Пусть на вход поступает жидкоrазовая смесь с pac
пределением пузырьков по объемам из класса rамма распределений
(V) N (k + 1) ( V ) k ( V )
по Wokl Vo ехр Vo '
rдe N o и W o счетная и объемная концентрации пузырьков; k и V o парамет
ры распределения, связанные со средним объемом V av и дисперсией а 2 COOTHO
шениями
(23.50)
V av = V o (k + 1); а 2 = Viv (k + 1) 1.
Распределения (23.50) для различных значений k показаны на рис. 23.11.
Подставляя (23.50) в выражение (23.49), получим
11 ==1 [ Y(k+2,Z)+ 1 Y (k+8/3,Z) ] , (23.51)
(k + О! z2/3 (k + 1)1
rде z = Vcr(k + 1) /V av ; у(х, у) неполная rамма функция.
Выражение (23.51) позволяет определить зависимость коэффициента эф
фективности сепарации от параметров распределения на входе k и а 2 , а также
от rеометрических и rидродинамических параметров потока, входящих в z.
Заметим, что параметр z зависит от времени пребывания смеси t на наклонной
полке:
= (k 1)( ...!.... ) 3/2 . t = Lu av . = 26.р gR v
z + ,av H ' и аv 9 .
t av и I-IL
На рис. 23.12 показана зависимость 11 от безразмерноrо времени 't = t / t av .
Заметим, что k = 00 соответствует монодисперсному распределению пузырьков
по объемам.
Рассмотрим теперь второй случай, коrда смесь движется по наклонной пол
ке в условиях пересыщения. Отличие от paccMoTpeHHoro выше случая состоит
в том, что пузырьки MoryT увеличиваться по размеру в соответствии с выраже
нием (22.14) для бинарной смеси:
R = =[1+(PIL PIWL)(Y YO)YH]1/3,
r де P1L' PlwL безразмерные параметры , введенные в разделе 23.3; у н =
::: 6D;f:PI.ATH/тr.Rga. 2 / 3 B I M 1 .; а. == 2 pg/9!lL' и возможно зарождение пузырь
ков с интенсивностью j.
(23.52)
38*
595
1,0
Рис. 23.11. rамма распределеиие пузырьков
по объемам для различиых зиачений пара
метра распределеини k:
t о; 2 2; 3 15
nW/N 2
0,5
1
2
Рис. 23.12. Зависимость коэффициента эф
фектнипости сепарации т] от времени 't для
различиых зпачеиий k:
t о; 2 2; 3 15; 4 00
о
V/V au
11
1,0
0,5
О
0,5
0,5
1,5 't
Начнем со случая, коrда число зарождающихся пузырьков мало и их
вкладом в процесс сепарации можно преие6речь. Подставляя выражение (23.52)
в (23.40), получим
Х = (3 JЗ2 и- ) «1 + (PIL PlwL)(Y Уо)Ун у;з 1)
Ун PIL PlwL
(23.53)
Подставив в (23.53) У = 1; Х = X L = L / н и У О = О, определим критический
радиус Rocr> а затем передаточную функцию
Ф(R о ) = { OCT
при Ro < Rc"
при Ro;::: Rc"
(23.54)
596
тде
y , = t c ,)' {{[! + F( J' ]" t} +
2/3
F = 6(p1L PlwL)D IL PLATH
по. 2/3 В I М L R8av
Roav средний радиус пузырьков на входе; Rocr критический радиус, опреде
ляемый из уравнения
[ 3 ] 1/3
S Roav = 1 + F ( Ro ) 1;
Rocr Rocr
s = 2FR avXL .
27ин2
Пусть наряду с ростом приносимых извне пузырьков идет зарождение
новых, радиус которых равен Rn, с интенсивностью jn. Нетрудно найти, что
пузырек, зародившийся на rлубине У о , в конце слоя будет иметь радиус
R I == Rn(1 + XLF /J3 2 tg а), для чеrо ему нужно пройти расстояние Х I == (R I / Rn
1) J3 2 tga/ F. Следовательно, для тото чтобы пузырек с начальным радиусом
Rn достиr поверхности слоя, ему необходимо зародиться на расстоянии от конца
слоя, не меньшем Х I . Из всех пузырьков достиrнут выхода те, для которых
выполняется неравенство УО< Y Ocr '
В качестве примера рассмотрим всплытие пузырьков, распределение KOТO
рых на входе имеет вид rамма распределения
п1п*
1
II
0,50
0,25
о
5
10
R/Rg
Рис. 23.13. Распределение пузырьков иа выходе из слоя смеси для раз
личных зиачений длииы слоя L, м:
О исходное распределение; t 10; 2 50; 3 100; I, II с учетом и без
учета дифФузионноrо роста пузырьков соответственно
597
0,5
Рис. 23.14. Зависимость коэффициента эф-
фективиости сепарации раствореииоro в жид
кости rаза от длины иаКJIОИИОЙ полки (Н-
- 0,01 м; ii - 0,1 м/с) для различных зиа
чеипй Л:
1 4; 2 1; 3 О
1'\
1,0
о
25
50
75 L, м
no(R) == п* ( J e R/Rg.
На рис. 23.13 представлены распределения пузырьков на выходе для
значения k == 2. При расчете брались следующие значения параметров:
и==0,1м/с; Н==0,01 м; D 1L == 10 9 м 2 /с; j== 109 M 3c l; Roav== 10 5 м. Длина
слоя изменялась.
Видно, что для эффективной сепарации на наклонной полке необходимы
значительные длины ( 25 50 м). На практике такая ДЛИНа достиrается обо
рудованием сепаратора системой параллельно или последовательно соединен
ных полок, поэтому либо расход смеси нужно равномерно распределять по
полкам, либо при постоянном расходе длину полок нужно увеличивать.
На рис. 23.14 показана зависимость коэффициента эффективности сепара
ции движущейся по наклонной полке смеси, не содержащей на входе свободный
rаз, от длины полки.
Таким образом, сепарация на наклонных полках свободноrо rаза в тонком
слое происходит достаточно эффективно, в то время как для эффективной
сепарации pacTBopeHHoro rаза нужно увеличивать толщину слоя. Различные
зависимости эффективности удаления из жидкости свободноrо и pacTBopeHHoro
rазов от толщины слоя означают, что должна существовать оптимальная толщи
на слоя, при которой суммарное количество выделившеrося на заданной длине
слоя rаза будет максимальным.
(23.55)
24
СЕПАРАЦИЯ С УЧЕТОМ СТЕСНЕННОСТИ
ВСПЛЫТИЯ ПУЗЫРЬКОВ
Рассмотрим процесс разделения жидкоrазовой смеси в rравитационном
rоризонтальном сепараторе. На вход сепаратора смесь поступает из подводя
щеrо трубопровода, который оборудован устройством предварительноrо отбора
598
свободноrо rаза. Исследование дисперсности жидкоrазовоrо потока на входе
содержится с [71. в этой работе показано, что предварительный отбор крупных
пуэырьков приводит К тому, что в сепаратор поступают пузырьки, диаметр
которых иЗменяется в узком интервале от D I дО D2' отличающихся примерно
в 3 раза, а дисперсия а 2 0,003. Распределение пузырьков по диаметрам D на
входе может быть приближено в простейшем случае к равномерному в интер
вале (D I ; п 2 )
) No
по (D ==
(D z D I )
(24.1 )
или к нормальному
пo(D) == ...!!.2....... exp ( D D a v)2 ) ,
.J2;. (1 2(12
(24.2)
rде N o == WO/V av численная концентрация пузырьков на входе; Dav cpeд
ний объем пузырьков на входе; D I и D 2 наименьший и наибольший диаметр
пузырьков.
НесмО1'ря на предварительный отбор rаза в подводящем к сепаратору
трубопроводе, в сепаратор может поступать жидкоrазовая смесь с достаточно
большим содержанием rазовой фазы (W o 1 0 2 1 0 1). Такое большое значение
W o ПРИВОДIiТ к необходимости учитывать стесненность при всплытии пузырь
ков. В [7] экспериментально показано, что скорость всплытия с учетом CTeCHeH
ности хороuю аппроксимируется выражением
И == UsJ(W); f(W) == (1 W) ,
(24.3)
rде показатель степени 13 зависит от безразмерноrо параметра К == L 3 /2 /gV2v'ip
13 == 4,9 + 3,4 . 10 5 К. (24.4)
Для характерных значений параметров L == 10 2 Н/м; 9 == 10 м/с 2 ;
V L == 10 5 м/ с 2 ; PL == 103 Kr /м 3 имеем к 102. Однако уменьшение вязкости нефти
до значения V L == 1 О б м 2 / с и увеличение поверхностноrо натяжения до значения
L 5 . 10 2 Н/м приводит к значению К 105. Следовательно, для высоковяз
кой нефти Можно считать 13 I'Z 5, а для маловязкой нефти параметр К оказывает
заметное В./1:ияние на скорость всплытия пузырька.
rравитационные сепараторы MorYT работать в режиме периодической oт
качки и в проточном режиме. В первом случае сепаратор заполняется жидко
rазовой смесью, некоторое время смесь отстаивается, пока не всплывут пузырь
ки rаза, а Затем происходит опорожнение сепаратора. В этом случае представ
ляет интерес определение времени отстоя смеси, исходя из требуемой степени
сепарации. Во втором случае жидкоrазовая смесь непрерывно протекает через
сепаратор. Основной задачей является определение времени пребывания смеси
в аппарате, необходимоrо для требуемой степени сеПарации. Рассмотрим эти два
режима подробнее.
24.1. СЕПАРАЦИЯ В РЕЖИМЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ОТКАЧКИ
Проце с сепарации в режиме периодической откачки можно моделировать
следующей задачей. В начальный момент имеем некоторый объем высотой Н,
заполненный жидкоrазовой смесью с задаННЫМ распределением пo(D) пузырь
599
ков по диаметрам, которое предполаrается однородным по высоте слоя. Тоrда
распределение пузырьков при t > О завJfСИТ от z, t и D, rде z вертикальная
координата, направленная против силы тяжести, описывается кинетическим ypaв
нением, которое в отсутствии коarуляцlIИ и диФФузионноrо роста пузырьков
принимает вид
дп + И t ..E...(f(W)п) = о
at S az .
(24.5)
Возьмем в качестве U st стоксовую скорость свободноrо движения пузырь
ка с полностью заторможенной поверхностью, которая при очевидном условии
Ре « Р L
1 gD2
U st = .
18 VL
(24.6)
к этим уравнениям добавим выражение (24.3) для f(W) и соотношение
для объемной концентрации пузырьков
D2
W = fiD3n(Z, t, D)dD.
Dl
(24.7)
Начальным условием является
n(z, о, D) = no(D); W(z, о) = W o .
(24.8)
В качестве rраничноrо условия берем условие отсутствия пузырьков на
нижней стенке сепаратора
n(О, {, D) = о.
(24.9)
Возьмем для простоты в качестве no(D) равномерное распределение (24.1).
т orдa
W o = ТtN o (D Dп. (24.10)
24(D 2 Dj)
Решаем уравнение (24.5) методом характеристик.
Введем безразмерную переменную 1; == z / Ustt и ищем решение уравнений
(24.5) (24.10) в виде n=1'](D, ) и W= ( ). Тоrда для 1'] и получим
следующие уравнения:
1']' + (f1'])' = о; {( ) = (1 ) ;
(24.11)
D2
= f i D31'] ( , D) dD ;
Dl
(24.12)
1'](0, D) = о; 1'](00, D) = по.
(24.13)
Поскольку пузырьки имеют минимальный D j и максимальный D 2 диамет
ры, то в момент времени t > О в рассматриваемом объеме имеются три области
(рис. 24.1), разделенные плоскими поверхностями KOHTaKTHoro разрыва, такие
же, как в аналоrичной задаче о седиментации суспензии (см. раздел 8.5).
Рассмотрим плоскость (z, t) (рис. 24.2) и прямые в этой плоскости:
z z D
= ! = 1; '" 2 = """'2f(W o ). (24.14)
ustt ustt D j
600
Исключая из этих уравнений D*I D1' получаем
концентрации пузырьков W от z и t:
f(W)== 1!N o Dt . ( 1 ) .
24 f(W)
Исключив из (24.15) Но с по
мощью соотношения (24.10), по
лучим
[ ] 1/2
gDr W D1
z == ( 1 ) +1 х
18vL W o Dt
Рис. 24.1. Три 06ласти, возникающие
при разделении жидкоrазовой смеси:
! чистая жидкость; II промежуточ
ная 06ласть; II! зона постоянноro
I'азосодержания
Область < 1 COOTBeTCTBY
ет однофазной области 1, свобод
ной от пузырьков. В ней n == О
и W= О. в области 2:$ < 00,
соответствующей области III, при
мыкающей к верхней межфазной
поверхности, зоне постоянно
ro rазосодержания, имеем .., == по.
В третьей промежуточиой обла
сти II для любоrо значения *,
у довлетворяющеrо неравенству
1:$ * :$ 2' ВЫПОJlllЯЮтся условия
D.
* == ( *) == f %D3 n o dD ==
Dj
== 1! n о (D4 D4 ) ;
24 * 1
х t f(W). (24.16)
На рис. 24.3 показана pac
считанная зависимость W от для
различных значений начальной
объемной концентраций W o .
Теперь можно оnpeдеJПfТЬ долю t 2
rазовой фазы, оставшейся в объе
ме в момент времени О < t < t 2
Рис. 24.2. Характеристики уравиеиия
(24.14):
21 = gDft/18v L' 22 = gDi t f W o /18gnL
Таз
IIJ
о о D О
О о о о ()
о
О О о о
О о '::1
О о Q
О О '" о о о ()
о о О
о () о II
О О о Q
О .о о о О
о о
О D о о о р
О о о;)
О о " о о о
CI Q О О
о О
О о о
О о О О о
о 'о
1
z
х
D2
* == -----т {( *).
D 1
зависимость объемной
(24.15)
t I
1< < 2
w=o
= 1
W=J-J6
Zl
н
Z
6О1
Z2
10
8
6
4
2
О
1 2 4
W'102
Рис. 24.3. Зависимость rазосодержания W
от для раЗ.IIИЧНЫХ значений Н8чальиоrо
rазосодержаиия w o :
f lО з; 2 7. 10"2; 3 5. 10 2; 4 2 . 1O 2
1
[ 18V: f(Wo) н ]
2 Q, 'D"J Wdz+ J W,dz
gDlt gDit
18v[ 18v[ f(Wo)
3 (24.17)
4
и в момент времени t 2 t t!
Н
Q! == J Wodz (24.18)
gDlt
18v[
и, наконец, при t> t 1
QI == О.
10 20 20
(24.19)
Время t l == 18v L H/gD 1 2 может быть очень большим. Поэтому на практике
допускается некоторый унос rаза вместе с жидкостью. Обычно оставшуюся
долю rаза (остаточное rазосодержание) задают. Таким образом из приведенных
выражений дЛЯ Q! можно определить необходимое для этоrо время.
24.2. СЕПАРАЦИЯ В ПРОТОЧНОМ РЕЖИМЕ РАБОТЫ
Рассмотрим всплытие пузырьков в потоке, движущемся с постоянной про
дольной скоростью и в плоском канале высоты Н. Torдa уравнение для pac
пределения пузырьков по диаметрам n(х, z, D), rде х продольная координа
та, имеет вид
и ; + U st [r(W)n] == О.
к этому уравнению нужно добавить уравнения
1 gD2
U st == 18 '
D2
W == J%D3n(Z, t, D)dD.
Dt
(24.20)
(24.21)
(24.22)
rраничными условиями являются
n(О, z, D)==no(D); n(х, О, D)==O.
(24.23)
Оrраничимся рассмотрением простейшеrо случая, коrда на входе имеется
равномерное распределение пузырьков.
Решение поставленной задачи можно получить так же, как и в разделе 24.1
Разбиваем область О х L, О У Н на три (рис. 24.4):
602
Рис. 24.4. ХарахтерисТlfl(8 уравиения (24.20):
f ,, "2 gDif(W o )/18v L U; 2 " ,,,
gDl!18vL И; 1 W W o (11 > "2); I1 W о
("<11,); III W=W(11=Z X) (11,<11<112)
невозмущенная область 1: z/x > 'Тl1 ==
= gDU(W o )/18v L U. В ней n = по и
W == W O ;
область, полностью очищенная от
rазовых пузырьков II 1: z / х < 'Тl1 ==
== gD j 2/18v L U. В этой области n == о;
W==O;
промежуточная область II: gD? /
18v L U :;; z/x:;; gDU(W o )/18v L U.
z = 1 :2и [ ( 1)+1]И xf(W).
(24.24)
z
н
L
х
Уравнение (24.24) позволяет найти минимальную длину сепаратора, KOTO
рая при заданной производительности и высоте обеспечивает заданное остаточ
ное rазосодержание смеси на выходе.
Остаточное rазосодержание на выходе можно определить, используя Bыpa
жения (24.17) (24.19), в которых t нужно заменить на х/U. Объемный
расход rаза, уносимоrо смесью из сепаратора,
н
Qa = И fW(L, z)dz. (24.25)
LU s tl/U
Соответствующее значение на входе в сепаратор
Qao == UHW o .
(24.26)
Эффективность сепарации определяется долей rаза, отделяемоrо от смеси
в сепараторе
'тl == 1 G a . (24.27)
Qao
Таким образом, задав '1'\, из (24.27) и (24.25) можно найти rеометрические
размеры сепаратора (L или Н).
25
КОМУ ЛЯЦИЯ ПУЗЫРЬКОВ В вязкой жидкосm
До настоящеrо времени при исследовании динамики роста пузырьков
предполаrалось, что пузырьки между собой не взаимодействуют. Подобное
предположение справедливо при малых значениях объемноrо содержания пу
603
зырьков W« 1, поскольку среднее расстояние между ними Lav Rav/VW»Rav'
Так, для W 1 0 3 среднее расстояние между пузырьками оценивается как
Lav 10R av , в то время как увеличение W до значяения 1 0 1 приводит К
уменьшению Lav до 3Rav. Если, кроме Toro, пузырьки увеличиваются в размерах
за счет диФФузионноrо роста, то среднее расстояние между пузырьками CTaHO
вится со временем еще меньше. Следовательно, в процессе роста rазовых пу
зырьков либо в условиях пересыщения смеси, либо с падением давления, напри
мер при движении жидкоrазовой смеси в длинных вертикальных трубах (CKBa
жинах), их объемное содержание может значительно увеличиться, что приводит
к необходимости учитывать взаимодействие пузырьков, в частности их Koary
ляцию.
Дисперсность жидкоrазовой смеси можно характеризовать непрерывным
распределением пузырьков по объемам n( V, t, Р) в момент времени t в точ
ке Р рассматриваемоrо объема. Распределение n удовлетворяет кинетическому
уравнению, которое с учетом диФфузионноrо роста и коаrуляции пузырьков в
пренебрежении их дроблением имеет вид
: + "У. (иn) + д [n( )J = Icoag; (25.1)
v
Icoag = fK(O), V O)n(V O),t,P)n(O),t,P)dO)
о
ос>
n(V, t, р) fK(O), V)n(O), t, P)dO).
о
Уравнение (25.1) представляет собой баланс числа пузырьков объма V в
пространстве (V, t, Р). Входящий в правую часть (dV / dt)D имеет смысл
скорости изменения объема пузырька за счет диФФузионноrо роста или за счет
падения давления в системе при всплытии пузырька в столбе смеси. В правой
части расположен столкновительный член, который характеризует изменение
распределения за счет коаrуляции пузырьков с учетом только парных взаимо
действий. еханизм взаимодействия пузырьков определяется константой Koa
ryляции К(О), V), равной частоте столкновений пузырьков объемам и О) и V при
их единичной концентрации. Основным свойством константы коаrуляции явля
ется симметричность относительно объемов К(О), V) == K(V, 0).
Второе слarаемое в левой части конвективный перенос пузырьков, при
чем скорость и равна скорости движения пузырька объемом V. Считаем пу
зырьки достаточно малыми, поэтому u = aR2, причем для пузырьков с полно
стью заторможенной поверхностью а == 2дрg/91!u а для пузырьков со свобод
ной поверхностью а == дрg /3I!L' Заметим, что здесь не учтена стесненность
движения пузырьков, в противном случае а будет зависеть и от объемноrо
содержания пузырьков W. Одна из таких зависимостей предложена в [8]
введением в а поправочноrо множителя л(W) == (1 W)2.
Если выражения для (dV / dt)D и К(О), V) известны, то, решив уравнение
(25.1), найдем численную N и объемную W концентрации пузырьков, а также
их средний объем V av = W / N. Выражения для (dV / dt)v были получены в
разделе 22. В этом разделе будут получены выражения дЛЯ К(О), V) и paCCMOT
рены некоторые простые решения кинетическоrо уравнения.
604
25.1. КОАfУЛЯЦИЯ ПУЗЫРЬКОВ В ЛАМИНАРНОМ ПОТОКЕ
В ламинарном потоке константа коаryляции К пропорциональна сечению
захвата пузырька объемом V пузырьков объемом 0,), а в турбулентном потоке
потоку пузырьков объемом о,) на выделенный пузырек объемом V.
Рассмотрим движение пузырьков в ламинарном потоке. Их взаимодей
ствие обусловлено, с одной стороны, разностью скоростей движения относитель
но жидкости за счет различных размеров, а с дрyrой молекулярными силами
взаимодействия. За счет различных размеров происходит их сближение на
относительно больших по сравнению с радиусами пузырьков расстояниях. На
малых расстояниях возникают силы сопротивления, которые препятствуют сближе--
нию. На этих же расстояниях начинает действовать сила притяжения Baн дep
Ваальса, которая обеспечивает эффективный захват пузырьков. Заметим, что
если происходит сближение пузырьков с полностью заторможенной поверхно
стью, то сила rидродинамическоrо сопротивления при малых зазорах 8 между
поверхностями пузырьков синrулярна Рь 8 1, поэтому столкновение пузырьков
невозможно без учета силы Ван дер Ваальса. При сближении пузырьков со
свободной поверхностью Рь 8 112. В отличие от первоrо случая эта особенность
интеrрируема, поэтому пузырьки со свободной поверхностью MOryT столкнуться
и без учета силы молекулярноrо притяжения. Следует также заметить, что при
малых зазорах поверхности пузырьков в области контакта MorYT заметно дe
формироваться и принимать плоскую форму. Однако если размеры пузырьков
достаточно малы, то на таких расстояниях их сближение контролируется силой
молеку лярноrо притяжения и деформация поверхностей не будет заметно вли
ять на скорость сближения.
Оrраничимся случаем быстрой коаryляции, считая, что каждое столкнове
ние пузырьков при водит к их слиянию. Сближение пузырьков в ламинарном
потоке проводится на основе анализа траекторий относительноrо движения
пузырьков. Уравнения безынерционноrо движения пузырька радиусом а OTHO
сительно большоrо пузырька радиусом Ь в квазистационарном приближении
записываются в виде
Рь + Р т = о;
dra
dt = и а ,
(25.2)
rде Рь rидродинамическая сила, действующая на пузырек; Р т сила молеку
лярноrо взаимодействия; ra радиус вектор центра пузырька радиусом а в
системе координат, связанной с центром BToporo пузырька радиусом Ь; и а
скорость движения пузырька радиусом а относительно пузырька радиусом Ь.
Рассмотрим взаимодействие пузырьков со свободной поверхностью. По
скольку скорость пузырька имеет две составляющие, направленные вдоль ли
нии центров и перпендикулярно к ней, то rидродинамическая сила Рь тоже
имеет две составляющие. На больших расстояниях между пузырьками сила Рь
мало отличается от СТОКСОВОй 47tI!LaU, rде и скорость потока вдали от
капель, на малых расстояниях вторая составляющая по прежнему незначитель
но отклоняется от стоксовой, а составляющая, направленная по линии центров,
существенно отличается от стоксовой Поэтому представим Рь в виде
Рь = Р Ье + F hs ; Рь. == 47tI!La(Ua u), (25.3)
rде F hs стоксовая сила; Р Ье сила центральноrо сближения пузырьков, отли
чающаяся от стоксовой и учитывающая влияние пузырька радиусом Ь.
В рассматриваемом движении все силы, а следовательно, и траектории
60S
движения пузырька лежат в плоскости, проходящей через линию центров и
параллельной скорости потока на бесконечности.
Задавшись начальным положением ОДНоrо пузырька относительно друrоrо,
можно определить семейство траекторий, часть из которых заканчивается на
поверхности пузырька радиусом Ь, а остальные проходят мимо. Назовем Tpa
ектории, разделяющие эти два семейства, предельными. Вдали от пузырька
радиусом Ь они образуют цилиндрическую поверхность KpyroBoro поперечноrо
сечения. Назовем площадь этоrо сечения сечением завата пузырьком радиусом
Ь пузырьков радиусом а < Ь.
Предположим, что маленький пузырек радиусом а не искажает поле CKO
ростей жидкости, обтекающей большой пузырек. Тоща
И, =И",( 1)соsе; ИЗ =и",(1 ;r )Siпе. (25.4)
Для простой оценки силы F he при малых зазорах 8 между поверхностями
пузырьков, воспользуемся выражением для случая приближения пузырька к
плоской свободной поверхности [9]
F he = 1,21t flL аu а п( i }/2,
сво60ДНОЙ поверхности составляющая скорости пу
(25.5)
rде и аn нормальная к
зырька.
В случае сближения двух пузырьков с различными радиусами а и Ь в
формулу (25.5) вносится поправка
F he =1,21t flL aU a n(i}/2( 0:b» )!/2. (25.6)
На малых расстояниях силу молекулярноrо притяжения пузырьков можно
представить в виде
оЬ
Р т = r 02(0 + ь) ,
rде r постоянная [амакера, имеющая порядок 10 19 Дж.
Теперь уравнения движения пузырька радиусом а с учетом
для действующих на Hero сил можно записать в виде
41t fl L a{1 + O,38 I/2[ (оа:Ь)з Т/2} =
= 41tflLаИ ",('; 1) cos е r 02(::Ь) ;
41tflLar = 41tflLаи",(1 ;r )cose.
Введем следующие безразмерные переменные:
(25.7)
выражений
(25.8)
R =1..
о'
u t
't' "'.
b'
k o. S r
A
Ь' 41tJl. L U",b 2
При этом система уравнений (25.8) прео6разуется к виду
[ k J I/2 dR
1 + 0,3 (k+1)3(R k 1) =
606
== ( 1) cos В (k+1)( k 1)2 ;
R de == ( 1 .!. ) Sin В'
d-r R '
R == Ro; В == Во при 't' == О.
Если вязкое сопротивление и молекулярное взаимодействие отсутствуют,
то траектории совпадают с линиями тока:
[R(R O]V2 sin В == С,
(25.9)
(25.10)
rде С постоянная интеrрирования.
В рассматриваемом случае критическая траектория приводит к контакту
пузырьков при В == 1t /2 и R == 1 + k. Это условие позволяет найти С == k (k + 1).
Теперь можно найти безразмерный радиус сечения захвата
[1 == limRsine== k(k+O. (25.11)
R....'"
Без учета силы Ван дер Ваальса (SA == О), но с учетом вязкоrо сопротивле
ния решение м ожет бы ть найдено в квадратурах
R (R + 1) cos В == С ехр [ (k ;31)2 ( Jk arctg J R ; : ; 1 +
+ Jk+1 arctg JR;:; 1 )]. (25.12)
Используя (25.12), так же как и в предыдущем
случае, нетрудно найти безразмерный радиус сечения
захвата
[2 == k(k + 1) ех р [ ( , 5 2 (Jk + Jk+1)]. (25.13)
Из выражений (25.11) и (25.12) следует, что
учет вязкоrо сопротивления уменьшает сечение
столкновения. В диапазоне 0< k < 0,6 отношение
0,59 < [2 / [1 < 0,67. Таким образом, учет вязкости
без учета силы Ван дер Ваальса уменьшает радиус
сечения захвата почти в 1,6 раза, а следовательно,
частоту коаryляции в 2,6 раза.
В общем случае с учетом как вязких, так и
молекулярных сил уравнение (25.9) интеrрировалось
численно. Характерные траекroрии показаны на рис. 25.1,
а на рис. 25.2 представлены зависимости безразмер
Horo радиуса сечения захвата от отношения радиу
сов пузырьков для различных значений параметра
молекулярноrо взаимодействия SA' Там же для cpaв
нения приведены зависимости [1 и [2 от k.
Рис. 25.1. Траектории движения малеиькоro пузырька оmоси
теJlЪИО боJIЪшоrо (k - 0,2; S... - 10 2)
607
1
/,0
0,5
О
0,25
0,5 k
Рис. 25.2. Зависимость радиуса сечеиия захвата 1 от k ДЛЯ различиых зиа
чеиий S...:
f 10 2; 2 10 З; 3 10 4; 4 10 5; 5 10 ; 6 10 7; 7 1.; 8 12
в случае rравитационноrо всплытия пузырьков в покоящейся жидкости
И'" == gAp/3flи Ар == PL PG "" PL И SA == r I 41tflLb2U", == зr I 41tPLgb 4 . Так, для значе
ний PL == 103 Kr 1м3; 9 == 10 м 2 /с; r == 10 !9 Дж имеем SA == 10 2З 14Ь 4 . В частности,
для пузырьков радиусом Ь == 1 0 4 М имеем S А == 1 0 7, а для Ь == 1 0 5 М S А == 1 0 3.
Константа коаryляции
К == 1tb*lub и о 1== 1tPLg b4 1 1 k 2 1 {2/ 3 flL' (25.14)
Теперь можно определить К для различных моделей столкновения.
1. Столкновение без учета вязкой и молекулярной сил.
При этом из (25.11) и (25.14) находим
К! == з L ь == 11 k 2 1 (1 + К) К. (25.15)
тr:PL 9
К з
1,0
0,5
О
608
0,5
Величина К ! принимает макси
мальное значение К l т == 0,62 при
k == 0,65 (рис. 25.3). Это означает,
что наибольшую вероятность столк
нуться имеют пузырьки с отноше
нием радиусов аl ь == 0,65.
2. Столкновение с учетом вяз
кой силы, но без учета силы BaH
дep Ваальса.
В этом случае из (25.13) и
(25.14) найдем
К 2 == 11 k 2 1 (1 + k) k х
xexp[ ( : ;2 (л +Jk+1)]. (25.16)
Рис. 25 .3. Зависимость коистанты кoaryЛJI
ции К{ от k ДЛЯ ра8JlИ1lНЫX зиачеиий S...:
f 10 2. 2 10 З' 3 10 4. 4 1O 5. 5
1,0 k ' к;; 6 [(2' ,
Максимальное значение К 2 == 0,33 достиrает при k == 0,68 (см. рис. 25.3).
Таким образом, при учете вязкой силы максимальная вероятность столкновения
почти в 2 раза меньше, чем в случае, коrда вязкой силой пренебреrаем. При
этом максимальное значение достиrается практически при таком же значении
отношения радиусов.
3. Столкновение с учетом вязкой и молекулярной сИл.
В рассматриваемом случае
К3 ==11 kЧ(1+k)l . (25.17)
Зависимость К3 от k и 50 показана на рис. 25.3. Сравнение со случаями
1 и 2 показывает, что учет молекулярной силы существенен при 5 А > 1 0 4. При
меньших значениях 5 А можно пользоваться выражением (25.16).
25.2. KOAfY ЛЯЦИЯ ПУЗЫРЬКОВ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
При турбулентном режиме течения поток пузырьков объемом (j) на Bыдe
ленный пузырек объемом V можно рассматривать как диффузионный поток с
эффективным коэффициентом диффузии D T . Рассмотрим пузырек объемом V,
помещенный в турбулентный поток ЖИДКОСТИ, содержащий пузырьки объемом (j)
с ЧИСленной концентрацией п. В предположении, что процесс стационарный и
сферически симметричный, имеем следующее уравнение, описывающее распре
деление п(у):
r2 [ DT dn Fmn ] == О.
у 2 dr dr н(т)
(25.18)
Здесь Р т сила молекулярноrо взаимодействия пузырьков; Н(у) коэф
фициент rидродинамическоrо сопротивления в выражении
Р" == Н(r)и. (25.19)
В турбулентном потоке (см. раздел 11.3)
D T == Do( i J, (25.20)
rде Do{r) коэффициент турбулентной диффузии при нестесненном движении
пузырьков (Н == Но); Но == 41tf.lLa. Выражение для сопротивления Н было полу
чено в разделе 25.1:
н == 41tf.lLa { 1 + O'30 1/2 [ ] 1/2 } .
(а + Ь)3
(25.21)
В турбулентном потоке на среднее движение накладываются турбулентные
пульсации, имеющие разные амплитуды и характеризующиеся как скоростью Ил,
так и расстоянием, на котором скорость пульсаций претерпевает заметное изме
нение. Эти расстояния называются масштабом пульсаций. Каждому из них
можно поставить в соответствие число Рейнольдса Rе л == И;.Л/V,.' ДЛЯ крупных
пульсаций л L, rде L характерный линейный масштаб области, вязкие силы
не оказывают заметноrо влияния, в то время как для малых пульсаций они
MorYT доминировать. Масштаб ло, для KOTOporO Rе л == 1, называется внутренним
масштабом турбулентности. Для пульсаций с л < o вязкие силы существенны.
39 1461 609
Под действием пульсаций пузырьки совершают хаотические движения. В [10]
показано, что вид Do зависит от Toro, под действием каких пульсаций пузырьки
совершают относительное случайное движение:
D == { VLJ}/Л (Е/v L )I/2л 2
о ЕЛ 4/3
при Л 1..0'
при Л > 1..0'
(25.22)
Рассмотрим, какие пульсации MorYT заставить сблизиться два пузырька
радиусами а и Ь. Для определенности считаем а < Ь. Пульсации с л» Ь будут
просто переносить оба пузырька, не сближая их, в то время как пульсации с
Л Ь будут сближать оба пузырька. Для предельноrо случая а « Ь сближение
происходит под действием масштаба Л r Ь а, а в друrом случае при а Ь
под действием масштаба Л r + а. Объединяя оба случая, получаем
D V L [ Ь аЬ (а + Ь) ] 2
О y +
л-ъ а 2 + Ь 2 аЬ
(25.23)
Теперь, используя выражения (25.20), (25,21) и (25.23), находим
D T == [ T b+ab(a+b)/(a2+b2 ab) ] 2
л-ъ 1 + 0,3 (аЬ 3 )1/2 /(т а ь)1/2 (аЬ)3Л а .
Частота столкновений пузырька радиусом Ь с пузырьками радиусом а
равна диффузионному потоку
J T == 4пЬ 2 ( D T ),=о+ь' (25.25)
(25.24)
Уравнение (25.18) интеrрируем при условиях n == О при r == а + Ь и n по
при r 00.
Заметим, что в отличие от коаrуляции в ламинарном потоке коаrуляция в
турбулентном потоке не возможна в отсутствие молекулярных сил, поскольку
D T О при 0== r а Ь О. Поэтому соответствующий интеrрал, входящий в
решение уравнения диффузии, имеет неинтеrрируемую особенность, которая
может быть ликвидирована только введением силы молекулярноrо притяжения,
возрастающей как 8 2 при О О.
Решение уравнения (25.18) приводит к следующему выражению для диф
Фузионноrо потока:
J, 4M"{}+ f н )щ d ] ''L I;(,) }
(25.26)
Перейдем к безразмерным переменным:
х == r а Ь k а. D л,ъDт .
Ь ь' т V Lb 2 '
s == Л, 2 0 F
т 41!p L b 2 VI
При этом
D == [ X+k+k(k+1)/(k2 k+1) ] 2
т 1 + О,Зk1/2 /х1/2 (1 + k)3/2
и
610
{ '" [ '" ( r;: )
J 41! n ov L b 3 Sm О,з"k
т = л J ехр (k + 1) f Jf, (1 + k)З/2 х
х 2 ( + k + k(k + 1) ) 2 d ][( 1 + о,зJk ) х
k 2 k + 1 Б (1 + k)З/2
1 ] 2 } 1
k(k 2 + 2)
X (X+1+k) I ( X+ ) dx
k 2 k + 1
(25.27)
На рис. 25.4 показана зависимость J T =: Jтл. /41tпоv LЬ З от отношения pa
диусов пузырьков k для различных значенИй параметра молекулярноrо взаимо
действия Sm' Отметим две особенности коаrуляции пузырьков в турбулентном
потоке: поток слабо зависит от Sm И ДОСТlIrает наибольшеrо значения при k = 1.
Это означает, что наибольшей вероятнос'fЬЮ столкновения обладают пузырьки
одинаковоrо размера.
Сравним теперь частоты столкновениЯ пузырьков в ламинарном и турбу
лентнам потоках. Для J T используем выражение (25.27), а дЛЯ J/ следующее:
J/ = 1tgb4noK /Зv [,
rде К определяется выражением (25.17).
J r
30
20
10
О
0,5
1,0k
Рис. 25.4. Зависимость потока J T от k для
различных значений Sm:
1 10 2; 2 10 7
39*
Jr/J,
10
5
О
0,5
1,0k
Рис. 25.5. Зависимость отиошення JT/ Jz от
k для различных значений SA (Sm 10S A ):
1 10 7; 2 10 s
611
Возьмем ло==10 З м; b==10 4 м; vL==10 5 м 2 /с. При этом Sm==10S A .
Зависимость отношения J T / J/ от k для выбранных значений параметров
представлена на рис. 25.5. Видно, что для пузырьков, значительно отлича
ющихся по размерам (k« 1), имеем J T J/, В то время как для пузырьков
близких размеров (k 1) имеем J т » J/.
25.3. КИНЕТИКА KOAfY ЛЯЦИИ ПУЗЫРЬКОВ
Полученные ранее выражения для Частот столкновения пузырьков в ла
минарном и турбулентном потоках позволяют найти константы Koary ляции
к(оо, V) и перейти к решению кинетиЧескоrо уравнения (25.1). Поскольку
решение в общем случае представляет значительные математические трудности,
оrраничимся рассмотрением ряда простых частных случаев.
Пусть процесс коаrуляции протекает таким образом, что распределение
пузырьков по объемам зависит только от времени t. Кроме Toro, примем, что
укрупнение пузырьков происходит только за счет их коаrуляции. Тоrда кине
тическое уравнение примет вид
дп 1 .
дt == coag ,
п(V,O)==пo(V);
(25.28)
00
Icoag == J к (00, V (0) п (V ro, t) п (ro, t) doo
о
00
п(V, t) JK(ro, V)п(ro, t)doo.
о
Будем решать это уравнение методом моментов, используя параметрическое
представление и принимая, что распределение в начальный момент имеет вид
rамма распределения и в дальнейшем остается в этом классе распределений.
Этот метод подробно рассмотрен в п. 11.1 раздела У. Оrраничившись двумя
первыми моментами то и m t , получим для их определения следующие уравнения:
дmo +то V6 == 2 1 oo J oo J K(ro, V)п(V, Оп(оо, t)dVdoo;
at V o
о о
(25.29)
дт! + 2т ! V6 == О. v av
at V o ' V o == k + 1 .
Здесь V o и k параметры rамма распределения; V av средний объем пу
зырьков.
В начальный момент имеем
то(О)== N o (k+1) ;
v avO
(О) == W o (k + 1)2
т ! 2'
V
avO
[де N o и W o начальные значения численной и объемной концентраций пу
зырьков; V avO начальный средний объем пузырьков.
Из BToporo уравнения (25.29) следует, что объемная концентрация пузырь
ков W остается постоянной, а из первоrо уравнения следует, что
dN 1 (k+1)2 N4(t) 2 ( ) . (2 30)
'dt 2 [r(k + 1)]2 W 0 2 V o <р V av , S.
612
"''''
<p(V av ) == J JK(Vox, VoY)Xkyke xe Ydxdy.
о о
Рассмотрим теперь некоторые модели взаимодействия пузырьков.
1. Взаимодействие пузырьков без учета силы вязкоrо сопротивления и
силы молекулярноrо притяжения, rравитационное расслоение пузырьков.
Выражение для константы коarуляции определяется выражением (25.15),
которое после введения в нем объемов вместо радиусов примет вид
К (ro, V) = ( 2 ) 2/3 77:PLg V2/3IV2/3 (02/31 <01/3 ( 1 + <01/3 ) . (25.30
477: 31lL VI/3 VI/3
Подставляя (25.31) в (25.30), получаем
= ( 4 з ,J /3 wo4/3"kN2/3; N(O) = N o ,
(25.32)
rде
,,=2 r(2k+10/З) [ Ф ( 1' 2k+.!Q. k+'!..... .!.. ) +
k 4 [r(k+1)]2(k + 1)4/322k+10/3 k + 4/3' 3 ' 3' 2
+ Ф ( 1' 2k+.!Q. k+ ' .!.. ) Ф ( 1' 2k+.!.Q.. k+'i. .!.. )
k + 5/3 ' 3 ' з' 2 k + 2' 3 ' 3' 2
Ф ( 1' 2k+.!Q. k+ ' .!.. )] .
k + 7/3 ' 3 ' з' 3 '
r(x) rамма Функция; Ф(а; ; у; z) rиперrеометрическая функция; значения "k
следующие: "0== 0,4639; "1 == 0,515; "2 = 0,5648; "з = 0,6095; "4 = 0,6893.
Решение уравнения (25.32) имеет вид
N( 't) = No ( 1 J..kWОТ ) З; 't = ( 2 ) 2/3 PLgv;;;5t . (25.33)
3 4п 31lL
Число пузырьков со временем уменьшается. Средний объем и дисперсия
распределения со временем увеличиваются по закону
V av = V avo ( 1 J..k:O T уз; 0'2 == 0'6 ( 1 J..k:O T У6 (25.34)
Характерное время коаrуляции оценивается как
t coag 3 ( 477: ) 2/3 I L .
3 gVavOJ..k W o
(25.35)
Теперь можно оценить время, за которое среднИй объем пузырька увели
чится в заданное число раз. В качестве примера рассмотрим начальное распре
деление пузырьков при k = 2. Тоrда время, за которое объем капли увеличится
в 2 раза, составляет 't 7/4"2Wo=3,13/Wo, или в размерном виде t 10VL/
WogRavo. Для значений У[, == 5 . 10 6 м 2 / с; W o = 10 2; RavO == 10 S м имеем t 50 с.
2. Модель коаrулЯЦИИ с учетом силы вязкоrо сопротивления, но без учета
силы Ван дер Ваальса. В рассматриваемом случае выражение для константы
коаrуляции определяется соотношением (25.16), которое отличается от (25.15)
множителем
613
9 (k) = ехр [ ( ,:5 2 (л + Л+1)].
Эта ФУНКЦИЯ имеет минимум при k = 1/15 и принимает наибольшее зна
чение при k = О в интервале 0:<::; k:<::; 1, причем отличие между наибольшим и
наименьшим значениями невелика. Поэтому для оценки примем g(k):::: 0,33.
Повторяя выполненные выше ыкладки, получаем уравнение вида (25.32), в
котором вместо Л- k нужно взять Л-k = 0,33Л-k' Поскольку время коаryляции (25.35)
содержит Л-k в знаменателе, то в рассматриваемом случае оно увеличивается в
3 раза по сравнению с предыдущим случаем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. rуnало ю. П., Полянин А. Д., Рязанцев Ю. С. Массообмен реаrирующих частиц с
потоком. М.: Наука, 1985. 336 с.
2. Рулев Н. Н. fидродинамика всплывающеrо пузырька/ /Коллоидный журн. 1980.
Т. 42. N 2. С. 252 263.
3. Plesset М.5., Zwick 5. А. А nonsteady heat diffusion probIem with spherical symmetry / /
J. Appl. Phys. 1952. У. 23. N 1. Р. 95 99.
4. Фридрихсберz Д. А. Курс коллоидной химии. Л.: Химия, 1974. 352 с.
5. rончаров В. К., Клементьева Н. Ю. Исследование влияния пленки поверхностно актив
ных веществ на растворение движущеrося в морской воде пузырька/ /Изв. РАН. Физика aTMOC
феры и OKeaHa. 1995. Т. 31. N 5. С. 705 712.
6. Фольмер М. Кинетика образования новой фазы. М.: Наука, 1986. 208 с.
8. Уоллис Т. Одномерные двухфазные течения. М.: Мир, 1972. 440 с.
9. Waholder Е., Weihs D. Slow motion of fJuid sphere in the vicinity of another sphere or
а plane boundary/ /Chem. Eng. Sci. 1972. У. 27. N 10. Р. 1817 1827.
10. Левич В. Т. Физико химическая rидродинамика. М.: fИФМЛ, 1959. 699 с.
11. Шлыкова М. П. Экспериментальный анализ rидродинамических процессов при разделе
нии rазожидкостных смесей: Диссертация канд. техн. наук. М.: МИНf им. И. М. fубкина,
1986. 136 с.
614
оrЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ........................................................................................................ 5
1. ТЕхнолоrИЧЕСКИЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ подrотовки ПРИРОДНЫХ УrЛЕ
ВОДОРОДОВ к ТРАНСПОРТУ .............................................................................. 7
ВВЕДЕНИЕ...... ... ................ ...... ............ ........... .,. ...... ......... ............... ...... ....... ..... ...... 7
1. Техиолоrические схемы устаиовок комплексиой подrотовки иефти, rаза и коидеисата
к траиспорту .,. .............. ......... ........................... ....................................... ....... .......... 10
2. Коиструкция типовых аппаратов ........................................................................... 16
2.1. Сепараторы, разделители и отстойники ...................................... ....................... ..... 16
2.2. Абсорберы............ ............ ...... ................................. ................................... ......... 31
2.3. Охлаждающие устройства................................................................. ............. ....... 40
3. Основиые процессы разделеиия мноrофазных мноrокомпонеитиых уrлеводородиых
смесей .. ...... .......... ....... ............. .... ....... ........... ........... .... ......... ............ ........... ...... ..... 42
Список литературы.............. ............ ......... ........ ....................... ............. .......... ............ 43
П. ФИ3ИКО
ХИМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕхнолоrИЧЕСКИХ ПРОцЕССОВ........ 45
4. Явлеиия переноса ......................... .............. ....... ................. ...... ....... ..................... 45
4.1. Феноменолоrические модели. ..... ............... ...... ......... ... ............ ..................... ......... 45
4.2. Перенос количества движения......... .............................. ...................... .................. 46
4.3. Теплопроводность и перенос тепла ........................................................................ 50
4.4. Диффузия и перенос массы .................................................................................. 50
4.5. Электропроводность и перенос заряда ................................................................... 53
5. Уравнения сохраиения и состояния ...................................................................... 54
5.1. Изотермические процессы .... ............ ............ ........... ............... ..... '" .................. ..... 54
5.2. Неизотермические процессы ................. ........... .......... .......................... .................. 58
5.3. Мнотокомпонентные смеси.............................................................. ...................... 61
5.4. Мноrофазные смеси. .... ....... ... ..... ...... ........... ........... ................................ ......... ..... 64
5.5. Заряженные смеси............... .................................... .......... ................ .............. ..... 68
5.6. Критерии подобия................................ ................................................................ 70
5.7. Уравнения состояния..... ....... ....... ..... ........ ... ...... ............. ...... ..................... .,. ........ 74
5.8. Баланс энтропии. Соотнощения взаимности Онзаrера ............................................. 83
Список литературы............. ................ ........... ....... .... ....................... ............... ....... ..... 91
Ш. РАСтвОРЫ..................................... ............................................. ...................... 92
6. Растворы, содержащие незаряженные компоненты ................................................ 92
6.1. Диффузия и кинетика химических реакций ........................................................... 92
6.2. Конвективная диффузия.............................. ........ ................................................. 96
6.3. Течение в канале с реаrирующей стенкой .............................................................. 99
6.4. Обратный осмос...... ................................................ .......... ................................... 102
6.5. Диффузия к движущейся в растворе твердой частице ............................................ 108
6.6. Распределение вещества, введенноrо в поток жидкости ........................................... 113
6.7. Диффузионный поток при естественной конвекции ................................................. 117
6.8. Динамика пузырька в растворе ............................................................................. 121
6.9. Испарение мноroкомпонентной капли в инертный rаз ............................................. 125
6.10. fель
хроматоrрафия ............ .......................................................... ...................... 132
6.11. Капиллярная модель низкопроницаемой пористой среды ....................................... 136
7. Растворы электролитов ........ ............. ............................... ..................................... 137
7.1. Электро.IJИТИЧеская ячейка............. ........ ........ ... ...... ..... ............. ..... ............. .......... 137
7.2. Электродиализ .. ................................ ..... ................................. ..... ............ ...... ...... 144
7.3. Двойной электрический слой.................. .......................................................... ..... 149
7.4. Электрокинетические явления ....... ........................................................................ 152
615
7.5. Электроосмос............................................................................................. .......... 153
Список литературы............................................................................. ........................ 158
IV. СУСПЕНЗИИ И КОЛЛОИДНЫЕ СИСТЕМЫ .................................................... 159
8. Суспензии, содержащне незаряженные частнцы ..................................................... 159
8.1. Микроrидродинамика частиц... ............................ .............................................. .... 159
8.2. Броуновское движение............. .................... ..................... .................................... 170
8.3. Вязкость разбавленных суспензий ......................................................................... 178
8.4. Сепарация в поле силы тяжести ................................................................ ............ 183
8.5. Сепарация в поле центробежных сил .................................................................... 191
9. Суспензни, содержащие заряженные частицы ........................................................ 197
9.1. Заряд частиц. ........... ..... ....... .......................................................... ........... .......... 197
9.2. Электрофорез....................................................................................................... 198
9.3. Движение капли в электрическом поле.................................................................. 203
9.4. Седиментационный потенциал...... ........................ ............................................. ..... 206
10. Устойчивость суспензий, коаrуляция частиц и осаждеиие частиц иа препятствиях 207
10.1. Устойчивость коллоидных систем .... ............. .......... ............. ................................ 207
10.2. Броуновская, rрадиентная (сдвиrовая) и турбулентная коаryляция ......................... 214
10.3. Осаждение частиц на препятствиях.... ...... ........................... ................. ................ 221
10.4. Захват частиц с учетом поверхностных и rидродинамических сил ......................... 225
10.5. Инерционное осаждение частиц на препятствиях .................................................. 232
10.6. Кинетика коаrуляции .............................................................................. ............ 234
10.7. Фильтрование и модель высокопроницаемой пористой среды с сопротивлением ...... 2З6
10.8. Явление rидродинамической диффузии.................................................... ............. 239
Список литературы. .... ...................... ..................... ........... ........... .... ............... .... ........ 240
У. ЭМУЛЬСИИ ....... ................. .............................................................. .... .............. 243
11. Поведеиие капель в эмульсиях ........................................................................... 244
11.1. Динамика процесс а укрупнения капель ................................................................ 244
11.2. Основные механизмы коалесценции капель ........................................................... 252
11.3. Движение капель в турбулентном потоке жидкости .............................................. 257
11.4. Силы rидродинамическоrо взаимодействия капель ................................................. 263
11.5. Молекулярная и электростатическая силы взаимодействия капель .......................... 267
11.6. Проводящие капли в электрическом поле ............................................................ 270
11.7. Дробление капель ........................ ............ ............ ............................................... 274
12. Взаимодействие двух проводящих капель в одиородиом виешнем электрическом
поле......................................................... .......... ............... .......... ................... ........... 280
12.1. Потенциал электрическоrо поля в пространстве вне капель ................................... 280
12.2. Напряженность электрическоrо поля в зазоре между каплями .............................. 286
12.3. Силы взаимодействия двух сферических про водящих капель ................................. 291
12.4. Силы взаимодействия двух удаленных друт от друта капель................................. 296
12.5. Взаимодействие двух соприкасающихся капель ..................................................... 297
12.6. Силы взаимодействия двух близко расположенных капель .................................... 307
12.7. Перераспределение зарядов проводящих капель .................................................... 314
13. Коалесценция капель.......................................................... ................................. 317
13.1. Коалесценция капель в процессе осаждения в rpавитационном поле...................... 317
13.2. Кинетика коалесценции капель при rравитационном расслоении эмульсии в электри
ческом поле................................................................................................................ 331
13.3. fравитационная седиментация бидисперсной эмульсии в электрическом поле .......... 336
13.4. Влияние электрическоrо поля на процесс сепарации эмульсии в rравитационном OT
стойнике ......................... ..... ...................... ... ........................ .......... ............................ 338
13.5. Прохождение эмульсии через электрические фильтры ........... ................................ 342
13.6. Коалесценция капель с полностью заторможенной поверхностью в турбулентном потоке
эмульсии......................................................................................................... ...... ..... 347
13.7. Коалесценция капель с подвижной поверхностью в турбулентном потоке эмульсии 353
13.8. Коалесценция проводящих капель эмульсии в турбулентном потоке в присутствии
внешнеrо электрическоrо поля. ............ ................... ..... ............ .................................... 364
13.9. Кинетика коалесценции капель эмульсии в турбулентном потоке ........................... 368
Список литературы............................................................................. ........................ 370
616
VI. r А30ЖИДКОСТНЫЕ СМЕСИ. ..................... .... ....... '" .......... .............. ............... 374
14. Формироваиие жидкой фазы в потоке rаза ......................................................... 374
14.1. Формирование жидкой фазы в отсутствие конденсации ......................................... 375
14.2. Образование жидкой фазы в процессе конденсации .............................................. 378
15. Коалесценция капель в тур6улентиом потоке rаза ............................................... 386
15.1. Инерционный механизм коаrуляции ..................................................................... 387
15.2. Механизм турбулентной диффузии ...................................................................... 389
15.3. Коалесценция полидисперсноrо ансамбля капель .................................................. 392
16. 06разоваиие жидкой фазы в устройствах предварительной кондеисации .............. 397
16.1. Конденсационный рост капель в покоящейся rазожидкостной смеси....................... 397
16.2. Конденсационный рост капель в турбулентном потоке rазожидкостной смеси ......... 405
16.3. Укрупнение капель при прохождении rазожидкостной смеси через устройства предва
рительной конденсации.......... ............... ..................... ... ............ ...... ......... ......... ........ '" 413
16.4. Образование ЖIЩКОЙ фазы в дросселирующем устройстве ..................................... 417
16.5. Образование жидкой фазы в теплообменнике ....................................................... 425
17. Поверхностное иатяжение . ...... ........... ..................... ........... ......................... ......... 431
17.1. Физика поверхностноrо натяЖения ...................................................................... 431
17.2. Капиллярное движение.. ....... ..... .................. ................ .................. ..................... 436
17.3. Смачивающее течение. ..... ........................................................... ............ ............ 439
17.4. Волны на поверхности жидкости и дробление струй ............................................. 443
17.5. Течения, вызванные rрадиентом поверхностноrо натяжения. Эффект Маранrони..... 451
17.6. Распыливание жидкости и дробление капель в потоке rаза ................................... 461
18. Эффективиость разделеиия rазожидкостных смесей в сепараторах ....................... 467
18.1. Влияние неоднородности про филя скорости на коэффициент эффективности rравита
ционноro сепаратора ..... ........... ... '" ............................. .................... ............................ 469
18.2. Коэффициент эффективности rоризонтальноrо rpавитационноrо сепаратора ............ 471
18.3. Коэффициент эффективности вертикальноrо rpавитационноrо сепаратора ............... 476
18.4. Влияние фазовых превращений на коэффициент эффективности сепаратора........... 478
18.5. Влияние коалесценции капель на коэффициент эффективности сепаратора ............ 483
18.6. Влияние кривизны стенок сепаратора на коэффициент эффективности ................... 484
18.7. Влияние расстояния от устройства предварительной конденсации до сепаратора на
коэффициент эффективности ........ ........................... ................. ........ ........................... 485
19. Эффективиость разделеиия rазожидкостных смесей в сепараторах с каплеулови
тельными иасадками.......................................................... ......................................... 487
19.1. Коэффициент эффективности сепаратора с жалюзийной насадкой .......................... 488
19.2. Коэффициент эффективности сепаратора с мультициклонной насадкой .................. 490
19.3. Коэффициент эффективности сепаратора со струнной насадкой ............................. 495
19.4. Коэффициент эффективности сепаратора с сетчатой насадкой ............................... 50S
20. А6сор6циоиное извлечеиие тяжелых уrлеводородов и паров воды из природиоrо
таза........................... ................................... ........................... ...................... ............ 508
20.1. Прямоточная абсорбция тяжелых уrлеводородов ................................................... 509
20.2. Мноrоступенчатая прямоточная абсорбция тяжелых уrлеводородов ........................ 513
20.3. Противоточная абсорбция тяжелых уrлеводородов ................................................ 518
20.4. Осущка rаза от влаш в условиях прямотока ....................................................... 521
20.5. Осущка rаза от влаrи в противоточном абсорбере с высокоскоростными сепарацион
но
конта1<ТНЫМИ элементами.................................................................................... ..... 529
21. Предотвращеине 06разоваиия rидратов в природиом rазе..................................... 534
21.1. Динамика массообмена капель инrибитора rидратов с уrлеводородным rазом ......... 538
21.2. Эволюция спектра капель инrибитора rидратов, вводимых в турбулентный поток '" 547
Список литературы.. ...................................................... ........ .............. ...... .......... ....... 559
УII. Жидкоrазовые смеси................ ............ '" ........ .................. .................. ............... 562
22. Дииамика rазовых пузырьков в миоrокомпонентиой жидкостн .............................. 563
22.1. Движение нерастущеrо пузырька в бинарном растворе ......................................... 565
22.2. Диффузионный рост неподвижноrо пузырька в бинарном растворе ....................... 568
22.3. Начальная стадия роста пузырька в мнотокомпонентном растворе ......................... 571
22.4. Динамика пузырька в мноroкомпонентном растворе .............................................. 574
22.5. Влияние поверхностно. активных веществ на рост пузырька .................................. 576
23. Сепарация жидкоrазовых смесей .......................................................................... 580
617
23.1. Дифференциальная сепарация бинарной смеси ..................................................... 582
23.2. Контактная сепарация бинарной смеси ................................................................. 585
23.3. Дифференциальная сепарация мноrокомпонентнОЙ смеси ....................................... 587
23.4. Сепарация движущеrося слоя....... .......... ........................................... .................. 592
24. Сепарация с учетом стесиенности всплытия пу<JЫРЬКОВ ....................................... 598
24.1. Сепарация в режиме периодической откачки ........................................................ 599
24.2. Сепарация в проточном режиме работы ............................................................... 602
25. Коаryляция пузырьков в вязкой жидкости .......................................................... 603
25.1. Коаryляция пузырьков в ламинарном потоке ....................................................... 60S
25.2. Коаryляция пузырьков в турбулентном потоке ..................................................... 609
25.3. КинеТl1ка коаrуляции пузырьков....... ......................... ................................. ......... 612
Список литературы... .......... .... .......... ..................................... ... ..... ....... ................ '" ... 614
CONTENS
PREF АСЕ.. ........ '" .................... ...... ... ..... ........... ...... ......... ................. ............... ..... .... 5
1. ТECHONOLOGlCAL COMPONENТS FOR PREPARING NAТURAL HYDROCARBON
ВЕ FORE ТRANSPORT ............................................................................................. 7
INТRОDUСТЮN .. .......................................... .......................... ............................ ...... 7
1. Technological Schemes of ОН, Gas and Condensate Treatment before Transport. .... 10
2. Design of typical Facilities ................................................................................... 16
2.1. Separators and Settlers .......................................................................................... 16
2.2. Absorbers ........................................................ .................. ................................... 31
2.3. Coolers ...................................................................... .......................................... 40
3. Main Processes of Multiphase Multicomponent Hydrocarbon Mixture Separation ..... 42
References .... ........ ................................................. ...... '" ....................... ............ ...... .... 43
П. PHYSICO
CHEMICAL FUNDAMENTALS OF ТECHNOLOGlCAL PROCESSES.... 45
4. Transport РЬепоmепа ........................... ............ ......... ........... ....................... ........... 45
4.1. Phenomenolodical Models ...................................................................................... 45
4.2. Momentum Transport ................................................... ......................................... 46
4.3. Thermal Conductivity and Heat Transport .............................................................. 50
4.4. Diffusion and Mass Transport ................................................................................ 50
4.5. Electrical Conductivity and Charge Transport ......................................................... 53
5. Equations of Conservation and State ..................................................................... 54
5.1. Isothermal Processes............................... ................... ......... .................... ..... .......... 54
5.2. Nonisotherтal Processes ................................................................. ............ ............ 58
5.3. Multicoтponent Solutions...... ....... ............................................. ............ ............ .... 61
5.4. Multiphase Mixtures............................................... ..................................... ......... 64
5.5. Charged Species.. ........ ................ ............ .......................................................... .... 68
5.6. Similarity Parameters ............................................................................................ 70
5.7. Equations of State .................................................. ...................................... ........ 74
5.8. Entropy Balance and Onsager Reciprocal Relations ................................................. 83
References ..... ................... ....................... ............... ................... ........ .... ................ ...... 91
III. SOLUnONS.................... .......... ........................................................ .................. 92
6. Noncharged Solutions........ ......... ......................... ........................................ ........... 92
6.1. Diffusion and Chemical Reaction Кinetics ............................................................... 92
6.2. Convective Diffusion............ ................. ......................... ..... .................................. 96
6.3. Flow in Channel with Reacting Walls .................................................................... 99
6.4. Reverse Osmosis............. ............ ................................... ............................. ...... .... 102
6.5. Diffusion to Solid Particle moving in Solution....................................................... 108
6.6. Distribution of Fluid injected in another MiscibIe Fluid ......................................... 113
6.7. Diffusion Flux under Natural Convection ................................................................ 117
6.8. Dynaтics of а Gas ВиЬЫе in Solution .................................................................. 121
6.9. Evaporation of Multicomponent Droplet in Neutral Gas ........................................... 125
6.10. Chromatography ............. ........................ .................................................. ........... 132
6.11. Capillary Model of LowpermeabIe Porous Media ................................................... 136
7. SoJutions of Electrolytes ..... .................... ........................ ...... ..................... ....... ..... 137
7.1. Electrolytic СеВ......... .......................................................................................... 137
7.2. Electrodialysis...................................... .................... ............ ................................. 144
7.3. Electric DoubIe Layer. ........... ............................................................................... 149
7.4. Electrokinetic Phenoтena ..... ................................................................................. 152
7.5. Electroosmosis.............. ................ ................... ............................................ .......... 153
References ......... ........ ............... .................... .,. .......................................... ....... ...... ..... 158
619
IV. SUSPENSIONS AND COLLOlDAL SYSТEMS ..................................................... 159
8. Suspensions of Noncharged Particles ...................................................................... 159
8.1. Microhydrodynamics of Particles .... .............. ........ ......................................... ......... 159
8.2. Brownian Motion. ....... .......................................... ..................................... ........... 170
8.3. Viscosity of Dilute Suspensions ............................................................................. 178
8.4. Gravity Sedimentation........................................................................................... 183
8.5. Centrifugal Separation....................................................................... ........... ......... 191
9. Suspensions of Charged Particles ........................................................................... 197
9.1. Charge of а Particle ............................................................................................. 197
9.2. Electrophoresis............. ............................ ........................................... ......... ......... 198
9.3. Motion of а Droplet in Electric Field .................................................................... 203
9.4. Sedimentation Potential......................................................................................... 206
10. Stability of Suspension, Coagulation of Particles and Capture of Particles Ьу col
lectors .................... ........................................................................ ........ ........ ..... ...... 207
10.1. Stability of Colloidal Systems .............................................................................. 207
10.2. Brownian, Gradient (Shear) and Turbulent Coagulation of Particles......................... 214
10.3. Capture of Particles Ьу Collectors........................................................................ 221
10.4. Capture of Particles due to Surface and Hydrodynaтic Forces.............................. 225
10.5. Capture of Particles owing to Inertia................................................................... 232
10.6. Coagulation Кinetics ........................ .................................. ............ ...................... 234
10.7. Filtering and а Model of Нighpermeable Media .................................................... 236
10.8. Hydrodynamic Diffusion Phenomena...................................................................... 239
References . .................................. ........................................ ................... ..................... 240
У. EMULSIONS ....... ........................................ ......................................... ..... ........... 243
11. Behaviour of Droplets .......................................................................................... 244
11.1. Dynamics of Droplet Growth ............................................................................... 244
11.2. Main Mechanismus of Droplet Enlargement ........................................................... 252
11.3. Droplet Motion in Turbulent Flow....................................................................... 257
11.4. Hydrodynamic Forces of Interacting Droplets ........................................................ 263
11.5. Molecular and Electrostatic Forces of Interacting Droplets ..................................... 267
11.6. Conductive Droplets in Electric Field................................................................... 270
11.7. Breakup of Droplets ........................ ....................... .......... ............ ....................... 274
12. Interaction of Two Conductive Droplets in а Uniform External Electric Field ....... 280
12.1. Electric Potential outside Droplets ....................................................................... 280
12.2. Electric Field Tension in the Clearence between Droplets ...................................... 286
12.3. Interaction Forces of two spherical Conductive Droplets ........................................ 291
12.4. Interaction Forces of two far situated Conductive Droplets .................................... 296
12.5. Interaction Forces of two touching Conductive Droplets ........................................ 297
12.6. Interaction Forces of two close distanced Conductive Droplets .............................. 307
12.7. Redistribution of Droplet Charges after СоШsiоп ................................................... 314
13. Droplet Coalescence........................................... ................... ............................... 317
13.1. Coalescence of Droplets under Gravity Settling ..................................................... 317
13.2. Кinetic of Droplet Coalescence under Gravity Settling in Electric Field.................. 331
13.3. Gravity Sedimentation of Bidisperse Emulsion in Electric Field .............................. 336
13.4. Influence of Electric Field оп Separation Efficiency of Eтulsion in Gravity Settler 338
13.5. Separation of Emulsiom in Electric Filter .............................................................. 342
13.6. Coalescence of Droplets with fully imтobile Surface in Turbulent Flow................ 347
13.7. Coalescence of Droplets with mobile Surface in Turbulent Flow............................ 353
13.8. Coalescence of Conductive Droplets in Turbulent Flow in the Presence pf External
Electric Field............... ........................................................... ............. ....................... 364
13.9. Coalescence Кinetics of Emulsion in Turbulent Flow............................................. 368
Referances .......................................................... .................... .................... ........ .,. '" .,. 370
VI. GAS
LIQUlD MIXтuRES................................................................................. 374
14. Formation of Liquid Phase in Gas Flow............................................................... 374
14.1. Formation of Liquid Phase in the absence of Condensation ................................... 375
14.2. Nucleation of Liquid Phase due to Condensation .................................................. 378
15. Coalescence of Droplets in Turbulent Gas Flow.................................................... 386
15.1. Inertia Coalescence .............................................................................................. 387
620
15.2. Turbule!lt Diffusio!l Coalesce!lce..................................................... .............. ........
15.3. Coalesce!lce of Polydisperse Droplet Distributio!l ..................................................
16. Formation of Liquid Phase in Prelimenary Condensation Facilities........................
16.1. Droplets Growth i!l а Quiesce!lt Gas
Liquid Mixture..........................................
16.2. Droplets Growth in Turbulent Flow of Gas
Liquid Mixture ................................
16.3. Enlargement of Droplets moving through Prelimenary Condensation Paci\ities ..........
16.4. Formation of Liquid Phase in а Throttle ..............................................................
16.5. Formation of Liquid Phase in Heat Exchanger ......................................................
17. Surface
Tension
Driven Phenomena........................................................................
17.1. Surface Tension Phenomena....................................... .............. ............ ................
17.2. Capillary Motion...................... ...........................................................................
17.3. Coating Flow. ............ .......................... .......................... ............. ........................
17.4. Surface Waves and Jet Breakup...........................................................................
17.5. Motions due to Surface Tension Gradient. Marangoni Effect .................................
17.6. Atomization of Liquids a!ld Breakup of Droplets in Gas Flow................................
18. Separation Efficiency of Gas
Liquid Mixtures in Settlers...................................
18.1. Influence of NO!luniform Inlet Velocity Profile оп Gravity Settler Efficiency...........
18.2. Efficiency of Horizontal Gravity Settler ................................................................
18.3. Efficiency of Vertical Gravity Settler ....................................................................
18.4. Influence of Phase Transition оп Settler Efficiency...............................................
18.5. Influence of Droplet Coagulation оп Settler Efficiency ..........................................
18.6. InfJuence of WalJ Curvature оп Settler Efficiency................................................
18.7. Influence of the Distance between Prelimenary Condensation Facility and Settler оп
Settler Efficiency.........................................................................................................
19. Separation Efficiency of Gas
Liquid Mixtures in Settlers equiped Ьу Droplet Catchers
19.1. Efficiency of Settler with giJIs .............................................................................
19.2. Efficiency of Settler with Multicuclons .................................................................
19.3. Efficiency of Settler with String Catchers .............................................................
19.4. Efficiency of Settler with Screen Catchers .............................................................
20. Absorbtive Extraction of High Hydrocarbons and Water Vapours from NaturaI Gas
20.1. Cocurrent Absorbtion of Нigh Hydrocarbolls ..........................................................
20.2. Multistep Cocurrent Absorbtion of High Hydrocarbons ...........................................
20.3. Countercurrent Absorbtion of High Hydrocarbons...................................................
20.4. Natural Gas Dewatering in Cocurrent Absorbers ....................................................
20.5. Natura! Ga.s Dewateri!lg in Cocurre!lt Absorbers with High Velocity Separatio!l Contact
Elements ............................... ...................... ... .............................. ...................... .........
21. Inhibition of Hydrate Formation in NaturaI Gas ...................................................
21.1. Dynamics of Massexchange between Inhibitor Droplets and Hydrocarbon Gas..........
21.2. Evol ution of Inhi bitor Droplet Spectrum injected in Turbulent Flow.......................
References ...................................................................................................................
389
392
397
397
405
413
417
425
431
431
436
439
443
451
461
467
469
471
476
478
483
484
485
487
488
490
495
50S
508
509
513
518
521
УН. LIQUID
GAS MIXТURES ...............................................................................
22. Dynamics of Gas BubbIes in Multicomronent Solution ..........................................
22.1. Motion of Nongrowing Bubble in Вinary Solution .................................................
22.2. Diffusional Growth of Motionless Bubble in Вinary Solution .................................
22.3. Initial Stage of Bubble Growth in Multicomponent Solution..................................
22.4. Dynamics of BubbJe Growth in Multicomponent Solution ......................................
22.5. Influence of Surface
Active Agents оп Bubble Growth ......................................
23. Separation of Liquid
Gas Mixtures ....................................................................
23.1. Differential Separation of Binary Mixture .............................................................
23.2. Contact Separation of Binary Mixture ..................................................................
23.3. Differential Separation of Multicomponent Mixture ................................................
23.4. Separatio!l of Liquid
Gas Mixtures moving оп Inclined Plates .............................
24. Separation of Hindered Moving Bubbles ...............................................................
24.1. Separation under Periodic Withdrawal Regime .......................................................
24.2. Separation under Continuous Flow Regime ............................................................
25. Coagulation of Gas BubbIes in Viscous Fluid ......................................................
25.1. Coaqulation of Bubbles in Laminar Flow..............................................................
25.2. Coaqulation of BubbJes in Turbulent Flow ...........................................................
25.3. Кinetic of Bubble Coagulation .............................................................................
References .................................... .................................................... ....... ......... ........ ...
529
534
538
547
559
562
563
565
568
571
574
576
580
582
585
587
592
598
599
602
603
605
609
612
614
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ
Сииайский Эммануил fенрихович
Лапиrа Евrений Яковлевич
Зайцев Юрий Васильевич
СЕПАРАЦИЯ мноrОФАЗНЫХ мноrОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ
Заведующий редакцией Т. К. Рубинская
Редакторы издательства А. И. Вороновская, А. И. Ровинская
Переплет художника Н. П. Новиковой
Художник
rрафик Н. П. Новикова
Технический редактор Л. Н. Фомина
Корректоры Т. Ю. Шамонова, Е. Н. Коршунова
Компьютерный набор и верстка Е. А. CKyzapeea, О. А. Иванова, Л. В. Коростылева.
Изд. лиц. 071678 от 03.06.98. Сдано в набор 28.10.01. Подписано в печать 22.02.2002. Фор
мат 70 х100 '/'6' fарнитура «Петербурr
. Печать офсетная. Уел. печ. л. 50,31. Уч.
изд. л. 46,0.
Тираж 1000 экз. Заказ 1461/861.
000 «Недра
Бизнесцентр
125047, Москва, пл. Тверская застава, 3
ФfУП ордена «Знак Почета
Смоленской областной типоrрафии им. В. И. Смирнова
214000, r. Смоленск, ПрОС!lект им. Ю. fаrарина, 2
ISBN S
8З6S
ОО89
4
J!11Ill
ll
II
!I!I
11