/
Author: Синайский Э.Г. Лапига Е.Я. Зайцев Ю.В.
Tags: химия геофизические науки нефтяная промышленность
ISBN: 5-8365-0089-4
Year: 2002
Text
SEPARATION
OF MULTIPHASE
MULTICOMPONENT
SYSTEMS
СЕПАРАЦИЯ
МНОГОФАЗНЫХ
МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ
СИСТЕМ
E.G.Sinaiski E.J.Lapiga Yu.V.Zaitsev
SEPARATION
OF NITUFHASF
Mill ICOHPONLVr
SYSTEMS
Moscow NEDRA 2002
Э.Г.СИНАЙСКИЙ Е.Я.ААПИГА Ю.В.ЗАЙЦЕВ
СЕПАРАЦИЯ
МНОГОФАЗНЫХ
МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ
СИСТЕМ
Москва НЕДРА 2002
УДК 541.123.7
ББК 26.2
С 38
Рецензент академик РАЕН, профессор В. И. Марон
Синайский Э. Г., Лапига Е. Я., Зайцев Ю. В.
С 38 Сепарация многофазных многокомпонентных систем, — М.: ООО «Нед-
ра-Бизнесцентр», 2002.— 621 с.: ил.
ISBN 5-8365-0089-4
В книге изложены теоретические основы процесса сепарации многофазных многоком-
понентных систем: растворов, суспензий, газожидкостных и жидкогазовых смесей, с прило-
жением к основным технологическим процессам подготовки нефти, газа и конденсата к
транспорту — сепарации природного газа, осушки газа, извлечения из газа тяжелых углево-
дородов и предотвращения образования гидратов, обезвоживания и сепарации нефти.
Для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов нефтяных, механи-
ческих и химико-технологических факультетов технических вузов.
Sinaiski Е. G., Lapiga Е. J., Zaitsev Yu. V.
Separation of Multiphase Multicomponent Systems.
The Book contains Theoretical Fundamentals of Separation Processes of Multiphase
Multicomponent Systems: Solutions, Suspensions, Emulsions, Gas-Liquid and Liquid-Gas Systems
with Application to Main Technological Processes of Oil,Natural Gas and Condensate Treatment
before Transport: Separation of Natural Gas, Natural Gas Dewatering, Extraction of High
Hydrocarbons from Natural Gas, Hydrate Inhibiting of Natural Gas, Dewatering and Separation
of Oil.
The book is directed toward researchers as well as graduate and senior year students
of petroleum, mechanical and chemical engineering departments of technical institutes.
Книга выпущена при содействии ОАО «Газпром»
ISBN 5-8365-0089-4 © Э. Г. Синайский, Е. Я. Лапига, Ю. В. Зайцев, 2002
© Оформление. ООО «Недра-Бизнесцентр», 2002
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга содержит изложение теоретических основ процессов разделения
(сепарации) многофазных многокомпонентных систем с приложением к про-
цессам подготовки углеводородных смесей (нефти, природного газа и конден-
сата) к транспорту. Текст состоит из семи разделов.
В разделе I (вводном) изложены основные процессы, технологические схемы
и элементы оборудования в системах промысловой подготовки нефти, газа и
конденсата. Основное внимание уделяется конструкциям и принципам работы
сепараторов, абсорберов и охлаждающих устройств, т. е. тех устройств, матема-
тическому моделированию процессов в которых посвящены последующие раз-
делы книги.
Поскольку среды, с которыми приходится иметь дело при исследовании
процессов подготовки углеводородных систем, представляют собой многофаз-
ные многокомпонентные смеси, то в разделе II изложены основы гидромеханики
физико-химических процессов, необходимые для понимания специального мате-
риала, содержащегося в последующих разделах. К ним относятся: явления
переноса количества движения, тепла, массы и заряда, уравнения сохранения для
изотермических и неизотермических процессов, многокомпонентных и много-
фазных смесей, уравнения состояния, основные феноменологические соотно-
шения.
Природные углеводородные системы представляют собой растворы, суспен-
зии, коллоидные системы, эмульсии, газожидкостные и жидкогазовые смеси.
В связи с этим разделы III —VIII посвящены каждому из перечисленных видов
систем.
В разделе III изложена теория и методы, позволяющие исследовать пове-
дение многокомпонентных растворов (незаряженных и заряженных). Основное
внимание при рассмотрении незаряженных растворов уделено процессам диф-
фузии с учетом и без учета химических реакций, движению растворов в кана-
лах и трубах, процессам на полупроницаемых мембранах (обратному осмосу),
массообмепу частиц, капель и пузырьков с окружающей средой. Для заряжен-
ных растворов рассмотрены процессы в электролитической ячейке, электродиа-
лиз, структура двойного электрического слоя, электрокинетические явления и
электроосмос.
Поведение суспензий и коллоидных систем, в том числе незаряженных и
заряженных суспензий, устойчивость суспензий, коагуляция и осаждение частиц
на препятствиях, рассматриваются в разделе IV. В главе 8, посвященной неза-
ряженным суспензиям, даны введение в микрогидродинамику частиц, основы
теории броуновского движения, рассмотрена вязкость разбавленных суспензий,
а также освещены вопросы сепарации суспензий в поле гравитационной и цент-
робежной сил. В главе 9 о заряженных суспензиях рассмотрены вопросы оп-
ределения заряда частиц, явление электрофореза, движение проводящих капель
в электрическом поле, а также образование седиментационного потенциала.
В главе 10 рассмотрены вопросы устойчивости коллоидных систем, различные
механизмы коагуляции частиц и захват частиц препятствием при прохождении
суспензии через фильтры.
5
Поведение эмульсий рассматривается в разделе V в связи с процессом
обезвоживания нефти. Обсуждаются актуальные проблемы укрупнения капель
эмульсии. Показано, что наиболее эффективно этот процесс происходит, если
эмульсию обрабатывать в электрическом поле. В связи с этим подробно обсуж-
дается поведение проводящих капель в эмульсиях, взаимодействие капель в
электрическом поле и коалесценция капель в эмульсиях. В качестве приложе-
ний рассмотрены процессы разделения эмульсий в отстойниках, электродегидра-
торах и электрических фильтрах.
Процессы разделения газожидкостных (газоконденсатных) смесей рассмат-
риваются в разделе VI. Изучаются следующие процессы: формирование жид-
кой фазы в потоке газа в трубах; коалесценция капель в турбулентном потоке
газа; конденсация жидкости в дросселях, теплообменниках и турбодетандерах;
явления, связанные с поверхностным натяжением; эффективность разделения
газожидкостных смесей в газовых сепараторах; эффективность разделения га-
зоконденсатных смесей в сепараторах, оборудованных каплеуловительными
насадками различной конструкции — жалюзийными, центробежными, струнны-
ми и сетчатыми; абсорбционное извлечение из газа влаги и тяжелых углеводо-
родов; предотвращение образования в природном газе гидратов.
Жидкогазовым (нефтегазовым) смесям посвящен раздел VII, в котором
исследуется динамика газовых пузырьков в многокомпонентном растворе; се-
парация жидкогазовых смесей в нефтяных сепараторах без учета и с учетом
стесненности всплытия пузырьков; коагуляция пузырьков в жидкости.
В конце каждого раздела помещен список используемой литературы.
Все рассмотренные процессы имеют отношение к разделению (сепарации)
многофазных многокомпонентных сред, чем и обусловлено название книги.
Следует отметить, что в технологии подготовки нефти, газа и конденсата к
транспорту под сепарацией традиционно понимается только процесс отделения
от газа капель конденсата и воды, а также отделение от нефти газовых пузырь-
ков (окклюдированного газа). Поэтому используемое в книге понятие сепара-
ции подразумевает любое разделение как компонентов в многокомпонентных
смесях, так и фаз в многофазных системах.
Материал книги основан на ряде курсов лекций, читаемых студентам
Государственной Академии нефти и газа им. И. М. Губкина.
I
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
ПОДГОТОВКИ ПРИРОДНЫХ
УГЛЕВОДОРОДОВ К ТРАНСПОРТУ
ВВЕДЕНИЕ
Продукция скважин на нефтяных, газовых и газоконденсатных месторож-
дениях представляет собой многофазную многокомпонентную смесь. При под-
готовке добываемого углеводородного сырья к магистральному транспорту, нодаче
его на газобензиновые и нефтеперерабатывающие заводы и фракционирующие
установки широкое применение на современных нефтяных и газовых промыс-
лах получили технологические процессы, основанные на использовании прин-
ципа разделения (сепарации) пластовой смеси на жидкую и газовую фазы в
результате действия естественных сил: гравитации, инерции и других.
Газонефтяные и газоконденсатные системы соответственно состоят из неф-
ти и газа или газа и конденсата. Состояние и свойства этих систем определя-
ются влиянием различных параметров, среди которых основными являются
давление, температура, удельные объемы и компонентные составы фаз. При
движении углеводородной системы по всей цепочке пласт — скважина — систе-
ма сбора и подготовки — магистральный трубопровод непрерывно изменяются
давление и температура. В результате изменяется фазовое состояние системы,
а также компонентный состав фаз. Кроме того, в процессе движения в систему
могут вводиться или из системы могут отбираться некоторые составляющие
смеси (жидкая, газовая или твердая фазы), что также приводит к изменению
как фазового, так и компонентного состава смеси.
Природные газы содержат углеводородные компоненты — метан, этан, про-
пан, бутан и более тяжелые компоненты (эти компоненты обычно обозначаются
Сь С2,...), кислые газы — двуокись углерода, сероводороды, меркаптаны, а также
другие компоненты. Кроме перечисленных компонентов природный газ содер-
жит пары воды, а также механические примеси, которые выносятся вместе с
добываемым газом из скважин. Состав пластового газа в процессе эксплуата-
ции месторождения не остается постоянным, а изменяется со временем эксплуа-
тации, поскольку надает пластовое давление. О темпах изменения пластового
давления можно судить по данным табл. 1, в которой представлены прогнозные
значения пластового давления одного из газоконденсатных месторождений.
Природный газ и продукты его переработки — этап, пропан, бутан, широкая
7
Т аблица 1
Годы после начала эксплуатации 1 5 10 15 25
Годовой отбор газа, млрд, м3 3,9 7 7 7 6,38
Пластовое давление, МПа 26,6-30,1 23,2-25,6 19,6-21,5 16,3-17,8 10-11,4
Устьевое давление, МПа 16,67 12,37 9,09 6,24 1,86
фракция легких углеводородов (ШФЛУ), конденсат — являются топливом для
промышленности и бытовых потребителей и исходным сырьем для переработки
на газоперерабатывающем заводе. При использовании природного газа и про-
дуктов его переработки в качестве топлива и сырья к ним предъявляют тре-
бования, с одной стороны, по качеству товарной продукции, а с другой — по
ограничению уровней возможных загрязнений окружающей среды. Технические
условия и стандарты на природный газ зависят от того, куда он поставляется.
Основные требования к природному газу, подаваемому в магистральный газо-
провод, и количественные данные представлены в табл. 2.
Ограничение по точке росы для углеводородов предусмотрено для природ-
ного газа с содержанием углеводородов С5+ не менее 1 г/м3.
Ограничения по точке росы для влаги и углеводородов обусловлены тре-
бованиями, чтобы при транспортировке газа в магистральном трубопроводе по
мере охлаждения газа в нем не образовывались гидраты и не выпадал конден-
сат. Содержание влаги в газе определяют по заданным значениям температуры
точки росы и давлению, используя номограммы или расчетные формулы, полу-
ченные эмпирически [1]. Точка росы по углеводородам зависит не только от
давления газа, но и от его состава. Для ее определения используют специаль-
ные таблицы или проводят расчеты парожидкостного равновесия многокомпо-
нентной системы [2].
Тяжелые углеводороды, конденсирующиеся из газа в процессе его добычи,
представляют собой газовый конденсат, обогащенный группой углеводородов С5+.
Он является важным товарным продуктом газодобывающих и газоперерабаты-
вающих предприятий. Конденсат используется в качестве сырья па нефтепере-
рабатывающих и газобензиновых заводах для получения бензина. Конденсаты,
Таблица 2
Показатели Климатический район
У меренный Холодный
1.V-30.IX 1.X-30.IV 1.V-30.IX 1.X-30.IX
Точка росы, °C:
по влаге, не более 0 -5 -10 -20
по углеводородам, не более 0 0 -5 -10
Масса механических примесей в 1 м3 газа, г, нс более 0,003 0,003 0,003 0,003
Масса сероводорода в 1 м3 газа, г, не более 0,02 0,02 0,02 0,02
Масса меркаптановой серы в 1 м3 газа, г, не более 0,036 0,036 0,036 0,036
Объемная доля кислорода, %, не более о,1 0,1 0,1 0,1
8
выделенные из газов на различных месторождениях, различаются между собой
по фракционному составу. Различают стабильный конденсат, содержащий С3+, и
нестабильный, содержащий кроме С3+ и более легкие компоненты. Сорт конден-
сата определяется упругостью паров рнас и выкипанием до 25 — 85 % при тем-
пературе 50 °C и атмосферном давлении. Упругость паров стабильного конден-
сата должна быть такова, чтобы обеспечивалось его хранение в жидком состо-
янии при температуре 37,8 °C.
Для того чтобы добываемый природный газ и конденсат удовлетворяли
предъявляемым к ним требованиям, перед подачей в магистральный трубопро-
вод, на газоперерабатывающий завод или на коммунально-бытовые нужды их
нужно подвергнуть тщательной обработке, включающей:
1) отделение от газа механической примеси, капельной воды и конденсата.
Этот процесс принято называть сепарацией;
2) удаление из газа паров воды. Этот процесс называется осушкой газа.
Поскольку при осушке газа понижается температура образования гидратов, то
сюда же относится и процесс предотвращения гидратообразования;
3) извлечение из газа тяжелых углеводородов.
Перечисленные процессы осуществляются в установках комплексной под-
готовки газа (УКПГ), располагаемых па промысле. По сложности технологи-
ческих процессов и насыщенности оборудованием, необходимым для реализа-
ции этих процессов, УКПГ приближаются к заводским установкам.
Нефть — более тяжелая жидкость, чем конденсат, и содержит значительно
больше масел, парафинов и других высокомолекулярных соединений. Многие
нефти более чем на 99 % состоят из углеводородов, наиболее широко из которых
представлены углеводороды парафинового и нафтенового рядов. В нефтях также
имеются в небольших количествах другие классы органических соединений —
кислородные, сернистые, асфальтосмолистые и др. Большинство сернистых и
кислородсодержащих соединений являются поверхностно-активными соедине-
ниями. Они агрессивны по отношению к металлу и вызывают сильную корро-
зию. Обычной примесью в нефти является пластовая минерализованная вода,
которая вызывает значительные осложнения при сборе и транспорте нефти.
Отрицательное качество пластовой воды — ее способность образовывать водо-
нефтяные эмульсии, которые осложняют движение нефтяных систем по трубо-
проводам (скопление воды в изгибах и замерзание, приводящее к разрыву
трубопроводов), а также подготовку и переработку нефти. Поверхностно-актив-
ные вещества способствуют образованию эмульсий и поэтому называются эмуль-
гаторами. Присутствие в нефти поверхностно-активных веществ облегчает об-
разование эмульсий и повышает их устойчивость (свойство сохранять эмуль-
сию в течение длительного времени). В нефти содержатся также низкомолеку-
лярные компоненты, которыми особо богата легкая нефть. Эти компоненты
могут находиться как в жидкой, так и в газовой фазах. Изменение давления
и температуры в процессе движения нефти по цепочке пласт — скважина —
система сбора и подготовки — магистральный трубопровод приводит к интен-
сивному выделению из нефти легких компонент, в результате чего повышается
газовый фактор (объем газа в единице объема нефтяной смеси, м3/м3). Нали-
чие свободного газа в нефти (нефтяной газ) также вызывает осложнения при
добыче, сборе, подготовке и транспортировке нефти. Иногда наблюдается про-
рыв газа в продуктивные скважины из газовой шапки пласта или из газосодер-
жащих горизонтов, что приводит к увеличению газового фактора добываемой
нефти.
Согласно действующим ГОСТ, нефть считается кондиционной для постав-
9
ки ее па нефтеперерабатывающий завод, если в ней содержится не более 0,1 %
воды и не более 40 иг/л хлорных солей. Помимо этих двух существуют и
другие показатели. Поэтому перед подачей нефти в магистральный трубопро-
вод ее необходимо подвергнуть обработке, включающей:
1) удаление из нефти легких газов, находящихся в свободном или в ра-
створенном состоянии. Этот процесс называется сепарацией;
2) отделение от нефти воды. Этот процесс называется обезвоживанием
нефти;
3) извлечение из нефти растворенных в ней солей. Этот процесс называ-
ется обессоливанием нефти.
Более подробные сведения о свойствах, а также о процессах сбора и
подготовки природных газов и нефтей можно найти в работах [3, 4].
1
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ СХЕМЫ УСТАНОВОК
КОМПЛЕКСНОЙ ПОДГОТОВКИ НЕФТИ, ГАЗА
И КОНДЕНСАТА К ТРАНСПОРТУ
Продукция скважин, добытая на газовых и газоконденсатных месторожде-
ниях, представляет собой сложную гетерогенную смесь, состоящую из смеси
газов, насыщенных парами воды и тяжелых углеводородов, жидких углеводоро-
дов (нефти или конденсата) и воды, твердых частиц породы и других компо-
нентов. Для того чтобы газ, подаваемый потребителю, удовлетворял предъявляе-
мым к нему требованиям, необходимо перед подачей в газопровод удалить из
пего твердую и жидкую фазы, а также часть паров воды и тяжелых углеводо-
родов. Эти процессы осуществляются в специальных промысловых установках
комплексной подготовки газа и конденсата (УКПГ). Типичная проектная схема
технологической нитки УКПГ на одном из газоконденсатных месторождений
показана на рис. 1.1. Подготовка газа осуществляется методом низкотемпера-
турной сепарации (НТС).
На рисунке введены следующие обозначения: С1, С2, СЗ - сепараторы I,
II и III ступеней; Р1, Р2 — трехфазные разделители I и II ступеней; Д1, Д2,
ДЗ — дроссели; Т1, Т2, ТЗ — теплообменники; ТДА — турбодетандерный агре-
гат (или испарительный холодильник); Ф — факел.
В табл. 1.1 представлены примерные значения давлений и температур в
соответствующих точках технологической схемы.
Газ поступает на УКПГ с температурой 35 °C при давлении 17,5 МПа.
Перед сепаратором I ступени расположен дроссель, при прохождении которого
давление снижается до 13,1 МПа. Соответственно газ охлаждается до темпе-
ратуры 21 °C. В сепараторе I ступени С/ от газа отделяется капельная жид-
кость. Отсепарированный газ охлаждается в теплообменнике Т1 до температу-
ры 0 °C, а образовавшийся в результате охлаждения конденсат отделяется от
газа в сепараторе второй ступени. Конденсат из сепараторов I и II ступеней
собирается вместе и, проходя через дроссель Д2, направляется в трехфазный
разделитель Р1, в котором от конденсата отделяется газ, содержащий легкие
углеводороды. В разделителе происходит стабилизация конденсата. Глубокое
10
Таблица 1.1
Точка Давление, МПа Температура, °C 1 17 35 2 13 21 3 13 21 4 13 0 5 13 -15 6 8 -30 7 7,8 -30 8 7,8 -30 9 7,7 -9 10 7,5 -12 И 7,4 -10
Точка Давление, МПа Температура, °C 12 7,8 13 13 8 13 14 7,2 13 15 7,9 13 16 7,8 -22 17 7,8 -30 18 7,8 -25 19 7,6 -25 20 7,2 -25 21 7,2 -1
охлаждение газа до —30 °C происходит в результате последовательного охлаж-
дения в теплообменнике Т2 и дросселирования в ДЗ- Поскольку со временем
устьевое давление падает, то падает давление в УКПГ. Поэтому запаса давле-
ния в ДЗ может не хватить для достижения требуемой температуры -30 °C.
С учетом этого в схеме предусмотрена возможность подключения турбодетан-
дера ТДА для дополнительного охлаждения газа. Охлажденный газ с большим
расходом смешивается в эжекторе с газом выветривания, поступающим из
разделителя Р1 с относительно небольшим расходом. В сепараторе третьей
ступени, концевом сепараторе, происходит окончательное отделение конденсата
от газа. Отсепарированный газ после подогрева в теплообменниках Т1 и Т2
поступает в газопровод, а конденсат — в трехфазный разделитель Р2. Выделив-
шийся газ из Р2 идет либо на факел Ф, либо в эжектор, где смешивается с
основным потоком газа сепарации. Конденсат из Р1 и Р2 поступает в конден-
сатопровод и далее на установку сбора и стабилизации конденсата (УСК) или
на установку деэтанизации конденсата.
Отметим еще некоторые особенности описанной технологической схемы УКПГ.
Используемые в схеме теплообменники, кроме Т1, охлаждают или нагревают
рабочее тело (газ или жидкость), используя уже охлажденные или нагретые
потоки. Так, например, охлаждение газа в ТЗ осуществляется с помощью холод-
ного конденсата, поступающего из сепаратора концевой ступени СЗ. Как правило,
используются кожухотрубчатые теплообменники, по внутренним трубкам кото-
рых движется холодный или теплый газ или жидкость. В межтрубном простран-
стве движется рабочее тело (газ или жидкость), которое охлаждается или
нагревается при контакте с поверхностью трубок. Вторая особенность схемы
состоит в возможности вводить часть выветренного в разделителе Р/ конденсата
через эжектор в поток газа сепарации. Поскольку температура конденсата выше
температуры газа сепарации (сравните условия в точках 6 и 16), то вводимый в
газ конденсат обладает хорошей способностью абсорбировать из газа тяжелые
углеводороды (С3+ и С5+). Этим достигается одна из целей подготовки газа —
извлечь из него как можно больше тяжелых углеводородов.
В схеме, изображенной на рис. 1.1, отсутствует установка по осушке газа.
Поэтому осушку газа от влаги осуществляют путем ввода в поток газа перед
УКПГ высококонцентрированного раствора метанола. Этим достигаются две
цели: удаляют из газовой фазы пары воды и снижают температуру образования
гидратов. В некоторых технологических схемах предусматривают установку
специальных абсорберов осушки газа от влаги с помощью жидкого поглотите-
ля — абсорбента. В качестве абсорбента чаще всего используют ди(ДЭГ)- и
триэтиленгликоль (ТЭГ). Использование гликолей приводит к необходимости
устанавливать дополнительное оборудование для улова уносимого с газом
абсорбента и регенерации (восстановлению) отработанного абсорбента.
11
Рис. 1.1. Схема низкотемпературной сепарации (НТС)
Для газового месторождения с содержанием метана более 95 % и малым
содержанием тяжелых углеводородов нет необходимости в столь большой УКПГ.
Для такого месторождения в схеме подготовки газа достаточно предусмотреть
только сепарацию и осушку газа.
Несколько иная проектная схема подготовки газа на газоконденсатном
месторождении изображена на рис. 1.2. В этой схеме используется процесс
низкотемпературной абсорбции (НТА).
Здесь обозначены: Д1, Д2, ДЗ, Д4 — дроссели; Т1, Т2, ТЗ — теплообмен-
ники; А1 — абсорбер осушки газа; А2 — абсорбер по извлечению тяжелых
углеводородов; Т — турбина; С1, С2, СЗ — сепараторы; ТДА — турбодетандер-
ный агрегат; Р1, Р2 — трехфазные разделители; В — выветриватель абсорбера;
УПК — комплекс, включающий компрессор ТДА, воздушный холодильник и
теплообменник. Газ на входе УКПГ имеет давление 15 МПа и температуру
26,8 °C (табл. 1.2).
Перед сепаратором первой ступени С/ газ дросселируется в Д1 до давле-
ния 10,5 МПа и температуры 15 °C. Газ сепарации из С/ поступает в абсорбер
осушки газа А1, а затем после последовательного сжатия в компрессоре и
охлаждения в теплообменнике — в сепаратор С2. Газ сепарации далее охлаж-
дается в ТДА в результате совершения работы на турбине и подается в нижнюю
часть контактной камеры абсорбера углеводородов А2. В верхнюю часть кон-
тактной камеры абсорбера подается конденсат, который поступает из раздели-
теля Р1 и из сепаратора второй ступени С2. В результате контакта газа сепа-
Та б ли ц а 1.2
v(N) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
р, МПа Т, °C 15 26,8 10,5 15 7,7 11,56 12 -3,4 7,65 -25,1 7,7 -15,1 7,65 -23,9 7,7 5,8 3,5 -3,9 7,4 -2,1
12
В конденсатопровод
Рис. 1.2. Схема низкотемпературной абсорбции (НТА)
рации и конденсата, который служит абсорбентом, из газа извлекаются тяжелые
углеводороды. Далее газ из А2 сепарируется в концевом сепараторе СЗ и после
подогрева в Т1 подается в газопровод. Отработанный конденсат выводится из
абсорбера А2 и после подогрева в Т2 подается в выветриватель В, в котором
из конденсата испаряются легкие углеводороды. Образовавшаяся паровая фаза
снова подается в контактную камеру абсорбера для удаления из нее остатков
тяжелых углеводородов. Образующийся после выветривания в В конденсат
после дросселирования в ДЗ поступает в разделитель Р2, где происходит его
окончательная стабилизация. Из Р2 конденсат поступает в конденсатопровод,
а паровая фаза — в ДКС газов выветривания.
В рассмотренной схеме предусмотрено размещение дожимной компрессор-
ной станции (ДКС), которая начинает действовать, когда давление на входе в
УКПГ (т. 1) станет меньше требуемого давления в сепараторе первой ступени.
Как видно, основное отличие схемы на рис. 1.2 от схемы на рис. 1.1 со-
стоит в следующем.
1. Процесс осушки газа происходит в специальном абсорбере А1, что
позволяет более качественно произвести осушку газа.
2. Процесс извлечения из газа тяжелых углеводородов производится в
специальном многоступенчатом абсорбере с установкой выветривания конден-
сата. Тем самым достигается большая эффективность извлечения из газа сепа-
рации тяжелых углеводородов и качественная стабилизация конденсата.
3. Использование турбодетандерного агрегата для охлаждения газа позво-
ляет при падении давления на 4 МПа охладить газ более чем на 20 °C. Следует
отметить, что тот же самый перепад давления на дросселе смог бы охладить газ
только на 12 °C.
13
Рис. 1.3. Схема подготовки нефти:
Я ~ нефть, В — вода, Ш — шлам, Г — газ
Отметим еще, что блоки А2, СЗ и В установлены в одном трехступенчатом
вертикальном аппарате, что позволило значительно уменьшить площадь разме-
щения УКПГ.
Современные установки комплексной подготовки газа и конденсата по
сложности, многофункциональности и качеству обработки углеводородного сырья
приближаются к заводским. Основным разработчиком оборудования для УКПГ
является ЦКБН (центральное конструкторское бюро нефтеаппаратуры).
Таким образом, в процессе подготовки газа и конденсата к транспорту
наиболее используемыми элементами оборудования являются: сепараторы, раз-
делители, абсорберы, теплообменники и турбодетандерные агрегаты.
В схеме подготовки нефти предусмотрена организация процессов разгази-
рования, обезвоживания и обессоливания нефти. На рис. 1.3 показана типовая
технологическая схема подготовки нефти. Она включает следующие элементы:
БР — блок дозировки реагента для разрушения водонефтяной эмульсии в сбор-
ном коллекторе; С1 — сепаратор первой ступени сепарации; К1 — каплеобра-
зователь; О1 — отстойник предварительного обезвоживания нефти; П1 — печь
для нагрева эмульсии; 02 — отстойник глубокого обезвоживания; С — смеси-
тель для перемешивания пресной воды В с обезвоженной нефтью для -ее пред-
варительного обессоливания; Э1 — электро дегидратор для глубокого обессоли-
вания нефти; СЗ — горячий сепаратор третьей ступени; Р/ — резервуар для
приема товарной нефти; А — автомат по измерению качества и количества
нефти. Кроме того, в схеме предусмотрена установка по подготовке газа сепа-
рации, а также установка по подготовке сточной воды, т. е. воды, которая
образуется в процессе обезвоживания и которая используется в процессе обес-
соливания.
Отметим некоторые особенности процессов подготовки нефти. Разгазиро-
вание нефти (сепарация нефти) обычно осуществляется в нескольких сепара-
торах, соединенных последовательно. В каждом сепараторе происходит падение
давления, в результате чего из нефти последовательно выделяется определенная
фракция легких углеводородных компонент. Если разгазирование происходит
без отбора газа из емкости, то такая сепарация называется контактной. Если в
процессе разгазирования газ отбирается, то такая сепарация называется диффе-
ренциальной. Другая особенность состоит в организации процесса обезвожива-
ния и обессоливания нефти. Основная проблема состоит в удалении из нефти
маленьких капель воды, для чего нужно уменьшить вязкость нефти, подогревая
ее, либо укрупнить капли воды, используя электрическое поле в электродегид-
раторе и перемешивая эмульсию.
Анализ и математическое моделирование процессов, происходящих в при-
веденных технологических схемах, является предметом книги. Они последова-
тельно рассматриваются в соответствующих разделах. В дальнейшем будут
рассмотрены главные механизмы процессов разделения многофазных многоком-
понентных углеводородных систем, к которым относятся природные газы и
нефти. В следующей главе рассмотрены конструктивные особенности некото-
рых элементов технологических схем: сепараторов, разделителей, отстойников,
абсорберов и теплообменных аппаратов.
2
КОНСТРУКЦИЯ ТИПОВЫХ АППАРАТОВ
2.1. СЕПАРАТОРЫ, РАЗДЕЛИТЕЛИ И ОТСТОЙНИКИ
Сепараторы являются обязательным элементом любой технологической схемы
промысловой подготовки нефти и газа на нефтяных и газоконденсатных ме-
сторождениях, а также составной частью оборудования в процессе переработки
газового конденсата, компримирования газа и его охлаждения на заключитель-
ной стадии эксплуатации месторождения, в установках для сайклинг-процесса,
газлифта и др. [5 — 9].
В зависимости от вида обрабатываемой продукции сепараторы подразделяют-
ся на газонефтяные и газовые (рис. 2.1). Газонефтяные сепараторы применяют
для разделения нефти и нефтяного газа, а газовые — для отделения природного
газа от капель конденсата, воды и твердых частиц. В газовых сепараторах, как
правило, обрабатывают газожидкостную смесь с относительно небольшим со-
держанием жидкой фазы. Возможны также режимы захлебывания, когда в
сепараторы попадают большие объемы жидкости в результате аварийных вы-
бросов скопившихся в трубах воды или конденсата.
Сепараторы состоят из нескольких секций, каждая из которых выполняет
определенную функцию. Секция ввода газожидкостной смеси обеспечивает
максимальное отделение крупнодисперсной фазы, особенно при высоком на-
чальном содержании жидкой фазы, а также равномерный ввод газожидкостной
смеси в аппарат, в том числе в секцию окончательной очистки газа. Секция
коагуляции мелких капель жидкости располагается в зоне осаждения перед
секцией окончательной очистки и предназначена для укрупнения мелких капель
жидкости, отделения укрупненных капель и выравнивания подачи газа в сек-
цию окончательной очистки. Секция окончательной очистки газа обеспечивает
заданную эффективность сепарации в проектном диапазоне его нагрузок как по
газу, так и по жидкости. Секция сбора отсепарированной жидкости обеспечи-
вает устойчивую работу приборов регулирования и сигнализации верхнего и
нижнего предельных уровней, разгазирования жидкости, ее отвода без образо-
вания воронки и разделения при необходимости на составляющие фракции.
По форме сепараторы могут быть в виде шара и цилиндра, а по располо-
жению — горизонтальными и вертикальными.
Шаровые сепараторы более компактны и менее металлоемки. Эти преиму-
щества проявляются тем более, чем выше давление и производительность сепа-
ратора. Основным недостатком шаровых сепараторов является ограниченность
пространства, исключающая возможность размещения в корпусе коагулирую-
щей секции и секции сбора жидкости. В результате эффективность обработки
газовых потоков с мелкодисперсным распределением жидкости и начальным ее
содержанием более 100 см3/м3 в шаровых сепараторах невелика.
Основное преимущество горизонтальных цилиндрических сепараторов
состоит в том, что они могут быть большой единичной мощности. Эти сепара-
торы предназначены для разделения газожидкостной смеси с высоким содержа-
нием жидкости и для разделения жидкостей, склонных к пенообразованию.
Недостатком горизонтальных сепараторов является трудность вывода из сепа-
ратора твердых примесей. Этого недостатка лишены вертикальные цилиндри-
16
Рис. 2.1. Классификация сепараторов
ческие сепараторы. Эллиптическое днище этих сепараторов обеспечивает сток
жидкости и твердых примесей в нижнюю часть аппарата и их отвод в дренаж-
ную систему. Секция сбора жидкости может выноситься из корпуса сепаратора
и выполняться в виде шара или цилиндра (чаще всего горизонтального ци-
линдра). Шаровые сборники применяются при высоком давлении.
Осаждение капель жидкости в гравитационном сепараторе происходит в
основном за счет сил гравитации. Эффективность разделения газожидкостного
потока в таких сепараторах тем выше, чем больше размер капель жидкости в
газовом потоке и ниже скорость самого потока в сепараторе. Поэтому при
больших объемах добычи газа и дроблении крупных капель при движении
потока в промысловом коллекторе трудно добиться высокой эффективности
работы гравитационных сепараторов.
2 - 1461 17
В инерционных сепараторах отделение жидкости от газа происходит пре-
имущественно за счет действия сил инерции, чаще всего центробежных сил.
Основной элемент насадочных инерционных сепараторов — насадки различной
конструкции, которые устанавливаются в секции окончательной очистки газа.
На нефтяных месторождениях наряду с другими начинают применять струн-
ные насадки, представляющие собой набор рамок с намотанной на них прово-
локой диаметром 0,3 —0,5 мм.
Эффективность насадочных инерционных сепараторов определяется в ос-
новном конструкцией применяемой насадки, а также расположением ее в кор-
пусе сепаратора и может достигать 99,5 — 99,8 % при скоростях газа в 3 — 5 раз
выше скорости газа в гравитационных сепараторах. Высокая эффективность
этих сепараторов обусловливается большой поверхностью контакта сепарирую-
щих элементов с газожидкостным потоком, которая обеспечивает отделение
капель жидкости диаметром не менее 3 — 5 мкм для сеток и 10 — 20 мкм для
жалюзей.
В центробежных сепараторах для преобразования поступательного движе-
ния потока во вращательное используют завихритель. Основным преимуще-
ством центробежных сепараторов является высокая рабочая скорость газа в
корпусе центробежного элемента. За счет действия центробежных сил из газо-
вого потока можно выделить капли жидкости диаметром более 10 — 20 мкм.
Эффективность центробежных сепараторов при высоком давлении колеблется
от 80 до 99 %. Для повышения эффективности многопатрубковые центробежные
сепараторы оснащают центробежными элементами малого диаметра — циклонами.
Поскольку практически все сепараторы оборудованы каплеуловительными
насадками, то рассмотрим их более подробно.
Гравитационные газосепараторы могут быть снабжены плоскопараллельны-
ми пластинами Диксона (рис. 2.2, а), позволяющими несколько увеличить ра-
бочую скорость и увеличить эффективность осаждения капель жидкости, а так-
же жалюзийными насадками, увеличивающими по сравнению с предыдущей
конструкцией рабочую площадь, производительность по газу и эффективность
сепарации. Изогнутая поверхность жалюзей позволяет использовать силы инер-
ции капель и увеличить эффективность сепарации. Кроме того, для лучшего
осаждения капель следует уменьшать зазор между поверхностями жалюзей
вдоль направления потока. В горизонтальном корпусе жалюзийные насадки
устанавливаются в поперечном сечении (рис. 2.2, 6) или по обе стороны от оси
аппарата (рис. 2.2, в). Вертикальные газосепараторы с жалюзийной насадкой
(рис. 2.3) отличаются друг от друга в основном компановкой пакетов жалю-
зийных насадок, расположением патрубков входа и выхода газа по отношению
к насадкам. С целью повышения производительности жалюзийные насадки
могут быть одно- (рис. 2.3, й) или двухсекционными (рис. 2.3, б). Сепаратор
па рис. 2.3, в отличается от предыдущих кольцевым расположением насадок,
что увеличивает эффективность его работы. В отечественной практике жалюзий-
ные сепараторы используются в установках НТС в качестве входных, промежу-
точных и конЦевых ступеней, но основное их применение — предварительное
отделение жидкости от газа. В зарубежной практике жалюзийные сепараторы
используются для промысловой и заводской очистки газа от жидких примесей.
Известны случаи применения таких сепараторов в качестве предварительной
ступени отделения жидкости от газа на компрессорных станциях магистраль-
ных газопроводов.
Сепараторы с горизонтальными сетчатыми насадками (рис. 2.4) отличают-
ся друг от друга в основном конструкцией секции ввода газожидкостной смеси:
18
Рис. 2.2. Газожидкостные гравитационные сепараторы:
1 — пластины Диксона, 2 — жалюзийные насадки
отбойная перегородка и поворот потока на 90° (рис. 2.4, «); коническая обечайка
и поворот потока на 180° (рис. 2.4, б); цилиндрическая обечайка, завихритель
потока между корпусом и обечайкой и поворот потока на 180° (рис. 2.4, в).
Вертикальные сетчатые сепараторы применяют на промыслах в качестве
концевых сепараторов в установках НТС, промежуточных и концевых сепара-
торов на газоперерабатывающих заводах (ПГЗ), при очистке газа от жидкости
перед подачей его на факел. В случае необходимости высокоэффективной очистки
газа перед абсорбером осушки сетчатый сепаратор может быть применен в
качестве входного.
Эскизы однопатрубковых центробежных прямоточных газосепараторов без
устройства предварительного отделения жидкости показаны на рис. 2.5. Это
сепараторы с горизонтальным движением вращающегося потока (рис. 2.5, а, б)
и сепаратор, очистка газа от жидкости в котором происходит во вращающемся
потоке, движущемся сверху вниз (рис. 2.5, б). Регулируемый завихритель /
предназначен для поддержания эффективной скорости сепарации при изме-
нении производительности и давления, а канал отсоса 2 — для повышения
эффективности и производительности сепаратора. Центробежный элемент кас-
кадного типа (рис. 2.5, в) позволяет вести эффективную очистку газа при
пониженном гидравлическом сопротивлении аппарата. В сепараторах, изобра-
2* 19
Рис. 2.3. Вертикальные газосепа-
раторы с жалюзийной насадкой:
1 — каплеотбойник, 2 — жалюзий-
ная насадка
Рис. 2.4. Сепараторы с горизон-
тальной сетчатой насадкой:
1 — завихритель, 2 — сетчатая на-
садка
=3
б
Рис. 2.5. Центробежные однопатрубковые сепараторы
женных на рис. 2.5, г, д, е, предусмотрены устройства для предварительного
отделения жидкости в виде отбойной пластины и поворота потока на 90°.
Наличие отверстий 3 (рис. 2.5, <Э) и трубы 4 (рис. 2.5, е) рециркуляции газа
способствует повышению производительности и эффективности сепарации.
Сепараторы могут изготавливаться с шаровым сборником жидкости (рис. 2.5, б,
д, е), что позволяет увеличить жидкостную нагрузку аппаратов и уменьшить их
массу.
Сепараторы, показанные на рис. 2.6, представляют собой центробежные
многопатрубковые (мультициклонные) конструкции, из которых первые два не
имеют устройств для предварительного отделения примесей. В первой кон-
струкции (рис. 2.6, а) использована батарея циклонов, ввод газа в каждый
циклон осуществляется непосредственно из трубы входа газа. Газоочистители
аппарата на рис. 2.6, б представляют собой циклонные элементы противоточной
конструкции, смонтированные на решетке, расположенной ниже патрубка ввода
газа. Выходные трубки из этих элементов закреплены в решетке, расположен-
ные выше патрубка ввода газа. Опыт применения сепараторов такой конструк-
ции показал, что завихрители могут забиваться различными примесями, поэтому
одна из конструкций (рис. 2.6, в) выполнена с камерой предварительного от-
деления примесей и расположением завихрителей циклонов у верхней решет-
ки. Однако при использовании этого аппарата также наблюдаются случаи
забивания завихрителей циклонов и нарушения эффективной работы аппарата.
В аппаратах, основная сепарационная секция которых выполнена в виде пря-
моточных центробежных элементов (рис. 2.6, г, д, е, ж), предусмотрен отсос
части газа (рис. 2.6, г, д) и рециркуляция (рис. 2.6, е, ж). В сепараторах
конструкции, приведенной на рис. 2.6, г, применяют патрубки с осевыми и
тангенциальными завихрителями. Предварительную очистку газа осуществляют
22
Рис. 2.6. Центробежные многопатрубковые сепараторы
за счет радиально-тцелевого ввода в свободный объем сепаратора. Предвари-
тельную очистку газа в сепараторах с центробежными элементами каскадного
типа (рис. 2.6, д) проводят за счет центробежных сил в трубе подвода газа,
которая выполнена как самостоятельный центробежный сепарационный эле-
мент. В некоторых сепараторах используют прямоточные элементы, которые
располагают между двумя решетками (рис. 2.6, е, ж). Элементы снабжены ка-
налами рециркуляции и могут обеспечить эффективную очистку газа при их
расположении горизонтально или вертикально, в последнем случае — с движе-
23
Рис. 2.7. Сепараторы с сетчатым коагулятором
нием потока сверху вниз или снизу вверх. Предварительная очистка газа
происходит за счет столкновения потока с перегородкой в свободном объеме
пространства при повороте потока на 90° (рис. 2.6, е). Центробежные сепара-
торы применяют в основном в качестве входных и промежуточных ступеней
очистки в установках комплексной подготовки газа, а также на магистральных
газопроводах. Иногда центробежные сепараторы применяют на концевой ступе-
ни очистки газа.
Более тщательное отделение жидкости от газа осуществляется в сепарато-
рах, снабженных сетчатыми (рис. 2.7) или стекловолокнистыми (рис. 2.8)
коагуляторами. Горизонтальный сетчатый коагулятор (рис. 2.7, а, 6) устанав-
ливается в обечайке сепаратора, соосной корпусу, и выполняет роль устройства
предварительного отделения жидкости от газа, а также служит для укрупнения
мелких капель. На входе сепаратора на рис. 2.7, б расположен винтовой завих-
24
a
б
Рис. 2.8. Сепараторы со стекловолокиистым коагулятором
ритель. Окончательная секция очистки газа выполнена в виде горизонтальной
сетчатой насадки. Вертикальные сетчатые коагуляторы (рис. 2.7, в, г, д) рас
положены в сепараторах за патрубком ввода таза в аппарат. Предварительное
отделение жидкости от газа осуществляется в свободном объеме (рис. 2.7, <Э).
Окончательное отделение жидкости проводится в сетчатой насадке или в цен-
тробежных прямоточных элементах. При наличии в газе очень мелких капель
жидкости используют сепараторы со стекловолокнистым коагулятором, предназ-
наченным для укрупнения капель жидкости (рис. 2.8). Окончательное отделе-
ние укрупненных капель жидкости происходит в основной сепарационной сек-
25
a
б
Рис. 2.9. Нефтегазовые гидроциклонные сепараторы:
1 — наклонные плоскости (полки), 2 — гидроциклон, 3 — каплеотбойная насадка
ции, выполненной в виде сетчатой насадки (рис. 2.8, а, г), центробежной кон-
струкции (рис. 2.8, б, д, е) или жалюзийной насадки (рис. 2.8, в).
Принцип использования центробежной силы для отделения жидкости от
газа находит применение также в газонефтяных гидроциклонных сепараторах
(рис. 2.9). Для создания в них центробежного потока применяют гидроциклон,
устанавливаемый на боковой поверхности сепаратора и являющийся как бы его
приставкой (рис. 2.9, а, б, в). Обычно гидроциклон представляет собой верти-
кальный аппарат с плоским тангенциальным вводом и направляющим патруб-
ком в верхней части для отвода газа и секцией перетока жидкости в нижней
части. Технологическую емкость выполняют в виде горизонтального сепаратора
с различными устройствами для дополнительного отделения жидкости от газа,
характерными для нефтегазовых сепараторов. Аналогичные сепараторы приме-
няются за рубежом.
Конструкции некоторых центробежных элементов, применяемых в газосе-
параторах, приведены на рис. 2.10. Патрубки с осевыми и тангенциальными
завихрителями применяют в многопатрубковых сепараторах, показанных на
рис. 2.6.
В газонефтяных сепараторах обрабатывают газожидкостную смесь со срав-
нительно небольшим содержанием газа, поэтому такую смесь следует называть
жидкогазовой. Газ присутствует в ней в виде пузырьков. Разделение нефти и
газа в них происходит в основном за счет гравитационной силы. Обычно в
конструкции газонефтяных сепараторов предусматривают козырьки, дефлекто-
ры, тангенциально расположенный вводный патрубок и другие устройства, спо-
собствующие повышению эффективности процесса отделения газа от нефти за
26
б
в
Рис. 2.10. Центробежные элементы газосепараторов:
а, 6 ~ с тангенциальным завихрителем; в, г, д — с осевым завихрителем; г, д — с каналом
рециркуляции
счет использования сил инерции и адгезии. Для интенсификации коалесценции
пузырьков газа, а следовательно их укрупнения и быстрого выделения из неф-
ти, устанавливают электромагнитные, пневмовибраторные и ультразвуковые
источники. Осадительные секции газонефтяных сепараторов нередко оборуду-
ют наклонными плоскостями (пластинами, полками), предназначенными для
уменьшения толщины слоя нефти и более интенсивного выделения газа. Выде-
ляющийся из нефти газ захватывает капли жидкости, которые затем уносятся
потоком. Поэтому в верхней части сепаратора перед патрубком выхода газа для
отделения капель жидкости, уносимых потоком газа, устанавливают каплеотбой-
ники — насадки, в качестве которых могут использоваться швеллера, сетки, жалюзи
и т. д. Поскольку при поступлении нефтегазовой смеси в приемную секцию
нередко образуется пена, осложняющая процесс выделения газа из нефти, то
для ее гашения, а также снижения перемешивания в сепараторе устанавливают
специальные перегородки, решетки и другие подобные устройства.
Принципиальные схемы гравитационных вертикальных сепараторов с ра-
27
диально-щелевым вводом и горизонтальных сепараторов тарельчатого типа
представлены на рис. 2.11. Для повышения эффективности работы нефтегазо-
вого сепаратора, предназначенного для обработки нефти с высоким содержани-
ем газа, непосредственно перед сепаратором проводится отбор газа, выделивше-
гося из нефти в подводящем трубопроводе (рис. 2.11, г). В этом случае газ с
каплями жидкости направляется в каплеотбойник, располагаемый над сепарато-
Рис. 2.11. Гравитационные нефтегазовые сепараторы:
а, б — вертикальные с радиально-щелевым вводом; в, г — горизонтальные тарельчатого типа; 1 —
наклонные плоскости; 2 — каплеотбойные насадки; 3 — слив жидкости; 4 - подводящий трубопро-
вод; 5 — газоотводные трубки; 6 — сборный коллектор (депульсатор); 7 — корпус каплеуловителя
28
ром. Устройство для предварительного отбора газа позволяет также уменьшить
пульсацию потока и обеспечивает более равномерное поступление нефтегазовой
смеси в сепаратор, поэтому это устройство называют депульсатором. Нередко
перед входом в сепаратор устанавливают диспергатор, в котором происходит
дробление смеси, приводящее к увеличению поверхности контакта нефть — газ.
В каплеотбойниках для отделения капель нефти от газа обычно используют
сетчатые насадки (рис. 2.12). В последнее время применяют каплеотбойники
со струнными насадками. Вертикальная сетчатая насадка является секцией
окончательного отделения капель жидкости (рис. 2.12, а) или осуществляет
предварительное отделение и выполняет функцию коагулятора (рис. 2.12, в).
Тогда окончательное отделение капель осуществляется в горизонтальной сетке,
устанавливаемой перед патрубком выхода газа. В некоторых гравитационных
газонефтяных сепараторах газожидкостный поток направляют на специальный
отражатель — дефлектор, роль которого может играть и стенка вертикального
сепаратора. В результате удара жидкогазовой смеси о препятствие происходит
первичное отделение газа от жидкости. Для обеспечения плавного течения
жидкости без пенообразования в сепараторе устанавливают ряд горизонталь-
ных и наклонных поверхностей в виде полок, конусов, полусфер.
Разделители, которые используются в установках комплексной подготовки
газа и конденсата, предназначены для отделения газа от конденсата. Их кон-
струкция примерно такая же, как у нефтегазовых сепараторов.
Обезвоживание нефти производится в аппаратах для разделения водонеф-
тяных эмульсий — гравитационных отстойниках, в которых разделение эмуль-
сии происходит за счет силы гравитации. Малые размеры капель воды и неболь-
шая разница плотностей нефти и воды требуют использования больших по
размеру аппаратов. Поэтому основная проблема, решаемая в отстойниках,—
укрупнение капель. Для укрупнения капель воды в результате их коалесценции
используют термохимические методы и обработку эмульсии в электрическом
поле. Аппараты, работа которых основана на этих принципах, называются тер-
мохимическими установками и электродегидраторами.
Рис. 2.12. Каплеотбойники с сетчатыми насадками:
а, б — для окончательного отделения жидкости; в - для предварительного отделения и коагуляции
капель; / - сетчатая насадка; 2 - патрубок ввода смеси
29
Основным принципом работы термохимических отстойных аппаратов яв-
ляется подогрев эмульсии, что уменьшает вязкость нефти и тем самым увели-
чивает скорость осаждения капель воды. Добавление в эмульсию химических
реагентов — деэмульгаторов способствует дестабилизации эмульсии и увеличе-
нию скорости коалесценции капель. Термохимические отстойники по конструк-
ции мало чем отличаются от гравитационных газовых сепараторов. Отстойники
отличаются друг от друга геометрией емкости, конструкцией вводных и вывод-
ных устройств, а также некоторыми особенностями организации гидродинами-
ческого режима внутри отстойника. В настоящее время применяют в основном
горизонтальные отстойные аппараты с отношением длины к диаметру, равным
примерно шести. Отличительной особенностью отстойников является использо-
вание специальных устройств ввода и вывода эмульсии, называемых маточни-
ками, предназначение которых состоит в равномерном распределении эмульсии
по сечению аппарата. Распределители для ввода эмульсии в аппараты могут
различаться. Это отличие зависит от того, подается эмульсия под слой дренаж-
ной воды или прямо в нефтяную фазу. Если водопефтяная эмульсия подается
под слой дренажной воды, которая собирается в нижней части аппарата, то для
ускорения разрушения струек нефти с каплями воды, вытекающих из отверстий
трубчатого маточника, отверстия в маточниках делают в нижней или боковой
части. Для равномерного распределения эмульсии по сечению аппарата труб-
чатые маточники устанавливают по высоте аппарата. Такое расположение не
всегда удобно. Другим устройством является маточник в виде короба, откры-
того снизу, с отверстиями в верхней части. Эти короба устанавливают па не-
котором расстоянии друг от друга па двух распределительных трубах, отвер-
стия в которых находятся прямо под коробами. В коробах происходит само-
произвольное разделение нефти и воды. Нефть вытекает сверху из отверстий
короба, а вода остается в нижней части. При подаче эмульсии в слой нефти
используют трубчатые маточники с отверстиями в верхней части. При этом
возникает проблема распределения отверстий по длине трубы для обеспечения
равномерного расхода жидкости. Неравномерный расход приводит к нежела-
тельному перемешиванию эмульсии в аппарате.
Водопефтяная эмульсия в объеме отстойника разделяется на воду, которая
располагается в нижней части, и нефть. Четкой границы между нефтью и водой
пет, поскольку обе фазы разделяет промежуточный эмульсионный слой. Этот
слой существует в любом отстойнике и выполняет важные технологические
функции. Через этот слой проходит вся отстаивающаяся вода. Он способствует
процессу коалесценции на границе раздела фаз, в самом слое может происхо-
дить межкапельпая коалесценции, там же может фильтроваться мелкодисперс-
ная составляющая эмульсии, когда сырая нефть проходит через промежуточный
слой. Промежуточный слой может находиться в состоянии динамического рав-
новесия, когда его толщина не изменяется, уменьшаться или увеличиваться в
размерах. Стабилизация эмульсии в промежуточном слое приводит к замедле-
нию коалесценции капель, к росту высоты слоя и выносу его из аппарата, что
ухудшает качество обезвоживания нефти. Подобные явления часто наблюдаются
при обезвоживании высокопарафипистых нефтей при пониженных температурах.
Присутствие в пластовой воде солей обусловливает высокую электропро-
водимость воды в водонефтяпой эмульсии, что используется для укрупнения
капель воды в электрическом поле. Аппараты для разделения водопефтяных
эмульсий с применением электрических полей называются электродегидрато-
рами. По типу используемого напряжения их делят на электродегидраторы,
работающие на напряжении промышленной частоты, и электростатические де-
30
Рис. 2.13. Электродегидратор:
/ — электроды; 2 — граница раздела фаз, 3 — рас-
пределительное устройство (маточник)
гидраторы, работающие на постоянном электрическом токе. Наибольшее при-
менение имеют электростатические дегидраторы. Они создаются на основе
отстойников всех типов: шаровых, цилиндрических вертикальных и горизон-
тальных. Во всех промышленных образцах электродегидраторов распредели-
тельные устройства располагаются так, чтобы обеспечить вертикальный восхо-
дящий поток жидкости (рис. 2.13). Возможны устройства, в которых эмульсия
перед поступлением в отстойник предварительно укрупняется в электрическом
поле в электрокоалесценторе.
2.2. АБСОРБЕРЫ
В нефтяной и газовой промышленности широкое распространение при
обработке приводных и попутных газов получили процессы осушки и очистки
газа, процессы газоразделения методами низкотемпературной абсорбции, низко-
температурной конденсации и ректификации, а также стабилизации конденсата.
При этом, если в недалеком прошлом подготовка газа на промыслах ограничи-
валась осушкой и выделением конденсата, то в последние годы в связи с
открытием и вводом в эксплуатацию крупных месторождений газа, в составе
которого наряду с легкими углеводородами могут содержаться в большом
количестве тяжелые углеводороды, сероводород, диокись углерода, меркаптаны
и тяжелые парафиновые углеводороды, промысловая подготовка газа по своим
функциям и процессам стала приближаться к технологии, на которой базируют-
ся очистка и переработка газов на газо- и нефтеперерабатывающих заводах [10].
Процесс массообмена между газом и жидкостью в абсорберах осушки и
очистки газа характеризуется высоким давлением (4—12 МПа), наличием в
промысловых установках достаточной энергии газа, требованием к минимально-
му уносу дорогостоящего абсорбента (до 10—15 г на 1000 м3 газа), большими
расходами газа (до 5—10 млн. м3 газа в сутки на аппарат), малыми расходами
по жидкости (15 — 25 кг на 1000 м3 газа) в абсорберах осушки и большими
31
расходами по жидкости и газу в абсорберах очистки газа от примесей и тяже-
лых углевородов [И]. Специфические условия процессов подготовки газа,
требования к созданию оборудования высокой производительности и эффектив-
ности, а также условия транспортировки, монтажа и привязки оборудования в
отдаленных труднодоступных и малонаселенных районах выдвигают задачи по
созданию технологических аппаратов с минимальной удельной металлоемко-
стью. В связи с этим большое внимание уделяется вопросу интенсификации
процесса в колонных аппаратах за счет внедрения прогрессивных контактных
устройств, позволяющих существенно повысить удельные нагрузки по паровой
и жидкой фазам при сохранении высокой эффективности разделения. Много-
образие процессов промысловой подготовки и различные природные и рабочие
условия свидетельствуют, что не может быть единой универсальной конструк-
ции абсорбционного аппарата.
В установках комплексной подготовки газа абсорберы применяются для
осушки газа от влаги и для извлечения из газа тяжелых углеводородов.
Существуют два способа извлечения из газа целевого компонента: адсорб-
ционный с использованием в качестве поглотителей цеолитов и абсорбционный
с применением жидких поглотителей — абсорбентов. Первый способ является
периодическим, поскольку он требует периодической смены твердого поглотите-
ля, для чего нужно часто переключать потоки газа и соответственно разогревать
и охлаждать оборудование. Второй способ — непрерывный, имеет меньшие
эксплуатационные затраты и стоимость оборудования, повышает надежность
работы, прост в управлении и контроле. Поэтому на промыслах используется
абсорбционный способ осушки газа и извлечения тяжелых углеводородов.
Согласно данным [12, 22], все многообразие абсорберов можно разделить
на три класса: барботажные, поверхностные и распыливающие.
В барботажных абсорберах газ проходит через слой жидкости в виде пузырь-
ков или струи. Барботажные абсорберы составляют следующие основные группы.
1. Абсорберы со сплошным барботажным слоем, в котором осуществляется
непрерывный контакт между фазами.
2. Абсорберы тарельчатого типа со ступенчатым контактом между фазами.
3. Абсорберы с подвижной (плавающей) насадкой.
4. Абсорберы с механическим перемешиванием жидкости.
К классу поверхностных абсорберов относятся аппараты, в которых по-
верхность контакта фаз определяется геометрической поверхностью элементов
абсорбера. Эти аппараты делятся на следующие классы.
1. Поверхностные абсорберы с горизонтальным зеркалом жидкости.
2. Пленочные абсорберы.
3. Насадочные абсорберы (с неподвижной насадкой).
4. Механические пленочные абсорберы.
В распыливающих абсорберах поверхность контакта фаз образуется путем
распыления жидкости в газе па мелкие капли. Этот класс абсорберов делится
на следующие группы.
1. Абсорберы, в которых распыление жидкости производится форсунками.
2. Скоростные прямоточные распыливающие абсорберы, в которых распы-
ление жидкости осуществляется за счет кинетической энергии движущегося с
большой скоростью газового потока.
3. Механические распыливающие абсорберы, в которых жидкость распы-
ливается вращающимися деталями.
Однако четкого разделения между указанными классами аппаратов прове-
сти нельзя, так как при определенных гидродинамических условиях может
32
изменяться характер и метод образования межфазной поверхности. Так, в аб-
сорберах тарельчатого типа при больших скоростях газового потока наступает
инверсия фаз, и абсорберы начинают работать как скоростные прямоточные
распыливающие. Работа абсорберов с подвижной насадкой при низких скоро-
стях газа не отличается от работы аппаратов с неподвижной насадкой. Можно
привести много других аналогичных примеров.
В каждой из перечисленных групп аппаратов можно выделить конструк-
ции вертикального и горизонтального исполнения.
Для процессов абсорбционной осушки газа и абсорбционного извлечения
из газа тяжелых углеводородов в установках комплексной подготовки газа
широко применяются барботажные абсорберы тарельчатого типа, поверхностные
абсорберы пленочного и насадочного типов, а также распыливающие форсуноч-
ные и скоростные прямоточные абсорберы.
На рис. 2.14, а показан вертикальный многоступенчатый тарельчатый аб-
сорбер. Аппарат состоит из трех секций. Первая по ходу газа секция сепарации
состоит из сетчатого отбойника, расположенного непосредственно на входе газа,
и сепарационной тарелки с 178 сепарационными элементами центробежного
типа диаметром 60 мм (рис. 2.14, б). Следующая по ходу газа секция массо-
обмена включает пять контактных ступеней, каждая из которых состоит из
ситчатой тарелки с отверстиями диаметром 6,3 мм (рис. 2.14, в), на которой
происходит массообмен, и сепарационной тарелки, оснащенной центробежными
элементами диаметром 60 мм. Последняя по ходу газа секция улавливания
абсорбента, например гликоля, состоит из перегородки с размещенными на ней
фильтр-патропами длиной 1100 мм и диаметром 100 мм и сепарационной тарел-
ки, такой же, как и в секции сепарации. Фильтр-патропы выполнены в виде
перфорированного цилиндрического каркаса с намоткой 10—15 слоев стекло-
холста или техполотна из синтетических волокон. Изнутри и снаружи слой
фильтрующего материала закрепляется двумя-тремя слоями рукавной сетки.
Подача абсорбента (при осушке газа это регенерированный гликоль) осуществ-
ляется через патрубок диаметром 80 мм на верхнюю ситчатую тарелку, а слив
насыщенного абсорбента — через патрубок на полуглухой тарелке. Сырой газ
из системы сбора поступает через входной патрубок в сепарационную часть
многофункционального аппарата. Отделение большого количества жидкости,
содержащегося в газе в капельном виде, происходит па сетчатом отбойнике и
в межтарельчатом пространстве за счет силы гравитации. Отсепарироваиная
жидкость и механические примеси скапливаются в нижней части аппарата,
защищенной от возмущения потоком газа перегородкой из просеченного листа.
Частично очищенный газ поступает на сепарационную тарелку, где от него под
действием центробежной силы отделяются мелкодисперсные капли, которые в
виде жидкой пленки стекают па полотно тарелки и далее через сливную трубу
в накопительную часть сепарационной секции. Очищенный от капельной жид-
кости газ направляется через конусообразный патрубок полуглухой тарелки в
секцию массообмена. В верхнюю часть массообменной секции подается реге-
нерированный абсорбент, который контактирует с потоком газа, осушает его,
т. е. извлекает из газа целевой компонент (в случае осушки это пары воды,
а в случае обработки газа — тяжелые углеводороды). Заметим, что в процессе
осушки газа в качестве абсорбента используется гликоль, а в процессе извле-
чения тяжелых углеводородов — трансформаторное масло, нефть, конденсат и др.
Интенсивное контактирование фаз достигается путем барботажа газа через слой
абсорбента на ситчатой тарелке, работающей в режиме уноса. Увлеченный потоком
газа с ситчатой тарелки капельный абсорбент улавливается расположенной сверху
3 - 1461 33
a
Всего 178
элементов
Всего 172
элемента
LU Li Ll U L Ll
Всего на
тарелке
12252 отв. 0 6,3
Всего на
Рис. 2.14. Вертикальный многоступенчатый тарельчатый абсорбер
Всего 120
филътр-
коагулирующих
патронов
сепарационной тарелкой и через гидрозатвор возвращается на повторное кон-
тактирование на ситчатую тарелку. Таким образом осуществляется циркуляция
абсорбента внутри ступени контакта. Осушенный газ из массообменной секции
направляется в секцию улавливания, где от него отделяется унесенный капель-
ный абсорбент. Отработанный абсорбент, насыщенный извлеченным из газа
компонентом (влагой или тяжелыми углеводородами), направляется далее на
регенерацию, в процессе которой он восстанавливается до рабочего состояния.
Такой же аппарат, но в горизонтальном исполнении, показан на рис. 2.15.
В нем секция предварительной очистки газа от жидкости представляет собой
сетчатый коагулятор, смонтированный на входе газа в аппарат, и одну сепара-
ционную тарелку. Секция массообмена состоит из пяти ступеней контакта,
представляющих собой комбинацию ситчатой тарелки с установленной над ней
на расстоянии 650 мм сепарационной тарелки. Секция окончательной очистки
газа состоит из коалесцирующей насадки и сепарационной тарелки, предотвра-
щающей унос абсорбента из аппарата. Тип сепарационных элементов во всех
секциях один и тот же — прямоточно-центробежный с тангенциальными завих-
рителями. Работа горизонтального абсорбера основана на принципе противо-
точного движения газа и жидкости, причем переток жидкости от одной ступени
контакта к другой осуществляется за счет использования энергии газа.
Из пленочных абсорберов наибольшее распространение в газовой промыш-
ленности получили абсорберы с восходящим движением пленки. Принцип действия
аппаратов этого типа основан на том, что при достаточно высоких скоростях (более
10 м/с) движущийся снизу вверх газ увлекает жидкую пленку абсорбента в
направлении своего движения. Тем самым реализуется восходящий прямоток.
В таких аппаратах абсорбция проводится при болыпих скоростях (до 40 м/с), чем
достигаются высокие коэффициенты массообмена фаз. На рис. 2.16 представлена
одна из конструкций абсорбера с восходящим потоком пленки. Аппарат включает
корпус с вмонтированными в него тарелками с инжекционными элементами. Корпус
разделен на камеры вертикальными перегородками, не доходящими до его стенок
и образующими каналы для прохождения газа. Тарелки каждой камеры оснащены
инжекционными элементами, в верхней части которых расположены перегородки
для сбора отсепарированной жидкости в соседнюю камеру. Такая конструкция
обеспечивает противоточное движение газа и жидкости по аппарату. Контактиро-
вание фаз на каждой тарелке осуществляется в режиме восходящего прямотока.
К группе пленочных аппаратов можно отнести абсорберы с центробежны-
ми контактными элементами, в которых поступающий снизу газ проходит через
завихритель и увлекает вверх жидкость. Под действием центробежной силы
жидкость отбрасывается на стенку трубы, образуя на ней винтообразную дви-
жущуюся вверх пленку. Подобные абсорберы с центробежными контактными
элементами имеют преимущество по сравнению с другими конструкциями пленоч-
ных абсорберов. Существует несколько конструкций центробежных контактных
элементов: с осевыми завихрителями вертикального и горизонтального распо-
ложения; с тангенциальными завихрителями. Диаметр элементов составляет
100 мм, все они оснащены устройствами для осуществления рециркуляции и
отсоса газа, способствующими повышению рабочей скорости, эффективности
сепарации и диапазона эффективной работы. Элементы с осевым завихрителем
снабжены осевыми лопаточными завихрителями с углом закрутки около 45°.
Третий элемент имеет тангенциальный завихритель; фактически это даже не
специальный завихритель, а просто поток газа поступает в элемент по касатель-
ной к поверхности через специальные щелевые прорези в стенке. Длина эле-
ментов составляет три диаметра. Испытания тангенциальных элементов показа-
3* 35
-2600
Рис. 2.15. Горизонтальный многоступенчатый тарельчатый абсорбер
0400
Рис. 2.16. Абсорбер с восходящим движением пленки
о
a
ли, что их эффективность больше, чем осевых элементов. На рис. 2.17, а
показана одна из конструкций многофункционального абсорбера, в котором
входная и выходная сепарационные секции оснащены тангенциальными центро-
37
бежными элементами с устройствами для рециркуляции и отсоса газа (рис. 2.17, б,
в). Контактирование газа с абсорбентом осуществляется на четырех контакт-
ных тарелках, оснащенных такими же центробежными элементами.
Насадочные абсорберы представляют собой колонны, контактная зона ко-
торых заполнена телами различной формы. Контактирование газа с жидкостью
происходит в основном на смоченной поверхности насадки, по которой стекает
орошающая жидкость. Поверхность насадки в единице объема аппарата боль-
шая, поэтому в сравнительно небольших объемах можно создать значительные
поверхности контакта, необходимые для эффективного массообмена фаз. Одна
из конструкций такого абсорбера показана на рис. 2.18. Абсорбер состоит из
Рис. 2.18. Многофункциональный насадочный абсорбер
38
входного сепаратора 1, контактной зоны, заполненной насадкой 2 и фильтр-
сепаратора 3. На этом же рисунке показаны виды насадок.
Форсуночные абсорберы, как правило, представляют собой аппараты гори-
зонтального типа и предназначены для установок подготовки газа с небольши-
ми расходами. Их схемы представлены на рис. 2.19, а, б. Аппараты снабжены
входными и выходными сепараторами. Контактная зона состоит из нескольких
одинаковых ступеней. В каждую ступень контакта регенерированный абсорбент
подается через форсунку либо вдоль, либо против потока. Распыленный абсор-
бент благодаря большой поверхности контакта хорошо поглощает целевой ком-
понент из газа. Отработанный абсорбент отделяется от газа в узле сепарации
на каждой контактной ступени. Отличие абсорберов на рис. 2.19, а и рис. 2.19, б
состоит в обвязке подачи абсорбента. На первом рисунке показана прямоточ-
ная многоступенчатая абсорбция, а на втором - ступенчатая прямоточно-проти-
воточная абсорбция. Второй способ подачи отличается от первого меньшим рас-
ходом абсорбента и более четким разделением. Его недостатком является слож-
ность перекачки абсорбента из одной секции в другую.
Входной
сепаратор
<-----*----
Абсорбер
Концевой
сепаратор
______к_____
у
Рис. 2.19. Схема обвязки форсуночных абсорберов:
а — прямоточная многоступенчатая абсорбция; 6 — ступенчатая прямоточно-противоточная абсорбция
39
2.3. ОХЛАЖДАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Основными устройствами для получения холода на промысле являются
дроссели, теплообменники, турбо детандеры, аппараты воздушного охлаждения и
установки искусственного холода.
Дросселирование газа производится в дросселях, которые представляют
собой устройства (шайбы, сопла), уменьшающие поперечное сечение трубопро-
вода, по которому движется газ. В результате резкого сужения сечения трубы
увеличивается скорость газа и уменьшается давление и температура. Падение
температуры примерно пропорционально падению давления. Коэффициент
пропорциональности определяется из термодинамических соотношений в соот-
ветствии с эффектом Джоуля — Томпсона. Для углеводородных природных
газов он имеет порядок 0,3 град/атм. Так, для охлаждения газа на десять
градусов необходим перепад давления в 3 МПа. Низкая термодинамическая
эффективность эффекта дросселирования ограничивает срок его использования,
поскольку с течением времени эксплуатации месторождения пластовое давле-
ние падает, а следовательно, падает давление и на входе установки комплексной
подготовки газа. Примерно через десять лет эксплуатации месторождения при
существующих темпах отбора газа дросселирование газа перестает давать не-
обходимый холод, и в дальнейшем необходимо либо увеличивать давление с
помощью дожимной компрессорной станции, либо использовать другие источни-
ки холода.
Эффективной установкой получения холода является турбодетандерный
агрегат [13]. Охлаждение газа в ТДА достигается организацией процесса рас-
ширения газа, протекающего через ТДА, с совершением внешней работы. В ре-
зультате происходит снижение давления и температуры газа. На рис. 2.20
схематично показано меридиональное сечение проточной части турбодетандера.
В ступени турбодетандера элементами, в которых преобразуется энергия газа,
являются неподвижный сопловый аппарат / с сопловыми лопатками 2 и вра-
щающееся колесо 4 с рабочими лопатками 3. Развертка на плоскости цилинд-
рического сечения лопаточных аппаратов турбодетандера показана на рис. 2.21.
Там же отмечены характерные скорости газа и силы, возникающие в результате
взаимодействия газа с рабочими лопатками колеса. Вращающаяся часть турбо-
детандера, состоящая из колеса с лопатками и вала с подшипниками, называется
ротором, а неподвижная часть — корпус, сопловый аппарат и другие детали —
статором. Принцип действия турбодетандера состоит в следующем. Газ со ско-
ростью г?0 поступает в межлопаточные каналы соплового аппарата и расширяет-
I А
Рис. 2.20. Схема меридио-
нального сечения проточ-
ной части ступени турбо-
детандера
40
Рис. 2.21. Развертка на плос-
кости цилиндрического сече-
ния А — А турбодетандера
(см. рис. 2.20)
ся в них от начального давления р0 до давления р-,<рп. В результате скорость
газа увеличивается до vt, а температура уменьшается. Выйдя из соплового
аппарата под углом а, к плоскости вращения колеса, газовая струя попадает в
каналы между его рабочими лопатками, в которых осуществляется дальнейшее
расширение газа до давления p-i<p\, а следовательно, его охлаждение. Вместе
с этим на рабочих лопатках достигается значительное изменение направления
движения газа в результате поворота струи. Изменение количества движения
приводит к появлению силы, действующей на рабочие лопатки и заставляющей
их вращаться.
В зависимости от направления потока газа различают осевые и радиаль-
ные турбодетандеры. В первых поток в основном движется вдоль цилиндриче-
ских поверхностей, оси которых совпадают с осью вращения колеса. В ра-
диальных центробежных турбодетандерах газ движется от оси рабочего колеса
к периферии, а в центростремительных - - в обратном направлении. Особенно-
стью работы радиальных турбодетандеров является то, что в рабочем колесе
газовый поток, расширяясь, производит работу в поле центробежных сил. При
прочих равных условиях это приводит к уменьшению скорости выхода газа из
колеса такого детандера по сравнению с осевым. Из-за этого эффекта в цен-
тростремительных турбодетандерах на рабочих колесах применяют повышен-
ные перепады давления газа.
Осевые и радиальные турбодетандеры могут быть одно- и многоступенча-
тыми. Применение многоступенчатых турбодетандеров целесообразно при необ-
ходимости большого понижения давления и температуры газа. Радиальные
турбодетандеры применяют главным образом в установках с небольшими рас-
ходами газа. Осевые турбодетандеры используют для получения холода в ус-
тановках с большими расходами газа.
Поскольку на валу турбодетандера развивается большая мощность, то
потребителями ее могут быть генераторы, насосы и компрессоры. В этом состоит
основное преимущество использования турбодетандеров по сравнению с дрос-
селями, поскольку в последних энергия от потери давления пропадает.
Теплообменники используются на промыслах для нагрева, охлаждения
конденсации и испарения жидкости, газа, пара и их смесей. Наиболее распро-
странены теплообменники типа труба в трубе, кожухотрубчатые и аппараты
воздушного охлаждения (АВО). Теплообменник типа труба в трубе представ-
ляет собой две коаксиальные трубы, по внутренней трубе движется нагреваемая
41
или охлаждаемая среда (газ, жидкость), а по межтрубному пространству —
нагреваемый или охлаждаемый агент (газ, жидкость). Движение агента и среды
может происходить как в прямотоке, так и в противотоке. Обычно теплообмен-
ники такого типа состоят из нескольких секций. Простота конструкции и не-
сложная система подачи в них ингибитора гидротообразования обусловливает
использование таких теплообменников в установках НТС. Охлаждающим аген-
том является отсепарированный холодный газ, поступающий из низкотемпера-
турного сепаратора в межтрубное пространство теплообменника. Кожухотруб-
чатый теплообменник по сравнению с теплообменником типа труба в трубе
имеет большее применение, что объясняется его меньшей металлоемкостью. Но
из-за отсутствия надежной системы подачи ингибитора гидратообразования эти
теплообменники применяются, если охлаждение в них газа производится до
температуры не ниже температуры гидратообразования или если перед тепло-
обменником газ предварительно осушается от влаги.
В зависимости от вида охлаждаемого агента и охлаждаемой среды разли-
чают теплообменники типа газ — газ, газ — вода, конденсат — конденсат и т. п.
Аппараты воздушного охлаждения предназначены для работы па открытом
воздухе в районах с умеренным и холодным климатом. Различают конструкции
АВО для охлаждения природного газа, для охлаждения природного газа и
конденсата, для охлаждения воды.
Подробные сведения об остальном оборудовании (насосы, компрессоры
и др.) можно найти в работах [14—16].
3
3. ОСНОВНЫЕ ПРОЦЕССЫ РАЗДЕЛЕНИЯ
МНОГОФАЗНЫХ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ
УГЛЕВОДОРОДНЫХ СМЕСЕЙ
Добываемое углеводородное сырье представляет собой многофазную мно-
гокомпонентную смесь. Формирование многофазной смеси, включая и водонеф-
тяную эмульсию, начинается в пласте, затем продолжается при движении в
скважине, в элементах системы сбора и подготовки и в магистральном трубо-
проводе в результате изменения термобарических условий, а также геометриче-
ских размеров областей, по которым движется смесь. Если эти изменения проис-
ходят достаточно медленно по сравнению с характерными временами установ-
ления в системе фазового равновесия, например при движении смеси в пласте
и в скважине, то можно считать, что движение смеси происходит в условиях
термодинамического и динамического равновесия. Это значит, что, задав исход-
ный компонентный состав всей смеси и зная давление и температуру в интере-
сующей точке, в принципе можно определить удельные объемы и компонентный
состав фаз, используя уравнения фазового равновесия. В настоящее время
имеется хорошо развитая полуэмпирическая теория расчета парожидкостного
равновесия систем природных углеводородов [2], позволяющая с достаточной
степенью точности проводить подобные расчеты (этому посвящен раздел 5.7).
Сложней обстоит дело с расчетами фазового равновесия систем, содержащих
воду. Этому вопросу посвящены работы [17 — 20]. Изложенные в них резуль-
42
таты позволяют в некоторой степени оценить равновесное содержание влаги в
углеводородном газе и, в частности, температуру образования гидратов. Данные,
необходимые для проведения расчетов трехфазных систем, например нефть —
газ — вода или конденсат — газ — вода, в настоящее время отсутствуют.
Отсутствие в системе фазового и динамического равновесия приводит к
необходимости учитывать кинетику процессов. Подобное имеет место при рас-
смотрении движения смесей в областях с быстро изменяющимися внешними
условиями, которые существуют в дросселях, теплообменниках, турбодетандерах,
в сепараторах, отстойниках, абсорберах и других устройствах. Нарушение тер-
модинамического и динамического равновесия приводит к интенсивному обра-
зованию (нуклеации) одной из фаз (жидкой, газовой) с образованием капель
и пузырьков и дальнейшему их росту в результате межфазного массообмена
(конденсации, испарения), сопровождающегося процессами взаимодействия ка-
пель, пузырьков и других образований, приводящих к коагуляции, коалесценции
и дроблению.
Анализ физических процессов, происходящих в установках подготовки
нефти, газа и конденсата, позволяет сделать вывод, что основными процессами
являются разделение фаз (жидкости от газа, газа от жидкости, жидкости от
жидкости, твердых частиц примеси от газа или от жидкости), а также извлече-
ние определенных компонент из газовой или жидкой смеси. В специальной
литературе, посвященной этим процессам, каждый процесс имеет свое название.
Так, процесс отделения жидкости от газа или газа от жидкости называется се-
парацией, жидкости от жидкости — деэмульсацией, разделение суспензий, т. е. жид-
костей или газов с твердыми частицами, — седиментацией и т. д. С физической
точки зрения любой из перечисленных процессов происходит под действием
определенных движущих сил, заставляющих фазы или компоненты одной из
фаз разделяться. Для гетерогенных смесей такими движущими силами являют-
ся силы гравитации, инерции, поверхностные и гидродинамические силы, элект-
ромагнитные силы и термодинамические силы. Для гомогенных смесей, например
смеси газов или растворов, движущими силами являются градиенты концентра-
ций, температуры, давления, химических потенциалов. Математическое модели-
рование этих процессов основывается на единых физических законах сохране-
ния массы, количества и момента количества движения, энергии, дополненных
феноменологическими соотношениями, конкретизирующими модель рассматри-
ваемой среды, а также начальными и граничными условиями. Сказанное позво-
ляет объединить все многообразие рассматриваемых физических процессов в
рамках единой теории сепарации многофазных многокомпонентных систем. Для
лучшего понимания специального материала в разделах Ш —VII в разделе II
изложены физико-химические основы процессов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 . Жданова Н. В., Халиф А. Л. Осушка природных газов,— М.: Недра, 1975.— 158 с.
2 . Баталин О. Ю., Брусиловский А. И., Захаров М. Ю. Фазовые равновесия в системах
природных углеводородов, — М.: Недра, 1992,— 272 с.
3 . Гужов А. И. Совместный сбор и транспорт нефти и газа. — М.: Недра, 1973,— 280 с.
4 . Логинов В. И. Обезвоживание и обессоливание нефтей. — М.: Химия, 1979. — 216 с.
5 . Берлин М. А., Гореченков В. Г., Волков Н. П. Переработка нефтяных и природных
газов, — М.: Химия, 1981,— 472 с.
6 . Гриценко А. И., Александров И. А., Галанин И. А. Физические основы переработки и
использования газа, — М.: Недра, 1981,— 224 с.
7 . Маринин Н. С., Савватеев Ю. Н. Разгазированис и предварительное обезвоживание
нефти в системах сбора,— М.: Недра, 1982.— 171 с.
43
8 Бараз В И Добыча нефтяного газа — М Недра, 1983 —252 с
9 Синайский Э Г , Гуревич Г Р , Кащицкии ТО А н др Эффективность сепарационного
оборудования в установках промысловой подготовки газа//Обзор — М ВНИИЭГАЗПРОМ —
1986 - Вып 6 -41 с
10 Милыитеин Л М , Бойко С И , Запорожец Е П Нефтегазопромысловая сспарацион
ная техника Справ пособие/Под ред Л М Милыптейна — М Недра, 1992 —236 с
И Гореченков В Г и др Состояние и перспективы развития абсорбционных процессов
очистки газа//Газовая промышленность Обз инф Сер Подготовка и переработка газа и газо
вого конденсата — М ВНИИЭГАЗПРОМ —1984 —№7 — С 1—4
12 Зиберт Г К , Александров И А Контактные устройства массообменных аппаратов для
процессов подготовки и переработки природных и попутных газов//Экспресс информация — М
ЦИНТЕХИМНЕФТЕМАШ -1980 -№ 6
13 Рамм В М Абсорбция газов — М Химия, 1976 —656 с
14 Язик А В Турбодетандеры в системах промысловой подготовки природного газа — М
Недра, 1977 -173 с
15 Газовое оборудование, приборы и арматура Справ пособие/Под ред Н И Рябцева —
М Недра, 1985 - 527 с
16 Гвоздев Б В , Гриценко А И , Корнилов А Е Эксплуатация газовых и газоконденсат-
ных месторождений — М Недра, 1988 —575 с
17 Добыча, подготовка и транспорт природного газа и конденсата Справ руководство
В 2 т /Под ред Ю П Коротаева, Р Д Маргулова — М Недра, 1984
18 Намиот А Ю Фазовые равновесия в добыче нефти — М Недра, 1976 —183 с
19 Намиот А Ю Растворимость газов в воде Справ пособие — М Недра, 1991 —167 с
20 Anderson F Е , Prausnitz J М Inhibition of gas hydrates by methanol//AICHE J —
1986 - V 32 - № 8 - P 1321-1333
21 Истомин В A , Якушев В С Газовые гидраты в природных условиях — М Недра,
1992 -236 с
22 Скобло А И, Молоканов Ю К, Владимиров А И , Щелкунов В А Процессы и
аппараты нефтегазопсреработки и нефтехимии — М Недра, 2000 —677 с
II
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
4
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
4.1. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Поведение сплошной среды описывается уравнениями, следующими из
законов сохранения массы, заряда, количества движения, момента количества
движения и энергии. Эти уравнения должны быть дополнены соотношениями,
отражающими принятую модель сплошной среды, которые называются опре-
деляющими уравнениями или феноменологическими соотношениями. Приме-
рами определяющих уравнений являются закон Навье — Стокса, который ус-
танавливает линейную зависимость тензора напряжений от тензора скоростей
деформаций; закон Фурье, согласно которому поток тепла пропорционален
градиенту температуры; закон Фика, в соответствии с которым поток массы
пропорционален градиенту концентрации вещества; закон Ома, который гла-
сит, что сила тока в проводящей среде пропорциональна напряженности прило-
женного электрического поля или градиенту потенциала. Эти определяющие
уравнения были получены экспериментально. Коэффициенты пропорциональ-
ности — коэффициенты вязкости, теплопроводности, диффузии, электропровод-
ности, называемые коэффициентами переноса, могут быть получены экспери-
ментально, а в некоторых случаях и теоретически с использованием кинети-
ческой теории [1].
Уравнения сохранения и определяющие уравнения образуют феноменоло-
гическую модель сплошной среды.
Если рассматривается жидкость, содержащая частицы, то дисперсная фаза
также рассматривается как сплошная среда, и для ее описания необходима своя
феноменологическая модель, определяющие уравнения которой могут отличать-
ся от определяющих уравнений непрерывной фазы.
Поток массы и энергии осуществляется в сплошной среде при наличии
пространственных градиентов параметров состояния, таких, как температура,
давление, электрический потенциал. Переменные, подобные объему системы, ее
массе, числу молей, называются экстенсивными, так как их значения зависят от
общего количества вещества в системе. В противоположность им переменные,
подобные температуре, давлению, мольной доле компонента, электрическому
45
потенциалу, являются интенсивными, так как они имеют определенные значения
в каждой точке системы. Поэтому определяющие уравнения задают связь меж-
ду потоками и градиентами интенсивных параметров. В перечисленных выше
определяющих уравнениях поток зависит только от градиента одного парамет-
ра. Возможны случаи, когда поток является суперпозицией градиентов несколь-
ких параметров. Так, поток массы определяется градиентами концентрации,
давления, электрического потенциала, поэтому определяющее уравнение связы-
вает поток массы с перечисленными градиентами. Эти связи носят тензорный
характер. Заметим, что скаляр и вектор являются тензорами соответственно
нулевого и первого ранга. В механике сплошной среды используются еще
тензоры второго ранга — тензоры напряжений и скоростей деформаций. Так,
законы Фурье, Фика и Ома для изотропных сред являются векторными, а закон
Навье - Стокса — тензорным.
4.2. ПЕРЕНОС КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Реальная жидкость — вязкая, характеризуется внутренними сдвиговыми на-
пряжениями и вязкой диссипацией энергии. Процессы, происходящие в вязкой
жидкости, термодинамически необратимы и обладают пространственной неодно-
родностью.
Рассмотрим жидкость, подчиняющуюся ньютоновскому закону пропорци-
ональности сдвигового напряжения скорости сдвига, на примере течения Куэтта
(рис. 4.1).
Течение Куэтта представляет собой стационарное сдвиговое течение между
двумя бесконечными параллельными плоскостями, находящимися на малом рас-
стоянии h друг от друга. Одна из плоскостей покоится, а другая движется
поступательно с постоянной скоростью U вдоль оси х. Давление р в жидкости
постоянное. Скорость жидкости имеет одну составляющую и (у) вдоль оси х,
удовлетворяющую условиям прилипания жидкости на поверхностях у = 0 и
у = h, т. е. и (0) = 0 и и (Л) = U. Рассмотрим произвольный бесконечно малый
Рис. 4.1. Течение Куэтта
46
элемент жидкости (см. рис. 4.1). Баланс сил, действующих на элемент со
стороны жидкости, дает
Х^^гАг/Дх!. (4.1)
Здесь туж — проекция сдвигового напряжения на площадке, перпендику-
лярной оси у, на ось х. В дальнейшем условимся брать хух на площадке с
внешней нормалью п, направленной по оси координат, со знаком плюс, а на
площадке с нормалью, направленной в противоположном направлении, — со
знаком минус.
Из второго закона Ньютона для рассматриваемого жидкого элемента сле-
дует, что
£гх = р^Дг/Дх1, (4.2)
где р — плотность жидкости; Du/Dt — субстанциональная производная:
В рассматриваемом случае ^Fr=0, и согласно (4.1) получим
хух = const. (4.4)
В соответствии с ньютоновским определяющим уравнением имеем
= (4.5)
Здесь р — динамический коэффициент вязкости жидкости, зависящий от
температуры и в меньшей степени от давления.
Жидкость, подчиняющаяся закону (4.5), называется ньютоновской. Все
газы и большинство жидкостей можно считать ньютоновскими. Однако суще-
ствуют жидкости, например полимерные растворы, суспензии с большой концент-
рацией частиц дисперсной фазы, которые не подчиняются закону (4.5). Такие
жидкости называются неныотоповскими.
Из (4.5) и (4.4) с учетом граничных условий находим распределение
скорости
U = UJ (4.6)
и сдвиговое напряжение
V = (4.7)
Выражение для сдвигового напряжения можно трактовать [2] как поток
х-го компонента количества движения вязкой жидкости в направлении, проти-
воположном направлению оси у. Этот поток индуцируется верхней движущейся
плоскостью, а поскольку нижняя плоскость покоится, то поток количества дви-
жения вызывает движение жидкости в направлении оси х.
Таким образом, поток количества движения направлен против направления
градиента скорости, поэтому градиент скорости можно рассматривать как дви-
жущую силу процесса переноса количества движения.
Наряду с динамической вязкостью ц вводят кинематическую вязкость
v = p/p. (4.8)
Кинематическая вязкость имеет размерность м2/с. Такую же размерность
47
имеет коэффициент диффузии, поэтому v можно трактовать как коэффициент
диффузии количества движения в вязкой жидкости.
Как уже отмечалось, коэффициент вязкости зависит от температуры, но
практически не зависит от давления. С ростом температуры вязкость газов
увеличивается, а вязкость жидкости уменьшается. Подобное различие объяс-
няется различными механизмами переноса количествами движения в газе и в жид-
кости. В газе молекулы находятся относительно далеко друг от друга и харак-
теризуются средней длиной свободного пробега молекул I. Поэтому в газе
v = й1, (4.9)
где й — средняя скорость молекулы, пропорциональная -Jt.
В жидкости картина иная. Поскольку молекулы в жидкости находятся близко
друг от друга, то им требуется гораздо большая энергия активации AG, чтобы
переместиться в соседнее вакантное положение. Градиент скорости в направлении,
перпендикулярном направлению движения жидкости (du/dy), равен напряжению
сдвига ту1, умноженному на ехр (- AG/АГ), где А — газовая постоянная, имеющая
смысл вероятности попадания молекулы в соседнее вакантное положение. Если
жидкость течет в направлении перемещения молекулы, то эта вероятность пропор-
циональна т,Л, поскольку напряжение сдвига заставляет молекулу совершать до-
полнительную работу в направлении течения. В силу соотношения (4.5) получим,
что v ~ ехр (-AG/АГ), т. е. вязкость убывает с увеличением температуры.
Обобщим теперь закон (4.5) для трехмерного случая. Напряжение па
площадке в жидкости зависит от ориентации этой площадки, т. е. от направ-
ления внешней нормали п (рис. 4.2).
Рассмотрим точку жидкости х (х, у, г) в некоторый момент времени и в
окрестности этой точки три взаимно ортогональные площадки, перпендикуляр-
ные векторам i, j, k. Обозначим через t (i), t (;) и t (k) напряжения на этих
площадках. Каждое из этих напряжений можно разложить по координатным
осям (рис. 4.3). Тогда проекции напряжения t на площадку произвольной
ориентации с нормалью п имеют вид
tx = тххпх + хухпя + т21п2,
ty = ^хУпх + хяяпя + т2уп2, (4.10)
tz = 1хгПх + Ху1Пу + Т22П2.
Рис. 4.2. Силы на площадках, перпендикулярных координатным осям
48
Рис. 4.3. Напряжения иа площад-
ках, перпендикулярных координат-
ным осям
В Гу первый индекс обо-
значает ось, к которой пер-
пендикулярна рассматривае-
мая площадка, а второй —
проекцию напряжения на со-
ответствующую ось. Таким
образом, Ху образуют девять
компонент, зависящих от х
и t. Они являются компо-
нентами тензора второго ран-
га Т, который называется
тензором напряжений. Со-
кращенно (4.10) можно за-
писать в виде
^ = тЛпу, (4.11)
имея в виду, что в правой части производится суммирование по повторяющимся
индексам.
Определенный таким образом тензор напряжений характеризует напря-
женное состояние жидкости в точке х. Если в жидкости отсутствуют внутрен-
ние распределенные моменты (пары), то тензор напряжений симметричный,
т. е. Ху = Гц.
Когда говорят, что жидкость ньютоновская, то предполагается что:
1) жидкость изотропная, т. е. ее свойства одинаковы во всех направлениях;
2) если жидкость невязкая или находится в состоянии покоя, то
Т=-р1,
(4.12)
где I — единичный тензор с компонентами
[ 0 при i j,
= 11
[1 при i = j;
3) если жидкость вязкая, то тензор напряжений является линейной функ-
цией тензора скоростей деформации Е
Т = р + + 2]хЕ = -pl + П
(4.13)
Компоненты тензора скоростей деформаций равны
1 ( ди: ди ; А
р.. =2. —!_ j-------L
11 2 dxj дх, J'
(4.14)
Входящее в (4.13) 0 = £w = V-u является первым инвариантом тензора
скоростей деформации.
Если ньютоновская жидкость несжимаема, то V • и = 0 и в декартовой системе
координат из (4.14) следует
4 - 1461
49
х„ = -р + 2ц^, хуу = -р + 2\^, хгг = -р + 2^, (4.15)
ху ~ ух
(ди да) (ди даЛ (dv
Ц X "I” Ч ’ XZ ZX Ц Д д" "Ч L yz ~~ zy ~ Н Д
\ду дх) ydz дх J * дг
дам
дх )’
где и, v и w — компоненты скорости и.
4.3. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ПЕРЕНОС ТЕПЛА
Перенос тепла в жидкости может осуществляться за счет теплопровод-
ности, конвекции, диффузии и излучения. Поскольку перенос тепла за счет
конвекции и диффузии будет рассмотрен в соответствующих разделах, а пе-
ренос тепла за счет излучения мал (он существен только при очень высоких
температурах), то рассмотрим только перенос тепла за счет теплопроводности.
Если в жидкости имеется градиент температуры VT, то в соответствии с
законом Фурье поток тепла пропорционален VT и направлен в сторону, про-
тивоположную VT:
q = -kVT. (4.16)
Коэффициент k называется коэффициентом теплопроводности. Наряду с
ним часто вводят коэффициент температуропроводности (иногда его называют
коэффициентом теплопроводности)
a=k/Cpp, (4.17)
где Ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении. Заметим, что для
несжимаемой жидкости Ср = С„ = С.
Размерность а такая же, как у коэффициента диффузии и кинематической
вязкости, поэтому процесс переноса тепла за счет теплопроводности можно трак-
товать как диффузию тепла с коэффициентом диффузии а, имея в виду, что
механизмы переноса при диффузии и теплопроводности идентичны. Коэффициент
теплопроводности газов увеличивается с ростом температуры. Для большинства
жидкостей k уменьшается с увеличением Т. Полярные жидкости, например вода,
являются исключением. Для них зависимость k (Г) имеет максимум. Как и коэф-
фициент вязкости, коэффициент теплопроводности слабо зависит от давления.
Поток тепла может быть вызван также градиентом концентрации (эффект
Дюфура). Однако он, как правило, мал, поэтому в дальнейшем будем им пре-
небрегать.
4.4. ДИФФУЗИЯ И ПЕРЕНОС МАССЫ
Диффузия или перенос массы г-го компонента в многокомпонентной смеси
возможен, если есть пространственный градиент концентрации этого компонента
(обычная диффузия), градиент давления (бародиффузия), градиент температу-
ры (термодиффузия) и есть внешние силы, избирательно действующие на рас-
сматриваемый компонент (принудительная диффузия) [2]. Поэтому градиенты
концентрации, давления, температуры и внешние силы можно рассматривать как
движущие силы процесса диффузии. В этом разделе рассмотрим диффузию
только за счет градиента концентрации.
Начнем рассмотрение с процесса диффузии в бинарной смеси, например
50
диффузии красящего вещества в воде. Если в какой-то точке жидкости ввести
красящее вещество, то оно растекается в жидкости. Поток краски направлен из
области большей ее концентрации в область меньшей концентрации. Одновре-
менно наблюдается перенос молекул жидкости в противоположном направ-
лении. Через некоторое время процесс устанавливается, диффузия прекраща-
ется и раствор становится однородным. Приведенный пример является ти-
пичным примером бинарной диффузии, причем коэффициент диффузии О12
краски относительно воды равен коэффициенту диффузии D2t воды относитель-
но краски.
Существует несколько способов задания концентрации вещества [2]:
1) массовые концентрации
_ тг _ масса i-ro компонента /кг\.
Рг V объем смеси \м3/’
2) мольные концентрации
„ _ и, число молей г-го компонента / моль \ ,
~ V ~ объем смеси \ м3 /’ (4.19)
3) массовые доли (безразмерные)
_ р, _ массовая концентрация г-го компонента
1 р ~ плотность смеси ’ (4.ZU)
4) мольные доли
Сг мольная концентрация г-ro компонента
Ч — С ~ мольная плотность смеси ’ (4.21)
Средняя мольная масса смеси определяется соотношением
М = р/С. (4.22)
В табл. 4.1 приведены формулы, дающие связь между концентрациями,
определенными соотношениями (4.18) — (4.22).
Имеется [2] несколько определений средней скорости движения многоком-
понентной смеси, в которой компоненты движутся с разными скоростями и,.
Среднемассовая скорость смеси
« = |Ер.«.- (4.23)
Среднемольная скорость определяется соотношением
= (4.24)
Таблица 4.1
Концентрации
массовые мольные
mt = n,M,; р, = С,М,; Xе0! ~ 1 т = 2Х’ р = Ер<; =м т, р, х,М, со, = —, со, = —; со, = — т р „ Р, V , "' = мус- = м/2л = 1 п=2>,; С = ХС; =М Ct CDt/M] х‘ п С ^,/М,
4*
51
В правых частях (4.23) и (4.24) стоят индивидуальные потоки
j, = p,Ui, j* = С,и,. (4.25)
Заметим, что p,w„ C,w„ pw и Си* представляют собой потоки г-го компо-
нента и всей смеси относительно некоторой неподвижной системы координат.
Для предельно разбавленных растворов и в случае = М2 = ... = М„ имеем
и = и*.
В многокомпонентных системах интерес представляют не индивидуальные
потоки, а потоки относительно всей смеси:
J, = pi(ui - и), J* = C,(w, - и*). (4.26)
Рассмотрим сначала бинарную смесь. Согласно закону Фика
Л = У, - р,м = -pD12V®1; J* = j* - С, и* = -CD„Vxt, (4.27)
причем Dt2=D2t, J2 =-Ji, J* = -J*-
В частном случае постоянной плотности жидкости р получим
Л = -£>12Vp,. (4.28)
Коэффициент DI2 называется коэффициентом бинарной диффузии, хотя
часто его обозначают просто D. В газах D12 практически не зависит от состава,
увеличивается с ростом температуры и обратно пропорционален давлению.
В жидкости D12 сильно зависит от концентраций компонентов и увеличивается
с ростом температуры. Поэтому в многокомпонентных системах поток г-го
компонента зависит от градиентов концентраций всех компонентов.
В многокомпонентных смесях потоки относительно неподвижной системы
координат и относительные потоки связаны соотношениями, вытекающими из
(4.25) и (4.26):
Г (4-29)
из которых следует, что
£Л = £Л* = 0. (4.30)
Для бесконечно разбавленных растворов коэффициент диффузии каждого
компонента можно рассматривать как коэффициент бинарной диффузии этого
компонента относительно всей смеси. Поэтому для каждого предельно разбав-
ленного компонента имеет место закон Фика в виде (4.27). Кроме того, при-
ближение предельно разбавленного раствора позволяет оценить коэффициент
бинарной диффузии, используя простые термодинамические соображения. Бу-
дем рассматривать движение молекулы растворенного вещества как броунов-
ское движение с кинетической энергией теплового движения kT (k — постоян-
ная Больцмана). Вязкость жидкости оказывает сопротивление движению, сила
которого оценивается формулой Стокса р2и, dt (dt — средний диаметр молеку-
лы, щ — средняя скорость молекулы, р2 — вязкость жидкости). Работа, которую
совершает молекула по преодолению сопротивления жидкости на пути /, равна
p2UidJ. Приравнивая работу кинетической энергии и полагая получим
Dn = kT/p2di . (4.31)
Используя далее зависимость вязкости от температуры, найдем
Ц2 = f ехр(-ДО/ДП.
52
Полученная формула годится как для молекул, так и для частиц, взвешен-
ных в жидкости. В случае молекул под d, следует понимать линейный размер 3
кубической ячейки, содержащей молекулу, который в предположении их плот-
ной упаковки равен (1ф/Л?л)1/3, где NA — число Авогадро, Vt — мольный объем
частиц 1.
В заключение заметим, что перенос массы возможен также за счет гради-
ента температуры (эффект Соре).
4.5. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ И ПЕРЕНОС ЗАРЯДА
Рассмотрим перенос массы в смеси, компоненты которой несут различные
заряды. При наложении внешнего электрического поля на заряженные компо-
ненты действуют различные электрические силы. Такое движение компонентов
в электрическом поле называется миграцией, хотя в некотором смысле его
можно рассматривать и как диффузию в избирательном направлении, посколь-
ку заряженные частицы, с одной стороны, ускоряются внешним электрическим
полем, а с другой стороны, сталкиваются с частицами раствора.
Для простоты рассмотрим только предельно разбавленные растворы, для
которых можно пренебречь взаимодействием заряженных компонентов. Если к
раствору, содержащему заряженный компонент, например электролиту, прило-
жено электрическое поле Е = - V<p, то сила, действующая на один моль раство-
ренного компонента, равна -z,FV<p, где z, — заряд ионов i-го компонента,
F = NAe = 9,65 • 104 К/моль — постоянная Фарадея, е — заряд электрона. Оп-
ределяющее уравнение для процесса переноса заряда аналогично определяю-
щим уравнениям для процессов диффузии и теплопроводности. Поэтому моль-
ный поток заряженного вещества в электрическом поле пропорционален силе,
действующей на частицы, и концентрации частиц:
j* = -vtz,FC, \^ = vlzlFClE (моль/м2с). (4.32)
Коэффициент пропорциональности v„ как и коэффициент теплопроводно-
сти и диффузии, является коэффициентом переноса и называется подвижнос-
тью, поскольку он характеризует способность заряженной частицы двигаться в
среде под действием движущей силы — электрического поля. Его можно интер-
претировать как среднюю скорость движения заряженной частицы в растворе
под действием силы, равной 1 Н/моль. Размерность v, равна Н'1’М"С'’.
Понятие подвижности, с которым мы будем часто встречаться в дальней-
шем, является обобщенным понятием, поскольку опа характеризует способность
к движению частицы в жидкости под действием любых сил (электрических,
магнитных, гравитационных, центробежных и т. д.).
Наряду с мольным потоком (4.32) можно ввести массовый поток
j, =-D,z,Fp, V0 = ггг,Рр,Е (кг/м2с). (4.33)
При исследовании электрохимических процессов обычно используется
мольный поток.
Коэффициент диффузии и подвижность частицы связаны между собой.
Как было показано в разделе 4.4, D,~utlt для предельно разбавленных раство-
ров и газов. Умножив и разделив правую часть этого равенства на NAFm, где
Fv, — сила вязкого сопротивления частицы, получим
D. = vtFmltNA = v,kTNA = vtTA. (4.34)
'УЛ rvi
53
При выводе учтено определение газовой постоянной А = kNA.
Соотношение (4.34) называется уравнением Нернста — Эйнштейна.
Движение заряженных частиц под действием внешнего электрического
поля можно рассматривать как электрический ток с плотностью
» = (А/м2). (4.35)
Если в системе нет других движущих сил кроме электрического поля, то
i = <зЕ = -о7ф, (4.36)
где
ct = F2^22OiCi (4.37)
называется электропроводностью раствора. Уравнение (4.36) является законом
Ома для раствора, содержащего заряженные компоненты.
Наряду с обычной проводимостью, определяемой по (4.37), вводят моль-
ную проводимость
А, = = F2v^ (4.38)
Ci
Мольная проводимость экспоненциально растет с увеличением температу-
ры аналогично коэффициенту диффузии. Она также зависит от концентрации
электролита, убывая с увеличением концентрации.
5
УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ И СОСТОЯНИЯ
5.1. ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Рассмотрим уравнения сохранения массы и количества движения вязкой
ньютоновской жидкости. В случае изотермического течения несжимаемой жид-
кости этих уравнений, к которым добавлено определяющее уравнение (4.13) и
соответствующие начальные и граничные условия, достаточно для нахождения
распределения скоростей и напряжений в любой точке пространства, занимае-
мого жидкостью, в произвольный момент времени. Если течение неизотермиче-
ское, то для нахождения распределения температуры в жидкости нужно при-
влечь уравнение сохранения энергии. Если жидкость к тому же сжимаема, то
необходимо добавить уравнение состояния.
Вывод уравнений сохранения содержится, например, в работе [3].
Прежде чем переходить к выводу уравнений сохранения, напомним две
важные формулы. Первая формула — формула Гаусса, позволяющая преобра-
зовать поверхностный интеграл в объемный:
f Fn,ds^{^;dV. (5.1)
s V
Формула (5.1) справедлива для скалярной, векторной или тензорной
54
функции F при фиксированном индексе i, допускается также суммирование
по г. Функция F предполагается непрерывно дифференцируемой в объеме V,
ограниченном достаточно гладкой поверхностью Z. Через обозначены компо-
ненты (направляющие косинусы) внешней к V нормали п. Если F = и, — ком-
поненты скорости, то, суммируя (5.1) по г, получим
Jw • nds = J V • udV. (5.2)
z v
Положим F = eykut, где el]k — перестановочный символ Леви — Чивита,
равный 1, если индексы ijk образуют круговую перестановку из чисел 123; О,
если среди ijk имеются хотя бы два одинаковых числа из набора 123; и -1 в
остальных случаях. Известно, что компоненты векторного произведения
(bxc\ = el]kb,ck. Тогда из (5.1) найдем
Jn х uds = Jv х udV. (5.3)
S V
Поверхностные интегралы в (5.2) и (5.3) можно записать в другом виде,
если ввести в рассмотрение ориентированные элементы поверхности ds = nds:
f и nds = f и ds, $п х uds = J ds x и. (5.4)
s s z s
Если F — тензор T, то формула (5.2) примет вид
nds = fv-TdV. (5.5)
S V
Здесь слева стоит скалярное произведение тензора и вектора, а справа —
дивергенция тензора. По определению они являются векторами с координатами
(Т-п), = 7уг„ (У-T\ = dT4/dx,. (5.6)
Вторая формула — формула дифференцирования интеграла по подвижно-
му объему V*:
FdV = [(^+F^-u}dV. (5.7)
V V
Учитывая выражение (4.3) для субстанциональной производной, можно
преобразовать подынтегральное выражение в правой части (5.7):
^ + F V-w = J + V-(Fw). (5.8)
Применяя к интегралу в правой части (5.7) формулу Гаусса, и восполь-
зовавшись (5.8), получим
-ёт (FdV = f^rdV + f Fu • nds. (5.9)
Ut J J dt J
V* V s
Используя формулы (5.1) — (5.9), нетрудно получить уравнения сохране-
ния массы и количества движения.
Рассмотрим движущийся объем V*. Обозначим через tn массу этого объе-
ма. Тогда условие сохранения массы имеет следующий вид:
55
fprfV = о. (5.10)
Dt Dt J r
Воспользуемся теперь формулой (5.7)
<511>
V* V
Поскольку (5.11) справедлива для любого объема, то получим
£E + pV.M = ^ + V-(pM) = 0. (5.12)
Уравнение (5.12) называется уравнением неразрывности. Если жидкость
несжимаема, то Dp/Dt = 0 и из (5.12) следует
7-и = 0. (5.13)
Не следует путать понятия несжимаемости и однородности жидкости.
Жидкость называется однородной, если плотность р одинакова во всех части-
цах жидкости, т. е. р не зависит от пространственных координат х, у, z.
В противном случае жидкость называется неоднородной. Условие несжимаемо-
сти Dp/Dt = 0 означает, что плотность данной жидкой частицы остается по-
стоянной во время ее движения, но может быть разной для различных частиц.
Поэтому уравнение (5.13) годится как для однородных, так и для неоднород-
ных жидкостей. Следовательно, если жидкость несжимаема и однородна, то
р = const в пространстве, в то время как для несжимаемой неоднородной жид-
кости должны выполняться следующие условия:
Уи = 0, ^B = 4£ + wVp = 0. (5.14)
Dt ot
Перейдем теперь к выводу уравнения сохранения количества движения.
В дальнейшем нам понадобится формула, которая вытекает из (5.7) и (5.12):
= (315)
V V
Согласно постулату, который называется принципом напряжений Коши, для
любой замкнутой поверхности Ё существует распределение вектора напряженности t
с результирующей и моментом, эквивалентными полю сил, действующих на сплош-
ную среду, заключенную в объеме V внутри Ё, со стороны среды, расположенной
вне X. Предполагается, что t зависит только от положения и ориентации элемента
поверхности ds, т. е. t = t(x, t, п). Согласно другому постулату, для объема V
жидкости, ограниченного поверхностью X, по аналогии с системой материальных
точек, справедливо следующее уравнение сохранения количества движения:
Jpw dv =^pfdv + Jtrfs, (5.16)
V V 2
где f — плотность массовых сил. Это могут быть сила тяжести, электрические или
электромагнитные силы. В частности, для силы тяжести имеем f = д, где д — уско-
рение свободного падения.
Рассмотрим поверхностный интеграл в (5.16). Подставляя в него выраже-
ние (4.11) и преобразуя интеграл в объемный с помощью (5.5), получим
\tds = ^T-nds = ^ Tdv. (5.17)
ее и
56
Возвращаясь к (5.16) и используя (5.15), найдем
= (5.18)
v
Поскольку последнее равенство справедливо для любого объема, то вместо
интегрального уравнения получаем дифференциальное уравнение движения
Р^ = рМТ (5.19)
Если жидкость ньютоновская, то тензор напряжений Т связан с тензором
скоростей деформации соотношением (4.14). В частности, в декартовой системе
координат уравнения движения ньютоновской жидкости в проекциях на оси
координат имеют вид
I ди, ди, I г др д I I ди, ди, 2 е диь ) I . „
+ + 5»<1} (3'20)
Напомним, что по повторяющимся индексам производится суммирование,
a i, j = 1, 2, 3.
Если жидкость несжимаема, то д uk/dxk= V • и = 0 и (5.20) упрощается.
В векторном виде уравнения движения несжимаемой жидкости имеют вид
р^-= р/-Vp + pAw. (5.21)
Изотермическое течение несжимаемой жидкости описывается уравнениями
(5.13) и (5.21), причем коэффициент вязкости ц= const. Следовательно, имеем
четыре уравнения для четырех неизвестных — давления р и компонент скоро-
стей и, v, w, т. е. система уравнений замкнута. Для ее решения необходимо
сформулировать начальные и граничные условия. Обсудим возможные гранич-
ные условия. Рассмотрим условия на границе двух сред 1 и 2. Вид и число
граничных условий зависит от того, задана ли граничная поверхность или ее
надо находить в процессе решения, а также от принятой модели сплошной
среды. Рассмотрим сначала границу невязкой жидкости и твердого тела. По-
скольку уравнения движения невязкой жидкости содержат первые производные
скорости, то па границе X нужно задать одно условие непротекания: и„, = и„2, где
и„ — нормальная составляющая скорости. Уравнения движения вязкой жидко-
сти содержат производные второго порядка, поэтому на границе с твердым те-
лом нужно задать два условия, вытекающие из условия прилипания: и„, = и„2,
гр\=их2, где их — касательная к X составляющая скорости. Если граница X
является границей раздела двух жидкостей с разными свойствами или жидко-
сти и газа (межфазная поверхность), то условие равенства скоростей нужно
дополнить кинематическим равенством щ = и2 = и„, где г/п — скорость поверхно-
сти, и равенством на X нормальных и касательных напряжений
В случае несжимаемой невязкой жидкости последние условия сво-
дятся к равенству па X давлений. Кривизна межфазной поверхности приводит
к появлению дополнительного давления, называемого капиллярным, в той фазе,
где лежит центр кривизны поверхности. Поэтому па X должен быть скачок
{т„„} = Рсар- Этот вопрос будет обсуждаться более подробно в главе, посвященной
поверхностному натяжению.
5.2. НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Процессы, при которых происходит изменение температуры, называются
неизотермическими. Изменение температуры может быть вызвано подводом или
отводом тепла па границе среды 2, выделением тепла внутри объема жидкости V,
например джоулевым теплом, в результате химических реакций, вязкой дисси-
пацией энергии при движении среды, изменением фазового состояния среды
(испарением, конденсацией, плавлением).
Тепловая энергия жидкой частицы определяется плотностью внутренней
энергии, зависящей от параметров локального термодинамического состояния.
Согласно первому закону термодинамики,
dq = de-dw, (5.22)
где dq — количество тепла, подведенного извне к единице массы жидкости;
de — изменение внутренней энергии; dw — работа, совершаемая над единицей
массы жидкости.
Ограничимся рассмотрением переноса тепла в системе только за счет теп-
лопроводности и не будем учитывать внутреннее выделение тепла за счет
джоулева тепла и химических реакций.
Рассмотрим жидкий элемент объема V, ограниченный поверхностью Z.
Определим полную энергию рассматриваемого объема как сумму кинетиче-
ской 'К и внутренней / энергии, где
X='-\pu41V, 8 = fpedV. (5.23)
V V
Заметим, что термодинамическая интерпретация е существенно различна
для сжимаемой и несжимаемой жидкости. Сжимаемую жидкость можно рас-
сматривать как двухпараметрическую систему. Согласно второму закону термо-
динамики, существует функция состояния — энтропия 5, являющаяся термоди-
намическим потенциалом. Если в качестве независимых параметров взять е и
удельный объем 1/р, то уравнение состояния сжимаемого газа примет вид
s = s(e, 1/р), причем полный дифференциал энтропии
б/5 = 1б/е + £б/^_ (5 24)
Из (5.24) следует, что р = р(р, s), т. е. давление является функцией пара-
метров состояния.
Для несжимаемой жидкости вместо (5.24) имеем
ds = ±de (5.25)
и e = e(s). Поскольку давление не входит в (5.25), то р является независимой
величиной.
Примем в качестве аксиомы следующий закон сохранения полной энергии
жидкой частицы: скорость изменения полной энергии объема, движущегося с
жидкостью, равна сумме мощностей сил, приложенных к объему, и количеству
теплоты, полученной объемом в единицу времени:
-^-(х +/) = ^pf-udV + \t-uds - q-nds. (5.26)
V s s
58
Преобразуя интеграл в левой части (5.26) с использованием формулы
(5.15) к виду
^(X + £) = Jp^(f + e]dV,
а поверхностные интегралы в правой части — в объемные по формуле Гаусса:
11 uds = J(T - п) • uds = J V • (Г u)dV,
S S V
q -nds = fvqdV,
L И
получим
J(p^(y + e) - pf • и - V (T • w) + V qjdV = 0. (5.27)
V
Поскольку равенство (5.27) справедливо для любого объема V, то
р-^(у-+ ej = р/ w + V • (Т • w) - V «у, (5.28)
или, раскрывая скалярные произведения, получим
(3-29>
Подставляя, далее, в (5.28) выражение (4.16) для потока тепла q, раскры-
вая V • (Т-и) с использованием определения (4.13) тензора скоростей дефор-
маций и учитывая уравнение движения (5.19), получим
р^ = Т:Е + V(kVT). (5.30)
Здесь через Т: Е обозначено скалярное произведение тензоров, которое по
определению равно
Т-.Е = ТуЕу = -pg + 2p(e„e,7-|eQ (5.31)
Второе слагаемое в правой части (5.31) называется диссипативной функ-
цией Ф, поскольку она характеризует скорость вязкой диссипации энергии в
единице объема жидкости.
В декартовой системе координат
® - 4м+of+м)+Ф+w+(t+£)’+(t ♦ tr) -
+ $ + (5.32)
В случае несжимаемой жидкости последнее слагаемое в (5.32) равно нулю.
Отметим, что для вязкой жидкости Ф > 0.
Таким образом, при движении вязкой жидкости происходит переход меха-
нической энергии, обусловленной работой сил внутренних напряжений, в тепло
(член Ф, необратимый процесс) и во внутреннюю энергию (член -pdu,/dxt,
обратимый процесс). Приведем другие формы уравнения сохранения энергии
(5.30). Если вместо е введем в рассмотрение h (удельную энтальпию), 5 (удель-
ную энтропию) и используем известные термодинамические соотношения
59
dh = de + d Tds = dh - (5.33)
то вместо (5.30) получим
р^^ + 7-(Ж) + Ф, (5.34)
рГ-g = У-(/гУП + Ф. (5.35)
В уравнениях (5.30), (5.34) и (5.35) учитываются только теплопровод-
ность и вязкая диссипация энергии. Учет других видов энергии, таких, как,
например, химические реакции или джоулево тепло, можно легко осуществить,
добавив в правую часть соответствующие слагаемые. Случай несжимаемой
жидкости и небольших изменений температуры и давления представляет особый
интерес, поскольку он реализуется во многих задачах. В этом случае плотность
и коэффициенты переноса можно считать не зависящими от р и Т, и уравнения
движения и энергии расщепляются. Это значит, что распределения и и р можно
найти, не используя уравнение энергии, а затем из уравнения энергии найти
распределение температуры. Жидкость или газ можно считать несжимаемыми,
если скорость течения мала по сравнению со скоростью звука а. Поэтому
критерием несжимаемости является малость числа Маха М = и/а.
Для несжимаемой жидкости выполняются следующие термодинамические
соотношения [4]:
> = Vs = (^vr. (5.36)
Из (5.35) и (5.36) следует, что в случае несжимаемой жидкости и неболь-
ших изменений скоростей, давления и температуры, когда можно пренебречь
вязкой диссипацией, уравнение энергии сводится к уравнению теплопровод-
ности
= иЛТ. (5.37)
В заключение отметим, что в случае сжимаемой жидкости к уравнениям
неразрывности, движения и энергии нужно добавить уравнение состояния. При
давлениях и температуре, близких к нормальным, состояние газа хорошо опи-
сывается уравнением состояния идеального газа
р = или pV = пАТ, (5.38)
где А = 8,3 Дж/К’моль — газовая постоянная; М — молекулярная масса газа;
р = nM/V.
Соответственно для жидкости
р = р0(1 - а(Т - Го) + |3(р - р0)). (5.39)
Здесь То и р0 — опорные значения температуры и давления, а и 0 -
коэффициенты теплового и объемного расширения жидкости. В частности, для
воды при нормальных условиях а = 2,1-10'4 К’, |3 = 4,6-10“10 Па'1.
Уравнения состояния реального газа и единые уравнения состояния для
газа и жидкости будут рассмотрены в разделе 5.6.
60
5.3. МНОГОКОМПОНЕНТНЫЕ СМЕСИ
До сих пор при выводе уравнений сохранения были рассмотрены только
однородные и гомогенные среды. Рассмотрим теперь уравнения сохранения для
многокомпонентных систем, в которых могут протекать химические реакции.
В однородных гомогенных средах перенос массы осуществляется, если скорость
среды отлична от нуля или (и) на среду действуют внешние массовые силы.
В многокомпонентной системе перенос массы может осуществляться еще и за
счет пространственных градиентов концентраций. Одновременно с переносом
массы в таких системах осуществляется перенос количества движения и тепла.
Для многокомпонентных систем можно получить уравнения неразрывно-
сти для каждого компонента. Пусть uit р, — скорости и плотности г-го компо-
нента. Если этот компонент не образуется в объеме смеси, то уравнение нераз-
рывности для этого компонента имеет вид (5.12) с заменой и и р на ut и р;.
Если в объеме происходит химическая реакция с образованием г-го компонента
со скоростью г„ то уравнение сохранения массы запишется как
= J ndV. (5.40)
V
Повторяя процедуру вывода уравнения (5.12), нетрудно получить уравне-
ние неразрывности г-го компонента
^- + v-(piw/) = ri. (5.41)
Заметим, что в реакциях с образованием г-го компонента г, > 0, ас погло-
щением — г, < 0. Значения г, определяются кинетикой химических реакций,
локальным термодинамическим состоянием и стехиометрическими коэффициен-
тами, характерными для химических реакций. Согласно химической термодина-
мике [5], скорость изменения массы г-го компонента в ходе химической реакции
определяется формулой
Г,«.42)
где v; — стехиометрические коэффициенты; 2, — степень полноты реакции, или
просто координата реакции. Поскольку общая масса в результате химических
реакций остается неизменной, то суммируя (5.42) по компонентам, получим
= 0 или = 0. (5.43)
Ранее в разделе 4.4 были введены среднемассовые скорости и (см. (4.23))
и массовые потоки J, относительно средней скорости (см. (4.26)). С учетом
этих соотношений уравнения (5.41) можно переписать в виде
+ V (p,w) = -V J, + rt (5.44)
или
-^- + PiV-w = -V- Ji +rt. (5.45)
Уравнение неразрывности для всей смеси можно получить из (5.44), про-
суммировав его по всем компонентам
^ + V-(Xp,«)=-V-SZ+Sr.. 0.46)
61
Поскольку Р ~ 2jPi — плотность смеси, а согласно (4.30) и (5.43) ZjJi = 0
и ^г,= 0, то уравнение (5.46) сводится к уравнению неразрывности чистой
жидкости (5.12).
Уравнения движения вязкой жидкости можно применять и к многокомпо-
нентным смесям до тех пор, пока массовые силы действуют одинаково на все
компоненты смеси. Такой силой, например, является сила тяжести. Электриче-
ская сила может действовать избирательно на некоторые компоненты, например,
на электролит, смешанный с электрически нейтральной жидкостью. Основная
причина этого факта состоит в том, что феноменологическое уравнение вязкой
жидкости (4.13), определяющее вид тензора напряжений, не зависит от градиен-
тов концентраций компонент. Поскольку уравнение (4.13) тензорное, в которое
входят тензоры второго ранга, то если бы такая зависимость и существовала, то
только от Vp,Vp>, так как эта комбинация является тензором второго ранга.
Однако члены Vp,Vp7 имеют второй порядок малости по сравнению с тензором
скоростей деформации. Напомним, что закон (4.13) справедлив для малых
скоростей деформаций. Следовательно, в этом приближении тензор напряжений
не зависит от градиентов концентраций.
Иначе обстоит дело с уравнением энергии. Если на среду действует только
сила тяжести, то уравнение энергии для многокомпонентной смеси такое же, как
и для чистой жидкости (5.28), но выражение для потока тепла требует учета
многокомпонентности. Согласно [2], определяющим уравнением, обобщающим
закон Фурье для многокомпонентной смеси, является уравнение
q = - kVT, (5.47)
где hi — парциальная удельная энтальпия i-ro компонента.
В уравнения неразрывности и энергии многокомпонентной смеси входят
потоки Ji относительно среднемассовой скорости, поэтому к этим уравнениям
нужно добавить определяющие уравнения, связывающие с движущими сила-
ми, под действием которых происходит перенос массы компонент. В п. 1.4
показано, что такими движущими силами являются градиенты концентраций и
внешнее электрическое поле. Влияние электрического поля рассматривается в
следующем разделе. Возможен также поток за счет градиента давления (баро-
диффузия), однако он обычно мал, за исключением случаев больших градиен-
тов давления, например в процессах центрифугирования. Наконец, возможен
поток за счет градиента температуры (эффект Соре). Подробное обсуждение
этих эффектов и оценка их вклада в перенос массы содержится в работах [1, 2].
Ограничимся рассмотрением обычной диффузии.
В основе термодинамики обычной диффузии лежит положение, что движу-
щей силой является градиент химического потенциала. Химический потенциал
определяется следующим образом [5].
Рассмотрим многокомпонентную систему, определяемую следующими пара-
метрами: энтропией X, мольным объемом V и количеством молей компонент п,.
п2,..., nN. Тогда внутренняя энергия системы запишется как
E = E(S, V, гр, пъ..., nN). (5.48)
Из фундаментального уравнения Гиббса следует, что
dE = TdS - pdV + Х dni. (5.49)
62
Коэффициенты при dnt называются химическими потенциалами:
= • (5-50)
У0"1 IS.V.nj
Химический потенциал является парциальной мольной величиной, а поэто-
му интенсивной величиной, и о нем можно говорить так же, как о концентрации
или мольной доле. При наличии в системе химических реакций условие хими-
ческого равновесия имеет вид
Ev,pi = 0. (5.51)
Дадим еще определение идеального раствора. Раствор называется идеаль-
ным, если химические потенциалы
р; = р?(Т, р) + АТ\пх{. (5.52)
Экспериментально установлено, что все достаточно разбавленные растворы,
мы их раньше называли предельно разбавленные, ведут себя как идеальные.
Для неидеалыюго раствора химический потенциал также имеет вид (5.52),
ио вместо мольных долей х,- в выражение входят активности компонент й,.
Активности связаны с х, соотношениями й, = у,х,, где у, — коэффициенты актив-
ности. Таким образом, для пеидеального раствора
р; = р?(Г, р) + АТ\па,. (5.53)
Заметим, что для идеального раствора у, = 1 и й, = х,.
Для характеристики неидеалыюсти раствора по отношению к растворите-
лю часто предпочтительнее вместо коэффициента активности использовать
осмотический коэффициент Е
Pi = р?(Т, р) + Е АТ 1пХ(, (5.54)
где х, — мольная доля растворителя.
Сравнивая (5.53) с (5.54), получим
Е = 1 + ^. (5.55)
В соответствии с принципами термодинамики неравновесных процессов
относительные потоки
л = £Е^аду(>?р,-). (5 56)
i
Здесь выражение в скобках — безразмерная движущая сила процесса
обычной диффузии j-го компонента, О,, — коэффициенты бинарной диффузии.
Подставляя выражения для р, из (5.53) в (5.56), получим
= Vx'- <5 57)
j I 1 JT, p
В случае предельно разбавленного раствора й,= х, и из (5.57) следует
Ji = Е MiMjDij Vx,-. (5.58)
j
В частности для бинарного раствора имеем х2 = 1 - х,, Di2 = D2i и
=-^-М1М2Д27х1. (5.59)
63
мольную
(5.60)
(5.61)
бинарной
(5.62)
(5.63)
Покажем, что из (5.59) следует закон Фика (4.27). Выразим
долю Xi через массовую:
х _ (Oj/Mt _________V<D]_________м2
1 + Ю2/М2 ’ Х| MtM2(a>t/Mt + а)2/М2)2 М,М2
и подставим в (5.59). Учитывая, что М = р/С, получим
Jt =-рО12Ую,.
Возвращаясь к (5.44), получим уравнение неразрывности для
смеси
+ ut • Vpi = D12AP1 + r}
или
+ щ VC, = D12AC, + Rf
При отсутствии химических реакций г, =/?, = 0 и уравнение (5.63) пере-
ходит в известное уравнение конвективной диффузии.
5.4. МНОГОФАЗНЫЕ СМЕСИ
Многофазные смеси, в отличие от гомогенных смесей (растворов, смесей
газов и т. п.), характеризуются наличием макроскопических неоднородностей
или включений (твердые частицы, пузырьки, капли, макромолекулы). Много-
фазные смеси называют также гетерогенными. Сюда относятся смеси газа с
частицами — аэрозоли, смеси жидкости с частицами — суспензии, смеси газа
с каплями — газожидкостные смеси, смеси жидкости с пузырьками — жидкога-
зовые смеси, а также смеси жидкости с каплями другой жидкости — эмульсии.
Промежуточное положение между гетерогенными и гомогенными смесями зани-
мают коллоидные смеси, которые часто называют просто коллоидами, а также
мицеллярные растворы.
Перечисленные виды многофазных смесей составляют класс дисперсных сред,
которые состоят из двух фаз: сплошной или дисперсионной фазы, т. е. фазы,
в которой взвешены включения, и дисперсной фазы, состоящей из частиц раз-
личной природы — капель, твердых частиц, пузырьков.
При рассмотрении процессов, происходящих в многофазных смесях^ практи-
чески всегда делается предположение, что размеры включений в смеси (размеры
частиц, капель, пузырьков, характерный линейный размер пор в пористых средах)
во много раз больше размеров молекул. Это предположение, называемое гипо-
тезой сплошности, позволяет использовать уравнения механики сплошной среды
для описания процессов, происходящих внутри или около отдельных включе-
ний. Для описания физических свойств фаз, таких как вязкость, теплопровод-
ность и т. п., можно использовать уравнения и параметры соответствующих
однофазных сред.
Если среднее расстояние между включениями много меньше характерных
размеров сплошной фазы, па которых изменяются макроскопические параметры
(скорость, давление, температура и т. и.), то макроскопические процессы, про-
исходящие в гетерогенной смеси, можно описывать тоже методами механики
сплошных сред с помощью усредненных или макроскопических параметров.
При этом вводится в рассмотрение понятие многоскоростпого континуума [6],
64
представляющего собой совокупность N континуумов, где ./V — число рассматри-
ваемых фаз, каждый из которых относится к своей фазе смеси и заполняет один
и тот же объем. Для каждого из этих составляющих континуумов в каждой
точке определяется обычным образом плотность, которая называется приведен-
ной плотностью
т, масса г-й фазы , _ „ , ч
р, = -гг = —г-------> (5.64)
r V объем смеси
скорость и, и другие параметры. В каждой точке пространства, занятого смесью,
определяется N плотностей, .У скоростей и т. д. Так же, как и для гомогенных
смесей (растворов), можно определить параметры, характеризующие смесь в
целом. Для плотности смеси и среднемассовой (барицентрической) скорости
имеем
Р = Хрг, м = | Хрм>- (5.65)
,=1 ;=1
Так же, как для растворов, вводят скорости фазы относительно центра
массы смеси или среды в целом
w, = w, - и. (5.66)
Из (5.65) и (5.66) следует, что
N
Ep,w, = o. (5.67)
i = i
Особенностью многофазной среды является то, что необходимо ввести две
субстанциональные производные:
= а + м v э *. э * э.
at dt 1 dt 1 dt 1 dxk
d = d+u.^=d+uk.^k=d+ukd_ (5.68)
at dt dt dt dxk
В (5.68) суммирование производится по повторяющимся индексам.
Механика многофазных смесей строится на основе законов сохранения
массы, количества движения и энергии для каждой фазы. Основное отличие от
гомогенных растворов заключается в том, что между фазами может происхо-
дить обмен массой, количеством движения и энергии.
Обозначим через J]t интенсивность перехода массы (испарение, конденса-
ция, химические реакции) из j-й фазы в г-ю фазу или наоборот. В последнем
случае J]t < 0. Тогда уравнение неразрывности для г-й фазы в интегральной
форме имеет вид
N
j^dV = -jp,u,"d5 + j2]j/,<7V. (5.69)
V 5 V1=1
Здесь формально положено J,, = 0. Из закона сохранения массы при фи-
зико-химических превращениях следует, что
Уравнение (5.69) с использованием формулы Гаусса (5.1) переходит в
уравнение массы для каждой фазы
+V-(p,w,)= (г = 1,2,..., N). (5.70)
7 = 1
5 - 1461
65
Заметим, что если просуммируем (5.70) по i, то получим уравнение нераз-
рывности смеси в целом, имеющее обычный вид уравнения для гомогенной
среды.
Уравнение количества движения для каждой фазы в интегральной форме
имеет вид
JdV = -Jp^ds + J t?ds + JpiftdV + J P}idV, (5.71)
v s s v v i = i
где первое слагаемое правой части соответствует притоку количества движения
г-й фазы через поверхность 5; второе и третье слагаемые — воздействию внеш-
них поверхностных и массовых сил, приходящихся на г-ю фазу и характери-
зуемых тензором напряжений тф и вектором массовых сил а Рц — интенсив-
ность обмена количеством движения между /-Й и г-й фазами. Из закона сохра-
нения количества движения следует, что Рц = -Рц, Рц = 0. Применяя к (5.71)
формулу Гаусса, получим уравнение движения г-й фазы, которое с учетом
уравнения (5.70) и соотношения (5.67) примет вид
р- = + + Д"-* t 2- — (5.72)
/ = 1
Если определить тензор напряжений поверхностных сил и вектор массо-
вых сил для среды в целом как
pf^fpif. (5.73)
i = 1 t=1
и просуммировать (5.72) по г, то, используя (5.66), можно получить
р7“ = \7ktk + pf - V* (p.w^w). (5.74)
i - 1
Это уравнение отличается от уравнения движения для гомогенной среды
тем, что в него входят не абсолютные, а относительные скорости.
Перейдем теперь к уравнению энергии для многофазной смеси. Введем
удельную энергию как сумму удельных кинетической и внутренней энергий:
U = k + е, (5.75)
где принимается, что внутренняя энергия аддитивна по массе входящих в нее
составляющих:
N
е = (5.76)
а кинетическая энергия определяется соотношением
= (5.77)
i = 1
Тогда энергия смеси
N / 2\ W
tt = +J2j = ХР'и‘- (5.78)
66
Уравнение баланса энергии г-й фазы можно записать в интегральной форме
в виде
J^^-dV = -Jppirfds + J cfds + Jp,f • u,dV + - Jq"ds, (5.79)
V S S V V 1 = 1 s
где первое слагаемое в правой части соответствует притоку энергии г-й фазы
через поверхность S, второе и третье слагаемые — работе внешних поверх-
ностных (с" = t" ut) и массовых сил, приходящихся на г-ю фазу, Ц7, — интен-
сивность обмена энергий между г-й и j-й фазами, причем U7, = ~UV и ц„ = 0, пятое
слагаемое представляет собой приток тепла через поверхность У, характеризу-
емый вектором потока тепла q.
Применяя к (5.79) формулу Гаусса и используя выражения (5.68), (5.70),
получим
dt |
Р' dt\ в'
(5.80)
Таким образом, уравнения (5.70), (5.72) и (5.80) описывают поведение
многофазной смеси при условии, что известны выражения для Д,, PJt, U,,, е„ х*1
и qt. Более подробное изложение этого вопроса можно найти в работе [6].
В отличие от гомогенных смесей гетерогенные смеси в общем случае
описываются многоскоростной моделью с учетом динамических эффектов из-за
несовпадения скоростей фаз. Скорости относительного движения фаз го, по
порядку величины могут быть равны скоростям абсолютного движения и, или
средпемассовым скоростям и. Другое отличие гетерогенной смеси от гомогенной
состоит в том, что каждая компонента гомогенной смеси рассматривается как
занимающая весь объем равноправно с другими компонентами, поэтому для нее
V, = lz2 = = =: I7, в то время как для гетерогенной смеси каждая фаза
занимает лишь часть объема, т. е. V, + V2 + ...+VN = V. Поэтому в теории
гетерогенных смесей вводят доли объема W,, занимаемого фазами, так что
=1. (5.81)
г = 1
Эти параметры называют также объемной концентрацией или объемным
содержанием фазы.
Помимо приведенных плотностей р, определяются истинные плотности
веществ
по _ _ масса г-й фазы _ р,
V, объем г-й фазы W, ‘ \э.о£)
В гетерогенных средах осложняются законы, описывающие относительное
движение фаз, поскольку эти движения определяются процессами взаимодей-
ствия фаз, например обтекание частиц несущей жидкостью, а иногда и одновре-
менным взаимодействием частиц между собой.
Иногда, когда инерционные эффекты относительного движения фаз несу-
щественны, для описаний движения гетерогенных сред можно использовать и
одножидкостное приближение. В качестве примера можно указать безынер-
ционный закон, описывающий относительное движение фаз в пористой среде,
называемый законом фильтрации Дарси
р,го, = ~%Np, (5.83)
5’
67
который используется в моделях насыщенных пористых сред и в моделях
газожидкостных потоков.
Особо отметим случай гетерогенной смеси с малым объемным содержанием
дисперсной фазы W,« 1. В этом случае можно считать, что дисперсная фаза
оказывает слабое влияние на сплошную фазу. Тогда поле скоростей, давлений,
температур и других параметров сплошной фазы можно определить, используя
односкоростную модель, а затем по заданному распределению параметров опре-
делить поведение дисперсной фазы. Если дисперсная фаза представляет собой
дискретную систему включений (твердые частицы, капли, пузырьки, макромоле-
кулы), то их можно охарактеризовать распределением n(V, t, Р) включений
по объемам V в точке пространства Р. Сами включения могут обмениваться со
сплошной фазой массой, например за счет испарения, конденсации, плавления
и т. д., а также могут взаимодействовать между собой — сталкиваться, коагули-
ровать, коалесцировать, дробиться, образуя включения различного размера. Кроме
того, фаза может зарождаться в условиях пересыщения смеси, а затем увели-
чиваться в размерах за счет фазовых переходов. Уравнение, описывающее
изменение распределения включений по размерам с учетом только парных
столкновений, имеет вид
+ V(wn) + = Zcoag + Ibr + /пцс1, (5.84)
где и — скорость движения частицы объема V; dV/dt — скорость изменения
объема за счет изменения фазового состояния; /coag, /Ьг и Imd — интенсивности
образования включений объема V за счет процессов коагуляции, дробления и
нуклеации.
Большинство рассматриваемых в дальнейшем процессов характеризуется
малым объемным содержанием дисперсной фазы, поэтому основное внимание
будет уделено поведению дисперсной фазы.
5.5. ЗАРЯЖЕННЫЕ СМЕСИ
В разделе 4.5. было показано, что наличие внешнего электрического поля
приводит к миграции заряженных компонент в смеси. Наряду с этим перенос
смеси происходит за счет конвекции и диффузии. Рассмотрим, как изменяется
уравнения переноса с учетом заряженных компонент и внешнего электрическо-
го поля. Ограничимся случаем предельно разбавленных смесей.
Прежде всего заметим, что уравнения для относительных потоков (5.56)
справедливы и для заряженных компонент, но для этих компонент под ц,
следует понимать электрохимический потенциал, который зависит от давления,
температуры, химического состава и параметров электрического состояния. Пос-
ледние, в свою очередь, описываются самостоятельными уравнениями. Что ка-
сается феноменологических уравнений для концентрированных смесей, то они
сложны и требуют большого числа эмпирических параметров.
В приближении предельно разбавленного раствора мольный поток i-ro
компонента является суммой потоков, обусловленных миграцией, диффузией и
конвекцией. Используя выражения (4.27) и (4.32), получим
У* = -ViZfFCy^ - /Л VC, + С,и. (5.85)
В (5.85) и* заменено на и, поскольку для предельно разбавленного раство-
ра и*=и. В электрохимии принято использовать мольные потоки j*, но сред-
68
немассовую скорость и. Аналогичное уравнение можно написать для массового
потока
У* = -1),2;Др;Уф - D,Vp, + p;w. (5.86)
Напомним, что I), — подвижность, D, — коэффициент бинарной диффузии,
связанный с подвижностью формулой Di= ATx>i. Уравнения (5.85) и (5.86)
называются уравнениями Нернста — Планка.
Движение заряженных компонент приводит к появлению электрического
тока, плотность которого в соответствии с (4.35) равна
i = f£Zij* = -оУф - f£ ZiDiVCi + Fw£ZiCi, (5.87)
где о = F22}z?oiQ — электропроводность раствора.
Для определения потоков У, и плотности тока i нужно знать Уф или Е,
для чего необходимо воспользоваться уравнениями электродинамики — урав-
нениями Максвелла. В общем случае внешнее электрическое поле индуциру-
ет в жидкости электрическое и магнитное поля, которые в свою очередь
влияют на внешнее поле. Однако, если внешнее магнитное поле отсутствует,
а внешнее электрическое поле мало изменяется со временем, то электродина-
мическая задача сводится к электростатической, а именно к определению рас-
пределил в жидкости электрического потенциала, описываемого уравнением
Пуассона
Дф = --^г-, е = е0Ег. (5.88)
Здесь рЕ = F^ZjCi — плотность электрического заряда в жидкости,
Ео = 8,85 • 10“12 К2 • м2/Н — диэлектрическая проницаемость в вакууме, гг — от-
носительная диэлектрическая проницаемость. Для воды sr=78,3.
В соответствии с законом Лоренца, массовая электрическая сила, действу-
ющая па жидкость, несущую заряд рЕ, равна
fE = pEE. (5.89)
Практически важным случаем является случай электрически нейтральной
смеси. В этом приближении рЕ = 0 и
^ZiCi = 0. (5.90)
Обычно это условие выполняется приближенно. В отсутствии процессов,
приводящих к разделению зарядов, электрическая нейтральность существует в
потоке за исключением областей, прилегающих к заряженным поверхностям.
Эти области называются двойными электрическими слоями или дебаевскими
слоями. Толщина этих слоев мала (от 1 до 10 им). Учет этих слоев важен при
рассмотрении взаимодействия маленьких частиц и процессов, происходящих в
непосредственной близости от заряженных поверхностей.
Рассмотрим бинарный раствор электролита, состоящий из неионизованного
растворителя и полностью ионизованного растворенного вещества, например
соли очень малой концентрации. Растворенное вещество состоит из положи-
тельно и отрицательно заряженных ионов с числом ионов v+ и V-, образующих-
ся при диссоциации одной молекулы, и мольными концентрациями С+ и С_
соответственно. Рассмотрим случай, когда химические реакции отсутствуют,
т. е. г, = 0. Из условия электронейтральности (5.90) следует, что
z. С. + С_ = 0. (5.91)
69
Введем приведенную концентрацию ионов
С = ^ = -^. (5.92)
Определенная таким образом концентрация С удовлетворяет уравнению
(5.91). Из уравнения неразрывности (5.44) при условии несжимаемости раст-
ворителя (V • и = 0) и отсутствия химических реакций (г, = 0) следует, что
+ и • VC = z±v±FV • (cv<|)) + IXkC. (5.93)
Предполагаем, что v± и D± постоянные. Вычтем из уравнения (5.93) для
положительных ионов это же уравнение для отрицательных ионов. Получим
(z+v+ - z.v.)FV • (С7ф) + (D+ - D_)AC = 0. (5.94)
Выразив отсюда слагаемое с электрическим потенциалом и подставив в
(5.93), получим уравнение конвективной диффузии
+ и • VC = D\C
at
с эффективным коэффициентом диффузии D, равным
_ z+v+D- - z-v.D+
Z+V+ - Z-V-
Поскольку D± = ATv±, то D можно преобразовать:
(5.95)
(5.96)
(5.97)
В частности, если D+ = D-, то D = D+ = D..
Таким образом, в бинарном предельно разбавленном растворе элетролита
распределение приведенной концентрации описывается таким же уравнени-
ем (5.95), как и для незаряженных компонент, но только с другим коэффи-
циентом диффузии.
Распределение электрического потенциала дается уравнением (5.94), кото-
рое имеет смысл уравнения неразрывности для плотности электрического тока.
Действительно, (5.87) с учетом условия электрической нейтральности (5.91)
можно переписать в виде
- ~р = (z+o+ - г_о_)ЕС7ф + (£>+ - £>_)VC. (5.98)
Если возьмем от левой и правой части (5.98) дивергенцию, то правая часть
согласно (5.94) обратится в нуль и получим V'i = 0. Это есть уравнение
неразрывности для плотности тока i.
5.6. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ
В предыдущих разделах получены уравнения переноса чистой и многоком-
понентной жидкостей, а также смеси, содержащей заряженные компоненты.
Начальные и граничные условия для этих уравнений будут подробно рассмот-
рены в дальнейшем в связи с конкретными приложениями. В настоящем раз-
деле будет рассмотрена наиболее часто используемая система уравнений и
выявлены параметры подобия.
Имея в виду дальнейшие приложения, ограничимся рассмотрением бинар-
ных предельно разбавленных несжимаемых растворов, без химических реак-
70
ций. При наличии электролита будем предполагать раствор электрически ней-
тральным. Считаем также, что все физико-химические параметры и коэффи-
циенты переноса постоянные. Из массовых сил действует только сила тяжести.
Сделанные предположения позволяют записать уравнения неразрывности,
количества движения, энергии и диффузии в виде
V-w = 0, (5.99)
37 = -|vP+ vAu + д, (5.100)
^ = аДТ, (5.101)
-^ = ОДС. (5.102)
В уравнении энергии опущены члены с переносом тепла за счет переноса
массы, вязкой диссипации и внутренним выделением энергии.
Приведем систему (5.99) — (5.102) к безразмерному виду, для чего введем
характерные значения длины L, скорости U и времени т. Заметим, что харак-
терное время вводится обычно в задачах, в которых рассматриваются процессы
под действием изменяющихся со временем внешних воздействий. Тогда под т
следует понимать характерное время действия этих воздействий. Во многих
задачах т не является независимой величиной, а определяется как x = L/U.
Введем безразмерные величины
x' = x/L, t' = t/x, u' = u/U. (5.103)
В качестве характерного давления возьмем pt/2 — характерный динамиче-
ский напор. Тогда безразмерное давление
Р' = ^- (5-104)
Здесь р0 — заданное давление, например давление в жидкости в иевозму-
щенном течении.
В качестве безразмерных температуры и концентрации возьмем
где индексом 0 обозначается, как правило, начальное значение, a w — значение
на поверхности, ограничивающей жидкость.
Переходя в (5.99) — (5.102) к безразмерным переменным, получим
V • и’ = 0, (5.106)
st¥ + = -VP'+ jfc Дм' + f7 f ’ (5.107)
St^ + (M'-V)T'=p^AT, (5.108)
St^ + («' V)C' = — ДС. dt Pep (5.109)
Здесь введены следующие безразмерные параметры. 1. Число Струхаля
£ L/U характерное время течения (5.110) 71
tU т характерное время воздействия ’
2. Число Фру да
3. Число
р _ (72 _ pC2/L _ сила инерции
gL рд сила тяжести ‘
Рейнольдса
Re _ pUL _ pU2/L _ сила инерции
Ц pU/L2 сила вязкости
(5.111)
(5.112)
4. Число
Пекле
Рет
UL
а
рСр(7(То - Ta)/L
k(T0 - Tw)/U
тепло за счет конвекции
~~ тепло за счет теплопроводности
(5.113)
т> UL UCCq - QJ/L
Ре----------------------
___ _ _ масса за счет конвекции
D ~ D ~ D(Cq - Сц,)/1? ~ масса за счет диффузии ’
(5.114)
Первый параметр, число Струхаля, является мерой нестациоиарности процес-
са. При St« 1 или х» L/U первыми слагаемыми в левой части (5.107) —
(5.109) можно пренебречь. При этом течение можно рассматривать как ста-
ционарное. В связи с этим следует заметить, что существуют задачи, в которых
нестациоиарпость может существовать па границе, например в задачах с изме-
няющейся со временем межфазной поверхностью (деформация поверхности ка-
пель, пузырьков, волны на поверхности жидкости и т. п.). В этом случае течение
в толще потока можно считать стационарным, а в тонком слое возле поверхно-
сти — нестационарным. Такая постановка задачи называется квазистационарной.
Число Фруда характеризует влияние силы тяжести на движение жидко-
сти. Во многих задачах Fr » 1, т. е. сила тяжести оказывает слабое влияние,
поэтому последним слагаемым в правой части (5.107) можно пренебречь.
Важным параметром является число Рейнольдса. При Re » 1 вязкие члены
в (5.107) малы по сравнению с инерционными. Пренебрегая ими, получим урав-
нения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера). Эти уравнения опи-
сывают движение жидкости в потоке, кроме небольших областей, прилегающих
к поверхности обтекаемого тела. Вблизи этих поверхностей силы вязкости могут
быть сравнимы с инерционными, что приводит к образованию вязкого погранич-
ного слоя толщины 3~Z./Re1/2, где L — характерный размер тела. Приближение
Re « 1 приводит к безынерционному течению жидкости, описываемому уравне-
ниями Стокса. Эти уравнения следуют из (5.107), в которых опущены инер-
ционные члены. К таким уравнениям сводятся задачи микрогидродинамики, на-
пример задачи о движении маленьких частиц в жидкости.
Число Пекле определяется как тепловое число Пекле (5.113) и диффу-
зионное — (5.114). При Рег» 1 основной вклад в перенос тепла дает конвек-
ция, а при Per « 1 — теплопроводность. Аналогичные выводы можно сделать
относительно PeD.
В задачах тепломассообмена кроме числа Пекле используют также сле-
дующие величины.
5. Число Прандтля
6. Число Шмидта
7. Число Льюиса
Pr = v/a, Per = RePr.
Sc = v/D, PeD = ReSc.
(5.115)
(5.116)
Le = a/D .
(5.117)
72
Таблица 5.1
Вещество Температура, °C Число Прандтля Рг = v/a
Ртуть 27 2,72 • 10“2
Воздух 27 7,12 • IO’1
Вода 27 5,65
Глицерин 20 1,16- 104
Таблица 5.2
Вещество Темпера- тура, °C Число Шмидта Sc = v/D Число Льюиса Le = a/D
О2 “ N2 0 7,3- 10“' 1
Предельно разбавлен- ная газовая смесь 20 - 1 - 1
Водный раствор NaCl 20 7 • 102 102
Предельно разбавлен- ный раствор 20 - 103 - 102
Числа Прандтля, Шмидта и Льюиса характеризуют свойства жидкости.
В табл. 5.1 и 5.2 приведены некоторые значения этих чисел для различных
веществ [7].
Зная свойства жидкостей, можно найти Рг, Sc, Le, а следовательно, и числа
Пекле для различных значений Re. Подобные оценки имеют большое значение,
поскольку позволяют упростить систему уравнений (5.106) — (5.109).
Так как для жидкостей Sc » 1, то из (5.116) следует, что PeD » 1 для
значений Re > 1, т. е. конвективный поток доминирует над диффузией в жид-
костях при конечных, а иногда и при малых числах Рейнольдса. В высоковяз-
ких жидкостях Рг » 1 и из (5.115) следует, что Рег» 1 при не очень малых
числах Re. Следовательно, в этом случае перенос тепла осуществляется в ос-
новном за счет конвекции.
Число Льюиса появляется в задачах, в которых одновременно рассматри-
вается перенос вещества и тепла. Из данных табл. 5.2 следует, что для газов
Le~l, т. е. оба процесса равноправны, в то время как в жидкости Le » 1,
т. е. перенос тепла доминирует над диффузионным переносом массы.
В заключение приведем еще два безразмерных параметра, характеризую-
щих процесс передачи тепла и вещества при конвективном движении среды.
Сначала определим коэффициент теплопередачи а как отношение теплового
потока к разности температур, т. е. q = аДГ, и коэффициент массоотдачи Р как
отношение диффузионного потока к разности концентраций j = Р ДС. Тогда
можно ввести два безразмерных числа Нусельта
Nur = -^, = (5.118)
Числа Нусельта, которые являются функциями чисел Re и Рг, использу-
ются для определения коэффициентов тепло- и массопередачи.
Отметим, что приведенными безразмерными параметрами не ограничивает-
ся весь набор параметров. Остальные параметры будут указаны при рассмот-
рении конкретных задач.
5.7. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА И ИДЕАЛЬНОЙ ГАЗОВОЙ СМЕСИ
Идеальный газ определяется как газ, подчиняющийся следующим законам:
1) закону Джоуля, согласно которому внутренняя энергия е одного моля
газа зависит только от абсолютной температуры Т. Если газ состоит из п молей,
то его внутренняя энергия
8=ие(Т); (5.119)
2) закону Бойля, согласно которому при постоянной температуре объем V,
занимаемый данным числом молей газа, изменяется обратно пропорционально
давлению р:
V = n^ (5.120)
где f(T) — функция, не зависящая от природы газа.
Изменение внутренней энергии в системе, в которой происходят обратимые
процессы, равно
d$=TdS~pdV, (5.121)
где 5 — энтропия системы.
Разделив (5.121) на число молей п, получим
ds = +Tpd- = ^dT + ^dv, (5.122)
где введены v = V/n — мольный объем; cv = de/dT — теплоемкость при постоян-
ном объеме. Поскольку е = е(7’), то со = с0(Г). Рассматривая (5.122) как пол-
ный дифференциал функции х(Т, v), имеем
т=(йД=(Д' <5-,2з>
Дифференцируя первое уравнение (5.123) по v, а второе — по Т и учиты-
вая, что согласно (5.120) р = f(T)/v, получим
_э_/Ы __ э
dv\T / дТ\Т) ~ дТ\ Tv )
Поскольку cv/T зависит только от Т, то
= 0 или = const. (5.124)
Эта постоянная называется газовой постоянной А. Подстановка в (5.120)
приводит к следующему уравнению состояния идеального газа:
pv=AT. (5.125)
Значение газовой постоянной А = 8,314 Дж/град • моль.
Напомним некоторые простые свойства идеального газа. Уравнение, свя-
зывающее мольные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давле-
нии, имеет вид
cp — cv = A. (5.126)
Используя выражение св(Г) = de/dT, найдем изменение внутренней энер-
гии идеального газа при изменении его температуры от Го до Г:
74
т
е(Т) - е(Т0) = jcv(T)dT.
То
(5.127)
Аналогично для мольной энтальпии h=e+pv=e+ АТ имеем dh = de + AdT =
= cpdT и
т
h(T)-h(TQ) = \cp(T)dT.
То
(5.128)
Для определения мольной энтропии нужно (5.122) проинтегрировать от
состояния (То, v0) до состояния (Т, v). В итоге получим
s(T, v) =
' т '
s(T0, v0) +/^-dT - A In^0
< To j
+ A In z? =
< т '
s(TQ, vQ) +§^p-dT + A InpQ
< To j
- A In p = 5(0)(Г) - A In p.
(5.129)
Используя соотношение для химического потенциала
ц = h - Ts,
получим выражение для химического потенциала идеального газа
|х(Г, р) = |1(0)(Г)+АПпр.
(5.130)
(5.131)
Таким образом, термодинамические функции идеального газа е, h, s и р
определяются зависимостью теплоемкости (ср или cv) от температуры, завися-
щей от молекулярного строения газа. Выражения для теплоемкости идеальных
газов можно найти, например, в работе [1].
Рассмотрим теперь смеси газов. Введем понятие парциального дав-
ления
Р, = рх„
(5.132)
где Xi — мольная доля i-го компонента.
Из этого определения следует, что полное давление смеси
р = Хр-- (5.137)
t
Смесь газов в объеме V при температуре Т называется идеальной, если ее
свободная энергия F= <$—TS равна сумме свободных энергий, которые имели
бы отдельные компоненты, если бы каждый из них занимал тот же самый объем
при той же температуре. Из этого определения следует, что для смеси идеаль-
ных газов справедливо уравнение состояния
pv=AT, (5.134)
где р определяется уравнением (5.133); v = V/n = V/^n,; тг, — число молей
г-го компонента в объеме V.
Соответственно для каждого компонента
Pi Vi = AT, v, = V/nt.
(5.135)
75
Если ввести мольную концентрацию С, = i/vit то уравнение состояния (5.135)
можно переписать в виде
р, = С,АТ. (5.136)
Термодинамические функции для идеальной смеси газов имеют следующий
вид [5]:
внутренняя энергия
8 = £^(Т) = ^(Г, и;),
i i
энтальпия
Н = 8+пАТ,
свободная энергия
Р = v’ пЛ
i i
энтропия
5 = = ^ni(sw(T, p)-A 1п(рх()).
i i
Для каждого компонента химический потенциал определяется в соответ-
ствии с (5.135):
Pi = р,(Т) + AT Inp, = Ц/0)(Г) + AT In(pX;) =
= p”)(T> p) + AT ln(x,), (5.137)
где р<0)(Г, p) — химический потенциал чистого газа при температуре Т и дав-
лении р.
Заметим, что химический потенциал компонентов идеальной смеси газов по
виду совпадает с химическим потенциалом идеального раствора. Отличие со-
стоит в виде Ц-0)(Т, р).
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ РЕАЛЬНОГО ГАЗА И РЕАЛЬНОЙ СМЕСИ ГАЗОВ
Большинство газов и газовых смесей при давлениях и температурах, незна-
чительно отклоняющихся от нормальных, ведут себя как идеальные. Однако
при больших отклонениях давления и температуры от нормальных газы и газо-
вые смеси не подчиняются уравнениям (5.125) и (5.135). В качестве примера
можно привести природный газ, который представляет собой многокомпонент-
ную систему, состоящую из углеводородных и неуглеводородных компонентов.
В пластовых условиях давления составляют десятки мегапаскаль, а температу-
ра — сотни градусов Цельсия. При этих условиях природный газ, как правило,
находится в газообразном состоянии. В процессе добычи, подготовки, перера-
ботки и транспортировки газа давление может изменяться от пластового дав-
ления до атмосферного и ниже, а температура — от пластовой температуры до
низких температур, вплоть до криогенных. Изменение термобарических усло-
вий приводит к изменению фазового состояния смеси от однофазного в пласте
до двухфазного (жидкость — пар). Для построения математической модели
движения углеводородной смеси от пласта до поверхности, а затем по элемен-
там технологических установок подготовки, переработки и транспорта необхо-
димо уметь описывать фазовое состояние системы в условиях термодинамиче-
76
ского равновесия. Уравнения состояния многокомпонентной системы в большом
диапазоне давлений и температур являются основой для проведения термоди-
намических расчетов фазового равновесия и свойств системы. Уравнение со-
стояния идеального газа и идеальной смеси газов для этих целей не годится,
а необходимы уравнения состояния реального газа и реальной смеси газов.
Основные требования, которые предъявляются к уравнениям состояния,
заключаются в возможности их использования в большом диапазоне давлений
и температур, а также в возможности описывать состояние как газовой, так и
жидкой фазы. Поэтому предложенные в последнее время уравнения состояния
называются едиными уравнениями состояния.
К настоящему времени предложено большое число уравнений состояния [8, 9].
Большинство из них предназначены для описания поведения углеводородных
систем. Эти уравнения можно условно разделить на два основных вида: мно-
гокоэффициентные и кубические.
Рассмотрим сначала уравнения состояния для чистых веществ. В основе
многокоэффициентных уравнений состояния лежит представление уравнения в
вириальной форме. Давление газа с высокой степенью точности можно пред-
ставить в виде ряда по степеням 1/п, где v — мольный объем вещества:
Р = 4г(1 + | + $ + -)- (5.138)
Коэффициенты В, С,... называются вириальными коэффициентами. Для
чистых веществ они зависят только от температуры и характеризуют молеку-
лярные взаимодействия вещества: В — парные взаимодействия, С — тройные
взаимодействия и т. д. Вириальные коэффициенты могут быть вычислены для
газов малой плотности, а значит, для невысоких давлений методами статистиче-
ской физики. Чаще всего вычисления ограничиваются вторым слагаемым сум-
мы в правой части (5.138), поскольку учет непарных взаимодействий значитель-
но осложняет процедуру расчета. Поэтому для газов, слабо отклоняющихся от
идеальных, можно положить
Р = <(1 + <). (5.139)
Для того чтобы получить уравнение состояния, пригодное для реального
газа и имеющее вид уравнения в вириальной форме, использовали результаты
эспериментов. В итоге были предложены эмпирические уравнения состояния, в
которых давление представлено в виде полинома от мольной плотности ве-
щества р = 1/v с коэффициентами, зависящими от температуры. Из предло-
женных уравнений состояния большое распространение получило уравнение
Бенедикта — Вебера — Рубина (BWR) и его модификации. Приведем одну из
удачных, с точки зрения точности расчетов, модификаций — уравнение Стар-
линга — Хана
р = АТр + (в0АТ-А0 -С» +.^._|о)р2 +^АТЬ~а-^ +
+ aLz + yjp*’ +ут-(1 + ур2) ехр(-ур2), (5.140)
где Ао, Во, Со, Do, Ео, a, b, с, d, а, у — эмпирические коэффициенты.
Заметим, что ряд (5.140) аналогичен ряду (5.138). Последнее слагаемое с
экспоненциальным множителем выбрано таким образом, чтобы компенсировать
остаток ряда.
Таким образом, многокоэффициентные уравнения при заданных значе-
77
ниях р и Т представляют собой уравнения относительно мольной плотности р.
Для нахождения корней этого уравнения необходимо решить нелинейное алгеб-
раическое уравнение.
Для инженерных расчетов более удобны кубические уравнения состояния.
Самым простым кубическим уравнением является уравнение состояния Ван-
дер-Ваальса
(5.141)
р = А-->
V-Ь v2
где а и Ь — постоянные коэффициенты.
При выводе этого уравнения Ван-дер-Ваальс учел силы взаимодействия
молекул, считая их твердыми и сферическими: первое слагаемое в правой части
(5.141) соответствует силе отталкивания, а второе — силе притяжения. Если
заданы р и Т, то уравнение (5.141) представляет собой кубическое уравнение
относительно мольного объема v или мольной плотности р= 1/v. Заметим, что
для слабо неидеального газа Ь/v» 1 и, разложив правую часть (5.141) в ряд
по степеням 1 /v, получим уравнение состояние в вириальной форме, где второй
вириальный коэффициент равен
В(П = Ь-^. (5.142)
/11
Зависимость p(v) при фиксированной температуре (изотерма) показана на
рис. 5.1.
Кривые 1, 2, 3 различаются значениями температуры. Кривая 3 соответ-
ствует температуре, превышающей критическую (Г>ТС). В этом состоянии
кривая изменяется плавно, давление падает с ростом v и вещество может
находиться в равновесном состоянии только будучи в газообразном виде. Вто-
рая кривая соответствует критической температуре Тс — наивысшей температу-
ре, при которой жидкость и пар могут находиться в состоянии равновесия друг
с другом. При температуре Т <ТС (кривая /) зависимость р(а) ведет себя
немонотонно. Слева от точки В (линия АВ) вещество находится в однофазном
жидком состоянии, справа от точки G (линия GH) вещество находится в
однофазном паровом состоянии. Область между точками В и G соответствует
равновесному двухфазному состоянию жидкость — пар. Согласно условию
Рис. 5.1. Изотермы состоя-
ния реального газа
78
Максвелла, площади областей BDE и EFG равны. Из вида изотерм следует, что
в докритической области (Г<ТС) кубическое уравнение (5.141) имеет три
действительных положительных корня v', vE и v", причем меньший корень
соответствует мольному объему жидкой фазы, а больший корень — газовой фазы.
Корень vE не имеет физического смысла. В критической и сверхкритической
области имеется один действительный положительный корень уравнения (5.141).
Кроме того, в критической точке удовлетворяются условия (точка перегиба)
= g = 0 при Т = Гс; v = vc. (5.143)
Подстановка (5.141) в условия (5.143) позволяет определить коэффи-
циенты а и Ь:
ПА^Тгс vc АТС
Й = 3Р^ 6 = Т = Ж- (5Л44)
Введем безразмерные давление рг, температуру Тг и мольный объем vr~.
Pr=^, Tr=Tc, vr=%. (5.145)
Параметры, определенные таким образом, называются приведенными. В этих
переменных уравнение Ван-дер-Ваальса запишется в виде
| рг + 4 )(3^ - 1) = 87). (5.146)
Уравнение (5.146) содержит только безразмерные приведенные парамет-
ры, поэтому если два разных вещества описываются уравнением Ван-дер-Вааль-
са и имеют одинаковые значения рг и Тт, то совпадают и их приведенные
мольные объемы vr. Этот закон называется принципом соответственных состо-
яний. Он лежит в основе теории термодинамического подобия.
Большинство модификаций кубических уравнений основано на уравнении
Ван-дер-Ваальса. К настоящему времени предложено много кубических урав-
нений состояния [8, 9]. Приведем некоторые из наиболее используемых.
1. Уравнение Редлиха — Квонга
Р= v~b~ T^viv+bY (5.147)
Из условий (5.143) в критической точке нетрудно найти коэффициенты а и Ь:
ц = 0,427474г-; 6 = 0,086644г-- (5.148)
Рс Рс
Уравнение Редлиха — Квонга не имеет теоретического обоснования, оно
получено эмпирически. Это уравнение широко использовалось для расчета
свойств газовой фазы. Однако при расчетах свойств жидкой фазы оно давало
большую погрешность. Поэтому модификация Вильсона была предназначена
для расчетов свойств как газовой, так и жидкой фазы. Модификации подвергся
коэффициент а в уравнении (5.147):
а = 4,934(1 + (1,45 + 1,62®)(Тг1 - 1)ТЛ,2)ЬЛТ15. (5.149)
Здесь введен дополнительный параметр со, называемый ацентрическим
фактором. Его физический смысл состоит в учете отклонения формы молекул
от сферической. Чем больше форма молекул отличается от сферической, тем
больше фактор о».
79
2. Уравнение Соава — Редлиха — Квонга
Р = (5.150)
r v - b v(v + h)
Коэффициент b в этом уравнении вычисляется по формуле (5.148), а ко-
эффициент
а = аса(Тг, (5.151)
где
ас = 0,427^., а(Тг, (о) = (1 + m(l - Г»5))2;
m = 0,48 + 1,574(0 - 0,17©2.
3. Уравнение Пенга — Робинсона
р = - • z —м ^77-м- (5.152)
“ v - b v(v +b) + b(v - b)
Коэффициент а вычисляется по формуле (5.151), в которой следует взять
/127-2
ас = 0,457^-; m = 0,375 + 1,542© - 0,27©2,
АТ
а коэффициент b = 0,078-.
Уравнения Редлиха — Квонга, Соава — Редлиха — Квонга и Пенга — Ро-
бинсона можно применять и для многокомпонентных смесей. Для первых двух
уравнений в этом случае коэффициенты а и b определяются соотношениями
(х 2
Хра0,5| , b = ^yibi, (5.153)
i=l J i=i
где N — число компонентов в смеси; а, и б, — коэффициенты чистого г-го ве-
щества; — мольная доля i-го компонента.
При расчетах многокомпонентных систем по уравнению Пенга — Робинсо-
на коэффициенты а и b вычисляют по формулам
К N
а = ^(1 - Cy)pipy(<71(7y)05, b = '£,yibi, (5.154)
i.y = i i = i
где Ci; — коэффициенты парного взаимодействия молекул г-го и /-го компонен-
тов, определяемые эмпирически.
Зная уравнение состояние для рассматриваемой многокомпонентной систе-
мы, можно определить термодинамические функции в соответствии с основны-
ми термодинамическими соотношениями [5]. Имея в виду приложения к рас-
чету парожидкостного равновесия, рассмотрим определение химических потен-
циалов компонентов. Для реальной газовой смеси химический потенциал г-го
компонента
ц,(Г, р) = №<?) +АТ 1пД, (5.155)
где Ц;0)(Г) — химический потенциал идеального г-го компонента при темпера-
туре Т и давлении, равном единице в принятой системе единиц измерений; /, —
летучесть г-го компонента.
Сравнивая (5.155) с аналогичным выражением для идеальной газовой
смеси (5.137), получим, что для идеальной смеси газов f = pt. С другой стороны,
выражение (5.155) можно записать в несколько ином виде:
80
^(Т,р) = ^Чт, р) + AT Ina,-,
(5.156)
где а, — активность г-го компонента.
В основе расчета ц, или Д лежит известное термодинамическое соотноше-
ние для производной химического потенциала
Г ЭцЛ
I Эр Jr.
= Vi-
* я,
(5.157)
Вывод уравнения для ц, громоздкий и здесь не приводится. Подробности
можно найти в работе [9].
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПАРОЖИДКОСТНОГО РАВНОВЕСИЯ
Основной задачей в инженерной практике является расчет фазового состо-
яния многокомпонентных систем, например углеводородных смесей. Под этим
понимается определение составов паровой и жидкой фаз при заданных значе-
ниях давления, температуры и общем составе смеси.
Рассмотрим многокомпонентную систему, состав которой задан в виде моль-
ных долей Т|; входящих в нее компонентов. При давлении р и температуре Т
система разделилась на паровую и жидкую фазы. Обозначим через х, и у,
мольные доли компонентов в жидкой и паровой фазах, а через V и L —
мольные доли паровой и жидкой фаз. Определим константы равновесия ком-
понентов К, как отношения мольных долей:
К; = гл/х; (г = ГМ (5.158)
Условием равновесия фаз является равенство химических потенциалов
компонентов в обеих фазах:
и<ь> = p<v> (i = 1JV). (5.159)
В силу соотношений (5.155) равенства (5.159) эквивалентны равенствам
летучестей
/;(L) = = (5.160)
Добавим к уравнениям (5.160) уравнения материального баланса каждого
компонента
гр = V + х,L = (5.161)
Поскольку V + L = 1, ayi = K,Xi согласно (5.158), то (5.161) можно преоб-
разовать к виду
Xi = v(Ki -1) + Г yi = v(k, -1) + г (5.162)
Уравнения (5.162) называются уравнениями фазовых концентраций ком-
понентов смеси. Они позволяют найти мольные доли компонентов в фазах, ес-
ли состав смеси г,;, константы равновесия К, и мольная доля паровой фазы
известны. Просуммировав (5.162) по i и учитывая очевидные равенства
У, х, = ^у, = 1, получим уравнение для определения V по известным значе-
i i
НИЯМ Г], и Кр.
(5.163)
6 - 1461
81
Функция F(V) является монотонно убывающей, поскольку F'(V)<0.
Это свойство позволяет получить следующие критерии фазового состояния
смеси.
1. V < 0. Этот случай соответствует однофазному ненасыщенному жидко-
му состоянию. Поскольку F(0) <0, то необходимым критерием того, что при
заданных значениях К, и гр смесь находится в однофазном ненасыщенном
жидком состоянии, является выполнение неравенства
£пл.<1.
: _ 1
(5.164)
2. V= 0. Этот случай соответствует насыщенному жидкому состоянию (точка
кипения). Из условия F(0) = 0 следует, что необходимым условием однофаз-
ного насыщенного жидкого состояния является выполнение равенства
(5.165)
3. 0<П<1. Этот случай соответствует двухфазному нарожидкостному
состоянию. Из условия F(l) = 0 следует, что необходимым условием двухфаз-
ного состояния является выполнение неравенств
N тп
>i и Х^>1- (5.166)
1 = 1 1 = 1'
4. V= 1. Этот случай соответствует однофазному насыщенному состоянию
(точка росы). Из условия F(l) = 0 следует необходимое условие существова-
ния смеси в насыщенном газовом состоянии
Е> = 1. (5-167)
t = i
5. V> 1. Этот случай соответствует однофазному ненасыщенному газово-
му состоянию. Из условия F(l) > 0 следует необходимое условие
Хй<1- (5168)
Заметим, что критерии 1 и 5 физически не реализуются, поэтому их можно
рассматривать лишь как вспомогательные критерии в процессе численного
решения соответствующей задачи.
Таким образом, для определения 2/V + 2 неизвестных х„ у,, V и L имеем
систему 2N + 2 уравнений
£(Г) = Д(Г) (• = х)> (5.169)
л. = у У + (i = 1, АО, (5.170)
X yi =]> (5.171)
V + L = 1. (5.172)
Отметим, что летучести и f(v) рассчитываются на основе термодина-
мических соотношений с использованием одного из уравнений состояния. Си-
82
стема уравнений (5.169) — (5.172) представляет собой нелинейную систему
алгебраических уравнений, решение которой можно получить, используя соот-
ветствующие численные методы.
5.8. БАЛАНС ЭНТРОПИИ. СООТНОШЕНИЯ ВЗАИМНОСТИ ОНЗАГЕРА
Феноменологические соотношения, определенные в подразделе 1.1, играют
важную роль в термодинамике необратимых процессов. Общую основу мак-
роскопического описания необратимых процессов составляет неравновесная
термодинамика, которая строится как теория сплошной среды и параметры
которой, в отличие от равновесной термодинамики, являются функциями про-
странственных координат и времени. Центральное место в неравновесной тер-
модинамике играет уравнение баланса энтропии [10]. Это уравнение выражает
тот факт, что энтропия некоторого элемента объема сплошной среды изменя-
ется со временем за счет потока энтропии в рассматриваемый объем извне и
за счет положительного источника энтропии, обусловленного необходимыми
процессами внутри объема. При обратимых процессах источники энтропии
отсутствуют. В этом состоит локальная формулировка второго закона термо-
динамики. Поэтому основной задачей в теории необратимых процессов явля-
ется получение выражения для источника энтропии. Для этого необходимо
использовать законы сохранения массы, количества движения и энергии в
дифференциальной форме, полученные в разделе 1. В уравнения сохранения
входят потоки диффузии, тепла и тензор напряжений, которые характеризуют
перенос массы, энергии и импульса. Важную роль играет термодинамическое
уравнение Гиббса (5.49), которое связывает скорость изменения энтропии со
скоростями изменения энергии и состава смеси. Оказывается, что выражение
для интенсивности источника энтропии представляет собой сумму членов, каж-
дый из которых является произведением потока, характеризующего необрати-
мый процесс, и величины, называемой термодинамической силой. Термодинами-
ческая сила связана с неоднородностью системы или с отклонением параметра
от его равновесного значения. Потоки, в свою очередь, в первом приближении
линейно зависят от термодинамических сил в соответствии с феноменологиче-
скими соотношениями. Эти линейные законы отражают зависимость потока от
всех термодинамических сил, т. е. учитывают перекрестные эффекты. Так,
поток вещества зависит не только от градиента концентрации, но и от гра-
диентов давления, температуры, электрического потенциала и т. д. Неравновес-
ная термодинамика ограничивается в основном изучением линейных феноме-
нологических соотношений.
Таким образом, интенсивность источника энтропии является квадратичной
формой термодинамических сил. Матрица феноменологических коэффициен-
тов этой формы обладает замечательными свойствами. Эти свойства, сформу-
лированные в виде теоремы взаимности Онзагера, позволяют уменьшить число
независимых величин и связывают между собой различные физические эф-
фекты.
Изменение энтропии системы
dS = deS + d,S, (5.173)
где deS — энтропия, поступающая в систему извне; d,S — энтропия, возникаю-
щая в самой системе.
Согласно второму закону термодинамики для равновесных процессов dtS = 0,
а для неравновесных процессов d,S > 0. Для адиабатически изолированной
6» 83
системы, т. е. системы, которая не может обмениваться с окружающей средой
ни теплом, ни веществом, deS = 0 и из (5.119) следует, что
dS = d,S>0. (5.174)
Для замкнутой системы, т. е. системы, которая может обмениваться с
окружающей средой только тепловой энергией, справедливо уравнение Карно —
Клаузиуса
deS = ~, (5.175)
где dQ — теплота, поступающая к системе извне.
Из (5.173) и (5.175) следует, что для замкнутой системы
dS = dtS + ^->^. (5.176)
Формулы (5.174) и (5.176) представляют собой формы записи второго
закона термодинамики соответственно для адиабатически изолированной и зам-
кнутой систем.
Наибольший интерес представляют открытые системы, т. е. системы, кото-
рые могут обмениваться с окружающей средой как тепловой энергией, так и
веществом.
Введем плотность энтропии 5 соотношением
5 = /ps(ZV. (5.177)
V
Поскольку d,.S есть энтропия, поступающая в систему извне через поверх-
ность Е, ограничивающую объем V, то ее изменение за время dt равно
deS = -^dldt, (5.178)
£
где js — поток энтропии через единичную поверхность; d"L — ориентированный
элемент поверхности.
Обозначим через о интенсивность производства энтропии в объеме. Тогда
изменение энтропии за время dt в объеме за счет неравновесных процессов
составляет
d,S = ^dVdt, о > 0. (5.179)
V
Подставляя (5.177) — (5.179) в (5.173) и преобразуя поверхностный ин-
теграл в объемный по формуле Гаусса (5.1), получим
J(^ + V-Js-o)(ZV = °. (5.180)
В силу произвольности объема из (5.180) получим дифференциальное
уравнение, соответствующее локальной формулировке второго закона термоди-
намики открытой системы,
^ = -V-/s + o, о>0. (5.181)
Используя уравнение неразрывности (5.12), можно преобразовать уравне-
ние (5.181) к виду
84
р = -v Js + О, о > 0, (5.182)
где Js = js- psU — относительный поток.
Воспользуемся теперь формулой Гиббса (5.49), переписав ее следующим
образом:
г _ Де nDv^ _ V1 Д<°^ /Г
Df ” Df + Р ZJf 2^к Dt ’ (.5.183)
k = i
где озк — массовая концентрация k-ro компонента; щ — химический потенциал
k-ro компонента.
Для определения De/Dt и D(i)k/Dt нужно воспользоваться уравнением
энергии (5.30) и диффузии (5.45). Заметим, что уравнение (5.30) написано без
учета многокомпонентное™ и химических реакций. С учетом этих явлений оно
перепишется как [10]
pg = T:E-VJ, +ХЛ-F., (5.184)
где Jq — поток тепла (в разделе 3.2 его обозначили через q); Jk — диффузи-
онный поток k-ro компонента (см. (4.26)); Fk — внешняя сила, действующая на
k-й компонент.
Скалярное произведение тензоров напряжений и скоростей деформации
Т:Е определяется уравнением (5.31). Тогда (5.184) примет следующий вид:
Р® = -VJq-pVu + n:Vu+ YJk-Fk, (5.185)
где Ум = Эп1/Эх)Ь — градиент вектора, являющийся тензором второго ранга.
Уравнение диффузии запишем как
^ = -У-Л+гА, (5-186)
где гк — скорость образования k-ro компонента в единице объема в результате
химической реакции; сщ — масовые доли k-ro компонента.
Образование &-го компонента может происходить в результате нескольких
одновременно протекающих реакций. Если реакции не сопровождаются измене-
нием объема, то для каждого образующегося компонента справедливо равенство
rk = t^MkJ?’ <5.187)
/ = 1
где vkl — стехиометрический коэффициент k-ro компонента в у-й реакции; Мк —
молекулярная масса; = рЭс,7/ЭУ — скорость у’-й химической реакции в еди-
нице объема. Из условия сохранения массы в каждой химической реакции
следует, что
^Mkvki = Q. (5.188)
k = 1
Уравнение (5.186) с учетом соотношений (5.45), (5.46) и (5.187) можно
переписать в виде
= + (5.189)
85
Подставляя теперь (5.185) и (5.189) в выражение (5.183), получим
pS = -tv- Л + тп-.^ + уЕл-л + |Хцй7.л-тЕлл(г)-<5-190>
k = 1 k = i ) = i
Здесь введены Л; = ^Мкук]\хк — химические сродства реакций [5].
k = 1
Следующим шагом является приведение уравнения (5.190) к виду (5.182),
для чего нужно собрать слагаемые, содержащие дивергенцию. После неслож-
ных преобразований получим выражения для потока энтропии Js и источника
энтропии о, который называют также диссипативной функцией:
т1 Jq ^jl^kJk >
k * = 1 )
(5.191)
п / / \ \
fe = l \ \ 7 )
+ |П: Vu - |Х A.jf > 0. (5.192)
; = i
Выражение для J- показывает, что для открытых систем поток энтропии
состоит из двух частей: потока, связанного с переносом тепла, и потока, связан-
ного с диффузией. Второе выражение состоит из четырех членов, обусловлен-
ных соответственно теплопроводностью, диффузией, вязким потоком и химичес-
кими реакциями. Выражение для диссипативной функции о имеет вид квадра-
тичной формы. Оно представляет собой сумму произведений двух сомножите-
лей: потока (поток тепла Jq, диффузионный поток Jk, поток импульса П и
скорость химической реакции /;(г)) и термодинамической силы, пропорциональ-
ной градиенту некоторой интенсивной переменной состояния (температуры, хи-
мического потенциала и скорости). Второй сомножитель может также включать
внешнюю силу Fk и химическое сродство Аг
Для широкого класса необратимых процессов потоки являются линейны-
ми функциями термодинамических сил, что выражается феноменологическими
законами. Некоторые из этих законов были приведены ранее, например законы
Фурье и Фика. Сюда же относятся и законы смешанных или перекрестных
явлений, например термо диффузии, когда диффузионный поток линейно зави-
сит от градиента концентрации и от градиента температуры. В общем случае
линейные феноменологические соотношения можно записать в виде
Л =
k
(5.193)
где Jt и Xi — декартовы компоненты независимых потоков и термодинамиче-
ских сил, входящих в выражение для диссипативной функции
о = ХЛ4 (5.194)
Величины Lik называются феноменологическими или кинетическими коэф-
фициентами. Подставляя выражение (5.193) в (5.194), получим
а = Ц^ЛХ;, (5.195)
» i
86
В силу условия о>0 квадратичная форма (5.195) должна быть поло-
жительно определенной или, по крайней мере, неотрицательной. Достаточным
условием для этого является положительность диагональных элементов матри-
цы {Lik} и выполнение неравенства ЬцЬкк > (Lik + Lkiy для недиагональных
элементов.
Прежде чем сформулировать основной результат теории Онзагера, преоб-
разуем выражение для диссипативной функции о. Воспользуемся термодинами-
ческим соотношением [5]
Td[^ = (ф*)г - ^dT, (5.196)
где Т указывает на то, что дифференциал берется при постоянной температуре,
a hk — удельная парциальная энтальпия.
Введем теперь в соответствии с (5.47) тепловой поток, который учитывает
перенос тепла только за счет теплопроводности,
J'q=Jq-l>kJk. (5.197)
k = 1
Тогда (5.192) перепишется в виде
п г
u = -^J'-VT-^J^^^r-Fk) + ^n-yu-^A,jjr\ (5.198)
k=i j=\
Поскольку парциальная удельная энтропия компонента sk = -(щ, - hk)/T,
то с учетом (5.197) поток энтропии запишем как
Js = + ^shJk- (5.199)
k = i
Представим тензор вязких напряжений П и тензор Vw в виде
П = П/ + П, (5.200)
Vw = |(Vw)Z + Vw, (5.201)
где П = ^П:/ = •|ПЙИ = ^Тг(П), Тг(ТГ, — след матрицы П. Заметим, что V • и =
О о
= Vw : I = diii/dx,. = Тг(^и). В силу этого тензоры П и Va обладают нулевым
О о
следом, поскольку П: / = 0 и Vw = 0. Составим скалярное произведение П : Vw.
О о
Используя (5.200), (5.201) и приведенные выше свойства П и Vw, получим
П :Vw = (Ш + n):(|(V • w)]z + Vw = ft:Vw + HVw. (5.202)
О
Разобьем тензор V и на симметричную и антисимметричную части:
Vw = (Vw)5 + (Vw)a, (5.203)
где (Vw)5 = |(V w + (V w)T), (Vu)“ = |(Vu-(Va)T). Индекс «т» означает опе-
рацию транспонирования.
Компоненты этих тензоров равны
IV u)aSi - 2 j з оар ,
87
if dup диа ]
(VM)°₽ = 2Ы” W
Напомним, что по повторяющимся индексам производится суммирование.
Подставляя (5.203) в (5.202), получим
П : Vu = П : ((Vu)s + (Vu)a) + ПУ u = П : (Vu)s + ПУ • u. (5.204)
Здесь использовано то, что скалярное произведение симметричного П и
антисимметричного (Vu)a тензора равно нулю.
Подставим выражение (5.204) в (5.198). В итоге получим
o = -^J'^T-^Jk-((^k)T-Fk) +
1 1 k = 1
+ |П: (УиУ-уПУ-и-| (5.205)
> = 1
Получим теперь феноменологические уравнения вида (5.193) в соответ-
ствии с выражением (5.205). Ранее было сказано, что каждый ноток является
линейной функцией всех термодинамических сил. Однако потоки и термодина-
мические силы, входящие в выражение (5.205) для диссипативной функции,
обладают различными тензорными свойствами. Некоторые являются скалярами,
другие — векторами, а третьи представляют собой тензоры второго ранга. Это
значит, что при преобразованиях системы координат их компоненты преобразу-
ются различным образом. В результате оказывается, что при наличии симмет-
рии материальной среды компоненты потоков будут зависеть не от всех компо-
нент термодинамических сил. Это обстоятельство называют принципом симмет-
рии Кюри. Самой распространенной и простой средой является изотропная
среда, т. е. среда, свойства которой в равновесном состоянии одинаковы во всех
направлениях. Для такой среды потоки и термодинамические силы различной
тензорной размерности не могут быть связаны друг с другом. Поэтому вектор-
ные потоки должны линейно выражаться через векторные термодинамические
силы, тензорные потоки — через тензорные термодинамические силы, а скаляр-
ные потоки — через скалярные термодинамические силы. Сказанное позволяет
написать следующие линейные феноменологические уравнения:
J' = -Lqq (V^ —, (5.206)
k = 1
Л = (i = 1, 2,..., n), (5.207)
k = 1
Пар =-f(Vu)s„p (a, 0 = 1, 2, 3), (5.208)
п = (5.209)
0=1, 2,..., r). (5.210)
m = 1
Уравнения (5.206) и (5.207) описывают векторные явления теплопровод-
ности, диффузии и перекрестные эффекты. Коэффициенты Lqq, Lqk, Liq и Lik
88
являются скалярами. Уравнения (5.208) связывают компоненты тензора напря-
жений П с компонентами симметричного тензора (Vu)s. Уравнения (5.209) и
(5.210) описывают скалярные процессы химического характера, связанные с
явлениями объемной вязкости, и перекрестные явления.
В случае анизотропной среды, например анизотропных кристаллов, при
отсутствии химических реакций феноменологические уравнения имеют вид (5.206)
и (5.207), но величины L Lqk, Llk и Liq являются тензорами. В частности Lqq
пропорционален тензору теплопроводности.
Феноменологические уравнения (5.206) — (5.210) получены из условия
пространственной симметрии среды. Другое свойство, которым должны обла-
дать физические явления, состоит в инвариантности уравнений движения час-
тиц, из которых состоит среда, относительно обращения времени. Это свойство
означает, что уравнения движения симметричны относительно времени, т. е. при
изменении знака всех скоростей частицы будут проходить пройденные до этого
траектории в обратном направлении. На этом принципе основана теорема
Онзагера (ее доказательство содержится в работе [10]): в изотропной жидкости
или газе в отсутствии магнитного ноля для феноменологических коэффициен-
тов справедливы следующие соотношения:
Lql = L,q, Llk = Lkl, (52ii)
I ui Ф:> Ljm I mJ*
В качестве примера рассмотрим частный случай процесса, в котором учи-
тываются только теплопроводность и диффузия. Этот и другие случаи подроб-
но рассмотрены в работе [10].
Пусть в смеси концентрация и температура неоднородны в объеме. Смесь
считаем изотропной, вязкостью пренебрегаем, химические реакции и внешние
силы отсутствуют. При этих условиях давление в системе можно считать по-
стоянным. Тогда диссипативная функция (5.205) примет вид
= -(VpJr,p. (5.212)
Рассмотрим сумму в правой части выражения. Из соотношения для диффу-
п п - 1
знойных потоков У, Jk = 0 (см. (4.30)) можно найти поток Jn = ~^Jk. После
k = 1 k = 1
подстановки в (5.212) получим
c = -~J'q -VT-±tjk -((Vp, -рД.Д (5.213)
1 1 k = i
Воспользуемся термодинамическим соотношением Гиббса — Дюгема, согласно
которому при постоянных р и Т изменения химических потенциалов компо-
нент Зрб в н-компонептной системе удовлетворяют равенству
У«ц8рА=0. (5.214)
k = 1
Это уравнение позволяет исключить р„ из (5.213). В итоге получим
о = •Vr-iyyA^^Vp,)^,, (5.215)
1 1 k = \m = \
где Akm = Skm + ют/оз„.
89
(5.217)
(5.218)
Поскольку химические потенциалы рт = рт(р, Т, со,), то
(ЖЛ,г=£^г| Vco,. (5.216)
, = Л ‘2ат,о>,
Обозначим = . Тогда феноменологические уравнения (5.206)
\ 1 /р, Т,
и (5.207) примут следующий вид:
п - 1 п-1 П - 1 J ш ^7
г/ т VT V V V г
J q ~ ~L'qq 2j 2^ ^qk Т i
k = 1 in = 1 ] = 1
n-ln-ln-1 A Ш —
r T VT V* V1 V' T AkmlhnjVWj
J i = '~L,lq T2 2j L 2j *-4k 7 •
1 fe = lm = l; = l
Соотношения Онзагера для феноменологических коэффициентов этих
уравнений имеют вид
Ltq=Lqt, L.k = Lkl (j, k=i, 2,..., п-1). (5.219)
Коэффициенты Lqq и Llk связаны с коэффициентами теплопроводности и
диффузии. Коэффициенты L,q характеризуют явления термодиффузии (эффект
Соре). Коэффициенты Lqk характеризуют обратное явление, состоящее в появ-
лении теплового потока за счет градиента концентраций (эффект Дюфура).
Рассмотрим частный случай бинарной системы (п = 2). Находим Ап = 1 +
+ со 1 /ссъ = 1 /0)2, так как соf + со2 = 1. Тогда феноменологические уравнения сво-
дятся к уравнениям
Г' - -I — - L И11-Ю1 (5 220)
Л ~ т2 Lqi Ш2Т , VJ.ZZU,
т _ J (5 221)
J\ - ~L\q T2 Ш2Т CO.ZZl,
Соотношения Онзагера сводятся к L]q — Lqt, а достаточные условия поло-
жительности квадратичной формы о дают неравенства
Lqq > 0, > 0, LqqL,{ - (Цч + Л91)2/4 = - L}q > 0. (5.222)
Вместо феноменологических коэффициентов обычно вводят следующие
коэффициенты:
коэффициент теплопроводности X = Lqq/T2;
коэффициент Дюфура D" = Lqi/pti№2T2‘,
коэффициент термодиффузии D' = Llq/p(ai(i)2T2;
коэффициент диффузии D =LU Ци/р (й2Т.
Коэффициент термодиффузии D' имеет порядок 10~12 - 10~14 м2/с • град в
жидкостях и 10“8-10“10 м2/с • град в газах.
С учетом введенных коэффициентов феноменологические уравнения при-
нимают вид
J'q = -И7Г - , (5.223)
Л = -PiU^D'VT - pDVcOf. (5.224)
Соответствующие уравнения переноса тепла и вещества получаются из урав-
нений сохранения энергии, массы и феноменологических уравнений (5.223) и (5.224):
90
pCp^ = -V-J'q=V- (MT + p^ftTirVco,), (5.225)
= -v • (Л /р) = v • (co^D'VT + DVco,). (5.226)
Заметим, что уравнения (5.225) и (5.226) отличаются от полученных ранее
уравнений диффузии и теплопроводности (см. (5.37) и (5.62)) благодаря учету
перекрестных эффектов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей — М
ИЛ, 1961 - 429 с
2 Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е Явления переноса — М Химия, 1974 — 688 с
3 Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости — М ИЛ, 1963 —
256 с
4 Ландау Л. Д., Лифшиц Е М Теоретическая физика Т VI Гидродинамика — М
Наука, 1988 — 736 с
5 Пригожин II., Дефэй Р Химическая термодинамика — М Наука, 1966 — 509 с
6 Нигматуллин Р. И. Динамика многофазных сред В 26 т — М Наука, 1987
7 Probstein R F. Physicochemical hydrodynamics — Butterworths, 1989 — 318 p
8 Уэйлес С. Фазовые равновесия в химической технологии В 2 т — М Мир, 1989
9 Баталин О Ю , Брусиловский А. И., Захаров М. Ю. Фазовые равновесия в системах
природных углеводородов — М Недра, 1992 — 272 с
10 Де Гроот С , Мазур П Неравновесная термодинамика — М Мир, 1964 — 456 с
Ill
РАСТВОРЫ
6
РАСТВОРЫ, СОДЕРЖАЩИЕ
НЕЗАРЯЖЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ
6.1. ДИФФУЗИЯ И КИНЕТИКА ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ
Рассмотрим процесс переноса массы за счет конвективной диффузии при
условии изотермичности в растворе, содержащем незаряженные компоненты [1].
Возможны реакции, носящие химический, физико-химический и биохимический
характер. Если реакции происходят во всей толще раствора, то они носят
название гомогенных или объемных. В случае, если реакции происходят в
ограниченной области, например па границе или части границы области, запятой
раствором, то такие реакции называются гетерогенными или поверхностными.
В первом случае производство компонента в ходе реакции учитывается члена-
ми типа источников в уравнениях переноса, а во втором — в граничных усло-
виях па реагирующих поверхностях.
Гомогенные реакции иногда сопровождаются значительным выделением
тепла, поэтому в уравнении энергии необходимо учитывать выделение тепла в
объеме. В настоящей главе будем рассматривать процессы без выделения тепла
в объеме, так что предположение об изотермичности допустимо.
Большой класс задач составляют задачи о течениях с гетерогенными
реакциями па твердых и межфазных поверхностях, в частности мембранах,
процессы растворения и осаждения вещества из раствора или расплава и т. п.
Гетерогенные реакции состоят из нескольких этапов. Первым этапом, называ-
емым транспортным, является доставка реагирующего компонента к реагируе-
мой поверхности. Второй этап состоит из самого процесса химической реакции
па поверхности. Этот этан в свою очередь может состоять из нескольких этапов,
включающих дифузию реагирующего вещества через стенку или поверхност-
ный слой, адсорбцию вещества па поверхности, химическую реакцию, десорбцию
продуктов реакции и их диффузию из стенки или поверхностного слоя. Третий
этап заключается в переносе продуктов реакции в толщу потока. Каждый этап
определяется своим характерным временем. Этап, обладающий наибольшим
характерным временем, будем называть лимитирующим этаном, а соответствую-
щий ему процесс — контролирующим. В случае, если лимитирующим является
первый или третий из перечисленных выше этапов, то соответствующий процесс
называется диффузионно контролируемым. Уравнения, описывающие этот этап,
92
являются уравнениями диффузии. Если наибольшим временем обладает второй
этап, то говорят, что он контролируется кинетикой реакции или является кине-
тически контролируемым. Поскольку этот этан сам состоит из нескольких
подэтапов, то внутри этого этапа можно говорить о диффузионно и кинетически
контролируемых подэтапах. Если характерные времена этапов или подэтапов
имеют одинаковый порядок, то такая реакция называется смешанной.
Удельная мольная скорость производства г-го компонента в ходе гомоген-
ной реакции определяется выражением
(6.1)
V dt ’
где V — объем смеси; и, = С, V — число молей г-го компонента с концентра-
цией С,.
В общем случае 7?" зависит от Г, р и концентраций компонент, участвую-
щих в реакции, например катализатора или ингибитора.
Гетерогенная реакция происходит на поверхности, поэтому удельная моль-
ная скорость реакции определяется как
rs _ ± dnt_ (g 2)
! s dt ’ v 7
где 5 — площадь реагируемой поверхности.
Теория гомогенных и гетерогенных химических реакций совпадает. Пере-
ход от одной реакции к другой можно осуществить, используя формулу
R^V = R^S. (6.3)
Простой реакцией называется реакция, скорость которой при заданной
температуре зависит только от скорости столкновения реагирующих молекул
или, в соответствии с законом действующих масс, пропорциональна концентра-
циям вступающих в реакцию компонентов:
Я, =^ПСр; v = £vy, (6.4)
1 /
где k — константа реакции; v; — порядок реакции; v — суммарный порядок
реакции.
В случае обратимой или двухсторонней реакции под скоростью реакции
следует понимать разность скоростей прямой и обратной реакций. В момент
установления равновесия этих реакций R{ = 0, а константы прямой (f) и обрат-
ной (г) реакций связаны соотношением
k = kf/kT, (6.5)
где k — константа равновесия обратимой реакции.
Под сложной реакцией понимается реакция, скорость которой зависит как
от концентраций компонентов, вступающих в реакцию, так и от концентраций
промежуточных и конечных продуктов реакции. Для сложных реакций поря-
док реакции часто не известен, тем не менее и для таких реакций применяют
закон (6.4), но показатели степени могут быть нецелыми и не обязательно
положительными.
Если механизм реакции не известен, то часто скорость реакции берут в
виде эмпирической зависимости
R, = k,C?. (6.6)
Константа реакции, входящая в формулы (6.4) и (6.6), вообще говоря, не
93
является константой. Она зависит от температуры в соответствии с законом
Аррениуса
k = В ехр(-^т), (6.7)
где Е — энергия активации, т. е. энергия, необходимая молекуле, чтобы прореа-
гировать; В — постоянная реакции; А — газовая постоянная.
Для гетерогенных реакций также справедливы законы (6.4) и (6.6), но
константы реакции имеют другую размерность, поскольку скорость реакции
отнесена к единице поверхности, а не объема. В частности, эмпирический закон
(6.6) записывается в виде
(Д.(5))ю = (k;c:)a. (6.8)
Индекс w означает, что реакция происходит на поверхности.
Рассмотрим подробнее, что происходит на реагируемой поверхности, по-
скольку условие (6.8) по сути является граничным условием для решения урав-
нений диффузии. В процессе гетерогенной реакции молекулы реагирующего
вещества адсорбируются на поверхности. Если поверхность однородная и на ней
образуется монослой адсорбируемого вещества, то процесс адсорбции описывает-
ся изотермой Ленгмюра, связывающей количество адсорбируемого на поверхно-
сти вещества с концентрацией С этого вещества в растворе возле поверхности:
0 = С/(С + Ь). (6.9)
Здесь 0 — доля поверхности, занятой молекулами адсорбируемого веще-
ства, b — константа адсорбции.
Если скорость адсорбции большая, а скорость химической реакции на
поверхности мала, то
=6'0 = 6'-^, (6.10)
где k'a — константа поверхностной реакции.
Такой процесс называется физической адсорбцией. В физической адсорб-
ции действуют межмолекулярные силы типа вандерваальсовского или диполь-
ного взаимодействия. Поэтому физическая адсорбция не требует энергии акти-
вации и протекает очень быстро. В частности, при малой концентрации адсор-
бируемого вещества в растворе возле поверхности 7?(5) ~ С, а при большой
концентрации — 7?(5) - 1. Следовательно, физическую адсорбцию можно рассмат-
ривать как химическую реакцию, порядок которой 0<v<l.
Другим предельным случаем является медленная адсорбция вещества и
быстрая химическая реакция на поверхности. Такой процесс называется хими-
ческой адсорбцией или хемосорбцией. Здесь адсорбированные молекулы связыва-
ются с поверхностью химическими силами того же типа, что и силы, осуществ-
ляющие валентную связь. Для того чтобы эти силы действовали, молекула
должна перейти в деформированное состояние и преодолеть активационный
барьер. Поэтому химическая адсорбция требует энергии активации. Иногда ее
называют активированной адсорбцией. Химическая адсорбция тесно связана с
процессом гетерогенного катализа. Скорость реакции в случае химической ад-
сорбции дается выражением
Л(5> =^(1-0) = ^^7ь- (6.11)
Для неоднородной поверхности вместо (6.9) имеет место изотерма Фрейндлиха
0= k'C,/f (п> 1). (6.12)
94
Мольный поток незаряженного г-го компонента на поверхности равен
(j*K =(С,и-ДУС;)Ю.
(6.13)
Если поверхность непроницаема и гетерогенная реакция не сопровождает-
ся локальным изменением плотности, то па поверхности удовлетворяется усло-
вие прилипания и = 0. В противном случае возле поверхности существует кон-
вективный поток реагирующей смеси по нормали к поверхности. Этот поток
называется стефановским. Он обычно не оказывает заметного влияния на
химические и биохимические гетерогенные реакции и его можно не учитывать.
Однако в задачах с интенсивным плавлением, испарением и конденсацией ве-
щества стефановский поток может быть не мал и его нужно учитывать.
Если поверхность, на которой происходит гетерогенная реакция, проницае-
ма или полупроницаема (мембрана), то также имеется поток в направлении
нормали к поверхности. Условия на такой поверхности будут обсуждаться в
дальнейшем в связи с процессом фильтрации в мембранах.
Вернемся к случаю непроницаемой поверхности. Возьмем местную систему
координат, связанную с поверхностью, причем ось у направим по нормали в
направлении, противоположном направлению VC,. Тогда из условий (6.13)
следует
=k'c«- (6.14)
\ Jw
Здесь для простоты индекс i опущен.
Условие (6.14) приводит к появлению дополнительного безразмерного
критерия. Действительно, введем безразмерные параметры
y*=y/L, С* = С/С0,
где L — характерный линейный размер; Со — характерная концентрация, напри-
мер концентрация в толще раствора вдали от поверхности.
Считая D и k' постоянными, из (6.14) получим
1 (—С1* / с а - ч
Da Sy* ~ С"’‘ (6.15)
\ /W
Безразмерный параметр
k'Cg 1 скорость реакции
D/L скорость диффузии
(6.16)
называется числом Дамколера. При Da » 1 скорость производства продукции
реакции на поверхности намного больше скорости доставки вещества к поверх-
ности за счет диффузии. При этом условие (6.15) сводится к
Сю = 0. (6.17)
Физический смысл этого условия состоит в том, что скорость реакции на
поверхности настолько велика, что частицы (молекулы) реагирующего вещества,
достигающие поверхности в результате диффузии, мгновенно вступают в реак-
цию с поверхностью и исчезают из раствора. Поскольку поток вещества к
поверхности пропорционален Со - Сю, то при Cw = 0 этот поток достигает мак-
симального значения, который называется предельным потоком. Граничное
условие (6.17) формулируется для многих задач диффузии, называемых диф-
фузионно контролируемыми.
При Da « 1 скорость образования продуктов реакции мала но сравнению
95
со скоростью диффузионного подвода реагирующего вещества к поверхности.
Поэтому приближенно можно считать, что диффузионный поток на поверхности
равен нулю, т. е.
(6.18)
В этом приближении на поверхности можно считать С ~ Со и скорость
реакции примерно равной k'Co-
6.2. КОНВЕКТИВНАЯ ДИФФУЗИЯ
Ранее было показано, что для предельно разбавленного раствора Sc» 1,
следствием чего является неравенство PeD » 1 для не очень малых значений Re.
В предельном случае (PeD —> уравнение (5.109) принимает вид
DC/Dt = Q. (6.19)
Из (6.19) следует, что С остается постоянной в процессе движения жидкой
частицы. Если в толще потока С = Со, а на поверхности Са = 0, то не существует
решения уравнения (6.19), удовлетворяющего этим условиям. Поэтому по ана-
логии с теорией вязкого пограничного слоя возле поверхности должен сущест-
вовать тонкий диффузионный пограничный слой толщины 5О, в котором концен-
трация изменяется от Со до С„. Внутри этого слоя производные по нормали
(ось г/) много больше производных по касательной (ось х) к поверхности.
Напомним, что толщина вязкого пограничного слоя оценивается выраже-
нием [2]
Коэффициент диффузии играет ту же роль, что и коэффициент кинемати-
ческой вязкости V, а поскольку Sc» 1, т. е. v» D, то 3D « (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Диффузионный и вязкий пограничный слой иа теле
96
(6.21)
В диффузионном пограничном слое д2С/х2д « д2С/ду2, поэтому уравне-
ние конвективной диффузии в слое принимает вид
ас ас , ас ^э2с
if + ui/ + vi/ = d^-
Рассмотрим процесс диффузии на бесконечной плоской стенке [3, 4]. Оце-
ним толщину диффузионного пограничного слоя. Для простоты будем счи-
тать процесс стационарным. Из теории вязкого пограничного слоя известно, что
v/u ~ Зо/L, поэтому идС/дх ~ vdC/dy. Поскольку 3D « 8[г, то профиль скорости
в диффузионном слое равен скорости в непосредственной близости от стенки:
Ъ - -k- <6.22)
Следовательно,
ЭС гт У (Q ~ О») v5p(C0 — Сю)
------------------------------------------------• (6.23)
Здесь учтено, что у ~ 5D и S^/x ~ vU.
Для оценки (6.23) необходимо знать концентрацию С„. Если процесс диф-
фузионно контролируемый, то Сю = 0. Другим примером является поверхность,
материал которой может растворяться в жидкости. Если растворение происходит
намного быстрее, чем отвод растворенного вещества в толщу жидкости, то Са; = Csat,
где Csat — равновесная концентрация растворенного вещества в жидкости возле
поверхности. Для случаев смешанных гетерогенных реакций и проницаемой
поверхности значения С„ будут определены в соответствующих разделах.
Внутри пограничного слоя у ~ 3D и D Э2 С/д у2 - и дС/дх. Оценивая члены
в последнем равенстве, получим
Зо ?>и
откуда находим
- Y/3X - 8"
D \v) °u Sc’/з Sc’/з
(6.24)
Для предельно разбавленных растворов Sc ~ 103, поэтому 3D ~ 10“' 8У. Сле-
довательно, Зо « 3(, и распределение скоростей в диффузионном пограничном
слое находится независимо из решения соответствующей гидродинамической
задачи. В качестве примера рассмотрим стационарное ламинарное течение вязкой
несжимаемой жидкости в плоском канале. Известно, что на некотором рассто-
янии от входа в канал профиль скорости переходит в параболический пуазей-
левский (рис. 6.2) [5].
На рис. 6.2 показано развитие профиля скорости от однородного и = U
на входе до параболического w = w (г/), который устанавливается на некотором
расстоянии Lv. Это расстояние называется длиной входного участка [5]. Пунк-
тирной линией показано изменение толщины вязкого пограничного слоя по
длине х. Характерное время, за которое слой достигнет оси канала (Зу-й),
оценивается как t4~h2/v. Согласно [4, 5] длина входного участка
Lv ~ 0,16/г Re, Re = h U/v.
(6.25)
Так, для значения Re = 103 имеем Lv ~ 80 (2/г).
Аналогичная картина наблюдается для течения предельно разбавленного
раствора с диффузией растворенного компонента от стенки канала (рис. 6.3).
7 - 1461 97
Пуазейлевский профиль и(у)
Поскольку для предельно разбавленного раствора v» D, то длина на-
чального концентрационного участка LD » Ly. На рис. 6.3 показан случай,
когда растворенное вещество поступает в поток от растворяемой стенки. При-
чем на входе на стенке С = 0, а при х > О С = Cw = Csat. Растворенное вещество
диффундирует от стенки к оси канала.
Возможен также другой случай, когда стенка адсорбирует компонент, ра-
створенный в жидкости, поступающей на вход канала с концентрацией Со.
В этом случае на стенке выполняется граничное условие С = 0 при х > 0 и
картина развития течения аналогична рис. 6.2 с заменой U на Со, Ф- — на 3D,
Lv — на Ld. В отличие от развития профиля скорости концентрация на оси
канала остается постоянной по длине входного участка, а далее убывает с уве-
личением х, поскольку растворенное вещество адсорбируется на поверхности.
Профиль скорости в развитом плоском течении имеет вид
м = м fl- и = = (6 26)
maxf Л2 J’ max 3U 2ц dx к
Соответственно в круглой трубе
и = wmax(l - = 2U. (6.27)
Везде стенки у/h » 1 и, пренебрегая в (6.26) членом у2/№, получим
u~umj£. (6.28)
98
Поскольку 5d « Sy, то в диффузионном пограничном слое можно для
скорости взять выражение (6.28). Это позволяет более точно оценить толщину 3D.
Имеем
ПЭ2С ЭС
D ду2 U Эх >
откуда
(Со ~ Ctt,) 28/) (Со Сю)
А* итгх ~h *
и
\Л/ ^тпах^ J
Сравнивая (6.29) с (6.24), можно заключить, что на бесконечной плоской
стенке 3D~x1/2, в то время как на стенке канала 8й~х1/3. Для оценки длины
входного концентрационного участка LD следует в (6.29) положить 3D ~ h, х - LD
и wmax ~ U. В итоге получим
~ = PeD. (6.30)
Следовательно, в рассматриваемой задаче число PeD играет ту же роль, что
число Re в соответствующей гидродинамической задаче.
В рассмотренных выше задачах о диффузионном пограничном слое на
бесконечной плоской стенке и в плоском канале можно определить поток ве-
щества на стенку, считая профиль концентрации возле стенки линейным:
j* ~ D-%dC-. (6.31)
Подставляя в (6.31) выражения для 3D из (6.29) или (6.24), найдем
изменение диффузионного потока на стенку по длине.
В заключение заметим, что рассмотренные в настоящем разделе методы
можно без изменения применить к задачам теплообмена, поскольку распреде-
ление температур описывается таким же уравнением, как уравнение диффузии.
Аналогично формулируются и граничные условия. Нужно только D заменить
на коэффициент температуропроводности, а число PeD — на Рег. Соответству-
ющий пограничный слой называется тепловым. Подробности решения задач
теплопроводности можно найти в [6].
6.3. ТЕЧЕНИЕ В КАНАЛЕ
С РЕАГИРУЮЩЕЙ СТЕНКОЙ
В предыдущем разделе в приближении Sc » 1 была оценена толщина
диффузионного пограничного слоя на стенке канала. Рассмотрим теперь решение
уравнения конвективной диффузии в области развития слоя, когда 3D//z« 1,
т. е. па небольших расстояниях от входа в капал. Предположим, что стенка
капала сделана из материала, способного растворяться в потоке жидкости, по-
этому граничным условием на стенке будет С = Csat, а вдали от стенки С = 0.
В случае, если рассматривается задача адсорбции па стенке из предельно раз-
бавленного бинарного раствора с концентрацией компонента Со, то на стенке
С = Cw = Q, а вдали от стенки С = Со. Рассмотрим диффузию в области гидро-
7* 99
динамически развитого течения. Тогда можно положить v=0, а в качестве
продольной скорости взять выражение (6.28). Заметим, что аналогичный случай
реализуется в развитой топкой пленке толщиной 5, текущей под действием силы
тяжести по плоской вертикальной стенке [3]. Профиль скорости в ней парабо-
лический, максимальная скорость
wmax = $?52/2v (6.32)
достигается на свободной поверхности пленки. Толщина пленки
3 = (3vQ/g)'/3, (6.33)
где Q — объемный расход жидкости через единичное сечение пленки.
Сделанные предположения позволяют написать уравнение стационарной
конвективной диффузии
2 h Эх D Эг/2 <6-34>
с граничными условиями
С = Csat при у = 0 ; С = 0 при у —> (6.35)
Заметим, что второе условие, вообще говоря, должно формулироваться при
y = h, но, имея в виду, что рассматривается область у/h « 1, это условие можно
сформулировать при у —> °° .
Уравнение (6.34) с условиями (6.35) имеет автомодельное решение. Чтобы
получить это решение, поступим следующим образом. Из вида (6.34) следует, что
<6-36)
Поскольку левая часть (6.36) безразмерная, то должна быть безразмерной
и правая часть. Из трех параметров х, у и 1u,,,№/Dh попытаемся найти один
безразмерный комплекс
т] =хаг/(3(2мтах/£)/г)1', (6.37)
такой, чтобы
С = — = /-(п) (6.38)
'-'sat
удовлетворял уравнению (6.34). Имеем
&С _ Р g „ , /2г^у _d_ ( _ Г(п)Рп = РЧц_ ( Л), _ Лп)РП
ду2 ~ У РУ \ Oh ) dry ’ у2 у2 dry 2 yi
Подставляя полученные выражения в (6.34), найдем
(llu W3 V
= PW')'- (6-39)
Из этого уравнения следует, что если
/2и \1/3
’ (б-4о)
100
то решение уравнения (6.34) можно искать в виде (6.37), положив а = - 1/3,
(3=1, у = 1/3, причем f(t]) будет удовлетворять уравнению
/" + |Т12/-' = 0. (6.41)
Граничные условия (6.35) преобразуются к
f = 1 при ц = 0, /= О при р -> оо. (6.42)
Уравнение (6.41) можно преобразовать к виду
rf(lnf) = -^. (6.43)
аг\ ' 3
Дважды проинтегрировав это уравнение, найдем
п
f = e-’i3/9</p + В.
о
Используя граничные условия (6.42), окончательно получим
f е-”379^
f = ---------. (6.44)
f е-”379^
о
Интеграл в знаменателе выражается через полную гамма-функцию
Г(г) = ^zn~'e~zdz, п > 0.
о
Действительно, сделав замену ц3/9 = г, получим
| е-п3/Мт| = -Л~ j г-2/з&-г(1г = 1,858.
о о
Таким образом,
-Я- = Др) = 1 - 0,538 f е-п3/9с?т]. (6.45)
*-zsat J
0
Диффузионный поток на стенку равен
Г - = -С,.„о(2§£/7'<Л). - 0,678C„d(^)‘/3. (6.46)
Подставляя (6.46) в (6.44), получим выражение для толщины диффузион-
ного слоя:
Если решается аналогичная задача об адсорбции па быстро реагирующей
стейке, то в качестве граничных условий следует брать
С = С/ = 0 при у = 0 , С = Со при # —> (6.48)
Повторяя приведенные выше выкладки, нетрудно получить
= 0,538/ e-nWij. (6.49)
101
Далее можно получить выражение для потока, который будет направлен
не от стенки, а к ней, и толщину диффузионного пограничного слоя. Очевидно,
эти характеристики совпадают с (6.46) и (6.47), но в них следует заменить Csat
на Со.
6.4. ОБРАТНЫЙ ОСМОС
Метод обратного осмоса [7] заключается в фильтрации растворов под
давлением через полупроницаемые мембраны, пропускающие растворитель и
полностью или частично задерживающие молекулы либо ионы растворенных
веществ. В основе метода лежит явление осмоса — самопроизвольного перехо-
да растворителя через полупроницаемую мембрану в раствор (рис. 6.4, а) при
перепаде давления АР, меньшем некоторого значения л. Давление л, при кото-
ром наступает равновесие, называется осмотическим (рис. 6.4, б). Если со
стороны раствора приложить давление р' > р" + л, то перенос растворителя будет
осуществляться в обратном направлении, поэтому этот процесс называется
обратным осмосом (рис. 6.4, в). Из сказанного следует, что движущей силой
обратного осмоса в случае идеальной полупроницаемой мембраны является
Ар = АР-л, (6.50)
где ДР — избыточное (рабочее) давление над раствором; л — осмотическое
давление раствора.
Однако на практике мембрана не обладает идеальной полупроницаемостью
и наблюдается некоторый переход через мембрану растворенного вещества.
В этом случае (6.50) принимает вид
Ар = (р' _ р") ~ Ал , Ал = л'- л", (6.51)
где л' и л" — осмотические давления в растворе перед мембраной и фильтрате
за мембраной.
В химической термодинамике для определения осмотического давления
поступают следующим образом [8]. Рассмотрим равновесие раствора, химиче-
ский потенциал которого равен ц', с растворителем, химический потенциал
которого р". Раствор и растворитель разделены полупроницаемой мембра-
ной. Химическое (осмотическое) равновесие между ними наступает при ус-
ловии
Рис. 6.4. Осмос и обратный осмос
102
ц7=ц;, (6.52)
где i = 1 для растворителя, i — 2 для растворенного вещества.
Воспользовавшись выражением (5.54) раздела II для химического потен-
циала, получим для растворителя в растворе
Щ = Ц°(Т, р') + EATlnXf (6.53)
и для растворителя в фильтрате, т. е. в жидкости, прошедшей через идеальную
мембрану,
ц"=ц“(Т, р"). (6.54)
Из (6.52) — (6.54) находим
ц?(Г, р") - ц?(Г, р') = =ЛТInxt. (6.55)
Из последнего равенства следует, что р” = р' только при xt = 1, а поскольку
Х( < 1, то р" Фр’. Используя выражение для р?(Т, р) [8], получим, что при ос-
мотическом равновесии
где и® — мольный объем чистого растворителя при давлении О,5(р' + р").
В разделе 5.3 было отмечено, что предельно разбавленные растворы ведут
себя как идеальные. Обратное, вообще говоря, неверно. Рассмотрим предельно раз-
бавленный раствор, в котором —> 1. а ^х, —> 0. Тогда из (6.56) следует, что
n = ^lnfl-£xX ^т-Цх. =^ЦСД° =5АГС, (6.57)
V1 \ J *>1 l#l V1 Z#1
где С, и С — мольные концентрации растворенных компонент.
Уравнение (6.57) для осмотического давления в идеальном предельно
разбавленном растворе называется уравнением Вант — Гоффа. Оно похоже на
уравнение состояния для идеального газа.
Из (6.57) следует, что осмотическое давление является свойством раствора
и не связано со свойствами вещества мембраны.
В табл. 6.1 приведены значения осмотического давления для некоторых
водных растворов при стандартной температуре для различных концентраций
растворенного вещества [4].
Из приведенных в таблице данных следует, что для заданного компонента
л убывает с уменьшением концентрации компонента. Осмотическое давление
Таблица 61
Растворенный компонент Концентра- ция, кг/ м3 Осмотическое давление, МПа
NaCl (М = 58,5) 50 4,609
10 0,844
5 0,421
Мочевина (М = 60) 50 2,127
10 0,427
5 0,213
Сахароза (М = 342) 50 0,380
10 0,076
5 0,038
103
уменьшается также с увеличением молекулярного веса компонента при фикси-
рованной концентрации. Расход растворителя, пропускаемого мембраной, равен
У*=Л(АР-Ал), (6.58)
где А — коэффициент проницаемости мембраны по отношению к растворителю.
Как уже было отмечено, мембрана не полностью задерживает растворенное
вещество. Поскольку движущей силой переноса растворенного вещества через
мембрану является разность его концентраций до и после мембраны, то поток
этого вещества дается выражением
j* = В ACW ~ BCWRS. (6.59)
Здесь В — коэффициент проницаемости мембраны по отношению к раство-
ренному веществу, С,,. — концентрация растворенного вещества в растворе пе-
ред мембраной (считается, что за мембраной Сш) « С„), Rs —коэффициент
задержания мембраны. Поскольку осмотическое давление для предельно раз-
бавленных растворов согласно (6.57) пропорционально концентрации раство-
ренного вещества, то, используя формулы (6.57) и (6.58), можно оценить ско-
рость фильтрации раствора через мембрану [4]
vw=i = A'Ap(l-Rs£g^. (6.60)
Здесь А' = А/Сл , СА — мольная концентрация растворителя в растворе, Со —
концентрация растворенного вещества в толще потока перед мембраной, л0 —
осмотическое давление, соответствующее концентрации Со.
Заметим, что при АР » щ коэффициент задержания мембраны > 1.
Отличительной чертой процесса фильтрации раствора через мембрану
является то, что концентрация растворенного вещества па поверхности перед
мембраной больше, чем в толще раствора. Этот эффект называется концентра-
ционной поляризацией. Отметим некоторые отрицательные последствия явле-
ния поляризации. Во-первых, увеличение поверхностной концентрации приво-
дит к увеличению осмотического давления перед мембраной, в результате чего
при заданном перепаде гидростатического давления на мембране АР увеньша-
ется поток растворителя через мембрану (см. (6.58)). Во-вторых, согласно
(6.59) увеличивается поток растворенного вещества через мембрану, что неже-
лательно.
Степень концентрационной поляризации зависит от гидродинамики потока
перед мембраной и от геометрии поверхности мембраны. Поэтому уменьшить
отрицательные последствия эффекта концентрационной поляризации можно путем
воздействия на гидродинамику потока и геометрию поверхности. Так, увеличе-
ние скорости потока вдоль поверхности мембраны, в частности турбулизация
потока, способствует переносу растворенного вещества от стенки и ослабляет
эффект поляризации.
Проиллюстрируем эффект концентрационной поляризации решением соот-
ветствующей стационарной задачи конвективной диффузии бинарного предель-
но разбавленного раствора в канале, стенками которого являются полупрони-
цаемые мембраны [9, 10]. Качественная картина распределения концентраций
растворенного вещества показана на рис. 6.5.
На входе в канал профиль концентрации считается однородным по сече-
нию канала. Когда раствор втекает в канал, растворитель фильтруется через
стенки, т. е. наряду с продольным конвективным переносом наблюдается пере-
нос растворенного вещества к стенке. Поскольку растворенное вещество прак-
104
Рис. 6.5. Конвективная диффузия в канале, стенки которого — полупроницаемые мембраны
тически не проходит через мембрану, то его концентрация у стенки увеличива-
ется, т. е. Сю > Со. Разность концентраций Cv - Со является движущей силой
диффузионного потока растворенного вещества от стенки к оси канала. В итоге
профиль концентрации деформируется по длине канала, возле стенки образу-
ется концентрационный пограничный слой, толщина которого растет. Длина, на
которой он достигает оси канала, называется длиной входного участка. Каче-
ственно картина выглядит так же, как в диффузионной задаче, рассмотренной
в разделе 5.3. Поскольку Sc » 1, то толщина диффузионного слоя много
меньше толщины вязкого пограничного слоя и при рассмотрении конвективной
диффузии в качестве скорости потока можно взять распределение скоростей в
развитом течении в канале. Однако в отличие от рассмотренной в разделе 5.3
задачи о диффузии в канале с растворимой или быстро реагирующей стенкой
в задаче с полупроницаемой стенкой необходимо учитывать поперечную состав-
ляющую скорости V, которая на стенке равна v„ - скорости растворителя на
стенке. В рассматриваемом случае уравнение диффузии имеет вид
ЭС ЭС d~C (с
U^ + V^ = DW- (6'61)
Для определения скоростей необходимо решить гидродинамическую зада-
чу о развитом течении в канале с проницаемой стенкой. В случае, когда число
Рейнольдса, соответствующее скорости фильтрации жидкости vw через стенку,
мало (это условие ввиду малости vr, обычно выполняется), продольная скорость
имеет тот же вид, что и при течении в канале с непроницаемыми стенками
(течение Пуазейля):
« = (6.62)
а поперечная скорость равна [11]
v = Дг(3 - рО’ ~ « !•
(6.63)
Поступим так же, как и в разделе 5.3. Введем вместо г координату у = г + h
и, поскольку рассматривается входной участок недалеко от входного сечения
канала, будем считать y/h « 1. Тогда из (6.62) и (6.63) приближенно имеем
w = 2wmax-^ = Зы р (6.64)
v = -vw. (6.65)
Сформулируем теперь граничные условия. На входе
С = Со при х = 0. (6.66)
105
Граничное условие на стенке (мембране) формулируем, используя условие
сохранения расхода растворенного вещества через мембрану
-vwCw - оИ = -(1 - Rs)vwCw. (6.67)
\ду )w
Здесь слева стоит разность между конвективным потоком растворенного
вещества к стенке и диффузионным потоком от стенки, справа — поток этого
же вещества через стенку.
Условие (6.67) упрощается и принимает вид
RsvwCw = (6.68)
\^У JW
Условие (6.68) соответствует случаю, когда мембрана пропускает раство-
ренное вещество (Rs < 1). В случае идеальной полупроницаемой мембраны Rs = 1
и условие (6.68) принимает вид
— ай”) (6.69)
У j W
Сравним полученное граничное условие с условием для смешанной гете-
рогенной реакции
k'C'a = (6.70)
При Rs = 1 условие (6.69) аналогично условию для смешанной гетероген-
ной реакции первого порядка (v = l). В случае Rs ~ С’" условие на стенке
соответствует условию для реакции порядка v = т + 1.
Аналогия между задачей о конвективной диффузии в канале с полупрони-
цаемыми стенками и задачей о смешанной гетерогенной реакции позволяет рас-
сматривать эти задачи вместе и выводы, справедливые для одной задачи, спра-
ведливы и для другой, несмотря на различие этих процессов как с физической,
так и с химической точек зрения. Кроме того, аналогия с химическими реакциями
позволяет ввести безразмерный параметр задачи (см. (6.16)) — число Дамколера
vw скорость фильтрации
D/h скорость диффузии ' ' 1 '
С другой стороны, его можно интерпретировать как диффузионное число
Пекле
р v„,h перенос массы при фильтрации
D D перенос массы при диффузии ’ ID./Z,
В области, занятой диффузионным пограничным слоем, можно ввести чис-
ло Пекле, определенное по толщине пограничного слоя 8О, причем для него
выполняется неравенство
РеD = « 1. (6.73)
Если речь идет о диффузии с условием на стенке, соответствующим смешан-
ной гетерогенной реакции, то неравенство (6.73) аналогично неравенству Da« 1.
Это значит, что скорость образования продуктов реакции мала по сравнению с
диффузионным потоком.
Оценим по порядку величины концентрацию растворенного вещества на
поверхности мембраны, считая ее идеально полупроницаемой. Из (6.69) следу-
106
ет, что при относительно небольших изменениях концентрации на входном
участке (Сш/С0“1)
Cw Со ож8 о
Со ~ D
«1.
(6.74)
Толщину диффузионного слоя можно оценить, используя выражение (6.29).
В итоге из (6.74) найдем
Са, Ср tj/з t (УщЬУ( D х\
Со ~ D J \3uhj\h)'
(6.75)
Число 3 здесь введено для удобства при дальнейших выкладках.
Параметр (Cw- Со)/Со характеризует степень концентрационной поляри-
зации. Уравнение (6.61) с выражениями для скоростей (6.64) и (6.65) и
граничными условиями (6.69) на стенке и С —> Со при у (это условие
соответствует постоянству концентрации вне диффузионного пограничного слоя
в толще потока, а поскольку y/h « 1, то оно формулируется при у—> °°) имеет
автомодельное решение, которое можно получить так же, как в п. 1.3. Ищем
решение в виде
m ч = /gt/ = (6.76)
или с учетом (6.75) в виде
С* = = ^/зДц). (6.77)
^0
Далее находим
ас г ас* Эх ~ дх ~ ter + Frl = c0^(/--n/') \ dt, дх дц дх) и Зх ' "
ас _ г ду -
а2 с _ г ду2 с° = С.(ж7)2/Зс^г<п).
Подставляя полученные производные в уравнение диффузии (6.61), най-
дем, что при 8В —> 0 и ^’/3 —> О
Соответственно преобразуются граничные условия:
f = - 1 при т| = 0 , f —> О при г] —>
Решение уравнения (6.78) ищем в виде
Лп) =т]7(г|)-
Подстановка в (6.78) приводит к уравнению
(
Г|<7" +1 др + 2 \q' = О,
решение которого с учетом второго условия (6.79) имеет вид
f ч А
q = -А е -j7- + J г|е-ч3/9(7г| .
(6.78)
(6.79)
(6.80)
(6.81)
(6.82)
107
Первое граничное условие (6.79) позволяет найти А:
/ о. \-1
1J Г|е-ч3/9с?г|
< о ,
9</з
Г(2/3)
= 1,536.
В итоге получим
/(т]) = 1.536 е-п3/9
Л J Tje-’i3/9dr|
n J
(6.83)
Из (6.77) и (6.83) находим изменение концентрации растворенного веще-
ства в растворе перед мембраной
= 1 + £'/зД0) = 1 + 1,536£’/з.
(6.84)
Как уже отмечалось, решение (6.83) и (6.84) годится при £’/3 —> 0. Деталь-
ный анализ показывает, что оно справедливо при £<0,02.
До сих пор рассматривался один из процессов, связанный с мембранным
разделением смесей, — обратный осмос. Перечислим некоторые другие процессы.
Диализ. Если в процесс осмоса вместе с растворителем переносится и
часть растворенного вещества, то такой процесс называется диализом.
Ультрафильтрация — сепарационный процесс, в котором молекулы или
коллоидные частицы фильтруются из раствора через мембраны. Особенностью
процесса, отличающего его от обратного осмоса, является то, что разделяются
системы, в которых молекулярная масса растворенных компонентов намного
больше молекулярной массы растворителя. Движущей силой процесса, как и в
обратном осмосе и диализе, является градиент давления.
Электродиализ — процесс, в котором ионы растворенного вещества прохо-
дят через мембрану под действием электрического поля. В этом процессе дви-
жущей силой является градиент электрического потенциала.
В заключение отметим, что обратный осмос и ультрафильтрация принци-
пиально отличаются от обычной фильтрации. Если при обычной фильтрации
продукт откладывается в виде осадка па поверхности фильтра, то при обратном
осмосе или ультрафильтрации образуются два раствора по обе стороны мемб-
раны, один из которых обогащен растворенным веществом.
6.5. ДИФФУЗИЯ К ДВИЖУЩЕЙСЯ В РАСТВОРЕ
ТВЕРДОЙ ЧАСТИЦЕ
Рассмотрим конвективную диффузию к сферической твердой частице ра-
диуса R, движущейся поступательно с постоянной скоростью U в бинарном
бесконечно разбавленном растворе [3]. Будем предполагать частицу настолько
малой, что число Рейнольдса Re=UR/v« 1. При этом режим обтекания
частицы раствором будет стоксовым и на поверхности не будет вязкого погра-
ничного слоя. Диффузионное число Пекле равно PeD = Re Sc, для предельно
разбавленных растворов Sc - 103, стоксово обтекание годится до значений Re ~ 0,5,
поэтому вполне допустимо предположение, что PeD>> 1. При этом на поверх-
ности существует тонкий диффузионный пограничный слой Предположим, что
на поверхности частицы происходит быстрая гетерогенная реакция или частица
растворяется в жидкости. Уравнение конвективной диффузии в пограничном
108
диффузионном слое в сферической системе координат г, 0, ср с учетом того, что
от азимутального угла ср концентрация не зависит, имеет вид
ЭС «в ЭС ,ДЭ2С , 2 ЭС\ „гч
В правой части уравнения диффузии опущено слагаемое лапласиана
r2sm6 <и(Э * 5*п0 1^)’ поскольку в пограничном слое производные по касательно-
му к поверхности направлению малы по сравнению с производными по нормали
к поверхности, т. е. по радиусу. Из решения задачи о стоксовом обтекании
шара [12] известно, что функция тока
у = -^-sin2e(r2 - + (6.86)
Поскольку рассматривается диффузия в пограничном слое, толщина кото-
рого 8n « R, то, вводя вместо г координату у = r~ R, имеющую смысл расстоя-
ния от поверхности шара, и считая y/R « 1, приближенно получим
=-| С7г/2 sin2 0. (6.87)
Уравнение неразрывности в сферической системе координат имеет вид
^(sin0r2wr) + ^-(rsin^We) = 0. (6.88)
Вид уравнения (6.88) позволяет выразить скорости через функцию тока
1 Эш 1 Эш ,
Ur = r2sin0 30’ = ~ rsinOdr ' (6.89)
Переходя в (6.89) от г к у и считая y/R « 1, получим
1 Эу 1 Эу з тт У о
Ur ~ ^2sin0 ЭН ’ ~ Ksm0 ду ~ 2^7?5Ш0' (6.90)
Вернемся теперь к уравнению диффузии (6.85). Введем вместо г и О
новые переменные ц и О. Имеем
ЭС(г, 0) дС ЭС Эу эс _ эс
-^0—= 7)0 + Э^Э0 = Э0+/? sm0^3V>
ЭС(г, 0) ЭС Эу „ . ~ эс
-Э7~= Э?^-*
Э2С___д дС(г, 9) ду д ( п ;п д .. дС _ _ ра с,п2 А и d f,, Эс)
Эг2 _ дг дг ~ дг “ sm 0 Ме ТцГ] ~ К sm 0 м« Эу
Покажем, что Действительно,
2ЭС _ 2 ЭС
г dr R ду ’
Э2С _ э2с _ э f эс).. 1 эс
Дг5" Э1/2 ду (ду) 8О ду ’
а поскольку 8В /R « 1, то
2 ЭС . Э2С _ 2. ЭС . 1 ЭС _ 25р 1
г dr ' dr2 R ду ' 8D ду R
Подставляя в (6.85) полученные выражения, найдем
|j=D7?3sin20^(Me^. (6.91)
109
Выразив ыв через у из (6.87) и (6.90), окончательно получим
4£ = JD7?2V3C7sin2e^-(JvM (6.92)
эе Эч< v Э\|< /
Граничными условиями для уравнения (6.92) являются:
С = 0 при V = 0 (поверхность частицы),
С —> Со при v —> °° (вдали от частицы), (6.93)
С = Со при $ = 0 и \|/ = 0 .
Здесь условие в толще потока формулируется при г —> (или при у —> °°).
Последнее условие (6.93) имеет простой смысл. Точка 9 = 0 и у = 0 соответ-
ствует точке набегания потока на сферу. В этой точке (рис. 6.6) поток еще не
обеднен диффузией и концентрация растворенного вещества совпадает с кон-
центрацией Со в толще потока.
Для интегрирования уравнения (6.92) введем вместо 0 новую переменную
t = DR>Jw\sin?ede = ^-^(e-^) + A. (6.94)
Тогда (6.92) сводится к уравнению
^ = ^(77^). <6 95)
которое имеет автомодельное решение вида
С = С(ц), ц = (6.96)
Имеем
ас__2_¥_,,__2 о ЭС________________________1_г,
dt 3 f5/3 / 3 9/ , ,2/3 / ’
Тогда (6.95) преобразуется к обыкновенному дифференциальному уравнению
<6-97>
Вводя z = Jr\, удается свести (6.97) к уравнению
U
Рис. 6.6. Коифективиая диффузия к твердой части-
це в растворе
110
решение которого дается выражением
f(z) = bJ e-^dz + Е,
о
где
(6.98)
(6.99)
Для определения постоянных А, В, Е воспользуемся граничными условия-
ми (6.93). Из первого условия при у = 0 (или z = 0) следует, что /"(0) = £ = 0.
Второе условие сводится к /"(<») = Со, откуда находим
В = fj e-^V9^ Со = С0^)1/3/^ ' = ^.
\о J 4 7
Рассмотрим теперь последнее граничное условие. В области вблизи точки
набегания значения угла 0 небольшие, поэтому, разлагая в (6.99) sinx в ряд
по х, получим
г.^яв[ев1&4зй^Ау'\ (б.юо)
Для выполнения условия С=С0 при 0 = 0 необходимо, чтобы А = 0. Дей-
ствительно, если А * 0, то из (6.100) следует, что z -&, и при 0 —> 0 имеем z —> 0.
Следовательно, С = f(z) —> 0, и условие в точке набегания не выполняется. Таким
образом, А = 0 и
3U У sin 9
4aR2 С sin2e)1/3’
(0-—2~J
0
(6.101)
Определим теперь диффузионный поток на поверхность частицы
п( ЭС \ _ ДСр J зи sin о
М5 N iDR2 ( sln2OY/3
I0-—J
(6.102)
Поток оказывается пропорционален Со, £1/3, О2/3, 7?'2/3. Поток зависит
также от угла 0. В точке 0 = л/2 эта функция угла равна (2/л)1/3, при 0 = л
опа равна 0, а в точке набегания при 0 = 0 функция равна 1. Таким образом,
поток убывает с ростом 0, принимания наибольшее значение в точке набегания
потока, а наименьшее — в кормовой точке. Толщина диффузионного погранич-
ного слоя оценивается из формулы
[дс\ Со_.
\^L So’
i,i5fe--^^V --
s”-~ЦйМ-Я?- <6-lo3>
ш
Толщина слоя растет с увеличением 0 и обращается в бесконечность при
0 = л. Напомним, что основным предположением было 3D«T?, однако начиная
с некоторого угла О, 3D становится сравнимым с радиусом R. В этой области
углов изложенная теория не годится. Однако, поскольку поток быстро убывает
с ростом 0, область углов, близких к кормовой части, не вносит заметный вклад
в полный поток на частицу. Поэтому, чтобы определить полный поток I, можно
проинтегрировать (6.102) по всей поверхности сферы, т. е. по 0 от 0 до л.
В итоге получим
К
I = J jwds = 2nR2 J jw sin (WO =
0
n
= 2л^^зС|^г I sin2erfe = 798C0£>2/3C7’/3^v3. (6.104)
1,15 v 4DR2 I f sin20)1/3
J 0_—5)
ok 2 J
До сих пор рассматривался случай PeD>> 1. Если PeD« 1, то из (5.114)
раздела II следует, что перенос вещества к сфере происходит за счет чистой
диффузии, а конвективным потоком можно пренебречь. Уравнение диффузии
сводится к
ДС = 0. (6.105)
Поскольку обтекание сферы потоком не учитывается, то распределение
концентраций будет зависеть только от г. Поэтому уравнение (6.105) примет вид
Решение этого уравнения с граничными условиями С = 0 при r = R, С= Со
при г —> °° равно
С = С0(1-т)- (6.107)
Соответственно поток на поверхности сферы
(бло8)
Интегрируя jw по поверхности сферы, найдем полный поток на частицу в
случае PeD « 1
/ = 4л£>7?С0. (6.109)
Особый интерес представляет диффузия к поверхности капли с внутрен-
ней вязкостью ц'. Эта задача рассмотрена в работе [3]. Основное отличие от
диффузии к твердой частице состоит в том, что необходимо учитывать возмож-
ность проскальзывания жидкости вдоль поверхности капли, вызванного внут-
ренним движением жидкости. Для случая, когда вещество адсорбируется на
поверхности, по не проникает внутрь капли, выражение для диффузионного
потока на поверхности имеет вид
/ \1/2Л гу \t/2
7 = 8? , Д2СоП‘/2. (6.110)
\3/ \2д(|Х + м )/
Сравнивая выражение для диффузионных потоков па твердую (6.104) и
112
на жидкую (6.110) частицы, можно сделать вывод, что при равных условиях
поток на жидкую частицу больше, чем на твердую. Это связано с более бла-
гоприятными условиями доставки вещества к поверхности, поскольку возле
поверхности капли происходит перемешивание раствора.
Решения задач конвективной диффузии к частицам при конечных числах
Re и PeD, а также для граничных условий более общего вида, чем (6.93), можно
найти в работе [13].
6.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВА, ВВЕДЕННОГО
В ПОТОК ЖИДКОСТИ
Измерение скорости потока путем введения в некотором сечении радиоактив-
ного вещества или электролита и последующего измерения активности или элек-
тропроводности в другом сечении ниже по потоку получило широкое применение
в разных областях техники и в особенности в физиологии (измерение скорости
течения крови в артериях). Основная сложность при использовании такого метода
состоит в том, что введенное вещество диффундирует как вдоль, так и против и
поперек потока. Если в поток введена некоторая порция вещества, то благодаря
конвекции и диффузии контуры объема, заполненного веществом, деформируются
и размываются. Это приводит к тому, что при измерении, например, электропровод-
ности или активности в точке, лежащей ниже по течению, они в некоторый момент
времени начинают увеличиваться, достигают максимума, а затем падают до нуля.
Теория этого метода для случая движения жидкости в трубе была разработана
Тейлором [14]. При отсутствии молекулярной диффузии качественная картина
распределения средней концентрации введенного вещества в потоке показана на
рис. 6.7, а для случая, когда в начальный момент вещество занимает в потоке по-
лубесконечную область и на рис. 6.8, а, когда вещество занимает конечную область.
Рис. 6.7. Распределение средней концентрации при конвективном переносе ве-
щества, занимающего полубесконечную область
8 - 1461
ИЗ
Рис. 6.8. Распределение средней концентрации при конвективном переносе вещества,
занимающего конечную область
Рассмотрим сначала как размывается полубесконечный слой только за
счет конвекции (см. рис. 6.7, б). Считаем течение развитым, так что скорость
имеет только продольную составляющую
u(r) = 2u[i-^, (6.111)
где R — радиус трубы.
Передний фронт слоя изменяется со временем по закону
х = 2Ut (1 - -^-j. (6.112)
Введем в рассмотрение среднюю по сечению концентрацию
к
С = -^2 J C(r)2nrdr. (6.113)
о
Используя (6.112), получим
_ Со при х < О,
с 1 \ (6 114)
Со(1 - 2^) при ° < х < 2Ut.
На рис. 6.7, б показано распределение С(х).
В случае, когда в начальный момент вещество введено в виде слоя конеч-
ной толщины Д (см. рис. 6.8, а), распределение средней концентрации (рис. 6.8, б)
можно получить как суперпозицию двух способов ввода
С = Со при х < А и С = 0 при х > Д, (6.115)
С = -Со при х < 0 и С = 0 при х > 0. (6.116)
114
Рис. 6.9. Действительная картина растекания вещества
Используя (6Л14) применительно к (6.115) и (6.116) и складывая най-
денные значения С, получим для времени t> &/2U
С =•
0 при х < 0,
С° 2^- при 0 < х < Д,
С° при Д < х < 2Ut,
Со (А + ~ х) при 2Ut < х < 2Ut + Д,
0 при х > Д + 2Ut.
(6.117)
В действительности картина растекания слоя вещества (рис. 6.9) отлича-
ется от изображенной на рис. 6.8.
Сравнение скоростей размывания слоя, особенно при больших временах,
показывает, что одним конвективным механизмом нельзя объяснить реально
наблюдаемую картину. Очевидно, необходимо учитывать молекулярную диф-
фузию.
Рассмотрим уравнение конвективной диффузии в развитом течении
Ж+и(г)Ж =D(w+id@c}\ (6.118)
at дх I Эх2 г dr \дг ) I
Критерием чисто конвективного переноса вещества является малость диф-
фузионных членов в правой части (6.118) по сравнению с конвективным чле-
ном в левой части. Правая часть содержит два слагаемых. Первое определяет
продольную диффузию с характерным временем tLD - L2/D, где L — характер-
ная длина, а второе слагаемое — поперечную (радиальную) диффузию с харак-
терным временем tRD ~ R2/D. Характерное время конвективного переноса рав-
но t0 ~ L/U. Составляя отношения характерных времен диффузии и конвекции,
получим
tLD _ W _ RU L _ Р L tRD _ R1U _ р R
tc DL DR D R’ tc DL D L’
Если tLD»tc или PeD>> R/L, то продольная конвекция преобладает над
продольной диффузией, а при tRD» tc или PeD>> L/R продольная конвекция
преобладает над радиальной диффузией. В случае L» R оба условия выпол-
няются, и мы имеем случай чисто конвективного переноса вещества, т. е. случай,
изображенный на рис. 6.8. При этом профиль средней концентрации (6.117)
можно рассматривать как усредненное решение уравнения
|£ + н(г)^ = 0. (6.119)
dt дх
В другом предельном случае tRD « tc или PeD « L/R радиальная диф-
фузия происходит очень быстро и она быстро размывает неоднородности KOH-
S’ 115
центрации в радиальном направлении. Если tLD «tc или PeD« R/L, то осе-
вая диффузия происходит гораздо быстрее, чем конвективный перенос, и осевая
неоднородность концентрации очень быстро размывается. В случае L>R и вы-
полнения условия PeD « R/L автоматически выполняется условие PeD « L/R.
Сравним еще скорости радиальной и продольной диффузии. Имеем
tLo/tRD~ (L/R)2. Для процессов диффузии, происходящих в тонких трубках,
например в капиллярах, обычно выполняется условие L » R, поэтому радиаль-
ная диффузия преобладает над осевой.
Таким образом, при выполнении условий L/R» 1 и PeD » 1 перенос
вещества в осевом направлении осуществляется конвекцией, а в радиальном
направлении — молекулярной диффузией.
Решение удобно проводить в системе координат, движущейся со скоростью U
относительно стенок трубы. В этой системе координат уравнение конвективной
диффузии (6.118) с учетом неравенств L/R» 1 и PeD » 1 примет вид
+ = x' = x-Ut. (6.120)
dt дх г дг \дг)
Входящая в (6.120) скорость
и(г) = 2иГ1-^-С7 = L/fl-^Д (6.121)
I j I rv j
Граничными условиями являются отсутствие радиальных потоков на стен-
ке и на оси трубы:
= 0 при г = R и при г = 0. (6.122)
Предположим, что в первом приближении течение квазистационарное по
отношению к подвижной системе координат. Фактически это соответствует асимп-
тотическому решению при t»R2/D. Другое предположение состоит в постоян-
стве продольного градиента концентрации, т. е. Э С/дх' = const. Тогда в первом
приближении концентрация зависит только от г и описывается уравнением
rf2C \_dC_ = у_( < _ 2г2_) дС
dr2 г dr DI R2 J дх''
Решение этого уравнения с условиями (6.122) имеет вид
Г - Г 4- UR2 ( г2 Н ЭС
° U° + 4D R2 2Ri J дх' ’
Найдем теперь среднюю по сечению концентрацию
С
, UR2 дС
0 + 12D Эх' '
Сравнивая (6.124) с (6.125), получим
С = С I -1 + 2± ri |ЭС.
40 3 R2 2R4 Эх''
(6.123)
(6.124)
(6.125)
(6.126)
Таким образом, концентрация С складывается из средней концентрации и
возмущения концентрации, зависящего от г. Условие Э С/дх' = const можно запи-
сать в виде дС/дх' = дС/дх', из которого с учетом (6.126) следует, что оно
выполняется при выполнении условия R2U/4DL « 1 или
PeD « 4L/R.
(6.127)
Следовательно, в рассматриваемой задаче число Пекле должно удовлетво-
рять неравенству
116
1 « PeD « 4£/7?. (6.128)
Найдем теперь поток вещества через сечение трубы
Q = 2nf Cu(r)rdr = —nR2 (6.129)
О
и плотность потока (поток через единичную площадку)
Т _ Q _ (U2R2}dC /С 4ЭП\
(6J30)
В движущейся системе координат найденный поток J является аналогом
относительного потока, введенного в разделе II. Поэтому выражение (6.130)
можно рассматривать как закон Фика с эффективным коэффициентом диффу-
зии, называемым коэффициентом Тейлора,
£>cff = U2R2/48D. (6.131)
Введение Deff позволяет записать уравнение диффузии для средней кон-
центрации в неподвижной системе координат в виде
+ = (6.132)
at дх еп Эх2
Условие применимости этого уравнения вытекает из условия, что продоль-
ная тейлоровская диффузия превосходит продольную молекулярную диффу-
зию, т. е. Deft »D. Это условие с учетом (6.131) и (6.127) дает окончательное
условие применимости рассмотренного решения
7«PeD«4A. (6.133)
J\
В качестве примера использования уравнения (6.132) рассмотрим следу-
ющую задачу. Некоторое количество вещества No введено в поток в момент
времени t = 0 в начале координат х = 0 в небольшой области по сравнению с
радиусом трубы. Начальная концентрация равна
С0=-^-5(х), (6.134)
где 8(х) — дельта-функция.
Решение уравнения (6.132) с условием (6.134) имеет вид
Wo
(x-U&
С =----------—--------е 4Defff .
itT?2(7LDeffi)1/2
(6.135)
Входящий в (6.135) единственный параметр Defl можно определить экспе-
риментально, измеряя изменение со временем средней концентрации С. Зная
Deff, можно по формуле (6.135) определить скорость потока 17 растворенного
вещества, т. е. решить подставленную в начале раздела задачу.
6.7. ДИФФУЗИОННЫЙ ПОТОК ПРИ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ
Одним из часто используемых способов размешивания растворов является
естественная конвекция, при которой движение раствора происходит под влия-
нием сил, возникающих в самом процессе гетерогенной реакции, приводящей к
изменению плотности раствора. Естественная конвекция возникает только тог-
да, когда изменение плотности происходит в поле силы тяжести и при этом
117
градиент плотности направлен перпендикулярно силе тяжести или так, что
плотность возрастает снизу вверх.
Рассмотрим вертикальную пластинку, помещенную в гравитационное поле [3].
Предположим, что на поверхности происходит быстрая химическая реакция, так
что концентрация реагирующего вещества на пластинке равна нулю. Вдали от
пластинки концентрация равна Со. Предположим, что плотность раствора слабо
зависит от концентрации С, так что можно считать
р(Со) = р(О) + (^ G- (6.136)
Аналогично в любой точке, занятой раствором, имеем
р(С) = р(С0) + (|М (С-Со). (6.137)
\дС/с = С0
Выберем систему координат так, чтобы ось у была направлена перпенди-
кулярно пластинке в сторону раствора, а ось х вертикально вверх. Нижний
край пластинки соответствует значению х = 0. Предположим, что основное из-
менение концентрации происходит в диффузионном пограничном слое. По-
скольку движение жидкости вызвано изменением концентрации, то оно проис-
ходит тоже в этом слое, т. е. вязкий пограничный слой совпадает с диффузи-
онным. На единицу объема раствора действует сила тяжести рд. Поскольку р
изменяется, то от точки к точке изменяется и сила. При р = р (Со) ~ const эта
сила не вызывает движение, поскольку она уравновешена градиентом давления.
Движение может быть вызвано отклонением плотности от р(С0). Так как
отклонение Ар = |р(С0)-р(С)| мало, то в первом приближении уравнения
движения записываются в виде
диг диг д2их р(Сп) - р(С) X
+ = v—- + g----------—, (6.138)
Эх « ду ъу2 р(С0)
^- + ^ = 0. (6.139)
дх ду
Распределение концентраций описывается уравнением конвективной диф-
фузии
ux^ + Uy^ = D^. (6.140)
х дх 'ду ду2
Введем безразмерную концентрацию
Ф = (С0-С)/С0.
Тогда уравнения (6.138) и (6.140) с учетом (6.137) преобразуются к виду
диг дих д2их X„ л ,, \
“•TT + “«V = v^r + !'“‘P' <6141)
<е.142>
дх у ду ду1
Со ( Эр
где « =
р(Со' \ Jr = с„
Граничными условиями являются
их = иу = 0, Ф = 1 при у = 0, (6.143)
их = иу = 0, ф = 0 при у -> (6.144)
118
Система уравнений (6.139), (6.141) и (6.142) с условиями (6.143) и (6.144)
имеет автомодельное решение. Действительно, если введем безразмерную пере-
менную
л =fУ
4v2 J х1/4
и будем искать функцию тока в виде
/ \’/4
у = 4v x3'/4f(r]),
4v2 J
то получим
, Z \1/2
Эу (дах) ,,, ч
^ = ¥ = 4v^J
Эц/ Г да Y/4 (пЛ-ЗЛ)
* Эх ^4v2 J х1/4
Подставляя найденные значения их и иу в (6.141), получим
Л" + 3/Т-2(Г)2 + Ф = 0.
Аналогично ищем ф = ф(т|). Тогда из (6.142) находим
ф" + 3 Sc/ф' = О,
где Sc = v/D — число Шмидта.
Соответственно преобразуются граничные условия
f= f' = 0, ф = 1 при т] = 0,
f' = 0, ф = 0 при ц —>
(6.145)
(6.146)
(6.147)
(6.148)
(6.149)
(6.150)
(6.151)
(6.152)
Решение уравнений (6.149) и (6.150) ищем в виде ф = ф(/Д. Тогда после
несложных преобразований получим
ф = 1- / п Ч л -3Sc| fdr\ е о dr] ( ч > Р -35с//ап е о dr\ -1 (6.153)
0
Как уже указывалось, для предельно разбавленных растворов Sc » 1.
Благодаря этому неравенству интегралы сходятся быстро. Поэтому при малых г]
значения интегралов определяется в основном значением f, в то время как при
больших г] поведение f не оказывает заметного влияния на распределение ф.
В силу сказанного без большой ошибки граничное условие на бесконечности
можно заменить на условие на конечном расстоянии Г]о от стенки, принимая его
равным толщине пограничного слоя, т. е.
f = 0 , ф = 0 при г] = Цо, (6.154)
причем вне пограничного слоя, т. е. при ц > т]0> скорость равна нулю. Внутри
слоя (0 < ц < т]о) ищем f(r\) в виде ряда по степеням ц. Учитывая условие
(6.152), получим
f = -т]2 + — г]3 +...
' 2 32 1
(6.155)
119
Оставляя в ряде (6.155) только первый член и подставляя его в (6.158),
найдем
ф = 1-
Je-₽Scri3/2(/T| Je-₽Scn3/2(yT|
(6.156)
Для вычисления интегралов сделаем замену переменных t = (0Sc/2)l/3 р.
Тогда (6.156) преобразуется к
(6.157)
Если (pSc/2)l/3p » 1, то верхний предел можно приближенно заменить
на Тогда получим ф = 0. В случае (pSc/2)1/3r] « 1 разложим подынтеграль-
ное выражение в ряд в окрестности t = 0. В итоге получим
(₽Sc/2)’/3n
<р = 1- / <1-(!+...)Л/1г 1
О / \ \
, (PSc/2)i/3t] _1 (pSc/2)i/3n (6 158)
1 ( 1 ) О.89
-Г -
3 l3J
Воспользуемся теперь вторым условием (6.154) и определим толщину
пограничного слоя
По =----2^----. (6.159)
(PSc / 2)1 / Зт]
Вернемся к уравнению (6.149). Подставляя в него выражение (6.158)
для ф, получим
f"+3ff"+1- (PSCQ82g1/3T1 = °- (6.160)
Воспользуемся выражением (6.155) для f и подставим его в полученное
уравнение. В итоге найдем
г Р , 1 , (PSc/2)1 /Зт] . /с ьслх
(6.161)
Первое граничное условие (6.154) позволяет найти р. Получим
Р = 0,48/Sc1/4. (6.162)
Теперь можно найти все параметры задачи. Распределение концентрации
имеет вид
С = 0,7 Sc»//Д.У" 2£о (6.163)
^4v2J х1/4
Диффузионный поток на пластинку равен
j = =0,7Д5с'//-^-У -^- =
Эг/ = Q 4v2 J х1/4
= 0,7Z)Sc'/4p%f^H 1 (6.164)
I 4v2p^Cjc = c I х'/4
120
Интегрируя (6.164) по поверхности пластинки длиной h и шириной Ь,
получим полный диффузионный поток на пластинку
/ \1/4
7 = 0,95с1/4 &/гз/4ДС0. (6.165)
I А м 7 1 v
Выражение для полного потока можно представить в безразмерном виде.
Введем в рассмотрение безразмерный параметр, который в задачах естественной
конвекции называется числом Грассгофа
Gr = ^a/z3/4v2, (6.166)
и число Нуссельта
Nu = A7/DSC0, S = hb. (6.167)
Тогда (6.165) можно представить в виде
Nu = 0,98с’/4 Gr’/4. (6.168)
6.8. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКА В РАСТВОРЕ
Динамика газовых пузырьков в жидкостях представляет значительный
интерес по многим причинам. Во-первых, изучение движения пузырьков дает
ценные сведения о свойствах простейшей границы раздела фаз жидкость — газ
и о закономерностях фазовых превращений (испарении, конденсации) и хими-
ческих реакциях на поверхности. Во-вторых, этот процесс интересен и с чисто
технической точки зрения. В таких областях промышленности, как газовая,
нефтяная и химическая широко используются процессы и аппараты, действие
которых непосредственно связано с закономерностями движения пузырьков.
Речь идет о процессах сепарации газа от жидкости, барботаже пузырьков через
слой смеси, которая при этом обогащается различными реагентами, содержащи-
мися в пузырьках, процессе флотации, используемом при очистке загрязненных
жидкостей ит. д.
В настоящем разделе основное внимание будет уделено не движению
пузырька относительно жидкости, а движению его поверхности из-за изменения
объема пузырька. Объем пузырька может изменяться за счет процессов испа-
рения жидкой фазы или конденсации газовой фазы. Если жидкость и пузырек
представляют собой многокомпонентные смеси, то возможны химические реак-
ции на поверхности пузырька, что тоже может приводить к изменению размера
пузырька.
Рассмотрим сферический газовый пузырек начального радиуса Ro, поме-
щенный в покоящуюся жидкость [15]. Будем предполагать, что центр пузырька
не движется относительно жидкости, объем же пузырька изменяется со време-
нем за счет разности давлений внутри пузырька и в окружающей его жидкости,
а также в результате динамического и тепломассообмепного взаимодействия
между газовой и жидкой фазами. В большинстве работ, посвященных исследо-
ванию динамики пузырьков, принимается, что параметры газа в пузырьке, такие
как давление, температура, концентрации и другие, однородны по объему пу-
зырька и изменяются только со временем. Считаем, что пузырек состоит из
инертного газа (г) и паров жидкости (о). Жидкость представляет собой бинар-
ный раствор, который может испаряться с поверхности пузырька.
Запишем основные уравнения, описывающие поведение жидкости.
121
Уравнение неразрывности
^ + pLVu = 0. (6.169)
Поскольку жидкость считается несжимаемой и задача сферически симмет-
ричная, то (6.169) сводится к
иг1 = urR2 = (6.170)
где и, uR — радиальная составляющая скорости в жидкости и на поверхности
пузырька; R — радиус пузырька; г — радиальная координата, причем г = 0 со-
ответствует центру пузырька.
Скорость движения жидкости ик и скорость движения границы пузырька
не равны, если на поверхности происходят фазовые превращения, поскольку
последние приводят к появлению потока массы
т = 4д7?2р£(R - uR), (6.171)
где pL — плотность жидкости; R = dR /dt.
Выражение (6.171) позволяет написать баланс массы газа в пузырьке
4^яЛЗрс^4л/?2р£(Л-ий). (6.172)
at 1 э J
В процессе роста пузырька его объем сильно изменяется, в то время как
плотность газа pG изменяется слабо. Поэтому, полагая в (6.172) pG = const,
получим
ur=R (Plp~—} = £^- (6.173)
Заметим, что, как правило, выполняется неравенство рЛ » рс и е= 1. Это
значит, что uR ~ R.
Подставляя (6.173) в (6.170), получим
ur2=sRR2. (6.174)
Уравнение движения
Р/^ = _7.Т + Р//. (6.175)
Будем рассматривать случай отсутствия объемных сил (/=0). Тогда (6.175)
сводится к уравнению
Эи Эи _ 1 ЭТгг 9 д2и
Подставляя в (6.176) выражение (6.174) для скорости жидкости и интег-
рируя полученное уравнение по г от R до °о, получим
= RR + 3^2 + 4vJ. (6.177)
Входящие в (6.177) радиальные составляющие тензора напряжений тгг
равны
т„(°°) = ^р„, (6.178)
Trr(R) = -p„-pl+^-. (6.179)
Здесь — давление в жидкости вдали от пузырька, pv пр, — парциаль-
122
ные давления пара жидкости и инертного газа, Z — коэффициент поверхност-
ного натяжения.
Условие (6.179) представляет собой баланс сил на границе пузырька,
действующих со стороны газа и жидкости.
Учитывая (6.178) и (6.179), можно представить (6.177) в виде
— — ~ R- = RR + -R2 (6.180)
Уравнение (6.180) называется уравнением Релея. Оно описывает измене-
ние со временем радиуса пузырька за счет изменения разности, давлений внут-
ри и вне пузырька.
Для определения парциального давления пара pv необходимо воспользо-
ваться термодинамическими соотношениями. Сделаем обычное в задачах такого
рода предположение о существовании на поверхности пузырька локального
термодинамического равновесия между жидкой и газовой фазами. Тогда из
соотношений термодинамики следует, что
pv =ЪХ1Р> + Y2U~х} )р2, (6.181)
где у — коэффициент активности; х — мольная доля компонента в растворе;
р — давление насыщенного пара; индексами 1 и 2 обозначены растворенное
вещество и растворитель.
Поскольку парциальные давления зависят от температуры и концентраций
компонентов, то к уравнениям (6.180) и (6.181) нужно добавить уравнения
энергии и переноса массы.
Уравнение энергии
Пренебрегая вязкой диссипацией, считая, что извне к системе пет подвода
тепла и перенос энергии вызван только теплопроводностью, получим
эг , пэт = г/ э2г 1 2 эг
ЭС + Эг “ Эг2 + г дг
или с учетом (6.174)
ЭТ [ д2Т 2 ЭГ ) tR2R дТ
dt Эг2 г Эг г2 дг '
(6.182)
(6.183)
Уравнение переноса массы
Для бинарной смеси в отсутствии химических реакций в объеме уравнение
переноса масс сводится к уравнению конвективной диффузии. Обозначим че-
рез С концентрацию растворенного вещества. Тогда имеем
дС дС _ j-/д2С 2 дс}
dt dr I Эг2 r dr I VO. 104/
Подставляя сюда выражение для скорости и, получим
эс _ Э2С , 2 ЭС "I tR2R ЭС
+ 7-ЭГ1---(6.185)
Сформулируем теперь начальные и граничные условия. Начальными ус-
ловиями являются
Я(0) = До = Pn J*- -, R(.O) = 0, Т(г, 0) = То, С(г, 0) = Со. (6.186)
riQ rvO
123
В качестве первого начального условия выбран начальный радиус _R0,
равный равновесному радиусу, соответствующему балансу начальных давлений
и силы поверхностного натяжения, хотя в качестве начального радиуса можно
было взять произвольное значение.
Граничные условия вдали от пузырька имеет смысл взять в виде
7(00, 0 = 7'о, С(оо, О = С0. (6.187)
Сложнее выглядят условия на поверхности пузырька. На поверхности
пузырька можно записать баланс массы компонента 1
mpGR = C(R, t){R - uR} + d[^\ , (6.188)
\0Г lr = R
где m — массовая доля компонента 1.
Здесь слева стоит скорость изменения массы компонента 1 в пузырьке,
а справа — сумма конвективного и диффузионного потоков в жидкости. Ис-
пользуя выражение (6.173) для uR, получим
mpGR = C(R, t)(.t-E)R + D(^\ . (6.189)
Это условие является первым граничным условием. Вторым условием
будет условие баланса энергии на поверхности пузырька. Очевидно, что изме-
нение кинетической энергии мало, поэтому можно записать
n/?3pG(me1 + (1 - от)е2) + + inR2Rp„ =
= 4л7?2| h,(C(R, t))(.l-E)R + d№£-} | +
I \ or !r = R I
+ hJ(pL -C(R,t))(l-e)R-D^] +aH 1 (6.190)
I \or /r = R \dr Jr=R\
где e — удельная внутренняя энергия пара, h — удельная энтальпия компонента
в жидкости, индексы 1 и 2 соответствуют компонентам.
Условие (6.190) означает, что скорость изменения полной энергии газа в
пузырьке (левая часть), которая складывается из внутренней энергии пара и
энергии поверхностного натяжения, плюс работа, совершаемая пузырьком по
преодолению сил давления, равна скорости изменения энергии, поступающей в
пузырек извне и складывающейся из энергии испарения компонентов и тепла
за счет теплопроводности. В общем виде это условие громоздко и неудобно для
использования. Не все слагаемые в нем равноценны. Естественным является
предположение, что в процессе роста пузырька изменения плотности пара и
внутренней энергии незначительны. Несуществен также член с поверхност-
ной энергией и работой против сил давления. Если для пара ввести среднюю
внутреннюю энергию е = те, + (1 - т) е2 и дополнительно предположить, что
энтальпии жидких компонент равны (Л] = /г2), то условие (6.190) упростится и
примет вид
pGRe = рЛ/г(1 -е)Я + а (6.191)
Средняя внутренняя энергия пара равна сумме теплоты парообразования I
и удельной энтальпии пара:
ё = l + cG(J(R,t)-T0). (6.192)
124
Удельная энтальпия жидкости в свою очередь равна
h = cL(T(R, t)-T0). (6.193)
Здесь cL и сс — удельные теплоемкости жидкости и газа.
Несмотря на ряд принятых допущений, система уравнений (6.180), (6.181),
(6.183) и (6.185) с начальными условиями (6.186) и граничными условиями
(6.187), (6.189) и (6.191) все еще слишком сложная и может быть решена
только численно. Рассмотрим некоторые дополнительные упрощения. Первое
основано на предположении о малости слагаемых в правой части (6.180),
имеющих смысл сил инерции и вязкости на поверхности пузырька. Учет этих
членов важен только на начальной стадии роста пузырька. Если, кроме того,
считать пузырек чисто паровым, то р, = 0 и (6.180) сводится к
(6.194)
Если пузырек достаточно большой, то 2Z/7? «р„ и давление пара внутри
пузырька можно считать постоянным:
pv = P- (6.195)
При рассмотрении задачи о динамике газового пузырька учитывается как
теплообмен, так и массообмен пузырька с окружающей его жидкостью. В за-
висимости от важности этих процессов их можно рассматривать отдельно.
Если рост или уменьшение пузырька вызван в основном теплообменом, то
говорят, что такой процесс контролируется теплообменом. Уравнения, описы-
вающие изменение температуры в жидкости и радиуса пузырька, сводятся к
следующим;
эе = а(^+2|е\_^эе (6.196)
ot \ or2 г or / г2 or
6(г, 0) = 0(оо, t) = 0; 0(7?, t) = -Г°
*0
ЫЛ t) = + (1 - e)(oZ«_Zkl
v /() )
Т — Tq ci - Cq
где 0 = —-—; с =---—-, co = — ; Tsat — температура насыщения при задан-
но Plcljo cl
ном давлении.
Более подробные сведения о динамике пузырька можно найти в обзорах
[16, 17].
6.9. ИСПАРЕНИЕ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ КАПЛИ
В ИНЕРТНЫЙ ГАЗ
Характер испарения капли многокомпонентного раствора в инертном газе,
например в воздухе, играет важную роль в таких процессах, как осушка и
увлажнение газа методом распыливания струй, горение жидкого топлива, впрыс-
киваемого в камеру сгорания двигателей и отопительных систем, и т. д.
Рассмотрим сферическую каплю, состоящую из п компонентов, которые
испаряются в окружающий каплю инертный (нейтральный) газ [18]. Под ней-
тральным газом понимается газ, который не участвует в процессе массообмена,
125
т. е. не конденсируется и не испаряется на поверхности капли. Нас интересует
изменение со временем температуры капли и газа, размера капли, а также
изменение концентраций компонентов в капле и газе. Общая постановка зада-
чи с учетом изменения температур и концентрации во времени и в простран-
стве, как было показано в предыдущем разделе, представляет собой чрезвычай-
но сложную проблему. Поэтому сделаем ряд упрощающих предположений,
некоторые из которых совпадают с принятыми в предыдущем разделе допуще-
ниями.
Во-первых, используем уже упоминавшийся ранее квазистационарный под-
ход. В основе его лежит предположение о том, что характерные времена тепло-
и массопереноса в газовой фазе много меньше, чем в жидкой, поскольку в газе
коэффициенты диффузии и теплопроводности намного превосходят соответ-
ствующие коэффициенты в жидкости. Поэтому распределение параметров в
газе можно считать стационарными, а в жидкости — нестационарными. С дру-
гой стороны, малость объема капли позволяет считать распределение в ней
температуры и концентраций однородными, в то время как в газе эти параметры
зависят от пространственных координат. Другое предположение состоит в том,
что центр капли не движется относительно газа. Это очень сильное предполо-
жение, потому что в реальных процессах, например при распыливании жидко-
сти в камере сгорания, капли движутся относительно газа за счет инерции и
силы гравитации. Однако, если размер капель мал (меньше 1 мкм) и процесс
тепломассообмена протекает достаточно быстро, то предположение допустимо.
На поверхности капли, как обычно, предполагается существование локального
термодинамического равновесия и равенство давлений фаз. Последнее условие
было сформулировано в конце раздела 6.7.
Обозначим через х, и уг мольные доли компонент в жидкой и газовой
фазах, причем i = 1, п, так что уп +1 — мольная доля нейтрального компонента в
газе. В силу сделанных предположений и учитывая сферическую симметрич-
ность задачи, имеем х, = х,(£) и г/, = г/,(г).
Воспользуемся выражениями (4.29) и (5.47) раздела II для мольных
потоков компонент и потока энергии
j* = J* + /fj* = ~CGDim + y^j*, (6.197)
7 = (6.198)
/'1
где CG — мольная плотность газа; Dlm — коэффициент бинарной диффузии в
газе; hGj — молярная энтальпия компонентов в газе; k — коэффициент тепло-
проводности газа.
На поверхности капли радиуса R имеем следующие условия:
yi = y,w, ТС=ТК при r = R(t), (6.199)
а вдали от капли в толще раствора
yt = у^, TG = Ta„ при г^оо, (6.200)
где TL — температура капли.
Значения у1а, и TG„ заданы и считаются постоянными, а значение yiw под-
лежит определению. Заметим, что если рассматривается не одна капля, а ан-
самбль капель, то значения и Тс„ будут изменяться со временем, причем ско-
рость их изменения будет зависеть от объемной концентрации капель. В этом
126
случае условие на бесконечности нужно заменить на условие при конечном
значении радиуса, равном среднему расстоянию между центрами капель. Зна-
чения г/,о. и Тс^, находятся из уравнения баланса массы и энергии единицы
объема смеси газа с каплями.
Из уравнения неразрывности следует, что V • j* = 0, или в сферической
системе координат
(Г27-*) = О, (6.201)
г2 аг
откуда находим
г2/* = Л2/*. (6.202)
Подставляя выражение (6.197) для jj, получим
£ = - <6.203)
/ = 1
п + 1 *
Обозначим через jw = суммарный мольный поток на поверхности
капли и сделаем замену координаты т] = 1/г. Тогда (6.203) преобразуется к
уравнению относительно г/,
dy,
dr
R2
(6.204)
Решение этого уравнения находится без труда:
— А л-и-тИ jwR’2, 1 | , jiw
г/,-Лexp! —+
(6.205)
Условие (6.200) дает возможность найти А, а затем из (6.199) получить
I Jw ) I I )w
(6.206)
Разрешим (6.206) относительно потоков:
( jwR
yiw exp — | - yt,
. * . * I
Jiw ]w /
]w
exp r"b~~
Поскольку на поверхности капли нет потока нейтрального газа, то ]*„ + 1)а, = 0
и из (6.207) следует, что
------- (i = 1, ri).
-1
(6.207)
откуда находим
I )wR I
.* I '''GL,{n + f)m I
]w ------z ---- = °’
exp| _J®—Lj
I Cc^Xn + i)m I
.*
Jw
jti'R
У(п + 1)ое I
= ехо - __-
У(п + 1)ю I Cg-D(„ + i)m I
(6.208)
127
Обозначим
1
Q — &(n + 0“ — 1
Z/(n + l)w Л
2a У iw
1
Тогда из (6.208) можно найти суммарный поток на поверхности капли
j* = c2D^”‘ [пВ, (6.209)
R
а из (6.207) — мольные потоки компонентов
4 = 1Пв(у (б 210)
Bfyn + 1)т/Dim —1
Предположим, что жидкая фаза представляет собой идеальный раствор,
а газ — смесь идеальных газов. Из условия термодинамического равновесия на
поверхности капли следует, что равны химические потенциалы компонент в
обеих фазах:
pf=pf. (6.211)
Используя выражения для химических потенциалов идеальных систем [8],
получим
р9(Г, р) + ATl In = pt (Г) + ATg In p, . (6.212)
Здесь p, — парциальное давление пара г-го компонента, ц- — химический
потенциал чистой жидкости, pt — химический потенциал пара при давлении 1,
А — газовая постоянная.
Уравнение (6.212) можно переписать как
p^kiXi, (6.213)
где
, (- ц+ 'I
ki = exp ——— .
АТ \
Рассмотрим частные случаи. Для чистой жидкости х( = 1 и = р?, где р? —
давление пара чистой жидкости. При этом (6.213) принимает вид
pt= p°xt. (6.214)
Следовательно, в идеальном растворе давление пара каждого компонента
пропорционально его мольной доле в растворе, а коэффициент пропорциональ-
ности равен давлению пара чистой жидкости. Этот закон называется законом
Рауля. Если газ является смесью идеальных газов, то полное давление
Р = ^Pi =^P?xi- (6.215)
i i
Рассмотрим теперь равновесие идеального предельно разбавленного раст-
вора со своим паром. Тогда х, —> 1, ^х; —> 0 и из (6.213) следует, что для
i = 2
растворителя
р^р^Х', (6.216)
128
а для всех остальных компонент
pt = k,x, (i = 2л>. (6.217)
Следовательно, в идеальном предельно разбавленном растворе давление
пара растворенных веществ пропорционально их мольной доле в растворе.
Этот закон называется законом Генри, a kt — постоянными Генри.
Для неидеальных растворов соотношение (6.213) переходит в
р, = Л,х1у1. (6.218)
Вернемся теперь к нашей задаче. Предположение об идеальности раствора
и газа позволяет определить мольные концентрации в газе в толще раствора
и на поверхности капли
Уг~ = р,-/р, Угп = Р,/Р- (6.219)
Используя закон Рауля (6.214), получим
_ х,р,°(Т£)
Угю р j (6.220)
где р = У р, — полное давление пара.
Зависимость давления пара чистой жидкости от температуры жидкости
имеет вид
p°(TL) = exp(w, - v,TL). (6.221)
Постоянные и, и v, зависят от свойств жидкости.
Подставляя (6.220) в (6.210), получим окончательное выражение для
мольного потока i-го испаряющегося компонента:
.* _ СсР(„ + 1> (x1p^(,TL')BD^ + n”“/D,m -pyt„ '
]iw pR ln'° bd(„ + 1),„/d,„ _j
k n J (6.222)
P~Ep>
B =-----.
p-Xx.pi’Cn)
1
Рассмотрим теперь поток тепла. С учетом сделанных предположений
уравнение сохранения энергии в газе сводится к
V-q = 0 (6.223)
или
1^-(г2о) = 0, (6.224)
г1 аг 1
откуда находим
r2q = R2qm, (6.225)
где qw — поток энергии па поверхности капли.
Подставляя в (6.225) выражение (6.198) для q, получим
(6.226)
Для идеального газа мольная энтальпия равна
9 - 1461 129
hcj — ^Gj + cGp;(^G ~ ^g)> (6.227)
где Aq — значение энтальпии при некоторой опорной температуре Tq.
Поэтому
= " Wr2 ЧГ + + cGpj(TG - КУ). (6.228)
у = 1
Уравнение (6.228) решается так же, как (6.203). Решение имеет вид
TG(r) = Aexpf-^l-A, (6.229)
I Kia
d = T (6.230)
R / = 1
Ь У. jiwhGj Tq , j jw^Goi <Jw
7 = 1 7 = 1
Подстановка в граничные условия (6.199) и (6.200) дает
71=Г7^+Гр-А,
I a J а
откуда
b = dT-2^L
cd ~ 1
Подставляя найденные выражения в (6.228), получим
_ _ V1 (i.r „ 'г'Ч k j(TGo. ~Ttcd)
(]w — 2-i]jw\"dj CopjTG) a . _
7=1 e 1
(6.231)
(6.232)
Полагая 7'Соо = Тс, поскольку изменение температуры газа пренебрежимо
мало, преобразуем (6.232) к виду
Я» = J% "cGpjTG) + (Г^~7Ь). (6.233)
7=1 к е 1
Из (6.233) следует, что полный поток энергии на поверхности капли склады-
вается из суммы потоков энтальпий испаряющихся компонент и потока энергии,
переносимого веществом. Если массообмен отсутствует, то d —> 0 и d/(.ed ~ 1) —> 1.
При учете массообмена d Ф 0 и d/(ed - 1) < 1. Следовательно, массообмен умень-
шает перенос тепла.
Перейдем теперь к жидкой фазе. Рассмотрим уравнения сохранения объе-
ма, массы и энергии капли. Обозначим через Vd = 4лR3/3 — объем капли.
Тогда уравнение сохранения объема капли имеет вид
= -4лК2 (6.234)
ИЛИ
<6.235)
Здесь справа стоит суммарный объемный поток испаряющихся компонент.
130
Выразим массу капель в молях. Пусть Nd — число молей в капле. Имеем
очевидное равенство
Vd = = N^x.v, = Ndvm, (6.236)
1=1 1=1
где vm — мольный объем раствора, усредненный по мольному составу.
Условие сохранения числа молей i-го компонента в капле имеет вид
-Ux.Nd) = -4nR2i*w (6.237)
или
Мг + х‘ = ~inR2 С- (6.238)
at at
Аналогично можно написать условие сохранения числа молей для смеси в
капле
dNd t v4
— = -4^^;Iw.
Объединяя (6.238) c (6.239) и разрешая относительно dx,/dt, получим
(6.239)
dx,
dt
3 V •*
= х> -
JlW
(6.240)
Изменение энергии капли равно энергии, уносимой испаряющимися компо-
нентами и работе W, совершаемой каплей при изменении ее объема:
^- = -4nR2qw -W. (6.241)
at
Полная энергия капли равна сумме парциальных энергий компонент:
Ed = ^Ndx,E, = ^NdX,E,(hL, - pv,),
(6.242)
где hL, — молярная энтальпия г-го компонента раствора, равная
hu = h'Ll + cLp, (TL -Т[).
Из (6.242) нетрудно найти
J=1 1=1
(6.243)
= -4лК2 X - pv,) + Nd XX>CLP> =
= -4itR2^j*w(hL, — pv,) + NdcLpm^-, (6.244)
где cLpm = ^x,cLp, — средняя удельная теплоемкость раствора.
i = i
Работа, которую совершает капля при изменении объема, равна работе газа
над каплей с противоположным знаком:
9* 131
w=p^-=-inR2piv!j*w
(6.245)
Подставляя (6.233), (6.244) и (6.245) в уравнение (6.241), получим урав-
нение энергии капли. Разрешая его относительно dTL/dt, найдем
dTL 4л/?2 kd (TG -TLed') V * f Ь Ь Ч /<? пхсч
— -----(6.246)
Рассмотрим разность энтальпий в последнем слагаемом. Поскольку на
поверхности TG = TL, то, приняв TG =Т[, получим
Ag, - hL, = h'G, + cGpt(TL -TG)-h'Lt- cLpi(TL ~K) =
- Ц + (ССрг _ CLpl)(?L ?l)-
(6.247)
Здесь I' = h'Ll — теплота парообразования г-го компонента при опор-
ной температуре.
Подставив (6.247) и (6.236) в уравнение (6.246), окончательно получим
dTL _ 3vm
dr cLpmR
kd (TG -TL)
R ed -1
- + (cCp! - cLp,)(TL - Ю) . (6.248)
Таким образом, уравнения (6.235), (6.240), (6.248) с дополнительными
соотношениями (6.222), (6.233) и (6.230) образуют замкнутую систему уравне-
ний для мольных долей компонент х, в капле, радиуса капли R и температуры
капли TL. Эта система представляет собой систему обыкновенных дифференци-
альных уравнений вида
dx,
dt
Ix
(6.249)
d?L _ 1 f ( •r \
с начальными условиями
x,(O)=x,o, 7?(0) = Ro, TL(0) = TL0.
6.10. ГЕЛЬ-ХРОМАТОГРАФИЯ
Под хроматографией понимается физико-химический метод разделения и
анализа смесей и растворов, основанный на распределении их компонентов
между двумя фазами — неподвижной (сорбентом) и подвижной (элюентом),
протекающей через неподвижную. В зависимости от природы взаимодействия,
обусловливающего распределение компонентов между двумя фазами, различают
следующие виды хроматографии: адсорбционную, распределительную, ионооб-
менную, эксклюзионную и осадочную.
Адсорбционная хроматография основана на различной сорбируемости раз-
деляемых веществ сорбентом, который, как правило, представляет собой твердое
вещество с развитой поверхностью. Распределительная хроматография основа-
на на разной растворимости компонентов смеси в неподвижной фазе, представ-
132
ляющей собой твердое макропористое вещество, которое обработано высококи-
пящей жидкостью, и в элюенте. Ионообменная хроматография основана на
различии констант ионообменного равновесия между неподвижной фазой (иони-
том) и компонентами разделяемой смеси. Эксклюзионная хроматография, назы-
ваемая также гель-хроматографией или молекулярно-ситовой хроматографией,
основана на разной проницаемости молекул компонентов в неподвижную фазу,
представляющую собой высокопористый неионогенный гель. Этот вид хрома-
тографии в свою очередь подразделяется на гель-проникающую, в которой
элюент — неводный растворитель, и гель-фильтрацию, в которой элюентом яв-
ляется вода. Осадочная хроматография основана на различной способности
разделяемых компонент выпадать в осадок на твердой неподвижной фазе.
В соответствии с агрегатным состоянием элюента различают газовую и
жидкостную хроматографию.
В зависимости от способа перемещения разделяемой смеси вдоль слоя
сорбента различают следующие варианты хроматографии: фронтальный, про-
явительный и вытеснительный. При фронтальном варианте в слой сорбента
непрерывно вводится разделяемая смесь, состоящая из несущей среды (газ-
носитель) и разделяемых компонентов 1, 2, 3,..., п. Через некоторое время после
начала процесса наименее сорбируемый компонент 1 опережает остальные
и выходит в виде чистого вещества раньше всех, а за ним в порядке сор-
бируемости располагаются зоны смесей компонентов 1+2, 1 + 2 + 3, и т. д.
(рис. 6.10, а). При проявительном варианте через слой сорбента непрерывно
проходит поток элюента и периодически в слой сорбента вводится разделяемая
смесь вещества. Через определенное время происходит разделение смеси на
чистые вещества, располагающиеся отдельными зонами, между которыми на-
ходится элюент (рис. 6.10, б). При вытеснительном варианте в сорбент вво-
дится разделяемая смесь, а затем поток газа-носителя, содержащего вытесни-
тель (элюент). При движении вытеснителя через некоторое время смесь раз-
делится на зоны чистых веществ, между которыми окажутся зоны их смеси
(рис. 6.10, в).
Рис. 6.10. Различные варианты хроматографии:
а — фронтальный; 6 — проявительный; в — вытеснительный; Э — элюент
133
Рис. 6.11. Типичный вид хроматограмм
На выходе помещены специальные приборы — хроматографы, которые
фиксируют изменение концентрации во времени прохождения через них смеси.
Типичный вид хроматограмм показан на рис. 6.11.
Ограничимся рассмотрением эксклюзионной, или гель-хроматографии. Этот
процесс можно рассматривать как процесс сепарации раствора, при котором
компоненты разделяются (фракционируются) в соответствии с размером моле-
кул. В качестве сорбента, или, как его еще называют, молекулярного сита,
используют пористые полимерные шарики. При прохождении молекул через
слой сорбента в микропоры шариков проникают молекулы, размер которых
меньше размера пор. Молекулы большего размера в поры не проникают. На
рис. 6.12 схематично показан процесс сепарации молекул двух сортов, разли-
чающихся размерами [4].
Сосуд заполнен слоем маленьких пористых шариков, например смолы;
сверху подается раствор, в котором в качестве растворенного вещества содер-
жатся молекулы двух размеров — маленьких и больших по сравнению с раз-
мером пор шариков. Молекулы больших размеров беспрепятственно протекают
через слой сорбента, в то время как маленькие молекулы в процессе диффузии
проникают внутрь шариков и выходят наружу с вероятностью тем большей, чем
меньше размер молекул. Растворитель свободно проходит сверху вниз с не-
большой скоростью, достаточной для установления диффузионного равновесия
на поверхности частиц сорбента. Таким образом, в растворе на выходе сосуда
Растворитель
Рис. 6.12. Процесс сепарации раствора, состоящего из молекул двух сортов
134
содержатся молекулы растворенного вещества, молекулярная масса которых со
временем уменьшается.
Рассматриваемый процесс можно охарактеризовать коэффициентом разде-
ления (сепарации) о, имеющим смысл вероятности задержки молекул слоем
геля
о = рш /р = min /р V,„, (6.250)
где р — массовая концентрация растворенного вещества в подаваемом сверху
растворе; р1п и т,„ — массовая концентрация и масса растворенного вещества в
геле; П1П — объем пор в частицах геля.
Для идеального геля все поры частиц одинаковые, поэтому о = 1 для мо-
лекул, размер которых меньше размера пор, и о = 0 для больших молекул. Если
размер пор неодинаковый, а характеризуется непрерывным распределением, то
о является функцией молекулярной массы молекул М. Распространенной кор-
реляцией о и М является
а = ~а\пМ + Ь, (6.251)
где а и b — эмпирические постоянные.
Обозначим через V объем сосуда, а через Е — объемную долю простран-
ства между слоем частиц. Тогда объем раствора в сосуде равен
Ve = £V + oVM. (6.252)
Правая часть (6.252) равна объему, занятому растворителем и частью
растворенного вещества, отторгнутого сорбентом, для молекул которого о = 0,
плюс объем растворенного вещества, состоящего из маленьких молекул, проник-
ших в поры частиц и для которых о < 1.
С другой стороны, можно положить
Ve = aSL, (6.253)
где S — площадь поперечного сечения сосуда; L — высота сосуда; а — доля
поперечного сечения, равная
a = + (6.254)
Первый член в фигурных скобках равен поперечному сечению пустот
между частицами, а второй — поперечному сечению пустот внутри частиц сор-
бента, заполненных растворенным веществом.
Средняя эффективная скорость раствора в сосуде
Пе=^ = |, (6.255)
где Q — постоянный объемный расход растворителя; t — время, нужное слою
растворителя для достижения выхода из сосуда:
i = ±(ey + oV)n). (6 256)
Посмотрим, что происходит с тонким слоем растворителя, содержащим
несколько сортов молекул растворенных компонентов. По мере продвижения
вниз доля молекул разного размера, проникающих в поры частиц, изменяется
в силу закона (6.251). Поэтому вначале тонкий слой, в котором на входе
содержатся растворенные компоненты, по мере движения вниз расширяется.
Форма слоя и концентрация в нем молекул разного сорта влияет на степень
135
сепарации различных сортов молекул, а значит, и на вид хроматограмм (см. 6.11).
Распределение концентрации компонент в растворителе на выходе из сосуда
может быть найдено путем решения соответствующей задачи о конвективной
диффузии примеси, введенной в виде тонкого слоя на входе сосуда, аналогично
тому, как была решена задача о распространении примеси в канале (см. раз-
дел 6.6).
Ввод тонкого слоя растворенного вещества можно рассматривать как зада-
ние начальной концентрации в виде (6.134). Тогда изменение концентрации по
длине сосуда х в различные моменты времени дается выражением (6.135), в ко-
тором следует положить тсЯ2 = «5, х - Ut = х - Qt/aS, t=V/Q, х = L = Ve/aS,
где Ve — объем элюента; V — суммарный объем смеси, протекающей через со-
суд. Поскольку измерение концентрации с помощью хроматографа производит-
ся на выходе сосуда, то берется х = L. Производя указанную замену перемен-
ных в (6.135), получим следующую зависимость концентрации растворенного
вещества в растворе от объемного расхода потока:
С = 1 Х° (—2— )‘/2 ехоГ- 0(4 ~ V)2
2 a5^7tDeffV J 4a527tDeffV J
(6.257)
Неизвестный коэффициент продольной диффузии DeSS определяется экспе-
риментально.
Из (6.257) следует, что уменьшение Def( приводит к уменьшению дисперсии
распределения С по продольной координате х, что приводит к более четкой
разрешающей способности хроматограмм. Одним из путей уменьшения Def;
является уменьшение проницаемости k слоя сорбиента, например путем умень-
шения размеров шариков (это следует из того, что Deft уменьшается с умень-
шением числа Пекле PeD = RU/D, где R — радиус микрокапилляра, который
убывает с уменьшением k). При этом следует иметь в виду, что уменьшение k
приводит к необходимости увеличения перепада давления в сосуде для обес-
печения заданного объемного расхода смеси. Жидкостная хроматография вы-
сокой разрешающей способности требует использования очень маленьких шари-
ков радиусом 10 мкм и большого градиента давления в процессе хроматогра-
фии. Полученные хроматограммы характеризуются наличием узких и резких
пиков, как на рис. 6.11.
6.11. КАПИЛЛЯРНАЯ МОДЕЛЬ НИЗКОПРОНИЦАЕМОЙ
ПОРИСТОЙ СРЕДЫ
Рассмотренное в предыдущем разделе движение раствора через слой геля
представляет собой движение через пористую среду. При малых числах Рей-
нольдса такое движение характеризуется тем, что градиент давления пропор-
ционален скорости движения жидкости (фильтрации) U (закон Дарси):
ъ = ~ти- (6.258)
Скорость U определяется как отношение объемного расхода жидкости к
поперечному сечению пустот в рассматриваемом слое пористой среды. Очевид-
но, что U < Ue, поскольку в Ue входит еще объемный расход жидкости через
поры частиц. Постоянная k называется проницаемостью (ее размерность — м2).
Для определения k необходимо выбрать определенную модель пористой среды.
Малопроницаемую пористую среду можно представить как среду, состоящую из
136
набора микроканалов с диаметром de, называемым гидравлическим, или эквива-
лентным, диаметром. Этот диаметр обычно определяется как
de = 4Vv/S, (6.259)
где Vv — объем пустот между частицами. Коэффициент 4 обусловлен тем, что
nD2 = 5/4, D — диаметр поперечного сечения сосуда.
Пористость по определению равна доле пустот слоя геля
Е = Vv/V. (6.260)
Теперь (6.259) можно представить как
de = teV/S. (6.261)
Введем еще один параметр s — удельную площадь, равную отношению
площади поперечного сечения сосуда к объемной доле частиц геля в сосуде:
s = 5/(1-e)V. (6.262)
Тогда из (6.261) следует, что
d„ = 4е/(1 - e)s. (6.263)
Скорость раствора Ue связана со скоростью U соотношением
ие = и/Е. (6.264)
Подставляя в (6.258) Ue вместо U и полагая k~d2, получим
1 = <6.265)
где k — постоянная Козени.
Сравнивая (6.265) с (6.258), получим следующее выражение для прони-
цаемости пористой среды:
£ = е3/К/(1 — е)2. (6.266)
Формула (6.266) для малопроницаемой пористой среды называется фор-
мулой Козени — Кармана. Постоянная Козени К равна приближенно 5. В част-
ности, если пористая среда состоит из одинаковых сферических частиц диамет-
ром d, то s = 6/d и
k = (Ре2/ 180(1 -е)2. (6.267)
7
РАСТВОРЫ ЭЛЕКТРОЛИТОВ
7.1. ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКАЯ ЯЧЕЙКА
В разделе 5.5 рассмотрен перенос заряженных смесей и получены основ-
ные уравнения переноса. Напомним, что для предельно разбавленных смесей
перенос ионов осуществляется за счет их миграции в электрическом поле,
137
диффузии и конвекции. Как и в разделе 5.5, ограничимся рассмотрением би-
нарной смеси электролита, для которого в случае электронейтральности смеси
распределение приведенной концентрации ионов описывается уравнением кон-
вективной диффузии с эффективным коэффициентом диффузии (5.96). Реше-
ние уравнения (5.94) позволяет найти распределение электрического потенциа-
ла. Если обе части уравнения (5.98) умножим скалярно на dx, где х — радиус-
вектор, и используем связь коэффициентов диффузии ионов с их подвижностью
D± =ATv±, то, интегрируя полученное выражение, найдем разность потенциалов Дер
между двумя точками смеси:
Дф = — ----_*L-------- fJLidx —-D.) Гv(lnс)dx (7д)
F2z±v+ (z+D+ - ) J С F(z+D+ - z_D_ ) J
Выражение для разности потенциалов состоит из двух слагаемых. Первое
имеет смысл омического падения потенциала, вызванного сопротивлением сре-
ды прохождению электрического тока плотности i. Второе слагаемое, называе-
мое диффузионным падением потенциала, связано с градиентом концентрации,
т. е. с наличием областей концентрационной поляризации Последнее обуслов-
лено различными скоростями диффузии заряженных частиц и появлением диф-
фузионного тока (второе слагаемое в уравнении (5.98)).
Чтобы решить уравнение для электрического потенциала (5.94) и уравне-
ние диффузии (5.93), необходимо задать начальные и граничные условия.
Обычно электролит расположен в области, ограниченной электродами, представ-
ляющими собой металлические пластинки, например медные пластинки, погру-
женные в раствор медного купороса.
Систему, состоящую из двух электродов, соединенных жидким проводни-
ком (электролитом), называют электролитической ячейкой. Если через электро-
литическую ячейку протекает электрический ток, вызванный внешней ЭДС, то
говорят, что в ячейке происходит процесс электролиза. В случае, если электри-
ческий ток вызван ЭДС, возникающей за счет химических реакций на электроде,
такая система называется гальванической ячейкой. В дальнейшем ограничимся
рассмотрением процесса электролиза.
Независимо от того, течет электрический ток или нет, электролит в области
между электродами можно считать электрически нейтральным за исключением
небольших областей возле электродов. На электроде образуется тонкий слой,
называемый дебаевским или двойным электрическим слоем, представляющий
собой плоский слой, поверхности которого имеют заряды противоположного
знака — с внешней стороны это электрод, несущий заряд определенного знака
(плюс на аноде, минус на катоде), а с внутренней стороны — поверхность элект-
ролита с зарядом другого знака. Структура двойного слоя будет подробно
обсуждаться в разделе 7.3. Отметим, что при рассмотрении процесса, происхо-
дящего в электролитической ячейке, им можно пренебречь.
Рассмотрим электролитическую ячейку (рис. 7.1), состоящую, например, из
медных электродов, между которыми находится слой электролита, например
водного раствора медного купороса [3, 4].
Раствор медного купороса содержит ионы Си2+ и SO^~. Если к раствору
приложена разность потенциалов, то движение катионов Си2+ к катоду и анио-
нов SO^' к аноду образует электрический ток. На аноде происходит раство-
рение меди. Этот процесс можно записать в виде химической реакции
Си Си2+ + 2е~. (7.2)
В то же время на катоде наблюдается осаждение меди. Хотя в электроли-
138
Рис. 7.1. Электролитическая ячейка
тической ячейке присутствуют ионы Си2+ и SO|_, в ре-
акцию с электродами вступают только ионы Си2+,
поэтому электрод можно рассматривать как полупро-
ницаемую мембрану, которая пропускает Си2+ и за-
держивает SO^_. Анионы собираются возле анода, что
приводит к появлению возле электродов градиента
концентрации ионов. Этот эффект, как и раньше, будем
называть поляризационной концентрацией. Соглас-
но (7.1) появление возле электрода градиента концент-
рации приводит к дополнительному падению потен-
циала. Поскольку возле электрода образуется тонкий
двойной слой, в котором при установлении равновесия
ток не течет, то падение потенциала в этом слое вы-
звано только градиентом концентрации. Толщина двой-
ного слоя очень маленькая, поэтому можно считать,
что падение потенциала на электроде равно разности
потенциалов на внешней и внутренней поверхности
гарницы, разделяющей твердую и жидкую фазы.
Из сказанного следует, что раствор электролита можно считать электри-
чески нейтральным. Только в непосредственной близости от электрода на по-
верхности раздела металл — раствор наблюдаются ионы одного знака. Это так
называемая ионная часть двойного слоя.
Сформулируем условия термодинамического равновесия на границе ме-
талл — раствор. Рассмотрим раствор вида Ме2+А'2-, где через Ме2+ обозначены
ионы металла (катионы) с зарядом z+, а X2- — ионы раствора (анионы) с за-
рядом z- Граница раздела металл — раствор непроницаема для Хг~ и прони-
цаема для Ме2+. На этой границе происходит процесс разряда ионов Ме2+ с
превращением их в атомы на катоде, а на аноде происходит переход ионов
металла из решетки в раствор. По аналогии с (7.2) последнюю реакцию можно
записать в виде
Me -> Ме*+ + z_e~.
(7.3)
В стационарных условиях устанавливается частичное равновесие по отноше-
нию к ионам Ме2+, проникающим через электрод (мембрану). Условие термоди-
намического равновесия записывается в виде равенства химических потенциалов
Р-Me = Рмег+> (7.4)
где Цме и ц.Ме,+ — химические потенциалы частиц в металле и ионов в растворе.
Поскольку частицы, проходящие через границу металл — раствор, заряже-
ны, то на этой границе имеется электрическое поле и
ЦМе = Цме + И^Фме; = PmU + (7’5)
где Рме> Р-ме'+ — стандартные химические потенциалы, т. е. потенциалы, кото-
рые имели бы незаряженные частицы; фМе и ф, - электрические потенциалы в
соответствующих фазах; F — число Фарадея; п — валентность ионов металла.
Обозначим межфазный скачок потенциала Дф = фМе~ф5. Тогда условие
равновесия (7.4) с учетом (7.5) запишется в виде
лЖ=ц(мои-”гДФ- <7-6>
139
Заметим, что если раствор не является идеальным, то в качестве стандарт-
ного потенциала следует взять выражение (5.53) раздела II
Л =W(p,T) + AT\n(aM^), (7.7)
где аМе^ — активность металла в растворе.
Для предельно разбавленного раствора активность можно заменить на
мольную концентрацию металла в растворе СМе1+:
= V(p, П + АТ 1п(СМе. ). (7.8)
Подставляя (7.8) в (7.6), найдем межфазное падение потенциала
Аф = 5 In (CMeI+ ) + X(Ж(р, Г) - ) = X In (СМег+ ) + ф<’>. (7.9)
Формула (7.9) определяет связь между концентрацией ионов металла в
растворе и падением потенциала на границе раздела металл — раствор. Из
этого выражения находим
CMez+ = const • exp (пРАф /АТ). (7.10)
Полученное выражение называется формулой Нернста. Знак падения
потенциала выбран так, что если на электроде происходит разряд ионов метал-
ла (катод), то Аф < 0, и если ионы металла переходят в раствор на электроде
(анод), то Дф > 0.
На практике задается или измеряется не разность потенциалов на одцой
границе раздела фаз Аф (см. формулу (7.9)), а разность потенциалов или ЭДС
между двумя электродами в ячейке. Поэтому следует написать соотношение,
аналогичное (7.9) для системы, состоящей из двух одинаковых электродов. На
каждом электроде имеется падение потенциала. Поэтому разность потенциалов
между электродами (ЭДС цепи) равна
У = Аф1-Дф2 =Xln(c1)-Xln(c2) = Xinf|l\ (7.11)
пг пг пг I С2 I
где С, и С2 — концентрации ионов возле электродов 1 и 2.
Перейдем теперь к механизму электролиза. Прохождение тока через элект-
ролитическую ячейку можно рассматривать как специальный случай гетеро-
генной химической реакции. Как уже отмечалось (см. раздел 6.1), гетероген-
ная реакция состоит из трех этапов: 1) транспортного — переноса ионов из
толщи раствора к поверхности электрода; 2) собственно электрокинетической
реакции с участием ионов и молекул; 3) образования конечных продуктов
реакции и их осаждения на поверхности электродов или отвод от этой по-
верхности. Скорость гетерогенной реакции определяется самым медленным
этапом. Для поддержания конечной скорости реакции требуется наложение
внешней ЭДС. Чаще всего самым медленным этапом является первый. Не
менее важным, хотя и реже встречающимся на практике, является случай,
когда медленным этапом является второй или третий. В теоретической элект-
ротехнике основное внимание уделено именно этим двум этапам. Ограничим-
ся рассмотрением первого случая, т. е. будем считать, что процесс лимитиру-
ется транспортным этапом.
Как было ранее показано, прохождение тока через электролит приводит к
изменению концентрации у одного из электродов и появлению в связи с этим
концентрационного перенапряжения фсопс. В состоянии равновесия на границе
металл — раствор существует падение потенциала, даваемое формулой (7.1).
140
При наложении потенциала, отличного от равновесного, концентрация разря-
жающихся на электроде ионов Сс вблизи катода становится ниже, чем в толще
раствора Со. Реакция на электроде протекает очень быстро, поэтому можно
считать, что Сс имеет равновесное значение и согласно (7.9) на катоде
фс =Фо + #1пСс. (7.12)
Соответствующее равновесное значение в растворе равно
ф,=ф0+^1пС0. (7.13)
Падение потенциала в слое, в котором концентрация ионов меняется от Со
до Сс, называется концентрационным перенапряжением и равно
Фсопс =-(ф,-фс) = -^1п^. (7.14)
Изменение потенциала имеет знак минус, так как в условиях равновесия
оно стремится препятствовать дальнейшему изменению потенциала. В термоди-
намике это утверждение соответствует принципу Ла-Шателье [8]: «Всякая
система, находившаяся в состоянии химического равновесия, претерпевает в
результате изменения одного из факторов, определяющих равновесие, такое
изменение, которое, происходя само по себе, вызвало бы изменение рассматри-
ваемого фактора в противоположном направлении».
Таким образом, когда самой медленной стадией является перенос ионов,
падение потенциала между электродами складывается из трех частей: омиче-
ского падения Дфот, концентрационного перенапряжения фСОПс и равновесно-
го Дф®, соответствующего случаю отсутствия тока. Последняя величина, как
правило, равна нулю. Соответственно приложенную к электродам ЭДС можно
представить в виде
V = Дфот + 1п^ + Дф<4>. (7.15)
В этом выражении опущен член, характеризующий концентрационное пе-
ренапряжение у анода, поскольку в реальных условиях оно обычно намного
меньше, чем у катода [4].
Основной характеристикой электролитической ячейки является вольт-ам-
перная характеристика г = f(V), именуемая в электрохимии поляризационной
кривой. Для ее определения необходимо знать Сс и Дфот.
Будем считать электролит неподвижным, а электроды бесконечными плос-
костями. Тогда задача сводится к определению потока ионов металла (катио-
нов) на катод. Плотность электрического тока i - Fz±j±. Используя выражения
(5.85) раздела II для мольных потоков j± при условии и = 0, получим
i+ = -D+Fz+ (7.16)
ау АТ ау
L = (7.17)
ау АТ ау
В формуле (5.85) подвижности выражены через коэффициенты диффузии
v± = D±/AT.
Из условия электрической нейтральности электролита следует, что
z+C+ + z_C_ = 0. (7.18)
141
Поскольку ионы металла беспрепятственно осаждаются на катоде, а анионы
задерживаются возле анода, то поток анионов отсутствует.
Следовательно,
L = 0.
(7.19)
Так же, как в разделе 5.5, введем приведенные концентрации
С = C+/v+ = C-/V-, (7.20)
где v+ и V- — число положительных и отрицательных ионов, образующихся при
диссоциации молекул электролита.
Тогда выражения для плотностей тока (7.16) и (7.17) можно переписать
в виде
i+ = -D+Fz+v+ £ - - 2г^;-+С- £, (7.21)
dy AT dy
0=-D.Fz.v.^--^~^^. (7.22)
dy AT dy
Из (7.22) находим
? = <7 23>
ay Fz_C dy
Это значит, что миграция анионов в электрическом поле уравновешивается
их диффузией под действием градиента концентрации.
Теперь можно исключить d$/dy из (7.21). Учитывая, что z+v+/z_ = -V-,
получим
г+ = -D+Fv.(z+ - z.)^-. (7.24)
аг/
Поскольку плотность электрического тока в электролитической ячейке
постоянна, то из (7.24) следует, что распределение концентрации катионов яв-
ляется линейной функцией у. Далее из условий i+ > 0 и z+ - z- > 0 следует, что
dC/dy <0, т. е. концентрация катионов убывает от анода к катоду. Падение
потенциала происходит в том же направлении. Поскольку из электронейтраль-
ности следует, что С_ /С+ = const, то распределение анионов ведет себя так же,
как распределение катионов.
Найдем теперь распределение концентрации. Положительные ионы метал-
ла образуются на аноде, поэтому в качестве граничного условия следует взять
С = Са при у : 0. (7.25)
Интегрируя (7.24) и воспользовавшись условием (7.25), получим
С = Са---------------.
£>+Fv_(z+ - z_)
В частности, на катоде (у = Л) концентрация катионов равна
(7.26)
Теперь плотность тока можно представить в виде
i+ = (Са -Cc)O±Fv-(^~(7.28)
Из (7.28) следует, что плотность тока достигает максимального значения illm
142
при Сс = 0. Обозначив через Со — начальное значение приведенной концент-
рации и учитывая, что для бинарного электролита должно выполняться условие
сохранения Са + Сс = 2С0, получим следующее выражение для предельной плот-
ности электрического тока:
V = 2С0 (7.29)
По смыслу предельная плотность тока достигается, когда катионы мгновен-
но поглощаются катодом. Это возможно при достаточно больших значениях
приложенной разности потенциалов.
Определим теперь распределение потенциалов, для чего подставим (7.26)
в (7.21) и проинтегрируем полученное выражение по у от 0 до h. В итоге
получим
Аф = ф(0) - ф(Л) =
In,
Чип**"
+ 7Т1П §
(7.30)
Формула (7.30) дает выражение для омического падения потенциала. Она
состоит из двух частей. Первая часть — обычное омическое падение потенциала
в растворе, электропроводность которого обусловлена подвижностью ионов
металла. Отрицательные ионы раствора в целом неподвижны и не создают
результирующего тока. Тем не менее наличие неподвижных анионов приводит
к дополнительному падению потенциала. Оно выражено вторым слагаемым в
(7.30).
Согласно (7.15) приложенная ЭДС равна
тг — ЛА । А । Ла(0) _ A7Tz+ — г~) 1_ ( ’lim *
V Дфот + фсопс + Дфед “ р .
( iHm +
(7.31)
Разрешая (7.31) относительно г+, находим вольт-амперную характеристику
»+ _ 1 ~ exp(z+z FV/(z+ - z W)
»l,m 1 + exp(z+z_FV/(z+ - г_)ЛТ)
Зависимость i+ = f(V) показана на рис. 7.2. При малых значениях FV/AT
зависимость близка к линейной и с увеличением FV/АТ плотность тока экспо-
ненциально стремится к г11т. Такая вольт-амперная характеристика соответствует
идеальному электролиту. Поэтому в идеальном электролите тока, большего,
Рис. 7.2. Вольт-амперная
характеристика
чем гит, быть не может. Это ограничение характерно для неподвижного элект-
ролита. Если электролит движется, например его перемешивают, то поляриза-
ция ионов у электролита уменьшается и тем самым увеличивается предельный
поток, а следовательно, и ilim. Для неидеального электролита возможны значе-
ния i+, превосходящие z'iim в связи с диссоциацией растворителя при больших
значениях V.
7.2. ЭЛЕКТРОДИАЛИЗ
Электродиализ — процесс, в котором ионы, содержащиеся в растворе, уда-
ляются с использованием мембран под действием внешнего электрического
поля. Мембраны, используемые в этом процессе, называются ионообменными
мембранами. Они бывают двух типов: катионообменные, которые пропускают
только катионы, и анионообменные, которые пропускают только анионы.
Установка электродиализа (рис. 7.3) представляет собой набор пакетов
плоских мембран, один из которых показан на рис. 7.3. Анионо- и катионооб-
менные мембраны в пакете чередуются. С обеих сторон пакет мембран ограни-
чен электродами. Раствор, содержащий ионы (примем для определенности, что
это ионы поваренной соли Na+ и СЕ), течет в плоских каналах между мембра-
нами. Под действием внешнего электрического поля, перпендикулярного плоскости
мембран, ионы Na+ проходят через катионообменные мембраны, а ионы СГ —
через анионообменные мембраны. В итоге уменьшается содержание соли в
канале левой пары мембран, называемом каналом диализата, и увеличивается
соответственно в канале правой пары мембран, называемом каналом концентра-
та. Раствор соли прокачивается через оба канала, причем в процессе движения
соль переходит из канала диализата в канал концентрата. Часть секции, вклю-
чающая каналы диализата и концентрата с прилегающими к ним мембранами,
Рис. 7.3. Пакет установки электродиализа
144
называется ячеичной парой. В электродиализном пакете обычно содержится от
50 до 300 ячеичных пар. Число пакетов в установке электродиализа выбира-
ются, исходя из требуемого уровня очистки раствора от соли. По мере умень-
шения концентрации соли в канале диализата проводимость раствора падает.
Характерная ширина каналов составляет 1 мм, длина каналов равна 0,25 — 1 м.
Ионообменные мембраны изготавливают из органических полимерных
материалов, толщина мембраны равна примерно 0,5 мм. На рис. 7.4 показано
распределение концентрации ионов внутри и вне катионообменной мембраны
для случая одинакового числа положительных и отрицательных ионов (v+ = v~),
так что С+ = С-.
Движение ионов приводит к появлению градиента их концентрации в
растворе у поверхности мембран. Проявляющаяся концентрационная поляриза-
ция, аналогичная поляризации в электролитической ячейке, приводит к малой
концентрации соли и большой напряженности электрического поля возле мем-
браны в канале диализата.
Проиллюстрируем явление концентрационной поляризации в электродиа-
лизной ячейке [19]. Для этого рассмотрим развитие течения в каналах концент-
рата и диализатора (рис. 7.5) при условии равенства концентрации соли в
растворе на входе в эти каналы. Это условие означает, что раствор обладает
постоянной электропроводностью. Во входном сечении профиль скорости счи-
тается развитым, а профиль концентрации — однородным. Поэтому вблизи входа
распределение концентрации соли близко к однородному и раствор под дей-
ствием электрического поля ведет себя как среда с постоянной по сечению
электропроводностью. В частности, в такой среде и в мембранах падение потен-
циала линейное. Дальше, вниз по течению концентрация возле мембран в ка-
нале диализата падает, а в канале концентрата растет. У поверхности образу-
ется концентрационный пограничный слой, толщина которого растет с увеличе-
нием расстояния от входа. В канале диализата падение потенциала, вызванное
градиентом концентрации у мембран, больше, чем падение в растворе с такой
же однородной средней электропроводностью. Резкое падение потенциала возле
поверхности мембраны имеет ту же природу, что и падение потенциала возле
электрода (см. раздел 7.1). После того, как концентрационные пограничные
слои достигают оси канала, концентрация ионов начинает изменяться и на осях
С+ Концентрация подвижных / катионов в мембране
с а Концентрация фиксированных анионов в мембране
В концентрате
С + =С_
В диализате
С + =С_
Концентрация подвижных
анионов в мембране
Рис. 7.4. Распределение концентрации ионов внутри и вне мембраны
10 - 1461
145
Рис. 7.5. Развитие течения в каналах диализата и концентрата
каналов диализата и концентрата. На достаточно большом расстоянии от входа
распределение концентрации ионов устанавливается по сечению каналов. Соот-
ветственно устанавливается и падение потенциалов.
По аналогии с задачей конвективной диффузии в канале с растворимой
стенкой (см. раздел 6.3) и в канале с мембранными стенками (см. раздел 6.4)
можно ввести понятие области развития концентрации и понятие развитой
концентрации (см. рис. 7.5).
Пусть процессы, происходящие в ячейках, составляющих пакет, одинако-
вы. Рассмотрим одну ячейку, включающую каналы диализата и концентрата с
прилегающими мембранами (см. рис. 7.5). Если пренебречь падением потен-
циала в электродных ячейках по сравнению с падением потенциала в пакете
мембран, то падение потенциала поперек каждой ячейки одинаково и равно
полному падению потенциала в
пакете, деленному на число ячеек
в пакете. Поскольку распределе-
ние параметров в каналах сим-
метрично относительно осей, то
электродиализную ячейку можно
моделировать одной половиной
канала диализата и одной поло-
виной канала концентрата с раз-
деляющей их катионообменной
мембраной (рис. 7.6).
Предположим для простоты,
что омическое сопротивление мем-
бран мало и им можно прене-
бречь. Кроме того, примем, что
электролит состоит из одного по-
Рис. 7.6. Схематичное распределение кон-
центраций в диализате и концентрате
146
ложительного и одного отрицательного составляющих с одинаковыми количе-
ствами ионов
v+ = v- = v (7.33)
и одинаковыми коэффициентами диффузии
D+ = D- = D. (7.34)
Заметим, что эти предположения не являются принципиальными, они нуж-
ны только для упрощения выкладок.
Принимаем, что течение раствора в каждом канале развитое со средней
скоростью U. На входе распределение концентрации однородное, так что
С = Соприх = О. (7.35)
Уравнения, описывающие распределение концентраций ионов и электри-
ческого потенциала, были получены в разделе 5.5. При условии
С+ = С-=С и 2+ = -z_ (7.36)
эти уравнения имеют вид
м(у)Э£ = П^£, (7.37)
дх ду2
Эф _ г(у)АТ (7 ЧЯ1
ду 2F2z2DC ‘ \ / .ЭО/
Сформулируем теперь граничные условия. На катионообменной мембране
выполняется условие г_ = 0. В разделе 7.1 это условие использовалось на ка-
тоде. В рассматриваемом случае из (7.17) следует, что
£>^ = --4- при у = 0. (7.39)
ду 2z+F
На анионообменной мембране выполняется аналогичное условие, но знак
в правой части (7.39) изменяется на противоположный.
Вторым граничным условием является условие симметрии на осях каналов
= 0 при y = ±h. (7.40)
Уравнение (7.37) с условиями (7.35), (7.39) и (7.40) те же, что и в задаче
о развитии профиля концентрации в задаче обратного осмоса (см. раздел 6.4).
Сравнение с этой задачей показывает, что условие (7.39) в задаче обратного
осмоса имеет место с заменой i/2z+F на vwCw. Плотность тока i~Fz+j^., где
j+ — поток ионов. Теперь можно воспользоваться полученным в разделе 6.4
решением. На небольших расстояниях от входа (x/h —> 0) толщина диффузион-
ного слоя невелика и можно ввести автомодельную координату (6.76)
ч'ИжГ’ <7Л,)
В качестве продольной координаты введем
где V — постоянное приложенное внешнее падение потенциала в рассматривае-
мой системе.
10'
147
Число Пекле
PeD = vw/?/£>•
Сравнивая (6.75) с (7.42), получим
vw = Dz+FV/2ATh.
Тогда число Пекле примет вид
PeD = Z+FV/2AT = V/2.
Здесь введено безразмерное падение потенциала
V* = z+FV/AT.
(7.43)
Оценка толщины диффузионного слоя производится в соответствии с (6.29):
<7 44)
Теперь можно оценить концентрацию ионов на поверхности мембраны,
используя (7.39):
(7.45)
Ср - Cw _ ;SD
Со 2z+FC0D'
Входящее в правую часть (7.45) значение i можно оценить, используя (7.38):
_ v 2F2z}DCo ,7
г АТ • (7-46)
Теперь из (7.45) нетрудно найти
С-0 — Cw
Ср
Заметим, что оценка (7.47) годится для канала диализата, поскольку в нем
(7.47)
Уравнение диффузии (7.37) решаем так же, как в разделе 6.4. Определяем
функцию /(ц) соотношением (6.76), далее решаем обыкновенное дифферен-
циальное уравнение (6.78) для /(ц). Из (6.77) находим концентрацию ионов
на стенке
— = 1-1,53^/3.
ср
(7.48)
Определив распределение концентрации ионов, можно из (7.38) найти рас-
пределение потенциала. Предварительно заметим, что общее падение потенциала
складывается из падения в каналах диализата и концентрата плюс падение на
мембране. Падение потенциала на мембране аналогично концентрационному
перенапряжению на электроде и вызвано разностью концентраций ионов на по-
верхностях мембраны. Для катионообменной мембраны падение потенциала равно
Л1 j /сопс
%+F
(7.49)
где (Са,)сопс и (Ca,)dial — значения концентрации ионов на поверхностях мембра-
ны, обращенных к каналам концентрата и диализата соответственно.
Таким образом, приложенный внешний потенциал
у = дф _in> (7.50)
Z+F (Cmlthal
148
где Дф — падение потенциала в жидкости, которое можно найти из (7.38):
/о л \
Аф=~^ <7-5,)
V* О J
Подставляя сюда выражение для С, получим
п Н/З
г* А. = 1-3,072^-, (7.52)
где
Полученные решения (7.48) и (7.52) справедливы при условии малости £1/3
и ^1/3/V*. Существуют два предельных случая: ^—>0 и V* —При больших
значениях V* значение тока i близко к предельному значению
С = V/2. (7.54)
Из (7.48) можно найти значение при котором концентрация на поверх-
ности мембраны равна нулю:
£11т= (1,536)'’= 0,276. (7.55)
7.3. ДВОЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ СЛОЙ
В предыдущих разделах были рассмотрены процессы переноса зарядов в
электронейтральных электролитах применительно к электролитической и элект-
родиализной ячейкам. У большинства веществ при контакте с окружающей водной
(полярной) средой на поверхности появляется поверхностный электрический заряд
за счет процессов ионизации, адсорбции ионов и диссоциации [20, 21]. Если
заряженную поверхность поместить в раствор электролита, то содержащиеся в
растворе ионы противоположного знака (противоионы) притянутся к поверхно-
сти, в то время как ионы того же знака (коионы) оттолкнутся от нее (рис. 7.7).
На процессы притяжения и отталкивания ионов накладывается тепловое
движение ионов, что приводит наряду с миграцией ионов к их перемешиванию.
Рис. 7.7. Двойной электрический слой на заряженной поверхности в растворе
149
В итоге у поверхности образуется двойной электрический слой, в котором число
противоионов превосходит число коионов. Образующийся заряд двойного слоя
компенсирует (экранирует) заряд поверхности, причем распределение ионов
носит диффузионный характер. Без учета теплового движения ионов число
противоионов в двойном слое полностью компенсировало бы заряд поверхно-
сти. Такое состояние называется идеальным экранированием. Случайное теп-
ловое движение ионов позволяет некоторым ионам того же знака, что и знак
поверхности, преодолеть потенциальный барьер и приблизиться к поверхности.
С другой стороны, ионы противоположного знака могут удалиться от поверхно-
сти. В итоге толщину двойного слоя можно оценить, приравнивая потенциаль-
ную энергию тепловой энергии противоионов (АТ/2 — энергия одного моля,
приходящаяся на одну степень свободы, А — газовая постоянная, Т — абсолют-
ная температура).
Оценим толщину двойного слоя для плоского случая (см. рис. 7.7), когда
электрическое поле перпендикулярно плоскости заряженной поверхности х = 0.
Рассмотрим полностью диссоциированную симметричную соль в растворе, для
которой заряд положительных и отрицательных ионов одинаков, т. е.
2+ = - 2_ = Z. (7.56)
Пусть для определенности поверхность несет положительный заряд. Оце-
ним сначала толщину двойного слоя при условии идеального экранирования,
т. е. когда в слое отсутствуют положительные ионы (коионы). Из уравнения
Пуассона (5.88) раздела II следует, что потенциал в двойном слое удовлетво-
ряет уравнению
= F^C (7 57)
Здесь С — средняя мольная концентрация отрицательных ионов (противо-
ионов).
Мольная электрическая энергия ионов равна
W = -Fztf. (7.58)
Если принять, что электрическое поле исчезает на одной стороне плоского
двойного слоя, то интегрируя (7.57) при условии (/ф/(/х = 0 при х = 0, можно
найти изменение W поперек двойного слоя
AW = - FiCz2x1/2z. (7.59)
Толщину двойного слоя можно определить из условия равенства AW
энергии теплового движения ионов в плоском случае (степень свободы равна
двум)
AW = AT. (7.60)
Подставляя в (7.60) выражение (7.59), найдем толщину двойного слоя XD:
х =
\1/2
гАТ ]
2F2z2C
(7.61)
Двойной слой иногда называют дебаевским слоем, a ZD - толщиной или
радиусом дебаевского слоя. Для водного раствора симметричного электролита
при Т= 25 °C
_ 9,61 10~9
~ G2C)1/2 ’
(7.62)
150
Размерность дается в метрах, а С — в моль/м3. Для одновалентного
электролита г = 1 при С = 102 моль/м3 имеем XD= 1 нм, а при С = 1 моль/м3
XD = 10 нм.
Из (7.62) следует, что XD~ С“1/2. Это значит, что с увеличением С число
противоионов на единицу длины увеличивается. Толщина слоя уменьшается
также с увеличением заряда ионов, поскольку чем больше заряд ионов, тем
меньше нужно ионов, чтобы экранировать заряд поверхности. Значение XD
растет с увеличением АТ. Это значит, что при отсутствии теплового движения
ионов толщина двойного слоя стремится к нулю. Полученные значения XD
позволяют теперь уточнить понятие электронейтрального раствора. Если харак-
терный линейный размер системы L » то появление локального заряда
экранирует его в растворе на расстоянии XD, малом по сравнению с размером
электролита L. Тем самым толща раствора остается электрически нейтральной и
внешний потенциал в толще раствора не искажается. Поэтому пока XD ~ 1—10 нм,
в большинстве задач, представляющих практический интерес, раствор можно
считать электрически нейтральным. Однако в системах, в которых L < XD, на-
пример в микроскопических капиллярах или микропористых средах, раствор
уже нельзя считать электрически нейтральным и необходимо учитывать струк-
туру двойного слоя при расчете концентраций и массовых потоков.
В приведенной выше оценке толщины двойного слоя предполагалось, что
С = const в слое. В действительности концентрация ионов в двойном слое
распределена по закону Больцмана
С± = Со ехр . (7.63)
\ л* I
Значение Со соответствует концентрации ионов вдали от заряженной по-
верхности (С —> Со при ф—>0). При этом плотность заряда в двойном слое
p£=F^z,C1. (7.64)
г
С учетом (7.63) имеем
Ре = FzCo^exp^-^)-exp0^^ = -2FzCosh0^). (7.65)
Теперь уравнение Пуассона можно записать в виде
= (7.66)
dx2 е I AT I
Для малых значений zFp/AT « 1 можно разложить гиперболический
синус в ряд и, оставляя в нем только только первый член, получим
= (7.67)
Приближение, в котором записано уравнение (7.67), называется приближе-
нием Дебая — Хюккеля. Интегрируем это уравнение при условиях ф = ф,е при
х = 0 и ф = dp/dx = 0 при х —> В итоге получим
ф = Фа, ехр| - (7.68)
I Ад I
Таким образом, в рассматриваемом случае дебаевская толщина XD — это
расстояние от заряженной плоскости, на которой потенциал убывает в е раз.
151
В действительности вблизи поверхности потенциал не всегда мал, приближение
Дебая — Хюккеля может нарушиться и ф падает быстрее, чем по закону (7.68).
Двойной слой, в котором ф изменяется от значения фа, до 0 в соответствии с
(7.66) или (7.67) называется диффузионным двойным слоем.
Дальнейшее уточнение модели двойного слоя состоит в учете конечного
размера ионов (ранее они считались точечными зарядами). При этом граница
двойного слоя, прилегающая к заряженной поверхности, отодвигается на вели-
чину порядка радиуса ионов (рис. 7.8).
Учет этого эффекта приводит к появлению слоя Штерна и плоскости
Штерна. Обозначим через С = Фе дзита-потенциал. Он еще называется электро-
кинетическим потенциалом и характеризует падение потенциала в сдвиговом
слое, т. е. слое, по которому электролит может проскальзывать вдоль заряжен-
ной поверхности. Подобное представление структуры двойного слоя приводит
к понятию электрокинетического явления. Под этим понимаются явления, про-
являющиеся во взаимодействии движущегося вдоль заряженной поверхности
электролита с внешним электрическим полем.
Если внешнее электрическое поле приложено параллельно заряженной
поверхности, то на ионы в двойном диффузионном электрическом слое действу-
ет сила, направленная вдоль поверхности и приводящая к миграции ионов
вдоль стенки, а следовательно, и всего раствора электролита.
Если в электролите содержатся твердые частицы, то на каждой частице
образуется двойной слой. В этом случае электрокинетическое явление состоит
в возможности движения этих частиц во внешнем электрическом поле.
7.4. ЭЛЕКТРОКИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
Под частицами, находящимися в растворах электролита, будем понимать
частицы настолько больших размеров, что их можно считать образующими
отдельную фазу, например коллоидные частицы различной природы и проис-
Рис. 7.8. Уточненная модель двойного слоя
152
хождения, частицы эмульсии воды в масле (в/м) и масла в воде (м/в) и т. п.
Эти частицы, как правило, несут отрицательный заряд.
На границе раздела фаз, одной из которых является раствор электролита,
возникает область заряженного раствора — двойной электрический слой, нали-
чие которого обусловливает своеобразные электрогидродинамические эффекты,
проявляющиеся при движении частиц в растворах электролита. Эти эффекты
получили общее название электрокинетич^ских явлений. Все электрокинетиче-
ские явления имеют общей механизм и связаны со взаимным относительным
перемещением фаз [3, 22].
Если на раствор, содержащий взвесь дисперсных частиц, наложить внешнее
электрическое поле, то частицы придут в движение. Такое движение называется
электрофорезом. Наряду с электрофорезом наблюдается и обратный эффект —
при движении частиц, вызванном неэлектрическими силами, в растворе возни-
кает электрическое поле. Если происходит осаждение частиц в гравитационном
поле, то появляется седиментационный потенциал. В случае движения частиц в
потоке появляется потенциал течения. В любом случае относительных движе-
ний фаз наблюдается появление разности потенциалов в смеси.
Те же самые явления наблюдаются, если движущей фазой являются не
частицы, а сам раствор. Так, если электрическое поле приложено к границе
раздела твердая фаза — раствор, т. е. твердая фаза не диспергирована, а явля-
ется неподвижной заряженной стенкой, то в движение приходит раствор. Это
движение называется электроосмосом.
Очевидно, что имеет значение только относительное движение фаз, поэтому
оба явления имеют одинаковую физическую природу, хотя проявляются они по-
разному.
При движении раствора электролита вдоль стенки возникает эффект, на-
зываемый потенциалом течений, который по существу ничем не отличается от
седиментационного потенциала.
Для электрокинетических явлений характерны два предельных случая.
В первом толщина двойного электрического слоя считается малой по сравне-
нию с характерным линейным размером задачи. В случае электроосмотическо-
го течения таким линейным размером может быть диаметр капилляра, в кото-
ром происходит течение. При электрофорезе характерным линейным размером
является радиус частицы. В рассматриваемом предельном случае раствор можно
считать электронейтральным везде, кроме очень тонкого слоя, прилегающего к
поверхности твердого тела. Второй предельный случай характеризуется тем, что
толщина двойного слоя превосходит линейный размер задачи. Теоретическое
рассмотрение этого случая представляет наибольшие трудности, поскольку ра-
створ уже нельзя считать электронейтральным. С прикладной точки зрения
этот случай имеет большое значение в биологии, поскольку размер биологиче-
ских частицы, как правило, меньше толщины дебаевского слоя. В большинстве
практических случаев приходится иметь дело с гораздо большими размерами
частиц, поэтому основное внимание в дальнейшем уделяется первому предель-
ному случаю.
7.5. ЭЛЕКТРООСМОС
Известно, что частицы глины, песка и другие частицы минерального проис-
хождения при контакте с водными растворами, несущими, как правило, раство-
ренные в них соли, приобретают отрицательный поверхностный заряд. Поэтому
153
в образующихся на частицах двойных электрических слоях преобладают поло-
жительно заряженные ионы и при наложении внешнего электрического поля
эти ионы стремятся мигрировать к катоду. Силы вязкого трения заставляют
вместе с ионами двигаться жидкость в пространстве между частицами. Если
речь идет о пористой среде, то жидкость движется в межпоровом пространстве.
Это явление называется электроосмосом.
Электроосмос используется во многих технических приложениях, напри-
мер при удалении влаги из грунта в процессе строительства, обезвоживании
отходов производства, в биологических процессах и т. д.
Рассмотрим электроосмотическое движение в пористой среде. Будем моде-
лировать ее системой параллельных цилиндрических микрокапилляров. Рас-
смотрим такой капилляр и будем считать его стенку заряженной. Движение
жидкости в нем происходит под действием внешнего электрического поля, па-
раллельного оси капилляра (рис. 7.9).
Пусть р£ — объемная плотность электрического заряда жидкости. Тогда
сила, действующая на единицу объема жидкости, равна р/ = р?Е + Q и уравне-
ние движения вязкой жидкости (5.17) примет вид
p^ = V-T + pg + p£E. (7.69)
В рассматриваемой задаче можно пренебречь силой тяжести и инерцией
жидкости. В случае, когда градиент давления отсутствует, уравнение (7.69)
сводится к балансу вязкой и электрической сил
цДы = -р£Я. (7.70)
Направим ось х вдоль оси капилляра по направлению к катоду и будем
считать, что скорость имеет одну составляющую и (у). Для узкого капилляра
подобное допущение справедливо. Пусть толщина дебаевского слоя на стенке
капилляра XD мала по сравнению с радиусом капилляра а, т. е. « а. Тогда
в области, прилегающей к стенке, кривизной стенки капилляра можно прене-
бречь и уравнение (7.70) сводится к
<7-7»
Ось у направлена перпендикулярно стенке внутрь капилляра, на нижней
стенке у = 0.
ооооооооооооеео
Рнс. 7.9. Электроосмотическое движение жидкости в капилляре
154
Интегрируя (7.71) при условии du/dy = dy/dy = 0 при у что соответ-
ствует внешней границе двойного слоя, получив
= (7.72)
dy dy
Интегрируем теперь (7.72) по у от °° до 8, где 8 — толщина сдвигового
слоя, а вдали от плоскости скорость равна электроосмотической (м = U) и ф -> О
при х —> °°. Тогда получим
U = -e^Ex/vl. (7.73)
Из формулы (7.73) следует, что электролит проскальзывает вдоль за-
ряженной поверхности со скоростью U. Эта формула называется формулой
Гельмгольца — Смолуховского.
Заметим, что в приближении малой толщины двойного слоя движение
жидкости в капилляре носит характер поршневого движения со скоростью U.
Если толщина двойного слоя малая, но конечная величина, то профиль скорости
имеет вид, изображенный на рис. 7.9. Для характерного значения £ = 0,1 В,
Ех = 103 В/м имеем для воды U = 10~4 м/с. Таким образом, скорость электро-
осмотического движения жидкости чрезвычайно мала.
Заметим, что расход жидкости в электроосмотичесом движении Qei = na2U,
в то время как гидравлический расход жидкости за счет заданного градиента
давления равен Qhydr = nai(dp/dx) /8ц. Следовательно Qe//Qhydr~ 1/а2. Это
значит, что уменьшение размера капилляра может привести к тому, что основ-
ную роль в движении жидкости будет играть электроосмотическое движение
жидкости, а не гидравлика. Этот вывод естественно справедлив до тех пор, пока
а » .
Решение аналогичной задачи с учетом градиента давления в случае про-
извольного отношения XD/a содержится в [23]. Как и ранее, считаем течение
безынерционным, но учитываем градиент давления. Раствор электролита счи-
тается бесконечно разбавленным и бинарным. Сделанные предположения по-
зволяют написать уравнения движения в виде
- Vp + цЛи - Е (z+C++ z-С-) Уф = 0. (7.74)
Здесь напряженность электрического поля Е заменена на -Уф, а плотность
зарядов р£ = F^z.C,
1
Дальнейшее упрощение состоит в предположении, что раствор содержит
полностью диссоциированное симметричное растворенное вещество (соль), так
что z+ = - z-- z. Течение осесимметрическое, скорость имеет одну продольную
компоненту, поэтому в цилиндрической системе координат (х, г) уравнение
(7.74) сводится к уравнению
7^'-37)=Й + Гг<с--с->К- <775>
Потенциал электрического поля описывается уравнением Пуассона
Дср = -рв/е. (7.76)
Течение в узком капилляре характеризуется тем, что L » а. Тогда в
операторе Лапласа можно пренебречь слагаемым Э2ф/Эх2. Уравнение (7.76)
сводится к
1 — (С. -С ). 17 77)
155
Решение уравнения (7.77) ищем в виде
ф(х, г) = Ф(х) +у(х, г). (7.78)
Поскольку на поверхности капилляра нет радиального потока ионов, то
i* =0 и ur = 0. Из уравнения Нернста — Планка (5.85) следует
= (7.79)
дг АТ дг
Интегрируя (7.79) при условии С± = С0(х) при у = 0 (это соответствует
условию электронейтральности раствора электролита), получим распределение
Больцмана (см. (7.63))
C±(x,r) = Coa)expf+^l (7.80)
В безразмерных переменных г* = г/а, к* - кв/а, у* = zFy/АТ уравнение
(7.77) относительно функции с учетом (7.79) примет вид
A,*2 5fr*^] = sh(v*). (7.81)
Эг* I Эг* J
Граничными условиями являются условие на поверхности капилляра
V* = Q* при г* = 1 (7.82)
и условие симметрии на оси капилляра
= 0 при г* = 0.
Эг* г
(7.83)
Аналитическое решение уравнения (7.81) можно получить только при
А.о/а « 1. В случае произвольных значений 1D/а уравнение нужно решать
численно. На рис. 7.10 показаны результаты численного интегрирования урав-
нения (7.81) при X* = 2,79 для различных значений АЛ Для значений А,* < 0,1
потенциал \|/ в толще раствора равен нулю, он отличен от нуля только вблизи
заряженной стенки капилляра. При А.* > 10 распределение у по сечению капил-
ляра постоянно.
Определим теперь распределение скоростей и расход жидкости. Из (7.75)
и (7.77) находим
dp
dx г dr I dr I dx '
(7.84)
Ц Э ( ди
7э7 гэ7
Интегрируем это уравнение
при условиях
|^ = 0, ^ = 0 при г = 0;
дг дг
и = 0, у = £ при г = а. (7.85)
В итоге получим распре-
деление скорости
Рис. 7.10. Распределение безразмер-
ного потенциала электрического поля
в сечении капилляра для различных
значений А* - Ао/«
156
u(r) = (7.86)
М ах 4ц ах
Объемный расход жидкости равен
Q = \u(r)2nrdr = -\^^-^2Ttrdr (7.87)
J J Ц ах 8ц ах
о о
Рассмотрим предельный случай \о/а « 1, когда решение можно написать
в аналитическом виде. Тогда \|/ = 0 всюду, кроме небольшой области возле
стенки, где г ~ а» XD. В этой области в уравнении (7.81) можно пренебречь
кривизной стенки и, введя координату у* = у/"ко, где у = а - г, получим
^ = shy*. (7.88)
Эг/‘2
Используя линеаризацию Дебая — Хюккеля (см. (7.68)), получим
V = ^е-<‘г-г>/’-о. (7.89)
Подставляя теперь (7.89) в (7 86) и (7.87), найдем
гг(г) = 4(1-е-<-'->/^)^ + -!:^-^. (7.90)
Ц ах 4ц ах
О = (7.91)
Ц dx I а I 8ц dx
При dp/dx = 0, Хо/а —» 0 и dty/dx = - Ех получаем выражение для скоро-
сти (7.73).
В другом предельном случае XD/a » 1 вся область капилляра входит в
двойной слой, потенциал постоянный (ф = Q и распределение концентрации в
нем дается выражением
С±(х, г) = С0(х) exp^+-^J. (7.92)
В этом случае нужно интегрировать уравнение (7.74) при условиях и = 0
при г = а, ди/дг=0 при г = 0. Заметим, что уравнение Пуассона уже не нуж-
но использовать, поскольку ф = £, а концентрация дается уравнением (7.92).
В итоге находим
о=-<£(р-2гГС"ф811^)
Из (7.94) следует, что отношение расходов с учетом и без учета градиента
давления не зависит от радиуса капилляра, хотя ранее было показано, что оно
-а1. Из этого можно сделать вывод, что при больших значениях А.д/а приме-
нение электрического поля не предпочтительней градиента давления даже в
случае очень малых капилляров.
157
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Франк-Каменецкий Д. Ф. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. — М.:
Наука, 1987.— 502 с.
2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1969.— 742 с.
3. Левин В. Г. Физико-химическая гидродинамика. — М.: ГИФМЛ, 1959.— 699 с.
4. Probstein R. F. Physicochemical hydrodynamics. — Butterworths, 1989.— 318 p.
5. Тарг С. M. Основные задачи теории ламинарных течений. — М.: ГИТТЛ, 1951.— 420 с.
6. Карслоу Г., Эгер Д. Теплопроводность твердых тел, — М.: Наука, 1964.— 487 с.
7. Дытнерский Ю. И. Обратный осмос и ультрафильтрация. — М.: Химия, 1978.— 352 с.
8. Пригожин И., Дефэй Р. Химическая термодинамика. — М.: Наука, 1966,— 509 с.
9. Sherwood Т. К., Brian Р. L. Т., Fisher R. Е., Dresner L. Salt concentration at phase
boundaries in desalination by reverse osmosis//Ind. & Eng. Chem. Fundamentals. — 1965,— V. 4,—
P. 113-118.
10. Solan A., Winograd Y. Boundary-layer analysis of polarisation in electrodialysis in a two-
dimensional laminar flow//Phys. Fluids.— 1969.—V. 12,— P. 1372 — 1377.
11. Berman A. S. Laminar flow in channels with porous walls//J. Appl. Phys. — 1953.—
V. 24,- P. 1232-1235.
12. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1970.— 904 с.
13. Гупало Ю. П., Полянин А. Д., Рязанцев Ю. С. Массообмен реагирующих частиц с
потоком. — М.: Наука, 1985.— 336 с.
14. Taylor G. I. Dispersion of solubal matter in solvent flowing slowly through a tube//Proc.
Roy. Soc. — 1953. A 219.- P. 186-203.
15. Scriven L. E. On the dynamics of phase growths//Chem. Eng. Sci.— 1959.—V. 10.—
№ 1.- P. 71-80.
16. Plesset M. S., Prosperetti A. Bubble dynamics and cavitation//Ann. Rev. Fluid. Meeh.—
1977.- V. 9.- P. 145-185.
17. Bankoff S. G. Diffusion-controlled bubble growth//Advan. Chem. Eng. — 1966.— V. 6.—
P. 1-60.
18. Newbold F. R., Amundson N. R. A model for evaporation of a multicomponent droplet//
AICHE Journal.- 1973,-V. 19,-№ 1 - P. 22-30.
19. Probstein R. F. Desalination: Some fluid mechanical problems//Trans. ASME J. Basic
Eng. - 1972 - V. 94,- P. 286-313.
20. Кройт Г. P. Наука о коллоидах. Т. I. Необратимые системы. — М.: ИЛ, 1955.— 538 с.
21. Духин С. С., Дерягин Б. В. Электрофорез. — М.: Наука, 1976.— 332 с.
22. Saville D. A. Electrokinetic effects with small particles//Ann. Rev. Fluid Meeh.— 1977.—
V. 9.- P. 321-237.
23. Gross R. J., Osterle J. F. Membrane transport characteristics of ultrafine capillars//
J. Chem. Phys. - 1968.- P. 228-234.
158
IV
СУСПЕНЗИИ И КОЛЛОИДНЫЕ
СИСТЕМЫ
8
СУСПЕНЗИИ, СОДЕРЖАЩИЕ
НЕЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ
8.1. МИКРОГИДРОДИНАМИКА ЧАСТИЦ
Основное внимание в настоящем разделе уделяется гидродинамике смесей, со-
держащих незаряженные частицы и макромолекулы, т. е. молекулы с молекулярной
массой, превышающей 105, и частицы, размер которых лежит в интервале от 0,1 до
100 мкм. Бэтчелор [1] назвал раздел гидродинамики, изучающий движение жидко-
сти, содержащей макромолекулы и частицы небольших размеров, микрогидродина-
микой. Отличительными особенностями микрогидродинамики являются следующие.
1. Силы инерции, как правило, малы по сравнению с вязкими, поэтому
гидродинамические уравнения сводятся к уравнениям Стокса, соответствующим
гидродинамике при малых числах Рейнольдса.
2. Существенно броуновское движение частиц в жидкости.
3. Скорость осаждения частиц в жидкости в поле силы тяжести мала, так
что частицы можно считать свободно взвешенными в жидкости. Объемная
концентрация частиц влияет на реологические свойства жидкости.
4. Силы поверхностного натяжения играют большую роль, чем объемные
силы, поскольку поверхностные силы пропорциональны площади поверхности
частиц, т. е. квадрату их линейного размера, в то время как объемные силы
пропорциональны кубу линейного размера.
5. Существенны электрокинетические явления, так как твердые и жидкие
коллоидные частицы в водных растворах обладают зарядом, объемным или
поверхностным. В настоящем разделе эти вопросы обсуждаться не будут.
Рассмотрим некоторые основные вопросы гидродинамики при малых чис-
лах Рейнольдса (в частности, им посвящена монография [2]).
Начнем с изолированных частиц в неограниченном объеме жидкости.
Если в уравнениях Навье — Стокса пренебречь инерционными членами и
объемной силой, то они сводятся к уравнениям Стокса
Vp = pAM, (8.1)
A-u = 0. (8.2)
159
Отличительной чертой этих уравнений является их линейность, поэтому
сложные движения можно рассматривать как суперпозицию более простых
движений. Следствием этого является выражение для силы, действующей на
тело произвольной формы, движущееся подступательно со скоростью U [3]:
Р, = б7ср/?У[7; = /;;Ц. (8.3)
Иногда удобнее записать это соотношение в виде
= (8.4)
Тензор R,, называется трансляционным, или тензором сопротивления. Его
компоненты зависят от размеров и формы частицы и имеют размерность длины.
Их можно интерпретировать как эквивалентные радиусы тела. Тензор f4 назы-
вается тензором трения, a v4 — подвижностями, аналогичными подвижностям,
введенным в разделе 4.5. Поэтому тензор с компонентами vtJ называется тен-
зором подвижности.
Соотношения (8.3) и (8.4) сокращенно можно записать в виде
F = f-U u=VF, (8.5)
где через f и V обозначены тензоры сопротивления и подвижности, которые
связаны очевидным соотношением
f=V'. (8,6)
Если тело представляет собой жидкую сферическую частицу радиуса а с
внутренней вязкостью р,, погруженную в жидкость другой вязкости ре, то
Rt, = |8цд(^+-Ц^-2). (8.7)
3 фе+н()
При ре /р, -> оо имеем
=15ча>
(8.8)
что соответствует движению пузырька в жидкости.
При р, /ре -> оо получим выражение для твердой частицы
Л,; = 8,;о. (8.9)
Форма многих частиц отличается от сферической. Иногда их форму мож-
но аппроксимировать эллипсоидом. Пусть а,, а2, а3 — полуоси эллипсоида, a R,,
R2, R3 — компоненты трансляционного тензора в направлении этих полуосей.
В частном случае = а, а2 = а3 = b эти компоненты равны
о _ 8 а2-Ь2
1 ~ 3 (2а2 -Ь2)5-2а’
р _ р _ 16 д2 ~ Ь2_______
2 3 3 (2а2 -ЗЬ2)5 + 2а’
(8.10)
где для вытянутого эллипсоида (а > Ь)
5 = 2(а2-Ь2)-'/2 Inf g -(g-. b--)V2
I b
и для сплюснутого эллипсоида (а < Ь)
5 = 2(Ь2 -а2)1/2 tg-1 f-- z£22!^2.)
160
В случае a = b из (8.10) получим значение R для сферы.
Броуновское движение эллипсоидальной частицы или частицы произволь-
ной формы носит случайный характер. Соответственно случайной является
ориентация частицы. Поэтому для такого движения вводятся понятия средних
коэффициентов сопротивления, трения и подвижности
Х = 1 _L+J_+J_
R 3 I j?t J^2 F3
2
f
1±+±+±1
31 fl /2 /3 )
(8.11)
V = |(t>l +V2 +v3).
Индексами 1, 2, 3 обозначены главные оси квадратичной формы, которой
описывается поверхность частицы.
Приведем еще две формулы для коэффициентов сопротивления очень
вытянутых {а » Ь) сфероидов. При движении вдоль вытянутой полуоси
р 2/ЗД
а 1п(2д/Ь) - 0,5 ’
а при движении вдоль полуоси b
R 4/Зд
Ь 1п(2д/Ь) + 0,5
(8.12)
(8.13)
Приближенное выражение для коэффициента сопротивления при поступа-
тельном движении вытянутого цилиндра длины 2<z и радиуса b вдоль его оси имеет
вид (8.12) с заменой 0,5 на 0,72. В случае, если такой цилиндр движется перпен-
дикулярно оси, коэффициент сопротивления приближенно оценивается формулой
(8.13). При а» b силы сопротивления в этих двух случаях оцениваются как
Fb/Fa ~ 2. Оказывается, что подобная оценка справедлива для любого вытянутого
осесимметрического тела, т. е. сила сопротивления при движении перпендикулярно
оси тела почти в 2 раза больше силы сопротивления при движении вдоль оси тела.
Другим важным параметром является момент частицы, вращающейся от-
носительно центра с угловой скоростью со,
Т, = 6pQv(O;. (8.14)
Здесь со, — компоненты угловой скорости относительно координатных осей,
6яЦ, — компоненты ротационного тензора. Размерность £2,; равна кубу длины,
поэтому тензор интерпретируется как эквивалентный объем. Заметим, что со-
отношение (8.14) можно представить в виде, аналогичном (8.5),
T = Q (O, co = Q'- Т, (8.15)
где Q — ротационный тензор.
Если частица имеет форму сферы радиуса а, то
= -|тшз5у = K5v.
(8.16)
Для эллипсоида вращения справедливы формулы
ЛЛ „ 16
— — я
(а2 -b2)b2
(2д-Ь25)
Qj — ^3 — "д' Я
д4 -А4
(2д2 -ЗЬ2)5-2д
И - 1461
161
В случае тонкого вытянутого эллипсоида а» b коэффициент вращения
вокруг оси b равен
4ла3/9
1п(2«/Ь)-0,5
Если очень длинный цилиндр радиуса b вращается вокруг оси Ь, то
_ 4тса3/9
6 In (2« / Ь) - 0,8 ’ "
Поскольку выражения (8.5) и (8.15) идентичны, то их можно объединить,
вводя в рассмотрение глобальные тензоры трения f и подвижности V, включа-
ющие трансляционные и ротационные компоненты. В стоксовом течении эти
тензоры обладают некоторыми универсальными свойствами [2], среди которых
основными являются: зависимость от мгновенной конфигурации и независи-
мость от скорости, а также симметричность и положительная определенность
матриц {f4} и {V,,}.
Поскольку уравнения Стокса линейные, то поле скоростей в рассматрива-
емой точке равно сумме скоростей, обусловленных влиянием нескольких сил.
Таким образом можно оценить влияние окружающих частиц на движение рас-
сматриваемой частицы (пробной частицы). Для этого нужно воспользоваться
выражением для скорости и в точке г жидкости за счет силы F, приложенной
в начале координат [2]:
F+<£z2r
8лцг I Г 2
(8.17)
Присутствие в жидкости частиц другой фазы приводит к изменению рео-
логических свойств смеси. Если рассматривается движение пробной частицы в та-
кой дисперсной среде, то оказывается, что это движение аналогично движению
в вязкой жидкости, но с эффективным коэффициентом вязкости |4ff, зависящим
от объемной концентрации частиц <р. В частности, при <р—>0 имеем |4ff—>це.
Особый интерес представляет гидродинамическое влияние на рассматри-
ваемую твердую частицу, движущуюся в вязкой жидкости, других частиц, дви-
жущихся в жидкости. Если объемное содержание твердых частиц мало, то
частицы находятся относительно далеко и слабо влияют друг на друга и в
первом приближении можно считать, что они движутся независимо, так что
приведенные выше выражения для скоростей и сопротивлений частиц справед-
ливы. Однако при сближении частиц до расстояний порядка их линейного
размера гидродинамическое влияние частиц друг на друга становится суще-
ственным и им пренебрегать уже нельзя.
Степень гидродинамического взаимодействия частиц зависит от следую-
щих параметров:
а) формы и размеров частиц;
б) расстояний между ними;
в) ориентации частиц относительно друг друга;
г) ориентации частиц относительно силы тяжести;
д) скорости поступательного и вращательного движения частиц;
е) положения частиц относительно границ области (стенок, межфазной по-
верхности).
Основной интерес представляет влияние указанных параметров на гид-
родинамические силы и моменты, действующие на частицы со стороны жид-
кости. Если эти силы и моменты для определенной совокупности частиц из-
162
вестны, то можно решить обратную задачу определения картины движения
частиц по известным массовым силам и моментам (например, гравитационным
силам).
В такого рода задачах поле скоростей и давлений описывается уравнени-
ями Стокса (8.1) и (8.2). В наиболее общем случае частицы могут совершать
как поступательное, так и вращательное движение. Поскольку уравнения Сток-
са и граничные условия линейны, то можно оба движения рассматривать от-
дельно, а затем провести суперпозицию решений. В случае малых объемных
концентраций частиц можно ограничиться рассмотрением взаимодействия двух
частиц (парные взаимодействия). Для поступательного движения частиц гра-
ничные условия на поверхности частиц имеют вид
u = UaHaSa, u = UbHaSb. (8.18)
Если, кроме того, рассматривается движение частиц в покоящейся жидко-
сти, то на бесконечности должно выполняться условие
и —> 0 при г —> оо. (8.19)
Решение сформулированной задачи представляет значительные математи-
ческие трудности, однако для случая сферических частиц имеются хорошо
разработанные аналитические методы.
Существуют два метода решения задачи. Первый метод, называемый мето-
дом отражений, приближенный. Он аналогичен методу последовательных при-
ближений и был впервые применен Смолуховским для системы из п твердых
частиц, находящихся относительно далеко друг от друга. Изложим общую идею
метода для случая двух сферических частиц, движущихся поступательно в
плоскости xz со скоростями Uа и Uь (рис. 8.1).
Уравнения (8.1) и (8.2) нужно решать с граничными условиями (8.18) и
(8.19). В качестве нулевого приближения возьмем движение изолированной
частицы S„ в бесконечной жидкости. Сила сопротивления частицы S„ равна
Fa(1> = -рКаС/а = -цКа (U„xi + U„2k), (8.20)
где Ка = бяа — коэффициент сопротивления частицы S„.
Влияние частицы 5а на частицу
Sb рассматривается в первом прибли-
жении как влияние поля силы (8.20),
приложенной в точке центра части-
цы S„. Согласно данным работы [2],
поле скоростей и(1), удовлетворяющее
условию u(1) = U„ на S„, и поле давле-
ний р<0, вызванное точечной силой Fa(1),
равны: соответственно
Е»(1) о j
M(t) = ________r— V(F(I) V)-
бтсрг 24лц V а 'г
(8.21)
V)l.
где г — расстояние от центра сферы Sa.
Рис. 8.1. Поступательное движение двух
сферических частиц
И
163
В выбранной системе координат (см. рис. 8.1) имеем
М(1) + + — (8.22)
8кг I г2 I 8лг I г-2 I v
Значение и(1) в центре частицы Sb (х = 0, у = 0, z = 1) равно
и™ = ^-(iUaI+2kUaz). (8.23)
O7U
Теперь можно вычислить силу, действующую на частицу Sb.
Ff> = -\LKb(Ub-u^ = <824>
Используя этот же метод применительно к частице S„, вычислим поле ско-
ростей и(2), порожденное силой F£2) и удовлетворяющее условию u(2) = - u(1) + Ub
на Sb. В итоге найдем второе приближение скорости .
„(2)_^_|г; . каиах | > f у KgUg2 j, (Я 25)
а 8я/1<Лх 8л/ |, + 4K/It7i’2 4л/ Г
и вклад в величину силы, действующей на частицу S„,
К<3) = иК u(2> = Кь—I СЛ - KaU-^-\i+ Кь^.\ц. _ K,,Ua2.\k (8 26)
Ь 8jc/ 8j[Z J* + 4jc/ I 'Jbz M V6.ZD2
и т. д.
В итоге найдем силу, действующую на частицу S„,
Fa = Fa(,) + Fa(3) + Fa(5) +... = -pKa f Uax ~ KbUbx 7 8nl i - KbU— iKl k \ (8.27)
1 - K„K(,/(8л/)2 1 - /(4л/)2 J
Для определения силы Fb нужно в (8.27) поменять местами индексы b и а.
Если скорости частиц известны, то, используя (8.27), можно найти силы,
действующие на частицы. В случае, когда силы известны, например при рас-
смотрении осаждения частиц в поле силы тяжести, можно найти скорости дви-
жения частиц. В частном случае одинаковых сферических частиц (а = 6, Ua = Ub)
выражение (8.27) примет вид
F = -бтща ( х Ux -i + -ft— Й (8.28)
I 1 + 3a/4l i+3a/2l 1
Поскольку выражение (8.28) справедливо при a/l« 1, то силу F можно
представить в виде ряда по степеням а/Ь.
F = -6repfl^t/-ypl7xi + |(7^+-j (8.29)
Другой метод состоит в точном решении задачи о движении двух сфери-
ческих частиц при произвольных значениях а/l. Решение получается в спе-
циальной биполярной системе координат [4]. В качестве иллюстрации метода
рассмотрим движение двух одинаковых твердых сфер с постоянными и оди-
наковыми скоростями вдоль линии центров сфер. Введем вектор вихря
_ (диг Suz\. (а (1 V а (1 Эш Y). i .
(0 = Vxu= «„ = 3- +з- ™ I™ = -£2\|Лф, (8.30)
I 3z Эг I v i dz I r dz I dr I r dr I I v r T v
г? э (i a A a2 ,
где E2 ~ r— + 3-7; viz — функция тока.
8r I г Эг 8z2 T
164
Рис. 8.2. Биполярная система координат
Нетрудно показать, что уравнения
(8.1) и (8.2) преобразуются к урав-
нению
£> = 0. (8.31)
При выводе (8.30) и (8.31) уч-
тено, что течение осесимметричное и
ыф = 0, иг и иг зависят только от z, г.
Перейдем от координат 2, г к Т| с
помощью конформного преобразования
z + ir = ci ctg , (8.32)
где с — положительная постоянная.
Находим
2 = с ; г = с- sin-—. (8.33)
ch 5 -cost) ch 5-cost)
Исключая из (8.33) получим
(2- c cth t)2 + г2 = c2/sh2^. (8.34)
Таким образом, — семейство
сфер с центром на оси 2. Если > 0,
то сфера находится над плоскостью 2 = 0, а при < 0 — под плоскостью 2 = 0
(рис. 8.2).
Итак, две внешние по отношению друг к другу сферы даются равенствами
= а и = Р, причем а > 0 и р < 0. Если радиусы сфер г(, г2 заданы и заданы
также расстояния центров сфер от начала координат dx и d2, то имеем
г( = , г2 = —, di= с cth a, d2 = - с cth р.
sh а sh Р
(8.35)
Решение уравнения (8.31) в биполярной системе координат приведено в
работе [2]. В частном случае равных сфер радиуса а сила сопротивления
равна (JU„ = Ub = U)
F = бпцаиХ,
(8.36)
~ _ 3 , 'Г’ п(п + 1) . _ ( 2sh(2и + 1)а + (2и + 1)sh2ct V1
4S (2п - 1)(2п + 3) I 4sh2 (п + 1/2)а-(2п + l)2sh2 а I
» = > < V ' )
Особый интерес представляет движение двух различных сфер с разными
скоростями. Решение этой задачи проводится аналогично. В частном случае,
когда размер одной из сфер намного больше другой, можно рассматривать
движение маленькой сферы возле твердой плоскости. Если сфера движется
перпендикулярно плоской стенке, коэффициент X в выражении для силы сопро-
тивления сферы (8.36) равен
_ ,3 , n(n + l) ( 2sh (2и + 1) а + (2п + 1) sh 2а Л
4 (2п - 1)(2п + 3) 1 4sh2 (n + 1/2)а-(2п + l)2sh2 а !’
п = 1 \ /
где а = arch (h/a), h — расстояние от центра сферы до плоскости.
(8.37)
165
Движение чистой жидкости в
ется уравнениями Навье — Стокса
Рис. 8.3. Движение частицы в трубе
Следует отметить, что при h/a^ 1,
т. е. когда зазор между сферой и плоскостью
стремится к нулю, X —> как a/(Ji-a).
Движение суспензии в трубе [5] пред-
ставляет интерес в связи с многими тех-
ническими приложениями (например, те-
чение жидкости, содержащей растворен-
ные в ней макромолекулы, движений цел-
люлозной пульпы, движение крови,
содержащей различные частицы и клетки,
течение полимерных растворов и т.д.).
Предположим, что суспензия пред-
ставляет собой ньютоновскую жидкость,
объемное содержание частиц в жидко-
сти мало, течение суспензии ламинарное,
движение частиц относительно жидкости
безынерционное. Тогда движение частиц
определяется двумя параметрами:
Ret = UmR/v, X = a/R, (8.38)
где R — радиус трубы; а — характерный
размер частицы; Um — скорость потока в
центре трубы; Ret — число Рейнольдса
потока.
цилиндрической трубе (рис. 8.3) описыва-
ц Ди - Vp = р(и • V) и,
(8.39)
V-и = 0.
(8.40)
При условии равенства нулю скорости на стенке трубы для развитого
течения u = (u, 0), где продольная скорость
а градиент давления
=_4n£2L
dz и r2 •
(8.41)
(8.42)
Если Ret —> 0, то уравнения Навье — Стокса сводятся к уравнениям Стокса
pAu-Vp = 0, (8.43)
Ди = 0. (8.44)
Линейность уравнений (8.43) и (8.44) позволяет сделать общий вывод о
характере движения частицы, находящейся в потоке жидкости. Самым важным
является то, что если на сферическую частицу действует внешняя сила F,
направленная параллельно оси трубы, например сила тяжести, то скорость
частицы параллельна оси трубы, т. е. частица не движется в радиальном на-
правлении.
166
Рассмотрим частицу, движущуюся в жидкости поступательно со скоростью Uk
и вращающуюся с угловой скоростью Ш’ вокруг оси, проходящей через центр
частицы. Сила F и момент G, действующие на частицу, были получены в рабо-
те [2] методом отражений. В случае X « 1 они равны:
F = ^ДЖ,,,Х2/3 + UmOa3)]k,
1 - Л/
(8.45)
G = -8щ1аЦ((аО. - Gm0X) + (U -С7т(1 - 02))д(0)(1 + Х/(0)) + О(Х0), (8.46)
где 0 = b/R', Х« 1 - 0 — условие того, что расстояние частицы от стенки трубы
велико по сравнению с размером частицы; функции /(0) и <?(0) приводятся в [2].
Если F и G заданы, то из (8.45) можно найти U и Q. В частности, если
частица свободно взвешена в жидкости (F = G = 0), то
U = (7mf(l-02)-|X2 +О(Хз)\
' (8.47)
Q = ^(0X + O(X9).
Если частица осаждается в жидкости под действием силы тяжести — Fk, то
G = 0 и
Q =---------- (Х2£?(0) + О(Х9),
(8.48)
В случае, если форма частицы отклоняется от сферической, общие выраже-
ния для компонент силы и момента, действующих на частицу, имеют вид
Е, — — р. (Л(;-17, + ),
z ч (8.49)
Gi = -p(CI; U, + Dit О,),
где Ai;, By, С,,, Dt, — тензоры, зависящие от формы и размера частицы.
Экспериментальные исследования движения частиц в трубе показали, что
частицы, взвешенные в потоке жидкости, движутся в радиальном направлении.
Так, частицы, плотность которых больше плотности жидкости, в восходящем
потоке (или частицы с плотностью, меньшей плотности жидкости, в нисходящем
потоке) мигрируют в радиальном направлении к стенке трубы. В частности,
свободно взвешенные в потоке частицы собираются у стенки трубы на расстоя-
нии от 0,57? до 0,67? от оси трубы. Обнаружено, что если суспензия, содержа-
щая твердые частицы, движется таким образом, что частицы мигрируют от
стенки к оси трубы, то возле стенки образуется слой жидкости, свободный от
частиц, толщина которого 8„ зависит от объемной концентрации частиц <р (рис. 8.4).
Теоретические исследования показали, что радиальная миграция частиц
обусловлена влиянием нелинейных инерционных членов в уравнении движения
(8.39). Для малых значений aU/v сила F и момент G, действующие на
сферическую частицу, которая движется поступательно со скоростью U и
вращается с угловой скоростью Q, равны:
F = -6nuaU (1 + |Re„V Re„ Q х U + \iaU o(Re„),
I о I U
G = -87cptz3D(l + o(Re„)).
(8.50)
167
Рис. 8.4. Зависимость толщины чистого слоя жидко-
сти у стенки трубы от концентрации частиц в потоке
Выражение для силы содержит два
слагаемых. Первое — сопротивление посту-
пательному движению частицы, а второе —
поперечная сила, перпендикулярная векто-
рам Q и U Если U=±Uk, то эта сила
направлена по радиусу, что объясняет по-
перечный дрейф частиц при движении их в
потоке жидкости в трубе.
В настоящее время имеется много ра-
бот, посвященных медленному относитель-
ному движению двух частиц различного раз-
мера В этих работах охвачены практически
все виды движений (см например [6—8]
Приведенные выше выражения для
силы сопротивления, испытываемой части-
цей при медленном движении в вязкой жидкости, справедливы при условии, что
частицы твердые На практике имеют дело не только с твердыми, но и с
жидкими и газообразными частицами — каплями и пузырьками Такие частицы
в потоке несущей жидкости могут деформироваться под действием неодно-
родных полей скоростей и давлений внешнего и внутреннего течения жидкости
или газа Особенно заметна деформация относительно крупных частиц, а так-
же частиц, находящихся в потоке возле границы области течения — стенок,
межфазных поверхностей, где значительны изменения скорости потока на рас-
стояниях, сравнимых с размером частиц Если жидкие или газообразные час-
тицы находятся близко друг от друга, то относительное движение частицы
вызывает гидродинамическую силу сопротивления, зависящую от расстояния
между их поверхностями В частности, при сближении частиц по линии центров,
сила сопротивления при малых зазорах 8 между поверхностями возрастает как
1/8“, где а = 1 для твердых частиц и а = 0,5 для жидких частиц [7] Степень
деформации частиц определяется модифицированным капиллярным числом
Са = p.eUab/(a + b) L [9], где \1е — вязкость несущей жидкости; U — скорость
сближения капель радиуса а и b, L — коэффициент поверхностного натяжения
капель При Са « 1 деформация капель мала
Медленное движение капель с учетом деформации представляет собой доста-
точно сложную математическую проблему, поскольку необходимо решать уравне-
ния Стокса для внешней и внутренней жидкостей с учетом кинематических и дина-
мических условий на неизвестной подвижной межфазной поверхности капли Метод
решения задач такого рода основан на интегральном представлении решения [10]
м,(х) = ы,~(х)--^- У \jtSx~V>fSv>dSv’ <8 51)
где ы, (х) — компоненты скорости жидкости в точке х вне частиц; wf(x) —
компоненты скорости жидкости в точке х в отсутствии частиц; Sa — поверх-
ность частицы а, у — координата точки на поверхности частиц, Jv — функция
Грина свободного (без частиц) стоксового течения, равная
J (r) = ^ + ZL-
Г + гз ’
168
г = х- у, r =| r I, f} (у) — плотность г-й компоненты силы в точке у на поверх-
ности частицы. Эта сила следующим образом выражается через компоненты
тензора напряжений х1к: t
fSy') = xlk{y')nk{y'),
где пк(у) — компоненты вектора нормали, внешнего к5ав точке у.
Суммирование в правой части (8.51) производится по всем N частицам.
Суммарные сила F и момент Т, действующие на частицу а, равны
Р,а =-\ft^dSy, Т* =-^Е,}к(у} -xf)fk(y)dSy,
Sa Sa
где — координаты центра частицы; Е,)к — символ Леви — Чивита, равный нулю,
если среди индексов г, j, k имеются хотя бы два повторяющихся, равный 1, если
индексы образуют круговую перестановку, и равный -1 в остальных случаях.
Этот метод называется методом граничных интегральных уравнений. Обзор
соответствующих работ представлен в [И].
До сих пор мы ограничивались рассмотрением поведения изолированных
частиц или гидродинамического взаимодействия двух частиц (парного взаимо-
действия). Однако для концентрированных суспензий возможны многочастич-
ные взаимодействия, которыми пренебрегать уже нельзя. Определение силы и
момента, действующих на частицу в суспензии с учетом остальных частиц,
представляет собой очень сложную и до сих пор до конца не решенную
проблему. Однако в последние годы в этом направлении достигнут значитель-
ный прогресс [12]. В конце следующего раздела будет представлено одно из
развиваемых сейчас направлений применительно к процессу броуновской диф-
фузии в сдвиговом потоке. Здесь же рассмотрим, какой вклад в тензоры трения f
и подвижности V вносит учет многочастичных (больше двух) гидродинамиче-
ских взаимодействий частиц.
В работе [13] метод отражений был применен для расчета взаимодействия
трех и четырех частиц. Было показано, что по сравнению с парными взаимо-
действиями, тройные и четверные взаимодействия дают поправки к соответству-
ющим возмущениям скоростей порядка 0(1/г4) и 0(1/г7), где г— характерное
расстояние между поверхностями частиц. Обобщение на случай N частиц было
сделано в работе [14]. Возмущение скорости оказалось порядка 0(l/r~3N+5).
В этой же работе получены выражения для функций подвижности до членов
порядка 0(1 /г7). Следует заметить, что соответствующие выражения представ-
ляют собой ряды по степеням 1 /г и для того, чтобы рассчитывать скорости при
небольших значениях зазоров между частицами, а именно этот случай представ-
ляет наибольший интерес, необходимо учитывать много членов ряда или много
раз повторять процедуру отражения. Кроме аналитических решений имеются
также и численные решения аналогичной задачи, например [15]. При малых
значениях зазора применение численных методов затруднено увеличением числа
элементов, на которые должны разбиваться поверхности частиц для достижения
точности решения.
В [16] для рассмотрения многочастичного взаимодействия в концентриро-
ванных суспензиях предложено два подхода, в основе которых лежат предпо-
ложения об адитивности скоростей парных взаимодействий и адитивности сил
парных взаимодействий. Первым методом определяется тензор подвижности, а
вторым — тензор трения. Как отмечено ранее, учет тройных и более высоких
взаимодействий сказывается при расчете подвижностей в членах порядка не
ниже 0(1/г4), в то время как при расчете компонент тензора трения — в
169
членах порядка 0(1/г2). Поэтому для концентрированных суспензий, для ко-
торых зазор между частицами мал, предпочтителен второй подход, в то время
как для малоконцентрированных суспензий — первый. Более подробные сведе-
ния содержатся в обзоре [12].
8.2. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Начнем с рассмотрения частиц малой объемной концентрации, взвешенных
в покоящейся или движущейся поступательно с постоянной скоростью жид-
кости.
Случайное тепловое движение маленьких частиц, взвешенных в жидкости,
называется броуновским движением. В отсутствии внешних сил, действую-
щих на частицу произвольного размера, частицы имеют одинаковую кинетиче-
скую энергию теплового движения, равную -^kT, где k — постоянная Больцма-
на; Т — абсолютная температура. Поэтому для рассматриваемой частицы можно
написать
±m<U2> = \kT, (8.52)
откуда
<U2> = 3kT/m. (8.53)
Здесь m — масса частицы, <U2> — средний квадрат скорости частицы.
Однако наблюдаемая средняя скорость движения частицы гораздо меньше
скорости, определяемой соотношением (8.53). В частности, для частицы радиу-
сом 1 мкм с плотностью, равной плотности воды, значение J<U2> составляет
1,7 мм/с при комнатной температуре. Исследуя проблему броуновского дви-
жения, Эйнштейн [17] указал, что поскольку частица в процессе теплового дви-
жения под действием соударений с молекулами жидкости может менять направ-
ление движения миллионы раз в секунду, то путь, который она проходит за одну
секунду, невозможно проследить визуально. Эйнштейн предположил, что в ка-
честве параметра, который можно определить в процессе наблюдений и срав-
нить с соответствующим теоретическим значением, следует взять средний квад-
рат перемещения частицы в единицу времени. Этот параметр имеет смысл
коэффициента диффузии. Поэтому основное предположение состоит в том, что
броуновское движение частиц, взвешенных в жидкости, можно рассматривать
как диффузию.
Существуют два подхода к определению коэффициента диффузии. Рас-
смотрим их последовательно. Для простоты начнем с анализа одномерного
движения, т. е. с проблемы одномерного случайного блуждания частицы. Ве-
роятность того, что смещение частицы лежит в интервале (х, х + dx) после п
случайных перемещений с шагом I, дается гауссовым распределением
Р(п, x)dx = (2тт12')~>/2е~х2/2г-12. (8.54)
Рассмотрим теперь процесс диффузии в тонком слое жидкости, в которую
в начальный момент t = 0 в точке х = 0 введено вещество (частицы) с концен-
трацией Со.Вещество диффундирует в жидкости. Имея в виду аналогию между
диффузией и случайным блужданием частиц, будем считать, что за время t
частица совершает п смещений, пропорциональных t:
n = Kt. (8.55)
170
Случайное движение частиц вдоль оси х приводит к их размыванию, так
что концентрация в точке х в момент времени t равна
С = С0Р(х, t).
(8.56)
С другой стороны, если рассматривается задача диффузии, то С удовлет-
воряет одномерному уравнению диффузии
дС = пд2С
dt дх2 ’
(8.57)
решение которого в случае ввода вещества в начальный момент в точке х = О
имеет вид
С =—у== e~x2/iDt. (8.58)
Сравнивая выражения (8.54) — (8.56) с (8.58), найдем, что если
К = 2D/t2, (8.59)
то в смеси, содержащей невзаимодействующие частицы, случайное тепловое
движение этих частиц аналогично молекулярной диффузии в бинарном беско-
нечно разбавленном растворе с некоторым коэффициентом диффузии D.
Для пространственного броуновского движения формула (8.58) переходит в
С =------—-----e-r2/iDt_
8(itDt)3/2
(8.60)
Вероятность нахождения частицы в интервале расстояний (г, г + dr) от
начала координат в момент времени t дается выражением
P(r, t)dr = -^-inr2dr =---------------e'r2/4Ctr2<Yr. (8.61)
Со 2(.nD3t3)x/2
Очевидно, что среднее перемещение равно нулю, поскольку частица с
одинаковой вероятностью может смещаться как в положительном, так и в от-
рицательном направлении. Поэтому <г> не может характеризовать перемеще-
ние частицы. Такой характеристикой является j<r2>. Она может быть полу-
чена с использованием распределения (8.61):
< г2 > = J г2P(r, t)dr = 6Dt. (8.62)
о
Коэффициент D называется трансляционным коэффициентом диффузии.
До сих пор рассматривались только случайные поступательные движения
частиц. Однако кроме поступательного движения частицы могут совершать и
случайные вращательные движения. Обозначим через s угол случайного пово-
рота между двумя последовательными положениями частицы. Рассуждения,
аналогичные проведенным выше, позволяют получить формулу
<№> = 4Drot£. (8.63)
Коэффициент Drot называется ротационным коэффициентом диффузии.
Перейдем теперь к определению коэффициента диффузии.
Стационарное состояние в системе жидкость — частицы наступает, когда
трансляционный диффузионный поток уравновешивается конвективным пото-
ком, обусловленным стационарной гидродинамической силой, действующей на
каждую частицу. В качестве такой силы возьмем стоксову силу
171
F = -fU^~U/v, (8.64)
где f — средний коэффициент трения в переносном движении; v — средняя
подвижность.
Поскольку размеры частиц малы, можно считать их движение безынерци-
онным, так что скорость частиц устанавливается очень быстро, несмотря на
многократное изменение направления движения.
Обозначим через п числовую концентрацию частиц. Тогда условие равно-
весия имеет вид
-D Vn = nU (8.65)
или с учетом (8.64)
?D V(lnn) = F. (8.66)
С другой стороны, система находится в термодинамическом равновесии.
Эйнштейн предположил, что частица находится в термодинамическом равнове-
сии, если действующая на нее гидродинамическая сила уравновешивается тер-
модинамической силой, потенциал которой равен свободной энергии Гиббса,
приходящейся на одну частицу.
Как уже отмечалось ранее, смесь, состоящую из жидкости и коллоидных
частиц или макромолекул небольшой объемной концентрации, можно рассмат-
ривать как предельно разбавленный раствор, поскольку взаимодействие частиц
отсутствует. К такому раствору можно применить предельные термодинамиче-
ские соотношения идеального раствора [18]. В частности, свободная энергия
Гиббса, приходящаяся на одну молекулу растворенного вещества, равна
-g- = A(p,T)-kT\nn. (8.67)
N2
Поэтому термодинамическая сила, действующая на одну частицу, имеет вид
Лье™ = -vf-g-V fcTV(lnn). (8.68)
l 2*2 J
Подставляя (8.68) в (8.66), получим выражение для трансляционного
коэффициента диффузии
D = = vkT.
f
Если частицы представляют собой твердые сферы радиуса а, то
D = /гТ/блца.
Это выражение называется уравнением Стокса — Эйнштейна.
Соответствующее выражение для ротационного коэффициента диффузии
имеет вид
D = kT/frot. (8.71)
В частности, для сферических частиц
D = й7’/8лрд3. (8.72)
Другой подход [19] состоит в описании движения частицы с помощью
уравнения Ланжевена
m^L = G(t)-F. (8.73)
at1
172
(8.69)
(8.70)
В правой части уравнения Ланжевена стоят две силы. Первая G(t) —
случайная сила, обусловленная действием на частицу молекул жидкости. Эта
сила со временем изменяет свое направление случайным образом, причем ха-
рактерное время этого изменения чрезвычайно мало (-НГ13 с). Вторая сила F —
гидродинамическая сила сопротивления движению частицы. Используя выра-
жение для F в стоксовом приближении, получим
= (8.7W
Усреднять уравнение (8.74) не имеет смысла, поскольку средние значения
скорости и ускорения равны нулю. Поэтому умножим сначала левую и правую
части (8.74) скалярно на г, получим
т d2(r2) dr^ __ f dr2
-2-^-~m[dF) -r G(t)-l~dT’
а затем усредним это выражение:
!^^ + ld^ = 3kT. (8.75)
2 at 2 at
При выводе уравнения (8.75) пренебрегаем членом <r-G(t)>, поскольку
характерное время флуктуации G(t) мало, а т (dr/dt)2 = 3kT — удвоенная
кинетическая энергия теплового движения частицы.
Интегрирование уравнения (8.75) при условии <г2> = 0 при t = 0 приво-
дит к выражению
^2± = б*£(1_е-Л/>"). (8.76)
dt f
Из этого уравнения следует, что характерное-время установления <г2>
равно Через это время d<r2>/dt - 6kT/ f и
<r2>-^t. (8.77)
Но согласно (8.62) <r2> - 6Dt. Поэтому
D = kT/~f, (8.78)
что совпадает с полученным ранее выражением (8.69).
Таким образом, коэффициент броуновской диффузии частиц малой объем-
ной концентрации <р, взвешенных в покоящейся или движущейся поступательно
с постоянной скоростью жидкости, является величиной постоянной и одинако-
вой во всех направлениях.
Рассмотрим теперь случай, когда жидкость движется с неоднородным
профилем скорости, который может иметь место, например, при движении жид-
кости в трубе (пуазейлевское течение) или в канале, стенки которого движутся
поступательно с различными скоростями (течение Куэтта) [20]. Поскольку
рассматриваются частицы очень малого размера, то на расстояниях порядка
нескольких размеров частицы неоднородный профиль скорости можно принять
линейным, а течение считать сдвиговым. Будем для простоты считать течение
двумерным. Так как <р« 1, то можно, как и ранее, ограничиться рассмотре-
нием одной частицы. Обозначим через V = (аг/, 0) скорость жидкости в точке
Х = (х(£), г/(£)), а через U=(u(t), v(t)) — скорость частицы.
В рассматриваемом случае движение частицы происходит под действием
173
силы гидродинамического сопротивления f(U-V') и случайной броуновской
силы G(t), поэтому уравнение Ланжевена (8.73) можно записать в виде
m^L = -f(U-V) + G(tX (8.79)
где f — коэффициент гидродинамического сопротивления частицы; т — масса
частицы.
Относительно случайной силы G(t) предполагается, что она является га-
уссовской, поэтому ее среднее значение и взаимная корреляционная функция
равны [21]
<G,(O> = 0, <G,(td G,(t2)> = 2kTfS48(tt ~t2), (8.80)
где G, — i-я компонента силы G (г, j = х, у); 3,7 — символ Кронекера; 8(£) —
дельта-функция. Заметим, что усреднение проводится по ансамблю случайных
сил, действующих на частицу.
Пусть в начальный момент рассматриваемая частица находится в начале
координат (0, 0). Тогда из (8.79) находим
x(t) = | и(0) (1 - е~* ) + у v(0) t(l + e-t*) -
- v(0) (1 - е~* ) + у J dxj (1 + -Х^)РУ (о) da -
о о
- J (! - е-* -О)РУ (т) dx +1J (1 - е-К‘ - ) Рх (х) dx, (8.81)
о о
у(О = 1 м(0) (1 - е-т* ) + -1J (1 - е'*( ->) Р/х) dx, (8.82)
о
где P(t) = G(t)/т. Усредним теперь x(t) и y(t) по начальным ско-
ростям. Учитывая условия (8.80), получим
<x(t)> = у <ы(0)>0 (1 - е~*) + у < a(0) >0 i(l + e-*)--^ <о(0)>0 (1-е-*),
<у(О> = |<о(0)>0 (1-е-*). (8.83)
Здесь через < > обозначено усреднение по случайным силам и по началь-
ным скоростям, а через < >0 — только по начальным скоростям.
Для определения коэффициента броуновской диффузии нужно определить
на средние, а среднеквадратичные смещения частицы (см. (8.62)). Эти значения
нетрудно получить, используя выражения (8.81) и (8.82). Примем, что распре-
деление начальной скорости частиц максвелловское, как в бесстолкновительном
разреженном газе, с нулевым средним значением (подобное может быть, если на
оси х скорость жидкости равна нулю). Тогда
<ы(0)>0 =<о(0)>0 = < ы(0) а(0) >0 =0,
<ы2(0)>0 = <о2(0)>0 = kT/m. (8.84)
Для времен t» 1/у выражения (8.81) и (8.82) упрощаются. Опуская
длинные выкладки, приведем окончательные выражения для среднеквадратич-
ных смещений частицы при t» 1 /у:
<x2(t)> = 2Dt + ^Da2t3,
174
<y2(t)> = 2Dt, (8.85)
где D = kt/f — коэффициент броуновской диффузии для покоящейся жидкости.
Из (8.85) следует, что при отсутствии сдвигового течения (а = 0) <x2(t)> =
= <y2(t)> = 2Dt, т. е. коэффициенты диффузии в направлении осей координат
равны D, в то время как сдвиговое течение жидкости приводит к анизотропии
броуновской диффузии с разными значениями коэффициентов диффузии вдоль
и поперек направления потока несущей жидкости. Соответствующие коэффи-
циенты диффузии могут быть определены как
О,,1Ц^ = о(1 + 1а^,
Dy = <у2^}> = D. (8.86)
Рассмотренные случаи ограничены тем, что частицы не взаимодействуют
между собой, что справедливо для суспензий с очень малой объемной концент-
рацией частиц. Увеличение объемной концентрации частиц приводит к умень-
шению среднего расстояния между ними и к необходимости учитывать гидро-
динамическое взаимодействие частиц. Кроме того, броуновское движение частиц
суспензии, расположенной в ограниченной области, например в пористой среде,
требует учета взаимодействия частиц с границей области. Обсуждение некото-
рых из этих вопросов содержится в обзоре [22].
Учет гидродинамического взаимодействия частиц одинакового радиуса а в
процессе броуновской диффузии в покоящейся жидкости был осуществлен в
работах [23 — 25] введением в коэффициент броуновской диффузии (8.70) (см.
раздел 8.1) коэффициента %, учитывающего отклонение сопротивления частицы
от стоксового закона
D = D0/X(r/a), (8.87)
где Do — коэффициент броуновской диффузии, определенный по формуле (8.70),
соответствующий нестесненному броуновскому движению частиц. Поправочный
коэффициент А. зависит от относительного расстояния между сближающимися
частицами и может быть определен из закона сопротивления F = 6n\iaUX(r/a),
соответствующего относительному движению частиц по линии центров со ско-
ростью U, из выражения (8.36).
Для учета взаимодействия частиц различного радиуса в движущейся и
достаточно разбавленной суспензии, когда можно ограничиться рассмотрением
только парных взаимодействий, вводят парную (двухчастичную) функцию рас-
пределения Р(г) [26], имеющую смысл вероятности нахождения частицы ра-
диусом Я1, центр которой находится в точке с радиусом-вектором г, при условии,
что центр второй частицы радиусом а2 находится в начале выбранной системы
координат. Эта функция удовлетворяет квазистационарному уравнению Фок-
кера — Планка
V(P(r)V12(r)) = 0, (8.88)
где Vt2(r) - - V2 — относительная скорость движения рассматриваемой пары
частиц.
Для определения Vt2(r) необходимо решить соответствующую гидродина-
мическую задачу о медленном безынерционном относительном движении двух
взаимодействующих сферических частиц, свободно взвешенных во внешней
жидкости. Для случая двух частиц в безграничной жидкости, движущейся вдали
175
от частиц со скоростью, соответствующей простому сдвиговому течению, выра-
жение для относительной скорости имеет вид [26]
V12(r) = (VVJ • г - (Ann + B(I - пп)) Er- D$(nnG +
n<°)
+ (I - nn)H V(ln(P(r))) - —~(nnG + (I- nn)H) ?ф)2(г), (8.89)
Ki
где V_ — скорость жидкости на бесконечности; Е — тензор скоростей дефор-
мации; п = г/г — единичный вектор, направленный вдоль линии центров час-
тиц; I — единичный тензор; D\2 — коэффициент относительной броуновской
диффузии двух частиц, без учета их взаимодействия; ф12 (*") — потенциал моле-
кулярного взаимодействия частиц; k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная
температура; A, B^_G и Н — функции подвижности, зависящие от отношений
радиусов частиц l = a2/at, отношений вязкости внутренней и внешней жид-
костей р = ц,/цг и от относительного зазора между поверхностями частиц
s = 2r/(a1 + а2). Выражения для функций подвижности и обзор соответствую-
щих работ можно найти в [27].
К уравнению (8.88) нужно добавить следующие граничные условия. Пер-
вое условие соответствует условию, что каждое столкновение частиц приводит
к их коагуляции для твердых частиц или коалесценции для капель. Тогда
Р = 0 при г-а\ + а2. (8.90)
Если частицы находятся далеко друг от друга, то
Р —> 1 при т —00. (8.91)
В процессе движения частицы могут сталкиваться. Тогда частота парных
столкновений определяется диффузионным потоком на сферической поверхно-
сти радиуса at + a2 (более подробно об этом см. раздел 10):
Ji2=-?M2 ^PVt2nds, (8.92)
г = <3] +а2
где nt и п2 - численные концентрации частиц сорта 1 и 2.
Поскольку численная концентрация частиц обоих сортов и)2 выражается
через парную функцию распределения:
и)2(г, t) = ntn2P(r, О, (8.93)
то уравнение (8.88) сводится к
V(n12V12(r)) = 0, (8.94)
И12(г —> а< + аг) = 0 ; nt2(r^> «>) —> ntn2.
Уравнение (8.94) аналогично уравнению стационарной диффузии. Отно-
сительное влияние конвективных и диффузионных членов характеризуется
диффузионным числом Пекле
(8.95)
Большинство работ, посвященных исследованию броуновского движения,
ограничено случаями PeD « 1 (чисто броуновская диффузия) или PeD » 1
(взаимодействие частиц без учета броуновской диффузии). Случай произволь-
ных чисел Пекле рассмотрен в работе [27].
Кроме гидродинамического взаимодействия между частицами возможны
176
молекулярное и электростатическое взаимодействия. Тем, кто интересуется этой
проблемой, советуем обратиться к работам [24 — 28].
Особое значение имеет случай концентрированных суспензий, для которых
объемная концентрация дисперсной фазы не мала. Микроструктура таких сус-
пензий зависит от соотношений между гидродинамическими силами взаимодей-
ствия частиц и термодинамическими силами, обусловливающими броуновское
движение. В последние годы исследование динамики концентрированных сус-
пензий (стоксовая динамика [29]) развивается на основе использования урав-
нения Ланжевена для ансамбля из N частиц
т. = F-+ Fj + Fj (i = VN), (8-96)
где т, — масса г-й частицы; — гидродинамическая сила, действующая на г-ю
частицу; — стохастическая сила со стороны молекул окружающей частицу
жидкости; F/ — сила взаимодействия, имеющая негидродинамический характер,
например сила молекулярного взаимодействия частиц или внешняя сила.
Выражение для гидродинамической силы в случае сдвигового течения при
малых числах Рейнольдса Re = pa2y/p« 1 имеет вид
Fh = -Ни (С7- -£/) + : Е, (8.97)
где UI = Г‘ • х' — скорость жидкости в точке, занимаемой центром г-й частицы;
|Г'|=у — скорость сдвига; Е — тензор скоростей деформации жидкости; fFV и
fPE — тензоры трения при движении частицы относительно жидкости и вместе
с жидкостью, метод определения которых и соответствующие выражения для
многочастичного взаимодействия в предельном случае малых зазоров между
частицами содержатся в работах [12, 30].
Стохастическая броуновская сила удовлетворяет условиям
<FB> = 0 <Fe(0)FB(O> = 2^ 7^5(0, (8.98)
где k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура; 8 — дельта-функ-
ция. Первое условие (8.98) очевидное, а второе является следствием теоремы
о диссипации флуктуаций в системе, содержащей N частиц. Это условие было
использовано ранее (см. (8.80)).
Из уравнений (8.88) следует, что основными безразмерными параметра-
ми, влияющими на эволюцию системы, являются число Пекле Ре = ja2/D&p =
= 6n\ia3j/kT, характеризующее отношение гидродинамической силы сдвигового
течения к термодинамической броуновской силе, у= 6лца2у/|Рр| — безразмер-
ная скорость сдвига, равная отношению гидродинамической силы сдвигового
течения к силе негидродинамического взаимодействия, а также объемная кон-
центрация частиц <р.
Знак < > в уравнении (8.98) означает усреднение по ансамблю случайных
сил. В результате интегрирования уравнений (8.88) в интервале Д£»т = т/тща,
где т — характерное время установления (см. (8.76)), можно определить сме-
щение частиц Дх‘ за время At.
Макроскопические параметры могут быть определены путем усреднения по
ансамблю частиц и по времени.
Аналогично тому, как это было сделано ранее для одиночной частицы в
покоящейся жидкости, можно найти коэффициент броуновской диффузии
D^kTfa,. (8.99)
Однако в рассматриваемом случае он не скаляр, а тензор второго ранга.
12 - 1461 177
Для концентрированных суспензий и несжимаемой жидкости феноменоло-
гическое соотношение, связывающее тензоры напряжений и скоростей деформа-
ций, имеет вид
<Т> = -pl + 2\iE + <Ер>. (8.100)
Сравнение с законом Навье — Стокса (4.2) показывает, что наличие час-
тиц в жидкости приводит к дополнительным напряжениям, характеризуемым
<ЕР>. Его можно представить в виде
<ЕР> = -nkTI + n{<SH> + <SP> + <SB>}, (8.101)
< SH > = — < fsu fph fFE - fSE > : < E>,
< SP > = — (< fsu fpu + xl) Fp >,
<SB> = -kT<V (fsu fpb)>.
Первое слагаемое в правой части (8.101) представляет собой изотропное
напряжение, аналогичное давлению, обусловленное тепловым (броуновским)
движением частиц численной концентрации п. Второе слагаемое разбито на три,
каждое из которых характеризует определенный вклад в напряжение: <SH> —
гидродинамическая составляющая от сдвигового потока несущей жидкости; <5р> —
составляющая от негидродинамического взаимодействия частиц; <SB> — девиа-
торная часть напряжения от броуновского движения. Выражения для входя-
щих в (8.101) тензоров трения fsu, fFU, fFE и fSE представлены в работах [12, 30].
Используя решение уравнений (8.96), можно из (8.101) найти реологические
свойства суспензии. В частности, задав начальную конфигурацию суспензии,
можно проследить ее дальнейшую эволюцию и предсказать возникновение агре-
гационных структур [29].
8.3. ВЯЗКОСТЬ РАЗБАВЛЕННЫХ СУСПЕНЗИЙ
Рассмотрим предельно разбавленную суспензию, состоящую из вязкой
жидкости и взвешенных в ней маленьких сферических частиц. Малая объемная
концентрация частиц позволяет пренебречь их взаимодействием и считать, что
каждая частица ведет себя так, как если бы она была окружена бесконечным
объемом жидкости. Очевидно, что с увеличением объемной концентрации час-
тиц их влияние друг на друга будет играть все большую роль и ими прене-
брегать уже нельзя. В дальнейшем для простоты будем пренебрегать броунов-
ским движением. Кроме того, считаем частицы достаточно маленькими, так что
можно пренебречь влиянием силы тяжести, а также считать движение частиц
безынерционным. Это значит, что скорость движения частиц равна скорости
движения жидкости, т. е. частицы свободно взвешены в жидкости.
Присутствие частиц в жидкости вносит возмущение в поле скоростей
жидкости, которое она имела бы в отсутствие частиц. Известно [31], что при
стоксовом поступательном движении изолированной твердой сферы в неограни-
ченном объеме вязкой жидкости гидродинамическое возмущение поля скорос-
тей затухает с увеличением г как 1/г. Это достаточно медленное затухание,
которое приводит к математическим осложнениям при определении возмуще-
ний, вызываемых наличием в жидкости большого количества частиц. В частно-
сти, это приводит к медленно сходящимся, а иногда и к расходящимся рядам
и интегралам.
178
Рис. 8.5. Профиль скорости в сдвиговом течении
Добавление к чистой жидкости
твердых частиц приводит к увеличению
вязкой диссипации, поскольку увеличи-
вается площадь твердых поверхностей.
Поэтому, если суспензию рассматривать
как ньютоновскую жидкость, то ее вяз-
кость должна быть больше вязкости
чистой жидкости. Эйнштейн [17] впер-
вые рассмотрел задачу определения
вязкости суспензий. Он ограничился
случаем куэттовского течения бесконеч-
но разбавленной суспензии.
Как было отмечено в разделе 4.2,
течение Куэтта (сдвиговое течение)
характеризуется линейным профилем скорости (рис. 8.5), который в декартовой
системе координат имеет вид
и = ух, о = О, w = О,
(8.102)
где скорость сдвига
Y = 2E** = S = T- (8-ЮЗ)
Здесь h — малое расстояние между стенками, одна из которых движется
поступательно относительно другой со скоростью U
Соответствующие напряжение сдвига т и вязкая диссипация Ф равны
= = (8.104)
ay fl
/ х2 / \2
Ф = = pl g I = pl I . (8.105)
Присутствие в жидкости частиц существенно осложняет гидродинамичес-
кую задачу, поскольку для определения поля скоростей необходимо решать
краевую задачу с дополнительными граничными условиями прилипания на
поверхности всех частиц. Физически задача сводится к определению возмуще-
ний, которые вносит в поле скоростей чистой жидкости наличие в жидкости
частиц. Допущение о малости объемной концентрации частиц позволяет снача-
ла определить возмущение, которое вносит одна частица, а поскольку в рассмат-
риваемом приближении частицы не взаимодействуют, то суммарное возмущение
является суперпозицией возмущений в предположении однородности распреде-
ления частиц в объеме жидкости. Ниже приводится решение, полученное в [32].
Рассмотрим твердую сферическую частицу, взвешенную в куэттовском потоке
вязкой жидкости. Граничными условиями являются условие прилипания на
поверхности частицы и равенство скорости жидкости вдали от частицы скорости,
даваемой выражением (8.102). Поступательная скорость центра частицы ©0
равна скорости невозмущенного движения жидкости в точке пространства,
которую занимает центр частицы. В системе координат, связанной с центром
частицы и движущейся поступательно со скоростью щ, компоненты скорости
жидкости имеют вид (8.102) (см. рис. 8.5). В выбранной системе координат
12* 179
поступательная скорость частицы равнД нулю, но частица может вращаться
вокруг оси г с угловой скоростью
‘-=4Р*“1=ф-¥)=-т
Знак «минус» обусловлен тем, что с положительного направления оси z
видно, что вращение происходит по часовой стрелке.
Из вида угловой скорости следует, что скорость в точке поверхности сферы
равна
u = fflxr
и
и = ±-уу, v = -^yx, w = Q. (8.107)
Поле скоростей на поверхности сферы соответствует влиянию невозму-
щенного внешнего потока на сферу. В свою очередь вращение сферы оказы-
вает влияние на распределение скоростей в жидкости. Пусть эти возмущения
г/ = (и', v', w’) малы по сравнению с невозмущенной скоростью. Скорость жидкости
теперь равна
u + u'= (u + м', v', w’), (8.108)
причем на сфере должно выполняться условие и' • п - 0, а вдали от сферы
Решение уравнений Стокса с указанными граничными условиями приво-
дит к следующим выражениям для компонент возмущенной скорости:
1 • 3У
+ Мтт
Зх _ 15хг/2
г5 г?
15х 2 г/
, 5 а3 ух2 у
U =“2~
, 5 а3ухг/2
V = ~2 Г5
4-1 уа5
6
(8.109)
2 г5 6 I
где а — радиус частицы, г = (х2 + у2 + z2),/2-
Если ограничиться рассмотрением возмущений вдали от частицы, то при
a/r« 1 в выражениях (8.109) достаточно ограничиться только первыми сла-
гаемыми в правой части:
5 а3ух2г/ , 5 Д3ухг/2 , 5 а3ухуг
2 Г5 ’ 2 г5’ 2 Г5
(8.110)
Из (8.110) следует, что возмущений скорости в жидкости затухают вдали
от частицы как а/г2.
Рассмотрим теперь плоскости у = ух а У = У2 (рис. 8.6). Невозмущенные ско-
рости жидкости в точках, лежащих на этих плоскостях, равны щ = уоу{ и w2 = УоУг-
Пусть теперь в жидкости имеются твердые сферические частицы, однородно рас-
пределенные в объеме с численной концентрацией п. Рассмотрим слой суспензии
толщины dy с ординатой у, параллельный плоскости xz. Обозначим через xs, у, zs
координаты центра частицы в этом слое- Возмущение скорости в жидкости от
присутствия частицы дается выражением (8.110). В частности, в точке-At(0, yt, 0)
и' = -I а3у°х^ - у), Т2 = х2 + (У1 - у)2 + г2. (8.111)
2 г5
180
7- А1
m dy
Л Ъ , У'
У1 0 X
А1
Рис. 8.6. К расчету вязкости предельно разбавленной суспензии
В малом объеме, который заштрихован на рис. 8.6, содержится п dxsdy dzs
частиц. Поэтому х-компонента возмущения скорости от всех этих частиц равна
и’п dxsdy dzs. Проинтегрировав это выражение по всему слою, получим измене-
ние продольной скорости в точке А>, вызванное присутствием частиц в слое
жидкости,
A“i = -|yo“3(^i ~y)ndyj j^-dxsdzs. (8.112)
Интеграл вычисляется без труда. В итоге получим
Дщ = - j-7ryoa3ndy. (8.113)
Изменение продольной скорости отрицательно, т. е. присутствие твердых
частиц уменьшает скорость жидкости в направлении оси х. Это изменение не
зависит от положения слоя, т. е. от у, и от выбора точки At на плоскости у = у\.
Аналогично определяется изменение скорости жидкости в точке Л2 на
плоскости У~У2-
&и2 = ^7Vfoa3ndy. (8.114)
Скорость верхней плоскости относительно нижней в невозмущенном тече-
нии была равна щ-и2 = у0(у\ + У2) Теперь в присутствии твердых частиц эта
скорость изменилась на величину
Дщ_2 = + Дц2 = -у 7Vfoa3ndy. (8.115)
Проинтегрировав теперь (8.115) по всем у от у2 до уи получим выражение
для относительной скорости двух плоскостей
Щ-2 = + (8.116)
Объемная концентрация частиц, т. е. объем частиц в единичном объеме
суспензии, равна
<р = -|ла3п, (8.117)
поэтому (8.116) можно переписать в виде
“1-2 = Yo(“i +и2)(1-2,5ф). (8.118)
181
Теперь определим дополнительное сдвиговое напряжение на плоскости
у = Ух по формуле
= Ц^.
dy
(8.119)
Если в качестве
напряжение с учетом
и' возьмем выражение (8.111), то получим сдвиговое
влияния одной частицы
М (у, -уУ
\ 's
(8.120)
Проинтегрировав (8.120) по всем частицам и по всем слоям, получим
т' = 0. Аналогично получим т' = 0 и при У = Ут,- Следовательно, добавление ча-
стиц к жидкости уменьшило скорость жидкости, но не повлияло на напряжение
сдвига на плоскостях у = у\ и у = •
Вернемся теперь к течению Куэтта. Пусть плоскостями у~У\ и у = уг
являются стенки канала, причем ух + у2 = h, a U — относительная скорость дви-
жения стенок. Когда в канале течет чистая жидкость, невомущенное сдвиговое
напряжение
(8.121)
Наличие в потоке частиц приводит к новой относительной скорости дви-
жения стенок канала, даваемой выражением (8.118),
U = у0/г(1-2,5ф). (8.122)
Поскольку суспензия считается ньютоновской жидкостью, то по определе-
нию сдвиговое напряжение на стенке
т = ц. = ц. ^(1-2,5<р). (8.123)
где ц» — коэффициент вязкости суспензии.
Выше было показано, что сдвиговые напряжения на стенке для чистой
жидкости и для сильно разбавленной суспензии совпадают, т. е. т = т0. Следо-
вательно
ц0^- = ц.^(1-2,5<р), (8.124)
откуда находим коэффициент вязкости сильно разбавленной суспензии
= “Цо(1 + 2,5<р). (8.125)
Здесь учтено то, что для сильно разбавленной суспензии <р« 1.
Формула (8.125) была впервые получена Эйнштейном и носит его имя.
Экспериментальная проверка показала, что формула Эйнштейна хорошо
описывает вязкость суспензий для объемных концентраций твердых частиц
<р < 0,02, хотя иногда эту формулу используют вплоть до значения <р = 0,1.
Если суспензия содержит не твердые частицы, а капли, внутренняя вяз-
кость которых ц, отличается от вязкости ре окружающей жидкости (в этом
случае говорят не о суспензии, а о эмульсии), то вязкость определяется фор-
мулой Тейлора [33].
= + <Л (8.126)
182
Для твердых частиц ц./щ—и из (8.126) в пределе получается форму-
ла Эйнштейна (8.125). Если частицы представляют собой газовые пузырьки, то
и из (8.126) следует, что
р.» = р0(1 + <р). (8.127)
Обсудим полученные результаты. Из выражения для вязкости предельно
разбавленной суспензии следует, что коэффициент вязкости не зависит от рас-
пределения частиц по размерам. Физическое объяснение этого факта состоит
в том, что в предельно разбавленной суспензии (ср « 1) частицы находятся
далеко друг от друга по сравнению с размером частиц и взаимным влиянием
частиц можно пренебречь. Кроме того, при условии a/h« 1 можно пренебречь
взаимодействием частиц со стенками. Можно также показать, что в предельно
разбавленной суспензии, содержащей сферические частицы, броуновское движе-
ние частиц не оказывает влияние на вязкость суспензий. Однако, если форма
частиц отличается от сферической, то броуновское ротационное движение может
влиять на вязкость суспензии. Это объясняется тем, что частицы несферической
формы, например тонкие вытянутые цилиндры, в сдвиговом потоке имеют
преимущественную ориентацию (в случае цилиндров — ориентация оси цилин-
дра по направлению скорости потока), несмотря на случайные флуктуации
ориентации, вызванные броуновским ротационным движением.
Увеличение объемной концентрации частиц приводит к тому, что влиянием
частиц друг на друга уже нельзя пренебрегать. Соответствующая поправка к
формуле Эйнштейна была получена Бэтчелором и имеет порядок <р2 [34]:
ц = Ро(1 + 2,5<р + 6,2<р2). (8.128)
В ряде работ предлагаются эмпирические зависимости вида
р = Цо(1 + 2,5<р +/?<р2). (8.129)
Эмпирическая постоянная k имеет порядок 10, а формула (8.129) с успе-
хом используется для суспензий с объемным содержанием частиц до значений
<р = 0,4. Это значение <р намного превосходит те значения, при которых спра-
ведливы основные теоретические формулы. Действительно, в основе всех теорий
лежит предположение о том, что суспензия сильно разбавлена. Значение же
<р = 0,4 близко к значению для суспензии с плотной упаковкой частиц. Так, для
твердых сферических частиц предельное значение <р, соответствующее плотной
упаковке в неподвижной суспензии, равно 0,74, для движущейся суспензии оно
несколько меньше. В частности, в сильно сдвиговом потоке <ртах = 0,62.
8.4. СЕПАРАЦИЯ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Если плотность частиц (твердых или жидких) больше плотности окру-
жающей их жидкости, то они движутся в жидкости в направлении силы тяжести,
в противном случае частицы всплывают. В первом случае процесс называется
осажденим (седиментацией), а во втором — флотацией. Оба процесса играют
важную роль в различных областях техники.
В настоящем разделе рассмотрим процесс седиментации. Будем считать,
что перенос частиц под действием силы тяжести превалирует над диффузион-
ным потоком, направленным в противоположную сторону.
Свободное движение частицы в жидкости в гравитационном поле происхо-
дит под действием разности сил тяжести и архимедовой силы
183
Ft = (p-pf)giV = (8.130)
где p и pf — плотности частицы и внешней жидкости; V — объем частицы; т —
масса частицы.
При р > Р/ частица движется вниз (седиментация), а при р < р^ — вверх
(флотация). Заметим, что Е, не зависит от формы частицы и ее ориентации в
пространстве.
С другой стороны, на частицу действует сила сопротивления со стороны
жидкости. Скорость осаждения частицы устанавливается очень быстро. Харак-
терное время установления оценивается величиной a2/v, равной времени релак-
сации вязкой силы. Так, для значений v~ 10“6 м2/с а - 100 мкм время состав-
ляет примерно 10“2 с. Нас интересуют частицы малого размера, поэтому можно
считать их движение безынерционным и в качестве силы вязкого сопротивле-
ния взять выражение
(Л)О = ~ДЦ- (8.131)
В безынерционном приближении уравнение движения частицы имеет вид
Е;-(Г,)„ = 0 (8.132)
или
/1/7,. = 777^1-^-у. (8.133)
Компоненты тензора Д- зависят от формы и ориентации частицы. Если
частица имеет сферическую форму, то ftl не зависит от ориентации частицы и
(8.133) можно переписать в виде
блцаи =-|7И3(р - Р/-)<7, (8.134)
откуда следует известное выражение для скорости свободного осаждения сфе-
рической твердой частицы в безграничном объеме вязкой жидкости:
с7 = 1т-(^-1У (8Л35)
Таким образом, скорость осаждения частицы сильно зависит от ее радиуса.
Число Рейнольдса, посчитанное по скорости осаждения,
Re = — = (8.136)
V 9 v2 I Pf
Для значений v-10'6 м2/с, р/р^~2 имеем Re-2(104a)3. Следовательно,
число Re < 1 для частиц с а < 75 мкм.
Аналогично можно получить скорость осаждения сферической капли с
внутренней вязкостью ц,, отличной от вязкости внешней жидкости щ,
Urf=|— (8.137)
3 щ +3u,/2^Pf у
В пределе ц,/це -> °° получим (8.135) — скорость осаждения твердой час-
тицы, а при ц,/це-»0ир/р^-»0 получим скорость всплытия газового пузырька
Ub=~g. (8.138)
«з * е
184
Если число Рейнольдса частицы Re > 1, то сила сопротивления частицы
отличается от стоксовой и равна
F = 0,5/WplA
где f — коэффициент сопротивления:
24/Re при Re < 2,
f = <18,5/Re0'6 при 2 < Re < 500,
(8.139)
(8.140)
0,44 при Re > 500.
Приравнивая силу сопротивления архимедовой силе, получим уравнение
относительно скорости частицы. Приближенное выражение для U имеет вид
------ (8.141)
U 2вр (18 + 0,575 Аг°>5) ’
„ . 8в3р2^Др .
где р и ц — плотность и вязкость несущей среды; Аг =-----j----число Архи-
меда; Др — разность плотностей частицы и несущей среды.
Рассмотрим теперь процесс седиментации в контейнере, содержащем сус-
пензию, в которой в начальный момент частицы однородно распределены по
объему (рис. 8.7, а) [35].
Частицы осаждаются на дно контейнера и через некоторое время в объеме
можно различить три области с четкими границами (рис. 8.7, б). Сверху рас-
положен слой чистой жидкости, затем слой суспензии, причем верхняя граница
этого слоя со временем движется вниз, и третий слой — слой твердого осадка.
Через некоторое время т все частицы выпадут из жидкости, суспензия полно-
стью разделится на чистую жидкость и слой твердого осадка и процесс седи-
ментации завершится установлением седиментационного равновесия (рис. 8.7, в).
Границы между слоями характеризуются скачками плотности и называются
контактными разрывами. Определим скорости движения поверхностей разры-
ва. Рассмотрим движение верхней границы второго слоя на рис. 8.7, б. Обо-
значим через и скорость движения границы (она направлена вниз). Как это
обычно делается в гидродинамике, выберем систему координат, связанную с
движущейся поверхностью. В этой системе координат поверхность разрыва
неподвижна. Будем обозначать значения параметров перед скачком (сверху)
индексом 1, а за скачком (внизу) — индексом 2 (рис. 8.8, а).
Запишем условие сохранения твердой фазы на скачке
состояние
в
t>1
Конечное
состояние
Промежуточное
состояние
Рис. 8.7. Седиментация в контейнере
185
Рис. 8.8. Контактный
разрыв
p1(CZ1-u) = p2(CJ2-w), (8.142)
где р — плотность твердой фазы, т. е. массовая концентрация частиц (не путать
с плотностью самой частицы).
Обозначим через j = pU поток твердой фазы относительно неподвижной
системы координат, например, стенок контейнера. Тогда (8.142) перепишется в виде
« = (/2 — Ji )/(р2— Pi )• (8.143)
Для предельно разбавленной суспензии можно положить Ut = U2- Uo, где
Uо — скорость осаждения изолированной частицы, определяемой по формуле
(8.135), если частицы твердые. В начальный момент рассматриваемая поверх-
ность разрыва совпадает со свободной границей суспензии. Обозначим скорость
границы в начальный момент времени через u,ov. Очевидно, что при этом pi = О
и р2 = ро, где ро — массовая концентрация твердой фазы в исходной суспензии.
Тогда из (8.142) находим
utop=G0. (8.144)
Это очевидное соотношение, поскольку в начальный момент в бесконечно
разбавленной суспензии частицы осаждаются со стоксовой скоростью.
Совершенно аналогично можно определить начальную скорость движения
поверхности разрыва нижнего слоя осадка (эта скорость направлена вверх)
(рис. 8.8,6). Для этого нужно в (8.143) положить pi = p0 и р2 = рт, где рт —
максимальная массовая плотность твердой фазы в осадке (это может быть плот-
ность, соответствующая стационарной плотной упаковке частиц). Кроме того, на
этой поверхности /2 = 0, поскольку за поверхностью разрыва нет потока частиц.
Таким образом, получим
<8J45>
Знак «минус» означает, что скорость направлена вверх. В дальнейшем
условимся считать скорость положительной, если ее направление совпадает с д.
Положение поверхностей разрыва можно схематично изобразить на плос-
кости (х, t), где х — вертикальная координата, откладываемая от свободной
поверхности вниз (рис. 8.9).
На начальном этапе седиментации верхняя и нижняя поверхности разры-
вов изменяются со временем по линейному закону
Ttop ^СорГ,
Tbot Н
(8.146)
186
Рис. 8.9. Положение поверхностей раз-
рыва иа плоскости (х, t) при седимен-
тации без учета стесненности движения
частиц
Время установления равновесия т можно оценить, приравнивая xtop = xbot,
откуда найдем
Т = "fl- РоД
Ц) Pm J
(8.147)
Соответственно можно найти высоту установившегося слоя осадка
h = Н-щорх = Н^-. (8.148)
Используя формулы (8.147) и (8.148), можно экспериментально определять
свойства сильно разбавленных суспензий, содержащих частицы одинаковых разме-
ров (монодисперсная суспензия), такие как массовая концентрация и размеры час-
тиц. Если в суспензии находятся частицы разного размера (полидисперсная суспен-
зия), то, разбивая весь спектр размеров частиц от атах до amin на конечное число
фракций, можно для каждой фракции провести изложенные выше рассуждения
и определить законы движения соответствующих поверхностей разрыва. Измеряя
в эксперименте скорости движения поверхностей разрыва, можно определить
характеристики каждой фракции и тем самым распределение частиц по размерам.
До сих пор исследование было ограничено предельно разбавленной сус-
пензией. Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда концентрация частиц
не мала, так что скорость осаждения частицы уже нельзя определять по фор-
муле (8.135), а нужно учитывать стесненность движения частицы. В этом
случае скорость должна зависеть от объемной концентрации частиц.
Движение частицы в жидкости с учетом взаимодействия с соседними ча-
стицами называется стесненным. Для монодисперсной системы учитывать стес-
ненность необходимо начиная с объемных концентраций <р ~ 0,15. В общем виде
скорость стесненного осаждения частицы равна
t7=U0G(<p), (8.149)
где Uo — скорость осаждения одиночной частицы, даваемая формулой (8.135),
а 0 < G (<р) < 1. Функция G (<р) характеризует замедление осаждения частицы
в условиях стесненности. Причем замедление частицы зависит только от объем-
ной концентрации частиц в суспензии.
Существуют два подхода к определению функции G (<р) [36, 37]. Согласно
первому, уменьшение скорости является следствием увеличения вязкости сус-
пензии с увеличением <р. Второй подход основан на моделировании суспензии
пористой средой, и сила сопротивления частицы определяется в процессе ее
движения в микроканалах пористой среды.
187
Широкое распространение получило следующее эмпирическое выражение
для G(<p) [38]:
G(<p) = (l -<р)", (8.150)
где п - 4,7.
Посмотрим, к чему приводит учет зависимости скорости осаждения частиц
от объемной концентрации или, что то же, от массовой концентрации частиц р
в процессе седиментации суспензии.
Осаждение частиц приводит к увеличению их массовой концентрации р
внизу контейнера, которое распространяется наверх, поскольку частицы, попа-
дающие в область больших значений р, осаждаются все медленнее и медленнее.
Распространение наверх изменения р можно рассматривать как движение по-
верхности возмущения р.
Возвращаясь к схеме осаждения с поверхностями разрыва, можно показать,
что теперь на поверхности разрыва вместо условия (8.143) должно выполнять-
ся условие
и(р) = -^, j = pU(p). (8.151)
Это условие получается из (8.143) путем предельного перехода j2 ->р2 -> pt,
при условии непрерывности функции /(р) — потока частиц, направленного вниз.
Подчеркнем, что теперь речь идет не о движении поверхности разрыва, а
о движении через жидкость возмущений массовой концентрации частиц р. Эти
возмущения называются концентрационными, или кинематическими, волнами.
Поскольку /(р), как правило, нелинейная функция р, то по аналогии с теорией
течения сжимаемой невязкой жидкости кинематические волны аналогичны вол-
нам Римана. Известно [39], что распространение таких волн приводит к обра-
зованию разрывов — скачков.
Изменение массовой концентрации частиц р(х, t) описывается уравнением
неразрывности
+ ^ = 0, (8.152)
at дх
из которого следует, что поверхности постоянной плотности (характеристики
уравнения (8.152)) распространяются наверх со скоростью
^ = -и(р). (8.153)
Поскольку вдоль характеристик р = const, то и u(p) = const. Следователь-
но, характеристики на плоскости х, t являются прямыми. Уравнение движения
наверх волны уплотнения имеет вид
x = H-u(p)t. (8.154)
На рис. 8.10 эти характеристики показаны пунктирными линиями. Диаг-
рамма на плоскости х, t несколько отличается от диаграммы для случая пре-
дельно разбавленной суспензии (см. рис. 8.9).
Соответственно волна разрежения, распространяющаяся вниз, дается выра-
жением
^ = U(p). (8.155)
at
Исследование процесса седиментации с учетом стесненности проведено в [40],
поэтому детали анализа здесь приводить не будем. Отметим только ряд особен-
188
Рис. 8.10. Положение поверхностей
разрыва на плоскости (х, t) при се-
диментации с учетом стесненности
движения частиц
ностей. Одна из них состоит в
том, что поток j (р) = р U (р) яв-
ляется немонотонной функцией р
(рис. 8.11). В области малых
значений р (предельно разбавлен-
ная суспензия) осаждение про-
исходит быстро, затем р увели-
чивается при приближении к
основанию контейнера и j умень-
шается, падая почти до нуля возле слоя осадка. Другой особенностью является
распространение наверх волны сжатия (увеличения р), что замедляет процесс
седиментации. Для того чтобы этого избежать на практике, в нижней части
контейнера нужно отбирать осевшую твердую фазу. Можно подобрать такую
скорость отбора, чтобы скорость распространения наверх концентрационной волны
была равна нулю. В этом случае поток j складывается из двух потоков —
седиментационного и конвективного. Зависимость суммарного потока от р в этом
случае показана на рис. 8.12 [41].
В последнее время используется эффективный способ сепарации жидкости
от частиц в наклонном канале. Впервые увеличение скорости седиментации
частиц было показано в [42] применительно к осаждению частиц в крови. Этот
эффект называется эффектом Бойкота. Картина осаждения частиц показана на
рис. 8.13.
При осаждении в наклонном канале частицы оседают не только на дно
канала, как в вертикальном канале, но и на боковую стенку. Скорость осажде-
ния определяется скоростью уменьшения высоты Н слоя суспензии. При осаж-
дении над поверхностью суспензии образуется слой чистой жидкости шириной
много меньше ширины канала Ь. Большая часть этой жидкости накапливается
в верхней части. Образующийся наверху кинематический скачок движется с
большей вертикальной скоростью, чем стесненная скорость осаждения частиц U
в вертикальном канале. Гидродинамический анализ гравитационной седимента-
ции частиц в наклонном канале был проведен в [43]. Скорость изменения
межфазной поверхности, т. е. поверхности, разделяющей слой чистой жидкости
от слоя суспензии, равна
^ = -U 1 + ^-cosO . (8.156)
at Io j
Второе слагаемое в правой
части (8.156) характеризует уве-
личение скорости седиментации за
счет наклона канала. Это увели-
чение тем больше, чем меньше угол
наклона 0 и ширина канала Ь.
Рис. 8.11. Массовый поток при седимен-
тации с учетом стесненности движения
частиц
Рис. 8.12. Массовый поток при седи-
ментации с отбором осевшей дисперс-
ной фазы в нижней части контейнера
Отделение частиц от несущей
среды (сепарация) имеет большое
практическое применение в нефтя-
ной и газовой промышленности.
Перед подачей нефти и природ-
ного газа в нефте- и газопроводы
необходимо предварительно отде-
лить от нефти воду (обезвожива-
ние), а от газа — механические примеси, газовый конденсат и воду. Эти процессы
производятся в специальных аппаратах-отстойниках, сепараторах, многофазных
разделителях, в которых разделение фаз происходит под действием гравитаци-
онных, центробежных и других сил. Используемые методы при моделировании
процессов сепарации углеводородных систем изложены в работе [44].
В качестве примера рассмотрим процесс седиментации капель конденсата
в природном газе, движущемся в горизонтальном сепараторе, который будем
моделировать объемом прямоугольного сечения длиной L и высотой D (этот
процесс будет подробно рассмотрен в разделе VI). На вход сепаратора посту-
пает газ, содержащий капли. Дисперсный состав смеси характеризуется распре-
делением капель по радиусам и0(й), объемное содержание капель в газе
<р0 = ||лд3и0(а)с(а
О
(8.157)
мало, поэтому стесненностью в процессе осаждения капель можно пренебречь
везде, за исключением небольшой области, прилегающей к нижней стенке сепа-
ратора, на которой образуется слой осевшей жидкости.
Распределение п0(а) можно рассматривать как распределение капель, ко-
торое формируется в подводящем к сепаратору трубопроводе (см. рис. 14.1
раздела VI). Это распределение имеет вид логарифмически нормального рас-
пределения
1п2(д/Д|) )
2а2 J’
(8.158)
где п* =Зф0 ехр (-2,5а2 )/4 л 72л a*v;
at = aavexp (-0,5а2); а — дисперсия
распределения, равная 0,4 —0,5;
aav — средний радиус капель, об-
разующихся в турбулентном по-
токе в трубопроводе:
/ \4/7
aav = 0,12d We-3/?. (8.159)
Рис. 8.13. Седиментация в наклонном
канале
190
Здесь d — диаметр трубы, рс и pL — плотности газа и конденсата, We =
= pGut2d/E — число Вебера, щ — скорость потока газа в трубопроводе, Z — ко-
эффициент поверхностного натяжения капель.
Рассмотрим теперь гравитационное осаждение капель в сепараторе. Вве-
дем параметр, называемый коэффициентом эффективности и равный отношению
объема дисперсной фазы, выпавшей из потока газа на длине сепаратора, к
объему, содержащемуся в потоке на входе:
£- = 1- ff^(a)da
Фо J J 3q>0
(8.160)
где ат — минимальный радиус осевших капель, т. е. такой радиус капель, что
на выходе не содержится капель большего радиуса; у0 = UL/u — высота во
входном сечении, с которой на длине сепаратора выпадают капли радиуса а;
U — скорость осаждения капли, определяемая формулой (8.141); и — скорость
газа в сепараторе. Очевидно, что у0 (ат) = D.
Рассматривая траектории капель, можно показать, что
а
т
-«J1 + °-2^/4- ,
I 2+0.42Р1/4 /
(8.161)
где атс = (9pcDu/2 Ap^L),/2; и — средняя поступательная скорость газа в сепа-
раторе; р = u3d)3p^/pGApgL3.
Подставляя соотношения (8.158) и (8.161) в (8.160), получим
ехр(-За2)
т/2л а
----- г—----------exp f- 1п - ^dz,
1 +0,032 Ar^2z3''2 J 2а2 J
(8.162)
где z = a/aav; = ах/а„\ т = zU^/uD-, U„ = 2д\р a3v/9pc; Arav = 8a3vpG Д pg?/p£;
Выражение (8.162) дает зависимость эффективности сепарации газокон-
денсатной смеси в сепараторе от параметров аппарата и подводящего трубопро-
вода, расхода газа, давления и температуры, а также от физико-химических
свойств фаз, определяемых их компонентным составом.
На рис. 5.2.2 раздела VI показана зависимость коэффициента эффектив-
ности сепаратора ц от расхода газа и от диаметра подводящего трубопровода d.
Увеличение расхода газа, а также уменьшение диаметра трубопровода при
прочих равных условиях приводят к уменьшению эффективности сепарации,
поскольку уменьшается средний радиус капель в трубопроводе и уменьшается
время пребывания смеси в сепараторе.
8.5. СЕПАРАЦИЯ В ПОЛЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ
В предыдущем разделе был рассмотрен метод гравитационной седимента-
ции, который применяется для отделения от жидкости относительно больших
частиц. Особенностью процесса является пренебрежимо малый диффузионный
поток и наличие четкой границы между чистой жидкостью, суспензией и твер-
дым осадком.
Однако, если размер частиц очень мал, то диффузия может доминировать
над гравитационным осаждением. Можно сказать, что диффузия обратно про-
порциональна массе частиц, в то время как гравитационное осаждение пропор-
191
ционально массе. Перенос массы в процессе диффузии не приводит к появ-
лению скачков плотности. Из сказанного следует, что для очень маленьких
частиц гравитационная седиментация происходит очень медленно и неэффек-
тивна. Более эффективным методом отделения от жидкости таких частиц яв-
ляется способ центрифугирования [45]. Этот метод заключается в интенсивном
вращении суспензии, в результате чего на частицы действуют большие центро-
бежные силы, равные т(й2г, которые заставляют их двигаться относительно
жидкости. Поскольку сила растет с увеличением расстояния г от оси вращения,
то частица под действием этой силы не достигнет постоянной скорости, как в
гравитационном поле. Скорость частицы в направлении радиуса называется
скоростью дрейфа, или миграции, частицы. При вращении жидкости возникает
радиальный градиент давления, который служит движущей силой диффузии
частиц.
Рассмотрим вращение жидкости с постоянной угловой скоростью (В. Отно-
сительно системы координат, связанной с вращающейся жидкостью, жидкость
покоится. Если частицы движутся вместе с жидкостью с той же угловой ско-
ростью, то на них действует центробежная сила (гравитационной силой прене-
брегаем). Тогда частица отбрасывается на периферию, если р>Р/, и к оси
вращения, если р < Р/. Приравнивая силу инерции силе сопротивления, получим
скорость радиального дрейфа частицы
= (8.163)
где f — средний коэффициент вязкого трения.
Метод центрифугирования часто используется в биологии для отделения
макромолекул в физиологических растворах и называется ультрацентрифуги-
рованием. Часто вместо плотности частиц (макромолекул) р используется удель-
ный объем макромолекул у = Э V/Эт. Тогда v = 1/р, а вместо скорости Ur
вводят параметр
5 = (8164)
co2r f
называемый седиментационным коэффициентом. Типичные значения s в про-
цессе ультрацентрифугирования растворов лежат в интервале от 15 до 1005,
где 15= 10~13 с — единица измерения s, называемая Сведбергом. Современные
ультрацентрифуги характеризуются большими значениями угловых скоростей
(до 70 000 об/мин), при которых достигаются огромные ускорения.
В принципе картина изменения концентрации макромолекул или коллоид-
ных частиц по радиусу в центрифуге примерно такая же, как распределение в
контейнере по высоте при гравитационной седиментации.
Рассмотрим процесс центрифугирования смеси в центрифуге, изображен-
ной на рис. 8.14 [35, 45, 46]. Имеются следующие поверхности: 1) свободная
поверхность г = гт, разделяющая очищенную жидкость (растворитель) и воздух;
2) кинематический разрыв г = г* — поверхность, разделяющая растворитель и
смесь; 3) кинематический разрыв г = гь — поверхность, разделяющая смесь и
слой осадка на внешней стенке центрифуги. Рассматриваемый цилиндрический
сектор заполненный бинарной смесью, вращается как целое с угловой ско-
ростью (В. Введем цилиндрическую систему координат, связанную с вращаю-
щейся смесью. Тогда относительно этой системы координат движение раство-
ренного вещества происходит в радиальном направлении и все параметры смеси
зависят только от г и t. Обозначим, как и раньше, через р массовую концент-
192
рацию растворенного вещества. Уравнение неразрывности в движущейся сис-
теме координат имеет вид
£ = 7£(;(О£-Р“’2’')} <8.165)
В литературе, посвященной процессам центрифугирования, это уравнение
называется уравнением Лемма.
Если смесь представляет собой предельно разбавленный раствор, то D и
s не зависят от р и являются постоянными. В этом случае уравнение (8.165)
сводится к
$ = -J-fr?V£F-T'(Pr2)- (8.166)
at г dr \ dr j г dr
В начальный момент смесь представляет собой однородный раствор, поэто-
му начальное условие имеет вид
Р = Ро(гт<г<гь) при t = 0. (8.167)
В качестве граничных условий следует взять условия отсутствия потока
растворенного вещества на свободной поверхности и на боковой стенке цент-
рифуги
-s<o2rmpm=0,
у )г = Гт (8.168)
Dl^l -s®4p6 =0.
V J' = rb
Если бы мы пренебрегли диффузией, то картина распределения р по радиу-
су была бы подобна распределению р по высоте контейнера при гравитацион-
ной седиментации. В частности, имели бы место волны резкого изменения р
(кинематические скачки): одна волна, отделяющая слой чистого растворителя
от смеси, перемещалась бы к стенке центрифуги а другая, отделяющая слой
смеси от слоя осадка, — к оси центрифуги. Но даже в этом случае имелось бы
13 - 1461 193
принципиальное отличие от гравитационной седиментации. Оно состоит в том,
что концентрация частиц одинакового размера в слое смеси не остается по-
стоянной, как в гравитационной седиментации, а уменьшается со временем из-
за того, что с увеличением г линейно с г увеличивается площадь поперечного
сечения, а следовательно, и объем. Этот эффект называется радиальным разбав-
лением смеси.
Поскольку смесь может содержать частицы различного размера, то рас-
смотрим сначала частицы достаточно большие, чтобы можно было пренебречь их
переносом за счет диффузии. Учтем также стесненность движения частиц.
Тогда s = s(p) и уравнение (8.165) примет вид
^P+r(D2^P>^P=_2p5(D2. (8.169)
dt dp dr r
Для этого уравнения условий (8.168) слишком много. Поэтому в качестве
граничного условия возьмем первое из этих условий, а начальным условием
будет (8.167).
Уравнение (8.169) решаем методом характеристик. Для этого рассмотрим
выражение
dp = ^-dt + ^dr. (8.170)
r dt дг
Исключая из (8.169) и (8.170) др/дг, получим
rd)2 dips) + 2a>2psdr = (гю2 dt-dr^.
Это уравнение выполняется при
^. = Г(й2^2., dp + 2tfpsdt = 0. (8.171)
Первое уравнение (8.171) является характеристикой в плоскости г, t, вдоль
которой должно выполняться второе условие (8.171).
Для простоты ограничимся рассмотрением предельно разбавленной смеси,
для которой s = s0 = const. Тогда (8.171) сводятся к уравнениям
= ra>2s0, dp+ 2afipsodt = 0, (8.172)
решение которых нетрудно получить:
р = Се-25"™2', pr2 = d, (8.173)
где С и d — постоянные интегрирования.
Таким образом, вдоль характеристики
рг2 = - ц = const, (8.174)
причем согласно первому уравнению (8.173) p = p(t). Это означает, что реше-
ние уравнения (8.169) при s = s0 можно искать в виде р = </(т]) f(t). Подставляя
во второе уравнение (8.171), получаем уравнение для f
f' = -2tfs0f, (8.175)
откуда находим
f = 0-250^.
Таким образом, общее решение имеет вид
р = g(r2e-2so°>2t)e-2soa2t. (8.176)
194
Воспользуемся теперь начальным (8.167) и первым граничным условием
(8.168) при D = О
р = 0 при rm < г < г*, t > О,
p = poe-25o°>2f при r*<r<rb,t>0. (8.177)
Поверхность г = г* является поверхностью кинематического скачка. Закон
движения этой поверхности определяется первым уравнением (8.173), решение
которого имеет вид
r*(t) = гте5<>оА. (8.178)
Распределение концентраций по г в случае отсутствия диффузии показано
на рис. 8.15.
Выражение (8.178) можно представить в виде
In г* = In rm + oPtso. (8.179)
Линейная зависимость (8.179) удобна для определения коэффициента седи-
ментации s0 по измерениям движения поверхности скачка г* (О в процессе
эксперимента.
Из (8.177) и (8.178) следует, что
— = — или рг*2 = const. (8.180)
Ро г,2
Перейдем теперь к случаю, когда учитывается диффузия частиц. Ограни-
чимся случаем D = const и s = const. Для решения уравнения (8.166) введем
новые переменные
/ \2
л = — е2-'о°А, т = 2sco2t, = 1п| — I . (8.181)
Ро \ Гт I
В новых переменных уравнение (8.166) преобразуется к виду
Эл , Эл _ е~Е Э2л
Эг Э4 Ред Э^2
Здесь введено диффузионное число Пекле
П-, _ UrTm
Fe°-~D------D~
(8.182)
(8.183)
Решение уравнения (8.182) представляет значительные математические
трудности. Поэтому поступим так же, как в разделе 6.4 при решении диф-
фузионной задачи обратного осмоса. Рассмотрим решение при значениях г,
близких к гт, т. е. ограничимся областью, прилегающей к свободной поверхно-
сти. Это означает что рассмат-
ривается начальная стадия про-
цесса. Тогда можно положить
еА ~ 1 и rh/rm = °° и уравнение
(8.182) fведется к
Эл Эл _ 1 Э2л
Эг Э£, “ PeD э^2 ‘
(8.184)
Рис. 8.15. Распределение концентра-
ции частиц по радиусу в центрифуге
13*
Начальное условие (8.167) перейдет в
л = 1 при т = 0, 0 < £ < °о. (8.185)
В качестве граничных условий возьмем условие на свободной поверхности
л = при £, = 0 , т > 0 (8.186)
Ред Э6,
и условие ограниченности л на бесконечности при
Сформулированная краевая задача имеет аналитическое решение [45], однако
оно громоздко и здесь не приводится. Отметим только, что необходимым ус-
ловием рассмотренного приближения является PeD » 1, в противном случае
нельзя формулировать условие на бесконечности. При центрифугировании ха-
рактерные значения числа Пекле равны 102- 103, поэтому сделанное допущение
оправдано. Другое предположение было о малости времени. Время входит в
число Струхаля
St = -L- = ±-, (8.187)
OYSt Urt
поэтому необходимо выполнение условия St» 1. Для характерных значений
5 = 1013 с, (в = 5000 с это неравенство выполняется для времен t» 4 • 103 с~ 1 час.
Поскольку центрифугирование длится часами, то и это предположение допус-
тимо.
Использование центробежных сил нашло широкое применение в процессе
сепарации газоконденсатных углеводородных смесей. В предыдущем разделе
был рассмотрен процесс сепарации в гравитационном поле. Однако он имеет
небольшую эффективность, особенно при больших расходах газа. Для увели-
чения эффективности сепарации сепараторы оборудуют специальными устрой-
ствами, которые способны улавливать капли, не осевшие в гравитационной оса-
дительной секции [44]. В качестве таких устройств используют центробежные
патрубки (циклоны), представляющие собой вертикальные цилиндры, в которых
поток газа, содержащий мелкие капли, закручивается на входе. По способу
закрутки циклоны делятся на осевые, в которых поток закручивается при об-
текании установленного на входе завихрителя, и на тангенциальные, в которых
поток поступает в полость цилиндра через тангенциальные прорези в стенках.
В циклонах первого типа скорость закрутки потока можно регулировать по
закону uv=Crk, где г — радиус, откладываемый от оси циклона. При k = -l
поток закручивается по закону постоянства циркуляции (потенциальное враще-
ние), при k = 0 обеспечивается постоянство угла закрутки по радиусу, а при
k = 1 закрутка осуществляется по закону твердого тела (квазитвердое враще-
ние).
В работе [44] теоретически исследовано влияние законов закручивания
потока на эффективность сепарации газоконденсатных смесей, а также рассмот-
рены методы расчетов сепараторов, оборудованных циклонами. Подробный ана-
лиз этих процессов содержится в разделе 6.2.
9
СУСПЕНЗИИ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ
ЧАСТИЦЫ
9.1. ЗАРЯД ЧАСТИЦ
Большинство частиц при контакте с полярной жидкостью приобретают
поверхностный заряд, приводящий к скачку потенциала в тонком поверхностном
слое — ^-потенциалу. Определим связь между зарядом частицы q и ^-потенциа-
лом. Для этого нужно воспользоваться условием сохранения заряда, уравне-
нием Пуассона и условием, что q должно быть равно и противоположно по
знаку суммарному заряду двойного электрического слоя.
Рассмотрим пример такого расчета [35] для сферически симметричного
диффузионного двойного слоя, образующегося на непроводящей сферической
частице радиуса а. В сферическом двойном слое толщины dr содержится заряд
dq = 4л г1 р£ dr, (9.1)
где р£ — объемная плотность заряда; г — расстояние от центра частицы до
рассматриваемого слоя.
Подставляя в (9.1) значение р£ из уравнения Пуассона
<9-2>
и интегрируя по г, получим полный заряд двойного слоя
q = -?4л£-^-Гг2 г. (9.3)
J dr I dr I
а '
Используя условие dfy/dr —>0 при г—>°°, из (9.3) найдем
q = . (9.4)
I dr /
Будем рассматривать -q как заряд частицы. Поскольку частица непрово-
дящая, то весь заряд частицы распределен по поверхности. Введем поверхност-
ную плотность заряда qs соотношением
-q = fata2qs. (9.5)
Тогда из (9.4) и (9.5) следует, что
qs =-£
( дф
(9.6)
Таким образом, qs связано с распределением ф в двойном слое. В случае
тонкого двойного слоя под г понимается координата, направленная по нормали
к поверхности. В приближении Дебая — Хюккеля имеем
2 = Jl
г2 Эг Эг J х.2, '
(9.7)
197
Введем lj = гф. Тогда (9.7) преобразуется к уравнению
dr2 X?D ’
(9.8)
Это уравнение совпадает с (7.67) раздела III. Решение, удовлетворяющее
условию ф —> 0 при г -» °о, имеет вид
ф = .
(9.9)
Постоянную А находим из условия, что на поверхности частицы г = а
(фактически на плоскости Штерна) ф =
A = a£e“/Xo. (9.10)
Подставляя (9.10) в (9.9), получим
= + (9.11)
)г = а (° '° )
Теперь из (9.6) получим
+ (9.12)
I а Ад J
а из (9.5)
С =------------ (9.13)
4nea(l+a/X.D)
или
£ = (9.14)
4теа 47ts(a+A.D)
Таким образом, ^-потенциал представляет собой сумму двух потенциалов:
один обусловлен зарядом q на поверхности сферы радиуса а, а второй — заря-
дом -q на концентрической сфере радиуса a + XD. Другими словами, ^-потен-
циал равен разности потенциалов на двух одинаково, но противоположно заря-
женных концентрических сферах, отстоящих на расстоянии A.D.
Из (9.12) следует, что для тонкого дебаевского слоя « а
qs = E^/XD. (9.15)
В различных задачах используют приближения постоянства потенциала
поверхности частицы или постоянства поверхностного заряда. Для заряженных
смесей электролита полагают qs = const, а в задачах коллоидной химии, в кото-
рых поверхностный заряд коллоидов может изменяться, полагают £ = const.
9.2. ЭЛЕКТРОФОРЕЗ
Рассмотрим электрофоретическое движение заряженной сферической час-
тицы радиуса а, помещенной в раствор электролита, под действием приложен-
ного электрического поля (рис. 9.1).
Рассмотрим сначала предельный случай а « "kD. В этом случае частицу
можно рассматривать как точечный заряд, помещенный в невозмущенное элект-
рическое поле Ех. Приравнивая электрическую силу точечного заряда силе
вязкого сопротивления частицы, найдем
= 6лца(7.
(9.16)
198
Рнс. 9.1. Электрофоретическое движение частицы
Подставляя сюда вместо q выражение
(9.13), получаем
гг 2/:(1+аАдЖ 2&ЕХ /п 17\
U 3 Ц 3 Ц ‘ 7
Полученное выражение для скорости
электрофореза частицы, размер которой мал
по сравнению с толщиной дебаевского слоя,
называется уравнением Хюккеля.
Иногда вместо скорости электрофореза
частицы вводят ее подвижность
= (9.18)
Ех 3 Ц
Рассмотрим теперь другой предельный
случай: « а. Этот случай чаще всего
реализуется для дисперсных систем. В частности, для коллоидных систем а - 0,1 —
1 мкм и при А.д-10 нм имеем А.д /а - 10“' - 10“2. В этом случае кривизной
частицы можно пренебречь и рассматривать диффузионный двойной слой как
слой на плоской поверхности, т. е. рассматривать задачу как локально плоскую.
В этом приближении электрическое поле в двойном слое параллельно поверх-
ности, поскольку частица — диэлектрик. Движение заряженных ионов в двой-
ном слое можно рассматривать как электроосмотическое движение вдоль по-
верхности так же, как в разделе 7.5. Из (7.72) следует, что
&$>ЕХ = цы + const,
(9.19)
где и — скорость течения жидкости вдоль поверхности частицы; Ех — напря-
женность электрического поля, параллельная поверхности.
Из граничных условий ф = 0, и = 0 на внешней границе двойного слоя и
ф = £, и = U на поверхности частицы из (9.19) находим
U = &Ex/[i. (9.20)
Это уравнение Гельмгольца — Смолуховского. Следовательно, по величине
скорость электрофореза при А.д « а совпадает со скоростью электроосмоса, что
и следовало ожидать, поскольку электрофорез — явление, обратное электроос-
мосу.
Сравнение (9.20) с (9.17) показывает, что скорости электрофореза для
двух предельных случаев отличаются друг от друга на коэффициент 2/3.
Рассмотрим теперь случай конечной толщины двойного слоя А.д. При этом
нужно выделить три эффекта [47, 48], благодаря которым скорость электрофо-
реза будет отличаться от уравнений Хюккеля (9.17) и Гельмгольца — Смолу-
ховского (9.20): электрофоретическая ретардация (запаздывание); поверхност-
ная проводимость; релаксация. Рассмотрим их последовательно.
Электрофоретическая ретардация состоит в том, что ионы в двойном слое
движутся в направлении, противоположном движению частицы. Благодаря силам
вязкого трения они индуцируют электроосмотическое движение жидкости, ко-
торое препятствует движению частицы. Следуя исследованию [48], рассмотрим
электрофоретическое движение частицы, считая что двойной слой остается
сферическим в процессе движения частицы и потенциал поверхности достаточ-
199
но мал, так что справедливо приближение Дебая — Хюккеля. Движение счита-
ется безынерционным. Введем систему координат, движущуюся со скоростью U
частицы, так что в выбранной системе координат частица неподвижна, а на
бесконечности скорость потока равна -U (рис. 9.2).
Электрическое поле является суперпозицией внешнего поля ф и поля \|/>
создаваемого непроводящей заряженной сферой, причем Е = - Уф. Для внешне-
го поля имеем
У<р = О (9.21)
с граничными условиями
Ф = -Ех г cos 0 при г -» °о,
|| = 0 при г = а. (9.22)
Второе условие (9.22) — равенство нулю нормальной составляющей силы
тока на поверхности диэлектрика.
Решение уравнения (9.21) с условиями (9.22) имеет вид
Ф = -е/г + 14 VosO- <9.23)
I 2 г2 I
Потенциал в двойном слое удовлетворяет уравнению Пуассона, поэтому
возмущение электрического поля ф удовлетворяет уравнению
Дф = -р£/£. (9.24)
В приближении Дебая — Хюккеля ф равно (см. (9.9) и (9.10))
ф = ^Д^е-(г-в)/Хп. (9.25)
Для определения поля скоростей нужно воспользоваться уравнениями
Стокса
V-u = 0; -рДи + Vp =-р£У(ф +ф), (9.26)
причем в соответствии с (9.24) рЕ = -£Дф.
Граничными условиями служат
ur = -U cos 0, щ = U sin 0, ф = 0 при г —> °°,
ur = u9 = 0, ф = 0 при г = а. (9.27)
Рнс. 9.2. Электрофорез при конечных значениях kD/a
200
Решение уравнений (9.26) с условиями (9.27) можно получить так же, как
при решении задачи о стоксовом обтекании сферы. В результате находим
распределение скоростей и давления на поверхности сферы и касательное на-
пряжение хгх на сфере. Тогда гидродинамическая сила, действующая на сферу,
равна
2raz2J тГ1 sin0</0.
о
С другой стороны, на сферу действует электрическая сила, обусловленная
зарядом q поверхности (см. (9.4)), равная
-qEx = -4лел2[^Н Ех.
\ Jr = а
Здесь учтено, что (Эф/Эг)г.я = О (см. (9.22)).
Поскольку в выбранной системе координат частица покоится, то сумма сил
равна нулю. Опуская промежуточные выкладки, запишем итоговый результат
этого условия
- 6iqiaU + 6л&Еха
1 + 5й2 f-^-dr-2a3 fr^-dr = 0.
J ^6 J CH
(9.28)
Подставляя сюда значение у из (9.25) и производя интегрирование, получим
U = l^-f(a), (9.29)
3 U
где ot = fi/XD — обратный дебаевский радиус, а
/ \ а
/Ча) = 1- —а2 - — а3 - — а4 + 1а4е“| 1-— |
1 16 48 96 8 12 J t
Это уравнение называется уравнением Генри. В случаях а —> >» и а —> 0 по-
лучаются решения Гельмгольца — Смолуховского (Хв«й) и Хюккеля (А.в»й).
Функция /Ча) монотонно растет от 1 до 3/2 с увеличением а (рис. 9.3).
Рассмотрим теперь второй эффект, который называется поверхностной
проводимостью [49]. Поскольку рассматривается конечная толщина двойного
слоя, то вблизи поверхности частицы имеется область, в которой отсутствует
нейтральность раствора и в которой имеется избыток противоионов по сравне-
нию с толщей раствора. Большая концентрация противоионов приводит к появ-
лению слоя повышенной элект-
ропроводности, за счет чего сни-
жается напряженность электри-
ческого поля. Оценим этот эффект
при условии \D/ а« 1. Примем
следующую модель. Вокруг по-
верхности сферической частицы
имеется тонкая сферическая обо-
Рис. 9.3. Поправочный коэффициент /(а)
в выражении для скорости электро-
фореза
Ла)
лочка с проводимостью о/ Вне двойного слоя проводимость сь равна прово-
димости электролита. Электрический потенциал удовлетворяет уравнению Лап-
ласа, решение которого в слоистой области имеет следующий вид:
- Ех{ г + ! COS0 в жидкости,
(9.30)
Ф =
- ЕХ1 Br + cos 0 в двойном слое.
\ г2 )
(9.31)
(9.32)
(9.33)
(9.34)
Постоянные А, В, С находятся иэ граничных условий непрерывности ф и
о Уф на частице (г = а) и на внешней границе двойного слоя (г = а + 3), где 3 —
толщина оболочки. В итоге получим
ЛдЗ 2(а + 8)3(<Ть - </) + а3(щ, + 2</)
(а + 8)3 2(а + 8)3(2ст(, + </) + 2«3(а(, - </)
Обозначим в (9.31) о'З = о5 (поверхностная проводимость) и будем счи-
тать, что 3/й « 1. Тогда (9.31) можно упростить и найти
Щ / й
2 (ст/, - 2as/ а)
В пределе 8/а—>0 в (9.30) на поверхности вместо г можно положить
г = а. В итоге получим
ф = - (1 + А) Еха cos 0.
Если не учитывать поверхностную проводимость, то А= 1/2 и
ф = ~^ExacosQ,
что совпадает с (9.23) для электрофоретической ретардации. Сравнивая (9.33)
с (9.34), получаем, что если вместо Ех ввести новое эффективное поле
£’eff = 2(l + А)ЕХ/3, то скорость электрофореза будет совпадать с (9.29), поэтому
U = 1- ----/•(«)• (9-35)
3 ц(1 + os/O(,a)
Последний эффект, называемый релаксацией [50], связан с деформацией
двойного слоя за счет движения ионов в направлении, противоположном дви-
жению частицы (рис. 9.4).
Движение ионов стремится как бы оторвать двойной слой от частицы, так
что центр двойного слоя лежит за центром частицы. Слово релаксация озна-
чает, что для восстановления двойно-
го слоя за счет миграции и диффу-
зии ионов требуется конечное время.
Для предельных случаев боль-
ших и малых значений Хо/й влия-
нием этого эффекта можно прене-
бречь.
Рис. 9.4. Эффект релаксации
202
9.3. ДВИЖЕНИЕ КАПЛИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Рассмотрим движение капли в растворе электролита под действием при-
ложенного электрического поля [51]. Будем предполагать, что толщина двой-
ного электрического слоя мала по сравнению с радиусом капли (XD « а), капля
идеально поляризуема, т. е. на поверхности капли не происходит разряд или
образование ионов, так что ток через каплю не протекает. Кроме того, считаем,
что капля имеет сферическую форму. В разделе V будет показано, что капля
под действием внешнего электрического поля может деформироваться, вытяги-
ваясь вдоль направления напряженности поля и принимая форму эллипсоида.
Подобное предположение справедливо, если напряженность внешнего поля не
превосходит некоторого критического значения. Потенциал электрического поля
описывается уравнением Пуассона (9.24)
Дф = -р£/е. (9.36)
Вдали от капли ф = Er cos 0 совпадает с потенциалом приложенного поля,
а на поверхности ф = ф„, (для удобства в дальнейшем возьмем его за нуль-
потенциал, т. е. ф = 0 при г = а).
Рассмотрим сначала случай, когда проводимость капли много больше
проводимости раствора, что справедливо, например, для жидкометаллической
капли или капли пластовой воды в нефти. Обозначим через Дф = ф0 - фр раз-
ность потенциалов между каплей и раствором. Состояние поверхностного слоя,
а значит, и поверхностного натяжения Е на границе капля — раствор однознач-
но определяется величиной Дф. При движении капли ионы в двойном слое
смещаются к кормовой части капли, тем самым Дф изменяется вдоль поверхно-
сти капли. Изменяется также и Е. На поверхности капли появляется дополни-
тельная тангенциальная сила, равная Ft = V9 Е — градиенту по направлению
касательной к поверхности. Поверхностное натяжение Е связано со скачком
потенциала Дф и поверхностным зарядом капли qs, т. е. зарядом единицы
поверхности подвижной части двойного слоя, уравнением Липпмана — Гельм-
гольца
Поскольку Е = Е(0) и б/Е = (dZ/dQ) df) = (ЭЕ/Э(Дф)) (Э (Дф)/Э0) dQ, то
е е
Е(0) = Ел/2 + |^^б/0 = Ел/2- | W dQ
я/2 я/2
где Ея/2 — значение Е на экваторе капли.
Если приложенное поле мало, то оно слабо влияет на qs, поэтому qs можно
считать не зависящим от 0 и
Е(0) = Ея/2 - ^Дф. (9.38)
Наличие изменяющегося с 0 поверхностного натяжения приводит к появ-
лению на поверхности капли нормального = Fn и касательного т^-1 = -Ft
напряжений, причем
2Z = 2Z^_2^ (9.39)
п а а а ’
Ft = V0E = - б/5У9(Дф) = -qs 1^2. (9.40)
203
Вне двойного слоя раствор электронейтрален, поэтому там потенциал удов-
летворяет уравнению Лапласа
Дф = О. (9.41)
Граничным условием для него является условие вдали от капли
ф—>Ercos0 при г—>оо. (9.42)
Осталось сформулировать условие на границе раствор — двойной слой
(r = a + XD). Под действием внешнего поля ионы в двойном слое приходят
в движение со скоростью и по направлению касательной к поверхности капли.
Это движение приводит к появлению поверхностного конвективного тока
плотности is = qsu6. Поскольку иъ изменяется вдоль поверхности капли, то
V0 • ((?5и0)# 0. Из закона сохранения заряда на границе раствор — двойной
слой следует, что
оь-| = У0 (<7,ив), (9.43)
где Оь — электропроводность раствора.
Физический смысл условия (9.43) состоит в том, что конвективный пере-
нос ионов в двойном слое равен потоку ионов через внешнюю границу двой-
ного слоя. Заметим, что условие (9.43) записано в предположении идеально
поляризуемой капли. Если капля неидеально поляризуема, то ионы могут раз-
ряжаться и образовываться на поверхности капли, т. е. между каплей и внеш-
ней средой может происходить обмен ионами. В этом случае через поверхность
капли может происходить обмен ионами, т. е. через поверхность капли может
протекать ток, плотность которого нужно добавить в правую часть (9.43).
Таким образом, условие (9.43) является вторым граничным условием для ре-
шения уравнения (9.41).
Перейдем теперь к формулировке гидродинамической задачи. Движение
капли считаем безынерционным. Введем систему координат, движущуюся с
каплей. Тогда в силу сферической симметрии задача аналогична задаче о сток-
совом обтекании жидкой капли. В сферической системе координат система
уравнений, описывающая течение внутри и вне капли, имеет вид
(д2иг . 1 d2Ur 2 dUr ct8e Sur _ 2 э“0 _ 2Ur 2ctSe,, 'V dp (n zz\ dr2 r2 do2 г dr r2 d0 r2 30 r2 r2 ® J dr ’
м fЭ2и0 r 1 d2ag f 2 Эке f ctgO Эи0 + 2 Эиг щ 1 Эр (945)
1 dr2 r2 dO2 г r2 r2 r2 sin2 0 1 r dt)
SUr f 1 du0 + 2ur , ize ctg 0 _ Q (9 46) dr г Э0 r r
Здесь (9.44) и (9.45) — уравнения движения, а (9.46) — уравнение не-
разрывности как для внешнего, так и для внутреннего течений жидкости.
В дальнейшем параметры течения внутри капли будем обозначать штрихом
наверху.
Граничными условиями для уравнений (9.44) — (9.46) являются условия
вдали от капли
ur -> U cos 0, ue -> -U sin 0 при г -> «>, (9.47)
условия конечности и'г и м0 в центре капли и равенства скоростей и напряжений
на поверхности капли
204
ur =u'r = 0, щ = Ug при r = a,
Xty + Trr —Тгг, - be.
(9.48)
(9.49)
Здесь через т(да) и та) обозначены вязкие и капиллярные напряжения (по-
верхностное натяжение), причем
+ + <9.S0>
Таким образом, задача сводится к решению гидродинамических и электро-
динамических уравнений с соответствующими граничными условиями. Опуская
длинные выкладки, приведем окончательные результаты для потенциала элект-
рического поля
ф = Ecose (г + fl(9.51)
т 112 2 аъЕа I г2 I
и скорости движения капли
(JsEa
2n + 3n' + ef2/cb ‘
(9.52)
Из формулы (9.51) следует, что наибольшая разность потенциалов на
поверхности неподвижной капли равна Дф0 = ЗЕа. Если ввести подвижность b
капли радиуса а = 1, то
b = lJ('a ~ ___
Е 2ц + Зц' + q2ab
и (9.52) можно представить в виде
СГ = 1ьДф0. (9.53)
Рассмотрим теперь важный для приложения случай движения в электри-
ческом поле капель эмульсии. В отличие от рассмотренного выше случая,
электропроводность капель эмульсии может быть меньше или равна электро-
проводности внешней жидкости. Для такой системы внутри капли может су-
ществовать электрическое поле и условие (9.41) должно выполняться не толь-
ко для внешней, но и для внутренней жидкости.
Соответствующее выражение для скорости капли имеет вид
__________qsEa___________
2n + 3n' + q2(l/ab +2/0/,)’
(9.54)
где <у'ь — электропроводность внутренней жидкости.
При а'ь» аь выражение (9.54) переходит в (9.52). Для эмульсии типа
вода в масле (например, капли воды в нефти) это неравенство выполняется, и
скорость движения капель воды подчиняется закону (9.52). Для обратной эмуль-
сии типа масло в воде имеем аь « аь и формула (9.54) переходит в
U =------. (9.55)
2ц + Зц' + 2q2 /а'ь 2qs
Поскольку Of, мала, то скорость движения капель масла в воде мала.
Наличие заряда на поверхности капель имеет существенное значение не
только при движении капли, но и при ее осаждении в поле силы тяжести.
Задача формулируется аналогичным образом, но в гидродинамических уравне-
ниях внешней жидкости нужно учесть силу Архимеда
Vp = |iAw + (p-p')p. (9.56)
205
Вводя давление л = (р - р') gz, где ось z направлена по направлению д
(р ир' — плотности внешней и внутренней жидкостей), получаем выражение
У(р-л)=цДы, (9.57)
которое по форме тождественно уравнениям (9.44) и (9.45), но р нужно за-
менить на р - л. Поэтому решение проводится аналогичным образом. Для капли,
проводимость которой превосходит проводимость внешней жидкости, скорость
осаждения в поле силы тяжести равна
_ 2(р -p')ga2 f ц + ц' + д?/ЗстА
Зц ^2ц + Зц' + <$/а6
При 2ц + Зц'» q]/ab выражение (9.58) переходит в формулу Адамара —
Рыбчинского. Если 2ц + Зц'« ql/csb, то скорость капли совпадает со скоростью
твердого шара (формула Стокса).
Распределение потенциала электрического поля вдоль поверхности капли
Ф =_________________£ cos 0,
3 (2ц + Зц' + q] /сь) аь г2
(9.58)
(9.59)
откуда следует, что максимальное падение потенциала вдоль поверхности капли
Дф = 2дЛр-р')да2
3 (2ц + Зц' + д2/аь) аь
(9.60)
9.4. СЕДИМЕНТАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
В предыдущем разделе было показано, что при падении заряженной капли
в растворе электролита на концах капли возникает разность потенциалов, оп-
ределяемая формулой (9.60). Если в растворе последовательно друг за другом
падает серия капель, то вдоль столба смеси устанавливается разность потенциа-
лов, называемая седиментационным потенциалом [51]. Определим эту разность
потенциалов.
Предположим, что объемное содержание капель мало, так что капли нахо-
дятся достаточно далеко друг от друга и падение каждой капли происходит
независимо и электрические поля, создаваемые каплями, аддитивны. Рассмотрим
сначала случай одной капли, падающей в столбе жидкости. Найдем среднее зна-
чение потенциала фй в некоторой части плоскости над каплей на расстоянии, малом
по сравнению с радиусом столба капель, причем линейные размеры столба велики
по сравнению с размерами капли. Поместим начало координат в центре капли.
Площадь той части плоскости, что лежит между углами 0 и 0 + de, равна Зпг2 tg 0 de.
Тогда среднее значение потенциала ф^ получим, используя формулу (9.59):
= 1 [ 2пг2ф tg 0 de =--^?(Р ~ ---- f sin 0 de =
S J S3ab (2ц + Зц' + qs/вь) J
K/2
2 л gs(p-p')ga4
" ~T sЗбЬ (2ц + Зц' + q2/аь) ' (9‘61>
Подобным же образом для части плоскости, лежащей ниже капли, имеем
Фй =
2 л <7, (р-р') да4
3 Sab (2ц + Зц' + д2 /аь)
(9.62)
206
Откуда следует, что седиментационный потенциал, вызванный падением
одной капли,
•S3O/, (2ц + Зц + <?/ /а/,)
(9.63)
Пусть п — число капель в единице объема. Тогда седиментационный по-
тенциал в столбе смеси равен
ф5а) = п5’(фй-фй) =
47OT(jrs(p - р')да4
Зоь (2ц + Зц' + <7?/аь)
(9.64)
Если замкнуть цепь, образованную столбом жидкости длиной L и сечением S,
через внешнее сопротивление W, то во внешней цепи произойдет выравнивание
потенциала и потечет ток I, равный
*bsed^
L/Sab + W ‘
(9.65)
10
УСТОЙЧИВОСТЬ СУСПЕНЗИЙ, КОАГУЛЯЦИЯ
ЧАСТИЦ И ОСАЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ
НА ПРЕПЯТСТВИЯХ
10.1. УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЛОИДНЫХ СИСТЕМ
При отсутствии внешних сил (гравитационных, центробежных, электриче-
ских) незаряженные частицы, диспергированные в покоящейся жидкости, долж-
ны быть распределены однородно. В действительности между частицами всегда
есть взаимодействие: электростатическое отталкивание (для заряженных час-
тиц, окруженных двойными электрическими слоями), молекулярное притяжение
(силы Ван-дер-Ваальса), гидродинамические силы (силы, возникающие при вза-
имном влиянии полей скоростей жидкости и частиц).
Электростатические силы отталкивания одинаково заряженных частиц
поддерживают однородное распределение частиц. Способность к сохранению в
течение длительного времени однородного распределения частиц в жидкости
называется в коллоидной химии устойчивостью коллоидной системы. Это по-
нятие годится только для лиофобных коллоидов, т.е. коллоидов, не раствори-
мых в жидкости.
На практике в большинстве двухфазных коллоидных систем число частиц
со временем уменьшается, одновременно увеличивается их размер. Для эмуль-
сий столкновение двух капель приводит к их слиянию (коалесценции) с обра-
зованием одной капли большего размера. Частицы при столкновении могут не
коалесцировать, а образовывать агрегаты. Агрегация частиц происходит за счет
молекулярных сил притяжения Ван-дер-Ваальса.
Системы, в которых происходит агрегация частиц, называются неустойчи-
выми или нестабильными.
207
В отсутствии внешних и гидродинамических сил устойчивость коллоидной
системы зависит от взаимодействия частиц, вызванного поверхностными силами:
электростатическим отталкиванием и молекулярным притяжением [52]. Для
того чтобы частицы взаимодействовали под влиянием этих сил, они должны
находиться достаточно близко. Сближение частиц в жидкости происходит под
действием броуновского движения, под влиянием внешних сил, например силы
тяжести, или за счет гидродинамических сил. Исследование устойчивости кол-
лоидной системы должно проводиться с учетом всех перечисленных факторов.
В общем случае задача достаточно сложная, поэтому рассмотрим сначала взаи-
модействие частиц под действием только электростатических и молекулярных
сил. Теория устойчивости коллоидов при таком взаимодействии носит название
ДЛФО по первым буквам ее создателей — Дерягина, Ландау, Фервея и Овер-
бека [53].
Энергию отталкивания частиц можно определить, используя теорию двой-
ного слоя (см. раздел 7.3). Для простоты рассмотрим сначала случай электро-
статического отталкивания двух параллельных плоскостей, несущих поверхност-
ный заряд одного знака (отрицательный) и имеющих одинаковый потенциал <рВ).
Эти плоскости помещены в бесконечный объем раствора электролита с концент-
рацией растворенного ионизованного вещества Со вдали от плоскости (рис. 10 1).
Возле каждой плоскости образуется двойной электрический слой толщины XD.
Если расстояние между плоскостями таково, что двойные слои накладываются
друг на друга, то плоскости взаимодействуют между собой. В силу симметрии
минимальное значение распределения потенциала между плоскостями достига-
ется на оси симметрии плоскостей (х = /г/2). На этой плоскости Дф/Дх = 0,
т. е. электрическое поле отсутствует. На оси имеется избыток ионов того же
знака, что и заряд плоскостей, что приводит к увеличению осмотического дав-
ления, которое внутри пытается оттолкнуть плоскость от плоскости.
Условие равновесия плоскостей в случае покоящейся жидкости сводится
к балансу электрической силы и градиента давления
-Vp + pEE = 0. (10.1)
Рис. 10.1. Электростатическое взаимодействие двух одноименных
заряженных плоскостей в растворе электролита
208
Поскольку Е = -Уф, то (10.1) сводится к уравнению
^ + р£^ = 0.
dx r dx
Исключая рЕ с помощью уравнения Пуассона (9.24), получим
rfp _е^Ф _ о
dx dx dx
(10.2)
(10.3)
Из этого уравнения следует первый интеграл
= const. (10.4)
r 2 I dx I
Следствием этого уравнения является постоянство разности между гидро-
статическим и электростатическим давлениями. Полагая d$/dx = 0, р = рт при
x = h/2, найдем постоянную. В итоге получим
р-Цй; (10-5)
Заметим, что значение рт пока неизвестно. Воспользуемся теперь выраже-
нием (7.65) раздела III для рЕ и подставим его в (10.2). В итоге получим
dp = 2FzC« sh^ф. (10.6)
Воспользуемся условиями р = р0 при ф = 0 и р = рт при ф = фт. Тогда из
(10.6) находим
n = pm-p0 =2ATCq chpJH-l
(10.7)
Разность давлений я имеет смысл силы, действующей на единичную пло-
щадь граничной плоскости и стремящейся оттолкнуть плоскость от плоскости.
По смыслу л — избыточное осмотическое давление на оси симметрии плоскос-
тей по сравнению с давлением в толще раствора.
Выражение (10.7) для малых значений zFqm/AT можно упростить до
л = ATCof^-t (Ю.8)
I Al I
Приближение Дебая — Хюккеля дает распределение потенциала в двой-
ном слое в виде ф„, = exp (-x/XD). Тогда на оси симметрии имеем
фт = ф! + ф2 = 2фюехр (-h/2'ко). (10.9)
Подставляя (10.9) в (10.8), получим силу, действующую на единичную
площадку
2еф£, ( h )
(10.10)
Здесь использовано выражение (7.61) раздела III для XD. Заметим, что ф„,
обычно имеет смысл ^-потенциала.
В литературе по коллоидной химии взаимодействие между частицами обычно
определяется в терминах потенциальных энергий взаимодействий с единичной
площадкой. Для определения этой энергии нужно проинтегрировать л по х
от оо до h и учесть, что энергия стремится к 0 при х —>
14 - 1461 209
VRplane =-кб/х = ^-ехр[-А |. (10.11)
J Л£) I Л£) 1
Из (10.11) следует, что потенциал сил отталкивания убывает с увеличени-
ем концентрации противоионов электролита Со, поскольку согласно (7.61) раз-
дела III ~ Со1/2 и
ур1аПе _ с1/2 ехр(-const Сц/2). (10.12)
Заметим, что выражение (10.11) справедливо при малых значениях фт и
фю = £. Приведем без вывода значение VJlane при малых фт и больших фа,:
yRPlane = ехр(_ h \ y=thM£M (10.13)
Ад I 2г I I Л£) 1 I 4А1 I
Аналогичный расчет можно провести для потенциальной энергии сил от-
талкивания двух одинаковых сферических частиц. В случае, когда толщина
двойного слоя этих частиц мала по сравнению с их радиусами, взаимодействие
двойных слоев сфер, согласно Дерягину, можно рассматривать как суперпози-
цию взаимодействий бесконечно узких параллельных колец (рис. 10.2) [52].
Полная энергия отталкивания сфер равна
о
y^phere = VPlM'27CHdH. (10.14)
Основной вклад во взаимодействие дают значения интеграла в окрест-
ности минимального расстояния /г0 между поверхностями. В этой области
(k~ h0)/2 « а и 2HdH = adh и (10.14) примет вид
Ао
V7here = -па J V$medh. (10.15)
Рис. 10.2. К расчету силы отталкивания двух одинаковых сферических частиц
210
Подставим сюда значение для V^lane из (10.11) для малых значений ф„ и фи,.
В итоге найдем
V«₽here = 2лЕдф2, exp(-Ao/XD).
(10.16)
Для малых ф„ и больших фа, из (10.13) получим
V^phere = 2лае
I zF
(10.17)
Электростатический потенциал для двух различных сфер радиусов а и b
(а<Ь), расстояние между центрами которых г, равен [54]
Т,sphere _ £^Фь а
R 4 (а + Ь)
- 2*2. In —+ [ 1 + *1 j In(1 - e-x*o) 1
фь 1 + e-x*o ф2
V
(10.18)
где ф„ и фь — потенциалы поверхностей частиц; % — обратный дебаевский ра-
диус.
Силы притяжения Ван-дер-Ваальса являются силами молекулярного про-
исхождения, хотя в их основе лежат электрические взаимодействия. Эти силы
по своей природе обусловлены поляризацией молекулы под влиянием флук-
туаций распределения заряда в соседней молекуле и наоборот. Эти силы извест-
ны также под названием дисперсионной силы Лондона. Потенциальная энергия
молекулярного взаимодействия (энергия притяжения Лондона) равна
VA = bi2/r6, (10.19)
где г — расстояние между молекулами; bi2 — коэффициент, зависящий от свойств
вещества.
Рассмотрим две частицы с конечными объемами, через и п2 обозначим
число молекул в единице объема каждой частицы. Тогда энергия притяжения
этих частиц
VA=-bM^ = -L(^ (10.20)
Jr6 л2 J r°
Постоянная Г называется постоянной Гамакера, характерные значения ее
равны 10-20- Ю’19 Дж. Силы молекулярного притяжения между двумя парал-
лельными плоскостями и двумя сферическими частицами были получена Гама-
кером [55]. Им было показано, что убывание силы притяжения с увеличением
расстояния между частицами происходит медленней, чем в соответствии с за-
коном Лондона для взаимодействия между молекулами. В частности, для двух
параллельных плоскостей энергия притяжения, приходящаяся на единичную
площадку, равна
ypiane =_г/12л/221 (10.21)
где h — расстояние между плоскостями. А для двух одинаковых сферических
частиц радиуса а при условии /г0 « й> где /г0 — минимальное расстояние между
их поверхностями, энергия равна
y-sphere =_аг/12/г0. (10.22)
Для одинаковых сфер при произвольном расстоянии г между их центрами
VJPhere = - £ f _.2-£.. + jgl + In f ~ 4<*2 Y|. (10.23)
A 6 r2 - 4a2 r2 a2
4 V J)
14’
211
В случае двух различных сфер с радиусами а и b
Г (_ 8(а/Ь) ________8(а/Ь)_________
б| (s2 - 4)(1 + а/ЬУ2 s2(a/b + I)2 - 4(1 - а/6)2
+ ь Г (52 - 4X1 + а/ь)2 I
I s2(l + a/b)2 - 4(1 - a/b)2 Г
(10.24)
где s = 2г/{a + b).
Полная потенциальная энергия взаимодействия двух сферических частиц
равна сумме их энергий:
V=VA+VR.
На рис. 10.3 показана характерная зависимость V двух одинаковых сфе-
рических частиц, полученная в виде трех различных энергий отталкивания V(R'\
VA2) и с одной и той же энергией притяжения VA.
Энергия отталкивания экспоненциально убывает с ростом /г0 с характерным
линейным размером А.о. Энергия притяжения убывает как 1//г0. Поэтому сила
притяжения Ван-дер-Ваальса превалирует на относительно малых и больших
расстояниях между частицами, в то время как на промежуточных расстояниях
доминирует сила отталкивания. Кривая У(,) соответствует устойчивой системе,
поскольку сила отталкивания между частицами препятствует их коагуляции.
Кривая V<3> соответствует неустойчивому состоянию системы. Про такую сис-
тему говорят, что в ней происходит быстрая коагуляция. Кривая V(2) соответ-
ствует переходному состоянию между устойчивым и неустойчивым состоянием.
Рис. 10.3. Энергия взаимодействия частиц
212
Если максимальное значение V намного превосходит тепловую энергию
АТ частиц, то система должна быть устойчивой, в противном случае она спо-
собна к коагуляции, т. е. неустойчива. Величина энергетического барьера зави-
сит от значения ^-потенциала частиц и дебаевского радиуса. Другой отличи-
тельной чертой коллоидных лиофобных систем является чувствительность ско-
рости коагуляции частиц к концентрации электролита. Согласно (7.61) увели-
чение концентрации электролита приводит к уменьшению толщины двойного
слоя. Это значит, что частицы могут сблизиться на меньшее расстояние без
взаимодействия двойных слоев, т. е. им легче коагулировать.
В коллоидной химии известно, что необходимая для быстрой коагуляции
коллоидов концентрация электролита Со сильно зависит от заряда противо-
ионов, т. е. ионов, несущих заряд, противоположный заряду частиц. С другой
стороны, устойчивость коллоидной системы практически не зависит от заряда
ионов и от концентрации коллоидных частиц. Это соответствует правилу
Шульца — Харди, согласно которому основное влияние на устойчивость колло-
идной системы оказывает валентность противоионов.
Этот вывод непосредственно следует из теории ДЛФО [35]. Действитель-
но, первый максимум на потенциальной кривой V(2> на рис. 10.3 разделяет
устойчивое и неустойчивое состояния системы [56]. В этой точке выполняются
два условия:
У=Ул+Ул = 0, (10.26)
1£ = ^ + ^ = 0. (10.27)
ап ап ап
Рассмотрим случай больших значений фю. Подставляя (10.17) и (10.22)
в (10.26), получим
z \2 z X
2лгге[^ф-| expf-^2-= 0. (10.28)
I zF J I 1 12Л0
Условие (10.27) при этом примет вид
_Д_Ул=0. (10.29)
Ло "0
Из последнего уравнения следует, что первый максимум кривой V(2) до-
стигается при /г0 = А.о. Подставляя это значение в (10.28), получим приближен-
ное значение критического дебаевского радиуса
aD)cnt-rz2/Y2. (10.30)
Согласно (7.61) раздела III имеем kD~ (Сг2)~1/2, поэтому из (10.30) сле-
дует, что критическое значение концентрации электролита, начиная с которого
коллоидная система теряет устойчивость, равна
Ccrit ~ у4/Г2 z6. (10.31)
При больших значениях поверхностного потенциала коллоидных частиц
фо, параметр у~1, поэтому из (10.31) следует, что
Ccrit~l/z6. (10.32)
Пусть раствор электролита содержит противоионы Na+, Са2+ и А13+. Тогда
отношение зарядов равно Zj : z2: z3 = 1 : 2 : 3. В соответствии с (10.31) для того, что-
бы происходила спонтанная коагуляция коллоидов, критическая концентрация
этих противоионов должна удовлетворять пропорции 1 : 2“®: З-6 или 100 : 1,56 : 0,137.
213
Отметим, что критическая концентрация электролита при низких поверх-
ностных потенциалах частиц фа, сильно зависит от ^-потенциала, а при больших
значениях фа, она практически не зависит от £. Кроме того, критическая кон-
центрация не зависит от размера частиц при заданном значении фю.
10.2. БРОУНОВСКАЯ, ГРАДИЕНТНАЯ (СДВИГОВАЯ)
И ТУРБУЛЕНТНАЯ КОАГУЛЯЦИЯ
В предыдущем разделе рассматривалась возможность коагуляции частиц
при условии, что частицы сблизились на достаточно близкое расстояние. При
этом для того, чтобы коагуляция была возможна, суспензия должна быть неус-
тойчива. Скорость коагуляции в системе определяется частотой, с которой частицы
могут сталкиваться друг с другом в результате относительного движения час-
тиц в окружающей их жидкости.
Имеется несколько механизмов, приводящих к сближению частиц. Первым
механизмом является броуновское движение. Коагуляция в этом случае назы-
вается также перикинетической. Механизм броуновской коагуляции лежит в
основе коагуляции частиц, размер которых меньше одного микрона. В основе
второго механизма лежит относительное движение частиц в поле градиента
скорости несущей жидкости. Эта коагуляция называется градиентной, сдвиго-
вой, а также ортокинетической. Она характерна для частиц, размер которых
превосходит один микрон. Возможна также коагуляция частиц за счет разной
скорости их движения в покоящейся жидкости под действием силы тяжести
(при седиментации). Такая коагуляция называется гравитационной.
Перечисленные механизмы, как правило, существуют в покоящейся или в
движущейся в ламинарном режиме жидкости.
Третий механизм, называемый турбулентной коагуляцией, характерен для
коагуляции частиц, взвешенных в турбулентном потоке, например в трубе или
в специальных смесительных устройствах — мешалках, турбулизаторах. В не-
котором смысле турбулентная коагуляция близка к броуновской, поскольку
в первом случае сближение частиц происходит за счет случайных турбу-
лентных пульсаций, а во втором — за счет случайного теплового движения
частиц.
Все виды коагуляции делят на два класса: быструю и медленную коагу-
ляцию. Если система полностью неустойчива, т. е. силы отталкивания не учи-
тываются, то каждое столкновение частиц приводит к их коагуляции. Такая
коагуляция называется быстрой. Присутствие в жидкости стабилизатора — элект-
ролита приводит к появлению сил отталкивания благодаря наличию на поверх-
ности частиц двойных электрических слоев. Это значит, что коагуляция замед-
ляется. Такая коагуляция называется медленной.
Для количественного описания медленной коагуляции Смолуховский пред-
ложил формальным образом ввести в выражение для числа столкновений (час-
тоты столкновения) частиц в единицу времени коэффициент а < 1, характери-
зующий долю столкновений, приводящих к образованию агрегатов. Введение
этого коэффициента равносильно увеличению характерного времени коагуля-
ции в 1 /а раз. Скорость коагуляции можно охарактеризовать фактором устой-
чивости W, равным отношению числа столкновения частиц без учета и с учетом
силы электростатического отталкивания [57]:
W=I/IR. (10.33)
214
При быстрой коагуляции IR = I и W= 1, а при медленной коагуляции IR< I
и W> 1.
Введение фактора устойчивости придало физический смысл коэффициенту а.
Поскольку а = X/W, то скорость коагуляции замедляется в W раз.
В частности, для броуновской коагуляции одинаковых сферических частиц
радиуса а [52]
W = 2«fe^>
J г2
(10.34)
2а
где V (г) — потенциал сил взаимодействия частиц; г — расстояние между цент-
рами частиц.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением быстрой коагуляции, уделяя
основное внимание определению частоты столкновения частиц. Медленная
коагуляция будет рассмотрена в разделе V.
Броуновская коагуляция
Рассмотрим задачу определения частоты столкновения маленьких сфери-
ческих частиц, совершающих броуновское движение в покоящейся жидкости.
В разделе 8.2 было рассмотрено броуновское движение как диффузия с эф-
фективным коэффициентом диффузии. Предполагалось, что суспензия доста-
точно разбавлена, так что можно ограничиться рассмотрением только парных
взаимодействий частиц. Чтобы упростить задачу, рассмотрим бидисперсную
систему частиц, т. е. суспензию, состоящую из частиц двух сортов: частиц
радиуса а} и частиц радиуса а2. В такой постановке задача была впервые рас-
смотрена Смолуховским [58].
В процессе броуновского движения частицы совершают хаотические дви-
жения и могут случайно сталкиваться между собой. Выберем одну частицу
радиуса ait назовем ее пробной частицей и возьмем систему координат, связан-
ную с этой частицей, с началом в центре частицы (рис. 10.4).
Принятая диффузионная модель броуновского движения позволяет рас-
сматривать частоту столкновения частиц радиуса а2 с пробной частицей радиу-
са Я) как диффузионный поток частиц а2 на частицу Я). Примем поверхность
частицы идеально поглощающей. Это значит, что как только частица а2
соприкоснется с поверхностью частицы а}, она поглотится частицей ау. Други-
ми словами, поглощение происходит, как только центр частицы а2 окажется
на поверхности сферы радиуса Rc = а, + а2. Величина Rc называется радиу-
сом коагуляции. Следовательно, кон-
центрация частиц а2 равна нулю при
г = я, + а2.
Характерное время броуновской
диффузии оценивается выражением
t - g2 - 6lt^3 (10 35)
Для частиц радиуса a-0,1 мкм
в водном растворе при нормальных
Рис. 10.4. Модель броуновской коагуляции
частиц согласно Смолуховскому
215
условиях это время £ьг<™п ~ 5 • 10“3 с. Следовательно, если нас интересуют вре-
мена, большие ibrown, то процесс диффузии частиц а2 можно считать стационар-
ным. Численная концентрация этих частиц п описывается уравнением диффузии
с коэффициентом диффузии £)12, называемым коэффициентом броуновской диф-
фузии и характеризующим относительное движение двух частиц. Поскольку
движение частиц считается независимым, то £)12 = + £)2, где и £)2 — коэф-
фициенты броуновской диффузии частиц и а2, даваемые формулой (8.70).
Граничными условиями служат условие постоянства концентрации частиц а2
в толще жидкости и условие идеального поглощения на поверхности частицы
п—>п2 при г—и = 0 при г = ау + а2. (10.37)
Решение уравнения (10.36) с условиями (10.37) имеет вид
n = n2^i-^L^.^ (10.38)
Частота столкновения частиц а2 с пробной частицей ах по определению
равна
<o12 = Di2(inr^} (10.39)
\ )г = а\+а2
Если со12 умножить на число частиц , то результат даст частоту столк-
новений (1/м3 • с) частиц а2 с частицами а, при условии а^а2
Р12 = 4лП1П2£)12(а1+а2). (10.40)
В случае монодисперсной системы (а, =а2) выражение для частоты столк-
новений нужно разделить на 2, поскольку учет столкновений производится
дважды — один раз частица считается пробной, а второй — диффундирующей:
₽„ = 8лп2я,Р, =
(10.41)
В простой модели, когда одинаковые частицы заполняют некоторый объем
и происходит броуновская коагуляция, изменение численной концентрации частиц
со временем при условии, что суспензия остается монодисперсной, описывается
уравнением баланса частиц
dn _ 4 kT 2
dt ~ Зц
(10.42)
Если в начальный момент задана концентрация частиц п = п0, то
п =
«о
1 + t/i ’
- - 4 kT
х~ зТп°
(10.43)
где т — характерное время коагуляции По смыслу через время t = т первона-
чальное число частиц уменьшится в 2 раза.
Заметим, что учет сил поверхностного взаимодействия частиц может быть
сделан путем введения в уравнение диффузии (10.36) конвективного потока,
обусловленного центральным силовым взаимодействием частиц:
r2 dr
D-r217 +
(10.44)
216
Учитывая, что F = ~dV/dr и используя приведенные выше выражения
для V(r), интегрируя (10.44), можно найти диффузионный поток и фактор
устойчивости системы.
Градиентная (сдвиговая) коагуляция
Вторым механизмом коагуляции является коагуляция частиц, взвешенных
в ламинарном потоке жидкости, скорость которой изменяется в пространстве.
Поскольку расстояния, на которых взаимодействуют частицы, малы, то профиль
скорости на таких линейных масштабах можно считать линейным, т. е. считать
поток сдвиговым. Этим и объясняется название механизма коагуляции. Эта
задача была также рассмотрена Смолуховским [58].
В безынерционном приближении частицы движутся в поле сдвигового
поступательного потока по прямым траекториям, если пренебречь их враще-
нием. Заметим, что вращение частиц приводит к их поперечному дрейфу.
При движении одной частицы в области большей скорости, а другой — в об-
ласти меньшей скорости при условии, что расстояние между частицами в
направлении градиента скорости не превышает ах + аг, частицы столкнутся.
Такой вид столкновения имеет чисто геометрический характер, поскольку при
этом пренебрегают броуновским движением и гидродинамическим взаимодей-
ствием частиц.
Рассмотрим пробную частицу радиуса ах и поместим в ее центре начало
координат. Частица радиуса а2 движется относительно нее в линейном поле
скорости (рис. 10.5).
Из рис. 10.5 следует, что столкновение частицы а2 с пробной частицей ах
происходит, если расстояние по оси у между ними <{ах + а2) sin 0- Скорость
частицы а2 относительно равна
и = ^У = УУ- (10.45)
Здесь через у обозначена скорость сдвига.
Рис. 10.5. Модель градиентной (сдвиговой) коагуляции частиц согласно
Смолуховскому
217
Рассмотрим полоску шириной dy. Число частиц а2, пересекающих полоску dy
в единицу времени, равно
dco12 = wn22(«1 + а2) cos 0 dy. (10.46)
Полная частота столкновений
at +«2
(й12 = 2 J2n2w(«1 + a2)cosQdy. (10.47)
о
Подставляя в (10.47) выражение (10.45) для и и учитывая, что у = {а^ +
+ а2) sin 0, получим
п/2
a>12 = 4n2y(a( + a2)3 jcos2 0 sin 0rf0. (10.48)
о
Умножая далее (10.48) на число пробных частиц п\ и производя интегри-
рование, получим частоту столкновений частиц а2 с частицами
Р12 = ^ntn2y(.ai + а2)3. (10.49)
Если размеры частиц совпадают (а, = а2), то необходимо частоту столкно-
вения разделить на два. В итоге получим
pn=^jn2a3. (10.50)
Введем объемную концентрацию частиц
<р = -|ла3п. (10.51)
Тогда уравнение, описывающее изменение со временем численной концент-
рации частиц монодисперсной суспензии, имеет вид
# = ->-> <10.52)
Сравнивая уравнение (10.42) с (10.52), можно сделать вывод, что броунов-
ская коагуляция (10.42) соответствует химической реакции второго порядка,
а градиентная коагуляция (10.52) — реакции первого порядка.
Интегрируя (10.52) с начальным условием п = п0 и учитывая, что при коа-
гуляции <р = const, получим
п = пое-(/т, т = л/4т<р.
Сравним частоты сдвиговой и броуновской коагуляции:
<Oshear _ _ 4q3Y
•Bbrown л (kT/ц)п kT/Ц
Из (10.54) следует, что увеличение размера частиц а и скорости сдвига у
увеличивает частоту сдвиговой коагуляции по сравнению с броуновской. Осо-
бенно сильное влияние оказывает радиус частиц (~а3). Отметим, что параметр
(10.54) есть не что иное, как число Пекле, равное отношению характерного
времени броуновской коагуляции к характерному времени градиентной коагу-
ляции.
(10.53)
(10.54)
218
Турбулентная коагуляция
Механизм коагуляции в ламинарном потоке имеет на практике ограничен-
ное применение, поскольку в большинстве приложений движение жидкости
носит турбулентный характер. При турбулентном движении частота столкнове-
ния частиц существенно увеличивается по сравнению с неподвижной средой и
с ламинарным движением. Рассмотрим механизм коагуляции частиц в турбу-
лентном потоке, предложенный в работе [51].
Пусть частицы взвешены в турбулентном потоке со средней концентрацией п.
Турбулентные пульсации характеризуются как величиной скорости , так и рас-
стоянием X, на протяжении которого скорость пульсации претерпевает заметное
изменение. В турбулентном потоке существуют крупномасштабные пульсации, огра-
ниченные сверху линейным размером области /, например диаметром трубы, и мел-
комасштабные пульсации. В крупномасштабных пульсациях заключена основная
часть кинетической энергии движения. Каждой пульсации отвечает свое число
Рейнольдса Re^ = X/v, где v — коэффициент кинематической вязкости жидкости.
Для крупномасштабных пульсаций Rex» 1, поэтому эти пульсации носят невязкий
характер. При некотором Х = Хо имеем ReZ(l = 1. Это значит, что мелкомасштабные
пульсации с X < Хо носят вязкий характер. Значение Хо = l/Re3/4, где Re — число
Рейнольдса потока, называется внутренним масштабом турбулентности. Одним из
характерных параметров турбулентного движения является удельная диссипация
энергии Ео, имеющая порядок U3/l, где U - средняя скорость потока. Тогда
X) = (v3/Eo),/4. (10.55)
При интенсивном турбулентном перемешивании жидкости Хо~10-4 м.
Рассмотрим частицы радиуса а « Хо и предположим, что в процессе их
движения в жидкости они полностью увлекаются теми турбулентными пульса-
циями, которые играют основную роль в механизме встреч взвешенных частиц.
Тогда можно считать, что перенос частиц осуществляется изотропной турбулент-
ностью. Поскольку частицы хаотически перемещаются по объему жидкости, их
движение сходно с броуновским и его можно рассматривать как диффузию с
некоторым эффективным коэффициентом турбулентной диффузии Z>turb. Так
же, как в случае броуновской коагуляции, можно рассмотреть диффузию частиц
радиуса а2 на пробную частицу радиуса а,. Распределение частиц а2 характе-
ризуется стационарным уравнением диффузии
(10-56’
Выражение для зависит от масштаба турбулентных пульсаций X и
оценивается выражением [51]
(е0Х),/3Х при X > Хо,
7eo/v X2 при X < Хо.
(10.57)
Как и в случае броуновской коагуляции, введем радиус коагуляции
Rc = а, + а2. Тогда граничными условиями для уравнения (10.56) являются
72 = 0 при Г = Rc = в) + а2 , 72 = 722 При Г—(10.58)
В работе [51] показано, что относительно крупномасштабные пульсации
(Х> Хо » Rc) настолько энергично размешивают жидкость, что обеспечивают
равномерное распределение частиц в объеме жидкости. Тогда основное диффу-
зионное сопротивление лежит в области г < Хо. Опуская промежуточные вы-
219
кладки, приведем полученное в [51] выражение для частоты коагуляции час-
тиц а2 с пробной частицей а,
ю12 = 12тот2^^ (flt + flz)3- (10.59)
Умножив сс>12 на число пробных частиц, найдем частоту столкновений час-
тиц а2 с частицами ах
312 = 12^7^^^ (а, + а2)3 - (10.60)
Выражая £о через скорость потока U и характерный линейный размер /,
получим
Р12 = Х2тт^п2 (Qi + «2)3 = 12тг(д, + д2)3 Re^/2 \>п,п2. (10.61)
Если рассматривается монодисперсная суспензия (a, = a2), то выражение
для частоты коагуляции нужно разделить на 2. В итоге получим
рй = 48луа?тг? ^1. (10.62)
Таким образом, в случае коагуляции в турбулентном потоке частота коа-
гуляции соответствует реакции второго порядка и пропорциональна а3, как и
в ламинарном потоке.
Изменение числа частиц описывается уравнением
Лг=(1063)
где ср — объемная концентрация частиц, остающаяся в процессе коагуляции
постоянной.
Решение уравнения (10.63) при начальном условии п = п0 имеет вид
п = пое г/\ т = /2/36vRe3/2 <р. (10.64)
Сравним частоты броуновской и турбулентной коагуляции:
Ф12 )turb _ ( So
(Pl2^brown
Для частиц, размер которых превышает 0,1 мкм, (р12)1цгь > (PnXrown-
Приведенные в этом разделе выражения для частот столкновения в про-
цессах броуновской, сдвиговой и турбулентной коагуляции получены без учета
гидродинамического молекулярного и электростатического взаимодействий час-
тиц. Учет этих взаимодействий значительно осложняет задачу. В частности, в
коэффициентах броуновской и турбулентной диффузии необходимо учитывать
гидродинамическое сопротивление частицы с учетом искажения поля скоростей,
вызванного присутствием соседних частиц, а в уравнении диффузии учитывать
конвективный поток за счет сил молекулярного взаимодействия частиц. В случае
градиентной коагуляции в ламинарном потоке необходимо рассматривать траек-
тории относительного движения частиц с учетом гидродинамических и молеку-
лярных сил взаимодействия.
Учет гидродинамического взаимодействия в процессе броуновской диффу-
зии обсуждался в разделе 6.2. Рассмотрим теперь учет гидродинамического
взаимодействия при турбулентной коагуляции. Формально его можно учесть
220
(10.65)
thrown
так же, как и при броуновском движении, вводя поправочный множитель в
коэффициент турбулентной диффузии (10.57). Другой, более корректный путь
(см. раздел 11.3) состоит в использовании уравнения Ланжевена, с помощью
которого в разделе 6.2 был определен коэффициент броуновской диффузии. Как
показано в работе [59], коэффициент турбулентной диффузии обратно пропор-
ционален второй степени коэффициента гидродинамического сопротивления:
Dturb = D^~l—. (10.66)
рЧг/а)
Обсуждение этих вопросов и обзор работ содержится в работах [60 62]
(см. также раздел V).
10.3. ОСАЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ НА ПРЕПЯТСТВИЯХ
Рассмотрим теперь некоторые технические приложения развитых ранее
представлений о взаимодействии частиц без учета сил гидродинамического
взаимодействия.
Распространенным способом очистки жидкости от взвешенных в ней час-
тиц является осаждение частиц на различных препятствиях (коллекторах) при
обтекании их жидкостью. Коллекторами могут служить более крупные частицы,
фильтры, пористые среды, сетки и другие препятствия. Осаждающиеся на пре-
пятствиях частицы образуют слой твердого осадка. Следует заметить, что, как
правило, размер частиц не превосходит линейного размера элементов коллек-
тора, поэтому захват частиц препятствием имеет не просто геометрический
характер, но определяется характером обтекания потоком препятствий и силами
молекулярного и электростатического взаимодействия частиц с коллектором.
Эти силы действуют, если частицы находятся достаточно близко к поверхности
коллектора, поэтому важно знать вид траекторий частиц в потоке несущей
жидкости. Следуя [60], ограничимся случаем медленного обтекания суспензией
коллектора, при условии малости размера частиц по сравнению с линейным
размером элементов коллектора. В настоящем разделе будут рассмотрены два
основных механизма захвата частиц препятствием: броуновская диффузия очень
маленьких частиц (а<1 мкм). Последний процесс не носит диффузионный
характер. Из-за малости частиц его можно считать безынерционным и рассмат-
ривать как геометрическое столкновение с препятствием благодаря тому, что
траектории частиц, совпадающих с линиями тока жидкости, пересекут препят-
ствие. Заметим, что подобное представление годится для частиц, плотность
которых мало отличается от плотности жидкости. Если рассматривается анало-
гичная задача о течении газа с взвешенными в нем твердыми частицами, то
большая разность плотностей частиц и газа приводит к возможности движения
частиц относительно газа, т. е. к необходимости учитывать инерцию частиц,
особенно вблизи препятствий, поскольку там частицы тормозятся, изменяют
направление и обладают значительными отрицательными ускорениями. Такой
механизм столкновения частиц с препятствием или между собой в работе [51]
назван инерционным.
В дальнейшем мы будем пренебрегать инерцией частиц. Кроме того, не
будем учитывать поверхностные (молекулярные и электростатические) взаимо-
действия. Учет поверхностных сил рассмотрим в следующем разделе, а инер-
ции — в разделе 10.5. Вопросы осаждения маленьких частиц на препятствиях
освещены в работах [35, 51, 57, 60].
221
Броуновская диффузия
Рассмотрим осаждение частиц на препятствии за счет броуновской диффу-
зии при медленном обтекании со скоростью U вдали от препятствия [35].
В качестве препятствия рассмотрим твердую сферу радиуса а.
Предположим, что осаждение на сфере идеальное, т. е. каждое столкновение
частицы со сферой приводит к захвату частицы. Коэффициент броуновской диф-
фузии £)br = kT/блрДр, где ар — радиус частицы, намного меньше коэффициента мо-
лекулярной диффузии, поэтому диффузионное число Пекле PeD= Ua/Dbr>> 1.
В силу этого неравенства (см. раздел 6.5) диффузионный поток частиц на сферу
можно найти из решения стационарного уравнения конвективной диффузии
при условии малости толщины диффузионного пограничного слоя. При этом
частицы можно рассматривать как точки, а уравнение диффузии примет вид
= «»ет>
где р — массовая концентрация частиц и (2/г) др/дг « д2р/дг2.
Граничными условиями, очевидно, являются
р = 0 при г=а, р-> ро при (10.68)
Первое условие соответствует идеальному поглощению на сфере, а вто-
рое — условие постоянства концентрации вдали от сферы.
Напомним, что уравнение (10.67) написано в приближении пограничного
слоя, а иг и — компоненты стоксовой скорости обтекания шара. Поскольку
число Шмидта Sc » 1, то толщина вязкого пограничного слоя много больше
толщины диффузионного пограничного слоя, поэтому решение задачи можно
найти так же, как в задаче о диффузии к движущейся в растворе твердой частице.
Компоненты скорости при медленном обтекании сферы равны
Mr = -C/cosefl--^ —+ -—1 щ = t/sinefl-- — --—1 (10.69)
I 2 f 2 I I 4 г 4 г3 I
Нас интересует распределение скоростей вблизи поверхности сферы в диф-
фузионном пограничном слое. Введем местную систему координат (у, 0), где ось у
перпендикулярна поверхности, 0 направлена по касательной. Тогда r/a = 1 + у /а.
Считая у/а« 1, разложим (10.69) в ряды по степеням у/а. В итоге получим
/ \2 Z \
иг « --И I CJcosO, = -R- 117sinft (10.70)
2 I а ) 2(^1
Таким образом, задача сводится к решению уравнения (10.67) с выраже-
ниями (10.70) для компонент скорости и граничными условиями (10.68). Ре-
шение этой задачи представлено в разделе 6.5. В частности, диффузионный
поток на сферу
z \’/з
/sph = 7,98 poaDbr . (10.71)
Эффективность захвата можно охарактеризовать безразмерным параметром
(10.72)
na2t7po ре2/3
Этот параметр имеет смысл отношения числа частиц, захватываемых сфе-
рой в единицу времени, к числу частиц, пересекающих в единицу времени вдали
222
от сферы сечение, равное площади большого круга сферы. Поскольку Dbr ~ «р1
и PeB ~ D^, то Esph ~ «р2/3, т. е. эффективность захвата убывает с увеличением
размера частиц. Когда коллектор представляет собой сетку, то осаждение на
ней можно моделировать осаждением на цилиндрах при поперечном обтекании
их потоком. В работе [60] приводится выражение для эффективности осажде-
ния частиц на цилиндре
_ /су1 _ 4,63РоаЛгОь2г)1/з _ 2,32 , ,
------W----------(1073)
Следует отметить одинаковые закономерности для эффективности осажде-
ния частиц на сфере и цилиндре.
Столкновение частиц с препятствием
Когда размер частиц ар > 1 мкм, броуновская диффузия не играет замет-
ной роли, и осаждение частиц, взвешенных в потоке жидкости, можно исследо-
вать методом анализа их траекторий при обтекании вместе с несущей жидкостью
препятствий. Столкновение частиц с препятствием происходит при соприкосно-
вении их поверхностей. Случай столкновения частиц с цилиндром при попереч-
ном обтекании его потоком суспензии показан на рис. 10.6.
Будем рассматривать столкновение частицы с препятствием без учета поверх-
ностных сил и силы вязкого сопротивления, возникающей при выдавливании слоя
жидкости, разделяющего на малых расстояниях поверхности частицы и препятствия.
Рассмотрим сначала столкновение частиц со сферой. Будем считать дви-
жение частиц безынерционным. Тогда траектория частиц совпадает с линиями
тока. Функция тока при стоксовом обтекании сферы равна
\(/= sin2 1+1— |. (10.74)
v 2 I 2 г 2 гЗ I
Введем местную систему координат (у, 0), где г/а = 1 + у/а. Тогда вблизи
поверхности у/а « 1 и
V = ^Uy2 sin2 0 = l[J(r-a)2 sin2 0. (10.75)
Рис. 10.6. Столкновение частиц с цилиндром
223
По смыслу разность 2л (\|/( - у2) равна объемному расходу жидкости меж-
ду двумя поверхностями тока V “ Vi и V ~ V2 • Если частицы вдали от сферы
распределены равномерно с массовой концентрацией р0, то массовый поток час-
тиц на сферу равен
/sph = 2np0Av, (10.76)
где Д\|/ = \|/hm (см. рис. 10.6). Здесь \|/11т — значение функции тока на предель-
ной траектории.
Чтобы определить положим в (10.75) г = а + ар и 0 = л/2. В итоге
получим
Viim = J^- (10.77)
Таким образом,
4рЬ = |яС7й2р0. (10.78)
Используя (10.72), найдем эффективность захвата частиц сферой
z \2
ESph = |^J • <10.79)
Аналогично можно получить выражение для потока на цилиндрическое
препятствие при поперечном обтекании. Сложность состоит в том, что стоксовое
обтекание цилиндра не существует. Однако можно воспользоваться решением
Озеена, в котором частично учтены инерционные члены в уравнениях Навье —
Стокса (заменой члена (u-V)u на (U • V) и). Это приближение справедливо
при Re< 1. Воспользуемся решением этой задачи [63], из которого следует, что
вблизи поверхности цилиндра
V = ^(г-a)2 sin6, (10.80)
ду1 = ^2-Ц^у.
Полагая в (10.80) г = а + ар и 0 = л/2, найдем у11т = UAcy{al/a. Теперь
находим массовый поток частиц на цилиндр
7су1 = 2poVhm = 2p0LMcyla2/a (10.81)
и сечение захвата
<10-82)
На рис. 10.6 показано расстояние Е^а предельной траектории от оси 0 = 0
при г -> оо, поэтому Vhm = «Ecyi U. Заметим, что для сферы расстояние предельной
траектории от оси 0 = 0 при г °° равно Е^а.
Сравнение эффективностей захвата частиц сферой (10.79) и цилиндром
(10.82) показывает, что они различаются только числовыми коэффициентами.
Это объясняется сходством полей скоростей возле поверхности. Основное от-
личие захвата крупных частиц от захвата мелких вследствие диффузионного
механизма осаждения состоит в зависимости от радиуса частиц. При диффу-
зионном механизме захвата Edlff~«p2/3, в то время как для крупных частиц
Есоц ар -
224
На рис. 10.7 показана эффективность захвата частиц сферическим коллек-
тором при обтекании его водяной суспензией при нормальной температуре [35].
Показаны зависимости для двух рассмотренных механизмов захвата, а в про-
межуточной области нарисована зависимость, равная сумме эффективностей
Ем + Eeoii за счет обоих механизмов захвата.
10.4. ЗАХВАТ ЧАСТИЦ С УЧЕТОМ ПОВЕРХНОСТНЫХ
И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ
Исследование захвата частиц, проведенное в предыдущем разделе, сделано
в предположении, что' на частицы не действуют силы со стороны системы жид-
кость — коллектор. В действительности на частицу, оказавшуюся вблизи поверх-
ности коллектора, действуют поверхностные (молекулярные и электростатичес-
кие) силы взаимодействия поверхностей частицы и коллектора, а также сила
гидродинамического взаимодействия, обусловленная вязким сопротивлением
частицы со стороны слоя жидкости, разделяющего поверхности частицы и кол-
лектора. Учет этих сил значительно осложняет задачу определения эффектив-
ности захвата частиц препятствием.
Прежде чем переходить к задаче, определим понятие поверхностной силы.
Рассмотрим две фазы 1 и 2, разделенные прослойкой третьей фазы 3 (рис. 10.8).
Внутри однородной объемной фазы при ее макроскопическом описании в отсут-
ствии внешних полей никаких сил нет. Точки объемной фазы характеризуются
только плотностями составляющих фазу компонентов, а также плотностями
свободной и полной энергий и энтропии. При микроскопическом описании
объемной фазы нужно рассматривать локальные электрические и молекулярные
поля. Эти поля при усреднении по объемам сплошной среды обращаются в
нуль. В областях, прилегающих к зоне перехода от одной фазы к другой, в от-
личие от объемной фазы локальные электрические и молекулярные поля зату-
хают при углублении в каждую из смежных фаз, поэтому средние поля в
переходной зоне отличны от нуля. В итоге в тонком слое, разделяющем две
фазы, имеются отличные от нуля силы, действующие на каждую фазу со сто-
роны смежной фазы. Эти силы называются поверхностными. Заметим, что в
15 - 1461 225
этой переходной зоне изменяются и интенсивные параметры (плотности компо-
нент, плотности энергий и энтропий) в направлении нормали к условной поверх-
ности, разделяющей фазы (межфазной поверхности). В теории капиллярности,
развитой Гиббсом, предполагается, что межфазная поверхность — это геометри-
ческая поверхность, не имеющая толщины. В действительности эта поверхность
заменяет слой малой, но конечной толщины, состоящей из двух переходных зон
в каждой из смежных фаз.
В литературе, посвященной поверхностным силам [64], различают два ви-
да поверхностных сил. Для того чтобы понять разницу между этими силами,
рассмотрим рис. 10.8. Если толщины переходных областей в фазах 1—3 и
2 — 3 малы по сравнению с толщиной прослойки h, то фаза 3 может рассматри-
ваться как объемная фаза, в которой сохраняются интенсивные свойства
(рис. 10.8, а). Это положение лежит в основе классической теории капилляр-
ности Гиббса, из которой, в частности, следует, что натяжение прослойки 3 равно
сумме поверхностных натяжений межфазных поверхностей 1 — 3 и 2 — 3. Поверх-
ностные силы, действующие между фазами в этом приближении, называются
поверхностными силами первого рода. Сюда относятся молекулярные силы,
действующие между молекулами, и силы электростатические, действующие на
ионы пропорционально их зарядам. Если межфазные переходные зоны перекры-
ваются в фазе 3 (рис. 10.8, б), т. е. толщины этих зон больше h/2, то свойства
фазы 3 нельзя характеризовать интенсивными параметрами. В этом случае
поверхностные силы первого рода перекрываются в области 3. Для расчета
поверхностных сил в рассматриваемом случае необходимо использовать микро-
скопический подход, и решение задачи представляет очень сложную физиче-
скую и математическую проблему. Возникающие при этом поверхностные силы
называются силами второго рода Эти силы приводят к появлению в прослойке
избыточного (положительного или отрицательного) давления, названного от-
крывшим это явление Б. В. Дерягиным расклинивающим давлением. Мы не
будем подробно останавливаться на этом явлении. Интересующихся читателей
отошлем к монографии [64]. Заметим только, что поскольку толщина переход-
ных зон чрезвычайно мала (она порядка 100 нм и меньше), то в дальнейшем
ограничимся рассмотрением только поверхностных сил первого рода.
Рассмотрим задачу о столкновении частиц размером более 1 мкм с коллек-
тором с учетом только силы молекулярного притяжения и гидродинамической
силы сопротивления. Частицы считаются незаряженными и их осаждением в
поле силы тяжести пренебрегаем. Рассмотрим осаждение частиц на цилиндре,
радиус которого намного больше радиуса частиц. Последнее условие позволяет
считать, что частицы практически не возмущают поле скоростей вдали от ци-
226
линдра. Частица может изменять поле скоростей только в непосредственной
близости от поверхности цилиндра. Кроме того, при рассмотрении движения
частицы возле цилиндра его поверхность можно рассматривать как плоскую.
Примем, что невозмущенное поле скоростей соответствует решению Озеена,
которое вблизи поверхности цилиндра равно (10.80). На рис. 10.9 схематично
показано движение частицы в окрестности поверхности цилиндра [65].
Радиальная гидродинамическая компонента силы обозначена через Fst.
Гидродинамическая сила представляет собой сумму внешней силы, действующей
на частицу со стороны обтекающего потока жидкости, который может как при-
ближать частицу к поверхности, так и удалять частицу от нее, и силы вязкого
сопротивления слоя жидкости, разделяющего поверхности частицы и цилиндра.
Заметим, что сила вязкого сопротивления отрицательна. Через Fad обозначена
молекулярная сила притяжения Ван-дер-Ваальса. Эта сила направлена по линии,
соединяющей центры частицы и кругового сечения цилиндра (линия центров).
Поскольку уравнения Навье — Стокса в приближении Озеена линейны, то силы
и поля скоростей от этих сил аддитивны.
Рассмотрим невозмущенное поле скоростей (10.80) возле поверхности
цилиндра. Оно распадается на два течения. Первым является плоское течение
типа течения в окрестности точки застоя (рис. 10.8, б). Скорость в окрестности
этой точки связана с компонентой скорости, направленной по линии центров.
Другим течением является сдвиговое течение, перпендикулярное линии центров
и показанное на рис. (10.8, в). При условии а» (х2 + y2)i/2 » ар скорости,
соответствующие этим двум течениям, равны [65]
ust = — Асу1 cos 6р (2хгДв - y2ir), (10.83)
Wsh = ^AyiSin0pyie. (10.84)
15
Рис. 10.9. Движение частицы возле поверх-
ности препятствия:
а — движение под действием приложенной
силы; б — неподвижная частица; в — свобод-
ное движение частицы
227
Здесь введены у = г — а, х = а(0 —0р), где 0р — угол между положением
частицы и передней критической точкой. Из рис. 10.8, а следует, что координаты
центра частицы х = 0, у = ар + h, где h — просвет между поверхностями частицы
и цилиндра.
В силу линейности задачи силы, действующие на частицу, аддитивны, по-
этому суммарная сила равна
F„ = Fst + Fad. (10.85)
Пусть под действием силы F„ происходит сближение частицы с цилинд-
ром. Обозначим через иг радиальную составляющую скорости. Можно показать,
что из условия безынерционное™ движения частицы возле поверхности коллек-
тора при равенстве нулю скорости частицы на поверхности коллектора следует
Fn = &it\uipurf\(h/ap). (10.86)
Очевидно, что
Если частица находится вдали от цилиндра, т. е. при h » ар, то сила Fn
близка к стоксовой и
f\ (h/r) = 1 при h/ар» 1.
(10.88)
Если частица находится вблизи поверхности коллектора, то сила Fn су-
щественно отличается от стоксовой. Решение подобной задачи можно найти
в [2] (см. раздел 8.1), из которого следует, что при h/ap» 1
fxkh/a^-ap/h при h/ap« 1. (10.89)
Заметим, что зависимость (10.89) соответствует случаю приближения твер-
дой сферической частицы к твердой плоскости.
Потенциал молекулярных сил притяжения двух сферических частиц ра-
диуса а( и а2 определяется по формуле (10.24)
= - £ f----«-------+--------55------+ !„(. . К < 10.90)
6 ($2 _ 4)(1 + k)2 s2(fc + l)2 -4(l-fc)2 I s2(* + 1)2 _ 4(1 _ *)2 1 I’
\ V 'J
где Г — постоянная Гамакера, k = а2/, s = 2r/(a( + a2) ~ 2h/(a\ + a2) + 2, r —
расстояние между центрами частиц.
Сила притяжения находится из выражения
: /2. -----!----- (8k - (1 + k)2(s2 - 4)) +
dr 3«,(1 + k) I (s2 _ 4)(1+Л)2
+--------5(1 + fe)2---(8k + s2(l + A:)2 -4(1 - k)2)\ (10.91)
(S2(£ + 1)2 -4(l-£)2)2 I
Заметим, что при малых зазорах между каплями
2Г6
3^(1 + k)4s- 2)2 ‘
(10.92)
Если рассматривается сила притяжения между сферой радиуса ар и плос-
костью, то, считая в (10.91) a2 = ар« а(, найдем
р _ _ 2 г______1_________* = ~ _ г f (— (1 о оч)
ad 3 ар (2 + h/ap)2 (Ji/ap)2 3 ар 'ad|^P J’
228
Когда частица находится далеко от плоскости, то h/ap » 1 и
/ ч / \4
/Ld 1~ = -£• I приЛ/а„»1. (10.94)
I ир I 1 Л j г
В случае малого зазора между частицей и плоскостью
Adfу- | = fe] приЛ/ар«1. (10.95)
1 ир I I 2.П I
Рассмотрим теперь составляющую гидродинамической силы, действующую
на частицу со стороны внешнего потока. Поскольку нас интересует сближение
с поверхностью, т. е. движение по нормали к поверхности цилиндра, то в ка-
честве гидродинамической силы Fst возьмем силу, соответствующую рис. 10.8, б.
В этом случае нужно решить гидродинамическую задачу о стоксовом движении
частицы ар в окрестности плоскости в поле скорости несущей жидкости (10.80)
и при условии равенства нулю скоростей жидкости на поверхностях частицы и
цилиндра. Решение этой задачи дает
^t = -^-t/AylCosO (10.96)
1 ир I
Вдали от плоскости (Л » ар) сила сопротивления близка к стоксовой,
a Fad-> 0. Тогда уравнение движения частицы (10.85) сводится к
Fn = Fst = 6n\iapur, (10.97)
где иг — скорость несущей жидкости, которую можно найти из (10.80), полагая
иг = ~ (1/г) ду/дО:
+ й₽)2 = ^Ayi cos0p^ j • (10.98)
Сопоставляя (10.96) и (10.97) с (10.98), найдем, что при h»ap
f2(h/ap) ~ (,h/ap)2. (10.99)
Если частица находится вблизи поверхности, то h « ар. В этом случае
А-э const [66]:
f2 (h/ap ) = 3,2 при h « ар. (10.100)
Сравнение по порядку величин силы молекулярного притяжения Fad (10.93)
и составляющей гидродинамической силы Fst (10.96) показывает, что
Fst 'I ар Icos0p
V 7 (10.101)
Га2
--,
9 тс napLJAcyi
где Nad ~ безразмерный параметр адгезии. В случае Nad » 1 молекулярная
сила превосходит составляющую гидродинамической силы Fst.
В общем случае для решения задачи о столкновении частиц ар с поверх-
ностью цилиндра нужно решить уравнение движения частицы ар под действием
сил молекулярного притяжения (10.93) и сил гидродинамического сопротивле-
ния (10.86) и (10.96). Эта задача может быть решена численными методами,
однако в предельном случае Nad» 1 и h » ар удается аналитически определить
229
эффективность захвата цилиндром частиц из набегающего потока [65]. Заме-
тим, что без учета сил молекулярного притяжения и гидродинамического сопро-
тивления эффективность захвата была определена в разделе 13.3 (см. форму-
лу (10.82)).
В рассматриваемом случае осаждение частиц на поверхность цилиндра
схематично изображено на рис. 10.10.
Основное отличие схемы захвата частиц в случае учета молекулярной и
гидродинамической сил (рис 10.10) от захвата без учета этих сил (см. рис. 10.7)
состоит в виде предельной траектории, которая разделяет все семейство траек-
торий на траектории, двигаясь по которым частицы сталкиваются с цилиндром,
и траектории, проносящие частицы мимо цилиндра. В первом случае предельная
траектория заканчивается у кормовой критической точки цилиндра 0р = л, в то
время как во втором случае — в точке зацепления частицы ар с поверхностью
цилиндра при 0р = л/2.
В случае Nad» 1 можно считать, что предельная траектория проходит в
области h » ар. При выполнении этих неравенств уравнения безынерционного
движения частицы по нормали к поверхности цилиндра с учетом выражений
(10.86), (10.93), (10.94), (10.96) и (10.99) примет вид
/ ЛА
dh 2 Г ( ар ]
и at 3 ap\h
/ 'а!
блцдй ah]
cos0 —
а2 ! I ар I
(10.102)
Это уравнение можно преобразовать к виду
dh _ _
dt а2
(10.103)
Для определения проекции уравнения движения на касательную к поверх-
ности цилиндра найдем тангенциальную составляющую скорости щ = a (dQp /dt)
из (10.84) (см. рис. 10.9, в). Тогда в приближении h » ар получим
£^ = 21Мсу1«р е[_й_1 (10 104)
dt а2 \аР )
Таким образом, уравнения (10.103) и (10.104) описывают траектории час-
тиц ар, обтекающих поверхность цилиндра, включая и предельную траекторию,
при условии Nad » 1 и h/ ар » 1.
Рис. 10.10. Столкновение частиц с цилиндром с учетом поверхностных и гидродинамических сил
230
Покажем, как не решая эти уравнения, можно найти предельную траекто-
рию и эффективность столкновения частиц с цилиндром. Предельная траек-
тория (см. рис. 10.10) заканчивается в кормовой точке 0р = я, у = у*. Опреде-
лить у* можно следующим образом. При движении частицы по критической
траектории возле задней точки застоя скорость иг = щ = 0, а поскольку в ок-
рестности этой точки частица движется параллельно поверхности цилиндра, то
dh/dt = Q. Тогда из (10.103) следует, что
(10.105)
(10.106)
Nadf^T+cos0pfAY = O.
1 fl 1 I I
Полагая в этом уравнении 0Р = я, h = у* - ар = h*, поскольку h » ар, получим
= — = N’d/6 » 1.
ар ар act
Из уравнений (10.103) и (10.104) следует, что
-b^p~ + 3ctg 0pf—Т = -3~-.
dQ ° ар I sinep
(10.107)
Решение этого уравнения находится без труда. В
дельной траектории имеем
частности, вдоль пре-
— sinO = 3Nad fsin20J0
ар ] р ad J
0p J
Используя теперь определение (10.81) и (10.82),
захвата цилиндром частиц ар
(10.108)
можно найти сечение
Для определения yhm воспользуемся выражением
В итоге получим
(10.109)
(10.80) при h » ар.
а2
При находим
, > / \2 Z \2
^ = ±^sin0 =Лу1Ы|А| sin0р.
dlj a? I d 11 dp I
(10.110)
Ecvl = lim A.
—*0
r V / \2
[Up I У I . Л
1су|И m ₽
-A felfeN )1/3
^eyll а 1 I 2 ‘‘’ad I
(10.111)
Поскольку Nad - 1/а£, то Есу\ - а2/3, т. е. зависимость Ecyi от радиуса час-
тиц ар более слабая, чем в случае неучета молекулярных и гидродинамиче-
ских сил.
Для случая захвата частиц сферой при аналогичных предположениях
эффективность захвата имеет вид
F _ 3 ( а)
sph 2 а
.2 Л
.1/3 \
(10.112)
где jVadh определяется выражением (10.101), в котором нужно положить Acyi = 1.
На рис. 10.11 показано сравнение зависимости (10.111) с зависимостью,
полученной путем численного решения уравнений движения частицы возле
цилиндра [67].
231
В заключение отметим, что если сила тяжести существенна, то на частицы
будет действовать дополнительная сила
Fgr = -|na|(p-p<)tZcos0p. (10.113)
В этом случае в уравнениях движения появляется дополнительный безраз-
мерный параметр
v = F8r = 2<P-Pf)ga2
gr Fst 9ц1Мсу1
(10.114)
влияющий на эффективность захвата частиц цилиндром.
Обзор работ, посвященных изложенной теме, содержится в [60].
10.5. ИНЕРЦИОННОЕ ОСАЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ НА ПРЕПЯТСТВИЯХ
Рассмотрим теперь эффект инерционного осаждения, играющего заметную
роль в осаждении на препятствиях частиц относительно крупных размеров или
частиц, плотность которых сильно отличается от плотности окружающей жидкости.
Пусть в ламинарном потоке, обтекающем некоторое тело, взвешены частицы
достаточно больших размеров, так что их броуновской диффузией можно пре-
небречь. С другой стороны, размер частиц пренебрежимо мал по сравнению с
размером обтекаемого тела. Кроме того, считаем, что плотность частицы намного
больше плотности жидкости, так что инерцией частиц при рассмотрении их
движения относительно обтекаемого тела пренебречь нельзя. Если при расчете
движения частиц не принимать во внимание их гидродинамическое и молеку-
лярное взаимодействия с телом, то без учета, с одной стороны, инерции, а с дру-
гой — конечного размера частиц, они не смогли бы достичь поверхности тела.
Инерция частиц приводит к отклонению их траекторий от линий тока жидкости
при обтекании тела, особенно заметному в точках изгиба линий тока вблизи
232
поверхности тела. Если бы инерцию частиц не учитывали, то траектории частиц
совпали бы с линиями тока. При этом частицы нулевого размера обогнули бы
тело и не коснулись его поверхности. Частицы конечного размера могут столк-
нуться с телом, если они движутся по линиям тока, минимальное расстояние
которых от поверхности тела не превосходит радиуса частиц. Если рассматри-
вается обтекание шара радиуса а, то в этом случае сечение столкновения
E^ = nh2/na2, (10.115)
где h„ — расстояние предельной линии тока от прямой, проходящей через центр
шара и параллельной скорости набегающего на шар потока.
Если инерцией частиц пренебречь, то предельная траектория проходит на
расстоянии ар от тела. В работе [57] этот эффект назван эффектом зацепления.
Там же показано, что при потенциальном обтекании шара
= fl + ±.Y 1— =
I а \ 1 + а/ар а
В другом предельном случае очень большой инерции частиц можно при-
ближенно считать, что частицы движутся по прямым траекториям. Тогда сече-
ние столкновения можно найти из простых геометрических соображений
f ар + а Y _ J ^ДР
0 I а I а
(10.116)
(10.117)
(10.118)
В общем случае траектории частиц, увлекаемых потоком, определяются из
уравнения движения, которое имеет вид
Здесь предполагается, что частицы движутся по стоксовому закону, a U —
скорость потока несущей жидкости.
Вводя безразмерные переменные
r'-L т-£=!. V-SL С -
а ’ а ’ U„ ’ 18цд ’
преобразуем уравнение (10.116) к виду
S^ + ^ = V(r).
с/т2 «т
(10.119)
Безразмерный параметр S называется числом Стокса. Он характеризует
меру инерции частицы. При 5« 1 инерция частицы мала и из (10.119) следует,
что траектория частицы близка к линии тока. При S» 1 из (10.119) находим,
что cEr/dt1 = 0, т. е. траектории — прямые линии.
Задав закон обтекания тела, из (10.199) можно найти семейство траекто-
рий частиц, затем определить предельную траекторию и сечение столкновения
частиц с телом.
Особенностью инерционного осаждения частиц на теле является существо-
вание критического числа Стокса Scr, такого, что при S < Scr захват частиц телом
невозможен, т. е. инерции частиц недостаточно, чтобы преодолеть увлечение их
потоком несущей жидкости [68]. Для цилиндра имеем следующие значения Scr:
0,0625 — потенциальное обтекание (приближенное решение [57]); 0,1 — потен-
циальное обтекание (численное решение). Учет образования на поверхности
тела пограничного слоя приводит к значению S„ = 0,25 [69].
233
Существование критического числа Стокса означает, что существует мини-
мальный радиус капель, которые могут захватываться препятствием:
\'/2
(ap)min = l,5 ^Scr . (10.120)
10.6. КИНЕТИКА КОАГУЛЯЦИИ
В разделе 10.2 были изложены основные механизмы коагуляции частиц и
в качестве примера рассмотрены простые задачи об изменении числа частиц со
временем в предположении, что в начальный момент и в последующие моменты
времени суспензия монодисперсная. Подобное предположение является идеали-
зацией реального процесса. Действильно, даже если в начальный момент вре-
мени все частицы имели одинаковый размер, то на начальной стадии коагуляции
их еще можно рассматривать как монодисперсные, однако затем после первых
актов коагуляции образуются двойные частицы, которые коагулируют не толь-
ко между собой, но и с одиночными частицами. Со временем образуются трой-
ные частицы ит. п., которые коагулируют с одиночными, двойными частицами
и между собой и т. д. Следовательно, со временем начальное монодисперсное
распределение становится полидисперсным. Изменение со временем, а в случае
неоднородности распределения частиц и в пространстве, называется кинетикой
коагуляции. В дальнейшем ограничимся случаем однородного распределения
частиц в рассматриваемом объеме суспензии.
Рассмотрим броуновскую коагуляцию [52], хотя излагаемый подход можно
обобщить на случай любого другого механизма коагуляции.
Пусть в момент времени t в объеме имеется полидисперсное распределение
частиц. Разобьем частицы на группы одинакового размера (г). Пронумеруем эти
группы в порядке возрастания их размера, считая, что в группу 1 входят
первичные частицы, в группу 2 — двойные частицы и т. д. Частота столкнове-
ний (число столкновений в единицу времени) между первичными частицами,
т. е. частицами, имеющими наименьший радиус, определяется выражением (10.41)
₽11 = 1(4кО11/?11я?), (10.121)
где £>ц — коэффициент взаимной диффузии одиночных частиц; Ли = 2fli — ра-
диус коагуляции; — численная концентрация одиночных частиц.
Аналогично можно найти частоту столкновений между частицами типа i и
типа j (см. (10.40)):
pv = 4jcDv/?vn,n„ (10.122)
где D4 = D, + D,- nt и n, — численная концентрация частиц сорта i и j в момент
времени t; RtJ = а, + аг
Рассмотрим баланс частиц сорта k. Их число увеличивается при столкно-
вении частиц сорта г и k — i и уменьшается при столкновении частиц сортов k
и г. Уравнение, описывающее кинетику коагуляции, примет вид
. . ; = Л - 1 » = «>
^ = 1 (10.123)
К k 1 = 1
J = k-t
При коагуляции твердых частиц они слипаются, поэтому приближенно
можно считать Rt] ~ Rt + Rr
234
Коэффициент броуновской диффузии £),- 1/а; (см. (8.70)), поэтому
DltR,, = (D, + Е).)(а, + а.) = £),а,| — + —|(а( +а,). (10.124)
J J J J I di dj J J
Если а,- и а, несильно отличаются, что имеет место на начальной стадии
коагуляции исходной монодисперсной смеси, то (а, + а7)(а~‘ + а/) = 4. Поэтому
DtJ Rtj ~ 4Dt at = 2DtR, где R = 2а,.
Сделанные упрощения позволяют преобразовать уравнение (10.123) к виду
dnk
dt
= 4kRDx
j = k — \ i = °°
Yntni -2nk
t < k i = 1
(10.125)
Если просуммировать левую и правую части (10.125) по k и использовать
равенство
У, nk = п — суммарное число частиц в единице объема, то получим
k
f i = °° j = °° k = °° i =
-^ = 4яЯД £ ХИ-'И/“2Е =
^i=l ;=1 * = 1 i=l
= -4л7?Д X
л = ~ Л2
= -4л7?Д Xя*
-4тс/?Д,п2.
(10.126)
Если п = п0 при £ = 0, то из (10.126) следует, что
n = _т = 1/47сО,Ля0. (10.127)
Полученное выражение для полного числа частиц совпадает с выражением
(10.43).
Используя теперь (10.127), можно из (10.125) найти выражения для кон-
центраций первичных я,, вторичных и2 и других частиц:
_ «о „ = по* А „ = ирб/т)*-1
(1 + t/т)2 ’ (1 + tА)3 ’ ’ ' ’ (1 + t/т)* +1
(10.128)
На рис. 10.12 показаны зависимости nk(t) и суммарной концентрации n(t)
частиц.
Заметим, что характерное время коагуляции т = Зц/4/гТ’По- Если жидкой
фазой является вода при Т = 298 °C, то т ~ 2 • lOn/«o. т. е. характерное время
зависит только от начальной концентрации частиц. Начальное объемное со-
держание частиц ф0 = 4ла£п0/3. Если п0=Ю14, а0 = 1 мкм, то ф = 4 - 10-4,
т = 2 • 10‘3 с.
При рассмотрении процесса коагуляции в полидисперсных системах удоб-
но пользоваться не дискретным распределением частиц, а непрерывным распре-
делением частиц по объемам. Если считать распределение однородным по объему
суспензии, то п = n(V, t), где V — объем частиц. В таком случае ndV — число
частиц в единице объема суспензии, объем которых заключен в интервале
(V, V + dV}. Полное число частиц в единице объема суспензии N и объемную
концентрацию этих частиц W находят из выражений
N = j n(V, t) dV,W = j Vn(V, t) dt.
0 0
(10.129)
235
Зная N и W, можно определить средний объем частиц по формуле
Vav = W/N. (10.130)
Уравнение, описывающее изменение со временем n(V, t), аналогично (10.123),
но суммирование следует заменить на интегрирование (см. (5.84) раздела II)
г
дп K(V - и, и) п(У - и, t) п(и, t) du -
о
V
-n(.V,t)jK(u,V)n(u,t)du. (10.131)
о
Здесь К ( и, V) — функция, называемая константой коагуляции. Она ха-
рактеризует частоту столкновения частиц объема V — и и и и удовлетворяет
условию К (и, V) = K(V, и).
Для решения интегро-дифференциального кинетического уравнения (10.131)
необходимо задать начальное условие n(V, O) = no(V) и потребовать выполне-
ния условий n( V, t) —> 0 при V —> 0 и V-> <» 0. Решение этого уравнения пред-
ставляет значительное математические трудности. Известен ряд аналитических
и приближенных решений для некоторых видов констант коагуляции. Подроб-
ный анализ уравнения (10.131) можно найти в работе [70].
10.7. ФИЛЬТРОВАНИЕ И МОДЕЛЬ ВЫСОКОПРОНИЦАЕМОЙ
ПОРИСТОЙ СРЕДЫ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Под фильтрованием понимается процесс сепарации частиц суспензии от
несущей жидкости при прохождении суспензии через проницаемый материал,
называемый фильтром. Основное отличие от процесса фильтрации состоит в
236
высокой проницаемости пористого материала. Фильтром может служить пори-
стый гранулированный материал или фибровый материал. Сепарированное
вещество может осаждаться в виде твердого осадка на поверхности фильтра и
внутренних порах материала. Частицы, размер которых меньше размеров пор
фильтра, осаждаются на поверхности гранул, из которых состоит фильтр, за
счет сил гидродинамического, молекулярного и электростатического взаимодей-
ствия. Возможны также и другие виды взаимодействий.
Во многих случаях фильтры представляют собой пористую среду с большой
проницаемостью. Например, весьма распространенным способом очистки газа от
примесей (жидких или твердых) является применение сетчатых насадок, при
прохождении через которые частицы осаждаются на поверхности сетки. Очевид-
но, что проницаемость такого фильтра высока и капиллярная модель не годится.
В разделе 6.11 обсуждался вопрос о медленном течении жидкости через
высокопроницаемую пористую среду в связи с процессом хроматографии.
Скорость определялась законом Дарси. Проницаемость среды k зависит от
принятой модели пористой среды. В частности, если среда состоит из одинако-
вых сферических частиц, то для k справедлива формула Козени — Кармана
(6.266). Эта формула получена в предположении, что движение жидкости мож-
но рассматривать как движение через систему микрокапилляров, диаметр ко-
торых определялся формулой (6.263), поэтому такая модель называется капил-
лярной. Она справедлива для среды с относительно малой проницаемостью. Из
формулы Козени — Кармана следует, что проницаемость k резко возрастает при
е—> 1, где е — пористость среды, равная отношению объема пустот Vv к сум-
марному объему среды V. При е « 1 представление пористой среды в виде
системы капилляров допустимо. Однако при е —> 1 объем, занимаемый твердой
фазой среды, мал и течение через пористую среду представляет собой течение
через систему относительно далеко отстоящих друг от друга твердых частиц
набивки фильтра. Следовательно, переход от случая е « 1 к случаю Е —> 1
приводит к коренному изменению структуры течения. Капиллярная модель уже
не годится, и нужно рассматривать обтекание одной неподвижной частицы с
учетом влияния соседних частиц, т. е. с учетом стесненности. Такая модель
высокопроницаемой пористой среды называется моделью с сопротивлением.
Решение этой задачи представлено в работе [2].
Рассмотрим пористую среду, состоящую из ансамбля случайным образом
расположенных твердых сферических частиц одинакового радиуса. Учет при-
сутствия соседних частиц (учет стесненности) может быть сделан на основе
ячеичной модели, суть которой состоит в следующем. Введем объемную долю
твердых частиц в рассматриваемом объеме пористой среды ф = 1 - Е и обозна-
чим через а радиус частиц. Окружим каждую частицу жидким сферическим
слоем с радиусом (рис. 10.13)
6 = а/ф1/3. (10.132)
Если частицы находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, то сис-
темы сфер, окружающих частицы, заполняют область фильтра и не пересекают-
ся. Действительно, имеем очевидные соотношения
V=V„ + VP, Ур=Уф, (10.133)
где Vp — объем, занятый частицами.
Поскольку Ур = 4я а3п/3 и все частицы одинаковы, то
4ла3п _ у г 4ти3п _ 4л(а3 - Ь3)п 4ла3п
~3ф г' + ~3 3 3 ’
237
г
Рис. 10.13. К учету стесненности движения частицы
откуда следует, что
а3 = ф Ь3.
Предположим, что каждая ячейка остается сферической и напряжения на
ее внешней поверхности равны нулю. Течение жидкости через ячейку считаем
медленным, так что Re « 1. Тогда оно описывается уравнениями Стокса
V-w = 0, pAw = Vp (10.134)
с граничными условиями
иг = щ = 0 при г = а; и,= U cos 0, = 0 при г = Ь. (10.135)
Заметим, что течение, как обычно, рассматривается в системе координат,
связанной с частицей. В случае обтекания одиночной сферической частицы в
бесконечной жидкости функция тока имеет вид (10.75). Учет стесненности обу-
словлен требованием выполнения граничного условия при г = b и приводит к
следующему выражению для функции тока:
V = j{JAsph(r-a)2sin20, (10.136)
Л 2<1-ф5/3)
sph 2 - Зф‘/з + 3<р5/з _ 2ф2
Сопротивление, испытываемое одной частицей, равно
Г = 6лцд17-------3- (10.137)
3 - 4,5ф1/3 + 4,5ф5/3 - Зф2
Согласно модели пористой среды с сопротивлением падение давления на
единицу длины среды равно силе F, деленной на объем ячейки 4я Ь3/3, т. е.
dp 3F
dx 4nfe3 ’
(10.138)
Поскольку dp/dx = -\iU/k, то из (10.137) и (10.138) находим проницае-
мость фильтра
_ 3 - 4,5ф*/3 + 4,5ф5/з - Зф2
18ф(3 + 2ф5/3)
Положив ф = 1 - е и в пределе е—>0, из (10 139) найдем
k = е3б?2/162.
(10.139)
(10.140)
238
Аналогичное разложение для формулы Козени — Кармана дает
k = е3б?2/180. (10.141)
Выражения (10.140) и (10.141) для проницаемости различаются числовым
коэффициентом. Это различие объясняется тем, что формула (10.140) получена
из (10.139), которая справедлива при ф—>0 или е —> 1 (высокопроницаемая
среда), в то время как формула (10.141) годится для е-> 0.
Количество твердой фазы суспензии, протекающей через фильтр и захва-
тываемой частицами фильтра, может быть найдено при рассмотрении обтекания
суспензией сферических или цилиндрических препятствий, из которых состоит
фильтр. Методы решения задач такого рода были изложены в предыдущих
разделах настоящей главы.
10.8. ЯВЛЕНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ДИФФУЗИИ
Отметим еще один механизм движения частиц в суспензии с учетом влия-
ния окружающих частиц. До сих пор в основном рассматривалось медленное
движение пробной частицы с учетом взаимодействия с соседними частицами, но
при условии их достаточно малой объемной концентрации ф. Несмотря на это,
ограничение формулу (8.150) для скорости стесненного движения частицы
используют для относительно больших значений ф, т. е. применительно к кон-
центрированным суспензиям. В таких суспензиях движение частиц (гравита-
ционное осаждение или течение в сдвиговом потоке) носит случайный характер,
но не такой, как при броуновском движении, поскольку размер частиц доста-
точно большой. Такой характер движения вызван гидродинамическим взаимо-
действием с соседними частицами.
Так, в концентрированной суспензии в сдвиговом потоке частицы движутся
не вдоль линии тока, а совершают случайное движение среди окружающих
частиц (рис. 10.14, а) в направлении, противоположном градиентам числа ча-
стиц и скорости. Это вызвано тем, что частоты встреч пробной частицы с
окружающими частицами на противоположных сторонах поверхности пробной
частицы различны. Другим примером является гравитационное осаждение час-
тиц в концентрированной суспензии (рис. 10.14, б). Частицы осаждаются не с
Рис. 10.14. Схематичное изображение скоростей частиц и траектории
(пунктирная линия) пробной частицы:
а — движение суспензии в сдвиговом потоке; б — гравитационное осаждение
239
постоянной скоростью и даже не со скоростью, определяемой законом стеснен-
ного осаждения, а совершают случайное движение как вдоль направления ус-
корения свободного падения д, так и в поперечном направлении. Эти движения
частиц носят диффузионный характер и получили название гидродинамической
диффузии [71].
Движение частиц в процессе гравитационной седиментации можно рас-
сматривать как явление самодиффузии, если распределение частиц в суспензии
однородно. Неоднородность в распределении частиц приводит к явлению гра-
диентной или обычной диффузии. Эксперименты [72] показали, что флуктуации
скорости частиц достигают их средней скорости движения, причем иногда ча-
стицы движутся даже против силы тяжести. Сильная анизотропия гидродина-
мической диффузии приводит к тому, что коэффициент самодиффузии в на-
правлении д равен D^ = 8aU, а в поперечном направлении D[ = 2aU, где а —
радиус частиц, U — средняя скорость стесненного осаждения частиц. Отмечено
также, что эффект самодиффузии заметно уменьшается, когда концентрация
частиц становится больше 30 %. Самодиффузия наблюдалась также при осаж-
дении тяжелой частицы в суспензии легких частиц. Если учитывать только
парные гидродинамические взаимодействия частиц, то при стоксовом течении
горизонтальная составляющая гидродинамической самодиффузии оказывается
равной нулю [73]. Этот факт свидетельствует о том, что поперечная составля-
ющая самодиффузии в суспензии вызвана, по-видимому, не парными, а много-
частичными гидродинамическими взаимодействиями.
Градиентная диффузия проявляется в дрейфе частиц против градиента
концентрации частиц. В [73] получено следующее выражение для коэффици-
ента поперечной диффузии D[ = 8aU.
Явление гидродинамической диффузии в сдвиговом потоке, а также воз-
можные приложения рассмотрены в работе [71].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Batchelor G. К. Developments in microhydrodynamics/In theoretical and applied mechanics;
Ed. W. T. Koiter.— Amsterdam: North Holland, 1976.— P. 33 — 55.
2. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. — М.: Мир,
1976.- 630 с.
3. Brenner Н. Hydrodynamic resistance of particles at small Reynolds numbers//Advan.
Chem. Eng. - 1966,- V. 6,- P. 287-438.
4. Морс Ф., Фешбах Г. Методы математической физики: В 2 т.- М.: ИЛ, 1958.
5. Сох Я. G., Mason S. G. Suspended particles in fluid flow through tubes//Ann. Rev.
Fluid Meeh.- 1971.- V. 3,- P. 291-316.
6. Haber S., Hetsroni G., Solan A. On the low Reynolds number motion of two drops//
Int. J. Multiphase Flow.— 1973.— V. 1.— № 1.— P. 57 — 71.
7. Зинченко A. 3. К расчету гидродинамического взаимодействия капель при малых числах
Рейнольдса//ПММ,- 1978.-Т. 42,-Ns 5,- С. 955-959.
8. Davis R. Н., Schonberg J. A., Rallison J. М. The lubrication force between two viscous
drops//Phys. Fluids A.—V. 1.—P. 77 — 81.
9. Viantsios S. G., Davis R. H. Close approach and deformation of two viscous drops due
to gravity and Van der Waals forces//J. Colloid Interface Sci.— 1991.— V. 144.— P. 412 — 433.
10. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидко-
сти. — М.: Наука, 1970.— 288 с.
И. Rallison J. М. The deformation of small viscous drops and bubbles in shear flows//Ann.
Rev. Fluid Meeh. — 1984.—V. 16.—P. 45 — 66.
12. Brady J. F., Bossis G. Stoksian Dynamics//Ann. Rev. Fluid Meeh.— 1988.— V. 20.—
P. 111.
13. Kynch G. J. The slow motion of two or more spheres through a viscous fluid//J. Fluid
Meeh. - 1959,- V. 5,- P. 193-208.
14. Магиг P., van Saarloos W. Many-sphere hydrodynamic interaction and mobilities in a
suspension//Physica. — 1982.— V,— 115 A.— P. 21—57.
240
15. Ganatos P., Pfeffer R., Weinbaum S. A numerical-solution technic for three-dimensional
Stokes flows, with application to the motion of strongly interacting spheres in a plane//J. Fluid
Meeh.- 1978.-V. 84,- P. 79-111.
16. Bossis G., Brady J. F. Dynamic simulation of shear suspensions. I. General Method//
J. Chem. Phys.- 1984,-V. 80.-P. 5141-5154.
17. Эйнштейн А., Смолуховский M. Броуновское движение. — M.: ОНТИ, 1936.
18. Пригожин И., Дефэй Р. Химическая термодинамика, — М.: Наука, 1966.— 509 с.
19. Леонтович М. Л. Введение в термодинамику. Статистическая физика. — М.: Наука,
1983.- 416 с.
20. Katayama У., Terauti R. Brownian motion of a single particle under shear flow//Eur.
J. Phys.- 1966.-V. 17,-P. 136-140.
21. Van Kampen N. G. Stochastic processes in physics and chemistry.—Amsterdam: North
Holland, 1992.
22. Russel W. B. Brownian motion of small particles suspended in liquids//Ann. Rev. Fluid
Meeh.- 1981.- V. 13,- P. 425-455.
23. Дерягин Б. В., Муллер В. М. О медленной коагуляции гидрофобных коллиоидов//
Докл. АН СССР. - 1967.-Т. 176,-С. 869-872.
24. Spielman L. A. Viscous interaction in Brownian coagulation//J. Colloid Interface Sci.—
1970,-V. 33,-P. 562-571.
25. Honig E. P., Roebersen G., Wiersema P. H. Effect of hydrodynamic interaction on the
coagulation rate of hydrophobic colloids//J. Colloid Interface Sci.— 1971.— V. 36.— P. 91 — 109.
26. Batchelor G. K. Brownian diffusion of particles with hydrodynamic interaction//J. Fluid
Meeh.- 1976,-V. 74,- P. 1-29.
27. Zinchenko A., Davis R. H. Collision rates of spherical drops or particles in as chear flow
at arbitrary Peclet numbers//Phys. Fluids A. — 1995,— V. 7.— P. 2310 — 2327.
28. Синайский Э. Г. Броуновская и турбулентная коагуляция капель в вязкой жидкости и
устойчивость эмульсий//Коллоид, журн.— 1994.—Т. 56. — № 1.— С. 105 — 112.
29. Phung Т. N., Brady J. F., Bossis G. Stoksian Dynamics Simulation of Brownian Syspen-
sions// J. Fluid Meeh.- 1996,-V. 313,-P. 181-207.
30. Durlofsky L. J., Brady J. F., Bossis G. Dynamic Simulation of hydrodynamically interacting
particles//.!. Fluid Meeh.— 1987.—V. 180.—P. 21.
31. Ламб Г. Гидродинамика. — M.: ОГИЗ, 1947.— 928 с.
32. Sadron Ch. Dilute solutions of impenetrable rigid particles/In flow properties of disperse
systems; Ed. J. J. Hermans. — Amsterdam: North-Holland, 1953,— P. 131 — 198.
33. Taylor G. I. The viscosity of a fluid containing small drops of another fluid//Proc. Roy.
Soc.— 1932,- A 138.- P. 41-48.
34. Batchelor G. K. The effect of Brownian motion on the bulk stress in a suspension of
spherical particles//.!. Fluid Meeh.— 1977,—V. 83,—P. 97 — 117.
35. Probstein R. F. Physicochemical hydrodynamics. — Butterworths, 1989.— 318 p.
36. Mandersloot W. G. B., Scott K. J., Geyer С. P. Sedimentation in the hindered settling
regime/Advances in solid-liquid separation; Ed. H. S. Muralidhara. — 1986.— P. 63 — 77.
37. Davis R. H., Acrivos A. Sedimentation of noncolloidal particles at low Reynolds num-
bers//Ann. Rev. Fluid Meeh. — 1985. — V. 17.—P. 91 — 118.
38. Уоллис Г. Одномерные двухфазные течения, — М.: Мир, 1972,— 440 с.
39. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. — М., ИЛ, 1961.— 588 с.
40. Kynch G. J. A theory of sedimentation//Trans. Faraday Soc. — 1952,— V. 48.— P. 166—176.
41. Petty C. A. Continuous sedimentation of suspension with a nonconvex flux law//Chem.
Eng. Sci. - 1975,- V. 30,- P. 1451-1458.
42. Boycott A. E. Sedimentation of blood corpuscles//Nature. — 1920.— V. 104,— P. 532.
43. Activos A., Herbolzheimer E. Enhanced sedimentation in settling tanks with inclined
walls//J. Fluid Meeh.- 1979,-V. 92,-P. 435-457.
44. Синайский Э. Г. Разделение двухфазных многокомпонентных смесей в нефтегазопромыс-
ловом оборудовании, — М.: Недра, 1990.— 272 с.
45. Fujita Н. Foundation of ultracentrifugal analysis. — New York: Wiley, 1975,— 459 p.
46. Greenspan H. P. On centrifugal separation of a mixture//;. Fluid Meeh. — 1983.— 127,—
P. 91-101.
47. Духин С. С., Дерягин В. В. Электрофорез, — М.: Наука, 1976,— 332 с.
48. Henry D. С. The cataphoresis of suspended particles. Part I. — The equation of catopho-
resis//Proc. Roy. Soc.— 1931,—A 133. — P. 106—129.
49. Henry D. C. The cataphoresis of suspended particles. Part IV — The surface conductivity
effect//Trans. Faraday Soc.— 1948.—V. 44,—P. 1021 — 1026.
50. Wiersema P. H., Loeb A. L., Overbeek J. Th. G. Calculation of the electrophoretic
mobility of spherical colloid particle//;. Colloid Interface See. — 1966.— V. 22,— P. 78 — 99.
51. Левин В. Г. Физико-химическая гидродинамика,— М.: ГИФМЛ, 1959.— 699 с.
52. Кройт Г. Р. Наука о коллоидах. Т. I: Необратимые системы, — М.: ИЛ, 1955,— 538 с.
16 - 1461 241
53. Hiemenz P. C. Principles of colloid and surface chemistry. — New York: Marcel Dekker,
1986,— 815 p.
54. Hogg R., Healy T. W., Fuerstenau D. W. Mutual coagulation of colloidal dispersions//
Trans. Faraday Soc.— 1966.—V. 62.—P. 1638—1651.
55. Hamaker H. C. The London-Van der Waals attraction between spherical particles//
Physica.— 1937.-V. 4,-P. 1058-1072.
56. Муллер В. M., Дерягин Б. В. О зависимости пороговой концентрации электролита от
размера коллоидных частиц//Докл. АН СССР.— 1967.—Т. 176.—С. 1111 — 1113.
57. Фукс Н. А. Механика аэрозолей. — М.: Изд. АН СССР, 1955.— 351 с.
58. Смолуховский М. В сб. Коагуляция коллоидов. — М.: ОНТИ, 1936.
59. Битов В. М., Каминский В. А., Лапига Е. Я. К расчету скорости коалесценции эмуль-
сий в турбулентном потоке//Изв. АН СССР. МЖГ.— 1976.— № 3.— С. 47 — 55.
60. Spielman L. A. Particle capture from low-speed laminar flows//Ann. Rev. Fluid Meeh.—
1977,- V. 9.- P. 297-319.
61. Schowalter W. R. Stability and coagulation of colloids in shear fields//Ann. Rev. Fluid
Meeh.- 1984,-V. 16,- P. 214-261.
62. Синайский Э. Г. Коагуляция капель в турбулентном потоке вязкой жидкости//Колло-
ид. журн. — 1993.—Т. 55,— № 4.— С. 91 — 103.
63. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир, 1973.— 758 с.
64. Дерягин Б. В., Чураев Н. В., Муллер В. М. Поверхностные силы. — М.: Наука, 1985.—
398 с.
65. Spielman L. A., Goren S. L. Capture of small particles by London forces from low-speed
liquid flows//Environ. Sci. Technol.— 1970.—V. 42.— P. 135 — 140.
66. Goren S. L. The normal force exerted by creeping flow on a small sphere touching a
plane//J. Fluid Meeh.- 1970.-V. 41.-P. 619-625.
67. Spielman L. A., Fizpatrick J. A. Theory for particle collection under London and gravity
forces//;. Colloid Interface Sci.- 1973,-V. 42.- P. 607-623.
68. Лангмюр И. В сб. «Физика образования осадков» (Ред. Б. В. Дерягин и А. X. Хргиан).—
М.: ИЛ, 1951,- 255 с.
69. Синайский Э. Г., Толстов В. А., Горбаткин А. Т., Никифоров В. А. Метод расчета
сепараторов, оборудованных сетчатыми каплеуловительными секциями//Изв. вузов. Сер. Нефть
и газ,- 1987,- № И,— С. 51-54.
70. Волощук В. М. Кинетическая теория коагуляции. — М.: Гидрометиздат, 1984.— 283 с.
71. Davis R. Н. Hydrodynamic diffusion of suspended particles: a simposium//;. Fluid Meeh.—
1996,-V. 310.-P. 325-335.
72. Nicolai H., Herzhaft B., Hindi E. J., Oger L., Guazzelli E. Particle velocity fluctuations
and hydrodynamic self-diffusion of sedimenting non-Brownian spheres//Phys. Fluids. — 1995,— V. 7,—
P. 12-23.
73. Davis R. H., Hassen M. A. Spreading of the interface at the top of a slightly polydisperse
sedimentating suspension//;. Fluid Meeh.— 1988.—V. 196.— P. 107 — 134.
V
ЭМУЛЬСИИ
Эмульсия определяется как дисперсная система, состоящая из двух нераст-
воримых жидкостей. Примером является водонефтяная эмульсия, которая пред-
ставляет собой грубодисперсную систему с размером капель дисперсной фазы
от 0,1 мкм и выше. Водонефтяные эмульсии бывают двух видов. Если объем-
ная концентрация воды мала по сравнению с объемной концентрацией нефти, то
сплошной фазой является нефть, а вода в виде взвешенных в нефти капель
представляет собой дисперсную фазу. Такого вида эмульсии называются обрат-
ными или эмульсиями типа вода в масле (в/м). Если объемная концентрация
нефти мала по сравнению с объемной концентрацией воды, то такая эмульсия
называется прямой или масло в воде (м/в). При этом вода служит сплошной,
а нефть — дисперсной фазой.
Эмульсии широко распространены в природе и в технике. Кроме водонеф-
тяных эмульсий, можно привести другие виды эмульсий: молоко, битумы, плас-
тические смазки, охлаждающие жидкости, водоэмульсионные краски и т. д.
В природе наиболее распространенными эмульсиями являются эмульсии, обра-
зованные водой и какой-либо органической жидкостью.
Эмульсия образуется в результате смешения двух нерастворимых жидко-
стей. Ее дисперсность зависит от устойчивости эмульсии. Если смешать две
жидкости с разными объемами, то в процессе перемешивания образуются капли
одной жидкости, взвешенные в другой жидкости. При отсутствии в системе
электролита, который, как известно, может стабилизировать эмульсию, эмульсии
термодинамически неустойчивы. В состоянии покоя капли эмульсии имеют
тенденцию к укрупнению за счет процесса коалесценции. При движении эмуль-
сии в неоднородном поле скоростей капли могут деформироваться и дробиться,
а также сближаться и коалесцировать. В результате происходит два конкури-
рующих процесса — дробление и коалесценция капель. В зависимости от харак-
терных времен этих процессов эмульсия может становиться более мелкодис-
персной (скорость дробления превосходит скорость коалесценции) или более
крупнодисперсной (в противном случае). Если скорости дробления и коалес-
ценции совпадают, то эмульсия находится в состоянии динамического равнове-
сия и дисперсное состояние не изменяется.
Процессами дробления и коалесценции можно управлять. Если в эмуль-
сию добавить деэмульгатор, то он адсорбируется на поверхностях капель и
снижает их поверхностное натяжение Е. Тем самым увеличивается число Ве-
бера. При определенной концентрации деэмульгатора число Вебера становится
больше критического значения и капля дробится. С другой стороны, перемеши-
вание эмульсии может увеличивать частоту столкновения и коалесценцию ка-
пель. Однако слишком интенсивное перемешивание может способствовать не
только коалесценции, но и дроблению капель.
16* 243
Природные жидкости, например нефть, содержат большое количество не-
растворимых тонкодисперсных твердых веществ, которые, адсорбируясь на
поверхностях капель, образуют прочные бронирующие оболочки, уменьшающие
подвижность поверхности капель и препятствующие их коалесцении. Таким
образом, наличие загрязнений способствует стабилизации эмульсии. Поэтому со
временем эмульсии стабилизируются или, как говорят, стареют.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением обратных водонефтяных эмуль-
сий типа в/м. Сплошная фаза — нефть является веществом с очень низкой про-
водимостью (Ю-13 — 10“6 1/Ом м). Дисперсная фаза — вода, содержащаяся в
добываемой нефти, имеет много растворимых минеральных солей, что обуслов-
ливает ее высокую проводимость (10 4 — 101 1/Ом-м). Поэтому обратную
водонефтяную эмульсию можно рассматривать как дисперсную систему, в ко-
торой дисперсная фаза (капли воды) проводящая, а сплошная фаза (нефть) —
диэлектрик. Это значит, что на дисперсную фазу водонефтяной эмульсии мож-
но избирательно воздействовать внешним электрическим полем. Под действием
электрического поля капли воды поляризуются, притягиваются друг к другу,
сталкиваются и коалесцируют. Тем самым внешнее электрическое поле способ-
ствует укрупнению эмульсии. В дальнейшем будет показано, что высокая на-
пряженность электрического поля может приводить и к дроблению капель.
Важным технологическим процессом подготовки нефти к транспорту являет-
ся обезвоживание нефти, т. е. удаление из нефти воды. Осуществляется этот про-
цесс в специальных емкостях (отстойниках), в которых капли воды отделяются от
нефти путем гравитационной седиментации. Размер этих емкостей должен обеспе-
чить осаждение из нефти достаточно мелких капель. Размер капель, как правило,
мал, так что скорость их осаждения подчиняется закону Стокса U = 2Др^2/9у.е,
где Др — разность плотностей фаз, р,, — динамическая вязкость сплошной фазы.
Для характерных значений Др = 200 кг/м3, |де = 10-2 Па • с, R = 10 мкм имеем
[7 = 0,5 • 10~5 м/с. Это значит, что из слоя водонефтяной эмульсии высотой 1 м
выпадут все капли радиусом более 10 мкм за время t - 2 • 105 с = 50 ч. Для R = 100 мкм
это время составит t - 0,5 ч. Таким образом, если удастся увеличить радиус капель
воды в эмульсии в 10 раз (например, от 10 до 100 мкм), то время разделения
эмульсии уменьшится на два порядка, а следовательно, во столько же раз умень-
шится объем (длина) отстойника. Столь большое увеличение размера капель за
относительно небольшое время можно осуществить, поместив эмульсию в однород-
ное внешнее электрическое поле. Для определения времени, необходимого для
укрупнения капель воды в нужное число раз, следует определить скорость коалес-
ценции капель, т. е. исследовать динамику процесса укрупнения капель в эмульсии.
11
ПОВЕДЕНИЕ КАПЕЛЬ В ЭМУЛЬСИЯХ
11.1. ДИНАМИКА ПРОЦЕССА УКРУПНЕНИЯ КАПЕЛЬ
Динамика процесса укрупнения капель в полидисперсной эмульсии за счет
их столкновения и слияния (коалесценции) в пространственно однородном
случае при малом объемном содержании дисперсной фазы, когда можно огра-
244
ничиться учетом только парных взаимодействий капель, описывается следую-
щим кинетическим уравнением:
= 1 j К(У - св, св) п(У - св, О п(со, Г) da - п(У, О j K{V, со) n(co, t) da, (11.1)
О о
где n(V, t) — распределение капель по объемам V в момент времени t, K{V, со) —
ядро кинетического уравнения, имеющего смысл частоты столкновения капель
объема V и со в единице объема дисперсной фазы при единичной концентрации
этих капель.
Первый член в правой части уравнения (11.1) соответствует скорости
образованию капель объема V за счет слияния капель, имеющих объемы У~со
и со, а второй — скорости убывания капель объема V при коалесценции капель
объема V с другими каплями.
Решение уравнения (11.1) при заданном начальном распределении п0(У)
позволяет проследить эволюцию со временем распределения капель по объемам
и определить следующие основные параметры распределения: численную кон-
центрацию капель, т. е. число капель в единичном объеме эмульсии
ДГ(О = jn(V,t)dV, (11.2)
О
объемное содержание капель, т. е. объем капель в единичном объеме эмульсии,
W(t) = fVn(V,t)dV, (11.3)
О
средний объем кайель
Vav(O= W(O/N(O. (11.4)
Ядро K(V, св) определяет механизм взаимодействия капель, поэтому иссле-
дование общих свойств наряду с конкретным видом ядра для различных про-
цессов составляет самостоятельный раздел теории физики дисперсных сред.
Важным свойством ядра кинетического уравнения является симметрич-
ность относительно размеров сталкивающихся капель, т. е. K(V, св) = К(св, V).
Умножим обе части уравнения (11.1) на V и проинтегрируем по V от 0 до «>.
Учитывая выражение (11.3), получим
^- = l^VK(V-a,a)n(.V-a,t)n(a, t)dVda-
О о
- JJk(V, a)n<V,t)n(a,t)dVda. (11.5)
о о
В первом интеграле (11.5) сделаем замену переменных z = V -св, а = а,
позволяющую преобразовать область интегрирования 0 < V < °°, 0 < св < V в об-
ласть 0<z<o°, 0<св<«>. При этом уравнение (11.5) примет вид
= -+ <n)n(z, t)n(a, t)dzda-
0 о
- “^K(V,a)n(V,t)n(a,t)dVda. (11.6)
О о
245
Обозначим теперь z через V. Тогда (11.6) перепишется в виде
= 1 j j(aK(V, со) - VK(V, со)) п(у, t) n(co, t)dVda. (11.7)
о 0
Поскольку рассматривается только коалесценция капель, то со временем
суммарный объем капель, т. е. объемное содержание капель W, остается по-
стоянным. Это означает, что
j j(<oK(V, со) - V K(V, (о)) п(V, t) n(co, t)dVda = 0. (11.8)
о о
Поменяв местами V и <и в первом слагаемом интеграла (11.8), что, очевид-
но, не повлияет на значение интеграла, получим
J j V(K(a, V) - K(V, ю)) n(V, t) n(a, t)dVda = 0. (11.9)
о 0
Из (11.9) следует, что условие симметричности ядра кинетического урав-
нения K(V, а>) = К(а>, V) является достаточным условием постоянства объем-
ной концентрации капель W. Покажем необходимость этого условия. Соотно-
шение (11.9), как следствие кинетического уравнения (11.1), должно выпол-
няться для любых физически допустимых распределений капель по объемам
n(V, t), в том числе и для бидисперсного распределения, т. е. для системы,
состоящей из капель двух объемов Vt и V2. Для такой системы
w(V,0 = no(W-V1) + (l-^)5(V-V2)). (11.10)
Здесь — число капель объема Vt, (1 - fpn0 — число капель объема V2,
а 8(х) — дельта-функция.
Подставляя (11.10) в (11.9) и используя свойство дельта-функции
J F(x) 8(х - х0) dx = F(x0), получим
о
«о2 (V, - V2) £(1 - £) (ВД, V,) - К{V,, V2) ) = 0. (11.11)
Для бидисперсной системы п0 0, Vt * V2, %* 0 и %* 1, поэтому
K(V2, V,)=K(V„ V2). (11.12)
Поскольку выбор Vt и V2 произволен, то равенство (11.12) должно вы-
полняться для любых объемов капель из области их определения.
Нарушение условия симметричности ядра кинетического уравнения озна-
чает, что объемная концентрация капель не остается постоянной, что эквива-
лентно негласному введению в систему источников и стоков, интенсивность ко-
торых зависит от степени и вида асимметрии ядра. Следствием симметричности
ядра KVV, со) является также то, что при фиксированной сумме объемов капель
V +(0 = 2 = const функция K(V, (о) имеет экстремальную точку при V = (o.
Ядро кинетического уравнения характеризует частоту столкновения ка-
пель и чаще всего рассчитывается путем численного решения задачи о взаимо-
действии капель и последующей аппроксимации результатов решения. Поэтому
условие симметрии, являясь необходимым, накладывает ограничения на выбор
аппроксимирующих выражений. Эффективный метод симметризации ядра по
имеющимся численным значениям изложен в работе [1].
Кинетическое уравнение (11.1) является нелинейным интегродифферен-
246
циальным уравнением, общей теории решения которого в настоящее время не
существует. Имеющиеся точные решения основаны на использовании опера-
ционных методов применительно к случаю линейной зависимости K(V, со) от
каждого из объемов капель [2]. Для решения уравнения (11.1) с ядрами более
общего вида используются приближенные методы — параметрические методы и
метод моментов, а также численные методы. Параметрические методы и метод
моментов основаны на сведении кинетического уравнения к системе уравнений
относительно моментов распределения капель по объемам. Однако образую-
щаяся система уравнений, как правило, оказывается незамкнутой, поскольку в нее
кроме целых моментов входят дробные моменты, наличие которых обусловлено
степенной зависимостью ядра K(V, со) от объемов капель. Для замыкания
системы уравнений необходимы дополнительные соотношения или ограничения
на вид распределения капель по размерам. Так, использование параметриче-
ского метода основано на предположении, что распределение принадлежит оп-
ределенному классу, например классу логарифмически нормальных распреде-
лений, параметры которого изменяются со временем и подлежат определению.
Метод интерполяции дробных моментов не ограничен видом распределения, но
требует дополнительных соотношений. В дальнейшем при решении конкретных
задач будут использованы оба метода. Рассмотрим их подробнее.
В большинстве практических случаев наибольший интерес представляет не
само распределение капель по объемам п (V, t), а несколько первых ее момен-
тов или их комбинаций, которые имеют физический смысл и относительно
легко могут быть найдены экспериментально. При этом экспериментальные
результаты могут дать ответ на вопрос, соответствует ли принятая модель взаи-
модействия капель действительности, поскольку выбор механизма коалесцен-
ции капель, как правило, основан на ряде допущений.
Под моментами распределения капель или других частиц по объемам по-
нимаются следующие выражения:
тк = jvkn(V,t)dV; (А = 0,1,2,...). (11.13)
о
3 )1/3 п»1/з
4л I то
Значению k = 0 отвечает нулевой момент т0, имеющий смысл числа капель
(численной концентрации капель), содержащихся в единичном объеме эмуль-
сии; значению k = 1 соответствует момент первого порядка, равный объему,
занимаемому каплями, в единичном объеме эмульсии (объемная концентрация
или объемное содержание капель). Комбинации моментов дают:
средний радиус капель, — — средний объем капель, (36л),/3 щ2/3 — площадь
всех капель (площадь межфазной поверхности) в единичном объеме эмульсии.
Кроме того, зная первые пять моментов m,(i = 0,4), можно определить,
используя диаграмму Пирсона [3], к какому классу относится распределение
n(V, t) (рис. 11.1). На диаграмме по осям координат отложены параметры pt
и р2, которые называются квадратом асимметрии и эксцессом распределения и
выражаются через моменты распределения следующим образом:
₽! =
М2
Ц32/2
Р2 = —
,, _ т2 (тх Y _ т3 „ m2mt т, \3
то [тото т? J
247
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
О
2 3 4 Pj
Рис. 11.1. Диаграмма Пирсона
7 Z
_ т4 т37И1 g m2mf д/ mi )
4 то mg \m° J
Для того чтобы от кинетического уравнения (11.1) перейти к уравнениям
для моментов тк, умножим обе части этого уравнения на Vk и проинтегрируем
полученное выражение по V в пределах от 0 до «>. В итоге получим
jvkn(V,t)dV
1°
~ V
= ^VkK(V-<д G>)n(V-со, t)n(co, t)d(s>dV-
о о
-J jv*K(V, co)n(V, On(co, OdcodV. (11.14)
о о
Поступая так же, как и при выводе уравнения (11.6), сделаем в (11.14)
замену переменных z = V + co, ю = со. При этом (11.14) примет вид
= + ®)и(2> £) га(<А t)d<adz-
0 о
- j j VkK<V, co) n(V, t) п(сд t) d(f)d V.
о 0
Заменив в первом интеграле z на V, перепишем это уравнение в виде,
обычно используемом в методе моментов:
^- = H\l(V + (fi)k-Vk]K(V,Gi)n(V,t)n((i),t)dG)dV. (11.15)
ОС J J I 2. I
Большинство из известных ядер кинетического уравнения имеет вид сте-
пенных функций объемов частиц. Учитывая, что K(V, со) должно обладать
симметрией относительно V и <в, его можно в общем случае представить в виде
К(V, ®) = XG) <v“} °*’ + у >•
(11.16)
1=0
Подставим теперь выражение (11.6) для ядра в уравнение (11.15) и рас-
кроем бином в первом интеграле правой части. В итоге получим
^= ^С1 + т< + ₽ ,mk - + a, ) "
1=0 11=0
— (»2p7mfe + p7 +mamk + ai) (£-0,1,2,...).
(11.17)
Выражение (11.17) представляет собой бесконечную систему обыкновен-
ных дифференциальных уравнений относительно моментов mk. Если а, и
отличны от нуля или единицы, то число уравнений любой конечной подсистемы
меньше числа неизвестных и все конечные подмножества системы уравнений
незамкнуты. Некоторые выражения для ядер содержат дробные показатели
степеней объемов, поэтому в правой части (11.17) появляются дробные момен-
ты. В этом случае доопределение системы уравнений (11.17) можно провести
либо путем интерполяции дробных моментов через целые с помощью метода,
предложенного в [1], либо сделав дополнительное предположение относительно
вида распределения (параметрический метод). Рассмотрим сначала первый метод.
Пусть в начальный момент времени £ = 0 заданы моменты zw/O). Введем
безразмерные моменты mk(t) = mk(t)/mk(ff), где k могут быть как целыми зна-
чениями, так и дробными. В левую часть уравнений (11.17) входят только
целые моменты, а в правой части могут оказаться и дробные моменты. Задача
состоит в том, чтобы дробные моменты выразить через целые. Рассмотрим
дробный момент порядка j + где j — ближайшее целое число а 0 < ^ < 1, и
целые моменты ms, .t....ms+r, причем s<j + L,<s + r. Будем искать логарифм
дробного момента в виде интерполяционного многочлена
1п(тй; + р= (/ = 1,2,...), (11.18)
где + £,) — коэффициенты интерполяционного многочлена при интерполя-
ции по г + 1 узлам, которые находятся из уравнения
(11.19)
п = ?
Р = 5
Р*Р
Выражение (11.19) позволяет представить дробные момент в виде
и тем самым доопределить систему уравнений (11.17).
249
Применим этот метод к кинетическому уравнению с ядром вида
K(V, (o) = GVa(o“; 0<a<l. (11.21)
Используем первые четыре момента системы уравнений (11.17), а для
дробных моментов, входящих в правую часть, воспользуемся двухточечной
интерполяцией, выражая моменты порядка т] + а через целые моменты т, и w7 + I.
В итоге получим замкнутую систему уравнений относительно первых четырех
моментов:
dmo _ 1 с гбгйГmo(t) Y 2<Y
dt “ 2 \mo(0)) Vm'(0) J
dm, _ q
dt ’
dm2
dt
m,(t) V 2“( m2(t) V“
«!<()) J ( m2(0) J
(11.22)
m2(t) V
m2(0)J
Решение полученной системы уравнений имеет следующий вид:
при а * 0,5
т0(х) = wo(O)fl + -^l , mt(т) = mt(0),
I о I
»22(t) = яг2(0)(1 +(11.23)
I о I
да3 (?) = т3 (0) ( 1 + 2^- Г1 + ;
2х>2 к о )
V v 7 7
при a = 0,5
т0 (т) = т0 (0) e-e»’; mt (т) = mt (0),
zR х2 (И.24)
т2 (т) = т2 (0) ев2т; т3 (х) = т3 (0) —5- ев^ +1 ,
где
т = Gmlat; Во = т°(0), ; 5 = y-L-;
2mo(O)mt2a 1 “ 2«
. в _ mi + a(0)m2 + a(0)
2 7П2(0)7И12“ ’ 3 Шз(0)^2“
Рассмотрим теперь параметрический метод. Как уже было сказано, в его
основе лежит предположение о принадлежности распределения к определенно-
му классу. Выбор класса распределений делается на основе общих соображений
о возможном виде распределения, формирующемся при конкретном физическом
процессе. Например, если рассматривается турбулентное течение эмульсии в
трубе, то распределение имеет вид логарифмически нормального или гамма-рас-
пределения. Рассмотрим оба эти класса распределений.
250
Пусть распределение капель по объемам принадлежит к классу логариф-
мически нормальных [4]
= —expf- ln2(y//o)\ (11.25)
Зл/гйоУ 181n20 J
где N — численная концентрация капель; о2 — дисперсия распределения; Vo —
параметр, связанный со средним объемом Vav капель соотношением Vav = Vo х
х exp (1,5 In2 о).
Со временем вид распределения не изменяется, а изменяются только его
параметры Х(£), V0(t) и о(£).
Подставляем далее (11.25) в уравнения для моментов (11.15) и полагаем
последовательно k = 0, 1, 2. В случае степенной зависимости ядра К( V, со) от V
и и в правой части уравнений могут присутствовать дробные и целые моменты,
отличные от первых трех моментов. Полученную систему уравнений можно
доопределить, используя свойство распределений вида (11.25),
mk - ехр^- -|(/г2 - 1)1п2 о J (11.26)
В итоге получается замкнутая система уравнений относительно т,, Vo и о.
Фактически здесь имеются только два неизвестных, поскольку = const.
Пусть распределение принадлежит к классу гамма-распределений [4]
n(y,t) = (11.27)
Vo2 г! pzo J r Vo I
где W — объемная концентрация капель, остающаяся в процессе коалесценции
постоянной, a Vo и г — параметры распределения, связанные со средним объемом
и дисперсией соотношениями Vo = Vav,/(г + 1), о = V^/Ji +1. Со временем вид рас-
пределения не изменяется, а изменяются только N и Vo. Распределение (11.27)
позволяет искать решение уравнений (11.15) для моментов в виде разложения
n(V, t) по системе ортогональных присоединенных полиномов Лагерра [5] Lki:
n(V, t) = W' expf-X] (11.28)
I Ц) J I Vo I1 Vo I
Первые два полинома равны
Ди = 1; Lu = i + 1-^,
Vo
а остальные определяются рекуррентным соотношением
(n + 1)L„ +1, — I — In + i +1 |L„; + (n + z)L„_], = 0.
\ 0 7
Условие ортогональности полиномов позволяет найти коэффициенты раз-
ложения (11.28)
ак = k'- n (1129)
Y\k + г + 1) J I Vo I I Vo )
о V / \ /
где Г(х) — гамма-функция.
В частности, первые два коэффициента равны
а° = n =0-
r(k + 1) J Vo I
О V /
251
Если ограничиться только двумя первыми моментами, то из (11.15) и
(11.28) найдем
rf(N/Vb)
dt
f \2
1| N I
2V° J
J J exp
0 0
n(y,t) = — £
Voi! Vo
iZ k(v,(o) dek/v,
4) I I 4) ) I 4) I
(11.30)
(i + i)NV0=W.
Система уравнений (11.30) в двухмоментном приближении позволяет най-
ти изменение со временем распределения капель по объемам и параметры этого
распределения.
Опыт использования метода моментов показывает, что он удовлетворитель-
но описывает кинетику коалесценции только на начальной стадии. При огра-
ничениях, накладываемых на вид ядра кинетического уравнения и на начальное
распределение [6], существует автомодельное решение кинетического уравнения
при больших временах. В общем же случае решение можно получить с исполь-
зованием численных методов.
11.2. ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЗМЫ КОАЛЕСЦЕНЦИЯ КАПЕЛЬ
Небольшая разность плотностей капель и окружающей их жидкости, а так-
же малые размеры капель в эмульсии приводят к малым скоростям осаждения
капель в поле силы тяжести. Поэтому основная проблема при сепарации эмуль-
сий состоит в увеличении размера капель. Эта проблема может быть разрешена
путем интенсификации процесса коалесценции капель. Факторами, влияющими
на скорость укрупнения капель, являются применение электрического поля и
турбулизация потока. Прежде чем переходить к исследованию этих воздей-
ствий, рассмотрим в общих чертах процесс коалесценции капель в эмульсии.
Процесс коалесценции капель можно условно разбить на два этапа. На
первом этапе, называемом транспортным, происходит сближение капель до их
касания, а на втором, называемом кинетическим, — их слияние. Эксперимен-
тальные исследования коалесценции капель на плоской границе раздела двух
жидких сред дают основание считать [7], что время слияния капель значитель-
но меньше времени их сближения. Это означает, что процесс коалесценции
лимитируется транспортной стадией. Сказанное означает, что ядро кинетиче-
ского уравнения можно рассчитать путем детального анализа процесса сближе-
ния капель вплоть до их соприкосновения, считая, что каждое столкновение
капель приводит к их слиянию.
Характер сближения капель, а значит, и их столкновения, зависит от гид-
родинамического режима движения эмульсии. Рассмотрим сначала коалесцен-
цию капель, осаждающихся под действием силы тяжести в неподвижной жид-
кости. Такой вид коалесценции назовем гравитационной.
Капли разного размера под действием силы тяжести осаждаются с различ-
ной скоростью. В результате крупные капли догоняют мелкие, и возможно их
столкновение. Каждая капля имеет свою траекторию, определение которой со-
ставляет основную задачу нахождения частоты столкновения капель. В боль-
шинстве случаев принимают, что объемное содержание капель мало, так что
можно ограничиться рассмотрением относительного движения двух капель.
252
Исследование проводится в сферической системе координат, связанной с цент-
ром большой капли (рис. 11.2). В этой системе координат поток внешней
жидкости движется относительно большой капли, причем вдали от капли ско-
рость можно считать постоянной, равной скорости осаждения рассматриваемой
капли. Другая капля меньшего размера движется вместе с потоком относитель-
но большой капли, обтекает ее и либо коснется ее, либо пройдет мимо. Движе-
ние капель из-за малости их размеров можно считать безынерционным. Поэто-
му траектория маленькой капли относительно большой на больших по сравне-
нию с радиусом большой капли расстояниях совпадает с линией тока внешней
жидкости, а на малых расстояниях — заметно отклоняется от линии тока, что
вызвано как силой взаимодействия капли с внешней жидкостью, так и силами
взаимодействия капель. Силы взаимодействия представляют собой гидродина-
мические, молекулярные и электростатические силы. Гидродинамические силы
являются силами сопротивления движению капли, они неограниченно возрастают
при уменьшении зазора между поверхностями капель. Молекулярные силы —
силы притяжения Ван-дер-Ваальса — Лондона, действующие на малых расстоя-
ниях. Электростатические силы — это силы отталкивания, обусловленные двойны-
Рис. 11.2. Сферическая система координат (г, 0, <р), связанная
с центром большой капли
253
ми электрическими слоями на поверхностях капель, или силы взаимодействия
проводящих капель, несущих или не несущих электрический заряд, помещенных
во внешнее электрическое поле. Для определения относительных траекторий
капель необходимо знать все указанные силы, для нахождения которых требу-
ются решения самостоятельных гидродинамических и физических задач. В даль-
нейшем эти вопросы будут подробно обсуждаться.
Все множество траекторий меньшей капли относительно большей можно
разделить на два класса: траектории, которые не оканчиваются на поверхности
большой капли, и траектории, приводящие к столкновению капель (рис. 11.3).
Назовем траекторию, разделяющую эти два класса, предельной. Тогда в
набегающем на большую каплю потоке вдали от нее предельные траектории
образуют трубку тока, площадь нормального сечения ®(V, со) которой назовем
сечением столкновения двух капель заданного объема V и со (V>a>). Тогда
частота столкновения капель объемов V и со может быть определена как
K(V, <o) = ®(V, [/ш|, (11.31)
где через Uv и Ua обозначены скорости осаждения капель объемов V и со, когда
они расположены далеко друг от друга. Их можно принять равными соответ-
ствующим стоксовым скоростям.
Траектории движения капли определяются из уравнений движения
(ц-32)
I I
где mi — масса капли; Ft, Г, — силы и моменты, действующие на капли; /, —
момент инерции, i = 1, 2.
Если размеры капель достаточно малы и отношение плотностей внутренней
и внешней жидкостей мало отклоняется от единицы, то течение жидкости можно
считать медленным, а движение капель — безынерционным. Этот случай реали-
зуется при расслоении эмульсий типа вода в масле. Тогда уравнения (11.32)
сводятся к уравнениям безынерционного движения капель в квазистатическом
приближении
=0; £Т, =0; и,=^. (11.33)
i i
Задавая начальные положения капли 2 и интегрируя (11.33), находим
семейство траекторий капли 2 относительно капли 1. В сферической системе
Рис. 11.3. Траектории движения капли 2 относительно капли 1
254
координат начальное положение капли 2 задается начальными значениями
координат центра г0, 0О, (р0. Для определения сечения захвата рассмотрим трубку
тока, поверхность которой содержит предельные траектории (см. рис. 11.3).
Обозначим через 0*(<р) угол, который составляет вектор г0 с точкой на крити-
ческой (предельной) траектории в фиксированном нормальном сечении этой
трубки тока г = г0 cos 6*. В общем случае нормальное сечение этой трубки тока
вдали от капли 2, т. е. при г0 -> °° и 0* -> 0, некруговое, и его площадь может
быть определена из простых геометрических соображений:
' 2п
® = lim -r02 [sin2(0*(<р))</<р
2 J
0*-»О \ 0
(11.34)
Если течение жидкости и относительное движение капель осесимметричное,
то 0* от <р не зависит, форма сечения столкновения круговая и
® = lim (лг02 sin2(0*)). (11.35)
И)—
0*—>0
Расчету сечения столкновения частиц посвящено довольно много работ,
которые можно разделить на три группы в зависимости от степени учета сил
взаимодействия частиц. Укажем лишь некоторые из них. Первые работы были
выполнены Смолуховским [8]; в них построена теория коагуляции коллоидов
без учета гидродинамических сил взаимодействия частиц. В большинстве по-
следующих работ рассматривалось движение частиц в маловязкой среде приме-
нительно к проблемам коагуляции капель и частиц в атмосфере [9, 10]. Учет
гидродинамического взаимодействия двух медленно движущихся сферических
частиц в вязкой жидкости на основе приближенных выражений, полученных
методом отображений и справедливых, только если частицы находятся относи-
тельно далеко друг от друга, был сделан в работах [11 —13]. В частности, в [И]
таким образом определено сечение столкновения для двух сферических частиц
разного радиуса, осаждающихся в поле силы тяжести. Результаты этой работы
были использованы в [12] для расчета сечения столкновения частиц сравнимых
размеров в электрическом поле. Расчет сечения столкновения двух заряженных
частиц, когда одна из них значительно меньше другой, сделан авторами работы
[14]. Более точный учет гидродинамических сил был осуществлен в [13, 15, 16].
Отметим, что в [15] определено сечение столкновения проводящих капель
различного размера во внешнем электрическом поле, а в [16] — и с учетом
заряженных капель. В последних двух работах учитывались как гидродинами-
ческие, так и электрические силы, полученные при точном решении соответ-
ствующих гидродинамических и электростатических задач. Во всех указанных
работах рассматривалось взаимодействие частиц без учета внутренней вязкости.
В работе [17] определено сечение столкновения двух сферических капель,
внутренняя вязкость которых отлична от вязкости окружающей жидкости. Там
же учтена также сила молекулярного взаимодействия капель, обеспечивающая
возможность их коалесценции.
Использование турбулентного режима течения эмульсии для укрупнения
капель обусловлено значительным увеличением частоты столкновения капель
по сравнению с частотой столкновения при их осаждении в покоящейся жид-
кости или при ламинарном режиме течения. Дисперсные частицы, взвешенные
в жидкости, увлекаются турбулентными пульсациями и хаотически перемеща-
ются по объему, и их движением сходно с броуновским движением. Поэтому
пульсационное движение частиц можно охарактеризовать эффективным коэф-
255
фициентом турбулентной диффузии DT и свести задачу определения частоты
столкновения частиц к диффузионной задаче, как это сделал впервые Смолу-
ховский для броуновского движения [18]. Подобный подход был впервые
предложен и реализован в [19] применительно к коагуляции невзаимодействую-
щих частиц. Именно этот факт привел к тому, что найденная частота столкно-
вения оказалась намного выше частоты, определенной в экспериментах по тур-
булентному движению эмульсии в трубах и мешалках [20, 21].
Влияние гидродинамического взаимодействия частиц на величину коэффи-
циента взаимной диффузии частиц исследовано в работе [22]. Это послужило
основой для определения частоты столкновения частиц в условиях турбулент-
ного движения. Влияние внутренней вязкости капель на частоту их столкнове-
ния было рассмотрено в [23 — 26]. Показано, что правильный учет гидродина-
мического взаимодействия обеспечивает согласие теории с экспериментом.
Число столкновений частиц радиусов и R2 в единицу времени при
диффузионном механизме их сближения равно потоку частиц радиуса R2 на
частицу радиуса Rt Если предположить, что диффузионное равновесие уста-
навливается намного быстрее, чем концентрационное, то задача сводится к ре-
шению стационарного уравнения диффузии в силовом поле [27]
v(DrVC-£c) = 0, (11.36)
где С — численная концентрация частиц 2; F — сила взаимодействия частиц 1
и 2, вызванная наличием полей (электрическое, гравитационное, молекулярное,
электростатическое); h — коэффициент гидродинамического сопротивления сбли-
жению частиц вдоль линии, соединяющей центры частиц. Если через и обозна-
чить относительную скорость сближения частиц, направленную по линии их
центров, Fh — гидродинамическую силу сопротивления, испытываемую части-
цей 2, то
Fh = hu. (11.37)
Иногда вместо коэффициента гидродинамического сопротивления вводят
подвижность b = h~\ выражая тем самым скорость через силу:
u = bF. (1138)
Если каждое столкновение частиц приводит к их слиянию, то граничными
условиями для уравнения (11.36) являются
С = 0 при г = /?1+/?2; С = С0 при г—(11.39)
Здесь Со — концентрация частиц 2 вдали от пробной частицы 1.
Определив из (11.36) и (11.39) распределение С, можно найти поток
частиц 2 на выделенную частицу 1
/ = ШЪгУС-£с1 nds. (11.40)
5 ' '
Имеется ряд работ, в которых определяется частота столкновений частиц
при диффузионном механизме их сближения. Однако лишь немногие учитывают
гидродинамическое взаимодействие частиц. Для броуновской диффузии оно учтено
в работах [28 — 31], а для движения частиц в турбулентном потоке в [22 — 26, 32].
Таким образом, для определения частоты столкновения частиц и капель
необходимо предварительно определить силы взаимодействия частиц, а затем
найти траектории их движения и сечение столкновения или диффузионный
256
поток. В последнем случае нужно найти коэффициент турбулентной диффузии.
В итоге определяется ядро кинетического уравнения. Если полученное таким
образом ядро окажется несимметричным, то его нужно симметризовать. После
этого можно переходить к рассмотрению кинетики процесса, включающей оп-
ределение изменения со временем распределения частиц по размерам и пара-
метров этого распределения.
11.3. ДВИЖЕНИЕ КАПЕЛЬ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ
Перенос маленьких частиц и капель в турбулентном потоке можно рас-
сматривать как диффузию с эффективным коэффициентом диффузии [19].
Прежде чем переходить к его определению, рассмотрим основные закономерно-
сти движения жидкости в турбулентном потоке. Для развитой турбулентности
эти закономерности хорошо изучены и содержатся в работах [19, 33 — 35], по-
этому ограничимся рассмотрением лишь тех, которые имеют отношение к оп-
ределению столкновений частиц и капель.
При турбулентном течении жидкости на среднее движение в определенном
направлении, происходящее со скоростью U, накладывается случайное пульса-
ционное движение, которое характеризуется множеством пульсационных скоро-
стей Турбулентные пульсации определяются не только скоростями, но и
расстояниями, на которых эти скорости претерпевают заметное изменение. Эти
расстояния называются масштабами пульсаций и обозначаются через X. Мно-
жество значений X представляет собой спектр турбулентных пульсаций, изме-
няющихся от 0 до максимального значения, имеющего порядок линейного мас-
штаба области течения. Так, при движении в трубе диаметром L наибольшее
значение X равно L. Каждое пульсационное движение характеризуется числом
Рейнольдса Rex = Хгц/v, гДе v — кинематическая вязкость несущей жидкости.
Пульсации, у которых X- L, называются крупномасштабными. Для них Re^»
1, поэтому течение жидкости, вызванное этими пульсациями, носит невязкий
характер. Уменьшение масштаба пульсаций приводит к уменьшению числа
Рейнольдса. При некотором значении X = Хо, называемом внутренним масшта-
бом турбулентности, число Рейнольдса
Re = ReXo = Xo«xo/v-l. (11.41)
Это означает, что пульсации, для которых X < Хо, носят вязкий характер и
пульсационное движение такого масштаба сопровождается диссипацией энер-
гии. Пульсации с X « L называются мелкомасштабными. Они порождаются
крупномасштабными, энергия которых передается мелкомасштабным движениям,
а затем переходит в тепловую. Таким образом, турбулентное течение жидкости
сопровождается значительной диссипацией энергии, потери которой на единицу
массы в единицу времени характеризуются величиной е0, называемой удельной
диссипацией энергии. Поскольку энергия черпается из крупномасштабных пуль-
саций, то Ео зависит от U и L. Значение £0 можно оценить из соображений
размерности:
£о-С/3/£. (11.42)
Рассмотрим мелкомасштабные невязкие пульсации с Хо « X « L. Ско-
рость таких пульсаций может зависеть только от £<, и X, поэтому
Wx-(eA),/3. (11.43)
257
17 - 1461
Поскольку при X - Хо выполняется условие ReZ() - 1, то из (11.41) и (11.43)
найдем внутренний масштаб турбулентности
Xo~-(v3/£o)1/4- (11.44)
“Л о
Как уже было сказано, движение жидкости в пульсации с X < Хо носит
вязкий характер. Согласно гипотезе Л. Д. Ландау и В. Г. Левина, такие пуль-
сации не исчезают внезапно, а затухают постепенно. Движение жидкости при-
обретает характер не зависящих друг от друга периодических движений, перио-
ды которых Т постоянны для всех X < Хо. Значение Т можно оценить величиной
Т ~ 7v/eo. При этом скорости пульсаций масштабов X < Хо оценивается как
«х ~ у ~ X^/eo/v.
(11.45)
Объединяя (11.43) и (11.45), получим общее выражение для скорости
турбулентных пульсаций масштаба X
(соХ)1-73 при X > Хо,
Х(е0 /v)1/2 при X < Хо.
(11.46)
Рассмотрим теперь движение маленьких частиц в турбулентном потоке
жидкости. Будем предполагать, что объемная концентрация частиц достаточно
мала, так что можно пренебречь их влиянием на движение жидкости. Пульса-
ции крупного масштаба переносят частицу вместе с прилегающими к ней сло-
ями жидкости. Мелкомасштабные пульсации с X«R, где R — радиус частицы,
не смогут увлекать в свое движение частицу, которая по отношению к ним
ведет себя как неподвижное тело. Пульсации промежуточного масштаба не
полностью вовлекают в свое движение частицу. Рассмотрим наиболее интерес-
ный для приложений случай, когда плотности частицы р, и внешней жидкости
ре отличаются незначительно, а радиус частицы значительно меньше внутрен-
него масштаба турбулентности, т. е. R « Хо. Так, для водонефтяных эмульсий
Pi/Pe ~ 1,1 —1,5. Пусть и0 — скорость жидкости в том месте, где находится
частица, а м( — скорость частицы относительно жидкости. При полном увле-
чении частицы жидкостью на частицу действовала бы такая же сила, как и
на жидкость, заключенную в том же объеме, т. е. ^nR3pe^^-. Однако из-за
неполного увлечения частицы жидкостью частица испытывает сопротивление F,
которое при R « Хо и при условии щ < щ() определяется формулой Стокса
F = - 6npv.Ru!. Уравнение движения частицы запишется в виде [19, 36].
т-^ + 4яЯ3р/4^- + -^Й = |nR3pf -^--6npvRu,, (11.47)
dt 3 I dt dt I 3 dt
где m = 2nR3pe/3 — присоединенная масса частицы.
Оценим входящие в (11.47) ускорения. Поскольку для движений масшта-
ба X < Хо период Т постоянный, то
(11.48)
Для оценки ускорения жидкости там, где находится частица, возьмем мак-
симальное ускорение пульсационного движения в рассматриваемом интервале
масштабов, т. е. при Х = Хо
/ , \1/4
_ % _ _ ?'-0 _ £0
dt Т е° A. v
(11.49)
258
Подставляя (11.48) в (11.47), получим, что векторы и, и du0/dt прибли-
женно коллинеарны, а с учетом соотношения (11.49) найдем решение уравне-
ния (11.47)
щ =-------2-21?4 . (11.50)
27?2(рг. + 0,5p„)eJ/2v',/2 + 9pv
Степень увлечения частицы пульсацией масштаба X можно оценить по
величине отношения щ/и1о. Так, если щ /иКд «1, то происходит полное увле-
чение частицы, а при щ/и1д» 1 увлечение частицы не происходит. Для пуль-
саций с Х<Х<, из (11.46) и (11.50) следует, что
щ ~ 27?2|ре _р;|е*/2у-1/2
~ 7?2(pj + 2pJei/2v-i/2 + 9pv ' (11.51)
Для водонефтяной эмульсии типа в/м имеем ре ~ 800 кг/м3, р,- = 1200 кг/м3,
v ~ 10“5 м2/с, Хо ~ 10“4 м, е0~ 10 Дж/кг • с. Тогда из (11.51) следует, что
=«1.
“х 287?2 +72-10-3
Следовательно, капли воды радиусом R < X < Хо практически полностью
увлекаются пульсациями масштаба X.
Перенос капель радиусом R « Хо определяется двумя параметрами: ско-
ростью их и масштабом X пульсаций. Из них можно составить комбинацию,
имеющую размерность коэффициента диффузии
Dr-Xwx. (11.52)
Подставляя в (11.52) скорость пульсаций из (11.46), получим выражение
для коэффициента диффузии частиц, взвешенных в турбулентном потоке жид-
кости
DT =
(е0Х4)1/3 при X > Хо,
Х2(е0 /v)1/2 при X < Хо.
(11.53)
Рассмотрим теперь применение полученных соотношений к диффузионно-
му взаимодействию частиц. Обозначим через г расстояние между центрами
двух частиц. Как показано в [19], основное диффузионное сопротивление сбли-
жению частиц приходится на область г < Хо, т. е. основное сопротивление ча-
стицы испытывают, если зазор между их поверхностями 8 < Хо - (Ri + R2), где
К, и R2 — радиусы частиц. Коэффициент диффузии в этой области соглас-
но (11.53) равен
DT
ej/2v2 v5l2
v2
(11.54)
Остается открытым вопрос, пульсации каких масштабов заставляют части-
цы сблизиться, поскольку крупные пульсации будут переносить две капли вместе
с окружающей их жидкостью как единое целое и не в состоянии заметно
сблизить частицы. Очевидно, что для того, чтобы сблизить частицы примерно
одинакового радиуса R~ ~ R2, масштабы пульсаций должны быть порядка рассто-
яния между центрами частиц, т. е. X ~ г. Частицы же, сильно различающиеся по
размерам (R, » R2), могут сблизить пульсации масштаба, равного расстоянию
между центром маленькой частицы и поверхностью большой, т. е. пульсации с
17* 259
X- r — R{, поскольку в этом случае большую частицу можно рассматривать как
плоскую стенку, при приближении к которой пульсации затухают. Для опреде-
ления масштабов пульсаций, способных сблизить частицы в промежуточной
области их размеров, воспользуемся аппроксимацией, которая удовлетворяет
двум указанным предельным случаям, а также очевидному условию симметрии
коэффициента диффузии относительно радиусов частиц DT(R], Т?2) = DT(R2, R\),
X - (Ri+R2)
г - R, - R2 R1R2
R1 R2 R2 + R2 - RtR2
(11.55)
Возвращаясь к (11.54), получим следующее выражение для коэффициента
взаимной диффузии частиц радиусами й,и R2:
DT = р — (/?, + R2Y Г - K1- R2- +------1. (11.56)
НХ20 2/ R1+R2 Rf+Rl-R.R^
Здесь введен поправочный коэффициент р, имеющий порядок 1, поскольку
выражения (11.54) и (11.55) оценены по порядку величин.
Выражение (11.56) получено в предположении, что частицы полностью
увлекаются в относительное движение пульсациями масштаба X. Поэтому фор-
мулой (11.56) можно пользоваться, только если частицы находятся относитель-
но далеко друг от друга. Однако при сближении частиц до значений зазора
между ними 8 порядка радиуса большей частицы на скорость их сближения
будет заметно влиять сила гидродинамического сопротивления, которая, как
отмечалось ранее в разделе 8.1, возрастает до бесконечности при 8->0. Для
учета этой силы воспользуемся подходом, используемым в статистической фи-
зике при рассмотрении броуновского движения частицы под действием случай-
ной внешней силы и основанном на уравнении Ланжевена [37, 38] (см. также
раздел 8.2).
Под действием случайных турбулентных пульсаций частица в течение
небольшого промежутка времени много раз изменяет направление движения.
Поэтому путь частицы, который она проходит, трудно проследить визуально.
Перемещения частицы не могут служить характеристикой ее движения, посколь-
ку среднее значение перемещений за конечный промежуток времени равно
нулю. Для такого промежутка времени основной характеристикой движения
частицы служит средний квадрат смещения. При этом следует иметь в виду, что
«среднее» понимается не как среднее по времени, а как среднее по совокупно-
сти частиц. Средний квадрат смещения имеет смысл коэффициента диффузии
частицы под действием случайной внешней силы.
Рассмотрим два момента времени: £, и t>tx. Принимаем, что за эти вре-
мена частица много раз изменит направление своего движения, причем смеще-
ния частицы за два неперекрывающихся промежутка времени независимы.
Ограничимся для простоты случаем одномерного движения. Обозначим через 5 —
путь, который проходит частица в течение промежутка времени (0, t), через s, —
путь за промежуток (0, ), а через s2 — путь за промежуток t). Из статис-
тической независимости и s2 и равной вероятности положительных и отри-
цательных смещений следует, что средний квадрат смещения
52 = (s, + S2)2 = $2 + $2 (11.57)
Обозначив s2 =у(О, перепишем уравнение (11.57) в виде
= + (11.58)
260
Решение этого уравнения имеет вид
y/(t) = s2 = 2DTt,
(11.59)
где DT — коэффициент турбулентной диффузии, подлежащий определению.
Рассмотрим теперь уравнение движения частицы под действием силы со
стороны окружающей ее среды. Эта сила состоит из систематической части,
силы трения, и случайной силы F, среднее значение которой равно нулю. Кроме
этой силы на частицу может действовать внешняя по отношению к системе
жидкость — частицы сила, например сила тяжести. Пренебрежем в дальнейшем
внешней силой. В безынерционном приближении уравнение движения частицы
вдоль оси х, уравнение Ланжевена, имеет вид
h^- + F = 0,
at
(11.60)
где h — коэффициент гидродинамического сопротивления.
Из (11.60) следует, что смещение частицы из начального положения х0 за
время t равно
(11.61)
Интеграл в правой части (11.61) имеет смысл импульса случайной силы F
за время t, и для любого 0 < < t его можно представить в виде
(11.62)
Возводя обе части (11.62) в квадрат, усредняя полученное выражение и
учитывая независимость случайных импульсов за два непересекающихся про-
межутка времени, получим
(11.63)
Уравнение (11.63) аналогично уравнению (11.57) и его решение имеет
такой же вид, как (11.59):
= 2Bt.
(11.64)
Определив теперь из (11.61) средний квадрат смещения частицы
(х-х0)2
ft Y
(11.65)
и подставив в полученное выражение соотношения (11.59) и (11.64), получим
DT =
(11.66)
Поскольку аналогичный подход в [37] осуществлен для броуновской диф-
261
фузии, то отметим основное отличие турбулентной диффузии от броуновской.
В процессе броуновской диффузии частицы совершают случайное тепловое
движение под действием соударений со стороны молекул окружающей жидкости.
В [37] соответствующая сила, действующая на рассматриваемую частицу, учтена
в виде квазиупругой силы, пропорциональной смещению частицы Fynp = - ах.
В итоге изменяется вид уравнения (11.60), появляется член, пропорциональ-
ный х, и из условия термодинамического равновесия системы следует, что
B = hkT, D6p-kT/h. (11.67)
Следовательно, коэффициент броуновской диффузии обратно пропорцио-
нален первой степени коэффициента гидродинамического сопротивления частицы.
В случае турбулентной диффузии дело обстоит несколько иначе. Движе-
ние частиц под действием турбулентных пульсаций не связано с тепловыми
флуктуациями. Поэтому В = const и коэффициент турбулентной диффузии
обратно пропорционален второй степени коэффициента гидродинамического со-
противления.
Если коэффициент гидродинамического сопротивления изменяется на рас-
стояниях, больших по сравнению с перемещением частицы в пульсации, то
входящее в (11.66) h зависит от перемещения х. Подобное имеет место при
движении частиц возле стенки или при взаимном сближении частиц.
Рассмотрим сближение двух сферических частиц радиусов R< и Т?2 (jRt > Т?2)
вдоль линии центров. В безынерционном приближении уравнение движения
частицы относительно другой, которая считается неподвижной, имеет вид
Ftr + Fr = Q, Ftr = h?u°, Fr = -hrUr. (11.68)
Здесь F)r — сила, которая действовала бы на неподвижную частицу со
стороны обтекающего ее потока, Fr — сила сопротивления собственному движе-
нию частицы, и? — скорость жидкости в том месте, где находится частица, иг —
скорость частицы.
При больших по сравнению с размерами расстояниях между частицами
каждая из них полностью увлекается жидкостью и Д? = Д., = ит. Уменьшение
расстояния между частицами приводит к изменению коэффициентов гидроди-
намического сопротивления частиц /г? и hr. Первый коэффициент изменяется
незначительно, тогда как второй возрастает и обращается в бесконечность в
момент касания частиц.
Из (11.68) следует, что скорость движения частицы в окрестности другой
частицы носит стесненный характер и равна
wr = ^-wr°. (11.69)
"Г
Уравнение (11.69) для малых перемещений описывает движение, аналогич-
ное движению нестесненной частицы с коэффициентом подобия, равным h^/hr.
Сказанное позволяет теперь представить коэффициент турбулентной диффузии
(11.66) в аналогичном виде
Е>г = Е>го(г)(/го//г,)2, (11.70)
где Е>Г0(г) — коэффициент турбулентной диффузии в условиях нестесненного
движения частиц, определяемый формулой (11.56).
Выражение (11.70) для коэффициента турбулентной диффузии не учиты-
вает движение второй частицы. Для того чтобы учесть взаимное влияние частиц
на скорость их сближения, поступим следующим образом. Пусть и — скорость
262
движения одной частицы относительно другой, а и, и и2 — скорости частиц
относительно системы отсчета, центр которой лежит между частицами на линии
их центров. Тогда и = ut - и2. Силы F, действующие на частицы, равны и про-
тивоположны по направлению. Тогда коэффициент гидродинамического сопро-
тивления сближению частиц можно представить в виде
, _ F _ F _ h\h2
' щ + и2 F/h\+F/h2 h\+h2' (11.71)
Здесь через hi обозначены коэффициенты гидродинамического сопротивле-
ния движению каждой частицы (г = 1, 2).
При больших расстояниях между частицами влияние частиц друг на друга
незначительно, /г; = 6лру/?; и из (11.71) находим
/гг = Аг° = 6npv -А?2 ; г »Rx,R2. (11.72)
+ Т<2 )
На малых расстояниях 8 = r~ Rt- R2 между поверхностями частиц коэф-
фициент сопротивления ведет себя как 1/8 для твердых частиц [13] и как
1/л/З для капель [39], обладающих подвижной поверхностью. Ограничимся
пока случаем твердых частиц. Для них при малых зазорах между частицами
коэффициент сопротивления
h = ho + Ri)
Г Г (/?! + T?2)2 (Г - *1 - R2> ’
(11.73)
Объединяя дальнюю (11.72) и ближнюю (11.73) асимптотики, получим
следующее аппроксимационное выражение:
hr = 67tPvf 1 + - t (R' + *2> Д (Ц.74)
H (K1+K2)^ (Ri+R2y (г-К-Ы) 7
Выражение для коэффициента гидродинамического сопротивления капель
с подвижной межфазной поверхностью приведено в разделе 13.7, в котором
рассмотрена коалесценция капель в эмульсии.
Подставим теперь соотношения (11.56), (11.72) и (11.74) в (11.70), полу-
чим следующее выражение для коэффициента взаимной турбулентной диффу-
зии сферических частиц с учетом гидродинамического взаимодействия:
v (R, + R2)2(s+ y)2s2
Ч (s + %)2
(11.75)
Здесь введены следующие безразмерные параметры:
s - (г - R} -R2)/(Ri +R2), у = R}R2/(R? + Rl - RiR2), % = R}R2/(Ri +R2)2.
11.4. СИЛЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КАПЕЛЬ
Для определения частоты столкновения капель необходимо рассмотреть
относительное движения капель под действием сил взаимодействия капель между
собой и с окружающей их жидкостью.
Гидродинамические силы, действующие на капли, проявляются при их
движении относительно окружающей жидкости и относительно друг друга. Эти
силы могут, вообще говоря, деформировать капли особенно сильно, когда при
сближении капель зазор между ними станет меньше радиуса капель. Однако,
если размер капель достаточно мал и их поверхность покрыта бронирующими
263
оболочками, то деформацией капель можно пренебречь. Поэтому в дальнейшем
будет считать капли сферическими и недеформируемыми. На величину гидро-
динамических сил влияют поле скоростей несущей среды и наличие соседних
капель. Для капель размером до 100 мкм можно считать, что движение про-
исходит при малых числах Рейнольдса. Поэтому, если в каждый момент ско-
рость поступательного движения и угловая скорость вращения капли заданы, то
гидродинамическая сила, действующая на каплю, может быть определена из
решения уравнений Стокса, В задачах такого рода обычно предполагается, что
объемная концентрация дисперсной фазы мала. Это позволяет ограничиться
рассмотрением взаимодействия двух капель (парные взаимодействия). В сис-
теме координат, связанной с центром большой капли S1 (см. рис. 11.2), урав-
нения Стокса и граничные условия имеют вид
V*w = 0; |iVu = Ap, (11.76)
м|5 =»; + £2,х(г-п), |г-Г;| = 7?(; (г = 1, 2), (11.77)
и —> U = (- U cos 0, U sin 0) при г -> оо,
где Vi — поступательная скорость движения центра капли S;; U — скорость
несущей жидкости вдали от капель (в дальнейшем ограничимся случаем (7 = const);
Qi — угловая скорость вращения капли S,; г, — радиус-вектор центра частицы;
Ri — радиусы частиц.
Сила и момент, действующие на каплю со стороны внешней жидкости,
даются выражениями [14]
F& = jjds-(-pI + 2iiE)-, Т{°к = JJ(r-r<)x(-pI + 2gE) </s, (11.78)
s, s,
где E — тензор скоростей деформаций; I — единичный тензор; ds = dsn — ориен-
тированный в сторону жидкости элемент поверхности.
Таким образом, из решения краевой задачи (11.76), (11.77) можно найти
F& и как функции размеров и скоростей частиц, расстояния между ними и
вязкости внешней жидкости |1е. Если рассматривается задача о гидродинамиче-
ском взаимодействии капель с подвижной поверхностью, то кроме перечислен-
ных параметров появляется еще один — вязкость внутренней жидкости |Л*:
Рц, = Fi(Rt, R2,vt,v2,Qt, Q2, r2-r(, це, ц,),
(11.79)
Tth = R2, v1t v2, fi2, r2 -rt, ц,).
В силу линейности уравнений Стокса искомые выражения для и TiA
могут быть найдены путем суперпозиции и аппроксимации известных частных
решений о движении капли S2 относительно St в покоящейся жидкости и
обтекании потоком со скоростью U на бесконечности двух неподвижных ка-
пель S2 и St, находящихся на фиксированном расстоянии друг от друга. Исходя
из сказанного, силу FA и момент ТА можно представить в виде
Fh = Fs + Fe; Th=Ts + Te. (11.80)
Слагаемые Fs и Ts, стоксовые составляющие, отвечают закрепленной сфе-
ре St при условии = 0 и U * 0, а слагаемые Fe и Те, собственные состав-
ляющие, соответствуют вкладу в гидродинамическую силу и момент собствен-
ного движения капли S2 при г2*0 и £12*0 в жидкости, покоящейся на беско-
нечности, т. е. при (7 = 0. Выражения для Fs и Ts могут быть определены
следующим образом. Обозначим через и0 скорость стоксового обтекания оди-
264
(11.83)
ночной частицы .SV Тогда компоненты этой скорости в меридиональной плоско-
сти (<р = const) равны [19]
wOr = L7cos0| —- —-1 wo0 = L7sin0|- —- —+1 |. (11.81)
I 2r 2r3 I I 4r 4r3 I
Характерный масштаб изменения поля скоростей (11.81) равен R. Это
означает, что в любой области размером много меньше R поток можно прибли-
женно рассматривать как квазиплоский в меридиональной плоскости, образуе-
мый наложением однородного потока и простого сдвига. Однородный поток
индуцирует силу Fs на каплю S2, а сдвиговый поток — момент Ts. При этом на
достаточном удалении от капли S2 имеем
R = 6npe/?2w0; Ts = 4niieR$Vxu0. (11.82)
Уменьшение зазора 8 между каплями St и S2 приводит к нарушению
зависимостей (11.82). Учесть влияние искажения поля скоростей при малых
значениях 3 можно, введя в (11.82) коэффициенты сопротивления. При этом
необходимо учесть, что коэффициенты сопротивления имеют разный вид для
движений капли S2 вдоль и перпендикулярно поверхности 5,, поэтому
F„ ^Ity-eRlfsrUor > FsQ
fa = 8iqLeR%faG,
где fa и fa — трансляционные коэффициенты сопротивления движению перпен-
дикулярно и параллельно поверхности 5V tS9 — ротационный коэффициент
сопротивления; G = O,5|Vxuo|. Отметим, что эти коэффициенты зависят от
относительного зазора между каплями А = (г - 7?( - R2 )/(/?( + R2) и отношения
радиусов капель k = R2/Rt.
Достаточно полный обзор ранных работ по определению гидродинамиче-
ского взаимодействия пары твердых сферических частиц содержится в [13].
Это в основном работы по определению сил и моментов, действующих на
частицы, находящиеся относительно далеко друг от друга, а также при посту-
пательном движении частицы перпендикулярно и параллельно плоской поверх-
ности и при поступательном движении одной частицы относительно другой
вдоль и перпендикулярно линии центров. Более общий случай поступательного
движения и вращения двух твердых частиц был рассмотрен в [40, 41]. Гидро-
динамическое взаимодействие двух капель с учетом подвижности их поверхно-
стей и внутренней циркуляции исследовано в [39, 42 — 49].
Анализ решений соответствующих гидродинамических задач показывает,
что коэффициенты fa, fa и tJ<p мало отличаются от единицы на расстояниях от St,
равных нескольким радиусам малой частицы S2 и меньше. В области малых
зазоров эти коэффициенты остаются конечными. Поскольку, как будет показано
далее, аналогичные коэффициенты в силе Fe и моменте Те неограниченно воз-
растают при стремлении зазора между каплями к нулю, то без ущерба для
точности расчетов можно принять fa, fa и fa ~ 1.
Рассмотрим теперь гидродинамическую силу и момент от собственного
движения капли S2. Эта задача в настоящее время достаточно хорошо изучена.
Имеющиеся решения позволяют охватить все три типа собственного движения
частицы S2. движение вдоль линии центров, движение перпендикулярно к линии
центров в меридиональной плоскости и вращение вокруг оси, перпендикулярной
к меридиональной плоскости [41]. Полученные в этих работах численные ре-
зультаты существенным образом дополняются асимптотическими выражениями
265
[39, 41, 50] для случая движения сферы вблизи другой сферы или плоскости, когда
зазор между сферами мал по сравнению с радиусом меньшей частицы. Указанные
три типа движения приводят к следующим выражениям для момента Те и ком-
понент силы Ре,в меридиональной плоскости, действующих на твердую частицу:
Fer = - 6np.eR2fervr, Fee=- 6n]ieR2fe9ve + бтЩеКУ'Ъ Q, ( ц §4)
= 87гре7?22^гв - 8лце7?23491 Q.
Приведем асимптотические выражения для коэффициентов сопротивления
твердых частиц. Введем безразмерное расстояние от центра большой частицы 5(
до поверхности малой частицы S2 вдоль линии центров xt = (г- 7?2)/7?i. При
малых величинах зазора (1 <xt < 1,5) можно пользоваться ближними асимп-
тотическими представлениями
fa « -A(2+? + wlln (х, -1) + 0,959,
fa. « -2(1 + W In (х, -1) - 0,2526,
1 1 15(1 + kF
~ юрУ*/111 ~ + °’29’ (11.85)
^7IylnU1“1) + 0’3817’
fer =-----!------- Lt7* °2 In (х, -1) + 0,97.
1 (1 +/г)2(х1 - 1) 5(1 + k)
(11.86)
В области х( » 1/k для значений k « 1 справедливы следующие дальние
асимптотические представления:
1-Т5^ + 8^з]
t ~ 1 • t ~ 1+ 5
32х4-^ 1+1бх,’
г . 1,125 , 1,266
а для произвольных значений k < 1
г ~______________________________1________. г ~___________1______
ler ~ 1 - 2,25k(kxt +1)-2 1 - 0,56A(fer( +1)-2 ’
, 0,561г2 (<гх1 + I)-3
1 - 0,561: (kx\ + I)-2
(11.87)
Коэффициенты сопротивления в промежуточной области представлены в
указанных выше работах в виде бесконечных рядов, а их численные значения
приведены в таблицах.
Подробный анализ относительного движения капель вдоль линии центров
при малых зазорах между ними проведен в работе [17]. Приближенное выра-
жение для коэффициента сопротивления капли S2 имеет вид
Ь С О Г с-,, Г ^1^2 Y
Л — 6лЦе/?2Дг — бЛЦе I I g >
(11.88)
где 3 = г - R\ - R2 — зазор между каплями;
266
,, Ч 1 + 0,402m if R,R2 \/2 _ ц,-
f(m) =-----------------; m = — --- ; ц =
1 +1,711m + 0,461m2 gl(7?i+7?2)J
Параметр m характеризует подвижность поверхности капли. Так, при т « 1
поверхность капли практически полностью заторможена и в гидродинамиче-
ском смысле она ведет себя как твердая частица. Тогда коэффициент сопро-
тивления
Выражение (11.89) совпадает с первым членом асимптотического разложе-
ния (11.85) для f„. Из вида коэффициента сопротивления следует, что он имеет
неинтегрируемую особенность при 3 —> 0, поэтому контакт капель с заторможен-
ной поверхностью невозможен за конечное время под действием конечной силы.
Другой предельный случай т » 1 соответствует почти полностью подвиж-
ной поверхности. При этом капля ведет себя как газовый пузырь и коэффи-
циент сопротивления имеет вид
кс ( R\R1 0,872ц (R, + Т?2 / /4 4
При 8 —> 0 выражение для h капли с подвижной поверхностью имеет
интегрируемую особенность, поэтому в ламинарном потоке, в частности при
гравитационном осаждении капель, контакт капель возможен даже в отсутствии
молекулярной силы притяжения капель. В турбулентном потоке коэффициент
турбулентной диффузии DT- i/h2, поэтому в отсутствии молекулярной силы
притяжения контакт капель с полностью подвижной поверхностью невозможен.
В заключение отметим, что в работе [39] найдены асимптотические выра-
жения при 3 -> 0 для коэффициентов сопротивления относительного движения
двух сферических капель различной внутренней вязкости ц-” и Ц-2), помещен-
ных в жидкость вязкости це:
л2 /г>/2 (цр) + ц[2))
1б (l + *)2(s-2)‘/2 ’
(11.91)
где s = 2r/(R, + R2); цР'2) = цр'2,/це.
Если одна из капель имеет полностью заторможенную поверхность, что со-
ответствует случаю относительного движения капли и твердой частицы, то асимп-
тотическое выражение для коэффициента сопротивления при 3 —> 0 имеет вид
k!9я2/гц,-
2(1 + k)3(s - 2) 64(1 +W2(s-2)'/2 ’
(11.92)
11.5. МОЛЕКУЛЯРНАЯ И ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ СИЛЫ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КАПЕЛЬ
Силы молекулярного и электростатического взаимодействий частиц были
подробно рассмотрены в разделе 10.1. Поэтому приведем только соотношения,
необходимые в дальнейшем.
При отсутствии внешних сил (гравитационных, центробежных, электриче-
ских) незаряженные частицы и капли, диспергированные в покоящейся жидко-
сти, должны быть распределены однородно. Между частицами всегда существу-
267
ет взаимодействие: электростатическое отталкивание (для заряженных частиц
и частиц, окруженных двойными электрическими слоями), молекулярное притя-
жение (силы Ван-дер-Ваальса — Лондона), гидродинамические силы (силы, воз-
никающие при взаимном влиянии полей скоростей жидкости и частиц).
Электростатические силы отталкивания одинаково заряженных частиц
поддерживают однородное распределение частиц. Способность к сохранению в
течение длительного времени однородного распределения частиц в жидкости
характеризует устойчивость системы.
На практике в большинстве двухфазных дисперсных системах число час-
тиц со временем уменьшается, одновременно увеличивается их размер. Для
эмульсий столкновение двух капель приводит к их слиянию (коалесценции)
с образованием одной капли большего размера. Частицы при столкновении
могут и не коалесцировать, а образовывать агрегаты. Агрегация частиц проис-
ходит за счет молекулярных сил притяжения Ван-дер-Ваальса — Лондона.
Системы, в которых происходит агрегация, коагуляция или коалесценция
частиц, называются неустойчивыми или нестабильными.
В отсутствии внешних и гидродинамических сил устойчивость дисперсной
системы зависит от взаимодействия частиц, вызванного поверхностными силами:
электрическим отталкиванием и молекулярным притяжением [51].
Электростатические силы — это силы отталкивания, обусловленные двой-
ными электрическими слоями на поверхностях частиц или капель. Электроста-
тический потенциал для двух различных сфер радиусов R, и R2 (Л(>Я2),
расстояние между центрами которых равно г, [52]
т/sphere _ ^191-^2
R ~ i(Ri + R2)
-2-^-lnl 1 ~ e~z<10
<pr 11 + e-xAo
+ (1 + ^1-|ln(l-e-2x*o)
I <₽i2 J
(11.93)
где ф) и <p2 — потенциалы поверхностей частиц; х — обратный дебаевский ра-
диус.
Силу электростатического отталкивания двух сферических частиц находят
из соотношения
р _ dVR _ aRt<p?x
Fr-~t----------------—
(11.94)
а = 0,57?1х(1 + /г)М^-
Из (11.94) следует наиболее часто используемая формула для электроста-
тического взаимодействия одинаковых частиц радиуса R, обладающих равными
поверхностными потенциалами <р0:
FR = еУ?(р^х/2(1 + еа). (11.95)
Сила притяжения Ван-дер-Ваальса — Лондона является силой молекуляр-
ного происхождения, хотя в ее основе лежат электрические взаимодействия.
Эта сила по своей природе обусловлена поляризацией молекулы под влиянием
флуктуаций распределения заряда в соседней молекуле и наоборот. Она извест-
на также под названием дисперсионной силы Лондона.
Сила молекулярного притяжения между двумя параллельными плоскостя-
ми и двумя сферическими частицами была получена Гамакером [53]. Соответ-
ствующая энергия притяжения
ypiane =-Г/12тг/г2, (11.96)
268
где h — расстояние между плоскостями; Г — постоянная Гамакера, характерные
значения которой равны 10*20-10*19 Дж.
Для двух одинаковых сферических частиц радиуса R при условии ho«R,
где h0 — минимальное расстояние между их поверхностями, энергия равна
Vfhere=-7?r/12Ao. (11.97)
Для одинаковых сфер при произвольном расстоянии г между их центрами
^sphere = _ Г ( + 2К2 J Г Г2 Т 4g2„ Yl (11.98)
А 6 г2 _ 4Д2 г2 г2
В случае двух различных сфер с радиусами R, и R2
у sphere _ _ F I _8k________ ,_8k_______ ,
A ~ 6 (js2 - 4)(1 + 6)2 s2(6 + I)2 - 4(1 - 6)2 +
+ п4)(1ПГЪ2 Tl’ (11-99)
I s2(k + I)2- 4(1 - k)2 j
где s = 2r/(Rt + R2); k = R2/Ri.
Соответствующая молекулярная сила притяжения двух различных сфери-
ческих частиц
= = (и.юо)
dr oR\
—!— ------------------(8k - (1 + /г)2(х2—4)) +
(1 + Л) I (s2 - 4)(1 + 6)2
+
5(1 + 6)2
(S2(fc +1)2-4(1-Л)2)2
(8fe + S2(l + &)2 -4(l-fe)2)
В выражении (11.100) не учитывается эффект электромагнитного запаз-
дывания, приводящего к уменьшению силы Ван-дер-Ваальса. Приближенное
выражение для молекулярной силы с учетом этого эффекта приведено в [54]
и имеет вид
(11.101)
где
1
Ф(р) =
1 + 1,77 р
_ 2,45
60р
при р < 0,57,
2,17
120р2
0,59
420р3
при р > 0,57,
где р = 2л (r~R, - R2) "kL- — лондоновская длина волны, имеющая поря-
док 103 А.
Полная потенциальная энергия взаимодействия двух сферических частиц
равна сумме потенциалов электростатического и молекулярного взаимодействий
частиц:
VA + VR.
(11.102)
Энергия отталкивания экспоненциально убывает с ростом ho с характер-
ным линейным размером Энергия притяжения убывает как 1/Л0. Поэтому
сила притяжения Лондона превалирует на относительно малых и больших
269
расстояниях между частицами, в то время как на промежуточных расстояниях
доминирует ^сила отталкивания.
Коагуляция бывает быстрой и медленной. Быстрая коагуляция — это коа-
гуляция при учете только молекулярных сил притяжения. Если кроме сил
притяжения учитываются силы электростатического отталкивания, то такая
коагуляция называется медленной. Известно, что необходимая для быстрой
коагуляции концентрация электролита Со сильно зависит от заряда противо-
ионов, т. е. ионов, несущих заряд, противоположный заряду частиц. С другой
стороны, устойчивость системы практически не зависит от заряда ионов и от
концентрации частиц. Это соответствует правилу Шульца — Харди, согласно
которому основное влияние на устойчивость системы оказывает валентность
противоионов. Значения потенциалов молекулярного и электростатического взаи-
модействий частиц в точке, разделяющей устойчивое и неустойчивое состояния
системы, находятся из следующей системы уравнений:
Е=УЛ + УД = О, (11.103)
= + = (11.104)
аг аг аг
Если система полностью неустойчива, т. е. силы отталкивания не учитываются,
то каждое столкновение частиц приводит к их коагуляции. Присутствие в жидко-
сти стабилизатора — электролита приводит к появлению сил отталкивания благо-
даря наличию на поверхности частиц двойных электрических слоев. Это значит,
что коагуляция замедляется. Поэтому такая коагуляция называется медленной.
Скорость коагуляции характеризуется фактором устойчивости W, равным
отношению числа столкновений частиц без учета и с учетом силы электроста-
тического отталкивания [9]:
W=I/IR. (11.105)
При быстрой коагуляции IR = I и W = 1, а при медленной коагуляции IR<I
и W> 1.
11.6. ПРОВОДЯЩИЕ КАПЛИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
В этом разделе обсудим в общих чертах поведение капель во внешнем
электрическом поле в предположении малой объемной концентрации капель.
Когда капли находятся относительно далеко друг от друга, влияние соседних
капель мало и можно ограничиться рассмотрением одной капли в бесконечной
жидкости. Уменьшение расстояния между каплями приводит к искажению
внешнего электрического поля возле поверхностей капель, что оказывает су-
щественное влияние на форму капель. Взаимодействие двух проводящих ка-
пель во внешнем электрическом поле будет рассмотрено в следующей главе.
Здесь ограничимся рассмотрением поведения одиночной капли, а также обсудим
вопрос об устойчивости капли в электрическом поле.
Если внутренняя и внешняя жидкости представляют собой идеальные
диэлектрики и на межфазной поверхности нет свободных зарядов или жидкость
в капле обладает высокой проводимостью, а внешняя жидкость — изолятор, то
внешнее электрическое поле приводит к появлению распределенной по поверх-
ности капли силе, обусловленной разрывом электрического поля на межфазной
поверхности [55]. Эта сила перпендикулярна межфазной поверхности и на-
правлена от жидкости с большей диэлектрической проницаемостью или от
270
проводящей жидкости в сторону жидкости с меньшей диэлектрической прони-
цаемостью или изолятора. Для сохранения равновесия фигуры неподвижной
капли в неподвижной жидкости необходимо, чтобы выполнялось условие равен-
ства поверхностной электрической силы силе поверхностного натяжения. В ре-
зультате в статических условиях капля принимает форму тела вращения (эл-
липсоида), вытянутого вдоль направления внешнего электрического поля.
Теория статического равновесия капли в электрическом поле (электрогид-
ростатика) развита в работах [56 — 62] для идеальных сред — диэлектриков и
проводников. Однако реальные жидкости представляют собой жидкости с
конечной проводимостью и диэлектрики с конечной диэлектрической проница-
емостью. Исключение составляют сверхпроводящие жидкости при очень низ-
ких температурах, например жидкий гелий. Учет конечной проводимости зна-
чительно осложняет задачу как математически, так и физически, поскольку
возможные формы капли отличны от форм идеально проводящих капель. Так,
капля может принять форму вытянутого вдоль направления электрического
поля эллипсоида, вытянутого вдоль направления, перпендикулярного электри-
ческому полю эллипсоида, а также сферическую форму, что наблюдалось в
экспериментах [63]. Теоретическое объяснение этим феноменам дано в работе
[64]. Показано, что у капли конечной проводимости электрический заряд акку-
мулируется в поверхностном слое капли, порождая неоднородное поверхност-
ное тангенциальное электрическое напряжение. Это напряжение индуцирует в
жидкости касательные гидродинамические напряжения, влияющие на деформа-
цию капли. Величины напряжений зависят от свойств жидкостей и от напря-
женности внешнего электрического поля. Поэтому в зависимости от соотноше-
ния между электрическими и гидродинамическими поверхностными напряже-
ниями капля может принимать одну из перечисленных выше форм. Решение
задачи с учетом внутренней циркуляции жидкости проведено в [64] в предпо-
ложении малой деформации поверхности капель и медленного стоксова течения,
что позволило получить приближенное асимптотическое решение.
Эксперименты, результаты которых содержатся в [65], показали лишь качест-
венное согласие с теорией [64], в то время как количественное расхождение,
в частности степень деформации капли, оказалось значительным. Попытка учесть
в асимптотическом разложении члены более высокого порядка была сделана
в [66], но она не ликвидировала расхождение с результатами экспериментов.
Следует заметить, что проведение экспериментов осложнено необходимостью
выполнения довольно жесткого условия отсутствия движения (осаждения или
всплытия) капель, для чего необходимо, чтобы капли были очень маленького
размера, а плотности внутренней и внешней жидкости различались незначительно.
Более общий случай представлен в работе [67], в которой рассмотрено
поведение капли конечной проводимости, свободно взвешенной в жидкости другой
конечной проводимости. В уравнении движения учтены нелинейные инерцион-
ные члены. Задача решалась численным методом конечных элементов. Пока-
зано, что учет конечной проводимости и нелинейных эффектов приводит к
хорошему согласию с результатами экспериментов.
Отметим еще некоторые работы, в которых исследуется влияние электри-
ческого поля на другие процессы. В [68 — 75] показано, что электрическое поле
интенсифицирует процесс тепломассообмена между каплями и окружающей их
жидкостью, а в [76] исследуется возможность дробления капель конечной про-
водимости в электрическом поле.
Ограничимся здесь простыми оценками, для чего рассмотрим идеально
проводящую каплю, взвешенную в идеальном диэлектрике. Движением жидко-
271
Рис. 11.4. Деформация проводящей капли
в электрическом поле
сти внутри и вне капли пренебрега-
ем. В этом случае проводящие капли,
взвешенные в диэлектрической жид-
кости, под действием внешнего элект-
рического поля поляризуются и дефор-
мируются, принимая форму эллипсои-
да с большей осью, направленной по
направлению вектора напряженности
внешнего электрического поля Ей.
Рассмотрим несколько подробнее
поведение одиночной проводящей сфе-
рической капли радиуса R, свободно
взвешенной в неподвижной диэлектрической жидкости постоянной диэлектри-
ческой проводимости е в присутствии однородного внешнего электрического
поля напряженности Ео (рис. 11.4).
Так как вне сферы заряд отсутствует, то потенциал электрического поля ср
удовлетворяет уравнению Лапласа
Д<р = О.
(11.106)
Поверхность проводящей капли является эквипотенциальной, поэтому можно
принять, что на ней
<р = 0 на SR.
(11.107)
Вдали от капли напряженность поля совпадает с напряженностью внеш-
него поля:
Vq>->-Eo при г->оо. (11.108)
Электрическое поле внутри капли отсутствует, а индуцируемый внешним
полем заряд распределен по поверхности с плотностью о, равной
2ло =-Эср/Эи, (11.109)
где и — внешняя к SR нормаль.
Суммарный заряд капли равен нулю, поэтому должно выполняться ус-
ловие
f^d5 = O. (11.110)
J дп
Sr
Найдем условие того, что капля слабо деформируется. Тогда можно при-
нять форму капли сферической. Уравнение Лапласа в сферической системе
координат при условии сферической симметрии имеет вид
sin0Afr2*P>l+ эС 0дфЪо (11.111)
ЭгI Эг ) эе1 эе )
Граничными условиями являются
Ф = 0 при r = R-, - Ео cos 0 при (11.112)
272
Решение равно
<р = ~Е01 г - cos 0.
(11.113)
Из (11.113) определим напряженность электрического поля на поверхно-
сти капли
Р _( Эф
’о cos 0.
(11.114)
Найдем теперь силу, действующую на проводящую каплю. Плотность потока
импульса в электрическом поле определяется максвелловским тензором напря-
жений [77]
^ = -—I—8,4-E,eJ. (11.115)
* 4л I 2 I
Сила, действующая на ориентированный элемент поверхности ds, равна
dsk itk ftk ds.
Значение t,knk является силой, действующей на единичную поверхность.
Поскольку на поверхности капли вектор напряженности направлен по нормали
к поверхности, то Е,Ек = Effi,k. Сила, действующая изнутри на единичную пло-
щадку поверхности капли, эквивалентна давлению
Д» = ^--.^-соз2 0. (11.116)
г 8л 8л
Наибольшего значения это давление достигает при 0 = 0 и 0 = л, т. е. на
полюсах капли, лежащих на прямой, параллельной Ей. Потому деформация
капли достигает наибольшего значения в окрестности этих точек. В резуль-
тате капля принимает форму эллипсоида с большой осью, направленной
по Ео.
Условием равновесия капли является равенство электрического давления
силе поверхностного натяжения. Если сила электрического давления превосхо-
дит силу поверхностного натяжения, то капля деформируется до тех пор, пока
уменьшающиеся главные радиусы кривизны в полюсах капли не увеличат по-
верхностное натяжение, которое компенсирует внутреннее давление. Значитель-
ная деформация капли может вызвать потерю устойчивости капли и привести
к ее дроблению. Значение критической напряженности внешнего электрическо-
го поля Ест можно оценить из равенства
9£с2г _ 2S
8л R ’
(11.117)
из которого следует, что устойчивость капли характеризуется безразмерным
параметром
электрическая сила ~ R
X ~ сила поверхностного натяжения — X •
(11.118)
Приведенная выше простая оценка дает критическое значение параметра
Хсг-4>/л/з. Более точный расчет с учетом деформации капли [58, 78] при-
водит к значению %„= 1,625. Для воды в нефти Е = 3 • 10“2 Н/м и для кап-
ли воды радиуса 1 см критическая напряженность электрического поля
£сг = 2,67 кВ/см. Поэтому напряженность электрического поля Ео < 3 кВ/см
18 - 1461 273
Т аблица 11.1
5/7? оо 10 1 0,1 0,01 0,001
Хсг 1,625 1,555 0,9889 0,0789 3,91 • 10"3 1,9 • 10’4
не будет заметно деформировать далеко отстоящие друг от друга капли
радиусом R « 1 см.
Иначе обстоит дело, когда капли расположены близко друг от друга.
В этом случае уменьшение расстояния между каплями приводит к значитель-
ному увеличению локальной напряженности электрического поля в зазоре между
поверхностями капель. В [79] показано, что устойчивость системы двух прово-
дящих капель определяется тоже параметром %, но, в отличие от случая оди-
ночной капли, он зависит не только от Ео, R и Е, но также от относительного
зазора 5/R между поверхностями капель. В табл. 11.1 приведены значения %сг,
зависящие от 6/R.
Из приведенных в таблице значений %сг следует, что даже маленькие капли,
находясь достаточно близко друг от друга, могут терять устойчивость в относи-
тельно небольших внешних электрических полях. Однако это происходит при столь
малых зазорах между каплями, что силы молекулярного взаимодействия способ-
ствуют захвату и слиянию образующихся в результате дробления мелких капель.
11.7. ДРОБЛЕНИЕ КАПЕЛЬ
В предыдущем разделе был затронут вопрос о деформации проводящих
капель и возможности их дробления. Рассмотрим теперь проблему дробления
непроводящих капель.
Рассматривая движение малых капель и окружающей их жидкости в рамках
стоксового приближения, видим, что оно не приводит к большой деформации
поверхности капель, а значит, и к их дроблению. Дроблению капли предшеству-
ет значительная деформация ее поверхности, что возможно, если в слоях жид-
костей, прилегающих с обеих сторон поверхности капли, имеются значительные
градиенты скорости и давления, способные преодолеть поверхностное натяже-
ние межфазной поверхности. Поэтому для описания деформации капли необ-
ходимо учитывать совместное влияние инерционных и вязких эффектов и сил
поверхностного натяжения. Исчерпывающий обзор, посвященный вопросам
деформации и дробления капель в вязкой жидкости при малых числах Рей-
нольдса, содержится в работе [80]. Некоторые данные по дроблению капель
при больших числах Рейнольдса содержатся в [81].
Промысловые водонефтяные эмульсии содержат капли воды от долей
микрона и выше. Основные трудности в процессе сепарации водонефтяных
эмульсий обусловлены мелкодисперсной составляющей, т. е. каплями размером
до 100 мкм. Деформация таких капель при гравитационном осаждении или в
ламинарном потоке невелика. Поэтому дробление столь малых капель проис-
ходит в основном при движении эмульсии в турбулентном режиме течения под
действием турбулентных пульсаций, порождающих в окрестности капель сред-
нее локальное сдвиговое течение со скоростью сдвига у = (4бо / 15Ttve )’/2, где Ео —
удельная диссипация энергии.
В разделе 11.1 приведено кинетическое уравнение, описывающее динамику
распределения капель по объемам n(V, со) в процессе их коалесценции. Поведе-
274
ние водонефтяных эмульсий в процессах добычи, подготовки и транспорта нефти
характеризуется тем, что наряду с коалесценцией капель дисперсной фазы наблю-
дается дробление капель, размер которых превосходит некоторый критический
размер. Как правило, движение эмульсий в элементах технологического оборудо-
вания и в трубопроводах происходит в турбулентном режиме течения, поэтому
дробление капель следует рассматривать как случайный процесс, характеризуемый
следующими параметрами: частотой f(V) дробления капель в интервале объемов
(V, V+dV); вероятностью P(V, <о) образования капли объемом, лежащим в ин-
тервале (V, V + dV), при дроблении большей капли, объем которой заключен в
интервале (со, со + da); минимальным радиусом дробящейся капли Rmin. Кинетиче-
ское уравнение с учетом как коалесценции, так и дробления капель имеет вид
= 1 j к(У - со, со) n( V - со, t) п(а, t) da - n( V, t) J K(V, co) n(co, t) da+
0 0
+ j V, a) n(a,t)da-f(V)n(V,t). (11.119)
V
Начнем с оценки минимального радиуса дробящейся капли. Для этого
нужно оценить силы, действующие на каплю в турбулентном потоке и способ-
ные ее деформировать.
На каплю, помещенную в поле однородной и изотропной турбулентности,
действуют следующие силы со стороны внешней жидкости: динамический напор
Q = kfpeu2/2, где kf — коэффициент, имеющий порядок 0,5; ре — плотность
внешней жидкости; и — скорость внешней жидкости относительно капли; сила
вязкого трения Fv - цеу, где ре — коэффициент вязкости внешней жидкости;
У = (4ео /15тсуе),/2 — средняя скорость сдвига; Ео — удельная диссипация энер-
гии; ve = \ке/ре — коэффициент кинематической вязкости. Кроме того, на поверх-
ность капли действует сила поверхностного натяжения Fcap = 2Z/R, где Е —
коэффициент поверхностного натяжения; R — радиус капли. В зависимости от
того, какая из внешних сил, действующих на поверхность капли, доминирует,
возможны два механизма дробления капли.
Пусть основное воздействие оказывает динамический напор [19]. Тогда
деформация капли вызывается разностью динамических напоров, действующих
на протиповоложные стороны капли:
Q = kf (11.120)
где щ и и2 — скорости на противоположных сторонах капли, отстоящих друг от
друга на расстоянии 2R.
Рассмотрим сначала капли размером R > ко, где ко — внутренний масштаб
турбулентности. Тогда крупномасштабные пульсации (ко«к«£), сравнитель-
но мало изменяющиеся на расстояниях порядка размера капли, не оказывают
на нее заметное воздействие. Следовательно, деформация и дробление капли
может быть вызвана только мелкомасштабными пульсациями. Для таких пуль-
саций изменение пульсационной скорости щ на расстоянии порядка размера
капли 2R согласно (11.43) равно
Mx«(E0k)1/3«(E02R)1/3. (11.121)
Из (11.120) и (11.121) следует, что
Q=^ie2/3(2/?)2/3. (11.122)
18
275
Если разность динамических напоров (11.122) превосходит силу поверх-
ностного натяжения капли, то происходит заметная деформация капли и она
может раздробиться. Поэтому условием дробления капли является
^e2/3(2R)2/3 = -^. (11.123)
Подставляя сюда выражение (11.42) для Ео, получим следующее соотноше-
ние для минимального радиуса дробящейся капли:
£2/5£3/5
^3/5р3/5^6/5 ’
(11.124)
Здесь L — характерный линейный масштаб области течения, U — средняя
скорость потока.
Заметим, что формула (11.124) получена в предположении, что плотности
внутренней и внешней жидкостей незначительно различаются, в противном случае
нужно было бы оценивать также динамический напор со стороны внутренней
жидкости.
Введем число Вебера
_______динамический напор____2Яре€/2
**е — сила поверхностного иатяжеиия — Е • kll.lZO/
Тогда выражение (11.124) можно переписать в виде
2^ = 3!L2we-3/2-CWe-з/2. (11.126)
z, £3/2
Рассмотрим теперь капли, размер которых меньше внутреннего масштаба
турбулентности (/?«Хо). Очевидно, что дробление таких капель могут вызвать
только пульсации, масштаб которых X < Хо, т. е. пульсации, движение которых
характеризуется значительными силами вязкого трения. Поэтому основным
механизмом, вызывающим деформацию капли, может быть только сила вязкого
трения на поверхности капли. Критерием сильной деформации капли является
равенство силы вязкого трения силе поверхностного натяжения
( 4ео 7/2 _ 2Е
М 15лу„ R ’
(11.127)
Из этого соотношения найдем минимальный радиус дробящейся капли
( £ —-С 7-\/2- (11.128)
pe(vee0)'/2 pe(vee0)’/2
В таком виде выражение для минимального радиуса капли приведено в [82].
Введем безразмерный параметр — число Онзорге
ОЬ = це/(2КрсЕ),/2. (11.129)
Тогда соотношение (11.128) можно переписать в виде
f.. у/4
Rmm = — Re~3/4 Oh-', (11.130)
i 14)
где Re= UL/v — число Рейнольдса потока.
Перейдем теперь к определению частоты дробления капель f(,V). Будем
следовать работе [83], в которой предложена модель дробления капель в ло-
кально изотропном развитом турбулентном потоке. В основе модели лежит
276
предположение о том, что дробление одиночной капли полностью определяется
флуктуациями диссипации энергии в ее окрестности. Дробление капли проис-
ходит, если значение удельной диссипации энергии, усредненное по объему,
имеющему порядок объема капли V, превосходит критическое значение £cr(V).
Для заданного размера капли критическое значение удельной диссипации энер-
гии равно соответствующему значению Ео, входящему в формулу для минималь-
ного радиуса дробящейся капли. Предположим, что основной силой, приводя-
щей к деформации и дроблению капли, является сила вязкого трения. Тогда
можно воспользоваться формулой (11.128), из которой следует, что
м/з
Есг(ю- 4? с— —(плз!)
СГ I 3 I ре veV2/3
V 7 7
Примем, что распределение диссипации энергии в окрестности капли рав-
номерное со средним значением е(£). Тогда частоту дробления, т. е. количество
актов дробления, происходящих в единицу времени, можно трактовать как
вероятность пересечения случайным процессом е(£) уровня ЕСГ(ТЛ), который
остается постоянным, и для его определения применить подход, развитый в
работе [84].
Рассмотрим два близких момента времени t и t + At Пусть в момент
времени t энергия E(t)<E„(V), а в момент t + At имеем E(t + At) > £cr(V).
Тогда частоту дробления можно представить как
у/ргх Нщ f 1 P(e(t) < £сг(Т); e(t + At) > Ecr(T)) 'I (11 132)
' At->o(jt P(e(t) <ecr(V)) /
В правой части стоит отношение вероятности того, что в момент времени t
среднее значение удельной диссипации энергии меньше, а в момент времени
t + At — больше критического значения. В знаменателе стоит вероятность того,
что в начальный момент t значение удельной диссипации энергии меньше кри-
тического значения.
Раскладывая далее е(£ + Аё) в ряд по At и считая случайный процесс
стационарным, преобразуем (11.132) к виду
f(V) = ^Ep(E„,E)dE ! Jp(£)t/E, (11.133)
о /о
где р(Е, ё) — совместная плотность распределения случайных величин е(О и
е(ё) в один и тот же момент времени t\ р(е) — одномерное распределение
случайной величины е(£).
Согласно [84] совместная плотность распределения р(Есг,Ё) выражается
через совместную плотность распределения случайной величины е(£) в разные
моменты времени:
p(£cr, е) = lim АЁрГе+ -^е, е-А£ёУ (11.134)
At—>0 12 2 )
Для определения одномерного распределения р(е) воспользуемся выводом
работы [34] о том, что оно хорошо аппроксимируется логарифмически нормаль-
ным законом распределения
р(е) = -1 - ехр^-^ОпхЕ)2), (11.135)
72ЛО£ I 2«2 )
277
где а2 = 1п(а2/ё2 +1); % = ехр(а2/2)/ё; ё и а2 — среднее значение и диспер-
сия распределения удельной диссипации энергии. В [85] показано, что из пред-
положения о справедливости гипотезы Миллионщикова о том, что четвертые
моменты градиентов скоростей связаны со вторыми так же, как при нормальном
распределении, следует
о2 = 0,4е2.
(11.136)
В [83] определена совместная плотность распределений
Р(£ег, О =
2яасе2
( т2 / • \2 4 \
(11.137)
Го = 7v/e, с = 1 -ехр(-а2).
Подставляя (11.135) и (11.137)
тоты дробления
в (11.133), получим выражение для час-
(1пФ(#)),
г/ \ ___ С
' У dy
У
Ф(у) = ~ [e-id/2dy, у = -Un(%£cr(V)).
72тс “
(11.138)
Заменяя здесь е„ с использованием (11.131) и учитывая связь (11.136),
получим окончательно
f(x) =---1=^-Х(1пФ(х)),
2,°3^То^ (П139)
х =-1,1 Inf 1,3-И, Vmin = ^K3in.
( •'min J
В [83] приводится выражение, которое аппроксимирует достаточно точно
выражение (11.139) и удобно для проведения расчетов:
2,ОЗл/2л7’о/’(х)
-* + 1^0657 °РИ х^°-
exp (- j(l + exp (-l,65x)) при x > 0.
Определим теперь вероятность образования капли P(V, со).
В экспериментах по исследованию дробления одиночных капель [82] в
зависимости от гидродинамических условий наблюдаются различные варианты
распада капель. При дроблении капли чаще всго образуются две одинаковые
(дочерние) капли и одна или несколько более мелких капель (сателлитов).
При этом ни в одной из работ не отмечалась корреляция между различными
вариантами дробления и размерами дробящихся капель. Это позволяет пред-
положить, что вероятность дробления при фиксированных свойствах внутрен-
ней и внешней жидкостей зависит только от отношения объемов дробящейся со
и образующихся V капель и имеет вид
P(V, со) = (11.140)
Из условия сохранения суммарного объема образующихся после дробле-
ния капель
278
JvP(V, (i>)dV = a (11.141)
0
с учетом (11.140) следует, что среднее значение плотности распределения д(у)
равно
1
9 = \yg^dy = р
о
Из сказанного выше о характере дробления капли следует, что функция
д(у) является бимодальной с двумя четко выраженными максимумами, один из
которых расположен в области размеров сателлитов, а другой — в области
размеров дочерних капель. Тогда ее можно представить как сумму двух взве-
шенных одномодальных плотностей распределений д^у) и д2(.у), определенных
на интервале (0, 1) и имеющих средние значения g, = Vt/co и <72 = ^2/®:
= (11.142)
<0 I <0 I <0 * I <0 I
Для выполнения условия сохранений (11.141) необходимо, чтобы
k^y\ + k2y2=\. (11.143)
В предельном случае, когда после дробления образуются дочерние капли
одинакового размера и сателлиты тоже одинакового, но другого размера, диспер-
сии плотностей распределений дАу) и д2(у) равны нулю и (11.142) принимает
простой вид:
P(V, ол) = - у}ол) + k26(.V ~ у2ол), (11.144)
где 8(х) — дельта-функция.
В случае, когда вероятность дробления не бимодальная функция, а муль-
тимодальная, ее можно представить в виде
P(V,®) = £A,8(V-z/,®); ^k.yt=i. (11.145)
1=1 1=1
В большинстве теоретических работ, в которых учитывается дробление
частиц, принимают, что после дробления образуются две одинаковые капли.
Соответствующая этой простейшей модели вероятность дробления
P(V, ш) = 28(V-0,5®). (11.146)
Если использовать вероятность дробления в виде (11.146) и подставить в
уравнение (11.119) без учета первых двух интегралов в правой части, что
соответствует дроблению капель без коалесценции, то, использовав известные
свойства дельта-функции, получим
= 2f(2V) п(2V, t)-f{V)n{V,t). (11.147)
ot
В [83] рассмотрена процедура получения решения этого уравнения в виде
суммы независимых решения с дискретными спектрами. Рассмотрены частные случаи
монодисперсного и равномерного на некотором интервале начальных распределе-
ний. На основе полученных решений найдены первые четыре момента распреде-
ления капель по объемам и с использованием диаграммы Пирсона (см. рис. 11.1)
показано, что решение сходится к логарифмически нормальному распределению.
Это находится в полном соответствии с результатом работы [86], в которой пред-
полагалось, что частота дробления f(V) постоянна и не зависит от размера капель.
279
12
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ПРОВОДЯЩИХ
СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ В ОДНОРОДНОМ
ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
12.1. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ ВНЕ КАПЕЛЬ
Рассмотрим две проводящие сферические частицы с радиусами и R2,
несущие заряды qi и q2 и помещенные в однородное внешнее электрическое
поле напряженности Ео (рис. 12.1). Обозначим через 0 угол между линией,
соединяющей центры частиц, и вектором Ео. Пространство между частицами
заполнено покоящимся однородным изотропным диэлектриком с диэлектриче-
ской проницаемостью е, частицы не движутся относительно диэлектрика. Так
как вне сфер свободные заряды отсутствуют, то потенциал электрического
поля (р в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа
Аф = 0. (12.1)
Сформулируем теперь граничные условия. Вдали от частиц напряжен-
ность электрического поля стремится к напряженности внешнего поля
£ =-Уф-> Ео = - Уф0. (12.2)
Рис. 12.1. Две проводящие сферические частицы в однородном внешнем
электрическом поле
280
Поскольку система координат выбрана таким образом, что вектор Ео лежит
в плоскости хОг, то фо, очевидно, не зависит от у и равен
фо =-Ео (z cos 0 + xsin 0). (12.3)
Из условия эквипотенциальности поверхностей проводящих частиц сле-
дует, что
<Ps. = V„ <p52 = V2, (12.4)
где Vt и V2 — постоянные потенциалы поверхностей, для определения которых
необходимо воспользоваться условием того, что заряд проводящей частицы
распределен по поверхности [77]
= 0 = 12). (12.5)
4л: J dn v
s,
Здесь n — внешняя нормаль к поверхности частицы.
Решение краевой задачи (12.1) — (12.5) следует проводить в бисферической
системе координат (т|, ц, Ф), связанной с декартовой системой координат (х, у, z),
изображенной на рис. 12.1, соотношениями [87]
esinncos® asinnsin® ashii
x = —г------’У = ~и—!, 2 = -т----------— (12.6)
СП |1 - COS Т| СП |1 - COS Т| СП |1 - COS П
(0<Т| <Л, -оо<ц<оо, 0<Ф<2л).
Бисферическая система координат характеризуется координатными поверх-
ностями, изображенными на рис. 12.2. В частности, поверхностям сфер St и S2
Рис. 12.2. Бисферическая система координат (ц, р, Ф)
281
соответствуют координатные поверхности p = pf и ц = -ц2, где щ и ц2 — поло-
жительные постоянные. Параметр а, входящий в (12.6), выражается через радиусы
частиц соотношениями
a = 7?)shp1 = T?2shp2. (12.7)
В бисферической системе координат уравнение Лапласа (12.1) преобразу-
ется к виду
Sinn Эф А д_( Sinn Эф А ____________I______Э2ф _ (12 8)
dn^ch|i-cosn Эп ) Эц^сЬц - cosn ) sinn(ch|i - cosn)
Рассмотрим теперь граничные условия (12.4) и (12.5). Первые условия
очевидны:
ФИ=И1 = ^, фи_И2 = V2. (12.9)
Для того чтобы преобразовать вторые условия, воспользуемся выражения-
ми для производной по внешней нормали к поверхности сферы
^ = -|(chp-cosi1),/2-^ (12.10)
и для элемента поверхности сферы ц = const
ds = g2sinn dydib.
(ch |1 - cos n)2
Тогда условия (12.5) примут вид
га Г -------sinn----^Prfri^ = (7j (j = 1,2). (12.11)
4л J (ch|i - cosn)3//2 di1
(ц = и,)
Условие (12.2) вдали от частиц нетрудно преобразовать, используя выра-
жения (12.3) для <ро и (12.6) для декартовых координат.
Общее решение уравнения (12.8), ограниченное при т] = 0, имеет вид ряда
по функциям [87]
фт,„ = (chц - cost])1/2
ехр((п + 1/2)ц) „ . .созтФ
ехр(-(п + 1/2)ц) 5ттФ
(12.12)
Здесь Р„т — присоединенные полиномы Лежандра.
Используем теперь условие (12.2), разложив предварительно <ро в ряд по
полиномам Лежандра:
ф0 = -42aE0(ch\i - cost])'/2 j^(2n + 1)ехр -
п - О I
п + - ||ц| P„(cost])Acos0 +
2 1 1 Ц
+ 2 j^exp -[ п + -i ||ц| .PXcosr]) sin 0созФ .
•> -1 ( \ / I
(12.13)
Будем искать решение уравнения (12.8) в виде, аналогичном (12.13):
282
- -j2aE0 (2n +1) exp [ -
cos0
P„(cost]) +
+ cosфУ, G„ exp [ n + -| Ip + H„ exp I -I n + - jp
n = A kk ; ) к к 2 J
-2-j2aE0 sin 0 exp
(cost|) .
(12.14)
Для определения неизвестных коэффициентов А„, В„, G„h Нп разделим обе
части (12.4) на (ch р - cos т]),/2, воспользуемся далее граничными условиями (12.9)
и линейной независимостью полиномов Лежандра для произвольных т. Рас-
кладывая (ch ц - cos Т|)-,/2 в ряд по полиномам Лежандра
(chp-cosT|) 1/2 = jr.Pn(cosr|)exp[n + ||ц|
" = о v I 2 J
(12.15)
приходим к бесконечной системе линейных уравнений относительно коэффи-
циентов А„, Вп, G„n Н„
J2V, exp - n + -i jpt - A„ exp n +1 jp, - B„ exp -1 n + jp-i +
+ V2(2n + t)aE0 exp - j n + -i jpt cos0 P„(cost|) = 0,
G„exp (n + | jp, + Я„ехр -ln + ljpi
/ / Ч \ \
- 2*j2aE0 exp - n + |pt sin0 cosФРП1 (cost]) - 0,
' 2 (12.16)
V2V2exp -ln + lki2 -Лехр -ln + | jp2 -B„ exp I n +1 jp2 -
-V2(2n + l)aE0 exp^-^n + -|jp2 Jcos0j.Pn(cosT]) = 0,
G„ expf- Гп + |У2)+Я„ expffn + l^l-
V kv ) J kk ) )
-2>/2aE0 exp - n + -1 p2 sin0 cosФРП’(cost]) = 0.
Для произвольного значения n(n = 0, 1, 2,...) система уравнений (12.16)
имеет решение
_ ^2 ^2” + ОаЕо (ехр((2п + 1)|12)+Осо50 + Vt ехр((2п + 1)ц2) - V2
ехр((2п + 1)(щ + ц2)) - 1
D rz (2n + DoEq (exp((2n + 1)щ)+1)соз0 + V(- V2 exp((2n + 1)|ц)
£>„ = — V Z-------------------------------------------------------
exp((2n + 1)(щ + p2)) - 1
(12.17)
283
q _ 2 у2 а^° (ехР((2я + 1)|12) ~ 1)sin9
" ехр((2п + 1)(Ц1 + цг)) - 1 '
_ 2 /2 аЕ° (ехр((2я + 1)щ) - l)sin0
" exp((2n + l)(gi + Ц2)) - 1
Коэффициенты А„, В„, G„n Нп выражены через неизвестные значения потен-
циала поверхностей частиц и V2- Для их определения воспользуемся усло-
виями (12.11) и соотношениями, следующими из (12.14):
(Ж 0 = -7(ch^‘
\ 7и =т - о
-cosr|)3/2 У (2п +1) exp [ I п + -1 к |A„P„(cosr|)+
1« = о Ц 2 7 J
+ cos Ф jr (2n + 1) ехр [ Г п +-| к |G„.P„’(cos'r]) ,
п = о Ц 27 7
=——(ch|x2
э”>1=и2 + о а
7 (12.18)
f ~ 7/ . х А
-cosr])3/2 £(2в + 1)ехр п + | к B„Pn(cosr|) +
ln=o И 2 7 7
I ( 1 1 I
+ созФ^ (2п + 1)ехр л т-2. ц2 |НпРп’(cos ц) .
В итоге получим
а
I < к Mi/г Ё^2п +1)exp[ [ п + 4 к ЛПР„(О^ = |<71,
(12.19)
, , а y,(2n + i)exp\\n + ^ к \B„P„(t)dt = lq2.
J (сЬ^-О’/г "0 i) ) е
Здесь обозначено £ = cost|.
Воспользовавшись теперь выражением (12.15) и условием ортогонально-
сти полиномов Лежандра на интервале ("1,1)
Jpn(OPm(O^ = ~3mn>
получим
(12.20)
л = о >12.аг n = o yjZae
Подставляя теперь в (12.20) выражения (12.17) для Ап и В„, найдем
потенциалы частиц
= аи -^ + а12 -^ + «13«£о cos 0,
V2 = а2) + а22 + осгзйДо cos 0,
(12.21)
где
№ ?2
аи = —; а12 = а2) = тг! а22 = —;
11 2d 2d 2d
284
clcO _ c2~l . COCO _ C1CO clc2 _ c2c0 4. c2c0 _ COCO
_ dldO dldO *dldO d(rl _ dPo dPo * dOdl dOdl
a’3---------------d ; «23---------------d ;
d = s$$l -sgsg; s’, = smQi,); s£ = sm(p2); m = 0,1, 2,
/к) _ V1 (2и + l)m exp((2n + 1)^)
" exp((2n + 1)(ц! + ц2)) - 1 ’
^<Ц( + Ц2.
Подставляя найденные коэффициенты в (12.14), получим
<р = E0-R2<Pi cos0 + Eo/?292sin0 + -^-<p3 + -^-<р4. (12.22)
6К2 £/v2
Здесь введены следующие безразмерные параметры:
И +
+ d3n exp
P„(COST|),
-2^2d3n exp -
cos Ф Pi (cosr|),
фз = csh|i2(ch|i-cosT|)!/2 ex
n = !
|+</7„exp -I n + | Ip h’(cosn),
<p4 = cshp.2(chp.- cost])1/2 d8n expl I n + - [p |+rf9n expl -I n + -i |p LPn’(cosr|),
n = 1 kk 2/ J kk 2/J
где
din — din + a2na13 + a3na23; d2n = b^„ + b2„oc13 + Ьзп«23>
d3„ = V2(2n +1); din = 2 (exp((2n +1)p2) -1) L„; dSn = 2 (exp((2n +1)p,) -1) L„;
den = й2п«и + a3na2t"> d7n = b2ncttl + b3noc21;
dgn = d2„(xl2 + d3„a22; d9„ = + b3„a22;
a1n = (2n + l)(exp((2n + l)p2) + 1)Z.„; a2„ = (exp((2n + l)p2))Z.„;
b1n = ~(2n + l)(exp((2n + 1)щ) + ОД,; b2„ = a3n = -Ln;
b3n = 2 (exp ((2n +1) m ) -1) L„; L„ = 42-—-----1------——.
exp((2n + l)(gi + jx2)) - 1
Таким образом, формула (12.22) дает решение поставленной задачи и
представляет собой распределение потенциала электрического поля в простран-
стве вне сферических частиц.
Для расчета потенциала необходимо задать значения радиусов частиц R^,
R2, расстояние между центрами частиц г и координаты х, у, z точки, в которой
ищется потенциал, затем через эти значения определить параметры ц2, ц, т], Ф.
Для этого следует воспользоваться выражениями (12.6) и (12.7), связывающи-
285
ми декартовые координаты с бисферическими координатами. Как было отмече-
но ранее, поверхностям ц = const соответствуют сферы радиуса а | csh ц |
х2 + у2 + (z-cthp.)2 = (-оо<ц<о°). (12.23)
sh2 ц
Из (12.7) и (12.23) следует, что, задав Rit R2h г, можно найти р.1( р2 и а
из системы уравнений
.R^acshpt, /?2 = «cshp2, r = a(cthp1 +cthp2). (12.24)
Решая (12.24), получим
Pi = In (bj + Jb? -1); p2 = In (b2 + 7b2 -1);
,____ ,___ (12.25)
a = R^b2-\ = R2y]b%—1,
где
» л и£2(1 + и/2). , . и(1 + и£/2)
ut = 1 +-------—, th = 1 +--------;
l + Hl + u) 1 + Hl + u)
u = (r-R,-R2)/R2; k = R2/R,; k<t.
Для определения бисферических координат точки р, т], Ф по заданным
значениям декартовых координат х, у, z воспользуемся формулами обратного
преобразования [88]
11п (.(.x2 + y2y/2-ia)2 + z2
2 ((х2 + ^2)1/2 + /б)2+г2
(г2 =-1),
ц = 1 In *2 + + (г + а>>2
2 х2 + у2 + (z - а)2 ’
Ф = arctg j.
(12.26)
12.2. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В ЗАЗОРЕ МЕЖДУ КАПЛЯМИ
Перейдем теперь к определению напряженности электрического поля в про-
странстве вне частиц. Известно [89], что сближение проводящих незаряженных
сферических частиц в электрическом поле сопровождается ростом напряженности
поля в зазоре между частицами. При малой величине зазора напряженность элект-
рического поля может в десятки и сотни раз увеличивать напряженность, что при-
водит к разрушению диэлектрических свойств сплошной среды. Авторы работы [89]
наблюдали даже искровой разряд между близко расположенными частицами. Как
будет показано в дальнейшем, перераспределение зарядов между частицами в ре-
зультате их столкновения существенно влияет на силы взаимодействия между ними.
Все сказанное объясняет повышенный интерес к расчету напряженности электри-
ческого поля в зазоре между частицами, особенно при малых величинах зазора.
Для любой точки пространства напряженность электрического поля опре-
деляется из соотношения
E = -V<p. (12.27)
Потенциал электрического поля был определен в разделе 12.1 в виде
бесконечных рядов, скорость сходимости которых уменьшается с уменьшением
зазора между частицами, т. е. в области, представляющей наибольший интерес.
286
При малых величинах зазора между поверхностями сферических частиц век-
тор напряженности электрического поля мало отклоняется от направления
нормали к поверхности. Это обстоятельство позволяет провести асимптотиче-
ский анализ при расчете напряженности электрического поля возле поверхно-
сти одной из частиц.
Рассмотрим область в зазоре между частицами вблизи меньшей из них,
т. е. в окрестности точки с бисферическими координатами т] = л, ц = - ц2, Ф = 0
(см. рис. 12.1, точка А). В этой точке выполняются условия t = cos т] = -1, Р„(-1) =
= (-!)", Р„,(~1) = 0- Тогда из (12.10) и (12.18) находим
Ex = -R4 =-|(chp2 +1)3/2 ^(-l)"(2n + l)expffn + 4ц2 4„. (12.28)
I дп 1ц = -Р2 + о “ „ I 2 I
\Л1 = П п = 0 \\ / /
Подставляя сюда выражения (12.17) для В„и (12.21) для V. и V2, получим
Еа = -i- (Е^ + E2q2 ) + Е3Е0 cos 0,
гЩ
(12.29)
Е2 = V2(chp.2 +l)372^^, + з-)а21 -
Е2 = V2(chp2 + 1)3/2^5,+ -у)«22 - ^(yja12); (12.30)
Е3 = V2(chp2 + 1)3/24(щ + з-)а2з - 5i(y-)a13 - + у.) - s2(4)];
' (t\ _ V (_1Y" ^2” + exP((2n + 1)^)
„“о exp((2n + 1)(щ + ц2)) - 1 ’
+ ц2, m = 0,1, 2.
Коэффициенты Е,, Е2 и Е3 зависят от относительного зазора между частица-
ми А = (г - Rt - R2)/R2 и отношения радиусов частиц k = R2 /R^. На рис. 12.3, а,
б, в представлены зависимости Е, (A, k), из которых следует, что при малых
зазорах А « 1 зависимость Е, от А близка к степенной для всех значений k.
Это позволяет достаточно точно получить значения Е, путем интерполяции
численных данных.
Другим методом получения зависимостей Е,(А, k) при малых зазорах
между частицами является исследование асимптотического поведения коэффи-
циентов Е, при А —> 0. Покажем, что если величина зазора между частицами
много меньше радиусов частиц, то электрическое поле в зазоре вблизи линии
центров частиц близко к однородному. Введем цилиндрическую систему коор-
динат (р, Ф, г), как показано на рис. 12.4.
Так как частицы проводящие, то вблизи поверхности вектор напряженно-
сти мало отклоняется от нормали к ней и при р « R, (; = 1; 2) проекции
вектора напряженности на оси риг равны
Е = Е — + 0
Р
R,
EJ2 = Ejn
(12.31)
i-4 +о
Здесь индекс j соответствует номеру сферы. Поскольку рассматриваются
сферы различного радиуса (R2<R^), то наибольшая неоднородность в распре-
делении напряженности электрического поля будет возле поверхности меньшей
сферы, поэтому ограничимся рассмотрением области возле сферы 2.
287
Рис. 12.3. Зависимость коэффициентов от относи-
тельного зазора между каплями Д и отношения радиусов
капель k:
1 - k= 1; 2 - 0,5; 3 - 0,2; 4 - 0,1; 5 - 0,05; 6 - 0,02;
7 - 0,01
1_L
P Эр
Подставляя выражения (12.31) в уравнение V • Е = 0, получим для глав-
ных членов разложения
рЕ2п^Й+^ = °. (12.32)
/<2 ) °2
Вблизи сферы 2 имеем Е2п ~ Е2г и при р —> 0
1 Э ( р Р^_Р ЭЕ2г ~ Е2г _ ? Е2г
Р Эр 2n R2 J R2 Эр r2 r2
В итоге (12.32) принимает вид
2^k + ^k = 0. (12.33)
R2 02
Из (12,33) следует, что при малом зазоре между сферами Az~ r-R^ ~R2
|^l| - 2—- 2Д « 1.
I E2z I R2
Следовательно, | AE2J « E2z, т. e. составляющую напряженности вдоль
288
Рис. 12.4. Цилиндрическая система ко-
ординат (р, Ф, z)
линии центров при А -> О можно
считать однородной и равной
Уг - Vi
г - R\- R2
(12.34)
Входящие сюда значения
потенциалов сфер V, и У2 сле-
дует брать при А —> О, для чего
необходимо найти асимптотиче-
ские значения ц,, ц2, й и .sm(Q.
Первые три параметра нетрудно
получить из (12.25), расклады-
вая их в ряды по степеням А:
ц, = ky/2A/(k + l) + 0(A); ц2 = 72A/U + 1) + 0(A);
а = 7?2Л/2А/а + 1) + 0(A).
(12.35)
(12.36)
Перейдем теперь к определению асимптотических значений sm(^) при pt, ц2
и ^«1. Рассмотрим сначала случай т = 0. Имеем
5<|5=и,+(1!.
Ъ ехр((2п + 1)Р) -1’ Ъ Н М
п = 0
Представим .?0(д) в виде
^1.1.2,-Of> + у .хр«2.-1>^> = (12.37)
ехр((2п - 1)Р) - 1 n^+i ехр((2и - 1)р) - 1
где N » 1.
Выберем IV, удовлетворяющее условиям д/1/Р «IV « 1 /2р. Так, если
IV- р-2/з, то эти уСЛ0ВИя удовлетворяются. Тогда Sq'(^) можно найти, разложив
предварительно экспоненту в ряд при малых значениях Np, а при расчете ос-
таточного члена So (%) ~ заменив сумму интегралом. В итоге при р —> 0 получим
ехр((2п -1) О
ехр((2и - 1)Р) - 1
4£/Мо'ФЧ^+^,<2п-1,+0<т
п=1 \ / \ /п~*
где а = £/р.
Определив входящие в это выражение суммы, найдем
= + -^ + 1n2 + -l-1+fa-l^ + p№f^-^ + ^>|+()W), (12.38)
Pl z z 4оЛ/2 II z I I z z Iz I
где C = 0,5772...— постоянная Эйлера.
Для вычисления sj заменим сумму интегралом, аналогично тому, как это
делается при численном интегрировании по формуле трапеций:
1 I- 1 fa- 111 1 [ ехр(аг)
2(2N + 1)P 21 2 I 2Р Jexp(z)-1
v 7 (2W + DP
19 - 1461
dz + R(N),
(12.39)
289
где 7?(N) — остаточный член, оцениваемый как R(N) < 1/2№. Если выбрать
N - р“2/3, то _К(Л7) ~ Р4/3 и при р « 1 имеем 7?(Л0 ~ 0(р). Преобразуем интеграл
в (12.39) к виду
«. (2N + 1)₽
Г«ср(аг)^= ехрСаг)-^^ Г----------------1---f exp (аг) - 1
Jexp(z)-1 J exp(z)-l Jexp(z)-1 J exp(z)-l
(2N+1)₽ О (2N + OP О
Последний интеграл можно найти, если учесть, что (2N + 1)р« 1, и разло-
жить подынтегральное выражение в ряд по z. В итоге получим
Г ехр(аг) _ ln((2N + 1)р) _ С + у(1 - а)
J exp(z) - 1 2Р 2(3
(2N + DP
+ 2W+i(1 _2а) + (2N + 1Е р(6а_6а2_t) + 0(рлг) (12.40)
4 48
Подставляя (12.38) и (12.39) в (12.37) и учитывая (12.40), получим
<12-41)
Здесь \|/(х) — пси-функция Эйлера [5].
Для определения sm(ip при т = 1, 2, 3,... воспользуемся очевидным свой-
ством
используя которое найдем коэффициенты, входящие в (12.21):
а11 = |fln| + Жртт Y+ 0(₽>; а12 = а21 = + vd)^о(р),
d I Z I р j I ° I Z j
а’3 = ln 2 (т )" (т+v(т Jv'(1) + (т“
- v(D^'(i) + v^yj+o(p),
a22 = -|(ln j + vfyT|+O(p); a23 = ^-fln|+ WyV V'fe-T|~
15 I z \ p J I PA I I I p I I p 1 I
- v f ТГ Y v'(l) + v' + v(l)f v'(l) + v' f 7Г TO + °ф) ’
k P A \ P /) \ k P ) j J
s = vf^-2v(l)^+vf^W^rV^1))2-
I I P J \ P ) I P )
Подставляя найденные коэффициенты atJ в (12.21) и учитывая, что при
А « 1 справедливы равенства /р = k/{k + 1) + 0 (А) и р.2 /р = 1 /(k + 1) + 0 (А),
290
найдем потенциалы частиц V, и V2, а из (12.34) — среднюю напряженность
электрического поля вдоль линии центров частиц при условии Р « 1
E = -^-E* + -^-E* + E*EacosQ, (12.42)
где
c,(k)
Д(1п Д + со(Л))
+ 0(A); i = 1,2,3; Д «1
c0(fe) =
2 L(l)v(l)-vM-T V тут
I I к + 1 I I к + 1
d
1(111 I I h
чГЙ “'•'М 2(fe + 1) I щ(1) - у —
-------з-----c2(k) =---*—з-----
c3(k) =
2^'d)4+^(1)^'^]+'И'(ГЬ)]" '•''(плИ^Ь)]
d(k +1)
rf = 2v(D-v(lTi)-v(d-i)
Сравнение с результатами численного расчета Е, по точным формулам (12.30)
показало, что отличие полученных выражений для Е* от соответствующих зна-
чений Е, не превосходит 2% в области А < 0,1 и при Д —>0 Et ->Е,.
12.3. СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ СФЕРИЧЕСКИХ
ПРОВОДЯЩИХ КАПЕЛЬ
Силы Fi и F2, действующие на первую и вторую частицы, несущие заряды qt
и q2, связаны очевидным соотношением
F, +F2 = E0(qt + q2), (12.43)
где Ео — напряженность однородного внешнего поля.
Поэтому достаточно ограничиться определением одной из сил, например F2.
Из определения максвелловского тензора напряжений [90] следует, что
проекция силы, действующей на частицу 2 в направлении единичного вектора р,
равна
F р = п • pds. (12.44)
8л J I on I
S2 ' '
Выбирая в качестве р последовательно единичные векторы е( и е2 в
направлении осей OZ и ОХ и используя свойства ef • п = nz, е2 • п = пх и вы-
ражения проекций внешней нормали п в бисферической системе координат
l-chiicosr| shusirrn _
n, = —г------; пх = -г-----cos Ф,
2 спц-cosr] х спц-cosr]
из (12 44) с учетом (12.10) и (12.18) при ц = -р2 получим
19* 291
* (г \ \ Y
+ созФ jT(2n + l)exp I п + | |ц2 ЯдРДО (1 — ch|x2t)c?t,
«_ 1 ll / /
2п 1
^ = ^P0jShU2
О -1
созФ
Г “ (( Л А
£(2п + 1)ехр п + | ц2 „Є(О +
<" = 0 \\ ) J
~ (t \ \ ¥
+ cos Ф У, (2п +1) ехр ( п + - |ц2 Я„Р„’ (О dt.
«-< II 2 I I
(12.45)
Интегрируя выражения (12.45) по Ф от 0 до 2л и t от -1 до 1 и используя
свойства полиномов Лежандра
(2n + l)^„a) = (n + l)P„ + i(0 + nP„-i(0,
(2п +1) = (п +1) ,(О + п P„l+1(t),
(1 -£2),/2(2п +1) tP„'(t) = n(n + i)(P„_,(t) - Pn + 1(t)),
j Р„ (t) Рт (О dt = Ътп j Р„‘ (О РД (О dt = 8- -
J т- 1 J ьН т- 1
-1 -1
получим
И
(„ /
^(2п + 1)ехр((2п + 1)ц2) В„ Вп -
~ 0 \
£77 (1 + ехр (2ц2 )) В„ +, j+
+ | j£n(n + l)(2n + l)exp((2n + l)p2) Я„| Я„
n = l V
^^(1 + ехр(2ц2))Я,
Е2х = 5shp2 £(п + 1)ехр((2п + 1)ц2)((п + 2)В„Я„ + 1 -иВ„ + 1Я„).
2 ^п = 0
Подставляя в полученные выражения значения коэффициентов Вп и Я„ из
(12.17) из (12.21), окончательно получим
F22 = еР%Е%(/\ cos2 0 + f2 sin2 0) + Ео cos0(/'3^1 + +
+ (fsqt + /б^1^2 + Л^22) + eo<12 cos0, (12.46)
F2x = zR^Elff, sin 20 + Eo sinO^cy, + /'10^2) + EQq2 sin0, (12.47)
где
A = (5! + s2a?3 + 53ai3 + S4O41 + S5OC23 + s6a13oc23); f2 = s4;
f3 = s4a13 + s5a23 + 2s2ana13 + 2s3a21a23 + s6(a13a21 + аиа23);
ft. = 54a12 + s5a22 + 2s2a12a13 + 2s3a22a23 + s6(a13a22 + a12a23);
292
R2 R%
fs = -^(a?!52 4-a^s,); f6 = -4-(ana12 + a22a21)s6;
a* a*
R2 2
f7 = + a|25,); fs = 4L.(Sg + s9a23 + s10a13);
/9 = 2(s9a21 + Sjodn); fi0 = 2(s9a22 + Stoai2);
S1=y^Af(2n + l)A.-(n + l)C1Atr>|; 52 = y^WZLil_C1
a3, n I a3, n a3, n +1 a3, n «3, n a3, n +1
n = 0 \ 7n = 0\ /
S3=y^lf(2n + l)^.-(n + l)Cl^il>|;
£•4 a3, n I «3, n «3, n +1 I
n = o \ J
54 = ygJLf2(2n + l)A,-(n + l)c1b” + b” + 1>|;
л-t a3, „ a3 „ 1 a3, „ +1
n = 0 \ /
S5 = _y fLl f 2(2n +1) - (n +1) c, \
4—Л «3, n I <*3. n «3, n +1 I
n = Q \ J
X 4 ^2, n I n/n 4 \ n ✓ , 4 \ a\, n + al, n +1
56 = 'Л,7г- 2(2n + D-—-(n + Dci—-—:— ;
a3, n I a3,n a3, n +1
n = 0 \ /
$7= ^n(n + i)^-dn[ (2n + \')-~-(.n + 2)c{-^^-\.
«То \ д3, n a3, n +1 I
„ V ! Л fl-'n I « dnbn+l ( <41+lbB ]
$8= Xc2(n + V7--\n-----~{n + 2)---
n“ аз. n l аз, n + i бз, n +1 I
V . , n “2.” I / , n\ dn + 1at n dna^ „ +1 )
S, = Sc,<» +1)_^<„ + 2)^— - J;
s» = - Ё сг<» +1) + 2)- n-2=_ 1;
“j a3, n I 63, n +1 б3, n +1 I
at „ = exp ( (2n +1) gi); a2 n = exp ((2n +1) p2);
аз. n = fli, na2. „ -1; bn = (2n +1) (a,, „ + 1);
ct = l + exp(2p2); c2 = -^- = shg2; d„ = al,n-l.
Таким образом, формулы (12.46) и (12.47), дополненные выражениями (12.25)
для Ц1 и ц2, позволяют определить силы взаимодействия двух проводящих сфе-
рических частиц радиуса /?, и R2, расстояние между центрами которых г > Rx + R2.
Коэффициенты ft являются безразмерными величинами и зависят от относи-
тельного зазора между поверхностями частиц Д= (r-Ri -R2)/R2 и от отно-
шения радиусов частиц k = R2/Rr. Эти зависимости показаны на рис. 12.5.
Следует отметить, что скорость сходимости рядов быстро уменьшается по мере
уменьшения Д, поэтому для сохранения точности расчетов при малых значениях Д
необходимо учитывать все большее число членов рядов.
Из приведенных графиков следует, что в зависимости /] от относительного
зазора между частицами можно выделить три области: область малых зазоров
293
294
Ж 3
1*ис. 12.5. Зависимость коэффициентов f, от относительного зазора Д между частицами
и отношения радиусов частиц k:
1 - k= 1; 2 - 0,5, 3 - 0,2, 4 - 0,1, 5 - 0,05; 6 - 0,02, 7 - 0,01
Л < 0,1; область больших зазоров Д > З/k и промежуточную область 0,1 < Д <3/k.
В первой и третьей областях зависимость f от Д близка к степенной. В част-
ности, при Д —> 0 справедлива следующая степенная аппроксимация коэффи-
циентов f, f2a fn, представляющих наибольший интерес, поскольку они соответ-
ствуют силам взаимодействия незаряженных частиц:
(12.48)
Значения a,(k) и р, (k) приведены в табл. 12.1.
295
Таблица 12.1
k «1 Pi <X2 P2 as Ps
0,01 -0,980 0,824 0,0010 -0,0120 -0,048 0,059
0,05 -0,975 0,823 0,0035 -0,0111 -0,091 0,061
0,1 -0,949 0,810 0,0491 -0,0063 -0,300 0,071
0,2 -0,831 0,805 0,1037 -0,0015 -0,381 0,082
0,5 -0,492 0,805 0,1400 0,0111 -0,298 0,133
1,0 -0,214 0,815 0,0915 0,0141 -0,170 0,122
Наряду с получением общего решения задачи определения сил взаимо-
действия двух проводящих частиц большое значение имеет исследование асимп-
тотического поведения сил на больших и малых расстояниях между их
поверхностями. Взаимодействие частиц на больших расстояниях в прибли-
жениях диполь-дипольного, диполь-кулоновского и кулоновского взаимодей-
ствий изучено достаточно полно [91]. Поэтому в этой области основным
является вопрос о точности указанных приближений. Для случая малых рас-
стояний между частицами силы электростатического взаимодействия изучены
меньше. В следующих разделах будут рассмотрены два указанных предель-
ных случая.
12.4. СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ УДАЛЕННЫХ
ДРУГ ОТ ДРУГА КАПЕЛЬ
При решении задачи расчета сил электростатического взаимодействия двух
проводящих частиц часто используют приближения диполь-дипольного, диполь-
кулоновского и кулоновского взаимодействий. В рамках этих приближений
взаимодействие частиц рассматривается соответственно как взаимодействие двух
электрических диполей, диполя и точечного заряда либо двух точечных заря-
дов. При этом размеры частиц определяют лишь значения дипольных момен-
тов. Поэтому такие приближения можно использовать, только если расстояния
между частицами намного больше суммы радиусов частиц. Однако довольно
часто этими приближениями пользуются и тогда, когда зазор между поверхно-
стями частиц сравним или меньше размеров частиц. В связи с этим возникает
проблема оценки точности указанных приближений для различных значений
расстояний между частицами.
Силы, действующие на проводящие сферические частицы, находящиеся на
большом расстоянии друг от друга, приведены в [91]. Их можно представить
в виде, соответствующем формулам (12.46) и (12.47), если положить
ГО _ С ftfRz /0 — Ч _ 9 го _ Э
/1 /2 н-’ '3 ~ 7з"’ h Т3’’
^25(2r2 R2) /г§(2г2-/гЗ)
fo = __________— f о = _£_______L- (1 р л о)
/5 r3(r2 _)?2)2 ’ ” гЗ(г2_/?2)2 ’
fo = + r н______________5_______1_______________*
/6 г2 1 2|^г4 (г2 - К2 - j?2)2 (г2-/?2)2 (r2 _ _R2)2 J’
fO _ 3 fO-^L. fO-^L
/8 “ ° r4 ’ 'Я ~ гз ’ fiO— r3 '
296
Здесь г — расстояние между центрами частиц.
Сравним теперь точные значения коэффициентов 4, даваемые формулами
(12.47), (12.48), с приближенными (12.49). Введем относительные отклонения
На рис. 12.6 представлены зависимости <7, (сплошная линия) от относи-
тельного расстояния между поверхностями Д и отношения радиусов частиц
k = R2 /R\.
Анализ результатов сравнения показывает, что при одних и тех же значе-
ниях Д и k точность приближения ff к fj различна. Наиболее точны прибли-
жения ^-^и^-^.т, е. в основном те коэффициенты, которые определяют
взаимодействие незаряженных частиц в электрическом поле. Для расстояний
Д>3(1/& + 1) погрешность в определении коэффициентов /j по приближен-
ным формулам (12.49) составляет не более 2 %.
Для того чтобы повысить точность определения коэффициентов f в случае,
когда частицы расположены относительно далеко друг от друга, воспользуемся
методом отражений, который позволяет получить приближенное решение задачи
в виде ряда по степеням г~к и, тем самым учесть члены более высокого порядка
малости в формулах (11.76). Опуская несложные, но громоздкие вычисления,
с точностью до членов порядка г'3 получим
/•> = 6^
2Я23гЗ
(т-2 - /?2)3
гярг3 '
+ (f2 -Rf)3 J
<-3^2fi- R"r3
R?r3
(r2 - R2)3 J
(12.50)
fl=ff, f6' = f6°, ff=ff,
/•8> = 3^2
1 R?r3
2 (r2 _ /22)3
R^r3
R3 C
r3
2Rfr3
_________
(r2-R2)3 J’ /l0 r3
1
2 (r2 - /?2)3 J’
2R3r3
(r2-R2)3
Сравнение коэффициентов ff с точными значениями ft показало, что при
Д > 5 для всех значений k различие между ними не превосходит 2 %, а при
Д>3 — 3 — 5 %. На рис. 12.6 пунктирной линией показаны зависимости погреш-
ностей с, от Д, в которых вместо ff взяты ff.
12.5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ СОПРИКАСАЮЩИХСЯ КАПЕЛЬ
Прежде чем переходить к рассмотрению случая, когда частицы расположе-
ны близко (Д « 1), изучим взаимодействие частиц в предельном случае сопри-
касающихся частиц (А = 0).
Рассмотрим две соприкасающиеся сферические частицы с радиусами R{ и
297
Рис. 12.6. Относительные отклонения а, коэффициентов f, от /у0 (сплошные линии) и от /у1
(пунктирные линии):
1 - k =1; 2 - 0,5; 3 - 0,2; 4-0,1; 5 - 0,05
R2, помещенные в однородное внешнее электрическое поле напряженности Ео,
составляющей угол 0 с линией центров частиц (рис. 12.7).
Заряды частиц неизвестны, но суммарный заряд обеих частиц считается
заданным и равным Q. Частицы проводящие, а пространство вне частиц запол-
нено однородным изотропным диэлектриком с диэлектрической проницаемо-
стью е. Основная задача состоит в определении сил взаимодействия частиц и
их зарядов.
Уравнения и граничные условия для потенциала электрического поля в
области вне частиц сформулированы в разделе 12.1 и имеют вид
Дф = 0, (12.51)
ф5) = ф52=^Г’ ^ф—>-.Ео при г—>°о, (12.52)
299
где S; — поверхности частиц; V — потенциал частиц, подлежащий определению.
Отличие задачи (12.51) — (12.53) от аналогичной задачи, рассмотренной в п. 12.1,
состоит в том, что потенциалы обеих частиц одинаковы, заданы не заряды частиц,
а их суммарный заряд, и частицы соприкасаются. Последнее условие приводит
к необходимости использовать не бисферическую систему координат (12.6),
а вырожденную бисферическую систему координат (£, т], Ф) (рис. 12.8), которая
получается из бисферической системы (£', т|', Ф) путем предельного перехода
I;'-> 0 и т|'—> О [92].
Связь декартовых координат с вырожденными бисферическими координа-
тами дается соотношениями
1 = = (12.54)
Т)2 + £2 Т]2 + £2 ц2 + £2
где 0 < £ < о», -оо<д<оо, 0 < Ф < 2л, а параметр, задающий линейный размер,
а = 27?1Т|1 = 2Л2Т12- (12.55)
Уравнения соприкасающихся сфер в вырожденной бисферической системе
координат задаются уравнениями T| = T]i и "П = "Пг- В дальнейшем понадобятся
выражения для элемента поверхности ds и проекций внешней нормали к этому
элементу на оси декартовой системы координат
* = (12.56)
п2 +
„, = £1±, (12.57)
Г]2 + £2 q2 + £2 Г]2 + £2
300
Рис. 12.8. Вырожденная бисферическая система координат (£, т), Ф)
а также выражение для производной по внешней нормали к сфере
— = --(£2+и2) —
Эп а'3’ п 'ЭтГ
(12.58)
Общее решение уравнения Лапласа (12.51) в вырожденной бисферической
системе координат, ограниченное при % > 0, имеет вид
созпгФ
sin пФ
фи,< = (£2 +П2),/2 exp(±tT|)
(12.59)
где /и(^) — функция Бесселя порядка т.
Поскольку декартова система координат выбрана таким образом, что век-
тор Ео лежит в плоскости XOZ, то потенциал однородного внешнего поля
фо =-£0(х sin 9 + zcos 0). (12.60)
Представим ф0 в виде разложения по функциям Бесселя, для чего восполь-
зуемся известным равенством [5]
(^2 +т]2)-</2 = jexp(-f|n|) (12.61)
о
Дифференцируя (12.61) по т] и отдельно по £ и сравнивая полученные
выражения с (12.54), получим
= а(£2 +Т|2)1/2 A ftexp(-iJ|Ti|)/0(^)dU,
I’ll
301
х = ait2 + T]2),/2 созФ Jt expi-t|т||) J^jt,)dt.
о
Полученные выражения позволяют записать общее решение уравнения
Лапласа, ограниченное при £,—><=» и удовлетворяющее второму условию (12.52),
в виде
<р(£,, Т], Ф) = (£2 + гр )’/2 ЖMit) ехр (tr]) + Nit) ехр (-tr]) -
о
-aEat ехр (-t I n I) cos 9 Д \Joitt)+ iKit) exp(tr|) + Lit) exp(-tq)-
Inl J
- aEot exp(-t|r||)sin9) /,($;)cosФ|(/£. (12.62)
Для определения неизвестных коэффициентов М, N, К и L подставим
(12.62) в первое условие (12.52), воспользуемся равенством (12.61) и учтем,
что V зависит только от т]. В итоге получим систему уравнений, решение
которой имеет вид
^f(f) ~ exP^—+ a£o ch(£r)2)cos0)
sh(t(r|i + П2»
Nd) _ expl-tTijXVshG^jl-afochGTiilcose)
sh(t(ni + П2»
(12.63)
Nd) - aEot exp sil ^T'2 sin 0 Ld) -aEot exp ( sil ^2 sin 0
sh«(m + n2»
sh (£ (та + П2 ) )
Найденные коэффициенты позволяют определить потенциал частиц V. Из
выражения для общего решения (12.62) и первого условия (12.52) следует, что
----У- - [ ff Mit) ехр (tT]) + Nit) exp (-tT]) -
(^2+n2)i/2
-aEot exp (-tin I) cos 9 -^-V0(tJ;) + iKit) exp (tr)) + Lit) exp(-tr])-
Inl J
- aEot exp(-t|r]|)sin9) /,((!;)cosФ^с/t. (12.64)
Представим теперь левую часть (12.64) в виде интеграла по функциям
Бесселя, для чего воспользуемся равенством (12.61). В итоге получим
jfvexp(-t |т||) Joitty-^Mit) exp(tT|) + Nit) exp(-tr])-
o v x
-aEot exp(-t|r]|)cos0^^/o(t^) + (K(t) exp(tr)) + Lit) exp(-tr])-
-aEot exp(-t|r||)sin9) /Д^созФ jjt = 0. (12.65)
Равенство (12.65) выполняется для всех и Ф, поэтому подынтегральное
выражение равно нулю. Домножим подынтегральное выражение (12.65) на t,
а затем проинтегрируем первое слагаемое, содержащее V:
302
-----П-= [ t [ I M(t) exp (tT]) + Nit) exp (-tr]) -
(n2 + C2)3/2 о
-aEat exp(-t|r]l)cos0^ V0(^) + (K(O exp(fr|) + Lit) exp(-tT])-
Inl J
-aEot exp(-£|r]|)sin0) Jf(^)cos0^dt (12.66)
Беря от (12.62) производную по нормали по правилу (12.58) и учитывая
соотношение (12.66), получим
_ _2 (g+_p2j . j t exp (trit)(Jo (tQ Mit) + /, itt) Kit) cos Ф) dt,
= Hl n
(12.67)
_ _2 (^+tP)j2. jfexp(tn2)(/0(t^)MO + J\it%) Lit) cos Ф) dt.
= -42 ° fl
Подставляя (12.67) и (12.56) в условие (12.53) и интегрируя полученное
выражение по Ф в пределах от 0 до 2 л и по £ в пределах от 0 до найдем
liMit) + Nit))dt = —. (12.68)
J аг
о
Подставляя в (12.68) выражения (12.63) для Мit) и Nit) и проинтегри-
ровав полученное выражение, найдем
V = Eoa,R cos 0 + ^-, (12.69)
где
_ уЧа) - уЧ1 - а) _________________1______
а’ 2у(1) - у(а) - у(1 - а) ’ Й2 2у(1) - у(а) - у(1 - а) ’
_ -R1-R2 . П2 _ Ri
Rt + R2 ’ П1 + П2 К, + R2 ’
Здесь \|f(x) — пси-функция Эйлера.
Таким образом, формулы (12.62), (12.63) и (12.69) дают распределение
потенциала электрического поля в области вне соприкасающихся частиц. Пе-
рейдем теперь к определению зарядов q\ и q2 и сил взаимодействия частиц.
Суммарный заряд частиц считается заданным, поэтому
<71+<72 = Q. (12.70)
Силы, действующие на первую и вторую частицы, связаны соотношением
Fx+F2 = E0Q. in.li)
Связи (12.70) и (12.71) между зарядами и силами позволяют ограни-
читься определением этих величин для одной из частиц, например для части-
цы 2.
Выразим заряд частицы 2 через его поверхностную плотность:
q2 = -^[^ds. (12.72)
4?t J ОП
S2
303
Подставляя в это выражение значение производной по нормали из (12.67)
и формулу (12.56) для ds, найдем
<72 = aejx(t)dt. (12.73)
О
Воспользовавшись значением N (t) согласно (12.63) и проинтегрировав
полученное выражение, получим
q2 = ~e.E0R2A^cosQ+A2Q, (12.74)
где
д _ (у(1 - а) + С)уЧа) + (у(а) + С)</(1 - а) п2 .
’ 2С + у(а) + у(1 - а) 6
А = У(а) + С . а _ R .
2 2С + у(а) + у(1 - а) ’ R< + R2’
С = 0,5772... — постоянная Эйлера.
Если внешнее электрическое поле направлено по линии центров, т. е. 0 = 0,
и если, кроме того, частйцы имеют одинаковый размер = R2) и суммарный
заряд частиц равен нулю (Q = 0), что соответствует зарядке частиц у плоского
конденсатора, то из (12.74) следует
4 = q2 = -eEQR2^. (12.75)
3 6
При 0 = 0, Q = 0 и R2«Ri имеем
4 = ^-; <72 = -eE0^2y. (12.76)
Из выражений (12.75) и (12.76) следует, что заряд, получаемый маленькой
частицей при соприкосновении с большой, в 3 раза больше заряда, получаемого
при контакте с такой же по размерам частицей. Это объясняется тем, что мак-
симальная напряженность электрического поля вблизи меньшей проводящей
частицы в 3 раза больше напряженности однородного внешнего поля. Для
одинаковых по размеру частиц R,=R2 заряд между частицами распределен
поровну. Заметим, что в случае двух удаленных друг от друга частиц, имеющих
равные потенциалы поверхностей, заряд частицы 2 равен
и в случае R2 « R} имеем q2- QR2/R\ « q\.
Коэффициенты At и A2 являются функциями k = R2 /R} и обладают свой-
ствами
4(l/fe)=4a); А2(1/Ю = 1-А2(Ю.
Это значит, что, зная 4 и А2 для значений k< 1, можно найти значения этих
коэффициентов для k > 1.
На рис. 12.9 представлены зависимости коэффициентов 4 и А2 от k для
значений k< 1. Пунктирной линией показаны асимптоты зависимостей A^(k) и
A2(k) при k —> 0. Точками показаны экспериментальные значения, полученные
в 193]. Эксперименты проводились на стальных шариках и каплях воды в ва-
зелиновом масле. В обоих случаях было получено хорошее соответствие теории
и экспериментов.
304
Рис. 12.9. Зависимость коэффициен-
тов At от k:
пунктирная линия — асимптотические зна-
чения при k —> 0; точки — эксперименталь-
ные значения
Для оценки зарядов можно
пользоваться следующей аппрок-
симацией численных результатов
при k < 1:
Л, = -1,64(1+ k)2x
х (3 - 3,5/г(1 - 0,24/г)2);
л t с1 0,96/г
А2 = 1,6r2 1 - — ----- .
I 1 + 0,4fe2 I
Для определения силы F2, дей-
ствующей на частицу 2, воспользу-
емся формулой (12.44). Исполь-
зуя выражения (12.56), (12.57) и
(12.67), получим
F22 = еj - т]2) JtN^ (О /о (ф dt
о о
-2ej^2T]2
¥
(12.78)
где
= N(t) exp (tT]2); Lt(t) = L(t) exp (tT]2).
Для вычисления интегралов, входящих в (12.78), нужно воспользоваться
равенством [94], следующим из теоремы Парсеваля для интегрального преобра-
зования Ханке ля:
J^<p(t)/„-i (#) (%) | ~ - J t(tZ) d 1 (12.79)
0 0 '
Выполняя в (12.78) интегрирование по с учетом (12.79), получим
Подставив в (12.80) Х,(О и £,(£), в итоге получим
F2z = eE0R2(f^ cos2 9 + f2 sin2 9) + QE0f3 cos 9 + -^—+ q2E0 cos9, (12.81)
F2x = EE0R2f5 sin (29) + QE0f6 sin 9 + q2E0 sin 9,
20 - 1461
305
a
Рис. 12.10. Зависимость коэффициентов /у
от k
где введены следующие безразмерные коэффициенты fp зависящие от отноше-
ния радиусов частиц kt
fx = j\ + Ах; f2- h', /з = 7з ~
ft = fs = /5 + Д/2; ff, = jf, + A2;
7i = j<c3 _ Cg)tdt; j2 = J(of -b?)t3 dt,
о 0
j3 = 2a2 J (ctc3 - Co) t dt; 7'4 = j (q2 - b? ) t dt;
о 0
/5 = -2JbiC3t2dt-, je = -4a2JbiCit2dt;
о 0
c0 = а(аф, - 2tb2); q = Pfy - b2 ch(7);
c2 = b2+ pifef - tb2 cth(7); c3 = <qq - 2c2;
& _ sh(|3t). , _ ch(pt). _ R\ .
1 sh (Г) ’ sh (t) ’ Ki + R2 ’
P = 1 - a.
Параметры af, a2, Ax и A2 определяются в соответствии с формулами (12.69)
и (12.74).
Зависимость коэффициентов от отношения радиусов частиц показана на
рис. 12.10. Как и следовало ожидать, соприкасающиеся проводящие частицы
отталкиваются друг от друга независимо от ориентации пары относительно
внешнего поля.
12.6. СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ БЛИЗКО
РАСПОЛОЖЕННЫХ КАПЕЛЬ
Рассмотрим теперь случай, когда зазор между частицами мал по сравне-
нию с размерами частиц, т. е. А «1. Поскольку силы, действующие на частицы,
связаны соотношением (12.43), то ограничимся определением силы F2. Восполь-
зуемся выражением (12.44), разбив поверхность частицы S2 на две части 5*
и где 5* — часть поверхности, расположенной вблизи линии центров
частиц:
F2 = 'Pds + -h jE2n pds. (12 82)
s- s2-s"
Смысл подобного разбиения площади частицы состоит в том, что напря-
женность электрического поля в зазоре при А —> 0 неограниченно возрастает
вдоль линии центров, оставаясь конечной в остальной частиц области зазора.
Оценим теперь напряженность электрического поля в зазоре вблизи линии
центров. Введем цилиндрическую систему координат (р, Ф, г) (рис. 12.11),
в которой уравнение V • Е = 0 запишется в виде
1 3 z „ \ 1 ЭЕф dEz п
(р£0) + -^£- + ^ф-= 0. (12 83)
р Эр н ₽ р ЭФ Эг viz.oo,
307
20'
Рис. 12.11. Декартова (х, у, г), цилиндрическая (р, Ф, z) и сферическая (г, у, ф)
системы координат, связанные с меньшей частицей
Область наибольшей неоднородности электрического поля расположена у
поверхности меньшей частицы 2, причем вектор Е в этой области мало откло-
няется от внешней нормали п к поверхности S2. Поэтому в рассматриваемой
области справедливы соотношения, аналогичные (12.31):
£р = £2А 1 + 0 А ;
^2 I I I I
Е^ = Е of— У Э£ф = £ of—
(12.84)
Из (12.84) следует, что
(12.85)
Подставляя (12.85) в (12.83), получим
ЪЕг
дг
1 9 I г J Р Р
Р Эр М r2 +01 Я2
(12.86)
Интегрируем (12.86) по г. В итоге найдем
£\(р, Ф, z) - Е2(р, Ф, z2) -
(<р(р, Ф, г) - Ф(р, Ф, z2))^- 1 + 0 А
я2
308
Выполняя дифференцирование в правой части полученного соотношения
и учитывая, что
Э<р
Эр
-Ер = -Е А 1 + 0 А
Л2 I **2
придем к выражению
Ez (р, Ф, z) - Ег(р, Ф, z2) = -(£г(р, Ф, z) - Ег (р, Ф, z2))
Р
Ri
i+of-p-Y|+
I И2 JJ
+ -^-ф(р, Ф, г)-ф(р, ф, z2)) 1 + 0[
/<2 11*4
Полученное равенство позволяет оценить
|£г(р, Ф, г) - Ег(р, Ф, 22)| < -^-(<р(р, Ф, z) - <р(р, Ф, г2)) 1 + 0 -£
’ I I
<A|V,-y2|; Д«1 Р <1.
/<2 /<2
(12.87)
Здесь учтено, что потенциал электрического поля в зазоре между частица-
ми достигает максимального и минимального значений на поверхностях частиц,
т. е. V2 > <р(р, Ф, z) > V,, если V2 > V\, и V\ > ф(р, Ф, z) > V2, если Vt > V2.
При сближении частиц, т. е. при Д —> 0, I V, - У2| —> 0 как 1/1п Д. Поэтому
отклонение напряженности поля от среднего значения в зазоре между частица-
ми <Ег(р, Ф)> при р = const тоже стремится к нулю при Д—>0 и p/R2 « 1.
Следовательно, для оценки напряженности электрического поля вблизи S2 можно
воспользоваться ее средним значением по z
Е(р, Ф, z2) =<Ег (р, Ф)> [1 + 0
+2 - Vj
Л(р)
(12.88)
Мр) =
д+Ш
I £2 I 2
Л±1 К2 + Я2оИ .
Z \ **2 /
Перейдем теперь к определению силы, действующей на частицу 2. Для этого
введем сферическую систему координат (г, у, Ф) (см. рис. 12.11). В этой системе
координат выражение (12.44) для проекции силы в направлении произвольного век-
тора р с учетом соотношения (12.88) при Д «у* « 1 можно переписать в виде
F p= Л PwLJn-'"'s+ 11£!’,рЛ+<к
Г<Г* к 7 Y>Y*
0<Ф<2я 0^Ф<2я
(12.89)
Выбирая единичный вектор сначала в направлении оси OZ (p = ef), а за-
тем в направлении оси ОХ (р = е2), переходя от Л(р) к Л (у, R2) и учитывая,
что при у<у* « 1
пг = cosy = 1 + 0(у2), пх = sinycos® = усоэФ + 0(у3),
ds = Rl sinyjyj® = R^ydyd(t> + 0(y2),
из (12.89) получим
309
2я у*
F2z = ГdФ [----———------------ yJy + Гf E2nzds + 0(у*),
2г 8tcJ J (A + y2(fc + i)/2)2 1 1 JJ г м
0 0 У>У*
0 < Ф < 2я
2я у*
Р2х = [ COS Ф б/ф [ (^'~t/2n/?v + ffE2n*ds + О(у*)-
ОЯ J J (Д + у2(& + 1)/2)2 JJ
О О г >у*
0£Ф <2я
Вычисляя первые интегралы в (12.90), найдем
Ы-У2Р + с(У,-У2)2 ГГЕ2п ds + 0( }
4Д(& + 1) + 2(k + 1)(2Д + y*(k + 1)) JJ 2 Р ’
У>У*
О < Ф < 2я
F2x= Це2пх(/5 + 0(у*).
у > У*
0^Ф<2я
(12.91)
Первое слагаемое в выражении (12.91) для F2i является главным членом
асимптотического разложения при Д —> 0 и V, - V2*0, второе слагаемое стре-
мится к нулю как 1/(1п Д)2 при Д —> 0, а третье слагаемое стремится к констан-
те. В пределе при Д —> 0 получаются соприкасающиеся сферы, которые были
рассмотрены в предыдущем разделе. Для соприкасающихся сфер V, = V2 и
Fiz = F,2. Тогда (12.91) в пределе при Д—>0 примет вид
JJ E2nzds + 0(у*) = F22 + 0(Д).
г>г*
О S Ф <2it
Возвращаясь теперь к (12.91), получим
+^+о(а); д<<1-
4 Д (k + 1)
(12.92)
Аналогично для F2x получим следующее асимптотическое выражение
Д2х = F2x + 0(Д); Д « 1. (12.93)
Выражая из (12.21) V, и V2 в случае Д« 1 через Ео, 4i, Ft, Ri и Д
и подставляя полученные выражения в (12.92), найдем
F22 = F2z + cos2 0/;* + Eo cosQ(f*qx + f*q2) +
+ + f*q^2 + АЧ2) + 0(Д), (12.94)
где
= ---6/W-----
" Д(1пД + с0)2 J
bi^ = T+t’ ^з^) = 2с1сз; b4(fe) = 2c2c3;
bs(fe) = cf(k +1); bgik) = 2ciC2(fe + D; bjik) = cf(k +1);
310
c3 =
v rh Н(1)
ct = ——; c,=
d
v(D
d
+ v'(l);
й = 2у(1)-у^-у^р=*<1.
Здесь \|/ (x) — пси-функция Эйлера.
Сравнивая выражение (12.46) для электростатической силы при произ-
вольных расстояниях А между частицами с выражением (12.94) при А « 1,
можно сделать вывод, что коэффициенты f* являются главными членами асимп-
тотического разложения электростатической силы вдоль линии центров частиц
при малых величинах зазора между частицами. Из вида (12.92) следует, что
сила, действующая на частицу 2 вдоль линии центров, состоит из двух сла-
гаемых, первое из которых положительное и определяет силу притяжения ча-
стиц, а второе — силу соприкасающихся частиц, которая, как было показано
в предыдущем разделе, отрицательна, т. е. является силой отталкивания. По-
этому, чтобы ответить на вопрос, притягиваются или отталкиваются частицы,
находящиеся на малом расстоянии друг от друга, нужно оценить соотношение
этих слагаемых. Если частицы имеют одинаковые потенциалы V, = V2, то они
отталкиваются. Если Ф V2, то однозначно ответить на поставленный вопрос
нельзя. Однако можно показать, что в этом случае между частицами могут
действовать силы притяжения даже тогда, когда они имеют заряды одинакового
знака.
Для простоты рассмотрим случай двух заряженных частиц в отсутствии
внешнего электрического поля. Тогда согласно (12.46) электростатическая сила,
действующая на частицу 2 вдоль линии центров, равна
F2z = + f6qiq2 + fiqf)- (12.95)
С другой стороны, если зазор между частицами мал, то согласно (12.92)
и (12.94) имеем
F2z = Ё2г +
e(Vi-У2)2
4Д(/г +1)
+ 0(A) =
= F2z + -^(f*q? + feq^ + f*ql) + 0(A); A « 1.
(12.96)
Поскольку F2z определяет силу отталкивания частиц, а второе слагаемое
в (12.96) — силу притяжения, то при Д« 1 сила отталкивания будет макси-
мальной при условии Vi = V2 или при выполнении следующего соотношения
между зарядами частиц:
Й! + Й?2 + А‘ q2 = 0-
Подставляя в (12.97) приведенные выше выражения для
соотношение, связывающее заряды и размеры частиц:
(12.97)
f*, получим
/ 1 \ \ / f л J I
Гм Р+ Гм Г2 =0,
311
откуда следует, что при А « 1 сила отталкивания частиц будет максимальной
при условии
^_у(1)-¥(уа+1))
Ло <72 V(1)_ v(i/a + D) (12.98)
Из теоремы о невозможности устойчивого равновесия зарядов под действи-
ем только электростатических сил [77] следует, что если при А = До частицы-
отталкиваются, то они отталкиваются и при всех А > До, и наоборот, если при
А = До частицы притягиваются, то они притягиваются и при всех Д < До. Эта
теорема позволяет для любого отношения радиусов частиц k разделить плос-
кость XOZ на области притяжения и отталкивания частиц. Обозначим через
Х(До, k) отношение q^/q2 такое, что при Д = До и заданном значении % выпол-
няется условие F22 = 0. Тогда при Д > До Частицы отталкиваются, а при Д < До —
притягиваются. Сказанное позволяет найти уравнения кривых, разделяющих
плоскость XOZ на области притяжения и отталкивания:
FjX, Д, fe) = 0
или
/•5(Д, k)X2 + f6(A, k)x + f7<A, k) = 0. (12.99)
Решая квадратное уравнение (12.99), находим
= (12.100)
2/5
Поскольку /з > 0, /7 > 0 и /ё < 0 для всех значений k и А, то оба корня
положительные и Zi Х2 • Тогда для произвольного Д при Х2 < X < Xi частицы
отталкиваются, а при остальных значениях х ~ притягиваются. С увеличением
относительного расстояния между поверхностями частиц Д область отталкива-
ния расширяется. Действительно, из (12.49) следует, что на больших расстоя-
ниях при Д —> <» коэффициенты f} ведут себя как Д - Д’3, f7 - Д’3, f6 ~ Д’2. При
этом Z2 ~> 0 и Zi —> <». С другой стороны, при Д —> 0 области, соответствующие
отталкиванию частиц, сужаются. Действительно, при этом /в~2 J/5/7 и Л, f6,
как (AlnA)’1, а из (12.94)
следует, что уравнение (12.99) пре-
образуется к виду
^2Х2-2^Х+1+а = 0> (12.101)
где £ = д/Д/у1, а -> 0 при А -> 0 как
Д1пД. Последнее означает, что с
точностью до членов порядка Д
корни уравнения (12.101) совпада-
ют, т. е. Х1~Хг->!/£•
На рис. 12.12 показаны обла-
сти притяжения и отталкивания
Рис. 12.12. Области притяжения и оттал-
кивания (заштрихованная область) одно-
именно заряженных частиц иа плоско-
сти (х, А):
1 - k = 1; 2 —/г = 0,5; 3 - k = 0,2
одноименно заряженных частиц на плоскости (х, А) для частиц с отношением
радиусов й=1;0,5и0,2. В частности, для частиц одинакового размера (k = 1)
при А = 1 величина %, = 11,3, что согласуется с результатом работы [95], соглас-
но которой Х= 12-
Сужение области отталкивания частиц (заштрихованная область на рис. 12.12)
при А —> 0 означает, что даже незначительное отклонение отношения зарядов от
равновесного значения Хо, определяемого равенством (12.98), приводит к при-
тяжению частиц.
На рис. 12.13 показаны зависимости безразмерной электростатической силы
А^^Т^хУз + Х/б + Л. (12.102)
<12
действующей на частицу 2 вдоль линии центров двух одноименно заряженных
частиц, от А для, различных значений отношений зарядов qt /q2 и радиусов
k = R2 /Ri. При F2! > 0 частицы притягиваются, а при F2z < 0 — отталкиваются.
При качественном анализе силы электростатического взаимодействия одно-
именно заряженных частиц представляет интерес определение характера этой
Рис. 12.13. Зависимость безразмерной элект-
ростатической силы, действующей вдоль ли-
нии центров на частицу 2, от А, и
k-Ri/Rr.
a — k = \-,1 —х=1;2 — 1,2; 3- 1,5; 4 - 2; 5 -5;
<5-6 = 0,5; 7 —х = 3,45; 2 — 3; 3 — 5; 4 — 2; 5 —1;
6 - 10;
в - 6 = 0,2; 7 —х = 25;2 — 10; 3 - 5; 4 - 2; 5 -50
313
Рис. 12.14. Области притяжения и от-
талкивания (заштрихованная область)
частиц с различными значениями k на
плоскости (х*, А)
силы, т. е. является ли она си-
лой притяжения или отталки-
вания для различных значений
отношений радиусов частиц k.
Оказывается, что для различ-
ных k области притяжения и от-
талкивания в плоскости (х, А)
могут быть совмещены при пе-
реходе от х к новому параметру
у* = — =
А Хо
= Х,<»-V<»/« + l»' <12Л03)
В плоскости (X*, А) области притяжения и отталкивания для частиц с
различными значениями k совпадают (рис. 12.14).
12.7. ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАРЯДОВ ПРОВОДЯЩИХ КАПЕЛЬ
Исследование поведения дисперсной среды связано с проблемой определе-
ния зарядов составляющих ее частиц. Нейтральные проводящие частицы, по-
мещенные во внешнее электрическое поле, со временем могут приобрести заряд
при контакте друг с другом, при пробое разделяющего их слоя диэлектрика,
в результате сближения частиц или при разрыве частиц, например при дроб-
лении капель эмульсии. Кроме того, частицы могут заряжаться за счет отбора
зарядов окружающих их ионов, а также при контакте с поверхностями [96].
Процесс зарядки проводящей сферической частицы при контакте с плос-
ким электродом описан в [97]. В этой работе определен заряд, приобретаемый
частицей, и рассчитана сила взаимодействия частицы с плоским электродом.
Частицы могут приобретать заряд не обязательно в результате контакта
друг с другом, но и в результате электрического разряда в зазоре между
частицами. В этом случае необходимо знать величину напряженности электри-
ческого поля в зазоре.
Естественным условием при непосредственном контакте частиц является
равенство потенциалов их поверхностей. Если же заряд приобретается в ре-
зультате пробоя, то это условие выполняется не всегда.
Таким образом, процесс перераспределения зарядов между частицами дол-
жен начинаться еще до их соприкосновения, что вызвано значительным ростом
напряженности электрического поля в зазоре между частицами (см. раздел 12.2).
Однако из-за неполного выравнивания потенциалов частиц и наличия молеку-
лярных сил взаимодействия он может протекать незаметно. В грубодисперсных
системах, в которых размер частиц R - 1 —200 мкм, процесс перераспределения
зарядов может быть основным тормозом на пути процесса укрупнения дисперс-
ной фазы. Так, при обработке водонефтяных эмульсий в электрическом поле
невысокой напряженности (Ео < 2кВ/см) скорость укрупнения капель воды
314
возрастает, а при обработке в полях высокой напряженности (Ео > 2 кВ/см) —
убывает. Такое изменение поведения водонефтяной эмульсии обычно связыва-
лось [100] с дроблением капель. Однако процесс дробления даже относительно
крупных капель (R ~ 100 мкм) начинается при напряженности поля порядка
10 кВ/см. Перераспределение зарядов и последующее взаимодействие частиц
дает удовлетворительное объяснение этому эффекту.
Рассмотрим процесс перераспределения зарядов между двумя проводящи-
ми сферическими частицами радиусов R} и R2 при их столкновении в однородном
внешнем электрическом поле напряженности Еа. Заряды частиц до столкнове-
ния известны и равны и q2. Заметим, что при перераспределении зарядов
суммарный заряд частиц Q = <7t° + q2 сохраняется. Задача определения зарядов
и сил электростатического взаимодействия частиц после их соприкосновения
сводится к рассмотренной в разделе 12.5 задаче взаимодействия двух соприка-
сающихся частиц. Согласно (12.74) заряды частиц после столкновения равны
q2 = -zE0R2Ax cos0 + A2(qax + q2)\ Qt = Qi + q° ~ <?2> (12.104)
где
я2
~6’
_ (y(l - a) + C) /(a) + (y(a) + C) y'G - a)
At —
R\Rj .
+ &2 1
2C + <|/(a) + y/d - «)
y(a) + C = Rt . „ =
2 2C + y(a) + y(l - a) ’ Rt + R2 ’
C = 0,5772.. — постоянная Эйлера.
Силы электростатического взаимодействия частиц после соприкосновения
определяются выражениями (12.81), если частицы продолжают находиться в кон-
такте, и (12.46), (12.47), если перераспределение зарядов привело к разъедине-
нию частиц.
Рассмотрим теперь случай, когда перераспределение зарядов происходит
за счет электрического разряда в зазоре между сблизившимися частицами без
их непосредственного соприкосновения. Предположим, что напряженность элект-
рического поля Ет, при которой возможен электрический разряд в диэлектрике,
гораздо больше напряженности внешнего электрического поля Ео и что элект-
рический разряд приводит к полному выравниванию потенциалов частиц, не
изменяя при этом суммарного заряда. Так как в силу первого предположения
Ет/Е0» 1, то из выражения (12.29) и рис. 12.3 для напряженности электри-
ческого поля в зазоре между частицами следует, что подобное возможно лишь
при А « 1, т. е. когда зазор между частицами достаточно мал. В силу второго
предположения после перераспределения зарядов частиц выполняется условие
Vi = V2. При этом в силу (12.34) значение средней напряженности вдоль линии
центров в узком зазоре между частицами равно нулю. Учитывая связь средней
напряженности поля в зазоре с зарядами частиц (см. (12.42)), получим следую-
щие уравнения для определения зарядов частиц после перезарядки:
qtE* + q2E* + Е*Е0 cos0 = 0,
<71 + 72 = q? + q°-
(12.105)
Решение системы уравнений (12.105) дает для qt и q2 те же самые значе-
ния (12.104), что и в случае контакта частиц. Кроме того, поскольку Д« 1, то
из (12.82) и (12.83) следует, что при Vt = V2 с точностью до членов порядка А
сила электростатического взаимодействия частиц после перераспределения за-
рядов оказывается такой же, как и для соприкасающихся частиц.
315
Конечно, условие полного выравнивания потенциалов частиц за счет элект-
рического разряда в зазоре является идеализацией реального процесса. Опре-
делим условия, при которых подобное возможно. Рассмотрим асимптотическое
выражение (12.92) для электростатической силы вдоль линии центров частиц.
Для того чтобы электростатическая сила после перераспределения зарядов при
пробое была такой же, как при контакте частиц, необходимо, чтобы при А « 1
выполнялось условие
При Д«1 из (12.34) следует, что V2- Vt = R2&ES, а из (12.80) получаем
F2t = eE2R2 + QV£iq. (12.107)
Тогда условие (12.106) выполняется при выполнении хотя бы одного из
следующих условий:
или А « f , Q = 0;
£о 7д I £$ I
^£L«-L „ли A«f_2_T, Ео = 0, (12.108)
Q Л {EsRi J
где Es — напряженность поля в зазоре, при которой прекращается процесс пе-
рераспределения зарядов.
Оценим теперь величину зазора 8 между частицами, при которой их по-
тенциалы можно считать равными. Положим Es/E0~ 102, что характерно для
водонефтяной эмульсии при Ео~ 1—5 кВ/см и R2~ 10 мкм. Тогда из (12.108)
находим
8 « R2(E0 /Es)2 - 10*3 мкм.
Столь малое значение 8 свидетельствует о том, что для приведенных ус-
ловий потенциалы частиц выравниваются практически при контакте друг с дру-
гом. Заметим еще, что полученное значение 8 меньше радиуса действия моле-
кулярных сил притяжения (~ 5 • 10~2 мкм). Этим объясняется то, что процесс
перераспределения зарядов между мелкими частицами протекает незаметно.
Кроме того, из проведенных оценок следует, что исследование процесса взаи-
модействия проводящих частиц дисперсной среды в присутствии внешнего элект-
рического поля необходимо проводить с учетом как электростатических, так и
молекулярных сил между частицами, особенно на конечной стадии сближения
частиц.
В заключение отметим, что при выполнении неравенства
<12-109>
электростатическая сила взаимодействия частиц будет силой отталкивания.
13
КОАЛЕСЦЕНЦИЯ КАПЕЛЬ
Процесс коалесценции капель состоит из двух этапов. Первый этап, транс-
портный, включает в себя сближение капель вплоть до касания поверхностей.
Второй этап, кинетический, состоит в самой коалесценции, т. е. в слиянии капель
в одну каплю. Предположим, что основное время приходится на транспортную
стадию. Кроме того, будем считать, что каждое столкновение капель приводит
к их коалесценции. Тогда основная задача состоит в определении частоты
столкновения капель различного размера.
Рассмотрим сближение вплоть до столкновения двух сферических проводя-
щих капель разного радиуса, взвешенных в диэлектрической жидкости, в присут-
ствии однородного внешнего электрического поля напряженности Ео. Предполо-
жение о том, что капли сохраняют сферическую форму вплоть до контакта, не
совсем корректно, поскольку, как уже было ранее отмечено, при малых зазорах
между сближающимися каплями электрические и гидродинамические силы неогра-
ниченно возрастают, что может привести к значительной деформации поверхностей
капель и содействовать их разрыву. Однако, если капли малы, напряженность
внешнего электрического поля не превосходит Е„ и поверхности капель затормо-
жены бронирующими оболочками, то капли можно считать малодеформируемыми.
Сказанное позволяет также считать, что капли движутся, как твердые частицы
13.1. КОАЛЕСЦЕНЦИЯ КАПЕЛЬ В ПРОЦЕССЕ ОСАЖДЕНИЯ
В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
Рассмотрим медленное движение проводящих заряженных капель под
действием силы тяжести в покоящейся жидкости в присутствии однородного
внешнего электрического поля.
Осаждение капель происходит под действием силы тяжести и архимедовой
силы. Результирующая этих двух сил для г-й капли
F,A = inR?Apg, (13.1)
где Др =|ре- р,|— разность плотностей сплошной и дисперсной фаз.
Рассмотрим сначала случай, когда направление вектора напряженности
внешнего электрического поля Ео совпадает с направлением силы тяжести,
т. е. с направлением вектора д. Тогда движение капли S2 относительно кап-
ли 5) можно рассматривать как плоское движение в меридиональной плоскости
ф = const сферической системы координат (г, 0, ф) (см. рис. 11.2). В этом случае
задача оказывается симметричной по ф относительно оси OjZ, и угол между
направлением вектора Ео и линией центров капель совпадает с углом 0 сфе-
рической системы координат. Выражения для электрических сил, действующих
на две проводящие заряженные капли, были получены в разделе 11.2. Проек-
ции этих сил на оси г и 0 для каждой капли равны
^2r = F22; F'r = Ео (qi + q2) cos 0 - F£; (13 2)
Pit, = P-ix; = Eo ) cos 0 - F2eJ,
где F2x и F2! определяются выражениями (12.46) и (12.47).
317
На заключительной стадии сближения капель необходимо учесть молеку-
лярные силы притяжения (11.100), которые при малых зазорах между каплями
имеют вид
rmol ______rRt 1
2Г 6R2(Ri+R2) A? ’
(13.3)
где Г — постоянная Гамакера; А = (г - Ri - R2 )/R2 — безразмерный зазор меж-
ду поверхностями капель.
В зависимости от размеров частиц, разности плотностей фаз, величины на-
пряженности внешнего электрического поля и зарядов капель область проявле-
ния сил взаимодействия между каплями может быть различной. Так, для колло-
идных частиц (R < 1 мкм) основная роль в процессе их сближения принадлежит
силам молекулярного и электростатического (за счет зарядов) взаимодействия.
Для грубодисперсных систем (R > 1 мкм) необходимо учитывать все силы.
Гидродинамические силы и моменты, действующие на капли со стороны
внешней жидкости, были рассмотрены в разделе 11.4. Приведем выражения для
сил и моментов, действующих на каплю 2, через поступательные и угловые
скорости капель [15]:
Е» hyd _ E»hyd । E»hyd nrhyd _ 'T’hyd , 'T’hyd
Г2 ~ *2s + -*2e > -*2 ~ 1 2s Л 2e »
F2hryd = 6тг|1К2(u0,fs, -v2rf„),
, . ч (13.4)
^20У = 6лр/?2 (woe/^e — v2efen + 7?2Q/^91),
Т2лф = 8npJ?2(7?2G4v + v9teif - R2Q.teifi').
Здесь Fir и F;e — проекции гидродинамической силы, действующей на г-ю
каплю, на направления вдоль и перпендикулярно к линии центров капель, иОг
и Woe — проекции вектора стоксовой скорости обтекания капли 2 (см. (11.81)),
о2г и о29 — компоненты скорости капли 2 относительно капли 1, G = 0,51V х и01.
Коэффициенты fsr, fer, fa, fM, fa, fa, fax представлены в разделе 11.4.
В безынерционном приближении уравнения движения капли 2 относитель-
но капли 1 сводя' -я к следующим уравнениям:
F/ + pmol + JTel + JThyd = 0(
T2h/d + T2heyd = 0, (13.5)
dt~Vir’ rdt~V™-
Вид второго уравнения (13.5) обусловлен тем, что моменты молекулярных
и электрических сил равны нулю.
Проектируя (13.5) на оси г и 9 и учитывая выражения (13.1) — (13.4)
для сил взаимодействия капель, получим систему уравнений для компонент
поступательной скорости движения капли 2 относительно капли 1 и угловой
скорости капли 2. Решая эту систему уравнений с начальными условиями
г(0) = г0, 0(0) = 0О, получим семейство траекторий движения капли радиуса R2
относительно капли радиуса R\.
Введем следующие безразмерные переменные:
г - Ri - R2
x~~r2’ Vr~—’ v*-~'
, _ GR2 „ _ 2APffR2 (zR2El У 2 _ г
V ’ 1 9ц17 ’ 2 6лц17 J ’ 3 36npR2l7 ’
318
= qi M = q2 и = 2j?i2APg _ ^i£o
1 (блцеЯ317),/2 ’ 2 (блце^и),/2 ' 9ц 6лцД22и '
В этих переменных система уравнений (13.5) примет вид
fsrVr - fer ^Т~ + Si COS 0 - S2 (ft COS2 0 + f2 sin2 0) -
ат
(13.6)
(12.47),
(13.7)
(13.8)
- S2(Ntf3 + (fA + 1)X2) cos0 - N?fs - NM - N?f7 - 53/и = 0,
fs&e - /ёе(л +1 ++ S2fa sin20 - 5! sin0 +
+ S2(f$Ni + (/io +1) N2) + (d/^ = 0,
+ 1 + - (titeyi + hts<f = 0.
Коэффициенты f при i = l, 2..... 10 определяются из (12.46) и
а ftl = (! + &)-> Д'2.
Исключая из (13.6) cd, получим
(^i cos2 0 + cos 0 + ),
t/0 sin0 zt . t- \
Л " а (W,9-/-eeiM (^4 C0S 0 + >
где
= -S}(f - fi), ^2 = fsrVr + St- S2(Ntf3 + (ft + 1)N2),
= -N/Zs - NtN2f6 - N2fr ~ S3f t - S2f2, = 2S2f8,
= vefs9 -St + SMf9 + (f0 + 1)X2) +
k - _ з i _ 2 i
“ (fe + 1 + M)2 ’ Vr 2 О + 1 + &Д) 2 (k + 1 + M)3 ’
- = , _ з i _ 2 i
°9 “ 1 4 (fe + 1 + 6Д) 4 a + 1 + А Д)3
Будем решать уравнения (13.7) при начальных условиях
Д(0) = До, 0(0) = 00.
Перебирая различные значения До и 0О, можно определить тр.
движения капли S2 относительно капли Si. В процессе движения капля S2
столкнется с 5] или пройдет мимо. Траектории, соответствующие этим случаям,
образуют два семейства: траектории, заканчивающиеся на расстоянии r = R2 + Rt
от центра сферы 5j (столкновение), и траектории, проходящие мимо 3) и ухо-
дящие в бесконечность. Эти два семейства разделяет предельная траектория.
Рассмотрим в набегающем потоке капель S2 на большом расстоянии от
сферы 51 сечение, перпендикулярное вектору д. Назовем сечением столкнове-
ния сечение, через контур которого проходят все предельные траектории. Если
угол 0о между векторами Ео и д равен нулю, то этот контур представляет собой
окружность радиуса d. Очевидно, что капли S2, движущиеся вдали от 3t по
траекториям, пересекающим круг, ограниченный этим контуром, сталкиваются с
каплей 51. Площадь сечения столкновения (В назовем сечением захвата кап-
лей 51 капель 52. Частота столкновения капель 52 с каплями St пропорцио-
319
нальна ®. Поэтому основная задача состоит в определении сечения столкно-
вений.
Система уравнений (13.7) с условиями (13.8) решалась численными ме-
тодами. Но прежде, чем излагать результаты, проведем качественное исследо-
вание системы уравнений (13.7).
Система уравнений (13.7) является автономной, поэтому исследование
проведем в фазовом пространстве (х, 0), где через х обозначено А. Для отыс-
кания особых точек поля скоростей малой капли 2 приравняем нулю правые
части уравнений (13.7). В итоге получим следующую систему уравнений:
£((х) cos2 0 + £2(х) cos 0 + £3(х) = 0, (^(х) cos 0 + ^5(х)) sin 0 = 0. (13.9)
Первое уравнение представляет собой уравнение изоклины нуля, а вто-
рое — изоклины бесконечности. Особые точки поля скоростей капель 2 являют-
ся точками пересечения этих изоклин.
Решение первого уравнения относительно 0 имеет вид
0(х) = arccos
~5г(*) ± - 4^1 (х) 53(х)
251W
(13.10)
при
^i(x) * 0, ^(х) > 4^(х)^3(х),
-5г (х) + ^(x)-45iU) 5з(*)
25tU)
и
5з(*>
0(х) = arccos (-при^(х) = 0, ——
V 5г U) J 5г U)
(13.11)
Таким образом, для каждого значения х первое уравнение (13.9) допуска-
ет не более двух решений, а второе уравнение может иметь два или три ре-
шения:
55U)
ПРИ 5ДО
(13.12)
0(х) = 0, 0(х) = л, 0(х) = arccos (- ^5(~х\
54 (х)
Рассмотрим поведение решения системы уравнений (13.7) для случая неза-
ряженных частиц при Ni=N2 = 0. Если, кроме этого, отсутствует внешнее элект-
рическое поле (S2 = 0), то (х) = 0, (х) = 0. При этом из (13.10) — (13.12) следу-
ет, что в фазовом пространстве имеется одна изоклина нуля rKx) = arccos [ _ -^-7—|
\ 5г(х)J
и две изоклины бесконечности 0(х) = 0 и 0(х) = л (рис. 13.1, а). Пересечение
изоклины нуля и изоклины бесконечности 0 = л дает единственную особую точ-
ку А (седло). Сепаратриса точки А делит фазовое пространство на две обла-
сти. Все траектории первой области достигают границы (капли сталкиваются),
а все траектории второй области границы не достигают (столкновение капель
не происходит). Следовательно, сепаратриса особой точки Л представляет собой
предельную траекторию малой капли относительно большой. Если присутствует
внешнее электрическое поле, то 52^0; £((х), £2(х), ^4(х)<0 и ^(х)>0 для
всех х; ^3(х)<0 лишь при х» 1, а при остальных х имеем £э(х)>0. При
х -> оо имеем (х) -> 0, (х) -> 0, £2 (х) - -1, £5 - 1.
При не слишком большой напряженности внешнего электрического поля
(|52| < 1,5) множество фазовых траекторий топологически эквивалентно множе-
ству траекторий при 52 = 0 (рис. 13.1, а, б, в). Для рассматриваемых случаев
характерно наличие лишь одной особой точки А (седло), сепаратриса которой
320
Рис. 13.1. Особые точки поля скоростей малой частицы иа фазовой плоскости (х, в). Случай
незаряженных частиц (N, "• — 0):
а — = 0; б — ~ 0,1; в — 2 1; г — 4; 1, 3, 5 — изоклины бесконечности; 2 — изоклина
нуля; 4 — сепаратриса особой точки А — седло; 6, 7 — сепаратриса особой точки В — седло; С —
особая точка — неустойчивый узел
(кривая А) представляет критическую траекторию движения малой капли от-
носительно большой.
При 522>0,3 имеем (0)| > |^5(0)| и появляется еще одна изоклина бес-
конечности (кривая 5 на рис. 13.1, в), которая с ростом S% перемещается
навстречу изоклине нуля (кривая 2). Начиная с некоторого значения S22 ~ 4
кривые 5 и 4 пересекаются, и топология фазового пространства существенно
изменяется. Появляется пара особых точек В (седло) и С (неустойчивый узел),
в результате чего фазовое пространство разбивается сепаратрисами точек А и
В на пять отдельных областей (рис. 13.1, г).
21 - 1461 321
и Е
Рис. 13.2. Траектории движения малой частицы от-
носительно большой при Nt ” N2 0; k 0,1:
сплошные линии — S2 = 5; пунктирные линии — S2 = 0,1;
1,2 — околокритические траектории
С точки зрения расчета сечений столк-
новения капель области IV и V особого
интереса не представляют, поскольку в си-
лу замкнутости этих областей траектории,
начинающиеся вдали от прямой х = 0, по-
пасть в них не могут. Фазовые траектории
областей I и III достигают границы х = 0,
т. е. капли сталкиваются. Траектории, вхо-
дящие в область II, не достигают границы,
т. е. капли не сталкиваются. Следователь-
но, так же как и в рассмотренном выше
случае, сепаратриса особой точки А являет-
ся предельной траекторией, определяющей
сечение столкновение капель.
Траектории движения малой капли от-
носительно большой определялись путем чис-
ленного интегрирования уравнений движе-
ния (13.7) при значениях параметров
N, = N2 = 0, что соответствует случаю неза-
ряженных капель [15].
На рис. 13.2 показаны характерные
траектории движения маленькой капли от-
носительно большой (k = 0,1) для двух зна-
чений параметра электрогидродинамиче-
ского взаимодействия S2 = 5 (сплошные
линии) и S$ = 0,1 (пунктирные линии). Циф-
рами 1 и 2 обозначены траектории, близ-
кие к критическим. Соответствующие фа-
зовые траектории для S22 - 5 показаны на
рис. 13.3.
Поскольку рассматривается случай, когда направление Ео совпадает с направ-
лением ^(0О = 0), то сечение столкновения представляет собой окружность радиуса d.
На рис. 13.4 показаны зависимости безразмерного радиуса сечения столкновения
d/R\ от параметра электро гидродинамического взаимодействия S2 и от отношения
радиусов капель k = R2/R2. Сечение столкновения растет с увеличением k и S2.
Влияние вязкого сопротивления слоя жидкости, разделяющего сближаю-
щиеся капли, можно проследить, если пренебречь отклонением коэффициентов
сопротивления от стоксовых значений, т. е. положить fer = fsr = f$ = f^ = 1, /Lei = 0.
Для простоты пренебрежем также молекулярным взаимодействием, положив
S3 = 0. Упрощенная система уравнений имеет вид
= ur - S22(/’1 cos2 0 + f2 sin2 0),
dQ _ »e + S^/~8sin2e
di ~ (xt + l/k) ’
(13.13)
где ur и ив — безразмерные компоненты стоксовой скорости (11.81).
322
X
Рис. 13.3. Фазовые траектории движения маленькой частицы относитель-
но большой при (N, Nt 0; k “0,1; .$2 = 5):
1, 3, 5 — изоклины бесконечности; 2 — изоклина нуля; 4 — сепаратриса осо-
бой точки А — седло; б, 7 — сепаратрисы особой точки В — седло; С — особая
точка — неустойчивый узел
Этот случай для & = 0,1 изображен на рис. 13.4 пунктирной линией.
Видно, что при S22 > 1 вязкое сопротивление не оказывает заметного влияния
на сечение захвата капель. Это объясняется тем, что при малых значениях S2
капля 2 длительное время движется вдоль поверхности капли 1, испытывая
значительное вязкое сопротивление, в то время как при S2 > 1 капля 2 быстро
проходит разделительный слой почти под прямым углом к поверхности капли 1.
Сложнее обстоит дело, если 0 < 0О < л/2, т. е. если вектор напряженности
электрического поля Ео составляет с линией центров капель острый угол
(рис. 13.5). В этом случае движение капли 2 не является плоским, ее траектории
не лежат в меридиональной плоскости, и нужно рассматривать пространственное
движение. Чтобы упростить расчеты, пренебрежем вязким сопротивлением, считая
S2 > 1. В рассматриваемом случае составляющие электрической силы равны
Fr = ~ (ft cos2 \|/ + f2 sin2 \|/) er; Fv = fs sin 2\|/ ev, (13.14)
где er и e¥ — единичные векторы, направленные по с и перпендикулярно к г
в плоскости (г, Ео). В сферической системе координат (г, 0, й) (см. рис. 13.5)
уравнения движения капли 2 относительно капли 1 имеют вид
= ur - S'j (f cos2(0 + 0О) + f2 sin2(0 + 0О)),
21
323
-т- =---7-7Г +---------2, - (tt cos 0 cos ср + В cos 0 sin ф - у sin ф),
Л + (X1 + l/^a2 + p2 + y2 T (13.15)
Ар _ S2fs sin у ((3 cos <p - а sin ф)
(xi + 1 /k) sin е .Ja2 + p2 + у2
где cos \|/ = cos 0о cos 0 - sin 0О sin 0 sin ф; а = xz cos 0O - xy sin 0O; P = x2 sin 0O +
+ yz cos 0O + z2 sin 0O; у = - x2 cos 0O - y2 cos 0O - yz sin 0O; x = (xt + 1 /k) sin 0 cos ф;
у = (xt + 1 /k) sin 0 sin ф; z = (x, + l/k) cos ф.
Сечения столкновения, полученные путем численного интегрирования урав-
нений (13.15), для различных углов 0О показаны на рис. 13.6.
324
Рис. 13.6. Формы сечеиий столкновений у А
капель для различных значений угла 60
между Еа и д
Оказалось, что площади сечений
столкновения для различных углов 0О
отличаются незначительно. Это озна-
чает, что частота столкновений капель
практически не зависит от ориента-
ции электрического поля по отноше-
нию к направлению силы тяжести.
Сечение захвата Ф аппроксимирует-
ся следующим выражением:
® = 0,57лЯ2522(1 - exp (-5,75k)).
(13.16)
При гравитационном осаждении
капли различного размера движут-
ся со скоростями (7, = 2Дру7?|2/9це
и U2 = 2Дру7?^/9це. При этом час-
тота столкновений этих капель оп-
ределяется выражением
Р12 = ®|ut ~U2\ П2П\ = 2--Р^. (1 - £2)®ЩЩ1-
(13.17)
По физическому смыслу константа коагуляции К, входящая в кинетиче-
ское уравнение коагуляции (11.1), равна частоте столкновения капель единич-
ной концентрации, поэтому
K=3^L(1-F)®. (13.18)
Как отмечалось в разделе 11.1, константа коагуляции является симметрич-
ной функцией объемов взаимодействующих капель V и го. Поэтому должно
выполняться условие K(V, оз) = К(сз, V). Поскольку зависимость (13.18) с уче-
том (13.16) не обладает этим свойством, то в качестве симметричной функции К
можно использовать приближенное выражение [99]
K(V, <о) = 0,131 — (Vto)2/3 (1-2,4 (Vto)1/3— 1 (13.19)
Це (V‘/3 + 0J1/3) I (yt/3 + cot/3)2 I
Рассмотрим теперь поведение решения системы уравнений (13.7), когда капли
несут свободные заряды, т. е. N, Ф 0 и N2 0. Если внешнее электрическое поле
отсутствует (S2 = 0), то ^(х) = с^(х) = 0, t,2(x) < 0 и в фазовом пространстве (х, 0)
имеются две изоклины бесконечности 0(х) = 0, 0(х) = л и одна изоклина нуля
0(v) = arccos (- t,3(x) / t,2(x)). В тех случаях, когда электрические силы являются
силами притяжения для всех х (заряд имеет лишь одна из капель N{N2 = 0 или
капли обладают разноименными зарядами < 0), отношение - ^(x)/t,2(x) < 0
для всех х, и изоклина нуля полностью лежит в области 0(х) > л/2 (рис. 13.7,
а, б). Пересечение изоклины нуля и изоклины бесконечности 0(х) = л дает един-
ственную особую точку А (седло). Как и в случае незаряженных капель, сепа-
ратриса точки А делит фазовое пространство на две области и представляет
собой критическую траекторию движения малой капли относительно большой.
325
Рис. 13.7. Изоклины нуля и бесконечности и особые точки поля скоростей маленькой капли.
Внешнее электрическое поле отсутствует (S2 “ 0):
а — ^| = ^2 = 0; 6 — W,W2 <0; в — 0 < W|W2 < 1; г — NtN2 2 1,5; /, 3 — изоклины бесконечности;
2 — изоклина нуля; 4 — сепаратриса особой точки А — седло; 5 — сепаратриса особой точки В —
седло; С — особая точка — неустойчивый узел
Ситуация несколько изменится, если капли обладают зарядами одного
знака (NfX2> 0), поскольку, как показано в разделе 12.6, в зависимости от
соотношения радиусов и зарядов капель и расстояния между ними они могут
как притягиваться, так и отталкиваться друг от друга. При тех значениях х, при
которых электрические силы проявляются как силы отталкивания, ^3(х)>0,
изоклина нуля 0(х) = arccos (- ^3(х)/^2(х)) лежит в области 0(х) < л/2, а для
остальных х — в области 0(х)>л/2. Если N1N2<1,5, то ^3(х) < ^2(х) для
всех х. В этом случае пересечение изоклины нуля и изоклины бесконечности
0(х) = л дает единственную точку А (седло). Сечение столкновения капель
определяется сепаратрисой точки А (рис. 13.7, в). При NxN2> 1,5 пересечение
326
изоклины нуля и бесконечности 0(х) = 0 дает две особые точки — В (седло)
и С (неустойчивый узел) (рис. 13.7, г). Сепаратриса точки В (кривая 5) не
пересекает границы х = 0, поэтому ни одна траектория из области х » 1 не
достигнет границы х = 0, и столкновение капель в этом случае не происходит.
Поведение решения уравнений (13.7) значительно усложняется, если заря-
женные капли находятся во внешнем электрическом поле (S2 * 0). Если N2S2 > 0,
a i\!}S2 < 0, то ^з(х)/^(х) > - V2/2 и изоклина нуля лежит в области 0 (х) > л/4.
В этом случае имеются либо три, либо одна особые точки поля скоростей. Для
частного случая Nt = 0 эти случаи показаны на рис. 13.8.
Рис. 13.8. Изоклины нуля и бескоиечиости и особые точки поля скоростей маленькой капли.
Большая капля не заряжена (N, — 0); > 0:
а — S2 ~ 4; S2N2 « 1; б — 2 3; S2Nt - 0,5; в — 0,5 < S2N2 £ 1; г — S2N2 S 1; 1, 3, 5 — изоклины
бесконечности; 2 — изоклина нуля; 4 — сепаратриса особой точки А — седло; в, 7 — сепаратрисы
особой точки В — седло; С — особая точка — неустойчивый узел
327
Рассмотрим их последовательно. Если 522>4 и 52Х2« 1, то существуют
три особые точки: А (седло), В (седло) и С (неустойчивый узел) (рис. 13.8, а).
При S2<3 или S2N2 1 имеется лишь одна особая точка А (седло) (рис. 13.8, б,
в, г). Критическая траектория при N2S2>0 и N|S2<0 всегда определяется
сепаратрисой особой точки А независимо от значений S2, Nt и N2.
Если N2S2 < 0, то в зависимости от значений параметров S2, Nt и N2
отношение ^3(х)/^(х) может принимать различные значения от до +о°.
При этом возможны четыре различных случая, показанные на рис. 13.9 для
значения Nt = 0.
Рис. 13.9. Изоклины нуля и бескоиечиости и особые точки поля скоростей маленькой капли.
Большая капля ие заряжена (Nt ~ 0); N2S2 < 0:
а — 0 > S2N2 S —0,2; б--0,2 > S2N2 —0,5; в----0,5 > S2N2 > -1; г — S2N2 < -1; /, 3, 5 — изокли-
ны бесконечности; 2 — изоклина нуля; 4 — сепаратриса особой точки А (седло); 6, 7 — сепаратрисы
особой точки В (седло); 8 — сепаратриса особой точки Е (седло); С — особая точка — неустойчи-
вый узел; D — особая точка — устойчивый узел
328
1. |S2N2| « 1, S2N2 <0. В этом случае имеется лишь одна особая точка А
(седло), сепаратриса которой определяет сечение столкновения капель (рис. 13.9, а).
2. -0,5 < S2N2 < 0,2. В этом случае особых точек три: точка А — седло,
точка В — седло и точка С — неустойчивый узел (рис. 13.9, б). Сечение столк-
новения определяется сепаратрисой точки А.
3. S2N2> 1- В этом случае имеется пять особых точек: А — седло, В —
седло, С — неустойчивый узел, D — устойчивый узел, Е — седло (рис. 13.9, в).
Сечение столкновения определяется сепаратрисами точек А и В.
4. 52^2<—1. В этом случае направление движения маленькой капли
относительно большой вдали от нее изменяется на противоположное и сечение
столкновения определяется так же, как и при S2N2>0 (рис. 13.9, г).
а
Рис. 13.10. Траектории движения маленькой заряженной капли относительно
большой незаряженной при k — 0,1; ** 0:
а — W2 > 0; б — W2 < 0; сплошные линии — S2 = * > I № I= 0,2; пунктирные — S2 = 1,
ЛА2 = о
329
Траектории движения малой заряженной капли относительно большой не-
заряженной, полученные численным интегрированием уравнений (13.7) [16] по-
казаны на рис. 13.10, а рля случая М = 0; N2 = 0,2; k = 0,1, S2 = 1 и на рис. 13.10, б
для случая М = 0; & = 0,1; S2 = 1 и Х2 = -0,2. Для сравнения на рис. 13.10
пунктирными линиями показаны траектории незаряженных частиц при тех же
значениях параметров k и S2. Заметим, что околокритическая траектория рис. 13.11
соответствует случаю 2. Зависимости радиуса сечения столкновения от величи-
ны заряда малой частицы при /г = 0,1 и М = 0 приведены на рис. 13.12.
Кривые с номерами от 1 до 5 соответствуют значениям параметра электрогид-
родинамического взаимодействия S22 = 3; 1; 0,5; 0,1 и 0. При N2> 0 меньшая капля
несет положительный заряд и сечение столкновения увеличивается с ростом N2. При
N2 < 0 капля заряжена отрицательно и сечение столкновения резко уменьшается с
ростом |N21, обращаясь в нуль при значении N2 = ~1/S2. Аналогичная задача реша-
лась в [14] на основе приближенных выражений для сил взаимодействия капель.
В этой работе было получено следующее выражение для радиуса сечения захвата:
d/R, = (2kN2),/2 (13.20)
Рис. 13.11. Околокритическая траектория движения
маленькой заряженной капли относительно большой
незаряженной при k 0,1; S2 “ 1; Nt “ 0; N2 — 0,5
Рис. 13.12. Зависимость радиуса сечения столкнове-
ния маленькой заряженной капли с большой незаря-
женной от 1М2 при k 0,1; Nt 0:
1—5 — S2 = 3; 1; 0,5; 0,1. Пунктирная линия — зави-
симость (13.20) при k = 0,1
330
в предположении, что внешнее электрическое поле отсутствует и 2k « N2.
Зависимость (13.20) показана на рис. 13.12 пунктирной линией. Сравнение
этой кривой с соответствующей ей кривой 5, полученной с использованием
точных выражений для сил взаимодействия капель, показывает, что использо-
вание в расчетах приближенных выражений для сил электрического и гидро-
динамического взаимодействий капель приводит к существенному завышению
сечения столкновения, особенно заметному при малых и умеренных значениях
параметра N2. С увеличением N2 основная часть предельной траектории уда-
ляется от поверхности большой капли на расстояние, на котором силы взаимо-
действия хорошо описываются приближенными выражениями. Помимо увели-
чения сечения столкновения капель с ростом | N21 возрастает также скорость их
сближения, что приводит к дополнительному увеличению частоты столкновения
капель. Поэтому интенсивность захвата мелких заряженных капель крупными
незаряженными каплями зависит не только от величины заряда капель, но и от
направления вектора напряженности внешнего электрического поля.
13.2. КИНЕТИКА КОАЛЕСЦЕНЦИИ КАПЕЛЬ
ПРИ ГРАВИТАЦИОННОМ РАССЛОЕНИИ ЭМУЛЬСИИ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Для того чтобы рассмотреть динамику процесса укрупнения капель при
расслоении эмульсии в поле силы тяжести, необходимо обратиться к кинетиче-
скому уравнению (11.1), описывающему изменение со временем распределения
капель по объемам n(V, t). Входящее в него ядро коалесценции K(V, <й)
определяется выражением (13.19). Сделаем только одно замечание относитель-
но этого выражения. Оно имеет смысл частоты столкновения капель объемов V
и <й. Однако не каждое столкновение проводящих капель в электрическом поле
может привести к их слиянию. Действительно, как было показано в разделе 12.5,
после соприкосновения капли испытывают силу отталкивания и, если молеку-
лярные силы притяжения не компенсируют силу отталкивания, то слияния
капель не произойдет. Электрическую силу отталкивания соприкасающихся
первоначально незаряженных капель можно оценить по формуле (12.81)
<p(fe) = ~f - Д. (13.21)
+ к2)л
Сила молекулярного притяжения двух соприкасающихся сферических
капель определяется формулой Б. В. Дерягина [100]
= (13.22)
где Д — коэффициент поверхностного натяжения капли.
Условие слияния капель после соприкосновения можно теперь записать
в виде
2теЕоЛ(/?2 >£j72(Snl\ r2r2 (13 23)
^r^. 113.23)
Для оценки размера капель положим k = 1, т. е. рассмотрим капли одина-
кового размера. Для этого случая ф(1) = 5,46 и (13.23) переходит в
R < 2,3^ое-1Ед2.
331
Более точную оценку можно сделать, используя результаты экспериментов,
проведенных в [93, 100]:
R < OJSEoE-'fo2 = Яг- (13.24)
Переходя к объемам капель, перепишем (13.24) в виде
V<Vcr = 5,3-^L. (13.25)
е Ео
Таким образом, для капель с объемами V < Усг каждое столкновение приводит
к слиянию и ядро коалесценции таких капель равно частоте их столкновения.
В дальнейшем для проведения вычислений удобно К (У, w) представить
в виде степенной функции объемов, используя следующую аппроксимацию [1]:
(Усо)2/з
yl/3 + Qjt/з
«ОДУ'/гсо’/г,
что позволяет записать ядро коалесценции в виде
К(У, со) =
0,026 ^-уо,5ft)0,5 ПрИ у (О < у
. Ре г
(13.26)
0 при У, со > Vcr.
Если средний объем капель в эмульсии Уа.,.« Усг, то доля капель с объе-
мами V> У„ мала и при расчетах эти капли можно не учитывать и считать, что
2
К(У, со) = 0,026 —°-Уо.5(о<> * (13.27)
Це
во всем интервале объемов капель.
С другой стороны, если Уау» Vrr, то можно считать, что укрупнение капель
практически не происходит.
Для характерных значений Ео~2 кВ/см, Zo~10-2 Н/м и е - 2ео имеем
/?сг~10-2 м. Поскольку интересующий нас размер капель намного меньше
(R< 10’4 м), то в качестве ядра коагуляции в дальнейшем будем брать выра-
жение (13.27).
Рассмотрим теперь динамику укрупнения капель. Начнем с простейшего случая
монодисперсной эмульсии. Предположим, что эмульсия в процессе коалесценции
остается монодисперсной. Тогда частоту столкновений капель одинакового объема
можно найти из (13.27), умножив К на численную концентрацию капель N и
разделив на 2, поскольку при У = со число столкновений учитывается дважды:
4 сЕ2 яЕ2
в(1 = 1к(У, V)N = 0,013—2. VN = 0,013^2. W, (13.28)
2 Не Не
где W= VN — объемная концентрация капель в эмульсии. В процессе коалес-
ценции W остается постоянной, если дисперсная фаза не удаляется из рассмат-
риваемого объема.
Изменение численной концентрации капель описывается уравнением ба-
ланса числа капель
=-0nN; N(0) = No. (13.29)
Подставляя в (13.29) выражение (13.28) для 0И, получим
( pF2 \
W) = No ехр -0,013^2-¥У£ . (13.30)
I Н₽ I
332
Поскольку объем капель V = W/N, то изменение со временем радиуса
капель получим из следующего выражения:
R(t) = RaLK =/2oexp -0,004^2-m , (13.31)
I Vo I I I
где Ro — начальный радиус капель.
Из (13.31) следует, что характерное время укрупнения капель, т. е. время,
за которое радиус капли увеличится в е раз, равно
Гтопо = 250цс/eE0W. (13.32)
Скорость укрупнения капель растет с уменьшением вязкости окружающей
каплю жидкости, а также с увеличением напряженности электрического поля и
с увеличением объемной концентрации капель. Отметим, что в рамках принятой
модели парных столкновений необходимо, чтобы W« 1. При этом среднее
расстояние между каплями радиуса R оценивается как rav~ R/W1''3» 1. Это
неравенство позволяет ограничиться рассмотрением только парных столкновений.
Для характерных значений параметров це=10'2 Па-с, е = 2ео, Ео=1 кВ/см,
W = 0,01 время 7’mono=12,5 с. Так, для увеличения радиуса капель от 10 до
100 мкм требуется обрабатывать эмульсию в течение 25 с.
Приведенная простая модель может служить основой для проведения оценки
характерного времени укрупнения капель эмульсии. В действительности капли
имеют различные размеры, и их можно характеризовать непрерывным распре-
делением по объемам n(V, t), где V — объем капель.
Рассмотрим теперь коалесценцию капель полидисперсной эмульсии при
осаждении в поле силы тяжести в присутствии однородного внешнего электри-
ческого поля. Поскольку сечение захвата капель слабо зависит от ориентации
электрического поля, то направление Ей считается произвольным.
Ограничимся рассмотрением пространственно-однородного случая, т. е. слу-
чая, когда распределение капель по размерам зависит только от V и t. Физи-
чески это может соответствовать процессу коалесценции капель в условиях
слабого перемешивания, при котором отсутствует дробление капель. В рассмат-
риваемом случае кинетическое уравнение (11.1) примет вид
$ = /«,„; и(У,0) = По(У). (13.33)
ОС
Отметим, что ядро коагуляции (13.27) не удовлетворяет необходимым
условиям существования автомодельного решения. Поэтому рассмотрим неко-
торые результаты численного решения и получим приближенное решение урав-
нения (13.33) методом моментов.
Возьмем в качестве начального распределения логарифмически нормаль-
ное распределение
^(у) = 2!ф. expf- -1п2-((13.34)
•^0’ 1 2$q I
характерное для эмульсий, движущихся в трубах. Здесь -Sq— дисперсия распре-
деления, Уо = У® ехр (-.$о /2), У®’— средний объем капли в начальном рас-
пределении (13.34), п* — параметр, который выбирается из условия задания
в начальный момент объемной концентрации капель
W = fVncdn. (13.35)
о
333
На рис. 13.13 показана динамика распределения капель по размерам для
двух начальных распределений (13.34) с одинаковыми средними объемами
капель Уа$0), но с разными дисперсиями $^ = 0,09 (рис. 13.13, а) и $о = 1
(рис. 13.13,6). Для удобства по оси абсцисс отложен безразмерный радиус
капель г1 = (У/У0)1/3 и введено безразмерное время т = 0,024e£^W^/npe и
w = VVon/W.
Со временем скорость коалесценции замедляется, поскольку значительно
уменьшается число капель в единице объема эмульсии N(t) (рис. 13.14). Ха-
рактерное время коалесценции оценивается из равенства т ~ 1, откуда находим
^«ISOpe/EfoW. (13.36)
Теперь можно сравнить характерные времена коалесценции в моно- и
полидисперсной эмульсиях. Из (13.32) и (13.36) следует, что
"Дпопо /Tpoly ~ 2.
(13.37)
Рис. 13.13. Динамика распределения ка-
пель по размерам:
а — Sq = 0,09; 6 — sjj = 1
Рис. 13.14. Изменение со временем чис-
ленной концентрации капель:
— 7 — численное решение, 2 — приближенное
X решение (3.41) при fe=2
334
Таким образом, скорость коалесценции полидисперсной эмульсии почти в
два раза меньше, чем в монодисперсной. Это объясняется тем, что в электри-
ческом поле частота столкновения капель соизмеримых размеров больше, чем
частота столкновений сильно отличающихся по размерам капель (см. рис. 13.4).
Найдем теперь приближенное решение методом моментов (см. раздел 11.1),
используя параметрический метод и предполагая, что начальное распределение
является гамма-распределением,
n0(V) = ^ + Pf-2LTexpf-21-\ (13.38)
V0(0)2*l ^Vo(o) J ^Vo(0) J
Входящие в это распределение параметры Vo и k связаны со средним
объемом Уа(к0) и дисперсией соотношениями
V™ = (k + 1)VO; -А- = (k +1)-‘/2. (13.39)
Vav
Пусть в процессе коалесценции распределение n(V, t) остается в классе
гамма-распределений
= (13.40)
V02*! ( Vo I I Vo I
a co временем изменяются средний объем капель Vav = (fe + 1)VO и дисперсия
5 = Vav(fe + 1)н/2. При этом объемная концентрация капель W остается посто-
янной, а численная концентрация капель N= W/Vav изменяется.
В итоге найдем изменение со временем числа капель в единице объема
эмульсии
N = No ехр(-а^т). (13.41)
Здесь т — введенное выше безразмерное время, а
1,2(2* + 2) !Ф (1; 2* + 3; k + 2,45; 0,5)
ССь =---------------------------,
(* + 1,45)(* + l)22i + 3(*!)2
где Ф(а; 0; у; z) — гипергеометрическая функция [5].
На рис. 13.14 показана зависимость (13.41) при * = 2. Сравнение с чис-
ленным решением показывает, что приближенное решение достаточно хорошо
приближает точное до значений т ~ 1. При т > 1 точное решение дает более
быстрое затухание процесса коалесценции, чем приближенное.
В заключение оценим время, по истечении которого процесс коалесценции
капель в электрическом поле закончится. Для этого необходимо, чтобы средний
радиус капель стал равным R„, который определяется формулой (13.24). Вос-
пользуемся выражением (13.30) для изменения со временем радиуса капли в
монодисперсной эмульсии. В итоге получим
~ Tmono In (O,75Eoe-,£'o2-Ro1), (13.42)
где Ro — начальный радиус капель до включения электрического поля.
Для характерных значений Ео~1 кВ/см, Ео~1О~2 Н/м и е~2ео, Це =
= 10"2 Па • с имеем
^соа! 8, 2Гтопо - 100 с. (13.43)
335
13.3. ГРАВИТАЦИОННАЯ СЕДИМЕНТАЦИЯ БИДИСПЕРСНОЙ
ЭМУЛЬСИИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
В качестве приложения рассмотрим процесс седиментации бидисперсной
эмульсии. Пусть в начальный момент имеется эмульсия, дисперсная фаза ко-
торой состоит из проводящих незаряженных капель двух сортов объемом Vt и
V2, причем V, > V2, объемной концентрации С10 и С20. Эмульсия помещена в
однородное электрическое поле напряженности Ео, параллельное направлению
силы тяжести. При t > 0 происходит осаждение капель. Предположим, что в
процессе осаждения объем маленьких капель V2 и численная концентрация
больших капель nt постоянны. Физически это означает, что большие капли
между собой не взаимодействуют, а укрупняются в процессе столкновения с
малыми каплями объемом V2, которые между собой также не взаимодействуют.
С учетом сделанных предположений получим следующие уравнения, описываю-
щие изменение объема капель сорта 1:
г 4 nR^n, (V, - V2); V2 (n20 - n2) = (V2 - V10 )щ;
at «j
V,(O) = Vlo.
(13.44)
Подставляя в (13.44) выражение (13.16) для сечения столкновения <8 и
вводя безразмерные переменные т = О,О24еЕо2С(/лцг,, k = R2/Rt, получим
^ = -fe2(l-exp(-5,75fe))[l-32^
uT С /?3
£ = WM. k(0) = ko,
С С I к I
(13.45)
где С — объемная концентрация всей дисперсной фазы.
На рис. 13.15 представлены зависимости С2/С от т для различных зна-
чений начального отношения радиуса капель k0 и Cto/С = 0,5.
При т —> °° имеем С2/ С —> 0, причем характерное время тст, за которое
крупные капли выбирают мелкие, уменьшается с увеличением fe0. Это означает,
что капли сорта 1 тем быстрее выбирают капли сорта 2, чем меньше они
отличаются по размерам.
В случае С2/С « 1 из (13.45)
можно получить следующее прибли-
женное решение:
c^
С
^ехр(-17,25В3т) при k0 « 0,15,
^ехр(-ЗВ2т) при ko > 0,15,
(13.46)
где введен параметр В = (С10/C)1/3fe0.
Рис. 13.15. Изменение со временем отно-
сительной концентрации маленьких капель.
Пунктирная линия — зависимость (13.49)
336
Из (13.46) следует, что при седиментации капель с k0« 1 характерное
время тсг ~ в то время как при седиментации капель, несильно различаю-
щихся по размерам, т„ - k/. Зависимость (13.46) показана на рис. 13.15 пунк-
тирной линией (feo = O,l; С20/С = 0,5).
Рассмотрим теперь бидисперсную эмульсию, в начальный момент однород-
но распределенную в слое между параллельными плоскостями z = 0 и z = Н, где
ось z направлена от верхней плоскости к нижней и совпадает по направлению
с направлением силы тяжести. Объемные концентрации капель в начальный
момент малы (С10 и С20« 1), так что стесненностью осаждения можно прене-
бречь. Через некоторое время все крупные капли сорта 1 выпадут. Нас инте-
ресует, сколько мелких капель останется в столбе эмульсии единичного сече-
ния. Подобная задача представляет интерес при лабораторных исследованиях
влияния электрического поля на скорость отстоя эмульсии.
Обозначим через C2(z) объемную концентрацию капель сорта 2, которые
останутся в сечении z после прохождения через него крупных капель, находив-
шихся в начальный момент в слое над z. Скорость осаждения мелких капель
мала по сравнению с крупными, поэтому для простоты будем считать, что они
не осаждаются. Тогда после осаждения крупных капель в слое 0 < z < Н от-
ношение объема оставшихся мелких капель ко всему первоначальному объему
капель будет равно
н
N2 = J-\c2(z)dz. (13.47)
Си J
О
Используем полученное ранее уравнение (13.45), заменив dC2/dt = k^2dC2/dz,
и приближенное решение (13.46). При условии С2/С « 1 получим
г ехр(-17,25В3У при feo«O,15,
^-= 5 (13.48)
exp(-3B2Q при k0 > 0,15,
где 5, = CeEfi z/29,1ДрдЯ/
__ Зависимость N2 от В для различных значений безразмерной высоты слоя
Н = СеЕ^Н/29,1Др^/?22 показана на рис. 13.16, а.
Рассмотрим теперь случай осаждения капель обоих сортов. За время t
мелкие капли, осаждаясь со скоростью U2 = 2ApgR£/9ре, пройдут расстояние
Рис. 13.16. Бидисперсная эмульсия:
а — относительное объемное содержание маленьких капель, 6 — влияние электрического поля на
седиментацию бидисперсной эмульсии
22 - 1461
337
t
h2=U2t, а большие капли — Д = jutdt. Используя соотношения (13.48), по-
fl
лучим
Х2(т) = С20(1-ехр(-(Н1-т)))^ + 1-^-, (13.49)
аНС Н
1
Н( = -Ц- In
аВ2
еат + С20/ЗС V С20 1 1 _ 1
1 + С20 /ЗС 1 ЗС I е<и + с20 /ЗС 1 + С20 /ЗС
а =
17,25В3 при k0 « 0,15,
ЗВ2 при fe0>0,15.
Влияние электрического поля на процесс седиментации можно охаракте-
ризовать параметром А, равным отношению объемов маленьких капель, остав-
шихся в слое через время t при осаждении в электрическом поле и без него
______CHNM______
С20(Я - Лг) + С^(н - Aj)
(13.50)
Зависимость Л(т) представлена на рис. 13.16, б для значения С20/С — 0,3.
Как видно, имеются три отличающиеся друг от друга зависимости. Первая
лежит в области 0 < т < 40. Резкое убывание А на этом участке объясняется
тем, что за это время происходит значительное укрупнение больших капель и
при т - 40 они все выпадают из слоя. На другом пологом участке 40 < т < 300
идет медленное осаждение мелких капель. Возрастание А при 300 < т < 370
обусловлено тем, что за это время верхний слой эмульсии, в котором концен-
трация маленьких капель максимальна, достигает нижней границы слоя.
13.4. ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ НА ПРОЦЕСС
СЕПАРАЦИИ ЭМУЛЬСИИ В ГРАВИТАЦИОННОМ ОТСТОЙНИКЕ
Важным технологическим процессом является отделение воды от нефти.
Вода в нефти находится в виде капель, размер которых может лежать в диа-
пазоне радиусов от одного до сотен мкм. Этот процесс осуществляется в гра-
витационных отстойниках, представляющих собой большие емкости в горизон-
тальном или вертикальном исполнении. Отделение воды от нефти происходит
в них за счет гравитационной седиментации капель. Разность плотностей воды
и нефти невелика (Др-100 кг/м3), размеры капель малы, поэтому скорость
седиментации мала, и для качественного отделения воды от нефти требуются
большое время, а значит, и большие габариты отстойников. Размеры аппаратов
можно существенно уменьшить, если предварительно увеличить средний объем
капель воды. Одним из эффективных способов является обработка эмульсии
в электрическом поле. Электрическое поле можно создавать в самом отстойнике
(электродегидраторе). Можно также предварительно укрупнять эмульсию в от-
дельном аппарате (электрокоалесценторе), устанавливаемом перед отстойником.
Рассмотрим случай, когда эмульсия перед тем, как попасть в отстойник,
предварительно укрупняется в электрокоалесценторе. Обозначим через t время,
в течение которого эмульсия находится в электрокоалесценторе, через n0(V) —
распределение капель по объемам в исходной (сырой) эмульсии на входе в
электрокоалесцентор, а через п{ V, t) — распределение капель на выходе из него.
338
После электрокоалесцентора эмульсия попадает в отстойник, поэтому n(V, t)
можно рассматривать как распределение капель в эмульсии на входе в отстой-
ник. Обозначим через n((V, t) распределение капель в эмульсии на выходе
отстойника. Эффективность разделения эмульсии в отстойнике характеризует-
ся коэффициентом уноса, равным отношению объема воды, содержащегося в
единице объема эмульсии на выходе отстойника, к той же величине на входе:
X = = fVnt(V, t)dV HVn(y, t)dV. (13.51)
о /о
Очевидно, что чем меньше X, тем эффективнее происходит разделение
эмульсии в отстойнике.
Назовем передаточной функцией отстойника отношение
Ф(г) = я,(У,О/я(У, t). (13.52)
Передаточная функция зависит от гидродинамического режима движения
капель в осадительной области отстойника. В простейшем случае осаждения
капель без учета взаимодействия между ними выражения для Ф(г) легко по-
лучить для случаев движения эмульсии перпендикулярно и параллельно (про-
тив) силе тяжести [4]. В первом случае отстойник называется горизонтальным
и для него
ФА(г) =
1 - (г/гсг)2 при г < га,
О при г > гсг.
(13.53)
Во втором случае отстойник называется вертикальным и
. [1 при г < г„,
[О при г > гсг.
(13.54)
Величина тсг= (9HQpe/2ApV)1/2 соответствует максимальному радиусу ка-
пель на выходе отстойника, Н и V — высота и объем отстойника, Q — объемный
расход эмульсии, це — вязкость сплошной фазы, Др — разность плотностей дис-
персной и сплошной фаз.
Подставляя значения Ф(г) в формулу (13.51), получим выражения для
коэффициента уноса соответственно вертикального и горизонтального отстой-
ников:
Ц:г /оо
= \VnS.V,e>dV HVn(V, t)dV,
о /о
(13.55)
Кг /оо
Kh = Kv - ^Vni(V,t)dV /^Vn(V,t)dV, (13.56)
о /о
где Vcr = 4лгс3 / 3 — критический объем капель.
Из (13.55) и (13.56) следует, что ХА < Х„ при условии равенства гсг гори-
зонтального и вертикального отстойников. Большая эффективность разделения
эмульсии в горизонтальном отстойнике по сравнению с вертикальным объясня-
ется видом распределений капель на выходе отстойников (рис. 13.17). В вер-
тикальном отстойнике от распределения на входе отсекается часть с V > V„,
поскольку капли такого объема не могут двигаться против силы тяжести.
В горизонтальном отстойнике происходит непрерывное осаждение капель всех
22* 339
Рис. 13.17. Схематичное изображение вертикального (а) н горизонтального (б) отстойников
размеров по длине, причем капли с V > Vcr выпадают все, а кроме них выпадает
и часть капель с V < что не происходит в вертикальном отстойнике.
Для определения коэффициента уноса необходимо найти предварительно
n(V, t) — распределение капель, которое установится в эмульсии после ее об-
работки в течение времени t в электрическом поле. Воспользуемся ранее най-
денным приближенным решением (11.30)
n^V’^ k\w I^Vo J 6Xp^ VOJ' (13.57)
Здесь N = No exp (-aAx), Vo = V™ exp (aAx)/(fe +1), W = W0, x = O,O24£Eo2 *
xU''ot/itn(, No, Wo и I/® — начальные значения, т. e. значения в исходной
эмульсии численной и объемной концентраций и среднего объема капель,
ак определяется соотношением (13.41).
Подставляя (13.57) в (13.55) и (13.56), получим
. _T(k + 2,x) . y(k + 8/3, х) . \
+ (fe + D^/з -
где х = Va/Vo; y(a, х) — неполная гамма-функция [5].
Выражения (13.58) представляют собой зависимости коэффициентов уно-
са вертикального и горизонтального отстойников от параметров исходного
распределения капель k и Уа(^ = Wo /No, безразмерного времени т обработки
эмульсии в электрическом поле, а также от параметра Vcr, характеризующего
геометрические и гидродинамические параметры отстойника.
Зависимости (сплошные линии) и (штриховые линии) от параметра
x0 = Vcr/V^) для различных значений х показаны на рис. 13.18. Кривые при
340
Рис. 13.18. Влияние времени т обработки эмульсии в электрическом поле на
коэффициент уиоса горизонтального (сплошные линии) и вертикального
(пунктирные линии) отстойников
т = 0 соответствуют значениям ХА(0, х0) и А.о(0, х0) без предварительного укруп-
нения эмульсии. Остальные кривые соответствуют увеличивающемуся времени
обработки эмульсии т = 0,34; 0,68; 1,02. Как и следовало ожидать, увеличение
т приводит к существенному уменьшению уноса воды из отстойника.
Сравним теперь коэффициенты уноса горизонтального и вертикального
отстойников. Для этого введем параметр
ф = ХА(т, х0)/Х1,(т, х0). (13.59)
При одинаковых значениях объемной концентрации воды на входе двух
сравниваемых отстойников параметр ф равен отношению объемных концентра-
ций на выходе отстойников. Очевидно, что ф < 1 для всех значений х0 и т > 0.
Используя асимптотическое поведение неполной гамма-функции, найдем, что
при малых значениях х0
<13-60)
а при х0 » 1
V = 1-х02/3
Г(6 + 8/3)
(k + l)i
(13 61)
В частности, при х0 -э 0 имеем ф-э2/(3£ + 8), а при х0-»°° ф-э1. По-
скольку при малых х0 значения ф убывают, а при больших х0 — возрастают, то
ф имеет минимум. Коэффициент уноса горизонтального отстойника более чув-
ствителен к времени обработки эмульсии в электрическом поле, чем коэффи-
циент уноса вертикального отстойника.
Полученные зависимости можно использовать для определения времени
обработки эмульсии в электрическом поле, необходимого для достижения за-
данной объемной концентрации дисперсной фазы на выходе отстойника
341
13.5. ПРОХОЖДЕНИЕ ЭМУЛЬСИИ
ЧЕРЕЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
Существующая технология удаления воды из нефтепродуктов позволяет
получать топливо с содержанием остаточной воды порядка 0,01 %. Однако даже
столь малое содержание воды может отрицательно повлиять на работоспособ-
ность топлива в двигателях, особенно в условиях эксплуатации при низких
температурах. Для глубокого обезвоживания нефтепродуктов можно применять
электрическое поле, а для отделения от эмульсии воды с очень малой объемной
концентрацией можно использовать пакет сетчатых насадок-электродов, распо-
ложенных поперек набегающего потока эмульсии (рис. 13.19).
Основной принцип работы электрического фильтра состоит в следующем.
Если проводящим капелькам воды сообщить некоторый заряд и поместить их
в межэлектродное пространство, то под действием внешнего электрического
поля они будут двигаться к одному из электродов, в зависимости от знака
заряда капель. При соприкосновении с электродом капли воды перезаряжаются
и движутся от электрода в противоположном направлении. Таким образом, в
пространстве между электродами образуются два встречных потока разноимен-
но заряженных капель, что увеличивает частоту их столкновения. В результате
капли коалесцируют, укрупняются и осаждаются. Если электроды представляют
собой сетку, то часть капель может пройти без столкновения через сетку. Если
устройство состоит из пакета сеток, то капли последовательно будут задержи-
ваться каждым рядом сеток.
Описанный процесс можно рассматривать как процесс фильтрации дисперс-
ной фазы через систему сетчатых электродов. Основной задачей является опреде-
ление количества остаточной воды в нефтепродукте на выходе фильтра. Объемная
концентрация воды Wout на выходе зависит от объемной концентрации на входе ТУ1П,
дисперсного состава эмульсии, напряженности электрического поля, от кон-
структивных параметров устройства и от физико-химических свойств эмульсии.
Введем коэффициент уноса одной секции фильтра как отношение объем-
ных концентраций воды в эмульсии на выходе и входе этой секции
= (13.62)
Рис. 13.19. Схематическое изображение электрического фильтра:
1 — корпус; 2 — 4 — секции фильтрации; 5 — 8 — сетчатые электроды; 9 —
дренирующее устройство; 10 — демпфер
342
Тогда коэффициент уноса фильтра
Х = (13.63)
t
Таким образом, для определения объемной концентрации воды на выходе
фильтра WOut = jnVin необходимо знать коэффициент уноса каждой секции
фильтра. Будем считать секции фильтра одинаковыми и рассмотрим процесс,
происходящий в одной секции.
Принимаем, что эмульсия состоит из непроводящей сплошной фазы и про-
водящей диспергированной фазы в виде одинаковых маленьких сферических
капель радиуса R, несущих постоянный заряд q. Капли движутся между двумя
плоскими параллельными сетчатыми электродами. Вдали от поверхности элект-
родов капли движутся перпендикулярно поверхности электродов. Примем, что
капли приобретают заряд в результате столкновения с электродом. Тогда со-
гласно [97]
q = •|n3£o££’o-R3- (13.64)
Заметим, что формула (13.64) была получена для плоского сплошного
электрода. Если размер капель мал по сравнению с диаметром проволочек, из
которых изготовлен электрод, то капля возле цилиндрической проволочки ведет
себя как возле плоской стенки, поэтому использование соотношения (13.64)
допустимо.
Малое объемное содержание воды в эмульсии позволяет ограничиться
рассмотрением движения изолированных капель и не учитывать их влияние
друг на друга и на сплошную фазу. Поскольку траектория капель искривля-
ется только возле электрода, то достаточно рассмотреть поведение капель в
непосредственной близости от элементов электрода — цилиндрических проволо-
чек. Движение заряженных частиц при обтекании одного цилиндрического
электрода было рассмотрено в работе [101].
Выберем систему координат XYZ, связанную с плоскостью одного из
электродов (рис. 3.20).
Рис. 13.20. Система координат, связанная с плоскостью электрода
343
Уравнение движения капли в безынерционном приближении и без учета
силы тяжести имеет вид
Fh + Fe[ = 0, (13.65)
где сила гидродинамического сопротивления капли
РА = -б7ГЦеaf(u- U), (13.66)
а электрическая сила
Fa = qE. (13.67)
Здесь и — скорость капли, а — радиус капли, U — скорость потока жидко-
сти, Е — напряженность электрического поля. В дальнейшем будем считать, что
напряженность электрического поля достаточно велика, так что при рассмотрении
захвата капель цилиндрическими проволочками коэффициент сопротивления f в
выражении для гидродинамической силы можно положить равным единице.
Если расстояние между двумя электродами велико по сравнению с харак-
терным размером ячейки сетчатого электрода, то неоднородности в распределе-
нии скорости и напряженности электрического поля имеются лишь вблизи элект-
рода до расстояний порядка размера ячейки. Вне этой области распределения Е
и U можно считать невозмущенными. Будем моделировать сетчатый электрод
двумя взаимно перпендикулярными системами бесконечных параллельных ци-
линдров радиуса Rc, расположенных на одинаковом расстоянии h друг от друга
и лежащих в одной плоскости. Тогда электрическое поле равно суперпозиции
полей, создаваемых каждым электродом, а поле скоростей определяется из зада-
чи о поперечном обтекании бесконечного цилиндра, при условии, что остальные
цилиндры мало искажают поле скоростей. Подобная картина будет искажаться
в окрестности узлов сетки и возле края цилиндра. Однако, если размер сетки
велик по сравнению с h, а период сетки много больше Rc, то такое предполо-
жение допустимо. В рассматриваемой постановке распределение гидродинамиче-
ских и электрических параметров в плоскости, проходящей через векторы Е и
U и перпендикулярной плоскости электродов, одинаково.
Электрическое поле, создаваемое одним электродом, равно
Е = 21Л, (13.68)
где г — расстояние от центра поперечного сечения проволочки до рассматри-
ваемой точки; X — поверхностная плотность заряда на проволочке.
Полное электрическое поле равно суперпозиции полей от каждого цилинд-
ра, поэтому
Е = | ЕОх + £ Екх 1 EOz + £ Ekz V, (13.69)
I к J \ к )
где Ейх и Ейг — компоненты напряженности, создаваемой выбранным цилиндром,
a Ekx и Ekz — цилиндрами, отстоящими от него на расстояниях hk и ~hk. Из
уравнений (13.68) и (13.69) находим
£х = 2Х^ + 4ХхУ----------(r2-*2fe2)------, (13.70)
г2 4^ {hkY + 2(Afe)2 (z2 - X2 ) + г4
К
Ег = 2Х— + 4ХгУ_________(^2fe2)---------.
r2 4<(Afe)4 + 2(Afe)2(z2-*2) + r4
К
На рис. 13.21 показано распределение безразмерных компонент напряжен-
344
Рис. 13.21. Распределение напряженности элект-
рического поля возле электрода:
сплошные линии — E'z, пунктирные — Е'х
ности Exz = hEXtZ/к по безразмер-
ным координатам x' = x/h и z=z/h.
Видно, что на расстояниях от плоско-
сти электрода порядка размера ячей-
ки сетки h электрическое поле ста-
новится практически однородным и
равным полю плоского конденсатора.
Следовательно, влияние сетчатой струк-
туры сказывается лишь на расстояни-
ях z<h.
Рассмотрим теперь поле скорос-
тей. При медленном обтекании бес-
конечного цилиндра потоком вязкой
жидкости (Re<l) со скоростью V»
вдали от цилиндра течение на расстоя-
ниях r>Rc/Re можно считать прак-
тически невозмущенным, а в области
r<Rc/Re компоненты скорости в ци-
линдрической системе координат г, 0,
связанной с цилиндром, равны [102]
Ur _______2_______
V» Re2 - 1 - 2 In (Re)
Ue _ 2
1 _Rc_
2 2r2
1 _ R2
2 2r2
Re2 - 1 - 21n (Re)
sin 0,
(13.71)
cos 0.
При этом компоненты гидродинамической силы определяются соотноше-
нием (13.66)
Fr = -6лрд[ - [Д. + 4т |; Fe = -6npa[ - Ue + r I.
I at I I at )
(13.72)
Введем безразмерные переменные
^ = r/h, T = VJ/h, U'r = Ur/V„, U'9 = U9/V„, b = 2q\/biwhV„Rc,
d = Rc /h, fr = hFr /Xq, fe = hFt /Xq.
В новых переменных уравнения (13.72) примут вид
& = u;-bfT-,^ = u'e-bf9. (13.73)
dt dt
Начальными условиями являются
£ = £0; 0 = 0о при т = 0. (13.74)
Решая уравнения (13.73) для различных начальных значений и 0О,
найдем семейство траекторий движения капель. Часть капель столкнется с
цилиндром, перезарядится, отразится от него и уйдет или вверх или вниз по
потоку. Назовем траекторию, разделяющую два указанных семейства траекто-
рий, предельной. Введем понятие сечения пропускания одной ячейки сетки как
345
Рис. 13.22. Траектории капель возле
электрода
площадь сечения вдали от сетки, че-
рез которую проходят траектории ка-
пель, которые уходят вниз по потоку.
Если .г£0) — начальная координата кап-
ли, которая движется по предельной
траектории, то сечение пропускания
/ \2
« = 1-2^. . (13.75)
I hi
Теперь можно найти коэффициент
уноса сетчатого электрода
/ \2
Ki= 1-2^- . (13.76)
I h j
Таким образом, задача определе-
ния К{ сводится к нахождению пре-
дельной траектории движения капли.
Рассмотрим захват и отражение ка-
пель цилиндром (рис. 13.22). Сплошной линией показаны траектории подходя-
щих капель. Вдали от цилиндра капли движутся прямолинейно, поскольку на
расстояниях z> h электрическое поле и поток жидкости практически однород-
ны. На расстояниях z < h появляется составляющая силы, параллельная плос-
кости электрода, поэтому на расстояниях г < h/2 от сетки траектории заметно
отклоняются от прямых. При r<Rc/Re капли попадают в область возмуще-
ния, вносимого сеткой, и скорость жидкости снижается от скорости невозмущен-
ного потока V» до нуля на поверхности сетки. На границе области возмущения
линии тока искривляются, но абсолютная величина скорости еще близка к И»,
поэтому происходит изменение направления движения капли, и она несколько
смещается вниз по потоку, приближаясь к цилиндру. Однако вблизи цилиндра
скорость падает, и капля под действием электрической силы осаждается на
цилиндре. Пунктирной линией показаны траектории движения отраженных
капель. Существует критический угол 0СГ такой, что для любого £ > 0 после
перезарядки в точке (7?с, 0СГ + с) капля остается в зоне фильтрования и уходит
вверх против потока, а после перезарядки в точке (7?с, 0СГ - е) — покидает зону
и уходит вниз по потоку. Для траекторий отраженных капель при 0 > 0СГ
наблюдается значительное искривление траекторий. Таким образом, возле сет-
чатого электрода возникают два встречных потока разноименно заряженных
капель повышенной объемной концентрации. Эти капли могут интенсивно вза-
имодействовать друг с другом, что приводит к увеличению частоты столкнове-
ния и укрупнению капель. Учет этого эффекта довольно сложен и требует
решения кинетического уравнения для распределения капель не только по
размерам, но и по зарядам. Если этим эффектом пренебречь, то получаемый
коэффициент уноса (идеальный коэффициент) будет несколько завышен.
Используя результаты численного решения уравнений (13.73) и (13.74),
можно определить идеальный коэффициент уноса. Он зависит от трех безраз-
мерных параметров: Ь, характеризующего соотношение между электрической и
гидродинамической силами, действующими на каплю, Re, характеризующего
346
Рис. 13.23. Зависимость коэффициента
уиоса Kt сетчатого электрода от пара-
метров Re, dub
структуру потока, и d, характеризующего сетчатый электрод. Зависимости Kt от
этих параметров показаны на рис. 13.23.
Для увеличения сил, способстсвующих отстою капель эмульсии, сетчатые
электроды можно ставить под углом к потоку. В этом случае при заряде капель,
превышающем критическое значение, возникает составляющая электрической
силы, суммирующаяся с силой тяжести. Проведенные расчеты показали, что при
изменении угла наклона сетчатых электродов от 0 до 45° коэффициент пропус-
кания изменяется незначительно. Следовательно, расположение электродов под
углом к направлению потока увеличивает скорость седиментации капель, не
оказывая заметного влияния на фильтрационную характеристику сетчатого
электрода.
13.6. КОАЛЕСЦЕНЦИЯ КАПЕЛЬ С ПОЛНОСТЬЮ
ЗАТОРМОЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ ЭМУЛЬСИИ
Рассмотрим процесс коалесценции капель с полностью заторможенной
поверхностью, когда они ведут себя как твердые частицы, в развитом турбулент-
ном течении малоконцентрированной эмульсии в предположении, что размеры
капель значительно меньше внутреннего масштаба турбулентности (R « Хо),
капли не деформируются, а значит, и не дробятся. В этих условиях коэффи-
циент взаимной диффузии капель с учетом их гидродинамического взаимодей-
347
ствия определяется выражением (11.70). Для определения частоты столкнове-
ния капель радиусов R} и Т?2 О?1 < R2) необходимо решить уравнение диффу-
зии (11.36) с граничными условиями (11.39). Поместим начало сферической
системы координат (г, 0, Ф) в центр большой частицы радиуса R}. Если силы
взаимодействия капель обладают свойством сферической симметрии, то уравне-
ние (11.36) с условиями (11.39) принимает вид
±d Г2 Drdn_Fn
г2 dr \ I dr h
п = 0 при r = R,+R2; п = п0 при
(13.77)
(13.78)
где п — численная концентрация капель радиуса _R2; DT — коэффициент взаим-
ной турбулентной диффузии; F — сила взаимодействия капель (молекулярная,
электростатическая, электрическая); h — коэффициент гидродинамического со-
противления движению капли.
Общее решение уравнения (13.77) имеет вид
e~g(p)
pD^(p)
dp , g(r)= fc2—
P Л(г)Ог(г)
7 p
Граничные условия (13.78) позволяют найти постоянные
и(г) = ep(r> Ct-Jc2
С, — и0; С2 — щ J
ri + r2
z2Dt-(z)
dz
dr.
Ci
(13.79)
и С2:
В итоге получим
и(г) = иоер(г) 1-J
^L-dz f
z2Dt(z) / J
v ' / Я1 + Я2
e~g(z)
z2Dj-(z)
(13.80)
dz .
1 определяется
Диффузионный поток капель 2 на выделенную каплю
соотношением (11.40), которое в сферически симметричном случае равно
(13.81)
j = krdR, + J?2)| DT n ].
J I dr h I
Подставляя в (13.81) выражение (13.80), найдем
j{R\, R2) = 4лл0 j
——— exp
r2DT(r)
^R\ + Rz
Представим выражение для потока в виде
Л/?,, R2) = C^.
ft(z)Dr(z)
(13.82)
(13.83)
Здесь t = (ve/£o)1/2 — характерный масштаб времени в турбулентном пото-
ке с удельной диссипацией энергии £0, W = 4л/?2и0/3 — объемная концентра-
ция капель сорта 2 в потоке, С — параметр, значение которого зависит от
принятой модели коагуляции капель в турбулентном потоке.
Первый теоретический анализ коагуляции частиц в турбулентном потоке
был сделан в работе [103], в которой турбулентный поток в окрестности выде-
ленной частицы — мишени рассматривался как сдвиговый со скоростью сдвига
348
у = (£o/v„)1/2. Скорость коагуляции определялась по методу Смолуховского
[104]. В результате получено значение С =1,27. В дальнейшем этот подход
был развит в [105] с более детальным рассмотрением поля течения вокруг
частицы. Найденный поток имеет вид (13.83) со значением С = 1,23. Поправка
на искажение поля скоростей с учетом влияния малой частицы 2 сделана в
работе [106], в результате чего получена формула (13.83) с поправочным
множителем, зависящим от отношения радиусов частиц R2/R\. Как отмечено в
[107] полученные в указанных работах выражения для потока j справедливы
для турбулентных потоков с относительно небольшими значениями удельной
диссипации энергии £«<0,1 Дж/кг • с и большими значениями внутреннего
масштаба турбулентности, например для воды Ао > 5 10-4 м и для воздуха
Ао > 5 • 10~5 м. Поскольку Ео ~ С3 и А^ ~ U~3/i, то приведенные ограничения рас-
пространяются на потоки с относительно небольшими скоростями. В случае
более интенсивной турбулизации потока, приводящей к большим значениям Ео
и меньшим значениям Ао, при рассмотрении относительного движения частиц
требуется учитывать их инерцию. Подобный анализ проведен в работе [107],
и оценен минимальный размер капель, для которых справедлива предложенная
модель. Модель турбулентной коагуляции частиц, основанная на диффузионном
механизме столкновения частиц, рассмотрена в [19]. Для размера частиц, мень-
ших внутреннего масштаба турбулентности (R « Ао), диффузионный поток имеет
вид (13.83) со значением С = 9,24. Следует также отметить работу [20], в ко-
торой предложена модель коагуляции частиц, основанная на понятии средней
длины свободного пробега по аналогии с теорией столкновения молекул в раз-
реженном газе. В результате получено выражение для потока вида (13.83) с
коэффициентом С = 0,77.
Результаты экспериментов по исследованию коагуляции частиц в турбулент-
ном потоке в трубе и в мешалке представлены в работах [20, 108]. В этих
работах показано, что из указанных теоретических моделей лучше всех описы-
вает коагуляцию частиц в турбулентном потоке в трубе модель, предложенная
в [20], в то время как диффузионная модель, предложенная в [19] дает сильно
завышенные значения скорости коагуляции для турбулентного потока как в
трубе, так и в мешалке.
Во всех упомянутых работах использовались простые модели взаимодей-
ствия частиц без учета гидродинамических сил сопротивления, возникающих
при сближении частиц, особенно заметных при малых зазорах между ними,
а также без учета сил молекулярного взаимодействия, обеспечивающих сцепле-
ние частиц на стадии их столкновения. Поэтому наблюдаемые в экспериментах
расхождения теоретических результатов с экспериментальными для гидрозолей
значительно больше, чем для аэрозолей.
Чтобы понять основную причину несоответствия теории турбулентной ко-
агуляции, основанной на диффузионном механизме столкновения, рассмотрим
последовательно взаимодействие капель с учетом гидродинамических, молеку-
лярных, электростатических и электрических сил.
Начнем со случая, когда поверхность капель полностью заторможена, т. е. их
можно рассматривать как твердые недеформированные частицы. Кроме того,
будем считать, что коалесценция происходит при совместном воздействии толь-
ко турбулетных пульсаций и молекулярных сил притяжения. Сила молекуляр-
ного притяжения двух сферических частиц определяется формулой (11.100), из
которой следует, что эта сила определяется расстоянием между поверхностями
частиц и не зависит от их ориентации, т. е. является сферически симметричной
относительно центра частицы радиуса Ru Поскольку сила молекулярного при-
349
тяжения проявляется только при малых зазорах Д между частицами, то возьмем
ее асимптотическое выражение при Д —> О
F - ГЯ1/?2 1
А 6(7?! + к2)э & '
(13.84)
где Д = (г - - Ri)/(Ri + R2) — безразмерный зазор между поверхностями ка-
пель; Г — постоянная Гамакера.
В качестве коэффициента гидродинамического сопротивления возьмем
приближенное выражение
Л = 67tvepe +11 (13.85)
и я1 + я2^(я1 + я2)2д I
которое получается в результате объединения дальней и ближней асимптотик
силы гидродинамического взаимодействия капель при сближении их вдоль линии
центров (см. раздел 11.4).
Коэффициент взаимной турбулентной диффузии был получен ранее
(см. (11.70)):
/ \2 / \2
DT = £-(/?,+ R2)<+ r^rr 11 T I • (13-86>
Подставляя теперь соотношения (13.84) — (13.86) в выражение (13.82),
получим
/(/?!, /?2) —
47tnoVe(#t + Я2)3
ч
(13.87)
(д + Д1)2
। ехр
J Д2(1 + Д)2(Д + Д2)2
о
Г (Aj + z)dz
J z3(z + Д2)3
г/Д,
a Л/?2 а °
где Ai я )2 * —~2 паРаметР молукулярного взаимодействия
SA = rX20/367tpev2(Ri + R2)3-
Для эмульсии типа вода в нефти этот параметр мал. Так, при Г - 10~20 Дж,
Хо~ 10-3 м, v„~5 • 10-5 м2/с, ре~ 103 кг/м3 имеем 5Л~4 • 10~23(R) + /?2)“3- Ма-
лость параметра SA позволяет найти асимптотическое выражение фь Для ка-
пель сравнимых размеров основной вклад в интеграл, входящий в выражение
для <pf1, дают значение Д « 1, Дь Д2. Раскладывая подынтегральное выражение
в ряд по Д и сохраняя главные члены разложения, получим
ФГ1
(—
J дал
п 2
ехр г/Д.
о ^2
(13.88)
Вычисляя интегралы, получим
1 _ д« ( *
Ф1 ~ Д2 I 25л
(13.89)
Подставляя (13.89) в (13.87), найдем асимптотическое выражение для
диффузионного потока при SA « 1
j(R„R2) =
2л/2П/2(7?! + 7?2)9//2
XoVp^i^2 <л12 + - Я1Я2)
(13.90)
350
Турбулентная коалесценция капель была исследована в работах [22, 32]. В [22]
получили выражение для потока/(7?1г Т?2), считая большую частицу 1 закреплен-
ной. Найденный поток не удовлетворяет условию симметрии по размерам частиц.
Для закрепленной частицы 1 выражение для потока, полученное в [22],
имеет вид
R2) —
2у[2Г'/2(Ъ + R2y'/2
(13.91)
Отношение потоков для случаев закрепленной и свободной частицы можно
оценить как j\/j ~ (R? + У?3)/?/ при R} > R2, j\/j ~ 1 при 7?, » R2 и j\/j ~ 2 при
Ri ~ R2. Таким образом, приближение закрепленной частицы приводит к увели-
чению потока или частоты столкновения самое большее в 2 раза.
Другим следствием несимметрии потока является разрыв производной d]/dR2
в точке Rt= R2 = R:
=9/-02V2 7?3/2; ] =-3/o2V2 7?3/2,
V 2 Л2 = Ri - о v 2 Jr2 = Ri + о
где /о — постоянная, не зависящая от размеров частиц.
В [32] рассмотрен случай движения обеих частиц, но взятый масштаб
пульсаций, способных сблизить частицы, не обладает симметрией. Асимметрия
потока относительно размеров частиц приводит к несимметрии ядра коалесцен-
ции, что нарушает необходимое условие, которому должно удовлетворять ядро
кинетического уравнения (11.1)
Основным недостатком модели турбулентной коагуляции, предложенной
В. Г. Левичем [19] и отвергаемой многими исследователями, является значи-
тельное завышение частоты столкновений капель. Поэтому в настоящее время
наиболее распространенной моделью коагуляции частиц в турбулентном потоке
является модель сдвиговой коагуляции [109]. Поскольку в модели В. Г. Левина
не учитывалось гидродинамическое взаимодействие частиц, то оценим влияние
гидродинамического взаимодействия частиц на частоту их столкновения.
Обозначим через /0 диффузионный поток в случае нестесненного движе- .
ния частиц при h = h9 = 6npevji. Поскольку в этом случае коалесценция воз-
можна без учета молекулярных сил, то для простоты положим FA = 0 и / = 0.
Тогда из (13.87) найдем
+ ^____2_! д Г (13.92)
J° А2 (Д2-1 (Д2-1)2 (Д2-1)3 2) °
При Ra-R2 поток (13.92) совпадает с потоком, полученным в [19].
Для оценки влияния гидродинамических сил составим отношение /о//, где
в качестве /0 возьмем выражение (13.92), а в качестве j — выражение (13.90)
для одинаковых частиц = R2 = R:
JO_ = 3V27tVe R3/2 (13.93)
Для характерных для водонефтяных эмульсий значений параметров Хо ~
~ 10“3 - 10“4 м, R - 10“5 м, ve ~ 10“5 м2/с, ре ~ 103 кг/м3, Г~ 10~20 Дж имеем /0/j ~
~ 10 - 102. Это значит, что гидродинамическое сопротивление частиц уменьшает
частоту их столкновения на 1—2 порядка, что согласуется с имеющимися в
литературе экспериментальными данными и устраняет основное противоречие
в модели турбулентной коагуляции. Влияние гидродинамического взаимодействия
351
на величину диффузионного потока уменьшается с уменьшением размера частиц.
При R ~ 10’8 м отношение j0/j ~ 1 и при R < 10~8 м гидродинамическое взаимодей-
ствие частиц можно вообще не учитывать. Заметим, что для таких размеров частиц
радиус действия молекулярных сил становится больше размеров самих частиц.
Для броуновской диффузии маленьких частиц влияние гидродинамического
взаимодействия на частоту столкновения было исследовано в работах [28, 29],
в которых также отмечено уменьшение в 1,5 — 2 раза частоты столкновения. Это
уменьшение не такое сильное, как в случае турбулентной коагуляции. Столь
существенная разница в степени влияния гидродинамического взаимодействия на
частоту столкновения частиц в турбулентном потоке и при броуновском движе-
нии объясняется, во-первых, разницей в размерах частиц (характерный размер
частиц, участвующий в броуновском движении, намного меньше размера частиц,
характерных при турбулентном движении эмульсий), а во-вторых — различным
влиянием гидродинамических сил (коэффициент броуновской диффузии обратно
пропорционален первой степени коэффициента гидродинамического сопротивле-
ния h, в то время как коэффициент турбулентной диффузии — второй степени ti).
Асимптотическое выражение (13.93) для диффузионного потока годится для
капель не сильно различающихся по размерам, поскольку при k = R2/R\ -»0
даже при малых значениях SA в подынтегральных выражениях (13.87) нельзя
пренебречь величиной А по сравнению с Д( и Д2. При k —> 0 пренебрежем в подын-
тегральных выражениях величинами Д( и Д2 по сравнению с Д. В итоге получим
ФГ’ = /^ехР
о
</Д.
После интегрирования найдем
31/зг(4/3)Л?0
5/4(/?i + /?2)3 ’
(13.94)
(13.95)
д
где Г(х) — гамма-функция.
Возвращаясь теперь к (13.87), получим следующее асимптотическое выра-
жение для диффузионного потока маленьких частиц на большую (Т?2« 7?,):
М, я2) =
_ 2УЗЛ ( у Гуе
ЗГ(4/3)^ Ri) I лрД4
U/3
Ио-
(13.96)
Зависимость <pt от отношения
радиусов частиц k = R2/Rt для
различных значений параметра мо-
лекулярного взаимодействия 5Л,
полученная в результате числен-
ного интегрирования выражения
(13.87), представлена на рис. 13.24.
Пунктиром показана асимптотика
(13.95) для R2«Rt.
Рис. 13.24. Зависимость <р, от отноше-
ния радиусов капель k и параметра
молекулярного взаимодействия SA
352
Определим теперь ядро коалесценции K(V, (о). При диффузионном меха-
низме столкновения капель ядро коалесценции равно диффузионному потоку
частиц радиуса R2 при их единичной концентрации на частицу радиуса 7?,.
Используя выражения (13.93) и (13.96) для потоков близких и сильно разли-
чающихся по размерам частиц, получим
ГОЩ ЛГ1/2(У1/3 + Ю1/3)9/2(ую)-1/6
КУ (V, оз) = —;— ------------------------ При V ~ (О,
Хо V3p^(V2/3 + О>2/3 - у1/3щ1/3)
(13.97)
к="(,,'ш> = 5Т7Й75>(,/,/1 + и,/’){Й)'/’ "р" 1'>>М <13'98)
Сшивку полученных асимптотических выражений можно осуществить с
помощью весовой функции а = 4V®/(V +®)2 [1]:
№(V, со) = аКУ(У, со) + (1 -a)K$(V, оз). (13.99)
Ядро вида (13.99) неудобно для расчетов, поэтому заменим его аппрокси-
мирующим выражением
K0(V, (о) = 16[Г/ЗлрДо],/2(^'/3со,/в+ У’/всо'/з). (13.100)
13.7. КОАЛЕСЦЕНЦИЯ КАПЕЛЬ С ПОДВИЖНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ ЭМУЛЬСИИ
Рассмотрим эмульсию, состоящую из сплошной фазы — вязкой жидкости
плотностью р(. и вязкостью це — и дисперсной фазы — различных сферических
капель другой жидкости плотностью р, и вязкостью ц„ Будем предполагать, что
капли не деформируются в процессе сближения и остаются сферическими.
Следует заметить, что сближение капель при малых зазорах 8 между их по-
верхностями приводит к увеличению силы вязкого трения при выдавливания
тонкого слоя внешней жидкости, что может привести к деформированию ка-
пель. Однако если модифицированное капиллярное число
Са =
HeuRiR2 1
2(1?, + R2 )3
(13.101)
где Z — коэффициент поверхностного натяжения капли; и — скорость сближе-
ния капель, то деформация капель мала и ею можно пренебречь.
При 8-эО условие (13.101) может нарушиться, однако при этом становит-
ся существенной сила молекулярного притяжения, которая обеспечивает коалес-
ценцию капель на конечной стадии. Поэтому возможная деформация капли
может быть заметной только на конечной стадии сближения и несколько замед-
лит коалесценцию, но не повлияет существенно на частоту столкновения капель.
Сделанные предположения позволяют рассматривать процесс коалесцен-
ции капель с подвижной поверхностью так же, как и коалесценцию капель с
заторможенной поверхностью. Основное отличие от случая, рассмотренного в
разделе 13.6, состоит в виде коэффициента гидродинамического сопротивления.
Если капли находятся далеко друг от друга, то коэффициент гидродинамиче-
ского сопротивления /г(0) при относительном движении капли определяется по
формуле (11.71), в которой каждый из коэффициентов А, и h2 определяется в
соответствии с формулой Адамара — Рыбчинского
A,(o4(o) й R\Ri 2 + Зц
* <13.102>
23 - 1461
353
При малых величинах зазора 8 между каплями имеем следующее асимп-
тотическое выражение [см. (11.88)]:
I гч + К-2 I О
1 + 0,402m
1 + 1,711m + 0,461m2 ’
(13.103)
1 < RtR2 у2.
H + /?2)6 J
8 = r - 7?, - T?2,
где введен безразмерный параметр Случай ц —> °° соответствует
каплям с полностью заторможенной поверхностью, а ц = 0 — газовым пу-
зырькам.
Возьмем в качестве коэффициента гидродинамического сопротивления
выражение
Ri + R2 2 + Зц 8
(13.104)
правильно отражающее поведение h при больших и малых значениях зазора
между каплями.
Коэффициент турбу летной диффуэйи йоретоя в виде. при выводе
которого предполагалось, что размер капель мал по сравнению с внутренним
масштабом турбулентности R « Хо.
Будем учитывать силы молекулярного и электростатического взаимодей-
ствия капель (см. раздел 11.5). Суммарную силу этих взаимодействий можно
представить в виде
F = FA + FR = -^-fMp) + ^^fR, (13.105)
3ri\
где fA и fR — безразмерные силы молекулярного и электростатического взаимо-
действия,
Г = 1 f---------£_____[8£ - (1 + kY (s2 - 4)] +
,Л (fc + 1) [(s2-4)(l + fc)2
+------------------[8£ + (1 + k)2S2 _ 4(1 _ ky ]|.
(^2(1 + fe)2 - 4(1 - Л)2) J
= -----_[2a-(l + a2)e-a],
lR (Л +1) 1 - e-2*1
Множитель Ф(Р) характеризует электромагнитное запаздывание молеку-
лярного взаимодействия:
, при р < 0,57;
2,45 2,17 0,59
|-«7 +"Р" ',>0’37-
Здесь введены следующие параметры: Г — постоянная Гамакера; е — ди-
электрическая проницаемость внешней жидкости; % — обратный дебаевский радиус,
% = 1/Хо; Хо — толщина двойного слоя [см. (11.98)]; а = фг/фь Ф1 и фг — потенциа-
лы поверхностей капель; k = R2/Ri — отношение радиусов капель; s = 2г/(R, + R2) —
безразмерное расстояние между центрами капель (безразмерный зазор между
каплями Д = 5- 2); а = 0,5x7?/! + k)(s -2); р = 2л(г-7?) - Т?2)Х£, X, — лондонов-
ская длина волны.
354
Подставляя выражения для h, DTw F в уравнение (13.82) для диффу-
зионного потока капель сорта 2 на каплю сорта 1, получаем следующее соот-
ношение для безразмерного потока:
I = ^¥- = (1 + *)3<pi; (13.Ю6)
meRfn20
йЛзд/<7^<-^ф('’)^<х) + 5'‘тЛ<1)>|,х *'
. Г Л2О)
Ф1 =1-37—in2"exP
J sz(s - р)2
2
Здесь введены следующие безразмерные параметры:
с 2гхо
п----параметр молекулярного взаимодействия;
3^ 7tVepe
с «р?Ч
SR =—-—=-----параметр электростатического взаимодействия;
3RfTtv2pe
Г) V
т = R}% = т2" “ отношение радиуса капли к толщине двойного слоя вокруг
/ \D
капли (т » 1);
Ц = 77— отношение коэффициентов вязкости внутренней и внешней жид-
Не
костей;
Z, , \ Z Z)\ R Q 2(1 — kF
p = y(.i +k)(s-2); y = ^ = T7^k-
Для определения потока удобно представить выражение (13.106) в виде
двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
(13.107)
Решая систему уравнений (13.107), найдем /"2(2), которая в соответствии с
(13.106) равна искомому потоку или частоте коалесценции:
J = M2). (13.108)
Система уравнений (13.107) решалась численно. Ниже излагаются основ-
ные результаты расчетов.
Частота коалесценции J зависит от безразмерных параметров k, ц, 5Л, SR, т,
у и а. Параметр k характеризует относительный размер взаимодействующих ка-
пель; Ц — относительную вязкость капель и окружающей их жидкости; 5Л и SR —
силы молекулярного притяжения и электростатического отталкивания капель;
т — относительную толщину двойного электрического слоя, зависящую, в частности,
от концентрации электролита в окружающей капли жидкости; у — электромаг-
нитное запаздывание молекулярного взаимодействия; а — относительный потенциал
поверхности взаимодействующих капель. Оценим значения этих параметров. Для
гидрозолей постоянная Гамакера имеет порядок Г - 10-20 Дж. В качестве вязкости
и плотности внешней жидкости возьмем ve ~ 10“5 - 10-6 м2/с, pf - 103 кг/м3. Осталь-
ные параметры имеют порядок % ~ 107 - 108 м"1, ср, - 20 мВ, X, - 103А, 10“4 м.
23* 355
Тогда для капель, радиус которых изменяется от 1 до 100 мкм, имеем ~ 10“8 -
— 10~2, ~ 10“3- 102 м, т-10-104, у>3. Неопределенным остается значение
параметра а, поскольку в настоящее время отсутствуют данные, позволяющие
определять зависимость потенциалов поверхностей капель от их размеров, от %
и свойств жидкостей. Практически во всех публикациях рассматривается слу-
чай а = 1, поэтому основное внимание уделим этому случаю.
В зависимости от значений указанных параметров можно различить режи-
мы быстрой и медленной коалесценции, или коагуляции, как обычно принято
говорить. Рассмотрим их последовательно.
Коагуляция капель при наличии только молекулярной силы притяжения FA
называется быстрой. В наших обозначениях это соответствует значению парамет-
ра SR = 0. Соответствующий диффузионный поток обозначим через JA. Влияние
гидродинамических и молекулярных сил на частоту коалесценции можно просле-
дить, сравнивая поток JA с потоком Jo без учета этих сил взаимодействия. Этот
поток можно получить из (13.82), если положить F = 0, /г = /г0 и DT = Dn:
J0 = ₽2(l + fe)3r-^ + |lnfl-|T. (13.109)
Z\Z — р/ р I Z j
Анализ выражения (13.109) показывает, что наибольшей частотой коалес-
ценции обладают капли одинакового размера, причем частота столкновения ка-
пель одинакового размера на два порядка больше частоты столкновения капель
с отношением радиусов k = 0,1.
Учет сил отталкивания приводит к замедлению процесса коагуляции, поэтому
такой процесс называется медленной коагуляцией. По аналогии с теорией броунов-
ской коагуляции введем фактор устойчивости дисперсной системы при турбулент-
ной коагуляции, равный отношению частот коагуляции в отсутствие силы электро-
статического отталкивания (FR = 0) к частоте коагуляции с учетом этой силы:
/ = 3л/3- (13.110)
В случае быстрой коагуляции имеем JT = 1, а при медленной коагуляции —
г > 1.
Заметим, что параметр С в формуле (13.83) выражается соотношением
С = |1Л, (13.111)
откуда следует, что в отличие от простейших моделей коагуляции, он не явля-
ется постоянной величиной, а зависит от k, Ц, SA, у и а.
Перейдем теперь к анализу результатов расчета.
Быстрая коагуляция
Рассмотрим сначала коалесценцию капель под действием силы молекуляр-
ного притяжения в отсутствие электростатической силы отталкивания (SR = 0).
Зависимость частоты коалесценции Зл от отношения радиусов капель k для
различных значений отношения вязкостей жидкостей Ц без учета электромаг-
нитного запаздывания (у=0) представлена на рис. 13.25. Частота коалесцен-
ции растет с увеличением относительного размера капель и с уменьшением
относительной вязкости капель. Это объясняется снижением вязкого сопротив-
ления тонкого слоя внешней жидкости, разделяющего сближающиеся капли,
с уменьшением ц. На этом же рисунке пунктирной линией показана зависи-
мость Jo от k, рассчитанная по формуле (13.109) без учета гидродинамиче-
ского сопротивления и молекулярной силы. Влияние гидродинамического со-
356
Рис. 13.25. Зависимость частоты коалесцеи- Рис. 13.26. Зависимость J^/Jo от k и Ц.
ции капель JA от их относительного размера k Обозначения см. на рис. 13.25
и отношения вязкостей внутренней и внешней
жидкостей Ц:
SA = 10~2; 5я = 0; у=0; Jo — частота коалесцен-
ции без учета гидродинамического и молекуляр-
ного взаимодействий
противления и молекулярного взаимодействия капель на частоту коалесценции
показано на рис. 13.26, на котором показана зависимость отношения потоков
Jx/Jo от k и ц. Несмотря на гидродинамическое сопротивление капель, при
относительно больших значениях параметра молекулярного взаимодействия
5Л > 10“2, малых значениях k < 0,2 и р < 0,1 возможны случаи, когда JA > Jo-
Влияние параметра 5Л на частоту коалесценции иллюстрируется рис. 13.27.
Следует отметить, что с увеличением k чувствительность частоты коалес-
ценции к изменению 5Л ослабевает. Так, для капель одинакового радиуса (k = 1)
заметное отличие значений Jx для 5Л = 10“2 и 5Л = 10*6 наблюдается лишь при
р > 1. Аналогичное влияние на JA оказывает электромагнитное запаздывание
молекулярного взаимодействия (рис. 13.28). Уменьшение 5Л и увеличение k
ослабляют влияние у на частоту коалесценции. Параметр С, введенный соотно-
шением (13.111), оказывается равным 1,05 для значений k- 1, р = 102, 5Л = 10“2
и у= 0.
Медленная коагуляция
Рассмотрим теперь процесс коалесценции с учетом молекулярной и элект-
ростатической сил. В рассматриваемом случае наибольший интерес представля-
ет зависимость фактора устойчивости JT от параметров задачи k, ц, SA, SR, т
и а, а также определение критерия перехода медленной коагуляции в быструю.
В разделе 11.5 было рассмотрено условие перехода медленной коагуляции в
быструю в рамках теории ДЛФО одинаковых коллоидных частиц без учета
гидродинамического взаимодействия
Ул + Ул = 0; ^ + ^ = 0, (13.112)
dr dr
357
Рис. 13.27. Влияние параметра молекулярного
взаимодействия SA иа частоту коалесценции
капель при SR — 0; у-0; k “0,1
Рис. 13.28. Влияние параметра электромаг-
нитного запаздывания молекулярного взаимо-
действия у иа частоту коалесценции капель
при SA “ 10”2; SR “ 0; k — 0,1
где VA и VR ~ потенциалы молекулярного и электростатического взаимодей-
ствий капель [см. (11.93) и (11.99)].
Условие (13.112) соответствует точке максимума на кривой потенциальной
энергии взаимодействия частиц там, где она касается оси абсцисс. Если ввести
безразмерные потенциалы vA и vR соотношениями
VA = ~vA(s); Vr = ^yLvr(s\
то условие (13.112) можно переписать в виде
xvAfR-2vRfA = 0-, ^-0,5-g- = 0,
(13.113)
(13.114)
из которого следует, что переход от медленной коагуляции к быстрой зависит
от двух параметров: т и SR/SA = 3/?,e<pi /2Г. Линия, разделяющая плоскость
(SR/SA, т) на области медленной jF > 1 (над кривой) и быстрой jf=l (под
кривой) коагуляции представляет собой прямую (рис. 13.29, пунктирная ли-
ния).
В работе [32] показано, что учет гидродинамического взаимодействия при
турбулентной коагуляции одинаковых твердых частиц приводит примерно к
такому же результату. Метод, с помощью которого получен этот результат, со-
стоял в асимптотической оценке интеграла типа (13.106) путем исследования
поведения подынтегральной функции в окрестности s = 2. Поскольку для твер-
дых частиц при 5 —> 2 коэффициент гидродинамической силы ведет себя как
h(s) ~ l/(s - 2), то основной вклад в значение интеграла дает значение подын-
тегральной функции в области 5-2. Однако для капель с подвижной повер-
хностью при s -> 2 имеем h(s) ~ i/(s - 2)1/2, и подынтегральная функция в
окрестности s = 2 не дает основной вклад в значение интеграла. Поэтому зна-
чение интеграла приходится определять численно и находить значения пара-
метров SA/SR и т, при которых JT станет равным 1 (см. рис. 13.29).
На рис. 13.30 — 13.33 показаны зависимости фактора устойчивости JT от
параметров t, Ц, SR и 5Л. Заметим, что в отличие от броуновской коагуляции
358
Рис. 13.29. Граница областей быстрой и мед-
ленной коагуляции
Рис. 13.30. Зависимость фактора устойчиво-
сти от т и Ц для SA — 10“2; k — 1; SR — 2; у — 0;
а- 1
зависимость /(т) носит немонотонный характер. Характерной чертой является
наличие максимума, положение которого не зависит от k и ц. Максимальное
значение JT смещается в область больших значений т с увеличением параметра
электростатического взаимодействия SR и уменьшением параметра молекулярного
взаимодействия Наличие максимума объясняется взаимным влиянием гид-
359
родинамических, молекулярных и электростатических сил на характер сближения
капель при малых зазорах между поверхностями. В то время как гидродина-
мическая сила монотонно возрастает с уменьшением зазора, суммарная сила
молекулярного и электростатического взаимодействий изменяется немонотонно
как по 5, так и по т. Максимальное значение % достигается при t(s - 2) = 1,28.
Экспериментальные исследования турбулентной коагуляции частиц, проведен-
ные в [20], не подтверждают немонотонный характер зависимости JT(t). Чтобы
понять это несоответствие, необходимо определить, при каких значениях т
проводился эксперимент. В [20] приводится зависимость фактора устойчивости
не от т, а от объемной концентрации добавляемого в поток воды антикоагулян-
та-электролита. Параметр т зависит следующим образом [52] от концентрации
электролита С (моль/л):
т = 3 • 107z7?Vc, (13.115)
где z — валентность антикоагулянта, R — радиус частиц в см.
В эксперименте в качестве антикоагулянта использовали смесь 1 моль/л НС1
и 5,6 моль/л СаС12, средний размер частиц составлял 0,6 мкм, объемная кон-
центрация антикоагулянта изменялась от 1 до 10 %. Приведенные данные со-
ответствуют изменению т в интервале от 850 до 2700. Оценим, далее, пара-
метры и SR. Эксперимент проводился в трубе диаметром d = 2,54 • 10’2 м,
средний объемный расход жидкости составлял Q = 1,14 • 10~3 м3/с. Для воды
v„ = 10‘6 м2/с, ре = 103 кг/м3, е = 8Оео- По этим значениям находим Хо = 7 • 10-5 м.
Для частиц латекса, используемых в эксперименте, Г= 10~21 Дж и = 5 • 10“3.
Для определения параметра SR необходимо знать поверхностный потенциал
частиц. По экспериментальной зависимости jF(<Pz>), где <ро — объемная концент-
рация антикоагулянта, находится единственное значение <pi = 13 мВ (SR- 1,7),
при котором теоретическая зависимость дает наилучшее приближение к экспе-
риментальной (рис. 13.34).
Следует заметить, что рассматриваемый диапазон изменения т при 5Л =
= 5 • 10~3 и SR = 1,7 приходится на область убывания функции JJ/t). Максималь-
ное значение JT на теоретической кривой реализуется при т ~ 400, соответствую-
щее концентрации электролита <ро~ 0,005. Эксперименты проводились при кон-
Рис. 13.33. Зависимость фактора устойчиво-
сти от т и SA для Sr — 2; k “ 1; Ц “ 102; у — 0;
а- 1
Рис. 13.34. Зависимость фактора устойчиво-
сти от концентрации антикоагулянта:
1 — эксперимент [33]; 2 — расчет при SA = 5 • 10"3;
Sr=1,7; Л = 1; р = 103; у=0; а=1
360
центрациях <pD>0,01, поэтому наиболее интересную область кривой /(т) нельзя
сравнить с экспериментом. Кроме того, малый размер частиц, используемых в
эксперименте, заставляет усомниться в преимущественной турбулентной коагу-
ляции частиц, поскольку при столь малых размерах частиц броуновская коагу-
ляция может превалировать или быть, по крайней мере, одного порядка с тур-
булетной коагуляцией [19].
Диффузионная модель турбулентной коагуляции применима к однородно-
му и изотропному турбулентному потоку. При развитом турбулентном потоке
эмульсии в трубе течение в ядре потока можно рассматривать как изотропное.
Однако турбулентное движение жидкости в мешалке (турбулизаторе) не явля-
ется однородным и изотропным. Поэтому применимость диффузионной модели
к процессу коагуляции в мешалке вызывает сомнения.
Сравним скорость коагуляции в мешалке по диффузионной модели со
скоростью коагуляции, найденной в [109] по модели сдвиговой коагуляции и
подтвержденной результатами экспериментов [108]. На рис. 13.35 по оси ор-
динат отложено аг — отношение частоты коагуляции твердых частиц одинако-
вого размера, найденной путем определения относительных траекторий частиц
в сдвиговом потоке со средней скоростью сдвига у = (4e0/157tve)1/2 с учетом
молекулярного и гидродинамического взаимодействия частиц, к частоте коагу-
ляции, найденной в [105] по простой модели сдвиговой коагуляции без учета
молекулярных и гидродинамических сил. По оси абсцисс отложен безразмер-
ный параметр NT = Для модели турбулентной коагуляции с учетом
введенных ранее безразмерных параметров получим SA= 1,16/Хг, ar = 0,15J.
Сравнение значений ат, рассчитанных по моделям сдвиговой и турбулентной
коагуляции, дает заметную погрешность при определении скорости коагуляции
в мешалке, особенно в областях малых и больших значений параметра молеку-
лярного взаимодействия частиц.
В заключение рассмотрим случай взаимодействия капель, обладающих
различными вязкостями щ и р2, которые отличаются от вязкости окружающей
их жидкости. Поступим так же, как в рассмотренном выше случае взаимодей-
ствия капель одинаковой внутренней вязкости, но изменим выражение для
коэффициента гидродинамического сопротивления h. Для этого рассмотрим две
капли сорта 1 и 2, которые под действием турбулентных пульсаций движутся
с абсолютными скоростями щ и иг. В безынерционном приближении уравнения
движения капель имеют вид
F u^hw "Ь + w2/z22. (13.116)
Введем коэффициент сопротив-
ления капли 2 в движении относи-
тельно другой капли:
Ь = Р/(щ + и2). (13.117)
Тогда из (13.116) и (13.117)
найдем
/г = _^2—(13.118)
«И + «22 ~ «12 ~«21
Рис. 13.35. Скорость коагуляции в мешалке:
1,2— диффузионная и сдвиговая модели
При нестесненном движении, когда капли находятся относительно далеко
друг от друга,
h = h<® = 6лце---- R2(.2+J^)(2+ (13.119)
(2 + Зц( )(3 + Зц2) + k(2 + 3ц2)(3 + Зщ)
Здесь введены обозначения р2 = Р-г/Р-«> Pi = P-i/P-e-
Коэффициенты гидродинамического сопротивления зависят от относи-
тельного расстояния между каплями $. В [43] решена задача р медленном
центральном движении двух капель различной вязкости в жидкости другой
вязкости и определены в виде бесконечных рядов. Приближенное решение
аналогичной задачи методом изображений получено в [46], в результате чего
определены в виде рядов по степеням отношений Rx/r и R2/r, которые
можно рассматривать как асимптотические выражения коэффициентов Л,у при
$ » 2. Для малых значений зазора, между каплями при $ -> 2 асимптотическое
выражение для h получено в [39] и имеет вид
л = + <,3'120)
Для предельного случая, когда одна из капель является твердой частицей
(Ц1 = °°),
-2)"/2]- <13Л21>
Асимптотические выражения (13.120) и (13.121) справедливы на расстоя-
ниях s, удовлетворяющих соответственно неравенствам
3,/2|1п3| «----и 81/211п8| «
' ' max(gtg2) И 2
где 8 = (1+ &)($-2)/2)г.
Для того чтобы избежать громоздких вычислений, возьмем в качестве h
выражение
h = /г<0> + hs, (13.122)
отражающее поведение h при $ —> 0 и при s —> <». Как показывают расчеты,
приближенное выражение (13.122) удовлетворительно описывает поведение h
для значений 0 < fe < 1 и 0 < (pt, ц2) - 1 •
Вводя те же безразмерные переменные, что и ранее, получаем следующее
выражение для диффузионного потока капель сорта 2 на каплю 1:
24/
= (l + fe)3(pt,
(13.123)
Г h2(s)
J7(7TpjrexP
2
(2 + Зщ)(1 + Ц2) + (2 + Зц2)(1 + щ)
Ю + *)(2 + 3jli)(2 + ЗЦ2)
х [7-^Т^(“^ф(р)Ли) + SRlfR{x))dx ds.
J (х - Р)2
На рис. 13.36 представлена зависимость частоты коагуляции от вязкости
меньшей капли jl2 для различных значений вязкости большей капли р,. По-
скольку выражение (13.122) для h справедливо в области 0 < (pt, Ц2) < 1 для
362
Рис. 13.36. Зависимость частоты коагуля-
ции капель от относительной вязкости р,
и р2 для k - 1; Sa — 10“2; - О
капель конечной вязкости и 0 < ц2 < 1,
Pi = °° при взаимодействии капли с
твердой частицей, то на графике про-
межуточная область показана при-
ближенно пунктирной линией. Уве-
личение вязкостей взаимодействую-
щих капель приводит к уменьшению
частоты коалесценции, причем чем
меньше различаются капли по раз-
мерам, тем более чувствительна час-
тота их коалесценции к изменению
внутренней вязкости капель.
Введем в рассмотрение пара-
метр Л, равный отношению частоты
коалесценции капель различной вязкости к частоте коалесценции капель оди-
наковой вязкости. Этот параметр характеризует влияние различия вязкостей
капель на частоту их коалесценции, что иллюстрирует рис. 13.37.
Результаты, представленные на рис. 13.36 и 13.37, соответствуют быстрой
коалесценции (5Л = 0). При медленной коалесценции следует, как и раньше,
ввести фактор устойчивости jf, зависимость которого от параметра т для капель
различной внутренней вязкости показана на рис. 13.38. Как и для капель
одинаковой вязкости, эта зависимость немонотонна и имеет максимум, который
с увеличением вязкости капель смещается в область больших значений т.
Рис. 13.38. Зависимость фактора устойчиво-
сти f от т и р, для р2 - 1; k - 0,1; - 2;
Sa - «Г2
Рис. 13.37. Зависимость Л от цг и k для
р, - IO'2; Sa - Ю'2; - 0
363
Зависимость критического значения т от SR/SA так же, как и для капель с
одинаковой вязкостью, носит линейный характер. Влияние параметров SA и SR
на частоту коалесценции и фактор устойчивости носит тот же характер, что и
для капель с одинаковой вязкостью.
13.8. КОАЛЕСЦЕНЦИЯ ПРОВОДЯЩИХ КАПЕЛЬ ЭМУЛЬСИИ
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ В ПРИСУТСТВИИ
ВНЕШНЕГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Определим теперь частоту столкновения проводящих незаряженных сфе-
рических капель в турбулентном потоке диэлектрической жидкости в присут-
ствии однородного внешнего электрического поля. Считаем, как и раньше, поток
развитым турбулентным, а размеры капель — меньше внутреннего масштаба
турбулентности. Принимаем, что капли не деформируются, что возможно, если
напряженность внешнего электрического поля Ео не превосходит критического
значения Есг, а размер капель достачно мал. При этих условиях коэффициент
взаимной диффузии капель двух сортов 1 и 2 с учетом гидродинамического
взаимодействия возьмем в виде (13.86), причем в качестве h и Л<0) берем
выражения, соответствующие каплям с полностью заторможенной поверхностью
(13.85). Будем учитывать молекулярные и электрические силы взаимодействия
капель.
Рассмотрим относительное движение двух капель радиусом R1 и R2 под
действием гидродинамических, электрических и молекулярных сил. Введем сфе-
рическую систему координат (г, О, Ф), связанную с центром большой капли 1,
причем угол 0 отсчитывается от направления вектора напряженности внешнего
электрического поля Ео. Выражение (12.46) соответствует радиальной электри-
ческой силе, действующей на каплю 2. Если обе капли не заряжены, то qt = q2 = 0 и
F2r = zElRvR2Cfx cos2 0 + f2 sin2 0). (13.124)
Заметим, что сила F2r представлена в форме, симметричной относительно ра-
диусов капель. При этом коэффициенты ft следующим образом выражаются через
введенные в (12.46) коэффициенты ft:
ftik, Д) = kf&k Д(1 + /г1)], i = 1, 2; (13.125)
h - л - r ~ R'~ Ri
К~ Rt ’ Л Rt + R2 '
Суммарная сила, действующая на каплю, равна сумме молекулярной и
электрической сил:
F2(Rx, R2, г, Q) = F^iRt, R2, г) + F2r(E0, Rt, R2, r, 0). (13.126)
Силу молекулярного взаимодействия берем в приближенном виде (13.84)
rRtR2 1
6(Rf + R2)3 Д2'
(13.127)
В отличие от рассмотренного в разделе 13.6 случая коалесценции капель
в отсутствие электрического поля, когда сила взаимодействия капель обладала
сферической симметрией, в рассматриваемом случае присутствие электрического
поля приводит к тому, что сила зависит от ориентации пары капель относитель-
но вектора напряженности Ео и поэтому обладает не сферической, а осевой
симметрией. В итоге в уравнении диффузии (11.36) появляется частная про-
364
изводная второго порядка по 0, что не только осложняет решение, но и приво-
дит к возможности вращения пары капель относительно поля в условиях тур-
булентного движения жидкости. В связи с этим попытаемся оценить диффу-
зионный поток, используя следующий прием [22].
Определим сначала диффузионный поток /о(О) в единице телесного угла,
предполагая, что сила взаимодействия капель является чисто радиальной. Затем
проинтегрируем полученное выражение по поверхности сферы радиуса коагуляции
R =Rt + R2, учитывая зависимость силы взаимодействия от угла ориентации пары
относительно электрического поля 0. Определенный таким образом поток можно
рассматривать как первое приближение в оценке суммарного диффузионного потока j
капель радиусом R2 на каплю радиусом Rx. Проведя указанные действия, найдем
;0(0) = ^-(тг1 + л2)ф1(е)я0,
Ло
л/2
j = 4nCR, +Я2)2 J /0 (0) sin 0 de, (13.128)
о
где По — численная концентрация капель 2, а <р((0) определяется аналогично (13.87).
Учитывая выражения (13.85) для h, (13.86) для DT, (13.126) для силы
взаимодействия капель и вводя те же безразмерные переменные, то и в разде-
ле 13.6, получаем
J = 4ли2о----------фь (13.129)
Ло
я/2
Ф1 = /ф1(0) sin 0 de,
о
Z- /дчч-t f (Д + Af)2 с f Ui + zirfz
(ф,(0)) = I----------------ехр - SA I--------------
V J Д?(1 + Д)2(Д + Д2)2 н Ьз(мД2)3
о La
f (Д1 + z)(/t cos2 0 + f2 sin2 0) ,
— о f I —' — — — - — — — ' az r
J 2(2 + Д2)2
Д
д _ RiR? . д _ ^1^2 . _ ™2o $ _ £EoA.o
(T?1 + T?2)2 2 Ri + R2 - R<R2 ’ A 36Ttpev?(Ri + R2)3 ' E 6npev2
Возможен другой способ оценки диффузионного потока j, основанный на
естественном предположении, что за время сближения двух капель ориентация
пары относительно электрического поля многократно изменяется. Это приведет
к размытию профиля концентрации п2, и определить его можно путем усред-
нения по углу 0. Подставим в (13.82) выражения (13.126) и (13.124) для силы,
действующей на каплю 2, усредненной по поверхности сферы:
F2<.RV,R2,\) = jF2(Rt,R2, A, 0) sin0de =
= F2A(R, R2, r) + F2r(E0, Ri, R2, r, 0), (13.130)
F2r(E0, Rt, R2, r, 0) = ^zElRMfr + 2f2Y
36S
Выражение для потока j в этом случае имеет вид (13.129), но изменится
формула для (pt:
Г (Д + Д()2
J д2(1 + д)2(д + д2)2 ехр
о
f (Ai + zMz
z3(z +Д2)3
д
f (Д1 + z)(fi + 2fi)
dz <13131)
А
Численные расчеты показали, что потоки, даваемые формулой (13.129), для
двух рассмотренных методов, приводящих к разным выражениям для <pt, дают
максимальное расхождение (5 %) в широком диапазоне изменения параметров SA
и SE. Поскольку (13.131) требует меньшего объема вычислений, то расчеты
проводились по этой формуле. На рис. 13.39 приведены зависимости <pt от
отношения радиусов капель k для различных значений параметров молекуляр-
ного SA и электрического SE взаимодействия. Из приведенных зависимостей
следует, что с увеличением SA и с уменьшением SE влияние электрического
поля на частоту столкновения уменьшается. Поскольку SE не зависит от раз-
меров капель, a SA увеличивается с уменьшением размеров, то с уменьшением
радиусов капель влияние электрического поля на частоту столкновения капель
в турбулентном потоке снижается.
Влияние электрического поля на частоту столкновения капель характери-
зует отношение диффузионных потоков при наличии поля и без поля:
У(5Л,5С)
5 ;($л,0) ’
Зависимости от SA при SE = 1 показаны на рис. 13.40.
Для характерных значений параметров водонефтяных эмульсий в турбу-
лентном потоке е ~ 2£о, Еа ~ 0,9 кВ/см, ve ~ 10“5 м2/с, Хо ~ 10~3 м, р ~ 900 кг/м3,
Г ~ 10-20 Дж величина SE ~ 1, а для одинаковых капель радиусом R ~ 10'5 м = 10 мкм
параметр SA ~ 10-7. При этих значениях параметров имеем ~ 30. Это означает,
что в рассматриваемом случае наличие электрического поля увеличивает час-
тоту столкновения в 30 раз. Поскольку Дл ~ В~3, то рост радиуса капли влечет
за собой значительное повышение частоты коалесценции.
Однако несмотря на такое влияние, даже достаточно сильные электриче-
ские поля не в состоянии полностью компенсировать влияние гидродинамиче-
ского взаимодействия сближающихся капель на частоту их коалесценции в тур-
булентном потоке. Чтобы оценить влияние гидродинамического взаимодействия,
введем, как в разделе 13.7, отношение потоков без учета и с учетом взаимодей-
ствия
у = |- (13.132)
При Se~5 отношение Jo/J ~ 10, а при 5£~1 имеем Jo/J~5O. Таким
образом, даже в достаточно сильных полях, обеспечивающих относительно
большое значение параметра электрогидродинамического взаимодействия SE,
наличие гидродинамического сопротивления при сближении капель с полностью
заторможенной поверхностью уменьшает частоту столкновения на порядок по
сравнению с невзаимодействующими каплями. Заметим, что в случае капель
с подвижной поверхностью роль гидродинамического взаимодействия не такая
366
a
10° Ю1 io2 кл 10° 10х io2 кл
Рис. 13.39. Зависимость <pt от k и SE для
значений SA:
а - 10'8; 6 - 10б; в - 10’4
Рис. 13.40. Зависимость £ от Sa и k для
SE-i
сильная, поскольку при малых зазо-
рах между каплями гидродинамиче-
ское сопротивление растет не как 1/А
для твердых частиц, а как 1/А1/2.
Обработка результатов числен-
ных расчетов позволила аппроксими-
ровать поток (13.129) следующим вы-
ражением:
j = 0,24k5evA-02(^1/3/?22/3 +
+ ^/3Я12/3)и20. (13.133)
В заключение определим выражение для ядра K(V, (о) кинетического
уравнения (11.1). Поскольку величина диффузионного потока капель радиуса Т?2
на каплю радиуса R< при единичной концентрации и20 = 1 имеет смысл ядра
кинетического уравнения, то, заменяя в (13.133) радиусы на объемы, получим
/C(V, ®) = 0,01e£02v;1p;1(V1/9O12/9 + o)i/9y2/9)3 (13.134)
13.9. КИНЕТИКА КОАЛЕСЦЕНЦИИ КАПЕЛЬ ЭМУЛЬСИИ
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
Рассмотрим сначала динамику процесса укрупнения капель с полностью
заторможенной поверхностью в отсутствии электрического поля. Если капли не
заряжены, то ядро кинетического уравнения дается соотношением (13.100):
( г \/2
К(У,ш)= —L— (у1/зт1/б+т1/зу1/б). (13.135)
Воспользуемся теперь методом моментов для решения кинетического урав-
нения коалесценции (11.1), тогда из (11.15) с учетом выражения (13.135)
получим для нулевого момента, имеющего смысл численной концентрации ка-
пель, следующее уравнение:
^ = -jG[mt/3(t)mt/6(t) + mt/B(t)ml/3(t)], (13.136)
где G = [Г/(ЗлрД20)]1/2.
В правую часть (13.136) входят дробные моменты. Для их определения
воспользуемся методом интерполяции дробных моментов через целые (см. раз-
дел 11.1). Используя двухточечную схему интерполяции, выразим дробные мо-
менты через два момента т0 и тх согласно (11.20). В итоге получим
= G«,/,<o>^,/,«l> ,/г<() (13.137)
at mnlO)
Здесь введены безразмерные моменты
щ0(О =
mp(t)
то(О)'
mf(0) ’
-
где /щ(0) — значение fe-ro момента в начальный момент времени.
368
Поскольку рассматривается только процесс коалесценции, то объемная
концентрация капель со временем не изменяется и т, (t) = 1. Тогда решение
уравнения (13.137) с начальным условием то(О) = 1 имеет вид
- /,х т<М Г m1/3(0)m(/6(0) “|-2 z ч
= —7т-= 1 + 8G—--------—-----1 . (13.138)
то(О) L wo(O) J
Оценим начальные значения дробных моментов тоже по двухточечной
схеме интерполяции. Тогда имеем
^((Ц/ДО) = [mo(0)]3'/2mlt/2. (13.139)
Теперь из (13.138) и (13.139) найдем закон изменения со временем чис-
ленной концентрации капель
m0(t) = {1 + 8G[mo(O)]'/2m't/2t}-2 (13.140)
и среднего объема капель
i + 8G[Vav(Wi/2 mJ}2. (13.141)
Здесь учтено, что Veo(0) = w2t/mo(O).
Теперь можно оценить характерное время коалесценции, т. е. время, за
которое средний объем капель увеличится в е раз:
- l)vj/2(0) (ЗлрД2 У/2
1а ~ 8m, I Г I
(13.142)
Пусть т, = 0,01; = 5 • КГ4 м; Г= Ю’20 Дж; ре = 850 кг/м3; Vav = 4 • Ю’15 м3
(капли радиусом 10 мкм). Тогда характерное время укрупнения 7\~100 с.
Поскольку учет гидродинамического сопротивления уменьшает диффузионный
поток (для выбранных значений параметров) на два порядка (см. раздел 13.6)
по сравнению со случаем турбулентной коалесценции без учета гидродинами-
ческого сопротивления, то во столько же раз увеличивается характерное время
коалесценции.
Рассмотрим теперь динамику укрупнения проводящих капель во внешнем
электрическом поле напряженности Ео при условии, что оно не превосходит
критического значения, при котором происходит дробление сблизившихся ка-
пель. В этом случае ядро кинетического уравнения определяется выражением
(13.134)
K(V, a>) = G,(V,/9co2/9 + co1/9V2/9)3, (13.143)
где Gt = O,Ol£Eo2v/p/.
В рассматриваемом случае уравнение для нулевого момента т0 принима-
ет вид
= -G, т'^т2^ + 3m4/9(0)m5/9(0) ^(т)^(т) (13144)
<2Т тео(О)
Решение этого уравнения находится без труда:
т0(т) = то(О)е~Вг, (13.145)
где т = G.m.t',
& _ пг(/з(0)»г2/з(0) + 3m4/9(0)m5/9(0)
wo(O)
24 - 1461
369
Теперь можно, как и в рассмотренном выше случае, оценить характерное
время коалесценции:
т - 1 = 25Це
Е GtmtB гЕ^тщ
(13.146)
Положим mx = 0,01; щ = 5 • 10“3 кг/м • с; Ео = 1 кВ/см; е = 2£о. Тогда ТЕ ~ 6 с.
Если при тех же условиях увеличить напряженность электрического поля до
2 кВ/см, то время уменьшится до 1,5 с.
Аналогично тому, как это сделано в разделе 13.2, можно оценить характер-
ное время, по истечении которого закончится укрупнение капель в электриче-
ском поле:
25це j 5,3S3
zEfimt П е3Я®К/0)
(13.147)
Так, для капель начального радиуса 10 мкм при Е0 = 2 кВ/см и тех же
остальных параметрах, что и ранее, имеем tcoa| ~ 30 с.
В заключение сравним характерные времена укрупнения капель в турбу-
лентном потоке 7^urb и при гравитационном расслоении эмульсии T/rav в элект-
рическом поле:
ygrav
ф-~2^3. (13.148)
Заметим, что в отличие от раздела 13.2 оценка характерных времен про-
водится по среднему объему, а не по радиусу капель. При этом следует учесть,
что характерное время изменения среднего радиуса капель примерно в 3 раза
больше характерного времени изменения среднего объема.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Логинов В. И. Обезвоживание и обессоливание нефтей.— М.: Химия, 1979. —216 с.
2. Волощук В. М. Кинетическая теория коагуляции,— М.: Гидрометиздат, 1984. —283 с.
3. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. — М.: Мир, 1969.—
395 с.
4. Синайский Э. Г. Разделение двухфазных многокомпонентных смесей в нефтегазопромыс-
ловом оборудовании. — М.: Недра, 1990. —272 с.
5. Гра&штейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.:
Наука, 1971.-1108 с.
6. Ruckenstein Е. Condition for rhe size distribution of aerosols to be self-preserving//
J. Colloid Interface Sci. -1975.-V. 50.-N 3.-P. 508-518.
7. Джеффрис Г. В., Дэвис Г. А. Коалесценция капель и дисперсий//Последние достиже-
ния в области жидкостной экстракции. Под ред. К. Хансона. — М.: Химия, 1974.—С. 255 — 322.
8. Смолуховский М. Коагуляция коллоидов, —М.: ОНТИ, 1936.
9. Фукс Н. А. Механика аэрозолей, — М.: АН СССР, 1955.—420 с.
10. Friedlander S. К. Smoke, dust and haze: Fundamentals of aerosol behavior. — Wiley,
Interscience, 1977.—317 p.
11. Hocking L. M. Mutual hydrodynamic interference in flow around two spheres//Quart.
J. Roy. Meteorol. Sci. —1959,—V. 85.— P. 363.
12. Красногорская H. В. Расчет столкновения частиц сравнимах размеров//ДАН СССР.—
1964,-Т. 154,-№ 2,-С. 325-328.
13. Хаппель Д., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. — М.: Мир,
1976.-630 с.
14. Смирнов Л. П., Дерягин Б. В. О безынерционном электростатическом осаждении
частиц аэрозоля на сфере, обтекаемой вязким потоком//Коллоидный жури. —1967.— № 3,—
С. 408-412.
15. Ентов В. М., Каминский В. А., Синайский Э. Г. О захвате мелких капель крупными
в электрическом поле//Изв. АН СССР. МЖГ. —1973,— № 5,— С. 61—68.
370
16. Лапига Е. Я., Синайский Э. Г. О захвате мелких заряженных частиц крупной незаря-
женной частицей во внешнем электрическом поле//Коллоидный журн. —1978.— Т. 40.— №2.—
С. 357-360.
17. Zhang X., Davis R. Н. The rate of collision due to brownian and gravitational motion
of small drops//J. Fluid Meeh.-1991.- V. 230,- P. 479-504.
18. Эйнштейн А., Смолуховский M. Броуновское движение. — M.: ОНТИ, 1936.
19. Левин В. Г. Физико-химическая гидродинамика. — М.: ГИФМЛ, 1959, —699 с.
20. Delichatsios М. A., Probstein R. F. Coagulation in turbulent flow: theory and experiment.//
J. Colloid Interface Sci.-1975.-V. 51,-P. 394-405.
21. De Boer G. B. J., Hoedamakers G. F. M., Thones D. Coagulation in turbulent flow. P. I//
Chem. Eng. Res. and Des. -1989. - V. 67.-N 3,- P. 301-307.
22. Ентов В. M., Каминский В. А., Лапига Е. Я. К расчету скорости коалесценции эмуль-
сий в турбулентном потоке//Изв. АН СССР. МЖГ. —1976.— № 3.— С. 47 — 55.
23. Синайский Э. Г., Рудкевич А. М. О коагуляции пузырьков в вязкой жидкости в тур-
булентном потоке//Коллоидный журн.— 1981,— Т. 43.— № 2. — С. 369 — 371.
24. Синайский Э. Г. Коагуляция капель в турбулентном потоке вязкой жидкости//Кол-
лоидный журн. —1993. — Т. 55. —№ 4,— С. 91 — 103.
25. Синайский Э. Г. Броуновская и турбулентная коагуляция капель в вязкой жидкости и
устойчивость эмульсий//Коллоидный журн. —1994.— Т. 56,— № 1,— С. 105—112.
26. Синайский Э. Г. Коагуляция капель различной вязкости в турбулентном потоке вязкой
жидкости//Коллоидный журн.— 1994.— Т. 56,— № 2,— С. 222 — 225.
27. Туницкий А. Н., Каминский В. А., Тимашев С. Ф. Методы физико-химической кинети-
ки,— М.: Химия, 1972,— С. 197.
28. Дерягин Б. В., Муллер В. М. О медленной коагуляции гидрофобных коллоидов//
ДАН СССР.-1967. - Т. 176. — № 4,-С. 869 - 872.
29. Spielman О. A. Viscous interactions in brownian coagulation//.!. Colloid Interface Sci.—
1970,- V. 33,- P. 562-571.
30. Honig E. P., Roebersen G., Wiersema P. H. Effect of hydrodynamic interaction on the
coagulation of hydrophobic colloids//J. Colloid Interface Sci. —1971. — V. 36. — P. 91 — 104.
31. Batchelor G. K. Brownian diffusion of particles with hydrodynamic interaction//.!. Fluid
Meeh.-1976. - V. 74,-P. 1-29.
32. Каминский В. А. О кинетике турбулентной коагуляции//Коллоидный журн, — 1976. —
Т. 38,- № 5,- С. 907-912.
33. Хинце И. О. Турбулентность, — М.: Физматгиз, 1963.—680 с.
34. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика: В 2 т. — М.: Наука, 1967. —
Т. 1-2.
35. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя, — М.: Наука, 1974. —742 с.
36. Седов Л. И. Механика сплошной среды: В 2 т.— М.: Наука, 1973.— Т. 1—2.
37. Леонтович М. Л. Введение в термодинамику. Статистическая физика. — М.: Наука,
1983.-416 с.
38. Russel W. D- Brownian motion of small particles suspended in liquids//Ann. Rev. Fluid
Meeh. -1981. - V. 13,-P. 425-455.
39. Зинченко A. 3. К расчету гидродинамического взаимодействия капель при малых числах
Рейнольдса//ПММ, —1978.—№ 5.—С. 955 — 959.
40. Davis М. Н. The slow translation and rotation of two unequal spheres in a viscous fluid/
/ Chem. Eng. Sci. -1969. - V. 24,-P. 1769-1776.
41. O'Neil M. E., Majumdar S. R. Assymetrical slow viscous fluid motion caused by the
translation or rotation of two spheres. P. I, II//ZAMP. —1970. — V. 21.— P. 164.
42. Wacholder E., Weihs D. Slow motion of a fluid sphere in the vicinity of another sphere
or a plane boundary//Chem. Eng. Sci. —1972. — V. 27. — P. 1817 — 1827.
43. Haber S., Hetsroni G., Solan A. On the low Reynolds number motion of two droplets//
J. Multiphase Flow. —1973. — V. 1.—P. 57 — 71.
44. Rushton E., Davies G. A. The slow unsteady settling of two fluid spheres aling their line
of centres//Appl. Sci. Res. —1973. — V. 28.—P. 37 — 61.
45. Reed L. D., Morrison F. A. The slow motion of two touching fluid spheres along their
line of centres//.!. Multiphase Flow. —1974. — V. 1.—P. 573 — 583.
46. Hetsroni G., Haber S. Low Reynolds number motion of two drops sudmerged in an
unbounded arbitrary velocity field//J. Multiphase Flow. —1978. — V. 4,—P. 1 — 17.
47. Зинченко A. 3. Медленное асимметричное движение двух капель в вязкой среде//
ПММ, —1980,—№ 1.-С. 30-37.
48. Fuentes У. О., Kim S., Jeffrey D. J. Mobility functions for two unequal viscous drops
in Stokes flow. P. 1. Axisymmertric motions. P. II. Nonaxisymmertric motions//Phys. Fluids.—
1988,-V. 31.- P. 2445-2455; Phys. Fluids. A.-1989.-V. 1,-P. 61-76.
49. Davis R, H., Schonberg J. A., Rallison J. M. The lubrication force between two viscous
drops//Phys. Fluids. A.-1989.-V. 1,-P. 77-81.
24* 371
50. Зинченко А. 3. Расчет близкого взаимодействия капель с учетом внутренней циркуляции
и эффектов скольжения//ПММ. —1981. — Т. 45,— С. 759 — 763.
51. Кройт Г. Р. Наука о коллоидах: В 2 т. Т. 1. Необратимые системы,— М.: ИЛ, 1955, —538 с.
52. Hogg R., Healy Т. W., Fuerstenau D. W. Mutual coagulation of colloidal dispersions//
Trans. Faraday Soc.— 1966.— V. 62,— P. 1638 — 1651.
53. Hamaker H. C. The London-Van der Waals attraction between spherical particles//
Physica. —1937. — V. 4,-P. 1058-1978.
54. Shenkel J. N.. Kitchener J. A. A test of the Derjaguin-Verwey-Overbeek theory with a
colloidal suspension//Trans. Faraday Soc. —1960,—V. 56.—P. 161 — 173.
55. Melcher J. R., Taylor G. I. Electrohydrodynamics: a review of the role of interfacial shear
stress//Ann. Rev. Fluid. Meeh. —1969. — V. 1.—P. 111 — 146.
56. O'Konski С. T., Thacher H. C. The distortion of aerosol droplets by an electric field//
J. Phys. Chem. —1953. — V. 57,-P. 955-958.
57. Garton C. G., Krasucki Z. Bubbles in insulating liquids: stability in an electric field//
Proc. Roy. Soc. Lond. A.-1964.-V. 280.-P. 211-222.
58. Taylor G. I. Disintegration of water drops in an electric field. Proc. Roy. Soc. Lond. A.—
1964,- V. 280,- P. 383 - 397.
59. Rosenklide С. E. A dielectric fluid drop in an electric field. Proc. Roy. Soc. Lond. A.—
1969,-V. 312,-P. 473-494.
60. Miskis M. J. Shape of a drop in an electric field//Phys. Fluids. —1981. — V. 24,—
P. 1967-1972.
61. Adomato P. M., Brown R. A. Shape and stability of electrostatically levitated drops//
Proc. Roy. Soc. Lond. A. —1983.—V. 389.—P. 101 — 117.
62. Basaran J. A., Scriven L. E. Axisymmetric shape and stability of charged drops in an
electric field//Phys. Fluids. A. —1989.—V. 1.—P. 799 — 809.
63. Allan R. S., Mason S. G. Particle behaviour in shear and electric fields. I. Deformation
and burst of fluid drops//Proc. Roy. Soc. Lond. A.— 1962.— V. 267.— P. 45 — 61.
64. Taylor G. I. Studies in electrohydrodynamics. I. The circulation produced in a drop by an
electric field//Proc. Roy. Soc. Lond. A. —1966.—V. 291,—P. 159 — 166.
65. Torza S., Cox R. G., Mason S. G. Electrohydrodynamic deformation and burst of liquid
drops//Phil. Trans. R. Soc. Lond. —1971. — V. 269,—P. 295 — 319.
66. Ajaya О. O. A note on Taylor's electrohydrodynamic theory//Proc. Roy. Soc. Lond. A.—
1978,-V. 364,-P. 499-507.
67. Feng J. Q., Scott T. C. A computational analysis of electrohydrodynamics of a leaky di-
electric drop in an electric field//J. Fluid Meeh. —1966,—V. 311.— P. 289 — 326.
68. Thornton J. D. The application of electrical energy to chemical and physical rate processes//
Rev. Pure Appl. Chem. —1968. — V. 18.—P. 197 — 218.
69. Harker J. H., Ahmadzadeh J. The effect of electric field on mass transfer from falling
drops//Int. J. Heat Mass Transfer. —1974. — V. 17.—P. 1219—1225.
70. Bailes P. J. Solvent extraction in an electric field. Industr. Engng. Chem. Process Des. Dev. —
1981,- V. 20,- P. 564-570.
71. Baird M. H. I. Electrostatic effects on extraction. In Handbook of Solvent Extraction;
Ed. I. C. Lo, M. H. I. Baird, C. Hanson.-John Wiley & Sons, 1983,- V. 20,- P. 268 - 269.
72. Scott T. C. Use of electric fields in solvent extraction//A review and prospects. Sep. Pu-
rif. Methods.-V. 18,-P. 65-109.
73. Weatherley L. R. Electrically enhanced extraction. Science and Practice of liquid-liquid
Extraction; Ed. I. D. Thornton. — Oxford University Press, 1968.— V. 2,— P. 407 — 419.
74. Platsinski K. J., Kerkhof P. J. H. M. Electric field driven separations: Phenomena and
applications//Sep. Sci. Technol. —1992. — V. 27.—P. 995—1021.
75. He W., Baird M. H. I., Chang J. S. The effect of electric field on mass transfer from
drops dispersed in a viscous liquid//Can. J. Chem. Eng. —1993. — V. 71,—P. 366 — 376.
76. Sherwood J. D. Breakup of fluid droplets in electric and magnetic fields//J. Fluid. Meeh.—
1988,-V. 188,-P. 133-146.
77. Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Электродинамика сплошных сред. — M.: ТИТЛ, 1957. —
532 с.
78. Ausman Е. L., Brook М. Distortion and disintegration of water drops in strong electric
fields//J. Geophys. Res. —1967. — V. 72,—P. 6131—6141.
79. Brazier-Smith P. R. Stability and shape of isolated pair of water drops in an electric field//
Phys. Fluids.-1971.-V. 14.-N 1-6.
80. Stone H. A. Dynamics of drop deformation and breakup in viscous fluids//Ann. Rev.
Fluid. Meeh.-1994.- V. 26,-P. 65-102.
81. Нигматуллин P. И. Динамика многофазных сред: В 2 т. T. 1,— М.: Наука, 1987.
82. Эмульсии: Пер. с англ./Под ред. Абрамзона А. А.— Л.: Химия, 1972. —448 с.
83. Логинов В. И. Динамика процесса дробления капельной жидкости в турбулентном по-
токе//ПМТФ. -1985. - № 4.— С. 66-73.
372
84. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. — М.: Наука, 1970.—392 с.
85. Голицын Г. С. Флюктуации диссипации энергии в локально изотропном турбулентном
потоке//ДАН СССР.-1962.- Т. 144,-№ 3,-С. 520-523.
86. Колмогоров А. Н. О логарифмически нормальном законе распределения частиц при
дроблении//ДАН СССР.-1941.- Т. 31,-№ 2,-С. 99-101.
87. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физики: В 2 т. Т. 2. — М.: ИЛ, I960, —886 с.
88. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, — М.: Наука, 1970. —720 с.
89. Allan R. S., Mason S. G. Effects of electrical field on coalescence in liquid — liquid sys-
tems//Trans. Faraday Soc. —1961. — V. 57.—P. 2027.
90. Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Теория поля, — M.: Наука, 1973.—400 с.
91. Стрэттон Дж. Теория электромагнетизма, — М.: Гостехиздат, 1948. —539 с.
92. Лебедев Н. Н., Скальская Й. П., Уфлянд Я. С. Сборник задач по математической
физике, — М.: ГТТЛИ, 1955.— 394 с.
93. Выговской В. П. Перераспределение зарядов при контакте проводящих сфер в элект-
рическом поле//Коллоидный журн. —1981,— Т. 43,— № 5,— С. 967.
94. Снеддон И. Преобразования Фурье, — М.: ИЛ, 1955, —667 с.
95. Russel A. Two charged spherical conductors interaction forces//Proc. Phys. Soc. —1922. —
V. 35,- P. 10.
96. Coy С. Динамика заряженных суспензий//Реология суспензий; Под ред. В. В. Гого-
сова, В. Н. Николаевского, — М.: Мир, 1970.
97. Лебедев Н. Н. Сила, действующая на проводящий шарик, помещенный в поле плоского
конденсатора//ЖТФ. —1962. — Т. 32.— № 2.— С. 375.
98. Левченко Д. Н., Бергштейн В. В., Худякова А. Д., Николаева Н. М. Эмульсии нефти
с водой и методы их разрушения. — М.: Химия, 1967, —200 с.
99. Лапига Е. Я., Логинов В. И. О ядрах кинетического уравнения коалесценции//Изв.
АН СССР. МЖГ. —1980.— С. 32-38.
100. Анисимов Б. Ф., Емельяненко В. Г. Критерий коалесценции капель эмульсий обратного
типа в однородном электрическом поле//Коллоидный журн.— 1977,— Т. 39.— № 3,— С. 528.
101. tiochraider D., Hidy G. М., Zebel G. Creeping motion of charged particles around a cy-
linder in an electric field//J. Colloid Interface Sci. —1969. — V. 30.— N 1.
102. Ван-Дайк M. Методы возмущений в механике жидкости. — М.: Наука, 1967,— С. 310.
103. Camp Т. R., Stein Р. С. Velocity gradients and internal work in turbulent clouds//
J. Boston Soc. Civ. Eng. —1943. — V. 30. — P. 219.
104. Smoluchowski M. Versuch einer Mathematischen Theorie der Koagulations Kinetik kolloider
Losungen//Z. Phys. Chem. —1917. — B. 92. —S. 129—168.
105. Saffman P. G., Turner J. S. On the collision of drops in turbulent clouds//J. Fluid.
Meeh. -1956. - V. 1.-P. 16-30.
106. Pnueli D., Gutfinger C., Fichman M. A turbulent-brownian model for aerosol coagulation//
Aerosol Sci. Technol. —1991,—V. 14.—P. 201—209.
107. Abrahamson J. Collision rates of small particles in a vigorously turbulent fluid//Chem.
Eng. Sci. -1975. - V. 30,-P. 1371-1379.
108. Higashitani K., Yamauchi K., Mafsuno Y., Hosokawa G. Turbulent coagulation of par-
ticles dispersed in a viscous fluid//J. Chem. Eng. Japan. —1983. — V. 16.— P. 299 — 304.
109. Higachitani K., Ogawa R., Hosokawa G., Matsuno Y. Kinetic theory of shear coagulation
for particles in a viscous fluid//J. Chem. Eng. Japan. —1983. — V. 16,— P. 299 — 304.
VI
ГАЗОЖИДКОСТНЫЕ СМЕСИ
Под газожидкостной смесью будем понимать двухфазную среду, в которой
сплошной фазой является газ, а дисперсная фаза представляет собой капли
жидкости. В таком состоянии находится природный газ газоконденсатных
месторождений, поступающий в установки комплексной подготовки газа и кон-
денсата (см. раздел 1). В основе подготовки газа и конденсата лежат следу-
ющие процессы: отделение от газа конденсата, паров воды и тяжелых углево-
дородов; стабилизация отделившегося конденсата, т. е. удаление из него легких
углеводородов и нейтральных компонентов. Отделение конденсата от газа (се-
парация) производится в газовых сепараторах, извлечение из газа паров воды
(осушка) и тяжелых углеводородов — в абсорберах с использованием спе-
циальных жидких поглотителей — абсорбентов, а стабилизация конденсата —
в разделителях или выветривателях, которые по конструкции аналогичны неф-
тегазовым сепараторам. Типовые технологические схемы НТС и НТА установок
комплексной подготовки газа представлены на рис. 1.1 и 1.2.
В этом разделе рассматриваются основные процессы, связанные с подго-
товкой газа и конденсата к транспорту: сепарация газоконденсатных смесей в
сепараторах, абсорбционнная осушка газа и абсорбционное извлечение из газа
тяжелых углеводородов и предотвращение образования гидратов.
14
ФОРМИРОВАНИЕ ЖИДКОЙ ФАЗЫ
В ПОТОКЕ ГАЗА
Поток, поступающий из подводящей трубы в сепаратор (рис. 14.1), пред-
ставляет собой двухфазную газожидкостную смесь. Жидкая фаза в подводящей
трубе находится в виде взвешенных в потоке капель различного размера и в виде
тонкой пленки на стенке трубы. Поскольку объемное содержание жидкой фазы
в потоке невелико (порядка 100 г на 1 м3 газа, что соответствует объемной
концентрации жидкости 10~4 м3/м3), а скорость потока в трубе большая (до
10 м/с), то основная масса жидкости будет находиться во взвешенном состоя-
нии. Движение потока в трубе носит турбулентный характер, что приводит к
интенсивной коагуляции мелких и дроблению образовавшихся крупных капель.
В результате в потоке устанавливается динамическое равновесие между этими
374
1
2
3
4
Рис. 14.1. Элемент технологической схемы устройство предварительной кон-
денсации (УПК) — подводящий трубопровод — сепаратор:
1,3 — подводящий трубопровод, 2 — УПК, 4 — сепаратор, Г — газ, Ж — жидкость
двумя процессами, приводящее к формированию равновесного распределения
капель по радиусам n0(R) Кроме коагуляции и дробления на процесс установ-
ления распределения n0(R) может оказать влияние межфазный массообмен (ис-
парение или конденсация капель). Действительно, по мере движения двухфазно-
го потока могут изменяться давление и температура, например при прохождении
через дроссели, теплообменники, турбодетандеры. В результате термодинамичес-
кое равновесие нарушается, что приводит к нуклеации жидкой фазы и дальней-
шему ее росту в условиях пересыщения. Поэтому если в технологической схеме
перед сепаратором расположены эти устройства, то необходимо учитывать меж-
фазный массообмен. В дальнейшем будем называть устройства, при прохождении
через которые нарушается термодинамическое равновесие между газовой и жид-
кой фазами, устройствами предварительной конденсации (УПК), поскольку ос-
новное предназначение этих устройств состоит не просто в понижении темпера-
туры, а в создании условий для выпадения конденсата.
Таким образом, возможны два случая: 1) УПК отсутствует или находится
достаточно далеко от сепаратора (это расстояние в дальнейшем будет оценено);
2) УПК находится достаточно близко от сепаратора. В первом случае распре-
деление капель по размерам в потоке в подводящем трубопроводе устанавли-
вается только за счет процессов коагуляции и дробления капель, а во втором —
за УПК образуются очень мелкие капли, размер которых изменяется не только
за счет коагуляции и дробления, но и за счет интенсивного массообмена в
условиях пересыщения смеси.
Итак, перед сепаратором возможно формирование капель двух видов за
счет разных механизмов их образования. Рассмотрим оба механизма образова-
ния капель, что позволит оценить параметры, необходимые для определения
эффективности разделения газожидкостной смеси в газовом сепараторе.
14.1. ФОРМИРОВАНИЕ ЖИДКОЙ ФАЗЫ
В ОТСУТСТВИЕ КОНДЕНСАЦИИ
В рассматриваемом случае основными механизмами формирования капель
в турбулентном потоке газа являются процессы коагуляции и дробления ка-
пель. Оба эти процесса протекают одновременно. В результате уставливается
распределение капель по размерам, которое в предположении об однородности
и изотропности турбулентного потока имеет вид логарифмически нормального
распределения [1]
375
,oX n*R\ ln2(7?/7?i) , .
„(Я) = _ехр[--------__|, (МЛ)
где n* = 3Wexp (-2,5o2)/4 лл/2л7?^; Rt = Ravexp (~0,5o2), W — объемная кон-
центрация жидкой фазы; о2 — дисперсия распределения; R„v — средний радиус
капель.
Для определения среднего радиуса необходимо рассмотреть процессы ко-
агуляции и дробления капель. Капли в турбулентном потоке газа дробятся,
если их радиус превосходит некоторый критический радиус [2]. Капли радиуса
меньше критического могут только коагулировать. В действительности между
каплями, которые могут коагулировать и дробиться, нет такой четкой границы,
поскольку эти процессы носят случайный характер. Поэтому правильнее ска-
зать, что чем меньше радиус капель критического значений, тем меньше веро-
ятность их дробления. Если радиус капель становится больше критического, то
они с высокой вероятностью могут раздробиться, образуя, как правило, две
капли примерно одинакового размера (дочерние капли) и несколько маленьких
капель, которые принято называть сателлитами. Поэтому при проведении оцен-
ки среднего размера капель при установлении динамического равновесия про-
цессов коагуляции и дробления его можно считать равным критическому ра-
диусу.
Дробление капель в турбулентном потоке газа происходит за счет инер-
ционного эффекта, обусловленного значительной разностью плотностей жидко-
сти и газа, а также за счет разности пульсационных скоростей, т. е. скоростей
турбулентных пульсаций, обтекающих каплю, в противоположных концах кап-
ли. Дробление капли при этом происходит за счет деформации ее поверхности.
Капля плотностью р£, взвешенная в турбулентном потоке газа плот-
ностью pc«pL, только частично увлекается газом, поэтому газ обтекает каплю
с относительной скоростью порядка
(14.2)
где £0 — удельная диссипация энергии, V и S — объем и поперечное сечение
капли, kf — коэффициент аэродинамического сопротивления капли, /^=0,4.
Соответствующий этой скорости динамический напор, действующий на каплю,
. „ / \2/3
Q~-^—| е2/37?2/з. (14.3)
2 ^Рс) и
Кроме динамического напора Q, обусловленного инерцией частицы в пото-
ке газа, на каплю действует также напор, обусловленный изменением пульсаци-
онной скорости по длине капли:
(14.4)
где щ и и2 — скорости газа в точках, удаленных на расстоянии 2R друг от
друга.
Деформацию и дробление капли вызывают мелкомасштабные пульсации X
(см. раздел 11.3), поскольку крупномасштабные пульсации сравнительно мало
изменяются на расстояниях порядка диаметра капли. Пульсационная скорость
щ таких пульсаций зависит от того, больше или меньше А. внутреннего масш-
таба турбулентности А.о:
376
1 ( A’/Vt/V/VoY7
„ 1/з [Pl] V [2]
тз ° IpcJ ы ы
*o = r^ (14.5)
где d — диаметр трубы; Re = pGUd/pc — число Рейнольдса потока в трубе,
U — средняя скорость потока, цс — динамическая вязкость газа.
Для характерных значений <7 = 0,1 м; [7=10 м/с; рс = 40 кг/м и
цс= 1,2 • 10“5 Па • с имеем Хо= 1,5 • 10'6 м= 1,5 мкм. Средний размер капель в
потоке, как правило, больше этого значения, поэтому имеет смысл рассматривать
пульсации с Z > Ло. Для таких пульсаций [см. (11.46)] имеем
«х=(еоМ,/3. (14.6)
Полагая в (14.6) Х=27? и подставляя полученное выражение в (14.4),
получаем
Qn - 0,5fypc(2R£0)1/3. (14-7)
Из (14.3) и (14.7) следует, что
SL~(pl}2/3»1. (14.8)
Qn уРсJ
Последнее неравенство означает, что Q » Qn и основной вклад в процесс
дробления капли вносит динамический напор Q. Капля не дробится до тех пор,
пока динамический напор уравновешивается силой поверхностного натяжения.
Поэтому условием равновесия капли является равенство указанных величин:
0,5р]/3£о/37?2/3 = (14.9)
Соотношение (14.9) позволяет найти критический радиус капли, т. е. радиус,
при превышении которого капля с большой вероятностью дробится. Выражая
в (14.9) £0 через параметры потока
V3
Ео=-£ (14.10)
Ло
и воспользовавшись (14.5), получим выражение для критического радиуса
капли:
f У \2/5 J2/S
Ясг~ S £2 (14.11)
J \PL J U6/5
Введем безразмерный параметр, называемый числом Вебера:
We = Динамический напор __________ ро^2</ ,, , . „х
Сила поверхностного натяжения S’ V /
Тогда выражение (14.11) можно представить в виде
п (г, \2/5
Тц. =/e//5We-3/M^ I (14.13)
а ' ( Pi J
которое является связью трех безразмерных параметров: Rcr/d, We и рс/р£. Для
значений рс= 40 кг/м3; р£ = 800 кг/м3; [7=10 м/с; S = 5 • 10-3 Н/м и d = 0,1 м
имеем We - 105, рс/р£~5 • 10 2 и R„/d~ 10'3. Следовательно, в рассматривае-
мом случае критический радиус капли имеет порядок 7?сг- 100 мкм.
Как уже отмечалось, формула (14.13) действительна для капель, взвешен-
377
ных в однородном и изотропном турбулентном потоке. Движение газожидко-
стной смеси в ядре потока можно считать однородным и изотропным, но возле
стенки это предположение нарушается. Кроме того, с образующейся на поверх-
ности стенки жидкой пленки могут срываться капли, а часть капель может
осаждаться на стенке. Все это приводит к изменению закона (14.13). Измере-
ния среднего устойчивого размера капель газожидкостной смеси в турбулент-
ном потоке в трубе, проведенные в [3], показали, что средний размер капель
описывается следующим соотношением:
_ z \1/7
^ = 0,12We-V7 £с (14.14)
a \Pl J
Отличие формулы (14.14) от (14.13) состоит в основном в числовом
коэффициенте, так как показатели степени отличаются незначительно. Посколь-
ку kf~3/i~ 1,5, а в формуле (14.14) этот коэффициент равен 0,12, то выражение
(14.14) дает на порядок меньшее значение среднего устойчивого радиуса ка-
пель, чем формула (14.13).
В дальнейшем будем пользоваться формулой (14.14) для среднего устано-
вившегося радиуса капель распределения, формирующегося в подводящем к
сепаратору трубопроводе.
14.2. ОБРАЗОВАНИЕ ЖИДКОЙ ФАЗЫ
В ПРОЦЕССЕ КОНДЕНСАЦИИ
При наличии перед сепаратором устройств, изменяющих температуру и
давление газа, в потоке возможно зарождение (нуклеация) мелких капель.
Такими устройствами являются дроссель, теплообменник и турбодетандер.
Поскольку механизм образования жидкой фазы в этих устройствах по существу
одинаков, рассмотрим его на примере дросселя.
В основе механизма образования жидкой фазы (тумана) за дросселем,
помещенным в подводящую трубу перед сепаратором, лежит процесс адиабати-
ческого расширения газовой смеси, при котором одновременно увеличивается
объем смеси, понижаются давление пара и температура, поскольку работа рас-
ширения совершается за счет внутренней энергии газа. Давление насыщенного
пара понижается с уменьшением температуры и приводит к увеличению пере-
сыщения пара. Под степенью пересыщения 5 понимают отношение давления
пара в газе р„ к давлению насыщенного пара pDOO над плоской поверхностью той
же жидкости:
Pv I Е I
s = ~'< рто=ехрС-— , (14.15)
Роао \ 1 /
где Т — абсолютная температура; С — постоянная; £' = 0,12 MLl, ML — молеку-
лярная масса конденсирующегося пара; / — удельная теплота парообразования.
Над выпуклой поверхностью, которую имеют капли, давление насыщенного
пара выше, чем над плоской, за счет капиллярного давления и увеличивается
с уменьшением радиуса капли, поскольку Рсар = 2Е/Л, где S — коэффициент
поверхностного натяжения капли. Поэтому необходимым условием конденса-
ции пара в объеме газа является наличие пересыщения пара, позволяющее
компенсировать повышенное давление.
Если образование капель происходит на ядрах конденсации, то процесс
378
называют гетерогенной конденсацией. Такими ядрами могут быть частицы при-
месей, загрязнений, капли и т. п. Если же образование капель происходит в
результате конденсации пара на самопроизвольно образующихся зародышах,
то — гомогенной кондесацией.
Процесс гомогенной конденсации состоит из трех стадий: образование
пересыщенного пара, образование зародышей, конденсация пара на поверхности
зародышей и дальнейший их рост. Конденсация пара начинается лишь при
определенном пересыщении, называемом критическим:
scr = ехр
/_\3/2
1,74.107^1 |
р£ )
(14.16)
где pL — плотность жидкости.
Процесс гетерогенной конденсации происходит при наличии ядер конден-
сации. Если ядрами служат мелкие капли, то при установлении равновесия на
поверхности капель имеет место формула Кельвина
1 ( ч 2Хм'
ln(s) - ATplR ,
(14.17)
где А — газовая постоянная.
Из формулы (14 17), зная радиус капли R, можно найти равновесное зна-
чение парциального давления пара над каплей, отличающееся от давления пара
рт над плоской поверхностью.
При гомогенной конденсации в газовой смеси при давлении, большем дав-
ления насыщения, возникают зародыши жидкой фазы со скоростью, определя-
емой формулой Френкеля [4]
I = 1,82 1026 -^-(м£о)1/2^ ехр
-1,76-logins)-2
(14.18)
Здесь а — коэффициент конденсации, имеющий смысл доли молекул пара,
которые, ударившись о поверхность жидкости, остались на ней. В литературе
содержатся экспериментальные значения а для некоторых чистых жидкостей,
однако у разных авторов эти значения для одних и тех же жидкостей суще-
ственно различаются. Поэтому надежных данных для определения коэффици-
ента конденсации в настоящее время, по-видимому, нет. В связи с этим в
дальнейшем будем полагать а = 1. Это равносильно предположению, что все
молекулы пара, ударившись о поверхность капли, остаются на ней.
Из сказанного следует, что необходимым условием образования конденси-
рованной фазы является наличие таких процессов, при которых повышается
пересыщение смеси, например в, результате понижения температуры или повы-
шения давления газа. На практике обычно одновременно изменяются и темпе-
ратура, и давление, поэтому изменяется и пересыщение смеси. Например, при
адиабатическом расширении газа понижаются давление и температура. Первое
приводит к уменьшению пересыщения, а второе — к увеличению. Однако с
уменьшением температуры давление насыщения падает намного сильнее, что
приводит в итоге к увеличению пересыщения смеси. Пересыщение смеси резко
возрастает только на начальном этапе процесса конденсации. В процессе кон-
денсации температура смеси несколько увеличивается, со временем значения
парциального давления пара вдали от капли и на ее поверхности выравнива-
ются за счет уменьшения концентрации пара Поскольку поток пара к поверх-
ности капли уменьшается, то уменьшается и пересыщение и в конечном счете
процесс образования зародышей прекращается. На рис 14.2 показаны харак-
379
Рис. 14.2. Зависимость пересыщения пара
от времени:
1,2 — соответственно без учета и с учетом
зарождения жидкой фазы; 3 — критическое
пересыщение
терные изменения пересыщения пара
со времененм, иллюстрирующее ска-
занное выше.
Скорость процесса конденсации
на поверхности капли определяется
диффузией пара к поверхности, по-
этому при большой скорости измене-
ния пересыщения ds/dt (например,
в процессах, вызывающих быстрое
увеличение пересыщение пара и свя-
занных с небольшой объемной концентрацией капель) скорость диффузии может
оказаться недостаточной для выравнивания давления пара во всем объеме. При
этом давление пара у поверхности капель может значительно отличаться от
давления пара в толще смеси. В итоге возникает большое пересыщение, при-
водящее к интенсивному зародышеобразованию на начальной стадии процесса.
Таким образом, в зависимости от соотношения между скоростью пересы-
щения пара и концентрацией капелек (ядер конденсации) возможны два пре-
дельных случая:
1) скорость диффузии пара к поверхности капель велика, и пересыщение
не достигает критической величины, поэтому зародыши не образуются;
2) скорость диффузии пара мала, пересыщение становится больше крити-
ческого и идет интенсивное зародышеобразование со скоростью, оцениваемой
соотношением (14.18).
Один из способов охлаждения и образования пересыщения смеси — ади-
абатическое расширение газа, лежащее в основе дроссель-эффекта. На газовых
и газоконденсатных месторождениях применяют схемы низкотемпературной
сепарации (НТС), которая включает в себя комплекс технологических процес-
сов, направленных на охлаждение продукции скважин до нужных температур
с последующей ее сепарацией. НТС применяют после того, как газ освобожда-
ется от основной массы капельной взвеси в сепараторе I ступени практически
без изменения давления и температуры. На последующих ступенях проводят
НТС в целях конденсации паров воды и тяжелых углеводоров (УВ). НТС
включает в себя следующие процессы.
1. Охлаждение газа в теплообменнике или холодильнике до минимально
возможной температуры, при которой не образуются газовые гидраты. В ре-
зультате охлаждения из газа выделяются газовый конденсат и вода, которые
далее отделяются от газа в сепараторах. На выходе из сепаратора в поток газа
вводят ингибитор гидратообразования.
2. Дросселирование газа — понижение температуры и давления газа без
совершения работы и теплообмена. Дросселирование осуществляется с помо-
щью штуцера.
3. Адиабатическое расширение с совершением внешней работы, приводя-
щее к понижению температуры. Этот процесс осуществляется в турбодетан-
дере.
380
Дросселирование и адиабатическое расширение газа в турбодетандере осу-
ществляется за счет движения газа в трубах и каналах переменного попереч-
ного сечения. Для определения температуры, давления и степени пересыщения
смеси в этих устройствах необходимо провести соответствующие газодинами-
ческие расчеты. Ниже изложен подход к проведению подобных расчетов, осно-
вы которых содержатся в [5]. Пусть в некотором сечении трубы заданы ско-
рость Uy, давление р,, температура Ту, плотность газа рС1 и площадь поперечного
сечения 5,. Задан также закон изменения площади поперечного сечения по
длине трубы S(x). Рассмотрим произвольное сечение трубы 52. Газодинамичес-
кие параметры в этом сечении определяются из одномерных уравнений сохра-
нения расхода, количества движения, энергии и состояния газа [5].
Уравнение сохранения расхода газа имеет вид
pCyUySy = pG2U2S2. (14.19)
Уравнение энергии —
Q + —-----= £ + £ + g(z _ z) + £ _ £ + (14.20)
PG1 PG2 'Г У 1 1 2 ' 2
где Q — количество теплоты, подводимое к 1 кг газа; L — техническая работа,
совершаемая 1 кг газа; Lfr — работа сил трения, приходящаяся на 1 кг газа; z —
высота расположения рассматриваемого сечения, Е — внутренняя энергия газа.
Представим Q как сумму потоков тепла:
Q = QS + Q„ (14.21)
где Qs — поток тепла извне за счет теплообмена через стенку трубы; Q, —
поток тепла изнутри, за счет преобразования в тепло сил трения.
Используя очевидное равенство Q, = Lfr, а также уравнение состояния газа,
которое примем в простейшем виде, считая газ идеальным,
р=Ар0Т (14.22)
и соответствующие термодинамические соотношения идеального газа
cp = cv+A; h = E+AT = cpT (14.23)
(Л — энтальпия газа, ср и с„ — удельные теплоемкости соответственно при посто-
янном давлении и объеме), получаем из (14.20)
гт2 _ тт2
Qs - L = h2 - hy + g(z2 - Zy) + ——-. (14.24)
Если труба горизонтальная, то изменением потенциальной энергии можно
пренебречь и (14.24) примет вид
тт2 _ тт2
Qs-L = h2-hi + %^-. (14.25)
В частном случае, когда теплообмен с окружающей средой отсутствует
(Qs~ 0) и газ не совершает механической работы (L = 0), вместо (14.25) имеем
тг2 _ тт2
= hy - h2 = СруТу - Ср2Т2. (14.26)
Если скорость газа в трубе изменяется незначительно (U. = U2), то из
(14.25) следует, что
Qs-L = cp2T2-cpyTy. (14.27)
381
В частности, при Qs = 0 имеем
ср2Т2 = Ср\Т\-L. (14.28)
Аналогичное соотношение с учетом изменения скорости запишется в виде
ср2Т2 = ср1Г, - L - (14.29)
Из последних двух уравнений следует, что температура газа уменьшается
даже в отсутствии теплоотдачи через стенку трубы за счет совершения газом
механической работы и изменения кинетической энергии.
У ранение сохранения количества движения для цилиндрической трубки
тока имеет вид
dp + pGUdU = (14.30)
где Ffr — сила трения, приложенная к боковой поверхности трубки тока в на-
правлении, противоположном давлению газа; F — внешняя сила.
Если эти силы отсутствуют или не изменяются, то уравнение (14.30) при-
нимает простой вид
PgU? PgU2
Pi + ~2~ - Р2 + ~~•
(14.31)
Это уравнение называется уравнением Бернулли.
Таким образом, из уравнений сохранения массы, количества движения и
энергии следует, что на скорость движения газа, а также на распределение
давления, температуры и плотности влияют механическое, тепловое и геометри-
ческое воздействия. Рассмотрим подробнее эти воздействия в рамках предпо-
ложения об идеальности газа.
Из уравнения сохранения массового расхода газа, которое запишем в виде
G = pGUS = const, (14.32)
следует, что
а из уравнения состояния
— = A^dT + Т^-\. (14.34)
pg V pg J
Исключая из (14.34) dpG/pG и используя уравнение (14.33), получаем
= AdT+ (14.35)
Из уравнения сохранения количества движения (14.30) следует, что
= -U dU - dL - dbr. (14.36)
Из последних двух уравнений получим
AdT + + ((J2 --4-j+ dL + dLfT = 0, (14.37)
к G 5 J к J U
382
где а2 = (/гАГ),/2 — скорость звука в идеальном газе; k = cp/cu — постоянная
адиабаты.
Представим теперь уравнение энергии (14.25) в виде
dQs=dh + ^ + dL = ^dT + U dU + dL. (14.38)
Здесь использовано следующее соотношение для энтальпии:
dh = d[cpT^ = -j^idT.
Исключая теперь из (14.37) температуру с помощью уравнения (14.38),
получаем
dU dS dG dL k-1 k . 4
(Л7 — = ~s q "ai jrdQs — ~^dLfT, (14.39)
где M = U/а — число Маха.
Поскольку выражение в левой части уравнения (14.39) меняет знак при
переходе через скорость звука, характер влияния различных воздействий на
течение газа при дозвуковом и сверхзвуковом режимах противоположен. При
дозвуковом течении (М < 1) ускорение потока (dU > 0) вызывается сужением
канала (dS<0), подводом дополнительной массы газа (dG>0), совершением
газом работы (dL > 0) и подводом тепла (dQs>0). Эти же воздействия в
сверхзвуковом потоке (М > 1) приводят к замедлению потока. Следовательно,
для того чтобы перевести скорость газа через критическую (М=1), нужно,
например, сначала сужать, а потом расширять канал, либо сначала подводить
тепло, а потом отводить и т. д. Рассмотрим отдельно некоторые воздействия,
представляющие практический интерес.
1. Геометрическое воздействие (сопло, дроссель)
Принимаем, что dG = dQs = dL = dLfT = 0, dS * 0. Из (14.39) следует, что
(М2 -1)4г = ^- (14.40)
При М < 1 знаки dU и dS противоположны. Следовательно, для увеличе-
ния скорости газа до значения М = 1 площадь поперечного сечения 5 нужно
уменьшить до значения Scr, а затем, чтобы получить М > 1, увеличить. Отноше-
ние площади поперечного сечения к соответствующему критическому значению
5 (1 + 0,5а-1)М2)(4 + 1,/ад-1)
- м(0.5^0,5Г + 2,/2<'-П
Для смеси углеводородных газов k = 1,2 и
5 _ (1 + 0.1М2)
5СГ 1,55М
(14.41)
(14.42)
Зависимость (14.42) показана на рис. 14.3.
Зная значения скорости, плотности, давления, температуры и закон S(x)
изменения площади поперечного сечения сопла или дросселя, можно найти
значения этих параметров в любом сечении из следующей системы уравнений
pGUS = Pdt^S,; ррък = PiPgiJ Р = ^Pg^;
и? - и$
срТ = срД]------2—
(14.43)
383
Рис. 14.3. Зависимость S/Sc, от числа Маха
Падения давления и температуры
вдоль сопла или дросселя приводят к
появлению пересыщения смеси и в
потоке возможна конденсация паров
воды или тяжелых углеводородов.
Поскольку время нахождения смеси в
сопле или дросселе мало, то образую-
щиеся мелкие капли (туман) не успе-
ют заметно увеличиться в размерах.
Поэтому основной рост капель дол-
жен происходить в потоке за срезом
сопла или дросселя, где выходящая
струя газа образует в пространстве как
бы расширяющееся сопло.
2. Механическое воздействие
В рассматриваемом случае принимаем dS = dG = dQs = dL!r = 0, dL* 0. При
этом из (14.39) следует, что
(М2 -1)44 = -#•
U (г-
(14.44)
Если dL > 0, что соответствует случаю, когда газовый поток совершает
работу, например, на колесе турбины в турбо детандере, то в дозвуковом потоке
(М < 1) он ускоряется, а в сверхзвуковом (М> 1) — замедляется. При подводе
к газу энергии (dL <0), например в компрессоре, в дозвуковом течении ско-
рость газа снижается, а в сверхзвуковом — увеличивается. Основное свойство
механического сопла (турбины, компрессора) заключается в том, что при про-
хождении через него газа скорость его увеличивается, а давление, плотность и
температура снижаются в соответствии с выражением
,, / \0,5(ft+l)/(ft-l) / х 0,5(fe+l)/fe / X. 0,50+1)
м2 _ f 7] ] _ I pt_| PG1
M\ ~ ут2/ — ~ VPG27
(14.45)
3. Тепловое воздействие
Принимаем dS = dG = dL = dL!r = 0, dQs * 0. Из уравнения (14.39) находим
(M2-< = -^^. (14.46)
Сравнение этого уравнения с (14.44) показывает, что поскольку k> 1, оба
уравнения идентичны. Поэтому воздействие подвода тепла (dQs > 0) и отвода
тепла (dQs<0) в звуковом потоке соответственно ускоряет или замедляет
поток. В сверхзвуковом потоке картина обратная.
Таким образом, проведенный анализ показал, что при прохождении потока
газовой смеси через устройства предварительной конденсации возможно пони-
жение температуры, вследствие чего создаются благоприятные условия для
конденсации паров воды и тяжелых углеводородов.
Пусть газовая смесь содержит компонент, который конденсируется в ре-
384
зультате понижения температуры. Обозначим через рв1 и р„ парциальные дав-
ления этого компонента до расширения смеси и после него. Для определенно-
сти рассмотрим прохождение смеси через дроссель. Тогда в соответствии с
уравнениями (14.43) имеем
z„\*/(k -1) Z ч*
। j । / Pg I
Pv==zMp^J
(14.47)
Подставляя теперь (14.47) в выражение (14.15) для пересыщения s, полу-
чаем
s = р ехр
(14.48)
где Т, и Т — значения температуры до расширения и в процессе расширения.
Если известно изменение р и Т по длине устройства, то из уравнения
(14.48) определяем пересыщение s, а затем (если, конечно, s>scr) находим
скорость образования зародышей новой фазы I в соответствии с формулой
(14.18). Зная время t нахождения смеси в устройстве, нетрудно определить
численную и объемную концентрацию капель, образующихся в устройстве в
результате расширения смеси:
t t
N = jldt, W = $Vmd Idt, (14.49)
о 0
где Vnucl — объем зародившихся капелек.
Критический радиус зародышей можно найти из условия равенства давле-
ний на поверхности капельки
Р<1 = Р«р+-^г> (14-50)
где pvp — давление упругости пара над поверхностью капли,
pvp = р^ exp I;
(14.51)
vL — объем, приходящийся на одну молекулу жидкости; k — постоянная Больц-
мана, k = 1,3 IO"29 Дж/К.
Подставляя (14.51) в (14.50), получаем уравнение для определения ради-
уса зародившейся капли:
2S (21^
Р~^- = Р^ ехР (14.52)
Дальнейший рост капель обусловлен процессом диффузии пара к поверх-
ности.
25 - 1461
15
КОАЛЕСЦЕНЦИЯ КАПЕЛЬ
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ ГАЗА
При движении в турбулентном потоке газа в трубе капли могут дробиться
и коагулировать (коалесцировать). Эти процессы происходят одновременно, и
в результате между ними устанавливается динамическое равновесие. В резуль-
тате устанавливается распределение капель со средним радиусом Rav. Будем
считать, что капли, радиус которых превосходит Rav, дробятся, в то время как
капли с R < Rav коагулируют.
Радиус капель, образующихся в устройствах предварительной конденсации,
намного меньше Rav, определяемого параметрами потока газа в трубе. Поэтому
после прохождения через УПК капли укрупняются в результате двух процес-
сов — конденсационного роста и коагуляции — до тех пор, пока их радиус не
станет равным Rav. Начиная с этого момента средний размер капель не изме-
няется. Следовательно, определив это время, можно найти расстояние, на кото-
ром нужно расположить УПК перед сепаратором, чтобы дать возможность
каплям укрупниться до максимального размера. Но предварительно необходи-
мо оценить, как влияют на укрупнение капель конденсация и коагуляция.
Рассмотрим сначала скорость укрупнения капель за счет коагуляции.
Существуют два основных механизма коагуляции капель в турбулентном
потоке [2]: инерционный и механизм турбулентной диффузии. В основе инер-
ционного механизма лежит предположение о том, что турбулентные пульсации
не полностью увлекают каплю. В результате относительные скорости, приобре-
таемые каплями за счет турбулентных пульсаций, зависят от массы капель.
Разность пульсационных скоростей капель различного радиуса обусловливает
их сближение и увеличивает вероятность столкновения. В основе механизма
турбулентной диффузии лежит предположение о полном увлечении капель
турбулентными пульсациями того масштаба, который играет основную роль в
механизме сближения капель. Поскольку капли хаотически движутся под дей-
ствием турбулентных пульсаций, их движение сходно с явлением диффузии и
может быть охарактеризовано турбулентным коэффициентом диффузии.
Распределение капель по объемам n(t, Р, V) в точке пространства Р в
момент времени t в приближении парных взаимодействий, справедливом при
небольших объемных концентрациях капель, описывается следующим кинети-
ческим уравнением:
•|^ + V • (пи) + = A:oag + hr + Ab! + Лшс1, (15.1)
где и скорость капли объема V, dV/dt — скорость изменения объема капли
в результате ее массообмена с окружающим газом (испарение, конденсация).
Слагаемые в правой части (15.1) имеют смысл соответственно скоростей
изменения распределения за счет процессов коагуляции, дробления, осаждения
и уноса на границе области движения, например на стенке трубы, и нуклеации.
Так, интенсивность образования капель объема V в результате коагуляции
lang = (<о, V - <в) п (св, t, Р) n(V - <в, t,P)d<i> -
о
386
- n(V, t, P) |x(е>, V) n (to, t, P) dto. (15.2)
о
Интенсивность образования капель объема V за счет дробления
Дг = J/(®, V) д (<о)п(<о, t, Р) da> - n(V, t, Р) д (V). (15.3)
V
Интенсивность образования капель объема V в результате нуклеации
/nuci = /5(y-ynud). (15.4)
Надежных данных для определения осаждения и уноса капель на границе
области в настоящее время, к сожалению, нет.
Здесь введены следующие обозначения: К(<о, V) — частота столкновений
капель объемами ю и V при их единичной концентрации; f(<o, V) — число
капель объемом <в, образующихся при дроблении капли объемом V, g(V) —
вероятность дробления капли объемом V, I — интенсивность образования заро-
дышей, определяемая формулой (14.18), 5(х) — дельта-функция, Vnucl — объем
зародыша, определяемый из уравнения (14.52).
Частота столкновения и вероятность дробления определяются в результате
исследования взаимодействия капель, взвешенных в поле турбулентных пуль-
саций. Их определение представляет самостоятельную задачу. Подобная задача
для взаимодействия капель в эмульсии была подробно рассмотрена в разделе V.
Механизм коагуляции капель зависит от режима движения смеси. В ла-
минарном потоке коагуляция обусловлена сближением капель за счет разных
скоростей их движения либо в неоднородном поле скоростей внешней среды,
либо при осаждении в гравитационном поле. В турбулентном потоке сближение
капель происходит за счет хаотических турбулентных пульсаций. По сравне-
нию с ламинарным потоком число столкновений капель в единицу времени
увеличивается. Любое, даже незначительное, перемешивание потока приводит к
увеличению частоты столкновения.
Дроблению капли предшествует значительная деформация поверхности
капли. Эта деформация вызывается воздействием на поверхность напряжений
со стороны внешнего и внутреннего течений, для чего нужны значительные
градиенты скоростей и динамических напоров. В ламинарном потоке градиенты
скорости возникают при течении возле стенок, поэтому основное дробление
капель наблюдается в пристеночной области, где течение носит сдвиговый ха-
рактер. В турбулентном потоке градиенты скорости возникают в окрестности
капель при обтекании их мелкомасштабными пульсациями. Поэтому размер
капель, которые могут дробиться в турбулентном потоке, меньше, чем в лами-
нарном потоке. В дальнейшем для простоты будем считать, что критический
размер капель [см. формулу (14.14)] разделяет капли на дробящиеся (R> RrT)
и не дробящиеся (R<Rrr). Последние капли могут только коагулировать.
15.1. ИНЕРЦИОННЫЙ МЕХАНИЗМ КОАГУЛЯЦИИ
Рассмотрим каплю радиусом R2. Число встреч этой капли с каплями
радиусом R, в единицу времени за счет инерционного механизма в турбулент-
ном потоке оценивается следующим выражением [2]:
25* 387
^2 = ^R}+R2)\r^-R^^^-n., (15.5)
PGVG
где e0— удельная энергия диссипация; v — коэффициент кинематической вязко-
сти; п, — число капель радиусом R. в единице объема.
Поскольку е0 = U3/d, то
2 [//4
Р12 = + R2) (tf — R2} 5/4 ,3/4 Wf- (15.6)
PGVG «
Таким образом, в рассматриваемом случае частота коагуляции, входящая в
уравнение (15.1),
.,9/4
к = л (я, + r2 )2|я,2 - я22| PV4.V4 • < 15.7)
1 1PGVG d
Оценим скорость роста капель, считая их одинаковыми. Тогда частоту
коагуляции (15.6) нужно усреднить по размерам капель:
р12 = я(Я, + R2}\R1 - R*) pL^ (15.8)
pgv^ a '
Черта сверху означает усреднение по размерам. Значение средней величи-
ны, конечно, зависит от вида распределения капель по размерам. Не задаваясь
конкретным видом распределения, можно для оценки положить
(7?! + R2)\Rl - R2) - R*v.
Теперь нетрудно написать уравнение баланса числа капель п\
dn 1 pit79/4
dt ~ 2 n^av 5/4 ,3/4 п •
PGVG d
В правой части (15.10) стоит коэффициент 1/2, поскольку при
числа столкновений взаимодействие одинаковых капель учитывается
Введем объемное содержание капель:
W = -j nR%vn.
Тогда (15.10) можно переписать в виде
d (ро Р^9/4
Мт&Л 8 pGV5/4rf3/4 >
где R°v — начальный радиус капель.
Решение уравнения (15.12) имеет вид
= -_^9/4
РО 1 - t/т’ т “8 п^У4Л3/4
^av ' PGVG «
Время т можно рассматривать, как характерное время укрупнения капель
за счет инерционного механизма. Его удобно выразить не через объемное W,
а через массовое содержание жидкой фазы q = IVp;_:
< [/9/4 \
^[lRS. 5/4,3/J • (15.14)
\ PGVG d ' J
(15.9)
(15.10)
подсчете
дважды.
(15.11)
(15.12)
(15.13)
388
Для характерных значений q — 0,2 кг/м3, рс = 40 кг/м3, d = 0,25 м,
vG= 3 х 10“7м2/с, U = 0,4 м/с, Rav = 5 • 10“5 м имеем т ~ 3 с. В частности, увели-
чение радиуса капли в два раза происходит за время порядка 1,5 с.
Заметим, что при проведении расчетов не учтены такие факторы, как гид-
родинамическое сопротивление движению капель, а также силы молекулярного
взаимодействия. В дальнейшем будет показано, что правильный учет этих сил
заметно увеличивает характерное время коагуляции капель.
15.2. МЕХАНИЗМ ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ
Выясним, какие пульсации могут заставить сблизиться капли радиусами Rt
и R2. Рассмотрим два предельных случая R2 « Rt и R2~ Rt без учета сопро-
тивления окружающей среды. Очевидно, что в первом случае сблизиться капли
заставят пульсации масштаба А. - г - /?], а во втором — А. - г, где г — расстояние
между центрами рассматриваемых капель. Используя эти предельные соотно-
шения, а также условие симметрии A.(r, Rx, R2) = Х(г, R2, R,), получаем следую-
щую оценку для масштаба пульсаций, которые могут сблизить капли произ-
вольного радиуса:
А. - г - - R2 +
R\R2(R\ + r2)
R{' + R2 — R\R2
(15.15)
Поскольку коэффициент турбулентной диффузии без учета стесненности
движения капель [2]
Dt0=^-A.2 (15.16)
РсЦ
(А-о — внутренний масштаб турбулентности), подставляя выражение (15.15) в
(15.16), получаем
Dto
Pc d d RiR2(jq + r2)
—тт г - R,- R-,+ , ——-
рс^-о L +^2 - .
(15.17)
Частота столкновений капель радиусом R2 с каплей радиусом R, равна
диффузионному потоку Jt, определяемому из решения стационарного уравнения
диффузии, которое в сферически симметричном случае имеет вид
Г2 dr V Ut dr -
(15.18)
Граничными условиями являются условие мгновенного поглощения каплей
радиусом Rt капель радиусом R2 при их соприкосновении
п2 = 0 при r = Ry+R2 (15.19)
и условия постоянства концентрации капель радиусом R2 вдали от капли ра-
диусом R.
п2 = п20 при г->со. (15.20)
Решая задачу (15.18) — (15.20), получаем выражение для потока:
r~R\ +R2
р dr
J г!Щг)
+«2
(15.21)
389
Подставляя в (15.21) выражение (15.17) для коэффициента турбулентной
диффузии и учитывая, что A.0=d/Re3/4, получаем
/ \ 1 /2 / \ -1
. J из у 1 1 2 , R1+R2-a
r 2U \VG<iJ {Ri+R2-a + R2 a /?i+ R2
+ ^2 — R\R2CR\ +r2 )
где a = ——.
В частности, для капель одинакового размера {R^=R^)
f ГГЗ у/2
Jt = 96тш,0/1—7
(15.22)
(15.23)
Переходя в (15.22) от радиусов к объемам капель и учитывая, что ядро
кинетического уравнения коагуляции K(V, ю) равно диффузионному потоку
капель с единичной концентрацией, получаем
( гтз )
К(У, <в) = За2 —
k vGa;
V2/3 + ю2/3
(Усо)>/3(у1/3 + Ю1/3)
+
+ -1п
а
(Vco) V3
у2/3+ Q2/3— (ую)1/3
(15.24)
Оценим теперь скорость роста капель за счет механизма турбулентной
диффузии. Для простоты считаем, что капли одинакового размера. Тогда час-
тота столкновения определяется как
Р„
(15.25)
Поскольку W = Vn. уравнение баланса числа капель можно записать как
/ ч 1/2
^ = -p„ =-36IV7?py ; 7?(О) = 7?о- (15.26)
at \vGu/
Решение имеет вид
п = паехр
/ \1/2
-МУ 1
(15.27)
Соответственно радиус капель увеличивается со временем по закону
Ra„ = R°„ exp
/ \ 1/2
12W fel t
\^GdJ
(15.28)
Таким образом, характерное время увеличения среднего размера капель
ТнгЬ
121V
1/2
t
(15.29)
Сравним характерные времена укрупнения капель за счет инерционного
механизма и механизма турбулентной диффузии:
Д!2_~96^4-Не'3/4- (15.30)
Tturb Pl. R°v
Для газожидкостных смесей, характерных для природных газов, можно
принять pG/pL-0,05; d/R°v -105; Re~106. Тогда отношение времен имеет
390
порядок т1п/т1игЬ ~ 10. Это значит, что основным механизмом укрупнения ма-
леньких капель в турбулентном потоке является механизм турбулентной диф-
фузии.
Заметим, что при выводе формулы (15.29) не учитывались силы гидроди-
намического и молекулярного взаимодействия капель. Поэтому следует ожи-
дать, что характерное время укрупнения капель будет меньше действительного
времени.
Учет гидродинамического и молекулярного взаимодействий капель можно
сделать так же, как это было ранее сделано для эмульсий в разделе V. При
сближении капель под действием турбулентных пульсаций до расстояний, мень-
ших Хо, они испытывают значительное сопротивление окружающей среды, а
также силы молекулярного притяжения, которые и обеспечивают столкновение
и слияние капель. Если основным механизмом коагуляции капель является
механизм турбулентной диффузии, то коэффициент турбулентной диффузии
зависит от коэффициента гидродинамического сопротивления [см. (11.70), (11.72)
и (11.74)], а следовательно, и от относительного зазора между сближающимися
каплями
ог(г) = о(0я2(0,
^1^'2
(г -_______________+ R?)
(15.31)
где Dt0 — коэффициент турбулентной диффузии при нестесненном движении
капель, определяемый формулой (15.17). Напомним смысл коэффициента Н(t).
Пока капли находятся далеко друг от друга (г»7?1 + Т?2), можно считать, что
они движутся независимо (например, по закону Стокса), и коэффициент сопро-
тивления /г0 = 6л|1&К2, т. е. Н= 1. Когда капли сближаются, сила сопротивления
растет обратно пропорционально расстоянию между поверхностями капель, если
поверхность капель полностью заторможена и
Л = 6^<;7^Я(г)’
сила молекулярного взаимодействия (см. раздел V) приближенно равна
rR\Ri
FA = ТГЕ>—Р v -р—БЛГ > (15.32)
где Г — постоянная Гамакера, для аэрозолей Г=5 • 10 20 Дж.
Для капель, соизмеримых (7?( - Т?2) и сильно отличающихся по размерам
(/?,» R2), диффузионный поток с учетом гидродинамических и молекулярных
сил даются формулами (13.90) и (13.96), а соответствующие частоты коагуля-
ции — формулами (13.97) и (13.98). Оба предельных выражения, а также
значения частот коагуляции в промежуточной области размеров капель аппрок-
симируются следующим выражением [6]:
K(V, со) - 5,65 а(Уа>)1/4+6 (У2/3 + со2/3 - 1,6 (Ую)|/3), (15.33)
VG , З3/2 1/3 VG Г
где a~V2Sm b = г’(4/з)Ут = 27p(.;^;Zo» Г(х) - гамма-функция.
Укажем еще одну удачную аппроксимацию, которая была использована
при исследовании коагуляции капель в эмульсиях (см. раздел V):
/С(У,со) = G (У,/3со1/6 + со1/3У1/6), (15.34)
где G = (Г/ЗлроХ20),/2.
391
15.3. КОАЛЕСЦЕНЦИЯ ПОЛИДИСПЕРСНОГО АНСАМБЛЯ КАПЕЛЬ
Проведенные в разделе 15.2 оценки характерных времен укрупнения ка-
пель выполнены в простейшем случае монодисперсного распределения капель
без учета сил гидродинамического и молекулярного взаимодействий капель.
Рассмотрим теперь кинетику укрупнения полидисперсного ансамбля капель с
учетом этих сил.
Изменение со временем распределения капель по размерам n(V, t) в
предположении пространственной однородности распределения и с учетом только
коагуляции капель описывается кинетическим уравнением коагуляции, которое
следует из (15.1):
Jk (со, V - со) п (со, t)n(V - со, О - n(V, t) Jk(co, V) п (со, t)da. (15.35)
о о
Уравнение (15.35) представляет собой нелинейное интегродифференциаль-
ное уравнение, решение которого в случае ядра коагуляции вида (15.33) можно
получить численными или приближенными методами. Ограничимся прибли-
женным решением, поскольку оно позволяет получить относительно простое и
обозримое решение. В разделе V изложен основной приближенный метод ре-
шения кинетического уравнения — метод моментов, и отмечено существование
двух модификаций метода — параметрического метода и метода дробных мо-
ментов. В основе метода лежит сведение уравнения (15.35) к бесконечной
системе уравнений относительно моментов распределения mk:
тк = (V, t) dV; k = 0, 1, 2,... (15.36)
о
Первые два момента имеют простой физический смысл: т0 — численная
концентрация капель, mt — объемная концентрация капель:
т0 = Jn (V, t) dV = N(t); mx = jVn (V, t) dV = W(t). (15.37)
о о
Заметим, что средний объем капель
= (15.38)
Кроме целых моментов (k — целое число) возможны дробные моменты,
соответствующие нецелым значениям k. Из дробных моментов физический
смысл имеют ш1/3 и ш2/3, характеризующие средний радиус и среднюю поверх-
ность капель в единице объема смеси (межфазную поверхность):
»ii/3 = Jvi/3n <У, t) dV = (укл;
О ' '
7 / 1 \1/3
т2/3 = jV2/3n (У, t) dV = (зёуI Sm. (15.39)
О
Иногда вместо распределения капель по объемам n(V, t) удобно пользо-
ваться распределением капель по радиусам n(R, t) [таким распределением
является (14.1)]. Связь этих двух распределений можно найти, воспользовав-
392
шись тем, что n(V, t)dV = n(R, t)dR имеет смысл числа капель с объемом или
радиусом соответственно в интервале (V, V + dV) или (R, R + dR). Тогда
n(R, O=(36n)‘/3V2/3„(v t) или „(у 0 = О- (15.40)
Умножим обе части уравнения (15.35) на V' и проинтегрируем по V от
0 до оо. Используя симметричность ядра КХИ,со) = К(а, V), получаем следую-
щие уравнения относительно моментов т,:
- V' I n (co, t)n(V, t) dadV; i = 0,1, 2,... (15.41)
о о
Для замыкания системы уравнений (15.41) необходимо правые части
выразить через моменты. Для этого ядро должно иметь специальный вид (на-
пример, вид однородного многочлена степеней V и со) или нужно принять
допущение о принадлежности распределения к определенному классу (напри-
мер, логарифмически нормальному или гамма-распределению). Первый метод
называется методом дробных моментов, а второй — параметрическим методом.
Примем, что распределение капель по размеру принадлежит к классу гам-
ма-распределений
(15.42)
(15.43)
= e-v/v°-
Vq rtl \ r()/
Здесь Уо и k — параметры распределения, связанные со средним объемом Vm
и дисперсией о2 соотношениями
Ко ft + 1 ’ ° ft + 1 •
Основное предположение в параметрическом методе состоит в том, что
распределение с течением времени остается в классе гамма-распределений, но
у него со временем изменяется параметр Уо. Заметим, что учет только коагу-
ляции капель приводит к постоянству объемной концентрации W, т. е. тп,.
Ограничившись двухмоментным приближением, получим систему уравнений
(11.30) относительно n(V, t), Vo и численной концентрации капель N. Под-
ставляя в эти уравнения выражения (15.42), (15.33) и исключая Уо, получаем
обыкновенное дифференциальное уравнение для определения N(t):
й/1/2 . ho w2/3
ikl NV2(k + 1)1/2 + №/3(k +1)2/3 ’
dN _ N2
dt 2 (ft 1)2
(15.44a)
где = 5,65 Г2(/г + 5/4); ОА2 = 2Г(/г + 5/3) Г(/г + 1) - 1,6Г2(/е + 4/3).
Значения и Clk2 для различных значений k приведены ниже.
2
36,69
3,70
1
7,25
0,74
объем
3
387,49
39,38
О
4,64
0,53
Поскольку нас интересует средний
(15.44) от N к Vav = W/N и учитывая, что W = const, получим вместо (15.44)
следующее уравнение для Vav:
капель,
переходя в уравнение
т/1/2 V1/2
dVgy = W
dt 201)2
решение которого с начальным условием VeD(0) = имеет вид
(ft+ 1)2/3 ’
(15.44)
k
Фн
393
t _ и2 - u% C(u2 - Uq) c2 j ( C + Bu
6 2B В2 + В2’ 1П V CBuQ y
(15.45)
Здесь введены следующие обозначения:
bwok2
aWClkt
_ TT-t/e. , _/тлп)1/6. P _ •'••"Ri _
u - Vau ; Wo-HeJ ; a ~ 2(k')2(k+ V2/3' c - 2(A!)2(A + l)i/2 ’
При турбулентной коагуляции основной вклад в диффузионный поток или
в частоту коагуляции дают капли соизмеримых размеров (это было показано
в разделе V для коагуляции капель в эмульсии). Тогда второе слагаемое в
правой части (15.44а) мало по сравнению с первым. Пренебрегая им, получаем
решение в явном виде:
Уаа _ Г _t_Y = 4(fe!y(fe+l)i/2(va°J/2
Va° I + тJ ’ Т’ aWQkt
(15.46)
Так же, как и раньше, будем рассматривать т, как характерное время
коагуляции полидисперсного ансамбля капель, обусловленной механизмом тур-
булентной диффузии с учетом сил гидродинамического и молекулярного взаи-
модействий. Оценим это время. Для характерных значений потока pG= 40 кг/м2,
Х.о = 5 • 10"6 м, pG= 1,2 • 10s Па • с, W= 2 • 10“4 м3/м3 и параметров распределения
RaV = Ю'5 м, £ = 3 имеем 1/^ = 0,257. При этом увеличение радиуса капель
в 2 раза происходит за время t ~ 7 с. Это время почти на два порядка больше,
чем для монодисперсного распределения без учета гидродинамических и моле-
кулярных сил. Такая большая разница характерных времен обусловлена, ко-
нечно, не учетом полидисперсности распределения, поскольку и метод моментов
и сделанное упрощение при определении решения уравнения (15.44а) нивели-
рует полидисперсность, а учетом сил взаимодействия.
Рассмотрим теперь коагуляцию, обусловленную инерционным механизмом.
В этом случае учет молекулярных и гидродинамических сил приводит к сле-
дующей частоте коагуляции [7]:
(15.47)
где у = Г/6лцо.
Заметим, что формула (15.47) справедлива для капель, значительно разли-
чающихся по размерам. Для инерционного механизма коагуляции именно этот
случай представляет наибольший интерес, поскольку для капель соизмеримых
размеров основной механизм коагуляции — турбулентная диффузия.
Поступая так же, как в рассмотренном выше случае, получаем следующее
уравнение, описывающее изменение со временем среднего объема капель:
^- = ^AkW- Л =[Г(fe + 5/3)Г(£ + 1/3) +Г2(£ + 1)]. (15.48)
Из этого уравнения следует, что средний объем капель растет по линей-
ному закону
( t v®
Vav=V*v 1 + -; *2=7^7- (15.49)
Конечно, линейный закон роста капель соответствует только начальному
этапу коагуляции.
394
Оценим характерное время т2 укрупнения капель за счет инерционного
механизма. Для значений fe = 3; W=2‘ 10"4 м3/м3; Г = 5* 10“20 Дж;
pG = 1,2 • 10‘5 Па • с; Rm = 10~6 м имеем А3 = 2,28 и 1/т2 = 0,34. Радиус капель
увеличивается в 2 раза за время 20 с.
Таким образом, и в рассматриваемом случае основным механизмом коагу-
ляции капель является механизм турбулентной диффузии.
Рассмотрим теперь класс логарифмически нормальных распределений. Пусть
распределение капель по объемам имеет вид
• N f _
’ Зл/2тгУ1па 18In2 a )
(15.50)
Введем моменты распределения (15.50):
60
!' = з^М1',Чехр
1п2(У/У0)
18 In2 a
dV.
(15.51)
Воспользуемся аппроксимацией (15.34) для частоты коагуляции и подста-
вим ее в (15.41). Полагая далее i = 1, 2, 3, получаем следующую систему урав-
нений для первых трех моментов: т0, и т2:
dmo dm,
~dT ~ ~GmV3mvs>
(15.52)
dm2 1 1
---GI ~ ml3/5m\/6 + w21O/3W27/6 + ml/3m\3/6 ~ ~ m2S/Sm\/3mW/&mi/3
В правые части полученной системы уравнений входят дробные моменты.
Поэтому для замыкания системы уравнений их нужно выразить через целые
моменты. Для этого воспользуемся свойством [8] интегралов вида (15.51),
которое позволяет выразить тк через и параметры Vo и о распределения
(15.50):
тк = дгУо*'1 ехр|_|(^2 - Din2 oj. (15.53)
Выражая с помощью (15.53) дробные моменты через целые и подставляя
в (15.52), получаем
dmn Gm} ( 67 , , ) dm, n
-уг- = -—г?? exP - vln ст; -zrr = °;
dt y03/2 < 8 J dt
dm2 „ 2тл5/2Г 1 f605. 'I f 377.
= GmfV0 - exp I — In2 о I + exp I — In2 о I +
<293 , , 'I 1 <557 , , 'I <297 , , 'I
+ exp In2 о - — exp —- In2 a + exp In2 a
\ о J 2 \ о J \ о J
Учитывая, что
m0 = у- exp f- In2 m2 = Vo exp Cy- In2 oY
(15.54)
(15.55)
получаем замкнутую систему уравнений относительно Vo и а, определив кото-
рые, найдем средний объем капель
= VQ(t) exp [l,51n2o (f)]. (15.56)
395
Система уравнений (15.54) соответствует трехмоментному приближению.
Учет следующих моментов нетрудно сделать, но это приводит к усложнению
системы уравнений. Для проведения оценки скорости укрупнения капель мож-
но воспользоваться двухмоментным приближением. В нашем случае это соот-
ветствует предположению, что дисперсия не изменяется, а изменяется только Уо.
Тогда оставляя в системе уравнений (15.54) только первые два уравнения,
получаем
2
К, (О =
GWt 41, ,
—X-----exp - -z-ln2 о
2(V>/2 ‘Л 8
(15.57)
N(t) = N(0)expf - у In2 о
z x"l2
GWt ( 41,-1
---7--exp - In2 a
2(0/2 4 8 )
(15.58)
Из (15.57) следует, что характерное время коагуляции оценивается как
2(О/2
GW
т
(15.59)
Отметим одно характерное свойство. Через достаточно большое время
Vm(t) ~
G2lV2t2
4
(15.60)
Это означает, что когда капли достаточно укрупнились, они «забывают»
свой начальный объем.
Если данных о виде распределения капель по объемам нет, то нужно
использовать метод аппроксимации дробных моментов (см. раздел V). Приме-
ним этот метод для коагуляции капель с частотой коагуляции (15.34). Огра-
ничившись первыми двумя моментами т0 и т}, получим
^ = -Gm1/3ml/6; -^- = 0; (15.61)
то(О) = No; = W = const.
Аппроксимируем дробные моменты через целые в соответствии с (11.20)
по двухточечной схеме:
m1/3(t) _ mjj/3(t) m'/3(t) _ mjj/3(t) .
пг1/з(0) znjj/3(O) m,/3(0) n^/3(0) ’
nJi/e(t) _ mo/s(t) ml/6(t) _ mg/6(t) (15.62)
mi/6(0) " mo5/6(O) m1/6(0) “ mj>/6(0)'
Здесь учтено, что в процессе коагуляции остается постоянной. Подстав-
ляя (15.62) в (15.61), получаем
, г л3/2
^ = -Gm1/3(0)m1/6(0) . (15.63)
а с [_ niQ и/
Решение имеет вид
m0(t) = mo(O)(j + т) ; т = •^[/по(О) ^”1(0)] 7 (15.64)
Соответственно средний объем капель изменяется со временем по закону
396
( Л2
vav(t) = veo(0)(l + |l .
Для относительно больших времен имеем
ЗярсДо
(15.65)
(15.66)
16
ОБРАЗОВАНИЕ ЖИДКОЙ ФАЗЫ В УСТРОЙСТВАХ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ КОНДЕНСАЦИИ
При движении двухфазной многокомпонентной смеси в трубе в условиях
медленного изменения давления и температуры в ней успевает установиться
термодинамическое равновесие. Равновесные значения концентраций компонен-
тов в каждой фазе и объемные доли фаз можно определить, используя урав-
нения парожидкостного равновесия (см. раздел 5.7). В установках комплекс-
ной подготовки газа после первой ступени сепарации, в которой от газа отде-
ляется основная масса капельной жидкости, газ поступает на вторую ступень
сепарации. В схеме низкотемпературной сепарации (НТС) перед второй ступе-
нью сепарации размещают устройства предварительной конденсации (дроссель,
теплообменник, турбодетандер). В результате резкого снижения давления и
температуры при прохождении через эти устройства в смеси нарушается термо-
динамическое равновесие, приводящее к интенсивному образованию жидкой
фазы и межфазному массообмену на поверхности капель до тех пор, пока не
установится фазовое равновесие, но уже при других значениях давления, тем-
пературы и составов фаз. В данном разделе изложены методы, позволяющие
определить скорость конденсационного роста капель и количество жидкой фазы,
образующейся в устройствах предварительной конденсации в условиях нерав-
новесности.
16.1. КОНДЕНСАЦИОННЫЙ РОСТ КАПЕЛЬ
В ПОКОЯЩЕЙСЯ ГАЗОЖИДКОСТНОЙ СМЕСИ
Рассмотрим газовую смесь, состоящую из двух компонентов с молярными
долями у}0 и 1/2о ПРИ давлении рх и температуре Т\. В некоторый момент
времени, который мы будем считать начальным, давление и температура резко
изменяются и становятся равными р2 и Т2, которые затем остаются постоянны-
ми. При этом в системе нарушится термодинамическое равновесие, которое
существовало при р, и Т\, и при определенных значениях р2 и Т2 в смеси за
счет процесса гомогенной конденсации возникают капли жидкой фазы со сред-
ним радиусом 7?0 = 7?лис1. С течением времени образовавшиеся капли растут до
тех пор, пока в системе не установится равновесие, соответствующеее значениям
р2 и Т2.
Предположим, что образовавшиеся капли состоят только из компонента 1
397
и в процессе дальнейшего конденсационного роста капли на поверхности кон-
денсируется только компонент 1, т. е. компонент 2 является нейтральным и в
процессе массообмена между фазами не участвует. Ограничимся случаем поко-
ящейся среды. Тогда основным механизмом доставки компонента 1 к поверх-
ности капли является диффузия. Кроме того, принимаем, что на межфазной
поверхности имеет место термодинамическое равновесие, поскольку оно уста-
навливается намного быстрее, чем равновесие в объеме. Характерные времена
диффузионных процессов в газовой фазе обычно намного меньше, чем в жид-
кой фазе, поскольку отношение коэффициентов диффузии Dic/DiL » 1. Поэто-
му можно рассмотреть квазистационарную задачу, полагая, что распределение
концентраций компонентов в газовой фазе носит стационарный характер. Это
означает, что молярные концентрации в газе у{ зависят только от расстояния до
центра капли, в то время как параметры капли (масса и радиус капли) зависят
от времени. Задача о динамике капли в газе в подобной постановке была
рассмотрена в разделе 6.9.
Поток г-го компонента в газовой фазе следующим образом выражается
через молярные доли компонент г/;:
Ji=-CcDi2G^r + yiJ (г = 1, 2), (16.1)
где J = 22 Ji —суммарный поток, г — расстояние от центра капли, CG — мольная
i
плотность газа (моль/м3).
Из условия сохранения потоков
(16.2)
следует, что
Л=/Л (16.3)
Г2 г2
где R(t) — текущий радиус капли: индексом w обозначены соответствующие
значения на поверхности капли.
Подставляя (16.3) в (16.1), получаем уравнения, описывающие изменения
со временем концентрации компонент в газе:
CCD12C - ytJw = -Jm. (16.4)
Зададим значения концентраций на поверхности капли:
y, = yiw при r = R. (16.5)
Поскольку на межфазной поверхности существует локальное термодина-
мическое равновесие, то значение yiw определяется из соответствующих равно-
весных соотношений. Простейшим является выражение, справедливое для иде-
альной газовой смеси:
где psat(.T2) — давление насыщения пара 1-го компонента над поверхностью
жидкости при температуре Т2. Температура принимается постоянной.
Если объемная концентрация капель мала (W« 1), то в первом прибли-
жении влиянием соседних капель (стесненностью) можно пренебречь и рас-
сматривать изолированную каплю, окруженную бесконечным объемом газа. Тогда
398
вторым граничным условием будет условие постоянства концентрации вдали от
капли:
У.->*6» при г-* со.
(16.7)
Значения ут считаются заданными.
Условие (16.7) позволяет записать решение уравнения (16.4) в виде
Jiw ( Jiw | [ R^ J।
у' = 7Г + И1” " expl“ cGDt2Gr}
(16.8)
Воспользовавшись условием (16.5), найдем
j j У»о ^Хр( RJw/CGDl2G) (16 9)
1 - ex.p(-RJw/CGDt2G)
Из условия нейтральности компонента 2 следует, что /2и, = 0- Тогда из
(16.9) найдем
(16,10)
К у i - г/1ю )
Входящие сюда радиус капли R и молярная концентрация ут вдали от
капли зависят от времени. Уравнение баланса объема капли
= -4itR2viLJtw, (16.11)
где vlL — молярный объем 1-го компонента, служит для определения радиуса
капли.
Поскольку J,w = Jw, то, подставляя (16.10) в (16.11), получаем
/ Ч1/3 /. \
dV л I 3V ГЛ 1 I 1 ~ I Z1C1OX
dt P,lCcD,2C 41-yiJ’ (16.12)
Получим теперь уравнение для y^tt). Пусть капли характеризуются рас-
пределением по объемам n(V, t). Если рассматривается изменение распределе-
ния только за счет конденсационного раста капель, то из кинетического урав-
нения (15.1) следует, что
> + = (16ЛЗ)
at 8V \ dt J
Счетная и объемная концентрации капель определяются формулами
N= Jn(V,OdV; IV = “jvn(V, t)dV, (16.14)
о о
причем в рассматриваемом случае N = const.
Рассматривая теперь баланс массы 1-го компонента, нетрудно получить
уравнение, описывающее изменение со временем у100:
^ = ^R4wn(V,t)dV. (16.15)
ut Un "
О
Подставив сюда выражение (16.10) для Jw, получим
/ \ 1/3 /. \»
J£t = 4JJL D12C !п \ [v'/3n(V,t)dV. (16.16)
Gt \47С J у. 1 J *
399
Таким образом, уравнения (16.12), (16.13) и (16.16) образуют замкнутую
систему для определения V(0, п (V, t) и г/1оо. Их следует решать при началь-
ных условиях
п(V, t) = n0(V), V(0) = Vo, ?ta(0) = yw. (16.17)
Решаем полученную систему методом моментов. Введем моменты г-го
порядка
mt = ^V'n(V,t)dV (г = 0,1,2,...). (16.18)
о
Напомним, что г?г0 = ЛГ, а т\ = W.
Умножая (16.13) на V*, интегрируя по V от 0 до со и ограничиваясь двумя
первыми моментами, получаем после несложных преобразований
^2- = 0; ^- = l^-n(V,t)dV. (16.19)
at dt j dt
о
Воспользовавшись (16.12), найдем
= v}LDx2gCg ln^ _ J ш1/3. (16.20)
Введение моментов позволяет переписать уравнение (16.16) в виде
“rfr = 4Klj^J D,2g Ki-jU7”173- (16.21)
Уравнение для радиуса капли следует из (16.12):
dR -Cgdi2g^il . | ч
Tt =-----R----m’/3- (16.22)
Уравнения (16.20) — (16.22) могут быть решены в случае предельно раз-
бавленных смесей, когда либо первый компонент, либо второй присутствует в
смеси газа в небольшом количестве. Наибольший интерес представляет случай
малого содержания первого, т. е. конденсирующегося компонента. Для процес-
сов, происходящих в дросселе, теплообменнике или турбо детандере, конденсиру-
ются пары воды или тяжелые углеводороды. В природном газе эти компоненты,
как правило, содержатся в небольшом количестве, поэтому приближение пре-
дельно разбавленной смеси оправдано.
Сделанное предположение позволяет считать у,ю « 1 и г/,„ « 1. Тогда
lnl'L«°° ~ ~ = “д^1 (16.23)
у* У\и>)
и система уравнений примет вид
dm f 3 у/3
—jp = 4л|^—J VilD\2gCg т\/з^Уъ (16.24)
= Д2с ш1/3Д^, (16.25)
= (16.26)
400
В правые части уравнений (16.24) и (16.25) входят дробные моменты
пг1/3, которые выразим через целые, используя интерполяционные формулы
(11.20) для схемы двухточечной интерполяции:
йг1/3(О = гйо/3йг11/3(0. (16.27)
Здесь введены безразмерные моменты пг, = тДО/тДО). Поскольку нуле-
вой момент представляет собой численную концентрацию капель, то m0{t) = 1,
поэтому
пг1/3(О = пг,1/3(О. (16.28)
Последнее соотношение позволяет преобразовать уравнение (16.24) к виду
dm\ _ Ayi _1/3
dt ’
(16.29)
где T = 3t?iLCGD12G АУ1(0)^//?2(0).
Выразив из (16.25) Лу, через пг( и подставив в (16.29), получим уравнение
= (а - Ьт^тУ3; ^(0) = !;
6 - t|1Coi!/1ra,
(16.30)
решение которого находится в неявном виде:
А.з-1
+ л/3 arctg
2m1l//3+ X
хТз
х 2+ хЛ
~arctsTjsJ •
(16.31)
где X = (а/Ь)1/3.
Выражение (16.31) позволяет определить изменение со временем объем-
ного содержания капель m^t). При т->оо система стремится к равновесному
состоянию. При этом Ду,-> 0 и из соотношения, которое вытекает из уравнений
(16.24) и (16.25),
mSt) + u1LCGAy1 = тх(0) + u1LCGAy,(0) (16.32)
следует, что т/т)—>Х3. В частности, определив тщ и использовав условие
постоянства численной концентрации капель, можно найти средний объем ка-
пель:
Гав(О = Кв(0)й1(т), (16.33)
где VaB(0) — начальный средний объем капель.
Поскольку равновесие в системе наступает при т->оо, то для оценки ха-
рактерного времени установления равновесия определим его как время, через
которое объемное содержание капель будет отличаться от соответствую-
щего равновесного значения mleq = X3 на 10%. На рис 16.1 представлено изме-
нение безразмерного параметра, характеризующего средний радиус капель
z = [ VaB/VaB(0)]1/3 со временем т для различных значений параметра X. Для
удобства по оси ординат отложена z = (z - 1)/(Х - 1). Зависимость характерно-
го времени установления равновесия в системе req от X показана на рис. 16.2.
26 - 1461 401
Полученное выше решение справедливо при малых значениях объемного
содержания жидкой фазы. Среднее расстояние между каплями пропорциональ-
но поэтому с ростом те, среднее расстояние между каплями уменьшается,
что приводит к необходимости учитывать влияние капель друг на друга, т. е.
учитывать стесненность. При этом граничное условие в толще газа нужно
формулировать, исходя из ячеичной модели (см. раздел 10.7)
у{ = у^ при R = RC, (16.34)
где Rc = R(t)/rn/3(t) — радиус ячейки, равный среднему расстоянию между
каплями.
Возвращаясь к уравнению (16.4) и используя это граничное условие,
получаем
_ Jiw (У1оо - yia,)exp(-7?2Ja,/CGD12Gr)
Jw exp(-7?2Ja,/CGD12G7?c) - exp(-RJw/CcDi2G)’
Jiw У\ю exp (—7?2Jw/CGPj2G-^cl — y\<n(~RJw/^G^12cl . .
Jw ~ exp(-R2Jw/CGDl2GRc)-exp(.-RJw/CGDl2G) ’ (16.35)
Полагая в (16.35) J2w = 0, найдем
<1636)
В приближении предельно разбавленной смеси имеем
= CGB12G (1
R(l-R/Rc)
Уравнения для Аг/! и т{ примут вид
-^- = 4я^—vlLDl2GCG Az/i(l - т/ ) (16.38)
= -4zt(j^ D12g »*1/зДг/1(1 - ml/3)-). (16.39)
Выражая дробный момент тп1/3 через целые т0 и тп1; найдем
dm\ (a-bm^m/3
= OT1(0) = 1’
(16.40)
402
откуда
А.3-!
А
U,5 In. 7-----------
/-2/3 < ~1/3
\т\ +лгп1
( „_1/3 9 '
г~ 2.Ш\ + Л. 2+ Л,
+ ''31агс‘8~йГ-агс‘8й5
+ (А.3 - l)7n,(0)ln[ 1 - ——7], (16.41)
\ 1+07
где А. =(1 +п11СоАу1(0)/тп1(0)),/3, b = (А.3 - 1)-’.
Сравним выражения (16.31) и (16.41), соответствующие нестесненному и
стесненному случаям. Видно, что для одних и тех же значений параметров
значение т, определенное из (16.41), меньше значения т, определенного из (16.31).
Следовательно, учет стесненности приводит к более быстрому установлению
равновесия в системе.
Рассмотрим теперь случай, когда в результате изменения давления и тем-
пературы происходит гомогенная конденсация в объеме. Обозначим через I
скорость образования зародышей новой фазы (число капель, образующихся в
единице объема в единицу времени). Объем зарождающихся капель Vnucl при-
нимается постоянным. Тогда в уравнении (16.13) в правой части появится член,
характеризующий интенсивность зарождения жидкой фазы:
В рассматриваемом случае система уравнений для первых двух моментов
принимает вид
(16.42)
dmp
dt
dmx f dV „Т
dt — Jn dt +
0
Из первого уравнения находим
(16.43)
т0 = то(О) + J Idt,
о
а второе уравнение преобразуется к виду
dm ( з Y/3
dt — ~7~ I V,,D,2GCG т\/3&У\ + /Vnucl-
(16.44)
(16.45)
Й21/3
-i/з .
= т/ 1 +
(16.46)
Уравнение для Ьу-, не изменится [см. (16.26)]. Выражая дробный момент
т1/3 через целые тй и т., и воспользовавшись выражением (16.44), получаем
г I2/3
mo(O) J
В отличие от рассмотренного ранее случая, здесь следует учесть зависи-
мость у]а от времени, так как согласно соотношению (16 6) изменяются при
расширении газа plsat и р. Тогда будет изменяться также и CG, и уравнение
(16 25) изменится1
4(АУ1С0) ( з¥/3 _ д 4(У1ИСО)
dt + Д 26 Q1 ОТ1/3^1/1 + dt - JKuclCt- (16.47)
Вводя безразмерные переменные
261
403
л ~ л _ _£°_
Д^’ “ ДУ1(О); ~ С° “ Сс0 ’
= 3CG0P12Gt ~ = ZVnuc|CM2(0)
7?2(0)С£ * 3CG0 D,2g (Aj/t (0) Н
получим вместо (16.47)
d(Ay,CG) _ _
+ U1£-D12gCG0 ДуДО) + Со^/зДу, +
+ vfLDi2GCG0 = I. (16.48)
Уравнение для первого момента преобразуется к виду
- т/3т0/3 = 1(л). (16.49)
Из последних двух уравнений следует, что
+ vXLCG0CG Ду,(0)Ду,) + vXLCG0^yi(0)-^(cGyx) = I (16.50)
или
тхт^) + и^СОйС^у^^^ + viLCGaCGyJfi)yXw =
= m1(0) + u1£CG0Ay1(0) + u1£CG0yto(0) + рей. (16.51)
о
Выразив Ду, из (16.51) и подставив в (16.49), получим уравнение для
определения объемного содержания жидкой фазы
dm,
dt
t "I2-73
1 ч---J— [idt (a - bin.)m\73 = I,
(16.52)
, mo(O) , У1«(0)-у1ю(т) /лчГ? j
ГДе °-b+ A„«,> ^..Co.Ay,(0)J>A.
Таким образом, уравнение (16.52) описывает изменение со временем объем-
ного содержания жидкой фазы в процессе гомогенной конденсации капель
одинакового объема Vnucl с интенсивностью I при заданном изменении давления
и температуры.
Если зарождение жидкой фазы отсутствует, то изменение давления и тем-
пературы приводит к изменению объемной концентрации уже имеющейся жид-
кой фазы. При этом в (16.52) следует положить 7 = 0 и оно сводится к
= (а - Ьт.)т</3; т<(0) = 1, (16.53)
ат
где b------"1(0)z . ; д = Ь + ^(0)7Г(т)-
z'tz.CooAyiCO) Ay,(0)
В дальнейшем нам понадобится выражение (16.31), однако пользоваться
им неудобно. Как показывают расчеты, хорошую аппроксимацию в интервале
1 < X < 7 дает следующее выражение:
z =|7 = 1-ехР<-ат); а = ^|-0,026. (16.54)
Л. — 1 Л — 1
404
16.2. КОНДЕНСАЦИОННЫЙ РОСТ КАПЕЛЬ
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ ГАЗОЖИДКОСТНОЙ СМЕСИ
Результаты, полученные в разделе 16.1, применимы к смеси, находящей-
ся в состоянии покоя или слабого перемешивания. В действительности, по-
ток газа со взвешенными в нем каплями конденсата в элементах промыс-
лового оборудования, особенно в трубопроводах, характеризуется интенсивной
турбулентностью, приводящей к сильному перемешиванию смеси и выравни-
ванию концентраций компонентов в газовой фазе. Характерные значения па-
раметров потока газа в трубопроводе следующие: [7-10-50 м/с, d~0,2 м,
ро~50 кг/м3, цс~ 10“5 Па-с. Соответствующее этим параметрам число Рей-
нольдса Re - 107 ч- 2,5 • 108, а внутренний масштаб турбулентности X - (0,1 4- 5,6) х
х 10~6 м = 0,14-5,6 мкм.
Движение газа в элементах оборудования большего размера, например в сепа-
раторах, характеризуется следующими скоростями и диаметрами: [7-0,14-1 м/с,
d - 1 4- 2 м. При этом Re ~ 5 • 105 4- 107 и Хо - (5,6 4- 53) • 10“6 м = 5,6 4- 53 мкм.
Внутренний масштаб турбулентности Хо определяет характер гидродина-
мических и массообменных процессов в областях, размер которых больше или
меньше Хо. Поскольку нас интересуют эти процессы в окрестности капель, то
размер этих областей соизмерим с размерами капель. Пусть Rav — средний
радиус рассматриваемого ансамбля капель. Тогда характер процессов зависит
от отношения 7?а„/Х0.
Рассмотрим массообмен капли радиуса R, взвешенной в турбулентном потоке
газа. В начальный момент задан компонентный состав капли в виде массовых
концентраций p,0L (кг/м3), а также компонентный состав газа — p,0G, где г = 1,
2,..., s; s — число компонентов. Сделаем ряд упрощающих предположений.
1. На поверхности капли термодинамическое равновесие устанавливается
намного быстрее, чем в объеме газа. Тогда на межфазной поверхности суще-
ствует локальное термодинамическое равновесие, что позволяет найти равновес-
ные значения концентраций компонентов в обеих фазах, используя уравнения
парожидкостного равновесия (см. раздел 5.7).
2. Основным механизмом доставки компонентов к межфазной поверхнос-
ти в газовой фазе является перенос турбулентными пульсациями, характеризу-
емыми масштабом X. Величина потока компонентов J, к капле (или от нее)
зависит от отношения 7?ав/Х0 и равна [2]
/ \1/з
Л2/3 pi
(PG J
тг2с/3/4
vS7^rfl/4 ДР-
при R « Хо;
(16.55)
,_f >,/3
4л^2| — |
\PG )
URi/3
d"3
Др,
при R » Хо,
где DimG — коэффициент бинарной диффузии г-го компонента в газе, pL и pG —
плотности газа и жидкости, [7 — средняя скорость потока, vG — кинематическая
вязкость газа, Др,= piG~ piGw — разность массовых концентраций г-го компонен-
та в газовой фазе в толще потока и на межфазной поверхности.
Два выражения для коэффициента диффузии компонента в турбулентном
потоке свидетельствуют о различных механизмах его доставки к поверхности
капли. В частности, при R» Хо доминирует не молекулярная, а турбулентная
диффузия.
405
3. Основное изменение концентраций p;G происходит в тонком слое возле
поверхности капли. Вне этого слоя (в толще потока) концентрация piG одно-
родна и изменяется только со временем.
4. Распределение компонентов в жидкой фазе (в капле) однородно и
изменяется только со временем.
По истечении определенного времени назовем его характерным време-
нем установления равновесия в смеси, процесс массообмена практически пре-
кратится, т. е. piG почти сравняется с piGte.
Введем в рассмотрение распределение капель по объемам n(V, t). Тогда
баланс массы г-го компонента в единице объема смеси в газовой фазе можно
записать в виде
^ = -[j n(V,t)dV. (16.56)
at J
О
К этому уравнению добавим уравнение баланса массы капли
= (16.57)
и уравнение, описывающее изменение n(V, t) с учетом изменения объема
капель только за счет конденсационного массообмена
д» _L. ди gv п
at sv I/ at )
Поскольку р/. = ^p,£, то вместо (16.57) имеем
(16.58)
(16.59)
Под piL понимается средняя по объему капли концентрация г-го компонен-
та. Тогда из условия баланса массы г-го компонента в капле
} = j. (16.60)
можно найти изменение piL со временем.
Таким образом, определив р,Ск, и задав начальные концентрации компонент
в газовой p;G и жидкой piL фазах, а также начальные объем Уо и распределение
по объемам n0(V) из уравнений (16.56), (16.58) — (16.60), с учетом выражения
(16.55) можно найти состояние смеси в любой момент времени, а также харак-
терное время установления равновесия.
Однако, прежде чем переходить к решению поставленной задачи, следует
выяснить, каким из двух выражений (16.55) для J, следует пользоваться. Для
этого нужно оценить средний радиус капель.
Распределение капель формируется в интенсивном турбулентном потоке в
трубопроводе со средним радиусом
Ran = 0,09 d
, (iv V/2~l6/7/ \1/7
1 I 22 j [ PG |
V/pL</J IprJ
(16.61)
Оценим возможные значения Rav. Если рассматривается движение газожид-
костной смеси в трубопроводе, то d~0,2- 1 м, pL ~ 750 кг/м3, pG~50 кг/м3,
S-5 • 10’3 Н/м, С/- 10-50 м/с и Ляо-(10-100) • 10 6м = 10- 100 мкм. Срав-
406
нение с найденными ранее значениями показывает, что в трубопроводе < R„„.
Для процесса в сепараторе имеем d ~ 1 -2 м, U ~ 0,1 - 1 м/с, и оценка среднего
радиуса капель показывает, что в сепараторе возможны случаи как Хо < Rav, так
и k0> Rav.
Рассмотрим случай /<Ra„. Тогда из (16.55) следует, что
J, = 5,04т/ • (16.62)
\PgJ dV3
В простейшем случае монодисперсной смеси уравнения (16.56), (16.58) —
(16.60) сводятся к
rfp.G _ 3W0Jf
dt 4nRg ’
\1=1 J 1=1
<КрН.Ю _ 7
dt
(16.63)
(16.64)
(16.65)
Подставляя в первые два уравнения выражение (16.62) и считая в первом
приближении pL = const, получаем
^^ = -£’Ар/—Y^. (16.66)
dt \Vo J
= д (16.67)
dt Pz,W0<VbJ %
где E = 5,047t(3/4n)7^(pL/pc),/3W0C//V02^d^.
Просуммировав первое уравнение по i, сложив со вторым и проинтегри-
ровав, получим
V i = V + w -Wo~. (16.68)
Ъ У°
Подставим теперь (16.68) в уравнение (16.67). В итоге получим
г/Го
#= (------7------------------<• (16.69)
Wo J (_ 1
о z?/9 2>p,(0)/pL+ Wo - Woz
Интеграл в (16.69) не берется в квадратурах, поэтому поступим следую-
щим образом. Из (16.63) — (16.65) следует, что характерное время изменения
объема капли V больше характерного времени изменения концентрации компо-
нент р1С в газовой фазе. Это означает, что при рассмотрении изменения со
временем р;с значение R можно считать постоянным, положив его равным Ro.
Тогда из (16.66) находим
PiG = PiGO + (PiGO _ р.ои)е-лг, (16.70)
где А = 3,78 (p/pG/3UW/R/3dt/3.
Поскольку средний радиус капель формируется в трубопроводе, то в ка-
честве Ro в формуле (16.70) следует взять Ra,„ определяемый выражением
(16.61). Значение параметра А зависит от того, где рассматривается процесс
407
массообмена капель — в трубопроводе или в сепараторе. В первом случае под
d следует понимать диаметр трубопровода и
Л " ЛР‘₽е ,5/7у2/7 3/7 ’ UD./1?
« PG
Если процесс происходит в сепараторе, то
=Р ~ d8/2iY2/7p3/7D^
(16.72)
Здесь Us = Utd/Dy1 — средняя скорость потока в сепараторе, D — диа-
метр сепаратора.
Рассмотрим сначала процесс в трубопроводе. Поскольку показатель экс-
поненты в (16.70) не зависит от свойств компонентов, то характерное время
установления равновесия одинаково для всех компонентов teq ~ Ар,ре. Время
установления равновесия в системе примем как время, за которое отклонение
от равновесия составит 1%, т. е. I piG - p1Gw I = 0,01iGa,. В итоге получим
^ieq
= 0,07^g^
In
100 -Ei£®--1
I PiGw
(16.73)
Определенное таким образом время установления равновесия для компо-
нентов газа будет различным.
Из (16.73) следует, что увеличение скорости потока и уменьшение диамет-
ра трубы приводит к снижению времени установления равновесия. Расстояние,
на котором устанавливается равновесие,
( V? 3 Л1/7
In
,еч
100 -^-1
I PiGw
(16.74)
Для характерных для трубопровода значений Е ~ 5 • 10*3 Н/м, pG - 50 кг/м3,
U ~ 30 м/с, р£ ~ 750 кг/м3, d ~ 0,1 м, Wo~ 10“4, piG0/p,Gw ~ 2 получим Lieq ~ 4,5 м
и £ieq ~ 0,15 с.
Если процесс происходит в сепараторе, то выражения (16.73) и (16.74)
несколько видоизменяются:
tieq
0,07
In
, 0,07 D'^Y^d^'p3^ .
а-----------s/7 In
Wo U^pY7
100 -Н122--1
I PiGw
100 ±125--1
I PiGw
(16.75)
(16.76)
Д eq
Изменение объема капли можно найти из уравнения (16.64), которое после
подстановки в него выражения (16.70) для р1С примет вид
Решая это уравнение, найдем относительное приращение объема капли
<Р». -р,о.><1-е-">. (16.78)
408
Перейдем к мольным долям компонентов в газовой у, и жидкой х, фазах
с помощью соотношений
рЛ РЛ (1679)
PgM, pLM,
Тогда (16.78) перепишутся в виде
Максимальное относительное увеличение объема капли
(16.80)
I Ч) ) PlW0MG iTt
X /max
Для характерных значений параметров Wo~ КГ4- 1(Г5 м3/м3, рс/Рь~ КГ1,
М,/Мс ~ 0,25 и ул/ут ~ КГ2 - КГ3 имеем В - 1,25 - 26. Следовательно, измене-
ние объема капли за счет конденсационного роста при определенных условиях
может быть значительным и окажет заметное влияние на скорость отделения
жидкой фазы от газа в сепараторе.
Изменение компонентного состава капли можно получить из уравнения
(16.65), решение которого имеет вид
Pil _ (1 + р»оо~ Р10ю)(1-е~л<)/УГор,£о jg g। у
PtLO 1 +(Ро/рьЩ))Х<У10 - yw)/MG
I
Полученное решение соответствует монодисперсному распределению ка-
пель без учета коагуляции. Рассмотрим возможные решения с учетом полидис-
персного распределения и коагуляции капель.
Учесть непрерывное распределение капель по объемам можно, воспользо-
вавшись уравнениями (16.56) и (16.62):
z \ 7/9 / \ V3
^.-ЛЛрЛл; -ij, (16.82)
где тп7/9 — дробный момент порядка 7/9.
Уравнения для первых двух моментов т0 и т, можно получить обычным
способом из кинетического уравнения (16 58):
^«=0; 4тг= \n(V,t)^-dV. (16.83)
at at J at
о
Учитывая, что
dv _ ду Др» у?/9
dt ti* Pl
из (16.83) получим
±1 = лУ^т7/9, (16.84)
dt L-i Pl '/у
i=i
Выражая, далее, дробный момент через целые по двухточечной схеме ин-
терполяции тп7/9 -т^т1^ и подставляя его в (16.82) и (16.84), получаем
^--ЛДр,отГ».Г,
409
= (16.85)
dt PL
Из (16.85) следует, что
mjpL +^Ap; = mt(0)pL +^Ap,(0). (16.86)
>=1 i=l
Выражая из (16.86) ^Ар; и подставляя в (16.85), находим
^ = Лтп02/Ч7/9
(16.87)
В рассматриваемом случае численная концентрация капель т0 остается
постоянной, поэтому из (16.87) следует
ml
Atm^'9 = f -----------------------s? (16.88)
mi(o) т7/Э| 22 Api(O) + тДО) - mt I
Полученное выражение дает в неявном виде зависимость т] от t, анало-
гичное соотношению (16.69).
Можно одновременно учесть конденсационный рост и коагуляцию капель,
вводя в правую часть уравнения (16.58) столкновительный член
<16-90>
При этом уравнение (16.82) не изменится, а уравнения для первых двух
моментов примут вид
^- = У^-т1/9. (16.91)
at at
Выражая дробные моменты через целые и вводя следующие безразмерные
переменные
AW„7/9t _ mn _ m,
Т =-----775—, тй =----------, TTL =--------
V02/9 rno(O) т((0)
G
Y 5/18 ’ 1
AV0 Pl
X _ P'G АХ _ A₽iG
PiG - "Г—> APiG----------
Pl pL
получаем
= -Y <2m;/2</9; = m02/9m,7/9Ap
^ = _И/0Др1т02/9тГ,
ат
пго(О) = ni/O) = 1; Ap,(0) = Api0
(16.92)
Решая систему уравнений (16.92), можно найти изменение во времени кон-
центрации компонентов в газе, а также изменение дисперсного состава смеси:
т0 = N — численной концентрации капель, т., = W — объемного содержания
капель, m{/mQ = Vav — среднего объема капель.
Перейдем теперь ко второму случаю, когда Rav < Хо. Диффузионный поток
при этом
410
v ( v )2/3 г>2/3 rr3/4uz J/3
J, = A — — Ар,; A = 2,35
WolvoJ P' v^V^Vo^Pg
Подставляя (16.93) в уравнения (16.63) — (16.65), получаем
ЛДР1) , fvY\
—=-дк Ар”
(16.93)
d(V/V0) =
dt
z \t/3
I Apl | V I
* PlW0 I Vo
(16.94)
Коэффициенты А, отличаются только коэффициентами диффузии DtmG.
Поскольку для различных компонентов в газовой фазе они имеют один поря-
док, положим их для простоты одинаковыми (А ~ А = const). Тогда уравнения
(16.94) допускают точное решение. Если ввести безразмерное время r = At и
перейти от массовых концентраций к мольным долям, то это решение имеет вид
т =
1
at
0,5 In
(1 - а)3(г3 - а3)
(1 - а3)(г _ 0)3
Г^( , 2 + а , 2г + а
V3 arctg —J=- - arctg —=-
I ayl3 a^3
(16.95)
где a3 = 1 + pG^M,Ay,0/pLMGW0, z = V/Vo, M, и Mc — молекулярные массы
компонентов и всего газа; у, — мольная доля i-го компонента, Ау,0= у,0 - —
разность мольных долей при рх, 1\ и р2, Т2 соответственно.
Выражение (16.95) в неявном виде дает зависимость безразмерного
радиуса капли R/Ro от безразмерного времени т. Поскольку z—>а при
т—>оо и z -> 1 при а->1, то удобно вместо z ввести z, = (z - 1)/(а - 1). Из
формулы (16.95) следует, что изменение размера капли зависит от двух
параметров — начального объемного содержания жидкой фазы W и парамет-
ра р = pG^M,Ay10/p;MG, характеризующего отклонение состояния смеси от
равновесного. На рис. 16.3 показана зависимость z, от т для различных
значений параметра а. Видно, что с увеличением объемного содержания
капель И/ время роста и конечный объем капель уменьшаются. Так, для
значения WQ = 1 • 10~4 м3/м3 радиус капли увеличивается в 1,4 раза за
время t = 1,5 с, в то время как для Wo = 7‘ 10~5 м3/м3 он увеличивается в
2,7 раза за время t = 6 с. Поскольку смесь, поступающая в сепаратор, со-
держит 100 г/м3 жидкой фазы (конденсата) при давлении 100 МПа, что
соответствует У/о~7’1О~4 м3/м3, а характерное время пребывания смеси в
сепараторе порядка 20 с, то можно сделать вывод, что смесь в сепараторе
находится в состоянии фазового равновесия.
Формула (16.95) громоздка и неудобна для расчетов. С достаточной точ-
ностью она может быть аппроксимирована выражением
z = 1 + (а - 1)(1 - е“Вт); В = 4,38(а - 1) - (а - I)2. (16.96)
Рассмотрим теперь последовательно учет полидисперсности распределения
капель и возможность их коагуляции.
Непрерывное распределение капель по объемам учитывается так же, как
и в случае Rav > Хо, отличие состоит только в выборе другого выражения для
диффузионного потока J,. Так, распределение концентраций в газовой фазе
описывается уравнениями
. ( \V3 3/4
= -ЛАр,^; Л, = 2,25 (16.97)
411
Рис. 16.3. Зависимость z, от т для различ-
ных значений а:
1 - 2,71; 2 - 2,15; 3 - 1,44
Выражение (16.97) написано для
случая, когда процесс происходит в се-
параторе, поэтому в Л; вошли скорость
потока Us и диаметр D сепаратора.
Уравнение для момента mi (мо-
мент т0 остается постоянным) примет
вид
= (16.98)
Переход от дробного момента к
целым позволяет записать уравнения
(16.97) и (16.98) в виде
^ = -Л, Др,^нг^; ^- = ^Л<^-<3/п12/3. (16.99)
a t а с
Примем для простоты, что коэффициенты диффузии DimC одинаковые
(Л;=Л). Тогда система уравнений имеет точное решение:
/ \’/з
t=^
I Vo I Wo
0,5 In
(1 - a)(z3 - a3)
(1 - a3)(z - a)
/o'! ,2 + a , 2z + a
- <3 arctg —= - arctg —=-
l aV3 аЛ
(16.100)
где z = R/Ro, a3 = 1 + рс^М^у{0/рьМ^0.
При одновременном учете полидисперсности и коагуляции капель получа-
ется следующая система уравнений:
dPiG * А 1/3 — = -ЛДр^о - А V Ар; Vo^ т<42/3;
dt ^PlV^
,1/2 Wp
dt 0 ’ v0,/3
(16.101)
Вводя безразмерные переменные т = A7/V0l/3, Др,=Др,/р£, y = G/AVt'/6,
т0 =то/ти(О), тщ = тщ/ти/О), получаем
^ = -Др,.ш^^1У0,
= -ут3/2п^.
(16.102)
412
16.3. УКРУПНЕНИЕ КАПЕЛЬ ПРИ ПРОХОЖДЕНИИ
ГАЗОЖИДКОСТНОЙ СМЕСИ ЧЕРЕЗ УСТРОЙСТВА
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ КОНДЕНСАЦИИ
В схеме низкотемпературной сепарации перед сепаратором размещают
устройства предварительной конденсации (УПК) — дроссель, теплообменник или
турбодетандер, основное назначение которых состоит в снижении температуры
смеси. При прохождении газоконденсатной смеси через эти устройства, наруша-
ется фазовое равновесие, которое установилось при движении этой смеси в
трубопроводе. В результате возможно образование жидкой фазы за счет про-
цесса нуклеации, а также переход компонентов из одной фазы в другую за счет
процессов массообмена — испарения и конденсации. Нарушение термодинами-
ческого равновесия фаз вызвано изменением давления р и температуры Т.
Основной интерес представляют такие изменения этих параметров, при которых
размер капель конденсата увеличивается, поскольку это облегчает отделение их
от газа в сепараторе.
В разделе 16.2 был рассмотрен процесс укрупнения капель при изменении
термобарических условий и были получены простые формулы, позволяющие
оценить приращение объема капель [см., например, формулу (16.100)]. Очевид-
но, что в общем случае размер капель может как возрастать, так и убывать.
Рост капель происходит при выполнении условия а > 1 или
^М, Дг/10 > 0, (16.103)
г
где Ду10 — разность равновесных молярных долей г-го компонента при р,, Tt и
Рг> Г2.
Поскольку £M,z/,o=Mgo и ^Mtytw=MGw, то неравенство (16.103)
г I
можно переписать в виде
МС0>МСю. (16.104)
Таким образом, для того, чтобы происходило укрупнение капель, необходи-
мо так изменить давление и температуру, чтобы выполнялось неравенство (16.104).
В следующих разделах будут расмотрены процессы, происходящие в различных
устройствах. Здесь же ограничимся некоторыми оценками, которые позволят
судить о роли различных УПК и их эффективности как устройств предвари-
тельного укрупнения капель конденсата перед сепаратором. Поэтому, не рас-
сматривая поведение газожидкостной смеси в УПК, предположим, что в подво-
дящем к нему трубопроводе газ, содержащий капли конденсата, при pt, Т,
находится в термодинамическом равновесии с жидкостью. В некотором сечении
трубопровода давление и температура резко изменяются и становятся равными
р2 и Т2 (p2^Pi Т2<1\). В дальнейшем при движении смеси в ней установится
термодинамическое равновесие, но уже при значениях р2 и Т2. Равновесные
состояния смеси могут быть определены с помощью уравнений парожидкостно-
го равновесия на основе уравнения состояния Пенга — Робинсона. В качестве
примера расмотрим смесь при Г, =20 °C и трех значениях давления pi = 10; 7
и 4 МПа. Рассмотрим три различные газожидкостные смеси, отличающиеся
содержанием в них конденсата <7=100; 500 и 2000 г/м3. В табл. 16.1 приве-
дены общие составы смеси при указанных значениях параметра q. Принимается,
что смесь состоит из двух нейтральных компонентов, первых четырех углево-
дородных компонентов и остатка С5+, разбитого на пять фракций.
413
Таблица 16.1
<7 СО2 n2 с, С2 с3 с4 F, f2 F3 F„ f5
100 0,0015 0,0458 0,7909 0,0866 0,0353 0,0145 0,0115 0,0066 0,0037 0,0021 0,0015
500 0,0018 0,0421 0,7266 0,0826 0,0393 0,0198 0,0306 0,0260 0,0164 0,0092 0,0066
2000 0,0011 0,0325 0,5544 0,0716 0,0506 0,0341 0,0806 0,0767 0,0500 0,0281 0,0203
В табл. 16.2 представлены составы газовой фазы при различных значениях
давления рх перед УПК и разных q.
Таблица 16.2
Pi CO2 n2 c, c2 c3 c4 F, f2 F3 f4 F3
q = 100 г/м3
10 0,0015 0,0478 0,8156 0,0847 0,0317 0,0110 0,0058 0,0015 0,0003 0,0 0,0
7 0,0015 0,0478 0,8174 0,0854 0,0316 0,0105 0,0047 0,0009 0,0001 0,0 0,0
4 0,0015 0,0474 0,8148 0,0867 0,0329 0,0112 0,0047 0,0007 0,0001 0,0 0,0
q = 500 г/м3
10 0,0017 0,0511 0,8288 0,0756 0,0265 0,0084 0,0059 0,0016 0,0003 0,0 0,0
7 0,0018 0,0501 0,8290 0,0783 0,0271 0,0080 0,0046 0,0010 0,0001 0,0 0,0
4 0,0019 0,0487 0,8217 0,0830 0,0300 0,0090 0,0045 0,0008 0,0008 0,0 0,0
q = 2000 г/м3
10 0,0009 0,0627 0,8435 0,0568 0,0213 0,0069 0,0059 0,0016 0,0003 0,0 0,0
7 0,0010 0,0579 0,8442 0,0620 0,0224 0,0066 0,0046 0,0010 0,0001 0,0 0,0
4 0,0012 0,0529 0,8328 0,0725 0,0275 0,0077 0,0045 0,0008 0,0001 0,0 0,0
Составы газовой фазы за УПК представлены в табл. 16.3
Таблица 16.3
F, co2 N2 c, C2 c3 с4 F, f2 F3 F4 F3
<7-100 г/м3
Рг = 10 МПа
10 0,0015 0,0483 0,8199 0,0836 0,0303 0,0101 0,0049 0,0011 0,0002 0,0 0,0
0 0,0014 0,0489 0,8248 0,0820 0,0287 0,0090 0,0040 0,0009 0,0001 0,0 0,0
-10 0,0014 0,0497 0,8300 0,0800 0,0269 0,0080 0,0034 0,0009 0,0001 0,0 0,0
-20 0,0013 0,0506 0,8349 0,0773 0,0250 0,0072 0,0029 0,0006 0,0001 0,0 0,0
p2 = 7 МПа
10 0,0015 0,0482 0,8224 0,0843 0,0300 0,0093 0,0036 0,0006 0,0001 0,0 0,0
0 0,0014 0,0488 0,8284 0,0826 0,0279 0,0078 0,0026 0,0004 0,00 0,0 0,0
-10 0,0014 0,0496 0,8355 0,0800 0,0251 0,0063 0,0018 0,0002 0,00 0,0 0,0
-20 0,0013 0,0507 0,8438 0,0762 0,0217 0,0048 0,0012 0,0001 0,00 0,0 0,0
p2 = 4 МПа
10 0,0015 0,0477 0,8194 0,0861 0,0316 0,0098 0,0033 0,0004 0,0 0,0 0,0
0 0,0015 0,0482 0,8250 0,0850 0,0296 0,0082 0,0022 0,0002 0,0 0,0 0,0
-10 0,0015 0,0487 0,8317 0,0833 0,0269 0,0063 0,0013 0,0001 0,0 0,0 0,0
-20 0,0014 0,0495 0,8400 0,0806 0,0232 0,0045 0,0008 0,0001 0,0 0,0 0,0
414
Продолжение табл. 16.3
Л СО2 N2 с. с3 с4 F, f2 F3 f4 F5
10 0,0016 0,0522 0,8357 0,0728 д-500 Р2= 10 0,0242 г/м3 МПа 0,0073 0,0047 0,0021 0,0002 0,0 0,0
0 0,0016 0,0534 0,8425 0,0695 0,0218 0,0062 0,0038 0,0009 0,0001 0,0 0,0
-10 0,0015 0,0560 0,8491 0,0656 0,0195 0,0053 0,0031 0,0007 0,0001 0,0 0,0
-20 0,0014 0,0565 0,8584 0,0610 0,0163 0,0039 0,0020 0,0004 0,0001 0,0 0,0
10 0,0017 0,0510 0,8367 0,0755 Р2 = 7 Г 0,0244 ДПа 0,0066 0,0034 0,0007 0,0 0,0 0,0
0 0,0016 0,0520 0,8448 0,0720 0,0214 0,0053 0,0024 0,0004 0,0 0,0 0,0
-10 0,0015 0,0534 0,8532 0,0674 0,0182 0,0040 0,0017 0,0003 0,0 0,0 0,0
-20 0,0014 0,0551 0,8618 0,0619 0,0151 0,0031 0,0012 0,0002 0,0 0,0 0,0
10 0,0018 0,0493 0,8294 0,0810 р2 = 41* 0,0276 ДПа 0,0073 0,0031 0,0005 0,0 0,0 0,0
0 0,0017 0,0501 0,8377 0,0782 0,0243 0,0058 0,0020 0,0002 0,0 0,0 0,0
-10 0,0017 0,0510 0,8466 0,0744 0,0205 0,0041 0,0013 0,0002 0,0 0,0 0,0
-20 0,0016 0,0520 0,8464 0,0694 0,0166 0,0029 0,0008 0,0001 0,0 0,0 0,0
0 0,0008 0,0695 0,8561 0,0479 д-2000 Р2 = 10 0,0160 г/м3 МПа 0,0048 0,0038 0,0009 0,0001 0,0 0,0
-10 0,0007 0,0744 0,8600 0,0432 0,0138 0,0040 0,0030 0,0007 0,0001 0,0 0,0
-20 0,0006 0,0811 0,8613 0,0386 0,0118 0,0033 0,0025 0,0006 0,0001 0,0 0,0
0 0,0009 0,0627 0,8614 0,0519 Р2 = 7 f 0,0159 ДПа 0,0041 0,0025 0,0005 0,0 0,0 0,0
-10 0,0008 0,0660 0,8687 0,0462 0,0130 0,0031 0,0018 0,0003 0,0 0,0 0,0
-20 0,0007 0,0704 0,8742 0,0403 0,0105 0,0024 0,0013 0,0002 0,0 0,0 0,0
0 0,0011 0,0560 0,8545 0,0625 р2= 4Ь 0,0192 ДПа 0,0044 0,0021 0,0003 0,0 0,0 0,0
-10 0,0010 0,0579 0,8649 0,0562 0,0152 0,0032 0,0014 0,0002 0,0 0,0 0,0
-20 0,0008 0,0602 0,8747 0,0492 0,0118 0,0022 0,0009 0,0001 0,0 0,0 0,0
Используя приведенные в таблицах данные, нетрудно найти максимально
возможный радиус укрупнившихся капель после прохождения УПК. Рассмот-
рим случай, когда в качестве УПК используется теплообменник. Пусть на вход
теплообменника поступает газожидкостная смесь при температуре 7\ = 20 °C и
давлении рх = 4; 7 и 10 МПа. Давление в теплообменнике остается практически
постоянным (p2 = Pi). В результате охлаждения смеси в теплообменнике фазо-
вое равновесие нарушается, часть компонентов переходит из жидкой фазы в
газовую, а другая часть — из газовой в жидкую фазу. Размер капель при этом
растет по закону
-£-= ! + («-!) (1-е~Вт); В = 4,38(а -1) - (а - I)2, (16 105)
ГЧ)
где a3 =l + pG^M1A^1o/pLA/rGWo.
г
Из (16.105) следует, что после наступления равновесия за теплообменни-
ком (при т—>оо) радиус капли становится равным aR. Следовательно, пара-
метр а определяет, во сколько раз увеличивается начальный радиус капли.
Этот параметр зависит от рь Т\, р2, Т2, начального состава смеси и газоконден-
415
Рис. 16.4. Зависимость а от Тг для различных
значений q, кг/м’, при р, —р2—10 МПа;
Т _ пл •г-
1 - <7 = 0,1; 2 - q = 0,5; 3 - q = 3
Рис. 16.5. Зависимость а от р для различных
значений q, кг/м*, при Т, — 20 °C; Т2 — -10 'С:
1 - <7 = 0,1; 2 - <7 = 0,5; 3 -q = 3
сатного фактора q. На рис. 16.4 и 16.5 показаны эти зависимости. При фик-
сированных значениях давления, температуры на входе в теплообменник и
газоконденсатного фактора значения а растут с уменьшением температуры на
выходе, что очевидно. На рост капель заметное влияние оказывает и q. Его
уменьшение приводит также к увеличению степени укрупнения капель, хотя и
за большее время. Это можно объяснить следующим образом. Объемное содер-
жание капель определяется как W=q/pL. Так, для рассматриваемых значений
q = 100; 500 и 2000 г/м3 и pL = 700 кг/м3 имеем W= 1,4 • 10~4; 7 * 1(Г4 и 2,8 * 10~3.
Параметр W определяет среднее расстояние между каплями в смеси. Для
указанных значений параметров эти расстояния равны соответственно 20/?;
11,27? и 7R. Следовательно, уменьшение W приводит к увеличению среднего
расстояния между каплями и соответственно к уменьшению их численной кон-
центрации. При этом время установления равновесия в системе увеличивается,
что создает более благоприятные условия для роста капель. Увеличение дав-
ления также способствует росту капель. Характерное время укрупнения капель
для случая р, = р2 = 10 МПа, = 20 °C, Т2 = 0 °C, q= 100 г/м3 составляет t = 1,4 с.
Изменение Т2 слабо влияет на t, в то время как увеличение q приводит к
существенному уменьшению t.
Если в качестве УПК используется дроссель, то выполняются следующие
условия: р2 <pit Т2<1\. Так, для значений р, = 10 МПа, Т, = 20 °C, р2 = 7 МПа,
Т2 = 10 °C, q = 100 г/м3 после прохождения дросселя радиус капель увеличива-
ется в 3 раза. При тех же значениях параметров в теплообменнике капли
укрупняются в 4 раза. Следовательно, теплообменник обладает по сравнению
с дросселем тем преимуществом, что он позволяет выращивать более крупные
капли. Кроме того, существенным недостатком дросселя как устройства конден-
сации капель является то, что резкое сужение поперечного сечения трубы и
соответствующее увеличение скорости потока приводят к дроблению капель,
взвешенных в потоке, и, следовательно, к уменьшению их среднего размера. Как
будет показано ниже, большое количество мелких капелек, зарождающихся в
газе при прохождении через дроссель, приводит к их интенсивной коагуляции.
В результате рост капель за дросселем в основном обусловлен процессом
коагуляции, а не конденсации.
416
16.4. ОБРАЗОВАНИЕ ЖИДКОЙ ФАЗЫ
В ДРОССЕЛИРУЮЩЕМ УСТРОЙСТВЕ
Дросселирование газа осуществляется с помощью штуцера, помещенного в
подводящий к сепаратору трубопровод. Скорость газа при течении в штуцере,
представляющем собой коническую вставку с сужающимся поперечным сечени-
ем, увеличивается, в результате чего снижаются давление и температура газа.
Пусть перед дросселем давление, температура и скорость газа равны соот-
ветственно pt, Т, и и2, а на выходе — р2, Т2 и и2 (р2 <р^, Т2 < Т\, и2 > щ). Для
простоты расчета примем, что газ представляет собой смесь двух газов, которые
условно назовем газ и пар. Их парциальные давления обозначим рс и pv.
Понижение давления и температуры в дросселе может привести к конденсации
пара. Рассмотрим условия, при которых это возможно. Основным параметром,
характеризующим возможность и скорость нуклеации жидкой фазы, является
пересыщение s, равное отношению давления пара р„ к давлению насыщения
psa(T) при температуре Т [см. (14.15)]:
s = pv/p^(T). (16.106)
Необходимое условие конденсации пара — выполнение неравенства s > 1.
Но этого условия недостаточно. Нужно также, чтобы пересыщение было больше
критического значения-
s > scr = ехр
.. /г>3/2'
1,74-10’ —
Pl I Т I
(16.107)
Здесь М, и pL — молекулярная масса и плотность конденсирующегося
компонента; Z — коэффициент поверхностного натяжения жидкой фазы. По-
скольку Z зависит от давления и температуры (см. раздел 17.1), то scr тоже
зависит от этих параметров. Таким образом, если при значениях р2 и Т2 за
дросселем имеем 1 < s < scr, то образования новой фазы в дросселе не происхо-
дит. Будем рассматривать случай s > scr. Значение парциального давления пара
можно найти, если известна его мольная доля у„. Для оценки воспользуемся
соотношением для идеального газа pv = p2yv и выражением для psat [9]
Psat = Per ехр
(16.108)
где р„ и Т„ — критические давление и температура пара, h — параметр.
Если учесть, что р„, = psat(T1), то условие отсутствия гомогенной конденса-
ции примет вид
ехр /гТсг
\Ч ( с \3/2
< ехр 1,74-10’ —~hT„
Tt Pi к ’ Pl I T I cr
77 у V 7
1
T\
• (16.109)
Таким образом, если конструкция дросселя такова, что р1( Т,, р2 и Т2 удов-
летворяют неравенству (16.109), то в потоке не происходит гомогенного зарож-
дения жидкой фазы. При таком условии конденсация может происходить лишь
при наличии ядер конденсации, например, уже сформировавшихся капель кон-
денсата в потоке перед дросселем. Если параметры дросселя таковы, что р1я 7\,
Р2 и Т2 удовлетворяют неравенству 5 > scr, то в потоке в дросселе, а возможно,
и за ним происходит образование новой фазы, интенсивность которого зависит
от степени пересыщения смеси.
27 - 1461
417
Укажем характерные значения параметров. В качестве примера рассмот-
рим метан-пропановую смесь. Пусть в дросселе давление и температура снижа-
ются от р, = 12 МПа, Т, = 293 К до р2 = 7,5 МПа, Т2 - 269 К. Давление насы-
щения пропана изменяется от 0,796 МПа до 0,419 МПа. Соответствующие этим
значениям равновесные мольные доли пропана равны yvl = 0,066 и yv2 = 0,056.
Считая, что перед дросселем $= 1, получим за дросселем $= 1,18.
При образовании жидкой фазы в процессе гомогенной конденсации про-
исходит выделение теплоты Qin, характеризующееся теплотой конденсации I
(кДж/кг), за счет чего температура в дросселе снижается не так значительно,
как в отсутствие конденсации. Для учета тепловыделения в уравнении баланса
энергии следует учесть Qin. Если принять, что зародыши образуются практичес-
ки мгновенно, то Qln будет состоять из двух слагаемых. Первое слагаемое ха-
рактеризует выделение теплоты при образовании зародышей, а второе — при
дальнейшем конденсационном росте капель:
Qin = Qini + Qin2-
Течение газа в дросселе считаем одномерным и стационарным, ось х на-
правим вдоль оси дросселя, причем х = 0 соответствует входному сечению.
Полная система уравнений, описывающая течение в дросселе, состоит из сле-
дующих уравнений:
уравнения сохранения массового расхода газа
rf(pcM5) _ q,
dx ’
(16.110)
уравнения энергии при отсутствии технической работы и теплообмена с
окружающей средой
PgM^2= M^ = +Qin; (16.111)
ах ах
уравнения движения
уравнения состояния газа
du dp
W^dx'
ЛРс7~
MG
(16.112)
(16.113)
р = 2
Здесь pG — плотность газа; и, р, Т — соответственно скорость, давление и
температура газа; 5 — площадь поперечного сечения дросселя; ср — удельная
теплоемкость газа; Qin — тепло, выделяющееся в процессе конденсации; z —
коэффициент сжимаемости газа; А — газовая постоянная; MG — молекулярная
масса газа.
Энергия конденсации складывается из энергии, выделяющейся при нукле-
ации жидкой фазы и при конденсационном росте образовавшихся капелек:
Qin = //p£Vnucl + MLl^nR2Jtwn(V, x)dV, (16.114)
где Vnucl — объем зародыша, I — теплота конденсации, I — интенсивность зарож-
дения жидкой фазы, р,и ML — плотность и молекулярная масса жидкой фазы,
Jiw — поток конденсирующегося пара на каплю объема V, п( V, х) — распреде-
ление капель по объемам в сечении х.
К приведенным уравнениям нужно добавить полученные в разделе 16.3
уравнения, описывающие динамику капли и изменение n(V, х) с учетом кон-
418
денсационного роста и коагуляции капель. Примем, что в процессе нуклеации
конденсируется только пропан, а метан остается нейтральным компонентом.
Рассмотрим модель роста капли при наличии нейтрального компонента (см. раз-
дел 16.1). При этом система уравнений, описывающая поведение капель, при-
мет вид:
(16.115)
^=-4n/?2U,/J1a)=4^J/3pGD,2GAyU,i; (16.116)
= -4/gY^pGA2GAy ]К’^К-/Р£КЦС1; ' о (16.117)
у _4ir^2SA /п\_ ftatOl) _ Psat(2~) д _ _ •'nucl 3 1 р ! 1 Z/looW/ р^ } y\w р 1 У\<Я У\ю’ (16.118)
Применяя к системе уравнений (16 115) — (16 118) метод моментов, полу-
чаем
^-= I-Gmi/3mv6, ^.=4/-^ pG£)12GAyu1Lwz1/3 + JV„uci; (16.119)
(л l> у т/l у
^^=-4n(£ppGJD12GAym^ (16.120)
Выразим теперь дробные моменты через целые:
т _ т2/3 1/3 т _ „,5/6™'/6 («С •I'J-J'J
* **1/3 — ***0 '''*1 ’ ***1/6 ТП} .
При этом уравнения (16.119) и (16.120) примут вид
^=4^£y^pGr)12GAyv1L7«o2/3^ + /Kud- (16.122)
= -4/^рсЛ12СДт2^Г -d(yG)-/piVnuc,. (16.123)
at \ 4tt J at
тио(О) = ти/О) = Ay(0) = 0. (16.124)
К этим уравнениям добавим уравнения (16.111) — (16.114), которые после
преобразований примут вид-
pcuS = Pg^-S/ (16.125)
d(cpT) du 32пХ^/р// , f 3 )1/3 г-. кл к 2/3 1/3 / л с <nc\
PGU~dx =~PgM + —3pT +44 4^~J РсОжМ^ут^т/ ; (16.126)
PcU^.= -^R- (16.127)
ax ax
p = z^L, (16.128)
r mc
Кроме того, имеем следующие выражения:
I = l,82.102«7rf|Y(MLZ)^(spL)-'y12„ х
IT
419
(м YrrV
хехр -1,76-1016 | In-2 s ;
I Pl I \ T J
s _ У^Р _ -| , .
Psat(T) ’
Psat = Per eXp
(16.129)
Следует учесть, что Z, z и l зависят от температуры и давления. Зависи-
мость Z от давления может быть получена аппроксимацией экспериментальных
данных в интервале р = 1 — 12 МПа (см. раздел 17.1):
Z = 10~3(21,04 - 3,74р + 0,37р2 - 0,015р3). (16.130)
Зависимость Z от температуры для углеводородных систем в рассматри-
ваемом интервале давлений относительно слабая, и ее учитывать не будем.
Зависимость z от р и Т представлена в [10]:
z = (0,4 lg Тг+ 0,73>+ 0,\рг, (16.131)
где Тг и рг — приведенные давление и температура (см. раздел 5.7).
Теплота конденсации определяется по формуле [И]:
I = [7,08 (1 - Tri )0'354 +1 о,95 со (1 - ТГ1 )°'456 ]. (16.132)
Нижний индекс 1 относится к конденсирующемуся компоненту, через со
обозначен фактор ацентричности, который характеризует отклонение формы
молекулы от сферической. Так, для метана он равен 0,08, для этана — 0,098, для
пропана — 0,152 и т. д.
В частности, для пропана при Тг1 = 0,79; ТС1 = 390 К; М, =44 кг/кмоль
имеем <0 = 0,152, / = 360 кДж/кг.
Прежде чем переходить к решению общей задачи, попытаемся оценить
объем образующейся жидкой фазы на основе упрощенной постановки. Предпо-
ложим, что коагуляция и конденсационный рост капель в дросселе отсутствует.
Течение считается адиабатическим. Тогда распределение параметров потока
описывается следующей системой уравнений:
PgW.S' = pdWj.S'j;
PPg^P.Pg! T^/k-Tp^k;
PgU = -Pgm2 ^7 + V™*Pl11’ (16.133)
где k — показатель адиабаты.
Преобразуем последнее уравнение к виду
(срТ + 0,5w2) = Vnucl pL 11,
которое после интегрирования сводится к
(срТ - cpi1\) + 0,5(и2 -M2) = -PlL[^Vnucl/rfx (16.134)
Pgi“i J
Подстановка в (16.134) выражений (16.118) и (16.129) для Vnucl и I
приводит к следующему уравнению:
420
(срТ - ср(Г,) + 0,5(ы2 - w(2) = <р(х),
(16.135)
<р(х) = 1,92 • 1027
Г _5 (^Y/2 р_ ( Т_У
РЛ7!2?! * 51 1^1 ) Pl V’/
х ехр
-1,76 -10'6f^Y| Г^ТГГ—"l In-2 s
dx.
(16.136)
Приведем уравнения (16.134) и (16.136) к удобному для дальнейшего
использования виду:
т
/ \ 2/
Ш 1 + 2^^ + 2ср1Т1
“? )
2L=“1|Z.| • _£_ = |Z.| • Pg - u's'
ui S V7iJ ’ P\ <7)J ’ Pci “ uS ’
(16.137)
где L — длина дросселя.
Задав закон изменения площади поперечного сечения дросселя S(x), а также
значения параметров на входе pit щ, Tt, рС), из (16.137) можно найти распре-
деление этих параметров по длине. Наибольший интерес представляет объем-
ное содержание жидкой фазы W. От него, в частности, зависят скорости коа-
гуляции и конденсационного роста капель. В рассматриваемом приближении
этот параметр
W{x) = — fvnuclh/x. (16.138)
Воспользовавшись (16.129), перепишем это выражение в виде
W(x) = 1,92 • 1027
ln~2 s
d(x/L).
х ехр
1/2\ч 7/2
PluT?Pi
-1,76 -1016
(16.139)
Примем pi = 12 МПа, рС1=100 кг/м3, S( = 3,54 • 10~9 Н/м, ML=44 кг/
кмоль, pL= 700 кг/м3, 1\ = 293 К. Изменения температуры Т, давления р, давле-
ния насыщения ps, коэффициента поверхностного натяжения S, пересыщения s,
объема зародышей Vnucl и интенсивности образования жидкой фазы I представ-
лены в табл. 16.4. Значение параметра 2ср)Т’)/ы2 =500.
Из приведенных результатов следует, что образование жидкой фазы про-
исходит на небольшом участке дросселя, на котором сужение изменяется от 0,3
до 0,24. Скорость в последнем сечении равна 5,3м,.
Пусть радиус поперечного сечения дросселя по длине изменяется по ли-
нейному закону от Tt = 0,05 м на входе до г2 = 0,0245 м на выходе. Если длина
дросселя L = 0,1 м, то радиус сечения, при котором S/St = 0,3, равен 0,027 м.
Соответственно длина, на которой происходит образование жидкой фазы, равна
0,008 м. Тогда нетрудно оценить объемное содержание жидкости на выходе
дросселя:
1 0,1
W~ — pVnucldx~10-5.
“2 0,092
(16.140)
421
Таблица 16.4
s/st T, К р, МПа р„ МПа Е • 103, Н/м Цюе1. м3 7ti„ud, м3/с
1 293 12 0,8 3,5 8,2 • 10’28 0
0,45 290 11,3 0,76 4,4 1,9 • 10’27 0
0,3 285 10,2 0,67 5,4 4,9 • 10’27 0
0,27 281,3 9,6 0,6 6 7,7 • 10’27 0,9 • 10 3
0,25 277,2 8,7 0,53 6,6 1,4- IO’26 2,9 10’2
0,24 271 7,5 0,44 7,5 3- 10'26 2 • IO"’
Столь малое объемное содержание жидкости объясняется тем, что не учтен
рост капель за счет конденсации пара и коагуляция капель. Ниже будет по-
казано, что, несмотря на малые времена процессов, учет этих факторов увели-
чивает W на два порядка.
Теперь перейдем к решению общей задачи и рассмотрим систему уравне-
ний (16.122) — (16.132). Введем следующие безразмерные переменные:
и S » х .
М = ^’ ^ = Т’
ц? . g = L/(0) .
ср\Т\ ’ PGtutcpl^l ’
PL^i Pt
V i =------------,
v HUCl z-ч ’
Vnucl(0)
~ P • t T , ~ Pg ,
p = — 1 = p =--------
K P\ 1\ И PGl
— £
S = —; w)0 = woKudCO); r =
2-1
^nucl .
'=/
L/(0)Vnocl(0)
a =-----------;
щ
^«iTiV^lO)
X=P<idL; p = l,76-10'ef^ ; z= —
Pi н V Pl J 1 T1
Т\
г _ 4л(3/4п)1/3 L£>12G^1LPG1 . - _ Pci .
C ~ ~ Pc p) >
1/2
«1^(0)
Pl_. h_ GW>L c =^~-
pgi’ v^(o)B)’ p cp'’
Т\±' _ 4л(3/4л)^Р12С .
Г< ’ «1^(0) ’
Тс
2>j . Re _ 2б“1Рс1
Re3/4 ’ Pg
С вводом новых переменных система уравнений примет вид
puS = 1;
__d^CpT} _ _ du „г ~ . ~2/з 1/3
ри р = -ур2и2 -^ + 81 + гр&у т\/л;
У7/2«2
J =
Tt2Pls
> - - du
p = ~zpT-
7 -3/2 1/3
dm0 I A mQ mx
di, Vnucl p’/2S7/8
{ pS3
I r3ln2sj
_^p.
dr
(16.141)
422
w +Cp by m}73 m'.73;
pw= -dbyrn^73 m'^p - й d<^'w) -йЬу^-fI Vnucl;
at, dt, dt,
. Ay pc , I . Tc\
5 = 1 + —; yiw = — exp h 1 - — ;
l/ta p\ \ T J
f
z = (0,41g?; + 0,73)₽r + 0,lpr;
g _ 21,04 - 3,74(10 6p1p) + 0,37(10'6p1p)2 -0,015(10 6pip)3
21,04 - 3,74(10'6p() + 0,37(10 6pi)2 - 0,015(10“6p()3
Заметим, что входящее в последнее уравнение р( имеет размерность [р,] = Па,
в отличие от формулы (16.130), в которой давление берется в МПа. Этим
объясняется появление множителя 10-6.
Система уравнений (16.141) описывает изменение газо- и термодинамичес-
ких параметров при течении в коническом конфузоре с заданным изменением
площади поперечного сечения по длине S(x). Если заданы условия на входе
р(0) = f(0) = р(0) = w(0) = 1; й?0(0) = пг/0) = Аг/(О) = 0, (16.142)
то, решая эту систему уравнений, можно найти значения р, Т, р,й,т0,пр и 5 в
любом сечении, в котором скорость потока не достигла скорости звука, т. е. при
выполнении условия М < 1, где М — число Маха.
Уравнения (16.141) с условиями (16.142) решались численно. В качестве
примера рассматривается бинарная смесь, состоящая из метана (90 %) и пропа-
на (10%). Молекулярная масса такой смеси Мс = 18,84 кг/кмоль. Ее тепло-
физические свойства нетрудно найти, используя методы для многокомпонент-
ных смесей [9—11]. В частности, для смесей критические значения температуры
и давления (они называются псевдокритическими), а также ацентрический фак-
тор определяются из следующих выражений:
Трс = £7]^,; Ррс = ^Р.сУ,’, “р< =
где Т1С, р1С ию,— соответствующие значения для чистых компонентов; у, —
мольные доли этих компонентов в смеси.
При расчете берутся следующие значения параметров: Т, = 293 °C, pL = 590 кг/м3,
= 3,74 кДж/(кг • К), М; =44 кг/кмоль, Z>)2C=10_7 м2/с, Г = 5 'IO'20 Дж,
L = 0,1 м, Г! = 0,1 м. Давления на входе брались равными = 12; 10; 8; 6 МПа,
а скорости н, = 5; 10; 30; 50 м/с. Радиус конфузора убывал по линейному
закону, поэтому площадь поперечного сечения задавалась в виде
5 = (1-0,5^)2.
Для сравнения влияния на рост капель различных факторов решались
последовательно следующие задачи.
1. Газодинамическая задача — рассматривали изменение только газодина-
мических параметров р, й, р и Т, пренебрегая коагуляцией и фазовыми пре-
вращениями. Интегрировались уравнения (16.141) при Ь = С = 5 = е = 0. Интег-
рирование проводилось в дозвуковой области течения, т. е. до критического
сечения. В табл. 16 5 приведены значения р, й, р, Т и 5 в непосредственной
близости от критического сечения при рх = 12 МПа. Для сравнения со случаем
учета коагуляции и фазовых превращений в табл. 16.5 приведены числен-
ная тй0 и объемная концентрации капель, определенные по найденным зна-
чениям газодинамических параметров.
423
Таблица 16.5
и„ м/с Р й Р Т mn 104 т, 10' S
50 1 0,629 6,11 0,655 0,96 1,64 2,89 1,38
30 1,222 0,629 10,08 0,655 0,96 1,6 2,85 1,38
10 1,55 0,627 30,25 0,653 0,96 1,53 2,79 1,39
5 1,682 0,618 61,31 0,645 0,959 1,5 2,59 1,4
2. Учет коагуляции капель без учета фазовых превращений. При этом
интегрируются уравнения (16.141) при в = С = 0. По сравнению с первым случа-
ем изменяется только значение т0 — численная концентрация капель — оно ста-
новится меньше, поэтому средний объем капель Vav = тх/тп увеличивается пример-
но в 102 раз по сравнению с первым случаем (при р(= 12 МПа и щ = 50 м/с).
3. Учет фазовых превращений без учета коагуляции капель. При этом в
уравнениях (16.141) нужно положить b = Q. Сравнение с первым случаем
показывает, что объемное содержание капель возрастает (/и, = 8,08 • 10-3 против
2,59 • 10~5 при р, = 12 МПа ии, = 5 м/с), а численная концентрация капель
намного уменьшается. Соответственно увеличиваются средний объем капель
[V = Vav/Vav(0) = 8 • 109 против 2- 10’] и пересыщение смеси. Сравнение слу-
чаев 2 и 3 показывает, что основной рост капель в дросселе обусловлен фазо-
выми превращениями (конденсацией).
4. Общий случаи, когда учитываются коагуляция капель и фазовые пре-
вращения. Наибольший интерес представляет зависимость объемного содержа-
ния жидкой фазы тх на выходе из дросселя от скорости и, и давления рх на
входе (рис. 16.6). При фиксированном давлении рх значение тх увеличивается
с ростом скорости их, причем это увеличение тем больше, чем больше давление
р,. Повышение давления при неизменном значении щ тоже приводит к росту
тх. Учет коагуляции и фазовых превращений значительно увеличивает (в 109~
1010 раз) средний объем капель на выходе дросселя (рис. 16.7). Заметим, что
основное изменение газодинамических параметров происходит в небольшой
области возле критического сечения.
Рис. 16.6. Зависимость т, от и, для различ- Рис. Щ.7. Зависимость среднего объема ка-
иых значений pt, МПа: пель V от давления р, для различных зиаче-
1 — 12; 2 - 10; 3 — 6 иий и,, м/с:
1 - 50; 2 - 30; 3 - 10
424
Рис. 16.8. Изменение объемного содер-
жания жидкой фазы mt по длине дрос-
селя для различных значений Дщ(0):
1 - 0; 2 - -ЮЛ 3 - -5-ЮЛ 4 --КГ3
Приведенные результаты по-
лучены в предположении, что пе-
ред дросселем конденсирующийся
компонент (пар) находится в со-
стоянии насыщения, т. е. Ау,(0) = 0
и s(0) = l. Если этот компонент
в газе перед дросселем еще не
достиг состояния насыщения
[Дг/ХО) < 0], то в дросселе при оп-
ределенных условиях конденсация
может и не произойти (рис. 16.8).
С увеличением отклонения пара от состояния насыщения область, в которой
происходит конденсация пара отодвигается все дальше от входного сечения
и начиная с определенного значения Аг/,(О) конденсация в дросселе прекраща-
ется.
Таким образом, проведенные расчеты показывают, что конденсация в дрос-
селе происходит только при определенных значениях параметров. Если кон-
денсация происходит, то основной вклад в укрупнение капель вносит конденса-
ционный рост капель, а не их коагуляция. Это объясняется тем, что характерное
время конденсации мало по сравнению с характерным временем коагуляции.
Отсюда следует, что за дросселем термодинамическое равновесие установится
очень быстро и дальнейшее укрупнение капель до максимально возможного
размера будет происходить за счет коагуляции.
16.5. ОБРАЗОВАНИЕ ЖИДКОЙ ФАЗЫ В ТЕПЛООБМЕННИКЕ
В отличие от дросселирующего устройства, в теплообменнике процесс
конденсации происходит практически при постоянном давлении. Охлаждение
газа осуществляется при движении в трубах испарителя. Стенки трубок охлаж-
даются с внешней стороны жидким или газовым агентом до температуры -18 °C
и ниже. Основная задача состоит в определении количества жидкой фазы, кон-
денсирующейся в холодильном устройстве.
Как было показано в предыдущем параграфе, образование жидкой фазы
при конденсации паров тяжелых углеводородов начинается при условии вы-
полнения неравенства s > s„. Решая это неравенство относительно температуры,
можно определить температуру Та, при которой начинается конденсация паров.
Поскольку температура на входе выше Тст, то по мере движения газа в тепло-
обменнике его температура снижается и в некотором сечение станет равной Тст.
Начиная с этого сечения в газе появляются зародыши жидкой фазы, которые
затем увеличиваются в размерах за счет фазовых превращений на поверхности
и коагуляции капель. Интенсивная нуклеация и конденсация пара приводит к
выделению теплоты конденсации, которая может несколько повысить темпера-
туру газа. Поскольку объемное содержание жидкой фазы мало, а интенсивность
охлаждения газа по длине теплообменника достаточно большая, то в первом
425
приближении теплотой конденсации можно пренебречь. Поэтому распределение
температуры по длине трубы можно найти независимо, а затем по известному
распределению температуры определить количество образующейся жидкой фазы.
Пусть газ на входе имеет температуру То, температура стенки —Тю, ско-
рость газа — U. Рассмотрим сначала случай, когда охлаждение газа происходит
за счет механизма теплопроводности. Тогда изменение температуры описывает-
ся уравнением
ттат _ 1 а ( дт) . .
дх РсСр г дг дг ) (16.143)
при условии, что
T(O,r) = To; T(x,rc) = Tw; И =0, (16.144)
\ ° Уг=0
где Хс — коэффициент теплопроводности газа; ср — изобарная теплоемкость газа;
г — текущий радиус; гс — радиус трубки; ось х направлена по оси трубки; х = 0
соответствует входному сечению.
Решение уравнения (16.143) с условиями (16.144) имеет вид
0 = Г = 1 - 2У J^r/r^ е-р1т, (16.145)
Tw~7b PkJSPk)
yrq т = XGx/rc2C7pccp; Jo и Л — функции Бесселя; pk — корни уравнения JQ{pk) = 0,
причем p.t = 2,4; р2 = 5,52; р3 = 8,65; р4 = 11,79 и т. д. Соответствующие значения
J\(.pk) следующие: Jj(pi) = 0,519; J\(p^) = -0,34; J/p 3) = 0,27; J((p4) = -0,23
И т. д.
Введем среднюю температуру по сечению трубки
Т =2r~2^Trdr. (16.146)
о
Подставляя формулу (16.145) в (16.146), получаем
2L = 2i + 4fl-5^2>-2 е_р*т. (16.147)
'о ‘й у уо
Ряд в правой части (16.147) сходится быстро при т > 0, поэтому оставим
в нем только первый член
0,694(1-ЬЙУе-5'2<щ (16.148)
то V Tojk^t
Поскольку трубки, по которым движется охлаждаемый газ, достаточно
узкие (2rc«L), то в качестве температуры можно использовать выражение
(16.147) или (16.148). Если ввести безразмерную температуру
то выражение (16.147) можно переписать в виде
=42>*2е‘р*т. (16.149)
k=l
Зависимость 0((т) представлена на рис. 16.9. Используя выражение (16.149),
426
Рис. 16.9. Зависимость безразмерной темпе-
ратуры ®( от т
можно определить ряд конструктивных
параметров теплообменника. Наиболее
рациональной конструкцией теплообмен-
ника (см. раздел I) является кожухо-
трубчатый теплообменник, представля-
ющий собой пучок из N параллельных
трубок радиусом гс и длиной L, заклю-
ченных в кожух радиусом Rk. Если
радиус подводящей к теплообменнику
трубы равен Rt, то из условия сохране-
ния расхода в предположении, что плот-
ность газа постоянна, следует
R?Ut = Nrc2U =
' ' л
(16.150)
где Ut и U — соответственно скорости газа в подводящей трубе и в трубке
теплообменника; Qc — объемный расход газа при давлении р и температуре Т.
Расход газа обычно задают при нормальных условиях — Q„ Связь между
Qc и Qn дается формулой
Qg = zTpnQn/Tnp, (16.151)
где Тп и рп — нормальные температура и давление (Тп = 293 К, р„ = 0,1 МПа),
z — коэффициент сжимаемости газа
Рассмотрим входящий в уравнение (16.149) параметр т. Используя выра-
жение (16.150), его можно представить в виде
т = nXc№:/QcpGCp. (16.152)
Из выражений (16.151) и (16.152) можно определить число трубок в
теплообменнике:
N = pccptzTpnQn/nkcLTnp.
(16.153)
Основные параметры теплообменника — число трубок в пучке N, их ра-
диус гс и длина L Если задать L и гс, то N определяется, если известны давле-
ние р0 и температура То на входе, температура стенки Tw и газа на выходе Т\,
а также расход газа Q„ и радиус подводящей трубы. По заданным значениям
определяем по графику 16.9 значение т, а из формулы (16.153) находим N.
Рассмотрим пример. Пусть нужно охладить газ от температуры То = 293 К
до температуры Т№ = 263 К. Температура стенки охлаждаемых трубок поддер-
живается при температуре Тт = 253 К, давление на входе р0= 10 МПа, расход
газа составляет Q„ = 0,l млн. м3/сут = 0,121 м3/с. Остальные параметры сле-
дующие: рс= 100 кг/м3; ср = 3,26 кДж/(кг‘К); Хс = 1,26 • 10~4 Вт/(м • К);
£ = 6 м. Из графика определяем т = 0,175, а из формулы (16.153) находим
Х = 210
Приведенный метод расчета пригоден для течений с относительно неболь-
шими скоростями, когда теплопередача осуществляется за счет теплопроводно-
сти. При больших скоростях газа поток в охлаждающих трубках турбулентный,
и теплопередача осуществляется в основном в процессе интенсивного попереч-
427
ного перемешивания потока, выравнивающего температуру в поперечном сече-
нии трубки. Ниже излагается общепринятый в настоящее время расчет распре-
деления температуры в трубках теплообменника.
Рассмотрим течение газа по цилиндрической трубке радиусом гс. Темпера-
тура на входе равна То, температура стенки поддерживается постоянной, равной
Т„, < То. Введем в рассмотрение средние по сечению трубки скорость потока U
и температуру газа Т. Примем, что количество теплоты, уходящее через стенки
трубы во внешнюю среду, определяется выражением
Qa, = Mr-Tj5^ (16.154)
где kT — коэффициент теплопередачи на стенке трубки, 5 — площадь поверхно-
сти трубки, t — время.
Величина kT вычисляется по формуле
1 1 1 Л
т— =----1----Кт—,
кт оц аз a.w
(16.155)
где а( и а2 — коэффициенты теплоотдачи соответственно от охлаждаемого газа
к стенке и от стенки во внешнюю среду; h — толщина стенки; — коэффици-
ент теплопроводности стенки.
Вообще говоря, kT зависит от температуры Т, но учесть эту зависимость
сложно. Кроме того, эта зависимость не будет сильно влиять на среднюю
температуру газа. Поэтому примем, что kT — постоянная.
Направим ось х вдоль оси трубки и запишем баланс тепла в цилиндри-
ческом объеме радиуса гс и длины dx. Вследствие конвективного переноса
тепла в этот объем в единицу времени войдет количество теплоты, равное
nr^pGcpUT, а выйдет — nr2pGcpU(T + dT). Следовательно, приток тепла в рас-
сматриваемом объеме в единицу времени составляет -nr2pGcpUdT. С другой
стороны, из рассматриваемого объема через стенки трубы в единицу времени
уйдет количество теплоты, которое в соответствии с формулой (16.154) равно
2nrckT(T - Tw)dx. В рассматриваемом объеме в результате процесса нуклеации
и дальнейшего конденсационного роста капель выделяется энергия
Е =
VnudPiH + 4nR2Jiwn (V, x)dV 2 л rc dx.
о
(16.156)
Приравнивая потоки тепла, получаем
rcpGcpUdT = -2kT(T - Tw)dx + Е.
Учитывая, что Vnucl = 32лЕ3/Зр3, воспользовавшись выражением для потока
конденсирующегося компонента Jiw (см. раздел 16.1), имеем
TJdT 2kr(T - Tw) 32лЕЗ/рЛ/
f>°c?u =-------7C---+ 3P3 - +
г о y/3 „ „
+ 4nl-A] М£/р£Д2сД^о • (16.157)
Если пренебречь теплотой конденсации, то решение уравнения (16.157) с
условием Т(0) = Го имеет вид
©1 = 2^ = е-к, (16.158)
где №=2nkTr^x/cppGQG.
428
Поскольку площадь поверхности теплообменника 5 = 2nrcLN, то уравнение
(16.158) можно переписать в виде
®! = ехр
kTSx
PGcpQcL ;
(16.159)
Задав температуру 7\
площадь теплообмена
на выходе теплообменника, из (16.159) найдем
с _ PgcpQg , ( 7р - Tw
kT I Т\-Tw
(16.160)
Коэффициент теплопередачи kT определяется выражением (16.155), при-
чем вид коэффициентов и а2 зависит от конструкции теплообменника. Как
отмечалось в разделе I, на установках НТС используют два типа теплообмен-
ников: «труба в трубе» и кожухотрубчатые. Теплообменник первого типа со-
стоит из двух коаксиальных труб — внутренней диаметром с/, и наружной
диаметром d2. По внутренней трубе движется охлаждаемый газ, а в межтрубное
пространство подается охлаждающий агент (газ или жидкость). Кожухотруб-
чатый теплообменник состоит из пучка трубок, заключенных в цилиндрический
кожух. По трубкам течет охлаждаемый газ, а в межтрубном пространстве —
охлаждающий агент. Коэффициент теплоотдачи для охлаждаемого газа опре-
деляется по формуле
а, = 0,023Re0'8 Рг0’4, (16.161)
где Re = 2C7rcpG/pG — число Рейнольдса; Pr = pGCp/XG — число Прандтля.
Коэффициент а2 для теплообменника типа «труба в трубе»
/ Хх ч 0,45
а2 = 0,023 Нг- 4И Re0'8 Рг°.4,
( di И ф I
(16.162)
а для кожухотрубчатого теплообменника
а2 = 0,2| 1 Re0’6 Рг0'33 . (16.163)
Заметим, что числа Re и Рг вычисляются по значениям параметров в
межтрубном пространстве, причем в кожухотрубчатом теплообменнике в каче-
стве диаметра берут эффективный диаметр
drff=-~Ьт, 5А(=л«Ь^). (16.164)
л (d2 + Nd')
Рассмотрим теперь движение бинарной парогазовой смеси в теплообменни-
ке с учетом конденсации и коагуляции. Система уравнений аналогична (16.141).
Основное отличие состоит в постоянстве сечения трубки, т. е. S = 1. Таким
образом, имеем
pw = 1;
Р“—= -YP2 й2^- + 81+ ерАг/т^т^~pt(f-Tw);
У7/2 «2
f,2ps
ps3 1
f3 In2 s
429
.--du dp
p = zpT;
~ dm{} I , m^2 тп/3
u —- = a —----b —y——;
vnucl
(16.165)
w - al + Cp Aym^m'73;
_~d(Ap) , —2/3 1/3- - d(-P!hw) dp
pu -Tr- = -dbym^m^p - и ——-------u\y — ~ fl VnucI;
de, de, de,
S = i + TT' =4exp/2f1-fA’
ylw л p \ T)
z = (0,41g 7)+ 0,73)'” + 0,lpr.
£ _ 21,04 - 3,74(10~6p)P) + 0,37(10~6p)P)2 - 0,015(IO"6ptp)3
21,04 - 3,74(10-6pt) + О^ОО-бр!)2-0,015(IO"6p,)
Кроме безразмерных параметров, введенных в (16.141), здесь дополнитель-
но введены
f - Гт • R - 2nkTreNL
w Т\ ' 1 CpPoi^iQc
Систему уравнений (16.165) решаем при следующих начальных условиях:
Т(0) = р(0) = ы(0) = 1; йг0 = пг((О) = Ду (0) = 0. (16.166)
Рассмотрим пример численного решения уравнений (16.165) с условиями
(16.166) для кожухотрубчатого теплообменника, состоящего из 281 трубки
диаметром 2гс = 0,025 м и длиной £ = 12 м. Коэффициент теплоотдачи равен
kT = 0,42 кВт/(м2,К). На вход теплообменника поступает бинарная газовая
смесь, содержащая 90 % метана и 10 % пропана. Расход газа составляет
QG = 0,7 м3/с при давлении р, = 5 МПа и температуре Г, = 293 К. Кроме того,
Tw = 253 К, ср = 2,77 кДж/(кг • К), рС) = 40 кг/м3, Ut = 9 м/с. На рис. 16.10 и
16.11 показаны изменения объемного содержания жидкой фазы т, и отклонение
мольной концентрации конденсирующегося компонента (пропана) Ду от равно-
весного значения по длине теплообменника для различных значений давления
р. Зарождение капель происходит на некотором расстоянии от входа. Это
расстояние тем меньше, чем больше давление газа. Повышение давления от 4
до 8 МПа увеличивает объем жидкой фазы почти в 2 раза. Снижение темпе-
ратуры в теплообменнике сначала приводит к резкому пересыщению смеси
(увеличению Ду), а затем после начала интенсивной конденсации пара — к
уменьшению Ду.
В заключение отметим, что рассмотренный метод ограничен условием по-
стоянства температуры стенки трубок теплообменника. В действительности
температура Tw изменяется по длине трубок. Для ее определения необходимо
решать внешнюю тепловую задачу, т. е. определять распределение температуры
430
Рис. 16.10. Измеиеиие объемного содержа-
ния жидкой фазы mt по длине теплообменни-
ка 4 при Т, - 20 °C; Т„ - -20 °C; V, - 9 м/с
для различных значений р, МПа:
/ - 8, 2 - 6, 3 - 4
Ду
Рис. 16.11. Изменение отклонения мольной
концентрации конденсирующегося компонен-
та в газовой фазе Ду по длине теплообменни-
ка <; при Т, — 20 °C; Т„ " —20 °C; Ut — 9 м/с
для различных значений р, МПа:
1 - 4, 2 - 6, 3 - 8
в межтрубном пространстве. Принципиальных трудностей при этом не возни-
кает. Усложняется только процедура решения, особенно в случае, когда охлаж-
дающий агент движется в направлении, противоположном направлению движе-
ния охлаждаемого газа.
17
ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
17.1. ФИЗИКА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
Явление поверхностного натяжения отмечается во многих процессах, с
которыми приходится сталкиваться не только в технике, но и в быту.
Достаточно упомянуть следующие: образование мыльных пузырей, их подъем
и разрыв; подъем жидкости в капиллярных трубках на высоту, большую,
чем высота жидкости в резервуаре, в которую погружена трубка; дробление
жидкости на капли, при вытекании струи из тонкого сопла, насадки, форсун-
ки; процесс печатания в струйных принтерах; образование тонкого слоя
жидкости, остающегося на поверхности тела, извлекаемого из жидкости;
поведение капли жидкости на твердой плоской поверхности — она может
оставаться каплей или растекаться по поверхности в зависимости от сил
взаимодействия между жидкостью, твердой поверхностью и воздухом. Осо-
бенно важную роль играет поверхностное натяжение в процессах формиро-
431
Газ
Рис. 17.1. Межфазная поверхность
вания капель при распаде жидких струй и дроблении крупных капель в
потоках газа и жидкости.
Жидкость состоит из движущихся молекул, которые удерживаются на
относительно небольших расстояниях друг от друга молекулярными силами
притяжения Ван-дер-Ваальса. Поскольку жидкость рассматривается как сплошная
среда, в основе которой лежит гипотеза сплошности, то, рассматривая малый
элемент сплошной среды, можно его характеризовать наличием некоторого
среднего молекулярного поля, такого, что в среднем силы притяжения любой
молекулы в этом элементе в любом направлении одинаковы.
Подобное предположение нарушается на межфазной поверхности, напри-
мер на поверхности, разделяющей жидкость и газ, поскольку движение молекул
в жидкости менее свободно, чем в газе. В газе взаимодействие молекул слабее,
чем в жидкости. Взаимодействие молекул в жидкости препятствует им поки-
дать жидкость через межфазную поверхность (испарение). Поэтому на моле-
кулы жидкости, находящиеся на поверхности, действуют силы, направленные
вдоль и внутрь поверхности (рис. 17.1).
В результате поверхность находится в напряженном состоянии, как мем-
брана, и пытается как бы уменьшиться в размере. Следует подчеркнуть, что
представление межфазной поверхности как гладкой поверхности менискового
типа, на которой концентрация молекул терпит разрыв, является идеализацией,
поскольку в действительности эта поверхность имеет толщину порядка 10 —
100 нм, в которой концентрация молекул изменяется непрерывно от значения в
жидкой фазе до значения в газовой фазе.
Поведение межфазной поверхности можно описать, используя энергетичес-
кий подход. Поскольку молекулы жидкости на межфазной поверхности испы-
тывают меньшее притяжение со стороны соседних молекул, чем молекулы, на-
ходящиеся в толще жидкости, то энергия притяжения, приходящаяся на одну
молекулу жидкости на поверхности, меньше энергии притяжения молекулы в
толще жидкости. Вследствие этого энергия поверхностной молекулы составляет
только часть энергии внутренних молекул. Поскольку свободная энергия сис-
темы стремится к минимуму, то поверхность жидкости стремится уменьшиться.
Обозначим через S силу, действующую на единицу длины и стремящуюся
уменьшить поверхность. Тогда, вводя свободную энергию F [12]
F = E-TS, (17.1)
имеем следующее выражение для Z:
432
Е = dF/ds,
(17.2)
где 5 — площадь поверхности.
Из (17.2) следует, что Е > О при условии уменьшения F и 5. Величина Е
(Н/м) называется коэффициентом поверхностного натяжения. Ниже представ-
лены значения S некоторых чистых жидкостей со своим паром при нормальной
температуре.
Вещество
Вода
Нитрометан
Бензин
Метанол
Ртуть
S, мН/м
72,88
32,66
28,88
22,50
486,5
Коэффициент поверхностного натяжения уменьшается с увеличением темпе-
ратуры, поэтому
д£
8Т
0.
(17.3)
Падение Е с ростом Т происходит практически линейно и оценивается
величиной -0,1 Н/К.
Поверхностное натяжение природных углеводородных жидкостей зависит
как от температуры, так и от давления. На рис. 17.2 показана характерная за-
висимость Е от давления для конденсата природного газа.
Известно, что адсорбция поверхностно-активных веществ (ПАВ) на меж-
фазной поверхности приводит к образованию на поверхности ориентирован-
ного монослоя, снижающего поверхностное натяжение. Типичные водные
растворы ПАВ содержат органические молекулы с длинными углеводородны-
ми «хвостами» и полярными головками [13]. Углеводороды практически не-
растворимы в воде, а вода является высокополярной жидкостью. На рис. 17.3
показано, как молекулы идеального ПАВ адсорбируются на поверхности воды.
Полярные головки молекул проникают в воду, а углеводородные «хвосты»
остаются в газовой фазе. Для образования монослоя требуется относительно
немного молекул.
Введем понятие поверхностной концентрации ПАВ — Г (моль/м2) [2].
Если внешняя среда представляет собой бинарный раствор с объемной моляр-
ной концентрацией растворенного в ней ПАВ С, то при равновесии значения Г
и С связаны уравнением Гиббса (изотерма Гиббса):
с az
AT 5С ’
(17.4)
где А — газовая постоянная.
Из (17.4) следует, что увеличение концентрации ПАВ С в растворе
приводит к снижению поверхностного натяжения при условии, что ПАВ ад-
сорбируется на поверхности, т. е. Г> 0. Если концентрация ПАВ в растворе
мала, то молекулы ПАВ ведут себя независимо. Увеличение С приводит к их
агрегированию и образованию мицелл. Мицеллы — это образования, форму
которых можно приближенно считать сферической. Они содержат от 50 до
100 молекул.
Полярные головки молекул окружены двойными слоями и находятся в
воде, в то время как углеводородные «хвосты» собраны вместе в области, в
которой отсутствует вода. Мицеллы образуются при превышении концентрации
ПАВ критического значения Ссг, называемого концентрацией мицеллообразова-
28 - 1461 433
Рис. 17.2. Характерная зависимость коэф-
фициента поверхностного натяжения конден-
сата природного газа от давления
Рис. 17.3. Адсорбция ПАВ на межфазной поверхности
ния. Увеличение С сверх Ссг не изменяет Е, оно приводит только к дополни-
тельному образованию мицелл [14].
Перейдем теперь к кинетике процесса адсорбции. Характерное время, не-
обходимое для установления равновесного значения S поверхности жидкости,
оценивается выражением t ~ Р/D, где D — коэффициент диффузии молекул
ПАВ, / — размер молекул. Это время имеет смысл времени, в течение которого
поверхностные молекулы обмениваются с соседними молекулами в жидкости.
Для характерных значений D - 10~9 м2/с и I - 0,3 нм (диаметр молекулы воды)
имеем t~ 10‘10 с. Следовательно, установление Е происходит практически мгно-
венно.
Другим характерным временем является время пребывания молекулы
на поверхности при условии равновесия с паром жидкости, т. е. при усло-
вии, что число испаряющихся молекул равно числу конденсирующихся
молекул. Для паров воды коэффициент диффузии £)~10-6 м2/с, а толщина
парового слоя /-0,1 мкм. Тогда можно оценить частоту столкновения молекул
пара с поверхностью: D/P - 108 с-1. Если доля молекул, способных конден-
сироваться, составляет 0,1, то характерное время жизни молекулы на поверх-
434
ности - 10~7 с. Это время больше времени установления Е, но все равно
достаточно мало.
Проведенные рассуждения для межфазной поверхности жидкость — газ
можно применить для межфазной поверхности, разделяющей две несмешиваю-
щиеся жидкости. Значение поверхностного натяжения межфазной поверхности
жидкость — жидкость лежит между Е, и Е2 - поверхностными натяжениями
каждой жидкости.
До этого момента мы рассматривали плоскую межфазную поверхность.
Поверхностное натяжение стремится искривить поверхность, в результате чего
появляется отрицательный скачок давления при переходе через поверхность со
стороны, в которой расположен центр кривизны. Выражение для перепада
давления называется уравнением Юнга — Лапласа
Ap = sfj- + J-\ (17.5)
I К| 1<2 J
где и Т?2 ~ главные кривизны межфазной поверхности.
В частном случае, когда рассматриваются сферические капли или пузырь-
ки, 7?! = R2 = а и
Ар = р,- pe = 2Z/a, (17.6)
где р, ре — внутреннее и внешнее давления; а — радиус капли.
Вид формулы (17.6) отражает тот факт, что при условии наступления
термодинамического равновесия поверхностная энергия должна быть мини-
мальной, а при заданной величине объема жидкости минимальной площади
поверхности соответствует площадь сферы. Из (17.6) следует, что при а-»со
(плоская поверхность) Ар —> 0.
Перейдем теперь к рассмотрению поведения жидкости на твердой поверх-
ности. Молекулы твердой поверхности в отличие от жидкости или пара непод-
вижны. Если на рис. 17.1 область, занятую газом, заменить твердой поверхно-
стью (например, стеклом), то молекулы жидкости на межфазной поверхности
испытывают со стороны молекул твердого тела большее притяжение, чем со
стороны внутренних молекул жидкости. Твердая поверхность в отличие от
жидкой не бывает абсолютно однородной (чистой). Наличие неровностей и
различных примесей влияет на поверхностное натяжение жидкости. Поэтому
силы притяжения со стороны молекул реального твердого тела могут быть
меньше, чем для идеальной гладкой поверхности.
Жидкая капля, помещенная на твердую поверхность, испытывает взаимо-
действие не только с поверхностью твердого тела, но и с окружающим газом
(рис. 17.4). Возможны два случая: капля свободно растекается по поверхности
твердого тела или остается в форме капли, поверхность которой в точках
контакта с твердой поверхностью составляет конечный угол 0, как показано на
рис. 17.4. Вдоль поверхности в точках контакта действует сила, равная Е,
направленная по касательной к межфазной поверхности. Тогда на линию кон-
такта твердого тела и капли действуют силы Е5С — между молекулами твердого
тела и газа, Е£С — между молекулами твердого тела и жидкости и Е cos 0 —
проекция силы поверхностного натяжения жидкость — газ на плоскость твер-
дого тела. Из условия равновесия контактной поверхности следует уравнение
Юнга
S cos 0 = Е5С - Elc. (17.7)
Из (17.7) следует, что
28* 435
2
Газ
Контактная
линия
Жидкость
^•SL
0
Твердое тело
Рис. 17.4. Жидкая капля на твердой поверхности
fe=25G-Z5£ = cose
2
(17.8)
Влечина k называется коэффициентом смачивания. Очевидно, что -1 < k < 1.
Если контактный угол 0 = 0, то Л = 1 и жидкая капля полностью растекается по
твердой поверхности. В этом случае поверхность называется полностью смачи-
ваемой. При 0<k< 1 имеем О<0<л/2. В этом случае говорят, что поверх-
ность твердого тела смачиваемая, точнее, нужно говорить, что она частично
смачиваемая. Другой предельный случай соответствует k = — 1, т. е. 0 = л. При
этом твердая поверхность называется полностью несмачиваемой. Из (17.8)
следует, что этот случай соответствует большим значениям Z5£, близким к 2.
При — 1 < k < 0 имеем л/2 <0 <п. В этом случае говорят, что поверхность
несмачиваемая. Примером может служить капля ртути на стекле, для которой
угол контакта 0® 140 °.
Перепишем (17.8) в виде
k = l + —, S = 2sc ~ — (17.9)
Параметр 5 называется коэффициентом растекания. Если 5> 0, то k> 1.
В этом случае линия контакта не может находиться в равновесии.
Условие равновесия контактной линии (17.7) действительно, если контак-
тная линия неподвижна. В задачах о движении жидкости по твердой поверх-
ности необходимо рассматривать подвижную контактную линию [15]. В таких
задачах вводится понятие динамической контактной линии или контактного
угла. Условие на контактной линии является граничным условием соответству-
ющей гидродинамической задачи, в котором необходимо учитывать кроме сил
поверхностного натяжения и силы вязкого сопротивления.
17.2. КАПИЛЛЯРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Под явлением капиллярности понимается способность жидкости при кон-
такте с твердой стенкой составлять конечный или нулевой угол. На практике
под явлением капиллярности понимается способность жидкости подниматься
или опускаться в очень тонких капиллярных трубках или в пористой среде,
436
характеризуемой микрокапиллярной внутренней структурой. В связи с этим
под капиллярным движением понимается движение, индуцированное действием
поверхностных сил. Простейшей демонстрацией явления капиллярности явля-
ется подъем жидкости в вертикальной капиллярной трубке, опущенной одним
концом в резервуар с жидкостью, а другим концом — открытым в атмосферу.
При этом жидкость может подниматься на высоту, которая больше высоты
жидкости в резервуаре. Другими примерами служат растекание капли по про-
мокательной бумаге, смачивающее течение жидкости по твердой поверхности. В
приведенных случаях поверхностное натяжение является движущей силой те-
чения.
Поверхностное натяжение может не быть постоянным на всей межфазной
поверхности, поскольку коэффициент поверхностного натяжения зависит от
концентрации адсорбирующихся на поверхности ПАВ, от температуры и элек-
трического заряда поверхности. Изменение Z приводит к изменению баланса
сил, действующих на межфазную поверхность, а следовательно, может вызвать
течение жидкости. Действительно, граничными условиями на межфазной повер-
хности, разделяющей две несмешивающиеся жидкости, является равенство нор-
мальных и касательных напряжений. В условие непрерывности нормальных
напряжений входят давления, которые на искривленной поверхности связаны
уравнением Юнга — Лапласа (17.5). Если имеется градиент поверхностного
натяжения в направлении касательной к межфазной поверхности, то непрерыв-
ность касательных напряжений требует изменения значений вязких напряжений
вдоль поверхности, а следовательно, поля скоростей в жидкой фазе и формы
межфазной поверхности.
В разделе 17.2 рассмотрим капиллярное движение в вертикальной уз-
кой трубке [2]. Смачивающее течение и течение, вызванное поверхностным
градиентом поверхностного натяжения, будут рассмотрены в разделах 17.3
и 17.5.
Рассмотрим подъем жидкости в вертикальной капиллярной цилиндричес-
кой трубке радиусом а, один конец которой опущен в резервуар с жидкостью,
а другой конец открыт в атмосферу (рис. 17.5).
В узкой трубке кругового поперечного сечения мениск жидкости имеет
Рис. 17.5. Подъем жидкости в вертикальном капилляре
437
приблизительно форму части сферы с постоянным радиусом кривизны
R = а/cos 0, где 0 — статический контактный угол. Отклонение формы менис-
ка от сферической может быть вызвано влиянием силы тяжести. Отношение
гравитационной силы к силе поверхностного натяжения характеризуется без-
размерным параметром, называемым числом Бонда:
2
_ Сила тяжести _ pgL
Сила поверхностного натяжения £ ’
(17.10)
где L — характерный линейный размер.
При Во » 1 силой поверхностного натяжения можно пренебречь по срав-
нению с силой тяжести. При Во « 1, наоборот, сила тяжести несущественна.
Рассматривая область, занятую мениском, следует взять L = h. Тогда усло-
вием того, что сила тяжести слабо искажает сферическую форму мениска, яв-
ляется Во « 1, т. е. h2pg « Z, откуда следует, что
*АС.
(17.11)
Величина Ас имеет размерность длины и называется капиллярной длиной.
Рассмотрим теперь условие равновесия столба жидкости высотой Но. Из
условия Юнга — Лапласа (17.5) следует, что перепад давления на мениске
Ар = Patm “Piiq = 2Е cos Z/a, где p,lq — среднее давление в жидкости на межфаз-
ной поверхности. Гидростатическое давление жидкости у входа трубки в резер-
вуаре phq + рдНй « patm. Из этих двух соотношений следует, что
рдНц = 2Z cos 0/а.
Отсюда находим равновесную высоту столба жидкости
у у Г\( Е | COS 0 Г, Др л
Нп = 2 — --= 2 —cos0.
I Р9 I а а
(17.12)
(17.13)
В зависимости от величины контактного угла высота столба изменяется в
интервале
Д2
Д2г
В частности, для столба ртути 0 » 140°, и столб не поднимается, а опуска-
ется ниже уровня ртути в резервуаре.
Из (17.13) следует, что чем меньше радиус капилляра, тем выше (ниже)
может подняться (опуститься) жидкость. Так, для воды Z = 73 мН/м и в
стеклянном капилляре с а = 0,1 мм имеем Но = О,15 м. Кроме того, измеряя
высоту поднятия (опускания) столба жидкости в капилляре, можно с большой
точностью определить значения коэффициента поверхностного натяжения.
Определим теперь скорость поднятия жидкости в капилляре. Предполо-
жим, что профиль скорости в капилляре пуазейлевский с мтах = 2U и h = a/j2
Тогда получим
dH _ а1 Др
~di ~ ~Н'
(17.14)
где Н < Но — расстояние от поверхности жидкости в резервуаре до свободной
поверхности в капилляре в момент времени t.
Известно, что пуазейлевский профиль устанавливается в развитом течении
438
через время t» а2/у, поэтому сделанное предположение является приближе-
нием к действительному профилю скорости. Значение Др, входящее в (17.14),
можно рассматривать как разность гидростатического давления на установив-
шейся высоте Н() и на текущей высоте Н. Тогда с учетом (17.12) имеем
Др = рдН0 - рдН = 2£^os9 - рдН.
Подставляя (17.15) в (17.14), получаем
и dH _ 1
s dt ~ 8
I г, d Л рОД2 А
t2Hcos0-v}
(17.15)
(17.16)
Здесь параметр рра2/Е = Во, определенный по радиусу капилляра. Другой
безразмерный параметр следует из вида левой части (17.16). Обозначим через
U характерную скорость. Тогда можно ввести капиллярное число
Са ___Вязкая сила______________________ pH
Сила поверхностного натяжения У
(17.17)
Решение уравнения (17.16) при условии Н = 0 при t = Q имеет вид
t - т In
1
1-Я/Яо
н )
Но/
(17.18)
где введен параметр
8цН0 = 8 р я0
рда2 Z Во
(17.19)
Поскольку Н->Н0 при t->oo и первое слагаемое в правой части (17.18)
намного больше второго, то можно приближенно написать
— « 1 - е'</т
По
(17.20)
Тогда т можно рассматривать как характерное время поднятия столба
жидкости. Для воды в рассмотренном выше примере (Но = 0,15 м, а = 0,1 мм)
имеем т = 12 с. Заметим, что при этом а2/у ~ 10 2 с и условие т » а2/у, при
котором получено решение, удовлетворяется. Число Бонда в рассматриваемом
примере Во = 1,3 • 10“3, что свидетельствует [см. (17.10)] о малости силы тяже-
сти по сравнению с силой поверхностного натяжения.
17.3. СМАЧИВАЮЩЕЕ ТЕЧЕНИЕ
Под смачивающим течением понимается течение тонкого слоя жидкости по
твердой поверхности. Обзор работ в этой области содержится в работе [16], в
соответствии с которой основная задача — заставить жидкость растечься тон-
ким слоем по возможно большей поверхности. Хотя напряжения, обусловлен-
ные поверхностными силами, малы по сравнению с перепадом давления, требу-
емым для преодоления вязких сил, их учет необходим при фиксированном
расходе жидкости.
Гидродинамическая задача смачивающего течения состоит в определении
стационарного решения, дающего связь между геометрией пленки, свойствами
жидкости, скоростью течения пленки и ее толщиной. Двумерность течения,
наличие неизвестной свободной границы и нелинейность вызывают наибольшие
439
математические трудности при решении этой задачи. Кроме того, важная зада-
ча — исследование устойчивости такого течения.
Классической задачей является задача определения толщины смачивающей
пленки на плоскости, которую извлекают из резервуара, заполненного вязкой
жидкостью [2]. Ограничимся рассмотрением течения при малых капиллярных
числах Са « 1. Считаем также, что толщина пленки налипшей на пластину
после извлечения ее из резервуара, мала по сравнению с характерным линей-
ным размером течения (рис. 17.6).
Сила вязкости важна при течении в слое пленки, но пренебрежимо мала
в области статической поверхности жидкости в резервуаре, в которой форма
мениска определяется балансом силы поверхностного натяжения и гидростати-
ческого давления. Переход от статической поверхности к поверхности устано-
вившейся пленки происходит через искривленную в форме мениска поверх-
ность. Поскольку установившаяся толщина пленки мала, то поверхность пленки
должна быть полностью смачиваема и контактный угол должен быть равен
нулю. Если R — радиус кривизны мениска в переходной области, то характер-
ный линейный масштаб течения в этой области равен R. Следовательно, условие
малости толщины пленки сводится к неравенству « R. Течение в пленке
можно считать почти параллельным поверхности пластины.
Рассмотрим течение в пленке. Поскольку нас интересует толщина ус-
тановившейся пленки, то пренебрежем в уравнениях нестационарными чле-
нами. Условие стационарности означает, что t » = R2/v, где — время
установления равновесия. Предполагается также малость числа Рейнольдса
Re = pC77?/p« 1, поэтому инерционными членами в уравнениях Навье —
Стокса можно пренебречь. Кроме того, считаем малыми гравитационные эф-
фекты. Это означает, что число Бонда Bo = pg7?2Z« 1.
Сделанные предположения позволяют свести уравнения движения просто
к условию баланса градиента давления и градиента сдвиговых напряжений.
Если коэффициент поверхностного натяжения остается постоянным на межфаз-
ной поверхности, то капиллярное давление в жидкости
„ S S5' v'o»
-V» = —=-----------» S5 . (17 21)
Н R (1 + 5'2)3/2 u/.zi?
При выводе (17.21) использовано, что /?,=со, Т?2 = 7? = (1 + 8'2)3/2/5" —
440
радиус кривизны поверхности 5 = 5(х). Кроме того, в области течения
пленки (8')2 « 1.
Уравнения Навье — Стокса с учетом сделанных предположений сводятся
к равенству вязких и поверхностных сил:
v d35 82и п
X,-----h II--- = О,
dx3 ду2
(17.22)
где и — скорость в пленке вдоль оси х.
Используя граничные условия прилипания на пластине
u=U при у = 0 (17.23)
и равенства нулю касательного напряжения на свободной поверхности пленки
ц = 0 при у = 5 (х)
и интегрируя (17.22) по у, получаем
(17.24)
(17.25)
(17.26)
(17.27)
(17.28)
(17.29)
(17.30)
Уравнение (17.25) позволяет найти расход жидкости в пленке
0=
J И dx3 3
о
В пленке вдали от поверхности резервуара 5 -» 8{ = const и
Приравнивая (17.26) и (17.27), найдем
Заметим, что ц(7/Z = Са. Введем безразмерные переменные
с /о
8 „ х( Зци ]
П 5/ ’ 5 Д S J
В этих переменных уравнение (17.28) перепишется в виде
Т]3Т)'" = 1 - Т].
Для решения уравнения (17.30) необходимы три условия, а для определе-
ния 8f требуется еще одно условие.
Первое условие очевидно:
т]-» 1 при ^-»со. (17.31)
Оно означает, что 5 -» 8f при х-эда (см. рис. 17.6). При г] -» 1 решение
уравнения (17.30) стремится к
ц-»1+АеЛ (17.32)
Остальные экспоненты при £,-»<» неограниченно возрастают, поэтому ко-
эффициенты при них должны быть равны нулю, а поскольку £-»•<», то выраже-
ние (17.32) должно быть инвариантно относительно выбора ф Это означает,
что в (17.32) можно положить А = 1.
441
Последним является условие сопряжения кривизны поверхностей пленки и
мениска. Для того чтобы сформулировать это условие, делается предположение,
что в переходной области кривизна мениска постоянна. Тогда переход от плен-
ки к статической поверхности осуществляется таким образом, что кривизны этих
областей в месте сопряжения равны постоянной кривизне переходной области.
В безразмерных переменных (17.29) это условие равносильно выполнению
условий [2]
(
d2n
d^
= а.
(17.33)
Здесь а — постоянная, которая может быть найдена путем численного
интегрирования уравнения (17.30).
Для определения постоянной кривизны мениска в переходной области
воспользуемся условием на свободной поверхности, образующей нулевой кон-
тактный угол с твердой поверхностью (см. рис. 17.6). Это условие вытекает из
равенства гидростатического давления капиллярному:
S5'
---------------= рах.
(1 + 5-2)372---™
(17.34)
Использовав первое условие, что жидкость на поверхности резервуара
должна быть горизонтальна, т. е. 5' -» -со при 0, и проинтегрировав (17.34)
один раз по х, найдем
2
8 _ рдх 1
(1 + 3'2)1/2 2Е Ь
(17.35)
Другое условие состоит в условии перехода к режиму пленочного течения,
когда пленка почти параллельна пластине, т. е. 5'-»0. При этом из (17.34) и
(17.35) следует, что кривизна асимптотически стремится к
/ \i/2 г
5’_> ±Р£ = ——, (17.36)
У S ) Ас
где Ас — введенная в (17.11) капиллярная длина. Тогда
= V2-^(Ca)-2A (17.37)
\Л2А->о Лс
В силу условия (17.33) (d2t]/d^2')r\^Q = а, причем согласно [2] а = 0,643.
Тогда из (17.37) найдем
— = 0,946 (Са)2/3. (17.38)
Ас
Поскольку 8"=1/7? [см. (17.21)] и Дс = V2/5" [см. (17.36)], то (17.38)
перепишется в виде
^- = 0,643(3 Са)2/3. (17.39)
Ас
Проведенный анализ сделан при условии t>f/R « 1, поэтому из (17.39)
следует, что Са « 1.
Более подробный асимптотический анализ решения задачи можно найти в
[17]. Формальная процедура сращивания асимптотических разложений показы-
вает, что решение вида (17.38) и (17.39) годится при Са->0. В частности,
442
Рис. 17.7. Выдавливание воздухом вязкой жидкости из капилляра
можно показать, что в этом приближении сила тяжести не оказывает влияние
на течение в пленке. В случае конечных значений Са < 1 выражение (17.38)
видоизменяется [17]:
= 0,946(Са)2/з(1 - 0,113 Са1^ +...). (17.40)
Близкой по характеру к рассмотренной выше задаче является задача о
кавитации в тонком слое между двумя вращающимися цилиндрами [18]. Вра-
щение двух цилиндров приводит к вытеканию вязкой жидкости из резервуара
с образованием тонкого смачивающего слоя на поверхности цилиндров. Зазор
между поверхностями цилиндров мал, поэтому течение в образующейся пленке
происходит под действием сил вязкости и поверхностного натяжения. В обла-
сти зазора между цилиндрами жидкость течет параллельно поверхности. Ха-
рактер течения такой же, как в пленке на поверхности пластины, извлекаемой
из жидкости.
Другой аналогичной задачей является задача о выдавливании воздухом
вязкой жидкости из капилляра (рис. 17.7) [19]. Течение аналогично течению
в задаче о смазочном слое между вращающимися цилиндрами. Чтобы в этом
убедиться, нужно связать систему координат с движущимся с постоянной ско-
ростью U пузырем. Тогда пузырь неподвижен, а стенки капилляра движутся
со скоростью U налево относительно пузыря. Возле фронта пузыря поверх-
ность жидкости образует межфазную поверхность типа мениска, которая затем
переходит в пленочное течение на поверхности капилляра. При малых числах
Re и Са уравнение движения сводится к балансу вязких и капиллярных сил.
В переходной области возле фронта пузыря толщина слоя жидкости изменя-
ется по закону
5 = -^ — + 1,79(3 Са)2/3а. (17.41)
2 а
17.4, ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
И ДРОБЛЕНИЕ СТРУЙ
В предыдущем параграфе были рассмотрены равновесные формы межфаз-
ной поверхности в некоторых смачивающих течениях. Открытым остался воп-
рос о поведении возмущений межфазной поверхности. Если частицы жидкости,
находящиеся на ее поверхности, испытывают под действием случайных возму-
443
щений малое смещение так, что поверхность жидкости деформируется и откло-
няется от равновесной формы, то возникают силы, стремящиеся вернуть повер-
хность к равновесной форме. Это может быть вызвано двумя причинами.
Деформация формы поверхности приводит к увеличению свободной энергии
поверхности, в результате чего появляются капиллярные силы, стремящиеся
сократить общую поверхность, придав ей равновесную форму. Если жидкость
находится в поле тяжести, а ее поверхность плоская, то возмущение поверхно-
сти сопровождается появлением сил, стремящихся вернуть поверхности плос-
кую форму. Под действием этих сил жидкие частицы, смещенные из положения
равновесия, будут стремиться вернуться в него. Однако по инерции они будут
проходить положение равновесия, затем вновь испытывать действие восстано-
вительных сил и т. д. Поэтому на поверхности жидкости, подвергшейся случай-
ному возмущению, будут возникать волны.
Если основной причиной возникновения волн служит поверхностное натя-
жение, то такие волны называются капиллярными. В случае гравитационных
сил говорят о гравитационных волнах. Примером может служить истечение
струи жидкости из насадка в воздух. На некотором расстоянии от насадка
поверхность жидкой струи покрывается волнами, а затем струя распадается на
капли (дробится). Другим примером являются волны на поверхности жид-
кости.
Рассмотрим плоские волны синусоидальной формы с малой амплитудой.
Обозначим через X длину волны, а через а — амплитуду. Волны возникают на
поверхности воздух — вода и распространяются в положительном направлении
оси х со скоростью с (рис. 17.8). Считаем воду невязкой несжимаемой жид-
костью. Поскольку вязкая диссипация отсутствует, то амплитуду волны можно
считать неизменной. Обозначим через С>(х, t) — вертикальное возмущение меж-
фазной поверхности, которая в состоянии равновесия находится в горизонталь-
ном положении. Тогда С, можно представить в виде
z = Q(x, t) = a sin (at - kx), (17.42)
где волновое число k и частота со связаны с периодом т и длиной волны X
соотношениями
а = ~, k = - = —, А. = ст. (17.43)
т с X
Отсутствие вязкости жидкости означает, что амплитуда не может умень-
шаться или увеличиваться, но волна может рассеиваться, т. е. со может зависеть
от k. В [2] показано, что возмущения, амплитуда которых мала по сравнению
с длиной волны (а«Х), описываются линеаризованным уравнением
Рис. 17.8. Волны на поверхности жидкости
444
(17.44)
где й — скорость возмущений, ре = -р - pgz — полное давление.
Обозначим через ра атмосферное давление. Тогда при равновесии гидро-
статическое давление в жидкости
Ро = Ра~Р92. (17.45)
В возмущенном состоянии
Р=Ро + <рД, (17.46)
где (ре)д — возмущение давления.
На межфазной поверхности должно выполняться условие р = р„. Тогда из
(17.45) и (17.46) следует, что
(рД = Р<^. (17.47)
Искривление межфазной поверхности приводит к появлению капиллярно-
го давления
(pJ9=|«-Z^. (17.48)
8х2
Здесь учтено уравнение Юнга — Лапласа (17.5) при условии = <х>, R2 =
=для малых возмущений [см. (17.21)].
Из (17.42) следует, что C,xx = -k2C, и
(pe)g = Zk2Q. (17.49)
Избыточное давление в жидкости возле межфазной поверхности склады-
вается из капиллярного и гидростатического давлений
Ре = Р Р +----- k = p^eff-
I Р J
(17.50)
Из (17.50) следует, что поверхностное натяжение эквивалентно повыше-
нию гидростатического давления за счет увеличения силы тяжести от д до дс({.
Если сила поверхностного напряжения намного превосходит силу тяжести,
то волны являются капиллярными. Это условие можно записать в виде
fe2Z/p»g или с учетом равенства k = 2л/Х:
к « 2л
(17.51)
В другом предельном случае fe2L/p « д или
т1/2
к » 2л — = 2лДс
(17.52)
волны являются гравитационными.
Таким образом, капиллярная длина Д„ является характерным линейным
масштабом, разделяющим капиллярные (к « Дс) и гравитационные (к » Дс)
волны. Например, для воды (Z = 73 мН/м, р = 1000 кг/м3) имеем 2лД. = 1,7' 10“2 м.
Следовательно, для капиллярных волн к « 10'2 м (малая длина волны, боль-
шая частота), а для гравитационных волн к» 10-2 м (длинные волны).
Из уравнения (17.44) и уравнения неразрывности V-m = 0 следует, что
возмущения поля скоростей потенциальны и = Уф и потенциал ф удовлетворяет
уравнению Лапласа Дф = О. Из уравнения (17.44) следует, что
445
pv^.-vp.
или
pf = ~Ре +F(t),
где F(t) — произвольная функция времени.
Ее можно положить равной нулю, поскольку если она не равна нулю, то
можно ввести новый потенциал
ф' = ф + ^Fdt,
при котором F(t) выпадает из уравнения. Таким образом, имеем
Ре=-Р>. (17.53)
Используя далее условие в жидкости (17.50), получаем условие на меж-
фазной поверхности
(fl = (17.54)
к Л=о
Заметим, что исходя из условия малости амплитуды (а « X) это условие
формулируется не при z = Q, а при z = 0, т. е. граничное условие на возмущенной
поверхности снесено на невозмущенную поверхность, что соответствует линеа-
ризации граничного условия.
Второе граничное условие на межфазной поверхности следует из кинема-
тического условия равенства вертикальной скорости частиц жидкости скорости
вертикального перемещения поверхности:
DQ/Dt = w при z = Q. (17.55)
Поскольку DQ/Dt = BQ/dt + и • VQ, то линеаризируя этот оператор, отбра-
сывая член высшего порядка и • VQ и снося это условие на невозмущенную
поверхность z = 0, получаем
Другие граничные условия зависят от геометрии рассматриваемой задачи.
Так, если рассматриваются волны на поверхности жидкости большой глубины,
то, предполагая, что вдали от поверхности возмущения отсутствуют, имеем
ф = const при z->-oo. (17.57)
В случае волн на поверхности жидкости большой глубины ищем решение
уравнения Лапласа в виде
ф = Ае*гсоз (at-kx). (17.58)
Нетрудно проверить, что выражение (17.58) удовлетворяет условиям (17.54)
и (17.56) при
<й2 = kgf,c, А = аа (17.59)
и при условии, что возмущения на поверхности жидкости имеют вид (17.42).
Возмущения экспоненциально затухают при z -» -со, характерная глубина зату-
хания 1//г = Х/2л.
446
(17.60)
(17.61)
(17.62)
Скорость распространения поверхностных волн
/ >1/2 /о v , \’/2
с _ ю _ [ geff 1 [ ^-geff | _ ( j
k k J 2л J \ 2л)
Скорость распространения волн имеет по X минимум
/ , \1/2 f у Л1/2
cmln=(^=J , Хт1п=2л1 —I = 2лДс.
Для воды Xmin= 1,7 • 10'2 м и Cmin = 0,23 м/с.
Для капиллярных волн из (17.60) следует
_Г2лЕ^
Ссар I рМ '
Это соотношение между скоростью распространения капиллярных волн и
коэффициентом поверхностного натяжения часто используют для эксперимен-
тального определения Z. Неучет вязкости жидкости приводит к тому, что ам-
плитуды плоских поверхностных волн не изменяются. Учет вязкости и изме-
нения коэффициента поверхностного натяжения приводит к затуханию поверх-
ностных волн. В следующем разделе будет обсуждаться вопрос о гашении волн
поверхностно-активными веществами.
Рассмотрим теперь волны, образующиеся на свободной поверхности цилин-
дрической жидкой струи. Эти волны являются причиной дробления струи на
капли. Поэтому нас интересуют условия, при которых малые капиллярньге
возмущения увеличивают амплитуду возмущений и приводят в итоге к дробле-
нию струи. С физической точки зрения дробление медленно текущей цилинд-
рической струи происходит по следующей причине. Если струя в каком-то
сечении утолщилась, то поверхностное натяжение стремится уменьшить свобод-
ную поверхность так, чтобы минимизировать свободную энергию. Простые гео-
метрические соображения показывают [20], что поверхность цилиндра заданно-
го объема уменьшится, если этот объем разобьется на сферические капли, ра-
диус которых более чем в 1,5 раза больше радиуса цилиндра. Действительно,
рассмотрим цилиндр радиусом R и длиной L. Тогда его объем и площадь
поверхности Vc = nR2L, Sc = 2itRL, так что Vr = S,R/2. Пусть этот цилиндр
распадается на п шаров радиусом г. Тогда объем шаров и их поверхность
Vs = Длт^и/З, Ss = 4nr2n = 3Vs/r. Из условия V, = Vc следует, что Ss = 3Vc/r =
= 3S,R/2r = 1, 5S/?/r или r/R = 1, 5SC/Ss. Из условия Sc/Ss> 1 следует, что
г> 1,57?. Кроме того, можно показать, что если струя дробится на п>2 одина-
ковых сферических капель, то среднее расстояние между каплями будет более
l,5m/(n - 1), причем 1 < п/(п - 1) < 2.
Причиной дробления является неустойчивость возмущений формы поверх-
ности цилиндрической струи, приводящая к сильному утоныпению поперечного
сечения и в итоге к разрыву и выделению свободной энергии. Поскольку
суммарная площадь поверхности образующихся капель меньше площади поверх-
ности цилиндрической струи, то поверхностная энергия уменьшается. Все ска-
занное является следствием осевой симметрии струи, в плоском случае подоб-
ного не происходит.
Имеется много различных видов дробления струи. Рассмотрим те, которые
приводят к распаду струи на сферические капли под действием капиллярных
сил. Скорость истечения струи в воздух будем предполагать малой. Если ско-
рость истечения струи большая, то на устойчивость поверхности струи влияет
динамика внешней среды, в частности силы вязкого трения и изменение давле-
447
ния. Поэтому дробление высокоскоростных струй имеет другой характер по
сравнению с дроблением низкоскоростных струй. Так, струя, вытекающая в газ
с малой скоростью, распадается на относительно крупные капли, в то время как
при большой скорости истечения струя дробится на множество мелких капель
различного размера.
Теория гидродинамической устойчивости малых возмущений низкоскоро-
стных струй относительно проста. Если возмущения не малы по сравнению с
радиусом струи, то необходимо учитывать нелинейные эффекты, что значитель-
но усложняет задачу. Подробное обсуждение этого вопроса можно найти в
обзоре [21].
Задача о линейной устойчивости несжимаемой невязкой жидкости в форме
бесконечно длинного цилиндра кругового сечения, окруженного воздухом, была
впервые рассмотрена Релеем [22]. Эта и последующие за ней работы [23, 24]
по гидродинамической устойчивости включают четыре этапа. Первый состоит в
определении параметров основного невозмущенного течения: полей скоростей,
давлений, температур. Следующим этапом является предположение о малости
возмущений этих параметров и линеаризация уравнений и граничных условий.
В итоге получается однородная линейная система уравнений в частных произ-
водных, коэффициенты которой могут зависеть от пространственных координат,
но не зависят от времени. Третий этап состоит в определении элементарного
решения для выбранного начального возмущения. Обычно решение ищется в
виде комплексного Фурье-представления периодических функций. Например,
элементарное решение можно искать в виде нормальной моды
ф(х, z, О = Ф(г)е’(ю'*Ъ:), (17.63)
где Ф и <о — комплексные числа; k — действительное число.
Действительная часть ф представляет собой одномерную волну, распрост-
раняющуюся в направлении оси х. Эта волна может расти, затухать или не
изменяться со временем. Последний случай реализуется, например, в виде (17.58).
Положим со = <ог+ по,. Тогда при <о, < О в (17.63) показатель экспоненты, зави-
сящий от времени, положительный и ф неограниченно растет со временем. Это
значит, что возмущения неустойчивы и со временем растут. Для <о, > 0 показа-
тель экспоненты отрицательный и возмущения со временем убывают. Это оз-
начает, что возмущения устойчивы. При <о, = 0 ф либо не зависит от t, если <ог = О,
или является периодической функцией t. В этом случае говорят о нейтральной
устойчивости.
Обычно возмущения удобно представлять в виде суперпозиции нормаль-
ных мод, каждую из которых можно рассматривать независимо, поскольку
уравнения линейны. В этом случае основная задача состоит в определении
спектра нормальных мод, определяющего возмущение.
Последним четвертым этапом является нахождение собственных функций
Ф(х) и соответствующих комплексных волновых скоростей с. При этом линей-
ная система уравнений в частных производных сводится к линейной системе
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод исследования устойчивости малых возмущений цилиндрической струи
невязкой несжимаемой жидкости аналогичен рассмотренной выше задаче о малых
возмущениях. Основное отличие от плоского случая заключается в осевой
симметричности задачи с характерным линейным размером а — радиусом струи.
В системе координат, движущейся со скоростью струи, струя неподвижна. Будем
пренебрегать силой тяжести и учитывать только силу поверхностного натяже-
ния. Тогда давление вдоль струи p = pa + Z/a (так как Я^оо, Т?2 = а). Перей-
448
дем теперь к линеаризации уравнений и граничных условий. Принимаем, что
возмущения течения малы. Рассмотрим уравнение движения. После линеари-
зации, т. е. после отбрасывания членов второго порядка малости для возмуще-
ний скорости и полного давления, получим уравнение (17.44). Поскольку те-
чение потенциальное, то возмущение потенциала скорости удовлетворяет урав-
нению Лапласа Аф = О, которое в цилиндрической системе координат (г, 0, z)
имеет вид
1±Гг^ + -1^ + ^ = 0
г дг{ drj г2 902 бт2
(17.64)
Пусть радиальное смещение поверхности струи при малом возмущении
r = £(z, 0, t). (17.65)
Линеаризованное граничное условие на поверхности струи аналогично
(17.48) для плоской поверхности. Для осесимметрической задачи оно принима-
ет вид
1 82Q М
a2 5Q2 a2
(17.66)
Аналогично (17.56) записывается кинематическое условие на поверхности
струи
5; =
St Jr
(17.67)
Отметим, что так же, как и в плоской задаче, условия (17.66) и (17.67)
снесены на невозмущенную поверхность струи г = а.
Таким образом, уравнения (17.64) и условия (17.66) и (17.67) представ-
ляют собой линеаризованные уравнения и граничные условия.
Переходим теперь к определению возмущений. Ищем возмущения в воде,
следующем из общего представления нормальной моды (17.63):
ф(г, 0, z, О = -» ф(г) е₽( cos (kz + n0), (17.68)
где k — осевое волновое число; п — положительное целое; Р — коэффициент
усиления или затухания.
Подставим выражение (17.68) в уравнение (17.64). Разделяя переменные,
получаем для Ф(г) уравнение Бесселя
42Ф I <?Ф ,3. „ z._
-ГТ + --Т-- ^- + /г2 Ф = 0, (17.69)
ar2 г аг \гг )
общее решение которого имеет вид
Ф = AI„(kr) + BK„(kr), (17.70)
где 1„ и Кп — модифицированные функции Бесселя первого и второго порядка.
Поскольку Кп имеет особенность, т. е. -» оо при r-эда, из условия ограничен-
ности Ф следует, что В = 0, поэтому
Ф=А7„(/гг). (17.71)
Воспользовавшись теперь кинематическим условием (17.67) и видом Ф из
(17.68) и (17.71), получим выражение для радиального смещения возмущенной
поверхности
29 - 1461 449
С, - ePt cos (fez + nG). (17.72)
Подставляя (17.72) в (17.66), найдем полное давление ре. Используя, далее,
уравнение Бернулли (17.53) ре + р^ф/St = 0, можно исключить постоянную А.
В итоге получаем дисперсионное уравнение, связывающее параметры возмуще-
ния ф (17.68):
2 =р-р^(1-а2
ура J /„(а)
п2),
(17.73)
а = ak.
Уравнение (17.73) определяет условия устойчивости струи. Заметим, что
Р2 ~ Z/pa3, в то время как в плоском случае для капиллярных волн на глубокой
жидкости согласно (17.60) имели и2~£/рХ3. Эти возмущения можно также
получить из (17.73). Действительно, рассмотрим случай а-ak» 1 или а»Х,
т. е. рассмотрим возмущения с длиной волны, малой по сравнению с радиусом
струи. Тогда из свойств функции Бесселя следует, что Г„(a)/In(a) и 1. Поло-
жив в (17.73) р = гы, найдем <о2= fe3Z/p ~ Z/pX3, что соответствует нейтрально
устойчивым капиллярным волнам на поверхности глубокой воды (17.60).
Наибольший интерес представляют решения с р2 > 0, соответствующие
неустойчивости возмущений. Поскольку Гп а/1па > 0 для всех a# 0, то из
(17.73) следует, что р2 < 0 для всех а при п*0 или для |а| >1 при п = 0.
При указанных значениях а и и фактор р мнимый. Это означает, что волны
на поверхности струи не затухают и не увеличиваются. Из вида возмущений
поверхности (17.72) следует, что при возмущения не обладают осевой
симметрией (они зависят от 0), в то время как и = 0 соответствует осесиммет-
ричным возмущениям. Из сказанного следует, что при асимметричных возму-
щениях струя всегда устойчива. Кроме того, из (17.73) видно, что р2 > 0 для -
1 < a < 1 при п = 0. Поскольку a = ak = а2я/Х, это условие означает, что X > 2ла,
т. е. струя неустойчива к осесимметричным возмущениям, если длина волны
Х = 2тс/й этих возмущений превосходит периметр кругового сечения 2ла невоз-
мущенной струи.
Из (17.73) можно найти максимальное значение коэффициента увеличе-
ния ртаз! с изменением а при п = 0:
ртах = 0,343 —
I pa3 I
при a = 0,697.
(17.74)
Найденное значение соответствует самому быстрорастущему возмущению
с длиной волны
Хщах
2л
7
Лтах
2 ла
0,697
= 9,02а.
(17.75)
Согласно предположению Релея, именно эта мода приводит к дроблению
струи.
Полученные результаты отвечают стационарной струе, т. е. струе без учета
ее движения. Тем не менее их можно использовать для оценки длины LB, на
которой струя, движущаяся с постоянной скоростью U, будет дробиться. По-
ложим
LB=UtB. (17.76)
Здесь через tB обозначено время, за которое самая быстрорастущая мода
450
увеличит амплитуду начального возмущения от малого начального значения до
значения порядка 2па — периметра невозмущенного сечения струи. Увеличе-
ние начальной амплитуды в е раз приводит к значению Pma/e = 1 или к зна'
чению
t-в
2 92I — I
Ртах ’ <P«3J
(17.77)
Увеличение амплитуды в 100 раз (/?та/й = 4,61) приводит к значению
1 ( У )-1//2
tB= — = 13,4 — (17.78)
Ртах <раЗ )
Например, для струи воды диаметром 5 мм имеем (pa3/S)1/2 = 4,14 • 10-2 с.
Если скорость струи равна (7 = 0,1 м/с, то она может потерять устойчивость
и раздробиться очень быстро (LB~ 10'2 м).
Найденную ранее длину волны (17.75) этих возмущений можно рассмат-
ривать как расстояние между каплями, на которые раздробится струя. Из
объема жидкости цилиндра длиной Хтах образуется капля диаметром d, поэтому
^ = яа2Хтах. (17.79)
Подставляя сюда Хтах из (17.76), найдем диаметр образующихся капель
d = 3,78а. (17.80)
Любопытно, что приведенная ранее простая геометрическая оценка дает
X > 1,5с? при дроблении струи на одинаковые капли с d За, что дает неплохое
приближение к (17.80).
17.5. ТЕЧЕНИЯ, ВЫЗВАННЫЕ ГРАДИЕНТОМ
ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ.
ЭФФЕКТ МАРАНГОНИ
Как уже отмечалось в разделе 17.1, изменение поверхностного натяжения
S вдоль межфазной поверхности приводит к дополнительным касательным
напряжениям (напряжениям Марангони) на этой поверхности, а следовательно,
и к силам, действующим на среды, прилегающие к обеим сторонам поверхности.
Эти силы в дополнение к силам вязкого трения приводят к изменению поля
скоростей и давлений в этих средах. В частности, если межфазная поверхность
разделяет две неподвижные жидкости или жидкость и газ, то изменение S
может вызвать движение жидкости. Это явление называется эффектом Маран-
гони.
Изменение Е может происходить и в направлении нормали к поверхности,
что приводит к особому виду неустойчивости, называемой неустойчивостью
Марангони. Этот вид неустойчивости аналогичен конвективной неустойчивости,
которая возникает в среде с градиентом плотности, направленным против силы
тяжести (сверху расположена более тяжелая жидкость, чем внизу).
Весьма широкое распространение получила модель межфазной поверхно-
сти как тонкого слоя повышенной вязкости — модель Буссинеска [2]. Для
этого слоя записывается свое феноменологическое соотношение, связывающее
29* 451
тензор поверхностных напряжений с тензором поверхностных скоростей де-
формаций [25]. В работе [26] эта модель использована в задаче о влиянии
поверхностно-активного вещества на динамику свободной межфазной поверх-
ности.
Рассмотрим только изменение S в направлении касательной к межфазной
поверхности. Изменение поверхностного натяжения может быть вызвано изме-
нением температуры [см. (17.3)], изменением концентрации ПАВ или загрязне-
ний на поверхности [см. (17.4)], а также наличием на поверхности электричес-
кого заряда или поверхностного электрического потенциала. В зависимости от
механизма, вызывающего изменение S, соответствующее течение называется тер-
мо-, диффузо- и электрокапиллярным.
Можно привести много примеров течений, вызванных градиентом поверх-
ностного натяжения. Достаточно напомнить об известном еще с древнейших
времен факте демпфирования волн на воде с помощью масла, вылитого тонким
слоем на поверхность. Известно также, что шарик твердой камфары начинает
как бы плясать на поверхности воды. Все эти явления вызваны изменением Z.
Таким образом, для того чтобы решить гидродинамическую задачу о дви-
жении жидкости с учетом изменения Z на межфазной поверхности, необходимо
предварительно знать распределение концентрации вещества, температуры и
заряда на поверхности. Их распределение, в свою очередь, связано с распреде-
лением гидродинамических параметров. Таким образом, решение этой задачи
требует привлечения уравнений сохранения массы, количества движения, энер-
гии и заряда с соответствующими граничными условиями, отражающими баланс
сил на межфазной поверхности: равенство тангенциальных сил и скачок нор-
мальных сил, равный капиллярному давлению, а в случае модели Буссинеска —
учет поверхностной вязкости слоя. В дальнейшем поверхностная вязкость учи-
тываться не будет.
Изменение коэффициента поверхностного натяжения вдоль межфазной
поверхности приводит к появлению тангенциальной силы, направленной от
меньшего значения Z к большему:
/=V,S. (17.81)
Обозначим через fa и f® силы, действующие на межфазную поверхность со
стороны жидкостей аир, разделенных этой поверхностью. Тогда
f°-= п • Та + пр?, /ь=-и • Т₽ - п р^, (17.82)
где Т — тензор вязких напряжений; п — нормаль к межфазной поверхности,
направленная в сторону жидкости р.
Условия баланса сил в проекциях на направления касательной и нормали
к поверхности с учетом (17.81) и (17.82) запишутся в виде
r+A₽+vi2: = o, (17.83)
f“+f?=z(± + ±\ (17.84)
ybl к2 J
В качестве примера рассмотрим термокапиллярное движение тонкого слоя
жидкости в мелком прямоугольном лотке (рис. 17.9) [2, 27, 28]. Изменение
поверхностного натяжения вызвано разностью температур (Tt > Т2), при кото-
рых поддерживается температура боковых стенок лотка. В итоге вдоль свобод-
ной поверхности имеется градиент температуры, что приводит к градиенту
452
Рис. 17.9. Термокапиллярное движение жидкости в мелком прямоугольном лотке (а)
и изменение коэффициента поверхностного натяжения по длине лотка (б)
поверхностного натяжения. Напомним, что для жидкости ffL/dT <0. Предпо-
лагаем, что размер лотка в направлении, перпендикулярном к плоскости XOZ,
и длина лотка / по оси х намного больше высоты слоя жидкости h. При этом
неоднородность течения возле стенок лотка занимает малую область и течение
можно считать двумерным. Условие h« 1 позволяет приближенно считать, что
течение почти параллельно оси х, а высота лотка слабо изменяется по длине.
Поэтому в жидкости имеется малая по сравнению с продольной вертикальная
составляющая скорости. Предположим, что число Рейнольдса возникающего
течения мало по сравнению с единицей. Для оценки Re возьмем в качестве
характерного линейного размера /ц, а в качестве характерной скорости Umm -
максимальную продольную скорость на свободной поверхности, индуцирован-
ную градиентом поверхностного натяжения. Так как форма поверхности изме-
няется медленно по х, то приближенно считаем I VSX I ® dlL/dx. Из условия
(17.83) следует, что p.(du/dy)s = dlL/dx. Поскольку (du/dy)s - то
h, rfS h, (S2 - Si)
ц ax ц I
Найдем теперь число Рейнольдса
z \2
Re _ umax^l _ | ^1 | (S2 - S])
v V ) py2
Если выполняется условие (17.86), то уравнения движения в безынерци-
онном приближении с учетом очевидных неравенств 52ы/дх2 « д2и/dz2, v « u,
и того, что кривизна поверхности жидкости очень большая, имеют вид
др д2и др
дх dz2 дх
Проинтегрируем уравнение неразрывности
du dv п
-г-+ч- = о
дх dz
(17.85)
(17.86)
(17.87)
(17.88)
453
no z от 0 до h и учетом, что v = 0 при z = 0 и v » 0 при z-h. Тогда получим
уравнение сохранения расхода в слое жидкости
Мх)
^u(z)dx = 0.
о
(17.89)
При выводе (17.89) использовано, что /г(х) медленно изменяющаяся функ-
ция х, т. е. I Л'(х) I ~ h/1« 1). Отметим, что (17.89) справедливо везде, кроме
областей вблизи концов слоя, в которых вертикальная скорость v может быть
одного порядка или даже больше и.
Добавим к уравнениям (17.87), (17.88) и (17.89) граничные условия на
дне лотка
и = 0 при z = 0
и на межфазной поверхности [см. (17.83)]
ди <52 , / \
Ц—= — при z = h(x).
dz дх
(17.90)
(17.91)
Мы пренебрегаем вязкими напряжениями со стороны воздуха. Далее,
поскольку кривизна поверхности мала, то нормальные градиенты на поверхно-
сти отсутствуют и условие (17.84) сводится к равенству давлений
р = ра при z=h(x), (17.92)
где ра — атмосферное давление воздуха.
Интегрируя (17.87) по z и используя условия (17.90) и (17.91), получаем
= <17-93>
Воспользуемся выражением для гидростатического давления
Р = Ра + pgth ~ , (17.94)
откуда следует, что
Используя (17.93) вместе с (17.95) и (17.89), находим
Z-Z, =^(Л2-Л2), (17.96)
где 2 = 2, и h = ht при х=0.
Условие (17.96) дает связь изменения h(x) с изменением 2(х). Теперь из
(17.93) можно найти продольную скорость
z 7 Зг _ t/2
2|Л 2Л ) dx
(17.97)
(17.98)
и ее максимальное значение, которое реализуется на свободной поверхности
_ h <72
Mmax “
Скорость равна нулю на высоте z = 2/г/З, а максимальное значение скорости
достигается еще на высоте z = /г/3. Пусть число Рейнольдса Re = hxu^/v - 0,1.
Тогда находим
454
(17.99)
(17.100)
, 2 _ 0,4pv2
1 rfS/rfx'
Зависимость 2ХГ) для жидкости почти линейная. Так, для воды dlL/dT»
» -0,15 мН/м • К. Поэтому, если dT/dx = -100 К/м, то <£L/dx = 1,5 мН/м2.
При v = 10~6 м2/с, р = 103 кг/м3, = 73 мН/ми для , определенному с учетом
(17.99), число Бонда Во = pghi/'L} = 3,6 • 10-3. Малость Во свидетельствует о
преимущественном влиянии сил поверхностного натяжения по сравнению с
силой гравитации.
Таким образом, приведенная оценка показывает, что в рассмотренной зада-
че об одномерном термокапиллярном течении тонкого слоя, поверхностное
натяжение играет основную роль в формировании течения.
Если изменение поверхностного натяжения межфазной поверхности выз-
вано адсорбцией ПАВ из раствора, то необходимо дополнительно определить
концентрацию ПАВ возле межфазной поверхности.
Обозначим через Г мольную концентрацию ПАВ на межфазной поверхно-
сти (моль/м3). Тогда уравнение, описывающее изменение Г, имеет вид уравне-
ния конвективной диффузии с учетом доставки вещества из жидкостей, которые
разделяет межфазная поверхность. В предположении, что каждая жидкость
является бинарным раствором, уравнение диффузии можно получить так же,
как в разделе 4.4. Пусть химические реакции отсутствуют, диффузия подчиня-
ется закону Фика и коэффициенты диффузии постоянны. Тогда уравнение
диффузии ПАВ на межфазной поверхности имеет вид [2]
+ Vs • (ms) = + [DVC] n,
ot
где us — средняя мольная скорость переноса ПАВ по межфазной поверхности;
DshD - бинарные коэффициенты диффузии на поверхности и в растворе; С—
мольная концентрация ПАВ в растворе; п — внешняя к поверхности нормаль;
квадратные скобки означают скачок соответствующей величины при переходе
через межфазную поверхность.
Уравнение (17.100) показывает, что изменение концентрации ПАВ на
поверхности происходит за счет локального изменения Г, конвективного пере-
носа ПАВ вдоль межфазной поверхности, поверхностной диффузии и доставки
вещества из раствора. Последняя составляющая записана в приближении адсорб-
ционно-десорбционной кинетики, т. е. в предположении, что процесс адсорб-
ции — десорбции происходит намного быстрее, чем диффузия. Чтобы решить
уравнение (17.100), необходимо знать распределения скоростей и концентраций
в растворах. Все это значительно усложняет задачу. Решение некоторых подоб-
ного вида задач можно найти в [2, 20].
Остановимся на кратком изложении ряда актуальных прикладных проб-
лем, возможных методах их решения и некоторых результатах.
Один из методов повышения нефтеотдачи пористого пласта — закачка в
пласт пены или ПАВ. Сложность процесса состоит в том, что необходимо
учитывать факторы, влияющие на форму газовых пузырьков, и стремление
пузырьков блокировать микрокапилляры. Поэтому основная задача состоит в
том, чтобы заставить пузырьки двигаться по микрокапиллярам и при своем
движении выталкивать нефть и увлекать пленку нефти, покрывающую стенки
капилляров. Задача аналогична рассмотренной в разделе 17.3 (см. рис. 17.7)
задаче о движении длинного пузыря в капилляре, заполненном вязкой жидко-
стью. Отличие состоит в том, что необходимо учитывать адсорбцию ПАВ на
поверхности пузыря, что приводит к изменению коэффициента поверхностного
455
Рис. 17.10. Выдавливание воздухом вязкой жидкости из капилляра в присутствии ПАВ:
I, V — задняя и передняя полусферические шапки; II, IV — задняя и передняя преходные
области; III — область цилиндрической смачивающей пленки
натяжения. Поэтому рассмотренная в разделе 17.3 гидродинамическая задача
должна быть дополнена уравнением переноса ПАВ (17.100) из жидкости к
межфазной поверхности и условиями (17.83) и (17.84). Наличие ПАВ приво-
дит к дополнительному перепаду давления, проталкивающему пузырь, скорость
движения которого через капилляр оказывается намного больше скорости его
движения в отсутствии ПАВ [20].
На рис. 17.7 было изображено движение полубесконечного пузыря в
капилляре в отсутствие ПАВ. Рассмотрим теперь случай присутствия ПАВ в
жидкости. Введем систему координат, в которой пузырек покоится, а стенки
капилляра движутся справа налево со скоростью U (рис. 17.10). Наибольший
интерес представляют два параметра, которые могут быть рассчитаны и опре-
делены экспериментально: толщина пленки жидкости между пузырем и стекой
капилляра и дополнительный перепад давления Ар в жидкости, обусловлен-
ный наличием пузыря.
Подробный анализ работ в этой области содержится в работах [29 — 31].
Если в жидкости отсутствует ПАВ, то движение длинного пузыря в капилляр-
ной трубке, заполненной вязкой жидкостью, рассмотрено в [19]. В этой работе
показано, что при малом числе Рейнольдса и без учета силы тяжести течение
зависит только от одного безразмерного параметра — капиллярного числа
Ca = p(7/S, где ц — вязкость жидкости, U — скорость движения пузыря, S —
коэффициент поверхностного натяжения поверхности газ — жидкость. При асимп-
тотически малых значениях Са(Са—> 0) течение можно разбить на пять обла-
стей, как это показано на рис. 17.10. На каждом конце пузыря образуется
полусферическая шапка, в которой давление и форма контролируются только
капиллярными силами. Полусферические шапки сопрягаются с цилиндрически-
ми областями через переходные области. Показано, что в цилиндрической об-
ласти толщина смачивающей пленки и дополнительный перепад давления оп-
ределяются выражениями
= 1,34Са2/3, ^ = 9,4Са2/\ (17.101)
Было проведено много экспериментов [32, 33] по проверке выражений
(17.101). Наибольшие трудности в проведении экспериментов состоят в выпол-
нении условия чистоты межфазной поверхности от ПАВ и загрязнений. Поэто-
му в каждом эксперименте существовали следы загрязнений и ПАВ. Во всех
экспериментах с чистой межфазной поверхностью толщина смачивающей плен-
ки была больше, чем в формуле (17.101), причем расхождение увеличивалось
456
с ростом Са в противоречии с теорией [19] Расхождения отмеченч и в изме-
рениях Ар. Они были выше, чем в формуле (17.101), в частности, величина Ар
оказалась зависимой от размеров (длины) пузыря [34].
Аналогичные результаты наблюдались в экспериментах с добавлением ПАВ
в жидкость [35 — 37]. Давление сначала увеличивалось с ростом длины пузыря,
а затем стремилось асимптотически к постоянной, значительно большей той,
которая имеет место для чистой поверхности.
Эксперименты показали, что адсорбция ПАВ на межфазной поверхности
создает дополнительные напряжения, препятствующие движению длинных пу-
зырей в капиллярах. В результате наличие этих напряжений приводит к не-
обходимости создавать больший перепад давления для проталкивания пузырей,
и, кроме того, увеличивается толщина смачивающей пленки на стенках капил-
ляра.
В теоретических работах [29 — 31, 38 — 42] методами малых возмущений и
численными методами исследуется влияние ПАВ на движение длинных пузы-
рей и капель. Для бесконечно длинных пузырей [38, 39] присутствие ПАВ
приводит к увеличению давления в передней части пузыря и толщине смачи-
вающего слоя в 42/3 по сравнению со случаем чистой жидкости. Влияние ко-
нечной длины относительно длинных пузырей исследовано в работе [42], в ко-
торой показано, что дополнительный перепад давления зависит от длины пу-
зыря.
Оценим теперь дополнительный перепад давления, обусловленный наличи-
ем ПАВ в жидкости. Хотя в действительности форма поверхности пузыря в
передней и форма задней части несколько различаются (радиус кривизны зад-
ней шапки больше передней), для простоты будем считать их одинаковыми
сферическими с радиусом, равным радиусу капилляра. Длина пленки жидкости,
заключенной между стенкой и пузырем, равна /. Присутствие ПАВ в жидкости,
обтекающей неподвижный пузырь, приводит к переносу ПАВ к поверхности
пузыря механизмом конвективной диффузии. В результате на поверхности
пузыря образуется неоднородное распределение ПАВ. ПАВ сносится к корме
пузыря и там накапливается. Увеличение ПАВ приводит к уменьшению S.
Следовательно, Z уменьшается от фронта пузыря к корме. В итоге давление в
корме пузыря становится больше, чем перед пузырем, и разность р2 — р} долж-
на увеличивать скорость движения пузыря.
Воспользуемся некоторыми результатами решения задачи о движении
пузыря в отсутствие ПАВ. В этом случае касательное напряжение на поверх-
ности пузыря равно нулю, поскольку вязкость газа пренебрежимо мала по
сравнению с жидкостью. При малых значениях капиллярного числа Са « 1
изменение толщины слоя вблизи фронта пузыря дается формулой (17.39).
Тогда кривизна в переходной области переднего мениска пузыря оценивается
как l/Т?] + 1/Т?2 = 8" + 1/а = 2(1 + 1,79(ЗСа)2/3)/а. Здесь 7?,— радиус кри-
визны мениска пузыря в поперечном сечении, а /?2 — в осевом сечении. Очевид-
но, что вклад в осевой перепад давления дает второе слагаемое. Поэтому пе-
репад давлений на фронте пузыря Лр, = 3,58(Z/a)(Ca)2/3. Изменение кривиз-
ны в кормовой части пузыря, как уже отмечалось, несколько иное, чем впереди.
В корме пузыря перепад давлений А/?2 = 0,94(Z/a)(3Ca)2/3. В итоге разность
давлений между задней и передней частью пузыря
у
р2 -Pl =9,4Са2/з±. (17.102)
Пусть теперь в жидкости имеется ПАВ. Для простоты анализа предполо-
457
жим, что ПАВ распространяется по поверхности пузыря только за счет поверх-
ностной конвекции со скоростью us. Тогда из (17.100) следует, что Vs • (Tws) = 0.
Из уравнения неразрывности Vsus = 0. Поэтому из этих двух уравнений следует,
что
(VZ)-ws = 0. (17.103)
Так как V/7 параллельно us, то из этого уравнения находим м, = 0. Это
означает, что ПАВ не переносится по поверхности пузыря, т. е. поверхность
пузыря полностью заторможена, и он движется как твердое тело, что значительно
увеличивает касательное напряжение на поверхности пузыря. Баланс сил в
направлении оси х на поверхности пузыря можно приближенно записать в виде
ла2(р2 - pi) = 2nahs = 2ла/ц(7/3/-. (17.104)
Оценим толщину 3^. Считаем S медленно меняющейся функцией х, а
профиль скорости в пленке линейным, удовлетворяющим условиям
ы = 0 при г/ = 8(х), и--U при у = 0. (17.105)
Тогда из условия сохранения расхода в пленке (17.26) имеем
Q = l[73z. (17.106)
Для определения воспользуемся уравнением (17.22) с условиями (17.105).
Его решение проводится так же, как в разделе 17.3. В итоге получим
Ц- = 0,643(6Са)2/3. (17.107)
Подставляя (17.107) в (17.104), найдем перепад давлений между концами
пузыря:
р2 -р, = 0,942Са’/з ||. (17.108)
Заметим, что р2 ~ р, фактически представляет собой разность капиллярных
давлений между фронтом и кормой пузыря, поскольку согласно (17.6)
Д2-А = (Д2-Ро)-(Р1-Ро) = -^1 + ^1 = |(21-£2). (17.109)
Приравнивая (17.108) и (17.109), найдем максимальную разность коэффи-
циентов поверхностного натяжения на поверхности пузыря
^Ь. = 0,471Са’/з-. (17.110)
S а
Заметим, что соотношение (17.110) получено в приближении Са « 1 и в
предположении малого изменения Z, что позволило пренебречь в уравнении
движения членом cTL/dx.
Сравним теперь формулы (17.108) и (17.102). Перепад давлений между
концами пузыря в случае присутствия ПАВ пропорционален (Са)1/3//а, в то
время как в отсутствие ПАВ он пропорционален (Са)2/3. Так, если Са - 10-6, то
разность давлений с учетом ПАВ на два порядка больше, чем без учета ПАВ.
Сравнение значений в обоих случаях [см. (17.107) и (17.39)] показывает, что
они отличаются незначительно.
Таким образом, скорость движения пузыря относительно стенки капилляра
в случае присутствия ПАВ будет намного больше, чем в случае отсутствия
ПАВ.
458
Рассмотрим важный для приложения случай движения капли в жидкости,
содержащей ПАВ, который может адсорбироваться на поверхности капли [2].
Движение капли приводит к тому, что в передней части поверхностная плот-
ность молекул адсорбированного ПАВ из-за постоянного растяжения поверхно-
сти будет меньше, чем в состоянии равновесия с раствором. В кормовой части
капли поверхностная плотность будет превышать равновесную. Поскольку
поверхность капли в отличие от поверхности твердой частицы подвижная, то
молекулы ПАВ движением жидкости будут сноситься к кормовой части капли
и там накапливаться. Скопление ПАВ приводит к понижению поверхностного
натяжения в кормовой части капли. В то же время увеличение концентрации
ПАВ в кормовой части капли приводит к появлению поверхностного диффу-
зионного потока, направленного от кормы к передней части капли. Этот поток
стремится затормозить поверхностный перенос ПАВ и тем самым препятствует
дальнейшему накоплению ПАВ в кормовой части капли.
В частном случае, когда скорость обмена ПАВ между внешней жидкостью
и поверхностью капли лимитируется процессом адсорбции — десорбции, кон-
центрация ПАВ на поверхности капли близка к равновесному значению, капля
осаждается в жидкости под действием силы тяжести со стоксовой скоростью и
не деформируется. Выражение для скорости осаждения капли было получено
в [2]:
с = зс0
и+ц'+т
2ц+3р'+3у ’
(17.111)
2(р'-р)аа2 „ 2Го 9S
где Uo = —- -------стоксовая скорость осаждения твердой частицы, у = >
Го — равновесная поверхностная концентрация ПАВ: а — коэффициент про-
порциональности скорости процесса адсорбции — десорбции и отклонения по-
верхностной концентрации ПАВ от равновесного значения.
Рассмотрим коэффициент у. Перепишем его в виде
_ 2Г0 5S _ 2Г0 д£ 8С0
Зад 5Г Заа 5Ср о Гл ’
где Со — концентрация ПАВ в объеме вдали от капли.
Согласно формуле Гиббса (17.4)
8S _ Гр АГ
5Ср Ср ’
поэтому
= 2Г$АТ дСо
ЗадСр 5Ср
(17.112)
Входящее в правую часть дС0/5Г0 зависит от механизма адсорбционного
процесса. Обычно принимается, что значения Со и Го связаны адсорбционной
изотермой Ленгмюра [13]
Р _ feCb
0 1+Щ/Г„ ’
(17.113)
где Г„ — предельная поверхностная концентрация ПАВ, соответствующая пол-
ному заполнению поверхности, что выполняется при условии Со —> со. При этом
Г0->Г„.
При у » р + р' выражение (17.111) переходит в формулу Стокса, что
соответствует полностью заторможенной поверхности капли, а при у« р + р' —
459
в формулу Адамара — Рыбчинского. В общем случае учет ПАВ приводит к
торможению скорости осаждения капли.
В случае, когда адсорбция ПАВ на поверхности капли определяется ско-
ростью доставки его из объема к поверхности, т. е. процессом конвективной
диффузии, требуется решить соответствующую диффузионную задачу с услови-
ем С = Со вдали от капли и С = С, на поверхности капли, где Ct — концентра-
ция ПАВ в растворе, равновесная с поверхностной концентрацией ПАВ Г.
В этом случае скорость осаждения капли определяется формулой (17.111), но
с другим значением у [2].
Одним из видов зависимости Е от Г является так называемое уравнение
состояния межфазной поверхности [43]
s = z„ + (Zp — z„)Ztf—\ о < г < г„,
V 1 0° J
где Zp — поверхностное натяжение чистой жидкости, a Z,(r/r„) зависит от
свойств ПАВ.
Согласно [44] эта функция
Z,(x) = (а +1)[1 + 0(а)х]~3 - а,
Параметр а характеризует ПАВ. Так, для значений а« 1 имеем Zj-Z,,,
и для а » 1 имеем Z, - 1 - Г/Г„.
Рассмотрим теперь другой пример влияния ПАВ на поверхностное натя-
жение — гашение волн на поверхности воды с помощью разлитого слоя масла.
В разделе 17.4 были рассмотрены капиллярные волны на чистой поверхности
воды без учета вязкости жидкости. В случае присутствия слоя масла необхо-
димо учитывать вязкость. Кроме того, наличие ПАВ изменяет поверхностное
натяжение межфазной поверхности, приводя к появлению поверхностного гра-
диента Z.
Рассмотрим сначала влияние вязкости жидкости на затухание плоских
капиллярных волн на глубокой воде. Будем считать жидкость маловязкой,
поэтому вязкие эффекты проявляются только в тонком пограничном слое возле
межфазной поверхности. Следовательно, вне пограничного слоя движение
жидкости потенциальное, причем потенциал описывается уравнением Лапласа,
а возле поверхности движение жидкости описывается уравнениями погранич-
ного слоя с условием равенства нулю касательного вязкого напряжения на
свободной межфазной поверхности. Решение этой задачи можно найти в [2].
Основное отличие от случая невязкой жидкости состоит в том, что в выражении
для возмущений вертикального перемещения поверхности появляется коэффи-
циент вида exp (-Р, t), где
р,= (2fe)fev; (17.114)
k — волновое число; v — кинематическая вязкость.
Учет вязкости приводит к проникновению возмущений на глубину ~i/k
в жидкость под межфазную поверхность и экспоненциальному затуханию этих
возмущений со временем.
Пусть теперь на поверхности имеется ПАВ. Как и ранее, ограничимся
случаем, когда перенос ПАВ по поверхности осуществляется только за счет
конвекции. Тогда справедливо уравнение (17.113), а в случае малых возмуще-
ний формы поверхности можно считать, что
460
us = 0 приг = О. (17.115)
Это условие означает, что межфазная поверхность полностью заторможена
ПАВ и скорость в вязком слое изменяется более сильно, чем в случае чистой
поверхности. При этом задача аналогична поведению возмущений в вязком
пограничном слое бесконечной жидкости, ограниченной твердой упругой повер-
хностью, совершающей малые колебания [45]. Колебания поверхности приводят
к гармоническим колебаниям продольного градиента давления др/дх с часто-
той ю и соответствующему возмущению скорости в жидкости u(z, t). Возника-
ющий при этом вязкий пограничный слой имеет толщину
8- 2(2v/co)V2. (17.116)
Затухание со временем возмущений на поверхности жидкости имеет экс-
поненциальный характер, причем в этом законе затухания коэффициент
р2 =l(<0/2v),/2b. (17.117)
Составим теперь отношение коэффициентов затухания возмущений с уче-
том и без учета ПАВ. Имеем
/ xt/2 / xt/2
Й = = А , (17.118)
Pt J \^2nv J
где X — длина волны; t — скорость распространения волны.
Оценим полученные результаты. Возьмем в качестве длины волны Хш1п и
скорости волны cm,n из (17.61). Для воды (v = 10~6 м2/с) имеем Xmin=l,7x
х 10-2 м, ст1П = 0,23 м/с и В = 25. Следовательно, В » 1 и 0f « 02.
Таким образом, присутствие на межфазной поверхности ПАВ способствует
быстрому затуханию волн на поверхности жидкости. Скорость затухания за
счет ПАВ более интенсивная, чем за счет вязкости.
17.6. РАСПИЛИВАНИЕ ЖИДКОСТИ И ДРОБЛЕНИЕ КАПЕЛЬ
В ПОТОКЕ ГАЗА
Распыливание жидкости происходит при истечении струи жидкости под
большим давлением в газовую среду. Процесс представляет интерес в связи с
многочисленными техническими приложениями. Сюда относятся распыливание
горючей жидкости в отопительных системах, газовых турбинах, дизельных и
ракетных двигателях, нанесение краски на поверхность методом распыла, раз-
брызгивание воды при сельскохозяйственных работах и многие другие процессы
в различных областях, связанные с диспергированием жидкости, включая меди-
цину и метеорологию. Разработано много устройств, с помощью которых уда-
ется распыливать жидкость до капель мельчайшего размера. Важность пробле-
мы распыливания жидкости привела к тому, что многочисленные исследования
в этой области сформировали самостоятельное направление науки и техни-
ки [46].
В разделе 17.4 было показано, что при медленном истечении жидкости в
покоящийся газ малые возмущения поверхности струи приводят к неустойчи-
вости, в результате чего струя распадается на капли примерно одинакового
размера. В промышленных установках истечение жидкости из сопел, форсунок
и других устройств происходит с большой скоростью. Возмущения межфазной
461
поверхности жидкость — газ, вызванные взаимодействием жидкости со стенка-
ми устройств и с окружающей газовой средой, приводит к быстрой потере
струей устойчивости на небольшом расстоянии от места ввода жидкости в газ.
В результате струя распадается на множество капель различного размера.
Спектр образующихся капель зависит от параметров распиливающего устрой-
ства, гидродинамики струи, аэродинамики окружающего газа, тепло- и массооб-
мена жидкой и газовой фаз и в конечном счете от свойств жидкости и газа.
Большое влияние на формирование спектра образующихся капель оказывает
режим течения — ламинарный или турбулентный. В настоящее время отсут-
ствует совершенная теория, позволяющая определить такие параметры, как
распределение капель по размерам, образующееся в результате распада струи,
гидро- и аэродинамические характеристики потока и т. п. Поэтому основной
путь исследования процесса распыления струй — экспериментальный, в кото-
ром определяют дисперсность образующейся газожидкостной смеси, структуру
потока и проверяют некоторые результаты упрощенных теоретических моделей.
Струи могут быть созданы различными способами. Наиболее важное тре-
бование — большая скорость жидкости относительно газа, гарантирующая мел-
кодисперсный распыл струи. Существует ряд способов введения жидкости в
поток газа: инжекция через сопло в стенке канала, по которому движется газ,
а также ввод жидкости непосредственно в толщу газа по потоку или против
него. Для достижения большой скорости истечения газа из распыливающего
устройства необходимо создать на нем большой перепад давления. При вводе
жидкости в поток газа через маленькое отверстие при большом препаде дав-
ления энергия сжатия переходит в кинетическую энергию, в результате чего
жидкость вытекает из сопла с большой скоростью. Приведем некоторые зна-
чения скорости истечения жидкости. Для углеводородной горючей смеси без
учета потерь на трение в форсунке перепад давления в 0,14 МПа приводит к
скорости истечения около 19 м/с. Повышение перепада давления до 5,5 МПа
увеличивает скорость до 117 м/с.
Устройства по распыливанию жидкости — форсунки — делятся на прямо-
струйные, из которых вытекает цилиндрическая струя, и центробежные, созда-
ющие закрученную коаксиальную струю, внутри которой расположено газовое
ядро. На выходе форсунки образуется тонкий жидкий цилиндрический слой
(пелена), который радиально расширяется по мере удаления от места ввода.
В итоге образуется расширяющаяся от 30° до 180° коническая пелена, которая
быстро распадается на мелкие капли. Имеется большое разнообразие форсунок
указанных двух типов, конструкция которых зависит от вида рабочей жидкости,
условий их применения и требуемой дисперсности образующихся капель. Раз-
личные виды форсунок приводятся в [46], там же обсуждаются их положитель-
ные и отрицательные стороны и способы применения.
В основе распыливания жидкости лежат два основных процесса: потеря
устойчивости струи, вытекающей из форсунки, с образованием относительно
крупных капель и дробление этих капёль на более мелкие. Потеря устойчиво-
сти цилиндрической струи в простейшем случае обсуждалась ранее в разделе
17.4. Рассмотрим теперь второй процесс — дробление капель.
Начнем с рассмотрения самого элементарного процесса формирования капли,
медленно вытекающей из небольшого отверстия диаметром <1й (крана, пипетки
ит. п.) под действием силы тяжести. Диаметр образующейся в момент отрыва
капли D может быть найден, если приравнять силу тяжести капли npLgD3/6
к силе поверхностного натяжения лД0Е, действующей по периметру сечения
выходного отверстия. В итоге получим
462
D = (.6d0Z/pLg)V3. (17.119)
Используя данные (см. раздел 17.1), найдем, что для воды, вытекающей из
отверстия с d0 = 1 мм, D = 3,6 мм. Уменьшение размера отверстия до dQ = 10 мкм
приводит к диаметру капли D = 784 мкм.
Более детальный анализ показывает, что диаметр капли, отрывающейся
вниз от горизонтальной смоченной поверхности,
Z) = 3,3(S/p£0)1/3. (17.120)
Для капли воды формула (17.120) дает D = 9 мм.
Таким образом, в случае медленного истечения жидкости (капания) в
основе процесса формирования капель лежит баланс силы тяжести и силы
поверхностного натяжения, а размер образующихся капель довольно большой.
Очевидно, что подобный подход не пригоден для большинства случаев дробле-
ния струй, поскольку они характеризуются большой скоростью истечения и
малым размером образующихся капель (- 1 - 100 мкм). На процесс образова-
ния капель при дроблении высокоскоростных жидких струй сила тяжести не
оказывает заметного влияния.
Рассмотрим теперь формирование капель при дроблении большой капли,
движущейся в потоке газа. На каплю действуют внешние аэродинамические
силы (давление рСг), которые должны быть уравновешены внутренним давлением
капли pL и капиллярным давлением р„
pL = pa + р0 = const. (17.121)
Напомним, что для сферической капли
ра = 4Е/£». (17.122)
Капля остается устойчивой, пока изменение рс компенсируется изменением р„
так, чтобы pL оставалось постоянным. Если рс » рп, что справедливо для
больших капель, то р£~рс и изменение рс компенсировать нечем, и капля де-
формируется и дробится на более мелкие капли до тех пор, пока не увеличится р„
и не компенсирует рс. Подобные рассуждения приводят к понятию критиче-
ского размера капли, такому, что чем больше размер капли критического зна-
чения, тем больше вероятность (меньше время) ее дробления. Можно сказать,
что критический размер капли определяется максимальным значением диамет-
ра, при превышении которого капля будет дробиться.
Форма, которую принимает капля в потоке газа, зависит как от характера
течения в окрестности капли, так и от свойств жидкости и газа, а именно от
плотностей, коэффициентов вязкости и поверхностного натяжения. В [47]
выделены три основных вида деформаций капли (рис. 17.11).
1. Капля имеет вид сплюснутого сфероида (рис. 17.11, а). При дальней-
шей деформации капля принимает вид тора, который вытягивается и распада-
ется на мелкие капли.
2. Капля принимает вид вытянутого цилиндрического тела с закруглен-
ными концами (сигара) (рис. 17.11, б). Затем капля распадается на более
мелкие.
3. Локальные деформации капли приводят к нерегулярным вмятинам и
выступам, которые затем отрываются и образуют мелкие капли (рис. 17.11, в).
Первая форма капель образуется, когда на поверхность капли действуют
давление и вязкие напряжения при обтекании капли поступательным и враща-
тельным потоком газа. В сдвиговом потоке капли принимают вторую форму.
463
Рис. 17.11. Основные формы деформируемых капель в потоке газа
Третья форма характерна для нерегулярного потока газа, например турбулен-
тного потока.
Чаще всего крупная капля распадается на две капли примерно одинако-
вого размера и несколько капель меньшего размера. Последние капли называ-
ются сателлитами.
Для определения формы поверхности капель необходимо написать баланс
сил (динамическое давление, вязкие и поверхностные силы), действующих на
каплю. Если капля маловязкая, то можно ограничиться балансом силы аэроди-
намического сопротивления, имеющей порядок pGUG, и силы поверхностного
натяжения, имеющей порядок Z/В. Отношение этих сил образует безразмер-
ный параметр
_ Аэродинамическое сопротивление _ pGUGP 123)
Сила поверхностного натяжения 2 ’
называемый числом Вебера. Обозначим через 5 = хО2/4 — наибольшее сечение
капли, перпендикулярное скорости набегающего потока газа Uc. Тогда равен-
ство аэродинамической силы и силы поверхностного натяжения принимает вид
^-CD0,5pGU^ = (17.124)
где CD — коэффициент сопротивления, зависящий от Re.
Равенство (17.124) можно рассматривать как начальное условие, при ко-
тором капля начинает деформироваться и дробиться. Его можно переписать в
виде
Wecr=8/CD, (17.125)
где Wcr — критическое значение числа Вебера, при превышении которого капля
дробится.
Уравнение (17.124) позволяет оценить максимальный размер устойчивой
капли
Dmax = 8S/CDpcL72 (17.126)
и критическую скорость газа, при превышении которой капля диаметром D
дробится,
Ucr =(8S/CdPcE>)1/2. (17.127)
Учет вязких напряжений в выражении для баланса сил на поверхности
капли приводит к появлению дополнительного безразмерного параметра, назы-
ваемого числом Онзорге:
464
Oh = ^-------_ ^£с_Y72 We^2_ (17.128)
(PlED)</2 ^р£ J Rei
где ц£ — коэффициент вязкости капли.
Тогда критическое число Вебера, соответствующее состоянию капли перед
дроблением,
Wecr = We^[l + /(Oh)],
(17.129)
где We*®’ — критическое число Вебера без учета вязкости капли, даваемое, на-
пример, уравнением (17.125).
Имеется следующая эмпирическая корреляция формулы (17.129):
Wecr = We<?>(l + 14Oh).
(17.130)
Особый интерес представляет процесс дробления капли в турбулентном
потоке газа. В [2] приводится выражение для динамического напора, действу-
ющего на поверхность капли в изотропном турбулентном потоке газа,
Q-
CpPG f Pl е2/3
(17.131)
где р£ и рс — плотности жидкости и газа; R — радиус капли; е — удельная
диссипация энергии в турбулентном потоке газа, е - pcUqL; L — характерный
линейный размер области течения, например диаметр трубы.
Приравнивая динамический напор Q силе поверхностного натяжения капли
2Y/R, получим выражение для максимального устойчивого диаметра капли
п ( £ Y/5<p£ Y/5 7-2/5
max [cDPL J (PG J U^5'
Перепишем (17.132) в виде
Dmax = C(S/pc)3/5e-2/5.
(17.132)
(17.133)
Согласно [46] постоянная С = 0,725. Найдем теперь Wecr. В соответствии
с [47]
Wecr = = 1,18. (17.134)
При дроблении струи, истекающей из форсунки, в зависимости от значи-
мости гравитационных, инерционных, вязких и поверхностных сил возможны
три режима дробления струи [46].
1. Дробление без учета влияния окружающего газа при малых скоростях
истечения струи (Re, « 1), в результате чего образуются относительно крупные
капли. Это случай релеевской неустойчивости, рассмотренный в разделе 17.4.
2. Дробление струи при конечных числах Re, с учетом влияния окружа-
ющего газа. При этом образуется спектр капель.
3. Дробление струи при Re; » 1. Распад струи происходит практически
от места ввода жидкости в газ. При этом образуется спектр капель, диаметр
которых намного меньше диаметра истекающей струи.
Спектр капель, образующихся при распаде струи, характеризуется распре-
делением капель по диаметрам f(JD) или по объемам ДЮ, где V = nD3/6.
Типичный вид этих распределений представлен на рис. 17.12.
Экспериментально полученные распределения капель по размерам могут
30 - 1461 465
Рис. 17.12. Распределение капель по раз-
мерам в струе жидкости, вытекающей из
форсунки
быть приближены [68] некоторыми
известными теоретическими распреде-
лениями, среди которых нормальное
распределение
2$2
(D — математическое ожидание; s„ — дисперсия);
логарифмически нормальное распределение
f(j3) = ---ехр —^-(InZ) - InD)2
V2it Dsg [ 2s2
распределение Накаяма — Тонасава
f(D) = aD” exp(-bDq)
(17.135)
(17.136)
(17.137)
(a, p, q — эмпирические постоянные).
В настоящее время наиболее часто используемым является распределение
Розин-Рамлера
f(JD) = qbDi-' exp(-bD’),
(17.138)
где q и b — постоянные распределения.
В распределении (17.138) чем больше q, тем ближе распределение к мо-
нодисперсному. При q^> со получаем монодисперсное распределение капель.
Для большинства струй 1,5 < q < 4, хотя для некоторых центробежных форсу-
нок q может достигать значения 7.
В заключение приведем кинетическое уравнение, которое описывает из-
менение со временем распределения n(V, t) капель по объемам V с учетом
процессов коалесценции и дробления капель. Напомним, что в случае учета
только коалесценции или коагуляции частиц соответствующее кинетическое
уравнение имеет вид (15.35). Для учета процесса дробления капель введем
f(.u, V) — число капель объемом V, которое образуется в результате дробления
капли объемом и, д(и) — вероятность дробления капли объемом и. Тогда ки-
нетическое уравнение, имеющее смысл баланса числа капель объемом V, при-
мет вид
= - [к(и, V -и)(У - и, t)n(u,t)du-n(V,t) [K(u,V)n(u,t)du +
dt 2 J J
о о
00
+ J/'(w, V)g(u)n(u, t)du-g(V)n(V,t). (17.139)
о
Входящие в (17.139) константа коагуляции К(и, V) и функции f(u, V)
и д(и), характеризующие процессы коалесценции и дробления капель, опре-
деляются путем анализа поведения капель в поле гидродинамических, поверх-
466
ностных, молекулярных, электростатических и внешних сил, являющихся следстви-
ем взаимодействия капель между собой и с внешней средой. Теория этих про-
цессов находится сегодня в стадии интенсивного исследования. Более подроб-
ный анализ процессов дробления капель можно найти в работах [1, 2, 48 — 51].
18
ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАЗДЕЛЕНИЯ
ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СМЕСЕЙ В СЕПАРАТОРАХ
Несмотря на большое разнообразие конструкций сепараторов (см. раздел
2), их можно условно разделить на два класса в соответствии с физическими
принципами разделения газожидкостной смеси: гравитационные и инерцион-
ные. В гравитационных сепараторах, представляющих собой большие горизон-
тальные или вертикальные емкости, разделение фаз происходит за счет силы
тяжести. Поскольку размеры капель, попадающих в сепаратор из подводящего
трубопровода, малы, для эффективного удаления их из потока только за счет
силы тяжести требуется относительно длительное время и, как следствие этого,
сепараторы должны иметь большие размеры. В инерционных сепараторах раз-
деление фаз происходит за счет сил инерции при обтекании потоком различ-
ных препятствий (жалюзей, сеток, струн и т. п.) и при закручивании потока в
центробежных устройствах.
В современных конструкциях сепараторов обычно используются оба прин-
ципа, поэтому сепаратор, как правило, состоит из двух секций: осадительной и
концевой. В осадительной секции происходит осаждение капель за счет силы
тяжести, а в некоторых конструкциях при тангенциальном вводе газа и за счет
центробежной силы. Концевая секция оборудуется различными каплеулови-
тельными устройствами: центробежными патрубками, сетчатыми и струнными
насадками и т. д. В этих устройствах отделение капель от газа происходит за
счет сил инерции. Для тонкой очистки газа от очень маленьких капель исполь-
зуют фильтр-патроны, представляющие собой цилиндры с волокнистой набив-
кой, через которую фильтруется смесь.
Степень разделения газожидкостной смеси в сепараторах зависит от ско-
рости (расхода) газа, термобарических условий, физико-химических свойств
фаз, геометрических параметров и, самое главное, от дисперсности жидкой фазы
(распределения капель по размерам и параметров этого распределения), вноси-
мых в сепаратор с потоком газа из подводящего трубопровода. Основным
параметром является средний размер капель, формирующийся в потоке в тру-
бопровода и поэтому зависящий от параметров трубопровода, а также от па-
раметров устройства предварительной конденсации (УПК), который, как прави-
ло, установлен на некотором расстоянии от сепаратора (см. технологические
схемы УКПГ в разделе 1). Поэтому на эффективность разделения газожидко-
стной смеси в сепараторе влияют не только параметры сепаратора, но и особен-
ности технологической схемы перед сепаратором.
Основным параметром, характеризующим степень отделения жидкости от
газа в сепараторе, является коэффициент эффективности (КЭ), равный отноше-
30* 467
нию объема жидкой фазы, осевшей в сепараторе, к количеству жидкой фазы,
содержащейся на входе в сепаратор:
ws = w0 - tv, = _ W, = _
n Wo Wo Wo
(18.1)
где IVO, IV,, IVS — объемные содержания жидкой фазы на входе и выходе
сепаратора и доля объема, осевшего в сепараторе; К — коэффициент уноса.
Обозначим через n0(R) — распределение капель по радиусам на входе, а
через п,(7?) — на выходе сепаратора. Тогда
Wo = ^nR3n0(R)dR, Wt=^TiR3nSR)dR.
о о
Определим передаточную функцию сепаратора как отношение распределе-
ний капель по размерам на выходе и входе сепаратора
Ф(Я) = -^. (18.2)
Hq(K)
Тогда выражение (18.1) можно представить в виде
т] = 1- j±TtR3®(R)n0(R)dR/J±nR^0(J?)dR. (18.3)
о о
Если сепаратор состоит из нескольких последовательно соединенных сек-
ций, каждая из которых характеризуется своей передаточной функцией Ф,(7?),
то передаточная функция всего сепаратора
ф(Я) = Пф,(Я). (18.4)
1=1
Из формул (18.3) и (18.4) найдем КЭ сепаратора, состоящего из несколь-
ких последовательно соединенных секций:
ц = 1-ПК,, (18.5)
i=t
где К, — коэффициент уноса каждой секции,
К, = ^^lR3Ф,(R)na(R)dR/j^7tR3n^^(R)dR. (18.6)
О о
В случае параллельного соединения секций в формулах (18.4) и (18.5)
умножение нужно заменить на суммирование. Таким образом, для определения
КЭ сепаратора необходимо знать распределение капель n0(R), поступающих в
сепаратор, а также передаточные функции всех секций ф,(Л).
Поскольку КЭ зависит от среднего размера капель, то любое воздействие
на газожидкостную смесь, которое может привести к укрупнению капель, повы-
шает КЭ сепаратора. Существуют два основных механизма укрупнения капель:
коагуляция и конденсация. Первый механизм обусловлен взаимодействием капель,
приводящим к их столкновению и дальнейшей коагуляции. В основе второго
механизма лежит массообмен между жидкой и газовой фазами в результате
нарушения фазого равновесия при прохождении смеси через УПК. Скорости
укрупнения капель при конденсации и коагуляции зависят от начальных раз-
меров капель, их объемного содержания, термобарических условий, свойств фаз
468
и параметров потока. Если перед сепаратором помещено УПК, то в потоке
наряду с имеющимися каплями конденсата формируются очень маленькие капли,
размер которых при движении в трубопроводе от УПК до сепаратора интен-
сивно увеличивается за счет одновременно протекающих процессов конденса-
ции и коагуляции. Поскольку каждый из этих процессов характеризуется оп-
ределенным временем, зная закон изменения радиуса капель со временем, мож-
но определить расстояние до сепаратора, на котором нужно расположить УПК,
чтобы обеспечить максимально возможный КЭ сепаратора.
В техническом паспорте сепаратора содержится его эффективность, как
правило, довольно высокая, но не указывается, при каких условиях она дости-
гается. Поэтому основная задача состоит в определении зависимости КЭ сепа-
ратора определенной конструкции от давления, температуры, расхода газа и
конструктивных параметров.
Этот раздел посвящен методам расчета КЭ простейших гравитационных
сепараторов, а также содержит исследование влияние на КЭ параметров под-
водящего трубопровода и УПК. Поскольку ввод смеси осуществляется, как
правило, таким образом, что на входе формируется неоднородный по сечению
профиль продольной скорости и, кроме того, капли могут изменять свой размер,
выражение для КЭ получено с учетом неоднородности профиля скорости и
возможного изменения радиуса капель. Методы расчета гравитационных сепа-
раторов будут использованы в разделе 19 для определения КЭ осадительной
секции сепараторов с дополнительными каплеуловительными секциями различ-
ной конструкции.
18.1. ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ ПРОФИЛЯ СКОРОСТИ
НА КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ
ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ГРАВИТАЦИОННОГО СЕПАРАТОРА
На вход в сепаратор поступает газожидкостная смесь с небольшим объем-
ным содержанием жидкой фазы (1У0 «1). Это означает, что жидкая фаза
практически не влияет на распределение скорости потока. Можно пренебречь
также взаимным влиянием капель, т. е. стесненностью их движения. Пусть на
входе сепаратора задан профиль скорости и0(у). Направим ось х вдоль оси
сепаратора, а у — перпендикулярно оси. Для простоты рассмотрим сепаратор
прямоугольного поперечного сечения. Влияние кривизны стенок в случае кру-
гового сечения будет рассмотрено в дальнейшем. Уравнения движения капли
радиуса R в безынерционном приближении имеют вид
~ = UX- ^- = иу-и„ (18.7)
где их и иу — компоненты скорости газа; us — скорость осаждения капли, равная
стоксовой скорости
щ = ; Ap = pL-pG. (18.8)
9hg
Считается, что радиус капель в процессе движения не изменяется, т. е. не
учитываются конденсация и коагуляция капель.
Поскольку скорость газа мала по сравнению со скоростью звука, газ не-
сжимаемый и рс постоянная. Тогда из уравнения неразрывности следует, что
--4. (18.9)
где у — функция тока.
469
Рис. 18.1. Втекание смеси в сепаратор
Из уравнений (18.7) и (18.9) следует, что
dy _ -ду/ dx+us Qg JQ)
dx cy/oy
Из уравнения (18.10) находим
сЛ|/ = -usdx
или
V (х, у) = С - usx. (18.11)
Если \|/(х, у) найдена из решения соответствующей гидродинамической
задачи, то выражение (18.11) является уравнением траектории капли. Посто-
янная С определяется из условия задания начального положения капли на
входе в сепаратор. Поскольку диаметр патрубка ввода газа намного меньше
поперечного размера сепаратора, то газ втекает в сепаратор в виде затопленной
расширяющейся струи с углом раствора 2а ® 28° (рис. 18.1). Тогда длина, на
которой струя достигает стенки сепаратора
xL «2rf0f^--l|, (18.12)
\“° )
где dQ и D — диаметры патрубка ввода газа и сепаратора. В частности, при
D » d0, что практически всегда выполняется, xLa2D.
Таким образом, в области х < xL устанавливается профиль продольной
скорости w0(y).
Как правило, на входе в сепаратор расположено специальное устройство
(отбойник, успокоитель и др.), способствующее увеличению угла раствора струи
и уменьшению застойных областей между стенкой сепаратора и границей струи.
Тем самым установившийся профиль продольной скорости формируется на
небольшом расстоянии от входа в сепаратор. Рассмотрим осаждение капель в
этой области. Средняя скорость потока
D '
17 = -^ |ы°(у)(/у.
о
Обозначим через y0(R) — высоту слоя, из которого выпадут все капли
радиусом R по длине сепаратора L. Тогда передаточная функция будет
470
»0(Я)
Ф (/?) = !- ju0(y)dy = i-^^-
(18.13)
При выводе (18.13) учтены выражения (18.2), (18.9). Кроме того, исполь-
зовано условие х, « L, что позволило условие при х = xL снести на х = 0. Для
определения \р(0, у0) воспользуемся выражением (18.11), для чего рассмотрим
траекторию, которая начинается в точке (0, у0) и заканчивается в точке (L, 0).
В итоге получим
V(0, у0) = у(Д 0) + Lus.
(18.14)
По смыслу разность между двумя значениями функции тока у, и \р2 равна
расходу газа между линиями тока и у = \р2- Поскольку суммарный ли-
нейный расход газа
Q= fa(.y)dy,
а функция тока определяется с точностью до постоянной, то на нижней стен-
ке сепаратора берем у(х, 0) = 0. Тогда имеем у(х, D) = Q. В связи с этим
\|/(L, 0) = 0 и из соотношения (18.14) находим \|/(0, уО) = Lus
Теперь из выражения (18.2) можно найти передаточную функцию сепаратора
Ф(7?) = -
1- при R<Rm;
X I Р ххрх-х XV _ XVOT,
\ J
0 при R> Rm,
(18.15)
где Rm = (9О0сцс/2ДруУ)1/2; QG — объемный расход газа; V — объем осади-
тельной секции.
Если в процессе движения изменяется радиус капли R = R(x, Rn), где
7?о — начальный радиус капли на входе в сепаратор, то формула (18.11) не-
сколько изменится:
\|/ = \|/ (0, у0) - Jizs (х, 7?0) dx.
о
Передаточная функция в этом случае примет вид
Ф(7?о) = 1-—!- ius(x,R0)dx.
UU J
(18.16)
(18.17)
Коэффициент эффективности определяется соотношением (18.3), но интег-
рирование следует проводить по начальному радиусу капель 7?0.
В заключение отметим, что вид коэффициента эффективности свидетель-
ствует о том, что для горизонтального гравитационного сепаратора он не зави-
сит от профиля скорости при условии постоянства расхода газа.
18.2. КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО
ГРАВИТАЦИОННОГО СЕПАРАТОРА
Будем моделировать сепаратор объемом прямоугольного сечения, длиной L
и высотой D. Пусть на входе задано распределение капель по радиусам n0(R).
Смысл и0(7?) заключается в том, что ra0(7?)rf7? равно числу капель, радиус
471
которых заключен в интервале (R, R + dR), а число капель и их объем в
единице объема смеси соответственно
СО 00
= $n0(R)dR, W=^Vn/R)dR, У = |л/?3. (18.18)
о о
Рассмотрим осаждение капель под действием силы тяжести, считая, что
капли движутся независимо друг от друга. Направим ось х вдоль оси сепара-
тора, а ось у — перпендикулярно к ней против силы тяжести. Тогда уравнения
движения капли примут вид
= 0^fpG^R2\»r\(U - vx);
= _ о,5/рс^|иг .
(18.19)
Здесь ur = (U — vx, vy) — скорость капли относительно газа; vx = dx/dt и
vy = dy/dt — составляющие скорости капли; U — скорость газа; f — коэффи-
циент сопротивления,
24 Re-1 при
18,5 Re-06 при
0,44 при
Re <2,
2 < Re < 500
Re > 500;
(18.20)
Re = 27?рс ur цс — число Рейнольдса капли.
В начальный момент нужно задать положение и скорость капли:
х (0) = 0, у (0) = г/0, {dx/dt)t.o = 0, (dy/dt\.n = 0. (18.21)
Решая уравнения (18.19) с условиями (18.21), получаем траектории дви-
жения капли радиуса R. Перебирая все значения г/0, можно найти минимальный
радиус капель Rm, осевших в сепараторе. Смысл Rm заключается в том, что все
капли с радиусом R>Rm выпадут из потока газа в сепараторе. Для определе-
ния Rm нужно из всех траекторий выбрать ту, которая начинается в точке (0, D)
и заканчивается в (L, 0).
В общем случае уравнения (18.19) нужно решать численно. Однако такая
процедура неудобна, поскольку результаты нужно будет использовать для оп-
ределения КЭ сепаратора. Попытаемся упростить уравнения, для чего оценим
входящие в них члены.
Перепишем первое уравнение (18.19) в виде
d(x>x/U) I ит I ( vx
d(t/Tc) и I и
(18.22)
где Тс = L/ U — характерное время пребывания капли в сепараторе, в = ———— —
. „ 3fpGTcU
безразмерный параметр.
Для газожидкостных смесей в сепараторах имеем следующие оценки:
7?/L<10“5; pL/pc~10-2; f- 1 и в<10"2. При этом из (18.22) следует, что
vxa U. Затем, что с увеличением размера капель возрастают отношение R/L
и параметр в. Следовательно, неравенство в « 1 может нарушиться. Так, для
R/L - 10“3 имеем в - 1 (например, L - 1 м, R ~ 10-3 м). Однако такие крупные
капли не могут формироваться в турбулентном потоке в трубопроводе, а если
они и есть, то их очень мало. Кроме того, крупные капли без труда отделяются
472
от газа в осадительной секции. Таким образом, предположение е « 1 означает,
что инерцией капель в продольном движении можно пренебречь. При этом
|кг| и второе уравнение (18.19) перепишется в виде
1 dv Др 3f
----2_ = — ----------и 2
д dt pL 8RgpL у
(18.23)
Оценка инерционного члена в левой части уравнения (18.23) проводится
аналогично. Имеем dvy/dt - v2yD. Отношение силы инерции к силе сопротив-
ления капли
1 dvy ( 3/ L
д dt -[8RgpL у J Ь D'
При е « 10“2 и L/D - 3 имеем е,< 3 • 10 “3.
Таким образом, при выполнении неравенств е « 1 и е, « 1 в уравнениях
(18.19) инерционными членами можно пренебречь. Тогда из второго уравнения
(18.19) следует, что
Пу = 87?Др^/Зрс/'. (18.24)
Поскольку согласно (18.20) f зависит от vy, то соотношение (18.24) пред-
ставляет собой нелинейное уравнение относительно vy. Введем безразмерный
параметр, называемый числом Архимеда:
Аг = 87?3р^р/3рс|1£.
(18.25)
Согласно [52] выражение для коэффициента сопротивления частицы мож-
но представить в виде
/=4Ar/3Re2, (18.26)
причем числа Рейнольдса и Архимеда в соответствии с формулой (18.20)
связаны следующей приближенной зависимостью:
_ Аг
Re =------------
18 + 0,575Аг’/2
Теперь, используя выражения (18.25) и (18.26), из (18.24) можно опреде-
лить скорость осаждения капли радиуса R
nGAr
(18.27)
(18.28)
(18.29)
у 2RpG (18 + 0,575 Аг,/2)
Уравнения движения капли радиуса R в безынерционном приближении в
пренебрежении архимедовой силой сводятся к следующим:
^ = и> ~^ = ~vv’ Н0) = 0; г/(О) = г/о-
Принимая U постоянной, получаем
У = У*-—•
Принимая в (18.30) y(i~D, x-L, у — 0 и воспользовавшись соотношением
(18.28), получаем следующее уравнение для минимального радиуса капель:
Аг _ 2RUDpG
18 + 0,575 Аг,/2 7цс
(18.30)
(18.31)
473
Обозначим через 7?,м
осаждаются со стоксовой
— минимальный радиус капель, при условии, что они
скоростью [см. формулу (18.16)]
=
\ 1/2
9<Wg |
2&pgL I
0,28р1/4
2 + 0.42Р1/4
(18.32)
(18.33)
Перейдем теперь к определению КЭ сепаратора. Рассмотрим сначала
случай, когда на вход поступает монодисперсная смесь, содержащая капли
одинакового размера /?яг). Задано объемное содержание жидкости на входе Wo
(при заданных значениях давления и температуры его можно определить по
уравнениям парожидкостного равновесия). Найдем количество жидкой фазы,
выпавшей в сепараторе. Для этого достаточно определить во входном се-
чении начальное положение капли, которая на выходе окажется в точке с
координатами (О, L). Из (18.30) найдем у0 = vyL/U. Теперь нетрудно найти
объемное содержание жидкой фазы на выходе = (1 - г/0) Wo и КЭ сепа-
ратора
т[ = у0/О. (18.34)
Подставляя сюда выражения для у0 и vy из (18.28), получаем
____________LAr___________
П 2Rav Red 8 + 0,575Аг1/2)
(18.35)
Обозначим t = L/U — время пребывания смеси в сепараторе, a td = 2RavRex.
х (18 + 0,575Аг1/2)/Аг(7 — время, за которое капля радиуса R выпадет из слоя
высоты D. Тогда (18.35) примет простой вид:
t\ = t/ td; t < t,
(18.36)
Таким образом, КЭ монодисперсной смеси линейно зависит от времени
пребывания в сепараторе.
Рассмотрим теперь случай, когда на вход поступает газожидкостная смесь
с непрерывным распределением капель по размерам п0(7?, у) с объемным
содержанием
00
Wo = y)dR.
о
Объем жидкой фазы на входе при условии равномерного распределения
капель по высоте равен WnDZ, где Z — поперечный размер сепаратора. По-
скольку на выходе отсутствуют капли радиуса R > Rm, то количество жидкой
фазы на выходе
Rm D
W, = Z [ j|nR3n0(R, y)dydR.
о о
Теперь можно определить КЭ сепаратора
Rm D
П = Ч-^г ( \^Rbia(R, y)dy dR. (18.37)
oWo J J J
0
474
Возьмем в качестве начального распределения капель распределение (14.1),
которое формируется в подводящем к сепаратору трубопроводе. Тогда, считая
распределение на входе однородным по сечению, из выражения (18.37) полу-
чаем
ехр(-3а2) _ (.
п = —------- LR2 1 - — ехр
aW0 J < D)
(18.38)
Введем следующие безразмерные переменные:
г=р-: ^ = —= ехр(-0,5о2); ? = — = —;
K-av Kav *^ds U LJ
7 =
P
K-av
*1
Rav
_ 8K|rpGAp£ .
Mg
Здесь t — время пребывания смеси в сепараторе; td, — время, за которое
капля радиуса R выпадает из слоя высоты D, если она будет двигаться со
стоксовой скоростью Wjo = 2(/Ар/?яг/9цс.
В новых переменных выражение (18.38) для КЭ сепаратора примет вид
ехр(-3а2) f" (, tz2 А
Ц = 1----~=---- 22 1------------------ X
>/2^ а 4 1 + 0,032Ar/z3/2)
ln2(z/z1)
х ехр-----------
2а2
dz.
(18.39)
Входящее в (18.39) zm с учетом (18.33)
0,28 Р1/4
2 + 0,42р’/4 )
Передаточная функция рассматриваемого
т-,/2.
(18.40)
сепаратора
Ф(7?) =
1-----------—---------
1 + 0,032Ar1/2z3/2
о
при R < Rm,
при R> R,,,.
(18.41)
In2 (7?/^)
zm
Таким образом, выражение (18.39) дает зависимость КЭ горизонтального
гравитационного сепаратора от безразмерных параметров 0, о, т, zx и Агяг,, харак-
теризующих дисперсность потока, геометрические размеры сепаратора, а также
гидродинамические и физико-химические параметры потока. Заметим, что дис-
персия о распределения капель по радиусам, формирующегося в подводящем
к сепаратору трубопроводе, как показано в [3], в большом диапазоне скоростей
изменяется в пределах от 0,4 до 0,5, поэтому в дальнейших расчетах она
берется равной 0,45.
На рис. 18.2 показана зависимость ц от параметров т и Агот. В качестве
примера рассмотрим расчет сепаратора при следующих значениях параметров:
0=1,6 м; £ = 3 м; р = 5 МПа; £ = 250 К; р£ = 750 кг/м3; рс = 40 кг/м3;
цс = 1,2 • 10“5 Па-с. На рис. 18.3 показана зависимость КЭ сепаратора от
расхода газа Qc при нормальных условиях для различных значений диаметра
подводящего к сепаратору трубопровода d. Из приведенной зависимости следу-
ет, что КЭ уменьшается с увеличением расхода газа и с уменьшением диаметра
трубопровода. Последний факт объясняется тем, что уменьшение d при прочих
475
Рис. 18.2. Зависимость коэффициента эффек-
тивности горизонтального гравитационного
сепаратора ц от т и Аг„„ при а — 0,5:
1-1; 2 - 10; 3 - 102; 4 - 103
Рис. 18.3. Зависимость коэффициента эффек-
тивности горизонтального гравитационного се-
паратора т| от расхода газа Qo для различных
значений d, м:
1 - 0,35; 2 - 0,3; 3 - 0,25; 4 - 0,2; 5 - 0,15
равных условиях приводит к уменьшению среднего радиуса капель [7?ет = R„,
где R„ дается формулой (14.14)], а следовательно, и к уменьшению скорости их
осаждения в сепараторе. Поскольку по оси абсцисс отложен расход, соответ-
ствующий нормальным условиям, как это обычно принято, то повышение дав-
ления и снижение температуры газа при прочих равных условиях приводят к
уменьшению расхода газа при рабочих условиях, а следовательно, к уменьше-
нию скорости газа и увеличению КЭ сепаратора. Подобная зависимость КЭ от
давления характерна не для всех сепараторов. В дальнейшем будет показано,
что для некоторых типов сепараторов зависимость КЭ от р носит немонотон-
ный характер.
18.3. КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ ВЕРТИКАЛЬНОГО
ГРАВИТАЦИОННОГО СЕПАРАТОРА
Рассмотрим теперь процесс отделения жидкости от газа в вертикальном
гравитационном сепараторе, в котором поток движется против силы тяжести.
Очевидно, что на выходе сепаратора будут находиться капли, размер которых
удовлетворяет неравенству us < U, где и, — скорость осаждения капли радиуса
R, а 17 — скорость движения потока, которую будем считать постоянной.
Минимальный размер капель определяется из условия и. = U. Воспользуемся
выражением (18.28) для скорости us. Тогда для определения минимального
радиуса капель получим следующее уравнение:
__________Аг____________ Урд
2R (18 + 0,575 Аг'/2) цс
(18.42)
476
Сравнение уравнений (18.31) и (18.42) для минимального радиуса капель
горизонтального и вертикального сепараторов показывает, что при выполнении
равенства Uv/ Uh = Dh/Dv, где нижние индексы v и h соответствуют параметрам
этих сепараторов, при прочих равных условиях, минимальные радиусы капель
сепараторов совпадают. Но это совсем не означает, что совпадают их КЭ.
Действительно, на выходе вертикального сепаратора объем жидкой фазы
Rm D
Wt = z J ^TtR^n^R^ydydR.
о о
Сравнение с аналогичным выражением для горизонтального сепаратора
показывает, что W/'0 < WtM, даже если минимальные радиусы этих сепараторов
совпадают.
Если взять в качестве начального распределения (14.1) и считать его
однородным на входе, то КЭ вертикального сепаратора можно представить в
виде
. exp(-3c2)2f ( ln2(z/z1)>| , , ч
n = 1----==-- г2 ехр--------— аг, (18.43)
< 2а2 )
Tj\e zm = rm(C/izs),/2; rm=Rm/Rns- Rtns = (9цсС/2Др^),/2; 0 = П3рс/цсАр^ гт оп-
ределяется выражением (18.33).
КЭ вертикального гравитационного сепаратора зависит от параметров о, 0,
U/us и Агт. Характер зависимостей ц от этих параметров тот же, что и для
горизонтального сепаратора. Однако при прочих равных условиях одно и то
же значение КЭ достигается в вертикальном сепараторе при значительно мень-
ших расходах газа, чем в горизонтальном. Следует еще заметить, что согласно
выражению (18.43) ц не зависит от высоты сепаратора L. Это противоречит
экспериментальным результатам, согласно которым при заданной скорости газа
и прочих равных условиях, количество отделяемого от газа конденсата несколь-
ко увеличивается с ростом высоты L, причем этот эффект тем заметнее, чем
больше скорость газа U. Из экспериментов следует также, что начиная с не-
которой высоты КЭ сепаратора практически не изменяется. Это означает, что
процесс, ответственный за этот эффект, действует лишь конечное время, через
которое он затухает.
Одним из механизмов, влияющих на количество отделяемого от газа кон-
денсата, является коагуляция капель. В процессе коагуляции средний объем
капель увеличивается. Мелкие капли, скорость осаждения которых us < U, дви-
жутся вверх по потоку и в процессе движения могут коагулировать. Скорость
коагуляции зависит от объемного содержания капель. Поскольку основная
масса, заключенная в крупных каплях, удаляется уже на входе сепаратора, то
объемное содержание капель в восходящем потоке невелико, поэтому коагу-
ляция капель происходит достаточно медленно. Пусть характерное время коа-
гуляции равно tr(laR. Тогда, если время пребывания смеси в сепараторе
t = L/U < tnag, то изменение высоты L будет влиять на КЭ, а при t > t^g — не
будет. Увеличение скорости газа U, с одной стороны, увеличивает минимальный
радиус капель и ухудшает эффективность сепарации, а с другой стороны —
интенсифицирует коагуляцию капель, что приводит к более сильной зависимо-
сти количества выпавшего конденсата от L. Все сказанное согласуется с зави-
симостью КЭ от L и U, полученной в экспериментах.
Рост капель в потоке может происходить также за счет конденсационного
477
Рис. 18.4. Зависимость коэффициента эф-
фективности вертикального гравитационно-
го сепаратора т| от расхода газа QG для
различных значений d, м:
/ - 0,35; 2 - 0,3; 3 - 0,25; 4 - 0,2; 5 - 0,15
роста, но для этого необходимо, чтобы
в объеме отсутствовало фазовое рав-
новесие. Ранее было показано, что
фазовое равновесие наступает намно-
го быстрее, чем динамическое. Поэто-
му конденсационный рост капель в се-
параторе возможен только, если УПК
расположено в непосредственной бли-
зости от сепаратора, например непо-
средственно на входе.
В дальнейшем будет оценено
влияние, которое оказывают на вели-
чину КЭ коагуляция и конденсация
капель.
Без учета этих процессов основными параметрами, влияющими на КЭ
вертикального гравитационного сепаратора, являются расход газа при нормаль-
ных условиях Q, давление р, температура Т, а также диаметры сепаратора D и
подводящего трубопровода d. Характер этих зависимостей тот же, что и для
горизонтального сепаратора, но при одинаковых значениях параметров КЭ
вертикального сепаратора меньше, чем горизонтального. На рис. 18.4 показана
зависимость КЭ от Q и d.
Если принять, что капли осаждаются со стоксовой скоростью, то передаточ-
ная функция вертикального гравитационного сепаратора записывается в про-
стой форме:
[0 при R>Rm.
(18.44)
18.4. ВЛИЯНИЕ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ
НА КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ СЕПАРАТОРА
Как отмечено в разделе 18.3, на величину КЭ может влиять конденса-
ционный рост капель, попадающих в сепаратор из подводящего трубопровода,
при условии, что на входе нарушается термодинамическое равновесие фаз,
например, если на входе расположено одно из устройств предварительной кон-
денсации.
Пусть давление и температура в сепараторе р2 и Т2 отличаются от соот-
ветствующих значений р, и Г, в трубопроводе. При движении потока в трубо-
проводе устанавливается фазовое равновесие, соответствующее значениям р1 и
Т\. В сепараторе равновесие нарушается, что приводит к конденсационному
росту капель. В разделе 16.1 исследованы два возможных механизма конден-
сационного роста капель: диффузионный в условиях слабого перемешивания и
турбулентный. Рассмотрим последовательно оба механизма.
478
Диффузионный механизм роста капель в бинарной смеси приводит к
следующему закону изменения радиуса капли [см. (16.54)]:
4- = 1 + (А-1)(1-£-<”), (18.45)
где 7?0 — начальный радиус капли, например средний радиус капель, форми-
рующихся в подводящем трубопроводе; А = (1 + рсДу(О)/р£Р/о)1/2; рс и р£ —
плотности газа и жидкости; Дг/(О) — разность равновесных мольных долей
конденсирующегося компонента соответственно при ри Т] и р2, Т2, — началь-
ное объемное содержание жидкой фазы в газе; а = 0,331/(А-1) - 0,026;
т = 3pcDi2^y(0)t/pLR^; D]2 — коэффициент бинарной диффузии конденсирую-
щегося компонента в газе.
Рассмотрим сначала КЭ горизонтального сепаратора. Для простоты при-
мем, что капли осаждаются со стоксовой скоростью us(R), равной
us =wi0(l + a-l)(l-e— ))2; (18.46)
Считая продольную скорость газа U в сепараторе постоянной и переходя
в (18.46) к переменной х= Ut, а также воспользовавшись выражением (18.17),
получим следующее выражение для передаточной функции сепаратора:
Ф(Д0) = 1-^^; (18.47)
7 (7?0) = А2 - — (А -1)(1 - e^L + U ~-21 (1 - e~^L );
ат£ ат£
3pgO]2A!/(0)Z.
Т/. — ------7---.
р£Ш?2
При отсутствии конденсационного роста капель (а = 0) из (18.46) следует
формула (18.15).
Оценим величину, входящих в правую часть выражения (18.46) членов.
Для характерных значений L = 3 м; 7) = 1 м; (7 = 0,2 - 0,5 м; цс=10“5 Па-с;
р£ = 750 кг/м3; рс = 50 кг/м3; Ro = 10‘5 м; О12 = 10’7 м2/с; Ду(0) = IO’2; Wo = 10'4
получим А = 2; а = 0,3; т£ = 30 и ат£= 9. Такое значение параметра ат, позво-
ляет в выражении для 7(7?0) пренебречь вторым и третьим слагаемыми. В итоге
формула (18.47) примет вид
Ф (7?0)« 1-А2^.
(18.48)
Для определения КЭ сепаратора необходимо предварительно найти мини-
мальный радиус капель Rm. Он может быть найден из выражения (18.16),
в котором следует принять х = L, у = 0, у(0, D) = UD. Тогда получим
L
\usdx = UD. (18.49)
О
Подставляя сюда соотношение (18.46) для us, проинтегрировав получен-
ное выражение и учитывая сделанные выше оценки, получим минимальный
радиус капель
Rm
Rmfl t
( 9jicDU
2&pgL
(18.50)
479
Рис. 18.5. Зависимость т| горизонтального гра-
витационного сепаратора от т для Л:
/ - 2; 2 - 1,7; 3 - 1,4; 4 - 1
Здесь R„a — минимальный радиус
капель без учета конденсационного
роста.
Таким образом, учет фазовых пре-
вращений приводит к уменьшению
(А > 1, конденсация) или к увеличению
(О < А < 1, испарение) минимального
радиуса капель в А раз.
Для определения КЭ сепаратора
следует подставить в уравнение по-
лученные выражения для Rm и Ф(7?о).
Вводя безразмерные переменные
z = R0/Rav; Z\=R\/Rav-, r = LuM/UD;
us0 =2ApgR*v/9pc, получаем
ехрОЗо2)
72^0 J 4 2a2 )
(18.51)
где zm = rA/7/X
На рис. 18.5 показана зависимость ц от безразмерного времени т пребы-
вания смеси в сепараторе для различных значений А, характеризующих степень
пересыщения смеси. Случай А = 1 соответствует отсутствию фазовых превраще-
ний. Из рисунка видно, что увеличение А приводит к росту КЭ, поскольку при
этом увеличивается размер капель. Зависимость КЭ от скорости потока в
сепараторе U представлена на рис. 18.6 для следующих значений параметров:
р = 5 МПа; D = 1 м; цс= 10“5 Па-с; рс = 40кг/м3; р£= 750 кг/м3; L = 3 м.
Определение КЭ для вертикального гравитационного сепаратора прово-
дится аналогичным образом. Выражение для ц имеет вид
ехр(-3а2) г ( ln2(z/z1)>) , ( _ .
п = 1-----г=--- 2 ехр---------г-2- \dz, (18.52)
//a J 2а2 )
где z,„ = (C7/izs0),/2/A.
Зависимость ц от U/u^ для различных значений А показана на рис. 18.7.
Рассмотрим теперь укрупнение капель за счет фазовых превращений в
турбулентном потоке. В разделе 16.1 для случая Rav > Ао было получено вы-
ражение (16.78) для изменения среднего объема капель V:
V- = 1 + Цу L (Рюо - Рю Jd - е-^'), (18.53)
где Ас = li,3Ut/7p3/7W(lU/d8/2'Di/3'L2/1p^7; Ut и U — скорости потока в подво-
дящем трубопроводе и сепараторе; Wo — объемное содержание жидкой фазы на
входе в сепаратор; d и D — диаметры трубопровода и сепаратора; Z — коэф-
фициент поверхностного натяжения капель.
Ограничимся рассмотрением осаждения капель в горизонтальном гравита-
ционном сепараторе. Если размер капель не изменяется и они осаждаются со
стоксовой скоростью, то передаточная функция определяется формулой (18.15).
480
n
1,0
n
1,0
0,5 -
2
3
0,50
U, м/с
Рис. 18.6. Зависимость т| горизонтального гра-
витационного сепаратора от U для различных
значений X:
1 - 2, 2 - 1,4; 3 - 1
______________________I_____________________
0 2 4
U/Uso
Рис. 18.7. Зависимость г] горизонтального гра-
витационного сепаратора от U/uM для раз-
личных значений X:
1 - 2; 2 - 1,4; 3 - 1,2; 4 - 1
Пусть теперь размер капель растет по закону (18.53). Тогда траектории усред-
ненного движения капель определяются уравнением
с начальным условием г/(0) = г/0. Здесь обозначено В = Z(p1C0 - р1Си,)/pLWo, R^ —
минимальный радиус нерастущих капель.
Решение уравнения (18.54) имеет вид
z \2
г/=г/о-т ^- С; (18.55)
L {КтО J
С = ~ (- 0,5 (z2 -1) + 0,5 а2Го,5 In (1 ~ a)3(f ~ а3) +
Ас [ [ (1-а3)(г-а)3
г-( 2 + а 2г + а
+ т/3 arctg—^=г - arctg—=-
аТз аТз
где а = (1+В),/3; z = [1 + В(1 - е-^/и)],/3.
Для определения минимального радиуса капель нужно в формуле (18.55)
положить y0 = D, у = 0 и x = L. В итоге найдем
z X-V2
(18'56>
Здесь CL -- значение параметра С при x = L.
31 - 1461 481
Таблица 18.1
Значения параметра X при различных Wo н U
Wo, м3/м3 U, м/с
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
1 • 10’5 2,27 2,27 2,5 2,68 2,82 2,97
5 • 10’5 1,68 1,81 1,88 1,93 1,95 1,97
1 • 10’4 1,47 1,57 1,55 1,56 1,56 1,56
5 • КТ4 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15
1 - 10’3 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04
Таким образом, учет фазовых превращений сводится к введению поправоч-
ного коэффициента X*1 в выражении для минимального радиуса капель. КЭ
сепаратора определяется формулой (18.51), в которой в качестве Rm нужно
взять выражение (18.56). Наибольший интерес представляет зависимость X от
скорости газа в сепараторе U и объемного содержания жидкой фазы на входе
IVO. Значения X приведены в табл. 18.1 при d = 0,1 м; D = 1 м; Z = 5 • 10“3Н/м;
р, = 750 кг/м3; L = 3 м; Дг/(О) = 10“2. Зависимость КЭ г] от U для различных
значений IVO представлена на рис. 18.8. Для фиксированной скорости потока U
КЭ уменьшается с ростом WQ. поскольку при этом уменьшается среднее рас-
стояние между каплями, быстрее устанавливается фазовое равновесие и замед-
ляется рост капель.
Если Rm. < Хо, то в приведенных выражениях нужно Ас заменить на А„
который определяется соотношением (16.93). Зависимости г] от U и IVO в
рассматриваемом случае практически совпадают со случаем Rav > Хо.
Таким образом, проведенные расчеты показывают, что конденсационный рост
капель может оказать заметное влияние на КЭ сепаратора в случае существо-
вания достаточно сильного пересыщения смеси Дг/ (не менее 10“2) и при не-
больших объемных содержаниях жидкой фазы Wo (не более 5- 104 м3/м3),
что возможно, если конденсирующее устройство расположено практически на
входе сепаратора. Однако при этом эффективность удаления из потока обра-
зующихся в устройстве маленьких ка-
пель чрезвычайно мала. Поэтому при
расчетах КЭ сепаратора конденсаци-
онным ростом капель можно прене-
бречь.
Рис. 18.8. Зависимость ц горизонтального
гравитационного сепаратора от U для различ-
ных значений м3/м3:
1 — 10“5; 2 — 5 • 10-5; 3 - отсутствие фазовых
превращений
482
18.5. ВЛИЯНИЕ КОАЛЕСЦЕНЦИИ КАПЕЛЬ
НА КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ СЕПАРАТОРА
Коагуляция капель в турбулентном потоке газа была рассмотрена в раз-
деле 15.2. Закон изменения среднего объема капель имеет вид
/ >,/2
= (1 + Р^)2; р = 8Ш----, (18.57)
Vo <3npcV04}
где Vo — начальный объем капель; Г — постоянная Гамакера; А.о — внутренний
масштаб турбулентности.
Рассмотрим коагуляцию капель в горизонтальном гравитационном сепара-
торе. Пусть на входе в сепаратор капли имеют одинаковый объем, равный
среднему объему капель Vav, формирующихся в подводящем трубопроводе.
Рассмотрим элементарный объем, содержащий на входе X капель объемом Vav,
и будем следить за этим объемом, полагая, что капли его не покидают. В про-
цессе движения объема в сепараторе содержащиеся в нем капли коагулируют
между собой, число их уменьшается, суммарный объем капель сохраняется,
а объем капель увеличивается в соответствии с выражением (18.57). Отметим,
что при этом время пребывания капель в сепараторе зависит от начального
положения объема во входном сечении. Для определения КЭ сепаратора вос-
пользуемся соотношениями (18.3) и (18.17). Если считать, что капли осажда-
ются со стоксовой скоростью, то получим
/ / \ 2/3
<18-58)
Подставив сюда выражение (18.57), найдем
_ ЗаУ02/3
Чсоа8 7рр
(18.59)
Без учета коагуляции КЭ в рассматриваемом приближении
ц = aV^/UD. (18.60)
Составим отношение приведенных коэффициентов эффективности:
Ucoag 3CZ
’I 7£р
(18.61)
Из выражения (18.61) следует, что влияние коагуляции капель на КЭ се-
паратора определяется параметром flL/U. Наибольший интерес представляет
зависимость от объемного содержания жидкой фазы W и скорости газа U. Ис-
пользуя выражения для р, Хо и Vo = Vav, найдем, что $L/U - UW. Для харак-
терных значений параметров D = 1 м; d = 0,1 м; рс= 50 кг/м3; р, = 750 кг/м3;
Г= 5 • 10 20 Дж; S = 10~2 Н/м; = 10~5 Па • с; L = 3 м; W< 1(Г3 mVm3; U< 1 м/с
получим рД/£/~0,3. Малое значение этого параметра позволяет принять
е«1 + ^. (18.62)
Таким образом, при учете коагуляции капель в сепараторе КЭ повышается
на величину, равную 2р£г]/3(7. Основное влияние оказывают скорость потока U
31* 483
Рис. 18.9. Зависимость т| горизонтального гра-
витационного сепаратора от скорости газа U:
1 — без учета коагуляции; 2 — с учетом коа-
гуляции при И/=5 • 10“3 м3/м3
1 м3 смеси при рабочих условиях, то
температуры:
и объемное содержание жидкости W.
Для приведенного выше примера ко-
агуляция оказывает заметное влияние
на КЭ лишь при W>10"3 м3/м3 и
U > 1 м/с. Однако при таких скоро-
стях потока эффективность гравита-
ционного сепаратора практически рав-
на нулю и учет коагуляции не мо-
жет его заметно увеличить. Следует
принять во внимание, что поскольку
объемное содержание определено как
объем жидкой фазы, приходящийся на
величина W зависит от давления и
W = Wn^-,
гТ
(18.63)
где z — сжимаемость газа; W„ — объемное содержание жидкости при нормаль-
ных условиях.
Это означает, что при фиксированных значениях W„ (именно этот пара-
метр используется на практике, его называют конденсатным фактором) объем-
ное содержание жидкой фазы W увеличивается с ростом давления и уменьше-
нием температуры. При этом растет и скорость коагуляции капель. На рис. 18.9
показана зависимость КЭ горизонтального гравитационного сепаратора от ско-
рости потока U в сепараторе с учетом и без учета коагуляции капель. Посколь-
ку в гравитационных сепараторах скорость не превосходит 0,3 м/с, то из
приведенных оценок можно сделать вывод, что коагуляция оказывает незначи-
тельное влияние на КЭ сепаратора и при проведении расчетов коагуляцию
можно не учитывать.
18.6. ВЛИЯНИЕ КРИВИЗНЫ СТЕНОК СЕПАРАТОРА
НА КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ
До рассматриваемого момента для простоты расчетов КЭ сепаратора мо-
делировался объемом прямоугольного поперечного сечения. Очевидно, что по-
добное приближение не скажется на КЭ вертикального аппарата. Однако для
горизонтального сепаратора подобное утверждение неочевидно.
Рассмотрим осаждение капель в горизонтальном сепараторе круглого по-
перечного сечения. Пусть газ движется в трубе диаметром D с постоянной по
сечению скоростью, равной среднемассовой скорости U. Разобъем сечение трубы
на тп вертикальных полосок одинаковой ширины Д. Высота каждой полоски z
зависит от ее расстояния от оси трубы
8 = 2(0,5D2 -52)1/? (18.64)
484
Таблица 18.2
Коэффициент эффективности горизонтального сепаратора
Сечение Скорость U, м/с
0,086 0,13 0,23 0,3 0,4 0,5
Прямоугольное 0,99 0,97 0,64 0,4 0,2 0,12
Круглое 0,99 0,97 0,69 0,46 0,25 0,14
Разобъем теперь внутреннюю область трубы на горизонтальные слои
плоскостями, параллельными оси трубы. Каждый такой слой можно рассмат-
ривать как горизонтальный сепаратор прямоугольного поперечного сечения,
КЭ которого г], нетрудно определить. Для определения КЭ всего сепаратора
нужно проинтегрировать т)( по 8. В табл. 18.2 приводятся результаты рас-
чета КЭ горизонтального гравитационного сепаратора прямоугольного и
кругового поперечного сечения при следующих значениях параметров:
р-5 МПа; цс = 1,2 • 10~5 Па-с; рс = 40 кг/м3; р£ = 750 кг/м3; d = 0,l м;
Z = 10“2 Н/м. Из приведенных результатов следует, что кривизна стенок
приводит к увеличению КЭ сепаратора, но это увеличение незначительно.
Таким образом, кривизна стенок оказывает заметное влияние на КЭ
сепаратора только при относительно больших скоростях потока, при кото-
рых эффективность сепарации мала. Поскольку эта область скоростей не
представляет практического интереса, то можно сделать вывод, что для
практических расчетов сепаратор можно моделировать объемом прямоуголь-
ного сечения.
18.7. ВЛИЯНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ УСТРОЙСТВА
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ КОНДЕНСАЦИИ ДО СЕПАРАТОРА
НА КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ
Выше были подробно рассмотрены процессы, происходящие в устройствах
предварительной конденсации (УПК), в подводящем трубопроводе и в сепара-
торе. Было показано, что эффективность сепарации существенно зависит от
поведения газожидкостной смеси во всех трех элементах технологической схе-
мы. Рассмотрим теперь вопрос о влиянии взаимного расположения этих эле-
ментов. В частности, важным параметром является расстояние от УПК до
сепаратора.
При прохождении газожидкостной смеси через УПК (дроссель, тепло-
обменник или турбодетандер) в результате понижения температуры и дав-
ления в потоке образуются мелкие капли (туман), размер которых намного
меньше минимального радиуса капель, характерного для сепаратора. Если
УПК поместить у входа в сепаратор, то образующиеся капли не уловятся
сепаратором. Для эффективного осаждения их необходимо укрупнить. Ук-
рупнение капель начинается непосредственно в УПК. Однако малое время
пребывания в УПК не позволяет им укрупниться до нужного размера и
дальнейшее укрупнение капель происходит в трубопроводе, соединяющем
УПК и сепаратор. Ранее было показано, что основным механизмом укруп-
нения капель в трубопроводе является их коагуляция в турбулентном по-
токе газа. Для этого им необходимо достаточно большое время, которое
485
зависит от параметров потока, диаметра трубопровода, термобарических ус-
ловий и свойств фаз. В то же время капли не могут неограниченно уве-
личиваться в размерах, поскольку при заданных параметрах потока и тру-
бопровода существует критический размер капель, при превышении которого
они начинают дробиться. Зная закон укрупнения капель и максимально
возможный размер, можно определить такое расстояние от УПК до сепара-
тора, чтобы капли успели укрупниться до максимально возможного размера.
В процессе коагуляции размер капель увеличивается по закону (18.57).
Для характерных значений параметров рс=50 кг/м3; W=5-10~3 м3/м3;
Г = 5* 10“20 Дж; Хо= 10“6 м имеем fit» 1. Это неравенство позволяет запи-
сать закон изменения среднего объема капель в виде
64lV2rt2
ЗХ20тгрс
(18.65)
Заметим, что для t» 1 /р размер капель не зависит от начального раз-
мера.
Потребуем, чтобы конечный размер капель был равен среднему размеру Ra
[см. (14.14)], формирующемуся в турбулентном потоке в трубе. Используя
выражение Vav = 4л/?с3/3 и соотношение (14.5) для Хо и полагая t = L/U,
получаем требуемое расстояние от УПК до сепаратора
^(22)^^
’ r^pfu^p'^w'
(18.66)
Расстояние L уменьшается с увеличением скорости потока U и с умень-
шением диаметра d трубопровода. Это объясняется тем, что увеличение U и
уменьшение d приводит, с одной стороны, к уменьшению среднего размера
капель в потоке, а с другой — к повышению скорости коагуляции капель.
Оценим возможные значения L. Пусть перед сепаратором расположен
дроссель. За дросселем давление р = 10 МПа; температура Т = 273 К; скорость
газа в трубопроводе U = 10 м/с; диаметр трубопровода с? = 0,4 м; плотность
жидкости и газа соответственно р£ = 750 кг/м3; рс = 100 кг/м3; коэффициент
поверхностного натяжения жидкости Z = 5 • 10“3 Н/м; коэффициент вязкости
цс = 10’5 Па • с; объемное содержание жидкой фазы в потоке W= 5,5 • 10~3 м3/м3;
постоянная Гамакера Г=5 • 10“20 Дж. При этих значениях параметров из вы-
ражения (18.66) имеем £ = 90 м. При тех же значениях параметров умень-
шение диаметра трубопровода до с? = 0,2 м приводит к снижению значения L
до 11 м, но при этом уменьшается минимальный размер капель, осаждающихся
в сепараторе, а следовательно, уменьшается КЭ сепаратора.
Таким образом, расстояние от УПК до сепаратора следует выбирать такое,
чтобы, с одной стороны, оно было не слишком большое, а с другой — чтобы при
этом не уменьшился КЭ сепаратора.
Приведенные данные согласуются с результатами экспериментов [53],
в которых определялось оптимальное расстояние от дросселя до сепаратора,
при котором КЭ становится максимальным.
19
ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАЗДЕЛЕНИЯ
ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СМЕСЕЙ В СЕПАРАТОРАХ
С КАПЛЕУЛОВИТЕЛЬНЫМИ НАСАДКАМИ
Гравитационные сепараторы обладают небольшой эффективностью и малой
производительностью по газу. Для повышения производительности и эффек-
тивности работы нужно увеличивать их габариты или оборудовать сепараторы
дополнительными каплеуловительными секциями, способными улавливать мел-
кодисперсную составляющую газожидкостного потока, не успевшую осесть в
осадительной секции. Обзор конструкций каплеуловительных секций содер-
жится в разделе I. Наибольшее распространение получили следующие виды
каплеуловительных секций: жалюзийные, центробежные, сетчатые и струнные.
В этих секциях отделение жидкости от газа происходит в основном за счет сил
инерции, поверхностных сил, а также гидродинамических сил. Отметим, что
большинство сепараторов, оборудованных каплеуловительными секциями, пред-
ставляют собой вертикальные аппараты.
Сепаратор схематично можно представить состоящим из двух последова-
тельно соединенных секций: осадительной и концевой каплеуловительной.
Процесс разделения смеси в таком сепараторе можно представить следующим
образом. На вход сепаратора поступает газожидкостная смесь с известным
распределением капель по радиусам n0(R) (рис. 19.1). В осадительной секции,
которая характеризуется своим минимальным радиусом капель Rm, удаляются
все капли, радиус которых R > Rm. В осадительной секции горизонтального
гравитационного типа кроме этих капель из потока удаляется также часть
капель размером в интервале 0 < R < Rm (горизонтально заштрихованная об-
ласть на рис. 19.1). Газожидкостная смесь, освобожденная от крупных капель,
попадает в концевую секцию, оборудованную каплеуловительными насадками,
которая может характеризоваться своим минимальным радиусом < R,„.
В итоге от распределения капель по радиусам отсекается дополнительная часть
(вертикальная штриховка) и на выходе сепаратора остается небольшая часть
распределения с О <R <RmV Как будет показано в дальнейшем, минимальный
радиус капель существует не для
всех типов насадок, поэтому введе-
ние Rmi является условным.
Если известны передаточные
функции секций, то коэффициент
уноса и коэффициент эффективнос-
ти сепаратора могут быть определе-
ны по формулам (18.3) и (18.6).
В разделе 18 были получены
Рис. 19.1. Распределение капель по ра-
диусам
487
выражения для КЭ гравитационных сепараторов, которые можно рассматривать
как КЭ осадительной секции т),. Здесь будут рассмотрены процессы сепарации
в каплеуловительных насадках и получены соответствующие выражения для т]2-
19.1. КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ
С ЖАЛЮЗИЙНОЙ НАСАДКОЙ
Рассмотрим вертикальный сепаратор, состоящий из двух секций: гравита-
ционной осадительной и каплеуловительной, оборудованной жалюзийной насад-
кой, ориентированной по направлению силы тяжести перпендикулярно плоско-
сти рисунка. Жалюзийная насадка (рис. 19.2) представляет собой пакет гоф-
рированных пластин, расстояние между которыми равно /г0. Как правило, зна-
чение /г0 берется постоянным. Центральный угол гофр составляет 2<р(, причем
i = 0 соответствует углу во входном сечении. Между смежными пластинами
образуются зигзагообразные каналы для прохода газа. Поток газа с некоторым
распределением капель по радиусам поступает на вход жалюзийной насадки.
Скорость газа на входе равна U. Предположим, что осаждение капель на
стенках канала происходит в основном за счет инерции капель, скорость потока
в сечении насадки однородна и параллельна стенкам, капли малы, поэтому сила
сопротивления — стоксовая. Анализ уравнений движения капли радиуса R
показывает, что передаточная функция насадки зависит от числа Стокса
S = 2R2pLU/9Lpc, характеризующего инерцию капли, и от геометрических па-
раметров «0 = /г0/L, ф0, q>).ф„, где п — число изгибов. Определяя траектории
капель, можно найти передаточную функцию жалюзийной насадки
Ф(Я) = П(1-Д). (19.1)
;=о
Параметры А„ характеризующие интенсивность осаждения капель радиуса
R на стенках насадки,
Рис. 19.2. Схематичное изображение жалюзийной насадки
488
ао
А, = j------------------т (1 - e-vs);
[во-ctg(p0 S(l-e~l/s)]
' (ao-(ctg(pI_1-ctg<p1_2)S(l-e-^))^ M
Минимальное число Стокса и соответствующий минимальный радиус капель
для каждого изгиба определяется из условия А, = 1. Для того чтобы минималь-
ный радиус капель убывал с увеличением номера изгиба, необходимо, чтобы
убывал угол наклона ф, с ростом i. В противном случае капли будут осаждаться
только на первых двух изгибах. В рассматриваемом случае при Ф0>Ф1> ><₽„
наименьшее значение минимального радиуса капель достигается на последнем
изгибе. При выполнении неравенства а0 < 0,4 (ctg ф„ + ctg Ф„-Д получим следую-
щее приближенное выражение для минимального числа Стокса:
«о
Sm
Ctg(p„ + ctg(p„_t
(19.2)
Для значений Ло = О,О1 м; Д = 0,025 м; ctg ф, = (6 + г)/12; pL = 650 кг/м3;
U = 1 м/с; цс=10"5 Па • с; п = 1 получим 5т = 0,19. Используя выражение
для числа Стокса, найдем минимальный радиус улавливаемых капель Rm = 1,8 х
х Ю~5 м = 18 мкм. Для улавливания капель радиусом 10 мкм при тех же зна-
чениях параметров нужно взять п = 35. Уменьшение Rm может быть достигнуто
увеличением скорости U, а также изменением геометрических параметров.
В частности, сужение поперечного сечения и уменьшение угла наклона стенок
способствует более эффективному улавливанию капель. В качестве примера
расчета КЭ сепаратора с жалюзийной насадкой рассмотрим вертикальный се-
паратор со следующими значениями параметров: диаметр аппарата D= 1,6 м;
диаметр подводящего трубопровода d
тура Т = 293 К; плотности жидкости
вязкость газа цс = 1,73 • 10“5 Па • с. На
рис. 19.3 показана рассчитанная за-
висимость КЭ сепаратора от расхода
газа Q при нормальных условиях.
Сравнение с аналогичной зависимос-
тью (см. рис. 18.4) показывает, что
жалюзийная каплеуловительная сек-
ция увеличивает КЭ сепаратора. Сле-
дует заметить, что повышение скоро-
сти потока сверх критического значе-
ния может привести к срыву капель
с поверхности жидкой пленки, обра-
зующейся на стенках жалюзей, и тем
самым к дополнительному уменьше-
нию эффективности сепарации. Зна-
чение критической скорости обычно
устанавливают экспериментально.
Рис. 19.3. Зависимость коэффициента эф-
фективности сепаратора с жалюзийной на-
садкой от расхода газа
= 0,3 м; давление р= 13 МПа; темпера-
и газа pt = 615 кг/м3, рс=143 кг/м3;
19.2. КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ
С МУЛЬТИЦИКЛОННОЙ НАСАДКОЙ
Дополнительная секция, оборудованная центробежными патрубками (муль-
тициклонами), устанавливается, как правило, в верхней части вертикального
сепаратора на горизонтальной платформе. Каждый патрубок представляет со-
бой цилиндр, на входе которого поток закручивается специальным устройством.
В зависимости от способа закрутки потока патрубки делятся на тангенциаль-
ные и осевые. В первом типе поток подается по касательной к стенке через
специальные прорези в стенке патрубка, а во втором — поток закручивается на
входе обтекателем со специальными лопатками, установленными под определен-
ным углом к потоку.
Рассмотрим движение газожидкостной смеси в патрубке, который будем
моделировать цилиндром радиуса Rc и длиной Lc. Примем, что скорость газа
имеет две составляющие: осевую vz и тангенциальную vv. Радиальная состав-
ляющая скорости газа мала по сравнению с vz и vv, и в первом приближении
ее влиянием на процесс осаждения капель на стенке патрубка можно пренеб-
речь. Предполагая, что поток газа набегает на насадку с центробежными пат-
рубками равномерно по сечению аппарата, можно найти среднюю продольную
скорость газа в патрубке
vz-U^-, (19,3)
*^2
где U — средняя скорость газа в осадительной секции; и 32 — площади
рабочих сечений осадительной и концевой секций.
Рассмотрим движение капли радиуса R в центробежном патрубке. По-
скольку крупные капли отделились от газа в осадительной секции, то в патруб-
ке движутся относительно мелкие капли, сопротивление которых подчиняется
закону Стокса. Пренебрежем также силой тяжести. Сделанные предположения
позволяют представить уравнения движения капли в виде
4 nR3pL — = -к/?3 Ард - бяцсЖи, - v2),
3 at 3
2
^R3pL^ = -6npcRur+-^R3pL^-, (19.4)
| = -6яИоЯ(Мф - Ц,),
где uz, ur и uv — составляющие скорости капли.
Оценим порядок величины инерционных членов в левой части уравнений
(19.4). Имеем
е*=’ Sf1;
3 at /
82 = 4 л/?3рл l^cRur ~ ;
3 at I
E>=5’tRp‘l^f + niJ/ R- -9^ / + - J
Для характерных значений параметров р, ~ 750 кг/м3; vz < 5 м/с;
цс-10~5 Па-с; £„>0,3 м; < 2 -10 5 м имеем g^g^O.l. Это означает, что
490
инерционные члены в левой части первых двух уравнений (19.4) малы и
ими можно пренебречь. При этом иг/г ~ 2Л2рьа>2/9рс, где а — угловая ско-
рость закрутки потока на входе патрубка, и
3 9hg V.c 9gG J'
Отсюда следует, что е3 < 0,1 при о><50 с'1.
Таким образом, при скоростях закрутки потока со < 50 с*’ уравнения дви-
жения капель, радиус которых R <2 • 105 м, а именно такие капли поступают
на вход центробежных патрубков, имеют вид
6«goRg
(19.5)
z(0) = 0; r(O) = ro (0<r0<7?c).
Как уже отмечалось, центробежные патрубки бывают двух типов: осевые
и тангенциальные. Принципиально они отличаются способом ввода смеси. Кроме
того, от конструкции патрубка зависит профиль тангенциальной составляющей
скорости газа v4(r) [54, 55]. Объединим рассмотрение патрубков обоих видов,
предположив, что каждый из них характеризуется значением среднего угла
закрутки потока ср. Для осевого патрубка его можно считать равным углу
закрутки потока на входе <р0, а для тангенциального патрубка <р( можно опре-
делить следующим образом. Обозначим через £ар, /гар и пар — высоту, ширину и
число тангенциальных прорезей в нижней части стенки патрубка. Средняя
тангенциальная скорость газа, поступающего через прорези,
= Q/Жр^арСар,
где W — число патрубков; Q — расход газа.
Средний угол закрутки потока <раи можно оценить из соотношения
г>ф n(R2
tg Фао ~ V ~ п h I
2 ПарПарЬар
(19.6)
(19.7)
В числителе выражения (19.7) — площадь кольцевого сечения закручен-
ного потока в патрубке, a Rt = nsphsp/2 — внутренний радиус этого сечения.
В работах [54, 55] показано, что в осевых патрубках тангенциальная со-
ставляющая скорости в зависимости от конструкции завихрителя определяется
выражением
vlf = Crk. (19.8)
При k = — 1 поток закручивается по закону постоянства циркуляции (по-
тенциальное вращение), при k = 0 обеспечивается постоянство угла закрутки по
радиусу, а при k = 1 закрутка осуществляется по закону твердого тела (квази-
твердое вращение). Для реализации законов вращения (19.8) лопатки завих-
рителя на выходе должны иметь определенную зависимость угла закрутки от
радиуса. Вопрос о законе для тангенциального патрубка остается открытым и
требует экспериментальной проверки.
Ограничим выбор зависимостей (19.8) условием сохранения среднего
значения тангенса угла закрутки потока
«с
tg<P = -r^- [rv dr
TtRfv, *
г о
(19.9)
491
в предположении, что осевая составляющая скорости остается постоянной. Из
условия (19.9) находится постоянная С, входящая в (19.8),
C = -^^n2tg<p (fe>-2).
Рассмотрим теперь уравнения движения капли радиуса Л в патрубке:
dz _ dr _ 2pL7?2&|
dt ~ 2 U” dt ~ 9цсг ’
z(0) = 0; r(O) = ro; ws = 2^1.
(19.10)
Критическая траектория капли соответствует такому значению г0, при
котором капля на выходе патрубка попадает на стенку r = Rc. Из решения
уравнения (19.10) находим критическое значение г0
t (1-/j)(/;+2)2pL7?2^tg2tpLc
r0
Я,
9цс7?2(1 - u.o Az)
expF-----PL^2^lctgy
9рс7?с2 (1 - u5o/b2)
при k 1,
При k= 1.
(19.11)
Минимальный радиус капель Rm] определяется из уравнения (19.11) при
условии го = О. Очевидно, Rmi существует лишь при значениях k< 1. Коэффи-
циент эффективности патрубка
2
*'=1-3sU
(19.12)
где VP01 и и0)(Я) — объемное содержание и распределение капель на входе
патрубка.
Заметим, что в случае, когда минимальный радиус не существует, то верх-
ний предел интеграла в выражении (19.12) следует заменить на Rm где Rm —
минимальный радиус капель в осадительной секции. Объемное содержание
капель V/01 на входе патрубка равно объемному содержанию капель на выходе
осадительной секции, поэтому
= | ^R3na(R)dR.
(19.13)
Заметим еще, что продольная скорость потока в патрубках большая
(vz> 1 м/с), поэтому для всех капель, поступающих в патрубок, выполняется
неравнество us « vz.
Рассмотрим теперь различные законы закручивания потока (19.8)
1. Постоянный угол вращения по радиусу (fe = 0).
Имеем
« \ 1/2 z х о Г z х ?
9HG*e2 ] . S ] = j Г * ]
= n2tg <p; Rmi
- ------ 2 ’ ~ ТГ~
\^ipLVzLctg2<pJ \Rc J \Rm\ J
Из уравнения (19.12) находим КЭ патрубка
dz,
(19.14)
492
1/2
(91,
, Уф =--------------
2. Квазитвердое вращение (k=l).
В рассматриваемом случае находим
э г _ \2
= ехр
7?2&2LcpLtg2q>
«ф
КЭ рассматриваемого патрубка
. ехр(-3а2) f
Лр — 1 /т—
о
3. Потенциальное вращение (А = -1).
а- „Г 9иоя2 У72
= у ш = -z—т—у
2r I 2pL&2Lctg2<p )
КЭ патрубка
ехр(-3а2) г’
. 0
ia4z/z^dz.
2 У/2
9Уфг2I
2а2
21,/2
exn' ln4z/z')ldz
exp 2a2 dZ'
(19.15)
(19.16)
2
законов
_( 9
)
Зависимости КЭ осевого патрубка от параметра у для различных
закрутки (различные k) потока показаны на рис. 19.4, а. В области
наибольшей эффективностью обладает патрубок с завихрителем, обеспечивающим
вращение потока с постоянным углом закрутки (k = 0). С увеличением параметра уф
различие между КЭ патрубков с различными законами вращения потока умень-
шаются. Заметим, что для характерных значений параметров в газовых патрубках
Рис. 19.4. Зависимости КЭ центробежного патрубка — газового циклона (а) и
гидроцнклоиа (б) от параметра yv для различных значений k:
1 - 1; 2 - 0; 3 --0,5; 4 - 2; 5 - -1
493
(циклонах) практически всегда выполняется неравенство уф » 1. Поэтому КЭ
газовых циклонов мало чувствителен к изменению закона вращения потока.
Для гидроциклонов, в которых плотность дисперсной фазы больше плотно-
сти сплошной фазы, уф < 1, и их КЭ (рис. 19.4, б) мал и существенно зависит от
профиля тангенциальной скорости потока. Из трех рассмотренных законов вра-
щения наибольшую эффективность обеспечивает квазитвердое вращение потока.
Рассмотрим теперь тангенциальный патрубок, для которого угол закрутки
оценивается соотношением (19.7). Повторяя изложенные выше рассуждения,
нетрудно найти выражение для КЭ
. ехр(-3а2) Г (. 4 ln2(z/zt) ,
n"=1-----Z l1-e -9^22)ехР[----------------(19.17)
О
где e = Rt/Rc; уф( = уф/(1 -Rt/R'Y
Если конструкция тангенциального патрубка такова, что = 2RC, то
£ = 0, и расчет КЭ тангенциального патрубка производится так же, как и КЭ
осевого. Отличие состоит только в определении угла закрутки потока.
Исследуем теперь зависимости КЭ вертикального сепаратора, оборудован-
ного центробежными патрубками (мультициклонами) от различных парамет-
ров. Наибольший интерес представляют зависимости от термобарических усло-
вий (давления и температуры), геометрических параметров (диаметра подводя-
щего трубопровода, длины патрубков), а также от расхода газа.
КЭ сепаратора с ростом давления сначала увеличивается, а затем уменьша-
ется. Максимальное значение КЭ достигается при р = 3 - 4 МПа (рис. 19.5).
Рис. 19.5. Зависимость д сепаратора с тан-
генциальными центробежными патрубками от
давления для различных значений расхода газа
Q, млн м3/сут (£) — 1,6 м; d — 0,35 м; Т — 0 °C;
N - 92; Lc - 0,3 м; 2RC - 0,1 м; Lap - 0,075 м;
hap - 0,005 м; пар - 20):
1 - 5; 2 - 9; 3 -12; 4 - 15
Рис. 19.6. Зависимость в сепаратора с тан-
генциальными центробежными патрубками от
расхода газа Q, млн м3/сут для различных
значений d, и (р -= 10 МПа, остальные пара-
метры те же, что на рис. 19.5):
1 - 0,4; 2 - 0,3
494
Рис. 19.7. Зависимость т] сепаратора с танген-
циальными центробежными патрубками от дли-
ны патрубков Le для различных значений рас-
хода газа Q, млн м3/сут (D — 0,45 м; d — 0,15 м;
Т- 10 °C; N-7; 27?с-0,1 м; р » 3 МПа):
7 - 1; 2 - 2; 3 -3
Увеличение расхода газа (он берется
при нормальных условиях) приводит к
уменьшению КЭ сепаратора (рис. 19.6).
Давление влияет на расход газа при
рабочих условиях, на плотность газа
и коэффициент поверхностного натя-
жения капель. От перечисленных па-
раметров зависит размер капель, по-
ступающих в сепаратор. Увеличение
давления приводит к уменьшению рас-
хода газа и коэффициента поверхно-
стного натяжения. Снижение расхода,
в свою очередь, приводит к росту сред-
него радиуса капель, формирующихся
в трубопроводе, и центробежной си-
лы в патрубках. Однако при сниже-
нии расхода уменьшается скорость газа,
а следовательно, и центробежная сила. В результате взаимодействие этих
факторов приводит к снижению КЭ сепаратора с расходом газа. Коэффи-
циент поверхностного натяжения сначала заметно уменьшается с ростом
давления до 9 МПа, а при р > 9 МПа изменяется слабо. Поэтому увеличение
давления сначала уменьшает средний размер капель, а затем оказывает на
него незначительное влияние. Это приводит к немонотонному изменению
КЭ. Следует отметить, что без учета осадительной секции КЭ центробежных
патрубков имеет максимум в области малых расходов. Поскольку в этой
области высок КЭ осадительной секции, то КЭ всего сепаратора монотонно
убывает с увеличением расхода газа.
Изменение температуры несущественно влияет на КЭ сепаратора. Измене-
ние диаметра подводящего трубопровода оказывает такое же влияние, как и в
гравитационных сепараторах.
Увеличение длины патрубков тоже приводит к повышению КЭ сепаратора
(рис. 19.7).
19.3. КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ
СО СТРУННОЙ НАСАДКОЙ
Блок струнного каплеуловителя состоит из набора сепарирующих пакетов
(секций), каждый из которых изготовлен в виде ряда рамок с натянутыми на
них нитями из проволоки, нейлона и т. п. Нити ориентируются параллельно
силе тяжести и перпендикулярно потоку газа. Рамки и пакеты соединены пос-
ледовательно.
Как и ранее, под коэффициентом эффективности (КЭ) будем понимать
495
отношение количества (объема) жидкой фазы, задержанной каплеуловителем, к
количеству жидкой фазы на входе каплеуловителя:
«9.18)
где К — коэффициент уноса.
Величина ц зависит от скорости газа, объемного содержания и дисперсно-
сти жидкой фазы, геометрических размеров каплеуловительной секции, давле-
ния, температуры и т. д.
Обозначим через К{ — коэффициент уноса i-й рамки. Поскольку в пакете
рамки соединены последовательно, то согласно (18.5) КЭ пакета, состоящего из
N рамок,
N
т| = 1-Г[К,. (19.20)
(=1
Аналогично КЭ блока, содержащего М пакетов,
м ( n '
ч-1-П п*»
; = ф; = 1 ;
Здесь через K{j обозначен КЭ г-й рамки в /-м пакете.
Если все рамки и пакеты одинаковы, то K{j = K и КЭ блока
ц = 1 - KMN.
(19.21)
(19.22)
Таким образом, для определения КЭ
струнной каплеуловительной секции достаточ-
но знать КЭ одной рамки К.
Рамка представляет собой ряд параллель-
ных цилиндрических струн диаметром
= 0,3 - 0,5 мм, находящихся на расстоянии
/ = 2-3 мм. Отметим, что Jt/2/«l. Малая
величина этого параметра означает, что сосед-
ние струны не оказывают заметного влияния
на картину обтекания одной струны потоком
газа, и достаточно рассмотреть осаждение ка-
пель на одном цилиндре, а потом перейти к
рассмотрению всей рамки.
Итак, рассмотрим осаждение капель за-
данного размера на одном цилиндре (рис. 19.8).
Механизм осаждения капель зависит от режи-
ма течения, а также от отношения радиуса
капель R к радиусу цилиндра rc = d^/2. Оце-
ним число Рейнольдса при обтекании потоком
газа струны. Для характерных значений
<7 = 2,5-10 м/с; гс = (1,5 - 2,5) • 10~4 м;
рс = 10~5 Па • с; pG = 50 кг/м3 имеем Re = 375 -
2500. Набегающий на цилиндр поток газа
может иметь ламинарный характер, однако за
Рис. 19.8. Осаждение капель иа цилиндре
496
цилиндром может возникать турбулентный след, вызванный срывом погранич-
ного слоя. Большие значения числа Re означают, что захват капель цилиндром
имеют инерционный характер и может быть рассмотрен в рамках инерционного
механизма, рассмотренного в разделе 10.5. При обтекании цилиндра потоком
траектории движения капель за счет их инерции отклоняются от линий тока,
и они осаждаются на поверхности цилиндра. Эти отклонения тем больше, чем
больше размер капель. Для сравнительно крупных капель их траектории близки
к прямым линиям. Коэффициент эффективности одного цилиндра при захвате
крупных капель определяется по формуле
x}c=(rc + RXQ,5l + rc). (19.23)
В то же время очень мелкие капли, инерция которых мала, следуют за
линиями тока. В этом случае КЭ зхвата таких капель с учетом их зацепления
т\с = 2гс/1. (19.24)
Действительное значение КЭ лежит между этими двумя значениями, и
может быть определено при рассмотрении движения капель при обтекании
цилиндра.
Рассмотрим осаждение капель одинакового радиуса из потока газа при
поперечном обтекании цилиндра со скоростью U вдали от цилиндра. Предпо-
ложим, что капли достаточно малы, поэтому для определения силы сопротивле-
ния можно пользоваться формулой Стокса. Тогда траектории движения капель
определятся уравнением
= (19.25)
О 14- \ W I- J
где г — радиус-вектор центра капли.
В проекциях на радиальное и тангенциальное направления имеем
d2r _ (dsY 9hg ( dr^l
dt2 r\dt J 2R2pL V r dtJ’
d2e _ 9 dr de , 9hg ( _ dtO
Г dt2 dt dt 2R2pL V 9 Г dt)
(19.26)
Введем следующие безразмерные переменные:
х = —
Ш. g _ iUpLR .
rc ’ 9ncd,
ur
V. = — Vt, = —
r u u
В новых переменных уравнения (19.26) примут вид
z \2
d2x ( de |
Л2' ” J
+ S-1 v,
dx \
dr )’
d26 r, dx d6 c .( de ]
dt2 dt dt ( dt I
(19.27)
x(O) = xo; 0(0) = 60.
В правую часть системы уравнений (19.27) входит безразмерный пара-
метр S — число Стокса. Известно [56], что капли заданного размера не при
всех значениях S достигают обтекаемого цилиндра. Существует такое критиче-
ское значение Scr, что осаждение на цилиндре возможно при S > Scr. Для потен-
циального обтекания цилиндра приближенное решение уравнений (19.27) дает
значение Scr = 0,0625. Однако при Re » 1 возле поверхности цилиндра обра-
32 - 1461 497
зуется вязкий пограничный слой толщины 8 - rc/VRe, приводящий к более
сильному, по сравнению с потенциальным обтеканием, искривлению линий тока
вблизи поверхности. В итоге траектории несколько отодвигаются от поверхно-
сти. Это значит, что число частиц, достигающих поверхности в единицу времени,
уменьшается. Учет поля скоростей при наличии пограничного слоя можно
сделать, если воспользоваться решением Блазиуса [57].
Траектории движения капель получаются интегрированием уравнений
(19.27) при различных значениях координат начального положения капель.
Все траектории могут быть разбиты на два класса: оканчивающиеся на поверх-
ности цилиндра и огибающие цилиндр. Траектория, разделяющая эти два клас-
са, называется предельной. Она отстоит от прямой, проходящей через ось ци-
линдра и параллельной скорости набегающего потока вдали от цилиндра, на
расстоянии Ь. Очевидно, что поток капель, захватываемых цилиндром, пропор-
ционален Ь. Назовем отношение ® = Ь/гс безразмерным радиусом сечения за-
хвата цилиндром капель радиуса R. Численное интегрирование уравнений (19.27)
позволило получить зависимость ® от числа Стокса S (рис. 19.9). Если поле
скоростей соответствует потенциальному обтеканию цилиндра, то получается
зависимость (кривая 2), хорошо согласующаяся с приближенным решением
(кривая /) в области S>1. При малых значениях числа Стокса отличие
заметно, причем критическое значение SCT = 0,1. Влияние пограничного слоя
(кривая 3) при S > 10 незначительно, а при S < 1 — существенно. В частности,
Scr = 0,25. Следовательно, минимальный радиус капель, захватываемых цилинд-
ром, с учетом пограничного слоя больше, чем в случае потенциального течения.
Зависимость ® от S можно аппроксимировать следующим выражением:
z \2
® = М- . (19.28)
^s+л )
Постоянная А имеет следующие значения: 0,35 для потенциального тече-
ния, приближенное решение; 0,44 для потенциального обтекания, численное
решение; 0,66 для обтекания с учетом пограничного слоя, численное решение.
Теперь можно перейти к рассмотрению захвата капель рамкой. Коэффи-
циент уноса рамки
K = (19.29)
Z/rc + 2
Если капли имеют одинаковый радиус, то КЭ пакета
ц = 1- 1--2Ц . (19.30)
Для значений параметров, характерных для струнных насадок, выполняют-
ся условия 2fe/(/ + 2rc) « 1 и MN » 1. При этом
n«l-expf^|l (19.31)
<//гс+2;
Рассмотрим пример. Пусть pL = 750 кг/м3; pG = 10-5 Па • с; R = 1,34 • 10“6 м;
гс = 5 • 10~4 м; I = 3 • 10~3 м; N = 10; М = 4. Тогда S = 0,5; ® = 0,25 и г] = 0,92.
Если на вход струнного каплеуловителя поступает газожидкостная смесь с
объемным содержанием жидкости Wo = 5 • 10"4 кг/м3, то на выходе останется
W^O^-IO*4 кг/м3. Зависимость г] от скорости газа U представлена на
рис. 19.10. Для выбранных значений параметров критическая скорость, т. е. ско-
498
Рис. 19.9. Зависимость б от числа Стокса S:
1 — потенциальное обтекание, приближенное
решение; 2 — потенциальное обтекание, числен-
ное решение; 3 — обтекание с образованием по-
граничного слоя, численное решение
Рис. 19.10. Зависимость т] струйной
насадки от скорости газа U
рость, при которой S = Scr, равна = 1,56 м/с. Это значит, что при 17 <
эффективность каплеуловительной секции практически равна нулю. Заметим,
что если размер капель различный, то критическое число Стокса нужно опре-
делять по среднему радиусу капель.
Существование критического числа Стокса означает, что струны не способ-
ны улавливать капли, радиус которых меньше критического
f я \1/2
Ra = 0,75 . (19.32)
\2UpLJ
Из (19.32) следует, что при повышении скорости потока уменьшается
минимальный радиус захватываемых капель, а следовательно, увеличивается КЭ
струнного каплеуловителя. Однако возрастание скорости может привести к
потере устойчивости пленки жидкости, образующейся на струнах, и к срыву с
ее поверхности капель, что уменьшит КЭ.
Таким образом, струнная насадка характеризуется двумя критическими
скоростями. Первая критическая скорость ограничивает размер захватываемых
капель и определяется из условия Scr = 0,25. Вторая критическая скорость
соответствует началу вторичного уноса капель с поверхности пленки жидкости,
образующейся на струнах. Оценим значение второй критической скорости.
Рассмотрим поперечное обтекание вертикальной цилиндрической струны
потоком газа со взвешенными в нем каплями. Капли осаждаются на струне,
образуя тонкий слой стекающей жидкости. Толщина слоя увеличивается по
направлению силы тяжести. На некотором расстоянии от верхнего основания
струны толщина пленки достигнет для заданной скорости газа критического
значения, при котором устойчивость пленки нарушится, в результате чего воз-
можно разрушение пленки и унос с ее поверхности капель. Направим ось х от
верхнего основания струны вниз по направлению силы тяжести. Обозначим че-
рез h толщину пленки. Скорость стекания жидкости по поверхности струны можно
оценить, приравнивая силу тяжести к силе вязкого трения. В итоге получим
мх = pLgA2/3pL. (19.33)
32* 499
Для определения h по высоте струны запишем условие сохранения расхо-
да жидкости: расход через поперечное сечение стекающей пленки равен коли-
честву жидкости, осаждающейся из потока газа на струне до рассматриваемого
сечения:
2rchux = 2bUxW.
Подставляя в (19.34) выражение (19.33), находим
h = Г ЗЬцьСШху3
f rcPLff J
(19.34)
(19.35)
Для определения критической толщины h„, при которой возможен срыв
пленки, рассмотрим силы, действующие на нее при поперечном обтекании. Со
стороны газа действует динамический напор, под действием которого пленка
накапливается в кормовой части струны. Силы вязкого трения на стенке и
поверхностного натяжения на свободной поверхности препятствуют срыву.
Поэтому срыв возможен при выполнении неравенства
0,5ргС/2Л>Е + ^^..
у 2л
(19.36)
Из (19.36) находим
критическое значение толщины пленки
PgU2
J + fj + 2npGrcnLU3 )1/2
I S2 )
(19.37)
Подставляя в (19.37) выражение для (19.35), находим расстояние ха от
верхнего основания струны, на котором возможен срыв пленки набегающим
потоком
. _ рьдгс f S Yf | 2npGrcpLU3 У72
cr pLUWb fpG<72 Д S2 )
(19.38)
Таким образом, для того чтобы при обтекании струны потоком газа отсут-
ствовал вторичный унос при заданных значениях параметров, входящих в правую
часть уравнения (19.38), высота струны не должна превосходить хсг.
С ростом скорости газа критическая высота струны уменьшается. Поэтому
один ряд струн недостаточен для эффективного улавливания капель из потока
газа. Увеличение числа рядов струн приводит к тому, что при скоростях, боль-
ших критической, последующие ряды улавливают из потока капли, которые не
задержались на предыдущих рядах. Поскольку каждый ряд струн улавливает
из потока часть жидкости, что приводит к последовательному уменьшению
объемного содержания жидкости W в газе и росту хсг для каждого последу-
ющего ряда, то с увеличением числа рядов струн критическая скорость газа
будет возрастать.
Рассмотрим W последовательно расположенных рядов струн. Предполо-
жим, что расстояние между рядами велико по сравнению с диаметром струн.
В таком случае возмущение поля скоростей при обтекании следующего ряда
со стороны предыдущего мало. Пусть VP0 — объемное содержание жидкости
перед струнной насадкой, а х(с’’ — критическая высота первого ряда струн.
Примем для расчета следующую модель. В области струны с 0<х<ХсР
часть капель осаждается на струне, в то время как при х*р <х < Н, где Н —
500
высота струны, все капли уносятся потоком. С учетом сделанного предполо-
жения на второй ряд струн набегает поток со следующим объемным содер-
жанием капель:
W\ при 0 < X < Хсг,
Wo при ХсГ1> < X < Н,
(19.39)
где
W = Wo 1-
H(J + 2rc) J'
(19.40)
При этом условие сохранения расхода жидкой фазы примет вид
2rchux = + (x-x‘r°)W0]. (19.41)
Уравнение (19.41) с учетом выражений (19.33) и (19.40) позволяет найти
критическую высоту второго ряда струн
г(2) _ „(1) , „(1)1 1 _
•Л'СГ — -^сг ' •А'СГ ] 1
Мг°
Я(/+2гс)
(19.42)
Повторяя рассуждения для последующих рядов, найдем критическую высоту
для произвольного ряда струн
.(* + 1)
сг
Ьх^
Н(1 + 2гс)
(19.43)
Из последнего соотношения следует, что расстояние от верхнего основания
струны до точки срыва пленки увеличивается с ростом числа рядов струн. При
заданных значениях скорости потока и высоты струн число их рядов следует
выбирать из условия, чтобы на струнах последнего ряда не происходил срыв
пленки, т. е. чтобы выполнялось неравенство
г(1)
ucr
я
Ьх£
+ 2гс)
>1.
(19.44)
Число рядов струн, выбранное в соответствии с неравенством (19.44),
обеспечит безотрывный режим работы струнного каплеуловителя.
Для определения критического расхода газа и КЭ сепаратора, оборудо-
ванного струнной каплеуловительной насадкой, необходимо предварительно
определить параметры газожидкостного потока во всей системе, включающей
подводящий трубопровод, осадительную секцию и каплеуловительную насадку,
так же, как это было сделано ранее при расчете сепаратора с центробежной
насадкой. В итоге получим следующие выражения для КЭ вертикального
сепаратора
ц = 1-
ехр(-3а2) 27 2 Г N ( SaDz2 Y
V2ir о J \ + 2 \ + 0,66 J
ln2(z/z() ]
(19.45)
и для КЭ горизонтального сепаратора
501
exp(-За2)
л/2л а
zmh /
j z2 exp 1-
o \
TZ2
1 + 0,032 ArJ^z3/2
SatJz2 Y
xexpl + 2 ^SOTz2 + 0,66
ln2(z/zi)
2а2
dz,
(19.46)
где zmv и zmh — безразмерные минимальные радиусы капель в осадительных
секциях соответственно вертикального и горизонтального сепараторов;
S„c = 2wrtpi_ROT2/9pcr„; ust — скорость в струнной насадке; Агда — число Архиме-
да, подсчитанное по среднему радиусу капель Rav, формирующихся в подводя-
щем трубопроводе; z, = ехр(~ст2); т — безразмерное время пребывания смеси в
осадительной секции; f=l/rc.
Струнную насадку можно размещать как в горизонтальном, так и в вер-
тикальном сепараторах. В горизонтальном сепараторе насадку удобно располо-
жить вертикально в сечении аппарата (рис. 19.11). При этом для сохранения
безотрывного режима требуется разделить насадку на секции, исходя из рассчи-
танной критической высоты струн. Размещение насадки в вертикальном аппа-
рате требует перестройки потока, что может привести к уменьшению рабочего
сечения насадки и увеличению в ней скорости потока сверх критического зна-
чения. Одним из перспективных способов увеличения производительности и
эффективности вертикального сепаратора — установка струнной секции на выходе
сепаратора, как показано на рис. 19.12. Малые габариты струнного блока по-
зволяют использовать его для переоборудования низкопроизводительных и
Рис. 19.11. Размещение струнной насадки в горизонтальном сепараторе:
Г — газ; Ж — жидкость; СП — секционирующие перегородки
502
Рис. 19.12. Размещение струнной насадки на выходе вертикального
сепаратора
малоэффективных сепараторов, а также для очистки нефтяного газа и газа,
идущего на факел.
Расчеты КЭ сепараторов, оборудованных струнной насадкой, показали их
высокую эффективность в докритической области расходов газа, поэтому основ-
ной интерес представляет определение критического расхода газа и его зави-
симости от различных параметров.
Рассмотрим горизонтальный сепаратор со струнной насадкой, расположен-
ной в его поперечном сечении (см. рис. 19.11). Пусть площадь насадки состав-
ляет 2/3 площади рабочего сечения сепаратора. Выберем следующие значения
параметров: D = 1 м; d. = 0,15 м; р = 5 МПа; Г = 280 К; рЛ = 750 кг/м3;
рс = 50 кг/м3; S = 10’2 Н/м; ц, = 10~3 Па • с; d, = 5 • 10“4 м; I = 2,5 • 10“3 м. Насад-
ка состоит из нескольких секций. Высота струн Н одинакова. На рис. 19.13, а
показана зависимость критического расхода газа Qcr, приведенного к нормаль-
ным условиям, от числа рядов струн N для различных значений Н при конден-
сатном факторе, равном Wo = 100 см3/м3. Критический расход увеличивается с
503
Рис. 19.13. Зависимость критического расхода газа Q„ горизонтального сепаратора со струнной
насадкой от числа рядов струн N (а) и давления (б) для различных значений высоты струн Н, м:
1 - 0,141; 2 - 0,177; 3 -0,236; 4 - 0,354; 5 -0,707
уменьшением Н и Wo и с увеличением числа рядов N. Влияние давления на
критический расход газа иллюстрирует рис. 19.13, б. Существует давление (оно
порядка 9 МПа), при котором допустимый расход газа максимален. На значе-
ние критического расхода заметное влияние оказывает вязкость и объемное
Рис. 19.14. Зависимость критической скорости
газа U„ горизонтального сепаратора со струн-
ной насадкой от конденсатного фактора W„:
Номер кривой
на рисунке. . . 1 2 3 4
N............ 100 40 100 40
Н .............. 0,141 0,141 0,707 0,707
504
содержание сепарируемой жидкости. Уменьшение ц,, приводит к увеличению
скорости стекания жидкости по струнам, уменьшению толщины пленки, а, следо-
вательно, и к увеличению критического расхода. Зависимость критической ско-
рости UCT газа в сепараторе от конденсатного фактора Wo показана на рис. 19.14.
С уменьшением Wo критическая скорость увеличивается. Это означает, что с
наибольшей эффективностью струнную насадку следует использовать при сепа-
рации газа с небольшим содержанием жидкой фазы. Отметим, что обычно кон-
денсатный фактор задается при нормальных условиях, а в приведенных выше
расчетных формулах W берется при рабочих условиях. Этот факт следует иметь
в виду при сравнении теоретических результатов с экспериментаьными.
19.4. КОЭФФИЦИЕНТ ЭФФЕКТИВНОСТИ СЕПАРАТОРА
С СЕТЧАТОЙ НАСАДКОЙ
Сетчатые каплеуловительные насадки изготавливают из рукавной вязаной
сетки и размещают в вертикальных и горизонтальных сепараторах в попереч-
ном сечении аппаратов.
Осаждение капель на проволочках сетки аналогично осаждению капель на
струнах, рассмотренному в предыдущем параграфе. В отличие от струнной
внутренняя структура сетчатой насадки характеризуется хаотичным расположе-
нием ячеек по толщине насадки. Ее можно рассматривать как высокопроница-
емую пористую среду, определяемую следующими параметрами: долей свобод-
ного объема е„ (м3/м3); толщиной насадки Н; средним размером ячеек сетки
I х /; диаметром проволочек dw.
Будем моделировать сетчатую насадку N плоскими параллельными слоями
сетки, расстояние между которыми h считаемым постоянным. Удельный объем
£„ нетрудно выразить через геометрические параметры сетки:
е„ = 1-^. (19-47)
2.1П
Теперь можно определить удельную поверхность сетки а, а также рассто-
яние между слоями h и число слоев N-.
л= N = 2н13~еА_ (19.48)
aw 21(1-е„) ltd*,
Для характерных значений dw = 3 • НЕ4 м; е„ = 0,975 м3/м3; 1 = 3 • 10~3 м;
Н = 0,1 м имеем а = 330 м2/м3; h = 1,8 • 10-3 м; N = 55.
Будем моделировать каждый слой сетки двумя рамками с натянутыми на
них струнами, расположенными перпендикулярно друг к другу. При этом мож-
но воспользоваться результатами раздела 19.3. Если в набегающем на сетча-
тую насадку потоке все капли имеют одинаковый размер, то КЭ сетчатой на-
садки
n = l-expf--^-l (19.49)
к I + 2гс )
где гс — радиус проволочек; b = гсв, где в дается формулой (19.28). Для не-
прерывного распределения капель по размерам КЭ сепаратора с сетчатыми
насадками определяется выражениями (19.45) и (19.46), в которых вместо N
следует принять 2Х.
Сетчатые насадки, как и струнные, характеризуются критической скоро-
505
стью или расходом, при превышении которого начинается вторичный унос ка-
пель. Механизм уноса зависит от ориентации насадки относительно направле-
ния силы тяжести. Рассмотрим сначала вертикальную насадку. При осаждении
капель на проволочках сетки жидкость стекает вниз. Однако возможность
поперечного перетекания жидкости по горизонтальным составляющим сетки
приводит к тому, что поток жидкости как бы удваивается. Следовательно, тол-
щина образующейся на вертикальных проволочках пленки увеличивается по
сравнению со струнами, поэтому критическая скорость сетчатой насадки меньше
струнной. Для определения критической скорости можно использовать резуль-
таты предыдущего параграфа, но в соответствующих формулах вместо W нуж-
но взять 2W.
Рассмотрим теперь определение критической скорости горизонтальной сет-
чатой насадки. Для критической скорости обычно принимают следующее выра-
жение
и„ = К
g2S(pz. - pg)
Рс
(19.50)
где К — эмпирическая постоянная.
Однако формула (19.50) не учитывает многих факторов, в частности струк-
туру насадки, поэтому определение К требует проведения большого объема
экспериментов с различными сетчатыми насадками.
Для определения критической скорости примем следующую модель. Сет-
чатая насадка представляет собой высокопроницаемую пористую среду. Газ в
насадке движется по микроканалам, эффективный диаметр которых
^«=^ = 7Г73- (19.51)
С* \ 1 Of,)
Скорость газа равна расходу газа, деленному на суммарную площадь се-
чения микроканалов Sch = zjS/a.k, где 5 — рабочая площадь насадки; ak = l/h —
коэффициент, учитывающий кривизну каналов.
Капли, срывающиеся с поверхности проволочек, движутся вместе с газом
по микроканалам. В процессе движения они дробятся. Средний радиус капель
в микроканалах можно оценить по формуле (14.14), в которой в качестве
диаметра следует принять deff. Если скорость восходящего потока в насадке
превосходит скорость осаждения
капель, то капли будут уноситься
из насадки. Приравняв обе скоро-
сти, найдем критическую скорость
газа, при превышении которой на-
чинается вторичный унос капель и
насадки:
Рис. 19.15. Зависимость критической ско-
рости и„ вертикального сепаратора с го-
ризонтальной сетчатой насадкой от давле-
ния р для различных значений удельной
поверхности сетки а, м2/м3 (е ” 0,975;
D - 1 м; d - 0,15 м; d„ - 0,00035 м; Т - 7 °C;
77-0,15 м):
/ - 400; 2 - 600; 3 - 800; 4 - 1000; 5 -1200
Таблица 19.1
р, МПа (атм ) ро, кг/м3 Рд, кг/м3 Я? аз . о Е 102, Н/м V- •^эксп
2,5 (25) 19,7 996 1,3 6,7 0,46 0,49
3,52 (35,2) 27,3 695 1,5 1,4 0,66 0,57
2,1 (21) 16,6 760 1,2 2 0,56 0,52
3,6(36) 27 720 1,6 1,5 0,63 0,55
5,0 (50) 49 704 1,8 1,2 0,72 0,74
0,0625 л S6/19p^/19 Г Apgy/19< Evdw A8719
/2(1 -Ejpl719 V-eJ
(19.52)
Выражение (19.52) можно привести к виду (19.50) и найти соответству-
ющий коэффициент К. Теоретические и экспериментальные значения этого
коэффициента приведены в табл. 19.1.
Из формулы (19.52) следует, что основными параметрами, влияющими на
исг, являются давление р (рис. 19.15), от которого зависят коэффициенты 2, рс
и рс, а также параметры eD, dw и /, характеризующие структуру сетчатой на-
садки. Критическая скорость сетчатой насадки убывает с увеличением давления
Рис. 19.16. Зависимость критического расхода Рис. 19.17. Зависимость Т| вертикального сепа-
газа Q„ вертикального сепаратора с горизонталь- ратора от расхода газа Q (р ” И МПа; Т = 5 °C;
ной сетчатой насадкой от давления для различ- остальные параметры те же, что на рис. 19.15):
ных значений е (остальные параметры те же, что 1 — с горизонтальной сетчатой насадкой; 2 — без
на рнс. 19.15): иасадки
/ - 0,98; 2 - 0,975; 3 -0,97
507
и диаметра проволочек (или поверхности сетки). Хотя критическая скорость
горизонтальной сетчатой насадки намного меньше вертикальной, но она обла-
дает и преимуществом: ее не надо секционировать, как вертикальную сетку.
В отличие от скорости критический расход Q„ является немонотонной функ-
цией давления (рис. 19.16). Наибольшее значение Qcr достигает при р и 11 МПа.
Это свидетельствует о том, что сетчатые сепараторы следует использовать при
больших давлениях. Поскольку со временем эксплуатации давление падает, то
падает и производительность сетчатых сепараторов.
Оборудование сепараторов сетчатой насадкой значительно повышает КЭ.
На рис. 19.17 показана зависимость КЭ сетчатого сепаратора от расхода газа.
Там же для сравнения приведена эта же зависимость для гравитационного
сепаратора без сетчатой насадки.
20
АБСОРБЦИОННОЕ ИЗВЛЕЧЕНИЕ
ТЯЖЕЛЫХ УГЛЕВОДОРОДОВ И ПАРОВ ВОДЫ
И ПРИРОДНОГО ГАЗА
Одним из методов извлечения углеводородов, образующих газовый конден-
сат, и паров воды из добываемого природного газа является поглощение их
жидким абсорбентом, вводимым в поток газа, поступающего в аппараты промыс-
лового оборудования по физической переработке углеводородного сырья. В раз-
деле 2.2 рассмотрены устройства и способы организации процессов абсорбцион-
ного извлечения тяжелых углеводородов и осушки газа. Отмечено, что суще-
ствует два принципиально различных способа: ввод абсорбента непосредствен-
но в поток газа в условиях прямотока, когда газ и абсорбент движутся в одном
направлении, и ввод абсорбента против потока газа — противоток.
Первый способ осуществляется при впрыске абсорбента в трубопровод, по
которому движется газ (этот способ называется внутритрубной абсорбцией),
или в контактные секции прямоточного абсорбера распыливающего типа. Вто-
рой способ реализуется в абсорбционных вертикальных колоннах тарельчатого
типа, в которых газ поступает в нижнюю часть аппарата, а абсорбент подается
сверху и последовательно перетекает с одной контактной тарелки на другую.
В последнем случае, в зависимости от конструкции контактных тарелок, на
каждой тарелке возможен как прямоток, так и противоток.
В процессе извлечения тяжелых углеводородов в качестве абсорбента берется
жидкость, насыщенная тяжелыми углеводородами, например нефть, соляровое
или трансформаторное масло, выветренный конденсат и др. Для абсорбционной
осушки газа используют гликоли: диэтиленгликоль (ДЭГ) или триэтиленгли-
коль (ТЭГ).
Рассмотрим последовательно методы расчета процесса абсорбции при внут-
ритрубной абсорбции в прямоточных аппаратах распыливающего типа и про-
тивоточных абсорберах.
508
20.1. ПРЯМОТОЧНАЯ АБСОРБЦИЯ ТЯЖЕЛЫХ УГЛЕВОДОРОДОВ
Абсорбент в виде мелких капель подается в поток многокомпонентной
газовой смеси, движущейся в трубе постоянного сечения. Примем, что капли
имеют одинаковый радиус R, состав жидкой фазы задан массовыми концентра-
циями компонентов pi0 (кг/м3) либо мольными долями х10. Давление р и
температура Т в трубе заданы и отличаются от значений ра и Та, при которых
приготовлен абсорбент. Это означает, что мольные доли xi0 соответствуют рав-
новесным значениям при р„ и Т„, исходном составе смеси и объемном содержа-
нии абсорбента W. При значениях р и Т, т. е. в момент ввода абсорбента в
поток газа, равновесие между фазами нарушается и происходит массообмен
между жидкой и газовой фазами до тех пор, пока не установится равновесие
в объеме. Рассмотрим процесс массообмена в упрощенной (см. раздел 16.2)
квазистационарной постановке при условии локального термодинамического
равновесия на поверхности капель.
Пусть piL — текущая массовая концентрация г-го компонента в капле, р,Са. —
массовая концентрация г-го компонента в газе на внешней границе капли, р,с —
массовая концентрация г-го компонента в толще газа. Поскольку объемное
содержание абсорбента в газе мало, то можно считать, что в процессе массооб-
мена капли не оказывают влияния друг на друга.
Уравнения, описывающие изменение концентраций компонент в жидкой и
газовой фазах, а также объема капли V аналогичны уравнениям (16.63) —
(16.65):
dPiG _ W0Ji . d(VpiL) _ т . dV_ _ ST1
dt Vo ’ dt dt LuPl' WA)
i
где 1У0 — начальное объемное содержание жидкой фазы; Уо и V — соответ-
ственно начальный и текущий объем капли; Jt — массовый поток г-го компонен-
та, равный согласно (16.55)
=4л3Л; (20.2)
уРс) dV3
Pl и рс — плотности фаз; U — скорость газа в трубе; Ар, = piC - piCw; d. — диа-
метр трубы.
В качестве начальных условий возьмем piG = p,G0, piL = piL0, V = Vo, где piGQ —
массовые концентрации компонентов в потоке газа до ввода в него абсорбента;
рио — массовые концентрации свежего абсорбента до впрыска его в поток.
Абсорбент подается в поток различными способами. Наиболее распростра-
ненным является инжектирование через форсунки, обеспечивающие мелкодис-
персный распыл, в направлении или против потока. Возможно инжектирование
через специальные отверстия в стенке трубы, при котором струя жидкости
вводится перпендикулярно направлению потока и практически сразу дробится,
образуя спектр капель. Поскольку поток турбулентный, то в процессе дробле-
ния и коагуляции распределение капель по размерам стабилизируется и оце-
нивается распределением (14.1) со средним радиусом (14.11). В процессе
массообмена с газом размер капель будет увеличиваться, их радиус превысит
устойчивый 7?сг, характерный для параметров потока в трубе, и они с большой
вероятностью раздробятся. Сказанное позволяет предположить, что в процессе
массообмена в трубе размер капель в среднем не изменяется, т. е. V = Vo = Иок.
Тогда система уравнений упростится и примет вид
509
dy* _ _p \TT7 . ^xi _ ^PG^L^yj Hid fnn ox
dt E^Vi yiwfW^, dt р^Мс ’ (20.3)
где E ^^ybUp'j^d^p'^Ra^, х, и yt~ мольные доли компонент в жидкой и
газовой фазах.
При заданных р, Т, хю и yi0 значения ylw остаются постоянными. Кроме
того, молекулярная масса Мс и плотность рс газа изменяются незначительно,
поэтому решение уравнений (20.3) имеет вид
У; = Уш + (Ую ~ У1^е\ (20.4)
где т = EWot.
Из формулы (20.4) следует, что характерное время установления равнове-
сия в газовой фазе оценивается выражением
- —— = 0 264-^ dl/3 f^-
te4 ew0 ’ wou ^pL
(20.5)
где Rm — средний радиус капель, формирующихся в турбулентном потоке в
трубе.
Из второго уравнения (20.3) можно оценить характерное время установ-
ления равновесия в жидкой фазе
(206)
PgMl
Поскольку WopLMc/PqMl « 1, то Следовательно, равновесие
в жидкой фазе устанавливается намного быстрее, чем в газовой, и время уста-
новления фазового равновесия в смеси оценивается самым большим временем,
т. е. Подставляя в (20.5) выражение (14.11) для Rav, получаем характер-
ное время установления фазового равновесия
<20 7)
где q — удельный массовый расход абсорбента при рабочих условиях, кг на
1 м3 газа.
Важным параметром является расстояние, на котором устанавливается
фазовое равновесие,
£eq - 0,06
qU^1
(20.8)
Из формулы (20.8) следует, что длина, на которой происходит абсорбция,
уменьшается с увеличением расхода абсорбента q и скорости U, а также с
уменьшением диаметра трубы d. Увеличение расхода приводит к возрастанию
объемного содержания абсорбента Wo, а следовательно, к увеличению поверх-
ности контакта фаз. Соответственно при возрастании скорости и уменьшении
диаметра трубы уменьшается размер капель в потоке газа, а следовательно,
увеличивается поверхность контакта.
Для характерных значений параметров d = 0,4 м; р = 5 МПа; Т = 293 К;
S = 10“3 Н/м; pL = 750 кг/м3; рс = 40 кг/м3; <7 = 0,1 кг/м3; (7=15 м/с (это
соответствует расходу газа Qc = 10 млн. м3/сут при нормальных условиях или
2 м3/с при рабочих условиях; имеем £«, да 0,32 м. Уменьшение расхода газа до
1 млн. м3/сут при тех же значениях остальных параметров приводит к £eq да 3,73 м.
510
На практике эти оценки позволяют определить расстояние, на котором надо вво-
дить свежий абсорбент в поток газа при многоступенчатой абсорбции. Отработан-
ный абсорбент желательно удалять из потока после каждой ступени контакта.
Наибольший интерес представляет количество извлеченных из газа тяже-
лых углеводородов С3+ и С5+ (в % к исходному содержанию)
тСк.
N N
Zpi'go - XP'G
i = k i = k
N
Xp.GO
i = k
100,
(20.9)
или в мольных долях
mck.
N
MgoPg
i = k
N
MgPgo Y,yi0Mi
i-k
100.
(20.10)
Подставляя в выражение (20.10) соотношения (20.4), получаем
тск.
N
MgoPg
1--------izl----
N
MgPgo YyioMi
i = k
(l-e-9-100.
(20.11)
Равновесные значения mCk+ получаются из (20.11) при т—> со:
(mc*+)eq= 1-
N
MgoPG
______i = k
N
MgPGO
i = k
•100.
(20.12)
Входящие в выражения (20.11) и (20.12) значения у1П должны определять-
ся с помощью уравнений парожидкостного равновесия с использованием еди-
ного уравнения состояния газожидкостной смеси (см. раздел 5.7).
Таким образом, расчет процесса абсорбции в потоке газа проводится сле-
дующим образом.
1. Задаемся начальными составами абсорбента xj0 и газа yi0, а также расхо-
дом абсорбента при рабочих условиях или объемным содержанием абсорбента
= g/pL.
2. Рассчитываем состав образующейся газожидкостной смеси:
т], = (1 -а0) у,о + аох;о;
(20.13)
0,02404 а
а0 = =---------------.
MjXjo - 0,02404«у
г
3. При заданных значениях р и Т рассчитываем парожидкостное равнове-
сие смеси состава (20.13), а также плотности и молекулярные массы жидкой и
газовой фаз, используя уравнение состояния Пенга — Робинсона (см. раздел 5.7).
4. Определяем безразмерное время т и оцениваем характерное время teq и
длину L^.
511
Таблица 20.1
Начальный состав газожидкостной смеси
Компонент Содержание компонентов Молекулярная масса компо- нентов Mf, кг/кмоль
в газе, yiQ В жидкости,
СО2 0,0015 0,0050 44,01
n2 0,0469 0,00010 28,01
С, 0,8091 0,00500 16,04
с2 0,0878 0,03678 30,01
Сз 0,0341 0,08619 44,1
с4 0,0130 0,07970 58,12
F, 0,0063 0,24093 80
f2 0,0012 0,23984 100
F3 0,0001 0,15798 128
f4 0 0,08895 172
Fs 0 0,06403 240
5. Находим количество (в %) извлеченных из газа тяжелых углеводоро-
дов С3+ и С5+.
Рассмотрим пример расчета процесса внутритрубной абсорбции в потоке
газожидкостной смеси, состав которой приведен в табл. 20.1
В таблице через F, обозначены фракции, в которые собраны компоненты,
входящие в С5+.
Ниже приводятся результаты расчета равновесных значений (mC(; )eq. Рас-
чет проводился при девяти значениях давления и пяти значениях температуры,
изменяющихся соответственно в интервалах от 4 до 12 МПа и от 253 до 293 К,
и трех значениях расхода абсорбента, изменяющегося от 0,1 до 2 кг/м3. Ре-
зультаты расчетов представлены на рис. 20.1 и 20.2.
На эффективность извлечения из газа тяжелых углеводородов заметное
влияние оказывают давление р и температура Т. С ростом давления до 6 —
7 МПа извлечение углеводородов группы С3+ растет на 1 — 2 % при температуре
Рис. 20.1. Зависимость эффективности извлечения из газа тяжелых углеводородов тс^ от дав-
ления для различных значений Т, °C:
а, б, в — <? соответственно 0,1; 0,5 н 2 кг/м3; 1 — 20; 2 — 10; 3 —0; 4 — -10; 5 —-20; I — С3>; II — С5,
512
Рис. 20.2. Зависимость эффективности из-
влечения из газа тяжелых углеводоро-
дов т от времени (р - 6 МПа; Т — 0 °C;
+ <7-0,5 кг/м3):
/ - С5+; 2 - С3+
3 — 5 %, а затем уменьшается на 82 — 85 %
ниже 263 К и на 10 —20 % при тем-
пературе выше 263 К. При давле-
нии выше 7 МПа степень извлече-
ния резко снижается: на 30 — 70%
при Г = 293 К и 15 — 95% при
Г = 253 К. Чем выше расход аб-
сорбента q, тем меньше снижение
(wc3+)eq- Величина (w?^)^ с ростом
давления до 6 МПа увеличивается на
при 293 К и 50 — 90 % при 253 К.
С ростом температуры значения (тСз )eq и (тс.Л снижаются за исключе-
нием изобары 12 МПа при 7 = 0,1 кг/м3. При других значениях q уменьшение
степени извлечения углеводородов с ростом температуры наблюдается при всех
рассматриваемых давлениях.
С увеличением q до 1 — 1,2 кг/м3 величина (тСз+)еч растет, а затем стаби-
лизируется: (mC5+)eq с ростом q практически не изменяется.
Выявленные особенности изменения степени извлечения тяжелых углево-
дородов объясняются фазовыми превращениями, происходящими при контакти-
ровании абсорбента с потоком газа. Из выражения (20.12) следует, что основ-
ное влияние на («гСз+)еЧ оказывает разница значений yiw и у,й. Отношение
^goPg/^gPgo ~ 1- Так, при изменении давления от 4 до 12 МПа при q = 0,1 кг/м3
мольные доли ут, увеличились на один-два порядка. Аналогичная картина
наблюдается и при других значениях q.
Таким образом, наибольшая степень извлечения тяжелых углеводородов из
газового потока достигается при давлениях 4 — 6 МПа. При этом чем ниже
температура, тем выше степень извлечения. Увеличение объемного содержания
капель W (или расхода q) приводит к существенному увеличению q лишь в
области изменения q от 0,1 кг/м3 до 1,2 кг/м3. В указанных областях изме-
нения р, q и температуре ниже 263 К степень извлечения тяжелых углеводо-
родов (mc3+)eq может достигать 50 — 60 %, а (игС5+)еЧ — 85 — 90%.
Если при заданных значениях р, Т, q, xiQ и yi0 степень извлечения не
удовлетворяет требуемому значению, то процесс абсорбции нужно проводить в
несколько этапов (многоступенчатая абсорбция). При этом на каждой ступени
в поток газа нужно вводить свежий абсорбент, а отработанный удалять из газа.
Организация такого многоступенчатого процесса в трубопроводе представляет
большие сложности. Поэтому многоступенчатую абсорбцию осуществляют в
специальных многоступенчатых абсорберах, работающих в условиях прямотока.
20.2. МНОГОСТУПЕНЧАТАЯ ПРЯМОТОЧНАЯ АБСОРБЦИЯ
ТЯЖЕЛЫХ УГЛЕВОДОРОДОВ
Рассмотрим теперь расчет многоступенчатой прямоточной абсорбции на
примерах абсорбера распыливающего типа и внутритрубной абсорбции.
Одна из конструкций прямоточного абсорбера распыливающего типа пред-
33 - 1461 513
Рис. 20.3. Прямоточный многоступенчатый абсорбер распыливающего типа
ставлена схематично на рис. 20.3. Каждая ступень абсорбера состоит из пос-
ледовательно расположенных контактной камеры и сетчатого сепаратора. Для
простоты расчета примем, что сепаратор работает со 100%-ной эффективностью,
т. е. из контактной ступени выходит сухой газ. Состав газа на входе в абсор-
бер и состав свежего абсорбента (соляровое масло) приведен в табл. 20.2.
Через F( обозначены фракции, в которые сгруппированы углеводороды С6+.
При заданных значениях р, Т, и Qc можно определить длину контактной
зоны, потребовав, например, чтобы значения мольных концентраций на выходе
составляли 1 % от соответствующих равновесных значений. Используя выраже-
ния (20.4), найдем
Ц = 0,29
qU^1
(20.14)
Если на каждую ступень подается свежий абсорбент с одинаковым соста-
вом и расходом, то длина каждой ступени одинакова и определяется соотноше-
нием (20.14). Поскольку весь отработанный абсорбент удаляется из газа в
сепараторе, то состав газа, поступающего на п-к> ступень, равен составу газа на
выходе из п~ 1-й ступени:
Таблица 20.2
Исходный состав газа и абсорбента (мольная доля, %)
Компонент Состав газа yi0 Состав абсорбента
СО2 0,15 0,00
С, 93,42 0,00
с2 4,99 0,00
С3 0,83 0,00
с4 0,39 0,00
с5 0,22 0,00
F, 0,00 22,00
f2 0,00 10,00
F3 0,00 10,00
f4 0,00 20,00
F5 0,00 38,00
514
a
б
Рис. 20.4. Зависимость коэффициента
извлечения из газа тяжелых углеводо-
родов тс^ от давления (а), темпера-
туры (б) и расхода абсорбента (в):
1 — одна ступень; 2 — восемь ступеней;
I — С5+; II - С3+
Ут, п Угт, п-1 0,01 (^0, п-I Уйе, п~\)•
(20.15)
Расчет каждой ступени проводится изложенным в предыдущем параграфе
методом до тех пор, пока степень извлечения mCt, не достигнет заданной вели-
чины. При этом определится число ступеней контакта.
Расчет абсорбера, изображенного на рис. 20.1, проводился в диапазоне
изменения давления от 2 до 12 МПа, температур от -10 до 25 °C и расходе
абсорбента q от 0,01 до 0,1 м3 на 1 тыс. м3 газа. Расход газа составляет
Qc= 1,2 млн м3/сут. Результаты расчета представлены на рис. 20.4. Зависи-
мость mCk+ от давления носит немонотонный характер. Наибольшая степень
извлечения достигается при давлении р = 4 — 6 МПа.
Количество извлекаемых из газа углеводородов (т/сут) можно опреде-
лить по формуле
Qh = 44,64Qg£G/i0-у()М{. (20.16)
k+
На рис. 20.5 показана зависимость Qh от суммарного количества вводимо-
го абсорбента Qa (т/сут) и числа ступеней контакта. Из приведенных зависи-
мостей следует, что соляровое масло является эффективным абсорбентом при
33* 515
Рис. 20.5. Зависимость количества извлекае-
мых из газа тяжелых углеводородов Qh от
расхода абсорбента Q„:
1 — одна ступень; 2 — восемь ступеней; I — С5.;
II - С3+
определенных термобарических усло-
виях. Однако его использование на
ряде газоконденсатных месторождений
Севера осложняется трудностью дос-
тавки в больших количествах. Поэто-
му в последнее время в качестве аб-
сорбента предлагается использовать
выветренный конденсат.
В качестве примера рассмотрим
расчет процесса прямоточной абсорбции применительно к газоконденсатному
месторождению, характеризующемуся низким пластовым давлением и положи-
тельными значениями температуры газа на УКПГ. Такие термобарические ус-
ловия позволяют проводить внутритрубную абсорбцию даже с низкоэффектив-
ным абсорбентом, которым является выветренный конденсат. Для увеличения
конденсатоотдачи газа в процессе абсорбции можно вводить абсорбент в поток
газа в трубопровод перед сепараторами пункта замера газа. Прежде чем пере-
ходить к расчету процесса абсорбции, необходимо определить состав выветрен-
ного конденсата, отбираемого после первой ступени сепарации. Обозначим че-
рез рв и Т„ давление и температуру в разделителе, в котором производится
выветривание конденсата. Состав конденсата, отбираемого после первой ступе-
ни сепарации, а также состав пластового газа представлены в табл. 20.3.
На пункте замера газ из подводящего трубопровода распределяется на
16 сепараторов. Возможны два способа организации процесса. Первый предус-
матривает одноступенчатый ввод выветренного конденсата в газ перед каждым
сепаратором. Второй способ состоит в двухступенчатой абсорбции путем после-
довательного соединения двух сепараторов и вводом выветренного конденсата
перед каждым сепаратором.
Расчет процесса абсорбции состоит из следующих этапов:
1) определение составов газа и конденсата после первой ступени сепа-
рации;
2) определение состава выветренного конденсата при заданных значениях
Рв и ;
Таблица 20.3
Компонент Конденсат Пластовый газ Компонент Конденсат Пластовый газ
n2 0,36 4,68 с6 15,22 0,65
С, 18,3 79,6 с7 14,96 0,43
С2 11,39 9,38 С8 9,11 0,22
С3 13,83 3,56 Сэ 0,88 0,02
С4 С5 3,44 11,16 0,43 1,02 С,о 1,37 0,03
516
б
Рис. 20.6. Зависимость тввы от 9(a), р(б), Т (в), р,(г), Т,(д), в технологической схеме
одноступенчатой абсорбции:
а-Г, = 20 °C; р, = 0,1 МПа; Г=10°С; р = 3 МПа; б - 9 = 0,1 м3/тыс. м3; Г=10°С; Т, = 20 °C;
р, = 0,1 МПа; в-Г, = 20 °C; р, = 0,1 МПа; р = 3 МПа; / - С3+; 9 = 0,1 м3/тыс. м3; 2 - С3+;
9 = 0,03 м3/тыс. м3; 3 — С5+; 9 = 0,1 м3/тыс. м3; 4 — Cs+; q = 0,03 м3/тыс. м3; г — q = 0,1 м3/тыс. м3;
Г=10°С; р = 2 МПа; Г, = 20 °C; Э — 9 = 0,1 м3/тыс. м3; Г=10°С; р = 2 МПа; р„ = 0,1 МПа
3) определение составов газа и конденсата после их смешения перед пунктом
замера;
4) определения количества дополнительно извлекаемых из газа тяжелых
углеводородов групп С3+ и С5+.
Результаты расчетов для одноступенчатой абсорбции показаны на рис. 20.6.
Следует отметить, что при некоторых значениях давления и температуры ряд
компонентов десорбируется из жидкой в газовую фазу (это соответствует от-
рицательным значениям тизвл). Так, для конденсата, выветренного при Тв = 20 °C
и рв = 0,1 МПа, десорбция наблюдается при Т> 15 °C и р< 1,2 МПа. Сниже-
ние Тв и повышение рв приводит к десорбции тяжелых углеводородов при
больших значениях р и меньших значениях Т.
Двухступенчатая схема абсорбции позволяет извлекать дополнительное
количество углеводородов по сравнению с одноступенчатой схемой при условии
отсутствия десорбции. Так, при Тв = 20 °C; рв = 0,1 МПа; Т = 10 °C; р = 3 МПа;
517
при одноступенчатом вводе 100 л/тыс. м3 выветренного конденсата извлекается
15,7 т/сут С3+ и 5,71 т/сут. С5+. При двухступенчатой системе ввода того же
количества абсорбента (по 50 л/тыс. м3 на каждой ступени) извлекается со-
ответственно 16,7 т/сут С3+ и 6,1 т/сут С5+.
Таким образом, проведенные расчеты показали, что выветренный конденсат
можно использовать в качестве абсорбента для извлечения тяжелых углеводо-
родов. Эффективность извлечения существенно зависит от условий выветрива-
ния конденсата, термобарических условий, количества вводимого абсорбента, а
также от числа ступеней контакта.
20.3. ПРОТИВОТОЧНАЯ АБСОРБЦИЯ ТЯЖЕЛЫХ УГЛЕВОДОРОДОВ
Рассмотрим теперь абсорбционное извлечение тяжелых углеводородов в
условиях противотока в колонном абсорбере, схематично изображенном на рис.
20.7. Газ заданного состава у0 = Q/oi> Ут. г/Оп)> гДе Уй, ~ мольная доля г-го
компонента, с расходом Qco поступает в нижнюю часть колонны, а сверху
подается абсорбент состава х0 = (х01, х02,..., х0„) с расходом <?0. Число ступеней
контакта равно N. Каждая ступень оборудована сетчатой тарелкой, работающей
в режиме уноса. Это зна-
чит, что жидкость не на-
капливается на тарелке, а
находится в межтарельча-
том пространстве в дис-
пергированном состоянии.
Каждая контактная ступень
содержит сепарационное
устройство, например сет-
чатую каплеуловительную
насадку, в которой отрабо-
танный на ступени абсор-
бент отделяется от газа и
направляется затем на сле-
дующую по ходу движения
абсорбента тарелку. Для
простоты будем считать, что
насадка полностью сепари-
рует газ от жидкости.
Средняя скорость дви-
жения газа в контактной
ступени
Рис. 20.7. Схематичное изобра-
жение колонного тарельчатого
абсорбера:
I — контактная тарелка; II — се-
парационное устройство
518
4Qgp _ OATzDQgh
t.D2 ~ nD2293p ’
(20.17)
где QGp и Qgh — расходы газа соответственно при рабочих и нормальных ус-
ловиях, млн. м3/сут; z — коэффициент сжимаемости газа; р и Т — давление и
температура; D — диаметр рабочего сечения колонны.
Так, при QCH= 10 млн. м3/сут; D = 2, 4м;р = 8 МПа; Г = 253 К; z = 0,7
имеем (7 = 0,2 м/с. Число Рейнольдса Re = pGUD/vG = 5 ‘107. Соответствую-
щий внутренний масштаб турбулентности Х0 = 5 мкм. Зная среднюю скорость
восходящего потока газа, можно определить максимальный размер уносимых с
потоком капель, воспользовавшись формулой Стокса
1/2
Rm
2<Pl-Pg^
(20.18)
Для значений pG = 2 • 10*5 Па • с; pL = 650 кг/м3; pG = 100 кг/м3; U = 0,2 м/с
имеем Rm = 56 мкм. Таким образом, в межтарельчатом пространстве вместе с
потоком движутся капли размером не более Rm. Эти капли в процессе движе-
ния изменяют свой размер за счет массообмена с газом и коагуляции между
собой. Каждый из этих процессов характеризуется своим временем. Так, харак-
терное время массообмена
~ 0,26
Я2/зр1/з
WU
(20.19)
где W — объемное содержание абсорбента в потоке газа,
29,2 10~4t?p
(20.20)
q — расход абсорбента при нормальных условиях, л на 1000 м3 газа; р —
давление, МПа.
Так, для значений д = 220 л/тыс. м3; р = 8 МПа; z = 0,7; Т = 253 К;
7? = 4' 10“5 м; 0 = 2,4 м; (7 = 0,2 м/с; рс=100 кг/м3; pL = 650 кг/м3 получим
W= 2,5 • 10 2 м3/м3 и t*’1 = 0,2 с.
Таким образом, малые размеры и относительное большое объемное содер-
жание капель обеспечивает быстрое установление фазового равновесия в меж-
тарельчатом пространстве.
Характерное время укрупнения капель за счет их коагуляции оценивается
выражением
л2роХ20Я2
16Л1У2
(20.21)
где R — конечный радиус капли; Г~ постоянная Гамакера, Г= 5 • 10“20 Дж.
Для рассмотренного выше примера и для конечного размера капли
R = 50 мкм имеем /2>~2,5с. Таким образом,
Выбирать расстояние между контактными тарелками следует из условий
установления фазового и динамического равновесия при движении смеси в
519
Таблица 20.4
Исходные составы газа н абсорбента (мольные %)
Компонент Газ Абсорбент + Компонент Газ Абсорбент
СО2 n2 С, С2 С3 с4 Приме масса 205 кг/ 0,71 0,32 90,37 5,64 1,69 0,52 ч а н н е. Свойс: смоль. 0,76 0,03 30,68 8,35 6,09 4,39 гва фракции С1е с5 С6 С7 С8 с9 С(0+ температура к 0,32 0,20 0,11 0,06 0,02 0,01 лпения 510,1 К; 5,96 7,69 8,53 8,22 4,91 14,39 молекулярная
межтарельчатом пространстве. Для этого время пребывания смеси должно быть
равно t™, а расстояние между контактными тарелками —
Lk > Ut™ = °’4^Qgw. f я2РДхо*2 "| . (20.22)
4 лО2293р 16Г1У2 )
Выполнение условия (20.22) обеспечивает установление фазового равно-
весия в межтарельчатом пространстве и позволяет уменьшить унос отработан-
ного абсорбента.
Перейдем теперь к расчету процесса массообмена в абсорбере. Введем
обозначения: — состав газа на входе ;'-й ступени контакта; Q, — расход газа
на /-й ступени; xN.t — состав жидкости на входе j-й ступени; qN_t — расход
жидкости на ;'-й ступени. На каждой ступени контакта эти фазы смешиваются,
состав смеси определяется из условия парожидкостного равновесия при задан-
ных значениях р, Т, молекулярных масс компонетов и расходов фаз.
Условия термодинамического равновесия фаз многокомпонентной системы
записываются в виде системы уравнений
p(G)=p(L); 7(G) = 7(1); (20.23)
Здесь i = (i, 2,..., п) — номер компонента; f — летучесть; индексы G и L
обозначают газовую и жидкую фазы.
Для определения летучести компонентов в каждой фазе необходимо восполь-
зоваться единым уравнением состояния Пенга — Робинсона (см. раздел 5.7).
Система уравнений (20.23), дополненная уравнениями баланса масс, реша-
лась численно методом последовательных приближений с заданием точности
определения мольных концентраций компонентов, а также определены свойства
фаз. В качестве примера приведем некоторые результаты расчета колонного
абсорбера, оборудованного десятью контактными сетчатыми тарелками, ра-
ботающими в режиме уноса. Выбирались следующие значения параметров:
р = 7,65 МПа; Т = -24 °C; Q = 10 млн м3/сут; д = 217 л/тыс. м3; D = 2,4 м.
Составы исходного газа и абсорбента представлены в табл. 20.4.
Для выбранных значений параметров оценка минимального расстояния
между контактными тарелками дает Lk = 0,5 м. Заметим, что в действующем
абсорбере это расстояние составляет 0,6 м.
520
Таблица 20.5
Эффективность извлечения из газа тяжелых углеводородов
Номер ступени Содержание в газе, г/м3 Компонентоотдача, т/сут Жидкая фаза л/тыс. м3 Количество извлеченной жидкости, л/тыс. и3
Сз+ с5+ Сз+ Сн Вход Выход
1 42,31 6,45 286,00 198,79 286,67 346,40 77,78
2 39,46 5,46 29,84 10,13 277,62 286,67 9,11
3 38,24 5,35 12,67 1,19 273,64 277,62 4,05
4 37,49 5,37 7,88 -0,15 271,16 273,64 2,57
5 36,93 5,40 5,96 -0,33 269,23 271,16 2,01
6 36,42 5,44 5,29 -0,32 267,47 269,23 1,83
7 35,86 5,47 5,91 -0,27 265,42 267,47 2,14
8 35,06 5,50 8,47 -0,25 262,15 265,42 3,31
9 33,67 5,54 14,75 -0,25 255,37 262,15 6,83
10 30,98 5,60 31,96 0,33 216,95 255,37 38,42
По всему аппарату 408,73 208,86 - - 148,06
Приведем результаты расчета количества извлеченных из газа тяжелых
углеводородов на каждой ступени и по всему аппарату (табл. 20.5).
20.4. ОСУШКА ГАЗА ОТ ВЛАГИ В УСЛОВИЯХ ПРЯМОТОКА
Процесс абсорбционной осушки газа от влаги в принципе ничем не отли-
чается от абсорбционного извлечения из газа тяжелых углеводородов за исклю-
чением того, что в качестве абсорбента используется другая жидкость — гли-
коль (ДЭГ или ТЭГ), обладающая способностью поглощать из газа пары воды.
Растворимость в гликолях углеводородов мала по сравнению с водой, поэтому
в первом приближении можно принять, что при контакте жидкого гликоля с
природным газом в процессе массообмена участвуют только пары воды. Рав-
новесие в системе гликоль — природный газ при заданном давлении р и тем-
пературе Т устанавливается через определенное время Равновесное содер-
жание влаги в газе может быть найдено, используя приближенные соотношения
или графики типа, изображенного на рис. 20.8 [58].
Для осушки газа от влаги в процессе промысловой подготовки газа к
транспорту на газовых месторождениях с небольшим дебитом часто использу-
ются прямоточные абсорберы распыливающего типа, состоящие из ряда после-
довательно соединенных ступеней. Каждая ступень представляет собой контакт-
ную камеру и следующий за ней сепаратор. Абсорбент ДЭГ с расходом q
впрыскивается в контактную камеру через форсунку. Поскольку размер ка-
пель, образующихся при распыливании зависит от скорости капель относитель-
но потока газа, то обычно впрыскивание осуществляется против потока газа.
Это способствует образованию мелких капель в процессе вторичного дробле-
ния. Капли сначала некоторое время движутся против потока, а затем увлека-
ются потоком. За время контакта с газом капли абсорбируют из газа содержа-
щиеся в нем пары воды. Затем газожидкостный поток попадает в сепаратор,
в котором жидкая фаза отделяется от газа. Для определения параметров одной
ступени необходимо знать динамику процесса абсорбции, а также эффектив-
ность улавливания капель сепаратором. Рассмотрим теперь динамику процесса
массообмена капель ДЭГа с влажным газом. Для простоты будем считать, что
сепаратор полностью улавливает все капли и ступени абсорбера одинаковы.
521
Наиболее распространенным методом расчета процесса осушки газа от
влаги является метод, основанный на предположении о существовании фазового
равновесия между абсорбентом (высококонцентрированным раствором ДЭГа) и
522
газом, содержащим пары воды [58]. Этот метод позволяет определить равновес-
ные концентрации воды в паровой и жидкой фазах, а при известном начальном
содержании — максимально возможное при заданных значениях р и Т коли-
чество извлекаемой из газа влаги. Если на каждую ступень подается одинако-
вое количество абсорбента, то полученные данные дают возможность найти
число теоретических ступеней контакта, исходя из заданной степени осушки
газа на выходе абсорбера. Поскольку равновесие наступает через время то,
задавшись отклонением от равновесия на каждой ступени контакта, можно
найти число рабочих ступеней.
Рассмотрим процесс поглощения каплями абсорбента влаги из потока газа.
Пусть на входе в контактную камеру поступает газ, содержащий водяной пар
с массовой концентрацией рсо (кг/м3). Обозначим через рС1 — концентрацию
пара в газе на выходе из контактной камеры. Заметим, что значения массовых
концентраций берутся при рабочих условиях. Определим коэффициент осушки
как отношение количества влаги, извлеченной из газа в контактной камере,
к содержанию влаги в газе на входе в контактную камеру:
ц = 1-7^-. (20.24)
1 PGO
Иногда степень осушки газа характеризуется параметром
<p = ^FtL’ (20.25)
Уо Уец
где г/0 и — мольные доли влаги в газе соответственно на входе и выходе
контактной камеры; ук — равновесная при заданных значениях р и Т мольная
доля влаги над раствором ДЭГа на входе.
Введенные параметры связаны между собой соотношением
Ф = -------5-------, (20.26)
Y (1- 803,5Kx0/pG0)’
где К — константа равновесия, a xQ — мольная доля воды в абсорбенте.
Основная задача состоит в определении зависимости ц от параметров газа
и абсорбента и геометрических размеров контактной камеры. Направим ось х
вдоль оси контактной камеры, причем х = 0 соответствует входному сечению.
Примем, что абсорбент распыливается в потоке газа и образует капли одина-
кового радиуса, равного устойчивому радиусу в турбулентном потоке
( от А3/7 А1/7
/гло = 0,09Е>4-Д- , (20.27)
\UfpLDk) \PL)
где Dk — диаметр контактной камеры; Ur — скорость жидкости, истекающей из
форсунки, относительно газа; рс и р£ — плотности газа и абсорбента.
Обычно расход абсорбента составляет 8—14 л на 1000 м3 газа, что соот-
ветствует объемному содержанию жидкости W= 8 • 10’4 — 1,4 • 10'3 м3. При
этом среднее расстояние между каплями I - R/tfw —107? и стесненностью
капель можно пренебречь.
Массообмен капли, взвешенной в турбулентном потоке, происходит за счет
доставки вещества к поверхности капли турбулентными пульсациями и за счет
механизма молекулярной диффузии. Как показано в разделе 16.2, выражение
для массового потока вещества на поверхности капли зависит от соотношения
между радиусом капли и внутренним масштабом турбулентности Хо = D£/Re3/4,
где Dk — диаметр рабочего сечения абсорбера; Re — число Рейнольдса. Для
523
характерных значений параметров рс = 50 кг/м3; (7 = 3 м/с; Dk = 0,4 м; цс =
= 10~5 Па • с имеем Re = 6- 106 и Х0 = 5‘ 10‘6 м. Поскольку размеры капель
R - 2 • 10"5 м, то выполняется неравенство А.о < R и основная доставка вещества
к поверхности капель осуществляется турбулентными пульсациями. При этом
массовый поток на поверхность капли [см. (16.68)]
z \1/3
J = 5,04л R^UApD^, (20.28)
(Pg j
где Др = poG - pwG, pvG и pwC — массовые концентрации влаги соответственно в
толще газа и на внешней поверхности капли.
Как обычно принимаем, что на поверхности капли существует локальное
термодинамическое равновесие. Тогда p„!G равно равновесной концентрации влаги
над поверхностью раствора. При термодинамическом равновесии системы аб-
сорбент — природный газ — пары воды массовая концентрация паров воды ри:С
определяется давлением р, температурой Т и массовой долей гликоля в раство-
ре абсорбента aw. Зависимость pwG(.p, Т, аи) обычно [59] приводится в виде
двух выражений pwC от р и температуры точки росы Td и aw от Td и Т. Первая
имеет вид
Ри,с = 4,67 • 10'6 [ехр (0,07357; - 0,00027 7/)]/Г' +
+ 0,0418 ехр (0,0547; -0,0002 Т;2). (20.29)
Вторая зависимость приведена в [59] в виде графика. Ее можно аппрок-
симировать выражением
А(1 - aw)B = Td +273, (20.30)
А = 277,0793+ 1,1972 Т; В = 0,033258 + 0,000297 Т
в интервале 5 °C < Т < 35 °C; 0,9 < аи. < 0,995. Входящие в формулы (20.29) и
(20.30) Т измеряются в °C, р — в МПа, а ри,с — в г/м3.
Обозначим через N число капель в единице объема смеси. Тогда уравне-
ние, описывающее изменение концентрации влаги в газе, примет вид
= (20.31)
at
Выразим N через объемное содержание абсорбента W и объем капли:
N = 3W/4nR3. (20.32)
Обычно расход абсорбента q задается в литрах на 1000 м3 при нормаль-
ных условиях. Тогда W определяется соотношением (20.20). Из (20.31) и
(20.32) следует, что
р*®)-*»- <2033>
Изменение массовой концентрации влаги в капле описывается уравнением
диффузии
^ = DL~[r^} (0<г<Л) (20.34)
dt г2 dr \ dr )
со следующими начальными и граничными условиями:
pvL(r, 0) = р0£; p„L(R, t) = paL; (dpvL/dr)r.Q = 0, (20.35)
524
где Dl — коэффициент диффузии воды в абсорбенте, DL = 1,9 • 10'10 м2/с; Pol ~
начальная концентрация воды в капле.
К уравнениям (20.33) и (20.34) нужно добавить уравнения баланса массы
на поверхности капли
J = (20.36)
и всей капли
J = „Л (20.37)
at J
Масса влаги в газе мала по сравнению с массой вводимого абсорбента,
поэтому объем капли будет увеличиваться незначительно и в первом прибли-
жении им можно пренебречь и считать радиус капли R постоянным, равным
среднему радиусу Rav, образующемуся при распиливании в турбулентном пото-
ке газа. С учетом этого система уравнений, описывающая изменение со време-
нем Д,с и pvL, примет вид
Фа/. = £),-44-fr2 3PvL .
dt L ri дг\ 8r )’
= -3,78(^-Tr-2/4J(p„g -pwG)D-ki/3-,
uC J
O£fe^| =1,2бЫЛ^(Рл-р«С)^'/3; (20.38)
\ J r=R \PGJ
PwG =/’(«№, p, T)\
pvL(r, 0) = p0£. p./A, t) = рю£; (dpvL/dr) = 0; poG(0) = p0G.
Система уравнений (20.38) допускает аналитическое решение при условии
линейной зависимости
Pwl= а(р, Т) - b(p, Т) aw. (20.39)
Заметим, что линейная аппроксимация дает неплохое приближение к ре-
альной зависимости в некоторых диапазонах изменения р и Т.
Введем в рассмотрение вместо массовой концентрации рг£ массовую долю
гликоля в водном растворе абсорбента а, связанную с р„£ соотношением
рк£=рв(1-а), где р„ — плотность воды, и перейдем в уравнениях (20.38) и
(20.39) к безразмерным переменным по формулам
, _ PvG - Pog . , _ а - ао . _ DLt.
Zg-------Р^~’
А173
£ = 4; А = 1,26 — R^UDI,/3Dг1;
R <pG)
_ Рв«о . g _ a-ba0 . _ fea0
У Рос ’ Р Рос ’ Pog ’
где рв — плотность воды; р£—плотность гликоля; р0 — начальная массовая
доля гликоля в абсорбенте; U — среднемассовая скорость потока в абсорбере.
525
В новых переменных уравнения (20.38) примут вид
— = ——Г&2—(0<£<1)’
^- = -3WA(zG-zwG)-,
ОТ
ZwG + 1 = Р - §zwL-, A(zg -zwG) = -yf I
(20.40)
4 7^1
fe) =0; z£(^0) = 0; z£(l, t) = zwL-, zG(0) = 0.
v ъ A=o
Применяя к уравнениям (20.40) преобразование Лапласа, получаем ре-
шение
(рь -iSPk^expi-plr)
zG = -s (1 - P) —— - 2 V"------------------------------- ,
|_3+E ^w(2e + vpl) + stgpk(pl -Хр£ -2)
(20.41)
где pk — корни трансцендентного уравнения
tg^= (20-42)
Pk +e(l-X.p£)
Здесь введены следующие безразмерные параметры: g = 3WpB/6;
X = 0,26jD£GDfepG/pJ?4)'/3/IW; v = 6a0/(a - 6a0).
При т -» 00 решение (20.41) стремится к равновесному,
г(ед) = _е^-р) (20.43)
По смыслу величина ~zc равна доле извлеченной из газа влаги, поэтому
эффективность процесса осушки газа может быть определена параметром
П = -2’с
= е(1~р) зЪ“2Х
k-^t
(Pk -tgpt)exp(-^i)
pk(2e + vp|) + etgW(p| - Xp£ - 2)
(20.44)
Более простое решение можно получить, если перейти в уравнениях (20.38)
к усредненным по объему абсорбента массовой концентрации рк£ и соответ-
ствующей массовой доли гликоля a • В итоге получим следующую систему
уравнений:
dpvG _ WJ . dpvL _ J .
dt V ’ dt V’
рИ1=Рв(1-а); PwG=a~ba; V = ^-R3; (20.45)
Pkg(O) = Pog; a(0) = a0,
решение которой
a =ao-4(1-е'Вт); pvG = PocWz(ao-a);
D
A = 1- ; B = ~ +—; = 3,78Lt(^Y——
POG POG ( Pb )\PvGDkR2
(20.46)
526
Здесь Lk — длина контактной зоны.
Далее уточнить полученное решение (20.46) можно, учтя реальную зави-
симость ра;С от р, Т и а. При этом получаются уравнения
-^- = -Г1-Р^(а0-а)--^]; а(0) = а0; (20.47)
“Tt L Pvc Pog J
PvG = Pog + Рв^7 (a - a),
к которым нужно добавить соотношения (20.29) и (20.30).
Приведенные уравнения позволяют рассчитать остаточное влагосодержа-
ние в газе на выходе одной ступени контакта. Для расчета следующей ступени
в качестве начального условия следует взять содержание влаги в газе на
выходе предыдущей ступени контакта. Точку росы осушенного газа Td можно
теперь найти, используя графическую зависимость p„G от р и Т (см. рис. 20.8)
либо решив уравнение (20.29) относительно Td.
В качестве примера рассмотрим расчет прямоточного многоступенчатого аб-
сорбера распыливающего типа, конструкция и результаты испытания которого
содержатся в [60]. Абсорбер состоит из четырех последовательных контактных
ступеней. Абсорбент — высококонцентрированный водный раствор ДЭГа, подается
с различным расходом на каждую степень, а после каждой ступени отработан-
ный абсорбент отделяется от газа в сепараторе. Исследования проводились при
давлении р = 2,1 МПа и температуре 25 °C, расход газа — QG= 1 млн м3/сут,
влагосодержание газа на входе — рос= 1,3 г/м3 при нормальных условиях.
Результаты расчетов и испытаний представлены в табл. 20.6.
Из приведенных результатов следует, что наиболее близки к эксперимен-
тальным значениям расчетные данные, полученные по уравнениям (20.47). На
рис. 20.9 показаны зависимости массовой концентрации влаги в газе ргС на
выходе каждой ступени контакта от расхода абсорбента, одинакового на каждой
ступени, и от давления.
Длина контактной камеры связана с безразмерным временем соотношением
Lk= R2Ux/Dl, или Lk= (рв/Рос)(рг>сД^2/р£)'/3т!/3,78. Для определения Lk
необходимо знать т или /. Возможны два способа их определения в зависи-
мости от требований, накладываемых на процесс абсорбции. В первом случае
можно потребовать, чтобы за время т количество влаги в газе на выходе из
контактной камеры составляло бы 5 % от соответствующего равновесного зна-
чения. Тогда значение т определится из условия
Таблица 20 6
Результаты расчетов влагосодержання газа после каждой ступени контакта
в прямоточном абсорбере распыливающего типа
Параметры Ступени контакта
I II III IV
Удельный расход ДЭГа, кг/тыс. м3 Влагосодержание газа роО, г/м3: 14 16,5 13 18
рассчитанное по уравнениям:
(20.44) 0,33 0,1 0,053 0,041
(20.46) 0,32 0,095 0,052 0,041
(20 47) 0,35 0,114 0,067 0,041
экспериментальное [60] 0,34 0,125 0,067 0,038
527
a
б
Рис. 20.9. Зависимость массовой концентрации влаги в газе на выходе ступени контакта r„G
от количества впрыскиваемого абсорбента (а) и давления (б):
1 — 4 — номера ступеней
1-я = 0,015|1-б1-£|. (20.48)
у 3 + е )
Во втором случае ограничение накладывается на массовое содержание
гликоля в отработанном абсорбенте а. Тогда из второго уравнения (20.47)
получим
П = рв\У(а0 - а)/Рос (20.49)
Таким образом, уравнения (20.47) и (20.48) позволяют найти безразмерное
время т или т1г а затем и необходимую для этого длину ступени контакта.
Влагосодержание в газе с эффективностью осушки т| на каждой ступени
связано соотношением
Р»с= Pood ~П)- (20.50)
Эффективность осушки многоступенчатого прямоточного аппарата с N
ступенями контакта
Пл’ =1-П<1-П!). (20.51)
i = i
Если все ступени одинаковы и их эффективность равна г), то
Лл,= 1-(1-Л)л'. (20.52)
Если эффективность каждой ступени определена, то, задав степень осушки
газа или температуру точки росы, из (20.52) можно определить число ступеней
контакта ДГ.
Для рассмотренного выше примера, найденная длина контактной камеры
Lk = 0,54 м соответствует условию, чтобы на каждой ступени отклонение от
528
равновесия на выходе составляло 10 %. Если требуемая точка росы газа состав-
ляет 8 °C, то достаточно одной ступени контакта, а для достижения точки росы
-15 °C необходимо три ступени, причем длина каждой ступени должна быть
0,54 м.
20.5. ОСУШКА ГАЗА В ПРОТИВОТОЧНОМ АБСОРБЕРЕ
С ВЫСОКОСКОРОСТНЫМИ СЕПАРАЦИОННО-КОНТАКТНЫМИ
ЭЛЕМЕНТАМИ
В последнее время в колонных абсорберах для осушки газа от влаги стали
применяться высокоскоростные прямоточные центробежные сепарационно-кон-
тактные элементы с тангенциальным вводом газа и рециркуляцией абсорбента
(см. рис. 2.17). Эти элементы устанавливаются на горизонтальных тарелках в
вертикальных противоточных аппаратах. Подаваемый сверху абсорбент (высо-
коконцентрированный водный раствор ДЭГа) перетекает сверху вниз с тарелки
на тарелку. Слой абсорбента на каждой тарелке поддерживается на некоторой
высоте, которая, вообще говоря, может быть различной для разных тарелок.
Абсорбент через специальную трубку попадает в сепарационно-контактный
элемент и истекает из трубки в набегающий закрученный поток газа. В резуль-
тате жидкость дробится, образующиеся мелкие капли подхватываются потоком
и отбрасываются на стенку элемента. В результате в элементе одновременно
происходят два процесса: массообмен капель с газом и сепарация капель от
газа.
Поскольку абсорбент непрерывно перетекает с тарелки на тарелку и, кроме
того, многократно разбавляется абсорбентом, поступающим из элементов, то
состояние налитого на тарелки слоя абсорбента можно охарактеризовать вре-
менами пребывания: в элементе te = Le/ue и на тарелке tt = V/Qa, где V —
объем абсорбента на тарелке, Le — высота элемента; Qa — расход абсорбента;
ие — среднерасходная скорость газа в элементе. Сравнение времен для харак-
терных значений параметров показывает, что te«tt. Это означает, что за время
пребывания на тарелке абсорбент успеет много раз вступить в контакт с газом
в элементах, установленных на этой тарелке.
Основным параметром, характеризующим состояние абсорбента, является
число рециркуляции, определяемое как отношение расхода абсорбента через
контактные элементы qa к общему расходу абсорбента в аппарате Qa\
п = qa/Qa. (20.53)
Фактически параметр п определяет, сколько раз объем V абсорбента за
время пребывания на тарелке tt пройдет через элементы, расположенные на
одной тарелке.
Основная задача состоит в определении зависимости концентрации глико-
ля в растворе абсорбента и влагосодержания газа на выходе элементов от
числа рециркуляции п.
Предположим, что на тарелке происходит равномерное перемешивание
абсорбента, в результате чего концентрация гликоля в растворе абсорбента
изменяется только со временем. Кроме того, предположим, что унос жидкости
с потоком газа из центробежных элементов мал и им можно пренебречь
Последнее предположение справедливо, если элементы работают в докритиче-
ском режиме.
34 - 1461 529
Обозначим через аа и аа массовые доли гликоля в растворе абсорбента
соответственно в элементе и в слое на тарелке, а через ад0 и ао1 — соответствую-
щие значения в абсорбенте, стекающем с предыдущей тарелки на рассматрива-
емую тарелку, и на выходе элемента.
Уравнение, описывающее изменение аа, аналогично уравнению (20.47) и
имеет вид
at POG Рос
(20.54)
где т = 3,781 — )|——| uet — безразмерное время; рос—массовая концент-
\ Рв Дрс<4Я2 )
рация паров воды в газе на входе в элемент; рв, р„ и pG — соответственно
плотность воды, абсорбента и газа; R и W — средний радиус и объемное содер-
жание капель абсорбента в потоке газа в элементах; de — диаметр элемента;
Pwc ~ равновесная концентрация паров воды над раствором абсорбента с кон-
центрацией гликоля аа при рассматриваемых значениях р и Т.
В качестве среднего радиуса капели R, образующихся при распаде струи,
втекающей в сепарационно-контактный элемент, возьмем средний радиус ка-
пель Rav, формирующийся в турбулентном потоке {см. (20.27)]. В эту формулу
нужно подставить параметры элемента.
Уравнение (20.54) описывает изменение массовой доли гликоля в растворе
абсорбента в контактном элементе в интервале безразмерного времени
0 < т < т(О-
Соотношение для баланса массы абсорбента на тарелке с учетом рецирку-
ляции и перетекания абсорбента с тарелки на тарелку позволяет получить
следующее уравнение для аа:
= -p[(n + l)aa -аа0 -naal]; a„(0) = aa0, (20.55)
где р = Q„Le/TeVuc = 1 /т(, т( = т(^) — безразмерное время пребывания абсор-
бента на тарелке. _
Уравнение (20.55) описывает изменение массовой доли гликоля аа0 в
растворе абсорбента на тарелке в интервале безразмерного времени 0 < т < т(.
К уравнениям (20.54) и (20.55) нужно добавить соотношение, связываю-
щее равновесную концентрацию водяного пара в газе pwG с р, и Т и afl, которое,
согласно [59], имеет вид
рюС=10-брв(2|9+В), (20.56)
В = ехр [0,06858 (0,01 ТУ - 0,3798 (0,01 ТУ +
+ 1,06606 (0,01 ТУ- 2,00075 (0,01 Т) +4,2216];
Рв = Р*ХТ
р* = ехр (-0,60212 (0,01 П4 +1,475 (0,01 D3 -
- 2,97304 (0,01 ТУ + 7,19863 (0,01Т) + 6,41465);
1-а
1 - аа + 18,02aa/Ma '
530
Здесь х и у — мольная доля воды в растворе абсорбента и коэффициент
активности; т и п, — постоянные, для ДЭГа т = 0,0245 и = 0,137; Ма —
молекулярная масса абсорбента.
Выражение (20.56) громоздко и неудобно для дальнейшего использова-
ния. С большой степенью точности для раствора ДЭГа в интервале 0,9 < аа < 1
его можно аппроксимировать выражением
ри,с=а(1-аа), (20.57)
а = 3,95 • + ^exp[L
Таким образом, система уравнений (20.54), (20.55) и (20.57) описывает
изменение со временем концентрацию ДЭГа в слое абсорбента на тарелке с
учетом рециркуляции его в контактных элементах.
Изменение концентрации водяного пара в осушаемом газе определяется
вторым уравнением (20.47):
р^с = Рос+рвВ/(аа1-аа), (20.58)
где p0G — влагосодержание газа на входе в контактный элемент.
Для решения полученной системы уравнений необходимо предварительно
определить число рециркуляций п, объемное содержание абсорбента в газе W
и объем абсорбента на тарелке V.
Число рециркуляций зависит от конструкции элемента, числа элементов на
тарелке Ne, расходов газа QG и абсорбента Qa, а также от высоты слоя абсор-
бента на тарелке над уровнем ввода жидкости в элемент Н. Обработка резуль-
татов испытаний элементов позволила получить следующую эмпирическую
зависимость:
п = 3,456 10-3^72^H(QGQa)-’. (20.59)
Входящие в это выражение расходы имеют следующую размерность:
[Qc] = млн м3/сут; [Оа] = м3/тыс. м3.
Объем абсорбента на тарелке
V = 0,25 кН (D2-N„d2), (20.60)
где D — диаметр тарелки; de — диаметр контактного элемента.
Объемное содержание абсорбента в потоке газа определяется выражением
W = qa/Qc. (20.61)
Расходы, входящие в это выражение, следует брать при рабочих условиях
(м3/с).
Поскольку характерное время изменения концентрации гликоля в абсор-
бенте в элементе мало по сравнению со временем изменения концентрации на
тарелке (та « т(), то можно принять, что за время пребывания абсорбента в
контактном элементе массовая доля гликоля в абсорбенте на тарелке аа не
изменяется. При этом решение упрощается. Сначала из уравнения (20.54)
находим аа(т) при постоянном аа, а затем из (20.55) определяем аа(т). В ре-
зультате получаем
аа = Лаа + G;
аа0 + nG ) е (п + ( аар + nG (20.62)
n + l- nA I п + 1 - nA’
о-а = аао -
34'
531
— а
а = —.
Рос
л/тыс. м3 при нормальных условиях,
значение аа стремится к соответству-
(20.63)
(20.64)
А = -^е~<5 + г>ч +—G = -^X(l-e-<5 + 5
5 + а 5+д 5 + д 4
8 = ^;
Рос
Если расход абсорбента задается в
то W= 10~6nqa (м3/м3) и 8 = 10~3nqap0G.
Из (20.62) следует, что при т-»оо
ющему равновесному значению
—(eq) _ <*д0 + п&
° 2п + 1 - nA
В момент времени т = т(, что соответствует концу пребывания абсорбента
на тарелке, массовая доля гликоля в отработанном абсорбенте при условии
большого числа циркуляций (п » 1) будет
аа « faa0 - “д0 + (° ~ 1)pOG^1Q~^L-«^PoG/io-^a) +
1 + йРоо/10-3?а )
! адр +<Д -ОР0с/10~3?а
1 + ap0G/t0~3qa
На рис. 20.10 представлена рассчитанная зависимость массовой доли аа
гликоля в слое абсорбента на тарелке в момент времени после n-кратной ре-
циркуляции абсорбента в сепарационно-контактных элементах от числа ре-
циркуляций п. Расчеты проводились для следующих значений основных парамет-
ров: р = 1,Ъ МПа; Т = 13,5 °C; рос=О,24 г/м3; аа0 = 0,9916; QG = 12,8 млнм3/сут;
Qa = 5,5 кг/тыс. м3.
Из приведенных результатов следует, что основное изменение аа проис-
ходит в интервале значений п от 1 до 7. Увеличение числа рециркуляций сверх
7 мало изменяет значение аа, и оно близко к значению, определяемому форму-
лой (20.64). Это означает, что состояние абсорбента близко к насыщению.
Рассмотрим теперь процесс осушки в противоточном вертикальном абсор-
бере, схематично изображенном на рис. 20.7. Снизу в аппарат поступает газ с
массовой концентрацией влаги p0G (кг/м3 при нормальных условиях), сверху —
раствор с массовой долей ДЭГа а0. Соответствующие концентрации на каждой
ступени обозначим через pN-,, G и а, (г = 1,N),
где N — число ступеней контакта. Нумера-
ция ступеней идет сверху вниз. Введем сле-
дующие обозначения: Н, — высота слоя аб-
сорбента на г-й тарелке над уровнем вво-
да жидкости в элементы; QG — расход газа
при нормальных условиях; Qa — расход аб-
сорбента в аппарате; q^ — расход абсор-
бента через элемент на г-й тарелке;
п, = <№/Qa~ число рециркуляций на та-
релке; т(,>= 3,78(р^,с/рв)г<Дра/рвЯ2</,)1/3.
Рис. 20.10. Зависимость массовой доли гликоля в
растворе абсорбента иа тарелке ао от числа ре-
циркуляций и
532
Тогда для каждой тарелки можно записать систему уравнений
~ ~Р Kni + 1) “i “ “i-1 “ niai-1 ]; “i (0) = “i-1;
</a(
rf-r“>
1-----₽н^1_ (a; - a,)--------р-^~ ; a,(0) = a,;
PW-i + 1,G PW-i + 1,GJ
Pw-i+i.c = Pw-;,g _ P«Wi(aw - a.;);
Pi, wG = fl(l — “i )Ptt - i + 1, G •
(20.65)
Для решения уравнений (20.65) необходимо знать число рециркуляций
для каждой тарелки п,. Примем, что оно определяется формулой (20.59). Ре-
шение осложняется тем, что значения а0 и p0G задаются на разных концах
абсорбера. Поэтому численная процедура решения реализуется методом после-
довательных приближений сверху вниз. Условия позволяют суще-
ственно упростить решение. Поскольку в каждом приближении предполагается,
что входящее в (20.65) значение Рл/-, + 1,с известно из предыдущего приближе-
ния, то первые два уравнения могут быть проинтегрированы независимо друг
от друга. В результате получим
a,_ j = Да; + G;;
а;
ai-1 + niGi^е-(«. + )-+ a--i + niGi .
Пг + 1 - П,Л, J П{+ 1 - П;Л,- ’
(20.66)
А{ = ; G; = (1 - Д ) 1 - pw 'f + 'G
а PN - i, G
Приведем пример расчета противоточного абсорбера, оборудованного сепа-
рационно-контактными элементами, при следующих значениях основных пара-
метров: р = 5,5 МПа; Т = 15 °C; Qc = 10 млн м3/сут; Q„ = 7 • 10“3 м3/тыс. м3 газа
при нормальных условиях; а0= 0,9915.
На рис. 20.11 показана зависимость от-
носительного влагосодержания р„с/Рос
осушенного газа на выходе абсорбе-
ра от числа ступеней контакта для
различных значений числа рецирку-
ляций п. Принималось, что число ре-
циркуляций одинаково на каждой сту-
пени.
В табл. 20.7 приведены результа-
ты расчета температуры точки росы осу-
шенного газа и результаты испытаний
трехступенчатого абсорбера.
Рис. 20.11. Зависимость относительного вла-
госодержания р„с/р<ю осушенного газа иа вы-
ходе абсорбера от числа ступеней контакта N
для различных значений числа рециркуля-
ций п:
1 - 2,08; 2 - 3,81; 3 - 5,38; 4 - 11,42
Таблица 20.7
Расход газа, млн. м3/сут Расход абсорбента, 103 м3/тыс. м3 Давление, МПа Температура, °C Концентрация ДЭГ в абсорбенте Температура точки росы, °C
12,8 4,92 7,5 13,5 0,9617 / 0,9619 -19/-20
11,5 4,83 7,0 13,2 0,9651/0,9569 -19/-19
8,5 7,16 7,3 15 0,9596/0,9656 -20/-17
Приме ч а н и е. В числителе — расчетное значение в знаменателе — эксплуатационное.
Важное следствие — уменьшение числа ступеней контакта при увеличе-
нии числа рециркуляций п. Так, значение влагосодержания в осушенном газе
рс0/роо= 0Л ПРИ и = 2 достигается в шестиступенчатом абсорбере, а при повы-
шении числа рециркуляций до И — в двухступенчатом. Заметим, что в реаль-
ных аппаратах число рециркуляций на ступенях абсорбера может быть различ-
ным. Поскольку на нижние ступени поступает абсорбент с повышенным, по
сравнению с исходным, содержанием воды, то имеет смысл на нижних ступенях
увеличивать число рециркуляций. Последнее можно достичь, например, увели-
чив толщину слоя абсорбента на тарелке.
Таким образом, рециркуляция абсорбента на каждой ступени абсорбера
позволяет более полно использовать его абсорбирующую способность на каж-
дой ступени контакта и тем самым уменьшить число ступеней. Однако при этом
следует иметь в виду, что повышение числа рециркуляций п приводит к про-
порциональному возрастанию [см. формулы (20.53) и (20.61)] объемного со-
держания жидкой фазы W в газе и, как следствие этого, к увеличению уноса
жидкости из элемента.
21
ПРЕДОТВРАЩЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГИДРАТОВ
В ПРИРОДНОМ ГАЗЕ
В связи с вводом в эксплуатацию газовых и газоконденсатных месторож-
дений в осложненных условиях на Крайнем Севере при наличии в газе серо-
водорода и диоксида углерода актуальной стала задача совершенствования
процесса и технологии применения ингибиторов гидратов в системах добычи и
подготовки газа к транспорту.
Гидраты природных газов образуются в скважинах, в элементах промыс-
лового оборудования подготовки газа, а также в газопроводах при определен-
ных значениях давления и температуры, которые можно найти с использовани-
ем фазовых диаграмм гетерогенного равновесия. На практике для определения
условий начала образования гидратов используется графический метод: расчет-
ный — по константам равновесия, графо-аналитический — по уравнению Барре-
ра — Стюарта и экспериментальный.
Различают простые и смешанные гидраты. Простые гидраты представляют
534
собой гидраты отдельных газов. Эти гидраты образуются из молекул воды и
гидратообразователя, которым является один из углеводородных газов. В сме-
шанных гидратах и гидратах природных газов гидратообразователями являют-
ся не отдельные газы, а смесь газов. Состав смешанных гидратов и их компо-
нентный состав изменяются в зависимости от парциального давления компонен-
тов в газовой фазе и температуры.
Методы, используемые для предотвращения образования гидратов, опреде-
ляются физико-химической природой процессов. Поскольку равновесные пара-
метры образования гидратов зависят от парциального давления паров воды в
гидратообразующей среде, то любое воздействие, снижающее парциальное дав-
ление паров воды, позволяет уменьшить температуру гидратообразования. На
практике применяют два способа: осушку газа от влаги и ввод в газовый поток
различных водопоглощающих веществ — ингибиторов.
Эффективный и надежный метод предупреждения образования гидратов —
осушка газов в процессе его подготовки перед подачей в магистральный газо-
провод. Необходимо осушать газ до температуры точки росы на несколько
градусов ниже минимально возможной температуры газа в газопроводе. Инги-
битором гидратов при этом является высококонцентрированный водный ра-
створ гликоля (ДЭГа). Процесс осушки газа от влаги был подробно рассмот-
рен в разделе 20.
Второй способ состоит в вводе ингибитора гидратообразования в поток
газа непосредственно в трубопровод или в элементы промыслового оборудова-
ния перед, как говорят, защищаемой точкой, т. е. местом, в котором ожидаемая
температура может быть ниже температуры образования гидратов. Под воздей-
ствием ингибитора нарушаются структурные связи молекул воды и изменяется
энергия их взаимодействия. В итоге снижается давление паров воды в газовой
фазе, а следовательно, уменьшается температура образования гидратов. Наибо-
лее распространенный ингибитор гидратообразования в рассматриваемом спо-
собе — высококонцентрированный водный раствор метанола. Преимуществами
его использования по сравнению с другими ингибиторами являются сравни-
тельно низкая стоимость, высокая антигидратная активность (наибольшее сни-
жение температуры образования гидратов при прочих равных условиях), низ-
кая вязкость, низкая температура замерзания, малая растворимость в нестабиль-
ном конденсате и др.
В настоящее время накоплен большой опыт применения метанола в газо-
вой промышленности. Большой объем промысловых и лабораторных экспери-
ментов в сочетании с теоретическими работами по термодинамики углеводород-
ных систем позволили установить влияние ингибитора на систему природный
газ — вода [59, 61—63].
Существующие методы технологического расчета процесса ингибирования
[63] основаны на предположении о существовании термодинамического равно-
весия между жидкой (ингибитор) и газовой (природный газ) фазами. Приме-
нение этого метода позволяет определить равновесные значения концентрации
паров воды и ингибитора в газе при заданных значениях давления, температуры,
массовой концентрации ингибитора в растворе, состава газа и удельного расхо-
да ингибитора, необходимого для заданного снижения температуры образования
гидратов
АТ = Т„-Т2, (21.1)
где То — температура образования гидратов в газе без ввода ингибитора; Т2 —
температура в защищаемой точке.
535
Ингибитор вводится в поток газа в точке 1, в которой температура равна
Т1(Т2<Т0<Г1).
Если в точке 2 существует фазовое равновесие, то АТ определяется следу-
ющим соотношением [63]:
АГ =-Й1п(уюгхюг); (21.2)
1П У; = 1пу”
(г, j ~w,I (г * ;));
у£=2,2-^; у7=3,1-^Д; (243К < Т < 320К),
где хт, х1г — мольные доли воды и ингибитора в растворе; уК1, — коэффици-
енты активности воды и ингибитора; yg, yf — предельные значения коэффици-
ентов активности воды и ингибитора; А — эмпирическая постоянная, для мета-
нола А = 85.
После ввода ингибитора в точке 1 равновесия в системе газ — пары воды
нарушается. В процессе движения потока газа с каплями раствора ингибитора
от точки 1 до точки 2 изменяются температура газа TG, температура капель TL,
а также концентрации воды и ингибитора в газе yw, у, и в капле х,.
Поскольку входящие в (21.2) значения хш и х, соответствуют равновесным
значениям, то основная задача состоит в определении расстояния от точки 1 до
точки 2, или в определении времени установления равновесия в системе
газ — капли ингибитора. Значение teq зависит от р, TL, TG, начальных концент-
раций х^, хт, относительного расхода ингибитора q (в кг на тыс. м3 газа при
нормальных условиях), состава газа и параметров, характеризующих особенно-
сти течения газожидкостной смеси. Для решения задачи определения необ-
ходимо рассмотреть динамику процесса массообмена капель ингибитора с ок-
ружающим их газом.
Одним из распространенных способов ввода ингибитора в поток газа в
трубопроводе является распыливание с помощью форсунок, обеспечивающих
такой режим истечения струи жидкости, при котором она распадается на мелкие
капли различного диаметра. В итоге на выходе форсунки формируется следу-
ющее распределение капель по размерам [49]:
пф(£>) =
/ \3 .
^фР2 ехр(р) | Dmax | - Г о Мпах ].
(l + ₽)Omax CDJ Р1
max ’
(21.3)
0;
D>D
max >
где D — диаметр капли; Хф — число капель в единице объема; р — параметр,
определяемый конструкцией форсунки (для центробежной форсунки Р = 0,19;
для прямоструйной р = 0,35); £)тах — максимальный диаметр капель, характери-
зующий одно из основных предположений при выводе распределения (21.3).
Соответствующие выражения Dmia для форсунок указанных типов можно
найти в [49, 64].
Из (21.3) следует, что основные параметры распределения — средний диа-
метр капель и дисперсия
•^тах
DC=J- \Dn(D)dD = ^Dm!a- (21.4)
536
°2=i T(D ~D")n (D) dD=
0
где Ei(-p) — интегральная показательная функция.
Важным параметром является также объемное содержание капель в газе
W. Если удельный расход жидкости из форсунки qL задан, то W = /pL, где
р£ — плотность жидкости, и из (21.3) следует, что
ЯФ =----гтч---------------г- К,ах = лОз /6. (21.5)
3P/Vm2ax[exp(-₽) + ₽&(-₽)]
Движение образовавшегося ансамбля капель с потоком газа сопровожда-
ется непрерывным изменением распределения капель по размерам в результате
одновременно протекающих процессов массообмена капель с окружающим их
газом, коагуляцией и дроблением капель под действием интенсивных турбулен-
тных пульсаций различного масштаба, а также осаждения капель на стенках
трубы и срыва капель с поверхности тонкой жидкой пленки, формирующейся
на внутренней поверхности трубы.
Как показывают экспериментальные исследования [3] движения в трубах
газожидкостных потоков с небольшим содержанием жидкой фазы, на некото-
ром расстоянии от места появления жидкости в потоке газа (за дросселем или
форсункой) распределение капель по размерам стабилизируется и хорошо
описывается логарифмически нормальным законом распределения, характери-
зуемым средним радиусом
'I f ТУ >,/216/7/ >,/7
Bcr = 0,09d — — , (216)
u\PidJ (Р/ )
где d — диаметр трубы; и — среднерасходная скорость газа; Z — коэффициент
поверхностного натяжения жидкости; рс — плотность газа; р, — плотность
жидкости.
Стабилизация спектра капель происходит в результате установления как
термодинамического равновесия между жидкой и газовой фазами, так и дина-
мического равновесия между процессами коагуляции, дробления, осаждения и
срыва капель со стенки трубы.
Характерная особенность рассматриваемого процесса — малое объемное
содержание жидкой фазы в газе. Для предотвращения образования гидратов в
природный газ вводят ингибитор в виде высококонцентрированного водного
раствора метанола в количестве не более 1 кг на 1000 м3 газа, приведенного к
стандартным условиям. Это соответствует объемному содержанию жидкости
W < 5 • 10~5 м3/м3 при характерном давлении 5 МПа. Столь малое значение W
позволяет пренебречь влиянием капель на газодинамические параметры и рас-
сматривать динамику ансамбля капель под действием невозмущенного диспер-
сной фазой потока
Важной задачей является исследование изменения начального спектра капель,
описываемого распределением (21.3), под действием массообмена (испарение
метанола, конденсация паров воды), коагуляции, дробления и осаждения капель
на стенке трубы. Учесть поток капель от стенки не представляется возможным,
поскольку в настоящее время в литературе отсутствуют для этого надежные
данные.
Дисперсность потока характеризуется распределением капель по объемам
537
п, которое в приближении парных взаимодействий в пространственно-однород-
ном случае описывается кинетическим уравнением
дп , д (
dt dV(
п - Aoag + Л>г - hep • (21.7)
В левой части этого уравнения dV/dt — скорость изменения объема кап-
ли за счет массообмена с окружающим газом. Слагаемые в правой части ха-
рактеризуют скорость изменения распределения за счет коагуляции, дробления
и осаждения капель на стенке и имеют следующий вид [см. (11.119)]:
г г
7COag = (и, V - а)п(а, t)n(V - a, t) da -n(V, t) J/C(V, <й)п((й, t)da\
о 0
IbT = j P (V, (й) f (co) n (a, t) da-n (V, t) f(V); (21.8)
0
г _ n
dep tt ’
где tt — среднее время нахождения капли в потоке, время «жизни» капли.
Рассмотрим последовательно массообмен между каплями и углеводород-
ным газом, коагуляцию и дробление капель, а также их осаждение на стенках
трубы, что позволит определить dV/dt, 7coag, /Ьг, и Idep.
Исследование начнем с рассмотрения поведения изолированной капли в
покоящемся газе, а затем рассмотрим процесс массообмена ансамбля капель в
покоящемся газе и' турбулентном потоке газа, движущемся в трубе. Затем
проанализируем поведение спектра капель, вводимых в поток газа с помощью
распыливающих форсунок.
21.1. ДИНАМИКА МАССООБМЕНА КАПЕЛЬ ИНГИБИТОРА
ГИДРАТОВ С УГЛЕВОДОРОДНЫМ ГАЗОМ
Пусть в некоторой точке 1 газопровода в поток газа введен ингибитор в
виде капель малого диаметра. Способ ввода ингибитора рассматривать не будем,
предположим только, что суммарный объем капель мал по сравнению с объемом
газа, поэтому капли не оказывают заметного влияния на движение газа. Капли
ингибитора состоят из высококонцентрированного водометанольного раствора.
После ввода ингибитора в точке 1 равновесие в системе газ — пары воды
нарушается. В процессе движения потока газа с каплями ингибитора от точки 1
до интересующей нас точки 2 изменяются температура газа TG, температура ка-
пель TL, а также концетрации воды и метанола в газе yw, ум и капле х,„, хм.
Основная задача состоит в определении изменения со временем перечис-
ленных выше параметров и характерного времени установления равновесия ieq
в системе газ — капли ингибитора. Значение t^ зависит от давления р, темпе-
ратур жидкости и газа TL, TG, начальных концентраций компонентов жидкости
xu.Q, хмо относительного расхода ингибитора q (в кг на тыс. м3 газа при нор-
мальных условиях), состава газа и параметров, характеризующих особенности
течения газожидкостной смеси. Для решения задачи определения ieq необходи-
мо рассмотреть динамику процесса массообмена капель ингибитора с окружаю-
щим их углеводородным газом.
538
Вначале рассмотрим поведение изолированной капли в покоящемся газе, а
затем процес массообмена ансамбля капель в покоящемся газе и турбулентном
потоке газа, движущегося в трубе.
Рассмотрим сферическую жидкую каплю в безграничной газовой среде.
Жидкая фаза представляет собой раствор, состоящий из инигибитора — водного
раствора метанола. Обозначим мольные доли воды и метанола в капле через
хт и хм. Газовая фаза представляет собой многокомпонентную смесь, включа-
ющую природный газ с мольными концентрациями компонентов г/,, а также
пары воды — г/№ и метанола ум. В начальный момент времени t = 0 заданы
радиус капли 7?0, температуры капли Т,а и ГО0, мольные концентрации жидкой х^,
хмо и газовой у,0, у^, умй фаз.
Сделаем следующие предположения: газ неподвижный, капля не движется
относительно газа; на межфазной поверхности жидкость — газ существует ло-
кальное термодинамическое равновесие; давления в газовой и жидкой фазах
равны и постоянны; природный газ считается нейтральным. Это означает, что
он не растворяется в жидкой фазе, в то время как возможен перенос воды и
метанола через межфазную поверхность; характерное время процесса тепломас-
сопереноса в газовой фазе мало по сравнению с характерным временем в
жидкой фазе. Это предположение позволяет сформулировать задачу в квази-
стационарном приближении: распределение концентраций компонентов и тем-
пературы в газе является стационарным и зависит только от расстояния г от
центра капли, в то время как концентрации компонентов и температура в
жидкой фазе изменяются со временем и однородны по объему капли; природ-
ный газ рассматривается как один компонент (псевдогаз), свойства которого
определяются по известным правилам усреднения для многокомпонентных смесей
[9]. Мольная концентрация псевдогаза обозначается ynG\ перенос массы компо-
нентов в газе обусловлен механизмом молекулярной диффузии, характеризуе-
мым бинарным коэффициентом диффузии перекрестными эффектами
пренебрегаем.
Задача об испарении капли в идеальную газовую среду в подобной поста-
новке рассматривалась в разделе 6.9. Уравнения, описывающие перенос массы
и тепла в газовой фазе с учетом сферической симметрии и стационарности
процесса, имеют вид
^-(г2Л) = 0; А(Г2£) = О (i = w, М, nG),
dr аг
где /, — удельный мольный поток i-ro компонента; Е — удельный поток тепла.
Потоки массы и тепла в многокомпонентном газе
Л =--^^+ (i,/ = ro,M,nG),
(21.9)
(21.10)
где рс, Мс, Лс, НС; — плотность, молекулярная масса, коэффициент теплопро-
водности газа и мольная энтальпия /-го компонента газа.
Граничные условия для (21.9) и (21.10) следующие:
Л = Лв>' Е = Ев; yt = y,B; ТС = ТВ при г = R.
Вдали от капли заданы концентрации компонентов, температура и условия
ограниченности потоков
(21.11)
539
У.-+У™', TG-*Ta\ 1Л1, |Е|<С при г-»«ю.
(21.12)
Согласно четвертому предположению поток массы природного газа на
поверхности капли
JnGB 0.
(21.13)
Уравнения, описывающие изменения со временем концентраций компонен-
тов, температуры и объема капли, могут быть получены из условий баланса
массы, энергии и объема:
= -47t7?2/,B; Xх; = 1; J = w’
}
= (21.14)
}
^ = -4nR^vL,JjB-,
d
dt
-PVlA = -^R^Hg,bJ,b-P^.
Здесь W = V/^vLjx} = V/vLm — число молей в капле; vtl, vLm — мольные
i
объемы /-го компонента и смеси жидкой фазы; R, V — радиус и объем капли;
HL] — мольная энтальпия /-го компонента жидкой фазы.
Системы уравнений (21.9), (21.10) и (21.14) следует дополнить выражени-
ями для энтальпий
Нс, = +CpGj(TG-Т°); HLj = +CpL)(TL-Т0) (21.15)
и условиями, накладываемыми на температуры газа и жидкости и мольные
энтальпии на межфазной поверхности
TC=TL=TB\ HGjB~HL]B=l° +(CpG,-CpL1)(TL-T°), (21.16)
где CpG), CpL] — удельные мольные теплоемкости компонентов газовой и жидкой
фаз; Н^, Hl,, If— мольные значения энтальпии и теплоты парообразования
соответствующих компонентов при температуре Т°.
Начальными условиями для уравнения (21.14) являются
х,(О) = х,о; Г£(О) = Г£о, R(0) = Ro (21.17)
Для замыкания системы уравнений (21.9) — (21.17) к ним необходимо до-
бавить соотношения, связывающие значения концентраций в обеих фазах на
межфазной поверхности. Предположение о термодинамическом равновесии на
межфазной поверхности позволяет воспользоваться результатами работ [62, 63],
согласно которым равновесные значения массовых концентраций паров воды
СаВ и метанола Смв в газе следующие:
2,93 10~4Уа.г Г 3816,44 103
CwB =------------ехр 18,31 - ————- +
//. L /£-46,13
। 18р ____2рт р ,
ATl zATl + amPmpJ’
540
Г* _ МХМ ov— Гя VLMN .
стя- ехр -— lb — ,
L 7J (21.18)
am=EaJ^; ₽т=Е₽?^я-
J 1
Здесь z — коэффициент сжимаемости газовой фазы; А — газовая постоян-
ная; 8 — эмпирический коэффициент; vLMN — мольный объем метанола при
нормальных условиях; ps — давление насыщения паров метанола, определяемое
по формуле Антуана
ps = 1,33 • 1 (Н ехрf 18,59 - 3-26’55 1.
rs ’ ’ 71-34,29;
Значения коэффициентов ау и Р7 подобны с использованием экспери-
ментальных данных по влагосодержанию чистых газов: СН4 a = 0,725,
In Р = 6,87 - 0,0093 TL; для С2Н6 a = 0,76, In р = 7,19 - 0,008 TL; для СО2 и С3+
а = 0,568 ~ 0,0008 Т/, In Р = 8,85 - 0,0117 TL', для H2S а = 0,56 - 0,0009 TL,
In р = 8,44 - 0,0091 TL.
Эмпирический коэффициент 8 определяется по формулам
с [-ехр(7,83-0,0171) при 280К < TL < 340К,
[- ехр (8,103 - 0,011TL ) при 243 К < 7} < 280 К.
Следует заметить, что входящее в (21.18) давление р измеряется в МПа.
Используя далее связь мольных концентраций с массовыми
------ (21.19)
J
и подставляя в (21.18), найдем необходимые зависимости ylB от и TL.
Таким образом, система уравнений (21.9), (21.10), (21.14), (21.15), (21.19)
с граничными и начальными условиями (21.11) — (21.13), (21.16), (21.17) и
соотношения (21.18) описывают динамику тепломассообмена водометанольной
капли в неподвижном газе в рамках сделанных ранее предположений.
Уравнения (21.9), (21.10) с условиями (21.11) — (21.13) решаются неза-
висимо от остальных. Вводя безразмерные переменные
__ 4* . ___ ’-)C'Lw0PG*-'Т 1L .
-Ro ’ MgRq ’ L Tlo ’
7^ __ ^G . tt'q _ t j _____ &im . zr ___ ^Lm .
— > * — , Utm---Fi-’ VLm — T----->
* LQ *L0 &LwQ
— _ vli . т _ JiRqMq . - _ CpLm ,
L' vLw0 ’ ' PoDwm ’ PLm cpLw ’
/0 _ 7 - CPGt r _ CPL1 •
4 ~ >2 ’ G₽°! r r . ’
l,w cpGw cp/ w
CpGwPG^wm
CpGw . ____ la.
CpLw ^LQCpGw
получаем систему уравнений, описывающих изменение безразмерных концент-
раций компонентов, температуры и радиуса капли;
541
dx> _ VLm I у т _ т
dx ~ R l'B
(i = w, M);
dTi _ цу^т j a(TG -TL)
dx eRcpLw [/?(exp(a) -1)
-£V^/;F 1° +^(цсрС;
-с₽£;)(т£-Го)
- 1 У 77 I
~d^~
(21.20)
t г УjB Уj<x> exp( RIв/djB) , , .
I)B = 1В,------ z Ъг Z7 X = W’ M’ ПС^’
1 - exp(-RIB/d]B)
1 ~~ Уыю ~ УМ<хз |,
1 - ywB ~ У mb ) ’
a - £T? zL ЬвСрС);
i
VLm ~T^XIVL)'< CpLm =^X)CpL)’>
К этим уравнениям следует добавить начальные условия
х,(О) = х,о; Т£(0) = Я(0) = 1 (i = да, М),
(21.21)
а также условия (21.18), (21.19), переведя их в безразмерные соответствующим
образом.
Рис. 21.1. Зависимость мольной концентрации
воды в капле хш от т для различных значений
давления и начальных массовых содержаний
метавола (ТГ0«313К; ТС0~288К):
1 - 12 МПа; 2-8 МПа; 3-4 МПа, 4-2 МПа,
I — хма = 70%; II — хма = 95 %
Система уравнений (21.19) —
(21.21) решается численно. В резуль-
тате определяются изменения со вре-
менем концентрации воды и метанола
в капле, их температуры и радиуса ка-
пель. Входящие в уравнения тепло-
физические свойства газовой и жидкой
фаз могут быть определены с помо-
щью методов, приведенных в [9]. Рас-
четы проводились для различных зна-
чений давления, начальных температур
капли и газа и исходной концентра-
ции метанола в растворе ингибитора.
Состав газа, используемый в расчетах,
зависит от р, Т и должен предвари-
тельно определяться с помощью урав-
нений парожидкостного равновесия.
Так, для р = 8 МПа и Т = 313 К имеем
следующий состав (% мольные):
N2 = 0,81; СО2 = 0,22; СН4 = 96,97;
С2Н6=1,74; С3Н8 = 0,16; i-C4 = 0,07;
п-С4 = 0,03.
На рис. 21.1 показана зависи-
мость мольной концентрации воды в
I в
542
капле от безразмерного времени т для
различных значений давления и началь-
ных массовых содержаний метанола
70 % и 95 %. Со временем метанол пол-
ностью испаряется из капли. Обозна-
чим через req характерное время уста-
новления равновесия, определяемое по
заданному отклонению х71, от равновес-
ного значения. Для случая 1 %-го от-
клонения зависимость т„ от давления
показана на рис. 21.2. Из приведен-
ных расчетов следует, что в интервале
начальных концентраций метанола 50 —
100 % определенное таким образом req
практически не зависит от хмй.
Переход к размерным величинам
показывает, что значению теч= 100 соот-
ветствует время t = 25 с для капли с на-
чальным радиусом Ro = 10 4 м = 100 мкм.
Поскольку t - 7?от , то уменьшение 7?0
до 2 • 10“5 м снижает t до 1 с. Данные,
представленные на рис. 21.1 и 21.2, со-
ответствуют температуре газа TG = 313 К и
Со временем температура капли растет
Рис. 21.2. Зависимость характерного времени
установления равновесия в капле от дав-
ления р (Ти - 313 К; Tai> — 288 К; хм„ — 95 %)
начальной температуре капли Т1Л — 288 К.
до температуры газа, причем характер-
ное время прогрева капли тг намного меньше req. Представляет интерес изме-
нение со временем мольных концентраций воды и метанола в газовой фазе на
поверхности капель. Значение ywB монотонно растет и стремится к соответствую-
щему значению насыщения. Мольная концентрация метанола умв сначала рез-
ко возрастает и достигает максимального значения за время тг. После того, как
температура капли достигла температуры газа, поток испаряющегося метанола
уменьшается, что приводит к снижению умв в приповерхностном слое. Расчеты,
проведенные для различных значений начальных температур газа и капли,
показали, что на динамику массообмена капли с газом основное влияние ока-
зывает температура газа, а не разность начальных температур газа и капли.
Это объясняется тем, что характерное время установления температурного равно-
весия на порядок меньше характерного времени установления концентрацион-
ного равновесия. Поскольку испарение метанола происходит более интенсивно,
чем конденсация на капле паров влаги, то размер капли со временем уменьша-
ется. Повышение давления приводит к уменьшению равновесного размера капли.
Рассмотрим процесс массообмена ансамбля капель с одинаковым началь-
ным радиусом 7?0. Обозначим через Wo и п начальную объемную и счетную
концентрации капель, через q — массовый расход ингибитора, в кг на тыс. м3
газа при нормальных условиях. Введенные величины связаны следующими
соотношениями:
3 Z‘gPl
(21.22)
Предположим, что дробление и коагуляция капель отсутствует. Это озна-
чает, что п остается постоянным.
Среднее расстояние между каплями оценивается формулой Lav - R/'tfw ,
поэтому увеличение давления и расхода ингибитора уменьшает Lav. При этом
543
на массообмен рассматриваемой капли с газом оказывают влияние соседние
капли. В таком случае говорят о массообмене капли с учетом стесненности.
Рассмотрим массообмен выделенной капли с окружающим газом. Оставим
в силе все сделанные ранее предположения. В таком случае уравнения (21.9),
(21.10) и (21.14) сохраняются. Справедливы также условия (21.11), (21.13) и
(21.16) на поверхности капли, в то время как условия (21.12) вдали от капли
должны формулироваться на расстоянии г = Rt = R/2 'iJw . Кроме того, в рас-
сматриваемом случае со временем изменяются W, yix и Тс.
Уравнения, описывающие изменения у,.л и TG могут быть получены из
соотношений баланса массы и энергии единицы объема газожидкостной смеси,
которые в безразмерных переменных, введенных выше, имеют вид
i - w
a(.TG-TL)
ат
dTG _ v)R2Wg f
dr (1 - W)cpGm [/?(exp(a(1 -R/R}))- 1)
(21.23)
-ev^/уд
Cpij
vg
a — iBCnC,i> W— R3', yicc(ff) — Ут', TG(ff) — Too-
Здесь дополнительно введены безразмерные параметры
W - W/Wq', <р = Ma/VtieoPc; = R^/Rg', TG0 = TG(j/TL0.
В рассматриваемом случае наибольший интерес представляет влияние расхо-
да ингибитора q на динамику массообмена капли с газом. На рис. 21.3 показано
изменение со временем хю для различных значений q. Увеличение расхода инги-
битора приводит к более сильному влиянию стесненности на процесс массообмена
и, как следствие этого, к менее интенсивному испарению метанола. Изменение со
временем влагосодержания в газе носит немонотонный характер (рис. 21.4).
Минимальное значение y71<i с увеличением расхода ингибитора становится более
резко выраженным и смещается в область меньших значений т. Характерное время
установления равновесия в системе, определяемое по влагосодержанию в газовой
фазе, уменьшается с увеличением расхода ингибитора (рис. 21.5). Изменение q
влияет также на установившийся размер капель. Этот размер с ростом q увели-
чивается, так как каждая капля отдает газу меньше метанола. Но поскольку число
капель данного радиуса с ростом q увеличивается, то суммарное количество мета-
нола, перешедшее в газовую фазу, возрастает. В итоге это приводит к увеличению
мольной концентрации метанола и уменьшению концентрации паров воды в газе.
В результате уменьшается температура гидратообразования. Теплообмен капель с
окружающим их газом слабо влияет на характерное время установления равнове-
сия в системе и соответствующие равновесные значения концентрации воды и
метанола в жидкой и газовой фазах. Это подтверждается расчетами, проведенными
без уравнения энергии [второе уравнение в (21.20)]. Результаты представлены на
рис. 21.3 и 21.4 штриховыми линиями.
Движение двухфазной смеси в скважине, трубах и элементах промыслово-
го оборудования характеризуется развитой турбулентностью, которая приводит
к интенсивному перемешиванию смеси и более быстрому тепломассообмену
капель с потоком газа. Наряду с этим турбулентность приводит к дроблению
544
Рис. 21.3. Зависимость мольной концентрации
воды в капле от т для различных значений рас-
хода ингибитора q (кг/тыс. м3 при нормальных
условиях):
1 - 1; 2 -3; 3 - 5; 4 - 10; 5 - 20; 6 - 50; 7 -
100; р = 8 МПа; Т10 = 313 К; Тт = 288 К; хт = 95 %
Рис. 21.4. Изменение со временем т влагосо-
держаиия в газе для различных значений
расхода ингибитора q (кг/тыс. м3 при нормаль-
ных условиях):
1 - q = 1; 2 -3; 3 - 5; 4 - 10; 5 - 20; 6 - 50; 7 -
100; р = 8 МПа; TLa = 313 К; Тт = 288 К; хт= 95 %
и коагуляции капель. При турбулентном движении двухфазного дисперсного
потока с небольшим содержанием жидкой фазы в трубе формируется распре-
деление капель со средним радиусом
Со А4/7
Rav = 0.12J! gj We-’'', (21.24)
где d — диаметр трубы; We = pciz2/S — чис-
ло Вебера; и — средняя скорость газа в тру-
бе; S — коэффициент поверхностного натя-
жения жидкой фазы.
Оценка значений Rav для характерных
значений параметров показала, что 7?Д„»ХО,
где A.0 = d/Re3/4 — внутренний масштаб тур-
булентности. В турбулентном потоке по срав-
нению с покоящимся интенсифицируются как
тепло, так и массообмен капли с газом, при-
Рис. 21.5. Зависимость характерного времени уста-
новления равновесия в системе те, от q (р “ 8 МПа;
Ти- 313 К; ТО0 -288 К; хм„-95%)
35 - 1461
545
чем доставка вещества и тепла к поверхности капли или отвод их от нее
происходит за счет механизмов турбулентной диффузии и теплопроводности.
Оценки характерных времен обоих процессов с использованием выражений для
коэффициентов переноса в турбулентном потоке показали, что в рассматрива-
емом случае малых объемных концентраций жидкой фазы тепловое равновесие
устанавливается быстрее концентрационного. В связи с этим можно пренебречь
разностью температур газа и жидкости и считать температуру капель равной
температуре газа. Оставим в силе сделанные ранее предположения и, кроме
того, предположим, что в начальный момент все капли имеют одинаковый ра-
диус (21.24). При этом процесс массообмена рассматриваемой капли описыва-
ется теми же уравнениями, что и ранее, в которых в качестве мольных потоков
компонентов на поверхности капли следует взять соответствующие выражения
для диффузионных потоков к частицам, взвешенным в турбулентном потоке
(см. раздел 16.2). В безразмерных переменных (нижний индекс «О» означает
значение параметра при начальных условиях)
з/х 1/3 2/3 , _ . .
_ _ ^2 Рт Pg uvLwt — _ R Mq .
MGd^R^ R^o pGvi-B
Vl> =^’ VLm=^’ = ~У,В’ =
уравнения, описывающие изменение концентрации компонентов в капле и газе,
принимают вид
dx\
= + = (21.25)
—— R^{vLw^yw + vLM\yM\,
xw(fi) = xw0\ xM(0) = xM0; -R(o) = l; 2/^(0) = yw0-, yMx(0) = 0.
В качестве примера рассмотрим процесс
массообмена капель водометанольного раство-
ра, введенного в турбулентный поток газа в
трубе при следующих значениях параметров:
диаметр трубы d = 0,4 м; давление р = 8 МПа;
температура газа TG = 313 К; расход ингибито-
ра q = 1 кг/тыс. нм3; начальная массовая кон-
центрация метанола в растворе хм0 = 95%. На
рис. 21.6 показана зависимость характерного
времени установления равновесия в системе
от расхода газа Q, приведенного к нормаль-
ным условиям. Падение с ростом Q объяс-
няется уменьшением среднего размера капель.
Рнс. 21.6. Зависимость характерного времени установ-
ления равновесия в системе от расхода газа Q
546
Время растет с увеличением диаметра трубы и давления при прочих равных
условиях. Зная нетрудно найти расстояние L от места вввода раствора до
точки, в которой наступает равновесие. Так, для рассмотренного выше примера
и расхода газа Q = 5 млн. нм3/сут получаем £ = 2 м. С уменьшением темпе-
ратуры газа длина L увеличивается. Снижение температуры до 288 К приводит
к росту L до 12 м.
21.2. ЭВОЛЮЦИЯ СПЕКТРА КАПЕЛЬ ИНГИБИТОРА ГИДРАТОВ,
ВВОДИМЫХ В ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОТОК
Наиболее эффективным способом ввода ингибитора гидратов в поток
природного газа, движущийся в трубопроводе, является распыление с помощью
форсунок, в результате чего в потоке образуется спектр капель с распределе-
нием (21.3). Средний размер образующихся капель меньше устойчивого раз-
мера, характерного для турбулентного потока. В процессе движения размер
капель изменяется за счет массообмена с газом, а также коагуляции и дробле-
ния. Кроме того, капли могут осаждаться на стенке трубы и срываться с по-
верхности жидкой пленки, образующейся на стенке.
Рассмотрим изменение начального спектра капель, описываемого распреде-
лением (21.3), под действием массообмена (испарение метанола, конденсация
паров воды), коагуляции, дробления и осаждения капель на стенке трубы.
Учесть поток капель от стенки, к сожалению, не представляется возможным,
поскольку в настоящее время в литературе отсутствуют для этого надежные
данные.
Эволюция распределения капель по объемам n(V, t) описывается кинети-
ческим уравнением (21.7), для решения которого необходимо знать выражения
для скоростей изменения n(V, t) в правой части уравнения.
Входящее в выражение для 7coag ядро коагуляции К(а, V), называемое
иногда константой коагуляции, обусловливает частоту столкновения капель объема-
ми со и V и может быть определено в результате исследования относительного
движения двух капель под действием различных сил взаимодействия — грави-
тационной, гидродинамической, молекулярной. Характер гидродинамической силы
зависит от структуры потока. В ламинарном потоке относительное движение
капель различного размера происходит за счет гравитационного осаждения и
градиента скорости несущей среды. При этом /С(<о, У) определяется сечением
столкновения капель и находится в результате анализа траекторий движения
одной капли относительно другой [см. раздел 13.1]. В турбулентном потоке
сближение капель происходит за счет хаотических пульсаций, приводящих к
большему по сравнению с ламинарным потоком числу актов столкновения в
единицу времени. Существуют три основных механизма, обусловливающих сбли-
жение и коагуляцию капель в турбулентном потоке: инерционный, за счет раз-
личных скоростей движения отличных по размерам капель; сдвиговый (гради-
ентный), вызванный наличием сдвигового течения в окрестности рассматривае-
мой капли при обтекании ее пульсациями различного масштаба; турбулентная
диффузия, в основе которой лежит предположение об аналогии между процессом
диффузии и движением капель под действием случайных турбулентных пульса-
ций. В разделе 13.6 показано, что применительно к рассматриваемому процессу
основной вклад в скорость коагуляции капель в турбулентном потоке дает ме-
ханизм турбулентной диффузии, и ядро коагуляции с учетом сил гидродинами-
ческого и молекулярного взаимодействия капель имеет вид
35* 547
K(V, co) = G( V,/3co,/6 + (p/W/3), (21.26)
где G = 16(F/3npGX.20),/2; Г— постоянная Гамакера, для аэрозолей Г= 5 • 10“20 Дж;
Zo = d/Re3/4 — внутренний масштаб турбулентности; Re — число Рейнольдса по-
тока газа.
Скорость изменения п за счет дробления капель выражена через частоту
дробления f(V) капли объемом в интервале (V, V + dV) и вероятность PkV, со)
образования капли объемом в интервале (V, V + dV) при дроблении капли
объемом в интервале (<о, <о + с?о>). Модель дробления капель рассмотрена в
разделе 11.7 в предположении, что дробление одиночной капли полностью
определяется флуктуациями диссипации энергии в ее окрестности. При этом,
если среднее по объему порядка размера капли значение диссипации энергии
превосходит критическое значение, происходит акт дробления. Отмечено, что
независимо от начального спектра капель через одределенное время в резуль-
тате дробления распределение капель становится логарифмически нормальным.
Для определения частоты дробления f(V) необходимо оценить минимальный
радиус Rmin капель, дробящихся в турбулентном потоке. Теоретически этот
размер можно определить, сравнивая силы, действующие на каплю и приводя-
щие к значительной деформации ее поверхности. В [65] приводится выражение
для Rmin путем сравнения силы вязкого трения и капиллярной силы, а в [2] —
динамического напора внутри капли и капиллярной силы. Движение капель в
газе не приводит к значительным силам вязкого трения, поэтому предпочти-
тельней вторая модель и в качестве Rmin имеет смысл взять выражение
£3/5
Ят1п =2,64^^—, (21.27)
Ро е 2/5
где ё = pGw3/c? — средняя удельная диссипация энергии в потоке.
Частота дробления капли объемом V получена в разделе 11.7:
f(V) =----—у(х); у (х) = .—1 — ехр(-х2/2); (21.28)
г.озтглГо 72лФ(*)
х = -aln(bV/Vmln); Vmln = 4nR3in/3; ф(х) = |exp^-^Jdz/,
-00
где То = ^/цо/е — постоянная времени корреляции случайного процесса е(£);
ё(£) — среднее значение распределения диссипации энергии в окрестности кап-
ли; Цо — динамическая вязкость газа; параметры а и b зависят от вида зависи-
мости Rmin от ё, так, для зависимости (21.27) имеем а = 1,44 и Ь = 1,22.
Из (21.28) следует, что f(V) монотонно растет с увеличением V. Для объемов
капель, малых по сравнению с минимальным V « Vmin (х » 1), частота дроб-
ления стремится к нулю как (2л)*,/2ехр (-х2/2), в то время как для V » Vmln
(х«-1) частота дробления — линейная функция f—х.
Как показывают экспериментальные исследования динамики дробления
капель [65], они, как правило, делятся на две примерно одинаковые капли и ряд
сателлитов значительно меньшего размера. Поэтому допустимо предположить,
что капля при дроблении делится ровно на две капли одинакового объема. При
этом вероятность дробления может быть представлена в виде
P(V,®) = 25^V-^, (21.29)
где 8(х) — дельта-функция.
548
Подстановка (21.29) в выражение для /Ьг с использованием свойств дель-
та-функции приводит к следующему результату
/Ьг = 4Д2У)п(2У, t)-f(V)n(V, t). (21.30)
В выражение для скорости изменения распределения капель за счет осаж-
дения на стенке трубы Zdep входит среднее время «жизни» капли объемом V в
потоке газа tf Его можно интерпретировать как время, за которое капля объе-
мом V достигнет стенки трубы, усредненное по всем начальным положениям
капли в поперечном сечении потока. Для определения ti необходимо сначала
оценить скорость поперечного движения капли в потоке газа. В [67] показано,
что поперечный дрейф капель в ядре турбулентного потока происходит за счет
гравитационной силы и скорость дрейфа
us = trg, (21.31)
где tr — время релаксации капли, причем для высоко- и грубодисперсных ча-
стиц tr = рЛ£)2/18цо; д — ускорение свободного падения.
В тонком пристеночном слое скорость миграции частиц к стенке опреде-
ляется полуэмпирической зависимостью
ит
, А2
7.25-Ю-4 _Lt_ Ud
+ W+T+ J
0,2wd
при -——— < 16,6;
r 1 + W+T+
при -——— > 16,6,
r 1 + <O+T+
(21.32)
где т+ = D2pzw^/18vGpc — безразмерное время релаксации капель; со+= 20vGpG/
dpLud — безразмерная частота крупномасштабных пульсаций; ud = w(^/8),/2 —
динамическая скорость газа; — коэффициент сопротивления трению; vG —
кинематическая вязкость газа.
Оценка скоростей гравитационного осаждения и миграции капель показы-
вает, что щ«ит. Это означает, что время «жизни» капли определяется време-
нем ее пребывания в ядре потока. После усреднения tt по всем начальным
положениям в сечении ядра потока получим
F/ = 36dpG/ngpLD2. (21.33)
Таким образом, кинетическое уравнение (21.7) и соответствующие уравне-
ния (21.8), (21.26), (21.28) — (21.30), которые нужно дополнить уравнениями
(21.25) для определения изменения объема капель за счет массообмена, описы-
вают изменение начального распределения капель по объемам пф(У, t) за
форсункой, которое связано с распределением по диаметрам пф(£), t) соотно-
шением
(21.34)
пф(У, t) = -|з-Пф(£), t).
В общем случае полученная система уравнений может быть решена чис-
ленными методами. Оценка характерных времен процессов позволяет суще-
ственно упростить систему уравнений и метод решения.
Характерные времена массообмена и коагуляции капли среднего объема Vc
оцениваются выражениями
^mass
t YsL-
Pr^u.Lw ' GWa
549
Здесь Vci — средний объем капли после завершения процесса массообмена.
Для характерных значений параметров MG - 20 кг/кмоль, J = 0,5 м,Ус =
= 10-15 м3, Ус1 - 3 • 10'17 м3, pL = 103 кг/м3, pG= 50 кг/м3, и = 15 м/с, vLw = 2 х
х 10~5 м3/моль, W0 = 5 -Ю'5 м3/м3 отношение характерных времен массообмена
и коагуляции £mass//coag~ 10~4. Это означает, что в процессе массообмена коагу-
ляцию капель можно не учитывать. Кроме того, если средний объем капель,
формирующийся на выходе форсунки, меньше минимального радиуса дробя-
щихся капель, то можно пренебречь и дроблением капель. Для выбранных
значений параметров ^>^coag, поэтому можно не учитывать также осаждение
капель на стенке трубы.
Таким образом, процесс массообмена капель протекает намного быстрее
других процессов. При этом эволюция начального распределения (21.3) опи-
сывается уравнением
+ = п(У,0) = пф(У), (21.35)
dt dv \ at j
которое вместе с системой уравнений, описывающей массообмен капли, позволя-
ет исследовать динамику массообмена полидисперсного ансамбля капель с
углеводородным газом.
Отметим, что в процессе массообмена сохраняется счетная концентрация
00
капель N = |п(У, t)dV, а объемная концентрация и средний размер капель
уменьшаются за счет более интенсивного испарения метанола по сравнению с
конденсацией паров воды.
Заменим распределение (21.3) логарифмически нормальным распределе-
нием капель по объемам
/т/\ f ln2(V/V.))
пф (V) = —ехр - ——- . (21.36)
аДг < a2 )
Параметры а иУ* этого распределения выберем таким образом, чтобы у
соответствующего распределения капель по диаметрам и исходного распреде-
ления (21.3) совпадали значения средних диаметров и дисперсий:
a = {18 In [- (1 + р) ехр (₽)Ei (-р)]}’^;
пЗ ( > 3
Т/ _ __Л Г)3 I_______________Р___________I (91
* 6 6 raax((l + p)[-(1 + p)exp(₽)Ei(-p)]^J ’
Рассмотрим изменение распределения капель по объемам только за счет
процесса массообмена с окружающим газом.
Пусть в начальный момент распределение имеет вид (21.3). Распределение
(21.3) характеризуется тремя параметрами: N, р и Z)max. По смыслу AZ — число
капель в единице объема газожидкостной смеси; р —параметр, характеризую-
щий конструкцию форсунки и равный соответственно 0,35 для прямоструйной
и 0,19 для центробежной форсунок. Выражение для Dmax получено для прямо-
струйной форсунки в результате обработки экспериментов по пневматическому
распыливанию [67]
/ 1П6 2 \Vi2z \
—2----- 1 + _Д_51_ 1-0,552- =4,8-10-5 (21.38)
^Р£И2Отах Д PlDmax J \ PL)
и для центробежной форсунки [47]
550
Г , xt/tOz
2^ = 8,5| —| fl + 122±| fl-0,5—
h y&p<t>hJ Р/.ЕЛ) \ Pi
(21.39)
Здесь E — коэффициент поверхностного натяжения жидкости; pt, pG —
плотности жидкости и газа; и — скорость истечения жидкости из форсунки;
ц,— динамическая вязкость жидкости; Дрф — перепад давления на форсунке;
h — толщина пелены жидкости на срезе сопла форсунки.
Параметр N можно выразить через удельный массовый расход жидкости qL,
а также максимальный объем капель Vmax и параметр р:
N = C(p)
PL^max
(21.40)
С(р) =
(1 + P)
Р[1 + Pexp(p)Ei(-p)J ’
где Ei(-p) — интегральная показательная функция.
Наряду с распределением капель по диаметрам (21.3) введем распределе-
ние их по объемам
пф(У) = пФ(£>)^ = Пф(Д»-£-.
а V itD*
(21.41)
Подставив (21.3) в (21.41), получим
иФ(Ю = ГФ
max >
(21.42)
0,
max ’
Na, = ----------—-----------
3PiVmax[exp(-P) + PEi(-p)]
Рассмотрим единичный объем углеводородного газа, в котором в началь-
ный момент однородно распылен водометанольный раствор суммарного объема
?z./p£ в виде капель с распределением (21.42). Газ характеризуется мольными
долями компонентов yt (i = w, м для паров воды и метанола и i = i, S для
остальных компонентов). Состав капли задается мольными долями, воды и
метанола х, (/ = w, м). Температуры и давления в жидкой и газовой фазах
одинаковы.
Предположим, что газ неподвижный и капли не движутся относительно
газа; объемное содержание газа мало; природный газ нейтральный; на межфаз-
ной поверхности существует равновесие; характерное время тепломассопереноса
в газовой фазе мало по сравнению с характерным временем в жидкой фазе;
природный газ рассматривается как один компонент (псевдогаз), свойства ко-
торого определяются по известным правилам усреднения для многокомпонент-
ных смесей; коагуляция и дробление капель отсутствуют; распределение капель
по объемам изменяется со временем в результате изменения размера капель за
счет испарения метанола и конденсации паров воды.
Динамика процесса массообмена монодисперсного ансамбля капель инги-
битора с углеводородным газом в рамках сделанных предположений в квази-
стационарном приближении рассмотрена в разделе 21.1. В безразмерных пере-
менных
у" V . ЗодщоРдt ____ Dj t
~ Vo ’ “ MG(ЗУ0/4л)2/3 ’ '' ~ Dw ’
551
7) - VLm T - 7<МД(ЗГо/4п)1/3 . ттТ _ W_
Lm vLm0’ pGdw ’ w Wo
система уравнений, описывающая изменение со временем концентрации воды и
метанола в капле и объема капли, имеет вид
dxw _ dvLm
dr у i/з
w jB ^wB L
XM — 1 — Xw',
M=^v^VLjIjB
J
(21.43)
IjB ~ Iв
yjB exp(-V '^IB2>lw /Dj) - у; ехр(-У^1в/Р/)
exp(-Vt/3IB2^W/PJ) - expi.-V^Ig/Dj) ’
J в —
PriGB 1 ~ У&
yt/3 11-УшВ
yiB = f(xjB) (i, j =w,MY
Здесь Vo — характерный объем капель, в качестве которого выбран Vmax;
v — мольный объем; £>у — бинарный коэффициент диффузии; — молярный
поток; М — молекулярная масса; нижние индексы L, Q обозначают параметры
жидкой и газовой фаз; 0, тп — значения в начальный момент времени и усред-
ненные по составу; В — значения на межфазной поверхности.
Из условия баланса массы единицы объема газожидкостной смеси с распре-
делением капель по объемам n(V, t) следуют уравнения для молярных кон-
центраций компонентов в газовой фазе:
= <21.44)
о \ > )
00
где ср = MGqL/pcvLmOpL; Wo = qL/pL; п = пЗрдУ^/дд.; W = W0 jVn dV .
о
По смыслу Wo и W — начальное и текущее объемные содержания жидкой
фазы в смеси.
Для замыкания системы уравнений (21.43) и (21.44) необходимо уравне-
ние, описывающее изменение n(V, t). Поскольку изменение распределения
капель по объемам происходит только за счет массообмена капель с окружа-
ющим их газом, то это уравнение имеет вид
^+дЛ^1 = о
5г дУ (. dr )
(21.45)
Таким образом, система уравнений (21.43) — (21.45) с начальными усло-
виями
хи(0) = хаЮ; V(O) = Vo; г/,(0) = г/,0; п(У,0) = Иф(7) (21.46)
описывает изменение со временем концентрации воды и метанола в обеих фазах
и распределение капель по объемам. __
Для случая малых объемных концентраций капель (W «1) уравнения
(21.43) и (21.44) можно решить независимо от (21.45), а затем из (21.45)
определить изменение со временем распределения п (V, т). В то же время
552
решение уравнения (21.45) можно получить, используя выражение для dV/dx
и мольных потоков JtB, JB на поверхности капель. Обозначив
= yvy(T); Дт) = -^v,IjBV V*
и введя вместо т и V новые переменные
£ = ^f(x)dx, ц = 1,5 V2/3,
о
преобразуем уравнение (21.45) к виду
(21.47)
(21.48)
(21.49)
Общее решение уравнения (21.49) имеет вид
V1/2
Нц, У = FGi-ij).
Использовав далее начальное условие (21.42)
— — <0 V1/2
я(У,О) = пф(У) = (ЗП] F(n),
(21.50)
получим
n(v, т) = ]Nq>
2г|) 1/2|~2(-Г| - £)~| ‘
3 J L 3 J
1/2
о,
П-^<1,5;
т]-^>1,5.
(21.51)
На рис. 21.7 показаны рассчитанные изменения со временем плотности
распределения капель по диаметрам для прямоструйной и центробежной фор-
сунок. Параметры газа и ингибитора гидратообразования те же, что и в примере
расчета, приведенном в разделе 21.1.
Рассмотрим теперь массообмен капель в турбулентном потоке. В качестве
начального распределения возьмем логарифмически нормальное распределение
(21.36), которым мы приблизили исходное распределение (21.3)
Модель динамики массообмена монодисперсного ансамбля водометаноль-
ных капель, взвешенных в турбулентном потоке углеводородного газа была
рассмотрена в разделе 21.1. Основными допущениями являлись нейтральность
углеводородных компонентов, локальное термодинамическое равновесие на
межфазной поверхности и квазистационарность, согласно которой распределе-
ние компонентов в жидкой фазе однородно по объему и нестационарно, в то
время как в газовой фазе в приповерхностном слое оно устанавливается прак-
тически мгновенно. Аналогичный подход в полидисперсном случае с непрерыв-
ным распределением капель по объемам n(V, t) позволяет получить следую-
щую систему уравнений, описывающую изменение молярных концентраций воды
xw и метанола хм = 1 - в жидкой фазе, компонентов в газовой фазе г/„ а также
объема капли V:
+ ^Аг/М) - ^Дг/J;
ат у £/&
553
Рис. 21.7. Изменение со временем плотности распределения капель по диаметрам для прямо-
струйной (а) и центробежной (б) форсунок:
1 - 1 с; 2 - 15 с; 3 - 100 с
dyt 35
dr ~ 1 - IV
C\v^,^^yindV-ylYJ^V^^^yjndV ;
< о >о 7
(21.52)
}
yjB=fiXi) (i,j = w,M).
Здесь введены следующие безразмерные переменные:
т = ^p^p2^uvlw v=JL; vLj =^d-; й = иУ02;
MgDV3(3V0/4k)2^ И) ’ vLw
vLm = C,i = 8 = Mg ; Дг/У = г/; -у;В,
_ Lm vLw ’ MG pGvLw v, via,
где vLm = ^vlX] — среднее значение мольного объема жидкой фазы; Mt —
молекулярная масса г-го компонента; Vo — начальный объем капли; индекс В
соответствует значению на межфазной поверхности.
Последнее уравнение в (21.52), устанавливающее связь между концентра-
циями компонентов на межфазной поверхности, вытекает из соответствующих
равновесных соотношений и зависит от давления и температуры.
К уравнениям (21.52) нужно добавить начальные условия
ха,(О) = ха,о; yi(.0) = yi0; V(0) = l (i = w, М).
Изменение начального распределения описывается уравнением
(21.53)
которое вместе с системой уравнений (21.52) позволяет исследовать динамику
массообмена полидисперсного ансамбля капель с углеводородным газом.
554
Рис. 21.8. Эволюция рас-
пределения капель ингиби-
тора гидратов по диаметрам
при их массообмене с угле-
водородным газом:
1 - 0,2 с; 2 - 0,02 с, 3 -
0,002 с
В качестве примера рассмотрим массообмен водометанольных капель с
природным газом при температуре 293 К и давлении 6 МПа. Расход ингиби-
тора составляет 1 кг на 1000 м3 газа при стандартных условиях. Массообмен
происходит в трубе диаметром 0,4 м, расход газа составляет 10 млн м3/сут.
Начальное распределение капель по диаметрам (21.3) характеризуется следу-
ющими значениями параметров: Р = 0,19; Z)max = 1,25 • 10“4 м. Для соответствую-
щего логарифмически нормального распределения имеем а = 3,38 и D* = 1,3 • 10~5 м.
Система уравнений (21.52), (21.53) решалась численно. На рис. 21.8 показана
эволюция распределения капель по диаметрам. Со временем средний диаметр
капель уменьшается от начального значения 2 • 10'5 м до 7,9 • 10“6 м, а диспер-
сия — от 1,61 • 10“5 м до 8,6 • 10~6 м. Характерное время установления равно-
весия равно 0,2 с. На этом же рисунке пунктирной линией показано логариф-
мически нормальное распределение с параметрами а = 3,75 и D* = 5,35 • 10'6 м,
которым аппроксимируется установившееся распределение.
После завершения массообмена капель с газом эволюция распределения
происходит за счет коагуляции, в результате чего средний радиус капель уве-
личивается, и, когда он достигнет величины порядка минимального радиуса
дробящихся капель, дробление начинает оказывать заметное влияние на изме-
нение распределения по объемам. Одновременно происходит осаждение капель
на стенке, уменьшающее, наряду с дроблением, количество крупных капель. При
этом n(V, t) описывается уравнением
§ = /coag + Ibr-^ep- (21.54)
При решении уравнения (21.54) в качестве начального значения п (V, 0)
следует взять распределение, которое установится после завершения массообме-
на капель с газом.
Неучет потока капель с поверхности жидкой пленки, образующейся на
стенке трубы, означает, что п -> 0 при т —> оо. Если дополнительно пренебречь
555
осаждением капель на стенке трубы, то существует отличное от нуля стацио-
нарное решение уравнения (21.54), удовлетворяющее соотношению
Icoag + hr = 0. (21.55)
Решение уравнения (21.55) можно трактовать также как распределение
капель, которое установится в потоке газа в результате наступления равновесия
процессов массообмена, коагуляции, дробления, осаждения и срыва капель при
условии равенства потоков капель на стенку и со стенки.
Перейдем теперь к решению уравнения (21.54). Один из приближенных
методов его решения — метод моментов, который позволяет свести (21.54) к
системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно моментов
распределения niV, t) [см. раздел 11.1]:
mk = Jy*n(V,t)dV ik = 0,1,2,...).
о
Счетная N и объемная W концентрации капель, а также дисперсия распре-
деления а2 выражаются через первые три момента
2
N = m0, W = mt, о2 = . (21.56)
Умножая обе части уравнения (21.56) на Vk, интегрируя по V в пределах
от 0 до оо и воспользовавшись симметрией ядра коагуляции К(сп, V), получаем
00 00
^1= Г Г^(У,со)Г1(У + со)‘ -V*L(V,0n(®,0</V dco +
at J J |_2 J
о о
oo x \2/3
+ (2'-‘-l) JvV(V)n(V,OdV-(|j (21.57)
о v J
Степенная зависимость KiV, co) от V и co (21.26) позволяет выразить
первое слагаемое в правой части (21.57) через моменты распределения. Для
того чтобы произвести подобную процедуру со вторым слагаемым, воспользуем-
ся асимптотическим поведением fix) при х «-1 и х» 1 и представим частоту
дробления в виде
2,03 42л Тоfix) = <
х<0;
х > 0.
(21.58)
Приближение (21.58) хорошо аппроксимирует f ix) в области х е (-оо, -2) о (1,
оо). На оставшемся интервале (-2, 1) наибольшая погрешность составляет 50 %
при х = 0, однако на конечный результат она не оказывает заметного влияния.
Будем искать решение уравнения (21.57) в классе логарифмически нор-
мальных (21.36), считая параметры распределения N, а и V* зависящими от
времени.
В таком случае момент любого порядка может быть выражен через Ш\, V*
и а следующим образом:
, Га2(&2-1)”1
тк = К ехр —--------- т<
и интеграл в правой части (21.57) вычисляется
556
(21.59)
]v*f(V)n(V, t)dV = ?^-Ik-,
J 4,06лГп
о u
Ik = —(4 exP (Ck) + -U-y exp (Fk) [exp (-Ef ) - Vn Ek (1 - 0 (Ek) )]l;
ало* V2D2 J
4 _ f 1 , 1 Y^. c (25~fea2)2 S2 D = —-
(2 e2a2J ’ k 2a2(2 + <z2a2) a2’ aa ’
(21.60)
= 25~fea2; Fk =-k( S
2а
0(z) = -^= [exp(-z2)dz.
Vn J
Полагая в (21.57) k = 0; 1; 2 и учитывая приведенные выше соотношения,
получаем уравнения для определения первых трех моментов:
—95/72—31/36
ат0 т0
~d^= w213/72
—2/9—8/9
тй mx
~<P _i^~ +¥^0;
m2
dni\ ( 5aij A m?7/9
= -cpexp —-2- T_ ;
“Ti < 9
(21.61)
^l = 2exnf- —
(/Т! 2 4
m^6m^2 (344a2 >
—13/72 cpexpl 1—50/9—35/9
mQ \ 144 J mQ m2
px-f a0^™ .
2 exP I "у J m° ’
т0 (0) = гп\ (0) = т2 (0) = 1.
Здесь введены следующие безразмерные переменные:
_ GWot __ _ mk
1 Vc1/2(o)exp(13a§/144) ’ тк<Л)’
0,13gPlVc7/6(0)exp(5a2/144). - Vmin - К, .
ф dpcGW'o ’ """ K(0)’ * Vc(0)’
0,078Vc1/2(0) exp(13an/144)
V “ T0GW0
а через Wo и a0 обозначены соответствующие начальные значения.
Поскольку 1к зависит от а и V*, то к (21.61) нужно добавить соотношения,
вытекающие из (21.56) и позволяющие выразить эти параметры через моменты
распределения
“0
_2_]п т2тй
2 —2
“о V
1/2
т2
—1/2—3/2
т2
К(о).
(21.62)
Таким образом, решая уравнения (21.61) и (21.62), находим безразмерные
моменты т0, тх, т2, что дает возможность проследить эволюцию распределе-
ния капель по объемам и изменение основных характеристик распределения:
557
среднего объема Vc и объемного содержания капель W, а также дисперсии
распределения о2:
Ис _ тх W _______ а2 _ ехр(ао/2)йг2то -mt2
К(0) а2(0) " ехр(а§/2)-1
Рассмотрим частные случаи, позволяющие упростить уравнения (21.61).
1. Коагуляция
Пусть распределение капель по размерам изменяется только за счет про-
цесса коагуляции. Полагая в (21.61) ф = \|/ = 0, получаем
dm0
dtt
—95/72
_ т0
=13/72 ’
7^2
dm2
dri
—23/72
= 2e-“S/4^------;
— 13/72 ’
пг0
(21.63)
mt=l; то(О) = т2(0) = 1.
Из (21.63) следует, что
т2 = [(1 - + /г] /т0, h - 2е'“о/4.
(21.64)
Входящий в (21.64) параметр h« 1, поэтому второй момент т2 изменя-
ется незначительно. Полагая в (21.64) т2 = 1, получаем приближенно
m0 « (14- 0,32т!)-313; « (1 + 0,32xt)3’13;
— «1--^1п(1 + 0,32т,); (21.65)
“0 а-о
Д^.(1 + 032„>-.
Для значений параметров рассмотренного ранее примера и а0 = 3,75 имеем
£=121). Из (21.65) следует, что средний размер капель увеличится в 2 раза за
время t ~ 35 с.
2. Коагуляция и дробление
Пусть эволюция распределения капель осуществляется только за счет
коагуляции и дробления. При этом объемное содержание капель W или первый
момент распределения тх остается постоянным и уравнения (21.63) принима-
ют вид
,— —95/72
= + 2И1=1;
т2
—23/72 г al
(21.66)
ат1 т0 2
Из этих уравнений следует, что моменты и параметры установившегося
распределения
йг0 = (у9/2/®72!?3/®)-1; т2 = £2йг03;
Ь = ЛК2п/470ехр(а2/4);
558
V,
_(о) = 4,6 • 10-3 ехр^^2^К’Г4/077/8/23^;
(21.67)
“о
l-^-ln(v/0L'/4)
«о
t/2
При этом установившийся средний радиус капель
(а2-а3)~|
18
R? = Vci/3 exp -
= 0,236Ж2/2УтГ2/059/24/225/24 expf-^-
(21.68)
Рассмотрим численный пример. Положим d = 0,5 м; цс=10’5 Па • с, pG=
= 50 кг/м3; pL= 103 кг/м3; и = 10 м/с; Е = 10“2 н/м; 1У0 = 5 • 10"5 м3/м3. Из
(21.68) находим а = 3; йго=1,6-1О-3 и R?1 = 3,4 • К)-5 м. Полученное значение
установившегося среднего радиуса капель хорошо согласуется с результатами
работы [3]. Для выбранных значений параметров экспериментальное значение
R? =3,6-10-5 м.
3. Осаждение на стенке
Учет только осаждения капель позволяет получить точное решение кине-
тического уравнения. В рассматриваемом случае это уравнение сводится к
^ = 4- ^T^V2/3tv' n(V> 0) = пФ(У),
vt ^л j
(21.69)
откуда находим
п =ехр(-фУ2/3т1)-пф(У).
Моменты полученного распределения
(21.70)
т0 = N = N(Q) —[ехр-! - ехр
а7л J I а2
тх = М0)У*° —(ехр
а7л J
ехр expl^j + z dz;
(21.71)
т2 = N(0)(V°)2[<
—00
-.2/3
' | Фт-
Z2
<х2
ехр -^--A1expfyj + 2z dz,
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колмогоров А. Н. О логарифмически нормальном законе распределения частиц при дроб-
лении//ДАН СССР.- 1941.-Т. 31.-№ 2,- С. 99-101.
2. Левич В. Г. Физико-химическая гидродинамика. — М.: ГИФМЛ, 1959,— 699 с.
3. Гусейнов Ч. С., Асатурян А. Ш. Определение модального размера капель в двухфазном
потоке//ЖПХ.- 1977,- Т. 50.- № 4,- С. 848-853.
4. Амелин А. Г. Теоретические основы образования тумана при конденсации пара, — М.:
Химия, 1966.— 294 с.
559
5. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика, — М.: Наука, 1976,— 888 с.
6. Логинов В. И. Обезвоживание и обессоливание нефтей, — М.: Химия, 1979,— 216 с.
7. Дерягин Б. В., Смирнов Л. П. О безынерционном осаждении на сфере частиц из потока
жидкости под действием сил притяжения Ван-дер-Ваальса//Исследования в области поверхнос-
тных сил, — М.: Наука, 1962,— 188 с.
8. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, — М.:
Наука, 1971,— 1108 с.
9. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. — Л: Химия, 1982,—
592 с.
10. Гуревич Г. Р., Брусиловский А. И. Справочное пособие по расчету фазового состояния
и свойств газоконденсатных смесей, — М.: Недра, 1984,— 264 с.
И. Руководство по добыче, транспорту и переработке природного газа/Д. Л. Катц, Л. Кор-
нелл, Р. Кабояши и др, — М: Недра, 1965,— 676 с.
12. Пригожин И., Дефэй Р. Химическая термодинамика, — М.: Наука, 1966,— 509 с.
13. Фридрихсберг Д. А. Курс коллоидной химии, — Л.: Химия, 1974,— 352 с.
14. Hiemenz Р. С. Principles of colloid and surface chemistry. — New York: Marcel Dekker,
1986.- 815 p.
15. Dussan V. E. B. On the spreading of liquids on solid surfaces: Static and dynamic contact
lines//Ann. Rev. Fluid Meeh.— 1979.—V. 11.—P. 371—400.
16. Ruschak K. J. Coating flows//Ann. Rev. Fluid Meeh.— 1985.— V. 10.— P. 65 — 89.
17. Wilson S. D. R. The drag-out problem in film coating//J. Engg. Math. — 1982.—
V. 16.- P. 209-221.
18. Taylor G. I. Cavitation of a viscous fluid in narrow passages//J. Fluid Meeh.— 1963,—
V. 16,- P. 595-619.
19. Bretherton K. J. The motion of long bubbles in tubes//J. Fluid Meeh.— 1961.— V. 10,—
P. 166-188.
20. Probstein R. F. Physicochemical hydrodynamics. — Butterworths, 1989.— 318 p.
21. Bogy D. B. Drop formation in circular liquid jet//Ann. Rev. Fluid Meeh. — 1979,—
V. 11,- P. 207-228.
22. Релей Д. Теория звука. T. II.— М.: Гостехиздат, 1955,— 475 с.
23. Lin С. С. The theory of hydrodynamic stability. — Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1955.-155 p.
24. Drazin P. G., Reid IV. H. Hydrodynamic stability. — Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1981.-525 p.
25. Slattery J. C. Interfacial transport phenomena. — Springer-Verlag, New-York. 1990.
26. Boulton-Stone J. M. The effect of surfactant on bursting gas bubbles//.!. Fluid Meeh.—
1995,-V. 302.-P. 231-257.
27. Yih C — S. Fluid motion induced by surface tension variation//Phys. Fluids. — 1983.—
V. 11,- P. 477 - 480.
28. Pimpukar S. M., Ostrach S. Transient thermocapillary flow in thin liquid layers//Phys.
Fluids.- 1980,-V. 23.-P. 1281-1285.
29. Ratulowski JI., Chang H. C. Marangoni effects of trace impurities on the motion of long
gas bubbles in capillaries//J. Fluid Meeh. —1990. — V. 210.—P. 303 — 328.
30. Stebe K. S., Lin S. Y., Maldarelly C. Remobilization surfactant retarded particle interfaces.
I. Stress-free conditions at the interfaces of micellar solutions of surfactants with fast sorption
kinetics//Phys. Fluids. A.- 1991.-V. 3 (l).-P. 3-20.
31. Stebe K. S., Bartes-Biesel D. Marangoni effects of adsorption-desorption controlled surfactants
on the leading end of an infinitely long bubble in capillary//J. Fluid Meeh. — 1995.— V. 286.—
P. 25-48.
32. Chen J. D Measuring the film thickness surrounding a bubble inside a capillary//.!. Col-
loid Interface Sci. — 1985.—V. 109.—P. 341—349.
33. Schwartz L. W., Puincen H. M., Kiss A. D. On the motion of bubbles in capillary tubes//
J. Fluid Meeh.- 1986,-V. 172,-P. 259-275.
34. Marchessault R. F., Mason S. G. Flow of entrapped bubbles through a capillary//Ind.
Engng. Chem.- I960,-V. 52 (1).- P. 79-81.
35. Bartes-Biesel D., Moulai-Mostefa V., Meister E. Effect of surfactant on the flow of large
gas bubbles on capillary tubes: Proc. Physicochem. Hydrod. Nato Conf., La Rabida, Spain: Ed. M.
Verlarde.
36. Hirasaki S., Lawson J. B. Mechanism of foam flow in porous media: apparent viscosity in
smooth capillaries//Soc. Petr. Engng. — 1986.—V. 25,— P. 176 — 190.
37. Sintey G. M., Radke C. J. The influence of soluble surfactants on the flow of long
bubbles through a cylindrical capil!ary//ACS Symp. Series. — 1989,— V. 396.— P. 480 — 501.
38. Herbolzheimer E. The effect of surfactant on the motion of a bubble in a capillary//
AIChE Annual Meetings. — 1987.— 15 — 20 November. — New York. — Paper 68.
560
39. Chang H. C., Ratulowski J. Bubble transport in capillary//AIChE Annual Meetings.—
1987.— 15 — 20 November. — New York.— Paper 681.
40. Park C. W. Effects of insoluble surfactants on dip coating//J. Colloid Interface Sci.—
1991,- V. 146,- P. 382-394.
41. Borhan A., Mao C.-F. Effects of surfactants on the motion of drops through circular
tubes//Phys. Fluids. A. - 1992.-V. 4(12).-P. 2628-2640.
42. Park C. W. Influence of a soluble surfactants on the motion of a finite bubble in a capil-
lary tube//Phys. Fluids. A.- 1992,-V. 4 (11).-P. 2335-2346.
43. Jensen О. E., Grotberg J. B. Insoluble surfactant spreading on a thin viscous film: shock
evolution and film rapture//J. Fluid Meeh. — 1992. — V. 240.— P. 259—288.
44. Gaver D. P., Grotberg J. B. The dynamics of a localized surfactant on a thin film//
J. Fluid Meeh.- 1990.-V. 213,- P. 127-148.
45. Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Теоретическая физика. T. VI. Гидродинамика, — М.:
Наука, 1988. — 736 с.
46. Lefebvre А. И. Atomization and sprays. — Hemisphere, 1989.— 421 p.
47. Hinze J. O. Fundamentals of the hydrodynamic mechanics of splitting in dispersion
processes//AIChE J.- 1955,- V. 1.- N 3.- P. 289-295.
48. Колмогоров A. H. О дроблении капель в турбулентном потоке//ДАН СССР. — 1949. —
Т. 66,- № 5.-С. 825- 829
49. Треш Г. Распыливание жидкостей//ВРТ. — 1955.—№ 4,— С. 15 — 20.
50. Логинов В. И. Динамика процессов дробления капельной жидкости в турбулентном
потоке//ПМТФ. — 1985,-№ 4,-С. 66-73.
51. Синайский Э. Г., Михалева Г. В. Эволюция спектра капель ингибитора гидратов в
турбулентном потоке природного газа//ЖПХ,— 1993.— Т. 66.— № 3. — С. 544 — 555.
52. Касаткин А. Г. Основные процессы и аппараты химической технологии, — М.: Химия,
1971.- 784 с.
53. Тривус Н. А., Тихоненко Н. Ф., Федорин Е. П. Повышение эффективности работы
низкотемпературного сепаратора//Газовое дело.— 1972,— № 1— С. 26 — 29.
54. Щукин В. К., Халатов А. А. Теплообмен, массообмен и гидродинамика закрученных
потоков в осесимметричных каналах, — М.: Машиностроение, 1982.
55. Гупта А., Лилли Д., Сайред Н. Закрученные потоки. — М.: Мир, 1987.
56. Фукс И. А. Механика аэрозолей — М.: Изд. АН СССР, 1955,— 351 с.
57. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя, — М.: Наука, 1969.— 742 с.
58. Жданова Н. В., Халиф А. Л. Осушка природных газов— М.: Недра, 1975,— 158 с.
59. Гухман Л. И. Подготовка газа северных месторождений к дальнему транспорту. — Л.:
Недра, 1980, —161 с.
60. Сун А. М. Осушка газа ДЭГом в высокоскоростном прямоточном абсорбере распыли-
вающего типа//Газовая пром-сть. — 1976.— № 10,— С. 56 — 58.
61. Бык С. Ш., Макагон Ю. Ф., Фомина В. И. Газовые гидраты, — М.: Химия, 1980. —
296 с.
62. Бухгалтер Э. Б. Метанол и его использование в газовой промышленности. — М.: Недра,
1986. - 238 с.
63. Истомин В. А. Предупреждение и ликвидация газовых гидратов в системах сбора и
промысловой обработки газа и нефти. — М.: ВНИИГАЗ, 1990.— 214 с.
64. Головков Л. Г. Распределение капель по размерам при распиливании жидкости центро-
бежными форсунками//Инж.-физ. журн. 1964,— Т. 7.— № И,— С. 55 — 61.
65. Эмульсии: Пер. с англ./Под ред. А. А. Абрамзона. — Л.: Химия, 1972.
66. Jiang Y. J., Umemura A., Law С. К. An experimental investigation on the collision
behaviour of hydrocarbon droplets//J. Fluid Meeh.— 1992,—V. 234.— P. 171 — 190.
67. Медников E. П. Турбулентный перенос и осаждение аэрозолей. — М.: Наука, 1981.—
176 с.
68. Paloposki Т. Drop size distributions in sprays. Acta politecnica Scandinavia. Mechanical
engineering series. — 1994.— N 114.— P. 1 — 209.
36 - 1461
VII
ЖИДКОГАЗОВЫЕ СМЕСИ
Под жидкогазовыми смесями будем понимать смеси, в которых сплошной
фазой является жидкость, а дисперсной — газ. Примером служат нефтегазовые
смеси, образующиеся при движении нефти по скважинам, элементам промысло-
вого оборудования и нефтепроводам.
Добываемая нефть содержит большое количество растворенных в ней при
больших пластовых давлениях низкомолекулярных компонентов. К ним отно-
сятся предельные углеводороды парафинового ряда — метан, этан, пропан и т. д.;
естественные газы — углекислый газ, азот, сероводород и др. При движении
нефти по скважинам и трубопроводам изменяются термобарические условия
(падает давление, изменяется температура), что приводит к нарушению фазово-
го равновесия и выделению из нефти легких компонентов. В итоге уже в
скважинах формируется жидкогазовая или газожидкостная смесь и в зависи-
мости от соотношения объемов газа и жидкости возможны различные структуры
течения: пузырьковая, пробковая, стержневая и др.
По фракционному составу нефтяные газы различных месторождений отли-
чаются друг от друга, но, как правило, в них содержится больше всего метана
(от 30 до 95 %). При нормальных условиях количественные соотношения меж-
ду фазами углеводородной системы оцениваются величиной, называемой газо-
вым фактором и имеющей размерность [м3/м3] или [м3/т]. Газовый фактор
углеводородных систем колеблется в широких пределах, от низких, измеряемых
единицами и десятками, до высоких, измеряемых сотнями и тысячами м3 газа на
1 т или на 1 м3 нефти. Очевидно, что при низких значениях газового фактора
смесь является жидкогазовой, а при больших — газожидкостной. Поэтому в
первом случае говорят о нефтегазовых системах, а во втором — о газоконден-
сатных.
Каждое нефтяное месторождение характеризуется своим газовым факто-
ром. Высоким газовым фактором характеризуются месторождения легкой не-
фти. Газовый фактор может быть небольшим и тогда, когда при эксплуатации
месторождения наблюдается прорыв газа в продуктивные скважины из газовой
шапки пласта или газосодержащих горизонтов. Имеются также месторождения
с очень низким газовым фактором.
Нефть, поступающая в магистральный нефтепровод, обладает низким газо-
вым фактором, потому что большая часть газа, выделившегося из добытой
нефти, отделяется от нефти в сепараторах в процессе ее подготовки. Сепарация
нефти от газа является важным технологическим процессом. Реализуется она
в несколько этапов. На первом этапе совершается предварительное отделение
свободного газа, образовавшегося при движении нефти по скважинам и систе-
мам сбора. Дальнейшая сепарация производится в последовательно располо-
женных сепараторах, в каждом из которых понижается давление. Такая ступен-
562
чатая сепарация способствует отделению от нефти определенной группы легких
углеводородов и не позволяет выделиться из нефти сразу большому количеству
газа. Выделение из нефти большого количества газа приводит к вспениванию
нефти и нарушению нормального режима работы оборудования.
Фазовое состояние нефтегазовых систем в равновесных условиях опреде-
ляется с помощью уравнений парожидкостного равновесия на основе единого
уравнения состояния (см. раздел 5.7). Чаще всего используется уравнение
состояния Пенга — Робинсона.
Разгазирование нефти в процессе ее подготовки может производиться двумя
способами. Первый способ, называемый дифференциальной сепарацией, состоит в
постепенном многоступенчатом разгазировании. На каждой ступени сбрасывается
давление и выделившийся газ отводится из системы. В результате жидкая фаза
обогащается высококипящими компонентами, так как вместе с газом отводится
легкая часть углеводородов. При втором способе, называемом контактной сепа-
рацией, производится разовый сброс давления, выделяющийся газ не отводится
из системы, в результате чего суммарный состав смеси во время процесса оста-
ется неизменным. Суммарное количество газа, выделяющееся при дифференци-
альном разгазировании, меньше, чем при контактном, поскольку ступенчатое па-
дение давления с одновременным отбором газа приводит к увеличению концен-
трации в оставшейся нефти тяжелых углеводородов и к уменьшению количества
выделяющегося газа при дальнейшем понижении давления. Несмотря на это
дифференциальная сепарация имеет то преимущество по сравнению с контакт-
ной, что нефть полнее освобождается от легких газов. Конечно, на практике
сепарация не бывает чисто дифференциальной или контактной. Поэтому реаль-
ный процесс может быть близок к одному из этих способов сепарации.
Существующие методы расчета процессов сепарации основаны на предпо-
ложении о существовании в системе фазового равновесия. На практике боль-
шой интерес представляет динамика процесса, в частности определение харак-
терных времен установления в жидкогазовой системе равновесия. Учет нерав-
новесности важен при исследовании процесса сепарации, поскольку образующа-
яся в газе газовая дисперсная фаза не сразу отделяется от жидкости, а необходима
некоторое время, чтобы газовые пузырьки всплыли к поверхности. В процессе
движения пузырьков в жидкости они изменяют свой размер за счет процессов
массообмена и коагуляции. Пузырьки, не успевшие всплыть за время пребыва-
ния смеси в сепараторе, уносятся из аппарата, и эффективность сепарирующего
устройства снижается.
Таким образом, при рассмотрении жидкогазовых систем возникают пробле-
мы, аналогичные рассмотренным в разделе VI для газожидкостных систем.
22
ДИНАМИКА ГАЗОВЫХ ПУЗЫРЬКОВ
В МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ жидкости
Если пузырек радиусом Ro в начальный момент поместить в пересыщен-
ную при заданном давлении и температуре смесь, то за счет разности концент-
раций Др = р£ю-р£к, растворенного в жидкости газа вдали от пузырька и рав-
36* 563
новесного значения на его поверхности возникает направленный диффузион-
ный поток растворенного вещества к поверхности. На межфазной поверхности
происходит переход вещества из жидкого состояния в газообразное, в резуль-
тате чего объем пузырька увеличивается. Рост пузырька, в свою очередь, при-
водит к возрастанию скорости его всплытия и к увеличению конвективного
диффузионного потока. Постановка задачи и основные уравнения динамики
пузырька в растворе были рассмотрены в разделе 6.8.
Рассмотрим многокомпонентный раствор. Распределение концентраций
растворенных веществ описывается уравнением конвективной диффузии
8PiL , dPiL , ,, 1 8PiL _ п 1 д , 3piL . ч
__ + Мг_ + Ме____д.га__г2_1 (22.1)
где иг и щ — радиальная и тангенциальная составляющие скорости потока, об-
текающего пузырек; г и 0 — сферические координаты; piL — массовые концент-
рации растворенных компонентов; Dim — коэффициент бинарной диффузии.
Уравнение баланса массы газа в пузырьке записывается в виде
Ol J or J г
(22.2)
где pic — массовая концентрация г-го компонента газа в пузырьке.
Уравнение динамического равновесия пузырька — уравнение Релея име-
ет вид
Pl1(Ю2 + 4vl 1 fl] = pG - р„ - (22.3)
L 2. J К
где pL — плотность жидкой фазы; R — радиус пузырька; vL — кинематический
коэффициент вязкости жидкости; Е — коэффициент поверхностного натяже-
ния; рс — давление газа в пузырьке; рх — давление вдали от пузырька.
Предположим, что газ в пузырьке представляет собой идеальную газовую
смесь. Тогда
Р = HLPi', Pi = ATPic/Mi, (22.4)
где pt — парциальное давление г-го компонента в газе; А — газовая постоянная;
— молекулярная масса г-го компонента; Т — температура в газе и растворе,
принимаемая постоянной.
Ограничимся рассмотрением предельно разбавленного раствора. Тогда,
исходя из закона Генри, на межфазной границе имеем следующую связь между
концентрацией i-ro компонета pia)C и парциальным давлением этого компонента
в пузырьке: р. = Bi , (22.5) Ps/Ms + HPiwG/Mj i
где В, — постоянная Генри; ps, Ms — соответственно плотность и молекулярная
масса растворителя.
К уравнениям (22.1) —(22.5) нужно добавить следующие начальные и
граничные условия:
piL(r, 0) = pioo; р,£(°°, О = р^; р,т.(В, t) = pia;
, ч •, ч (22.6)
В(0) = Во; Я(0) = 0.
564
Уравнения (22.1) —(22.5) с условиями (22.6) описывают динамику пу-
зырька в растворе при условии, что поле скоростей потока, обтекающего пузы-
рек, задано, а сам он предполагается недеформируемым.
Ввиду нелинейности задачи ее решение нельзя представить в виде супер-
позиции двух решений: задачи о росте невсплывающего пузырька и всплытии
нерастущего пузырька. Тем не менее существуют два предельных случая, когда
подобное разбиение задачи возможно. Это случай пузырьков маленьких разме-
ров, когда их всплытием можно пренебречь, и случай пузырьков больших раз-
меров, когда их рост можно не учитывать. При некоторых дополнительных
условиях, которые будут указаны ниже, в первом случае диффузионный поток
на поверхности пузырька определяется из решения задачи о диффузионном
росте невсплывающего пузырька, а во втором — из решения задачи о конвек-
тивной диффузии нерастущего всплывающего пузырька.
22.1. ДВИЖЕНИЕ НЕРАСТУЩЕГО ПУЗЫРЬКА
В БИНАРНОМ РАСТВОРЕ
Конвективная диффузия на сферическую частицу, помещенную в бинар-
ный предельно разбавленный раствор, хорошо изучена для Re< 1 [1]. Движе-
ние газовых пузырьков, вообще говоря, отличается от движения твердой части-
цы. Основное отличие состоит в том, что поверхность пузырька свободна или,
как говорят, незаторможена. Поэтому гидродинамическое сопротивление, испы-
тываемое пузырьком при всплытии, меньше, чем у твердой частицы. Однако при
движении пузырька в реальной жидкости его поверхность стабилизирована
присутствующими в жидкости примесями, в том числе поверхностно-активными
веществами. В результате подвижность поверхности пузырька снижается иног-
да до нуля, поэтому они движутся в жидкости, как твердые частицы. Этот факт
отмечен в обзоре [2], посвященном определению скорости всплывающих пу-
зырьков.
Ограничимся всплытием пузырька при Re « 1. Тогда режим обтекания
пузырька вязкий и распределение скоростей обусловлено решением задачи в
стоксовом приближении. Для предельно разбавленного раствора диффузионное
число Пекле PeD » 1, и при движении пузырька на его поверхности образуется
диффузионный пограничный слой, в котором происходит основное изменение
концентрации диффундирующего компонента. Нерастущий пузырек всплывает
с постоянной скоростью, и распределение концентрации растворенного в жид-
кости вещества описывается стационарным уравнением конвективной диффу-
зии. Решение соответствующей диффузионной задачи для твердой частицы и
для пузырька с незаторможенной поверхностью при Re « 1 дают следующие
выражения для диффузионного потока на частицу:
для твердой частицы
I = 7,98(р1оо - р1и)£>^ U^R^- (22.7)
для пузырька
7 = 8H^Ttf2(p1M-piJ. (22.8)
Здесь Du — коэффициент диффузии растворенного вещества, который
обозначен индексом 1; 17 = aR2 — скорость всплытия (осаждения) частицы,
565
для твердой частицы а = 2Др^/9ц£, для пузырька со свободной границей
а = Др^/Зщ.
Считаем, что пузырек содержит газ только компонента 1. Тогда выражение
для диффузионного потока позволяет оценить увеличение размера пузырька,
разумеется, при условии, что его рост происходит достаточно медленно. Пусть
пузырек движется, как твердая частица. Подставляя выражение (22.7) для
потока в уравнение (22.2), получаем уравнение для определения изменения со
временем радиуса пузырька с полностью заторможенной поверхностью:
= 7,98 (Р1„ - pte)Ot2f U^R^. (22.9)
К этому уравнению добавим уравнение (22.3), в котором пренебрежем
инерционными и вязкими членами (это можно сделать для относительно боль-
ших пузырьков),
Рс = Р«> +-r,
(22.10)
уравнение состояния газа в пузырьке
Pg =
Ml
(22.11)
и соотношение, вытекающее из закона Генри,
P1G
1 Ps/M, +Р1ю£/М1 ’
(22.12)
Рассмотрим всплытие пузырька начального радиуса Ro в слое раствора
толщиной Н. Направим ось х по направлению силы тяжести, поместив начало
на поверхности слоя. Введем следующие безразмерные переменные:
Р=—• 6Р“-3PsAT х- • с -
RoPx ’ °° PsMtpx
С = 1 • а = —ф
«> “ c„-ceq-
В новых переменных решение системы уравнений (22.9) — (22.12) имеет вид
Я3 -1 + 0,5(2Ф + За) (Я2 -1) + д(2<р + Зд)(Я -1) +
+ а2 (2ф + Зе) In = (С„ - Ceq) (у0 - у), (22.13)
1 - а
где у0 — безразмерная глубина, на которой находился в начальный момент
пузырек.
В частном случае ф « 1, т. е. когда капиллярным давлением можно пре-
небречь, решение (1.1.7) упрощается
Я » (1 + (CM-Ceq)(?/0-г/))1/3. (22.14)
В частности, безразмерное время т, за которое радиус пузырька станет
равным R, определяется соотношением
т = 3 + (2ф + За) ln, (22.15)
'-'eq '-'оо (-'eq
где т =6a1Z3£)1£ATt/itR0B1M1.
S66
а б
Рис. 22.1. Зависимость IgR от 1g (yt — у) (а) и Igx для различных значений ДС:
1 — 50, 2 — 10, 3 — 1,5, 4 — 1,05, I — точное решение; II — без учета капиллярного давления
При ф « 1 имеем приближенно
т » 3
R -1
Сдо “ Cgq
(22.16)
__На рис. 22.1 представлена зависимость безразмерного радиуса пузырь-
ка R от глубины у0 — у, на которой он находится в момент времени т, и от т
для различных значений пересыщения смеси ДС = С„ - при ф = 1. Сплош-
ными линиями показаны кривые, найденные по формулам (22.13) и (22.15), а
пунктирными — по формулам (22.14) и (22.16). Из приведенных зависимостей
видно, что при малых значениях ДС-ф приближенные зависимости (22.14) —
(22.16) могут привести к завышенным значениям радиуса пузырька. С увели-
чением ДС - ф отличие в значениях R сдвигается в область меньших значений
уй — у. Таким образом, при ДС»ф капиллярное давление оказывает заметное
влияние_лишь на начальной стадии роста пузырька. При у0> 104 радиус пу-
зырька RH, достигающего поверхности слоя (х = 0), определяется с достаточной
точностью по формуле
R «[^(Сп-С^ун]173, (22.17)
а при выполнении неравенства &Сун » 1, которое практически всегда выпол-
няется, имеем
R «[<С^-Сеч)ун]/3. (22.18)
Здесь ун — безразмерная высота слоя жидкости.
Поскольку RH = RH/R0, а ун - Rq3, то из (22.18) следует, что размер пу-
зырька, прошедшего через слой высотой Н » Ro, практически не зависит от
начального радиуса.
567
В заключение отметим, что полученные результаты справедливы только в
предельном случае, когда изменение размера пузырька слабо влияет на ско-
рость его всплытия. В дальнейшем будет показано, что это возможно, если
размер пузырька превосходит некоторый критический размер.
22.2. ДИФФУЗИОННЫЙ РОСТ НЕПОДВИЖНОГО ПУЗЫРЬКА
В БИНАРНОМ РАСТВОРЕ
Рассмотрим теперь диффузионный рост изолированного неподвижного
пузырька в бинарном растворе. Обозначим через р1£ массовую концентрацию
растворенного компонента в жидкости. Газовый пузырек состоит из компонен-
та 1. Процесс сферически симметричный, и распределение р1£ описывается урав-
нением конвективной диффузии (22.1), в котором следует положить we=0, а
ur = (R/г)2 R при условии р1С « р£:
8PiL
dt
dr
1 8 r-> 5Pit
r? dr dr
(22.19)
Баланс массы пузырька (22.2) сводится к уравнению
J or Jr
(22.20)
Пренебрежем в уравнении (22.3) вязкими и инерционными членами. Тог-
да это уравнение примет вид
2S
Pg = Р» +-£-
(22.21)
К этим уравнениям добавим уравнение состояния газа в пузырьке
Pg - Pig =
М,
(22.22)
закон Генри
PiG
D ___Ptet/^Л___
1 ps/Ms +PM/Mt
(22.23)
и начальные и граничные условия
Ри(г, 0) = ploo£; PiL(oo, О = Рюоы PtcCR, О = ptoi;
МО) = М; Я(0) = 0.
(22.24)
Существование возле поверхности пузырька тонкого диффузионного по-
граничного слоя позволяет найти приближенное решение сформулированной
задачи. Воспользуемся методом интегральных соотношений, суть которого со-
стоит в выделении вокруг пузырька диффузионного слоя толщиной 8 « 7? и
предположении, что изменение концентрации растворенного компонента в жид-
кости от р1оо£ до р|а£ происходит в этом слое, т. е. выполняются условия
р1£(Т? + 8, О = Pii,,; =0; Рп.(М О = р1а£-
(22.25)
568
Условия (22.25) позволяют искать распределение концентрации р1£ в виде
(х = (г- Ю/8)
P1L ~ Pl 00Л
PltfL ~ PlooL
(1 - х)2 при 0 < х < 1,
0 при х > 1.
(22.26)
Проинтегрируем уравнение (22.19) по г в пределах от R до R + 8. Учи-
тывая выражения (22.26), (22.25) и условие 8/R « 1, с точностью до членов
порядка 8/R получаем уравнение
5 _ P1G^3~ PlGO^O
R Я3<Р1оо£~ Р1и£> '
Теперь можно определить диффузионный поток на поверхности пузырька:
Ло = ^R2Du№±] = ,(pl^pL»^2
У 8r )r=R (PigR3-PlGO^o )
Подставляя найденный поток в уравнение баланса массы пузырька (22.20),
получаем
(22.27)
(22.28)
(22.29)
d(picR )___QR^D (pi°°^- PiwJ.)
dt (PlcR3-PlGO^o )
Перейдем в уравнениях (22.21) — (22.23), (22.27) и (22.29) к безразмер-
ным переменным
П R ( PlooT2^^4 Г) , Ps . 2S
к = —- т = —----- t, а =------ q =----
Ro [M^Rq J PiooL Ropt
Тогда эти уравнения примут вид
dR _ 2R,3
dr
j a(R + q)
(R + 2q/3)(R3-l-q)[* (R-l)R-gJ’
6 _ PooMtZ
R 4Ppioot ’
Л
Poo
; Ж0) = 1;
(22.30)
_ fi . q_ _ i + ?Yd _ a(R +5)
I R R3 Д (K-l)R-q
Pic _ 1 +
Pico 1 + q
Зависимости /?(т) и z(R), полученные численным интегрированием урав-
нения (22.30), показаны на рис. 22.2 и 22.3 для различных значений параметров q
и К. Заметное влияние на рост пузырька на начальном этапе оказывает поверх-
ностное натяжение, характеризуемое параметром q. Сначала рост пузырька
сдерживается поверхностным натяжением, внешняя граница пограничного слоя
удаляется от межфазной поверхности, а затем с ростом R роль поверхностного
натяжения уменьшается, толщина поверхностного слоя стабилизируется и оста-
ется со временем постоянной. При этом z-> (1 + <7)"’ и, как следует из послед-
него уравнения (22.30), относительная плотность газа в пузырьке уменьшается
и тоже остается постоянной.
Сравним теперь диффузионные потоки для двух рассмотренных предель-
569
Рис. 22.2. Зависимость радиуса lgJ2 пузырька от времени т:
I-. №100; а = 5; q: 1 - 0; 2-0,5; 3- 1; 4 - 5; 77: q=l; а = 0,5; К-. 1 - 100; 2 - 10; 3 - 3
ных случаев. В случае конвективной диффузии на всплывающий нерастущий
пузырек со свободной границей диффузионный поток
I = 5,8(ploo/ (22.31)
Диффузионный поток на растущий
невсплывающий пузырек определяется
выражением (22.27). Составив отноше-
ние этих потоков, получим
I _ 6,8 А ДО) У72
Ло г \ R )
^(1) _ Г
I MfplRlg J
(22.32)
Поскольку г - 1, то из (22.32) сле-
дует, что при выполнении неравенства
R « 3,16 ’ диффузионный поток опре-
деляется выражением (22.28) для невсплы-
вающего пузырька, а при 7?» ЗДбДсг” ~
выражением (22.31) для всплывающе-
го нерастущего пузырька.
Аналогичная процедура, проведен-
ная для пузырька с полностью затор-
моженной поверхностью, приводит к
отношению потоков
Рис. 22.3. Зависимость относительной толщины
диффузионного слоя z от радиуса пузырька R
для различных значений q (а —5; К — 100):
1 - 5; 2 - 1; 3 - 0,5; 4 - 0
I = 3,12^ff>)3/2. ]?c(2> = ГpI°lA3T3D'lVl
ho 2 \ R ) ’ Cr M^plgRl J
(22.33)
Из этого выражения следует, что при выполнении неравенства 2?«5,12 R^
диффузионный поток определяется выражением (22.28) для невсплывающего
пузырька, а при R » 5,12/?с<г1) — выражением
I = 7,98(plaoi
(22.34)
для всплывающего нерастущего пузырька.
В заключение заметим, что при проведении оценок принималось, что диф-
фузионные потоки IiD для пузырьков со свободной и заторможенной поверх-
ностью равны. В действительности поверхностно-активные вещества, адсорби-
рующиеся на поверхности пузырька, могут препятствовать переходу компонен-
та 1 из жидкой фазы в газовую. Этот вопрос будет рассмотрен в разделе 22.5.
22.3. НАЧАЛЬНАЯ СТАДИЯ РОСТА ПУЗЫРЬКА
В МНОГОКОМПОНЕНТНОМ РАСТВОРЕ
Рассмотрим начальную стадию роста сферического газового пузырька
начального радиуса Ro в многокомпонентном пересыщенном растворе в процес-
се диффузии в него растворенных в жидкости компонентов небольшой концент-
рации. Принимаем, что процесс изотермический, коэффициенты D,L, В, и Z —
постоянные. Пузырек достаточно мал, так что всплытием его в жидкости можно
пренебречь.
Уравнения, описывающие динамику роста пузырька, сводятся к уравнени-
ям (22.1) — (22.5), в которых нужно положить ыв = 0.
Воспользуемся приближенным выражением для концентрации растворен-
ного компонента в жидкости в окрестности поверхности пузырька [3]
Pta?£
(22.35)
Из уравнения (22.2) выразим
_ 1 4(p,G^3>
Эг 3R2ptL dt
и подставим в выражение (22.35)
Pi»7
Ртоо/
t
О
R2(x)(dR2plwL/dx)
1/2
dx.
(22.36)
{КЧг/Мг/
Произведя замену переменных по формулам
571
и =
RA(y)dy, v =
преобразуем уравнение (22.36) к виду
Piw£ PtooL
ТС
MtBt f (.dR3p,wL/dv)
-------- ---------------av.
3ATDlL J (u -
(22.37)
Пренебрегая в уравнении (22.3) инерционными и вязкими силами и учи-
тывая соотношения (22.4) и (22.5), получаем
18,р»//м‘
Р» + Т = Z Р‘О = —-77—у---—
R , Ps/Ms +XpJwl/MJ
J
(22.38)
Поскольку последнее уравнение справедливо и в начальный момент, то
9V Ев.Р^о/^-
Рз/М^^р1акй/М,'
]
(22.39)
Вычитая соотношение (22.39) из (22.38), получаем
ZE/,
Ro I R )
22 ^iPiwLq/^"
___________I______________________________________
Ps/M, + '£ipjwL0/mj
ИВгРгък/М\ Ps/Ms+Zp^lq/M,
1----!---------< ------!-------L
22<в1Р,юло-/ЛМ P^Ms+^pIwL/M,
Введем следующие безразмерные переменные:
"п _ R . v _____ PtwL . _ PiwZ.0 .
Л о > ^lW > ^twO ?
**0 Pi<oL Ptoo£
|1/2 M,B, . P.klMl
2M,psS ’ K' ’ Y’ psMt
При этом уравнения (22.37) и (22.40) примут вид
г (4В3х1а,/4г)
J (и -
о
1-
! 2а,х.юо £<а,*1а,) 1-J 1 1 /
1 S YjXjwO J к 1 )
(22.40)
(22.41)
(22.42)
__ P iaoL Ms ^0
572
На начальной стадии роста ищем решение в виде
R = i + f; xia = х/вЮ(1 + ф,), (22.43)
где f и <р, « 1. _
Подставив (22.43) в (22.41) и (22.42) и обозначив = R3xia>, получим
и
(1 + <Pi) = 1 - Pi I --du,
J (и - u)1/z
о
. ZXaixi»o)(l + 4>,)
f - E 1 - — —'______________ ; E = -__________.
E 1 + + < +
i J >
Разложив Gj в ряд по степеням f и ф; и оставив только члены первого
порядка малости, получим
G, = xja<)(l +3/+<р,).
Тогда система уравнений, описывающая начальную стадию роста пузырька,
принимает вид
и
Xiao(.l + ф;) = 1 - р, f --dv;
J {и - vr/l
о
/ = V/ = -г v~’°-------------• (22.44)
i 1 + 2л,х>о д Cl у Xj^Q
J J
Применяя к уравнениям (22.44) преобразование Лапласа и учитывая, что
в правой части первого уравнения интеграл представляет собой свертку двух
функций, получаем следующую систему уравнений для изображений G/S), f(S)
и ф,(5):
Х.шО 4 + ф.' = ~= - Pi £ ^SG' ~ ’
У’Ь J S /
f = ££ Vi<Pi! G, = х1вЮ^1 + 3f + ф,-
решение которых имеет вид
~ _ 1/5 ~ Xiao/S - ЗВ, JnS xiwOf
XiwO + fiidnS)
f = еУ —1 х<>°- - 1 + зеУ y.Pi
т 5ria,o (1 + Pi i
Поскольку решение ищется при малых отклонениях от начального состоя-
ния (t —> 0), то разложим полученные выражения для изображений в ряды в
окрестности бесконечно удаленной точки и оставим только главные члены
разложения
573
1
З-ЕХ^хД
2Л; XjwO )/P jwf)
J_______________
1 + 3£^Vj
Переходя к оригиналам, получаем
/ ч-1
/• = 2еУ у, 1~x-,ffi,° 1 + зе5>, 4t+...,
t P:7CXiSpO у i /
S Vi O“^jw0)/Pj^iw0
ф: 1 3fXrtt)QPI
Pt л l + 3£2vt
Из (22.43) находим теперь закон изменения радиуса пузырька на началь-
ной стадии роста:
R = 1 + 2££Vi + VF + ...
7CptXta)0 I 1
(22.45)
22.4. ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКА В МНОГОКОМПОНЕНТНОМ РАСТВОРЕ
Рассмотрим динамику пузырька в многокомпонентном растворе при усло-
вии, что его всплытием можно пренебречь. Систему уравнений (22.1) — (22.6)
при щ=0 будем решать приближенным методом, использованным в разделе
22.2 для бинарного раствора. Выделим вокруг пузырька характерный для
каждого растворенного в жидкости компонента тонкий диффузионный слой
толщиной 8, « R. В каждом слое ищем распределение концентрации в виде
риС,р.Ч_ = (1_Х|)2 (R<r<R + 8), (22.46)
а вне слоя
P.l = P.»l (r>R + 8).
(22.47)
Интегрируем уравнения (22.1) при ыв = 0 по г в пределах от R до 2?+ 8.
В итоге с точностью до членов порядка 8/R получим уравнение (22.27) для
толщины слоя 8,
g P,gR3~P,gqRq
R2(.Pta>L ~ PiwL^
(22.48)
Введем следующие безразмерные переменные:
6р,АТРц ат ' , _ d,l
’ P,G P,G B1M, ’ ’ D,l ’
Ms . BtMs Збр,^ . 2hl
: ct, — — 1 : у — — _ , A — - :
M,ps ATps p^Rl Зр5Ои
—; P, =—; q = -==--, 7C = —; R=—.
Ms Bi paR0 P„ Ro
В новых переменных система уравнений, описывающая в рассматриваемом
574
приближении диффузионный рост пузырька в многокомпонентном растворе,
примет вид
dp,G _ хт)2 _ 3plGv _ dR
a,p,(p,G7?3 - p,G0) R ’ dr’
ai2 PlPtG - 1 - q/R - ykv/atR
dv _ (, ।J _ За2 .
(22.49)
x =_____£1S___•
•A-IW . V-1 — ’
1 - L P;G
J
P!g(0) = Pigo; 7?(0) = l; a(0) = 0
Для решения полученной системы уравнений необходимо задать начальные
значения безразмерных плотностей компонентов газа ptG0 в пузырьке. Эти
значения заранее неизвестны. Проведенные расчеты показывают, что при любом
начальном составе газа в пузырьке, компонентный состав газа устанавливается
очень быстро и в дальнейшем практически не изменяется. Начальный состав
раствора принято задавать в виде массовых процентов компонентов П,. Моль-
ные доли следующим образом выражаются через массовые проценты:
хю = - - ----г. (22.50)
М, 100 -£п;
Обозначим через ул начальные мольные доли компонент в пузьрьке
Очевидно, что
У,о = vP,?o/; ‘ • <22.51)
j
Из условия динамического равновесия пузырька в начальный момент сле-
дует, что
<22-52)
1
Подставляя выражение (22.51) в (22.52) и переходя к введенным ранее
безразмерным переменным, получаем начальные условия для p,G0:
Ую(1 + <7>
PiGO -
(22.53)
В качестве примера рассмотрим рост газового пузырька в растворе, в
котором растворены два компонента с массовыми содержаниями П, = 7 % и
П2 = 3,5 %. Остальные параметры: а, = 1,6; а2 = 0,16; d} = d2 = 1; pf = 0,05; ц2 = 0,1;
х1а>=2,5; х2а>=0,6; q = 1; К= 100. Начальный состав пузырька равен г/10 = 0,99
и г/20 = 0,01. На рис. 22.4 показаны изменения со временем радиуса пузырька
и массовых концентраций в пузырьке.
575
Рис. 22.4. Изменения со временем т радиуса пузырька R (а) и плотности компо-
нентов р(С газа в пузырьке (б):
1 - i = l; 2 - i = 2
Проведенные расчеты позволяют сделать следующие выводы:
1) начальная стадия роста пузырька характеризуется резким увеличением
давления и плотности газа, в дальнейшем они снижаются и остаются практи-
чески постоянными;
2) инерционные и вязкие члены в уравнении динамического равновесия
пузырька существенны только на начальной стадии роста;
3) существенное влияние на рост пузырька оказывает поверхностное на-
тяжение, в результате чего в начале роста диффузионный пограничный слой
увеличивается, а затем с течением времени уменьшается и стабилизируется;
4) установившийся фракционный состав газа в пузырьке не зависит от
начального.
22.5. ВЛИЯНИЕ ПОВЕРХНОСТНО-АКТИВНЫХ ВЕЩЕСТВ
НА РОСТ ПУЗЫРЬКА
В большинстве работ, посвященных исследованию диффузионного роста
газового пузырька в пересыщенном растворе, коэффициент поверхностного на-
тяжения Z принимается постоянным и количество газа, поступающего в пузы-
рек, определяется диффузионным потоком растворенного в жидкости газа на
поверхности пузырька. В действительности в растворе, например в природной
углеводородной смеси, всегда присутствуют ПАВ, которые, адсорбируясь на
межфазной поверхности, с одной стороны, уменьшают Z, а с другой — препят-
ствуют переходу растворенного вещества из раствора в пузырек. Влияние ПАВ
на величину Z известно [4], а влияние ПАВ на переход газа из растворенного
состояния в газообразное изучено слабо.
Для исследования влияния ПАВ на рост пузырька, рассмотрим следую-
щую задачу. Сферический газовый пузырек помещен в бинарный раствор, пе-
576
ресыщенный при заданном давлении и температуре. В результате появляется
диффузионный поток к поверхности пузырька. Процесс сопровождается адсорб-
цией ПАВ, присутствующих в жидкости, на поверхности пузырька. Примем, что
процесс диффузионно-контролируемый, т. е. адсорбция — десорбция молекул
ПАВ на межфазной поверхности происходит достаточно быстро. В таком слу-
чае поверхностную концентрацию ПАВ Г можно принять равной равновесному
значению [4]:
_£_= (22.54)
г оо 1 + «1Р2ю/.
где Г„ — концентрация ПАВ при насыщении (предельная адсорбция); —
константа равновесия адсорбционного процесса; р2ю£ — концентрация ПАВ в
растворе на границе с пузырьком.
При адсорбции молекул ПАВ на межфазной поверхности газ — жидкость
образуется мономолекулярный слой. При малой поверхностной концентрации
ПАВ, далекой от насыщения, молекулы как бы «плавают» на поверхности
С ростом концентрации число молекул в поверхностном слое увеличивается.
В состоянии насыщения межфазная поверхность покрыта слоем из плотно упа-
кованных молекул ПАВ. Этот слой препятствует переходу молекул растворен-
ного в жидкости газа через межфазную поверхность. Доля площади поверхно-
сти з, занятой ПАВ, пропорциональна 1 - Г/Г„, поэтому имеет смысл предполо-
жить, что диффузионный поток растворенного в жидкости компонента 1 явля-
ется некоторой степенной функцией доли поверхности, занятой ПАВ:
Л =4л^д/1--С-У|^|
Г» J or J.
(22.55)
Следует отметить одну из попыток учесть влияние пленки ПАВ на поверх-
ности пузырька на скорость диффузионного роста [5], основанную на предпо-
ложении, что интенсивность переноса вещества через свободную от ПАВ и через
покрытую ПАВ поверхности характеризуются различными коэффициентами
диффузии. В предложенной модели вводятся параметры, определение которых
требует проведения большого объема экспериментов и задания характеристик
ПАВ.
Рассматриваемый процесс описывается следующей системой уравнений:
^ + f~l R^- = DlL\(г = 1; 2);
st v J dr r dr{ dr
j re Д 8r Jr=x’
+ ^RR2 + = pG -
(22.56)
4-(PR2) = —
dt I Jr-R
ATpG . _________BiPiM2ML_________
MfM2pL + M2MLpiw + MtMLp2w ’
S - Zo--------p- In (1 + fe2p2a) )•
co
37 - 1461
577
К системе уравнений (22.56) добавим следующие начальные и граничные
условия:
р.т.(0, г) = р,т.„; piL(t, оо) = piLa0; piL(.t, R) = piw;
Г(0) = 0; Л(О) = /?о; Я(0) = 0. (22.57)
Для решения полученной системы уравнений воспользуемся рассмотрен-
ным ранее приближенным методом интегральных соотношений. Выделим вок-
руг пузырька два тонких диффузионных слоя растворенного газа и ПАВ тол-
щиной 8)« R и82«Л, внутри которых распределение массовых концентраций
равно
=(1-^)2; = (R<r<R + ^)-,
PlwL Ptao£
Р7,-РР2Л =(1-^)2; ^2=^; (Я<г<Я + а2). (22.58)
P2a?£ P2ao£ 02
Проинтегрировав первое уравнение (22.56) по г в пределах от R до R + 8)
при г = 1 и от R до R + 32 при г = 2, с точностью до членов порядка 8;/2?
получим
г зг
82----------;
Р2®Г - P2wt
d(R2r") _ D2L^2^P2^L~ Р2»г) .
Tt ЗГ ’
= [(pi»t - Pi«r)И = 6D^(P^-P^)j?2
d(B3PG) 6№Чр1яГрм)(1-Г/Гх)'
dt 5t
(22.59)
Введем безразмерные переменные
6p L AT Dy Lt д R
B}MLRl ’ Ro ’
G = -£-; A = 4;
Д» R So
_ PfeA/д . _ PiwML _ _ pG . AT .
MiPL ’ Xia MiPL ’ P B, ’ ф F0S0 ’
p = aD2LR0pLm2 .
36P/M . a MLB, . 2S .
РяRo ’ PlAT ’ P^Rq ’
K = —-, Ki=^Tk\ X =
P«= ML ML 3pLDiL
При этом уравнения примут вид
А(дя3(Xlao _ Xiw)) =
ат v ' Д
dtPR3) B(l-G)"(xloo-xla,)
dr A ’
d(GB3) _ РЁ3(Х1«,-Х1В,)Я .
dx G
(22.60)
578
а б
Рис. 22.5. Зависимость радиуса пузырька от времени (К - 4,45; xlw4 - 0,8; х,„ - 1; q " 1):
а - п- 1 - 0, 2 - 0,5; 3-1, 4-2, 7-0 = 0 (без ПАВ), II - 0 = 10; б - п- 1 - 1000,
2 - 100, 3 - 10, 4 - 0
S = l-<pln(l + K2x2w);
-г = (1 + + x2wm2)(RR +1Л2>| = КР -1 -
а2 < 2 ) R aR
р ____________________ RjX2tt) .
1 + xlw— x2w 1 + KjX2w
R (0) = 1; G(0) = A(0) = 0; P(0) = Po.
Пузырек будет увеличиваться в
размерах при выполнении неравенства
КР0 - 1 - q > 0, в противном случае он
растворяется в жидкости.
Некоторые результаты численно-
го решения уравнений (22.60) пока-
заны на рис. 22.5 — 22.7. Наибольший
интерес представляют зависимости от
параметров Рип, характеризующих
влияние ПАВ, а также от параметра
К, определяющего влияние давления.
При малых временах т влияние ПАВ
сказывается на уменьшении поверх-
Рис. 22.6. Зависимость поверхностной кон-
центрации ПАВ G от времени т для различ-
ных значений 0 (К “ 4,45; п “ 0; х1ж,"1;
<?- О
37*
Рис. 22.7. Зависимость плотности газа в пузырьке
от времени для различных значений К:
1 - К= 100; 2 - £ = 4,45
ностного натяжения и пузырек рас-
тет быстрее, чем в отсутствие ПАВ.
При п = 0 слой ПАВ на поверхности
не препятствует переходу растворен-
ного вещества в пузырек и влияние
ПАВ сказывается только в уменьше-
нии поверхностного натяжения.
С увеличением п скорость роста пу-
зырька существенно замедляется.
Рост параметра К (уменьшение дав-
ления приводит к увеличению
скорости роста пузырька. На рис. 22.6
показано изменение поверхностной
концентрации ПАВ для значений
К = 4,45; п = 0; х1оо =1 и q = 1 для
различных значений р. Увеличение
Р, с одной стороны, приводит к росту
размера пузырька (рис. 22.5, б), а с
другой стороны, поскольку характер-
ное время изменения поверхностной
концентрации ПАВ t ~ рн, приводит
к уменьшению времени установления
равновесного значения G. Увеличе-
ние К при тех же значениях остальных параметров приводит к уменьшению G.
Последнее объясняется тем, что с увеличением К скорость роста пузырька
увеличивается, в то время как поток ПАВ на поверхности изменяется незначи-
тельно. Изменение со временем плотности газа в пузырьке представлено на
рис. 22.7. Как видно, основное изменение pG происходит на начальной стадии
роста, когда существенны инерционные, вязкие и капиллярные силы.
23
СЕПАРАЦИЯ ЖИДКОГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ
Рассмотрим неподвижную однородную жидкогазовую смесь плотностью рЛ
и вязкостью занимающую объем V с высотой слоя Н. Массовые концент-
рации растворенных в жидкости компонентов равны р1£ (i = 1, з). В начальный
момент давление над поверхностью смеси равно р0 и смесь находится в рав-
новесии. При резком снижении давления над поверхностью до < р0 в жид-
кости образуются мелкие пузырьки (зародыши), которые затем начинают расти
за счет диффузии в них некоторых растворенных в жидкости компонентов и,
если слой достаточно высокий, то и с уменьшением гидростатического давления
при всплытии пузырьков. Достигая поверхности смеси, пузырьки лопаются,
освобождая содержащийся в них газ. Если давление над поверхностью смеси
поддерживается постоянным, что возможно, когда выделившийся газ отбирается
из системы, то такой процесс называется дифференциальной сепарацией. Если
выделившийся газ накапливается над поверхностью смеси, то давление со вре-
580
менем растет. Этот процесс называется контактным разгазированием. В обоих
случаях с течением времени раствор обедняется растворенными компонентами
и интенсивность кипения уменьшается. Через некоторое время кипение
практически прекращается и в системе устанавливается равновесие.
Обозначим через р5 массовую концентрацию растворителя, а через р1С —
массовые концентрации компонентов в газовой фазе. Будет считать процесс
изотермическим. Тогда уравнение неразрывности для компонентов в растворе
запишется в виде
^ + V-(p1£w1£) = £j„£-J1G)+JlG2, (23.1)
где J)lL — интенсивность массообмена между ;-м и г-м компонентами в жидкой
фазе; JlG1 и J,C2 — интенсивности испарения и конденсации при фазовых пре-
вращениях на межфазной поверхности; wtL — относительная скорость г-го ком-
понента в растворе.
Предположим, что массообмен между компонентами в растворе и конден-
сация отсутствуют. Тогда JJlL = 0 и J1G2 = 0 и уравнение (23.1) упрощается:
^r + V-(p,£wl£) = J1G). (23.2)
Газовая фаза представляет собой сферические пузырьки малого размера и
небольшой объемной концентрации, поэтому их стесненностью можно пренеб-
речь. Радиусы пузырьков изменяются от радиуса зародыша до максималь-
ного Rm, зародившегося на дне и достигшего поверхности смеси.
Состояние газовой фазы в каждый момент времени t в любой точке объема
Р можно охарактеризовать непрерывным распределением пузырьков по массам
i-ro компонента п,(т„ t, Р), удовлетворяющим кинетическому уравнению, кото-
рое без учета дробления и коагуляции пузырьков имеет вид
5’- + V-(n,«G) + — fn,^ = /nuci, (23.3)
vt \ dt J
где /п11с1 — скорость образования пузырьков за счет нуклеации (см. раздел 15),
ис — скорость движения пузырька.
Умножим обе части уравнения (23.3) на т, и проинтегрируем по т, от О
до оо. В итоге получим
00 . . 00
^r- + V-Q. = [п, \^-\dm, + f/nuclm,dm,, (23.4)
ot J I dt J J
ox о
00
где M,c — масса i-ro компонента в единице объема смеси; Q, = ^m,n,uGdm, —
о
поток массы г-го компонента через поверхность, ограничивающую единичный
объем смеси.
Поскольку масса i-го компонента изменяется за счет перехода его из
жидкой в газовую фазу, то
Лш =^ + V-Q,. (23.5)
ot
Относительная скорость г-го компонента в растворе
581
WiL = Pl = Ps + Z PiL;
(23.6)
где DiL — коэффициент бинарной диффузии в растворе.
Ограничимся рассмотрением предельно разбавленного раствора. Тогда
Spit. « Рм Pl « Ps и соотношение (23.6) перепишется в виде
1
=- —V(p,J. (23.7)
PiL
Таким образом, уравнение (23.2) теперь примет вид
СО . . 00
= ДЛД(р;£) - jщ - jInucXm,dm,.
о k ' о
(23.8)
23.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СЕПАРАЦИЯ БИНАРНОЙ СМЕСИ
Рассмотрим случай, когда раствор состоит из двух компонентов, один из
которых при снижении давления над поверхностью смеси выделяется в газовую
фазу. Давление поддерживается постоянным. Рассмотрим тонкий слой смеси
объема V и высоты Н. Примем, что параметры зависят от времени и от одной
координаты х, направление которой совпадает с направлением силы тяжести.
Поверхности слоя соответствует значение х = 0. Сделанные предположения
позволяют записать уравнение (23.8) в виде
= D'l ~д^~ ~ J п' (23.9)
о v ' о
По смыслу dm,/dt — скорость изменения массы компонента 1 в пузырьке,
поэтому
где w = aV2/3 — скорость всплытия пузырька; ID — диффузионный поток 1-го
компонента через поверхность пузырька; V — объем пузырька.
Выражения для диффузионного потока для различных случаев приведены
в разделе 22. Для решения уравнения (23.9) необходимо знать распределение
пузырьков по массам. Пусть Х„(х0, t) — число пузырьков, образующихся в
единице объема в единицу времени на глубине х0 в момент времени t. Очевид-
но, что число зародышей уменьшается со временем и с уменьшением глубины
х0 по мере обеднения смеси. Поток пузырьков через фиксированное единичное
сечение сохраняется, поэтому
ип,dmx = N„(x0, t)dx0. (23.11)
В этом выражении слева — поток через сечение вертикального столба на
глубине х в момент t, а справа — на глубине х0 > х. Пусть известен закон роста
пузырьков т, = т.(х, х0, тп), где т„ — масса зародыша. Это выражение дает
массу пузырька, зародившегося на глубине х0, которую он приобретает, всплыв
до глубины х. При фиксированном х имеем dmx = (dm,/dx0)dx0 и из выраже-
ния (23.11) находим
582
(23.12)
Nn(x0, t)
un = ——-—.
dm^/dxQ
Пусть размеры и масса зарождающихся пузырьков одинаковы и не изме-
няются со временем и по высоте слоя. Тогда
Inud = Nnb(rrh - rnn). (23.13)
Подставляя выражение (23.12) и (23.13) в (23.9), получим
= (23.14)
от дхл J и
Возьмем в качестве ID выражение (22.7), справедливое для пузырьков,
радиус которых превосходит критический Ra. При достаточно большом пере-
сыщении смеси размер пузырька быстро увеличивается и его радиус быстро
достигает критического размера, так что подобное допущение оправдано. При-
мем, что основное изменение концентрации растворенного компонента происхо-
дит за счет уноса его пузырьками. Тогда в правой части уравнения (23.14)
первым слагаемым можно пренебречь. Кроме того, если слой достаточно тонкий,
а также если пузырек быстро растет, то можно считать, что плотность газа в
нем остается постоянной. Сделанные предположения позволяют представить
уравнение (23 14) в виде
^- = -pGVnNn-^-(piL-piwL)\Nndx0- (23.15)
ОС
Ct 2/з J
Ри(0, х) = рш).
Число зародившихся в единицу времени в единице объема пузырьков Nn
оценим по известному выражению [6] для чистой жидкости
Nn = Z, ехр (- J ^/бЕ (3 - Ь) пт ехр
16тД2
3kT(ty2)
(23.16)
где Z, — число молекул жидкости в 1 см3; X — молекулярная теплота испаре-
ния при температуре Т; k — постоянная Больцмана; Е — коэффициент поверх-
ностного натяжения жидкости; Ъ = \р/р', Ьр = р- р„(р> Р^)', т ~ масса моле-
кулы.
Из вида зависимости N„ от Др следует, что N„ в небольшом интервале
изменения Др резко увеличивается от 0 до Nnm~ Zf ^/182 m„ е-к/кт. В этой
области зависимость (23.16) можно аппроксимировать выражением Nn = С(Др)Л
(Л > 1). Значение показателя степени Л зависит от входящих в уравнение
(23 16) физических постоянных, характеризующих свойства жидкости. Поскольку
Др ~ plt - р1р, где р1р — равновесное при давлении р„ значение массовой концен-
трации растворенного компонента, то Nn можно представить в виде
М. = М)
Pit ~ Pip
Pi£0 “ Pip
(23.17)
Здесь Nq — значение N„ в начальный момент времени.
Введя безразмерные переменные
583
ij=
8N0D^Ht - MsBt
т = —; Pii=pfi-—^
a2/3 M{psp,
~ 1 Pi£—Pip GD^ATH
Pip ~ 1 - Poo/Bi ’ P - Pi£0 ' Pip ’ Уй nRla^B,Ms '
преобразуем уравнение (23.15) к виду
^ = -^-(p1£-Pip)J(Ap)A^; Pu(^O) = p)io. (23.18)
Поскольку рассматривается предельно разбавленный раствор, то ps=pL
считается постоянной.
Интегральное уравнение (23.18) решаем методом последовательных прибли-
жений, беря в качестве нулевого приближения р1£0 , а остальные приближения
находятся по формуле
= _(Др? °)Л _ ( (ЛО _ - (Ap(/-1>)A(23.19)
ат t/0 Г1£ J
Параметр г/0» 1, поэтому первое слагаемое в правой части мало. С учетом
этого точностью до третьего приближения имеем
pt = exp{A~’[Ei (-z) - In z - С]}; z = Л(1 - £) т. (23.20)
Численное решение уравнения (23.19) показало, что приближенное реше-
ние (23.20) хорошо соответствует точному.
Зависимость относительного пересыщения раствора Др от времени т на
различной глубине слоя х/Н показана на рис. 23.1 для значения Л = 3. Уве-
личение Л, соответствующее более быстрому убыванию числа зарождающихся
пузырьков с уменьшением Др, приводит к заметному замедлению процесса раз-
газирования. Концентрация растворенного газа распределена по глубине смеси
неравномерно и убывает с увеличением глубины. Это объясняется тем, что
число пузырьков в единице объема с уменьшением глубины возрастает, так как
к зарождающимся пузырькам присоединяются пузырьки, всплывающие из ни-
жележащих слоев. Это приводит к более интенсивному обеднению верхних
слоев смеси. В области, прилегающей ко дну объема, смесь обедняется в основ-
ном за счет зарождающихся пузырьков. Поэтому в этой области в уравнении
(23.18) можно оставить только первое слагаемое в правой части
gpi _ (Др)Л
Зт J/о
Решение этого уравнения имеет вид
[1 + (Л - 1)т/#0(р1£0 'Р1р)],-Л при Л*1,
ехр(-т/г/0) при Л = 1.
(23.21)
(23.22)
Заметим, что характерное время изменения концентрации в окрестности дна
сосуда в г/0 раз больше, чем в приповерхностном слое. Это означает, что равно-
весие у поверхности смеси устанавливается намного быстрее, чем возле дна.
Обозначим через JG поток газа с единичной площади поверхности смеси.
Тогда из условия баланса массы столба смеси единичного сечения, найдем
584
/о=-0,5Я^. (23.22а)
at
Эффективность сепарации
объема смеси можно охарактеризо-
вать параметром ц, равным отноше-
нию количества выделившегося за
время t газа к полному количеству
газа, которое может выделиться к
моменту установления равновесия.
Нетрудно получить
1
ц = 1- jApc^. (23.23)
о
Зависимость т](т) показана на
рис. 23.2. Эффективность сепара-
ции сначала быстро возрастает, а
затем, по мере обеднения смеси, ц
медленно стремится к 1.
Полученная зависимость позво-
ляет оценить характерное время ус-
тановления равновесия в смеси.
Видно, что при т >10 значение ц
практически не изменяется. Это оз-
начает, что характерное время уста-
новления равновесия оценивается
как т^- 10.
В заключение обсудим влия-
ние глубины слоя Н на эффектив-
ность сепарации. Поскольку t - Н~\
то характерное время установления
равновесия обратно пропорциональ-
но глубине слоя. Это означает, что
если одни и тот же объем смеси
разлить двумя слоями толщины Н,
и Нг, где Н, > Н2, то раньше фазо-
вое равновесие установится в слое
глубиной Я,. При этом нужно иметь
в виду, что произвольно большую
глубину слоя устанавливать нельзя,
Рис. 23.1. Зависимость относительного пересы-
щения раствора Др на различной глубине слоя
х/Н от времени т:
1 - 0,2, 2 - 0,5; 3 -1; 4 - 2, 5 - 3,5, 6-5,
7 - 10, 8 - 15
Рис. 23.2. Зависимость г, от т для различных
значений Л:
1 - 1; 2 - 2, 3 -3
поскольку может нарушиться предположение о том, что время всплытия пу-
зырьков меньше характерного времени установления равновесия.
23.2. КОНТАКТНАЯ СЕПАРАЦИЯ БИНАРНОЙ СМЕСИ
Рассмотрим теперь случай, когда выделяющийся газ накапливается над
поверхностью смеси в объеме высотой h. Оставим в силе все сделанные в
предыдущем параграфе предположения и, кроме того, предположим, что за
время подъема пузырьков давление над смесью изменяется незначительно.
585
Рис. 23.3. Зависимость коэффициента эффек-
тивности сепарации ц от т для различных
значений G (Kt — 10; Л “ 1)
Рис. 23.4. Зависимость установившегося дав-
ления над поверхностью смеси от параметра /С,
для различных значений G
К уравнению (23.15), описывающему изменение массовой концентрации раство-
ренного в жидкости газа, нужно добавить уравнение, описывающее изменение
давление над поверхностью смеси. Обозначим через JG(t) поток газа через
единичную поверхность смеси в момент t, а через раЛ — начальное давление над
поверхностью жидкости. Тогда давление над поверхностью в любой момент
времени t > 0 при условии, что газ идеальный
t
= pG(O. (23.24)
1 1 п
При £ —> со давление стремится к равновесному значению
^(o = ^o+^J/G(o.
’ о
(23.25)
Для интенсивности образования пузырьков возьмем, как и ранее, выраже-
ние (23.17).
Введем следующие безразмерные переменные:
„ х 8N0D^Ht
т= " :
_ Ms _ р„
Ра — Ра TT—, Р«------•
M1Ps р»о
- Р°° Pa-Pip ЪР^АТН
Р,р - р„ ’ Р puo- р)р ’ TtRla2^B^Ms ’
РооО
_ ATHf>s
Zp^oMsh '
Тогда система уравнений, описывающая процесс контактного разгазирова-
ния, примет вид
586
Э(Др) = _ ^Р?(Ар).Л _ д- Г(д-)л ---_£ Г р„_ >.
* з/о PJ р g рю^ч-О Д^-pJ’
P„=1 + g|Ap^; (23.26)
Др(^, 0) = 1; jP„(0) = l.
На рис 23 3 и 23.4 показаны некоторые результаты численного решения
уравнений (23.26): изменение со временем эффективности сепарации для раз-
личных значений параметра G, характеризующего отношение объемов жидкости
и газовой шапки, и зависимость установившегося давления в газовой шапке от
параметров К, и G. При контактном разгазировании эффективность сепарации
меньше, чем при дифференциальном, причем эта разница тем больше, чем тяже-
лее растворенный компонент, т. е чем меньше параметр К..
23.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СЕПАРАЦИЯ
МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ
Рассмотрим процесс дифференциального разгазирования неподвижного
объема многокомпонентной жидкогазовой смеси, дисперсная фаза которой со-
стоит из сферических пузырьков одинакового размера. Принимаем, что объем-
ное содержание пузырьков мало, поэтому их взаимодействием можно пренеб-
речь. Задача сводится к рассмотрению массообмена одного пузырька началь-
ного радиуса Ro, помещенного в многокомпонентный раствор. Предположим, что
процесс изотермический, давление над поверхностью смеси поддерживается по-
стоянным.
Распределение концентраций компонентов в растворе описывается уравне-
нием диффузии
<2з-27>
где и — скорость движения границы пузырька,
M = pf|2/?; (23.28)
\ Г 7
г — расстояние от центра пузырька; R — радиус пузырька
Условие динамического равновесия поверхности пузырька с учетом инер-
ционных, вязких и капиллярных сил сводится к уравнению
RR+lR^AJypG-^-^R-p^ (23 29)
где р£ — плотность жидкости, Е — коэффициент поверхностного натяжения; ц£ —
вязкость жидкости; pG — давление в пузырьке, р„ — давление вдали от пузырька.
Предполагая, что параметры газа в пузырьке однородны, но зависят от
времени, имеем следующие уравнения:
баланс массы г-го компонента в пузырьке
= JDl (23 30)
Ct t \ 07 In о
\ / r=R
587
уравнение состояние газа в предположении, что он идеальный,
(23.31)
i i
(А — газовая постоянная; Т — температура; М; — молекулярная масса г-го ком-
понента);
уравнения, выражающие закон Генри в предположении, что раствор пре-
дельно разбавленный,
„ _ О ____Piui/Mj_____
,G ’ Ps/Ms+Хр/ш/м;
(23.32)
(В, — постоянная Генри; pja) — массовая концентрация г-го компонента в ра-
створе на поверхности пузырька; ps — массовая концентрация растворителя;
Ms — молекулярная масса растворителя).
К уравнениям нужно добавить следующие начальные и граничные ус-
ловия:
PiL(r, 0) = р,£0; р,£(В, t) = р,ю£; pi£(oo, t) = pia>£;
Я(О) = Яо; Я(0) = 0; pfG(0) = pfG0.
(23.33)
Если концентрации компонентов в толще раствора постоянны, то уравне-
ний (23.27) — (23.33) достаточно для решения поставленной задачи. В дей-
ствительности pixL со временем изменяются, поскольку в растворе находится не
один пузырек. Для определения уравнения, описывающего изменение pi£ со
временем, нужно рассмотреть баланс массы единичного объема жидкогазовой
смеси при условии малости объемного содержания пузырьков W « 1. В мо-
мент времени t массы г-го компонента в жидкой и газовой фазах равны соот-
ветственно
пг,£ = (1 - W)p,„,£; miC = Wp,c,
причем объемное содержание пузырьков
, / \3
W = -7tT?3X = W0 — , (23.34)
3 (Яо)
где — число пузырьков в единице объема смеси.
Масса г-го компонента, перешедшего из жидкой фазы в газовую,
Am, = mi0
(1-УЫ
(1 - И-о)р1£О
Теперь условие баланса массы г-го компонента в растворе можно записать
в виде
^PjaoL______
dt
3W0PiL
_ I 5piL
Ко Д Jr=R’
(23.35)
Pi®£(0) - PiLO-
Заметим, что учет стесненности выполнен не совсем корректно, поскольку
граничное условие (23.33) для pi£ вдали от капли нужно было формулировать
не при г —> оо, а при г = Rc, где Rc — радиус ячейки, равный среднему расстоя-
588
нию между пузырьками. Поэтому сформулированную задачу можно рассматри-
вать как первое приближение к учету стесненности.
Условие предельной разбавленности раствора позволяет принять
p£ = ps и ML = MS.
Введем следующие безразмерные переменные:
PiL PiLw . r _____ К , __ tPzL . % __ Т R #
Pi£0~ Pi£a> ’ R0 ’ R,j ’ Ro ’
Ptw
_ PiwL .
Pi£0
— Pi®£ . j DiL .
Pl® — , Щ ,
Pl£0 U\L
2S . _ B,Msp,£0 _ Ps^L .
RoP^o MiPsPao p^R'q
_ ЗЛГр£
P^Ro ’ ' BtML
Введение безразмерной координаты у вместо г приводит к тому, что вне-
шняя область R < г < оо переходит в полосу 0 < у < 1. Подобное преобразование
удобно для численной процедуры решения.
В новых переменных уравнения (23.27) — (23.33) и (23.35) примут вид
бр, |(1 - у)2 dR R(S + y) 2 (1 - у)2 dR
дх [ 5 dx Sy + R(\ + y) S dx
2d,(i-y)2 ] gp, _ rf,(i-y)2 а Г,. )9 gp,
S[/?(l - y) + Sy] j dy S2 dy 8y
Pl£ ~ 1 j ^Piai .
1 — P,w J dx
(23.36)
q у dR
R R dx
d(R3p,w) _ d,e,R2 (gp,)
di 5 cy Jj=0
gp.w
8x
3W0d,
S
a-
У8У)у-
4 5
3
p 3(rfKY
dx2 2 k dx J
= x a.P.w -1 -
Уравнения (23.36) будем решать при следующих условиях:
р,(^,0) = 1; Я(0) = 1; Я=0; р,.(0) = 1;
р, (0, т) = 0; р, (1, т) = р,„.
(23.37)
В результате решения находим распределения р,(г/, т); р1а,(т); 7?(т) и
рто(т), после чего можно найти безразмерную массу г-го компонента, перешед-
шего за время т из жидкой фазы в газовую:
Am, р100(1 - W0jR3)
Am, =-----= 1----------------.
m,o 1 - Wo
589
Таблица 23.1
Параметр Компонент
с, с2 С3 i = C4 п = С4
Ут I вариант II вариант У Г ха, % Приме ные мольные начальные мол воре; уГ~ сос 0,15 0,025 0,05 0,01 ч а н и юли ко ьные п тветств 0,25 0,15 0,186 0,33 е. Обоз мпонен! юценть /ющие j 0,4 0,3 0,385 1,19 начения ЮВ В П} компо эавновес 0,1 0,225 0,115 0,54 : Ут - » гзырьке центов ,ные зна 0,1 0,3 0,264 2,43 :ачаль- Хт - з раст- чения.
Переход к мольным долям можно осуществить по формулам
PiL^L .
P£-Wi
PiG/Mj
Y.Pjc/Mj
Исходный состав раствора иногда задают в весовых процентах П,. Тогда
мольные доли компонентов в толще раствора следующим образом выражаются
через массовые проценты:
п,м£
•^icc z к •
М; 100-£ Пу
\ j )
При численном интегрировании системы уравнений (23.36) основная про-
блема заключается в задании начального состава пузырька ут, который заранее
не известен. Расчеты показывают, что какой бы начальный состав не задать, он
со временем очень быстро устанавливается и в дальнейшем не изменяется.
Рассмотрим пример численного ре-
Рнс. 23.5. Изменение мольных долей компо-
нентов в пузырьке со временем:
1—5 — номера компонентов
шения задачи для пятикомпонентнои сме-
си для следующих значений парамет-
ров: (/;= 1; ^ = 0,1; у = 4 • 10'8; р = 10'10;
0,187; 02=0,33; Оз= 0,649; о^= 0,168;
а5=0,364; ^ = 2,54; £2=25,4; е3=31,7;
е4=42,3; е5=63,5. Рассмотрены два
варианта задания начального состава
пузырька, представленные в табл. 23.1.
Мольный состав в пузырьке уста-
навливается очень быстро (рис. 23.5).
Сплошной линией показаны зависимо-
сти #,(т) для первого варианта, а пунк-
тирной — для второго.
Равновесие в газовой фазе уста-
навливается намного быстрее, чем в
жидкой. Для примера рассмотрены три
варианта задания начального компо-
нентного состава раствора, представлен-
ные в табл. 23.2.
590
Таблица 23.2
Номер варианта Компонент П,
с. С2 с3 « = с4 п = С4
I II III 0,01 0,015 0,01 0,33 0,35 0,03 1,19 1,25 1,1 0,54 0,6 0,5 2,43 2,5 2,25
Изменение радиуса пузырька со
временем показано на рис. 23.6. Пе-
реход к размерному времени показы-
вает, что для характерных значений
Di ~ 10-9 м2/с и 7?о~1О“5 м имеем
£ = 0,1т. Поэтому характерное время
роста пузырька оценивается временем
t ~ 10 с. На рис. 23.7 представлены из-
Рис. 23.6. Изменение радиуса пузырька со
временем:
I — III — варианты задания начального состава
жидкости (см. табл 23 2)
менения со временем массовых концент-
раций компонентов в жидкой фазе, отне-
сенных к соответствующим начальным
значениям для I варианта табл. 23.3.
Начальное объемное содержание газовой
фазы составляло VC0 = 3- 10'4. Со временем объемное содержание пузырьков
растет (рис. 23.8). За время т - 200 (t ~ 20 с) оно увеличивается до значения W~ 0,1.
Наибольший интерес вызывает определение времени установления равно-
весия в системе т„. На рис. 23.9 показана зависимость от начального
сц г eq
Рис. 23.7. Зависимость массовых концентраций компонентов в жидкой фазе от
безразмерного времени т:
1 — 5 — номера компонентов
591
Рис. 23.8. Изменение со временем объемного
содержания газовой фазы
Рис. 23.9. Зависимость характерного време-
ни установления равновесия teq от началь-
ного объемного содержания газовой фазы:
I—III — варианты начального состава жидкой
фазы
объемного содержания пузырьков Wo. Так, при Wo~ 10“4 имеем - 60 с, в то
время как при Wo ~ 5 • 10~4 — £eq - 5 - 10 с.
Следует отметить, что приведенные результаты могут рассматриваться как
оценочные, поскольку для реальных углеводородных смесей, особенно при
больших давлениях, нужно использовать уравнения состояния реальных сме-
сей. Кроме того, приближение предельно разбавленного раствора может не
соответствовать реальной картине. Метод решения может быть без особого
труда обобщен для реальных жидкогазовых смесей.
23.4. СЕПАРАЦИЯ ДВИЖУЩЕГОСЯ СЛОЯ
Задача о сепарации движущегося слоя жидкогазовой смеси представляет
интерес при исследовании эффективности разделения смеси в нефтяных сепа-
раторах. Газовая фаза состоит из пузырьков, приносимых потоком из подводя-
щего трубопровода, и из пузырьков, зародившихся в сепараторе в результате
резкого снижения давления. Отметим, что большинство нефтяных сепараторов
оборудовано специальным устройством предварительного отбора газа перед
сепаратором, поэтому в сепаратор поступает небольшая часть газа, выделившая-
ся в подводящем трубопроводе. Исходя из этого будем считать, что объем
дисперсной фазы в смеси, движущейся в сепараторе, мал, поэтому стесненностью
пузырьков в первом приближении можно пренебречь. Учет стесненности будет
выполнен в дальнейшем. Если смесь достаточно обеднена растворенными компо-
нентами, что может отмечаться, например, на последней ступени в схеме диффе-
ренциальной сепарации, то в объеме присутствуют в основном пузырьки пер-
вого типа. Для смеси, обогащенной растворенными компонентами, например, на
первой ступени сепарации, в объеме присутствуют пузырьки обоих типов. С уче-
том указанного, возможны два случая. В первом случае заносимые с потоком
592
Рис. 23.10. Схема течения смеси по на-
клонной полке
пузырьки не растут, а просто
всплывают и удаляются из объе-
ма смеси. Во втором случае в
смеси присутствуют пузырьки
двух сортов, которые в отличие
от первого случая всплывают и
одновременно увеличиваются в
размерах за счет диффузии в них
растворенных в жидкости компо-
нентов. Рассмотрим последова-
тельно оба случая.
Рассмотрим слой смеси длиной L и высотой Н, движущийся по наклонной
плоскости (рис. 23.10). На входе задано распределение пузырьков по радиусам
n/R). Обозначим соответствующее распределение на выходе слоя через n/R).
Для оценки эффективности отделения пузырьков от жидкости введем переда-
точную функцию соотношением (см. раздел 18)
Ф(7?) = щ(Я)/п/Л).
(23.38)
Если известна передаточная функция, то по заданному распределению на
входе можно найти распределение на выходе.
Примем, что слой смеси достаточно тонкий, поэтому H/L « 1 и Н и L
постоянные. Тогда профиль продольной скорости п можно определить из урав-
нения движения тонкой пленки
d2u
Pl TV =-Pysina.
dyz
(23.39)
Интегрируя его при условиях и = 0 при у = 0 и du/dy = 0 при у = Н и
используя условие сохранения массового линейного расхода Q, получаем
и = H2Pl g sin a ( 0 5 у2 + _у \ я = Г_ЗщО У2 (23.40)
Hl \ Н2 HJ \ PL 9 sin a)
Средняя по высоте скорость слоя
й = //2p,i7sina/3)iL.
Траектории безынерционного движения пузырька радиусом R в слое при
условии, что он движется как твердая частица со стоксовой скоростью, описы-
ваются уравнениями движения
dx 27?2р£ ysina dy 2R2pLgcosa
- — эд — ’ -- ss i
dt 9ц£ dt 9ц£
(23.41)
x(0) = 0; y(0) = y0,
решение которых в безразмерных переменных
y = —• v-JC я=—• v = ~ В2 - 9я2 • X, = —
’ «о ’ Н2Р£ д ’ Р 2R2 ’ я
H
имеет вид
38 - 1461
593
R2X cos a = P2 sin a
уз_уз
0,5 (У2 - Уо2) - —-—2-
+ R2(Y -y0)sina.
(23.42)
Расстояние от входа, на котором всплывет пузырек, получится из (23.42),
если в нем положить У = 1
Теперь нетрудно найти критический радиус пузырька, т. е. такой радиус,
при котором пузырек, находящийся на входе в точке (0,0), всплывает в точ-
ке (£, Я):
R<
P2tga Т72
6(X£-tga)
(23.44)
Поскольку XL » 1 и a ~ 6 - 10°, то
7?сг
1/2
1080ХЛ_
я₽2а
(23.45)
_ Если на вход поступают пузырьки различного размера, то все пузырьки
с R > Rct за время пребывания в слое успевают_ всплыть и удаляются из
объема, в то время как часть пузырьков с R < Rc, унесется потоком. Если
распределение пузырьков на входе однородно по сечению, то отношение числа
пузырьков радиусом R, унесенных потоком, к числу пузырьков того же радиу-
са на входе равно передаточной функции Ф(Л), которая, в свою очередь, равна Y^r,
где Уост — такое значение Уо на входе, при котором, находясь на входе в точке
(0, Уосг), всплывет в точке (XL, 1). Значение У^ находится из решения кубиче-
ского уравнения (23.42), в котором нужно положить X = XL и У0=У0сг. По-
скольку решение имеет громоздкий вид, то оценим его, заменив параболический
профиль скорости (23.40) на однородный и = й. Тогда найдем
Зр2Х£ я2 . _ (
P2tga ЯС2Г ’ " \2pLgL)
(23.46)
Сравнивая выражения (23.45) и (23.46) для критического радиуса, видим,
что замена профиля скорости на однородный приводит к увеличению в
V2 раза.
Передаточная функция с учетом (23.46) примет вид
O(y?) = I1-^-R/7?cr^ при R<-Rcr.
10 при R > Rcr.
(23.47)
Теперь можно определить объем газа, уносимого потоком. Масса газа в
пузырьках на входе и выходе соответственно
Мй = pG JWVW и =pG ]ф(ЮУ/го(У)</У.
о о
Коэффициент эффективности сепарации
594
] <b{R)Vno{V)dV
--------------• <23-48)
J Vno(V)dV
0
Подставляя выражение (23.47) в (23.48), найдем
J(l-T?2//<2r)Vno(y)dy
П = 1 - г----------------1 Kr = | лЛз. (23.49)
[vno(V)dV
о
Рассмотрим пример. Пусть на вход поступает жидкогазовая смесь с рас-
пределением пузырьков по объемам из класса гамма-распределений
/Т7ч N%(k + D(v\k ( /по глч
”o(V) = -VbT~ ехР “V ’ (23.50)
И'о*' ("о J V И))
где No и Wo — счетная и объемная концентрации пузырьков; k и Vo — парамет-
ры распределения, связанные со средним объемом Vav и дисперсией о2 соотно-
шениями
Vac = Vo(^ + D; о2 = К2, (fe+ !)-’.
Распределения (23.50) для различных значений k показаны на рис. 23.11.
Подставляя (23.50) в выражение (23.49), получим
П 1 (k +1)!
у (fe + 2, z) + - 1- -- y(k + 8/3, z) ,
z2/3(k + 1)!
(23.51)
где z = Усг(/г + 1)/Vatl; у(х, у) — неполная гамма-функция.
Выражение (23.51) позволяет определить зависимость коэффициента эф-
фективности сепарации от параметров распределения на входе k и о2, а также
от геометрических и гидродинамических параметров потока, входящих в z.
Заметим, что параметр z зависит от времени пребывания смеси t на наклонной
полке:
( г )3/2
z = (k +1) — ; tav
\tav J
^ao Q
Эц£
йН ’
На рис. 23.12 показана зависимость т) от безразмерного времени T = t/tav.
Заметим, что k = оо соответствует монодисперсному распределению пузырьков
по объемам.
Рассмотрим теперь второй случай, когда смесь движется по наклонной пол-
ке в условиях пересыщения. Отличие от рассмотренного выше случая состоит
в том, что пузырьки могут увеличиваться по размеру в соответствии с выраже-
нием (22.14) для бинарной смеси:
R = V- = [1 + (pit - Piwi)(y - <23.52)
^0
где р1£, pttt,у—безразмерные параметры, введенные в разделе 23.3; уи =
= 6D^PlATH/nRfawBiMt; а = 2Др<7/9ц£, и возможно зарождение пузырь-
ков с интенсивностью j.
38* 595
Начнем со случая, когда число зарождающихся пузырьков мало и их
вкладом в процесс сепарации можно пренебречь. Подставляя выражение (23.52)
в (23.40), получим
зр2й
УН (pi£~ PlwT.)
((1 + (P1L- Pf^ ) (Y - Уо )ун ),/3 -1)
(23.53)
Подставив в (23.53) У = 1; Х = XL = L/H и Уо= 0, определим критический
радиус ROcT, а затем передаточную функцию
Ф(Яо) = {о°СГ
при Rq < RCI,
при Ro > RCT,
(23.54)
596
где
Yocr
t 1 f Ro У
F \ -^Ocr )
1/3
-1 -1k
F _ бСрц-р^Ю^рМГЯ.
na^B,MLR^v
ROav ~ средний радиус пузырьков на входе; 7?Осг — критический радиус, опреде-
ляемый из уравнения
Г z чЧ"|1/3 „ ,
£ Rpav _ 1 + ff В® — 1' S = 2FR<>avXL
^ocr \^OcrJ 27иЯ2
Пусть наряду с ростом приносимых извне пузырьков идет зарождение
новых, радиус которых равен R„, с интенсивностью j„. Нетрудно найти, что
пузырек, зародившийся на глубине Уо, в конце слоя будет иметь радиус
Ri = Rn(A + XLF/p2tg а), для чего ему нужно пройти расстояние Xt = -
- 1) p2tga/F. Следовательно, для того чтобы пузырек с начальным радиусом
Rn достиг поверхности слоя, ему необходимо зародиться на расстоянии от конца
слоя, не меньшем Xt. Из всех пузырьков достигнут выхода те, для которых
выполняется неравенство Уо< УОсг.
В качестве примера рассмотрим всплытие пузырьков, распределение кото-
рых на входе имеет вид гамма-распределения
Рис. 23.13. Распределение пузырьков иа выходе из слоя смеси для раз-
личных значений длины слоя L, м:
О — исходное распределение; 1 — 10; 2 — 50; 3 — 100; I, II — с учетом и без
учета диффузионного роста пузырьков соответственно
597
Рис. 23.14. Зависимость коэффициента эф-
фективности сепарации растворенного в жид-
кости газа от длины наклонной полки (Н —
“0,01 м; й -0,1 м/с) для различных зна-
чений Л:
1 - 4; 2 - 1; 3 - 0
/ /
п0(Я) = n* A e~R/R*. (23.55)
На рис. 23.13 представлены распределения пузырьков на выходе для
значения k = 2. При расчете брались следующие значения параметров:
й= 0,1м/с; Н = 0,01 м; jD1£ = 10~9 м2/с; /=109 м“3сч; 7?0ао = Ю“5 м. Длина
слоя изменялась.
Видно, что для эффективной сепарации на наклонной полке необходимы
значительные длины (~ 25 — 50 м). На практике такая длина достигается обо-
рудованием сепаратора системой параллельно или последовательно соединен-
ных полок, поэтому либо расход смеси нужно равномерно распределять по
полкам, либо при постоянном расходе длину полок нужно увеличивать.
На рис. 23.14 показана зависимость коэффициента эффективности сепара-
ции движущейся по наклонной полке смеси, не содержащей на входе свободный
газ, от длины полки.
Таким образом, сепарация на наклонных полках свободного газа в тонком
слое происходит достаточно эффективно, в то время как для эффективной
сепарации растворенного газа нужно увеличивать толщину слоя. Различные
зависимости эффективности удаления из жидкости свободного и растворенного
газов от толщины слоя означают, что должна существовать оптимальная толщи-
на слоя, при которой суммарное количество выделившегося на заданной длине
слоя газа будет максимальным.
24
СЕПАРАЦИЯ С УЧЕТОМ СТЕСНЕННОСТИ
ВСПЛЫТИЯ ПУЗЫРЬКОВ
Рассмотрим процесс разделения жидкогазовой смеси в гравитационном
горизонтальном сепараторе. На вход сепаратора смесь поступает из подводя-
щего трубопровода, который оборудован устройством предварительного отбора
598
свободного газа. Исследование дисперсности жидкогазового потока на входе
содержится с [7]. В этой работе показано, что предварительный отбор крупных
пузырьков приводит к тому, что в сепаратор поступают пузырьки, диаметр
которых изменяется в узком интервале от О, до D2, отличающихся примерно
в 3 раза, а дисперсия о2 - 0,003. Распределение пузырьков по диаметрам D на
входе может быть приближено в простейшем случае к равномерному в интер-
вале (D,; jD2)
(241)
или к нормальному
(В) = -Д- ехр Г— ~ , (24.2)
•72 я а \ 2а2 J
тце Хо = — численная концентрация пузырьков на входе; Dav — сред-
ний объем пузырьков на входе; Д, и D2 — наименьший и наибольший диаметр
пузырьков.
Несмотря на предварительный отбор газа в подводящем к сепаратору
трубопроводе, в сепаратор может поступать жидкогазовая смесь с достаточно
большим содержанием газовой фазы (VV0~ 10'2- 10-1). Такое большое значение
Wo приводит к необходимости учитывать стесненность при всплытии пузырь-
ков. В [7] экспериментально показано, что скорость всплытия с учетом стеснен-
ности хорошо аппроксимируется выражением
U = Ustf(W); f(W) = (1 - W)\ (24.3)
где показатель степени р зависит от безразмерного параметра К = Х3/2/<7,/2v£p3/2
р = 4,9 + 3,4 • IO'5 К. (24.4)
Для характерных значений параметров Е=10'2 Н/м; <7=10 м/с2;
vL= 10"5 м/с2; pL= 103 кг/м3 имеем К ~ 102. Однако уменьшение вязкости нефти
до значения vL= 10~6 м2/с и увеличение поверхностного натяжения до значения
X ~ 5 • 10-2 Н/м приводит к значению К - 105. Следовательно, для высоковяз-
кой нефти можно считать р « 5, а для маловязкой нефти параметр К оказывает
заметное влияние на скорость всплытия пузырька.
Гравитационные сепараторы могут работать в режиме периодической от-
качки и в проточном режиме. В первом случае сепаратор заполняется жидко-
газовой смесью, некоторое время смесь отстаивается, пока не всплывут пузырь-
ки газа, а затем происходит опорожнение сепаратора. В этом случае представ-
ляет интерес определение времени отстоя смеси, исходя из требуемой степени
сепарации. Во втором случае жидкогазовая смесь непрерывно протекает через
сепаратор. Основной задачей является определение времени пребывания смеси
в аппарате, необходимого для требуемой степени сепарации. Рассмотрим эти два
режима подробнее.
24.1. СЕПАРАЦИЯ В РЕЖИМЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ОТКАЧКИ
Процесс сепарации в режиме периодической откачки можно моделировать
следующей задачей. В начальный момент имеем некоторый объем высотой Н,
заполненный жидкогазовой смесью с заданным распределением nQ(D) пузырь-
599
ков по диаметрам, которое предполагается однородным по высоте слоя. Тогда
распределение пузырьков при t > 0 зависит от z, t и D, где z — вертикальная
координата, направленная против силы тяжести, описывается кинетическим урав-
нением, которое в отсутствии коагуляции и диффузионного роста пузырьков
принимает вид
g + [Zst^(/(W)n) = 0. (24.5)
Возьмем в качестве ил стоксовую скорость свободного движения пузырь-
ка с полностью заторможенной поверхностью, которая при очевидном условии
Рс << Pl
(7st=_L^l. (24.6)
18 vL
К этим уравнениям добавим выражение (24.3) для f(W) и соотношение
для объемной концентрации пузырьков
в2
W= f%D3n(z,t,D)dD. (24.7)
O1
Начальным условием является
n(z, О, D) = n0(D); W(z, 0) = Wo- (24.8)
В качестве граничного условия берем условие отсутствия пузырьков на
нижней стенке сепаратора
n(0, t, D) = 0. (24.9)
Возьмем для простоты в качестве n0CD) равномерное распределение (24.1).
Тогда
W> = ”N° ПТ<А4 - Д4)- (24.10)
24(Ь>2 — L>i)
Решаем уравнение (24.5) методом характеристик.
Введем безразмерную переменную = z/ Ustt и ищем решение уравнений
(24.5) — (24.10) в виде n = r\(D, ip и VP=^(ip. Тогда для ц и С, получим
следующие уравнения:
-^' + (/ц)' = 0; /(;) = (!-О"; (24.11)
02
(24.12)
О1
т)(0, Т>) = 0; т|(оо, D) = n0. (24.13)
Поскольку пузырьки имеют минимальный и максимальный D2 диамет-
ры, то в момент времени t > 0 в рассматриваемом объеме имеются три области
(рис. 24.1), разделенные плоскими поверхностями контактного разрыва, такие
же, как в аналогичной задаче о седиментации суспензии (см. раздел 8.5).
Рассмотрим плоскость (z, t) (рис. 24.2) и прямые в этой плоскости:
— = ^=1; — = ^=4/<Wo). (24.14)
“st* “st* А
600
Рис. 24.1. Три области, возникающие
при разделении жидкогазовой смеси:
I — чистая жидкость; II — промежуточ-
ная область; III — зона постоянного
газосодержания
Область соответству-
ет однофазной области I, свобод-
ной от пузырьков. В ней п = О
и W= 0. В области %2 < °°>
соответствующей области III, при-
мыкающей к верхней межфазной
поверхности, — зоне постоянно-
го газосодержания, имеем т| = п0.
В третьей промежуточной обла-
сти II для любого значения ^*,
удовлетворяющего неравенству
< ^* < ^2, выполняются условия
о.
i-D*n0 dD =
J 6
D2
= ^(D^-D0;
24 *
Исключая из этих уравнений D*/D,, получаем зависимость объемной
концентрации пузырьков W от г и t:
f(W) =
MoDf I ?
24
(24.15)
Исключив из (24.15) No с по-
мощью соотношения (24.10), по-
лучим
_ дР% Г W f Oj Л ,
18у£|_пЦО4 J
X
xtf(W). (24.16)
На рис. 24.3 показана рас-
считанная зависимость W от для
различных значений начальной
объемной концентраций Wo.
Теперь можно определить долю
газовой фазы, оставшейся в объе-
ме в момент времени 0 < t < t2
Рис. 24.2. Характеристики уравнения
(24.14):
2; = pDpt/1 8v£, z2 = дР2 tfWQ/\ 8gnL
Рис. 24.3. Зависимость газосодержания W
от для различных значений начального
газосодержания
1 - «Г3; 2 - 7 • КГ2; 3 - 5 • 10“2; 4 - 2 • 10~2
(24.17)
и в момент времени t2 < t<, tt
Qi=~ jW°dz (2418)
t8v£
и, наконец, при t > t,
Q! = 0. (24.19)
Время t, = 18vLH/gDi может быть очень большим. Поэтому на практике
допускается некоторый унос газа вместе с жидкостью. Обычно оставшуюся
долю газа (остаточное газосодержание) задают. Таким образом из приведенных
выражений для Qf можно определить необходимое для этого время.
24.2. СЕПАРАЦИЯ В ПРОТОЧНОМ РЕЖИМЕ РАБОТЫ
Рассмотрим всплытие пузырьков в потоке, движущемся с постоянной про-
дольной скоростью U в плоском канале высоты Н. Тогда уравнение для рас-
пределения пузырьков по диаметрам п(х, z, D), где х — продольная координа-
та, имеет вид
U^- + Ust A[/(W)n] = 0. (24.20)
дх dz v J
К этому уравнению нужно добавить уравнения
= <24.21)
D2
W = fjD3n(z,t, D)dD. (24.22)
Di
Граничными условиями являются
п (0, z, D) = n0(D); п (.х, 0, D) = 0. (24.23)
Ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда на входе имеется
равномерное распределение пузырьков.
Решение поставленной задачи можно получить так же, как и в разделе 24.1
Разбиваем область O^x^L, G<y<H на три (рис. 24.4):
602
Рис. 24.4. Характеристика уравнения (24.20):
/ - т| = Г|г= W/0)/18vtL/; 2-т] = П1 =
= pO12/18vtCZ; 1 - W= W0(r| >Пг): 77 — W=0
(г| <г|,); /7/-W= W(r| = 2 = x) (г|,< и < Иг)
невозмущенная область Г. z/x > т], =
= gD%f(W/)/\8vLU. В ней п = п0 и
W= Wo;
область, полностью очищенная от
газовых пузырьков III'. z/x<x]l =
= дП, /18vlU. В этой области п = 0;
W = 0;
промежуточная область II: gD?/
18vlU < z/x < gDlf{W/l/\8vLU.
-^Г^-lLl
J
gP?
18vlU
1/2
xf(W).
(24.24)
Уравнение (24.24) позволяет найти минимальную длину сепаратора, кото-
рая при заданной производительности и высоте обеспечивает заданное остаточ-
ное газосодержание смеси на выходе.
Остаточное газосодержание на выходе можно определить, используя выра-
жения (24.17) — (24.19), в которых t нужно заменить на x/U. Объемный
расход газа, уносимого смесью из сепаратора,
н
Q0=U jw(L,z)dz. (24.25)
il/stl/V
Соответствующее значение на входе в сепаратор
Qm=UHW». (24.26)
Эффективность сепарации определяется долей газа, отделяемого от смеси
в сепараторе
ц = 1-^-. (24.27)
Уоо
Таким образом, задав ц, из (24.27) и (24.25) можно найти геометрические
размеры сепаратора (L или Н).
25
КОАГУЛЯЦИЯ ПУЗЫРЬКОВ в вязкой жидкости
До настоящего времени при исследовании динамики роста пузырьков
предполагалось, что пузырьки между собой не взаимодействуют. Подобное
предположение справедливо при малых значениях объемного содержания пу-
603
зырьков W« 1, поскольку среднее расстояние между ними Lav-Rav/>/w»Rm.
Так, для W~ 1(Г3 среднее расстояние между пузырьками оценивается как
£аа-107?аа, в то время как увеличение W до значяения -10“’ приводит к
уменьшению Lav до 3Rav. Если, кроме того, пузырьки увеличиваются в размерах
за счет диффузионного роста, то среднее расстояние между пузырьками стано-
вится со временем еще меньше. Следовательно, в процессе роста газовых пу-
зырьков либо в условиях пересыщения смеси, либо с падением давления, напри-
мер при движении жидкогазовой смеси в длинных вертикальных трубах (сква-
жинах), их объемное содержание может значительно увеличиться, что приводит
к необходимости учитывать взаимодействие пузырьков, в частности их коагу-
ляцию.
Дисперсность жидкогазовой смеси можно характеризовать непрерывным
распределением пузырьков по объемам n(V, t, Р) в момент времени t в точ-
ке Р рассматриваемого объема. Распределение п удовлетворяет кинетическому
уравнению, которое с учетом диффузионного роста и коагуляции пузырьков в
пренебрежении их дроблением имеет вид
+ V • (Un) + А
dt dV
^coag j
(25.1)
v
Zcoag = j^(®, V - co) n (V - co, t, P) n (co, t, P) da -
0
- n (V, t, p) Jk(co, V) n (co, t, P) da.
о
Уравнение (25.1) представляет собой баланс числа пузырьков объма V в
пространстве (V, t, Р). Входящий в правую часть (dV/dt)D имеет смысл
скорости изменения объема пузырька за счет диффузионного роста или за счет
падения давления в системе при всплытии пузырька в столбе смеси. В правой
части расположен столкновительный член, который характеризует изменение
распределения за счет коагуляции пузырьков с учетом только парных взаимо-
действий. Механизм взаимодействия пузырьков определяется константой коа-
гуляции К(а, V), равной частоте столкновений пузырьков объемам и <о и V при
их единичной концентрации. Основным свойством константы коагуляции явля-
ется симметричность относительно объемов К(а, V)=K(V, <о).
Второе слагаемое в левой части — конвективный перенос пузырьков, при-
чем скорость и равна скорости движения пузырька объемом V. Считаем пу-
зырьки достаточно малыми, поэтому и = а7?2, причем для пузырьков с полно-
стью заторможенной поверхностью а = 2Др^/9ц£, а для пузырьков со свобод-
ной поверхностью а = Др^/Зц£. Заметим, что здесь не учтена стесненность
движения пузырьков, в противном случае а будет зависеть и от объемного
содержания пузырьков W. Одна из таких зависимостей предложена в [8]
введением в а поправочного множителя А.( W) = (1 - W)2.
Если выражения для (dV/dt)D и К(а, V) известны, то, решив уравнение
(25.1), найдем численную N и объемную W концентрации пузырьков, а также
их средний объем Vav= W/N. Выражения для (dV/dt)D были получены в
разделе 22. В этом разделе будут получены выражения для К(а, V) и рассмот-
рены некоторые простые решения кинетического уравнения.
604
25.1. КОАГУЛЯЦИЯ ПУЗЫРЬКОВ В ЛАМИНАРНОМ ПОТОКЕ
В ламинарном потоке константа коагуляции К пропорциональна сечению
захвата пузырька объемом V пузырьков объемом со, а в турбулентном потоке —
потоку пузырьков объемом <о на выделенный пузырек объемом V.
Рассмотрим движение пузырьков в ламинарном потоке. Их взаимодей-
ствие обусловлено, с одной стороны, разностью скоростей движения относитель-
но жидкости за счет различных размеров, а с другой — молекулярными силами
взаимодействия. За счет различных размеров происходит их сближение на
относительно больших по сравнению с радиусами пузырьков расстояниях. На
малых расстояниях возникают силы сопротивления, которые препятствуют сближе-
нию. На этих же расстояниях начинает действовать сила притяжения Ван-дер-
Ваальса, которая обеспечивает эффективный захват пузырьков. Заметим, что
если происходит сближение пузырьков с полностью заторможенной поверхно-
стью, то сила гидродинамического сопротивления при малых зазорах 8 между
поверхностями пузырьков сингулярна Fh - 8-1, поэтому столкновение пузырьков
невозможно без учета силы Ван-дер-Ваальса. При сближении пузырьков со
свободной поверхностью Fh - 8“,/2. В отличие от первого случая эта особенность
интегрируема, поэтому пузырьки со свободной поверхностью могут столкнуться
и без учета силы молекулярного притяжения. Следует также заметить, что при
малых зазорах поверхности пузырьков в области контакта могут заметно де-
формироваться и принимать плоскую форму. Однако если размеры пузырьков
достаточно малы, то на таких расстояниях их сближение контролируется силой
молекулярного притяжения и деформация поверхностей не будет заметно вли-
ять на скорость сближения.
Ограничимся случаем быстрой коагуляции, считая, что каждое столкнове-
ние пузырьков приводит к их слиянию. Сближение пузырьков в ламинарном
потоке проводится на основе анализа траекторий относительного движения
пузырьков. Уравнения безынерционного движения пузырька радиусом а отно-
сительно большого пузырька радиусом Ь в квазистационарном приближении
записываются в виде
F„+Fm=0; ^г = иа, (25.2)
at
где Fh — гидродинамическая сила, действующая на пузырек; Fm — сила молеку-
лярного взаимодействия; га — радиус-вектор центра пузырька радиусом а в
системе координат, связанной с центром второго пузырька радиусом Ь; и„ —
скорость движения пузырька радиусом а относительно пузырька радиусом Ь.
Рассмотрим взаимодействие пузырьков со свободной поверхностью. По-
скольку скорость пузырька имеет две составляющие, направленные вдоль ли-
нии центров и перпендикулярно к ней, то гидродинамическая сила Fh тоже
имеет две составляющие. На больших расстояниях между пузырьками сила Fh
мало отличается от стоксовой -4лц£й17, где 17 — скорость потока вдали от
капель, на малых расстояниях вторая составляющая по-прежнему незначитель-
но отклоняется от стоксовой, а составляющая, направленная по линии центров,
существенно отличается от стоксовой Поэтому представим Fh в виде
Fh = Fhe + Fhs; Fk =-^La{ua-U\ (25.3)
где Fta — стоксовая сила; Fhe — сила центрального сближения пузырьков, отли-
чающаяся от стоксовой и учитывающая влияние пузырька радиусом Ь.
В рассматриваемом движении все силы, а следовательно, и траектории
605
движения пузырька лежат в плоскости, проходящей через линию центров и
параллельной скорости потока на бесконечности.
Задавшись начальным положением одного пузырька относительно другого,
можно определить семейство траекторий, часть из которых заканчивается на
поверхности пузырька радиусом Ь, а остальные проходят мимо. Назовем тра-
ектории, разделяющие эти два семейства, предельными. Вдали от пузырька
радиусом b они образуют цилиндрическую поверхность кругового поперечного
сечения. Назовем площадь этого сечения сечением завата пузырьком радиусом
b пузырьков радиусом а < Ь.
Предположим, что маленький пузырек радиусом а не искажает поле ско-
ростей жидкости, обтекающей большой пузырек. Тогда
Ur =L7J|-l]cose; 17» =L/J1-A\ine. (25.4)
Для простой оценки силы Fhe при малых зазорах 8 между поверхностями
пузырьков, воспользуемся выражением для случая приближения пузырька к
плоской свободной поверхности [9]
Fhe = 1,2 ity.Lauan
(of
I8 J
(25.5)
где uan — нормальная к свободной поверхности составляющая скорости пу-
зырька.
В случае сближения двух пузырьков с различными радиусами а и b в
формулу (25.5) вносится поправка
/ у/2/
Fhe = 1,2лц£шгЦ-^ • (25.6)
На малых расстояниях силу молекулярного притяжения пузырьков можно
представить в виде
<257>
где Г — постоянная Гамакера, имеющая порядок 10~'9 Дж.
Теперь уравнения движения пузырька радиусом а с учетом выражений
для действующих на него сил можно записать в виде
4яц£д- 1 + 0,38-1'Т
4яц£дг^ = 4np£a(7„^l--^cos9. (25.8)
Введем следующие безразмерные переменные:
ab3 | аг
(.а + Ь)3 j dt
При этом система уравнений (25.8) преобразуется к виду
1 + озГ________________________к-_____=
606
R Ф056 (k+iXR-k-tf ’
7?^ = f1-41sine;
dx R) ’
(25.9)
R = Ro; 9 = 0O при т = 0.
Если вязкое сопротивление и молекулярное взаимодействие отсутствуют,
то траектории совпадают с линиями тока:
[7? (R -1) К2 sin 9 = С, (25.10)
где С — постоянная интегрирования.
В рассматриваемом случае критическая траектория приводит к контакту
пузырьков при 0 = тг/2и7?=1 + й. Это условие позволяет найти С = Jk(k + 1).
Теперь можно найти безразмерный радиус сечения захвата
= lim Rsin9 = Jk(k + 1). (25.11)
Л-^оо
Без учета силы Ван-дер-Ваальса (5А = 0), но с учетом вязкого сопротивле-
ния решение может быть найдено в квадратурах
JR (R +1) cos 9 = С ехр
0,3
(k +1)2
R-k-l
k + l
ГТ 7 , I J? - fe - 1
+ +1 arctg J—-——
\ k +1
Используя (25.12), так же как и в предыдущем
случае, нетрудно найти безразмерный радиус сечения
захвата
l2=Jk(k+f) ехр
0,15я
(fe + I)2
(25.13)
Из выражений (25.11) и (25.12) следует, что
учет вязкого сопротивления уменьшает сечение
столкновения. В диапазоне 0 < k < 0,6 отношение
0,59 < /2/Ц < 0,67. Таким образом, учет вязкости
без учета силы Ван-дер-Ваальса уменьшает радиус
сечения захвата почти в 1,6 раза, а следовательно,
частоту коагуляции — в 2,6 раза.
В общем случае с учетом как вязких, так и
молекулярных сил уравнение (25.9) интегрировалось
численно. Характерные траектории показаны на рис. 25.1,
а на рис. 25.2 представлены зависимости безразмер-
ного радиуса сечения захвата от отношения радиу-
сов пузырьков для различных значений параметра
молекулярного взаимодействия SA. Там же для срав-
нения приведены зависимости lt и /2 от k.
Рис. 25.1. Траектории движения маленького пузырька относи-
тельно большого (k “ 0,2; SA “ 10-2)
(25.12)
(jfe +V& + 1)
607
I
Рис. 25.2. Зависимость радиуса сечения захвата I от k для различных зна-
чений SA.
1 - 10“2; 2 - 10/ 3 - 10/ 4 - 10/ 5 - 10"6; 6 - 10~7; 7 - /,; 8 - /2
В случае гравитационного всплытия пузырьков в покоящейся жидкости
= 0Др/Зць Ар = pL - pG « pL и = Г/4лц,Ь2(7„ = ЗГ/4лр^Ь4. Так, для значе-
ний р£= 103 кг/м3; <7 = 10 м2/с; Г = 10~'9 Дж имеем SA = 10'23/4б4. В частности,
для пузырьков радиусом b= 10-4 м имеем SA = 10 7, а для Ь= 10~5 м SA = 10“3.
Константа коагуляции
К = пЬ212\иь -ив\ = 7tpLgb4\\- k2\l2/3pL. (25.14)
Теперь можно определить К для различных моделей столкновения.
1. Столкновение без учета вязкой и молекулярной сил.
При этом из (25.11) и (25.14) находим
К, =ЗЦ£- = |1-А2|(1 + К)К. (25.15)
Величина К, принимает макси-
мальное значение Kim = 0,62 при
k = 0,65 (рис. 25.3). Это означает,
что наибольшую вероятность столк-
нуться имеют пузырьки с отноше-
нием радиусов а/Ь =0,65.
2. Столкновение с учетом вяз-
кой силы, но без учета силы Ван-
дер-Ваальса.
В этом случае из (25.13) и
(25.14) найдем
К2 = |1 - А2|(1 + k) kx
хехрГ_^(Д + 7ГГ1)1. <25.16)
L (к+1)2 ' .
Рис. 25.3. Зависимость константы коагуля-
ции Kt от k для различных значений
1 - 10/ 2 - 10J; 3 - 1<Г“; 4 - Ю’5; 5 -
6 - К2
Максимальное значение К2 =0,33 достигает при k = 0,68 (см. рис. 25.3).
Таким образом, при учете вязкой силы максимальная вероятность столкновения
почти в 2 раза меньше, чем в случае, когда вязкой силой пренебрегаем. При
этом максимальное значение достигается практически при таком же значении
отношения радиусов.
3. Столкновение с учетом вязкой и молекулярной сил.
В рассматриваемом случае
К3 =|1-/г2|(1 + /г)/32.
(25.17)
Зависимость К3 от k и S„ показана на рис. 25.3. Сравнение со случаями
1 и 2 показывает, что учет молекулярной силы существенен при SA > 10 4. При
меньших значениях SA можно пользоваться выражением (25.16).
25.2. КОАГУЛЯЦИЯ ПУЗЫРЬКОВ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
При турбулентном режиме течения поток пузырьков объемом со на выде-
ленный пузырек объемом V можно рассматривать как диффузионный поток с
эффективным коэффициентом диффузии DT. Рассмотрим пузырек объемом V,
помещенный в турбулентный поток жидкости, содержащий пузырьки объемом со
с численной концентрацией п. В предположении, что процесс стационарный и
сферически симметричный, имеем следующее уравнение, описывающее распре-
деление н(г):
(25.18)
Здесь Fm — сила молекулярного взаимодействия пузырьков; Н(г) — коэф-
фициент гидродинамического сопротивления в выражении
Fh = -Н(г)и.
В турбулентном потоке (см. раздел 11.3)
(25.19)
DT = £>/—?,
' \н ) ’
(25.20)
где £>0(г) — коэффициент турбулентной диффузии при нестесненном движении
пузырьков (Н = Но); Н0 = 4лц£а. Выражение для сопротивления Н было полу-
чено в разделе 25.1:
Н = 4лцла 11 + 0,38~1/2
(25.21)
В турбулентном потоке на среднее движение накладываются турбулентные
пульсации, имеющие разные амплитуды и характеризующиеся как скоростью щ,
так и расстоянием, на котором скорость пульсаций претерпевает заметное изме-
нение. Эти расстояния называются масштабом пульсаций. Каждому из них
можно поставить в соответствие число Рейнольдса Rez = w,X/v;. Для крупных
пульсаций X ~ L, где L — характерный линейный масштаб области, вязкие силы
не оказывают заметного влияния, в то время как для малых пульсаций они
могут доминировать. Масштаб Хо, для которого Re; = 1, называется внутренним
масштабом турбулентности. Для пульсаций с X < Хо вязкие силы существенны.
39 - 1461 609
Под действием пульсаций пузырьки совершают хаотические движения. В [10]
показано, что вид Do зависит от того, под действием каких пульсаций пузырьки
совершают относительное случайное движение:
_ к а2 л2 ~(£/vJ,/2Z2
° еА4/3
при А<А0,
при А > Ао.
(25.22)
Рассмотрим, какие пульсации могут заставить сблизиться два пузырька
радиусами а и Ь. Для определенности считаем а < Ь. Пульсации с А » b будут
просто переносить оба пузырька, не сближая их, в то время как пульсации с
А < b будут сближать оба пузырька. Для предельного случая а « b сближение
происходит под действием масштаба X ~ г — Ь — а, ав другом случае — при а - b —
под действием масштаба А ~ г + а. Объединяя оба случая, получаем
Ло
1 ab(a +Ь)
Г-Ь + ——--------г
a2 + о2- - ао
(25.23)
Теперь, используя выражения (25.20), (25,21) и (25.23), находим
V£ г - b + abta + b)/(a2 + b2 - ab)
Л.], 1 + 0,3(аЬ3)1/2/(г - а - (ab)3/2 а
(25.24)
Частота столкновений пузырька радиусом b с пузырьками радиусом а
равна диффузионному потоку
JT = 4л62
< d'r=a+b
(25.25)
Уравнение (25.18) интегрируем при условиях п = 0 при г = а + Ь и п->п0
при г —> СО.
Заметим, что в отличие от коагуляции в ламинарном потоке коагуляция в
турбулентном потоке невозможна в отсутствие молекулярных сил, поскольку
DT~8 при 8 = г~а~Ь—>0. Поэтому соответствующий интеграл, входящий в
решение уравнения диффузии, имеет неинтегрируемую особенность, которая
может быть ликвидирована только введением силы молекулярного притяжения,
возрастающей как 8“2 при 8 —> 0.
Решение уравнения (25.18) приводит к следующему выражению для диф-
фузионного потока:
Jt
Fm(®
Н(£)Г)т<Х)
(25.26)
Перейдем к безразмерным переменным:
г - а - Ь , l _ Д. 75 — • с _ ХоГ
b ’ b ’ Т ’ т ^riPib2V2,
При этом
Dj- =
-12
х + k + k (k + 1)/(Л2 - k + 1)
1 + 0,3ft1/2 Л1/2(1 + ft)3/2
и
610
Jt
4itnov Lb3
,2
ло
sm o,34k
(к + о J + w3/2
X £-2 i, + k +
k(k +1) ) 2
k2 - k + 1J
o,34k
VHi + fe)3/2
x (x +1 + /г)-1 x +
k(k2 +2)Y‘
k2 - k + 1J
(25.27)
dx .
На рис. 25.4 показана зависимость JT = JT4a/4nnav Lb:i от отношения ра-
диусов пузырьков k для различных значений параметра молекулярного взаимо-
действия Sm. Отметим две особенности коагуляции пузырьков в турбулентном
потоке: поток слабо зависит от Sm и достигает наибольшего значения при k = 1.
Это означает, что наибольшей вероятностью столкновения обладают пузырьки
одинакового размера.
Сравним теперь частоты столкновения пузырьков в ламинарном и турбу-
лентном потоках. Для JT используем выражение (25.27), а для J, — следующее:
J/ = 7rgb4n0K/3vt,
где К определяется выражением (25.17).
Рис. 25.4. Зависимость потока Jt от k для
различных значений S„:
1 - 10“2; 2 - 10“7
Рис. 25.5. Зависимость отношения JT/Ji от
k для различных значений SA (Sm= 105Д:
1 - 10“7; 2 - 10“5
39*
611
Возьмем Zo= 10“3 м; Ь=10“4 м; v, = 105 м2/с. При этом
Зависимость отношения JT/Jt от k для выбранных значений параметров
представлена на рис. 25.5. Видно, что для пузырьков, значительно отлича-
ющихся по размерам (k « 1), имеем JT~Ji, в то время как для пузырьков
близких размеров (/г~1) имеем JT>> Jh
25.3. КИНЕТИКА КОАГУЛЯЦИИ ПУЗЫРЬКОВ
Полученные ранее выражения для частот столкновения пузырьков в ла-
минарном и турбулентном потоках позволяют найти константы коагуляции
К(а>, V) и перейти к решению кинетического уравнения (25.1). Поскольку
решение в общем случае представляет значительные математические трудности,
ограничимся рассмотрением ряда простых частных случаев.
Пусть процесс коагуляции протекает таким образом, что распределение
пузырьков по объемам зависит только от времени t. Кроме того, примем, что
укрупнение пузырьков происходит только за счет их коагуляции. Тогда кине-
тическое уравнение примет вид
§ = /eoag; n(v, O) = no(V); (25.28)
Icmg = - Jk (co, V - co) п (V - co, t) n (co, t) ofco -
0
-n(V,
о
Будем решать это уравнение методом моментов, используя параметрическое
представление и принимая, что распределение в начальный момент имеет вид
гамма-распределения и в дальнейшем остается в этом классе распределений.
Этот метод подробно рассмотрен в п. 11.1 раздела V. Ограничившись двумя
первыми моментами ти0 и тх, получим для их определения следующие уравнения:
(25.29)
-^г- + т0 тг = —I f fкV)n(V, t)dVd<£>;
Ot Vn z J J
0 0
3m' . 2m — - O’ V - Vav
St +Zm' v0“U> V°-TT1-
Здесь Vo и k — параметры гамма-распределения; VetI — средний объем пу-
зырьков.
В начальный момент имеем
N0(* + l) /пч Ш(|(/г + 1)2
то(О) = —------; т,(0) =
V2
avO
где No и 1VO - начальные значения численной и объемной концентраций пу-
зырьков; Vav0 — начальный средний объем пузырьков.
Из второго уравнения (25.29) следует, что объемная концентрация пузырь-
ков W остается постоянной, а из первого уравнения следует, что
dN 1 (/г + 1)2 ДМ(/)Т72 Ст/ \
^Г = ~1[га + 1)12 - уоФ(Ю;
(25.30)
612
CD CD
<?<Vav) = j\к(Уох, V^y)xnjhe-xe-ydxdy.
о 0
Рассмотрим теперь некоторые модели взаимодействия пузырьков.
1. Взаимодействие пузырьков без учета силы вязкого сопротивления и
силы молекулярного притяжения, гравитационное расслоение пузырьков.
Выражение для константы коагуляции определяется выражением (25.15),
которое после введения в нем объемов вместо радиусов примет вид
/ \ 2/3 / \
К (со, V) = | — I -^У2/з|у2/3 _ Ш2^| ®М[1+ «Ц]
(25.31)
где
Подставляя (25.31) в (25.30), получаем
/ \2/3
= ± РА£и/-!/з^ру2/3; х(о) = дг
dt I 4л J Зц/,
(25.32)
3 r(2fe + io/3)
4 [r(fe+l)]2(fe + l)4/322i+10/3
1 nt. 10 , 7 1
--------Ф 1; 2k + —; « + —; -
k + 4/3 / 3 3 2
1
/г+ 7/3
Ф 1;
10
2k + —;
3
, 9 1
k + --, -
3 3
Г(х) — гамма-функция; Ф(а; P; у; z) — гипергеометрическая функция; значения \k
следующие: Хо= 0,4639; А., = 0,515; А.2 = 0,5648; А.3 = 0,6095; /, = 0,6893.
Решение уравнения (25.32) имеет вид
/ \ з
Л7(т) = дЦ1-^°/ ;
з PLgv'^t
4лJ 3nt
(25.33)
Число пузырьков со временем уменьшается. Средний объем и дисперсия
распределения со временем увеличиваются по закону
Vm =К.о[1-^р1У; a* =Q^l-bpf) 6. (25.34)
Характерное время коагуляции оценивается как
^coag
(25.35)
Теперь можно оценить время, за которое средний объем пузырька увели-
чится в заданное число раз. В качестве примера рассмотрим начальное распре-
деление пузырьков при k = 2. Тогда время, за которое объем капли увеличится
в 2 раза, составляет т - 7/4A.2W0 = 3,13/Wo, или в размерном виде t~10vL/
Для значений v, = 5 • 10“6 м2/с; Hz0 = 10“2; Rav0 = 10"5 м имеем t ~ 50 с.
2. Модель коагуляции с учетом силы вязкого сопротивления, но без учета
силы Ван-дер-Ваальса. В рассматриваемом случае выражение для константы
коагуляции определяется соотношением (25.16), которое отличается от (25.15)
множителем
613
g(k) = exp
0,15л
(ГЙ7
Эта функция имеет минимум при k = 1 /15 и принимает наибольшее зна-
чение при k = 0 в интервале 0 < k < 1, причем отличие между наибольшим и
наименьшим значениями невелико. Поэтому для оценки примем <у(/г) = 0,33.
Повторяя выполненные выше выкладки, получаем уравнение вида (25.32), в
котором вместо нужно взять Xk = 0,331*,. Поскольку время коагуляции (25.35)
содержит Кк в знаменателе, то в рассматриваемом случае оно увеличивается в
3 раза по сравнению с предыдущим случаем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гупало Ю. П., Полянин А. Д., Рязанцев Ю. С. Массообмен реагирующих частиц с
потоком, — М.: Наука, 1985,— 336 с.
2. Рулев Н. Н. Гидродинамика всплывающего пузырька//Коллоидный журн. — 1980.—
Т. 42,— № 2.— С. 252-263.
3. Plesset M.S., Zwick S. A. A nonsteady heat diffusion problem with spherical symmetry//
J. Appl. Phys.- 1952,-V. 23,- № 1,- P. 95-99.
4. Фридрихсберг Д. А. Курс коллоидной химии, — Л.: Химия, 1974,— 352 с.
5. Гончаров В. К., Клементьева Н. Ю. Исследование влияния пленки поверхностно-актив-
ных веществ на растворение движущегося в морской воде пузырька//Изв. РАН. Физика атмос-
феры и океана, — 1995,— Т. 31,— № 5.— С. 705 — 712.
6. Фольмер М. Кинетика образования новой фазы, — М.: Наука, 1986,— 208 с.
8. Уоллис Г. Одномерные двухфазные течения, — М.: Мир, 1972,— 440 с.
9. Waholder Е., Weihs D. Slow motion of fluid sphere in the vicinity of another sphere or
a plane boundary//Chem. Eng. Sci.- 1972,-V. 27.-№ 10,-P. 1817-1827.
10. Левич В. Г. Физико-химическая гидродинамика. — М.: ГИФМЛ, 1959,— 699 с.
11. Шлыкова М. П. Экспериментальный анализ гидродинамических процессов при разделе-
нии газожидкостных смесей: Диссертация канд. техн, наук. — М.: МИНГ им. И. М. Губкина,
1986,- 136 с.
614
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.................................................................... 5
I. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ПОДГОТОВКИ ПРИРОДНЫХ УГЛЕ-
ВОДОРОДОВ К ТРАНСПОРТУ ........................................................ 7
ВВЕДЕНИЕ....................................................................... 7
1. Технологические схемы установок комплексной подготовки нефти, газа и конденсата
к транспорту ................................................................. 10
2. Конструкция типовых аппаратов ............................................ 16
2.1. Сепараторы, разделители и отстойники ..................................... 16
2.2. Абсорберы................................................................. 31
2.3. Охлаждающие устройства.................................................... 40
3. Основные процессы разделения многофазных многокомпонентных углеводородных
смесей ........................................................................ 42
Список литературы............................................................. 43
II. ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ...................... 45
4. Явления переноса ......................................................... 45
4.1. Феноменологические модели ............................................... 45
4.2. Перенос количества движения.............................................. 46
4.3. Теплопроводность и перенос тепла......................................... 50
4.4. Диффузия и перенос массы................................................. 50
4.5. Электропроводность и перенос заряда...................................... 53
5. Уравнения сохранения и состояния ......................................... 54
5.1. Изотермические процессы.................................................. 54
5.2. Неизотермические процессы................................................ 58
5.3. Многокомпонентные смеси.................................................. 61
5.4. Многофазные смеси........................................................ 64
5.5. Заряженные смеси......................................................... 68
5.6. Критерии подобия......................................................... 70
5.7. Уравнения состояния...................................................... 74
5.8. Баланс энтропии. Соотношения взаимности Онзагера......................... 83
Список литературы.............................................................. 91
III. РАСТВОРЫ ................................................................ 92
6. Растворы, содержащие незаряженные компоненты ............................. 92
6.1. Диффузия и кинетика химических реакций................................... 92
6.2. Конвективная диффузия.................................................... 96
6.3. Течение в канале с реагирующей стенкой................................... 99
6.4. Обратный осмос............................................................ 102
6.5. Диффузия к движущейся в растворе твердой частице........................ 108
6.6. Распределение вещества, введенного в поток жидкости ...................... ИЗ
6.7. Диффузионный поток при естественной конвекции........................... 117
6.8. Динамика пузырька в растворе............................................ 121
6.9. Испарение многокомпонентной капли в инертный газ........................ 125
6.10. Гель-хроматография..................................................... 132
6.11. Капиллярная модель низкопроницаемой пористой среды..................... 136
7. Растворы электролитов ................................................... 137
7.1. Электролитическая ячейка................................................ 137
7.2. Электродиализ .......................................................... 144
7.3. Двойной электрический слой.............................................. 149
7.4. Электрокинетические явления ............................................ 152
615
7.5. Электроосмос................................................................. 153
Список литературы................................................................. 158
IV. СУСПЕНЗИИ И КОЛЛОИДНЫЕ СИСТЕМЫ ............................................... 159
8. Суспензии, содержащие незаряженные частицы................................... 159
8.1. Микрогидродинамика частиц.................................................... 159
8.2. Броуновское движение......................................................... 170
8.3. Вязкость разбавленных суспензий ............................................. 178
8.4. Сепарация в поле силы тяжести................................................ 183
8.5. Сепарация в поле центробежных сил............................................ 191
9. Суспензии, содержащие заряженные частицы .................................... 197
9.1. Заряд частиц ................................................................ 197
9.2. Электрофорез................................................................. 198
9.3. Движение капли в электрическом поле......................................... 203
9.4. Седиментационный потенциал............................................. 206
10. Устойчивость суспензий, коагуляция частиц и осаждение частиц иа препятствиях 207
10.1. Устойчивость коллоидных систем ............................................. 207
10.2. Броуновская, градиентная (сдвиговая) и турбулентная коагуляция.............. 214
10.3. Осаждение частиц на препятствиях............................................ 221
10.4. Захват частиц с учетом поверхностных и гидродинамических сил................ 225
10.5. Инерционное осаждение частиц на препятствиях ............................... 232
10.6. Кинетика коагуляции......................................................... 234
10.7. Фильтрование и модель высокопроницаемой пористой среды с сопротивлением... 236
10.8. Явление гидродинамической диффузии.......................................... 239
Список литературы................................................................. 240
V. ЭМУЛЬСИИ ...................................................................... 243
11. Поведение капель в эмульсиях ................................................ 244
11.1. Динамика процесса укрупнения капель......................................... 244
11.2. Основные механизмы коалесценции капель...................................... 252
11.3. Движение капель в турбулентном потоке жидкости.............................. 257
11.4. Силы гидродинамического взаимодействия капель............................... 263
11.5. Молекулярная и электростатическая силы взаимодействия капель................ 267
11.6. Проводящие капли в электрическом поле ..................................... 270
11.7. Дробление капель............................................................ 274
12. Взаимодействие двух проводящих капель в однородном внешнем электрическом
поле ............................................................................. 280
12.1. Потенциал электрического поля в пространстве вне капель..................... 280
12.2. Напряженность электрического поля в зазоре между каплями ................... 286
12.3. Силы взаимодействия двух сферических проводящих капель...................... 291
12.4. Силы взаимодействия двух удаленных друг от друга капель..................... 296
12.5. Взаимодействие двух соприкасающихся капель.................................. 297
12.6. Силы взаимодействия двух близко расположенных капель........................ 307
12.7. Перераспределение зарядов проводящих капель................................. 314
13. Коалесценция капель.......................................................... 317
13.1. Коалесценция капель в процессе осаждения в гравитационном поле.............. 317
13.2. Кинетика коалесценции капель при гравитационном расслоении эмульсии в электри-
ческом поле....................................................................... 331
13.3. Гравитационная седиментация бидисперсной эмульсии в электрическом поле.... 336
13.4. Влияние электрического поля на процесс сепарации эмульсии в гравитационном от-
стойнике ......................................................................... 338
13.5. Прохождение эмульсии через электрические фильтры........................... 342
13.6. Коалесценция капель с полностью заторможенной поверхностью в турбулентном потоке
эмульсии.......................................................................... 347
13.7. Коалесценция капель с подвижной поверхностью в турбулентном потоке эмульсии 353
13.8. Коалесценция проводящих капель эмульсии в турбулентном потоке в присутствии
внешнего электрического поля...................................................... 364
13.9. Кинетика коалесценции капель эмульсии в турбулентном потоке................. 368
Список литературы................................................................. 370
616
VI. ГАЗОЖИДКОСТНЫЕ СМЕСИ ....................................................... 374
14. Формирование жидкой фазы в потоке газа .................................... 374
14.1. Формирование жидкой фазы в отсутствие конденсации......................... 375
14.2. Образование жидкой фазы в процессе конденсации ........................... 378
15. Коалесценция капель в турбулентном потоке газа ............................ 386
15.1. Инерционный механизм коагуляции........................................... 387
15.2. Механизм турбулентной диффузии ........................................... 389
15.3. Коалесценция полидисперсного ансамбля капель ............................. 392
16. Образование жидкой фазы в устройствах предварительной конденсации.......... 397
16.1. Конденсационный рост капель в покоящейся газожидкостной смеси............. 397
16.2. Конденсационный рост капель в турбулентном потоке газожидкостной смеси... 405
16.3. Укрупнение капель при прохождении газожидкостной смеси через устройства предва-
рительной конденсации.......................................................... 413
16.4. Образование жидкой фазы в дросселирующем устройстве ...................... 417
16.5. Образование жидкой фазы в теплообменнике ................................. 425
17. Поверхностное натяжение ................................................... 431
17.1. Физика поверхностного натяжения........................................... 431
17.2. Капиллярное движение...................................................... 436
17.3. Смачивающее течение ..................................................... 439
17.4. Волны на поверхности жидкости и дробление струй........................... 443
17.5. Течения, вызванные градиентом поверхностного натяжения. Эффект Марангони. 451
17.6. Распыливание жидкости и дробление капель в потоке газа.................... 461
18. Эффективность разделения газожидкостных смесей в сепараторах............... 467
18.1. Влияние неоднородности профиля скорости на коэффициент эффективности гравита-
ционного сепаратора ............................................................ 469
18.2. Коэффициент эффективности горизонтального гравитационного сепаратора..... 471
18.3. Коэффициент эффективности вертикального гравитационного сепаратора........ 476
18.4. Влияние фазовых превращений на коэффициент эффективности сепаратора...... 478
18.5. Влияние коалесценции капель на коэффициент эффективности сепаратора ...... 483
18.6. Влияние кривизны стенок сепаратора на коэффициент эффективности........... 484
18.7. Влияние расстояния от устройства предварительной конденсации до сепаратора на
коэффициент эффективности ...................................................... 485
19. Эффективность разделения газожидкостных смесей в сепараторах с каплеулови-
тельными насадками.............................................................. 487
19.1. Коэффициент эффективности сепаратора с жалюзийной насадкой................ 488
19.2. Коэффициент эффективности сепаратора с мультициклонной насадкой .......... 490
19.3. Коэффициент эффективности сепаратора со струнной насадкой................. 495
19.4. Коэффициент эффективности сепаратора с сетчатой насадкой ................. 505
20. Абсорбционное извлечение тяжелых углеводородов и паров воды из природного
газа............................................................................ 508
20.1. Прямоточная абсорбция тяжелых углеводородов............................... 509
20.2. Многоступенчатая прямоточная абсорбция тяжелых углеводородов.............. 513
20.3. Противоточная абсорбция тяжелых углеводородов............................. 518
20.4. Осушка газа от влаги в условиях прямотока................................. 521
20.5. Осушка газа от влаги в противоточном абсорбере с высокоскоростными сепарацион-
но-контактными элементами....................................................... 529
21. Предотвращение образования гидратов в природном газе....................... 534
21.1. Динамика массообмена капель ингибитора гидратов с углеводородным газом... 538
21.2. Эволюция спектра капель ингибитора гидратов, вводимых в турбулентный поток ... 547
Список литературы............................................................... 559
VII. Жидкогазовые смеси......................................................... 562
22. Динамика газовых пузырьков в многокомпонентной жидкости................... 563
22.1. Движение нерастущего пузырька в бинарном растворе ........................ 565
22.2. Диффузионный рост неподвижного пузырька в бинарном растворе .............. 568
22.3. Начальная стадия роста пузырька в многокомпонентном растворе.............. 571
22.4. Динамика пузырька в многокомпонентном растворе............................ 574
22.5. Влияние поверхностно-активных веществ на рост пузырька ................... 576
23. Сепарация жидкогазовых смесей.............................................. 580
617
23.1. Дифференциальная сепарация бинарной смеси ................................. 582
23.2. Контактная сепарация бинарной смеси....................................... 585
23.3. Дифференциальная сепарация многокомпонентной смеси......................... 587
23.4. Сепарация движущегося слоя................................................ 592
24. Сепарация с учетом стесиенности всплытия пузырьков ........................ 598
24.1. Сепарация в режиме периодической откачки .................................. 599
24.2. Сепарация в проточном режиме работы........................................ 602
25. Коагуляция пузырьков в вязкой жидкости ................................... 603
25.1. Коагуляция пузырьков в ламинарном потоке ................................. 605
25.2. Коагуляция пузырьков в турбулентном потоке ............................... 609
25.3. Кинетика коагуляции пузырьков............................................. 612
Список литературы............................................................... 614
CONTENS
PREFACE ................................................................................. 5
I. TECHONOLOGICAL COMPONENTS FOR PREPARING NATURAL HYDROCARBON
BE FORE TRANSPORT........................................................................ 7
INTRODUCTION............................................................................. 7
1. Technological Schemes of Oil, Gas and Condensate Treatment before Transport...... 10
2. Design of typical Facilities ....................................................... 16
2.1. Separators and Settlers........................................................... 16
2.2. Absorbers.......................................................................... 31
2.3. Coolers ........................................................................... 40
3. Main Processes of Multiphase Multicomponent Hydrocarbon Mixture Separation....... 42
References............................................................................... 43
II. PHYSICO-CHEMICAL FUNDAMENTALS OF TECHNOLOGICAL PROCESSES. .. 45
4. Transport Phenomena ................................................................ 45
4.1. Phenomenolodical Models .......................................................... 45
4.2. Momentum Transport ............................................................... 46
4.3. Thermal Conductivity and Heat Transport .......................................... 50
4.4. Diffusion and Mass Transport...................................................... 50
4.5. Electrical Conductivity and Charge Transport...................................... 53
5. Equations of Conservation and State ................................................ 54
5.1. Isothermal Processes.............................................................. 54
5.2. Nonisothermal Processes........................................................... 58
5.3. Multicomponent Solutions.......................................................... 61
5.4. Multiphase Mixtures............................................................... 64
5.5. Charged Species................................................................... 68
5.6. Similarity Parameters ............................................................ 70
5.7. Equations of State................................................................ 74
5.8. Entropy Balance and Onsager Reciprocal Relations ................................. 83
References............................................................................... 91
III. SOLUTIONS.......................................................................... 92
6. Noncharged Solutions................................................................ 92
6.1. Diffusion and Chemical Reaction Kinetics.......................................... 92
6.2. Convective Diffusion.............................................................. 96
6.3. Flow in Channel with Reacting Walls............................................... 99
6.4. Reverse Osmosis.................................................................... 102
6.5. Diffusion to Solid Particle moving in Solution................................... 108
6.6. Distribution of Fluid injected in another Miscible Fluid .......................... 113
6.7. Diffusion Flux under Natural Convection............................................ 117
6.8. Dynamics of a Gas Bubble in Solution............................................. 121
6.9. Evaporation of Multicomponent Droplet in Neutral Gas............................... 125
6.10. Chromatography.................................................................... 132
6.11. Capillary Model of Lowpermeable Porous Media...................................... 136
7. Solutions of Electrolytes............................................................ 137
7.1. Electrolytic Cell ................................................................. 137
7.2. Electrodialysis.................................................................... 144
7.3. Electric Double Layer.............................................................. 149
7.4. Electrokinetic Phenomena .......................................................... 152
7.5. Electroosmosis..................................................................... 153
References............................................................................... 158
619
IV. SUSPENSIONS AND COLLOIDAL SYSTEMS.................................................... 159
8. Suspensions of Noncharged Particles................................................. 159
8.1. Microhydrodynamics of Particles ................................................ 159
8.2. Brownian Motion.................................................................... 170
8.3. Viscosity of Dilute Suspensions ................................................... 178
8.4. Gravity Sedimentation.............................................................. 183
8.5. Centrifugal Separation............................................................. 191
9. Suspensions of Charged Particles ................................................... 197
9.1. Charge of a Particle............................................................... 197
9.2. Electrophoresis.................................................................... 198
9.3. Motion of a Droplet in Electric Field.............................................. 203
9.4. Sedimentation Potential............................................................ 206
10. Stability of Suspension, Coagulation of Particles and Capture of Particles by Col-
lectors ................................................................................. 207
10.1. Stability of Colloidal Systems ................................................... 207
10.2. Brownian, Gradient (Shear) and Turbulent Coagulation of Particles................. 214
10.3. Capture of Particles by Collectors.............................................. 221
10.4. Capture of Particles due to Surface and Hydrodynamic Forces..................... 225
10.5. Capture of Particles owing to Inertia........................................... 232
10.6. Coagulation Kinetics.............................................................. 234
10.7. Filtering and a Model of Highpermeable Media...................................... 236
10.8. Hydrodynamic Diffusion Phenomena.................................................. 239
References............................................................................... 240
V. EMULSIONS ............................................................................ 243
11. Behaviour of Droplets............................................................... 244
11.1. Dynamics of Droplet Growth ................................................... 244
11.2. Main Mechanismus of Droplet Enlargement........................................... 252
11.3. Droplet Motion in Turbulent Flow................................................. 257
11.4. Hydrodynamic Forces of Interacting Droplets ...................................... 263
11.5. Molecular and Electrostatic Forces of Interacting Droplets ....................... 267
11.6. Conductive Droplets in Electric Field............................................. 270
11.7. Breakup of Droplets............................................................... 274
12. Interaction of Two Conductive Droplets in a Uniform External Electric Field...... 280
12.1. Electric Potential outside Droplets............................................... 280
12.2. Electric Field Tension in the Clearence between Droplets.......................... 286
12.3. Interaction Forces of two spherical Conductive Droplets........................... 291
12.4. Interaction Forces of two far situated Conductive Droplets........................ 296
12.5. Interaction Forces of two touching Conductive Droplets............................ 297
12.6. Interaction Forces of two close distanced Conductive Droplets .................... 307
12.7. Redistribution of Droplet Charges after Collision................................. 314
13. Droplet Coalescence................................................................. 317
13.1. Coalescence of Droplets under Gravity Settling.................................... 317
13.2. Kinetic of Droplet Coalescence under Gravity Settling in Electric Field........... 331
13.3. Gravity Sedimentation of Bidisperse Emulsion in Electric Field.................... 336
13.4. Influence of Electric Field on Separation Efficiency of Emulsion in Gravity Settler 338
13.5. Separation of Emulsiom in Electric Filter......................................... 342
13.6. Coalescence of Droplets with fully immobile Surface in Turbulent Flow............. 347
13.7. Coalescence of Droplets with mobile Surface in Turbulent Flow..................... 353
13.8. Coalescence of Conductive Droplets in Turbulent Flow in the Presence pf External
Electric Field........................................................................... 364
13.9. Coalescence Kinetics of Emulsion in Turbulent Flow................................ 368
References............................................................................... 370
VI. GAS-LIQUID MIXTURES.................................................................. 374
14. Formation of Liquid Phase in Gas Flow............................................... 374
14.1. Formation of Liquid Phase in the absence of Condensation.......................... 375
14.2. Nucleation of Liquid Phase due to Condensation.................................... 378
15. Coalescence of Droplets in Turbulent Gas Flow....................................... 386
15.1. Inertia Coalescence............................................................... 387
620
15.2. Turbulent Diffusion Coalescence.................................................... 389
15.3. Coalescence of Polydisperse Droplet Distribution .................................. 392
16. Formation of Liquid Phase in Prelimenary Condensation Facilities..................... 397
16.1. Droplets Growth in a Quiescent Gas — Liquid Mixture............................. 397
16.2. Droplets Growth in Turbulent Flow of Gas — Liquid Mixture........................... 405
16.3. Enlargement of Droplets moving through Prelimenary Condensation Facilities ......... 413
16.4. Formation of Liquid Phase in a Throttle............................................. 417
16.5. Formation of Liquid Phase in Heat Exchanger......................................... 425
17. Surface-Tension-Driven Phenomena.................................................... 431
17.1. Surface Tension Phenomena........................................................... 431
17.2. Capillary Motion.................................................................... 436
17.3. Coating Flow........................................................................ 439
17.4. Surface Waves and Jet Breakup....................................................... 443
17.5. Motions due to Surface Tension Gradient. Marangoni Effect........................... 451
17.6. Atomization of Liquids and Breakup of Droplets in Gas Flow.......................... 461
18. Separation Efficiency of Gas — Liquid Mixtures in Settlers........................... 467
18.1. Influence of Nonuniform Inlet Velocity Profile on Gravity Settler Efficiency... 469
18.2. Efficiency of Horizontal Gravity Settler........................................... 471
18.3. Efficiency of Vertical Gravity Settler......................................... 476
18.4. Influence of Phase Transition on Settler Efficiency ............................... 478
18.5. Influence of Droplet Coagulation on Settler Efficiency ............................ 483
18.6. Influence of Wall Curvature on Settler Efficiency.................................. 484
18.7. Influence of the Distance between Prelimenary Condensation Facility and Settler on
Settler Efficiency........................................................................ 485
19. Separation Efficiency of Gas — Liquid Mixtures in Settlers equiped by Droplet Catchers 487
19.1. Efficiency of Settler with gills................................................... 488
19.2. Efficiency of Settler with Multicuclons ........................................... 490
19.3. Efficiency of Settler with String Catchers........................................ 495
19.4. Efficiency of Settler with Screen Catchers......................................... 505
20. Absorbtive Extraction of High Hydrocarbons and Water Vapours from Natural Gas 508
20.1. Cocurrent Absorbtion of High Hydrocarbons.......................................... 509
20.2. Multistep Cocurrent Absorbtion of High Hydrocarbons................................ 513
20.3. Countercurrent Absorbtion of High Hydrocarbons..................................... 518
20.4. Natural Gas Dewatering in Cocurrent Absorbers ..................................... 521
20.5. Natural Gas Dewatering in Cocurrent Absorbers with High Velocity Separation Contact
Elements.................................................................................. 529
21. Inhibition of Hydrate Formation in Natural Gas....................................... 534
21.1. Dynamics of Massexchange between Inhibitor Droplets and Hydrocarbon Gas........ 538
21.2. Evolution of Inhibitor Droplet Spectrum injected in Turbulent Flow............... 547
References.............................................................................. 559
VII. LIQUID-GAS MIXTURES .............................................................. 562
22. Dynamics of Gas Bubbles in Multicomronent Solution................................. 563
22.1. Motion of Nongrowing Bubble in Binary Solution................................... 565
22.2. Diffusional Growth of Motionless Bubble in Binary Solution ...................... 568
22.3. Initial Stage of Bubble Growth in Multicomponent Solution........................ 571
22.4. Dynamics of Bubble Growth in Multicomponent Solution ............................ 574
22.5. Influence of Surface — Active Agents on Bubble Growth ........................... 576
23. Separation of Liquid — Gas Mixtures................................................ 580
23.1. Differential Separation of Binary Mixture........................................ 582
23.2. Contact Separation of Binary Mixture ............................................ 585
23.3. Differential Separation of Multicomponent Mixture................................ 587
23.4. Separation of Liquid - Gas Mixtures moving on Inclined Plates.................... 592
24. Separation of Hindered Moving Bubbles ............................................. 598
24.1. Separation under Periodic Withdrawal Regime..................................... 599
24.2. Separation under Continuous Flow Regime......................................... 602
25. Coagulation of Gas Bubbles in Viscous Fluid ...................................... 603
25.1. Coaqulation of Bubbles in Laminar Flow.......................................... 605
25.2. Coaqulation of Bubbles in Turbulent Flow ....................................... 609
25.3. Kinetic of Bubble Coagulation................................................... 612
References............................................................................. 614
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ
Синайский Эммануил Генрихович
Лапига Евгений Яковлевич
Зайцев Юрий Васильевич
СЕПАРАЦИЯ МНОГОФАЗНЫХ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ
Заведующий редакцией Т. К. Рубинская
Редакторы издательства А. И. Вороновская, А. И. Ровинская
Переплет художника Н, П. Новиковой
Художник-график Н. П. Новикова
Технический редактор Л. Н. Фомина
Корректоры Т. Ю. Шаманова, Е. Н. Коршунова
Компьютерный набор и верстка Е. А. Скугарева, О. А. Иванова, Л. В. Коростылева.
Изд. лиц. 071678 от 03.06.98. Сдано в набор 28.10.01. Подписано в печать 22.02.2002. Фор-
мат 70 хЮО ’/16. Гарнитура «Петербург». Печать офсетная. Усл. печ. л. 50,31. Уч.-изд. л. 46,0.
Тираж 1000 экз. Заказ 1461/861.
ООО «Недра-Бизнесцентр»
125047, Москва, пл. Тверская застава, 3
ФГУП ордена «Знак Почета»
Смоленской областной типографии им. В. И. Смирнова
214000, г. Смоленск, проспект им. Ю. Гагарина, 2
ISBN 5-8365-0089-4
9 785836 500894