БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА «МАТЕМАТИКА»
Дж. Уайтхед
НОВЕЙШИЕ ДОСТИЖЕНИЯ
В ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ
Перевод с английского
А. Ю. ГеронимУса
Под редакцией
М. М. Постникова
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1974

Conference Board of the Mathematical Sciences
REGIONAL CONFERENCE SERIES IN MATHEMATICS
Number 5
George W. Whitehead
RECENT ADVANCES
IN HOMOTOPY THEORY
Supported by tne National Science Foundation
Published by the American Mathematical Society
1970

УДК 513.83
Книга представляет собой достаточно полный об-
обзор основных результатов теории гомотопий, получен-
полученных за последние годы. От общих вопросов экстраор-
экстраординарных теорий гомологии и когомологий автор пере-
переходит к исследованию симплициальных спектров. Рас-
Рассматриваются результаты вычисления гомотопических
групп сфер и гипотеза Фрейда. В последней главе со-
собраны отдельные результаты, объединенные общим ис-
использованием функтора Ext.
Книга заинтересует математиков ряда специально-
специальностей, в первую очередь топологов. Она полезна -препо-
-преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов
университетов и пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
QAQAQ mmm QIC
--74 *в—74 ©Перевод на русский язык* «Мир», 1974
Дж. Уайтхед
НОВЕЙШИЕ ДОСТИЖЕНИЯ
В ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ
Редактор Г. М. Цукерман
Художник В. М. Новоселова
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. И. Борисова
Корректоры4 В. И. Киселева, Н. А. Матюхина
Сдано в набор 22 /III 1974 г. Подписано к печати 20/VIIU974 г.
Бумага тип. № 3 84Х108уз2. Печ. усл. 6,72 Уч.-изХ. л. 5,36
Изд. №1/7447 Цена 54 коп. Зак. 156
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» .
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном коми-
комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая вниманию читателя книга подводит
итог определенного периода в развитии теории гомото-
пий, начавшегося лет 10 тому назад, после того как
в предыдущее десятилетие (явившееся, бесспорно, «зо-
«золотым веком» теории гомотопий) были, в принципе, ре-
решены все основные проблемы этой теории. В книге от-
отражены лишь результаты, более или менее близкие
к собственным интересам автора, и все же она показы-
показывает неосновательность распространенного мнения о
кризисном положении теории гомотопий в этот период:
несмотря на уход из теории гомотопий ряда крупных
ученых, она продолжала успешно развиваться, хотя, ко-
конечно, полученные результаты и не сравнимы с дости-
достижениями предыдущего десятилетия.
Необходимость подведения итогов подчеркивается
также тем, что в самое последнее время теория гомото-
гомотопий получила мощный толчок благодаря "работам Сул-
ливана и других авторов, и можно думать, что период
некоторого застоя этой теории пришел к концу и начался
новый период ее живого и плодотворного развития.
При чтении книги следует иметь в виду, что с мо-
момента написания английского оригинала ряд идей, из-
изложенных в ней, получил дальнейшее развитие, а не-
некоторые задачи успешно решены (наиболее впечатляю-
впечатляющим является, конечно, решение проблемы Адамса).
Книга написана исключительно ясно, она снабжена
таблицами и будет полезна и как справочник, и как
монография.
М, М, Постников

ПРЕДИСЛОВИЕ
В конце второй мировой войны теория гомотопий на-
находилась в зачаточном состоянии. С тех пор эта теория
стала развиваться очень быстро и уже оказала глубокое
воздействие на другие ветви топологии. При этом редук-
редукция геометрических вопросов к задачам гомотопической
теории, как правило, никаких затруднений не вызывает.
Успешными примерами такого подхода к геометриче-
геометрическим вопросам являются классификация векторных рас-
расслоений, а также вычисление кольца кобордизмов мно-
многообразий.
Еще на ранних стадиях развития теории было заме-
замечено, что многие явления становятся более регуляр-
регулярными в «стационарной ситуации», и это привело к осо-
особенно быстрому развитию стационарной гомотопической
теории как специального раздела топологии.
Однако, несмотря на большие успехи .в этой области,
наша неосведомленность все еще так велика, что до сих
пор не известно, например, ни одного стационарного не-
нетривиального конечного клеточного разбиения, стацио-
стационарные гомотопические группы которого были бы пол-
полностью вычислены.
Задача этих лекций состоит в описании некоторых
достигнутых результатов, преимущественно в стационар-
стационарной теории. Ввиду широты тематики я не стремился
к полноте и вместо этого обсуждаю вопросы, близкие
к кругу моих собственцых интересов.
Глава I посвящена общим теориям гомологии и ко-
гомологий, спариваниям и теоремам двойственности.,
В гл. II вводятся симплициальные спектры и на их осно-
основе в соответствии с моей совместной с Каном работой
строится двойственность Пуанкаре. В гл. III обсуждаются

8 Предисловие
спектральная последовательность Адамса и некоторые
из ее недавно найденных нестационарных аналогов.
Глава IV посвящена стационарным гомотопическим
группам, рассматриваемым как модули над стационар-
стационарным гомотопическим кольцом а*. В заключительной гл. V
изучаются расширения модулей, естественно возникаю-
возникающие в рассматриваемом круге вопросов.
Эти лекции были прочитаны на летнем математиче-
математическом симпозиуме в университете Нью:Мехико в Лас-
Крусесе как часть региональной программы конферен-
конференций, запланированной Комитетом конференций по мате-
математическим наукам при поддержке Национального
научного фонда. Я хочу выразить свою признательность
Комитету конференций за то, что он сделал возможным
чтение этих лекций, и факультету математических наук
университета за приглашение и щедрое гостеприимство
во время работы симпозиума.
Джордж В. Уайтхед

Глава I
ТЕОРИИ ГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИЙ
В 1945 г. Эйленберг и Стинрод [32, 33] впервые сфор-
сформулировали свои знаменитые аксиомы теории гомологии.
Первые шесть аксиом их системы имеют весьма общий
характер, а седьмая аксиома (так называемая аксиома
размерности) существенно более специальна. Седьмая
аксиома считалась равноправной с остальными шестью,
что, без сомнения, объясняется отсутствием в то время
каких-либо интересных теорий гомологии, кроме стан-
стандартной.
В 1953 г. Спеньер и Дж. Г. К. Уайтхед [63—66] ввели
надстроечную категорию с целью найти естественные
подходы к изучению стационарных явлений. В то время
как гомотопические и когомотопические группы не удов-
удовлетворяют упомянутым выше аксиомам, соответствую-
соответствующие стационарные группы удовлетворяют всем этим
аксиомам, кроме аксиомы размерности. Это были первые
примеры «экстраординарных» теорий.
Следующий пример был дан Атьей и Хирцебрухом
[12, 13]. Они изучали классы стационарной эквивалент-
эквивалентности векторных расслоений. Таким образом они полу-
получили новые теории когомологий fR и f c. Эти теории при-
привели к успеху в решении некоторых классических топо-
топологических задач, например Адаме [3] с их помощью ре-
решил задачу о векторных полях на сфере.
Примерно в это же время Атья [11] и Коннер и Флойд
[26] независимо друг от друга ввели группы бордизмов.
Из всех возможных групп гомологии группы бордизмов,
по-видимому, теснее всего связаны с геометрической ин-
интуицией, лежащей в основе гомологических понятий. Тем
не менее они резко отличаются от классических групп:
группы бордизмов точки, являясь группами кобордизмов
Тома [69], очень велики,

10 Гл. I. Теории гомологии и когомологий
В это время было также замечено, что некоторые
функторы типа теорий когомологий могут быть описаны
в терминах отображений в некоторое фиксированное
«универсальное пространство». Аксиоматическое описа-
описание этих функторов было дано Брауном [22]. Из его ре-
результатов вытекает описание теорий когомологий в
терминах отображений в спектры.
Общие теории гомологии изучались автором [72].
Вероятно, самые глубокие результаты классической тео-
теории— это те, которые включают одновременное рассмот-
рассмотрение гомологии и когомологий; таковы, например, тео-
теоремы двойственности. Было показано, ч'го эти результа-
результаты остаются справедливыми и в более общей ситуации.
В частности, двойственность Александера вместе с тео-
теоремой Брауна о представимости влекут за собой суще-
существование взаимно однозначного соответствия между
обоими типами теорий.
Менее успешными были попытки обобщить формулы
универсальных коэффициентов и формулу Кюннета.
Более, или менее ясно, что короткие точные последова-
последовательности классической теории нужно заменить спек-
спектральными последовательностями, но вид этих последо-
последовательностей до сих пор не ясен. Одна теорема такого
типа была доказана Каном (Kahn D. S) в его (неопу-
(неопубликованной) диссертации. Общий обзор этих проблем
читатель найдет в лекциях Адамса в Сиэтле [7].
1. Предварительные замечания
В дальнейшем все пространства предполагаются
снабженными отмеченной точкой, а отображения и го-
мотошш — сохраняющими отмеченные точки. Отмечен-
Отмеченная точка будет обозначаться символом *, одним и тем
же для всех пространств. Также всегда предполагается,
что отмеченная точка клеточного разбиения является
вершиной. Категории пространств без отмеченной точки
(такие пространства и соответствующие отображения
здесь называются свободными) мы будем считать по-
погруженными в соответствующие категории пространств
с отмеченной точкой, присоединив к каждому свобод-
свободному пространству изолированную отмеченную точку.

1. Предварительные замечания 11
Пусть 9*0 — категория компактно порожденных хаус-
дорфовых пространств [68], гомотопически эквивалент-
эквивалентных клеточным разбиениям. Пусть, далее, X и А — такие
объекты категории ^0> что А представляет собой зам-
замкнутое подпространство пространства X. Пара (X, А) на-
называется допустимой, если вложение А в X является
отображением категории ^0 (т. е. отмеченные точки
пространств А и X совпадают) и, кроме того, корассло-
корасслоением. Легко видеть, что
A.1) Если А — отмеченная точка в X, то пара (Х,А)
допустима.
A.2) Любая допустимая пара {Х,А) из 9>о гомото-
гомотопически эквивалентна паре (/С, L), состоящей из клеточ-
клеточных разбиений.
Для любой допустимой • пары (X, А) категории ^0
факторпространство Х/А, получающееся из X стягива-
стягиванием А в точку, принадлежит ^0 (предполагается, что
за отмеченную точку в Х/А принят образ подпростран-
подпространства А).
Как известно, в категории 9>0 существуют (конечные)
суммы и произведения: категорное произведение Xy^Y
объектов Ху Уе^о — это соответствующим образом то-
пологизированное их прямое произведение, а категорная4
сумма — это подпространство X V У = X X {#} U {*} X У
произведения XX, Y. Так как пара (X X У, X V Y) допу-
допустима, то для любых пространств X, Уе^0 определено
приведенное соединение X A Y = X X Y/X V У, принад-
принадлежащее категории ^0- Более того, определен функтор
приведенного соединения — отображения /: Х->Х' и
g: Y->Yf индуцируют отображение fAg: XAX'~>
-> У Л Y' с обычными свойствами. Одно из преимуществ
категорий ^0 проявляется в следующем ее свойстве:
A.3) С точностью до естественных гомеоморфизмов
приведенное соединение коммутативно и ассоциативно.
Пусть X, Г, Zg^0, а /2: Х->Х\/У, i?: Y->X\/Y -
естественные вложения. Отображения ix Л 1: X/\Z->
-+(Х V Y) Л Z и /2 Л 1: Y AZ^(X V Y) Л Z индуцируют

12 Гл. f. Теории гомологии и кбгомологий
отображение
h: (X Л Z) V (Y A Z)-+(X V У) Л 2.
Легко видеть, что А — гомеоморфизм. Таким образом,
A.4) Приведенное соединение с точностью до есте-
естественного гомеоморфизма дистрибутивно по отношению
к сложению.
Пусть (X,А) —допустимая пара в 5*0. Рассмотрим
естественную проекцию р: X -> Х/А и вложение i: А -> X.
Поскольку отображение / Л 1: А Л У -> X Л У яв-
является, очевидно, гомеоморфизмом на свой образ, про-
пространство Л Л У можно рассматривать как подпростран-
подпространство пространства X Л У. Ясно, что при этом отображе-
отображение рЛ1: X/\Y->X/AAY переводит подпространство
Л Л У в отмеченную точку. Следовательно,
A.5) Отображение рА1 индуцирует гомеоморфизм
пространств X А У/А А У и (Х/А) Л У.
В работе с функциональными пространствами мы бу-
будем предполагать, что область определения компактна.
Дело в том, что неизвестно, замкнута ли категория 9*о
по отношению к операции построения пространств ото-
отображений, хотя для категории компактно порожденных
пространств соответствующий факт известен. Вместе с
тем если пространство Хс^0 компактно, то, как сле-
следует из результатов Стинрода [68] и Милнора [55], для
любого пространства Ке^0 пространство F(X, У) всех
отображений X в У в компактно-открытой топологии
принадлежит ^0-
Пусть Фо — полная подкатегория компактных про-
пространств категории &0. (Заметим, что если Ze^0, to
X доминируется конечным клеточным разбиением; верно
ли обратное — неизвестно.) Справедливы утверждения:
A.6) Для любых пространств Xt Fg?0 и Ze^0
пространства F(XAY9Z) и F(X, F(Y, Z)) естественно
гомеоморфны.
A.7) Для любых пространств Хе^ и Уе^0 ото-
отображение вычисления е: F(X>Y)/\X->Y непрерывно.

1. Предварительные замечания 13
Пусть / — свободный единичный интервал, Т — еди-
единичный интервал с отмеченной точкой 0 и f = S° — под-
подпространство {0, 1} пространства Т. Положим S = S1 =
= Т/Т. Функтор конуса Г, функтор надстройки S, функ-
функтор путей Р и функтор петель Q определяются соответ-
соответственно формулами
ТХ=ТЛХ,
, X),
= F(S, X).
При этом справедливы следующие утверждения:
A.8) Пространство S°A^C естественно гомеоморфно
пространству X, пространство SX естественно гомео-
морфно пространству TX/S0 Л X = ТХ/Х.
A.9) Пространства SX Л Y и X ASY естественно го-
меоморфны.
A.10) Для любого пространства 1е?0 пространства
F(SX9 Y), F(XtQY) и QF(X, Y) естественно гомео-
морфны.
Пусть [X, Y] — множество гомотопических классов
отображений X в Y. Распространив [ , ] на отображе-
отображения посредством композиции слева и соответственно
справа, получим функтор [ , ] из ^оХ^о в категорию
множеств с отмеченной точкой. Этот функтор контрава-
риантен по первому аргументу и ковариантен по вто-
второму. Для любых отображений /: Х'-+Х9 g\ Y->Yf мы
положим
f# = [/, 1]: [X, Y]-»[X'9Y]9
Таким образом, [/, g] = /*og# = g#o/*.
Заметим, что
A.11) Множества [SX, У] и [X, QY] находятся в ес-
естественном взаимно однозначном соответствии.

!4 Гл. 7. Теории гомологии и когомологий
A.12) Множества [XV Y, Z] и [XyZ]X[Y,Z] нахо-
находятся в естественном взаимно однозначном соответствии.
(Л.13) Множества [X, YXZ) и [X, Y]X[X,Z] нахо-
находятся в естественном взаимно однозначном соответствии.
Определим отображение ф : / ~* / X О U 1 X ^ фор-
формулой
' B/, 0), если /<V2,
A,2/—1), если *>72-
Естественная проекция / на S индуцирует отобра-
отображение р: /XOIJ1X^">SVS, для которого Р'ф(О) =
в? p\j)(l) = *, и, следовательно, -ф индуцирует отображе-
отображение г|): S->5 VS.
Пусть X, Уе^0. Рассмотрим составное отображение
[SX, У] X [SX, Y]->[SX V SX, У]->
-+[{S VS)AX, Y] (*л1)#> [S Л X, Y\,
где первые два отображения индуцированы естествен-
естественными взаимно однозначными отображениями из утвер-
утверждений A.12) и A.4)
A.14) Это отображение определяет на [SX, Y] груп-
групповую структуру.
AЛ5) Для любых отображений f: X'->X и g: Y-*Y'
отображения
(Sff: [SX, Y]->[SX'9 У],
^#: [SX, Y]->[SX, Y']
являются гомоморфизмами.
Взаимно однозначное соответствие между [SX, Y] и
[X, QY] позволяет перенести групповую структуру на
[X, QY]. При этом
A.16) Для любых отображений f: Xf->X и g: Y-+Y'
отображения
f^« Г У OV~\ —*. Г Yf ОУТ
/ » [Л> Saul J—^[Л , ЪН J,
(О а\ • Г К QV] „_,w ГУ OV'l
являются гомоморфизмами.

1. Предварительные замечания 15
Таким образом, на [SX, QY] возникают две естествен-
естественные групповые структуры.
A.17) Обе групповые структуры на [SX, QY] совпа-
совпадают; соответствующая группа коммутативна.
A.18) При п^2 группы [SnX, Y] и [X, QnY] комму*
тативны.
Функторы надстройки и петель сохраняют отношение
гомотопности и потому определяют отображения
S.: [X, Y]-+[SX, SY],
О.: [X, Y]-+[QX, QY].
Легко проверить, что
A.19) Отображения
' S,: [SX, Y]-»[S*X, SY],
Q.: [X, ОУ]-+[пХ, Q2Y]
являются гомоморфизмами.
Пусть {X, К}* — градуированная абелева группа, q-я
составляющая {X, Y}q которой является прямым преде-
пределом
lim [Sg+kX, SkY]
k
групп [Sq+kX, SkY] относительно гомоморфизмов
Sm: [Sq+kX, SkY]->[Sq+k+lX, S*+lY].
Элементы группы [X, Y)q называются S-отображе*
ниями степени q.
В качестве частного случая возникают стационарные
гомотопические группы
oq(X) = {S°, X}q
и стационарные когомотопические группы
q
Группа
о, = а„ (S°) = IS", So}, = {S«, SO} = <r
называется ц-й стационарной группой сфер.

1$ Гл. 7. Теории гомологии и когомологий
Пусть /: X->Y — отображение категории Pq. Ци-
Цилиндр If отображения f — это по определению простран-
пространство, получающееся из пространства {X AI) V Y отожде-
отождествлением х Л 1 с f(x) при всех х&Х. Аналогично, /со-
нус Tf отображения f получается из пространства
(X Л Т) V Y этим же отождествлением. Отображение
#-** Л 0 погружает пространство X в цилиндр //, а вло-
вложения пространства Y в (X Л /) V Y и в {X Л Т) V Y
индуцируют его погружения в цилиндр // и конус Г/ со-
соответственно. При этом
A.20) Конус Tf гомеоморфен пространству //Д.
A.21) Конус ТХ гомеоморфен пространству ///У.
A.22) Надстройка SX гомеоморфна пространству
Tf/Y.
Пусть, в частности, f: X-+Y является отображением
вложения для допустимой пары (У,X). В этом случае
конус Tf представляет собой подпространство У U ТХ
конуса ГУ, и потому Tf/TX = Y/X. При этом, как хо-
хорошо известно, естественная проекция р: Tf->Tf/TX =
= Y/X является гомотопической эквивалентностью.
Пусть h\ Y/X->Tf — отображение, гомотопически обрат-
обратное к проекции р, и пусть q: Tf -> SX — отождествление,
рассмотренное в A.22). Тогда композиция q°h\ Y/X->
-+SX называется связывающим отображением.
Пусть снова /: X->Y — произвольное отображение
категории ^0. Рассмотрим последовательность
A.23) JM^>К-l+Tf-*+SX-» ...
... - s*-*Tf -JO-h* SnX-^> SnY -£U SnTf ->...,
где I — вложение. Пусть Zg^0- Тогда последователь-
последовательность A.23) индуцирует последовательность
A.24) [X9Z]<&-[Y, Z]<£-[Tf,Z]<&
[SnY9
которая, как хорошо известно, точна,

2. Теории гомологии и кбгомблогий 17
Теории гомологии и когомологий [72]
Рассмотрим полную подкатегорию ^0 категории 9*о,
состоящую из всех пространств, имеющих гомотопиче-
гомотопический тип конечного клеточного разбиения. Пусть 9* —
подкатегория свободных пространств и отображений в
^о и ^2 — категория допустимых пар в №. Пусть, кроме
того, зФ — категория абелевых групп.
Теорией гомологии § на ^о называется последова-
последовательность ковариантных функторов hn: №0->^9 n^Z,
заданная вместе с последовательностью естественных
отображений sn: hn—>hn+i<>St n^Z} удовлетворяющих
следующим аксиомам:
(Н) (Аксиома гомотопии.) Если отображения /0 и f\
из &о гомотопны, то hn(f0)=hn(fi) при всех n^Z.
(S) (Аксиома надстройки.) Для любого пространства
Ig^o отображение sn(X): hn(X)-*>hn+i(SX) при всех
n^Z является изоморфизмом.
(Е) (Аксиома точности.) Для любой пары (Х,А) в
&>о точна последовательность
где i: А->Х — вложение, а р: Х->Х/А — естественная
проекция.
Немедленным следствием этих аксиом является пред-
предложение
B.1) Для любого отображения /: X->Y категории <р0
существуют такие гомоморфизмы dn: /GV)ft
что точна последовательность
пп (X)
где i: У->Г/ — вложение.
Действительно, достаточно положить
где р: Tf->SX — естественная проекция.

18 Гл. I. Теории гомологии и когомоловий
Если (Ху Л) ей32, то I/^еД и поэтому опреде-
определены группы hn(X,A) = hn(X/A). Поскольку любое ото-
отображение /: (X, Л)->(У, В) из &2 индуцирует отображе-
отображение f: Х/А —> Y/B, определен гомоморфизм
hn(f)*=hn(h- hn(X,A)->hn(Y, В).
Кроме того, определено отображение
дп(Х, A): hn(X,A)-^hn-AA),
являющееся снабженным знаком минус отображением
К {XIA) -^U hn (SA) '-»<4>"' * А-, (А),
где г: XIА—>SA — связывающее отображение из § 1.
Легко проверить, что таким образом мы получаем
теорию, удовлетворяющую всем аксиомам Эйленберга —
Стинрода, кроме аксиомы размерности. Более того, этим
определяется взаимно однозначное с точностью до есте-
естественных изоморфизмов соответствие между теориями
гомологии в нашем смысле и теориями ~Эйленёерга —
Стинрода с исключенной аксиомой размерности.
Пусть Р — свободное одноточечное пространство. То-
Тогда для любого свободного пространства Хе^1 суще-
существует единственное свободное отображение с: X—>Р,
Приведенными группами гомологии пространства X на-
называются группы
При X Ф 0 существует отображение, обратное спра-
справа к с. Следовательно,
B.2) Если X Ф 0, то имеет место расщепляющаяся
короткая точная последовательность
о ^ м*)-> М*)-► МР)-> о.
Расщепление этой последовательности единственно толь*
ко на подкатегории связных пространств.
Далее, легко видеть, что
B.3) Для любого свободного отображения /: X-*Y
гомоморфизм hn(f) отображает группу hn(X) в группу
hn(Y).

2. Теории гомологии и когомологий 19
Таким образом, определен функтор hn: &z—>s&.
Для любой пары (X, Л) ей32 коммутативна диа-
диаграмма
hn+1(X,A) dn+l(X'\hn(A)
o=hn+l(P,P) dn+iiP'P)>hn(P)
и, следовательно, lmdn-\(X9A)czHn(A), Отсюда выте-
вытекает, что имеет место коммутативная диаграмма
hn+l {х$ А) **»{Х'\ hn (А) -АН» К (X) —L> К (X, А)
hn+i (X, A) an+i(XtA>> hn (A) -j-^ К (X) -j—Q* К (X, А)
вертикальные стрелки которой обозначают отображения
вложения. Пользуясь этим, можно легко доказать, что
B.4) При А ф 0 последовательность приведенных
групп гомологии
... ->hn+l(X, A)-+hn(A)->hn(X)-+hn(X, A)-> ...
точна.
Группа Нп(Р) (или, что то же самое, группа hn(S0))
называется группой коэффициентов теории I). Теория I)
называется обыкновенной или ординарной, если она
удовлетворяет аксиоме размерности: hn(S°) = 0 при
п Ф 0. П6 контрасту с этим случаем теории, которые мы
называли раньше просто «теориями гомологии», влредь
часто будем называть «обобщенными» или «экстраорди-
«экстраординарными». Это находится в согласии с тенденцией ис-
использовать составные словосочетания для более общих
понятий (см., например, термин «многообразия с кра-
краем»).
Пусть § — теория гомологии на 53. Пусть (X, А) —
пара конечных клеточных разбиений и X? — объедине-
объединение А с р-остовом разбиения X. Рассмотрим биградуиро-

20 Гл. 1. Теории гомологии и когомологий
ванную точную пару V1{XtA)=s(DltEltiltjl%dl)9 для
которой __
Dlp,q = hP+q(X", A),
Ер, 9 = hp+q \Х , X ),
а отображения
г1: Dp_Uq+1->DPt(l,
являются гомоморфизмами _точной гомологической по-
последовательности тройки (XPt Xv~\ А). Пара ^(Х, А)
определяет спектральную последовательность, обладаю-
обладающую следующими свойствами:
B.5) Группа ElPtq изоморфна тензорному произведе-
произведению Cp(X9A)®hq(P); при этом изоморфизме опера-
оператору dl соответствует оператор д ® 1, где д — граничный
оператор цепного комплекса пары (X, А).
B.6) E2Ptq~Hp(X,A;hq(P))-
B.7) Степень дифференциала dr\ Er->ET равна
(—г, г — 1) и Ег+1 является группой гомологии группы Ег
относительно dr.
B.8) Если г > тах(р, п~р+ 1), где п = dim (X, A),
ТО Ер, q = Ep% q.
Пусть Е% q = Ер, q, где r > max (р, п — р + 1).
B.9) Для групп
0 = /_,,,+,a JOtScz ... cz /PtS-pC: ... cz Jn,s-n=hs(X9 Л),
где JP, q — образ инъекции1)
hp+g(Xp9A)->hp+g(X,A),
имеют место изоморфизмы
Jp, q/Jp-U q+1 ^ E™, g.
l) Под «инъекцией» мы понимаем отображение (групп гомото-
пий, гомологии и т. д.), индуцированное корасслоением. Заметим, что
инъекция в нашем смысле не обязательно является мономорфизмом
(или эпиморфизмом).

2. Теории гомологии и когомологий ' 21
Построенная точная пара ^(Х.А) функториальна по
отношению к клеточным отображениям пар клеточных
разбиений. С помощью стандартной техники аппрокси-
аппроксимации парами клеточных разбиений (см. [62, гл. VII])
мы можем доказать, что соответствующая производная
пара ^2(Х,А) функториальна по отношению.к произ-
произвольным отображениям, так что (см. [30])
B.10) Указанная выше конструкция определяет
функтор <572 из категории !Р2 в категорию биградуирован-
биградуированных точных пар. Для любой пары (Х,А)^<Р2 спек-
спектральная последовательность, ассоциированная с
<&2(Х,А), обладает свойствами B.6) — B.9).
Точная пара Ф2 и, следовательно, ассоциированная
спектральная последовательность функториально зави-
зависят от теории гомологии f. Для любых теорий гомоло-
гомологии I) = {hn, sn} и f = {&n, tn) на ^о будем называть
естественным отображением1) Ф: f)->f последователь-
последовательность естественных отображений <Drt; fOl->fn, обладаю-
обладающих тем свойством, что для любого пространства X ком-
коммутативна диаграмма
hn(X) Фп(Х) ->kn(X)
Sn{X)[
Таким образом возникает категория 36, объектами ко-
которой являются теории гомологии на Фо, а морфизма-
ми — их естественные отображения. Оказывается, что
B.1 l)v Точная пара Ф2 определяет функтор из кате-
категории Ж в категорию биградуированных точных пар.
B.12) Если для естественного отображения Ф: fy->f
гомоморфизм ФпE°): hn(S°)—>kn(S°) при всех п яв-
является изоморфизмом, то Ф представляет собой изомор-
изоморфизм.
Однако утверждение о том, что гомоморфизм
групп коэффициентов всегда , индуцирует отображение
!) Употребляется также термин «морфизм теорий». — Прим. ред.

22 Гл. 7. Теории гомологии и когомблогий
групп гомологии, справедливое для обычных теорий, не-
неверно в общем случае.
Двойственным образом определяются теории когомо-
логий на 3> и на ^о- Например, теория когемологий \*
на ^о — это последовательность
hn: &q-*sI> (tx&Z)
контравариантных функторов, заданная вместе с после-
последовательностью естественных изоморфизмов
sn-hn+loS->hn (neZ),
удовлетворяющих следующим аксиомам:
(Н*) Если отображения /0, fi^&o гомотопны, то
(S*) Для любого пространства Хе^о отображения
sn(X): hn+l(SX)->hn(X) являются изоморфизмами.
(Е*) Для любой пары (Х,А) в t?0 имеет место точная
последовательность
где i: A—>X — вложение, а р: Х-+Х/А — естественная
проекция.
Соответствующие относительные группы hn (X, А),
(X, А) е^52, определяются двойственным образом. При-
Приведенные группы Нп(Х) определяются формулой
c): hn{P)-*hn{X).
Последовательность
B.13) 0 -> hn (Р) -£М> hn (X) -> hn (X) -> 0
точна и для непустого X расщепляется. Последователь-
Последовательность приведенных групп когомологий
точна при А Ф 0\
Группами коэффициентов теории когомологий Y на-
называются группы йпE°).

2. Теории гомологии и когомологий 23
Наконец, любая теория когомологий fy* на tP0 опреде-
определяет точную пару W\{X, A) ■» {Di9Euluju Si), для ко-
которой
а отображения iu /ь 6i представляют собой гомомор-
гомоморфизмы из когомологических последовательностей соот-
соответствующих троек. При этом
B.14) 'Имеют место изоморфизмы Ер'q ^ Ср (X, Л;
й?(Р)), мры которых дифференциалу d\ соответствует
пограничный оператор пары (X, А) с коэффициентами
в НЦР).
B.16) EP2qc*Hp(X, A; h« (P)). .
B.16) Степень дифференциала йг\ ЕГ->ЕГ равна
(г, 1 — г), и Er+i является группой гомологии группы Ег
по отношению к dr.
B.17) Если г достаточно велико, то E?'+q=xEp'q; для
таких г мы положим E?'q — E%>q.
B.18) Для групп
0=»/я+1' 8~п-1 сг /*• s~n с ... сг /°'s = /г5 (Z, Л),
1р'я-ядро инъекции hp+q(X, A)-> hp+q(Xp-\ Л),
место изоморфизм
B.19) Производная пара <&2{Х,А) и, следовательно,
спектральная последовательность {Ег\г^2} обладают
свойством функториальности.
Мы закончим этот параграф несколькими примерами
теорий гомологии и когомологий.
Пример 1 (обычные теории). Для любой абелевой
группы G группы сингулярных гомологии и когомологий
с коэффициентами в О образуют теории £(G) и

24 Гл. I. Теории гомологии и когомологий
Пример 2. Любое фиксированное пространство Q
категории ^0 и любая теория гомологии I) на ^о опреде-
определяют по формулам
Щ (f) = hn (f A 1): hn(X A Q)->hn{Y A Q)
для f: X-+Y из 5*0,
oQ(X)=an(XAQ): hJX A Q)->hn+i (S A X A Q)
новую теорию гомологии $в на ^*о-
Пример 3 (стационарная теория гомотопий). Ста-
Стационарные гомотопические группы оп(Х) образуют тео-
теорию гомологии, которая, как мы увидим позже, является
в определенном смысле основной.
Пример 4 (/(-теория [38]). Стационарные классы
изоморфных вещественных (или комплексных) вектор-
векторных расслоений над свободным пространством X &&> об-
образуют абелеву группу Kr(X) (соответственно Кс(Х).
Эти группы включаются в периодическую теорию кого-
когомологий t*R (соответственно fc) с периодом 8 (соответ-
(соответственно 2). Периодичность означает, что существуют
естественные изоморфизмы
Kqc(X)~Kqc+2(X)
(изоморфизмы Ботта).
Пример 5 (теории бордизмов) [26]. Рассмотрим
пространство Хе^; пусть Я1и(Х) (соответственно
Qk(X))—множество классов бордизмов (ориентирован-
(ориентированных бордизмов) сингулярных fe-мерных многообразий
в X. Эта конструкция приводит к теории гомологии, на-
называемой теорией бордизмов (соответственно ориенти-
ориентированных бордизмов).
3. Спектры
В настоящее время используется несколько различ-
различных определений спектра ([5], [17], [42], [58], [61], [72]),

S. Спектры 25
Мы начнем с наиболее общего. Впоследствии, по мере
необходимости, мы будем использовать те или иные
ограничения.
Спектром Е называется пара последовательностей
{Еп> еп} (последовательности мы всегда нумеруем всеми
целыми числами), где £ne^o, a en: SEn->Еп+{ — ото-
отображения категории 9*о. Спектр может быть задан и
с помощью двойственных отображений еп: Еп—>QEn+\.
Спектр Е называется Q-спектром, если все отображения
еп являются гомотопическими эквивалентностями.
Пусть Е и Е' — спектры. Отображением f: E—-*-Е'
спектра Е в спектр Е' называется такая последователь-
последовательность отображений fn, что гомотопически коммутативны
все диаграммы
ь
Два отображения f, Г: Е-^Е7 называются гомотопными,
если fn—Yn ПРИ Л1°бом я.
Пример 1. S = {S\ on), где ап: SSn->Sn+l -то-
-тождественное отображение. Спектр S цазывается сфери-
сферическим спектром.
Пример 2. Для пространств Эйленберга—Ма-
клейна /С(П, я) существуют, как известно, естествен-
естественные гомотопические эквивалентности йп- K(TL,n)—*
—>QK(U, л-f-l) (определенные однозначно с точ-
точностью до гомотопии). Получающийся спектр
{/((П, я),йп} называется спектром Эйленберга — Ма~
клейна К (И).
Пример 3. Пусть F — одно из трех следующих тел:
R — поле вещественных чисел;
С — поле комплексных чисел;
Q — тело кватернионов.
Рассмотрим некоторое линейное пространство V
над F с заданным в нем скалярным произведением и

26 Гл. 7. Теории гомологии и когомологий
с фиксированным счетным бесконечным ортонормиро-
ванным базисом ей еь ... . Пусть Vn — подпространство
пространства V, натянутое на векторы еь ..., еп, а
Vn — его ортогональное дополнение. Наконец, пусть
OF(n)—группа ортогональных преобразований про-
пространства V, оставляющих неподвижными все векторы
из Vn. Так как OF(n) aOF(п+1), то определена
группа 0F = \j0F(n). Мы положим
Согласно теореме периодичности Ботта [18], имеют ме-
место гомотопические эквивалентности
Мы определим спектры В (О) и B(f/), положив
) = О'-1(О), /=1, ..., 8,
/) = Q^(C/), /=1,2,
и задав требуемые отображения с помощью гомотопи-
гомотопических эквивалентностей Ботта.
Пример 4. Для любого спектра Е и любого про-
пространства Ze^o символом ЕЛХ обозначается спектр
Е', для которого Е'п = ЕпЛ X, а отображения г'п явля-
являются композициями
S(En Л X) = (SEn) Л
Аналогично определяется спектр Е" =
и е£, являющимися композициями
где S А X А Еп->Х A S А Еп — отображение переста-
перестановки первых двух сомножителей.
Заметим, что отображения X А Еп->Еп АХ, опре-
определенные соответствием л;Лб->^Л^ составляют есте-
естественное отображение X А Е->Е Л X,

S. Спектры 27
Пример 5. Для любого спектра Е и любого
пространства 1е^0 определен функциональный спектр
F=F(X, E), состоящий из пространств Fn^ F(X,En),
отображения qpn: SFn-*Pn+i которого задаются фор-
формулой
В частности, для любого спектра Е определен спектр
QE = F(Sl, Е), называемый спектром петель спектра Е.
Заметим, что естественные гомоморфизмы
tfo: F(SX,Ek)->QF(X,Ek)
определяют естественное отображение ф: F(SXt E) =ъ
QF(X E)
Пример 6 [38]. Пусть ВО (п) ' (соответственно
50)—классифицирующее пространство группы 0(п)
(соответственно группы О). Можно считать, что
ВО (п) cz ВО (п + 1),
(J ВО (/г) — ВО.
Пусть уп — каноническое векторное расслоение над
В0(п) и М0(п) —пространство Тома расслоения уп.
Поскольку Yn+i | ЯО (/г) == уп 0 1, где 1 — тривиальное
одномерное расслоение, имеют место естественные ото-
бражения
ц„: SM0(n)->M0(n+l),
позволяющие определить спектр Л/1 G5) = {М0(п)9 \хп}.
Более,уого, для любой подгруппы G группы О опре-
определены отображения BG(n) -+В0(п), где Q(n)*=G[)
ПО(я), и потому,пространства Тома соответствующих
индуцированных расслоений образуют некоторый спектр
M(G)
Для произвольного спектра Е его п-я гомотопическая
группа jtn(E) определяется для любого neZ как пря-
прямой предел групп nn+k(En)9 k^—n, относительно го*
моморфизмов
{SEk) —^>

28 Гл. I- Теории гомологии и когомологий
Аналогично определяются группы гомологии ЯП(Е),
причем отображения Гуревича
4k'- nn+k(Ek)->Hn+k(Ek)
индуцируют гомоморфизм ц: яп(Е)—>ЯП(Е).
Справедливы следующие теоремы Гуревича и
Дж. Г. К. Уайтхеда [43]:
C.1) Если спектр Е п-связен (т. е. если т(Е) =в
при *<я)> т0 гомоморфизм ц: ttn+i(E)-=-*#n+i(E) яв-
является изоморфизмом.
C.2) Если для отображения спектров f: Е—>Е' ая-
дуцированные отображения гомотопических групп
f#: я;п(Е)->яп(Е/) являются изоморфизмами при всех
п, то индуцированные отображения f*: Нп (Е) -> Нп (Е')
групп гомологии также являются изоморфизмами (для
всех п).
Отображение, удовлетворяющее условию теоремы
C.2), называется слабой гомотопической эквивалентно-
эквивалентностью.
Для любого отображения спектров f: E->Er отобра-
отображения
индуцируют гомоморфизмы f# и f#, составляющие ком-
коммутативную диаграмму
Для любого спектра Е определен спектр SE=SJ Л Е.
Ясно, что отображения
индуцируют гомоморфизм S*: nv(E)-+nn+i(SE).
C.3) Для любого спектра Е гомоморфизм S* яв«
ляется изоморфизмом.

8. Спектры 29
Аналогично, изоморфизмы
(-1L: Hn+k(Ek)-+Hn+k+1(SEk)
индуцируют изоморфизм S», связанный с изоморфиз-
изоморфизмом C.3) коммутативной диаграммой
Я„(Е)-^ ne+1(SE)
Наконец, изоморфизмы
индуцируют изоморфизм <*>: ntt
Каждый спектр Е определяет на категории ^0 неко-
некоторую теорию гомологии ф(Е) и некоторую теорию
когомологий Ф*(Е)
Нп(Х; Е) = яй(ЕЛ1),
Нп{Х- Е)-я.й(Р№ Е)),
Для каждого отображения /: Х->К отображения
1 Л /: Еп /\ Х-+Еп AY составляют отображение g: E Л
Л Х-+Е AY, и по определению
Нп(f; Е) = g#:Ч(ЕЛХ)»\(ЕЛ Г).
Аналогично,
где h: F(F, E)->F(X, E) — отображение, получающееся
компонированием с отображением f.
Наконец, оператор надстройки sn(X) = sn(X; E) тео-
теории ф(Е) определяется как композиция
яп(Е Л X) —*>я„+1 (S Л Е) Л Z) -^->яЛ+1 (Е Л S Л *).
где f—отображение 5ЛЕЛ^->ЕЛ5Д^, состоящее
из отображений SAEnAX-+EnAS/\X, задаваемых
соответствием $Л£Л*-> ^Л«Л^* Аналогично, one-

30 Гл. 1. Теории гомологии и когомологий
ратор sn+l (X) = sn+l (X\ Е) теории $*(Е) определяется
как композиция
f Е)),
где г|? и со — построенные выше отображения. i
C.4) Изложенная конструкция определяет на ка-
категории 3>о теорию гомологии ф(Е) и теорию когомоло-
когомологий ф*(Е). Группами коэффициентов этих теорий яв-
являются группы яп(Е).
Рассмотренные в конце § 2 примеры подпадают под
эту общую конструкцию:
1. Теории $(К(П)) и $*(К(П)) являются обычными
теориями #(П) и Ф*(П), ибо
0 при п Ф 0,
при л = 0.
2. Теорией §(S) является теория стационарных го-
гомотопических групп, а теорией $*(S) — теория стацио-
стационарных когомотопических групп.
3.
(
=
4. Теории ф(МО) и ф(М(О+)) [см. стр. 72. — Перев]
представляют собой соответственно неориентированные
и ориентированные теории бордизмов.
Пусть f: E->E/ — отображение спектров. Для лю-
любого 1е^ои любого /ieZ отображения
F(l,fn):F(X,En)-*F(X,E'n)
составляют отображения
f Л 1: БЛ*-*В/Л*,
F(l,t): F(X, E)-»-F(Z, EO
и, следовательно, индуцируют гомоморфизмы
Я„№ f) = (f Л 1)#: НП(Х; Е)-+На(Х;
l, f)#: Hn(X; E)-

4. Умножения SI
Это показывает, что Нп(Х\ Е) и Нп(Х\ Е) являются
функторами по обоим аргументам X и Е. Более того,
(З.б) Гомоморфизмы Нп(Х\\) и Нп{Х\\) определяют
естественные преобразования ф(Е)->ф(Е') и §*(Е)->
Из B.12) следует, что
C.6) Если отображение f: Е -* Е' является слабой
гомотопической эквивалентностью, то для любого I^
Нп{Х\ f): Я"(Х; Е)~ЯЛ(Х; Г).
Естественный вопрос: какие теории когомологий и
гомологии представляются в виде £)*(Е) и ф(Е) для ка-
какого-нибудь спектра Е? В важной работе [22] Браун оха-
охарактеризовал «нестационарные теории когомологий»,
т. е. функторы вида [ >Х], где X — пространство. Исполь-
Используя эту характеризацию, он смог доказать, что любая
теория когомологий, удовлетворяющая некоторым усло-
условиям счетности, представима. Недавно Адаме [8] сумел
в стационарном случае освободиться от требований счет-
счетности. Таким образом, справедлива
Теорема C.7) (Браун —Адаме). Для любой тео-
теории когомологий ty* на ^0 существуют спектр ё и есте-
естественный изоморфизм Т: fy*~§*(E)
Отсюда и из результатов § 5 (см. ниже) вытекает
Следствие C.8). Для любой теории гомологии I)
на &>о существуют спектр Е и естественный изоморфизм
Т: фс*$(Е).
4. Умножения
Умножения в экстраординарных теориях гомологии и
когомологий, аналогичные умножениям в ординарных
теориях, строятся с помощью спариваний спектров.
Пусть А, В, С — спектры. Спариванием f: (А, В)->С
называется такая двойная последовательность отобра-
отображений
, fp,q: Ар Л Bg-+Cp+q,

32 Гл. I. Теории гомологии и когомологий
что элементы 8, 8', 8"<= [S Л Д, Л 5^ cp+^+iJ» пРеД-
ставленные отображениями
из диаграммы
Ар+1 Л Bq
Л
Ар А о Л £>^ > /ip /\ oq+\
где т: S А Ар Л Bq -+ Ар /\ S Л Bq — отображение пере-
перестановки первых двух сомножителей, удовлетворяют
соотношениям
Пример 1. Пусть Л, 5, С — абелевы группы и
А<8)В->С — их спаривание. Рассмотрим спектры А =
= К(Л), В = К(£), С = К(С). Отображения
fpq: К(А,р)ЛК(В,д)->К(С,р + д),
соответствующие Л-произведениям фундаментальных
классов когомологий пространств К(Аур) и /С(В, q), со-
составляют спаривание f: (К(Л), К(£))-> К(С).
Пример 2. Пусть Е—произвольный спектр, и пусть
fP,q' Sp Л Eq-*>Epbq — составное отображение
а Еч -3t*U s"-1 A E
q+i
ТогДа f: (S, Е)-> Е —спаривание. Аналогичным образом
определяется спаривание f7: (E, S)->E. Спаривания f, \9
называются естественными спариваниями.

4. Умножения 33
Пример 3. Пусть О (&, I)— подгруппа всех элемен-
элементов ГеО(А + /), для которых !T(Vfe)c:Vft, и пусть
<р: 0(&)Х0(/)->0(&, I) — очевидный изоморфизм. Пусть,
далее, GczO— такая подгруппа, что cp(Gft X Gficz Gk+i.
Тогда существует спаривание f: (M(G), M(G))->M(G).
Кольцевым спектром называется спектр R вместе с
отображением i: S —> R и спариванием m: (R,R)->R,
причем диаграмма
RpARq
Sp A Rq (
должна быть гомотопически коммутативна. (Здесь f и
У — построенные выше естественные спаривания.)
Пусть R — кольцевой спектр. Левым ^-модулем
называется спектр М вместе с таким спариванием
g: (R, М)->М, что гомотопически коммутативна диа-
диаграмма
RPAMq
/
\
Правые R-модули определяются аналогично.
Для любого спаривания f: (А, В)->С отображения
fie!: AiABi->Ci+i
индуцируют гомоморфизмы
обладающие тем свойством, что гомоморфизмы (—\)pl fut
индуцируют гомоморфизм
f#: *р(А)®я,(В)-*л;,+,(С).
В дальнейшем вместо f#(a®P), где as^(A) и
РеяG(В), мы будем писать а-р.

34 Гл. 7. Теории гомологии и коеомологий
Пусть, например, iejto(S) —элемент, представленный
тождественным отображением S°-*>S°. Пусть, далее,
Е — произвольный спектр. Тогда для естественных спа-
спариваний (S, Е)->Е и (Е, S)->E справедливо следующее
утверждение:
D.1) aoi = ioa = a для любого аеяа(Е).
Если для кольцевого спектра R участвующие в его
определении спаривания в естественном смысле ассо-
ассоциативны, то группа пЛ(Я) получает структуру градуи-
градуированного кольца. При этом для любого R-модуля М
группа я„(М) оказывается градуированным пЛ (R)-mo-
дулем.
В частности, для любого спектра Е группа ^(Е)
является ^-модулем.
Каждое спаривание f индуцирует спаривания ряда
новых спектров, строящихся с помощью Л-умножений
и перехода к функциональным спектрам. А именно, воз-
возможны по меньшей мере четыре новых спаривания
f1: (F(*. A), F(r, B))-+F{XAY, С),
f2: (\AXAY, F(X, В))-*СЛ1\
f3: (AAX,BAY)-+CAXAY,
f4: (F(XAY, A), BAY-+F(X, C).
Соответствующие спаривания f^ обозначают так:
Л: НР(Х) А) ® Hq(Y; B)-+Hp+q(XAY\ С) (когомологическое
Л-умножение),
\: Hn(XAY; А)®Я«(Х; В)->Я„_,(У; С) (правое косое
умножение),
Л: НР(Х', А) ® Hq(Y; Щ->Нр+д(ХЛ Y; С) (гомологическое
Л-умножение),
/: Hn(XAY; А)®#,(У; В) -► Н11'"(X; С) (левоекосое умно-
жение).
При Y = S° правое косое умножение в силу есте-
естественного гомеоморфизма XAS°=X приводит к «индексу
Кронекера»

5. Двойственность Спеньера — Уайтхеда 35
Чтобы получить соответствующие «внутренние»
умножения, нужно использовать подходящие диаго-
диагональные отображения. Пусть {Х\ Хь Х2) — тройка кате-
категории ^. Рассмотрим проекции щ: X-+X/Xt и диаго-
диагональное отображение А: Х-+ХАХ. Составное отобра-
отображение (щ Л я2) о А: X -* {XIХх) Л {XIХ2) переводит Хх U Х2
в отмеченную точку и, следовательно, индуцирует не-
некоторое отображение
A: X/{Xl\jX2)->{XIXl)A{XIX2).
Тогда ^-умножение
D.4) kj : Нр {X, Хх\ А) ® Hq {X, Х2; В) -► Hp+q(Z, Xx U Х2\ С)
и ^-умножение
D.5) гм Нп (X, Хх U Х2\ А) ® Я^ (Z, Zi; В) ->
~+ Hn-q(X> X2] С)
определяются формулами
«ut) = A'(uAt)), 2 ^ и = (А^м.
Эти умножения обладают свойствами, аналогичными
свойствам обычных умножений. Более того, для спари-
спаривания f из примера 1 они совпадают (с точностью до
знака) с обычными умножениями.
5. Двойственность Спеньера — Уайтхеда {61]
Не только группы jt_n(F(X, E)), но и группы
Н-п(F(X, E)) составляют теорию когомологий. Особен-
Особенно важен случай Е = S. Поскольку F(S°, S)=S, соот-
соответствующая теория удовлетворяет аксиоме размерно-
размерности, причем ее группой коэффициентов в размерности О
является группа Z. Следовательно,
E.1) Имеет место естественный изоморфизм
H_n{F{X,S))~Hn(X; Z).
В явном виде этот изоморфизм определяется следующим
образом. Пусть в*: XAF{X} Sk)->Sk — отображение

36 - Гл. 7. Теории гомологии и кбгомологий
вычисления, a Zk ^ Hh(Sh\Z) — фундаментальный класс
(так что s*zh+\ = zh). Тогда для любого элемента
х s Hk-n {F(X,Sh)) левое косое произведение е\ zkjx
принадлежит группе Hn(X\Z) и отображение
определяет гомоморфизм
S))-+Hn{X\
Этот гомоморфизм является, как легко видеть, изомор-
изоморфизмом при X = 5°, а потому будет изоморфизмом и
для всех X.
Замечание. Соглашение о знаках зависит от ис-
используемого определения /-умножения. Знаки, исполь-
используемые здесь, согласованы с определениями § 4.
Согласно Спеньеру, отображением двойственности
называется отображение
и: X*AX->Sn {X, Гб^0),
для которого гомоморфизм u*zj: Hq(X\ Z)-+ Hn~<*(X*\Z)
является изоморфизмом при всех q. Когда такое отобра-
отображение и существует, пространство X* называется п-двой-
ственным к пространству X по отношению к и.
Например, если X и X* — такие связные подразбие-
подразбиения триангулированной (п+1) -мерной сферы Sn+1, что
X* является S-ретрактом дополнения Sn+1 \ X, то суще-
существует отображение двойственнооти и: X* ЛХ ->Sn. От-
Отсюда вытекает
E.2) Для любого пространства X ^<?0 существует
отображение двойственности и: X1" Л X -> Sn при некото-
некотором п.
Единственность отображения двойственности имеет
место в следующем смысле;
E.3) Для любых отображений двойственности
и: U AX->Sn и D: VAX->Sm существует такое един-
единственное S-отображение аи, v^ Ф, V}m-n> что при до-
достаточно большом k для каждого представителя

5. Двойственность Спеньера — Уайтхеда 37
/: SkU ->Sh+n~mV отображения а имеет место гомотопи-
чески коммутативная диаграмма
SkUAX
\sku
fA 1
\
*sra
В частности, любые два пространства, я-двойствен-
ные к одному и тому же пространству X, имеют одинако-
одинаковый S-тип.
Пусть и: X*AX-*Sn — отображение двойственно-
двойственности. Для любых р ^ 0, q ^ 0 рассмотрим отображение
SX* ASZS++ й
up,q:
S"
SpX1
AX*
» /
Л
\s
sq
pX
A
X-+
V+q
sp
A-
являющееся
композицией
SP 4u > cP+1+n
отображения перестановки второго и третьего сомножи-
сомножителей и отображения Sp+Qu. Оказывается, что
E.4) Отображение иР} q является отображением двой-
двойственности.
Отображения, сопряженные к отображениям uPtQ=*
zszSpu: Sp Л X* Л X -> Sn+p, определяют некоторое' ото-
отображение u: SAZ*->SnF(X, S). Из E.1) и определе-
определения двойственности немедленно вытекает
E.5) Отображение и является слабой гомотопической
эквивалентностью.
Следовательно, отображение и индуцирует изомор-
изоморфизм
u,: H*(Y; SX*)^H*(Y; SnF(X, S)).
Эти группы естественно изоморфны группам {У, Х*}# и
{У AX9Sn} соответственно. Таким образом,
E.6) Отображение двойственности и определяет есте-
естественный изоморфизм
Г,: {У, Г)Л&{УЛХ, Snl.

38 Гл. 7. Теориц гомологии и когомологий
Транспонированным к и называется отображение,
двойственное к и'\ X Л X* -> S*. Пусть v: У* Л У -> S" —
др.угое отображение двойственности, и пусть £: Х*ЛУ->
-> У Л Я* — естественный гомеоморфизм. Рассмотрим
композицию
А.(и, v): {У, *}^{У л Г, S"}—*
Основной результат теории Спеньера — Уайтхеда заклю-
заключается в следующем:
E.7) Для любой пары отображений двойственности
и: X*AX->Sn и v: Y* AY->Sn отображение
Dn(u,v):{Y9 *}.-*{£', Г>.
^является изоморфизмом. Преть элементы а е {У, X) и
ре{Х*, У*} представлены отображениями f: SW^^X
и g: SkX*->ShY*. Тогда $ = Dn(u, v)a в том и только
, в том случае, когда диаграмма
Skx*AY— +SkY AX*
SkY* AY SkXA X*
А
гомотопически коммутативна для достаточно больших К
Мы можем теперь с помощью двойственности Спенье-
Спеньера— Уайтхеда связать теории гомологии и когомологий.
Пусть aG{I,y}g и /: Sv+zX-^S*1 У — представитель а;
для любой теории гомологии ^ будем обозначать симво-
символом а* составное отображение
hp ( p^ #
Аналогичное отображение hP(Y)-^hP^(X) для теории
когомологий ty* будем обозначать символом а*.
Пусть § — теория гомологии, а ^* — теория когомоло-
когомологий на категории ^о« Поляритетом между % и Y назы-

5. Двойственность Спеньера — Уайтхеда
вается функция, сопоставляющая каждому отображению
двойственности и: X*AX->Sn изоморфизм
Ф (и): hq (X) cz hn~q {X ),
обладающий следующими свойствами:
A) Для любых отображений двойственности
и: X* AX->Sn и v: Y* AY->Sn и любых элементов
а е {У, X}h и р = Dn(u, v)a^ {X*y Y*}h имеет место ком-
коммутативная диаграмма
^+^'
B) Диаграмма
также коммутативна.
Теории ^ и ^* называются полярными, если между
ними существует поляритет.
E.8) Для любой теории гомологии § (теории когомо-
логий Y) существует такая единственная с точностью до
естественного изоморфизма теория когомологий ^* (тео-
(теория гомологии fy), что теории I) и fy* полярны. .
Пример. Для любого спектра Е теории ф(Е) и
ф*(Е) полярны. Поляритет задается следующим обра-
образом: пусть (S, Е)~>Е — естественное спаривание, и пусть
in ^Hn(Sn\ S) — элемент, образ которого при /г-кратной
надстройке является классом i из предложения D,1).
Тогда

40 Гл. 7. Теории гомологии и когомологий
E.9) Отображения yu(z)= u*in/z составляют поля-
поляритет.
В качестве следствия получаем теорему двойственно-
двойственности Александера:
E.10) Пусть Е — произвольный спектр, а X и X* —
такие подполиэдры сферы 5n+1, что X* является S-pe-
трактом дополнения 5n+1 \ X. Тогда
Hq(X; Е)~Нп~д(Х*; Е).
6. Двойственность Пуанкаре (внутренняя)
Существуют два различных подхода к двойственно-
двойственности Пуанкаре — «внутренний» и «внешний». В этом па-
параграфе мы опишем внутреннюю двойственность, а в
следующем — внешнюю.
Пусть К — конечное симплициальное разбиение.
В дальнейшем мы будем рассматривать \К\ как свобод-
свободное пространство. Для любого подразбиения L обозна-
обозначим через L* комбинаторное дополнение L в /С. Это по
определению подразбиение первого барицентрического
подразделения К! разбиения К> состоящее из симплек-
симплексов, ни одна вершина которых не принадлежит Z/. Ясно,
что К! естественным образом вкладывается в симпли-
симплициальное соединение разбиений U и L*.
Пусть N(L)—множество всех точек пространства
|К| = \К'\, отстоящих от L не далее, чем от L*, и пусть
N(L*) — замыкание дополнения к N(L). Тогда
F.0) Пространство \L*\ является деформационным
ретрактом пространства \K\\\L\.
F.1) Множество N(L) является замкнутой окрестно-
окрестностью подпространства \L\.
F.2) Множество N(L*) является замкнутой окрест-
окрестностью подпространства |L*|.
F.3) Подпространство \L\ является деформацион-
деформационным ретрактом окрестности N(L).
F.4) Подпространство |L*| является деформацион-
деформационным ретрактом окрестности N(L*).

6. Двойственность Пуанкаре (внутренняя) 41
F.5) Если L=>M, то Af*=>L\ N(L)^>N(M) и
N(M*)=>N(L*).
F.6) Если L=>M,to \K\ = N(M)\JN(L*)\J(N(L)f]
(M))
Пусть щ: N(L) -> N(L)/N(M) и п2: N(M*)-+
-*■ N(M*) IN(L*) — естественные проекции. Рассмотрим
отображение
Л': | /С | -> N (L)/N (M) Л ЛГ (M*)/N (Г),
задаваемое формулой
я, W Л % (х), если х s N (L) Л
W~~ 1 * , если
Компонируя А' с Л- и \-умножениями § 4 и используя
утверждения F.3) и F.4), мы для любого спаривания
спектров (А, В)->С получим спаривания
F.7) w: HP(L, М- А)® Н9(Мт, Г; В)->Нр+9(К; С),
F.8) гл: Нп{К; А)®Я?D Af; В)->Hn.q(АГ, Г; С),
Предположим теперь, что /С — связное гомологиче-
гомологическое я-мерное многообразие, т. е. что его локальные
группы гомологии те же, что и у л-мерной сферы. Пусть,
далее, R — произвольный кольцевой спектр и М — неко-
некоторый R-модуль.
По теореме Хопфа группа Нп(\К\\ S) c^Hn{\K\', Z)
является циклической группой порядка оо или 2. Пусть
ge Hn(\K\\ S)—ее образующая. Элемент 2е
е Нп( \К\; R) называется фундаментальным классом,
если (z,£)=±i, где iGjto(R)—единица кольца n*{R).
Симплициальное разбиение К называется R-ориентируе-
мыму если такой фундаментальный класс существует.
Теорема двойственности Пуанкаре гласит:
F.9). Пусть К — связное гомологическое п-мерное
^-ориентируемое многообразие, и пусть z^Hn(\K\\ R) —
его фундаментальный класс, Тогда для любого

42 Гл. 7. Теории гомологии и когомологий
^-модуля М и любой пары (L, М) подразбиений много-
многообразия К г\-умножение F.8) на z
, М; М)^ЯЛ_,(М, I; M)
является изоморфизмом.
Эта теорема вытекает из сравнения спектральных по-
последовательностей разбиения К (см. § 2) и двойствен-
двойственного к нему «клеточного разбиения».
При L = К, М = 0 получается абсолютная двой-
двойственность Пуанкаре
НЧК; М) «#«.,(*; М),
а при К — Sn и М9 являющемся точкой, вновь получаем
теорему двойственности Александера.
Вопроса о том, когда имеет место R-ориентируемость,
мы вкратце коснемся в конце гл. II.
7. Двойственность Пуанкаре (внешняя)
Пусть 5:—связное пространство категории ^о, и пусть
В+ — свободное пространство, получающееся из В игно-
игнорированием отмеченной точки. Далее, пусть р: Х->В —
произвольное сферическое расслоение, т. е. расслоение,
слой F = p~1(-») которого имеет гомотопический тип
сферы Sft~!. Пространством Тома расслоения р назы-
называется конус Тр отображения р. Конусом отображения
p\F: F->{*} является ft-мерная сфера SkczTp.
Пусть R — кольцевой спектр, и пусть ifee#*(S*; R) —
элемент, А-кратная надстройка которого является еди-
единицей кольца Jt*(R) (эта единица принадлежит группе
#°(S0;R) = n0(R)). Элемент Us№(rp;R) называется
классом Тома, если инъекция Hk(Tp\ R)->Hk(Sh; R)
отображает U в фундаментальный класс i^. Отображе-
Отображение р йазывается ^-ориентируемым, если класс Тома
существует.
Пусть М — произвольный R-модуль. Так как В яв-
является деформационным ретрактОм цилиндра 1Р отобра-
отображения р и группы гомологии (когомологий) пары (/р, X)
совпадают с группами гомологии (когомологий) про-

7. Двойственность Пуанкаре (внешняя) 43
странства Тр, то v^-умножение D.4) на U для тройки
(/р; X, 0) приводит к гомоморфизму
G.1) Ф*=£/^: #Р(Я+; m)->Hp+k(Tp; М),
а ^-умножение D.5) на U для тройки AР\Х,0) — к го-
гомоморфизму
G.2) (p,= rv(/: #„Gу, М)-Я,1*(й+; M).
Имеет место следующая теорема Тома об изоморфизме:
G.3) Для любого ^-ориентируемого сферического
расслоения р: Х->В с классом Тома U&Hk(Tp; R) го-
гомоморфизмы ф* и ф* являются изоморфизмами.
Спивак [67] ввел понятие Р-пространсгва. Односвяз-
ное Р-прост ранет во — это просто конечное односвязное
клеточное разбиение 5, удовлетворяющее двойственно-
двойственности Пуанкаре в том смысле, что существует класс
z<=Hn E+; Z), для которого
zr^: Н<(в+;г)~Нп-,(в+; Z)
при всех п. Любое компактное триангулируемое много-
многообразие является Р-пространством. Спивак доказал сле-
следующее предложение:
G.4) Для любого Р-пространства В существует сфе-
сферическое расслоение р: Х->В, единственное с точностью
до стационарного гомотопического типа, пространство
Тома Тр которого приводимо.
Например, для компактного дифференцируемого мно-
многообразия В таким расслоением будет нормальное сфе-.
рическое расслоение, отвечающее произвольному погру-
погружению многообразия В в евклидово пространство доста-
достаточно большой размерности. Спивак доказал также, что
G.5) Если пространство Тома Тр сферического рас-
расслоения р: Х->В над Р-пространством В приводимо,
то оно (п + k) -двойственно пространству В+.
Пусть В — ориентируемое многообразие. Согласно
теореме Хопфа, группа Нп(В+\ S) является бесконечной
циклической группой. Пусть £ — ее образующая. Как и
в §6, класс ze#n(B+;R) мы назовем фундаментальным

44 Гл. Т. Теории гомологии и кбгомологий
классом, если (-г,£) = ± igno(R). Если такой класс
существует, многообразие В называется ^-ориентируе-
^-ориентируемым.
Пусть р: Х->В— сферическое расслоение, простран-
пространство Тома Гр которого приводимо. Согласно G.5), суще-
существует отображение двойственности и: Тр Л 5+ -> Sn+h.
Оказывается, что
G.6) Ограничение отображения и на Sh Л 5+ пред-
представляет элемент ±£ е Нп(В+\ S).
G.7) Пусть ze=Hn(B+; R) и U=u*zn+k/zt=Hb(Tp- R).
Пусть далее /*: Hh(Tp\ R)->Hk(Sk\ R)—естественная
инъекция. Тогда
В частности, U тогда и только тогда является классом
Тома, когда z представляет собой фундаментальный
класс.
Теорема двойственности Пуанкаре формулируется
теперь следующим образом:
G.8) Пусть В — ориентируемое ^-ориентируемое
Р-пространство с фундаментальным классом ге
е Нп (В+, R). Тогда для любого ^-модуля М
Для доказательства этой теоремы достаточно рассмот-
рассмотреть коммутативную диаграмму

Глава II
СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ СПЕКТРЫ
В гл. I мы рассматривали группы гомологии
Нп (Х\ Е) просто как абелевы группы. Однако на самом
деле почти всегда в этих группах имеется дополнитель-
дополнительная структура. Например, для любого R-модуля Е, где
R — произвольный кольцевой спектр, группа Н*(Х\ Е)
является градуированным модулем над кольцом jx*(R).
Другой тип дополнительной структуры может быть по-
получен следующим образом.
Для произвольного спектра Е рассмотрим множество
&д всех естественных преобразований степени q теории
ф(Е) в себя. Мы можем складывать эти преобразова-
преобразования и рассматривать их композиции и, таким образом,
получить градуированное кольцо К*. Ясно, что для каж-
каждого пространства Х^<?0 группа Н*{Х\ Е) является
градуированным ®*-модулем.
Пример 1. E=K(ZP). Кольцо &* является клас-
классической алгеброй Стинрода М(р).
Пример 2. E=S. Тогда кольцо ®* изоморфно
кольцу rc*(S) = а*. В этом случае группа #*(Х, Е) обла-
обладает априори двумя структурами а*-модуля. Однако из
одной теоремы Баррата и Хилтона [16] следует, что обе
структуры совпадают.
Пример 3. Е — Ъи или Е = ВО. В этом случае
имеются (см. [3]) операции Адамса ЧГ*. Поскольку эти
операции не коммутируют с надстройкой, этот случай
формально не подпадает под общее определение. Тем
не менее Адаме [4] показал, что можно плодотворно рас-
рассматривать Kf{X) как модуль над кольцом, порожден-
порожденным операциями xPh. Мы вернемся к этому в гл. V.

46 Гл. 77. Симплициальные спектры
Во всяком случае можно пытаться исследовать струк-
структуру получающихся модулей методами гомологической
алгебры, важную роль в которых играют проективные
(или инъективные) резольвенты. Естественно пытаться
также реализовать эти алгебраические конструкции гео-
геометрически. Попытка такого рода реализации приводит
к действиям над спектрами, обоснованным только" в со-
соответствующей категории. В частности, слишком «сво-
«свободная» категория из гл. I для этого не достаточно хо-
хороша.
Были предложены различные кандидатуры на роль
«правильной» категории спектров (Бордман [17], Пуппе
[58], Кан [42]). Каждая из них имеет свои достоинства
и недостатки, и до сих пор не ясно, какова же все-таки
«правильная» категория (и существует ли вообще та-
ковая).
Мы выберем в качестве основной категорию симпли-
циальных спектров. Эта категория имеет следующие
преимущества:
A) Определение спектров и их отображений концеп-
концептуально очень просто.
B) Подобно симплициальным множествам симпли-
симплициальные спектры могут быть определены для любой ка-
категории. Поэтому к ним можно применять функторы из
категории множеств в другие, более богатые категории
и использовать для изучения получающихся объектов
алгебраическую технику.
Симплициальные спектры имеют и недостатки:
C) Они обладают всеми недостатками симплициаль-
ных множеств; например, они столь же «жестки».
D) Хотя Л-умножение спектров и определено, оно
неассоциативно. Это существенно затрудняет изучение
спариваний, для которых условие гомотопической ассо-
ассоциативности играет важную роль.
В подготовленной к печати серии работ Бордман раз-
развивает свою точку зрения на стационарную теорию гомо-
топий, изучает связь своей категории с другими и, в
частности, доказывает, что его категория эквивалентна
категории спектров [17].

7. Симплициальные спектры 47
1. Симплициальные спектры
Напомним, что для пунктированного симплициаль-
ного множества К с операторами граней и вырождения
dt: Kn-*Kn-x («-0, ..., я),
st: Kn-*Kn+i (' = 0, ♦.., /г)
надстройка L = S/C определяется следующим образом:
невырожденными (я + 1)-мерными симплексами множе-
множества L являются невырожденные n-мерные симплексы
множества /С, грани и вырождения симплекса х в L
те же, что и в /С, за исключением еще одной грани
дп+\Х = * и формально присоединяемого вырождения
Пусть {Кп}—такая последовательность симплици-
альных множеств, что для любого п множество SKn
является подмножеством множества Кп+\- Тогда любой
(я + #) -мерный симплекс х из Кп (число q может быть
и-отрицательным) будет (n + q-{-1)-мерным симплек-
симплексом в /Сп+ь причем его грани и вырождения в Кп+\ будут
те же, что и в Кп, но добавятся еще одна грань и одно
вырождение. Переходя к /Сп+2, Кп+г и т.д., мы оконча-
окончательно получим, что х будет иметь грани д%х и вырожде-
вырождения Six при всех i ^ 0, причем они будут удовлетворять
обычным соотношениям. Это мотивирует следующее
Определение A.1) Симплициальным спектром X
называется последовательность {X^q)\qeZ) пунктиро-
пунктированных множеств, заданная вместе с двумя семействами
таких отображений
st: X(q)->
что
A.2)
причем

48 Гл. II. Симплициальные спектры
A.3) для любого x^X(q) существует такое целое
число т(х)9 что дгх = * при всех i > т(х).
Пусть X и Y — спектры. Отображением f: X->Y на-
называется последовательность таких отображений
kq): Xiq)->Yiq)) что
при всех i, q.
Для любого спектра X и целого числа t сдвиг ин-
индексов в X на t дает новый спектр а*(Х);
операторы граней и вырождения в а'(Х) те же, что и
в X с соответствующим сдвигом размерности.
Отображением f: X->Y степени t называется произ-
произвольное отображение a'X->Y.
Ясно, что эти определения годятся для любой пунк-
пунктированной категории Ф, причем соответствующие
^-спектры образуют категорию З^р^. В случае когда ^
является категорией множеств, мы будем обозначать
категорию 9*р.~ просто через ^/г.
Пусть X — спектр и п — целое число. Определим сим-
плициальное множество Хп, принимая за его симплексы
размерности q такие элементы x^X(q-n^ что
dtx= * при i>q9
<L6> до...д,(х)=:
Ясно, что для любого ^-мерного симплекса х из Хп
элементы д\Х и Six при 0 ^ i ^ n являются соответствен-
соответственно (q— 1) -мерными и (q + 1) -мерными симплексами из
Хп. Следовательно, Хп действительно является симпли-
циальным множеством. По определению каждый <7"Мер-
ный симплекс из Хп является (q + I)-мерным симплек-
симплексом из Хп+и это задает некоторое вложение >SXn в Хп+и
По последовательности симплициальных множеств Хп
и вложений SXnczXn+i спектр X, очевидно, восстанав-
восстанавливается однозначно.
Заметим, что, вообще говоря, SXn является собствен-
собственным подмножеством симплициального множества Хп+\.

2. Групповые спектры 49
С другой стороны, из A.5) следует, что если спектр X
полон (т. е. если симплициальные множества Хп полны
в смысле Кана), то Хп = QXn+i.
Пусть R — функтор геометрической реализации. Так
как для любого симплициального множества К простран-
пространства R(SK) и SR(K) естественно гомеоморфны, то для
любого спектра ХеУ/г пространства. R{Xn) с вложе-
вложениями SRXn czR(Xn+\) составляют некоторый спектр
R(X) в смысле гл. I. При этом каждое отображение
f: X->Y спектров индуцирует некоторое отображение
R(i) tf(X)#(Y)
) ()()
Мы определим гомотопические группы спектра X как
гомотопические группы его реализации R(X). Если X
полон, то гомотопические группы яп+я(Хп) могут быть
определены как в [41], а вложения SXnczXn+i будут ин-
индуцировать гомоморфизмы яп+д(Хп)->nn+q+i(Xn+i). Так
как гомотопические группы полного симплициального
множества совпадают с гомотопическими группами его
реализации, то
A.6) nq (X) = пд {RX) ~ lim лп+д (Хп). .
п
Определение A.7) Отображение f: X->Y кате-
категории &fi называется слабой гомотопической эквивалент-
эквивалентностью, если слабой гомотопической эквивалентностью
является его.реализация R(i): R(X)-+R(Y).
2. Групповые спектры
Пусть ^ — категория групп; категория #7^ назы-
называется категорией групповых спектров.
Пусть ХеУ/г, Обозначим через {FX)(q) группу, по-
порожденную множеством Х{д) с единственным соотноше-
соотношением: отмеченная точка является единицей. Эти группы
свободны и составляют спектр FX, операторы граней и
вырождения которого представляют собой гомоморфиз-
гомоморфизмы, индуцированные соответствующими операторами
спектра X. Ясно, что тем самым мы получили некоторый
функтор F: 9^/1-^9^/г . Спектр FX называется свобод*
ным групповым спектром, порожденным спектром X,

60 Гл. II. бимплициальные спектры
Напомним, что для симплициальных множеств К
аналог этой конструкции приводит к пространству пе-
петель надстройки над. К и, следовательно, инъекция
П{(К)->П{(РК) является в стационарных размерностях
изоморфизмом. Отсюда легко вытекает следующее пред-
предложение:
B.1) Для любого спектра Х&9*р естественное вло-
вложение XczFX является слабой гомотопической эквива-
эквивалентностью.
Аналогично строится свободный абелев спектр АХ,
порожденный спектром X. Он связан со спектром FX
естественным гомоморфизмом п: FX-+AX, причем
B 2) Существуют изоморфизмы пп{АХ)с^Нп(Х)у пе-
переводящие гомоморфизм
*.: nn{FX)-+nn(AX),
индуцированный гомоморфизмом л, в гомоморфизм Гу-
ревича т) из гл. I.
3. Гомотопия
Гомотопию двух отображений f0, fi: X->Y можно
определить с помощью симплициального аналога /-Х
призмы над X.
Поскольку конструкция спектра /-Х довольно слож-
сложна, мы не будем ее здесь описывать, а вместо этого сфор-
сформулируем без доказательства некоторые наиболее важ-
важные свойства отношения гомотопности. Большая часть
результатов этого параграфа получена Бургеля и Де-
Деляну [23].
C.1) Для отображений X->Y в полный спектр Y
отношение гомотопности является отношением эквива-
эквивалентности.
C.2) Для полных спектров X и Y любая слабая го-
гомотопическая эквивалентность f: X-*Y является гомо-
гомотопической эквивалентностью.
C.3) Для любого полного спектра X вложение X -> FX
является гомотопической эквивалентностью.

3. Гомотбпия
б!
Пусть 9?рЕ—градуированная категория, объектами
которой являются полные спектры, а отображениями
степени q — гомотопические классы отображений сте-
степени q.
C.4) Категория 9)f.E аддитивна, и в ней существуют
(бесконечные) прямые суммы и прямые произведения.
Можно определить правый конус XT и правую над-
надстройку XS произвольного спектра X так, чтобы при этом
X с XT и ХТ/Х = XS. Можно также определить конус
Tf произвольного отображения f: X->Y так, чтобы
Ye=Tf и Ti/Y=XS. -
C.5) Для любого спектра X s 9>p,E существует есте-
естественный гомотопический класс гомотопических эквива-
лентностей Ь\\ F(X,S)->F(X) степени —1,
Пусть 9~ — категория треугольников
А
в
категории 9"рЕ, обладающих тем свойством, что deg f +
+ degg + clegh = — {• отображениями таких треуголь-
треугольников являются по определению диаграммы вида
-♦А'
Х
/
4- /8
В
с-
,ч
где
Ь'оу = (—0* о oh,
Г °а = (— l)'Pof,
deg а + deg Э + deg \ = а -f Ь + с mod 2,

52
Гл. 77. Симплициальныв спектры
Треугольник называется точным, если он эквива-
эквивалентен в категории 9Г треугольнику вида
Fit)
где i: Y с: Tf —вложение, a p: Tf->XS —отображение
отождествления. Класс <$ точных треугольников удо-
удовлетворяет аксиомам Пуппе [58] для «триангулирован-
«триангулированной категории»:
C.6) Для любого треугольника
из 8 треугольник
в
в
\!
также принадлежит &.
C.7) Пусть N — тривиальный спектр, т. е. NiQ) = {*}
при всех q. Тогда для любого спектра X треугольник
X
■!>
принадлежит <$.

S. Гомотопия
53
C.8) Пусть f: X->Y — отображение степени р. Тогда
для любого целого числа q в S существует такой тре-
треугольник
X
\h
>
что degg = q.
C.9) Если в диаграмме
\h
\
/г
Г,
С/
h'/
/
\
+А'
в
категорией 9?рЕ оба треугольника принадлежат &
и выполнено соотношение foa = ±р °f, то эту диаграм-
диаграмму можно дополнить до отображения^ категории %Г неко-
некоторым отображением \\ С -> С7 из 9*рЕ.
Отсюда вытекает
C.10) Для любого спектра
угольника
\н
и любого тре*
/*
В
из %> последовательности
... -чс х]р-*н
[X, С]
в, х]р.
*[А> X]p+degf+degg
Jp+degf+deg g"
1 -£>
Jp+deg g
-
, A]p_
p_

54 Гл. 11. Симплициальные спектры
являются точными последовательностями градуирован-
градуированных групп.
Функтор реализации позволяет определить группы
гомологии и когомологий
Щ(Х; Е), Н<(Х; Е)
для любого пространства Хе^о и любого спектра
C.11) Для любого пространства Xg^o « любого
треугольника
А
X
)с
л
в
из & имеют место точные последовательности
...-*НР(Х\ А)-Ь*Яр+Aе8f(X; В)-&■►
-»-#p+degf+degg(-X'; С) —i-> Hp-\ (X) А) -* ...,
Важный пример точного треугольника доставляет
нам следующее предложение:
C.12) Пусть G — групповой спектр, Н — его группо-
групповой подспектр и G/H — соответствующий спектр левых
смежных классов. Тогда имеет место точный треугольник
Н
)о/н
л
G
где \ — вложение, ар — проекция.

4. Приведенное соединение двух спектров 65
4. Приведенное соединение двух спектров [43]
Пусть f(A, B)->C — спаривание спектров в смысле
гл. I. Тогда пространства Ар П Bq являются компонен-
компонентами биспектра А Л В и спаривание f можно рассмат-
рассматривать как отображение биспектра А Л В в спектр С.
Формально биспектр определяется как последователь-
последовательность спектров вместе с отображениями надстройки над
каждым из спектров в следующий спектр (это что-то
вроде спектра в категории спектров). Подобным же об-
образом можно ввести понятие симплициального биспект-
биспектра, которое определяется с помощью симплициальных
спектров, так же как симплициальные спектры опреде-
определяются с помощью симплициальных множеств. Получаю-
Получающиеся симплициальные биспектры отличаются от сим-
симплициальных спектров только тем, что операторы граней
и вырождения определены в них для всех целых чисел /.
(Как определить триспектры и т. д., совершенно не-
неясно. Это существенный недостаток излагаемой тео-
теории.) Биспектры образуют категорию У/г2.
Любому биспектру В можно сопоставить ассоции-
ассоциированное семейство спектров {В^} вместе с отображе-
отображениями надстройки над каждым спектром в следукнций
спектр, являющимися слабыми гомотопическими эквива-
лентностями. Это наводит на мысль, что категории
спектров и биспектров эквивалентны (с точностью до
слабой гомотопической эквивалентности). Чтобы дока-
доказать это, нам потребуется ввести понятие соединения
спектров.
Пусть X и Y — произвольные спектры. Имитируя из-
известную конструкцию для симплициальных множеств,
можно определить биспектр X*Y, называемый соедине-
соединением спектров X и ¥..При этом можно доказать, что
D.1) Имеют место естественные слабые гомотопиче-
гомотопические эквивалентности ,
a: X->(F(S*X)L, (X
b: /HSiB-J-^B (B

56 Гл. II. Симплициальные спектры
так что функторы 9>р->9>р2 и &р?->&р9 заданные
соответствиями
по существу обратны друг другу.
Это предложение позволяет вместо биспектра X*Y
рассматривать приведенное соединение X Л Y =
= (F(X*Y))_i спектров X и Y. Преимущество такого
подхода состоит в том, что, тем самым, мы остаемся в
категории спектров; его недостаток — в трудностях, воз-
возникающих при изучении ассоциативности.
D.2) Имеют место слабые гомотопические эквива-
эквивалентности
a: X->SAX,
a': X->XAS
и естественный изоморфизм t: XAY->YAX.
D.3) Приведенное соединение сохраняет слабую го-
гомотопическую эквивалентность.
Можно также показать, что отображение u: XAY->
->Z категории 9}fi индуцирует спаривание (RX, RY)->
-^/?Zb смысле гл. I.
По аналогии с определениями гл. I теперь очевид-
очевидным образом определяются кольца и модули в катего-
категории спектров.
5. Сходящиеся функторы
Пусть М* — категория пунктированных множеств.
Функтор Т: М*->Лъ называется сходящимся, если он
сохраняет одноточечные множества и прямые пределы
упорядоченных множеств. Естественное распростране-
распространение сходящегося функтора Т на категорию спектров, ко-
которое мы будем обозначать тем же символом Г, обла-
обладает следующими свойствами:
E.1) функтор Т сохраняет слабые гомотопические
эквивалентности;

5. Сходящиеся функторы v 57
E.2) функтор Т сохраняет точные треугольники;
E.3) группы гомологии спектра ТХ зависят только
от групп гомологии спектра X (и от функтора Г).
Последнее свойство обобщает одну теорему Доль-
да [29].
E.4) Имеют место слабые гомотопические эквива-
эквивалентности
р: ХЛ TY->T(XAY),
X: ГХЛУ-
Особый интерес представляют сходящиеся функторы
Эйда
где 3? — категория групп, F — функтор, сопоставляющий
каждому множеству М свободную группу, порожденную
множеством АТ\{*}, и J—функтор игнорирования.
Такие функторы называются групповыми функторами.
Пусть Ти Г2— групповые функторы. Рассмотрим ото-
отображения
TXS Л Т2Х— > T2(S Л Г2Х)-^* TXT2(S Л X) <^?ifcL
<-ТхТ2(Х).
Поскольку а представляет собой слабую гомотопическую
эквивалентность, отображение ^^(а) является гомото-
гомотопической эквивалентностью. Следовательно,
E.5) Существует такое естественное и единственное
с точностью до гомотопии отображение <р: TiSA^X-*
-+TJ2X, что 7*1 Г2(а) оф^Г^р) о^.
Предположим, что для группового функтора Т за-
заданы естественные преобразования
Е: 1->Т,
Ф: Г2->Г,
составляющие стандартную конструкцию в смысле Го-
демана [35, стр. 301]. Компонуя отображение Ф(Х) с
отображением <р из E.5), мы получим отображение

58 Гл. II. Симплициальные спектры
v: Г(8)ЛГ(Х)->Г(Х), а положив X = S, — отображе-
отображение |ш: T{S)AT(S)->T(S). Пусть e = £(S): S->T(S).
Ясно, что эти отображения определяют на T(S)
структуру кольцевого спектра, а на Г(Х)— структуру
T(S) -модуля.
Примерами такого рода функторов являются вполне
инвариантные функторы Qu, определяемые следующим
образом. Пусть £«> — свободная группа со счетным мно-
множеством образующих и U — ее вполне инвариантная
подгруппа. Для каждой группы G обозначим через
TV(G) подгруппу группы G, порожденную всеми под-
подгруппами вида г)(£/), где г\ — произвольный гомомор-
гомоморфизм Foo->G. Так как для любого гомоморфизма
/: G-># имеет место включение f: (Tu(G))cz 7V(#), то
Тц представляет собой функтор $?->Ф . Поскольку TV(G)
является вполне инвариантной подгруппой группы G,
определена группа
и, тем самым, некоторый функтор Qu. Отображения
Ev: I->Qu и Фц: Qb-+Qu> составляющие стандартную
конструкцию, определяются очевидным образом. Следо-
Следовательно,
E.6) Любая вполне инвариантная подгруппа U груп-
группы Foo определяет кольцевой спектр Qt/(S), а для любого
спектра X спектр Qt/(X) является Qu(S)-модулем.
Среди вполне инвариантных функторов особо важны
функторы, отвечающие ряду коммутантов f/0, U\t .. .
..., Un, ..., где Uo = /\х> и Un+i = [Uny Un\ Для любой
группы G подгруппа TUn(G) является не чем иным, как
п-и членом ряда коммутантов этой группы. Положим
An = QUn. Спектр X называется п-абелевым, если спектр
F(X) допускает структуру An(S)-модуля.
E.7) Пусть п-абелев спектр X доминирует спектр Y,
тогда спектр Y является п-абелевым.
E.8) Спектр X тогда и только тогда \-абелёв, когда
он имеет тот же гомотопический типг что и некоторый
абелев групповой спектр,

'6. Гомологические операции высшего порядка 59
6. Гомологические операции высшего порядка [44]
Эти операции возникают из некоторых диаграмм точ-
точных треугольников, называемых Р-системами. По опре-
определению Р-системой ранга п называется диаграмма 2
над категорией
/ / \Л
/Ч /'n-i Ч.
Ао
где
F.1) спектры Ао,...,АП абелевы A-абелевы);
F.2) отображения Ц, j& имеют степень 0;
F.3) все треугольники точны.
Отделив спектры An, E^_i и связывающие их ото-
отображения, мы получим диаграмму '2, называемую на-
начальным сегментом Р-системы 2. Аналогично, отделив
спектры Ао, Ео, получим диаграмму , называемую
конечным сегментом Р-системы 2. Очевидно, что диа-
диаграммы '2 и  являются Р-системами ранга п—1.
Пусть Ig^o. Применив функтор Н*(Х\ ) к Р-си-
стеме 2, мы получим диаграмму над категорией градуи-
градуированных абелевых групп. Пусть qk = pi° ... °рь-1. Рас-
Рассмотрим множество D(X, 2) всех пар (х, у)> лее
е Н*(Х\ Ао), у е Я*(X; Ап), для которых существует
такой элемент z^H*{X\ En_i), что
JTm{X\ io)x=Hm(X; ря.,Jг,
Очевидна, что отношение D(X, 2) аддитивно и потому
определяет естественный гомоморфизм Ф некоторой
подгруппы группы Н*(Х; Ао) в некоторую факторгруппу
группы Н*(Х\ Ап).
F.4) Область определения отношения D(X, 2) яв-
является яд/юл* отношения D(X/2), а неоднозначность
отношения D (X, 2) — образом отношения D (X, ).
Другими словами, Ф; Кег 'ф -ф Coker /7Ф, где Ф, 'Ф
и Л/Ф — гомоморфизмы, ассоциированные с аддитивными
отношениями D(X,2), D(X/%) и D^/^)

60 Гл. II. Симплициальные спектры
При п= 1 гомоморфизм Ф: #*(Я; Ао) ->#*(ЛГ; Ai)
является стационарной примарной операцией. При
п = 2 стационарными примарными операциями являются
гомоморфизмы 'Ф и "Ф, причем
F.5) "фо'ф = 0,
а Ф представляет собой стационарную вторичную опе-
операцию, ассоциированную в смысле Адамса [2] с F.5).
При любом п гомоморфизм Ф называется стационар-
стационарной операцией п-й ступени, ассоциированной с Р-си-
стемой S. Операция Ф называется нормальной, если
Ао = FS//WS = K(Z) и ФЯ°E°; Ао) «= 0 (равенство
ф(л:) = 0 означает, что Ф(х) определено, т. е. 'ф(х)=0,
и что Ф(х) = 0).
Нормальная операция Ч? называется универсальной,
если для любой нормальной операции Ф той же сту-
ступени, любого пространства lei'o и любого элемента
х<=Н*(Х\ Ао)==? Н*(Х\ Z) из равенства Чг(х) = 0 выте-
вытекает равенство ф(х)= 0.
Чтобы построить универсальную операцию Фп (про-
(произвольной ступени я^1), мы рассмотрим диаграмму
FS/FA)S ^^~ FS/FB)S <^- ...
s-: X Ч /-f
FS/F^S F{l)S/F^2)S
r
\
где ift — вложения, ztk — проекции, a j* — отображения
из C.12). Пусть 2n — поддиаграмма, получающаяся уда-
удалением спектров FS/Fr+VS и /WS/FH^S с г > п и всех
связывающих их отображений, а Фп — операция n-ft
ступени, ассоциированная с Sn. Оказывается, что
F.6) Операция Фп нормальна и универсальна,
7. Степень ориентируемости многообразий
В § 6 гл. I для любого кольцевого спектра R было
определено понятие R-ориентируемого многообразия М,

7. Степень ориентируемости многообразий 61
Ясно, что многообразие тогда и только тогда К(Z)-ори-
К(Z)-ориентируемо, когда оно ориентируемо в обычном смысле.
С другой стороны, многообразие М тогда и только тогда
S-ориентируемо, когда оно стационарно приводимо.
В дифференцируемрм случае это означает, что много-
многообразие М является гомотопическим П-многообразием,
т. е. что его стационарное нормальное расслоение по-
послойно гомотопически тривиально.
Пусть k — положительное целое число или символ
'-|-оо. Многообразие называется k-ориентируемым, если
оно Au(S)-ориентируемо при конечном k и F(S)-ориен-
F(S)-ориентируемо при k = оо. Заметим, что ^-ориентируемое мно-
многообразие /-ориентируемо при любом / < k\ в частности,
любое fe-ориентируемое многообразие ориентируемо.
Многообразие М называется строго k-ориентируемым,
если оно ^-ориентируемо, но не (k + 1) -ориентируемо.
Имеют место следующие утверждения:
G.1) Ориентируемое п-мерное многообразие тогда и
только тогда k-ориентируемо, когда все нормальные опе-
операции r-й ступени равны нулю на его фундаментальном
классе z s Hn(M\ Z) для всех г < k.
G.2) Для бесконечно многих целых чисел k суще-
существуют строго k-ориентируемые дифференцируемые мно-
многообразия.
Такими многообразиями являются, в частности,
(г— 1)-связные 2г-мерные многообразия при г я 2k,

Глава III
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ СФЕР
Интерес к задаче вычисления гомотопических групп
сфер возродился после появления книги Тоды [70]. Основ-
Основным инструментом в этой задаче, как й во многих дру-
других проблемах гомотопической топологии, является спек-
спектральная последовательность Адамса.
С этой точки зрения задача вычисления гомотопиче-
гомотопических групп разделяется на две части: алгебраическую
задачу вычисления члена Е2 и геометрическую задачу
вычисления дифференциалов. (Конечно, проблема пере-
перехода от присоединенной градуированной группы £«, к са-
самим стационарным гомотопическим группам при этом
еще остается.)
Можно надеяться вычислить нестационарные гомо-
гомотопические группы, исходя из стационарных и возвра-
возвращаясь назад по размерностям. При этих вычислениях в
поведении в «метастационарных» размерностях наблю-
наблюдается несомненная регулярность. Важную роль играет
вдесь введенный Тодой [70, гл. XI] относительный J-го-
моморфизм, приводящий к определенной при / < Зя— 3
и точной на 2-компонентах последовательности
Недавно Маховальд [48] перенес спектральйую последо-
последовательность Адамса и в эту проблематику.
Можно также пытаться двигаться «с другого конца»
и вычислять гомотопические группы сферы Sn по индук-
индукции, начиная с п = 2 и используя, скажем, ЕНР-после-
довательность Джеймса [39]
rt+ )

7. Спектральная последовательность Адамса 63
Для четного п эта последовательность определена и
точна при всех /, а для нечетного п она во всяком случае
точна на 2-компонентах. Появившиеся в последнее вре-
время нестационарные варианты спектральной последова-
последовательности Адамса без сомнения позволят получить здесь
целый ряд существенных результатов.
1. Спектральная последовательность Адамса
Градуированная абелева группа G называется груп-
группой конечного типа, если
A) для любого п группа Оп конечно порождена;-
B) существует такое N, что Gn = 0 при м < N.
Спектр X называется спектром конечного типа, если
градуированная группа я*(Х) является группой конеч-
конечного типа. В этом случае группы #*(Х; G) и Н*(Х; G)
являются группами конечного типа для любой конечно
порожденной группы G.
Пусть V — градуированная абелева группа. Спектр
Эйленберга — Маклейна К (К) является абелевым груп-
групповым спектром; это спектр конечного типа, если груп-
группа V конечного типа. При этом любой абелев группо-
групповой спектр А конечного типа имеет тот же гомотопиче-
гомотопический тип, что и спектр К (я* (А)).
В этой главе мы будем рассматривать только спек-
спектры конечного типа. Кроме того, будем считать фикси-
фиксированным некоторое простое число р. В соответствии с
этим символами #*(Х) и Н*(Х) мы будем в этой главе
обозначать группы гомологии и когомологий спектра X
с коэффициентами в Zp.
Эти группы являются двойственными друг другу ли-
линейными^ пространствами над Zp и модулями над алгеб-
алгеброй Стинрода j$. Для спектра K(V) группа H*(K(V))
является свободным и, следовательно, проективным
^-модулем, и потому группа H*(K{V))—инъективный
«s^-модуль.
Если А — абелев групповой спектр, то для любого
спектра X имеют место изоморфизмы
A.1) [X, А]-Нотл(/Г(А), Я

64 Гл. III. Гомотопические группы сфер
Пусть Y — произвольный спектр. Резольвентой этого
спектра называется диаграмма
= Yo « \\<- ... <- Yrt<-— irt+i4"-" «• •
A2) \ / \Ч / \ /
Ао A! Anel АЛ
точных треугольников, в которой
A.3) спектры Ak абелевы;
A.4) отображения iA и j& имеют степень 0;
A.5) отображение H*(ph): H*(Yk+l)->H*(Yk) три-
тривиально.
Применив к диаграмме A.2) функтор Я*, мы в силу
свойства A.5) получим точную последовательность
A.6) 0->
являющуюся, очевидно, инъективной резольвентой груп-
группы Я*(У).
Применив к диаграмме A.2) функтор я*, мы получим
диаграмму точных треугольников над категорией гра-
градуированных абелевых групп и, следовательно, точную
пару {D\, Еи Р, i, d), для которой
£(• < = nt (A,) - Horn!, (ZP9 Я,
Отображения р, i к d этой точной пары имеют степени
соответственно (—1,-1), A,0) и @,0).
Спектральная последовательность, соответствующая
этой точной паре, называется спектральной последова-
последовательностью Адамса. Она обладает следующими свой-
свойствами:
A.7) Начиная с члена Е2, эта спектральная после-
последовательность естественна.
A.8) Имеют место изоморфизмы
*(гр, ЯЛУ)).
A.9) Дифференциал dk имеет степень (г, г— 1),

/. Спектральная последовательность Адамса 65
A.10) При r>s группа Ef+i мономорфно вклады-
вкладывается в группу ESr\
Таким образом, для достаточно больших г группа Esr\\
является подгруппой группы Ер*. Пусть Е^* = [}ESr%t.
r>s
A.11) Имеют место изоморфизмы /'<+7/s+M+5+1 ^
~Esdt+sy где Js> t+s —образ группы ns+t{Ys) в группе
MY).
A.12) Подгруппа f\Jst состоит из всех элементов
s
группы я*(¥), порядок которых конечен и взаимно прост
с р.
A.13) Для спектра S все члены Er(S), 2 ^ г ^ оо,
являются коммутативными градуированными дифферен-
дифференциальными кольцами; умножение в кольце E2(S) сов-
совпадает с умножением, введенным Ионедой (см. [46,
гл. III]), а умножение в кольце Еоо порождено операцией
компонирования отображений.
A.14) Для любого спектра X все члены ЕГ = ЕГ(Х),
2 ^ г ^ оо, являются градуированными дифференциаль-
дифференциальными Er(S)-модулями; умножение в Е2(Х) совпадает
с умножением, введенным Ионедой, а умножение в £«>
индуцировано структурой группы я*(Х) как модуля над
кольцом rc*(S)= a*.
Обозримое описание члена Е\ спектральной последо-
последовательности Адамса было найдено Бусфилдом, Кёрти-
сом, Каном, Квилленом, Ректором и Шлезингером [21].
Пусть р, как и выше,—'фиксированное простое число.
Напомним, что нижним р-центральным рядом группы G
называется последовательность
G = Г,(G)=>r2(G) =>.... =>Tr(G)zD ...
вполне инвариантных подгрупп Fr(G), порожденных
элементами вида [хь ..., xs]p , где Xi^G и s«p* ^ г.
Так же как и любой групповой функтор, каждый функ-
функтор Ti можно распространить на категорию групповых

66 Гл. III. Гомотопические группы сфер
спектров. Поэтому для любого спектра Y определена
диаграмма
A.15) \ / \ /
Т /ту ту /т
1 1/1 2 А 2/1 о
где Гг = TrFY.
Пусть L(G)—градуированное линейное простран-
пространство над полем Zp с компонентами Lr = rr(G)/rr+i(G),
г = 1, 2, .... Оказывается, что в L(G) можно естествен-
естественным образом ввести структуру ограниченной градуиро-
градуированной алгебры Ли.
A.16) Алгебра L(G) является свободной ограничен-
ограниченной алгеброй Ли, порожденной своим линейным подпро-
подпространством Li(G).
Функтор L также распространяется на любые спек-
спектры; положим Lr = LrFY.
A.17) Если г не является степенью числа р, то для
всех i
Поэтому диаграмму A.15) мы можем заменить диа-
диаграммой '
A.18) \/\/
Ад
Можно доказать следующее утверждение:
A.19) Инъекция Н^(Тр8^1)->Нт{Т^ тривиальна для
всех s.
Следовательно, спектральную последовательность
Адамса можно получить исходя из A.18). Это позволяет
легко описать член Е\. Мы ограничимся рассмотрением
случая р = 2, поскольку он несколько проще.
Пусть Л — такая ассоциативная дифференциальная
алгебра с единицей над полем Z2, что
A.20) Алгебра Л порождена счетной системой эле*
ментов h, i ^ 0.

7. Спектральная последовательность Адамса 67
A.21) Все соотношения между Ты являются след-
ствиями соотношений
-0 (от>1, п>0).
A.22) Граничный оператор задается формулами
ая0==о.
Тогда
A.23) (£,(8), rf,)~(A, 0).
A.24) Для любого спектра X «/лея (£i(X),di) изо-
изоморфен как правый дифференциальный А-модуль мо-
модулю #*(Х)®Л, граничный оператор в котором задан
формулой
д(х® 1)= Ц '
Структура алгебры Л подробно изучена Ваном [71].
Последовательность / = (i\9..., ir) неотрицательных
целых чисел называется допустимой, если 2it > it+u
t=\, 2, ..., г—1. Для любой последовательности /
(допустимой или нет) положим
Я/ = hi fa2 ... А/г.
г.
Условимся пустую последовательность считать допусти-
допустимой и положим ^0= 1. Элементы Ai, соответствующие
допустимым последовательностям /, называются допу-
допустимыми мономами.
A.26) Допустимые мономы, соответствующие раз-
различным допустимым последовательностям, различны.
Множество всех допустимых мономов образует аддитив-
аддитивный базис алгебры Л.

Гл. III. Гомотопические группы сфер
Поэтому соотношения A.21), и формулу для гранич-
граничного оператора A.22) можно переписать, используя до-
допустимые мономы:
A.26) M.2f + i+n= 2U \ I
A.27) дК^
\>\
Пусть Л (п) — линейное подпространство алгебры Л,
порожденное всеми допустимыми мономами Ki с i\ < я,
A.28) Подпространство А(п) замкнуто относитель-
относительно д.
В [21] получен следующий важный результат:
A.29) Для любого целого числа п>0 существует
спектральная последовательность {Er(Sn)}t для которой
B) Спектральная последовательность {Er(Sn)} схо-
сходится к нестационарной гомотопической группе n#(Sn)
в том же смысле, в каком спектральная последователь-
последовательность {£r(S)} сходится к стационарной гомотопической
группе а*.
Напомним теперь теорему Джеймса [39]. Пусть л1* —
факторгруппа группы ni(Sn) по ее подгруппе элементов
нечетного порядка. Тогда
A.30) Для любого п существует точная последова-
последовательность
где Е — гомоморфизм надстройки.
Аналог теоремы Джеймса для. нестационарных спек-
спектральных последовательностей утверждает, что суще-
существует короткая точная последовательность

2. Вычисления со спектральной последовательностью Адамса 69
где е — вложение, a h определяется следующим образом.
Пусть / = (£b...,tV) — допустимая последовательность, и
пусть / = (**2,..., if) (так что последовательность / тоже
допустима). Тогда
Л/ при ix = ft,
О при ix < п.
Оба отображения е и h являются цепными отображе-
отображениями и, следовательно, порождают точный треугольник
A.31) \ X
E2(S2n+l)
Как доказал Кертис [27],
A.32) Точный треугольник A.31) индуцирован после-
последовательностью Джеймса.
Это дает возможность по индукции вычислять E2(Sn).
2. Некоторые вычисления со спектральной
последовательностью Адамса
Лексикографическое упорядочение (слева) допусти-
допустимых последовательностей индуцирует линейное упорядо-
упорядочение алгебры Л.
Таблицу I, приложенную в конце книги, составил Са-
ломонсон; она извлечена из [27]. Эта таблица содержит
информацию для вычисления члена E2(Sn) при всех
п ^ 22. Символ (/) в этой таблице обозначает класс го-
гомологии £, содержащий цикл z с начальным членом Я/;
цикл z является наименьшим представителем класса 5
в A(t'i + 1)- Символ (/), снабженный индексом /, озна-
означает, что существует такой элемент cgA(/i + 1) с на-
начальным членом Xj, что дс = z mod Л (i\)9 причем с яв-
является наименьшим элементом алгебры Л, обладающим
этим свойством. Например, дD) = C,0) + B,1). Базис
пространства E2(Sn) состоит из всех элементов (/)/
с i\ < n и /i ^ п, а также из всех элементов (/) без ин-
индексов с i\ < п. Элементы второго типа для всех i\ обра-
образуют базис пространства ^(S). Стрелки обозначают

70 Гл. III. Гомотопические группы сфер
высшие дифференциалы. В таблицу не включены две
очевидные серии элементов. Во-первых, это элементы
вида
(/), = (*, 0, 0,..., 0)(я+,§0 0),
где / имеет по крайней мере два нуля, а п четно. Эти
элементы соответствуют кратным произведений Уайт-
хеда [in-fi, in+i], являющихся элементами бесконечного
порядка группы n2n+\{Sn+l) и переходящих при над-
стройке в нуль группы Я2п+2EП+2). Во-вторых, не вклю-
включены элементы, соответствующие образующим ьп е
S
()
Интересующийся читатель может сравнить табл. I
с вычислениями Тоды и отождествить соответствующие
элементы.
Таблица II описывает член E2(S) в размерности ^44
вместе со всеми высшими дифференциалами. В ней
подытожены результаты исследований Адамса [5], Мэя
[54], Маховальда и Тангоры [50] и других авторов.
Важной операцией в спектральной последовательно-
последовательности Адамса является умножение на Ло. В члене Е\ это
соответствует умножению на Яо. Поскольку /i0 представ-
представляет элемент 2i, видно, что если элемент х^Е^ соот-
соответствует элементу а е а*, то элемент xhQ соответствует
элементу 2а. Однако тут необходима осторожность: если
xho = 0, то 2а не обязательно равно нулю; можно лишь
утверждать, что фильтрация элемента 2а по крайней
мере на две единицы меньше фильтрации элемента а.
Такая ситуация возникает, например, в 23-м столбце:
элемент hoh2g представляет элемент 2vx, в то время как
элемент 4vx представлен элементом h\Pld0 (см. [50]).
Пример в меньших размерностях можно получить, рас-
рассматривая нестационарную спектральную последова-
последовательность: в члене £oo(Sn), 10 ^ п ^ 13, этой последова-
последовательности элемент F53) представляет элемент 2а2, в то
время как элементы E1233) и C44111) представляют
соответственно элементы 4а2 и 8а2.
Другая важная операция 6: E2(S)-+E2(S) индуци-
индуцируется гомоморфизмом алгебры Л в себя, переводящим
элемент Xi в элемент ^2г+ь Для этой операции, в част-
частности, 6(Аг) = Л*+ь

2. Вычисления со спектральной последовательностью Лдамса 71
Следующие факты относительно элементов члена Яг
с малой фильтрацией легко доказываются вычислениями
в алгебре Л (ср. [2], [71]):
B.1) Элементы hi = Bг< — 1), / ^ 0, составляют базис
члена Е2 .
B.2) Элементы h{hj с i ^ / ф i+ 1 составляют ба-
базис члена Е22 *; при этом hjhi = hihj и hihi+{ = 0.
B.3) Элементы hihjhk вместе с элементами си по
индукции определяемыми формулами
с0 = B33), ci+l = Q(ct)9
составляют базис члена El'*. Все соотношения между
этими элементами являются следствиями соотношений
B.4) В члене Е\'* имеет место соотношение
Отсюда легко следует теорема Адамса о несуще-
несуществовании элементов с инвариантом Хопфа 1 в следую-
следующей форме:
B.5) В Е2 при /^4 выполняется соотношение d2hi =
= Aoft?-i.
Действительно, пусть а — образующая группы а7.
Тогда 2а2 = 0, ибо.умножение в а4 косокоммутативно.
Следовательно, АоА| = О в £<*>, но единственный элемент,
дифференциал которого может «убить» АоАз, есть А4.
Таким образом, B.5) верно при / = 4.
Пусть уже доказано, что с?гЛ< = ЛоЛ?-1. Так как
hiht+i = 0, то 0 = d2(hihi+i) = A0A?-iA/+i
= AoA? + hid2hi+\. Поэтому, согласно B.4),
и, значит, d2hi+i=^=0. Для завершения доказательства
остается заметить, что, согласно B.2), элемент hohi
является единственным отличным от нуля элементом
в а2Ь2

72 Гл. III. Гомотопические группы сфер
3. Некоторые полиномиальные подалгебры Е2 (S)
Неизвестно, всякий ли элемент из а* нильпотентен
(ср. предложение C.11) гл. IV). С другой стороны, Ма-
ховальд и Тангора [51], а также Захариу [74] привели
примеры больших полиномиальных подалгебр алгебры
E2(S). Поскольку соображения Захариу очень просты,
мы приведем их здесь.
Пусть $ — внешняя подалгебра алгебры ^, порож-
порожденная элементами Sq0'1 и Sq°>2. Тогда Ext ^(Z2,Z2) яв-
является полиномиальной алгеброй от двух образующих
х, у степеней A,3) и A,6) соответственно.
Инъекция i**; Ext^ (Z2, Z2) -> Ext a (^2, Z2), как мож-
можно показать, переводит элементы d0, е0 и g соответствен-
соответственно в элементы х2у2, хуъ и #4. Поскольку eg = dQg, в под-
подалгебре алгебры £(S), порожденной этими тремя эле-
элементами, любое соотношение является следствием соот-
соотношения е0 = dog. В частности, это означает, что любые
два из этих трех элементов порождают полиномиальную
подалгебру.
Явно выписывая соответствующие резольвенты, мож-
можно показать, что отображение £** переводит элементы
г, U U k> U /и, /"do,... в элементы t/6, xAy\ xzy\ x2y5f ху\
у7, х6у2, .... Это приводит к большому числу полиноми-
полиномиальных подалгебр.
4. /-гомоморфизмы
Пусть Of — подгруппа группы Oh = О (&), состоящая
из вращений пространства Rk, и пусть 0+ =^
соответствующая подгруппа группы О. "
Группа Ot естественным образом действует на
сфере S*. Пусть
fh: SblXOft+->Sbl
— это действие. Применяя к fk конструкцию Хопфа, мы
получим некоторое отображение

4. J-гомоморфизмы
73
индуцирующее гомоморфизмы
а поэтому и гомоморфизм
стационарных гомотопических групп. Рассмотрим диа-
диаграмму
Яп+k [S Ok) --> Яп+k \S )
Эта диаграмма коммутативна (с точностью до знака,
который при соответствующих соглашениях оказывается
плюсом), а потому коммутативна и диаграмма
on(oi+i)
Перейдя к пределу, мы получим некоторый гомоморфизм
§.'• оп{О+)-*ап, для которого имеет место коммутатив-
коммутативная диаграмма
V*.

74 Гл. III Гомотопические группы сфер
Рассмотрев композицию гомоморфизма
с итерированной надстройкой
Е\ nn@t)^
мы получим [70, гл. XI] /-гомоморфизм
Диаграмма
nn@t) -»nn+k(Sk)
снова коммутативна и поэтому индуцирует стационар-
стационарный J-гомоморфизм
/: пп(О+)->вп.
Гомоморфизм g*: оп(О+)-+оп называется дважды ста-
стационарным J-гомоморфизмом. Было бы очень интересно
вычислить его образ.
Напомним, что кольцо рациональных когомологий
#*(O+;Z0) является внешней алгеброй с образующими
щ^. Я41" (О+; Zo), /=1,2,.... Следовательно, груп-
группа целочисленных гомологии H^(O+;Z)y так же, как и
стационарная гомотопическая группа о*@+), имеет
очень много элементов бесконечного порядка.
Рассмотрим хорошо известное погружение вещест-
вещественного проективного пространства Р°° в группу О+, об-
обладающее тем свойством, что для любого k пересечение
P°°[\Ok является подпространством Ph~l пространства
Р°°. Поскольку целочисленные приведенные группы го-
гомологии пространства Р°° состоят лишь из элементов по-
порядка 2, группа Gq{P°°) для любого q является конечной
2-группой.
Есть гипотеза (см. [48]), что для любых q >: 0 обра-
образом составного отображения

4. J-гомоморфизмы 75
является вся 2-примарная компонента группы од. Махо-
вальд [48] проверил это для всех q ^ 29.
Рассмотрим спектральную последовательность Адам-
Адамса пространства Р°°. Напомним, что алгебра когомоло-
гий Я*(Р°°) является алгеброй многочленов от одного
переменного щ размерности 1. Пусть {хд} — базис груп-
группы #*(Р°°), двойственный базису [и^ группы Нм (Я00).
Известно, что действие алгебры Стинрода на Н*{Р°°) за-
задается формулой
~ i / п — / \
\ t /
Легко проверить, что дважды стационарный /-гомомор-
/-гомоморфизм соответствует отображению / спектральных после-
последовательностей Адамса, задаваемому в члене Е\ соответ-
соответствием хп ® X -> ХпХ.
Таблица III описывает член Е2 спектральной после-
последовательности Адамса пространства Р°° в размерностях
<g44. В этой таблице символом й обозначается элемент,
переводящийся отображением / в элемент а. Элементы
аи Р; и т.д. принадлежат ядру отображения /, кроме
элементов бзо, азг и с^о, которые отображаются соответ-
соответственно в Щ}ь\ q и hjv Стрелки обозначают высшие
дифференциалы; в размерностях ^33 они выписаны
полностью. Эти результаты в размерностях ^29 были
получены Аикавой [9].
Стационарные гомотопические группы могут быть
профильтрованы разными способами. Одна фильтрация,
возникающая из спектральной последовательности
Адамса, определяется формулой
А (а) = sup {s | а е= JSt n+s), а е= ап>
где Js>n+S — группы, определенные в § 1. Это убываю-
убывающая фильтрация и А(а)= оо, если порядок элемента а
нечетен. Верхняя оценка числа А (а) дается теоремой
Адамса о нулях.
Другая фильтрация возникает при рассмотрении «ис-
«исходной сферы» и определяется формулой

76 Гл. III. Гомотопические группы сфер
где ей: ttn+k{Sh)-+on — гомоморфизм, индуцированный
итерированной надстройкой. Это невозрастающая филь-
фильтрация, причем В (а) ^ /г, если а е оп.
Третья фильтрация определена только на 2-компо-
ненте:
f oo;
Unf
если аф1ап{Р°°);
jen(Pk)} в противном случае.
Это снова невозрастающая фильтрация и С(а)^п,
если aGOn и С (а) < оо.
Было бы очень интересно исследовать взаимоотноше-
взаимоотношения между этими фильтрациями.
Гипотеза 1. С (а) ^ В (а). Из этой гипотезы выте-
вытекает, что фильтрация С (а) всегда конечна и, следова-
следовательно, отображение / эпиморфно на 2-компоненте. Во
всех известных случаях эта гипотеза верна.
Гипотеза 2. А(а) + В{а)^ п + 1. Эта гипотеза
проверена во всех известных случаях; возможно, что
общее доказательство не очень трудно.
Гипотеза 3 (Баррат). В(а)^ьн, если аеап.
Эта гипотеза утверждает, что стационарные элементы
возникают в «предметастационарных» размерностях.
Есть элементы, для которых эта гипотеза не верна, но
можно думать, что такого рода «аномальные» элементы
достаточно редки.
Таблица IV описывает стационарные гомотопические
группы пространства Р°° и 2-компоненты anB) стацио-
стационарных гомотопических групп сферы S0. Как и в
табл. III, символ а обозначает элемент, переходящий
при отображении / в элемент а.
Теорема Адамса о нулях утверждает, что существует
прямая с наклоном 1/2, выше которой все элементы ал-
алгебры E2{S) равны нулю (более точный результат сфор-
сформулирован в [6]). Читатель, возможно, заметит, что эти
прямые в £(S) и в Е2{Р°°)9 по-видимому, одни и те же.
На самом деле Адаме доказал теорему о нулях для мо-
модуля Ext^ (Af,Z2), где М — произвольный модуль, сво-
свободный над подалгеброй алгебры зФ> порожденной Sql*

5. Нестационарные спектральные последовательности Адамса 77
Теорема для Р00 следует отсюда немедленно, а для S —
после нетрудного рассуждения.
Читатель может также заметить, что табл. II и III
изоморфны выше жирной линии. Андерсон и Маховальд
(не опубликовано) независимо друг от друга нашли для
конуса отображения /: SP°°->S прямую обращения в
нуль с наклоном 1/5.
Теоремы периодичности Адамса для Е2 наводят на
мысль, что в стационарных гомотопических группах
также имеет место периодичность. Баррат [15] построил
семейства элементов, тесно связанные с периодичностью
Адамса. Он заметил также другой вид регулярности —
«рекуррентность»; пример проявления этой закономер-
закономерности дают произведения Уайтхеда [in, in] при п =■
= 1, 2 mod 4.
5. Нестационарные спектральные
последовательности Адамса
Масси и Петерсон [53] построили первый вариант не-
нестационарной спектральной последовательности Адамса.
Пусть М — нестационарный ^-модуль и U(M) — универ-
универсальная нестационарная ^-алгебра, порожденная моду-
модулем М. Рассмотрим такое односвязное пространство X,
что H*(X)^U(M). Масси и Петерсон доказали следую-
следующую теорему:
E.1) Существует такая спектральная последователь-'
ность {Ег} и такая фильтрация группы я*(Х), что
1) E2 = Ext^(M{M9Z2)i где s£M — категория неста-
нестационарных левых ^-модулей]
2)^£г =>я#(Х; 2) в том же смысле, как и в стационар-
стационарной спектральной последовательности Адамса;
3) последовательность {Ег} естественна на категории
пар (Х,М) и таких отображений f: X-+X\ что f*(M')a
4) в стационарных размерностях последовательность
{Ег} совпадает со стационарной спектральной последова-
последовательностью Адамса.
В [59] Ректор изучал нижние центральные р-ряды
симплициальной свободной группы G/C, построенной

78 Гл. 711. Гомотопические группы сфер
Каном по аналогии с пространством петель. Он доказал
(при некоторых ограничениях на К) сходимость соот-
соответствующей спектральной последовательности и пока-
показал, что член Е\ зависит только от гомологии симпли-
циального множества /С.
Позже Бусфилд и Кёртис [20] нашли другую спект-
спектральную последовательность, также основанную на ниж-
нижних центральных р-рядах. Их результаты зависят от
структуры группы гомологии mod 2 пространства К как
коалгебры над st> и имеют место при некоторых усло-
условиях на /С. Эти условия выполнены, когда выполняется
одно из следующих трех предположений:
1) коалгебра Н*{К) является алгеброй Хопфа;
2) алгебра когомологий Н*(К) является фактрралге-
брой связной полиномиальной алгебры конечного типа
по борелевскому идеалу;
3) алгебра Н*(К) имеет конечный тип и является
тензорным произведением полиномиальной алгебры и
некоторой алгебры срезанных многочленов.
В частности, результаты Бусфилда и Кёртиса приме-
применимы, если либо
4) пространство К является пространством петель
односвязного пространства, либо
5) алгебра Я* {К) является универсальной алгеброй
U(M) некоторого ^-модуля М.
Длр пространств К\ удовлетворяющих одному из
предположений 1)—3), Бусфилдом и Кёртисом построе-
построена спектральная последовательность с обычными свой-
свойствами сходимости, для которой
1) член Е\ вычисляется в явном виде через коалгебру
Н*(К) и кольцо Л;
2) член Е2 допускает гомологическое описание (как
подходящий «Ext» в категории ,5^-коалгебр);
3) в том случае, когда определена спектральная по-
последовательность Масси — Петерсона, ее член Е2 совпа-
совпадает с членом Е2 спектральной последовательности Бус-
Бусфилда и Кёртиса.
Изучение табл. I наводит на мысль о справедливости
теоремы о нулях для нестационарной последовательно-
последовательности Адамса сферы Sn. Такая теорема была доказана
Кёртисом [28]. В той же работе Кёртис с помощью неста-

5. Нестационарные спектральные последовательности Адамса 79
ционарной последовательности Адамса доказал, что
nq{SA)=£0 при всех # ^ 4. Недавно Бусфилд [19] полу-
получил теорему о нулях и теорему периодичности для спек-
спектральной последовательности Масси — Петерсона, что
позволило ему получить верхние оценки (вообще говоря,
довольно грубые) порядков элементов гомотопических
групп сфер и классических групп.

Глава IV
СТАЦИОНАРНЫЕ ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
КАК а,-МОДУЛИ
Как уже отмечалось, стационарные гомотопические
группы являются также модулями над стационарным
гомотопическим кольцом а*. Результаты о структуре
этих модулей, которые мы сформулируем в настоящей
главе, поневоле весьма отрывочны, поскольку о кольце
а* известно очень мало. Тем не менее станет ясно, что
важна не только модульная структура, существует еще
структура «высшего порядка», определяемая операция-
операциями Тоды высшего порядка.
1. Композиции высшего порядка
(«скобки Тоды») [24], [70]
Рассмотрим диаграмму над категорией 9?рЕ, подоб-
подобную диаграмме § 6 гл. II, с обращенными направления-
направлениями стрелок
P1>
ч
\ 1
Si
x,-
/
с
ч
A: './ Nft /'■ >-\/C\
VI Vl v*
Пусть
1) отображения Ц, ]\ имеют степень 0;
2) все треугольники точны.
Никаких, ограничений на 2& мы пока не накладываем.
Такая диаграмма Д называется Т-системой ранга п.
Пусть Y — произвольный спектр, и пусть D(Y, Д) —
множество пар (х9 у), х <= [20, Y], у е [Sn, Y], для кото-
которых существует такой элемент z g [Yn_i, Y], что

1. Композиции высшего порядка («скобки Тоды») 81
где qn-i = pn-i ° • • • ° рь Множество D (Y, Д) является
аддитивным отношением и, следовательно, определяет
операцию п-й ступени
[So, Y] id Ker 'Ф -^ Coker "Ф <- <- [2„, Y],
где 'Ф и "Ф — операции п — 1-й ступени, ассоциированные
с поддиаграммами 'А и "А диаграммы А.
Стационарные композиции Тоды высших порядков
(называемые обычно не вполне корректно «скобками
Тоды») тесно связаны с такими операциями, но все-таки
с ними не совпадают.
Чтобы построить скобку Тоды, рассмотрим такие ото-
отображения
90: 20 -> Y, 9,: S, -> S,._i (* = 1, ..., л),
что 9j о 9г_1 = 0 для любого i= 1, ..., п. Пусть pe[Sn, Y].
Мы скажем, что р е (90, 9Ь ..., 9П), если существует та-
такая Г-система А ранга я, что 9^ = ik-\ ° ]h при любом
^=1 яи (90,P)eeZ7(Y,A).
При п = 1 скобка Тоды выражается формулой
(90, 91) = 90<>91, а при п = 2 скобка (90, 9Ь 92) является,
как легко видеть, стационарной вторичной композицией
в смысле [67]. Заметим, что неопределенностью отноше-
отношения D(Y, А) является [Si,Y]o62, в то время как неопре-
неопределенность скобки (90, Q{, 92) имеет вид90о{22>So]+]
+ [Si, У]о92 и, таким образом, содержит неопределен-
неопределенность отношения D(Y,А). *
Диаграмма А (и ассоциированная операция ф) назы-
называется сферической, если
1) Хо = So, a i0 — тождественное отображение (это
условие имеет чисто технический характер);
2) каждый из спектров 2* является надстроечным
спектром конечного букета сфер.
Элемент аеат называется Т-разложимым, если су-
существуют такие отображения
%' 20 —> S,

82 Гл. IV. Стационарные гомотопические группы как о*-модули
степени 0, что ае@0, ..., 9т), причем если 2о =
= S'! V ••• V S**, то 0<tt<m для всех /= 1, ..., k.
Стационарная примарная когомологическая операция
ф: #*( ;Z)->#*( ; G) степени т + 1 детектирует эле-
элемент а е ат, если операция
Ф: H*(Ta;Z)->H*(Ta;G)
не тривиальна. Из результатов Адамса [2], Люлевичиуса
[45], Симады и Яманоситы [60] по проблеме инварианта
Хопфа, равного единице, вытекает, что
A.1) Множество N всех элементов группы а+, не де-
детектируемых никакой примарной операцией, является
подгруппой. Факторгруппа o+/N порождена смежными
классами следующих элементов:,
т]еа,, vea3, ае=сг7,
аг (р) е сг2р_з (р — произвольное нечетное простое число).
Операции Тоды были им введены, чтобы описать не-
некоторые найденные им элементы гомотопических групп
сфер. Их важность подчеркивается следующей теоремой
Дж. Коэна [24].
A.2) Любой элемент подгруппы N Т-разложим.
Коэн дал два доказательства этой теоремы. Мы при-
приведем здесь только первое доказательство, которое Коэн
приписывает Адамсу. (Его второе доказательство дает
более точный результат.) Пусть
— точный треугольник, в котором f — отображение, за-
задающее образующую группы #°(S;Z), а'отображения i
и g имеют степень 0. Так как любой элемент аеап, я>0,
может быть пропущен через F, то каждый элемент aeiV
задается гомологически тривиальным отображением, ко-
которое, следовательно, может быть стянуто в п—1-мер-
п—1-мерный остов F71" спектра F. Поэтому aG(flp 8ft), гд§.

2. Скобки Тоды и расширения 83
в0 == i| F1, в/: FVF-1 ->5(F'-VF*-2)— композиция связы-
связывающего отображения FVF*-1—►SFi~1 с проекциями
SF*-1 -> 5(F/~1/f/) A < / < л)
(вп является просто композицией Sn -> Fn~l -> F/Fn~2).
2. Скобки Тоды и расширения
Пусть А — (градуированное) кольцо, а М9 N и Р—
(градуированные) правые Л-модули. Рассмотрим есте-
естественное спаривание
Ext1 (М9 N) ® Нот (Р, ЛГ) -> Ext1 (P, N).
При фиксированном е ^ Ext1 (M,N) это спаривание ин-
индуцирует отображение
еР: Нот (Р, M)->Ext!(P, ЛГ).
Таким образом, определен гомоморфизм
Ф: Ext1 (M, N)-+J1 Нот (Нот (Р, М), Ext1 (P, N)).
Сразу видно, что ф является мономорфизмом: действи-
действительно, еР(\м) = е при Р = М.
Можно попытаться выяснить, остается ли ф мономор-
мономорфизмом, если область изменения Р ограничить разум-
разумным маленьким классом модулей. Рассмотрим, напри-
например, категорию (неградуированных) абелевых групп и
предположим, что Р пробегает все циклические группы.
Тогда
Эйленберг и Маклейн [31] доказали, что если М имеет
экспоненту р, где р — простое число, то е определяется
отображением ev\ более того, в этом случае
Ext1 (M9 N) ~ Horn (M9 N/pN).
В полной общности случай абелевых групп был изу-
изучен Маклейном [46].
Предположим, что модуль Р конечно представим, т. е.
что Р = FJR, где F — свободный модуль с конечным

84 Гл. IV. Стационарные гомотопические группы как о «-модули
базисом {Xi}t i=l,..., mt a R — его подмодуль с конеч-
конечным числом образующих {г,}, /==1, ..., я. Такой мо-
модуль Р однозначно восстанавливается по матрице
С — (Cij) соотношений
Г1 = 2 ХгСц (СЧ S Л),
имеющей размер шУ(п (см. § 3 ниже). Ясно, что для
любого модуля М группа Нот(Р9М) может быть отож-
отождествлена с множеством всех вектор-строк jli с элемен-
элементами из М, для которых [iC = 0, причем, как показы-
показывает точность последовательности
Нот (F, N) -> Нот (/?, ЛО -> Ext1 (Р, ЛО -> Ext1 (F9 N) = О,
группа Ext1 (P, N) будет тогда подгруппой факторгруппы
группы всех вектор-строк v с элементами из jV по под-
подгруппе векторов вида v'C, где v' — произвольная вектор-
строка с элементами из N.
Пусть теперь А = а* и X и Y —^произвольные спект-
спектры. Тогда для любого отображения a: X->Y имеет ме-
место точный треугольник
а. (X)-&■**.(¥)
\ /
\/
а. (Та)
Короткая точная последовательность
О -> Сокег а, -> а% (Та) -► Кег а, -> О,
соответствующая этому треугольнику, определяет эле-
элемент
е(а) & Ext1 (Кег а4, Coker aj.
Пусть, как и выше, Р = F/R — произвольный конечно
представленный модуль. Рассмотрим букеты
= У/ Ъ. \ 2л =^= V Ь/ !
сферических спектров. Матрицу С мы можем рассматри-
рассматривать как матрицу отображения у: 2'—>2, а матрицу jli —
как матрицу отображения jli: S -> X, обладающего тем
свойством, что [хоу = 0 и aojLi==0. Следовательно,
определена скобка Тоды (a, jli, у), принадлежащая фак-

3. Гипотеза Фрейда о порождении 85
торгруппе
С другой стороны, гомоморфизм еР(а) принимает значе-
значения в той же группе. На самом деле, как нетрудно про-
проверить,
B.1) б>р
Например, пусть X = Y = S1 и а ч= 2i. Тогда Та яв-
является вещественной проективной плоскостью Р2. Корот-
Короткая точная последовательность
О -> а^х12а^г -> aq (Р2) -> 2ог,_2 -> О
показывает, что группа aq(P2) является расширением
группы oq-\/2oq-i посредством группы 2(Уд_2, соответ-
соответствующим гомоморфизму е2: 2oq-2-+ од-\/2вд-\. С другой
стороны, согласно B.1),
но Тода показал [70, следствие 3.7], что r)o|e Bi,§,2i),
если 2\ = 0. Следовательно,
B.2) Элемент е2{1) является классом вычетов
т) о lmod2aq-\.
Этот результат принадлежит Баррату [14].
3. Гипотеза Фрейда о порождении
В этом параграфе мы будем работать в надстроечной
•категории, объектами которой являются конечные4 кле-
клеточные разбиения с отмеченной точкой, а морфизмами—•
S-отобр^жения (произвольной степени). В этой катего-
категории существуют прямые суммы и прямые произведения,
совпадающие друг с другом (и задающиеся V-onepa-
циями; см. гл. I). Вектор-строкой {fb ..., fn} мы будем
обозначать отображение УХг-->У, индуцированное ото-
отображениями fc Хг->У, i — 1, 2, ..., п. Двойственное
отображение Х-> V У и индуцированное отображе-
отображениями \с X-±-Yi, /=1, 2, .Л, я, мы будем обозна-
обозначать вектор-столбцом. В соответствии с этим произволь-
m n
ное отображение /: V %i -> V Yi будет записываться

86 Гл. IV. Стационарные гомотопические группы как а*-модули
(п X т) -матрицей F, строки которой соответствуют ото-
отображениям f\Xi\ Xi~>\fYh а столбцы — отображениям
\ZXt-+Yj. (Заметим, что матрицей отображения g°/
является матрица Go/7, где G и F — соответственно мат-
матрицы отображений g и /.)
Гипотеза Фрейда о порождении [34] состоит в сле-
следующем:
C.1) Пусть f: X-+Y—такое S-отображение, что
гомоморфизм а*(/): а*(Аг)->а#(У) тривиален. Тогда
/ = 0.
Неизвестно, справедливо ли это утверждение. Как по-
показывает следующий пример Мура, некоторые предполо-
предположения конечности здесь необходимы.
Пусть X = /C(G,3), где G — аддитивная группа ра-
рациональных чисел. Можно считать, что X является четы-
четырехмерным клеточным разбиением. Тогда X будет также
пространством Мура M(G, 3), т.е. Hq(X)=0 при цфЪь
H^{X)c^G. Поэтому член Е2 спектральной последова-
последовательности из гл. I состоит из групп
G, если р = 3, 9==0»
О в остальных случаях.
Таким образом, эта спектральная последовательность
вырождается, и потому
f G, если
C.2) а, (X) =
•, если
По теореме об универсальных коэффициентах
Н4(Х9Z)c^ Ext(G9Z)\ причем последняя группа нетриви-
нетривиальна (даже несчетна). По теореме Хопфа соответствие
f-+f*s4, где s4 — фундаментальный целочисленный класс
когомологий, задает изоморфизм [Xt SA]c^H*(X9Z).
Пусть / — отличный от нуля элемент группы [X,S4]. Из
того, что f* Ф 0, следует, что S-класс элемента / не ра-
равен нулю. Но ясно, что a*(f) = 0.
В этом параграфе мы укажем некоторые следствия
гипотезы C.1). Все нумерованные утверждения этого
пункта являются следствиями гипотезы C.1); все утвер-
утверждения, отмеченные- звездочками, равносильны этой ги-
гипотезе.

3. Гипотеза Фрейда о порождении 87
C.3)* Если для S-отображения f: X-+Y отображение
o*(f): a*(X)-*a*(K) мономорфно, то существует такое
S-отображение g: Z-*Y, что отображение (f,g): XVZ-+
—> Y является S-эквивалентностью, так что, в частности,
для отображения f существует обратное слева отобра-
отображение.
C.4)* Если для S-отображения f: Х-* Y отображение
o*(f): o*(X)-+o*(Y) эпиморфно, то существует такое
S-отображение h: X-*W, что отображение ('А: Х->
-> У V W является S-эквивалентностью, так что, в част-
ности, для отображения f существует обратное справа
отображение.
C.5)* Если для S-отображений a: X-+Y и §\ X-+Z
имеет место включение Кега#(а)с: Кега*(Р), то суще-
существует такое S-отображение у: Y -*Z, что р = у°а.
Фрейд показал, что C.1) вытекает из следующего
формально более слабого утверждения:
C.6)* Пусть 2 и 2'— букеты сфер и р:
произвольное отображение. Если для S-отображения
a: T$->Y имеет место равенство а* (а) = 0, то а = 0.
Легко видеть, что C.6) равносильно каждому из фор-
формулируемых ниже утверждений C.7) и C.9). С другой
стороны, C.7) получается из C.5), если ограничиться
случаем, когда пространства X и Y представляют собой
букеты сфер.
C.7)* Пусть Z^&o, и пусть ац^о*, i— 1, ..,, m,
j = 1, .•/., п, и Pj e a#(Z), / = 1,..., п,— такие элементы,
что для любых элементов |ь ..., gnea* из равенства
2 atjlj = 0 следует равенство 2 рДу = 0. Тогда суще-
существуют такие элементы yi^o#(Z), f=l, ,,,, п, что
Pj = 21 YA/.
Прежде чем сформулировать C.9), напомним, что
а*-модуль М называется инъективным [47, стр. 125], если
C.8) Exta. {oJJ, M) = Q

88 Гл. IV. Стационарные гомотопические группы как о*-модули
для любого идеала / кольца а*. Мы будем называть
модуль М слабо инъективным, если C.8) выполнено для
любого конечно порожденного идеала /.
C.9)* Для любого пространства Xeft модуль
о*(Х) слабо инъективен.
В частности,
(ЗЛО) Кольцо а* слабо самоинъективно.
Вместе с тем кольцо а* не самоинъективно. Действи-
Действительно, как известно [56], в кольце а* существуют эле-
элементы произвольного сколь угодно высокого порядка.
Пусть aiGa* — элементы порядка 2\ i = 0,1,2,..., и
пусть {a0, ai,a2,...} — такая последовательность нулей и
оо
единиц, что ряд 2 ^aiрасходится в 2-адической тополо-
N
гии кольца Z. Положим cn = 2 2'fy и р^ = с^. Тогда
A) Для любых элементов go, ..., In^o* из равен-
равенства 2 £;<*/ = 0 вытекает равенство 2£*Р* = 0.
B) Не существует такого элемента с е a0 = Z, что
рг. = сщ для всех и
Несамоинъективность кольца а* непосредственно вы-
вытекает из этих двух свойств.
Доказательство свойства A). Пусть 2£л = 0.
Тогда 2^P/ = 2^lt«/- Но CiZ==cN mod 2* при i^n, и
потому с\щ = cNait Следовательно,
2 Wi = 2 с/^о, = cN 2 ^of = 0.
Доказательство свойства B). Если §г=сщ
дл^всех i, то с ^ с* mod 2*. Но тогда ряд 22г'аг сходится
в 2-адической топологии к с, что противоречит условию.
C.11) Идеал а+ кольца а*, состоящий из всех эле*
ментов положительной степени, не нильпотентен,

3. Гипотеза Фрейда о порождении 89
Доказательство. Достаточно доказать, что
C.12) Для любого отличного от нуля элемента аеа*
существует такой элемент р е а+, что ар ф 0.
Выберем такое целое число ky что а не делится на k.
Пусть элемент а представлен отображением a: Sn->Sr9
и пусть X — конус отображения ki: Sn~1.~>Sn~1. Пусть,
далее, р: X-*Sn — естественная проекция. Тогда компо-
композиция аор: X-+Sr стационарно нетривиальна и потому,
согласно гипотезе Фрейда, существует такое отображе-
отображение b: Sm->X, что композиция a°pob также стационар-
стационарно нетривиальна. Очевидно, что га > п и элемент р &
е От-п, представленный отображением р о Ь, удовлетво-
удовлетворяет соотношению оф ф 0.
C.13) Любое пространство Ig^0. для которого
а*-модуль о*{Х) конечно порожден, имеет S-тип бу-
букета сфер.
Доказательство. Пусть 2—такой букет сфер,
а /: 2—►Х —такое 5-отображение, что отображение
o*(f) эпиморфно. Согласно C.3), существует такое
5-отображение g: X->2, что fog=\. Поэтому
^*(f) °^*(^)= 1 и, следовательно, модуль о*{Х) яв-
является прямым слагаемым свободного модуля а*B), т.е.
представляет собой проективный а*-модуль. Но известно
(см. [52, стр. 95]), что любой проективный а*-модуль
свободен.
Кан [40] построил, не используй C.1), примеры ко-
конечных клеточных разбиений, стационарные гомотопиче-
гомотопические группы которых не конечно порожденны. Следую-
Следующий относящийся к этому кругу вопросов результат по-
получил Коэн [25]:
C.14) Если для пространства X группа Hn(X,Z) ко-
конечно порождена при каждом п и если Н*(Х/гр)Ф 0, то
р-примарная компонента группы 0\{Х) нетривиальна
для бесконечно многих и

Глава V
КОГОМОЛОГИИ И РАСШИРЕНИЯ
Для любого отображения a: X-*Y категории 9*ре су-
существует точный треугольник,
—>Y
Т„
в котором отображения аир имеют степень 0.
Пусть ^—градуированная абелева категория, и
пусть hi 9?/iE—><gf — функтор, сохраняющий степени ото-
отображений и переводящий точные треугольники в точные
треугольники. Точный треугольник
()
\ /
\ /
/г(Т„)
индуцирует короткую точную последовательность
; 0 -> Coker h (a) -'* h (Т.) -** Ker h (а) -> 0,
отображения I и р которой имеют степени 0 и —1, и,
следовательно, определяет некоторый элемент еа е
e=Ext(Ker/z(a), Cokerh(a)).
Эти соображения можно использовать в двух разных"
направлениях. Когда мы хотим определить h (Ta), можно
пытаться охарактеризовать расширение еа с помощью
инвариантов отображения а. С другой стороны, можно
использовать инварианты расширения еа> чтобы полу-
получить информацию об отображении а. Мы дадим при-
примеры обоих подходов.

v /. Ординарная теория когомологий 91
1. Ординарная теория когомологий
В этом случае Ф является категорией градуирован-
градуированных абелевых групп.
Пусть С — свободный цепной комплекс и G— абе-
лева группа. По теореме об универсальных коэффициен-
коэффициентах для групп когомологий существует короткая точная
последовательность
О - Ext (Яя_, (С), G) -±» Нп (С; G) -й* Нот (Нп (С), G) -» О,
естественная по отношению к цепным отображениям
С->С' и гомоморфизмам G-*G'.
Пусть и^Нп(С) и м» = |х(м): Hn(C)-*G. Положив.
G' = Cokerw*, рассмотрим естественное отображение
р: G -> G'. Имеет место коммутативная диаграмма
Hn(C),G) ->0*
0 -> Ext (#„_, (C), GO ^> Я" (C; GO ^> Нот (Яя (С), GO -* 0
Пусть f*(fi(w)) = f»(w#)=O. Тогда fi(/•(")) = 0» и по-
потому существует такой однозначно определенный эле:
мент и+ eExt(Яn_l(C), Coker^), что h(u+) = f,(u).
Чтобы описать элемент щ, следуя идеям, изложен-
изложенным во введении к этой главе, рассмотрим цепной ком-
комплекс (G, п), группой я-мерных цепей которого является
группа G, а все остальные группы равны нулю. Тогда
представляющий класс и коцикл будет не чем иным, как
цепным отображением h: С—>(G,n).
Пусть-ч£ — «алгебраический конус» цепного отобра-
отображения h. Определенная этим конусом точная последо-
последовательность групп гом-ологий сводится к последователь-
последовательности
0 ^ ЯЛ£) ^ #ЛС) ^*> G ^ #„_! (£) ^ #„_! (С) ^ 0.
Ясно, что /г* = и*. Поэтому существует короткая точная
последовательность
A.1) 0->Сокеги.-^Ял.1(£)->Яя.1(С)->0.
Теперь легко видеть, что

92 Гл. V. Когомологии и расширения
A,2) Элемент Ext(#n-i(C), Cokerw*), определенный
точной последовательностью A.1), совпадает с элемен-
элементом —и*.
Для любого свободного цепного комплекса С и его
подкомплекса D точная гомотопическая последователь-
последовательность пары (С,D) расщепляется в серию коротких точ-
точных последовательностей
A.3) 0->Сокег/Л->ЯЛ(С; D) -+ Кег /пМ -> 0,
где in: Hn(D)-+ Нп(С)—инъекция.
Пусть еп е Ext (Ker in_b Coker£n)— элемент, опреде-
определенный последовательностью A.3), и пусть k: Kerin-.i->
-> Hn-i(D) — отображение вложения.
Унитарным классом когомологии цепного комплекса
С мы будем называть такой класс и& Нп(С;Нп{С)),
что отображение и*. - Нп{С)-+Нп(С) тождественно.
Пусть и — унитарный класс, и пусть v = i*u e Hn (D;
Нп{С)). Ясно, что v* = in€=Hom(Hn(D)t Hn(C)). Бо-
Более того,
A.4) е---*" М-
Это дает формальное описание группового расширения
A.3).
Дадим теперь два применения этих алгебраических
конструкций.
Пусть X — односвязное пространство и
A.5) ВД: ...->Нп+1(Х)-^Гп(Х)-*+
— точная последовательность Дж. Г. К. Уайтхеда [73].
Последовательность 2(Х) извлекается из гомотопиче-
гомотопической точной пары пространства Х\ гомоморфизм dn+\ на-
называется обычно вторичным граничным оператором. Эта
последовательность определяет расширение
A.6) 0^Ап(Х)^пп(Х)-^п(Х)->0>
где Лп (X) = Coker (d: Яя+1 (X) -> Гп (X)) и 2П (X) =
= цпп {X) cz Нп (X). Обозначим через еп (X) элемент
группы ExtBn(^O, Дп(^)), определенный последова-
последовательностью A.6).

/. Ординарная теория когомологий 93
Пусть теперь X* zd X — такое пространство, что
л. (X*) = 0 для всех i ^ я, и пусть для всех / < п инъек-
инъекция Лг(Х)->пг(Х*) является изоморфизмом. Легко ви-
видеть, что подпоследовательности
Нп+1 (X) -* Гп (X) -+ лп (X) -> Нп (X) -* Гя_, (X),
Яя+1 (X) -» #я+1 (Г) -» #я+1 (Г, X) -» Нп (X) -> Ял (Г)
последовательности A.5) и гомологическая последова*
тельность пары (X*, X) изоморфны. Следовательно, ото-
отождествив Нп+\(Х*) с Гп(^), мы получим, что
A.7) Имеет место равенство
е„ (X) = -k* (Vf) e Ext (\ (Z), А
где k — вложение 2п(Х) в Нп{Х), ut=Hn+l(X*; Tn(X))-~
унитарный класс и v == i*u е Яп+1 (X; Гп (X)).
Класс у зависит от выбора унитарного клас-
класса и. Он определяется с точностью до подгруппы
Kri*Ext(Hn(X)fcn(X)9 Tn(X)) группы Ext(Hn+i(X),
Тп(Х))9 где л :Нп(Х)-*Нп(Х)/2п(Х)— проекция. Обо-
Обозначая через 1П+1(Х) смежный класс по этой подгруп-
подгруппе, содержащий элемент v, мы получаем, таким образом,
следующее утверждение:
A.8) Всякому односвязному пространству X есте-
естественным образом ставится в соответствие последова-
последовательность элементов
1п+1(Х)<=Нп+1(Х; Гп(Х))/Ы*Ех1(Нп(Х)/2п(Х), Гя(*)),
л = 3, 4, 5, ...,
обладающая тем свойством, что п-мерная гомотопиче-
гомотопическая группа пространства X определяется п-типом про-
пространства X и элементом 1п+1(Х).
Для (п — 2) -связного пространства X можно полу-
получить более явный результат. Действительно, в этом слу-
случае X* = К (яп-i (X), п - 1) и Нп (X) /2Я (X) = Нп (X*) ==
£== 0, в то время как
f Пп-{/2Лп-1> если л>3'
Г^п-д, если n-3f

94 Гл. V. Когомологии и расширения
где Г — «универсальный чисто квадратичный функтор»
из [31]. Унитарный класс и е Hn+l (X*; Гп) определяет ко-
когомологическую операцию
.Н ( ; пп-х(л))-^п ( i 1Л(л)),
являющуюся при п > 3 квадратом Стинрода S<72, соот-
соответствующим гомоморфизму nn-il2nn-i -* Гп групп ко-
коэффициентов; при п = 3 в случае, когда группа пп-\ ко-
конечно порождена, операция 6 является квадратом Пон-
трягина ^2, соответствующим функции следа у: лп-\—*
;—^r(^n-i) (см. [31]). Операцию 6 мы будем называть
квадратом Понтрягина, даже если группа atn-i не ко-
конечно порождена.
Следующее утверждение является переформулиров-
переформулировкой одйой. теоремы Дж. Г, К. Уайтхеда [73, § 18]:
A.9) Пусть i е Нп~х (X; пп-\ (X)) — фундаменталь-
фундаментальный класс (п — 2) -связного (п^З) пространства X, и
пусть v е Нп~1 (X; Тп (X)) — класс когомологии, опреде-
определенный формулой
Sq2 @, если п > 3,
32 @, если я = 3.
Тогда в последовательности A.5) d = и* и группа пп
определяется как групповое расширение элементом
— v+<=Ext(Hn(X), Cokeru*).
Второе применение относится к теории индуцирован-
индуцированных расслоений.
Пусть П — абел^ва группа, п — целое число >1 и
"I, п\ Яп+д(Ц п)) — унитарный класс. Операцию
д . ттП / , тт\ Tjn-\-Q / t тт /тт ^\\
соответствующую этому классу, мы также будем назы-
называть унитарной. Унитарные операции универсальны в
том смысле, что
A.10) Для любой примарной когомологической опе-
операции 8: Нп( (П)->#п+з( ;G) существуют такие
менты
т) s Horn (Hn+q (П, п), G), a s Ext (#,+»_! (П, /г), G),

/. Ординарная теория когомологий . 95
что
где 0gy Qq-\ — унитарные операции,
— гомоморфизм группы коэффициентов, индуцированный
гомоморфизмом ц, и
ба: Нп+«~1( ; Я^^Щ, л))-*Яя+*( ; G)
— оператор Бокштейна, ассоциированный с короткой
точной последовательностью
соответствующей элементу а.
Рассмотрим снова (г—1)-связное пространство X.
Пусть ut=Hn(X)Il)t п>г, и пусть /: *->/С(П, п) —
отображение, соответствующее классу когомологий и.
Для расслоения р: У—>Х, индуцированного посредством
отображения / расслоением путей над /С(П, п), имеет
место точная последовательность Серра
A.11) Hr+n^(Y)^Hr+n^(X)^--^Hq+n+l(X)^
(П, п) -* Я,+Л (У) -► Я,+Л (Z) -► Я,+Л (П, л) ->...,
изоморфная части гомологической последовательности
отображения f.
A.12) При q ^ г — 2 группа гомологии Hq+n (У)
определяется классом когомологий Qq(u), где
%: Нп{ ;П)->Я^( ;ЯЯ+,(П, я))
— унитарная операция.
Стоит заметить, что операций Qq можно выбирать ка-
канонически. Это наблюдение принадлежит Картану (не
опубликовано).

96 * Гл. V. Когомологии и расширения
2. К-теория [4]
Мы будем рассматривать комплексную /(-теорию fc
и при этом ограничимся группой /(°, которую будем
здесь обозначать через К. Напомним, что
f Z, если п нечетно
B.1) K(Sn) = nn(BU)= • '
4 ' v ; пк ' 10, если п четно.
Операции Адамса [3] —это естественные эндоморфизмы
из свойств этих операций нам понадобятся следующие;
B.2) \yko^l = 4fkl.
B.3) vpo = O, операция Ч?1 тождественна^
B.4) Для любого х^К{Х) и любого целого числа q
существует такое целое число е, что если k\ = k2 mod qe,
то
xyb (x) = уъ (Х) mod
B.5) Диаграмма
K(S2X) ^
Is2
коммутативна.
B.6) В группе K{S2n) операции 4?'h задаются фор-
формулой
\yb(x) = knx.
Конечно порожденную абелеву группу М9 для кото-
которой задано семейство эндоморфизмов. W^: M—>М9 об-
обладающих свойствами B.2) — B.4), мы будем называть
х¥-модулем. По определению для любого пространства
ХеЛ группа К(Х) является Ч^-модулем.
Пусть ^ — категория, объектами которой являются
Ч^-модули, а отображениями — гомоморфизмы абелевых
групп, перестановочные с эндоморфизмами ¥*. Тогда К
является функтором ^о-^®7.

2. К-теория 97
Адаме доказал, что
B.7) Категория <& абелева.
Поэтому для любых объектов М, N&<& определена
группа Ext(M, N), являющаяся множеством классов
эквивалентности коротких точных последовательностей.
Эндоморфизмы -¥* не коммутируют с надстройкой; тем
не менее можно так определить «надстроечный» функтор
S: <?7-><g?, чтобы выполнялось свойство B.5). Пусть
S: Ext(M, N)->Ext(SM, SN) — гомоморфизм, индуциро-
индуцированный этим функтором. Мы положим
M, N) = lim Ext (SkM, SkN).
Пусть теперь a: X->Y— произвольное отображение
категории ^о- Применив описанные выше общие кон-
конструкции к гомоморфизму d(a)=a*: K(Y)->K(X), мы
получим некоторое расширение; следуя Адамсу, мы рас-
рассмотрим его только при d(a) = 0. В этом случае полу-
получается элемент ес(а)^ Ext(/C(K), K(SX)), причем
ес (S2a) = Sec (a) e= Ext (К (S2F), К (S3Z)).
Следовательно, определен элемент
ес (а) ^ ExtAK(Y)t K(SX)),
где a — образ а в группе {X,Y}.
Рассмотрим более подробно случай, когда X =
= S2n~l и Y = S2v. Пусть Zo — аддитивная группа ра-
рациональных чисел и Bs — числа Бернулли.
B.8) Существует мономорфизм
9:
образ которого является циклической группой порядка
m(n — q), где
I 2, если ^ = 2s—1,
1 знаменатель дроби Bs/4s, если t = 2s.
Мономорфизм 6 позволяет считать инвариант ее (а)
рациональным числом, определенным с точностью до

98 Гл. V, Когомологии и расширения
целого слагаемого. Для любого элемента а е я2п-1 {S2q)
рассмотрим короткую точную последовательность
0-»К {S2n) -£> К {Та) —> К (S2*) -> 0.
Пусть и и v^K{Ta)—такие элементы, что v поро-
порождает Imp*, a i*u порождает K(S2q).
Справедливы равенства
B.9) Zkf\ =
- Ч? (v) = ^ с/,
где X — рациональное число.
Замена и на u-{-cv приводит к замене X на Х-\-с
(с eZ). Следовательно, класс вычетов X = Я mod 1 опре-
определен однозначно. Оказывается, что
B.10) ес(а) = Х.
Аналогичным образом, используя вещественную /(-тео-
/(-теорию, мы получим гомоморфизмы
dR\ or->Z2,
е'я: n8r+4^j (S80 -> ZQ/Z, R » 1, 2 mod 8,
/Л /'o8r+4\ ^ /^
в/?! Я8г+4^+3\,о J —>Zo/^.
Последние два гомоморфизма коммутируют с восьми-
восьмикратной надстройкой и потому индуцируют гомомор-
гомоморфизмы
Эти е-инварианты подробно изучены Барратом (не-
опубликовано).
Пусть фг — образующая циклической группы n2r(BU)f
а сог — образующая циклической группы п4г{ВО).
Если aGVi(№) и ma = 0, то
пгес (а) ф„ е {ф^, a, mi}.
Если а£ я8г+4/-1 (S8r) и та==0, то
Если ае Jt8r+4H.3(s8r+4) и ^сх = О, то
т^ (а) co2r+i+1 €= {(о2г+1, а, mi}.

2.К-теория 99
Скобки в этих формулах обозначают нестационар-
нестационарные вторичные операции Тоды [70].
Как доказал Адаме [4],
B.11) Если г ss 0 mod 8, то
B.12) Если r=l, то
dRoJ: jxr(O+)~Z2.
Если г > 1 и г = 1 mod 8, то
eRoh nr(O+)~Z2.
B.13) Если AA^3mod4, то образом гомоморфизма
e'x°J: nr(O+)-+Z0/Z является циклическая группа по-
порядка mBs).
В соединении с более ранним глубоким результатом
Адамса это приводит к следующему утверждению:
B.14) При гф7тпой8 образ гомоморфизма
J: яг(О+)->стг
выделяется прямым слагаемым. Этот образ является
циклической группой порядка
2, если г = 0, 1 mod8,
mDt — 2), если г = 8/ — 5,
m {At) или 2m {At), если r = 8t—l.
Если при г = 8/ — 1 порядок образа гомоморфизма J
равен m(At)t он выделяется прямым слагаемым.
Маховальд [49] показал в некоторых случаях, напри-
например когда число г + 1 является степенью двойки, что
порядок образа Im / гомоморфизма / на самом деле ра-
равен m{At). В его доказательстве использованы очень
тонкие соображения.
Можно использовать е-инварианты и для получения
информации относительно фильтрации «по исходной
сфере». Действительно, группа
), K{S2»))

100 Гл. V. Когомологии и расширения
является циклической группой, порядок g{n,q) которой
равен наибольшему общему делителю всевозможных чи-
чисел вида kn — №9 где k пробегает кольцо целых чисел.
Этот порядок делит число m(n — q). Поэтому элемент
а = аг, для которого знаменатель инварианта ее (а) до-
достаточно велик, не может появиться слишком рано. Ре-
Результаты такого рода были получены Хоффманом [36].
В другом направлении работал Андерсон [10], кото-
который дал формулы, связывающие е-инвариант элемента
a&nn+k+i($n+l) с инвариантами Хопфа — Джеймса
#г(а). Его результаты также дают информацию о филь-
фильтрации «по исходной сфере».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Adams J. F., On the structure and applications of the Steenrod
algebra, Comment Math. Helv., 32 A958), 180—214.
2. —, On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann.
of Math., B), 7i A960), 20—104. [Русский перевод: Математика,
5:4, 3—88.]
3. —, Vector fields on spheres, Ann. of Math., B), 75 A962),
603—632.
4. —, On the groups J(X). I—IV, Topology, 2 A963), 181—195;
3 A965), 137—171; 193-222; 5 A966), 21—71. [Русский перевод:
Математика, 10:5, 70—84; 11 : 4, 3—41; 12:3, 3—36, 37—97.]
5. —, Stable homotopy theory, 2-е d., Springer-Verlag, Berlin and
New York, 1966.
6. —, A periodicity theorem in homological algebra, Proc. Cambridge
Phitos. Soc, 62 A966), 365—377.
7. —, Lectures in generalized cohomology, Category theory, homo-
logy theory, and their applications, Springer-Verlag, Berlin and
New York, 1969.
8. —, Representability of functors, в печати.
9. Aikawa Т., Ех1аBАу\, Z2), A being the mod 2 Steenrod a algebra,
Math. J. Okayama Univ., 13 A968), 151—173.
10. Anderson D. W., The ^-invariant and the Hopf invariant, Topo-
Topology, 9 A970), 49—54.
11. Atiyah M. F., Bordism and cobordism, Proc. Cambridge Philos.
Soc, 57 A961), 200—208.
12. —, Hirzebruch F., Riemann-Roch theorems for differentiable mani-
manifolds, Bull. Amer. Math. Soc, 65 A959), 276—281.
13. —,— Vector bundles and homogeneous spaces, Proc. Sympos.
Pure Math., 3, Amer. Math. Soc, Providence, R. I., 1961, 7—38.
14. Barratt M. G., Track groups. II, Proc. Load. Math. Soc, C) 5
A956), 285—329.
15. —, Homotopy operations and homotopy groups, Conference on
Differential and Algebraic Topology, Seattle, 1963 (mimeographed
notes).
16. —, Hilton P. J., On join operations in homotopy groups, Proc.
Load. Math. Soc, C) 3 A953), 430-445.
17. Boardman J. M., Stable homotopy theory, в печати.
18. Bott R., The stable homotopy of the classical groups, Ann. of
Math., B), 70 A959), 313—337.
19. Bousfield A. K., A vanishing theorem for the unstable Adams
spectral sequence, в печати»

102 Список литературы
20. Bousfield А. К., Curtis Е. В., A spectral sequence for the homo-
topy of nice spaces, в печати.
21. _, _, Kan D. M., Quillen D. G., Rector D, L.f Schlesinger J. W,,
The mod-/? lower central series and the Adams spectral sequence,
Topology, 5 A966), 331 —342.
22. Brown E. H., Jr., Cohomology theories, Ann. of Math., B), 75
A962), 467—484.
23. Burghelea D., Deleanu A., The homotopy category of spectra. I,
///. /. Math., 11 A967), 454—473.
24. Cohen* J. M., The decomposition of stable homotopy, Ann. of
Math., B), 87 A968), 305—320.
25. — t Coherent graded rings and the non-existence of spaces of
finite stable homotopy type, Comment. Math. Helv., 44 A969),
217—228.
26. Коннор П.* Флойд Э., Гладкие периодические отображения,
«Мир», М., 1969.
27. Curtis E, В., Simplicial homotopy theory, Lecture Notes, Mate-
matisk Institut, Aarhus Universitet, 1967.
28. —, Some nonzero homotopy groups of spheres, Bull. Amer. MatK
Soc, 75 A969), 541—544.
29. Dold A., Homology of symmetric products and other functors of
complexes. Ann. of Math., B), 68 A958), 54—80.
304 Dold A., Halbexakte Homotopiefunktoren, Springer-Verlag, Berlin
and New York, 1966. [Русский перевод: Математика, 14: 1, 3—93.]
31. Eilenberg S., MacLane S., On the groups H (U,n). II. Methods
of computations, Ann. of Math. B), 60 A954), 49—139.
32. Eilenberg S., Steenrod N. E., Axiomatic approach to homology
theory, Proc. Nat. Acad .Sci. U.S.A., 31 A945), 117—120.
33. Стинрод Н., Эйленберг С, Основания алгебраической топологии,
Физматгиз, М., 1958.
34. Freyd P., Stable homotopry, Proc. Conference on Categorical Al-
Algebra (La Jolla, Calif., 1965), Springer, New York, 1966, 121—172.
35. Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков, ИЛ, Mfi
1961.
36. Hoffman P., On the unstable ^-invariant, Topology, 4 A965),
343—349.
37. Hsiang W. C, Wall С. Т. С, Orientability of manifolds for gene-
generalized homology theories, Trans. Amer. Math. Soc, 118 A965),
352—359.
38. Хьюзмоллер Д., Расслоение пространства, «Мир», М., 1970.
39. James I. M., Suspension triad of a sphere, Ann. of Math. B), 63
A956), 407—429.
40. Kahn D. W., On stable homotopy modules. II, Invent. Math., 7
A969), 344—353.
41. Kan D. M., A combinatorial definition of homotopy groups, Ann.
of Math. B), 67 A958), 282—312. [Русский перевод: Математика,
6:1, 3—32.]
42. —, Semisimplicial spectra, ///. /. Math., 7 A963), 463—478.
43. —, Whitehead G. W., The reduced join of two spectra, Topology,
3 A965), suppl, 2, 239—261, [Русский перевод: Математика.
10 ; 3, 12—18,]

Список литературы , 103
44. Kan D. М., Whitehead G. W., Orientability and Poincare duality
in general homology theories, Topology, 3 A965), 231—270.
45. Liulevicius A., The factorization of cyclic reduced powers by secon-
secondary cohomology operations, Mem. Amer. Math. Soc, No. 42
A962).
46. MacLane S., Group extensions by primary abelian groups, Trans,
Amer. Math. Soc, 95 A960), 1—16.
47. Маклейн С, Гомология, «Мир», М., 1966.
48. Mahowald M. E., The metastable homotopy of 5n, Mem. Amer.
Math. Soc, No. 72, 1967.
49. —, On the order of the image of /, Topology, 6 A967), 371—378,
50. —, Tangora M., Some differentials in the Adams spectral se-
sequence, Topology, 6 A967), 349—369.
51. —, —, An infinite subalgebra of ExtA(Z2, Z2), Trans. Amer. Math.
Soc, 132 A968), 263—274.
52. Massey W. S., On the universal coefficient theorem of Eilen-
berg and MacLane, Bol. Soc, Mat. Mexicana B), 3 A958),
1-12.
53. —, Peterson F. P., The mod 2 cohomology structure of certain
fibre spaces, Mem. Amer. Math. Soc, No. 74, 1967.
54. May J. P., The cohomology of the Steenrod algebra; stable homo-
homotopy groups of spheres, Bull. Amer. Math. Soc, 71 A965),
377—380.
55. Milnor J., On spaces having the homotopy type of CW-complex,
Trans. Amer. Math. Soc, 90 A959), 272—280.
56. —, Kervaire M. A., Bernoulli numbers, homotopy groups, and a
theorem of Rohlin, Prbc. Internat. Congress Math. (Edinburg,
1958), Cambridge Univ. Press, New York, 1960, 454—458.
57. Moss R. M. F., On the composition pairing of Adams spectral
sequences, Proc. Lond. Math. Soc, C), 18 A968), 179—192.
58. Puppe D., Stabile Homotopietheorie. I, Math. Ann., 169 A967),
243-274.
59. Rector D. L., An unstable Adams spectral sequence, Topology,
5 A966), 343—346.
60. Shimada N., Yamanoshita Т., On triviality of the mod p Hopf
invariant, Japan J. Math., 31 A961), 1—25.
61. Spanier E. H., Function spaces and duality, Ann. of Math., B)
70 A959), 338—378.
62. Спеньер^Э., Алгебраическая топология, «Мир», М., 1971.
63. —, Whitehead J. H. С, A first approximation to homotopy theory,
Proc Nat. Acad. Sci. U.S.A., 39 A953), 655—660.
64. —, —, Duality in homotopy theory, Mathematika, 2 A955),
56-80.
65. —, —, The theory of carriers and 5-theory, Algebraic Geometry
and Topology (A Symposium in homor of S, Lefschetz), Prince-
Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1957, 330—360. [Русский пере-
перевод: Математика, 3i 1, 27—52.]
66. —, —, Duality in relative homotopy theory, Ann. of Math., B),
67 A958), 203—238.
67. Spivak MM Spaces satisfying Poincare duality, Topology, 6 A967),
77—101.

104 Список литературы
68. Steenrod N. Е., A convenient category of topological spaces,
Michigan Math. /., 14 A967), 133—152.
69. Thom R., Quelques proprietes globales des varietes diffentiables,
Comment. Math. Helv., 28 A954), 17—86. [Русский перевод: в сб.
«Расслоенные пространства», 293—351.]
70. Toda H., Composition methods in homotopy groups of spheres,
Ann. of Math. Studies, No. 49, Princeton Univ. Press, Princeton,
N.J., 1962.
71. Wang J. S. P., On the cohomology of the mod 2 Steenrod algebra
and the non-existence of elements of Hopf invariant one, ///. /.
Math., 11 A967), 480—490.
72. Whitehead G. W., Generalized homology theories, Trans. Amer.
Math. Soc, 102 {1962), 227—283.
73. Whitehead J. H. C, A certain exact sequence, Ann. of Math. B),
52 A950), 51—110.
74. Zachariou A., A subalgebra of Ext A (Z2, Z2), Bull. Amer. Math.
Soc, 73 A967), 647—648,

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Биспектр 55
— симплициальный 55
Гипотеза Фрейда 86
Гомотопическая эквивалентность сла-
слабая 28, 49
Гомотопические группы спектра 27, 49
Гомотопность 25, 50
Группа коэффициентов теории гомо-
гомологии 19
когомологий 22
Группы гомологии спектра 28
Дважды стационарный /-гомомор-
/-гомоморфизм 74
Детектирование 82
Допустимая пара 11
— последовательность 67
Допустимый моном 67
Категория групповых спектров 49
Категорная сумма 67
Категорное произведение 11
Квадрат Понтрягина 94
Класс Тома 42
Многообразие ^-ориентируемое 61
— строго ^-ориентируемое 61
— R-ориентируемое 44
Операция Адама 96
Отображение двойственности 37
— симплициальных спектров 48
степени t 48
— спектров 25
— транспонирование 38
— R-ориентируемое 42
Поляритет 38
Полярность 39
Приведенные группы гомологии 18
Пространство Мура 86
— Тома 42-
Расслоение R-ориентируемое 42
Резольвента спектра 64
Свободное пространство 16
Симплициальное разбиение R-ориен-
R-ориентируемое 41
Скобка Тоды 81
Соединение 56
— приведенное 11
Спаривание 31
Спаривание естественное 32
Спектр 25
— кольцевой 33
— конечного типа 63
— петель 27
— полный 49
— симплициальный 47
— свободный абелев 50
групповой 49
— сферический 25
— функциональный 27
— Эйленберга — Маклейна 25
Спектральная последовательность
Адамса 64
Стационарная операция /1-й ступени
60
нормальная 60
универсальная 60
Стационарные гомотопические груп-
группы 15
— группы сфер 15
— когомотопические группы, 15
Стационарный /-гомоморфизм 74
Сферическая диаграмма 81
Сферическое расслоение 42
Теория бордизмов 24
ориентированных 24
— гомологии 17
обобщенная (экстраординарная)
19
обыкновенная (ординарная) 19
— когомологий 22
Точный треугольник 52
Унитарная операция 94
Унитарный класс когомологий 92
Фундаментальный класс 41, 43
Функтор приведенного соединения 11
— вполне инвариантный 58
— групповой 57
— сходящийся 56
в-инварианты 98
/i-абелев спектр 58
я-двойственное пространство 36
Й-спектр 25
Р-пространство 43 .
Р-система 59
^-модуль 96
R-модуль 33
S-отображение степени q 15
Г-разложимый элемент 81
Г-система 80

106 Таблица I
Нестационарная спектральная последовательность
Адамса для сфер
9
7
6
}
А
г
г
1
<10K
. а,>
1
11
2
Ш
4V
21
(*Л>
C0L
3(А2)
3
(ППJ2]
(Ш)„
B11L1
C1),
4
A2ИJП
BШLП
ОПMГ
C0)б
5
атп1$11
(ЗШLа1
33
6
(AjA3)
4111
511
6\
G0),
7 U3)
7
-
Г5ШN21
233 Gre)
E2I),3
F11)8I
53
24111
1233
333
(AJ)
G11)w
124111
(»233)eill
B233),,,
(ЗЯ1Lв1
G1I1)M|
D33), e!
G21)83
G3)^
1
10 I
<

107
П24Н1
A11233J22J3
2241U
A2233J433
B1233)/J33
.B333),53
C233N33
C611L71
C53)J7
E33;9J
и
aii24iii)J2241ll
C1224lllJ44lll
B1241UL2411|
A21233J3233
BП233)А12зз
«24Ul)«nI
A2333J3J3
C1233)f233
C6lllL7M
E4Ш)б511
C333M53^
12
A212Ш1)„ШИ
B1124ШL1241|1
(Ш1233J3123з
C124Ш)^41И
CH233),223J
C2233L43J
C433L7а
D333),3J
A0111^
G33)пз
13
A21124Ш)а,1241И
C1124П1L224М1
C224111L44П1
344111
\
B3333)^33
51233 (АХ)
G4111А8Я А
C533M73\ \
E333)933 \ \
6233 Uo) у\
6^ СА0А|) \
(UL21)\,
77 (AjK
14
41124111
5124111
A23333J333з
624111 °- А
24333 (А/о)
F1233)8233
84111 (AjA4)
F333)853
G233)^3
Ш" (AjA4)
\G53)97
у
V (А4)
15
9
8
7
6
5
4
2
1

108
б
5
4
3
2
1
124333 {h\d0)
E<41U)8mj
G24l\lIJL4I1I
C4333>47Д
G1233),2зз\
\
<7333)„з
W»>iAei
йЗП1)д2,
13J (АД)
16
,24333 \
<351233?4<233\
C5333L6>3 \
- Uoeo) \
36233 >
C653L77
.8333 (*0)
шз (*!V-
-
17
C24353Mб233
(ЗЛ233LТ255
G44111)а4111
у(ЗбЗЗЗL7^
\ \?1233)Н111
45333 (у0) .
014111)^11
уE10111)<ш,
Ь733 (/0)
01511)^^
9333 {h\k2h4)
A0233)^,!
iO53 (ЛоА2А4).A233)и1
117 (Л2Ь4)
(ДЗ)^
18
E5123'3)б<52зз \
E«3)б?7
(ШЗЗ)^,
^233)^,
577. (Cj)
(шз)ш
19

109
C36233LШ5 \
\E84Ш),ШП \
(Ш233)Я23,
Щ:б1)и7
(Д21)ш
20
<И533^)О7\
G51233)\б233 N
35733 ^Д\\
<762ЭЭ)цш \\\
G653>8П \
777 (А|)
СЦЗЗ)^
21
^D45333), Л,, 1
W36233)MS3\
С724333)ШЗД
v С784Ш)ВШ11 \
E8333)дП1
\ (86«>ull 02.111)^,
GШ)«а (il^W
22
4
3
2
1

110
13
12
11
10
9
8
7,
(Я124И1N22Ш1
2344111 tflcQ)
E224Ш)в44ш
F14411 !)|24UI
(РаА,)
241124111
12344111
FН24Ш)|1М111
1124333
C344ЦП4„„,
<71241Ш„«т
124П24Ш (P7h])
A12344111)8II241U
C41124111L5I241H
(H124333)aM4JJ3
B2344111)9l241I1
C5124111>46Mlll
G1124111)imm
A224333J3<523.3
B124333L243?3
D344111)^4, „
C624111L|411X
G224111)M41IX
11241124111(РЧ\к2)
AИ2И4Ш)а2И44111
2241124111 (PIA0A2)
A22344111J4J44I11
B12344111L2344111
441124Ш (^2A2)
AЛ24333J524,зз
B1124333L12-4333
C2344Ш) 44||I
C6124111)>724U1
C124333L2433\
C544Ш)}71|„ \
E344111),5\v33
(Столбцы продолжаются с части таблицы, помещенной на пре-
предыдущем развороте.)

Ill
(П1241124111J2241124П1
A2241124lll)a44I12411l
(B124H24111L24lI24lll
A212344Ш)„„44111
B112344111LI2344III
C241124111)б41124111
(I2112433^JJ12,333
C123441HM2344ni
C61124111^,3^!!
E41124Ш)в$1ча4111
CI124333L224333\
E5124JllV66241I1 \
(?112411DJ>2241I1
C224333>436Ш\
E624Ill)\41ll \
(9224111IД4 ,п >
\ A0I241U), \41U •
A21241124ШJ324И24111
С211241124111L124П2411
(I2ll2344lllJ3l2344in
C124П24ШK24|1М1
Cll2344lllL22344nl
C2234411lL4344nl
W44HIL744tlI
DП24333)в344|11
\ <iO41Il)J1J2411l
\l245333J>n3j
<5124333)il44l>1
G344Ш) \
\Ш124112)\а41|1
A2H241124111JJI24IM4I11
(ЗП24П24ШL22411241П
C224П24ШL-4411а4хп
1
3441124111
\
5I23441U (PlhQdQ)
G41124111) Jia4lll\
EИ24333)б,2433\
623441 IK №0)
G5124П1)\241И \
(Ш124Ш)^4П1 \
B245333I424II1 \ N
G624Ш)8\41П
E224333)бгб233 V
\ О!_224Ш),,4 \
\F124333)8>4зз?
13
12
12
10
9
\
8
\
7
\
\
2112^111
\
IJJ24U1

112
1
I
о
S
л
н
со
О!
S
м
00
**?*
ИО
«at
00
NO
N
Л.
\.
<« о
ft.
о
■«г
(Л
•<:
•* о
<■
€>
U
-e
fNO
m
<N
N ©
•<
IN
*<
о
Os
00
f>.
VO
vJ1
fM

113
«о
Си
SL
^°
M
ft,
о
<:
a.
A*
ft.
со
о
о
<J
ft.
CN
^°
ft,
О
ft^
>т с
ft.
О
и
-<
см О
ГЧ О
о
ft.
<N
ft,
о
-«4
•<г
ft.
о
fJ О
<</
с
><
г.'
о
о
*^ ^
^^
а.
-«;
'■<
ft.
•<~
ft.
ON
<i
^*-
о
^ <i
"о
у
"о
ft.
о
О
ft.
со
{■>ч
о
о-
А,
Ч>
к.
-<:
ьо
о/
о
%Г
JN ^
о
•с
-с:
ч.
'У
/т
"с
О
и
*Г
о
о
*Ч
-С
V)
-с
>*i
**:
м
ы •<*
см
-<*
см
о
гЛ
О\
СО
<s
40
<N
\Г\
cs
«■>
Й
о
CN
Оч
00

114
9
\
7
6
5
4
3
2
1
\
«A
ч\
30
I \
p,\
AjA5+rfOeO
\
US*,
\
У
\
^\0A5
31
, ...4. ....... ..
32
Al?
\
\
\
AJA,
33
''orfog\
\
h\hzh
A2A5
34
\
\
m
*2rfl
-
35
36

118
" -A
hxi \
V\
\
\
w
IV5
37
38
u
А,е,
Vo
MA
39
«2
°\
40
\'л
\
41
42
43
44
8
7
6
5
4
3
2
1

116
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
И
10*
та
hxP4
у*» ^
Wofi.
\
V.
NVPI/
А20Р^/,2
P%
\
\
hlx
\
(Столбцы продолжаются с части таблицы, помещенной на
предыдущем развороте.)

117
та
\
\
\
h\PH
h\P4-
h\PH
V4
\*'"' \
• •>
\
\
\
\
h\P4
\P4
\ \
\ \
P\
\
X
hp\
\
\KP2i
\>0P2J
hle0P1^
\ -
Kpi4
p%
V >
JoPl\
V.
Kph
\
Kp*s
\
\
\
23
22
21
20
19
18
\17
\16
\
12
11
10

118
■ Спектральная последова
8
7
6
5
4
3
2
1
2
К
3
4
5
*2А2
б
: к
7
8

тельность Лдамса для Р°°
Таблица III
119
р%
щ
9
пгкь
10
P42h\
P42h0
.'%
п
12
13
Л3Мз
\
V. х
14
A4
15
8
7
.6
5
4
3
2
1

120
15
14
13
12
11
10
9
8
7
б
5
4
3
2
\
**I*4
V,
16
РЧ,
'"''4
\
\,
*i*A
17
\?
JO
" hh
18
V.
19
;*j
''•
20
h2h2h^
2t
0 ,0
fs*'A
M'A
f,*4
22
ft.
aJ
y*.
A>o«
23

121
\
A"fA2g
MS
-
24
v \
25
\
Va5
\
V
A>2,
26
ft,*;
^*.
p%
27
28
Л
у*.
29
a;
и
V
VS*4
A4A0A4
30
13
14
13
12
11.
10
9
8
7
$
4
3
2

122
8
7
6
5
4
3
2
I
\
«30
f4*0*4
\
30
\
4
31
л.
V
Mi
32
I
«30*2
V.
M?
33
ft4
^3,*2
fa4o45
34
С
to
35
36

128
к
Jl
С
V
\
\*>
1 ад*,
U
*а*»\
ад
37
5 0 Л
4 D V
\
38
f,l*.*,
*Vi-
г,л3д5
*>*l*3
39
X A
«40*0
Л*\
л*. \
h.h.с.
115 5
ад*,\
f
ад
40
ад*л
\
\ Vo
*A»,
\.
C2
41
^^2*0*5
V*A
Л» С-
I.
44
В
7
5
4
3
2
1

124
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
-
1
1
Stk»
*A
h
и
\
\
p^A
\
^'/*.
'Л
\
•
-
^««
\
\
\,\
"\
\\\
(Столбцы продолжаются с части таблицы, поме-
помещенной на предыдущем развороте.)

126
РЬ2 k2
\
■ma
\
\
\
\
P4h>
P2ih*o
V'A
и
\
\
\
\
pint
\j"f*.
p3'v\
рз'>.\
\ л
Д
V
\
\p2A4
w
\
V
,«
^\
\
22
21
20
19
16
17
16
15
14
13
ft
11
10
9

Стационарные гомотопические группы пространств S0 и Р°° Таблица IV
п
1
2
5
4
5
•6
7
8
9
10
11
12/13
14
15
16
17
<гпB)
z2o?2>
0
0
Z>2)
Zfyv) + Z2(e)
z8(O
0
Z2(a2) + Z2(k)
Zj2(p) + Z2G/k)
Z2G/p) + Z2(?7*)
Z 2Gдо ) + Z2Cvx)
чъ
z2c^>
0
z2(;^>
z2$v2) + zl6G)
Z2(rja) + Z2(cn]) + Z2(?)
22^^) + Z2(vi/2) + Z2(^) +Z2(iI)
Z2$(l) + Z8tfa)
0
Z2Go) + Z2{k)
Z32$) + Z2Dk) + Z2{4O2)
Z2{%) + Z2(t?2) + Z2([a16]) +Z2{w)
Zfylrj) + Zfyrf) + Z2{vo2)
+ Z2(i«) + Л2(да) + Z2(^)
Ker/
0
0
0 |
Z2{^)
0
0
Z2(^)
Z2(^<7 + J77)
Z2({7)<r + <njhi)
ZB@a)
0
0-
0
Ztfa2)
ztfl+ft + z^y
Z2((^ + ^W+Z2<;a2)

i
со
■ N
+
* CN
< Ь
00
N
+
Nw
5
+
я
00
+
N
G
N°
+
3
NO
jap
еч
N
+
s
<§
N
Q
CO
N
+
3
n"
O\
iH
Tb
<JT
CM
N
+
О
n
+ *s
IS "*"
J
1 ?3"
cs ,
tsj +
X <^
N +
N
5-
CN
N
+
«N
N
гч
$ *
+ и
Г <S
< b "*-^м
N" '+
1 ?
* .1
1
+
%
N1
M
CM
s
• CN
+
• **
;=:
i S
<r +
Tb
<s
N ^
+ <ICL
-to - 2
^ +
<j[ +
n"
+
09
+
S
NO
+
+
i
N
1
•1
1
+
n"
+
\
N
1
+
J
N
О
+
•3-
. CN
'•13-
«N
+
jo.
M
N
6
<s3"
N
+
CN
+
\
Я
о
N°
Й
о
CN
N
4;
CN
N
00
CN
О
о
о
s1
N^
о
en
CO,
CN
N
+
CN
3
о

ОГЛАВЛЕНИЕ .
От редактора перевода 5
Предисловие 7
Глава I. Теории гомологии и когомологий 9
1. Предварительные замечания 10
2. Теории гомологии и когомологий [72] 17
3. Спектры 24
4. Умножения 31
5. Двойственность Спеньера — Уайтхеда [61] 35
6. Двойственность Пуанкаре (внутренняя) 40
7. Двойственность Пуанкаре (внешняя) 42
Глава II. Симплициальные спектры 45
1. Симплициальные спектры .... • 47
2. Групповые спектры 49
3. Гомотопия 50
4. Приведенное соединение двух спектров [43] ..... 55
5. Сходящиеся функторы 56
6. Гомологические операции высшего порядка [44] ... 59
7. Степень ориентируемости многообразий 60
Глава III. Гомотопические группы сфер 62
1. Спектральная последовательность Адамса 63
2. Некоторые вычисления со спектральной последователь-
последовательностью Адамса ...» .69
3. Некоторые полиномиальные подалгебры алгебры E2(S) 72
4. /-гомоморфизмы 72
5. Нестационарные спектральные последовательности
Адамса 77
Глава IV. Стационарные гомотопические группы как а*-модули 80
1. Композиции высшего порядка («скобки Тоды») [24], [70] 80
2. Скобки Тоды и расширения 83
3. Гипотеза Фрейда о порожДении 85
Глава V. Когомологий и расширения 90
1. Ординарная теория когомологий 91
2. К-теория [4] 96
Список литературы 101
Предметный указатель 105
Таблицы ' 106