/
Text
НЕЧЕТКИЕ
МНОЖЕСТВА
И ТЕОРИЯ
ВОЗМОЖНОСТЕЙ
ПОСЛЕДНИЕ
ДОСТИЖЕНИЯ
редакцией
R нальаа Р. Ягера
НЕЧЕТКИЕ
МНОЖЕСТВА
И ТЕОРИЯ
ВОЗМОЖНОСТЕЙ
ПОСЛЕДНИЕ
ДОСТИЖЕНИЯ
FUZZY SET
AND POSSIBILITY
THEORY
RECENT
DEVELOPMENTS
Edited by
Ronald R. Yager
Jona College .
Pergamon Press
New York Oxford Toronto Sydney Paris Frankfurt
s
НЕЧЕТКИЕ ' 9
МНОЖЕСТВА
И ТЕОРИЯ
ВОЗМОЖНОСТЕЙ
ПОСЛЕДНИЕ
ДОСТИЖЕНИЯ
Под редакцией
Рональда Р Ягера
Перевод с английского
В. Б. Кузьмина
Под редакцией
С.И.Травкина
19450
Научно-техническая
БИБЛИОТЕКА
В Н И И В О
г. Хярькм
(g)
Москва «Радио и связь»
1986
УДК 510.22
Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения: Пер.
с англ./Под ред. Р. Р. Ягера. — М..: Радио и связь, 1986. — 408 с.: ил.
В книге, содержащей статьи ведущих ученых из многих стран, освещается
современное состояние новой бурно развивающейся научной дисциплины — теории
нечетких множеств. В ней рассматриваются общие математические вопросы (из-
мерение степени принадлежности множеству и измерение нечеткости, нечеткие
отношения в задачах построения нечетких классификаций и кластеров, нечеткие
преобразования и меры) и логические аспекты (приближенный вывод на основе
нечеткой логики, логический анализ нечетких теоретико-множественных операций
и логические связки). Часть работ посвящена решению разнообразных практи-
ческих задач (медицинской генетики, принятия решений, оценки степени повреж-
дения строительных сооружений, разделения на торговые зоны, обобщенного
календарного планирования, проведения экспертиз). В этих работах демонстри-
руются практические методы использования нечеткой логики и лингвистического
подхода при решении задач с плохо определенными условиями.
Приведенный материал не охватывает всех актуальных проблем теории, но
позволяет судить о состоянии исследований и перспективах развития многих
из них.
Книга представляет интерес для научных работников, занимающихся вопро-
сами принятия решений и общим вопросам управления.
"Табл. 19, ил. 57, библиограф. 649 назв.
Редакция переводной литературы
1502000000-108 „ _
---------------53-86
046(01)-86
© 1982 Pergamon Press Inc.
© Перевод на русский язык, примечания переводчи-
ка и редактора перевода. Издательство «Радио
и связь», 1986.
Врубайся в суть, не боясь затупить клинок,
Ибо острота не вечна.
Хочешь взять —
Умей отдать.
Вот в чем глубокая истина.
Дао Дэ Цзин
Лао Цзы
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
В 1985 году исполняется двадцать лет с того момента, когда
профессор Л. А. Заде ввел понятие нечетких множеств. Концеп-
ция нечетких множеств быстро привлекла внимание многочислен-
ных исследователей во всем мире. К настоящему времени опуб-
ликовано более 3000 статей, непосредственно посвященных теоре-
тическим и прикладным вопросам этой очень важной теории. Что
же касается потенциальных приложений теории нечетких мно-
жеств, то, я полагаю, что сейчас мы видим только верхушку айс-
берга. Наступающий век — век искусственного интеллекта и эк-
спертных систем, и для представления знаний в системах нового
типа понадобятся очень мощные методы. Теория нечетких мно-
жеств и связанная с ней теория возможностей готовы предоста-
вить необходимый аппарат, чтобы помочь решению этой трудной
задачи разработки искусственного интеллекта, поскольку она
предполагает систему, в которой могут быть естественно пред-
ставлены неточные понятия, преобладающие в рассуждениях че-
ловека.
Как можно видеть из статей этого сборника, теория нечетких
множеств привлекла внимание исследователей, работающих в
самых различных областях. Помещенные в книге работы перекры-
вают широкий спектр исследований от высоких теоретических во-
просов оснований математики до конкретных, но очень важных
приложений, которые, несомненно, приведут к повышению уров-
ня жизни.
В Советском Союзе в этой области работает много исследова-
телей, и перевод предлагаемой книги будет способствовать рас-
пространению новых идей и методов, нашедших отражение в
сборнике, и послужит стимулом к дальнейшему развитию науки.
Я сердечно благодарю В. Б. Кузьмина, который помимо своего
собственного значительного научного вклада в этой области насто-
ящим переводом облегчает своим коллегам взаимный обмен
идеями.
Рональд Р. Ягер
ПРЕДИСЛОВИЕ
Собранные в этой книге статьи отражают широкое разнообра-
зие направлений исследований в теории нечетких множеств и
знакомят читателя с современным состоянием развития теории и
ее достижениями.
За последние несколько лет развитие теории возможностей и
важные статьи Танаки, Суджено, Дюбуа и Прада, Гейнеса, Хи-
роты, Хисдаль, Хёле, Гудмэна, Камп де Ферье, Кофмана, Кэнде-
ла, Клемента, Мидзумото, Намиасд, Негойцы, Нгуена, Ралеску,
Сметса, Ягера и других внесли ясность во многие вопросы, каса-
ющиеся связей между нечеткостью, случайностью, возможностью»
неясностью, правдоподобностью и другими гранями неопределен-
ности. В результате становится все более ясным, что научные те-
ории — в их нынешнем виде — не отражают всегда присутствую-
щей нечеткости в человеческом познании и не в состоянии удов-
летворить потребность в создании приближенных моделей умоза-
ключений, опирающихся на нечеткую логику. Образно говоря, те-
ории о природе должны отражать то, что природа «пишет» скорее
произвольными мазками, чем шариковой ручкой.
Важность нечеткой логики как основы для приближенных рас-
суждений становится очевидной благодаря работам Болдуина
Мукаидоно, Мидзумото, Прада, Танаки, Цикиямы и Асаи, поме-
щенным в этой книге. Появившаяся в 1974 году новаторская рабо-
та Мамдани и Ассилиани по управлению на основе нечеткой ло-
гики вызвала быстрый рост числа публикаций в этой важной об-
ласти приложений, которая в данной книге представлена статья-
ми Кишки, Стаховича, Кани и Вийе Г Другие приложения нечет-
кой логики и лингвистического подхода обсуждаются в работах
Эрнста, Эме, Бартолена, Гуверне, Санчеса и Ринкса.
Основной вопрос теории нечетких множеств и нечеткой логики,,
возникший с момента их зарождения, связан с определениями
конъюнкции, дизъюнкции, отрицания и импликации. После важ-
ной работы проф. Циммермана и его коллег из Ахена стало ясно,
что все, что нам нужно для решения большинства практических
задач — это параметризованное семейство определений, которые
в случае надобности допускали бы нестандартный выбор опера-
торов, отражающих характерные особенности конкретного прило-
жения. Преимущество этого подхода состоит в том, что, избегая
фиксированных, конкретно-независимых определений, теория не-
четких множеств и нечеткая логика достигают плюрализма, кото-
1 Работы этих авторов, опубликованные в английском оригинале книги, в из-
дание на русском языке не вошли. {Прим, перев)
6
рый повышает их гибкость и экспрессивные возможности. Эти и
связанные с ними вопросы подробно обсуждаются в работах Хис-
даль1, Мидзумото, Трильяса, Альсины, Вальверде и Сметса.
Другой важный вопрос теории нечетких множеств связан с из-
мерением степеней принадлежности и классификацией в нечетких
категориях. Авторитетные работы Норвича, Турксена, Одена \
Лопеса \ Овчинникова, Рьеры, Руспини, Асаи, Танаки, Ватады 1 и
Ягера дают представление о методах измерения и классификации
как в теоретических, так и экспериментальных условиях.
В дополнение к упомянутым в книге можно найти и ряд дру-
гих значительных работ как по фундаментальным вопросам, так
и по прикладным аспектам теории нечетких множеств. Однако
две важные области остались не затронутыми в данной книге. Од-
на из них — нечеткая арифметика, которая, по-видимому, станет
обширной областью будущих активных исследований. Другая,
и по моему мнению, многообещающая область исследований —
ультранечеткие множества и ультранечеткая логика, где пристав-
ка «ультра» означает, что: а) рассматриваются нечеткие множест-
ва высшего типа, т. е. множества, ассоциированные с нечеткими
функциями принадлежности, и б) стандарт точности расчетов при
работе с ультранечеткими множествами берется ниже точности
вычислений нечетких множеств первого типа и остается таким до
тех пор, пока не будет достигнуто снижение трудоемкости вычис-
лений. В настоящее время, однако, не имеется ни аппаратурного,
ни математического обеспечения, необходимых для достижения
значительных вычислительных преимуществ от оперирования с
ультранечеткими множествами даже в случае, когда было бы
вполне терпимым воспользоваться этим понятием. В действитель-
ности, развитие эффективных средств анализа ультранечетких
множеств окажется в недалеком будущем проблемой первостепен-
ной важности.
Едва ли нужно говорить, что создание такой книги заняло мно-
го времени, потребовало определенных усилий и специальных
знаний. Авторы и особенно редактор — неутомимый, доброжела-
тельный и скромный проф. Рональд Ягер — заслуживают благо-
дарностей за большой вклад в развитие теории нечетких множеств
и теории возможностей, а также в исследование их приложений
во многих областях — от медицины и планирования производства
до теории решений и оценки состояния сооружений после земле-
трясения.
Л. А. Заде
1 См. примечание на с. 6. (Прим, перев.)
ВСТУПЛЕНИЕ
Материал книги базируется на работе симпозиума по нечетким
множествам и теории возможностей, состоявшегося в Акапулько,
Мексика.
Проведение симпозиума и появление настоящей книги свиде-
тельствуют о широком и разнообразном «интересе к этой быстро
развивающейся области.
Я уверен, что еще много увлекательных и интересных теоре-
тических и практических проблем предстоит решить в рамках
этих теорий. Я надеюсь, что книга передаст то ощущение жизнен-
ности и потенциальных возможностей, которое связывается с этой
областью исследований. Так как в самой теории не слишком ува-
жаются точные ограничения, то и специализация авторов книги
не ограничена какой-нибудь узкой отраслью знаний.
Я надеюсь, что для новых ярких ученых книга явится стимулом
обратиться к некоторым проблемам, связанным с теорией нечет-
ких множеств, а также послужит целям научного обмена мнения-
ми для тех, кто уже работает в этой области.
Я хотел бы поблагодарить авторов книги. Без их настойчивой
работы страницы были бы пусты. Помощь М. Бруно и других со-
трудников Иона-колледжа была особенно ценной. Поддержка и
советы профессора Л. А. Заде сыграли большую роль в успехе
конференции, на результаты которой опирается эта книга.
Рональд Р. Ягер
Часть I. !
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
ОБЩИЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ИНДЕКСОВ
СРАВНЕНИЯ В ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Д. Дюбуа1, А. Прад2
В литературе по таксономии можно встретить большое число
индексов, предназначенных для общего сравнения’ конечных мно-
жеств. Эти множества определяются на универсуме бинарно-
значных свойств и представляют характеристику объектов. Индек-
сы сравнения обычно допускают теоретико-множественную интер-
претацию.
В случае многозначных свойств объекты могут быть представ-
лены как нечеткие множества, а индексы сравнения обобщены с со-
хранением нечеткой теоретико-множественной интерпретации. В ра-
боте приводится структурное представление нечетких индексов
сравнения трех типов. К первому типу относятся показатели, по
которым в теории возможностей оценивается согласованность
объектов. Индексы второго типа трактуются как осредненные
оценки сходства объектов и применяются в теории вероятностей.
Третий тип индексов, тесно связанных с понятием необходимости,
составляют показатели, которыми измеряется степень конкрети-
зации одного из элементов относительно другого.
Ключевые слова: таксономия; конечное множество; индекс сра-
внения; частичное соответствие; включение; сходство; возмож-
ность; вероятность; необходимость; нечеткое множество.
1. ВВЕДЕНИЕ
В литературе по таксономии можно найти большое число ин-
дексов, предназначенных для общего сравнения конечных мно-
жеств. Эти множества определяются на универсуме бинарно-знач-
ных свойств и представляют характеристику объектов. Индексы
сравнения обычно имеют теоретико-множественную интерпрета-
цию.
В случае многозначных свойств объекты могут быть представ-
лены как нечеткие множества. А именно, пусть X есть множество
свойств, подходящих для описания рассматриваемых объектов:
1 CERT/DERA, 2 avenue Е. Belin 31055 Toulouse, France.
2 Langages et Systemes Infor., Universite P. Sabatier, 118,Route de Narbonne,
31077 Toulouse, France.
9
каждому объекту может быть поставлено в соответствии нечеткое
множество А, такое, что для любого свойства
х е X, Ил (%) е [0, 1].
Еще одна ситуация, в которой удобно применить подход, ос-
нованный на теории нечетких множеств, возникает при введении
бинарных показателей, взвешенных по важности. Много ситуа-
ций, в которых приходится сталкиваться с задачей сравнения не-
четких множеств, возникает и вне области таксономических ис-
следований; особенно важен случай сравнения нечетких чисел,,
т. е. нечетких множеств действительной прямой.
Существуют два основных подхода к проблеме сравнения не-
четких множеств. При первом из них используются скалярные ин-
дексы сравнения, тогда как при втором подходе — нечетко-знач-
ные индексы. О последнем подходе ограничимся только кратким
упоминанием.
При сравнении множеств мы используем лишь поточечное соот-
ветствие и не принимаем во внимание возможности существова-
ния метрики на универсуме X. Более того, нас не интересует и
синтаксическое совпадение таких структуризованных множеств
как нити \ графы и т. д.
Примечание. В этой статье дополнение множества А обо-
значается А.
2. СКАЛЯРНЫЕ ИНДЕКСЫ ДЛЯ СРАВНЕНИЯ
НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
В литературе по классификации образов (см., например,
[3, 6]) появилось уже много скалярных индексов для сравнения
четких множеств. Пусть требуется сравнить два подмножества
А и В множества X. Существуют три естественные точки зрения
на способы сравнения, а именно: можно рассматривать частичное
совпадение, несовпадение (или, что эквивалентно, включение),
несходство (или, что эквивалентно, сходство). Измерение час-
тичного совпадения подмножеств А и В множества X сводится к
оценке пересечения А|"|В; под степенью несовпадения (соответст-
венно, включения) понимается оценка (соответственно'
А[)В) или А(]В (соответственно A|JB) под несходством (соответ-
ственно сходством) — симметрическая разность АДВ (соответст-
венно А~В = АДВ). Большинство уже известных индексов — это
индексы сходства (или несходства), которые определяются как
функции мощности множеств А(]В, AflB и Af]B.
Очевидно, что такие индексы выглядят как вероятностные ха-
рактеристики (использованы равномерные распределения вероят-
1 Нить — любое отображение а множества А в семейство множеств {Ха},
которое каждому элементу а^А ставит в соответствие множество из {Ха} [Ар-
хангельский А. В., Пономарев iB. Н. Основы общей топологии в задачах и уп-
ражнениях.— М.: Наука, 1974, с. 16.] {Прим, ред.)
10
ностей, т. е. свойства считаются одинаково важными). Если же
свойства взвешенные, то веса индуцируют плотность вероятнос-
ти и множества А(]В, А(]В и AQB оцениваются этой плотностью.
В качестве обобщения этого вероятностного подхода можно
продумать оценку множеств А|"|В, А(]В, Af]B, используя неадди-
тивные, возрастающие (в смысле включения) [0, 1]-значные функ-
ции множества, а именно, нечеткие меры Суджено [12] (см. так-
же обзор по нечетким мерам в [5]).
Другой путь обобщения состоит в том, что множествам А и В
разрешается быть нечеткими, и здесь первая проблема состоит в
выборе подходящих операторов для определения комбинаций не-
четких множеств. В этом случае нужно определить скалярную
оценку для нечетких множеств. Если придерживаться вероятност-
ной точки зрения, то эту оценку можно осуществить с помощью
введенного Заде [14] определения вероятности нечеткого события.
При рассмотрении нечетких множеств естественная альтернатив-
ная точка зрения состоит в обращении к понятиям возможности
и необходимости. Например, может возникнуть желание оценить,
в какой мере можно полагать, что множество А|"|В содержит хотя
бы один элемент, причем нечеткий ответ на этот вопрос имеет
смысл только в нечетких условиях.
Далее приводится структуризованное представление скаляр-
ных индексов для сравнения нечетких множеств. После несколь-
ких основных сведений о нечетких теоретико-множественных опе-
раторах рассматриваются частичное соответствие и несоответст-
вие (а также включение). Затем описываются индексы сходства
и несходства.
3. НЕЧЕТКИЕ ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ
ОПЕРАТОРЫ
Пусть А и В — два нечетких множества. Простейший оператор
дополнения определяется соотношением
С(х) = 1 — х, VxG[0, 1],
и функция принадлежности А определяется как
рт (х) = С(|лл (*))•
Для взятия пересечения нечетких множеств можно использо-
вать три разных оператора (их свойства рассматриваются в [5]):
J (х, у) - min (х, у) ; J (х, у) = х-у ; J (х, у) = шах (0, х + у — 1).
Множество Af]B определяется функцией принадлежности
Цллв (х) = J (цл (х), Ив (х)).
Соответствующие выписанным оператором пересечения три опера-
тора объединения можно вывести из предположения о справедли-
вости законов Де Моргана:
U (х, у) = шах (х, у) ; U (х, у) = х + у—х-у ; U (х, у) = min (l,x-f-r/).
11
Множество ЛОВ определяется функцией принадлежности
Рлив (х) = U (Рл (х), рв (х)).
С более общим подходом к определению операторов объединения
и пересечения можно познакомиться в работах [1, 4, 8].
В обычной теории множеств симметрическая разность обычно
определяется тождеством
А дв = (Лив) лмив) = (лпв)иипв).
Использование операций min и max сохраняет выписанное
тождество и
Рлав (х) = D (рл (х), рв (х)),
гдеВЦщ b) =min[max(a, b), тах(1—а, 1—&)] =max[min(l—а, Ь),
min (а, 1—&)].
При использовании min(l, х-\~у) и max (0, х + г/—1) тождест-
во нарушается и мы получаем:
D+ (a, b) = min (a-\-bt 2—а—Ь) для (Л U В) П (Л J В),
D~ (а, Ь) = \а—Ь] для (Л П В) U <Л П В),
Справедливы следующие неравенства:
D~ (a, b) ^.D (a, b) D+ (а, Ь).
Аналогичным образом, используя операторы х-у и х-\-у—х-у,
можно получить две другие симметрические разности. Строго го-
воря, дополнение ЛДВ соответствует «эквивалентности» А~В.
А '-' В определяется тождеством
Рл~в (х) = В (рл (х), рв (х)) = 1 —D (рл (х), рв (х)).
Таким образом, получаем
Е (а, Ъ) = max [min (a, b), min (1 —а, 1 —Ь)] =
= min [max (1 —a, b), max (а, 1 —Ь)],
Е+ {а, b) = max (1 —а—b,'a-\-b—1),
В- (щ b)=l — \a—bl.
4. КАК ПОСТРОИТЬ ИНДЕКС СРАВНЕНИЯ?
Чтобы сравнить два нечетких множества Л и В с помощью
скалярного индекса, следует оценить подходящие комбинации
этих нечетких множеств. Предполагается, что такие комбинации
должны определяться с помощью введенных ранее операторов. В
результате нормировки область изменения этих оценок будет со-
ставлять интервал [0, 1]. Индекс сравнения будет иметь вид
/(Л, В) =f (gi(A * В), ..., gn(A * В)), где * — теоретико-множест-
венный оператор, gi — скалярная оценочная функция нечеткого
множества, а оператор f обеспечивает нормализацию.
Скалярная оценочная функция нечеткого множества есть отоб-
12
ражение цз 2х — множества всех нечетких подмножеств множест-
ва X в [0,1] такое, что:
a) g(£^=0, б) g(X)=l,
в) еслиА^В (т. е. рд(х) ^рв(х)), to g’(A) <Zg(B).
Если рассматриваются не только конечные множества X, то мож-
но добавить! еще аксиому непрерывности. Заметим, что оценочная
функция g, суженная на четком множестве, есть не что иное, как
нечеткая мера по Суджено [12].
Оценочная функция нечеткого множества будет называться
функцией существования, если
£(А) = ОЫ-0,
и универсальной, если
g (А) = 1 ФФ А = X.
Примерами оценочных функций существования могут служить
g (A) = sup Ра (х),
х&Х
g (А) = —— 2 (х) (X — конечное множество).
| Л | хел' ‘
Первый пример — это определение возможности П (А) нечет-
кого события А, описываемого равномерным распределением [16];
второй — определение вероятности нечеткого события А, описыва-
емого равномерным распределением вероятностей [14]. Другими
словами, это относительная мощность нечеткого множества А.
Примерами универсальных оценочных функций служат:
g (A) = inf ца (х),
х<=Х
g (Л) = —— 2 Рл (х) (X — конечное множество),
|Х| х<=Х
1 ’F
g (А) = (sup pa (х) + inf рл (х)).
' 2 хеХ х<=Х
В первом примере g(A) —это необходимость N(А) нечеткого
события А, описываемая равномерным распределением [5, 9]. Во
втором и третьем примерах g(A) = l—g(A), обе оценочные функ-
ции оказываются универсальными функциями существования.
Действительно, любая оценочная функция, такая, что g'(A) = l —
—g(A), будет функцией" существования в том и только в том слу-
чае, если она универсальная.
5. ИНДЕКСЫ ВКЛЮЧЕНИЯ И НЕСОВПАДЕНИЯ
Пусть заданы два непустых нечетких множества А и В.
Определение 1. Индексом включения /(А, В) множества А от-
носительно множества В называется отображение ^(Х)2 на [0, 1]
такое, что
13
1) /(A, B) = l, тогда и только тогда, когда A|JB = X (эквива-
лентное условие А(]В = 0 );
2) если носители А и В не пересекаются, то /(А, $)=0;
3) /(А, В) зависит от скалярной оценки AIJB, а ир^енно, от
^(AUB).
В определении предусматривается выбор из двойственных опе-
раторов пересечения и объединения, а также скалярной оценоч-
ной функции. /
За этими требованиями лежит следующее разумное сообра-
жение: значение индекса включения определяется включением А
в В (4f)S= 0) в смысле именно данного определения пересече-
ния, а не тем фактом, что А и В пересекаются или нет. Послед-
нее замечание означает, что из ЦА, В)=0 необязательно следу-
ет, что носители А и В не пересекаются, и поясняет второе тре-
бование.
В требованиях 1 и 3 неявно предполагается, что функция g
должна быть универсальной оценочной функцией. Кроме того,
когда носители А и В не пересекаются, AUB=A независимо от вы-
бора операции объединения. Следовательно, g (AjJB) принимает
значения в области [^(А), 1]. Значение индекса ЦА, В) получа-
ется нормализацией g’(A’UB):
g(AU В) —g (А)
1 — g (А)
Примечание. Процесс нормализации индексов представля-
ет собой простую операцию линейного преобразования шкалы, при
котором область значений любого ограниченного действительного
отображения f переводится в интервал [0, 1], т. е.
f -> (/ — inf /)/(sup f — inf /).
Величину ЦА, В) можно рассматривать как индекс несовпа-
дения (несоответствия), поскольку:
1) ЦА, В) = \ тогда и только тогда, когда AQB=0;
2) если AczBb то ЦА, В) =0, где В — четкое множество
{х|цв(%) = 1} (т. е. Bi есть 1-срез множества В). Выражение
/(А, В) похоже на выражение условной уверенности в В при из-
вестном А в смысле правила сочетания Демпстера [2].
В общем случае индексы ЦА, В) и / (А, В) доставляют неза-
висимую информацию о нечетких множествах А и В. Однако
если А и В — четкие множества и g—-такая оценочная функ-
ция, что VA:g'(A) = l—g(A), то ЦА, В)+ЦА, В) = 1 тогда и
только тогда, когда g есть вероятностная мера;
используя выражение g(A) = -—- 2цА и произведение для
* —
операции взятия пересечения, получаем ЦА, В)А~ЦА, В) = 1.
Это равенство не выполняется, если произведение заменить опе-
рацией пересечения, используя min или тах(0, • + • —1).
14
ПРИМЕРЫ ИНДЕКСОВ
1. g— равномерная вероятностная мера: g(A) = -—-Еца
\ IА I
жестве X. Рассмотрим индекс
на конечном мно-
где (• | обозначает скалярную мощность нечетких множеств:
Ml = S Ил (*)•
хеХ
Если
Если
Если
положить U=rnax и /(А, В) = -~“—-, где П = тах(0, -Ч--1), то
] Д П #1
U=min(l, • + •). ДА, 5) = ... '> гДе П=пмп, то
। ДI
1ДПВ1
1^--—, где П — произведение, то
2. g (А) = inf .
Включение нормированных нечетких множеств:
/ (Д, В) = inf max (1—(х), р,в (х)) для U=rnax —
хеХ
это не что иное, как оценка необходимости В при известном А [9].
Для U=min(l, • + •) имеем /(А, =
6. ИНДЕКСЫ ЧАСТИЧНОГО СОВПАДЕНИЯ
И СТЕПЕНИ СХОДСТВА
Пусть А и В — непустые нечеткие множества.
Определение 2. Индексом частичного совпадения РМ(А, В)
множеств А и В называется отображение fP(X)2 в [0, 1], такое,
что
1) РМ (А, В) =0 тогда и только тогда, когда А|"|В = 0;
2) если или AsB], или В^АЬ то РМ(А, В) = 1, где Ai и В2
1-срезы множеств А и В соответственно;
3) РМ(А, В)=РМ(В, А);
4) значение РМ(А, В) зависит от скалярной оценки пересече-
ния АрВ, а именно, от значения ^ДАрВ).
Условие 1 означает, что РМ(А, B)Z>0 каждый раз, когда су-
ществует некоторое перекрытие множеств А и В в смысле данного
определения пересечения. Однако условие РМ(А, В) = 1 не рав-
носильно требованию строгого включения.
15
Условиями 1 и 3 подчеркивается, что g— экзистенцгфигальная
оценочная функция. Для индекса частичного совпадения/представ-
ляется естественным предположить, что РМ(А, В) имеет вид
PM (А, В) = g (A(]B)/g (А, В). /
Однако тогда длй удовлетворения условия 2 определения 2 нужно,
чтобы f(A, B)=g(A), когда А^ВЬ так как из А^ВГ следует
Af)B=A для любого из введенных пересечений. I
Условие симметрии будет выполнено, если f имеет вид
f (А, В) = g (А) * g (В), где * — оператор min. i
ПРИМЕРЫ ИНДЕКСОВ ЧАСТИЧНОГО СОВПАДЕНИЯ
I АП В| | АП В|
|А| ’ |В|
= max
1. Если g — равномерная вероятностная мера g(A)——J- на конеч-
ном множестве X, то
™ (Л1 Б) = ИПВ'
min (|Л|, |В|)
Индекс имеет вид maxi(/(A, В), /(В, А))
Если РМ(А, В) = — , где а=—Ч<геометрическое среднее», то полу-
£(А) * g(B)
чаем индекс [7], не нормированный в смысле условия 2)
2. Если g— равномерное распределение возможностей g’(A) — sup рл, то
индекс частичного совпадения нормированных нечетких множеств РМ(А, В) —
-=-----^£40^'!----- >-де П=тш, есть не что иное, как совместимость А и В
nun(g(A), g(B))
(16]; когда множества А и В не нормированные, им определяется относитель-
ное согласование по min(g(A), g(B))
Вернемся теперь к индексу сходства.
Определение 3. Индексом S(A, В) сходства между А и В назы-
вается отображение $(Х)2 в [0, 1], такое, что
1) 3(А, В) = 1 тогда и только тогда, когда ААВ = 0 ;
2) если носители А и В не пересекаются, то S(A, В)=0,
3) S(A, B)=S(B, А); ____
4) S (А, В) зависит от скалярной оценки множества ААВ, а
именно: от g’(AAB) или от скалярных оценок AJB и AIJB, т. е. от
£(AUB) и g (A(JB).
Важно отметить, что даже когда операции (] и J выбраны сов-
местными, А не всегда определяется однозначно: две альтернати-
вы могут оказаться возможными (см. раздел 3).
Если S(A, В) выводится через g(AAB), то оценочная функция
g должна быть универсальной. Если носители множеств А и В не
пересекаются, то для любых выбранных А и J имеем AAB=AJB,
где А не обязательно выведено из (J- Следовательно, область зна-
' * ♦»
16
\____ _____________________
чений g(A&B) есть отрезок [g(AUB), 1], и индекс S(A, В) полу-
чается нормированием оценочной функции g(AAB):
S (А, В) = (тип 1),
1—gC4US)
или, что эквивалентно, с использованием экзистенциональной оце-
ночной функции g', такой, что VA:g,/(A) = l—g(A). В результате
получаем
g’ (AuB)—g' (Л А В)
g'(A[)B)
Напомним, что А и (J могут выбираться независимо. Используя S,
можно построить следующие индексы:
S(A, В) 1—S(A, В)
сходство отрицание сходства
S(A, В) 1— S(A, В)
отрицание несходства несходство
Как правило, индексы S (А, В) и S (А, В) отражают различную
информацию о нечетких множествах, и поэтому сходство и отри-
цание несходства не будут точными синонимами.
Индекс 3(А, В) можно также построить исходя из симметри-
ческой функции f от оценочных функций g'(AUB) и g(AUB). Мож-
но проверить, что A|JB =Х и A\JB = X для любых U и А, когда А
выведено из J и ААВ = 0. Следовательно, функция f должна удо-
влетворять условию f(l, 1) = 1. Если носители А и В не пересека-
ются, то AJB=A и А[)В=В.
В результате нормировки получаем
S (А, В) = f (g MU^’ g (тип 2).
1 —/(£(<£(£))
Чтобы удовлетворялось условие 1, функция f должна удовлетво-
рять условию f(x, у) = = 1.
Наконец, индекс S(A, В) можно также построить как симмет-
рическую функцию h от индексов включения /(А. В) и /(В, А).
В силу условия 1 определения 3 функции h должна удовлетворять
условию h(x, у) =А<=>х = у=\, а в силу условия 2 имеем h (0, 0) =
= 0. Таким образом,
S (А, В) = h (I (А, В), I (В, А)) (тип 3).
ПРИМЕРЫ ИНДЕКСОВ СХОДСТВА
1 g — равномерная вероятностная мера g(A)= —— Su.A Тип 1
Используя симметрические разности, введенные в условие 3 определения 3,
два оператора пересечения и два оператора объединения, с помощью которых
они выведены, получаем
01945b
S (А, В) = IАП Bl /1 All Д!,
I Научно-техническая
I БИБЛИОТЕКА
I * Н И И 8 О
I Р. Х1В4.ГЛЖ
17
т, е. хорошо известный индекс Жаккарда. Другими словами, для данных □
и А /
MUB| —|Д А В| = |ДПВ| I
для некоторого П, определенного согласно следующей таблице:
л и А
min max Z)-(x, у)^\х—у\
mm тш(1,- + •) D(x, у)
тах(0,- Н 1) max D(x, у)
тах(0,- Ч 1) min(l,- + •) D+(x, у) —mm(x+y, 2—х—у)
Пр имечание. Соответствующий ненормированный индекс, т. е. |ААВ|,
дает расстояние Хемминга
|цл (х)— Ив (*)1 Для А=Д“.
х^Х
Тип 2.
Ненормированные индексы:
/ (х, у) = х + у— 1,
f (х, у) = (х+ у— 1)/(3—х—у),
можно найти соответственно в работах {11, 10}, в которых авторы вместо»
[AU-B1 и |AU-B| оценивают мощности |и |AQB|.
Тип 3.
Используя /(А, В) = |Ар|В|/[А| и /г(х, у) = (х+#)/2, получаем индекс Ку-
лезинского [6].
2. g'(A) =inf Ца-
Тип 1. Используя нормированные нечеткие множества, получаем S(A, В) ~
= inf (1—Илдв(х)) для любого А-оператора.
х£Х
Тип 3. Используя нормированные нечеткие множества и выбирая h(x, у) —
=min(x, у) при 1(А, В) = inf шах(1—цА (х), Цв(х)), получаем:
хех
S (А, В) = min (7 (А, В), 1 (В, А)) = inf (1—D (рл (х), рв (х)>.
После замены D на D~ то же самое справедливо для индекса 1(А, В) —
= inf min(l, 1—р-л(х)+Цв(х)).
хеХ
7. НЕЧЕТКИЕ ИНДЕКСЫ
В предыдущем разделе разработана классификация скаляр-
ных индексов сравнения нечетких множеств. Другой подход к
сравнению нечетких множеств мог бы состоять в определении ин-
дексов с нечеткими значениями.
Детальное обсуждение таких нечетких индексов выходит за
пределы зтой работы. Поэтому здесь только наметим три путч
исследования.
Одна из идей состоит в том, чтобы в качестве оценивающей
функции использовать нечеткую мощность нечеткого множества
[15]. А именно, если множество А имеет конечный носитель, то
его нечеткая мощность выражается нечетким целым числом
= 2 а/ Ма1 таким, что V п е N, р|Л|/ (ц) = sup {а,|Аа1 =ц].
Все ранее введенные индексы сравнения можно обобщить, ис-
пользуя оценочную функцию нечеткой мощности. Интересно было
бы проверить коммутационное свойство относительно а-срезов.
Уточним: если через /С(А, В) обозначить значение нечеткой мощ-
ности, подсчитанное на основе индекса сравнения, то хотелось бы,
чтобы
Нтщд.В) (z) = a> как только Z = IC (Ла, Ва).
Здесь /С(Ла, Ва )— соответствующее значение индекса сравне-
ния, подсчитанного на a-срезах множеств А и В. В системе обо-
значений Заде это записывается как
IC (А, В) = ( а/ic (Ал, Ва).
Выписанное тождество, очевидно, не выполняется для многих ин-
дексов: например,
когда пересечение f] выражено не через min.
Однако это тождество можно принять как данное по опреде-
лению. Соответствующий индекс будет производить параллельное
сравнение всех a-срезов множеств Л и В, а результат сравнения
компактно представляется в виде нечеткого числа.
Другой возможный путь для построения нечетких индексов
сравнения состоит в использовании поточечного сравнения нечет-
ких множеств Л и В с помощью введенного Заде [15] понятия
совместимости множества А с множеством В. Точнее, т(Л/В) оп-
ределяется выражением
Рт(Д/В)И= supt,
(и)
Через т(Л/В) обозначено нечеткое подмножество множества
действительных чисел [0, 1], которое Заде интерпретировал как
нечеткое локальное значение истинности А при известном В. Заде
использовал это понятие для вывода распределения возможнос-
тей, связанного с истинностью высказываний типа «X есть А
есть т», переведенного в «X есть В», где Л и В — нечеткие пре-
дикаты. Нечеткое подмножество т(Л/В) представляет также зна-
чение функции принадлежности В к Л, ^А(В), т. е. множество
возможных значений принадлежности к множеству Л элементов,
принадлежащих множеству В.
19
Наконец, с нечетко-значными индексами можно встретиться
при сравнении нечетких множеств типа 2, т. е. нечетких множеств,,
элементы которых имеют нечетко-значные степени принадлеж-
ности.
Каждая из трех упомянутых точек зрения на нечеткие индексы-
сравнения сама по себе заслуживает интенсивного изучения.
8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Существует много ситуаций, в которых приходится сравнивать
нечеткие множества, и много точек зрения на то, как это можно
сделать. Один из наиболее распространенных подходов состоит в
выборе того, какое из двух нечетких чисел считать большим (или
меньшим), В настоящей статье введен ряд индексов сравнения,
которые разрешают ответить на такие вопросы, как: какова веро-
ятность, или возможность, или необходимость того, что нечеткое
число А больше числа В. Один из путей состоит в том, чтобы А
связать с нечетким множеством чисел, вероятно (или возможно,
или необходимо) больших, чем В. Полностью этот вопрос будет
изучен в другой работе.
Вообще говоря, приведенные индексы могут быть очень полез-
ными в задачах распознавания (несходства), когда заданы толь-
ко нечеткие образы, как, например, при автоматическом распоз-
навании неясных сероватых объектов, которые требуется отличить
друг от друга.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Alsina С., Trillas Е., Valverde L. (1980) On non distributive logical connec-
tives for fuzzy sets theory, Busefal, Summer issue, 18—29 (Univ. P. Saba-
tier, Toulouse, France).
2. Dempster A. P. (1967) Upper and lower probabilities induced by multivalued
mappings. Ann. Math. Stat, 38, 325—339.
3. Diday E., Govaert G. (1976) Apprentissage et mesures de ressemblance adap-
tatives, in Computer-oriented learning processes (J. C. Simon, Ed.) Noordhoff,
p. 229 et seq.
4. Dubois D. (1980) Triangular norms for fuzzy sets, 2d Int Seminar on Fuzzy
Set Theory, Johannes Kepler University, Linz, Austria.
5. Dubois D., Prade H. (1980) Fuzzy sets and systems: theory and applications,
Academic press.
6. Lerman I. C. (1970) Les bases de la classification automatique. Coll. Pro-
grammation Gauthier-Villars, Paris.
7. Ochiai A. (1957) Zoogeographic studies on the soleoid fishes in Japan and
its neighbouring regions, Bull. Jap. Soc Fish, T. 22 526—530
8. Prade H. (1980a) Unions et intersections d’ensembles flous, Busefal, Summer
issue, 58—62 (Univ P. Sabatier, Toulouse, France)
9. Prade H. (1980b) Modal semantics and fuzzy set theory. Int. Congress on
Cybernetics and Syst. Sci., Acapulco, Mexico. Расширенную версию см. в нас-
тоящем издании.
10. Rogers D. J., Tanimoto Т. Т. (1960) A computer program for classifying,
Science, Vol. 132, 1115—1118.
11. Sokal R. R., Michener C. D. (1958) A statistical method for evaluating sys-
tematic relationships. Univ. Kansas Sci. Bull. 38, 1409—1438.
20
12. Sugeno M. (1974) Theory of fuzzy integral and its applications, PbD thesis
Tokyo Inst, of Technology.
13. Trillas E. (1979) Sobre funciones de negacion en la ieoria de conjuntos difu-
sos, Stochastica (Univ. Barcelone) III—1, 47—60.
14. Zadeh L. A. (1968) Probability measures of fuzzy events, J. Math Anal. Appl.
10, 421—427.
15. Zadeh L A. (1977) Theory of fuzzy sets, in «Encyclopedia of Computer Scien-
ce and Technology» (J. Belzer, A. Holzman, A. Kent Eds) Marcel Dekker New
York.
16. Zadeh L. A. (1978) Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility, Fuzzy
Sets and Systems, 1, 3—28.
НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ
АДЕКВАТНОСТИ НЕЧЕТКИХ МОДЕЛЕЙ
М. Б. Гожальчаны, Е. Б. Кишка, М. С. Стахович 1
В работе рассматривается нечеткая статистическая модель
электродвигателя постоянного тока. Анализируются процесс по-
строения и структура модели относительно свойства хорошего ото-
бражения, статической стабильности и чувствительности. Приво-
дится пример вычисления.
Ключевые слова: нечеткие множества; стабильность, чувстви-
тельность; свойство хорошего отображения; лингвистическое опи-
сание; нечеткие модели.
1. ВВЕДЕНИЕ
Приложения созданной Заде теории нечетких множеств [1973,
и более ранние работы] к решению проблем моделирования и
контроля до сих пор вызывают значительный интерес. Практиче-
ские результаты (например, [4]) выявили необходимость в раз-
работке более формальных средств для анализа нечетких систем,
особенно для анализа стабильности, качества отображения и
чувствительности. Во втором разделе предлагаемой работы рас-
сматриваются некоторые вопросы теоретического обоснования по-
нятий статической стабильности нечетких систем. Третий раздел
посвящен понятию чувствительности нечетких систем. Определя-
ются критерии для оценки областей нечувствительности. Понятие
свойства хорошего отображения обсуждается в четвертом разделе.
Приводятся соответствующие теоремы. Пятый раздел посвящен
проблеме нечеткого моделирования электродвигателей, с парал-
лельным и последовательным возбуждением, работающих в раз-
личных условиях. Рассматриваются статические нечеткие графы.
Определяются нечеткие оценки потребляемого тока и развивае-
мой скорости вращения. Наконец, изучаются матрицы отношений,
1 Institute of Automatic Control, Technical University of Kielce, Al. Tysiaclecia
Panstwa Polskiego 7. 25—314 Kielce, Poland.
21
связанных со статической стабильностью, свойством хорошего
отображения и чувствительностью. В заключение обсуждаются
полученные результаты.
2 СТАБИЛЬНОСТЬ НЕЧЕТКОЙ СИСТЕМЫ
Пусть дано
30 = {(х, [1 (х))} ; [1: X -> [0, 1] ; мощность Х = п, (1)
= {(£/. И (»))} ; Н : У -* [0, 1 ] ; мощность У = т, (2)
R SC -* (3)
где 30 — семейство всех нечетких множеств, определенных на X;
— семейство всех нечетких множеств, определенных на У; R —-
нечеткое отношение, которое может интерпретироваться как отоб-
ражение с областью определения х и областью значений, содер-
жащейся в бУ-. Это отображение можно записать в виде компози-
ционного правила вывода [5]:
С/о/У-У, (4)
где U<^30, — любые нечеткие множества, определенные на
X и У соответственно. Формула (4) будет называться формаль-
ной нечеткой системой [2].
Определение 1. Формальная нечеткая система (4) обладает
(а—S)-свойством а-стабильности относительно некоторого семей-
ства и некоторого допустимого подмножества В(У)с=с^,
если для любого нечеткого множества нечеткое множество
U ° R—V оказывается таким, что р-у(р)^а при любом у^У—
-ЛУ).
Пусть
Теорема 1. Пусть задана система R=A=>B = AxB [5]. Уело-
п
вия V ^л(хг)^.а или для любых y^Y—F (У) вы-
i=i
полняются тогда и только тогда, когда система (4) обладает
(а—S)-свойством относительно семейства 3? всех нечетких мно-
жеств, определенных на X.
Пусть задано нечеткое отношение R:R(Ai=>BY) или... или
(AS=>BS), где Аг, ..., As и Bi, ..., Bs — нечеткие множества, опре-
деленные на X и У соответственно (Аь ..., As<=37, Вь ..., Bs^Al/)r
R = (Ai XBi) J ... [J (ASXBS) [5]. Тогда базис отношения R опре-
деляется как последовательность пар (Аг, Вг), i — 1, ..., s.
Теорема 2. Пусть У—F (У)—допустимое множество. Тогда
система (4) с отношением, определенным выше, обладает (а—3)-
свойством относительно семейства 30 всех нечетких множеств,
определенных на X, если для любого y^Y—F (У) выполняется
s
условие V
р=1 р
Доказательства теорем приведены в работе [1], где детально
обсуждаются эти проблемы.
22
3. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ НЕЧЕТКОЙ СИСТЕМЫ
Определение 2. Пусть заданы множества и не-
четкое отношение R, определенное на XX Y и R ° А = В. Если се*
мейство нечетких множеств = {А<=£? : А=АС, R °А = В} не пус-
то, то нечеткая система нечувствительна к нечеткому множеству —
выходу В относительно семейства до-
определение 3. Пусть а, &е[0, 1]. Тогда aab = max{xe[0, 1]:
а/\х^Ь}.
Определение 4. Пусть заданы: множество А<=<%? и нечеткое
отношение R, определенное на XxY. Тогда AaR = B, В<=°у и
Ив (У) = А (Р-л W «Рд U, У)]- (5)
Определение 5. Пусть R — нечеткое отношение на XxY. Не-
четкое отношение В-1, обратное к отношению R, есть такое отно-
шение, которое определено на YxX и цд-i (у, х)=цд(х, у) для
всех (у, x)^YxX. Для нечеткого множества В<=°Ц имеем
В-1=В и рв_1 (#) = рв(//).
Теорема 3 [3]. Пусть R — нечеткое отношение на XXY, В^А/
и {А : R ° А =В}. Д4ножество 0 тогда и только тогда,
когда (ВаВ-1)-1^^, и если то (ВаВ-1)-1— наибольший
элемент в
Выводы: 1. Если В ° А = В, то при условии, что A^D^
^(ВаВ”1)-1 Для каждого ОеХ имеем В ° D = B 2. Если В ° А=В
и (ВаВ"1)-1 = А, то увеличение любого компонента из [|1a(xi), ...
..., ра(Хп)] приводит к тому, что R°A=A=B. Если (ВаВ_1)_1=эД,
то, не меняя выходного нечеткого множества В, значение ра(^)
можно увеличить до величины Ц(даВ-1)—i (*)•
Таким образом, получено достаточное условие для верхней
оценки входного нечеткого множества, при выполнении которого
нечеткая система нечувствительна к нечеткому множеству В на
выходе. Рассмотрим теперь проблему нижней оценки.
Определение 6. Пусть а, &е[0, 1]. Тогда
= Р’ а = Ь' (6)
(О, a=Y=b.
Определение 7. Пусть задано множество АееЗВ и нечеткое от-
ношение В, определенное на XX Y. Пусть далее Ве<^ и В °А = В.
Определим А* как нечеткое множество 4*е^, такое, что для
всех х<=Х
Рл* = V {((Ил (*) А Рд (х, у)) брв (у)] А (Рл (*) А Ид (х, у)]}. (7)
1/еУ
Теорема 4. Пусть заданы С, А, Ве^, нечеткое отно-
шение В на Хх Y и пусть В ° А = В. Тогда, если СсеД*, то В ° С=А=В.
Теорема 5. Пусть заданы А, Д*е^, В^АЦ- и нечеткое отноше-
ние В на XxY и В °А = В. Тогда любое нечеткое множество
: A^^D<=: (ВаВ-1)-1 удовлетворяет равенству R °D = B.
23
Теорема 5 дает достаточное условие для нижней и верхней оце-
нок входного семейства нечетких множеств, при выполнении кото-
рого нечеткая система нечувствительна к нечеткому множеству В
на входе. Более детальное обсуждение этих проблем и доказа-
тельства теорем содержатся в работах [2, 3].
4. СВОЙСТВО ХОРОШЕГО ОТОБРАЖЕНИЯ
НЕЧЕТКОЙ СИСТЕМЫ
Определение 8. Пусть задано, что Д = (AiX#i)U ••• UHsX
XBS), By=Ay, i=l,..., s. Будем говорить, что отображение
R обладает свойством хорошего отображения тогда и только тог-
да, когда для каждого Z=l,..., s R °Ai = Bi.
Теорема 6. Пусть Aif ..., As — нечеткие множества, определен-
S
ные на X, 2 цаД^)^! Для любого х^%?, Bi,..., Bs — нечеткие
t=i
множества, определенные на У. Пусть R = (AiX-Bi)U ••• UHsXBs).
Если для некоторого &е{1,..., s} и некоторого /е{1,..., т} выпол-
няются неравенства цВ/г (уА) ^шах цА/г (х) и рВ/ (yj) ^Цв^Уз),
l=A=k, то о Ak (Уз) = (Уз) •
Определение 9. Для данного нечеткого множества А, опреде-
ленного на элементах некоторого пространства X, величина р(А) =
= тах{цА (*) Д [1—Ца(х)]} называется степенью нечеткости мно-
хех
жества А в том и только в том случае, когда О^р(А) ^0,5.
Теорема 7. Пусть Ai, ..., As — нечеткие множества, определен-
S
ные на X, 2 ца-(л:) = 1 при любом х<=Х и пусть В;,..., Bs — не-
i=i
четкие множества, определенные на У. Пусть R — (Ai ХВх) J ...
••• ЩЛХВз), тогда о а£=цвр если
О Н-В; (У) ^гпах ца,- (х) для i=A, ..., s при любом z/еУ и
хеХ
2) из того, что Цв((у) =Ср,ву (у) для некоторого ре У и некото-
рого /=Д1, следует, что р(Аг-)^р(Вг).
Вывод 4. Матрица нечеткого отношения R обладает свойством
хорошего отображения, если i^=j степень нечеткости Вг- не мень-
ше степени нечеткости Аг- за исключением случая цв^Цву. В
этом случае на Bi и Ai не нужно накладывать никаких ограниче-
ний, чтобы сохранить свойство хорошего отображения R.
В работе [1] эти проблемы обсуждаются более детально и
приведены доказательства сформулированных теорем. Легко заме-
тить, что в конструкции нечеткого отношения R, обладающей свой-
ством хорошего отображения согласно определению 8, предпола-
гаются сильные ограничения на формы функций принадлежности
базиса отношения (Аг-, Вг) 1=1, ..., s (теоремы 6 и 7). При исполь-
зовании теории нечетких множеств для моделирования реальных
процессов или объектов не всегда возможно удовлетворить этим
24
сильным ограничениям, поскольку форма базы отношения зави-
сит от объективных свойств моделируемых процессов. С другой
стороны, а также с позиций практических приложений теории не-
четких множеств, оказывается достаточным потребовать, чтобы
нечеткое отношение У? удовлетворяло более слабым условиям, чем
сформулированные в определении 8.
Определение 10. Пусть заданы R — (XiX^i)U ••• UHsX^s),
и В^°у, i=l,..., s. Нечеткое отношение R обладает свой-
ством хорошего отображения в слабом смысле (у-свойством хоро-
шего отображения) тогда и только тогда, когда для каждого
1=1,..., s Я ° А{ = Вг, где и при
При каждом i=l,..., s ^-свойство хорошего отображения обес-
печивает точное отображение экстремальной окрестности pBf
Чем меньше у, тем большая окрестность экстремума цВ£ точно
отображается. Если у = 0, то у-свойство хорошего отображения
сводится к ранее рассмотренному понятию свойства хорошего отоб-
ражения (Bi = Bi, i=l,..., s).
5. НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
Двигатель с независимым (параллельным) возбуждением. Рас-
смотрим схему двигателя с независимым (параллельным) воз-
буждением (рис. 1). Изучим статические свойства этого объекта,
используя нечеткое описание. Пусть человек-оператор, который
«наблюдал» за скоростью вращения (п) и потребляемым двигате-
лем током (г), описал этот процесс
в виде последовательности услов-
ных утверждений (дал описание
статических условий) для случая,
когда сопротивление контура яко-
ря Rr равно нулю. Лингвистиче-
мым ((параллельным) возбуждением
ское описание имеет вид:
(8)
если i нулевой, то п сред-
няя,
если i почти нулевой, то
п средняя или малая,
если i малый, то п сред- .
няя или малая,
если i средний, то п сред-
няя,
если i большой, то п ма-
лая или почти нулевая,
где i — ток двигателя, п — скорость вращения, а слова нулевой*,
почти нулевой, малый, средний, большой (сокращенно, Н, ПН, М„
С, Б) представляют нечеткие оценки потребляемого тока и скоро-
сти вращения двигателя. Значения этих оценок определены на
рис. 14 и 15 и в табл. 1. 2. Приведенное описание (8) нечеткой
25
Таблица 1. Нечеткие значения тока двигателя с
независимым (параллельным) возбуждением
i, А Нулевой Почта нулевой Малый Средн ай Большой
о 1 0 0 0 0
2 0,33 0 0 0 0
3 0 0,33 0 0 0
5 0 1 0 0 0
7 0 0,33 0 0 0
8 0 0 0,33 0 0
10 0 0 1 0 0
12 0 0 0,33 0 0
13 0 0 о 0,33 0
15 0 0 0 1 0
17 0 0 0 0,33 0
18 0 0 0 0 0,33
20 0 0 0 0 1
22 0 0 0 0 0,33
23 0 0 0 0 0
Таблица 2. Нечеткие значения скорости двигателя
с независимым (параллельным) возбуждением
Почта Большая
/7, оЗ./мин Нулевая нулевая Малая Средняя (Большая/
0 1 0 0 0 0 0
200 0,33 0 0 0 0 0
300 0 0,33 0 0 0 0
500 0 1 0 0 0 0
700 0 0,33 0 0 0 0
800 0 0 0,33 0 0 0
1000 0 0 1 0 0 0
1200 0 0 0,33 0 0 0
1300 0 0 0 0,33 0 0
1500 0 0 0 1 0 0
1700 0 0 0 0,33 0 0
1800 0 0 0 0 0 ,33 0,11
2000 0 0 0 0 1 1
2200 0 0 0 0 0 ,33 0,11
2300 0 0 0 0 0 0
*(Большая)г= (Очень Большая)
статической характеристики двигателя отражено на рис. 2. Пред-
положим, что значение #г=малое. Тогда имеем:
если i нулевой, то п средняя,
если I почти нулевой, то п малая или средняя,
если i малый, то п малая, (9)
если i средний, то п почти нулевая или малая,
если i большой, то п почти нулевая.
Эта ситуация отражена на рис. 3.
В случае, когда Rr = среднее, имеем:
если i нулевой, тр п средняя,
если i почти нулевой, то п средняя или малая,
если I малый, то п почти нулевая или малая, (10)
если i средний, то п почти нулевая,
если i большой, то п нулевая.
26
Этот случай проиллюстрирован на рис. 4. Наконец, пусть значение
%г = болъшое. Тогда:
если i нулевой, то п средняя,
если i почти нулевой, то п малая или средняя,
если i малый, то п почти нулевая или малая, (11)
если i средний, то п нулевая,
если i большой, то п нулевая.
Эта ситуация изображена на рис. 5.
Рис. 2. Нечеткая статическая характе-
ристика двигателя с независимым
(параллельным) возбуждением (7?г-
почти нулевое)
Рис. 3. Нечеткая статическая харак-
теристика двигателя с независимым
(параллельным) возбуждением (RT~
малое)
Рис. 4. Нечеткая статическая харак-
теристика двигателя с независимым
(параллельным) возбуждением (Rr-
среднее)
Рис. 5. Нечеткая статическая харак-
теристика двигателя с независимым
(параллельным) возбуждением (Rr-
болыиое)
До сих пор исследовался двигатель постоянного тока с согла-
сным включением дополнительной последовательной обмотки. Ес-
ли эта обмотка включена встречно (рис. 6), то нечеткое описание
27
5$
Л)
Рис. 6. Схема шунтового
двигателя со смешанным
возбуждением
дополнигпель -
мая обмотка
последователь кого
возбуждения
Обмотка
вспомоеа теле ных
полюсов
$
*
is Ль
статических свойств будет иметь вед (значение Яг=почти ну-
левое) :
если i нулевой, то п средняя,
если i почти нулевой, то п средняя,
если i малый, то п средняя или большая, (12)
если i средний, то п большая,
если i большой, то п очень большая.
Эти свойства отражены на рис. 7. Если электродвигатель постоян-
ного тока не имеет дополнительной обмотки последовательного
возбуждение и значение Rr= почти нулевое, то получаем следую-
щее описание (рис. 8):
если i нулевой, то п средняя,
если i почти нулевой, то п средняя или малая,
если i малый, то п средняя или малая, (13)
если i средний, то п средняя или малая,
если i большой, то п малая.
Рис. 7. Нечеткая статическая харак-
теристика для описания (1'2)
Рис. 8. Нечеткая статическая харак-
теристика для описания (13)
Рис. 9 Схема двигателя с последо-
вательным возбуждением
Рис. 10. Нечеткая статическая харак-
теристика двигателя с последователь-
иым возбуждением (Нг-почти нуле-
вое)
Рис И Нечеткая статическая харак-
теристика двигателя с последова-
тельным возбуждением (Rr-малое)
Рис. 12. Нечеткая статическая харак-
теристика двигателя с последова-
тельным возбуждением (Rr-среднее)
Рис. 13 Нечеткая статическая харак-
теристика двигателя с последова-
тельным возбуждением (#г-большое)
29
Двигатель с последовательным возбуждением. Рассмотрим те-
перь двигатель с последовательным возбуждением, схема которо-
го приведена на рис. 9.
Предположим, что сопротивление Rr=почти нулевое. Человек-
оператор описывает статическое свойство работы двигателя сле-
дующим образом:
если i почти нулевой, то п большая,
если i малый, то п средняя, (14)
если i средний, то п малая,
если i большой, то п почти нулевая.
Этот случай иллюстрируется рис. 10. Когда сопротивление Rr =
= малое, имеем
если i почти нулевой, то п большая или средняя,
если i малый, то п малая, (15)
если i средний, то п почти нулевая,
если i большой, то п почти нулевая,
Эта ситуация показана на рис. И. Когда значение Rr—среднее,
имеем
если i почти нулевой, то п большая или средняя или малая,
если L малый, то п почти нулевая, (16)
если i средний, то п нулевая,
если i большой, то п нулевая.
Этот случай приведен на рис. 12. Далее, предположим, что Rr~
= большое, тогда имеем (рис 13):
если i почти нулевой, то п большая или средняя, или малая,
или почти нулевая,
если i малый, то п нулевая, (17)
если i средний, то п нулевая,
если i большой, то п нулевая.
6. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАБИЛЬНОСТИ, СВОЙСТВ
ХОРОШЕГО ОТОБРАЖЕНИЯ И
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ НЕЧЕТКИХ
СТАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДВИГАТЕЛЕЙ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
Если, опираясь на опыт оператора, определить нечеткие зна-
чения тока и скорости двигателя с независимым (параллельным)
возбуждением так, как показано на рис. 14, 15 и в табл. 1, то по-
лучим матрицы нечетких отношений.
Для лингвистических моделей (описания (8) — (13)), имеем
(см. рис. А), где а = 0,33, 6 = 0,11. Если, опираясь на опыт опера-
тора, определить нечеткие значения тока и скорости двигателя с
последовательным возбуждением как на рис. 16, 17 и в табл. 3, 4,
то также получим матрицы нечетких отношений (лингвистические
модели (14) — (17)), см. рис. Б, где с = 0,33, J=0,5, е = 0,6. Человек-
оператор определил, что для двигателя с независимым (парал-
лельным) возбуждением, скорость более 2100об./мин недопустима.
30
00000000а1аОООО OOOOOOOOalаОООО
0 ааа 0 0 ааа 0
0 а а а ааа 0 0 аааааа 0
0 а 1 аа 1 а 0 0 р а 1 аа 1 а 0
0 аааааа 0 0 U аааааа 0
0 ps аааааа 0 0 ааа 0
0 kJ а1аа1а 0 0 а 1 а 0
Я(8)" 0 0 аааааа ааа 0 0 R(9)“ 0 0 ааа аааааа 0 0 (18)
0 а 1 а 0 0 а 1 а а 1 а р 0
0 ааа р ° 0 аааааа (J 0
0 аааааа С 0 0 ааа 0
0 al аа1а 0 0 а 1 а 0
0 аааааа 0 0 ааа 0
-000000000 00000 0_ 000000000000000-
_00000000а1аОООО 00000000a 1 a0000~
0 ааа 0 0 ааа 0
0 р аааааа 0 0 р аааааа 0
0 (J а 1 аа 1 а 0 0 (J alaala 0
0 ааа ааа 0 0 аааааа 0
0 аааааа 0 0 аааааа 0
0 alaala 0 0 alaala 0
R (10) = 0 0 аааааа ааа 0 0 9 R(11) = 0 аа аааааа 0 0 (19)
0 а1а р 0 1а 0
0 ааа U 0 а а Р 0
а а 0 аа и 0
1а 0 1а 0
а а 0 а а 0
000000000000000 -000000000000000-
00000000а1аОООО 00000000а1аОООО
0 ааа 0 0 ааа 0
0 р. аа а А ° 0 аааааа / А 0
0 и а1а U о 0 Н alaala ( J0
0 аа а 0 0 ааа ааа 0
0 ааааааО 0 аааааа 0
R(12) = 0 0 а 1 аа 1 аО да а а а аО 9 R(13) = 0 0 а 1 a al а аааааа 0 0 (20)
0 а а аО 0 аааааа 0
0 а 1 аО 0 _ а 1 а а 1 а 0
0 А а а аО 0 А аааааа 0
0 и ЬаЬО 0 ааа р 0
0 ЫЬО 0 ala J 0
0 ЬаЬО 0 ааа 0
-000000000000000 000000000000000
Рис А
Посредством теоремы 2 и результатов, полученных в [1], можно
убедиться, что все матрицы нечетких отношений двигателя с неза-
висимым (параллельным) возбуждением, за исключением i/?(i2),
обладают свойством a-стабильности при а=0 Отношение Я<12) об-
ладает свойством 0,67-стабильности. Для двигателя с последова-
тельным возбуждением недопустима скорость больше 2850 об./мин.
Все нечеткие отношения этого двигателя обладают свойством 1-ста-
бильности. Свойство a-стабильности для выписанных отношений
рассматривалось относительно семейства всех входных нечетких
множеств (практически всех входных нечетких множеств, допусти-
31
R(14)
”00000000000с1с0
0 cdcO
О ГЛ cdc О
О U с1с О
О с е с О
О сес О
О с 1 с О
О сес О
О сес р» О
О de (J 0
О с б с О
-ООООООО 00000000
R(16)
00000000с1сс 1 с О
О cdccdcO
О ГЛ cdc О
О U с 1 с О
О сес О
О сес О
О с1с О
О сес Q О
О сес О
О с1 с О
О сес О
ООООООО00000000_
(21|
R(16) “
OOOOOd cd cd с О
О cdccdccdcO
О cdc О
О clc О
О сес О
ес О
1с О
ес П О
ес О
1с О
ес О
J300000000000000_
R(17) =
OOdccIccIcd с О
О cdccdccdccdc О
de
1с
ес
ес
1с
ес
ес
1с
de
000000000000000
О
О
О
О
О
О
О
О
О
(22}
Рис. Б
мых с учетом физических свойств объектов). Свойство a-стабиль-
ности при а = 0 гарантирует, что скорость двигателя никогда не пре-
высит недопустимой величины (для всех допустимых входных нечет-
ких множеств). С другой стороны, свойство a-стабильности при
а=1 не гарантирует, что скорость не превысит недопустимой ве-
личины. Поэтому для дальнейших исследований нужно определить
подсемейство входных нечетких множеств, которые обеспечива-
ли бы свойство a-стабильности при а<1. Определение значения
а зависит от цели построения нечеткой модели. Нечеткие отноше-
ния двигателя с независимым (параллельным) возбуждением в
силу определения 10 обладают у-свойством хорошего отображения
Таблица 3 Нечеткие значения тока двигателя
с последовательным возбуждением
г, fl Почти нулевой Малый Средний большой
0 1 0 0 0
2 0,5 0 0 0
U 0 0,5 0 0
6 0 1 0 0
8 0 0,6 0 0
11 0 0 0,6 0
13 0 0 1 0
15 0 0 0,6 0
13 0 0 0 0,6
20 0 0 0 1
22 0 0 0 0,6
25 0 0 0 0
32
Таблица 4. Нечеткие значения скорости
двигателя с последовательным возбуждением
Почти
оЗ./мин Нулевая нулевая Малая Средняя Большая
о 1 0 0 0 0
300 0,33 0 0 0 0
U50 0 о, 33 0 0 0
750 0 1 0 0 0
1050 0 0,33 0 0 0
1200 0 0 0,33 0 0
1500 0 0 1 0 0
1800 0 0 0,33 0 0
1950 0 0 0 0,33 0
2250 0 0 0 1 0
2550 0 0 0 0,33 0
2750 0 0 0 0 0,33
3000 0 0 0 0 1
3300 0 0 0 0 0 33
3^50 0 0 0 0 0
Рис 14. Нечеткие значения тока двигателя с независимым (параллельным) воз-
буждением
Рис 15 Нечеткие значения скорости двигателя с независимым (параллельным)
возбуждением
при 7=0,167. Для нечетких моделей двигателя с последователь-
ным возбуждением 7-свойство хорошего отображения выполняет-
ся при 7 = 0,3. Предположение о том, что выписанные нечеткие от-
ношения обладают свойством хорошего отображения согласно оп-
ределению 8 (7-свойства хорошего отображения при 7 = 0), накла-
2—120 33
Рис. 16. Нечеткие значения тока двигателя с последовательным возбуждением
Рис. 17. Нечеткие значения скорости двигателя с последовательным возбуждё
нием
дывает сильные ограничения на базис отношения (см. теоремы
6, 7 и результаты, полученные в [1]). В нашем случае у-свойство
хорошего отображения при у, равном 0,167 и 0,3, гарантирует до-
статочно хорошую «повторяемость» нечетких отношений, т. е. для
любого входного нечеткого множества, взятого из базиса отноше-
ния, соответствующее выходное нечеткое множество в этом бази-
се отличается от нечеткого множества, порожденного отображе-
нием R, только для тех значений функции принадлежности, кото-
рые меньше 0,167 и 0,3 соответственно.
Рассмотрим проблему чувствительности нечетких отношений.
Используя теорему 5, исследуем нижнюю и верхнюю оценки се-
мейства входных нечетких множеств, при которых нечеткие отно-
шения нечувствительны для выходных нечетких множеств, взятых
из базиса отношения. Рассмотрим нечеткое отношение R(sy Сог-
ласно формулам (5), (7) и теореме 5, если В, = средний и Ах = ну-
левой, то
(Т?<8) ар1^1)-1 = [1 1 000000000000 1], (23)
л; = (1 0,330 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]. (24)
34
Допустимая область входных нечетких множеств, относительно
которой нечеткое отношение нечувствительно для выходного не-
четкого множества Вь показана на рис. 18. Если В2 = средний или
малый, а А2 = почти нулевой, то
(Т?(8) сс В-1)-» = [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 ], (25)
А* = [0 0 0,33 1 0,33 000000000 0]. (26)
Допустимая область изображена на рис. 19. Если В3 = малый или
средний и Аз=малый, то
(/?(8) а В-1)-1 = [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1], (27)
А* - [0 0 0 0 0 0,33 1 0,33 0 0 0 0 0 0 0]. (28)
Эта допустимая область изображена на рис. 20. Оба случая, и
для В2 и для В3 — хорошая иллюстрация того факта, что теоре-
ма 5 дает только достаточные условия для верхней и нижней оце-
нок областей нечувствительности. Для одинаковых входных не-
четких множеств В2 — Вз = средний или малый получим два раз-
личных семейства допустимых входных нечетких множеств (рис. 19,
20). Легко заметить, что семейство входных нечетких множеств,
представляющих собой сумму этих двух множеств, нечетким от-
Рис. 18. Допустимая область для Aj
Рис 19 Допустимая область дтя А2
35
ношением В(8) также отображается на выходное нечеткое множе-
ство средний или малый. Если В4=малый и А4 = средний, то
(Т?{8) а В-1)-1 = [0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1], (29)
< = [0 0 0 0 0 0 0 0 0,33 1 0,33 0 0 0 0]. (30)
Допустимая область изображена на рис. 21. Если В5 —малый или
почти нулевой и А 8 = большой, то
(В(8) а В-1)-1 = [0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1], (31)
< = [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,33 1 0,33 0]. (32)
о
О 2 4 6 в 10 12 74 16 18 20 22 г,Л
Рис. 20 Допустимая область для Аг
Рис. 21. Допустимая область для А4
Рис. 22. Допустимая область для As
36
Допустимая область входных нечетких множеств, относительно
которой нечеткое отношение нечувствительно для выходного не-
четкого множества В5, показана на рис. 22.
Проблема чувствительности других нечетких отношений может
быть изучена аналогичным образом.
7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведен анализ свойств реального электродвигателя посто-
янного тока. На основе теоретических результатов выписаны и
кратко обсуждены аналитические условия для статической ста-
бильности. Установлено, что нечеткое отношение обладает у-свой-
ством хорошего отображения. В результате исследования чувст-
вительности получены области нечетких входных величин, для ко-
торых выходные величины постоянны. Допустимыми областями
определена свобода выбора входных нечетких множеств, для ко-
торых нечеткие модели адекватны лингвистическому описанию.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kania, A. A., J. В., Kiszka, М. В. Gorzalczany, J. R. Maj and М. S. Stacho-
wicz (1980). On stability of formal fuzziness system. Inf. Sci., 22, pp. 51—68.
2. Kania, A. A., (1979). Internal Report. Institute of Automatic Control, Techni-
cal Univ, of Kielce.
3. Sanchez, E. (1976). Resolution of composite fuzzy relation equations. Inf. &
Control, 30, pp. 38—48.
4. Tong, R. M. (1979). The construction and evaluation of fuzzy models. In
M. M. Gupta, R. K. Ragade, and R. R. Yager Ed., Advances in Fuzzy Set
Theory and Applications, North-Holland Publishing Company, pp. 559—576.
5. Zadeh, L. A. (1973). Outline of a new approach to the analysis of complex
systems and decision processes. IEEE Trans. Syst. Man & Cybern., SMC-3 (1),
pp. 28—44.
[Имеется перевод. Заде Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных
систем и процессов принятия решений. — В кн.: Математика сегодня. — М.:
Знание, 1974, с. 5—49.]
ИТОГИ РАССМОТРЕНИЯ ФАКТОРОВ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И НЕЯСНОСТИ В
ИНЖЕНЕРНОМ ИСКУССТВЕ
К. Танака1
Существует несколько типов методологий оперирования поня-
тиями неопределенность и неясность, соответствующих содержа-
тельной интерпретации классов неопределенности — неясности,
свойственной явлениям, событиям или предметной области реаль-
1 Department of Information & Computer Sciences, Faculty of Engineering Sci-
ence, Osaka University, Toyonaka, Osaka 560, Japan.
37
ного мира. В данной работе рассмотрены схемы представления не-
ясности или неопределенности, приведена классификация их основ-
ных свойств и особо отмечено, что для некоторых классов под-
ход, ориентированный на инженерное искусство, при оперирова-
нии с неопределенностью — неясностью, будет иметь преимуще-
ство по сравнению с теоретико-множественным подходом, кото-
рый иногда может оказаться недостаточно хорош для примене-
ния.
Ключевые слова: неопределенность; нечеткость; случайность;
неточность; нечеткая логика; логика с лингвистическими значе-
ниями истинности; нечеткое рассуждение; фактор определенности;
нечеткое значение; искусственный интеллект; инженерное искус-
ство.
1. ВВЕДЕНИЕ
В свете господствующего мнения, порожденного так называ-
емой декартовой рационалистской методологией, традиционно су-
ществует тенденция отвергать такие термины, как неясность, не-
определенность, нечеткость и неточность из-за их ненаучной или
иррациональной концепции. Однако в реальном мире мы неми-
нуемо сталкиваемся со множеством случаев, когда невозможно из-
бежать проблемы учета неясной или неточной информации о све-
дениях, явлениях или событиях и т. п. Такая ситуация существо-
вала до 1965 г., когда Л. Заде предложил теорию нечетких мно-
жеств — многообещающую теорию и технику для анализа и пред-
ставления неясных или неточных понятий, используемых в утвер-
ждениях о событиях и фактах для описания отношений между
объектами или действиями. Теория нечетких множеств дала схе-
му решения проблем, в которых субъективное суждение или оцен-
ка играют центральную и значительную роль при учете факторов
неясности или неопределенности. Никто не будет отрицать того
факта, что следует уметь распознавать такие нечеткие множества,
как совокупность высоких людей, совокупность хорошеньких де-
вушек или множество больших чисел «как таковых». Однако кри-
тики утверждают, что теория нечетких множеств не предлагает
рационального или эмпирического метода определения значения
функции принадлежности и, кроме того, что нет достаточной яс-
ности относительного того, как проявляется индивидуальность или
субъективность человека в определении значения степени принад-
лежности. Более того, некоторые из них говорят, что нечеткую ло-
гику можно подвести под категорию так называемого логического
позитивизма, поскольку почти все нечеткие логические операторы
можно вывести из отношения больше-меньше, определенного на
множестве значений рассматриваемых функций принадлежности.
Суммируя приведенные критические замечания, можно прийти к
выводу, что теория нечетких множеств как бы охватывает основ-
ную проблему, что она развивается по пути логического позити-
визма и не содержит философского и теоретико-познавательного
38
Таблица 1. Методологии для обращения с неопределенностью,
неясностью, нечеткостью и неточностью
Класс неясности Используемая методология Научные дисциплины, лежа- щие в основе методологии
А. Неопределенность, слу- чайность: а) события и(или) состоя- ние среды, обусловленные случайностью; б) явления, не поддающие- ся анализу и измерению со сколь угодно большой точ- ностью Б. Нечеткость: а) нечеткость как следствие субъективности или индиви дуальности человека б) нечеткость или неясность в процессах мышления и умозаключения: 1) нечеткое или неточное заключение; 2) неясность вследствие сложности и (или) многооб- разия выводов В Нечеткость или неяс- ность, сопутствующая ес- тественным языкам: а) нечеткость списания или представления; б) неясность, связанная со сложностью и (или) много- образием семантик и струк- тур естественных языков Г. Расплывчатость или смутность рисунков, кар- тин или сцен: а) расплывчатость рисунков и картин, б) Неясность, возникающая в процессе интерпретации рисунков и картин Д Неясность вследствие структурной сложности и(или) многообразия ин- формации Теория стохастических процессов и теория при- нятия решений, мера эн- тропии Принцип неопределен- ности Теория нечетких мно- жеств, теория субъектив- ных вероятностей Теория нечеткого или приближенного рассуж дения Обращение к подходу, моделирующему процесс познания Теория нечетких мно- жеств, нечеткая логика, модальная логика Теория нечетких мно- жеств, нечеткая логика, модальная логика Семантика информации Техника фильтрации Релаксационная опера- ция Техника интерпретации образов Техника структурного моделирования Теория вероятностей Квантовая механика Бесконечно-значная логи- ка Лукасевича Нечеткая логика (логика с лингвистическими зна- чениями истинности, про- позиционное исчисление, исчисление предикатов) Методы искусственного интеллекта, подкреплен- ные теорией познания Техника представления знаний, подкрепленная теорией искусственного интеллекта Теория стохастических процессов Итерированные повтор- ные операции А. Розен- фельда Техника представления знаний, методы искус- ственного интеллекта Методы нечеткого струк- турного моделирования DELFI, PATTERN, ISM, DEMATEL, KY, FSM (метод нечеткого струк- турного моделирования), нечеткий метод PAT- TERN
39
анализа понятий неоднозначности и неопределенности. Хорошо
известно, что понятие случайности также представляет собой не-
который тип представления неопределенных явлений или часто
наблюдаемых событий. Теоретико-вероятностное понятие случай-
ности уже давно отнесено к категории объективных понятий и
рассматривается как дополнительное к понятию причинности; та-
кое представление подкрепляется концепцией воспроизводимых
экспериментов, которая согласуется с наблюдениями в области
естественных наук и в технике. По-видимому, и к субъективной ве-
роятности можно относиться как к шкале неоднозначности. По-
добно объективной вероятности — самой 'популярной и распрост-
раненной из концепций неопределенности — субъективная вероят-
ность удовлетворяет аксиоме вероятностной меры и оказывается
положительной и воспроизводимой [28]. Однако широкое рас-
смотрение разнообразия неясных, неопределенных и неточных яв-
лений, событий или фактов, а также связей между объектами и
операциями, показывает, что существуют различные классы неяс-
ности или неопределенности, которые не всегда будут связаны со
случайностью или нечеткостью, как показано в табл. 1. Сейчас
же только отметим, что для рассмотрения некоторых классов не-
ясности и неопределенности могут оказаться полезными и эффек-
тивными такие совершенно различные подходы, как теория искус-
ственного интеллекта и методы теории познания.
2. ОБЗОР ТЕОРИИ ЗАДЕ
А. Теорию нечетких множеств Заде предложил около 15 лет
тому назад. С тех пор благодаря усилиям первопроходцев и после-
дователей опубликовано множество статей, посвященных теорети-
ческим и прикладным аспектам теории. Стремительный рост пу-
бликаций на эту тему иллюстрируется рис. 1 [4]. Современная би-
блиография по теории нечетких множеств, содержащая около 1000
Рис. 1. Гистограмма распределе-
ния статей, посвященных нечет-
ким системам, по годам их публи-
кации
ссылок, охватывает не только тео-
ретические аспекты теории, но и та-
кие прикладные области, как распо-
знавание образов, кластерный ана-
лиз, принятие решений, разработка
роботов, медицинская диагностика,
инженерное искусство, системное
моделирование, процесс управления,
психология, лингвистика, общест-
венные и политические науки, управ-
ление наукой и т. д. В частности,
применение теории нечетких мно-
жеств, по-видимому, особенно уме-
стно скорее в так называемых
гуманитарных науках, таких как
лингвистика, психология, логика,
общественные науки, управление
40
наукой и т. п., чем в области техники, поскольку в гуманитар-
ных науках приходится чаще сталкиваться с субъективными дан-
ными. Нужно сказать, что дух теории нечетких множеств выра-
жается прежде всего в систематическом, но не обязательно всегда
количественном методе обработки нечетких данных. Рассмотрим
для примера эксперимент по классификации портретов на основе
нечетких отношений [20]. В эксперименте использовались порт-
реты 60 семей, каждая из которых состояла из 4—7 членов. Вы-
бор именно портретов, обусловлен тем, что даже в случае, когда
родители не похожи лицом друг на друга, их можно определить
по портретам детей, и, следовательно, классифицировать все пор-
треты по принадлежности к семьям. Сначала 60 семей было раз-
делено на 20 групп, каждая из которых содержала по 3 семьи.
Каждая группа состояла в среднем из 15 членов. Портреты из
каждой группы предъявлялись разным студентам с целью полу-
чить оценки субъективного сходства. В эксперименте участвовало
12 студентов. На рис. 2 проиллюстрирована процедура нахожде-
ния пути, связывающего два из пяти портретов х2,..., Xs на ос-
нове оценок субъективного сходства, полученных от одного сту-
дента. Подчеркнем, что для выполнения аксиомы расстояния с
помощью композиции нечеткого отношения строим п-ступенчатое
нечеткое отношение (в данном примере п = 5), хотя в общем слу-
чае отношение субъективного сходства не удовлетворяет этой ак-
сиоме [20]. На рис. 3 приведен пример разбиения пяти портре-
тов на классы соответственно определенным пороговым значе-
ниям.
Рис. 2. Субъективное сходство по оценкам
одного индивидуума (а) и сходство, удов-
летворяющее отношению эквивалентности,
полученному на основе n-ступенчатого от-
ношения (б)
Рис. 3. Разбиение пяти портретов
на классы семей в соответствии с
определенным пороговым значени-
ем
Б. В 1972 г. Заде предложил теоретико-множественную интер-
претацию лингвистических переменных и ограничений [30], кото-
рая отражала лингвистические аспекты отношения принадлеж-
ности в нечетких множествах. Например, если высказывание о не-
41
котором факте несет оттенок неуверенности, то его можно харак-
теризовать лингвистически как, скажем, истинное^ не истинное,
очень истинное, более-менее истинное, не очень истинное и т. п.,
определяя каждым таким истинно-значным представлением не-
четкого объекта смысл лингвистического ограничения. Рассматри-
вая ограничение h как оператор, применяемый к терму с опреде-
ленным значением, Заде предложил метод расчета значения сос-
тавного терма вида x=hu, представляющего лингвистическую пе-
ременную.
В. Несколько позже [31] Заде предложил ввести в рассмотре-
ние нечеткую логику с лингвистическими, а не числовыми значе-
ниями истинности. Согласно такой логике высказывание может
принимать истинностное значение типа: истинно, ложно, абсолют-
но истинно, совсем ложно и т. п. — и каждое такое значение пред-
ставляет нечеткое подмножество единичного интервала. Отсюда
происходит название лингвистической логики как логики с линг-
вистическими значениями истинности в противоположность логике
с числовыми значениями истинности, также рассматриваемой в
рамках теории нечетких множеств. В повседневной жизни мы
встречаемся с нечеткими выводами из нечетких условных утвер-
ждений, таких как, например: Если у мисс А очень белая кожа, то
она совершенная красавица при том предположении, что если ле-
ди белокожая, то она красавица. Такого типа нечеткие выводы За-
де и имел в виду. Приближенное рассуждение может рассматри-
ваться как обобщение правил модус поненс и модус толенс, со-
ответствующих хорошо известным правилам вывода модус поненс
и модус толенс в исчислении условных высказываний. Для опреде-
ления композиционного правила вывода Заде применил понятие
нечеткого отношения. Автор данной работы полагает, что следст-
вия, получаемые с помощью композиционных правил Заде, не
всегда совпадают с нашей интуицией [И]. Причина рассогла-
сования— в выборе операционного метода, который используется
в нечетких отношениях. Согласно интуитивным представлениям
отношения между А7 в посылке 2 и В' в выводе в (1) или между
В' в посылке 2 и Д' в выводе в (2) должны быть такими, как по-
казано в табл. 2.
Обобщенное правило посылка 1: если х есть А, то у есть В,
модус поненс: посылка 2: х есть Д',
вывод: у есть В7\ (1)
Обобщенное правило посылка 1: если х есть А, то у есть В,
модус толенс: посылка 2: у есть В7;
вывод: х есть А7. (2)
где х, у — имена объектов; А, А7, В и В7 — названия нечетких мно-
жеств, определенных на универсумах U, U, V и V соответственно.
В табл. 3 указано, при каких композиционных правилах вывода
удовлетворяется или не удовлетворяется каждое из отношений,
перечисленных в табл. 2.
42
Таблица 2а. Отношения между А'
(посылка 2) и В' (вывод) для по-
сылки 1 в обобщенном правиле мо-
дус поненс (1)
Отношение А' В'
—
I (модус А В
поненс)
П-1 Очень А Очень В
П-2 Очень Д В
Ш-1 Более или Более или
менее А менее В
Ш-2 Более или В
менее А
IV-1 Не А Неизвестно
IV-2 Не А Не В
Таблица 26 Отношения между В'
(посылка 2) и Л' (вывод) для посылки
1 в обобщенном правиле модус толленс
(2)
Отношение В' А'
V (модус Не В Не А
толленс)
VI Нс очень В Не очень А
VII Не более Не более
или менее В или менее А
VIII-1 В Неизвестно
VIII-2 В А
Таблица 3. Методы, при которых удовлетворяются отношения из таблиц 2а
и 26
Отношение Посылка 2 Вывод Ra Rc ^sg Rgg
I (модус поненс) А В X X О О О о О
П-1 Очень А Очень В X X X О X О X
П-2 Ш-1 Очень А Более или В Более или X X О X О X О
менее А менее В X уХ X О О О О
Ш-2 Более или менее А В X X О X X X X
IV-1 Не А Неизвестно О О X О о X X
IV-2 Не А Не В X X X X X О О
V (модус толленс) Не В Не А X X X О X О X
VI Не очень В Нс очень А X X X о X О X
VII Не более или менее В Не более или менее 4 X X X О X О X
VIII-1 В Неизвестно X О X О о X X
VIII-2 В А X X О X X X X
Нечеткие отношения, использованные в композиционных прави-
лах вывода, сводятся к следующим:
= 0 хВ)и(ПДхУ), (3)
/?« = (”! А х V) ® ([/ х В) (4)
(эти отношения предложены Заде);
Яс = 4 X В
(5)
43
(предложено в [8]);
Rs = А х U X В == J [Пл (и) ив (^)Ж 0» (6)
uxv
где
Ил (м) Ив (у) =
Г 1 при
(О при
Ил («) < Ив (у),
Ил (и) > ИвЧ^Ь
а использованная здесь импликация опирается на импликацию в
логической системе Л5алеф i[ 16];
Rs = AxV^UxB = j [рл (и) Цв (v)]/(u, v), (7)
g UxV s
где
, . 7 X f 1 ПРИ
рл (м) -> Рв (у) = {
g I рв (0 При
Ил (и) < Ив (и),
Ил (и) > рв (и),
а использованная здесь импликация базируется на импликации в
логической системе Салеф [16];
RSg = (A х х В)П(“1 Л х V-+U X “IB) ; (8)
s g
R^ = (AX V->l/xB)0(l^X V-+Ux IB) (9)
s g
Определения (6) — (9) предложены автором настоящей рабо-
ты [11]. Использованные в (6) — (9) знаки X, U» А, и ® обоз-
начают прямое произведение, объединение, пересечение, дополне-
ние и ограниченную сумму нечетких множеств А и В, определен-
ных на IJ и V соответственно. Консеквент В' в выводе (1), полу-
ченный из посылок 1 и 2 применением нечеткого отношения Rm
для композиционного правила, можно например, записать в ви-
де: В'т=А' о Rm=A' о ((АХВ)U( ~1Д X V)) для (1) иА'т=((Ах
XB)U(“1 АхУ)) ° В' для (2), где знак « °» означает композици-
онную операцию. По аналогии легко получить и другие компози-
циональные правила, используя нечеткие отношения.
Г. Далее Заде исследовал метаязык, называемый PRUF (аб-
бревиатура Possibilistic Relational Universal Fuzzy), чтобы отра-
зить смысловое представление естественных языков [32]. Язык
PRUF опирается на логику с лингвистическими значениями истин-
ности, в которой неточность или неясность, присущая естествен-
ным языкам, описывается в терминах распределения возможно-
стей. Кванторы в PRUF также выражаются с помощью лингвисти-
ческих термов. Кроме того, понятия семантической равносильно-
сти и семантического следования введены так, что PRUF может
служить в качестве языка для системы «вопрос — ответ» и вывода
из нечетких посылок.
44
3. ВОЗМОЖНОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТЕОРИИ ЗАДЕ
Если отвлечься от нескольких требующих разъяснения вопро-
сов, выдвигаемых противниками теории перед ее приверженцами,
то можно констатировать, что теория Заде — это первая теория,
оперирующая с неясностью или неточностью, и ее появление — это
шаг к многообещающему будущему. Вопросы и возражения про-
тивников теории состоят в следующем: 1. Как определять степень
принадлежности или значение возможности? 2. Как в теории За-
де использовать вычислительную технику? 3. До сих пор нет обще-
признанного примера инженерно-ориентированного применения
этой теории. По-видимому, число специалистов, признающих и не-
признающих проведенное Мамдани и другими экспериментальное
применение теории к процессам регулирования, делится поровну.
4. В реальном мире существуют различные виды неясности или не-
точности, которыми нельзя управлять с помощью только теории
нечетких множеств или нечеткой логики.
Действительно, как уже было установлено, в первом вопросе
сформулирована основная проблема теории нечетких множестй.
Отложив на время ее решение, приведем несколько способов или
путей ответа на второй вопрос.
Для проведения нечетких теоретико-множественных операций,
можно воспользоваться системой FSTDS (аббревиатура Fuzzy
Sets Theoretic Data Structured), состоящей из структур нечетких
теоретико-множественных данных. В системе предусмотрена струк-
туризация данных, соответствующая задачам проведения нечет-
ких теоретико-множественных операций (к настоящему времени
подготовлено 52 оператора) и имеется интерпретатор, который по
программе на языке FSTDS вызывает подпрограммы нечетких
операций, запрограммированные на Фортране.
Кроме того, в рамках исследования проблемы искусственного
интеллекта разработаны новые языки нечеткого программирова-
ния, такие как FUZZY [7] и FLOU [13, 14] (Fuzzy Language of
Osaka University — нечеткий язык университета города Осака, до-
пускающий описание нечеткости и на французском языке). Язык
искусственного интеллекта FLOU, разработанный на базе LISP,
обеспечивает ряд благоприятных возможностей для эффективно-
го представления и оперирования нечеткими данными. Другими
словами, в дополнение к стандартной для LISP структуре данных
FLOU дает возможность точно представить нечеткие знания, ис-
пользуя «ассоциативную сеть» утверждений с нечеткими степеня-
ми принадлежности. Язык FLOU также обладает такими харак-
терными особенностями стандартного языка искусственного ин-
теллекта, как «доступ к информации с помощью указания образ-
ца требуемых сведений», «механизм процедурного обращения»,
«возвратная структура управления». Подобно другим языкам ис-
кусственного интеллекта, таким как CONNIVER [9], FLOU осна-
щен такими сильными функциями, как «генератор» (который пред-
45
ставляет собой процедурное знание, называемое императивной
теоремой), включающий три процедуры: дедуктивную, утвержда-
ющую и стирающую.
На ЭВМ обычного типа также моделировался и нечеткий ал-
горитм, содержащий нечеткие инструкции [2, 21, 29], и экспери-
мент с «нечетким роботом», который управлялся нечеткими инст-
рукциями [26]. Все перечисленные достижения могут, по-видимо-
му, расцениваться как свидетельство возможности проведения не-
четких, теоретико-множественных и логических операций на сов-
ременных вычислительных системах.
В качестве проблемы, требующей разрешения, остается еще
вопрос о методе определения степени нечеткости информации или
сведений, которые размыты, смутны, неопределенны, неясны или
неточны по своей природе.
4. ПОДХОД С ПОЗИЦИЙ ИСКУССТВЕННОГО
ИНТЕЛЛЕКТА
Неясность, неопределенность или неточность, заключенные в
смысловых значениях или выводах, присущие естественным язы-
кам с чрезвычайно сложными структурами и многообразными по-
нятиями или проявляющиеся при интерпретации смысла рисун-
ков, картин и сцен — это типичные примеры категорий, опериро-
вание с которыми с помощью одной только теории нечетких мно-
жеств или нечеткой логики недостаточно для правильного отраже-
ния умственной работы человека. Для понимания даже, казалось
бы, простых вещей человек привлекает разнообразную избыточ-
ную информацию. Другими словами, человек использует не толь-
ко обширные знания о структуре естественных языков, но также
и условия, в которых произошли события или явления, учитывает
условия, при которых сделано высказывание. Для того чтобы со-
отнести с вычислительной системой такие виды умственной де-
ятельности человека, как размышление и понимание, нужно ре-
шить следующие задачи: 1. Нужно уметь хорошо представлять с
помощью абстрактных моделей, отражающих семантику объек-
та, знания и способности человека к решению задач. 2. Семанти-
ка должна быть описана с помощью хорошо определенного синтак-
сиса. 3. В противоположность абстракции семантика должна быть
реалистичной и прагматичной, чтобы с ее помощью можно было
справиться с конкретной ситуацией в реальном мире, в котором
для разрешения реальных проблем нужны конкретные, индивиду-
альные и специфические знания.
Описанные в [3] теория и методы названы инженерным искус-
ством, которое обеспечивает плодотворный подход к проблемам,
решаемым на основе знаний, и при котором используются экспер-
тиза и эвристика, как и методы символического вывода и представ-
ления информации, о которых можно сказать, что они представ-
ляют собой принципы и методы искусственного интеллекта. Пред-
ставление знаний неотделимо от механизма вывода. Действитель-
46
но, существуют два метода представления знаний: один для того,
чтобы сделать заключение о пути к достижению цели исходя из
первичной информации, другой —для использования эвристиче-
ских процедур. Таким образом, такие новые языки программиро-
вания, как LISP70, QA4, PLANNER, CONNIVER, SAIL, SIMULA,
PLATION, LINGOL, PLASMA, AMOR и другие, представляют со-
бой результат развития языков искусственного интеллекта. Эти
языки оснащены возвратной структурой автоматического управ-
ления и включают процедуру выбора данных по образцу, проце-
дурный механизм инициирования и псевдопараллельную обработ-
ку данных. Язык MICRO-ACTOR [15, 22, 23], предложенный в
качестве реализации идеи языка ACTOR, может, по-видимому,
служить программным модулем, пригодным для представления
сопутствующих данным процедурных сведений. Производственная
система [12], наоборот, представляет собой метод решения про-
блем со структурой, допускающей введение модуля знания в базу
данных. Собираясь что-нибудь распознать, следует учитывать ряд
сопутствующих обстоятельств. Другими словами, не нужно огра-
ничиваться сбором информации, непосредственна касающейся объ-
екта, а нужно собирать также различные сведения, имеющие кос-
венное отношение к объекту. Так, организованная информация на-
зывается фреймом [10]. Схема представления знаний, в которой
используются фреймы, обеспечивает иерархическую структуру
данных, пригодную для построения «ассоциативных сетей». Язы-
ки FUZZY и FLOU, удобные для оперирования со знаниями, пред-
ложенные Ле Февром и автором данной статьи, базируются на
языке LISP. В них сделана попытка эффективно использовать пе-
речисленные полезные свойства, характерные для так называемо-
го языка искусственного интеллекта. Кроме того, для работы с
нечеткими множествами и нечеткой логикой целесообразно эффек-
тивно использовать ассоциативную сеть, основанную на органи-
зации информации в виде фреймов. В ассоциативной сети долж-
но быть реализовано легко выполняемое правило нечеткого выво-
да, сочетающееся с эффективной процедурой использования струк-
туры управления языков искусственного интеллекта.
В работах [17, 18] описана вычислительная система, назван-
ная MYCIN, предназначенная для помощи врачам при принятии
клинических решений. Механизм вывода, заложенный в MYCIN,
расценивается как целенаправленная система, основанная на пра-
вилах вывода, в которых используются процедуры генерации и
проверки. Приемлемый вывод о достижимых решениях, несмот-
ря на отсутствие точных знаний, достигается в результате моде-
лирования процессов строгого рассуждения медицинских экспер-
тов.
Данные клинических обследований и лабораторных анализов
о состоянии здоровья пациента и принимаемое в результате раз-
мышлений решение обязательно сопровождается неопределен-
ностью и неточностью вследствие субъективности суждения и лич-
ного опыта врача. В качестве подходов к решению вопроса о прав-
47
доподобности утверждений, действий и фактов, типа описанных,
было предложено несколько методов: теория нечетких множеств,
субъективные вероятности, критерий допустимости [1], теория
подтверждения [5] и др. Систему M.YCIN можно отнести к теории
подтверждений.
Начнем с введения используемых обозначений и терминологии.
Обозначим через МВ [А, е] меру увеличения доверия к гипотезе
h на основе наблюдения исхода е, которую определим как
MB [h, е] = {Р (h]e)—P (h)}l(\—P (h)} ; (10)
меру увеличения неуверенности обозначим MD [h, е] и зададим
выражением
MD [h, е] = {Р (h)—P (h\e)}/P (А). (11)
Тогда фактор определенности, обозначаемый CF [h, е], т. е. сте-
пень подтверждения гипотезы h по наблюдению е определяется
выражением
CF [h, е} = МВ [h, e]—MD [h, е], (12)
где P(h\e)—условная вероятность h при известном е; Р(h)—
субъективная вероятность, т. е. экспертная оценка вероятности,
отражающая уверенность эксперта в гипотезе h в некоторый за-
данный момент времени.
Совокупность исходов, подтверждающих определенную гипоте-
зу, может учитываться в МВ или MD последовательно с помощью
специально введенных функций:
MB [h, ег & е2] =
0, если MD [h, е3 & е2] = 1,
MB [h, eJ + fl—MB [Л, ej} х
X MB [h, е], в противном случае
( 0, если MB [h, ег & е2] = 1,
MD [h, ех &’е2] = MD [hlt e±] + {1 —-MD [h, е^} х
( X MD [h, е2] в противном случае.
(13)
(И)
Конъюнкция и дизъюнкция гипотез определяются следующими
операциями соответственно:
конъюнкция: MB [ht & h2, е] = min (MB [hlt e], MB [h2, e\),
MD [h^ & h2, e] = max (MD [hlf e], MD [h2, e]); (15)
дизъюнкция: MB[hi или h2> e] = max (MB [hly e], MB [h2i e]),
MB[hi или h2, e] = min (MD [hlt e], MD [h2, £]). (16)
Состояние пациента в системе MYCIN должно полностью опреде-
литься «ситуационным деревом», образованным соответствующи-
ми «производственными правилами», которыми определенные фак-
торы, выясненные по данным наблюдениям, включаются в элемен-
ты дерева. Истинность любого заключения, у которого расчетное
значение степени определенности оказалось ниже данного порога,
считается неизвестной, и соответствующая линия рассуждений в
дереве отсекается.
48
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Понятия, которыми оперируют в различных областях анализа
информации и знаний, оказываются на самом деле слишком слож-
ными и утонченными для того, чтобы можно было воспользовать-
ся традиционно господствующей логикой, в которой централь-
ная роль отведена только точным, хорошо определенным количе-
ственным рассуждениям. Теория Заде — замечательный метод об-
работки нечеткости или неопределенности; она несомненно спо-
собствовала не только проявлению описанной ситуации, но также
оказала значительное влияние на ориентацию научно-технических
исследований. Тем не менее еще остаются некоторые классы неоп-
ределенности, неясности и неточности, которые не всегда достаточ-
но хорошо поддаются обработке средствами теории Заде. В
табл. 1, составленной автором, показано, что для каждого клас-
са неопределенности, неясности и неточности существует соответ-
ствующий подход. Можно привести доводы в пользу того, что для
большинства методов обработки неопределенности, неясности и
неточности в усложненных условиях решения проблем, часто встре-
чающихся в реальном мире, возникает необходимость привлекать
методы теории искусственного интеллекта, обогащающие и допол-
няющие теорию Заде; особенно полезно использовать те возмож-
ности, которые предоставляются языками искусственного интеллек-
та. Вопрос «какова наилучшая мера неопределенности, неясности
и неточности» на сегодня остался без убедительного ответа и ждет
серьезного обсуждения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Carnap, R. (1950). The two concepts of probability. In Logical Foundations
of Probability. University of Chicago Press, Chicago, pp. 19—51.
2. Chang, S. K. (1972)'. On the execution of fuzzy programs using finite-state
Machines, IEEE Trans. Comput., C-21, 241—253.
3. Feigenbaum, E. A. (1977). The art of artificial intelligence: themes and case
studies of knowledge engineering, invited paper-I. Proc. 5th IJCAI (M. I. T.),
1014—1029.
4. Gaines B. R. (1976). Foundations of fuzzy reasoning. Int. J. Man — Mach.
Stud, 8. 623—628.
5. Harre, R. (1970). Probability and confirmation. In The Principles of Scientific
Thinking. University of Chicago Press, Chicago pp. 157—177.
6. Hewitt, С., P. Bishop, and R. Steiger (1973). A universal modular actor for-
malism for artificial intelligence. Proc. 3rd IJCAI (Stanford), 235—245.
7. LeFaivre, R. (1974). The representation of fuzzy knowledge. J. Cybern., 4,
57—66.
8. Mamdani, E. H (1977). Application of fuzzy logic to approximate reasoning
using linguistic system. IEEE Trans. Comput., C-26, 1182—‘1191.
9. McDermott, D. V., and G. J. Sussman (1972). The CONNIVER reference
manual. MIT AlMemo, 259.
10. Minsky, M. (1975). A framework for representing knowledge. In P. H. Wins-
ton (Ed.) The Psychology of Computer Vision. McGraw-Hill Book Co., New
York. pp. 211—280.
11. Mizumoto, M., S. Fukami, and K- Tanaka (1979). Some methods for fuzzy
reasoning. In M. M. Quota, R. K. Ragade, and R. R. Yager (Eds.), Advances
49
in Fuzzy Set Theory and Applications. North — Holland Pub. Co., Amsterdam,
pp. 117—136.
12. Newell, A. (1973). Production system: models of control structure. In
W. C. Chase (Ed.), Visual Information Processing, Academic Press, Inc., New
York, pp. 463—526.
13. Noguchi, К., M. Umano, M. Mizumoto, and K. Tanaka (1976). Implementati-
on of fuzzy artificial intelligence language: FLOU. Technical Report of IEEC,
AL76—27 (in Japanese).
14. Noguchi, К., M. Umano, M. Mizumoto, and K. Tanaka (1978). Improvement
of fuzzy artificial intelligence language: FLOU. Technical Report of IEEC,
AL77 — 75 (in Japanese).
15. Ogawa, H., and K. Tanaka (1977). A structure for the representation of know-
ledge—a proposal for MICRO — ACTOR — Proc. 5th IJCAI (M. I. T.)r
248—249.
16. Rescher, N. (1969). Many-valued Logic. McGraw — Hill Book Co., New York.
17. Shortliffe, E. H. (1974). MYCIN: A rule-based corriputer program for advi-
sing physicians regarding antimicrobial therapy selection. ARPA, ONR &
NIH Report AD/A—001371.
18. Shortliffe, E. H* (1976). Computer — Based Medical Consultation: MYCIN.
American Elsevier, New York.
19. Simon, J. C. (1976). Computer Oriented Learning Processes, NATO Advanced
Study Institutes Series. Noordhoff Int’l Pub., Leyden, pp. 144—148.
20. Tamura, S., S. Higuchi, and K. Tanaka (1971). Pattern classification based on
fuzzy relations. IEEE Trans. Syst., Man & Cybern., SMC-il, 61—66.
21. Tanaka, K-, and M. Mizumoto (1974). Fuzzy programs and their execution. In
L. A. Zadeh, K. S. Fu, K. Tanaka, and M. Shimura (Eds.), Fuzzy Sets and The-
ir Applications to Cognitive and Decision Processes, Academic Press, Inc., New
York, pp. 41—76.
22. Tanaka, K-, and H. Ogawa (1977). A knowledge representation structure for
natural language processing. Preprints of IFAC Workshop on Control of Mana-
gement Systems. Bulgaria, Varna.
23. Tanaka, K., and H. Ogawa (1979). An active frame for the knowledge represen-
tation. Proc. 6th IJCAI (Tokyo), 668—675.
24. Umano, M., M. Mizumoto, and K. Tanaka (1977). Implementation of a fuzzy-
set-theoretic data structure system. Proc. 3rd Int’l Conf, on Very Large Data
Bases (Tokyo), Pt. II, 59—69.
25. Umano, M., M. Mizumoto, and K. Tanaka (1978). FSTDS system: a fuzzy-set
manipulation system. Information Sciences, 14, 115—159.
26. Uragami, M., M. Mizumoto, and K. Tanaka (1976). Fuzzy robot control. J. Cy-
berm, 6, 39—64.
27. Watanebe, S. (1969). Toda’s method of measurement of subjective probabilities.
In Knowing & Guessing. John Wiley & Sons, Inc., New York.
28. Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy sets. Inf. & Control, 8, 338—353.
29. Zadeh, L. A. (1968). Fuzzy algorithm. Inf. & Control, 12, 94—102.
30. Zadeh, L. A. (1972). A fuzzy-set-theoretic interpretation of linguistic hedges.
J. Cybern, 2, 4—34.
31 Zadeh, L. A. (1974). The concept of linguistic variable and its approximate rea-
soning (I), (II), (III). Information Sciences, 8, 199—249; 301—357; 43—80.
1[Имеется перевод: Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его
применение к принятию приближенного решения. — М.: Мир, 1976.—165 с.]
32. Zadeh, L. А. (1978). PRUF — a meaning representation language for natural
languages. Int. J. Man — Mach., Stud., 10, 395—460.
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ НЕЧЕТКОСТИ
А. М. Норвич, И. Б. Турксен1
В работе рассматривается аксиоматическая структура для из-
мерения функции принадлежности нечеткого множества (т. е. те-
оремы представления и единственности), а также предлагается
возможный вариант теста на единственность.
Ключевые слова: нечеткость; функция принадлежности; поряд-
ковая плотность области исследования; измерение; представление;
единственность; шкала интервалов; шкала отношений; естествен-
ный нуль; абсолютная шкала.
1. ВВЕДЕНИЕ
В работе предложена модель фундаментального измерения не-
четкости. Однако сначала определим термины «объективное свой-
ство» и «субъективное свойство». Первый термин относится к лю-
бому свойству А, про которое недвусмысленно можно сказать, об-
ладает ли им произвольный объект 0, принадлежащий выделен-
ной области исследования ©. В противоположность объективному
свойству лингвистическое определение субъективного свойства А
содержит неясности. Присущая этому понятию семантическая не-
определенность допускает разнообразные интерпретации смысла
этого свойства различными наблюдателями.
В дальнейшем определения «объективный» и «субъективный»
будут относиться к любому частному свойству объектов из выде-
ленной области исследования, определения «обычный» и «нечет-
кий» [5] — к подмножеству элементов этой области, порожденно-
му некоторым свойством, определения «четкий» и «нечеткий» —
к форме функции множества (четкий — для функции со значени-
ями в бинарной решетке и нечеткий — для функции со значения-
ми в двусторонне ограниченном интервале действительной пря-
мой). Кроме того, из контекста будет ясно, использовано ли сло-
во «нечеткий» в отдельном утверждении применительно ко мно-
жеству или к форме функции множества.
2. АКСИОМАТИЗАЦИЯ ПОНЯТИЯ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Из того факта, что индивидуумы могут по-разному восприни-
мать интенсивность свойства А, которым обладает объект 6 в 0,
делаем вывод, что значение функции принадлежности объекта 0
к подмножеству из 0, индуцированному признаком А (т. е. к мно-
1 Department of Industrial Engineering, University of Toronto.
Работа финансировалась Канадским советом по естественным 'наукам и
технике.
51
жеству, представляющему свойство Д) — которое для простоты
будем называть множеством А, не может считаться объективной
характеристикой. Таким образом, мы сталкиваемся с проблемой
назначения числовых оценок субъективным ощущениям. Задача
построения числовых представлений относится к области матема-
тической психологии, в которой используется техника теории из-
мерения и шкалирования. Прежде чем ввести технику, необходи-
мую для представления функции принадлежности нечеткого мно-
жества, построим представление характеристической функции
обычного множества, соответствующего объективному свойству
Д [2].
Определение. Пусть задана область @. Определим слабый по-
рядок >а на0 условием
( 0Х €= Д, 92еЛ,
0Х£ а 02, если или 0Х е Д, 02£ Д, 0х, 02 е 0,
или 0-^Д, 02£Д2,
где 0! а02 читается как «01 обладает свойством А по крайней
мере в той же степени, что и 02» или «утверждение, что 01 обла-
дает свойством А в той же мере, что и 02, по крайней мере истин-
но», или «относительно свойства А объект 01 по крайней мере та-
кой же большой, как и 02».
Утверждение, что 01 а02, допускает следующую интерпрета-
цию: объект 01 имеет по крайней мере ту же степень принадлеж-
ности множеству (представляющему) Д, что и 02.
Таким образом, 0i~a02 всякий раз, когда 0i Е а02 и 02 a0i
(т. е. всякий раз, когда 01^Д, 02еД или 01^Д, 02^А) и 01>а02
всякий раз, когда 01 >А0г и не 0i~a02 (т. е. всякий раз, когда
01€Е:Д, 02§?=Д ) .
По терминологии теории измерений введенная таким образом
система <0, А>, состоящая из области исследования и отноше-
ния (в данном случае — отношения порядка) на этой области, на-
зывается эмпирической структурой с отношением. Назовем опре-
деленную здесь эмпирическую структуру с отношениями структу-
рой бинарной принадлежности.
Построить любую эмпирическую структуру с отношениями —
значит установить гомоморфное соответствие с «числовой струк-
турой с отношениями» <ф(0),^> (где область значений <р есть
подмножество действительной прямой), т. е.
0Х 02 Ф (01) > Ф (92)• (D
Кроме того, поскольку 0 состоит только из двух классов эквива-
лентности по отношению Е а, то <р принимает только два значе-
ния— по одному для каждого класса. Очевидно, что ф(0) есть ха-
рактеристическая функция %а(0).
Теперь возникает вопрос о единственности этого числового
представления. Поскольку порядок сам по себе — это только от-
52
ношение, определенное на 0, то для любых 01, 02е0 уравнение
(1) оказывается единственным условием, связывающим ф(01) и
ф(02). Следовательно, значения шкалы ф(0) определены с точ-
ностью до строго возрастающих преобразований f; любая другая
шкала ф*, удовлетворяющая уравнению (1), связана с ф уравне-
нием Ф*(0) ==/[ф(0)]- Поэтому значения 0 и 1 для %а(0) нельзя
расценивать как объективное или абсолютное следствие структу-
ры <0, а> — именно этот факт отражается распространенным
переобозначением 0 и 1 значениями f и t (f— ложно, t — истинно),
где tZ>Af. Таким образом, %а определена на «порядковой шкале»
(т. е. порядок — единственное отношение на 0), и структура би-
нарной принадлежности в действительности определяет только то-
пологию.
3. АКСИОМАТИЗАЦИЯ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ
ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Числовое представление функции принадлежности для нечет-
кого множества, ассоциированного с субъективным свойством,
строят аналогичным образом только для того, чтобы подчеркнуть
нечеткость лингвистического определения свойства А. Обозначе-
ние а заменяется на а-
Определение. Пусть дана область 0; определим на ней слабый
порядок > а так, чтобы
01 >л 02, V 0Х, 02 е 0,
если наблюдатель считает, что «01 обладает свойством А по край-
ней мере в той же степени, что и 02», или «утверждение, что 01 об-
ладает свойством А в той же степени, что и 02, по крайней мере
истинно», или «относительно свойства А объект 01 по крайней ме-
ре такой же большой как и 02».
Аналогично 0i~aO2 тогда и только тогда, когда 01 ^а02 и
02 S: А01 и 01>А02 тогда И ТОЛЬКО ТОГДЗ, когда 01 S: А02 и не
02~ Д01-
Таким образом, отношение 0iS;a02 для субъективного свойст-
ва читается так же, как и 0i а02 для объективного свойства. Од-
нако последнее отношение может быть нарушено в трех случаях
в зависимости от бинарных оценок того, может или нет 01 и 02
каждый обладать свойством А, как это установлено определением,
введенным в разд. 2. Напротив, отношение 0! > а02 не может быть
нарушено в этих случаях, так как в суждениях об объектах 01 и
02 относительно субъективного свойства А учитывается степень
проявления рассматриваемого свойства, т. е. для каждого объ-
екта имеется не две, а континуум возможностей.
Определенная ранее система <0, ^л> будет называться «струк-
турой многозначной принадлежности».
53-
Отметим, что в приведенных определениях ничего не говорится
об ограничениях, накладываемых на функцию принадлежности.
Определение. Структура принадлежности <0, называет-
ся «ограниченной», если существуют элементы 0тах и 0т1П, такие,
ЧТО 0max А О И 0 ^А0тт ДЛЯ ЛЮбОГО 0^0.
Здесь Отах — оцениваемый субъектом объект, функция принад-
лежности которого свидетельствует о том, что он определенно об-
ладает свойством A, a Omin— определенно не обладает А. (Эти
субъективные суждения интерпретируются в том смысле, что 0тах
обладает максимальной принадлежностью множеству, представля-
ющему A, a 0mm — минимальной.)
Подобно структуре бинарной принадлежности ограниченная
структура многозначной принадлежности допускает числовое пред-
ставление в порядковой шкале.
Теорема о представлении 1. Пусть 0 — область исследования ч
<©, а> — структура многозначной принадлежности. Тогда су-
ществует действительная функция <р на 0 такая, что для всех 0Ь
02е0
01 02 <=> <Р (01) > Ф (62)- (2)
Более того, если <0, А> — ограниченная структура принадлеж-
ности, то функция ф — ограниченная.
Теорема единственности1 1. Пусть ф*— еще одна шкала, удов-
летворяющая уравнению (2). Тогда существует строго возраста-
ющая функция f, такая, что
Ф* (0) = / [Ф (0)]. (3)
Доказательство теоремы о представлении 1 состоит из вывода
соответствующего простого порядка 0/~а (т. е. классов эквива-
лентности 0 по отношению а). Каждому классу эквивалентно-
сти ставится в соответствие действительное число, при назначе-
нии которого учитывается только одно ограничение: если в про-
стом порядке один класс не доминирует над другим, то назнача-
емое ему действительное число должно быть не меньше числа, по-
ставленного в соответствие другому классу. Результирующие зна-
чения принадлежности ограничены снизу числом, приписанным
классу эквивалентности [0mm], и сверху — значением, присвоен-
ным классу [Отах]; построенное соответствие единственно с точ-
ностью до строго возрастающего преобразования.
Например, если 0={люди различного роста} и А = высокий,
то график ф(0) в зависимости от х(0) для субъекта может иметь
вид сплошной кривой на рис. 1, где 0 представлено соответству-
1 Имеется в виду единственность числового представления структуры много-
значной принадлежности в порядковой шкале. {Прим, ред.)
54
ющей числовой областью физической меры роста (т. е. носитель
Х(0) = [О, оо)—шкала в метрах). Если определить ца(0) усло-
вием [ла А «принадлежность 0 множеству А» = ф(0), то эта кри-
вая будет представлять р,Выс(0). Однако даже если произвольна
положить [Ла (0mm) = 0 и [Ла (0тах) = 1, мы все же будем иметь бес-
конечное множество кривых в «нечеткой области» F, каждая из
которых — возможный результат строгого монотонного преобра-
зования шкальных значений
области F. Некоторые из этих
альтернативных кривых пока-
заны на рисунке штриховыми
линиями. Заметим также, что
субъективное понятие А разби-
вает 0 на три области: 10, Ц и
F — в отличие от объективного
понятия, которое разбивает 0
только на две «области безраз-
личия»: /о и /1, образованные
объектами в [0mm] И [9max] со-
ответственно, т. е. такими, при
неопределенности относительно
А или нет.
Рис 1
которых у субъекта не возникает
того, обладают ли они свойством
Таким образом показано, что точно так же, как характеристи-
ческая функция %а объективного свойства, функция принадлеж-
ности (ла субъективного свойства определена порядковой шкалой.
До сих пор по отношению а смоделированы только топологиче-
ские свойства 0. Чтобы вместо порядковой шкалы для ца постро-
ить более сильную шкалу, воспользуемся тем, что переход от дву-
значной принадлежности к многозначной позволяет перейти от
всего лишь топологических свойств 0, определенных отношением
S: а, к алгебраическим свойствам.
Для установления в 0 слабого интервального порядка потре-
буем, чтобы в общем случае субъект мог сравнить любую па-
ру интервалов, определенных набором из четырех точек в 0. На-
пример, пусть субъект установил, что объект 02 обладает свой-
ством А по крайней мере в той* же степени, что и 01 (т. е 02 име-
ет по крайней мере ту же степень принадлежности множеству А,
что и 01), и что 04 обладает свойством А по крайней мере в той же
степени, что и 03 (т. е. 04 имеет по крайней мере ту же степень
принадлежности множеству А, что и 03). Далее, пусть он устано-
вил, что приращение свойства А от 01 до 02 по крайней мере так
же велико, как от 03 до 04 (другими словами, приращение принад-
лежности множеству А от 01 до 02 по крайней мере также велико,.
55
как приращение от 03 до 04, или, что эквивалентно, принадлеж-
ность 02 превосходит принадлежность 01 по крайней мере на столь-
ко, на сколько 04 превосходит 03). В последнем предложении срав-
ниваются не точки в ®, а интервалы в ®, и утверждение можно
переписать в виде
02 01 ®4 0з, 03, 0з, ®- (4)
В отличие от двух предшествующих сравнений это не топологиче-
ское, а алгебраическое утверждение об отношении а в ®, и
этот факт позволяет перейти от порядковой шкалы принадлеж-
ности к более сильной шкале. Уравнение (4) формулирует утвер-
ждение о бинарных отношениях в (ЭХ® (т. е. во множестве ин-
тервалов в ®), которое в числовом представлении системы
<<р(0), может быть выражено в виде утверждения
Ф (02)—Ф (0Х) > Ф (04) —Ф (03). (5)
Определение. Ограниченная структура многозначной принадлеж-
ности <®, ZA>, для которой интервалы 0/); в О могут быть сла-
бо упорядочены по отношению 'л при любых 0г, б^е®, называ-
ется разностно-сравнимой и обозначается <0Х®, ^'д>.
Разностно-сравнимая ограниченная структура многозначной
принадлежности образует «алгебраическую разностную структу-
ру» [1], если удовлетворяются следующие пять аксиом:
А1 — аксиома слабой упорядоченности: структура <0X0,
'Ау определяет слабый порядок;
А2 — аксиома перемены знака: если 020i £ 'а040з, то
03б4 ^А0102;
АЗ — аксиома слабой монотонности: если 020i 'aO'sO'i и
0302 ~ то 0301 ^,/Д0,30,1;
А4 — условие разрешимости: если 020i £ za0z40z3 ^'a0i0i, то
существуют 0'4, 0zz4e® такие, что 0z40i £'а040з > za020z,4;
А5 — архимедово условие: если а\а2... аг... — строго ограничен-
ная стандартная последовательность (т. е. для любых аг, аг+1 в
последовательности аг+1О,г ~ 'Aa2ai; не верно, что a2ai^ 'аСЬОг, су-
ществуют 0Z4, 0zz4e0 такие, что 6zz40z4>zAaiai>zA6z40zz4 для любых
ai в последовательности), то последовательность а1а2...аг... конеч-
на.
Аксиома А2 говорит, что если изменение свойства А при пере-
ходе от 01 к 02 по крайней мерей такое же (т. е. столь же поло-
жительное), как при переходе от 03 к 04, то изменение свойства
А в противоположном направлении от 02 к 01 не больше (т. е. не
более положительное), чем при переходе ют 04 к 03. Другими сло-
56
вами, если приращение свойства А при переходе от 01 к 02 по
крайней мере такое же, как при переходе от 03 к 04, то соотно-
шение уменьшений свойства при переходе в обратном направле-
нии должно оставаться тем же.
Аксиома АЗ говорит, что если приращение свойства А при пе-
реходе от 01 к 02 по крайней мере такое же, как при переходе от
0Z! к 0х2, и приращение от 02 к 03 по крайней мере такое же, как
при переходе от 0'2 к 0'3, то приращение от 0i к 03 по крайней
мере, такое же, как приращение от 0^ к 0'3.
Аксиомы А2 и АЗ интуитивно кажутся достаточно разумными
и можно ожидать, что им удовлетворят данные, полученные от
любого наблюдателя.
Аксиомы А4 и А5 больше относятся к свойствам самого мно-
жества 0, чем к способности субъекта произвести оценки по от-
ношению 'а-
Аксиома А4 просто устанавливает, что область исследований
0 достаточно плотная, чтобы можно было «скопировать» любой
интервал 0403 в пределах интервала, не меньшего 02Oi, и относи-
тельно любого из концов 0t или 02. Если точка 01 — концевая, то
субъект выбирает точку 0'4 так, чтобы прирост свойства А от 01
к 0'4 равнялся приросту от 03 к 04. Если точка 02 концевая, то
субъект выбирает точку 0"4 так, чтобы прирост свойства А от
0"4 к 02 равнялся приросту от 03 к 04.
В формулировке аксиомы А5 первые два условия в скобках
определяют стандартную последовательность, а добавление третье-
го условия в скобках приводит к определению строго ограничен-
ной последовательности «копий» аг+1^ интервала a2&i внутри
большего интервала 0,,40/4. Аксиома А5 просто устанавливает, что
эта последовательность должна быть конечной, т. е. интервал
0/,4О,4 не может быть бесконечно большим относительно любого
меньшего интервала длина которого не равна нулю. Это оз-
начает, что прирост свойства А при переходе от любой точки 0Х4.
к любой другой точке 0"4 может быть превышен за конечное чис-
ло последовательных приращений размером a2«i-
Поскольку мы хотим построить числовое представление (р на
действительной прямой, а для действительных чисел аксиома А5
выполнена (т. е. для любых данных х, y^R, таких, что г/>х>0,
существует целое числю тг, такое, при котором выполняется усло-
вие пх^>у), то нужно, чтобы А5 была истинной для эмпирической
системы <0X0, ха>. А так как трудно себе представить субъек-
та, который любое приращение свойства А от одной точки в 0
до другой рассматривал бы как бесконечно большее, чем любое
другое нулевое приращение, то представляется разумным предпо-
ложить, что аксиома А5 справедлива для системы <0X0, 'а>-
Очевидно, что А4 — структурное предположение, которое бу-
57
дегг выполнено, если 0 достаточно плотное множество для того,
чтобы при заданных 0Ь 03, 04 можно было найти значение 03 та-
кое, что 0Z40i Д 'а040з; будем предполапать, что 0 достаточно
плотное множество и аксиома А4 удовлетворяется непосредст-
венно. Такое множество называется «порядко|во-плотным» и его
примером служит множество 0={люди различного роста }. Нуж-
но заметить, что любая эмпирическая область © может быть
представлена с помощью некоторой числовой области X (0). Нап-
ример [(см. рис. 1), где использовали %(©) =[0, оо) (метр)], вся-
кий /раз, когда © — порядково-плотное множество, как в данном
примере с 0={люди различного роста}, множество Х(0) будет
непрерывным. (Случаи, когда © не порядково-плотное множест-
во, и, значит, %(©) не непрерывное, а дискретное множество, как и
случаи многомерной области Х(0), будут рассмотрены в последую-
щих публикациях.) Если субъективные ощущения свойства А,
относящегося к порядково-плотной области 0, удовлетворяют ак-
сиомам А1—А5, то имеет место следующее числовое представле-
ние принадлежности.
Теорема о представлении 2. Пусть © — порядково-плотное
множество, <©, д А) — разностно-сравнимая, ограниченная систе-
ма многозначной принадлежности, такая, что <©Х©, 'аУ — ал-
гебраическая разностная структура. Тогда существует ограничен-
ная действительная функция ца, определенная на 0, и такая, что
для всех 01, 02, 0з, 04^©:
Т^А Рл (0г) рл (®i), (6)
Ра (02) Ра (0i) Ра (0$) Ра (^з)- (7)
Заметим, что
порядке д ' а-
(7) следует
слабый порядок Д а неявно содержится в слабом
Действительно, если 0201 'а'0з0з, то из уравнения
Ра (02) — Ра (0J > Ра (03) —Ра (9з\
и, значит, Ра (02) рл (01), что в силу определения (6) означает
02^ A0J-
Итак, любая кривая на рис. 1 допустима для ограниченной
структуры многозначной принадлежности <0, а>, но только од-
на из них допустима для разностно-уравнимой ограниченной струк-
туры многозначной принадлежности <©Х0, 'а>. Это объясня-
ется тем, что все эти кривые согласованы с бинарным отношени-
ем порядка Д а в 0, но только одна удовлетворяет четверке ал-
гебраических соотношений на 0, задающих отношение Д 'а.
Построив представление системы <0X0, 'а> с помощью го-
58
моморфиой ей числовой структуры <рА, перейдем к вопросу
о единственности такого представления.
Теорема единственности1 2. Если р*д — еще одна функция,
удовлетворяющая уравнениям (6) и (7), то
Ид (0) = С1Рд(0) + с2> > О, (8)
т. е. цд определена на шкале интервалов.
Таким образом, числовое представление рл(0) единственно с
точностью до положительного линейного преобразования. Это оз-
начает, что числовое представление включает две константы: про-
извольный нуль и произвольный масштаб. Поэтому любому эле-
менту в 0 можно приписать значение принадлежности 0,00 и лю-
бому другому — значение 1,00. Любому элементу 0-е [Ощш] А Л
можно присвоить произвольное значение BL и любому элементу
0+е[9тах] /1 — произвольное значение Ви. Однако если однаж-
ды эти два значения BL и Bv выбраны, то значения принадлеж-
ности всех остальных элементов в 0 полностью определяются эти-
ми границами. Более детально смысл этого свойства интерваль-
ной шкалы принадлежности будет рассмотрен в разд. 4.
4. О СИЛЕ ШКАЛЫ
4.1 . СРАВНЕНИЕ ШКАЛЫ ОТНОШЕНИЙ СО ШКАЛОЙ
ИНТЕРВАЛОВ
Уже показано, как можно построить числовое представление
принадлежности на шкале интервалов. Имея в виду такую шкалу
(еще один пример такой шкалы доставляет физическая величина
«температура»), имеет смысл говорить об отношении разностей
значений принадлежности' двух точек из 0, но не об отношении
самих значений принадлежности [4]. Как следует из теоремы един-
ственности 2, это оцравдано тем, что первое отношение инвариант-
но IK положительным линейным преобразованиям:
ТС1,с2 [рд (0)1 = сх рд (0) + <?2 АРд (0), > 0,
в то время как для отношения значений функции принадлежности
это не так. Действительно,
Ра (01) — Ра (02) С1 иа (01) + С2—'С1 ^д (0г) —с2
Р*а (0з)— Ра (04) С1 ил (0з) + с2—ci (0J—с2
Рд (01) —рл (02)
= _с--------г---- t (9)
Рл (0з)—Ра (04)
1 Имеется в виду единственность представления в интервальной шкале, т. е.
€ точностью до линейного преобразования. \(Прим. ред.)
59
в то время как
Ид (01) Ид (0i) -1- с2 Ид (01) + — Цд (01)
-2---- = ----2-------- = —---------Д -2--------- . (10)
ол^з) ^^(0.) + ^ Ил(е3)+-^ '‘Деу
~ С1
Чтобы соотношение (10) выполнялось со знаком равенства и, тем
самыад, принадлежность измерялась в шкале отношений, необхо-
димо выполнение равенства с2 = 0, а тогда множество допустимых
преобразований, с точностью до которых определяется единствен-
ность числового соответствия, оказывается множеством преобразо-
ваний подобия Множество преобразований подобия будет запи-
сываться в виде
т [рд ] = {ТС1 о [Рл ] = q Рд > 0} А тЯз,
где запись т[«] обозначает «множество допустимых преобразова-
ний» функции аргумента, a xRS — мнемоническое обозначение для
«множества допустимых преобразований шкалы отношений» Од-
нако из вывода теоремы единственности 2 следует, что
т [рд ] = {7\,С2 [рд ] = ^ Рд 4-CaJCi > 0} A T/S,
где Tis — мнемоническое обозначение для «множества допусти
мых преобразований шкалы интервалов»
Теперь если в уравнении (9) положить 02 — 04 — 0mm, ТО ДЛЯ
Рд (01) Рд (0min) Рд (01)
того чтобы —----------------- свести к —г ч , необходимо при-
Рд (®з) Рд (0min) Рд (®з)
нять BL = рА (0т1П) =0 и таким образом уменьшить число дроиз
вольных констант в числовом представлении до одной (т е Ви =
= РА (0тах) )
Заметим, что thsCztjs Это включение отражает только тот
факт, что класс преобразований, которые сохраняют неизменны
ми отношения значений функции, меньше класса преобразований,
которые сохраняют неизменными отношения разностей значений
Таким образом, числовое соответствии в шкале отношений более
уникально, чем в шкале интервалов в том смысле, что в первом
случае эквивалентные (т е сохраняющие эмпирические отноше-
ния в 0 по д) числовые представления получаются с помощью
класса преобразований, составляющих подмножество класса до-
пустимых преобразований шкалы интервалов Для функции, из-
меряемой в шкале отношений для всех эквивалентных числовых
представлений, полученных с использованием trs, значение нуля
всегда присваивается одному и тому же классу эквивалентности,
тогда как для функции, измеряемой в шкале интервалов, назна-
чения числового значения любому классу эквивалентности всегда
произво тьно.
60
4.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕСТЕСТВЕННОГО НУЛЯ
Теперь утверждение, что некоторая эмпирическая система с от-
ношениями имеет числовое представление в шкале отношений, эк-
вивалентно утверждению, что ее числовое представление единст-
венно с точностью до преобразования подобия Кроме того, каж-
дое из этих утверждений эквивалентно утверждению, что эмпири-
ческая система с отношениями имеет естественный нуль, т е ес-
ли носитель Х(0) непрерывен (как на рис 1), то существует объ-
ект 0о, которому должно быть назначено определенное, а не про-
извольное числовое знаиение функции принадлежности, а именно
«0» Далее, чтобы при слабом упорядочении для каждой эмпири-
ческое области 0 и для каждого субъекта существовал естест-
венный нуль, необходимо выполнение условия
И0оЕ0э0>0оУ0Е0. (11)
Для ограниченной структуры многозначной принадлежности <©,
£ а> для всех 0 ее О:0 д0тт Действительно, для любого
0-е[0mm]J /о'0^а0- — для всех 0ее0 Однако для принадлеж-
ности естественный нуль не должен приев айв а тыс я классу экви-
валентности [0_] (т е. /о) всех объектов с принадлежностью BL,
а только тем объектам в этом классе, которые имеют наибольшее
значение х(0), т е тем объектам, которые отображаются в точ-
ку Xmm на рис 1, поскольку все остальные элементы интервала /о
образуют нижнюю ветвь четкой двузначной части функции ца и,
таким образом, как показано в разд 3, обладают только тополо-
гическими свойствами, определенными отношением а, что при-
водит к порядковой шкале, тогда как вопрос о существовании ес-
тественного нуля во множестве элементов, упорядоченных огно
шением Е А, требует анализа алгебраической структуры
Соотношение (И) представляет собой только необходимое ус-
ловие существования естественного нуля, поскольку ему удовлет-
воряет минимальный элемент в любом упорядочении Условие, по
которому можно определить, будет ли данный минимальный эле-
мент естественным нулем или нет, состоит в том, что (с учетом
ограничений, накладываемых на физическую различимость сти-
мулов в 0) этот элемент должен быть однозначно определен для
данного субъекта, и вообще для каждого субъекта интервал /0
должен определяться однозначно В этом случае для функции
принадлежности — неубывающей, когда она представлена в ви-
де зависимости Ца (0) от х(0), как, например, для 0={люди раз-
личного роста) и А = высокий, — интервал /0 определяется одним
элементом 0mm, так как
* % (9) -^mln 6 д 9min>
61
где xmin = X (Omin). Таким образом, точное определение /0 эквива-
лентно тючному определению элемента 0тш (или, что одно и то
же, значения xmin).
Поскольку субъект не совсем уверен в смысле субъективного
понятия А, то утверждать, что некоторое понятие разбивает об-
ласть исследования 0 точно на интервалы /0, F и Ц и что точки
Xmin и Хщах могут быть точно определены (в пределах физической
различимости) — значит вступать в противоречие с самой сутью
представления о нечеткости.
Для доказательства того, что субъект не имеет естественного
нуля для функции принадлежности Ца(0), достаточно принять,
что для субъекта значение xmin±e (где е «мало») может быть
столь же легко взято в качестве точки разделения интервалов /о
и ,F, как и значение xmin, т. е. достаточно предположить, что су-
ществует объект 0, который субъект отличает от 0min и, значит,
считает x(0)=?^Xmin, и который он столь же легко может предло-
жить для определения точки разбиения интервалов /0, F. Нап-
ример, для 0={люди различного роста } и А = высокий, субъект
может в качестве 0min выбрать объект высотой 1,5 м, но с лег-
костью согласится, что объект высотой 1,5 м±0,003 м может быть
также выбран в качестве Omin*
Однако если субъект непреклонен в своем выборе конкретно-
го объекта 0min, то еще нужно убедиться, будет ли выбранный им
объект 0min естественным нулем или нет, т. е. нужно проверять
согласованность его выбора. Если в качестве естественного нуля
был выбран 0min и 0- — объект в интервале /0—0min, физически
отличный от 0тщ, то субъект никогда не должен утверждать, что
0-<A0mm, а всегда говорить, что 0_~A0mm. Аналогично, если объ-
ект 0е[0—/о] физически отличим от 0min, то субъект никогда не
должен утверждать, что 0min~A0, а должен всегда утверждать,
что 0min<A0- Если первая ошибка все же сделана, то 0mm нуж-
но перенести в 0_, если сделана вторая ошибка, то за 0т1П нуж-
но принять 0. В любом случае исходный объект 0min не будет ес-
тественным нулем, и функция принадлежности ца (0) — измерена
в шкале отношений.
Таким образом, если
z _ _____ субъект настаивает на сво-
ГД ем выборе 0mtn в качест-
I \ ве естественного нуля, то
/ \ процедура проверки состо-
/ \ ит в предъявлении не-
у V скольких пар объектов 0г
° И У- ТаКИХ- ЧТ0 0i И
х 0^ физически различимы, а
01 1 1 г 1ог значения х(0г) и х(03) ле-
Рис. 2 жат в малой окрестно-
62
сти xmm. Затем субъекта несколько раз просят сделать
выбор между случайно предъявляемыми парами объектов,
т. е. он должен определить, какое из трех отношений 0;>-a0j,
Gi —aOj, 0jX>A0i он считает еп)ра|ведливым. Любая несогласован-
ность — даже в одном испытании — доказывает, что объект 0тш
не может считаться естественным нулем.
Рассмотрим теперь другие кривые графиков функции принад-
лежности, изображающие зависимость ца(0) от х(0), например,
унимодальную 1 кривую на рис. 2, представляющую 0 = {одноэтаж-
ные дома фиксирюваной ширины и различной высоты} и свойства
А = эстетическая привлекательность (т. е. красивый). В этом слу-
п
чае /о= U 10.. Чтобы интервал /о можно было определить точно,
i=i 1
и, таким образом, измерять принадлежность в шкале отношений,
каждый элемент множества {0пппД7-э т концевых точек в 10 дол-
жен быть однозначно (с точностью до физической различимости)
опр еделен субъект ом.
Описанная процедура проверки должна применяться теперь к
каждому объекту 0min/n, если хотя бы одна концевая точка точ-
но не зафиксирована в представлении эксперта, то функция ца(0)
не измерима в шкале отношений. Как утверждалось ранее, усло-
вие, определяющее естественный нуль, по-видимому, невыполнимо
для субъектов, по суждениям которых выясняется структура при-
надлежностей; поэтому функция принадлежности будет измерять-
ся в шкале, не сильнее шкалы интервалов. Мы чувствуем, что
искать точное (с учетом ограничений на физическую различи-
мость) разбиение 0 на интервалы /о, h и F на основе свойства
А, представление о котором у субъекта неточно (неопределенно
или неясно), — изначально неосуществимое желание, к тому же
противоречащее основным предпосылкам теории нечетких мно-
жеств.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В статье предложена модель измерения нечеткости для неп-
рерывного носителя Х(0). Сформулированы теоремы представле-
ния и единственности и предложен тест для проверки того, какая
из двух шкал измерения принадлежности применима в конкрет-
ной модели: шкала отношений или всего лишь интервалов. В ра-
боте [1] эта модель измерения используется как основа для по-
строения функций принадлежности. Описаны методы шкалирова-
ния и некоторые предварительные результаты их использования в
проводящихся сейчас эмпирических исследованиях.
1 Обычно в научной литературе унимодальным называется распределение,
имеющее единственный максимум .(на рис. 2 — континуум). {Прим, ред.)
63
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kraniz, D. Н., D. Luce, P. Suppes, and A. Tversky (1971). Foundations of
Measurement, Vol. 1. Academic Press, New York.
2. Norwich, A. M, and I. B. Turksen (1978). The membership function of fuzzy
set theory: representation, uniqueness, and construction. Working Paper 78—
Oil. Department of Industrial Engineering, University of Toronto.
3 Norwich, A. M, and I. B. Turksen (1980). The construction of membership
functions. Working Paper 80—023. Department of Industrial Engineering, Uni-
versity of Toronto.
4. Suppes, P., and J. L. Zinnes (1963). Basic measurement theory. In R. D. Lu-
ce, R. R. Bush, and E Galanter (Eds), Handbook of Mathematical Psycholo-
gy, vol. 1. John Wiley and Sons, New York, pp. 1—76.
[Имеется перевод: Суппес П., Зинес Дж. Основы теории измерений. — В
кн.: Психологические измерения. — М.: Мир, 1967, с. 9—110]
5. Zadeh, L. А. (1965). Fuzzy sets. Information and Control, 8, 338—353.
ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
А. М. Норвич, И. Б. ТурксенА
Предлагаются два метода построения функций принадлеж-
ности нечеткого множества и сообщается о некоторых предвари-
тельных результатах проводящихся эмпирических исследований
этих методов.
Ключевые слова: функция принадлежности; шкалирование; пря-
мое оценивание; обратное оценивание; унарный лингвистический
оператор; интенсификация; отрицание; антоним.
1. МЕТОДЫ ШКАЛИРОВАНИЯ
В литературе по математической психологии описано много
методов шкалирования субъективного восприятия свойства [1, 5,
6]. Каждый из них имеет свои достоинства и недостатки. В рас-
сматриваемых эмпирических исследованиях по построению функ-
ций принадлежности, соответствующих алгебраической разностной
структуре модели измерений, предложенной в [3] для случая по-
рядково-плотной области исследования 0, для применения выбра-
но два метода. Наиболее часто использовался метод прямого оце-
нивания (известный также как оценка величины), второй ме-
тод — «метод обратного оценивания» использовался для проверки
информации, полученной от некоторых испытуемых.
Если для субъекта постулаты алгебраической разностной
структуры оказались приемлемыми (или альтернативно предпола-
гаются приемлемыми) и, следовательно, считается, что функция
принадлежности определена в шкале интервалов, то имеет смысл
попросить субъекта оценить с помощью упомянутых двух мето-
дов, как свойство А какого-либо объекта 0 соотносится с каждой
парой объектов 0-^/о и 0+е/о. Для этого его просят сравнить две
Department of Industrial Engineering, University of Toronto.
Работа финансировалась Канадским советом по естественным наукам и технике
64
разности принадлежности, построенные для интедвалов 00_ и 0+0
из 0, оценить отношение этих разностей Далее субъекта просят
определить /1 и /о (т е указать те объекты, которые, по его мне-
нию, определенно обладают свойством А и которые столь же оп-
ределенно не обладают этим свойством) и поставить им в соот-
ветствие некоторые произвольные значения принадлежности Ви и
BL- Затем ему несколько раз наугад предъявляют несколько точек
0e>F и просят каждую оценку F(0)^[BL, Вц-] назначать таким
образом, чтобы она отражала его восприятие свойства Л у объекта
0, т е. измеряла истинность утверждения «0 обладает свойством
Л», или его степень согласия, с тем, что «0 обладает свойством
А». Давая эту оценку, он все время помнит, что значение Ви ус-
ловились присваивать объектам, которые несомненно обладают
свойством А, и значение Bj — тем, которые несомненно им не об-
ладают Это эквивалентно утверждению, что выражение (г(0)—-
—ВВ) I {Вх —BL} представляет собой отношение приращения свой-
ства А при переходе от объекта 0т1П к объекту 0 к приращению А
при переходе от 0m±n к 0тах Поскольку оценки BL и Ви соответст-
вуют значению принадлежности к множеству А элементов 0mm и
0тах соответственно, то г(0) интерпретируется как степень при-
надлежности 0 в А Опенка помещается в виде метни на отрезке
вертикальной прямой, нижняя концевая точна которого изобража-
ет BL, а верхняя — В^. Тогда длина сегмента ниже метни, делен-
ная на всю длину отрезка (т е на В&—BL), равна отношению
разности принадлежностей
Нд !1д (Grain)
Цд (Qmax) Ид (0mln)
Этот геометрический прием оценивания предпочнтельнее непос-
редственного назначения численных оценок, поскольку у некоторых
субъектов численное оценивание вызывает внутреннее сопротивле-
ние и оно легче для запоминания предыдущих ответов, что не-
желательно.
В процедуре обратного оценивания субъекту сообщается оцен-
ка r<^[BL, Ви] и его просят выбрать объект Q^F, соответствую-
щий значению г. Если его функция принадлежности измерима по
крайней мере в шкале интервалов, то процедуры прямого и об-
ратного оценивания должны привести к построению одного и то-
то же графика. Такая проверка на эквивалентность обеспечивает
необходимое условие существования функции принадлежности,
измеримой по крайней мере в шкале интервалов. Для каждой из
этих процедур повторные испытания приводят к несовпадающим
результатам. За наилучшую оценку значения оцениваемой точки
принимается среднее или медиана.
3-120 65
Аксиомы. измерения в модели с алгебраической разностной
структурой проверяются следующим образом: субъекта просят
несколько раз и в произвольном порядке сравнить интервалы
0Д и 9$ь в 0 для того, чтобы установить на них слабое упорядо-
чение 'а. Поскольку при некоторых предъявлениях будет выс-
казано суждение, что 0Д^'а0ДЭь, а на других 0z0fe^ 'а0Д и по-
этому появится несогласованность, то упорядочение по отношению
д 'а строится путем упорядочения вероятностей Р(0Д; 0Д) суж-
дений 0Д Д ла0/0й. для всех 0г, 0^, 0ft, 0/geO Таким образом, yi
верждение 0Д Д 'а0/0й. объявляют истинным, если приращение
свойства А при переходе от 0г к 0^ оценивается по крайней мере
столь же большой величиной, как и при переходе от 0/г к 0/ по
крайней мере на половине предъявлений Используя вероятности
этого типа, можно проверить аксиомы Тем более, что от упоря
дочения > 'а в © требуется лишь слабая стохастическая транзи-
тивность. Р(0Д, 0Д)^1/2 и Р(0Д; 0п0те) > 1/2=>Р (0Д; 0п0ж) >
^1/2.
2. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
В практической работе принимали участие выпускники и сту-
денты последнего курса технических специальностей Во всех экс-
периментах шкалировались не стимулы, а субъекты, т. е. функ-
ции принадлежности строились для каждого индивидуума отдель-
но с помощью многокритериального оценивания им данных сти-
мулов и последующего осреднения его ответов (а не осреднением
оценок группы индивидуумов). Есть два соображения за то, что-
бы поступать именно так. Первое — философского плана, пос-
кольку шкалирование субъектов делает теорию нечетких мно-
жеств более общей и информативной и, таким образом, более
мощной, чем шкалирование стимулов, поскольку «групповую»
функцию принадлежности, полученную методом шкалирования
стимулов, можно легко вывести из множества индивидуальных
функций, полученных методом шкалирования субъектов, но обрат-
ное не верно. Более того, получив возможность сравнивать и
сопоставлять индивидуальные представления субъективных
свойств, можно в конце концов прийти к пониманию индивиду-
альных особенностей ощущения человека, если удастся устано-
вить корреляцию параметров индивидуальных функций принад-
лежности с другими психологическими или физическими парамет-
рами индивидуума Второй довод в пользу шкалирования субъ
ектов носит как психологический, так и математический характер
При шкалировании стимулов предполагается, что все люди вос-
принимают свойство А идентично. Еесли это предположение не-
верно, то результирующая математическая модель — «группо-
вая» функция принадлежности — строго говоря, непригодна, от-
сюда и кавычки. Заметим: основная посылка теории нечетких
С6
множеств состоит в том, что степень с которой объект наделен
субъективным свойством, не поддается строгой объективной оцен-
ке или оценке типа «да-нет», но допускает субъективную интер-
претацию более общего характера. Разрешая функции принад-
лежности принимать значения в [0, 1], а не только в {0, 1}, мы
допускаем более полное выражение этой субъективности Анало-
гично, не следует удивляться, если окажется, что допущение субъ-
ективной интерпретируемости потребует не только обобщения от-
носительно множества возможных значений функции принадлеж-
ности, присваиваемых индивидуумом объекту, но также и обоб-
щения, связывающего каждое индивидуальное оценивание с оцен-
ками других людей И действительно, результаты рассматривае-
мой экспериментальной работы указывают на значительное раз-
личие в восприятии людьми субъективных характеристик объек-
тов
В проводимых экспериментах функции принадлежности строи-
лись на непрерывном носителе Х(0) для следующих двух пара-
метров:
1. 01 = {люди различного роста}, Ai(0!) = [0, оо) м, А = высо-
кий При построении шкалы «высокий человек» для использо-
вался деревянный манекен, высоту которого можно было изме-
нять
2 02= {одноэтажные дома фиксир овинной ширины и различ-
ной высоты}, Л’2(02) = [О, оо) м, А2 = эстетическая привлекатель-
ность (т. е. красота). При построении шкалы «привлекательность
дома» использовался картонный дом с дымовой трубой и треуголь-
ной крышей, на параллелепипеде шириной 0,3 м и высотой, изме-
нявшейся от 0 до 0,85 м
Первый пример иллюстрирует ситуацию, в которой ожидалось,
что рл будет монотонно возрастающей функцией на Х(0); во вто-
ром примере ожидалось, что ца(А’(0)) будет унимодальной функ-
цией.
К тому же в первом эксперименте вместе с первичным термом
высокий человек шкалировались его модификации, полученные в
результате применения операторов интенсификации (т е очень
высокий человек) и отрицания (т е не высокий человек) Функ-
ция принадлежности была построена для амонима к свойству
высокий, т. е. для характеристики низкий. Наконец, на большин-
стве субъектов по одному или обоим свойствам А* и А2 проверя
лись аксиомы алгебраической разностной структуры и существо-
вания естественного нуля Использовались процедуры, описанные
в разд 1 данной статьи и разд. 4.2 в [3] соответственно В этих
экспериментах каждый отдельный стимул оценивался субъектом
по методу прямого или обратного оценивания не менее девяти
раз.
Обозначим через 3Jl={mi, пг2, ..} = {m | me^Dl} класс унарных
лингвистических операторов, определенных на субъективных свой-
з* 67
ствах, введем мнемоническое обозначение тАр для понятия «линг
вистический модификатор, действующий на субъективное свойст
во Ah» Определим следующие элементы множества z = оператор
отождествления, v = очень, ~] =не ant = антоним Например, за
пись ihAk означает ца/2 Поэтому функции принадлежности, строя
щиеся для свойств, имеют вид mAk, гце 1) m = i, k=l, 2, 2) m = v,
П , ant, k = 1
Рис
Рис 2
По результатам экспериментов установлено, что прямое и об
ратное оценивание дают одни и те же функции принадлежности и
что аксиомы алгебраических разностных структур удовлетворяют
ся для всех субъектов Кроме того, установлено, что ни один
субъект не смог пройти тест
Эти функции в целом типичны
на определение естественно
го нуля На рис 1, 2 и 3 по
казаны функции принадлеж
5 ности для Ai и Д2 На рис 1
также показаны значения,
полученные во всех испы
таниях для m = i Аналогии
ная диаграмма разброса по
лучена для всех других
функций на рис 1, 2 и 3
(однако показаны только
средние значения субъектив
ных откликов)
я группы субъектов и име
ют предсказанные нами основные формы, т е функция Цжа, мо
нотонна при m = i, v, '“j, ant, а функция ца2 — унимодальна За
метим, что интенсификация не только уменьшает значения при
надлежности первичного терма, но фактически сводит некоторые
68
значения к нулю Несмотря на неполный сбор данных и не дове-
денный до конца количественный анализ, уже сейчас можно по
дытожить следующие общие наблюдения
Наблюдение 1. У любого отдельно взятого субъекта нечеткие
области FmAl и FA1 функции и Цтл, соответственно не сов
падают ни по форме, ни по расположению: FmAl=£FA1 и ^FmA^^
=/= |Faj , m = v, И , ant В действительности, не совпадают кон
цевые точки областей Fm^ и FAt
^mln 1 v Дi 5^ ’‘"min ] Л, > ^niax 1 v А, -^max 1 Л, >
Упах 1 Ун in 1 —I Ар -^min 1 ~l At -^тах 1 Ai >
Утах J ant Ai нА Уп1п 1 Ах> -Уп1п 1 ant At -^тах 1 А,
Наблюдение 2. Кроме того, у любого отдельно взятого субъ
екта ни по форме, ни по расположению не совпадают нечеткие
области функции р-1Д1 И PantA, ^ant A^F 1 А1 И |УаН aJ¥=
В действительности, не совпадают их границы
Упхп]агИ А х T At И Xmaxjant A , Унах]” A t
Наблюдение 3. Почти для всех субъектов функция ца2 с}6
нормальна, т е значение максимальной принадлежности на
Х2 (02) меньше полной принадлежности Ви, значение которой бы
ло выбрано равным 1 00
Наблюдение 4. Никакие два человека не воспринимали свой
ство tnAh в точности одинаково (m=t для k=l, 2 и m = o, ~] ant
для k—1), т е никакие параметры pmAk не совпадали у двух
субъектов (например, их соответствующие нечеткие области бы
ли разными)
Из наблюдений 1 и 2 следует, что некоторые законы, рассмот
ренные в литературе по нечетким множествам [7] в качестве мо
делей реального эмпирического поведения, должны быть пере
смотрены В частности, наблюдение 1 затрагивает закон дополне
ния ц-] а=1—Ца и правило возведения в степень при интенеифи
кации цГА = ЦаЦ р>1 Согласно наблюдению 2 антоним первич
ного терма может не совпадать по смыслу с отрицанием терма
(т е может не быть синонимом своему отрицанию)
Наблюдение 3 указывает, что субнормальность может служить
естественной характеристикой реального процесса шкалирования
нечеткости Одно из возможных объяснений состоит в том, что
определенные свойства, такие как привлекательность дома, для
некоторых из опрашиваемых предопределяют очень узкие области
в I, в пределах которых они полностью согласны с тем, что объ
ект наделен данным свойством Так, в большинстве повторных
предъявлений отдельного объекта из этой узкой области субъект
может прямо оценить его полностью принадлежащим этой об
69
ласти и по |Кр1айней мере ,в одном испытании оценить степень при-
надлежности несколько ниже. Поэтому средняя оценка получается
меньше значения полной принадлежности. Вопрос о том, насколь-
ко универсально явление субнормальности среди объектов при
шкалировании какого-либо отдельного унимодального свойства,
как и вопрос о том, какие унимодальные свойства относятся к
числу субнормальных для большинства субъектов, а какие нет,
остается открытым.
Наконец, наблюдение 4, по-видимому, подкрепляет утверж-
дение, согласно которому нечеткость по своей природе должна
приводить к тому, что люди неодинаково воспринимают субъек-
тивное свойство. Как указывалось ранее, с этим приходится счи-
таться при построении групповых функций принадлежности, и
влияние этого фактора будет изучено в дальнейших исследовани-
ях. Нужно отметить, что в готовящейся к печати работе будет
рассмотрена также проблема измерения нечеткости для дискрет-
ного носителя Х(@) с анализом результатов экспериментов, про-
веденных для этого случая. Объектом последующих исследований
будет также построение функций принадлежности с многомерным
носителем X(О).
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Согласно модели измерения, предложенной в [3], сначала
были описаны методы шкалирования функций принадлежности.
Затем были приведены результаты экспериментального апробиро-
вания этих процедур, которые привели к заключению, согласно
которому индивидуумы могут воспринимать нечеткость очень по-
разному, и что правила, постулированные в литературе для унар-
ных лингвистических операторов, часто нарушаются. Однако эти
выводы опирались только на качественный анализ собранных до
сих пор данных. После того, как будут собраны все данные, бу-
дут разработаны методы проверки гипотез, позволяющие количе-
ственно оценить обоснованность вывода, согласно которому для
того, чтобы объяснить действительно встречающиеся в реальной
жизни функции принадлежности для восприятия субъективных
свойств, нужно разрабатывать более общие модели таких нечет-
ких феноменов, как эффекты, возникающие из-за использования
унарных лингвистических операторов. В работе [4] предложены
такие модели; в них решается вопрос оценки того, имеют ли кон-
кретные операции над одной или несколькими функциями при-
надлежности содержательное значение или же его следует рас-
ценивать только как чисто математическую конструкцию.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Guilford, J. Р. (1954). Psychometric Methods, 2nd ed. McGraw-Hill, New York.
2. Norwich, A. M. and I. B. Turksen (1978). The membership function of fuzzy set
theory: representation, uniqueness and construction. Working Paper N 78—Oil.
Department of Industrial Engineering, University of Toronto.
70
3. Norwich, A. M., and I. B. Turksen (1980a). The fundamental measurement of
fuzziness. Working Paper N—80—022. Department of Industrial Engineering,
University of Toronto.
4. Norwich, A. AL, and I. B. Turksen (1980b). Meaningfulness in fuzzy set theo-
ry. Working Paper N80—024. Department of Industrial Engineering, University
of Toronto.
5. Nunnally, J. M. (1978). Psychometric Theory, 2nd ed. McGraw-Hill, New York.
6. Torgerson, W. S. (1958). Theory and Methods of Scaling. John Wiley and Sons,
New York.
7. Zadeh, L. A (1975). The concept of a linguistic variable and its application to
approximate reasoning — III. Information Sciences, 8, 301—357.
[Имеется перевод: Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его при-
менение к принятию приближенного решения. — М.: Мир, 1976. — 165 с.]
МНОЖЕСТВА УРОВНЯ ДЛЯ ОЦЕНКИ
ПРИНАДЛЕЖНОСТИ НЕЧЕТКИХ ПОДМНОЖЕСТВ
Р. Р. Ягер 1
1. ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] Л. А. Заде ввел понятие нечеткого подмножест-
ва. Нечеткие подмножества отличаются от обычных, или четких
подмножеств тем, что в нечетком подмножестве степень при-
надлежности элемента множеству может быть любым числом еди-
ничного интервала [0, 1], а не только одним из двух значений
{0, 1}, как в случае индикаторов обычных подмножеств. Это свой-
ство нечетких подмножеств обеспечивает возможность теоретико-
множественного представления реальных неточных понятий, в ко-
торых переход от непринадлежности к принадлежности про-
исходит постепенно. Возможность формализации понятий такого
типа оказалась очень полезной при разработке принципов искус-
ственного интеллекта ЭВМ, моделирующих процессы мышления
человека.
Независимо от того, что использовать — нечеткие или четкие
подмножества, определение степеней принадлежности опирается
на некоторые субъективные критерии человека, принимающего
решение. Однако если при определении четких подмножеств про-
изводится «простой» выбор одного из двух чисел — нуля или
единицы, то для определения нечетких подмножеств возможности
выбора степеней принадлежности намного разнообразнее. В ря-
де случаев определение подходящих значений степеней принад-
лежности элементов нечетких множеств приводит к значительным
трудностям в работе с нечеткими понятиями.
Наша цель состоит в том, чтобы описать методологию, кото-
рая помогала бы при значении степеней принадлежности для не-
четких подмножеств конечных множеств. Методология опирается
на использование понятия уровневых множеств заданного нечет-
1 Iona College, New Rochelle, New York 10801.
71
кого подмножества. В частности, именно в процессах субъектив-
ного определения уровневых множеств обеспечивается возмож-
ность определять конкретное нечеткое подмножество.
2- МНОЖЕСТВА УРОВНЯ И СТЕПЕНИ
ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Напомним, что нечеткое подмножество данного конечного мно-
жества X — это такое подмножество, значения степеней принад-
лежности элементов которого лежат в единичном интервале. В
приложениях нечетких подмножеств значительный интерес вызы-
вает проблема оценки степеней принадлежности для используе-
мых первичных нечетких подмножеств. Нужно помнить, что сте-
пени принадлежности — это субъективные оценки, результат ра-
боты человека, который определяет нечеткое подмножество. Цель
состоит в описании методологии, которая позволяла бы выявить
степени принадлежности элементов логически последовательным
и спокойным образом.
Пусть А — нечеткое подмножество конечного множества Х =
= {xi, х2, х3, ..., хп}. Предположим, что степени принадлежности
элементов множества X нечеткому подмножеству А известны;
обозначим их А(хг)=а{. Будем полагать, что без потери общности
элементы множества заиндексированы так, что А(хг)^А(х3), ес-
ли Этому нечеткому подмножеству можно поставить в со-
ответствие набор четких подмножеств множества X, называемых
уровневыми множествами нечеткого множества А. Конкретнее,
множество a-уровня определяется как Аа= {х|А (%) 7^ а, хеХ).
Другими словами, Аа — четкое подмножество множества X, кото-
рое содержит все элементы, степень принадлежности которых не
менее, чем а. Заметим, что если ai>i«2, то Ла2 и Аа есть
возрастающая функция от параметра а1. Заметим также, что если
для некоторого а& не существует элементов, таких что А(х)^аь.>
то Аа =0 для а>аь
Перед тем как изложить методику определения степеней при-
надлежности, опишем случайный эксперимент, в котором исполь-
зуется понятие уровневого множества. Пусть задано нечеткое
подмножество А множества X. Рассмотрим следующий случайный
способ выбора элемента х из X.
Сначала случайным образом выбираем значение as [О, 1], а
затем также случайно — элемент из соответствующего множест-
ва a-уровня. Подсчитаем вероятность выбора конкретного эле-
мента в условиях этого эксперимента.
Для простоты изложения предположим, что •••
^ап, Пп = Птах^1, где ai — степень принадлежности хг- множе-
ству X. Теперь легко выписать и сами уровневые множества:
1 Точнее, (возрастающее параметрическое семейство множеств. {Прим, ред.\
72
при
при
при
О < а aL
ах < а а.2
д < а о3
’ {^1» ^2’ ^3’ ^4» '” ’
' {^2’ хз, *^4» •• ’ Хп}
' {-^3> ••. , Л'п,}
" ™1>
А%,
= Аз,
при ап—2 <С ot dn—। Aa {xn—j, vn} i4n_j,
при an^t<a^an Aa^(xn) = An,
при an < а 1 Ла=0.
Поскольку в эксперименте значения а выбираются случайным об-
разом, то вероятность того, что уровневое множество Аг окажется
выбранным, равна Р(Аг)=ац—di-i. Кроме того, заметим, что так
как из выбранного уровневого множества элемент выбирается слу-
чайно, то
(О, xtt Ah
Р {выбрать элемент Хг[А2} = { t
| ~ , %1 А’
V П]
где п3 — число элементов в А}. Поэтому
Р^ = P(xi\Aj)-P(A}).
/=i
Используя приведенные формулы, можно рассчитать вероятность
того, что будет выбран данный элемент множества X:
р (Xj = J- аг,
п
Р (-^г) Р C^i) I (^"2 ^1)»
п--1
Р (х3) = Р (х2) Н-Ц (а3 —а2),
п — 2
(-^з) Р (л-з) 4“ Z (^4
п— 3
Р С^тг— 1) (^тг—г) g (^n—1 2)> (О
{-^п) Р Н- (^п
Р (выбранных элементов нет) = 1—ап.
Нужно заметить, что если то предполагается, что аг^аь и,
следовательно, Рг^Рд.
Разрешив систему относительно Р(Хг), убедимся, что сумма их
вероятностей равна единице:
73
P ta) = — ах,
п
Р (-^2? «1 4“ 7 («2 «4>
П П 1
Р W = — «14------Ц («2“«1)4-----Ц («3 —«2),
Р (хп) = — ах4- —Ц («2-^)4- —“ (а3-а2)+... + ап—ап-^
п п—1 п — 2
п / ] \ / 1 \
Следовательно, v Р (х^ — п — % + («— 1) --------I (а2 —
\ п У \п—1/
— а) + (я—2) ( —ЦЛ (а3 — а2)+ ... + («п — «п-i),
2 Р (хг) - а± + (а2—ах) + («з—а2) 4-... + («п—«п-4 = «п-
i=i
Поэтому
п
2 Р + Р (выбранных элементов нет) = ап -4 (1 —ап) = 1.
i=i
3. ВЫЯВЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Реальная проблема, решение которой нас интересует, возни-
кает в случае, когда степени принадлежности нечеткого подмно-
жества непосредственно не заданы, а существуют только в пред-
ставлении оценивающего. Задача состоит в том, чтобы постарать-
ся выявить степени принадлежности элементов нечеткого мно-
жества, которое пользователь пытается определить.
Результаты предыдущего раздела могут быть положены в ос-
нову построения последовательной методики определения степе-
ней принадлежности элементов нечеткого множества, которая мо-
жет оказаться полезной для ряда пользователей.
Предваряя описание методологии для получения степеней при-
надлежности нечетких подмножеств, выразим степень принад-
лежности аг через вероятность P(Xi) выбора элемента в предыду-
щем эксперименте. Из системы уравнений (1) после алгебраичес-
ких преобразований получаем
аг = пР (хх),
а2^(П—1)Р(х2) + Р(х1),
а3 = (п—2)Р (х3) + Р (х2) + Р (хх),
k—1
«fe = («—1) P(xh) + Jp P(Xi), (2)
i=i
74
п—2
ап—\ = 2Р (xn-i) 4- У Р (xf)),
i=l
i=l
где п — число элементов в I; а; — степень принадлежности Xi
нечеткому множеству Л; P(Xi) — вероятность того, что в данном
эксперименте будет выбран элемент Напомним, что элементы
были занумерованы так, что из £>/ следует а^а^, откуда, как
было показано, вытекает, что P(Xi) ^P(xj). Обратно, если
P(Xi) ^P(Xj), то ai^>aj. Заметим также что ап = 1 тогда и толь-
ко тогда, когда вероятность получения пустого множества равна
нулю.
Из системы уравнений (2) видно, что если известны вероят-
ности, с которыми в описанном здесь эксперименте выбираются
элементы множества X, то эту информацию можно использовать
для определения степеней принадлежности элементов к нечетко-
му подмножеству А.
Поэтому, если суметь получить оценки для вероятностей, вхо-
дящих в правые части системы уравнений (2), то их можно ис-
пользовать для вычисления значений степеней принадлежности к
множеству А.
Полагаем, что описываемая далее процедура, опирающаяся
на систематическую выборку уровневых множеств, пригодна для
оценивания вероятностей в (2).
С каждым Xi свяжем величину первоначально равную нулю,
которая будет равна числу появлений Xi в следующей процеду-
ре:
1. Определить объем выборки М (например, М=25, тИ=50,
М= 100), необходимый для успешной работы.
2. Разделить единичный интервал на М частей равной дли-
ны, например, если 714 = 50, то получим {1; 0,98; 0,96; 0,94;... 0,02}.
Обозначим это множество через S.
3. Выбрать случайным образом без возвращения элемент а
из S.
4. Попросить человека, определяющего нечеткое подмножест-
во, перечислить все элементы X, которые, как он полагает, при-
надлежат множеству, соответствующему выбранному значению
уровня а.
5. Если k — число элементов, включенных в множество уров-
ня, построенное на шаге 4, то при каждом появлении элемента
в этом уровне добавить — к Ti.
k
6. Повторять шаги 3—5 до тех пор, пока не используем все а
в S.
7. Подсчитать Р(хг); Pi=-TijM.
75
8. Полученные оценки вероятностей упорядочить по возраста-
нию и подставить их в (2), рассчитать степени принадлежности
элементов X множеству А.
Пример. Пусть Х~{а, b, с, d, е, f}. Предположим, что объем выборки
М = 25, тогда S={1 0,96 0,92 0,88 0,84 0,80 0,76 0,72 0,68 0,64 0,60 0,56 0,52
0,48 0,44 0,40 0,36 0,32 0,28 0,24 0,20 0,16 0,12 0,08 0,04}.
Пусть, выбирая значения уровня случайным образом, от испытуемого по-
лучили следующие уровневые множества нечеткого подмножества А:
^0,92 = {«}, А0,52= Iе’ b’
А, 6 ’ = {е, b, d}, ^0,40 ~ е, b> d},
^0,36 = {с, а, е, b, d}, Ао 12 = {с, а, е, b, d},
^0,32 = {с, а, е, b, d}, А0,80 ~ »
А,72 = {b, d), Л0>64 = {е, b, d},
^0,44 = {а, е, b, d}. ^0,56 = b’
А,88 = {b, d}, Ai ,оо ~ ’
А,08 = {/, с, а, е, b, d}, Ао 28 = (е, а, с, b, d),
А,84 = (b, d}, ^0,16 = (е’ а' е> ь<
А,04 = {/, с, d, е, b, d), А),20 = е> + d)>
^0,68 ^0,24 = {е, b, d}, = {с, а, е, b, d], А,48 = {«> е’ Ь’
А,76 ^{b.d}. А, 96 ~ •
Используя полученные ответы, можно подсчитать Тг для каждого элемента:
Та = 2. + 8. 4- + 2. 4- = 2,433,
6 5 4
Гб=2-т+8-т+2-т + 5-т+5-т=6’6’
1 1
Тс = 2- - + 8.-- = 1,933,
с 6'5
Td = 2- — +8- — +2-— +5- 4" +5’ 4~ +3 = 9,6,
а 6 5 4 3 2
1 1 1 . 1 л ,
Те = 2- — +8-— +2- 5- — =4,1,
6 5 4 3
1
Tf = 2- — = 0,333.
1 6
Рассчитаем оценки значений вероятности (Рг = Л/25):
Р (а) = 0,097; Р (Ь) = 0,264; Р (с) = 0,077;
Р (J) = 0,384, Р (е) = 0,164, Р (/) = 0,013.
Расположим вероятности в возрастающем порядке: ,
Р (/) = 0,013, Р (с) = 0,077, Р (а) = 0,097,
Р (е) = 0,164, Р (Ь) = 0,264, Р (d) = 0,384.
76
Подставляя полученные значения в (2), учитывая, что общее число элемен-
тов в X равно 6, подсчитаем степень принадлежности элементов множеству:
СС/ = 6 Р (/) = 0,078 ; ас = 5 Р (с) + Р (/) = 0,398;
ап =- 4 Р (а) + Р (с) + Р (/) - 0,478 ; ае = 3 Р (с) +
+ Р (а) + Р (с) + Р (f) = 0,678 ; аь = 7Р(Ь) + Р(е) +
+ Р (а) + Р (с) + Р (/) - 0,879 ; ad=-- Р (d) + Р (b) + Р (е) +
+ р (а)+ Р(С) + Р (/) = !.
Нужно отметить, что в этом примере уровневые множества записывались на
основе следующей системы степеней принадлежности:
ау — 0,1, ас = 0,4, art = 0,5, ае = 0,7, а^ —0,9,
Таким образом, видно, что для этих значений предложенная методология дала
довольно хорошие оценки. При увеличении объема выборки М будут получены
еще лучшие оценки.
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Нужно отметить, что представленная методология никоим об-
разом не претендует на оптимальность и не расценивается как
единственно возможная, но нам кажется, что для некоторых лю-
дей она более приемлема в эмоциональном плане, чем процедура
прямого назначения степеней принадлежности.
По-видимому, будущие исследования смогут привести к более
эффективным способам оценивания искомых вероятностей, чем
предложенная здесь процедура. В частности, для получения мно-
жеств уровня предложено назначить объем выборки и затем под-
разделить единичный интервал на это число. В качестве альтер-
нативы можно предложить после назначения объема выборки
разбить единичный интервал случайным образом и использовать
точки разбиения как значения уровней, по которым находятся
оценки вероятностей. Однако наш опыт говорит, что при малых
объемах выборки случайный выбор значений уровней может ока-
заться неудовлетворительным, поскольку многие из отобранных
значений могут попасть в небольшую область. В будущем пред-
стоит рассмотреть статистические свойства оценок для вероятнос-
тей в зависимости от объема выборки и метода ее получения.
Следует отметить, что хотя из теоретических соображений сле-
дует, что если ai>«2, то XaiczXa2, однако в предложенном ме-
тоде к человеку не предъявляется требования, согласно которому
его ответы должны быть согласованы с этим условием. Несог-
ласованность информации, полученной от человека, не имеет ни-
какого значения — процедура все равно приведет к определению
степеней принадлежности. Однако, если несогласованность будет
очень велика, можно просить человека пересмотреть свой выбор,
сообщив ему о результатах расчетов. Обе процедуры: процеду-
ра выявления уровневых множеств и вычисление степеней при-
надлежности могут быть запрограммированы для интерактивного
режима.
77
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Zadeh, L. A., Fuzzy Sets, Information and Control, 8, 338—353, 1965.
2. Mendenhall, W., Ott, L. and Scheaffer, R. L., Elementary survey Sampling,
Wadsworth, Belmont, Cal., 1971.
РОБАСТНОСТЬ ОПЕРАТОРОВ НЕЧЕТКИХ
ОТНОШЕНИЙ
А. А. Каня, М. С. Стахович 1
Нечеткое отношение можно построить по заданной цепи им-
пликаций ... (АП=>ВП). Отношение рассматривается как
оператор, ставящий в соответствие нечеткому множеству А неко-
торое нечеткое множество В в качестве значения оператора на
аргументе А. Рассматривается проблема характеризации робаст-
ности такого оператора. А именно, для заданного нечеткого мно-
жества В — элемента области значений отношения В характе-
ризуется семейство нечетких множеств (содержащихся в области
определения В), таких, что для любого A^sfi : В ° А = В. Харак-
теризация семейства формулируется как эффективное и необ-
ходимое условие принадлежности А к j/.
Ключевые слова: цепь импликаций; робастность оператора;
максимальный куб нечетких входов.
1. ВВЕДЕНИЕ
Как в классической теории множеств, так и в теории нечет-
ких множеств, понятие отношения служит основой для теоретичес-
кого определения понятия отображения. Для данных пространств
X и Y отображение можно рассматривать как подходящее под-
множество прямого произведения XX Y. Разумеется, что как в тео-
рии, так и на практике, существует множество других путей кон-
кретизации этого понятия. Однако фундаментальное определение
базируется на теоретико-множественной концепции. Этот же путь
Заде [6] выбрал для определения нечеткого преобразования. По
данным отношениям атомарной импликации Вг = Аг=^Вг, i=l, ..., N
N
строится глобальное отношение В= U Bi, которое в сочетании с
z=i
композиционным правилом вывода играет роль оператора. Для
данного аргумента — нечеткого множества, взятого из подходя-
щим образом определенной области, используя оператор В, мож-
1 Institute of Applied Mechanics Mathematics Division, Institute of Automatics
Technical University of Kielce, Al. Tysiaclecia Panstwa Polskiego 7 25-314 Kielce,
Poland.
78
но получить нечеткое множество, представляющее зна^ние это-
го преобразования. Таким образом имеем дело с системой
R°A = B, (1)
где А — аргумент (входное множество), В — значение (выход-
ное множество).
В определении нечеткого преобразования по Заде и почти во
всех практических работах опорные пространства входных и вы-
ходных множеств предполагаются дискретными. Это позволяет
представить систему (1) в виде конечной системы алгебраических
уравнений, записанных на языке операторов взятия минимума и
максимума:
[A (хД,...
A (xh)] о
уд ... R(xr, уд
_R(xh, Уд ...R(xh> Уд
= |5 (уд ... В (уд],
или согласно определению операции « ° » [6] в виде
уд)М .\/(A(xh)/\R(xht уд = В(уд,
^))Vл)) = В(г/.). (2>
Конечно, с системой (2) связано много проблем, которые
должны быть решены прежде, чем ее можно будет использовать
на практике в соответствии с эвристическим композиционным пра-
вилом вывода. Одна из наиболее увлекательных проблем — проб-
лема о разрешимости системы (2) и поисках ее решений. Зада-
ча состоит в том, чтобы по данным R и В сказать, можно ли най-
ти множество А такое, что R °А = В, и если да, то определить все
такие множества. Далее рассматриваются обе эти проблемы.
Вопрос существования был косвенно решен в [4] и в несколько
модифицированном для наших целей виде будет рассмотрен в сле-
дующем разделе. Что же касается определения решений системы
(2), то оказывается, что обычно приходится иметь дело с семей-
ством нечетких подмножеств. Это установленный факт, но оста-
ется проблема описания этого семейства. Частично это было сде-
лано в работе [3]: указана верхняя граница семейства решений.
В этой работе приводится эффективное условие, согласно кото-
рому нечеткое множество становится решением системы (2).
Дальнейшее исследование и эффективное определение семейства
решений для данных R и В приводится в разд. 3. В последнем
разделе формулируются некоторые наиболее интересные свойст-
ва этого семейства. До сих пор внимание читателя было привле-
чено к проблеме решения системы (2). В то же время название
статьи говорит о робастности. Фактически проблема робастности
возникает в связи с некоторыми интересными выводами о струк-
туре нечеткого оператора R на заданном множестве решений сис-
темы. Если система (1) обладает свойством хорошего отображе-
ния [3], то очевидно, что равенство R °Ai = Bi справедливо при
79
любом i=l, ..., N. Для практических применений важно знать, как
«далеко» от Аг можно сдвигать нечеткое множество на входе сис-
темы (1), не изменяя значения Вг на выходе. В данной работе в
основном освещается именно эта проблема, упоминается она и в
заключении.
2. ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА
Пусть заданы пространства X и У, cardX<Coo, cardY<Coo. Для
простоты предположим, что функции принадлежности, опреде-
ленные на X или У, принимают значения в единичном интервале,
однако в данной работе это могла бы быть любая вполне упоря-
доченная полная Брауэрова структура. Для любых элементов а,
Ье[0, 1] положим a a b = {хе[0,1]: а/\х^.Ь}. Теперь можно ввес-
ти операцию а для нечетких подмножеств.
Определение 1. Пусть А — нечеткое подмножество простран-
ства X, R — нечеткое отношение, определенное на прямом про-
изведении ХхУ. Тогда
(Ла R)(y)~ /\А(х) а R (х, у).
— х ~
Для данного отношения R, определенного на ХхУ, можно опре-
делить так называемое обратное отношение R~l на УхХ услови-
ем: R~x(y, x)=R(x, у). В этом контексте можно установить тео-
рему, которая была сформулирована и доказана в более общем
виде в работе [4].
Теорема 1. Пусть даны: нечеткое отношение R, определенное
на XXY, А и В — нечеткие подмножества X и У соответственно.
Тогда для фиксированных R и В имеем
1) Л = {Л:/?о Д = В}#=0ФФ(7?аВ-1)-1,
2) (RaB~l)~l — максимальный элемент семейства
~ при условии, что j^#=0.
В свете проблемы поиска решения для системы (2) сформу-
лированную теорему можно назвать теоремой существования, так
как условие 1 дает ответ на вопрос о существовании решения. Ус-
ловие 2 дает одно из решений, а именно, наибольшее. Для ос-
тальных решений справедливо следующее утверждение:
Утверждение 1. Пусть для данных R и В, и некоторого нечет-
кого входного множества А имеем: R °А = В. Тогда для любого
нечеткого D, такого, что A^D^.(RaB~i)~i справедливо равен-
ство R ° D = B.
Доказательство. В силу условия 2 и простых свойств опера-
ций max(V) и пип(Д) получаем
y)l\A(X)^R(x, у) f\ D(x)^R(x, у) /\(Ra В-1)-1 (х),
х^.Х, y^Y
80
Тогда
B(y)=\/R(x, у)/\А (x)^\/R(x, y)/\D(x)
X X
^VR(*> (*) = £(//)
x —
для любого y^Y. Это означает, что R °D = B.
При поиске всех представителей семейства мы сталкиваем-
ся с более сложными проблемами. Чтобы дать необходимое и
достаточное условие принадлежности нечеткого аргумента А се-
мейству «яД потребуются дополнительные теоретические рассмот-
рения.
3. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ СЕМЕЙСТВА Ж
Предположим, что имеется отношение R= рР (хг, уА ],
/ = 1, ..., I, определенное на пространстве XxY, Х={хь ..., Xk},
Y={yi, ..., у} и нечеткое подмножество В = [В(г/Д], / = 1, ..., I
пространства У. Предположим также, что (Р а В~1)~1 = В, что обес-
печивает условие, согласно которому множество решений зада-
чи непусто. Для простоты обозначим нечеткое множество
(R а В~1)-1 через Z. Построим матрицу М:
ля/-7\ Z(xA/\R(xlt у А ... Z (лу) Д Р уА
M(Z)= : : . (3)
Z(xk)/\R(xh, уА ...Z(xh) f\R(xk, уА
Можно заметить, что Z(x}) /\R (х3, уА=В(уА при / = 1, ..., k и
максимальные компоненты i-ro столбца равны значению В(уг)
(см. (2)). С помощью операции б, которую определим следующим
образом: для а, Ье[0, 1] имеем абЬ=1, если а = Ь, иначе абЬ — 0,
на основе матрицы Л4 построим матрицу М:
~т11^В(уА ти^В(уА'
M(Z) = : ; . (4)
_mkl6B(yA ...mkl6B(yA_
Легко видеть, что /пг?е{0, 1). Из предположения, что R°Z = B,
следует, что в каждом столбце матрицы Л1 расположена хотя бы
одна единица. Появление единиц указывает на выполнение ком-
позиционного правила вывода. Построим теперь граф G, порож-
денный матрицей М, т. е. рассмотрим матрицу М как матрицу
инциденций точек из пространства X и У. С ее помощью получим
двудольный граф [2] G = G(X, У, б/), где множество ребер б/=
= {и(хг, Уг) : Щг1= 1}.
Чтобы избежать утомительного описания дальнейших шагов,
рассмотрим пример.
Пример 1. Пусть определены пространства X—{xi, х2, х3, х4], Y— {ylt у2,
Уз, г/4}, а атомарные отношения и /?2 определяются нечеткими подмножест-
вами
Дх = [1 0,8 0,3 0,3], [0,3 0,3 0,7 1],
А2= [0 0,1 0,8 1], В2=[1 0,9 0,6 0,3].
81
В этом случае глобальное отношение
^ = ^iU^2= (Ai=>Bi), иначе (А2=^^2)
принимает вид
0,3 0,3 0,7 1 J
0,3 0,3 0,7 0,8
0,8 0,8 0,6 0,3
1 0,9 0,6 0,3
Определенная здесь система обладает так называемым свойством хорошего
отображения, г. е. 7? оАг==Вг, /=11,2. Нас интересует вопрос: как далеко от
Ai можно сдвинуть входное множество, не изменяя выходного В\.
1. По определению 1, можно Подсчитать верхнюю границу для она рав-
на (2?«В-1)-1= [1 1 0,3 0,3].
2. Используя формулы (2) и (3) для матрицы М, получаем
1 1 1
1 1 0
1 о о
1 о о
3. Построим граф G:
Рис. >1
4. Упорядочим множество У, положив уг^у3 тогда и только тогда, когда
ВЛУг)^В\(уз'). В данном случае точки у} графа G упорядочены слева напра-
во в возрастающей последовательности (рис. 1).
5. Напомним, что индексы столбцов матрицы М связаны с индексами со-
ответствующих компонентов выходного вектора [Bf(у,) ] ft3=i. Может оказаться,
что некоторые компоненты этого векто-
yx f'~"\ Ра имеют одинаковое значение. В этом
случае соответствующие точки графа G
должны слиться. Поскольку в данном
примере Bi (yi) =Bi (у2) =0,3, то точки
(ТЛ Т/i и ^2 сливаются, образуя граф (?с
\^у kJ/ (рис. 2). т
Для дальнейшего обсуждения пред-
рис 2 положим, что ВДуД =/=(), /=1, .... I.
Это предположение не ограничивает
общность результатов. Если найдется некоторый индекс j такой, что Вг(уД=0,
то точку yj можно удалить из графа G без какого-либо влияния на окон-
чательный ответ.
82
Теперь прервем рассмотрение примера, так как для получения
заключительных утверждений о семействе следует обратиться
к теории. Используя поясненные в примере понятия, введем сле-
дующие определения.
Определение 2. В графе Gc минимальным контактом1 с мно-
жеством Y называется подмножество ребер Cy<ziU такое, что
удаление из него любого ребра приведет к отделению некоторой
точки (т. е. для некоторого y^Y степень у станет равна нулю).
Определение 3. Контакт Су согласован с порядком в У (см.
п. 4 в приведенном примере) тогда и только тогда, когда u(Xi,
yi)^U=>u(Xi, ys)^U при s>/.
В рассматриваемом примере в графе Gc имеется только один
минимальный контакт, согласованный с порядком: Cy—{u(xi,
#12), u(xi, уз), и(хг, #4)}. Это связано с тем обстоятельством, что
степень #4=1 и вершина Xi инцидентна у4, но это означает, что
u(xi, #4) принадлежит любому минимальному контакту, так что,
по определению 3, ему должны также принадлежать и ребра
u{xi, У12) и ц(%1, уз). В силу определения 2 очевидно, что любой
другой контакт не минимален.
Имея некоторый контакт Су, минимальный и согласованный с
порядком, и используя описанный далее алгоритм, можно полу-
чить нечеткое входное множество, столь необходимое для по-
строения семейства
Алгоритм 1. Обозначим через Г (г) множество вершин графа
Gc, инцидентных данной вершине z^X[)Y в подграфе (X, У, Cy)cz '
czGc, где Су — минимальный контакт, согласованный с- поряд-
ком. Нечеткое входное множество А = [A (xi), ..., А(х&.)] определя-
ется следующим образом:
A(xx) = B(#s), где #s = max {#г: #геГ (хх)},
А (х2) = В (yt), где yt = max {yt: угеГ (х2)},
> A(xk) = B(yp), где #p = max{#z:#z6ET(xfe)}.
«Лемма 1. Если для данного нечеткого множества А матрица
А1(А) (определенная с помощью (2) и (3)) порождает контакт
графа G(Z), то А^зФ.
Доказательство. Зафиксируем какой-нибудь элемент ^еУ. На-
до доказать равенство V^(Xf)A# (*г, =^(#х). Поскольку
х
А1(А) порождает контакт графа G(Z), то найдется некоторый xs
такой, что х3еГ(у,.). Это, однако, означает, что ms,eM(A) равно
единице. Если это так, то в соответствии с процедурой построения
матрицы 7И(А) имеем А(х8)Д/?(х8, уд)=В(уд).
1 (В отечественной литературе при анализе близких графовых конструкций
употребляются также термины «разрез» и «рассекающее множество». 1(Прим
ред.)
83
Утверждение 2. Для данных R и В в системе (1) любое нечет-
кое множество А, полученное с помощью алгоритма 1, принадле-
жит семейству
Доказательство. Легко видеть, что контакт Су можно считать
порожденным Л4(А). Однако в силу леммы 1 это означает, что
A<=s/.
Утверждение 3. Любое решение А системы (2), достигнутое с
помощью алгоритма 1, — минимальное, т. е. уменьшение любого
компонента функции принадлежности А (х) приводит к тому, что
АфзФ.
Доказательство. Уменьшение любого компонента функции при-
надлежности, определенной с помощью алгоритма 1, влечет исчез-
новение одной или больше единиц из матрицы Д4(А). Это озна-
чает, что получаемый подграф больше не имеет контакта с мно-
жеством У. По определению, это означает, что для некоторого г/0
степень г/о==О, т. е. V А (х) Д7? (х, откуда получаем,
х
что A^s&.
Утверждение 4. Если А — минимально, С — некоторое нечет-
кое подмножество пространства X и А^С^(ВаВ~1)~\ то
Доказательство аналогично доказательству утверждения 1.
Понятие минимального решения было введено в утверждение
3. Минимальное решение строится с помощью конечного двудоль-
ного графа. Это позволяет прийти к выводу, что за конечное чис-
ло шагов можно найти все минимальные контакты в G(Z), сог-
ласованные с порядком в У. Поэтому с помощью алгоритма 1
можно построить все минимальные нечеткие подмножества X.
Обозначим их А1, ..., Ар.
Определение 4. Пусть дано конечное нечеткое отношение R и
выходное нечеткое подмножество В, содержащееся в У. Тогда мак-
симальный куб зР- нечетких подмножеств X определяется следую-
щим образом: «9/г = {С — нечеткое подмножество Х\
Теорема 2. Пусть ..., j&p — максимальные кубы для дан-
р
ных R и В. Тогда = |J
i=i
Доказательство. Включение э, понимаемое в смысле опреде-
ления 4, очевидно в силу утверждения 4. Рассмотрим обратное
включение. Предположим, что тогда в силу того, что А<с
sC имеет место включение графа G(A) в граф
G(Z) : G(A)^G(Z) (в смысле включения множества ребер). По-
скольку для каждого уг справедливо равенство В(уг)= V А (х)Д
х
/\R(x, у3), то М(А) порождает контакт СДА) в G(Z), согласо-
ванный с порядком. Этот контакт или минимален, т. е. А=А?'
для некоторого i, или содержит некоторый минимальный контакт,
т. е. Аез/г для некоторого I. Это означает, что в обоих случаях
84
А принадлежит, по крайней мере, одному максимальному кубу,
что и завершает доказательство.
Эту теорему можно рассматривать как необходимое и доста-
точное условие того, что данное нечеткое входное множество А
будет решением уравнения R ° Х = В. Не удивительно, что семей-
ство — неупорядоченное множество. Это связано со структу-
рой входной области. Поскольку множество есть объединение
кубов <я£г, то определенный интерес представляют семейства это-
го множества. Некоторые вводные положения, связанные с этой
темой, приведены в следующем разделе.
4. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА
РЕШЕНИЙ
Определим операцию, которая для заданного порожда-
ет куб:
А={С — нечеткое подмножество множества Х:А^
(5)
Эту операцию можно обобщить на случай любого семейства прос-
транства решений А именно, если Qcz^, то
Q = U А-
Лей
(6>
Легко видеть, что формула (6) определяет операцию замыкания.
Известно [1], что если определена операция замыкания, то се-
мейство всех замкнутых подмножеств данного пространства
образует решетку относительно операций + и + , определенных
следующим образом:
F + G = F[jG,
F^G = FQG, F, Ge.f.
(7)
С учетом определения, записанного в виде условия (5), становит-
ся очевидно, что f[)G = F[]G, т. е. сумма замкнутых подмножеств
замкнута. В силу этого свойства кажется естественным сформу-
лировать следующее утверждение.
Утверждение 5. Семейство замкнутых подмножеств прост-
ранства с определенной на нем согласно (7) операцией обра-
зует дистрибутивную решетку, т. е.
Ft(G + tf) = FttG) + (Fttf),
» + (Gj/7) = (F-|-G)t(F + tf) для F,G,H<=&-.
Следствие 1. Решетка ST, образованная замкнутыми подмно-
жества пространства зФ — модулярная, т. е. F + (G+ (F + Н)) =
= (F tC) + (Ft//).
Выписанное только что равенство справедливо, поскольку лю-
бая дистрибутивная решетка модулярна.
85
Следствие 2. Пусть С, D<=s&, тогда C\JD(=s&, но не обяза-
тельно C/\D^s^. Действительно, C\/\D^C\}D = C{\D(ZL3^. Далее,
поскольку существует только один замкнутый относительно са-
мого себя элемент пространства а именно: (7?аВ-1)-1, то, если
С и D не совпадают с этой^ максимальной точкой, они не замк-
нутые. Кроме того, C/\D^C + Dczj^ только в тривиальном слу-
чае при C = D. Можно доказать, что существуют решения, точнее,
минимальные решения пересечение которых (Д — операция
взятия минимума для функции принадлежности) уже не будет
решением. Это следует с очевидностью из понятия минимального
контакта и алгоритма 1.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Хотелось бы обратить внимание читателей на практическое зна-
чение изложенной теории. На практике оператор нечеткого пре-
образования R, образованный импликацией отношений Ai=^Bi,
аппроксимирует некоторую реальную зависимость вход-выход. Во
многих случаях эта зависимость достаточно строго можег быть
выявлена в виде вербального описания. Допустим, что единствен-
но доступная информация о реальном процессе — это такое линг-
вистическое описание. С помощью теории нечетких множеств его
можно представить системой (1). Однако теперь возникает воп-
рос: насколько точно формальная система отражает опыт челове-
ка. В основу анализа можно положить различные определения
уровней точности. Интересующий нас смысл, вкладываемый в по-
нятие точности, раскрывается экспертом в диалоговом режиме соз-
дания нечеткой системы. На основе теории йечетких множеств
разработчик строит нечеткую систему в виде нечеткого отноше-
ния, полученного с помощью атомарных импликаций, построен-
ных по экспертной информации. На этом этапе из-за языковой
неопределенности могут возникнуть серьезные затруднения. Пред-
положим, что эксперт описал систему, состоящую из N атомар-
ных импликаций (Лг=>Вг). На основе изложенной теории разра-
ботчик системы может построить семейства st1, ..., s£N как множе-
ство решений для Bi,..., BN соответственно. Если эксперт согласен,
что все члены семейства могут быть приняты в качестве вход-
ных для соответствующего Bi, то все в порядке. Однако может
оказаться, что некоторые множества слишком широки. Это
означает, что либо при определении структуры, либо в реализации
системы допущены ошибки. И их нужно устранить, чтобы достичь
необходимой с эвристической точки зрения согласованности меж-
ду экспертом и разработчиком системы. Иначе проблема решения
системы (1) может считаться неадекватной реальности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Berge, С. (1959). Espaces topologiques. Dunod, Paris.
2. Berge, C. (1970). Graphes et hypergraphes. Dunod, Paris.
86
3. Kania, A. A., J. B. Kiszka, M. B. Gorzalczany, J. R. Maj and M S. Stachowicz
(1980). On stability of formal fuzziness systems. Information Sciences, 22,
51—68.
4. Sanchez, E. (1976). Resolution of composite fuzzy relation equations. Inf. Cont.,
30, 38—48.
5. Tong, R. M. (1977). A control engineering review of fuzzy systems. Automatica,
V.13, № 6, 559—571.
6. Zadeh, L. A. (1973). Outline of a new approach to the analysis of complex
systems and decision processes. IEEE Trans. Systems, Man and Cyb., SMC-3/1/,
28—44.
([Имеется перевод: Заде Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных
систем и процессов принятия решений.— В кн.: Математика сегодня. — М.:
Знание, 1974, с. 5—49.]
ЭТАЛОННЫЙ ПОДХОД К ПОЛУЧЕНИЮ
НЕЧЕТКИХ ОТНОШЕНИЙ ПРЕДПОЧТЕНИЯ
В. Б. Кузьмин 1
Нечеткие отношения индивидуального предпочтения R на X
предлагается получать с использованием множества «эталонных»
объектов У и заданного на У отношения Вводится закон «взаимо-
действия» 'F между X и У или закон «согласования» 5 и J?. Ис-
следуются его свойства для некоторого типа отношений. Рассмат-
ривается проблема выбора на основе отношения К, а также проб-
лемы организации таких экспертиз и практического применения
эталонного подхода. Приводятся примеры. В заключение обсуж-
дается роль эталонных объектов при экспертизе.
Ключевые слова: нечеткое отношение предпочтения; множество
эталонных объектов; эталон; выбор; экспертиза.
1. О ПОНЯТИИ ЭТАЛОНА. ЭТАЛОННОЕ
ОТНОШЕНИЕ В ЧЕТКОМ СЛУЧАЕ
В естественных науках под эталонами понимают нечто, при-
нимаемое за образец, критерий, модель, пример или правило для
сравнения или сопоставления с эквивалентными объектами. В ка-
честве примеров эталонов укажем на: метр — эталон меры длины;
уровень жизни — стандарт, принятый в данной стране для оценки
условий жизни; установленные обычаем или общим согласием
нормы взаимоотношений между людьми, служащие для характе-
ристики стиля поведения в данном обществе; и последнее — уго-
ловное законодательство, представляющее собой канонический
свод моделей — эталонов противоправного поведения (и соответ-
ствующих эталонных мер наказания).
Приведенные примеры иллюстрируют только одну составляю-
щую эксплуатируемого понятия, а именно, физическую содержа-
1 ВНИИ системных исследований, Москва.
87
тельность понятия «эталон» в различных контекстах. Далее оста-
новимся на физическом содержании этого понятия в задачах
получения и обработки индивидуальных предпочтений. Здесь же
отметим, что для семантической точности понятия необходимо
также определить его формульную составляющую, дающую воз-
можность оперировать точной формальной структурой при разра-
ботке аналитического аппарата.
Основное назначение эталона состоит в том, что содержащая-
ся в нем информация определенного типа служит для оценки
аналогичной информации в других объектах. Эти оценки могут
быть представлены в виде бинарных отношений индивидуального
предпочтения Так, в [1] рассматривается четкое отношение «быть
эталоном» и описывается его формальная структура. Пусть М —
некоторое множество объектов и А — отношение эквивалентности
на М. Это отношение определяет разбиение множества М на си-
стему непустых подмножеств классов разбиения—{ЛД, М2,
таких, что
1) .,
2) MtQMj^=0 при i^=i
Наличие разбиения M={Mi, М2, ...} означает, что в каждом его
классе Мг собраны такие элементы из М, которые сходны, оди-
наковы или эквивалентны в смысле, определяемом отношением Л.
«Теперь в каждом множестве Мг выберем некоторый содержа-
щийся в нем элемент хг и будем называть его эталоном для вся-
кого элемента у, входящего в то же множество Мг. По опреде-
лению, будем полагать выполненным соотношение хгАу» [1, с 53].
Так, определенное отношение в [1] называется отношением «быть
эталоном»; обозначим его через 0.
На основе этого конструктивного определения «х является
эталоном для у» структура 0 характеризуется следующими свой-
ствами:
1) для всякого у существует эталон х: х&у;
2) если х&у, то у&х;
3) из х&у и 20 г/ следует x=z.
Можно показать, что из этих трех свойств следует опреде-
ление эталона с помощью разбиения. Другими словами, сущест-
вует сюръективное отображение <р : где X — множество
объектов, а элементы множества образов Y служат эталонами для
элементов из X. Элемент у3 будет эталоном для объектов хг^Х,
если ф(хг)=г/7. Множество всех элементов хг<=М, имеющих дан-
ный образ y^Y, составляет класс разбиения множества X по
отношению «иметь общий образ», «иметь общий эталон».
Результаты традиционного (метрического) использования эта-
лонов в качестве меры всегда можно выразить в виде заключе-
ния, что этой меры в исследуемых объектах содержится больше,
меньше, столько же или же она вовсе отсутствует Четкое отно-
шение «быть эталоном» — в силу своей бинарной природы —
88
может фиксировать наличие~или отсутствие только одного из этих
факторов. В связи с этим целесообразно обратиться к нечетким
бинарным отношениям, позволяющим при соответствующем ис-
пользовании эталонов выражать все четыре перечисленные соот-
ношения.
Нечеткое бинарное отношение 7? определяется [2, 3] как не-
четкая совокупность упорядоченных пар Если Х={х} и Y = {у}—
множества объектов, то нечеткое отношение из X в У определяет-
ся как нечеткое подмножество ХхУ, характеризуемое функцией
принадлежности jiR(x, у), которая каждой паре (х, у) ставит в
соответствие степень принадлежности ця(х, у) отношению R На
практике цд(х, у) е [0, 1]. Если Х=У, то говорят, что бинарное
отношение определено на множестве X, если же X=^=Y, то говорят,
что бинарное отношение определено между множествами X и У,
и такие отношения называют отображениями.
2. ОБЩАЯ СХЕМА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРТНЫХ
ОЦЕНОК
Для получения отношений индивидуального предпочтения при
использовании четких отношений применяют, как правило, одну
из двух известных схем: или одновременное сравнение (ранжи-
рование) по предпочтительности всех объектов, или одновремен-
ное сравнение только двух объектов (парное сравнение). Извест-
но, что парные сравнения производятся наиболее просто, однако
их объем может быть очень велик в случае полных парных срав-
нений.
Рассмотрим следующую общую схему проведения экспертных
оценок. Пусть наряду с множеством исследуемых объектов X
экспертам предъявляется также множество эталонных объектов
У. Эксперты производят парные сравнения (хг, у3), хг^Х, уу^У.
Функционирование такой схемы определяется тремя отношения-
ми: наперед заданным отношением S на множестве эталонных
объектов У, искомым отношением R на множестве исследуемых
объектов X, и отношением F между этими двумя множествами.
Другими словами, отношение S фиксирует состояние системы эта-
лонных множеств, искомое отношение R должно характеризовать
состояние системы элементов хг^Х, а (отношение) отображение
F определяет характер взаимодействия этих систем, характер их
согласования.
Однако для полного описания такой схемы указанных трех
отношений, очевидно, не достаточно. Общая схема будет опреде-
ляться постулатом, закладываемым в основу закона взаимодей-
ствия этих трех отношений, и соответственно свойствами фор-
мальной реализации такого закона взаимодействия. Прежде чем
перейти к обсуждению предлагаемого в данной работе закона
взаимодействия, напомним некоторые свойства используемых от-
ношений.
89
3. ФОРМАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ ОТНОШЕНИЙ В
ОБЩЕЙ СХЕМЕ ЭКСПЕРТИЗЫ
Определение 1. Нечетким отношением между множествами X
и Y называется нечеткое подмножество R прямого произведения
АХ У : 7?czXx У. В случае, если У=А, то отношение R называет-
ся отношением на множестве X.
В теории нечетких множеств рассматривается понятие компо-
зиции нечетких отношений, которое играет важную роль в данной
работе.
Определение 2. Пусть R — отношение между X и У, a S — от-
ношение между У и X. Композицией S ° R отношений R и S
называется отношение Т между X и Z с функцией принадлеж-
ности
Рт(х, z) = V Hs(%, y)/\^s{y, г).
yeY
В терминах композиции бинарных отношений формулируются
многие свойства этих отношений, в частности, свойство транзи-
тивности нечеткого отношения R, заданного на данном множестве
X, которое может быть записано в виде R ° R^R.
Таким образом, нечеткое отношение R называется транзитив-
ным, если для всех х, у, z^X: pR(x, г)^цв(х, у) Д|Хв(г/, z).
Помимо свойства транзитивности бинарные отношения характе-
ризуются также свойствами рефлексивности (антирефлексивности)
и симметричности (антисимметричности). Отношение R называет-
ся рефлексивным, если рн(х, х)=1 для всех х^Х (соответствен-
но антирефлексивным, если |лн(х, х)=0 для всех хеХ), называет-
ся симметричным, если цв(х, у) — рв (у, х) (антисимметричным,
если из цв (х, г/) >0 следует рв(г/, х)=0).
Простейшими нечеткими отношениями предпочтения являются
отношение нечеткого частичного порядка и отношение нечеткого
линейного порядка. Нечеткий частичный порядок определяется
как антисимметричное, транзитивное отношение, а отношение ли-
нейного нечеткого порядка как связное отношение частичного по-
рядка, т. е. такое отношение частичного порядка, что для любой
пары (х, у) или рв(х, у)>0 или цв(г/, х)>0. Так, определенные
отношения суть естественная экспликация соответствующих типов
четких отношений.
Важную роль в теории нечетких бинарных отношений играет
понятие нечеткой эквивалентности. Отношение нечеткой эквива-
лентности определяется как рефлексивное, симметричное, транзи-
тивное нечеткое отношение.
В теории принятия решений рассматриваются отношения пред-
почтения. Такими отношениями называются рефлексивные, связ-
ные бинарные отношения. Опишем общую структуру нечетких
предпочтений.
Пусть R — такое отношение, т. е. рефлексивное и связное би-
нарное отношение. Обозначим через I бинарное отношение с функ-
90
цией принадлежности |и(х, у) =^я(х, у) х) и через Р—
бинарное отношение с функцией принадлежности:
[№(*, Ю, если ^(х, z/)>M*/, х),
|Л р yJV, У у - v
( О , если р,я(х, у}^№<у, X).
Отношения I и Р называются отношениями безразличия и стро-
гого предпочтения для отношения R.
Теорема 1. Если R — транзитивное нечеткое отношение пред-
почтения, то отношения / и Р также будут транзитивными.
Доказательство. Для отношения I утверждение теоремы дока-
зано в работе [6]. Покажем, что отношение Р транзитивно. Надо
показать, что
цр(х, г)>Рр(х, г/)ЛРр(1/, z).
(1)
Очевидно, можно считать, что цР(х, г/) >0 и цр(/л z)>0. Однако
тогда цр(х, г/)=р.д(х, у), \ip(y, z)=iiR(y, z), причем цд(х, у) >
>Нн(«/, х) и р,д( у, г)>цд(г, у). Если цР(х, г)>0, то цР(х, у) =
= цд(х, z) и (1) совпадает с условием транзитивности отноше-
ния R. Предположим, что цР(х, г)=0. Тогда цд(х, г)=ц7(х, z)
или цн(х, z)<^yR(z, х). Итак, имеем цн(х, y)>iiR(y, х), iiR(y, z) >
>pR(z, у) и pR(z, x)^pR(x, z). Среди этих шести чисел выберем
наименьшее. Очевидно, возможны три случая:
А. Наименьшее есть цд (у, х). Тогда цд (у, х) цд (у, z) Д цн (z, х).
Так как pR(t/, z) не наименьшее, то pR(z, х) =ут(у, х) и цд(х, z) =
= Цн(г, х). Но цд(х, г)^цд(х, у)/\ycR(y, z). Так как цд(х, z) —
наименьшее число, то одно из значений цд(х, у) и цд(г/, z) тоже
должно быть наименьшим, что противоречит исходным неравен-
ствам.
Б. Наименьшее есть цк(г, у). Тогда pH(z, у) ^yR(z, х)Дцн(х, у),
откуда цд(г, х) = цд(х, z) = цд(г, у) — наименьшие. Так как
Цд(х, г)^цд(х, г/)Дрд(1/, z), то получаем противоречие.
В. Наименьшее есть цд (х, г). Тогда цн (х, г) цд (х, у) Дцд (у, z)_
Но цд(х, у) и цд(г/, г) заведомо не наименьшие, и опять получаем
противоречие.
Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. транзитивность
отношений I и Р, вообще говоря, не влечет транзитивности отно-
шением R.
В данной работе наиболее существенно будет использоваться
свойство транзитивности отношения строгого предпочтения Р. Это
связано с тем, что условие транзитивности отношения Р доста-
точно для существования функции выбора, определяемой отно-
шением Р.
Описанная в разд. 2 общая схема проведения экспертных оце-
нок предусматривает возможность использования как нечетких,
так и четких отношений. Заметим, что наши предыдущие опре-
деления классов нечетких отношений и свойств этих отношений
немедленно дают соответствующие четкие понятия, если считать,
что функция принадлежности ц принимает только значения 0 и 1.
91
4. ЗАКОН ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОТНОШЕНИЙ
Пусть заданы два множества X и Y с нечеткими отношения-
ми R и S на них соответственно. Пусть также задано нечеткое
отношение F между X и У. Кортеж <Х, R-, У, S; F) будем назы-
вать согласованной схемой, если выполнено соотношение
R = F~l°S°F, (2)
где у^(х, у)= V {pF(x, f)AMF(M, 0-
и, v^Y
Отметим, что на языке теории множеств согласно закону (2)
отношение R является прообразом отношения S относительно
соответствия F.
Одна из проблем, возникающих при исследовании закона (2),
состоит в изучении того, какие из свойств транзитивности отно-
шения S в соответствии с этим законом переносятся на отноше-
ние R. При произвольном выборе отношения F нельзя, вообще
говоря, утверждать выполнение свойства транзитивности отноше-
ния R, даже если отношение^ S — четкое. Однако при некоторых
дополнительных условиях на отношения F и S можно доказать,
что свойство транзитивности отношения Р выполняется для отно-
шения R. Доказательству этого посвящена оставшаяся часть раз-
дела.
Сначала введем важное свойство нечеткого отношения F, ко-
торое в дальнейшем будет предполагаться выполненным постоян-
но. Будем говорить, что отношение F функционально, если оно
удовлетворяет условию: для любого х<=Х существует единствен-
ное z/еУ, такое, что цн(х, у) = 1. Другими словами, предполагает-
ся, что в каждой строке матрицы отношения F найдется элемент,
равный 1.
Далее докажем теоремы, устанавливающие транзитивность
строгого отношения предпочтения Р для предпочтения R, опреде-
ляемого законом (1) в следующих двух частных случаях:
1) S — четкое отношение линейного порядка, a F — нечеткое
отношение, обладающее свойством функциональности;
2) S — нечеткий линейный порядок, F — четкое отображение.
Теорема 2. Пусть R = F~ioS°F. Тогда Р — четкий частичный
порядок, если S — четкий линейный порядок, a F — нечеткое ото-
бражение F: X-+Y.
Доказательство. Рассмотрим функцию принадлежности отно-
шения
R = р ° S ° F рп (х±, Ху) = \/ {pF (Хц У1) /\ M's (У1^ У2) Л MF (-^2» У%)} •
Так как F обладает свойством функциональности, то для каж-
дого х существует единственный элемент ух, такой, что цр(х, ух) =
= 1. В силу того, что S есть четкий линейный порядок, для каж-
дой пары (хь х2) либо ps(//x1, Ух2) и ув(Ух2, yX1)=Q, либо, наобо-
рот, Ys(yX2, и iis(yX1 yxj=®, либо ps(^x1, Ух2) =
— Ps(//x2 , у Xi) = 1.
92
В первом случае имеем ря(Х1, х2) = 1 и ця(х2, Xi)<l, откуда
|л.р(хь х2) = 1 и jap(x2, Xi)=0. Аналогично во втором случае полу-
чаем ця(хь х2)<1 и ця(хь х2) = 1. Наконец, в третьем случае
Hr(xi, л;2)=ря(х2, Xi) и цр(хь х2)=цр(х2, Xj). Итак, показано, что
отношение Р четкое. Покажем, что Р транзитивно. Пусть
Нр(*ь х2) = 1 и цр(х2, х3) = 1. Но тогда ps(//xx> Ух2) = 1 и
&s(yx2, #xs) = 1 ИВ силу транзитивности S Ух) = 1, откуда
Нн(Хь х2) = 1. Предположим, что также ця(х3, Xi)=l. Но тогда
Hs(#x3’*Л,) 1 и Ухх=Ух2 = Ух3, что противоречит предположению
Рр(Х1, х2) = 1. Полученное противоречие показывает, что цр(хьХз) =
= 1, что и требовалось доказать.
Теорема 3. Пусть R — F^1 °S° F. Тогда Р — нечеткий частичный
порядок, если S — нечеткий линейный порядок, a F — четкое ото-
бражение.
Доказательство. Имеем ця(хь х2) = V {цр(Х1, У\) Aps(t/i, Уч) Л
Лцр(х2, уч) = ps(F(xi), Р(х2)). Пусть ця(хь х2)>ця(х2, Xi), т. e.
Ps(/5 * 7(xi), F(x2)) >ps(F(x2), F(xi)). Так как S — нечеткий линей-
ных порядок, то отсюда следует, что ps(/7(x2), F(xi))=0. Обрат-
но, из предыдущего условия немедленно следует, что ця(хь х2) >
>Цн(х2, Xi). Таким образом, условие pP(xi, х2)>0 равносильно
условию ps(^(x2), F(xi))=0. Покажем, что Р транзитивно, т. е.
ЧТО Цр(Х1, Хз)>рр(Х1, Х2)Дцр(х2, Хз) для любых Х1, х2, х3<=Х.
Очевидно, что достаточно рассмотреть случай pp(xi, х2)>0и
gp(x2, х3)>0. Но тогда
Нр^п *2)ЛИр^2, x3) = pR(x1, х2)Д^(х2, х3) =
= ps(F(xi), F (х2)) Aps(F (х2), F(x3))<|xs(F(x1), F (х3)) = (хп х3).
(3)
Предположим, что ця(хь х3)^ця(х3, Xi). Тогда pP(xb х3)=0
и ps(F(x3), F(x2))>0. Но в силу цр(хь х2)>0 имеем p.s(F(xi),
F(x2))>0 и, аналогично, ps(F(x2), F(x3))>0, откуда ps(F(xi),
F(x3))>0. Так как 5 есть нечеткий линейный порядок, то F(Xi) —
= F(x3). Имеем 0 = ps(F(x2), F(xi)) =jis(F(x3), F(x2)) =p,s(F(xi),
P(xz)), что противоречит линейности S. Полученное противоречие
показывает, что pH(xb х3)>ця(х3, xj, т. е. ря(хь х3)=рр(х1, х3).
Возвращаясь к (3), получаем доказываемую транзитивность.
Итак, рассмотрен закон взаимодействия (2) для двух типов
отношений S — четких и нечетких линейных порядков. Отметим,
что в случае, когда S есть «отношение равенства» на эталонах,
задача построения отношения R сводится к задаче кластерного
анализа и в таком виде рассматривалась в работе [4].
5. ВЫБОР НА ОСНОВЕ ОТНОШЕНИЯ
В этом разделе будет предложен подход к решению проблемы
выбора подмножеств «наилучших» альтернатив из заданного мно-
жества X альтернатив, подлежащих оценке. Ранее было пока-
93
зано, как на основе закона взаимодействия на множестве X мо-
жет быть построено нечеткое отношение предпочтения R. Значе-
ние у) функции принадлежности этого отношения интер-
претировалось как «степень предпочтительности» альтернативы
альтернативе у. Так как исходное предпочтение R есть нечеткое
отношение, то естественно полагать, что и подмножество «наи-
лучших» относительно R альтернатив окажется нечетким множе-
ством в X. Предлагаем следующее.
Определение 3. Подмножеством наилучших относительно пред-
почтения R альтернатив из множества X называется нечеткое под-
множество В (R) с функцией принадлежности
^В(Д)(^) /\ У)’ (^)
В качестве обоснования для такого определения можно привести
следующие соображения Ч Пусть R — четкое отношение линейного
квазипорядка. Известно, что относительно R множество распа-
дается на классы попарно неразличимых элементов, причем сами
классы отношением R уже линейно упорядочены. В этом случае
применение формулы (4) к R выделяет класс наилучших альтер-
натив относительно R. Таким образом, формулу (4) можно рас-
сматривать как обобщение на произвольные нечеткие предпочте-
ния такого понятия, как «класс наилучших альтернатив относи-
тельно линейного квазипорядка».
Вообще говоря, если на R не накладывать никаких ограниче-
ний, то множество В (R) наилучших альтернатив, определяемое
формулой (4), может оказаться пустым, и мы будем не в состоя-
нии произвести выбор в X. Поэтому желательно иметь критерий,
который на основе свойств предпочтения R гарантировал бы воз-
можность выбора. Оказывается, что предпочтения R, возникаю-
щие на основе предложенной ранее схемы, всегда имеют непустое
подмножество наилучших альтернатив B(R). Точнее, справедлива
следующая теорема.
Теорема 4. Пусть нечеткое предпочтение R таково, что соответ-
ствующее строгое предпочтение Р транзитивно. Тогда B(R)^=0.
Доказательство. Предположим противное. Тогда
V i/) = 0. (5)
уех
Выберем произвольно х0<=Х. Согласно (5) найдется значение
х^Х, такое, что цн(*о, xi)=0. Поскольку R — линейное отноше-
ние, то, по определению отношения Р, имеем pp(xb х2)>0. Ана-
логично для Х\ найдется значение х2, такое, что цд(хь х2)=0 и
цр(лг2, Xi)>0. Продолжая этот процесс, построим последователь-
ность {хД элементов множества X, такую, что рн(Хг, x*+i) =
= yp(Xi, %г+1) =0, а рр(х$+1, Хг)>0. Так как множество X конечно,
1 Эта формула также согласуется с предложенной в [7] формулой (20),
с 187.
94
то для некоторых k и п, таких, что k<n, имеем xh — xn- В силу
транзитивности Р имеем
О = рр (хп-1, xn) = pp(xn_i,
(xrt—1, Хп—2) Д Рр (Хп—2j
... Ир (Д'Н—1, Хп—2) Д Рр (Хп—2» Хп— з) Д .. ДНр(^Н~1,
Полученное противоречие завершает доказательство.
Доказанный результат, а также теоремы 1—3 показывают, что
применение формулы (4) для построения нечеткого подмножества
«наилучших» альтернатив всегда дает непустое множество, если
в качестве предпочтения R используются отношения, образующие-
ся из предложенной общей схемы.
Формулу (4) несложно обобщить и на случай, когда выбор
производится не из всего множества X, а из некоторого его (воз-
можно, нечеткого) непустого подмножества А. Тогда множество
B(R) определяется функцией принадлежности рв(н)(х) =
= Д р)ДА(х). Легко показать, что теорема 4 остается
ил(</)>0’
справедливой и в этом случае.
6. ВОПРОСЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ
ЭТАЛОННОГО ПОДХОДА
В организации экспертизы по описанной в п. 2 общей схеме
можно выделить следующие три последовательных этапа и воз-
никающие при этом вопросы.
I этап:
а) формирование множества эталонов У,
б) назначение или экспертное определение на У соответствую-
щей структуры, т. е. определение эталонного отношения S.
II этап:
а) выбор типа отношения F: нормированное или ненормирован-
ное, четкое или нечеткое,
б) выбор способа оценки F: с помощью экспертов или «техни-
ческими» средствами.
III этап:
а) определение на X отношения R, индуцированного отноше-
нием S,
б) построение решающего правила.
Несмотря на то, что в ходе экспертизы перечисленные по эта-
пам вопросы возникают именно в такой последовательности, эти
вопросы взаимосвязаны и должны разрешаться комплексно. Здесь
будут рассмотрены вопросы, возникающие на первых двух этапах
и проиллюстрирована техника расчетов по приведенной схеме.
Происхождение объектов, принимаемых за эталоны, должно
определяться спецификой решаемой задачи, и поэтому само по-
нятие эталона — относительное. Однако и на общем уровне
95
рассмотрения можно указать некоторые общие приемы их вы-
бора. Например, при экспертизе промышленных или потребитель-
ских товаров в качестве эталонов можно выбирать два или три
образца: один — признанный на уровне мировых стандартов,
второй — «средний» по своим показателям, и третий — брако-
ванный образец. Другими словами, здесь эталоны могут выби-
раться или назначаться извне и ни один из них может не при-
надлежать множеству X рассматриваемых объектов.
В другом случае эталоны могут выбираться из числа подле-
жащих оценке объектов. Для этого можно провести предвари-
тельную экспертизу с целью выделения, например, наилучшего,
наихудшего и промежуточного между ними объектов при условии
высокой согласованности экспертных суждений об этих объектах.
Эталоны могут выбираться также исходя из условий, что они
являются наиболее яркими носителями ценных или существенных
для целей экспертизы признаков (свойств). В этом случае эта-
лоны реализуют некоторый предикат, который экспертам пред-
ставляется очевидным. Таким образом, в практических ситуациях
отношение S может назначаться организаторами экспертизы или
определяться с помощью дополнительной экспертизы.
Экспертное оценивание отношения F между X и Y удобно про-
изводить в таблице XxY, входными элементами которой явля-
ются элементы из X, а выходными — эталоны из множества Y.
Учитывая то обстоятельство, что отображение F должно удовлет-
ворять условию функциональности, экспертное оценивание F мож-
но производить двумя способами. В первом на экспертные оценки
/(х$, у}) элементов таблицы XxY не накладывается никаких ог-
раничений, связанных с условием функциональности, но по окон-
чании экспертизы каждая г-я строка таблицы XxY нормируется
максимальным значением f(Xi, у), y^Y. Во втором случае экспер-
ту предлагается сначала выбрать для каждого хг максимально
близкий к нему эталон у3 и оценить их сходство f(xt, z/J едини-
цей; а остальные оценки }(хг, yi), y^Y, l/=Y=j, i = const, назначать
исходя из этой максимально схожей пары.
Представляется полезным применить такой тестовый прием:
сначала не предъявлять к экспертным оценкам отношения F тре-
бования функциональности. Тогда стремление экспертов для фик-
сированного хг несколькими значениями f(xi, у3), y^Y присвоить
- значение 1 будет свидетельствовать или о неудачном выборе эта-
лонов, или о недостаточном профессиональном уровне экспертов.
Рассмотрим теперь примеры организации таких экспертиз и
выполнения расчетов по схеме (1).
Пример 1. Пусть на экспертизу представлено три объекта, т е X={xi, х2,
Кз} и множество эталонов состоит из двух объектов У={г/Ь у2}, на которых
определен четкий линейный порядок
96
Допустим, что эксперт оценил степень сходства каждого объекта с каждым
эталоном и определил отношение F следующим образом:
/0,16 0,80\ F' = 0,75 0,52 \0,36 0,90/
Перейдем теперь к нормированной матрице отношения F:
/0,2 1,0\ /= 1,о 0,7 \0,4 1,0/
В соответствии с (2) определим отношение предпочтения R на Х\
/0,2 1,0 \0,4 1’°\ /1 1\ /0,2 1,0 0,4\ Z1,0 0,7 1,0\ 0,7 о ) о = 1,0 1,0 1,0 Ь 1,0/ V° °’7 W Уьо 0,7 1,0/
Если нормированное отношение F представить в виде двудольного орграфа
(рис. 1), то уже из неформальных соображений, (рассматривая этот граф, мож-
но сделать вывод, что из данных трех объектов xit
х2 и х3 объект х2 наиболее
предпочтителен, поскольку он со_ степенью 1 схож
с наиболее предпочтительным эталоном yi. Отно-
шение строгого предпочтения Р, соответствующее от-
ношению R,
/о о 0\
Р = 1 О 1
\о о о/
подтверждает этот неформальный вывод. Отношение
безразличия 1, соответствующее R, имеет вид
/1 0,7 1 \
I 0,7 1 0,7 .
\1 0,7 1 /
Пример 2. Пусть
трех объектен, Х—{а\,
множество рассматриваемых объектов X состоит из
а2, аз} и экспертам предлагается использовать шкалу
оценок У={х, у,...} представляющую собой множество действительных чисел.
Таким образом, задача эксперта состоит в том, чтобы построить четкое ото-
бражение f : Х->У.
Определим эталонное отношение S на множестве У условием
<S (х, у) =
0,
1,
1 — еУ~х,
если х—у,
если х<у,
если х>у,
а отношение F между X и У будет определяться условием
Г 0,
F (аь*) = (j
если аг=£х,
если аг—х.
Пусть эксперт оценил объекты следующим образом /(ai) = l, f(a2) = l, f(a3) —
= 2. Определим предпочтения, порождаемые этими оценками в соответствии е
законом (2):
R (ai, aj) = v {f (ait x)xS (xt y)\F (ah y)}.
x,y
4-—120
97
Например, /?(а3, a1)=F(a3, 2)Д$(2, 1)ДГ(аь 1) =!1Д(1—е-’)Д1 = 1— е-*. Та-
ким образом, получаем следующее отношение.
/1 1 1 —е-Л
R = I 1 1 1 —е-1 .
\1 — е—1 1 —е-1 1 J
Отношения строгого предпочтения Р и безразличия I, соответствующие отноше-
нию R, имеют вид
О
О
1—е-1
О
О
1 —е-1
Р =
0\ /1 1 0\
0,2=1 1 0 .
О/ \0 0 1/
Согласно отношению Р объект х3 предпочтительнее объектов Xi и х2 со сте-
пенью 1—е-1, а все множество X разбивается на два четких класса (хь х2) и
Us).
Пример 3. Пусть элементы эталонного множества Y—{yi, у2, у3} есть раз-
новесы трех различных, но неизвестных номиналов, и на первом этапе экспер-
тизы с помощью экспертов на У определен нечеткий линейный порядок 5, мат-
рица которого имеет вид
/1 0,95 1 \
S=p 1 0,90 .
\0 о 1 /
Значения Цз(уг, Уз), i<j, выражают степень уверенности экспертов в том, что
уг тяжелее у3. Задача экспертизы состоит в том, чтобы с помощью эталонных
разновесов проранжировать объекты из Х={х1, х2, х3}. В распоряжении иссле-
дователя имеется прибор, позволяющий только оценить отношение х/у или
у)х. Определим отношение F в законе (2) формулой
F (Xi, yj) =
1
2
Хг / У] + УЗ / Хг
если Xi!y3 — 1,
если хг!у3=£Л.
Пусть взвешивание дало следующие результаты:
,0,9 3,6 18,0\ /1,1 2,2
xi!yj— I 0,4 1,8 9,0 | , yj/Xi = 0,3 0,5
\0,1 0,4 2,0/ \0,0 0,1
Тогда нормированное отношение F имеет вид
/1,0 0,51 0,11\
F (Xi/yj) = 0,88 1,0 0,25 .
\0,25 0,86 1,0 /
Подставляя отношения F и S в (2), получаем
/1,0 0,95 1,0 \
R= 0,88 1,0 0,90 .
\0,25 0,86 1,0 J
Отношение
/0 0,95 1,0 \
Р = I 0 0 0,90 |
\0 0 0 /
дает искомое ранжирование x3<*2<Xi.
10,0\
2,5 .
0,5 '
98
7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исследуемые при экспертизе альтернативы характеризуются,
как правило, многофакторной природой. Поэтому в практических
задачах часто оказывается, что расхождение между экспертными
суждениями возникает не вследствие различного отношения экс-
пертов к этим альтернативам, а из-за того, что эксперты — воль-
но или невольно — при сравнении альтернатив привлекают до-
полнительные, не оговоренные в статусе экспертизы признаки.
Наличие эталонных объектов ограничивает степень свободы экс-
пертов в этом отношении и делает условия сравнения альтерна-
тив более жесткими.
Варьируя содержательным наполнением, операционным значе-
нием и формальной экспликацией эталонного отношения, можно
учитывать такие особенности природы и структуры свойств, ко-
торыми наделяются эталонные объекты, и тем самым добиваться
большей адекватности оценок целям экспертизы. Так, одно и то
же эталонное множество можно характеризовать свойствами, реа-
лизующими содержательное и формальное представление о полез-
ности, доминировании, сходстве, эквивалентности, или свойства-
ми, превращающими эталоны в представителей некоторых клас-
теров, или свойствами скалярной природы и т. п.
Предлагаемая схема организации экспертизы, как представ-
ляется, обладает следующими достоинствами: 1) простотой прове-
дения парных сравнений и потенциальной возможностью умень-
шить их общее число подобно тому, как это делается при частич-
ных парных сравнениях; 2) наличием общих для всех экспертов
фиксированных объектов, играющих роль точек отсчета при
оценивании исследуемых объектов, способствующих унификации
механизмов индивидуального оценивания и, следовательно, повы-
шению согласованности экспертных оценок; 3) она предоставляет
в распоряжение исследователей средство для совершенствования
и разработки методов экспертного оценивания, наиболее адекват-
ных целям экспертизы за счет варьирования как физической при-
роды и состава эталонных объектов, так и типа определяемого
на них отношения.
Еще один важный момент связан с выбором закона взаимо-
действия эталонного отношения с экспертными измерениями. Об-
щее назначение такого закона состоит в том, чтобы или 1) полу-
чить отношения, позволяющие решить задачу экспертизы, или
2) выявить соответствие экспертных предпочтений эталонной
структуре, или и то и другое. (Здесь рассматривалась только пер-
вая задача.)
В данной работе исследовался только один закон взаимодей-
ствия эталонного отношения с экспертными измерениями. (При-
мер другого закона можно найти в работе [5].) На самом деле
в условиях одной и той же практической задачи можно, по-види-
мому, рассматривать несколько таких законов. При выборе за*
4* 9$
кона взаимодействия нужно руководствоваться, по крайней мере,
двумя соображениями.
Во-первых, закон взаимодействия должен гарантировать по-
лучение «хороших» отношений, т. е. отношений, обладающих нуж-
ными теоретико-множественными свойствами, позволяющими ре-
шить задачу экспертизы. Во-вторых, закон должен «учитывать»
свойства экспериментального и эталонного отношений и иметь
.содержательную интерпретацию и (или) формальное обоснование.
В связи с этим весьма полезным может оказаться общий си-
стемный подход к экспертизе. Экспертизу можно рассматривать
как модель реальной системы с двумя входами X и У, «серым
.ящиком» и ограничениями, накладываемыми на выходное отно-
шение — отношение R. Свойства отношений на X и У характе-
ризуют состояние этих входов, свойства результирующего отно-
шения R играют роль ограничений на состояние выхода, а функ-
ционирование «серого ящика» должно определяться состояниями
входов и выхода, а также физическим постулатом, что все эти
три компонента системы связаны реально общим законом — за-
коном взаимодействия. Задача исследователя системы состоит в
поиске и формулировании такого закона.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bellman, R. Е. and L. A. Zadeh (1970). Decision making in fuzzy environment.
Management Science, 17, 141—164.
/[Имеется перевод: Веллман P., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых
условиях. — В кн.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений. — М.:
Мир, 1976, с. 172--.215.]
2. Bezdek, J. С. (1978). Fuzzy partitions and relations, an axiomatic basis for
clustering. Fuzzy Sets and Systems, 1, 141—*127.
3. Orlovsky, S. A. (1978). Decision-making with a fuzzy preference relation. Fuzzy
Sets and Systems, 1, 155—467.
4. Shimura, M. (1973). Fuzzy sets concept in rank-ordering objects. J. Math. Anal,
and Appl., 43, 717—733.
5. Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. — M.: Наука, 197'1. — 254 с.
6. Zadeh, L. А. (1965). Fuzzy sets. Inf. & Control, 8, 338—*353.
7. Zadeh, L. A. (1971). Similarity relations and fuzzy orderings. Inf. Sci., 3,
177—200.
О НЕЧЕТКИХ КЛАССИФИКАЦИЯХ
С. В. Овчинников \ Т. Рьера1 2
Изучается проблема классификации в нечетких условиях. Оп-
ределяются нечеткие покрытия и разбиения и устанавливаются
1 Department of Electrical Engineering and Computer Sciences and the Electro-
nics Research Laboratory, University of California, Berkeley, California 94720, USA.
2 Departament de Matematiques, Facultat d’Informatica, Universitat Politecnica
de Barcelona, Barcelona, Spain.
Ю0
их связи с отношениями нечеткого сходства и отношениями экви-
валентности. Доказанные теоремы показывают, что большинство
классических результатов остаются справедливыми в этом случае.
Ключевые слова: покрытие; отношение сходства; разбиение; от-
ношение подобия; фактор-множество.^
«... операции классификации представ-
ляют собой новый вклад в логику классов
и отношений...»
Ж. Пьяже
1. ВВЕДЕНИЕ
Общепризнана фундаментальная роль понятия «классифика-
ция» в процессе мышления и едва ли приходится удивляться то-
му, что многие авторы, как это видно из литературы, приведен-
ной в списке в конце статьи, разработали различные математи-
ческие подходы для моделирования этого понятия в контексте
систем, которые слишком сложны для того, чтобы их можно было
описать в рамках классических понятий, и которые требовали
подходов, значительно отличающихся от традиционных. Сказан-
ное относится, например, к проблемам, связанным с гуманитар-
ными науками: социологией, лингвистикой, психологией и др.
При классически-рациональном подходе, если 2 = {Ai...An}—
классификация множества S, т. е. если AiJ... UAn—>5 и Ai(]Aj=0,
1=7^j, то бинарное отношение С, определенное на 3 условием
(х, у)^С тогда и только тогда, когда x<=Ai и y^Aj, есть не что
иное, как отношение эквивалентности и, наоборот, если С — отно-
шение эквивалентности, определенное на 3, то множество классов
эквивалентности представляет собой классификацию множества 3.
Таким образом, «отношение эквивалентности на 3» и «классифи-
кация 3» — одно и то же понятие.
Классификация возникает в результате установления связей
между элементами множества, выяснения того, какие из них нуж-
но, а какие нельзя рассматривать связанными некоторым отно-
шением. В классической модели не могут остаться элементы, не
охваченные классификацией (принцип исключенного третьего), и
элементы, проклассифицированные дважды (принцип непротиво-
речия), т. е. попавшие одновременно в два класса. Это, конеч-
но, желаемый результат, но при любой постановке проблемы
таксономии могут встретиться элементы неопределенной и сом-
нительной классификации, для которых можно говорить лишь о
степени принадлежности к классам. В этом случае булева логика
оказывается неприменимой и выявляется важность собственной
глубинной логики возникшей проблемы.
Вопрос в том, всегда ли нужно классифицировать объекты,
чтобы увеличить знание о них. Обычно этот вопрос решается по-
101
строением последовательности все более «тонких» классификаций.
В результате останавливаются на классификации, которая удов-
летворяет определенному критерию. При такой процедуре каждый
раз увеличивается число различий, которые мы в состоянии про-
вести между элементами из S (строится более «тонкая» класси-
фикация), но также растет и число разумных градаций степеней
неопределенности или нечетких вопросов [5]. Модель становится
более сложной, но зато интерес к проблеме возрастает. За ис-
ключением случая, когда разрастание классификации вызвано
стремлением изучить различающие характеристики всей совокуп-
ности объектов в целом, как при построении таксономического
дерева биологических видов или таблицы Менделеева, чрезмер-
ный рост числа классов вряд ли приведет к улучшению наших
знаний об объектах.
Для таких проблем, по-видимому, пригоден новый обобщен-
ный подход. В [8] Заде предложил «единую точку зрения на раз-
личные разработанные ранее методы решения такого рода проб-
лем, возникающих в факторном анализе, числовой таксономии, в
задачах распознавания образов и анализе близости». Эта точка
зрения опирается на теорию нечетких множеств [7] или, точнее,
на нечеткие отношения, — обобщение понятия отношения экви-
валентности на нечеткие множества, что привело к понятию от-
ношения сходства и позволило применить теорию отношений в
ситуациях, в которых, как уже указывалось, рассматриваемые
классы не имеют ясно очерченных границ.
После появления работ Заде многие авторы исследовали раз-
личные теоретические и практические аспекты нечетких отноше-
ний, однако связи между нечеткими разбиениями (или нечеткими
классификациями) изучены слабо. А поскольку обе проблемы
тесно связаны, то не существует и общепринятого определения
нечеткого разбиения.
С другой стороны, последнее понятие понадобилось для прод-
вижения вперед в смежных проблемных областях, где его при-
менение в той или иной форме приводило к интересным резуль-
татам. В качестве примера можно указать на случай, когда уже
упоминавшиеся семейства разумных вопросов рассматриваются с
помощью введения понятия нечетких алгебр, порожденных не-
четкими разбиениями [5, 6]. Поскольку в любой неопределенной
логике важную роль играет уровень симметрии принятой модели
многозначной логики, то целесообразно прояснить понятие уровня
строгим определением в терминах рассматриваемого нечеткого
разбиения. Например, поскольку нечеткие алгебры, рассматри-
ваются как алгебры де Моргана, замкнутые относительно преоб-
разований Ватанабэ, то введенные определения нечеткого раз-
биения должны быть адекватными задаче анализа результатов
таких преобразований, с их помощью как бы описываются инва-
рианты. Однако при этом не должно возникнуть уверенности, что
источником нечеткости служит четкая основа, что означало бы
принятие посылки о достоверном существовании инвариантного
102
ядра четкости в любом нечетком понятии. Это напоминает заме-
чание в книге [1] о связи данной проблемы с вопросами сущест-
вования сильной зависимости между евклидовой геометрией, арис-
тотелевой логикой и кантианской метафизикой.
В рассматриваемой статье дается общая основа для исследо-
вания связей между нечеткими разбиениями и отношениями по-
добия. Для пояснения цели изучения, в разд. 2 кратко рассмат-
ривается классический случай. Напоминается, как покрытия и чет-
кие разбиения можно описать через отношения сходства и экви-
валентности. В разд. 3 даются естественные обобщения покрытия
и отношения сходства на нечеткий случай. Лемма 3.1 показывает,
как для каждого покрытия S нечеткого множества U можно по-
строить отношение сходства Rs на U; обратное утверждение фор-
мулируется в теореме 3.1, где вводятся понятия предкласса и класса
отношений похожести. В конце раздела покрытие интерпретируется
через нечеткие отображения, а нечеткие отношения похожести
также описываются через нечеткие отображения. В разд. 4 отно-
шения сходства изучаются как важный частный случай отноше-
ний нечеткой похожести. При заданном покрытии S нечеткого
множества U теоремы 4.1 и 4.2 устанавливают необходимые и
достаточные условия того, что R есть отношение подобия, и ис-
следуются связи между классами подобия [8] и классами, рас-
сматриваемыми в разд. 3. Затем определяется нечеткое разбиение
П как покрытие, характеризуемое отношением подобия, ассоцииро-
ванным с П-множеством классов подобия в S; такое частное раз-
биение характеризуется теоремой 4.5. Наконец, на основе пре-
дыдущих результатов обобщаются на нечеткий случай понятия
фактор-множества и канонического отображения. В результате
совершенно ясной становится аналогия между представленной в
работе теорией нечетких разбиений и классической теорией чет-
ких разбиений.
2. ОБЪЕКТЫ И СВОЙСТВА
В этом разделе рассматриваются общие механизмы «похожес-
ти» и «одинаковости». Однако их следует расценивать только как
мотивацию более детального рассмотрения, проводимого в сле-
дующих разделах.
Пусть М — конечное множество объектов и N — конечное мно-
жество свойств, таких, что любой объект а^М обладает, по край-
ней мере, одним свойством Если через Pi обозначить под-
множество всех объектов а<=М, которые обладают свойством I,
то, очевидно,
М=ил. (2.1)
ieN
В более общем случае элементы множества N могут рассматри-
ваться как названия или «имена» свойств, а подмножества Pi—•
как «модели» этих свойств. Любое семейство подмножеств мно-
103
жества М, удовлетворяющее (2.1), называется покрытием множе-
ства объектов. Обратно, если дано покрытие (2.1) множества М,
то Pi можно рассматривать как свойство «объект принадлежит
множеству Рг» с именем i. В этом смысле существует взаимно-
однозначное соответствие между семействами свойств и покры-
тиями.
Этой конструкцией порождается очень важный механизм от-
ношений сходства. Именно, мы будем говорить, что два объекта
сходны, если они наделены общим свойством. Формально это по-
нятие похожести можно описать следующим образом. Пусть —
бинарное отношение на М, определенное условием
хРу, тогда и только тогда, когда существует
имя i^N, такое, что х, у^Рг. (2.2)
Отношение Р— рефлексивное и симметричное. Такие отношения
называются отношениями сходства. Легко видеть, что определен-
ное согласно (2.2) отношение сходства, вообще говоря, не обя-
зательно должно быть транзитивным. Заметим, однако, что не-
транзитивность обычно возникает вследствие сравнения по разли-
чающимся параметрам или свойствам. Пусть, например, автомо-
били а и b одного и того же цвета, а & и с — одной и той же
цены. Тогда а сходно с b и b сходно с с, но а и с могут отли-
чаться по цвету и цене.
Понятие отношения сходства дает более абстрактное описание
похожести, чем описание на языке покрытий. Пусть Р — отноше-
ние сходства, определенное на множестве М, т. е. некоторое реф-
лексивное и симметричное отношение. Мы будем говорить, что х
сходно с у тогда и только тогда, когда хРу. Свойства рефлексив-
ности и симметрии наиболее общим образом характеризуют по-
хожесть. И тем не менее оказывается, что отношения сходства
дают описание похожести, эквивалентное описанию с использо-
ванием понятия покрытие. А именно, для любого данного отно-
шения сходства существует покрытие, которое по условию (1.2)
порождает это отношение. Таким образом, имеются два эквива-
лентных механизма похожести, нечеткие обобщения которых бу-
дут изучаться в разд. 2.
Есть один очень важный частный случай описанной структу-
ры, когда каждый объект из М обладает точно одним свойством
из набора N. Он называется проблемой классификации. В этом
случае к условию (1.1) добавляется условие
Pi(\Pj=0 при i^=j. (2.3)
Покрытия, удовлетворяющие (2.3), называются разбиениями. Лег-
ко проверить, что для разбиений отношение сходства, определен-
ное согласно (2.2), транзитивно, т. е. представляет собой отно-
шение эквивалентности. Такие отношения лежат в основе мате-
матических моделей обиходного понятия «одинаковости». В этом
случае в распоряжении оказываются двойственные описания клас-
сификации: через разбиения и отношения эквивалентности. Обоб-
104
щение этой конструкции на теорию нечетких множеств будет
изучаться в разд. 3. В заключение заметим, что далее вместо
термина «отношение эквивалентности» [8] будет использоваться
термин «отношение подобия».
3. ПОКРЫТИЯ И ОТНОШЕНИЯ СХОДСТВА
Пусть U — нечеткое множество с универсумом ЛТ.
Определение 3.1. Семейство 2 = {Рг}г-е,у нечетких множеств с
общим универсумом М называется покрытием U тогда и только
тогда, когда U= (J Р$.
ieW
Далее будем предполагать, что М и N — конечные множества.
Определение 3.1 представляет собой естественное обобщение
условия (2.1). В соответствии с разд. 2 множество N может рас-
сматриваться как множество свойств. Тогда можно сказать, что
Pi (я) есть степень уверенности в том, что объект х наделен свой-
ством i. В этом контексте Pi выступает как нечеткое подмноже-
ство объектов, обладающих свойством I.
Следующее определение представляет собой естественное обоб-
щение определения (2.2).
Определение 3.2. Нечеткое бинарное отношение, определенное
условием
й(м)=У(1ЖЖ (3.1)
называется нечетким отношением, ассоциированным с семейст-
вом S.
Лемма 3.1. Любое отношение Р2 обладает следующими свой-
ствами:
1) Ps(x, г/; = Р2(у, я) для всех х, у<=М; (3.2)
2) Р2(х, 1/)<Рх(я, x)\/Rz(y, у) для всех я, у<=М; (3.3)
3) (я, х) — U (х) для всех х^М. (3.4)
Доказательство. Равенства (3.2) и (3.4) очевидны. Так как
всегда Рг(х) (х) и Pi(y) то отсюда следует
РМ/\ Pi(y)^U (x)/\U (y)^=R^(x, x)/\R^(yt У)
для всех Поэтому
R(x, у}^= V {Л(*)\/р*(^)}<Яя(^ У>-
i(^N
В силу свойства (3.2) нечеткое отношение симметрично.
Заметим, что (3.3) выполняется для рефлексивных отношений.
Это условие может рассматриваться как определение слабой реф-
лексивности [9]. Рассмотрим нечеткие отношения, удовлетворяю-
щие свойствам (3.2) — (3.4), как аналоги четких отношений сход-
ства.
105
Определение 3.3. Нечеткое отношение называется отношением
сходства на нечетком множестве U в том и только том случае,
если выполняются свойства (3.2) — (3.4).
Из леммы 3.1 следует, что любое нечеткое бинарное отноше-
ние, ассоциированное с покрытием, есть отношение сходства. Сле-
дующая теорема показывает, что справедливо также и обратное
утверждение (см. [9], где этот результат получен независимо, но
в другом контексте).
Теорема 3.1. Пусть R— отношение сходства на нечетком мно-
жестве U. Существует покрытие S такое, что R=R%.
Доказательство. Нечеткое множество К называют предклассом
отношения R в том и только том случае, если К(х) /\К(у)
^R(x, у) при любых х, у^М. Множество всех предклассов R
представляет собой индуктивное частично упорядоченное множе-
ство [3, с. 192]. Максимальные элементы этого частично упоря-
доченного множества называются классами отношения R. Обо-
значим через N множество всех классов. Определим семейство
нечетких множеств условием
[/?(ц, Ь), если х—а или х—Ь,
t\a,b\X)—\
1 0 в остальных случаях.
для всех а, Ь^М. Тогда Ка,ь в силу (3.2) и (3.3) есть предкласс
отношения R при любых а, Ь^М. Если — некоторый
класс отношения R, содержащий Ка, ъ, то Pi(a)/\Рг(Ь) =R(a, b).
Поэтому
V {Pi(x)/\Pi(y)} = R(xf у)
1<=N
при всех х, у^М, а поскольку R есть отношение на U, т. е. S =
— покрытие U такое, что R=R^, то отсюда следует
у Р, (х) = и (х).
isN
Таким образом, для каждого покрытия S нечеткого множества
U существует отношение сходства на U, ассоциированное с
S по определению (3.1), и, обратно, для каждого отношения
сходства R на U существует покрытие S универсума U, такое,
что Р=Р%. Вполне возможно, что для различных покрытий Si и
5г окажется RS1=RS2- Рассмотрим следующий пример.
Пример 3.1.1 Пусть М = {х1г х2, х3} и U — М.
Рассмотрим два следующих покрытия U:
Pi Рг Р3 Pi Рг Рз
1 С других позиций аналогичные примеры рассмотрены в i[2].
106
где а<р<у. Легко проверить, что
1 а р
а 1 у
Р Т 1
%1
7Д == R = х2
2-1 2j2
Х3
Так как R — есть отношение сходства, поэтому есть возможность под-
считать все его классы. Оказывается, что они образуют покрытие
\ Р3 Рь
а а (3
1 у а
у 1 1
Следовательно, имеются, по крайней мере, три различных покрытия Si, 22 и
2з, таких, что R^ =R^ =RZa.
Если R — отношение сходства на U, а 2 — покрытие, такое, что R — R s
то, очевидно, что каждый элемент 2 есть предкласс отношения R. Поэтому
классы R образуют покрытие — максимальное среди покрытий, удовлетворяю-
щих условию R=Rg Обозначим его 2П. Тогда имеем R ^=R, хотя в общем
случае 2лх =#2.
Пример 3.2. Для покрытий из предыдущего примера имеем 2 в =2в,,
2*1 2*2
=23, а также 2д_ =23. Очевидно, что 2з содержит как 21, так и 22.
Любое покрытие 2={Pt}iew можно интерпретировать как нечеткое ото-
бражение. Именно, рассмотрим нечеткое отображение определенное
с использованием функции принадлежности F(x, i)—Pi(x). Это нечеткое ото-
бражение есть соответствие между множеством объектов М и множеством
свойств N. В классическом случае отношение сходства R? на М, опирающееся
на соответствие F, представляет собой ядро F, т. е. Rf=F~1o F. Последнюю
формулу можно обобщить на нечеткий случай с помощью (Д, V)-компози-
ционного правила, Которое дает
(х, у) = (Ез 1 о (х, у) = у {F2 (х, О Д F2 (у, 0} =
i
= V (Pi W л Pi (у)} = ’
t. e. тот же результат, что и (2.1).
С другой стороны, для данного нечеткого отображения F: M-^N можно
рассмотреть покрытие 2д = {Е(х, нечеткого множества U(x) = V F(x>
i<=N
i). Таким образом, покрытия и нечеткие отображения дают эквивалентное
списание структур схожести.
4. ОТНОШЕНИЯ ПОДОБИЯ, РАЗБИЕНИЯ
И ФАКТОР-МНОЖЕСТВА
Отношения подобия — важный частный случай отношений не-
четкого сходства. Эти отношения были введены в [8]. и изучены
в [2, 4].
Определение 4.1. Нечеткое бинарное отношение S на М назы-
вается отношением подобия на U тогда и только тогда, когда S
107
есть симметричное и транзитивное отношение и S(x, x) = U при
всех х^М.
Напомним, что нечеткое отношение S транзитивно в том и
только том случае, если S(x, y)/\S(y, z)^S(x, z) для всех
х, у, z^M. Так как отношение подобия S — симметричное и тран-
зитивное отношение, то S(x, y)=S(x, y)/\S(y, x)^S(x, x). Ана-
логично получаем S(x, y)^S(y, у), откуда следует, что S обла-
дает свойством слабой рефлексивности (3.3). Таким образом, от-
ношения подобия составляют частный случай отношений сходства.
Пусть S — покрытие U. Согласно разд. 2 нечеткое бинарное
отношение ассоциированное с S, есть отношение сходства.
Будет ли оно отношением подобия? Следующая теорема дает от-
вет на этот вопрос.
Теорема 4.1. Пусть 2 = {Л}гех — покрытие U. Нечеткое бинар-
ное отношение есть отношение подобия в том и только том
случае, когда для каждой пары i, j^N и каждой пары х, у<=М
найдется число k^N, такое, что
^7-ЛЛ (*)Л PAy)^Pk(*)/\PM, (4-1)
где/z„ = V {Л (х) ДРДх)} — высота ЛИД.
х^М
Доказательство. Пусть покрытие S удовлетворяет условию (4.1).
Необходимо доказать только транзитивность отношения. Согласно
(4.1) имеем
РДх, юЛРДг/. *) = [ V {Л МАЛ О)}]Л! V {Л (у)ЛЛ(?))! =
= V {Л«ЛЛ(г/)Л^(юЛ^(г)}< V {к, №(*)№(?))<
i, 1&.N i, JeN
<V ^(х)ЛРй(2)) = ^(х, г).
keN
Следовательно, — транзитивное отношение.
Теперь пусть — отношение подобия, ассоциированное с дан-
ным покрытием S. Поскольку R s —транзитивное отношение, то для
любого t<=M имеем
ЯДх, OA^stf, 1/X ^2 (А у}>
откуда, как и ранее, следует
V {P.VOAP.WAPAOAPjWCV {РМКРМ}-
I, ]EN k
Следовательно, для данных пар i, j^N и х, у^М существует число
k^N, такое, что для любого t^M
pt (*) Л Pi Л P, (f) A P; W C Pb W A Ps (//)
откуда следует
ЬцКРЛхЖР,^)^ V {PiWAPiWAPHOAPZWX
<PM/\PM,
что и требовалось доказать.
108
Существует и другое необходимое и достаточное условие на S
для того, чтобы 7? было отношением подобия. Оно основывается
на понятии множества a-уровня. Напомним [8], что множество
a-уровня нечеткого множества А определяется как четкое мно-
жество Ла= {х£еЛ1|Л (х) >а}, ае[0, 1]. Пусть 2={Л}ге№ПО-
крытие нечеткого множества U. Тогда очевидно, что 2а={Л}гех —
четкое покрытие Ua для любых а<=[0, 1].
Теорема 4.2. Отношение сходства , ассоциированное с 2,
есть отношение подобия на U в том и только том случае, если
для любого значения а<=[0, 1] для каждой пары i, j^N и каж-
дой пары х, у^М, таких, что хеРд у^Р3а и най-
дется число k<=N, такое, что х, y^Pah.
Доказательство. Пусть покрытие 2 удовлетворяет условиям
теоремы и ае[0, 1]— любое действительное число. Имеем
xRa^y тогда и только тогда, когда 7?s(x, t/)^a,
тогда и только тогда, когда существует такое i, что РДх)Д
АЛ G/)>a.
тогда и только тогда, когда существует такое i, что Рг(х)^а
и А (г/)>а,
тогда и только тогда, когда существует такое i, что х, y^Pai,
Теперь легко проверить транзитивность отношения J?a2 на мно-
жестве Ua. Пусть х, у, z^M и a=T?2(x, y)/\R%(y, z). Тогда xRy
yRa^z, откуда в силу транзитивности отношения Ra% следует
xRay~z. Следовательно,
Я2(х, z)>a = ^(x, у) Л Rs (У, ?),
т. е. R — транзитивное отношение на 17.
Обратно, пусть 7?s—отношение подобия на U и ае[0, 1].
Пусть также РагС\Ра^0 и х^Раг, у^Ра3. Поскольку
то существует z<=Pa'S]Pa:i. Имеем: x/?a2z, поскольку х, z^Pai, и
zRa^y, поскольку z, у<=Р%. Так как Rs — отношение подобия, то
Ra2 — четкое транзитивное отношение. Следовательно, xRa^y, от-
куда х, у^Рап для некоторого k.
Теоремы 4.1 и 4.2 дают внутреннее описание тех покрытий,
которые согласно (3.1) порождают отношения подобия.
Как и в общем случае, вполне возможно, что различные по-
крытия порождают одно и то же отношение подобия. Пусть 5
есть отношение подобия на U. Как указывалось в разд. 3, суще-
ствует единственное максимальное покрытие 2, такое, что S—Rz.
Элементы этого покрытия представляют собой классы отношения
S. Классы отношений подобия допускают очень простое описание.
Они оказываются классическими классами подобия, которые были
введены в работе [8].
Теорема 4.3. Любой класс отношения подобия S есть класс
подобия [а] для некоторого аэТИ.
Доказательство. Напомним (см. [8]), что под классом подо-
бия [а] понимается нечеткое множество с функцией принадлеж-
109
пости [а](х)=5(щ х). В силу симметричности и транзитивности
S имеем
[«](%)Д\а\(у) = S(х, a)/\S(a, y')^S(x, у).
Следовательно, каждый класс [а] — это предкласс в S. Пусть Р
класс из S. Обозначим через а элемент, такой, что Р(х)^Р(а)
для всех х^М. Поскольку Р — класс, то имеем
Р(х) = Р(х)ДР(а)^ S(x, а) = [п](х),
а так как [а] — предкласс S, то это возможно, только если Р = [а].
. В общем случае обратная теорема не справедлива. Рассмот-
рим, например, отношение подобия S, определенное на множест-
ве [/={(xi, 1), (х2, 1), (х3, а)}, где 0<а<1, матрицей
хх
х2
х3
XjTl 1
S = x2 1 1 а
х3 L« а_
Имеются два класса подобия, а именно, [xj =i[x2] = {(xj, 1),
(х2, 1), (х3, а)} и [х3] = {(xi, а), (х2, а), (х3, а)}, но только один
класс S, а именно, Р={(хь 1), (х2, 1), (х3, а)}. Заметим, что
[Хз]сР.
Тем не менее существует важный частный случай, в котором
обратное утверждение истинно.
Теорема 4.4. Если S — рефлексивное отношение подобия, то
каждый класс подобия [а] есть класс отношения S.
Доказательство. Предположим, что существует класс Р отно-
шения S, который содержит предкласс [а], т. е. Р(х)^[а](х)
для всех х^М. Тогда Р(а) [а] (а) = 1, откуда следует Р(а) = 1.
Поскольку Р — класс, то имеем
Р (х) = Р (х) ДР (а) С S (а, х) = [а] (х)
и, значит, Р=[а].
Следствие 4.1. Классы рефлексивных отношений подобия в точ-
ности совпадают со своими классами подобия.
В общем случае любой класс отношения подобия S представ-
ляет собой максимальный класс подобия, т. е. класс подобия, ко-
торый не содержится ни в каком другом. Поскольку классы
подобия становятся известны, как только известно S, легко опре-
деляются и классы S.
Покрытия, элементы которых составляют классы подобия, иг-
рают важную роль в теории отношений подобия.
Определение 4.2. Покрытие П= {Рг}гелт называется разбиением
тогда и только тогда, когда существует отношение подобия S,
такое, что П есть множество всех классов подобия S.
Так определенные нечеткие разбиения допускают независимое
описание во внутренних терминах. А именно, для любого данно-
110
го покрытияП={Рг}гел' построим семейство четких множеств.
\ п<={х|Л(*)=л(Л)=У(*)}-
Если {Пг}ге.к ест)» четкое разбиение М, то для каждого элемента
а^М существует единственное значение i, такое, что аеПг и для
каждого i^N существует элемент а, такой что аеПг. Положим,
по определению, [а]=А тогда и только тогда, когда аеПг-. Ис-
пользуем также обозначение П[а] для П*, если аеПг.
Теорема 4.5. (См. также [4].) Покрытие П есть разбиение тог-
да и только тогда, когда
1) {Iljfetf—четкое покрытие М, и . „
2) h([a](\[b]')-=[a](b)f\[b](ah
Доказательство. 1. Пусть П — нечеткое разбиение, т. е. имеется
отношение подобия S, такое, что П есть множество всех классов
подобия [а] отношения S. Имеем
П[а] = {х | [а] (х) = h ([а]) = U (х)} =
= {x|S(a, х)= u) = S(x, х)} =
= {x|S(z, x) = S(a, a)—S(x, х)}. (4.3J
П[а]=И=0, так как йЕП[а]. Предположим, что xgIL] П П[Ь]- Тогда
согласно (4.3)
S(a, x) = S(a, a) = S(x, x) = S(b, b)=S(b, x). (4.4 J
Отсюда с учетом симметричности и транзитивности отношения S
имеем
[a](t) = S(a, b)/\S(b, x)/\S(x, b)/\S(b, t)^
= S(b, b)/\S(b, t) = S(b, t) = [b](t).
Аналогичным образом получаем [b] (t) ^[a] (О, откуда следует
[a] = [Ь]. Таким образом, {П[а]}[а]е.¥ есть четкое разбиение М.
Далее, вследствие транзитивности и симметричности S имеем
Л([а] П [b]) = U)A[^](^)}=xVJS (а, х)Д5(х, Ь)} =
= S(a, b)-S(a, b) Д S (b, а) = [а] (Ь)Д[Ь] (а).
2. Пусть П — покрытие, удовлетворяющее условиям теоремы.
Определим S(x, у) — [х] («/). Тогда согласно (4.2)
[х] (О Л [У] (О < И (У) Л[у] (*)» Для каждого t. (4.5J
Подставляя в (4.5) t=x и t=y, получаем [#] (х) ^?[х] (у) к
И (У\ ^[//] (х) соответственно. Отсюда [х] (у) ={#] (х), т. е. 5 —*
симметричное отношение. В силу (4.5) и симметричности S полу*
чаем также
S(x, y)/\S(y, 2)^[x](f/)A[z](t/)^[x](z)A[zI(x)==5(x, z),
ill
<г. е. S — транзитивное отношение. По определению П[Х] имеем
S(x, х) = [х] (х) = U(x). Поэтому S есть отношение подобия на U,
что и завершает доказательство.
Заметим, что разбиения, определенные с помощью классов
подобия, не являются классами. Следующий пример проясняет
различие между этими случаями.
Пример 3.1. Пусть опять S — отношение подобия^ определенное матрицей
х£ ха х3
Xi Г1 1 а
S — ха 1 1 а
х3 La « а
О < а < 1.
Ищется только один класс P={(xi, 1), (х2, 1), (х3, а)} отношения S. В то же
время разбиения П, определяемое отношением S, содержит два элемента Р—
= [xi] = [x2] и [х3]={(х1( а), (х2, а), (х3, а)}.
В классической теории множеств очень важны понятия фактор-
множества и канонического отображения. Предыдущие рассуж-
дения позволяют дать соответствующее обобщение этих понятий
для теории нечетких множеств.
Определение 4.3. Пусть S — отношение подобия на множестве
U с универсумом М и пусть N — множество всех классов подо-
бия множества S. Нечеткое множество Н с универсумом N, опре-
деленное условием
// ([а]) = V («] (*)
хеМ
называется нечетким фактор-множеством U относительно S и
обозначается H = U/S. Нечеткое отображение F : определен-
ное условием
F(x, [а]) = [а] (х),
называется каноническим отображением.
Легко проверить, что F — хорошо определенное отображение.
Следующая теорема устанавливает некоторые общие свойства
.введенных понятий.
Теорема 4.6.
1) F(U)=H, т. е. Н есть образ U относительно F;
2) F~l(H) — U, т. е. U есть прообраз Н относительно F;
3) F~l([a]) = [а], т. е. прообраз единичного нечеткого элемен-
та [а] в Н есть нечеткое подмножество [а] в Л1;
4) S = F~io F, т. е. S есть ядро F.
, Доказательство. 1. (F (£/)) ([а]) = V {F (х [а]) Д t/(х)} =
V {S(x, а)Д$(х, х)= V S(x, а)= V [а](х) = Н([а]).
хеМ х<=М хеМ
- 2. (F-1 (Я))(х)= V {F~4x, [а])/\Н ([о])} =
= V {[аГ(х)Д V [я](«)}= V S(a, x) = S(x, х) = {7(х).
[a]&N иеМ [а]еХ
3. По определению, нечеткий единичный элемент [а] в Н — это
нечеткое множество [а] с функцией принадлежности
1«1([х])=Г([а])’ еСЛИ М = [а]’
О в остальных случаях.
Имеем (F-1 ([а])) (х) = V {F (х, (1Л)} = F(x, [а])/\Н ([а]) =
[i]^N
= S(a, х)Д V S(a, u) = S(a, х) = [а](х).
4. (F-i»F)(x, у) = V {F(*, [t])/\F(y, [?])} =
= V {S(x, t/)}=S(x, y).
Для любого данного разбиения П={Д}гек множества U
можно рассмотреть нечеткое множество Н с функцией принад-
лежности Н(i) =h(Pi). Тогда по теореме 3.5 Н есть фактор-мно-
жество множества U относительно соответствующих отношений
подобия S. Таким образом, представленная теория нечетких раз-
биений представляет собой полный аналог четкой теории.
Благодарности. Авторы благодарят проф. Э. Трильяса за предложение на-
писать эту статью и многие полезные советы. Они также благодарят проф.
Л. Заде за предоставленную им возможность совместной работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bachelard, G., (1940). La Philosopie du non. Presses Universitaires de Fran-
ce. 5eme Edition, Paris, 1970.
2. Bezdek, J. C., and Harris, J. D., (1978), Fuzzy partitions and relations: an axio-
matic basis for clustering, Fuzzy Sets and Systems, 1, 111—127.
8. Birkhoff, G., (1968), Lattice Theory. AMS Colloquium Publ., v. 25.
[Имеется перевод: Биркгоф Г. Теория решеток. — М..: Наука, 1984. — 564 с.]
4. Ovchinnikov, S. V., Structure of fuzzv binary relations. Fuzzy Sets and Systems,
v. 6, 1981, 169—195.
5. Riera, T., On fuzzy questions (to be published in Stochastica).
6. Trillas, E. and Riera, T., (1980), On a special kind of variables in fuzzy environ-
ment. Proc. 10th Sym. Multiple-valued logic, Evanston, 149—152.
7. Zadeh, L. A., (1965), Fuzzy Sets, Inf. and Control, 8, 338—353.
8. Zadeh, L. A., (1971), Similarity Relations and Fuzzy Orderings, Infor. Sci., 3,
177—200.
9. Yeh, R. T., and Bang, S. Y., (1975), Fuzzy Relations, Fuzzy Graphs, and their
Applications to Clustering Analysis, in: Zadeh, L. A., Fu, K. S., Tanaka, K., and
Shimura, M. (eds.), Fuzzy Sets and their Applications to Cognitive and Decision
Processes, Academic Press, New York, 125—149.
ПОСЛЕДНИЕ ДОСТИЖЕНИЯ В НЕЧЕТКОМ
КЛАСТЕР-АНАЛИЗЕ
Э. Г. Руспини 1
В работе рассматриваются последние достижения в примене-
нии понятий теории нечетких множеств к неявной классификации.
Они включают аксиоматический вывод понятий кластера и разби-
ения на кластеры, формальные условия существования кластеров
и связи между такими формальными подходами и формулировка-
ми многозначной логики, особенно логики Лукасевича алеф 1.
Рассматриваются также теоретические основы для оценки «кла-
стеризуемое™» выборки данных и для разработки методов ие-
рархического разбиения на нечеткие кластеры.
Ключевые слова: математическая классификация; числовая
таксономия; кластер-анализ; кластеризация; нечеткие множест-
ва; многозначная логика; распознавание образов.
1. ВВЕДЕНИЕ
В последнее время методы математической классификации
привлекали большое внимание исследователей и привели к соз-
данию одного из основных классов автоматизируемых процедур,
предназначенных описывать структурные характеристики выбо-
рочного множества по описаниям его компонентов.
Открытие структур, которые нелегко заметить с помощью
стандартных процедур анализа данных, имеет первостепенную
важность для понимания того, какие отношения регулируют пове-
дение реальных систем. Появившаяся возможность выявить орга-
низационные схемы привела к широкому использованию класси-
фикационных процедур в прикладных и социальных науках.
Однако полезность процедур классификации ограничена двумя
факторами.
Во-первых, большинство предложенных методов опирается на
эвристические соображения, возникающие из конкретных прило-
жений понятия классификации к частным задачам. Попытки рас-
ширить сферу применимости выведенных таким образом проце-
дур часто дают неудовлетворительные результаты. Применение
этих методов при решении конкретных задач приводит к различ-
ным классификациям, зависящим от использованной процедуры,
и не позволяет проникнуть в сущность причин, вызывающих так-
сономические различия, и подвергнуть их аналитическому иссле-
дованию. В случаях, когда такие исследования проводились, об-
наруживалось, что процедуры, подогнанные под характеристики
конкретного примера и механически примененные для другого
случая, оказывались непригодными для решения задачи.
1 Operating Systems, Inc., Woodland Hills, California.
114
Во-вторых, большинство предложенных процедур пытались
применять для классификации точек по принадлежности к подхо-
дящим множествам по степени подобия между точками выбороч-
ных данных. Но это, как будет подробнее рассмотрено в разд. 3,
недостижимая цель для большинства практических применений,
и так поставленная проблема может не иметь решения. Искусные
усовершенствования процедур, обычно используемые для разре-
шения этой проблемы, такие как деформация первоначальной
меры подобия (как это делается, например, в односвязывающем
методе) или ослабление классификационных требований (напри-
мер, некоторые сходные точки разрешается относить к разным
классам) совершенно неприемлемы вследствие плохого качества
полученных результатов.
Для успешной постановки этих проблем в данной работе бу-
дем придерживаться строгой аналитически развитой методологии,
основанной на аксиоматической теории, которая объясняет и свя-
зывает различные понятия и подходы, используемые в кластерном
анализе, для получения осмысленных и полезных решений проб-
лемы классификации в качестве основы для описания как выбо-
рочных данных, так и их классификаций, предлагается исполь-
зовать теорию нечетких множеств. В этой связи данная работа
представляет собой продолжение исследования системы понятий,
впервые предложенных в '[5] и развитых в последующих работах
[6, 7]. Существенная особенность настоящей работы состоит в
систематическом введении соответствующих понятий на аксиома-
тической основе и идентификации отношений между полученными
таким образом понятиями и основными положениями теории не-
четких множеств и нечеткой логики.
В разд. 2 кратко рассматривается логическое обоснование не-
четкого кластер-анализа и затем обсуждаются основные неустра-
нимые трудности, с которыми сталкиваются при решении проб-
лемы кластеризации традиционными методами. В разд. 3 дается
аксиоматическая разработка понятия кластера и устанавливаются
условия существования кластеров в выборочных данных. В разд.
4 устанавливается связь между определением нечеткого кластера
и формальной интерпретацией транзитивности нечеткого отно-
шения в логике Лукасевича алеф! i[2]. В 'разд. 5 обсуждаются
различные пути обобщения, проясняющие понятие кластера и
ведущие к более глубокому пониманию понятия кластерного про-
тотипа, чем обеспечивается новая характеризация проблем иерар-
хической классификации выборки и оценки кластеризуемости или
определения классификационного потенциала кластера. В разд. 6
понятие кластеризации противопоставляется понятию кластера и
приводятся результаты, относящиеся к аксиоматическому опре-
делению понятия кластеризации как наиболее экономного спосо-
ба представления выборки кластерами.
115
2 НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА, НЕЧЕТКИЕ
КЛАСТЕРЫ И НЕЧЕТКАЯ КЛАСТЕРИЗАЦИЯ
2.1. НЕЧЕТКАЯ КЛАСТЕРИЗАЦИЯ КАК ПОДХОД
К ПРЕДСТАВЛЕНИЮ ДАННЫХ
Нечеткое разбиение на кластеры было введено в [5] как путь
решения некоторых проблем представления традиционного разби-
ения на кластеры, позволяющий достигнуть осмысленных реше-
ний во многих классификационных проблемах, неподдающихся
анализу с помощью традиционных методов.
Неформально проблему разбиения выборочного множества на
классы можно сформулировать следующим образом:
«Сгруппировать точки выборочного множества в подмножест-
ва (называемые кластерами) так, чтобы подобные точки относи-
лись к одному и тому же подмножеству, а не подобные — к раз-
личным подмножествам».
В типичной задаче кластеризации предполагается, что подо-
бие 1 между точками определяется с помощью функции, которая
назначает неотрицательные действительные значения каждой па-
ре точек выборочного множества.
Простые примеры, когда два или больше хорошо определен-
ных множеств соединяются «мостиками» из внутренне связанных
объектов выборки, показывают, что в общем случае не сущест-
вует решения этой проблемы, если только не ослабить требования
и не рассматривать ее решение в другом контексте. Как отмеча-
ется далее, теория нечетких множеств обеспечивает желаемый пе-
ренос выборов таксономических решений из дискретного метриче-
ского пространства в непрерывное пространство, в котором поня-
тие «похожая классификация» можно определить более содержа-
тельно.
Далее, теория нечетких множеств, заменяя строгую принад-
лежность множеству на непрерывную степень принадлежности,
позволяет более удовлетворительно представлять точки, которые
лежат снаружи ядра или прототипной части каждого кластера
(например, «мостики»). Гносеологические рассмотрения показы-
вают, что нечеткие множества более пригодны в качестве инстру-
мента представления непрерывных кластеров, чем теория вероят-
ностей 2.
1 Не 'следует путать с нечетким отношением эквивалентности, определенным
Заде [9].
2 Степень принадлежности служит для представления сходства точки с про-
тотипным элементом кластера, а не вероятности ошибки в классификаций.
116
2.2. НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ
АНАЛИЗЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ КАК НЕЧЕТКИХ
КЛАСТЕРОВ
Методы, предложенные в [5], опирались на определение не-
четкой кластеризации как разбиения множества данных на сово-
купность его нечетких подмножеств. Оптимальная нечеткая клас-
теризация определялась как разбиение на нечеткие подмножест-
ва, доставляющие оптимальное значение некоторому функциона-
лу, определенному на множестве всех возможных разбиений.
Этот функционал определялся так, чтобы он соответствовал инту-
итивному понятию «качества классификации».
При таком подходе проблема состояла в получении классифи-
кации, содержащей как хорошие, так и посредственные кластеры,,
на которой достигалось бы составное экстремальное значение
функционала, определяющего качество классификации. Проблему
можно довести до основной черты предлагаемого подхода, когда
каждое нечеткое подмножество выборочных данных дозволяется
рассматривать как потенциальный кластер. Осознание этой проб-
лемы определило основную методологическую установку настоя-
щей работы: строгое использование аксиоматической формулиров-
ки для определения кластеров как особых подмножеств исходного
множества, удовлетворяющих определенным условиям. По срав-
нению с предыдущим случаем выявляется дополнительное преи-
мущество: априори не требуется никаких предположений о числе
кластеров.
2.3. КЛАСТЕРЫ И КЛАСТЕРИЗАЦИЯ
Главное, что характерно для результатов, представленных &
этой работе, заключается в формальном различении понятий
кластер и кластеризация.
Понятие кластера опирается на структуру подобия (по пред-
положению, определенную на выборочном множестве) и не зави-
сит ни от каких соображений относительно природы классифи-
цируемого множества.
Понятие кластеризации, с другой стороны, связано с пробле-
мами представления выборочного множества с помощью класте-
ров экономным образом.
2.4. НЕОБХОДИМОСТЬ В НЕЧЕТКИХ КЛАСТЕРАХ
Решение проблемы автоматической классификации можно счи-
тать эквивалентным идентификации функции, которая отобража-
ет структуру подобия, определенную на выборочном множестве»
в разбиение этого выборочного множества так, чтобы достига-
лась указанная неформальная цель классификации.
Рассмотрение вопроса в такой (эквивалентной) формулировке
показывает, что всякий раз, когда классификация строится с
117
использованием четких множеств, проблема оказывается неразре-
шимой, так как она равносильна определению изоморфизма меж-
ду двумя неизоморфными структурами.
С одной стороны, имеется структура, порожденная отношени-
ем подобия, которое, в общем случае, представляет собой нетран-
зитивное бинарное отношение. Другими словами, из «А подобно
В» и «В подобно С» не следует, что «А подобно С».
С другой стороны, структура, обусловленная двузначной функ-
цией принадлежности четких множеств, определяет транзитивное
отношение между парами точек следующим образом: из «А при-
надлежит тому же кластеру, что и В» и «В принадлежит тому же
кластеру, что и С» следует «А принадлежит тому же кластеру,
что и С».
По этой причине решение проблемы кластеризации в общепри-
нятых терминах невозможно или выполнимо только после некото-
рого подходящего ослабления постановки задачи. Эта основная
проблема будет строго сформулирована с позиций общеприня-
того подхода в следующем разделе, где будет показано, что пе-
реход от соответствующего традиционного определения к нечеткой
области обеспечивает основу для содержательного определения
кластера.
3 . ПОНЯТИЕ КЛАСТЕРА
3.1. ОБЩЕПРИНЯТАЯ ФОРМАЛИЗАЦИЯ
В этом разделе будет дана формальная характеристика обще-
принятой (т. е. не нечеткой) проблемы кластеризации. Несмотря
на то, что эти результаты совершенно очевидны и полностью со-
гласуются с неформальными комментариями предыдущего разде-
ла, они обеспечивают формальную основу для аксиоматического
определения нечеткого кластера и оказываются полезными для
лучшего понимания целесообразности такого определения.
Введем необходимые обозначения:
А. X — множество элементарных исходов.
Б. F — подмножество X, называемое выборочным множеством.
В. В — бинарное отношение на X, называемое отношением по-
добия.
Если (х, y)^R, то будем говорить, что х подобен у. В осталь-
ных случаях будем говорить, что х неподобен у или отличен от у.
Предполагается, что отношение R:
1) рефлексивно, т. е. (х, x)^R, если х^Х,
2) симметрично, т. е. (%, у) <=R=>- (у, x)^R.
Дополнение R отношения R будет называться отношением
различия.
Г. А — дополнение подмножества А множества X.
Д. Р(х) —множество всех подмножеств множества X.
Е. R (А) — множество
R(A) = {yt=X:(x, y)<=R и х=А}.
118
Аналогично,
R (х) = {z/eX ; (х, y)^R}.
Определение. Подмножество А множества X называется R-
кластером (или, для краткости, кластером) тогда и только тогдаУ
когда
a) R(A)=A,
б) /?(А) =А.
Примечание. Это определение просто формализует нефор-
мальное определение кластера, конкретизируя требование, соглас-
но которому все точки, близкие А (т. е. точки R (А)) должны от-
носиться к А, в то время как все точки, отличные от А (т. е. точ-
ки R(A)), не должны относиться к А. Следующие, приводимые*
без доказательства результаты просты и представляют фор-
мализацию сделанных комментариев относительно невозможнос-
ти решений общепринятой проблемы кластеризации.
Утверждение. Пусть А — подмножество множества X. Тогд^
А — кластер в том и только в том случае, если
a) R(x) =А для всех х«=А,
б) R(x) =А для всех х«=А.
Следствие. Если А и В — кластеры, то они либо тождествен-
ны, либо не пересекаются.
Определение. Пусть С — семейство непустых подмножеств,,
множества X. Тогда С называют покрытием X тогда и только тог-
да, когда объединение всех элементов С совпадает с X.
Теорема существования. Пусть С — покрытие множества X.
Для того чтобы каждый элемент С был кластером, необходимо и
достаточно, чтобы:
а) отношение R было транзитивно,
б) C=XIR.
Последний результат можно перефразировать следующим об-
разом: «Необходимое и достаточное условие существования по-
крытия из кластеров состоит в том, чтобы R было отношением
эквивалентности».
Таким образом, общепринятая кластеризация требует, чтобы
отношение подобия было транзитивным. Поскольку в большинст-
ве практических задач это требование не выполняется, то в общем
случае решение проблемы кластеризации в традиционных терми-
нах невозможно. Кроме того, процедуры, разработанные для пре-
одоления этого недостатка, отображают числовую меру подобия
на бинарное отношение эквивалентности (например, односвяз-
ность) и деформируют природу исходной структуры, приводя к.
нежелательным результатам (например, к образованию цепей).
3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЧЕТКОГО КЛАСТЕРА
Используя в качестве основы данное здесь формальное опре-
деление четкого кластера, представим формальное определение
нечеткого кластера. Допущения, принимаемые при введении no-
il 19
л яти я подобия, гарантирующие существование покрытия из не-
четких кластеров, слабее, чем в случае обычного множества. Кро-
ме того, представления нечеткими кластерами по самой своей су-
ти намного богаче из-за возросшей способности указывать отно-
шения между кластерами и точками.
Введем необходимые обозначения:
А. X — обычное множество, называемое множеством элемен-
тарных исходов или выборочным пространством.
Б. f — нечеткое подмножество X, называемое выборочным
множеством.
В. г — рефлексивное, симметричное (нечеткое) отношение в
X, называемое отношением подобия. Его дополнение d=l—г
называется отношением различия.
Г. F (х) — множество всех нечетких подмножеств X, имеющих
непустое ядро (т. е. если f<=F(x), то существует некоторое
хеХ, для которого |f(x) = l).
Д. Q (f) — мощность нечеткого множества f.
Определение. Пусть g — нечеткое множество в X. Тогда g на-
зывается нечетким r-кластером (или, для краткости, кластером) в
том и только в том случае, когда
a) g(x) = l =^g(y) = r(x, у),
б) lg(x)— г(х, у).
Примечание. Условие а) последнего определения обобща-
ет оба условия определения обычного кластера.
Условие б) — это, по существу, условие непрерывности, не
имеющее прототипа в обычном случае. Оно представляет собой
простейшую формализацию утверждения о том, что нечеткие клас-
сификации подобных точек должны быть подобны. Заметим, что
никакое другое значение, кроме 1, не должно быть использовано
в качестве множителя при разности в правой части, так как же-
лательно, чтобы всякий раз, когда г(х, у) =0 на связь между клас-
сификациями х и у не накладывалось никакого ограничения.
Из определения нечеткого кластера легко вывести следующие
утверждения.
Утверждение. Если g и h — нечеткие кластеры, то они либо
тождественны, либо их ядра не пересекаются.
Определение. Пусть С — семейство нечетких подмножеств
множества X, такое, что:
а) каждая точка X принадлежит ядру некоторого элемента из
С,
б) каждый элемент С имеет непустое ядро.
Тогда С называется нечетким покрытием X.
Определение. Пусть г — рефлексивное, симметричное нечет-
кое отношение в X. Если неравенство
jr(x, //)—r(x, z)|<l—-г(у, Z)
удовлетворяется для всех х, у, zeX, то г называется отношением
похожести в X.
120
Теорема (существования покрытий нечеткими кластерами )₽
Пусть С — нечеткое покрытие X. Для того чтобы каждый элемент
этого покрытия был нечетким кластером с непустым ядром, необ-
ходимо и достаточно, чтобы:
а) г было отношением похожести,
б) С — нечеткое фактор-множество X по отношению г.
Примечание. Эту теорему можно сформулировать иначе-
«Необходимое и достаточное условие существования покрытия иэ
нечетких r-кластеров состоит в том, чтобы г было отношением
похожести. В этом случае покрытие единственно, а его элемен-
ты— нечеткие множества с функциями принадлежности г(х, •)
для всех х^Х».
Значение этого условия существования проясняется следую-
щим результатом.
Утверждение. Если г — отношение похожести, то его дополне-
ние d=l—г есть ограниченная псевдометрика в X.
Примечание. Этот результат, по существу, указывает, что
для того, чтобы г было отношением похожести, его дополнение
должно быть (псевдо) метрикой в X. Таким образом, условие по-
хожести не только слабее условия эквивалентности (так как все
отношения эквивалентности являются отношениями похожести),
но оно также слабее условия нечеткого подобия, дополнение ко-
торого должно удовлетворять более сильному неравенству ультра-
метржки
d(x, ^)<max(d(x, г), d(z, у)), х, у, геХ.
В работе |[3] описаны дополнения отношений похожести как
множество рефлексивных симметричных нечетких отношений,
удовлетворяющих условию
d(x, у) = infz(d(х, z)-f-d(z, г/)).
В работе [1] при исследовании подмножества множества всех
нечетких бинарных отношений в X, инвариантных к транзитивно-
му расширению при различных определениях транзитивности ус-
тановлено, что эквивалентный результат
r(x, i/) = supzR(x, z) + r(z, у) —1]+
(где |[ ] + — положительная часть функции) справедлив в том и
только том случае, если г есть отношение похожести. Кроме того,
согласно результатам этой работы класс всех отношений похоже-
сти оказался наибольшим из классов, «инвариантных к транзи-
тивным расширениям» при исследовании различных определений
транзитивности.
4. ОТНОШЕНИЯ ПОХОЖЕСТИ И МНОГОЗНАЧНАЯ
ЛОГИКА
Рассмотрим полную решетку с дополнениями Lx, порожден-
ную множеством Вх утверждений вида «точки х и у желательно
отнести к одному и тому же кластеру'», где х и у — любая пара
121
элементов множества X. Обозначим через Р, Q, Р, ... элемен-
ты Lx-
Если оценка подобия г(х, у) любых двух точек из X приравне-
на степени истинности (в шкале [0,1]) утверждения «точки х и
у желательно отнести к одному и тому же кластеру», то функция
подобия г определяет функцию истинности
Т:Вх-^[0, 1],
такую, что, если
Р (х, у) = «точки х и у желательно отнести к одному и тому
же кластеру»,
то Т(Р(х, у)) = г(х, у).
Если область определения функции Т расширена таким обра-
зом, что заключает в себе всю решетку Lx в виде формул моди-
фицированной логики Лукасевича алеф1 Е
7,ПР) = 1-т(Р),
T(PUQ) = min(T(P) + T(Q), 1),
T(P->Q) = min(l,l-7(P) + T(Q)) = TGPUQ),
то требование транзитивности отношения, индуцированного при-
надлежностью общему кластеру, можно рассматривать как экви-
валентное утверждению, что составное высказывание —
Если «точки х и у желательно отнести к одному и тому же
кластеру»
и «точки у и z желательно отнести к одному и тому же кла-
стеру»,
то «точки х и z желательно отнести к одному и тому же
кластеру» —
всегда истинно (т. е. значение истинности равно 1) для любых
.х, у, z<=X. Действительно, формальное представление этого выска-
зывания с помощью полученных формул и определения Т через
/ приводит к неравенству
г(х, z)>[r(x, y) + r(y, г) —1]+.
Поскольку это неравенство выполняется для всех троек х, у, z,
то (учитывая, что г(х, х) = 1) получаем
r(x, z) = sup!/[r(x, у) + т (у, z) —1]+,
т. е. г — отношение похожести. Это доказательство легко обра-
тить и показать, что если г — отношение похожести, то соответ-
ствующее кластеризующее отношение обладает свойством транзи-
тивности.
1 Использование прилагательного «модифицированный» связано с тем, что
некоторые из этих формул отличаются от приведенных в [2]. Однако выписан-
ные выражения более приемлемы, так как они удовлетворяют большинству ос-
новных аксиом стандартной логики неопределенности и к тому же аксиоме
T(P->Q)=T(-1PUQ)«
122
Итак, требование, согласно которому отношения подобия дол-
жны быть отношениями похожести (т. е. дополнениями псевдо-
метрик), эквивалентно транзитивности кластеризующего отноше-
ния. Таким образом, в рамках модифицированной многозначной
логики алеф1 кластеризующее отношение будет отношением эк-
вивалентности в том и только том случае, если основная струк-
тура подобия определяется отношением похожести. Это — естест-
венное обобщение соответствующего утверждения для обычных
множеств о том, что кластеризующее отношение будет отношени-
ем эквивалентности тогда и только тогда, когда основная струк-
тура подобия задается обычным отношением эквивалентности. Су-
щественное отличие нечеткого случая состоит в том, что в рам-
ках многозначной логики осмысленные решения находятся для
более широкого класса проблем, чем при нечеткой постановке.
Интересно заметить, что если вместо формул модифицирован-
ной алеф1 логики использовать формулы стандартной нечеткой
логики [9]:
Т(1Р) = 1-Т(Р),
?(PnQ) = min(T(P), T(Q)),
T(PUQ) = max(T(P), T(Q))t
T(P->Q) = min(l,l-T(P) + T(Q)),
то можно показать, что условие транзитивности кластеризующего*
отношения эквивалентно уравнению
/ (х, z) = supy [min (г (х, у), г (yt z))],
определяющему отношения нечеткой эквивалентности (или подо-
бия, как это определено в |[9] или в [3]).
Как было установлено ранее, требование, согласно которому
отношение должно быть нечетким отношением эквивалентности,
сильнее требования, согласно которому оно должно быть отноше-
нием похожести. Имея это в виду, заметим, что отсюда можно не-
посредственно проследить различие выражений, которые опреде-
ляют степень истинности Т (PQQ) в модифицированной логике
Лукасевича и логике Заде.
В логике Заде степени истинности для конъюнкции PQQ при-
сваивается наибольшая оценка, совместимая с требованием к Т
[2]. С другой стороны, в модифицированной логике Лукасевича
она получает наименьшее значение, совместимое с оценочными
аксиомами. Это наблюдение также важно для лучшего понимания
сущности сравнительных результатов работы [1].
5. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ КЛАСТЕРА
Как уже установлено, необходимое и достаточное условие су-
ществования нечетких кластеров состоит в том, чтобы отношение
было отношением похожести. В этом случае все множества, име-
ющие степень принадлежности, задаваемую выражением
Cx(-) = r(x, •), хеХ,
12&
будут кластерами и поэтому могут быть выбраны в качестве ком-
понентов кластеризации выборочного множества. Если отношение
подобия представить как симметричную матрицу с единицами на
главной диагонали, то строки (или столбцы) этой матрицы — не-
четкие множества будут одновременно и нечеткими кластерами.
Определение. Если g — кластер, ах — точка, такая, что
то х будем называть прототипной или типичной точкой класте-
ра g-
Как следует из результатов разд. 3, для каждой точки множе-
ства X (которое может быть больше выборочного множества) най-
дется по крайней мере один кластер Сх, содержащий ее в качест-
ве типичного элемента. В связи с этим возникает интересный во-
прос: может ли определение кластера быть обобщено так, чтобы
включать кластеры, содержащие в качестве типичных элементов
дочки, которые не относятся ни к выборочным данным, ни к боль-
шему множеству элементарных исходов X.
В некоторых прикладных задачах множество X можно легко
вложить в большее пространство, и поэтому точки этого прост-
ранства могут стать кандидатами в прототипы. С примером тако-
го вложения мы встречаемся в случае, когда X есть конечное
множество точек евклидова пространства, и точки, отличные от
точек из X, выбираются в качестве прототипов. Однако в боль-
шинстве прикладных задач мало известно о каких-нибудь содер-
жательных структурах выборочного множества сверх того, что
можно получить из функций подобия.
Однако даже и в этих случаях выборочное множество можно
разумно вложить в большую структуру, рассматривая множество
всех подмножеств Р(Х) пространства элементарных исходов
вместе с естественным вложением, которое отображает точки мно-
жества X в одноэлементные подмножества X. Эта основная идея
используется в методах объединения или склеивания [4], в кото-
рых кластеры образуются заменой совокупности точек единым
центроидом (не обязательно соответствующим точке выборочно-
го множества или пространства, в которое это множество вложе-
но). Затем степени подобия между исходными точками и этим во-
ображаемым центроидом подсчитываются как функции известных
подобий точек выборочного множества.
Одной из целей исследования, описываемого в этой работе,
был анализ возможности обобщений понятия кластера с помощью
объединяющих вложений. Соответственно общему духу работы и
в этом случае мы стремились к строгому развитию результатов
на базе ряда хорошо определенных задач, а не к изучению
свойств эвристических формул объединения.
Общие цели, от которых обычно зависит подходящее направле-
ние обобщения, состояли в следующем:
1 С использованием понятия «склеивание» предполагалось по
отношению подобия г, определенному на X, найти обобщение г*,
124
определенное на F(X* 2). Другими словами, нечеткие подмножест-
ва X желательно рассматривать как возможные объединения, и
соответствующие обобщения г искать так, чтобы получить разум-
ное отношение подобия между нечеткими множествами.
2 . Выражение для оценки подобия между двумя нечеткими
подмножествами f и должно зависеть от значений функций
принадлежности fngn от степеней подобия г (х, у), таких, что или
f lx)g(y) =7^0 или f (y)g(x) =7^0, но не от каких других значений г.
3 Сужение расширения г* на прямое произведение X2 (при
естественном вложении элементов X как одноэлементных четких
подмножеств X и, следовательно, как нечетких подмножеств мно-
жества X) должно быть эквивалентно г. Это условие гарантиру-
ет, что г* есть расширение г.
4 . Если г — отношение похожести в X, то расширение г* дол-
жно быть отношением похожести в F(X).
5.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПО ПРОТОТИПАМ
Определение расширения функции подобия г на F (X) может
рассматриваться как эквивалент определению подобия между во-
ображаемыми центрами тяжести каждой нечеткой склейки. Каж-
дая такая функция подобия будет определять подобие между не-
четкими объединениями как взвешенное среднее степеней подобия
между точками х, причем весовые значения определяются степе-
нью принадлежности каждой точки соответствующим склейкам.
Это — основная идея, обосновывающая представления, предло-
женные в [4] для четкого случая. Для того чтобы получить при-
водимые далее формулы, в настоящем исследовании выдвигается
дополнительное условие «евклидовой согласованности».
Для характеристики понятия «евклидовой согласованности»
нужно дать следующее определение.
Определение. Центроидом нечеткого подмножества 2 f евклидо-
ва пространства Rn называется точка xf, определенная выраже-
нием
xf = (l/Q(f)) (М)),
где суммирование проводится по точкам носителя f.
Условие «евклидовой согласованности» можно сформулиро-
вать в следующем виде.
Определение (евклидовой согласованности). Пусть X — под-
множество евклидова пространства Rn и пусть функция подобия
г есть дополнение евклидова расстояния d в X. Тогда расширение
г до г*, равное дополнению к евклидову расстоянию между
центроидами нечетких подмножеств из R (при котором предпо-
! Заметим, что в результате склеивания получают нечеткие множества обще-
го вида (с непустыми ядрами) и не ограничиваются нечеткими кластерами.
2 Для простоты обсуждение ограничено нечеткими подмножествами с конеч-
ным носителем, как в наиболее важных приложениях кластерного анализа Обоб-
щения на непрерывный случай следуют непосредственно.
125
лагается переход от нечеткого множества к центроидному отобра-
жению и к евклидову расстоянию в выпуклой оболочке множе-
ства X), называется расширением (и единственным) до X, удо-
влетворяющим усповию евклидовой согласованности.
Введение понятия евклидовой согласованности гарантирует, что
в евклидовом случае расширение будет согласовано с нашим соб-
ственным интуитивным представлением о расстоянии между цен-
троидами в евклидовых пространствах. Кроме того, важность
включения евклидовой согласованности как одного из условий
подтверждается следующими результатами, которые связываю г
его с отношением похожести и, следовательно, с проблемой суще-
ствования нечетких кластеров.
Теорема. Пусть г — отношение подобия в X<z:Rn. Если / есть
дополнение евклидова расстояния d в X, то его однозначное рас-
ширение г* удовлетворяет свойству евклидовой согласованности
и определяется выражением
g))2= —j-2 2 ((<p(x)-T(x))(d4x, r/))(<p(//)-V({/))], (Ц
где q>(x)==f(x)/fi(f); у (х) = g(x)/Q(g);
d*=l—г*; d=l — г,
и где все суммы берутся по теоретико-множественному объедине-
нию носителей fug.
Теорема. Пусть / и g — нечеткие подмножества исходного ко-
нечного множества X. Пусть г — отношение подобия в X и
Q* ё) определяется выражением
Q*tf, ё) = — vS2 Кф(х>—v(х))(^2гОПНШ
где ср и у те же, что ив (1); d—1—г, и все суммы берутся по те-
оретико-множественному объединению носителей fug.
Чтобы величина Q*(if, g) была неотрицательной для всех пар
(непустых ядер) нечетких подмножеств f и g в F(X), необходимо
и достаточно, чтобы г было отношением похожести. Если г — от-
ношение похожести, то Q* определяет отношение подобия
г* в Е(Х):
щ/, g)=i-«*(/. g)i/2
К тому же г* само есть отношение похожести в F(X).
Таким образом, отношения похожести не только гарантируют
существования кластеров в X, но и могут быть расширены до от-
ношения похожести на множество F (X) всех нечетких множеств
X с непустыми ядрами. Расширение г* можно использовать (фор-
мируя нечеткое фактор-множество множества F (X) по г*) для
определения нечетких кластеров, имеющих нечеткие подмножест-
ва X в качестве типичных элементов (т. е. обобщенных «центро-
идов») ,
126
5.2. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ КЛАСТЕРЫ И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПУТИ
Теперь, используя представленные ранее теоретические ре-
зультаты, можно рассмотреть формально заложенную в процеду-
ры объединения эвристическую идею получения иерархической
таксономии выборочных данных.
Процесс, с помощью которого (в традиционном контексте)
к растущим кластерам добавляются точки до тех пор, пока не
закончится классификация всей выборки (т. е. пока не будет до-
стигнут корень дерева), можно рассматривать как процесс нахо-
ждения пути, который начинается в одноэлементном подмноже-
стве {х} множества X и проходит по возрастающим по мощности
элементам множества Р(Х) всех подмножеств множества X, пока
не достигнет всего выборочного множества X.
Аналогично этому в нечетком случае путь склеивания можно
рассматривать как непрерывную кривую, проходимую процес-
сом склеивания во множестве F(X) всех нечетких подмножеств X
с непустыми ядрами. Этот путь опять начинается в соответствую-
щем нечетком подмножестве выборочного множества, проходит по
все большим и большим нечетким подмножествам X (большим —
в смысле включения нечетких множеств), пока, наконец, не до-
стигнет полного множества f выборочных данных. Однако в отли-
чие от обычного случая проходимые на пути склеивания нечеткие
подмножества становятся не кластерными компонентами таксоно-
мии, а скорее, как это обсуждалось, их прототипными элемен-
тами.
Поскольку в нечетком случае путь, который объединяет не-
четкие подмножества f с полным выборочным множеством /'
непрерывный, то для анализа вопросов, связанных с задачей оп-
ределения их путей, можно применять все методы непрерывного
анализа.
Так как в силу рассмотренного обобщения понятия кластера
множество F (X) представляет собой непрерывное метрическое
пространство, то свойства путей склеивания можно описать в
терминах структуры расстояния. Из всех возможных свойств,
которыми должен обладать путь склеивания, особенно привлека-
тельно, чтобы он был минимальным или геодезическим путем. Это
условие интересно по крайней мере, с двух точек зрения.
1. Длина пути между двумя нечеткими подмножествами f и g
представляет собой предел суммы расстояний (т. е. криволиней-
ный интеграл) вдоль пути. Каждый член в этих суммах есть рас-
стояние между двумя последовательными элементами ломаной,
которая аппроксимирует криволинейный путь. Таким образом,
кривая, колеблющаяся между различными нечеткими множества-
ми (в ранее обсуждавшемся смысле) будет иметь большую дли-
ну, чем кривая, соединяющая данные конечные точки и проходя-
щая через «близкие» элементы F(X). Поэтому общая длина пути
представляет собой адекватную классификационную характерис-
тику пути, рассматриваемого как способ организации нодмно-
127
жеств множества X в иерархическую структуру, наилучшим обра-
зом отображающую существующую метрическую структуру мно-
жества X. Следовательно, определение геодезических путей экви-
валентно оптимизации этой меры адекватности.
2. Принцип оптимальности Веллмана гарантирует, что дуги оп-
тимального пути будут также оптимальными частями пути меж-
ду конечными точками.
Следовательно, два оптимальных пути, исходящих из нечет-
ких подмножеств gi и g2 и пересекающихся в общей для них
точке могут быть оптимально продолжены от h до f. Получающе-
еся в результате семейство оптимальных путей образует иерархи-
ческую структуру, имеющую своим корнем выборочное множест-
во I
Если предположить, что X содержит конечное число N точек
и если нечеткие множества в X представлены векторами, имею-
щими N действительных компонентов (каждый из которых при-
надлежит [О, 1]), то проблему определения оптимального пути
склеивания можно формально описать следующим образом1:
найти непрерывно дифференцируемую кривую
g:[s„, s/]—*-[0, If,
такую, что
1) (fig/ds) = v (s) > 0 в [s0, S/],
2) g(sQ) = g9, g(sf) = t (g0^f),
3) (v(s), v(s)) = l в [s0, Sy] (где <,> — скалярное произ-
ведение в RN)
и такую, что
L(g) = J <V2d*(g(s), g(s)), v(s))6s минимально,
где криволинейный интеграл берется вдоль g:^2d*(g, g)—гра-
диент функции обобщенного расстояния d* (g, h) от второго ар-
гумента, взятый при h—g.
Для экономии места производная точных формул для обобще-
ния будет опущена.
Поскольку реальный расчет геодезических кривых по F(X)
может быть слишком сложным, субоптимальное решение можно
получить, следуя по линии «наименьшего сопротивления» от gQ к
f, т. е. принимая v (s) за единичный вектор в конусе
для которого скалярное произведение
w(s)= (V2d*(g(s), g(sf), v (sty
минимально.
1 В обычных производных и общих дифференциальных выражениях употреб-
ляется буква б во избежание путаницы с функцией расетояния d.
128
5.3. КЛАСТЕРИЗУЕМОСТЬ
Геодезический подход к определению путей склеивания и, сле-
довательно, иерархических таксономий в X, не обязательно дает
семейство кривых, обладающих свойством определять единствен-
ный путь от каждого соответствующего нечеткого подмножества
g множества f к множеству Д
Несмотря на то, что в большинстве прикладных задач эта
трудность легко преодолевается с помощью правил, учитываю-
щих природу конкретной задачи, отмеченное отсутствие единст-
венности представляет теоретический интерес как свидетельство
того, что структура подобия может все-таки определять и единст-
венную таксономическую структуру на множестве.
Легко видеть, что экстремальные примеры столь бедных струк-
тур подобия характеризуются оптимальностью каждого пути скле-
ивания.
Поэтому индуцируемая структурой подобия четкость определе-
ния геодезических путей есть хороший показатель «кластеризуе-
мое™». Важно отметить, что такие показатели имеют локальную
природу, т. е. они описывают возможности кластеризации в окре-
стности точки множества F (X) (т. е. нечеткого подмножества X
с непустым ядром) и, таким образом, оказываются полезными
для идентификации подмножеств выборочных данных, трудных
для классификации.
Точно так же, как значение второй производной действитель-
ной функции действительной переменной в окрестности точки ми-
нимума есть хороший показатель четкости изгиба кривой около
этой точки, примеры количественных мер кластеризуемости в
окрестности нечеткого подмножества g зависят от вариаций вто-
рого порядка минимизируемых функций. Один такой пример дают
меры, связанные со второй вариацией функции длины L(g)
(всякий раз, когда такая вариация определена) около геодезиче-
ской кривой g*. И снова из-за экономии места воздержимся о г
детального обсуждения соответствующих формул.
6. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И КЛАСТЕРИЗАЦИИ
Одна из главных характеристик излагаемой здесь теории
кластеризации состоит в проведении семантического и формаль-
ного разграничения понятия кластера и кластеризации.
В предыдущем разделе приведено определение кластеров как
особых подмножеств выборочного множества и обсуждены вопро-
сы, связанные с этим определением.
Данный раздел в первую очередь посвящен проблеме предста-
вления выборок с помощью нечетких кластеров. В отличие ог
проблемы определения кластера, где требования, которым долж-
ны удовлетворять нечеткие кластеры, можно было установить в
общем виде, проблема определения «адекватного» представления
существенно зависит от контекста прикладной задачи. Далее
5—120 12Q
кратко обсуждаются два подхода для случаев, когда цель проб-
лемы представления неформальным образом можно охарактеризо-
вать как поиск наиболее экономичного описания выборки с помо-
щью нечетких кластеров. До конца раздела будет предполагаться,
что исходное множество X содержит конечное число 1очек.
6.1, МИНИМАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
При первом подходе к описанию множества через кластеры
идеи, выдвинутые в [5—7], обобщаются с помощью идентифика-
ции функционалов, определенных на множестве всех возможных
представлений, которые затем оптимизируются для получения же-
лаемой кластеризации. В этом случае основное отличие состоит в
дополнительном условии, которое ограничивает множества компо-
нентов представления нечеткими кластерами.
Определение. Пусть г — отношение похожести в X и пусть с
и I — нечеткие подмножества X. Если
У, г(х, у) с (у) >= f (х) для всех хеХ,
где суммы берутся по всем у^Х, то с называется нечетким г-
аредставлением нечеткого подмножества f (или, короче, просто
представлением).
Примечание. Это определение выявляет формальный
смысл понятия представления через требование, согласно которо-
му выборочное множество f должно представляться линейной
комбинацией нечетких кластеров в X (всех тех, которые имеют
степень принадлежности г(х, •)). Особо отметим, что выведенное
из модифицированной алеф-1 логики выражение для объединений
нечетких множеств — выражение аддитивного типа.
Определение. Пусть Н есть функция, отображающая нечеткие
подмножества X в неотрицательные действительные числа. Тогда
если с* таково, что а) с* есть представление f, б) Я(с*)^Я(с)
для любого с-представления f, то с* называется Н-минимальным
представлением f (или, короче, минимальным представлением).
Среди всех возможных определений для представления функ-
ционала И имеются и такие, которые удовлетворяют ряду свойств,
предъявляемых в качестве основных требований для любого та-
кого функционала. Формулировка этих свойств и аксиоматичес-
кое определение функционалов, которые удовлетворяют им, пока-
зывают, что семейство функционалов
(с) = s с (у/,
(где суммирование ведется по X и £ — действительное число в от-
крытом (0, 1) интервале числовой прямой) обладает определен-
ными желаемыми характеристиками представления.
Из-за недостатка места здесь невозможно обсуждать эти свой-
ства и их целесообразность. С подробностями можно ознакомить-
ся в работе [7].
130
6.2. ИТЕРАТИВНОЕ ПОРОЖДЕНИЕ КЛАСТЕРОВ
Второй тип подходов отличается тем, что все нечеткие класте-
ры, которыми можно представить выборку, полностью характери-
зуются теоремой существования нечетких кластеров. Функция
принадлежности для этих кластеров непосредственно. связана, с
функцией подобия.
Поскольку кластеры, имеющие большие пересечения с выбороч-
ным множеством, более предпочтительны как компоненты эконо-
мичного представления, чем те, которые не пересекаются с ним,
то рассмотрение подходов к проблеме представления, используе-
мых в факторном анализе, приводит к следующему определению.
Определение. Пусть х — точка множества X, г — отношение
похожести в X, f — нечеткое подмножество X. Если через rz обо-
значить нечеткое подмножество X, определенное выражением
rz (г/) = г (г, у) для всех у^Х, z<=X,
то гх будет называться главным компонентом f тогда и только
тогда, когда для всех у^Х
C(rxnf»C(ri,nf).
Несмотря на то, что в приведенной формуле можно использо-
вать любое подходящее определение операции взятия пересече-
ния нечетких множеств, однако отношение похожести и модифици-
рованная логика алеф1, рассмотренные в разд. 4, предопределя-
ют, что наилучшим вариантом выражения, максимизация кото-
рого (по всем х^Х) определит главный компонент, будет
С П /) = 2 [г (х, y) + f(y)—1]+,
где сумма берется по всем у^Х.
Как только главный компонент гх определен (их может су-
ществовать несколько), не охваченная классификацией часть вы-
борки
^X(y) = f(y) — [f(y) + r(x, у)— l]+ = min (Ду), 1 — г (х, у))
может быть сама по себе исследована для выделения основных
компонентов. Этот процесс может продолжаться до тех пор, пока
не выполнится условие c(A(z/))^e для некоторого малого поло-
жительного е.
7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Представленные в этой статье теоретические результаты дали
возможность установить формальные и семантические связи ме-
жду понятиями кластеризации, ранее введенными чисто эвристиче-
ским образом. Использование строгого аксиоматического подхода
позволило идентифицировать связи между понятиями кластера,
прототипа кластера, иерархической таксономии и кластеризуемос-
ти множества. Кроме того, понятие кластера (подмножества ис-
5* 131
ходного выборочного множества, обладающего определенными
специальными свойствами) было отделено от понятия кластериза-
ции (в определенном смысле описания выборочного множества
через его кластеры).
Это основание для рационального обсуждения вопросов, отно-
сящихся к проблемам автоматической классификации, теперь ис-
пользуется в ряде исследований, которые включают:
1) сравнительное изучение различных подходов к представле-
нию с точки зрения их применимости к классификации данных
больших выборок,
2) разработку адаптивных процедур кластеризации, которые
непрерывно и автоматически модифицируют таксономии в ответ
на динамические изменения базовой структуры подобия,
3) применение разработанных алгоритмов и методов к динами-
ческой организации и реорганизации в реальном масштабе вре-
мени больших текстуальных баз данных.
4) дальнейшее развитие теоретических результатов (в частно-
сти, в области представления выборочных данных).
Собранные в этой работе результаты существенно повысили
вероятность успеха этих начинаний; они определяют основные те-
оретические направления, которые приводят к понимаю сложных
таксономических проблем и выяснению адекватности процедур,
предложенных для их решения.
Благодарности. Автору помогли своими советами при обсуждении затрону-
тых в работе вопросов Дж. Бездек, К- Дворкис, Р. Каттер, Дж. Кунс, К. Мон-
тгомери, Дж. Томпсон и Л. Заде. Всем им он хочет выразить свою глубокую
благодарность.
При проработке вычислительных аспектов статьи автор прибегнул к
помощи компании Operating Systems. При составлении программ ему помогали
Д. Двиггинс и Дж. Треффтс, за что он приносит им свою благодарность.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bezdek, J. С. and J. D. Harris (1978). Fuzzy Partitions and Relations: an Axio-
matic Basis for Clustering. Fuzzy Sets and Systems, 1, 111—127.
2. Gaines, B. R. (1978). Fuzzy and Probability Uncertainty Logics. Inf. & Control
(USA), 38, 154—169.
3. Kaufmann, A. (1975). Introduction to the Theory of Fuzzy Subsets, Vol. 1. Aca-
demic Press, New York.
[Имеется перевод: Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств.— М.:
Радио и связь, 1982, 432 с.
4. Lance, G. N. and W. Т. Williams (1966). A General Theory of Classification
Sorting Strategies. 1. Hierarchical Systems. Comput. J. (GB), 9, 373—380.
5. Ruspini, E. H. (1969). A New Approach to Clustering. Inf. & Control (USA), 15,
22—32.
6. Rusoini, E. H. (1970). Numerical Methods for Fuzzy Clustering. Inf. Sciences, 2,
319—350.
7. Ruspini, E. H. (1973). New Experimental Results in Fuzzy Clustering. Inf. Sci-
ences, 6, 273—284.
8. Ruspini, E. H. (1977). A Theory of Fuzzy Clustering. Proc. 1977 IEEE Con-
ference on Decision and Control. IEEE Press, New York.
9. Zadeh, L. A. (1970). Similarity Relations and Fuzzy Orderings. Inf. Sciences, 2,
319—350.
132
Часть II.
ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ
ОДИН ПОДХОД К ЭКСПЕРТНЫМ
СИСТЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ
К. Дж. Эрнст1
Цель данной работы состоит в том, чтобы показать потенци-
альную полезность нечеткой логики для практической реализации
семантики и прагматики экспертных систем. Этот подход более
подробно объясняется на примере критической деятельности кон-
сультативных систем, свойства которых должны удовлетворять
специфическим требованиям пользователей. В этой вводной ста-
тье в общих чертах описываются логические и методологические
средства, которые для таких систем может предложить теория
возможностей на семантическом и прагматическом уровнях.
Ключевые слова: система управления решением; семантичес-
кие правила; прагматические правила.
1. ВВЕДЕНИЕ
Экспертные системы представляют собой интерактивные кон-
сультационные системы, которые предоставляют пользователям
экспертные заключения по специальным областям знаний. Много-
численные и важные результаты в разработке таких систем, по-
лученные за последние несколько лет, свидетельствуют о зрелости
исследований в теории формальных рассуждений и управлении
базами данных. Для того чтобы ограничить поле исследования,
дадим предварительное определение.
Определение. Под экспертными системами будем понимать ин-
формационные поисковые системы, ограниченные конкретными
областями с:
а) нетривиальной способностью понимать сведения;
б) способностью определять правдоподобность ответов, кото-
рые даются пользователям;
в) способностью давать объяснение этим ответам.
Два последних свойства характеризуют надежность системы
с точки зрения пользователей и предполагают проведение ана-
лиза на достоверность с помощью приближенных рассуждений.
1 Universite des Sciences Sociales, Place Anatole France, 31042 — Toulouse-
CEDEX, France.
133
Ключевая проблема разработки консультативных экспертных
систем состоит в определении способов представления и исполь-
зования, которыми обладает эксперт в области своей компетент-
ности. Проблема осложняется еще и тем, что при достижении по-
лезных выводов во многих важных областях эксперты опираются
на неточные или неопределенные сведения. Так, например, проис-
ходит при принятии решений в организационных системах.
2. ДЛЯ ЧЕГО НУЖНЫ ЭКСПЕРТНЫЕ СИСТЕМЫ
УПРАВЛЕНИЯ?
До настоящего времени для управления в организационных
системах в качестве инструмента подготовки решений было раз-
работано очень немного экспертных систем, хотя их потенциаль-
ная полезность в этой области огромна. Основная трудность, с ко-
торой сталкивались в таких прикладных задачах, состояла в не-
обходимости построения баз знаний, дающих представление о
процессах принятия решений в рассматриваемой области: в эк-
спертных системах такие знания моделировались с помощью на-
боров правил вывода. Модельная версия базы знаний получалась
переформулировкой [10] простого описания правил принятия ре-
шений, которое давали эксперты. Задача обработки экспертных
протоколов |[5] занимает особенно много времени, и, более того,
без знания административных основ производственной деятель-
ности и системного анализа ученый не может добиться ее эффек-
тивного решения. И если разработчик хочет построить эксперт-
ную систему, удовлетворяющую требованиям заказчика, то это
желание — первое условие, которое должно быть выполнено.
Требования фирм к экспертным системам как опорным систе-
мам принятия решений могут быть выражены в двух ключевых
словах: координация и контроль [8]. С проблемами координации
фирмы сталкиваются каждый раз, когда несколько управляю-
щих должны распределить ресурсы или работы, ориентированные
на достижение одной и той же цели. Сложность структуры при-
нятия решений связана с двумя факторами:
— размером базы данных, который в общем случае вызывает
необходимость в разработке более или менее сложной системы
управления данными;
— частотой взаимодействия между управляющими, обуслов-
ленной тем, что у них нет полного представления о глобальной
проблеме и процессах принятия решений, в которые они включе-
ны. С этой точки зрения база знаний экспертной системы играет
роль координационного устройства, выражающего интегральные
ограничения, накладываемые на процесс принятия решений.
Однако одной сложности недостаточно для того, чтобы оправ-
дать использование экспертной системы: она должна сочетаться
с ограничениями на задержки. В этом случае для того, чтобы изу-
чить пространство возможных действий, согласованных с теку-
щим состоянием- базы данных и ограничениями на решение в
134
целом, выраженными в базе данных, принимающий решение нуж-
дается в интерактивном доступе к процессу управления. Когда
для разрешения специального класса проблем управления фирма
сталкивается с ограничениями, обусловленными сложностью и
задержками, использование экспертной системы в качестве кон-
сультанта по управлению может значительно увеличить степень
автономности решения и уровень компетентности принимающих
решения.
3. АРХИТЕКТУРА ЭКСПЕРТНЫХ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ
Экспертная система, отвечающая потребностям заказчика,
должна характеризоваться двумя основными чертами: тщательно
разработанной системой управления базой данных (СУБД) и ба-
зой сведений об экспертных моделях принятия решений. Разра-
ботка приемлемых для заказчиков экспертных систем должна
охватывать четыре области исследования:
— реляционные СУБД для определения возможностей вывода
моделей реляционных данных;
— приближенное рассуждение для управления нечеткой сре-
дой принятия решений на фирмах с помощью операционных мо-
делей:
— дедуктивные реляционные системы баз данных для описа-
ния правил определения данных с тем же самым формальным ап-
паратом вывода, который применяется в правилах принятия ре-
шений, содержащихся в базе данных операционной системы;
— принятие решений в организационных системах для преодо-
ления трудностей фирмы в процессах координации и контроля,
особенно на верхних уровнях иерархии.
Такая экспертная система управления в настоящее время раз-
рабатывается в Научно-исследовательском центре (Тулуза, Фран-
ция). В ней используется реляционная СУБД, называемая
SYNTEX1, которая ориентирована на ЭВМ CII-HB/IRIS80. Зада-
ча консультативной системы состоит в выработке рекомендаций
относительно операционного контроля медперсонала в большом
госпитале [7]. Различаются три уровня в построении экспертной
системы:
1) экстенсиональная база данных: основание отношений (син-
таксические объекты), интеграционные ограничения (функцио-
нальные зависимости);
2) интенсиональная база данных: концептуальные и внешние
схемы, правила интерпретации, семантические правила вывода
(семантические постулаты);
! Экспериментальный вариант SYNTEX разработан и реализован в Научно-
исследовательском центре, Тулуза, Франция
135
3) база операционной системы: метаправила (выработки реше-
ний), используемые для управления системой базой дедуктивных
данных.
Определим более точно семиотику языка представления, свя-
занную с каждым из этих уровней, т. е. теоретические свойства,
которым должен удовлетворять этот язык на синтаксическом, се-
мантическом и прагматическом уровнях.
4. СИНТАКСИЧЕСКИЕ ПРАВИЛА
В реляционной базе данных вся информация представляется
в виде единой конструкции данных, а именно, в виде теоретико-
множественного отношения [4]. При этом n-арное отношение R
определяется на совокупности доменов Di, D2, Dn (не обяза-
тельно различных) как подмножество прямого произведения
jDiX-D2X ... \Dn, т. е. в виде множества упорядоченных я-ок
(du, di2, ..., din) (г = 1, 2, ..., m), таких, что du принадлежит dui
принадлежит D2, ..., din принадлежит Dn- Это множество n-ок,
называемых также элементами или синтаксическими объектами,
определяет основание отношения R, п есть степень R, а число т,
равное числу объектов в R, называется мощностью отношения.
Для придания значений величинам, определенным в Di, каждому
домену Di ставится в соответствие один или несколько признаков
(все признаки одного отношения считаются различными).
Синтаксические правила, называемые интеграционными, пред-
ставляют собой ограничения, накладываемые на объем отноше-
ний. Их роль заключается в том, чтобы защищать базу данных
от необоснованных включений, вычеркиваний или изменений дан-
ных. Среди этих ограничений наиболее сильно влияют на построе-
ние схем базы данных ограничения типа функциональных зави-
симостей.
Определение. Пусть даны: n-арное отношение R, определен-
ное на множестве признаков А = {Ль Л2, ..., Ап) и два подмноже-
ства Х^А и Y^A — комбинации признаков из А. Множество
признаков Y называется функционально-зависимым от множества
признаков X в R (или X функционально определяет У), если для
любой пары объектов n, r2^R [4] справедливо
где объекты п(Х), r2(X), rt(Y), r2(Y) определены на X и У соот-
ветственно.
Основание отношений и интеграционные ограничения образу-
ют экстенсиональную базу данных.
5. СЕМАНТИЧЕСКИЕ ПРАВИЛА
Понятия интенсивности и экстенсивности были введены впер-
вые в работе [2] и служили для объяснения различия между на-
званием объектов и их смыслом. В реляционных базах данных
136
свойства, семантически характеризующие каждый объект реаль-
ного мира, описываются набором признаков Ai, А2, ..., Ап: гово-
рят, что эти признаки определяют интенсиональную структуру
рассматриваемого объекта. Таким образом, каждый объект ре-
ального мира в базе данных соответствует строке (аь а2, ап),
определенной, по крайней мере, в одном отношении R(Ai, А2, ...
..., Ап). Эти отношения можно рассматривать как n-местные пре-
дикаты, подчиняющиеся семантическим правилам двух типов:
правилам интерпретации и семантическим правилам вывода. Оп-
ределения отношений, свойств и семантических правил включают-
ся в интенсиональную базу данных.
В случае экспертных консультативных систем для организаци-
онного управления особенно важно, что операционная модель ба-
зы данных должна быть работоспособной в нечеткой среде при-
нятия решений. На деле это приводит к введению в правила ре-
шения нечетких семантических категорий; с этой целью семантика
базы данных усиливается обращением к теории возможностей
[15] и «нечетким предикатам», определяемым как нечеткие огра-
ничения на экстенсиональную базу данных.
6. ПРАВИЛА ИНТЕРПРЕТАЦИИ
Правила интерпретации определяют сущность отношений па
языке значений истинности пли оценок возможностей.
Определение. Объект («1, а2, ..., ап), определенный в отноше-
нии R(Дь А2, ..., Ап), для которого истинен предикат
||/?(Л1 = а1, Д2 = а2, ... , - истинно,
называется интерпретацией.
Пример. Отношение ЧАСТЬ (Р*, имя, цвет, масса) истинно для интер-
претации (РЗ, винт, синий, 15), если часть с индексом РЗ представляет собой
сини"’ винт массой 15.
Определение. Пусть заданы: множество признаков Aif А2, ...
..., Ап, определенное на доменах D-, D2, ..., Dn соответственно.
Пусть далее предикат F определен как имя нечеткого ограниче-
ния, наложенного на отношение R(Ab А2, ..., А„) и характеризуе-
мого функцией распределения возможностей PAi, Ай, ..., Ап '
Тогда интерпретацией отношения R (Аь Д2, Ап) называется объ-
ект («п, <Тг2, п1Г)) определенный на основании R, степень сов-
местимости которого с ограничением F равна Pi(au, ai2, ..., ain)
(Д-^ = djj, Д2 <Tj2, ... , Ап = F . Pi (йц, «;2, ... , ^in)
Значение рг(ац, ai2, ..., ain) интерпретируется как возможность
того, что предикат F семантически характеризует объект (ац, (ц2, ...
определенный в R, т. е. интерпретация наделяется смыслом
в контексте отношения R. Аналогичным образом в этом контексте
функция распределения возможностей pAl. а2, •••, ап, соответст-
вующая признакам Аь А2, ..., Ап, характеризует интенцию (смысл,
137
содержание) предиката F [14]. Для данного распределения воз-
можностей рА, которому соответствует рА[, Ас>, ..., Л;1, можно за-
писать уравнение назначения возможностей: F = PA.
Эти формальные пояснения подтверждают тот факт, что смысл
предикатов — чисто субъективное понятие, поскольку он зависит
от контекста, в котором определяются предикаты.
Пример. Пусть R (ИМЯ, ВОЗРАСТ) — отношение и F Л молодой — не-
четкое ограничение, связывающее распределение возможностей Рмолодои
с признаками имя и возраст Пусть дана интерпретация 7?
II/? (ИМЯ = Джон, В03РАСТ=34) || =молодой 0,5,
это означает, что в контексте отношения R возможность считать Джона моло-
дым (равна 0,5 Иными словами, утверждение «Джону 34 года» означает
«Джон молодой» и возможность такой интерпретации в R оценивается значе-
нием 0,5
Примечание. Если F — прямое произведение п нечетких,
подмножеств F\, F2, ..., Fn, определяющих унарные нечеткие огра-
ничения Ri(Ai), R2(A2), ..., Rn(An), то получаем отношение [15]г
Рл1г а2, ,лп(А, А2,..., Ап) = рА1 (Д1)Л .ЛРлпИп),
где pAj. (А3)—ассоциированная с ЕД/=1, ... п) функция марги-
нального распределения возможностей. В этом случае говорят*
что F — сепарабельный предикат.
7. ПРАВИЛА СЕМАНТИЧЕСКОГО ВЫВОДА
Семантический вывод отличается от синтаксического тем, что
он включает смысл предпосылок, сравнимых по их интенсиональ-
ной структуре, в то время как синтаксический вывод включает
только их экстенсиональную структуру, как это было показано-
ранее. Правило семантического вывода устанавливает, что утвер-
ждение 5 можно вывести из множества условий истинности Р,
необходимых и достаточных для определения интенции 3: в этом
случае скажем, что Р семантически определяет 3 (или 3 семанти-
чески зависит от Р): P-^S. Это понятие семантической зависимо-
сти — базовое в семантической теории, называемой «Семантика
условной истинности» [10], которая, в частности, включает в себя
теорию возможностей Заде <[15]. В базе данных семантические
зависимости можно рассматривать как интенсиональную проти-
воположность функциональных зависимостей, которые отражают
только синтаксические ограничения, накладываемые на экстенсио-
нальные базы данных. В предлагаемом подходе к построению эк-
спертных систем правила семантического вывода рассматрива-
ются как семантические постулаты, на основе которых выводятся
определения семантических категорий в пределах баз данных.
Семантические постулаты. В контексте системы базы данных
семантические постулаты представляют собой правила вывода,
используемые для вывода более общих семантических категорий
138
как подмножеств экстенсиональной базы данных. Точнее, семан-
тический постулат — это формула, справедливость которой обос-
нована фактами, и которая заключается в точном обобщении от-
ношений гипонимии например, где А Д мать и В А жен-
щина.
Таким образом семантические постулаты — это соответству-
ющие аксиомы теории базы данных, которые дают возможность
строить индуктивные процессы как особый тип рассуждений на
отношениях базы данных, выводимых с помощью заключения. Од-
ними из первых разработанных систем с правилами вывода, в ко-
торых предусматривается управление реляционной базой данных,
были системы DADM [9] и DEDUCE 1[3]. Семантические кате-
гории, выведенные из семантических постулатов, называются вир-
туальными отношениями: они выражают взгляды пользователей
на базовые отношения и в отличие от базовых отношений не
имеют экстенсионального представления в базе данных. В кон-
тексте принятия решений пользователям, по-видимому, приходит-
ся создавать новые нечеткие семантические категории, и они мо-
гут делать это с помощью семантических постулатов.
Определение. Пусть даны: множество признаков X={Xi, Х2,
Хп} и признак В, определенные на доменах ZF, D2, ..., Dn, Dn+i.
Рассмотрим нечеткие ограничения F[, F2, F3, определенные на от-
ношениях R(X), R(X, В) и R(B), где R(X, В) дает возможное
представление семантической зависимости В на X. Назовем огра-
ничение F3 решением уравнений назначения, если:
R W = F,
R(X, B) = F2
R(B) = F3 = F^ F2
Интенция ограничения F3 выводится из интенций Fi и F2 с помо-
щью композиционного правила ° , определенного на Х\В. В тер-
минах функций распределения возможностей это композиционное
правило заключения выражено Заде [12] как операция (min—
max; -произведения:
Рв (b) -= V lPx (х) рх, в (х, Ь)],
X
где у^Х, Ъ^В и рх(х), рв(Ь) —функции распределения возмож-
ностей соответственно у Fi и F3.
Композиционное правило вывода модус поненс. В теории не-
четких множеств существуют несколько формулировок, которые
обобщают булевый оператор импликации. Наиболее часто исполь-
зуются определения Гогена, Гейнеса, Лукасевича, Решера и Заде;
их свойства и особые преимущства тщательно сравнивались
многими исследователями. Важно отметить, что выбор правила
импликации зависит от области приложений. В контексте интен-
1 Отношение гипонимии выражает менее общие термины с помощью более
общих терминов говорят, что первые есть гипонимы последних
139
сиональной базы данных представляется особенно удобным опре-
деление Лукасевича:
Рх.в^’ 6) = min [1, 1—/?х(х) + рв(Ь)].
С нашей точки зрения основное преимущество возможностно-
го представления семантических зависимостей в этой формулиров-
ке состоит в том, что выражение Лукасевича допускает декомпо-
зицию. Это свойство, изученное Болдуином [1], особенно полез-
но, когда семантические постулаты содержат нечеткие отноше-
ния высокой степени.
Применение определения импликации по Лукасевичу приводит
к композиционному правилу модус поненс по Заде [13], обобща-
ющему классическое правило модус поненс.
Определение. Композиционное правило модус поненс — это
правило вывода, заключение которого находится как решение
уравнений назначения
R (X) = F посылка : F
R (X, В) = G'®H вывод :((?->//),_______
R (В) = К = Fo (6'фЯ) заключение : Fo (G -> Я) = X,
где F, G — именные нечеткие ограничения, наложенные на отно-
шение R(X), определенное на доменах DiX ... XDn; Н, К — не-
четкие ограничения, наложенные на отношение R(B), определен-
ное на домене Dn+i; G' — дополнение G; G', Н — цилиндричес-
кие продолжения G7 и Н.
8. ПРАГМАТИЧЕСКИЕ ПРАВИЛА
Прагматические правила описывают условия использования
данных в каждом контексте пользователей. Они хранятся в опе-
рационной базе экспертной системы и выполняют две главные
функции: представление правил решения и управление процессом
оценки с использованием семантических постулатов. Действитель-
но, эти правила реализуются как метаструктура, которая контро-
лирует семантическую информацию, хранящуюся в интенсиональ-
ной базе данных.
9. ОПЕРАЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Решающие правила — это метаправила вывода, такие, что
С1АС2А...АСП->А
где условия Ci, С2, ..., Сп задают информацию о посылках семан-
тических постулатов Ri, R2, ..., Rm; вывод А определяет действие
на R2, ... Rm.
Условия метаправил относятся к объектам экстенсиональной
базы данных: при активизации метаправила в процессе оценки
запроса оно динамически порождает временную связь между объ-
140
ектами. Эта дискриптпвная способность — важное свойство рас-
сматриваемого метода, в котором использование правила обуслов-
лено обращением к нему, ориентированным на содержание. Проб-
лема поиска правил глубоко изучена в работе [6].
10. СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ
На каждом шаге обработки запроса метаправилами определя-
ется пространство возможных действий. Такая структура упра-
вления неявно заложена в большинство систем, основанных на
правилах вывода, но метаструктура управления дает пользова
телям возможность сделать явное и полное описание своего кри-
терия предпочтения относительно: а) вывода множества правил,
называемого конфликтным множеством, и условия которых не
противоречат процессу вывода на данном шаге; б) выбора пра-
вила из конфликтного множества, которое следует применять в
первую очередь.
При этом прагматическом подходе к структуре управления ме-
таправилами описываются стратегии поиска, моделирующие по-
ведение людей, принимающих решение. Проблема состоит в том,
что такая система правил может уменьшить пространство поис-
ка слишком резко. Метаправила, не использующие приближенное
рассуждение, дают эффективный способ применения управляю-
щих стратегий, которые позволяют производить исчерпывающие
исследования в пределах схемы вывода. Пример такой структуры
управления дает процедура MYCIN '[6]. Априорно метаправила-
ми связываются меры допустимости, по которым определяют до-
пустимое упорядочение правил вывода внутри конфликтного мно-
жества. Приведем пример из MYCIN.
Пример. Мы хотим сказать, что акционеры, уходящие па пенсию, предпо-
читают надежные акции — спекулятивным. Запишем метаправило.
Посылки: ($ AND (GREATER OBJCT AGE 60)
(THEREARE OLRULES ($ AND (MENTIONS FREEVAR
PREMISE BLUE-CHIP)) SET1)
(THEREARE OLRULES ($ AND (MENTIONS FREEVAR
PREMISE SPECULATIVE)) SET2))
Действие: (CONCLUDE SET 1 DOBEFORE SET2 0.8).
Управляющее действие DOBEFORE имеет степень правдоподобности, равную
0,8, и указывает частичный порядок между двумя подмножествами правил. Важ-
но отметить, что термины, предикаты и функции, выраженные в правилах выво-
да,— это термины метаязыка, использованные на метауровне вывода. С другой
стороны, если правдоподобность равна нулю, то правила вычеркиваются из кон-
фликтного множества.
В рассматриваемом прагматическом подходе процедуры упо-
рядочения, используемые в стратегиях управления, по своей при-
роде скорее возможностные, чем вероятностные. Полагаем, что те-
ория возможностей пригодна для связи структуры управления е
оценочными функциями, определяющими динамическое правило
141
упорядочения. К тому же этот подход должен дать объединенную
теорию для описания правил определения данных в интенсиональ-
ной базе данных и правил решения в операционной базе. В по-
следующей статье будет описан метод оценивания запроса с по-
мощью эвристических стратегий поиска исходя из теории возмож-
ностей.
11. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной вводной работе в общих чертах описаны управля-
ющие экспертные системы, основанные на теории возможностей.
Показано, что функции распределения возможностей можно вве-
сти на двух уровнях:
— в интенсиональной базе данных для того, чтобы вывести не-
четкие семантические категории как внешние представления о ба-
зе данных;
— в операционной базе, как оценивающие функции, связан-
ные с метаправилами.
Возможностное значение используется на этом метауровне в ка-
честве управляющей информации для обработки запроса.
К настоящему времени существует очень немного исследова-
ний по дедуктивным системам запроса, использующим прибли-
женное рассуждение и взаимосвязанным с реляционными система-
ми баз данных. В дальнейшем, опираясь на мощные и привлека-
тельные принципы, заложенные в теории возможностей, исследо-
вания могут развиваться в двух направлениях с тем, чтобы сис-
темы запроса учитывали:
— семантические ограничения модели реляционных данных;
— потребности для гибкой и зависящей от типа доменов струк-
туры управления, включающей эвристические стратегии обработ-
ки запроса.
При построении экспертных систем управления перед учеными
ставится проблема разработки и реализации структур управления,
которые подходили бы к принятым в организационных системах
процессам принятия решений.
Благодарности. Автор благодарит профессора Л. А. Заде, профессора Ж. Лю-
га, Г. Галере, С. Л. Шанга, Дж. М. Никола, Р. Демоломба и М. Лемона за их
полезные комментарии и (стимулирующие обсуждения, в которых сформировалась
философия данной работы. Это исследование финансируется Агентством разви-
тия информатики (ADI) Министерства промышленности, Париж, Франция.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Baldwin, J. F., and N. С. F. Guild (4979). On the satisfaction of a fuzzy rela-
tion by a set of inputs. Int. J. of Man-machine Studies, 11, 397—404
2. Carnap, R. (1965). Meaning and Necessity. The University of Chicago Press,
Chicago.
3 Chang, C L. (1978). Deduce 2, further investigations of deduction in relational
data bases. In H. Gallaire, and J. Minker (Eds.), Logic and Data Bases, Ple-
num, New-York, pp. 201—236.
142
4. Cood, Е. F. (1370). A relational model for large shared data banks. Comm.
ACM, 13, 6, 377-V387.
5. Collins, A. (1978\ Fragments of a theory of human plausible reasoning. In
D. Waltz (Ed.), Theorical Issues in Natural Language Processing, vol. 2,
pip. 194—201. \
6. Davis, R. (1977). Generalized procedure calling and content-directed invocati-
on. In Proceedings of Д1РЕ Conference.
7. Ernst C. (1979). Analyst d’un systeme de pilotage des personnels paramedicaux
en milieu hospitalier. Gestions Hospitalieres, 190, 869—888.
8. Ernst C. (1981). Les processus de coordination et de communication dans 1’ent-
reprise: une analyse structprale. in Melanges Pierre Vigreux, Institut de Pre-
paration aux affaires, Toulouse, pp. 541—595.
9. Kellogg C. and L. Travis (198J). Reasoning with data in a deductively augmen-
ted data management system. In H. Gallaire, and J. Minker (Eds), Advances
in Data Base Theory, vol. 1. Plenum, New-York.
10. Kempson R. M. (1977). Semantic Theory. Cambridge University Press, Camb-
ridge.
11. Mark W. S. (1977). The reformulation approach to building expert systems.
Proc. 5th I. J. C. A. L, 329—335.
12. Zadeh, L. A. (1975). Calculus of fuzzy restrictions, in L. A. Zadeh (Ed.), Fuzzy
Sets and their Applications to Cognitive and Decision Processes, Academic
Press, New-York, pp. 1—39.
13. Zadeh, L. A. (1977a). A Theory of Approximate Reasoning. University of Ca-
lifornia, Electronics Research Laboratory, Berkeley. Memo. M 77/58.
14. Zadeh, L. A. (>1977b). PRUF, a Meaning Representation Language for Natu-
ral Languages. Electronics Research Laboratory, University of California, Ber-
keley. Memo. M77/61.
15. Zadeh, L. A. (1978). Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. Fuzzy
sets and Systems, 1, 3—28.
НЕЧЕТКОЕ РАССУЖДЕНИЕ С НЕЧЕТКИМ
УСЛОВНЫМ ВЫСКАЗЫВАНИЕМ ВИДА «ЕСЛИ....
ТО ... ИНАЧЕ...»
М. Мидзумото 1
Рассматриваются свойства методов нечеткого рассуждения,
предложенных Заде, с нечетким условным высказыванием «если
х есть А, то у есть В, иначе у есть С», где А, В и С — нечеткие
понятия, и отмечается, что полученные с помощью этих методов вы-
воды не всегда согласуются с нашей интуицией; предлагается но-
вый метод, который интуитивно оправдан по нескольким крите-
риям.
Ключевые слова: нечеткое множество; нечеткое отношение; не-
четкое условное высказывание; нечеткое рассуждение.
1. ВВЕДЕНИЕ
Форма рассуждений человека, как правило, не точная, а при-
близительная, как в утверждении
1 Institut fiir Wirtschaftswissenschaften, RWTH Aachen, D-51 Aachen, BRD.
143
Если помидор красный, то помидор спелый.
Этот помидор очень красный.
/
Этот помидор очень спелый. !
В работах [2—6, 8] были предложены методы для таких рас-
суждений, в посылки которых включается нечеткое условное вы-
сказывание вида «если х есть А, то у есть В», где А и В — нечет-
кие понятия. Свойства этих методов рассмотрены в [3—6].
Как обобщение такого нечеткого условного вывода, содержа-
щего высказывание вида «если х есть А, то у есть В» Заде [8]
предложил нечеткий условный вывод в форме:
посылка 1: если х есть А, то у есть В, иначе у есть С,
посылка 2: х есть А',
следствие: у есть D. (1)
Для такого типа выводов из двух посылок в (1) Заде предло-
жил несколько методов получения следствия.
В работе рассматриваются свойства методов Заде и показыва-
ется, что получаемые с их помощью следствия не всегда совпада-
ют с нашей интуицией; предлагается новый метод, который по
нескольким критериям больше соответствует нашей интуиции.
2. НЕЧЕТКОЕ РАССУЖДЕНИЕ С
ВЫСКАЗЫВАНИЕМ ВИДА «ЕСЛИ..- ТО... ИНАЧЕ»
Сосредоточим внимание на следующей форме вывода, содер-
жащей нечеткое условное высказывание вида «если ... то ... иначе»:
посытка 1: если х есть А, то у есть В, иначе у есть С,
посылка 2: х есть А',
следствие: у есть D, (2)
где х, у — имена объектов; А, А', В, С, D — нечеткие понятия пред-
ставленные нечеткими множествами областей определения U, U,
V, V, V соответственно.
Примером вывода такого вида может служить следующий:
посылка 1: если х высокий, то у бесспорно тяжелый, иначе у
довольно легкий,
посылка 2: х довольно высокий,
следствие: у очень тяжелый.
Посылка 1 вида «если х есть А, то у есть В, иначе у есть С» в
(2) может представлять определенную связь между А и В, С.
С этой точки зрения Заде предложил правила перевода (макси-
минное и арифметическое правила), переводящие нечеткое услов-
ное высказывание «если х есть А, то у есть В .иначе у есть С» в
нечеткое отношение в UxV.
ш
Пусть А, В и С — нечеткие множества соответственно в U, V
и V, записанные в виде
Л=|рл(м)/ц; В — { С f рс (vRv. (3)
и V V
Тогда имеем
А. Максиминное правило Rm':
Rm' = (AxB)U(~]AxC) =
= J (Рл zw)AhbHV((1— Ид («))Лнс (v))/(u, v). (4)
Uxv
Б. Арифметическое правило Ra':
Ra'^C]AxV@UxB)(](AxV@UxC) =
= J 1 Д(1 — Ид И4-М^))Л(Нд («) + (y))/(w, v), (5)
uxv
где X, U, А, П и Ф обозначают прямое произведение, объедине-
ние, пересечение, дополнение и ограниченную сумму нечетких мно-
жеств соответственно.
Примечание. Если в приведенных правилах перевода С
заменить на V (универсальную область нечеткого множества С),
которое интерпретируется как «неизвестно», то нечеткое условное
высказывание «если х есть А, то у есть В, иначе у есть С» сво-
дится к высказыванию «если х есть А, то у есть В, иначе у неиз-
вестно», т. е. к высказыванию «если х есть А, то у есть В». Таким
образом, записанные здесь правила представляют собой обобще-
ние хорошо известных правил перевода нечеткого условного выс-
казывания «если х есть А, то у есть В» [8]. Например, при C=V
правила Rm' в (4) и Ra' в (5) принимают вид:
/?т = (ЛхВ)и(~|ЛхЕ)= J (Рд(н)АНв(у))\/и — Нд («))/(«> (6)
и xv
Ra = (~\AxV)®(UxB) = J 1 AU — Рд (и) + pB(v))/(w, у). (7)
uxv
К тому же в другом случае, при С = 0 (пустое множество), пра-
вило Rm' сводится к «правилу минимума» Rc, предложенному в
работе [2]. Именно,
7?с = ЛхВ= ( пл (м) Л Ив Гу)Ж у)- (8)
и xv
Для высказывания «если х есть А, то у есть В, иначе у есть
С» можно также определить правило Rb', опирающееся на им-
пликацию в бинарной логике.
В. Размытое бинарное правило Rb'
Rb'= (~\AxV{)U xB)(](AxV \JUxC} =
= J (1 ~Рд (и) \/Рв(0)Л^д (А)\Л1с (v))/(u, и). (9)
UXV
145
Кроме того, для высказывания «если х есть А, то у есть В,
иначе у есть С» введем новый метод Rgg'. Импликация ос-
нована на правиле импликации в гёделевской логической системе
Салеф [7].
Г. Правило Rgg'-.
Rgg' = (А х V=>U X В) П (~| А X V^U X С) =
& s
= f (] —(10>
uxv s ё
где
Нд(«)->Рв (у)
1
Рв(0... РдИ> Рв (0-
Для высказывания «если х есть А, то у есть В, иначе у есть С»
на рис. 1 каждое правило (4), (5), (9) и (10) иллюстрируется
диаграммой, которая будет полезной для дальнейших обсужде-
ний. Графическое изображение каждого правила состоит из двух
диаграмм. Левая изображает ту часть правила, которая содержит
jib (у) (например, р,д(«) Дцв(^) в Rm'), используя рв(^) в каче-
стве параметра, правая диаграмма иллюстрирует часть выраже-
ния, содержащую цс(^) (например, (1—цд (и)) Дцс (у) в Rm'),
используя в качестве параметра цс(^). Для удобства на этих ри-
Рйс. 1. Диаграмма правил (4), (5), (9) и (10) •
a) Rm': (цаЛцв) V((l—Ца)Лцс);
б) Ra'цд + цв) А(Ра + цс);
в) Rb': ((1—ца)VMA(HaVPc);
г) Rgg': (ца->Цв)Л(1— Ца-*Ц1с)
g g
146
сунках вместо ца(«), Цв(^) и цс(^) используются символы
цв и цс соответственно.
Следствие D в (2) можно вывести из посылки 1 и посылки 2
с помощью (max-min)-композиции «°» нечеткого множества А'
в U и нечеткого отношения в UxV, полученного выше. Таким об-
разом, для каждого правила перевода можно получить следующие
следствия:
Dm = A'° Rm' = А'° [(АхВ) U (ТЛхС)] =
= J V («) Л [(На («) Л Ив <0) V (1 — Ид («) Л (Нс (11)
у и
Da = A'° Ra'= А'° [Q А х РфПх В) П (Л X ГфП xQ], (12)
Db^A'o Rb' = A'° [(~\AxV(jUxB)(](AxV()UxC)], (13)
Dgg — A'° Rgg' = A'° [(AxV^UxB}ft(~]AxV^UxC)]. (14)
g g
3. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ НЕЧЕТКОГО
РАССУЖДЕНИЯ
Используя (11) — (14), покажем, каковы будут следствия Dm,
Da, Db и Dgg, если А' принимает следующие значения:
А'=А, (15)
А' = оченъ А (=А2), (16)
А'= более или менее А (=А°>5), (17)
А' = не А ( = ~]А), (18)
Л7 = не очень А ( = ~|Л2), (19)
А'= не более или менее А ( = ~|Л°>5), (20)
т. е для типичных примеров нечетких множеств А'.
Следствия, выведенные по всем методам нечеткого рассужде-
ния, представлены в табл. 1, в которой вместо Цв(^) и цс(у) за-
писаны символы цв и цс соответственно.
Покажем, как, используя диаграммы рис. 1, получить следст-
вия D из табл. 1 длй каждого метода (Rm', Ra', Rb', Rgg') при
значениях А' из (15)*—(20). Однако для экономии места рассмот-
рим только случай (16): А' = очень А.
А. Случай Rm'= (AxB)U(~lA хС). Пусть Л — нечеткое множе-
ство и 7?i, Т?2 — нечеткие отношения. Тогда в общем случае для
(max-min)-композиции « °» справедливо следующее тождество:
ЛЧВД) = М‘/?1)иИ»/?2).
Используя это тождество, для (11) получаем
А' о [(Л хВ) U ("|Лх С)] = [Л' ° (Л х В)] U [Л' о АхС)]. (21)
Поэтому при А'= очень А ( = А2) функция принадлежности
Л2 ° (АХВ) задается выражением
На^о (Ахв)(у)= У1НаИ2Л(На(^АнвИ1- (22)
и
147
£ Таблица 1 Результаты вывода по каждому правилу
00
X. D А' Dm Da
А Ив V (0,5 Л (ХС) 1 + Ив 2
Очень А . , / 3 — 1/5 Л \ Ив V 1 Л Нс 1 3 + 2цв У 5 + 4р,в
2
Более или менее А \ / ("И 5 — 1 л \ Ив V ( 9 Л Нс ) У 5 + 4цв 1 2 1 + Ив + Нс 2
Не А Нс V (0,5 Л цв) 1 + Нс 2
2Нс — 1+У5 4рс
Не очень А ../УК—1 л \ Нс V 2 Л Иву 2 Л 1 Нс + Ив Л 2
Не более или менее А ( 3—У5 л \ Нс V 1 9 Л Нв ) 3-/5-4|ic 2
Db Ogg
Ps V 0,5 Ps
„ 3—1/5~ Ps V 2 Ps
( yr—1 Ps • • • Ps 2 "1/5—1 (MBV|1CVO.5)A 2 ,Vi-l I •••P'S< 2 ( /"Ps- - Ps + Pc> 1 । Ps V (/ Ps A Pc) • • • [ • Ps + Pc < 1
Pc V 0,5 Pc
~y/5~—— 1 Pc • • Pc 2 _ 1/5—1 ' (He A 2 ,Уз—i •" Pc^ 2 ’ 1 — (1 — цс)2...цв + цс > 1 [1 (1 Цс)2 Д Lig] V Pc • • • • -Ps + Pc < 1
pcv^/ Pc
Если, скажем, ц,в(у)=0,3, то выражение в квадратных скоб-
' ках в (22) будет иметь вид, показанный на рис. 2,а штриховой
линией, график которой получается из левой диаграммы рис. 1,а-
Беря максимум этой линии, согласно (22) при цв(^)=0,3 полу-
О 1 /1д(и) ° 1 /^(и)
a) ff)
Рис. 2. |1Л2 о (Лхв)(и) («) и Ид2 ° (дхс)(у) (6)
чаем рдг о (дхв) (у) =0,3. В общем случае для любой функции при-
надлежности цв(у) можем получить
Р'А2 ° (ДхВ) ~ Ив (у)- ^23)
С другой стороны, функция принадлежности А2 ° (~|ЛХС) в
(21) сводится к следующему:
Нд2о ПДХС)Н= VtM^AO— Ид («)АисИ)]- (24)
Например, выражение в квадратных скобках в (24) при цс(^) =0,3,
/ 3__т/5”\
I —9"^— I показано штриховой линией на рис. 2,6, а при рс(") =
V / 3-V5-'
= 0,7 J — штрихпунктирной линией. Таким образом, как
можно видеть из рисунка, получаем
Ндг° ("I АхС) (у)
Нс (и) - (^Х—^-(-0,3819 ...),
5—1/5 з_ У 5
2 ••• Нс (0 ==^ 2 ’
или, что эквивалентно,
Ндг о (-] дхс) (у) = 3У ЛНс(уН (2б)
Наконец, на основании (21), беря максимум (V) выражений
(23) и (25) можно получить функцию принадлежности следствия
£т=Д2о[ИХВ)иС~МХС)]:
НДот (°) = Ив (0 V ( 3~^1/5 Л Нс (0 ) •
149*
Б. Случай /?а,= (~]ДХ1/Ф[/Х5)П(ЛХ^ФГ/ХС). Опуская и и
v в записи ц (•), функцию принадлежности цоа можно записать в
виде
VMVUAU— Нл + Нв)Л(Нл + НС)В- (26)
и
В общем случае неравенство ца2^Ца+цс справедливо при лю-
Дых ца и цс, и, таким образом, вместо (26) можно записать
Vtn^Ati Л(1 — Нл+МВ
и
что соответствует композиции А2 и нечеткого отношения (7). Сог-
ласно [4] имеем
3 -f- 2|ig —~|/5 -j- 4p,s
= 2
В. Случай Rb'= (’“|AXWX£)flИХVU^XC). На основании
(9) для функции принадлежности Rb' имеем
((1 —Ha)VHb)A(HaVHc)-
Диаграмма по обоим параметрам цв и цс получается взятием
минимума (Д) по левой и правой частям зависимостей на рис. 1,в.
Например, если цс = 0,5 и цв = 0,2, то получается диаграмма 1 на
рис. 3, а при цс = 0,5 и цв=0,7 — диаграмма 2. Поэтому, когда
рс = 0,5 и цв = 0,2 (sC(3—]/"5)/2), функция принадлежности црь
в (13) принимает значение (3—]/~5)/2 в качестве максимального
значения штриховой линии на рис. 3. Аналогично, когда цс^ОД
ь цв^О.7 (^ (3—1/5)/2, функция принадлежности цд& = 0,7 как
максимальное значение штрихпунктирной линии.
Рис 3 Цоь
1 акпм образом, в общем случае
3—1/5 3—1/5
—2±-...Нв<—а---,
. 3 —1/5“
Ив • Нв 2 ’
150
Рис 5 Нечеткие множества и следствия
а— нечеткое множество А, б — нечеткие множества В и С в — при А'—А; г —
при А'=очень А; д — при А'—более или менее А; е — при А'=не А; ж — при:
А'—не очень А; з — при А' = не более или менее А
151
т. е.
х/ 3—1/5
^Db P'bV 2
Г. Случай Rgg' = (ЛхV=>U хВ) Ц (~|Л х Vg=>UхС). Функция
g g
принадлежности Rgg' задается выражением
( Л (1 •
g g
Диаграммы по обоим параметрам цв и цс (рис. 4) получается
с помощью операции Д по левой и правой частям рис. 1,г. Диаг-
рамма 1 на рис. 4 получается при jic = 0,5 и цв = 0,2. Диаграмма
2 — при цс = 0,5 и цв = 0,7. Функция принадлежности jingo- следст-
вия Dgg принимает значения 0,2 и 0,7 при jiB = 0,2 и 0,7 соответ-
ственно. То же самое справедливо для любого значения цс- Сле-
довательно, в общем случае
Пример. Приведем простой пример, используя данные табл. 1. Пусть нечет-
кие множества А, В и С имеют вид, как на рис. 5,а, б. Тогда следствия по каж-
дому методу (Rm', Ra', Rb', Rgg') показаны на рис. б,в, г.
Если в условном высказывании «если х есть А, то у есть В, иначе у есть С»
А' есть соответственно А и не А, то в соответствии с нашей интуицией следстви-
ем D в (2) должно быть, по-видимому, В и С. А именно, совершенно естествен-
ными могут быть следующие выводы:
посылка 1. если х есть А, то у есть В, иначе у есть С.
посылка 2 х есть А.
следствие: у есть В. (27)
посылка 1 если х есть А, то у есть В, иначе у есть С.
посылка 2: х есть не А
следствие- у есть С (28)
На основании данных табл. 1 и рис. 5 можно установить, что следствие Dgg
равно В '(т. е (1в) при А' —А, и равно С (т. е. цс) при А'—не А А именно,
правило Rgg удовлетворяет критериям (27), (28), тогда как другие правила
Rm', Ra' и Rb' им не удовлетворяют. Остается невыясненным, однако, какого
сорта следствия наиболее пригодны для следствия D в '(2), когда А' равно
очень А, более или менее А, не очень и не более или менее А. Поэтому нельзя
утверждать, что наше новое правило Rgg' наилучшее для нечеткого условного
вывода с высказыванием «если х есть А, то у есть В, иначе у есть С», но можно
сказать, что правило Rgg' пригодно для нечеткого условного вывода, поскольку
оно удовлетворяет совершенно естественным критериям (27) и (28)
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой статье указано, что методы Ra', Rtv' и Rb' нечеткого
условного вывода с высказыванием «если х есть А, то у есть В,
иначе у есть С» не дают следствий, которые совпадали бы с на-
152
шими интуитивными представлениями, и предложен улучшенный
метод Rgg', удовлетворяющий интуиции при совершенно естест-
венных критериях.
В последующих работах будет рассмотрена формализация ме-
тодов вывода для более сложных форм вывода, таких как
если х есть Аь то у есть Вь иначе
если х есть Л2, то у есть В2, иначе
если
х есть Ап, то у есть Вп.
х есть А'
у есть В'.
Благодарности. Автор благодарит за неоценимую помощь проф. Г. Циммер-
мана, У. Толе и других членов группы исследований по нечетким множествам
Высшей технической школы, Ахен. Он также благодарит проф. X. Танаку и
С. Фуками за их ценные советы в процессе этих исследований.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Fukami, S., М. Mizumoto, and К. Tanaka (1980). Some considerations on fuzzy
conditional inferences. Fuzzy Sets and Systems, 4, 3, 243—273.
2. Mamdani, E. H. (1977). Application of fuzzy logic to approximate reasoning
using linguistic systems. IEEE Trans, on Comp., c — 26, 1182—1191.
3. Mizumoto, M., S. Fukami, and K. Tanaka (1979a). Fuzzy conditional inferen-
ces and fuzzy inferences with fuzzy quantifiers. Proc, of 6th Int Conf, on
Artificial Intelligence (Tokyo, Aug. 20—23), pp. 589—691.
4. Mizumoto, M, S. Fukami, and K. Tanaka (1979b). Some methods of fuzzy
reasoning. In M M. Gupta, R. K. Ragade, and R. R. Yager (Eds), Advances
in Fuzzy Set Theory and Applications, North-Holland, pp. 117—136.
5. Mizumoto, M., S. Fukami, and K. Tanaka (1979c). Several methods for fuzzy
conditional inferences. Proc, of IEEE Conf, on Decision & Control (Florida,
Dec. 12—14), pp. 777—782.
6. Mizumoto, M., and H.-J. Zimmermann (1981). Fuzzy inference methods. 9th
Triennial Conf on Operational Research, Hamburg, July 20—24.
7. Rescher, N. (1969). Many Valued Logic. McGraw-Hill, New York.
8. Zadeh, L. A. (1975). Calculus of fuzzy restriction. In L. A. Zadeh, K. S. Fu,
K. Tanaka, and M. Shimura (Eds.), Fuzzy Sets and Their Applications to
Cognitive and Decision Processes, Academic Press, New York, pp 1—39
НЕЧЕТКИЙ ВЫВОД РЕВОЛЮЦИОННОГО ТИПА
М. Мукаидоно 1
Рассматриваются некоторые свойства правил нечеткого выво-
да, основанных на революционном принципе. Доказано, что при оп-
1 Faculty of Engineering, Meiji University, Ikuta Tamaku Kawasaki-shi, Japan
153
ределенных условиях резольвента в нечеткой логике есть значи-
мое логическое следствие, что она всегда имеет значение как ло-
гическое следствие в смысле уменьшения неопределенности.
Ключевые слова: нечеткий вывод, резолюционный принцип;
резольвента; нечеткая логика; нечеткая переключающая функ-
ция; нечеткая согласованность; нечеткое рассуждение.
1. ВВЕДЕНИЕ
Резолюционный принцип составляет основу методов машин-
ной логики и применяется в интерактивных системах, построенных
на двузначной логике Основное правило вывода, используемое
в таких системах, представляет собой итеративную процедуру вы-
числения резольвент по предыдущим заключениям.
Однако двузначная логика непригодна для обработки неопре-
деленной аргументации и выводов, характерных для неформаль-
ных суждений, в которых многие объекты недоопределены и ут-
верждения о них допускают несколько трактовок. Возможность
изучать проблемы, содержащие некоторые виды неопределенно-
сти, обеспечивается нечеткой логикой. В нечетких условиях для
логического или дедуктивного вывода плодотворное использование
резолюционного принципа базируется не на двузначной, а на не-
четкой логике Однако, как показывают исследования [2], не
всегда можно достигнуть полезных выводов при применении не-
четкого резолюционного принципа.
В этой статье в первую очередь будет выяснено условие, при
котором резольвента в нечеткой логике приводит к значимому ло-
гическому следствию. Во-вторых, будет доказано, что правило не-
четкого вывода, опирающееся на резолюционный принцип, всег-
да осмысленно, поскольку уменьшает неопределенность. И хотя
в статье обсуждение нечеткого резолюционного принципа ограни-
чено препозиционным исчислением, все рассуждения применимы
и к исчислению предикатов, если учитывать унификацию.
2. РЕЗОЛЬВЕНТА В НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКЕ
Нечеткую логику можно определить как алгебраическую сис-
тему <[0, 1], •, V» в которой множество значений истинно-
сти составляет замкнутый интервал [0, 1], а логические операторы
И(-), ИЛИ (V) и НЕ(~) определяются как Л-В = ш1п(Л, В),
А\/В = тах(А, В), ~Л = 1—Л, Л, Ве[0, 1].
Определение 1. Переменная хг (i=l, ., п) или ее отрицание
хг называется буквенной переменной. Буквенные переменные
хг и ~хг дополняют друг друга. Высказыванием называется фор-
мула, содержащая дизъюкцию ИЛИ (V) некоторых буквенных
переменных.
В нечеткой логике законы дополнения х\/х=\, ~х-х = 0)
не выполняются. Поэтому в нечеткой логике высказывание, в ко-
тором хг и ~ хг встречаются одновременно, оказывается содержа-
154
тельным (хотя в рамках двузначной логики это высказывание бу-
дет тавтологией). Далее такое высказывание называется допол-
нительным.
При заданной интерпретации значение истинности высказыва-
ния определяется однозначно подстановкой вместо каждой пере-
менной ее значения из замкнутого интервала [0, 1], которое опре-
деляется интерпретацией высказывания. Таким образом, под ин-
терпретацией понимается отображение каждой переменной во мно-
жество значений истинности [0, 1]. При заданной интерпретации
значение истинности высказывания С будет обозначаться через
7(C), а для множества высказываний S — через 7(3), причем, ес-
ли 3={Ci,..., Сп}, то 7(3) означает, что 7(3)= 7 (Ci • ... • Сп).
Определение 2. Пусть два высказывания G и С2 соответствен-
но равны Сх = хг\/Ьх и С2=~хг\/Ь2, где Lx и Ь2 не 'содержат бук-
венных переменных хг или ~хг в качестве факторов и не имеют
дополнительных переменных. Тогда высказывание Ц\/Ь2 называ-
ется резольвентой Су и С2 с ключевым словом хг, которое будем,
обозначать /?(СЬ С2).
Следующие два хорошо известных правила вывода:
(модус поненс) если А и А-+В, то В, и
(силогизм) если А-+В и В-+С, то А-+С
представляют собой частные случаи указанного правила вывода,
которое выводит резольвенту R(Ci, С2) из двух предшествующих
высказываний, когда импликация определяется как
А-+В = ~А\/В. (1)
При таком определении импликации выписанные частные слу-
чаи справедливы, поскольку А и А-+В равно А-(~А\/В), а
А-+-В и В—^С равно (~А\/В) • (~В\/С) соответственно, а также
и потому, что их резольвентами будут В и ~А\/С=А-+С соот-
ветственно.
Рассмотрим постулат, согласно которому логическое следствие
D из посылки С значимо только при выполнении для всех интер-
претаций следующего условия1:
7(С)<7(7>), т. е. T(C) = T(C-D). (2)
Этот постулат разумен, поскольку любое логическое следствие
в двузначной логике удовлетворяет условию (2). Действительно,
в двузначной логике согласно (2) резольвента Д(С1, С2) выска-
зываний Ci и С2 может рассматриваться как логическое следст-
вие из посылок Ci и С2, поэтому в двузначной логике выполнено
следующее условие: 7(Ci -С2) (С\, С2)), т. е 7(СЬ С2) =
= 7(Ci • С2»В (Ci, С2)), означающее, что истинность высказываний
остается неизменной при всех интерпретациях, даже если к вы-
сказываниям добавить их резольвенту.
1 В нечеткой логике этот постулат отражает только один аспект требований,
обеспечивающих значимость логического Следствия В зависимости от приложе
ний может потребоваться другой постулат
155
Однако в нечеткой логике записанное отношение не всегда
^выполняется. Например, пусть Сх=Хг\/ Lx и C2=~Xi\/L2 и пусть
при некоторой интерпретации Xi = 6,3, Li = 0,l и Л2=0,2. Тогда
01 = 0,3 и С2 = 0,7, т. е. Т(СХ-С2) = 0,3-0,7 = 0,3. С другой сторо-
ны, T(J?( Ci, С2)) = 7(LiV^2) =0,2. Таким образом, в этом случае
T(Ci-C2)<t T(R(Ci, С2)). Как уже указано, в нечеткой логике вы-
вод согласно определению 2 с помощью резольвенты не всегда
значим в смысле (2). Рассмотрим условие, при котором резоль-
вента в нечеткой логике значима как логическое следствие в смы-
сле (2).
Теорема 1. Пусть и С2 — два высказывания и R(Ci, С2) —
резольвента Ci и С2 с ключевым словом хг. Тогда справедливы
следующие соотношения:
1) если Т^-х^Т^С» С^)), то Т (Clt С2)С T(R(Clt С2)),
2) если Т^-х^Т^, Q), то Т (Cn С2) > T(R(Сь С2)).
Доказательство. Без потери общности можно предположить,
что Cx — Xi\/Lx и С2= ~Xi\/L2, где и L2 не содержат одновре-
менно и хг и ~Xi, а Ц\/Ь2 не содержит дополнительной перемен-
ной. Тогда C\-C2 = Xi-~ Xi\J Xi-L2\/ ~ Xi-Lr\/L\-L2 и R(Cif С2) =
= Л1\/Л2. Следовательно, всегда выполняются следующие три не-
равенства:
1) Х{ • L% ^7 Lt \/ L>2,
2) -хгЬ^ЬЛ/Ц,
3) L.-L^L^L...
Взяв точную верхнюю грань (V) от обеих частей этих неравенств,
получим Xi-L2\/ ~Xi-L\\/Lx •L2^,Ly\/L2. Поэтому, если T(Xi-
•-~.vt)^T(L1VA2)=T(^(C1, С2)), то T(C1-C2)^T(R(Cl, С2)),
и если T(Xi.-xt)^7’(L1V^2)=7’(7?(C1, С2)), то Т(Сг-С2)^
^T(R(Cb С2)), что и требовалось доказать.
На основе этой теоремы приходим к следующему выводу: в
нечеткой логике резольвента становится или не становится значи-
мым логическим следствием в смысле (2) в зависимости от зна-
чения истинности своего ключевого слова. Другими словами, в
нечеткой логике для получения значимого логического следствия
в смысле (2) нужно использовать некоторое ключевое слово, удо-
влетворяющее условию 1 теоремы 1. При использовании неопре-
деленного ключевого слова нельзя получить значимое логическое
следствие (теорема 1, условие 2). В двузначной логике соотноше-
ние ^XfXi = Q всегда выполняется (ключевое слово Xi не несет
неопределенности); тогда остается только случай 1 теоремы 1 и
резольвента всегда обладает значимостью как логическое следст-
вие в смысле (2). В нечеткой логике резольвенту можно принять
в качестве вывода лишь тогда, когда проверено, удовлетворяет
или нет значение истинности ключевого слова переменной усло-
вию 1 теоремы 1.
156
Следствие 1. Пусть Ci и С2— два высказывания. Если T(R(Clt
С2))>0,5, то T(C1.C2)<T(J?(Ci, С2)).
Доказательство. Пусть R(Ср С2) —резольвента С{ и С2 с клю-
чевым словом хг. Для всех интерпретаций всегда справедливо со-
отношение Т(хг- ~х^ <0,5. Поэтому если T(R(Ci, С2))^0,5, to
T(Xi-~x^T(R (Ci, C2)). Следовательно, по теореме 1 имеем
T (Ci • C2) > T (R (Ci, C2)), что и требовалось доказать.
Согласно следствию 1 при значении истинности резольвенты,
большем или равном 0,5, резольвента всегда будет значимой.
Следствие 2. Пусть Ci и С2 — два высказывания. Если Т(Сг
-С2)>0,5, то Т(С1-С2)<Т(/?(С1, С2)).
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 1 предпо-
ложим, что Ci=%iV^i и С2= ~Xi\/Lz. Тогда Ci-C2=Xr ~*A/i
V*i-C2V~x*‘^iV^i'^2. С другой стороны, всегда выполняется
неравенство Т(хГ ~Xi) <0,5. Если T(Gi • С2) >0,5, то получим ли-
бо ТО) >0,5, либо Т(Т2)>0,5 и, значит Т(Ц\/L2) =T(R (Cb
G2))>0,5. Следовательно, Т(хг ~хг) <Т(7? (Сь С2)) и T(Ci-
• С2) > Т (R (Ci, С2)), что и требовалось доказать.
Если значение истинности посылки больше 0,5, то в силу след-
ствия 2 выводы на основе резольвенты всегда значимы в смыс-
ле (2).
Следствие 3. Пусть Ci и С2— два высказывания и R(Ci, С2) —
резольвента Q и С2 с ключевым словом х*. Если Т(Хг- ~Хг) =
-T{R{CU С2)), то Т(С1-С2) =Г(^(С1, С2)).
Доказательство следует с очевидностью из теоремы 1 (1) и (2).
Утверждение, обратное следствию 3, не всегда справедливо.
Пусть 8 есть множество высказываний. Тогда множество, кото-
рое содержит 8 и все резольвенты, получаемые из каждой пары
предложений из 8, обозначим его RX{S), называется революцион-
ным множеством множества 8 первого порядка. Для множества
5 резолюционное множество Rn(S) п-ro порядка определяется как
RO(S) = S, R"(S) = R1(R"“1(S0.
Теорема 2. Пусть 8— множество высказываний и G — выска-
зывание из Ra(S). Если Т(G) <0,5, то в 8 найдется высказыва-
ние С, такое, что Т(С) >0,5.
Доказательство. Без потери общности можно предположить,
что G есть элемент множества Rn(S)—Rn~l(S). Пусть > есть
элемент множества R^S)—ТО1 (8) (1 >/>«). Если для всех выс-
казываний Ci-i из 7<У-1(5) значение истинности T’(Cj-i) >0,5, то
согласно следствию 2 имеем: T(Ci) '^T(Ri-1 (8)), т. е. Т(С{) >0,5.
Обр атно, если Т(Сг ) <0,5, то найдется в 7?i-1(8) элемент Ci-i
такой, что ТО-i) =^0,5 для i = n, п—1, ... , 1. Поэтому, положив
G = Gn и С—Со, придем к утверждению теоремы, т. е. если Т(6)>
>0,5 для 0е/У(8), то можно показать, что в S=R°(S) суще-
ствует элемент С, такой, что Т(С) >0,5.
Теорема 3. Пусть 8 — множество высказываний и G — выска-
зывание из множества Rn(S). Если T(G) >0,5, то в 8 найдется
Rn(S) такое, что T(C)<T(G).
157
Доказательство. Без потери общности можно предположить,
что G есть элемент множества Rn(S)—J>_1(S). Предположим,
что — элемент множества R{(S)—Ri~1(S) (l^Ci^Zn). Если
Тто в R'-^S) существуют два высказывания C\-i и
таких, что С{ есть резольвента C\-i и C'\-i и согласно
следствию 2 T(C'i-i • C"i-i) (Ci), т. е. справедливо неравенст-
во либо T(C'i-i) ^T(Ci), либо T(C"i-i) ^.Т(Ci). Без потери об-
щности можно предположить, что T(C'i-i) ^T(Ci). Если T(C'i-i)^.
>0,5, то утверждение теоремы следует непосредственно, посколь-
ку в 8 существует высказывание С, такое, что по теореме 2
Т(С) >0,5»(G). Таким образом, положив C>i = C<-i, имеем
T(Ci-i) >0,5. Проведенное рассмотрение справедливо для всех i:
Поэтому подстановка G — Cn и С = С'О завершает дока-
зательство, т. е. если Т(G)>0,5, то в 8 существует высказывание
С, такое, что T(C)^T(G).
Теорема 4. Пусть 8 — множество высказываний и G — элемент
множества Rn(S). Если T(C)^>Q,5 для всех высказываний С из
множества 8, то T(S)^.T(G).
Доказательство. Если G — элемент 8, то утверждение теоре-
мы очевидно. Предположим, что G есть элемент множества
R*(S)—8, т. е. G — Ci есть резольвента двух высказываний С'о и
С"о множества 8. По предположению теоремы Т (Со'• Со") >0,5.
Поэтому согласно следствию 2 Т(Со'- Со") ?<zT(Ci), т. е. 0,5<
<_T(S)^T(C0'-C0")^T(Cl). Тогда имеем Q,5<T(R'(S)) = T(S).
Далее, пусть Сг — элемент ЛЦ8)—1 (8) и 0,5<T(^i-1(8)).
Тогда аналогично можно показать, что в J?*-1 (8) существуют два
высказывания СД-i и СД-i, для которых Ci есть резольвента. Тог-
да имеем T(C^-i-CVi)^T(G), т. е. T(R^ (8)) ^T(Ci) и 0,5<
<.T(Rt(S)=T(Ri~1(S)). Поэтому, положив Cn = G, придем к ут-
верждению теоремы T(S)^T(G).
Из теоремы 4 известно, что если значение истинности выска-
зываний в посылках всегда больше 0,5, то всегда можно итера-
тивно вычислить резольвенту как значимое логическое следствие.
Следствие 4. Пусть 8 — множество высказываний. Если
Т(С)>0,5 для всех высказываний C&S, то T(Rn(S)) =Т(8) >0,5
для всех п.
Доказательство. Из доказательства теоремы 4 имеем:
T(Rl(S)) =T(Ri~1(S)) >0,5 для всех i: поэтому
T(R”(S))=T(S)>0,5.
Следствие 5. Пусть 8 — множество высказываний и G — эле-
мент множества Rn(S). Если T(G)<T(C) для всех высказыва-
ний Cge8, то в 8 найдется высказывание С', такое, что Т(С')^2
>0,5.
Доказательство с очевидностью вытекает из теоремы, обрат-
ной теореме 4.
Следствие 6 [2]. Пусть 8 множество высказываний {Ci, ..
...,Cn}, max (T(Ci),..., Т(Сп))=Ь и min(T(C1),..., Т(Сп))=а>
>0,5. Тогда a^T(G) для всех G^Rn(S).
158
Доказательство. Пусть T(S) означает min(T(Ci), Т(Сп)).
Если T(S) = п<0,5, то по теореме 4 a<^.T(G). С другой стороны,
если Сг — резольвента С'г-i и то неравенство max(C,i-i,
всегда выполняется. Поэтому T(G)^b.
Утверждение следствия 6 впервые было сформулировано в ра-
боте [2J. Согласно следствию, если все значения истинности выс-
казываний в посылках больше 0,5, то значение истинности любого
логического следствия, полученного на основе резольвенты, всег-
да заключено между минимальным и максимальным значениями
истинности посылок.
3. РЕЗОЛЬВЕНТА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ
В предыдущем разделе выяснено, что в нечеткой логике вывод
резольвенты не всегда приводит‘к значимым результатам в смыс-
ле условия (2). Данный раздел будет посвящен выяснению важ-
ности резолюционного метода в нечеткой логике.
Принято считать, что среди всевозможных значений истинно-
сти [0,1] значения 0 и 1 несут различную и вполне определенную
информацию и что неопределенность высказывания достигает мак-
симума при значении истинности 0,5. Поэтому на множестве [0,1]
можно ввести отношение частичного порядка, характеризующее
некоторые виды неопределенности.
Определение 3. Пусть а и b — элементы, множества У=[0, 1].
Будем писать а^>Ь тогда и только тогда, когда 0,5^= а^Ь или
0,5=Са$сЬ.
Пример. 0,3»0,1, 0,6»0,9, 0,2> >0,8, 0,8> >0,2.
Теорема 5. Пусть 3 — множество высказываний и G — резоль-
вента любых двух высказываний множества 3. Тогда для всех
интерпретаций
T(S)»T(S-G).
(3)
Доказательство. Если Т(3)>>0,5, то по следствию 2 имеем
Т(5) (G). Поэтому Т(S• G) ==Т(S). В этом случае имеем
0,5<Т(3-G) =Т(5), откуда по опреде-
лению 3 Т(3) T(S- G). Предположим,
что Т(3)^0,5. Тогда 0,5>Г(3) ^>T(S-G),
поскольку всегда истинно неравенство А
Т(3) ^Т(5-G). Отсюда имеем T(S)^> / \
»T(5G). / \
Из теоремы следует, что в смысле отно- / \
шения (3) выводы, к которым приходили в / \
рамках нечеткой логики с помощью вычи- п *
сления резольвенты, всегда значимы, по-
скольку уменьшается неопределенность,
описываемая отношением частичного поряд-
ка (рис. 1).
Рис. 1. Отношение час-
тичного порядка >,
описывающее неопреде-
ленность
159
Теорема 6. Пусть 8 — множество высказываний. Тогда при всех
п и всех интерпретациях выполняется неравенство Т (5) Э> Т (Rn (8)).
Доказательство. Пусть высказывание С есть элемент множест-
ва IV (S)—S. Тогда по теореме 5 справедливо строгое неравенство
Т (S) ^T(S-C). Поскольку соотношение это справедливо для лю-
бого высказывания С из множества R1 (S)—S, то T(S) ?>Т(Рг (8)).
А так как неравенство T(JV~l (8)) T(IV~l (8) • С) справедливо
для каждого Се7?г(8)—7?г-1(8), то аналогично можно показать,
что T(IV~l(S)) >T(h{(S)) для каждого ‘f(2^i^n). В силу пре-
дыдущих рассуждений Т (S) » T(JV(S)) >>... ~^>Т (Rn (8)), что и
требовалось доказать.
Примечание. В пропозициональной логике резольвента (см.
определение 2) равна согласованности, которая используется для
получения всех простых импликантов переключательной функции.
Аналогично этому в нечеткой логике определим нечеткую согла-
сованность— понятие, впервые корректно введенное в работе [4].
Нечеткая согласованность применима для вывода всех нечетких
простых импликантов и для минимизации нечетких переключа-
тельных функций [5]. Если G — нечеткая согласованность двух
высказываний и С2, то неравенство T(Ci-C2) ^.T(G) выполня-
ется для всех интерпретаций, т. е. нечеткая согласованность — зна-
чимое логическое следствие в смысле (2). Если же ее рассматри-
вать с позиций двузначной логики, то она окажется не больше чем
тавтологией, поскольку в нечетких согласованностях имеется, по
крайней мере, одна пара дополнительных букв.
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При рассмотрении нечеткого вывода или нечеткого рассужде-
ния нужно выяснить следующие два аспекта:
1. Какая форма будет принята в качестве правила вывода для
получения логического следствия из посылки и как определяется
нечеткая импликация «-»>, если в качестве правила нечеткого вы-
вода принято модус поненс или силлогизм.
2. Как постулируется значение для нечеткого вывода?
В нечетком выводе на основе резольвенты, описанном в дан-
ной статье, в качестве правила используется общая форма модус
поненс и определение импликации А-^В соответствует выражению
~А\/В. В соответствии с этим правилом вывода рассмотрены
два типа понятия значимости. Первое обычное понятие: если D
есть логическое следствие из посылки С, то постулируется, что
Т(С)=Т(С-D) для всех интерпретаций. Второе: для всех интер-
претаций Т(С) ^>T(C-D) и, следовательно, на основе логического
следствия можно уменьшить неопределенность.
Наши выводы состоят в следующем:
1) при определенном условии, зависящем от значения истин-
ности ключевого слова, предназначенного для получения резоль-
венты, резольвента в нечеткой логике есть значимое логическое
следствие в первом смысле;
160
2) резольвента в нечеткой логике всегда представляет собой
значимое логическое следствие при втором определении значи-
мости.
Благодарности. Я хотел бы поблагодарить заслуженного профессора в от-
ставке М. Гото из Университета Мейджи за его постоянное ободрение и X. Ма-
су дзава за многочисленные ценные обсуждения и полезные совета по этой статье.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lee, R. С. Т., and С. L. Chang (1971). Some properties of fuzzy logic. Inf. &
Control, 19, 417.
2. Lee, R. С. T. (1972). Fuzzy logic and the resolution principle. J. ACM, 19,
1, 109.
3. Mott, T. H. (1960). Determization of the irredundant normal form of a truth
function by iterated consensus of the prime implicants. Trans. IRE, Electronic
Computer, Vol. EC-9, 245.
4. Mukaidono, M. (1975a). On some properties of fuzzy logic. Trans. IECE Japan,
58—D, 3, 150: available in English in System Computers Controls (Scripta
Publishing Co.), same date.
5. Mukaidono, M. (1975b). An algebraic structure of fuzzy logical functions and
its minimal and irredundant form. Trans. IECE Japan, 58—D, 12, 748: availab-
le in English in Systems Computers Controls (Scripta Publishing Co.), same
date.
6. Mukaidono, M, and H. Masuzawa. Some properties on the resolvent in fuzzy
logic. Paper of Technical Group on Pattern Recognition and Learning, IECE
Japan, PRL 76—3 (April 1976).
7. Robinson, J. A. (1965) A machine oriented logic based on the resolution prin-
ciple. J. ACM, 12, 1, 23.
МОДАЛЬНАЯ СЕМАНТИКА И ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ
МНОЖЕСТВ1
А. Прад2
В этой статье предпринята попытка исследовать связь между
модальной семантикой и теориями Заде: возможностей и нечет-
ких множеств. Аристотелевы модальности (возможность, невоз-
можность, необходимость, случайность) естественно обобщаются
на случай нечетких множеств с помощью диаграмм Венна и а-сре-
зов. При таком подходе мы возвращаемся к теории возможностей
Заде. Многозначные модальности рассматриваются на основе не-
четких мер Суджено. Подчеркиваются связи с мультипликативны-
ми логиками. Подход непосредственно связан с условными воз-
можностями и необходимостями. Наконец, в связи с оценкой сход-
ства между двумя нечеткими множествами проясняется интерес
1 Эта статья представляет собой пересмотренный и расширенный вариант
сообщения на французском языке «Extension des modalites aristoteliciennes»,
сделанного за Круглым столом по нечетким множествам, проводившимся Нацио-
нальным центром научных исследований, Лион, Франция, июнь 23—25, 1980 г.
2 Langages et Systemes Informatiques, Universite Paul Sabatier, 118, Route de
Narbonne, 31062 TOULOUSE CEDEX — FRANCE.
6—120 161
к понятиям необходимости. Показано, что два введенных модаль-
ных понятия особенно важны для построения теории нечетких чи-
сел.
Ключевые слова: понятия условной модальности; нечеткое мно-
жество; теория возможностей; теория вероятностей; необходи-
мость; нечеткая мера; мультивалентная логика; квантификация;
мера сходства; нечеткое число.
1. ВВЕДЕНИЕ
Около трех лет тому назад Л. А. Заде [12] обновил интерпре-
тацию понятий нечетких множеств и наметил новые перспекти-
вы теории, сформулировав так называемую теорию возможностей,
в которой нечеткие множества рассматриваются как «распределе-
ния возможностей», т. е. как множества более или менее возмож-
ных значений переменной. С самого начала было ясно, что меры
возможностей (опирающиеся на распределения возможностей) хо-
тя и очень отличаются от вероятностных мер, но так же, как и
вероятностные меры, представляют частные случаи нечетких мер
Суджено [8] на конечных универсумах. Различные типы нечет-
ких мер соответствуют различным точкам зрения на оценку опре-
деленности событий.
Теория возможностей Заде, допуская несколько (в действитель-
ности — континуум) степеней возможности, очевидно, отходит от
модальной семантики. Однако различия и сходства с модальной
семантикой до сих пор, по-видимому, еще по-настоящему не изу-
чены. Данная работа представляет попытку продвинуться в этом
направлении.
В разд. 2 после введения четырех аристотелевых модальностей
на диаграмме Венна в результате естественного процесса «раз-
мывания» и использования a-срезов будет осуществлен переход
к теории возможностей Заде. Попутно будут введены многознач-
ные модальности, отличные от возможностей, которые рассматри-
ваются в рамках нечетких мер. Будет затронут вопрос о связи с
мультипликативной логикой. В жонце статьи намечены области
приложений понятий возможности и необходимости к мерам сход-
ства нечетких множеств и к нечетким числам.
2. УСЛОВНЫЕ МОДАЛЬНОСТИ НА ДИАГРАММЕ
ВЕННА
Пусть X — универсум, для удобства — конечный. Дополнение
четкого или нечеткого подмножества А в X будет обозначаться А.
2.1. ЧЕТКИЕ ПОДМНОЖЕСТВА
Пусть А и В — два непустых (не нечетких) подмножества на
одном и том же универсуме X. Пусть %А и — их характеристи-
ческие функции. Рассмотрим следующий вопрос: что можно ска-
162
зать относительно принадлежности множеству В (или В) элемен-
тов множества Л? Возможны четыре ситуации, соответствующие
четырем аристотелевым модальностям.
L Невозможность. Если В(]А = 0, что эквивалентно AzdS,
и BIJA = X, то невозможно, чтобы элемент, принадлежащий А, при-
надлежал В. Другими словами, если через IMB (В|Л) (читается
«невозможность В при известном Л») обозначить степень невоз-
можности для элемента из Л принадлежать множеству В, то бу-
дем иметь
IMB (В|Л) =
1, если Вр|Л = 0
О в остальных случаях,
= infmax(%x(x), Хв(х)).
POS (В (Л)
2. Возможность. Если В(}А=/=0, что эквивалентно АфВ, то
возможно, что элемент множества Л принадлежит В, т. е.
= 1, если ВПЛ=#0,
.0 в остальных случаях,
= supmin(xx(x), Хв(х))-
3. Случайность (контингенция). Если BQA — 0, что эквивалент-
но Л^В, то вполне допустимо, что элемент, принадлежащий мно-
жеству Л, принадлежит и множеству В, т. е.
_ 1, если BQA^0,
. 0 в остальных случаях,
= sup min (/л (х), %в(х)).
CONT (В|Л)
4. Необходимость. Если Bf]A = 0, что эквивалентно ЛсВ и
BUA = X, то элемент, принадлежащий Л, необходимо принадлежит
и В, т. е.
NES (В| Л) =
1, если ВГ|Л^= 0,
0 в остальных случаях,
= inf max ((х), х)).
хеХ 7
Примечание 1. Пусть Хо — элемент Л. Высказывание «воз-
можно, что ХоеВ», которое истинно тогда и только тогда, когда
РО8(В|Л) = 1, обозначим о(х0еВ); тогда “1 о (хоеВ), о “1 (хое
ей) ийо-! (Хо^В) == □ (хоеВ) соответствуют высказываниям
«невозможно, что хоеВ» (истинно тогда и только тогда, когда
1МР(В|Л) = 1), «может случиться, что хоеВ» (истинно тогда и
только тогда, когда CONT (В|Л) = 1) и «с необходимостью Хо^В»
(истинно тогда и только тогда, когда NES(B|A)=1) соответствен-
но. Нечто подобное получим для «относительных модальностей,
изученных при аксиоматическом подходе в работе [9]. Теперь
обычная четверка модальностей выражается в форме IMP (В|Л) =
6* 163
= 1—POS(B|A), CONT(B|A) = POS(BlA), NES(BIA) = 1-
—POS(B|A).
Пр имечание 2. Ситуации 1—4 соответствуют случаям, ког-
да VxeA, х^В; ЯхеА, хеВ; ЯхеА, х^В; VxeeA, хеВ соответ-
ственно. Параллелизм между модальностями и универсальными
квантификаторами хорошо известен.
Примечание 3. В препозиционном исчислении импликация
P-+Q определяется как”! (РД”1ф); в модальной логике строгая им-
пликация Левиса P<(Q вводится как “I о (PA~1Q) (или, что экви-
валентно, как □ (P->Q)). Приравнивание Р и хоеА, Q и х0<=В в
ситуации 4 соответствует импликации Левиса, где х0<=А истинно
по предположению.
Теперь рассмотрим, что происходит с понятиями модальности,
когда А или В становится нечетким множеством.
2.2. СЛУЧАЙ, КОГДА МНОЖЕСТВО В — НЕЧЕТКОЕ,
А МНОЖЕСТВО А — ЧЕТКОЕ
Хорошо известно, что нечеткое множество Ё (функцию принад-
лежности которого будем обозначать pg-) можно представить с
помощью ее сс-срезов Ва={х<=Х, ц^(х)^а}, где ае]0, 1]. Имеем.
Ps(x)= sup min (а, X» (х)), (1)
ае]0,1] °=
и если а<р, то
На рис. 1,а печеткое подмножество Ё изображено через неко-
торые его а-срезы;для достаточно малых значений а множество А
может включаться в Ёа, тогда как для больших значений а име-
ем только А(]Ёа=/=0, а для а, близких к 1, возможно АГ|Ва=0.
Примечание 4. Описанную ситуацию не нужно путать с си-
туацией, изображенной на рис. 1,6, где (не нечеткое) множество В
почти содержит А, т. е. разность 1—| А|"]В | /| А | (это не что иное как
Р(В|А)— вероятность события В при известном А) почти равна
1, где | А | —мощность множества А. Таким образом, поскольку
POS(B А) = 1 тогда и только тогда, когда Р(В|А)>0 и
NES(B А)=1 тогда и только тогда, когда Р(В|А) = 1, то |АГ|В|/
/|А| можно — с некоторой натяжкой — рассматривать как «сте-
пень возможности» для множества А принадлежать множеству В
Рис 1
164
(соответствующая «необходимость» различия между логическими
суждениями в зависимости от характера устанавливаемой ими до-
стоверности модальности должна быть равна 1—(| AflB|/| А |) =
= |Af)B|/|A|!). Такая точка зрения отстаивалась в работе [4],
правда в другом контексте. Использовать вероятности в качестве
степеней возможности предлагалось и в работе [9]. Однако отме-
тим, что POS(B|A) = POS(A|B), в то время как Р(А|В)#=
#=Р(В|А): имеем только Р(В|А)>0 тогда и только тогда, ког-
да Р(А|В)>0.
Рассмотрение a-срезов Ва множества В открывает, по-видимо-
му, естественный путь для обобщения точки зрения, представ-
ленный в разд. 2.1. Рассмотрим сначала «возможностную ситуа-
цию». Если Ва(]А=^= 0, то возможно (POS(Ba |А) = 1), что эле-
мент, принадлежащий множеству А, принадлежит Ва и поэтому
принадлежит В со степенью принадлежности, по крайней мере,
равной а. Множество В может рассматриваться как приближенное
описание четкого подмножества В (например, если процесс вос-
приятия не позволяет наблюдать В точно). Тогда представляется
естественным говорить, что возможность POS(P|A) того, что эле-
мент, принадлежащий А, принадлежит плохо определенному под-
множеству В, равна, по крайней мере, а; как только Ва(]А=£ 0—
неопределенность на В индуцирует неопределенность относитель-
но возможности.
Поскольку А(]Ва^=0 влечет Vp^a: А(]В$У=0 , то можно так-
же провести различение между центральными элементами множе-
ства В (т. е. теми элементами, которые принадлежат Ва при боль-
ших значениях а) и периферическими элементами (которые при-
надлежат Ва, когда а мало, но лишь настолько, чтобы не быть
слишком большим); возможность POS (В| А) должна быть тем боль-
ше, чем более централен в В элемент множества А. Возможность
будет тем больше, чем больше значение а, при котором А()Ва=£0
Величина POS(B|A) оценивает степень уверенности в том, что
ВрА непусто. Более строго утверждаем, что
POS(B|A)
О, если VatEjO, 1], Ва(]А=0,
sup ({a, as] 0, 1], ВаГ)А#=0})
в остальных случаях,
где sup обозначает наименьшую верхнюю грань, или
POS(BJA)= sup min (a, POS(Ba|A)). (2)
ae]0,l]
Подставляя в правую часть значение возможности POS(Ba|A),
получаем
POS(B|A)= sup min (a, sup min (хл (x), (x))) =
ae]0,l] xe:X Ba
= sup min (%л (*), sup min (a, (x))) = sup (x) (3)
xsX ae]O,l] ва хеЛ B
165
Примечание 5. Скалярная мощность нечеткого множества
F с конечным универсумом X определяется как |F| = 2 (*)•
хеХ F
Заметим, что }АПВ[ = 2 И-(*) • |А |, где a* = sup{ae]0, 1],
AftB ^_0}=POS(В|А). Тогда POS (В|А) > |AQB|/|A | = Р(В|А),
где Р(В|А) —скалярная условная вероятность В при известном А
в предположении равномерности вероятностного распределения.
Аналогично, если АсВа, то элемент, принадлежащий А, с не-
обходимостью (NES (Ва | А) = 1) принадлежит Ва; действительно,
если AczBa, то Vp^a: AczBp и NES(Bp|A) = l. Таким образом,
чем больше значение а, при котором еще Ас:Ва,тем более «цент-
рален» во множестве В любой элементу множества А и тем боль-
ше должна быть необходимость NES(B|A). Величина NES(B|A)
оценивает степень уверенности в том, что множество AQB пусто.
Поэтому
О, если А suppB,
sup ({aE] 0,1], A cz Ва}) в остальных случаях,
где носитель множества В определяется как множество suppB =
= {х, |к(х)>0},
D
NES(B|A) =
NES (В] А) = sup min (a, NES (Ba| A)) = sup min (a,
ae]0,l] ae]0,l]
inf max (xT (x), x^ (x))) = sup inf min (a, x~ (x)). (4)
xeX "a ae]0,l] aa
При a* = sup ({a, Vxe A, X- (x) = 1}), (a* = 0 тогда и только тогда,
~ Ba
когда Ag^supp В) имеем Va<ia*, inf min(a,x~ (a;) = a.
Если а*У=1, то 3Ae A, Va>a*:/^ (x*) = 0 и inf min (a,
Ba x e A
(x)) = 0, а величина NES(B|A) == a*. Однако VxeA, sup min fa,
Ba ae]0,l]
X- (x)) sup min (a, X- (x)) = a*. Наконец, a*-inf sup min (a,
Ba, as]0,l] Ba xeA ae]0,l]
X- (x)). Следовательно,
Ba
NES (B|A) = inf p^(x). (5)
хеЛ
Случай невозможности и контингенциальности несколько отличен
от предыдущего. Если BaQA=0, то Vp, 1>р^а: ВаПА = 0. Не-
возможность IMP (В | А) должна быть тем больше, чем меньше
найдется значение а, такое, что Ва(]А = 0. Тогда, используя f(f) =
= 1—t в качестве оператора, обращающего порядок, имеем
IMP (В| А) =
0, если f] А 0,
1 —inf({ae]0,l], ВаПА = 0}) в остальных случаях,
где inf обозначает наибольшую нижнюю грань.
166
Поскольку inf ({ае ]0,1, Ва П А = 0}) = sup ({ае ]0,1], ВаПА=^
¥= 0}) = POS(B|A), то имеем
IMP(B|A) = sup min (1 — а, IMP (Ва|А)) = inf (1—р^(х)). (6)
ае]0,1] хеА
Аналогично получаем
CONT (В|А) =
О, если A cz Вх
1—inf ({а €= ]0,1], АфВаУ) в остальных случаях,
CONT(B|A) = inf шах(1—a, CONT (Ba|A)) = sup (1—p~(x)). (7)
ae]0,l] x(=A B
Четыре модальности сохраняются: IMP(B|A) = 1—POS(B]A),
CONT(B| A) =POS (B| A), NES(B|A) = 1—POS(f|A).
2.3. СЛУЧАЙ, КОГДА МНОЖЕСТВО A — НЕЧЕТКОЕ,
А МНОЖЕСТВО В — ЧЕТКОЕ
Представление А с помощью его
анализ, аналогичный проделанному
Получаем
a-срезов позволяет провести
в предыдущем подразделе.
POS (В | А) = sup (х).
Х€=В а
(8)
Поскольку из AaczB следует, что V[3, A^zdB, то необхо-
димость NES(A|B) должна быть больше, чем меньше найдется
значение а, при котором AaczB. Теперь имеем:
NES(BJA)
О, если Ах В,
1—inf ({ае]0,1], АасВ})
в остальных случаях,
NES(B|A) = inf шах(1— a,NES(B|Aa)) = inf (1 — (9)
aeJO.l] А
IMP (В |А) = inf (1—!Mx)h (10)
xseP А
CONT (В | А) = sup ну(х) (11)
х<=В А
И
IMP (В | А) = 1 — POS (В J А), CONT (В | А) = POS (В | А),
NES(B|A)= 1 —POS(B|A).
2.4. А И В — НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
Теперь рассмотрим a-срезы Аа и p-срезы /^ множеств А и В соот-
ветственно. Если ВрПДа=^0, то POS (Вр|Аа) = 1. Значение
167
POS(Bp|Aa) должно быть тем больше, чем больше найдутся зна-
чения аир, такие, что ВрПАа=#0. Таким образом, полагаем
POS(B|Ap-
О, если supp A f]suppВ = 0,
sup ({a*p, a€=]0,1 ], Pe]0,1 ], B₽ f) 4>0})
в остальных случаях,
где * —некоторый бинарный оператор агрегирования, принимаю-
щий свои значения на [0, 1], очевидно, коммутативный, желатель-
но ассоциативный и для того, чтобы включались формулы (2) и
(3) в качестве частных случаев, удовлетворяющий условию Va:
a*l = a и условию a *p^a,*p/, если a^a' и р^р', что гаран-
тирует возрастание POS(A|B), когда значения аир таковы, что
£рГИа¥=0. Из этих четырех условий следует, что операторы *
должны быть треугольными нормами [10]. Три треугольные нор-
мы заслуживают особого внимания: 1) a *p=min(a, р); 2) a*p =
— a-p; 3) a *p = max (0, a-j-p—1). Имеем
max (0, a + P — 1) a • P min (a, p)
и min оказывается наибольшей треугольной нормой.
Таким образом,
POS(B|A) = sup min(a*p, sup ~ (х)).
as]0,l], Ре]0,1] хеХ АаЛ в$
Поскольку (АПВ)? = и где ~(х) = р^/х) *[рЛх), jo
a * * Ь
имеем POS(B|A) = sup min (у, sup (х))Л
Ive]0,l] xex !
POS(B|A) = sup min(p~(x), p~ (x)), если a*p = min(a,P) = (12)
xeX A B
= sup p- (x) • p^ (x), если a*p = a-p= (12')
xeX A B
= sup max (0, p Дх) 4-p~(x)—1), если a*p=max(0,a+p—1).
xeX A B
(12")
Формула (12), как и (12z) и (12"), заключает в себе формулы
(3) и (8). До конца этого подраздела будем использовать для
простоты изложения только операцию min.
Значение NES(B|A) должно быть тем больше, чем меньше най-
дется значение а и больше значение р, такие, что AaczBp. Таким
образом, полагаем
NES (В| А) =
| 0, если Аг ф supp В,
' sup({min(l—a,P),ae]0,l],Pe]0,l],AaczBp}),
, 1, если supp A cz Bt.
168
Замечая, что если и Ai-acz5p, то Аг-а<^Ва, и можно пока-
зать справедливость соотношения
NES(B|A) = inf max(l —[л~ (х), (х)), (13)
хеХ А в
которое заключает в себе (5) и (9).
Формулы (6) и (10) обобщаются в виде
IMP(B|A) = inf max(l—р~(х), 1 — ш?(х)), (14)
хеХ А в
а (7) и (11) в виде
CONT (BJA) = sup min(p~(x), 1 — рв(х)). (15)
хе=Х А
Какой бы оператор * мы ни выбрали, используя одну и ту же
треугольную норму для всех четырех модальностей, получим сле-
дующие формулы:
IMP (В|А) = 1 — POS(В|A); CONT (В|А) == POS (В|А);
NES (В | А) = 1 — POS (В | А), 3 * * * * * * * * * * * * (16)
POS(B|A) = POS(A|B),
(17)
IMP (BjA) = IMP (А|В),
NES (В I А) = 1 — POS (В| А) = 1 — POS (А | В) = NES (А I В),
(18)
CONT (В| А) = POS (В|А) = POS (А|В) = CONT (А|В).
Стоит заметить, что в этой структуре сохраняется квадрат мо-
дальностей и при этом принята в расчет нечеткость.
3. МЕРЫ ВОЗМОЖНОСТИ И ДРУГИЕ НЕЧЕТКИЕ
МЕРЫ
3.1. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ЗАДЕ
Вспомним основные положения теории возможностей, разрабо-
танные Заде [12]. Пусть ли— отображение из X в [0, 1], называе-
мое распределением возможностей. Положив
VFcX, IIu(F) = sup л„(х) (19)
xe=F
и для нечеткого подмножества F
Пц (F) = sup min (р? (х), (х)), (20)
xgX f
на основе ли построим отображение Пи из &(Х) (или, обобщая на
основе соотношения (20), — из множества нечетких подмножеств
169
множества X) в [0,1], которое называется возможностной мерой.
Для любой пары нечетких или четких подмножеств F и G нечет-
кая мера удовлетворяет условию
Пк (F U G) = max (Пи (F), Пк (G)), (21)
где Vx, p,~~(x)=max(pr (х), (х)).
Отображение ли можно рассматривать как функцию принад-
лежности нечеткого подмножества множества X — нечеткого под-
множества значений, которые более или менее возможны для пе-
ременной и. Функция IIU(F) оценивает возможность того, что пе-
ременная и, априорные возможные значения которой ограничены
отображением ли, принимает свои значения внутри нечеткого под-
множества F. Итак, лд(х) =Пад({х}) —это возможность того, что
переменная и равна х.
Сравнение (3) или (8) и (19), (12) и (20) приводит к
Пм (F) = POS(F|jtM). (22)
3.2. ДРУГИЕ НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ
С мерой возможностей Пм связана мера необходимости Nu (см.
[3] или [6]), которая определяется как
A\HF)== 1—Пи (F)==inf max(p~(x), 1 — (х)) = NES (F|nJ
хеХ F
и удовлетворяет условию
АГ» (F П 8) = min (Nu (F), Nu (&)),
где Vx, ц„п_ (x)=min((iF(x), g- (x)).
Отметим, что с целью распространения определения (19) на
другие меры, не нарушая условия (21), можно при агрегировании
и ли использовать операторы, отличные от mim(p, q), например
операторы p-q или max!(0, p + q—1). И поскольку они не убывают
на ^(Х), то Пи и Nu будут нечеткими мерами в смысле Суджено
[8], если Пи(Х) = 1=NU(X) и Пи(0) =NU(0) =0. Кроме того, в
(2) и (4) легко распознать нечеткие интегралы по Суджено [8].
Меры POS (• А), POS (В | •), CONT (В | •) будут нечеткими, если
выполняются условия нормализации, так как
POS (F U G| А) = max (POS (F| A), POS (G| A)),
POS (B|FU G) = max (POS (B|F), POS (BJG)),
CONT (В IF U G) = max (CONT (B| F), CONT (B| G)).
Мера NES(- |A) будет мерой необходимости
NES(Ff) G|A) = min (NES (F|A), NES (G|A)).
170
Положив
COMPJB|A) =
COMP(BJA) = inf max (x), p^.(x)), (23)
xeX A B
имеем
1, если A|JB —X (т. е. Вод),
О в остальных случаях,
что может интерпретироваться как степень дополнительности Ё от-
носительно А. Имеем _СОМР(В|А) =СОМР£А|В) Заметим, что
СОМР (В | A) =NES (В | A) =NES (А | В) =1МР (А| В). Во всяком слу-
чае, СОМР (• |А), СОМР(В| •) —это меры необходимости:
COMP (Ff|G|A) = min(COMP(FlA), COMP(G|A)),
COMP (B|Ff| G) —min (COMP (BJF), COMP (B|G)).
Меры IMP(B|-), IMP(-|A), NES(B|-) удовлетворяют усло-
виям-
IMP (B|FU6) = min (IMP (BJF), IMP (BJG)),
IMP (FU GJ A) = min (IMP (FJ A), IMP (GJ A)),
NES (BJFJJ G) = min (NES (BJF), NES (BJG)).
Они будут называться номерами необходимости, так как их ограни-
чение на ^(Х) невозрастающее.
Положив
NONC (BJ А) = sup min (1 —(х), 1 —(х)) =
хеХ А в
= 1 —COMP (BJ А) = POS (BJ А); (24)
имеем
NONC (В(А) — [ если X (т. е ВфА),
1 0 в остальных случаях.
Мера NONC (В |А) может рассматриваться как степень «недо-
полнительности» Ё относительно А; если NONC(В | А) =1, то третье
подмножество (X—(A UВ)) не пусто. Имеем NONC(BJA) —
= NONC(A|B). Меры NONC(B|-), NONC(-|A), CONT(-|A) удов-
летворяют условиям
NONC (BJFA G) - max (NONC (BJF), NONC (BJG)),
NONC (FQ GJ A)-max (NONC (FJA), NONC (GJ A)),
CONT (F f| GJ A)-max (CONT (FJA), CONT (GJ A)).
171
Они будут называться номерами возможности. Комеры возможно-
сти должны определяться выражением
?(Х)= $_p(x)dx
x&F
с тем, чтобы если F[]G = X, то P(F[\G)=P(F)+P(G). Кроме того,
имеем
POS (B|FП G) < min (POS (B|F), POS (B|G)),
NES (B\F П G) > max (NES (B|F), NES(B|G)).
4. СВЯЗЬ С МНОГОЗНАЧНЫМИ ЛОГИКАМИ
Распределение возможностей ли может интерпретироваться как
значение истинности v(Px) высказывания: Рх = «х есть возможное
значение для и», т. е. ли = «есть возможное значение для и» рас-
сматривается как «нечеткий предикат». Если принять, что
v (^Рх) = 1—v(Px), то 1—Ли есть значение истинности высказыва-
ния «х не есть возможное значение для и» — Рх.
Мера возможности Пи (F) = sup ли (х) — оценка высказывания
x£F
«и, возможно, принимает свои значения в F» и одновременно зна-
чение истинности высказывания «в F существует х и х есть воз-
можное значение для и» при условии, что v (SxeF, Рх) =sup v(Px).
x£F
Необходимость того же события {«и принимает свои значения в
F») выражается как
Nu (F)= 1 - П„ (?) = inf (1 (*))
и определяет значение истинности утверждения «любое значение
х вне F(Vx^F) не есть возможное значение для н» (которое в
действительности означает «необходимо, чтобы переменная и
принимала свои значения в F»), причем и (VxeF, ПРх) =
= sup_o( “1Рх).
х € F ~
В общем случае величина NES(PfH) = infmax(l—р.~(х), ц~(х))
х€Х А в
есть не что иное, как значение истинности утверждения «VxeX
если х есть А, то х есть Ё» в многозначной логике, где ин-
терпретационная функция импликации имеет вид v(P-+Q) =
= max(l—v(P), o(Q)); такая импликация специально изучалась в
работе [2]. Если использовать импликацию Лукасевича u(P->Q) =
= min (1,1—v(P) +v(Q)), то должны получить
NES(5|X) = inf min (1,1—(x) + p_ (x)), (25)'
xe=x A B
что соответствует треугольной норме р * 7 = max(0, p + q—1).
172
Аналогично POS(В|А) =sup min(p~ (х), ц~(х)) соответствует
u(SxeA', А(х)ЛВ(х)), где u(PAQ) =min(y(Р), u(Q)).
На этой основе многозначные логики, по-видимому, могут
иметь модальную интерпретацию, которую Лукасевич, кажется,
всегда поддерживал.
Примечание 6. Могут оказаться полезными и другие, от-
личные от V и £, квантификаторы. Так, квантификатор «возмож-
ные значения для и составляют долю р элементов из В» имеет зна-
чение истинности, равное
sup inf (х), (26)’
СсВ хеХ
|С|=Р |В|
в то время как величина
int sup лы (х) (27)
О В х^С
|С1 р.|В|
равна значению истинное!и высказывания «во всех подмножест-
вах, содержащих долю р (по крайней мере) элементов множества
В, существует элемент, доставляющий возможное значение для и».
При р = 1 и р=1/|В| выражение (26) опять дает значения истин-
ности высказываний «Vx<=B есть возможное значение для и» и
«ЯхеВ и х есть возможное значение для и» соответственно; при
р=1/|В| и р=1 определение (27) снова приводит к значениям ис-
тинности тех же высказываний.
5. ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕРАМ СХОДСТВА И
НЕЧЕТКИМ ЧИСЛАМ
5.1. МЕРЫ СХОДСТВА НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Пусть А и В — два нормализованных нечетких подмножества,
определенные на одном и том же универсуме X. Тогда POS(B|A) =
= POS(A|jS) и min(NES(В|A), NES (А | В)) (для симметризации
выражения можно использовать и другие операторы агрегации)
можно рассматривать как скалярные оценки сходства между А и
В. Значение POS(B|A) (а это не что иное, как согласованность А
и В [12]) равно высоте множества А(]В. Имеем POS(A|A) = 1, но
несмотря на то, что формы функции принадлежности А и В в об-
щем случае очень отличаются друг от друга, может оказаться, что
и POS(B|A) = 1. Мера NES(B|A) оценивает невозможность для
«типичного» элемента множества А быть «типичным» элементом
дополнения множества В. Согласно (13) величина NES(A|A) мо-
жет стать меньше 1 (но всегда больше 1/2), как только множество
А становится не четким: это связано с неопределенностью размеще-
ния границ А; если AczB (т. е. \х : (х) (х)), то 1/2^
^NES (В |А) 1; поскольку NES(B|A) = 1 тогда и только тогда,
когда BiZDsuppA, то min(NES(B A), NES(A|B)) равен 1 только
тогда, когда множества А и В равны и не нечеткие. При таком по-
173
казателе сходства нечеткие подмножества, плохо определенные по
самой своей природе, не могут признаваться сходными со степенью,
равной 1. Стоит отметить, что всегда POS (В | A) ^NES (Л | А) (при
условии, что А нормализовано '[7]). Использование вместо (12) и
(13) формул (12") и (25) не должно сильно изменить поведение
рассмотренных здесь показателей сходства.
Если множества А и В имеют различные универсумы X и У, и
если на ХХУ известно (нечеткое) отношение R, то величины
POS(£|A° R) и NES(B|A°tf) (где р~ (у) =sup min(p~ (х),
Л О Х£Х А
уп(х, у))) позволяют оценить совпадение А и Ё по отношению R.
Имеем POS(B|A°ff) = POS (В »1 А) и NES(B|A ° R) =
=NES(5 ° R-l\X), где ^R-i(y, х)=р,й(х, у).
Может также понадобиться оценить сходство прямых произве-
дений нечетких подмножеств. Прямое произведение двух нечетких
подмножеств F и G, определенных соответственно на X и У, опре-
деляется выражением: VxeX, Vr/еУ, (х, i/)=min(p^ (х),
|i~(z/)). Легко подсчитать POS (Ё^ X В2|ХА2) и NES (Ёх X Л2| А{ X
ХА2), где Ai и Ё{— нечеткие подмножества на X, а А2 и Ё2 — на
Л^ублагодаря следующим результатам (доказательство см. в при-
ложении) :
POS(Bi х х A2) = min (POS (BJAJ, POS (B2|Aa), (28)
если Ai и A2 — нормализованные подмножества: sup p,~ (x) = 1,
xcX Ai
supp~ (r/)=(l, TO
y€Y Л2
NES(Bj xB2|A1xA2) = min(NES(B1|Z1), NES (Ba|Aa)). (29)
5.2. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА
Нечеткое число М определяется как нечеткое подмножество дей-
ствительной прямой R, такое, что '[3]:
его функция принадлежности рм кусочно-непрерывна;
V х, V у > х, V z е [х, г/], Цм (z) > min (цм (х), рм (#)) (выпуклость);
3 Хо GE R, (х0) = 1 (нормализация).
Функция принадлежности цм может рассматриваться как функ-
ция распределения возможных значений плохо определенного чи-
сла, которое обозначим через М. Эта интерпретация объясняет,
почему М называется нечетким числом.
Понятия возможности и необходимости позволяют ввести четы-
ре замечательных нечетких подмножества, связанных с М:
нечеткое множество М* значений, которые, возможно, больше
или равны значению АГ.
Цм* (0 = sup Цм (х); (30)
x^t
174
нечеткое множество значений, которые, возможно, меньше
или равны значению М:
Им. (О = sup рл4 (х); (31)
x^i
нечеткое множество М** значений, которые с необходимостью
больше значения М:
Нм** (/) = inf (1 — нм (г)); (32)
x^t
нечеткое множество М** значений, которые с необходимостью
меньше значения М:
Нм.. (О = inf (1—нм(х)).
x^t
(33)
Для введенных множеств выполняются следующие соотношения:
Л1*ПЛ1* = Л4, (34) 7W*U^# = R, (35)
м** и м„=М, (36) (37)
М* => Л4**, (38) М* zd Л4**. (39)
Все эти подмножества изобр ажены на рис. 2.
ооииоооо
-------М*
+ + 4- +
о о о о Л/**
д д д i
и о о и его сг и сто ооо о оттого А Д'д д д д А д g
Рис. 2
Соотношение (34) обобщает соотношение [a, 6] = [a,+oo)Q
ГЦ—оо, 6], а (36) обобщает [а, 6] = (—оо, а[и]5, 4-оо). Число М
можно определить с помощью М* и М*, или М** и . Недавно из
соображений прикладного характера '[5] предложено рассматри-
вать нечеткие числа как пару (М**, М**) безотносительно к поня-
тиям возможности или необходимости. Такие нечеткие множества,
как М*, Л4**, , М** могут представлять собой интерес при изу-
чении топологических свойств нечетких чисел.
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теория возможностей Заде представляет собой, по-видимому,
обобщение обычной модальной семантики. Вместе с возможностью
можно ввести и другие модальности. Необходимость — это не дуб-
175
ликат возможности: если известна возможность события, то непо-
средственно вывести его необходимость нельзя. Возможность и не-
обходимость явно отличаются от вероятности.
'Меры сходства, основанные на возможности и необходимости,
уже успешно использовались в системах совмещения образов [1],
в искусственном интеллекте, для оценки смысла слов или выраже-
ний, означающих 'более или менее одно и то же. Помимо этого воз-
можность и необходимость, по-видимому, особенно важны в теории
нечетких чисел.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство (28).
POS (BjX В2М1Х 4а) =
= sup min [min (р~ (х), (у)), min (р^ (х), р~ («/))]=
Xty
= sup sup min [min (р~ (x), p~ (x), min (p~ (у), p~ («/))]=
ух
= sup min [sup min (p~ (x), p^(x)) ,min (p~ (у), ^(у))]^
=min [sup min (p~ (x), p~ (x)), sup min (p~ (y), p- («/))]=
X &Л у a2
= min (POS (Bi 14i), POS (Ba 14a)).
Доказательство (29). Сначала докажем следующую лемму, где
се [0, 1], a f и g— отображения со значениями в [0, 1]:
inf max [min (/ (х), с), g (х)] = min [с, inf max (f (x), g (x))]
X X
тогда и только тогда, когда infg(x)<c. Имеем
X
inf max [min (f (x), c), g (x))J = inf min [max (f (x), g (x)), max (c, g (x))] =
X X
= min [inf max (/ (x), g (x)), max (c, inf g (x))].
X X
Далее
NES (BiXBa|4iX4a)=
=inf max (min (p^ (x), p_ (у)), 1—min (p^ (x), p_ («/)))==
к у у B± B2 Ai А%
=inf inf max {max [min (p~ (x),p_(y)),l—p_ (x)],l—p_ (y)}=
у x Bt B2 Ai А2
=inf max {inf max [min (p_ (x),p_ (y)),l—p_ (x)],l—p_ (г/)}.
у x Bi в2 Ai At
176
Если ц-у нормализована, то, применяя лемму, получим
Д1
NES = inf max {min (p_ (у), inf max (p_ (x), 1 —
у вг x Bt
— (*))) > 1— (У)}-
Ai A2
Если |л ~ нормализована, применяя лемму, получим далее
Л»
NES (BjXBaMiX^a) = min (inf max (ц_ (x), 1 — (x)),
x 13i i
inf max (p_ (у), 1 — (у))) = min (NES (Z^lAi), NES (B2|A2)) ’
у в2 a2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Cayrol, M., Farreny, H., Prade, H. (1980). An advanced pattern-matching met-
hod taking into account the uncertainty in meaning. Int. Conf, on Art. In-
telligence & Inf. — Cont. Systems of Robots. Bratislava, June 30 — July 4,
1980.
2. Dienes, Z. P. (1949). On an implication function in many-valued systems of
logic. J. Symbol. Logic, Vol. 14 pp. 95—97.
3. Dubois, D., Prade, H. (1980). Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applicati-
ons. Academic Press.
4. Hart, W. D.( 1972). Probability as a degree of possibility. Notre-Dame J.
Formal Logic, Vol. 13n°2 pp. 286—288.
5. Me Cain, R. A. (1980). Fuzzy confidence intervals. (Personal communication).
6. Prade, H. (1979). Nomenclature of fuzzy measures. Proc. Int. Seminar on Fuzzy
Set Theory, Johannes Kepler Univ., Linz, Austria, Sept. 24—29, 1979, pp. 9—25.
7. Prade, H. (1980). Possibilite — Necessite — Principe d’extension. BUSEFAL n°4
Fall 1980. L. S. I. Lab. Univ. Paul Sabatier. Toulouse, France.
8. Sugeno, M. (1974). Theory of Fuzzy Integrals and its Applications. Ph. D. The-
sis. Tokyo Institute of Technology. Tokyo.
9. Von Wright, G. H. (1957). A new system of modal logic, in Logical Studies
(by Von Wright) pp. 89—126. Routledge and Kegan Paul. London.
10. Schweizer, B., Sklar, A. (1963). Associative functions and abstract semigroups.
Publ. Math. Debrecen, Vol. 10 ipp. 69—81.
11. Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy Sets. Inf. and Cont., Vol. 8 pp. 338—353.
12. Zadeh, L. A. (1978). Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. Fuzzy
—Sets & Systems Vol. 1 n°l pp. 3—28.
ПРОСТЕЙШИЕ СЕМАНТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
Ф. Смете1
Для описания нечетких семантических связок И и ИЛИ вводят-
ся обобщенные математические операторы. Явная структура пере-
менных, определяющих нечеткие множества, приводит, по крайней
1 Laboratory of Medical Statistics, School of Public Health, Brussels Free Uni-
versity (U. L. B.), 808, route de Lennik—1070, BRUSSELS — Belgium.
177
мере, к трем связкам, каждой из них соответствуют различные
аксиомы и различные математические операторы.
Ключевые слова: нечеткое множество; логические операторы;
семантика; связки.
1. ВВЕДЕНИЕ
Для семантических связок И и ИЛИ, как и для их теоретико-
множественного эквивалента — операций пересечения и объедине-
ния, — применительно к созданной им теории нечетких множеств
Л. Заде предложил использовать операторы взятия минимума и
максимума ДЗ]. (Позднее были введены другие операторы, основан-
ные на алгебраическом произведении [2], ограниченной сумме [3]
или более сложных операторшах [10, 11]. Проведенные к настоящему
времени немногочисленные экспериментальные исследования того,
какие же из предложенных математических операторов наибо-
лее соответствуют понятию семантической связки, не позволяют
прийти к определенным решениям [7, 10, 12]. Аксиоматические
обоснования были рассмотрены в работах [1, (5], причем в обеих
работах оправдывались операторы взятия минимума и максимума.
Некоторые объединяющие обоснования различных математических
операторов, использованных для представления семантических свя-
зок, предоставило введение Т-норм [В].
Для построения удовлетворительной аксиоматики должна быть
очень тщательно рассмотрена точная природа множеств и требо-
вания идемпотентности ’[6]. Пусть X — множество людей, а семей-
ство Ж нечетких множеств, описывающих различные подмножест-
ва X, характеризуется возрастом каждого индивидуума, например,
{старый, очень старый, молодой, ...}: тогда идемпотентность,
по-видимому, подтверждается: «быть старым и старым» тождест-
венно «быть старым».
Пусть второе семейство & подмножеств множества X характе-
ризуется денежным доходом каждого индивидуума, например, &=
= {богатый, бедный, довольно богатый, ...}: связь 'между Ле^ и
получается с помощью некоторых классических операторов
продолжения подмножеств Л и В до подмножества А' и В' мно-
жества X. Однако в этом случае чувствуется, что идемпотентность
не обязана сохраняться. В качестве контрпримера рассмотрим двух
женщин: Еву и Мэри. Пусть ^богатая (Ева) =0,7, рМОлодая (Ева) =
= 0,12, рб огатая (Мэри) =0,4, рмолодая (Мэри) =0,2. Применение опе-
ратора взятия минимума приводит к заключению, что обе женщи-
ны с одной и той же интенсивностью 0,2 принадлежат к множеству
«молодая и богатая». Допуская, что я предпочитаю жениться на
«молодой и богатой» женщине, и что мое предпочтение должно при-
вести меня к той женщине, которая в наибольшей степени принад-
лежит этому множеству, я чувствую, что Ева должна принадле-
жать ему больше, чем Мэри. Таким образом, оператор минимума
оказывается здесь неподходящим.
178
В предлагаемом подходе принимаются во внимание основные
переменные, зависящие от х^Х, которыми характеризуются эле-
менты семейств ... Нечеткие подмножества А множества X
могут подразделяться на одномерные и многомерные, если степень
принадлежности х^Х подмножеству А есть явная (функция от од-
ной или нескольких переменных, каждая из которых зависит от х.
В том, что все подмножества X могут быть так разделены, уверен-
ности нет: основные переменные, описывающие множества «краси-
вых женщин» или «симпатичных людей», вряд ли существуют (тем
не менее следует признать, что основная задача психометрических
исследований как раз и состоит в определении количественно оце-
ниваемых переменных, квантифицирующих такие понятия). В то
время как применение операторов минимума и максимума для од-
номерных переменных нечетких множеств, по-видимому, оправда-
но, они не подходят для многомерных переменных множеств. Осно-
вание этого положения строго аксиоматическое. Сначала введем
аксиомы Веллмана — Гертса [1], которые оправдывают применение
операторов минимума и максимума, а затем определение Т-норм и
их конорм — S-норм [8].
1.1. АКСИОМЫ ВЕЛЛМАНА — ГЕРТСА [1]
Пусть Пи1) — Два бинарных оператора, ставящих в соответст-
вие элементу из з$Х^ элемент из и таких, что для всех А, В,
выполняются свойства:
А'1. Коммутативности АП£ = £ПД =
А2. Ассоциативности (Ар^) А^’=АП(ВПС’), (AU#)UC=AU(BUC)-
АЗ. Дистрибутивности An(£UQ ='(АП^)и(АП^), Aj (^AQ =
^(AUB)A(AUC).
А4. Идемпотентности Af]A = A, A(jA = A.
Пусть р,д(х), цв(х)е[0,1 ]—степени принадлежности х<=з$ к
A,
А5. Пусть цлпв (х) и цдив (х) —функции, зависящие только от
Ца(х) и цв(х). Тогда
|1апв (x) = min (рл (х), цв (х)),
|Адив (х) = max (р,л (х), цв (х)).
1.2. Т-НОРМА И S-HOPMA [4, 8]
Т-норма — это бинарная функция из '[0,1] X [0,1] В [0,1] , такая,
что:
Т1) 71(0,0) =0, 71(х, 1)=х,
Т’2) Т(х, у)^Т(и, v) всякий раз, когда х^и, у^и,
ТЗ) Т(х, у) = Т(у, х),
Т4) Т(Т(х, y),z) = T(x, Т(у, г)).
Пусть дана Т-норма, определим S-норму как отображение из
[0,1 ] X [0,1] в [0,1] , основанное на отношении
S(x,//) = !-? (1-х, 1—4/); (1)
179
S-норма удовлетворяет условиям:
1) S(l,l) = l и S(x, 0)=х,
2) S(x, y)^.S(u, v) всякий раз, когда х^и, у^Л),
3) S(x, p) =S(p, х), /
4) S(S(x, у), z)=S(x, S(y, z)). /
В работе [4] показано, что те Т-нормы, которые удовлетворяют
условию
Т (х, y) + S (х, у) = х + у, (2J
принадлежат семейству Т^-норм (и их порядковым суммам) при
O^s^oo, где
min (х, у),
Ts (xt у) =
j ХУг
max (х + У—1, 0),
logs (l + (s*-l)(s*-!)/(«-!)),
s = О,
s=l,
S== оо,
0 <Z s <oo, S 1.
Единственная идемпотентная Л-норма —это To-норма.
1.3. ОТРИЦАНИЕ
Воспользуемся определением Заде, введенным для дополнения
к множеству рл(х) = 1—рл(х). Чтобы обосновать это определение
Веллману и Гертсу кроме свойства инволюции (А —А) потребова-
лись дополнительные свойства. Некоторые обоснования этих специ-
альных операторов, полученных с помощью определенных свойств
вероятности нечеткого события, приведены в [9].
2. МНОГОМЕРНЫЕ НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА
Пусть дано множество X с элементами х. Пусть hv (v = l, 2, ...
..., р) — множество характеристик, приданных х, которые могут
быть описаны так, как если бы они были определены на действи-
тельной прямой R. Пусть — семейство определенных на X не-
четких множеств, таких, что для каждого х^Х принадлежность
p,Av(*) характеристики hv может быть выражена как явная функ-
ция от некоторой переменной hv : X-+R, т. е.
Hav (•*) = fv (hv (х)).
Пусть семейство замкнуто для операций отрицания, объеди-
нения и пересечения.
Пусть бФ — семейство нечетких множеств, определенных на X
таких, что каждое множество получается из объединений, пе-
ресечений и отрицаний нечетких множеств для v=l, 2, ...
..., р при том ограничении, что соответствующая основная пере-
менная hv, которая соответствует отличается от каждой из
остальных характеристик.
180
Пусть, например, X— множество людей х с ростом hi, весом h2
я денежным доходом h3... и пусть
{высокий, низкий, очень высокий, среднего роста,...},
{толстый, худой, очень тяжелый,... },
^з= {богатый, бедный, не очень богатый,... }.
Пусть есть семейство множеств, которые можно описать слова-
ми, определяющими элементы и их комбинациями с по-
мощью связок И и ИЛ’И. Очевидно, не все множества, определен-
ные на X, можно представить как некоторые элементы из «90, так
как некоторые подмножества X не допускают представления через
явные переменные, определенные действительными числами. Огра-
ничимся изучением тех множеств, определенных на X, для которых
основные переменные принимаются единодушно.
Для каждого х и каждого величина р, v (х) е [0, 1] оз-
Л i
начает степень принадлежности х к Для упрощения обозначе-
ний 'будем писать (х)=а\ и ца(х)=о:, опуская аргумент х.
АС
Далее, статья посвящена проблеме оценивания а при заданных
значениях соответствующих степеней принадлежности аг.
3. ТИПЫ связок
Можно рассматривать три типа связок. Пусть А и V соответ-
ствуют операторам И и ИЛИ, определенным на s£vXs£v и со зна-
чениями в Пусть X и + соответствуют операторам И и ИЛИ
на j^iX^2X ... Х^р со значениями в зФ (определение коррект-
но, поскольку X и + ассоциативные операторы). Пусть |"| и Q со-
ответствуют операторам И и ИЛИ (определенным на J^X^ со
значениями в j^). Опираясь на определенные в разд. 2 три семей-
ства и j^3, приведем пример использования трех типов свя-
зок И: ((высокий А, очень высокий)ХтолстыйХбедный) П (очень
высокий X худой X не очень богатый)). Покажем, что А и V со-
ответствуют операторам взятия минимума и максимума (То-, 50-
нормы), что X и + опираются на некоторую Т-норму, и что П и U
представляют собой новые операторы.
4. БАЗИСНЫЕ МНОЖЕСТВА
4.1. БАЗИСНЫЕ МНОЖЕСТВА СЕМЕЙСТВА
Под базисными множествами семейства понимается любое
множество для которого допустимо представление в виде
. р
Л=Л’ХЛ2Х ... ХЛр = X Av, где Av(=s£v, v= 1,..., р. Функция, пред-
V—1
ставляющая степень принадлежности а 'базисного множества А,
должна зависеть только от av (v=!,...,/?) и быть коммутативной,
ассоциативной и монотонной по включению. Если р—2 и А2=Х,
то А=А* и если А1=А2=0, то А = 0. Поэтому функция, представ-
ляющая оператор X, 'будет Т-нормой. Пусть a=T({av}), где Т:
[О, 1]р->[0, 1] есть оператор, полученный итеративным применени-
181
ем Т-норм, например Д-нормы: Т({av}) = П av. Поскольку —
V = 1
элементы различных семейств ^v, то понятие идемпотентности
здесь бессмысленно. Действительно, если, например А = АхХА2, где
и Л2е^2, то эти два семейства подмножеств множества X
зависят соответственно от двух различных характеристик х.
Однако понятие равенства элементов s&i элементами из не
определено.
4.2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ БАЗИСНЫХ МНОЖЕСТВ
Р
Пусть А и В — базисные множества т. е. А= X Av и В =
v=l
р
— X Bv. Определим пересечение А и В в виде
V=1
р
А П В = х А* Л В”). (3)
v=l
где П и Л X а X представляется с по-
мощью Г-нормы. Разумно требовать, чтобы оператор П был /комму-
тативным, ассоциативным, монотонным по включению и обладал
свойством Т1.
При р=\ имеем ДИВ =Д1ДВ1, поэтому оператор Д также дол-
жен представляться через Т-норму.
Пусть Ai, А2,..., Ап — базисные множества семейства «5$, т. е.
р
Дг= X Avi, тогда из (3) получаем
i=l
П А,= х (4ТЛ^Л.„Л^’)- (4)
i=l v=l
Поскольку каждое семейство s£v замкнуто относительно пересе-
р
чения, то XviAXv2A ... /\Avn^s£n и f] Лг- есть базисное множество
i=i
семейства
5. НЕБАЗИСНЫЕ МНОЖЕСТВА
5.1. НЕБАЗИСНЫЕ МНОЖЕСТВА СЕМЕЙСТВА
Небазисные множества семейства можно построить как
объединение базисных множеств Ai<=s&.
Итак, пусть для каждого существует п, такое, что А =
п
= U А{, где каждое А{ — базисное множество семейства т. е.
i=i
р
Аг — X Avt, где Avt^.&v для всех v.
v=l
Постулируем, что для всех степень принадлежности х
объединению J Аг определяется выражением
i=i
182
И п
и
i=l 1
п п п
= ИЛ£ПД; + 2 ^пЛуПД*...—
2=1 i>j— 1 i>/>fe=l
— (—О" РЛ ПАгП...ПАп, (5)
п
где Л1С1Л2и ••• 1Ип = U Л и аргументы х для всех функций р опу-
i=i
щены. 'Постулат есть не что иное, как обобщенная форма требова-
ний аддитивности, с которыми обычно сталкиваются или же кото-
рые накладывают на степень принадлежности {6].
5.2. СЛУЧАЙ р=1
Когда р=1, операторы П и U сводятся к тем, которые были
рассмотрены Веллманом и Гертсом; их аксиомы оправдывают
представление через операторы взятия минимума и максимума.
Этот же вывод можно получить, требуя, чтобы П и U были Т- и
S-нормами при р=\. Соотношение (5) при н='2 сводится к
Paub=Pa + pb—цапв- При = и 6 = цв имеем S(a, b) = a + b—
—Т(а, b).
Таким образом, Т-норма совпадает с Ге-нормой. Дополнитель-
ное требование, согласно которому оператор (] должен быть идем-
потентным, приводит к тому, что s = 0. Поэтому при р=1 опера-
торы минимума и максимума должны представлять связки П и U-
При р=1 операторы П и (J сводятся к операторам Л и V, поэтому
Л и V должны быть То- и So-нормами.
5.3. ОБЩИЕ СЛУЧАИ, КОГДА ОПЕРАТОРЫ Д
ПРЕДСТАВЛЕНЫ ОПЕРАТОРАМИ МИНИМУМА
Пусть множественные операторы А представлены оператором
п
минимума. Пусть А= f) Лг-, где Ai — базисные множества семей-
i=i
ства «яД тогда по (4) А есть базисное множество такое, что
Р П = |a Pav 1, (6)
п А. \ Ь=1 i I
j=l 1 J
где Т получается из Т-нормы, представляющей оператор X.
Соотношение (5) позволяет вычислить степень принадлежно-
сти любого подмножества Ж, которое выражено в виде объедине-
ния базисных множеств семейства
По построению оператор f] коммутативен и ассоциативен. До-
кажем свойство дистрибутивности при /2 = 3 и А, В,
Из (5) получаем
Paubuc = Ра + Рв + Рс— Ра и в— Рапс—Рвя с—Рапвпс-
Объединяя ЛиД из (5) получаем
Р(Аив)ис — Ра + Ив — Мапв + Ис—Р(АиВ)пс,
183
поэтому
Р(Лив)лс = Рллс + РвАС—Нлпвпс. х (7)
Для взаимной дистрибутивности пересечения относительно объеди-
нения требуется, чтобы
Р-мив)лс = М’(Ллс)и(влс)- (8)
Согласно (5) правую часть (8) можно переписать в виде
Рллс + Рвлс—Иллвлслс- (9)
В силу идемпотентности С(\С=С. Таким образом, (7) и (9) сов-
падают и (4|JB)nC=i(XflC)U (ВДС). Наконец, оператор U идемпо-
тентен, так как
Нлил = Нд + Нл—Нлал = Нл» ДиД^Д-
Поэтому U и f| удовлетворяют требованиям '(аксиомам) А1—А4
Веллмана — Гертса, но не удовлетворяют аксиоме А5. Действи-
тельно, чтобы подсчитать Д1ДД2 или Д^Дг для Дь Д2е<$/, понадо-
бятся все степени принадлежности ц .v для всех /=1,2 и v=l,
Л •
I
2,..., р, а не только и рлг-
6. ДОПОЛНЕНИЕ И ОПЕРАТОР +
Пусть для любого Av<=s£v и степень принадлежности их
дополнений Av и А соответственно равны 1—pAV (х) и 1—цл(х).
р
Пусть Д= X Av есть базисное множество семейства тогда
V—1
jiA = r({avJ) и
Ил =l-w = l-T({a’}) = S({l-a’}), (Ю)
где 5: [0, 1]₽->[0, 1] соответствует итеративному применению
5-нормы, ассоциированной с Т-нормой, представляющей множест-
венные операторы X.
Множественный оператор Д-: j^iX «5^2 X ... з^р-^зФ можно пред-
ставить как объединение, при котором
р
Д= Д-Ду и рл =5({flv}).
V=1
Применение закона де Моргана для X и + дает, как ив (10),
~р “ р — ~~р р —
х Д^4-Д' и д-Д* = хД\
V=1 V=1 V=1 V—1
пр пр
Для определения U Д-Д¥/ и Д Д-Д^ для для всех
1—1 v=l i=l v=l
i и всех v, можно построить операторы так, как это было сде-
лано выше для П X и UX и затем вывести, что они подчиняются
закону де Моргана.
184
Можно также постулировать закон де Моргана для |] и П и вы-
вести структуру математической функции, описывающей (J -ф и
Г) +•
Пусть П X -4tv = U 4-A,v, тогда
I V i V
=1 ~т «Л«7 )) = S «1 - Л«Г))=5 ({V(1 -«?)})
1}х л i i i i
i v 1
и определяет p, c = S({\/ay}). Аналогично из Ц ХЛ* = О -J-Л*
l у i i i v i v
имеем
H иXXY = = 1 - 3 nW) + 3 r ({ay Дау))... =
lv ‘ j*l I 1>I
= l-Y[l-S({l-ay})l+y l-S({(l-ayVl-3’ )})...=
i i>;
= 2Sp({l-ay})-3,S({(l-ay)V(l-ap})...
< !>/
p
Итак, при Аг = -ф A\, Avi^s&v имеем
V=1
И плг
i
(11)
Эти соотношения копируют соответствующие соотношения для
U + и Пф и удовлетворяют требованиям коммутативности, ассо-
циативности, взаимной дитрибутивности и идемпотентности.
7 ПРИМЕР
Пусть Т-норма, представляющая оператор X, будет To-нормой. Тогда, если
р v и для всех i==l, п и всех v=l, р, то
А1
%хлУ = ПЛа’-
i V 1 v г
н ихл* = 3 П «7 -з П «У Л «} +1)" П Л “< •
i v 1 i v i>jv v 1
С п+лу =1-3 ПО—Р + З ПО-a? V a/)...,
i v 1 i V i>j v
%+лу = ЗУ^-2 (V»n(Va?) + ...
j ф 1 V 1 v>p 1 1
8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Введены математические операторы, которые могут быть ис-
пользованы для моделирования семантики операторов И и ИЛИ,
применительно к сложным подмножествам, определение которых
185,
явным образом зависит от нескольких переменных. Дальнейшее
обобщение можно получить, считая, что операторы Л'-^v X^v->
и Т-нормы зависят от v. В вычислительном отношении эти
операторы сложны, поскольку требуют запоминания всех перемен-
ных и не обладают простотой минимаксных и других классиче-
ских операторов. Тем не менее они сохраняют требуемые аксио-
матические свойства и их большая гибкость может в будущем оп-
равдать интерес к ним.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. BELLMAN R. Е. and GERTZ М. On the analytic formalism of the theory of
fuzzy sets (1973). Inf. Sc. 5, 149—-156.
2. BELLMAN R. E. and ZADEH L. A. Decision making in a fyzzy environment.
(1970). Management Sci. 17, 141—164.
[Имеется перевод: Белл>ман P., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых
условиях — В кн.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений — М
Мир, 1976, с. 172—215.]
3. BELLMAN R. Е. and ZADEN L. A. Local and Fuzzy logics. In «Modern uses
of multiple — valued logics». (1977). J. M. Dunn and C. Epstein Eds, 105—465.
4. FRANK M. J. On the simultaneous associativity of F(x, y) and x+y—F(x, y).
(1979). Aequationes Math. 19, 194—226
5. FUNG L. W. and FU K- S. An axiomatic approach to rational decision-making
in a fuzzy environment. In «Fuzzy sets and their application to cognitive and
decision processes». L. A. ZADEH, K. S. FU, K. TANAKA, M. SHIMURA eds.
(1975). 227—256.
6. GAINES B. R. Foundations of fuzzy reasoning. (1967). Int. J. Man — Machine
Studies 8, 145—174.
7. HERSH H. M. and CARAMAZZO A. A fuzzy set approach to modifiers and
vagueness in natural language. (1975). J. Exp. Psychol. 105, 254—-276.
8. «SCHWEIZER B. and SKLAR A. Associative functions and abstract semigroups.
(1963). Publ. Math. Debrecen 10, 69—81.
9 SMET'S Ph. Probability of a fuzzy event: an axiomatic approach. Fuzzy sets
and Systems (under press).
10. THOLE U., ZIMMERMAN H. J. and ZYSNO P. On the suitability of minimum
and product operators for the intersection of fuzzy sets. (1979). Fuzzy sets and
Systems 2, 167—480.
11. YAGER R. R. On a general class of fuzzy connectives. (1980). Fuzzy sets and
Systems 4, 235—242
12. ZIMMERMAN H. J. and ZYSNO P. Latent connectives in human decision ma-
king. (1980). Fuzzy sets and Systems 4, 37—51.
13. ZADEH L. A. Fuzzy sets. (1965). Inform. Control 8, 338—353.
МОДЕЛЬ НЕЧЕТКОЙ СИСТЕМЫ, ОСНОВАННАЯ НА
ЛОГИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ
X. Танака, Т. Цукияма, К. Асаи1
Нечеткое условное высказывание «если А, то В» может рас-
сматриваться как вербальное выражение нечеткой системы. Мно-
жества А и В интерпретируются как нечеткий вход и нечеткий вы-
1 Department of Industrial Engineering, University of Osaka Prefecture, 591
Sakai, Umemachi 4-804, JAPAN.
186
ход системы, отношение между которыми определяется моделью
нечеткой системы R. Рассматриваемая проблема состоит в отыска-
нии модели нечеткой системы В —А ° R, основанной на заданной
нечеткой логической структуре.
Ключевые слова: модель нечеткой системы; нечеткое условное
утверждение; нечеткое рассуждение; нечеткое высказывание; не-
четкое отношение типа «вход — выход».
вход — выход
(предложения*
подмножества
V соответствен-
1. ВВЕДЕНИЕ
Нечеткость в процессах человеческого мышления недавно при-
влекла внимание в связи с исследованиями и разработками таких,,
ориентированных на человека, систем, как социальные или управ-
ленческие. Концепция нечеткости была подвергнута обсуждению
с позиций нечеткой логики, представляющей собой важнейший
понятийный аппарат исследования социальных систем. Здесь бу-
дет предложен метод моделирования систем, использующий не-
четкую логику. Если нечеткие отношения вход — выход заданы,
то модель системы можно сформулировать с помощью компози-
ционного правила вывода '[4]. Система описывается матрицей от-
ношения R, которая называется представлением системы. Тогда
системное уравнение определяется выражением В\ = А\* R, где
Ai — нечеткое входное, Bi — нечеткое выходное множества, а через
* обозначен некоторый оператор.
В социально-ориентированных системах пары
задаются нечеткими условными высказываниями
ми) типа «если А, то В», где А и В — нечеткие
входного универсума U и выходного универсума
но. Совокупность таких высказываний можно рассматривать как
вербальное задание нечеткой системы. Имея дело с нечетким ус-
ловным высказыванием «если А, то В», которое в нечеткой логике
записывается в виде А-ъВ, будем считать множество А нечетким
входным, множество В — нечетким выходным. Поэтому запись
А~^В ’будет интерпретироваться как пара вход — выход (Д, В).,
В данном подходе упор делается на получение модели нечет-
кой системы, основанной на заданной логической структуре. Рас-
сматриваются два различных типа системных моделей, соответ-
ствующих двум различным типам логических структур. Модели
систем названы модель-1 и модель-Н. Относительно логической
структуры модели-1 предполагается, что большому входному мно-
жеству соответствует большое выходное множество. Для логиче-
ской структуры модели-П, наоборот, предполагается, что боль-
шому входному множеству соответствует небольшое выходное
множество.
Рассматриваемая проблема состоит в том, чтобы получить сис-
темное представление R с некоторым оператором * , таким, что
187
1) Bi = At *R для данной пары вход — выход Аг—>Вг- и 2) с логи-
ческой -структурой, заданной моделью-1 или моделью-!! в систе-
ме R.
2. НЕЧЕТКИЕ ПРАВИЛА ВЫВОДА
Модель вывода заключений на основе нечетких высказываний
обсуждалась в работах {1, 2, 3, 5]. Примером модели вывода мо-
жет служить следующее правило:
нечеткое входное множество Ai : х мало,
нечеткое отношение R: х и у приблизительно равны (нечеткая
система)
нечеткое выходное множество Bi=A}oR:y <более или менее
мало.
Здесь ° — операция взятия минимаксного произведения.
Поскольку такое нечеткое высказывание, как А=>В, задает не-
четкое отношение между входными и выходными множествами, то
нечеткую систему R можно определить условием
7? = (AxB)U(Ax0, (1)
где Ах В — прямое произведение множеств А и В, а А— допол-
нение А. В эквивалентной формулировке имеем
R (и, v) = (рл (и) Д рв (v)) V (Ид («) А Иг Ш (2)
где рд, рв и рг— функции принадлежности множествам А, В и
V, причем pv (и) = 1 для всех v, а V и А обозначают max и min
соответственно, и рл = 1—рА.
Более общее высказывание «если А, то В, иначе С» можно за-
писать как
B-AxBUAxC. (3)
Когда задана такая нечеткая система R, для входного А и вы-
ходного В множеств выполняется условие
В А ° R, (4)
откуда следует, что система R задает не точное представление
данного условного высказывания А->В. Однако если использо-
вать следующее определение R, данное Гёделем (см. [3]):
I 1, если рл(«)<Рв(0,
р„(и, и)— (5)
(рв(0, если Рл(«)>Рв(р),
то получим уравнение
А°В = В, (6)
188
точно представляющее условное высказывание «если А, то В, ина-
че V». Нужно отметить, что «иначе С» заменяется на «иначе V».
Чтобы привести определение Гёделя для альтернативы «иначе
С», введем а-уровневое множество
{н|(и) > а, u^U], ае[0, 1], (7)
которое используется для исследования свойства дополнительно-
сти на множестве a-уровня, так как в нечетких подмножествах не
существует дополнения1. Вместо условного высказывания «если А,
то В, иначе С» для упрощения записи будем использовать обозна-
чение А->В(С) и будем предполагать, что нечеткие множества А
и В нормальные, т. е.
max (и) = 1
uet/
min (a) = 0,
u<=U
[Ш B}.
(8)
Если множества в высказывании А-^В(С) не нечеткие, то оче-
видно, что
A°R — B, (9)
даже если воспользоваться следующим определением:
R^AxBUAxC. (10)
Имея это в виду, дадим следующее определение представления си-
стемы.
Определение 1. Нечеткое условное высказывание А-^В(С)
представляются в виде
R = sup а'( Г) Л“)> (И)
а'е[0, 1] а^а'
где Ra = AaxBal)(A^xCa. (12)
С этим определением связано следующее утверждение.
Утверждение 1. Представление системы R, задаваемое опреде-
лением 1, эквивалентно представлению
R = A0B, (13)
функция принадлежности которого определяется как
Un (и9 и) == (14)
Нд (w) Л Ив (°) = Ив (о); 5нд>) > Ив (0 •
Утверждение 1 доказывается в приложении.
Представление системы R в виде (И) соответствует определе-
нию Гёделя для случая C=V. Утверждение 1 определяет смысл
представления системы соотношением (13).
В четком теоретико-множественном смысле. (Прим, ред )
189
3. МОДЕЛЬ НЕЧЕТКОЙ СИСТЕМЫ
До сих пор рассматривалось представление системы 7?, содер-
жащее только одно высказывание Л->В(С). Теперь предположим,
что задано много высказываний типа следующих:
d1
. pg)
ЛП->ВП(СП). .
Построим представление системы /?, соответствующее системе вы-
сказываний (15). Здесь возникает проблема, как установить связ-
ки между нечеткими высказываниями. Рассмотрим (15) как вы-
сказывание: Л^В^С^ и А^В2(С2) и... и Ап-+Вп(Сп). Следую-
щее отношение:
(16>
оказывается вполне допустимым, поскольку Ai обладает возмож-
ностью соответствовать условию ВзйЛ... U^i-iU^i-iU-Sf+iU ••• UB«-
Поэтому в общем случае Ci рассматривается как V, т. е. C{=V. Ес-
ли же (15) представлять как высказывание Л1->В1(С1) или А2->~
~^В2(С2) или, ... или ЛП->ВП(СП), то при этом справедливо отно-
шение
GczABj, (HI
/ ~
поскольку Ai обладает возможностью соответствовать BczBi П
А...ПВг^1ПВг+1П...Г|Вп. Поэтому в общем случае предполагается, что
Ci = 0. Тогда для упрощения будем предполагать, что C=V или
С = 0. Исходя из сказанного, будем придерживаться следующей
интерпретации ('[1]): запись C=V означает «любой элемент в V»,
а запись С = 0 — «неизвестен как элемент V».
Рассматриваемая проблема состоит в получении представле-
ния системы
Г = (18)
введением следующих двух логических структур.
Модель-1. Моделью-1 называется система R, такая, что выпол-
няются следующие условия:
1) для всех заданных пар вход — выход (Лг-, Вг)
Вг = Л^*7?;
190
2) для входных множеств А\ и А'\ за исключением данного
входного множества Аг
A'cAfcA" => В'. = A '.*RdBidBn = A".*R.
В случае одного высказывания представление системы, соот-
ветствующее модели-1, обсуждалось в [3].
Модель-11. Моделью-!! называется система R, такая, что вы-
полняются следующие условия:
1) для всех заданных пар вход—выход (Ai, Bi)
Bi = Ai*R-,
2) для данных нечетких входных множеств А\ и А"г, за ис-
ключением данной пары вход — выход
A'a Aid А". => В' = A'.*Rd)BidB' = A'*R.
Описанные логические структуры приводят к следующему вы-
воду. В модели-! пересечение Л1ПЛ2 должно быть ассоциировано
с Вс=В1ПВ2, в модели-!! пересечение Л1(]Л2 должно быть ассоци-
ировано с Следовательно, модель-! и модель-!! могут
рассматриваться как двойственные системы.
3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ В МОДЕЛИ !
Модель-! представляет такое отношение между входным и вы-
ходным множествами, при котором, чем меньше нечеткое входное
множество, тем меньше нечеткое выходное. Эти соответствия про-
иллюстрированы на рис. 1. Система, удовлетворяющая условиям
модели-!, может быть определена выражением
Ху (v) = sup {%х (u)f\%R (и, v)}, (19)
u<=U
где и — характеристические функции входного множест-
ва X, выходного Y и отношения R соответственно.
Поскольку каждое нечеткое подмножество может быть со-
ставлено из его уровневых множеств, то представление нечеткой
системы, соответствующее (19), можно записать следующим об-
разом:
Ми) = sup [аД sup{xxa(w)AXp«(a, 0)1 =
ae=[0,l]
= sup { sup (аДхха(«))Л sup (аД%„а(«, v))} =
ue=U ae[0. 1] as[0,l]
= sup{px(«)A^(z/, = (Z7). (20)
Отсюда следует допустимость для модели-! (шах—min)-оператора.
Предположим, что R' уже построено с помощью отношений
вход — выход и предъявляется дополнительная информация Л1->
191
Простра нет So
выходных
множеств множеств
-*-Bi. Тогда определим пред-
ставление системы А содержа-
щее R' и Л1->В1, выражением
Я = А®АЛ/?'. (21)
Если считать, что R' не содер-
жит информации относительно
входного множества Дь то си-
стема р на выходе, соответст-
вующая входному множеству
А, может рассматриваться как
«любой элемент в V», т. е.
Рис 1 Логическая структура модели I
Следовательно, имеем
Аг ° R = Вг.
A^R'^V,
(22)
(231
Нужно заметить, что в модели-1 C=V.
Рассмотрим два отношения вход — выход Ai-^-Bi и А2-*-В2, ко-
торые не противоречат друг другу в смысле (22). Говоря более
точно, непротиворечивые отношения можно записать как
А»(А®А) = К
АЧА®А)==К
(24)
Для двух отношений, удовлетворяющих (24), имеем
(А п А)«(А® вг п А® А)^ А П А- (25)
Поэтому в данной постановке справедливы следующие логические
структуры:
А А>
А ~А»
АПА-*Я<=АЛА-
('26)
Предположение, подобное (24), исключает логическое противо-
речие, состоящее в том, что данные пары (А, Вг) противоречат
логической структуре модели-1. Простой пример противоречия
строится ва парах А~>А и А2-+В2 таких, что А=>А и ?1C~S2‘
Предположение (22) должно рассматриваться как предвари-
тельное, поскольку необходимое и достаточное условия для ис-
ключения логического противоречия очень сложные. В качестве
192
более слабой по сравнению с (22) формы можно использовать
следующее условие:
A^R'^By
(27)'
Пусть в общем случае данные пары не удовлетворяют усло-
вию (22) или (27). Чтобы избежать противоречия, можно предло-
жить следующие процедуры. Для данных Ла и выбрать
одну из альтернатив:
1) рассматривать Вг как Bif)(Д1 °
2) заменить Ro так, чтобы ° £o)^#i- '
Из альтернативы 1 следует, что пары вход — выход, форми-
рующие Ro, предшествуют задаваемой теперь паре Ar+Bi. Нао-
борот, из альтернативы 2 следует, что заданная теперь пара Ai—>-
-+ВХ предшествует ранее заданным парам, т. е. Ro. Нужно отме-
тить, что представление системы, сформированное согласно про-
цедуре 1, эквивалентно представлению
R = (A&BJ П (4<Ж) П ... П ИП®ВП), (28)
построенному без учета непротиворечивых условий.
Если на п парах (Аг->Вг) выполняются условия непротиворе?*
чивости типа условий (24), то имеем
(АП a^r<=bj\bv
(291
где R — (Ai®Bi)f]... Г|(Лп®Вп). Таким образом, эта система име-
♦ ~ ~ ~ ~ —
ет логическую структуру модели-1. Отношения вход — выход, по-
лученные экспертным путем, рассматривались как причинные
связи в том смысле, что с увеличением нечеткого множества вхот-
дов увеличивается нечеткое множество выходов.
Пример 1. В проблеме принятия решений альтернативные действия представ-
лены как нечеткие множества в пространстве, которое характеризуется следую-
щими элементами
«1) сдерживание зарплаты рабочих,
аг) вложения в оборудование,
а3) введение автоматизированных механизмов,
at) усиление активности по рекламе продукции и корпорации,
as) вложения в исследования и разработки.
Результаты, соответствующие альтернативным решениям, также описыва-
ются нечеткими множествами в пространстве, которое характеризуется следую-
щими элементами
&i) увеличение продажи,
bz) увеличение производительности,
7—120
192
6з) увеличение прибыли,
bt) увеличение темпов.
Два отношения на вход — выход заданы в виде
Ai = 1,0/tZj 4~ 0,8/^2 0,4/tz3 4~ O/tz4 -j- 0/й5
-+Bi = О/bl + 0,4/Ь2 + 0,8/&3 4- 1,0/&4,
А2 — 0/а4 4~ 0,l/tz2 4~ 0>6/я3 4- 0,8/я4 р 1,0/^5
-> в2 = 1 ,о/&1 + 0.6/&2 4- о, i/b3 4- 0/&4.
Система R, заданная двумя парами вход — выход, имеет вид
(30)
R — А4® Bi f| А2®В2 —
“О 0,4 0,8
О 0,4 1
О 1 1
1 1 1
1 1 1
’1
1
1
1
1
1 1 1
1 1 О
1 0,1 о
0,6 0,1 о
0,6 0,1 о
“О 0,4 0,8 1"
0 0,4 1 О
01 0,1 О
1 0,6 0,1 О
_Д 0,6 0,1 0_
(31)
Этот пример удовлетворяет условию
непротиворечивости (24). Следователь-
нр5 ’.имеем
Ai ° R — Bt, А2 0 R ~
(А4 fl А2) ° R — (Bi f) В2).
Рассмотрим другое нечеткое входное множество
А* — 0/ах 4- 0,6/«2 4- 1 >O/tz3 4~ 0,6/о4 4- 0/а3
которое считается средним между Ai и А2. Применяя А* к R, получаем:
В* = А*°7?=[0 1,0 0,6 0],
(32)
(33)
(34)
что можно рассматривать как среднее между Bi и В2
Таким образом, данное представление системы R можно считать адекватным
в том смысле, что среднее между Bi и В2 выходное множество В* соответствует
среднему входному множеству А*.
4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ В МОДЕЛИ-П
Рассмотрим представление системы в модели-П, которое в про-
тивоположность модели-1 наделено отношением, при котором, чем
мень/пе нечеткое множество входов, тем больше нечеткое множе-
ство выходов. Это соответствие проиллюстрировано на рис. 2. Рас-
смотрим сначала не нечеткий случай, для которого отношения
вход — выход можно представить в виде
%y(v)= inf {(1—Xx(w))VX/?(«» »)}= inf {хх (m)VXp(w, и)}- (35}
ueU u<=U v
194
Используя процесс размывания, аналогичный примененному в мо-
дели-!, получаем следующее представление нечеткой системы:
Р (0 = sup [аЛ inf fea («) VХоа («, У)}] =
ае[0, 1] ueU А
= sup [а Д inf {Хо(«', »)}] =
ае[0, 1] u'e{u|%xOC (w)=l}
= sup [аД inf {Xd<x(«\ »)}] =
ае[0, 1] ы'е{и|%ха («)>%/?а (и, »)}
= inf U)}, (36)
ы'е{и|цх (u)>Hr (u,v)}
где inf{jiH(u/, п)} = 1, если множество {п|цх(и) у)} ПУС"
тое. Эта операция в (36) называется d-композицией и обознача-
ется 6. С ее помощью получаем системное представленйе модели-
11, выведенное из данных пар вход — выход.
Предположим, что на основе пар вход — выход уже построено
отношение В*о и теперь сообщается дополнительная информация
Так как в модели-П отношения вход — выход связаны
посредством «или», т. е. Аг+Bi или А2->В2 или... или Ап-^Вп, то
представление системы R* определим как
R^^xBJUR*.. (371
Полагая, что R*o не несет информации относительно Ль систе-
му R*q на выходе, соответствующую Ль можно рассматривать как
«элемент, не известный в V», т. е.
Л87?; = 0. (381
Нужно отметить, что в моде-
ли-П С=0.
Применяя Ai к R\ получим
46 [(4x4) и $1 = 4,
(39)
что удовлетворяет свойству мо-
дели-П.
Теперь рассмотрим две па-
ры вход — выход и А2—>
->В2. Запишем условие непро-
тиворечивости
46(4хв2) = и, )
“ " “ 1 <4°)
^2 $ 01 X ^1) 0 ' J
Пространство Пространство
входных выходных
множеств множеств
Рие 2 Логическая структура модели-1Г
у*
195
Очевидно, что
Следовательно,
в = (А л AJS^AUB,.
получим
А —> В %,
А^А^В^В^В,.
(41)
(42)
Вообще говоря, если существует условие непротиворечивости на п
парах (Аг->Вг), аналогичное (40), то имеем
Д6^ = ВП
(Д n A) 8R^Bt U Bh
ЧЛ х-ч 4-0 **’' 7
(43)
что удовлетворяет логической структуре модели-П
Вместо (40) можно использовать менее жесткое условие
(44)
Если же для используемых данных условия непротиворечивости
вроде (44) не существует, то можно рассмотреть следующие про-
цедуры.
Для разрешения противоречия при заданных £*о и Ai->Bi мож-
но выбрать одну из двух альтернатив-
1) рассматривать Bi как BiU(A&R*o);
2) заменить В*о так, чтобы (А67?*о) czBi.
Смысл альтернатив 1 и 2 описан в разд 3. Выбор альтерна-
тивы 1 или 2 зависит от предпочтений на исходных данных.
Как указывалось ранее, логическая структура модели-П тако-
ва, что чем больше нечеткое входное воздействие, тем меньше ре-
акция на выходе системы. Это можно пояснить следующим обра-
зом. Чем больше импульсов поступает на вход системы, тем мень-
ше разброс значений на выходе из нее. Например, в медицинс-
кой диагностике с ростом числа обследований больного сокраща-
ется число возможных диагнозов заболеваний. С этой точки зре-
ния модель-II можно применять к классификации образов, в сис-
темах обработки информации, кластерном анализе и т. п
Пример 2. Рассмотрим проблему кластерного анализа, в которой простран-
ство на входе характеризуется следующими ключевыми словами
ai) исследование операций,
и2) разработка систем,
Оз) промышленная разработка,
<ц) исследование рынка,
о5) анализ стоимости,
а на выходе — следующими кластерами
bi) разработка продукции,
196
bz) науки управления,
jbj) социальные науки,
bi) математика
Если заданы два отношения вход — выход
^1 = 1 »0/ai + 0,8/а2 -J- 0,2/а3 4- 0/а4 Д- O/aj
—* В = 0,4/Z?j -j- 0,2 / В2 -j~ 0,3/Z?3 ~{~ 1
Д2 = 0/д4 4* 0/д2 + 0,5/Пз -f-1,0/я4 0,2/ojg
В2 = 0,5/&i + 1,0/62 + 0,1/&3 + 0/&4,
(45)
то система R* запишется в виде
“0,4 0,2 0,3 1.0-1
0,4 0,2 0,3 0,8
R* = (Д4 х BJ U (Л2 ХВ2) = 0,5 0,5 0,2 0,2
0,5 1,0 0,1 0
_0,2 0,2 0,1 0
(46)
В этом примере выполняется условие непротиворечивости, т е
Д1 6 (Д2 X В2) — 0 ,
Д2 6 (Дг X В2) = 0
(47)
Следовательно, имеем
AtbR* = Bt,
A2&R* = B2,
(48)
Подавая на вход системы R* воздействие, описываемое нечетким множеством
Д* — 0/ах + 0,5/а2 + 1,0/tz3 -{- 0/с4 O/tZs,
(49)
получаем
“0,4 0,4 0,2 0,2 0,3 0,3 1,0- 0,8
В* = Д* б R* = [0 0,5 1,0 0 0]б 0,5 0,5 0,2 0,2 = [0,4 0,2 0,2 0,2].
0,2 1,0 0,1 0
_0,2 0,2 0,1 0 (50)
Для нечеткого входного множества, сильно отличающегося от данных нечет-
ких входных множеств Аг, выходное множество системы R* должно быть близко
к нулю, как в приведенном примере, поскольку R* строится по данным отноше-
ниям вход — выход Тот факт, что нечеткое выходное множество В* близко к
ну тю, означает, что к нечеткому входному множеству А* приложимо определение
«неизвестно»
197
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основе двух различных типов логических структур рассмот-
рены модели нечеткого вывода. Предложенный подход состоит в
следующем. Поскольку для нечетких подмножеств не существует
дополнения, заданные нечеткие множества декомпозируются на
а-уровневые множества, на которых и рассматривается закон до-
полнительности. Следовательно, предлагаемая формулировка пе-
реносится на четкий случай и затем размывается для получения
нечеткой формулировки. Эта идея, естественно, приводит к при-
годному для рассматриваемой модели определению Гёделя. Опи-
санный прием для исключения логического противоречия в отно-
шениях вход — выход нужно рассматривать лишь как эксперимен-
тальный. Если данные непротиворечивы, то модели пригодны для
работы.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство утверждения 1. Из определения 1 следует, что
R(u, v) =sup[«A inf {% а(«) А у a(y)}V{(l—%,a(“))A%ra (у)}]-
a' a'e[0,a'] л в л с
Сначала рассмотрим случай jia(w) >цв(и). Для Vа'>р,в(и) найдется а, такое,
что Ца(м) >а>цв(и), где /?(и, и)=0. Для Va'sCp(u) имеем
R(u,v)= sup [а'А inf {у а (м)Ахда (и)}] =
а'е[0, ае[0,а'] А в
О
= sup [а'Ду а,(м)Д% , (и)] = Нд (м)Див(и), (51)
а'е[0, (и)] А а
поскольку в этом случае 1—% (и)=0. Далее рассмотрим случай |Aa(u) ^jxb(u).
д л
Тогда
(«) Ах’ва СО V (1 ~ Хда («)) = 1.
откуда следует, что
R (и, v) = sup [а'Д inf {(% (м)Д Хда СО) V Хга СО)! =
а'е[0, 1] ае[0, а'] А в с
= sup [а'Д{(Хда' («)АХда' C0)VXra' (0)1 =
а'е[0, 1] А а с
= (Цд COAHbCO)VHCCO = <52>
Из (51) и (52) заключаем, что
| Рс СО, Ид СО <Ив СО,
I Ид (и) Л Ив СО» Ид («) > Ив О •
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Baldwin, J. F. and В. W. Pilsworth (1979). Int. J. Man-Mach. Stud., 11, 351—
380.
2. Gaines, В. R. (1977). Int. J. Man-Mach. Stud., 9, 1—68.
198
3. Mizumoto, M., S. Fukami and K. Tanaka (1979). Advances in Fuzzy Set Theory
and Application (eds. Gupta, Ragade and Yager), North-Holland. 117—136.
4. Zadeh, L. A. (1973). IEEE Trans. Syst., Man & Cybern., 3, 28—44.
[Имеется перевод: Заде Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных
систем и процессов принятия решений. — В кн.: Математика сегодня. — М.:
Знание, 1974, с. 5—49.]
5. Zadeh, L. А. (1975). Inf. Sci, 9, 43—80.
НУЖНЫ ЛИ В ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
ОПЕРАЦИИ max, min и 1—/ ? 1
Э. Трильяс2, К. Альсина3, А. Вальверде2
1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. ОБЫЧНАЯ АЛГЕБРА НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Пусть X — множество, Х=Д0. Множество [0, 1]х нечетких
подмножеств X будем обозначать Р(Х). Вообще, если Jc:[0, 1]
таково, что {0, вместо Iх будем писать Pj(X), за исключе-
нием случая J={0, 1}, когда будем писать Р(Х), т. е. классичес-
кие подмножества X идентифицированы их характеристическими
функциями. Очевидно, что Р(Х) czPj(X) с=Р(Х) для любого /.
Для того чтобы обобщить понятия объединения, пересечения и
дополнения на Pj(X), можно предложить разные определения, но
следующие операции, введенные Заде:
(Л U Я) (*) = шах (Л (х), В(х)), (1)
(ЛПВ)(х) = пип(Л(х), В(х)), (2)
А(х)=1 — А(х), (3)
для всех хееХ, играли, и до сих пор играют, очень важную
роль в литературе по нечетким множествам. (Важно заметить,
что если J=^[0, 1], то (3) определяет дополнение на Pj(X) тог-
да и только тогда, когда A/’(/)czJ, где N — отображение из [0,1]
в себя, задаваемое условием —/, где / — тождественное
отображение на [0, 1].)
Среди прочих соображений, которые будут приведены позднее,
о важности связок (1) и (2) свидетельствует следующее рассуж-
дение.
Пусть даны два подмножества, А, В^Р.Т(Х). Если элемент
принадлежит одновременно А и В, т. е. А (х) -В (х) =А=0, то обыч-
ная и принятая практика состоит в сравнении «степеней принад-
1 Авторы надеются, что прочитав эту статью, читатели найдут ответ на по-
ставленный вопрос.
2 Dept. Matematiques i Estadistica. E. T. S. A. Univ. Politecnica. Diagonal
649, Barcelona-28, Spain.
3 Dept. Matematiques. E. T. S. A. V. Univ. Politecnica. Mancomunitat Terrasa-
Sabadell. Apartat 508. Terrassa, .Spain.
199
лежности» х в Л и В, и сделать это можно различными способами.
Вероятно, в большинстве обычных методов используется точечный
порядок на Pj(X), полученный ограничением естественного поряд-
ка в [0, 1] на J. Другими словами, если принять следующее оп-
ределение:
АаВ тогда и только тогда, когда А(х)^.В(х) для каждого.
х<=Х,
то (1) и (2) — единственные определения объединения и пересе-
чения, продолжающие Pj(X) до основной структуры решетки мно-
жества Р(Х).
Для точной формулировки этого результата понадобятся сле-
дующие определения.
Определение 1.1. Решеткой де Моргана называется система
(Л1, Д, V, '“J), где (М, Д, V) — дистрибутивная решетка и Д —
инволютивная функция из Л! в М (Д (Д а) =а), такая, что
□ (ауЬ) = С1<г)Лт- (4>
Если М имеет абсолютный максимум и и абсолютный минимум 0„
и
Дм = 0, (5)
то М называется алгеброй де Моргана.
Элемент а<=М называется булевым, если а\/ ( Д а) = и.
Определение 1.2. Алгеброй Клини называется алгебра де Мор-
гана (М, Д, V, Д , 0, и), в которой
V(aA» = Л (ЬУДЬ).
аеМ ЬеМ
Теперь сформулируем упомянутый результат.
Теорема 1.1. Пусть дополнение в Pj(X) определено условием
(3), тогда:
1) (Pj(X), П, U, ", 0, X) — алгебра де Моргана тогда и толь-
ко тогда, когда
(A U В) (x) = max(A(x), В(х)),
(А П В) (х) = min (А (х), В(х)) для всех A, B^Pj(X);
2) Pj(X) — алгебра Клини тогда и только тогда, когда 1/2&
eJ;
3) Р(Х) есть множество булевых элементов в Pj(X).
Другими словами, Pj(X) можно рассматривать как «теорик>
множеств», ассоциированную с многозначной логикой на J, в ко-
торой значения «ИЛИ» и «И» задаются условиями
V(pV^) = max(V(p), V(7))>
V(pA^) = min (V(p), V(<?))•
Заметим, что если дополнение, определенное по (3), заменить
любой инволюцией Pj(X), удовлетворяющей условиям (4) и (5}
определения 1.1, то утверждение 1 теоремы 1.1 остается справед-
ливым. Если предположить, что дополнение функциональное, т. е.
200
такое, что существует функция из J в J такая, что А = п° А, то
утверждение 2 нужно заменить на: Pj(X) есть алгебра Клини
тогда и только тогда, когда из s<=/ следует, что s есть уровень
симметрии функции n(ti(s) = s). Утверждение 3 теоремы 1.1 удов-
летворяется тогда и только тогда, когда определенное на Pj{X)
дополнение удовлетворяет принципу продолжения [23], т. е. до-
полнение множества Pj(X) совпадает с его классическим дополне-
нием.
Сравнение степеней принадлежности элемента х^Х в А и В
можно вести в шкалах, отличных от [0, 1]: в этом случае появится
другая теория нечетких множеств [13] и потребуются другие под-
ходы. Далее мы стремимся к систематическому изучению неклас-
сических функциональных связей, отличающихся от (1) — (3), но
таких, что сохраняется максимальное число свойств, сформули-
рованных в теореме 1.1, которые определяются с помощью функ-
ции из [0, 1] в R.
Исследование подразделяется на две существенно различные
части. Первая часть относится к общей теории решеток и алгебр
де Моргана, т. е. к типу структур, достаточно полно изученных
С. Мойсилом, Я. Кальманом, А. Монтэро, Л. Монтэро и Д. Рик-
ко и др., и включает следующие темы: оператор Шеффера, функ-
ции отрицания п : /->-/, позволяющие дать определение дополне-
ния в Pj{X) в виде А = п° А, и морфизмы из Pj(X) в Pj(X).
Решение проблемы отрицания и работа Веллмана — Гертса
[4] предлагают исходную точку для изучения класса функцио-
нальных связок, отличных от шах и min. Такие связки были пред-
ложены многими авторами [8, 36, 38]. Вторая часть исследова-
ния посвящена изучению этих связок, которые сохраняют важней-
шие свойства классических связок, хотя, как будет подчеркнуто,
структура решетки и утрачивается.
1.2. ОПЕРАТОР ШЕФФЕРА
В классической логике оператор Шеффера (и Никода) дает
ответ на проблему определения пропозиционального исчисления
с помощью только одной двухместной связки. Основная идея опе-
ратора Шеффера состоит в следующем: пусть дана дистрибутив-
ная решетка с дополнениями (R, Д, \Д 1 )» если определить
оператор «|» как
p\q = 1 (р\М
то другие связки можно вывести из него:
р№ = (ПрЖ1<7)>
pV^-KpI^)-
Это можно сделать также для решеток де Моргана или тех струк-
тур, которые обусловлены многозначной логикой Лукасевича. В
данном случае цель состоит в том, чтобы в этом контексте опера-
201
тор Шеффера охарактеризовать функционально. Таким образом,
следуя [26], примем следующее определение.
Определение 1.3. Пусть М — непустое множество. Оператор
Шеффера на М есть отображение 5 из МхМ в М, такое, что для
всех х, у, z в М удовлетворяются два следующих условия:
1) S (S (х, х), S (х, х)) =х;
2) S(S(х, S(у, г)), S(x,S(y, z))) =S (S (S (у, у),х), S(S(z, z),x))~
Позднее будет полезен следующий результат.
Теорема 1.2. Любой оператор Шеффера коммутативен.
Доказательство. Пусть 5 — оператор Шеффера на множестве
М. Определим отображение из М в М условием ns(x) =S(х, х).
Тогда из условия 1 получим ns°ns = j, т. е. ns — инволютивная
функция. Положив y = z = b и х = а, условие 2 можно переписать
в виде ns(S(a, ns(b))) — S(S(a, S(b, &))), S(a, S(b, b))) =
=S(S(S(b, b), a),<S(S(b, b), a)) =ns(S (ns(b), а)), откуда следует
S(a, as(b))=S(ns(b), а). Таким образом, для всех и, v в М
имеем
S(w, v) = S(u, ns(ns(v)))^S(ns(ns(vy), u) = S(u, v).
В следующей теореме говорится о том, что оператор Шеффе-
ра ассоциативен только на тривиальных одноэлементных множе-
ствах.
Теорема 1.3. Пусть 5 — оператор Шеффера на непустом мно-
жестве М. Тогда следующие условия эквивалентны:
a) S — ассоциативен;
б) существует элемент е^М такой, что 3(е, х)=х для всех
х в
в) существует элемент ОеЛТ такой, что 3(0, х) =0 для всех х
в М-
г) #(М) = 1.
Доказательство. Очевидно, что из условия г следуют условия
а—в. Обратное, покажем, что любое из трех условий а—в влечет
г. Действительно, если условие а выполняется, то, используя вве-
денную инволютивную функцию ns и услови^ 1 и 2 теоремы 1.2,
получаем: ns(x) = 3(%, х) = 3(3(3(х, х), S(х, у)), х) =3 (3(3(х, х),
$(х, х)), У) =S(n8(ns(x)), y)=S(x, y)=S(y, х)=п8(у), т. e. необ-
ходимо x — y, откуда следует условие г. Если выполняется усло-
вие б, то в силу условия 1 теоремы 1.2 имеем х=3(е, х) =
= 3(3 (е, е), S(е, х))=е и Л1={е}. Наконец, условие в дает
х=3(3(х, х), 3(х, 0))=3(3(х, х), 0)=0, т. е. М= {0}.
Теперь вернемся к функциональной характеристике оператора
Шеффера.
Теорема 1.4. Функция 3 из М\М в М есть оператор Шеффера
тогда и только тогда, когда 3(х, y)=f(n(x), п(у)), где п — инво-
лютивная функция (n°n = j) из М в М, a \f — функция из МхМ
в М, которая удовлетворяет условию: для всех х, у в М\
A) f(x, х)=х; Б) f (х, n(f(n(x),«(f/)))) =х;
В) f(x, n(f(n(y), n(z)))=n(f(n(f(y, х), n(f(z, х)))).
262
Доказательство. Для данных п и f, удовлетворяющих выписан-
ным условиям, можно непосредственно показать, что 3 (х, у) =
= f(n(x), п(у)) удовлетворяет требованиям определения 1.3. Об-
ратно, для данного оператора Шеффера можно ввести инволютив-
ную функцию ns(x) = S(x, х) и функцию fs(x, у) =S(ns(x),
ns(y))- Тогда прямые вычисления показывают, что fs удовлетво-
ряет условиям А—В.
В качестве следствия из этой теоремы представления можно
привести результаты работы [20], касающийся решеток де Мор-
гана, описанных с помощью оператора Шеффера.
Следствие. Если S есть оператор Шеффера на множестве М,
то, определяя“1 x=S(x, х), х/\у=8( “1х, ~1у) и х\/у= “1(3(х, у)),
получаем, что (М, Д, V» ) есть решетка де Моргана и обратно,
любая решетка де Моргана (М, Д, \/, ~| ) индуцирует оператор
Шеффера 3 (х, у) = ( ~1 х) Д ( “1 у).
Используя эти результаты, покажем, как для случая Л4=[0,1]
получить отличающиеся от обычных решетки де Моргана, т. е.
от стандартного упорядочения и двойственного ему.
Теорема 1.5. Пусть g есть взаимно-однозначная функция из
[0, 1] на себя и пусть и — инволютивная функция в [0, 1], убы-
вающая и такая, что п(0) = 1. Если g°n° g~l — неубывающее
отображение, то 3(х, у) =ig-1(min(g(n(x), £(«(*/)))) есть опера-
тор Шеффера.
Доказательство. Функция f(x, у) = g"1 (min (g (х), g(y))) удов-
летворяет предположениям теоремы 1.4.
Пример. Рассмотрим n=l—j, обычную функцию отрицания в [0, 1] и оп-
ределим g: [0, 1]—н[0, 1] условием
1, если х=0,
х1/2, если хе(0, 1/2),
1/2, если х=1/2,
х—1/2, если хе(1/2, 1),
0, если х= 1.
Тогда S(x, у) =g~1(min(g(l—%), g(l—у))) есть оператор Шеффера, который и
вводит другую, отличную от обычной, решетку де Моргана в [0, 1], т. е. инду-
цирует следующий порядок: 1 — наибольшая нижняя граница, 0 — наименьшая
верхняя граница; каждый элемент хе (0,1/2) больше каждого элемента уе(1/2.
Пив открытых интервалах (0,1/2) и (1/2, 1) индуцированный порядок двойст-
вен естественному порядку в [0, 1]
2. ФУНКЦИОНАЛЬНО ПРЕДСТАВИМЫЕ
ОТРИЦАНИЯ В АЛГЕБРЕ ДЕ МОРГАНА
2.1. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ СИЛЬНОГО ОТРИЦАНИЯ
В СЕГМЕНТЕ [0, 1]
Со времени опубликования уже ставшей классической работы
Беллмана — Гертса [4], в которой было показано, что при семан-
тически разумных предположениях обычные операции max и
min — это единственно возможные объединения и пересечения в
204
Р(Х), проблема изучения функциональных инволюций в дистри-
бутивной решетке Pj(X) остается открытой. Эта проблема состо-
ит в характеризации функций п_из J в себя, таких, что нечеткое
множество А, определенное как А = п° А, сохраняет максимальное
число свойств классического дополнения. Такое изучение было
проведено в работе [31] и дополнено в работе [10].
Определение 2.1. Функция называется функцией отри-
цания для Pj(X), если выполняются следующие условия: 1) /г(0) -=
= 1 и zi(il) =0; 2) п есть невозрастающая функция. Функция п назы-
вается функцией обычного отрицания, если п (п (х)) =Сх. Функция п
называется слабым или интуитивным отрицанием, если n(rt(x))^
^х, и п есть функция сильного отрицания, когда выполняются
оба условия, т. е. n2=j.
Очевидно, что так определенная функция отрицания гаранти-
рует, что если A^Pj(X), то A<=Pj(X) и что для любых А, _В в
Pj(X) (выполняются законы де Моргана. Если A<=Pj(X), то А = А
и, кроме того, 0—Х и Х = 0. Поэтому булева алгебра Р(Х) со-’
держится в структуре (Pj(X), Q, (J, 0, X), которая, если п —
функция сильного_отри1цания, представляет собой алгебру де Мор-
гана, поскольку А=А для любого А в Pj(X}. Если п — функция
обычного отрицания, то АтэА, а- если п — слабое отрицание, то
А ст А для любого А в Pj(X).
Следующие три результата можно проверить непосредственно.
Теорема 2.1. Если «/г(х)=0 тогда и только тогда, когда х=1»
(п(х) = 1 тогда и только тогда, когда х = 0), то элемент А^Р(Х) —
единственный в Pj(X), для которого выполняется закон исклю-
ченного третьего А[]А=Х (принцип непротиворечивости А(]А — 0)^
и обратно. Отсюда получаем очевидное следствие.
Следствие. А. Если для любого хе (0, 1) имеем /г(х)е(0, 1),
то элементы Р(Х) будут только булевыми элементами в Pj(X).
Б. Обычное отрицание п0 (х) = 1 для любого хе[0, 1) (слабое
отрицание /г°(х)=0 для любых хе (0, 1]) будет единственной
функцией отрицания, для которой имеет силу закон исключенного
третьего (принцип непротиворечивости).
В. Не существует функции отрицания, для которой всюду и
одновременно в Pj(X), /=^{0, 1} выполняются закон исключенно-
го третьего и принцип непротиворечивости.
Лемма 2.1. Если — строго возрастающая функция и
такая, что f(0) =0 и (f(l)—f(х))ef(/) для всех х в J, то п(х) —
= f-1(f(l)—f(x)) определяет функцию сильного отрицания в /.
Доказательство. Очевидно, что выполняются условия 1 и 2 оп-
ределения 2.1. Более того, п(п(х)) = f~1(f (1)—f(n(x)))=x.
Если l/2f (1)<=/, то отрицание п имеет единственную непод-
вижную точку (единственное решение уравнения x(s)=s), соот-
ветствующую значению f—1 (l/2f(1)); точка s называется уровнем
204
симметрии п, a f — аддитивным генератором п. При N=1—j:s =
= 1/2 и f = j. Очевидно, что s<=(0, 1).
Далее всюду для любого отрицания [на 0,1] запись 1п будет
означать множество {х<=[0,1] :и(х)>х); Рп — множество {хе
<=[0,1] : п(х) <Zx} и sn — уровень симметрии п.
Лемма 2.2. Если J и К — подмножества [0, 1], содержащие
0 и 1, К — симметрично относительно 1/2, то для любой взаим-
но-однозначной возрастающей функции f из I в К функция п: /->
определенная выражением п(х) )—f(x)), будет силь-
ным отрицанием на J, и таким, что /n=f-1 (КГ1[0, 1/2))у Рп =
=/-i(W/2, 1]), причем, если 1 /2е/, то sn = f~i(l/2).
Лемма 2.3. Пусть / и/' — два подмножества [0, 1], содержа-
щие {0, 1}, и пусть п и п' — два сильных отрицания на / и I' со-
ответственно. Если п и п' имеют симметричные точки, скажем, sn
и Sn' (или если ни одна из них не имеет симметричной точки), и
существует взаимно-однозначная возрастающая функция h из 1п в
1П', то существует взаимно-однозначная возрастающая функция
f: такая, что n = f~l ° п'° f.
Доказательство. Функция f из I на I', определенная условием
( h (х), если* х^1п,
f(x) = {sn', если x = sn,
[п' (h(n(x))), если х^Рп,
есть взаимно-однозначное отображение, переводящее 1п в 1П', s™
в Sn' и Рп в РП'. Кроме того, n = f~lon°f, поскольку f(x) =
= h(x)(=In, если х(=1п, и n'(f (х))(=Рп, где /-1 (п' (f (%))) =
= n (h~i (п' (п' (/г(х)))) = п(х). Аналогично исследуется случай
Х(=Рп. Наконец, (Sn))) (s«0) =f~1(sn') =sn', таким
образом, sn = n(sn) (f(sn))).
Доказательство для случая, когда п и пг не имеют симметрич-
ной точки, проводится аналогично.
Лемма 2.4. Для любого сильного отрицания п на I существу-
ют аддитивные генераторы.
Доказательство. Предположим, что sn — симметричная точка п.
Пусть h — взаимно-однозначное возрастающее отображение из
[0, sn] на [0, 1/2] и пусть h — сужение h на /Г)[0, s]. Множество
J={x; x^h(ln) или 1—x<=h(In)} таково, что A(J)=J, и, следова-
тельно,- /V есть отрицание на I, a h — взаимно-однозначная возрас-
тающая функция из 1п на In. Из леммы 2.3 следует, что сущест-
вует взаимно-однозначная возрастающая функция из J на J такая,,
что n=f~l ° N ° f, т. е. f есть аддитивный генератор п.
Если симметричной точки нет, выбираем произвольную точку
s между 1п и Рп- Теперь аналогичные соображения относительно
интервала [0, s) должны привести к тому же результату.
Полученные результаты можно суммировать таким образом.
Теорема 2.2. Отображение п: I-+I будет сильным отрицанием
тогда и только тогда, когда для любого x^J существует строго
возрастающая функция f: такая, что п(х) =f-1(f(l)—f(x)).
205
2.2. ГЕОМЕТРИЯ ОТРИЦАНИЙ
Описанные результаты наводят на мысль о классификации
сильных отрицаний в любом J с помощью монотонных функций
f: /->/. Особый интерес представляют сильные отрицания для слу-
чая /= [О, 1]. Обратимся к его рассмотрению.
Сначала отметим непосредственные следствия: а) сильные
функции отрицания — это взаимно-однозначные отображения мно-
жества J; б) если функция обычного отрицания взаимно-одноз-
начная, то отрицание сильное; в) если функция слабого отрица-
ния взаимно-однозначная, то отрицание сильное.
Поэтому слабые и обычные отрицания на отрезке [0, 1] нуж-
но будет искать среди тех отрицаний, которые обладают точками
разрыва. Кроме того, обычных отрицаний столько же, сколько и
слабых, поскольку для любой функции отрицания п функция п —
— N°n°N (й(х) = 1—п(1—х)) есть другая функция отрицания,
такая, что n~2~N °n2°N; тем самым получаем:
тогда и только тогда,
g~l. Обозначим через
аддитивный генератор
а) п = п, так как N2 = j;
б) если п — обычное, то п — слабое отрицание;
в) если п — слабое, то it — обычное отрицание.
Очевидно, что графики функций обычного отрицания в [0, 1]
можно получить из слабых отрицаний преобразованием симмет-
рии относительно точки (1/2, 1/2). Пусть Л4 теперь есть группа
композиций всех взаимно-однозначных монотонных функций f из
[О, 1] на себя, такая, что {/(0), /(!)} = {0, 1}. Пусть S([0, 1]) —
подмножество функций сильного отрицания на [0, 1]. Рассмотрим
классификацию М, задаваемую классами сопряженных элементов
с помощью обычной эквивалентности: f~f'
когда существует gE^M такое, что f = g° f-1
(N) класс сопряженных элементов N=A—j.
Теорема 2.3. S ([0, 1]) = (N).
Доказательство. Пусть f: [0, 1]->7?+ —
ri(=S([0,1]) и g=-l—. Тогда g^M и п(х) =£“1(1— g(x)) для
каждого хе[0, 1], т. е. n = g~l ° N ° g; таким образом, n^N. Обрат-
но, если h^(N) найдем g^M такое, что h = g~x ° N ° g. Отсюда
следует, что h — строго убывающая функция, h(h(x)) —
—g(h(x))=g~i(g(x))=x и й(1) = 1—Л.(0)=0 (поскольку {g(0),
g(l)} = {0, 1}); таким образом, h<=S([0, 1]).
Итак, не существует, по-видимому, никаких внутренних спе-
циальных соображений для того, чтобы предпочесть какую-либо
другую функцию сильного отрицания отрицанию N.
Следуя подходу Заде к теории нечетких множеств, можно не-
посредственно «нарисовать» А при известном А. Вообще график
А = п ° А, где neS([0, 1]) — {N} будет графиком А, «симметрично
деформированным» относительно линии y=sn. Пусть, например,
сильное отрицание п с уровнем симметрии $ определено услови-
ем
206
п (х) =
sx—s
, х < s;
x>s.
Легко подсчитать, что
И(х)—s[ =
----|4(х)—s|, x^s;
s
— И(х)—s|, x>s,
1 —s
т. e. отношение s/(l—s) играет роль коэффициента деформации
[4] относительно уровня симметрии. Заметим, что s/(l—з) равно
1 тогда и только тогда, когда s= 1/2 и n — N.
Следовательно, всегда будет возможно выбрать «дополнение»,
которое деформирует графики соответственно данному коэффи-
циенту.
Здесь важно подчеркнуть, что не все дополнения в Pj(X) функ-
циональны. Например, если при Х=[0, 1] рассмотреть А(х)==1 —
—4(1—х) для каждого хе[0, 1], то легко проверить, что А—А,
0==Х и что выполняются законы де Моргана 4uB=Af]B, 4f]B =
= A|JB и, следовательно, имеем дело с дополнением. Однако оно
не функциональное; действительно, если бы для любого А выпол-
нялось /г(4(х)) = 1—4(1—х), то для приведения к противоречию
было бы достаточно взять такое 4, для которого в некоторой точ-
ке хе (0, 1) выполнялось 4(х) = 1—4(1—х), откуда следовало бы
п(0)=0. Действительно, для каждой пары п и п' сильных функ-
ций отрицания среди всех дополнений такого типа можно опре-
делить дополнение Д = ц° 4° п'. Отметим, что в общем случае та-
кие отрицания не удовлетворяют принципу продолжения. В не-
давней работе [23] доказано, что все инволюции в Р(Х), удовлет-
воряющие этому принципу, должны быть типа А(х) =@х(4 (х)),
где {@х}х ех — класс инволюций в [0, 1], соответствующих общей
модели, введенной в [18].
2.3. ЗАМЕЧАНИЯ
2.3.1. Нейтральные элементы. Под нейтральным, будем пони-
мать элемент ZePj(X) такой, что Z=£0 и Z=£X и 4= (4(]Z)jJ
U(4f]Z) для любого 4ePj(X). Будем предполагать, что в некото-
ром смысле каждый член множества Pj(X) хорошо распределен
между Z и Z, что имеет место в Р(Х), когда каждый элемент мно-
жества нейтральный.
Отметим, что элемент нейтрален тогда и только тогда, когда
4 = 4f)(Z|jZ) для любого 4 в Pj(X), что для любого 4ePj(X)
равносильно включению 4czZ|JZ, поэтому Z есть нейтральный эле-
мент тогда и только тогда, когда Z[jZ = X. Иными словами, нейт-
207
ральные элементы совпадают с теми элементами, для которых
справедлив закон исключенного третьего.
Теорема 2.5. Если zigS([0, 1]), то булевыми элементами будут
только нейтральные элементы. Все элементы оказываются нейт-
ральными тогда и только тогда, когда n = nQ.
2.3.2. Псевдоотрицания, связанные с сильным отрицанием. Для
любого дополнения, определенного с помощью сильного отрица-
ния п : /->/, и любого B<=Pj(X) имеем
(ВПЛ)и(5ПЛ) = (ВиЯ)ПЛс=Лс=Ли(ВПВ) = (ВиА)Л(Ви4),
что приводит к рассмотрению отображений пгв: Pj(X)=^Pj(X) ,
1=1, 2, определенных соотношениями
Пв (X) = AU(BflB), п2в(Д)=ЛП(ВиВ),
удовлетворяющих условиям:
1) п1в(0)=Х-, п'в(Х)=В(]В; n2B(0)=BUB; и2в(Х)=0;
2) пЩА) =п2в(А) для всех A<=Pj(X);
3) n2B(A)cz4czn1B(A);
4) для nlB, i=l, 2 выполняются законы де Моргана;
5) п1в(А) = А = п2в(А) тогда и только тогда, когда BQBczAgz
czBQB.
Функции пгв, 1=1, 2 будем называть псевдодополнениями, ас-
социированными с п. Приходим к следующей теореме.
Теорема 2.6. а) пхв° п1в = п2в° п2в; б) пгв, i= 1, 2 представляют
собой обычные отрицания в интервале [BQB, Х]= {А<=Р.Т(Х) : BQ
fjBczAczA’} и только в нем; в) они представляют собой слабые
отрицания в интервале [0, BIJB] и только в_нем; г) они будут
сильными отрицаниями в интервале [BQB, B(JB] и только в нем.
Отрицания п}в и п2в не удовлетворяют ни закону исключенного
третьего, ни принципу непротиворечивости, поскольку в опреде-
ленных случаях они могут совпадать с «~». В качестве альтерна-
тивы к псевдоотрицаниям можно определить ортогональность (или
противоречивость) и несовместимость подобно тому, как это дела-
ется в классическом случае, т. е.:
А и В ортогональны тогда и только тогда, когда AQB = 0;
А и В несовместны тогда и только тогда, когда AczB.
В классическом случае оба понятия эквивалентны, тогда как в
многозначной логике справедлива только импликация А[]В = 0=>-
=^AczB. Это свойство выполнено для п1в, но не для п2в, так что
справедлива следующая теорема.
Теорема 2.7. Если AQC = 0, то Aczn1B(C).
2.3.3. Подалгебра де Моргана, порожденная элементом мно-
жества Pj(X). Пусть B^Pj(X) и Sb=[BQB, В]. Очевидно, что ес-
ли АгеЗв (ieZ), то U Аг и Q Аг принадлежат SB. Из свой-
ieM te/
ства 5 п. 2.3.2 следует, что никакое дополнение в SB, «указываю-
щее» распределение А между В и В, не будет самым адекватным.
Поэтому рассмотрим другое «распределяющее» дополнение, более
208
адекватно обуславливаемое
элементом В. Так как А=Aft В
есть дополнение в Зв, и поэто-
му (Зд, П, U, В(]В, В) — ал-
гебра де Моргана, в которой
булевыми элементами оказы-
ваются те А, для которых
А(х) ==В(х) или А(х) = Рис ]
= (Bf|B) (х) при любом х^Х
(рис. 1). Очевидно, что если В^Р(Х), то Зв=[0, B]=Pj(B). В
частном случае, когда В=Х, Sx=Pj(X), где, как хорошо известно,
только булевы элементы будут характеристическими функциями.
3. МОРФИЗМЫ АЛГЕБРЫ ДЕ МОРГАНА
3.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ
Будем изучать функциональные морфизмы алгебры Р(Х) де
Моргана, т. е. морфизмы S, для которых существуют функции
о в [0, 1] такие, что (SA) (х) =о(А(х)) для каждого х<=Х и лю-
бого А(=Р (X), т. е. 2 (А) = о ° А.
Если данному морфизму S поставлена в соответствие функция
о, то она единственная. Действительно, допустим, что найдутся
две функции о' и о", тогда о'(А (х)) = о" (А (х)) и для каждого
2€=‘[0, 1] должны выполняться равенства сгДг) =с/(г(х)) =
= oz/(z(x)) =о"(г), т. е. о' = о", a z— постоянное нечеткое множе-
ств®, равное z.
Любой морфизм множества Р(Х) классические подмножества
отображает в классические множества. Кроме того, в функцио-
нальном случае, если функция о биективная, то любое (кроме чет-
кого) нечеткое множество преобразуется в другое, тоже нечеткое
множество. Действительно, если AgeP(X) таково, что существует
элемент хоеХ такой, что выполняется условие О-<А(хо)-<1, то мы
не сможем получить (2А)(хо)=О, поскольку, предположив про-
тивное, приходим к противоречию: о(А(хо))=0 и А(х0)—0. Анало-
гично не можем получить и (SA)(xo)=l и, следовательно, 0<
<(2А) (х0) <1. Очевидно, что утрата биективности функции о
(ее строго возрастающего характера) может позволить преобра-
зовать чисто нечеткие множества в классические. Отметим, что
функции S отображают константы (z(x)—z при любом х^Х) ал-
гебры Р(Х) в константы, если S функциональный морфизм:
2(г)=о° z и, значит, (S (z)) (х) — о(г) для всех хеХ, т. е. z отоб-
ражается в о (г). Далее, исходя из этого результата при конеч-
ном множестве X, имеем: если А= (J %ПАд, есть «разложе-
%е(о, 1] ~
ние» А по %-срезам, то £А = U (2 (МП S(O = U
Х=(0, 1] ~ %е(0, 1]
209
аналогично имеем
= = A [п (а (%)) А Л].
Хе(0, 1]
Заметим, что существуют и не функциональные морфизмы S.
Пример 1. Рассмотрим алгебру де Моргана (P(R), Г), U, “), элементы ко-
торой функциональны и поэтому определены через функцию сильного отрицания
п в [0, 1] с уровнем симметрии sn Отображение 2 из P(R) в себя, определяе-
мое условием
Л) (х) = А (х), если х # х0, хое/?,
f 0, если А (х0) < sn,
(Si Л) (х0) = ] sn, если А (х0) = sn,
[ 1, если А (х0) > sn,
представляет собой морфизм Это отображение не функциональное, поскольку
все константы, отличные от 0, sn и R не отображаются в константы, т. е.
а) если то (SiX)(x0)=l и (Si%)(x)=% для любого х=И=хо,
б) если X<sn, то (51Х)(хо)=0 и (SiX)(x)=% для любого х=#х0.
Пример 2. Пусть (P(R), П, U, ~), как и в первом примере, есть алгебра де
Моргана, и пусть <уг (i=l,2) —непрерывные функции из [0,1] в себя, такие, что
fJi(sn) —sn и о,» п=п о ог (i=l,2). Отображение из P(R) в себя, определенное
как
/v лч / ч если х<хо;
(12 Л) (х) = <
1о2(Л(х)), если х>х0;
где хое/?—{sn} есть изоморфизм, но функционально не представимый, посколь-
ку он, как легко видеть, не отображает постоянные в постоянные.
Более того, существуют не функциональные морфизмы, отображающие по-
стоянные в постоянные
Пример 3. Пусть А^=[0, 1]; рассмотрим фиксированное число /ге(0, 1) и
преобразование (2*Л) (х) =А (kx) для каждого xsX. Очевидно, что
(Sft 0) (х) = 0 (kx), те 2/10 = 0,
(S& (Л П В)) (х) = (Л П В) (kx) = min {A (kx), В (kx)} =
= min {(Sfe Л) (x), (Sft В) (x)} = (2hA(] В) (x),
т. e. Zk(AftB) = ?kAftBhB,
(S/Д) (x) = A (kx) — n (A (kx)) = n ((Sfe A) (x)) = Л (x), т e. Sfe Л = ЁДТ
Такой морфизм, как Sa функционально не представим Действительно, если
его можно было бы выразить в функциональном виде, то для того чтобы полу-
чить Л(/гх)=5п = о(Л(х)) =o(sn), было бы достаточно рассмотреть ЛеР(х[
такое, что А (х) —A (kx) =sn. С другой стороны, рассматривая В такое, что
B(kx) —— В(х) = 1, должны прийти к противоречию B(kx) = 1=а(В(х)) =
sn
= o(sn). Очевидно, что Sa преобразует константы в константы.
21Q
Заметим, что независимо от функционального характера 2
имеем: S(sn)=sn. Действительно, 2 (sn) =2 (sn) = 2 (sn), но пос-
кольку единственное фиксированное нечеткое множество — это
sn, то 2(sn)=sn, откуда следует, что если Aczsn, то 2(A)czsn, и
если snczX, то sncz2X, каким бы ни был морфизм 2.
Теперь займемся изучением свойств, которым удовлетворяют
функции о. Поскольку 2 (х) =о( (х)) =о(тах{А (х),
Д(х)}) и (2A]J2B) (х) = тах{о(А (х)), о(5(х))}, то о(тах{А(х),
В(х)}) = max {о (Л (х)), о(В(х))} для каждого х<=Х и Л, В<=Р(Х).
Считая А и В постоянными, очевидно, надо найти те функции о,
которые удовлетворяют следующему свойству:
1. о(х\/у) = о(х)\/о(у) для каждой пары х, y^[Q, 1]: х\/у=
= тах{х, у}.
Аналогично, если хДг/ = тт{х, у}, то должно выполняться
соотношение о(х/\у) = о(х) /\о(у)
Свойство, связанное с дополнительностью, приводит к
‘о(п(А (х)) = п(а(А (х))) для каждого х^Х, поэтому и функции о
должны удовлетворять следующему свойству:
2. о(п(х)) =п(о(х)) для каждого хе[0, 1]. Отсюда получаем
<у (1) ==/г (ст (0)); так как 20 = 0, то о(0)=0 и ст (1) = 1.
Поскольку [0, 1] — полностью упорядоченное множество, то
непосредственно проверяется, что свойство 1 истинно тогда и
только тогда, когда о есть возрастающая функция. Это свойство
эквивалентно сохранению минимума.
С другой стороны, a(n(sn)) =(j(sn) и поскольку п —
функция сильного отрицания и уровень симметрии — единствен-
ный, то (5(Sn)=sn. В этом случае о представляет собой функции
из [0, 1] в себя, удовлетворяющие условиям:
1) о — возрастающая функция;
2) о(0) =1— о(1) =sn—o(sn) =0;
3) о ° п = п° о, где п — данное сильное отрицание.
Теорема 3.1. Единственные решения функционального уравне-
ния б°п=п° о—биективные, возрастающие и такие, что о(0) =
= 1—o(l)=sn—o(sn)=0, определяются как
а если хе [0, sn],
v U(y(n(x))), если xefsn, 1],
где у — произвольная взаимно-однозначная функция из [0, sn] в
себя, такая, что у(0) = sn—y(sn) =0.
Доказательство. Функции о? удовлетворяют данному функ-
циональному уравнению; действительно, если xe[0, sn], то п(х)е
e[sn, 1] и о? (n(x)) = пуп(пх) = пу(х) =nov (х); если xe[sn, 1],то
л(х)е[0, sn] и n(ov (х)) =/i(ny(n(x))) =уц(х) =о? (п(х)). Не-
трудно проверить с помощью той же методологии, что функция у
будет биективной, возрастающей и такой, что y(0)=Sn—y(sn) =
= 0. Функция ov также будет биективная, возрастающая и такая,
что (у? (0) = 1—о? (1) — 0.
211
Пусть f — биективное решение данного функционального урав-
нения. Очевидно, что f(O)=sn—f(sn)=O. Поскольку функция у =
= flio,snl отображает [О, sn] в [0, sn] и инъективная; то, следова-
тельно, функция f также биективна. Если 0<Zy<Zsn, то существу-
ет хе[0,1] такой, что y=f(x), и если srt<№$:l, то приходим к про-
тиворечию: f(sn) = sn<Zy-<Z 1. В таком случае у(х)~у и у есть
отображение «на» и поэтому биективная функция. Наконец, пусть
имеем x^(sn, 1]; так как и(х)е
е[0, sn) и y(n(x)) =f(n(x)) =
= n(f(x)), то получим f (х) = пуп(х).
Заметим, что теорема 3.1 дает
все автоморфизмы алгебры де Мор-
гана ([0, 1], Д, V» п‘, 0, 1), такие,
что 1 отображается в 1, и, по-видимо-
му, можно получить и не биектив-
ные решения рассмотренного функ-
ционального уравнения, если за у
принять не биективную функцию.
В обычном случае, когда п =
имеем S№ 1/2 и рассматриваемое
уравнение принимает вид о(1—х) +
4-о(х) = 1, хе [О, 1]; биективные и
возрастающие решения этого урав-
нения, такие, что о(0) = 1—о(1)=0, имеют вид, показанный на
эис. 2, где у— любая биективная и возрастающая функция из
О, 1/2] в себя. График функции су7 завершается репродуцирова-
нием у в правом верхнем квадрате [1/2, I]2.
При у(х)=ахь решения принимают следующий вид:
(х) =
2ь-1-х\
1— 2ь-1.(1— х)ъ,
если х<^ 1/2;
если х>> 1/2,
где для случая Ь = 2 функция называется согласно определению
Заде функцией контрастной интенсификации:
. . (2х2, если х^ 1/2;
о2 (х) =
U — 2(1— х)2, если х> 1/2.
Здесь (Зъ выступает в роли функционального генератора автомор-
физма между нечеткими множествами.
Аналогично предыдущему на рис. 3—5 показаны графики функ-
ции qv для общего случая, где у — любая функция, удовлетво-
ряющая указанным условиям. В подобных случаях график пред-
ставляет собой деформированную копию у в правом верхнем уг-
лу [sn, I]2. Эта копия будет ослаблением или усилением п в за-
висимости от того, будет ли 0<sn<l/2 или l/2<sn< 1 соответ-
ственно.
На рис. 6 показано действие преобразования о, изображенно-
го на рис. 2, на нечеткое множество А. Множество 2(A) оказы-
212
вается «уточненным вариантом» А [33}, или «общей контрастной
интенсификацией». Очевидно, если бы график у был с другой сто-
роны главной диагонали (как на рис. 4), то А оказалось 6ье
«уточненным вариантом» 2А. В первом случае S(A)^SrtA и,
d(hA) ^d(A) для любой меры энтропии d в Р(Х) : 2 уменьшает
энтропию. Во втором случае A^,3/1SA и J(A)^d(SA) для любо-
го d: 2 увеличивает энтропию.
Рис 3
Рис. 4
Рис 5
Описанные результаты можно обобщить на случай изомор-
физмов Pj(X) на Pj'(X), где пип' — сильные отрицания. Таким
образом, следует доказать, что справедлива следующая теорема.
Теорема 3.2. Отображение F из Pj(X) в Pj>(X), определенное
условием F(A)=f°A, fбудет изоморфизмом алгебр де-
Моргана тогда и только тогда, когда: a) f — взаимно-однознач-
ная возрастающая функция и б) n = f~ia п'° f.
Пусть sn и sn' — точки симметрии пип' соответственно. Тог-
да из теорем 3.1 и 3.2 вытекает следствие.
Следствие. Пусть f — функция из / в J' и пусть F — отображе-
ние из Pj(X) в Pj'{X), определенное как F(A)=f°A. Отображе-
ние F будет изоморфизмом тогда и только тогда, когда сущест-
21$
вует взаимно-однозначная возрастающая функция у из [О, 5П)П/
на (0, SnjQJ', такая, что
[ у(х), если хе [О, sn)(V,
f(x) = \sn', если x — sn,
[ п' (у (n (х))), если xe(sn, l]f]J.
3.2. МОРФИЗМЫ, ОТРИЦАНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ВАТАНАБЭ
Заметим, что во всех только что упомянутых случаях были по-
лучены нечеткие множества, «преобразованные по Ватанабэ» из
[37]. Эти образы нечеткого множества А при преобразовании
(называемом преобразованием Ватанабэ) W: Р (Х)-^Р(Х) таком,
что если А (х) =sn, то( WA) (х) =sn; если А (х) <sn, то (Ю) (х) <sn;
если 4(x)>sn, то (WA')(x)>sn. Очевидно, что любой функцио-
нально представимый автоморфизм будет преобразованием Вата-
набэ.
Действие изображенной на рис. 5 очень общего вида функции
<т на нечеткое множество А показано на рис. 7.
Рис 7
Рассмотрим кратко связи между морфизмами Р(Х) (функцио-
нальными или нет) и преобразованиями Ватанабэ (как функцио-
нальными, так и нет) и более конкретно связи между морфизма-
ми и тем, что можно назвать «преобразованиями контрастной ин-
тенсификации», или, что то же самое, теми преобразованиями, ко-
торые дают уточненные варианты рассматриваемых нечетких мно-
жеств.
Один из недостатков таких функциональных подходов, как
2(Д)=о"°Л и А = п° А, состоит в том, что если для х=£у: А(х) =
= А (у), то неизбежно получим (2Л) (х) = (2Л) (у) или А(х) =-А {у),
поскольку сужения п на [0, sn] модифицируют одинаковым об-
разом все части графика А ниже уровня sn, а сужение на [sn,
1] — все части графика, которые выше уровня sn: ситуацию,
214
изображенную на рис 8, получить невозможно; могут существо-
вать только преобразования, подобные отраженным на рис. 9.
Ранее были рассмотрены примеры, доказывающие существова-
ние нефункциональных морфизмов типа Такие морфизмы не
Рис 8
Рис 9
относятся к преобразованиям Ватанабэ. Действительно, по-
3
ложим &=1/2 и рассмотрим Д(=Р([0, 1]), такое, что Л (1/4)= у»
Д^-^=0. Тогда получим (SftX) (1/2) =Л (1/4) =3/4> 1/2, где
А (1/2) < 1/2. Приведем пример, также для Х=[0, 1], нефункцио-
нального преобразования Ватанабе; определим отображение W
из Р(Х) в себя условием
(ГД) (х) = IтаХ А еСЛИ Л ^Sn’
lmin{x, Л (л)}, если A(x)<Zsn,
и, по определению, если A(x)^sn, то (ГД) (х) =тах{х, Д(х)}^
^A(x)^sn, где (ГД) (х) = sn тогда и только тогда, когда А (х) =
— sn. Аналогично если A(x)<sn, то (ГД) (х) ^Д (х) <sn. Такое
преобразование нефункционально. Действительно, если бы
(ГД) (х) = w(A (х)), то для получения (ГД) (/) =тах{/, Д(/)} =
= t=w(A (t))=t достаточно было бы при t<=(sn, 1] рассмотреть
ДеР([0,1]), такое, что Д(х)=/, если xs(sn, 1) (при произвольно
выбранном А между 0 и sn). При /'е(/, 1) также получилось бы
(ГД) (/') =шах{/', А (/')} =max{//, t} — t'—w (Д (/')) =w (/), т. e. ре-
зультат оказался бы противоречивым.
Очевидно, что преобразование Ватанабэ не всегда будет мор-
физмом алгебры де Моргана Р(Х). Действительно, даже если бы
оно было функционально представимо: Г(Д)=оу° А для каждого
Д, где w: [0, 1]->[0, 1], то такая функция w не обязательно долж-
на быть или возрастающей, или убывающей, хотя она будет кон-
станты преобразовывать в константы и аналогично деформиро-
вать график ниже и выше уровня sn. Также очевидно, что Г ни-
когда не будет дополнением. То же самое можно сказать о пре-
215
-образовании контрастной интенсификации или об уточненных вер-
сиях.
В случае, когда W функционально представимо, очевидно, что
для w имеем w(0) =sn—w(sn) = l—w(l)=0 и что w।[o,srt] есть
функциональное отношение между [0, sn] и [0, sn], a W[ —
функциональное отношение между [sn, 1] и [sn, 1] (рис. 10).
Рис. 10
Рис 11 Рис 12
Обратно, если задана такая функция w, то W (А )= w ° А есть
преобразование Ватанабэ. Очевидно, что и в наиболее общем слу-
чае, и в случае, когда W — контрастная интенсификация также
не обязательно, чтобы w\ [о,^] или были монотонными (см.
рис. 3—5). При sn= 1/2 и n = N функция
' Л(х)+'~2Л(Х) .
(ГА) (х) = 1 2 ’
Л (х) + 1/2~Л(х) ,
если
если
если
А(х)
Л(х) = -i-,
Л(л)
’«будет, очевидно, преобразованием Ватанабэ, но не морфизмом, так
как, например, W0= 1/4=^=0. На рис 11 показан функциональ-
ный генератор W, т. е. функция
х-р 1/2
2
х + 1
1
если ,
2
1
если — .
2
Большой интерес вызывает исключительный случай, когда пре-
образование Ватанабэ каждому ЛеР(Х) назначает его ближай-
шее четкое множество А. Очевидно, что тогда А = о ° А и о(х) =0,
если xe[0, sn], и о(х) = 1, если ^e(sn, 1] (рис. 12). Поскольку
216
функция а возрастающая, тост (х\/у) = о(х)\/а(у), ст (х /\у) = ст (х) Д
/\а(у) и ст(0) = 1—ст_(1)==0. Тем не менее o(sn)=0, и значит, ра-
венство ст ° п~п° о не выполняется, и, таким образом, получен
морфизм ст решетки (Р(Х), [), [J,0, X), но это не морфизм алгеб-
ры де Моргана, который можно получить, рассматривая допол-
нение, задаваемое отрицанием п. *.
Обозначим через W множество всех преобразований Ватанабэ,
через S — подмножество множества W, образованное преобразо-
ваниями типа контрастной интенсификации, т. е. такими, что
Рие. 13
W(A)^SnA при любом ЛеР(Х); через М — множество всех мор-
физмов алгебры де Моргана — Клини, Р(Х), через С — множест-
во всех дополнений в смысле Трильяса [31]. Множества Су, Wff,
Mf и Sy будут их функционально-
представимыми подмножествами.
На рис. 13 суммируются отноше-
ния включения между этими во-
семью множествами преобразова-
ний В этой таблице «1» означа-
ет, что множество в соответству-
ющей строке содержится во мно-
жестве, соответствующем столб-
цу, и «О» — наоборот.
4. ДРУГИЕ СВЯЗКИ
4.1. РЕЗУЛЬТАТЫ РАЗД. 2 ХАРАКТЕРИЗУЮТ ФУНКЦИИ
СИЛЬНОГО ОТРИЦАНИЯ СПОСОБОМ, НАПОМИНАЮЩИМ
СПОСОБ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ АДДИТИВНЫХ —
НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО ЧИСЛОВЫХ — ОЦЕНОК. ПОСТАРАЕМСЯ
ОПРАВДАТЬ ЭТО УТВЕРЖДЕНИЕ
Оценка на решетке [5, 12] не обязательно должна быть чис-
ловая. В последние годы, опираясь на работу [19], мы провели ис-
следования оценок [32], которые принимают свои значения на упо-
рядоченной полугруппе, в предположении, что «оценка» — это соз-
нательный или интуитивный отклик на воздействие не обязатель-
но числовой природы. Это не означает, что мы опускаем или не-
дооцениваем требований, предъявляемых к измерениям в экспе-
риментальных науках. Во многих ранних работах, включая фраг-
менты из работ Буля, можно встретить мучительную озабочен-
ность тем, как провести различие между возможной формализа-
цией логики событий и мерой событий (приводящей к вероят-
ностным понятиям).
Изучение ограничим возрастающими оценками v : L-+R+ на
решетке с минимальным элементом о, универсальным элементом
и и обычным дополнением. Рассмотрим структуру полугруппы
(7?+, * ) с 0 в качестве нейтрального элемента. Из определения^
s 21Т
v(a/\b) * v(a\/b) =v(a) *v(b) [32] для случая u(o)=0 следует,
что если a/\b = o, то v(a\/b)=v(a) *v(b). Добавляя условие
f(«) = l, что придает е щничному элементу особый статус, полу-
чаем 1 = и(а) *у(а) и, если эксплицитная форма достижима, то
v (a) =n(v (а)). Таким образом, для п : v (L)-+-v (L) выполняется
п (1) = 0, п(0) = 1 и п — убывающая функция в о(Л)с~Д+. Поэто-
му п есть функция отрицания в u(L), о которой в общем случае
можно сказать очень мало, так как если, например v(a) = l для
‘0<у(а)<1, то v(a) = v(a) =n(v(a)) = Q^n2(v(a)) и т. д.
Непосредственно можно видеть, что если f: R+-+-R+ есть воз-
растающая взаимно-однозначная функция и f (0) =0, то операция
JF(x, у) (х) +f(y)) наделяет R+ структурой упорядоченной
коммутативной подгруппы с 0 в качестве нейтрального элемента.
В действительности многие ассоциативные операции в Д+ — опе-
рации этого вида [17]. В описанных условиях из 1 (v (а) +
4-f(u(a))) получаем, что /г(х) (1)—fix)) есть функция стро-
гого отрицания, что соответствует случаю вероятностных мер на
булевых алгебрах, для которых из р (а) + р (d) = 1 следует р(а)-=
= (N° р) (а). Де Финетти неявным образом указывал на эту идею
в своих ранних исследованиях по субъективным вероятностям,
когда он рассматривал р и f ° р как эквивалентные.
Таким образом, исходя из нечеткой меры мы сталкиваемся с
проблемой суждения о степени пригодности операций, порожден-
ных отрицаниями (в условиях данной структуры событий). Так,
утверждение, что А[)А=А=Х, в то время как А (х) +А(х) = Х(х), шо-
кирует. Приведем несколько поясняющих примеров.
Пример а [30]. Выберем меры vt, удовлетворяющие уравнению Vt(a\/b) =
= t- {vt(a) +z7/(b)) + (1—/) max {yt(a), Oi(ft)} при пД& = 0 и te. [0, 1]. Они соот-
ветствуют в общем случае неассоциативным операциям Ft(x, у) — t-i(x+y) + (1—
—/)шах{х, у} Однако из 1 = tx+tn(x) + (il—Z)max{x, п(х)} следует пДх) = 1—tx,
если x^l/(l + Z) и n.t (х) = 1/(£(1—х)); при х= 1/(1-Н) (/=#0)щ есть двухсегмент-
ная функция сильного отрицания При / = 0 получаем п0 Аддитивный генератор
функции nt порождает ассоциативную операцию, которая, возможно, могла бы
заменить Ft В работе [29] выбраны меры gt(—1<7), удовлетворяющие при
«ДЬ = 0 условию gt(a\/b) =gt(a)+gt(b)+tgt(a')gt(b) Они соответствуют опе-
рации Ft{x, у) —x+y + txy на R+, которая при t=£Q имеет аддитивный генератор
ft (2) = — log (1 + tz) и индуцирует сильное отрицание zit(x) —(1—х)/(1 + /х) с
t
симметричной точкой Snt=t±A Для предельного случая t——1, n-i = n0-
Пример б. Л Заде вместо этого выбрал меры т, удовлетворяющие усло-
вию m(a\/b) —max(m(a), m(&)) при a/\b = 0 Операция взятия максимума за-
дает на R+ структуру упорядоченной коммутативной полугруппы с нулем в ка-
честве нейтрального элемента Эта операция по своему типу отличается от опе-
рации из примера а, но из 1 —max(m(a), т(а)) следует, что и в этом случае
существует ассоциативная операция п0
Поэтому изучение связок^ выведенных таким образом, пред-
ставляет определенный интерес. Далее F и G будут обозначать
218
бинарные операции на [0, 1], определяющие пересечение и объе-
динение на Р(Х) по правилу
(А В) = F (А (х), В(х));
F
(Л и В) = G (Л (X), В(х)).
G
4.2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О НЕЧЕТКИХ
СВЯЗКАХ
Пусть F и G — две бинарные операции на [0, 1]. В [4] пока-
зано, что F = min и G = max — единственные решения, удовлетво-
ряющие следующим восьми условиям:
1) ассоциативность: F(x, F(у, г)) = F(F(x, у), г); G(x, G(y, г)) =
= G{G(x, у), г);
2) коммутативность F (х, y)=F(y, х), G(x, y) = G(y, х);
3) неубывание: F(x, y)^F(x', у'), G(x, y)^.G(x\ у'), если
х^х', у^у';
4)/7(х, x)<.F(x', у'), G(x, x)<.G(x', х'), если х<х'\
5)F(1, 1) = 1, 6(0, 0)=0;
6) F(x, z/)<$min(x, */);G(x, z/)>max(x, y}\
7) F и G непрерывны;
8) дистрибутивность: F(x, G(y, z)) = G(F(x, y), F(x, z)),
G(x, F(y, z))=F(G(x, y), G(x, z).
В работе [15] доказано, что условий 1, 3, 4, 6 и 8 достаточно
для того, чтобы min и max были единственными решениями. Та-
ким образом, становится ясно, что при желании изучать нечеткие
связки, отличные от классических min и max, необходимо отказать-
ся от некоторых требований. Эту проблему изучали несколько ав-
торов (см., например, [8]).
Сначала заметим, что при замене условия 5 на условие 5'г
a) F(x, 1) = F(1, х) =х, б) 6(0, х) = 6(х, 0) для всех хе[0, 1] из
3 и 5' следет условие 6, а условия 3 и 5' вместе с условием 8 при-
водят к min-max как единственному решению. Таким образом^
исключив условия 6 и 8, можно также отказаться от условий 2‘
и 4. Более точно, в данной статье ограничимся следующими клас-
сами связок:
Fab={F: [а, b]/F удовлетворяет 1, 3, 5' и 7};
Gab={G: [а, b]/G удовлетворяет 1, 3, 5' и 7};
FAab = {F^FablF — архимедова функция, т. е. F(x, х) <х для
всех /е(а, Ь)};
GAab= {G^Gab/G — архимедова функция, т. е. 6(х, х)>х для
всех хе (а, Ь)}.
В дальнейшем будем писать F=FOi, 6 = 6Qi, FA = FA0l и GA =
~ GAOtl.
Эти функциональные множества имеют длинную выдающуюся
историю в области функциональных уравнений [1], поскольку
связаны с классической проблемой ассоциативности уравнения.
21»
"Такие множества детально изучены и стали инструментом в тео-
рии вероятностных метрических пространств [27] и в теории ин-
формации [16].
Для операций в FAab и GAab существует следующая важная
характеризация [1, 17].
Теорема 4.1. Пусть H^Fab (соответственно H^Gab). Опера-
ция H<=-.FAab (H^GAab) тогда и только тогда, когда существует
непрерывная и строго убывающая функция h (непрерывная и
строго возрастающая) из [а, Ь] в ,[0, 4-оо] такая, что операция Н
представима в виде
Я (х, у) = (h (х) + h (t/)),
где Л(-1) — функция, псевдообратная h, т. е.
(Ь, если 0^х^Л(&) (соответственно, если О^х^Л(а)),
h~l(x), если h(b) ^x^h(a) (если h(a) ^x^h(b)),
если h(a) ^x (если h(b) =^x),
где h~l — функция, обратная h в обычном смысле на [h(b),
h(a)] (соответственно [Л (a), h(b)]).
Функция h называется аддитивным генератором архимедовой
операции Н, и она единственна с точностью до положительной
константы, т. е. функция k-h (/г>0) также порождает Н. Заме-
тим, что если f порождает F^FA, то /(1) =0, и если g порожда-
ет G^Ga, то g(0) =0.
Еще одну характеризацию операций F^Fab—FAab и G<=Gab—
-—GAab возьмем из [24]. Пусть Н — одна из таких операций и
пусть
Е(Н) = {х^[а, Ь]/Н (х, х) = х].
Тогда [а, Ь]—Е(Н) = |J (ai} bi), где {(а^ bi)fi^j} — конечная или
i € /
счетная совокупность непересекающихся открытых интервалов.
Пусть Hi — сужение Н на [а^ bi]2 заданное как
Ht(x,
\bi—at bi — ai
Тогда ([^i, Ьг], Hi) образуют архимедову полугруппу и имеет сле-
дующее представление (ординальную сумму):
Hi(x, у), если (х, y)^[ai, bi]2 некоторого
min(x, у), если (х, p)^U [at, bt]2 и Hf=Fab— FAb,
max(x, у), если (x, p)^(J Ьг]2 и H^Gab—GAb,
t. e. H состоит из архимедовых «блоков» вдоль диагонали [ab]2 и
// = min (соответственно шах) вне этих блоков.
В литературе по нечетким связкам рассматривались и другие
пары операций, отличные от классической min-max. Приводим не-
220
которые из этих операции вместе с
рами:
Fm(x, z/) = max(x + z/—1,0),
Gm(x, y) = min(x + y, 1),
Fp (x, У^^^Х'У,
Gp(x, y) = x+y—xy,
F« (*, y) = ; Fo (0,
их аддитивными
генерато-
ёт W —
fp (х) = — 1п X,
gP(x) = — In (1 — х);
0)=0, f0(x)=L^,
X '
(4-1)
(4.2)
G_.(x, y)^+-^ ;
1— xy
ll}_______xy
(4.3)
а+(1—а) (х + у—ху)
(1,1) = 1, ё-х
/аМ=1па--<-а-1)х(а:
X
G„(х, у) = .(Ь-1)*у + * + »
(4.4)
g6 W = In
1--X
'FK(x, «/)= 1—min{l, [(1—X)x + (1 —1/)41/X}, f?.(x)-(1—x)\ (45)
GxU, */) = min{l, (xx + ^(x) = xx(X>l).
Примеры. Операции (4.1) и (4.2) были использованы Заде [39], операции
(4.3), (4.4) рассматривались в [15], и в [36] введена пара (4.5). Другая интерес-
ная пара введена в [11]:
г, X , (SX— l)(sy— 1) s—1
Л (X, у) = logs--------:------+ 1, fs(x) = logs —-----
s—1 sx_t
, (s1-*—ins1-*,— 1) s-1
Gs (x, y) = logs-------—;-------4- 1, gs (x) = logs ——
S--1 s * -
(4-6)
В этой замечательной работе доказано, что (4.1), '(4.2) и (4.6)—единст-
венно возможные архимедовы решения функционального уравнения F(x, у) +
+ б(х, г/)=х+г/.
4.3. О СИЛЬНЫХ ОТРИЦАНИЯХ И ЗАКОНАХ ДЕ МОРГАНА
Теперь обратим внимание на стандартные законы де Моргана'
7V ° (Л11В) = (N ° Л)П(N ° В), которые можно обобщить для любо-
- G F
го отрицания ие5([0, 1]). Примем следующее определение.
Определение 4.1. Пусть F^F, G<=$ и neS([0, 1]). Тогда
F и G будут называться n-дуальными, если F ° (пХп) =п° G, т. е.
F(n(x), п, (у)) =n(G (х, у)) для всех х, ^е[0, 1].
Легко видеть, что связки min-max, как и (4.1) — (4.3), (4.5) и
(4.6), доставляют примеры н-дуальности.
Для того чтобы построить другие совокупности н-дуальных
связок, заметим, что справедлива следующая теорема.
Теорема 4.2. Если f — аддитивный генератор операции F^FA
и neS([0, 1]), то g' = f°n аддитивно порождает функцию
221
G^Ga, п-дуальную F. Аналогично, если операция G(=Ga порож-
дается функцией g и neS([0, 1]), то f'=g° п порождает n-дуаль-
ную операцию F^FA-
Дадим функциональную'характеристику n-дуальности через;
аддитивные генераторы архимедовых связок. Пусть р>0 и
(%) =
Теорема 4.3. Пусть F^FA и G<=GA порождены функциями f и
g соответственно. Операции F и G — n-дуальные тогда и только
тогда, когда существует положительная константа р такая, что
/(-1 ) О lpO g~ g(-l ) о ll/p о Д (*)
и апостериори п задается левой частью (или правой частью) урав-
нения (^<).
Доказательство. Используя аддитивные генераторы, условие
/Is F° (nXn) = G можно переписать в следующем виде:
(п о /(-1)) (/ (п (Х) 4. f (п (^))) = g(-i) (g (Х) 4- g (г/)),
но это уравнение устанавливает, что f° п порождает G, как и g.
Следовательно, f° п должно отличаться только на положитель-
ную константу р, т. е. f ° n = lp° g и n = ° lp° g = g{~v>° 1\/Р ° f.
Примечание. Заметим, что если /(0)< + оо и §(!)<+ °°,
то уравнение ( *) дает p = f (0)/g (1), т. е. константа р единствен-
ная. Если /(0) (соответственно §•(!)) конечна и g(l) (соответст-
венно f(0)) бесконечна, то не существует константы р, удовлет-
воряющей ( *), т. е. соответствующие связки F и G, порожден-
ные соответственно f и g, никогда не будут n-дуальными. Однако
если f (0) =g(l) = + °°, то возникает несколько возможностей, на-
пример, константа может быть единственной и будет существо-
вать единственное отрицание п, удовлетворяющее свойству n-ду-
альности, или р может быть не фиксировано и будет существовать
большой набор отрицаний, устанавливающих n-дуальность. Сле-
дующие далее примеры пояснят это замечание.
Пример 4.1. Рассмотрим связки Fa и вь, определяемые (4.4). Рассматри-
вая генераторы fa(x)=tfa(x) и gb(x) = t'gb(х), получаем
л ч ч а (1 —x)pt'!t
(f а1 ° 1Р ° Sb) (X) =----------------------Г"— ,
(bx—l)pt !t +(а—1)(1—х)р/ F
/А -1 1 t \ - (a—(a~^x)t/{pt'}~-xi/{pt''>
(Sb ° i/P° Ш*)-(a_{a_l)x}tMn + bx<iwi’
и условие ( ’*) выполняется для р — tjt'. В этом случае операции Fa и Gb па-
дуальны, где ns — отрицание Суджено (1—x)/(l+sx), a s='(b—а+1)/«.
Пример 4.2. Рассмотрим Fo и G-i, определенные согласно (4.3). Тогда
<fo' ° Ip ° g-1) (х) = (gzj ° z1/p ° fo) W = -7- t~X ,
1 yp LJ X
t. e. условие ( » ) выполняется для любого ^>0 и n-дуальность задается через
любое отрицание Суджено: пр(х) = (1—х)/(1 + (р—1)х), р>0.
222
Изучим теперь отношение между /г-дуальностью и ординаль-
ными суммами. Заметим сначала, что если операции F^&~—FA и
—GA /i-дуальные, то необходимо выполнение равенства
n(E(F))=E(G).
Теорема 4.4. Пусть F<=&~—FA есть ординальная сумма, опре-
деленная семейством архимедовых полугрупп {([а?, bi], FF)
и пусть «<=S([0, 1]). Тогда функции G(x, у) = n(F(п(х), п(у)))
есть n-дуальная операция взятия ординальной суммы архимедо-
вых полугрупп n(ai)], Gi)'.i(=J}, где Gi = n°Fx° (пХп),
Пусть F<=&~—FA и Ge=^—GA — ординальные суммы, опреде-
ленные через архимедовы полугруппы {([аг-, bi], Fi) : и
{(|[сг-, di], Gi) : соответственно (обе совокупности с одним и
тем же множеством индексов). Пусть fi и аддитивные
генераторы Fi и Gi соответственно. Примем дополнительное ус-
ловие
@•1 Ь^ ^i+i и Cid, С[—1 di—i. (**)
Если для некоторого neS([0, 1]) операции F и G n-дуальные, то
п(Е(Е)) =E(G), ntcQ—d и n(bi)=G при всех и существует
последовательность (рг)ге/ в (0, -f-oo) такая, что для всех и
x^[ait Ьг]
n(x) = Ci + (di—Ci)gTl\pifif Xi~ai Ч .
I \ bi — at /]
Заметим, что в этом случае п определяется только в U [аг-, Ьг].
icJ
4.4. НЕКОТОРЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
НЕДИСТРИБУТИВНЫХ СВЯЗОК
4.4.1 Как указывалось во введении, если E^min и G^max,
то (P(X), F, G) —не решетка; однако для неклассических связок
можно рассмотреть другие свойства для Р(Х) (например, для ал-
гебры Клини см. [6]).
Теорема 4.5. Если F^&~, G(=F§ и neS([0, 1]), то для всех
х, у^. [О, 1] справедливо неравенство Клини F (х, п (x))^G(p,
л (г/)).
Доказательство. Пусть хп — фиксированная точка п. Тогда
для всех х, у^. [О, 1] имеем
F(x, n(x))<min(x, п (х))< хп С max (у, n(y))^G(y, п(у)).
В соответствии с этим неравенством для данного и
леЗ([0, 1]) можно ввести параметр
K(F', ri) = inf {п (F (х, п(х)) — Г(х, п(х)); хе[0, 1]}.
Тогда легко доказать, что а) 0^К(Е; и)^1; б) K(F; и)=0 тог-
да и только тогда, когда Е(хп, хп) =хп, т. е. неподвижная точка
хп функции п есть идемпотентный элемент F; в) если F^FA, то
223
K(F; n) >0; г) если FeeFa и F — строго возрастающая операция,,
то K(F; п)<1.
С другой стороны, для данных F^ST и G^FS можно ввести
другой параметр для оценки «степени классичности» пары F, G.
Определим С : условием
С (F, G) = J (G (х, x)—F(x, х)) dx,
о
1
и рассмотрим Ci(F, G) = J (min(x, x) —F(x, x))dx,
о
i
C2(F, G)=j(G(x, x)—max(x, x))dx.
о
Функция C(F, G) оценивает «степень классичности» пары (F, G)r
a Ci(F) и C2(G)—степень выполнимости архимедова свойства
для F и G соответственно. Тогда можно легко доказать следую-
щие свойства:
1) 0^C(F, G) ^1; 0^С!(^)^1/2; 0 С2 (G) 1/2;
2) C(F, G)=C1(F)+C2(G);
3) Ci(F)=0 тогда и только тогда, когда F = min; C2(G)=O
тогда и только тогда, когда G = max;
4) C(F, G)=0 тогда и только тогда, когда F = min и G = max;
5) если F и G — ЛЛ-дуальные, то Ci(/?)=C2(G) и, следователь-
но, C(F, G)-2Cl(F)=2C2(G)-,
6) если F и G — N-дуальные и F — ординальная сумма, опре-
деленная семейством архимедовых полугрупп {([ац bt], Fz)
то
С, (F) = С2 (G) = v
ieJ
С (F,G) = 2 V (bt-а^САРг)-
i&J
4.4.2. Пусть даны G^GA и F<=FA с соответствующими адди-
тивными генераторами g и f, такими, что g(l)<-(-oo и f(0)<< + oo.
Операции G и F индуцируют сильные отрицания nG и nF, задавае-
мые уравнениями
пв (х) = ^{-1) {g (1)— g (%)), nF = (f (0)—/ (x)).
Например, пара (4.1) индуцирует nFт = nGт=^N, пара (4.5) дает
пс%(х) = (1— х^ и nFk (х) = 1— (1—(1— х)^)1—\
Теорема 4.6. Пусть neS([0, 1]), операция GeGA такова, что
g(l)<H-oo, операция F^FA такова, что f(0)< + oo. Тогда
1) G удовлетворяет закону исключенного третьего относитель-
но п, т. е. G(x, п(х)) = 1 для всех хе[0, 1] тогда и только тогда,
когда
2) F удовлетворяет закону непротиворечивости, т. е. F (х,
л(х))=0 для всех хе[0, 1] тогда и только тогда, когда n^.nF\
224
3) nG (соответственно nP) есть минимальное отрицание из
5(i[0, 1]) (соответственно максимальное), такое, что F'(x, у) =
=nG(G(nG(x), nG(y))) (соответственно G'(x, у) =np(F(nP(x)f
пР (у)))) nG — дуально G, a G и F' удовлетворяют условиям 1 и 2
(соответственно пР — дуально F, F и G' удовлетворяют условиям
1 и 2).
Пример 4.3. Если задано выражением (45), то nG^(x) = (l—х^)*А>
>JV(x) для всех Х>1 и F'(x, y)=nG^ (G^ (nGjl (х), nGk (у))) =max{[(x*4-
+yX)—>1] в то время как и G^, заданные согласно (4.5), Af-дуальны.
Этот пример также показывает, что условие 1 удовлетворяется только для та-
ких отрицаний и, что n^nG >N
В частном случае, если F и G — n-дуальные, то nG° п=па^пР
и (G—п) удовлетворяет условию 1 тогда и только тогда, когда
(F—п) удовлетворяет условию 2. Если nP = nG, то F и G могут
быть n-дуальными только при n=nP = nG. Наконец, заметим, что
K(F, п) = 1 тогда и только тогда, когда n^.nF, т. е. п и F удовлет-
воряют закону непротиворечивости.
Теорема 4.6 находит некоторое применение при изучении не-
классических импликаций, например, I(х, y)—G(n(x), у) удовле-
творяет условию /(х, х) = 1 тогда и только тогда, когда n^nG
(если такое nG существует).
4.5. ДРУГИЕ ОПИСАНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СВЯЗОК
Хорошо известно, что min и шах /г-дуальны для всех ие
eS ([0,1]). Сначала покажем, что именно это характеризует дан-
ные классические связки.
Теорема 4.7. Если F<=SF и G&3 — к-дуальные для всех
zzgeS([0, 1]), то с необходимостью F = min и G = max.
Доказательство. Достаточно показать, что G(x0, х0) = х0 для
всех хое (0, 1). Пусть хое(О, 1) и рассмотрим два отрицания
щ, n2^S ([0, 1]), таких, что щ (х0) = п2 (х0) =х0 и пх(х) <п2(х)
для всех хе [0, 1]-{0, 1, Хо]. Тогда из условий дуальности полу-
чаем П1(6(х0, *о)) =E(ni(x0), щ(х0)) =F(x0, xQ) = F (п2 (xQ),
n2(xQ))=n2(G (х0, Хо)), т. е. G(xo, хо)е{0, 1, х0}. Однако G(x0,
*о)>хо, т. е. О(х0, х0) равно или 1, или х0. Если G(x0, Хо)=й
то, беря последовательность сильных отрицаний
nk (х) =
- 4-1, если 0^х^1-— ,
1 — k k
(1—k) (x—1), если 1-----— <х<1,
k
должны для всех k<=N получить 0 = пД1) =tikG(xQ, х0) =
=F(nk(x0), яДхо)); следовательно, 0= Hm F(nh(x0), nfe(x0)) =
=F( НтяДхо) lim щДх0)) =F(1, 1) = 1. Из этого противоречия сле-
дует, что G(x0, Хо) =х0 и значит G = max и E = min. Теперь приве-
8—120 225
дем уравнение, которым характеризуются одновременно min, max
и yV=l—j.
Теорема 4.8. Пусть F<=ST и «eS([0, 1]). Предположим, что
G = n °F° (пхп), т. е. G— операция, дуальная F по п. Тогда для
всех х, уе[0, 1] :
F (х, у) + G (х, y)—F (х, у) G (х, у) = 1 — п (х)-п (у) (4.7)
тогда и только тогда, когда F=min, G=max и n = N.
Доказательство. Подставляя у = 0 в (4.7), получаем п(х) =
= 1—х. Таким образом, (4.7) можно переписать в виде F (х, г/) +
+ G(x, у) +x-y=x + y + F(x, y)-G(x, у), что эквивалентно (после
подстановки G(x, у) = 1—F(1—х, 1— у))
1 +ху — F (1— х, l—y) = x + y—F(x,y)-F(l—x, 1—</). (4.8)
Выберем любое значение Те (0, 1). Подстановка x=y = t в (4.8)
дает
1-Н2 —f (1— t, l—t)^2t—F(t, t)-F(J—t, 1 — 0 (4.9)
и подстановка х = у=1—t в (4.8) дает
1 + (1 —ty—F (G 0 = 2 — 2 t~F (1 —t, 1 —0 -Г (0 0• (4.Ю)
Таким образом, согласно (4.9) имеем
F(l — t, 1—0= 1-+ /а~~2 * , (4Д1)
1 — F (t, f) v '
и (4.11) вместе с (4.10) дают
F (G О2—2/F(0 0 + ^ = 0.
Откуда F(0 t)=t и F=min. Заметим, что это доказательство не
требует ни предположений о непрерывности, ни гипотез об ассо-
циативности.
Используя аргументы, подобные тем, которые использовались
в теореме 4.8, легко получить следующую теорему.
Теорема 4.9. Пусть и G^7 — «-дуальная ей операция,
G(x, у) = 1—F(1—х, 1—у). Тогда
F (х, y)-G (х, у) = х-у для всех х, г/е[0, 1]
тогда и только тогда, когда F=min и G = max.
Приведем другую характеристику классической пары min-max,
которая не зависит от гипотез «-дуальности.
Теорема 4.10. Пусть F<=&~ и G<=!3. Тогда для всех хе[0, 1]
F{x, y) + G(x, у)=х + у,
F (х, y)-G (х, у) = х-у
тогда и только тогда, когда F = min и G = max.
Доказательство. Эта теорема есть тривиальное следствие ре-
зультатов работы [И]. Дадим краткое обоснование. Положим
x = y~t. Тогда согласно предположениям имеем
* F(G0 + G(GO = 2G
F (G t) • G (G /) = F,
226
откуда (используя тот факт, что F(t, t)>0 для всех />0) полу-
чаем
f «•z,+ 77r,1 =2;
F (t,t)
и, следовательно, F(t, t)=t, т. е. обязательно JF=min, а значит,
и G = max.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Aczel, J. (1969). Lectures on Functional Equations and their Applications. Aca-
demic Press, New York.
2. Alsina, C. and Trillas E. (1981). On Sheffer Stroke. Paper submitted to XI
Symposium on M. V. L.
3. Alsina, C., Trillas, E. and Valverde, L. (1980). On Non-distributive Logical
Connectives for Fuzzy Sets. First version in BUSEFAL, 3, 18—29.
4. Bellman, R. and Giertz, M. (1973). On the Analitic Formalism of the Theory of
Fuzzy Sets. Inf. Sci., 5, 149—156.
5. Birkhoff, F. (1967). Lattice Theory. Amer. Math. Soc., Colloguium Pubs. 25.
[Имеется перевод: Биркгоф Г. Теория решеток. —М.: Наука, 1984. — 564 с.]
6. Gignoli, R. (1965). Boolean elements in Luckasiewicz Algebras 1. Proc. Japan
Acad., 41. 670—675.
7. Chang, С. C. (-1958). Algebraic Analysis of Many — Valued Logics. Trans.
Amer. Math. Soc., 88. 467—490.
8. Dubois, D. and Prade, H. (1979). News results about Properties and Semantics
of Fuzzy Set-theoretic Operators. 1st Symposium on Policy Analysis and In-
formation System. Surham, North Carolina, U. S. A.
9. Esteva, F. (1975). Negaciones en reticulos completes. Stochastica, I—1, 49—66.
10. Esteva, F. and Domingo, X. (1980). Sobre funciones de negacion en [0,1].
Stochastica, IV-2. 141—166.
11. Frank, M. J. (1979). On the Simultaneous Associativity of F(x, y) abd x+y—
—F(x, y). Aequat. Math., 19. 194—226.
12. Glivenko, V. (1936). Geometric des systemes de choses normees. Amer. Maths.
Jour., 58. 799—828.
13. Goguen, J. A. (1967). L-fuzzy sets. J. Math. Ana. Appl., 18. 145—174.
14. Haack, S. (1978). Philosophy of Logic. Cambridge University Press.
15. Hamacher, H. (1976). On logical connectives of fuzzy statements and their af-
filiated truth function. Proc. Third. Eur. Meeting Cybernetics and Systems Res.
Vienna.
16. Kampe de Feriet, J. (1969). Mesure de 1’information fournie par un evenement.
Colloques Internationaus du C. N. R. S., 186, 191—212
17. Ling, С. H. (1965). Representation of Associative Functions. Publ Math. Deb-
recen 12. 182______'212.
18. Lowen, R. (1978). On Fuzzy Complements. Inf. Sci. 14. 107—113.
19. Menger, K- (1942). Statistical Metrics. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S A. 28. 535—
537.
20. Monteiro, L. and Picco, D. (1963). Les reticules de Morgan et Г operation de
Sheffer. Bull. Acad. Polonaise Scie. Vol. XI, 6. 355—358.
21. Mostered, P. S. and Shields, A. L. (1975). On the structure of Semigroups on
a Compact Manifold with Boundary. Ann. of Math. 65. 117—143.
22. Ovchinnikov, S., General Negations in Fuzzy Sets Theory. To appear in
J. Math. Anal, and Appl.
23. Ovchinnikov, S. (1980). Involutions in Fuzzy Set Theory. Stochastica, IV-3.
227—231.
24. Paalman de Miranda, A. B. (1970). Topological Semigroups. Mathematical
Centre Tracts, N. 11, Mathematisch Centrum. Amsterdam.
25. Preparata, F. P. and Yeh, R. T. (1972). Continuosly Valued Logic. Jour, of
Comp, and Syst. Sci., 6 p. 397—418.
8*
227
26. Rasiowa, H. (1974). An Algebraic Approach to Non-classical logics. North Hol-
land, Amsterdam.
27. Schweizer, B. and Sklar, A. (1960). Statistical Metric Spaces. Pacific J. Math.,
10. 313—334.
28. Silvert, M. (1979). Symmetric Summation: a Class of Operations on Fuzzy
Sets. IEEE Trans. Systems, Man. Cybernetics.
29. Sugeno, M. (1974). Theory of Fuzzy Integrals and its Applications. Ph. D.
Thesis, Tokyo, Inst, of Tech., Tokyo.
30. Sugeno, M., Tsukamoto, Y. and Terano, T. (1974). Subjective Evaluation of
Fuzzy Objects. IFAC Symposium on Stochastic Control.
31. Trillas, E. (1979). Sobre funciones de negation en la teoria de conjuntos difu-
sos. Stochastica, III—'1, 47—60.
32. Trillas, E. and Alsina, C. (1978). Introduction a los espacios metricos generali-
zados, Fund. J. March, Serie Universitaria 49. Madrid.
33. Trillas, E. and Riera, T. (1978).’ Entropies for Finite Fuzzy Sets. Inf. Sci., 15.
159—168.
34. Trillas, E. and Riera, T. (1980). On a Special Kind of Variables in Fuzzy Envi-
ronment. Proc. Tenth Symp. M. V. L. 149—'152.
35. Trillas, E. and Riera, T. (1981). Towards a Representation of «Synonyms» and
«Antonyms» by Fuzzy Sets. First version BUSEFAL, 5, 42—68.
36. Yager, R. R. (1980). On a General Class of Fuzzy Connectives. Fuzzy Sets and
Systems, 4. 235—242.
37. Watanabe, S. (1978). Fuzzification and Invariance. Proc. Int. Conf. Cyber. Soc.,
Vol. 2. Tokyo. 947—951.
38. Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy Sets Inf. and Control, 8. 338—353.
39. Zadeh, L. A. (1975). Calculus of Fuzzy Restrictions. «Fuzzy Sets and their App-
lications to Cognitive and Decision Processes». Academic Press.
40. Zadeh, L. A. (1976). A Fuzzy-algoritmic Approach to the Definition of Complex
or Imprecise Concepts. Int. J. Man — Machine Studies, 8. 249—291.
Часть III.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ
К АНАЛИЗУ И СИНТЕЗУ НЕЧЕТКИХ
ОТОБРАЖЕНИЙ
Д. Дюбуа А. Прад * 2
В практических ситуациях отображения чаще всего задаются
не точными уравнениями, а совокупностью дискретных, зашум-
ленных и неточных данных. Как рассматривать и представлять в
виде нечетких такие отображения — тема настоящего исследова-
ния. Особенно рекомендуется представление нечетких отображе
ний с помощью нечетких гранул.
Ключевые слова: нечеткое множество; нечеткое отображение,
нечеткое отношение; анализ данных; обработка данных; гранули-
рованная информация.
1. ВВЕДЕНИЕ
В практических ситуациях реальные действительно-значные
отображения получают не всегда в виде аналитических уравнений
t/==f (х), а скорее в виде совокупности дискретных данных, как
некоторое семейство точек (Xj, уг), i=l, т. Очевидно, что такая
спецификация функций f неполна. Кроме того, данные часто ока-
зываются зашумленными или неточными, в этих случаях специ-
фикация f может быть только приближенной. Предполагая для
заданного уравнения некоторую структурную форму f, имеющие-
ся данные можно использовать для идентификации параметров
f. Однако в некоторых случаях уже относительно природы того,
что специфицируется, может существовать неопределенность: в
какой степени можно судить о том, что имеющиеся в распоряже-
нии исследователя выборки получены по наблюдениям за ото-
бражением, а не за отношением между элементами?
Первоначальная конкретизация того, что предполагается быть
отображением, обычно не достаточно результативна. Нужны методы
анализа данных для отбора исходной информации. Могут оказать-
ся желательными и другие представления, отличные от простого
задания набором точек, которые должны быть не только просты в
обращении, но и учитывать неопределенность первичной специфи-
1 Department of Automatics, Centre d’Etudes et de Recherches de Toulouse,
2 av. Edouard Belin 31055 TOULOUSE, France.
2 Langages & Systemes Infor. Universite Paul Sabatier, 118, Route de Narbon-
ne 31062 TOULOUSE, France
229
кации, а не вводить произвольную, иллюзорную и часто вводящую*
в заблуждение точность.
Можно представить себе, что первичные данные дают карти-
ну f. Если разглядывать эту картину слишком близко, то форма
f покажется очень нерегулярной и беспорядочной из-за зернисто-
сти изображения, но стоит отойти подальше, как картина пока-
жется однородной и более определенной. По аналогии с этим бу-
дем интересоваться здесь такими локально-зернистыми представ-
лениями f, которые могут оказаться глобально гладкими; и тео-
рия возможностей создает, по-видимому, подходящую основу для
таких представлений.
Данная статья написана не в строгом математическом стиле,
поскольку авторы стремятся рассмотреть в ней новые вопросы,
иногда в весьма интуитивной форме. Многие важные вопросы не-
избежно останутся открытыми. Авторы предпочитают начать с бо-
лее реалистического и прагматического взгляда на то, что прак-
тически понимается под нечетким отображением, а не вводить
сразу некоторые нечеткие версии классических математических
определений.
Сначала рассмотрим различные типы спецификаций, затем об-
ратимся к анализу возможных свойств специфицированных ото-
бражений; затем обрисуем некоторые методы получения прием-
лемых представлений.
2. РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ СПЕЦИФИКАЦИЙ
ОТОБРАЖЕНИЙ
Спецификации отображения могут быть более или менее не-
определенными. Можем выделить следующие случаи.
А. Предполагается, что все точки (Xi, у^ принадлежат графи-
ку функции y=f(x), .re^czR, z/e'VczR. В этом случае возника-
ет проблема подбора кривой: найти функцию f, обладающую не-
которыми «приятными» свойствами (вообще предполагается, что
f наделена некоторой структурной формой, например f — много-
член) и минимизирующую Si(f(^i)—t/i)2 или некоторый другой
критерий. В недавней работе [8] нечеткая характеристическая
функция использовалась для определения «остроты» угла в каж-
дом узле сплайна в алгоритме аппроксимации с переменными уз-
лами.
Б. Из-за возможных ошибок измерения точки (xif у^ не обя-
зательно принадлежат графику f; есть уверенность только в том,,
что, например,
3 1^7 ^z> -ХД» 3 У[ А Уг> У1~\~^ У&
такие, что y*z=f
Иногда вместо четких, как здесь, интервалов, возможное по-
ложение x*i (соответственно y*i) может быть ограничено выпук-
лым и нормализованным нечетким множеством Xi (соответствен-
но Yi). Другими словами, при использовании a-среза Xia множе-
230
ства Хг (определенного как Xia = {х, pxi(x)^a, а<=]0, 1]}, где
— функция принадлежности Xi), вполне допустимо, что со степе-
нью точка x*i<^Xia. Вследствие выпуклости Xi срез Xi а есть
интервал, а нормальность Х{ гарантирует, что ХцУ=0. Функция
Xi представляет собой нечеткое число [3] или, если угодно, рас-
пределение возможностей [14] для более или менее возможных
значений неизвестного x*i. В этом случае последовательность пар
нечетких множеств (Х,, Уг) приводит к введению мягких ограни-
чений [6, 16] в задаче подбора кривой. Кроме того, ошибка при
попытке измерить x*i не всегда не зависит от ошибки измерения
y*i’. между ними может существовать взаимодействие, даже тогда,
когда такое взаимодействие практически трудно объяснить. Дру-
гими словами, расположение точки (х*<, y*-t) может быть огра-
ничено соответствующим подмножеством прямого произведения
[Xi—Xx^Xi + Xxt] х [yt —\yit yt + Xyi]
и в более общем случае соответствующим подмножеством XiXYi.
Прямые произведения невзаимодействующих нечетких подмно-
жеств определяются через оператор конъюнкции min:
Рх.ху,. (х, z/) = min (рх.(х), Нуг- («/)), Vx S SC, у е (1)'
Теперь, чтобы контролировать конъюнкции ошибок, можно ис-
пользовать операции более строгой конъюнкции, такие как про-
изведение или шах(0, а-\-Ь—1) и с их помощью построить слабо
невзаимодействующие прямые произведения (см. [3]):
max (0, рх. (х) + Ну, (//) — !)< Их, (*) - Ну, (*/) min (Их. (х), Цу. (у)).
С С it II
Примечание. При одних и тех же условиях проведения п
измерений (х^г, у\, / = 1, п) пары (хг-, //г) существуют несколько
способов объединения интервалов ошибок
Д (хг) = [х{—Д х[, х{ + Д х{\ ,
I’ (yi) = [y'i~Xy{, у{ + Д х']
в (четкое или нечеткое) подмножество Основной вопрос
состоит в следующем: следует ли для построения гранулы инфор-
мации объединить сначала П(Хг) и li(yi), а затем уже построить
прямое произведение, или объединить прямые произведения
/Дхг) X/Д#г), / = 1, п.
В. В случае А задавались точно размещенные точки подлинно-
го отображения f. В случае Б были известны нечеткие расположе-
ния точек подлинного отображения f, и на основе сведений о
выборке точек, которые не принадлежат графику f, а только рас-
полагаются в его окрестности, определялись возможные границы
каждого расположения. Теперь предположим, что точки снова
расположены точно, однако f уже не настоящее отображение.
Другими словами, у есть функция не только от х, но и от других
переменных, хотя если интересоваться только грубым описанием
всего процесса, то действием этих вторичных переменных можно
231
пренебречь. Можно обратиться к модели y==f(x)-]-w, где f — под-
линное отображение и w — случайная переменная с нулевым ма-
тематическим ожиданием. В качестве альтернативы можно рас-
смотреть модель, которая оказывается почти отображением и в
которой f — нечеткое отображение: f (х) есть нечеткое множество,
ограничивающее возможные значения «соответствующего» у, т. е.
каждому х ставится в соответствие нечеткое значение f(x)=y.
Если в распоряжении имеется большое число точек (х<, z/f),
то для того чтобы уплотнить информацию, можно пожелать сгруп-
пировать точки в нечеткие кластеры. Таким образом, неточность
данных (см. Б), а также неясная природа f могут привести к
введению нечетких множеств прямого произведения в ка-
честве описания отображения f.
Г. Функцию f можно определить и непосредственно с помощью
выпуклых нормализованных нечетких множеств. Выпуклые нечет-
кие множества удобны по той причине, что они моделируют гру-
бо специфицированные значения. Если эти нечеткие множества
снабжены контекстно зависимыми метками на естественном язы-
ке, то можно говорить о лингвистических спецификациях. Есть
три типа причин, по которым / может задаваться лингвистически:
1) даже при хорошо известной функции f может возникать инте-
рес только к ее грубому описанию; 2) доступность только прибли-
женного описания f, как, например, в случае Б, когда неточность
данных эквивалентна заданию нечетких множеств; 3) f — не на-
стоящее отображение, может рассматриваться как таковое с точ-
ностью до аппроксимации. Эта ситуация относится к случаю В.
Данные относительно f можно разбить на кластеры, чтобы постро-
ить нечеткие множества, наделенные лингвистической интерпрета-
цией. Такую лингвистическую спецификацию можно описать как
множество пар (Хй Уг), i=l, N нечетких множеств.
3. ЧЕТКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕЧЕТКОЙ
ГРАНУЛИРОВАННОЙ СПЕЦИФИКАЦИИ
Рассмотрим данные, состоящие из {(Х^ У*)}, i=l, N, где Хг~
(соответственно Уг) — нечеткое множество на & (соответственно
на ^czR, выпуклое и нормализованное по предположению. Если
считать, что в основе истинного отображения f: лежит та-
кая спецификация, то для любого i множество У; будет образом
множества Xi при отображении f, т. е. можно использовать прин-
цип продолжения
V i, V у, ру (у) = sup рх (х) (2)
при ограничении y = f(x). Соотношение (2) словами можно вы-
разить так: «чем больше х принадлежит Хг, тем больше у при-
надлежит Уг». Действительно, из (2) Следует
V х, ру. (f (х)) > рх. (х). (3>
232
Другими словами, если f сужено на носитель S (Хг) множества
Хг, то f — отображение с нечеткой областью определения Xi и
нечеткой областью значений Yi. Такого типа отображение деталь-
но изучалось в литературе по нечеткой топологии (см., например,
[7]). Отметим, что соотношение (2) определяет наименьшее не-
четкое множество Yi (в смысле обычного включения нечетких
множеств), которое при заданном Xi удовлетворяет неравенству
(3). Условие (3) можно также интерпретировать в терминах
а-срезов:
(3) & V а е] 0,1], X е (Хг-)а => f (X) е (Yt)a
или эквивалентно (Хг) а sf”1 ((Уг)а), ¥аен]0, 1].
В рамках этой интерпретации проблема идентификации со-
стоит в том, чтобы найти функцию f, удовлетворяющую соотно-
шению (2). Именно, каждая пара множеств (Xiy Yi) порождает
часть fi функции f, определенной на S(Xi). Затем все части fi
нужно объединить в единственную функцию f.
Для данной пары i условие (2) можно представить в виде
V у S ру (у) = sup min (рх (х), Pf (х) (у)), (4)
t V t
X
где
fl, если y = fi(x),
(У) —
10 в остальных случаях.
Решением (4) для заданного значения у будет характеристиче-
ская функция р/л(.){у) множества {х|рл, (х)=ру£ (у)}- Другими
словами, fi определяется из условия
v X е S (Xi), fi (х)-=у: Рх. (У). •
Заметим, что не обязательно существует на S(Xi), например,
если SxeS(Xi), Vy^S(Yi), py£l(f/) =t^paz (x). Кроме того, fi мо-
жет определяться неоднозначно, например, если Ях такой, что
множество Фг (х) = {у\ рУ. (у) ===рх1- (х)} содержит более одного
элемента. Для того чтобы характеризовать f на основе всех дан-
ных пар {(Хг, К)}, i=l, N, следует отыскать процедуру для син-
теза множества {fj, i=l, N отображений, полученных от каждой
пары (Xi, Уг), i~i, N. По сути надо проверить согласованность
fi и fj в случае, когда XiftX^ 0. А именно, чтобы избежать про-
тиворечивой информации, множества возможных значений fi(x)
и fj(x) Vx^S (XiRXj) не должны пересекаться. Итак, множество
условий для существования не нечетких отображений f, лежащих
в основе гранулированной спецификации {(Xi, Y{)}, i=l, N име-
ет вид
f V i, V x e S (Xf), Ф, (x) ^=0 , (5)
I Vi, V/^i, Ухе5(ХгПХ;)^И,Фг (х)ПФ;Д/)¥=И. (6)
При условиях (5) и (6) функцию f можно (не единственным об-
разом), выбрать из условия: Vi, Vx«=S(Xi), f(x)e®i(x). Заметим,
233
что если для представления {(Xi, Уг)}, i=l, N существует функция
f, то
V i, j, sup min (py (//), py (t/)) > sup min (px (x), px (x)). (7)
* I J
У *
Доказательство. Согласно (3) supmin(pyl. /#), рУ/(у))
у
sup min (py. (f (x)), pyy. (f (x))) sup min (pXf (x), pX/ k(x)).
X X
Примечание. Если Xi, Yi — нечеткие множества при всех i,
то VxeXi, Фг(х) = У{, так что прямое произведение ХгхУ; со-
ставляет возможную область значений для определения fi.
Если f не существует, то для представления гранулированной
спецификации вместо четкого отображения можно попытаться по-
строить нечеткое отношение.
4. НЕЧЕТКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕЧЕТКОЙ
ГРАНУЛИРОВАННОЙ СПЕЦИФИКАЦИИ
Обобщение (2) на нечеткое представление приводит к пробле-
ме нахождения нечеткого отношения R на fflX6#, построенного
из нечетких отношений Ri, таких что
V У, рк. (у) = sup min (рх. (х), ря. (х, у)). (8)
хе <27
И опять ответ не единственный.
Интересным решением (8) будет прямое произведение XiXYi,
определенное в (1). Это — решение невзаимодействующее, так как
всякое ае]0, 1] сужает Xi и Уг до (Хг)а и (Уг)а и приводит к
сужению XiXYi на (Xi)a X (Уг-)а . Это согласуется с примечани-
ем в разд. 3.
Заметим, что ХгХУг- всегда будет решением (8) только пото-
му, что Х{ и Уг имеют один и тот же вес (как нормализованные
нечеткие множества). Прямое произведение ХгХУ? называется
нечеткой гранулой.
Переобозначая (8) в компактной форме Yi = Xi ° Ri, имеем
Уг = Xt ° (Xi х Yi) ; Xf = Yt ° (Xt x Kf), (9)
так что XiXYi представляет собой двухстороннее решение, не за-
ключающее в себя идею причинной связи между Хг- и Уг-. В
представлении (Xi, Yi) через XiXYi предполагается всего лишь
возможно одновременное появление Xi и У$. Наконец, Xi и У<
можно восстановить из ХгхУг с помощью проекции.
Общее отношение целесообразно определить как
U XlXYi, (10)
t=i, w
где U обозначает max.
234
' Это определение устанавливает, что R отражает возможность
одновременного появления любой пары (Xif Yi)1.
Этот подход широко используется в литературе по нечеткому
управлению (см., например, [12]).
Однако можно предпочесть направленную интерпретацию гра-
нулярной спецификации и допустить некоторую причинную связь
между Хг и Yi. Тогда пара (Xi, Yi) означает «если х есть Xi, то у
есть Уг». Используя какую-нибудь многозначную импликацию,
можно определить Ri, например, условием
R\ (х, z/) = max (1— (х), (у)), (И)
R* (х, y) = min (1,1—Hxf (х) + Нг{ (У)) • (12)
Следует отметить следующие свойства:
для (х, у) таких, что jiyt. (у) t- (х) (т. е. у есть возможное
значение f(x) в (2))
Rli (*» у)> н R2 (х, у) = 1
4 2
если Xi — нечеткое множество, то Хг ° R\^Yi, Хгв R2iZDYi
(строгое включение). Это обусловлено частичным перекрытием
Хг и Xi (дополнением Xi), которое мешает восстановлению исход-
ной информации для низких степеней принадлежности. Можно
показать, что для непрерывных Xi
HDio у G/) = max (0,5, p,yf («/))
ЛI л.
"Г ’
если цу. (х) =0 (т. е. х не имеет ничего общего с Xi), то
.(х, у) = \ при любом у, что означает: у совершенно неопреде-
ленен, в то время как (х> У) = 0.
Глобальное отношение, определенное на семействе {7?^}, i =
= 1, N, с помощью некоторой импликации, можно получить, по-
лагая <
Я = П = 1,2,
i=l ,N
где П означает min.
Это агрегирование можно оправдать тем фактом, что если па-
ра (Xi, Yi) четкая при любом i и множества Xi представляют со-
бой последовательность соседних непересекающихся интервалов,
то
П и Х(Х/(,/= 1,2.
i=l ,N i=l,N
Однако есть доводы и против такого объединения отношений RU-
1 Когда гранулы частично перекрываются, суммируем их, беря их объедине-
ние (в смысле max), и тем самым отходим от вероятностной интерпретации
гранул fll].
235
Пр имечание. Наибольшее решение в (8) (в смысле обыч-
ного включения нечетких множеств) было найдено в [10] и имеет
вид
(*, У) = 1, когда (у) > (х),
р* (х, у) = Ру. (у) в остальных случаях.
1
Оно соответствует импликации Брауэра и, таким образом, вы-
ражает причинность.
Если импликацию (11) заменить ассоциированной с ней экви-
валентностью, то поскольку min (max (1—a, b), max (а, 1—Ь))—
=max (min (а, b), min(l— а, 1—Ь)), функцию рд. (х, у) следует
заменить на max(px.xyz (х, у), ру (х, у)), где и Yi обо-
значают дополнения Хг и Yi соответственно. Такая эквивалент-
ность соответствует высказыванию «х есть Xi и у есть Уг» или
«х не есть Xi и у не есть Уг», которое запрещает как высказыва-
ние «х есть Xi и у не есть Ур>, так и «х не есть Xi и у есть Уг».
Таким образом, при использовании эквивалентности заранее
предполагается, что соответствие Xi и Yi будет однозначным в
каждом из этих двух возможных смыслов.
При использовании импликации заранее предполагается, что
нечетко специфицированное отображение рассматривается как
«грубое отображение», обратное к «грубо инъективному», по-
скольку, когда х принадлежит Xit исключается любое другое не-
четкое значение, отличное от Уг-. Использование прямого произве-
дения не накладывает заранее никаких ограничений и не мешает
парам (Xi, Yi) и (Xi} У7^Уг) быть представленными в специфи-
кациях.
Утверждения вроде «х принадлежит Xi и у принадлежит Уг»,
«если х принадлежит Xi, то у принадлежит У<», «у принадлежит Yi,
тогда и только тогда, когда х принадлежит Xi» представляют со-
бой нечеткие гранулы информации. Заде [15] использовал это вы-
ражение в другом контексте, но с аналогичным смыслом. Выска-
зывание «х принадлежит Xi и у принадлежит Уг» соответствует
нечеткой грануле XiXYi (конечно, если Xi и У;— взаимодейству-
ющие, то ХгХУг можно заменить соответствующим подмножест-
вом), выражающей локальную информацию без какого-либо
предварительного предположения о природе того, что специфици-
руется.
Примечание. Одна из важнейших проблем заключается в
оценке нечеткого множества Y', соответствующего данному нечет-
кому множеству по гранулированной информации, заданной пара-
ми (Xi, Yi). Поскольку мы пренебрегаем тем, что же точно сог-
ласно (2) отображается соответствием X'-^Y', то можно попы-
таться экстраполировать Y'.
В литературе по нечеткому управлению Y' обычно определя-
ется выражением
Г = где /?= U XiXYi.
i=i t.v
236
хД1ожно показать, что это эквивалентно У'= U ((XjX Yi) ° Х')\
i=l, N
т. e. эквивалентно сохранению раздельных гранул при выполне-
нии max-min композиции и последующего объединения результа-
тов. Более того, имеем
Уу,№'(у) = max min Ру f (!/)), (13)
i=l,N '
где hgt есть высота нечеткого множества; hgt(X,f]Xi) =sup pxnxt-.
Очевидно, что при этом подходе выполняется неравенство
V i, hgt (Yf ПП) > hgt (Хг П X^, (14)
которое представляет естественное требование, аналогичное [3].
В [1] на основе (12) предложен другой способ определе-
ния Y':
Y'= П (*'° У??)
i=l ,N
При таком подходе правила Xi=>Yi сохраняются раздельными.
Для того чтобь! судить относительно возможности сохранить или
не сохранить эти правила раздельными, требуется тщательно изу-
чить приводит ли использование импликации при работе с грану-
лированными спецификациями к возможному удовлетворению та-
ких естественных требований, как (14).
5. ГРАНУЛИРОВАННЫЕ СПЕЦИФИКАЦИИ
В этом разделе рассмотрение ограничивается спецификация-
ми, составленными из множества «гранул» XiXYif i=l, N. Други-
ми словами, каждая гранула (Хг-, Уг) интерпретируется как пря-
мое произведение: нечеткое множество ХгХУг- выглядит как не-
четкое пятно или гранула в этой области.
При построении гранулированной спецификации информация
должна анализироваться по ее полноте, согласованности и избы-
точности.
По-видимому, полноту спецификации логично связать с каче-
ством покрытия множества Хг области определения <^. Покрытие
cov Xt, 1=1, Х) =
= inf max цх. (х) = 1 —sup (1 — max Цх. (х))
хе«27 i х<=ЭС i=l, N
равно дополнению до 1 возможности [14] того, что существует
элемент из области который не «принадлежит» нечеткому мно-
жеству U Хг. Другими словами, это есть мера невозможности
:=1, W
этого события и мера необходимости противоположного события:
«Все элементы области %? действительно «принадлежат» не-
четкому множеству U Хг».
i=l, AZ
237
Функцией cov(<^; Xi, Z=l, N) оценивается, с какой степенью'
множества Xt образуют хорошее покрытие области 9в. /
Примечание. В работе [9] излагается, по-видимому, более
вероятностный подход, поскольку при определении нечеткого раз-
биения накладывается требование inf S Цх,(х) = 1. Если
исключить нарушение непрерывности предмета спецификации, то
две пары (Хг, Уг), (Xjs У,) будут выглядеть противоречивыми как
при близких Хг и Х;, так и далеко расположенных друг от друга
Yi и Yj. Предположим, что существует отображение f такое, что
Yi=^f(Xi) и Yj=f(Xj) (в смысле (2)). Тогда неравенство
sup min (ру (у), ру (у)) > sup min (рх. (х), Рх. (х)) (15)
выражает тот факт, что согласованность Уг и Y3 больше или рав-
на согласованности Хг- и Xj. Согласованностью двух нечетких
множеств оценивается степень возможности, с которой две пере-
менные, априорные значения которых ограничены этими множе-
ствами, принимают одно и то же значение. Неравенство (15)
превращается в равенство, когда f взаимно-однозначная функция.
Это согласуется с тем, что обратное неравенство (интерпретируе-
мое как «чем ближе Yi и У-,, тем ближе должны быть Xi и Х^»)
реализует некоторый тип грубого условия инъективности.
Если неравенство (15) не выполняется, то либо пары (Х^ Уг)
и (Х3, Yj) противоречивы, либо f — разрывная функция. Можно
показать, что неравенство остается справедливым, если VxSt/:
Ня(х, #)==1 и Yi^Ro Xi, Yj — R0 Xj.
Если Y3 — f(X3), Yi = f(Xi) и данные непротиворечивы, то как не-
обходимое следствие получается
Xi <= Xj =>Yi<= Yj.
Пара (X3, Y3) дает избыточную информацию относительно (Xi}
Y{), и к тому же эта информация менее точная. Однако Xi, воз-
можно, необходимо для того, чтобы обеспечить хорошее покры-
тие Множество Х3 окажется действительно излишним, если
множества
{ХЙ|А= 1, N}-{X,}
образуют достаточно хорошее покрытие области Я?.
Величиной I (Xi, Х3)= inf шах(цу. (х), 1—цх, (х)) оценивает-
ся степень пустоты пересечения ХгГ|Х3. Ее можно рассматривать
как степень включения Xi в Х3. Если Yi=f(Xi) и Y3 = f(X3), то
можно показать, что I(Yj, Yi)^I(Xj, Xi). Величина
max/(X3-, Xi) оценивает, до какой степени можно считать, что су-
ществует Xk, содержащее другие Xj.
238
i Таким образом, во избежание избыточности можно потребо-
вать, чтобы cov(<^; Xi, i—1, N) и 1—max/(Ху, Х{) были близ-
КИ к 1.
' Наконец, если носитель некоторого Уг- слишком велик, то ин-
формация становится слишком неточной и для того, чтобы сде-
лать локально точным поведение предмета спецификации, удоб-
нд заменить Хг на семейство подмножеств (которое вместе с мно-
жеством {Xk|i&= 1, N} — {ХД сохраняет хорошее покрытие $?).
6. НЕЧЕТКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ
ДАННЫХ
В этом небольшом разделе кратко затронем два вопроса. Пер-
вый: каким образом можно представить большое семейство то-
чечных данных Уг) с помощью относительно малого числа не-
четких гранул или нечетким отношением? Второй: как перейти
от нечеткого гранулированного представления к нечеткому отно-
шению? Первые попытки рассмотреть эти вопросы с аналитиче-
ской точки зрения были сделаны в работах 1[2, 13] для грануляр-
ного йЪдхода. Хотя гранулярное представление оказалось очень
полезным, аналитический подход остается очень привлекатель-
ным. Это объясняется тем, что нечеткое отношение R на
может оказаться эквивалентным нечетко-значному отображению f
(представляющему обычное отображение во множество нечет-
ких подмножеств множества поскольку Vx, Уг/рв(х, у) —
= )(*/)• Такое представление удобно для обобщенных анали-
тических операций, таких, как интегрирование и дифференциро-
вание [3].
Общие этапы процедуры получения таких представлений не-
четких гранул или нечеткого отношения состоят в следующем:
1) если семейство точек (х^, yi) велико, применим сначала ка-
кой-нибудь метод кластеризации, например как предложенный в
'[5], который представляется подходящим, поскольку с его помо-
щью можно обрабатывать большие множества данных;
2) первый шаг дает нечеткие гранулы. С помощью проектиро-
вания можно получить—#афы (Х{, Yi) (для простоты предполага-
ем, что рассматривается, двумерный случай) и затем гранулиро-
ванную спецификацию точечных данных;
3) наоборот, выполнив объединение нечетких гранул, получим
нечеткое отношение /. Для того чтобы сделать его более гладким
и легким для последующих аналитических выкладок, можно при-
бегнуть к следующей процедуре:
Vxge^ взять выпуклую оболочку f* (х) отношения /(х) и
нормализовать f*(x),
выбрать параметризованное представление, например (L—R)-
представление [3], и идентифицировать параметры, так, чтобы
они соответствовали f* (х).
Таким образом, получим не вероятностное аналитическое пред-
ставление исходного точечного множества данных.
239
7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Нечеткие отношения, рассматриваемые как отображения точек
в нечеткие множества, еще не нашли большого отражения в Ли-
тературе. В противоположность этому гранулярная точка зрения
рассматривалась и применялась более широко, причем чаще всего
с использованием прямого произведения. Новые интересные во-
просы возникли после введения Заде [15] нечеткого вероятност-
ного ограничения в гранулярном знании.
Важно отметить, что в теории нечетких множеств и нечеткие
отображения, и гранулированная нечеткая информация могут рас-
сматриваться как альтернативные способы моделирования одних
и тех же плохо определенных систем. Многие направления иссле-
дований остались еще не изученными: проблемы идентификации
аналитического представления нечетких отображений, правил
проверки пригодности гранулированной информации и т. п. Цель
этих исследований состоит в обеспечении возможности получать
легкие в обработке представления плохо определенных систем с
учетом пронизывающей их неопределенности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Baldwin J. F, Guild N. С. F. (1980). Modelling controllers using fuzzy relati-
ons— Kybernetes, Vol. 9, pp. 223—^229.
2. Chang S. S. L, (1977) Application of fuzzy set theory to economics. Kyber-
netes, vol. 6, pp. 203—207.
3. Dubois D. Prade H. (1980) Fuzzy sets and systems: theory and applications
Academic Press.
4. Dubois D, Prade H. (1980) Additions of interactive fuzzy numbers. To appe-
ar, IEEE Trans. Automatic Control.
5. Gitman I., Levine M D. (1970) An algorithm for detecting unimodal fuzzy
sets and its application as clustering technique. IEEE Trans. Computers. Vol.
19, pp. 583—593.
6. Kendall J. W. (1975) Hard and soft constraints in linear programming. Ome-
ga the Int. J. of Manag. Sci, 3, n°6, pp. 709—715.
7. Lowen R (1976) Fuzzy topological spaces and fuzzy compactness J. Math.
Anal. Appl., 56, n°3, pp. 621—633.
8. Pavlidis T, Chang R. L. P. (1977). Application of fuzzy sets in curve fitting
16th IEEE Conf. Decision & Control. New Orleans — December, pp. 1396—'1400
Also in Fuzzy sets & Systems, vol 2, n°l, pp. 67—74, 1979.
9. Ruspini E. (1969) A new approach to clustering. Inf. Control, 15, pp. 22—32.
10. Sanchez E. (1976). Resolution of composite fuzzy relations equations. Inf. Cont-
rol, 30, pp. 38—48.
11. Schade О. H. (1955) Image gradation, graininess and sharpness in television
and motion picture systems. Part IV, A & B. Image analysis in photographic
and television systems (definition and sharpness). J. of the S. M. P. T. E., vol.
64, n°ll, pp. 593—614.
12. Tong R. M. (1977) A control engineering review of fuzzy systems. Automatica
13, pp. 559—569.
13. Tong R. M. (1978) Synthesis of fuzzy models for industrial processes: Some
recent results. Int. J. Gen. Syst., Vol. 4, pp. 143—‘162.
14. Zadeh L. A. (1978) Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. Fuzzy
sets & Systems, vol. 1, n°l, pp. 3—*28.
240
15. Zadeh L. A. (1979) Fuzzy sets and information granularity. In Advances in
\ fuzzy set theory and applications (M. M. Gupta, R. K. Ragade, R. R. Yager
\eds) North-Holland, pp. 3—18.
16. \Zimmermann H. (1976) Description and optimization of fuzzy systems Int. J.
beneral Systems 2, pp. 209—J215.
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА КАК КЛАССЫ
ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВ
И. Гудмэн 1
В работе показано, что функция неопределенности любого не-
четкого подмножества заданного пространства должна быть обыч-
ной функцией одноточечного покрытия класса эквивалентности (в
общем случае, бесконечно большого количества) случайных под-
множеств пространства. Эти классы исследуются и до некоторой
степени характеризуются. Исследуются также связи между ме-
рами неопределенности, такими как меры доверия, правдоподобия
и неясности. В каждом классе эквивалентности особенно важны
два случайных множества.
Первое — это уровневое множество, причем уровень равномер-
но распределен на единичном интервале. Второе соответствует про-
изведению вероятностной меры, индуцированной на пространст-
ве всех функций принадлежности обычных подмножеств данного
пространства. Оба типа случайных множеств приводят к (отчас-
ти различным) гомоморфизмам из совокупности всех нечетких
подмножеств в совокупность всех случайных подмножеств данно-
го пространства. Эти отображения устанавливают соответствие
между многими стандартными операциями нечетких множеств и
обычными операциями случайных множеств, включающими объ-
единение, пересечение, дополнение, включение подмножеств, функ-
циональные преобразования и прямые произведения. Соответст-
вующий результат показывает, что понятию многоточечной при-
надлежности в нечетких множествах отвечает понятие многоточеч-
ных покрытий случайных множеств. Описаны применения резуль-
татов к нечеткой логике. Показано, что смешанные вероятностные
и нечеткие описания вектора неизвестных параметров дают экви-
валентные нечеткие и случайные доверительные множества, вы-
числительно реализуемые и оптимальные для сохранения инфор-
мации.
Ключевые слова: нечеткие множества; нечеткая логика; слу-
чайные уровневые множества (множества случайного уровня); ме-
ры неопределенности; множества доверия.
1 Naval Ocean Systems Center, Surveillance Systems Department, Development
Support Branch, Code 7232, San Diego, California 92152.
241
1. ВВЕДЕНИЕ j
/
Теория нечетких множеств и ее методы находят сейчас приме-
нение при решении самых разнообразных проблем. Это, например,
исследования в области медицинской диагностики [7], нечеткой
логики [28], применение методов нечетких решений к ситуациям
управления во флоте [32]. К 1979 году в работе [7] собран спи-
сок названий почти 1800 работ, относящихся к области нечетких
множеств. К этому времени основная дискуссия велась вокруг мо-
делирования и обработки неопределенностей между приверженца-
ми нечетко-множественных процедур и других нестандартных под-
ходов и сторонниками использования более классических вероят-
ностных и сатистических методов. Например, Стэллингс [28, 29],
применявший байесовскую технику, полемизировал с Джейком
[11]—сторонником нечетких множеств; Трибус [31], использо-
вавший стандартную теорию вероятностей, выступал против Кэн-
дела [14] и Заде [37]—сторонников нечетких множеств; Заде
критиковал [35] Демпстера [3] и Шейфера [24] за их точку зре-
ния на роль нижних и верхних вероятностных мер доверия (см. так-
же комментарии Нгуена [22] и последние разделы этой статьи);
Заде [34] разработал теорию возможностей как прямую альтер-
нативу классической теории вероятностей. Джонсон и Шор [12],
возможно, суммируя дискуссию, выдвинули простейший и наибо-
лее наивный аргумент в пользу теории вероятностей вместо тео-
рии нечетких множеств, заявляя, что распределений априорных и
условных вероятностей достаточно для описания всех проблем не-
определенности (при часто невыполнимом на практике условии,
что их можно получить). Можно также указать на критику Хаа-
ком [8] нечеткой логики второго порядка. Наконец, в связи с этим
нужно отметить замечательный трактат Файна [4], в котором
сравнивается большое число различных подходов к определению
теории вероятностей, включая классический подход Колмогоро-
ва, частотный, общий подход Лапласа, подход, основанный на по-
нятии максимальной энтропии, сравнительный логический и субъ-
ективный. Файн пришел к выводу, что все эти подходы облада-
ют серьезными недостатками и кратко рассмотрел невероятностные
альтернативы [4].
Однако только относительно небольшое внимание было уделе-
но тому, чтобы определить, каковы строгие связи, если таковые
существуют, между теорией нечетких множеств и классической
теорией вероятностей. Суждено [30] в своих вводных замечаниях,
однозначно заявляет о невозможности непосредственного сравне-
ния нечетких множеств с вероятностями. Хирота стремился по-
казать теоретическую эквивалентность этих двух дисциплин [9].
В действительности он рандомизирует данную функцию принад-
лежности нечеткого множества случайным параметром соответ-
ственно априорному байесовому распределению и показывает, что
при некоторых слабых условиях эта случайная переменная харак-
теризуется множеством моментов всех порядков (при получении
242
числовых результатов упор можно сделать на моменты низших по-
рядков). Затем он довольно поверхностно связывает этот вероят-
ностный подход с моделированием рандомизированных функций
принадлежности (которые в его терминологии определены как
«.вероятностные множества») с нечетко-множественным подходом
к представлению моментами. С этой идеей близко связана, на-
пример, идея «нечетких случайных переменных» для случая нечет-
ких чисел [18], т. е. кусочно-непрерывных функций нечеткой при-
надлежности (дальнейшее описание см. в п. 4 раздела 5 данной
статьи). Другое направление представлено в работах [16, 17] по
нечетким вероятностным мерам и вероятностям нечетких собы-
тий, в которых вероятность и нечеткие множества связаны с «внеш-
ней» точки зрения. (В этих работах вводится нечеткая мера, т. е.
функция, аналогичная вероятностной мере, но определенная отно-
сительно одиночной функции принадлежности, когда обычные объе-
динения и пересечения заменены аналогами из теории нечеткого
множества. Мера характеризуется в виде ожидания от функции с
марковским ядром относительно обычной случайной переменной
на базовом пространстве.) Возможно, автор работы [20] в раз-
работке «нечетких теорий» продвинулся дальше других, одновре-
менно обобщая вероятностные нечеткие понятия. Действительно,
построенные в этой работе структуры обобщают теорию досто-
верности и приоритетности, как и теорию топологической близо-
сти.
В работе [21] на основе отображения уровневого множества
выведена связь между классом всех (L-) нечетких подмножеств и
классом совокупностей (названных L-размытыми) обычных под-
множеств одного и того же базового пространства. Гудмэн [6] в
неопубликованной работе (упоминавшейся и переработанной Нгу-
еном [23]), был, по-видимому, одним из первых1, кто вывел точ-
ную связь между теорией нечетких множеств и теорией вероятно-
стей, используя рандомизированные уровневые множества. В то
же самое время, обобщая предыдущие работы, Демпстер [3] и
совершенно независимо от теории нечетких множеств Шейфер
[24] предложили несколько альтернативных точек зрения на не-
определенности, включая меры доверия, неясности и правдоподо-
бия для конечных базовых пространств. Нгуен [22] подчеркивал
явные связи между многозначными отображениями Демпстера и
верхними и нижними вероятностями, функциями доверия Шефе-
ра и случайными подмножествами одного и того же базового про-
странства. Нгуен также указал, что представление произвольно
заданной функции доверия на локально компактном базовом про-
странстве относительно соответствующего случайного подмноже-
1 См также работы Орлов А. И Основание теории нечетких множеств
(обобщение аппарата Заде). Случайные толерантности —В кн • Алгоритмы мно-
гомерного статистического анализа и их применение —М ЦЭМИ АН СССР,
19715; Орлов А И Связь между нечеткими и случайными множествами. Нечет-
кие толерантности — В кн . Исследования по вероятностно-статистическому мо-
делированию реальных систем. — М.: ЦЭМИ АН СССР, 1977. (Прим, ред)
243
ства этого пространства есть не что иное, как теорема Шоке/о
емкости [2]. Недавно Шейфер [25], по-видимому, независимо от
результатов Нгуена рассмотрел применение теоремы Шоке и смеж-
ных результатов к определению представления для функций до-
верия. Затем, используя конструкцию типа внешней меры, Шей-
фер расширил область определения функций доверия до множе-
ства всех подмножеств базового пространства Хёле [10], получил
аналогичные представления для мер доверия и правдоподобия. Од-
нако, разрабатывая эти отношения дальше, Хёле нашел прямые
связи между функциями принадлежности нечетких множеств и
классом случайных подмножеств одного и того же базового про-
странства, порождаемого ^-нормами. К тому же Хёле описал мо-
нотонность, доверие, правдоподобие и вероятностные меры через
вероятностные меры на степенном множестве булевых алгебр,
на которых определяются исходные меры. Этот результат можно
интерпретировать в терминах реализаций случайных эксперимен-
тов. Наконец, нужно отметить, что еще Кендалл в 1974 году раз-
работал теорию случайных подмножеств данного базового прост-
ранства, используя понятия инцидентности и уклонения функций,
формально соответствующих мерам правдоподобия и неясности
соответственно (опять же связанные с теоремой емкости Шоке).
Его главные результаты (теоремы 12, 16 из [15]) тесно связаны
с результатами Шейфера, Нгуена и Хёле, хотя по своей направ-
ленности его работа была ориентирована скорее на классические
проблемы геометрической вероятности, чем на разработку альтер-
нативных мер неопределенности.
В настоящей работе обобщаются результаты автора [5], пере-
формулируются и группируются результаты работ Хёле, Нгуена,
Шейфера и других и устанавливается несколько новых связей
между теорией нечетких множеств и теорией вероятностей. В тео-
реме 1 определяются строгие условия для равномерно рандомизи-
рованного уровневого множества, связывающие принадлежность
нечеткого множества с вероятностями. Затем выводится другое от-
носительно простое (произведение меры) случайное множество,
которое связывает уровни принадлежности нечеткого множества
со значениями вероятности. Это построение выполняется для клас-
са всех случайных подмножеств базового пространства, обладаю-
щего обычной функцией одноточечного покрытия, идентичной дан-
ной функции принадлежности нечеткого множества. В теоремах 2
и 3 описываются свойства покрытия двух рассматриваемых кано-
нических случайных подмножеств и вообще классов эквивалент-
ности. В теореме 4 переформулируются результаты Хёле и других.
В теореме 5 приводятся гомоморфизмы (3.36) — (3.42). Эти отоб-
ражения, индуцированные ранее указанными двумя канонически-
ми случайными множествами, связывают большинство основных
нечетко-множественных операций с соответствующими им обыч-
ными теоретико-множественными операциями. Наконец, примене-
ние полученных результатов к нечеткой логике (теоремы 6 и 7)
дает наиболее точные выводы из гипотез, возникающих при обыч-
244
Цых логических комбинациях нечеткой и вероятностной информа-
ции. Эти выводы можно выразить либо через эквивалентность не-
четкого доверия, либо через случайные доверительные множества.
2. СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА И МЕРЫ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Главные результаты этой статьи базируются на понятиях слу-
чайного множества и их функций покрытия. Пусть X — заданное
(базовое) пространство и пусть, по определению, Р(Х) = {Д|Д^
sX} —степенное множество на X, G(X) А {Фа|Фа : Х->{0, 1}} —
множество всех функций принадлежности обычных множеств
Г(Х) Д {Фа|Фа-Х—>[0, 1]} — множество всех функций принад-
лежности нечетких множеств J(X)X {Д|ДеР(Х)& мощность
(Д) —конечна}. Очевидно, что множества Р(Х) и G(X) можно
отождествить. Пусть для любого ВеР(Х) определены множества
Св Х{С[В^С^Х}, DBX {С\С^В, С^Р(Х)}, Ев X {С \С<=Х&В(]
(]СУ= 0 }.
Таким образом,1 2 ЕВ^СВ, DB; CB(]DB= {В}, Р(Х) ч DB = EX-\B,
Св= А С{Х} и т. д.
хсв
Случайное подмножество S пространства X можно отождест-
вить с измеримым отображением (часто тождественным отобра-
жением) некоторого исходного вероятностного пространства в од-
но из двух эквивалентных пространств: (P(X)j^, v) или (G(X)r
v), где &— соответствующие cr-алгебры. Пусть f — произ-
в
вольное отображение3 «в», т. е. f:P(X)-*~X. Тогда, если 3 есть
случайное подмножество X и f — измеримое отображение относи-
тельно заданной о-алгебры ^sP(X), то ХА/(3) есть случайная
переменная на X, соответствующая индуцированной вероятностной
мере p(6)s,/ Av° /-1. Таким образом, для всех
(В) = Рг (3 GE /-1 (В)) = Pr (X GE В).
Обратно, если X — случайная переменная на X, соответствующая
вероятностному пространству, скажем, (X, <^, ц), и если f-1: Х->
-Р(Х), измерима относительно <S и заданной о-алгебры 3)^
^РР(Х), то, замечая, что (f-1)-1: РР(Х)->Р(Х) получим, что
ЗД.^-цХ) есть случайное подмножество множества X, соответст-
вующее вероятностной мере vAp, ° (f-1)"1. Таким образом, для
любого <&<=£), vH)='Pr(Se^) = Pr(f-1(X)e^)=p((f-i)"1W)
(см. также приложение В, где рассматривается несколько отлич-
ная конструкция 3). Обозначим через (X) класс всех случайных
1 Т. е. множество характеристических функций множеств АаХ (Прим, ред.)
2 В работе А н В Д (Л\В). (Прим, ред.)
3 Инъекция. (Прим, ред.)
245
подмножеств S пространства X, пусть вместе с S&fy (X) все мно-
жества Св, DB, Ев^^Ф (для S).
Функция покрытия подмножества p(4)s: P(X)->J[0, 1] (и, таким
образом, порождающая нечеткое подмножество Р(Х)) для всех
ВеР(Х) определяется как p(4)s(B) APr(B^S) —Pr(S^CB) =
=v(Cb). Подобным же образом определим p<3>s— функцию по-
крытия надмножества — как p<3>s(B) Л Pr (S<=B) =Pr (S^DB) ~
= v(Db). Также пусть p<2>s(B) = Pr(SpB=#0) =Pr (S^EB) =
=v(EB) — функция инцидентности, и, наконец, определим
p<5)s(B)APr(S(£S) = Pr (SQ (ХчВ) =£0) = Pt(S^Db) = Рг(Ве=
еВхчв) = 1—v(DB) =v(£xhb) и т. д. В частности, определенный
интерес представляет сужение p<4)s на J (X) или (X) А {В | Be
еР(Х)& мощность (В)^т) при m^l. Функция (p(4)sj P(m) (X)) А
A. Q(m)s называется функцией m-точечного покрытия для S.
Пусть заданы (X, ^?), З^Р(Х) есть о-алгебра или, по край-
ней мере, булева алгебра (X, 0е^^Р(Х) и класс $ замкнут на
конечных объединениях и пересечениях). Пусть задано отображе-
ние р: ^-^-[0, 1], называемое мерой неопределенности. Определим
также В<п) А (Вь ..., Bn); В^еР(Х), г=1,..., п\ В^Р(Х); п^\.
Пусть ( *' , *") есть или (f), U), или (U, П); * (В<п>) А * (Вг),
к ак
..., п}. Тогда
Ап (р, *" ; В, В<">) Д J ((— 1 )card w • р (В *” (*" (£<”>)))) ;
ке{1....п} к
Vn (р, В^ДЦ^'В^))-
{ 1 . • .. ,п}
— 2 ((— l)cardK+l р,(*даВ^))).Дп (р, *").
0^К^{1..п} к
Vn (р, *',*") всегда одного и того же знака. Функция р может
обладать дополнительными свойствами, при которых для всех В,
В<п> выполняются приведенные здесь отношения.
Приводимые далее определения, за исключением определения
5, можно найти в работе [10]; обоснование для конечных X см.
также в работе [24].
1. р есть монотонная мера тогда и только тогда, когда
О = р(0) ^p(Bi) ^р(В2) <р(Х) = 1 для всех BisB2.
2. р есть мера правдоподобия или верхней вероятности тогда и
только тогда, когда p(0)=O&An(p, (J) =^0 ((J — альтернирующая
емкость Шоке порядка оо).
3. р есть мера нижней вероятности, достоверности или доверия
тогда и только тогда, когда р(Х) = 1&Ап(р, П)^0 (П — монотон-
ная емкость Шоке порядка оо).
4. р есть мера сомнений или распространенности тогда и толь-
ко тогда, когда р(0) = 1&Ап(р, U)=C0 (U — монотонная емкость
Шоке порядка оо).
5. р есть мера недоверия или недостоверности тогда и только
тогда, когда р(Х)=0&Ап(р, П)^0 ((] — альтернирующая емкость
Шоке порядка оо).
246
\ 6. ц есть мера конечно-аддитивной вероятности тогда и толь-
ко тогда, когда ц — мера и правдоподобия и доверия, т. е. тогда
и только тогда, когда р(0)=О, р(Х) = 1&0=Дп(ц, f|)=An(|i, А)-
7. ц есть мера ^возможности тогда и только тогда, когда р —
монотонная мера и g(Z?iU^2) =p(Bi)-f-p,(B2)— /(p(#i), p(Z?2))
для всех В\, Въ, где t — дистрибутивная норма. (Определение и
примеры см. в [10, 17].) В частности, для любой функции ФаЕ
eF(X), и ВеР(Х), мера возможности по Заде, которая опреде-
ляется как PossА (В) A sup Фа (х) есть мера /-возможности при
х € В
/ = min. По аналогии определим Сег1д(В) Ainf Фд(х)—меру on-
х€В
ределенности.
Пр имечание 1. Используя соотношение 2 (—1)сага(к)=0
при 0=#A^P(JV), легко вывести, что: 1) р есть мера правдопо-
добия тогда и только тогда, когда 1—р есть мера сомнения; 2) р
есть мера доверия тогда и только тогда, когда р(-) = р(Л’ч (•))
есть мера сомнения; 3) р есть мера недоверия тогда и только тог-
да, когда 1—р есть мера сомнения. К тому же (см. теоремы 2.7,
2.8 в работе [10]): 4) если р — мера /-возможности, то р, — мера
правдоподобия, и в общем случае р не будет вероятностной мерой.
Наконец, всегда истинно, что: 5) если р(0)=О, p(JV) = l и р —
мера либо правдоподобия, либо доверия, то р — монотонная мера.
Аналогичное утверждение справедливо для 1—р, если р есть мера
либо сомнения, либо недоверия.
Пр имечание 2. Пусть S — случайное подмножество X, со-
ответствующее вероятностному пространству (Р(Х), s4-, v) для
всех Св, DB, Eb^s#'. Тогда p(2)s есть мера правдоподобия (на
Р(Х)), p<3)s — мера доверия, p(4)s — мера сомнения, p(5>s — мера
недоверия, и p(6)s / — вероятностная мера (для измеримого f:
Р(Х)+Х).
Доказательство. Сначала, используя предыдущее обозначение,
заметим, что для всех n^l, С <П)^СВ; и для всех К A CBj =
= С у в .. Теперь, используя свойства v как вероятностной меры,
к к ’
Vn(p(4>s, A, U)^0, заключаем, что p(4)s — действительно мера со-
мнения. Заметим, что этот результат справедлив для любого слу-
чайного подмножества S пространства X. В частности, это спра-
ведливо для X ч5. К тому же, заметим, что 1—p<2)s(B) =
= |1(4)х 4s(£), H(3)s=H(4)xhs(B) И 1—p(5)s(B) = p(4)X4s(B). Следо-
вательно, согласно примечанию 1 и первому результату все же-
лаемые свойства выполнены.
При конечном X прямые соотношения между p(2)s, H(3)s и
p.(4)s можно найти в работе [24]. Меру p/2)s часто обозначают как
Рг*, a p(3)s — как Рг* (и опускают указание на зависимость от S).
Примечание 3. Многие из новаторских результатов работ
Шейфера, включая некоторые приведенные здесь меры неопреде-
ленности (особенно верхней вероятности, доверия и распростра-
247
ненности), можно, учитывая примечание 2, переинтерпретировать
через случайные множества (см. [22]). В частности, правило
Демпстера для комбинирования сведений [24, 35] соответствует
надмножественному покрытию пересечения двух статистически не-
зависимых случайных подмножеств одного и того же базового про-
странства. В работе [27] меры доверия и правдоподобия обобще-
ны и определены на нечетких множествах, введены понятия необ-
ходимости и приемлемости.
Примечание 4. Случайные множества часто возникают в
статистических задачах в виде семейства множеств доверия, где
каждое множество индексируется с помощью вектора неизвестных
параметров, который и подлежит определению. К тому же могут
быть доступны числовые данные о имеющихся в распоряжении
случайных множествах. Однако основные результаты этой статьи,
которые связывают нечеткие множества, меры неопределенности
и случайные множества, представлены в виде, не зависящем от
неизвестных параметров. Поэтому было желательно иметь дело
с одним-единственным случайным множеством, не зависящим, от
неизвестного параметра и соответствующих данных наблюдений.
В приложении А описывается простая процедура для достижения
этого. В приложении Б демонстрируется техника обращения ин-
формации, описываемой с помощью случайной переменной, в ин-
формацию, описываемую одним случайным множеством.
Очевидно, что любое случайное множество S пространства X
определяет соответствующее нечеткое подмножество A (S) про-
странства X, эквивалентное S при всех одноточечных покрыти-
Фл(5) W A )({%}) = Pr (xGE S) для всех х^Х. (2.1)
Однако ситуация, обратная этой, не всегда очевидна. Пусть А —
произвольно заданное нечеткое подмножество Х\ существует ли
случайное множество 5(A), эквивалентное А при одноточечных
покрытиях, т. е.
Prf'xeS (А)) = Фд (х) при всех хеХ? (2.2)
Если существует, то каковы свойства случайного множества 5(A)
и каковы их связи с мерами неопределенности? Вот основные про-
блемы, которые здесь рассматриваются.
3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Сначала рассмотрим следующую конструкцию. Пусть функция
принадлежности Фа^Г(Х) выбрана произвольно.
Гл : [0, 1]-> Р (X); ГА(х) АФ^1 (х, 1]; хе=[0, 1]. (3.1)
Обозначив через Во борелевское поле над [0, 1], определим
Ао а Гл (Во) = {Гл (В)|В е= Во], Гл (В) а {Гл (х)|х е В} ;
а Гл [0,1] ; £0 £ <= Р (X) & Л ПГо 4}.
Обозначим через voh обычную действительную меру Лебега.
248
Теорема I.
1. ГА: ([0, 1], Во, voli)->(P(X), Lo, рА) есть измеримое отоб-
ражение между хорошо определенными ранее вероятностными
пространствами, включающими вероятностную меру цаА vol] °
• Га-1, где для любого ЯВеВ0 такое, что
Рл (Л) = рл (Л A f 0) = рл (Гд (В)) =
= vol, о Tj1 (Гл .В)) = Рг (Л) е Л) ; (3.2)
a(U)—Ф 4а.[£Л 1J» — равномерно распределенная
случайная переменная на [0, 1]; (3.3)
Su(A) есть случайное (уровневое) подмножество пространства
X, соответствующее рл.
2. 0 , Р(Х) и Св, DB, Eb^Lo при любом В<=Р(Х).
Доказательство 1. Для хе [О, 1] определим
xAinf Г-1а(Га(х)), х*^зпрГ-1а(Га(л:)), ^А{х|хе[0, 1]&х =
= х=х*} а^2= {х|х<=[0, 1]&х>х*}.
г- *
По
Заметим, что Tj1 (Гл (х)) = (х, х*] А 1Х и ^2 = j 1Х.
/=1
для некоторых х,- GE [0, 1 ], / = 1, ; п0 + оо.
Тогда для любого Л А Гл (В)
Гл‘ (Л) - и (Л) U (??, П В) е В„. (3.4)
1 </<«0
Доказательство 2. Для В ЕЕ Р(X), Св Й$о= {Гл (х)|х S £>}, D А
А {х| в s Гл (х), х е [0,1 ]} = D, и Dt, fxlx ЕЕ П D] =
=-.??! f|[0, x0|, x * sup (D). D2={x[x g ^f2riZ)) =
= U M Л {/]Г/ (B) S Ix/, 1 < J < «Л
/eM
Таким образом, Db D2 и, следовательно, £)iUB2eB0 и поэтому
СвП^оеАо. Доказательство для DbA^o проводится аналогично.
Далее, для данного ФАеВ(Х) пусть {Гх|хеХ} есть семейст-
во статистически независимых случайных величин, принимающих
значения 0 и 1, таких, что для каждого хеХ, Рг(7х= 1) =Фа(х)г
Рг(7х = 0) = 1—Фа(х). Тогда определим va как произведение ве-
роятностных мер, индуцированное на измеримом простран-
стве (G(X), ^), и введем вероятностное пространство
(G(X), va), соответствующее случайной функции принадлеж-
ности Фтл=Хфт (х) на G(X), и эквивалентно, случайное подмно-
хех
жество ТА пространства X, соответствующее вероятностному про-
странству (Р(Х), va). Предположим, что для всех 5еР(Х),
Св, Db%=&-
249
Следующий результат, в котором используются случайные под-
множества (А) и пространства X, положительно отвечает
на вопрос, поставленный соотношением (2.2).
Теорема 2. Пусть заданная функция принадлежности ФЛеТ(Х).
Тогда:
1. Для всех х ₽ X: <2^, (W) s Рг !.? = Sv (Л)) = (С(Л1) =
= (?о> ({Ж}) = рг (Х е Та ) = (Си)) = Фл (х). (3.5)
Xi
2. Для любых фиксированных, но различных Xi,..., xm,...,
и произвольного х^Х определим Вх = W. {0}. {0, 1} соот-
ветственно тому, какой из случаев хе{%1,..., xm}, x^{xm+i, ... ,хп}
или хф {х\,... ,• Хп} имеет место. Тогда соответствующее конечное
цилиндрическое множество имеет вид ХВХ&% и соответствует
х€Х
п
>Xm) —j J С{х.} .
г=т+1
Положив т = п, имеем
Рл (^m,J = Pr (Su (Л) G=gm,n) =
= max (min Фл(хг) — max Фл (хг), 0), (3.6)
Рл (С{Х1... ,х }) = Рг ({хп .. , хт] <= Su (Л)) == min Фл (хг), (3.7)
т п
vx(8m.„) = Pr(7'4e8m,„)=n Фл(х,) п (1-Фл(х,)), (3.8)
1=1 i=m+l
т
va (С{Х1, ,xmj) ~ Pr ({х1? ••• , — Та } = П Фа (я?)- (3.9)
i=i
Если C={xi, х2, ...}, то Рг (С ТА )= П фл (х4).
i=i
Перейдем к характеризации класса случайных подмножеств
заданного пространства, эквивалентного данному нечеткому под-
множеству.
Лемма 1. Пусть Ль — решетка при конечных объеди-
нениях и пересечениях, порожденная {С {Х}\х^Х}[}{0}{)
U{P(X)}.
1. Ло-{{0} = { и СвДВ1,..., Вт^Р(Х), каждое Вг- конечно,
i=l
1}.
т nk rk
2. Для любого СА{, ^kX[] CBk U CCk f
7=1 1 “/=1 1 ~j=l ’
для k= 1, 2,..., и U ^ft, (J № 4 ^k),
k^i k=i
а) из следует ^=0 при k=\, 2,..., т. e.
250
т
б) тогда и только тогда, когда Д U СВь • е
- i=i Ri’
еД тогда и только тогда, когда для каждого i существует ki^ 1
и такое, что , , m.
Доказательство 2a. Пусть 3^#= 0 для некоторых k, скажем,
rh
для всех 2,Определим Go A U U Gr, j и Ао ДА^Со-
/=1
Очевидно, что Аоез^ и Аое§\ для всех k^l. Но поскольку
то такое, что А0^^ьо. Следовательно, Ао^
ф $ ho, что противоречит условию.
Лемма 2. Пусть задано ФЛ^Р(Х); определим индуктивно фун-
кцию ц: J70—0, 1] следующим образом:
Часть 1.
Шаг 0. р, (0) а 0, р (Р (X)) = р (С0) £ 1. (3.10)
Шаг l.p (C{Xj ) A S^i (xj А Фл (хх) для всех х^Х. (3.11)
Шаг 2. Выберем произвольную фиксированную функцию
M-(c{*t.xa})> *1^*2, такую, что
^2 (-^1 > #2) Н (C{Xi,x2} ) ^2?(-^1 > ^г)> (3.12}
! ^2(хх; х2) А ц(С{х1}) + и(С{х2})-1, ’(3.13)
%'2 (*1 ; х2) A min (р (С{Х1}), Ц (С{хг})) для всех хь х2(=Х. (3.14)
Предположим, что построен шаг /—1 для любого /^3. Шаг /:
(хр ... , х>) A min (и (Cj)), все хь
(card J—j—l )
..., Xj различны,
(3.15)
(хр ..., xj) а .
min (J)\J Ezfyj} для четного /,
2 (— l)card •p.(Cj) для нечетного /,
/JC{X1,...,X?}\
(card J^j—\ }
(3.16)
%j (Xp ... , x^ * min (%'. (xp ... , Xj), %". (Xp ... Xj)), (3.17)
Xj (Xp ... , Xj) a
max {^j-. (J) IJ e <h} для нечетного /,
2 (—l)cardJ4-l .p(Cj) ДЛЯ четного /.
(card J^j— 1 J
(3.18)
Здесь — семейство всех множеств, содержащих точно /—2 одно-
элементных подмножества из {хь ..., xj и один элемент, отожде-
ствленный с оставшейся парой из {хь ..., xj. Тогда выберем для
всех различных хь..., х3еХ произвольную, но фиксированную
функцию н(С{х1г ,Xj}), такую, что
(Xlf ... , Х}) Ц (C{xt, ,Xj}) (Xi, , Xj). (3.19)
251
Часть 2.
Для любых конечных Вь ..., ВпеР(Х) определим
Ди сДд у, ((—и В )). (3.20)
\ i=l / ,,хпу i<=J
Тогда ц— корректно определенная функция на «<0, причем ц(0) =
= 0, ц(Р(Х)) = 1, ц(С{х}) = ФА(х) для всех х<=Х и ц— конечно-
субаддитивная и неубывающая функция относительно включения
подмножеств.
Теорема 3. Пусть задана функция ФАеЕ(Х). Тогда:
1. Каждая функция ц: 1], как она определена в лем-
ме 2, есть предвероятностная мера на <#0, т. е. ц можно расши-
рить, доопределяя ее естественным способом на множестве разно-
стей, используя конструкцию внешней меры — вероятностной пред-
меры на Bo(Ji'o) =Во(уГо) —о-алгебре, порожденной «<о, или, что
эквивалентно, Л’о-
2. Определим как класс всех вероятностных мер ц из
п. 1 или, эквивалентно, как класс всех соответствующих им слу-
чайных подмножеств 5 (Л) пространства X. Тогда
Su (А), ТА еА&а (Х) = {S (4)|S (4) е= (X) & Рг (г е S (4)) =
= Фл (%) для всех х^Х. (3.21)
3. У(Х)= U ^л(Х). (3.22)
Фа е F(X)
Таким образом, получено разбиение класса всех случайных
подмножеств, каждый класс эквивалентности которого °Ц- а (X)
имеет одну и ту же функцию одноточечного покрытия ФА.
4. Если 4еР(Х), то
^а(Х)^{4), (3.23)
т е ^А(Х) сводится к одному элементу — вырожденному слу-
чайному множеству, т. е. постоянному обычному множеству.
Доказательство 1: Пусть & те же, что и в лемме 1 (2).
Предположим, что Тогда, используя леммы 1 и 2, получаем
т т т »
И (СдгХ S (Св . X 2) ц(Я) =
t=l 1 i=I kl,Jhi k=\ k=l
=="3 (ц($\)—ц(^), так как ^fe = 0.
fe=i
Это удовлетворяет гипотезам теоремы 4 работы [13] в предполо-
жении, что ц— предмера.
Примечания.
1. Пусть в системе обозначений уравнений (2.1) и (2.2)
(X)—произвольное множество. Тогда W и S(4(IE))(=
^<2/(X), 4(IE), но эти два случайных множества, в общем слу-
чае, могут быть очень разными. Например, S( ) —S&( ) или
S( )=Т( ). В частности, пусть W=[Z—a, Z^-a], где постоянная
а>0 и Z — случайная переменная, имеющая непрерывную плот-
252
ность распределения /г>0. Тогда для любых х, z/eR: \х—у\^2а,
имеем
(хДа
J h (f) dt,
х—а
У Да
у-а
h (t) dt
= Pr({x,z/}<=S£/(A(№))- (3.24)
2. Для любого С^Р(Х), предполагая Сс&2£, ФАеВ(Х) и 5 =
=^S(A)(=^A(X), имеем
Рг (0=0= С fl S) > sup Pr (х е S) = sup Рг (х (= Su (А)) =
х е С х е С
= Рогвл (С) = Рг (0 С П Su (А)) = Pr* (С), (3.25)
Pr(СsS)< inf Pr(xeS)= inf Pr(xESc(X)) =
x e C x e C
= certx (C) = Pr (C <= Su (A)) = Pr* (C).
(3.26)
Аналогично можно показать, что максимально возможная верх-
няя оболочка Ф/Дхь ..., Xj) для всех pe^A(X) (как она постро-
ена в лемме 2) определяется как ш1п(ФА(Х1),Фа(лД) Для всех
различных Xi,... ,х3<=Х, Из уравнения (3.7) следует, что она
равномерно достижима для цА (или, что то же, для Siy(A)). С
другой стороны, из (3.9) следует, что vA (эквивалентно Та) не
достигает этой границы. В качестве простого примера случайного
подмножества S(А) А(Х), равномерно достигающего мини-
мально возможной нижней границы .2Д, рассмотрим следующий
4
случай. Пусть X={xlf х2, х3, х4} и предположим, что S ФА(хг)^
i=l
^3. Тогда определим Рг(В(А) = 0)А Рг(5(А) = {хг, лД)А 0 для
всех различных хг, х}^Х; Рг(5(А) = {xtl, xi2, xis}) Al—ФА(хгД
4
для всех различных х^,, xit еХ; Pr(5(A)=X) AS ФА(лД—3.
i— 1
/
Тогда для различных хг- ,..., xneX, 3?з(хг ,..., хг]) = S ФА(х£ ) —
k=\ k
- (/-1) = Pr ({хг1,..., Xi.} c=S (A)), j = 1, 2, 3, 4.
3. Теорему 3 можно обобщить, заменяя функцию принадлеж-
ности ФА произвольной функцией типа m-точечного покрытия
Q(m), которая удовлетворяет ограничениям, вытекающим из заме-
ны ц на в шагах 0—т леммы 2. Тогда р строится, как в лем-
ме 2, для шагов (и части 2), что дает «) (X) =
e^(X)&Q<m)s=Q(rn)} вместо ^А(Х) и т. д. Для любой сходящей-
ся последовательности Q6\ Q(2\ Q(3\ •••, т. е. для любых В^С^Х,
для которых card (В) =m<card(C) —п, Q<n>(B) =Q(jn)(B), фА A QC1),
имеем
У-Л т = ^‘<i) (X) a(X) а... (3.27)
253
В частности, уравнения (3.7) — (3.9) дают два примера допусти-
мых Q(m\- <Q(7n)({xi,..., xm}) Amin ФА(Хг) или А П Ф(х{).
1 т различные
..хт}
Таким образом, функции типа многоточечного покрытия, описан-
ные ранее, обобщают обычное нечетко-множественное определе-
ние принадлежностей многоточечных нечетких множеств, для ко-
торых при Фа^В(Х), Xi, ..., хп^Х, Фа(Х1, ..., хп) = min Фа(я<) =
= фдх...хл (*ь •••> м =CertA({Xb ..., Хп}). (См., например, в [18]
обоснование определения нечеткого множества с точки зрения ото-
бражения истинности. В обозначениях этой работы следует рас-
смотреть фиксированное высказывание а (•) • есть принадлеж-
ность нечеткого множества А”, выбрать xif х2^Х и сформировать
a(xi) /\а(х2)(=Р.)
4. Рассмотрим следующую взаимосвязь с мерами неопреде-
ленности (см. разд. 2). Пусть ФАеС(Х) — произвольная функция.
Выберем любое случайное подмножество S (Д)е^А(Л), как в те-
ореме 3. Тогда согласно примечанию 2 из разд. 2 следует, что
Р(2)8(а), |1(3)8(А), |T(4)S(A), Н(5)8(а) будут соответственно мерами прав-
доподобия, доверия, сомнения и недоверия на Р(Х), такими, что
для всех х^Х
Фл (х) = ((х}) = (4%) (X Н {х}) =
= ({*}) == Q'^A) ({х}) = Рг (х (= $(А)), (3.28а)
|4Й> (.X ч W) = Рг (х S (А)) = 1 - Фл (х). (3.286)
Кроме того, при S(A)=Siy(A) для любого В^Р(Х): р,(2)8У(А) (В) =
= Possa(B); p(3)su(A)(B) =Possa(vX-[ Б)- p<4)s и(А} (В) = CertA (В),
p/5)s ща) (В) = CertA —|А (/-{ В). Об этих мерах можно сказать, что
они индуцированы нечетким множеством А. В работе [10] (лем-
ма 1.10 и следствие 1.11) получены результаты, которые прямо
относятся к теоремам 2 и 3 и утверждениям, обратным примеча-
нию 2 разд. 2. Они опираются на теорему (переформулированную
здесь и представленную в виде теоремы 4), связанную с теоремой
емкости Шоке [2] (в [15, 22, 24] также получены результаты для
мер доверия, основанные на теореме Шоке).
Теорема 4 (переформулировка теоремы емкости Шоке). Пусть
— (X—произвольное пространство и ц: /(%)-> [0, 1], причем ц(0
= 1 и для всех п^А, В<=ЦХ), Вг={хг}, хг^Х-\ В; п„
В<п> А (Вь ..., Вп); предположим, что Дп(щ U; В, B<n>)^0. Тогда
для любого C^B<=J(X), полагая B-j С= {хь ..., хт}, получаем
следующую вероятностную меру ^в(ц) или, эквивалентно, случай-
ное подмножество Ssw множества В, хорошо определенную на
J(B):
ЧЩ{С))Д Д„(ц, и; (3.29)
254
Используя форму обращения Мёбиуса (см. [24, с. 46—50]) из
уравнения (3.29) получаем, что для всех C^B^J (X)
vy*’(Ccn₽(B)) = l*(C)- (3.30)
Теперь рассмотрим проективную функцию множества projB,c:
Р (JB)-^P (С) для любого C<=B^J (X), где для любого АеР(В),
projB, с (А) А[]С. Мера vBwS и проекции projB, с для всех С<=
^B^J(X) составляют проективное (согласованное) семейство ве-
роятностных мер. Тогда проективный предел vx(y,) получается как
вероятностная мера (соответственно, как случайное подмножество
пространства X) на подходящей о-алгебре ^РР(Х), при
этом для всех Се/(Х)
v'J^Cci^CC). (3.31)
Примечания.
Упрощая и до некоторой степени расширяя результаты Хёле,
получаем:
1. В теореме 4 ц можно заменить на /(ФА), где t — любая дис-
трибутивная /-норма [10, 17], ФАеТ(Х) произвольна, и для лю-
бого С={//1,..., уп}(=ЦХ), /(Фа) А/(Фл(г/1),, ФаЫ). Таким
образом, из уравнения (3.31) следует
Ух' (Сс) = РГ (S^’ <= Сс) = Рг (С = S'/1) = t (Фл) (С). (3.32)
При этом для С= {у} имеем /(Фа )(С)=Фа(//).
2. Утверждение, обратное примечанию 2 разд. 2, остается спра-
ведливым. Другими словами, если ц— мера правдоподобия, до-
верия, сомнения или недоверия, то существует соответствующее
случайное подмножество базового пространства, порождающее ме-
ру неопределенности. (Доказательство. Сначала заметим, что к ме-
ре сомнения теорема 4 приложена непосредственно. Остается толь-
ко использовать примечания 1 и 2 из разд. 2.) В частности, по-
скольку вероятностная мера всегда будет и мерой доверия и од-
новременно мерой правдоподобия, то аналогичный результат спра-
ведлив для них.
3. Заметим, что формально любая мера неопределенности у:
.^->[0, 1] (в частности, правдоподобия, недоверия и т. д.), где
$ — некоторая булева (о-) подалгебра Р(Х) может рассматри-
ваться как функция принадлежности нечеткого множества. Сле-
довательно, теоремы 2—4 применимы в случае, если X заменить
на Таким образом, в степенном множестве высоких степеней
(в противоположность, например, степенному множеству той же
степени, как в предыдущем примечании или как в уравнении (3.5))
существует случайное подмножество S щ) множества такое, что
для всех В<=Р%
Рг(ВЕЕ S(U))= Pr(S(U) еС{в} (относительно $0) =р,(В). (3.33)
В работе [10], теоремы 1.12, 2.3 и 2.3' получены специальные фор-
мы для реализации, т. е. для минимальных о-алгебр, несущих S(M,p
255
причем р либо мотонная мера, либо мера правдоподобия, дове-
рия, сомнения, либо же (конечно-аддитивная) вероятностная ме-
ра соответственно.
В следующей теореме перечисляются гомоморфные свойства
$и( ) и Т( ) как отображений из F(X) в О/(Х).
Теорема 5. Для любых ФЛ, Фве/7(Х), ФсеР(У), f: X-+Y,
ФлеТ7 (ХХЛ; %, Xi,..., Хп^Х, 0<Х<Д определим операции АФВ,
А-В, А к В, A0C, ФАк^Р (X) (для всех х^Х, y^Y) как Фа®в(х’| А
АФа(х) + Фв(х) — Фа(х)-Фв(х), Фа-в(х) * Фа(х)-Фв(х),
Фаав(х) АхФа(х) + (1— Х)Фв(х), Фа®с\х,у) ДфА(х) -Фс(^);
фл%(х)=Х. Тогда обозначая Su( ) или 7\ ) через р( ), имеем:
Р (/ И)) = f (Р (А)), р (/-1 (С)) = Л"1 (р (С)); (3.34)
Ф(ргоц (D)) (х) = Pr (х е Р (projj (D))) Рг (х е ргоД (р (D))); (3.35)
А^В (т. е. Фа(х)^Фв(х) для всех хеХ) означает, что
Рг({х1,...,хп}) р(Д)ХРг({х!,...,хп} £р(В))? (3.36)
А^В тогда и только тогда, когда Sv (A) ^Su(B); (3.37)
Su (A U В) = Su (A) U Su (В), ТАфВ^ТА[]Тв, (3.38)
Su (А Г) В) = Su (А) П Su (В), ТА.В = Т'А(]ТВ, (3.39)
Su(A X C) = Su(A) х Su(C), ТA&c~TА х Тс, (3.40)
Su(*H А) = ХН S'u(A), Тх-аа — Х-\ТА, (3.41)
ТА К в = (7\х П ТА) и (X Н 7\А) п Тв), (3.42)
где Т'А, Т"в, Т"с, Т'л% , Т"А, Т'"в — статистически независимые ва-
рианты соответствующих нештрихованных величин; S'u(A) А
А Ф-1а(£/, 1].
Доказательство. Расчеты для Su проводятся непосредственно.
Выполним их для Т( >; если через * обозначить любую бинарную
set
операцию на нечетких множествах, то ФтА*в = X ФтА*в (х) =
= ф(ФТ' Фт") Ах ф(ФТ'(х), Фг„ (х)), где ф: Со £ {(0, 0), (0, 1),
АВ хеХ А В
(1, 0), (1, 1)}->{0, 1} может быть любой из 16 возможных функ-
ций на Со, поскольку Фт > (х), ФТ' (х), Фтл*в(х) представляют со-
А В
бой случайные переменные, принимающие значения 0 и 1. Таким
образом, Фа*в(х) =Рг(Фтл*в (х) = 1)= J Рг(ФТд(х)=^
по всем
(a, 1( 1)
= а) -Рг(ФТв(х) =Ь). Для обычного объединения ф(0, 0) =
= 0,ф(0, 1)=ф(1, 0)=ф(1, 1) = 1; для обычного пересечения
ф(0, 0)=ф(1, 0)=ф(0, 1)=0, ф(1, 1) — 1. Другие операции можно
характеризовать аналогично. Для ) из уравнения (3.37) с уче-
том равенства Ф/-1(тс) М=Фтс(/(х)) имеем Рг(Фтс(Пх)) ==
= 1)=Фс(/:(х))=Ф/’1(С)(х)=Рг(Фт Г1{С) (х) = 1).
256
Примечания.
1. Для U и V — статистически независимых равномерно рас-
пределенных на [0, 1] случайных переменных и любых Фа, Фв<=
sF(X)
5и(Л)и5у(В), 8и(АфВ)е=&лв>в(Х), (3.43).
5с(А)ПSv(B), SufA-BiE^A B(X). (3.44)
п -1
2. Соотношение Su (g An)) = П projJg-~4U, 1]))
(3.45J
при ФЛА„ .,ап)(х)А^((Фа1 W> Фдп(%)), х^Х может оказаться
полезным для вывода других, подобных гомоморфным, отношений
для Sjj.
3. Не существует унарной операции f(*) на F, такой, что для
некоторого A<=F выполняется условие Su(f(*)A) —X—| Sr (Л).
Доказательство. Предположим противное. Тогда для всех /е
е[0, 1] получаем (/(Фа))~Ф> 1]=Ф-1а[0, /] —непосредствен-
ное противоречие предположению, так как по основному свойству
функциональных обращений левая часть уравнения убывает по t,
но тогда правая — соответственно увеличивается.
4. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ПОЛУЧЕННЫХ
РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ
НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ
В этом разделе будет показано, что нечеткое рассуждение свя-
зано с классическим логическим исчислением. В частности, если
посылка вывода состоит из комбинации нечетких или вероятност-
ных неравенств, то для рассматриваемой неизвестной переменной
могут быть выведены эквивалентные нечеткие и случайные дове-
рительные множества. (Для знакомства с основными понятиями,
иллюстративными примерами и определениями, используемыми в
нечеткой логике, см. 1, 26, 36].) Будет показано, что как обобще-
ние статистического определения (см. [19]) указанные довери-
тельные множества оказываются в пределах естественных классов
возможных доверительных множеств равномерно наиболее точ-
ными.
Пусть X — базовое пространство и для любого V<=X условие
H(V) будет предикатом обычной логики, состоящим из конечно-
го числа комбинаций конъюнкций (И) и дизъюнкций (ИЛИ), от-
рицаний (НЕ), импликаций (ЕСЛИ..., ТО...) и эквивалентностей
(тогда и только тогда, когда) атомарных предикатов, выражен-
ных или в форме нечеткого множества (Фа(Е)^РЭ, Фа^Р(Х),
или в вероятностной форме (Pr(VeS) ^|3"), Se'V (X) для неко-
торых, возможно, не точно определенных |У, р">0. Поскольку
можно обойтись без «не» (например, не (Фа (V) ^Р") =
==(Фхна(Е)>1—₽')), то, применяя технику канонического при-
9—120 257
ведения и законы де Моргана без, потери общности получаем
следующие условия:
Н 'У) = (Яп (V) ИЛ И... ИЛИ Н1П1(У)) И... И ИЛИ...
...ИЛИ нтпт(\')), (4.1)
Hti(V) Е {Фв,.;. (V) > ₽у), (Рг (РЕ Sy) > ₽у)},
SyE^(X), Фв,7ЕР(Х); 1<1<т. (4.2)
Заметим, что, используя уравнения (2.1), (2.2) и теорему 3, мож-
но полностью выразить Н(7) либо в вероятностных терминах,
либо в терминах нечетких множеств. Выберем последнее и соот-
ветственно положим: Bi3& A(Sij). Отметим также (см. [18]) ию
терпретацию нечеткого значения истинности: для любого нечет-
кого множества А базового пространства X нечетким значением
истинности (хеА) будет Фа (л;). Множество
/70 А{У|У ХИЯ(У) истинно (в обычном смысле)} (4.3)
1 называется множеством посылок, а любое множество /С, такое, что
Я0^Х^Х— множеством заключений. В качестве компромисса ме-
жду сложностью Но и неясностью X обычно рассматривают не-
который собственный подкласс Ж заключений. Заключение Ко^
^УА называется равномерно наиболее точным относительно УА
тогда и только тогда, когда для любого Хо^Х.
Для любых ФсеЕ(Х), уе[0, 1] и у'Аmin{0ij| 1 1^
определим
Xc.vW^X И Ф(У)>у} = Ф^[у,1] = 5?(С), (4.4)
УН А {^с vl^o — «с ФсЕЕ F(X) И у у'; pf7- фиксированные},
(4.5)
УН' Д {Хс,з1#о — Хс.рИ Ф^ее/ДХ) для всех рг-7, ограниченных усло-
вием быть равными р, р произвольно}, (4.6)
УН" Д {Кс, v'|770 S К.с, ФсЕЕ F (X) для всех возможных ргД. (4.7)
Теорема 6. Пусть УеХ — неизвестная постоянная. Если Но —
посылка для У, т. е. УеЯ0, то
1. Яо = Хв', V'будет, таким образом, равномерно наиболее точ-
ным заключением для У относительно УН.
2. Hq = Kg" з будет равномерно наиболее точным относитель-
но УГ.
3. XoCzXg" v будет равномерно наиболее точным относительно
УГ', где
G' Д(Спи...иС1П1) П-П (CmlU-..UCmnm), (4.8)
Фсц A (Ti/Pi>) • Фо,7 для всех i, j-, Di3 Д Bi3 или Di3 Д A (Su\ (4.9)
G"^<D11U---UAn1)A...A(^iU...UZ>mnJ. (4.10)
Доказательства теорем 1 и 2 очевидны. Для утверждения 3 те-
258
оремы 6 предположим, что Hq^Kc,^’ для всех возможных рг^. Вы-
берем их идентичными р и затем заменим (3 на у'\ получим Но<=
£==Kg", v'—Kc,v'-
Теорема 7. Предположим теперь, что (У)& ...
опуская вторые индексы. Для любых рг- определим
т т
М min (Рг),Т2ДП рг,Уз(4.11)
1=1 i=i
, т
0<Х,....А™<1, S Ь( = 1-
1=1
При k=l, 2, 3 определим
Д ИФсЕЕ ИХ) для всех возможных рг}. (4.12)
Если Но — посылка для V, то /7oCzKGfe,Vfe равномерно наиболее
точное заключение относительно Х&, где
Gi Д Z?i Л ... П ^тп, А 7^1 • •. Т^ти, Д РДх... Хот_iDmXTO. (4.13)
Доказательство. Для k = 2 пусть Кс,уг^У£ч- Следовательно,
Ксv2= ^с>?2 [\Kg2, ?2 Для СД CpG2, откуда ФС'^Фс2.
Для любого V<=X определим рг- (V) Д Фр. (V), 1=1,..., т. Для
этих рг, таким образом, УеЯ0, откуда V<=Kc',v2- Отсюда Фс'(Е)^
т
^У2(Е)= П рг(У), что приводит к Фс'^Ф<;2. Таким образом,
i=i
Фс ' = Фо,, ЧТО дает Kg2, ?2 ^Кс, Уг •
Примечания.
1. Каждое множество Gi может рассматриваться как нечеткое
доверительное множество ук-уровня для V, определенное на
K.Gk,^k> a S^G^^^g k {X) —как случайное доверительное множе-
ство ук~ уровня для V, определенное на Kok, , причем последнее
определение мотивировано соотношением Kc,yk={V\V^.
eXHPr(VeS(Gfe))^yft}.
2. Результаты теорем 6 и 7 не зависят от вида возможного
совместного распределения величин Sfj и 5(5^). Заметим, что
m ni
выбрав S( )=Su( ), получим S(Gi) = Su(Gi) = Л Л
i=i /=1
m
Для теоремы 7 можно выбрать S(G2) = TG1 = Л TD., когда все TD£
i=l
статистически независимые.
3. Все KGk,Vk ПРИ 2, 3 — частично перекрывающиеся мно-
жества, причем ни одно из них не подмножество другого. Поэтому
целесообразно искать информационную меру сравнения множеств
для сравнения множеств KGk,^k .
4. Предположим, что и должен рассматриваться первый
элемент Ui^R множества V; множество УеХ также известно. Ог-
раничения на Vj задаются только как ограничения, накладывае-
9* 259
мне на V, как, например, в уравнении (4.3). Тогда из теоремы 7
следует
Vk < ®Fk (^i) = Pr fai e S (Fh)> < Pr (vj e= proj\ (S (Gft)));
Fk Д proh(Gft), (4.14)
для любого S(Gfe)e(VGfe (А"), такого, как Su(Gk); &=1, 2, 3.
В работе [5] приводится четыре примера, иллюстрирующие
применение описанных результатов, связывающих нечеткую логи-
ку, классическую логику и вероятностные понятия, и подробно >
разбираются вычисления с нечеткими и случайными доверитель-
ными множествами.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Связи между методами теории нечетких множеств и теорией
вероятности все еще остаются не исследованными во многих при-
кладных областях, таких, как нечеткая топология, теория нечет-
ких решений, нечеткие кластеры (см. [33]). В последнем случае,
k
например, общее ограничение состоит в том, что 2 ФА (Xj = 1
для всех х<=Х, где {Ai, ..., Ah} — нечеткое разбиение X. Применяя
теорему 2, получаем
1 = SPr(xeSu(A7))>Pr (хе и Su (А,-)) = Рг( хе Su ( и (A.)W
/=1 \ 7=1 / \ \/=1 //
(5.1)
причем в общем случае справедливо только строгое неравенство.
k
Поэтому с тем, чтобы все точки в X были покрыты в Su( U AJ с
/=1
вероятностью 1, более естественным было бы потребовать выпол-
нения ограничения шах Фа,(А) = 1.
Следующие проблемы и результаты дают повод для продолже-
ния исследований.
1. Для каждого класса случайных множеств ^а(Х) получить
более простую характеризацию, чем приводимая в лемме 2. Вы-
вести другие члены для каждого случайного множества О/А(Х),
которые столь же просты по своей структуре, как и Su(A) и ТА.
Кроме того, выяснить, индуцируют ли какие-нибудь из дополни-
тельных случайных множеств гомоморфизмы из F(X) в ^(Х) по-
добно тому, как это происходит для SG( ) и ). (См. также
уравнение (3.32), выведенное Хёле.)
2. Получить результаты предыдущего пункта для проблемы
многоточечного покрытия. Например, если Q^: ХХХ->[0, 1] —
заданная функция двухточечного покрытия, необходимо удовлет-
воряющая уравнениям (3.11) — (3.14), где ц(С{Х1, Х2} ) = Q<2>({xi,
х2}) и Фа(Х1) =Q(2)({*i, х2}), тогда 2(2) = Фв, где В — симметрич-
260
ное нечеткое подмножество Х\Х. В этом случае ищутся такие
случайные подмножества (X) (или эквивалентно SX
ХММВД). что Pr({xi, x2}<£s)=Pr((x1,x2)eSX5). На-
пример, попытки использовать теорему 2 для Su приводят к ог-
раничению 5^(5) ==proji(Si7(В))Xproji(£[/(£)), которое выполня-
ется тогда и только тогда, когда ФВ(Х1, х2) ^гп1п(Фв(хь yi),
Фв(х2, у2)) для всех хь х2, у\, у2<=Х. Таким образом, теорему 2
здесь можно применить, только если Фв(хь х2) =тш(Фд(Х1),
Фд(хг)) (см. примечание 3 после теоремы 3).
3. Можно получить дифференциальные и интегральные урав-
нения, которые характеризуют решения проблем одно- или мно-
готочечного покрытия для ограниченных форм. Если X — дискрет-
ное пространство, например Х={хь .., хт}, то задача одноточеч-
ного покрытия сводится к решению системы (т-Н)-го линейно-
го неравенства от двух неизвестных и коэффициентами, принима-
ющими значения 0 или 1 (см. [5] для более детального ознаком-
ления) .
4 Понятие случайного нечеткого подмножества W простран-
ства X (см., например, [9, 18]), обобщающее оба понятия (чет-
кого) случайного и нечеткого подмножества пространства X, иден-
тифицируется случайной функцией принадлежности Фц-, соответ-
ствующей, скажем, вероятностному пространству (F(X), С, v). Со-
1ласно теореме 3 Фи-=Рг(-еЗ(В))в=ти, E(<t>w) = Рг(-&$(№)) =
=:Фа(8(1У)) Для всех /^1, =Рг( • (№• • • W)) = Фа(8(ту wy>
отображение S: F(Х)-*-®/(X) таково, что для любого Фв^Р(А^),
S (В)^Ув(Х) выбирается однозначно, и S(1F) есть случайное
подмножество пространства X, -индуцированное за два шага: сна-
чала W и затем (S (W) | W). Из-за ограниченности случайного не-
четкого подмножества W оно однозначно определяется счетной
совокупностью (не случайных) нечетких подмножеств {X(5(IF---
соответствующих случайным подмножествам
{S(1F- • • W) |/^ 1}. (Запись означает операцию возведения
в /-ю степень нечеткого множества. Операция А-В определена в
теореме 5).
ПРИЛОЖЕНИЕ А.
ПОСТРОЕНИЕ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОГО
СЛУЧАЙНОГО ДОВЕРИТЕЛЬНОГО МНОЖЕСТВА
ДЛЯ ЗАДАННОГО СЕМЕЙСТВА МНОЖЕСТВ
Пусть {S^a|0eC}—семейство случайных доверительных множеств «-уров-
ня, зависящее от параметра 0eC, w^Sy, CsRm и {(№|0) |0еС}—семей-
ство случайных переменных Пусть w*— числовое (постоянное) наблюдение из
W, оценивающее 0 Пусть 0<(jsC« Тогда 5 Д (S\v,a |0 = ^*) есть доверительное
множество «'-уровня для 0еЗда* р (постоянное множество), а' Д inf Pp(0s
4eSw* р
eS)<a
261
Пример. Пусть Xt, .... Хп — случайная выборка из Mm(0, S), 2 известно.
Тогда (IF|i0) =)(ХП|6), C=Rm, Sw^~{x\xeRm&^(x—w) А п-(х— w) TS-1X
Х(х—w)C?a} (m-эллипсоид), a=Pr'(x2m^a), (/=Рг (x2m, t p=^a)<a. Далее
Pt(xeS) =Pr(%2 m^(X—w*) С*а) лля x£Sw* p не превышает a' и монотонно
убывает no ф(х—w*) до 0, тогда как ф(х—w*) возрастает неограниченно.
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ПОСТРОЕНИЕ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОГО
СЛУЧАЙНОГО ДОВЕРИТЕЛЬНОГО МНОЖЕСТВА
ДЛЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Пусть X — случайная переменная, определенная на XeR>n и оценивающая
неизвестный параметр 0. Тогда случайная величина X определена с точностью
до неубывающей известной функции от /(Л)Д Рг(Хе Вк), где U Ct,
/^А [О, X] f|J, а {Ct\t(=J}—обычное (непересекающееся) разбиение Rm. Пусть
sup(f-1[O, а] П7) при l^a>f(O). Пусть h : R+->R+ — неубывающая функ-
ция, такая, что h(g(a)) =g(l—а). Определим для любого х^Х функцию ф(х)—
= t<=.J такую, что (однозначно) хеСф (х). Наконец, определим случайное мно-
жество SA Bw, случайную переменную W& sup А-1(ф(Х)). Теперь 5 есть дове-
рительное множество a-уровня для 0еВ^ар причем Pr(0sS) —невозрастаю-
щая в ф(0).
Пример 1. Пусть X — выборка, распределенная по закону Mm(p, 2). Пусть
/ = R+, Ct 4 {х|ф(х) = /}, А {х|ф(х) ^л), ф(х)Д (х—ц)т2-1(х—ц), .veR!n.
Тогда f(X) =Pr(x2m.CM, g(a)=f~1(a). Выберем h(t) A (g(l—^a)/g(a))-t. Та-
ким образом, W=(g(a)/g(l—а))-ф(Х). Для (а^ Pr (0sS) =Рг(х2т5®
^Ф(0)£(1—«)/^(а))^а и монотонно убывает по ф(0), в то время как ф(0)
возрастает.
Пример 2. Пусть J — {0, 1, 2, 3} и X — случайная переменная, такая, что
f(0) = l—a, f(l) =f(2) — a, f(3) = l, 1>а>1/2 фиксировано. Имеем: ф(х)=/
тогда и только тогда, когда хеС3-, /е/. Далее С2=граница (С1)=граница (Сз);
В0 = С0, Bi = CoUCr, B2=C0UCiUC2; B3 = RTO. Тогда Pr(XeC0) = 1—a; Рг(Хе
eCi)=2a—1; Pr(XsC2)=0; Pr(XgC3) =11—a; g(a)=2, g(l—a) = l, Л(0)~
= 0, Л(1)=А(2) = 1, h(3)=3.
При этом W=Q тогда и только тогда, когда ХеСо; W—2 тогда и только
тогда, когда XeCiUC2; W=3 тогда и только тогда, когда ХеС3. Далее Pr(S=
= В0) = 1—ct; Pr(S = B2) =2a—1; Pr (S = R™) = 1—а. Для всех 0GBg(a) = B2.
Pr(0eS)^a. Для всех 0^В2, Pr(0^S) = l—а<а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bellman, R. Е. and A. Zadeh (1977). Local and fuzzy logics. In Modern Uses
of Multiple-Valued Logic. Edited by J. M. Dunn and G. Epstein, D. Reidel
Publishing Co., Dordrecht, Holland, 103—165.
2. Choquet, G. (1954). Theory of capacities. Ann. Inst. Four., U. Grenoble, V,
131—296.
3. Dempster, A. P. (1967). Upper and lower probabilities induced by multivalued
mapping. Ann. Math. Stat. 38, 325—339.
4. Fine, T, L. (1973). Theories of Probability: An Examination of Foundations,
Academic Press, New York.
5. Goodman, I. R. (1980). Identification of fuzzy sets with a class of canonically
262
induced random sets. Proc. 19th I. E. E. E. Conference on Decision and Cont-
rol (Albuquerque, NM) and (longer version) Naval Research Laboratory Re-
port 8415.
6. Goodman, I. R. (1976). Some relations between fuzzy sets and random sets.
(Unpublished).
7. Gupta, M. M, R. K. Ragade, R. R. Yager (eds.) (1979). Advances in Fuzzy Set
Theory and Applications, North-Holland- Publishing Co.
8. Haack, S, (1979). Do we need «Fuzzy Logic»? Inter. J. Man-Machine Stud. 11,
437—445.
9. Hirota, K. (1979). Extended fuzzy expression of probabilistic sets. In Advances
in Fuzzy Set Theory and Applications. M. M. Gupta, R. K- Ragade, R. R. Ya-
ger (eds.), North-Holland Publishing Co., 201—214.
10. Hohle, U. (1980). A mathematical theory of uncertainty (fuzzy experiments
and their realizations). Proc. Int’l Congress on Applied Research and Cyberne-
tics, Dec., 1980, Acapulco, Mex.
11. Jain, R. (1978). Comments on «Fuzzy set theory versus Bayesian statistics».
I.E.E. E. Trans. Sys. Man. Cybernetics, SMC-8(4), 332—333.
12. Johnson, R. W. and J. E. Shore (1979). Solving Fuzzy Set Problems Using
Probability Theory. Technical Memorandum NRL 7503—211, Naval Research
Laboratory, Washington, D. C.
13 Kelley, J. L. and T. P. Srinivasan (1971). Pre-measures on lattices of sets.
Math. Ann. 190, 233—241.
14. Kandel, A. (1979). Reply to Tribus’ comments. Proc. I. E. E. E., 67(8), 1168—
1169.
[Имеется перевод: Трайбус M., Кандель А. Замечания к статье «Нечеткие
множества, нечеткая алгебра, нечеткая статистика». — ТИИЭР, 1979, т. 67,
№ 8, с. 94.]
15. Kendall, D. G. (1974). Foundations of a theory of random sets. In Stochastic
Geometry, E. F. Harding and D. G. Kendall (eds.), John Wiley & Sons, New
York, 322—376.
16. Klement, E. P. (1980a). Characterizations of finite fuzzy measures using Mar-
koff-kernels. Journal Math. Anal. Applic., 75(2), 330—339.
17. Klement, E. P. (1980b). Characterization of Fuzzy Measures Constructed by
Means of Triangular Norms & Construction of Fuzzy a-Algebras Using Trian-
gular Norms, Reports 180, 179 of Institutsbericht, J. Kepler Universitat, Linz,
Austria.
18. Kwakernaak, H. (1978). Fuzzy Random Variables — I., Info. Sci. 15, 1—29.
19. Lehmann, E. L. (1959). Testing Statistical Hypotheses, John Wiley & Sons,
N.Y.
20. Manes, E. G. (1980). A Class of Fuzzy Theories. COINS Tech. Report 80—15.
Univ, of Mass, at Amherst.
21. Negoita, С. V. and D. A. Ralescu (1975). Representation theorems for fuzzy
concepts. Kybernetes, 4, 169—174.
22. Nguyen, H. T. (1978). On random sets and belief functions. J. Math, Anal. &
Applic. 65, 531—542.
23. Nguyen, H. T. (1979). Some mathematical tools for linguistic probabilities.
Fuzzy Sets and Systems, II, 53—65.
24. Shafer, G. (1976). A. Mathematical Theory of Evidence. Princeton Univ. Press,
Princeton, N. J.
25. Shafer, G. (1979). Allocations of probability. Annals of Prob., 7(5), 827—839.
26. Skala, H. J. (1978). On many valued logics, fuzzy sets, fuzzy logics and their
applications. Fuzzy Sets and Systems, I, 129—149.
27. Smets, P. (1980). The Degree of Belief in a Fuzzy Event. Lab. Med. Stat., Brus-
sels Free Univ., Belgium (In publication).
28. Stallings, W. (1977). Fuzzy set theory versus Bayesian statistics. I. E. E. E.
Trans. Sys. Man. Cybernetics, SMC-7, 216—219.
29. Stallings, W. (1978). Reply to Jain’s comments. I. E. E. E. Trans. Sys. Man.
Cybernetics, SMC-8(4), 333.
30.. Sugeno, M. (1977). In Fuzzy Automata and Decis. Processes, M. M. Gupta
(ed.) North-Holland Publishing Co., New York, NY, 89—102.
263
31. Tribus, M. (1979). Comments on «Fuzzy sets, fuzzy algebra, and fuzzy statis-
tics». Proc. I.E.E.E., 67(8), 1168. [Cm. n. 15 данного списка литературы.]
32. Watson, S. R., J. J. Weiss, and M. L. Donnell (1979). Fuzzy decision analysis,.
I. E. E. E. Trans. Sys. Man. Cybernetics, SMC-9(1), 1—9.
33. Zadeh, L. A. (1976). Fuzzy Sets and Their application to Pattern Classification
and Chuster Analysis. Berkeley, Calif.: Memo. No. ERL — M607, Elec. Res. Lab.
34. Zadeh, L. A. (1978). Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. Fuzzy
Sets and Systems, I, 3—28.
35. Zadeh, L. A. (1979a). On the Validity of Dempster’s Rule of Combination of
Evidence. Berkeley, Calif.: Memo. No. UCB/ERL—M79/24, Elec. Res. Lab.
36. Zadeh, L. A. (1979b). Approximate Reasoning Based on Fuzzy Logic. Berkeley,.
Calif.: Memo. No. UCB/ERL—M79/32, Elec. Res. Lab.
37. Zadeh, L. A. (1979c). Fuzzy Sets Versus Probability. Berkeley, Calif., Elec. Res.
Lab. Internal Memo. Also in Proc. I. E. E. E., 68(3), Mar. 1980, 421.
[Имеется перевод: Заде Л. А. Нечеткие множества или теория вероят-
’ стей? — ТИИЭР, 1980, т. 68, № 3, с. 138.]
МЕРА ВОЗМОЖНОСТИ, НЕЧЕТКОЕ ДОВЕРИЕ И
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА НЕЧЕТКИХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
А. А. Каня 1
В первой части статьи изучается свойство хорошего отображе-
ния (ХО). Выводятся необходимые и достаточные условия того,
что экстраполирующее нечеткое преобразование |(ЭНП) обладало
свойством ХО, и теоремы существования, связанные с наделени-
ем свойством ХО экстраполирующего нечеткого преобразования.
Приводится пример, иллюстрирующий проблему. Во второй части
статьи рассматриваются еще два эвристических принципа для не-
четкого преобразования в терминах меры возможности и нечетко-
го доверия.
Ключевые слова: экстраполирующее нечеткое преобразование;
нечеткое доверие; максимизационный критерий меры возможно-
сти; принципы согласованности нечеткого преобразования относи-
тельно меры возможности и нечеткого доверия.
1. ВВЕДЕНИЕ
Понятие экстраполирующего нечеткого преобразования введе-
но автором в работе ’[2]. В ней было доказано, что преобразова-
ния, производимые композиционным правилом выбора, представ-
ляют частный случай ЭНП. В конце статьи показано, как форма-
лизм ЭНП обогащает структуру и облегчает выполнение нечетко-
го алгоритма.
Предлагаемая работа состоит из двух частей. В первой части
продолжается дальнейшее обсуждение ЭНП. Оно связано с так
называемым свойством хорошего отображения нечеткого преоб-
1 Institute of Applied Mechanics Mathematics Division, Technical University of
Kielce. Al. Tysiaclecia Panstwa Polskiego 7, 25—314 Kielce, Poland.
264
разования, которое впервые было введено в [2]. Во второй час-
ти изучаются два эвристических принципа, связывающие любое
нечеткое преобразование с данной мерой возможностей и задан-
ной мерой доверия, которыми наделено пространство распределе-
ний возможностей. Рассматриваемые принципы имеют отношение
к свойствам ЗИП, которые приводят к двум интересным теоре-
мам. Однако перед тем, как заняться главными проблемами статьи,
кратко представим несколько основных понятий, которые будут ис-
пользованы в дальнейшем изложении.
Вероятно, наиболее плодотворным из недавних результатов в
исследовании нечетких познавательных процессов стало определе-
ние нечеткого распределения и нечеткой меры (см., например,
[3, 5]). Пусть заданы некоторые универсальные пространства X и
У, Dx={A — нечеткое подмножество X; Vha(a:) = 1} будет назы-
х
ваться семейством нечетких распределений на X. В этом контек-
сте сформулируем следующие определения.
Определение 1. Под доверием, определенным на пространстве
распределений Dx, понимается множество f = {}л} леох такое, что
/а : [О, 1]-Я[0,1], /а — возрастающая функция и 1 <=/а'([0Л])-
Определение 2. Критерий максимума (КМ.) меры возможностей
yfv при заданном нечетком распределении V и заданной функции
доверия fv определяется как оператор
у'1': F (X) э А у'»' (А) = V fv (|»л (х) Л Ии W) Е [0,1),
X
где F(X) обозначает некоторую решетку (расширение некоторого
борелевского поля на 2х) нечетких подмножеств пространства X.
Если fv=le — тождественная функция, то будем писать
Логическую интерпретацию этих определений опускаем. Неко-
торые же аспекты будут освещены в тексте позднее, другие объяс-
няются в [2].
Определение 3. Пусть дано множество пар нечетких подмно-
жеств (Ai, Вх), ..., (4я, BN), где Ai^Dx, BZ<=DY. По определению
это множество называется базовой последовательностью некоторо-
го преобразования. При этом предполагается, что
1) Bi — образ Аг при заданном преобразовании;
2) пары (А{, Вг) рассматриваются как основные причинно-след-
ственные эффекты некоторого процесса, описываемого преобразо-
ванием.
Определение 4. Экстраполирующее нечеткое преобразование от-
носительно некоторой меры возможностей, заданное базовой после-
довательностью ,(4i, Bi),... ,(4Я, BN) и множеством доверия / =
= (fi , ••• , In) (ft Д fA;)> описывается как оператор
T:F(X)s4->T(4)eF(K),
задаваемый формулой
n ?
s (л)-
S=1
265
В свете определений 3 и 4 ЭНП строится на основных причин-
но-следственных эффектах, представленных с помощью базовой по-
следовательности. В связи с этим разумно задать вопрос: отража-
ет ли введенный формализм эти связи между А{ и Bif т. е. Т (А$) =
— В^ Для случая когда fi= ... =fN=‘le, доказано, что это не всег-
да, но имеет место. Поэтому данную проблему было бы интересно
сформулировать в виде следующего определения.
Определение 5. Нечеткое преобразование Т с базовой последова-
тельностью (Ab By),..., (A#, Bn) обладает свойством хорошего ото-
бражения тогда и только тогда, когда для каждого /=!,... ,7V вы-
полняется равенство Т(Аг)=Вг-.
Несмотря на то, что нечеткий алгоритм конкретизируется неко-
торыми структурными допущениями и выполняется при условии,
что функции принадлежности базовых множеств, функции доверия
и меры возможности выбраны подходящим образом, все же нужно
еще гарантировать, что преобразование обладает свойством ХО.
Следующий раздел посвящен анализу свойства ХО экстраполи-
рующего нечеткого преобразования. Главная проблема состоит в
том, чтобы выяснить, обладает или нет данное ЭНП свойством ХО.
Если ответ отрицательный, то возникает следующая проблема: ка-
кие изменения нужно ввести в формальную систему, чтобы это
свойство появилось. На первую проблему ответ дается в виде до-
статочного условия для ЭНП обладать свойством ХО (теорема 1),
а на вторую — в виде теорем ('2 и 3) существования.
2. СВОЙСТВО ХО ЭКСТРАПОЛИРУЮЩЕГО
НЕЧЕТКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Исходя из определения 5, сформулируем следующую теорему.
Теорема 1. Экстраполирующее нечеткое преобразование (опре-
деление 4) обладает свойством ХО, если справедлива следующая
импликация: если для некоторого /е{1,..., N} и некоторого Уо^У
выполняется неравенство цвДуо) <фвй(*/о), то цв/уо)^у^ (А,).
Доказательство. Пусть из базовой последовательности ЭНП вы-
брано некоторое множество As. Докажем, что T(AS)=BS, т. е.
N f
Рт <лр (У) = Рвл (у) A Vfk (As)t y^Y.
Поскольку y^s (As) — 1, то
n f
иг <лр (у) = №s (у) A V PBfe (у) А тh W-
k—i
fe#s
Предположим, что для некоторого k и некоторого уеУ имеет мес-
то PBs(i/)<pBfe (г/). Тогда согласно допущению
Pbs {у} > (As), т. е. pBs (у) > p.Bk {у) A Ив) •
266
Тем самым доказано, что цт(л5)(//) = pns (у), У^У, что и завершает
доказательство.
Если в случае преобразования отношений, полученных по ком-
позиционному правилу вывода Заде, свойство ХО отсутствует, то
для обеспечения этого свойства существует единственный путь
улучшения формальной схемы преобразования — переопределение
базовой последовательности функций принадлежности ув{ • В
этом случае можно столкнуться с одним несоответствием: ясной
цели — наделить данное преобразование свойством ХО — могут
препятствовать заранее определенные посылки определений -базо-
вых множеств, или, по крайней мере, такая операция может ока-
заться непонятной. В случае экстраполирующего нечеткого пре-
образования этой трудности можно избежать, поскольку в распо-
ряжении имеются два дополнительных средства для вмешательст-
ва в процесс реализации алгоритма. 'Первое — подходящий выбор
меры возможностей, второе — подходящий выбор функций доверия.
Остается, конечно, еще и третий способ, на который уже было ука-
зано: изменение базовых множеств (Лг, Bi). Однако этот способ
здесь не будет рассматриваться из-за уже отмеченных препятствий,
и, в конце концов, по мнению автора, это, скорее, область искусства
и интуиции, чем формального исследования. Здесь также не будет
рассматриваться выбор меры возможностей; выбор меры возмож-
ности строго зависит от природы реального процесса, который дол-
жен отображаться на формальную модель, и, в конце концов, в на-
шем распоряжении только КМ.-мера возможностей, определенная
Заде [5]. Относительно простым, но еще достаточно эффективным
оказывается подходящая замена доверия с целью обеспечения свой-
ства ХО при данном нечетком преобразовании. Именно этот спо-
соб улучшения преобразования рассматривается в следующей тео-
реме.
Теорема 2. Для данной базовой последовательности Bi), ...
..., BN) и KiM-меры возможностей существует нечеткое дове-
рие такое, что соответствующее экстраполиру-
ющее нечеткое преобразование обладает свойством ХО.
Конструктивное доказательство. Подходящие ограничения на
нечеткое доверие будут основаны на рассмотренном в теореме 1
достаточном условии.
Шаг первый. Заметим, что должно удовлетворяться следу-
ющее неравенство:
n f
УвДУ')>\/ №s(y) Лт8И1) для любого у GE). (1)
s=l
Рассмотрим подмножества У^сдУ, s = 2, ..., N, определенные сле-
дующим образом:
У12 = {у е У: (У) < Цв2 (У)},
YlN = {у е Y: (у) < рВдг (у)}.
267
Отсюда согласно неравенству (1) имеем
Т^Ш^РвШ) Для //ЕУ12
(У} Для y(=Yw.
Учитывая определение КМ-меры возможностей и монотонность
функций доверия, на первом шаге получаем следующие ограниче-
ния, накладываемые на функции доверия:
ft (VРл, (х) Л Рл, (х)) < Ив, (*/), У е Vlf.
X
Это означает, что
f2 (х) =
?N (х)
V Ив» (у) для X е= [О, V Рл, (х) Л Рл, (х)),
У12 х
произвольное значение в остальных случаях,
V Рв, (У) Для х е [О, V Рлу (х) Д рл, (*)),
% х
произвольное значение в остальных случаях.
Чтобы уточнить алгоритм, рассмотрим внимательно его послед-
ний, У-й шаг.
Шаг N. Рассмотрим подмножества У^сдУ, s=l, ..., N—1, опре-
деленные следующим образом:
Kv, 1 = {У е Y: pbn (у) < (у)},
Yn,n~x ^{y^Y-. ^bn (У) < Pb^_i (У)}-
Помня о том, что должно выполняться неравенство рв*(*?)^>
V Рв.(р) /\yis (Алг), выводим следующие неравенства:
(Адг)<рвдг(у) для y(=YNfi,
yfN~l (Адг) < рВдг (у) для у G 1 л-1 •
Это приводит к подходящим ограничениям, накладываемым на
Л (V Рлг (х) Д Paw (х)) < рвд, (г/) для у & YNtl, т. е.
X
fl (•*)
С V Рв# (у) для XGE [О, V рл, (х) Д PAtf (х)),
yn,i х
произвольное значение в остальных случаях,
^-1 (*)
< V РВдг (У) для X Ez [О, V РЛдг-! (х) Л РЛуу (*)]>
yN, N-l X
произвольное значение в остальных случаях.
268
Во избежание затруднений с индексацией нужно обозначать через
fi только минимальное из значений Д, определенных на 1,2,..., i—1,
Z-F‘1,... ,N последовательных шагах. Из описанного алгоритма
следует, что:
а) эффективные ограничения на Д достижимы (как результат
конечйото числа шагов процедуры),
б) экстраполирующее нечеткое преобразование, примененное с
любым нечетким доверием, удовлетворяющим ограничениям, обла-
дает свойством ХО.
Пример 1. Построим простое преобразование для заданных базовых пар
(Ль В]), (Л2, В2), 'Из, Вз) КМ-меры возможностей и для простейших функ-
ций доверия, т е fA 1 = /a2 = /a3=i1p Сначала, используя определение 5, убе-
димся в отсутствии свойства ХО; затем с помощью алгоритма, приведенного в до-
казательстве теоремы 2, сформулируем границы доверия, приводящие к свой-
ству ХО
Для ясности в примере выберем простое преобразование, определенное на
дискретных пространствах X и У. Пусть Х={0, 1, 2, 3, 4}, У={1, 2, 3, 4, 5},
А = (1 0,75 0,5 0,25 0], В1 = (0,2 0,4 0,6 0,8 1].
Аа = [0 0,5 1 0,5 0], Ва = [1 0,75 0,5 0,25 0Ь
Л3 = (0 0,25 0,5 0,75 1], В3 = [1 0,3 0,2 0,1 0].
А. Для проверки наличия свойства ХО нужно подсчитать у’(А3), i, /=1,2,3.
Согласно определению КМ-меры возможностей
? (Aj) = уНлг. (*)АцЛу(*)
получаем 'y’(AJ) = l для i=l, 2, 3, i¥=/, у’(А3)=0,5 для i, /=1, 2, 3. Начнем с At
и проверим, выполняется ли равенство Т(Ai) =Bi. Оказывается, что оно не вы-
полняется:
з
Нт (лц (У) = V 4 <У1) Д Vs (>41) =
— (м-в, (Уг) Л О V (цв, G/i)A0>5)V(Hj3s (*/1)Д0,5) =>
= (0,2A0,5)V(lA0,5)V(lA0,5) = 0,5^|iBi (^);
полученный результат противоречит определению. Этот же результат можно по-
лучить из антитезы теоремы 1, а именно:
yi -V^Bi = 0,2< 1 =НВа(^1) и °’2 = 4 (^1)<Та (А) = 0,5,
что приводит к отрицанию свойства ХО.
Б. Для того чтобы свойство ХО имело место, применим алгоритм из теоре-
мы 2, приводящий к границам функций доверия
Пусть i=l Легко видеть, что
= {У Ив» <У)< Нв2 (#)} = {Уи Уз} >
г1з = {У : Нв, (У} < Нв3 (У)) = 4) •
Согласно алгоритму получаем
(0,5) <Цв> (у) для у<=112,
/з (О.бХМв, (У} для
269
Это означает, что на функции доверия должны накладываться ограничения
/г(0,б) ^0,2, /з(0,5) ^0,5 и для согласования с монотонностью функций доверия
требуется наложить еще и следующие ограничения:
v ( <0,2 для хе ГО; 0,51,
/г (х) 1
I произвольное значение в остальных случаях,
, t v f <0,5 для хе [0; 0,5],
/з 00 1
I произвольное значение в остальных случаях.
Пусты‘=2 Согласно исходным данным Y2l— {у : 2(р) <рв1(р)} = {рз,р«Р5}
и У2з={р • цв2(р)<цв3(р)} = 0. Тогда f i (0,5) ^Цв2(р) для реУ21, т. ,е Л(0,5)^
min{0,5; 0,25; 0}=0. На этом шаге не получено ограничение для fs, так как
Узз=0, но для Л имеем
„ , . ГО для хе[0; 0,5],
/1 (х) — 1
( произвольное значение в остальных случаях.
Пусть i=3. В этом случае имеем
узх = {У: Нв, ($0 < Ив, (У)} *= {Уз > У^ • Уь}.
^32 = {У: Цв8 (У) < Нв2 00} = {Уз> Уз > ^4. Уз} •
Это означает, что
fi (0,5)<min {цВз (р) для реУ31},
fi (0»5) < min {цв? (р) для реУ32},
откуда
( 0 для хе [0; 0,5],
/1 \х) ]
I произвольное значение в остальных случаях,
f f0 для xeEt0; °’5Ь
/ 2 Xх/ — )
( произвольное значение в остальных случаях.
В. Объединяя границы, определенные для функций принадлежности на по-
следовательных шагах 1—3, получаем
fl (х) ~ 0 для хе [0; 0,5] (шаги 2, 3),
fi (х) ^0>2 для хе[0; 0,5] (шаг 1),
/г (*) 0 Для хе [0; 0,5] (шаг 3),
что в результате приводит к глобальной оценке: fz(x)=O для хе[0; 0,5] и
/з(*)г^0,2 для хе[0; 0,'5] (шаг 1), /3(х), без ограничений (шаг 2), что дает
/з(х)^0,2 для хе[0; 0,5]. Наконец, в рассматриваемом примере можно вы-
брать в качестве функций доверия любое множество fi (в соответствии с оп-
ределением 1), такое, что
г0 для хе[0; 0,5],
I произвольное значение в остальных случаях,
j0 для хе[0; 0,5],
I произвольное значение в остальных случаях,
г <0,2 для хе [0; 0,5],
I произвольное значение в остальных случаях.
270
Для проверки обоснованности алгоритма положим
г , „ f 0 для хе [0; 0,5],
/, (х) = <
1х для хе [0,5; 1],
, . . (0 для хе[0; 0,5],
/2 (х) = <
для хе [0,5; 1],
. , ч (0,2 для хе[0; 0,5],
(х) = <
I—х24-2х для хе [0,5; 1].
В качестве подходящих значений для КМ-меры возможностей в суперпозиции
с выписанными функциями доверия получаем
Т1(Л1) = 1, тА(Л2) = 0, т1(Л3) = 0.
Очевидно, что Цг(а1) = Цв1- Аналогично можно также показать, что Цг(а2) =
= цв2 и (Л3)“Ив3- На рис. 1,а,б изображены функции принадлежности для
Аг и Bi соответственно. На рис. 2,а—в представлены графики ранее определен-
Рис. 1
ных функций доверия. При анализе этих рисунков возникает интересный вопрос
о результатах исходных нервичных преобразований, согласованных со свойством
ХО. Это, однако, должно стать объектом отдельного изучения. В качестве прос-
Рис. 2
той иллюстрации приведем таблицу, в которой представлены некоторые вы-
ходные значения для заданных входных данных в случае, когда первичное
матричное преобразование (Л) было заменено улучшенным преобразованием
(В) посредством введения определенного выше нечеткого доверия:
271
Нечеткие входные множества нечетких входов Нечеткие выходные множества
[1 0,75 0,5 0,25 0] [0 1 0 0 0] [0 0 0 1 0] [0 0,3 0,5 1 0,4] (А) [0,5 0,5 0,6 0,8 1] (В) [0,2 0,4 0,6 0,8 1] (А) [0,5 0,5 0,6 0,75 0,75] (В) [0,25 0,4 0,6 0,75 0,75] (А) [0,75 0,5 0,25 0,25 0,25] (В) [0,94 0,5 0,2 0,1 0] (А) [0,75 0,5 0,5 0,5 0,5] (В) [0,94 0,5 0,2 0,1 0]
Свойство ХО, описанное в определении 5, является наиболее
строгим для того, чтобы гарантировалась «повторяемость» преобра-
зования. Очевидно, что требование, предъявляемое свойством ХО к
преобразованиям, можно ослабить с учетом некоторых практиче-
ских соображений. Часто оказывается так, что на выходе нечеткой
формальной системы на самом деле нужно вовсе не нечеткое мно-
жество как таковое, а некоторое его преобразование. Схема такой
ситуации приведена на рис. (3. В практических приложениях такое
четное
Рис 3
внешнее преобразование представляет собой просто некоторое уст-
ранение нечеткости, т. е. преобразование, которое нечеткое выход-
ное множество отображает в некоторое значение, принадлежащее
пространству У. Такое преобразование заданному множеству может
ставить в еоответствие медиану или значение, на котором функция
принадлежности множества достигает своего максимума или зна-
чения подходящего интеграла на У и т. п. Тогда определение свой-
ства ХО в соответствии с системой, изображенной на рис. 3, можно
обобщить следующим Образом.
Определение 6. Нечеткое преобразование Т обладает свойством
ХО относительно некоторого внешнего преобразования Е тогда и
только тогда, когда для любой пары (Ai, ВА, взятой из базы пре-
образования Т, выполняется условие Е(Т(АА ) — E(Bi).
Заметим, что в определении б свойство ХО рассматривается от-
носительно тождественного преобразования Е. Это замечание при-
водит к следующему выводу.
Вывод. Если нечеткое преобразование обладает свойством ХО,
соответствующим определению 5, то оно обладает этим свойством
относительно любого внешнего преобразования Е.
Сделанные замечания позволяют сформировать расширенную
теорему существования.
272
Теорема 3. Для данного множества пар нечетких множеств (А.;,
Вг) i=l,...,N и данного внешнего преобразования Е существует
функция доверия {fi,..., fN}, такая, что нечеткое экстраполирую-
щее преобразование, построенное на (Аг, Вг} как на базовой после-
довательности, обладает свойством ХО относительно Е.
3. О НЕКОТОРЫХ ТРЕБОВАНИЯХ
СОГЛАСОВАННОСТИ
В этом разделе приводятся некоторые наблюдения, касающие-
ся нечетких преобразований, относящиеся к мере возможностей и
нечеткому доверию. Оба элемента нечеткой системы — эвристиче-
ского происхождения и зависят от неформальных характеристик
реального процесса, который и должен отображаться на формаль-
ную нечеткую систему. Нечеткое преобразование — это абстракт-
ное представление связей между входными и выходными характе-
ристиками реального объекта и, более того, оно зависит от предва-
ряющей формализацию диагностики процесса по мерам возможно-
стей и доверия.
В таком случае между нечетким преобразованием и парой мера
возможностей — нечеткое доверие существует некоторая «связь»,
которая делает возможным последовательное построение всей не-
четкой системы. Эту ситуацию можно изобразить в виде схемы,
приведенной на рис. 4. Место в конструкции формальной нечеткой
системы, в котором существует эта гипотетическая связь, отмечено
в схеме вопросительным знаком. Далее будут установлены два
принципа согласования, проясняющие эту проблему. Автор рас-
ценивает их только как вводные положения, трёбующие дальней-
ших исследований.
273
4. ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП НЕЧЕТКОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: ВОЗМОЖНОСТНАЯ МЕРА
СОГЛАСОВАННОСТИ НЕЧЕТКОГО ДОВЕРИЯ
Пусть заданы универсальные пространства X и У, семейство Dx
нечетких раст ределений на X и —нечеткое доверие.
Рассмотрим нечеткое преобразование Т : F(Х)^С-^Т (C)^F (Y).
Тогда
Нг(С)< V Нг(Л) A YfA (Q- (2)
Для данного У формулу (2) можно прочитать следующим обра-
зом. Распределение возможностей, порожденное образом Г (С), не
превосходит ни в одной точке пространства У max-композиции рас-
пределений Т{А}, урезанной возможностью yfA (С), модифициро-
ванной нечетким доверием fA, A<=DX. Рассмотрим пример, иллю-
стрирующий эту идею.
Пример 2. Пусть даны универсальные пространство X и КМ-мера возмож-
ности. Рассмотрим нечеткое доверие, определенное следующим образом:
]а(х)—х2 для AeV0, где Vo= {A^DX ' Ца (х0) ^а}—так называемая окрест-
ность некоторого элемента х0^Х. Для функция /в(х)=х.
Согласно определению нечеткого доверия априори мы имеем дело со сла-
бым доверием к тому, что появится значение из окрестности точки х0
Введем теперь нечеткое преобразование Т; F(X)-^F(X), просто как тож-
дественное преобразование, и посмотрим, выполняется ли первый принцип со-
гласованности. Пусть нечеткое множество С достигает своего максимального
значения а для аргумента Хо, т. е. \/цс (х) — а< 1 •
х
Рассмотрим правую часть неравенства (2):
V Вг(Л) (хо)Д (О = V Ид (*о)А(С), так как 7(4) =4.
ДеЭх A^Dx
Далее
V Нл (*о)Л?'л (QV V НлЫ л7Л (С),
ДеЭх Ле£>Х
где
Вх ~ (A^Dx : Цд (х0) а}: ^х ~ {A^DX •' Pyj (хо) < <х}.
Напомним, что
?Л (С) =\JfA (рс(х)№а (*))•
х
Если A^Dlx, то (С) = V (Ис (х) АРл (х))2< Ис (хо) ’ если то
х
fA (С) = \/Ис (х) Анд (х) < Ис (х0) •
х
274
Отсюда следует, что
V Ил (хо)ЛуГл (C)V V Ил (*о) Л /Л (0<а = Нс(хо) = НГ(С) (х0),
Ле£>^
что, однако, противоречит принципиальному неравенству (2)
Нт(С)^ V Иг (Л) А У л (О •
Л feDjf
Данные вычисления показывают, что рассматриваемое преобразование фор-
мально не удовлетворяет первому принципу согласованности Это соответствует
предваряющему формализацию предположению, что существует недоверие к
возможности появления значений из окрестности Vo точки хо.
Примечание. Если бы было взято нечеткое множество С, такое, что
VHc(x) =цс(хо) = 1, то неравенство (2) должно было бы выполняться, что
X
было бы результатом безусловности значения 1 распределения возможностей.
Эту ситуацию можно также встретить в анализе лингвистических ограниче-
ний [4].
В этом примере была подчеркнута роль нечеткого доверия. Лег-
ко видеть, что чем менее вероятно априори распределение А, тем
более ограничивающей должна быть выпуклость 'функции доверия
(см., например, рис. 2,6). В рассматриваемом случае небольшое
доверие в A(=V0 отражается в формуле, определяющей fA для
AeV'o. С другой стороны, чем более правдоподобно распределение
А, тем больше доверие к Л и тем больше вогнута функция fA при
АеУ0 (см., например, рис. 2,в). Закончим рассмотрение первого
принципа согласования следующей теоремой.
Теорема 4. Нечеткое экстраполирующее преобразование удов-
летворяет первому принципу согласования относительно любой ме-
ры возможностей и нечеткого доверия, если обладает свойством
ХО. -
Доказательство. Пусть V^F(X). Рассмотрим нечеткое экстрапо-
лирующее преобразование цт(у) = VpBsAy^s (У). Поскольку ЭНП
S
обладает свойством ХО, т. е. цв5 = |лт(л5), то
V нв, Л А(Г)= V Илл,) Л v Нг<л> Л ОТ
s s s Dx
Первый принцип согласования был сформулирован на языке
распределения возможностей. Второй принцип согласованности
опирается на понятие меры возможностей. Содержательно он мо-
жет быть описан следующим образом. Независимо от того, какое
распределение участвует в определении меры возможностей, зна-
чение меры возможностей множества — образа Т(А) не меньше
значения для А.
Рассмотрим формализацию этого принципа.
275
5. ВТОРОЙ ПРИНЦИП НЕЧЕТКОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: МЕРА ВОЗМОЖНОСТИ И
НЕЧЕТКОЕ ДОВЕРИЕ, СОГЛАСОВАННОСТЬ
Пусть даны универсальные пространства X, У, некоторое не-
четкое подмножество Ае^-Е(Х) и функция нечеткого доверия
/ = {fv}v&Dx , g = {gw}w<=F(Y)-
Рассмотрим нечеткое преобразование Т: Р(Х)эЛ->Т(А)еР(У).
Тогда
/в(Г(4))>^(4) (3)
для лю’бого E(=DX, G = T(E) и XeFi(X).
Как и в предыдущем случае, приведем пример, чтобы пояс-
нить этот принцип.
Пример 3. Х=1[1, оо] Пусть нечеткое доверие ослабевает с увеличением
аргумента, т е gv (х) =fv (х) =ха, где р,у (а) = VHv (х) Рассмотрим нечет-
х
кое преобразование Т' F(X)-*~F(X), такое, что для некоторого положительного
действительного q
(Uyj (х) для |х—11 <q,
(х—q) в остальных случаях.
Данное преобразование в некотором смысле возрастающее, однако интуитивно
этот факт вступает в полное противоречие с предлагаемым нечетким доверием.
Отмеченное противоречие подтверждается следующими расчетами для достаточ-
но «больших» Л и £
у G (Т (Л)) = \J gG (цт (Д) (x)ApG (х)) — (А) {х)1\^т (Е) (*)) =
х х
= V gG (Нд (*—?)Аре (х—Я» = V £g<Ha (*)ЛРе (X)) =
X X
= На WAPe W)</e (V НА WAr£ (*)) =
х х
= V ?Е <Нд (я)АРе (X)) = уЕ (Л).
х
Полученный результат противоречит второму принципу, отражающему, таким об-
разом, интуитивное беспокойство.
Теперь покажем при некоторых добавочных предположениях,
что ЭНП удовлетворяют второму принципу. Докажем, что спра-
ведлива следующая лемма.
Лемма 1. Пусть G = T(E) и gG(x)=max{fE(x) : T(E) = G}t
E^Dx, f, g — функции нечеткого доверия в соответствующих про-
странствах. Тогда из неравенства yG (Т(А)) ) следует, что
y,a(TW)^>^ (А).
276
Доказательство просто следует из монотонности функции дове-
рия. Учитывая соответствующие определения, получаем
?gG (Г (Л)) = V §g (Нпл) (У) Л Нп£) (У)) = gG(V Нил) (у) Л Иг(£) (уУ)
Y Y
•) = ?£ (\/ Н£ (X) V Нл (х))
У X
вследствие предположения, и это равно у£(Л), что и завершает до-
казательство.
Используя обозначения, введенные при формулировке второго
принципа, докажем следующую теорему.
Теорема 5. Экстраполирующее нечеткое преобразование удов-
летворяет второму принципу при условии, что 1) мера возмож-
ностей есть КМ-мера возможностей; 2) соответствующие функции
нечеткого доверия fug удовлетворяют ограничениям леммы 1;
3) для каждого х существует такое значение s, что ца5 (х) — 1 и
IIbsG/) = 1 Для некоторого z/еУ.
Доказательство. Докажем, что для ЭНП, определенного равен-
ством рт(д)= V ц.в5ЛуЛ8 (Л) справедливо неравенство у£(Т(Л))^
S=1
Тогда в силу леммы 1 будет выполняться неравенст-
во y8G (Т(Л))>7 fE (Л).
'Согласно определению 2
у6 (т (Л)) = V н<? (у) А Нил) (у) = V но (у) А V нд5 (*/) А (Л) =
У У s
= V (V ив, (у) Л (Е)) Л (V ив, (У) Л М)) >
У s s
> V (V Нв,(W ЛЛ(М
У s
Теперь отметим, что
(Л) Л (Е) = V Нл (X) А Нл5 (х) А V Н£ (х) А Нлч U) >
X X
> V Ил (х) А Ив (х) А Нл5 (х).
X
Отсюда видно, что
т» (Т (Л)) > V (V НВ, (г/) А (Е) Л У’ (-4)) > V (V Ив, (у) Л
У s У s
A V Нл (х) А ив (х) А нл5 (х)) = V V V (hbs (у) А ил (х) А ив (х) A
X У S х
А ИЛя (X)) = V НЛ (х) А Н£ (х) А V V HBS (у) А Нл8 (X) =
X У s
= V НЛ (х) а Ив (х) = УЕ (Л).
X
Очевидно, что третье допущение очень ограничительное. Легко
доказать, что неравенство из утверждения леммы 1 не выполняется
для соответственно выбранных нечетких множеств Л и Е и, в част-
ности, в случае, когда Л и Е «близкие» подмножества, если условие
277
3) отбрасывается. Пусть, например, Е = А, тогда, конечно, уА(Д) =
= VpaU) = 1 по предположению. Из рис. 5 видно, что неравенство
х
ут(А)(Т (А)) < 1 = уА (Л) справедливо для любого ЭНП независимо
от того, какие Bs используются в определении преобразования.
Это, однако, противоречит второму принципу, так как цт(А)<
<«!< 1. Трудности, которые выявились при доказательстве теоре-
мы 5, в конце концов, можно
смягчить. Поскольку на прак-
1 _ ул1 У/'Е тике допущение 3 неудобно, то
/ \ / х можно доказать следующую
/ \ / у \ теорему, опирающуюся на вто-
-1 \j_--J \ рой ПрИНцИП} но более слабую,
txz— -----V \ так как она не содержит рас-
/ \ \ сматриваемого допущения.
Теорема 6. Если 1) мера
Рис 5 возможностей введена как в
определении 2; 2) данные не-
четкие функции доверия f и g удовлетворяют ограничениям лем-
мы 1; 3) данное ЭНП обладает свойством ХО, то выполняется сле-
дующее неравенство:
для любого ЛеР(х) и 5=1, ..., N.
Доказательство. Зафиксируем некоторое se {1, ..., N}. Тогда
N .
У { з) у Иг(Л)(г/) Д рГ(Л)(«/)= V Нв8(*/) Д V 4^) =
= V V yAi И) Л 14 (у Л hbs(^) = V yAi(A) Л V №t(y) А 14 (у) =
Y i i Y
= уА‘ (Л) V V (Л) Л V НВ, W Л ив, (у) > (Л).
i s Y
при условии, ЧТО х/цв, (у) = 1 •
Y
Следствие. Для произвольных нечетких f, g, удовлетворяющих
допущениям леммы 1, и экстраполирующего нечеткого преобразо-
вания неравенство ySBs(T(A)) ^yfAs (Л) справедливо для любого
A^F(X), если у будет КМ-мера возможностей.
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В прикладных задачах встречаются случаи, когда нечеткое пре-
образование оказывается несколько смещенным. Такую картину
можно, например, наблюдать в операциях нечеткого управле-
ния, которые часто обнаруживают эффекты смещения. В этом
случае алгоритм обычно улучшают так называемым методом проб
и ошибок, меняя характер выполнения алгоритма или даже его
структуру. Это позволяет достичь некоторого успеха. По мнению
автора, проблема состоит прежде всего в отсутствии свойства ХО.
278
В статье на основе понятия ЭНП предлагаются эффективные фор-
мальные способы исследовать свойство ХО, создавая, таким обра-
зом, новые возможности для «настройки» нечеткого алгоритма.
Вплоть до недавнего времени был известен только один способ
построения нечеткого преобразования — использование отношения,
т. е. матричный метод, в своей первоначальной форме предложен-
ный Заде.
Рассматриваемый в данной статье метод основан на использова-
нии меры возможности нечеткого доверия, недавно предложенный
в работе [2]. Естественно, что возникает вопрос о поиске и других
путей построения нечетких преобразований. Рассмотренные в
статье два принципа согласования поднимают проблему разработки
общих правил, которым должно удовлетворять любое нечеткое пре-
образование, чтобы оно оставалось согласованным с описанием ре-
ального объекта на предформальном этапе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kania, А. А, J. В. Kiszka, М. В. Gorzalczany, J. R. Maj and М S Stachowicz
(1980). On stability of formal fuzziness systems. Inf Sci. 22, 51—68.
2. Kania, A. A. (1981). Fuzzy transformation in terms of possibilistic measure. В
английском оригинале книги (на русск. язык работа не переведена).
3. Terano, Т., and М. Sugeno (1975). Conditional fuzzy measures and their appli-
cations. In L. A. Zadeh, K- S. Fu, K. Tanaka and M. Shimura (Eds.), Fuzzy Set
and their Applications to Cognitive Processes. Ac. Press, New York, 151—170,
4. Zadeh, L. A. (1973). Outline of a new approach to the analysis of complex sys-
tem and decision processes. IEEE Trans. Systems, Man and Cyb. SMC—3, lr
28—44.
[Имеется перевод: Заде Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных
систем и процессов принятия решений. — В кн.- Математика сегодня —М:
Знание, 1974, с. 5—49.]
5. Zadeh, L. А. (1978). Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. Fuzzy
Sets and Systems 1, 3—28.
О СВЯЗИ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ понятиями
НЕЧЕТКИХ МЕР
Э. Ф. Клемент1
Показано, что между понятиями, называемыми четко-значными
нечеткими мерами [11, 13, 23], с одной стороны, и нечетко-значны-
ми нечеткими мерами [7, 9], с другой стороны, существует очень
естественная связь, причем последние принимают свои значения
во множестве нечетких чисел.
Ключевые слова: нечеткие меры; нечеткие действительные чис-
ла; вероятность нечетких событий.
1 Institut fiir Mathematik, Johannes Kepler Universitat, A-4040 Linz, Aust-
279
ria.
1. ВВЕДЕНИЕ
Главная цель этой статьи состоит в том, чтобы установить
связь между двумя нечеткими мерами, одна из которых изуча-
лась самим автором [12, 13] (четко-значные нечеткие меры), а дру-
гая введена Хёле в [7, 9] (нечетко-значные нечеткие меры).
Поскольку нечетко-значные нечеткие меры принимают свои зна-
чения во множестве нечетких неотрицательных действительных чи-
сел, сначала дадим краткую характеристику этого понятия. Пос-
ле этого приведем различные определения нечетких мер, и, нако-
нец, дадим основной результат: существует возможность естествен-
ным образом связать нечетко-значную нечеткую меру с четко-знач-
ной, и наоборот.
В этой статье X будет обозначать непустое четкое множество.
Под нечетким множеством, как обычно, будет пониматься отобра-
жение ц из X в единичный интервал [0,1]. Будем писать R-. вместо
[0, оо[ и R+ — вместо ([0, оо]. Также будем всегда считать, что на
интервале '[0,1] определена обычная о-алгебра В борелевских под-
множеств [0,1].
Пусть (L, —решетка, тогда А и V будут обозначать пере-
сечение и объединение соответственно. Если решетка (L, =<) пол-
ная, то А и V будем записывать как inf и sup соответственно.
Очевидно, что (R+, —решетка, и i(R+, и ([0,1]х, —
полные решетки, причем в последнем случае означает обычное
(поточечное) частичное упорядочение нечетких множеств. Кроме
того, (R+, syy А и (R+, +) образуют частично упорядочен-
ные, коммутативные полугруппы. Для 'более подробного изучения
основ теории решеток можно предложить книгу [2], а основ тео-
рии меры — книги [1,6].
2. НЕЧЕТКИЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Кратко обсудим понятия нечетких неотрицательных действи-
тельных чисел, введенных Хёле [8—10]. Отметим, что это понятие
нечетких чисел отличается от других аналогичных, предложенных
в работах [3—5, 16, 24]. Также нужно отметить, что в работе [8]
предложено расширенное определение (не ограниченное только не-
отрицательными числами) нечетких действительных чисел.
Нечеткое неотрицательное действительное число определяется
как отображение р•: R+-*[0,1], удовлетворяющее условиям
р(0) = 0, V {р(АНМ = 1 (граничные условия), (1)
V г G R+: р (г) = V {р (Н) \r's R+, г' < г} (непрерывность слева).
(2)
Если р — нечеткое неотрицательное действительное число, то
величину р(г) можно интерпретировать как степень принадлеж-
ности неясного числа р четкому интервалу [0, ц[. Заметим, что
280
именно в этом состоит основное отличие введенного понятия от
понятий, использованных другими авторами.
Множество всех нечетких неотрицательных действительных чи-
сел будет обозначаться <3^(R+). Множество <2$(R+) совпадает с
множеством D+ всех неотрицательных функций распределения [18].
Определяя частичный порядок на <^(R+) условием
р< (f«VrER, :(f irKp(H, (3J
легко видеть, что (<y^(R;.) <;) будет решеткой.
На <^(R+) определена естественная алгебраическая опера-
ция т Л
Тд(р,ф)(г)= V {р(s) Л q)(OIMeR+,s-H = r}- (4)
Тогда (<3^(R+), тд) образует частично упорядоченную комму-
тативную полугруппу.
Хотелось бы также отметить, что тЛ можно рассматривать как
обобщение операции сложения действительных чисел, полученное
с помощью принципа обобщения, сформулированного Заде [24].
Множество <^(R+) можно естественным образом «уплотнить»,
если определить обобщенные нечеткие неотрицательные действи-
тельные числа как отображения р : R -->[0,1], удовлетворяющие
условиям
р(0) = 0, р(оо) = 1, (5)'
V г е R+: Р (г) - v {р {г') I г' е R+, г' < г}, (6)t
или как нечеткое бесконечно большое число 8оо:
(0, если r+R+,
1 (7)
1, если г = оо.
Расширенное множество всех нечетких неотрицательных дейст-
вительных чисел будем обозначать 4epes_^(R+). Частичный по-
рядок Д на <3^(R+) и операция_гЛ на <^(R+) могут быть непосред-
ственно распространены на <^(R+). Очевидно, что (<3^(R+), <>) —
полная решетка, a (^(R+), , тЛ ) —вновь частично упорядочен-
ная коммутативная полугруппа. _
Существует естественное вложение(R+, sE, +) в (<3^(R+)) по-
средством полного мономорфизма х->ех, определенного условием
1, если гд>%,
8Х^)=] А (8)
7 [0, если r<Zx. ’
Далее, для любого отображения рассмотрим квазиобратное ему
отображение [р]«, т. е. функцию из [0,1] в R+
V {reR+|p(r)<a},
если р#=еоо,
если р = 800.
(9)
Легко видеть, что поскольку в ([0,1], все собственные
простые идеалы имеют вид [0, а], ае[0,1[ или [0, а[, ае]0,1], эти
281
’квазиобратные отображения в действительности оказываются
частным случаем квазиобратных отображений, изученных Хёле
Как непосредственное следствие этого определения получаем,
что -Множество ^(R+) всех квазиобратных отображений из
<%'(R+) есть множество всех функций f : [O,1]-HR+, удовлетворяю-
щих условию
. V {/(Р) 1?е[0, а[ }, если а>0,
/(“Н 0, если а=0. <10)
Если наделить <^«(R+) отношением обычного (поточечного)
частичного порядка действительных функций и операцией-}-обыч-
ного (поточечного) сложения действительных функций, то оче-
видно, что (<3^«(R+)^) будет полной решеткой и (<^(R+),
4-)—частично упорядоченной коммутативной полугруппой.
Кроме того, отображение p->[p]Q — это полный изоморфизм
между (^(R+), Е, тЛ) и (<^(R+), <, + ).
3. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ
В этом разделе приведены определения четко-значных и нечет-
ко-значных нечетких мер, изученных, с одной стороны, в основном,
в работах {12, 13, 23] и с другой — в работе [9]. Сначала напом-
ним определение нечеткой о-алгебры [11].
Нечеткой о-алгеброй называется семейство нечетких подмно-
жеств, т. е. acz[0,1]х, удовлетворяющих следующим свойствам:
а постоянная => а ЕЕ о; (11)
liE0=>1 — рЕо; (12)
(рп)ием ЕЕ oN => V НпЕЕО. (13)
neN
Пара (X, о) называется нечетким измеримым пространством, _а
элементы из о — нечеткими измеримыми множествами. Очевидно,
что каждая нечеткая cr-алгебра будет о-решеткой.
Отметим, однако, что если на X задана классическая о-алгеб-
ра А, то £(А) —семейство всех функций, измеримых относитель-
но А, всегда образует нечеткую о-алгебру. Эта ситуация рассмат-
ривалась Заде {23], который нечеткие измеримые множества на-
звал нечеткими событиями.
Далее, четко-значной нечеткой мерой на измеримом простран-
стве (X, о) называется отображение m: o->R+, удовлетворяющее
следующим условиям:
т(0) = 0, (14)
m(p V V) + MP- A v) = m(p) + m(v), (15)
V Нп)= V 'я(Нп)- (16)
neN nsN
282
Заметим, что если (X, А, Р) — классическое измеримое простран-
ство, то мера
m(p) = J [tdP (17)
всегда определяет четко-значную нечеткую меру на (X, £(А)).
Нечетко-значная нечеткая мера на (X, о) определяется как
функция m : o->X?(R+), такая, что
т(О) = 8о; (18)
1Л(^(Н V v), fn(P Л v)) = тл (т (р,), m(v)); (19)
(Hn)neNGQN, pn^prt+i=>m( V Hn)= V ^(Нп)- (20)
neN nsN
Это определение было дано в [9] при рассмотрении о-нечетких
множеств, где G — полная булева алгебра, а о означает о-полную
подалгебру Gx. Однако это определение имеет смысл также и в
случае рассмотренных выше нечетких о-алгебр.
Пусть опять (X, А, Р) — классическое измеримое пространст-
во. Можно определить на (X, £(А)) нечеткую меру:
m(p)(r)= V {«е [0,1] |Р({р> 1 —a])<r). (21)
Хотелось бы отметить, что на идее нечетких мер, принимаю-
щих не только четкие, но и нечеткие значения, впервые настаивал
Заде в работе '[24]. Необходимо отметить, что рассмотренная
Ягером в [21] нечеткая вероятность в некотором смысле подобна
определенной в (21) квазиобратной мере относительно нечеткой
меры т.
4. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ
В этом параграфе через X обозначена мера Лебега на изме-
римом пространстве ([0,1], $).
Утверждение 1. Пусть (X, о) —нечеткое измеримое простран-
ство и т : a->-R+— четко-значная нечеткая мера на (X, о). Тогда
W(p) = 8m(g) (22)
определяет нечетко-значную нечеткую меру на (X, <у).
Доказательство. Очевидно, что свойство (18) выполняется. Вы-
полнение свойств (19), (20) непосредственно следует из того, что
х->8х — полный мономорфизм из (R+, +) в <3^(R+,^, Тд).
Утверждение 2. Пусть (X, о) — нечеткое измеримое простран-
ство и in: a-><^(R+) есть нечетко-значная нечеткая мера на (X, о).
Тогда
m(p) = J [т(|х)рсй (23)
[0,1]
определяет четко-значную нечеткую меру на (X, о).
283-
Доказательство. Заметим сначала, что число, квазиобратное
нечеткому числу, будет неубывающей и поэтому измеримой функ-
цией, поэтому т(ц)— всегда хорошо определенная мера.
Справедливость условия (14) проверяется непосредственно.
Проверим выполнение условий (15) и (16). Для этого используем
тот факт\_ что р->[р]9 — полный изоморфизм из (<^i(R+), , тЛ )
на (<3^(R+), +), а также свойства (19) и (20) соответствен-
но, и, в последнем случае, теорему Лебега о монотонной сходи-
мости:
^(М- V v) + m(p. Л v)= f ([m(|i V vl]« + [m(p, 'A v)]q)dh =
[ОД]
= J [тЛ V v), m (и Л v))pdX= J [тЛ (щ(ц), m(v))pdA =
[0,1] [0,1]
= f ([m(p)]3+[m(v)]«)dX = m(p) + m (V).
[0,1]
Следовательно, свойство (15) выполняется. Проверим свойст-
во (16). Пусть (pn)raCN £oN—неубывающая последовательность
нечетких измеримых множеств. Тогда имеем
V = V f J [m( V pn)FdX = m(V НД
neN neN [0,1] [0,1] neN neN
На этом завершается доказательство.
Хотелось бы отметить, что утверждения 1 и 2 обобщают ре-
зультаты работы [2], в которой четко-значная нечеткая мера, оп-
ределенная в (17), связывалась с нечетко-значной нечеткой ме-
рой in, определенной в (21).
Благодарность. Это исследование финансировалось средствами Юбилейных
фондов Австрийского национального банка (проект № 1665).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bauer, Н. (1972). Probability theory and elements of measure theory. Holt, Ri-
nehart and Wirston, New York.
2 Birkhoff, G. (1973). Lattice theory. Amer. Math Soc. Colloquium Poblications
Volume XXV, 3rd edition, New York.
{Имеется перевод- Биркгоф Г. Теория решеток. — М.: Наука, 1984.—(5©4 с]
3 Dubois, D. (1980). La theorie des nombres flous; Panorama des resultats actu-
els. Actes du Table Ronde du CNRS «Quelques applications concretes utilisant
les derniers perfectionnements de la theorie du flou». Universite Claude Ber-
nard, Lyon, France.
4 Dubois, D and Prade, H. (1978). Operations of fuzzy numbers. Int. J. Sys-
tems Sci, 9, pp 613—626
5. Dubois, D. and Prade, H. (1979). Fuzzy real algebra: some results. Fuzzy
Sets and Systems, 2, pp 327—348
6 Halmos, P R. (1968). Measure theory Van Nostrand, New York.
7. Hohle, U. (1976). Mafie auf unscharfen Mengen. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie
verw. Gebiete, 36, pp. 179—188.
8. Hohle, U. (1980). L-fuzzy real numbers — a special order complete vector latti-
ce. Actes du Table Ronde du CNRS «Quelques applications concretes utilisant
284
les derniers perfectionnements de la theorie du flou». Universite Claude Ber-
nard, Lyon, France.
9. Hohle, U. (1981a). Fuzzy measures as extensions of stochastic measures. In
E. P. Klement (Ed.), Proceedings of the second international seminar on fuzzy
set theory, Johannes Kepler Universitat Linz, Austria.
10. Hohle, U. (1981b). Representation theorems for fuzzy quantities. Fuzzy Sets
and Systems, 5, pp. 83—107.
11. Klement, E. P. (1980a). Fuzzy o-algebras and fuzzy measurable functions.
Fuzzy Sets and Systems, 4, pp. 83—93.
12 Klement, E. P. (1980b). Characterization of finite fuzzy measures using Mar-
koffkernels. J. Math. Anal. AppL, 75, pp. 330—340.
13. Klement, E. P., Lowen, R. and Schwyhla, W. (1981). Fuzzy probability mea-
sures. Fuzzy Sets and Systems, 5, pp. 21—30.
14. Mares, M. (1977a). How to handle fuzzy quantities. Kybernetica, 13, pp. 23—40.
15. Mares, M. (1977b). On fuzzy quantities with real and integer values. Kyberne-
tica, 13, pp. 41—56.
16. Mizumoto, M. and Tanaka, K. (1979). Some properties of fuzzy numbers. In.-
М. M. Gupta, R. K. Ragade and R. R. Yager (Eds.), Advances in fuzzy set
theory and applications. North Holland, Amsterdam, New York, Oxford,
pp. 153—164.
17. Rodabaugh, S. E. (1980). Fuzzy addition in the L — fuzzy real line. Fuzzy
Sets and Systems. Accepted for publication.
18. Schweizer, B. (1975). Multiplication on the space of probability distribution
functions Aequationes Math., 12, pp. 156—183.
19. Sherwood, H. and Taylor, M. D. (1974). Some PM structures on the set of
distribution functions. Rev. Roum. Math. Pures Appl., 19, pp. 1251—1260.
20. Sklar, A (1959). Fonctions de repartition a n dimensions et leurs marges
Publ. Inst. Stat. Univ. Paris VIII, pp. 229—231.
21. Yager, R. R. (1979). A note on probabilities of fuzzy events. Information Sci,
18, pp. 113—129.
22. Zadeh, L. A. (4965). Fuzzy Sets. Information and Control, 8, pp. 338—353.
23 Zadeh, L. A. (1968). Probability measures of fuzzy events. J. Math. Anal.
Appl., 10, pp. 421—427.
24 Zadeh, L. A. (1975/76). The concept of a linguistic variable and its applicati-
on to approximate reasoning I, II, III. Information Sci., 8, pp. 199—249, 8,
pp. 301—357, 9, pp. 43—80.
[Имеется перевод: Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его
применение к принятию приближенного решения. — М.: Мир, 1976.— 165 с]
25. Zedeh, L. А. (1979). A theory of approximate reasoning In: J. E. Hayes,
D. Michie, L. J. Mikulich (Eds.), Machine Intelligence. Elsevier, New York,
pp. 149—'194.
О В03М0ЖН0СТН0М ПОДХОДЕ К АНАЛИЗУ
СВЕДЕНИЙ
Ф. Т. Нгуен 1
В статье обсуждается логическое обоснование и некоторые
математические методы возможностного подхода к анализу све-
дений. На основе изучения принципа максимальной энтропии и
1 Department of Mathematics and Statistics, University of Massachusetts, Am-
herst, MA and The Electronics Research Laboratory, University of California,
Berkely, CA.
Работа финансировалась Национальным научным фондом.
285
формальной связи между случайными и нечеткими множествами
рассматриваются различные ситуации, в которых возможностный
подход [9] представляется уместным.
Ключевые слова: распределение возможностей, распределения
условных возможностей; случайные множества; анализ данных.
1. ВВЕДЕНИЕ
Неопределенность, возникающая в организационных системах
и в ряде различных ситуаций — это тонкая смесь случайности и
нечеткости. Как отмечал Заде [9], для того чтобы разработать
подходящие правила вывода, важно понять структуру имеющихся
сведений. Работа [6] представляет собой введение в анализ све-
дений, построенных на основе теории возможностей. В настоящей
статье продолжается дальнейшее изучение различных ситуаций,
где такой подход представляется целесообразным. Во-первых, по-
казывается, что в случае, когда сведения «мягкие», то возмож-
ностный подход может быть принят как альтернатива хорошо из-
вестному принципу максимальной энтропии (см., например, [8])
В случае, когда сведения представлены в форме многозначных
отображений (см., например, [2] или [7]) для возможностных
правил вывода оказывается полезным введение понятия случай-
ных множеств. Наконец, исследования, связанные с необходимо-
стью введения нечетких множеств при решении теоретико-игро-
вых вопросов [1], приводят к выводу, что методы продолжения
значения неатомарной игры в более широкую область могут ока-
заться полезными для анализа сведений в общем случае.
2. ВЫВОД НА ОСНОВЕ СВЕДЕНИЙ
В этом разделе рассмотрим проблему вывода вероятностных
законов распределения случайных переменных Типичную ситуа-
цию можно описать следующим образом- пусть X — случайная
величина, определенная на вероятностном пространстве (Q, Р)
и принимающая значения в измеримом пространстве (U, F). Обо-
значим через D множество всех вероятностных плотностей на U.
Под сведением е подразумеваем высказывания, согласно которым
истинная плотность f0 случайной переменной X лежит в некото-
ром подмножестве Z)(e) множества D. Подмножество 7)(е) рас-
сматривается как ограничение Процедура вывода состоит в на-
хождении оценки плотности f0 по информации,, содержащейся в
сведении е. В качестве классического примера рассмотрим ситуа-
цию, в которой U — пространство состояний некоторой системы
и е выражается в форме ограничения, наложенного на ожидаемое
значение случайной переменной, а именно: & = «ЕХ—а». Тогда све-
дение е определяет подмножество D(s) = {f^D : j xf (x)dx=a}.
Если е = «Р(А'еЛ) =&», где A^F, то Z)(e) = {feZ): =
28b
Таким образом, сведение е неявным образом содержит информа-
цию об истинном законе распределения случайной величины X.
По заданному сведению s оценку плотности Д можно получить,
используя принцип максимальной энтропии. Обозначим такую
оценку f; тогда, например, о событии B(=F можно сделать
вывод, что Р(В\ е) = Jf (x)dx. Величина Р(В|е) означает «вероят-
в
ность события В, если имеются сведения 8». Чтобы исключить
путаницу с условными вероятностями, можно писать Р(В|е) =
= P(B\f есть плотность X).
Рассмотрим теперь сведение е = «Х есть А», где А — нечеткое
подмножество U с измеримой функцией принадлежности тА. Это
сведение не определяет истинную плотность X, но дает более сла-
бый закон для X, а именно, распределения возможностей лх = тА.
В этом случае, если В — нечеткое событие, то
л (В|е) = л(5|Л) = 8ир тА(и) Д тв(и), (1)
где л(В|Л) означает л (В | пх = тА).
При такой интерпретации легко видеть, что л(В|Л) = л(Л|В).
В отличие от условных вероятностей (1) выражает условную
возможность. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим более общую
ситуацию; пусть X и У — две нечеткие переменные, принимающие
значения в U и V соответственно. Предположим, что известно
распределение условных возможностей л(*/|х). Для фиксирован-
ного х отображение г/->л(г/|х) будет плотностью возможности,
поэтому, если В — нечеткое событие, то имеем
л (У есть В\Х=-х) = sup (тв(у) Д л (г/|х)).
i/ev
С другой стороны, для фиксированного В отображение %->л(В|х)
будет еще одной плотностью возможности, поэтому, если А — не-
четкое событие в U, то
л(У есть В|Х есть Л) = sup (тА (х) Д тв(у) /\ л (у]х)). (2)
(x,y)&UxV
Если теперь У=Х, то я(у\х) =бх(у) и, таким образом, (2) сво-
дится к (1).
Рассмотрим сведения вида 8 = «Л есть Лг есть аг», i=l, ..., п,
где Аг — нечеткие события и аг — числовые вероятности.
Положим D, (е) = {f^D : j mAi (x)f(x)dx = at}. Общее ограниче-
н-
ные в е будет равно П Вг(ъ), и оценку /0 можно установить, мак-
i=i
симизируя энтропию при заданном общем ограничении.
Мы не намереваемся обсуждать противоречия, к которым при-
водит принцип максимальной энтропии, принятый в качестве об-
щей процедуры логического вывода, но далее покажем, что при
«мягких» сведениях возможностный подход более уместен.
287
Для начала рассмотрим случай, когда введенные вероятности
аг — нечеткие. Утверждение «X есть Аг есть аг» определяет сле-
дующее нечеткое подмножество множества D:
mD (е) (*) f № dx) ,
и
п
и общее ограничение П Д(в) характеризуется
i=i
п / с \
т п (/) = Л mai{\ mai (х) f (х) dx) (3)
П (8) »=>
i=i
Как доказал Заде [9], эта структура приводит к проблеме «воз-
можности вероятности». Формула (3) выражает степень, с которой
плотность вероятности f соответствует сведению г. Если теперь
В — нечеткое событие, то Р(Х есть В|е) будет нечетким подмно-
жеством единичного интервала с функцией принадлежности, за-
даваемой формулой
тР (хеСтьв|е)(а) = тах(Л mai (J mai(x)f(x) dx)), (4)
i=l и
где максимум берется по всем /, таким, что ^mB(x)f(x)dx = a.
и
Теперь в качестве само собой разумеющейся альтернативы
проблеме вероятностей второго порядка мы пришли к следующей
ситуации: поскольку по сведению 8 вероятность каждого события
В точно не известна, то вместо того, чтобы рассматривать Р(В)
как случайную переменную, рассмотрим возможностный процесс
(лр(В|е), B^F). Как отмечено в [5] и показано в [3], возмож-
ностный подход вычислительно легко реализуем и, по крайней
мере, также теоретически обоснован, как и подход, в котором
используется вероятность второго порядка Заметим, что в [3]
проблемы анализа решений приводят к необходимости рассмотре-
ния функций принадлежности для вероятностей и полезностей.
В следующей ситуации имеющаяся частичная информация при-
водит к лингвистическому ожиданию, которое расценивается как
сведение о переменной: пусть (хь х2, .., хп) — конечное множе-
ство возможных состояний некоторой системы, pi0, Р20, , Рп,о —
неизвестные вероятности пребывания системы в этих состояниях
и пусть заданные сведения е представлены в виде «Р(Х=хг) есть
аг», i=l, , п, где аг — нечеткие вероятности. Для данных сведе-
ний ожидаемое значение ЕХ состояния X до некоторой степени
известно, а именно, ЕХ есть нечеткое подмножество действитель-
ной прямой, характеризуемое функцией принадлежности
п
тЕХ (г) = шах (Д т (а): S хгрг -= г). (5)
1=Л г=1
Идеология возможностного подхода состоит в следующем: по-
скольку исходные сведения неточны, то в общем случае ограниче-
288
ния должны описываться нечетким множеством, и поэтому ре-
зультатом процедуры вывода должны быть решения, отражающие
неточность сведений.
Заметим, что в описанной ситуации, сведение s специфицирует
распределение возможностей ожидания ЕХ, но не саму перемен-
ную X. И в общем случае связанное со сведением е ограничение
будет характеризоваться функцией принадлежности
mD (8) (/) = Лех (J xf (х) dx) ,
таким образом, для нечеткого события B<=U имеем
лр(в|£Х) (a) = max (f): J тв(х) f (х) dx = a). (6)
Заметим также, что в качестве первого приближения лх можно
получить по сведению е следующим образом. Введем Ci =
— (х’.Ша,(х) = sup та (у)), i=l, ..., п и положим аг = 8ирСг, а
«/€[1.0] 1
затем определим
л (X = х^ = aj sup ttj
1
3. СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ВОЗМОЖНОСТЕЙ
Сначала напомним некоторые элементы теории случайных мно-
жеств. Пусть (У, W, Q) — вероятностное пространство и Т — мно-
гозначное отображение из V в U. Обозначим через &(U) сово-
купность всех подмножеств [7; —множество всех подмно-
жеств совокупности ^(77). Если G есть сг-алгебра совокупности
^(77), то Т называется случайным множеством тогда и только
тогда, когда оно измеримо относительно W и G.
Вероятностное распределение случайного множества Т — это*
вероятность на G. Например, пусть 7е[1,0]) есть семей-
ство подмножеств множества 77, такое, что
a) A0 = U, 6)At = 0, в) s t <=> Аа э At.
Определим о-алгебру на Н следующим образом: =
= (Л/, t^I), где I—борелевское подмножество единичного интер-
вала.
Рассмотрим случайное множество Т со значениями в Н и рас-
пределением вероятностей Р(ТеЛ) = А(7), где А — мера Лебега
на единичном интервале.
С другой стороны, если F — о-алгебра на U, то будем гово-
рить, что многозначное отображение Т сильно измеримо относи-
тельно W и F тогда и только тогда, когда NB<=F и имеем
Т* (B)<=W, где Т* — верхнеобратное отображение Т, определен-
ное условием Ве^(77); Т*(В)= (v<=V: Tvf]B=£0).
Нижнеобратное отображение Г* множества Т определяется
для B&P(U), Т*(В} = (ueV:Tv=£0, TvczB). Заметим, что в
предположении сильной измеримости можно определить верхнюю
и нижнюю вероятности, индуцированные Т.
10—120 289
В общем случае, когда Т — многозначное отображение из V
в U, его рассматривают как случайное множество, полагая G
таким, что XeG<=>74 (Л) eF. Легко видеть, что в этом случае
нижние вероятности элементов F получаются из распределения
вероятностей Р отображения Т, а именно, Р*(А) —Р(ЦА)), где
A^F, а /(Л) обозначает главный идеал, порожденный А, т. е.
7(Л)=)(ВсЛ).
Хотя интерпретации распределения возможностей и плотности
вероятности совершенно различны, однако, как это ясно показано
в [4], существует формальная связь между функциями принад-
лежности нечетких множеств и случайными множествами.
Действительно, если Т — многозначное отображение из вероят-
ностного пространства (V, W, Q) в U и если предполагается
: Tv=>u) для всех u^U, то очевидно, что формально функ-
ция m [0, 1], m(u) = Q(v : Tv=>u) задает функцию принад-
лежности некоторого нечеткого подмножества U. Позднее пока-
жем, что это соответствие можно использовать при доказатель-
стве правила вывода для распределений возможностей, когда све-
дения о некоторой случайной переменной выражаются только в
форме многозначного отображения.
Если теперь X — нечеткая переменная, принимающая значе-
ния в U с распределением возможностей лх, то можно ожидать,
что, записав пх через некоторое случайное множество Т, в рам-
ках математической теории вероятностей можно дать строгую
трактовку исчисления распределений возможностей. Заметим, что
отсюда еще не следует, что распределения возможностей можно
вывести просто из распределений вероятностей!
Пусть при введенных здесь обозначениях X будет нечеткой
переменной, принимающей значения из U. Формально лх представ-
ляет нечеткое подмножество А из £7. Для ае[1,0] обозначим
множество уровня а нечеткого множества А через Аа = (и : пх(ч)
^а). Если а выбрано в [1,0] случайным образом, то и много
значное отображение Т из V=(Q, , определенное как
Ta(w) —Aa(W), будет, очевидно, случайным множеством
В действительности, чтобы сделать это утверждение более стро-
гим, предположим, что U — пространство Rd и W—борелевское
о-алгебра на интервале [0,1]. Если распределения возможностей
лх — измеримая функция, то определенное ранее отображение Т
будет случайным множеством в Rd. В частности, если значение
уровня а выбрано в соответствии с равномерным распределением
на [0,1], то область значений отображения Т и его распределение
вероятностей будут (л~1х([/, 1])), te[0,1]. Далее, ст-алгебра этой
области SeeG тогда и только тогда, когда S имеет вид (Л/, /еХ),
где К — борелевское множество из интервала [0,1], а распреде-
ние вероятности Т определяется как P(T^S) = Л(Х). Заметим,
что в этом случае Р(Гэи) =л%(ц).
Пусть в более общем случае Fy — функция распределения ве-
роятностей некоторой случайной переменной У, принимающей зна-
чения в [0,1]; имеем
290
и е U, Р (ЛУэ и) - Fy (лх («)). (7)
Это соотношение означает, что нечеткая переменная X преобра-
зована в новую нечеткую переменную с распределением возмож-
ностей, задаваемым отображением u-+FY (л%(и)).
Теперь вернемся к проблеме вывода и рассмотрим случай, ког-
да сведения выражены в терминах многозначных отображений
[2, 7]. Пусть X— случайная величина, принимающая значения в
(V, W, Q), У— переменная (случайная или нечеткая), принимаю-
щая значение в U и некоторым образом связанная с X. Хотелось
бы, зная Q, вывести распределение для У. Вместо поисков ве-
роятностных мер С на о-поле F пространства U, таких, что>
Q*(A) ^С(А) ^Q*(A), A<=F (в предположении, что истинная ве-
роятностная мера совместима с данной системой верхних и ниж-
них вероятностей, приводящих к распределениям возможности ве-
роятностных мер), попытаемся ответить на другой вопрос, а имен-
но, каким будет индуцированное распределение возможностей У„
когда У рассматривается как нечеткая переменная? Так, для све-
дений 8 в предположении, что (v : Tv^u)<=W для всех ме£7, слу-
чайное множество Т из V в U индуцирует, очевидно, распределе-
ние возможностей u—^Q(v : Tv=>u).
Разумно использовать это распределение для У так, чтобы для
нечеткого подмножества В множества U выполнялось равенство
(} есть Bje) = sup (тв (и) /\Q (v:T v э
ug=U
4. ПРИМЕЧАНИЯ
А. Для сведений второго рода [9] определенное здесь случай-
ное множество становится случайным элементом в функциональ-
ном пространстве функций принадлежности нечетких подмно-
жеств U.
Б. Сведения второго рода имеют вид (Рх, л(У|Х)), где Рх—
вероятностный закон, которому подчинена случайная переменная
X, а л(У|Х) — распределение возможностей переменной У, обус-
ловленное X. Если в задачах фильтрации априорная информация
представляет собой распределение возможностей, то сведения
имеют вид (пх, Py\x)- В этом случае X будет нечеткой перемен-
ной, У — случайной переменной, и прежде всего необходимо опре-
делить условную случайную переменную при заданной нечеткой
переменной. Если через 3 обозначить индуцированное случайное
множество лх, то Py\x можно определить как Py\s-
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Анализ сведений может основываться на других мерах, отлич-
ных от меры возможностей, выбор которых зависит от рассмат-
риваемой проблемы. Интересно отметить, что при несколько иной
постановке задачи в работе [1] использование нечетких множеств
Ю* 291
оказалось неизбежным: применение идеальных коалиций (нечетких
множеств игроков) при исследовании значений неатомарных игр
предполагает использование комплекса методов, по-видимому, при-
годных для анализа сведений в возможностном или более общем
подходе.
Как указано во введении, если неопределенность связана со
случайностью и нечеткостью, полезно знать, когда обычную меру
можно декомпозировать на случайные и нечеткие компоненты.
Систематическое изучение связи между нечеткими и случай-
ными множествами [4] может привести к появлению полезных
математических методов и поэтому заслуживает большего вни-
мания.
' СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
f
1. Aumann, R. J. and Shapley, L. S. (1974). Values of non-atomic games. Prince-
ton University Press.
'2. Dempster, A. P. (1967). Upper and lower probabilities induces by a multivalued
mapping. Ann. Math. Stat., 38, 325—339.
3. Freeling, A. S. (1980). Fuzzy sets and decision analysis. IEEE Systems, Man
and Cybernetics, Vol. SMC-10, No. 7, 341—354.
4. Goodman, I. R. (1980). Identification of fuzzy sets with a class of canoni-
cally induced random sets. Naval Research Lab., Washington, D. C. Submitted
to IEEE Systems, Man and Cybernetics.
5. Nguyen, H. T. (1979). Toward a calculus of the mathematical notion of possi-
bility (Part II). Proceedings 18th IEEE on control and decision processes.
6. Nguyen, H. T. (1980). Contributions to the analysis of evidence. Proceeding
Round Table on Fuzzy Sets. Lyon, France, to appear.
7. Shafer, G. (1976). A mathematical theory of evidence. Princeton University
Press.
8. Shore, J. E. and Johnson, R. W. (1978). Axiomatic derivation of the principle
of maximum entropy and the principle of minimum cross-entropy. NRL Memo,
report no. 3—898, Naval Research Lab., Washington, D. C.
9. Zadeh, L. A. (1979). In M. M. Gupta, R. RAgade, R. Yager (Eds.), Adv. Fuzzy
Sets and Appl., North Holland, 3—18.
О ПЛОТНОСТИ Х-НЕЧЕТКОЙ МЕРЫ
Я. Цукамото, М. М. Гупта, П. И. Никифору к1
В этой статье исследуется функция F-плотности Х-нечеткой
меры применительно к методу вычисления нечеткого интеграла.
Утверждается, что введение функции F-плотности очень полезно
для изучения так называемых нечетких статистик.
1 Cybernetics Reseal ch Laboratory, College of Engineering University of
Saskatchewan, Saskatoon, Saskatchewan, Canada, S7N OWO.
Цукамото приглашен из Токийского технологического института.
292
1. ВВЕДЕНИЕ
Около 10 лет тому назад Суджено [4] ввел теорию нечетких
интегралов и понятие нечеткой меры. Кроме того, он предложил
Х-нечеткую меру как частный случай нечеткой меры. В серии по-
следующих работ он провел дальнейшее изучение, связанное с
Х-нечеткой мерой, и сообщил о некоторых вариантах ее примене-
ния [5—8]. Кандель [1] назвал теорию нечетких интегралов не-
четкой статистикой и развил некоторые исследования в этой об-
ласти. Совсем недавно Прад в обзоре по нечетким мерам рас-
сматривал связи между такими различными нечеткими мерами,
как вероятностная мера, мера возможностей [9], мера определен-
ности [10], мера правдоподобия [3], мера достоверности и т. д.
По сравнению с другими нечеткими мерами Х-нечеткая мера
допускает более естественную интерпретацию. Суджено определил
функцию /'’-распределения Х-нечеткой меры для бесконечного слу-
чая и ее функцию /'’-плотности для конечного случая, которые
приводят к правилу построения Х-нечеткой меры для произволь-
ного подмножества рассматриваемого множества. Поскольку
функция плотности распределения играет важную роль в теории
вероятностей и статистики, то может оказаться очень полезной
попытка определить по аналогии и функцию Х-плотности.
В этой статье рассматривается понятие функции /'’-плотности
Х-нечеткой меры для бесконечного случая. Введем определение
функции F-плотности в противоположность функции плотности
вероятностей и покажем, как Х-нечеткая мера выводится из нее.
Далее исследуем связь между функций F-плотности и функцией
F-распределения, а также метод вычисления нечеткого интеграла
с использованием функции F-плотности. Опираясь на эти резуль-
таты, установим семантику значения X в Х-нечеткой мере и, на-
конец, в качестве иллюстративного примера рассмотрим представ-
ление понятия неосведомленности. Результаты этого обсуждения
и новый метод вычисления нечеткого интеграла приводят к вы-
воду о полезности понятия функции F-плотности для решения
практических задач.
Далее будем использовать следующие обозначения:
X — произвольное множество
х — элемент X
— борелевская алгебра на X
А, В,..., — подмножества X
Ас — дополнение А
7? — действительная прямая ,
R+ — неотрицательная часть
действительной прямой
I— интервал [0, 1]
§ — интеграл Лебега
— нечеткий интеграл
h — функция плотности
Н — функция распределения ве-
роятностей
Р— функция плотности вероят-
ностей
Р — вероятностная мера
g — нечеткая мера
g^—X — нечеткая мера
V — оператор взятия макси-
мума
Д — оператор взятия миниму-
ма
s — равно по определению
0—пустое множество
W — случайная переменная.
293
2. ВВЕДЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ
Х-НЕЧЕТКОЙ МЕРЫ
Сначала дадим простое объяснение основных понятий теории
нечетких интегралов, разработанной Суджено [4].
Определение 1 (нечеткая мера). Нечеткой мерой" называется
функция множества, определенная на 03 и обладающая следую-
щими свойствами:
a) g(0)=O, йг(Х) = 1,
б) если А, В<^0? и AczB, то g(A) ^g(B),
в) если Fn&$ при l^n^oo и последовательность {Fn} мо-
нотонная (в смысле включения), то lim g(Fn) = g(lim Fn).
П-ь-оо n—>оо
Тройка (X, <%, g) называется пространством нечеткой меры, а
g — нечеткой мерой (X, ^).
Определение 2 (нечеткий интеграл). Пусть у: X-+I есть ^-из-
меримая функция. Нечеткий интеграл по А ее В функции у(х) от-
носительно нечеткой меры g определяется следующим образом:
\У (x)°g(-) = sup {а Л (1)
' а&;/
где 7 а == (xjy (х) 20 а}. (2)
Свойство б) из определения 1 характеризует монотонность,
которая определяет следующие фундаментальные свойства нечет-
кого интеграла:
г) если A cz В, % у (х)° g^^y (х) ° g, (3)
А В
д) если уг < у,, j (х) ° g^y2 (х) ° g. (4)
X X
Как видно из соотношения (1), для подсчета нечеткого инте-
грала необходимо иметь метод получения нечетких мер для произ-
вольных подмножеств X. Определим Х-нечеткую меру как меру,
которая удовлетворяет следующему уравнению: для каждой пары
непересекающихся подмножеств Е, F множества X
^№\]F)^gK(E) + g>AP)-FX gK(E) g%(F), —1 <А,<оо. (5)
Это уравнение называется Х-правилом. Нечеткая мера, подчи-
ненная A-правилу, представляет собой специальную форму нечет-
кой меры Поскольку g\(X) = 1, то из (5) следует, что
& (£с) = О/d +*&. О, (6)
где Ес — дополнение Е.
Рассмотрим теперь случай, когда X есть конечное множества
K={si, s2, ..., sn}. Тогда нечеткая мера g% алгебры всех подмно-
жеств (К, 2К) строится следующим образом. Пусть
1/Х |п (1+Xg9-1 | =1, —1<^<оо. (7>
V 1= 1 J
294
где gl = g({SJ), i= 1,n. При условии, что величины gl(i = 1,п)
заданы, при любом Scz/C можно получить удовлетворяющую i-npa-
вилу (5) меру gK (S)
g1(S) = lA{ П (1+A.g1)-!)• (8)
Поэтому величины g* будут называться нечеткой плотностью Х-не-
четкой меры gK по Суджено. Теперь пусть X совпадает с R и Н —
функция, обладающая свойствами функции распределения вероят-
ностей:
1) если x<zz, то Н (х) Н (г) ; 2) lim Н (х) = Н (а) ;
3) lim Н (х) = 0 ; 4) lim Н (х) = 1.
—оо Х-*4-оо
Используя такую функцию, для V(a, b)czR можно построить
g%{(a, b)} следующим образом:
gK ((a, b)) = (Н (Ь)-Н («))/(! +% Н (а)) (9)1
(непосредственно следует из %-правила (5)). Суджено назвал та-
кую функцию функцией ^-распределения и использовал ее для
подсчета нечеткого интеграла.
Функция плотности вероятностей есть отображение R в R+, та-
кое, что
J р (х) dx= 1. (10)
Пусть есть о-алгебра в R. Тогда вероятностная мера Р есть
отображение, определяемое как
Р:$->(0, 1), Р(А) = J pdx, (11)
А
где величина Р(А) означает вероятность того, что W<=A; W — слу-
чайная переменная, принимающая значение в R. Аналогичным
образом можно рассмотреть некоторый тип функции плотности
для пространства Х-нечеткой меры (R, gx). Пусть теперь h —
отображение R в R+ и
J h (х) dx = NK,
я
= (log (1 4-А,))/Х, —1 <^<оо. (12)
Тогда Х-нечеткая мера g%: ^->-(0, 1) задается соотношением
/ X f h (x)dx \
I A I
gx(A)4e -U/X. (13)
В (13) используется интеграл Лебега, т. е. ^-нечеткая мера может
быть введена как сумма бесконечного числа интегралов Лебега
функции Р-плотности h по AczR. Согласно теореме Лопиталя, ве-
роятностный случай как частный входит в (12) и (13). Уравнение
(13) можно представить в эквивалентной форме:
29^
&(4) = ((W~1)A (И)
или ёгх(Л)= j Xe^dZ, (15)
о
где р = j hdx!^ hdx.
а в
Легко показать, что функция gK удовлетворяет Х-правилу (5).
Теперь можно дать следующее определение.
Определение 3. Если h — неотрицательная измеримая функция
и — нормирующий множитель, и если для любого подмноже-
ства А из функция ^^(Л) получается из (13), (14) или (15), то
можно оказать, что g^ имеет плотность к, ^-соответствующую ме-
ре Лебега.
Теперь вернемся к рассмотрению функции ^-распределения.
Как было установлено, свойства функции F-распределения, ис-
пользованные Суджено, в точности совпадали со свойствами функ-
ции распределения вероятностей. Однако при желании сохранить
связь между функцией F-плотности и функцией ^-распределения
X
(х) = j h (х) dx,
—оо
свойство (4) нужно заменить на
4') lira Нк (х) = log (1 -f-X)/X.
(16)
(17)
Далее функцию F-распределения будем обозначать через Н^(х) и
считать, что она обладает свойствами 1—3, 4' и удовлетворяет
(16).
Таким образом, Х-нечеткая мера при V(a, b]czR задается фор-
мулой
gK ((а, Ь)) = 1/X (18>
Утверждение 1. Правило построения (13), (14) или (15) вклю-
чает в себя как частный случай правило построения (8) для ко-
нечного множества.
Доказательство. Пусть Ег^ (at, bi], i— 1, ..., п и Еп= (ап, Ьп) —
попарно /н ©пересекающиеся подмножества R и пусть g% =
X Мх X 5
^=£х(£г) = 1/Ме Ei —!)• Таким образом, получаем е Ei —
= 1+Xg1’(i= 1, п). Тогда согласно (13) имеем
г К S f hdx ч
I , р I
= -1/ = 1Д{И(1+Л^)-1}-
I i
Когда <21=—оо, Ьг = аг+{(1=\, ..., п—1) и Ьп=+<х>, согласно (14)
легко получаем g^ (7?) = 1, что и завершает доказательство.
Это утверждение, по-видимому, важно по той причине, что из
определенной Суджено функции F-распределения и правила по-
строения (9) нельзя вывести как частный случай правило по-
строения (8).
296
i 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕЧЕТКОГО ИНТЕГРАЛА
С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ е-плотности
В этом разделе предложим метод вычисления нечеткого инте-
грала, определенного в (1), с помощью функции F-плотности для
бесконечного случая.
Пусть у — отображение из R в I такое, что для каждой пары
аь «2^/, ai<«2 следует, что Fa^Fa2 и Fa^Fa2(a^a2), где
Fa= {x|z/(x)^а}, O^a^l.
Утверждение 2. Пусть задана функция F-плотности h. Значение
нечеткого интеграла по R от функции у относительно Х-плотности
равно значению а, для которого
Р (f«)= 1°gg(',taiXr . -I <1 <°°. (19)
log (1 + A)
где
f h (x) dx
p (Ea> . (20)
J h (x) dx
R
Доказательство. Пусть
sup {a A & (fa)} = м. (21)
ae/
В силу свойств монотонности gK и Fa для ae[0, 1] очевидно, что
М равно значению а, которое удовлетворяет соотношению
« = (221
Согласно (14) получаем
gUfa) = iA((i+M‘"p°1)-i). (23);
где p(Fa) определяется согласно (20). Соотношение (19) следует
из (22) и (23). Пусть Х=0, по теореме Лопиталя получаем
£o(Fa) =p(Fa) (= j* A(x)rfx), что и требовалось доказать.
F
a
Легко видеть, что, с одной стороны, правая часть (19) в ут-
верждении 2 зависит только от значений А и а, а с другой — левая
часть представляет собой просто отношение области, определяе-
мой Fa, ко всей области (определения) функции F-плотности.
Следовательно, правая часть выражения может быть получена
заранее в числовом виде в форме таблицы или графика, откуда
следует лемма.
Лемма 1. Если функция F-плотности, с помощью которой
строится g’x, одна и та же, то для каждой пары Zi, Х2^(—1, сю),
такой, что справедливо неравенство
%У(х) °ёь>%У(х) (24)
Доказательство. Как видно из (14), для любого подмножества
AczR производная gx(A) по к неположительна. Поэтому из опре-
деления (1) нечеткого интеграла следует утверждение леммы.
297
Можно установить, что рСЛ*) обладает следующим хорошим
свойством. Предположим, что функция Г-плотности выражает рас-
пределение степеней важности. Пусть кто-нибудь описал свои
субъективные степени важности с помощью функции <р: в
некотором роде похожей на функцию плотности вероятностей, но
которая не должна удовлетворять условию нормализации (10)
или (12). Если, используя <р, пытаться найти значение нечеткого
интеграла, то ср нужно будет преобразовать в другую функцию,
удовлетворяющую условию (12). Теперь предположим, что задано
/г (х) = уф (х) для всех x^R, (25)'
где у — положительный коэффициент пропорциональности, тогда
в силу (12)
y = log(l+W J 4>(x)dx). (26)
д
В описанной ситуации из уравнения (20) следует, что проце-
дура нормализации не потребуется, поскольку р(/7а) в уравнении
(2) остается инвариантной при таких преобразованиях, как (25).
4. СЕМАНТИКА X В Х-НЕЧЕТКОЙ МЕРЕ
Другое достоинство функции /'’-плотности связано с представ-
лением о связи между положением в субъективной оценке нечет-
ких объектов и выбором значения X. Рассмотрим здесь представ-
ление неосведомленности. Пусть для простоты X будет интервал
[0.2]. Если принять вероятностную точку зрения, то функция плот-
ности для представления ситуации неосведомленности задается
равномерным распределением, т. е.
р(х; = 0,5 для всех х<=[0; 2]. (27)
Если для функции /'’-плотности также принять равномерное рас-
пределение, то согласно (12) имеем
Л (х) = *og • Для всех хе[0, 2], (28)
откуда следует, что значение функции Е-плотности h(x) зависит
от параметра к, даже если плотность не зависит от основной пе-
ременной. Точно так же, как мера вероятности утверждения
[0,1]», получается из соотношения
Р (Г е [0, 1 ]) = у pl(x) dx (= 0,5), (29)
о
нечеткая мера ^([0,1]) задается с помощью соотношения (13)
следующим образом:
&ЛЮ,1])=1Д
298
То же самое отношение справедливо и
для утверждения «^е[1; 2]». Таким
образом, получаем табл. 1, представля-
ющую распределение нечетких мер для
случая отсутствия сведений. Итак, в
ситуации неосведомленности можно
сказать следующее: возможность того,
что «We [О, 1]», равна 1; вероятность
того, что W принадлежит [0, 1], равна
0,5, и необходимость того, что W при-
надлежит [0, 1], равна 0 и т. д. Эти
результаты интуитивно совершенно по-
нятны.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Хотя в этой статье рассмотрены
только самые фундаментальные поня-
тия, касающиеся функции .F-плотности,
можно оптимистически оценивать их
применимость, когда речь идет о роли,
которую функция плотности вероятно-
стей играет в теории вероятностей и
статистике. Недавно во время дискус-
Таблица 1 Зависимость
g^(A) от значений X,
A
[0, 1] [1, 2]
(-1 1 1)
t t t
—0,89 1 1 0,75 0,75
1 0 0,5 0,5
8 0,25 0,25
1 1 1
(oo 0 0)
сий о связях между нечетким ожидаемым значением (нечетким ин-
тегралом) и стандартным вероятностным ожиданием, с одной сто-
роны, и между нечетким ожидаемым значением и мерами централь-
ной тенденции — с другой. Кандель высказал предположение, что
даже в том случае, когда использованная нечеткая мера совпадает
с мерой вероятности, понятие нечеткой ожидаемой величины может
оказаться удобнее «осредненной оценки» классических методов.
Введение понятия функции F-плотности при таких исследованиях
должно оказаться полезным для развития теории нечеткого инте-
грала в направлении «нечеткой статистики».
Благодарность. Эта работа финансировалась Канадским национальным со-
ветом по науке и инженерным исследованиям.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kandel, А. (1978). Fuzzy statistics and forecast evaluation, IEEE Trans, on
Systems, Man and Cybernetics, SMC-8, No. 5, 396—401.
2. Prade, H. M. (1979). Nomenclature of fuzzy measures, in Proc. Int. Seminar
on Fuzzy Set Theory, Johannes Kepler Universitat Linz., Austria, edited by
E P. Klement.
3 Shafer, G. (1976). A mathematical theory of evidence, Princeton Univ. Press.
4. Sugeno, M. (1972). Fuzzy measure and fuzzy integrals. Trans. S. I. С. E, 8,
No. 2
299
5. Sugeno, M. and Terano, T. (1973). An approach to the identification of huj
man characteristics by applying fuzzy integrals. Proc. Third IFAS Sympi
Identification and Systems Parameter Estimation, The Hague.
6. Sugeno, M., Tsukamoto, Y. and Terano, T. (1974). Subjective evaluation of
fuzzy objects. Proc. IFAS Symp. Stochastic Control, Budapest.
7. Sugeno, M. (1977). Fuzzy measures and fuzzy integrals: A survey, 89—102,
in Fuzzy Automata and Decision Processes, North — Holland, M. M. Gupta,
G. N. Saridis and B. R. Gaines Eds.
8. Sugeno, M. (1975). Fuzzy decision — making problems, Trans. S. I. С. E., 11,.
No. 6.
9. Zadeh, L. A. (1978). Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility, Int. J.
Fuzzy Sets and Systems, 1, 3—^28.
10. Zadeh, L. A. (1979). Possibility theory and soft data analysis, Univ, of Ca-
lifornia, Berkeley M 79/66.
I Часть IV-
| ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ РЕШЕНИИ
Ё. Энта1
В этой статье вводится понятие нечеткости как в классичес-
кой, так и в поведенческой (по Саймону) моделях принятия ре-
шений. На этой основе рассматривается понятие степени разделе-
ния при выборе отдельной альтернативы. Этот подход позволяет
прояснить до сих пор не исследованную область: «различитель-
ный эффект информации».
Ключевые слова: принятие решения; нечеткое множество; сте-
пень разделения; информация; различения; различительный эф-
фект информации; информативность.
1- ВВЕДЕНИЕ
Принятие решения — это сложная, мыслительная человеческая
деятельность, которую можно определить как 1выбор направления
действия для достижения цели. Для описания этой деятельности
имеются как классическая, так и поведенческая модели принятия
решений. Согласно каждой из этих моделей принимающий реше-
ние человек не сравнивает непосредственно альтернативы. Скорее
он выбирает альтернативы либо с помощью таких учитываемых
в поведенческой модели факторов, как конечный эффект или же-
лаемый уровень поведения, либо на основе функции выигрыша,
как в классическом случае. Исход, соответствующий каждой аль-
тернативе, — это результат запутанного сплетения всех перемен-
ных, описывающих внешние условия, со всеми переменными, ха-
рактеризующими альтернативу. Однако чем более аморфна проб-
лема, тем затруднительнее становится правильное предсказание
этих переменных и, следовательно, исхода. В этих условиях при-
нимающий решение человек обычно абстрагирует проблему и
строит простую модель. Затем полученным из анализа модели
исходом он подменяет непредсказуемый исход первичной проб-
лемы.
Теперь принимающий решение человек должен что-то сделать
для того, чтобы устранить расхождение между промоделирован-
ным исходом и исходом реальной проблемы. Один из проверен-
ных временем методов для этой цели состоит в «размывании»
1 Department of Business Administration Hosei University, 2-17-1, Fujimi
Chiyoda-ku, Tokyo, Japan.
301
вычисленного исхода. Чтобы проиллюстрировать это, предположим,
что исход альтернативы для достигнутого объема продажи оцене^
в 4 835641 дол. В этом случае принимающий решение человек дол^
жен представить себе эту ситуацию как что-нибудь вроде «приб-
лизительно 5 млн. дол» или «немного меньше 5 млн. дол». Образ
действия, с помощью которого он «размывает» ситуацию, зависит
от таких факторов, как способ моделирования проблемы и Пред-
убежденность принимающего решение человека при недостаточ-
ной информации. Такой нечеткий исход рассматривается как оцен-
ка объема продажи для данной альтернативы. Строгость языка
₽ утверждении «объем продажи достигнет 4 835641 дол» полно-
стью исключает возможность того, что этот объем составляет
4 835 642 дол. В противоположность этому утверждение «объем
продажи будет приблизительно 5 млн. дол» не устраняет возмож-
ность того, что он составит 4 835641 дол или 5,1 млн. дол. По-
этому нечеткое утверждение более пригодно для сложных проблем.
Выигрыш — это выраженный в цифрах исход, оцененный с уче-
том цели или системы предпочтений. Поэтому выигрыш неизбеж-
но должен быть нечетким, не только потому, что зависит, по су-
ществу, от нечеткого исхода, но также и потому, что его значение
получается в результате неоднозначной операции, т. е. как ре-
зультат процедуры оценивания. Желаемый уровень можно также
рассматривать как нечеткий, поскольку он опирается на неулови-
мые стремления принимающего решение человека. Желаемый уро-
вень «просеивает» альтернативы, сравнивая их с исходом. Поэтому
нет необходимости быть абсолютно точным, поскольку рассмат-
риваемая цель и исход сами по себе нечеткие.
До сих пор теория принятия решений была связана или с ис-
ходом желаемых уровней или с выигрышем, в обоих случаях не
нечеткими. Однако бесполезно рассматривать нечеткость как нечто
внутренне присущее сразу трем определенным здесь характери-
стикам сложных проблем. Кроме того, нечеткость может дать
ключ к попыткам углубленного исследования природы принятия
решений* 1. Можно также отметить, что исследования, связанные
с нечеткостью, развернулись вскоре после 1965 года, когда Заде
предложил [4], что теория нечетких множеств должна исполь-
зоваться для количественного выражения и обработки нечеткости.
Эта статья представляет собой первый набросок исследований,
направленных на развитие современных теорий принятия решения
с помощью размывания трех конкретных факторов принятия ре-
шения.
с
1 Недавно Марч и его исследовательская группа провели тщательное иссле-
дование /[1] по теории принятия решения в организациях Очи исходили из того
положения, что подобная теория не 'может игнорировать различные неопределен-
ности различной природы, внутренне присущие организации, и попытались на
этой основе рассмотреть понятие неопределенности в полном объеме Подход
Марча отличается от подхода Заде и заслуживает внимания в области теории
организационного принятия решения и теории организации
302
2. КЛАССИЧЕСКАЯ И ПОВЕДЕНЧЕСКАЯ МОДЕЛИ
ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
I Опишем кратко классическую и поведенческую модели при*
^ятия решения с помощью следующих шести конструкций:
1) множество А альтернатив а, объективно приемлемых для
достижения цели;
2) множество А' альтернатив, которые принимающий решение
человек воспринимает и рассматривает, Л'с=Д;
3) множество Z возможных состояний природы z, которые не
контролируемы принимающим решение человеком.
4) множество О возможных исходов о;
5) функция исхода р; выражает связь между комбинацией лю-
бой альтернативы а с любым состоянием природы z и любым
исходом о. Другими словами, р:Дх/->0. Отсюда выделяем мно-
жество Оа исходов при альтернативе а, где Оа — подмножество О
и Оа= Up (а, z);
г
6) функция выигрыша v выражает соответствие между любым
исходом о и его выигрышем, или величиной g. Система предпоч-
тений — это субъективное отражение цели принимающего реше-
ние человека, или оценочное суждение. Короче, v: где G —
множество выигрышей достоинства g.
Составная функция со определяется как композиция функции
исхода р и функции выигрыша v, т. е. (o=vep. Таким образом,
множество Ga выигрышей по альтернативе а определяется как
подмножество G, такое, что Ga = U<o(a, z).
г
Функция выигрыша 6 — это единственная важная конструк-
ция, которая отличает классическую модель принятия решения от
поведенческой. Классическая модель строится на предположении,
что функция выигрыша — действительнозначная, линейно упоря-
дочивающая все исходы. В противоположность этому поведенчес-
кая модель строится на предположении, что функция выигрыша
имеет только два или три значения, иными словами, в ней пред-
полагается упрощенная функция выигрыша.
В классической модели принимающий решение человек с по-
мощью действительнозначной функции выигрыша назначает каж-
дой альтернативе действительное число. Для человека, принимаю-
щего решение, не составляет труда выбрать альтернативу, когда
каждой из них поставлен в соответствие только один выигрыш.
Он просто выбирает альтернативу с наибольшим выигрышем. Это
называется принятием решения в условиях определенности.
Однако когда принимающий решение человек не обладает пол-
ным знанием о состояниях природы, тогда каждой альтернативе
назначается несколько выигрышей. Выбор в таких условиях на-
зывается принятием решения или в условиях риска, или в усло-
виях неопределенности. Решение принимается в условиях риска
в случае, если принимающий решение человек знает возможные
303
состояния природы и распределение их вероятностей. Решение
принимается при неопределенности в случае, если принимающей
решение знает возможные состояния природы, но не знает распре-
деления их вероятностей. \
В обоих случаях, как при риске, так и при неопред ел енностиЬ,
каждую альтернативу нужно характеризовать единственным дей-
ствительным числом, соответствующим выигрышу. В случае риска
характеризация каждой альтернативы числовым значением полу-
чается взвешиванием выигрышей по вероятности их получения, в
результате чего выводится ожидаемый выигрыш. В случае неопре-
деленности существует несколько методов для получения ожидае-
мого значения, ни один из которых не стал общепризнанным.
Согласно одному методу предлагается брать значение наимень-
шего соответствующего выигрыша, согласно другому — медиану,
т. е. среднее от наибольшего и наименьшего выигрышей, согласно
третьему — равномерно взвешенное среднее всех выигрышей.
В любом случае в рамках классической модели принятия ре-
шений принимающий решение человек для каждой альтернативы
подсчитывает одно действительное число и затем выбирает аль-
тернативу, соответствующую наибольшему числу. Это можно вы-
разить следующим образом:
max ga=> выбирать а\
аеЛ
где ga a rep (Ga) = гер (v (Оа)) (гер — представляющее значение).
(1.1)
Эта запись выражает императив выбора альтернативы, который
будет максимизировать относительно а<=А некоторые представ-
ляющие значения rep(Ga) множества Ga — выигрышей по альтер-
нативе а.
Если процедура выбора человеком, принимающим решение,
описана классической моделью, то в его распоряжении имеется
действительная функция выигрыша. Таким образом, он может
выбрать самую благоприятную альтернативу. В противополож-
ность этому Саймон в своей статье 1955 года A Behavioral Model
of Rational Choice предложил модель принятия решения, в ко-
торой принимающий решение не имеет такого рода функции выиг-
рыша из-за своей «ограниченной рациональности». Модель Сай-
мона — поведенческая модель или, судя по ее содержанию, ком-
пенсаторная модель принятия решений. Самая уязвимая черта
модели — функция выигрыша принимающего решение, меняющая-
ся в пределах двух-трех значений.
Говорят, что принимающий решение имеет функцию выигрыша
с двухзначными элементами, если относительно любого исхода он
выдает оценку «хорошо» или «плохо», либо «удовлетворительно»
или «неудовлетворительно» в зависимости от целей или системы
предпочтений. Оценка отражает желаемый уровень достижения
304
Ьели или уровень удовлетворенности принимающего решение че-
ловека. В случаях, когда исход удовлетворяет желаемым усло-
виям, принимающий решение человек назначает этому исходу, на-
пример, значение выигрыша «единица». В противном случае будет
назначено значение «ноль». Исходы с выигрышем «единица» со-
ставляют множество О' удовлетворительных исходов (O'czO).
Функция выигрыша, элементы которой принимают два значения,
имеет вид
если оеО\ то v(o) = 1,
если о^О', то v(o) =0
В соответствии с этой процедурой человек, принимающий ре-
шение, не может просто единым махом выбрать наиболее благо-
приятную альтернативу. Во-первых, он должен сформировать по-
нятие удовлетворительной альтернативы, расширив свое множе-
ство (Л') воспринимаемых альтернатив. Далее, существует так-
же проблема окружающей среды: если он не уверен, в каком
состоянии природы принимается решение, то для каждой альтер-
нативы существует несколько возможных исходов. В этом случае
Саймон рекомендует человеку, принимающему решение, выбирать
ту альтернативу, любой исход которой удовлетворителен. Фор-
мально эту идею можно выразить следующим образом:
Оа с О' => выбрать а’ (12)
где Оа — множество исходов, порожденных а; О' — множество
удовлетворительных исходов.
Формулы (1.1) и (1.2), выражающие соответственно класси-
ческую и поведенческую модели принятия решений, подчеркивают
различие между ними — способ упорядочивания. В классической
модели альтернативы упорядочиваются по отношению неравенства
(:>). Принимающий решение выбирает альтернативу с наиболь-
шим значением выигрыша. В противоположность этому поведен-
ческая модель характеризуется отношением включения (cz). При-
нимающий решение человек выбирает альтернативу, множество
возможных исходов которой содержится во множестве удовлетво-
рительных исходов.
3. МОДЕЛЬ НЕЧЕТКОГО ВЫБОРА
Мы установили, что когда проблемная ситуация неустойчива
и сложна, ей будет сопутствовать нечеткость в исходе и выиг-
рыше каждой альтернативы, а также в уровне желания прини-
мающего решения человека. Будем говорить, что исход (или выиг-
рыш) нечеткий, если исход или выигрыш определяется нечетким
подмножеством во множестве исходов О (или множестве выигры-
шей G). Аналогично желаемый уровень будем называть нечетким,
когда он будет определяться в виде нечеткого подмножества, на-
пример, как «приблизительно в пределах 5 млн. дол».
305
Теперь перед нами встает задача сформулировать то, что мо4
жет быть названо классической моделью принятия нечеткого ре-[
тения для ситуации, в которой человек, принимающий решение,)
устанавливает соответствия между альтернативами и выигрыша-
ми, используя нечеткие действительные числа. Затем мы должны
обратиться к формулировке поведенческой модели принятия не-
четкого решения для ситуации, в которой принимающий решение
человек не так рационален, как хотелось бы (и, еледовательно,
каждой альтернативе он назначает только нечеткие исходы), и в
которой уровни его желаний тоже нечеткие. Как уже отмечалось,
в классической модели принятия решения альтернативы ранжиру-
ются с помощью отношений неравенства, а поведенческая модель
строится на основе отношений включения. 'В свете этого при фор-
мулировании классической модели принятия нечеткого решения
следует обратиться к проблеме определения отношения соответ-
ствующего неравенства между нечеткими действительными числа-
ми. Аналогично, для поведенческой модели проблема состоит в
разработке подходящей формулировки отношения включения
между нечеткими множествами.
Для рассмотрения этих двух проблем предлагается единый ре-
гулярный метод, использующий понятие степень разделения не-
четких множеств. Для иллюстрации возьмем два нечетных дей-
ствительных числа: «немного ниже 6» и «приблизительно 8», изоб-
раженных на рис. 1 в виде нечетких подмножеств. Из рис. 1 мож-
Гнемного >ниже S (°i Г при 5л. 8 $)
Рис. 1. Отношение неравенства между
«немного ниже 6» и «приблизитель-
но 8»
Рис. 2. Отношение вложения между
«приблизительно выше 10» и «немного
ниже И»
но видеть, что нечеткое число «приблизительно 8» больше нечет-
кого числа «немного ниже 6» со степенью разделения 0,7. Это
подтверждается тем фактом, что любой элемент нормального не
нечеткого множества ГПрибл.8 (0,3) (А {г | |1пРибл 8 ('/*>0,3)}), которое
принадлежит нечеткому множеству «приблизительно 8» со сте-
пенью, большей чем 1—0,7=0,3, больше любого элемента множе-
ства Г немного ниже 6 (0,3), принадлежащего нечеткому множеству
«немного меньше 6» со степенью, большей чем 0,3.
Таким же образом нечеткие множества «немного ниже 11» и
«приблизительно выше 10» должны иметь вид такой, как на рис. 2.
306
J'1 Можно видеть, что в этом случае нечеткое множество «немно-
о ниже 11» содержится в нечетком множестве «приблизительно
ыше 0» со степенью разделения 0,9.
Дадим здесь более общее определение отношений неравенства
и включения с учетом степени разделения.
Определение. Пусть нечеткие множества А и В принадлежат
универсальному множеству V. Соответствующие А и В множества
a-уровня (не нечеткие) определяются следующим образом:
Гл (а) Д {и|рл (и) > а),
Гв (а) Д {«|рв (и) > а],
где |1л(м), |1в(м)—функции принадлежности, значения которых
выражают степень принадлежности элемента и множеству А или
В. Если каждый элемент Гл (а) больше любого элемента Гв(а),
т. е.
V ЕЕ Гд (а), ub ЕЕ Гв (а), (1)
то А больше В на уровне а.
В таком случае, если через а обозначить нижнюю границу а,
при которой (1) остается справедливым, то А больше В со сте-
пенью разделения 1—а. Формально это записывается как А В.
~ '"Ч—a~
Аналогично, если Гл (а) содержится в Гв(а), т. е.
Гд (a) cz Гв (а;, (2)
то А содержится в В на уровне а.
В таком случае, если через а обозначим нижнюю границу а,
при которой включение (2) еще остается справедливым, то А со-
держится в В со степенью разделения 1—а, т. е. А 55 В.
Запись А Е В (и;1и А В) означает, что отношение неравен-
^1—а4'' ^1—к
ства или отношение Вложения устанавливается относительно всех
элементов (или их множеств), которые принадлежат соответствен-
но А или В со степенью, большей чем 1—(1—a)=a (исключая а).
Поэтому по мере того, как степень разделения 1—а возрастает,
или, другими словами, величина а уменьшается, утверждение, что
А больше В (или А содержится в В) становится более опреде-
ленным и ясным. В экстремальном случае, когда 1—а=1, или, что
то же самое, когда а = 0, любой без исключения элемент, принад-
лежащий рассматриваемому нечеткому множеству, будет досто-
верно принадлежать этому множеству. Соответственно и утверж-
307
дение о том, что А больше В в этом случае достигает наиболь*
шей ясности1 * * * * *.
Приведем формулировки классической и поведенческой моде-
лей принятия нечетких решений с использованием определенных
здесь отношений неравенства между нечеткими действительными
числами и включения между нечеткими подмножествами:
п ’ (3)
max D ga=> выбрать а\ v 7
а Е А
где £аДгер(Са),
Оа £ О' => выбрать а\
1—а
(Я
4. РАЗДЕЛЕНИЕ И ИНФОРМАЦИЯ
Понятие степени разделения используется при выборе альтер-
нативы в обеих рассмотренных моделях нечеткого выбора. Как
уже отмечалось, различие в степени разделения отражает разли-
чие в степени ясности между утверждениями о выборе альтернатив.
Теперь сделаем еще один шаг в развитии этой идеи для того, что-
бы связать ее проблематикой принятия решений, которая глубоко
связана с вопросом различения альтернатив. Размывание исхода
и выигрыша каждой альтернативы и уровня желания человека,
принимающего решение, выявило недостаток современных теорий
принятия решения в отношении понятия различения и, что осо-
бенно важно, именно этим аспектом нельзя пренебрегать в реаль-
ной задаче принятия решений.
Проблема различения альтернатив или предметов с некоторой
степенью нечеткости поднимает два интересных вопроса в теории
принятия решения.
1. Вообще говоря, если степень различения низкая, то решение
сводится к тому, что нужно собрать больше информации. Окон-
чательное решение выбирается только тогда, когда степень раз-
личения превысит определенное значение.
2. Сформулированная процедурная рекомендация 1 сделана в
предположении, что после отбора дополнительной информации
степень различения увеличится или, по крайней мере, не умень-
шится.
1 В П965 году Заде дал следующее определение отношения включения меж-
ду нечеткими подмножествами. Пусть А и В — два нечетких подмножества од-
ного и того же универсума U. Нечеткое множество А содержится в В(АсВ) тог-
да и только тогда, когда Ца?(н) VustZ. В отличие от определения Заде
описанное в нашем подходе отношение включения с учетом степени разделения
нужно было бы назвать отношением нечеткого включения. Его можно рассматри-
вать как общее определение, включающее в себя определение отношения по Заде
как частный случай.
308 »
Первое соображение свидетельствует о том, что использование
понятия разделения активизирует решение независимо от тогог
идет ли речь об окончательном решении или о сборе дополнитель-
ной информации. В то время, как оценка должна ответить на воп-
рос, существует ли определенная связь между нечеткими объек-
тами, перед ее получением нужно еще решить, как высока должна
быть степень разделения, чтобы такая оценка стала возможной-
Для того чтобы дать оценку, осторожный человек потребует вы-
сокой степени разделения, более легковерный удовлетворится низ-
кой степенью разделения. Следовательно, с помощью предлагае-
мой теории нечетких решений можно пролить свет на неразрабо-
танную и оставшуюся ненаучной область субъективных суждений
человека.
Концепция различения или разделения также важна для оценки
и обработки информации. Роли информации в области принятия
решения было посвящено несколько исследований. В них отме-
чалось, что понятие неопределенности полезно подразделить на
случайность и нечеткость. Как теория информации Шеннона, так
и теория статистических решений изучают зависимость информа-
ции от случайности. Однако зависимость информации от нечет-
кости изучена слабо.
Здесь уже отмечалось, что при принятии решения нельзя иг-
норировать проблему различения. Поэтому исследование влияния
информации на различение не только обогащает наши знания а
природе самой информации, но вносит определенный вклад в тео-
рию принятия решений. В качестве одного из подходов к такому
исследованию предлагается использовать меру эффекта различе-
ния информации о нечетких объектах [2, 3]. В табл. 1 приведены
примеры информации.
Пусть, например, имеем два высказывания: р А «я держу тиг-
ра», q Д «я держу зверя».
Связь между этими двумя высказываниями состоит в том, что
если утверждение р истинно, то q тоже обязано быть истинным.
Формально это записывается в виде p=>q, что означает «р вле-
чет q».
Рассмотрим два утверждения:
pA”X есть G”,QA”X есть F”,
Таблица 1. Три меры информации
Объект иссле- дования Основная теория Измеряемая характеристика Мера информации
Случайность Теория вероятно- стей Энтропия Количество
Ожидаемая полезность Ценность
Нечеткость Теория возможно- стей Степень разделения возмож- ностных распределений Эффект различе- ния
30»
где X — субъект утверждений; G и F — отдельные предикаты,
характеризующие субъект X. Предикаты G и F представлены в
виде множеств (четких или нечетких). Если G<zzF, то p=^q. В этом
случае говорят, что утверждение р более информативно, чем ут-
верждение q
Определим степень различения данных объектов как степень
разделения множеств, характеризующих каждый объект. Эффект
различения информации связан с информативностью информации.
Степень различения, возникшая в результате поступления более
информативной информации, не уменьшает степени различения,
установленной по менее информативной информации. Другими
словами, дискриминационный
Степень
разделения а
Вь1СО*ий “
„Очень Степень
j низ ног о Д\ разделения О
j роста ” 7 \ \
I / >\
I--%-----L—./\ \----------
О 750/ 770 700 Рост, см
р Низ нога роста “
Рис 3
эффект более информативной цн-
формации неотрицателен. Напри-
мер, пусть невозможно провести
хорошее различение двух людей
на основе двух высказываний
«Джек высокий» и «Джек низкого
роста». Различие между ними
можно сделать более отчетливым,
если, собрав дополнительную ин-
формацию, сможем, например, ут-
верждать, что «Джек очень низ-
кого роста» и после этого прове-
дем разделение.
Из рис. 3 хорошо видно, что «очень низкого роста» cz «низко-
го роста». Степень разделения а, полученная на основе улучшен-
ного нечеткого множества, больше степени разделения Ь, получен-
ной с помощью исходного нечеткого множества.
Более информативное высказывание относительно — это выс-
казывание с меньшей нечеткостью, мешающей различению. В тео-
рии принятия решений для лучшего различения альтернатив меж-
ду собой нужно уменьшить нечеткость каждого исхода и выигры-
ша, уменьшив нечеткость функций исхода и функции выигрыша.
Для идентификации объекта необходимо иметь описание
свойств различной размерности. Например, для идентификации
актера Марлона Брандо нужно описание {)яда таких признаков,
как возраст, пол, рост, вес, цвет волос и гЛаз, склонности и т. п.
Если увеличивать размерность предиката, Который характеризует
субъекты, то будет возрастать информативность соответствующе-
го высказывания. Например, для двух высказываний
рв Д «Марлон Брандо — мужчина с хорошей фигурой, кари-
ми глазами и каштановыми волосами»,
qB Д «Марлон Брандо — мужчина с хорошей фигурой, кари-
рими глазами»,
имеем рв=^в (поскольку «мужчина с хорошей фигурой» Q «муж-
чина с карими глазами» П «мужчина с каштановыми волосами») cz
cz («мужчина с хорошей фигурой» П «мужчина с карими глаза-
ми»), Другими слонами, утверждение рв, содержащее описание
цвета волос, более информативно, чем утверждение qB без него.
310
Интересно, что с увеличением размерности описания объектов
не обязательно растет степень различения объектов. В качестве
примера рассмотрим различие между Марлоном Брандо и Полом
Ньюменом. Помня об утверждениях рв и qB, касавшихся Марлона
Брандо, рассмотрим два утверждения о Поле Ньюмене, такие, что
Pn^Qn'
Pn Д «Пол Ньюмен — мужчина с хорошей фигурой, голубы-
ми глазами и светлыми каштановыми волосами»,
qN Д «Пол Ньюмен — мужчина с хорошей фигурой и голу-
быми глазами».
В этом примере более информативно, чем В этой ситуации
степень различения двух актеров с помощью менее информатив-
ных утверждений qB и qN та же самая, что и с помощью более
информативных утверждений рв и pN. В самом деле, степень раз-
личения, достигаемая с помощью информации о легко восприни-
маемой разнице, т. е. «у одного мужчины глаза карие, а у друго-
го — голубые», не улучшается добавочной информацией о труд-
но уловимой разнице, т. е. «у одного мужчины волосы каштано-
вые, у другого светло-каштановые». В этом выводе предполага-
ется, что цвет волос и глаз не имеют непосредственной связи. За-
метим также, что добавочная информация не уменьшает степени
различения. Поэтому вывод о том, что эффект различения более
информативной информации неотрицателен, не противоречит пре-
дыдущему утверждению. Перефразируя это замечание в терминах
теории принятия решений, можно сказать, что увеличение размер-
ности описания исхода (объем продажи, коэффициент ликвиднос-
ти и т. п.) для улучшения различения альтернатив не приносит
никакого ущерба. Однако совсем не обязательно, чтобы добавоч-
ная информация улучшала уже достигнутую различимость.
Высказывание р Д «у Смита хорошая фигура» предполагает
описание признаков роста и массы. Однако вследствие таких со-
ображений, как экономия информации или ограничения на воз-
можности ее обработки, сводится к утверждению, включающему
только один признак, например р' Д «Смит высокого роста». Ка-
кого типа эффект окажет такое редуцированное утверждение на
различение? В этом случае имеем включение «мужчина с хоро-
шей фигурой» cz «мужчина высокого роста». Поэтому р=^р'. Дру-
гими словами, редуцированное утверждение р' не более информа-
тивно, чем исходное. Следовательно, степень различения, полу-
ченная по редуцированному утверждению, не увеличивает степе-
ни различения, полученной по первичному высказыванию. Короче
говоря, уменьшение информации не оказывает положительного
влияния. Это свидетельствует о том, что между увеличением и
уменьшением информации существует двойственная связь относи-
тельно эффекта различения информации.
311
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исходы и платежи, соответствующие каждой альтернативе, а
'также уровни желания принимающего решение человека относят-
ся к числу решающих факторов в принятии решения. Эти факто-
ры неизбежно становятся нечеткими в плохо определенных и
сложных задачах. Поэтому в данной работе предложена модель
принятия нечетких решений, для которой определены и исполь-
зованы новые отношения нечеткого неравенства и нечеткого вклю-
чения. Это модель более общего вида, чем модель принятия чет-
ких решений, поскольку включает последнюю как частный случай.
В этом смысле теория продвинута еще на один шаг вперед.
То новое, что привносится моделями принятия нечетких реше-
ний, не исчерпывается их общей формой. Здесь возникают, по
крайней мере, еще две новые притягательные для исследования
проблемы, связанные с различением альтернативы с некоторой
степенью нечеткости. Первая проблема характеризуется неулови-
мым фактором человеческого суждения. К ее решению можно по-
дойти, используя в качестве ключевого понятие различения не-
четких объектов. Вторая проблема состоит в оценке влияния ин-
формации на различение. Эти темы были только кратко затрону-
ты в данной работе. Однако их объяснение в будущем будет спо-
собствовать дальнейшему развитию теории принятия решения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. March, J. G. and J. Р. Olsen, Ambiguity and Choice in Organizations, Univer-
sitetsfor laget, 1976.
2. Enta, Y., «Discriminative Effect of Information—The Third Measure of Infor-
mation», Memorandom, No. UCB/ERL M78/62, Univ, of Calif., Berkeley, 1978.
3. Enta Y., «А Measure for the Discriminative Effect of Information», Proceedings
of the 1978 Joint Automatic Control Conference, Vol. Ill, 1978, pp. 69—80.
4. Zadeh, L. A., «Fuzzy Sets», Information and Control, Vol. 8 (1965), pp. 338—•
353.
ПРИМЕНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ ДЛЯ
ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ СТРОИТЕЛЬНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЯХ1
Д’. С. Фу2, М. Исидзука2, Дз. Т. П. До3
При разработке методов сейсмических исследований одна из
наиболее важных проблем состоит в определении сейсмического
1 Работа финансировалась Национальным научным фондом
2 School of Electrical Engineering.
3 School of Civil Engineering, Purdue University, West Lafayette, IN 47907»
USA.
□12
повреждения существующих сооружений в зависимости от место-
положения эпицентра землетрясения. Хотя квалифицированные
инженеры-строители могут успешно решать эти задачи, число та-
ких компетентных экспертов относительно мало, и им трудно пе-
редать опыт и интуицию молодым инженерам. При поддержке На-
ционального научного фонда США предпринимается попытка ис-
пользовать методы теории распознавания образов и теории не-
четких множеств для получения наиболее рациональной методо-
логии решения этих задач. В работе представлены результаты та-
кого исследовательского проекта.
Ключевые слова: землетрясение; разработка методов сейсми-
ческого исследования; оценка повреждения; нечеткое множество;
распознавание образов.
1. ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известно, что на протяжении всей истории человечест-
ва сильные землетрясения наносят тяжелый ущерб имуществу и
приводят к гибели людей. Хотя в последние годы делались пдпыт-
ки предсказывать землетрясения, отсутствие определенности и
слишком позднее время предупреждения по прогнозу не позволя-
ют принять эффективные меры к уменьшению ущерба имущества
и сохранению человеческих жизней (см., например, [29]). Поэто-
му для уменьшения нежелательных последствий землетрясения не-
обходима инженерная предосторожность.
В США первые строительные законы по усилению сейсмичес-
кой устойчивости конструкций были приняты после землетрясения
1933 г. в Лонг-Бич, Калифорния, во время которого оказались
поврежденными несколько школьных зданий. С тех пор в области
разработки сейсмически устойчивых конструкций достигнут боль-
шой прогресс [36].
В 1969 г. Комитет по сейсмическим исследованиям Националь-
ного научного совета Национальной технической академии йред-
ставил доклад Национальному научному фонду. В 1978 г. с целью
подготовки плана мероприятий по уменьшению опасности земле-
трясений был сделан другой доклад для комиссии при президен-
те. В то же время проводились периодические встречи ученых и
специалистов, на которых обсуждались разрабатываемые исследо-
вательские проекты в области сейсмически надежного строитель-
ства (Калифорнийский технологический институт). Начиная с
1972 г., в Калифорнийском университете были составлены и разос-
ланы в заинтересованные организации аннотации всех опублико-
ванных работ и докладов.
Как показано на рис. 1, разработка методов строительства’
сейсмически устойчивых конструкций связана со многими сложив-
шимися дисциплинами. Очевидно, что в одной работе невозмож-
но рассмотреть все аспекты сейсмически надежного строительст-
ва. В задачи этой работы входит: а) кратко рассмотреть несколь-
ко аспектов инженерно-сейсмических исследований; б) обсудить
313
общие возможности приложения нечетких множеств к подобным
исследованиям, в) в качестве примера таких приложений пред-
ставить отчет об исследовательском проекте, связанном с оценкой
сохранности существующих сооружений.
Теоретические исследования Прикладные исследования Практические исследования
Геофизика и науки о Земле Методы сейсмических исследований Проектирование и конструирование сооружений
*— । " 1 1 i 1 । 1 ।
Сейсмология eg’ » Сейсмология сильных сдвигов — Разработка конструкции
। 1 । i 1 i 1
Геология Механика движения земной поверхности Разработка фундамента
i । S 1 1 1 1 ।
Теоретическая механика Динамический анализ Проектирование сооружений
1 1 1 1 1 1 1 1
Океанография Г идродинамика Береговые и гидротехнические разработки
* I 1 1 1 |-> Социальные и экономические аспекты I 1 1 «—1
Рис. 1. Связи между теоретическими исследованиями, прикладными исследова-
ниями и практическими приложениями
2. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ
ИНЖЕНЕРНО-СЕЙСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Побудительным мотивом разработки методов сейсмически на-
дежного строительства послужило землетрясение 1964 г. на Аляске
[49], которое ясно продемонстрировало недостаточный уровень
развития инженерно-сейсмических исследований. В 1969 г. коми-
тет по землетрясению на Аляске выработал следующие рекомен-
дации, касающиеся необходимых исследований:
а) разработать конструкции повышенной сейсмической устой-
чивости и более совершенные методы их оценки;
б) изучить систему регулирования и управления разработками
проектов и конструкций в сейсмически активных зонах;
314
в) учредить периодические осмотры главных плотин, резервуа-
ров, хранилищ и старых зданий с целью выявления и устранения
опасностей их разрушения;
г) собрать больше данных о сильных сдвигах почвы;
д) повысить уровень знания о приливных волнах, вызванных
землетрясением, и улучшить систему предупреждения о приливах;
е) составить карты сейсмоопасных зон для всех густо заселен-
ных районов.
Рекомендованные исследовательские программы находятся в
полном согласии с последующим отчетом Комитета по сейсмичес-
ким исследованиям (1969 г.). Рекомендованы и другие исследова-
ния, касающиеся социально-экономических аспектов землетрясе-
ний, которые в данной работе не рассматриваются.
Основная проблема разработки сейсмически безопасных кон-
струкций состоит в том, чтобы определить: а) форму, размер и
материал для различных структурных элементов конструкций и
б) метод производства и сбора конструкций, обеспечивающий
удовлетворительное функционирование сооружения. Предвари-
тельный этап процесса разработки требует профессионального
творческого подхода и обширных знаний сейсмического поведения
сооружений. Затем детальные расчеты и проектные решения ите-
рируются до тех пор, пока не получится окончательный проект
сооружения. Конструкторский проект можно оценить, рассчитав
реакцию сооружения на заданное сейсмическое возбуждение.
В США обычные здания строят так, чтобы они пережили:
а) умеренное землетрясение без значительного повреждения и
б) сильные землетрясения, не вызвав экономического краха. До.
сегодняшнего дня динамические свойства реально существующих
сооружений при больших деформациях изучены недостаточно.
Поэтому трудно разрабатывать сооружения с контролируемым
ущербом от землетрясений. После землетрясения 1964 г. на Аляс-
ке во многие здания в Калифорнии были вмонтированы акселе-
рографы для записи колебаний, порожденных землетрясением. Эта
информация оказалась полезной для разработки улучшенных про-
цедур конструирования и анализа антисейсмических сооружений.
Однако многие проблемы анализа и интерпретации таких данных
остаются нерешенными [21].
Строительные законы обычно определяют приемлемый мини-
мум прочности конструкций, который устанавливается по согласо-
ванию инженеров и официальных представителей строительных
ведомств. В обществе с конкуренцией характерно стремление ог-
раничиться минимумом конкретных ограничений.
От случая к случаю недостатки законов выявляются при не-
удовлетворительном поведении конструкции во время землетрясе-
ния, что приводит к последующей корректировке закона. Посколь-
ку сильные землетрясения происходят нечасто, необходимость в.
улучшении сейсмических мер предосторожности в строительных
законах на время отпадает и обусловленный опытом прогресс за-
медляется.
31$
Главная трудность при учете сейсмологических данных состо-
ит в том, что большинство гражданских инженерных сооружений
индивидуальны как по проектировке, так и по исполнению. Дру-
гими словами, нужно изучать много сильно различающихся типов
вооружений. Например, метрополитен между Сан-Франциско и Ок-
лендом, проходящий под заливом, по своей конструкции сильно
отличается от высотного здания. Даже высотные здания по своей
<|)орме, материалам и конструктивным деталям могут быть совер-
шенно отличными друг от друга. Теоретически вполне возможно
разработать математическое представление конструируемых сис-
тем, если известны конструкции сооружения и свойства использо-
ванных материалов. Однако на практике возникают трудности в
определении точных уравнений движения в сильно нелинейных об-
ластях, где происходит разрывное повреждение. Для получения
более реалистичных математических моделей различных конструк-
ций гражданских сооружений в течение двух последних десятиле-
тий применялись методы идентификации систем [22, 26, 27, 39,
43].
Одновременно с дальнейшим совершенствованием методов
идентификации систем применительно к строительству для силь-
но нелинейного поведения следует изучать и другие строительные
характеристики, такие, как состояние повреждения и некоторые
другие меры надежности [32]. Недавно были проведены динами-
ческие натурные испытания до полного разрушения одиннадцати-
этажного здания повышенной прочности [18] и трехпролетного
стального автомобильного моста [3]. До тех пор, пока не развит
«более рациональный подход к оценке повреждения существующих
сооружений, данные натурного испытания до полного разрушения
считаются очень важными [50].
Хорошо известно, что землетрясения, зарождающиеся под дном
«океана, могут вызвать приливные волны (цунами), затопляющие
^береговую область и разрушающие жилые постройки. Сейсмичес-
кие сдвиги почвы и обвалы, вызывающие колебания почвы, так-
же порождают разрушительные волны в водохранилищах и реках.
Разрушительные удары волны потенциально опасны для челове-
ческих жизней и материальных ценностей. Из-за потребности в
охлажденной воде заводы, работающие на атомной энергии, стро-
ится рядом с рекой, озером или океаном и, таким образом, под-
вергаются опасности приливных волн.
Для целей строительного проектирования было бы желатель-
но подготовить карты, характеризующие ожидаемые движения зем-
ной поверхности (например, естественную частоту и интенсивность
колебаний почвы) для каждой местности. Имеющиеся сейчас кар-
ты показывают, что вся страна разделена на несколько зон коле-
бания земной поверхности определенной интенсивности. Для даль-
нейшего усовершенствования этих карт можно в них включить
указания на ближайшие повреждения, местное геологическое
строение, вероятность постоянных сдвигов пластов, возможность
316
обвалов и разжижения почвы внутри каждой сейсмической зоны
и даже для определенных городов. Но сегодня еще трудно создать
сейсмические карты с такой детализированной информацией.
3. ВОЗМОЖНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ НЕЧЕТКИХ
МНОЖЕСТВ
В предыдущем разделе были затронуты некоторые вопросы ин-
женерно-сейсмических исследований. Отметим, что желаемые це-
ли часто формулировались в лингвистических терминах. В качест-
ве примера сошлемся на сегодняшнюю основную установку при
проектировании в США, состоящую в том, что обычные здания
должны переносить а) средние землетрясения без значительных
повреждений и б) сильные землетрясения без разрушения. Конеч-
но, слова типа «среднее» (или «сильное») и «значительное» пов-
реждение содержательны, но смысл их точно не определен. Даже
слово «разрушение» можно использовать в смысле частичное или
полное разрушение. Хотя полученную при землетрясении инфор-
мацию можно представить в числовой форме с большой точностью,
ее анализ и интерпретация не всегда будут точными и ясными.
В теории распознавания образов [1, 33] данные набирались
из наблюдений за физической системой, например такой, как
структура построенного здания. Затем из входных данных выде-
лялось множество признаков и строилась классификация. В [17]
рассмотрена проблема определения уровня повреждения в терми-
нах теории распознавания образов. По аналогии те же методы
можно применить для разбиения на сейсмические зоны и созда-
ния карт интенсивности.
Во всех этих прикладных задачах возникают неопределенность
и неоднозначность, которые необходимо учитывать в процессе вы-
работки процедуры принятия решения. Позже эти методы были
применены не только к инженерным дисциплинам, но и к таким
областям, как экономика, наука управления, искусственный интел-
лект, психология, лингвистика, информационный поиск, медицина
и т. д. [56]. Недавно появилось несколько статей, посвященных
приложению нечеткого алгоритма к строительному проектирова-
нию [6, 11, 51]. Общепризнано, что теория нечетких множеств осо-
бенно полезна для решения проблем, которые представлены в фор-
ме лингвистических выражений и сильно зависят от субъектив-
ных оценок человека. Далее приводится пример определения пов-
реждений или оценки безопасности существующих сооружений.
4. ОЦЕНКА ПОВРЕЖДЕНИЯ СУЩЕСТВУЮЩИХ
СООРУЖЕНИЙ
После серьезного землетрясения некоторые сооружения могут
получить тяжелое повреждение или разрушиться, т. е. понести
очевидный для каждого урон. Однако подавляющее большинство
317
сооружений обычно продолжают стоять, потерпев повреждения
различной степени, которые могут быть непосредственно измере-
ны или обнаружены, другие же не допускают столь непосредст-
венной оценки повреждения. Такие устоявшие сооружения необ-
ходимо классифицировать согласно степени повреждения с тем,
чтобы можно было принять соответствующие решения о восстанов-
лении одних или сносе других.
Для того чтобы оценить строительное повреждение, нужно сна-
чала определить, что считать повреждением. Примером описа-
тельной классификации строительных повреждений служит шка-
ла модифицированной интенсивности [36]. При изучении повреж-
дений здания, наступивших в результате Каракасского землетря-
сения 29 июня 1967 г., для описания состояния повреждений зда-
ния в работе [40] было использовано несколько величин. Для
каждого отдельного здания хрупких сооружений подсчитывалось
отношение максимального значения динамической поперечной си-
лы к ее проектному статическому значению, а для пластичных
сооружений — отношение спектральной скорости к коэффициенту
поперечной нагрузки. В работе [41] сообщается об использовании
показателя утечки, вызванной повреждениями для изучения сей-
смических повреждений японских подземных систем трубопрово-
дов. Показатель утечки задается как отношение числа поломок
трубопровода к его длине (в км) в каждом районе.
В работе [46] предложена процедура градуирования сущест-
вующих жилых сооружений в Лонг-Бич, Калифорния. Позднее в
работе [48] были даны определения некоторым состояниям раз-
рушения и для оценки разрушаемости различных классов зда-
ний построена матрица разрушений. При решении прикладной
задачи оценки строительных повреждений от смерчей в [20] пред-
ложена шкала из шести оценок, построенная на основе отношения
стоимости ремонта к стоимости замены всего сооружения: нет,
легкое, среднее, тяжелое, очень тяжелое и разрушительное. В [25]
аналогичная шкала использована при изучении сейсмических
опасностей в 1976 г. Недавно в работе [48] изучались два кон-
кретных здания в Бостоне с целью оценки на прочность; исполь-
зовались четыре категории состояний повреждения, а именно: нет
или незначительное, легкое или среднее, серьезное и полное раз-
рушение. В [24] использована такая классификация: незначитель-
ное, среднее, тяжелое, значительное повреждение и частичное раз-
рушение. Аналогичная система классификации рекомендована в
публикации [15]. Если применяется теория нечетких множеств, то
при подходящих функциях принадлежности может быть использо-
вана любая из перечисленных классификаций повреждения.
В работе [7] предложена непрерывная шкала силы повреж-
дения, линейно связанная с коэффициентом гибкости, в которой О
означает упругое поведение, а 1 — полное разрушение сооруже-
ния. В работе [4] установлено, что: а) коэффициенты гибкости
продольного смещения в общем случае дают хорошую характерис-
тику строительных повреждений и б) наиболее важным фак-
318
тором при неструктурных повреждениях оказывается внутриэтаж-
ное смещение. В [8] обсуждались относительные достоинства ис-
пользования коэффициентов пластичности (отношение остаточной
к произведенной деформации) и гибкости. Для сооружений, под-
верженных периодическим пластическим деформациям с убываю-
щим сопротивлением, предлагалось рассматривать отношение на-
чальной прочности ij-го периода к максимальной деформации
на том же периоде.
Для условий монотонной нагрузки в [38] определен коэффи-
циент повреждения, который можно рассматривать как частный
случай более ранней модели для образцов мягкой стали с осевой
нагрузкой, подверженных низкопериодическим высокоамплитуд-
ным обратным пластическим деформациям [52].
В [2] использован коэффициент повреждения в методе подста-
новки структур, в котором неэластичная реакция сооружения мо-
жет быть исследована методами линейного динамического анали-
за.
В [13] описан метод оценки, в котором значения от 1 до 4
назначаются каждому из следующих факторов: географическое
положение, структурная система и неструктурная система. Затем
согласно приведенной в [13] формуле подсчитывается составная
опенка и, таким образом, оценивается степень повреждения зда-
ния. В [10] отмечается, что эта алгебраическая формулировка про-
извольна и что слишком большое значение придается существую-
щим условиям и слишком малое — назначению числовой оценки.
По-видимому, теория нечетких множеств может быть полезной
для улучшения метода.
В 1977 г. была развернута программа оценки сохранности со-
оружений [30]. Подверженность риску, уязвимость и обобщенный
индекс сохранности оценивались субъективно. Использовалась це-
лочисленная шкала от 0 до 9, где 0 обозначает отсутствие возму-
щений, а 9 — сильный толчок. Для получения обобщенного ин-
декса затем использовались взвешенные факторы, и в результате
оценивалась сохранность сооружения.
В [4] предложен критерий поврежденности, оцениваемый по
локальному, общему и совокупному повреждениям с помощью
операции суммирования. Для каждого элемента введен фактор
важности, зависящий от таких характеристик, как опасность для
жизни и стоимость. В [5] авторы развили этот метод дальше,
предложив более детализированные процедуры.
В [31] разработана систематическая методология определения
риска для сооружений от опасностей пожара, прилива, землетря-
сения, ветра. Для получения оценки средних годовых потерь ис-
пользовалось уравнение риска. В этой работе повреждение пред-
ставлялось в процентах от стоимости замены сооружения.
Было обнаружено, что при повреждении сооружения изменяет-
ся ряд его характеристик. В [45] приведены результаты испыта-
ния железобетонной стены в условиях переменной нагрузки и трех
проверок на свободное колебание для оценки основной естествен-
319
ной частоты и коэффициента поглощения вибрации. Согласно ре-
зультатам этих испытаний: а) с увеличением повреждения часто-
та монотонно убывает, в то время как коэффициент поглощения
сначала возрастает, а затем убывает, и б) если судить по данным
испытания на свободные колебания, то отремонтированный обра-
зец не возвращается в исходное состояние. Аналогичные резуль-
таты приводятся в работах [2, 23, 26].
В 1978 г. были получены результаты всестороннего экспери-
мента для многоэтажной жилой постройки и трехпролетного авто-
мобильного моста. Кроме того, испытывалось прямоугольное 11-
этажное железобетонное сооружение башенного типа [18]. Ре-
зультаты испытания показывают, что в общем случае естествен-
ная частота убывает с увеличением повреждения. Авторы работы
по аналогичным результатам испытания трехпролетного монолит-
ного моста пришли к заключению, что изменения в жесткости
моста и особенности вибрации можно использовать как показате-
ли структурного повреждения при повторных нагрузках.
В современной практике существующие сооружения могут быть
подвергнуты как экспериментальному, так и аналитическому изу-
чению всякий раз, когда появляются признаки аварий или при
проведении процедурного периодического осмотра [9, 19]. Экс-
периментальные исследования включают или полевые обследова-
ния или лабораторные испытания. Полевые обследования включа-
ют определение точного местоположения неисправных частей и
других признаков аварии, применение различных неразрушающих
методов и испытания сохранившейся структуры, обнаружение пло-
хого качества работы и плохих деталей конструкции, испытание
нагрузкой и другие проверки частей очень большого сооружения.
К тому же на объекте можно подобрать образцы, испытать в ла-
боратории на прочность и выяснить их другие механические и
структурные свойства. Аналитические исследования часто включа-
ют изучение первоначальных конструкторских расчетов и черте-
жей, проектных спецификаций, и приводят к выполнению допол-
нительных структурных анализов, объединению полевых наблю-
дений и тестовых данных, позволяя дать возможное объяснение
и описание рассматриваемых явлений. Хотя известно, что такие
общие процедуры анализа существуют, детализированная методо-
логия, особенно процесс принятия решения, остается в сфере ком-
петентности относительно немногих лиц и передаетя молодым ин-
женерам главным образом при обмене опытом и «интуицией».
Для получения разумных решений этой проблемы кажется
своевременным применить теорию нечетких множеств. В настоя-
щее время найдено приложение только элементарной алгебре не-
четких множеств [51]. Делается также попытка ознакомить с по-
нятиями теории и методологией нечетких множеств инженеров
гражданских служб, которые заинтересованы в методах исследо-
вания влияния землетрясений на постройки и сооружения.
В качестве частного примера приложений теории нечетких
множеств укажем на работу [51], в которой элементарные нечет-
320
кие отношения используются для решения сложной проблемы
оценки повреждения существующих сооружений. С иллюстратив-
ной целью первичные формулировки работы [51] приведены в
приложении. Недавно был предложен метод для оценки повреж-
дений существующих сооружений на основе операционно-логичес-
кой системы выводов [28]. В настоящее время подход к построе-
нию системы неточного логического вывода на базе теории не-
четких множеств находится в стадии развития.
5. СИСТЕМА ОЦЕНКИ ПОВРЕЖДЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ БАЗЫ ЗНАНИЙ, ПОСТРОЕННОЙ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ
МНОЖЕСТВ
В работе [50] было высказано предположение, что проблему
оценки повреждения можно рассматривать на основе теории рас-
познавания образов. В этом направлении результаты последнего
исследования по разработке системы оценки повреждения с по-
мощью ЭВМ свидетельствуют о том, что а) большое значение
имеет использование структуры экспертных данных и б) нужна
процедура вывода, пригодная при сложных и неопределенных си-
туациях.
На рис. 2 приведена структурная схема системы распознава-
ния образов в модели принятия решений. Образы представляются
с помощью множеств измерений по признакам или наблюдениям,
собранным для построения классификации повреждений. Опираясь
на множество измерений признаков, принимающий решение чело-
век должен определить (или классифицировать) состояние пов-
реждения.
Классификация и (или!.
Рис. 2. Структурная схема системы распознавания образов
описание
Первый шаг в разработке системы состоит в определении сте-
пени повреждения существующих зданий, пострадавших от зем-
летрясения, оцениваемой по десятибальной шкале 0—10, где 0 со-
ответствует отсутствию повреждения, а 10 — полному разруше-
нию. Дополнительно определяется вербальная интерпретация
шкалы, как это показано на рис. 3. Эта классификация нестрогая.
Однако предполагается, что каждому классу сопоставлена соот-
ветствующая рекомендация о ремонтных работах.
11—120 321
Если состояние здания отнесено к классу разрушительного по-
вреждения, то рекомендация будет состоять в том, чтобы снести
и перестроить здание. В случае тяжелого или умеренного повреж-
дений сооружение нуждается в капитальном или обычном ремон-
те. При легком повреждении будет рекомендован легкий ремонт
f——f-----1----1---1——ь----h----1-------------1
Нет Легкое Умеренное Сильное Разрушительное
Рис. 3. Степени 'состояния повреждения и их вербальное 'выражение
или полный отказ от ремонта. Очевидно, что каждому поврежде-
нию соответствует свой объем ремонтных работ. Цель состоит в
том, чтобы состояние повреждения отнести к одной из этих кате-
горий, заданных вербальным выражением. Может оказаться бо-
лее предпочтительным получать числовое представление (числовую
степень), но при современном состоянии дел это приводит к ме-
нее надежным результатам. Теперь проблему можно сформулиро-
вать следующим образом: разработать рациональный способ для
доказательства истинности и ложности гипотезы о том, что рас-
сматриваемому сооружению нанесено тяжелое повреждение, или
же того, что такая гипотеза наиболее разумна, чем другие.
Множество признаков, пригодных для классификации или
оценки повреждений на основе визуального осмотра может вклю-
чать обнаружение деформаций и трещин в колоннах, балках, со-
единениях, полах, потолках, в ненесущих перегородках, внешних
и внутренних стенах, дверях, лестницах, местах общего пользо-
вания, лифтах и т. д. Признаки, получаемые из записей акселеро-
метра с помощью методов идентификации систем, могут вклю-
чать изменение характеристик собственных колебаний при вибра-
ции здания, изменение коэффициента затухания колебаний и об-
щее поглощение и рассеяние энергии во время землетрясения.
(При оценке могут быть полезными сведения о внутренних сме-
щениях этажей и о времени протекания описанных измененийJ.)
Кроме того, при попытке определить состояние повреждений на
основе перечисленных признаков, следует рассматривать много
других условий, характеризующих рассматриваемое здание, та-
ких, как строительный материал, высота или число этажей, пло-
щади полов и т. д.
В таких сложных обстоятельствах, включающих многие фак-
торы, очень трудно построить простой классификатор, который
многомерное пространство наблюдаемых признаков отображал бы
в определенный набор категорий. Кроме того, поскольку в нас-
тоящее время не существует хорошо установленного способа оп-
ределять состояние повреждения, следует эффективно использо-
вать знания, которые могут предоставить опытные инженеры. По-
322
этому эффективный подход к построению классификатора должен
отражаться на логике экспертных рассуждений.
На рис. 4 показана предлагаемая схема вывода для класси-
фикации повреждений существующих зданий. Схема содержит
несколько промежуточных диагностических состояний, степени
Рис. 4. Схема вывода
которых выводятся из связанных с ними состояний или наблюде-
ний. Каждый пронумерованный узел обозначает процесс вывода,
использующий множество правил, которые представляют необхо-
димые знания как индивидуальные модули. Применение этого
процесса обсуждается в следующем разделе. Каждый узел, изоб-
раженный в виде двойного кружка, обозначает процесс анализа
данных, проводимый для оценки признака по записям акселеро-
метра. В добавление к схеме вывода и множествам правил в
11* 323
системе в качестве справочной информации хранятся данные,
имеющие отношение к рассматриваемому зданию (как, например,
следующие данные):
I) строительный материал (железобетон, стальной каркас);
2) высота здания или число пролетов;
3) площадь полов;
4) форма (прямоугольная, другие простые формы, сложная);
5) характеристика грунта и фундамента;
6) возраст сооружения;
7) конструктивные параметры (предполагаемая сила землетрясения, коэффи-
циент надежности, предполагаемая масса сооружения);
8) расположение стен (на первом этаже, на других этажах);
9) квалификация наблюдателя.
На рис. 4 показана общая схема системы искусственного ин-
теллекта, пригодная для исследования зданий различного типа.
Для того чтобы включить важную информацию об очень специфи-
ческих условиях, возможно, понадобится добавить еще один путь
из полученных признаков к вершине 1.
Формулировка указанной проблемы относится к методам при-
нятия решений на основе базы знаний — активной области иссле-
дования искусственного интеллекта. Будучи сформулированной
как задача о проверке гипотезы на основе данных о наблюдениях,
она может рассматриваться как задача распознавания образов (с
обучением) в сложных условиях.
Важный аспект проблемы оценки повреждения состоит в том,
что получаемая от экспертов информация имеет некоторую не-
определенность и окончательный ответ несет на себе ее отпечаток.
Таким образом, применяемый для решения этой проблемы метод
вывода должен носить характер неточного или приближенного
вывода, обеспечивающего достижение наиболее надежного ответа.
Опишем кратко подход к решению этой проблемы средствами тео-
рии нечетких множеств.
Для иллюстрации рассмотрим узел 2 на рис. 4. Допустим, что
используется числовая форма выражения для промежуточного ди-
агностируемого состояния, с помощью приведенной на рис. 3 шка-
лы для оценки конечного состояния повреждений. В табл. 1 при-
веден пример множества правил при условии, что строительное
повреждение общей природы носит тяжелый характер (сокраще-
ния, использованные в табл. 1, поясняются в табл. 2).
Прежде всего степени принадлежности (см. рис. 3) определим
в виде нечетких лингвистических переменных. Пусть В означает
состояние тяжелого повреждения. Тогда функцию принадлежнос-
ти можно определить следующим образом:
цв(</) = 0,2 0,5 0,8 1,0 0,8 0,4
----------------------------------, (1)
если d= 4 5 6 7 8 9
324
Таблица 1 Множество правил (пример)
Номер правп ла Правило
2401 Если: 1) ЖЕС малая и 2) МАТ железобетон то: весьма (0,5), что ОБЩ серьезное
2402 Если: 1) ЖЕС малая 2) МАТ стальной каркас то: очень возможно (0,7), что ОБЩ серьезное
2403 Если: ЖЕС разрушенная или средняя то: мало возможно (0,3), что ОБЩ серьезное
2404 Если: ЖЕС нет то: весьма возможно (0,3), что ОБЩ не серьезное
2405 Если: ОКА тяжелое то: весьма возможно (0,5), что ОБЩ серьезное
2406 Если ОКА разрушенный или средний то- мало возможно (0,2), что ОБЩ серьезное
2407 Если. 1) ОСТ тяжелое 2) МАТ железобетон то: весьма возможно (0,5), что ОБЩ серьезное
2408 Если 1) ОСТ тяжелое 2) МАТ стальной каркас то: мало вероятно (0,3), что ОБЩ серьезное
2409 Если: ОСТ разрушенная или среднее то: мало вероятно (0,2), что ОБЩ серьезное
2410 Если: 1) ОКА нет 2) ОСТ нет 3) МАТ железобетон то: весьма возможно (0,5), что ОБЩ не серьезное
2411 Если: ЗАТ сильное то: весьма возможно (0,5), что ОБЩ серьезное
2412 Если: 1) ЖЕС малая 2) ОКА тяжелое 3) ОСТ тяжелое 4) МАТ железобетон то: почти определенно (0,9), что ОБЩ серьезное
где а — числовая степень состояния повреждения. Предположим,
что используется следующее правило, подобное тем, что приведе-
ны в табл. 1: правило /201:
если: 1) ЖЕС большая и
2) ОКА жесткий,
то: почти определенно истинно (0,8), что
ОБЩ сильное,
где величина в скобках называется значением истинности, интер-
претация которой показана на рис. 5. Мы не воспринимаем здесь
Рис. 5. Вербальные выражения значений истинности для теории нечетких множеств
325
Слабый уровень Значительный истинности уровень истинности Высокий Почти пенно уровень определенно истинно^ истинности истинно
эту величину как функцию принадлежности, однако ее значения
убывают пропорционально значениям функции принадлежности
вывода, как это показано далее.
Обозначим нечеткие множества в первом и втором высказы-
ваниях посылки и сделанного заключения в правиле /201 через
{ЖЕС1}, {OKAi} и {ОБЩ1} соответственно. Тогда
d— 4 5 6 7 8 9
{ЖЕС1} = {ОКАД = 0,2 0,5 0,8 1,0 0,8 0,4 , (2)
{ОБЩИ = 0,16 0,4 0,64 0,8 0,64 0,32 . (3)
Таблица 2. Сокращения
Сокраще-
ние
Значение
сос
ОБЩ
КУМ
лок
ЖЕС
ЗАТ
УСТ
ОКА
ЛКА
ОСТ
лет
ком
кол
ЗАТ
ПРЭ
МАТ
Состояние повреждения
Повреждение общего характера
Повреждение кумулятивного характера
Повреждение локального характера
Диагноз жесткости
Диагноз затухания колебаний
Диагноз усталости и пластических деформаций
Общий диагноз состояния каркаса в рассматриваемой части
Локальный диагноз состояния каркаса в рассматриваемой частч
Общий диагноз состояния несущих стен в рассматриваемой части
Локальный диагноз состояния несущих стен в рассматриваемой
части (сооружения)
Диагноз состояния ненесущих компонентов
Изменение естественной частоты (колебаний)
Изменение коэффициента затухания (колебаний)
Поглощение и рассеяние общей энергии
Строительный материал
Поскольку связь между {ЖЕС1} и {OKAi} определяются пере-
сечением, то два условия объединяются с помощью оператора
min и в результате получается двухмерная матрица условий:
{ЖЕС}
{ЖЕС1} {OKAi} =
{ОКА}
4 5 6 7 8 9
4 ГО,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,21
5 0,2 0,5 0,5 0,5 О.г5 0,4
6 0,2 0,5 0,8 0,8 0,8 0,4
7 0,2 0,5 0,8 1 0,8 0,4
8 0,2 0,5 0,8 0,8 0,8 0,5
9 _0,2 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4_
(4)
Теперь по правилу /201 можно получить трехмерное нечеткое отно-
шение такое, что
= {ЖЕС1} {OKAJ {ОБЩ!-
(5)
326
Аналогично, по другим правилам, учитывающим другие состоя-
ния повреждений ОБЩ, можно получить другие отношения R2,
R3, Rn. Эти отношения затем объединяются с помощью опера-
ции шах
-1Ж- (6)
Используя это отношение R, можно вывести нечеткое множе-
ство {ОБЩ} по формуле
{ОБЩ} = {ЖЕС}, {ОКА} ° R, (7)
где ° означает (max-min) -произведение.
В этом случае проявляются следующие черты теории нечет-
ких множеств: 1) правилом покрывается широкая область, 2) раз-
решаются избыточные правила, поскольку операторам шах и (или)
min отбирается только один эффективный элемент и 3) вывод по-
лучается с помощью быстрых вычислений нечетких отношений.
Однако если бы к существующему множеству правил захоте-
лось добавить другую информацию, связанную, например, с ЗАТ,
ОСТ и справочными данными, то простое добавление нового пра-
вила, такого, как правило /202:
если: ЗАТ резкое,
то: довольно верно (0, 4), что ОБЩ сильное,
было бы недостаточно. Это правило приводит к нечеткому отно-
шению более высокой размерности, но его вклад будет замаски-
рован другими правилами с более высокими значениями истин-
ности вывода. Вместо этого нужно переписать правило /202 в ви-
де правила /202':
если: 1) ЖЕС большая,
2) ОКА жесткий,
3) ЗАТ резкое,
то: почти определенно истинно (0,9), что ОБЩ сильное,
что связано с отсутствием такого композиционного исчисления,
как в теории приближенного согласования.
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе сделана попытка составить обзор по некоторым воп-
росам, возникающим в области разработки методов инженерно-
сейсмических исследований, и обсудить возможность применения
нечетких множеств в таких исследованиях. Кроме того, приведен
отчет о развитии исследовательского проекта, касающегося оцен-
ки сохранности существующих сооружений, обычно представляю-
щих собой сложные системы.
Хотелось бы надеяться, что эта работа послужит толчком к
изучению проблемы инженерной сейсмологии специалистами по
нечетким множествам, к объединению усилий некоторых из них
с усилиями инженеров-строителей для дальнейшего развития по-
добных прикладных проблем. В то же время стимулируется интерес
среди инженеров-строителей к изучению с этой целью теории не-
четких множеств.
327
7. ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРИМЕР ПОСТАНОВКИ
ПРОБЛЕМЫ [51]
П.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В работе i[17] рассматривалась проблема оценки повреждения с позиций
теории распознавания образов. В теории распознавания образов изучают мате-
матические методы с целью создания средств автоматизации в помощь опыту
человека. По существу, процесс распознавания образов можно представить сле-
дующим образом: бесконечномерный реальный мир преобразуется к конечномер-
ному пространству размерностью т, проведенные измерения затем анализируют-
ся с целью построить пространство признаков размерностью и, наконец,
нужен классификатор для выработки желаемой классификации.
Вообще данные собираются по результатам обследований и испытаний су-
ществующего сооружения и обрабатываются с помощью преобразователя. Та-
кие данные могут включать: а) размер, число и местоположение трещин и б) сей-
смограмму и реакцию сооружения в виде акселерограммы. Данные, представлен-
ные в виде акселерограмм, анализируются с целью формирования образа или
построения пространства признаков. Для оценки изменения собственных коле-
баний разработано несколько методов, в которых используются записи движе-
ний почвы и реакции сооружения во время землетрясения. Дальше пытаются
сформулировать решающую функцию или построить классификатор для опреде-
ления состояния повреждений, опираясь на результирующее пространство обра-
зов.
П.2. КЛАССИФИКАТОРЫ
В общем случае существует два типа данных, получаемых в результате об-
следования и испытания сооружения. Первый тип — это наблюдения локального
феномена, такого, как трещины в определенных структурных компонентах зда-
ния. Такую информацию можно логически объединить для получения оценки
состояния повреждений всего сооружения. Другой тип данных получают пз на-
блюдений за общим поведением сооружения, например, по наблюдениям за ре-
акцией сооружения и записи движений почвы.
Пусть В означает сильное повреждение всего сооружения, а В, — состояние
сильного повреждения сооружения, полученное по i-й группе данных. Например,
при 1=1 Bi соответствует информации о зарегистрированных трещинах в соору-
жении, при i=2 В2 соответствует характеристикам, извлеченным из записанных
акселерограмм. Для т групп данных имеем
в= и Bi или Да = V ^В.)-
i=l i 1
Пусть для i-й группы данных, связанных с /-м компонентом (/^л) соору-
жения, Dt, обозначает состояние сильного повреждения /-го компонента. Тогда
Вг можно рассматривать как алгебраическую сумму повреждений каждого ком-
понента; т. е.
п п
Bi = y\Dii или Кв. = 1—П[1—Но..]-
1 /=1 11
328
Пусть, например, В\ — состояние тяжелого повреждения сооружения, установ-
ленное по данным об обнаруженных трещинах на основе произведенных измере-
ний, а В2 — состояние тяжелого повреждения сооружения вследствие уменьше-
ния естественного (фундаментального) колебания сооружения. Пусть имеются,
скажем, три главных компонента С зарегистрированными трещинами и пусть
Pi>n=0, p,Dj2=0,8, цо13=0,6. Тогда p,Bj=0,92. В то же время находим, что
расчетное уменьшение измеримого естественного колебания составляет 125%. Ис-
пользуя гипотетически установленную функцию принадлежности, получаем
Цв2~0,78. Определять эту принадлежность можно на основе данных испытания
до полного разрушения, как, например, в '[18], и консультации с различными
экспертами. Далее принадлежность сооружения к классу сооружений с состояни-
ем сильного повреждения задается выражением |д,в = тах!(|д,В1, цв2) и будет
равна 0,92.
Рассмотрим другой возможный подход. Пусть Х={х1, х2,..., хк} •—'множест-
во признаков. Например, Х1 = много трещин, Х2=большие трещины, х3=чрезмер-
ная деформация. Пусть Y={y{, у2,..., yi}— множество видов потенциально воз-
можных повреждений. Например, у\ = усталостное или разрывное повреждение,
у2—пластическая деформация, у3=нестабильность, у^=прогрессирующее разру-
шение. Пусть Z—состояние сильного повреждения. Если можно найти нечеткие
отношения (из X в У) и S (из У в Z), то признаки X можно связать С со-
стоянием сильного повреждения сооружения Z с помощью композиции R-S.
Пусть, например, заданы R и S:
ус уста- у2. пласти- у3. не- ус прогрес- лость и раз- ческая стабиль- сирующее рыв деформа- ность разрушение ция
R = хс много трещин х2: большие трещины х3: чрезмерная дефор- мация 0,9 0,2 0,4 0,4 0,8 0,3 0,7 0,8 0,3 0,8 0,9 0,7
состояние сильного повреждения Z
У1
У‘2
Уз
У 4
5 =
0,4
0,3
0,8
L hO
Тогда
Z
( *1 0,4
R-S = 1 х2 0,8
1 х3 0,8
Последний результат
шие трещины) и х3
показывает, что наличие характеристик х2 |(боль-
(чрезмерная деформация) приводит к высокой оцен-
ке степени принадлежности к множеству конструкций, находящихся в
состоянии сильного повреждения. Иными словами, если наблюдаются боль-
шие трещины и чрезмерная деформация, то конструкция классифицируется как
сильно поврежденная.
329
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Andrews, Н. С., (1972). Introduction to Mathematical Techniques in Pattern
Recognition, Wiley — Interscience.
2. Aristizabal-Ochoa, J. D., and Sozen, M. A., (1976). Behavior of a Ten-Story
Reinforced Concrete Walls Subjected to Earthquake Motions, SRS No. 431,
Department of Civil Engineering, University of Illinois, Urbana, 11.
3. Baldwin, J. W„ Jr., Salane, H. J., and Duffield, R. C., (1978). Fatigue Test
of a Three-Span Composite Highway Bridge, Study 73—1, Department of
Civil Engineering, University of Missouri — Columbia.
4. Bertero, V. V., and Bresler, B., (1977). «Design and Engineering Decisions:
Failure Criteria (Limit States)», Developing Methodologies for Evaluating the
Earthquake Safety of Existing Buildings, Earthquake Engineering Research
Center, University of California at Berkeley, Report No. UCB—EERC—77/06,
pp. 114—142.
5. Blejwas, T., and Bresler, B., (1979). Damageability in Existing Buildings, Re-
port No. UCB/EERC — 78/12, Earthquake Engineering Research Center, Uni-
versity of California, Berkeley, CA.
6. Blockley, I., and Ellison, E. G., (1979). «А New Technique for Estimating
System Uncertainty in Design», Proceedings, The Institution of Mechanical
Engineers, London, Vol 193, No. 5, pp. 459—168.
7. Blume, J. A., and Monroe, R. E., (1971). The Spectral Matrix Method of
Predicting Damage from Ground Motion, Report No. JAP-99-88, John Blume
& Associates.
8. Bresler, B., (1973), «Behavior of Structural Elements — A Review», Building
Practices for Disaster Mitigation, Edited by R. Wright, S. Kramer, and
C. Culver, National Bureau of Standards, Building Science Series No. 46,
pp. 286—351.
9. Bresler, B., (1977). «Evaluation of Earthquake Safety of Existing Buildings»,
Developing Methodologies for Evaluating the Earthquake Safety of Existing
Buildings, Earthquake Engineering Research Center, University of California
at Berkeley, Report No. UCB/EERC—77/06, pp. 1—45.
10. Bresler, B., Okada, T., and Zisling, D., (1977). «Assessment of Earthquake
Safety an of Hazard Abatement», Developing Methodologies for Evaluating
the Earthquake Safety of Existing Buildings, Earthquake Engineering Rese-
arch Center, University of California at Berkeley, Report No. UCB/EERC—
77/06, pp. 17—49.
11. Brown, С. B., (1979). «А Fuzzy Safety Measure», Journal of the Enginee-
ring Mechanics Division, V. 105, N. EM5, pp. 855—872.
12. California Institute of Technology, Reports and Proceedings of the Univer-
sities Council for Earthquake Engineering Research, Mail Code 105—44, Pa-
sadena, CA 91125.
13. Culver, C. G., Lew, H. S., Hart, G. C., and Pirkham, C W., (1975). Natural
Hazards Evaluation of Existing Buildings, National Bureau of Standards, Buil-
ding Science Series No. 61.
14. Dubois, D., and Prade, H., (1980). Fuzzy Sets and Systems: Theory and
Applications, Academic Press, New York.
15. Earthquake Engineering Research Institute, (1977). Learning from Earthqua-
kes 1977, Planning and Field Guides, Berkeley, CA.
16. Executive Office of the President, (1978). Earthquake Hazard Reduction- Is-
sues for an Implementation Plan, Working Group on Earthquake Hazards
Reduction, Office of Science and Technology Policy.
17. Fu, K. S., and Yao, J. T. P., (1979). «Pattern Recognition and Damage As-
sessment», Proceedings, Third ASCE EMD Speciality Conference, University
of Texas, Austin, TX, pp. 344—347.
18. Galambos, T. V., and Mayes, R. L., (1978). Dynamic Tests of a Reinforced
Concrete Building, Research Report N„ 51, Department of Civil Engineering,
Washington University, St. Louis, MO.
19. Hanson, J. M., (1977). Private Communication, 11 June.
20. Hart, G. C., (1976). Estimation of Structural Damage, J. H. Wiggins Compa-
ny, Los Angeles, CA.
330
21. Hart, G. C., Editor, (1980). Proceedings, MSF-UCLA Workshop on Stron-
Motion Records from Buildings, Mechanics and Structures Department, UCLA,
March 21—April 2.
22. Hart, G. C., and Yao, J. T. P., (1977). «System Identification in Structural
Dynamics, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, V. 103,
N. EM6, pp. 1089—-1104.
23. Hidalgo, P., and Clough, R. W., (1974). Earthquake Simulator Study of a
Reinforced Concrete Frame, Report No. EERC—74—13, Earthquake Engine-
ering Research Center, University of California, Berkeley, California.
24. Housner, G. W., and Jennings, P. C., (1977). Earthquake Design Criteria for
Structures, Report No. EERC 77—06, California Institute of Technology, Pa-
sadena, CA.
25. Hsu, D. S., Gaunt, J. T., and Yao, J. T. P., (1976). «Structural Damage and
Risk in Earthquake Engineering», Proceedings, International Symposium on
Earthquake Structural Engineering, Vol. 2, University of Missouri, Rolla, MO,
pp. 843—856, 19—21 August.
26. Hudson, D. E., (1977). «Dynamic Tests of Full-Scale Structures», Journal of
the Engineering Mechanics Division, ASCE, V. 103, N. EM6, pp. 1141—1157.
27. Ibanez, P., (1979). et al, Review of Analytical and Experimental Techniques
for Improving Structural Dynamic Models, Bulletin 249, Welding Research
Council, New York, 44 pages.
28. Ishizuka, M., Fu, K. S., and Yao, J. T. P., (1980). «Inference Method for Da-
mage Assessment System of Existing Structures», Report CE-STP-80-17, Pur-
due University.
29. Jennings, P. C., Editor, (1980). Earthquake Engineering and Hazards Re-
duction in China, CSCPR Report No. 8, National Academy of Sciences, Wa-
shington, D. C.
30. Kudder, R., (1977). Private Communication, 20 April.
31. Lee, L. T., and Collins, J. D., (1977). «Engineering Risk Management for
Structures», Journal of the Structural Division, ASCE, V. 103, N. ST9,
pp. 1739—1756.
32. Liu, S. C., and Yao, J. T. P., (1978). «Structural Identification Concept», Jour-
nal of the Structural Division, ASCE, V. 104, N. ST12, pp. 1845—1858.
33. Mendel, J. M., and Fu, K. S., Editors, (4970). Adaptive Learning and Pattern
Recognition Systems Academic Press.
34. National Academy of Sciences, (1969). Earthquake Engineering Research,
Committee on Earthquake Engineering Research, Washington, D. C.
35. National Academy of Sciences, (1969). Toward Reduction of Losses from
Earthquakes, Committee on the Alaska Earthquake, Washington, D. C.
36. Newmark, N. M., and Rosenblueth, E., (1971). Fundamentals of Earthquake
Engineering, Prentice-Hall, Englewood Cliifs, NJ.
37. Nilsson, N. J., (1980). Principles of Artificial Intelligence, Tioga Publ. Co.,
Palo Alto, CA.
[Имеется перевод: Нильсон H. Принципы искусственного интеллекта. — М.:
Радио и связь, 1985. — 376 с.]
38. Oliverira, С. S., (1975). Seismic Risk Analysis for a Site and a Metropolitan
Area, Report No. EERC-75/-3, Earthquake Engineering Research Center, Uni-
versity of California, Berkeley, CA.
39. Rodeman, R., and Yao, J. T. P., (1973). Structural Identification—Literature
Review, Technical Report No. CE—STR—73—3, School of Civil Enginee-
ring, Purdue University, 36 pages.
40. Seed, H. B., Idriss, I. M., and Dezfulian, H., (1970). Relationships Between
Soil Conditions and Building Damage in the Caracas Earthquake of July 29,
1967, Earthquake Engineering Research Center, University of California at
Berkeley, Report No. EERC 70—2.
41. Shinozuka, M., and Kawakami, H., (1977). Underground Pipe Damage and
Ground Characteristics, Technical Report No. CU-1, Department of Civil Engi-
neering and Engineering Mechanics, Columbia University, New York, NY.
42. Shorthliffe, E. H., (1976). Computer-Based Medical Consultations: MYCIN,
Elsevir, NY,
331
43. Ting, E. C., Chen, S. J. Hong, and Yao, J. T. P„ (1978). System Identificati-
on Damage Assesment and Reliability Evaluation of Structures, Technical Re-
port No. CE-STR-78-1, School of Civil Engineering, Purdue University.
44. University of California at Berkeley, (1972). Abstract Journal in Earthquake
Engineering, Earthquake Engineering Research Center, 47th Street and Hoff-
man Boulevard, Richmond, CA 94804, Vol. 1.
45. Wang, T. Y„ Bertero, V. V., and Popov, E. P., (1975). Hysteretic Behavior
of Reinforced Concrete Framed Walls, Report No. EERC 75-23, Earthquake
Engineering Research Center, University of California, Berkeley, California.
46. Wiggins, J. H., Jr., and Aloran, D. V., (1971). Earthquake Safety in the City
of Long Beach Based on the Concept of Balanced Risk, J. H. Wiggins Com-
pany, Redondo Beach, California.
47. Whitman, R. V., Reed, J. W., and Hong, S. T., (1973). «Earthquake Damage
Probability Matrices», Proceedings, 5th World Conference on Earthquake En-
gineering, Rome, Italy.
48. Whitman, R. V., Heger, F. J., Luft, R. W., Krimgojd, F., (1978). «Evaluation
of Seismic Resistance of Existing Buildings», Preprint 3264, ASCE Spring
Convention, Pittsburgh, PA, 24—28.
49. Wood, F. J., Editor, (1966, 1967). The Prince William Sound, Alaska, Earthqu-
ake of 1964 and After shocks, Coast and Geodetic Survey, U. S. Department
of Commerce, Vol. I. Vol. II, Part A.
50. Yao, J. T. P., (1979). «Damage Assessment and Reliability Evaluation of
Existing Structures», Engineering Structures, England, V. 1, pp. 245—251.
51. Yao, J. T. P., (1980). «Damage Assessment of Existing Structures», Journal of
the Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 106, N. EM4.
52. Yao, J. T. P., and Munse, W. H., (1962). «Low-Cycle Axial Fatigue Behavior
of Mild Steel», ASTM Special Technical Publication, No. 338, pp. 5—24.
53. Yao, J. T. P., and Schiff, A. J., (1980). System Identification in Earthquake
Engineering, Technical Report No. CE-STR-80-7, School of Civil Enginee-
ring, Purdue University, 12 pages.
54. Zadeh, L. A., (1965). «Fuzzy Sets», Information and Control, V. 8, pp. 338—
353.
55. Zadeh, L. A., (1973). «Outline of a New Approach to the Analysis of Complex
Systems and Decision Processes», IEEE Transactions on Systems, Man and
Cybernetics, V. SWC-3, N. 1, pp. 28—44.
[Имеется перевод: Заде Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных
систем и процессов принятия решений. — В кн.: Математика сегодня.—
М.: Знание, 1974, с. 5—49.]
56. Zadeh, L. A., Fu, К. S., Tanaka, К., and Shimura, М., (1975). Fuzzy Sets and
Their Applications to Cognitive and Decision Process, Academic Press, (Pro-
ceedings of U. S. — Japan Seminar).
ПРИЛОЖЕНИЕ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ К
МЕДИЦИНСКОЙ ГЕНЕТИКЕ
Ж. Гуверне С. Эме 1 2, Э. Санчес 2
Описывается метод диагностической помощи применительно к
медицинской генетике. Метод опирается на: 1) тезаурус со струк-
турой дерева, позволяющей учесть различные типы термов, ис-
пользуемых в научной литературе, 2) приложение теории функций
1 Service de Biomathematiques, Faculte de Medecine, Marseille, France.
2 Centre de Genetique Medicale, С. H. U. Timone, Marseille, France.
332
доверия. В результате получается перечень возможных прогнозов,
среди которых клшшцист должен установить окончательный.
Ключевые слова: Медицинский диагноз; функции доверия; све-
дения из литературы; йечеткая логика; тезаурус.
1. ВВЕДЕНИЕ
В медицинской генетике насчитывается приблизительно около
3000 различных диагнозов. Было бы, по-видимому, очень полезно
помочь медицине в этой области, предоставив в распоряжение
генетиков, которые в настоящее время полагаются на классичес-
кие описания, методы обработки данных на ЭВМ. Соответствен-
но этому наша цель состояла в том, чтобы разработать метод
диагностики, использующий функцию доверия [7] и кодирова-
ние различных диагнозов тезауруса. При разработке неинтерактив-
ного варианта метода должен быть решен следующий вопрос:
как выбрать наиболее разумные диагнозы из множества всех ди-
агнозов {Di, ..., Dn}, если у пациента наблюдаются симптомы
Si, ..., Sk?
2. КОДИРОВАНИЕ ДИАГНОЗОВ. ПРИМЕНЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ДОВЕРИЯ
Поскольку в медицинской диагностике очень много симптомов
и синдромов, метод диагностической помощи должен, по-видимо-
му, опираться на знания, почерпнутые из литературы. Такая по-
становка должна привести к отказу от чисто вероятностной или
логической модели. Представляется, что здесь уместно использо-
вать функции доверия, которые хотя и опираются на вероятност-
ную основу, все же не составляют чисто вероятностную модель и,
таким образом, по-видимому, менее подвержены ошибкам, сопут-
ствующим оценке вероятностей. Поэтому эту теорию предлага-
ется применять для кодирования медицинских знаний об отклоне-
нии в развитии организма или органов.
2.1. КОДИРОВАНИЕ ДИАГНОЗОВ: ТЕЗАУРУС
Предполагается, что описание отклонения в развитии организ-
ма или органов можно рассматривать как список симптомов, с
каждым из которых связан индикатор частоты проявления дан-
ного отклонения, т. е. патология Dk может быть описана в виде
= «=1, ...,»»}•
Индикаторы частоты phi могут принимать значения:
1 — всегда или почти всегда присутствует,
0,8 — очень часто,
0,5 — часто,
333
0,1 — иногда,
О — никогда.
Рассмотрим, например, синдром Ларсен^
/
Симптомы 1
вывихи суставов
плоские черты лица
деформация ушной раковины
ложкообразный большой палец руки
короткие пястные кости
выступающий лоб
уплощенная спинка носа
вальгусная деформация стопы
верисная деформация стопы
расщелина неба
аномальная сегментация позвоночника
энцефалопатия
aj тосомно-рецессивное наследование
рг
1
1
1
0,8
0,8
0,8
0,8
0,5
0,5
0,1
0,1
0
1
Симптомы нельзя прямо собрать в простой список, так как
нужно принимать во внимание, что в клинических описаниях ис-
пользуются как очень специальные термины (например, клинодак-
тилия), так и более общие термины (например, аномалия руки),
между которыми может существовать отношение импликации
(например, клинодактилия => аномалия руки).
Приняв это во внимание, выберем для тезауруса древовидной
структуры отношение отец — ребенок, соответствующее имплика-
ции (ребенок =4> отец).
Это позволит для данного симптома учесть все вызываемые
им симптомы и все симптомы, противоречащие ему в описании.
Например, если симптом будет «сглаженные ушные складки», то
должны быть рассмотрены все симптомы: деформированный зави-
ток ушной раковины, деформированное ухо... и нормальный зави-
ток ушной раковины..., как показано на рис. 1.
Д сформированное
ухо я
/ \
/ \
Деформированная / \
ушная рановина
Деформированный / \
завитой ушной 4
рановины
Сглаженные J
ушные с плавки
\ \
\ X
\ X.
\ Сросшиеся
ушные снл а дни
Рис. 1 Часть тезауруса
334
2.2. ФУНКЦИЯ ДОВЕРИЯ
Функция доверия (belief) Bel на 3)={Di, Dn} определяет-
ся [7] как отображение^
2^->[0, 1], такое, что: \
\е1 (0) = О,
($)==1,
V п ; Л1? ... , Л„ е Д
Bel (ЛгU - U Л) > S (-l)l;l+iBel( П А).
/С{1 , .,П} IG/
В этом случае говорят, что Bel (4), Лс^) есть степень правдо-
подобности гипотезы, например, гипотеза А это Di или D2 или Dz,
когда Д = DiU^aU^s. Определение функции доверия на 3) эквива-
лентно определению базисной вероятности на 2^. Действительно:
SO
т есть базисная вероятность на 2 тогда и только тогда, ког-
да т : 2^-*-[О, 1]; т(0) =0; S т(Л) = 1;
если т есть базисная вероятность на 2 , то отображение, оп-
ределенное условием f (Л) = S т(В), VAc3), будет функцией до-
ВсА
верия на 3);
если Bel есть функция доверия на 3), то отображение т, оп-
ределенное как
т(Л)- J (-1)И-в| ве1 (В); V4cz®; m(0) = O,
ВсА
будет базисной вероятностью на 2^.
Будем говорить, что т есть базисная вероятность, связанная
с Bel, a Bel — функция доверия, связанная с т.
Пустая функция доверия. Если о гипотезе ничего не известно^
то степень правдоподобия 1 приписывается 3), а любому собст-
венному подмножеству Лс=^> приписывается нулевое значение сте-
пени доверия. Соответствующая функция доверия называется
пустой:
Ве10 : Ве10 (ЗУ) = 1,
Bel0 (С) = 0, С а 3), С =£ ЗУ
Функция доверия с простым носителем. Если все сведения (по-
лученные из наблюдений) сосредоточены на подмножестве Acz35,
то функция доверия, соответствующая этим данным, будет
Bel (5) = 0, если S 0 Л,
s, если В z? Л и В ЗУ),
1, если В = 3).
335
Такая функция называется функцией доверия с простым носи-
телем, где А — носитель. Запишем соответствующую базисную
вероятность т: m(A)=s; m(£Z>) = l—s; т(В)=0, B=f=3), В=/=А.
Композиция функций доверия — правило Демпстера. Правило
композиции будет дано только для случа^ простого носителя функ-
ции доверия на 3). /
Пусть Beh — функция доверия с/простым носителем, mi —
соответствующая базисная вероятность, А — носитель и mi(A) =
= Si. Пусть также имеем Ве12: т2, В, m2(B)=s2. Тогда ортогональ-
ная композиция Beh и Ве12, т. е. Beli®Bel2, если она существует,
есть функция доверия, соответствующая базисной вероятности т,
определяемой выражением
2 т1 (Е)-т2 (F)
' т(С) = ,
J—- J (Л
ЕЛР=0
где Е={А, 3>}, F={B,3)}.
Композиция функции доверия Beh®Bel2 существует, если
mx (Е) m.2(F) <Z 1 <=> A f] В =/= 0 или (Д f] В = 0 и sn s2 <Z 1).
Ep,F—0
Подставив Beli®Bel2 для ДрВ^=0:
В
А ГДПВ
J В
L(l—Si) s2
А
S1 (1 — s2)
U Sl) (1 sz)
получим
(BeK $ в Bel2) (C) = 0, если С Ъ А(\В,
^2» если С Д П и С А, С В,
Sl> если С о А и С $ В,
s2> если С d В и Сэ А,
1—(1—sj (T—s2), если
CdAhCdBhC =£3),
если
C = $.
JI—sj s2
A
si О 5г)
(1-S1)(1 -s2)
336
то (Ве1х ф Bel2) (С)
О, если CflA = 0 и С(]В = 0,
\ 51 , если С о А и С В,
\ 1--ST S2
। ^(1—$i) , если q g и С ф А ,
l\~sl s2
Si (lA^+Ml-s,) |если C=)A и с_,в и
1AS1 S2
1, если С — 3).
2.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ДОВЕРИЯ
Предположим, что у пациента наблюдается симптом S, тогда
можно определить пять подмножеств Аг:
A^{Dk/n р* = 1},
Ло,8 = {Dft/a S'/ ==S и pk. =0, 8}, ...
... , 4 = {Dft/3S*=S и р*=0).
С каждым подмножеством Аг связана функция доверия с простым
носителем: Beh(-/S) с простым носителем Ai, соответствующим
базисной вероятности mls, определяемой условием miS(A) =g(l);
mis(3)) = l—g(l); 0 в остальных случаях.
Bel0(-/S) с простым носителем Ло, соответствующим m0S(A) =
= g(0), mos(^) = l—g(0); 0 в остальных случаях.
Примечание. Если Аг — пустое множество, то Ве1г(-/) =
= Bel0<=>mr(^5) = 1; 0 в остальных случаях. В приложении функ-
ция £. {1, 0,8, 0,5, 0,1, 0}—>[0, 1] будет фиксирована так, чтобы
она соответствовала степени важности, которую пользователь же-
лает придать каждому частному индикатору 1, 0,8, ...
Влияние симптома S выражается ортогональной композицией
функций доверия:
Bel(-/S) = Bell(•/S)®Belo,8(-/5)Ф ... ФВе10-(/S) = выражает
прямее влияние,
{Bel (• /S') /S=^S'} ----выражает положительно ориентированное
влияние,
{Ber(-/S*)/SQS* = 0} = выражает отрицательно ориентирован-
ное влияние, т. е. тот факт, что наблюдение симптома S исклю-
чает определенные симптомы S*.
Функция Bel*(-/S*) строится так же, как Bel (•/>$), но с дру-
гой функцией gi: {1 0,8 ...}—н[0, 1].
Окончательно влияние S выражается в виде
Bel (-/S) ф Bel ( /S') ф Bel*( /S*).
S' S=>~|S*
S=>S' S* П S - 0
337
В данном случае и до всех наблюдений зн^йие выражается зна-
чением Ве10, а если произведено наблюдение^-S2- • -Sp, то степе-
ни правдоподобия оцениваются функцией доверия
Ве10 ф Bel (/$,) ф Bel (./S'!) ф Bel* (/-IS^ ф...ф Bel(/S.) ф
s; s’
<Sj=>Sj S i n S j=
Ф Bel(./s;) ф/ Bel*(./s;)_
S j>$p Sp (\ Sp= 0
3. ПРИМЕР ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕДИЦИНСКОЙ
ГЕНЕТИКЕ
Операционная реализация в диалоговом режиме была выпол-
нена в системе Mitra 125-SEMS. Программа была построена так,
чтобы функции g и gi можно было легко изменить.
Были выбраны следующие функции g и g^
g-~ > 1 —а, gi •’ 1 -
0,8 - >0,8, 0,8- >0,1,
0,5- >0,7, 0,5- >0,3,
0,1- >0,6, 0,1 - >0,4,
0- >0, 0- >1-р.
Параметры аир выбираются пользователем. Эти два пара-
метра должны быть величинами одного и того же порядка и та-
кими, что 0<а<0,2. Смысл параметра а состоит в том, что диаг-
ноз не должен отвергаться, если у пациента наблюдаются симп-
томы, не перечисленные в списке симптомов этого диагноза; па-
раметр р интерпретируется противоположным образом.
Наблюдаемые симптомы (клиническое описание пациента):
башенный череп,
скафоцефалия,
мелкие орбиты,
экзофтальм,
маленький рот (микросталия)
двусторонняя расщелина губы
расщелина нёба,
утиный нос,
синдактилия пальцев рук,
синдактилия пальцев ног,
эктапия.
Клинический диагноз акроцефалосиндактилия.
Результаты: (а = р = 0, 1)
акроцефалосиндактилия: 0,657
точечная хондродисплазия: 0,068
акродистос: 0,048
338
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Этот метод по задЦшому описанию пациента приводит к воз-
можным диагнозам; тем. не менее клиницист должен выбрать из
возможных диагнозов окончательный.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. J. Barcaly Adams, (1976). A probability model of medical reasoning and the
MYCIN model. Math. Biosc. 32, 177—186.
2. Maurice Boudot, (1972). Logique inductive et probabilite. Armand Colin, Paris.
3. J. Gouvernet, (1979). Apport des methodes de classification en genetique me-
dicale: Application aux maladies osseuses constitutionnelles. These de Medeci-
ne, Marseille.
4. G. Anthony Gorry, (1968). Strategies for computer-aided diagnosis. Math. Bi-
osc. 2, 293—318.
5. F. W. Lancaster, (1972). Vocabulary control for information retrieval. Infor-
mation Ressources Press, Washington.
6. P. Maroteaux, (1975). Maladies osseuses de 1’enfant. Flammarion, Paris.
7. Glenn Shafer, (1976). A mathematical theory of evidence. Princeton University
Press.
8. Edward H. Shortliffe, Bruce G. Buchanan, (1975). A model of inexact reasoning
in medecine. Math. Biosc. 23, 351—379.
9. R W. Smith (1970). Recognisable patterns of human malformations. Saunders
Company.
РАЗДЕЛЕНИЕ НА ТОРГОВЫЕ ЗОНЫ В НЕЧЕТКИХ
УСЛОВИЯХ
И. Леунг 1
Традиционные исследования торговой зоны часто опираются
на понятие информации и ряд предположений об однородности
рынка. Поведенческие постулаты часто оказываются или слишком
упрощенными или несогласованными. Построенные модели обыч-
но неадекватны рассматриваемым реальным ситуациям, характе-
ризуемым неточной информацией, нечеткими процессами приня-
тия решений по районированию. В данной работе проводится тео-
ретический анализ проблемы разделения на торговые зоны в не-
четких условиях.
Такие допущения, как о постоянстве транспортных расходов и
об одинаковом достоинстве фирм, заменяются нечетким восприя-
тием расстояния и привлекательности фирм относительно различ-
ных характерных свойств. Предпочтение, отдаваемое потребителя-
ми той или иной фирме, представляется в виде выпуклого нечет-
кого подмножества для исследования перекрытия торговых зон.
Устанавливается порог разделения. В этом подходе вместо четко
1 Department of Geography, The Chinese University of Hong Kong, Shatin,
Hong Kong.
339
очерченного описания торговых зон в традиционном анализе ис-
пользуется степень разделения. Построенье две модели, подкреп-
ленные примерами. В первой модели предполагается, что разли-
чие в расстоянии — это единственный решающий фактор прост-
ранственного предпочтения потребителя, в то время как вторая
модель формулируется с использованием социально-психологичес-
ких и экономических факторов, влияющих на принятие потреби-
телем решений о поездке.
Ключевые слова: пространственное предпочтение потребителя;
принятие решения о поездке; выпуклое нечеткое подмножество;
теорема о разделении; порог разделения.
1. ВВЕДЕНИЕ
За годы, прошедшие после публикации работы [6], традици-
онный анализ торговых зон шагнул от моделей, представленных в
работах |[20, И] и описывающих расположение торговых зон меж-
ду фирмами, к более сложным моделям [4, 17], в которых рассмат-
ривались размер и форма рынков, для разрешения проблемы рав-
новесия. Эти классические модели часто формулируются на ос-
нове понятия идеальной информации и ряда допущений об одно-
родности рынка, таких как о равномерном распределении поку-
пателей и одинаковом качестве товара. Поведенческие постулаты
о восприятии покупателями расстояния до места покупки, о субъ-
ективных оценках качества продукции фирмы, уровня предостав-
ляемого обслуживания и других подобных характеристик часто
оказываются слишком упрощенными и не согласованными. Как
следствие, теоретические построения оказываются неудачными для
объяснения реальных ситуаций [25].
Цель данной работы состоит в том, чтобы предложить метод
исследования разделения торговых зон в нечетких условиях, ког-
да информация по своей природе неполная и решение пот-
ребителя о поздке неточно. Допущения об однородности рынка
ослаблены, насколько это возможно, с тем, чтобы число допуще-
ний при построении моделей было минимальным. Основу метода
исследования составляет теория нечетких множеств [26], которая
оперирует нечетким представлением нечетких понятий. Хотя эта
теория уже применялась к общему анализу поведения человека
[8, 14—16, 21] и, в частности, к анализу пространственной эконо-
мической активности [13, 23—25], фундаментальное понятие разде-
ления торговых зон между фирмами подробно не рассматрива-
лось. Первоначальной попыткой такого рода было, по-видимому,
применение нечетких кластеров для группировки потребителей по
фирмам [2].
В данном исследовании упор делается на теоретическое осмыс-
ление разделимости торговой зоны. Этот подход иллюстрируется
двумя моделями. Первая представляет собой упрощенную модель
реальной системы и строится с целью экспликации понятий тео-
рии нечетких множеств в задаче разделения торговой зоны. Для
340
методологического упрощения предполагается, что расхождение в
расстоянии — единственный решающий фактор пространственно-
го предпочтения потребителя в линейной модели рынка. Во вто-
рой модели в качестве ^факторов, влияющих на принятие потреби-
телем решения о поездке, рассматриваются социально-психологи-
ческие и экономические переменные. Вместо гомогенности этих
свойств предполагается их гетерогенность.
2. РАЗДЕЛЕНИЕ НА ТОРГОВЫЕ ЗОНЫ
СРЕДСТВАМИ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Модель 1 — разделение при линейной модели рынка. В моде-
ли приняты следующие допущения:
1) существование рынка, отвечающего линейной модели;
2) произвольный характер распределения населения;
3) две конкурирующие фирмы Ft и К2 размещаются в задан-
ных точках «1 и а2 соответственно;
4) производится однородный товар одного типа;
5) цены одинаковые;
6) существует функция пространственного потребительского
предпочтения, которая изменяется обратно пропорционально труд-
ности преодоления пути до фирмы.
Примечание. Обсуждая сделанные предположения, следу-
ет отметить две ценные особенности. Первая состоит в том, что
здесь отвергается допущение о регулярном распределении попу-
ляции, типичное для классических моделей. Вторая — потреби-
тельское пространственное предпочтение вводится в виде функции
от трудности преодоления пути до фирмы, которая зависит от
пространственного распределения популяции. Разделение на тор-
говые зоны в этой формулировке зависит от проявляемой потре-
бителем степени предпочтения для фирм Л и К2.
На рис. 1 приведен пример пространственного распределения.
Обозначим через U число потребителей. Пусть нечеткие подмно-
жества и Л2, называемые предпочтением Fi и предпочтением
F2, представляют потребительские пространственные предпочте-
ния. Зададим их соотношениями
[1 +k(x—1 при
|'e-fe(x-a1)2]2 ПрИ k^]., X^ai,
Рд2 (x) = e~k(x~a2)2 при£>1 и любых х, (2)
где 1] — функция принадлежности, принимающая
свои значения в множестве принадлежности [0, 1]; (*) описы-
вает степень предпочтения фирмы Fi потребителем х из U. Как
можно видеть из рис. 1 и уравнений (1) и (2), при заданном
расстоянии изменение степени принадлежности функции предпо-
чтения больше внутри областей наивысшей плотности населения
и меньше внутри областей меньшей плотности. Эта формулиров-
ан’
Пл,(х)
/
ка согласуется с наблюдениями, сделанными в работах [3, 10],
где отмечалось, что чем больше плотность населения — тем труд-
нее путь потребителя и тем короче расстояние, на которое он пое-
дет. Отсюда можно вывести, какая из фирм менее предпочтитель-
на. Таким образом, функция принадлежности, описанная уравне-
Предпочтение и F? .
Низкая
плотность
населения
—*4**—>•{<:-
Очень
высокая
плотность
населения
высокая
плотность
населения
Рис 1 Функции предпочтения для двух фирм с фиксированным размещением
ведущих конкурентную борьбу за рынок сбыта, описываемый линейной моделью
ниями (1) и (2), оказывается логичной характеристикой этого ти-
па решений потребителей о поездке. Другое важное свойство (1)
и (2) состоит в том, что они описывают выпуклые нечеткие под-
множества, удовлетворяющие условию
[Xxj + (1 — X) х2] > min [рд. (хп), Цдг (х2)],
для всех Xi и x2^U и всех Хе[0, 1]. (3)
Допущение выпуклости оправдано в том смысле, что при нем
должно предполагаться монотонное увеличение степени предпоч-
тения с уменьшением расстояния до фирмы.
Теперь, построив точное представление нечеткого понятия —
предпочтения, можно определить способ, с помощью которого ры-
нок можно разделить между фирмами. Поскольку нечеткие под-
множества Ai и А2 ограничены максимальными степенями
sup цА1 (х) и sup ца2 (х) в точках оц и а2 соответственно, то их пе-
X X
ресечение Д1ПД2 также ограничено выпуклым нечетким подмно-
жеством [26] и определяется функцией принадлежности
Г е—k(x—a2)2 ПрИ 1, Х<^у,
lUtnA2(x)=| [e_£(x_aj)2j2 при (4)
принимающей максимальное значение 5ирцд1Пд2 (х) в у. Приме-
X
няя теорему об отделимости [26], получаем, что наивысшая сте-
342
пень разделения торговой зоны, равная 1—supp^n^ (х), дости-
гается в точке у, через^ которую проходит гиперплоскость. В клас-
сической модели фирма монополизирует рынок. Однако в [1]
обосновывается, что модель сбыта с доминированием более адек-
ватна для описания торговых зон реального мира. Из этой идеи
следует, что перекрытие торговой зоны скорее общий феномен,
чем исключение. Для перекрытия торговых зон фирм Л и Fz
можно использовать понятие порога разделимости [19]. В этом
примере порог разделения I ограничен условием
/<тахтш[рЛ1 (х), рЛг 'х)] = sup рЛ1Пл2 И- (5)
X X
Таким образом, для выбранного порога / торговая зона Мг фир-
мы Fi, i=l, 2 определяется нечетким подмножеством уровня I.
Выбирая различные значения для I, можно получить различные
торговые зоны. Общее правило состоит в том, чтобы выбрать наи-
большее возможное значение I, меньшее maxmin[pA, (х),
X
Л4г = {х|рл (х) maxmin [рл, (х), рл2 (х)]}для всех х^Мг. (6)
X
Описанную здесь модель можно обобщить на рынок с т конку-
рирующими фирмами /д, Т2, ..., Fm, расположенными в областях с
плотностью населения аь аг, •••, а™ соответственно. Пусть А1г
А2, ..., Ат — ограниченные выпуклые нечеткие подмножества, опи-
сывающие предпочтение Fi, предпочтение F2, . , предпочтение Im
и определяемые функциями принадлежности рЛ1, рл2, ..., рЛт, ко-
торые заданы уравнениями, аналогичными (1) и (2). В силу вы-
пуклости и ограниченности нечетких множеств А, А2, .., Aw не-
четкие подмножества АПА, АЛА, ..., АЛАп, АЛА, •••, Лт_1ЛАп
будут также выпуклыми и ограниченными. Применяя уже упомя-
нутую теорему об отделимости, с помощью порога разделения
/< min max min [рл (х), рл (х)] (7)
их 1 1
можно определить торговые зоны М2, ..., Мт соответственно.
Торговая зона Мг, 1=1, 2, ..., т будет опять нечетким уровневым
подмножеством, определяемым соотношением
Мг = {х1[1А (х) min max min [рл (х), рл (х)]} для всех хеЛД. (8/
Z I J
11 X
Примечание. Разработанная здесь модель опирается на
предположение о том, что все индивидуумы, живущие в районе с
данной плотностью населения, имеют одну и ту же функцию пред-
почтения. Однако разные покупатели могут иметь разные ощуще-
ния о трудности преодоления пути и, таким образом, могут отда-
вать разные предпочтения данной фирме. При таких условиях
функция предпочтения фирмы может быть получена с помощью
процедуры агрегирования индивидуальных предпочтений. В рабо-
те [7] в рамках аксиоматического подхода показано, что исполь-
343^
/
I
зование операции взятия минимума представляет разумный метод
при агрегировании нечетких подмножеств. Поскольку все потре-
бительские пространственные предпочтения характеризуются вы-
пуклыми нечеткими подмножествами, функция агрегированного
предпочтения, полученная с помощью оператора min, будет также
выпуклым нечетким подмножеством. Теорему об отделимости мож-
но затем применить вышеописанным способом. Следовательно, без
потери общности, можно предположить, что в этой модели суще-
ствует единственная функция предпочтения.
До сих пор единственным решающим фактором потребительс-
кого пространственного предпочтения была трудность преодоления
пути до места покупок. Однако в работах [9, 12, 18] отмечалось,
что в дополнение к этому на принятие потребителем решения о
поездке влияют социально-психологические и экономические фак-
торы. Цена, качество и выбор товаров, репутация фирмы, уровень
обслуживания и трудность пути — все это важные характеристи-
ки для восприятия фирмы покупателем. Кроме того, при приня-
тии решения о поездке за покупками у индивидуумов варьируют-
ся приоритеты этих характеристик. Таким образом, все эти харак-
теристики нужно объединить в рамках более общей модели для
разделения торговых зон между фирмами. В следующей формули-
ровке модели делается попытка объединить эти критерии.
Модель 2 — общая модель разделения тортовой зоны. В моде-
ли приняты следующие допущения:
1) существование рынка;
2) произвольная схема расселения населения;
3) размещение т конкурирующих фирм Л, F2, ..., Fm в дан-
ных точках;
4) продукция одного качества;
5) фирмы характеризуются р признаками;
6) степени важности признаков при принятии решения о поезд-
ке варьируются между индивидуумами;
7) одна фирма предпочитается другой, если ее признаки по
-своей степени важности более близки к оценке потребителя.
Пусть Х={Х[, х2, ..., хп} — множество покупателей. Пусть
Y={yi, У2, •••, Ур} — множество признаков фирм и Z={zi, z2, ...
..., zm} — множество фирм.
Пусть Фл : XX У—н[0, 1] есть функция принадлежности нечет-
кого бинарного отношения R. Для всех х^Х и всех y^Y функция
Фя(х, у) — степень важности признака у по оценке индивидуума х
при определении им предпочтения фирмы.
Отношение R можно представить в матричной форме
Ух Уъ ... Ур
-И Фд (Xi, i/i) Фд(^1,//а) • • Фд (-^1» Ур)
_х% Фд У1) Фд (Лз» У %) ’ ‘ * Фд ^2» Ур)
I Фд(^п,1/1) Фд(^п,^2) • • • Фд Ур)-
344
Пусть л : YxZ-+[O, 1] есть функция принадлежности нечеткого
бинарного отношения 5. Для всех уеУ и всех z<=Z ns (у, z) = сте-
пень принадлежности или совместимости фирмы z с признаком у.
В матричной форме отношение имеет вид
Z2 ... Zm
У1 Гns(yx,z2) . . . ns{yr,zmy
У2 ^s{y^zi) ns(y2,z2) . . . ns(y2,zm)
* • • • • • • ••• • • •
Ур _^s(yptZx) ^s(yptz2) . . . пя(Ур, zm)-
Теперь можно получить матрицу Т:
zi
m
(-^i» zi) Иа2 C^i> ^г) • • • №Am(Xi,zm)
X„ P'Ai (%2> Zl) ИЛ2 (X2, Z2) . . . P'A (X2t Zm)
A
* • • • ••• • • * • • •
Xn _РЛ1 (^n> zl) РЛа (-^n> ^2) • • • ^Am(.Xn,Zrn)
элементы которой определяются функцией принадлежности
2фд (x,y)^ns(y,z.)
рд. (х, Zi) = —-------------для всех х<=Х, y<=Y и zeZ. (9)
У)Фц(х>У)
У
Сумма 5Фд(х, у) равна степени нечеткого подмножества [5],
у
указывающей число важнейших признаков у, которое потребитель
х использует для оценки фирмы, а рдх. (х, zY) можно интерпрети-
ровать как взвешенную степень предпочтения фирмы, zi индиви-
дуумом х. Функция предпочтения, описываемая уравнением (9),
удовлетворяет определению выпуклого нечеткого подмножества1
[X (xn zf) + (1 —%) (х2, zt)\ > min [рд. (хь zf), рд. (х2, гг)] для всех Xi
и х2, всех Zi<=Z и всех Хе [О, 1]. (10)
Поскольку все pAf. (%, zY) выпуклые, их пересечения также выпук-
лые функции. Таким образом, можно построить матрицы W:
Ил, (-^1, ^1) Л №А2 (-^1, Z2) . . . (xlt Zm—1) /\ PAtn(X1, Zm)
— ИА, (Я2, Zi) Д рд2 (X2, Z2) . . . Рдт_i (x2, Zm— 1) Д pAm(x2, Zrn)
*••****•***•*****•••«••••••••••• »
|A<4i (-^n, zl) /\ (-^n> ^2) • ♦ • №Am_i(xn, Zm—1) f\ рдт(хп> Zm)_
По тем же самым соображениям, которые были приведены в
1 Утверждение верно при определенных условиях выпуклости отношений
R и «S. (Прим, ред.)
345
линейной модели разделения рынка, в данной модели порог раз-
деления торговой зоны может быть ограничен условием
Z<minmaxmin [рд. (%, гг), рд (х, z7-)]. (11)
ij х 1 1
Если порог I выбран, то торговая зона Mi, £=1, 2, ..., т описыва-
ется уровневым множеством
Л4^ = {х|р,д (x)>?minmaxmin [р.д.(х, zf), рд.(х, z,-)]} для всех хеMi.
1 ‘ а х 1 ]
(12)
Для иллюстрации практического использования описанных тео-
ретических результатов о задаче разделения торговой зоны рас-
смотрим поучительный пример.
Пример. Пусть X— {xlt х2,..., хД—множество потребителей, Z={zlt z2, z3,
z4} — множество фирм и У={р1; у2, у3, р4}—множество признаков, используе-
мых для оценки фирм: р4 — доступность, у2 — высокое качество, у3 — высокий
уровень обслуживания, р4— низкая цена. Каждый признак характеризуется
нечетким подмножеством.
П^сть матрица R нечеткого бинарного отношения имеет вид
У1 Уз Уз Уь
~1 0 0 0 Г
х2 0 1 0 0 f
х3 9 0 I 0 В
Х4 0 0 0 1 1
Х5 1 1 1 1 к
Хв 0,8 0,4 0,5 0,9
Ху 0,7 0,3 0,4 0,8
х8 0,5 0,8 0,8 0,2'
Х9 0,5 0,5 0,5 0,5-
хы 0,6 0,7 0,8 0,5;
Хц 0,1 0,1 0,1 0,Ц
Х12 _0 0 1 1 t
В этой матрице элементы каждой строки выражают относительные степени
важности признаков в принятии покупателем решения о поездке. Чем выше зна-
чения, тем более важен признак. Например, для покупателей хь х2, х3, х4 при-
знаки с наибольшими значениями не только важны сами по себе, но это единст-
венные признаки, которые учитываются ими при принятии решения о поездке. С
другой стороны, покупатель х8 устанавливает наивысшие приоритеты для При-
знаков у2 и г/з, в то время как для покупателя х5 важны все признаки.
Пусть элементы каждого столбца матрицы S представляют степени принад-
лежности или совместимости фирмы с соответствующими признаками
У1
S = y2
Уз
yi
4 z2
'0,9 0,1
0,5 0,9
0,4 0,9
_0,B 0,1
z3 z4
0,5 0,7"
0,6 fi,6
0,5 0,4
0,5 0,6_
Например, Z[ может характеризоваться как фирма, до которой очень легко до-
браться, с очень низкими ценами, но со средним качеством товаров, в то время
как z2 может рассматриваться как фирма с очень высоким качеством продукции
и обслуживания, но трудно доступная и с высокими ценами.
346
Применяя уравнение (9), получаем матрицу Т:
Zi z2 z3 z4
*1 х2 *з х4 *5 у *6 *7 *8 *9 *10 *11 f *12 Наконец, из матрицы Т получа ~0,9 0,1 0,5 0,5 0 9 0,6 0,4 0,9 0,5 0,8 0,1 0,5 0,65 0,5 0,525 0,708 0,377 0,515 0,718 0,355 0,514 0,578 0,657 0,535 0,65 0,5 0,525 0,619 0,562 0,527 0,65 0,5 0,525 _0,6 0,5 0,5 ем матрицу W: 0,7 — 0,6 0,4 0,6 0,575 0,592 0,595 • 0,552 0,575 0,562 0,575 0,5 _
“0,1 0,5 0,4 0,1 0,5 0,5 0,7 0,1 0,5 0,5 0,6 0,4 0,4 0,5 0,5 0,6 0,1 0,525 0,575 0,5 0,1 0,5 - 0,6 0,6 0,4 0,4 0,1 0,5 0,5 0,525
W = 0,377 0,355 0,578 0,5 _0,5 0,515 0,592 0,377 0,514 0,595 0,355 0,535 0,552 0,535 0,525 0,575 0,5 0,5 0,5 0,5 0,377 0,515 • 0,355 0,514 0,552 0,535 0,5 0,525 0,5 0,5
Опираясь на информацию, содержащуюся в этой матрице, получаем
max min [рл (х, zj, (х, z2)] =0,578,
X 1
тахтт[рл (xlt Zj), рл (х, z3)] = 0,535,
х 1 8
max min [рл (х, zx), рл (х, г4)] = 0,7,
X
max min [цл (х, z2),' рл (х, г3)] = 0,6,
X
max min [рл (х, z2), рл (х, z4)] = 0,6,
х 2 4
max min [р,л (х, z3), цА (х, z4)]=0,6.
Очевидно, что 0,535 — минимальная из подсчитанных величин. Теперь из матри-
цы Т выбираем для I наибольшее возможное значение, которое было бы меньше
0,535 и получаем, что /=0,527. Применяя это значение в качестве порога разли-
чения, определяем следующие торговые зоны:
М1 = {х1, х4, х5, х6, х7, х8, х9, х10, хп, х12),
М2 = {х2, х3, х8, х10},
М3 = {х2, х8, х9},
Л44 = {Х1, х2, х4, х3, Xg, х7, х8, х9, х4о, Х-q} .
Вследствие особенностей фирмы z2, которые отмечались ранее, ее предпочи-
тает только небольшое число покупателей, которые придают большое значение
«хорошему качеству» и «хорошему обслуживанию». Общая низкая совместимость
фирмы 23 со всеми четырьмя признаками также ограничивает размер ее торговой
зоны. Хотя фирмы 21 и 22 весьма схожи по своим торговым зонам, высокая сте-
пень совместимости фирмы zx с признаками «легкая достижимость» и «низкая
347
цена» делает ее более предпочтительной. Таким образом, за исключением покупа-
теля Хг, торговая зона фирмы включает в себя торговую зону фирмы Z\. Пе-
рекрытие торговых зон появляется всякий раз, когда две фирмы схожи или
эквивалентны по своей привлекательности для покупателей.
3- ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе к задаче разделения на торговые зоны пред-
ложен подход с использованием теории нечетких множеств. Для
лучшего представления реальных условий разделения торговых
зон сделана попытка ослабить допущения об однородности фирм,
рынка и решений покупателей о поездке за покупками. Перекры-
тие торговых зон рассматривается как общий, а не частный слу-
чай. Приведенные теоретические результаты показывают, что тор-
говые зоны между фирмами разделяются только до некоторой
степени. Хотя рассматривалась однопродуктовая задача, методо-
логию можно обобщить на многопродуктовую модель. Аналогич-
ные подходы можно также разработать для анализа более слож-
ных проблем, в которых требуется принять решение одновременно
о размещении фирм и распределении торговых зон. Теория нечет-
ких множеств, по-видимому, дает общую основу для анализа
пространственных факторов поведения человека в сложных и не-
точно определенных условиях.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Beckmann, М. (1971). Market share, distance and potential. Regional & Ur-
ban Economics, 1, 1—18.
2. Carlucci, D., and F. Donati (1977). Fuzzy cluster of demand within a regional
service system. In M. M. Gupta, G. N. Saridis, and B. JR. Gaines (Ed.), Fuzzy
Automata and Decision Processes, North-Holland, Amsterdam, pp. 379—385.
3. Carrothers, G. A. P. (1956). An historical review of the gravity and potential
concepts of human interaction. J. Am. Inst. Planners, 22, 94—102.
4. Christaller, W. (1933). Die Zentralen Orte in Siiddeutschland. Fischer, Jena.
(English translation by C. W. Baskin (1966). Central Places in Southern
Germany, Prentice Hall, Englewood Cliffs.)
5. Deluca, A., and S. Termini (1968). A definition of non-probabilistic entropy in
the setting of fuzzy set. J. Math. Analysis & Appl., 23, 421—427.
6. Fetter, F. A. (1924) The economic law of market areas. Q. J. Econ., 39, 520—
529.
7. Fung, L. W., and K. S. Fu (4975). An axiomatic approach to rational decision
making in a fuzzy environment. In L. A. Zadeh, K. S. Fu, K. Tanaka, and M.
Shimura (Ed.), Fuzzy Sets and their Applications to Cognitive and Decision
Processes, Academic Press, New York. pp. 227—256.
*8. Gale, S. (1972). Inexactness, fuzzy sets and the foundations of behavioral ge-
ography. Geographical Analysis, 4, 337—349.
9. Huff, D. L. (1960). A topographical model of consumer space preferences. Pa-
pers, Reg. Sci. Assoc., 6, 159—173.
10. Huff, D. L. (1961) Ecological characteristics of consumer behavior. Papers,
Reg. Sci. Assoc., 7, 19—28.
11. Hyson, C. D., and W. P. Hyson (1950). The economic law of market area.
Q. J. Econ., 64, 319—324.
12. Isard, W (156). Location and Space Economy. John Wiley, New York,
pp. 22—23, 84—85, 144—145, 286—287.
348
13. Leung, Y. (1979a). Locational choice, a fuzzy set approach. Geography Bulle-
tin, 15, 28—34.
14. Leung, Y. (1979b). A fuzzy set procedure for project selection with hierarchical
objectives. Proceedings of the First International Symposium on Policy Ana-
lysis and Information Systems, 364—371. Also in S. K. Chang, and
P. P. Wang (Ed.), Fuzzy Sets, Theory and Applications to Policy Analysis
and Information Systems, Plenum, New York, pp. 329—340.
15. Leung, Y. (1980). A fuzzy set analysis of sociometric structure. J. Math. So-
ciology, 7, 159—480.
16. Leung, Y. (1982). Approximate characterization of some fundamental concepts
of spatial analysis. Geographical Analysis. Accepted for publication.
17. Losch, A. (1954). The Economics of Location. Yale University Press, New Ha-
ven
18. Marble, D. F. (1959). Transportation inputs at urban residential sites. Papers,
Reg. Sci. Assoc., 5, 253—266.
19. Negoita, С. V. (1973). On the application of the fuzzy sets separation theorem
for automatic classification in information retrieval systems. Inf. Sci., 5,
279—286.
20. Palander, T. (1935). Beitrage Zur Standortstheorie. Almqvist & Wiksells,
Uppsala. ,
21. Pipkin, J. S. (1978). Fuzzy sets and spatial choice. Ann. Assoc. Am. Geograp-
hers, 68, 196—204.
22. Ponsard, C. (1979). On the imprecision of consumer’s spatial preferences. Pa-
pers, Reg. Sci. Assoc., 42, 59—71.
23. Ponsard, C. (1980a). Fuzzy economic spaces. Document de travail No. 43, In-
stitute de Mathematiques Economiques, Universite de Dijon.
24. Ponsard, C. (1980b). Producer’s spatial equilibrium with a fuzzy constraint.
Document de travail No. 46, Institute de Mathematiques Economiques, Univer-
site de Dijion.
25. Pred. A. (1967). Behavior and Location. Part I. The Royal University of
Lund, Lund. pp. 110—120.
26. Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy sets. Inf. & Control, 8, 338—353.
ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОБОБЩЕННОМУ
КАЛЕНДАРНОМУ ПЛАНИРОВАНИЮ
ПРОИЗВОДСТВА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ:
МЕТОДОЛОГИЯ И ПРИМЕНЕНИЕ
Д. Б. Ринке 1
В данной работе показано, как руководители, используя прос-
тые эвристические правила решения, могут довольно точно ап-
проксимировать результаты наиболее мощных методов оптимиза-
ции для задач обобщенного или календарного планирования.
Лингвистические переменные используются для преобразования
разумных правил голосования (протокола) в операционную мо-
дель.
1 West Virginia University, College of Business and Economics, Morgantown,
West Virginia, USA, 26506.
349
Ключевые слова: обобщенное планирование; приближенное
рассуждение; нечеткие алгоритмы; эвристика; лингвистические пе-
ременные; модели, основанные на разумных рассуждениях.
1. ВВЕДЕНИЕ
Проблема производительности занимает важное место в управ-
лении производством. Один из ее аспектов связан с календарным
планированием рабочей силы и управлением наличными запаса-
ми. В исследовании операций процесс одновременного рассмотре-
ния затрат рабочей силы, производительности и планового объе-
ма запасов материалов известен как обобщенное календарное
планирование. Более точно, при обобщенном планировании пыта-
ются сбалансировать расходы, связанные с изменениями в коли-
честве рабочей силы (нанимаемые — увольняемые рабочие); с не-
полным или повышенным использованием рабочей силы (простой
или сверхсрочная работа); с инвентаризацией (текущие издержки,
рекламационные расходы, потери на ценах и т. д.).
Хотя в литературе существует множество математических мо-
делей обобщенного производственного планирования, например,
[2, 3, 6, 7, 10], однако ни одна из этих моделей практически не
применяется в промышленности (4, 13]. Большинство руководите-
лей, по-видимому, решили использовать свои собственные эврис-
тические или интуитивные правила решения, не гарантирующие
математической оптимальности. Имеющиеся эмпирические данные
указывают, по-видимому, на то, что модели, основанные на здра-
вых суждениях руководителей, действительно хорошо подходят для
анализа сложной природы обобщенной проблемы планирования.
Резюмируя, можно сказать, что, вероятно, многому можно на-
учиться, изучая опыт руководящих работников в решении этой
проблемы.
В то же время психологи установили, что при нормальном мыс-
лительном процессе люди переводят входные стимулы в вербаль-
ный код. В комментарии к этому факту в работе [16] отмечает-
ся, что «... мыслительный процесс перекодирования очень важен в
психологии человека... В особенности тип лингвистического коди-
рования, который, как кажется, составляет как бы кровеносную
систему мыслительных процессов.» В этой работе постулируется,
что вследствие ограниченной способности человека формировать
абсолютное суждение и ограниченной способности к непосредст-
венному запоминанию, он в состоянии получить, осознать и запом-
нить ограниченное количество информации. Вербальное перекоди-
рование стало для человека способом переработки материала в
сгустки насыщенной информации. Естественный язык в этом от-
ношении уникален.
До недавнего времени не было единой теории обработки в
строгом математическом смысле таких нечисловых переменных,
как лингвистические термы. В 1965 г. Заде разработал основу та-
кой теории, которую он назвал теорией нечетких множеств [22].
Концепция нечеткого множества возникла у Заде как реакция на
350
неудовлетворенность математическими методами классической
теории систем, которая вынуждала добиваться искусственной
точности, неуместной во многих системах реального мира, особен-
но в сложных системах, включающих людей. После нескольких
лет работы над теорией Заде [23—27] обратил внимание на спо-
соб рассуждения человека как на область приложения теории не-
четких множеств.
Опираясь на наблюдения и личный опыт, каждый может убе-
диться, что если не все рассуждения человека, то большинство из
них, по своей природе скорее приближенные, чем точные. Напри-
мер, люди великолепно справляются без больших затруднений с
нечетким рассуждением следующего типа:
посылка: х мал
посылка: хну приблизительно равны
вывод: у более или менее мал.
Этот процесс определения приближенного решения системы не-
достаточно определенных уравнений Заде назвал приближенным
рассуждением [24].
Вскоре после того, как Заде опубликовал свою работу по приб-
лиженному рассуждению, Мамдани и Ассилиани [14] успешно
применили теорию нечетких множеств для того, чтобы вывести стра-
тегию лингвистического управления для комбинации парового
двигателя и бойлера, используя эвристические правила, установ-
ленные человеком-оператором. Другие исследователи [11, 18] до-
бились аналогичного успеха применительно к процессам, которые
подчиняются сложным физическим законам. В условиях, характе-
ризуемых большим чем в предыдущих прикладных ситуациях
участием человека в течение процесса управления, в работе [21]
с помощью нечетких множеств построена модель, которая воспро-
изводит организационное поведение. В рамках конкретных кон-
текстов эти различные исследования продемонстрировали, что
приближенное рассуждение можно моделировать, а такое моде-
лирование вместе с теорией Заде составляют общую методологию.
Цель данного исследования состоит в том, чтобы показать, как
руководители, используя простые эвристические правила вывода
решения проблемы обобщенного календарного планирования, мо-
гут получить результаты, близкие к тем, которые дают наиболее
мощные методы оптимизации. В частности, предлагаются эврис-
тические модели для решений, связанных с обобщенной произво-
дительностью и размером затрат рабочей силы. Эти модели отли-
чаются от моделей при других эвристических подходах к обобщен-
ному планированию в двух важных аспектах. Во-первых, модели
основываются на понятиях нечетких множеств и приближенного
рассуждения. Особое значение придается использованию лингвис-
тических переменных для преобразования заданного протокола в
операционную модель. Во-вторых, используется протокол не одно-
го какого-нибудь индивидуума (или группы индивидуумов), а ско-
рее ищется представление разумных эмпирических методов.
351
Далее работа строится следующим образом. Поскольку мето-
дология разработанных в этой статье моделей базируется на не-
четких алгоритмах и лингвистических переменных, то разд. 2 пос-
вящается этим вопросам. В разд. 3 модели приближенного рас-
суждения представляются как процесс решения проблемы обоб-
щенного календарного планирования. В разд. 4 описывается реа-
лизация нечетких алгоритмов обобщенного планирования в ситуа-
ции, в которой известно оптимальное решение. Заключение при-
водится в разд. 5.
2. МЕТОДОЛОГИЯ
К настоящему времени основные определения и понятия тео-
рии нечетких множеств стали хорошо известны и не будут здесь
повторяться. Для тех, кто хотел бы с ними ознакомиться, пореко-
мендуем хорошую обзорную статью Заде [23].
Некоторые исследования 1 показывают, что предсказания спро-
са, уровень рабочей силы на предшествующем периоде и уровень
материально-производственных запасов — это важные факторы
для определения уровней производительности и уровня затрат
рабочей силы. Определим
FSt — прогноз потребления на период t,
Wt-i — уровень рабочей силы в дериод t—1,
/п — уровень материально-производственных запасов па ко-
нец (t—=1) -го периода,
AlFt — изменение уровня рабочей силы в начале периода t,
Pt — уровень производительности в период /.
Вообще искомые текущие значения переменных связаны с уже
известными значениями уравнениями
= (1)
Ar1 = ?(FS„«7/_1,//_1). (2)
Для количественной модели отношения между переменными долж-
ны представляться в форме уравнений. Связи между нечеткими
переменными выражаются в виде нечетких условных утвержде-
ний [23].
При решении проблемы обобщенного планирования нечеткие
условные высказывания, моделирующие рассуждения человека,
чдают методологию для непосредственного представления утверж-
дений типа «Если прогноз потребления высокий, то производи-
тельность должна быть не низкой». Термины высокий и не низкий
в этом примере представляют собой значения лингвистических пе-
ременных «прогноз потребления» и «производительность». Отме-
тим замечательное сходство этого нечеткого условного высказы-
вания с вербальным протоколом. Привлекательность и сила это-
1 Как пример теоретических исследований см. работы 1[8, 9, 19], а эмпириче-
ских, идентифицирующих три переменные в качестве наиболее важных факторов
решений задачи обобщенного планирования, —1[3, 5, 12, 17].
352
го подхода состоят в том, что, поскольку руководитель, по-види-
мому, мыслит нечеткими понятиями, то эвристическая модель, в
которой используются лингвистические переменные, должна да-
вать лучшую познавательную имитацию, чем модель, основанная
на традиционных методах.
Теперь покажем, как составляются последовательности нечет-
ких условных высказываний, образующие нечеткую модель. Пусть
ai, Ьг, сг, dz (i = 0, 1, 2, ...) — значения (нечеткие множества) линг-
вистических переменных А, В, С, D с универсумами U, V, W, X
соответственно. Рассмотрим следующую нечеткую посылку (ус-
ловное предложение назначения), опирающуюся на переменные'
В, С и D, с результирующей переменной — заключением А.
Если В есть bi И С есть Ci, И D есть di, ТО А есть at.
Если теперь В, С и D имеют значения Ьо, с0 и do, то выводи-
мое значение а0 результирующей переменной можно найти, ис-
пользуя композиционное правило выбора [23]:
ра„ (и) = min (pfll (w); min (max (min (pbo (y), pbl (u))),
max (min(pCo (да), pC1 (ay))),
max (min (prfo (x), (x))))). (4)
Два или больше нечетких условных утверждения можно объеди-
нить связкой ИНАЧЕ [14], образуя нечеткие алгоритмы, где связ-
ка ИНАЧЕ моделируется оператором max [23]:
Если В есть bi И С есть Ci, И D есть >di, ТО А есть tzi, ИНАЧЕ
если В есть Ь% И С есть с^, И D есть dz, ТО А есть az. (5)
Если значения bQ, cQ и d0 нечетких переменных посылки зада-
ны, то значение результирующей переменной а0 можно вывести
из уравнения
рЯо (w) = max (min (рЯ1 (w); min (max (min (pb„ (t>), Pi>, (f)))
max (min (pCo (w) pC1 (ay))),
max (min (prfo (x), p^ (x)))),
min (p«2 (u); min (max (min (pbo (u), pba (u))),
max (min (pCo (ay), pC2 (да))),
max (min (prfo (x), p</2 (x))))). (6)
Обобщенные процедуры для объединения более двух утвержде-,
ний назначения в отношениях состоят в очевидном обобщении
уравнения (6).
В результате реализации нечеткого алгоритма, основанного на
уравнении (6), будет получена функция принадлежности нечетко-
го множества, представляющего ограничения на базовую пере-
менную решения. Обычно в качестве решения, которое должно
быть осуществлено, нужно выбрать одно значение. Таким обра-
зом, проблема состоит в том, чтобы нечеткое подмножество пре-
образовать в скаляр.
12—120 353
По предложению Заде [23] логический критерий выбора сос-
тоит в том, чтобы в качестве решения выбирать такое значение
базовой переменной, в котором функция принадлежности достига-
ет максимального значения. Этот критерий успешно применялся
в прикладных исследованиях. Однако поскольку базовая перемен-
ная может достигать максимального значения принадлежности в
нескольких точках своего универсума, то этот критерий не гаран-
тирует однозначного решения.
Для того чтобы проиллюстрировать проблему преобразования
нечеткого множества в скаляр, рассмотрим несколько графиков
функций принадлежности (рис. 1). В случае I максимальное зна-
чение принадлежности достигается в одной точке; выбор решения
Рис. 1. Отбор решений на основе нечетких множеств:
* — значение базовой переменной, выбранной в качестве решения
производится однозначно. В случае II максимальная принадлеж-
ность достигается в нескольких средних значениях базовой пере-
менной. Один из подходов к выбору единственного значения сос-
тоит в случайном выборе из конкурирующих значений. При аль-
тернативном подходе, изучаемом в данной работе, берут среднюю
точку между теми конечными точками, в которых достигается
максимальная принадлежность. Случай III иллюстрирует ситуа-
354
цию, когда максимальная принадлежность достигается при нес-
кольких значениях базовой переменной; однако все эти значения
«несвязные». Использованный здесь подход аналогичен пред-
ложенному в работе [18]: определить область между «первым» и
«последним» значениями аргументов, при которых функция при-
надлежности достигает максимума. Далее (случай III) ищется
точка, отмеченная значком * , в которой значение Ai равно Л2-
Эта точка принимается в качестве решения. Отметим, что в слу-
чаях I и II решения оказываются частными случаями областей,
появляющихся в процедуре принятия решений с использованием
функций принадлежности.
Две другие ситуации также достойны внимания. В случае IV,
как и в случае III, максимальная принадлежность достигается на
нескольких группах значений базовой переменной, но расстояние
между этими группами относительно велико. Это результат «конф-
ликтующих» правил и должен быть воспринят как сигнал к изме-
нению одного из правил. Наконец, случай V иллюстрирует ситуа-
цию, когда достигаемое максимальное значение принадлежности
мало. Это свидетельствует о том, что ни одно из правил не под-
ходит для появившихся конкретных значений свободных перемен-
ных. В этом случае нужно или изменить имеющееся правило или
добавить новое.
3. РАЗРАБОТКА НЕЧЕТКИХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ
ОБОБЩЕННОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
Нечеткие алгоритмы для планирования производительности и
уровня рабочей силы разрабатываются с учетом предыдущих рас-
смотрений. Исходя из перспективы имитационного моделирования
будем предполагать, что справедливы первые три аксиомы теории
управления организационными системами [3]: руководитель име-
ет представление о важных переменных, чутко воспринимает стои-
мостную структуру этих переменных и умеет оперировать решаю-
щими правилами, связывающими важные переменные с решения-
ми.
Алгоритм планирования производительности состоит из ряда
утверждений (правил) об относительных значениях типа
ЕСЛИ FSt есть И It—i есть
(7)
И Wt-1 есть , то Pt есть ,
ИНАЧЕ .
Поскольку для прогнозов реализации наличные запасы и имею-
щийся уровень рабочей силы характеризуется как значимые фак-
торы агрегированного решения о рабочей силе, то алгоритм пла-
12* 355
пирования рабочей силы обусловливается уравнением, аналогич-
ным (7):
ЕСЛИ FSt есть И It—i есть __________
(8)
И Wt-i есть , то \Wt есть ,
ИНАЧЕ .
В варианте решающего правила определения уровня рабочей си-
лы, которое было разработано в [3], для эмпирической проверки
реальных решений руководителя в качестве решающей переменной
было использовано изменение в уровне рабочей силы &Wt. В силу
важности расходов, связанных с наймом и увольнением, при из-
менении уровня рабочей силы считается, что особого внимания
заслуживает не абсолютный размер рабочей силы, а мнение ру-
ководителей. Уровень Wt определяется простым уравнением
(9)
конечные запасы It уравнением
(10)
где St — действительный спрос в период времени t.
В качестве объяснения для дальнейшего развития моделей
кратко изложим логическое обоснование типичного алгоритмичес-
кого правила планирования производительности:
ЕСЛИ FSt — высокий И It-i — не высокий
И Wt-i — высокий, ТО Pt — высокий.
Это правило описывает ситуацию, в которой: предсказывается вы-
сокий спрос; имеющийся запас товаров не высокий, а уровень за-
нятости рабочей силы высокий. Здравый смысл диктует предпи-
санное решение: произвести большое количество изделий. При
этом производительность приводится в соответствие с предска-
занным размером спроса, что позволяет избежать потери рынка
сбыта и невыполнения заказов. Поскольку уровень наличной ра-
бочей силы высокий, высокая производительность не должна су-
щественно влиять на продолжительность сверхурдчных работ, ни
на число неполных рабочих дней. Кроме того, поскольку наличный
запас невысок, то нежелательно его дальнейшее уменьшение из-за
производства меньшего числа изделий, чем требуется; с другой
стороны, возрастут складские издержки. Логика этого правила
так очевидна, что не вызывает сомнения даже без подробного
рассмотрения структуры цен К тому же становятся понятны
даже оттенки познавательных процессов у принимающего реше-
ние человека. Можно легко представить себе, что это вербальное
описание правила извлечено из протокольных доводов руководи-
теля, которыми он обосновывает свое решение.
Для того чтобы алгоритм планирования производительности
(7) и алгоритм планирования затрат рабочей силы (8) сделать
действенным, его необходимо «наполнить» утверждениями относи-
356
тельного назначения. Для этого, в частности, требуется: 1) вклю-
чить достаточное число утверждений относительного назначения
с тем, чтобы модель действительно описывала исследуемую проб-
лему и 2) подобрать значения лингвистических переменных для
утверждений относительного назначения.
3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Сначала нужно определить термы (нечеткие подмножества)
для лингвистических переменных Wt, Pt, &Wt, It-i, FSt. Принятый
в данном исследовании подход аналогичен подходу, описанному в
[18]. Из этой работы были использованы экспоненциальные функ-
ции, однако нечеткие подмножества были переобозначены так,
чтобы их смысл лучше согласовывался с используемыми хздесь ба-
зовыми переменными. Например, в [18] функция принадлежности
терма большой положительный определялась следующим обра-
зом:
ЦбоЛЬШОЙ ИОЛОЖ - 1 ехр
0,5 \2,5~
I 1 —*1 /
— 1<х<1. (И)
Однако, поскольку в приложении, скажем, к экстремальному зна-
чению прогноза сбыта больше подходит терм высокий, то он и ис-
пользовался вместо большой положительный. В табл. 1 представ-
лены функции принадлежности допустимых лингвистических тер-
мов, использованных в изучаемом случае. Некоторые из этих
функций изображены на рис. 2.
-0,5 О 0,5 7
ООлас/пь исслеОаОалий
Рис. 2. Функция принадлежности для некоторых лингвистических термой
Важное свойство использованных в '[18] экспоненциальных
функций состоит в том, что все переменные определяются в ин-
тервале '[—1,1]. Это свойство дает большие преимущества, когда
одни и те же лингвистические термы используются для описания
нескольких базовых переменных.
Хотя функции принадлежности определяются для непрерывных
значении базовых переменных, нечеткие подмножества в дейст-
13°—120 357
Таблица 1. Функции принадлежности допустимых лингвистических термов
Лингвистический терм Сокращение Базовая пере- менная 1 Выражение функции принадлежности2,8
Очень высокий (положительный, очень большой) Высокий VH (РВ) (PVB) и X (dx) X ВЫСОТ СИЙ X * высокий x ’ 0,5 \2’51
(положительный • большой) Довольно высокий (РВ) RH (dx) X 1 — exp 1 —exp 1 —exp 1- 1 — exp 1 — exp 1 —exp НИ31Р I —exp [- 1 1 1 — exp [ - 11 —x| 0,25
(положительный, до- вольно большой) Вроде бы высокий (PRB) SH (dx) X |0,7—x| 0,25 у ,5-j
(положительный, вроде бы большой) Средний (нулевой) Вроде бы низкий (PSB) А (Z) SL (dx) X (dx) X -exp |0,4—x| [—5|x|] 0,25 у ,5
(отрицательный, вроде бы большой) Довольно низкий (NSB) RL (dx) X |—0,4—x| 0,25 )25]
(отрицательный, довольно большой) Низкий (NRB) L (dx) X 1-0,7—x| 0,5 у ,5-j
(отрицательный низкий) Очень низкий (отрицательный, очень большой по абсолютной величине) По крайней мере средний Самое большее средний (NB) VL (NVB) ALA АМА (dx) x (dx) X X :ий x — 5|x — 5|x 11 —*1 * НИЗКИЙ 11, — , o< 1, o< У ,5] X :x^o X<1 x<0 X<1
1 х может быть любой из следующих переменных: FSt, Wt, Pt, dx есть AWf,
2 Все переменные шкалированы так, что определяются в интервале [—1, 1]
3 dx заменяет х в выражениях функции принадлежности, где используется txWt.
вительности представлены на конечных носителях. Причина этого
состоит в том, что расчеты в непрерывном случае заняли 'бы слиш-
ком много времени. В частности, все изучаемые здесь переменные
описываются на дискретных носителях из 25 точек. Все авторы ра-
бот [11, 14, 15, 18, 21] в рассматриваемых практических случаях
для представления переменных также использовали конечные уни-
версумы.
3.2. РАЗРАБОТКА (AFt, Р^-МОДЕЛИ
Общая структура '(ДWt, Pi)-модели складывается из утверж-
дений относительных назначений для алгоритма планирования
производительности (7) и для алгоритма планирования рабочей
358
силы (8). Покажем теперь, каким образом утверждениями на-
значения пополняются уравнения (7) и (8) для получения рабочей
модели. К этой задаче подойдем предполагая, что руководитель
должен будет принять обобщенное решение относительно рабочей
силы и производительности. При этом в описании попытаемся от-
разить познавательный процесс гипотетического плановика, проис-
ходящий при анализе стоящей перед ним проблемы.
Предположим, что на первом шаге своего анализа принимаю-
щий решение рассматривает так называемые требования для теку-
щего периода (периода t), определяемые уравнением
требования t = Rt = FSt— Л-i—I*, (12)
где I* — некоторый нормальный инвентарный уровень1. В этом
выражении член It-i—I* показывает, будет ли инвентарное со-
стояние выше нормального уровня, т. е. /*—i—/*7>0. В случае, ког-
да It-\—/*>0 принимающий решение для пробы решает сокра-
тить производство так, чтобы уменьшить инвентарную нагрузку,
если Л-i—7*<0, то принимается противоположное решение. За-
ключение получается гипотетическое, поскольку между затратами
на рабочую силу, продолжительностью сверхурочных работ, непол-
ным рабочим днем и расходами на поддержание нужного инвен-
тарного уровня должен быть найден компромисс, который еще не
рассматривался. Поскольку FSt — оценка спроса на период t, то
уравнение (12) оценивает общие требования на период t — требо-
вания производства после учета инвентарного состояния. Заметим,
что принимающий решение не обязан планировать производство
именно такого количества продукции; он может выбрать для уп-
равления производством большую или меньшую величину в зави-
симости от других компромиссных решений.
Теперь установим связь познавательных процессов принимаю-
щего решение с психологическим понятием вербального кодирова-
ния. Общие производственные требования анализируются с исполь-
зованием лингвистических переменных. Пусть при определении зна-
чений FSt и It-i лингвистическая переменная Rt принимает значе-
ния высокий (//), средний (Д) и низкий (L). Теперь, просто ис-
пользуя интуитивную логику, назначаем лингвистические значения
FSt и Л-ь опираясь на различные условия:
Rt есть Н, ЕСЛИ FSt есть Н, И It-\ есть (самое большее Д),
ЕСЛИ FSt есть SH И Л-i есть L;
Rt есть А ЕСЛИ FSt есть SH И Л-i есть Sff; '
ЕСЛИ FSt есть А И Л-i есть Д;
ЕСЛИ FSt есть SL И Л-i есть SL; <
ЕСЛИ FSt есть RL И Л-i есть L;
1 Термин «нормальный инвентарный уровень» используется принимающим ре-
шение для оценки обобщенного инвентарного уровня. При определении нормаль-
ного или планового инвентарного уровня принимающий решение пытается найти
компромиссное решение между издержками на пополнение запаса и его нехват-
кой.
13°*
359
Rt есть L ЕСЛИ FSt есть L И It-i есть (по крайней мере, Л);
ЕСЛИ FSt есть SL И It-i есть Н.
Чтобы проиллюстрировать, как осуществляется эта процедура,
рассмотрим первый вывод такого типа. Будем говорить, что требо-
вания к валовому производству высокие, если выполняется одно из
следующих двух условий. Первое: прогноз сбыта высокий, а имею-
щийся инвентарный уровень самое большее средний. Если бы на-
личный инвентарный уровень был выше среднего, то требование к
валовому производству должно было бы быть немного меньше чем
высокое, даже если бы по предсказанию спрос был высокий. Вто-
рое условие состоит в том, чтобы предсказание спроса было вроде
бы высокое (SH), а инвентарный уровень низкий. Поскольку при
этом нужно увеличить инвентарный уровень, то требование к вало-
вому производству нужно считать высоким, даже если по предска-
занию спрос на текущий период только вроде бы высокий.
При анализе ситуации принимающий решение считает, что име-
ющийся уровень рабочей силы IF/-1 действует как фактор, который
согласовывает требование к валовому производству с фактическим
решением относительно производительности. Заметим, что именно
на этом шаге согласовываются между собой затраты на изменение
уровня рабочей силы, расходы на повышение инвентарного уровня,
а также продолжительность сверхурочной работы и неполного ра-
бочего дня. Например, если бы требование валового производства
было высоким, а уровень рабочей силы — низким, то принимаю-
щий решение мог бы решить выпускать только вроде бы высокое
количество изделий, поскольку производство высокого количества
изделий потребовало бы слишком большого изменения рабочей си-
лы и (или) слишком большого роста продолжительности сверх-
урочной работы.
Для получения 40 управляющих правил, образующих основу
для нечетких алгоритмов планирования производительности и уров-
ня рабочей силы, комбинировались различные условия требований
с состояниями: уровень рабочей силы Wt-1 высокий, вроде бы вы-
сокий, средний, вроде бы низкий и низкий. Таким образом, 40 ком-
бинаций Wt-i, It-\ и FSt (см. левую часть табл. 2) служат в каче-
стве определяющей структуры для всех возможных значений, кото-
рые три базовые переменные принимают в утверждениях относи-
тельных назначений, составляющих (AlFt, Pt)-модель. Для каждой
из этих 40 комбинаций Wt-1, It—i и FSt нужно выработать решение
относительно &Wt и Pt (в форме лингвистической переменной). Ре-
шая данную задачу, принимающий решение использует всю инфор-
мацию о ценах, которая ему известна. Однако при этом не требу-
ется никаких предположений относительно особой структуры рас-
ходов (например, линейной, квадратичной и т. д.). Обычно боль-
шая часть этой информации по своей природе бывает неявной, т. е.
она обусловлена суждением и опытом принимающего решение че-
ловека.
При заполнении правой части табл. 2 решения относительно
&Wt и Pt принимались исходя из разумных соображений. Отметим,
360
Таблица 2 Алгоритмические правила планирования производительности
и уровня рабочей силы 1
Номер правила 2 Изменяемые переменные Переменные решения Номер правила 2 Изменяемые переменные Переменные решения
PSt Л-i Wt-1 Pt ^wt PSt wt-i Pt swt
1 н АМА Н н Z 21 L ALA L L Z
2 н АМА А RH PRB 22 SL H H SL NVB
3 н АМА L SH PVB 23 SL H A RL NRB
4 SH L Н Н Z 24 SL H L RL Z
5 SH L А RH PRB 25 H AMA SH H PSB
6 SH L L SH PVB 26 H AMA SH SH PB
7 SH SH Н SH NRB 27 SH L SH H PSB
8 SH SH А А Z 28 SH L SL SH PB
9 SH SH L А PRB 29 SH SH SH A z
10 А А Н SH NRB 30 SH SH SL A PSB
11. А А А А Z 31 A A SH A NSB
12 А А L А PRB 32 A A SL A PSB
13 SL SL Н SH NRB 33 SL SL SH A NSB
14 SL SL А А Z 34 SL SL SL A z
15 SL SL L SL PRB 35 RL L SH A NSB
16 RL L Н SH NRB 36 RL L SL A z
17 RL L А А Z 37 L ALA SH RL NB
18 RL L L А PRB 38 L ALA SL L NSB
19 L ALA Н SL NVB 39 SL H SH RL NB
20 L ALA А RL NRB 40 SL H SL RL Z
1 Сокращения для значений лингвистических переменных определены в табл 1
2 Каждое производственное правило представляет собой утверждение относительного
назначения вида «ЕСЛИ FSt есть _________ И есть ____________, И есть _____________, ТО
есть ______» причем в случае, когда речь идет о рабочей силе, последняя часть
утверждения имеет вид «ТО AW4 есть»
что никто не утверждает, что эти управляющие решения оптималь-
ны, говорится только, что они разумные. Разумеется, качество этих
управляющих правил должно зависеть от фактической структуры
цен.
3.3. ВЗВЕШЕННЫЕ ПРОГНОЗЫ
Поскольку нечеткие алгоритмические модели обобщенного пла-
нирования не имеют четко выраженного этапа определения прибы-
ли, который связывал бы воедино последствия затрат по ряду ре-
шений, то единственный способ, при котором будущие потребности
фирмы в ресурсах могли бы повлиять на теперешние решения, со-
стоит в учете информации о прогнозах сбыта. Информация о буду-
щих заказах передается в модель через переменную FSt. В пред-
шествующих исследованиях {7, 10] было выдвинуто предположе-
ние, что для описания FSt пригодна некоторая линейная комби-
нация предсказаний сбыта.
Для построения взвешенных прогнозов сбыта здесь выбраны
две функции — одна для уровня рабочей силы и одна для произ-
361
водительности — в уверенности, что на уровень рабочей силы бу-
дут влиять только долговременные изменения в спросе, в то вре-
мя как на производительность спрос будет сильно влиять уже
в ближайшем будущем. Поскольку оценки спроса в отдаленном
будущем сопряжены с увеличением неопределенности и фирма
имеет возрастающее число возможных периодов, чтобы предпри-
нять корректирующее действие '[10], то для алгоритмов планиро-
вания рабочей силы и производительности целесообразно исполь-
зовать убывающие функции (для отдаленных периодов назначать
меньшие веса, чем для ближайших периодов). С учетом изложен-
ных соображений на рис. 3 изображен общий вид весовых функ-
ций прогнозов сбыта для рабочей силы и производительности. Эти
две весовые функции значительно отличаются от «усредненного»
прогноза, при котором веса равны 1/п, где п — число временных
периодов на планируемый срок.
Совершенно ясно, что описанным критериям будут удовлетво-
рять многие функции. Однако придерживаясь духа неопределен-
ности, присущего нечетким алгоритмам, нет необходимости слиш-
ком точно осуществлять выбор. Пусть Fj — прогноз сбыта для /-го
временного периода. Тогда для алгоритма планирования рабочей
силы имеем
п
FSt = arFt + aJFt+1 + ... + anFt+(n—i) = 3 atF t+t—i» (13)
i=i
и для алгоритма планирования производительности
п
FSt = brFt + ^^t+i + •••-+- bnFt+(n—i) = S biFt+i—i. (14)
/=!
Задача состоит в выборе подходящих весовых коэффициентов ai и
bi. Подходящими представляются следующие две функции:
362
(15)
(16)
Еще раз подчеркнем, что при выводе весовых функций прогноза
(15) и (16) во внимание принимался только принцип разумности.
Мы ни в коем случае не утверждаем и не предполагаем, что эти
схемы взвешенного прогноза оптимальны в каком-нибудь смысле.
Конечно, возможны и другие весовые схемы. Окончательный вы-
бор будет зависеть от структуры расходов фирмы. Выбирая дан-
ную схему назначения весов, принимающий решение неявно пыта-
ется компенсировать различные затраты. Например, более резко
изменяющаяся весовая функция для рабочей силы, чем описывае-
мая выражением (15), будет соответствовать меньшим затратам
на изменение уровня рабочей силы, поскольку в этом случае алго-
ритмом планирования рабочей силы предусмотрена 'более быст-
рая реакция на изменения в спросе.
4. ПРИМЕНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ АЛГОРИТМОВ
ОБРАБОТКИ ДАННЫХ ДЛЯ ФАБРИКИ ПО
ПРОИЗВОДСТВУ КРАСОК
Для проверки нечетких алгоритмов обобщенного- планирования
используем модели анализа классических данных о фабрике по
производству красок [7, 8, 9]. Выбор этих данных с целью срав-
нения обусловлен двумя причинами: 1) эти данные — «реальные»
и достаточно хорошо документированные для проведения сравни-
тельного анализа; 2) линейное правило выбора решений, приме-
ненное в работах [7,8,9], стало стандартом, с которым сравнива-
ются другие методы обобщенного планирования [5, 10, 13, 19].
В нашем сравнительном анализе принято важное допущение:
выведенная для фабрики красок квадратичная функция затрат
является «истинной». Важность этого допущения состоит в том,
что решения, рассчитанные по выведенным линейным правилам,
считаются оптимальными. В некоторых других работах ’['10, 19]
также принималось это допущение, а полученные в них результа-
ты сравнивались с оптимальными результатами, полученными q
помощью линейных решающих правил. Итак, предполагаем, что
можно получить идеальные прогнозы сбыта.
4.1. ФАБРИКА КРАСОК
Согласно формулировке, принятой в работах '[7—9] (модель
далее обозначается аббревиатурой из первых букв фамилий ав-
торов— HMM.S), цель производственного планирования состоит в
363
минимизации общих затрат на зарплату, сверхурочные работы,
наймы и увольнения, материально-производственные запасы, не-
достачи и на наладку машин в течение данного планируемого ин-
тервала из N периодов. После принятия необходимых допущений
и статического определения коэффициентов затрат математиче-
ская формулировка проблемы для HMMS-модели фабрики красок
принимает вид
N
CN = TCt^mm, (17)
где
Ct = 340Wt (фонд заработной платы)+
H-64,3(Wf—^_i)2 (затраты на увольнения и наймы)+
4-0,20(7\—5,67Wt^4-51,2Р(—281^ (затраты на сверхурочные
работы) +
4- 0,0825 (It—320)2 (затраты на запасы) (18)
при условии
/=1,...,У. (19)
Целевая функция (17), (18)—квадратичная функция решающих
переменных. Если квадратичная форма зависимости общих затрат
от затрат по отдельным статьям расходов принята, то при HMMS-
методологии решение достигается взятием частных производных
по каждому периоду для рабочей силы и каждому периоду инвен-
таризации и приравниванием полученных выражений нулю, что
приводит к системе линейных уравнений. Затем, решая эту сис-
тему линейных уравнений, получают два линейных правила ре-
шения, которые для любого планируемого периода указывают про-
изводительность и размер рабочей силы, обеспечивающие самые
низкие затраты.
Для фабрики красок решение уравнения (17) привело к сле-
дующим двум линейным правилам:
f 0,463 Ft )
0,234 Ft+1
0,111 Ft+2
0,046 Ft+3
0,013 Ft+i
- 0,012 Ft+5
- 0,008 Ft+6
— 0,010 Ft+1
~ 0,009 Ft+8
— 0,008 Fz+9
0,007 F
. 0,005Fi+u „
4-0,993Wt-r4-153—0,464 7^, (20)
364
Wt == 0,743 Wt^ 4- 2,09—0,0101 Ц_г +
0,0101 Ft
0,0088 Ft+1
0,0071 Fl+2
0,0054 Ft+3
0,0042 Ft+i
0,0031 Ft+5
‘ 0,0023 Ft+3
0,0016 Ft+7
0,0012 Ft+s
0,0009 Ft+9
0,0006 Ft+10
0,0005 Ff+ii
(21)
Действительная структура заказов для шестилетнего периода
1949—Г954 гг., которую анализировали с помощью HMMS-моде-
ли, была чрезвычайно неустойчивой, поскольку включала спад
1949 года и периода войны США в Корее. В этом отношении дан-
ные 'фабрики красок — довольно суровый тест для проверки
(рис. 4).
Заказы, галл.
900 I-
L I I I 1 ) I 1 Ы 1 ! I I I I I I ) I I I I I > I I I I I I I I I I I I
6 12 18 24 30 36 42 48 64 60 66 7Z
Месяцы
Рис 4. Опрос на продукцию фабрики красок в 4949—4954 годы
В результате применения линейных правил решения (’20) и
(21) для 12-месячных законченных прогнозов сбыта оценка об-
щих затрат за 60-месячный период составила 2 053496 дол. По- •
скольку мы предположили, что квадратичная структура затрату
(17) является «истинной», то 60-месячные общие затраты
2 053 196 дол. были взяты за основу, с которой сравнивались ре-
зультаты нечетких алгоритмов.
4.2. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ НЕЧЕТНОГО АЛГОРИТМА
Для того чтобы применить нечеткие алгоритмы, нужно снача-
ла параметризовать модельные переменные. Действительно, на
этом шаге описываются универсумы, на которых определяются
4 365
значения (нечеткие подмножества) лингвистических переменных.
В модели для каждой переменной требуется определить два пара-
метра — ее ожидаемую нижнюю и верхнюю границы. В действи-
тельности нижняя граница соответствует значению шкалы —1, ис-
пользуемому при определении базисных нечетких подмножеств в
табл. 1 и при их графическом представлении на рис. 2. Аналогич-
но этому верхняя граница соответствует значению шкалы +1, ис-
пользуемому при определении и графическом представлении ба-
зисных нечетких подмножеств.
В табл. 3 приведены значения, использованные при параметри-
зации моделей нечетких алгоритмов для данных фабрики красок.
Таблица 3 Значения параметров для модели нечеткого алгоритма
Переменная Нижняя граница Верхняя граница Переменная Нижняя граница Верхняя граница
60 115 It-i 150 490
дгг Pt —10 250 10 750 FSt 250 750
Нужно отметить, что информация, требуемая для определения
значений параметров, обычно имеется у руководителей, принима-
ющих обобщенные плановые решения, Если у руководителя нет
статистических данных за предыдущие годы, то он должен оце-
нить эти значения исходя из своего опыта.
4.3. РЕЗУЛЬТАТЫ
По модели нечеткого алгоритма были рассчитаны суммы обоб-
щенных затрат за 70 месяцев (1959—1954 годы), которые сравни-
вались с результатами, получаемыми по линейному правилу ре-
шения с 12-месячными прогнозами. Результаты сравнений по
статьям расходов и общим затратам сведены в табл. 4.
Сумма общих затрат, подсчитанных по модели нечеткого ал-
горитма с шестимесячными взвешенными прогнозами составила
Таблица 4 Общие затраты (1949—1953 годы)
Статья расхода Затраты, дол
Линейные правила решения Модель нечеткого алгоритма
Служащие
зарплата 1879 1857
увольнение и найм 20 42
сверхурочные работы 129 198
Итого 2028 2097
Запасы 25 59
Общая стоимость 2053 2156
366
2 156 017 дол. Эта сумма на 5% превысила оптимальное решение,
полученное по линейному правилу с 12-месячными периодами про-
гноза. Получившееся небольшое увеличение в затратах не кажет-
ся чрезмерным, поскольку в модели рассматривался прогноз на
более короткий срок (что облегчает вычисления и устраняет ог-
раничительные предположения модели нечеткого алгоритма).
Рис 5 Сравнение решений о размере рабочей силы
------линейное правило решения, о — модель нечеткого алгоритма
Рис 6 Сравнение решений об уровне производства
-----линейное правило решения, о — модель нечеткого алгоритма
Общее сходство оптимальных решений, получаемых по линей-
ному правилу, и эвристических решений по нечетким алгоритмам
просто поразительно (рис. 5,6).
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Цель данной статьи состояла в том, чтобы представить модель,
которая воспроизводит способности руководителей к приближен-
ным рассуждениям, когда им приходится сталкиваться с проблемой
367
производственного планирования. Результаты, полученные по моде-
ли нечеткого алгоритма, в которой используются только интуитив-
но выведенные правила управления на основе лингвистических пе-
ременных, свидетельствуют о том, что руководитель с помощью мо-
дели суждений действительно в состоянии выполнить данную рабо-
ту очень хорошо. Это может помочь объяснить нерасположение ру-
ководителей к применению математически усложненных моделей
обобщенного планирования, которые требуют учета дополнитель-
ных ограничений.
Результаты, описанные в статье, также наводят на мысль, что
приближенное рассуждение, лежащее в основе алгоритмов, пред-
ставляет собой потенциально мощный эвристический способ. Не-
смотря на то, что 5%-ное превышение затрат, полученное в резуль-
тате применения нечетких алгоритмов производственного планиро-
вания, несколько выше полученного при других эвристических ме-
тодах— правило поиска решений [19] и параметрическое планиро-
вание производства [10] дали превышение менее 1%, — нужно пом-
нить, что нечеткие алгоритмы даже не требуют знания явной функ-
ции затрат. Для ситуаций, в которых ограничительным предполо-
жениям нельзя дать разумное объяснение и для построения функ-
ции затрат не имеется достаточных данных, лежащее в основе мо-
делей приближенное рассуждение, по-видимому, дает представляю-
щую интерес альтернативу.
Оставим в стороне результаты сравнения затрат. Нечеткие ал-
горитмы интуитивно привлекательны. Очевидно, возможности ис-
пользуемых в модели лингвистических переменных вместо коли-
чественных переменных дают исследователю дополнительную сво-
боду. Использование лингвистических переменных должно позво-
лить разработчику модели уловить сущность опыта и оценку ру-
ководителя, не навязывая лишних вопросов о квантификации инту-
иции. К тому же, поскольку правила, которые задают структуру
для нечетких алгоритмов, опираются на здравый смысл и логику,
руководители должны легко понимать подоплеку моделей. Пред-
полагается, что ясная природа нечетких алгоритмов должна увели-
чить шансы их успешного применения.
Наконец, нужно быть осторожным и не интерпретировать дан-
ные этой статьи в слишком буквальном смысле. Использованная в
ней методология построения моделей на основе здравого смысла
применима и к другим ситуациям, отличным от обобщенного пла-
нирования. Лингвистические переменные обладают тем преиму-
ществом, что с их помощью протокол можно перевести в легко при-
менимый (эвристический) алгоритм. Когда они используются та-
ким образом, между понятиями, которыми оперирует исследова-
тель в своих представлениях, и организацией данных внутри моде-
ли (программой для ЭВМ) устанавливается самая непосредствен-
ная связь.
Благодарности. Частичное финансирование при подготовке данной работы
было осуществлено Фондом Университета Западной Вирджинии. Автор выража-
ет признательность за эту помощь.
368 i
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bergstrom, G. L., and В. E. Smith (1970). Multi-item production planning —
an extension of the HMMS rules. Management Science, 16, 614—629.
2. Bowman, E. H. (1956). Production scheduling by the transportation method
of linear programming. Operations Research, 4, 100—103.
3. Bowman, E. H. (1963). Consistency and optimality in managerial decision ma-
king. Management Science, 9, 310—321.
4. Buffa, E. S., and W. H. Taubert (1972). Production—Inventory Systems: Plan-
ning and Control, Richard I. Irwin, Inc., Homewood. Illinois.
5. Gordon, J. R. M. (1966). A multi-model analysis of an aggregate scheduling de-
cision. Unpublished PH. D. dissertation, Sloan School of Management, Massa-
chusettes Institute of Technology.
6. Hanssman, F., and S. W. Hess (1960). A linear programming approach to pro-
duction and employment scheduling. Management Technology, 1, 46—51.
7. Holt, С. C., and F. Modigliani, and H. Simon (1955). A linear decision rule for
production and employment scheduling. Management Science, 2, 1—30.
8. Holt, С. C., F. Modigliani, J. F. Muth, and H. Simon (1956). Derivation of a
linear decision rule for production and employment scheduling. Management
2 j 59____________fl 77
9. Holt. С. C., F. Modingliani, J. F. Muth, and H. Simon (1960). Planning Pro-
duction, Inventories, and Work Force, Prentice-Hall, New York.
10. Jones, С. H. (1967). Parametric production planning. Management Science. 13,
843—866.
11. Kickert, W J. M., and H. R. Van Nauta Lemke (1976). Application of a fuzzy
controller in a warm water plant. Automatica, 12, 301—308.
12. Kunreuther, H. (1969). Extensions of Bowman’s theory on managerial decision
making. Management Science, 15, 415—-439.
13. Lee, W. B., and B. Khumawala (1974). Simulation testing of aggregate pro-
duction planning models in an implementation methodology. Management
Science, 20, 903—911.
14. Mamdani, E. H., and S. Assilian (1975). An experiment in linguistic synthesis
with a fuzzy logic controller. International Jo'urnal of Man-Machine Studies,
7, 1—-13
15. Mamdani, E. H., and P. J. King (1977). The application of fuzzy control sys-
tems to industrial processes. In M. Gupta, G. Saridis, and B. Gaines (Eds.),
Fuzzy Automata and Decision Processes, North-Holland Publishing Co.,
New York.
16 Miller, G. A. (1956). The magic number seven, plus or minus two: some limits
on our capacity for processing information. Psychological Review, 63, 81—97.
17. Moskowitz, H. (1972). The value of information in aggregate production plan-
ning— a behavioral experiment. AIIE Transactions, 4, 290—»297.
18. Ostergaard, J. — J. (1977). Fuzzy logic control of a heat exchanger process. In
M. Gupta, G. Saridis, and B. Gaines (Eds.), Fuzzy Automata and Decision
Processes, North-Holland Publishing Co., New York.
19. Taubert, W. H. (1967). A search decision ruls for the aggregate scheduling
problem. Management Science, 114, 343—359.
20. Vergin, R. C. (1966). Production scheduling under seasonal demand. Journal
of Industrial Engineering, 17, 260—266.
21. Wenstop, F. (1976). Deductive verbal models of organizations. International
Journal of Man-Machine Studies, 8, 293—311.
22. Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy sets. Information and Control, 8, 338—353.
23. Zadeh, L. A. (1973). Outline of a new’ approach to the analysis of complex
systems and decision processes. IEEE Transactions on Systems, Man, and
Cybernetics, SMC-3, 28—44.
24. Zedeh, L. A. (1975). Fuzzy logic and approximate reasoning. Synthese, 30.
25. Zadeh, L. A. (1975a). The concept of a linguistic variable and its application
to approximate reasoning — I. Information Sciences, 8, 199—249. ,
26 Zadeh, L. A. (1975b). The concept of a linguistic variable and its application to
approximate reasoning — II. Information Sciences, 8, 301—357.
369
27. Zadeh, L. A (1975c). The concept of a linguistic variable and its application
to approximate reasoning — III. Information Sciences, 9, 43—80.
[Имеется перевод работ 25—27: Заде Л. А. Понятие лингвистической пере-
менной и его применение к принятию приближенного решения.—М Мир,
1976. — 165 с.]
ЛИНГВИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К НЕЧЕТКОЙ
ЛОГИКЕ ВОЗ-КЛАССИФИКАЦИИ
ДИСПРОТЕИНЕМИИ
Э. Санчес, Ж. Гуверне Р. Бартолен 1 2, Л. Вован 3
В работе предлагается биомедицинское приложение нечеткой
логики к ВОЗ-класси'фикации4 Фредриксона гиперлипопротеине-
мии. Лингвистический подход к проблеме очень естествен, ибо
предложенные классификации описаны в качественных терминах»
и существующая классификация страдает субъективностью. С по-
мощью мер возможности наблюдаемые у пациентов признаки срав-
ниваются с лингвистическими интервалами образов, дающими сте-
пени принадлежности ко всем типам классификации.
Ключевые слова', гиперлипопротеинемия; распознавания обра-
зов; нечеткая логика; распределения возможностей; меры возмож-
ности; лингвистический подход.
1. ВВЕДЕНИЕ
В работе предлагается конкретное применение нечеткой логики
к ВОЗ-классификации Фредриксона гиперлипопротеинемии ([1].
Для автоматической классификации пациентов используется линг-
вистический подход к описанию липопротеиновых аномалий. Эти
описания в основном качественные [2]. Каждый критерий рассмат-
ривается как нечеткое высказывание, преобразованное с помощью
распределения возможностей. Кроме того, каждая мера признака
преобразуется в нечеткое число, тем самым учитывается неопреде-
ленность и, следовательно, обеспечивается- возможность сравни-
вать признаки с помощью мер возможности.
Определение точек сечения — решающая и трудная проблема в
биологии. Предложенный метод допускает мягкое определение гра-
ниц, достаточное для проведения автоматической классификации.
Более того, каждому пациенту назначается степень принадлежно-
1 Laboratoire de Biomathematiques, Faculte de Medecine, Marseille, France.
2 Service de Medecine Interne, H6tel-Dieu, Marseille, France.
3 Service de Biologie, С H. Bastia, France.
4 BO3 — Всемирная организация здравоохранения (Прим ped )
370
сти ко всем группам в классификации — это существенное свойство
при определении метода обработки граничных случаев. Наконец,
клиницисту предлагается помощь в достижении одних и тех же ре-
зультатов для одних и тех же аномальных профилей.
Автоматизированная и воспроизводимая методология представ-
ляет большой интерес для больших эпидемиологических обследова-
ний сердечно-сосудистых заболеваний при расстройствах липидно-
го обмена — главном ’факторе риска сосудистых заболеваний.
2. ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА
Пусть структура «медицинского знания» описывается стандарт-
ными высказываниями, включающими такие признаки, как масса,
температура, артериальное давление, содержание холестерина и
т. п. Стандартное высказывание Р записывается в виде конъюнкции
элементарных высказываний Р\, Р^ ..., Рп-
р==р1ир2и...ир„==и?=1р{.
Каждое высказывание Рг представляет собой описание свойства,
связанного с признаком Mif например «сердечный индекс (Л4г)
слегка пониженный-». Эти свойства записываются в стандартной
форме: Рг-.Мг есть бг, где Mi — имя переменной, принимающей
значения на универсуме Ui, a Gi рассматривается как нечеткое под-
множество Иг. Элементарное высказывание Рг индуцирует распре-
деление возможностей {10], определяемое уравнением назначения
возможности: Мг есть Сг~>Пм£ = Gt. Например,
«Уровень содержания холестерина заметно увеличенный-*-
->ПхолестерИН=ЗАМЕТНО УВЕЛИЧЕННЫЙ»,
где высказывание «заметно увеличенный» есть нечеткое подмноже-
ство универсума £7г= [0; 30] (причем уровень содержания холесте-
рина выражается в ммоль/л).
Определяя прямое произведение G нечетких множеств Gb..., Gn
на универсуме Z7=t/iX ... XUn условием pG(«) =pG1 (^i)A ...
... /\[iGn(un)t для u= («i,..., un) в U стандартное высказывание
P запишем в виде: Af есть G, где Af—n-арная |переменная (Afb...
... ,Мп). Отсюда имеем: Af есть G->n(Afi, ,мп)=0}Х ... XGn.
3. НЕЧЕТКИЕ ИНТЕРВАЛЫ И НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА
Во многих биологических проблемах возникают трудности при
определении границ «нормальных» значений, Когда неопределен-
ность по своей природе не вероятностная, а возможностная, ис-
пользование нечетких интервалов устраняет необходимость в уста-
новлении точных значений в определении нижней и (или) верхней
границы «нормальности». В данной работе определим нечеткие ин-
тервалы на действительной прямой как комбинацию S-образных
371
функций принадлежности [10] (рис !)•
S (и; а, у) = <
О
2 (и—а)2 / (у—а)2
1 —2(ц—у)2/(у—а)2 для р^и^у,
1 для и>у,
где р= (а+у)/2 — точка перехода (S (р; а, у) = 0,5).
для н^а,
для а^и^р,
Нечеткое множество, характеризуемое S-образной функцией
принадлежности, интерпретируется как нечеткий интервал вида
^р, а нечеткий интервал вида =СР характеризуется функцией
принадлежности S'=l— S. Наконец, нечеткий интервал вида [pi, р2]
Рис 3
характеризуется функциями
принадлежности Si и 1—S2
(где S2, возможно, отлича-
ется от Si), как показано на
рис. 2.
В случае, когда yi = y2 и
yi—ai = a2—у2, нечеткий ин-
тервал [Рь Р2] сводится к
нечеткому числу у. «около»
или «близко к у», как пока-
зано на рис. 3.
Интуитивно нечеткость по обе стороны от границ интервалов в
общем случае предполагается разной, так что нечеткий интервал
не обязательно равен объединению нечетких чисел. Однако в дан-
ной работе будем предполагать, что нечеткость одна и та же по
обеим сторонам от значения у.
4. ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА И НЕЧЕТКИЕ
ИНТЕРВАЛЫ
При рассмотрении лингвистической структуры «медицинского
знания» отмечалось, что каждое множество G\ описывается линг-
вистическим интервалом (ЛИ) одного из следующих классов:
372
класс 1: ЛИ вида
класс 2: ЛИ вида
класс 3: ЛИ вида '[pi, р2]
Классы 1 и 2 зависят от двух параметров, в то время как класс
3 для ЛИ зависит от четырех параметров, связанных с функциями
51 и 1—52.
Например, если высказывание Р связано с «нормальными», т. е.
идеальными пациентами в том смысле, что не наблюдается сердеч-
ной недостаточности, то нечеткое высказывание Рг может иметь
вид: «индекс Гределя (Мг) в норме» что означает Пмг = ^50, где
Мг — переменная, принимающая значения в £7г='[0,100] (процен-
тов), п ^50 есть нечеткое подмножество [7г, определяемое как 1—
—S(ut, 47,~53).
5. ПАЦИЕНТЫ И НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА
Для того чтобы сравнивать состояние пациента, описываемое
стандартным высказыванием Р, полученным из структуры «меди-
цинского знания», у пациента нужно измерить признаки Afi,..., Мп,
входящие в Р. Затем, принимая во внимание нечеткость, сопутст-
вующую измерениям, нужно дать лингвистическую интерпретацию
результатам так, чтобы каждый обследованный признак Мг харак-
теризовался нечетким подмножеством gi универсума Up
Мг (Пациент) eCTb £г->П мг (пациент) =
Фактически в описываемом в данной статье случае каждое
подмножество принимает вид уг, где уг — мера признака Мг у
пациента, и уг соответствует нечеткому числу с размахом Вг, соот-
ветствующим i-му признаку Мг (см. рис. 3). Например, высказы-
вание «у Джона содержание холестерина составляет 6 ммоль/л»
переводится в «холестерин (Джон) равен 6» в предположении, что
размах этого признака считается заданным заранее, например,
В (холестерин) = 1,3 ммоль/л при том условии, что это значение
считается стандартным в данной лаборатории. Наконец, определя-
ется состояние пациента: «М (пациент) есть g», где g=g[X ... Xgn
и М (пациент) = (Afi (пациент), ..., Мп (пациент)). Заметим, что
в данном случае g = yiX ... Хуп и М (пациент) =’(yi,..., у?г).
6. МЕРА ВОЗМОЖНОСТИ И МЕТОДЫ
РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ
Пусть Пм — распределение возможностей, связанное с /г-арной
переменной М и порождаемое стандартным высказыванием Р: «М
есть G». Здесь предполагается, что М принимает значения на уни-
версуме U=UiX ... XUn и G — нечеткое отношение в U. Если g —
373
нечеткое отношение в U, то мера возможности [10] относительно
распределения возможности Пм определяется условием
IIG(^) = Poss{M есть есть G} = sup (pg(«) Д Hg(u)),
ugMJ
или короче,
IF(£) = sup(£f]G).
Положив теперь G = G{X... XGn и g = gi X ... Xgn, Gi и gi~
нечеткие подмножества Ui, где Z=l, n, легко проверить, что
n«U)=n«i(^)A...An%fe), где
nGf (gi) =Poss{Ali есть gi \Mi есть GJ для i= 1,..., n.
Например, мера возможности уравнения назначения «холестерин
(Джон) равен 6», обусловленная нечетким высказыванием «уро-
вень содержания холестерина высокий», определяется следующим
числом из [0,1]
П(увеличенный) (g) = SUp (увеличенный (] 6),
где «увеличенный» — нечеткое подмножество, определенное на
интервале [0, 30], и зависящее от условий, т. е. от природы Р (на-
пример, Р может 'быть связано с труппой лингвистических значе-
ний типа IV в описываемой далее классификации). В процессе рас-
познавания (или классификации) образов в результате измерения
каждого признака M-i (t=l,..., п) у пациента получаем набор
Ть , Тп. Каждая мера у^ автоматически преобразуется в нечеткое
число уг, которое с помощью меры возможностей сравнивается с
соответствующим нечетким интервалом Gi. Минимальное из всех
этих чисел дает степень принадлежности к группе, определенной не-
четким высказыванием Р. Такой расчет проводится затем для всех
Р, включенных в модель, так что для любого пациента определяет-
ся степень принадлежности (в интервале [0,1]) к каждой группе.
Только в хорошо определенных случаях назначается значение сте-
пени принадлежности пациента одной группе, равное 1, а степени
принадлежности этого элемента остальным группам — равное ну-
лю. Нечеткость, конечно, представляет большой интерес при рас-
смотрении граничных случаев.
7. КЛАССИФИКАЦИЯ
На табл. 1 проиллюстрирована интерпретация части ВОЗ-клас-
сификации Фредриксона повышенного содержания жиров и гипер-
липопротеинемйи в терминах лингвистической структуры, построен-
ной на нечетких интервалах. Исходная классификация состоит из
шести типов: I, Па, Пб, III, IV и V. Из нашего представления ис-
ключены типы I, III и V, поскольку они встречаются редко, их от-
клонения генетического происхождения и могут обрабатываться от-
дельно (например, для обработки типа III нужна ультрацентрифу-
га).
374 »
Таблица 1
Группа
пациентов
Липиды, г/л
Холестерин,
ммоль/л
Нормальная
нормальный
нормальный
6 8
5,3 3,6 5,7 7
Тип Па увеличенный заметно увеличенный
Тип Пб
Тип IV
Нечеткие числа (и
значения размаха)
со
сл
увеличенный
^7 8,5
заметно увеличенный
6,7 8,5
увеличенный
2,6 7,5 70,3
Уровень содержания
Триглицери-
ды, ммоль/л
нормальный
0,4- 0,9 7,5 Z
нормальный
слегка увеличенный
2 2,9
9,3 0,8
заметно увеличенный
5,4 5,7
Р-липопротеи-
ны, %
нормальный
очень сильно увеличен-
ный
55 60 70 90
увеличенный
20 60 75 85
уменьшенный
25 32
96 59
пре-Р-липопро-
теины, %
нормальный
72,5 15
нормальный или
уменьшенный
увеличенный
76 21
90 60
очень сильно увеличен-
ный
29 28
99 80
Уровень содержания липопротеинов определяется электрофоре-
тическими методами. Названия нечетких множеств, такие, как уве-
личенный, заметно увеличенный, слегка пониженный и т. п. зави-
сят, конечно, от условий и определяются относительно нормальных
описаний.
Таблица 2. Пример результатов и выводов
Паци- ент Измеренные признаки Принадлежность типам
ЛИПИДЫ холесте- рин тригли цериды |3-липопро- теины пре-р-ли- попротеи ны нормаль- ный Па Пб IV
1 7,28 6,45 0,89 50 6 0,77 0,22 0 0
2 10,7 7,38 5,08 35 47 0 0 0,5 0,91
3 6,4 5,2 0,9 47 10 0,93 0 0 0
4 7,2 5,4 2,12 44 22 0,1 0 0 0
5 8,52 6,97 1,0 48 6 0,23 0,08 0 0
Эти результаты (табл. 2) приведены здесь только для иллюстра-
ции (в настоящее время этот метод используется для объяснения
биологам лингвистического подхода). Последние два случая наве-
ли на мысль, что нужно ввести дополнительные (эволюционные)
типы, которые мы назвали минор Па, минор Пб и минор IV, и для
которых получили следующие принадлежности
Минор Па Минор Пб Минор IV
Пациент №4 0,1 0,7 ' 0,96
Пациент № 5 0,89 0 0
В заключение отметим, что применение данной методологии не
ограничивается только представленным здесь практическим случа-
ем. Более того, мы полагаем, что большой интерес представляет ее
применение к большим выборкам населения.
Благодарность. Мы хотим поблагодарить доктора Д. С. Фредриксона (Наци-
ональный институт здравоохранения США, Бетесда) за полезные обсуждения
раннего наброска этой статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Classification of hyperlipidemias and hyperlipoproteinemias (1970). Bull. Wld
Hlth Org., 43, 891-^915.
2. Fredrickson, D. S. and Less, R. S. (1975). A system for Phenotyping Hyperlipo-
proteinemia. Circulation 31, 321—327.
3. Fredrickson, D. S. (1975). It is time to be practical. Circulation 51, 209—
211.
4. Joly, H., Sanchez, E., Gouvernet, J. and Valty J. (1980). Application of Fuzzy
Set Theory to the Evaluation of Cardiac Function, MEDINFO 80 Tokyo, Pro-
ceedings, North-Holland, 1, 91—95.
5. Sanchez, E. (1979). Medical Diagnosis and Composite Fuzzy Relations. In
M. M. Gupta, R. K. Ragade, R. R. Yager (Eds), Advances in Fuzzy Set Theo-
ry and Applications, North-Holland, 437—444.
376
6. Sanchez, E. (1980). Mesures de Possibilite, Qualifications de Verite et Class:
fication de Formes Linguistiques en Medecine. Table Ronde C. N. R. S., Lyon.
Proceedings to appear
7. Sanchez, E. (1980). Fuzzy Logics with Application to Medical Diagnosis.
J. A. С C. San Francisco, Proceedings, II, FA10—D.
8 San Marco, J. L., Sanchez, E., Soula, G, Sambuc, R., and Gouvernet, J.
(1978). Classification de formes floues: Application au Diagnostic Medical.
Coll. Int. sur la Theorie et les Applications des Sous — Ensembles Flous, Pro-
ceedings, Vol. II, Marseille.
9. Zadeh, L. A. (1977). Fuzzy Sets and their Application to Pattern Classifica-
tion and C’uster Analysis. In J. Van Ryzin (Ed.), Classification and Cluste-
ring, New York, Academic Press, 251—299.
10. Zadeh, L. A. (1978). Fuzzy sets as a Basis for a Theory of Possibility. Fuzzy
sets and systems, 1, 3—28.
АНАЛИЗ НЕЧЕТКОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
И МЕТОД СИНТЕЗА
П. Ф. Ванг, М. ТогайВ
В этой работе пересматривается проблема анализа чувстви-
тельности и в качестве эффективного инструмента для решения этой
проблемы предлагается применить теорию нечетких подмножеств..
На основе понятия функции принадлежности моделируется сте-
пень желательности системных параметров: передаточной функции
и выходного параметра динамической системы как функции при-
надлежности соответственно. Можно показать, что функция при-
надлежности на выходе системы в общем случае будет нелинейной
функцией от функции принадлежности на входе, то же относится и
к функции принадлежности передаточной функции.
Анализ чувствительности чрезвычайно важен для моделирова-
ния и построения динамических систем. В этой работе мы приходим
к заключению, что метод нечеткой чувствительности обеспечивает
более систематический подход, чем традиционный анализ чувстви-
тельности. Новым методом можно также решить некоторые пробле-
мы, перед которыми отступает традиционный метод.
Ключевые слова: дифференциальная чувствительность; функция
принадлежности; нечеткая чувствительность; многомерные нечет-
кие переменные; толерантность; целевая функция; растяжение; кон-
центрация.
1. ВВЕДЕНИЕ
Чувствительность — это мера зависимости системных характе-
ристик от характеристик отдельного элемента. В качестве одного
из способов введения в интересующую нас проблему приведем здесь
1 Department of Electrical Engineering, Duke University, Durham, North Ca-
rolina 27706. |
14—120 37?
классическое определение чувствительности. Дифференциальная
чувствительность передаточной функции Н системы с замкнутым
контуром относительно характеристик данного элемента А опре-
деляется уравнением
__ d In Я __ dH/H ,. v
z/lnA dK/K ’
1где H=C(s}fR(sj, fi(s)—входная характеристика, C(s)—вы-
ходная характеристика.
Уравнение (1) устанавливает, что дифференциальная чувстви-
тельность функции Н относительно К равна отношению процент-
ного изменения Н к процентному изменению в К, вызвавшему из-
менение в Н. Это определение справедливо только для малых из-
менений [1*5]. Согласно введенному классическому определению
чувствительность описывается функцией частоты и чувствитель-
ность идеальной системы равна нулю относительно любого пара-
метра.
^Основная цель использования обратной связи в системах уп-
равления состоит в уменьшении чувствительности системы к из-
менению параметров и неожиданным возмущениям. Можно стро-
го доказать, что уменьшение эффектов, вызванных изменением па-
раметров компонентов системы, как правило, достигается в ре-
зультате замыкания нерегулярного компонента с контуром обрат-
ной связи [13]. Анализ чувствительности всегда был одним из
важнейших вопросов в системах управления.
В классической работе [1] обратная связь определяется ис-
ключительно через ее способность уменьшать результаты измене-
ния параметров ['2]. Математическая характеристика результатов
изменения параметров нужна для количественного изучения сис-
тем с обратной связью. Традиционные определения в связи с вве-
дением понятия чувствительности в основном относились к во-
просам качественного анализа работы системы автоматического
регулирования, которые появились в дальнейшем. С помощью
этих определений было получено много важных результатов. Тем
не менее эти определения далеки от совершенства, поскольку они
позволяют ответить только на часть вопросов, связанных с попыт-
ками улучшить характеристики систем. Следующие замечания от-
ражают недостатки традиционных определений и подходов.
1. Качественный анализ очень важен для разработки системы
управления. Однако при конкретной разработке системы часто
желателен, а иногда и необходим детальный количественный ана-
лиз. Более того, количественный анализ во многих случаях не мо-
жет быть заменен качественным.
2. Будем считать, что традиционная чувствительность опреде-
ляется как функция частоты и, следовательно, можем рассматри-
вать системы как чувствительные или нечувствительные только
относительно частотных границ.
3. В настоящее время чувствительность определяется как мера
зависимости характеристик системы от характеристик отдельного
378
элемента или передаточной функции замкнутого контура. Однако
традиционные методы позволяют обрабатывать многопараметри-
ческие переменные или многомерные передаточные функции, не
сводимые в одно уравнение.
4. Очевидно, конструктор заботится в первую очередь о ста-
бильности и затем уже о других характеристиках системы [12],
таких, например, как точность и надежность. Необходимость в но-
вой методологии и математическом аппарате возникает в том слу-
чае, когда разработчик пытается оценить характеристику систе-
мы в интегральном виде.
В этой работе мы надеемся показать, что теория нечетких мно-
жеств предоставляет возможность улучшить ситуацию следующим
образом:
1. Для того чтобы характеризовать величину отклонения от
желательного значения при моделировании разброса параметра
системы, введем функцию принадлежности. Отметим, что нечет-
кость отличается от неточности. Термин нечеткость используется
в научной литературе совсем в другом смысле [7].
Проблема моделирования и проблема представлейия моделей
имеют большое значение в инженерном деле, поэтому разработчи-
ки систем должны четко различать физическую систему, ее раз-
личные модели и различные представления того, что описывает
каждая модель [14]. Мы установили, что при описании физиче-
ской системы с помощью математической модели необходимо всег-
да учитывать ошибки. Для того чтобы понять источник ошибки,,
чрезвычайно важно разработать методологию, которая позволила
бы получить некоторые числовые значения, описывающие ошибки
и их влияние.
2. Нечеткий анализ чувствительности определяется во времен-
ной области и не имеет никаких ограничений, в то время как тра-
диционный анализ пригоден только в пределах определенных час-
тотных границах. С другой стороны, один подход нельзя целиком
заменить другим; в наших интересах, по-видимому, целесообраз-
но исследовать оба подхода.
3. Будучи ориентированным на частотную область, классиче-
ское определение чувствительности само накладывает серьезные
ограничения на типы задач, для которых это понятие становится
содержательным. Другими словами, для обращения с динамиче-
скими системами, отличными от линейных, инвариантных по вре-
мени систем, требуется более общее определение.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЧЕТКОЙ
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
В противоположность традиционному определению чувстви-
тельности в частотной области, при котором рассматривается один
параметр, «нечеткая чувствительность» определяется во времен-
ной области и доставляет информацию о чувствительности систе-
мы к одновременным отклонениям по многим параметрам.
14* 379
Отклонения п параметров хь х2, ..., хп характеризуются соот-
ветственно функциями принадлежности цх, (Xi), цх2 (х2),
ухп(Хп),..., которые образуют'векторную функцию принадлежно-
сти. Другими словами, вектор х=[х\, х2,... ,хп]* — «-компонент-
ный вектор нечеткой переменной. Нечеткая переменная на выходе
y(t) характеризуется функцией принадлежности ^(z/; t), которая
может быть функцией от I, интегралом или даже просто скаляр-
ной функцией. «Функция нечеткой чувствительности» в общем виде
выражается следующим образом:
нхп(*п); П- (2)
Вообще говоря, функция Ф — это нелинейная алгебраическая
функция времени t, т. е. отображение Х->У, где X — прямое произ-
ведение ХХХ2Х ... ХХП, и Уе/?1. Если учитываются только
два параметра системы, то уравнение (2) можно привести к виду
Hr (#; 0=ф [и*! (*Д vxjxz)’ 1,..., 1; л. (3)
Этот функционал назовем «маргинальной функцией нечеткой чув-
ствительности».
Теперь можно определить нечеткую чувствительность, сравни-
мую с той, которая определяется уравнением (1). Нечеткая чув-
ствительность целевой функции у относительно п нечетких пара-
метров Х\, х2,..., хп определяется урайнением
5х1(х2, . ,хп p-r (У)> Нх, (^i), Нх2 (х2),..., Цхп (хп)) =
1 Уу (У)
==____________________Г__________________ (4)
I— — ш21иХг (ха) — ... — wnyXn(xn) ’
где ац + ш2+ ... +wn=l и для всех i.
В общем случае под нечеткой чувствительностью подразумева-
ется функция от t и функций принадлежности у, Xi,... ,хп. Весовые
коэффициенты как бы «акцентируют» отдельный параметр. Вели-
чина 1—ц(-) оценивает отклонение от «желаемого» или «нормаль-
ного» значения. В действительности это будет процентное откло-
нение, поскольку для «нормального» значения ц(-) = 1. Если при
некоторой разработке все параметры одинаково важны, то шг=1/«
при всех i. Маргинальная нечеткая чувствительность допускает со-
держательную интерпретацию и в случае, когда некоторые Wi ока-
зываются равными нулю.
Рассмотрим очень частный случай нечеткого параметра
= (1—ру (i/))/(l — нх(х)). (5)
Максимум Svx достигается при цх(х) = 1 и jiy(z/)<C1, а мини-
мальное значение Svx принимает в случае, когда |1у(*/) = 1 и
рл:(х)<1. ‘Параметр Svx равен 1, когда цх(х) =цг(//) и
и рх(х)¥=1. Очевидно, что нечеткая чувствительность более чувст-
во
вительна к изменению больших значений параметра Svx и менее
чувствительна при малых значениях Зух. Эта интерпретация дейст-
вительно очень привлекательна.
В уравнении (4) функции принадлежности цхДХг), i=l,2,... ,п
теоретически могут быть представлены любой общей функцией при-
надлежности. Однако здесь эти функции будем представлять семей-
ством функций принадлежности, наиболее подходящих, по нашему
убеждению, для использования в большинстве прикладных задач.
На рис. 1 изображена симметричная функция принадлежности
ух{ (*г) с Рг в качестве параметра переменной. При рг=1 получа-
ется симметричная линейная зависимость. С другой стороны, слу-
чай Рг>1 соответствует операции растяжения, а рг<1—операции
концентрации [21]. Операция концентрации приводит к уменьше-
нию степени принадлежности Хг. У операции растяжения противо-
положный эффект. К тому же операции изменения нечеткости
варьированием параметра рг можно интерпретировать как лингвис-
тические ограничения в нечеткой лингвистике [21].
Аналогичным образом нечеткая выходная переменная у субъек-
тивно характеризуется функцией принадлежности pv(t/), как пока-
зано на рис. 2. Константы х\ и Е)г назначаются разработчиком
системы субъективно, они отражают его предположения и особые
условия проектирования. Напротив, константы yv, Е и F определя-
ются объективно с помощью детерминированной математической
модели или целевой функции и выступают в качестве необходимых
ограничений, описанных р_анее. Константы Бг, Е и F, устанавлива-
ющие область изменения нечетких переменных х и у, представля-
ют собой угловое значение или угловую функцию. Константы х*
и у —это идеальные значения. Однако константа у, используемая
для изменения нечеткости, выбирается субъективно. Функция на
входе и выходе математически выражается следующим образом:
Их (*/) =
где
к0 в остальных случаях,
'(б)
f l-(e/F)V=l-[(i/-^)/m где
М#) = ] l—(e/£)v =!—[(#*—#)/£?, где у^уЕ
[ 0 в остальных случаях.
Рис 1 Функция принадлежности не-
четкой переменной хг
Рис 2. Функция принадлежности не-
четкой переменной у
381
3. НЕЧЕТКАЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ,
ИЗМЕНЯЮЩАЯСЯ ВО ВРЕМЕНИ
Рассмотрим линейную, инвариантную по времени систему со
следующей передаточной 'функцией:
Я (s ; т, Л) = Д7(5т+1). (8)
Обе нечеткие переменные т и К имеют вид функции принадлежно-
сти, показанной на рис. 1 при [3=1. Для упрощения анализа пара-
метр т = т* некоторое время будем считать постоянным. Пусть
h (t; Нк (Д'), рт (т) = 1) =
[1—(Ю1 Di
h*(t) 4
[1 —(ЮЖ
h*(t)
т*
___/
е т* для
т*
________t_
e T*
__t_
где h* (/) = — е т* •
т*
Теперь нечеткую чувствительность передаточной функции
но представить как
(9>
мож
[1 — Ur(X)]Di 1
Ил [A (0)—1 —---------1 7»F(f>
где£(/) —область изменения нечеткой переменной h(t).
Для того чтобы E(t) выразить через известные параметры, по
ложим ца(А(7))=0, считая, что р,к(Д)=0:
t
т*
(10)
ri / i\ Di 'E*
£(/) = — e
v > T*
(11)
Функции угла /те(0 и h+(t) для |лл(/г(0) можно легко оценить:
__t_
h~ (fi = h* (/) —£(<) = - e ” . (12)>
T*
_______________________________t
h+ (t)—h.*(t)+E(t) = K" + D1 e ’’ • (13)
T*
Нет ничего удивительного в том, что функции и
оказались конгруентными и взаимно-однозначно соответствующи-
ми паре соответствующих углов.
Нечеткую чувствительность h(t) относительно нечеткого пара-
метра К можно легко оценить следующим образом:
_______________________________________t
' <14>
т* Е (/)
382
Однако выражение для нечеткой чувствительности h(t) относи-
тельно нечеткого параметра t более сложное:
к*
Di и—Мт)1
— К*
D2 [1—
_ /_______i__________i_
т* ( Т*— [1— |1г
т«_[1-ц,(т)1О2е
ДЛЯ т^т*,
______т*______ I т*4-[1— (т)]О2 х» 1
Ит(т)1р2е
для т<т*. (15)
Отметим, что эта нечеткая чувствительность оказывается функ-
цией от t.
4. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МНОГОМЕРНЫХ
НЕЧЕТКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Одно из главных достоинств нечеткого подхода к анализу чувст-
вительности состоит в возможности анализировать чувствитель-
ность определенной целевой функции, зависящей от нескольких не-
четких параметров.
Предположим, что идеальная реакция динамической системы
первого порядка описывается ступенчатой функцией Ки(0> а вы-
ходная переменная системы — нечеткой выходной переменной y(t).
Цель, как она представлена здесь, состоит в том, чтобы насколько
возможно уменьшить интегральную ошибку
оо - i
е(К, т)= f |К—у(0|Л= f tfe xdt = Kt- (16)
О о
На основе рассмотрения проблемы стабильности устанавлива-
ем, что обе нечеткие переменные Кит должны принимать положи-
тельные значения. В дальнейшем будем предполагать, что для К и
% определены возможные допустимые интервалы (изменения) D\
и D2 соответственно. Выберем снова линейные функции принадлеж-
ности для параметров Кит:
~ Ид(К) = 1-|К-К*|/Г>х, (17)
Цг(т)= 1 — |т —т*[/£>2. (18)
Из соображений стабильности обе нечеткие переменные Кит счи-
таем положительными Области значений возможного отклонения
Кит характеризуются функциями принадлежности (К) и цх (т)
соответственно Следовательно, можно записать
г К* + [1 — рд (К)] £>1 для К>К*,
% К*—[1 — цд (К)] £>! для К<К*,
383
T =
т* + [1 — р^(т)] D2 для т>тЛ
T*—— [1— Pr (t)] D2 для т<тл,
(20)
где К*, т* — номинальные значения для нечетких переменных К и
т соответственно, выбранные с учетом оптимальности исходя из
конструкторских соображений или производственных ограничений.
Очевидно, что при К = 0 и т = 0 критерий функционирования е(К, т)
действительно будет минимальным, но система не будет работать.
Опираясь на уравнения (17) и (18), получаем следующие част-
ные случаи:
«1 = {#*+(!—Рк (Л)1 о,} {т* + [1— и. Ст)] О2(. (21)
е, = {К* + [1-рк(Л)]Р,} И*—11 - Mr)] D2}, (22)
г3 = {К*-[1-рк (/<)] Di) {r* + [l-Mr)l DJ, (23)
et = (Д'* -11 - Ра: (К)] D,} {т* — [ 1 — pj (т)] О2). (24)
.Максимум и минимум интегральных ошибок етах и ет1П будут част-
ными случаями функции е(/(; т), и их можно записать в виде
^шах = Ч(Рж (Ю = 0» Н-т (т) = 0] = (/с* + (т* + /)2), (25)
^min = [рк (К) = о, Цт (т) = 0] = (т*—Г)2). (26)
Также можно подсчитать номинальную интегральную ошибку е\,
emm<e*<er-iax, равную /С*т*.
Цель состоит в том, чтобы связать изменение нечетких перемен-
ных К и т с чувствительностью целевой функции е(цк(^), (т))
на выходе. Новая функция принадлежности цЕ(е) определяется,
субъективным, но строгим способом. Для решения этой специфиче-
ской проблемы наиболее разумно функцию принадлежности вы-
брать в виде линейной функции с зонами насыщения, как показано
на рис. 3. Формально можно записать
ДЛЯ C^Cjnin,
(е) = .
егпах е
етах ет1п
ДЛЯ Cm п <б<?<СД1тах!
(27)
о
ДЛЯ в5=5 (?тах.
При значениях параметров /(*=10, т* = '1,0, D2 = 2 и £ = 0,2 но-
минальная ошибка составит 10,0, а два угловых значения стах и.
ет1П, соответственно, 14,4 и 6,4. С помощью новой функции при-
надлежности ре(с) можно оценить левые части уравнений (16) —
(18). Результаты оценки графически изображены на рис. 4, на ко-
тором зависимость ц_е(с) от рк (К) представлена как параметриче-
ское семейство с параметром цт(т). Следовательно, наша цель до-
384
•стигнута; теперь можно определить ц,е(с) по заданным множест-
вам многомерных нечетких параметров и т. Например, р,.в(е) =
= 0,79, если рк(/С)=0,8 и рт(т)=0,2 (где и т^т*). Нет ни-
чего удивительного в том, что ^(е*) =0,55 для номинальной опе-
рации. Наихудший случай, очевидно, имеет место тогда, когда не-
четкие переменные Лит принимают наибольшие возможные зна-
чения (КЖ7 т^>т*).
Рис. 3 Рис. 4
Нечеткую чувствительность SEKiX
можно рассчитать по формуле
1—(е)
$Е — ____________Г___________
к,х 1—W^K(K) — (1—ау)рт(т)
и оценить по трем отдельным областям
/
о
QE
1— W |ХК (Ю —(1—О’) Рт(т)
, где 1,
ДЛЯ £^6щ11Ъ
ДЛЯ <?mm<CO<76max,
(28J
! — Ря (е)
______1______
1 — w J1K (Ю —(1—их (т)
для
в 6mm-
(29)
В частном случае уравнения (26) для emin<e<emax, если
т^т*, рк(Л)='1 и оу=0, то маргинальную нечеткую чувствитель-
ность SE х можно выразить через известные параметры:
Л* D2 Ит (т) + (т* + D2) Dr
Se =---------Г---------------- . (30)
х 2(^£>2 + т*Г>1)(1—рт(т))
385
Интересно отметить, что SET->oo, если рт(т) = 1, как это должно
быть. Если рт(т)=0, т. е. отклонение для нечеткой переменной т
максимально, то SEX равно своему конечному значению
= (т* 4~ &г) D1
т 2 (К* D2 + Т* Dj)
5. НЕЧЕТКАЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ, ЗАВИСЯЩАЯ
ОТ ВРЕМЕНИ, КАК ИНСТРУМЕНТ
ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМЫ
В этом разделе мы намереваемся предложить метод анализа не-
четкой чувствительности, меняющейся во времени, в качестве сред-
ства проектирования. Предположим, что реакция при возбуждении
на выходе динамической системы первого порядка есть одноступен-
чатая функция, которая описывается уравнением
/ _____/_\
— е * }u(t\ (31)
где К и т — нечеткие параметры. Тогда уравнение
/ t \
= е (32)
описывает реакцию системы при оптимальных значениях парамет-
ров К* и т*, полученных в результате оптимизации по некоторому
функционалу.
Аналогично тому, как это было сделано в предыдущем разделе,
нечеткую реакцию системы на выходе можно описать через функ-
цию принадлежности
У (t; Рд (Я), рИт)) =
[К* + (1 — рд (A) Z>i] 1 —ехр — т*_|_ (1—Иг(Т) d2 j
для т^т*,
[/С* +(1 Ч-Рд (К)) — exp—т*__(1_(т))^
для т>т*,
= { / /х (33)
[№•= —(1—Рд (К)) exp — + (i—Иг(Т))£)2^
для К<.К*, т>т*,
[К*—(1 -H5W)
( для КсК*, т<т*.
386
Четыре угловые функции для функций принадлежности можно
оценить, просто введя условия цу(г/(/))=О, когда Цк(К)=0 и
jiT (т) =0. В результате получим
(34)
к<к* =
|т<т*
1-е
/ 1
Л* ( е —е г*
(35)
(36)
(37)
Цели проиллюстрировать полезность нечеткой чувствительности
в качестве средства конструирования лучше всего послужат гра-
Рис 5 Графики Цу(«/) как функции
от ц (т)
Рис. 6. Графики
р,г(//)как функции от t
387
фики двух отдельных функций маргинальной нечеткой чувствитель-
ности ру(г/(0; нк(К) = 1, ^(т)) и цу(г/(/); нк(Л), Мт)-1)
(рис. 5,6). Прежде всего отметим, что все эти функции нелинейные.
Когда значения t малы, влияние т на выходную функцию, очевид-
но, весьма значительно. Это влияние, однако, уменьшается с рос-
том t. Для данного частного значения / отношение к можно
легко получить по кривым, приведенным на рис. 6. Метод потенци-
ально может быть очень полезен при разработке систем с помощью
ЭВМ.
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ,
Еще в 1945 г. в [1] чувствительность была определена как от-
ношение данного процентного изменения одной функции к соответ-
ствующему процентному изменению другой функции. В работах
[10, 11] была введена чувствительность систем с обратной связью
в частотной и временной областях. После этого стало очевидным,
что использование временной области позволяет конструкто-
ру оперировать с линейными, изменяющимися во времени систе-
мами 14. Как было показано в [5, 16], нет никакой очевидной при-
чины ограничивать анализ чувствительности изучением обратных
связей. Временной анализ чувствительности был широко признан
как полезный инструмент в разработке динамических систем, о чем
свидетельствуют многочисленные книги, целиком посвященные во-
просам чувствительности '[8, 18]. Действительно, проблема чувст-
вительности чрезвычайно важна во многих областях: от исследова-
ний обратной связи и критериев стабильности до проблем оптими-
зации. Тот факт, что теория нечетких множеств очень подходит
для анализа чувствительности, привлек внимание ряда исследова-
телей [9], побудив одних приложить усилия к переформулировкам
и обобщениям задачи линейного программирования, а других
[6] —к тщательному изучению операций на нечетких числах. Воз-
растающее признание применимости теории нечетких множеств ко
многим важным областям теоретических и прикладных исследова-
ний привело нас к изучению вопросов приложимости этой теории к
задачам разработки высокоэффективных систем управления и, в
частности, к попытке использовать ее потенциальные возможности
при решении проблем оптимизации систем управления.
Применение теории нечетких множеств к анализу чувствитель-
ности не только целесообразно, но обеспечивает также некоторые
добавочные возможности, недоступные для традиционных методов.
Самое очевидное преимущество заключается в том, что с помощью
этой теории удается решать вопросы чувствительности в случае
многомерных параметрических вариаций. Функции принадлежно-
сти для многомерных характеристик системы, как и для целевой
функции имеют областью значений интервал {0,1], а все соответст-
вующие углы целесообразно вводить с помощью системных моделей
и ограничений. По существу, этот подход представляет собой одну
388
из форм метода шкалирования и нормализации. Понятие нечетко-
сти к Дому же должно давать еще одну весьма желанную дополни-
тельную) проектную возможность: введением нечеткости можно при-
давать определенное значение тем или иным аспектам системы.
Этой возможностью можно воспользоваться на ранней стадии фор-
мулировки проблемы, повышая надежность ее решения. Более того,
анализ нечеткой чувствительности может открыть реальный подход
к разработке методов конструирования с помощью ЭВМ, особенно
отладки проекта системы.
Возможно будет разработана более общая теория, включающая
в себя более полные понятия, которая станет полезным инструмен-
том для создания и разработки динамических систем. Вполне ве-
роятно, что такая теория будет намного более мощной просто по-
тому, что теория нечетких множеств уже сама по себе более общая,
чем обычная теория множеств. Полагаем, что в данной работе из-
ложена новая концепция и что ее следует сравнить с традиционным
подходом для получения более общей картины.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bode, Н. W. (1945). Network Analysis and Feedback Amplifier Design. Van
Nostrand — Reinhold, Princeton, New Jersey.
2. Cruz, J. B. (1972). Feedback Systems. McGraw — Hill Book Co, New York.
3. Cruz, J. B., Jr., Ed. (1973). System Sensitivity Analysis Dowden, Hutchinson
& Ross, Inc., Stroudsburg, Pennsylvania.
4. Desoer, C. A. (1970). Notes for a Second Course on Linear Systems. Van
Nostrand — Reinhold Co., New York.
5. Dorato, P. (1963). On Sensitivity in Optimal Control Systems. IEEE Trans.
Autom. Contr., Vol. AC-8, pp. 256—257.
6. Dubois, D. and H. Prade (1978). Operations on Fuzzy Numbers Int. J. Sys-
tems Sci. Vol. 9, No. 6, pp. 613—626.
7. Dubois, F. and H. Prade (1980). Fuzzy Sets and Systems: Theory and App-
lications, Academic Press, New York.
8. Frank, P. M. (1978). Introduction to System Sensitivity Theory. Academic
Press, New York.
9. Hamacher, H., H. Leberling and H. J. Zimmermann (1978). Sensitivity Analy-
sis in Fuzzy Linear Programming, Fuzzy Sets and Systems, pp. 269—281.
10. Horowitz, I. M. (1963). Synthesis of Feedback Systems. Academic Press, New
York.
11 Horowitz, I. M. and V. Shaked (1975). Superiority of Transfer Function Over
State Variable Methods in Linear Time — Invariant Feedback System Design.
IEEE Trans. Autom. Contr., Vol. AC-20, pp. 84—97.
12. Lewis, J. B. (1977). Analysis of Linear Dynamic Systems. Matrix Publishers,
Inc., Champaign, Illinois.
13. Ogata, Katsuhiko (1972). Modern Control Engineering. Prentice-Hall, Inc.,
Englewood Cliffs, New Jersey.
14. Perkins, W. R., and J. B. Cruz (1964). Sensitivity Operators for'Linear Time-
Varying Systems. Proc. Int. Symp. Sensitivity. Bubrovnik, Yugoslavia, Perga-
mon Press, Oxford.
15. Shinners, S. M. (1978). Modern Control System Theory and Application. Ad-
dison-Wesley Publishing Co., Reading, Massachusetts.
16. Sobral, M., Jr. (1968). Sensitivity in Optimal Control System. Proc, of IEEE,
Vol. 56, No. 10, Oct., pp. 1644--1652.
389
/
^Имеется .перевод: Зобрал, мл. Чувствительность оптимальных систем уп-
равления.— ТИИЭР, 1968, т. 56, № 10, с. 5—14] 7
17. Tomovic, R. (1963). Sensitivity Analysis of Dynamic System. McGraw-Hill
Book Co., New York. '
18. Tomovic, R. and M. Vukobratovic (1972). General Sensitivity Theory./American
Elsevier Pub., Co., New York. /
19. Wang, P. P. and S. K. Chang (Co-editors) (1980). Fuzzy Sets: Theory
and Applications to Policy Analysis and Information Systems, Plenum Press,
New York.
20. Zadeh, L. A. and C. A. Desoer (1963). Linear System Theory. McGraw-Hill
Book Co., New York.
21. Zadeh, L. A. (1973). Outline of a New Approach to the Analysis of Complex
Systems and Decision Processes. IEEE Trans, on Systems, Man, and Cybern.,
Vol. SM-3, No. 1, Jan.
[Имеется перевод: Заде Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных
систем и процессов принятия решений. — В кн.: Математика сегодня. — М.:
Знание, 1974, с. 5—49.]
\ СПИСОК РАБОТ ПО ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ?
\ Р Р. Ягер1
\
Понятие нечеткого множества впервые было введено в 1965 г. в Калифорнийском:
университете, Беркли. Эта идея нашла горячий отклик у многих исследователей и уче-
ных. Созданные на основе этой идеи структуры нашли применение во многих областях,
исследований. Цель приводимого здесь перечня литературных источников в том, чтобы
помочь всем тем, кто хотел бы ознакомиться с этой динамически развивающейся об-
ластью исследований. В настоящее время три журнала целиком посвящены данной тема-
тике: Fuzzy Sets and Systems, Busefal (Франция) и Fuzzy Mathematics (КНР). В приводи-
мом списке упомянуто много хороших оригинальных книг. Среди них книги на испан-
ском, русском, польском, французском н румынском языках.
Считаю своим долгом поблагодарить моих помощников, Дж. Джейнарта и Я. Штрас-
сбурга, без чьей помощи этот список не появился бы в печати.
Айзерман М. А. Нечеткие множества, нечеткие доказательства и некоторые нерешенные
, задачи теории автоматического регулирования. - АиТ, 1976, № 7, с. 171 - 177.
ALBERT?P. (1978)
THE ALGEBRA OF FUZZY LOGIC
FUZZY SETS X SYSTEMS5 1? PP.203-230
ALSINA? C.rIRllLAS? £. 8VALVERDE?! . (1980)
NON-IHSFRlBUr1VE LOGICAL CONNECTIVES FOR FUZZY SEIS THEORY
FUSEFAl i 3i 18-29
ARBTB5M.A.8MANES?E.G< (1975)
FUZZY MACHINES IN CATEGORY
BULL, AUSTRALIAN MATH. HOC. 15:i69-'.’J0
ASAl? K.X MTAJIMA? S- (197'')
OPTIMIZING CHNTROI USING FUZZY AUTOMATA
AUIOMATICA 85 PP. 101-4
ASAHK.X MTAJ1MA5S. (1973)
QN FUZZY MATHEMATICAL PROGRAMMING
PROC. 3RD IFAC SYMP. ON ID & SYSTEM PARAMETER FSTIMAIIONFPT.il? NO.Hl#
L I AND
ASAT?K., TANAKA5H.& UKUDA?I. (1975)
, DECISION-MAKING S IIS GOAL IN A FUZZY ENVIRONMENT
IN FUZZY SETS & >HF IR APPI .5 FUG /АВЕН? FU? FTC.? ACAD. PRESS.
AUBIN? J.P. (1981)
COOPERATIVE FUZZY GAMES
MAIHF MATH'S OF OPERATIONS RESEARCH 6, 1-13
BAAS?S-M.XKWAKFRNAAK?H. (197/)
RATING X RANKING MUITIPIE ASPF С Г Al TERNAT1VFS USING FUZZY SF 1*?
AUTOMATTLA? 13? FP.47-58
BAIDWINJJ.F. (1979>
A NEW APPROACH TO APPROXIMATE REASONING USING FUZZY LOGIC
FUZZY SETS AND SYSTEMS 4309-325
BALDW1N5J.F. ( 1979)
FUZZY LOGIC AND FUZZY REASONING
1NT.J. MAN MACHINE STUDIES II5465-480
BALDWIN?J.F. ( 1*7/9)
FUZZY LOGIT AND ITS APPLICATION TO FUZZY REASONING
IN GUM)AXRAGADEXYAGER ADVANCES IN FUZZY SFI THfcORY?NORTH HOI I AND?93-H
15
1 Machine Intelligence Institute, Iona College, New Rochelle, New Ypik2 1080L
391
»<AI DWIN? I.F .«bUll IGN.T .F . (L980> /
TH!- RFSIH HI i(?N (IF TWl) F’fth'ADUXF b BY AFFMIXIMATP RFAsoN I NG US CNG A FlJZ>
Y I Ob I Г /
iYNIHFbls M4, /
BALDWEN? J*F »gE’TLSWURrH?B»U, (
FUZZY REASONING WJ TH PROBABILITY /
P'ROC 11 TH INTL SYMP MUI , OKLA CITY, 100-108 j
BANI'l ЬК-; W.g M»HOUTJ I. .J. (1980) 7
RELATIONAL PRODUCTS AS A TOOL EUR ANAI YSIS & SYNTHFSIS Ol^ BFHAVW
TN WANG? P.P. g CHANG? S.M (FTiS) FUZZY SMS PI FNUM? NY? <41-368
BANDLER ? W.&KOHOUT? L, (J 980)
FUZZY POWER SEIS AND FUZZY IMPLICATION OPERATORS
FUZZY SF TS AND SYSTEMS 4?M-3<>
Randier?w,xfohout?i . j. (|9ho>
'SEMANTICS OF I MET 1 CA I I ON OPERATORS AND FUZZY K'F I AT TUNAl PRODUCTS
TNT» J, OF MAN-MACHENF SIUDIFS Г->?89-116
BEU MAN? R»g ZADEH? I, (19/0)
DECISION MACING IN A HIZZY INVIRONMENT
IMAN SC I . MUI . I/? PL'. B-I44 - B-164
(Имеется перевод Веллман P., Заде'Л. А. Принятие решений в расплывчатых условиях. —
JB кн Вопросы анализа и процедуры принятия решений - М Мир, 1976, с. 172 - 215.1
RH I MANJR.M Я ZADFHil . А, (19//)
1 ОТ Al g FUZZY I OGTCS
IN DM, DUNN g EPSTEIN (FD.>? MODERN USES OF MUI T. VAI . 101ЦГ,’
RFfHFI ; DORDRECHT
BE I I MAN?R.F.gGI ERTZ?M. (19/0
(ON THE ANAIYTIC FORMAIJSM OF ) HF THEORY OF FU/ZY SETS
iMF . SCIENCES MPP.149- Ib6
BFI I MAN?R,E.»KAl ARA?FU gZADFH?l ,A. (I9бА)
/i?S TRACT ION g F-A I IL RN Cl ASS IF I CA I ION
l< MATH ANAI , AF'FI . ? ID 1- /
RFZDFR? J, C. (19/4)
iNUMERCCAL TAXONOMY WI TFT FUZZY SETS
JOURNAL OF MACH RLOLOGY? 1
RF^DEE?J.C. (1980)
Z) CONVERGENCE THEOREM FOR THE FUZZY LSODATA CLUSTERING ALGORITHM
ITR^NS. 1EEF. I'AMl ?2? 1 -8
TFZDEK? J. C. (19/4)
CLUSTER UALEDJFY WITH F’UZZY SMS
JOURNAL 0Г CYBERNETICS? 3? 3? PP»b8-73
BIZDEF? J. (19ТИ’'
f'AlTFRN RECOGNITION W Г TH FUZZY OBJECTIVE FUNCTTON ALGORITHMS
Fl F NUM PRESS, NEW YORK
PI- ZDF Mb C. g HARR1SM.D. (19>8)
FUZZY PARTE I JONS g RELATIONS: AN AXIOMATIC BAS M FOR CLUSTERING
F-U^ZY SETS g SYSTEMS 1-'’? PF', L1 1 - i'.>/
BEZDER?J.C.gHARRIS?J.D, (19/9)
CONVEX DECOMPOSITION OF FUZZY PARTETJONS
392
JOURNAL 01- MATH. ANAL. AND APPL ICA HONS * 67 *490-512
BL । №\ J . M , (19/4)
FUZZY 'RELATIONSHIPS IN GROUP DECISION THEORY
JOURNAL,. OF CYBERNETICS* 4 5 PP.17-22
bLLNJu.tt.S IvlNS TON * A . В. (1973)
FUZZY SETS AND SOCIAL CHOICE
J. OF CYBERNETICS* 3* PP.28-33
BLUCKLEY*D.1. (1^78)
-ANALYSES OF SUBJECTIVE ASSESSMENTS OF STRUCTURAL FAILURES
INT. JOR. MAN-MACHINE STUDIES * 10 * 185-195
BLOCM.E Y * D»1 . (1979)
THE ROLE OF FUZZY SETS IN CIVIL ENGINEERING
FUZZY SETS AND SYSTEMS*2*267-278
Борисов А. И., Кокле Э. А. Распознавание размытых образов по признакам. - Киберне-
<ика и диагностика, Рига, 1970, № 4, с 135 - 147
BOUCHON* В. (1981)
FUZZY GUESTIONAIRES
FUZZY SETS AND SYSTEMS 6, 11-26
BRAAE*D.A.8RUTHERF0RD*D.A. (1979)
SELECTION OF PARAMETERS FOR A FUZZY LOGIC CONTROLLER
FUZZY SETS AND SYSTEMS*2?185-199
BROUN* J.G. (1971)
Л NOTE ON FUZZY SETS
INFO. 8 CONTROL 18* PP.32-39
BUTNARIUrD. (1978)
FUZZY GAMES.' a DESCRIPTION OF THE CONCEPT
FUZZY SETS 8 SYSTEMS* 1* PP.181-192
CAPOCELLI *R,M.8DE LUCA*A. (1973)
FUZZY SETS AND DECISION THEORY
INFO. 8 CONTROL 23JPP.446-73
CHANG* C.L. (1968)
FUZZY TOPOLOGICAL SPACES
J. OF MATH. ANAL. 8 APPLC.* VOL. 24*PP. 182-190
CHANGTC.L. (1975)
INTERPRETATION 8 EXECUTION OF FUZZY PROGRAMS
IN FUZZY SETS 8 THEIR APPL.* EDS. ZADEH* FU*ETC.* АСА». PRESS
sCHANGfC.L. (1976)
DLBUCt -A ULDUCTIVE QUERY LANGUAGE FOP RLLATLONAI DATA BASTS
IN PATTERN RECOGNITION AMU ARTIFICIAL LN I El I JGl NCF-1HEN *C.108-134*АСА 1
HE MIC J N.Y
( HANGrR.L.P.8 PAVLTLi I f> s T» <19//)
FUZZY DECISION TREE AIGORITHMS
1ELL TRANS SMC-7* N0.1
"'HANG* S.R. (197?)
ON THL EXECUTION Of FUZZY PROGRAMS USING UNITL STAT) MACHLNLS
IFJL COMPUTER V0L-.C-21* PP. 241-53
IHANGrS.S.L. (19//)
APPLICATION OF FUZZY SET THEORY TO ECONOMICS
hYBERNNETES* VOL.6? pp.205-7
393
CHANG5S.S.L. (1978)
ON A FUZZY ALGORITHM X ITS IMPLEMENTATION
IEEE J. ON SYST. MAN «CYBER. 8531-32
CHANG5S.K.8KE5J.S. (1978)
DATABASE SKELETON AND ITS APPL. TO FUZZY QUERY TRANSLATION
IEEE FRANS. SOFTWARE ENG. 4531-43
CHAPIN5 E.W. (1974)
SET VALUED SET THEORY; PART I
NOTRE DAME JOURNAL OF FORMAL LOGIC5 155 619-634
CHAPIN;E.W. (1975)
SET, VALUED SET THEORY! PART II
NOTRE DAME J. FORMAL LOGIC; 10; PP. 255-267
chen; t.swu; x. (i980>
TRANSITION LOGIC? FUZZY LOGIC? PANSYSTEM LOGIC
J. OF HUAZHONG INST. OF TECH.? 2? 15-23
CH0RAYAN50.G. (1981)
THE CONCEPT OF FUZZY SETS IN DIFFERENTIAL DIAGNOSIS ANU IHERAPY
BUSEFAL 6? 95-100
DE LUCA;A.8TERMINI;S. (1972)
A DEFINITION OF NON-F'ROBABILIS TIC ENTROPY IN THE SEI TING OF FUZZY SEW i
THEORY
INF. 8 CONTROL 205 PF. 301-12
DE? LUCA5A.8TERMINI5S. (1972)
ALGEBRAIC PROPERTIES OF FUZZY SETS
J. OF MATH. ANAL. APPL. 40i PP. 373-386
DIMITR0V5V.D. (1977)
SOCIAL CHOICE AND SELF ORGANIZATION UNDER FUZZY MANAGEMENT
KYBERNETICS;VOL.6 5 NO.3 5153-156 51977
DIN0LA5A.8VENTRE?A.G.S. (1980)
ON SOME CHAINS OF FUZZY SETS
FUZZY SETS AND SYSTEMS 45185-192
DOCKERY)J.J. (1977)
THE USE OF FUZZY SETS IN THE ANALYSIS OF MILITARY COMMANDS
PROC.OF THE 39ГН MILITARY OPERATIONS RESEARCH SOCIE IY(MORS>
DUBOIS; D. (1981)
TRIANGULAR NORMS FOR FUZZY SETS
PROC. 2 INT. SEM OF FUZZY SETS? LINZ? 39-68
DUBOIS5D.8 PRADE5H. (1978)
OPERATIONS ON FUZZY NUMBERS
INT. J. SYS. SCI.; 9; PP.613-626
dubois;d.8 prade; h. (1979)
OPERATIONS IN A FUZZY VALUED LOGIC
INFORMATION AND CONTROLS; 435 224-240
DUBOIS5D.8PRADE5H. (1979)
DECISION MAKING UNDER FUZZINESS
IN GUPTA 8RAGADE 8YAGER5ADVANCES IN FUZZY SET THEORYrNORTH HOLLAND52/
9-302
DUB0IS5D.8PRADE5H. (1979)
OUTLINE OF FUZZY SET THEORY AND INTRODUCTION
IN GUPTA8RAGADE8YAGER?ADVANCES IN FUZZY SET THEORY 5 NORTH H0L.LAND5 27-4
8
DUBOIS 5D.8PRADE 5H. (1980)
FUZZY SETS AND SYSTEMS!THEORY AND APPLICATIONS
ACADEMIC PRESS5NEW YORK
DUNN5J.C. (1977)
94
\
\
INDICES OF PARTITION FUZZINESS AND THE DETECTION OF CLUSTERS IN LARGE
DATASETS
IN GUPTA ETC. EDS.-FUZZY AUT. 8 DEC. PROC.?N.Y.? NO. HOLL, F'UBL,
F SHRAGH i F. 8MAMDANI i E. H. .<1979)
A GENERAL APPROACH TO LINGUISTIC APPROXIMATION
INT. JOURNAL MAN-MACHINE STUDIES?11?501-519
ESOGBtlESA.O. 8ELDER?R.C. (1980)
FUZZY SETS AND THE MODELING OF PHYSICIAN DEC. PROCESS?PART II
FUZZY SETS AND SYSfEMS?3?1-9
EYTAN1M. (1981)
FUZZY SEIS - A TAPOS-LOGICAL POINT OF VIEW
FUZZY SETS 8 SYSTEMS 5. 47-67
FADINI? A.8SESSA? S. (1981)
MEASURES OF FUZZINESS IN A SET OF PREFERENCE RELATIONS
BUSEFAL 6r 66-75
FREELINGIA.N.S. (1980)
FUZZY SETS AND DECISION ANALYSIS
IEEE TRANS ON SYS.?MANANDCYB. 10?341-354
FUKAMI?M,»MIZUMOTO?M.8TANAKA?K. (1980)
SOME CONSIDERATIONS ON FUZZY CONDITIONAL INFERENCE
FUZZY SETS AND SYSTEMS 4?243-273
+UNGIL.W.8 FUrK.S. (1977) 1
CHARACTERIZATION OF A CLASS OF FUZZY OPTIMAL CONTROL PROBLEMS
IN GUPTA ETC. EDS,? FUZZY AUT. 8 DEC. PROC.
GAI.NES1B.R. (1975)
STOCHASTIC 8 FUZZY LOGICS
ELECTRONIC LETTERS? VOL.II? NO.9? MAY
GAINESTB.R, (1976)
FOUNDATIONS OF FUZZY REASONING
J. OF MAN-MACHINE STUDIES? VOL,8? PF.623-668
GAINES?B.R. (1976)
SYSTEM IDENTIFICATION? APPROXIMATION AND COMPLEXITY
INI. J. GENERAL SYST.
GA1NLS?B.R. (1978)
FUZZY AND PROBABILITY UNCERTAINTY LOGICS
INFORM. AND CONTROL. 38? 154-169
GAINES?B.R. (1979)
’.OGICAL FOUNDATIONS FOR DATA BASE SYSTEMS
INF. JOURNAL MAN-MACHINE STUD.IES? 11 ?481-500
GAINES?B.R.8 KOHOUTTL.J. (1977)
THE FUZZY DECADE: a BIBLIOGRAPHY OF FUZZY SYSTEMS 8 CLOSELY RELATED ’
OPICS
J. OF MAN-MACHINE STUDIES? 9? PP.1-68
Gil. ES?R. (19/6)
LUKASIEWICZ LOGIC 8 FUZZY SET THEORY*
JN J. OF MAN-MACHINE SYSTEMS? VOL,8? *3? PP.313-328
GILES1R. (1979)
A FORMAL SYSTEM FOR FUZZY REASONING
FUZZY SETS AND SYS I EMS?2?233-257
®LUSS?B. (1973)
FUZZY MULTISTAGE DECISION-MAKING
INT. J. CONTROL 17?FP.177-192
GOGUEN? J.A. (1967)
J.-FUZZY SETS
,i. OF 0. MATH ANAL.- 8 APPL.? VOL. 18? P. 145-174
ft
395
/
GOGUrN? J. А. '’1969)
THE LOGIC OF- INEXACT CONLFF
SYNTHESIS MOI. 19. FF, Z25-/4
bOGUFN. J. A. (19/4>
FONCFFT RFFRI >f N I A I IT N IN NATURAL ANU ARTIFICIAL. LANGIIAGlb? AXIOMS OF
FUZZY SF TS
INF J MAN MATHTNF STUDIES. 6. FF. bU-4
GObUEN. J. A. U9/4)
THE FUZZY TYIHONOFI THFOIFM
I. 01 MATH. ANAI . X AFU . /5. F./14
bObUFN. J. (19/9)
FUZZY SI TS ANU I HF SOT LAI NATURl OF TRUTH
LN GUFTAX RAGADf X YAt FI . AIDANT T S FN FUZZY Sf Г IHFlhYrNOKIH HOL I AND»/7
9 I
bOITINbFR» H.W. (1 9 J *> >
TOWARD A FUZZY ILAiHNLNb TN I HF Bl HAV10KAI LltNLh.
( YBFRNF Г J < A .F I 1 I 1-I 1 ,
ЬОТ I WAI II. > (19/4)
FUZZY TOFlUObYr I RTJUUl 1 XGUOITINI IHlURlMj
J. OF MATH. ANAI . Al Fl . 45. H .S'1.? >1
GOT f WAI U.S . (19/9)
SF Г THEORY FUR I UZZY hFTs Of HTbHl К I FOIL
FUZZY SF FS ANU S YS T I M >. ’. I ’5 151
GOFTWAI !•» . 0 980)
A NOTF ON I UZZY I ARDIN1I >
KYDl RNI TIRA 16» 1 6 1 ,8
bUFI A.M M < I9/?)
A SURVEY HF FIlUFSi ( UNIKOI AF FI . OF FUZZY El THEORY
1/TH II FF FONF .ON Tit-1 . *1 UNTRUI »14 ,4 1461
(UFIA.M.M . I AlAUF.R.K.XYAbFI »Г R, I I >1i>
ADVANFFS IN FU-VY SIT THEORY X AFFI ft AT IONS
NORTH HOL I AND» AMSTERDAM
GUFFA.M.M . SARIULS.b N.8 bAINlS.D.R. (J9//>
FUZZY AUTOMATA X UF I IsLON FM)(FS,FS
M.1 » NORTH HOI I ANU FUKI .
GUFIA.M.M.XMAMDANI»F.H. < 19/6)
‘•FIOND 1 F Al I HUND T AHI F ON I U2 ZY AUTOMATA 8 UF ( I > I ON I ROi >sl s<
AUIOMATLIA UOI . 1 ’• FF. 91-a
I HF IA»M.M.’I AbAUF.R,K SYAbFf.R.R, (1979)
RLF'IRT ON IMF HFF SYMF UN FUZZY ^F Г IIIFOKY 8 Al F l ГСА T JUN5
FUZZY SF 1 s ANU SfSTlMS ’»JO 111
HANNAN» t.L. (1981)
ON FUZZY GOAL PROGRAMMING
SFIENtFS 12. 522-511
HFRSH.H.& I ARAMAZZA.A. (1976)
A FUZZY SFГ AFFRUAIH TO MODTFTFRS & VAGUFNFGS IN NATURAL I ANbUAGF
J. OF FXFFRIMFNTAL rSYLHOIOGY. GFN. VOL. 105. N0.1. Fl ’ 4-76
HERSH.H..FARAMAZZA.A &RROWNEI I .H.H. (1979)
EFFECTS OF CONrFXT ON FUZZY MEMHFRSHTF FUM T10NS
IN GUFFA &RAGADF &YAGER»ADVANCES TN FUZZY SEI THlOKY.NOklH HOI I AND»ОД
9-408
HIROTA.R. (1981)
CONCEPTS OF FRORIL LSF1L REFS
FUZZY SETS AND SYSTEMS j.47-67
HISDAL.E. (19/8)
396
C0ND1T10NAI HJ55IBU 11 TFS INDFF1- NU NT I- ANU NONLNTFRAT T1UN
OZZY SETS AND SYSTEMS 1, 99-509
H1SDAL,E. (1979)
FO^SIBILlSГ1СА1 LY DFFFNDFN1 VARIARIFb AND A GENU Al THEORY 01 FUZZY $
ETS
IN GO TA 8RAGADE 8YAGER,ADOANTFS IN FUZZY SET THE OR Y , NOR I H HOI AMi, 1
5-J <4
HISUAIF.R. (1980)
GENERALIZED FUZZY SYSTEMS AND F AR I IT Ul AR IZA I ION
FUZZY SETS AND SYSIFMS 4, 7S-?91
HOHIF,U. (1978)
FROBABI TSTIC UNIFORM!ZTION OF FUZZY I OF (JI Oblhb
FUZZY SEIS AND SYSIFMS bill-H,'
HOHIF, U. (1981)
REFRESFNIAI [ON THFORFMS FOR l-RU/ifY ffijANftTITS
FUZZY SETS 8 SYSTEMS u « 8 5-10?
JAINjK. (1976)
OUTLINE OF AN AFFROACH FOR IHF ANAIYSIC OF FU?ZY SYSTEM^
IN J. OF CONTROL, VOL, 5, NO,S
JATN,K. (1976)
DECISION MAKING IN THE FKESFNTF OF FUZZY VARIABLE.?
JEFF TRANS. SYS. MAN CYBER., VOl, SMC-698-705
JAIN,R.8 NAhEI ,H H. (1977)
ANALYZING A RFA' MURID DENE SFNUENTF UStNb FUZZlNtbg
FROC. IEEF S^M^ ON RU/Zy SRIS, NEU URI I ANS, 1 56/
RAI FRZYK, ). (1978)
UT IS’ON-MAKINb IN A FUZZY ENVIRONMENT W Г IH EUZ/Y IhPhlNAHoN I I Mg1
FUZZY SETS 8 SYSTEMS? 1, ER.169 17?
RAI FR/YR , I ( 1979)
A BRANT HAND BOUNJ Al ( OR I J HM FOR HUI I FSTACF! ON I Mjl, Qf A FUZZY SYSIFH
KYBIRNF IES 8,159 14/
RA(FRZYi\,J 8 SIRASZAK, A, (1980)
AFFI ilATlON OR FUZZY DR ( I Ы l/N-MAR J NG HOU I ' 4'R J'f IF RM J N I NG Of ГI HAL P
01 11 F S
IN WANG, г f 8 I HANG? S.M <FDS) FIJZ/Y SF Ih I IRNUHrNY*5’t 5 8
RANI Fl , A (19/<)
ON MINIMIZATION OF FUZZY f UNC, fl ON!j
IEFF COME I ’ ’? Fj- , H 6-5,’
RANDFI .A ( 1974)
ON IHF MIN[MlZAI I ON OF (Nl OMRI F IF I / Sb F C If Itil F U/Z Y f UNT J I ON >
INF 8 ( ONFROL ’6,FR .14J, J S 5
RANDEl,A (19/8)
FUZZY SIAIISTHS ANV F OR E ( AS IF FUAlUATtON
IEEE TRAN SY1-. MAN AND । YBF R NF I I Lb ? U? f.^JZ j,
KANDFI ,A. (19/9)
(IN FUZZY STATISTK S
IN GUFTA 8RA( AUF 8YAUF R ’ HDVANt F 1 J*N fU/ZY 'U ГЧЕ (IRY , jNft )R ) R НИИ AND, lb
1-199
KANDFI ,A.8L EE,S,C. (19/9)
FUZZY SW1KHING ANJi AUrUMAU0NHHFW ANU AFFUi AIXOH
(KANE RUSSARfNFW YlJKR
KAUFMAN,A (19/1-)
THEORY OF FUZZY SUB-Fb
ACADEMIC FRFSS,NEW YlJRR
RICKERT,W, J,M. <19/91
397
A
HIZZY THEORIES (IN UH ISlilN MAKING
HARTINGS NIJHOFF PUBI I Ъ1II К! I HI HAGUE
KICKER I !W.J.M.XMAMUANI1F.H. (197fj>
ANAI YS1S Oh A HIZZY LOGIC ( ON I KOI LI R
FUZZY X SETS ANU SYS 11-MS I!29-44
klmjk.h.xkuushu .w. <198o>
GENERALIZE!, HIZZY HAIKU FS
HIZZY St- FS ANU SYSII MS
KING?P.J.X MAMDANl!l .H. ()y//i
THE. APPIICATJON OF HIZZY lONIKdl. SYsllhS TO TNUUSIRI Al PROCESSES
AU ГОМА Г CCA! VOL. 1,3! PF , 2,3'-/-242
KITAGAWA!I. (19/3)
BIOROBOTS MIK SJMUIAIUlN STUDIES 01 I I AKN I NG ANU I N 11 I I 1 GF N 1 Г (ONIROL
s
1J.S.-JAFAN SEMINAR ON I I ARNING l.ONIKOI X I N I H I I Gt N I LONIROI! H 0K1 DA
KLEMENTTE.P. (1980)
CHARAC TERI ZA HONS OF FINITE FUZZY MEASURES USING MARKOFF KFRNELS
I. MAIH. ANAI .XAFPI - 751<30-339
KT FMENI !E .1 . <1 980)
FU7ZY ALGEBRAS ANU FUZZY MIASURFAHIt MINI HONS
FUZZY SFIS ANU SYS 11 MS 4!8 3 9,3
KT ING1R. (19/3)
FUZZY PLANNER: REASONING WITH INEXACT CONIFF IS JN A PROCEDURAL PROBLF
M SOL.LANG.
J. OF CYBERNETICS 3! F'P.1-16
KI IK'IG (1976)
1BENI.0F GEN. STRUG. IN fMP. ПАТА
INI.J.GEN.SYS.U
KITCHEN! M.X BAURF! A. (1974)
ON THE PRECISION 01 ADJEZCIIVFS WHICH UFNOTt FUZZY SFHS
J. OF CYBERNF. Г J CIS r 4!1!l'p. 49-59
KOCZYIL.T. (1980)
VECTOR VAI UE HIZZY SFIS
BUSFFAL i 3! 41-57!
KUZM1N10.P. (1981)
A PARAMETRIC AH'HIACH It) DESC'RJ FI ION OF LIGUISTIC VALUES OF VARIAHLFS
FUZZY SFTS ANO SYSTEMS 6. S/-41
KUZMINJV.Fi. X0VCHINN1K0U5S.U. (1980)
DESIGN OF GROUP DMZISIONS 131 IN SPACES OF FARIJAI ORDER FUZZY R+LAIIO
NS
FUZZY SETS AND SYSTEMS 4M53-166
IAK0FF1G. <1973)
hedges; a study of meaning criteria я the logic of fuzzy concepts
J. OF PHIlOSOPHICAL I OGIC; VOl .2; PF.458-508
t.EFJF.T. ( 1977)
APMICATTON OF FUZZY IANGUAGFS TO FAT It KN KFC0GNII10N
KYBFRNFTES 61 PP.167-173
CEE! E.T.X ZADFH1 L. (1969)
NOIE" ON FUZ7Y LANGUAGES
INF. SCI. VOL. 11 PP. 421-4,34
LEUNG!Y. (1980)
A FUZZY SET PROCEDURE FOR PROJECT SEI FC I TON WTIH HIERARCHICAL OBJECT I
VES
IN WANG! P.P. & CHANG! S.K. (EDS) FUZZY SITS PIFNUM! NY! 329-349
L0WEN1R. (1976)
г398
FUZZY TOPOLOGICAL SPACES & COMPACTNESS
J. OF MATH ANAL. & APPL. 56; 3) pp.621-633
LOWENLR. (1978)
ON FUZZY COMPLEMENTS
INF. SCI.? p. 14;1O7-113
LOWFNLR. (1980)
CONVEX FUZZY SEIS
FUZZY SETS AND SYSTEMS;3? 291-310
mamdani;e.h. (1976)
ADVANCES IN THE LINGUISTIC SYNTHESIS OF FUZZY CONTROLLERS
J. OF MAN-MACHINE STUDIES; VOL.8
MAMDANi;E.H.8ASSII IAN;S. (1975)
AN EXPERIMENT IN LINGUISTIC SYNTHESIS WILH A FUZZY LOGIC CONTROLLER
J. MAN-MACHINE STUDIES; 7; pp.1-13
PONSARD; C. (1981)
AN APPI.IC. OF FUZZY SUPSEIS LHEORY TO THF ANALYSIS OF CONSUMER SPATIл
I. PREF.
FUZZY SETS, AND SYSTEMS, 5, 2.35-244
MCCL0SRFY1M.SGI UCRSBFRG1S. (1979)
DECISION PROCESSES IN VERIFYING CATEGORY MEMBERSHIP SIATEMFNTS
COGNITIVE PSYCHO! OGY; 11; 1-3’7
MIZUMOTOiM. (1980>
FUZZY SETS UNDER VARIOUS OPERATIONS
BUSFFAL 4;38-49
MIZUMOTO; M. <1981 )
FUZZY SEIS UNDER VARIOUS OPERATIONS, PART 2
BUSEFAL 7, 12-44
MizuMOTOfM., toyoda; !♦ S, tanarajr. <1973)
N-FOLD FUZZY GRAMMAR
INF. SCI. 5IPP.25-43
MI7UM0T0;m.X TANARA;R. (1976)
SOME PROPERTIES OF FUZZY SETS OF TYPE 2
INF. & CONTROL. 31i NO. 4; PF. 312-340
MURAIDONOFM. (1979)
A NECESARY AND SUFFICIENT CONDITION FOR FUZZY LOGIC FUNCI IONS
PROC. 9ГН INT. SYMP. ON MULTIPLE VALUE IOGIC;159-166
NAHMIAS;S. (1978)
FUZZY VARIABLES
fuzzy sets and SYSTEMS; p.i;2;97-no
NARASIMHAN1R. (1980)
GOAL PROGRAMMING IN A FUZZY ENVIRONMENT '
DECISION SCIENCES 11;325-336
NEGOITAFC.V. (1973)
ON THE APPLICATION OF THE FUZZY SETS SEPARA11ON THEOREM FOR AUTOMATIC
CLASS,
INF. SCIENCES 5; PP.279-286
NEGOITA;C.V. (1977)
REVIEW OF FUZZY SETS 8 THFIR APPL. TO COGNITION * DECISION PROCESSES
IEEE TRANS. SMC-7; NO,2
NEGOITAIC.V. (1979)
MANAGEMENT APPLICATIONS OF SYSTEM THEORY
BIRKHAUSER VFRLAGiBASEL
»
NEGOITAiC.V. (1980)
THE CURRENT INTEREST IN FUZZY OPTIMIZATION
BUSEFAL39-54
39»*
№GOI ГА,С .V. X MLESCUfft A (1971-)
TEFRESI NTATI TN THEOREMS ЮК FUZZY CONCERTS
KYBFRNETFS, 4, FF.169-174
NFrCITA,C,V,8 RALFSCU,П» (19/u)
ZCFLГСАI IONS OF FUZZY SETS 10 SYSTEMS ANA1 YST*?
ЫТ1 EY
NGUYEN.Н.Г. (1977)
•ON FUZZINESS X ITNGIJTST1C F ROBAB II T Г TF $
J OF MATH ANAl . X AFFI .-61. 698-671
•NORI JI, H. (1981 )
ON FUZZY-HUZZY TEAM ВЕГISION PROBLEMS
t\YBF hNE Fit S 10, 97-69
NOWAROUSRA.M. ( 1977)
MF THODOt OGIl AL FROBIFM OF MEASUREMENT OF FUZZY (UNlFFIS [N IHF SOI ТАГ.
SCIFNLES
"BEHAVTORAI SCIENCE, VOL.?’, NO.'’, FF.107-11
NOWAROWSRA,M. (1979)
•FUZZY CONCEPTS: THEN SIRUITURE ANfi PROBLEMS OF MEASUREMENTS
IN GUF ГА 8RAGAHF 8YAGFR,AHVANIFS IN FU/ZY SEE THFOR Y , NOR IH Hill I ANIi, 16
1-387
ODFN.'G. (1977)
FUZZINESS IN SEMANTIC MEMORY CHOOSING EXAMPLES OF SUH IF! TIME fATFGOK
IFS
MEMORY 8 COGNITION 9: FF 198->04
•0RLOVSKYJS.A. (197?)
ON PROGRAMMING WITH FUZZY CONSTRAINT SETS’
KYSERNETES 6j PF.16/-173
OVCHINNIKOV? S.V. (1980)
INVOLUTIONS IN FUZZY SET THEORY
STOCHASTICA 4, 227-41
PAI SS.K.8MA JUMfiFH.U.H <19785
ON AUTOMATA FIOSTVF I Tit NT IF И A TTON USING F (177ГНГ$П TN FFOHTIY Sf IS
IEEF TRANS. ON SYS. MAN 8 CYBER. Hi 4, FF <0 >~8
fAVlTDTS,! XI HANG ,K.I .1 . (127/)
AFU ICAT10N 01 FUZZY SFIS IN C UKUE FITTING
FROG, IEEF SYMF. ON FUZZY 4 T<. Nt W OKI LANS? 1376 J4AQ
FROCYKiT. J.XMANBaNI,F.H. (1979)
ATINGUISTTI CFLF 0RGANI71NI FROIFS*’ CONYhiH I FR
AUTOMATION,' 19,19- TO
FRUGOVELKbF . (19/6)
1 OCALIZABII IFY OF KHATTVTSTTC РАНГИ IPS IN FUZ7Y„PHASE SFACE
J, FHYS. MATH., vol . 9? Nt). 11 * 11 ’
FRUGOVECM5F. (19//>
ON FU7ZY SF TN ST ACE*'
j. fhys. a: math. vol. io: no,4
RADECKHI. <197/5
1FVFt FUZZY CF FS 1
1. OF LYBERNFIld 7, PF.189 198
RAGAPF.K.R (19/75
bUZZY INTERPRETIVE SFRIJI П1НА1 MOIiFI ING
J. OF (YBERNFIIl >, VIII .6, FF 189 >1 ‘
RAGAHE5R. (1976)
FUZZY SETS TN I OMMUN1 С А Г1 ON SY< lEMs 8 IN (ON FNSIIS' TOKMATJON SYSTEMS
1. OF (YBERNEIKS, VIII.6, FF ’ 1 - <8
r Al AI«E,R.R. 8 OUFTA.M.M <197/1
400
FUZZY SF Г IHEORY EN I RObUI I I ON
IN bUFIA, SARJUFS, X bAINFS F I'S , ,F UZ Z Y AUfi 1 f'fft FKOCt iHt Y»? NO» HCh?
1 . FUB,
KAI FSfU,U. <19Z8)
FUZZY SUB 1F( Г > IN A (AIFbORY * IHF JHFORY Ш к ЬЫЧ
FUZZY SF IS X SYS IF MS , 1r FF.19l-‘<)>
RODABAUoH, l.F. <1981)
SU11 AB 11 11Y JN FUZZY IOFIII Ob 1 ( Al SFAI F'j
J. OF MACH. ANAI X Al Fl . Z9r >'J-
ROSFNFFI B, A. <19Z1)
FUZZY bROUFS
J. MA1H. ANAI. 8 AFFI. 5b,FE,bl‘~Z
RUSFINI,F. (1969)
A NFW AFFROACH iu (lUSIFRINb
INFORM, 8 FONFROl ,1л..” 34
KUSF INI • I .H. <19Z<>)
NUMFRKAI MFIHOFiS FOR FUZZY L) US fFh tNG>
INFO, SC U S FF. 3J9-3S9 X
<lAAFY, I.l . <19/4)
MEASURING IHF FUZZINFSS OF OF Is
J. (if t YBFRNF IliS, VOI , 4? NO, 4
SAAIY’I.I. <19/8>
FXFL ORING FHF ENTFRFACF BFCWFFNN H l|iRAR< Н1Ц MUI I FFI | 0BJLCI £VFS ANt*
I UZZY F IS
FU'ZY SFFG 8 SYSIFMS I ' 60
SANC IIFZ,F . < 1 9Z6>
RE.C 01 UF ION UF LOMFOSJ IF I UZ 'Y Fl I Al ION LUUAIJONl
INI , 8 ' ONII O' o- N(>,1
SAN* HI Z,F . < 1 9 /8)
IIHHUIFON OF FlbFN I UZZY SF 1 S FOUAIIONU
FU//Y '-'FIS 8 SYSIFMS 1’69 /4
ANf -II 7 ,t . \ 1 t/G'i
ON FO^TBJLJFY oilAI IF LFAI10N FN NATUKAI I ANbUAbF
I NF. 'IFMFS1,, 4S /Zi
< ANFObrt S d’J/ul
FIAMZFUON OF FUZ/Y I AN ,AUbl <> BY FROBAI 1Ы1 C JAX-FhODUtY 8 MAXIMA
AUIOMAIA
INI OHM. 4 1. 8. A ‘-S3
cAKJH)b,L <l</?4?
iUZ'Y N)T1UNS JN NUN-1 INF Ah YSIFM ( I ASb IF 1CA1J ON
I, OF ( YBI FNF I Tbh, 4, Ъ1 F .6/ 8
< FMRI «В F .8MAMBANI’F.FJ. <1?/9)
ON FHF NAIUIF Ol J Ml I II AI ION IN FUZZY lOGff
FMH . 9IH INI. SYMF, ON MUCH Fl I. VALUF. J 0WLH43 Ibl
f>HAW.M,8GArNFS,B.k, <1980)
FUZZY SFMANFHS FOR F Г RSUNAI I UNS'l RUlNO
fROl . >4 IH SYMt , OF ЫП . I OR GFN.SY4, RF^t
SlIVEFbW. <|9Z9.>
^YMMFIRIC SDMMAriUNIA СI ASS OF III F RA IJ QNg ON FUZZY SEI4»
iftANS IF IF SMi ,9,6b/-6S9
*11 INBFRbfF.8RFNKSFH <19/9)
AN AFFI ICAIJON OF IHF Bl IN WHJNS[()N AIOURIIHM FOR PF SOI MINS' FUZZY FRE
1 FRF
MAN, SCI, «! ’Ib'Z 1Z9
40F
•STFJNrW.E. (1980)
i'PTTMAI STOPPING IN A FUZZY F NV f RONMF N Г
HIZZY SETS AND SYS IF Mb? 3? 21.3-26Q
SUGENO) M. (1972)
। FUZZY MEASURES & FUZZY INTEGRALS
TRANS. SICE» PP. 218-226
TAHANI) V. (1976)
A FUZZY MODEL OF DOCUMENT RETRIEVAL SYSTEMS
INFORMATION PROCESSING 8 MGM'T.» 12» 177-188
THOMASON.M.G. (1974) '
’FUZZY SYNTAX-DIRFCTFD TRANSITIONS
JOURNAL OF CYBERNFTICS.4)1?PP.87-94*
TONG5R.M. (1976)
ANALYSES OF FUZZY CONTROL ALGORITHMS USING THE RELATION MATRIX
J. OF MAN-MACHINE STUDIES» VOL.8
TONGiR.M. (1977)
A CONTROL ENGINEERING REVIEW OF FUZZY SYSTEMS
.AUTOMATICA 13» PP.559-669
%
TONGTR.M. (1980)
SOME PROPERTIES OF FUZZY FEEDBACK SYSTEMS
IEEE TRANS. SYS.)MAN8CYBFR. 10)327-331
TRILLAS.E. (1979)
ON NEGATION FUNCTIONS TN FUZZY SETS THEORY
STOCHASTICA»111)47-59
TRILLAS» F.8RIERA? I. (1981)
TOWARDS A REPRESENTATION OF SYNONYMS i ANTONYMS FOR FUZZY SETS
BUSEFAL 5» 4?-M>8
)
TRILLAS» I. (1980)
CONJUNTOS BOROSOS
VICENS-VIVES» BARCELONA
TSUKAMOTOTY. (1979)
AN APPROACH TO FUZZY REASONING METHOD
IN GUPTAXRAGADE8YAGFR ADVANCES IN FUZZY SET THEORY.NORTH HOLLAND)137- v
149
-WANG.P.P.8CHANGTS.K. (1980)
FUZZY SETS
PLENUM PRESS)NEW YORK
WARRENTR.H. (1977)
BOUNDARY OF A FUZZY SET
INDIANA U. MATH J.»26 (2)» PP.191-7
WATSON.S.R..WEISS)J.J.8D0NNELL)M.L. (1979)
FUZZY DECISION ANALYSES
I.E.E.E. )TRANS. SYSTEMS) MAN AND CYBERNETICS.9)1-9
•WFCHSI L ЮН. <19/6)
A HIZZY APPKOAl Fl TO MEDICAL DIAGNOSIS
JNT . J. BIO-MEDICAL COMMIT, 7t H‘. 1 91 -'!<>k5
WFNSTOP.F. <19/6)
DEDUCTIVE VERBAL МОНЦ s OF ORGANIZATION
J. OF MAN-MACHINE SIUDHS) V.8? ♦ (i I L‘.'>9 5 -31,1
WENS TOP)F. (1980)
• OUANT1 IAI I VI ANALYSLb WITH I INGUISJ|( Vol HI ч
FUZZY SETS AND SYSTEMS 4)99 116
Wil I MOT I)R. (1980)
TWO FUZZIER IMF! 1CATTUN OPLRATORS IN ГН1 THTORY UF FUZZY I t)WFI SI 1 S
HIZZY SETS AND SYSTEMS 4)51-56
Л02
UONGFC.R. (19/5)
COVERING PROPERTIES Oh FUZZY TOPOL08 I CAI SPACES'
J. OF- MATH. ANA! . X APPI . FVOI .45F NO - 5 F PF. 6p7- /<)4
WONGFC.M (19/4)
FUZZY TOPOLOGY PRODUCT AND QUO!LENT THEOREMS
MACH. ANALYSTS X APPI . F VOL .45F N().?F FT.512-5'4
YAGFRFR.R. <197/)
MUI TJFIE OBJECTIVE DECISION MAM NG USING FUZZY ST 14
INT. J. MAN-MACHINE SIUDIES? 9F PP.3/5-38 1
YAGERFR.R. (19/8)
ILNGUISTTC MODELS X FUZZY TRUTHS
INT. J.OF MAN MACHINE STUDIES 10F4S3"4?4
YAGERFR.R. <1979)
A NOTE ON PROKABILiriLfe’ Op FUZZY fFhNT
INF. SCT. 18F113-L29
YAGERFR.R. <1979)
ON THE MEASURE OF FUZZINESS AND NFGAГ I OR FARf1iMFMHFRSHIP INTHF UNIT
JN TERVAI
INT. J. 01- GENERAL SYSTEMS 5F221-279
YAGFRFR.R. <1980) ,
ON THE MEASURE 01 FUZZINFSn AND NEGATION FART ITT I А Г11 Ct Ji
INFORMATION AND CONTROI 44i236-26Q
YAGERFR.R. <1980)
ON A GENERAL CLASS OF FUZZY CONNECT IVES
FUZZY SETS AND SYSTEMS 4 F 235-1’4?
YAGERFR.R'» <1980)
A FOUNDATION FOR A THEORY OF POSS.LB LI I TY
J. OF UYBRRNE J J Ch 10H77-2Q4
ZADEHFL.A. (196S>
FUZZY SETS
INFO. X CONTROI F ypt t p?, L538-53'
ZADEH r I. . (1968)
PROBABILITY MEASURES OF FUZZY EVENTS'
J. OF MATH ANAL. 8 APPI *F VOL. 10F Pp.421-7
ZADFHF L. (1971)
SIMIIARITY RELATIONS AND FUZZY ORDERING^.
INF. SCI. VOL. IF PP. 177-200
ZADEHF L. (1971)
QUANTITATIVE FUZZY SEMANTICS
INFO. SCI. VOL. 3F PP. 159-176
ZADEHF L.A. (1972)
A FUZZY SET THEORETICAL INTERF'RETA 1 JON OF HEDGES
J. OF CYBERNETICS 2F PF.4-34* ERI MEMO M-«35? BERKELEY
ZADFHrl .A. (1973)
OUTLINE OF NEU APPROACH OF COMPLEX SYSTEMS DECISION PROCESSES I
IEEE TRANS.ON SYS Th MSFMANXCYHFRPNFI ICS 3F28-44
[Имеется перевод. Заде Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и про-
цессов принятия решений. - В кн.: Математика сегодня. - М. Знание, 1974, с. 5 - 49-Г
ZADEHFL.A. (1975)
FUZZY I0G1C AND APPROXIMATE REASONING
SYNTHESEF3QF40/-428
ZADEHFL.A. (1975)
THE CONCEPT OF A I INGUJSTIC VARIABLE 8 1 TS APPI I. Ш APPROXIMATE REAS
ONING-1
INFOR. SCI. 8F199-249
403!
ZADF:HrI .A. ( 1975) , . „ , .
THE CONCFPI OF A LINGUISTIC MAR] ABLE 8 ITS APPL» TO APPROXIMATE, REASQ'
MING-2
INFOR. SCI. 8)301-357
ZADEHrL.A. (1975)
CALCULUS OF FUZZY RESTRICTIONS
IN ZADEHrFUгEГС.(ED)FUZZY SETS Я THEIR APPLICATIONS ^ACADEMIC PRESS?1
-39
ZADEHrL.A. (1976)
THE CONCEPT OF A LINGUISTIC VARIABLE' 8 ITS Appl.t TO APPROXIMATE REASO
NING-III
INF. SCIENCES? VOL. 9? PP. 43-80
[Имеется перевод: Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и егО применение к
принятию приближенного решения. - М.: Мир, 1976. - 165 с.]
ZADEH И.,А, (1976)
A FUZZY ALGORITHMIC APPROACH ТО THE DEFINITION OF COMPLEX t)R iMPRECIg
F CONCEPTS
J. OF MAN-MACHINE STUDIES? VOL.8? N.3? PP.249-291
ZADEHrL.A. (1977)
THEORY OF FUZZY SETS
TN ENCYCLOPEDIA OF COMP. SCIENCE&TECHNOI .OGY-BELZERrHOLZMANXKENT-MARCE
‘i DEKKER?
ZADFHrl .A. ( 1978)
FUZZY SETS AS A BASIS FOR A THEORY OF POSSIBILITY
FUZZY SETS 8 SYSTEMS ? VOL. . 1. • NO. I.? PP.3-28
ZADEHrL.A? (1978)
PRUF-A MEANING REPRENTATION I.ANGAUGE FOR NATUR'AL LANGUAGES
INT J MAN-MACHINE STUDIES .1.0 395-46Q
ZADEHrL.A. (1979)
FUZZY SETS AND INFORMATION’GRANUL. ARITY
IN GUPTA8RAGADE8YAGER ADVANCES IN FUZZY SET THEORYrNQRTH HOLLANfir2"1S
ZADEH? I... A. (1979)
A THEORY OF APPROXIMATE REASONING (AR)
TN MACHIN E IN T E L LIG E N С E V () I.. 9 -- H A Y E S ? J» ? MIС HIE ? D Л MIKU L ШВI.. (E D S) ? 14 ?-
194
ZADEHrL.A. (1.981)
TEST' SCORE SEMANTICS FOR NATURAL LANGUAGgSANO MEANING RERRESENTATIOft
VIA PRUF
TECH NOTE 247 SRI INTERNATIONAL
ZADEH? I.. . A . ? FU ? К . S . ? TANAKA ? К . XSH TMURA ? M . (1.975)
FUZZY SETS AND THEIR APPLICATION TO COGNITIVE AND DECISION PROCESSES
ACADEMIC PRESSrNEW YORK
ZHANGrJ.W. (1980)
SOME PROPERTIES OF THE NORMAL. FUZZY SET STRUCTURE'
J. OF HUAZHONG INSTITUTE OF TECHNOLOGY?2r1-9
ZJMMERMANNrH.J. (1975)
DESCRIPTION AND OPTIMIZATION OF FUZZY SYSTEMS
J. OF GENERAL SYSTEMS 2?209-2 I 6
ZIMMERMAN? H. J. (1.976)
DESCRIPTION 8 OPTIMIZATION OF FUZZY SETS
IN J. GENERAL SYSTEMS? VOL. Йг PP. 209-215
ZTMMERMANrH.J. (1978)
FUZZY PROGRAMMING 8 LINEAR PROGRAMMING WITH MULTIPLE OfiJECFIVES
FUZZY SETS 8 SYSTEMS? V0L.1. ? NO.l? PP.45“5g
ZIMMERMANNrH.J.8ZYSN0?R. (1980)
LATENT CONNECTIVES IN HUMAN DECISION MAKING
-FUZZY SETS ANND SYSTEMS 4f37~Sl
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к русскому изданию............................ 5
Предисловие................'•..............................6
Вступление ............................................... 8
Часть I. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ.................................... 9
Общий подход к определению индексов сравнения в теории нечетких
множеств
(Д’. Дюбуа, А. Прад) ............. , 9
Некоторые проблемы изучения адекватности нечетких моделей
(М Б. Гожальчаны, Е. Б. Кишка, М. С. Стахович).........21
Итоги рассмотрения факторов неопределенности и неясности в инже-
нерном искусстве
(К. Танака)............................................37
Фундаментальное измерение нечеткости
(А. М. Норвич, И. Б. Турксен)..........................51
Построение функций принадлежности
(А. М. Норвич, И. Б. Турксен)..........................64
Множества уровня для оценки принадлежности нечетких подмножеств
(Р. Р. Ягер)......................................... 71
Робастность операторов нечетких отношений
(А. А. Каня, М. С. Стахович) ........... 78
Эталонный подход к получению нечетких отношений предпочтения
(В. Б. Кузьмин) , 87
О нечетких классификациях
(С. В. Овчинников, Т. Рьера)..........................100
Последние достижения в нечетком кластер-анализе
(Э. Г. Руспини).......................................114
Часть II. ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ.............................133
Один подход к экспертным системам управления' с использованием
нечеткой логики
(К. Дж. Эрнст) . .............. 133
Нечетное рассуждение с нечетким условным высказыванием вида
«если... то... иначе...»
(М. Мидзумото) ....'. . .......................143
Нечеткий, вывод революционного типа
(М. Мукаидоно)........................................153
Модальная семантика и теория нечетких множеств
(А. Прад) . . . .- . .. , .........................161
Простейшие семантические операторы
<(Ф. Смете) ( • « , v i •* * • * • « • » • 177
405
Модель нечеткой системы, основанная на логической структуре
(X. Танака, Т. Цукияма, К. Асаи) ........................186*
Нужны ли в теории нечетких множеств операции max, min и 1—/ ?
(Э. Трильяс, К- Альсина, Л. Вальверде)....................199
Часть III. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ...........................229
К анализу и синтезу нечетких отображений
(Д. Дюбуа, А. Прад)..................................... 229
Нечеткие множества как классы эквивалентности случайных множеств
(И. Гудмэн) ................ 241
Мера возможности, нечеткое доверие и некоторые свойства нечетких
преобразований
(А. А. Даня) .............................................264
О связи между различными понятиями нечетких мер
(3. Ф. Клемент)...........................................279
О возможностном подходе к анализу сведений
(Ф. Т. Нгуен)........................................... 285
О плотности Х-нечеткой меры
(Я. Цукамото, М. М. Гупта, П. Н. Никифорук)...............292
Часть IV. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ , . ....... 301
Теория нечетких решений
(£. Энта).................................................301
Применение нечетких множеств для оценки устойчивости строитель-
ных конструкций при землетрясениях
(К. С. Фу, М. Исидзука, Дз. Т. П. Я о)....................312
Приложение нечеткой логики к медицинской генетике
(Ж. Гуверне, С. Эме, Э. Санчес) . ....................332
Разделение на торговые зоны в нечетких условиях
(И. Леунг)................................................339
Эвристический подход к обобщенному календарному планированию
производства с использованием лингвистических переменных: методо-
логия и применение
(Д. Б. Ринке).............................................349
Лингвистический подход к нечеткой логике ВОЗ-классификации дис-
протеинемии
(Э. Санчес, Ж. Гуверне, Р. Бартолен, Л. Вован)............370
Анализ нечеткой чувствительности и метод синтеза
(И. Ф. Ванг, М. Тогай)....................................377
Список работ по теории нечетких множеств
(Р. Р. Ягер).............................................391
Научна-техническая
БИБЛИОТЕКА
в н и и в о
г. Хауне*»,
019451»
Материалы научной конференции
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА И ТЕОРИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ.
ПОСЛЕДНИЕ ДОСТИЖЕНИЯ
'Заведующая редакцией О. В. Толкачева
Редактор И. И. Рюжина
Художественный редактор Т. В. Бусарова
Переплет художника Н» А. Пашуро
Технический редактор Г. 3. Кузнецова
Корректор Т. Л. Кускова
МБ № 1116
Сдано в набор 24.10 85 Подписано в печать 10.03.86
Формат 60х90/13 Бумага тип № 2 Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 25,5 Усл. кр.-отт. 25,5 Уч -изд. л. 27,15 Тираж 9400 экз.
Изд. № 21000 Зак. № 120 Цена 2 р. 80 к.
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Почтамт, а/я 693
Московская типография № 5 ЕГО «Союзучетиздат»
J01000 Москва, ул. Кирова, д. 40
* >
Уважаемый читатель! 1
В 1987 г. в издательстве «РАДИО И СВЯЗЬ» выйдут книги
Алиев Р. А., Либерзон М. И. Методы и алгоритмы коорди-
нации в промышленных системах управления.— 15 л., ил.—
2 р. 70 к.
Освещаются проблемы координации в промышленных ин-
тегрированных системах управления. Приводится общая схе-
ма координации в двухуровневых динамических системах, на
базе которой конструируется ряд вычислительных алгоритмов
координации. Указаны подходы к решению задачи координа-
ции в условиях неопределенности, причем рассмотрены как
стохастические модели и методы, так и нечеткие алгоритмы,
основанные на теории нечетких множеств. Рассматриваются
некоторые вопросы информационного обеспечения задач коор-
динации. Обсуждается опыт внедрения алгоритмов координа-
ции в проектировании систем управления производством с не-
прерывной технологией.
Для научных работников, занимающихся созданием АСУ.
Мудров В. И., Ивлев А. А. Мажоранты Ньютона в при-
кладных задачах. Теория, алгоритмы, программы. — (Сер. Ки-
бернетика) . — 10 л , ил. — 50 к.
Описывается один из новых методов отыскания абсолютно-
го экстремума суммы слабо выпуклых и негладких функций.
Использование метода демонстрируется на примерах решения
задач безусловной и условной оптимизации, возникающих при
проектировании сложных радиотехнических систем: размеще-
ние точечных и линейных объектов, построение алгоритмов
обработки измерительной информации, оценка технического
уровня изделий, обработка экспертной информации и др. При-
водятся алгоритмы решения некоторых практических задач,
программы на языке ПЛ/1 и результаты числовых расчетов.
Для инженерно-технических работников, использующих
математические методы в своей деятельности; может быть по-
лезна студентам технических вузов.