л. г. лойцянский
МЕХАНИКА
ЖИДКОСТИ И ГАЗА
ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебника д я студентов вузов,
обучающихся по специальности «механика»
ш
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 97 S

532
Л 72
УДК 532
Механика жидкости и газа, Лойцян-
ский Л. Г. Изд. 5-е, переработанное, Главная
редакция физико-математической литературы из-
дательства «Наука», М., 1978, 736 стр.
Пятое издание содержит изложение основных
разделов механики жидкости и газа: кинематики,
статики и динамики. Общие дифференциальные
уравнения динамики выведены как для однородной,
так и для неоднородной, гомогенной и гетерогенной
сред. Рассмотрены методы интегрирования уравне-
ний динамики в задачах несжимаемых и сжимаемых,
идеальных и вязких жидкостей и газов при лами-
нарных и турбулентных режимах движения. При-
ведено значительное число примеров приложений
этих решений, иллюстрирующих большие возмож-
ности современных методов механики жидкости
и газа в технической практике.
Настоящий курс механики жидкости и газа пред-
назначается для студентов вузов и втузов, аспиран-
тов, инженеров и научных работников.
Табл. 25, илл. 283.
Лев Герасимович Лойцянский
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
М., 1978 г., 736 стр. с илл.
Редакторы С. Б. Колешко, Я. Я. Васина
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректоры 3. В. Автонеева, Т. В Вайсберг
ИБ Ks 11024
Сдано в набор 10.10.77. Подписано к печати '1.04.78. Бумага 70x1081/ig, тип. К 1.
Обыкновенная гарнитура. Высокая печать Условн. печ л. 64,4. Уч.-изд. л 62 48
Твраж 15 000 экз. Заказ JNS 0421. Цена книги 2 р. 60 к. *
Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект. 15
Орле m TpvflOBoro Красного Знамени Московская типографии N 7 «Искра революции»
Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств
полиграфии и книжной торговли. Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9. *
© Главная редакция
_ 20303—077 физико-математической литературы
J1 ~Г№1г?л~7Я~ 0 издательства «Наука». 1978,
VDO\y~.)-io с изменениями

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к пятому изданию 7
Из предисловия к третьему изданию 8
Введение 9
§ 1. Предмет механики жидкости и газа. Модель сплошной текучей среды 9
§ 2. Молекулярная структура и «внутренние» движения молекул в твердых,
жидких и газообразных средах 12
§ 3. Сводка наиболее употребительных формул векторного и тензорного ис-
числений 14
Глава I. Кинематика сплошной среды 31
§ 4. Способы задания движения сплошной среды. Поле скоростей. Линии и
трубки тока 31
§ 5. Разложение движения элементарного объема сплошной среды на квази-
твердое и деформационное 36
§ 6. Вихревые линии и трубки. Вторая теорема Гельмгольца. Интенсивность
вихревой трубки и ее связь с циркуляцией скорости 40
§ 7. Деформационное движение элементарного объема среды 45
§ 8. Ускорение жидкой частицы. Теорема Кельвина 49
Глава II. Общие уравнения движения сплошной среды 54
§ 9. Распределение массы в сплошной среде. Закон сохранения массы и урав-
нение неразрывности 54
§ 10. Распределение сил в сплошной среде. Объемные и поверхностные силы.
Тензор напряжений 57
§11. Закон изменения количеств движения и уравнения динамики в напря-
жениях. Закон моментов и симметрия тензора напряжений ...... 60
§ 12. Закон изменения кинетической энергии и общий закон сохранения
энергии в моханике сплошных сред 64
§ 13. Динамика сплошной неоднородной среды 66
§ 14. Теорема количеств движения в эйлеровом представлении 75
§ 15. Уравнения равновесия жидкости и газа 78
§ 16. Равновесие несжимаемой жидкости. Закон Архимеда 81
§ 17. Равновесие равномерно вращающейся несжимаемой жидкости. Центри-
фугирование твердых частиц 83
§ 18. Баротропное равновесие газа 86
Глава III. Основные уравнения и теоремы динамики идеальной жидкости и газа 88
§ 19. Основные уравнения движения идеальной жидкости. Уравнение Гельм-
гольца — Фридмана и теорема сохранения вихрей 88
§ 20. Теорема Бернуллн 92
§ 21. Уравнение баланса энергии при адиабатическом движении идеального
и совершенного газа 96
§ 22. Скорость распространения малых возмущений в идеальном газе. Ско-
рость звука 100
§ 23. Числа Μ и λ. Изэнтропические формулы 106
Глава IV. Одномерный поток идеального газа 111
§ 24. Одномерное стационарное движение газа по трубе переменного сече-
ния 111
§ 25. Истечение газа сквозь сопло 114
§ 26. Пример неадиабатического движения газа 119
§ 27. Неизэнтропическое движение газа по трубе при наличии сопротивления 120
§ 28. Плоская ударная волна и скачок уплотнения 123
§ 29. Изменение скорости и термодинамических параметров газа при прохож-
дении его через прямой скачок уплотнения 128
§ 30. Скорости распространения ударной волны и спутного потока за нею 133

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 31. Элементарная теория сверхзвукового диффузора 136
§ 32. Измерение скоростей и давлений в до- и сверхзвуковых потоках . . . 140
§ 33. Нестационарное одномерное течение идеального газа. Распространение
возмущений конечной интенсивности 143
§ 34. Волны разрежения за движущимся поршнем. Центрированные волны.
Автомодельная и общая задачи 150
§ 35. Элементарная теория ударной трубы 154
Глава V. Общие свойства безвихревых движений идеальной среды. Плоское без-
вихревое движение идеальной несжимаемой жидкости 158
§ 36. Теоремы Кельвина и Лагранжа; условия существования безвихревых
течений 158
§ 37. Потенциал скоростей и его определение по заданному полю скоростей 160
§ 38. Интеграл Лагранжа — Коши. Некоторые общие свойства безвихревого
движения идеальной несжимаемой жидкости в односвязной области 163
§ 39. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости. Применение
функций комплексного переменного 167
§ 40. Комплексные потенциалы некоторых простейших потоков 171
§41. Решение задачи обтекания по методу конформных отображений. Посту-
лат Жуковского — Чаплыгина. Формула циркуляции 178
§ 42. Примеры применения метода конформных отображений. Обтекание
эллипса и пластинки 183
§ 43. Крыловые профили Жуковского — Чаплыгина 188
§ 44. Главный вектор и главный момент сил давления потока на обтекаемый
замкнутый контур. Формулы Чаплыгина. Теорема Жуковского. Коэф-
фициенты подъемной силы и момента пластинки 191
§ 45. Теория тонкого профиля произвольной формы 196
§ 46. Теорема Жуковского о подъемной силе профиля в решетке 202
§ 47. Применение метода конформных отображений в теории разрывных
течений 204
Глава VI. Плоское безвихревое движение идеального газа 211
§ 48. Основные уравнения движения и их линеаризация 211
§ 49. Дозвуковое обтекание тонкого профиля. Правило Прандтля — Глауэр-
та 215
§ 50. Сверхзвуковое обтекание тонкого профиля. Формулы Аккерета . . . 218
§ 51. Законы подобия плоских до- и сверхзвуковых обтеканий тонкого про-
филя. Случай околозвукового обтекания 223
§ 52. Сужающийся сверхзвуковой поток. Косой скачок уплотнения .... 231
§ 53. Расширяющийся сверхзвуковой поток. Движение газа в секторе разре-
жения 243
§ 54. Случай больших чисел Маха. Закон подобия гиперзвуковых потоков 247
§ 55. Уравнения газовой динамики в плоскости годографа скорости .... 251
§ 56. Влияние сжимаемости на распределение давлений в плоском дозвуко-
вом потоке 254
§ 57. Околокритическое обтекание крылового профиля 260
§ 58. Плоский сверхзвуковой поток. Общие свойства характеристик. Гра-
фический метод расчета сверхзвуковых течений 261
Глава VII. Пространственное безвихревое движение жидкости и газа 270
§ 59. Потенциалы скоростей простейших пространственных потоков .... 270
§ 60. Поле скоростей вокруг заданной системы вихрей в безграничной
жидкости; формула Био — Савара 274
§ 61. Потенциал поля скоростей замкнутой вихревой линии 277
§ 62. Функция тока в пространственных движениях 278
§ 63. Обтекание сферы. Парадокс Даламбера 281
§ 64. Уравнение продольного осесимметричного движения. Течение сквозь
каналы 286
§ 65. Осесимметричное продольное обтекание тел вращения 290
§ 66. Поперечное обтекание тел вращения 296
§ 67. Применение метода особенностей для расчета продольного и попереч-
ного обтеканий тел вращения 299
§ 68. Элементы теории крыла конечного размаха 302
§ 69. Общий случай движения твердого тела в безграничной несжимаемой
идеальной жидкости 312
§ 70. Осесимметричное до- и сверхзвуковое обтекание тонкого тела вращения 323
§ 71. Законы подобия обтекания тонких тел вращения и тонких крыльев
конечного размаха 334

ОГЛАВЛЕНИЕ
й
§ 72. Продольное сверхзвуковое обтекание кругового конуса. Конический
скачок уплотнения 340
§ 73. Сверхзвуковое обтекание тонкого тела вращения при очень больших
значениях числа Маха 346
Глава VIII. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. Движения при небольших
рейнольдсовых числах 351
§ 74. Ньютоновская вязкая жидкость и ее реологическое уравнение. Обоб-
щенный закон Ньютона 351
§ 75. Реологические законы неныотоновских вязких несжимаемых жидко-
стей 356
§ 76. Уравнения Стокса изотермического движения ньютоновской вязкой
несжимаемой жидкости 362
§ 77. Подобпе течений вязкой несжимаемой жидкости 365
§ 78. Установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости по цилиндри-
ческим и призматическим трубам 378
§ 79. Установившееся движение неньютоновской вязкопластической жидко-
сти по цилиндрической трубе кругового сечения 388
§ 80. Установившееся движение электропроводной вязкой жидкости по
призматическим трубам при наличии поперечного магнитного поля 391
§ 81. Пульсирующее ламинарное движение вязкой жидкости по круглой
цилиндрической трубе 400
§ 82. Обтекание шара при малых значениях числа Рейнольдса; формула
Стокса 403
§ 83. Пространственное движение вязкой несжимаемой жидкости между
двумя близкими параллельными плоскостями. Гидродинамическая тео-
рия смазки. Плоский цилиндрический и пространственный сфериче-
ский подшипники. Сферический подвес 409
§ 84. Диссипация механической энергии. Принцип минимума диссипации
в «медленных» движениях. Диффузия завихренности 427
§ 85. Неизотермические движения и диффузия примесей в несжимаемой вяз-
кой жидкости 435
Глава IX. Ламинарный пограничный слой в несжимаемой жидкости 439
§ 86. Взаимодействие конвекции и диффузии в потоке вязкой жидкости.
Пограничный слой. Уравнение Прандтля 439
§ 87. Различные формы уравнения Прандтля. Уравнения Мизеса и Крокко 449
§ 88. Подобные решения уравнения Прандтля. Примеры подобных ре-
шений 451
§ 89. Локальное подобие. Метод Кочина — Лойцянского 459
§ 90. Метод обобщенного подобия в теории плоского стационарного погранич-
ного слоя 468
§ 91. Пограничный слой на проницаемой поверхности. МГД-пограничный
слой 480
§ 92. Температурный и концентрационный пограничные сдои в несжимае-
мой жидкости 486
§ 93. Пространственные пристенные пограничные слои. Свободные и смешан-
ные пограничные слои 492
§ 94. Плоский нестационарный пограничный слой 516
Глаеа X. Турбулентные движения несжимаемой вязкоп жидкости · . 522
§ 95. Неустойчивость ламинарных режимов течений и возникновение турбу-
лентности 522
§ 96. Переходные явления в пограничном слое. Кризис сопротивления тел
плохо обтекаемой формы 528
§ 97. Уравнения Рейнольдса осредненного турбулентного движения . . . 544
§ 98. Явления переноса в турбулентном потоке. Полуэмпирические теории
турбулентного переноса 550
§ 99. «Свободная» турбулентность. Затопленные струи. Дальний след . . . 560
§ 100. Двухслойная схема «пристенной» турбулентности. Логарифмический
профиль скоростей 574
§ 101. Логарифмические и степенные формулы сопротивления гладких и ше-
роховатых труб 582
§ 102. Тепломассоперенос в условиях «пристенной» турбулентности . . . 590
§ 103. Полуэмпирический π эмпирический методы расчета турбулентного по-
граничного слоя на гладкой и шероховатой пластинах 598
§ 104. Эмпирический метод расчета турбулентного пограничного слоя с задан-
ным распределением давления во внешнем потоке 608
§ 105. Обратное влияние пограничного слоя на внешний поток 615

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 106. Приближенные формулы профильного сопротивления 620
§ 107. Некоторые сведения о внутренней структуре турбулентных потоков 626
Глава XI. Динамика вязкого газа 634
§ 108. Основные уравнения движения вязкого газа 634
§ 109. Условия подобия потоков вязкого газа 639
§ 110. Пример одномерного течения газа: толщина скачка уплотнения . . . 642
§ 111. Ламинарный пограничный слой при движении газа с большими скоро-
стями 648
§ 112. Ламинарный пограничный слой на пластине, продольно обтекаемой га-
зом с большими скоростями 657
§ 113. Ламинарный пограничный слой на конусе в продольном сверхзвуковом
потоке 669
§ 114. Ламинарный пограничный слой при больших скоростях и наличии
продольного перепада давлений 674
§ 115. Преобразование уравнений ламинарного пограничного слоя в газе
к форме уравнений для несжимаемой жидкости 683
§ 116. Метод обобщенного подобия в теории ламинарного пограничного слоя
в газовом потоке больших скоростей 688
§ 117. Ламинарный пограничный слой в гиперзвуковом потоке 693
§ 118. Взаимодействие ламинарного пограничного слоя с внешним невязким
гиперзвуковым потоком 700
§ 119. Газовый поток с твердыми примесями 709
§ 120. Турбулентный пограничный слой в газе на продольно обтекаемой
пластине 714
Именной указатель 728
Предметный указатель 731

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Предыдущее, четвертое издание настоящего курса было допущено MB
и ССО СССР в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по
специальности «механика». В связи с этим встал вопрос о некотором пере-
смотре материала предыдущего издания с целью возможного сокращения
его объема.
Это удалось сделать, прежде всего, за счет отказа от довольно обшир-
ного исторического обзора; желающие с ним познакомиться найдут его
в предыдущем издании. Затем пришлось пересмотреть и несколько сократить
изложение специальных вопросов, особенно относящихся к классическим
разделам безвихревого движения идеальных жидкостей и газов. В более
краткой форме, но без потери в ясности, излагается динамика вязких
жидкостей и газов.
Выдвижение на первый план понятий точного, локального и обобщенного
подобия профилей скорости в сечениях пограничного слоя позволило по-
новому, гораздо более последовательно, изложить теорию ламинарного
пограничного слоя. В отдельных местах улучшено и изложение полуэм-
пирических и эмпирических методов расчета турбулентных пограничных
слоев.
Сравнительная краткость учебника не позволила охватить все разделы
механики жидкости и газа. По необходимости, многие из них (теория волн
и волнового сопротивления, теория крыльев и винтов в до- и сверхзву-
ковых стационарных и нестационарных потоках, теория решеток лопастей)
приходится относить к специальным курсам теории корабля, самолета
и турбин.
Желание приблизить настоящее, пятое издание курса к задачам учеб-
ника заставило совершить общую его методическую переработку и попутно
устранить те недочеты изложения, которые вкрались в предыдущие издания.
В этом деле большую помощь автору оказал научный редактор настоящего
издания курса, доцент кафедры гидроаэродинамики Ленинградского Поли-
технического института им. М. И. Калинина, канд. физ.-мат. наук С. Б. Колеш-
ко, с исключительной тщательностью прочитавший рукопись и сделав-
ший по ней ряд ценных с научной и методической сторон замечаний, за что
автор выражает ему свою глубокую благодарность.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
За прошедший период исследования многих новых проблем механики
жидкости и газа получили применение при решении задач современной
техники. Среди этих проблем заслуживают упоминания: динамические и
термодинамические процессы в газовых потоках больших скоростей, дви-
жение электропроводных жидкостей и газов (плазмы) в электрических
и магнитных полях, ламинарный и турбулентный перенос импульса (трение),
тепла и вещества (примесей) в потоках ньютоновских и неныотоновских
жидкостей и много других физических и химических явлений, сопутствую-
щих движениям реальных жидкостей и газов.
Эти проблемы неизбежно расширили круг основных представлений,
без которых не может быть плодотворной деятельность инженера, соприка-
сающегося в своей практической работе с проблемами движений жидкостей
и газов. Мы поставили себе целью облегчить читателю возможность ознаком-
ления с новыми вопросами механики жидкости и газа, подведя его к тем
основным представлениям, без которых чтение специальной литературы
было бы для него слишком затруднительным. Пополнение содержания неко-
торыми новыми вопросами не удалось связать со сколько-нибудь значитель-
ным сокращением старого материала. Это объясняется той внутренней
связью между «старым» и «новым» и сохраняющейся в веках свежестью
и практической значимостью классических результатов, которые характер-
ны для «точных» наук.

ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Предмет механики жидкости и газа. Модель сплошной
текучей среды
Предметом механики жидкости и газа является модель сплошной теку-
чей среды с приписываемыми ей физическими свойствами, феноменологически
отражающими молекулярную структуру среды и происходящие в ней внут-
ренние движения материи.
В отличие от дискретной системы материальных точек, под сплошной
средой понимают непрерывное, безграничное или ограниченное множество
(континуум) материальных точек с непрерывным распределением по их мно-
жеству вещественных, кинематических, динамических и других физических
характеристик, обусловленных разнообразными как «внешними», так и
«внутренними» движениями материи, включая сюда и взаимодействие
среды с внешними и внутренними полями. Функции, задающие эти распре-
деления, предполагаются не только непрерывными, но и имеющими непре-
рывные производные, порядок которых отвечает требованиям производи-
мого математического анализа. В специальных случаях, относящихся только
к идеальным, лишенным внутреннего трения средам, допускаются наруше-
ния непрерывности в форме изолированных точек, линий или поверхностей
разрыва.
В кинематике сплошных сред, наряду с принятыми в кинематике диск-
ретной системы точек понятиями перемещений, скоросте" и ус орений,
появляется характерное для сплошной среды представление о бесконечно
малой деформации среды, определяемой тензором деформаций. Ее и рас-
сматривается непрерывное движение текучей среды, то основное значение
приобретает тензор скоростей деформаций равный отношению тензора
бесконечно малых деформаций к бесконечно мал му промежутку времени,
в течение которого деформация осуществилась. Как с динамической,
так и с термодинамической стороны модель сплошной среды отличается
от дискретной системы материальных точек тем, что вместо физических
величин, сосредоточенных в отдельных ее точках, приходится иметь
дело с непрерывными распределениями этих величин в пространстве —
скалярными, векторными и тензорными полями. Так, распределение
массы в сплошной среде определяется заданием в каждой ее точке плот-
ности среды, объемное силовое действие — плотностью распределения
объемных сил, а действие поверхностных сил — напряжениями, определя-
емыми отношением главного вектора поверхностных сил, приложенных
к ориентированной в пространстве бесконечно малой площадке, к величине
этой площадки. Характеристикой внутреннего напряженного состояния
среды в данной точке служит тензор напряжений, знание которого позволя-
ет определять напряжения, приложенные к любой произвольно ориентиро-
ванной площадке. Перенос тепла или вещества задается соответствующими
им векторами потоков.
Под текучестью (легкой подвижностью) сплошной среды понимают
ее способность совершать непрерывное, неограниченное движение в прост-
ранстве и времени под действием приложенных сил или по инерции. Это·

10
ВВЕДЕНИЕ
движение можно представить как бесконечную последовательность непре-
рывно друг друга сменяющих бесконечно малых деформаций, налагающих-
ся на квазитвердое движение элементарного объема среды. Наличие связи
между тензорами напряжений и скоростей деформаций определяет коли-
чественную сторону свойства текучести среды.
В дальнейшем принимается следующее ограничение понятия теку-
чести среды: если касательные (недиагональные) компоненты тензора ско-
ростей деформаций, определяющие скорости скошения углов между коор-
динатными осями, связанными с любой элементарной площадкой, равны
нулю, то равны нулю и касательные составляющие тензора напряжения на
той же площадке. Подчеркнем, что в этом определении не предполагается
взаимная пропорциональность касательных компонент этих тензоров, что
имеет место, например, в газах, ньютоновских и некоторых специальных
неньютоновских жидкостях.
Следует оговориться, что в широко употребительной, частной модели
идеальной, лишенной внутреннего трения (вязкости) среды касательные
компоненты тензора напряжения предполагаются равными нулю по самому
определению этой модели, независимо от форм ее механических движений,
наличия или отсутствия скоростей деформаций сдвига.
Среди аномальных (неньютоновских) жидкостей существуют такие
(например, бингамовская жидкость), в которых, при уменьшении скорости
сдвига до определенного значения, касательное напряжение сохраняет
постоянное отличное от нуля предельное значение. Наиболее общими свой-
ствами текучести жидкостей занимается специальная область механики
сплошных сред — реология.
Кроме только что отмеченных двух основных и достаточно общих
свойств сплошной текучей среды: 1) непрерывности распределения физи-
ческих свойств и характеристик движения и 2) текучести, или легкой под-
вижности, при рассмотрении частных классов задач приходится припи-
сывать модели среды дополнительные макроскопические характеристики,
определяющие ее индивидуальные материальные свойства, обусловленные
действительными микроскопическими свойствами: молекулярной структу-
рой и «скрытыми» движениями материи. В механике сплошных сред эти
характеристики вводятся феноменологически, в форме заданных наперед
констант или количественных закономерностей. Среди таких характерис-
тик выделим, прежде всего, отражающие вещественные свойства среды при
•ее равновесном состоянии: молекулярный вес и плотность распределения
массы (или, короче, просто плотность среды), концентрацию примесей в
многокомпонентных и многофазных смесях жидкостей, газов и твердых
частиц, затем температуру и теплоемкость среды, электропроводность,
магнитную проницаемость и другие физические свойства.
При наличии пространственной неоднородности в распределении физи-
ческих характеристик, возникают процессы переноса количества движения,
тепла, примесей, электрических зарядов и др. При сравнительно малых
градиентах этих величин количество переносимой субстанции принимается
пропорциональным ее градиенту, а коэффициенты пропорциональности в
этих линейных законах (Ньютона — Стокса, Фурье, Фика и др.), называемые
коэффициентами переноса, задаются также феноменологически в виде кон-
стант или функций от динамических и термодинамических характеристик
механического и других форм движений.
Таковы: коэффициенты (кинематический и динамический) вязкости,
проявляющейся в неоднородном поле скоростей в движущейся среде, коэф-
фициент теплопроводности или температуропроводности в неоднородном
поле температур, коэффициент массопроводности или диффузии при неодно-
родных полях концентраций и др.

§ и
ПРЕДМЕТ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
11
Все жидкости и газы в той или иной степени обладают перечисленными
физическим свойствами, причем необходимость их учета или возможность
пренебрежения некоторыми из них определяется в каждом отдельном слу-
чае целью исследования. Например, самая простая модель несжимаемой,
лишенной внутреннего трения (вязкости) и ряда других физических свойств,
так называемой идеальной, жидкости оказывается очень полезной при опре-
делении общего характера обтекания тел, реакций потока на них
и др.
Изменения плотности наблюдаются при распространении возмущений
давления как в покоящейся, так и в движущейся среде и являются следст-
вием ее сжимаемости. Сжимаемость движущейся среды заметно проявля-
ется при больших по сравнению со скоростью распространения звука
в ней скоростях течения (число Маха).
Неоднородность поля плотностей может иметь место и в несжимаемой
среде, если неоднороден ее физический состав (различная соленость, нали-
чие примесей и т. д.).
Вязкость становится существенной при движениях среды со значитель-
ными скоростями ее деформации. Характер движения вязкой жидкости
зависит от соотношения между скоростью потока, линейным размером обте-
каемого тела или русла и коэффициентом вязкости среды (число Рей-
нольдса).
Многие задачи гидродинамики, как уже упоминалось, могут быть
успешно решены на основе модели идеальной жидкости. Сказанное отно-
сится также и к процессам тепломассопереноса и другим физическим про-
цессам в движущихся средах, о чем неоднократно будет говориться на про-
тяжении настоящего курса.
Модель сплошной среды, заключающая в себе достаточное число расши-
ряющих сферу ее применений дополнительных макроскопически выра-
женных свойств, широко принята как вполне удовлетворительный метод
изучения движения жидкостей и газов в самых различных физических усло-
виях. Но не надо забывать, что эта модель представляет собой результат
статистического осреднения скрытой молекулярной структуры среды
и совершаемых внутри нее тепловых и других форм движений материи
и взаимодействий между молекулами вещества. Как всякое осреднение, эта
модель не может дать полной информации о происходящих на молекуляр-
ном и еще более глубоких физических уровнях микроскопических движе-
ниях материи, проявляющихся в обедненной форме макроскопической
модели в виде тех или иных ее свойств.
Изучением внутренних форм движения материи и связанных с ними
явлений занимается теоретическая физика в своих специальных разделах:
молекулярная (кинетическая) теория, статистическая механика, электро-
динамика и др. В этих разделах исследуются внутренние механизмы вязко-
сти, теплопроводности, массопроводности (диффузии) и других явлений
переноса, устанавливаются теоретические значения коэффициентов пере-
носа и общие закономерности их изменения в зависимости от различных
физических условий.
Стремление к углубленному рассмотрению внутренних процессов
в действительных средах, включая сюда процессы переноса, приводит во
многих случаях к необходимости отказа от макроскопического подхода
механики сплошных сред в пользу микроскопических методов статисти-
ческой механики, позволяющих значительно ближе подойти к выяснению
природы скрытых молекулярных процессов и разнообразных форм дви-
жения материи. Уравнения статистической механики значительно сложнее
уравнений механики сплошных сред, хотя и аналогичны им по типу, и также
требуют дополнительных допущений при решении конкретных задач.

12
ВВЕДЕНИЕ
В пределах настоящего курса эти специальные вопросы не могут быть
даже затронуты. Удовольствуемся лишь кратким качественным описанием
молекулярных структур жидкостей и газов, что может оказаться в даль-
нейшем полезным при сравнительном рассмотрении свойств этих двух основ-
ных состояний или, как иногда говорят, фаз вещества.
§ 2. Молекулярная структура и «внутренние» движения молекул
в твердых, жидких и газообразных средах
Выбор макроскопической модели сплошной текучей среды с приписан-
ными ей теми или другими свойствами отнюдь не освобождает от необхо-
димости хотя бы беглого ознакомления с действительной молекулярной
структурой жидкостей и газов и происходящими в них «внутренними» дви-
жениями молекул (атомов), составляющими сущность теплового движения
материи. Газы, жидкости и твердые тела имеют различные микрострукту-
ры, вследствие чего различаются между собой и тепловые движения в них.
Каж ое из этих трех агрегатных состояний вещества можно охарактери-
зовать отношением порядков величин потенциальной энергии силового
взаимодействия между молекулами и кинетической энергии их теплового
движения. Это отношение зависит от плотности «упаковки» молекул в дан-
ной структуре, т. е. от порядка средних расстояний между молекулами.
Сложность вопроса усугубляется, главным образом, своеобразием
законов межмолекулярных сил. Для электрически нейтральных молекул
силовое взаимодействие между ними определяется наличием значительно-
го отталкивания при малых расстояниях между молекулами и быстро спа-
дающего притяжения между ними на больших расстояниях. Сообразно
этому, в сравнительно плотных молекулярных структурах, соответствую-
щих твердому агрегатному состоянию вещества, потенциальная энергия
взаимодействия молекул значительно превосходит кинетическую энергию
их теплового движения.
Молекулярная структура в твердом теле определяется сильным взаимо-
действием между молекулами, приводящим к колебаниям их около непод-
вижных центров, совпадающих с равновесными положениями молекул
под действием силовых полей, образованных системой молекул. Эти непод-
вижные в пространстве положения равновесия являются устойчивыми.
Они могут образовывать правильную, периодическую систему, что соответ-
ствует кристаллической решетке, свойственной микроструктуре кристал-
лических твердых тел, либо хаотически разбросаны в случае аморфного их
состояния. В последнем случае из-за потери устойчивости возникает тен-
денция к переходу аморфной структуры в кристаллическую. Однако про-
должительность этого перехода оказывается настолько значительной, что
фактически наблюдаются как кристаллические, так и аморфные состояния
твёрдых тел. Характерные свойства молекулярной (атомной) структуры
твердого тела сохраняются по всей его протяженности, что позволяет гово-
рить о наличии в этой структуре как ближнего, так и дальнего порядков.
Такой упорядоченной структуре, представляющей предельный слу-
чай среды с сильным взаимодействием образующих ее молекул (атомов),
можно противопоставить другой крайний случай — газообразную среду
с молекулами, находящимися друг от друга на столь больших расстояниях,
что силы взаимного притяжения между ними пренебрежимо малы. В этом
случае основное значение приобретает кинетическая энергия теплового
движения, которое можно рассматривать как хаотическое движение сво-
бодных молекул, сопровождаемое их столкновениями друг с другом. Ни
о какой неподвижной молекулярной структуре здесь речи быть 'не может.

§ 2] МОЛЕКУЛЯРНАЯ СТРУКТУРА И «ВНУТРЕННИЕ» ДВИЖЕНИЯ МОЛЕКУЛ 13
Отсутствие силового взаимодействия между молекулами лишает газовую сре-
ду как ближнего, так и дальнего порядков.
Указанные две крайние по своим свойствам — твердая и газообразная —
структуры хорошо изучены и составляют соответственно предметы
специальных курсов теоретической физики: физики твердого тела, кине-
тической теории газов и статистической механики.
Как известно, теоретическому рассмотрению легче поддаются край-
ние случаи, а наибольшие затруднения встречаются на пути изучения про-
межуточных случаев. Это полностью подтверждается существующими
попытками проникнуть вглубь природы жидкого состояния вещества, зани-
мающего промежуточное положение между твердым и газообразным состо-
яниями, причем и по свойству сжимаемости и по другим макроскопиче-
ским свойствам расположенного ближе к твердому, чем газообразному.
Надо констатировать, что до сих пор не существует сколько-нибудь пол-
ная и законченная теория жидкого состояния.
Основная сложность заключается в том, что в жидкостях потенциаль-
ная энергия молекулярного взаимодействия сравнима по порядку с кине-
тической энергией теплового движения. Наличие влияния этого взаимо-
действия сказывается на индивидуальном, зависящем от химического стро-
ения молекул характере внутренней структуры жидкостей, чего нет в газах,
но что еще в большей степени сказывается в твердых телах. По современ-
ным представлениям, жидкости обладают весьма своеобразной структурой,
приближающей их к аморфным состояниям твердых тел.
В молекулярной структуре жидкостей имеется ближний порядок, но
отсутствует дальний. Это выражается в том, что расположение молекулы
жидкости среди соседних молекул определяется ее силовым взаимодей-
ствием с ближними молекулами и практически не зависит от взаимодействия
с дальними, которое быстро ослабевает, подобно тому, как это имеет место
в газах. Такой «ближний» порядок сохраняется для всех молекул и опре-
деляет своеобразие теплового движения в жидкостях, сближающее их с амо ф-
ными твердыми телами. Молекулы жидкости совершают колебательные
движения в пределах расстояний до своих ближних молекул с частото",
близкой по порядку к частоте колебаний молекул в твердых кристалличе-
ских решетках. Однако в жидком агрегатном состоянии центры этих коле-
баний уже не являются неподвижными, а мигрируют хаотически в noi o-
ящейся жидкости и в направлении макроскопического движения — в теку-
щей жидкости.
Наличие сильного взаимодействия между молекулами в твердом —
кристаллическом или аморфном — состоянии вещества, сохраняющего суще-
ственную роль в жидком состоянии, придает их макроскопическим свойствам
большее разнообразие, чем в случае газообразного состояния. В частности,
формы проявления такого основного макроскопического свойства, как
текучесть, настолько различны у разных жидкостей, что это составило,
как уже упоминалось ранее, предмет специального раздела механики сплош-
ных сред, представляющего наиболее общее учение о текучести, — реологии
(от греческих слов: ρεο — течь и λογοσ — учение). Если для газов можно
довольствоваться одним, общим для всех газов законом вязкости Ньютона,
то в жидкостях этот закон дополняется большим числом других реологи-
ческих законов, учитывающих вязкоупругие, вязкопластические, тиксо-
тропные и многие другие свойства, присущие так называемым «аномаль-
ным», отличным от ньютоновских, жидкостям (см. далее § 75).
В последнее время стали выделять четвертое агрегатное состояние
вещества — плазму. Под плазмой подразумевают ионизованный газ,
в котором, в отличие от нейтрального газа, между молекулами возникают
электростатические кулоновы силы. Наличие таких молекулярных взаимо-

14
ВВЕДЕНИЕ
действий, а также свободных электронов (электронный газ) вызывает появ-
ление у плазмы особых свойств, оправдывающих ее рассмотрение как нового
специфического агрегатного состояния вещества.
Удовольствуемся этими краткими качественными представлениями.
Некоторые количественные данные по макроскопическим свойствам жидкос-
тей и газов будут приведены далее по ходу изложения. За более подроб-
ными сведениями по молекулярной структуре и тепловым движениям
вещества в различных агрегатных состояниях адресуем к весьма содер-
жательным и доступным для неспециалистов статьям в физическом энцикло-
педическом словаре 1).
§ 3. Сводка наиболее употребительных формул векторного
и тензорного исчислений 2)
Методы векторного и тензорного исчислений играют важную роль
в преподавании механики сплошных сред, электродинамики и некоторых
других разделов теоретической и математической физики, непосредствен-
но связанных с теорией поля. Объясняется это тем, что используемая в этих
методах математическая символика полностью отражает и обобщает дей-
ствительные связи между физическими величинами. За недостатком места
нам приходится довольствоваться приведением в настоящем параграфе
лишь краткой, преследующей чисто справочные цели сводки употреби-
тельных формул векторного и тензорного исчислений в прямоугольных
декартовых и криволинейных координатах. Пользование в тексте ссылками
на эти формулы (без вывода их) значительно облегчает изложение матема-
тической стороны курса и позволяет более выпукло показать физическую
сущность его содержания. В сводке применена отличная от основного
текста нумерация формул, оправдывающая себя при многократном исполь-
зовании сводки.
Учебная литература по векторному и тензорному исчислениям обшир-
на; укажем лишь некоторые источники3).
I. Векторная алгебра
В книге введены следующие общепринятые обозначения.
Скаляры даны латинскими или греческими буквами, строчными,
иногда заглавными. Шрифт «светлый», латинские буквы всегда курсивом,
например а, Ъ, U, V, α, β.
Векторы даны теми же буквами, что и скаляры, но шрифт «жир-
ный», например a, b, U, V, α, β. Модуль (величина) вектора обозначается
| а | = а. Единичный вектор (орт) it, направленный вдоль а, записывается
как а = аи.
Оси прямоугольной декартовой системы координат: Ox, Oy, Oz или
Ох^, Ох2, Ох3. Системы координат две: правовинтовая и левовинтовая
(рис. 1). Проекции вектора а на оси координат обозначаются ах, ау, az
или аг, а2, ая
х) Физический энциклопедический словарь, Изд-го «Советская Энциклопедия»,
М., 1960—1966, т. I, стр. 366, 367, статья «Газы»; т. II, стр. 19—24, статья (Жидкость».
г) Настоящий параграф составлен в соавторстве с И. Л. Лойцянской.
3) А. И. Б о ρ и с е в к о, Векторный анализ и начала тензорного исчисления,
«Высшая школа», М., 1972; Н. Е. К о ч и н, Векторное исчисление и начала тензорного
исчисления, «Наука», М., 1965; Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Механика жидкости и газа,
«Наука», М., 1973, § 7, стр. 42—50; А. И. Лурье, Теория упругости, Приложения I,
II, III, «Наука», М., 1970, стр. 799—870; Я. П. Φ р> н к е л ь, Курс теоретической
механики, Отделы I, II и IV, Гостехпздат, Л.— М., 1940.

§ 3] СВОДКА ФОРМУЛ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ 15
Знаки математических операций сложения и вычитания обычные.
Знак скалярного произведения векторов — точка между сомножителями,
например а-b. Знак векторного произведения — наклонный крест, напри-
мер а X 6.
Ζ
к,
π
Х3
j
/flxb
/ ь
α
У>хг
А
мЕЭ\
а*Ь
i
ЛраЗовинтобая
система
J'*z У
ЛеЬоЬинтоЬая
система
Рис. 1.
Операции над векторами. Операции сложения векторов
и умножения вектора на скаляр обладают следующими свойствами:
а-\-Ь = Ь-\-а — коммутативность,
а + 6 + с=5« + (& + с) = (^ + 6) + с — ассоциативность,
λ (а + 6) = λα -j- λ& — дистрибутивность.
(i.l)
Скалярное произведение двух векторов а-Ъ = аЪ cos (а, 6) имеет свой-
ства:
а-Ъ = Ъ-а — коммутативность,
а -(Ъ + с) = а -Ъ + а-с — дистрибутивность относительно
сложения векторов,
λ (α -Ъ) =(λα)·6 —α -(λ 6) — сочетательность относительно
умножения на скаляр, j (1.2)
а-Ъ — 0 при α Φ О, b φ О, только если а _|_ Ь — усло-
вие взаимной перпендикулярности векторов-сомножителей,
а-а = а2,
(а± б)2 = а2± 2 (а-6) + Ь2.
Векторное произведение двух векторов а X 6 равно по величине пло-
щади параллелограмма
/\
| α X Ь | = а& sin (α, 6),
построенного на векторах-сомножителях, и обладает следующими свой-
ствами:
а X Ъ = —b X а — антикоммутативность,
a Х(b + с) — аХb + аХс — дистрибутивность относи-
тельно сложения векторов,
λ (а X b) = (λα) Χ 6 = а Χ (λb) — сочетательность отно- Η*·^)
сительно умножения на скаляр,
а X Ъ = 0 при а Ф b φ 0 — условие коллинеарности
(параллельности) векторов-сомножителей.

16
ВВЕДЕНИЕ
Смешанное скалярно-векторное произведение трех вектороь
а(Ъ X с) = Ъ-(с X а) = с-{а X 6) равно ± объему парал-
лелепипеда, построенного на векторах-сомножителях и обла-
дает свойством
а-(Ь X с) = 0 при а ФЪ Φ с фО — условие компланарности
векторов-соь ножителей (векторы лежат в одной плоскости).
(1.4)
Двойное вект рное произведение трех векторов
Х( хс) = ( с)Ъ — (а-Ъ)с
(ахЪ)Хс = (а с)Ь — (Ъ-с)а.]
■А
(1.5)
Аналитическая форма операций. В системе коорди-
нат (х, у, z) иле (хг х2. х3) скалярное или векторное поля физических
величин задаются функциями
λ = λ (х, у, z) = λ {xt х^, х3);
ax = ax(x,y,z), ay — ay{x,yz), az = az(x,y,z) } (1.6)
или αρ = αρ (xu x2, x3),
где /?=1,2,3..
В дальнейшем если индекс в одночленном выражении повторяется два раза,
то подразумев ется суммирование по этому индексу от 1 до 3, а знак
суммы опускается; немногочисленные исключения каждый раз оговарива-
ются. Фор гулы перехода от одной системы координат {хр; ρ = 1, 2, 3)
к другой (x'q\ q = i, 2, 3) гмеют вид
3
Хр ^j CCpqX
q (ZpqXq i £q == 2j ®,qp-£p ==
/\ 3
<Xpg = COS[Xp, Xg), 2j apsags &psaqs == '
Oil «12 «13
«■21 «22 «23
«31 «32 «33
- det (αρβ) = || aM || = ± 1.
= O-qpXp',
[0 при
[1 при
'
чФр-,
g=p*
J
(1.7)
Верхний знак в величине определителя ||аР5 || соответствует сонаправлен-
ным системам координат (обе правовинтовые или обе левовинтовые), ниж-
ний — противоположному случаю.
Если при переходе от одной системы координат к любой другой (без-
различно, сонаправленной или нет) функция λ сохраняет свое значение, т. е.
λ (х, у, z) = λ (х', у', z),
(1.8)
то она определяет физический, или истинный, скаляр. Если же в резуль-
тате перехода от правовинтовой (левовинтовой) к левовинтовой (правовин-
товой) системе координат λ меняет знак, то такая величина носит наимено-
вание псевдоскаляра.
Проекции физического (истинного) вектора при переходе от одной
системы координат к другой изменяются по тем же формулам (1.7), что
и сами координаты
Яр — <Хр gClq,
aq — &qp&p·
(1.9)
Если в формулах (1.9) при переходе от правовинтовой системы координат
к левовинтовой (или наоборот) в правых частях появляется знак минус,
то такой вектор именуется псевдовектором, или аксиальным вектором.

§ 3] СВОДКА ФОРМУЛ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ 17
Так, операция векторного умножения двух истинных векторов при-
водит к псевдовектору, а скалярно-векторное умножение трех истинных
векторов — к псевдоскаляру.
Единичные векторы, орты, осей координат (рис. 1) обозначаются сле-
дующим образом: ось Ох, Охх — орт г, ех, ось Оу, Ох2 — орт /, е2, ось
Oz, Ox3 — орт к, ег. Основные соотношения между ортами осей координат:
ep.eq = cos(xp, xq) = l
О при дФ р,
при д = р;
е-р X eq = еГ (порядок расположения индексов р, q, r
соответствует круговой перестановке 1 —>- 2 —>- 3 —>-1 —>-
Разложение вектора по ортам осей координат:
(1.10)
■).
а — βρβρ,
а2 — арар = 2 flp»
Р-1
>
(1.11)
βρ= α·βρ = α cos (α, ep).
Аналитическая форма некоторых простейших операций над векторами:
(а±6±с± ...)р = Ор±6р±ср± ... (р = 1, 2, 3),
(λα) ρ == λαρ, α · Ь = α^δ^ + а^бу + οΖ6Ζ = apbp,
(α Χ b)x = avbz — azby, (a x b)y = azbx — axbz,
(axb)z=axby — atJbx, (a x b)p=-aqbr — arbq (круговая пере- [ (1.12)
становка индексов p-+q->-r—>-p-*-...; p, q, r=l, 2, 3),
α Χ 6 =
Ч
«з
α3
fc3
β·(6Χ С)
aj a2 аз
bi 62 ''3
cj c2 C3
II. Тензорная алгебра
Тензоры обозначаются заглавными латинскими буквами, «светлым»
курсивным шрифтом, например Р, О, S, Т; компоненты тензоров —
теми же буквами с индексами. Число индексов при компоненте определяет
ранг тензора. Вектор по числу индексов можно рассматривать как тензор
первого ранга, скаляр — как тензор нулевого ранга. В дальнейшем будут
применяться тензоры второго ранга, у компонент которых два индекса —
Ррд, Qrs И Т. Д.
Тензор второго ранга Τ задается совокупностью девяти величин (ком-
понент), располагаемых в таблице (первый индекс — номер строки, второй —
столбца):
(Ти 1\г ^1з\
2м Г22 *2з1 = ((Гм)), р, ?=1, 2, 3. (11.1)
^31 ^32 Τ 33/
Тензор Т* называется сопряженным с Т, если Трд = Τqp. Тензор S,
обладающий свойством S = 5*, Spq = Spq, называется самосопряженным,
или симметричным; значения компонент такого тензора не зависят от порядка
расположения индексов, т. е. Spq = Sqp. Тензор А антисимметричен, если
-Apq и, следовательно, Арр = 0 (р = 1, 2, 3; сум-
Л* =
-А, или A*q =
мирование по ρ здесь не предполагается).
2 Л. Г. Лойцянский

18
ВВЕДЕНИЕ
3 = S3l\
»= S32 J ,
(II.2)
Таблицы симметричного и антисимметричного тензоров имеют вид
52i = S1Z S22 52з =
^31 = ^13 ^32 = "^23 "^33
(О Al2=—A2i А13= — А3Л
A2i=—Ai2 О 42з=— А32\
Л31=— Ai3 А32=—А23 0 / J
Симметричный тензор, в отличие от тензора с таблицей общего вида
(II. 1), определяется шестью величинами, антисимметричный — тремя, что
делает его схожим с вектором (но не тождественным ему). Из трех компонент
антисимметричного тензора можно образовать вектор (см. далее (И.7)).
Часто употребляется так называемая тензорная единица Ш — симмет-
ричный сферический тензор с компонентами, не зависящими от выбора
осей координат:
гО при дфр, /4 ° °\
рч 11 при д = р; \о 0 1/
Знаки операций сложения и вычитания тензоров, умножения
тензора на скаляр — обычные. Различные виды произведений двух тен-
зоров обозначаются следующим образом: скалярное — точкой между сомно-
жителями, векторное — наклонным крестом, тензорное, а также диадное
произведение двух векторов — смежным расположением сомножителей, без
знака между ними.
Аналитическая форма операций. При переходе от одной
системы координат (х±, х2, х3) к другой (х[, х'2, х'3) компоненты тензора
преобразуются подобно произведениям компонент (проекций) двух век-
торов (см. (1.9)):
i να == &ют&аз L rt 1
Tpq — Cl.Tp
GLsqi Та·
pq — VApr"'5s J
Сложение, вычитание тензоров, умножение тензора на скаляр произ-
водится по формулам
(P±Q±...)pq = PPa±Qpq±..., 1
(λΡ)ρο = (Ρλ)ρο = λΡρα. J ( '
Разложение тензора на симметричную и антисимметричную части:
T==L(T+T*)+±{T·
T*) = S + A, S = -!r(T+T*),
А— "о"(' * )> "pq~~"qp—5"('рч~г *<гр)»
Apq Aqp — -ψ (jf ρς ■
Τ qp).
(II.5)
Умножение вектора на тензор или тензора на вектор образует век-
торы аТ и Та с проекциями (компонентами)
(аТ)р = aqTqpt {Та)р = Tpqaq, ρ = 1, 2, 3
(при сохранении порядка расположения сомножителей в левой и
частях индексы суммирования д расположены по соседству!). Из
ления операций (II.6) вытекают следующие свойства:
(Н.6)
правой
опреде-
; а — «единичное» свойство,
Sa = aS (S — симметричный тензор),
Та — аТ*, аТ = Т*а, Аа^сха, аА = ахс,
(И.7)

§ 3] СВОДКА ФОРМУЛ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ 19
где^вектор с, эквивалентный антисимметричному тензору А, имеет компо-
ненты
Ci = A32 = A2s, c2 — Ai3 = -4|i >
cs = A21 = A*i2, Cp = Arq = A%T
;}
(II.8)
что'соответствует следующему обратному порядку индексов в круговой пере-
становке г —>- g -> /? —>- г —>- ... для А и прямому для А*.
Сопряженному тензору А* — —А при выполнении операций
А*ат>с*ха, аА***ахс*,
(П.9)
аналогичных^последней строке (И.7), соответствует сопряженный эквива-
лентный вектор с* = — с с компонентами
с* = А*32 = А23, ct = A*iS = ASi, I
c* = Ati = Al2, cl = A%q = AqT, J
(11.10)
т. е. обратный порядок индексов для А* и прямой для основного тензора А.
Согласно (П.5) и (II.9)
Ta = Sa-\-Aa = Sa + cxas*Sa-\-axc*. (II.11)
Скалярное произведение двух тензоров Ρ · Q дает скаляр
P-Q=PpqQpq,
р.Ш = Ш-Р = Ррр = Ри + Р22-\-Р33, I (11.12)
Р-Р = РрдРРд = Р2=\Р\2—квадрат модуля тензора Р.
Векторное произведение двух тензоров Р^х Q определяет вектор с про-
екциями
(Р xQ)j> — PqsQsr — PTsQaq (круговая перестановка
индексов p->-q-*-r-*-p-*~...; суммирование по s)
Из определения (11.13) вытекают следующие свойства:
QXP=— P*xQ*,
(Ρ X e)p = Pqs^sr — Prt^sq == Pqr— "г9 = 2-4gr = 2Cp,
/)X| = 2c*=- 2c.
Условие симметрии тензора Р:
Ρ Χ Ш = 0.
а } (И-13)
(11.14)
(11.15)
Мультипликативный тензор, диада, аЬ получается в результате диад-
ного умножения двух векторов α и 6:
(atbi аф2 афз\
a2bi a2b2 а2Ъг\ {ab)pq=^ apbq,
(аф1 а2Ь± α36Α
аф2 аф2 а3Ь2) (ab)*q = aqbp (ρ, g=i, 2, 3).
аф3 а2Ъ3 а3Ъ3)
(11.16)
2*

20
ВВЕДЕНИЕ
Координатные диады epeq, полученные на основе ортов координатных
осей, имеют компоненты
[1 при r = p, s = q, ^
[1 при r = s,> (11.17)
[0 при гфв,
(βρβρ)τ
при г φ ρ, s^g,
■ (е&дг, + (e2e2)rs + (e3e3)rS ■-
ерер = Ш.
Разложение тензора по координатным диадам имеет вид
Τ = Tvqeveq (II.17')
[аналог формулы (1.11) разложения вектора по координатным ортам].
Некоторые операции с тензорной единицей и диадой (выражения [(аЪ) с]р
и др. обозначают проекции соответствующих векторов на ось р):
ЦаЬ) с]р = (avbq) cq = (apcg) bq = [(ас) b)p = ap (ЬдСд),
(ab) с = (ас) Ь — а (Ъ-с),
[a (bc)]p = aq (bqcp) = bq (aqcp) = [b (ac)]p = cp (a-b),
a(bc)=b(ac) = (a.b)c, | (Π.18)
(аЬ)'Ш = арЪдШт = apbp = a-b,
\(ab)x%]p = aqbs'£ST — aTbs'£sq = aqbT — arbq (p-^q-^r^p^ ...),
(ab) хШ = ахЬ.
Тензорное произведение двух тензоров PQ определяет тензор
(pQ)pq = PprQrq (Ρ, <7=1, 2, 3; суммирование по г), 1
(РШ)рд = РргШтд-РРЯ1 РШ = ШР = Р. J
Инварианты тензора 2-го ранга:
Ii = Tpp = Tll-\-T22-\-TXi — первый, линейный, инвариант
(«след» тензора),
/2= TpqTpg=\ Т\2— второй, квадратичный, инвариант, | (I1.2U)
^3 — \\Tpq\\ = det(Tpq) — третий, кубичный, инвариант.
Разложение тензора Τ на сферическую Т^ и девиаторную Т&> части:
(11.19)
(11.21)
Симметричный тензор 2-го ранга S в произвольно выбранной прямо-
угольной системе координат интерпретируется поверхностью второго
порядка:
S -rr = Spqxpxq = const. (II.22\
Существует система главных осей (х\, х'2, х'3), в которых уравнение (11.22/
приобретает каноническую форму
ЗД2 + S;&? + S'vtf = const. (11.23)
Диагональные компоненты тензора S'pp называют главными компонентами
тензора S; недиагональные компоненты в главных осях равны нулю.

§ 3] СВОДКА ФОРМУЛ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ 21
/77. Векторный анализ
Применяемые обозначения. Вектор-радиус ОМ точки Μ
относительно полюса О обозначен г. Годограф непрерывной вектор-
функции a (s) скалярного аргумента s — кри-
вая M0s (рис. 2); ориентированный по каса-
тельной к годографу в сторону возрастания
скалярного аргумента s векторный элемент
дуги годографа — da; длина этого элемента
— | da |; производная вектор-функции a (s) по
скалярному аргументу s — dalds; производные
от скалярной φ и векторной функций по на-
правлению I — dyldl, daldl.
Для пространственных производных ис-
пользуются общепринятые обозначения: гради-
ент скалярного поля функции φ — grad φ; ди-
вергенция (расходимость) векторного поля функ-
ции а — div а; вихрь (ротор) той же функ-
ции — rot а; символический дифференциальный
оператор (набла) —V- Элемент дуги кривой
обозначен dl, поверхности — do, объема — dx; символы интегрирования
по кривой С — \ (...) dl, по поверхности — I (. . . ) do, по объему —
Рис. 2.
J (...) dx.
Определения дифференциальных и интеграль-
ных операций и некоторые их свойства. Производная
вектор-функции a (s) по скалярному аргументу s, при условии существо-
вания указанного ниже предела, равна (рис. 2)
da
ds
= lim Q'(s + As)~a(s) _ ^
As->-0
As
im
As-i-O
Δα
Δ7
(III.1)
и направлена по касательной к годографу вектор-функции.
Если при изменении аргумента s системы отсчета поворачиваются друг
по отношению к другу (ΔΘ — вектор малого поворота, соответствующий
малому изменению As), то производные в неподвижной dalds и в подвижной
d'alds системах связаны соотношением
da
d'a
ds
ds
■fiox a,
,. ΔΘ
ω = lim -τ—,
(ΠΙ.1')
Правила дифференцирования
da da ds da
dt
£(α±δ±...) =
ds dt
da db
ds
ds
_d_
ds
ds
dtp
ds
ds
f'(t), s = f(t),
d . ч dw , da
(a-b) = -£-b + a
ds
db
ds
, -5-(ax 6) =
da
db
ds X6 + ttX17·
(III.2)
Производные в данной точке скалярного или векторного поля по задан-
ному направлению I с ортом I (рис. 3) определяются обычным предельным

22
ВВЕДЕНИЕ
переходом (при условии, что указанные пределы существуют):
.*.= lim Ф(М0-д>(Л*) ^
dt HSf-^o Л/^'
^L= lim <*(Α/')-α(Μ)
(III.3)
Бели η — направленный в сторону возрастания φ орт внешней нормали
к поверхности уровня функции φ = const, то
dn
/\
4^n = grao>, ^- = gTad(p-l = -^-cos(l, n),'
dn
αφ Ι cftp
dn \ dl
Пространственные производные от скалярной φ и векторной а
(Ш.4)
функций
Рис. 3.
Рис. 4.
в данной точке (рис. 4) определены следующими предельными переходами
grad φ = lim — \ «,φ do,
τ-»-ο τ J
σ
diva = lim—\ η»αασ,
σ
rot α — lim— \ η ха do.
τ-»-0 τ J
(ΙΙΙ.5)
При использовании дифференциального оператора ν (д- , ^— , ^-) имеют
место символические равенства
V (...) = Ι™ 4 f n(...) da,
τ^° σ I (III. 6)
V<P = gradq>, V«a = diva, VXo = rota. .
Производные по заданному направлению l с ортом I при этом выражаются так:
d ., dro т _ 7
ir=i*V' -^- = ^^9 = ?.grad φ,
—=(*.V)a.
(Ш.7)

S Si СВОДКА ФОРМУЛ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ 23
Некоторые часто встречающиеся интегральные соотношения (ряс. 4, 5):
\ w<p da = \ νφ dx = I grad φ dx,
ο τ τ
\ ando= Ι η·ααο= \ V-adx = \ diva dx,
α ο τ τ
\ η Χ ado= \ V Χ a dx= \ rot α dx,
α τ κ
\ ri'iota ασ= I rotn α ο!σ = Φ a*dr,
с а с
\ rotn a do = Fa (rot a) — поток вектора rota через разомкнутую
(Ш.8)
поверхность σ,
Φ a*dr = Φ (ax dx-\-aydy-{- azdz) = Гс (a) — циркуляция вектора a
с с
по замкнутому контуру С,
Fa (rot a) = Гс (а) — формула Стокса.
Сводка наиболее употребительных дифференциальных формул вектор-
ного анализа:
div (φα) = φ div a-\-a «grad φ,
rot (φα) = φ rot α + grad φ Χ α,
div (α X Ь) = 6-rota— a«rot6,
rot(a x b) = (b«V) a — (a-V) b-\-a divb —bdiva,
grad(a«6) = (a«V) 6 + (6-V)«* + a Χ rot & + b х rota,
(a »V) a = grad (o2/2) + rot α Χ α,
■div grad φ = ν2φ =
дх*
ду*
dz2
-лапласиан скалярной
функции φ,
rot grad φ = 0, div rot α = 0,
grad div a = V (V·a) = rot rot α + V2a,
дга , d2a . d2a
2Λ_.
Vza
+
лапласиан векторной функции а,
V4-
(III.9)
J
в
дх* ' %z ' дгг
(ν2α)κ = ν%κ, (V2a)y = V4, (V2a)z
Аналитические формулы векторного анализа
прямоугольных декартовых координатах. Проек-
ции производной dalds на оси неизменного направления определяются
выражениями
(da \ dax I da \ "°у I da \ daz
ds /x ds ' V ds I у ds ' \ ds ) z ds '
В случае поворота координатных осей аналогичные формулы имеют вид
(da \ d'ax
~ds~)x~
I da \ _
\~dTlz~
ds
d'a7
I da \ d'ay ,
-ωναΖ — ωΖαν, ^_j^ = ——}-ωΖαΧ — ωΧαΖ,
+ ωΧαυ — α>υαΧ.

24
ВВЕДЕНИЕ
Пространственные производные от скалярных и векторных функций
выражаются равенствами
д
дх
(.-.)==Vx(...) = lim— f nx(...)do,
τ->-0 L J
σ
^r(...)-V„(--.) = Um-if ny(...)do.
dz
τ (
σ
(•••) = VZ (...) = limT \ nz(...)da,
dx
dq>
=--Vx<P=(g™d(p)x,
dtp
~sy
- ν»φ = (grad φ)„,
= νΖφ = (grad φ)Ζ,
- (ШЛО)
div« =
дах
да,,
дх
ду
даг
dz *
div r = 3,
(rot a)x = (V X a)x =
daT
da„
(rota)2=(Vxa)z =
da,.
, (rot а)у = (V X a)y =
θα»
dx
dax
dy *
(rota)p = (Vxa)p =
dz
daT
~dx~'
daa
dxn
dxr
(p-
■)-
Интегральные формулы векторного анализа в прямоугольных декарто-
вых координатах имеют вид
j ηκφωτ= J-g-dr, J η„φΛτ= J^-dT, j ηΖφ da = j -^- dt,
σ τ σ τ σ т
\ ηΧαασ= \ -γ-ατ, \ nyada = \ -x—dx, \ nzada = I -^-dx,
α τ α τ α Χ
J (η^ + η^+η^Λ^ j (-^ + J^ + -^)dT,
σ τ
i(* / ^α„ da \
^ (nxay — nvax)do=\ ( ——-0*-)ατ,
\
dx
да.
j (nyaz-nzay)da = J (-^- ~)dx,
σ τ
j (nzax — nxaz)da = f (^p_ ^-) d-r,
σ τ
(III.ll)
da„
5а:
Φ]*-
= <γ (ох ^ж + ау dy -| az dz).
Аналитические формулы векторного анализа
в ортогональных криволинейных координатах.
Обозначения: ортогональные криволинейные координаты точки Μ
(рис. 6) — дг, д2, д3; координатные линии — (gj, (g2), (д3); координатные
оси (касательные к координатным линиям в точке М) — [gj, [g2], [g3];

§ 3] СВОДКА ФОРМУЛ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ 25
орты координатных осей — кг, к2, 7г3; элементарные координатные векто-
ры — drt, dr2, dr3; их модули — ds^ ds2, ds3; координатные поверхности —
(?i?2)i (?29з). (?3?i); элементы координатных поверхностей — (д2д3) — аог,
(?3?i) — do2, (дгд2) — do3; элементарный координатный объем — dx.
Связь между декартовыми {хг, х2, х3) и криволинейными (дг, д2, д3)
координатами выражается равенствами
г=^г(хи х2, ^з);
(111.12)
xi~xi{qi, g2, д3),
#2 = ;Г2 (9li ?2' <7зЬ
хг~хз (<7i' Я21 9з)·
Орты координатных осей определяются
формулами
iCQ
где
дт
дг
dqs
1
дг
(не суммировать по s!),
коэффициенты Л яме.
Рис. 6
(111.13)
Производные ортов по кринолинейным координатам вычисляются по фор-
мулам
дк,
дк.
1 дНх
Я
dqS
дк2 __ 1
dqt ~ Я2
дк2 1
2 д12
к
гСо
1 дН
Н3 dq3
— к3,
дк,
1 дНг
dqz #t dgt
дНз
Hi Sgt
dHi
31
dqz
Mi
dqz
dk3
dqt
dk3
dq3
dks
dqT
#2
1
dq2
к
'3>
Я,
1 5Я3
дк2
dg2
дк-.
1 d#2
H3 dq3
k*
1
d#2
Нх dgi
kf,
1 аяя
dqs
#1 affi * н2
H3 dq3
k2,
k2,
дН3
dq2
Ι
l ая
Hs dqs
L· l*
кт при r=£s (не суммир вать!),
дН*
Η
к.
s dqs
1 дН
k3 при г = s.
1 affs
Я2 dg2
Λ·,
Я3 6ς3
Элементы дуги, поверхности, объема
(Ш.14)
dsi = | dr JI = Я, dffi, ds2 = | dr21 = Я2 dg2, ds3 = | dr31 = Я3 dg3, '
da4 = ds2 ds3 = H2H3 dg2 dq3,
do2 — ds3 dsi — Я3Я! dg3 d§j,
do3 = dst ds2 = Н^Н2 dgt dg2;
dx = dsi ds2 ds3 = IIlHiHz dq± dg2 dq3.
t (111.15)

26
ВВЕДЕНИЕ
Основные дифференциальные операции векторного анализа в криволи-
нейных координатах имеют следующие выражения:
(graded = -i--|^, (gradq^-^-g.
(gradq,)^-^-^
<^*4-^*-*-b7(£-&+&-&+-£-&H
δφ
Hr dgr
(r = l, 2, 3; не суммировать по г!),
div « = ТЦЩНг Уи {а^НА) + "ε" (°^ЯзЯ1) + **Г <VW> 1'
1 |-а(д9,Д"з) ^К/2)-|
]·
rota а
■d(aqHu
dg3
dq3
dqi
dqi J'
(111.16)
12 L dqi
ν2φ = div grad φ =
_ i г д /я2я3 θψ \ д ihsiiv δψ л δ /#,ff2 δφ \л
HtfzHsldqi \ Hi dqi }~*~ δ«?2 \ Я2 dq2 ) "+" θς3 V #3 5д3 ^ J '
Формулы (III.16) соответствуют символическим представлениям (III.6),
но при использовании компонент дифферен-
циального оператора V в криволинейных
координатах
V -J-J-
ql Щ dqi
V0 =
Η2 dq2
'Ь Hs dq3
(III.17)
и выражений (III. 14) для производных от
ортов ks по координатам qT.
В наиболее употребительных цилиндри-
ческой и сферической координатных систе-
Рис. 7. мах приведенные соотношения имеют сле-
дующий конкретный вид:
1) Цилиндрическая (в том числе и полярная) система г, ε, z (рис. 7):
х = г cos ε, у = г sin ε, z = z, г =угх2-]~уг, tge = y/x
(0^г< оо, 0^ε^2π, —oo<z<oo),
Яг-1, Яе = г, #2 = 1,
ω2 — cZr2 + г2 <2ε2 + dz2,
dor = r dsdz, do& = drdz, daz = rdrd&, dx — rdrdedz,
gradr φ =-|£ , grade Φ = — -^ , gradz φ = θφ
j · 13 (га,.) ,
δ/· '
1 Sag
rotr a
r
1 ggz
/· δε
r δε
dz '
_δφ
δε
δαΖ
dz
dz
(111.18)

$ 3] СВОДКА ФОРМУЛ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ 27
rot. a
даг
дг
daz
дг
дц>
rot
_ 1 [d{rat)
а=т[
дг
дат
].
ν*φ = -
■('-£)
Зг
1 δ2φ . δ2φ
га 9ε2
9z2
(III. 18)
2) Сферическая система R, θ, ε (рис. 7):
a; = R sin θ cos ε, у = i? sin θ sin ε, z = i?cos6
(0<#<οο,0<θ<π, 0^ε<2π),
HR=i, #е = Д, Яв = Д8т6,
ω* = dR2 + Д2 сЮ2 + R2 sin2 θ tfe2,
daH = i?2 sin θ сЮс^, doe = R sin QdRde, doe = RdRdQ,
dx = R2 sin QdRdQde,
1 δφ
gradR(p=-||-, grade<p= Д--Ц-, grade<p
+
,. 1 δ(Λ2αΗ) .
diva = -gj- vaD 4
Λ δθ
1 δ (αθ sin θ)
rotH a
1
δ.Κ ^ i? sin θ
δ (αε sin θ)
δθ
RsinB δε '
1 _£ое_ I (111.19)
i?sin6 δε '
iisinB
[■
δαθ
δε
]·
rot.»- 1 Γ d(Rae) daRl
ν2Φ=^
■("■-3-)
δβ
sin θ
θθ
1
sin2 θ δε2
δε2 J
/У. Некоторые формулы тензорного анализа
Применяемые обозначения. Дифференциальная диада,
или дифференциальный тензор D = S/a = Grad а (условно — градиент век-
тора а); сопряженная с нею диада D* — (v«) * = daldr (условно — произ-
водная вектора а по вектор-радиусу г); деформация поля вектора а (г) —
— def а; дивергенция поля тензора Τ (г) — Div Т.
Дифференциальная диада D и сопряженная с ней диада D* определены
следующим образом:
D = V« = Grada, D* = (VaY
U-na — \/τ>αα —
да„
'pq
D-
Ρ"9"
δ«4
дху
dai
дх2
day
[дх3
дхг
dd2
dxi
да2
дх2
да2
дх3
D*=S7aa
■■ daldr,
да„
'pq
9"-р
да3\
дху
даз
дх2
даз
дхз )
D*
дХд '
f dat δβ}
dxi дхз
δα2 δα2
дх\ дх2
даз даз
даЛ
дх3
да%
дх3
да3
{дХ!
дхо.
(TV Л)
дх3 )
W =
/1 0 0\
10 1 0|:
\0 0 1/

28
ВВЕДЕНИЕ
На основе тензора da/dr определен тензорный дифференциал da вектора а
да
(da)p = -~ dxq = D%q dxq = (D* dr)p,
da = D" dr.
(IV. 1')
Тензоры D и D* можно разложить на симметричную и антисимметрич-
ную части:
D^\{D + D*) +\(D-£>*) = S + A, )
D* = -i (D* + D) + Τ (D* - D) = S + A* ·
(IV.2)
Симметричная часть S назыв ется деформацией def а поля вектора а
и выражается равенствами
S_defa = 4(£ + £*) = !(Grad« + -gi), j
с ,л t \ i ( daq i даР \
Sp5=(defa)pe = y( —+ -^-).
(IV.3)
Эквивалентные антисимметричной части А векторы (см. (II.7) — (11.10))
связаны с полем исходного вектора а следующими соотношениями:
Ср — Arq ■■
и
да.
5 даТ
Up -
дхт
даг
dxq
дас
)■
Δ ~1( да' q\
AciT~ 2 I dxq 1x7)'
1 1
c=—2" rot α, с* = γ rot a.
(IV.4)
Дивергенция тензора Div Τ определена равенствами
Div
τ->-0 τ J
(Div7V
(DivT)y.
(DivT)z-
дТх
дТ
У* , дТ,
дх
дТ
ху
ду
дТ
dz
УУ
дТ
Ч
дх
ду
dz
дх
дТУ* | dTzz .
ду + dz '
дТ.
(Div7,)p = VqTqp ——(суммирование по д);
Div ab = (a-V) b + b div a.
(IV.5)

§ 3] СВОДКА ФОРМУЛ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ 29
Тензорные аналоги интегральных формул раздела III имеют вид
J nTdo = [ VTdx= J BivTdx, ^
ο τ τ
\ {пхТхх + п9Твх + пяТяя)аа=^ (^+^ + J^)dT,
j {nxTxy + nyTyy + nzTzy)do=\ (_^+_^ + _^-)йт,
σ τ
Jnprp9do=J-^-dT (9=1,2,3).
)
(IV.6)
Компоненты тензора def а и вектора Div Г в ортогональных криволи-
нейных координатах:
(defa)<?.
2 \ Яг
θα„
1 «Ч
<эяг
dHs
ддг
1
δα„
Я5 dgs
dHR ,
HrHs
dHs
oqs
HrHs
dHs
dqr
) при гфв,
a-.
'«я ая,
я5 a9s я} s9s ' hxhs dqy ' я2я5 9?2 ' h3hs dq3
при г
-.
(IV.7)
(defa),^:
(defa)gig2 =
(def а)чъ --
(def a)g2g2 =
1
d«„
ftff,
«,
'«3 <?#1
#i 9?t п Я2Я1 ag2
■t(-
4(
9o_
1
da.
'«i
H3Hi dq3 '
Ч 9Я!
_ _ g2 дя2
ЯГ a?t ' H2 dq2 HiH2 dq2 HiH2 δ?!
θα.
«з
δα„
dHi
Hi dqt ' Я3 dq3 Ηφ3 dq3
1
θα„
\ dH2
«3
(defa)g2g3 = T(^-^4
H2
1
dg2 ^ #i#2 dqi ' Я2Я
1
δα,
92
2-"3
a
аяг
9?з '
(defa)g3g3
(def α)9Λ
(def a),
1
da„
ая3
: Я3 dq3 + Я^з dgi '
(defa)ei<?2, (defa)e3g^
= (def a)g2V
<Ш3
Я2Я3 Θ92 '
= (def «)ν3'
)·
*3 dti3 \
HlH3 aqt ) '
g2 dH2 ач3 dH3
2 dq2 ~ H3 dq3 H2H3 dq3 H2H3 dq2
)■
(Div T),t =
! 9^2 δΗγ i glg3 gffj
Г9292 дН2 *<13Ч3 дН3
Η^Η2 dq2 ^ HiH3 dq3 HXH2 dqi HiH3 dqi »
(IV.8)
(IV.9)

30
ВВЕДЕНИЕ
(Div7%2 =
4«1 ЗЯ2
г929з 5Я2 ^«t affi
4*3 ^#3
"•"tfjtfz 39l ^ЯгЯз 39з Я^ dq2 H2H3 dq2 '
(Div7\,=
!939! ЗЯ3 . XQ&2 ЗЯ3
'«^i ая4
'β292 ^Я2
(IV. 9)
""" Я1Я3 β?! ~ ЯгЯ3 бд2 #^2 35з #2#3 а?з "
Пользуясь известными значениями коэффициентов Ляме Я1э Я2, Я3г
можно получить значения компонент тензора def а и вектора Div T в цилинд-
рической и сферической системах координат.
Так, в цилиндрической системе координат г, ε, z (Яг = 1, Яе = rt.
Яг = 1) имеем
(def а)тт=-—-, (def α)„ = — -^-
1/1 θαΖ
(defa)re = y(-
flr , (deia)zz = -da*
r ■ ·■ "■- dz *
(«•^-τΙτ-^+Ι1)· <«·>*-τ(-£+τ?).
1 / daE aE
1 3αΓ
dr
(OivT)r
(Div 7%
(DivT),
37V
r ' r 9ε
, 1 WEr
)■
dTx
ТтТ Tm
dr
3TrE
г dz
1 dTEE
dr ' r de
dTrZ , 1 dTEZ
+
dTz
r
Τ re, Tr;
dz
dTzz
dr г дг dz r
В сферической системе R, θ, е(Ян = 1, Яе = R, HB — R sin θ)
(def a)
da j.
RB-
dR
(defa)ee = ^--§-4
ад
R ffi
R
(def α)εΕ =
За»
Я sin θ 3ε
f^-ctge+
Д
R
βαθ
(def α)θε = (def α)εθ = ^ (^_Ωε ctgθ) + ^g-^-,
(^-(Wab-if-S-i+if),
(def a)*- (def «)Λ- |(7^ΠΓ^+ *■
Л J'
Л sin θ дг ' ЗВ
(Divr)B =
_ dTRR 1 ЗУен ■ 1 \dTER 1 д
(Div/r)e =
ν*
~зя~ + я" "Ж + TslET ~зГ + я"μ i й6 + 7 ей + (Γθθ — г«*) ctS еЬ
(DivT)e
*ЗГде
1 3ΓΘ,
tfi» гаг,
ЗЯ~ + 1Γ"3Θ~ + Rsme~dT + Ti№TRe+Ti:R+(T(i*>+ Γ«θ) Ctg6].
(IV. 10)
(IV.ll)
(IV.12)
(IV.13)

Глава I
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 4. Способы задания движения сплошной среды.
Поле скоростей. Линии и трубки тока
Общей задачей кинематики является описание движения среды, без-
относительно к тому, какие динамические условия вызывают и поддерживают
данное движение. В случае сплошной среды эта задача представляет собой
нечто большее, чем просто пространственно-временная регистрация движе-
ний отдельных точек среды, как это имеет место в кинематике дискретной
системы точек.
Среди специфических для механики сплошных сред кинематических
характеристик движения основное значение имеют те из них, которые слу-
жат для интерпретации свойств движения среды «в целом». Таковы, прежде
всего, геометрические образы векторных линий и трубок — в полях ско-
ростей и вихрей, интегральные меры полей скорости и ускорения — цирку-
ляции этих векторов по замкнутому контуру.
Наряду с этими суммарными характеристиками движения среды, большое
принципиальное значение для понимания самой сущности непрерывного
движения сплошной среды имеет классическая теорема Гельмгольца, пояс-
няющая локальный характер движения элементарного объема среды. Эта
теорема, представляющая обобщение на случай деформируемой сплошной
среды известной теоремы о разложении движения абсолютно твердого тела
на поступательную и вращательную составляющие, вводит в механику
сплошных текучих сред одно из самых основных ее представлений о тензоре
скоростей деформаций. Этот тензор содержит в своем определении все харак-
терные стороны деформационного движения среды, безотносительно к ее веще-
ственным свойствам, лишь бы только выполнялись указанные ранее условия
непрерывности и существования производных в пространственно-времен-
ном распределении скоростей в движущейся среде.
Существуют два исторически сложившихся способа задания движения
сплошной среды. Первый из них, связанный с именем Лагранжа, заклю-
чается в обычном для кинематики дискретной системы точек задании так
называемых кинематических уравнений движения
х —я (£; а, Ъ, с), у = у (t; а, Ь, с), z = z {t; a, b, с). (1)
Входящие сюда в качестве параметров величины а, Ъ, с, сохраняющие посто-
янные значения при движении среды, служат для указания4' выбора той
точки среды, движение которой описывается уравнениями (1). Такого рода
параметрами могут быть, например, декартовы или криволинейные коор-
динаты точек среды в какой-то начальный момент времени. Совокупность
величин: t, а, Ь, с носит наименование переменных Лагранжа.
При лагранжевом задании движения среды проекции скоростей и уско-
рений точек среды определяются обычными для кинематики дискретной
системы точек равенствами
u = x=-£- = x{t; а, Ъ,с), v = y = -£.= y(t;a,b,c), w= z = -£- = z(t; a, b, с);
u = x = -^r = x{t; a, b, c), v = y = ~- = y(t; a, b, c), w = z = -^- = z (i; a, b, c).
(2)

32
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Ггл, i
Здесь приняты следующие обозначения: точка над буквой, как обычно
в механике,— производная по времени t; и, ν, w — проекции вектора ско-
рости V на оси неподвижной декартовой прямоугольной системы коорди-
• · · ■
нат; и, v, w — проекции вектора ускорения V на те же оси.
Хотя лагранжев способ и применяется иногда в некоторых гидродина-
мических задачах, но все же уступает другому, более широко используемому
способу Эйлера, заключающемуся в задании поля скорости, т. е. зависи-
мости проекций и, v, w скорости от координат точ^к пространства х, у, z
и времени t:
и=и{х, у, z; £),
ν v(x,y,z;t),
w — w(x, у, z; t).
(3)
Совокупность величин х, у, z, t называют переменными Эйлера. Основное
различие между методами Лагранжа и Эйлера заключается в том, что в методе
Лагранжа величины х, у, z являются переменными координатами движу-
щейся частицы жидкости, а в методе Эйлера — это координаты фиксиро-
ванных точек пространства, мимо которых в данный момент времени про-
ходят частицы жидкости.
Поле скоростей будет стационарным, или не изменяющимся во вре-
мени, если в равенства (3) время t не входит. В более общем случае поле
может быть нестационарным, зависящим от времени. Обтекание одного
и того же тела будет стационарным или нестационарным в зависимости
от того, в какой системе координат течение рассматривать. Так, поле ско-
ростей, возникающее при поступательном, прямолинейном и равномерном
движении корабля по отношению к покоящейся вдали от него воде, будет
стационарным, если рассматривать движение воды по отношению к коор-
динатной системе, жестко связанной с кораблем, и нестационарным, если
движение относить к неподвижной координатной системе, связанной с бере-
гом. Действительно, при прохождении корабля вблизи данной точки ско-
рость воды в этой точке будет возникать и увеличиваться при приближении
корабля и уменьшаться после его прохождения.
Поле скоростей (3) представляет трудно обозримое бесконечное много-
образие векторов скорости, заполняющее часть пространства, занятую дви-
жущейся сплошной средой. Чтобы сделать это многообразие более обозри-
мым, необходимо как-то упорядочить его рассмотрение. Для этой цели
вводится представление о линиях тока в поле скоростей как о таких линиях,
вдоль которых в данный момент времени векторы скорости направлены
по касательным к ним в каждой точке.
■ Следующий простой опыт может дать наглядное представление о линиях
тока. Насыпем на поверхность воды в канале легкий и хорошо видимый
в отраженном свете порошок, не растворяющийся в воде. Будем считать,
что частички порошка полностью увлекаются водой при ее движении, так
что движения частиц воды и порошка на поверхности воды одинаковы
(на самом деле это не совсем так; некоторая разница, особенно в тех обла-
стях, где движение воды резко ускоряется или замедляется, существует).
При фотографировании с малым временем экспозиции каждая частичка
порошка изобразится на снимке в виде маленькой черточки. Черточки эти,
соответствующие малым перемещениям частичек за время экспозиции,
сольются в отчетливо видимые линии, которые и будут представлять линии
тока рассматриваемого движения. На рис. 8 показана фотография такого
рода спектра обтекания эллиптического цилиндра. Аналогичные спектры
можно получить запылением или задымливанием воздуха.

§ 4] ЗАДАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ 33
Линии тока в жидкости при нестационарном поле скоростей не совпадают
с траекториями ее частиц. Действительно (рис. 9), рассмотрим точку Μ
жидкости, скорость которой в данный момент времени равна V. Чтобы
построить линию тока для выбранного момента времени, отступим вдоль
вектора скорости в смежную точку Мг, нанесем на чертеже скорость Ух точки
Мх, отметим на этом векторе точку М%, близкую к М1ч проведем вектор
ее скорости V2 и т. д. Полигон ММгМ2М3 . . ., если стороны его взять сколь
угодно малыми, представит линию тока, проведенную через данную точку
в данный момент времени. Для построения траектории частицы жидкости,
Рис. 9.
в данный момент времени находящейся в точке М, проследим за движением
этой частицы с течением времени. За малый промежуток времени частица
переместится вдоль вектора скорости V из точки Μ в смежное свое положение
М', причем перемещение ММ' подбором промежутка времени можно при
желании сделать равным произвольному малому отрезку ММг линии тока.
Скорость в точке М' уже не будет, как ранее, равна Vx, так как за|протекший
малый промежуток времени, в силу нестационарности поля, скорость изме-
нится и станет равной, скажем, V. Таким образом, траектория далее уже
пойдет по направлению М'М", а затем М"М"' и т. д.; полигон ММ'М"Мт . . .
представит траекторию частицы с тем меньшей ошибкой, чем меньшими
будут выбираться промежутки времени. Из построения сразу вытекает важ-
ный для дальнейшего результат: при стационарности поля скоростей линии
тока совпадают с траекториями частиц.
К тем же выводам можно прийти, составив дифференциальные уравнения
линий тока и траекторий частиц. Условимся, чтобы не смешивать произволь-
ные бесконечно малые отрезки, проводимые в пространстве в данный момент
времени, с элементарными перемещениями частиц жидкости, происходящими
за бесконечно малый промежуток времени dt, обозначать: первые символом
бг, вторые — символом dr, а их проекции соответственно 6х, бг/, bz
πω, dy, dz. Тогда по условию совпадения направления касательной к линии
тока и вектора скорости в этой же точке будем иметь следующую систему
дифференциальных уравнений линий тока:
бх _ бу __ fiz ...
и (х, у, г; t) ν (х, у, z; t) w (х, у, z; i)"
Из аналогичных соображений получим уравнения траекторий
и(х, у, г; I) v(z, у, г; t) w\x, у, г; t) """ y"J
Оставим в стороне вопрос об интегрировании уравнений (4) и (5); в дальней-
3 л. Г. Лойцянский
Рис. 8.

34
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
шем будут указаны простые приемы разыскания линий тока. Заметим лишь,
что постоянные интегрирования будут определяться из условия прохождения
линии тока через заданную точку пространства, а траектории — также через
заданную точку, но и в заданный наперед момент времени.
В системе (4) время играет роль параметра, значение которого сохраняется
неизменным при интегрировании уравнений; иначе обстоит дело в системе (5),
где время — основной аргумент. Таким образом, в общем случае нестационар-
ного поля скоростей уравнения (4) и (5) не совпадают. В частном случае ста-
ционарного поля скоростей время в уравнения (4) и (5) явно не войдет и, отки-
дывая излишний в этом случае правый крайний член пропорции (5), получим
одинаковые системы уравнений как для линии тока, так и для траектории;
в этом случае линии тока и траектории совпадут.
Через каждую точку пространства, заполненного жидкостью, можно
в данный момент времени провести, вообще говоря, только одну линию тока.
Исключением являются такие точки, через которые проходит либо несколько,
даже бесчисленное множество линий тока, либо, наоборот, ни одной; такие
точки называются особыми. Если линии тока пересекаются в особой точке
под конечными углами, то, в силу невозможности одной и той же частице
иметь одновременно разные направления движения, становится очевидным, что
скорость жидкости в этой точке должна быть равна либо нулю, либо беско-
нечности.
Дадим примеры особых точек в частном случае плоского движения. Систе-
ма уравнений (4) сводится при этом к одному обыкновенному дифференциаль-
ному уравнению первого порядка (используем обычное обозначение диффе-
ренциала)
dy __ v(x, у) ,g.
dx и (х, у) * '
Линии тока являются интегральными кривыми уравнения (6), а особым
точкам поля скоростей в плоском движении соответствуют особые точки диф-
ференциального уравнения (6). На рис. 59 показаны картины линий тока
источника и стока, находящегося в точке О плоскости, что соответствует
особой точке уравнения (6) — узлу; через эту точку проходит бесчисленное
множество линий тока, а скорость в точке О равна бесконечности. На рис. 60
приводятся линии тока, окружающие точечный вихрь в точке О (понятие
«вихря» будет в дальнейшем разъяснено). С точки зрения теории дифферен-
циальных уравнений этой особенности поля скоростей соответствует особая
точка — фокус. Скорость в точке О'равна бесконечности. Наконец, в качестве
третьего примера рассмотрим критические точки А ж В разветвления потока
около круга (рис. 63). Как показано на рисунке, внешний по отношению
к кругу поток соответствует обтеканию круга, а внутренний — течению
внутри круга, обусловленному наличием в точке О особенности — диполя.
В точках А и В скорости потока равны нулю, в точке О — бесконечности.
Можно заметить, что точки А ж В являются седлообразными особыми точками,
через каждую из них проходят только две интегральные кривые. Точка О
аналогична узлу с интегральными кривыми, имеющими в точке О общую
касательную.
Проведем в данный момент времени в жидкости некоторый замкнутый,
себя не пересекающий (рис. 10), контур С, ни одна точка которого не является
особой. Тогда через каждую точку такого контура можно провести опре-
деленную линию тока. Совокупность этих линий тока образует поверхность
тока, а часть жидкости, выделенная из нее поверхностью тока, проведенной
через замкнутый контур, называется трубкой тока. Если контур С бесконечно
мал, то трубка тока называется элементарной, в противном случае — конеч-
ной. Проведя через контур С поверхность а, заключенную внутри трубки

§ 4] ЗАДАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ 35
тока и опирающуюся на контур С, получим сечение трубки. Если все линии
тока, расположенные внутри трубки тока и на ее поверхности, нормальны
к поверхности сечения, то такое сечение называют нормальным или ортого-
нальным сечением трубки.
Трубка тока представляет простой и наглядный кинематический образ,
значительно облегчающий изучение движения непрерывной среды. Разбив
весь поток на достаточно узкие трубки тока,
можно, пользуясь основным свойством труб-
ки — непроницаемостью г) ее боковой поверх-
ности, изучать бесконечно малые перемеще-
ния выделенного объема жидкости вдоль
трубки.
Струей называют часть жидкости, огра-
ниченную поверхностью траекторий точек
замкнутого контура. В случае стационарного
поля скоростей, когда линии тока не отлича-
ются от траекторий, трубка тока совпадает со
струей. В этом случае, разбив поток на трубки
тока, можно рассматривать не только беско-
нечно малые перемещения заключающихся
в трубках объемов жидкости, но и движения
их в течение любого конечного промежутка
времени.
Такой прием использования трубок тока Рис. 10.
полезен, например, при обобщении на случай
сплошной среды основных теорем динамики.
Элементарные трубки тока, каково бы ни было поле скоростей, допускают
проведение нормальных к ним сечений, причем с точностью до малых величин
высших порядков эти сечения можно рассматривать как плоские. Иначе обстоит
дело с трубками конечных размеров. Для того чтобы такие трубки имели
нормальные сечения, необходимо существование нормальных к линиям тока
поверхностей, а это накладывает на поле скоростей (3) некоторое ограничение.
В самом деле, пересечем линии тока семейством поверхностей φ (ж, у, z) =
= const и потребуем, чтобы эти поверхности были ортогональны к линиям
тока. Для этого нормаль в любой точке поверхности должна совпадать по на-
правлению со скоростью V в этой точке, т. е. требуется выполнение равенства
V = λ grad φ. (7)
Взяв от обеих частей этого равенства операцию вихря rot, будем иметь
по известным формулам векторного анализа (III.9) 2)
rot V = rot (λ grad φ) = λ rot grad φ + grad λ X grad φ = grad λ Χ grad φ,
а затем по (7)
rot V = -j- grad λ Χ V.
Отсюда в силу перпендикулярности векторного произведения своим
сомножителям сразу вытекает
F.rotF=0. (8)
Условие (8) существования нормальных сечений у трубок тока в приме-
нении к потокам жидкости впервые указал И. С. Громека 3). Примером
г) Непроницаемость является следствием того, что вектор скорости лежит в ка-
сательной плоскости к поверхности трубки тока.
2) Нумерация формул, начинающаяся с римских цифр, служит ссылкой на сводку
формул, помещенную в § 3 Введения.
3)И. С. Громека, Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости,
Казань, 1881; см. также: И. С. Громека, Собр. соч., Изд-во АН СССР, 1952, 116.

36
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
движения, для которого выполняется условие Громека, может служить
плоское движение жидкости.
Другим примером является безвихревое движение, в котором повсюду
rot V = 0. Нормальные сечения у трубок тока конечного размера отсутствуют
в случае винтового движения, когда rot V X V = 0, т. е. вектор скорости
параллелен вектору вихря скорости.
§ 5. Разложение движения элементарного объема сплошной среды
на квазитвердое и деформационное
Для изучения сложных движений в кинематике применяют общий прием
расчленения движений на отдельные, более простые составляющие. Так,
в кинематике абсолютно твердого тела, представляющего простейший пример
сплошной среды, для описания общего случая движения пользуются приемом
разложения его движения на две составляющие: поступательную вместе
с произвольно выбранной точкой тела — «полюсом», и вращательную вокруг
мгновенной оси, проведенной через полюс. При этом распределение скоро-
стей в различных точках тела в данный момент определяется векторной
суммой
V=-V0 + «>x(r-r0), (9)
или аналитическими формулами проекций скоростей точек тела на оси непод-
вижной системы координат
u = u0 + ay(z — z0) — a\(y — y0), ·
ν=ν0 + ωΖ(Χ—Χ0)—ωΧ(Ζ — Ζο), \ (10)
w=w0 + (ux(y — y0) — <uv(x — z0). .
В этих формулах и, v, w и и0, v0, w0 обозначают проекции векторов
скоростей V и V0 произвольной точки Μ тела и полюса М0, положение
которых относительно начала О системы координат Oxyz определяется вектор-
радиусами г и г0, или соответственно координатами х, у, z и х0, у0, z0,
а ω — вектор мгновенной угловой скорости твердого тела, одинаковый
в данный момент для всех точек тела и не зависящий от выбора полюса О.
Формулы (9) и (10) дают решение прямой задачи кинематики абсолютно
твердого тела определения скоростей его точек по заданным скорости полюса
V0 и угловой скорости вращения тела ω, что в случае этой простейшей модели
движения является вполне достаточным. Однако для общего случая дви-
жения деформируемой среды представляет интерес и решение обратной
задачи — определения по заданному полю скоростей (9) или (10) вектора
угловой скорости со. Чтобы решить эту, играющую сейчас вспомогательную
роль задачу, применим к обеим частям^линейных относительно х, у, z соот-
ношений (10) операцию пространственного дифференцирования rot [см. (III.5)
и (III. 10)]. Тогда, замечая, что в данный момент времени V0, r0 и ω пред-
ставляют постоянные, не зависящие от выбора положения точки Μ (х, у, z)
величины, получим аналитическим путем
/ л. тг\ dw dv , ν г,
(rot V )x = -^- - — = ωΧ - (- ωΧ) = 2ω*,
, ,rn du dw , . η
(rotF)» = -&—&- = ω»-(-ω») = 2ω„. ·
(rot V)z = -g- - ~ = ω2 - (- coz) = 2coz,
откуда сразу следует
co = yrotF. (11)

§ 5] РАЗЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА КВАЗИТВЕРДОЕ И ДЕФОРМАЦИОННОЕ 37
К этому же результату можно было бы несколько сложнее прийти
и синтетическим путем, если заметить, что ((IV.1), (III.10)) (ω·ν) г =
= ω (уг) = ω Щ = ω, div г = 3. Тогда будем иметь по (II 1.9)
rot V = rot (ω х г) = — ω (W) + ω div r —
ω£ + 3ω = 2ω; to = -^-rotF.
Выражение (11) вектора угловой скорости ω вращения абсолютно твер-
дого тела через пространственный дифференциальный оператор rot в поле
скоростей V, полученное при одинаковом в дан-
ный момент времени во всех точках абсолютно
твердого тела векторе ω, сохраняет свою силу
и для любой движущейся сплошной среды с не-
линейным полем скоростей, но лишь локально,
для малой окрестности данной точки Μ среды
(рис. 11). Тогда направленный отрезок ММХ =
= г1 — г можно представить как дифференциал
бг вектор-радиуса, определенный в фиксирован-
ный момент времени, что подчеркнуто выбором
символа б вместо обычного d. Замечая, что при
фиксированном времени вектор скорости Vx в
точке Мх с вектор-радиусом г+бг равен F(r-fo>), Рис. 11.
будем иметь, применяя разложение в ряд
Тэйлора и откидывая малые величины второго и высшего порядков,
Fi=F (r + 6r) = V (r)-
bV
dx
бх-
дГ
дУ
б*/-
dV
dz
dz;
Mf = M(a; + 6a;, у + бу, z + 6z) = u(x, у, z)-f-^- 8х + -£- 6y + -^-6z,
vi = v(x + bxt y + 8y, z + 6z) = v(x, y, z)+-^6x+-£-6i/ + —6z,
dx
dv
dx
wi = w(x+6x, y + 8y, z + dz) = w(x, y, z)-f — 6x + -^y 6i/+-£ 6z.
dy
dv
дУ
du
dz
dv
dz
dw
~dz'
\ (12)
Совершим следующую тождественную замену выражений производных
в правых частях последних трех строк системы (12):
du
dx
du
~dz
dv
du
dx
du
~dy~
dx
dv
~dz
dw
dx
dw
~dy
J_/_5m_ . _dv_\ 1 / du dv \
= Υ \~dy~ + dx ) + 2 \ dy dx ) '
1 ( du , Sw \ , ^ / du dw \
1 /_££_ . _£M i 1 ( dv _ du \
= "2~llte~~1~lty/ + 2 \ дх ~dy)
dv
дУ
dv
дУ
1 I dv , dw \ , i I dv __ dw \
= Τ \~dz~~*~~dy~ I +~2~ \~dT ~dy~)'
1 / dw du \ , J_ / _£[£_ _ ^_ \
= T \~dx~~*"lh~) +Y\~dx~ ~дТ}г
j_ (j^,jfo_\ ,J_ ( dw dv \
^ 2 [ ~df + dz } + 2 I dy dz ) '
dw
dw
dz
dz
(13)
и, имея в виду сравнитьгразложения (12) с более простыми разложениями для
абсолютно твердой среды (10), преобразуем последние три равенства системы

38
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ I
(12) тождественно к виду
, 1 / fti dw \ с, 1/
δν
ди
дх
ду
)Ьу +
\ (14)
. ди g. , 1 / ди , dv \ с . I ( ди . dw \ «
. 1 / ft> ди \ с i I dw dv \ с .
^=,7+т(-й—ж)6ж~1г(ж-^г)б2+
. 1 / ft> . <Эи \ с . * s , 1 / dv dw \ s
, \ I dw dv \ с \ I du dw \ R ,
, 1 / ftp , du \ ε , 1 / ftp , ft» \ s , dw f.
Сравнивая первые строки правых частей этих равенств с (10), заключим,
что их можно интерпретировать как проекции скоростей того квазитвердого
движения элементарного объема среды, которое в данный момент было бы един-
ственным, если бы среда мгновенно затвердела. Поступательная скорость
в таком квазитвердом движении элементарного объема совпадала бы со ско-
ростью V полюса М, а угловая скорость ω равнялась бы половине вихря
rot V, вычисленного в данной точке М. Мы видим, что наряду с этой ква-
зитвердой составляющей движения имеется еще дополнительная составля-
ющая, представленная вторыми строками в правых частях системы ра-
венств (14). Эта составляющая представляет отличие движения деформируе-
мой сплошной среды от недеформируемой, абсолютно твердой, и поэтому
носит наименование деформационной составляющей движения сплошной
среды.
Введем следующие обозначения:
fti
dx
2
Λ J_( 0° idu \ — ς I ( dw du \__ · ч
°κ*' 2 \ дх ~Τ"~δξ)~υΧ^ 2 \ dx "Γ" dz ) —υ*"
I du dv \ Λ δν Α Ι / dw δν \ Д j
\ ду + dx )—υν*> -b-y- — bvyi 2\~dy~^~~dT)~bVz>
1_ /_£u_ , j)w\ _ Λ 1 / ft> . dw \ _ · dw _ A
2 [ dz + dx ) —Λ**' 2 I dz "·" ду ) —υ*ν dz ~υ"·
(15)
Совокупность девяти величин
(16)
определенных системой (15), образует тензор 2-го ранга S, именуемый тен-
зором скоростей деформаций. Тензор этот симметричен: компоненты его
^ух "xyi
$zx—^ΧΖ,
^zy— "yzi
зеркально расположенные относительно главной диагонали, равны между
собой и поэтому среди его девяти компонент только шесть отличаются друг
от друга.

is 5] РАЗЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА КВАЗИТВЕРДОЕ И ДЕФОРМАЦИОННОЕ 39
Система равенств (14) может быть теперь переписана в следующей более
компактной форме:
• · ·
щ = и + ωνδΖ — ог6у + Sxx6z + Sxy6y + Sxz6z,
v1 = v + o)z6x — ωΧδΖ + Syx6x + Syy6y + Syz6z,
wi = w + (nxby — (Dy6x + Szx6x + S.y8y + Szz bz.
Первые три слагаемые в правых частях выражают скорость FKT в «квази-
твердом» движешш, а последние — скорость в деформационном движении
Удеф (рис. И).
Полученный результат представляет содержание следующей первой тео-
ремы Гелъмголъца: движение элементарного объема среды можно в каждый
данный момент времени представить себе разложенным на: 1) квазитвердое
движение со скоростью FKT, равной сумме поступательной скорости V какой-
нибудь отдельной частицы М, заключенной в этом элементарном объеме,
и вращательной ω х бг, соответствующей вектору угловой скорости ω,
равному γ rot V, и 2) деформационное движение со скоростью VRe$, опреде-
ляемой тензором скоростей деформаций (16), компоненты которого задаются
системой равенств (15).
Основной смысл первой теоремы Гельмгольца заключается в установле-
нии связанности между собой отдельных составляющих движения элемен-
тарного объема, зависящих от заданного поля скоростей, его непрерывности
и дифференцируемое™.
Вращение элементарного объема и деформационное его движение не могут
быть произвольными, не зависящими друг от друга и от поступательного
движения объема. Они связаны между собою совершенно определенными
количественными соотношениями, выражающимися через пространственные
производные, вычисляемые по заданному распределению скоростей (полю
скоростей).
Вспоминая принятое в § 3 обозначение def a (IV.3) для деформации
поля вектора а, заключим, что тензор скоростей деформаций S представляет
деформацию поля скоростей V:
S = def V. (17)
В дальнейшем, для краткости, используется однобуквенное обозначение
тензора скоростей деформаций S.
Выводу первой теоремы Гельмгольца можно придать синтетическую
форму, заметив, что, согласно последней формуле (IV.4),
Fi = F(r + 6r)=F(r) + 6F = F (r)-\-Sbr + i-rotF X бг =
ν =V (r) + (uXbr + Sbr, (18)
причем первые слагаемые в правой части (18) выражают скорости в квази-
твердом, а последнее — в деформационном движениях
V (г) + ω х br = Г «л, Sbr = Гдеф.
При синтетическом изложении вывода теоремы несколько искусственное
тождественное преобразование (13) приобретает смысл разложения диффе-
ренциального тензора поля скоростей D на симметричную S и анти-
1
симметричную А части (И.5). Вектор угловой скорости ω = -г- rot V

40
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
играет при этом роль эквивалентного сопряженному антисимметричному
тензору А* вектора с* (IV.4).
Проектируя обе части равенства (18) на оси координат и пользуясь
известными выражениями проекций векторного произведения (1.12) и про-
изведения тензора на вектор (II.6), получим вновь систему равенств (14).
§ 6. Вихревые линии и трубки. Вторая теорема Гельмгольца.
Интенсивность вихревой трубки и ее связь с циркуляцией скорости
Как было выяснено в предыдущем параграфе, элементарный объем
жидкости поворачивается как одно целое вокруг мгновенной оси, направление
которой совпадает с направлением вектора вихря скорости, а угловая ско-
рость ω мгновенного поворота равна по вели-
чине половине величины вихря скорости. Под-
черкнем, что квазитвердое вращение элемен-
тарного объема представляет только часть об-
щего движения, заключающего в себе еще
поступательную и деформационную составляю-
щие. Вектор ω можно себе представить как
угловую скорость воображаемого твердого
тела, которое образовалось бы при мгновенном
затвердевании рассматриваемого деформирую-
щегося элементарного объема.
Условие (8) существования поверхностей,
Рис- 12. ортогональных к линиям тока, приобретает на-
глядный механический смысл: направления осей
мгновенного вращения частиц должны быть перпендикулярны к направлениям
скорости их поступательного движения.
И. С. Громека исследовал пример движения, в котором ось вращения
частиц совпадает со скоростью их поступательного движения, и назвал такое
движение винтовым. К линиям тока такого, не удовлетворяющего условию (8)
движения нельзя провести ортогональные поверхности, а следовательно,
и построить нормальные сечения трубок тока конечных размеров.
Одним из самых распространенных и наиболее детально изученных дви-
сжений жидкости и газа является безвихревое движение, т. е. движение с полем
коростей, подчиненным условию
rot V = 0.
При таком движении бесконечно малые объемы жидкости не имеют вращений,
а совершают лишь поступательное движение, сопровождаемое непрерывной
деформацией.
Векторы угловых скоростей бесконечно малых объемов в различных
точках потока образуют векторное поле — поле угловых скоростей или отли-
чающихся от них лишь коэффициентом вихрей. Это поле может быть как
стационарным, так и нестационарным.
Чтобы нагляднее представить одновременное вращение различных эле-
ментарных объемов жидкости, введем в рассмотрение векторные линии поля
угловых скоростей ω или поля вектора вихря скорости rot V = 2ω. Эти век-
торные линии будем называть вихревыми линиями.
Напомним изложенный ранее при рассмотрении линий тока общий способ
построения векторных линий, особо поучительный в данном случае.
Возьмем в данный момент времени вблизи точки Μ (рис. 12) некоторый
вращающийся элементарный объем и отметим вектор его угловой скорости ω.
Переместившись вдоль этого вектора на малый отрезок ММг, проведем вектор
ωΧ угловой скорости элементарного объема в точке М15 соответствующий тому

S 6] ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ И ТРУБКИ. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦА 41
же моменту времени, затем вектор ω2 в точке Mz и т. д. Полигон ММХМ2 . . .
в пределе образует вихревую линию. Элементарные жидкие объемы, распо-
ложенные вдоль вихревой линии, вращаются вокруг касательных к ней в соот-
ветствующих точках. Вихревая линия играет роль криволинейной оси враще-
ния этих объемов. Представим себе элементарные объемы жидкости как
бусинки с заранее проделанными в них отверстиями для продевания нитки.
Непрерывность поля скоростей в жидкости
требует такой ориентации этих «бусинок»,
что нитка, продетая в отверстие одной
«бусинки», попадает точно в отверстие сле-
дующей «бусинки» и т. д. Нитка, прохо-
дящая через отверстия «бусинок» (рис. 12,
справа), дает наглядное представление о
вихревой линии. Конечно, образ твердых
«бусинок» отражает лишь наличие враща-
тельного движения элементарных объемов
жидкости и ничего не говорит о непре-
рывной деформации этих объемов.
Проведя через жидкие частицы неко- Рис. 13.
торый контур и через все точки его вихре-
вые линии, образуем вихревую поверхность. Часть жидкости, ограни-
ченная вихревой поверхностью, проведенной через замкнутый контур, пред-
ставляет вихревую трубку, если контур бесконечно мал, вихревая трубка
будет элементарной.
Чтобы охарактеризовать вихревую трубку с количественной стороны,
используем известное из векторного анализа понятие потока вектора'сквозь
поверхность. Потоком вектора а (рис. 13) сквозь поверхность σ (вообще
говоря, незамкнутую) называют скалярную величину
Fa(a)= \ ando= I n»ado = I acos (a, n)dc — \ (ηΧαΧ-\-ηυαυ-\-ηΖαΖ) do,
σ σ σ σ
(19)
где пх, пу, nz — направляющие косинусы нормали к поверхности а. Про-
стейшим примером понятия потока вектора может служить секундный объем-
ный расход жидкости Q сквозь поверхность а, определяемый как поток век-
тора скорости V сквозь поверхность σ
/\
<2= Г Упао-ш J Fcos(F\ n) da.
Докажем следующую (вторую) теорему Гельмгольца: поток вектора вихря
скорости сквозь произвольно проведенное сечение вихревой трубки одинаков
в данный момент времени вдоль всей трубки.
С этой целью рассмотрим объем вихревой трубки τ (рис. 14), ограничен-
ный двумя произвольными сечениями σΧ и σ2 трубки и боковой ее поверх-
ностью сгбок- Вспоминая известную формулу Остроградского — Гаусса (III.11)
j (nxax + nuay-\-nzaz)do= j (-g?L-f—^ + -J") dx
(20)
или в векторной форме (III.8)
I n»ado= I anda= \ div a dr,
(21)

42
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
положим а = rot V и разобьем поверхностный интеграл на сумму трех инте-
гралов, вычисленных по поверхностям σ1? σ2 и σ60κ, составляющим в своей
совокупности замкнутую поверхность σ. Замечая, что на боковой поверхности
вихревой трубки нормаль перпендикулярна к вектору вихря, убедимся, что
интеграл по бокой поверхности равен нулю. Тождественно равен нулю
и объемный интеграл, стоящий справа в (21), так как по (III.9)
div rot V = 0.
Итак, будем иметь
[ rotn V <к>\+ f rot„ V da = 0 (22)
Сохраняя направление нормали во втором слагаемом и изменяя направле-
ние η на противоположное η в первом слагаемом, чтобы иметь единообразное
Рис. 14.
определение потока вектора сквозь сечение трубки в направлении векторных
линий, получим
Fcl (rot V) = Fc2 (rot V), (23)
что и доказывает вторую теорему Гельмгольца. Из доказанного следует, что
поток вихря сквозь любое сечение трубки является характерной величиной
для трубки в целом и может быть принят за меру интенсивности трубки г.
Итак,
i = Fa (rot V) = f rotn V da.
σ
Иногда под интенсивностью вихревой трубки понимают поток вектора
угловой скорости ω = у rot V, т. е. величину
i' = .Fa((o) = 4-/^(rotF)=4i,
отличающуюся от предыдущего определения лишь постоянным множителем
1/2; это различие всегда оговаривается и не должно приводить к недоразу-
мениям.
Применяя вторую теорему Гельмгольца к элементарной вихревой трубке,
можем выбрать малые"сечения ог и σ2 плоскими и нормальными к поверхности
трубки; тогда с точностью до малых высших порядков будем иметь

§ 6] ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ И ТРУБКИ. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦА 43
ω1ο1 = ω2σ2. Из этого равенства вытекает, что сечение трубки не может стать
равным нулю, так как это привело бы к возрастанию до бесконечности угловой
скорости вращения жидких частиц в этом сечении (рис. 15). Отсюда следует
известный опытный факт: вихревые трубки не могут заканчиваться внутри
жидкости; они либо образуют замкнутые кольца, либо опираются на стенки
сосуда или свободные поверхности (рис. 16).
Вторая теорема Гельмгольца представляет чисто кинематическую тео-
рему, не связанную со специфическими свойствами жидкостей или особен-
ностями принятых их моделей. Доказательство теоремы основывалось лишь
Рис. 15.
Рис. 16.
Рис. 17.
на общем свойстве сплошности (непрерывности) среды. Вот почему выводы
из этой теоремы хорошо отражают действительность. Для пользования этой
теоремой полезно обратиться к другому, практически более удобному выра-
жению интенсивности вихревой трубки.
Вихрь скорости, так же как и угловая скорость частицы, не поддается
непосредственному измерению приборами. Нельзя непосредственно мерить
и интенсивность вихревой трубки. Однако, помимо введенного в настоящем
параграфе, существует другое, гораздо более наглядное определение интен-
сивности вихревой трубки, связанное с понятием циркуляции скорости.
Рассмотрим отрезок АВ (рис. 17) кривой С, проведенной в поле вектора а,
и обозначим через dr направленный элемент дуги этой кривой. Криволиней-
ный интеграл
в в /х в
^Ав(а)— \ a-dr = \ ads cos (a, dr)= \ acosads =
— \ asds=\ (ax dx -\-aydy-\- az dz) (24)
определяет циркуляцию вектора а по контуру С на участке АВ. Так, напри-
мер, известная формула работы силы F на участке АВ траектории движе-
ния С
в в
WAB = f (Fx dx + Fvdy + Fz dz) = j F-dr
позволяет трактовать работу как циркуляцию силы на выбранном участке
траектории.
Если контур С замкнут, то циркуляция вектора определится контурным
интегралом по замкнутому контуру (III.8)
Гс («) = Φ (ахdx+ay dy-} azdz) = φ a»dr. (25)

44
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
1ГЛ. I
Проведем в поле вектора а замкнутый, себя не пересекающий контур С
(рис. 18), и разомкнутую поверхность σ, опирающуюся на этот контур. Тогда,
если а представляет непрерывный и дифференцируемый вектор, то, как
известно, имеет место формула Стокса (III.8)
\ rot„ a da= & a-dr
σ С
или, согласно принятым обозначениям (III.8),
Fa (rot a) = Гс (а )·
Полагая здесь а = V и рассматривая поверхность σ как произвольное
сечение вихревой трубки, придем к следующей теореме Стокса: интенсивность
Рис. 18. Рис. 19.
вихревой трубкиравна циркуляции скорости по замкнутому контуру, рас-
положенному на поверхности трубки и один раз ее опоясывающему.
Теорема Стокса сводит, таким образом, количественное определение
интенсивности вихревой трубки к вычислению циркуляции скорости. Непо-
средственное измерение поля скоростей специальными приборами}не представ-
ляет в настоящее время особых трудностей, а суммирование слагаемых, входя-
щих в интеграл (25), определяющий циркуляцию, является операцией,
несравнимо более точной, чем дифференцирование распределения скоростей,
требуемое для вычисления значений вихря скорости, и последующее сумми-
рование, связанное с определением потока вихря. Вместе с тем понятие цирку-
ляции является и более наглядным с физической стороны.
Нестационарное явление возникновения вращения в покоящейся относи-
тельно Земли жидкости при ее истечении под действием силы тяжести
сквозь узкое отверстие в дне резервуара, а в телнических применениях —
со специально закрученной и засасываемой жидкостью, — связано с образо-
ванием вихревой трубки, сжатие которой при прохождении сквозь узкое от-
верстие вызывает резкое увеличение угловой скорости вращения частиц в
трубке — квазитвердом «ядре вихря». В установившемся движении простей-
шей моделью является «вихресток» (§ 40, рис. 62) с наложенным на него
нисходящим потоком, а при наличии свободной границы, например между
водой и воздухом, «воронка», заполненная засасываемым воздухом1).
Предположим, что в потоке имеется изолированная вихревая трубка
конечных размеров, так что вне ее угловая скорость жидких частиц равна
х) По терминологии Прандтля, «полый вихрь» (см. Л. Прандтль:
механика, ИЛ, М-, 1949, 93).

§ 7] ДЕФОРМАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА СРЕДЫ 45
нулю. В этом случае, очевидно, теорема Стокса будет верна не только для
контура, расположенного на поверхности трубки, но и для любого другого
однократно охватывающего трубку контура. Если в пространстве заданы
(рис. 19) несколько изолированных вихревых трубок с интенсивностями
i1? i2, . . ·, так что повсюду в области вне трубок (на поверхности σ вне
заштрихованных площадок σΧ, σ2, σ3, . . .) вихрь скорости равен нулю,
то циркуляция скорости по контуру С, однократно охватывающему вихре-
вые трубки, равна сумме интенсивностей этих трубок.
Действительно (рис. 19), имеем в этом случае
i = Тс (V) = Fc (rot V) = Fat (rot V) + FCi (rot V) + ...=i1 + ii + ...
При формулировании теоремы Стокса о связи между циркуляцией
скорости по произвольно расположенному замкнутому контуру и интен-
сивностями охватываемых контуром вихревых трубок следует оговориться,
что область течения односеязна. Как будет пояснено в § 37, в многосвязной
области в правую часть настоящего равенства могут еще входить так назы-
ваемые циклические постоянные, характеризующие многосвязную область.
Если циркуляция скорости по некоторому замкнутому контуру равна
нулю, то отсюда еще нельзя сделать заключение, что контур не опоясывает
вихревые трубки, так как интенсивности трубок представляют величины
алгебраические и могут в сумме дать нуль, хотя интенсивности отдельных
трубок и отличны от нуля. Только в том случае, когда циркуляция скорости
по любому замкнутому контуру, как угодно проведенному в области, занятой
движущейся жидкостью, равна нулю, можно судить об отсутствии вихревых
трубок. Такое движение называется, как уже ранее упоминалось, безвихревым
и характеризуется равенством rot V = 0 во всей области течения.
y^so-^dt
§ 7. Деформационное движение элементарного объема среды
Обратимся теперь к детальному рассмотрению второй составляющей
движения — деформационной составляющей. Как уже было выяснено в конце
§ 5, эта часть движения элементарного объема среды определяется тензором
скоростей деформаций S, ком-
поненты которого вычисляют-
ся по формулам (15). Пред-
ставляет интерес показать
кинематический смысл от-
дельных компонент тензора
скоростей деформаций, выра-
зив эти компоненты через
какие-нибудь простые, на-
глядные физические образы,
в своей совокупности пред-
ставляющие явление дефор-
мационного движения элемен-
тарного объема.
В качестве таких обра-
зов, по числу различных по
величине компонент тензора S, введем в рассмотрение шесть величин:
а) три скорости относительного удлинения жидких элементарных векто-
ров бгх (бя, 0, 0), бг2 (0, бг/, 0), бг3 (0, 0, 6z), расположенных (рис. 20)
вдоль осей прямоугольной системы координат с началом в точке Μ деформи-
руемого элементарного объема (под «жидкими» будем понимать такие эле-
менты, которые состоят все время из одних и тех же частиц движущейся
Рис. 20.

46
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[гл. i
среды). Обозначая эти скорости соответственно через ех, еу, ег, будем по опре-
делению иметь
'х бх dt
6г dt
(26)
б) три скорости «сношения» координатных углов (рис. 20) уху, yyz и yzx
между осями выбранной системы прямоугольных координат. Все эти углы
до деформации, очевидно, были равны π/2. Чтобы связать скорости изменения
координатных углов со скоростями деформации отрезков, выразим текущие
значения этих углов при деформационном движении по формулам
6ri · Ьг2 бг2 ■ бг3 „л „, бг3 · 6rt
cosYCT= «„«,,, cos^vz- — ■ -
бхбу
бубг
cos yz
6z 6x
(27)
dr+8(clr)
Sr+d(Sr)
a взятые с обратным знаком производные по времени γ^, ууг, yzx обозначим
соответственно &ху, eyz, ezx.
В основу определения физического (кинематического) смысла компонент
тензора скоростей деформаций S положим соотношение
Поучительно вывести формулу (28) из непосредственного геометрического
определения изменения произвольного элементарного жидкого отрезка —
вектора бг — за время dt.
Условимся обозначать символом d
бесконечно малое приращение (диффе-
ренциал) некоторой величины в про-
цессе перемещения жидкой частицы в
пространстве за бесконечно малый про-
межуток времени dt. Желая подчерк-
нуть связь такого, составленного в духе
лагранжева описания, процесса измене-
ния величины с движением конкретной
частицы жидкости, ему приписывают
наименование индивидуального или суб-
станционального приращения, а отноше-
нию его к дифференциалу времени —
индивидуальной или субстанциональной производной. Наряду с этим рас-
смотрим произвольное пространственное изменение величины, не связан-
ное с перемещением индивидуальной частицы жидкости, а определяемое
в данный момент времени как разность значений этой величины в двух
бесконечно близких точках пространства; такое изменение мы уже усло-
вились ранее обозначать символом δ.
Так, произвольный бесконечно малый жидкий отрезок ММХ (рис. 21),
как мы уже знаем, представляется пространственным дифференциалом вектор-
радиуса г точки Μ в фиксированный момент времени
ММ[ = бг.
По прошествии времени dt этот жидкий отрезок займет положение М'М\
и будет, согласно принятым обозначениям, равен
Рис. 21.
Бесконечно малое перемещение ММ' точки Μ равно
ММ' = dr,

§ 7] ДЕФОРМАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА СРЕДЫ 47
а соответствующее перемещение смежной точки Мх
Из векторного четырехугольника ММгМ\М' сразу следует, что
MW+ WW\ = ММ[ + M~jn\,
или
dr + Ьг + d фг) = Ьг + dr -f δ (<2τ·),
откуда после очевидных сокращений найдем
d фг) = δ (dr). (29)
Формула (29) выражает допустимость замены порядка индивидуального
(в пространстве и времени) и чисто пространственного дифференцирования
вектор-радиуса г жидкой частицы. Если ввести в рассмотрение вектор ско-
рости V = dr/dt, то равенству (29) можно придать вид, аналогичный (28),
афг) = bV dt.
Деля обе части на dt, получим вновь (28).
По определению операции δ перепишем (18) в виде
δν = ω х 6r -J-S dr
и, сравнивая с (28), будем иметь следующее общее и важное для дальнейшего
равенство:
_1(бг) = (охбг + £бг. (30)
Полагая в нем Ьг последовательно равным Ьгг фх, 0, 0), бг2 (0, 6у, 0),
бг3 (0, 0, 6z) и проектируя обе части (30) соответственно на три оси коор-
динат, будем иметь
-^ фх) = Sxx bx, -^ (бу) = Svv by, -^ (&) = Szz bz,
или, согласно (26),
&ΧΧ—βΧ1 &уу= ву, £>zz = Gzm (31)
Таким образом, диагональные компоненты тензора скоростей деформаций
(16) соответственно равны скоростям относительных удлинений элементарных
отрезков, расположенных вдоль осей координат и имеющих начало в дан-
ной точке потока.
Для определения недиагоналъных компонент Sxy — Syx, Syz — Szy,
Szx = Sxz вычислим производные по времени t от обеих частей равенств (27)
найдем сначала
d\xy 1 d.„ я \ , ,ж я \ ^ / 1 \
-sinY,z^=-^4^-6r3) + (^2-^3)-|-(-w)'
-8тТ,«^=-5^-5-(вг,.бг,) + (вг,.вг1)4(-5^г).
Применив эти равенства к моменту, соответствующему недеформирова-
ному состоянию элементарного объема, когда
Уху = Ууг = Y«e = -]f. фг^бгг) = фг2-бг3) = фг^Ьг^ = 0,

48
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
будем иметь
(32)
d^xv I d ,R е ч dV?/z 1 d -о с ,
dyzx __ 1 d
dt 6z дх dt
(drs'&rt).
Производные по времени t от скалярных произведений, стоящие в пра-
вых частях этих равенств, легко вычисляются. Используя (30) и известные
правила вычисления тройных скалярно-векторных произведений и произве-
дений тензора на вектор, получим
-*- (δ*νδ#·8) = ~ (бг^.бга + бг,.-^фг2)^
= (ω х 6rt) · 6r2 + бг4 · (ω x 6r2) + (S 6r±) · 6r2 + 6r4 · (5 6r2) =
= (ω x 6ri) · 6r2 — (ω X 6rj) · 6r2 + (5 Srjy by + (5" бгг)* бх =
= (Sxy + Sj,*) 6a: dy = 25ж„ бж бг/, (33)
-^ {&r2-br3) = 2Syzbybz, -^(br3-6r1) = 2Szx8x8z,
откуда, согласно принятому в п. б) определению и равенствам (32) следует
с _с -i(av,du\_\· % А l_/dw dv \ i '
Ьху — Ьух — Ту^-Т-ду~)~'2"ε^' °^ —^>z&— 2 Ι θ(/ "^ & /~ 2 fc^'
С _ С — * / δ" | dW >, _ 1 · ,о/\
Итак, недиагоналъные компоненты тензора скоростей деформаций равны
половинам скоростей скошений углов между бесконечно малыми жидкими отрез-
ками, выходящими из данной точки элементарного объема и направленными
по осям координат, соответствующим индексам компонент.
Для дальнейшего большое значение имеет еще одна деформационная
характеристика движения среды — скорость относительного объемного рас-
ширения среды в данной ее точке, определяемая равенством
ё=44(^
где δτ — элементарный жидкий объем среды.
Представляя этот объем тройным скалярно-векторным произведением
элементарных координатных векторов бг15 бг2 и бг3 и вычисляя производную,
будем иметь
'θ = 4 ΙΓ (δτ> = 4 W[δΓ1' <δΓ2 х 6гз)1 =
^-Я-Я^НЬгг X бг3) + ^1(бг2).(бг3 Χ βτΟ+^-Ι-^Ηβτ» X бг2).
Замечая, что δτ = дх ду 6z, по известному свойству единичных векторов
осей координат г', /, к получим
6r2xfir3 _ 1 / бг2 бг3 \ 1 i
δτ - Ьх \ by Х bz )— бх (J Х К> ~ ~ъ7 >
бг3Хб?ч _ ./ 6^1 X 6г2 к
δτ ~~ δ(/ ' δτ ~~&Г'
после чего предыдущее равенство перейдет в такое:
0=^4(^)+4^4(^)+4*4^з).

§ 8] УСКОРЕНИЕ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ. ТЕОРЕМА КЕЛЬВИНА
49
Используя вновь равенство (30), согласно которому
-^- (6rj) = ω Χ δη + S 6rj, — (6r2) = ω X 6rz + S 6r2,
— (6r3) = ω x 6r3 + S 6r3,
определим искомое выражение θ в форме
β =4τ*·(ωΧ 6^)4-4-J-(ω Χ 6Γ8) + -^-»*.(ωΧ 6r3) +
+ -^-i-(^6r1)+-^-^.(5.6rs)+-^-fc.(5 6r,).
Первые три слагаемые в правой части тождественно равны нулю, так как
векторы 6rlt бг2, бг3 соответственно параллельны векторам г, /, к; вычисляя
остальные три слагаемые, найдем (ШЛО)
*=ttW=^+see+s„=%+%+»-=divr, <35>
так что скорость относительного объемного расширения элементарного объема
среды в данной ее точке равна дивергенции вектора скорости в этой точке.
Можно еще сказать, что скорость относительного расширения, равная
сумме диагональных компонент тензора скоростей деформаций, определяется
как сумма скоростей относительных удлинений
• · · «
Q = ex + eu + ez,
что представляет известный результат из общего курса физики, где он обычно
формулируется не для скоростей, а для самих деформаций.
В заключение параграфа обратим внимание на формулу, непосредст 1внно
вытекающую из (35):
-^-(δτ) = <ΚνΓδτ, (36)
и выражающую быстроту изменения элементарного объема среды во времени
при заданном ее движении.
§ 8. Ускорение жидкой частицы. Теорема Кельвина
Вектор ускорения V жидкой частицы по самому своему определению
представляет индивидуальную производную по времени от вектора скорости
этой частицы
dV
dt
и в лагранжевых переменных задается формулами (2) § 4.
Составим теперь выражение вектора ускорения в эйлеровых переменных.
С этой целью заметим, что при этом вектор скорости V представляет вектор-
функцию вектор-радиуса точек и времени, если доле скорости нестационарно.
Применяя понятие производной но направлению, можем написать (III.2)
• dv _ дУ dv ds ^dv dV
V dt dt ~*~ ds dt dt "r ds ' У.01)
где ds — элемент дуги траектории. Используя символическую операцию про-
странственного дифференцирования (ШЛО)
v=*-ir+Jir+k-ir' (38)
4 Л. Г. Лойцянский

50
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
рассматриваемую как вектор, получим, умножая ее на единичный вектор V/V
касательной к траектории,
и, следовательно, ускорению можно придать символическую форму
Поступая иначе, можно рассматривать индивидуальную производную
(37) как нолную производную по времени от вектора скорости, представляю-
щего сложную функцию от времени t как явно в случае нестационарного поля
скоростей, так и через посредство координат х, у, z движущейся точки. В соот-
ветствии с этим найдем
dV SV dV dx dV dy SV dz
r =
dt dt τ dx dt ' dy dt ' dz dt
или, замечая, что производные по времени от координат движущейся точки
равны^проекциям ее скорости на оси координат
dx dy dz
dt dt tit
получим следующее выражение вектора ускорения в эйлеровых переменных:
+ u^T+v^r + w-»T· (4°)
dt г dx dy dz
Проектируя обе части равенства (40) на оси неподвижных координат,
будем иметь
■Λ du ди , ди , ди , ди ~\
у* = чг=иг+иИх-+и^и'-&г> \
dv dv , dv . dv . dv
-dT = -dT+u-dx- + v-d7 + w-dT
dw dw , dw , dw . Ow
T> av ov . ov . ov . ov i ,,A
z dt ~ dt rU дх +17 dy
^ir-J
Переходя в (41) от проекций к векторному выражению, вновь получим (39).
Выражение, стоящее в (40) справа, можно рассматривать как результат
применения к вектору скорости оператора индивидуальной производной по
времени
Аналогичный оператор может применяться к скалярным функциям,
например температуре или плотности частицы движущегося газа, а также
и к тензорным величинам, связанным с движущейся частицей.
Рассмотрим кинематический смысл каждого из двух слагаемых в правой
части (42) по отдельности.
Первое слагаемое dldt выражает изменение со временем при фиксиро-
ванных координатах, т. е. местное, локальное изменение, и поэтому назы-
вается локальной производной. Такая локальная производная от физической
величины может быть отлична от нуля только в том случае, когда поле рас-
сматриваемой физической величины нестационарно.
Второе олагаемое в правой части (42) образуется за счет изменения коор-
динат точки, соответствующего передвижению (конвекции) ее в поле диффе-
ренцируемой физической величины. Вот почему это слагаемое в выражении
индивидуальной производной носит наименование конвективной производной.

8]
УСКОРЕНИЕ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ. ТЕОРЕМА КЕЛЬВИНА
51
В отличие от локальной производной, определяющей, как только что было
отмечено, нестационарность поля физической величины в данной точке про-
странства, конвективная производная характеризует неоднородность поля
этой величины в данный момент времени.
Сообразно с введенным разложением индивидуальной производной по вре-
мени на локальную и конвективную части назовем первое слагаемое dVldt
ускорения в формуле (39) локальной составляющей ускорения или, короче,
локальным ускорением, второе слагаемое (F-V) V конвективной составляющей
ускорения или конвективным ускорением.
Локальпое ускорение равно нулю в любой момент времени, если поле
скоростей стационарно. Локальное ускорение может обращаться в нуль в тот
момент, когда в данной точке величина скорости достигает своего макси-
мального или минимального значения во времени.
Конвективное ускорение равно нулю в любой момент времени, если поле
меняется со временем одинаково во всех своих точках, оставаясь при этом
однородным. Конвективное ускорение может обращаться в нуль на мгновение,
если в этот момент поле скоростей однородно (например, в начале движения
тела в неподвижной жидкости, в движении, вызванном ударом тела о поверх-
ность неподвижной жидкости).
Выражение ускорения в форме (39) содержит символический векторный
оператор V- Чтобы освободиться от этого оператора, используем известную
формулу векторного анализа (III.9)
gTad(a-b) = (b'V)a-\-(a-V)b + b Xrotct + α xrotfc
и положим в ней а = b — V. Тогда будем иметь
V2
(F.V) V =rot Г XV +grad (—-) ,
и выражение ускорения (39) приобретает форму
^==-^-+^rad(-T-)+rotFxF· (43>
Найдем проекции ускорения на оси прямоугольной криволинейной
системы координат. Заметим, прежде всего, что по первым двум строкам
(III.15) легко заключить о форме выражений проекций скорости на эти оси,
величине скорости и ее векторного разложения по ортам kr прямоугольной
криволинейной системы координат
^г = -£- = *г4г = ^Р <г= 1,2,3);
к=1Л/й+#й+яй, I (44)
V = Vqfa + Vg2k2 + Vqak3 = Нд^ + Я29а*в + H3q3k3.
Ускорение V определим, взяв индивидуальную производную по вре-
мени t от обеих частей предпоследнего равенства (44):
По определению индивидуальной производной по времени от функции Vq$
от времени t и координат д1У д%, <?3 и на основании равенств (44) будем иметь
dt dt ' dqT dt dt + dqr 9r dt + HT dqr ^Ь'
(s=l, 2, 3; суммирование по r).
4*

52
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
Последние три слагаемые в правой части (45) содержат производные
ортов по времени
dks
dt
dqr 4r HT dqr
(s=l, 2, 3; суммирование по r), (47)
выражаемые через ks (s = 1, 2, 3), согласно (III.14).
Результат подстановок (46) и (47) в (45) слишком громоздок. В при-
менениях проще непосредственно находить Vg и ks для выбранной системы
координат, а уже потом подставлять эти выражения в (45), как это видно
на примере цилиндрической системы координат:
dVr
dVr
dt
dkT
dt
VP
■Vr
dVr
ve dvr
dt
"*ε*
dr
dkB
dt
г de
dVr
dz
"ΓΙ
die.
dt
= 0 И Т. Д.
Приведем окончательные выражения проекций ускорения в случае двух,
наиболее употребительных, цилиндрической и сферической систем координат:
а) цилиндрическая система (III.18)
Vr
dt
dt
v,=-dV*
+vr-dV°
vE dvr
г de
vE dVE
dt
±ντ
dr
dV?
r
VP
de
dVz
■vV2
dVr
V2
y ε
dz
dVP
r
VrV,
)
e
dr
б) сферическая система (III. 19)
dvR ve dvR
Ve =
dvb
У*-
dt
dVP
-V*
dli
R ΘΘ
Ve dVe
+
dz
svz
dz
dVR Ц + П
(48)
R sin θ de
VE dVG
R
VrVg
v%
dt
+vB
dt
dVE
r de
ve evE
dR
R dQ
R sin θ
VP
de
dVP
R sin θ 5ε
+
R
VRVE
R
+
R ctge,
vGve
R
I
ctge. J
\ №
В заключение раздела кинематики сплошной среды докажем следую-
щую важную для дальнейшего кинематическую теорему Кельвина: индиви-
дуальная производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому
жидкому, состоящему из одних и тех же частиц среды и движущемуся
вместе с нею, контуру равна циркуляции ускорения по тому же контуру.
Найдем сначала более общее выражение индивидуальной производной
по времени от циркуляции скорости по разомкнутому жидкому контуру АВ,
соединяющему частицы жидкости А я В. Будем исходить из очевидного соот-
ношения
А А А
(50)
Изменение во времени формы жидкого контура интегрирования и положе-
ния точек А и В (пределов интегрирования) учитывается вторым слагаемым
в правой части (50), заключающим под знаком интеграла индивидуальную
производную по времени от ориентированного элемента контура интегри-
рования бг.

§ 8j УСКОРЕНИЕ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ. ТЕОРЕМА КЕЛЬВИНА 53
Вспоминая основное соотношение (28), перепишем (50) в виде
в в в
JL f v.6r = J f.6r+ f Γ·δΓ =
AAA
Б Б Б
= J F-Sr + jo(-lF') = JF.6r+4-(Fb-rA). (51)
А А А
Таково общее выражение для индивидуальной производной по времени от цир-
куляции скорости по любому разомкнутому контуру. Первое слагаемое в пра-
вой части представляет циркуляцию вектора ускорения по тому же контуру,
остальные — полуразность квадратов скоростей в граничных точках контура.
Приведя точки А и В к совпадению, получим замкнутый контур С,
а равенство (51) перейдет в более простое
-|-§Г.6г = §Г.6г, (52)
с с
выражающее ранее сформулированную теорему Кельвина. Из теоремы
Кельвина следует, что циркуляция скорости по замкнутому контуру, или,
согласно теореме Стокса, интенсивность вихревой трубки в общем случае
изменяется со временем и зависит от распределения ускорения в жидкости,
т. е. от распределения приложенных к жидкости сил. Этот вопрос относится
к динамике и будет рассмотрен в дальнейшем.

Глава II
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 9. Распределение массы в сплошной среде. Закон
сохранения массы и уравнение неразрывности
Возьмем малый объем жидкости или газа Δτ, содержащий внутри себя
данную точку Μ пространства, и пусть масса этого объема будет Am; ска-
лярная величина р, определяемая предельным выражением
Р= lim-^f-, (1)
Δτ-0 ατ
причем предполагается, что при стремлении объема Δτ к нулю точка Μ все
время остается внутри объема, называется плотностью распределения
массы или, короче, плотностью среды в данной точке М. Обратную величину
ν — 1/р называют удельным объемом.
В технических вопросах часто вместо плотности пользуются удельным
весом, определяемым как предел отношения в са малого объема к величине
объема. Удельный вес равен
T-Um^L-до, (2)
Δτ-*0 ατ
где g — ускорение силы тяжести, принимаемое в дальнейшем равным 9,81 м/с2.
Из формул (1) и (2), переходя к бесконечно малым величинам, получим
8т = ρ δτ = — δτ. (3)
Плотность движущейся среды зависит от ее материального состава, от тем-
пературы и давления, а также и от характера движения среды. В общем
случае плотность представляется функцией координат и времени
Ρ = Ρ (х, У, z; t)
и образует скалярное поле, которое может быть как стационарным, так и неста-
ционарным.
Поверхности или, в частном случае плоского распределения, линии
уровня скалярного поля плотностей называют изостерическими поверхно-
стями или линиями, короче, тостерами.
Плотность как масса, отнесенная к единице объема, измеряется в кг/м3
(в старой технической системе — в кгс-с2/м4, удельный вес — в н/м3 или
соответственно в кгс/м3). Плотность воды, так же как и других капельных
жидкостей, слабо зависит от температуры и почти не зависит от давления,
так как под влиянием даже больших давлений объем жидкости меняется
сравнительно мало.
Так, например, относительное изменение объема воды при увеличении
давления на одну атмосферу и при сохранении температуры несколько менее
0,00005, глицерина —0,000025, керосина — 0,000077, спирта — 0,00011.
Наоборот, плотность газов сильно меняется с давлением и температурой.
Напомним, что по закону Бойля — Мариотта при данной температуре плот-
ность газа прямо пропорциональна давлению, а по закону Гей-Люссака при
данном давлении плотность газа изменяется обратно пропорционально его
абсолютной температуре.

§ 9]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
55
Таблицы плотностей жидкостей и газов можно найти в физико-химических
справочниках; помещаем табл. 1 и 2 плотностей некоторых, наиболее часто
встречающихся, жидкостей и газов (при нормальных условиях).
Таблица 1. Плотности некоторых жидкостей
Жидкость
Азотная кислота
Бензол
Вода
Глицерин
Нитробензол
Ртуть
Серная кислота
Сероуглерод
р, кг/мз
1510
879
998,2
1260
1203
13 546
1840
1260
Жидкость
Спирт метиловый
Спирт этиловый
Толуол
Углерод четырех-
хлористыи
Циклогексан
Эфир этиловый
р, кг/мз
791,5
789,4
866
1594
779
714
Τ а б лица 2. Плотности некоторых газов
Газ
Аммиак
Ацетилен
Воздух (сухой)
Закись азота
Метан
Окись углерода
р, кг/м3
0,771
1,171
1,293
1,978
0,717
1,250
Газ
Окись азота
Сернистый газ
Углекислый газ
Хлористый водород
Этилен
р, кг/мз
1,340
2,927
1,977
1,639
1,260
Исходя из справедливого для классической, нерелятивистской механики
закона сохранения массы индивидуального объема сплошной среды, будем
иметь для любой элементарной массы 8т, соответствующей объему δτ,
4-(δ^)=^-(ρδτ) = 0, (4)
где dldt представляет символ индивидуальной производной по времени (§ 8),
выражающей секундное изменение массы элементарного объема при его дви-
жении.
Произведя дифференцирование и используя представление о дивергенции
вектора скорости как скорости объемного расширения (формула (36) гл. I),
получим
iL6x+pA6t=(^+pdivr)6r=0.
Отсюда в силу произвольности величины δτ следует уравнение неразрывности
|L+pdivF = 0. (5)
К тому же выводу можно было бы прийти, записав закон сохранения
массы для произвольного конечного объема τ в виде
Α|Ρδτ = 0. (6)
τ
Произведя в левой части дифференцирование, получим, как и ранее,
i!*+ie4^=i(!+^F)eT=0·
τ τ τ

56 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
откуда в силу произвольности области интегрирования % вновь найдем урав-
нение (5).
Заменяя в уравнении (5) индивидуальную производную по времени от
плотности ее выражением через локальную и конвективную производные,
получим, замечая, что (F-V) Ρ = V'(Vp) = F-grad p,
-^+F.gradp + pdivF = 0,
вспоминая затем формулу векторного анализа (III.9)
F-grad ρ + ρ div V = div (pV),
найдем уравнение неразрывности в виде
-& + div(pF) = 0.j (7)
В случае стационарного поля плотности (dp/dt = 0) последняя формула пере-
ходит в следующую:
div(PF) = 0. (8)
В декартовой прямоугольной системе координат уравнение неразрывности
принимает вид
в случае стационарного поля плотности (dp/dt = 0) будет
■k(pu) + -^(pv) + -^{pw)^0. (10)
Заметим, что в частном случае несжимаемой жидкости (р = const) урав-
нение неразрывности переходит в уравнение несжимаемости
&г-£+%+£-<>■ («)
В дальнейшем могут встретиться случаи движения сплошной среды
с непрерывным по ходу движения среды возникновением (исчезновением)
вещества данного сорта за счет, например, химической реакции превращения
одного из составляющих ее веществ в другое или вследствие изменения фазо-
вого состояния вещества (испарение движущейся жидкости, сопровождаю-
щееся возникновением в ней пузырьков пара, или, наоборот, конденсация пара
и появление в нем жидких капель, цепенение жидкого металла, таяние льдинок
в потоке воды и т. п.). В этих случаях естественно говорить о применении
в сплошных средах методов «механики переменной массы». Теоретической
моделью такого рода явлений может служить заданное наперед, определяемое
химической или физической кинетикой происходящих в движущейся среде
процессов, непрерывное распределение источников притока (стока) массы,
с интенсивностью, характеризуемой секундным, отнесенным к единице объема
приростом массы вещества в данной точке потока. Эту величину, имеющую раз-
мерность [М1(Т?Т)\ = плотность/время, было бы естественно обозначить сим-
волом р, но, чтобы не смешивать ее с индивидуальной производной по времени
dp/dt, примем для нее обозначение /. Связь между символами dp/dt и /
определится из очевидного соотношения
^(δ^) = ^-(ρδτ) = /δτ, (12)
приходящего в случае динамики переменной массы на смену равенству (4)

§ 10]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
57
и следующих из него, по предыдущему, но обобщенных на случай переменной
массы уравнений неразрывности
^ + pdivF = /, (13)
■^. + div(pF) = /. (14)
§ 10. Распределение сил в сплошной среде. Объемные
и поверхностные силы. Тензор напряжений
В динамике сплошных сред принято выделять два класса действующих
на частицы среды сил: объемные (иногда их еще называют массовыми) и поверх-
ностные. Под объемными силами понимают такие, которые действуют на эле-
менты объема, как, например, силы веса, тяготения, инерции, электростати-
ческого притяжения или отталкивания, силы действия магнитного или
электрического поля на частицы среды. К поверхностным относят силы,
которые при принятом в механике сплошных сред макроскопическом подходе
действуют на элементы поверхности, как, например, силы давления,
и вообще силы, действующие со стороны потока на поверхность погружен-
ного в него тела, или реакции тела на поток, силы внутреннего трения
(вязкости) в среде.
Следует оговориться, что такая классификация сил физически не оправда-
на, так как на самом деле всегда приходится иметь дело с силами, по существу,
объемными. Но в тех случаях, когда частицы, на которых сосредоточено дей-
ствие сил, расположены в настолько тонком слое, что можно без болыпо"
погрешности сводить этот слой к некоторой материальной поверхности,
можно считать, что силы действуют на элементы этой поверхности.
В отличие от динамики системы дискретных точек, в динамике сплошных
сред имеют дело с плотностью распределения объемных сил (коротко,— объем-
ными силами), определяемой как отношение главного вектора AR сил,
приложенных к точкам малого объема Δτ, заключающего в себе точку М,
к массе Am = ρΔτ, где ρ — некоторое среднее значение плотности в объеме
Δτ, а объем Δτ стремится к нулю,
F = hm -z—=— hm -т—. (15)
Отсюда следует, что сила 6R, приложенная к элементарному объему δτ
в точке М, определяется через объемную силу F как
6B = pF6r. ( 6
В качестве примера можно указать, что в случае сил веса F — g, где д—
вектор ускорения силы тяжести; центробежной силе инерции во вращающейся
с угловой скоростью ω системе соответствует объемная сила F — ω2/·, где
г — вектор, равный кратчайшему расстоянию между точкой приложения
силы и осью и направленный по кратчайшему расстоянию в сторону от оси.
Аналогично поверхностные силы будут задаваться своим напряжением
p=lim-^., (17)
Δσ-*0 ασ
где Ар' — главный вектор сил, приложенных со стороны среды к некоторой
выделенной в среде малой площадке Δο\
Вектор поверхностной силы, приложенной к площадке δσ в данной точке
пространства, равенρδσ, т. е. произведению вектора напряжения на величину
элементарной площадки.

58 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
Отметим основное различие между векторами F и/>: в то время как вектор
F является однозначной векторной функцией точек пространства и времени,
т. е. образует векторное поле, вектор/) принимает в каждой точке пространства
бесчисленное множество значений в зависимости от ориентировки площадки,
к которой приложено напряжение, и, таким образом, векторного поля не обра-
зует.
Для дальнейшего важно несколько уточнить определение вектора напря-
жения. Возьмем в точке Μ сплошной среды площадку 6σ, ориентация которой
в пространстве определяется ортом η нормали к площадке (рис. 22). Усло-
вимся различать лицевую и тыльную
стороны площадки δσ, причем примем
за лицевую ту, которая обращена к
концу вектора нормали п. Откинем
мысленно часть жидкости с лицевой
стороны площадки и заменим действие
откинутой части жидкости на пло-
щадку δσ поверхностной силой ρη6ο,
t Ci^—С—
Рис. 22.
где значок п отмечает, что сила приложена к площадке с ортом нормали п.
Если бы, наоборот, была откинута часть жидкости с тыльной стороны, то экви-
валентная действию откинутой жидкости сила, приложенная к тыльной
стороне площадки, была бы, согласно закону действия и противодействия,
равна —ρ„δσ. Конечно, выбор одной из сторон площадки в качестве лицевой,
а другой — в качестве тыльной, совершенно произволен, но должен быть
заранее указан и зафиксирован.
Докажем, что вектор напряжения рп можно представить как произве-
дение орта п, характеризующего выбор ориентировки площадки δσ в про-
странстве, на независящий от направления площадки, т. е. от орта п, тензор
второго ранга Р, который является функцией только вектор-радиуса г
и, вообще говоря, времени t и, следовательно, образует поле.
С этой целью рассмотрим вырезанный в среде элементарный тетраэдр
Μ А ВС (рис. 23) с вершиной в данной точке М, основанием в виде треуголь-
ника ABC, образованного пересечением наклонной плоскости с тремя коор-
динатными плоскостями, и боковыми гранями, расположенными в коорди-
натных плоскостях. Обозначим площадь треугольника ABC через 6σ„, а пло-
щади треугольников ВМС, АМС и АМВ, представляющие проекции тре-
угольника ABC на координатные плоскости, соответственно δσΧ, δσ„, δσΖ,
причем индексы х, у, z при этих площадках, так же как и при напряжениях
рх, ру, pz, приложенных к этим площадкам, означают ось, перпендикуляр-
ную к площадке.
Рассматривая взятый бесконечно малый тетраэдр как жидкий, т. е. состоя-
щий из частиц движущейся среды, напишем уравнение движения центра
инерции этой системы частиц, общая масса которых пусть равна 6т; будем
иметь
Vcbm = F Ьт + рп δση — ρΧδσΧ — ρυδσν — ρΖδσΖ, (18)
Рис. 23.

§ 10]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
59
где Vc — вектор ускорения центра инерции тетраэдра, F — плотность рас-
пределения объемных сил, рп, рх, ру, pz — векторы напряжений, приложен-
ные к лицевым сторонам площадок δσ„, δσΧ, δσυ и δσΖ, т. е. с той стороны,
куда направлены векторы /г, i, / и к (рис. 23). При последних трех членах
в правой части уравнения (18) стоят знаки минус, так как внешние стороны
площадок δσ^, боу, δσΖ при принятом направлении ортов осей £, /, к
оказываются тыльными.
В уравнении (18) левая часть и первый член справа, как величины треть-
его порядка малости, содержащие элемент массы, пропорциональный объему,
можно откинуть по сравнению с остальными членами, пропорциональными
элементам поверхности; тогда будем иметь
Рп δση = рх δσΧ + ру δσυ + ρΖ δσΖ. (19)
Замечая, что
(20)
δσ^. = δση cos (η, x) = nx δση,
δσ^ = 6ση cos (η, у) — пу 6ση,
δσΖ = δση cos (η, z) = ηΖ δσ„, j
получим после сокращения обеих частей уравнения (19) на δση
Рп = пхрх + пуру + nzpz (21)
или в проекциях на оси декартовых координат
Рпх==^хРхх.-тПуРух-\-Пгргх, |
Pny = nxpxy + nypyy + nzpzy, \ (22)
Рпг = ПхРхг + ПуРуг + пгРгг- J
Припоминая определение напряжений рх, ру, pz, заметим, что при при-
нятых обозначениях первый подстрочный индекс при рхх, рху, . . . обозна-
чает ось, перпендикулярно которой ориентирована площадка, второй
индекс — ось, на которую спроектировано это напряжение; так, например,
pxz обозначает проекцию на ось z напряжения, приложенного к площадке,
перпендикулярной к оси х.
Величины с одинаковыми индексами рхх, руу, pzz, представляющие про-
екции векторов напряжений рх, ру, pz на нормали к соответствующим пло-
щадкам, называют нормальными напряжениями, а проекции рху, ρyz,pzx, · · ·
на оси, лежащие в плоскости площадки,— касательными напряжениями.
Система равенств (22) показывает, что проекции на оси координат напря-
жения, приложенного к любой наклонной площадке, выражаются линейно
через проекции напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикуляр-
ным площадкам, лежащим в координатных плоскостях, т. е. через совокуп-
ность девяти ьеличин
Рху, Pxz \
Руу, Руг I . (23)
Pzy-, Pzz '
Совокупность девяти напряжений (23) образует тензор 2-го ранга. Обо-
значим его заглавной буквой Ρ (для компонент сохраним общепринятые
обозначения малыми буквами) и назовем тензором напряжений. Тогда
будем иметь (П.6)
Рп = пР. (24)
Итак, в каждой точке среды имеется бесчисленное множество векто-
ров напряжений рп, зависящих от выбора наклона площадки в этой точке,

60 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
но один тензор Р, характеризующий напряженность среды в данной точке.
Отдельные компоненты тензора Р, образующие таблицу (23), зависят от выбора
направлений осей координат, но тензор в целом представляет физическую
величину, выражающую определенное состояние жидкости или газа —
их напряженность и не зависит, конечно, от выбора направления осей коор-
динат. Тензор напряжений Ρ образует поле.
§ 11. Закон изменения количеств движения и уравнения динамики
в напряжениях. Закон моментов и симметрия тензора напряжений
Для вывода основного динамического уравнения движения среды приме-
ним к жидкому объему τ с массой т теорему об изменении главного вектора
количеств движения системы материальных частиц К, равного интегралу
от произведений их элементарных масс 6т на векторы скоростей V
К= f F6m= f ρΓδτ. (25)
т τ
Приравнивая индивидуальную производную по времепи от главного
вектора количеств движения главному вектору внешних массовых и поверх-
ностных сил, получим
dK
dt
*=-!■ j" pV δτ = f PF δτ + J pn δσ. (26)
|7 Вычислим индивидуальную производную от главного вектора количеств
движения по времени, стоящую в левой части (26), причем будем сначала
предполагать, что приток массы отсутствует (7 = 0). тогда по (4) будем иметь
Ж\ Ρ**- J Ρ-^βτ+i Γ-|-(ρβτ)= ( 9^τ. (27)
τ τ τ τ
Чтобы преобразовать поверхностный интеграл, стоящий в правой части
(26), в объемный, перепишем его в соответствии с равенством (21) в виде
J Ζ>η6σ = j ηΧρΧδσ + ] пуРу6о + \ ηΖρΖδσ
σ σ а а
и применим известные формулы векторного анализа (III.11)
Jn^to-J-g-fiT, ^,αδσ=|4?δτ' \nzabo=\^bx. (28)
στ στ σ τ
Тогда
σ τ
Подставляя в (26) значения входящих в него величин и перенося все
члены в одну сторону, получим
И'£-Р*-£-£-^-)*-0, (30)
τ
или, используя произвольность объема τ и приравнивая подынтегральную
функцию нулю,
р£-р£+р<г-*)г-.*-н£1+£..ь£, (3«

§ 11]
ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
61
Проектируя обе части этого равенства на направления осей координат,
будем иметь
дРхх . dpvx _ др,
\
дх ду dz
дРху , дРуу dpz
I ди ди ди ди \
Λ / dv . dv , dv . dv \ „ , 0Pxv , VPyy , °Pzy ,oo\
I dw , dw , dw , dw\ „ , dPxz , dpvz dpzz
dx ' dy dz '
Полученное векторное уравнение (31) или, что то же, уравнения в проек-
циях (32) носят наименование уравнений динамики сплошной среды «в напря-
жениях».
Пользуясь численной нумерацией координат, проекций векторов и ком-
понент тензора, можем еще представить уравнения (32) в часто встречающейся
форме (суммирование по дважды повторяющемуся индексу /)
Ρ№+0-Λ+^· (Ι-1.2.?). (33)
Подчеркнем отличие уравнений динамики сплошных сред от соответ-
ствующих уравнений для систем дискретных материальных точек. Векторы,
стоящие слева и справа в уравнении динамики сплошной среды (31), не пред-
ставляют соответственно произведений массы на ускорение и силы, как это
имеет обычно место при непосредственном применении второго закона Ньютона,
а выражают плотности распределения этих величин в области движения
среды, т. е. величины, отнесенные к единице объема. Умножая обе части
уравнения (31) на δτ, получим общепринятое уравнение движения центра
масс, заключенных в элементарном объеме, а интегрируя после этого по конеч-
ному объему τ, составим уравнения движения центра масс в объеме τ. Особо
следует оговорить смысл произведенного при выводе уравнения динамики
сплошной среды перехода от поверхностного интеграла к объемному.
Вектор
dPx дру dpz
дх "" ду~~ fa '
стоящий в правой части (31), согласно соотношению (29), можно рассматривать
как предел
lim — \ рпЬа= lim — Г ηΡδσ (34)
Δτ-*0 Δτ J Δτ-0 Δτ J
Δσ Δσ
отношения главного вектора поверхностных сил, приложенных к поверхно-
сти Δσ, ограничивающей элементарный жидкий объем Δτ, заключающий
внутри себя данную точку М, к величине этого объема, т. е. как плот-
ность распределения главного вектора поверхностных сил, или, как мы будем
далее говорить, плотность распределения объемного действия поверхно-
стных сил. Выражение, стоящее в правой части (34), определяет вектор,
называемый дивергенцией (расходимостью) тензора Ρ (IV.5)
дрх , дру f dpz
дх
+-7Г- Ч—^г1 = lim -т- f nPδσ = Div P. (35)
Δσ
Уравнение в напряжениях (31) переписывается в форме
dt P dt
9^-^9^+9{V-V)V = 9F + OiwP. (36)

62 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
Уравнение (36) можно было сразу получить из зак на изменения коли-
честв движения, если использовать формулу (IV.6).
Система уравнений (32) является аналитическим выражением векторной
формы уравнения в напряжениях (36) в прямоугольной декартовой системе
координат. Пользуясь формулами проекций ускорения dVldt и диверген-
ции тензора напряжений Div Ρ на оси прямоугольных криволинейных
координат, можно получить уравнения в напряжениях в соответствующей
системе координат. Так, используя формулы проекций ускорения в цилинд-
рической ((48) предыдущей главы) и сферической ((49) предыдущей главы)
системах координат, а также соответствующие формулы (IV.11) и (IV.13)
для Div P, составим уравнения в напряжениях в этих двух наиболее употре-
бительных системах криволинейных координат. Процесс составления этих
уравнений настолько прост, что вряд ли есть необходимость их здесь выпи-
сывать
Предыдущий вывод уравнения в напряжениях относился к случаю
отсутствия внутренних источников притока массы, т. е. (согласно концу § 9)
соответствовал условию J = 0. При наличии такого рода источников (/ =^ 0)
и в условиях их неподвижности (случай движущихся источников разобран
в §§ 12 и 13), в левой части уравнения (36) появится дополнительный член
JV, учитывающий изменение количества движения со временем за счет нали-
чия этих источников; будем иметь
p-S-+JF==pF+DivP'
или, перенося член JV в правую часть,
p-^L = pF + Divi>-/F. (38)
Это уравнение можно рассматривать как уравнение динамики сплошной
среды переменной массы, а последний член справа трактовать как реактив-
ную силу, отнесенную к единице объема, или как плотность распределения
реактивных сил.
Обратимся теперь к рассмотрению закона изменения моментов количеств
движения в применении к сплошной среде.
Пусть к произвольному объему τ среды, положение отдельных точек
которого характеризуется вектор-радиусом г, приложено некоторое поле
объемных сил F, а к поверхности о, ограничивающей объем τ, напряжения рп.
Применение закона моментов приводит к интегральному равенству
-£ J г ΧρΓδτ = Ji-xpFSr-f j" r Χρηδσ. (39)
τ τ α
Левая часть этого равенства будет равна
τ τ τ τ
^jrXP-^δτ, (40)
τ
так как подчеркнутый интеграл, заключающий векторное произведение drldt =
= V на V, равен нулю. Преобразование поверхностного интеграла, стоящего
(37)

§ ш
ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ
63
в правой части (39), не составляет труда. Имеем
jrx#nS0=jrx (пхрх + пцру + ηΖρΖ) δσ =
σ σ
= J К- (»· X Рх) + Пу (г х ру) + nz (r х рг)) δσ-
с
τ
-1['х(^+-^-+-^) + (^^) + (^"л) + (-=:'<*-)]·'·
τ
Подставляя полученные выражения в (39) и группируя члены, придем к выра-
жению
Я/ dV ,_, дРх дРу дРг \ дг дг дг 1 с. п
τ
Отсюда, имея в виду равенство (31) и произвольность выбора объема интегри-
рования τ, получим соотношение между векторами напряжений х, ру, рг
дг , дг , дг г.
или, замечая, что
дг д ..... ■.* . дг . дг ,
^ = ^·(** + Κ7 + Ζ*> = *. -aJT=J' l*=k'
еще такое равенство:
iXPx+jXPy + kxpz = 0, (41)
справедливое для любой непрерывной среды независимо от характера прило-
женных объемных сил и наличия или отсутствия притока массьфизвне. Проек-
тируя обе части равенства (41) на оси координат, убедимся, что оно эквива-
лентно системе равенств
Рху ~ Рух Руг = Ргу> Pzx ~ Рхгч (**/
утверждающих, что тензор напряжений Ρ симметричен (pi} = pjt).
По ходу доказательства можно заметить, что симметричность тензора
напряжений была обусловлена отсутствием в среде непрерывно распределен-
ных пар сил, объемных или поверхностных. В этом случае имеетотместо «сим-
метричная механика сплошных сред», «симметричная теория упругости» или
«симметричная гидродинамика», в отличие от соответствующих «несимметрич-
ных» механик, учитывающих наличие в сплошной среде непрерывно распре-
деленных пар сил. Легко убедиться, что присутствие непрерывно распре-
деленных источников притока массы не нарушило бы справедливости равен-
ства (41) или условий симметрии тензора напряжений (42) в сплошной среде.
Равенства (42) составляют содержание так называемой «теоремы о взаим-
ности касательных напряжений».
Итак, в рассматриваемой нами симметричной механике жидкости и газа
тензор напряжений симметричен, и, следовательно, из всех его девяти компо-
нент только шесть отличны друг от друга. Этот факт чрезвычайно важен,
так как число неизвестных в общих уравнениях механики сплошной среды
благодаря теореме взаимности касательных напряжений уменьшается на три.
Выражение вектора напряжения рп через η и тензор напряжений Ρ может

64 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
теперь использоваться в одном из следующих двух видов:
рп = пР = Рп,
а в развернутом координатном выражении Div Ρ можно не следить за поряд-
ком индексов, т. е. писать
§ 12. Закон изменения кинетической энергии и общий закон
сохранения энергии в механике сплошных сред
Интегральное выражение теоремы об изменении кинетической энергии
движущегося индивидуального объема сплошной среды составим, пользуясь
обычной формулировкой динамики материальных систем, в форме
~^^6τ=^ρΡ.νδτ-{-^ρη·νδσ + ^Ν1ηδτ, (43)
τ τ σ τ
где под Nin понимаем отнесенную к единице объема мощность внутренних
сил или, что все равно, плотность распределения мощности внутренних сил.
Переходя от поверхностного интеграла к объемному при помощи преоб-
разования
f ρη-νδσ=\ (ηΡ)·Γδσ=\ п.(РГ)бо= Г div (PV) δτ
α σ σ τ
и освобождаясь обычным путем" от интегралов, получим выражение тео-
ремы об изменении кинетичьской энергии в дифференциальной форме
P-Jr(-T) =PF-r+a™(PV) + Nin. (44)
Сравним это уравнение с равенством
составленным из уравнения (36) j путем скалярного умножения обеих его
частей на вектор скорости V. Почленное вычитание дает выражение для плот-
ности распределения мощности внутренних сил
Nin = V-Oiy P—div(PV).
Это выражение можно еще упростить, если использовать следующий ряд
дифференциальных преобразований с оператором V;
div(PV) = V.(PV)=(yP).V+P-(W) = r.OiwP + P-(VV).
Подставляя 'в предыдущее равенство, получим
Nin=-P.(W),
или, разлагая дифференциальный тензор (диаду) поля скоростей VV на сим-
метричную 5 и антисимметричную А части и замечая, что в силу антисиммет-
ричности тензора А будет ΡΑ = О, найдем
Nin=-P.S. (45)
Правая часть (45), выражающая плотность распределения мощности
внутренних сил, по своей структуре напоминает обычную формулу мощ-

§ 12]
ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
65
ности силы. Разница, однако, в том, что в случае дискретной силы мощность
определяется как скалярное произведение векторов силы и скорости, а в сплош-
ной среде плотность распределения мощности внутренних сил равна скаляр-
ному произведению тензоров напряжений и скоростей деформаций.
При движениях сплошных сред происходят преобразования одних видов
энергии в другие и в первую очередь механической энергии в тепловую. Для
расчета этих преобразований служит уравнение баланса энергии, выводимое
из общего термодинамического закона сохранения энергии, который для дан-
ного индивидуального объема движущейся среды формулируется так: инди-
видуальная производная по времени от полной энергии данного движущегося
объема среды равна сумме мощностей приложенных к выделенному объему
и его поверхности внешних массовых и поверхностных сил и отнесенного к еди-
нице времени количества энергии, подведенного извне к объему. Этот закон
выражается интегральным равенством
4г ] Ρ (υ+ητ) δτ= J 9FV δτ+ j pn-V δσ+ j ρ?δτ, (46)
τ τ σ τ
где U — удельная (отнесенная к единице массы) внутренняя энергия среды,
включающая в себя все возможные виды энергий внутренних движений мате-
рии (в вопросах механики жидкости и газа это в первую очередь тепловая
энергия), a q — удельное количество энергии, подведенное извне в единицу
времени к данной точке среды и заключающее в себе отличные от работы
макроскопических механических сил тепловые и нетепловые виды энергии.
Сумма величин внутренней и внешней (кинетической) энергии носит наиме-
нование полной энергии.
Левую часть уравнения (46), используя закон сохранения массы (4),
преобразуем так:
4!р(«7 + £)*-|р4(*+-?)*+[(«/ + £)><Ч-
τ
а поверхностный интеграл в правой части равенства (46), согласно (24), равен
[ ρηΥδσ= Γ (nP).V6o= f n-(PV).6a=\ div(PF)6r.
σ σ σ τ
Подставляя найденные выражения в уравнение (46) и откидывая на обыч-
ных основаниях интегрирование по произвольному объему, получим уравне-
ние баланса энергии в дифференциальной форме
P^{U + ^-)=pF.V+diy(PV) + pg. (47)
Сопоставляя уравнение баланса энергии (47) с ранее выведенным уравне-
нием изменения кинетической энергии (44), можем, произведя почленное
вычитание этих уравнений одного из другого, получить следующий более
простой и очевидный по содержанию вид уравнения баланса энергии:
P-§- = W-tf*n. (48)
не заключающий в явной форме ни внешних объемных сил, ни скоростей
и выражающий связь между индивидуальным изменением во времени отне-
сенной к единице массы внутренней энергии среды, притоком внутренней
энергии извне и мощностью внутренних сил.
5 Л. Г. Лойцянскнй

66
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
ЕГЛ. II
При наличии притока массы сквозь непрерывно распределенные «источ-
ники» в предыдущих формулах появятся дополнительные члены. Так, диф-
ференциальной формой теоремы об изменении кинетической энергии вместо
(44) будет служить уравнение
pjL(Il)=pF.r + aiv(PV)+Nin-^f (49)
уравпения баланса энергии в дифференциальной форме (47) и (48) перейдут
в следующие:
P-i(U + ^-)=pF.V+div(PV) + pq-J (U + ~), (50)
P^ = pq-Nin-JU, (51)
и, пчконец, выражение мощности внутренних сил приобретет вид
Ν,η=-Ρ.&~ψ·. (52)
Вывод формул (49) — (52) основан на использовании равенства (12) вме-
сто (4) и не представляет труда.
При выводе формул (37), (38) и (49) — (52) предполагалось, что непре-
рывно распределенные «источники масс» неподвижны. В случае источников,
движущихся со скоростями V, изменение плотности количества движения,
вызываемое притоком массы от этих движущихся источников, определится
разностью J (V — V), а соответствующая реактивная сила будет равна
J (V — V). Изменение кинетической энергии будет равно / (V2/2 — У2/2),
а для полной энергии Ε = U + '/г V2, соответственно J (E — Е), где Ε =
= U 4 7г V2. Такого рода выражения будут использованы в § 13 при
выводе уравнений движения неоднородных сред, в которых за счет физико-
химических превращений одних составляющих смеси в другие возникают
и соответственно исчезают массы некоторых компонент смеси.
Уравнения неразрывности, динамики среды «в напряжениях», взаим-
ности касательных напряжений и баланса энергии представляют основную
систему уравнений механики сплошных сред. Система эта не является зам-
кнутой, так как число неизвестных в ней (р; и, v, w, рхх, рху, . . .; U; q)
далеко превосходит число уравнений. Без дополнительных связей между
неизвестными, устанавливаемых из разнообразных физических допущений,
обойтись нельзя. С некоторыми из этих допущений мы познакомимся в даль-
нейшем.
§ 13. Динамика сплошной неоднородной среды
Выведенные в предыдущих параграфах уравнения динамики и частично
термодинамики сплошной среды относились к среде, физически однородной
по своему составу. Единственной физической величиной, характеризующей
вещественные свойства среды, являлась ее инерционная характеристика —
плотность.
Отвлечение от имеющихся почти всегда в реальных случаях неодно-
родностей среды в большинстве рассматриваемых далее задач оказывается
вполне допустимым. Однако современная техника настойчиво требует уточ-
ненного подхода к рассмотрению движений сплошных сред, основанного
на углубленном понимании сложных внутренних процессов, происходящих
в физически неоднородных средах1). Примерами могут служить процессы
г) С. Со у, Гидродинамика многофазных систем, перев. с англ., «Мир», М., 1971.

§ 13]
ДИНАМИКА СПЛОШНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ
67
переноса движения, тепла и вещества в потоках насыщенной газовыми
пузырьками жидкости или газа, несущего жидкие капли, а также в потоках
с твердыми взвесями.
Практическое значение такого рода вопросов особенно возросло в послед-
нее время в связи с развитием новой энергетики, реактивной техники π хими-
ческой технологии.
Неоднородные среды, все составляющие которых принадлежат к одному
и тому же агрегатному, жидкому или газообразному состоянию (фазе),
называют гомогенными или однофазными и различают по количеству ком-
понент — двухкомпонентные, трехкомпонентные и т. д. Неоднородные средыг
включающие в себя вещества в разных агрегатных состояниях (фазах),
носят наименование гетерогенных или многофазных и различаются по числу
входящих в них фаз — двухфазные, трехфазные и т. д.
В основе изучения движения неоднородных сред лежит переход от систе-
мы дискретных материальных частиц, по своим размерам далеко превосхо-
дящих молекулы, к сплошной текучей среде. Такой переход связан с осред-
нением механических и термодинамических характеристик по множеству
частиц и требует наличия достаточно большого числа таких частиц в объеме
осреднения, без чего метод осреднения будет лишен конкретного смысла.
В отличие от кинетической теории газов, в которой метод осреднения
по множеству молекул доведен до совершенства, сколько-нибудь закончен-
ной, рационально обоснованной кинетической теории движения неоднород-
ной среды до сих пор не существует; исследованию частных задач посвящены
многочисленные современные разработки, а практика довольствуется раз-
личными эмпирическими и полуэмпирическими подходами.
Основные трудности, возникающие при изучении динамики и термо-
динамики неоднородной текучей сплошной среды, связаны с недостаточным
пониманием механизма межфазного взаимодействия в гетерогенных средах,
фазовых превращений, сопровождающих движения таких сред. В этом
смысле гомогенные среды, несмотря на наличие в них большого числа раз-
личных компонент, представляют значительно меньшие трудности.
В настоящем параграфе ставится ограниченная цель составления общих
уравнений динамики и термодинамики сплошной неоднородной текучей
среды. Вывод этих уравнений, как и в случае однородной текучей среды,
основывается на применении общих теорем механики систем материальных
точек и не составлял бы особенного труда, если бы была ясность выбора
применяемых при этом приемов осреднения. Этот вопрос до сих пор остается
спорным, и в нашу задачу рассмотрение его сейчас не входит.
Можно, например, отправляясь от общего приема статистической меха-
ники, постулировать существование так называемой функции распределения
частиц, образующих систему, по их положению (координатам) и скоростям.
Характеризуя положение отдельных частиц их вектор-радиусами г в дан-
ный момент времени t и векторами скорости V, введем функцию распреде-
ления / (г, V, t) как коэффициент пропорциональности в выражении вероят-
ного числа δΝ частиц, расположенных в окрестности (г, г + бг) данной точ-
ки пространства и движущихся со скоростями, находящи шея в интервале
(у, ν + 6V):
6N = f(r,r,t)(ur)(6V), (53)
где символы (бг) и (6V) обозначают элементарные объемы в геометрическом
и кинематическом (скоростном) пространствах
(бг) = Ьх 6у 6z,W(6V)"=r6u6v 6w.~
Определение этой функции, как решения известного уравнения^Больц-
мана в кинетической теории газов, в рассматриваемом сейчас случае системы

68 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ, II
частиц, отличных по своим свойствам от молекул, невозможно. Для опре-
деления осреднения достаточен постулируемый факт существования такого
рода функции распределения.
Заметим, что из определения функции распределения (53) следует выра-
жение полного числа частиц в системе
N=\ f(r, V,t)(6r)(bV) (54)
как объемного интеграла по областям изменения положения и скоростей
частиц системы; равенство (54) выражает принятую нормировку функции рас-
пределения. Относя вероятное число частиц (53) в объеме (бг) (6F) к общему
числу частиц системы^54), можно было бы придать функции распределения
смысл вероятности нахождения частиц в только что указанном элементарном
объеме, и тогда условие нормировки (54) заменилось бы обычным условием
равенства единице суммы вероятностей всех возможных положений и ско-
ростей частиц системы.
Относя вероятное число (53) к объему (бг), получим вероятную плот-
ность распределения частиц по скоростям в интервале (V, V + 6F):
8n = 6N/(6r) = f(r,V,t)(6V), (55)
а затем и вероятную тотность распределения частиц в пространстве в дан-
ный момент
n=J/(r, F,i)(6F). (56)
Умножая эту плотность на массу, т частицы, расположенной в данной
точке пространства, получим массовую плотность или, короче, плотность ρ
сплошной среды в данной точке и в данный момент времени
ρ = пт. (57)
Рассматривая сплошную неоднородную среду как систему частиц,
состоящую из i подсистем — компонент или фаз «i-ro сорта»— с частицами
одинаковой массы, примем для каждой из них свою функцию распределения
/(i)(r(i>, V-%\t). Вводя вместо скоростей отдельных частиц г'-го сорта F(i) средние
скорости V{i) в данной точке пространства, занятого частицами г-го сорта,
и принимая за*«вес» осреднения функцию распределения /(i), найдем
V" = -J- f fV«(6Г«>- S/(,VW (6F(i>) ffiffl
ηω J 7 (0У > 5/«>(врИ>) * (58)
Для определения средних величин в точках сплошной среды в целом
(смеси компонент или фаз) примем обычные формулы смешения по массе
для плотности
p = 2/2«m« = 2p(i) (59)
и по количеству движения для скорости
pF = 2p(i)F"(i)' V = ^^V(*. (60)
W (i)
Отношение плотностей в данной точке
— = rW
2 *(iw
(61)

§ 13]
ДИНАМИКА СПЛОШНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ
69
определяет «концентрацию» частиц i-ro сорта в данной точке сплошной
неоднородной среды. Согласно (59), будет
2<ω=-±2Ρ<ο=1.
(о ω
В дальнейшем будут встречаться только средние скорости Vlb и V,
в связи с чем будем опускать черту над V. Разность скоростей
V4i)=V(i)—V (62)
можно трактовать как среднюю скорость распространения i-й компоненты
(фазы) сквозь сплошную неоднородную среду в данной точке и назвать ско-
ростью диффузии i-й компоненты (фазы).
Уравнение неразрывности i-й компоненты (фазы) будет иметь ту же
форму (14), что и в случае однородной среды, с той лишь разницей, что вместо
ρ и V будут стоять соответственно р<г> и 1/<г', а под J(jt) условимся понимать
отнесенную к единице объема скорость прироста массы i-й компоненты (фазы)
за счет реакций перехода от j-x компонент к i-й. Очевидно,
ji)=2 /*>, 2 /(г)=Σ J0i)=о. (63)
(г) ( ) (г, 5)
Уравнение (14) при этом переходит в следующее уравнение неразрывно-
сти i-й компоненты (фазы):
^ + div (p»F(f>) = J{)= Σ Jih). (64)
(i)
Суммируя обе части этого уравнения по всем компонентам, получим,
согласно (60) и (63), уравнение неразрывности для смеси в целом
^ + div(PF) = 0. (65)
В уравнении (64) можно освободиться от средней скорости V1- ' движения
отдельной компоненты, выразив ее, согласно (62), через среднюю скорость
среды в целом V и скорость диффузии компоненты V* г); получим
^- + div[p(i)(F*() + F)] = /(), (66)
или, вводя по (61) концентрацию с(,) = ρ 1)/ρ,
д(рс('>)
<Иу[рс<*>(Г*(,)+Г)] = /ш. (67)
dt
Комбинируя члены
C(i) [_*£! + div (рГ)] + р-^- + pV -grad сп - /ω-div (pc( V*w)
и используя уравнение неразрывности смеси (65), окончательно получим
p-^ + pF.gradc(i) = /()-div(pc(V*()). (68)
Это уравнение носит наименование «уравнения концентрации» компо-
ненты или фазы. Левая часть уравнения представляет совокупность локаль-
ного и конвективного изменения концентрации i-й компоненты (фазы) в пото-
ке смеси, правая — характеризует возникновение i-й компоненты (фазы)
за счет физико-химических превращений j-x компонент (фаз) в i-ю и диффу-
зию (распространение) i-й компоненты (фазы) в смеси. В этом уравнении

70
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. II
средняя скорость смеси У, величины Jlli) и их сумма Jih = Σ J0b. скорости
диффузии V*li> так же неизвестны, как и концентрация с(1). В так называемом
«диффузионном» приближении скорость смеси в уравнении (68) определяют
из уравнения динамики однородной среды со значениями физических кон-
стант, соответствующими смеси. Как будет далее показано, это эквивалентно
отбрасыванию в точном уравнении динамики смеси нелинейного члена, харак-
теризующего суммарный эффект диффузионных движений компонент (фаз).
Такое отбрасывание допустимо при сравнительной малости скоростей диффу-
зии. Скорость диффузии F*(i) связывают с градиентом grad ci%) концентрации
i-й компоненты (фазы) по закону Фика [см. формулу (235) в § 85], а скорость
образования этой компоненты (фазы) /(t) = Σ /(W> выражают через физико-
химические параметры, входящие в уравнения кинетики процесса образова-
ния компоненты (фазы). Такой приближенный «диффузионный» подход,
линеаризующий уравнение (68) по отношению к концентрации с<г>, оказы-
вается во многих случаях достаточным для изучения движений гомогенных
газовых сред.
При требуемом практикой более строгом подходе — это относится
в первую очередь к гетерогенным средам — приходится обращаться к рас-
смотрению уравнений динамики в напряжениях и уравнений баланса энергии
как для отдельных компонент или фаз, так и для смеси их в целом.
Вывод этих уравнений применительно к отдельным составляющим смеси
основан на тех же принципах, что и в случае однородной сплошной среды,
отличаясь лишь учетом взаимодействий фаз (компонент) между собой и воз-
можного наличия физико-химических превращений одних составляющих
смеси в другие. Уравнения динамики и баланса энергии смеси выводятся
из уравнений отдельных ее составляющих путем почленного суммирования
этих уравнений по всем компонентам (фазам).
При этом прежде всего встает вопрос о выражении средних по всей смеси
механических и термодинамических характеристик суммарного потока,
а также средних значений физических констант, через заданную совокуп-
ность значений их для отдельных компонент (фаз). Иногда, как это, напри-
мер, имеет место для плотностей (59) и скоростей (60), такая связь очень
проста, в других случаях (это относится, например, к определению среднего
коэффициента вязкости .смеси) требует специального анализа, далеко уходя-
щего за пределы чисто физико-химического рассмотрения вопроса и застав-
ляющего учитывать движение среды.
Примем в дальнейшем основной закон осреднения по массе (60) для
главного вектора объемных сил F, удельных внутренней энергии U и кинети-
ческой энергии К, а также для полной энергии Ε = U -+- К. Тогда будем
иметь следующие формулы аддитивности по массе для этих величин:
Μ (!) (г)
ΡΕ = ρ (U + Κ) = Σ Ρ(,) (U{i) -τ- K{i)) = Σ PWEll\'
(О (г)
При этом подчеркнем, что
п/г- V Р(0у(,)2 - / η уа
pk-2j—2—^ρ-γ·
(г)
а, согласно определению (62) скорости диффузии у-*'*', будет
(69)

§13]
ДИНАМИКА СПЛОШНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ
71
Непосредственный закон аддитивности
Ρ=ΣΡ™ (70)
(i)
постулируется для тензоров напряжений Pfi) у составляющих i-ro сорта.
В общем случае гетерогенных смесей выделенный объем интегрирования
можно себе представить разбитым на отдельные объемы, каждый из которых
заполнен только одной какой-нибудь фазой.
Долю общего объема, приходящуюся на i-ю фазу, обозначим через
a(t). Тогда средние плотности p(i) i-й фазы и смеси в целом ρ выразятся через
истинные плотности p0(i>, зависящие только от термодинамических пара-
метров фаз, по формулам *)
p(i) = a(i)pOW> p = 2p(i)=Sa(i)p0(i), 2«(i)=l· (71)
(г) (г) (г)
При этом и средний тензор напряжений в i-й фазе Р<г> можно разложить
на тензор напряжений P0<t) в «чистой» i-й фазе и тензоры Р(3г>, зависящие
от межфазного взаимодействия на границах i-й и у-й фазы, имеющей в объеме
долю а{}) (во втором слагаемом справа суммирование по у),
рЫ = а(Г,Рт + а0)Рт. (72)
Переходя к выводу уравнений динамики в напряжениях и баланса энергии
i-й компоненты смеси, заметим, что изменение количества движения и полной
энергии этой компоненты зависит от двух различных по своей природе связей
между данной i-й компонентой и некоторой другой — у-й компонентой. Пер-
вая из этих связей обусловливается силовыми, тепловыми и другими видами
взаимодействий между указанными компонентами, как, например, силами
трения, в частности вязкостью, давлением, силами сцепления, инерционными
силами (присоединенные массы), теплопереносом между компонентами. Вто-
рая заключается во взаимных превращениях компонент вследствие химиче-
ских реакций, например горения одной фазы в атмосфере другой, или физи-
ческих переходов (плавление, конденсация и др.) и связанных с ними обме-
нов импульсами и энергиями.
Обозначим через F(Jt) = —F(li) объемную силу, соответствующую сило-
вому взаимодействию между компонентами. «Реактивная сила» (§ 11), обу-
словленная возникновением (исчезновением) i-й компоненты за счет у-й, будет
равна /(Л) (V{H) — Ι*1'), где под У(П) понимается скорость массы, претер-
певающей переход у =?± i, причем V0%> = F(W).
Уравнение в напряжениях при этом будет иметь вид
^(i)_d(^=^F(i)+Divp(i)+2[F(ii)+/ii)(F№)_F(l))b (73)
О)
где введено обозначение d{b/dt для индивидуальной производной, связанной
с движением частицы i-ro сорта:
х) В этом параграфе, наряду с ранее процитированной монографией С. Coy, мы
используем метод изложения основ механики многофазных сред, содержащийся в статье
Р. И. Нпгматулина «Методы механики сплошной среды для описания многофаз-
ных смесей», ПММ 34, № 6, 1970, стр. 1097—1112. См. также обзор «Механи-
ка многофазных сред» того же автора совместно с А. Н. Крайко, В.К.Стар-
новым и Л. Е. С τ е ρ н и н ы м (Итоги науки и техники, Гидромеханика, т. 6,
ВИНИТИ, М., 1972).

72 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I
которую следует отличать от аналогичной операции, относящейся к смеси,
движущейся со скоростью V:
4-^- + (Г.Т).
Это существенное и характерное для механики многофазных систем отли-
чие между ускорениями отдельной фазы и смеси в целом является следствием
несовпадения движений смеси и отдельных ее составляющих фаз. Так, напри-
мер, при обтекании носовой части тела запыленным газом более тяжелые, чем
газ, твердые частицы в области критической точки разветвления потока уда-
ряются о поверхность тела, создавая при больших скоростях увлекающего
их газа разрушение (эрозию) поверхности, в то время как подавляющее число
частиц газа, плавно обтекая носовую часть тела, не достигает его поверхности.
На этом явлении, как известно, основывается работа пескоструйных аппа-
ратов.
Аналогичным путем выводится и уравнение баланса энергии
ρω i^± = pwF( )·F( > + div (Р( >F(i)) + p«ty'> + 2 J( *> (E(ji)-£(i)), (74)
O)
где помимо предыдущих символов введен новый Е<п\ обозначающий полную
эн ргию массы, претерпевающей превращение j ч± i.
Стоящие в правой части этого уравнения первые два члена обозначают
соответственно отнесенные к единице объема мощности внешних объемных
и поверхностных сил, приложенных к i-й фазе в ее движении со скоростью
Vi4, третий член — подведенное к i-й фазе и отнесенное к единице объема
тепло.
Свяжем индивидуальные производные по времени от соответствующих
скоростей в движущейся смеси и в i-й составляющей смеси.
Имеем по (13), считая, что источники образования смеси отсутствуют
(/ = 0),
P-£«4<Pr>-F-£=-!-(pr) + prdivr, (75)
или по (60),
ρτ-τΙΣ^ΗΣ^'0)*'''-
(г) (г)
= E[4(p(i)F(i))+p(i>FrWdiv^J. т
(г)
Согласно определению операций dldt и <3(г)/сЙ и по (IV. 5) будем иметь
4(P(V(i)) = -^-(p(1)r(t>) + [(F-F<4»).T](p(i>rw) =
= P(,>-^T~PWr(i)div F(i) + /(0F°-Div (p(i)F*(i)FU)) + p(V(i)div V4i\
так что
dt
(г)
2 [>>-^ p(i)r(i)div F(,) + /(i)F(i)-
-Div(p(i)F*(i)Fw)+P(i)F0)divF*(i) + p(i)F(i)divr].

U3]
ДИНАМИКА СПЛОШНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ
73
Производя тождественные преобразования, при помощи (62) получим
¥L= 2[pwii£il + /(iy*(i)-Div (p(!)r*(i)F*(i))-p(i)F(i)div Γω +
Ρ
(Ι)
+ /(i)r-Div(p(i)r*(i)F) + p(,')r(i)divr(i)-p(i)F(,')divF+p(i)r(,)divF]-
После очевидных сокращений и использования равенств
U/(V = f2/(i)=o,
(г) (г)
2Div (p(i>F*( >F) =Div (2 p(V*(V) = Div [(2 ρωΓ(,)- F2 PW) F J =0,
(г) (i) (i) (г)
окончательно найдем
Ρ^- = Σ [p<f)^|^- + /(i)r*(i)-Div(p(V*wF*w)]. (77)
(г)
Аналогично будем иметь для полных энергий *)
Р^ = 2 [p^^^ + /(i)£(i)-div(p(i)F*w£:(i))J. (78)
ω
Имея уравнения динамики и баланса энергии для отдельных компонент
(фаз) смеси, легко получить и соответствующие уравнения для смеси в целом.
Согласно равенствам (77) и (78) индивидуальные производные по времени,
составленные в потоке смеси, выражаются через суммы аналогичных произ-
водных в потоках отдельных компонент (фаз), поэтому просуммируем левые
и правые части уравнений (73) и (74) по всем i-м сортам составляющих смеси.
Замечая, что по определению величин F(n> и J{n\ а также по условию
γ<3*) __ у<ад> будут справедливы равенства
2 F(ii)=o, 2. /°νο)=ο,
(i, i) Η, з)
получим
2 Ρω *!£^=2 pwfw+2 Div p(i)- 2 /(ii)F( }>
(i) (г) (г) (i,i)
и после сравнения с равенствами (77), (69) и (70)
dV
dt
Ч) (г, 3)
Последний член в правой части равен нулю, так как
2 /(ii)(F*(i)-F(i))=-F Σ J(H) = 0.
(г, j) (г. 3)
Таким образом, имеем следующее уравнение динамики в напряжениях
для смеси компонент (фаз):
p^ = pF + DivP->] Div(p(V*(V()). (79)
(г)
Оно отличается от соответствующего уравнения однородной жидкой
или газообразной среды стоящей справа суммой, которую можно Оыло бы
p-^ = pF + DivP-2Div(p(V*(V*°)+ 2 Jm(V*n-VU)).
г) Формулы (77) и (78) приведены без доказательства в ранее цитированной моно-
графии С. Coy (стр. 271).

74
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. II
присоединить к соседнему члену, трактуя выражение
Div(P-2p(V*(i)F*(i))
(г)
как результат присоединения к тензору средних напряжений Ρ дополни-
тельного тензора
ρ'=-Σρ™νΗΙ)ν*(η,
(г)
выражающего взятый с обратным знаком суммарный перенос (см. следующий
параграф) количества движения в диффузионных потоках отдельных компо-
нент (фаз). С такого типа дополнительными напряжениями мы будем в даль-
нейшем еще встречаться, в частности, в теории турбулентных движений
(гл. X).
Аналогично выводится и уравнение баланса энергии смеси в целом
р^ = 2 pwFli).Fп+ div 2 P(V(i)+ рд- Σ <Ην (p(i)£(i)F*(i)). (SO)
LU) (г) (г)
Значение отдельных членов в правой стороне этого равенства становится
-ясным если сопоставить его с уравнением баланса энергии (47). Последний
член определяет суммарный перенос полных энергий компонент (фаз) диффу-
зионными потоками. Вспоминая определение (62) скорости диффузии V*{1),
а также принятые определения средних значений плотности р, главного век-
тора объемных сил Ри тензора напряжений Ρ смеси [(69) и (70)], будем иметь
Σ р( >f( >·f.w=pf.v + Σ p(i)*(i)· f*(1), 2 p(i>r(i)=ρν+Σ p^v*
() " (i) (i) (i)
Подставляя эти значения суммарных мощностей объемных и поверхно-
стных сил по всем компонентам (фазам) в уравнение (80), придадим ему вид,
аналогичный (47),
p^- = pF-V +div(PV)+pq +
+ 2 ρω^ω.Γ*ω+ ^ P«)v*w ^ div (p(i)Ewr*(i)).
(г) (г) (г)
В некоторых случаях последние три суммы не учитывают, в других —
сохраняют лишь некоторые из них, как правило, первую и третью *).
Составленные в настоящем параграфе уравнения движения и баланса
энергии отдельных компонент (фаз) и их смеси имеют несколько общий харак-
тер и не учитывают многих деталей процессов, особенно связанных с превра-
щениями фаз и переносом при этом энергии. Отошлем по этому поводу к уже
цитированной статье Р. И. Нигматулина (ПММ, т. 34, № 6, 1970, стр. 1099)2).
Уравнения неразрывности, динамики и баланса энергии в многокомпо-
нентных, так же как и многофазных средах, составляют основную систему
уравнений движения неоднородных, сложных по составу сред. При отсут-
г) Л. И. Седов, Механика сплошной среды, т. 1, «Наука», М., 1976; С. Гроот,
П. Μ а з у р, Неравновесная термодинамика, «Мир», М., 1965.
2) Отличный от изложенного способ составления основных уравнений динамики π
термодинамики сплошной неоднородной среды, содержащий статистические пространствен-
ные и временные осреднения, можно найти в статье Ph. Vernier, J. M. Delhaye,
General two phase flow equations applied to the thermohydrodynamics of the boiling nuclear
reactors, Energie Primaire (EPE) Revue, v. 4, № 1, 2, 1968. См. русский перевод статьи
в сборнике «Новые исследования по общим уравнениям гидродинамики и энергии двух-
фазных течений», Атомиздат, 1970, и там же вводную обзорную статью С. Г. Телетова
-«Исследования по обпит уравнениям гидродинамики и энергии двухфазных смесей».

§ 14] ТЕОРЕМА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ В ЭЙЛЕРОВОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 75
ствии в потоке непрерывно распределенных внешних пар сил применение
уравнений моментов, аналогично тому, как это было в случае однородной
среды, приводит к установлению симметрии тензоров напряжений среды
в целом и отдельных ее составляющих. Система уравнений движения неодно-
родной среды еще более далека от замкнутости, чем система уравнений одно-
родной среды. Действительно, она содержит целый ряд величин таких, как
Jin\ Fi3b, E°b и другие, которые требуют для своего определения углуб-
ленных представлений о механизме межфазного обмена массой, количеством
движения и полной энергией, а также о химической (горение твердых или
жидких частиц в газовых потоках) и физической (плавление или испарение
частиц) кинетике фазовых превращений. Выяснению этих сложных обстоя-
тельств в основном и посвящена обширная литература по механике и термо-
динамике неоднородных сред. Содержание VIII—XI глав настоящего курса
(трение и тепломассоперенос в ламинарных и турбулентных потоках) должно
во многом способствовать выяснению сущности обменных процессов в мно-
гокомпонентных и многофазных потоках, причем по необходимости в поста-
новке, значительно более схематизированной и простой (силовое взаимодей-
ствие отдельных тел простейших геометрических форм с потоком однородной
жидкости, тепломассоперенос с поверхности таких тел, упрощенные модели
движущихся сред и т. п.), чем это имеет место на самом деле в движущихся
неоднородных средах.
Можно сказать, что основное содержание механики многокомпонентных
^многофазных) жидкостей и газов главным образом и заключается в уста-
новлении этих дополнительных по отношению к основным уравнениям зако-
номерностей и их применений к решению конкретных практических задач 1).
§ 14. Теорема количеств движения в эйлеровом представлении
Общие теоремы динамики системы материальных точек: теоремы коли-
честв движения и моментов количеств движения, а также теорема об измене-
нии кинетической энергии имеют широкое применение при изучении дви-
жений сплошных сред и, в частности, жидкостей и газов. Они были уже
применены в предыдущих параграфах при выводе основных уравнений
механики сплошных сред, причем использовалось лагранжеео представление
движения. Остановимся на некотором своеобразии применения этих теорем,
связанном с эйлеровым представлением движения.
В формулировку теорем динамики сплошных сред входят индивидуаль-
ные производные по времени от объемных интегралов, заключающих как
скалярные (плотность, энергия), так и векторные (количества и моменты
количеств движения) величины. Введем понятии переноса физической вели-
чины через поверхность.
Условимся называть контрольной поверхностью движущегося жидкого
объема неподвижную в пространстве поверхность, в данный момент огра-
ничивающую рассматриваемый движущийся объем. Перемещаясь в про-
странстве, жидкий объем протекает сквозь свою контрольную поверх-
ность.
Возьмем в пространстве, заполненном движущейся средой, элементар-
ную площадку δσ с ортом нормали п, приложенным к выбранной за лицевую
стороне площадки. Произведение ΦΡ^δσ физической величины Φ на секунд-
г) Отсылаем интересующихся к ранее уже цитированной монографии С. Coy и
имеющимся в ней литературным ссылкам, а также к отдельным научным статьям
Р. И. Нигматулина, одна из которых уже ранее была нами процитирована. Применения
теории многофазных сред можно найти в книге: М. Е. Дейч и Г. А. Филиппов,
Газодинамика двухфазных сред, «Энергия», М., 1966, стр. 423, а также в книге: С. С. К у-
тателадзе, Теплопередача при конденсации и кипении, Машгиз, М., 1962.

76
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. II
ный объемный расход νηδσ среды сквозь площадку δσ определяет секундный
объемный перенос или, просто, перенос величины Φ сквозь площадку δσ,
а интеграл \ ΦΡ^ηδσ — перенос той же величины сквозь поверхность σ.
Полагая, например, Φ равным отнесенному к единице объема вектору
количества движения pV, получим вектор переноса количества движения
сквозь поверхность σ, равный интегралу \ ρννηδσ. Вектор \ prxVVn6o
σ β
представляет перенос момента количеств
движения. Протекающую сквозь поверх-
ность σ секундную массу среды \ pVnba
в
можно рассматривать как перенос плотно-
сти ρ через поверхность σ, скалярную вели-
ρ—7ηδσ— как перенос кинетиче-
σ
ской энергии и т. п.
Докажем, что конвективная производ-
ная по времени от интеграла некоторой
величины, взятого по движущемуся объему,
равна переносу той же величины сквозь
контрольную поверхность.
Для доказательства разобьем объем
τ (рис. 24, а) на большое число элемен-
тарных трубок тока ABCD и для каждой
из них составим выражение бесконечно
малого конвективного изменения объемного интеграла от величины Φ
в объеме элементарной трубки, происшедшего за время dt в резуль-
тате перемещения этого объема из положения ABCD в положение A'B'C'D'
(рис. 24, б). Поскольку конвективное изменение связано только с неодно-
родностью поля функции Φ в фиксированный момент времени t, то искомое
бесконечно малое приращение интеграла будет равно
( I фЧ+<«-( i ФЧ=
A'B'C'D' ABCD
-( i «*)«.+( I фЧ„-( i ®Ч-( i «Ч-
A'BCD' BB'C'C AA'D'D A'BCD'
Сократим в правой части этого выражения первый и четвертый интегралы
и в силу бесконечной малости объемов положим
объем AA'D'D = — ν1ηδσ1 dt, объем BB'C'C = Υ2ηδσ2 dt.
Здесь индекс η обозначает направление внешней нормали к поверх-
ности, ограничивающей объем ABCD, заключенный между сечениями δσα
и δσ2. Искомое конвективное изменение интеграла от Φ в объеме элемен-
тарной трубки будет равно
Φ1ν1ηδσ1 dt + Φ272ηδσ2 dt.
Произведя суммирование этих величин по всем элементарным трубкам,
на которые разбит объем τ, получим выражение бесконечно малого конвек-
тивного изменения рассматриваемого интеграла за время dt перемещения

§ 14] ТЕОРЕМА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ В ЭЙЛЕРОВОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 77
объема интегрирования в фиксированном в данный момент поле
4оИВ f Φδτ= f <bVn6adt.
τ σ
Деля на dt, перейдем к конвективной производной
τ σ
что и доказывает ранее высказанное предложение.
Индивидуальная производная по времени от интеграла по движущемуся
жидкому объему τ физической величины Φ будет заключать еще локальную
часть, так что индивидуальная (лагранжееа) производная по времени в эйле-
ровом представлении будет иметь вид
τ τ σ
Если поле величины Φ стационарно, то локальная часть отсутствует;
в этом случае
Α|φδτ=|φ7ηδσ. (82)
τ σ
Непрерывность распределения в пространстве величины Φ была исполь-
зована при выводе формулы (81) лишь вблизи входного и выходного сечений
элементарной трубки тока. Что же касается объема трубки, общего для
начального и смещенного положений движущегося объема, то внутри этого
объема величина Φ может изменяться произвольным, непрерывным или пре-
рывным образом, лишь бы только интеграл сохранял определенный смысл.
Предположим, что внутри объема, ограниченного контрольной поверх-
ностью, имеются поверхности разрыва непрерывности интегрируемой вели-
чины, причем на этих поверхностях величина претерпевает при переходе
с одной стороны поверхности на другую конечный скачок. Будем предпола-
гать, кроме того, что эта поверхность разрыва ни целиком, ни частью не сов-
падает с контрольной поверхностью, а если пересекается с ней, то на участ-
ках, где расход жидкости сквозь контрольную поверхность равен нулю.
Тогда из приведенного вывода формулы (81) непосредственно следует, что
она сохраняет свою силу и при наличии поверхностей разрыва.
Пользуясь (81), получим уравнение сохранения массы в интегральной
форме
4г J Ρδτ + j ρνηδσ = J /δτ, (83)
τ σ τ
имеющей особо простой смысл в случае стационарного потока, когда первое
слагаемое слева равно нулю. В этом случае равенство
Г Ρνηδσ = Γ /δτ (84)
σ τ
выражает, что секундный массовый расход жидкости или газа через непо-
движную замкнутую поверхность, ограничивающую заданный объем, равен
секундному притоку массы от источников, расположенных в этом объеме.

78
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. II
Будем предполагать, что поток стационарен, а источники массы отсут-
ствуют (/ = 0). Тогда предыдущее равенство сведется к такому:
jpFn6a = 0. (85)
σ
Если применить это равенство к объему конечной по размеру трубки
тока, заключенному между боковой ее поверхностью и двумя по ходу движе-
ния жидкости произвольными сечениями трубки ог и σ2, и заметить, кроме
того, что расход сквозь боковую поверхность равен нулю, то равенство (85)
перейдет следующее:
JpFn6a+JpF„6a = 0.
В этом равенстве внешняя по отношению к выделенному объему нормаль
в сечении σ2 будет направлена вдоль по потоку, а в сечении ог — против.
Соблюдая единообразие в направлениях нормалей вдоль по потоку, изменим
знак у первого интеграла в предыдущем равенстве. Тогда получим закон
постоянства секундного массового расхода вдоль трубки тока
JpF„6a=JpFn6a. (86)
Теорема об изменении количеств движения (26) в эйлеровом представ-
лении, согласно (81), приобретает форму
J pF6t+ j Pn&J—lf J ρνδτ- j ρννηδσ=0. (87)
τ σ τα
Последнее слагаемое, включая знак минус, можно трактовать как перенос
количества движения через контрольную поверхность о внутрь объема τ.
Действительно, орт внешней нормали направлен наружу объема, так что если
в некоторой точке поверхности вектор скорости V направлен также наружу
объема {Vn >0), то элемент интеграла —pVnV δσ направлен внутрь объема;
если же вектор V направлен внутрь объема, то Vn <z 0 и элемент интеграла
направлен в ту же сторону, что и вектор V, т. е. опять внутрь объема.
Равенство (87) в случае стационарного потока можно трактовать следую-
щим образом: главные векторы внешних объемных и поверхностных сил,
приложенных к выделенному жидкому объему, вместе со взятым с обрат-
ным знаком вектором переноса количества движения сквозь контрольную
поверхность, соответствующую этому жидкому объему, образуют замкнутый
треугольник, т. е. сумма этих трех векторов равна нулю. Такова теорема
Эйлера количеств движения в сплошной среде.
Не будем останавливаться на аналогичных трактовках теоремы момен-
тов количеств движения и закона сохранения полной энергии (илп полной
энтальпии, как это сделано в гл. IV).
§ 15. Уравнения равновесия жидкости и газа
Как уже упоминалось, полученных уравнений: неразрывности, коли-
честв движения и полной энергии, а также теоремы моментов, приведшей
к установлению симметрии тензора напряжений, недостаточно для решения
конкретных задач динамики жидкости и газа. Дальнейшее продвижение
в этом направлении требует дополнительных, оправдываемых практикой
допущений, относящихся как к общим свойствам движущейся среды, так
и к различным приближенным подходам к описанию общих механических
и физических процессов, сопровождающих ее движение.

S 15)
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
79>
Существует один простой, но важный случай, когда выведенная система
уравнений может быть легко приведена к замкнутому виду и становится
пригодной для применений. Это — статика жидкости и газа, изучающая
явления в относительно покоящихся сплошных средах, когда в полном соот-
ветствии со свойством легкой их подвижности (§ 1), можно принять касатель-
ные составляющие тензора напряжений равными нулю, а сохранить лишь
нормальные составляющие, которые будут в этом случае равны
Рп = рпп- Рх = Рххг, Vv = Pyyj, Pz = Pzzk· (88)
Подставляя эти значения напряжений в основную систему равенств (22),
найдем
рппх — пхрхх, рппу = ηνρυυ, Prjv,, = nzpzz, (89)
лкуда сразу следует, что
Рхх = Руу = Pzz = Рп, (90)
т. е. три нормальных напряжения, приложенные к трем взаимно перпендику-
лярным площадкам, как угодно ориентированным в пространстве, равны
между собой. Этот закон изотропии нормальных напряжений в точках сплош-
ной среды, находящейся в равновесии, был открыт в середине XVII в.
Паскалем.
Общее значение нормальных напряжений в данной точке среды, взятое
со знаком минус, назовем давлением в этой точке и обозначим буквой рг
так что
Рхх = Руу = Pzz = —Ρ- (91)
Чтобы подчеркнуть, что принятое определение соответствует лишь слу-
чаю равновесия среды, это давление называют гидростатическим давлением.
Знак минус, принятый в определении давления, подчеркивает, что нор-
мальное напряжение
рп = — рп, (92)
приложенное в точках поверхности мысленно выделенного объема, направ-
лено в сторону, противоположную орту внешней нормали к поверхности,
ограничивающей выделенный объем, т. е. внутрь объема.
Давление ρ представляет собой физический скаляр, так же как плот-
ность, температура, концентрация и другие скалярные характеристики.
Измеряется оно в н/м2, кгс/м2, паскалях, барах и других единицах.
Давление в газе, где не может быть растяжений, всегда положительно;
оно обращается в нуль только в условиях абсолютного вакуума; в жидкости
возможно существование растяжений.
При равновесии среды тензор напряжений в ней, согласно (90) и (91),.
имеет таблицу
—ρ 0 0\ /10 0\
0 — ρ 0 } = —ρ I 0 1 01
0 0 —р) \0 0 1/
т. е. обладает сферической симметрией, что соответствует свойству изотропии
нормальных напряжений в покоящейся среде.
Можно положить (Ш — тензорная единица)
Ρ = ~РШ. (93)
Уравнения равновесия среды легко получить, если [в уравнениях дина-
мики в напряжениях (32) положить u = v = w = 0m, кроме того, принять
во внимание (88) и (91).

«о
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. II
Будем иметь следующие уравнения Эйлера статики среды:
<*.-·£. л-£. а-£. <«)
или эквивалентное векторное уравнение
pF = grad p. (95)
К тому же результату можно было бы прийти из уравнения (36) непосред-
ственно векторным образом, если заметить, что в рассматриваемом случае
будет
Div Ρ = —grad p. (96)
Из уравнения равновесия (95) можно исключить плотность и давление.
Для этого возьмем сначала от обеих его частей операцию вихря rot; тогда ρ
исключится, так как rot grad p = 0; будем иметь
rot (pF) = 0.
Отсюда, раскрывая скобки по известному правилу (III.9), получим
ρ rot F + grad ρ X F = 0. (97)
Умножим обе части этого равенства скалярно на F; тогда, заметив, что
второе слагаемое, как векторное произведение, перпендикулярно к своему
сомножителю F, найдем следующее общее ограничение, накладываемое на
класс сил, под действием которых возможно равновесие жидкости или газа,
F.rotF = 0, (98)
совпадающее с условием существования поверхностей, нормальных к сило-
вым линиям поля (сравнить с (8) § 4 гл. I).
К числу объемных сил, удовлетворяющих условию (98), относятся,
например, силы, имеющие потенциал П, так как для них
F == —grad Π, rot F = 0.
В этом случае
grad ρ X F = —grad ρ X grad Π = 0, (99)
откуда следует, что при равновесии среды силовые линии поля потенциальных
объемных сил ортогональны изостерам (поверхностям одинаковой плотно-
сти), а также что изостеры совпадают с изопотенциалъными поверхностями
силового поля.
Из (95) следует, что при равновесии среды силовые линии ортогональны
изобарам (поверхностям одинакового давления). Таким образом вообще при
равновесии жидкости или газа под действием потенциального поля объемных
сил изопотенциалъные поверхности поля совпадают с изобарами и изостерами.
Можно доказать и обратное предложение: если изобары совпадают с изо-
стерами, то равновесие жидкости или газа возможно только под действием
потенциального поля объемных сил. Действительно, из условия
grad ρ X grad ρ = 0
или по (95)
F X grad ρ = 0
на основании (97) следует:
rot F = 0, F = -grad П.
Если в движущемся или покоящемся газе плотность является функцией
только давления, то движение или равновесие называют баротропным.
Из предыдущего следует, что баротропное равновесие газа возможно при
наличии только потенциальных сил, так как при условии ρ = ρ (ρ) изобары

§ 16] РАВНОВЕСИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. ЗАКОН АРХИМЕДА 81
п изостеры, очевидно, совпадут; следовательно, как только что было пока-
зано, силовое поле должно быть потенциальным.
Уравнения Эйлера (94) представляют собой так называемую систему
в полных дифференциалах и имеют общее решение вида
ρ Μ
]j^ = \F-dr <100>
ро Mo
или при наличии потенциала Π (Μ)
ρ
dp -Π(Μ0)-Π(Μ),
J Ρ (Ρ)
ро
где Ро — Ρ {Μ0). Чтобы сделать задачу определенной, надо использовать
дополнительные допущения о форме зависимости плотности от давления.
§ 16. Равновесие несжимаемой жидкости. Закон Архимеда
Уравнение равновесия несжимаемой жидкости в потенциальном поле
внешних объемных сил будет
—ρ grad Π = grad p, (101)
откуда при ρ = const прямо следует:
ρ + ρΠ = const. (102)
Пусть две несмешивающиеся жидкости разной плотности рх и р2 нахо-
дятся во взаимном равновесии; при этом на поверхности раздела этих жидко-
стей давление ρ и потенциал непрерывны. Производная от левой части равен-
ства (102) по любому направлению s, лежащему в касательной плоскости
к поверхности раздела, должна удовлетворять одновременно следующим
двум равенствам:
dp , <ffl А dp , dU г,
откуда вычитанием получим
(Pi-Ра)-5-= 0;
последнее равенство при принятом условии рг Φ ρ2 приводит к постоянству
потенциала объемных сил Π на поверхности раздела. По (102) при этом и дав-
ление ρ будет сохранять постоянное значение вдоль поверхности раздела,
которую в этом случае называют свободной поверхностью. Таким образом,
при равновесии двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей разной
плотности в потенциальном поле объемных сил граница раздела жидкостей
будет одновременно изопотенциалъной поверхностью и изобарой.
При равновесии несжимаемой жидкости в поле тяжести (ось z направим
по вертикали вниз), равенство (102) дает ρ — pgz = const, или, заменяя
произведение pg на удельный вес γ, ρ — yz = const.
Обозначим давление над свободной поверхностью жидкости (обычно атмо-
сферное) через Ра, тогда, помещая начало координат в точку на горизонталь-
ной свободной поверхности, найдем ρ = ра + pgz — ра + yz.
Давление в данной точке на глубине z, за вычетом дополнительного
давления столба воздуха на свободную поверхность, т. е. давление
р' = yz (103)
будем называть давлением жидкости, понимая под р' превышение давления
в жидкости над атмосферным давлением на свободной поверхности.
6 л. Г. Лойцянский

82
0Б1ДПЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОЛНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. II
Поверхностью раздела — свободной поверхностью жидкости — служит
горизонтальная плоскость z = 0; на всей этой плоскости р' = 0.
Главный вектор и главный момент сил давления жидкости на некоторую
поверхность σ определяются интегралами (и — орт внешней нормали к по-
верхности σ, направленный внутрь жидкости)
B= — [np'do, L= — \rxnp'do, (104)
σ σ
причем поверхность σ, вообще говоря, не замкнута. В частном случае тяже-
лой жидкости, полагая по (103) р' = yz, получим
В=—у f nzdo, L=—y\ rxnzdo. (105)
σ σ
Если поверхность σ (рис. 25) представляет как угодно наклоненную
плоскую площадку, то η = const и первая из формул (105) дает
R = —ynzco, R = yzco, (106)
где zc (рис. 25) обозначает вертикальную координату центра тяжести С пло-
щадки σ. Равенства (106) показывают, что главный вектор сил давления
жидкости на любую плоскую пло-
О щадку, как угодно наклоненную
к горизонту, равен по величине
весу цилиндрического столба жид-
кости, имеющего своим основанием
площадку, а высотой глубину цент-
ра тяжести площадки под свобод-
ной поверхностью жидкости.
Этот закон, примененный к
сосуду, заполненному жидкостью,
приводит к закону независимости
давления жидкости на стенку со-
суда от формы сосуда, в который
жидкость налита, был открыт
Паскалем и получил наименование гидростатического парадокса.
Если поверхность σ замкнута и ограничивает некоторый конечный объем
τ, то по (104), замечая, что grad ρ' — grad p, получим
Рис. 25.
В = — \ tip' da= — Г grad p
d%.
(107)
В случае тяжелой жидкости имеем, согласно уравнению Эйлера,
grad ρ = pg, (108)
где g — вектор ускорения силы тяжести.
Подставляя это значение градиента в (107), найдем
В
= — J pgdT=—G,
(109)
где G — вектор силы тяжести7жидкости в объеме погруженного в нее тела.
Равенство (109) показывает, что главный вектор сил давления жидкости
на поверхность погруженного в нее тела равен по величине весу жидкости
в объеме тела и направлен в сторону, противоположную силе веса. Это —
закон Архимеда. Вектор R называют архимедовой силой или гидростатиче-
ской подъемной силой в знак того, что эта сила стремится вытолкнуть тело

§ 17]
РАВНОВЕСИЕ РАВНОМЕРНО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
83
из жидкости, заставить его всплыть. Всякое тело, погруженное в жидкость,
теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная телом жидкость.
Архимедова сила может наблюдаться не только в тяжелой, т. е. находя-
щейся под действием сил веса жидкости, но и в любом случае, когда тело
находится в переменном поле давлений. Такова, например, «индукция»
закрытого рабочего участка аэродинамической трубы с твердыми стенками
на помещенное в трубу удлиненное тело, обусловленная падением давления
в направлении потока из-за наличия сопротивления самого рабочего участка.
Главный момент сил давления жидкости на погруженное тело*"будет
равен
L = — \ г X пр do = \ nx prda= I rot (pr) dxt
σ σ τ
или, применяя известную формулу векторного анализа (ΙΙΙ.9),
rot (pr) = ρ rot r + grad ρ X г,
приводящую в данном конкретном случае к равенству
rot (pr) = —г X grad p,
так как rot r = О, получим
L = — I г X grad ρ dx,
или, согласно (108),
L = — \ г х pg dx. (110)
Замечая еще, что вектор-радиус г' центра тяжести вытесненного объема
равен
«*'=-£- \ rpgdx
и что, очевидно,
найдем по (110)
G
L= ~\ rpgdxxG=— r'xG = r'xB. (Ill)
τ
Полученная формула показывает, что линия действия главного вектора
давления жидкости на погруженное в нее тело проходит через центр тяжести
вытесненного телом объема жидкости.
§ 17. Равновесие равномерно вращающейся несжи ае ой
жидкости. Центрифугирование твердых частиц
Если несжимаемая жидкость находится в относительном покое по отно-
шению к некоторой равномерно вращающейся с угловой скоростью ω системе
координат, то, чтобы написать условие относительного равновесия вращаю-
щейся жидкости, необходимо к непосредственно приложенным силам с потен-
циалом Π присоединить еще отнесенную к единице массы инерционную
центробежную силу FW, равную
р(Ч) = (д2г (112)
6*

84 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 1ГЛ. II
и имеющую потенциал
П(ц) =
(ИЗ)
где г — вектор, направленный по кратчайшему расстоянию от оси вращения
к рассматривчемой точке жидкости и равный по величине этому расстоянию.
Уравнение относительного равновесия
вращающейся жидкости будет
р + рП—£·ρω2Γ2 = const, (114)
а уравнение свободной поверхности жидко-
сти (р — const) —
1
П-
to2r2 = const.
(115)
Рис. 26.
Найдем фигуру равновесия вращающе-
гося объема однородной жидкости, тяготе-
ющей к неподвижному центру силой, об-
ратно пропорциональной квадрату расстоя-
ния до центра.
Примем (рис. 26) ось z за ось вра-
щения и начало координат О за центр
притяжения. Потенциал сил тяготения,
отнесенных к единице массы жидко-
сти, будет равен —C/R, где С — некоторая константа, R = \fx2 -f- у2 -\- z2 —
расстояние частицы жидкости Μ от центра тяготения — начала координат О.
Потенциал центробежных сил, отнесенных к единице массы жидкости, будет
по (113)]равен ( — Υ^2^)^ где ω—угловая скорость вращения жидкого объе-
ма, г = Υ а? + у2 — расстояние жидкой частицы от оси вращения Oz. Усло-
вие равновесия вращающейся жидкости, если отвлечься от сил взаимного
тяготения между частицами, будет по (114)
1
С
Ρ-ΡΥ-
ρω2Γ2 =
= const,
(116)
а уравнение свободной поверхности, ограничивающей вращающийся объем
жидкости,
С , ω2/-2
-д + — = const.
(117)
Это уравнение представляет искомую форму поверхности фигуры рав-
новесия вращающейся массы жидкости. Чтобы дать некоторое, хотя бы
качественное представление о приложении только что полученной формулы
к вопросу о форме Земли, представляющей в грубом приближении вращаю-
щуюся однородную жидкость, тяготеющую к центру, зададим ускорение g0
тяготения масс на полюсе, находящемся на расстоянии R0 от центра Земли;
тогда будем иметь
Q
и уравнение поверхности фигуры равновесия примет вид
8оЩ
R
+ -g— = const,
причем постоянная определяется из условия, что на полюсе R = R0,
г =_0, откуда следует g0R0 = const. Окончательное уравнение свободной

§ Π] РАВНОВЕСИЕ РАВНОМЕРНО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ 85
поверхности будет
ё0Щ oft-» „
—д~~ ~Г ~2 80я0'
или, вводя полярный угол θ и полагая г = R sin θ, получим
ψ+<****«. = goRu. (118)
Если бы Земля не вращалась (ω = 0), уравнение свободной поверхности
свелось бы к равенству R = R0, и фигурой равновесия служила бы сфера.
За счет весьма малого вращения, совершаемого Землей L« ,3 nf) 1/с) ,
фигурой равновесия служит тело вращения, представляющее несколько
сплющенную у полюсов сферу — сфероид, уравнение поверхности которого
может быть в силу малости безразмерной величины
^= (от^)2·6'37·106·^ ~ °'0034 « ш
приближенно представлено так:
Отсюда легко найти относительную сплюснутость Земли:
г_Дщях-Дт1п_ 1 Д2До „ 1
Ятт "" 2 go ~600·
Геодезические измерения приводят к величине, в два раза большей.
Такое расхождение теории с опытом объясняется грубостью принятого
предположения об однородности Земли и неучетом взаимного притяжения
частиц, изменяющего самый закон притяжения к центру. На самом деле
закон притяжения зависит от формы жидкого тела, равновесие которого
рассматривается, что делает строгое решение поставленной задачи весьма
сложным.
Разберем, наконец, еще задачу о равновесии твердого тела, погружен-
ного я равномерно вращающуюся жидкость отличной от тела плотности.
Применим вновь формулу (107), но заметим, что в настоящем случае гра-
диент давления будет равен
grad ρ = —ρ grad Π + pto2r grad r = pgr + ρω2»*; (119)
тогда получим
В
= — I рд dx— I pcazrdx = —(?' — pcoVcT, (120)
где под ч"с подразумевается вектор
г с = \ \ г dx, (121)
τ
направленный по кратчайшему расстоянию от оси вращения до центра тяже-
сти вытесненного объема (будем считать, что центры тяжести тела и вытес-
няемого им жидкого объема совпадают) и равный по величине этому рас-
стоянию.
Формула (120) показывает, что при равномерном вращении жидкости
с полностью увлекаемым ею во вращение телом главный вектор сил давления
жидкости на поверхность тела складывается из архимедовой подъемной
силы (— С), аналогичной той, которая была бы в неподвижной жидкости,

86 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XI
(122)
и дополнительной архимедовой силы
jrtte) = _pto2rcT = —Ma>2rc,
играющей роль центростремительной силы притяжения тела к оси враще-
ния и равной по величине произведению массы жидкости Μ в объеме тела
на квадрат угловой скорости вращения и кратчайшее расстояние от оси
до центра тяжести вытесненного объема жидкости (рис. 27).
Полученный результат можно положить в основу объяснения процесса
центрифугирования. Пусть плотность находящегося в жидкости тела рав-
на р, причем тело будем считать однородным и
полностью погруженным. Тогда, прикладывая к
такому вращающемуся вместе с жидкостью телу
центробежную силу, равную (М — масса тела)
;т(Цб).
F'
■ Ма2гс = ρω2τ**θ!
и учитывая вес этого тела G = Мд, можем судить
об относительном равновесии тела в жидкости по
сумме векторов приложенных к нему сил: веса
G и центробежной силы Fte6>, с одной стороны,
и архимедовых подъемной (— С) и центростреми-
тельной F<4C> сил — с другой; эта сумма равна
G — G' + (р—р) (о2т;гс = (р—р) (д + fc>Vc) τ.
Из рассмотрения этой разности видно, что:
Рис. 27. 1) если плотность вращающихся вместе с жидкостью
тел ρ больше плотности жидкости р, то такие тела
будут во вращающейся жидкости тонуть и отбрасываться на периферию,
2) если же плотность тел ρ меньше плотности жидкости р, то такие тела будут
всплывать и приближаться к оси вращения. Так, в маслобойных центрифу-
гах зерна образовавшегося масла, более легкие, чем окружающая их водя-
нистая сыворотка, всплывают наверх и собираются вблизи оси центрифуги.
§ 18. Баротропное равновесие газа
Равновесие газа называется баротропным, если плотность газа может
быть рассматриваема как функция только от давления (ρ = ρ (ρ)), В против-
ном случае (ρ = ρ (ρ, Τ)) равновесие называют бароклинним.
Отметим основные частные случаи баротропного равновесия:
1) газ несжимаем, т. е. имеет повсюду одинаковую плотность (р =
= const = р0); этот случай уже был ранее разобран;
2) процесс изотермичен; при этом температура повсюду одна и та же
(Т = const = Τ0) и уравнение Клапейрона дает
const-ρ = -^- р;
Ро
RTn
(123)
3) процесс адиабатпичен (нет притока тепла извне); тогда имеет место
адиабата
p = const-pft = p0(-£~)'\
(124)
где к — показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей газа при
постоянном давлении ср и постоянном объеме с„; для воздуха к = 1,405.
Значения величин р0, р0, Т0 относятся к какой-нибудь характерной точке
покоящегося газа.

§ 18]
БАРОТРОПНОВ РАВНОВЕСИЕ ГАЗА
87
В случае равновесия газа в потенциальном силовом поле уравнение
равновесия имеет вид (101).
Безотносительно к тому, имеет ли место равновесие или движение,
лишь бы только процесс был баротропным (см. далее § 19), введем в рассмот-
рение функцию давления
ΡΟ
градиент ее по (125) равен
d3° 1
grad P = -^- grad Ρ = γ grad p. (126)
Величина ( grad ρ J по соображениям, изложенным в § 11, может рас-
сматриваться как отнесенный к единице массы главный вектор сил давлений
в данной точке, или вектор объемного действия этих сил. Таким образом,
функция давления «fP, удовлетворяющая равенству (126), представляет
потенциал объемного действия сил давления.
Уравнение равновесия (101) может быть теперь переписано в форме
grad(n + ^) = 0,
откуда следует, что при баротропном равновесии среды во всех ее точках
выполняется равенство
Π + &> = const. (127)
Простые вычисления интегралов по формуле (125) приводят к следую-
щим значениям функции давления в отмеченных выше частных случаях
баротропных процессов:
1) несжимаемая жидкость (р = const)
&(Р) = Е=Г1; (128)
2) изотермический процесс (ρ = — ρ)
ΡΟ
Р0
&(р) = -?°-Ы-^; (129)
ν ' Ρο Ρο ν '
3) адиабатический процесс ρ — р0 (— 1
fc-l
*ω--ω£[4£)*]- <130>
Удовольствуемся этими краткими представлениями из области статики
жидкости и газа. Отошлем интересующихся к курсам гидравлики, где раз-
делы гидростатики и аэростатики обычно занимают заметную часть.

Глава III
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
§ 19. Основные уравнения движения идеальной жидкости. Уравнение
Гельмгольца — Фридмана и теорема сохранения вихрей
Простейшей схемой движущейся жидкости является так называемая
идеальная жидкость г). Принимая эту схему, отвлекаются от наличия внут-
реннего трения, считая, что по площадкам соприкасания двух друг отно-
сительно друга движущихся объемов действуют лишь нормальные к площадке
силы давления и полностью отсутствуют лежащие в плоскости площадки
касательные силы.
Применяя это допущение к произвольно ориентированным в простран-
стве взаимно перпендикулярным координатным площадкам, будем иметь
Рху = Pyx = Pyz = Pzy = Pzx = Pxz = 0; (1)
то же допущение отсутствия касательных напряжений на наклонной к коор-
динатным осям площадке дает
Рпх ~ Pnnxi Pny ~ Pnftyi Pnz ~ Pnnz-
Отсюда, согласно системе равенств (22) гл. II, будем иметь
Рхх = Руу = Pzz = Рп- (2)
Из системы равенств (1) и (2) следует основное свойство идеальной
жидкости: нормальное напряжение в данной точке не зависит от направления
площадки, к которой оно приложено.
Напомним, что аналогичный результат и тем же рассуждением был
получен в начале § 15 для находящейся в покое произвольной среды, обладаю-
щей лишь свойством легкой подвижности.
Обозначим общее значение нормальных напряжений в данной точке
потока через (—р). Скалярную величину р, в отличие от введенного в преды-
дущей главе гидростатического давления, будем называть гидродинамиче-
ским давлением или просто давлением в данной точке потока; знак минус, как
и в случае равновесия, выделяется, чтобы подчеркнуть противоположность
направления вектора нормального напряжения рп направлению орта нор-
мали η к лицевой стороне площадки. Напряжение, приложенное к лицевой
стороне любым образом наклоненной элементарной площадки в идеальной
жидкости, определяется формулой
Рп = Рпп = — рп. (3)
Таким образом, так же как при равновесии любой реальной сплошной
среды, тензор напряжений в идеальной жидкости обладает сферической сим-
метрией, т. е.
Ρ = ~р%. (4)
Отвлекаясь в схеме идеальной жидкости от количественной стороны
влияния внутреннего молекулярного обмена, проявляющегося в виде трения
и теплопроводности, мы сохраняем вместе с тем качественное следствие обме-
х) Под жидкостью здесь и далее понимается как собственно несжимаемая жидкость,
так и сжимаемая жидкость — газ.

§ 19] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 89
на — непрерывность распределения физических величин; вот почему резуль-
таты применения теории идеальной жидкости во многих случаях (общая
картина обтекания, распределение давлений по поверхности плавно обтекае-
мого тела) оказываются вполне удовлетворяющими практику.
Принцип непрерывности движения приходится нарушать лишь в отдель-
ных случаях: на поверхности раздела двух идеальных жидкостей разной
плотности, на поверхности твердого тела, обтекаемого идеальной жидко-
стью, а также на некоторых специальных поверхностях, где физические
величины или их производные могут претерпевать разрывы непрерывности
(поверхности разрыва). В первых двух из указанных случаев допускается
свободное скольжение жидкостей друг по отношению к другу и скольжение
жидкости по поверхности твердого тела, причем ставится условие отсутствия
взаимного проникновения жидкостей или протекания жидкости сквозь
поверхность твердого тела (условие непроницаемости).
Реальная жидкость не допускает наличия разрывов непрерывности
ни внутри движущегося потока, ни на границах его с твердым телом. В дей-
ствительности жидкость или газ не могут скользить вдоль поверхности
твердого тела; скорости тех частиц, которые граничат с твердой стенкой,
равны нулю, жидкость как бы прилипает к поверхности тела. Однако эта
скорость резко возрастает при удалении от поверхности и на внешней гра-
нице весьма тонкого по сравнению с размерами тела пограничного слоя
достигает значений, соответствующих схеме свободного скольжения идеаль-
ной жидкости. В этом вторая причина возможности применения схемы идеаль-
ной жидкости для расчета обтекания тел плавной, вытянутой формы (крыло,
фюзеляж, лопатка рабочего колеса турбомашины и др.). В случае плохо
обтекаемого тела пограничный слой отрывается от поверхности тела и зна-
чительно искажает картину обтекания тела идеальной жидкостью. Подробнее
об этом будет сказано в гл. VIII, посвященной динамике вязкой жидкости.
Основные дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости
получаются путем упрощения общих уравнений движения, выведенных
в гл. II. Уравнение неразрывности, как не заключающее напряжений, сохра-
нит ту же форму, что и в общем случае неидеальной жидкости. Уравнение
в напряжениях (31) упростится я приведется к виду
^ = ^ + 1Г^)Г=Г-±2г^р, (5)
гош в проекциях на оси декартовых прямоугольных координат
du ди . ди ди . 'ди „ 1 др
~Ж — ~ЬТ + и ~дх~ + v ~ду~+ w ~ЪЧ ~ *х ~ У ~Ь~х~'
dv dv , dv , dv , dv „ 1 dp
-dT = -dJ + u-dx-+v-b7 + w-d7 = Fy-T'dy->
dw dw , dw , dw , dw „ I dp
dt dt ' dx ' dy ' dz Ρ dz
(6)
Таковы уравнения Эйлера динамики идеальных жидкости или газа.
По тем же соображениям, что и в § 11, вывод уравнений Эйлера в пря-
моугольных криволинейных координатах не составляет труда. Для этой
цели, в частных случаях цилиндрической и сферической систем координат,
достаточно вспомнить формулы (48) и (49) гл. I для проекций ускорения
на оси прямоугольных криволинейных координат и соответствующие этим
координатам формулы проекций градиента скалярной функции (III.18)
и (III.19). Уравнениям Эйлера можно придать иной, полезный для дальней-
ших выводов вид, указанный И. С. Громека и Г. Ламбом. Для вывода этого

90 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Ш
уравнения выделим в уравнении (5) из выражения конвективного ускорения
потенциальную часть. Воспользовавшись 6-й строкой (Ш.9), придадим
уравнению (5) форму уравнения Громека — Ламба
_^+grad(-^-)+rotFxF=F--^-gradp. (7)
Для дальнейшего наибольший интерес представляет случай, когда
объемные силы имеют потенциал Π и движение баротропно, т. е.
F = _grad Π, (8)
и существует функция давления
'ω-Ιρ^· (9>
Ро
введенная в § 18. При этом уравнение Громека — Ламба (7) перейдет в сле-
дующее:
^ + grad(-^-+^+n)+rotrxF = 0. (10)
Введем обозначения
^г+9+Yi^B, (11)
rot V = Ω. (12)
Тогда уравнение (10) может быть представлено в форме
^-+grad£-fQxF=0 (13)
или в проекциях на декартовы оси
ди . дБ , π г. А
(14)
Величину убудем именовать трехчленом Бернулли. Трактовка В как
отнесенной к единице массы полной механической энергии жидкости оправ-
дана, если помнить, что величина IP является потенциальной энергией объем-
ного действия поверхностных сил, а не непосредственно самих поверхностных
сил, которые, как ранее (§ 10) уже выяснилось, не образуют силового поля,
и, следовательно, само понятие потенциальной энергии для них не имеет
смысла.
Уравнения (13) или (14) связывают чисто кинематические величины V
и Ω = rot V с динамическими характеристиками Пи#. Переписывая урав-
нение (13) в форме
E— + QxV = -graaB1
видим, что при баротропном движении идеальной сплошной среды под дей-
ствием потенциального поля объемных сил левая, кинематическая часть
этого равенства представляет потенциальный вектор. Следовательно, не вся-
кое поле скоростей может быть создано в идеальной жидкости, баротропно
движущейся под действием потенциального поля объемных сил, а только

§ 19] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 91
такое, которое удовлетворяет равенству
dV
rot(^l + QxF)=l
или, что все равно,
0Ω
dt
■f rot(QxF) = 0.
Раскрывая дифференциальную операцию вихря от векторного произ-
ведения по правилу векторного анализа (III.9)
rot (Ω хГ) = (Г -V) Ω — (β. ν) V +Ω div V — V (ΗνΩ
и откидывая последний член в правой части этого равенства как тождествен-
но равный нулю, перепишем предыдущее равенство в форме
-^- + (Γ·ν)Ω = (Ω·ν)Γ — Ω div F,
или, вспоминая определение индивидуальной производной [(42) гл. I],
^.= (Ω·ν)Γ — ildivV. (15)
Первое слагаемое в правой части, равное, согласно (11.11) и (IV.4),
(Ω·ν)Γ = Ω(νΓ) = Ω5 — Qx^Q = QS,
выражает эффект деформации вектора Ω скоростным полем, второе
(— Ω div V) определяет влияние сжимаемости.
Уравнение (15) для случая идеальной сжимаемой среды было указано
А. А. Фридманом и названо им уравнением динамической возможности
движения.
Частный вид этого уравнения, относящийся к случаю несжимаемой
жидкости (div V = 0),
-f-=(G-V)F (16)
носит наименование уравнения Гелъмголъца.
Введем понятие сохраняемости вихревых линий. Пусть в некоторый
момент времени в жидкости существует вихревая линия (/, /) (рис. 28),
являющаяся векторной линией вектора Ω = rot V;
рассмотрим жидкую линию (77, 77), образован-
ную в момент t + dt теми же жидкими частицами,
что и линия (7, 7) в момент t. Если жидкая
линия (77, //), представляющая новое положение
линии (7, /) к моменту времени t + dt, является
также вихревой, то будем говорить, что вихревая
линия (/, /) при движении среды сохраняется,
в противном случае — разрушается.
Докажем следующую теорему Гельмгольца:
в движущейся под действием консервативного поля
объемных сил идеальной несжимаемой жидкости
вихревые линии сохраняются.
Сравним между собой бесконечно малый
жидкий, т. е. состоящий из определенных ча-
стиц жидкости, вектор ММг и его смежное положение М'М[ (при беско-
нечно малых перемещениях жидкости прямолинейные отрезки остаются
с точностью до малых высших порядков прямолинейными). Имеем из век-
Рпс. 28.

92 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. III
торного многоугольника ММХМ\М'
Wm\=мм i+MjM;—мм',
или, замечая, что по условию (λ — произвольный бесконечно малый скаляр)
МЩ=Ш, ~MM~' = Vdt, М±М[ = [V + (λΩ.V) V] dt,
получим
1ГЩ=№ + Г dt+%(Q-V)V dt-V dt = X[Q + (il-V)V dt]. (17)
Последнее равенство с учетом уравнения (16) приводит к соотношению
U7M:1^K(Q + ^dt)^lQr, (18)
доказывающему теорему Гельмгольца, так как элемент жидкой линии (//, //)
оказывается направленным по вектору Ω', который представляет прира-
щенный за время dt вектор Ω.
Приведенное доказательство справедливо только для идеальной несжи-
маемой жидкости. Как показал А. А. Фридман *), теорема верна и в случае
любого баротропного движения идеального газа.
§ 20. Теорема Бернулли
Предположим, что идеальная жидкость под действием потенциального
поля объемных сил с потенциалом Π совершает стационарное баротропное
движение с функцией давлений а?5. Тогда первый член в уравнении (13)
равен нулю, и, умножая обе части (13) скалярно на вектор скорости V, полу-
чим в силу перпендикулярности последнего слагаемого вектору V
V -grad £=F( у- .grad В ) = 0,
или, вспоминая определение производной по направлению (III.7),
V , D dB
отсюда заключаем, что
£ = °. (19)
где символ dlds означает производную, взятую вдоль траектории или линии
тока, что при стационарном движении одно и то же. Из равенства (19) сразу
следует, что вдоль траектории или линии тока трехчлен Бернулли В сохра-
няет одно и то же значение
V2
В = -γ- + & + Π = const (вдоль линии тока). (20)
Полученное равенство можно рассматривать как первый интеграл урав-
нений Эйлера, справедливый в случае стационарного движения при наличии
функции давлений, представляющей потенциал объемного действия поверх-
ностных сил, и потенциала объемных сил. Этот интеграл, выведенный путем
скалярного умножения обеих частей уравнения (13) на вектор скорости V,
может трактоваться как интеграл живых сил, или интеграл кинетической
энергии уравнений движения центра инерции элементарного объема жидко-
сти (интеграл Бернулли).
Х) А· А- Фридман, Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости (диссертация),
Изд-во Главной физической обсерватории, 1922, а также Н. Е. Кочин,
й" А/„,? и б е лг« И.™Н· в· I р ° 3 е» Теоретическая гидромеханика, т. I, Гостехиздат|
М., 1948, стр. 150—160.

§ 20]
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
93
Равенство (20) выражает следующую теорему Бернулли: при стационар-
ном баротропном движении идеальной жидкости под действием потенциаль-
ных объемных сил сумма кинетической энергии единицы массы, функции
давлений и приведенного к единице массы потенциала объемных сил сохраняет
вдоль линии тока (траектории) постоянное значение.
Интеграл Бернулли мог быть выведен и непосредственно из уравнения
Эйлера (5) без преобразования его к форме Громека — Ламба (7). Действи-
тельно, переписывая в условиях теоремы уравнение (5) в виде
^=-grad'(II+^)
и умножая скалярно на вектор V, получим
но по определению индивидуальной производной по времени от скалярной
функции в случае стационарного движения будем иметь
d
dt
(-£) = F.grad(^)f
так что
F.grad(-^ + ^+n)=0,
что по предыдущему и приводит к равенству (20).
Из уравнения (13) в случае стационарного движения сразу следует
постоянство величины В также и вдоль любой вихревой линии. В самом деле,
откидывая в случае стационарного движения первый член, умножая обе
части (13) скалярно на Ω и рассуждая так же, как и при выводе равенства
(19), получим
Ω-grad Β=Ω (-§-grad #) =Ω-^-=0,
где dldl определяет дифференцирование вдоль дуги вихревой линии. Отсюда
сразу следует, что и вдоль вихревой линии величина В имеет одно и то же
значение
У2
В — —к--{- а?5 +П = const (вдоль вихревой линии). (21)
При стационарном движении вектор Ω Χ V образует [см. (13)] потенциаль-
ное векторное поле с потенциалом В. При этом, как было доказано в § 4,
через каждую точку пространства можно
провести поверхность, ортогональную к век- -» _/ я-const
торной линии поля вектора Ω Χ V, прохо-
дящей через эту точку. Эти ортогональные
поверхности будут поверхностями уровня
трехчлена Бернулли. Касательные плоско-
сти к этим поверхностям содержат векторы
Ω и V. Поверхности уровня можно полу-
чить, взяв (рис. 29) какую-нибудь линию тока
и проведя через все ее точки вихревые ли-
нии; эти вихревые линии образуют вихревую
поверхность — поверхность уровня, проходя-
щую через данную линию тока. Можно по-
ступить и иначе: взяв некоторую вихревую линию, через все ее точки
провести линии тока; тогда эти линии тока образуют поверхность тока,
проведенную через данную вихревую линию.

94 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. III
Константы, стоящие в правых частях равенств (20) и (21), имеют раз-
ные значения вдоль разных линий тока или вихревых линий. Одинаковые
значения констант имеют лишь те линии тока, которые проходят через точки
одной и той же вихревой линии, или вихревые линии, проведенные через
точки одной и той же линии тока. Значения констант в этих равенствах
определяются величиной трехчлена Бернулли в какой-нибудь одной почему-
либо характерной или заданной наперед точке линии тока или вихревой
линии. В общем случае константы эти различны для линий тока или вихре-
вых линий, не лежащих на одной и той же поверхности тока или вихревой
поверхности.
Если во всех точках пространства выполняется векторное равенство
Ω X V = 0, (22)
то поверхностей уровня нет, но в этом случае по (13) в стационарном потоке
grad В = 0, (23)
т. е. трехчлен Бернулли сохраняет одно и то же значение во всем простран-
стве, занятом потоком жидкости или газа.
Равенство (22) выполняется в следующих двух случаях:
1) Ω = 0 — движение безвихревое; подробному рассмотрению этого важ-
нейшего случая будут посвящены специальные главы курса;
2) Ω || V — вихревые линии совпадают с линиями тока; при таком дви-
жении частицы в своем мгновенном вращении поворачиваются вокруг каса-
тельных к линиям тока. Такое движение называется винтовым. С винтовым
движением приходится иметь дело, например, при рассмотрении так называе-
мых «свободных» вихрей, сходящих с поверхности крыла конечного размаха.
Рассмотрим частные случаи теоремы Бернулли, относящиеся к отдель-
ным простейшим баротропным процессам.
В случае движения несжимаемой жидкости (р = const) имеем
& = -Е=£>_==Е+const.
Ρ Ρ
Довольствуясь случаем наличия в качестве объемных сил только сил
веса и направляя вертикальную ось z вверх, получим
Π = gz + const.
Тогда формулы (20) и (21) примут следующий вид (символ const обозначает
сохранение величины В как вдоль линии тока, так и вдоль вихревой линии):
В= ^ + y+gz= const (24)
или, переходя от плотности ρ к удельному весу у— pg,
Т = Я = ^ + f + z = const· (25)
Отдельные члены равенства (25) имеют размерность длины и называются
соответственно: V2/2g — скоростной, ρ/у — пьезометрической иг — нивелир-
ной высотами. Сумма этих высот Я называется гидравлической высотой.
Формула (25) приводит к классической формулировке теоремы Бер-
нулли: при стационарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидко-
сти гидравлическая высота, равная сумме скоростной, пьезометрической
и нивелирной высот, сохраняет постоянное значение вдоль любой линии тока
(траектории) или вихревой линии.
Эта форма теоремы Бернулли имеет основное значение в гидравлике.

§ 20]
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
95
Предположим в дальнейшем, что объемными силами по сравнению
с поверхностными (давлением) можно пренебречь, тогда уравнение Бернулли
(25) примет более простой вид
ρ + -Hi! = const. (26)
Первый член называют пьезометрическим напором, второй — скоростным
или динамическим напором, сумму их — полным напором, а теорему Бер-
нулли формулируют так: при стационарном движении идеальной несжимае-
мой жидкости, в отсутствие объемных сил, полный напор, равный сумме
пьезометрического и скоростного напора, сохраняет свою величину вдоль
любой линии тока (траектории) или вихревой линии]
Припоминая выражения функций давления &> (129) и (130), помещенные
в конце гл. II, получим следующие формы теоремы Бернулли:
а) для изотермического движения (Т — const, pip = р0/р0, pi о — р/Ро)
J£ + ^lnJLe^+J* bJL = Const = -3 ; (27)
2 Ро Ро 2 Ро Ро 2 v
б) для адиабатического движения [р/р0 = (p/Po)ft> 9l9o~{plPo ,h]
k-l
V2
2
-ет£-Г'-(*) *]-«--?' <28>
т~**г£[Ч*-Г]=«>"«-3· <*»
Здесь индекс нуль, относящийся к какой-то, произвольно выбранной на
линии тока (траектории) или вихревой линии точке в дальнейшем при-
менен для параметров покоящегося газа. Если на данной линии тока (траек-
тории) или вихревой линии нет точки, где V = 0, то всегда можно себе мыслен-
но представить некоторое непрерывное адиабатическое движение идеально-
го газа (далее будет показано, что оно будет и изэнтропическим), переводя-
щее его из данного положения в «котел» (ресивер) бесконечно большого
объема, в котором газ становится неподвижным, или, как принято говорить,
адиабатически и изэнтропически заторможенным. Параметры газа в этом его
состоянии называют адиабатически и изэнтропически заторможенными или
параметрами торможения и соответственно обозначают р0, р0, Т0. Уравнения
Бернулли (28) и (29) примут при этом один из следующих видов (первое
равенство носит имена Сен-Венана и Вантцеля):
Л-1
F2= 2fc ppTi__(.JL) k 1 У2 = ^^Г1_(_Р_)*-П (30)
к— 1 ро L V ро / J к— 1 Ро L V Ро / J v
В приложениях, в частности, при расчетах турбомашин, приходится
иметь дело с относительным движением жидкости в некоторой равномерно
вращающейся вокруг неподвижной оси системе координат. Так, при обте-
кании вращающегося с постоянной угловой скоростью рабочего колеса
абсолютный поток, т. е. поток по отношению к фундаменту турбины, будет,
очевидно, нестационарным, и теорему Бернулли к нему применять нельзя.
В относительной системе координат, связанной с вращающимся колесом,
поток стационарен, и теорема Бернулли в относительном движении спра-
ведлива.
Обозначая через Vr относительную скорость и присоединяя к приложен-
ным объемным силам центробежную силу инерции с плотностью распределе-

96 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. III
ния F»> = ш2г и потенциалом IK") = — */2 г2 ω2, где г — расстояние от оси
вращения, и кориолиссову силу с плотностью распределения F(c) = —2ω Χ
X VT (исчезающую при скалярном умножении на Vr), получим
Zzi+^ + n--^= const (31)
(const только вдоль относительных линий тока или траекторий).
Замечая, что г ω = Ve представляет переносную (окружную) скорость,
будем иметь окончательную форму теоремы Бернулли в относительном
движении
r 2 e +^ + n = const. (32)
§ 21. Уравнение баланса энергии при адиабатическом
движении идеального и совершенного газа
Внутреннее трение (вязкость) в газе и теплопроводность представляют
собой две стороны одного и того же процесса молекулярного переноса. Тре-
ние обусловлено переносом количества движения, теплопроводность — кине-
тической энергии молекул. Приняв в настоящей главе схему идеального,
т. е. лишенного внутреннего трения, газа, естественно отвлечься и от тепло-
проводности. Пренебрегая также лучеиспусканием, примем, что движущийся
газ изолирован от притока тепла извне. Такое движение называется адиаба-
тическим 1). Кроме того, заметим, что удельная внутренняя энергия совер-
шенного газа пропорциональна его абсолютной температуре и равна U =
= ссТ, где ср — коэффициент теплоемкости газа при постоянном объеме.
Уравнение баланса энергии (47) гл. II в случае адиабатического движе-
ния (q = 0) идеального газа (Р = —рЩ будет при этом иметь вид
р4-(с°Т+-1г)=рр-г-а™(рГУ>· (33)
Введем наряду с внутренней энергией еще одну тепловую функцию —
энтальпию
h = срТ. (34)
Напомним основную термодинамическую формулу
ср — cD = R, (35)
связывающую коэффициенты теплоемкости газа при постоянном давлении ср
и при постоянном объеме сГ с газовой постоянной R. Определяя коэффициен-
ты теплоемкости как величины, характеризующие быстроту изменения
количества тепла с ростом температуры, соответственно, в условиях сохра-
нения давления или объема ^
с*=(йг)р» Cv = (~w)v'
из первого начала термодинамики, написанного в форме (г; = 1/р)
dg = с„ dT + pdv,
получим
(£),-*+'(£),. <36>
г) В предыдущем параграфе уже употреблялось понятие адиабатическое движение
для обозначения такого движения газа, когда р/р* = const. Как будет показано далее
(см. (43)), для рассматриваемого случая идеального совершенного газа эти два определе-
ния эквивалентны друг другу.

§ 21] УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ ПРИ АДИАБАТИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ 97
(39)
а по формуле Клапейрона
\ of )р~~ L от \ ρ )\ρ~ ρ ·
Равенство (36) при этой! приводится к (35).
Из формулы (35) найдем связь между внутренней энергией и энтальпией
U = cOT = cpT — RT = h—JL. (37)
Подставим это выражение внутренней энергии в уравнение баланса (33)
ρ4(Λ + -Γ-)=Ρ*'·^-«Ην (pV)+p-L(f). (38)
Последнее слагаемое в правой части, если вычислить индивидуальную
производную и воспользоваться уравнением неразрывности в форме (5)
гл. II, преобразуется так:
' dt \ ρ / dt p dl dt ' ρ r dt ' r
Подставляя это выражение в (38) и производя простые преобразования, полу-
чим уравнение баланса энергии в одном из следующих двух видов [■£ =
= ^+F.gradp):
ρ£(*+τ-)-ρ^+£·
Исключим из уравнения баланса энергии (39) объемные силы и вектор
скорости V. С этой целью умножим обе части уравнения Эйлера (5) скалярно
на V, и полученное таким образом равенство
• 9V~^94r{^r)=9F-V^V-g^p
вычтем почленно из обеих частей первого из уравнений (39). Тогда найдем
следующую дифференциальную связь между4плотностью, давлением и эн-
тальпией (т. е. температурой):
Ш dp //пч
г-ж=-ж- (4°)
Покажем, что из этого соотношения следует баропгропноспгъ адиабати-
ческого движения идеального совершенного газа, и найдем соответствующую
связь между плотностью и давлением. Из равенства (40) и закона Клапей-
рона вытекает, что при дифференцировании вдоль траектории
£- = dh = cpdT = ^-d(RT)=-%d(f). (41)
Но ио (35)
4f('-tH
или, вводя отношение ср/св = /с,
СР __ к
R ~ к— 1 ·
7 Л. Г. Лойцянский
(42)

98 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Ш
Тогда равенство (41) может быть переписано в виде
dp к , Ι ρ \ к dp к ρ
dp к , Ι ρ \ _ к dp к ρ ,
Т = ~к=Т \j)==~k=T~P А-1 Р2 Р'
или
dp , φ
Ρ Ρ
Интегрирование дает известную адиабату Пуассона
JL = (JL)\ JL=(JL)1/ft, (43)
Ро V Ро / ' Ро V Ро I у '
причем индекс нуль соответствует состоянию газа в какой-нибудь фиксиро-
ванной точке на траектории частицы. Итак, движение действительно баро-
тропно; соотношение между плотностью и давлением определяется адиаба-
той (43).
Из (40) в силу только что доказанной баротропности движения выте-
кает, что
dh _ 1 dp _d@
dt p ~dt dt »
т. е. вдоль траектории движения значения энтальпии и функции давлений раз-
личаются лишь на постоянную
h = & -f const. (44>
Выражение функции давлений сР (р) для адиабатического движения
было уже выведено в § 18. Подставляя значение аР из равенства (130) этого
параграфа в (44), получим адиабатическое соотношение между абсолютной
температурой Τ и давлением ρ
й-1 fc-1
Ст,У = -
k ро
jp ~ k-i Ро
или по (42)
[Ш * -']+»-~гт«Г'[Ш ' -»]+^
ft-l __й_
■^"=(λ") * №=(^) ' (45>
Заменяя здесь ρ на р по (43), получим адиабатические соотношения
между температурой и плотностью
_j
У _ / ρ \ft-i ρ __/ Τ \ ft-1
1ъ-\~к) ' "p7~lTo-J · (4b>
Простая связь между термодинамическими элементами газа ρ, ρ, Τ
и величиной скорости его движения V может быть выведена из уравнения
баланса энергии (39) при условии стационарности движения и консерватив-
ности объемных сил. В этом случае будет
d
dt
и второе из равенств (39) приводится к виду
1/2
{h+-T) = V-eTad{h + ]T)> |e0, F-V=-V.gTadU;
Γ-grad (fc+Z_ + n)=0.
Замечая, что скалярное произведение вектора скорости на градиент скаляр-
ной функции пропорционально производной от этой функции по направле-
нию траектории или линии тока, получим равенство
V2/2 + h + Π = const (вдоль траектории или линии тока).

§ 2iJ УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ ПРИ АДИАБАТИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ УУ
Комбинируя его с (44), вновь получим уравнение Бернулли (20), ранее
выведенное из допущения о баротропности движения. Только что приведен-
ный вывод отличается тем, что в нем баротропность процесса заранее не пред-
полагалась, а вытекала из условия адиабатичности движения газа.
В дальнейшем при изучении движений газа мы будем всегда пренебре-
гать влиянием объемных сил (в частности, весом). Это влияние существенно
сказывается лишь при движениях газа в пределах больших разниц высот
над поверхностью Земли, например в динамической метеорологии. При отсут-
ствии объемных сил (П = 0) предыдущее равенство приводится к более
простому
1/2 J/2
h + —g-==cpT-]—2~ = const, (47)
утверждающему, что при адиабатическом движении идеального газа его
абсолютная температура и скорость движения находятся вдоль траектории
в определенном соотношении: с возрастанием скорости газ охлаждается,
с убыванием скорости, наоборот, разогревается.
Определим постоянную в равенстве (47) через параметры адиабатически
заторможенного газа (V — 0, h — h0, T = Т0); тогда будем иметь основную
для дальнейшего формулу
h + \- = h0. (48)
Стоящая слева сумма удельных энтальпии и кинетической энергии,
сохраняющаяся при адиабатическом движении частиц газа вдоль их траек-
торий (линий тока), носит наименование полной энтальпии. Иногда говорят:
«энтальпия торможения»; следует избегать термина «полная энергия», так
как он уже использован для суммы удельных внутренней и кинетической
энергий в § 12.
Не будем сейчас выписывать легко выводимые из (48), (45), (46) соотно-
шения между скоростью и давлением или скоростью и плотностью, так как
далее, в § 23, те же формулы получат более симметричную и удобную для
запоминания форму.
Определим мощность Nin внутренних сил, отнесенную к единице объема.
В случае идеального газа эта мощность соответствует работе сил давления,
затрачиваемой на сжатие газа. Замечая, что в рассматриваемом случае
Р=-р%, P-S = -p%-S= -p%uSu= -pSH= -pdiv V,
получим, согласно (45) гл. II, следующее выражение искомой мощности:
Nin=— P-S = pdivV. (49)
Заметим, что по уравнению неразрывности (5) главы II будет
,. -ту 1 dp d i 1 \ dv
dlvr=___=p__(_j==p_j
где ν — удельный объем, равный 1/р; так что (49) эквивалентно
Nin = PP^. (50)
Если обе части этого равенства разделить на ρ и умножить на dt, то полу-
чится известное из термодинамики выражение ρ dv удельной элементарной
работы внутренних сил давления в идеальном газе.
Введем наряду с функциями состояния — энтальпией h и функцией дав-
ления & — еще одну функцию состояния, а именно удельную энтропию s,
определяемую дифференциальным соотношением
ds = dq/T, (51)
7*

•100 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. III
где dq — элементарный приток тепла, отнесенный к единице массы газа и удо-
влетворяющий, согласно первому началу термодинамики, соотношению
dq = cvdT + pdv = cvdT--^dp. (52)
Подставляя это выражение в (51), получим
р
или, замечая еще, что по (35) и (42)
с, 1
R к-1
найдем
*=т£т "'»(£)
Отсюда интегрированием получим следующее выражение удельной энтропии
в конечной форме:
,--£--111 (£)+const. (53)
Значение константы несущественно, так как приходится иметь дело лишь
с приращениями энтропии, а не с абсолютными ее значениями.
Если вдоль траектории движения частицы выполняется равенство ds = 0,
т. е. энтропия сохраняет свою величину, то такое движение называется
изэнтр опическим.
Из уравнения (53) вытекает, что адиабатическое движение идеального
газа, подчиняющееся соотношению (43), является изэнтропическим. Соотно-
шение (43) можно было бы назвать изэнтропической адиабатой или, короче,
изэнтропой. Ранее выведенные формулы (47), (48) также носят наименование
изэнтропических.
Согласно второму началу термодинамики в замкнутой (адиабатической)
материальной системе энтропия является неубывающей функцией времени.
Возрастание энтропии в адиабатической системе показывает, что внутри
этой системы происходят необратимые процессы преобразования механической
энергии в тепло, сопровождаемые потерями механической энергии. Примером
образования таких механических потерь могут служить потери на внутрен-
нее трение в неидеальных жидкостях и газах. В следующей главе мы встре-
тимся с явлением потери механической энергии газа при прохождении его
сквозь скачок уплотнения — поверхность разрыва непрерывности кинема-
тических и термодинамических величин. В этом случае движение, будучи
адиабатическим, окажется неизэнтропическим.
§ 22. Скорость распространения малых возмущений
в идеальном газе. Скорость звука
Для выяснения особенностей движения газа очень важно сравнить ско-
рость выдвижения с характерной для данного газа и зависящей от его термо-
динамического состояния величиной — скоростью распространения малых
возмущений (например, малых сжатий) по газу или, что все равно, скоростью
распространения звука.
С этой целью рассмотрим для простоты баротропный погок идеального
совершенного газа, все линии тока которого параллельны оси х, а составляю-
щая скорости и, так же как давление р, плотность ρ и температура Τ являют-
ся функциями только х и t; при этом будем пренебрегать действием объем-
ных сил.

§ 22J СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 101
Уравнения Эйлера и уравнение неразрывности сводятся в этом случае
к нелинейной системе дифференциальных уравнений первого порядка в ча-
стных производных
ди ди 1 др
dt ' дх ρ дх
(54)
с тремя неизвестными функциями и, р, р. Чтобы сделать систему опреде-
ленной, необходимо в случае баротропного движения добавить еще уравне-
ние связи между ρ и ρ или, в более общем случае, уравнение Клапейрона
и уравнение баланса энергии. Интегралы таким образом составленной систе-
мы уравнений должны, конечно, еще удовлетворять заданным начальным
и граничным условиям.
Обратимся к решению простейшей задачи о распространении в газе
малых возмущений, которая может быть сформулирована так: в покоящемся
идеальном и совершенном газе создаются весьма малые возмущения ско-
ростей, давлений или плотности, причем возникающее вследствие этого дви-
жение является одномерным параллельным оси х баротропным движением,
зависящим лишь от координаты х и времени t; требуется разыскать элементы
возмущенного движения. Обозначим через и, ρ и ρ скорость, давление и плот-
ность возмущенного движения, через р0 и р0 — давление и плотность в покоя-
щемся газе, причем отвлечемся от действия объемных сил; тогда, вводя
обозначения и', р', р' для малых возмущений скорости, давления π плот-
ности, будем иметь
и = и', ρ = р0 + ρ', ρ = Ро + р'- (55)
Подставим эти значения возмущенных элементов в систему уравне-
ний (54) π откинем в них произведения малых величин и их производных
по координатам как малые высших порядков. Тогда, замечая, что с точно-
стью до малых величин первого порядка малости при баротропном движе-
нии будет
др dp др / dp \ dp'
дх dp дх \ dp /о дх '
получим вместо нелинейной системы (54) следующую линейную систему двух
уравнений с двумя неизвестными и' и р':
ди' , 1 / dp \ др' _ ~
Ро \ dp /о дх ~ '
dt ро V dp
др' . ди' п
-дТ + ^^х--0-
(56)
Система (56) может быть названа линеаризованной по сравнению с нелинейной
системой (54), так как она получена из нее путем линеаризации, заключаю-
щейся в откидывании малых второго и высших порядков.
Замечая, что величина dp/dp существенно положительна, так как плот-
ность совершенного газа растет с давлением, введем обозначение
(*).-«! <57>
dp
и перепишем систему (56) в форме
ди' 2 др' ди' др' /со.
Система уравнений (58) может быть сведена к одному уравнению. Диф-
ференцируя обе части первого уравнения системы (58) по времени i, а вто-
рого — по х, умножая обе части второго уравнения на а\ и вычитая его

102 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. III
почленно из первого, получим линейное уравнение гиперболического типа
0. (59)
д2и'
dt2 ° дх2
Аналогичное уравнение найдем для определения ρ :
dt2 ° дх2
«5-5^=0,
а замечая, что
и для р':
р' = Р — Ро~ (-^)0 (Р-Ро) = йоР'.
dp
сРр' п2 д2р' _ 0_
dt2 ° дх2
Общее решение любог.> из этих уравнений можно представить в виде
суммы; в частности
и' = А {х + a0t) + /2 (х — a0t); (60)
вид функций /х и /2 зависит от начальных условий задачи.
Введем новые координаты ξΧ и ξ2, связанные со старыми при помощи
равенств
Si = ж + a0t, ё2 = х — aoL (61)
Такое преобразование координат имеет простой кинематический смысл.
Ось координат 0ΧξΧ расположена вдоль оси Ох и движется поступательно
в сторону отрицательного направления оси Ох со скоростью а0, точно так же
ось 02%2 движется поступательно в сторону положительного направления
оси Ох с той же скоростью а0.
Решение (60) принимает при этом вид
и' = к Иг) + h (Ы- (62)
Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности, т. е. следующие два
частных решения уравнения (59):
"' = /i (ii) = /i (х + βο*)> "' = U (ёг) = /«(* — Оо0· (63)
Функция /г (Ь,г) представляет в подвижной системе 0ΧξΧ не зависните
от времени распределение возмущений скорости. Эта фиксированная форма
одномерного возмущения, заданная начальным его распределением, переме-
щается, согласно первому из равенств (63), как одно целое вдоль отрицатель-
ного направления неподвижной оси Ох со скоростью а0. Аналогично этому
функция /2 (ξ2), характеризующая распределение возмущений в подвижной
системе 02ξ2, представляет вторую фиксированную форму возмущения,
отличную, вообще говоря, по своему виду от первой и распространяющуюся
также как одно целое в положительную сторону неподвижной оси Ох с той же
скоростью а0.
Полагая в этих решениях ξΧ = const или ξ2 = const, получим две систе-
мы плоских волн:
х + a0t = const, x — a0t = const, (64)
представляющих две движущиеся в противоположные стороны со скоростью
а0 перпендикулярные оси Ох плоскости, каждая из которых несет постоян-
ные, заданные начальными условиями значения возмущений скорости, давле-
ния, плотности или температуры; такие волны называют простыми.
Общее решение уравнения (59), а следовательно, и аналогичных уравне-
ний для возмущений давления и плотности складывается, таким образом,
из решений, соответствующих двум распространяющимся в противоположные

221 СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИИ 103
стороны простым волнам; само уравнение (59), так же как и однотипные урав-
нения для плотности и давления, являются одномерными волновыми уравне-
ниями. С геометрической стороны полученное решение можно интерпрети-
ровать как наличие в плоскости (х, t) двух семейств прямых (64) с угловыми
коэффициентами ±а0, обладающих тем свойством, что вдоль каждой из этих
прямых сохраняются постоянные значения заданных начальными условиями
возмущений скорости или других параметров газа. Эти два семейства прямых
представляют в рассматриваемом случае два семейства характеристик волно-
вого уравнения (59).
Общая для обеих волн скорость а0 называется скоростью распростране-
ния малых возмущений в газе и определяется, согласно (57), формулой
— Vf · <«>
В последней формуле подстрочный индекс нуль, характеризующий рас-
сматриваемое невозыущенное состояние газа, опущен, так как формула (65)
верна и в случае как угодно движущегося газа, если только под величиной а
понимать местную скорость распространения малых возмущений относитель-
но движущегося газа в данной точке потока. К числу наиболее широко наблю-
даемых явлений распространения малых возмущений в жидкостях и газах
относится распространение звука, заключающееся, как известно, в распро-
странении волн слабого сжатия и разрежения. В связи с этим величину а
называют скоростью звука.
Скорость звука, согласно формуле (65), зависит от характера баротроп-
ности процесса распространения малых возмущений.
Если предположить, что жидкость несжимаема, (р = const), то по (65)
а = оо. Это означает, что в модели несжимаемой жидкости возмущения рас-
пространяются с бесконечной скоростью, т. е. всякое изменение давления
в данном месте потока должно мгновенно сказаться в любом другом месте.
В ряде случаев такое предположение может с достаточным для практики
приближением приниматься для расчетов, в других, как далее будет пока-
зано, от него приходится отказываться и пользоваться схемой сжимаемой
жидкости — газа, имеющего конечную скорость распространения звука.
Принимая процесс распространения звука изотермическим и вспоминая,
что при изотермическом процессе (С — постоянная)
,-<*. £=с=£.
получим изотермическую скорость звука
У}·
Если предположить, что процесс распространения звука происходит
настолько быстро, что можно пренебречь влиянием сравнительно медленного
процесса отвода тепла и считать процесс распространения звука адиабатиче-
ским, то будем иметь
Р = СР\ *_*CpM_*i;
адиабатическая скорость звука будет равна
-/
*4· (66>
Формула изотермического распространения звука была предложена Нью-
тоном, aj формул а (66) — Лапласом; эксперименты подтвердили правиль-

104 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. III
ность формулы Лапласа (66). Под скоростью звука в дальнейшем будет
всегда подразумеваться адиабатическая скорость звука (66).
Применяя формулу Клапейрона, перепишем равенство (66) в виде
a = VkRT.
(67)
Отсюда следует, что скорость распространения звука в совершенном газе зави-
сит лишь от абсолютной температуры и физических свойств газа. Замечая,
что газовая постоянная R может быть выражена через молекулярный вес
газа μ и ускорение силы тяжести g по формуле
Q 848g м2
с2 К
получим
:-/^^
Для воздуха к = 1,4, μ = 28,96, g = 9,81 м/с2 и, следовательно, ско-
рость распространения звука в воздухе равна
'а = 20,1 /Г м/с;
в частности, при Τ = 273 К (0 °С) скорость звука достигает величины
332 м/с. Скорость звука в воздушной атмосфере меняется с высотой над уров-
нем моря. Применяя стандартную атмосферу, получим табл. 3 стандартных
скоростей звука в зависимости от высоты над уровнем моря.
Н, км
-1,0
0,0
1,0
2,0
г, к
294,5
288,0
281,5
275,0
а, м/с
345
341
337
333
Τ
И, км
3,0
4,0
5,0
6,0
1 б лица
Т, К
268,5
262,0
255,5
249,0
3
а, м/с
329
326
322
317
Н км
7,0
8,0
9,0
10,0
Т, к
242,5
236,0
229,5
223,0
а, м/с
313
309
306
300
Как показывается в курсах кинетической теории газов, скорость звука
имеет тот же порядок, что и средняя квадратичная скорость свободного про-
бега молекул газа vs = V ν2, которая также пропорциональна корню квадрат-
ному из абсолютной температуры и определяется формулой
vs = YMf.
Сравнивая с (67), получим
где, напоминаем, к = cp/cv.
Так для воздуха (к = 1,4) скорость звука составляет примерно 70%
от средней квадратичной скорости свободного пробега молекул. N
Скорость звука существенно зависит от молекулярного веса; так, ско-
рость звука в аргоне при нормальных условиях меньше чем в воздухе, она
равна 308 м/с, еще меньше эта скорость в двуокиси углерода — 258 м/с,
в газообразном фреоне-12 скорость звука при 15 °С снижается до 120 м/с.
Рассмотрим вопрос о распространении малых возмущений в газожпдко-
стной среде х), например в воде, насыщенной пузырьками воздуха. Процесс
!) См. обзор L. v a n W i j n g a a r d e n, One dimensional flow of liquids containing
small gas bubbles, Annual Review of Fluid Mechanics 4, 1972, p. 370.

S 22i СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 105·
образования такой смеси носит наименование барботажа. Введем обозна-
чения α и (1 — а) соответственно для объемных концентраций газа и жидко-
сти; плотности газожидкостной смеси, газа и жидкости по отдельности обо-
значим через р, рг и р}К, а соответствующие им скорости звука — через а, аг
и а}К. Тогда, используя формулу (71) гл. II для плотности смеси, получим
ρ = αρΓ + (1 — а) рж. (68)
Считая, что соотношение масс газа и жидкости в элементарном объеме
смеси сохраняется, будем иметь
] α
рг = const· α рж. (69)
Примем для простоты, что пузырьки газа полностью увлекаются жидко-
стью и что при этом давление в пузырьке рг совпадает с давлением жидкостиг
а следовательно, и смеси в соответствующей точке. Кроме того, будем счи-
тать, что температура в газовом пузырьке постоянна, а следовательно,
давление ρ пропорционально плотности рг; тогда по (69) будет
1—α
/5 = cons 1>рг = const рт. (70)
Предполагая, что распространение малых возмущений в газожидкостной
смеси происходит баротропно, возьмем от обеих частей (68) производную·
по ρ и в полученном результате
$—$-+<i—>ф+<*-.*>-£
произведем замену
dp___J_ фг __ 1 dp№ _ 1 .
dp η2 ' dp α2 ' dp ож '
вместе с тем заметим, что из (70) следует
da α (1 — α) , α (1 — α)
dp _ Ρ ржа*. ·
Тогда будем иметь
1 α 1 —α α(1—α)ρΓ ■ α(1—cc)pr ra(l — a)pm a(l —a)
~*~~~£ ~< ρ + Ρ^< + ρ йж "
В третьем слагаемом справа используем изотермичность сжатия газового-
пузырька и заменим ρ на рг а?. Тогда предыдущее равенство можно перепи-
сать в форме
1 a i'a(l — a) /- Рг«г \ , 1 —a a(l —a) , a(l— α) рж
V Рж«ж /
или, замечая, что рг <С р«7 аг <С aw и prGp <C Рж«ж» окончательно получим
формулу Вуда 1)
1 а2 (1—а)2 , а(1-а)рж
а2 а2 + < "+" ρ
Первые два слагаемых в правой части сравнительно малы и могут быть
опущены; на практике можно пользоваться следующей приближенной форму-
лой для скорости распространения малых возмущений (скорости звука)
в газожидкостной смеси
2 Ρ
CL =
α(1 — а)рж ·
*) А. В. W о о d, A textbouk if sound, Bell & Sons Ltd, London, 1941.

106 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. III
Минимум скорости звука соответствует объемной концентрации газа
а = 1/2. Для воды с пузырьками воздуха при обычных условиях давления
{р = 1 бар) этот минимум равен 20 м/с, т. е. примерно в 17 раз меньше ско-
рости звука в воздухе (340 м/с) и в 75 раз меньше скорости звука в воде
(1500 м с). Существенное отличие (а = 50 м/с) сохраняется и при 4% объем-
ной концентрации воздуха. В цитированном обзоре Вийнгардена можно
найти обобщения вышеуказанных формул скорости звука в газожидкостных
средах, учитывающих разность скоростей жидкости и пузырьков газа, влия-
ние неизотермичности процесса сжатия пузырька, наличия вязкости жидко-
сти, частоты звуковых колебаний и других физических деталей процесса.
Там же изложен метод расчета одномерного газожидкостного потока в сопле
Лаваля и вопрос о распространении в газожидкостных смесях возмущений
конечной интенсивности х).
§ 23. Числа Μ и λ. Изэнтропические формулы
Скорость распространения малых возмущений или скорость звука
является важной характеристикой потока сжимаемой среды. В зависимости
от того, будут ли скорости движения частиц меньше или больше скорости
звука, принципиально различными будут и происходящие в среде явления.
Это может быть продемонстрировано на следующем простом и наглядном
примере. Предположим, что из баллона большой емкости через сужающийся
патрубок происходит истечение газа в некоторую камеру. Пусть вначале
разность давлений между баллоном и камерой была невелика и скорость
истечения сквозь патрубок не превосходила скорости звука. Будем теперь
медленно понижать давление в камере; тогда скорость истечения начнет
повышаться. Создаваемые в камере возмущения (уменьшения) давления
будут распространяться против течения из камеры через патрубок в баллон
до тех пор, пока скорость в выходном сечении патрубка не достигнет скорости
звука. После этого возмущения давления не смогут уже проникнуть в баллон,
так как они будут сноситься потоком, имеющим ту же скорость, что и ско-
рость распространения возмущений в газе. Продолжающееся понижение
давления в камере не отразится на явлении истечения, скорость которого
будет оставаться постоянной и равной скорости звука в выходном сечении
патрубка. Это явление носит наименование «запирания» потока. В дальней-
шем мы встретимся и с другими, столь же своеобразными явлениями в пото-
ках сжимаемой среды — газа.
Если где-нибудь в потоке газа скорость V станет равна местной скорости
звука а, то такая скорость газа V = а* называется критической; критиче-
скими будут называться и соответствующие значения ρ*, ρ*, Τ* давления,
плотности и температуры.
Если скорость истечения в рассматриваемом только что случае достиг-
нет в выходном сечении патрубка своего критического значения, то в этом,
также называемом критическим, сечении патрубка давление, плотность
и температура газа примут соответствующие критические значения.
В адиабатическом движении газа критические значения параметров
состояния одинаковы для всех частиц газа и зависят только от полной его
энтальпии (§ 21) и могут быть определены, например, по «заторможенным»
значениям параметров в баллоне, где газ предполагается неподвижным.
Наличие критических явлений представляет характерную особенность газо-
вых течений.
г) Детальную модель этих процессов можно найти в статье Б. С. Когарко, Дви-
жение смеси жидкости с газовыми пузырьками, сб. трудов Междунар. симпозиума по не-
установившимся течениям воды с большими скоростями (Ленинград, 22—26 июня 1971),
■«Наука», М., 1973, стр. 243—246, и в других статьях того же автора.'

§ 23]
ЧИСТ1А Μ И λ. ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
107
Приведенный пример показывает, что характер развивающихся в потоке
явлений тесно связан с величиной отношения скорости в данной точке потока
к скорости звука или критической скорости потока.
Отношение скорости V движения газа в данной точке потока к соответ-
ствующей этой точке местной скорости звука
а ·
характеризующее, будет ли поток в данной точке дозвуковым (М < 1), зву-
ковым (М = 1) или сверхзвуковым (М > 1), представляет основной параметр
движения газа и называется числом Μ (числом Маха). Отношение скорости
потока в данной точке к одинаковой для всего потока в целом критической
скорости V/a* = λ будем называть скоростным коэффициентом. В зарубеж-
ной литературе его обозначают символом М*.
В конце предыдущего параграфа уже указывалось, что скорость звука
пропорциональна средней квадратичной скорости свободного пробега моле-
кул. Это позволяет рассматривать квадрат числа Μ как величину, характе-
ризующую отношение кинетических энергий направленного (внешнего, изу-
чаемого в механике жидкости и газа) и хаотического, молекулярного (внут-
реннего) движений газа. Действительно, это отношение энергий равно
Vs _ Г2 _ к мя
v-i ~ з ш* ~ 3 м '
При дозвуковом движении (М <С 1) кинетическая энергия направленного
движения меньше кинетической энергии хаотического. Это сохраня тся и при
сверхзвуковом движении до Μ = Y~3/k (для воздуха 1,46); при больших зна-
чениях числа Μ кинетическая энергия направленного движения превосходит
по величине кинетическую энергию молекулярного движения. С точки зрения
динамики газа, рассматриваемого как сплошная среда, характерным, крити-
ческим для процессов движения газа является не значение числа М, при кото-
ром выравниваются энергии направленного и хаотического движений, а зна-
чение Μ = 1, соответствующее равенству скорости частиц газа скорости
распространения малых возмущений в той же точке газа. Из дальнейшего
станет ясно, что и сами уравнения движения газа имеют принципиально друг
от друга отличный характер: эллиптический — в дозвуковом (М < 1) и гипер-
болический в сверхзвуковом потоках (М > 1). Это математическое различие
отражает физические особенности двух основных режимов течения газа.
Пользуясь числами Μ и λ, можно составить простые, удобные для запо-
минания формулы связи между скоростью, давлением, плотностью и темпе-
ратурой в изэнтропическом адиабатическом движении.
Заменив в равенстве (48)|энтальпию h ее выражением через температуру,
будем иметь
JJ/2
где, как всегда, индекс нуль обозначает, что величина взята при V = 0, т. е.
в адиабатически и изэнтропически заторможенном газе. Деля обе части
последнего равенства на срТ, получим
Г°-1+-К-
Замечая, что
Τ ' 2срт '
V2 V2 А:— 1 Vя
2срТ ср
=^=1м2,
2W'kRT

108 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. III
перепишем предыдущую формулу в виде
-^ = l+±ziM2, -^=(l+-^-M2)_1 (71)
Вспоминая, что скорость звука пропорциональна корню квадратному
из абсолютной температуры, получим
Α=(1+^Μ·),Λ. i=(1+^iM*p (72)
Пользуясь формулами (45) и (46), легко по (71) получить изэнтропические
формулы: для отношения плотностей
Л-(,+-^М·)^. ^=(1+^1№)А, (73)
отношения давлений
Д_(1+^М·)*-', £_(ц~Ц±М·) *- (74)
и отношения скорости потока к скорости звука в покоящемся газе
-£-=М(1+-^М")-'\ (75)
Изэнтропические формулы (71) — (75) осуществляют параметрическую
связь между температурой, плотностью, давлением и скоростью при помощи
параметра М.
Аналогичные по типу параметрические формулы можно установить,
имея в качестве параметра скоростной коэффициент λ. С этой целыо\ заметим,
что энтальпия связана со скоростью звука соотношением
„, cj)kRT ni
и перепишем (48) в виде
ν* . а2
: COnSt,
А—1
где константу можно определить как из условия а = а0 при V = 0, так
и из условия а = а* при V = а*. Будем иметь одно из следующих равенств:
V2, , о2 <Ч V» , а* _ А+1 „
1 А—1 ' 2 ' А:—1 2 (А— 1)
(77)
Деля обе части последнего равенства на V2, получим связь между числом
Маха Μ и скоростным коэффициентом λ
1 А-1 , 2 1 (?8)
λ3 А+1 ' А+1 М2 '
легко разрешимую относительно λ или М. Таким образом, получим
V и 2
и обратное соотношение
М3
м=\/Л-^т-г=т-' (80)

§ 23]
ЧИСЛА М И λ. ИЗЭНТРОПИЧЕСКПЕ ФОРМУЛЫ
109
Если М = 0, то и λ = 0; если же Μ ->■ оо, то λ ->- Xmax= |/ _.-
(^max = 2,449 для воздуха при к = 1,4).
Заметим, что входящий в изэнтропическпе формулы двучлен 1 -\-
^-М2
может быть выражен через λ по формуле
1 + -^-М2 =
l-4=U·
(81)
ft + 1
так что формулы (71) — (75) преобразовываются к виду
Τ л /с —1 „, а I. /с —1 „„We
Ро Η fc + 1 Λ j
ft-1
- = (!
Ро \
fe—1
λ2)
h-1
V
a0
Υ
(82)
k+i "m
(75), полезно запомнить,
Ро \ А+1
Эти формулы, так же как и формулы (71)
потому что они постоянно встречаются при расчетах газовых потоков.
Покажем, что в изэнтропических формулах (73) и (74) содержатся как
частный случай при Μ = 0 формулы несжимаемой жидкости
Р = Ро>
TpF2'1
= Ρο·
(83)
Подчеркнем, что условие Μ = 0 следует в этом случае, конечно, понимать
как наличие бесконечного значения скорости звука а, вытекающее из фор-
мулы а = Υdp/dp при ρ = const, т. е. результат обращения в бесконечность
знаменателя а в выражении М, а не числителя V в нуль, что означало бы
отсутствие течения. Разложим правые части (73) и (74) в степенные ряды при
малых М; тогда будем иметь
•h
Ро—
ft-i
4tpv*
ν ν2ρ^2 L \ - + 2 m ) LJ
(Γ _Jl_
2 &p/p 1 i i fcM2 i fc_1
( *-l *) JA-
a(fc-D2
M4 +
I-}
=w(i:M2+lM4+--)=1+>2+
-^=i-4m2+
Po *
(84)
(85)
Из этих формул прежде всего, полагая Μ — 0, найдем формулы (83) несжи-
маемой жидкости. Кроме того, учитывая в полученных разложениях еще
вторые члены, определим порядок ошибки, которую делают, рассматривая
при малых Μ движущийся газ как несжимаемую жидкость. Полагая ρ =
= const = р0, .откидывают по сравнению с единицей члены, старший из кото-
рых имеет величину 1/2М2- Если, например, допустить относительную ошибку
за счет неучета сжимаемости газа, равную 1%, то это равносильно требо-
ванию
72М2<0,01, Μ < 0,14,

110 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Ш
что для воздуха при нормальных условиях IT = (273 + 15) К, α = 340 м/с]
приводит к ограничению скорости V < 50 м/с. При скорости, близкой
к 100 м/с, относительная ошибка доходит до 4%. Как видно из формулы
(84), при этом относительная ошибка для давлений в два раза меньше, чем
для плотностей.
Пользуясь изэнтропическими формулами, найдем выражение критиче-
ских параметров газа Т*, а*, р*, р* через параметры Т0, а0, р0, р0 затормо-
женного газа. Для этого достаточно вспомнить, что при критическом течении
скорость V равна местной скорости звука а, т. е. в этом случае Μ = 1. Тогда
по (71) — (75) будем иметь
ft i_
т* .9 а* _-./ 2 р* / 2 \ ft-1 ρ* / 2 \ h~1
an~V k + l* Po~\k+l) » p0—[k+i)
To k+l
a0
(86)
Составив изэнтропические соотношения для каких-нибудь двух точек с чис-
лами Mi и М2 или Aj и λ2 одного и того же потока или двух потоков, но с оди-
наковыми параметрами заторможенного потока, и, поделив соответствующие
соотношения друг на друга, получим
Tt
Тг
Ч
Ч
——щ
η— Щ
1-
к—1
k+i
Ч
а2
Р2 \
Р2 I
k—i
Ml
к— 1
" k+l
k + i
λ?
V2
k—i
k—i
ы\\
Mi1
k—i
k+l
Ц
i
tft-i
k—i
k + i
λ?
ft-l
k—1
Щ
k—1
k-l
k—1
k + l
k—i
k+i
λΙ
4
ft-i
k—1
k-l
k+l
λ§
v.
1 I
1 \
1 1
1 1
*-1 n/r
2 ™2
Λ_1 m»
9 ,v,l
V»
(87)

Глава IV
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
§ 24. Одномерное стационарное движение газа
по трубе переменного сечения
Если все динамические и термодинамические величины газового потока
являются функциями только одной, в общем случае криволинейной, коорди-
наты и времени, то такой поток называется одномерным.
Для приближенных расчетов газовых потоков по трубам во многих слу-
чаях можно довольствоваться следующей упрощенной одномерной стацио-
нарной схемой. Принимая вектор скорости в данном сечении трубы или
канала направленным вдоль оси, а величины скорости V, давления р, плот-
ности ρ и температуры Τ постоянными по сечению, будем рассматривать их
как величины, изменяющиеся от сечения к сечению канала, причем закон
изменения площади сечения А вдоль оси будем считать заданным.
Отвлекаясь от влияния кривизны оси канала, примем за основной аргу-
мент прямолинейную декартову координату х, отсчитываемую вдоль оси
канала вниз по потоку от некоторого начального сеченпя.
Поток будем считать адиабатическим, а газ совершенным и идеальным.
При этих условиях, как уже было ранее (§ 21) доказано, движение газа можно
считать изэнтропическим.
Пользуясь уравнением Эйлера
du I dp ,,,ч
U-t-= -f- (1)
ах ρ dx
и уравнением неразрывности
риА = const, (2)
легко установить дифференциальное соотношение между изменениями ско-
рости и площади сечения трубы. С этой целью преобразуем (1) к виду
ρ «ρ Ρ Ρ
и возьмем от обеих частейг(2) логарифмический дифференциал; тогда получим
φ du dA
ρ и Α '
Исключая при помощи этого равенства плотность в предыдущем урав-
нении, найдем
или, деля обе части на а2,
<(ivP_i)i^=^L. (3)
Из полученного уравнения, носящего имя Гюгонио *)# вытекают след-
ствия:
1. Если Μ < 1, знак du противоположен знаку dA, т. е. при дозвуковом
движении газа, так же как и в случае несжимаемой жидкости, с возрастанием
1) Н. Hugoniot Comptes Rendus de l'Acad. des Sciences 103, 1178, Paris, 1880.

112
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
площади сечения трубы скорость движения уменьшается и, наоборот, при
уменьшении сечения скорость увеличивается.
2. Если Μ >1, знак du одинаков со знаком dA, т. е. при сверхзвуковом
движении газа в сужающейся трубе движение замедляется, в расширяющейся
трубе — ускоряется. Этот парадоксальный на первый взгляд результат
объясняется тем, что при расширении газа плотность его настолько сильно
уменьшается, что произведение рА в равенстве (2), несмотря на увеличение
площади А, все же уменьшается, что и приводит к возрастанию скорости и.
3. Если Μ = 1, то dA = 0; соответствующее сечение трубы будет кри-
тическим. Условие dA = 0 совпадает с необходимым условием экстремума
площади сечения. Легко сообразить, что критическое сечение будет мини-
мальным, так как при подходе к максимальному сечению дозвуковой поток
замедляется, а сверхзвуковой ускоряется, что никак не может привести
к течению со скоростью звука в критическом сечении.
4. Если dA = 0 и сечение экстремально (максимально или минимально),
то либо Μ = 1 и, следовательно, это сечение критическое, либо Μ φ 1 и du =
= 0. В последнем случае, каково бы ни было движение — дозвуковое или
сверхзвуковое, скорость в экстремальном сечении принимает также экстре-
мальное значение: при дозвуковом течении газа — минимальное в максималь-
ном сечении и максимальное в минимальном сечении, при сверхзвуковом
течении, наоборот, в максимальном сечении скорость максимальна, в мини-
мальном минимальна.
Пользуясь уравнением (2) и выведенными в конце гл. III изэнтропиче-
скими формулами, найдем связь между параметрами одномерного потока
и площадью сечения, заданной в функции от координаты х. Действительно,
согласно (2) настоящей главы и (87) гл. III, имеем (индекс «1» отмечает какое-
нибудь фиксированное сечение трубы)
А
Р!Щ
ри
ft-l
Μ α
или окончательно
Г
U
~^мЛ
-*7'Mt)
fc+1
ft-l
I. <]
Λ—1
Μ?
A
Μ
1-
j. л 2(fc-l)
fr—1
(4)
Это соотношение в совокупности с изэнтропическими формулами
ft 1
ρ
Pi
τ
Ti
ь 1 . ft-i
Pi
1 + ±I±M·
ft-l
Μ
щ
Μ,
и 1
1 + ^-№
(5)

§ 24] ОДНОМЕРНОЕ СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПО ТРУБЕ 113
дает параметрическое решение задачи об одномерном газовом потоке в трубе
переменного сечения, причем роль параметра играет число М. Задаваясь
функцией А (х), определим по (4)
Μ (ж), а затем уже по (5) и искомые
ρ (х), ρ (х), Τ (х) и и (х).
Формула (4) упрощается, если
принять Мх = 1; тогда сечение с пло-
щадью А± будет критическим (Аг =
= А*), а (4) преобразуется к виду
Н-1
А I 2 \2tfc-i>
(т+г) х
А
Л* 10
А*
/г+1
X
Μ
2(Ь-1)
(6)
|
к
1
1
/
/
'
~,
'
θ
I
1
(
W
θ
Οβ
Οβ
Ofi
№
Рис. 30.
На рис. 30 приведен график этой
зависимости для воздуха (к = 1,4). "о 1 Ζ 3 А
График подтверждает ранее отмечен- Μ
ный факт: в дозвуковом потоке (М <1)
для увеличения числа Μ сечение А
следует уменьшать, в сверхзвуковом
потоке (М > 1), наоборот, увеличивать. Так, например, из рис. 30 следует,
что для повышения числа Μ от 0,2 до 0,8 газ должен пройти через участок
суживающейся трубы — конфузора — с сечением, уменьшающимся в три
раза; чтобы увеличить число Μ от значения 1 в критическом сечении до 3,2
необходимо построить расширяющуюся трубу — диффузор — с площадью
на выходе, в пять раз превышающей площадь критического сечения.
Присоединяя к равенству (6) очевидную группу формул
р Г I
р* L ь-
т
*+1
k+i
С
С
к— 1
fc—1
М2)]
М2)]
ft-1
-hir(' +
к— 1
=4τΜ1 +
М2)]
-М2)]
fc-1
1
I
}
I
J
(7)
найдем параметрическое решение, заключающее критические значения А*,
р*, р*, Г*, а не Аг, рг, рх, 7Ι, относящиеся к произвольному сечению.
Пользуясь равенствами (80) и (81) гл. III, нетрудно написать соответ-
ствующие формулы, выраженные через параметр λ:
А
А*
Ρ
ρ*
_Р_
ρ*
ft-1
-(ттг) [ψ
Ы<'Г
ft-1
m (
ft-l
fc—1
k + i
fc—1
*)
ft-l
T*
(-Ψ-) (i-^f*·)
fc+1 (4 fc-1 ,2\ и _.
h-l
8 Л. Г. Лойцянский
(8)

114
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. Π
Из уравнения неразрывности (2), переписанного в форме
риА = р*и*А* = р*а*А*,
вытекает соотношение
pit
" \р*а*
--Θ,
(9)
(Ю)
где величина Θ, согласно (6) и первому из равенств (8), при заданном к
является функцией только Μ или λ:
l 1
k+i \ ft-1 „ /, А—1
2
θ =
2(ft-l)
■(-Ψ-) я(1
fc-1
(И)
На рис. 30 приведен график Θ(Μ) для воздуха (к — 1,4). Для любого
сечения А трубы с заданным критическим (минимальным) сечением А* нахо-
дим по (10) величину Θ; по (11) — Μ или λ; по (7) или (8) определим ρ, ρ, Τ
и непосредственно скорость и. При проведении расчетов удобно пользоваться
имеющимися таблицами для воздуха (табл. 4) *); смысл величины у τ, при-
веденной в третьем столбце таблицы, поясняется в следующем параграфе.
м
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
с»
λ
0
0,218
0,431
0,635
0,825
1,000
1,159
1,300
1,426
1,536
1,633
1,718
1,793
1,858
1,914
1,964
2,008
2,047
2,081
2,112
2,138
2,437
V?
0
0,089
0,176
0,259
0,337
0,408
0,474
0,531
0,582
0,627
0,667
0,701
0,732
0,758
0,781
0,802
0,820
0,835
0,849
0,862
0,873
1,000
Таблица 4
pip*
1,894
1,842
1,696
1,485
1,345
1,000
0,781
0,595
0,446
0,329
0,242
0,177
0,129
0,095
0,070
0,0515
0,0383
0,0296
0,0216
0,0163
0,0125
0
Р/Ро
1,0000
0,9725
0,8956
0,7840
0,6560
0,5283
0,4124
0,3142
0,2353
0,1740
0,1278
0,0935
0,0684
0,0501
0,0368
0,0272
0,0202
0,0151
0,0114
0,0086
0,0066
0
Р'Ро
1,0000
0,9803
0,9243
0,8405
0,7400
0,6339
0,5311
0,4374
0,3557
0,2868
0,2301
0,1841
0,1472
0,1179
0,0946
0,0762
0,0616
0,0500
0,0409
0,0335
0,0276
0
т/т0
1,0000
0,9921
0,9690
0,9328
0,8865
0,8333
0,7764
0,7184
0,6614
0,6068
0,5556
0,5081
0,4647
0,4252
0,3894
0,3571
0,3281
0,3019
0,2784
0,2572
0,2381
0
Θ
0,0000
0,3374
0,6288
0,8416
0,9632
1,0000
0,9705
0,8969
0,7999
0,6949
0,5926
0,4988
0,4161
0,3453
0,2857
0,2362
0,1953
0,1617
0,1342
0,1113
0,0933
0
§ 25. Истечение газа сквозь сопло
В качестве первого примера приложения выведенных формул рассмот-
рим задачу об изэнтропическом истечении газа из резервуара (котла) очень
большой вместимости.
Предположим сначала, что сопло, из которого происходит истечение,
имеет вид конфузора, т. е. канала с уменьшающейся вниз по потоку пло-
г) Подробные таблицы можно найти, например, в книге Α. Φ е ρ ρ и, Аэродинами-
ка сверхзвуковых течений, перев. с англ., Гостехиздат, М., 1953.

§ 253
ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА СКВОЗЬ СОПЛО
115
щадью сечения. Обозначим через р0, р0, Т0 термодинамические параметры
газа в котле, где газ в силу большой вместимости котла может рассматривать-
ся как покоящийся (и = О, Μ = 0), через ρ, ρ, Τ, Μ — соответствующие
параметры в выходном сечении, площадь которого пусть будет л, и через
р' — давление в камере, куда происходит истечение; это давление р' в теории
истечения называют противодавлением.
Обозначим через т массу газа, протекающую за одну секунду через
любое сечение сопла:
т = риА = риА,
а через т* — критическое значение этой массы, соответствующее числу Μ
в выходном сечении, равному единице; имеем т* = р*а*А, и, следовательно,
по (10) безразмерный секундный массовый расход будет равен
т
т*
ρ*α*
Исключая из (12) Μ при помощи изэнтропического соотношения
-£--(*+-т^и·)
fc-l
(12)
(13)
получим выражение безразмерного расхода через отношение давления
на выходе к давлению в котле
ft+i
ft 1
Ж
т*
тт"~'(£)Ч'-ш * ]· ю
На рис. 31 представлен график зависимости безразмерного секундного
массового расхода т/т* в функции от _*
отношения противодавления;?' в камере
к давлению в котлер0. До тех пор, пока
давление на выходе из сопла ρ не ста-
нет равным критическому р*, противо-
давление р' будет совпадать ери кри-
вая определится соотношением (14) (пра-
вая сплошная ветвь кривой). При даль-
нейшем уменьшении противодавления,
т. е. при р' < р*, наступит описанное
в начале § 23 явление запирания вы-
ходного сечения. Возмущения давления
не смогут проникнуть сквозь выходное
сечение, и истечение будет происходить
с постоянной критической скоростью,
несмотря на то, что противодавление
продолжает уменьшаться. Часть графи-
ка на рис. 31, соответствующая интер-
валу р'/ро < р*1ро (Для воздуха
р*/р0 = 0,528), представится сплошной горизонтальной прямой, а не пунк-
тирной спадающей кривой, как это следовало бы по формуле (14).
Максимально возможный при заданных параметрах в котле секундный-
массовый расход тэт^ах газа сквозь выходное сечение сужающегося сопла
равен Ити = т* = р*а*А и, согласно (86) гл. III, представится так:
ft+i
ш>
¥
β2
л
/
/
/
/
/
/
1
/
/
Г
/
\
\
\
\
-Р*/ррШ
\
№ ¥
US
0,8 iff
Р/Ро
Рис. 31.

116
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
Как указал Прандтль х), для воздуха можно пользоваться следующими
простыми приближенными формулами истечения:
G = 0,761 |//(Ро-М "■ i
Тс
Стах = 0>38^4
Ро
Vn
при ρ > -J Ро'
при p<-jjrPo,
(16)
(17)
где G и Gmax представляют секундные весовые расходы, выраженные в н/с,
а давления р0 и ρ должны быть выражены соответственно в н/м2 или н/см2
Рис. 32.
в зависимости от того, задается ли площадь А отверстия истечения в м2 или
см2; Т0 — абсолютная температура в баке.
Формула (16) получается в результате приближенной замены правой
ветви кривой на рис. 31 четвертью эллипса, а числа 0,528, выражающего
отношение критического давления к давлению в баке, числом 0,5. Почленным
делением (16) на (17) получим легко запоминаемую формулу
-■max
Явление истечения газа в камеру с заданным противодавлением происхо-
дит иначе, если сопло имеет как начальную суживающуюся (конфузорную),
так π выходную расширяющуюся (дпффузорную) части. В этом случае ско-
рость газа, достигнув своего критического значения в сечении, отделяющем
конфузорную часть от диффузор ной, при дальнейшем расширении газа в дпф-
4>узорной части сопла может стать сверхзвуковой. Такого рода сопла называют
*) Л. Прандтль, Гидроаэромеханика, дерев, с нем., ИЛ, М., 1949,
£тр. 327, 328.

§ 25]
ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА СКВОЗЬ СОПЛО
117
соплами Лаваля по имени шведского инженера Лаваля, впервые применив-
шего их в качестве сопел для паровых турбин.
Рассмотрим одномерное адиабатическое и изэнтропическое течение газа
в сопле Лаваля. Ход изменения площади А вдоль оси сопла задан верхней
кривой па рис. 32, о; соответствующее изменение числа Μ — на кривых
рис. 32, б и, наконец, кривые давления, отнесенного к критическому его
значению, приведены на рис. 32, в.
Кривые хода Μ и pip* построены по ранее выведенным формулам изэн-
тропического течения.
Из хода кривых можно сделать выводы о явлениях, происходящих в соп-
ле Лаваля. Если в наиболее узком сечении сопла А = А* число Μ достигло
значения Μ = 1, то дальнейшее развитие потока может идти по кривым,
соответствующим как Μ > 1, так и Μ < 1, т. е. поток может стать сверх-
звуковым или остаться дозвуковым. Эта альтернатива разрешается заданием
противодавления на выходе из сопла.
По заданному отношению А/А* на выходе из сопла Лаваля найдем,
пользуясь (6) или правой восходящей ветвью кривой на рис. 30, выходное
М' > 1 и, подставив его в правую часть первого равенства (7), определи i
расчетное значение отношения давления на выходе р' к критическому давле-
нию р*. Если противодавление в камере подобрать равным этому расчетному
давлению р', то сопло Лаваля будет работать на расчетном сверхзвуковом
режиме, скорость на выходе будет превышать скорость звука ио равна
и = ЬА'а.
При том же значении ΑΙΑ*, но пользуясь левой нисходящей ветвью кри-
вой на рис. 30, определим значение М" < 1 на выходе из сопла и соответ-
ствующее ему по первому равенству (7) отношение р"/р*. Выбирая противо-
давление большим или равным р", получим различные дозвуковые режимы
истечения из выходного сечения сопла.
Подчеркнем, что дозвуковых режимов истечений из сопла Лаваля задан-
ной формы существует бесчисленное множество, в то время как сверхзвуковое
истечение единственно и может осуществляться только при одном значении
противодавления, равном р'.
Если противодавление окажется лежащим между расчетными значения-
ми р' и р", то в сопле или вне его возникнут сложные явления, при наличии
которых движение газа в сопле уже не будет непрерывным одномерным
и изэнтропическим. Если противодавление в камере окажется меньшим р',
то газ по выходе из сопла будет продолжать непрерывно и изэнтропически
расширяться, пока не достигнет давления в камере, но движение его вне
сопла уже нельзя будет рассматривать как одномерное.
Секундный массовый расход через сопло Лаваля, так же как и в случае
чисто конфузорного сопла, не может превзойти своего максимального зна-
чения, равного тому расходу, который пройдет сквозь сопло, если в наиболее
узком его сечении будет достигнута местная скорость звука. Но в отличие
от конфузорного сопла скорость на выходе из сопла Лаваля при сверхзвуко-
вом режиме превосходит скорость звука и может быть подбором формы
и длины сопла сделана тем больше, чем меньше противодавление. Можно
представить себе мысленно такое идеальное сопло Лаваля, которое будет
работать на расчетном режиме р' = 0. Это означает, что в камере будет
достигнут абсолютный вакуум, причем наряду с р' обращаются в нуль р' и Т'.
Как об этом легко заключить из формулы Сен-Венана и Вантцеля (30)
гл. III, скорость такого истечения является максимальной при данных

118
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
параметрах газа в котле и равна
«- - /S /*¥=/S - - /Ш°·- w
Вводя энтальпию адиабатически заторможенного газа (полную энтальпию)
h0 = срТ0, можно еще написать
«max = V2ho, (20)
что непосредственно следует из (48) гл. III при h = 0.
Отметим, что для воздуха при абсолютной температуре Т0 = 273 +
+ 15 = 288 К ь аксимальная скорость будет 757 м/с. Подсчитаем еще числа
Μ и λ при максимальной скорости истечения. Замечая, что скорость звука
в вакууме равна нулю, а максимальная скорость истечения конечна, найдем
Мщах — оо С оростной коэффициент λ достигает при этом своего макси-
1альн го значения
Vax = |/|±f, (21)
Наряду с числами Μ и λ в газодинамических исследованиях используют
еще параметр Чаплыгина τ, равный квадрату отношения скорости течения
к максимальной скорости и выражающийся, согласно (19), через λ по формуле
При этом, согласно (21), tmax = 1. В табл. 4 дано сравнение чисел Μ, λ и ~\/~%
для воздуха (к = 1,4).
Все сказанное о движении газа в соплах справедливо для идеального
газа, лишенного внутреннего трения, и в случае полной адиабатичности
процесса, т. е. отсутствия притока или отвода тепла в сопле. На самом деле
явление движения газа в сопле неизмеримо сложнее.
Рассчитанное по приближенной теории сопло может не дать желаемого
увеличения числа Μ на выходе, и только опытной проверкой можно добиться
практически полезного результата; применяются и более точные расчеты.
При проведении расчетов одномерных газовых потоков часто бывает
полезно сравнивать термодинамические «текущие» характеристики газа
в любой точке потока с некоторыми стандартными. За такие состояния
в большинстве случаев выбирают два: покой газа и его критическое состоя-
ние, т. е. движение с местной скоростью звука. Эти состояния можно всегда
себе мысленно представить осуществленными при помощи одномерного
адиабатического и изэнтропического движения газа через некоторый вообра-
жаемый канал.
Если движение дозвуковое, то газ приводится к покою при помощи рас-
ширяющегося канала — дозвукового диффузора, служащего для превраще-
ния кинетической энергии потока в давление. Такой процесс носит наимено-
вание восстановления давления. Чем больше степень восстановления давле-
ния, тем выше к. п. д. диффузора. В идеальном адиабатическом движении
может произойти полное восстановление давления до значения р0, величина
которого определяется известной уже нам адиабатической и изэнтропической
формулой.
Сверхзвуковой поток также может быть подторможен при помощи спе-
циального сверхзвукового диффузора, аналогичного по внешней форме соплу
Лаваля, причем, в отличие от него, в сужающейся части сопла поток будет

S 26]
ПРИМЕР НЕАДИАБАТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
119
замедляться до некоторой меньшей, чем во входном сечении, но все же сверх-
звуковой скорости, чтобы затем, перейдя скачкообразно'в дозвуковой поток,
продолжать далее тормозиться в расширяющейся части. Элементарный расчет
такого сверхзвукового диффузора будет приведен в § 31 настоящей главы.
§ 26. Пример неадиабатического движения газа
Предположим, что адиабатичность одномерного стационарного потока
идеального газа нарушается тем, что на некотором весьма коротком участке
к газу подводится извне тепло. Это вызывает изменение температуры газа Тх
и температуры изэнтропически заторможенного газа Т10 до участка подо-
грева на величину AT = Т2 — Тх и соответственно АТ0 = Т20 — Т10, при-
чем за участком подогрева вновь устанавливается адиабатическое течение
•с температурами Т2 и Т20.
Отвлекаясь от эффекта переменности сечения трубы на участке подо-
грева, определим изменение числа Μ на этом участке, после чего уже нетруд-
но будет найти и изменения всех остальных величин. Основные уравнения
поставленной задачи легко получить, если учесть, что приток тепла не нару-
шает баланса массы и количества движения, т. е. при прохождении газом
участка подогрева остаются в силе следующие два равенства:
ри = const, ρ + pu2 = const. (23)
Первое из этих равенств в принятых условиях стационарного одномер-
ного потока по цилиндрической трубе (Vn = V = и) непосредственно выте-
кает из (86) гл. II. Второе следует из равенства (87) той же главы, если
спроектировать обе его части на ось трубы, пренебречь действием объемных
сил, учесть стационарность потока, заметить, что при идеальности среды
Рхх = —р, и применить таким образом упрощенное равенство (87) к объему
трубы, заключенному между двумя произвольными плоскими сечениями.
Припоминая известные уже формулы связи скорости звука с температу-
рой, давлением и плотностью газа, а также определение числа М, будем иметь
Ри = к^=к^ = крМ-гУг = рМ^^¥-
YkRT,
■■ const,
р+ри* = р (i + -^)=p(l-M-J) = p(l + /M2) = const.
С-Л)
Отсюда, деля одно равенство на другое, получим искомую связь числа Μ
«с абсолютной температурой Τ или температурой адиабатически изэнтропиче-
ски заторможенного газа Т0
i + kW ,А„ . 1 + Ш2 ,А~
—П- у Τ = const, τ γ Τ ο = const
Μ
м
Ι
Λ
-1
(25)
Μ2
Применим эти равенства к двум сечениям потока,
участок подогрева; тогда будем иметь
М,
ограничивающим
1 + кЩ
Mi Ι/"ε7
f ftMf У у, '
м.
Υ-
к — 1
1 + feM
Mi]/
1-
k—1
■mi
1 + кЩ
Зная отношения
т2
1 + кЩ
У Ти
(26)
10
1 +
ΔΤ
г20
10
1 +
АТо
40

120
ОДНОМЕРНЫЙ П .Τ iK ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
и число Мх до прохождения участка подогрева, по формулам (26) найдем М,,
а уже затем по второй из формул (24) — и отношение давлений
Рг
Р1 ~ 1 + Ш1 ' ( 7'
а также и все остальные термодинамические параметры. Наконец, зная число
Μ2 и температуру Т2, легко найдем и скорость газа за участком подогрева.
Введем в рассмотрение функцию
Μ
/(М) = -
j/i+Jl^Im*
1 + Ш2 »
входящую во вторую формулу (26). Вычислив производную
1 — W
(28)
/'(Ml·
(1 Ш
)2(i
ft—1
Μ
*)
12 '
убедимся, что функция / (М) имеет максимум при Μ
равен
1, и этот максимум
wv
W
Ц0
цг
V,
η
/
/
/W
/2(fc+l)
О 0,2 ОА 0,6 Οβ 1,0 1,1 1,4 /,β
Рис. 33.
1,8 2β
Μ
На рис. 33 приведен график
функции / (М) для воздуха {к =
1,4). Как видно из графика, по-
догрев газа при Мх <С 1 вызывает
возрастание числа М2, а при
Mt > 1, наоборот, убывание числа
М2. Следовательно, приток тепла
к дозвуковому потоку ускоряет его,
отвод тепла — замедляет. В слу-
чае сверхзвукового потока приток
тепла замедляет его, отвод ускоряет. Так, например, при Т10— 540 К и Мх=
=^0,5 увеличение температуры на 20% приводит к возрастанию числа Μ
до значения М,= 0,6. При той же начальной температуре и числе Мх= 1,4
подогрев на 7% приведет к уменьшению числа Μ до М„ = 1; при этом
давление увеличится более чем на 50%.
§ 27. Неизэнтропическое движение газа по трубе при наличии сопротивления
Рассмотрим адиабатическое, но не изэнтропическое движение газа
по трубе при наличии сопротивления трения, причем для простоты ограни-
чимся случаем трубы постоянного сечения.
Для поддержания равномерного движения реальной жидкости в трубе
постоянного сечения необходимо к сечениям трубы, ограничивающим неко-
торый участок длины I, приложить движущий перепад давлений Ар, который
смог бы уравновесить сопротивление трения, препятствующее движению
жидкости по трубе. Этот перепад давления называют сопротивлением участка
трубы и представляют формулой
Αρ = λ
1 Ри
ср
D
(29)
где D — диаметр трубы, ρ — плотность жидкости, принимаемая постоянной,
иср — средняя по сечению трубы скорость движения жидкости, определяе-
мая отношением секундного объемного расхода жидкости сквозь сечение

§ 27]
НЕИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПО ТРУБЕ
121
к площади сечения. Коэффициент сопротивления λ представляет безразмер-
ное число, зависящее от физических свойств жидкости: плотности ρ и коэффи-
циента вязкости μ, а также от средней скорости иср и диаметра D трубы.
Более точно λ является функцией некоторого комплекса этих величин —
рейнольдсова числа Re = pu^D/μ1).
При принятом в настоящем параграфе приближенной! одномерном пред-
ставлении движения будем считать среднюю скорость wcp совпадающей
со скоростью и одномерного движения, а коэффициент сопротивления λ —
постоянной величиной. Последнее допущение можно оправдать тем, что·
λ слабо зависит от Re, а само число Re на данном участке трубы обычно
меняется сравнительно незначительно и может быть заменено своим средним
значением. Применяя формулу сопротивления (29) к сжимаемому газу на
участке длины dx, будем иметь
dp = X^.-Bf. (30)
Составим уравнение Эйлера (1) для одномерного стационарного движе-
ния идеального газа, учитывая влияние трения дополнительным перепадом
давления (30); тогда будем иметь уравнение движения
du 1 dp - и2 ,ол\
из которого найдем
dp „ ρ Φ dx p ,
= —λ —-ττ-Π —udu.
ρ ρ 2 D ρ
Воспользовавшись формулой Клапейрона и определением скорости звука
α β Ykp/p, получим, вводя число М,
^=-±λ&Μ2^-ΑΜ2 —. (32)
ρ 2 D и v '
Уравнение неразрывности (2), переписанное (А — со ) при помощи
формулы Клапейрона в виде
— = const,
дает после логарифмирования и дифференцирования
dp dT du
Сравнение (32) и (33) приводит к соотношению
(33
-уШ2-§- + (1-*МЧ-7Г=-1г-. (34>
Но по определению числа Μ
и = Μα = const Μ У Τ,
так что, логарифмируя и дифференцируя, получим
du dM , 1 dT /or\
~П ~М~*~2~Т~· ( }
Согласно предположенной адиабатичности движения, т. е. тепловой
изоляции трубы, напишем условие сохранения полной энтальпии h0 илиг
что все равно, температуры заторможенного газа
Т0 = Τ (1 + -^-М2 ) = const;
J) Подробнее об этом см. гл. VIII, IX и X настоящего курса.

122
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
тогда будем иметь, логарифмируя и дифференцируя,
■!£ «-(*-!)
MdM
1 +
к— 1
(36)
м2
Выражая при помощи (35) и (36) du/u и dT/T через число Μ и его дифферен-
циал dM и подставляя эти значения в равенство (34), получим после простых
преобразований следующее основное соот-
ношение:
2D
dx = dl·.^
1 —Μ2
МЗ Ι-
λ— 1
Μ2
dM. (37)
Положим dl· > 0, т. е. будем рассмат-
ривать развитие движения вниз по пото-
ку. Тогда сразу видно, что dM > 0, если
Μ < 1 и dM <С 0, если Μ > 1. Это приводит
к следующему выводу: при адиабатиче-
ском движении газа по трубе постоянного
сечения наличие трения вызывает ускорение
дозвукового потока и замедление сверхзву-
кового потока.
Пользуясь равенством (37), можно
определить длину I* участка трубы, на
котором дозвуковой поток, начав с задан-
ного значения М0 < 1, достигнет благо-
даря наличию ускорения значения М± —
= 1; аналогично можно найти длину участка,
на котором сверхзвуковой поток от заданного М0> 1 замедлится до Mi= 1.
Интегрируя (37), будем иметь, полагая ξ — 0 в сечении, где Μ = М0
Рис. 34.
к—1
Г =
ш»
1
к+1
2D
2М§
In-
м§
k+i
Щ
5(38)
Так, например, для воздуха (к = 1,4) при М0 = 0,4 будем иметь, при-
нимая λ = 0,01 (это соответствует Re= 2,5 ·106),
z*
D
1,4-0,01
1,62» 230;
в тех же условиях при М0 = 1,4 получим
I* 2
D 1,4-0,01
0,07 » 10.
Общий ход зависимости безразмерного параметра ξ* от М0 представлен
на рис. 34. Можно заметить, что при возрастании числа М0 до бесконечности
ξ* стремится к конечной величине
k—i
2 '
В частности, для воздуха {к = 1,4) кривая на рис. 34 имеет горизонталь-
ную асимптоту ξ* = 0,5751.

§ 28]
ПЛОСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА И СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
123
§ 28. Плоская ударная волна и скачок уплотнения
В отличие от задачи о распространении малых возмущений изучение
явления распространения конечных по интенсивности возмущений представ-
ляет математические трудности, так как требует интегрирования нелинеари-
зованных уравнений (54) гл. III. Рассмотрению этого случая будет посвящен
§ 33; там же приводится принадлежащее Риману строгое объяснение явле-
ний возникновения в идеальном газе ударных волн, представляющих поверх-
ности разрыва параметров состояния газа и скорости его движения. Остано-
вимся сначала на элементарной теории ударных волн и удовольствуемся про-
•стым качественным объяснением
θ
У///////////////////////////////////////////^^^^
и=0
и=\1
41
i$§
шяшшьшшшшшшшят
Рис. 35.
причины их возникновения.
Представим себе (рис. 35) теп-
лоизолированную от внешней сре-
ды цилиндрическую трубу беско-
нечной длины, вдоль которой пере-
мещается поршень. Пусть вначале
(поршень и газ неподвижны, а затем
лоршень мгновенно приобретает
некоторую скорость и перемещается
■с этой скоростью влево, сжимая на-
ходящийся перед ним газ. Возни-
кающее при этом возмущение (сжатие газа) будет распространяться по трубе.
Разобьем мысленно область возмущенного газа на большое число объемов
близкими друг к другу, перпендикулярными к оси трубы плоскими сече-
ниями, каждому из которых соответствуют свои значения возмущенных
.■параметров газа и скорости распространения по отношению к газу. Можно
предположить, что распределение возмущений вдоль оси в каждый момент
непрерывно, т. е. в двух достаточно близких друг к другу сечениях параметры
газа мало разнятся между собой. Тогда, представляя движение газа в дан-
ном сечении как относительное в системе координат, движущейся поступа-
тельно и равномерно со скоростью газа в смежном сечении, можем в такой
талилеевой системе применять теорию распространения малых возмущений.
Это позволит утверждать, что скорость распространения возмущений в каж-
дом сечении равна местной скорости звука.
Таким образом, распространение возмущений, создаваемых поршнем,
можно рассматривать как совокупность непрерывно следующих друг
за другом звуковых волн, причем каждая последующая волна перемещается
но газу, возмущенному предыдущими волнами. Но в рассь атриваемом адиа-
батическом и изэнтропическом движении сжатие газа сопровождается его
подогреванием, а скорость распространения возмущений возрастает с тем-
пературой. Отсюда заключим, что каждая последующая волна будет пере-
мещаться относительно невозмущенного газа несколько быстрее, чем пре-
дыдущая. Волны будут догонять друг друга, складываться и образовывать
одну обладающую конечной интенсивностью волну сжатия, называемую
ударной волной.
Заметим, что при движении поршня влево справа за ним образуется раз-
режение, которое будет распространяться вправо от поршня также волновым
образом. Но в этом случае волны уже не будут нагонять друг друга, так как
последующая волна пойдет по газу, охлажденному предыдущей волной, и ско-
рость распространения последующей волны будет меньше скорости предыду-
щей. Из этого простого рассуждения следует, что волны разрежения не могут
образовывать ударные волны. В следующем параграфе будет дано и дру-
гое, термодинамическое доказательство невозможности такого рода образо-
ваний.

124
ОДНОМЕ1 НЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
Из описанного только что процесса развития ударной волны сжатия
следует, что после того, как ударная волна образовалась (в дальнейшем будет
доказано, что это произойдет через конечный промежуток времени), по обе
стороны от ее фронта параметры состояния газа и его скорость (абсолютная
или по отношению к движущемуся фронту) будут иметь значения, различаю-
щиеся между собой на конечные величины. Фронт ударной волны представ-
ляет поверхность (в настоящем частном случае — плоскость) разрыва пара-
метров состояния газа, перемещающуюся по газу и вызывающую скачкооб-
разное изменение этих параметров, причем невозмущенный газ перед фронтом
ударной волны имеет меньшие давление, плотность i температуру, чем после
прохождения фронта.
Наличие такого скачкообразного изменения параметров газа — в дей-
ствительности очень резкого их изменения на участке длины, равной по
порядку пути свободного пробега молекулы,— показывает, что здесь имеет
место внутренний молекулярный процесс, связанный с переходом кине-
тической энергии упорядоченного течения газа в кинетическую энергию
беспорядочного теплового дви кения молекул. Этим объясняется разогрев
газа при прохождении его из невозмущенной области перед фронтом ударной
волны в область возмущенного движе ия за фронтом ударной волны. Повы-
шение средней вадратичной скорости пробега молекул вызывает также
возрастание давления и плотности газа при прохождении его сквозь фронт
ударной волны.
Явление одномерного распространения плоской ударной волны допу-
скает элементарный количестве! ный расчет.
Обозначим через V постоянную скорость движения поршня (рис. 35)v
а через G — скорость распространения относительно невозмущенного газа
ударной волны, показанной на рис. 35 пунктиром. Предполагая, что процесс
возникновения ударной волны уже закончился, примем скорость газа во всей
области между ударной волной и поршнем одинаковой и равной постоянной
скорости движения поршня V; точно так же будем считать постоянными в этой
области и параметры газа. Таким образом, как слева от ударной волны
(в области невозмущенного газа), так и справа от нее параметры движения
и состояния газа сохраняют неизменные значения при всех положениях
ударной волны. Отсюда следует, что и скорость распространения ударной
волны θ также постоянна, причем из приведенного рассуждения ясно, что
ударная волна обгоняет газ, приводимый в движение поршнем, т. е. всегда
будет G > V.
Движение газа в системе координат, связанной с трубой, будет неста-
ционарным, так как ударная волна, перемещаясь вдоль трубы, изменяет поле
скоростей во времени. Обратим движение, сообщив мысленно всей трубе
вместе с движущимся газом поступательное движение вправо со скоростью Θ.
Иначе говоря, будем рассматривать происходящее в трубе явление с точки
зрения галилеевой системы координат, движущейся поступательно вдоль оси
трубы вместе с ударной волной. Тогда ударная волна окажется как бы оста-
новленной, а движение газа — стационарным.
Неподвижную ударную волну, плоскость которой перпендикулярна
к направлению потока, будем называть прямым скачком уплотнения. Невоз-
мущенный газ в новом рассмотрении уже не неподвижен, а подходит к скач-
ку уплотнения слева направо (рис. 36) со скоростью \\ = Θ, а за скачком
движется со скоростью V2 = 0 — У; при этом, очевидно, V± > V„; давление,
плотность и температура в этой галилеевой системе сохраняют "своп преж-
ние значения. Условимся в дальнейшем обозначать индексом 1 величины
перед скачком, индексом 2 — после скачка.
Чтобы найти связь между Vx, px, Pl, Тг и У„, ра, р0, Т2, воспользуемся
стационарностью потока и применим к нему теоремы сохранения массы,

§ 28]
ПЛОСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА И СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
125
количества движения и энергии в форме Эйлера. Согласно соображениям,
приведенным в § 14, эйлеровы формы этих теорем могут быть применимы
и при наличии в потоке поверхностей разрыва (например, скачка уплотне-
ния). Следует только выбрать контрольную поверхность так, чтобы те ее
части, на которых нормальная составляющая скорости отлична от нуля,
не совпали и не пересеклись с поверхностью разрыва.
Выберем за контрольную поверхность совокупность боковой поверх-
ности цилиндрической трубы и двух равных между собой по площади нор-
мальных сечений σΧ и σ2 (рис. 36). Поверхность разрыва пересекает только
у/////////////////////////////////////////////^^^^
vre
Ψ
ρ-ρ,,/>=/>,
P^Pz'fi'fz
Рис. 36.
ту часть контрольной поверхности, где Vn = 0. В силу принятой одномер-
ности движения будем считать, что в сечениях ог и σ2 поля скорости и дру-
гих величин однородны. В этих условиях закон сохранения массы в форме
(86) гл. II при ог = σ2 и Vn = Vx или V2 сразу дает
Pl^l = Р2^2. (39)
Теорема об изменении количеств движения в форме (87) гл. II если при-
нять, что движение стационарно, объемные силы отсутствуют (F = 0) и газ
твдеален (рп = —rip), в условиях однородное и поля скоростей да лений
в сечениях ог и σ2 после проектирования обеих част й (87) τ и же главы
на направление оси трубы даст второе искомое ра енство — сохранение
полного импульса ρ + pV2 —
Pi + PiVl=p2 + p2Vt. (40)
Аналогично уравнение баланса энергии (4 ) л. II в условиях ид ль-
ного и совершенного газа рп = — пр, U = cvT, если отвлечься от бъе ньх
сил и перейти к форме Эйлера, сведется к tiko у:
j ρ ( cvT + -£-) Vn do = - f PVn da.
а с
Произведя замену (формула (37) гл. Ill)
вапдем
U = c„T = h—-^
\p\h+^-)vndo = 0.
Применяя эту формулу к выбранной контрольной поверхности, получим
К + -γ ) = Рг^г (h* + -ψ ) ,
или в силу (39) и равенства сечений σΧ и σ2
Л
2 а ' 2 '
τ/2 Vk
Ui+-V- = U2 + - 2
(41)

126
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[гл. iv
это равенство представляет закон сохранения полной энтальпии h0 — h + V /2
газа при его прохождении через скачок уплотнения.
К системе уравнений (39), (40) и (41) можно присоединить уравнение
Клапейрона, вследствие которого будет
h — τ _ Ср J±~ k Pi
Ih — Cpi!— R pi — A_4 pi
и аналогично
h L..PL
после чего равенство (41) заменяется следующим:
~F^T"pi 2 ~ А-1 pg т 2 · v '
Таким образом, составлена система трех уравнений (39), (40} и (42)
с тремя неизвестными величинами Vz, р2, Р»·
Найдем сначала связь между давлениями и плотностями до и за скачком
уплотнения, искл чив из рассмотрения скорости Vx и V2. Для этого, соглас-
но (39), перепишем уравнение изменения количеств движения (40) в виде-
Pi-P2 = P2V2,-p1V!^piVl (F2-F,)
и умножим обе части этого равенства: справа на выражение
Vz + Vi
а слева на равную ему величину
Pl^l Pi Ρ2^2 Pi Pi P2
тогда получим
С другой стороны, из уравнения баланса энергии (42) следует
2fc / ρ· Яг \ _ ^2 у«
А—1 I pi р2 / 2 м
так что, приравнивая левые части двух последних равенств, найдем
-r<*-*>(£+£)--iM£-£).
Группируя в этом равенстве члены с рг и /?2, получим уравнение Гюгонио·
Ръ _ (fc+l)P2 — №— 1) Pi __ (fc+l)p2/Pi — (k — 1) ,43ч
Pi (*+1)р1-(А-1)Рг ft + l-(A-l) P2/P1 ' V
Вспоминая связь между давлением и плотностью в адиабатическом дви-
жении идеального газа, определяемую изэнтропической адиабатой
Л^=(Щк' (44)
Pi \ Pi / V
видим, что уравнение Гюгонио (43) представляет адиабату, отличную от
изэнтропической; эту адиабату называют ударной адиабатой или адиабатеи
Гюгонио, в отличие от изэнтропической адиабаты Пуассона (44).
Полученный результат на первый взгляд противоречит доказанному
в предыдущей главе положению об изэнтропичности адиабатического дви-
жения идеального газа. Не следует, однако, забывать, что, в отличие от рас-

§ 28]
ПЛОСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА И СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
127
смотренного ранее непрерывного вдоль трубки тока движения, в настоящем
параграфе рассматривается разрывное движение с конечным скачком пара-
метров газа в некотором сечении трубы. Отсюда следует только сделать
заключение, что прохождение идеального газа сквозь скачок уплотнения
не является изэнтропическим процессом, а
сопровождается необратимым переходом ме-
ханической энергии в тепловую.
Как известно, при наличии необратимых
процессов преобразования механической
энергии в тепловую в замкнутой (адиабати-
ческой) системе энтропия этой системы дол-
жна возрастать. Легко убедиться, что в рас-
сматриваемом сейчас случае прохождения
газа сквозь скачок уплотнения отнесенная
к единице массы энтропия газа будет возра-
стать. Составим с этой целью выражение эн-
тропии по (53) гл. III. Получим
(45)
Рис. 37.
На рис. 37 показаны для сравнения гра-
фики двух адиабат: изэнтропической и иеиз-
энтропической ударной адиабат. Как видно
из этого графика, при р2/рх > 1 ударная
адиабата располагается выше изэнтропиче-
ской, откуда и следует, что выражение,
стоящее в квадратной скобке под знаком логарифма в формуле (45), боль-
ше единицы, логарифм положителен, так что действительно s2 ^>s1.
Из формулы (45) сразу следует, что скачка разрежения быть не может.
Действительно, повторяя формально все предыдущие рассуждения относи-
тельно воображаемого скачка разрежения, можно было бы получить те же
самые формулы и при рг >/?2, Pi >Рг- Но при р2/рх < 1 кривая, соответ-
ствующая ударной адиабате, ложится ниже изэнтропической адиабаты
[на рис. 37 эта ветвь показана пунктиром; она пересекает ось ординат в точке
(О,—т~Гл) Υ так что в этом случае s^-^s^, это означает,что при прохожде-
нии газа сквозь воображаемый скачок разрежения отнесенная к единице-
массы энтропия газа должна была бы уменьшаться, а это приводит к проти-
воречию со вторым началом термодинамики. Таким образом, и из общих
термодинамических соображений следует, что скачок разрежения невоз-
можен.
Заметим, что ударная адиабата имеет асимптоту
Р2
к+1
bPi
к— 1
так как при этом отношение давлений, согласно (43), обращается в бесконеч-
ность. Отсюда следует, что в отличие от обычного адиабатического и изэнтро-
пического сжатия газа, например в теплоизолированном цилиндре с порш-
нем, как бы ни было велико сжатие р21р\ газа в ударной волне, созданное ею
к-\- 1
уплотнение газа р2/рг не может превзойти величины -г—{ ■ Так, например,
воздух, пройдя сквозь скачок уплотнения, не может повысить свою плотность
болей чем в шестг/раз.

128
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
§ 29. Изменение скорости и термодинамических параметров газа
при прохождении его через прямой скачок уплотнения
По теореме Бернулли, справедливой порознь в областях до и после
скачка уплотнения, имеем
/гН—^- = hl0 = CpTi0, }12-\--гГ=К0 = срТ20.
Сравнивая с (41), заключим, что при прохождении газа сквозь скачок
уплотнения сохраняются полная энтальпия h0 и температура адиабатически
заторможенного газа Т0, а следовательно, и а0, α*, Τ*.
Таким образом будет:
* * * Г (46)
Согласно формуле Клапейрона можно написать также, что
Pio Р20 Pi Рг /47)
* η*
Рю Р20 Pi PI
Разыщем связь между скоростями Vx и F2 до и за скачком уплотнения.
Перепишем с этой целью уравнение количеств движения (40) с учетом (39)
в виде
γ^γ^-Jk J* (48)
1 2 Р2^2 Pl^l " V '
Уравнение Бернулли в форме второго из равенств (77) гл. III, приме-
ненное до и после скачка, дает
-Л-=_i_ Л. - _А±1_ п*2 _ Σ1
к — /с— 1 Pl ~ 2{к— 1) 2 »
а\ _ к р2 k+i ., V%
А —1 — /с—1 р2 2{к— 1) 2 *
Определяя из этих двух уравнений отношения pjpi, ρ J 9% и подстав-
ляя их значения в уравнение (48), получим после простых преобразований
равенство
Но по доказанному выше в скачке уплотнения р2 ;> рх и, следовательно,
по (39) V-l > V2; при этом предыдущее равенство приводится к следующему
выведенному Прандтлем соотношению:
VXV2 = α*2, (49)
которое при переходе к скоростным коэффициентам λΧ, λ2 преобразуется
к виду
КК = 1- (50)
Из формулы Прандтля (49) при наличии неравенства Уг > F2 следует
Vi > β* > V2 или ^ > 1 > λ2,
т. е. перед скачком движение газа сверхкритическое, за скачком — докрити-
ческое.
Воспользовавшись формулой (79) гл. III, убедимся, что Мг > 1 при
λΧ >1 и М2 < 1 при λ 2 < 1. Таким образом, заключим, что движение газа
до прохождения им скачка уплотнения является сверхзвуковым, за скачком —
дозвуковым.

§ 29]
ПРЯМОЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
129
Перейдем в формуле Прандтля (50) от скоростных коэффициентов к чис-
лам М. Согласно соотношению (79) гл. III будем иметь
к+-1
М,
м,
j/i + A_lM? |/
1+-М-М1
■ = 1.
Разрешив это уравнение относительно М2, получим связь между числами
Mj и М2 до и после скачка
М2 =
У
1 + -V-M?
kMi-
к—1 ■
(51)
Составляя для упрощения вычислений производную d (M%)/d (Ml) вместо
одинаковой с ней по знаку производной dM2/dM1, будем иметь
rf(Mj)
d(Mf)
(к+1)2
(«Ч-*^)
<о,
откуда следует, что с возрастанием числа М1 потока до скачка число М2
за скачком монотонно убывает. Приводим табл. 5 связи между Mi и М2
Mi
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
м2
1,000
0,912
0,842
0,779
0,739
0,701
тг!р\
1,000
1,246
1,520
1,824
2,120
2,455
Т(
Mi
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
гб лица
М2
0,668
0,640
0,616
0,595
0,577
5
Tilvi
2,820
3,200
3,604
4,043
4,500
Mi
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
М2
0,561
0,546
0,534
0,522
0,512
Р2/Р1
4,970
5,480
6,000
6,550
7,400
в диапазоне 1 -^ Мх ^ 2,5 для воздуха (к = 1,4); в этой же таблице приво-
дятся и числовые величины отношения pJPi-, характеризующего сжатие
газа при прохождении его через скачок уплотнения. Формула связи рг1рг
и Mi будет выведена далее.
Как показывает формула (51), при беспредельном росте Мх величина М2
стремится к своему предельному значению
(М2)м,=ос = у
к—1
2к
для воздуха (к — 1,4) равному 0,378.
Определим относительные изменения давления
Δρ _ р2 — Р\
плотности
и температуры
9 Л. Г. Лойцянский
Pi Pi '
Δρ __ р2 —Pi
Pi Pi
ΔΓ Γ2 — Τ i
Ti

130
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
при прохождении газа через скачок уплотнения. Для этого используем
основные соотношения (39), (40) и формулу Прандтля (49), написав
Рг-
^ = Mb£saef!!l(i_i)efcir^(i-i^.)=*M;(i---A-).
Pi
Остается применить формулы (79), (80) гл. III перехода οτλΧ к Мх или
Мх κλ15 чтобы получить искомые соотношения
Ар _ 2fc λ|-1 Рг . , , 2ft λ|_1 . _«
-ργ-τ+τ fc-i · Pi-^ft+i! ftnii.* l '
1_jfc+lAl fc+1 x
Аналогичные преобразования дают
P2 —Pi _ Vj_ ._ V\ .
Pi Ь
так что
ΔΡ_
:λ?-1, (54)
±±ΙΜ»
Δρ _ Μ? — 1 ρ2 _ 2 IYl1
и i + *=V Ρ' i+*^lMl
(55)
Чтобы определить относительное изменение температуры, используем
равенство (41), из которого следует
дг _ a,-Af Ff-11 У? /, У1 \
7Ι Ai 2cpTl ср Г Ff7
ft—1 ..2 /, α*4
"МЬ-^"*-*)·
2
Заменяя здесь, как и ранее, Мх через λ х илиЯх через Мх, получим
r'"*+14('-Si4)· <5β)
4т"= р-ИР м; М-') (*+*Μ»· (57)
Чтобы оценить потерю механической энергии движущегося газа при
прохождении им прямого скачка уплотнения, условимся характеризовать
механическую энергию полным давлением р0, т. е. давлением в адиабатически
и изэнтропически заторможенном газе. При этом за количественную харак-
теристику необратимости процесса прохождения газа сквозь прямой скачок
примем величину κ отношения полных давлений р20 за скачком к р10 до скачка
,_ Р20
Рю
Выражая р20 и р10 по изэнтропическим формулам через давления р2 и рх
газа за скачком и перед скачком, получим
— _JL_
ft—1 ««Λ*-1 /. ft—1 ..\h-i
κ = —. (58)
P,(i+l=lM,.p Й(Н£-Ч)А

§ 29]
ПРЯМОЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
131
Заменяя здесь отношение pjpi по (52) на одно из следующих:
Р2.
Р1
= <
2к
1 + ТЕТГ<М?-1>,
1 | 2/с λ?-1
А+1
/<· 1 »
_ Li2
Λ + l x
и используя выражения (51) и (50) М2 и λ2 через Мг и λ17 получим искомое
отношение в одном из следующих двух видов:
, к—1
Рю
2fe
fc-1 02\-l-
/с—1
=λ·
fc+1
λ?
fe-1
/с—1
fe+1
m
h-l
А + 1 λ?
2ft
м^-1
(59)
(* +
-^-м?)* * (ш?-
fc_l ч fe-1
Напомним, что, согласно (47), эти же выражения определяют и отноше-
ние плотностей заторможенного газа за скачком и до скачка.
pw
0,8
0,2
\
\
&>А
'Р*М
503l
р,
40
30
20
Ю
7 Ζ δ 4 5 6 7
Μ,
Рис. 38.
О
I.U
Bje
т
Jm
Г
κ
■ч
^ 1 2 3 Ь 5 6 7 В
М,
Рис. 39.
На рис. 38 представлен график второго соотношения (59) для воздуха
(к — 1,4); там же приведен график сжатия р2/рг воздуха в скачке. График,
выражающий первое соотношение (59), имеет тот же характер, но р20/р10.
обращается в нуль не при Мх -> сю, а при конечном значении скоростного
коэффициента λΧ = у -—^. Как видно из графика, чем больше величины
Mi или р2/рг, характеризующие интенсивность скачка, тем относительно
меньшее давление р20 можно получить за счет последующего адиабатического
и изэнтропического торможения газа, прошедшего через скачок уплотнения.
Причина этого явления была выяснена раньше — в скачке уплотненич имеет
место необратимое превращение механической энергии в тепловую, вслед-
ствие чего механическая энергия становится меньше.
Более точно, чем на рис. 38, можно судить о значениях отношения
р20/р10 при больших числах Mi по графику рис. 39, где это отношение построе-
но в логарифмическом масштабе.
9*

132
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
При больших Мх вторая из формул (59) может быть заменена прибли-
женной, асимптотической
2ft
κ = -^
Рю
m
ft+l
ft-i
Μ
ft-i
k — i \ ft-i
2ft
(^)
M/8'1 fe"-
1 m/1-
_Γ (Α + 1)"+1Ι
L 2/c(/c—l)hJ
ft-i . -
M.
ft-1
(60)
что дает простую количественную оценку поведения величин р20/р10 при
больших Mi- Например, для воздуха (к = 1,4) при больших Mi рассматри-
ваемое отношение обратно пропорционально числу Мх в пятой степени, что
говорит о весьма значительных потерях механической энергии при прохож-
дении газа через скачки большой интенсивности. Укажем, что соответствую-
щая этому случаю простая асимптотическая (верная только при больших
значениях Мг) формула для κ будет κ ~ 360 M~j.
Исследуем поведение кривой на рис. 38 при малых значениях разности
Ml — 1. Преобразуем равенство (59) к виду
fc+1
2ft
*-[■
2fc
к—I
ft+1 k+1
-ЬттгМ2-1)] h_1
fc+1
(Mf— 1)
1 +
k—i
(Mf —1)
ft-i
= [1+-^Τ(Μ?-1)]
ft-1 —
l+(Mf-l)
ft-1
Производя разложение по степеням малой величины Mj — 1, убедимся,
чго коэффициенты при М, — 1 и (М? — I)2 обращаются в нуль, и разложение
величины κ = р^о^Рю будет иметь вид
κ-1 (jfc+ip з +·■· (61)
Из последнего разложения видно, что скачки малой интенсивности
не приводят к заметной потере полного напора, так как при М1? близком
jk единице, р20 совпадает с р10 с точностью до малой величины
2к (Щ— 1)з
(fc+1)2 3
Так, для воздуха (к = 1,4) эта величина имеет порядок 0,16 (М* — I)3
и, например, при превышении скорости звука на 10% (Мх = 1,1) будет рав-
на 0,0015.
При наличии необратимых потерь в адиабатической системе возрастает
ее энтропия. Для определения этого возрастания применим равенство (45)
к параметрам адиабатически и изэнтрогшчески заторможенного газа, что
допустимо, так как изэнтропическое торможение не может влиять на'при-
ращение энтропии. Получим
*-1 LPIO V Р20 / J'
Но, по предыдущему,
$2—*i __
Р.
R
Рю
Р20
1
Рю
Р20 '
следовательно,
Ч(£П~Ч£·)—ьк
(62)

§ 30]
СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ
133
Подставляя сюда отношение р20/р10 по приближенной формуле (60),
найдем при больших Мх соотношение
выражающее асимптотический закон роста энтропии при прохождении газа
сквозь скачки большой интенсивности.
При сравнительно малой интенсивности, т. е. при разности (М? — 1),
близкой к нулю, будем иметь, согласно (61),
*2-ц _ 2к (М|-1)3 „,.
Я ~ (А+1)« 3 * I >
Отсюда следует, что скачки малой интенсивности приводят к слабым
изменениям энтропии, т. е. околозвуковые явления можно с достаточной
степенью приближения рассматривать как изэнтропические.
§ 30. Скорости распространения ударной волны
и спутного потока за нею
Составив основные соотношения для скачка уплотнения, вернемся теперь
к рассмотрению явления распространения ударной волны в пространстве.
Определим скорость θ распространения ударной волны по отношению к невоз-
мущенному (покоящемуся) газу и скорость V движения возмущенного газа
за ударной волной; последнее движение можно было бы назвать спутным
потоком газа за ударной волной. Согласно изложенному в § 28, эти скорости
связаны со скоростями Vt и У2 по отношению к ударной волне равенствами
θ = ylf V = θ - F2 = Vx - V2. (65)
За меру интенсивности скачка, а следовательно, и ударной волны мож-
но принять число М1? равное по предыдущему
Мх = -^- = —, (06)
или сжатие газа в скачке pdpi, равное по (53)
liL·— 2k M2:— k~i (67)
Pl k + i "« k + i · * '
Тогда скорость θ распространения ударной волны по отношению к невозму-
щенному газу будет
e = M1%=/i^+i±i^-0l. (68)
Из этой формулы вытекают два важных следствия.
1. Скорость распространения ударной волны по отношению к невозму-
щенному газу всегда больше скорости звука в невозмущенном газе.
. 2. При уменьшении интенсивности ударной волны скорость ее распро-
странения стремится к скорости звука в невозмущенном газе
θ = αΧ при Мх = 1 или р2 = рг.
Звуковую волну можно, таким образом, рассматривать как ударную
волну очень малой интенсивности.
Чтобы определить скорость V спутного потока за волной, используем
второе из соотношений (65) и формулу Прандтля (49); тогда получим
ν=νΛ——

134
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
Производя здесь замену
будем иметь после простых преобразований
У-Щл(^'ж)
ах.
(69)
При больших Mi можно указать приближенную асимптотическую фор
мулу
Μ1α1 = -ΓΤ1ΓΘ,
к + 1 "'1"i fc+1
выражающую, что спутный поток за ударной волной при очень больших
интенсивностях имеет скорость, меньшую, чем скорость распространения
самой ударной волны, но относительно близкую к ней.
Выражение (69) пр (53) легко преобразовать к виду
=/:
Р2
Р\
. " at,
j/fc-l + (/c+l)^-
(70)
или при очень больших pjpi
v~V4w^V^^-
(71)
Как легко заключить из (70), в звуковой волне (p2/pi ~ 1) скорость
спутиого потока близка к нулю. С ростом интенсивности ударной волны
скорость спутного потока возрастает; при очень больших интенсивностях
эта скорость пропорциональна корню квадратному из сжатия pjpi-
Приведем табл. 6 численных значений относительных сжатий и уплот-
нений газа ударной волной, распространяющейся в неподвижном воздухе
(к = 1,4) при 15 °С (Т = 288 К) и нормальном атмосферном давлении;
в той же таблице помещены соответствующие этим сжатиям значения Мх, Θ,
V и перепада температуры ΔΓ.
Mi
1
1,18
1,47
2,94
4,40
Δρ/pi
0
0,47
1,39
9,20
22,20
Δρ/ΡΙ
0
0,30
0,81
2,77
3,74
ΔΤ, °С
0
33
87
465
1075
θ, м/с
340
400
500
1000
1500
Та б лица 6
V, м/с
0
93
224
734
1181
Mi
5,90
8,80
11,80
14,70
Δρ/pi
40,3
92,3
165
258
Δρ/pi
4,20
4,58
4,72
4,78
ΔΤ, СС
1925
5 940
7 750
12100
θ, м/с
2000
3000
4000
5000
V, м/с
1611
2880
3300
4135
*4
Заметим, что даже при сравнительно небольших сжатиях воздуха удар-
ной волной возникает сильный спутный поток. Так, например, легко подсчи-
тать по предыдущим формулам, что ударная волна, несущая относительное
сжатие воздуха Ар1рг = 0,22, распространяясь со скоростью 370 м/с, могла
бы вызвать спутный поток со скоростью 50 м/с. Отсюда видно, сколь ничтож-
ные сжатия воздуха несут с собой обычные звуковые волны, почти совершенно
не смещающие частицы воздуха.

§ 30]
СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ
135
Приведем следующие цифры *): для звука в сто тысяч раз более интен-
сивного, чем самая громкая игра оркестра, амплитуда изменения плотности
воздуха в звуковой волне составляет всего лишь 0,4% от нормальной плот-
ности воздуха; амплитуда изменения давления равна 0,56% от атмосферного
давления; амплитуда скорости воздуха не превышает 0,4% от скорости звука,
т. е. имеет порядок 1,3 м/с. Амплитуда смещения частиц воздуха при частоте
в 500 Гц достигает 0,036 см. Звук, создаваемый сильной сиреной, может
вызвать спутный поток — «звуковой ветер», способный потушить свечу.
Приведенные в табл. 6 цифровые данные относятся к идеальному газу.
Они рассчитаны в предположении об отсутствии вязкости и теплопроводности,
причем в силу адиабатичности предполагается и отсутствие лучистого отвода
энергии, очень существенного при высоких температурах. На самом деле
энергия ударной волны частично поглощается реальным газом и интенсив-
ность волны при этом ослабевает; вместе с тем действительные процессы рас-
пространения ударных волн не являются адиабатическими, т. е. энергия их
отводится в окружающее пространство.
Следует еще отметить то, что табл. 6 относится к распространению пло-
ской ударной волны, для которой все характерные величины сохраняются
постоянными независимо от расстояния от источника образования возму-
щения.
На самом деле приходится иметь дело со сферическими ударными вол-
нами, процесс распространения которых существенно нестационарен и даже
в простейших случаях требует для своего изучения применения сложного
математического анализа.
Отличие сферического распространения волн от плоского можно просто
показать на примере задачи о распространении сферической звуковой волны.
Составим уравнения возмущенного движения в сферических координатах,
поместив начало координат в центр возмущений (точечный источник звука).
Точные уравнения будут состоять из уравнения движения, совпадающего
с соответствующим уравнением в плоском случае (первое уравнение систе-
мы (54) гл. III), если только в нем заменить х на радиус-вектор г точки отно-
сительно источника возмущений, а под и понимать радиальную скорость газа,
(ди , ди \ др
и уравнения неразрывности, которое в сферических координатах приведется
к такому:
аР 1 а(г«ри) _п
dt"+"~ дг ~v'
В полной аналогии с § 22, пользуясь малостью возмущений, линеаризи-
руем эти уравнения и, довольствуясь предположением о баротропности дви-
жения, придем к следующей системе уравнений малых возмущений:
ди' ag J>P^__o
dt ~т~ ро' дг
dp' ро д (г»и') _ п
1Г"Т" г* дг —U'
(72)
где, как и в § 22, а\ = (dp/dp)0.
Решение этой системы в виде расходящейся от центра волны имеет вид
ρ'β1£=2ω (73)
г) Я. Б. Зельдович и Ю. П. Райзер, Физика ударных волн и высокотем-
пературных гидродинамических явлений, Физматгиз, М., 1963, стр. 18 и 19.

136
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ- IV
что соответствует убыванию интенсивности возмущения по закону Mr.
Сферические звуковые волны по сравнению с плоскими обладают и дру-
гими особенностями, на которых мы не будем останавливаться х).
§ 31. Элементарная теория сверхзвукового диффузора
Простым примером одномерного потока с прямым скачком уплотнения
служит проточная часть прямоточного реактивного двигателя, упрощенная
схема которого показана на рис. 40. Все устройство может быть расчленено
на следующие части: входную часть (I — III), представляющую сверхзвуко-
вой диффузор, среднюю часть (777 —
/// IV
свшзаутйои %Ь камера
dutpgiypop |>ф го/ятия
сверх-
збунЬвве
сол'мо
IV) — камеру горения и выходную
часть (IV — V) — сопло Лаваля.
Moo f^^Iii^^'^T? ^~Г^^^\ м Назначение сверхзвукового диф-
фузора заключается в превращении
кинетической энергии набегающего
на двигатель сверхзвукового потока
в давление, необходимое для повы-
шения интенсивности горения топли-
ва, подводимого в камеру горения
Рис. 40. через форсунки.
Камера горения служит для со-
общения потоку тепловой энергии,
которая является основным источником расширения газа и превращается в
ускоряющем поток сопле Лаваля (IV — V) в кинетическую энергию струи на
выходе из сопла (V). Количество движения этой струи служит источником
реактивной силы двигателя, которая определяется как произведение секунд-
ного массового расхода газа сквозь выходное сечение двигателя на относи-
тельную скорость выхлопа. Простейший расчет проточной части двигателя
по одномерной теории элементарен и заключается в использовании, с одной
стороны, изэнтропических формул, а с другой — основных формул теории
прямого скачка. Приток тепла при этом может учитываться приближенно
по теории, аналогичной изложенной в § 26.
В основе расчета лежит выбор режима работы двигателя. От выбора
режима зависит расположение прямого скачка уплотнения, неизбежного
при сверхзвуковом полете, внутри или вне проточной части двигателя. Опти-
мальным является расположение скачка в горле (/7) сверхзвукового диф-
фузора или в непосредственной близости за ним. Действительно, в этом слу-
чае набегающий на двигатель сверхзвуковой поток с числом Мх > 1 станет
[вспомнить следствия из уравнения Гюгонио (3) настоящей главы] замед-
ляться в сужающемся канале на участке (/ — II) до некоторого М2 > 1,
но меньшего Мг, затем посредством сравнительно малого по интенсивности
скачка перейдет в дозвуковой поток и, оказавшись после этого в расширяю-
щемся канале (77 — III), будет продолжать замедляться, восстанавливая
давление. При этом весь канал (/ — /77) работает на полезное для двигателя
восстановление давления перед камерой горения.
При некоторых режимах работы двигателя скачок уплотнения может
возникнуть перед входом в двигатель в виде так называемой отсоединен-
ной ударной волны (см. гл. VI, § 52). Наличие такого рода ударной волны
на входе резко уменьшало бы к. п. д. двигателя, как об этом можно заклю-
чить из следующей оценки. Обозначим через Vx > аг (аг — скорость звука
на данной высоте Η полета) скорость летательного аппарата. Давление в набе-
х) См. Я. Б. Зельдович и Ю. П. Ρ а й з е р, Физика ударных волн и высоко-
температурных гидродинамических явлений, Физматтиз, М., 1963, стр. 21, 22.

§31] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХЗВУКОВОГО ДИФФУЗОРА 137
гающем потоке пусть будет рг, давление в камере горения — р'2. Предполагая
сначала головную волну отсутствующей, а процесс поступления воздуха
в камеру горения изэнтропическим, будем пренебрегать малой по сравнению
со скоростью набегающего потока скоростью движения воздуха в камере..
Тогда получим
h
P* = Pm = Pio = Pi(l-\ ^— Mi)"" ,
или для воздуха (к = 1,4)
ft = A(l + 0,2M?)3,5.
Так, например, при числе Мх полета, равном Mi = 2, получим сжатие-
воздуха в камере
А/А = 1.83,5 «8.
На высоте Η = 10 км давление рг (по международной стандартной атмо-
сфере) равно примерно 0,26 ата, в камере горения при Мх = 2 (это на высоте
10 км соответствует скорости самолета, равной 600 м/с или 2160 км/час)·
при изэнтропичности торможения давление р'2 = 2 ата. Такое повышение
давления весьма благоприятно отразилось бы на работе двигателя. Однако
из-за наличия головной ударной волны, участок которой вблизи входа в дви-
гатель можно рассматривать как прямой скачок, такое изэнтропическое дви-
жение не осуществляется. За счет потерь механической энергии, согласно
рис. 39, давление в камере будет равно
Рг = Р2о = 0,75/Jio = 0,75 · 2 = 1,5[ата,
т. е. 75% от давления при изэнтропическом торможении. Разница эта была бы
значительнее при больших Мг. Так, при Мг = 3 давление в камере составило
бы лишь 35% от давления изэнтропически заторможенного воздуха, при
Mj = 4 — только 15%, при Мг = 5 — всего 5%. Для сохранения эффекта
повышения давления в камере горения двигателя необходимо приближать
процесс восстановления давления к изэнтропическому, т. е. бороться с обра-
зующейся перед входом в двигатель головной волной.
Одним из способов такой борьбы является использование сверхзвукового
диффузора, благодаря которому скачок во время запуска двигателя сначала
«садится» на входное сечение, а затем перемещается вглубь входного сопла
двигателя, теряя при этом свою интенсивность. Другой путь борьбы с голов-
ной ударной волной заключается в ее разрушении при помощи иглы, выдви-
гаемой навстречу сверхзвуковому потоку на входе в двигатель. Объяснение
эффекта применения иглы выходит за рамки теории одномерного потока; изло-
жение соответствующей двумерной теории будет дано в гл. VI, § 52.
Для количественной оценки возможности восстановления давления в по-
токе при помощи сверхзвукового диффузора сделаем следующие близкие
к практике допущения: 1) поток в проточной части диффузора адиабатичен,
2) стенки диффузора непроницаемы. Эти два основных допущения сводятся
к требованию об отсутствии тепломассопереноса в диффузор извне. Исполь-
зуем условия сохранения вдоль потока секундной массы и полной энтальпии
или температуры торможения, а следовательно, и критической температуры.
Сохраним в качестве индексов, отмечающих принадлежность величины к тому
или другому сечению диффузора, римские цифры х) (рис. 40) и обычные обо-
значения звездочкой и нуликом для критических и «заторможенных» значе-
ний характерных для потока величин.
г) Арабские цифры 1, 2 были использованы уже для обозначения величин до и за
скачком.

138
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
1
1
-4
1
1 _ —
-~_г_
-<
/>*
Чтобы не вдаваться во второстепенные для одномерного подхода детали
условий входа внешнего потока в сверхзвуковой диффузор, примем, что
поток на входе в диффузор образован некоторым воображаемым, показанным
на рис. 41 пунктиром, идеальным соплом Лаваля с площадью узкого сечения
(горла) А* и критическими характеристиками р*, р*, а*. Выходное сече-
ние этого сопла будем считать совпадающим с входным сечением диф-
фузора.
Если бы поток в сверхзвуковом диффузоре можно было рассматривать
как изэнтропический, пренебрегая наличием в нем необратимых процессов:
скачков уплотнения, трения и др., то этот диффузор представил бы в свою
очередь идеальное сопло Лаваля, только с обратным по направлению потоком.
Такое сопло часто назпвают обратным соплом Лаваля, иногда сохра-
няя это наименование и для реаль-
ного сверхзвукового диффузора,
восстановление давления в ко-
тором всегда связано с необрати-
мыми неизэнтропическими про-
'1 цессами и прежде всего с наличием
скачков уплотнения, неизбежных
1 Ш при переходе сверхзвуковых по-
р ,. токов в дозвуковые.
Среди всевозможных течений в
сверхзвуковом диффузоре выделим
два основных предельных случая. В первом из них набегающий сверхзвуковой
поток переходит в дозвуковой еще до входа в диффузор, пройдя сквозь отсо-
единенную ударную волну (см. далее гл. VI, § 52) или через скачок уплот-
нения, сидящий во входном сечении диффузора. Поскольку поток за прямым
скачком всегда дозвуковой, то в этом случае сверхзвуковой диффузор рабо-
тает как дозвуковой. Положение скачка при этом не является устойчивым
по отношению к малым возмущениям потока и рассматривается лишь как
удобный образ для противопоставления его второму, оптимальному с точки
зрения решения задачи о восстановлении давления случаю, когда скачок
уплотнения, пройдя сквозь сужающийся участок (/, II), займет положение
в сечении (//) или в непосредственной близости за этим сечением.
Для приближенной, сравнительно грубой оценки выигрыша в степени
восстановления давления, осуществляемого сверхзвуковым диффузором,
сосредоточим все внимание лишь на изменениях полного давления при про-
хождении потока через скачки уплотнения, считая течения до и за скачком
по отдельности изэнтропическими. Количественной оценкой этого восстанов-
ления явится введенный ранее равенством (58) коэффициент κ, зависящий
от числа Μ в потоке перед скачком по формулам (59), (60) или (61).
Назовем коэффициентом восстановления полного давления в сверхзву-
ковом диффузоре η отношение величин κ (Μ) для второго (скачок в горле
диффузора) и первого (скачок во входном сечении диффузора) случаев, т. е.
положим
1 κ(ΜΖ) ' {1 '
тде М/ — одно и то же в обоих сравниваемых случаях, а Мгг обозначает
число Маха в сечении (//) во втором случае, причем в этом случае за счет
замедления сверхзвукового потока в сужающемся участке (/, //) будет
М, > Щ1 > 1.
В первом случае (скачок на входе), нисколько не нарушая общности,
будем считать горло диффузора критическим {Ап = Ah) и полагать MW —
— 1. Для определения η остается лишь найти М$ Щ>и заданном Mj, так

§ 31] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХЗВУКОВОГО ДИФФУЗОРА 139
как сама функция κ (Μ) уже известна и, например, для воздуха затабули-
рована.
С этой целью составим отношения площадей критического сечения в вооб-
ражаемом сопле Лаваля и горле диффузора А*/АЬ для двух рассматривае-
мых случаев движения и приравняем их между собой, так как и в том и дру-
гом случае геометрические размеры проточной части одни и те же. Имеем
в первом случае (закон сохранения массы; сечение (II) критическое)
р*а*А* = рЪаЬАЬ,
(75)
или по закону сохранения полной энтальпии, а следовательно, и критической
температуры, а также критической скорости газа
А* *
/1__ рп
Afr
Используя еще формулу Клапейрона (газ совершенен)
Xr = RT* = RTJr =
PII
J p* "" ρ?/ *7 '
и переходя от критических давлений к полным, будем иметь в первом случае
работы сверхзвукового диффузора
jH_£HL^x(M/). (77)
*11
Ро
Обращаясь к рассмотрению второго случая, когда скачок расположен
в горле (//) сверхзвукового диффузора, вспомним, что в этом режиме работы
диффузора сечение (77) уже не является критическим. Число Μψ}, став мень-
шим, чем М/, все же сохранит значение Мйг > 1, соответствующее сверхзву-
ковому течению в этом сечении.
Введем по (10) функцию Θ (Μ), которая, в силу изэнтропичности движе-
ния на участке от горла воображаемого сопла Лаваля до сечения II, будет
определяться равенствами (И). По закону сохранения массы получим
:£- = θ(Μ$). (78)
РиЩт
р*«*
V/
Сравнивая между собой (77) и (78), найдем искомую зависимость М?} от Μ
θ(Μ#)=κ(Μ,).
(79)
Это уравнение допускает простое графическое решение. Пользуясь гра-
фиками функций Θ (Μ) и κ (Μ), помещенными на рис. 39, можем, задаваясь
числом М/ на входе, найти κ (Μ/) и, снеся эту ординату на кривую Θ (Μ),
определить соответствующую абсциссу M/2i· По виду кривых на рис. 39
заключим, что отношение Μ/2/ /Μ/ будет близким к единице. Приводим табл. 7
Mz
MgtyMj
1
1,000
2
0,876
Та
3
0,884
блица
4
0,891
7
5
0,895
7
0,898
10
0,901
оо
0,903
для воздуха (к = 1,4), подтверждающую это во всем диапазоне значений Мг.
Можно приближенно положить
М$ = 0,89 М, при 1,2 < Mr ^ оо.
При М/> 2,5 ошибка не превысит 1%.

140
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
Коэффициент восстановления полного давления в сверхзвуковом диффу-
зоре η определим как функцию числа М/ на входе, исключая Mfi из (74)
и (79).
Приводим табл. 8 зависимости η от М/ для воздуха.
Таблица 8
Mi
η
1
1,000
1,5
1,049
2
1,157
3
1,341
4
1,452
6
1,558
8
1,602
10
1,624
оо
1.666
При рассмотрении табл. 7 и 8 можно заметить, что, несмотря на малую
разницу в числах Μ на входе и в горле сверхзвукового диффузора, выигрыш
в восстановлении полного давления довольно значителен и возрастает с ростом
числа М/ в набегающем потоке. Этот факт находит свое объяснение в отме-
ченной ранее высокой степени зависимости (обратная пропорциональность
пятой степени для воздуха) коэффициента восстановления κ от числа Маха.
Описание разнообразных случаев работы сверхзвуковых диффузоров
и приближенную трактовку их с точки зрения как одномерной, так и двумер-
ной теорий можно найти в специальных руководствах по этому вопросу 1).
Изложенные в настоящем параграфе элементы одномерной газогидравли-
ческой теории сверхзвукового диффузора весьма приближенно отражают
сущность происходящих в нем в действительности явлений. Прежде всего
отметим, что наряду с прямыми скачками уплотнения в проточной части
диффузора и на его входе образуются системы косых скачков, наклоненных
к оси диффузора под различными углами, отличными от прямого угла. Эти
скачки нарушают одномерность потока, делают его двумерным (плоским
или осесимметричным). К этому вопросу мы вернемся в гл. VI.
Кроме того, допущение об идеальности газа, т. е. отсутствии в нем внут-
реннего трения, также слишком упрощает действительный поток в диффузо-
ре. На самом деле торможение потока силами трения создает неоднород-
ность профиля скоростей, не учитываемую одномерной теорией. Существен-
ную роль в работе сверхзвукового диффузора может сыграть явление отрыва
потока (пограничного слоя) от стенок диффузора, тесно связанное с наличием
в диффузоре косых скачков, падающих и отражающихся от стенок диффу-
зора; об этом будет идти речь в заключительных главах курса.
§ 32. Измерение скоростей и давлений
в до- и сверхзвуковых потоках
Для измерения скоростей и давлений в потоках газа с большими до-
и сверхзвуковыми скоростями до сих пор применяют пневматические методы,
основанные на регистрации микроманометрами давлений в некоторых точках
стандартного небольшого сравнительно с размерами потока тела — скорост-
ной трубки, помещенной в исследуемый поток.
Рассмотрим сначала эскизный чертеж трубки Прандтля (рис. 42), при-
меняемой для измерения скоростей газа (воздуха) в условиях, допускающих
пренебрежение эффектом сжимаемости; такого рода трубки применяют и для
измерения скоростей в потоках жидкости. Газ набегает на носик трубки, где
имеется так называемое динамическое отверстие D (рис. 42, а), и обтекает
боковую поверхность трубки с расположенным на ней статическим отвер-
г и \2:l' I' *eVia H' СВлРХЗ,ВпУгл°ВЫе вх°Яные Диффузоры. Перев. с англ. под ред.
Г. Н. Абрамовича, Физматгиз, М., 1960.

§ 32]
ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И ДАВЛЕНИЙ
141
стием (щелью) S. При надлежащей конструкции трубки — достаточном уда-
лении ножки трубки F и носика D от статического отверстия (обычно при-
нятые размеры показаны на рис. 42, б) можно считать, что вблизи отверстия
D давление равно (рис. 42, а) давлению заторможенного газа р0, а вблизи
статической щели — давлению ρ проходящего мимо трубки газа (вероятно,
поэтому давление ρ необоснованно называют статическим).
При изложении теории вязкого движения жидкости в пограничном
слое на поверхности обтекаемого тела (гл. IX) будет показано, что при этом
давление в любой точке поверхности совпадает с давлением в жидкости или
газе на внешней границе пограничного слоя, т. е. в незаторможенном потоке,
проносящемся мимо статического отверстия трубки. Таким образом, если
трубка вблизи щели S имеет цилиндрическую форму, а сама щель S распола-
гается заподлицо к стенкам трубки так, что жидкость проходит мимо щели,
не подвергаясь подпору со стороны выступающих стенок этой щели, то давле-
ние в щели будет равно давлению в невозмущенной трубкой жидкости вда-
леке от трубки.
Условимся в дальнейшем обозначать через рг, рг, ах и Vx давление, плот-
ность, скорость звука и скорость набегающего на трубку потока.
Если жидкость или газ движутся с малыми скоростями, так что их дви-
жение можно рассматривать как движение несжимаемой жидкости, то по тео-
реме Бернулли, выражаемой равенством (26) гл. III, можно написать
Pi+T PiVl = const = Рю^
откуда сразу следует
(80)
или, опуская индекс 1, так как скорость, плотность и давление в этом случае
повсюду вдалеке от трубки одинаковы, и заменяя еще плотность ρ на удель-
ный вес у, будем иметь основную формулу теории скоростной трубки пнев-
матического типа, пригодную при малых скоростях потока
V
V-
2g(Po — P)
(81)

142
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
Измеряя разность давлений р0 — ρ при помощи дифференциального
манометра и зная удельный вес движущейся среды, можно найти и ее ско-
рость. На самом деле, в результате неточностей изготовления скоростных
трубок измеренные величины р0 и ρ могут несколько отличаться от действи-
тельных своих значений; для учета этих поправок на практике в формулу (81)
вводят дополнительный, близкий к единице коэффициент, который опреде-
ляют тарировкой, сравнивая в воздушной струе аэродинамической трубы
данную трубку с некоторой образцовой.
Предположим теперь, что газ движется с большими, но дозвуковыми ско-
ростями (Mi < 1). В этом случае можно применить формулу изэнтропиче-
ского движения
h
P^Pi^-h^Ml)^ (82)
Регистрируя микроманометром отдельно давление р10 в динамическом
и давление рг в статическом отверстиях, определим число Ыг движущегося
газа, а зная температуру газа, найдем скорость звука аг в движущемся газе,
а следовательно, и скорость Vv Измерение температуры можно производить,
например, термопарой или другим термометрическим прибором, помещен-
ным в такую точку скоростной трубки, где скорость равна нулю, и мож-
но быть уверенным, что измеряется температура изэнтропически затормо-
женного газа Т0. Таким местом является точка на скоростной трубке, где
поток разветвляется. Замеряя непосредственно Т0, найдем Тг по ранее выве-
денной формуле
r0 = 7'1(l+^Mi),
а следовательно, скорость звука
ai=YkRTl
и искомую скорость
Vx = M^
Показание давления р10 в динамическом отверстии D можно считать
надежным, что же касается работы статического отверстия, то относительно
него следует сделать оговорку. При достаточно больших, хотя и меньших
единицы, значениях числа Mi на сферической поверхности носика могут
возникнуть зоны местных сверхзвуковых скоростей. Последующий переход
от сверхзвуковых скоростей к дозвуковым вызовет возникновение на поверх-
ности трубки перед статическим отверстием S скачков уплотнения и местные
искажения давления. Наименьшее значение числа Mi < 1 набегающего
потока, при котором на поверхности обтекаемого тела (в данном случае
измерительной трубки) возникают сверхзвуковые зоны, называют критиче-
ским числом Μ и обозначают Мкр *). Если число Мг набегающего потока пре-
восходит число МцР, то пользование статическим отверстием становится
ненадежным и необходимо каким-нибудь независимым путем определять
давление рг в движущемся газе, например при движении газа по цилиндриче-
ской трубе измерять давление на стенке трубы в сечении, близком к носику
скоростной трубки.
Применение статического отверстия S при измерении скоростей в сверх-
звуковом потоке может также оказаться неудовлетворительным, так как
в этом случае перед динамическим отверстием возникает головная волна
и давление рг может не совпадать с показаниями микроманометра, соеди-
) Об этом подробнее будет сказано в гл. VI.

§ 33] НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 143
ненного со статическим отверстием. Скачки уплотнения, садящиеся на уча-
сток поверхности трубки DS, искажают поле давлений в газе.
Используя показание р20 динамического отверстия за головной волной,
обозначенной пунктиром на рис. 42, а, и измеряя каким-нибудь другим
путем рх, найдем их отношение p20/pi. Это отно-
шение связано с искомым числом Мх набегающего
потока формулой Рэлея
ft+l
Р20
Pi
/>20 PlO
Рю
Pio_=(ttl\ h'i
Pi \ 2 /
2h
(83)
(
kMi
k—l\ "-1
следующей из формулы (59).
На рис. 43 приводится график связи между
p20/pi и Мг для воздуха {к = 1,4).
При больших дозвуковых и сверхзвуковых ско-
ростях конструкция трубки для измерения скоро-
стей, изображенной на рис. 42, становится непри-
годной. Носику трубки придают форму острой иглы
(конуса с малым углом раствора), разбивающей ( Ζ 3 4
головную ударную волну. Это позволяет улучшить М1
работу статического отверстия, служащего для Рис. 43.
определения давления. Параллельно этой игле на
некотором от нее расстоянии помещают заборник полного давления. Число·
Маха определяют, помещая в поток термометр сопротивления1).
гщ
20
16
12
8
*
0
№
J
I
I
§ 33. Нестационарное одномерное течение идеального газа.
Распространение возмущений конечной интенсивности
Вернемся к рассмотрению нелинеаризованной системы дифференциаль-
ных уравнений одномерного нестационарного движения (54) гл. III, которые
при баротропности движения могут быть путем замены {& — функция дав-
ления)
2 1 dp _дд° dp _ dp dp ρ д&>
dp
dp
переписаны в виде
ρ дх dx * dt dp dt
dp dp dp _ ρ д&>
a? dt '
dx
dp dx
1 d&
du du
~дТ+и~дх~
du ,
a2 dx
rd&>
dx
и d&
= 0,
-0.
(84>
a dt dx a dx
Введем вместо функции давлений qP новую функцию е7>, положив
Р
dp
d&= — d®= — dp,
a pa ^'
&
При этом
dt
1 d&
~a dt *
d&
dx
J P(p)a(p)·
Po
\_d£_
a dx '
(85)
*) См., например, СМ. Го ρ "л и н, Экспериментальная^аэромеханика, «Высшая
школа», М., 1970, стр. 158—182.

144
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
и система (84) перейдет в следующую:
ди , ди . д£Р п
д£Р , ди , д<Р п
c?i dz cte
Почленным сложением и вычитанием преобразуем эту систему Уравнений
ж виду
A(^4-M) + (M + fl)-^(^+M)=0, 1
А (*-и)+ («*-«)-£(#-и) = 0. J
(86)
В левых частях этих уравнений стоят одномерные индивидуальные производ-
ные: в первом уравнении от величины аР + и, связанной с точкой, движу-
щейся вдоль оси Ох со скоростью и -f- а, а во втором уравнении от величины
&> — и, связанной с точкой, движущейся вдоль оси Ох со скоростью и — а.
Равенство нулю этих индивидуальных производных говорит о сохранении
величины ЗР + и в точке, движущейся со скоростью и + а, и величины
аР — ив точке, движущейся со скоростью и — а. Величины
r = # + u, s = & — u (87)
носят наименование инвариантов Римана 1).
Замечая, что в одномерном движении вдоль оси Ох точке с абсциссой х
соответствует на самом деле плоскость, перпендикулярная к оси Ох и прохо-
дящая через эту точку, например, плоское сечение трубы, можем интерпрети-
ровать полученный результат как наличие двух семейств плоских волн, рас-
пространяющихся вдоль оси Ох.
Абсолютная скорость распространения волн первого семейства (Сг) равна
£ = » + *. <88>
а второго семейства (С2)
§ = *-*. (89)
Направляя ось Ох вниз по потоку, т. е. считая и 2> 0, можем сказать,
что волны первого семейства в своем относительном движении по газу рас-
пространяются в ту же сторону, что и газ, волны второго семейства — в про-
тивоположную сторону. Относительная скорость распространения волн
по газу равна +fl, где а — местная скорость звука; верхний знак относится
к первому семейству, нижний — ко второму. Волны первого семейства несут
постоянное значение инварианта г, волны второго семейства — инварианта s.
В случае линеаризованного движения газа (§ 22) имела место аналогич-
ная картина распространения возмущений, с той лишь разницей, что волны
в этом случае распространялись с постоянной скоростью, равной скорости
звука в невозмущенном газе, и несли постоянные значения параметров газа.
Прежде чем перейти к более детальному рассмотрению вопроса о рас-
пространении конечных возмущений, заметим, что волновой характер урав-
нений (86) позволяет указать графоаналитический метод их интегрирования.
Изложим основную идею этого метода.
1) В. Riemann, Über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwin-
gungsweite, Abhandl. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen., 1860 (русский перевод: Б. Рима н,
Сочинения, О, распространении плоских волн конечной амплитуды, Гостехиздат, М.,
1948, XXI).

§ 33] НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 145
С геометрической точки зрения уравнения (86) могут быть интерпрети-
рованы так. В каждой точке плоскости (f, x) существуют два направления
(на рис. 44 они показаны пунктиром) с угловыми коэффициентами:
tgei=(-§-)i = u + a' {^ = {^)2 = и-а*
(90)
обладающих тем свойством, что при бесконечно малом перемещении вдоль
этих направлений соответствующие значения инвариантов Римана сохра-
няются.
Уравнения (88) и (89) можно рассматривать как дифференциальные урав-
нения семейств кривых (Сг) и (С2)> угловые коэффициенты касательных к ко-
торым определяются равенствами (90). Разыскание уравнений этих семейств
e^arctgfu+a)
Sz-arctg(u-a)
Λ,'/
м—
J9r
(S) *
1
tl·
'_Jk
(Ct)
\
(C,)
cL
Ы
y(S)
Jb)
t
>-
Рис. 44.
Рис. 45.
кривых б конечной форме невозможно до интегрирования уравнений (86)
и нахождения и (х, t) и а (х, t); однако, как мы сейчас увидим, наличие
равенств (90) существенно как для представления общего характера процес-
сов, описываемых уравнениями (86), так и для интегрирования этих урав-
нений.
Кривые (Сх) и (С2) представляют так называемые характеристики
системы (86), а направления касательных к ним (90) — характеристические
направления. Напомним, что в случае линеаризованной задачи (§ 22) урав-
нения характеристик были известны в конечной форме; это были семейства
прямых
х + at = const, x — at = const.
Предположим, что нам задано некоторое начальное распределение ско-
рости и (s) и параметров газа ρ (s), p (s), a (s), а следовательно, и £Р (s) вдоль
некоторой кривой (S) (рис. 45), направление касательных к которой не сов-
падает с характеристическими направлениями. В частном случае это может
быть заданием начальных условий при t = 0, т. е. на оси Ох, или граничных
условий на прямых, параллельных оси Ot.
Определив по (90) угловые коэффициенты кривой (С\) в точке А и кри-
вой (С2) в точке В по формулам
tgQlA=(^-)iA = uA + aA, tgG2B=(-^)2B = aB-aB,
проведем через эти точки соответствующие характеристические направления
и построим малый треугольник ААгВ.
На отрезке А А г характеристики (Сх) сохраняется первый инвариант г,
т. е.
10 л. Г. Лойцянский

146
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
{ГЛ. IV
а на отрезке АХВ характеристики (С2) — второй инвариант s, так что
&А± — UAi = <^в — UB.
Из полученной системы равенств находим
&At = у Λ + «а + ^в - Ы,
"А, = у (βА + "А-®В + "в),
а следовательно, и pAl, pAl, aAl.
Повторяя такое же рассуждение относительно треугольника ВВХС,
построенного по значениям угловых коэффициентов характеристики (CJ
в точке В и характеристики (С2) в точке С, найдем значения uBl и $>Bl
в точке Вх, а следовательно, и рвх, Рв1 и ав^ Это позволит наметить направ-
ления характеристик в точках Ах и Вх, построить треугольник АХА\ВХ и по
предыдущему определить значения ви^в точке А\, а затем б точках _42>
В2 и т. д. Задаваясь достаточно густым делением кривой (S) в точках А, В, С
и т. д., найдем значения неизвестных функций и, р, р, а б сколь угодно близ-
ких друг к другу точках плоскости (х, t).
Обратимся теперь к более детальному рассмотрению вопроса об одно-
мерном распространении в идеальном газе возмущений конечной интенсивно-
сти. Покажем, что, подобно тому как это имело место в случае малых возму-
щений, распространение конечных по величине возмущений также может
происходить при помощи простых волн (§ 22), т. е. волн, бегущих с постоян-
ной скоростью и несущих с собой постоянные значения параметров газа.
Такого рода распространение возмущений конечной интенсивности будет
иметь место, если один из инвариантов Римана постоянен во всей области
течения, для чего, очевидно, достаточно, чтобы этот инвариант был постоян-
ным в начальный момент времени (при t — 0, вдоль оси Ох). Возможность
такого рода допущения будет вскоре пояснена и проиллюстрирована при-
мером.
Пусть для определенности постоянен второй инвариант s = qP — и.
Полагая ρ — р0 при и = 0 и вспоминая определение аР, данное послед-
ней из формул (85), будем иметь во всей области течения и в любой момент
времени
ё=и. (91)
При этом второе уравнение системы (86) выполнится тождественно, а первое,
переписанное в виде
£+<«+«)£-0, (92)
показывает, что волны семейства (Сх) несут постоянные значения скорости и.
Согласно (91) постоянными будут также значения функции #\ а следова-
тельно, и параметров газа ρ, ρ и а. Отсюда следует, что абсолютная скорость
распространения волны и + а и скорость ее по отношению к газу а сохра-
няют постоянные значения в данной волне, т. е. волна простая.
Vis принятого условия и > 0 и равенства (91) заключим, что & > О,
а по (85) ρ >Ρο, х- е. возмущения, переносимые волнами первого семейства,
представляют сжатие газа, а сами волны можно назвать волнами сжатия.
Точно так же, сделав предположение о сохранении во всей области тече-
ния и во времени инварианта г — ξβ -\- и, т. е. положив
#'+u = consl = 0, (93)

§ 33] НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 147
где константа выбрана равной нулю из тех же соображений, что и в преды-
дущем случае, убедимся, что при этом второе уравнение системы (86) перей-
дет в следующее:
*+<.—θ£-0. (94)
т. е. в волнах второго семейства (С2), так же как и в волнах первого семей-
ства, скорость и сохраняет свое значение, а по (93) сохраняются |Г\ ρ, ρ и а.
Итак, при выполнении условия (93) второе семейство (С2) также представ-
ляет совокупность простых волн с абсолютной скоростью распространения
и — α и со скоростью а по отношению к газу, направленной в сторону, про-
тивоположную движению газа. Согласно (93), (85) и условию и >0 заклю-
чим, что волны второго семейства представляют волны разрежения.
В отличие от случая малых возмущений, рассмотренного в § 22, где
все простые волны имели одну и ту же по величине скорость распростране-
ния, равную скорости звука в невозмущенном газе, в разбираемом сейчас
случае простых волн, несущих конечные по интенсивности возмущения, ско-
рости распространения по отношению к газу, равные по абсолютной вели-
чине местной скорости звука, не одинаковы для различных волн данного
семейства.
Легко убедиться в том, что в случае возмущений конечной интенсивности
абсолютная и относительная скорости распространения простых волн пер-
вого семейства {Су) тем больше, чем интенсивнее переносимые ими возмуще-
ния. Для этого выразим # через а, предполагая для определенности движе-
ние изэнтропическим. Имеем в этом случае
d&=±d& = ±dp = ±g-£- = a&; (95)
а (М г а ф ρ ρ ν '
другой стороны,
α2 = k — = const · pft_1,
и, вычисляя логарифмический дифференциал, найдем
dp 2 da
ρ k—l a '
так^что
d$ = 1^lda, # = JL(0-Oo), (96)
где значок нуль, как и ранее, относится к параметрам покояшегося газа
(и. = 0), а постоянная интегрирования выбрана в согласии с равенством (91).
Подставляя полученное значение # в (91), найдем
а = а0-\- -^— и, и-\-а = а0 + —γ- и. (97)
Из этих равенств непосредственно следует, что для волн первого семей-
ства (Cj), чем больше скорость и возмущенного движения газа, тем больше
и скорости и + о абсолютного и а относительного распространения волны.
Но, согласно (91), большей скорости движения соответствуют и большие
значения 1К а вместе с тем давления ρ и плотности ρ возмущенного газа, так
как по определению функции ^
^=ра>0, -£- = .£. >0.
10*

148
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
Таким образом, абсолютная и относительная скорости распространения
волн первого семейства (волн сжатия) тем больше, чем больше переносимые
ими интенсивности возмущений.
Для волн второго семейства (С2) — волн разрежения — будем иметь,
согласно (93) и (96),
а = а0-
fc—1
и, и—о= —й0 4
fc+1
и.
(98)
С увеличением разрежения, т. е. абсолютной величины разности ρ — р0,
будет, согласно (85), увеличиваться и абсолютное значение функции с7\
так что по (93) увеличится и скорость движения газа и. Из первого равенства
*· veto С 4 оо & >Ссс
Рис. 46.
системы (98) заключим, что при этом скорость а распространения волн раз-
режения относительно газа будет уменьшаться, а абсолютная скорость уве-
личиваться.
Отсюда следует основное отличие явления распространения конечных
возмущений от распространения малых возмущений: начальная форма распре-
деления возмущений не сохраняется.
Чтобы составить общее представление о характере деформации кривой
распределения начальных возмущений, рассмотрим опять движение поршня
в трубе (рис. 46). Пусть скорость поршня равна щ, направлена слева направо
вдоль положительного направления оси Ох', справа от поршня образуется
сжатие газа. В момент времени t = i2 перед поршнем образовалось возмуще-
ние скоростей, которое можно себе представить в виде некоторой непрерыв-
ной спадающей кривой и = щ {х). В последующий момент времени t =
— h >h кривая распределения скоростей и = щ (х) будет иметь более
крутой уклон, так как за промежуток времени £2 — fx точки кривой щ (х)
сместятся в горизонтальном направлении на отрезки, согласно теории рас-
пространения волн первого семейства (волн сжатия) равные
K-f-a)(i2 — ti) = (a0 + -:Y-Ui) (h — h)
(99)
и, следовательно, тем большие, чем больше ординаты щ кривой щ {х). С тече-
нием времени уклон кривой будет продолжать возрастать, пока в некоторый
момент времени t = i«, в одной из точек кривой касательная не станет пер-
пендикулярной к оси Ох, а производная uOo(x) бесконечной. В дальнейшем
при t > ic» верхние точки кривой распределения скоростей должны были бы
обогнать нижние, а кривая — приобрести форму, показанную на рис. 46
крайней справа. Но такая форма физически невозможна, так как при этом
одному и тому же сечению трубы в данный момент соответствовало бы
несколько различных скоростей. На самом деле изменение формы продол-
жается только до тех пор, пока касательные не станут перпендикулярными
к оси Ох. Предельной формой распределения возмущений будет служить

§ 33] НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 149
скачкообразное изменение скорости, показанное на рис. 46 пунктиром и соот-
ветствующее, очевидно, ударной волне.
Таким образом, из теории распространения волн сжатия конечной интен-
сивности вытекает неизбежность возникновения в трубе ударных волн.
Оценим промежуток времени iTC — t±, необходимый для того, чтобы из
начального распределения скоростей образовалось распределение и = и» (х)
с бесконечно большим уклоном в какой-нибудь одной точке. Этот промежуток
времени можно принять за меру времени, по истечении которого из задан-
ного начального распределения возмущения образуется распределение,
характерное для ударной волны.
Обозначим через и = и (х) некоторое промежуточное распределение
скорости, имеющее место в момент t. Кривая и (х) получается из кривой щ (х)
параллельным оси Ох переносом ординат кривой Uy (х) на расстояние (99),
так что можно написать
и (I) = «1 (*), (10°)
где положено
l = x+[t
, k+l
-Т--0-И1
(*)](i-fi)·
(101)
Для вычисления производной в точке ξ возьмем производную по х от
обеих частей равенства (100); будем иметь, используя (101),
и'(г)-§ = и'(1)[1 + к-±^и1(х)(1-г1)] = и[(х),
откуда
и' ©
и'г(х)
/с+ 1
u[(x){t-ti)
(102)
Пусть х = хт представляет абсциссу точки, в которой кривая щ (х)
имеет максимальный по абсолютной величине уклон щ (хт). Тогда, полагая,
1Щ(Х)
«»//
Рис. 47.
что в момент времени t = £«, левая часть равенства (102) при ξ = £m обра-
тится в бесконечность, получим из условия конечности величины и\ (хт)
следующее равенство
fc+1
1 +
Щ (#т) (*°° — tl) = О-
Отсюда следует
too £j —
(к+1)и[(хт) (ft+l)|ui(*m)l
Полученное выражение может служить оценкой промежутка времени,
по истечении которого распределение скоростей с максимальным по абсо-
лютной величине уклоном | и\ (хт) | перейдет в скачкообразное распределе-
ние скоростей, соответствующее образованию ударной волны. Этот проме-

150
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
жуток времени конечен и имеет тем меньшую величину, чем больше макси-
мальный уклон кривой начального возмущения скоростей.
При рассмотренном только что движении поршня слева от него обра-
зуется разрежение, которое будет распространяться при помощи волн вто-
рого семейства (волн разрежения) и также приведет к некоторому непре-
рывному распределению скоростей возмущений, направленных в сторону
положительных х. Но в этом случае распределение скоростей представится
не спадающей, как на рис. 46, а восходящей кривой (рис. 47), так как точки,
ближние к левой стороне поршня, будут иметь большие скорости, чем уда-
ленные от нее. Выведенное из равенств (98) заключение о возрастании абсо-
лютной скорости распространения волн второго семейства показывает, что
в этом случае уклон кривых уменьшается и тенденция к образованию раз-
рывов отсутствует.
§ 34. Волны разрежения за движущимся поршнем. Центрированные
волны. Автомодельная и общая задачи
Рассмотрим детальнее*) вопрос о волнах разрежения, образующихся
в одномерном газовом потоке за движущимся поршнем. Начнем с простей-
шего случая так называемых центрированных волн разрежения.
Прежде всего заметим, что из условия сохраняемости скорости движе-
ния газа и и скорости звука а вдоль характеристик данного семейства, сог-
ласно (88) или (89), следует их прямолинейность в плоскости (х, t). Действи-
тельно, если, например, принять постоянство инварианта г, т. е. в изэнтро-
пическом случае положить
u+~ = const = α, + ~Lt (103)
то вдоль характеристик (С2) второго семейства — волн разрежепия — долж-
ны сохраняться и а а, так что из равенства
dx
-rr — и — а = const = Ui — βΑ
будет вытекать
dx х — Xj
где (zj, £x) — какая-то точка плоскости (х, t), находящаяся на характеристике
С2, а щ и ах — соответствующие скорости газа и скорости звука в этой точке.
Из этого равенства следует уравнение семейства характеристик С2 в пло-
скости (х, t)
х — х± = (щ — %) (t — tj). (104)
Это — прямые линии, на каждой из которых имеют место свои постоян-
ные вдоль каждой из прямых значения щ и %.
Если все характеристики данного семейства пересекаются в одной и той
же точке, то соответствующие им волны носят наименование центриро-
ванных.
Рассмотрим в качестве примера центрированных волн задачу о потоке
газа за движущимся поршнем (рис. 48) и определим, каков должен быть закон
движения поршня, для того чтобы вызываемые им волны разрежения были
центрированными.
г) См. цитированную уже ранее монографию: Я. Б. Зельдович и Ю. П. Ρ а й-
з е р, Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений, Физ-
матгпз, М., 1963, стр. 25—43, и Г. Н. Патерсон, Молекулярное течение газов, Физ-
матгиз, М., 1960, стр. 63—72.

§ 34] ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ ЗА ДВИЖУЩИМСЯ ПОРШНЕМ 151
Обозначая через (х, t) координаты общей точки (полюса) пересечения
характеристик второго семейства (волн разрежения), положим, что в началь-
ный момент (t = 0) поршень (скорость его обозначим через w), а вместе
с ним и газ находились в покое (w = 0, и = и0 = 0, а = а0), а с момента
t = tj поршень, достигнув скорости wx,
стал двигаться равномерно с этой ско-
ростью. Тогда, согласно (103) и (104),
будем иметь уравнения характеристик
в плоскостях (х, t) и (и, а) в конечной
форме
х—х
t — t
, 2α
и — β,
2о0
к— 1 к—1·
(105)
Отметим, что, в то время как харак-
теристики семейства С2 в плоскости (х, t)
представляют семейство прямых, зави-
сящее от значения разности и — а, в
плоскости (и, а) все характеристики
сливаются в одну прямую.
Из уравнений (105) найдем
2 (lEf+<■«)■ <106>
"Xf,f,
/Г/Г//ГГ/////////////////////////////////////,
и=0, а=а0
и-
а = :
2оп
к—1
(107)
7777777777777777777777777777777777777777777777
1 - градэик пути поршня
2- Ζραφυκ пути частицы
3- начальная характеристика
сектора II
4 - замыкающая характеристика
сектора II
Рис. 48.
ft+1 A+1 t-t ·
Как видно из рис. 48, начальная характеристика 3 сектора центрирован-
ных волн (77) имеет уравнение
—a0tf
х
непосредственно следующее из уравнения (89) при и0 = 0, а = а0 = const
и условия прохождения этой характеристики через начало координат (началь-
ное положение поршня в начальный момент времени). Область (7), располо-
женная слева от этой характеристики, соответствует покоящемуся газу
и характеристиками в ней будут служить прямые, параллельные начальной
характеристике. Сектор (77) замыкается характеристикой 4, проходящей
через ту точку графика пути поршня I, начиная с которой этот график ста-
новится прямолинейным, а скорость поршня постоянной и равной wt. Замы-
кающая характеристика будет иметь уравнение
х — х= (щ— aj) (t—t),
где щ = wlt a a^ — скорость звука слева от поршня, движущегося уже рав-
номерно со скоростью и)г. Справа от замыкающей характеристики 4 в области
(777) характеристики будут являться прямыми, параллельными этой харак-
теристике.
Уравнение движения частиц газа при рассматриваемом движении порш-
ня определяется путем интегрирования уравнения
_2_
"A+lV t-t
и имеет вид
_йх _ 2 I
U~ at ~А+1 \
— х = (t — t) [се (t — t) "+1
α0
(108)
h-i
2α0
2α0 η
-lj»
t>t.
(109)

152
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
Различные значения постоянной интегрирования а соответствуют выбору
частиц, движения которых рассматриваются. Полагая х = | <С 0 при t =
= — xla0, найдем значение α (ξ) и, подставляя его в уравнение (109), полу-
чим уравнение движения частицы, имевшей в начальный момент (при начале
движения поршня) абсциссу ξ. В частности, таким образом можно найти
и интересующий нас закон движения поршня, приводящий к центрирован-
ным волнам разрежения. Для этого достаточно составить уравнение движе-
ния частицы (109), выбрав кпнстанту а из условия, чтобы | = 0 при t = 0.
Тогда получим
в_(_9*п-(|-й)·
Местное число Маха М = и/а будет, согласно (106) и (107), равно
М = ""^ '- ;
. К X ЗС — 30
1 ц —
2 во(« —*)
оно сохраняет постоянное значение вдоль каждой характеристики (Cs) и по-
этому служит естественной «отметкой» характеристик семейства (рис. 48).
Пользуясь вторым из равенств (105), можно получить соотношение
β0 = β(1+^-Μ),
а вслед за ним и группу равенств
2 2Ь
т0=т(1+к-^м)2, Po=p(i+^M)ft-1, po^i+^m)*-1,
существенно отличных от выведенных в предыдущей главе изэнтропических
формул для стационарного движения газа. Прежде всего в скобках, в отли-
чие от стационарного движения, стоит число Μ в первой, а не второй степе-
ни; кроме того, показатели степени у круглых скобок справа в два раза пре-
восходят соответствующие значения в стационарном случае. Для оценки
этой разницы предположим, например, что поршень движется с возрастаю-
щей скростью так, что М^> оо, а->- 0 и, согласно второму равенству (105),
_ 2
и —>· wmax —, . а0.
Если скорость поршня будет больше этой скорости, то между поршнем
и газом образуется вакуум, причем скорость истечения в вакуум i/,max в этом
нестационарном случае отличается от стационарной максимальной скорости
(19) тем, что у последней перед величиной а0 вместо 2/(к — 1) стоит множитель
у2/(к — 1). Таким образом, например, для воздуха скорость истечения
в вакуум при рассматриваемом нестационарном движении оказывается
в У5 раз больше, чем в случае стационарного движения. При стационарном
движении газа удельная кинетическая энергия истечения в вакуум, соглас-
но (20), точно равна полной энтальпии в резервуаре, из которого происходит
истечение; в случае же нестационарного истечения кинетическая энергия
в 2/ (к — 1) раз превосходит полную энтальпию.
Простота приведенного выше решения для центрированных волн обуслов-
лена тем, что решение представляется функцией отношения (х —~x)l{t —1),
а не отдельно от каждого переменного х и t. Переходя к полярным координа-

§ 34] ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ ЗА ДВИЖУЩИМСЯ ПОРШНЕМ 153
там, можно было бы сказать, что решение зависит только от полярного угла
θ = arctg —- и не зависит от расстояния г — ]/ (х — х)2 -f- {t — if текущей
точки пространственно-временной плоскости от точки пересечения характери-
стик (х, t). Именно поэтому решение свелось к обыкновенному дифферен-
циальному уравнению, которое, кроме того, оказалось достаточно простым
и позволило представить интеграл в замкнутом виде.
В дальнейшем придется часто встречаться с такого рода случаями воз-
можности сведения уравнений в частных производных к обыкновенным диф-
ференциальным уравнениям. В этих случаях решение представляется в функ-
ции от одного аргумента, который является некоторым сочетанием основных
аргументов задачи. Постоянным значениям этого сложного аргумента соот-
ветствуют целые многообразия решений по отдельным аргументам, которые
можно рассматривать как подобные между собой. По этой причине вообще
решение дифференциального уравнения в частных производных, выражен-
ное в функции одного сложного аргумента, представляющего одночленную
совокупность аргументов, содержащихся в постановке задачи, и удовлетво-
ряющее обыкновенному дифференциальному уравнению, к которому в этом
случае приводится основное уравнение в частных производных, носит наиме-
нование автомодельного (в заграничной литературе — подобного) решения,
а сама задача называется автомодельной.
Примером такого автомодельного решения является только что полу-
ченное решение задачи о центрированных волнах разрежения, где в качестве
сложного аргумента фигурировало сочетание (х — x)/(t — t). В полной
аналогии с этой одномерной нестационарной задачей в дальнейшем (гл. VI)
будет разобрана плоская стационарная задача о центрированных волнах
разрежения в сверхзвуковом газовом потоке вокруг внешности тупого угла.
Большое число автомодельных задач будет рассмотрено также в последую-
щих главах, посвященных теории движения вязкой жидкости в пограничном
слое *).
Автомодельные решения представляют, конечно, лишь некоторые про-
стейшие частные решения поставленной общей задачи, но вместе с тем в боль-
шинстве случаев оказываются полезными, так как позволяют судить об основ-
ных сторонах рассматриваемого явления. Стоит отметить — в дальнейшем
это будет подтверждено многочисленными примерами,— что возможность
существования автомодельных решений обусловливается отсутстви м в поста-
новке задачи (уравнениях и граничных и начальных условиях) некоторых
характерных масштабов: времени, длины, массы или др., т. е. некоторой
ограниченностью самой постановки задачи, отказом от общности постановки.
Так, например, в предыдущей задаче о центрированных волнах разрежения
за движущимся поршнем не могло быть речи о произвольном заданном напе-
ред законе движения поршня, а, наоборот, по ходу решения задачи был
определен тот частный закон движения поршня, при котором возможно суще-
ствование центрированных волн.
Рассмотрим теперь общую постановку задачи о волнах разрежения
за движущимся по произвольному закону поршнем.
Будем, как и ранее, предполагать, что первый инвариант Римана г сохра-
няет постоянную величину во всей области течения, т. е. выполняется равен-
ство (103). Тогда, замечая, что вдоль прямолинейных, но в общем случае
не центрированных характеристик второго семейства (С2) (волн разрежения)
сохраняют свои значения и я а, будем иметь, выполняя интегрирование
х) Разнообразные примеры автомодельных задач можно найти в книге: Л. И. С е-
д о в, Методы подобия π размерности в механике, Физматгиз, М., 1977.

154
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
дифференциального уравнения (89),
х = (и — a) t -f φ (и),
(110)
где φ (и) является постоянной интегрирования, различной на разных харак-
теристиках. Для определения функции φ (и) зададимся произвольным зако-
ном движения поршня х = X (t) и вместе с тем скорости поршня w = X' (t).
Тогда совокупность равенств
φ И = X (t) — [w — a (w)) t, w = X' (t)
(111)
после исключения t определит вид функции φ (w); функция a (w) находится
по (103). Решение задачи представится уравнением
х = [и — а (и)] t + X (t) — [w — a (w)] t,
которое надо рассматривать как уравнение для определения и в функции от
х и t. В отличие от задачи о центрированных волнах, в общем случае и являет-
ся фун цией от х и £, взятых по отдельности, а не от какой-то их совокуп-
ности.
Б час ном случае центрированных волн с полюсом в точке (х0, t0) будем
по (110) иметь
φ (и) = х0 — (и — a) t0,
а для о ределения и (х, t) получим по (110) равенство
т. е. вновь удостоверимся, что в центрированных волнах скорости частиц,
-? атрсгма так же как скорость звука и дру-
— гие термодинамические параметры
газа, будут функциями отноше-
ния (х — х0)/ (t — i0), а не х и t
по отдельности. За иллюстратив-
ным примером и некоторыми дета-
лями рассматриваемой задачи от-
сылаем интересующихся к цити-
рованным выше страницам моно-
графии Я. Б. Зельдовича и
t t0 Ю. П. Райзера.
§ 35. Элементарная теория
ударной трубы
Схема ударной трубы, служа-
щей для создания в лабораторных
условиях кратковременных сверх-
звуковых потоков, не требующих
для своего осуществления затраты
Рис. 49. больших количеств энергии, пока-
зана на рис. 49, а.
Цилиндрическая труба с закрытыми входом и выходом разделена на
два отсека диафрагмой, по обе стороны от которой находятся газы раз-
личных физических свойств. Газ, находящийся в левом отсеке, сжат до зна-
чительно большего давления, чем другой. Б некоторый момент времени
диафрагма разрушается и газ из левого отсека устремляется в правый.
Разрыв давлений, имевший место до разрушения диафрагмы, распростра-
t t, —

§ 35]
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНОЙ ТРУБЫ
155
няется в виде ударной волны вправо, увлекая за собой спутный поток газа.
Этот поток встречает на своем пути исследуемую модель, размещенную
в правом отделении трубы. Специальная оптическая установка позволяет
произвести при этом мгновенное фотографирование спектра обтекания модели,
а также и другие интересующие исследователя измерения.
Элементарный расчет ударной трубы заключается в следующем. Охарак-
теризуем физические свойства газов двумя константами: молекулярным весом
μ и показателем адиабаты к. Пусть газу, вначале находившемуся в правом
отделении, соответствуют константы μ^ и кх, а газу в левом отделении — μ4
и kti. Начальные давления назовем соответственно рг и р,А, причем ри Э> Pi·
Трубу будем считать теплоизолированной, а движение газа адиабатическим.
На диаграмме рис. 49, б приведены графики распространения ударной
волны, поверхности контакта газов х) и волн разрежения. Как видно из гра-
фика, наибольшую скорость, выражаемую производной dx/dt, имеет удар-
ная волна, затем поверхность контакта газов и, наконец, волны разрежения,
распространяюпщеся по газу справа налево, но сносимые вправо спутным
потоком. Область трубы, занятая волнами разрежения (с возрастанием вре-
мени эта область расширяется), представляет область непрерывного изэнтро-
пического движения, так что на границах этой области, используя форму-
лы (45) гл. III, получим
2ft4
_£4 _ / Ч \ ft4~1
Рз
φ""'. («2)
Рассматривая волны разрежения как простые волны конечной интенсив-
ности, применим к ним теорию, изложенную в § 33. Согласно этой теории
во всей области, заполненной волнами разрежения, движущимися с абсо-
лютной скоростью и — а, сумма & -\- и, равная по (96)
~ 2
& + и = , а + и -f const,
сохраняет одно и то же значение, так что можно написать (на лев й границе
области 4 газ неподвижен)
Q4= k __! а3 + щ. (113)
fe4 —1
Замечая, что вблизи поверхности контакта газов давление и скорость
непрерывны, будем иметь (рис. 49, в)
РЗ = £21 Щ = Щ = V,
где V — скорость спутного потока. Таким образом, вместо (112) получим,
используя (113),
2Ь4
Вспоминая формулу (53) сжатия газа при прохождении его сквозь Удар-
ную волну (Mi = Θ/й! — число Маха ударной волны)
pl ki + l "ч fci+1
Mi—?S- (115)
г) Предполагается, что за малый промежуток времени работы ударной трубы газы
не успеют сколько-нибудь заметно перемешаться.

156
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. IV
и выражение (69) скорости спутного потока за ударной волной, которое
в настоящем случае будет иметь вид
подставим эти выражения в равенство (114). Тогда получим
2fc4
Pi __ (
Pi \
2к,
*i + l
м?
Здесь pjpx — заданное начальное отношение^давлений в отсеках трубы,
а отношение aja^ при одинаковости начальных температур газов может быть,
согласно гл. III, § 22, вычислено как
(118)
Подставляя это отношение в (117), найдем М1? а следовательно, по (116)
и скорость спутного потока в трубе V.
На рис. 50 х) приводятся графики зависимости числа ЬЛг от lg — при
различных значениях параметра aja^ для ку = Б/3 и /с4 = 7/5.
М,
25
20
15
at/a, -«
/Λ?
*
1
О 1
3 4 5
1<?(Рг./р,)
Рис. 50.
г J 4
^(Pi/Pi)
Рис. 51.
Определим приближенно максимальное значение Mj, соответствующее
бесконечному значению отношения pjpx. Для этого положим равным нулю
выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части (117), и пренебре-
жем членом, содержащим Мх в знаменателе. Будем иметь
(MiWi=»--j£3T"S·
(119)
Отсюда видно, что отношение ак/аг следует выбирать по возможности
большим, для чего выгодно в качестве газа, находящегося в левом отделении
трубы под большим давлением, выбирать газ с малым молекулярным весом,
например водород (μ4 = 2,016), и, наоборот, в правое отделение помещать
тяжелые газы, например аргон (μΧ = 39,94).
Элементарная теория ударной трубы дает удовлетворительное совпаде-
ние с экспериментом, как об этом можно судить по графику (рис. 51), заим-
ствованному из цитированной выше работы и соответствующему применению
газов водород — аргон.
*) Ρ е с л е р, Л и н и К а н τ ρ о в и ц, Получение газов высокой температуры
в ударных трусах, сборник переводов л обзоров «Механика», 1953, вып. 5, стр. 33—51.

§ 351 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНОЙ ТРУБЫ 157
Заметим, что ударная волна, достигнув днища цилиндрической трубы,
отразится от него, как показано на рис. 49, б, и начнет распространяться
в обратную сторону до тех пор, пока не встретится с поверхностью контакта,
от которой вновь отразится, и т. д. Аналогично будут отражаться от противо-
положного днища трубы набегающие на него волны разрежения. Расчет
отраженных волн может быть также произведен по элементарной теории.
Распространение ударной волны большой интенсивности может сопровож-
даться, кроме того, ионизацией и диссоциацией газа за ударной волной; эти
явления оказывают значительное влияние на работу ударных труб.
Можно заметить, что числа Маха спутного потока, достигаемые в рас-
смотренной только что ударной трубе простейшего типа, даже при примене-
нии различных газов оказываются сравнительно мало отличающимися от
единицы, а при отношении pjpx порядка 100—200 и пользовании в камере
нагнетания и в рабочей трубе одним и тем же газом просто становятся не-
пригодными для задач, выдвигаемых современной техникой перед ударными
трубами. В связи с этим в последнее время стали строить ударные трубы
переменного сечения, используя для ускорения потока эффект сопла Лаваля,
и, кроме того, заставляют ударную волну гнать перед собой легкий пор-
шень, что также может служить для увеличения рабочего числа Маха.

Глава V
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ
ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 36. Теоремы Кельвина и Лагранжа; условия
существования безвихревых течений
Изучение неодномерных течений идеальной жидкости или газа: плоских,
осесимметричных и более общих, пространственных движений представляет
значительные математические трудности. Основным допущением, сыгравшим
историческую роль в деле приближения теоретической гидродинамики к кон-
кретным приложениям, явилось предположение об отсутствии в движущейся
идеальной жидкости завихренности. Возможность существования такого без-
вихревого движения обосновывается следующими двумя теоремами.
Теорема Кельвина: при баротропном движении идеальной жидкости под
действием поля объемных сил с однозначным потенциалом циркуляция скоро-
сти по замкнутому жидкому контуру не изменяется.
Эта теорема легко доказывается при помощи изложенной в конце § 8
кинематической теоремы Кельвина об изменении во времени циркуляции
скорости. Согласно этой теореме индивидуальная производная по времени от
циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру равна циркуляции
ускорения по тому же контуру
Подставим в правую часть этого равенства выражение ускорения по ос-
новному уравнению Эйлера (5) гл. III, которое в случае потенциальных объем-
ных сил и баротропности движения может быть переписано в виде
F=— grad(IT + ^);
тогда получим
Л. ^ у.дг = — (| grad (П+ ^)-бг= — φ δ (П + <^),
так как скалярное произведение градиента от некоторой функции на ориен-
тированный в пространстве элемент дуги кривой есть не что иное, как диф-
ференциал этой функции, взятый вдоль дуги кривой.
При однозначности функции Π (однозначность £Р очевидна) контурный
интеграл по замкнутому контуру от дифференциала равен нулю, так что
и, следовательно,
jp V-8r = const,
что и доказывает теорему Кельвина. Вспоминая, что циркуляция скорости
по замкнутому контуру равна суммарной интенсивности вихревых трубок,
опоясанных этим контуром, можем на основании теоремы Кельвина заклю-

§ 36]
ТЕОРЕМЫ КЕЛЬВИНА И ЛАГРАНЖА
159
четь, что при принятых оговорках о баротропности движения и наличии
однозначного потенциала объемных сил сохраняются также интенсивности
вихревых трубок
\ (rot V)n do = const. (1)
j
a
Предположим теперь, что в некоторый начальный момент времени во
всех точках области, заполненной жидкостью, отсутствует завихренность
(rot V = 0), т. е. элементарные жидкие объемы движутся без вращения,
совершая лишь поступательное и деформационное движение; тогда постоян-
ная, стоящая в правой части (1), будет равна нулю, и в любой другой момент
времени сохранится равенство
j (rotF)ncto = 0. (2)
σ
Произвольность выбора поверхности σ в равенстве (2) позволит заклю-
чить, что в любой момент времени и в любой точке области будет
(rot V)n = 0.
Наконец, в силу произвольности выбора направления нормали, идем
rot V = 0. (3)
Отсюда следует теорема Лагранжа: если во всех точках барот опно дви-
жущейся под действием объемных сил с однозначным потенциалом идеальной
жидкости вихрь скорости в некоторый начальный момент времени был равен
нулю, то движение останется безвихревым и в любой другой η djwujuu
момент времени.
Из аналогичного рассуждения следует также, что, если вначале движе-
ние было вихревым, то оно останется вихревым и в дальнейшем.
Предположим, что твердое тело, погруженное в покоящуюся жидкость,
начинает двигаться. При покое жидкости завихренности не было, следова-
тельно, в условиях справедливости теоремы Лагранжа, вихри образ ваться
не могли, и движение останется во все дальнейшее время безвихревым. Если
в некоторый момент времени благодаря нарушению условий теоремы Лагран-
жа завихренность в идеальной жидкости была создана, то в дальнейшем,
при сохранении этих условий, движение будет вихревым. В действительности
приходится наблюдать как образование, так и исчезновение вихревых дви-
жений. Главной причиной этого служит наличие в жидкости внутреннего
трения, особенно существенного в тонком пограничном слое на поверхности
обтекаемого тела и в аэродинамическом следе за телом.
Внутреннее трение не является единственной причиной возникновения
вихрей. Так, в свободной атмосфере причиной вихреобразований служит
отклонение движения воздуха от баротропности: плотность воздушных слоев
зависит не только от давления, но и от температуры, определяемой солнеч-
ной радиацией, от количества водяных паров и других причин.
Несмотря на наличие всех этих факторов, нарушающих существование
безвихревого движения, схема безвихревого движения во многих практиче-
ских случаях дает близкую к действительности картину. Эта схема и поло-
жена в основу настоящей и двух следующих глав. Итак, примем допущение
об отсутствии завихренности и обратимся к рассмотрению основных свойств
такого безвихревого потока.

160 ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ {ГЛ. V
§ 37. Потенциал скоростей и его определение
по заданному полю скоростей
Вследствие равенства (3), выражающего отсутствие завихренности, во
всей области течения существует такая функция координат φ (х, у, z) при
стационарном движении или функция координат и времени φ (х, у, z; t)
при нестационарном движении, что
V = grad φ (4)
или в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат
ц —iE. м —iSL w-^L (Ч)
W-1F' v~ ду ' "'"IT- (t})
Функцию φ назовем потенциалом скоростей и будем предполагать, что
она непрерывна вместе со своими первыми двумя производными по времени
и координатам.
Потенциал скоростей, или, как иногда говорят, потенциал скоростного
поля, определяется с точностью до аддитивной постоянной, как это видно
из равенств (4) или (5).
Равным значениям потенциала скоростей в различных точках простран-
ства соответствуют поверхности уровня потенциала, или изопотенциалъные
поверхности. Уравнение семейства изо-
потенциальных поверхностей будет
φ (ж, у, z; t) = const,
причем время t рассматривается как
параметр в случае нестационарного
движения и отсутствует при стационар-
ном движении. Из определения потенциала
скоростей (4) следует, что линии, нор-
мальные к изопотенциальным поверх-
ностям скоростного поля, являются ли-
ниями тока и, обратно, из определения (4),
удовлетворяющего условию (8) гл. I,
следует существование поверхностей,
Рис. 52. нормальных к линиям тока, — изопо-
тенциалъных поверхностей.
Имея заданное потенциальное скоростное поле, можно найти его потен-
циал, проинтегрировав уравнения в полных дифференциалах (4) или (5).
В самом деле, рассмотрим в данный момент времени в односвязной обла-
сти х) течения кривую линию С (рис. 52), выходящую из точки М0 и оканчи-
вающуюся в некоторой точке М. Умнодаив скалярно обе части равенства (4)
на ориентированный элемент дуги Ьг кривой С и проинтегрировав по этой
кривой от точки М0 до М, будем иметь
мм м
f V-6r= \ grad(p-6r= \ δφ=φ(Μ) — φ(Μ0), (6)
{С)мо (С)ме (С)мо
откуда сразу следует выражение для потенциала в любой точке Μ через
потенциал в некоторой начальной точке М0 и заданные значения вектора
^ХОдносвязной называется область, в которой любой контур может быть непрерыв-
ным образом стянут в точку. Оговорка об односвязности области, как станет ясным из
дальнейшего, здесь весьма существенна.

§ 37] ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ И ЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЕ 161
скорости V или его проекций и, v, w:
Μ Μ
φ(Μ) = φ(Μ0)+ j F-6r = (jp(M0)+ j {ubx+ ν 8y + wdz). (7)
(C)Mo rC)Mo
Если течение в односвязной области безвихревое, то, замкнув (на рисун-
ке пунктиром) кривую С при помощи кривой С так, чтобы точка Μ совпала
с М0, и заметив, что при этом циркуляция скорости по замкнутому контуру
(С + С"), равная сумме интенсивностей опоясанных контуром вихревых тру-
бок, в рассматриваемом скоростном поле, где нет вихрей, обращается в нуль,
получим, согласно (7),
φ (Μ) - φ (Μ0), (8)
т. е. потенциал скоростей представляет однозначную функцию координат.
Отсюда следует также, что интеграл в выражении (7) не зависит от формы
кривой интегрирования С, так как в силу равенства нулю интеграла по зам-
кнутому контуру, состоящему из участка М0СМ, представленного на рисунке
сплошной кривой, и МС'М0, нанесенного пунктиром, можно заключить, что
м м0 мм
f + j =0 или f = f .
(С)М0 (С')М (С)м° (С')М°
Иное получится, если в безвихревом движении имеется изолированная
вихревая трубка (рис. 52). Производя в этом случае интегрирование по кон-
туру С, вновь получим равенство (7); но другой результат будет иметь место,
если вместо контура С взять контур Си охватывающий вихревую трубку.
Интеграл, стоящий в правой части равенства (7), вычисленный по замкнутому
контуру (Сх + С\) (замыкание показано на рисунке пунктиром), как это сле-
дует из теоремы Стокса (§ 6), будет равен интенсивности вихревой трубки
| Vbr= Г,
(Ci+Ci)
и, согласно (7), потенциал в точке М0 после обхода вихревой трубки ока-
жется равным φ (М0) -f- Г. Выйдя из точки М0 и взяв за контур интегриро-
вания петлеобразную кривую (не показанную на рисунке), к раз опоясываю-
щую вихревую трубку, вернемся в точку М0 со значением потенциала, отли-
чающимся от первоначального на величину, кратную интенсивности Г
φ (Μ0) ± кТ
Таким образом, если в односвязной области безвихревого движения
жидкости имеется вихревая трубка, то потенциал скоростей, выраженный
через скорости по формуле (7), будет многозначной функцией точек поля.
Значение потенциала скоростей в точке окажется в этом случае зависящим
от формы кривой, вдоль которой производится интегрирование.
Имея в виду дальнейшие гидродинамические приложения, подойдем
к вопросу о многозначности потенциала в безвихревом движении еще иначе.
Выделим из области течения жидкости чисто безвихревую часть, рассматри-
вая поверхности тока, ограничивающие вихревые трубки, как твердые стен-
ки. Поясним, что вблизи вихревых линий всегда имеются замкнутые линии
тока, расположенные на поверхностях тока, отделяющих вихревые линии
от окружающей их жидкости.
В идеальной среде благодаря отсутствию трения можно мысленно,
нисколько не нарушая происходящего движения, заменять поверхности
тока твердыми, непроницаемыми для движущейся среды поверхностями.
11 Л. Г. Лойцянский,

162
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ.
Этот условный прием часто применяется при рассмотрении идеальных жид-
костей или газов. При таком рассмотрении движения в жидкости уже
не будет вихревых трубок, но зато сама область течения станет, вообще
говоря, многосвязной *). Действительно, по второй теореме Гельмгольца
вихревые трубки не могут заканчиваться в самой жидкости: они образуют
либо замкнутые трубки — вихревые кольца, либо опираются на граничные
Рис. 53.
поверхности (твердые стенки, свободные поверхности раздела). Во всех этих
случаях замкнутый контур, опоясывающий трубку, оставаясь в области
безвихревого течения, не может быть непрерывным преобразованием сведен
в точку (рис. 53); это и доказывает, что область чисто безвихревого движения
при наличии вихревых трубок, вообще говоря, не односвязна.
Как уже упоминалось в § 6, для многосвязных областей в ранее сформу-
лированную теорему Стокса должно быть внесено уточнение. Из только
что приведенного на примере вихревых трубок рассуждения можно заклю-
чить, что циркуляция скорости по замкнутому контуру, опоясывающему
кольцевую или трубчатую поверхность, нарушающую односвязность обла-
сти течения, может быть отлична от нуля. Эта циркуляция зависит от того,
сколько раз контур охватывает трубчатую поверхность. Значения циркуля-
ции при однократном охвате поверхностей, нарушающих связность области,
называют циклическими постоянными многосеязной области. В частности,
при нарушении связности области поверхностями вихревых трубок цикличе-
ские постоянные оказываются совпадающими с интенсивностями вихревых
трубок.
В общем случае при наличии вихревых трубок в безвихревом потоке
жидкости в многосвязной области теорема Стокса должна быть формулиро-
вана так: циркуляция скорости по замкнутому контуру, проведенному про-
извольным образом в многосвязной области, отличается от суммы интенсив-
ностей опоясанных контуром вихревых трубок на сумму целых кратных цикли-
ческих постоянных области.
Проводя дополнительные ограничивающие поверхности, можно превра-
тить многосвязную область в односвязную. Так, например (рис. 54, а), двух-
связную область вне кольца (тора) можно сделать односвязной, если допол-
*) k-свяаной называется область, в которой можно указать А- — 1 не сводящихся друг
к другу непрерывным преобразованием контуров, не стягиваемых в точку.

§ 38]
ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА — КОШИ
163
нительно провести поверхность σ, закрывающую отверстие кольца. При нали-
чии поверхности σ проведение замкнутого контура С, охватывающего кольцо,
становится невозможным. Если цик-
лическая постоянная рассмотренной
до проведения σ двухсвязной области
отлична от нуля, то значение потен-
циала скорости φ+ (Μ) на одной,
скажем, передней, стороне поверх-
ности σ будет отличаться от значе-
ния φ_ (Μ) на задней стороне поверх-
ности σ на величину циклической
постоянной, хотя значение потен-
циала взято в одной и той же точке с'
Μ (рис. 54, б). В этом случае потен-
циал скоростей φ (Μ) при прохояедении через поверхность σ претерпевает
конечный скачок φ+ — <р_/а поверхность σ представляет поверхность разрыва
потенциала. Рассматривая поверхность σ вместе с поверхностью S как гра-
ницу области, можно считать потенциал φ непрерывным во всей области
§ 38. Интеграл Лагранжа — Коши. Некоторые общие свойства
безвихревого движения идеальной несжимаемой
жидкости в односвязной области
В случае безвихревого движения идеальной жидкости легко указать
первый интеграл уравнений движения. Для этого возьмем уравнение Эйлера
в форме Громека — Ламба f(10) гл. III]
-^ + grad(^- + <9*-fn)+rotFxF = 0 (9)
и положим в нем, согласно (4),
F = grad(p, rotF = 0. (Ю)
Тогда, замечая, что вследствие независимости операций частного или ло-
кального дифференцирования по времени dldt и пространственного дифферен-
цирования, выражаемого операцией grad, можно менять порядок дифферен-
цирования
^ = -|-grad9 = grad(^),
будем иметь вместо (9) равенство
grad(-^+-^+^ + n) = 0, (И)
интегрирование которого приводит к выражению первого интеграла уравне-
ний движения
-£+-?- + *+ П =/(*), (12)
называемого интегралом Лагранжа — Коши; здесь / (t) — одинаковая для
всей области течения произвольная функция времени, определяемая из гра-
ничных условий.
Интеграл Лагранжа — Коши играет в теории нестационарного движе-
ния идеальной жидкости такую же роль, как теорема Бернулли при стацио-
нарном движении. В последнем случае
-^ = 0, f(t) = const,
11*

164
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. V
и равенство (12) превращается в обычное соотношение Бернулли
~ + ^-\- Π = const, (13)
причем при безвихревом движении константа, стоящая в правой части, будет
иметь одно и то же значение во всех точках движущейся жидкости, а не толь-
ко вдоль линий тока и вихревых линий.
Интеграл Лагранжа — Коши, так же как и уравнение Бернулли, в слу-
чае безвихревого движения служит для выражения давления ρ через кине-
матические элементы φ, V и координаты, от которых зависит П. Выражая V2
■через проекции grad φ на оси декартовых координат, будем иметь
В случае движения несжимаемой жидкости при отсутствии объемных
сил (еТ5 = ρ/ρ, Π = 0) найдем
fc+T+f-'W. (15)
В частном случае нестационарного движения твердого тела сквозь покоя-
щуюся на бесконечном удалении от него несжимаемую жидкость, полагая
на бесконечности
р = Роо, Г = 0, -^- = 0,
получим
/ (t) = const = -^. (16)
При безвихревом движении жидкости или газа три неизвестные вели-
чины — проекции скорости и, v, w — выражаются через одну неизвест-
ную функцию — потенциал скоростей φ (ж, у, z, t). Принятое допущение об
отсутствии завихренности вместе с допущением о баротропности движения
(р = ρ (ρ)) сводит решение задачи о движении жидкости или газа к разыска-
нию двух неизвестных величин φ и р. Для этой цели могут служить уравне-
ние (14) и уравнение сохранения массы
-| + div(pF) = 0
Останавливаясь подробнее на случае несжимаемой жидкости, исполь-
зуем два основных условия: несжимаемости
div V = 0
и наличия потенциала скоростей (4). Тогда для определения неизвестной φ
получим уравнение Лапласа
Vacp = 0, (17)
в частности, в декартовой системе координат
дх2 "*" ду* "·"" dz% —
Уравнение это должно интегрироваться при заданных граничных усло-
виях, зависящих от типа поставленной задачи. Так, в задаче о движении
тела сквозь покоящуюся на бесконечности жидкость должны выполняться
условия г):
*) Решение этой задачи будет дано в гл. VII, § 69.

§ 38]
ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА — КОШИ
165
а) на поверхности тела — условие непроницаемости, т. е. равенства нор-
мальных составляющих скоростей Vn = -~ частиц жидкости на поверхности
твердого тела нормальным составляющим скоростей V* соприкасающихся
с ними точек твердого тела
б) на бесконечном удалении от тела — равенство нулю скоростей частиц
жидкости
grad φ = 0; (19)
в декартовой системе
д(р δψ θφ ,-.
дх ду dz
В задаче об обтекании неподвижного твердого тела жидкостью, имеющей
на бесконечности заданную скорость Vac, будем иметь граничные условия:
а) на поверхности тела
1 = °' (20>
б) на бесконечности
-^ = Vcocos(Voc, x), ^- = Vcocos(V00,y), ■^L = V00cos(V00,z). (21)
Как известно, задача интегрирования уравнения Л пласа (17) или, что
все равно, разыскания гармонической функции, удовлетворяющей условиям
(18), (19) или (20), (21), представляет пример внешней задачи теории потен-
циала. В дальнейшем будут разобраны различные примеры решения задач
такого типа, как для обтекания тел жидкостью (внешняя задача), так и для
внутреннего протекания жидкости сквозь каналы (внутренняя задача).
Определив потенциал скоростей φ (х, у, z, t), найдем давление ρ при
помощи интеграла Лагранжа — Коши (14); будем иметь
*=р.{/«>--*--Ш^)!+(^Г+(4Ш}· (22,
Безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости обладает мно-
гими интересными свойствами. Докажем следующую теорему Кельвина:
если на границе некоторой односвязной области вихревое движение совпадает
с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движения в рассматри-
ваемой области меньше кинетической энергии вихревого движения.
Теорему Кельвина можно доказать, основываясь на том, что скорости
в безвихревом движении представляются градиентом потенциала скоростей,
и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю как для без-
вихревого, так и для вихревого движения. В самом деле, условимся обозна-
чать символом Δ разность между соответствующими элементами вихревого
и безвихревого движения. Тогда будем иметь следующее выражение для раз-
ности кинетических энергий:
Δ Г = -g- f [(V-\-AV)z-Vz)dT=p j V-AVd%-\-^- J \AV\*dx. (23)
τ τ τ
Первый интеграл справа равен
f V-AVdx = [ gradcp-AFcfr

166
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. V
и по известной формуле (III. 9)
div (φα) = φ div α -f- grad φ· α
может быть преобразован так:
f V-AVdx = f gmdq-AVdr= f di\(q>AV)dx— f φ div (AV) d% =
ττ τ τ\
= f φ (AF)„ ifo— f ψΔ (div F) dt,
σ τ
где σ — поверхность, ограничивающая односвязный объем, а дивергенция
разности двух векторных функций заменена на разность дивергенций этих
функций По условию теоремы безвихревое и вихревое движения на поверх-
ности σ совпадают, т. е. AV = 0 на σ, кроме того, по условию несжимаемости
div V = 0. Таким образом, первый интеграл в равенстве (23) оказывается
равным нулю и остается
ΔΓ=|- J |AF|2cfr>0,
из которого и следует теорема Кельвина. Теорему Кельвина можно тракто-
вать с вариационной точки зрения как утверждение о минимальности кине-
тической энергии при безвихревом движении по сравнению с любым другим,
вихревым, движением, если только эти движения совпадают на границе
области.
Из теоремы Кельвина следует, что если на границе односвязной области
скорости равны нулю, то единственным возможным безвихревым движением
несжимаемой жидкости внутри такой области является покой. Действитель-
но, всегда можно представить себе произвольное (вихревое!), сколь угодно
медленное движение, при котором скорости на границе области равны нулю;
кинетическая энергия такого вихревого движения будет как угодна мала,
а кинетическая энергия соответствующего по теореме Кельвина безвихревого
движения, будучи положительной величиной, меньшей другой сколь угодно
малой величины, должна быть тождественно равна нулю во всей области.
К тому же результату можно прийти и непосредственно, не пользуясь
теоремой Кельвина. Для этого выведем полезную для дальнейшего общую
формулу кинетической энергии одиосвязного объема несжимаемой жидкости,
движущейся безвихревым образом.
Имеем
Т = £ [ VzdT = £ [ grad φ -grad φ at.
τ τ
Применим вновь предыдущую формулу дивергенции произведения ска-
ляра на вектор, полагая в ней а = grad φ; тогда получим
Т—^г f div (φ grad φ) ^τ — γ \ (pdivgrad q>dx =
τ τ
= — ~ j Φ (grad φ)„ do — |- j φν2φ<?τ.
σ τ
В поверхностном интеграле, полученном из объемного по известной фор-
муле (III.8), под η понимается орт внутренней нормали, направленной
внутрь объема жидкости, вследствие чего перед интегралом поставлен знак
минус.

5 39] ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 167
Замечая, что по (17) второй интеграл равен нулю, будем окончательно
иметь
σ
Если на ограничивающей односвязный объем жидкости поверхности σ
скорость равна нулю, то и Va — δψ/дп = О, откуда по (24) сразу будет сле-
довать, что и Τ = 0. Таким образом, вновь приходим к тому же результату,
который следовал из теоремы Кельвина.
§ 39. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости.
Применение функций комплексного переменного
Изучение безвихревых движений начнем с простейшего класса такого
рода движений — плоского стационарного движения несжимаемой жидкости.
Определение плоского движения в гидродинамике ничем не отличается
от соответствующего определения кинематики твердого тела. При плоском
движении все частицы жидкости получают перемещения, параллельные неко-
торой плоскости, которую примем за плоскость хОу, причем во всех парал-
лельных плоскостях движения тождественны. Будем рассматривать поэтому
лишь движение в плоскости хОу. Каждая линия в таком плоском движении,
проведенная в плоскости хОу, является на самом деле направляющей цилинд-
рической поверхности с образующими, перпендикулярными к пло кости
хОу. Контур обтекаемого тела представится некоторой линией в плоскости,
хотя на самом деле происходит обтекание бесконечного цили дрического
тела. Все величины расходов жидкости, сил, приложенных к обтекаемым
телам, и др. будем относить к единице длины в направлении перпендикуляра
к плоскости хОу, т. е. в направлении оси Oz, которая на рису ках в дальней-
шем опускается.
Как уже упоминалось в предыдущем параграфе, в рассматривав ом
случае задача сводится к решению задачи об интегр рова ии при тех или
иных граничных условиях уравнения Лапласа, которое для плоского случая
имеет вид
В случае плоского движения задача эта может быть с успехом разрешена
при помощи метода комплексной переменной, применение которого состав-
ляет основное содержание гидродинамики плоского безвихревого движения
несжимаемой жидкости.
Из уравнения неразрывности (несжимаемости)
divF = ^+^ = ° <25)
следует, что всегда можно найти функцию -ψ (х, у), тождественно удовлетво-
ряющую уравнению (25) и связанную с проекциями скорости и и ν равен-
ствами
-■£. »—&· <26>
Функция ψ (х, у) имеет простой гидродинамический смысл. В самом деле,
напишем дифференциальное уравнение линий тока (4) гл. I, в случае пло-
ского движения имеющее вид
их dy
и υ '

168
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ
и подставим в него значения проекций скорости по (26); тогда будем ими
их dy
или
&ф/ду ~д$/дх
^.dx + ^-dy^d^O.
дх """ ' ду
Из последнего равенства следует, что функция ψ сохраняет постоянно
зна ение вдоль линий тока; иными словами семейство линий уровня функци:
Ψ <*, У) = С (2i
представляет совокупность линий ток . Функция ψ (ж у) в связи с этим назы
ваетсч функцией т га.
Проведем в плоскости течения контур М0Мг (рис. 55) и вычислим секунд
ныи объемный расход Q (отнесенный к единице длины в направлении
p=f0+df
а:
Рис. 55.
Рис. 56.
перпендикулярном к плоскости течения) через это сечение; будем иметь
{пх, пу — направляющие косинусы нормали η к элементу ds контура М0М-^
Mi Ml Mi Ml
Q—\ Vnds= \ {unx+vny)ds= \ {u(nxds) + v(nyds)]=\ (udy—vdx)
Mo Mo Λ/β Mo
или по (26)
Mi Mi
Q=\ ^dy + ^dx)^^ ^^ψ(Μ1)-ψ(Μ0). (28)
Mo
Mo
К тому же результату можно прийти, использовав тот факт, что секунд-
ный объемный расход сквозь трубку тока не зависит от формы сечения M0MV
В случае элементарной трубки выберем (рис. 56) это сечение в виде совокуп-
ности двух элементарных отрезков МйМ'й — dy и М'0МХ = — dx, соответ-
ственно параллельных осям координат. Тогда, как это непосредственно сле-
дует из чертежа, элементарный секундный объемный расход dQ будет равен
dQ = udy-vdx = ^-dy+-^Ldx = dip
после чего уже легко получается равенство (28).
Следовательно, разность значений функций тока β двух каких-нибудь
точках потока равна секундному объемному расходу сквозь сечение трубки
тока, ограниченной линиями тока, проходящими через выбранные точки.

§ S9J ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 169
Условимся в дальнейшем одну какую-нибудь линию тока произвольно·
рассматривать как нулевую, полагая, что вдоль нее
ψ (х, у) = 0.
Это можно всегда сделать, так как, согласно системе равенств (26), функция
тока определяется с точностью до аддитивной постоянной. Если принять
такое условие, то значение константы в (27) на некоторой линии тока будет
равно секундному объемному расходу жидкости сквозь сечение трубки тока,
образованной этой линией тока и выбранной произвольно нулевой линией.
Сопоставим выражения (5) проекций скорости через потенциал скоро-
стей, которые в случае плоского движения сводятся к системе двух равенств
»--£· »=£. <29>
и выражения (26) тех же проекций через функцию тока ψ; будем иметь сле-
дующую систему соотношений:
θφ 5ψ d<p dxjj ,qn\
~~дх~~ду~1 ~д~У~~ ~дх' ' '
Эти уравнения выражают известные условия Коши — Римана, при
выполнении которых комплексная величина
X = φ + Щ = φ (х, у) + i-ψ (х, У) (31)
будет не просто функцией двух переменных (координат х, у), а функцией
одной комплексной переменной z = х + iy 1). Действительно, если величина ^
есть функция только положения точки Μ с координатой z, то производная
от нее в этой точке в свою очередь должна быть функцией только положения
точки, т. е. координаты z, а не зависеть от направления дифференцирования
в плоскости. Иными словами, можно утверждать, что производные d% dz
и производные по направлениям действительной и мнимой осей равны между
собой:
d% __ d)C д% /о2\
dz дх d(iy) ' К '
Замечая, что
дх _ 3(φ-Ηψ) __gy , i ty дХ _ i θ(φ-Ηψ) _ д-ф . д(р
дх дх дх ' дх ' d {iy) ду ду ду '
и приравнивая друг другу правые части этих равенств, получим те же выра-
жения условий Коши — Римана.
Отделяя в произвольной функции комплексного переменного % (z) дей-
ствительную Re и мнимую Im части, получим потенциал скоростей
φ (ж, у) и функцию тока ψ (х, у) некоторого плоского безвихревого движения
Φ (я, у) = Re X (z), ψ (х, у) = Im % (z). (33)
Приравнивая функцию φ (х, у) различным постоянным
φ (х, у) = С, (34)
получим семейство изо потенциальных линий; аналогично совокупность
равенств
ψ (х, у) = С, (35).
согласно (27), представит семейство линий тока.
*) Координата z, соответствующая перпендикулярной к плоскости Оху оси Oz, в плос-
ком движении не встречается; это позволяет использовать букву z для обозначения ком-
плексрон величины х -f- iy.

170
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. V
Легко убедиться, что изопотенциальные линии и линии тока в любой
точке плоскости течения взаимно ортогональны. Для этого достаточно пока-
зать, что векторы — градиенты функций φ и ψ — взаимно перпендикулярны.
Имеем
, , , дер д$ . дц> δψ 3ψ I dtp \ θφ θψ __ π
что и доказывает взаимную ортогональность изопотенциальных линий
и линий тока.
Если вместо функции % (z) рассмотреть функцию i% (z), то в новом дви-
жении потенциал скоростей поменяется местами с функцией тока, а изопо-
тенциальные линии — с линиями тока; этим приемом часто приходится поль-
зоваться при построении обтеканий. Отсюда следует, что функция тока ψ (х, у)
всегда играет сопряженную роль с функцией φ (х, у) — потенциалом скоро-
стей; каждая из этих функций может быть как функцией тока, так и потен-
циалом скоростей в двух сопряженных между собой безвихревых плоских
движениях идеальной жидкости.
Залгетим, что функцию тока ψ (х, у) в плоском движении можно рас-
сматривать как проекцию на перпендикулярную к плоскости движения ось
Oz векторного потенциала А, связанного с вектором скорости V равенством
V = votA, (36)
если предположить, что вектор А перпендикулярен к плоскости движения.
В самом деле, при Ах = Ау = 0, ΑΖ — ψ будем иметь в полном согласии
с формулой (26)
и = дАг дАу _ дф ν== дАх дАг _ д\р = дАу дА* _q
ду dz ду ' dz дх дх ' дх ду '
Понятие векторного потенциала мало что дает в плоском движении,
но полезно при рассмотрении пространственных движений жидкости. К этому
вопросу мы вернемся в гл. VII.
Функцию х (z), объединяющую в один комплекс оба потенциала: ска-
лярный потенциал скоростей и проекцию векторного — функцию тока, назы-
вают комплексным потенциалом или характеристической функцией течения.
Покажем, как, зная комплексный потенциал % (z), определить вектор
скорости V или его проекции и ж v. Как известно, каждому комплексному
числу можпо сопоставить в плоскости вектор с проекциями, соответственно
равными действительной и мнимой частям этого комплексного числа. Усло-
вимся при изложении плоского движения обозначать светлой буквой V ком-
плексную скорость V = и + iv, а для величины скорости сохраним обычное
обозначение модуля комплексного числа
Наряду с комплексной скоростью V введем в рассмотрение сопряжен-
ную скорость V, равную
V = и — iv.
Если θ — угол, образованный вектором комплексной скорости V с дей-
ствительной осью, то
У = и + iv = | V | (cos θ + i sin θ) = | V | eie, ]
V = u — iv = | V | (cos θ — i sin Θ) = | V | e~mm j ^37^
Сопряженная скорость имеет ту же величину (модуль), что и комплексная
•скорость, но направлена по зеркальному отображению комплексной скорости
относительно действительной оси (рис. 57).

§40] КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЕЙШИХ ПОТОКОВ 171
Плоскость хОу называют физической плоскостью или плоскостью течения.
Совокупность значений комплексной скорости V образует плоскость годо-
графа скорости, или просто плоскость годографа; в этой плоскости располо-
жатся годографы скорости, т. е. геометрические
места концов проведенных из начала О (рис. 57)
векторов скорости частиц жидкости.
Рассмотрим производную dyjdz комплексного
потенциала по комплексному аргументу. По ранее
отмеченному свойству функций комплексной пере-
менной
dz
d% __ а (φ + ftp) ар ,; _£Ψ .
— —-г* дх '
dx
дх
дх
■отсюда следует
dz
■ iv = V = \V\e-*,
(38)
Рис. 57.
т. е. производная от комплексного потенциала (характеристической функции)
по комплексной координате равна сопряженной скорости.
Проекции скорости ими определяются соответственно как действитель-
ная (Re) и взятая с обратным знаком мнимая (Im) части производной от харак-
теристической функции по комплексной координате
ne dz '
v= — Im-^-.
dz
(39)
Для дальнейшего полезно еще рассмотреть контурный интеграл от сопря-
женной скорости V по замкнутому контуру С в плоскости течения, равный
V dz — ф d% = ф (dq> + г dij;)
(40)
Вычисляя действительную и мнимую части этого интеграла, найдем, что
действительная часть определяет циркуляцию скорости Г по замкнутому
контуру, а мнимая — секундный объем-
ный расход жидкости О через замкну-
тый контур
Re ф V dz = ф (и dx -f v dy) = ф <Ζφ = Γ,"
Im φ V dz = φ (udy — v dx) = φ ^ψ = О.
(41)
§ 40. Комплексные потенциалы
некоторых простейших потоков
Пользуясь приемом (33) отделения
действительной и мнимой частей в вы-
ражении комплексного потенциала,
можем составить потенциалы скоро-
стей и функции тока, а по (39) и распределение скорости, для нескольких
простейших плоских потоков идеальной несжимаемой жидкости.
1. Однородный поток с вектором скорости V^ (и^,, νΧ), наклоненной
к оси Ох под углом θ оо (рис. 58):
X (z) = Vx z, Vx = Uoo — ivoo = I Vv, | e~ie°°= \ Vx | (cos θο= — isinBoo);
φ = UocX + Vocy, ψ=—УооЖ + Иоо^, V=V00 = u00-i-iVoo.
Рис. 58.

172
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИИ
[ГЛ. V
2. Источник (сток) в начале координат (рис. 59) с секундным объем-
ным расходом (дебитом) Q — действительной величиной, положительной
а) Источник
6) Сток
Рис. 59.
в случае источника и отрицательной в случае стока:
X(z)=-s^-lnz; <p = -^-lnr, ψ = "2^- ε (г, ε —полярные координаты),
2лг » ' I 2лг ·
3. Вихрь, изолированный в начале координат (рис. 60), с циркуляцией Г
(действительная величина):
5С (2) = -^г In z; φ=|-ε, ψ =
2π
2л
In r,
F= Г 171- -
Г|
Рис. 60.
Рис. 61.
4. Диполь в начале координат с моментом т (рис. 61) (действительная
величина) и осью, направленной вдоль оси Ох:

§ 40] КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЕЙШИХ ПОТОКОВ 173
Прием наложения потоков, оправдываемый линейностью уравнений для
<р и ψ, позволяет получать новые потоки. Так, например, поток диполя
(п. 4) может быть получен сложением потоков источника и стока одинако-
вой мощности, размещенных по оси Ох симметрично относительно начала ко-
ординат О в точках с абсциссами ±h, при предельном переходе: h-+0,
\Q I -> оо, Q-2h стремится к конечной величине т — моменту диполя:
T(z\= lim Q'2h ln(z+fe) —ln(z —fe) __ и jln» m_
h-0, |Q|-*oo. 2π 2h 2π * 2яг ·
Q-2h-*m
Значение т > 0 соответствует расположению стока с положительной
стороны оси Ох, т < 0 — противоположному случаю.
Путем такого наложения можно получить следующие потоки.
Рис. 62.
5. Вихреисточник (еихресток) (рис. 62) — сложением комплексных
потенциалов вихря и источника (стока):
6. Бесциркуляционное обтекание круглом цилиндра радиуса а (рис. 63) —
наложением однородного потока (п. 1) на поток диполя (п. 4) при т =
= 2ля2Т/оо (Voo — действительная положительная величина). Комплексный
потенциал будет
т. . 2ла2^«, 1 τ, ( , α2 \ ,,п.
x=Fm2 + _____ = Fk,(z+_). (42)
Нулевая линия тока (ψ = 0) распадается на две кривые: окружность
(хг + у2 = я2) радиуса а и ось Cte (г/ = 0).

174 ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. V
То же обтекание в случае V* = \УЖ\ ei£)°° определяется комплексным
потенциалом
X(z) = F„z + VOo-f, (43)
выражение которого легко выводится из (42), если его применить в плоскости
комплексного переменного z с осью Ох', направленной по вектору скорости
Vx,, так что по (42)
х(*')Нг-|(*'+Я;
возвращаясь к плоскости z заменой z' на ze~iQoc, получим (43).
Скорость V в произвольной точке потока (42) равна
МНЧ1-*)
(44)
Распределение скоростей по контуру окружности z = аегЕ определяется
формулой синуса
| V | = 2VX I sin ε |, (44')
где ε — полярный угол между радиусом окружности и осью Ох. В точках
Рис. 63.
Α (ε = π) и В (ε = 0) скорости равны нулю; эти точки называются критиче-
скими точками потока. При направлении движения, указанном на рис. 63,
точка А называется передней критической точкой, точка В — задней.
Скорость на поверхности цилиндра принимает свое максимальное значе-
ние при ε = +π/2 в точках С и D миделевого сечения цилиндра; это макси-
мальное значение скорости равно
max
I = 2F„,
т. е. удвоенной скорости набегающего потока или удвоенной скорости на бес-
конечности.
Распределение давления в потоке и, в частности, по контуру цилиндра
может быть представлено в форме коэффициента давления ср =
= (/> — />«>)/( γ рР«) · Применяя теорему Бернулли в форме (26) гл. III
и определяя константу как />«, + γ pF£,, найдем в рассматриваемом случае
I V I2
(45)

§ 401 КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЕЙШИХ ПОТОКОВ 175>
Полученное распределение давления по контуру окружности, как это·
прямо следует из симметрии обтекания по отношению к осям Ох и Оу, резуль-
тирующей силы не дает. Это является частным случаем парадокса Даламбе-
ра, который будет в дальнейшем (см. гл. VII) установлен для тела любой фор-
мы при поступательном, прямолинейном и равномерном его движении сквозь
покоящуюся вдали от него идеальную несжимаемую жидкость.
7. Циркуляционное обтекание круглого цилиндра можно получить нало-
жением вихря с циркуляцией Г (п. 3) на бесциркуляционное обтекание круг-
лого цилиндра (п. 6). Комплексный потенциал составного движения будет,
согласно (42) и п. 3,
xwhv-i (*+£)+—-in*, m
что при Г > 0 соответствует направлению циркуляционного движения против
часовой стрелки. Останавливаясь на этом случае, определим сопряженную
скорость
MHMi-S-)+si (46'>
и найдем положение критических точек, решая уравнение
или, что то же, квадратное уравнение
z2 + b~-iT/ I z —α2 = 0.
2т I Voo I
Корни его будут
Z"~ 4л|Уоо| — V °2 16π2|ν„|2· (47>
В зависимости от величины циркуляции возможны три типа обтекания,
а) Циркуляция велика: Г >4πα | V<*, \. В этом случае в выражении
(47) под знаком радикала будет стоять отрицательная величина, и можно
написать
/Г , -, f Г2 2\ .
2~V 4π|7οο| ± У lttrt» I F„ Iя a)1'
Оба корня квадратного уравнения мнимы, причем модуль одного больше
радиуса цилиндра, другого — меньше. В самом деле, корень
/ Г , -,/ Г2 2^ .
Zl ~ ^ 4я | v. | "*" V 16л2 | FTO |2 a )1
имеет модуль (Г>0)
Г / Г'·
■fl2> /„,т/ I >q;
4π I 7оо Ι τ V 16л2 | Fee I2 ^ 4π | FD
второй корень
4~\kn\Vac\ V \Ы*\У^\* а)
имеет модуль

176
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ V
Заменим в знаменателе последнего выражения Г/ (4π | F^, |) на мень-
шую величину а; тогда получим
ΙΖ2|<ν = Ω·
Первый корень дает критическую точку А (рис. 64), лежащую вне круга
на положительной стороне мнимой оси, второй — критическую точку В
на той же оси, но внутри круга.
Рис. 64. Рис. 65. Рис. 66.
б) Предельный случай: Г = 4πα | V'«, |. Корни zx и г2 равны между собой;
критические точки совпадают (рис. 65) и находятся на мнимой оси в точке
в) Циркуляция мала: Г < 4πα | V'«, \. Корни (47) в этом случае ком-
плексные,
-./" 2 Г2 Г .
имеют общую ординату Γ/(4π | Vх |) и отличаются лишь знаками абсцисс,
по модулю меньших а. Модуль каждого из корней равен а, т. е. они распо-
ложены на окружности радиуса а. Положение критических точек показано
на рис. 66. При уменьшении Г до нуля критические точки будут перемещать-
ся, стремясь занять положение на пересечении окружности с осью Ох, как
это и должно быть при Г = 0.
Как видно, при циркуляционном обтекании круглого цилиндра сохра-
няется симметрия относительно оси Оу, но нарушается симметрия относи-
тельно оси Ох. В связи с этим главный вектор сил давления жидкости на по-
верхность цилиндра будет отличен от нуля и направлен вдоль оси Оу. Заме-
тим, что в слоях жидкости под цилиндром скорости бесциркуляционного
обтекания цилиндра и чисто циркуляционного потока вокруг цилиндра
складываются, а над цилиндром вычитаются. При этом под цилиндром ско-
рости больше, а давления, согласно уравнению Бернулли, меньше. Над
цилиндром, наоборот, скорости меньше, а давления больше. Это приводит
к тому, что в указанном обтекании главный вектор сил давления R жидкости
на цилиндр будет направлен по оси Оу в отрицательную сторону (вниз).
При циркуляционном течении по часовой стрелке (Г < 0) картина обте-
кания при том же расположении осей координат изменится на перевернутую
вокруг оси Ох на 180° и главный вектор окажется направленным по оси Оу
в положительную сторону, т. е. вверх. Можно дать простое правило опреде-
ления направления главного вектора сил давления жидкости на поверхность
цилиндра: поместив начало вектора скорости Vx в центр цилиндра О, повер-
нем его на 90 в сторону, противоположную направлению циркуляционного
движения; это и даст направление главного вектора R.

§ 40] КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЕЙШИХ ПОТОКОВ 177
Остается вычислить величину Ry. Имеем
2π
R = — (Г pnds, Ry= — φ рпу ds— — а \ ρ sin ε de. (48)
о
На контуре круга по (46') будет
Г
2nia
2\V<x\ie^^f^- -!£_^e = ie-ie(2|FM|sine__i_),
V = \Vx\(l-e-™) + * «-*· =
так что
Cp=l-(2sine-2ji|^|a)2,
(49)
В отличие от бесциркуляционного обтекания цилиндра в рассматриваемом
сейчас случае циркуляционного обтекания коэффициент давления зависит
от параметра Г/(| Vх \ а), содержащего произвольную величину наложенной
циркуляции. Как это следует из (49), для подобия циркуляционных обтека-
ний необходимо ставить условие одинаковости в сравниваемых течениях
параметра Г/(| VΧ \ а) — безразмерной циркуляции.
Подставляя в выражение Ry (48) значение ρ по уравнению БерНулли
и принимая во внимание (49), получим
2π
Ry^-ψ^ (21 Fool sine -^)2smede -р|Гоо|Г. (50)
о
Проделав аналогичные выкладки, можно было бы показать, что Rx = 0,
но это очевидно и из соображений симметрии.
Как и в случае бесциркуляционного обтекания цилиндра, при циркуля-
ционном обтекании сопротивления нет, но возникает поперечная сила, равная
произведению плотности жидкости на скорость набегающего потока и на цир-
куляцию. Полученное выражение (50) для Ry является частным случаем
общей теоремы Жуковского, относящейся к любому обтекаемому контуру;
доказательство этой теоремы будет дано ниже.
При вращательном движении тел в реальной жидкости, обладающей
внутренним трением (вязкостью), можно наблюдать возникновение цирку-
ляционных движений, качественно похожих на только что изученные. Эффект
образования при этом поперечной силы (эффект ^Тагнуса) помогает объяснить
многие интересные явления. Таково, например, возникновение аэродинами-
ческого момента действия воздушного потока на вращающийся артиллерий-
ский снаряд, приводящего в совокупности с гироскопическим моментом
к повороту снаряда в плоскости стрельбы и приближению его оси к касатель-
ной к траектории. К тому же роду вопросов принадлежит историческая попыт-
ка создания судового движителя, представляющего вертикальные вращаю-
щиеся цилиндрические башни, так называемые роторы Флетнера, помещен-
ные на палубе корабля и создающие при наличии ветра движущую силу,
перпендикулярную к направлению ветра. Аналогичный эффект наблюдается
при полете закрученных футбольных и теннисных мячей. Та или иная интен-
сивность закрутки и направление закрутки создают совершенно неожидан-
ные для партнера траектории мячей.
12 Л. Г. Лойпянский

178
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИИ
[ГЛ. V
Выражение комплексного потенциала (46) является частным случаем
более общего
Xtf^V^ + V,
~—+—Inz.
2л i
(51)
соответствующего, как это следует из (43), наличию между вектором У»
и осью Ох некоторого угла θοο; комплексный потенциал (51) может быть
положен в основу метода разыскания комплексных потенциалов плоского
обтекания тел иной формы.
§ 41. Решение задачи обтекания по методу конформных отображений.
Постулат Жуковского — Чаплыгина. Формула циркуляции
Обратимся теперь к рассмотрению приложения метода конформных
отображений к решению прямой задачи определения обтекания крыловых
профилей. Под крыловым профилем понимают плавный, вытянутый в на-
правлении набегающего на него потока, замкнутый и еамонепересекающийся
Ψ
С ®
—~~zf
/ С ~^
Физическая
плоскость
Вспомогательная
плоскость
Рис. 67.
геометрический контур с закругленной передней кромкой («лоб» профиля)
и заостренной задней кромкой («хвост» профиля). Отрезок прямой, соединяю-
щей некоторую точку передней кромки с вершиной угла на задней кромке,
называют хордой крылового профиля (выбор хорды может быть весьма разно-
образен), а длину хорды — длиной профиля; максимальную толщину профи-
ля в направлении, перпендикулярном к хорде, называют толщиной профиля,
а отношение толщины к длине — относительной толщиной крылового про-
филя. Угол, образованный вектором скорости набегающего потока вдалеке
от профиля (вектором скорости «на бесконечности») и направлением хорды,
носит наименование угла атаки. Условясь в этой обычной терминологии,
перейдем к постановке основной задачи обтекания крылового профиля пло-
ским, однородным на бесконечности, безвихревым потоком идеальной не-
сжимаемой жидкости.
Набегающий поток зададим комплексным вектором скорости Vx, обра-
зующим с осью Ох угол θ»· Физическая плоскость z имеет заштрихованный
на рис. 67 вырез, что делает ее двухсвязной; для определенности задачи (§ 37)
необходимо задать наперед циркуляцию скорости Г по произвольному, охва-
тывающему профиль контуру Сх.
Будем считать первую, чисто геометрическую и самую трудную по суще-
ству задачу об отображении внешней по отношению к заштрихованной
на рис. 67 области С в физической плоскости на внешнюю по отношению
к заштрихованному кругу С* область вспомогательной плоскости, уже раз-
решенной.

§ 411 РЕШЕНИЕ ПО МЕТОДУ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 179
Пусть функция комплексного переменного
* = /(£) (52)
представляет искомую преобразующую функцию, осуществляющую конформ-
ное отображение внешней по отношению к ограниченной контуром С (на
рис. 67 заштрихованной) области плоскости комплексного переменного z =
= х -f- iy на внешнюю по отношению к заштрихованному на том же рисунке
кругу С* с радиусом а и центром в начале координат системы О* |η часть
вспомогательной плоскости комплексного переменного ξ = ξ + it]. Нало-
жим на преобразующую функцию (52) дополнительные условия: 1) чтобы бес-
конечно удаленная точка z = оо переходила при отображении в бесконечно
удаленную точку ξ = оо, и 2) чтобы направление скорости на бесконечности
νΧ при переходе из плоскости z в плоскость Ζ сохранялось. Как доказывается
в теории функций комплексного переменного (теорема Римана), при выпол-
нении этих условий преобразование (52) является единственным.
Пусть % (z) — искомый комплексный потенциал течения в физической
плоскости, а %* (Z) — комплексный потенциал течения во вспомогательной
плоскости, т. е. определенный в предыдущем параграфе комплексный потен-
циал циркуляционного обтекания круглого цилиндра. Согласно (51), в настоя-
щем случае будет
К*(£) = ^+-^ + ~1п£, (53)
где Vtc и Г* — скорость на бесконечности и циркуляция скорости по произ-
вольному контуру С*, охватывающему С* во вспомогательной плоскости Z.
Пользуясь связью (52) между z и ξ, заключим, что (% = φ -}- Щ — инвариант)
Χ(2) = κΓ/(ξ)] = Χ*(α
Взяв производную по Ζ от обеих частей этого равенства, получим
dX* _ d% dz _ dx
или по (38)
dt, dz d£ dz ' ^'*
V* = Vf'(Z), (54>
а в бесконечно удаленных точках
V%> = niccVcc, mm = /' (оо). (55)
По принятому ранее условию направление вектора скорости на беско-
нечности Foo при конформном отображении сохраняется, т. е. векторы V%>
и Vco параллельны между собой. Отсюда следует параллельность сопряжен-
ных векторов Vtc и Vоо, а из (55) заключим о действительности величины тоо,
так что
V* = т V ·
' ОО "tOO ' OOi
будем считать для определенности тю положительной величиной.
Преобразующая функция (52) может быть выражена рядом Лорана
оо
«-/(9="и-С+2-^. (56)
71=0
сходящимся во всей внешней по отношению к кругу С* области | Ζ | > а.
Коэффициенты главной части этого ряда, представленной суммой членов
с отрицательными степенями ξ, могут быть определены при помощи контурных
12*

180
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. V
интегралов (п = 0, 1, 2, ...)
^-гИ'ОГ^. (57>
а
вычисленных по окружности С* или по любой другой окружности, содер-
жащей внутри себя С*.
Преобразующая функция может быть также выражена при помощи
интеграла Коши
-/<o-^$W· (58)
с*
где ξ'— комплексная переменная интегрирования.
Рассмотрим теперь циркуляцию Г*. Представив ее, согласно первой
нз формул (41), как действительную часть интегралов
Г* = Re ■§ 7Μξ = Re § F-|r <?ξ = Re <§ F dz = Г,
с? ct Cl
заключим, что циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, охваты-
вающему обтекаемый профиль, при конформном отображении не изменяется.
Приведенные рассуждения позволили выразить неизвестные величины
Vt, и Г* через заданные величины F», Г и коэффициент т«,, определяемый,
согласно (55), по известной преобразующей функции / (ξ). Следовательно,
будем иметь окончательное выражение комплексного потенциала х в плоскости
течения в виде параметрической зависимости от параметра ξ
Χ(2) = Χ*(ξ) = ΛΙ»(Γβ0ξ + ^)+-^Γ1ηξ, * = /(ξ). (59)
Таким образом, если известно решение геометрической задачи о конформ-
ном отображении внешней по отношению к обтекаемому контуру С области
физической плоскости z на внешнюю по отношению к кругу С* произволь-
ного радиуса а область вспомогательной плоскости ξ, то решение гидроди-
намической задачи об определении комплексного потенциала %(z) уже не
составит труда.
Из системы равенств (59) следует, что задача об обтекании профиля С
потоком заданной по величине и направлению скорости на бесконечности
Рпс. 68.
имеет бесчисленное множество решений, зависящих от произвольного выбора
величины циркуляции Г. С точки зрения теории идеальной жидкости такой
произвол отвечает сущности вопроса. Как уже было показано раньше для
случая обтекания окружности, налагая ту или другую циркуляцию, можно
получить бесчисленное множество форм обтекания кругового цилиндра
с различным расположением критических точек.
Точно так же для одного и того же крылового профиля с .угловой
точкой на задней кромке и при той же по величине и направлению скорости
на бесконечности теоретически возможны три указанных на рис. 68 типа
обтекания. В случае а), так же как и в случае в), жидкость должна перетекать

§ 41] РЕШЕНИЕ ПО МЕТОДУ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 181
с одной стороны поверхности крыла на другую: с верхней на нижнюю в случае
в) и с нижней на верхнюю в случае а). При этом на острой кромке либо должны
образовываться бесконечно большие скорости, что приводит к физически
невозможным бесконечно большим отрицательным давлениям, либо должны
происходить срывы потока с поверхности профиля и вихреобразования. Среди
трех указанных возможных форм обтекания только одна форма б) с задней
критической точкой В, совпадающей с угловой точкой на задней кромке про-
филя, приводит к плавному стеканию струй жидкости с задней кромки крыла
с конечной скоростью.
В конце 1909 г. С. А. Чаплыгин в дискуссии по докладу Η. Ε. Жуков-
ского выдвинул в качестве обобщения известного опытного факта следующий
постулат: среди бесконечного числа теоретически возможных плавных обтека-
ний профиля с угловой точкой на задней кромке в действительности осущест-
вляется обтекание с конечной скоро-
стью в этой точке.
Этот постулат получил общее при-
знание и широко известен как постулат
Жуковского — Чаплыгина. Опыт по-
казывает, что для каждого крылового
профиля сушествует диапазон углов
атаки, в котором профиль обтекается
без отрыва жидкости от его поверхности,
с плавным сходом с задней кромки.
Крыловые профили, отвечающие по-
стулату Жуковского — Чаплыгина,
обычно называют хорошо обтекаемыми,
остальные — плохо обтекаемыми. Само собой разумеется, что обтекаемость
не есть чисто геометрическое свойство профилей. В дальнейшем будет пока-
зано, что обтекаемость зависит не только от формы профиля, но и от ско-
рости потока, от угла атаки, от физических свойств жидкости, присутствия
вблизи профиля других тел и др.
Постулат Жуковского — Чаплыгина позволяет однозначно определить
величину циркуляции Г, наложение которой приводит к безотрывной форме
обтекания крылового профиля с конечной скоростью на задней его кромке.
Пусть угловой точке В (рис. 69) на профиле С соответствует некоторая
точка В* на окружности круга С*. Эти точки являются особыми точками
преобразования, так как в них нарушается основное свойство конформного
преобразования — сохранение углов между касательными к преобразуемым
контурам. Действительно, внешний угол с вершиной в точке В на задней
кромке, равный 2π — δ, где б — внутренний острый угол на задней кром-
ке, переходит в плоскости ξ в не равный ему угол η с вершиной
в точке В*.
Рассмотрим конформное отображение внешней по отношению к профилю
С малой области вблизи вершины угла В на малую, внешнюю по отношению
к кругу С* область вблизи точки В* в пл· скости ξ. Это конформное отобра-
жение можно представить формулой
Рис. 69.
Ζ-ΖΒ = Μ(ξ-ξ£*)
2π-6
π
(60)
где zB и ξΒ* — комплексные координаты соответствующих друг другу точек
В и В* в плоскостях z и ξ, а М — некоторое действительное число. В самом
деле, положив вблизи точек В и В*
z — zB = re®, ξ - Zb· = r*e**

^82 ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. V
и подставив в (60), получим
Приравнивая аргументы
2π-6 . 2π-6„g
re*=*Mr* n e n .
f>= 2л~б р*±2кл,
убедимся, что изменению β* на π соответствует изменение β на 2π—δ.
Пользуясь преобразующей функцией (52), можем установить связь между
скоростями в точках В и В*; получим
или, вычисляя производную по (60),
2π — δ
VB* = FB^M(?;-W)E=V
По постулату Жуковского — Чаплыгина скорость V'в должна быть коне-
чна, последний же сомножитель, поскольку δ < π, равен нулю; следователь-
но, все произведение равно нулю. Отсюда следует, что соответствующая
задней кромке профиля точка круга во вспомогательной плоскости должна
быть критической.
Из этого условия найдем циркуляцию Г, если, используя (59), напишем,
что скорость в точке В* равна нулю
Полагая здесь
ξΒ* = α^ο, Voc = \Voc\eie°°,
где ε0 — полярный угол точки В* на окружности круга С*, θ«, — угол,
образованный скоростью на бесконечности с осями Ох или О* ξ, получим
moo | Fee | β"*- - mw I Vx | el(e~-2eo) + ^f e~i8°= °·
откуда найдем
_ , 1T , βΜθοο-ε0)_4,-7(θ0Ο-ε0)
I = — 4namoo | J «, | gj ,
или, переходя от показательных функций к тригонометрическим,
Г = — 4гштоо | Уоо | sin (θ«> — ε0). (61)
Введем обозначение ΘΧ — ε0 = α и перепишем формулу (61) в виде
Г = — 4гтатоо | V к, | sin α. (62)
Повернем по отношению к заданному потоку профиль так, чтобы без
наложения циркуляции (Г = 0) задняя кромка совпадала с критической
точкой В. Отметим на профиле прямую К К (рис. 70, а), определяющую напра-
вление скорости на бесконечности, соответствующее этому бесциркуляционному
обтеканию. Жестко связанную с профилем прямую КК будем называть на-
правлением бесциркуляционного обтекания, а соответствующее значение угла
θοο = ε0 — углом бесциркуляционного обтекания профиля.
Повернув профиль на угол а (рис. 70, б), получим циркуляционное обте-
кание с критической точкой в задней кромке В, причем необходимая для этого
циркуляция определится равенством (62).

§ 42] ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 183
Острый угол α между направлением скорости набегающего потока и на-
правлением бесциркуляционного обтекания назовем теоретическим углом
атаки в отличие от практических углов атаки, определяемых как углы между
направлением скорости на бесконечности и хордами крыла, задаваемыми
разнообразными способами.
а) Бесциркуляционное обтекание б) Циркуляционное обтекание
Рис. 70.
Формула (62) определяет так называемую теоретическую циркуляцию.
Как показывают опыты, теоретическая циркуляция несколько превышает
действительную; объяснение этого факта связано с наличием в реальных
жидкостях внутреннего трения.
Исключая из параметрической системы (59) циркуляцию при помощи
формулы (62), получим однозначное решение задачи о внешнем обтекании
крылового профиля. Вывод формулы (62) основывался на наличии у крылово-
го профиля острой задней кромки. В случае обтекания профиля плавной
■формы без угловой точки на задней кромке постулат Жуковского — Чаплыги-
на не имеет места и циркуляция остается неопределенной. Теоретический
расчет обтекания такого рода профилей требует или специальных допущений,
или задания положения задней критической точки.
§ 42· Примеры применения метода конформных отображений·
Обтекание эллипса и пластинки
Рассмотрим некоторые простые конформные преобразования внешности
круга во вспомогательной плоскости на внешность замкнутого профиля в пло-
скости течения.
Первое такого рода преобразование, указанное Η. Ε. Жуковским
и С. А. Чаплыгиным еще в 1910 г., имело вид
*=4(£+f) (63)
или в более симметричной форме
Преобразование (63) является простейшим частным случаем общего
преобразования (56), соответствующим значениям коэффициентов
1 1
mO0 = Y, ml=-^cz, rooem2=...=0;
оно удовлетворяет всем поставленным в § 41 условиям.
Окружность С* радиуса с в плоскости ξ — будем ее называть основной
окружностью — преобразуется в плоскости z в отрезок F'F (рис. 71) на оси
Ох с концами в точках (—с, 0) и (+с, 0). В самом деле, полагая ξ = ceiB,
найдем
z = Y(eis + e-le) = ccose, (65)

184
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. V
так что полному обходу окружности (0 <^ ε ^ 2л) соответствует двойной
обход отрезка FF', справа налево по верхней части разреза FF' и слева напра-
во по нижней части разреза.
Рис. 71.
Окружности С*, С'|, ... концентрические с основной окружностью С*,
преобразуются в софокусные эллипсы Сг,С2,- ■ ■ с фокусами F, F'. Действи-
тельно, обозначая через г радиус какой-нибудь из окружи остей и полагая в (63)
t, = reie (г>с),
получим
1 / - с2 ■ \
2==т(геге+те_гв)'
откуда следует
Обозначим полуоси эллипсов через а и Ъ. Из равенств
в4Нт). ь=т(г-т) <66>
найдем
с2 _ ъ2 = с2;
все рассматриваемые эллипсы имеют общее фокусное расстояние 2с и фокусы
в точках F и F'. Из (66) следует
г = а + Ъ. (67)
Комплексный потенциал % (г) обтекания любого из эллипсов Сг, С2,
в том числе в пределе и отрезка FF', со скоростью на бесконечности Foo, обра-
зующей с осью Ох угол θοο, и циркуляцией Г можно по-прежнему составить
в параметрической форме (59)
в случае обтекания отрезка FF' надо положить Ь = 0, с = а.
Комплексный параметр ξ может быть из системы (68) легко исключен.
Разрешая второе равенство относительно ξ, получим
t = z^VW^7\ (69)

§ 42] ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 185"
причем перед корнем взят верхний знак, что соответствует отображению внеш-
ности эллипса на внешность круга; в самом деле, принимая нижний знак,,
мы бы имели
l = z-V'z
-с =
z+Yz*—cz
и ξ = 0 при z = оо, т. е. внешности эллипса соответствовала бы внутрен-
ность круга.
Таким образом, вместо параметрического представления (68) комплекс-
ного потенциала обтекания эллипса получим явное выражение этого потен-
циала
,w-4[r..(,+y?=3)+ ;+^+gi]+^rm (,+yg=3),
которое легко упрощается, если обычным приемом уничтожить иррациональ-
ность в знаменателе второго слагаемого в квадратных скобках. Будем иметь
τ (*) = у ν- (z+yw=?)+4 Щ?£- Vco (z - γψ=?) +
+ -5L-ln(* + /i5=^). (70)
2ju
Обтекание элллипса при Г = 0 показано на рис. 72. Нулевая линия токаг
проходящая через критические точки А и В, состоит из самого обтекаемого
Рыс. 72.
Рис. 73.
эллипса и двух отрезков софокусной с ним гиперболы, параметры которой
зависят от угла атаки θοο·
Полагая в (70) с = 0, Ъ = а, получим комплексный потенциал циркуля-
ционного обтекания круга. Для этого достаточно лишь вычислить предельное
выражение
i—Y'z
с=о 2z
входящее во второе слагаемое. Будем иметь с точностью до аддитивной посто-
янной
X(z)=Veoz-\-
Усса2
lnz,
z 2xU
в полном соответствии с ранее использованным выражением (51).

186
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. V
Полагая в той же формуле (70) 6 = 0, а = с, найдем комплексный потен-
циал циркуляционного обтекания пластинки длины 2с (отрезка FF' на рис. 71)
=±(V„ + Voa)z-±(Vx-V„)V*^2 + -±rln(z + Vzz-c2) =
= ^-^1^=^+2^111 (Z + ^Z2_C2)) (71)
где Uco, У» — проекции У» на оси координат.
На рис. 73 показана картина линий тока обтекания пластинки при Г = 0.
Нулевая линия тока состоит из поверхности пластинки и двух отрезков софо-
кусной гиперболы, параметры которой, так же как и в случае обтекания
эллипса, зависят от угла атаки 6ТС.
Не останавливаясь ва анализе течения, определенного формулой (70)
в общем случае, рассмотрим несколько подробнее выражение (71) комплекс-
ного потенциала обтекания пластинки.
Вычисляя скорость, получим
Ζ Ρ
т7 dy . z , Г 1 + У*=* ™°°Ζ~Ευ ,70>
У=-^ = Цсо— Wop ~r -f- % =Uoo 7^===—. (12)
При произвольной величине циркуляции Гиг = ±с скорость имеет
бесконечные значения, что соответствует обтеканию острых передней и зад-
ней кромок.
Подчиним теперь величину Г условию конечности скорости на задней
кромке (z = с), как того требует постулат Жуковского — Чаплыгина. Для
этого должно быть
Г п
w°°°—2ST=0'
т. е.
Г = — 2ncvOD. (73)
В рассматриваемом сейчас случае пластинки бесциркуляционное направ-
ление совпадает с направлением самой пластинки, так что угол ε0, входящий
в формулу циркуляции (61), равен нулю. Определяя циркуляцию по этой
формуле и заменяя по (63) т« = V2, получим
Г = — 4π ~ с | Vx I sin θ» = — 2nc \ VJ\ sin Geo, ((74)
в полном соответствии с только что непосредственно выведенной форму-
лой (73).
Подставляя выражение циркуляции (73) в (72), получим следующую фор-
мулу распределения скоростей:
V = Uco — ivco JZl^^u^ — ivnV^-r-. (75)
На задней кромке (z = с) скорость конечна и равна ым, на передней
кромке (z = — с) скорость остается равной бесконечности. Выбором цирку-
ляции нельзя сделать скорость конечной на обеих острых кромках. Располо-
жение линий тока в случае плавного обтекания задней кромки показано
на рис. 74.
^ В формулах (70) и (71) в качестве последнего слагаемого входит комплекс-
ный потенциал чисто циркуляционного обтекания эллипса или пластинки
Uo(z) = ~ln(z + >^Z^2). (7б)

§ 42] ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ 187
Соответствующие этому течению линии тока — эллипсы —■ показаны на
рис. 75. Сопряженная скорость будет
у=*Хд_= Г 1
dz 2л τ/ с2 z2
На верхней поверхности пластинки (у — О, —с < х < с) квадратному корню
Рис. 74.
Рис. 75.
соответствует знак плюс, так что сопряженная скорость действительна и равна
и+ =
(«+<0 при Г>0).
2л ^/с2_а;2
На нижней поверхности у корня следует брать знак минус, так что
и_=
2л 1/с2_а;2
(ы_>0 при Г>0).
Отвлечемся от того, что отрезок F'F представляет твердую стенку,
и представим себе всю плоскость хОу занятой жидкостью. Тогда линия F'F
явится линией разрыва скоростей в пото-
ке. В самом деле, по только что доказан-
ному, при переходе через линию F'F
(рис. 75) скорость и претерпевает конечный
скачок
Г
И_ — 11л. = , .
л У с2 — х2
Построим на бесконечно малом отрезке ds
линии F'F (рис. 76) прямоугольный контур,
охватывающий точку М. Циркуляция скорости по этому замкнутому контуру
Tds
f
β
'
с
Xм \
ds
* » м
Рис. 76.
F
(ы_ U+) ds = γ
л V
отлична от нуля; следовательно, на отрезке ds линии разрыва скоростей рас-
положены вихри с общей интенсивностью, равной этой циркуляции.
Обозначим через у плотность распределения вихрей, т. е. интенсивность
непрерывного их распределения, приходящуюся на единицу длины отрезка
F'F; тогда получим
у ds = (гг. — и+) ds
и, следовательно,

188 ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. V
Непрерывное распределение вихрей на поверхности (при плоском движе-
нии вдоль некоторой линии) образует вихревой слой.
Из сказанного выше следует, что чисто циркуляционное движение (76)
вокруг эллиптического цилиндра (в частности, пластинки) эквивалентно
потоку, образованному вихревым слоем, расположенным вдоль линии, соеди-
няющей фокусы эллипса, причем плотность распределения вихрей в слое
определяется формулой (77).
§ 43. Крыловые профили Жуковского — Чаплыгина
Разобранные в предыдущем параграфе примеры обтекания эллиптиче-
ского контура и, в частном случае, пластинки не дают полного представле-
ния об обтекании крыловых профилей.
Составляя выражение производной от преобразующей функции (63)
т-7 («-£)· (78)
видим, что точки F* иГ* (рис. 71) плоскости t, с координатами Z, = ± с
являются особыми точками конформного отображения (63), так как в этих
точках производная равна нулю. В точках F* и F'* нарушается конформ-
ность отображения: углам π в этих точках соответствуют углы 2π в точках
F и F' плоскости z.
Окружность С*, проведенная через обе особые точки, преобразовалась
в прямолинейный отрезок FF' или, точнее, в разрез плоскости z с двумя угло-
выми точками, окружности же С* и С*, не проходящие через особые точки,
перешли в эллипсы — плавные кривые, не имеющие угловых точек. Проводя
в плоскости ξ окружности или другие какие-нибудь замкнутые кривые так,
чтобы они проходили только через одну особую точку, образуем в плоскости z
профили с одной угловой точкой, из которых можно выбрать подходящие
для крыловых профилей.
Примерами такого рода теоретических крыловых профилей могут служить
профили Жуковского — Чаплыгина, образованные конформным отображе-
нием (63) окружностей К*, проведенных во вспомогательной плоскости (рис. 77)
через особую точку F* и содержащих внутри себя вторую особую точку F'*.
Особенностью этих профилей является нулевой угол на задней кромке.
Если центр круга К* находится в точке Nt оси 0\, то в плоскости z полу-
чим симметричный профиль Кг, называемый рулем Жуковского (показан на ри-
сунке пунктиром). Круг С* переходит в отрезок F'F, служащий скелетом
руля Жуковского в том смысле, что при уменьшении относительной толщины
руля контур его Кх будет стягивайся к отрезку FF'. Чтобы получить руль
небольшой (по сравнению с его длиной) толщины, дадим точке ЛГХ малое сме-
щение влево от точки О*, равное по абсолютной величине Хс, где λ < 1. Тогда
уравнение окружности К* можно представить в виде
I = _яс + (1 + λ) и*е,
где θ — полярный угол точек окружности К% (на рисунке не показанный).
Подставляя это выражение в преобразование (63), получим уравнение руля
Жуковского
2 L l ' ^ -λ+(1 + λ)β*θ -Γ
He составляет труда, используя малость параметра λ, представить правую
часть в виде разложения в ряд по степеням λ. Довольствуясь членами с пер-

S 43] КРЫЛОВЫЕ ПРОФИЛИ ЖУКОВСКОГО — ЧАПЛЫГИНА 189
вой степенью λ, получим
1 / 1 \
z = ccos θ-\--тг%с (cos 2Θ — l)-\-ikc I sin θ — -5-sin26),
пли
x = ccose-\--7-Kc(cos26 — 1), у = Kc(1 — cosΘ) sinb.
Из второго равенства следует, что крайним абсциссам руля соответствуют
значения θ = 0 и θ = π, так что длина или хорда Ъ профиля равна
Ъ = х (0) — х (π) = 2с,
т. е. в принятом приближении не отличается от длины скелета — отрезка FF'.
Рис. 77.
Найдем максимальную толщину профиля. Максимальному значению ордина-
ты профиля отвечает корень уравнения
dQ
= Xc(cose — cos2G) = 0,
равный Qm = 120°. Следовательно, максимальная ордината будет
i/max = λε Sin 60° (1 + COS 60°) =
3^3
Kc,

190
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. V
а толщина
t = 2y„
зУз
Кс.
Рис. 78.
Круг К* с центром в любой точке N плоскости ξ, проходящий через
особую точку F*, преобразуется в изогнутый профиль Жуковского — Чаплы-
гина К. Дужка К0 служит скелетом для этого профиля, так же
как отрезок FF' — для руля Кг.
Вогнутость дужки К о представ-
ляет вместе с тем и вогнутость
профиля К. Если, сохраняя вог-
нутость профиля К, уменьшать
его толщину, то профиль будет
стягиваться к своему скелету —
дужке К0.
Для решения задачи об обте-
кании профиля К потоком со ско-
ростью У о., направленной под углом θ„ к оси Ох, проще всего поступить
так. Проведем во вспомогательной плоскости ξ оси Nl·,' и Ni)' с началом
в центре смещенного круга N. Плоскость комплексного переменного ξ' =
=ξ'+ щ' повернута относительно плоскости ξ на угол (—β), так что, положив
Г = е-П',
приходим к соответствию между плоскостями ξ и £," с параллельными осями
координат (а — радиус окружности К*)
ξ = с - ое-* + Г.
Тогда, принимая плоскость £" за вспомогательную, перейдем от преобра-
зования (63) к следующему более общему:
*-т(м-т)-т(—-р+Е"+тг^%р)-
которое может быть переписано в виде ряда Лорана
Комплексный потенциал в плоскости ξ" сохранит прежнюю форму
Foca2 \ . Г
Х*(П = ™-(Г-Г+-^р)+-йг1п£
Совокупность последних двух равенств представляет искомое решение
задачи обтекания теоретических профилей Жуковского — Чаплыгина.
Обобщенные профили Жуковского — Чаплыгина, соответствующие пре-
образованию
-ас
г-\-ас
приводят к крыловым профилям с острым углом τ на задней кромке (рис. 78).
Приближенный метод расчета обтекания крылового профиля произ-
вольной формы изложен в предыдущих изданиях настоящего курса. При
современных возможностях машинного счета такие приближенные методы,
по-видимому, становятся излишними.

$ 44] ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ДАВЛЕНИЯ ПОТОКА 191
§ 44. Главный вектор и главный момент сил давления потока
на обтекаемый замкнутый контур. Формулы Чаплыгина. Теорема
Жуковского. Коэффициенты подъемной силы и момента пластинки
Определим динамическое воздействие потока на находящийся в нем
профиль.
Составим выражения главного вектора R и главного момента Lo сил дав-
ления потока на профиль С (рис. 79)
относительно начала координат О.
Используя теорему Бернулли
ρ = const -
P\VP
получим выражения главного век-
тора
R=—§pnds = -^j\V\znds
с с
и главного момента
L0=—§ (xny — ynx)pds =
= Y§(xriy — ynx)\V\zds.
Рис. 79.
Переходя в этих формулах к комплексным величинам, заметим, что>
η = —ie®, ds = dz e~ie, хщ — ynx = Re (izn), V = ± | V \ e&.
Тогда предыдущие формулы силы и момента приведутся к виду
R = Rx + iRy = —£L§\V\*dz, Lo=—%Re§\V\ze-™zdz.
С 1С
Заменим в этих формулах | V | = ± Ve~ie = ± Veie; найдем
R = Rx-iRy = -^§\V\*dz = £L§V*dz, >
£0= —-|Re &V2zdz.
(79>
Вспоминая, что по предыдущему V = d%ldz, перепишем эти выражения
еще в таком виде:
г = 4§(5)2&· А,--** §(£)*.*·
(80>
Приведенные формулы главного вектора и главного момента сил давле-
ния потока на профиль были даны в 1910 г. С. А. Чаплыгиным х).
Покажем, что для вычисления контурных интегралов, входящих в фор-
мулы Чаплыгина (79) или (80), нет необходимости полностью знать комплекс-
ный потенциал, а достаточно иметь лишь первые три коэффициента разло-
ме. А.Чаплыгин, О давлении плоскопараллельного потока на преграждаю-
ие тела (К теории аэроплана), Матем. сб., т. XXVIII, 1910.

192
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. V
жении производной от комплексного _потенциала dyjdz или, что все равно,
сопряженной комплексной скорости V в ряд Лорана.
Предполагая, что во всей внешней к обтекаемому профилю области
физической плоскости, включая и сам контур С, особых точек нет, можем
представить сопряженную скорость V ее разложением в ряд Лорана в физи
ческой плоскости
V = a0 + ^+%- + ... (81)
Легко убедиться, что первые два коэффициента выражаются через ско-
рость набегающего потока F» и циркуляцию Г, а именно
«„-(vUo-7-, «i~srP*=-sr. (82)
с
Подставим в полученные только что формулы (80) разложение сопряжен-
ной скорости в ряд Лорана (81), причем сохраним под знаком интеграла
только те слагаемые, которые дадут результаты интегрирования, отличные
от нуля; будем иметь (С — произвольный круговой контур в физической
ллоскости, охватывающий профиль С)
с
Lo= —Η-Re φ ( ... + al+la°az + · · · ) dz = -npRe[i(«(2 + 2a0a2)].
с
Используя выражения (82) первых двух коэффициентов а0 и at, получим
R=—ipVJT, L0=—2npRe(iVcx>a2). (83)
Первая из формул (83) выражает известную теорему Жуковского о подъ-
емной силе крыла в плоскопараллельном безвихревом потоке идеальной несжи-
маемой жидкости. Эта теорема была опубликована в 1906 г. в классическом
мемуаре «О присоединенных вихрях»1), в котором Η. Ε. Жуковский впервые
установил вихревую природу сил, действующих со стороны потока на крыло,
и указал на наличие простой зависимости между этой силой и циркуляцией
•скорости по контуру, охватывающему обтекаемое крыло.
Для того чтобы, оставаясь в рамках теории идеального безвихревого
потока, определить величину воздействия потока на помещенное в него тело,
Жуковский заменяет крыло некоторым воображаемым жидким крылом, огра-
ниченным замкнутой линией тока, и предполагает, что внутри этого жидкого
крыла происходит движение с особенностью — вихрем 2).
Такой вихрь Η. Ε. Жуковский назвал присоединенным. Интенсивность
присоединенного вихря, или, что то же, циркуляцию скорости по контуру,
охватывающему крыловой профиль, можно вычислить только при помощи
некоторого дополнительного допущения. По такому пути, как мы уже знаем
(§ 41) пошли, Η. Ε. Жуковский и С. А. Чаплыгин, выдвинувшие постулат
о конечности скорости на задней острой кромке крылового профиля. Пользу-
ясь этим постулатом, оказалось возможным теоретически определить вели-
чину наложенной циркуляции, или, что то же, интенсивность присоединен-
ного вихря. Эта величина задается формулами (61) или (62) настоящей главы.
Идея присоединенного вихря и постулат конечности скорости на задней
острой кромке крылового профиля представляют основу всей теории крыла
Ч Н.Е.Жуковский, Избр. соч., т. II, Гостехиздат, Л.— М., 1948, стр. 97.
2) См. по этому поводу Г. Ю. Степанов, О некоторых неточностях в разъясне-
ниях теории крыла, «Механика жидкости и газа», № 3, 1975, 188, 189.

§ 44] ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ДАВЛЕНИЯ ПОТОКА 193
в плоскопараллельном потоке. Эти представления нашли свое дальнейшее
развитие и применение и в более общей, пространственной теории крыла
конечного размаха, системы крыльев, а также в теории лопаточных аппаратов
турбин, компрессоров и насосов.
Возвращаясь к первой формуле (83) и принимая во внимание ее вектор-
ный характер, заключим, что величина главного вектора R равна произведе-
нию плотности жидкости на величину скорости набегающего потока и величи-
ну наложенной циркуляции (Г — алгебраическая величина, которая может
быть как положительной, так и отрицательной)
В | = ρ | Vx I I Γ Ι, (84)
а его направление определяется (рис. 80, а, Ъ) поворотом на 90е вектора ско-
рости набегающего потока Уте по часовой стрелке, если Г >0, и против часо-
вой стрелки, если_Г<: 0. Таким образом, подобно силе Магнуса (§ 40),
*) б)
Рис. 80.
главный вектор R является силой, поперечной к направлению набегающего
потока или к направлению поступательного движения тела в обращенном
движении. По формулировке Жуковского для получения направления глав-
ного вектора сил давления R надо повернуть вектор скорости набегающего
потока Voo на 90° в сторону, противоположную направлению циркуляции.
Заметим, что направление циркуляции в общем случе крылового про-
филя произвольной формы и любого направления натекания не поддается
непосредственному восприятию, как это имело, например, место в случае
циркуляционного обтекания круглого цилиндра, допускающем простую физи-
ческую интерпретацию (§ 40). Для определения «направления циркуля-
ции» необходимо в каждом отдельном случае находить знак Г, пользуясь для
этого формулой (61).
Весьма существен тот факт, что единственной силой, действующей на про-
филь в плоскопараллельном безвихревом потоке идеальной несжимаемой
жидкости, является перпендикулярная направлению набегающего потока или,
в обращенном движении, поперечная направлению движения профиля сила,
которая может быть названа подъемной или поддерживающей силой, так как
именно эта сила обеспечивает подъем самолета в воздух, поддерживает его
крыло при горизонтальном полете. Подчеркнем отсутствие составляющей
силы, направленной вдоль движения жидкости, или, что все равно, направле-
ния движения тела по отношению к жидкости,— силы сопротивления. Это
представляет частный случай общего парадокса Даламбера.
Теорема Жуковского подтверждает парадокс Даламбера для любого
плоского безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости как при
наличии присоединенных вихрей, так и при отсутствии их. Общее доказатель-
ство парадокса для пространственного течения будет дано в гл. VII.
Воспользовавшись теоремой Жуковского и постулатом Жуковского —
Чаплыгина, можно по формуле (84) и по формулам (61) и (62) получить выра-
жение величины подъемной силы в виде
| R | = 4яат«>р |,ТТС |2 sin (ε0 — θοο) = Апатхр I V „ |2 sin a, (85)
13 Л. i'. Лойцянский

194
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. V
впервые указанном Чаплыгиным. Входящее в эту формулу произведение шю
зависит от формы обтекаемого контура.
Для иллюстрации применения формул (83) остановимся сначала на про-
стейшем примере, изложенном в конце § 42,— на обтекании пластинки с плав-
1
ным сходом струй с задней кромки. В этом случае am«, =-»- с, а подъемная
сила оказывается равной
R — 2прс | V„ |2 sin α. (86)
Введем коэффициент подъемной силы как отношение величины подъемной
силы R к скоростному напору набегающего потока V2p | Уоо I2 и длине хорды Ъ.
Обычно ось Ох направляют по ско-
рости Ft»; тогда подъемная сила будет
направлена по оси Оу и может быть
обозначена через Υ или Ry. Вот почему
коэффициент подъемной силы в нашей
литературе принято обозначать через
су, а коэффициент сопротивления —
через сх.
При этом обозначении будем иметь
су = —, = 8:rc-^2_sina, (87)
-£-р|У»|»Ь
или в рассматриваемом сейчас частном
случае пластинки (Ь = 2с)
Су — 2π sin a. (88)
0° Ю" 20° се Как показывают многочисленные
опыты, при сравнительно малых углах
Рис. 81. атаки, при которых действительно
выполняется условие плавного схода
струй с задней кромки, формула (88), переписанная в виде (sin a « a)
cv « 2πα « 6,28α; (89)
удовлетворительно отражает установленную на опытах закономерность:
при малых углах атаки коэффициент подъемной силы пластинки прямо
пропорционален углу атаки. Однако теоретическая величина коэффициента
пропорциональности 2π = 6,28 несколько завышена. На рис. 81 представле-
ны для сравнения теоретическая прямая и экспериментальная кривая су (а)
для симметричного профиля с отношением максимальной толщины к хорде,
равным 9%. Как видно из рисунка, в интервале углов атаки —13° < a < 13°
(область отрицательных α на рисунке не представлена, но она в силу сим-
метричности профиля только знаком отличается от области положительных а)
расхождение между теоретическим коэффициентом подъемной силы пластин-
ки и экспериментальным для тонкого профиля невелико.
Возможность рассмотрения пластинки как предельного случая тонкого
симметричногоГцрофиля^при стремлении относительной его толщины к нулю
позволяет обосновать справедливость формулы (89). Физически можно себе
представить, что, как'бы ни была тонка пластинка, передняя ее кромка все же
имеет некоторую закругленность, на которой благодаря очень большой
(теоретически бесконечной) скорости образуется значительное разрежение,
создающее подсасывающую силу, направленную навстречу потоку и не пер-
пендикулярную к поверхности пластинки. Эта подсасывающая сила вместе
с силами давления, перпендикулярными к пластинке, и дает подъемную силу,
поперечную к направлению набегающего на пластинку потока.
Ψ
1,г
0,8
Ofi
&
i/Δ
'/л
i
/Μ
i/
I/
и
r¥^
\-9%

Si 44] ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ДАВЛЕНИЯ ПОТОКА 195
Чтобы вычислить главный момент Lo сил давления потока на пластинку,
разложим сопряженную скорость V обтекагия пластинки, опре сляемую
в рассматриваемом сейчас случае плавного стекания жидкости с задней
кромки пластинки формулой (75), в ряд по отрицательным степеням z
V (z) = Uoo - гусе у 7-p7 = u00 — itfeeH— -j—0 l····
Сравнивая это разложение с рядом (81), получим
a0 = u<x>~mwBO — Vao, ai = civO0 = ci | FTC | sin α,
«г = —2 с2™00 — —τ c%i I ^°° I s*n a·
По первой из формул (83) находим
R = Rx + iRy = — ф^(ыоо + iv°°) Г = рУооГ — г'рцооГ,
или, пользуясь формулой циркуляции (73),
Rx = — 2πρ«&, Ry = 2npcuo0vx.
Момент Lo по второй из формул (83) будет равен
L0 = — 2лρ Re — у e2w«>i (u«> — ivx) ==- — npc2p00'Re (««, — ш») = — πρΑοο^οο.
Переходя от проекций скорости u«,, i;«> к их выражениям через модуль
скорости и угол атаки α = θ«,, получим
Rx = — 2лрс | У» |а sin2oc, i?B = 2лрс | VO°\ 2 sin a cos α,
Lo = —ixpc2
sin α cos α.
Имея выражение проекций подъемной силы и момента относительно
точки О, можем найти уравнение линии действия равнодействующей.'ЛОбогпа-
чим через х и у текущие коорди-
наты точки на линии действия рав- "=^4ν У\,
ондействующей; тогда уравнение
этой линии будет
xRu — yRx = L0y
или, используя предыдущие выра-
жения и произведя очевидные
сокращения,
х cos а + у sin α = —к- с cos α.
Точка Ц (рис. 82) пересече-
ния линии действия подъемной
силы с пластинкой называется Рис- 8
центром давления. Если привести
все силы давления потока на пластинку к одной силе R, то эта сила будет
приложена в центре давления Ц. Полагая в последнем уравнении у = О,,
найдем абсцисеу положения центра давления Ц на пластинке
с
Центр давления потока на пластинку находится на четверти ее длины от
передней кромки, причем, как показывает последняя формула, положение
центра давления не зависит ни от скорости набегающего потока, ни от
угла атаки.
13*

196
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. V
Вводя в рассмотрение коэффициент момента
С™ ·—
γΡΙ^οοΙ2^ '
будем иметь при малых углах атаки (sin α « α, cos α«1)
π
Cm — -g" Я·
Сравнивая с формулой коэффициента подъемной силы су = 2πα, видим, что
Сщ · ^у === А · ^·
Отметим, что это соотношение, обычно выражаемое через коэффициенты
■dcmlda и dcylda в виде
dcm dcm _ dcy ^ i
dc^ da ' da 4 *
удовлетворительно соответствует опытным данным не только для обтекания
пластинки, но и для тонких симметричных профилей.
Если принять точку Ц (—с/2, 0) за точку, относительно которой берется
главный момент сил давлений, то момент Ln будет равен нулю. Это свойство
пластинки, а также и тонких симметричных профилей, используется при
конструировании креплений рулей. За ось вращения руля берут линию,
проходящую через центры давления нормальных к оси вращения сечений
руля; это сводит к минимуму Момент, необходимый для( поворота руля,
и^облегчает управление.
§ 45. Теория тонкого профиля произвольной формы
Г1 Тонкий крыловой профиль малой вогнутости можно рассматривать как
дужку, уравнение которой в системе координат, показанной на рис. 83,
представляется в виде
y=h(x)=l [ht (х)+h2 (х)], ;(90)
где Ут\= hx (х) и у2 = h>2 (х) — уравнения верхней и нижней поверхностей
тонкого профиля, приближенно заменяемого дужкой.
Поместим дужку в плоскопараллельный безвихревой поток идеальной
несжимаемой жидкости, имеющий скорость на бесконечности Vж, образую-
щую с хордой профиля АВ = 2е угол атаки
θ ос- Для расчета обтекания тонкого профиля
применим метод малых возмущений, приняв,
х что возмущение скорости V*, производимое
дужкой в набегающем потоке, мало по вели-
чине. Таким образом, вектор скорости V
в любой точке потока может быть представ-
Рис. 83. лен суммой
V = Voa + V*. (91)
Условие непроницаемости дужки запишем в форме равенства нулю на
контуре дужки проекции скорости V на нормаль к контуру дужки
Vn = Vaon + V$ = ц„ cos (re, x) + ν«, cos (re, у) + V* = 0.
Отсюда вытекает граничное условие (Θ — угол касательной к дужке с осью
Ox, Uoc и у,», — проекции скорости Vx на оси Ох и Оу)
/\ /\
Vn = — /«.η = — ["со cos (re, х) + У» cos (re, у)) = и„ sin θ — νΧ cos θ, (92)
JSL

§ 45] ТЕОРИЯ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ 197
которое должно выполняться на обеих сторонах дужки. Из условия малой
вогнутости следует, что угол θ мал, и можно положить
sin θ « tg6 = h' (x), cos θ « 1.
Пользуясь малостью отклонений дужки от хорды АВ, заменим в гранич-
ном условии (92) нормальную компоненту скорости возмущения F* на равную
ей с точностью до малых высших порядков проекцию ν* этой скорости на ось
Оу. Кроме того, граничное условие (92) выполним не на дужке К, а на
хорде АВ. Такой перенос граничных условий с одной кривой на мало от нее
отклоняющуюся другую вводит ошибку второго порядка малости. Итак,
имеем граничное условие
ν* (х, у) = Uoch' (x) — ν,*, при —с ^ х ^ с и у — ±0. (93)
Двойной знак при нуле выражает применимость граничного условия (93)
как на верхней, так и на нижней границе разреза АВ по оси Ох в плоскости
течения, т. е. непрерывность изменения функции v* (x, у), представляющей
взятую с обратным знаком мнимую часть V*, при переходе с одной стороны
разреза А В на другую.
На бесконечном удалении от дужки скорость возмущения обращается
в нуль; кроме того, еще должно быть выполнено условие Жуковского —
Чаплыгина конечности скорости в точке В.
Задача сводится, таким образом, к разысканию голоморфной, исчезаю-
щей на бесконечности функции V* (z), мнимая часть которой на отрезке дей-
ствительной оси (—с ^ х ^ с) удовлетворяет условию
Im V* (z) = у« — Ucch' (x), (94)
непосредственно вытекающему из (93), причем функция V* (z) должна быть
конечна при z = с.
Сравним поставленную задачу с ранее рассмотренной задачей об обтека-
нии пластинки с конечной скоростью на задней кромке (§ 42). Из полученного
там распределения скростей (75) найдем сопряженную скорость возмущения
V* = V — F« = Uoo — Woo у -jt~ —- «со + ил» = iy» (1 — J/ ^Тг) ·
В этом случае условие (94), очевидно, удовлетворено, так как на пластинке
- + ivoo,
У = to. (l-i/-^J) = 1;./:
a h' (х)=0; кроме того, V* -*■ 0 при z ->- оо и и* = 0, ν* — — νΧ при z = c,
т. е. V* конечно. На верхней стороне разреза (—с < х < с, у = + 0) корню
приписывается положительное значение, а на нижней (—с ^ х ^ с, у = —0)—
отрицательное, так что, приравнивая в предыдущей формуле действительные
и мнимые части, получим
и*(х, +0) = ^|/А7Т7> "*(*' -0)=-i>~j/-
c+.r ' v ' ' У с + х »
V*(X, +0)=V*(X, — 0)=— Уоо,
откуда следует
и* (х, +0) = -и* (х, -0), ν* (х, +0) = ν* (х, -0). (95)
Конечный скачок в величине составляющей и* скорости возмущения при
переходе через разрез от положительных ординат к отрицательным равен
и* (я, +0)-и*(х, -0) = 2г;оо"|/-^.

198
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. V
Как уже было разъяснено в конце § 42, этот разрыв в составляющей и* при
непрерывности составляющей ν* может быть интерпретирован как наличие
вихревого слоя с общей интенсивностью, равной наложенной на пластинку
циркуляции.
Возвращаясь к вопросу об обтекании дужки, представим х) искомую
сопряженную скорость возмущенного движения как произведение (радикал
играет ту же роль, что и в формуле (75) для пластинки)
где / (z) — ограниченная, голоморфная и исчезающая на бесконечности функ-
ция; при таком выборе вида функции V* (z) будут выполняться условия
V* (с) = О, V (с) = it „о безотрывного обтекания задней кромки (z = с). На
передней кромке (z = —с) скорость в общем случае обращается в бесконеч-
ность 2).
По известной формуле Коши будем иметь следующее интегральное пред-
ставление функции / (z) через ее значения на контуре:
>Ю=П5Г§Т^*' (97)
L
где L — контур выреза АВ с двумя бесконечно малыми кружками, выделяю-
щими точки разветвления А ж В подынтегральной функции
/(0 = )^Ёт^(9.
причем в верхней части разреза АВ у корня следует брать знак плюс и
считать
f® = \fP^l»*& + 0)-iv*&+0)]
= -^'А7~Г ["*(i. + 0)-fo*(E,-r-0)],
а на нижней — знак минус, так что
fa)=-y/r^iu*(t-o)-w*a,-o)]=
ъ~
=ч/
с +
£
[u*a,-o)-iv*a,-o)i
Составляя интеграл (97), убедимся, что интегралы по малым окруж-
ностям с центрами в точках А я В при стремлении радиусов этих окружно-
стей к нулю также стремятся к нулю, а интеграл Коши (97) сводится к раз-
ности определенных интегралов в пределах (—с, с), вычисляемых в поло-
жительном направлении оси Ох по верхней и нижней стороне разреза АВ.
По основному свойству вихревого слоя, расположенного в этом общем случае
вдоль дужки, или, с ошибкой второго порядка малости, по разрезу АВ, будут
выполняться условия (95), так что в разности интегралов слагаемые, содер-
жащие и* (ξ,+0) и и* (ξ,—0), сократятся, а слагаемые с ν* (ξ,+0) =
*) См. Л.И.Седов, Теория плоских движений идеальной жидкости, Оборонгиз,
М., 1939, стр. 37—40; подробный анализ решения Л. И. Седова приведен также в курсе:
И. А. К и б е л ь Н. Е. К о ч и н и Н. В. Розе, Теоретическая гидромеханика,
ч. I, Гостехпздат, М., 1948, стр. 288—296.
2) См. по этому поводу примечание в § 42.

« 45] ТЕОРИЯ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ 199
= ν* (ξ,—0) = ν* (ξ,0) сложатся; получим
^>=-^/^°^V^H
или, согласно с граничным условием (93),
i7*M = -^r/iiHJ^Fi-/^
■dl.
(98)
Возвращаясь к полной скорости Уи замечая, что при малом θ«, можно
положить
«» = I F» |, ν„ = | Г.» |θ„,,
окончательно получим
+с
У(«) = У. + у«(«) = Ув8—lbl^/"ig.| A'CB-ft. |/£±|^. (99)
-с
Вычислим главный вектор и главный момент сил давления потока на дужку.
Для этого разложим в ряд по отрицательным степеням г выражения
Г'
2— С
^у;
z-\-c
1
+ -
— г ^ 2 г2
1 1
1 I
S-*
4-1
и подставим их в (99); сравнив результат подстановки с разложением сопря-
женной скорости (81), найдем значения коэффициентов разложения
а0 = Foo,
Г
а.=-
VD
1 2лг т
+с
f [Л'(Ю-Мт/-£±М,
J с ь
= —ЦгЧ [Λ'(ξ)-θΜ]^2-!2^,
-с
а следовательно, согласно (83), и общие выражения главного вектора и глав-
ного момента
+с _
Rx=- 2прс | FTO |2 θ^ + 2р | F» |2 θ„ f /г' (ξ) ]/ -£±f- d|,
j
— с
—с
+c
L0 = - яре21 Foe |2 Θ,*, + 2p | FTO |2 f Λ' (ξ) lA^ZTp <£.
(100)
В принятом приближении Rx = 0, так как оба слагаемых в правой части
первой формулы системы (100) представляют малые величины второго поряд-

200
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ,
[ГЛ. V
ка, пренебрежение которыми в теории тонкого крыла обязательно; этот резуль-
тат соответствует парадоксу Даламбера об отсутствии сопротивления.
В случае пластинки h' (ξ) = 0 и равенства (100) приводят к известным
уже формулам (с точностью до θα, в первой степени)
Ry = 2лрс | Foo |2ето, L0 — —яре2 | F» |2θοο.
При произвольной форме дужки у = h (x) величины Ryi&L0 могут быть
по (100) без труда вычислены, причем, подчеркнем это, все слагаемые, стоя-
щие в правых частях второго и третьего равенств системы (100), имеют одина-
ковый, первый порядок малости. Интегральные члены в правых частях
Рис. 84.
выражений (100) для Ryn L0 являются дополнительными к соответствующим
выражениям для пластинки; эти члены определяют влияние вогнутости
дужки. Так, например, для дужки параболы
ад = б(1—J), (101)
где δ — стрелка прогиба, будем иметь
Ru = 2npc\V„\2(QBo + -j), L0=-npc2\V№\2Qx. (102)
Как видно из этих формул, в принятом приближении относительная
вогнутость 6/2с увеличивает подъемную силу, но не влияет на момент отно-
сительно начала координат О, расположенного на середине отрезка АВ.
Согласно первой из формул (102), направление нулевой подъемной силы
(бос = —δ/c), или, что то же, бесциркуляционное направление совпадает
с направлением прямой, проведенной через вершину С дужки и заднюю
кромку В (рис. 84).
Вычисление скорости на поверхности дужки по формуле (99) представ-
ляет некоторые затруднения, связанные с тем, что интеграл, стоящий в правой
части, является несобственным и должен вычисляться в смысле своего глав-
ного значения 1).
Приводим, опуская вычислительные детали, формулу распределения
скоростей по поверхности параболической дужки, заданной уравнением (101)
F = |FTO|(l_^/I^)+_iiiI|diL# (ЮЗ)
Первое слагаемое совпадает с распределением скорости по пластинке
(для малых θ»), второе дает влияние вогнутости б/2с дужки.
При θα, = 0 предыдущая формула приводится к виду
*-|V-|(l + 7f^fcr);
г) См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. IV, Гостехиздат,
М., 1941, стр. 252—253.

§ 45] ТЕОРИЯ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ 201
полагая здесь z = ± с, получим
V(±c) = \V^\(l±i^). (104)
Замечая, что тангенс или синус малого угла наклона касательной к дужке
в точках (ж = ± с, у = 0) равен +267с, а косинус — единице, заключим,
что в рассматриваемом случае векторы скорости на кромках направлены
по касательным к дужке в этих точках. Иными словами, при θ» = 0 перед-
няя кромка является точкой плавного, или, как говорят, безударного входа
жидкости на дужку, а задняя — плавного схода (рис. 84).
Подъемная сила, в этом случае равная
(RvK=o = 2"Р | Т^оо |2 6 = 4лрс | FTO |2 ±. f (105).
пропорциональна относительной вогнутости дужки.
На рис. 84 совмещены картины обтекания параболической дужки при
трех различных, наиболее характерных направлениях набегающего потока,
причем, чтобы избежать излишнего загромождения чертежа, показаны лишь
нулевые линии токов для каждого из трех потоков. Пунктирами показаны
направления касательных к дужке в передней и задней кромках. Направле-
ния набегающих потоков вдалеке от дужки представлены векторами скоро-
стей «на бесконечности»: V£\ V™ и V™.
Согласно принятому при выводе равенства (103) условию, для всех трех
потоков «наложенные» циркуляции подобраны так, чтобы задняя кромка В
была точкой конечной скорости и плавного схода потока. В этой точке В,
как это видно из рисунка, все три нулевые линии тока (7), (2) и (3) имеют
общую точку схода В и общую касательную, показанную пунктиром и сов-
падающую с касательной к дужке в задней кромке В.
Положения точек разветвления потока вблизи передней кроь ки А, наобо-
рот, резко различаются. Плавный, «безударный» вход потока на переднюю
кромку с конечной скоростью, определяемой по (104), образуется лишь при
направлении набегающего потока по вектору скорости «на бесконечности»
ν£\ т. е. параллельному хорде дужки АВ по оси Ох. Это направление естест-
венно назвать направлением безударного натекания.
При бесциркуляционном натекании, соответствующем вектору скорости
«на бесконечности» V™, так же как и при натекании в направлении касатель-
ной к дужке в передней кромке со скоростью «на бесконечности» Γ"« , скорость
в точке А будет бесконечно большой, вход на дужку в передней кромке не
будет безударным.
Изложенные обстоятельства, имеющие, строго говоря, отношение лишь
к рассмотренным симметричным относительно оси Оу параболическим дужкам,
в той или другой степени приближения оправдываются и для дужек другой
формы. Более того, как показывают точные расчеты и опытные материалы,
указанные свойства обтекания дужки оказываются качественно справедли-
выми и для не слишком толстых и искривленных профилей. В этом случае
под безударным обтеканием следует условно понимать такое, при котором
вблизи носка профиля не образуется резких пиков разрежения, соответствую-
щих большим местным скоростям на лобовой поверхности профиля. Для
определения направления набегающего потока, соответствующего этому
условному безударному обтеканию, необходимо в каждом отдельном случае
провести ряд аналитических расчетов обтекания рассматриваемого профиля.
Углы атаки при этих расчетах можно выбирать из соображений малого их
отличия от угла атаки, отвечая чцего безударному обтеканию «скелета» про-
филя.

202
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. V
§ 46. Теорема Жуковского о подъемной силе профиля в решетке ^
Под плоской решеткой профилей (рис. 85) понимают бесконечную сово-
купность периодично расположенных в плоскости одинаковых крыловых
профилей, каждый из которых получается из смежного параллельным пере-
носом на некоторую, называемую шагом длину t в направлении, определяю-
щем ось решетки. Угол β между хордой профиля и перпендикуляром к оси
Рис. 85. Рис. 86.
решетки иногда называют углом выноса, дополнительный угол β' — углом
установки профиля. Вектор t, равный по длине шагу и направленный перпен-
дикулярно к оси решетки в сторону течения, назовем вектором-шагом.
В отличие от одиночного профиля, в бесконечном удалении впереди
и позади решетки скорости в общем случае различны как по величине, так
и по направлению. Решетка не только меняет скорость набегающего на нее
потока, но и поворачивает поток.
Обозначим (рис. 86) вектор скорости потока в бесконечности перед решет-
кой через Vi, давление — через рг, соответственно вектор скорости и давле-
ние в бесконечном удалении за решеткой — через V2 и р2; плотность повсюду
одинакова и равна р.
Рассмотрим в плоскости чертежа трубку тока, образованную двумя
какими-нибудь линиями тока, сдвинутыми друг по отношению к другу в на-
правлении оси решетки на расстояние, равное шагу. Весь поток можно, оче-
видно, разбить на такие равные между собой трубки тока, так как обтекание
обладает свойством периодичности с периодом, равным шагу.
Применим теорему количеств движения в форме Эйлера, взяв за кон-
трольную поверхность только что выделенную трубку тока и два бесконечно
удаленных сечения трубки ау, а2, параллельные оси решетки и равные по дли-
не шагу. Тогда, обозначая через R главнвш вектор сил давления потока на
профиль, будем иметь
(Pi-P2)t + P(t-Vi)Vl-p(t-V2)V2-R = 0. (106)
Величины t-V1 = t-V2 представляют равные между собой секундные объем-
ные расходы жидкости сквозь сечения трубки тока, a (~~R) есть главный
вектор сил давления профиля на поток.
Предполагая поток безвихревым и применяя теорему Бернулли, по-
лучим
Pi-P2 = YP(Vs2~Vt),

S 46] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ ПРОФИЛЯ В РЕШЕТКЕ 203
или, представляя разность квадратов скоростей как скалярное произведение
суммы векторов скоростей на их разность,
Pi-P* = -jP(Vi + Vt).(V2-Vi).
Введем две характерные для обтекания решетки скорости: среднюю век-
торную скорость
vm \{ν,+ν2)
и скорость девиации потока
vd=v2-vu
характеризующую отклонение потока решеткой.
Тогда будем иметь
Р\ — Р2 pVm ■ Vd,
t-V^t-Vi-t.V,»; t-Vd = t.(Vt-Vi) = 0t (107)
и равенство (106) перепишется в форме
R = p{Vn.Vd)t + p(t.V1)(Vi-Vs) = p(Vm-Vd)t-p{t.Vm)Vd.
Выражение, стоящее справа, представляет разложение двойного векторного
произведения, так что окончательно получим
R = pVmX(txVd). (108)
Замечая, что по (107) вектор-шаг t перпендикулярен к скорости девиации
потока Vd, а вектор t X Vd перпендикулярен к плоскости течения, т. е. и Vm,
найдем величину главного вектора в виде
R = ptVmVd. (109)
Векторное равенство (108) представляет в явной форме зависимость глав-
ного вектора R от плотности жидкости, шага t решетки и двух характерных
скоростей — средней Vm и скорости девиации Vd потока. Скалярное равен-
ство (109) определяет величину главного вектора сил давления потока на
профиль в решетке как произведение плотности жидкости, шага решетки,
средней скорости и скорости девиации. Из векторного равенства (108) сле-
дует, что главный вектор R лежит в плоскости течения и направлен по пер-
пендикуляру к средней скорости Vm в сторону, определяемую векторным
произведением (108).
Введем единичные векторы оси решетки а и нормали к плоскости чертежа
в сторону читателя к, направив их так, чтобы совокупность векторов t. α и к
образовывала триэдр, сонаправленный с принятой правой системой коорди-
нат (вектор t не единичный, его величина равна шагу). Замечая, что, согласно
007), вектор Vd = V2 — V\ направлен параллельно оси решетки, получим
Vd = (V2a - Via)a
и, следовательно,
txVd = txa(V2a — Vla) = t(V2a — Vla)k.
Определим циркуляцию скорости Г по контуру, составленному из сечений
σΙ5 σ2 и двух линий тока, смещенных на шаг. Составляя интеграл I Vs ds
по положительному направлению обвода контура, показанному на рис. 86,
получим (σ1 = а2 = i-1)
г = (v2a - via)t,

204
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. V
так как интегралы по смещенным на шаг линиям тока равны по величине
и противоположны по знаку. Итак, t X Vd = кТ, а, следовательно, по (108)
R = pVm- кТ; (НО)
формула эта соответствует формуле для единичного профиля, причем средняя
векторная скорость Vm заменяет скорость на бесконечности Утс.
Устремим величину шага t к бесконечности, сохраняя в то же время
величину циркуляции. При этом разность VZa — Via должна стремиться
к нулю, что при наличии равенства (107) приводит к установлению общей
скорости 1^-^ V2-+ Foe вместо Vm, и формула (110) переходит в формулу
Жуковского для единичного профиля
R^pVooXkT.
Правило определения направления вектора R по (110) остается тем же,
что и для единичного профиля. Вектор R имеет направление вектора Vm,
повернутого в плоскости течения на 90° в сторону, противоположную направ-
лению циркуляции, т. е. тому направлению обхода контура интегрирования,
при котором циркуляция окажется положительной1).
§ 47. Применение метода конформных отображений
в теории разрывных течений
Изложенный ранее (§ 41) метод конформных отображений получил уже
давно широкое применение не только при решении задач плоского обтекания
замкнутых контуров, в частности, крыловых профилей. Одной из наиболее
важных областей применения этого метода явилась теория разрывных течений
идеальной несжимаемой жидкости. Благодаря отсутствию внутреннего тре-
ния, в потоках идеальной жидкости становится возможным возникновение
нарушений сплошности течения, образования в потоке «мертвых зон» покоя-
щейся жидкости.
Примерами течений с нарушением сплошности могут служить кавита-
ционные «каверны» (полости), заполненные парами жидкости и воздухом,
срывные зоны за плохо обтекаемыми телами, струи плотной среды в окру-
жении жидкости (газа) малой плотности, водосливы через преграду и из-под
щита, течения, относящиеся к задачам транспорта на «воздушных подушках».
Некоторые из перечисленных задач, и в первую очередь — гидротехнические,
связанные с движением воды в поле тяжести и имеющие часто существенно
пространственный характер, представляют значительные математические
трудности и не могут быть изложены на страницах настоящего учебника 2).
Прямым методом решения задач плоских разрывных течений служит ме-
тод конформных отображений 3). «Свободные» линии тока (рис. 87), сорвав-
*) Теоретические вопросы лучше всего разобраны в специальных" (монографиях:
Η. Ε. Кочин, Гидродинамическая теория решеток, серия «Современные проблемы
механики», Гостехиздат, М., 1949, и Г. Ю. Степанов, Гидродинамика решеток турбо-
машин, Физматгиз, М., 1962. В монографии более широкого содержания — Л. IL С е-
д о в, Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, Гостехиздат, М., 1950,— теории
решеток посвящена специальная гл. III. Практические вопросы численного расчета реше-
ток профилей подробно освещены в монографии М. И. Жуковского, Расчет обте-
кания решеток профилей турбомашин, Машгиз, М.— Л., 1960.
2) Представление об этих трудностях и о способах'приближенных решений такого
рода задач можно составить, ознакоvясь с гл. XI и XII монографии М. И. Г у ρ е в п-
ч а, Теория струй идеальной жидкости, Физматгиз, М., 1961.
3) Исторически первая и простейшая схема принадлежит Гельмгольцу и Кирхгофу
(Η. Η е 1 m h о 11 z, Über discontinuierliche Flüssigkeitsbewegungen, Monatsber. Berlin.
Akad Wiss., April, 23, 1968; G. К i г с h h о f f, Zur Theorie freier Flüssigkeitsstrahlen,
Crelle s Journ. f. Mathem. 70, 1869).

§47] КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ТЕОРИИ РАЗРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ 205
тдиеся с обтекаемого тела, представляют неизвестные по форме границы
потока, в то же время в плоскости годографа скорости ^"или обратной вели-
чины — функции Кирхгофа = 1/V, так же как и в плоскости комплексного
потенциала х, границы представляются отрезками простейших линий: пря-
мых и окружностей, если обтекаются тела, состоящие из прямолинейных
отрезков (пластины, клин), расположенные |в каналах с прямолинейными
Рис. 87. Рис. 88.
границами, и т. п. При этом установление взаимно однозначного соответ-
ствия между областями в плоскостях комплексных переменных V (или ξ) и
% не составляет труда и метод конформных отображений дает преобразующую
-функцию V (х) или £ (%). Задача сводится к разысканию связи между этими
функциями и основным комплексным аргументом z в физической плоскости,
что может быть осуществлено при помощи очевидного соотношения t
«Iw-i,t(X),,x·
Продемонстрируем метод на примере *) удара струи, вытекающей из кана-
ла конечной ширины, на перпендикулярно по отношению к ней расположенную
пластинку (рис. 88). Рассмотрим правую половину физической плоскости z.
Обозначим полуширину подводящего канала через L, полуширину пластины
через Z, расстояние пластины от выходного сечения канала через h. Скорость,
одинаковую по величине вдоль границ свободных линий тока ВС и DC, назо-
вем v0, скорость в канале вдалеке от выходного отверстия у»; тогда
VA = Vcci, Vo = 0, VB = v0,
VD = v0i, \VC\ = v0.
Введем в рассмотрение комплексную переменную (функцию Кирхгофа)
ς_ ν~\ν\
и установим соответствие между точками физической плоскости г и плоскости
годографа вектора обратной сопряженной скорости ξ
Границам потока АОВС и ADC в плоскости z сопоставляются границы
в плоскости С, показанные на рис. 89 теми же буквами; область течения отме-
чена штриховкой.
Наметим еще область течения (рис. 90) в плоскости комплексного потен-
циала %. Это будет полоса между двумя параллельными действительной оси
4) Н. Е. Жуковский, Видоизменение метода Кирхгофа. Избр. соч., т. I,
Гостехиздат, Л. —М., 1948, стр. 256—261.

206
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. V
прямыми, соответствующими постоянству функции тока ψ вдоль линий тока.
Линию тока АОВС примем за нулевую, линии тока ADC припишем значение
ψ = π, тогда ширина полосы будет равна π.
Взаимно однозначное соответствие между заштрихованными областями
плоскостей ξ и % можно установить, отображая конформно обе области на
одну, например на верхнюю полуплоскость, а затем, по известной теореме
теории функций комплексного переменного, связывая отображающие функ-
ции дробно-линейной подстановкой. Так, заштрихованная область плоскости £
преобразуется в верхнюю полуплоскость при помощи соотношения
*~Ы)"
а полоса плоскости % в ту же полуплоскость при помощи преобразования
Z2 = eK
Для взаимно однозначного соответствия между полуплоскостями Z1 и £2
должно быть
Z,=
aZ2 + b
ИЛИ
Z2-f-c
s
Постоянные а, Ь, с определим из условий соответствия
% = 0 при £=оо(в точке О),
Х=±1па при ξ = —(в точке B)t
vo
Χ = т + In β при ξ = (в точке D),
vo
где In α и In β — неизвестные пока постоянные, равные абсциссам точек В
и D в плоскости %. Подставляя эти значения в предыдущую формулу, получим
Р+1
а—1 »
Ь—Р±!„
* = β.

47] КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ТЕОРИИ РАЗРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ 207
так что
1 \ 2
rJ_l α-1βΧ + β'
или, после простых преобразований,
ξ_ 1 |/(a-l)(ex + p) + |/(p+i)(a-eX) ^
Щ ν(α+β)(«Χ—1)
К этому равенству присоединим очевидное равенство
х
2 =
0
где постоянная определена из условия соответствия в точке О. Совокупность
равенств (111) и (112) дает искомое решение задачи; необходимо лишь сопо-
ставить неизвестные постоянные α, β с геометрическими параметрами задачи I,
Ln hm заданной скоростью Уоо, приняв во внимание, что расход принят рав-
ным л.
Для этого определим прежде всего полуширину пластины I. Имеем
In а Ш а г— In α. ,
о о ' о '
Интегрирование может быть выполнено при помощи подстановок
6Χ + β= 1
ех_1 - Ρ
для первого интеграла и
а—ех 1
eX-l-"^
для второго. Будем иметь
■/■si
i+" —'
Полуширину канала L выразим через расход π и скорость уто:
L
Отношение

208 ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. V
можно выразить только через α и β, если ы метить, что в точке А
Согласно (111), этому соответствует равенство
I _ 1 УВ(^Л) + Уада+1)
"««!1 уо i'Va + β '
откуда
Роо
ν«+β
^о ν«(β+1)+νβ(«-1)'
Итак, имеем
(114)
г 2^(a_1)arctg(|/p-^-)
~L = π[^α(β + 1) + /β(α-1)]
' 1_>Λ(«-1)/(α+β) '
(115)
^ π[/α(β + 1)+/β(α-1)]
Силу давления струи на всю пластину найдем по теореме Бернулли
i i
Ρ = 2 J (ρ - р0)#* = ρ f [vl -1 F ρ] dx,
о о
тде р0 — давление в мертвой зоне за пластиной. Заменяя яа поверхности
пластины
dx = dz, ,||V|=-£-( dz = t,dx,
получим
In a In a
6 0
Для вычисления интеграла следует заметить, что, согласно (111),
„г V"(a-l)(ex + P)+V(P + l)(a-gy)
Κ(« + β)(βΧ-1)
1 _ У"(<^-1) («*+β)-Уф + !)(«-«*>
так что
. In a _
l/ a~gX dY = 2ito». i/J
'+β
p = 2^ /SfT "/^Τ^=2πΡ-ο /1±* (l^a-ii).
Введем сюда явно длину пластины 21; с этой целью из предыдущей фор-
мулы найдем порознь

§ 47] КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ТЕОРИИ РАЗРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ 209
и подставим в выражение (ИЗ) полудлины пластины; тогда после простых
приведений получим
P=Tpi>g-2Z.
2Jt(Va-l)
*(v«--i)+2y Р^агс1е (]Α^)^1η;^^
■V(a-l)/(a+P)
= Υρν*.21
2π
π,21/ P(Va+l) ,_ctr /-I/". a-M,-,/ Va+1 1 + V(a- 1
π+2Κ (p+1)(VS-i)arctelK P^+rJ+|/ (e+P)(V5_i) 1П1-У(^гт
- 1)/(α+β)
)/(α+β)
(116)
Для определения постоянных α и β в нашем распоряжении пока только
одно уравнение (115). Составление второго уравнения требует введения в ра-
счет константы h, определяющей расстояние пластины от выходного сечения
канала. Это нетрудно сделать, написав, что по (112)
XD Jti+Ιηβ
h = lmzD = lm j Z,dx = lm \ ld%.
Взяв затем отношение h к 1 или L, получим искомое второе уравнение для
определения α и β. Опуская эти вычисления, аналогичные тем, которые были
сделаны при составлении выражения (113) для I,
удовольствуемся рассмотрением нескольких частных
случаев, не требующих задания k.
1. Разрывное обтекание пластины безграничным
потоком. В этом предельном случае (L —>- оо) из
равенства (115) сразу следует, что величина α
близка к единице, а из физических соображений
ясно, что для вычисления силы Ρ совершенно несу-
щественна величина h, а следовательно, и значение
параметра β. Подтвердим это вычислением. Перей-
дем в выражении (116) силы Ρ к пределу при α = 1
и произвольном β. Проще всего это сделать, разло-
жив входящие в знаменатель функции arctg и In в
ряды по степеням малых аргументов 1/ β—-—g-
только первые члены этих разложений; будем Рметь
Рис. 91.
и
V\
— 1
+β
и сохранив
Р =
-f pvl-21
2Я
П+2 К P(P+JrtVS-l) ^ ^+ ^(«+РнЙ-1) 2 ^& -а=1
= γρν*.21
2π
я+2
β+1 +Ζ β+1
1 2 07 2П
а это представляет известную формулу Рэлея; из (114) следует, что при
« = 1 V0 — Voc-
2. Разрывное обтекание пластины струей конечной ширины, ограниченн >й
свободными поверхностями (рис. 91).
Удалим выход из канала на бесконечность в положительном направле-
нии оси Оу (h = оо). Вспоминая, что 1η β представляет абсциссу точки D на
14 Л. Г. Лойцянский

210
ОБЩИЕ СВОЙСТВА БЕЗВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. V
прямой ψ = π (рис. 90), т. е. значение потенциала скорости φ, изменяющегося
от (—оо) вдалеке вверх по течению, до (+оо) — вниз по течению, положим
1η β = — оо и, следовательно, β = 0. Тогда формула (116)
g д дает выражение для силы давления потока на пластину
/Г
1
P = ±pvt-2l-
2π
π +
V«
Va+i , i + Y{a-l)/a
(117)
In
(/α—l) 1 — Υ(α — 1)/α
причем, согласно (114), ν0 = νΧ. Совокупность равенств
(117) и (115), переписанного в виде
tJ-i/IEiin l+V<EE^ + l--^, (118)
VI
Рис. 92. определяет Ρ при заданных ρ, υ», Ι и отношении IIL ширины
пластины к ширине свободной струи.
При L-»- оо и фиксированном I, т. е., согласно (118), при а ->- 1 из (117)
вновь получим формулу Рэлея.
3. Разрывное обтекание пластины, находящейся в канале конечной ширины
(рис. 92).
Этот случай можно рассматривать как предельный при β = оо. Будем
иметь из равенства (114)
ν0 = ν», (Va+Vct— l);
сила определится по формуле (116) параметрическим выражением
P = ±-pvl.2l
2n(V<z+Va— l)2
π+2 Λ/ 5-+; arctg/α-Ι
ψ У α —1
(119)
которое надо рассматривать совместно с выражением отношения ширины
пластины к ширине канала
J 2/α — 1 arctg Υ a— l + n {Υ a — l)
L~ η{Υα+Υα^Λ)
(120)
Легко проверить по (119), что при £,->- оо и фиксированном I, т. е., согласно
(120), при а—>■ 1, вновь получится формула Рэлея.
Рассмотренные только что случаи 2 и 3 дают представление о тех поправ-
ках на ограниченность потока, которые надо делать при продувках пластин
в аэродинамических трубах с открытыми (свободная струя) и закрытыми рабо-
чими участками.

Глава VI
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
§ 48. Основные уравнения движения и их линеаризация
Уравнение неразрывности (10) гл. II в случае плоского стационарного
движения газа будет в развернутом виде
д(ри) д(ру) _ ( ди dv \ dp dp _п
При условии баротропности движения газа
др dp dp J__d£_ Φ Φ dp _1_ dp
дх dp дх с2 дх · ду dp ду а? ду '
используя уравнения Эйлера (6) гл. III, которые при плоском стационар-
ном движении в случае отсутствия объемных сил могут быть переписаны
в форме
(ди , ди \ dp I dv , dv \ dp
U-dx-+V-dj) = —dx-' P{U-dx-+V-dj)::=~~Sj'
получим
dp _ ρ / jto_. ди_\ _Ф__ _ Ρ / _£l_i_ dv \
дх α* \U дх ~T~V ду J ' ду — a» \U дх ~*~V ду ) *
Подставляя эти значения др/дх и др/ду в (1), найдем уравнение
(*_„,.£._„(·*.+ *.)+(.Ρ_,,.*_0. (2)
справедливое как для безвихревого, так и вихревого движения. В случае
безвихревого движения к этому уравнению присоединяется еще условие
отсутствия вихря
^_^. = 0. (3)
dy dx v
При безвихревом стационарном адиабатическом движении идеального
газа во всей области (плоскости) движения справедливо уравнение Бернулли
τ^+ττ-τ^+^+ττ-τ^+^τ· <4>
при помощи которого можно выразить скорость звука через скорость движе-
ния газа.
Наличие условия (3) отсутствия в потоке завихренности позволяет ввести
потенциал скоростей φ (х, у), связанный с проекциями скорости формулами
-■£. »-£» <5>
Что касается функции тока, то ее существование вытекает из равенства (1),
согласно которому можно положить, вводя для симметрии в правые части
формул постоянный множитель рто,
PU=P00g^, PV=— PCO — . (О)
- 14*

212 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Уравнение (2) после подстановки в него значений проекций скорости (5)
приобретает окончательный вид
la №J J да* 1 дх ду дхду +L \ду } J ду* U' I''
входящий в это уравнение квадрат скорости звука о2 должен быть исключен
при помощи вытекающего из (4) равенства
**-+*-т-[(-£)*+фП· <8>
а? =
А—1
2
Интегрирование уравнения (7) с исключенной по (8) величиной квадрата
скорости звука, при обычных граничных условиях непроницаемости твердых
стенок обтекаемых тел и заданных значениях скорости на бесконечности,
представляет значительные математические трудности, связанные с нелиней-
ностью уравнения. Обратимся к рассмотрению простейшего случая плоского
обтекания тонких, слабо искривленных тел, расположенных в однородном
газовом потоке под малым углом атаки. В этом случае возмущения, создава-
емые телом в однородном потоке, будут малыми, и уравнения (7) и (8) могут
быть подвергнуты линеаризации.
Выберем направление однородного потока совпадающим с направлением
оси Ох и назовем через £/«>, /?«,, р«>, ато и т. д. соответственно скорость, давле-
ние, плотность, скорость распространения звука в однородном потоке. Воз-
мущения, вносимые в этот поток тонким телом, условимся обозначать
тильдой (~), так что будем иметь
u = UOB + u, v = v, p — Poc + p, p = poo + p, α = αοο + α. (9)
Остановимся сначала на тех двух основных случаях, когда однородный
поток является дозвуковым или сверхзвуковым, т. е. когда число Маха одно-
родного потока Моо = Ζ/oo/floo меньше или больше единицы (М«> Ф- 1). Слу-
чай звукового потока (М« = 1) обладает некоторыми особенностями и будет
рассмотрен в дальнейшем отдельно.
Подставим в уравнения (2) и (3) значения проекций скорости и скорости
звука, согласно совокупности равенств (9), и пренебрежем произведениями
возмущений и их производных по координатам, как малыми второго и высших
порядков. В этом приближении будем иметь
или, деля обе части первого равенства па а%„
<»-*>£+f = °· 4-4-0- ,10,
Представим потенциал скоростей φ и функцию тока ψ возмущенного дви-
жения в виде сумм потенциала скоростей φ оо и функции тока ψ^, однородного
движения и соответствующих потенциала φ'и функции тока ψ малых возму-
щений, произведенных тонким телом в однородном потоке
<ρ=φ00+φ, ψ=ψΜ+ψ. (11)

§ 48] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ИХ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 213
Подставляя эти выражения в равенства (5) и (6), произведем в них линеа-
ризацию, отбрасывая малые высших порядков. Будем иметь
77 | Т;_ дфоо , дц> ~ δφ№ | дер
дх ' дх ' ду ' ду '
(p. + P)(l7„ + S) = p.(-^+-|.),
Сравнение конечных (малых нулевого порядка) величин сразу дает
фоо = UcoX, ψοο = UooV, (12)
а сравнение малых величин первого порядка приводит к системе равенств
»=#■ »-4· <13>
рС/м + рсоИ = Рто-^-, у = — -Ц-. (14)
В левой части первого из равенств (14) выразим возмущение плотности ρ
через возмущение скорости и, воспользовавшись для этого уравнением (29)
гл. III, переписанным в форме (р0 — /?«,, р0 == рм, кр^/р^ = а%,, const =
= Ul/2)
ν , "^ г/р \fc-i л-\_и~
2 Τ" A_i LUco^ J~ 2 ·
Произведем в этом равенстве принятую ранее линеаризацию. Перепишем
его сначала в виде
+1^г[(1+^Г-Ч =
а затем, после простых преобразований и пренебрежения малыми высшего
порядка, получим
UJl + — р=0.
роо
Возвращаясь к (14), найдем, исключая р,
и~Т=Щ^' v~ дх· (1D>
Подставляя значения u, v из (13) в первое из уравнений (10), получим
основное линеаризованное уравнение для определения потенциала скоростей
возмущений φ
(l_Mi)||+-f| = 0. (16)
Взяв значения и, ν из (15) и подставляя их во второе уравнение системы
(10), найдем аналогичное линеаризованное уравнение для определения функ-
ции тока возмущений ψ
(l-Mi)-gt + -g- = 0. (17)
Для решения задач обтекания тонкого крыла можно в одинаковой сте-
пени пользоваться как уравнением (16), так и (17). Разница будет в гранич-
ных условиях на контуре обтекаемого газом профиля.

214 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Условие непроницаемости контура можно задать в двух различных фор-
мах: либо равенством нулю нормальной к поверхности составляющей скоро-
сти потока, либо равенством нулю функции тока, если поверхность профиля
рассматривается как нулевая линия тока.
Зададим контур профиля, расположенного в окрестности отрезка ah
•оси Ох, уравнением (а и Ъ — абсциссы передней и задней кромок профиля)
у =h(x), a < х -< Ъ,
так что угол θ касательной с осью х определяется равенствами
IgQ ж θ « h' (x).
Условие непроницаемости контура профиля в первой из упомянутых
только что форм будет
Vn = ?7«η + 1~п = 0 ири V = h{x), а < х < Ь,
или с той же степенью приближения
ν = -— = Ucoh' (x) при y = h(x), a^x^b.
Вторая форма условия непроницаемости, согласно (11) и (12), будет
•ty = ty*, + ty=Uooy-{-ty = 0 при y = h(x), a^x^b,
или
ψ = — UoJi (x) при y — h(x), a^.x^.b.
Так же, как это уже было сделано в § 45, в принятой степени приближе-
ния будем требовать выполнения только что выведенных условий непроницае-
мости не на самом контуре, а на отрезке оси Ох между х = а и х = Ь, причем
будем различать верхнюю и нижнюю стороны этого отрезка, полагая для
этого условно у = ± 0.
Таким образом, для уравнения (16) будем иметь граничное условие
^- = ижк'(х) при у=±0, а^х^Ъ, (18)
а для уравнения (17)
ψ = — Ucoh (x) при у — ±0, а^.х^.Ъ. (19)
Что касается граничного условия на бесконечном удалении от профиля,
то оно очень просто формулируется для дозвукового движения (М «, < 1) и сво-
дится к убыванию возмущений до нуля при удалении от контура профиля:
φ->0, ψ->0 при Υх^ + у1-*- оо.
Для сверхзвукового обтекания (М« > 1) это условие, как вскоре будет
выяснено, не удовлетворяется.
В заключение параграфа составим необходимое для вычисления давления
потока на поверхности тела выражение коэффициента давления ср, сохранив
для него то же определение (45) гл. V, что и в случае несжимаемой жидкости,
но подчеркнув выбор в качестве характерного значения величины плотности
на бесконечности ρ = рто, так что
Р — Рсо
4-p~f~
Пользуясь той из изэнтропических формул (87) гл. III, которая относится
к давлениям, и полагая в нейрх = р, р2 = р», Mi = Μ, Μ2 = Ми, преобра-

§ 49]
ДОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ
215
зуем только что введенное выражение коэффициента давления ср к виду
к-
2Ра
СР=-
Р~^
(_Р , \ _ 2 к (рсо/рос)
V Рос Ч~ к V*
1 +
М*
ft-1
i-f
к— 1
1
ма
или, производя замену к (pjp^) на а£, и Fto/«oo на М«,,
Λ—1 ..„ \ ь-1
Ср-[Ш^
In
1 +
l·-^— М*.
—s— Μ2
— 1
(20)
Это выражение коэффициента давления является общим, не связанным
с допущением о малости возмущений.
В случае малых возмущений совершим над уравнением (28) гл. III линеа-
ризацию, аналогичную проведенной над уравнением (29) той же главы.
Тогда найдем
Р = PoJJooU,
после чего для коэффициента давления ср получим искомое приближенное
выражение, справедливое лишь в случае малых возмущений:
2Р
2и
PccU^
Ua
(21)
Составленные уравнения для потенциала и функции тока возмущений
представляют линейные уравнения в частных производных второго порядка
с постоянными коэффициентами. В такой приближенной линеаризованной
постановке решение задач газовой динамики может быть выполнено сравни-
тельно простыми приемами. В зависимости от того, является ли движение
газа дозвуковым (Мю < 1) или сверхзвуковым (Мто > 1), уравнения (16) и (17)
будут принадлежать к эллиптическому или гиперболическому типу. В первом
случае (ΜΜ < 1) уравнения можно сохранить в ранее указанной форме, во
втором (Мое > 1) переписать в виде
(Mi-1)
= 0, (Mi-1)
δ2ψ 52ψ
~дз?
:0.
(22)
ду2 "1 V"«> -/ дх2 ду2
Наличие отрицательного знака в гиперболических уравнениях соответ-
ствует особому, как уже было показано в гл. IV, в -лновому характеру процес-
сов сверхзвукового течения газа.
§ 49. Дозвуковое обтекание тонкого профиля.
Правило Прандтля — Глауэрта
Уравнение контура профиля, помещенного в поток, зададим уравнения-
ми верхней (индекс 1) и нижней (индекс 2) частей контура
Ух = К (х), Уъ = К (ж). а < х < ъ-<
которые для краткости письма будем обозначать так:
У = Кл ix)-> а < х ·< ъ-
Будем пользоваться уравнением функции тока (17) и соответственно гра-
ничными условиями (19). Вводя обозначение
ω
1 -Mi1
придем

216 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
к решению следующей краевой задачи:
бЦ LiiL—о·
йг2 ~*~ ω2 Qyi ~ U'
%=—UJiliZ{x) при #=+0, a^x^b, \ (23J
ψ -> 0 на бесконечности.
Перейдем от координат х и у к новым координатам ξ и η, произведя
аффинное преобразование (деформацию ординат) *)
ξ = ж, η = оу. (24)
Тогда краевая задача (23), поскольку в граничных условиях исполь-
зуются лишь нулевые и бесконечно большие значения у, сведется к такой:
δξ2 τ" 5η2 '
■ψ ->- 0 на бесконечности.
(25)
Сопоставим эту задачу с задачей (23), в которой предварительно положим
Μ» = 0, ω = 1, что будет соответствовать обтеканию того же самого тонкого
профиля несжимаемой жидкостью (отметим это индексом 0 при ψ). Будем
иметь
д^р0
+-Й--0,
дх2 ' ду2
ψ0= —Ucohi^ix) при у=±0, a<^x<^b, f ^
ψ0 —>- 0 на бесконечности.
Сравнивая (25) и (26), заключим о тождественности решений этих уравне-
ний, выраженных соответственно в переменных ξ, η и ж, у, так что будет
♦ ы-Ы·.·). #--§-. -£--$-· <27>
Пользуясь этими тождествами, равенствами (15) и преобразованиями (24),
получим
1 0ψ 1 θψ dx] _ 1 δψ0 ~
U
1 —Μ£ β» 1-Μ2, δη dy |^1_Μ2ο % yi —Μ*
0ψ 0ψ 3ψ0 ~
■ — ^ο»
Эж 9ξ dz
(28)
после чего на основании формулы (21) заключим о следующей связи между
коэффициентами давления ср в линеаризованном дозвуковом потоке газа
(Мое < 1) и ср0 в несжимаемой жидкости (М«, = 0):
(29)
Полученное соотношение выражает следующее правило Прандтля — Гла-
уэрта: «распределение коэффициента давления в плоском безвихревом линеари-
зованном дозвуковом потоке газа при данном значении М» <С 1 может быть
1) L. P г a n d 11, Über Strömungen deren Geschwindigkeiten mit der Schallgeschwin-
digkeit vergleichbar sind. Journ. Aeron. Res. Inst., Tokyo, 65, 14, 1930; H. dauert,
The effect of compressibility on the lift on airfoil. Proceed. Roy. Soc. A, 118, 1928.

§ 49]
ДОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ
217
получено из соответствующего распределения в потоке несжимаемой жидкости,
если все ординаты этого распределения увеличить в 1/]/"1 — ML· раз».
Вспоминая (гл. V), что подъемная сила профиля Ry и коэффициент подъ-
емной силы су определяются по формулам
Ry-
& рпу ds=-^ PcoUL· Φ ср dx,
у = -τ = W cp dx, x = x/c,
ТгРооС/ооС-1
c„ =
где с — хорда профиля, заключим, что для профиля с одним и тем же конту-
ром в потоках газа и несжимаемой жидкости для коэффициентов подъемной
силы Су и Су0 будет справедливо соотношение
суо
V\-Ml
(30)
аналогичное (29).
Рассмотрение опытных материалов показывает, что формула (30), как
интегральная, справедлива в несколько более широком интервале чисел
СуО
Рис. 93.
Моо < 1, чем локальная формула (29). На рис. 93 приводятся для сравнения
результаты опытного определения су тонкого (относительная толщина 6,5%),
мало изогнутого винтового профиля при двух углах атаки 2° и 4°. Можно заме-
тить, что при угле атаки 4° экспериментальная кривая (пунктир с кружками)
уклоняется от теоретической (сплошная линия) кривой (30) ранее, чем при
угле атаки 2° (пунктир с крестиками).
Представляет интерес тот факт, что чем больше возмущение потока,
в данном случае чем больше угол атаки, тем меньше интервал чисел Μ со,
в котором сохраняет свою силу линеаризованная теория. Изложенная в насто-
ящем параграфе теория не дает количественного объяснения этого важного
факта. В дальнейшем будут приведены более общие соображения о связи
между линеаризованными обтеканиями тел в дозвуковом течении газа и пото-
ке несжимаемой жидкости, которые теоретически подтвердят только что
отмеченный факт.
Правило Прандтля — Глауэрта служит только для пересчета уже зара-
нее определенных ср0 и су0 в несжимаемой жидкости (например, по методу
теории тонкого крыла, изложенному в § 45) на их значения при заданном
числе Моо < 1 в дозвуковом газовом потоке.

218 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
§ 50. Сверхзвуковое обтекание тонкого профиля. Формулы Аккерета
При сверхзвуковом течении газа (Мсо > 1) второе из линеаризованных
уравнений (22) приобретает форму
где, в отличие от предыдущего параграфа, положено
ω2 = М1~ 1. (32)
Волновое уравнение (31) нам уже знакомо по гл. IV. Отличие математической
структуры отражает физические особенности явлений, описываемых урав-
нением (31), по сравнению с явлениями дозвукового течения.
Легко убедиться простой подстановкой, что общее решение уравнения (31)
может быть выражено формулой
ψ (х, у) = Q1{x~ ay) + Ω2 (х + <оу),
где ΩΧ и Ω2 — произвольные функции аргументов х — <ог/ и х + и>у; вид этих
функций пределяется с помощью граничных условий задачи.
Рассмотрим частное решение
% = ΩΧ (х — ыу). (33)
Оно имеет следующий смысл: в плоскости течения (х, у) существует
семейство прямых линий
х — оу = const,
вдоль которых функция тока возмущений, а следовательно, и вообще возму-
щения параметров движения и состояния газа будут сохранять постоянные
значения Эти прямые представляют первое семейство (Сл) характеристик
волнового уравнения (31) и игают роль линий возмущения в рассматриваемом
сверхзвуковом потоке. Их именуют линиями или иногда волнами Маха.
Точно так же частному решению
ψ2 = Ω3 (х + ω у) (34)
соответствует второе семейство (С2) характеристик или линий возмущения
х + и>у = const,
вдоль которых также сохраняют постоянное значение возмущения параметров
движения и состояния газа.
Рассматривая угловые коэффициенты этих семейств прямых
tg«=±-^ = ±-74=, (35)
ω VmL—i
заключим, что углы а, образованные линиями возмущения с направлением
невозмущеяного движения (осью Ох), равны
α = ± arcsin r—. (36)
На рис. 94 показаны две линии возмущения от точечного источника воз-
мущений S. находящегося на оси Ох. Только вдоль этих двух лучей, выхо-
дящих из точки S, можно наблюдать возмущения однородного набегающего
на точку S потока; во всех остальных точках плоскости течения поток не
возмущен и сохраняет свою однородность. Напомним, что «точечным» источ-
ником в плоском потоке служит на самом деле источник возмущений в виде

§ 50] СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 219
прямой, перпендикулярной плоскости чертежа (например, расположенная
поперек потока тонкая проволока). От действительно точечного источника
в пространстве линии возмущения расположатся на конической поверхности
с вершиной в точке S и углом полураствора а, определяемым по (36). Этот
конус возмущений называют еще конусом Маха. По наклону линий возмуще-
ния можно судить о величине числа М№ однородного потока.
Так в аэродинамических сверхзвуковых трубах, внося в поток малые
возмущения при помощи тонких игл или зондов, наблюдают линии возмуще-
ния и по углам наклона их к направлению невозмущенного потока определяют
Рис. 94. Рис. 95.
число Моо в трубе. Видимость линий возмущения обеспечивается тем, что
вдоль них плотность газа (воздуха), а следовательно, и показатель прелом-
ления отличны от соответствующих их значений в невозмущенном потоке.
Обратимся к вопросу об обтекании тонкого профиля сверхзвуковым
потоком. Контур его, как и в дозвуковом потоке, будем задавать ординатами
верхней (индекс 1) и нижней (индекс 2) поверхностей: у = hlt2 (х).
Граничное условие представим, как и прежде, в форме
ψ = — UcJi!^ (z) при г/ = ±0, а ^х -^ Ь. (37)
Заполним область течения сверху и снизу от контура профиля (рис. 95)
соответственно характеристиками первого (Сг) и второго (С2) семейств. Толь-
ко что изложенные свойства характеристик [формула (33) для первого семей-
ства и формула (34) для второго семейства] позволяют сразу заключить, что
решение уравнения (31) при граничном условии (37) может быть представлено
в форме
Ψ = — С/оА,2 (ж Τ ω#), (38)
где, наподшнаем, индексу 1 при h соответствует верхний знак в круглой
скобке, а индексу 2 — нижний.
В отличие от дозвукового обтекания, функция тока возмущений ψ (x, у)
при удалении на сколь угодно большое расстояние от контура профиля не
обращается в нуль, а сохраняет внутри верхней и нижней полос, ограничен-
ных крайними характеристиками ААг, ВВг и АА2, ВВ2, при у -> ± оо то же
распределение по х, как и па верхней и нижней поверхностях профиля х).
*) Асимптотические методы теории малых возмущений показывают, что на больших
расстояниях от профиля влияние малых второго порядка становится существенным уже
в первом приближении и искажает картину течения на рис. 95. Характеристики искрив-
ляются и перестают быть параллельными между собой. См. М. Ван-Дайк, Методы
возмущений в механике жидкости, «Мир», М-, 1967, стр. 147—161.

220 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Вне указанных полос поток остается однородным и скорость его равна TJ «,.
Как это непосредственно видно из решения (38) ъ показано на рис. 95,
линии тока возмущенного движения (ψ = Uxy + ψ = const) представляют
кривые, которые могут быть получены параллельным переносом верхнего
и нижнего контуров профиля соответственно вдоль характеристик первого
и второго семейств.
Располагая решением (38), найдем по (15) распределение скоростей возму-
щений (штрих означает производную по всему аргументу, стоящему в круг-
лой скобке)
Мое — 1 °У ум^-1
у= —-^=Uoch'lt2(x-=f(dy),
(39)
справедливое во всей области возмущенного движения. Из второго равенства
системы (39) можно найти угол отклонения 6li2 касательной к линии тока
в возмущенной области от линии тока невозмущенного потока. Будем иметь
по определению линии тока и в силу малости отклонения Gli2
(£/«,+м) и°°
а тогда из равенств (39) следует
u=+ J^L--elt8, Z=uaoei,z. (40)
Эти равенства выражают основное свойство линеаризованного сверхзвукового
потока: продольная и поперечная составляющие скорости возмущения при задан-
ных скорости и числе Маха невозмущенного потока пропорциональны местно-
му углу наклона линии тока возмущенного движения по отношению к напра-
влению невозмущенного потока и имеют местный (локальный) характер.
Тем же свойством обладают давление, плотность и другие характерные для
потока величины, что принципиально отличает сверхзвуковой линеаризован-
ный поток от дозвукового, в котором значения параметров потока в данной
точке зависят от распределения этих параметров во всем потоке в целом.
Припоминая одинаковую как для дозвукового, так и сверхзвукового
линеаризованных потоков формулу (21) коэффициента давления, найдем,
согласно (40), выражения коэффициента давления в любой точке возмущен-
ного потока
VmL-i 1Λν&-1
а затем и на поверхности (контуре) профиля, где приближенно можно поло-
жить у = ± 0,
ср{х)=^т=±т_1^- (41)
Последнее равенство, выражающее пропорциональность коэффициента
давления в линеаризованном сверхзвуковом потоке местному значению угла
между касательной к контуру тонкого профиля и направлением невозмущен-
ного потока — этот угол принято обычно называть «местным углом атаки»,—
напоминает известную «ударную» теорию Ньютона, против применения кото-
рой в теории обтекания тел несжимаемой жидкостью боролся Эйлер. Как
вскоре будет выяснено, «ударная» теория Ньютона найдет свое применение

§ 50]
СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ
221
как вполне удовлетворительный, хотя и только приближенный, метод расчета
обтеканий тел при очень больших значениях чисел Маха набегающего на тело
сверхзвукового потока.
Коэффициент подъемной силы су найдем, выполняя интегрирование (с =
= АВ — хорда профиля, в принятом приближении равная разности Ъ — α
абсцисс точек В и А)
ь
Су = § cpd ( Ζ ) = 1 j (Ср2 - cpi) dx. (42)
α
Подставляя сюда значения ср1 и ср2 из (41), получим
су =
~7== t lK(x) + h[{x)]dx= —^ 2<**-»*>
Введем угол атаки профиля ε как острый угол между направлением
хорды АВ и набегающим потоком
tge« ε
^ У А —У в .
1
тогда предыдущая формула примет окончательный вид
су=-^=. (43)
Это—формула Аккерета *).
В линеаризованной теории сверхзвукового обтекания тонкого профиля
коэффициент подъемной силы не зависит от формы профиля, а только от
общего угла атаки и числа Μ со > 1 набегающего потока.
В отличие от линеаризованного дозвукового течения, в котором, как
это непосредственно следует из правила Прандтля — Глауэрта (§ 49), сопро-
тивление профиля отсутствует, при сверхзвуковом обтекании сопротивление
профиля отлично от нуля; оно носит наименование волнового. Возникнове-
ние этого сопротивления может быть физически объяснено той продольной
несимметрией потока, которая отличает сверхзвуковой поток от дозвукового.
Если в дозвуковом потоке давление в задней кормовой части профиля вос-
станавливается и создает силу, противодействующую главному вектору сил
давлений в передней лобовой части профиля, то при сверхзвуковом обтекании
такого уравновешивания не происходит. В кормовой расширяющейся области
течения имеет место явление, подобное наблюдаемому в сопле Л аваля: сверх-
звуковой поток при расширении ускоряется, давление в кормовой части не
восстанавливается, а продолжает уменьшаться, что приводит к дополнитель-
ной отсасывающей силе, направленной вниз по потоку. Таким образом, в отли-
чие от дозвукового потока, главные векторы сил давления по лобовой и кормо-
вой части поверхности профиля друг друга не уничтожают, а, наоборот, скла-
дываются, образуя суммарную силу волнового сопротивления.
Коэффициент волнового сопротивления сх найдем, составляя выражение
для силы сопротивления
Rx= —§ pnxds= —§ pdy= —2TP°°U*°°§cP^d:E =
ь
= Τ PooC/°° J ( cp * ~Ш ~~ Cpz if ) dx-
1) J.Ackeret, Über Luftkräfte auf Flügel, die mit grösserer als Schallgeschwindig-
keit bewegt werden. Zeischr. f. Flügtechn. 16, 1925.

222 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Согласно (41) будем иметь следующую формулу Аккерета для коэффи-
циента волнового сопротивления:
Их
1 тт*
Д— Г № Н)г+1К (*)?} dx. (44)
Как видно из этой формулы, коэффициент волнового сопротивления
представляет малую величину второго порядка; в отличие от коэффициента
подъемной силы он зависит от формы обтекаемого профиля. Так, для пла-
стины
Уа—Ув
h[ (x) = h'z (x) =
и по (44) получим
с* = -
хв — ха
4ε2
■= —tge τα— ε,
ЛГ- (45)
У Ml,—l
Для вычисления сх в случае более сложных форм профилей полезно
в выражении (44) положить
hi (х) τα ΘΧ = φΧ — ε, h'2 (x) τα θ2 = φ2 + ε,
где ε = α — угол атаки (рис. 96), а φΧ и φ2 — углы между касательными
в точках Мг и Мг верхней и нижней поверхности и хордой профиля. Тогда,
согласно (44), сх выразится в виде
ь
2
L.x.
с~ = -
УMi-1i
В случае симметричного крыла (φΧ = φ2 = φ) получим
ь
4ε2
cv =
VmI
i 4 4 f 2 λ 4(ε2+φ2)
— l I/Ml—l c J VmL—1
Km^
(46)
где φΖ обозначает среднее интегральное значение квадрата угла наклона каса-
тельной к контуру крыла относительно его хорды. Из формулы (46) следует,
что по линеаризованной теории из всех профилей, расположенных к потоку под
малым углом атаки, пластина обладает наименьшим волновым сопротивлением.
Для ромбовидного профиля с максимальной толщиной (малой диаго-
налью) t и хордой (большой диагональю) с имеем φ = tic, так что
cic = -74=(e2 + -J). (47)
У Mi—1v c '
В случае чечевицеобразного профиля (рис. 97), составленного из двух оди-
наковых дуг окружностей, в принятом приближении можно написать
с/2 q>0

§ 51] ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ПЛОСКИХ ОБТЕКАНИЙ ТОНКОГОНЗРОФИЛЯ 223
и заметить, что
с = 2R sin Ц)0 ж 2Rq>0, -у = Л — .Rcos<
Wo,
R_
с
1
:2φ0'
φ0 = 2-
Окончательно найдем по (46)
Cv =
r (ε2+4Λ-)· (48)
Теория Аккерета, как теория первого приближения, дает результаты,
удовлетворительно совпадающие с экспериментом, если профиль достаточно
тонок, углы атаки малы, а число Мс
не слишком близко к единице. Для
примера приводим (рис. 98) сравнение
СУ
Ofi
0,2
О
о,г
Ofi
0,07
Сх
0,06
0,05
■^у·
Ss-
φ-,
ψ
<ss
Рл
^
ом
ν
λ
ν
^^
i
л
4&~
Ι ,
#/4
7ψ
-6 -4 -2
0 2 4 6
ε, градусы
Рпс. 48.
теоретических кривых су (ε) и с* (ε), рассчитанных по форму ам Акке-
рета (43) и (46), с экспериментальными кривыми Хилтона и Прудена *)
для ромбовидного профиля относительной толщины 8,7% с руглен-
ными углами посредине при М» = 1,45. Экспериментальная кривая на-
несена сплошной линией, теоретическая — пунктиром. Орди ат теоре-
тической кривой сх увеличены на число 0,008, соответствующее коэффициенту
сопротивления трения, теорией Аккерета не учитываемому. Более подробное
изложение вопроса о границах применимости формул Аккерета, а также допол-
нительные экспериментальные материалы можно найти в специал й лите-
ратуре 2).
§ 51. Законы подобия плоских до- и сверхзвуковых обтекай
тонкого профиля. Случай околозвукового обтекания
В предыдущих двух параграфах, трактовавших задачи плоского,
до- и сверхзвукового обтекания тонкого профиля, были получены формулыт
позволявшие пересчитывать коэффициенты давлений и подъемной силы, а так-
же коэффициент волнового сопротивления для сверхзвукового обтекания дан-
ного профиля с одного значения числа Маха набегающего потека на другое.
*) W. F. Η i 11 о η, F. W. Ρ г u d e n, Subsonic and supersonic high-speed tunnel
tests of a faired double wedge airfoil. Rep. and Mem. № 2057, 1943.
2) См., например, У. Φ. Χ π л τ о н, Аэродинамика больших скоростей, ИЛ, М.,
1955, стр. 165—231.

224 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
В случае дозвукового потока была установлена связь между ср или су тон-
кого профиля заданной формы и расположения в однородном потоке при
произвольном, меньшем единицы числе Маха М«, и соответствующими зна-
чениями этих коэффициентов для того же и так же расположенного профиля
в однородном потоке несжимаемой жидкости (М<х> = 0). Из формул (29) и (30)
непосредственно следуют несколько более общие формулы пересчета
(cp)m„=Mi (сг/)мда=М1
/*=3 т
Ымю=м2 (сг/)м00=м2 V 1-Mi
коэффициентов ср и су с одного значения М<х> = Мг < 1 на другое №«> =
= М2 < 1, конечно, подчеркнем это еще раз, для одного и того же по форме
и расположению тонкого профиля.!
Судя по формулам (41), (43) и (44), для двух одинаковых по форме тонких
профилей, одинаково расположенных в двух однородных сверхзвуковых потоках
с числами Моо, равными Мх >1 иМ5>1, будут иметь место формулы пере-
счета
(ср)м0О=М2 (сг/)Моо=М2 (Сж)м00=М2 * Mf —1'
которые можно переписать в виде, тождественном с (49), если поменять
местами члены в числителе и знаменателе под знаком корня.
Указанные формулы являются частным случаем более общих соотноше-
ний динамического подобия, которые можно установить для разных по фор-
ме, но аффинноподобных между собой тонких профилей, расположенных под
малыми углами атаки в двух однородных потоках с различными числами
Маха, но, конечно, такими, чтобы сравниваемые потоки были оба дозвуковыми
или оба сверхзвуковыми.
Выясним условия динамического подобия двух линеаризованных потоков
газа и определим соотношения между коэффициентами ср, cv, а в случае сверх-
звукового потока также и сх для таких подобных друг другу потоков.
Рассмотрим два линеаризованных потока со скоростями на бесконечно-
сти Ui и числами Маха Mj, заданные своими функциями тока малых возмуще-
ний ψ,- в физических плоскостях движения (хь уь). Здесь и дальше индекс г
принимает значения г = 1, 2 соответственно двум сравниваемым между
•собой потокам.
Дифференциальные уравнения движения, согласно (17), можно написать
в форме
^±г_ц_^=0 (i=1 2) (51)
дх\ |1-М?| ду\ К ' '' У '
тде верхний знак относится к дозвуковому, а нижний — к сверхзвуковому
потоку. Без нарушения общности принимается, что хорды обоих профилей
одинаковы и равны с = Ъ — а, а уравнения
Vi = К (xt) (г = 1, 2)
соответствуют всему контуру профиля, который, в отличие от предыдущего
(§§ 49, 50), не разделяется на верхнюю и нижнюю части.
Граничные условия на поверхностях расположенных в потоках тонких
профилей будут по (19)
ψ! = — Uiht (Xi) при yt = ± 0, а < xt < Ъ (i = 1, 2). (52)

§51] ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ПЛОСКИХ ОБТЕКАНИЙ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 225
Совершим в уравнениях (51) и граничных условиях (52) переход к без-
размерным переменным, положив
У|1-м!| (53)
ψ,=β*7,Κ|*-Μ?|Ψ{θ,(ξ„ η,), hi^cxtHtfo).
В этих формулах перехода Wt — некоторые, благодаря однородности
уравнений (51) произвольные постоянные, что отражает произвольность
масштабов г|)г. За масштабы ординат профилей приняты произведения длины
хорды с на малую относительную толщину τi, под которой в настоящем изло-
жении принимается не только обычное отношение максимальной толщины
профиля hi max к длине хорды с, но и, более общо, относительная вогнутость
профиля, равная отношению стрелы прогиба «скелета» профиля к длине
хорды, или просто угол атаки; ξ4, η{, Θ,, Я,- — безразмерные координаты
и функции от них.
Выражая в уравнениях (51) и граничных условиях (52) все переменные
через безразмерные их значения, получим после простых сокращений (г = 1, 2)
^■±^ = 0, (54)
Ψ, Л 1-Mil θ, =:—*#, при η, = ±0, ±<2г<±. (55)
В случае дозвукового потока к условиям (55) добавляется еще условие:
ег -»- 0 при У 1\ + η? -»- оо.
Если в сходственных точках сравниваемых двух потоков, определяемых
равенствами безразмерных координат этих точек
ii = is = £. % = 42 = η.
в условиях геометрического аффинного подобия обтекаемых профилей
Нг (Ii) = Я2 (ξ2) = Я (|)
будут выполняться равенства
Mil, 4i) = Mia, η2) = θ(|,η),
то такие потоки будут кинематически подобны друг другу.
Обращаясь к уравнению (54) и граничным условиям (55), убедимс , что
для выполнения указанных требований должны соблюдаться равенства (λ —
некоторая константа)
/1 = /2 ·=λ. (56)
Выполнение дополнительного условия на бесконечности в дозвуковоь
потоке не приведет к новому условию подобия.
При выполнении условий аффинности профилей и равенств (56) совокуп-
ность уравнений (54) и граничных условий (55) приведется к одному уравне-
нию и соответствующим ему граничным условиям
д'%2 — drf
θ=— ЯЛ (I) при η=±0, £<ξ<-|-,
θ ->- 0 при )/~ξ2 -f- η2 -> оо (дозвуковой поток).
15 Л. Г. Лойцянский

226 1ЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
При заданном значении λ полученное уравнение имеет единственное реше-
ние θ = θ (ξ, η), что и говорит о наличии кинематического подобия между
сравниваемыми потоками.
Как тотчас будет выяснено, различные значения постоянной λ зависят
от выбора выражения для Ψ через заданные константы тиМ». Этот выбор
остается произвольным, причем каждому значению λ соответствует свое усло-
вие (56) и вытекающее из него частное условие кинематического подобия.
Некоторые из этих условий будут далее рассмотрены.
Для установления условий динамического подобия обратимся к рассмо-
трению величины коэффициента давления ср в двух кинематически подоб-
ных потоках. Согласно (21) будем иметь, переходя к безразмерным величинам
в сходственных точках,
2^££_ 2 d\j?j _ 9ψ dQj
откуда следует, что условием динамического подобия служит
ΨΓ=ΨΓ= + 2·^=^λ)· (57>
Применяя символ «idem» (по латыни — «то же») для обозначения одина-
ковых величин в сравниваемых двух динамически подобных потоках, можем
условия (56) и (57) записать в следующей более краткой форме:
λ = - = iriem, — = idem. (58)
ΨΚ|1 —Mi ψ
Совокупность равенств (58) можно представить в форме следующей функ-
циональной зависимости *):
£ = fl -!-=)=/(λ), (59)
* \ ψκ |i—м2о| /
выражающей тот факт, что при τ/(Ψ ]/"| 1 — Mi |) = idem будет и
i2L = idem.
Ψ
Как это принято, в правых частях (57) — (59) опущены аргументы ξ и г\г
которые в сходственных точках сравниваемых потоков одинаковы. Не следу-
ет, конечно, забывать, что cp/W при τ/(ψ ]/"| 1 — М^Т) = λ = idem представ-
ляет функцию от ξ и η, зависящую от выбора λ.
Задаваясь различными выражениями произвольной постоянной Ψ через
постоянные τ и Μ «,, будем получать разные значения λ и срответствующие им
различные частные законы подобия. Так, полагая ψ = | 1 —М%> |~1/2,
будем иметь, согласно (56) и (57), формулу (λ = τ)
/(τ)
СР =
Kli-Mo
в случае дозвукового потока совпадающую с ранее установленной формулой (29)
и выражающую тот известный уже нам (правило Прандтля — Глауэрта) факт,
что если сравниваемые профили имеют одинаковые относительные толщины
(в том обобщенном смысле, как это ранее говорилось), то коэффициенты дав-
ления в сходственных точках обоих потоков будут обратно пропорциональны
корням квадратным из значения разности 1 —- М, или 1 — М*.
тттт Λ* Г;л?« Л И По^па оКгА' Рошк°. Элементы газовой динамики, перев. с англ.,
ИЛ, М., 1960, стр. 302—305.

§ 51] ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ПЛОСКИХ ОБТЕКАНИЙ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 227
Если положить Ψ = 1, то соотношение подобия (59) примет вид
и будет выражать другой аспект того же правила Прандтля — Глауэрта,
а именно: если в двух сравниваемых дозвуковых потоках относительные тол-
щины тонких профилей будут между собой относиться, как корни квадрат-
ные из разностей (1 — Щ) и (1 — М|), то коэффициенты давления в сход-
ственных точках таких двух потоков будут одинаковы.
Только что высказанное правило поясняет ранее отмеченное свойство
кривых су (Мое), приведенных на рис. 93 (§ 49). Условие одинаковости отно-
шения τ/У | 1 — ЬЛ1о | приводит к тому, что чем больше угол атаки, тем при
меньших Μ со можно ожидать совпадения расчетного и экспериментального
значений коэффициента подъемной силы.
Интересно еще положить ψ = τ, так что будет
λ~ -J—г-, вР = т/(/|1-М1|).
У |1—м«|
Справедливость такого равенства, утверждающего, что при данном значении
Моо коэффициент давления пропорционален относительной толщине профиля,
была неоднократно нами проверена для случая Мтс = 0 в § 45 (вспомнить
первую из формул (102), а также (105)).
Если, наоборот, относительную толщину профиля менять обратно пропор-
ционально У | 1 — ML· |, т. е. сохранять неизменной величину τ"|/|1— ML· |,
то коэффициент давления будет обратно пропорционален | 1 — М» | согласно
формуле
которую получим из (59), если положим ψ = 1/| 1 — М« |, λ = τ "|/"| 1 — М» |.
Положим, наконец, в равенстве (59)
Ψ = τ/Κ|1-Ν&|;
тогда будем иметь
λ-=1, ср= _L_/(i),
V\i-MSo |
где / (1) является, как уже отмечалось, функцией координат ξ, η, определить
вид которой из соображений подобия, конечно, нельзя. Полученное выраже-
ние для ср находится в полном соответствии с формулами (29) и (41).
Отмеченное многообразие «правил подобия», позволяющее сравнивать
обтекания при различных числах Маха набегающего потока профилей с раз-
личными законами связи между относительными толщинами и числами Маха,
обусловлено линейностью и однородностью уравнений теории до- и сверхзву-
кового обтекания тонкого профиля.
Обратимся теперь к случаю околозвукового обтекания тонкого профиля,
характеризуемого близостью числа М«> набегающего потока к единице.
В этом особом случае изложенный в § 48 простейший способ линеаризации
уже неприменим и должен быть дополнен более тонкими соображениями о сра-
внительной малости членов основного уравнения (7) и выражения скорости
звука (8), применяемых к задаче обтекания тонкого профиля.
Для этого проще всего рассмотреть общее уравнение (2) и выражение
скорости звука (4). Сделаем в них замену и, να ало формулам (9), причем,
в отличие от предыдущей линеаризации (§ 48), в множителях, стоящих перед
15*

'228 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
производными скоростей возмущений duldx, duldy, dvldx, dvldy, представ-
ляющими малые первого порядка, сохраним не только конечные величины, но
и малые первого порядка. С этой целью воспользуемся для квадрата скоро-
сти звука приближенной формулой
a* = al + k^Ul-^{U^ + 2US+uz+^) жal-(k-i)Uji.
В этом приближении получим
[^-^-(А+1)^к]^-г/^(^+-|-)+[^-(/с-1)£/тси1-|- = о,
или, выделяя в левой части малые первого порядка и деля обе части на а»,
<«-«·> £+4-
При Μ со, далеком от единицы, правая часть, как малая второго порядка,
могла быть опущена, что для случаев до- и сверхзвуковых движений приво-
дило к линеаризованному уравнению (10). В разбираемом сейчас случае около-
звукового движения значение Мю = 1 является особым, так как при этом
обращается в нуль коэффициент при производной duldx. Производную duldx
при Μ со, близком к единице, уже нельзя рассматривать как малую величину,
а остальные производные duldy, dvldy, dvldx сохраняют свою малость. Вот
почему первое слагаемое в правой части должно быть сохранено, а остальные
могут быть, как и ранее, опущены. Таким образом, в случае околозвукового
обтекания тонкого профиля линеаризация нарушается, и мы будем иметь
сле^кяцую, уже нелинейную систему уравнений движения
ди dv ,-,
ду дх
В рассматриваемом случае проще иметь дело с потенциалом скоростей
возмущений ср, чем с функцией тока возмущений ψ. Используя наличие потен-
циала скоростей малых возмущений φ (х, у), приведем систему (60) к одному
уравнению
М ш/Ф | g2<P _ (fc+l)M^ dq, д\ .п.у.
{I т°°)дх2 -т,ду2— Uoo дх дх* {V '
с соответствующим ему граничным условием (18)
ψ- = UJi' (x) при у = ±0, а^х^Ь. (62)
Для установления соотношений подобия двух плоских околозвуковых
обтеканий тонких профилей с заданными относительными толщинами τ17
τ2, скоростями набегающих однородных потоков Ult U2, числами Маха Mi
и М2 и показателями адиабат кх и к2 составим следующие уравнения и гранич-
ные условия:
для первого потока
ggi | 1 ait(Pi_ (fci-H)M^ frpi g2cpi
дх* Μ-Μ? ду{ i/t (1 —Μξ) дх дх' '
^-^Uih'^x) при yl = ±01 a^x^b
(63)

§ 51] ВАКОНЫ ПОДОБИЯ ПЛОСКИХ ОБТЕКАНИЙ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 229
и для второго
1 д*Ч>2 К*Й + *)М1 δφ2 δ*φ2
1 —Ml ду2 ~UZ(1-Ml) дх дх2 .
£4z
дх2
-^- — UJi'2{x) при yz=±0, a^x^ib.
(64)
Подобно тому, как это уже было сделано предыдущем параграфе, введем
преобразования
Ф1 = Ф1<Р, <р2 = Ф2<р, х = 1, ^|1-Μ?|^ = Κ|1-Μ2·|^ = η,1 .„„
hi(x) = cciH(l), h2{x) = cx2H(l), J K >
причем по условию подобия функции φ (ξ, η) и Η (ξ) одинаковы в сравни-
ваемых системах. При помощи этих функций уравнения (63) и (64) перепи-
шутся в форме
д2φ
δφ
δ2φ _(ki + i)M2<Dl δφ δβφ .
drf ~ Ui(i— Μ?) δξ dl2 '·
UiCXi
\дц ф1у,|1_ Ms|
д\ (А2 + 1)М1Ф2 δφ δ2φ
Η'(Ι) при η = ±0,Ω<ξ<6;
δξ2 ^ δη
δφ
£/а(1-МЮ Si dl2 '
ЕУТ2
Я'(с) при η=±0, β^ξ<6.
(63а)
(64а)
(66)
вЪ Ф2У|1-МЦ
Требование совпадения этих двух систем, состоящих из уравнений и гра-
ничных условий, приводится к двум равенствам
(А1+1)М^Ф1_(/С2+1)Мг2Ф2
ffi(l-M!) 1/я(1 —М|) *
U1t1 υΖτ2
Выражения коэффициентов давления ср1 и ср2, согласно общей формуле
_ 2м
Cp~~uZ
в сравниваемых потоках будут
2<Di 5φ
2 δφ
'U со дх '
'Pi-
откуда следует
Ui δξ, ' Ср2~
U\cpl U2CP2
2Ф2 δφ
φ, - ф2 · <67>
Исключая из системы равенств (66) и (67) отношения Ф1Ш1 и Ф2/£72>
получим искомые условия подобия двух плоских околозвуковых обтеканий тон-
ких тел
cPiV\l — M2\ _cp2Y\i — Mj| (JCJ+l)Mfti _ (fe2 + l)MlT2
Ч ~ Ч * |i_|v,2|3/2 — |!_Μ||3/2 '
которые с той же условностью, что и раньше, могут быть выражены в виде
обшей функциональной зависимости

230 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Поскольку число Μ со достаточно близко к единице (поток близок к зву-
ковому), оно может быть в числителе аргумента в правой части (68) опущено,
а соотношение (68) переписано в форме
cpK|l-MS.| / (*+1)τ\ (β9
Если, кроме того, сравнение производится в потоках с одинаковыми физи-
ческими свойствами (одно и то же к), то соотношение подобия (68) еще более
упрощается и приобретает форму
срУ]1-Н&>\ Ι τ] \
(70)
В отличие от ранее рассмотренных условий подобия для до- и сверхзву-
ковых обтеканий тонких тел, в случае околозвукового обтекания тонкого тела
имеется лишь одно соотношение подобия. Этот факт является следствием нели-
нейности уравнения (61) относительно потенциала φ: слева φ входит линейно,
справа — нелинейно, в виде произведения двух производных.
Соотношению (68) можно придать и другие формы. Так, например, умно-
жая обе его части на аргумент в правой части, можно освободиться в левой
части от относительной толщины τ. Сохраняя то же обозначение для функции
/, будем иметь
0+1)^ /(Н1)ММ
1-м5, \ |1-м£,|3/2/
Если обозначить через % аргумент в правой части, возведенный в степень
(—2/3), т. е. положить х)
X=={(k+i)xMto)*'»' (72)
то соотношение (71) можно] еще после умножения обеих его частей на %
переписать в виде
cp[(fc+l)Mco]1/3_^/ 1 —Ml
τ
s/з
T\\(k+\)xbAL?h}=i{l)
(73)
или в упрощенных формах, соответствующих равенствам (69) или (70).
Из равенства (73) следует, что, в отличие от до- и сверхзвуковых потоков,
сравнивать околозвуковые потоки можно только в том случае, когда относи-
тельные толщины тонких профилей, числа Маха и показатели адиабаты этих
потоков связаны условием одинаковости в обоих потоках параметра подо-
бия %.
Согласно формулам
cx=-±§cpdy=-*±§Cp¥xdx,
ca = — §cpdx
для околозвукового потока будем иметь
с т2/3 f( H-Mi| i
* к*+1) м1]Уз V [(fc+i)TM^]2/3 / *
ТБ/3 , н_.М«
1 4№ + 1)τΜ«18/»/
l(k+i)MU1/3 Ч(*+1)тм2о]
(74)
^ Г* В' Липман> А· Рошко, Элементы газовой динамики, ИЛ, М., 1960,
4J\J I ш

§ 52]
СУЖАЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
231
Убедительной иллюстрацией закона подобия околозвукового обтекания
тонких тел могут служить кривые *), показанные на рис. 99 и относящиеся
к продольному обтеканию тонких клиньев с половинами углов раствора, рав-
ными 4,5°; 7,5° и 10°. На верхней половине рисунка показаны три эксперимен-
тальные кривые зависимости коэффициента сопротивления сх от числа М«>
в околозвуковой области, найденные
для указанных трех углов раствора.
На нижней половине того же рисунка
те же кривые нанесены в параметрах
подобия (τ = tic)
с, [(ft+1) MS.I
т5/з
LiVs
,Х =
м4—l
[(Α + 1)Μ»τ]
Уз·
Рис. 99.
Совершенно отчетливо обнару-
живается факт объединения трех
кривых верхней половины рисунка
в одну общую кривую на нижней
его части, что и подтверждает пра-
вильность выведенного закона подо-
бия околозвукового обтекания тон-
ких тел.
§ 52. Сужающийся сверхзвуковой
поток. Косой скачок уплотнения
Переходя к рассмотрению не-
линеаризованных сверхзвуковых те-
чений, соответствующих общему
случаю конечных возмущений потока
телами или течений сквозь сопла,
остановимся сначала на двух основных явлениях: торможения, происхо-
дящего в условиях сужения сверхзвукового потока, и, наоборот, ускорения
течения при его расширении.
Начнем с явления торможения сверхзвукового потока, возникающего,
например, при набегании на помещенное в него твердое тело. Простейшим
случаем, допускающим элементарное рассмотрение, может служить симмет-
ричное сверхзвуковое обтекание бесконечного клина с углом при вершине 2Θ,
имеющим некоторую конечную величину. По известному свойству идеальных
потоков можно заменить нулевую линию тока набегающего на клин потока,
направленную в вершину клина О (рис. 100), твердой стенкой и рассмотреть
только верхнюю часть потока, которая будет представлять плоское течение
внутри тупого угла, равного π — θ.
Для выяснения общего характера потока обратим движение и рассмо-
трим течение, вызываемое в неподвижном газе движущимся со сверхзвуковой
скоростью вдоль своей линии симметрии бесконечным клином. Такое течение
можно уподобить рассмотренному в § 28 течению, вызываемому в газе тол-
кающим его поршнем.
При движении клина его щеки также играют роль поршней, толкающих
находящийся перед ними газ и вызывающих в нем образование волн уплотне-
ния. Эти волны, догоняя друг друга, образуют фронт разрыва параметров дви-
жущегося газа, который, в отличие от рассмотренного в § 28 случая ударной
волны, параллельной плоскости поршня и перпендик>лярной направлению
г) Дж. Спрейтер, Аэродинамика крыльев и тел при околозвуковых скоростях,
«борник переводов «Механика», № 3, 1960»

232 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
'/////////////Я
Рис. 100.
его движения, будет как-то наклонен к направлению движения клина (линии
его симметрии).
Выясним, в каких условиях возможно образование исходящей из вер-
шины клина О (рис. 100) плоской головной ударной волны ОС, еще иначе
именуемой косым скачком уплотне-
ния.
С этой целью аналогично тому,
как это делалось в § 28 при расчете
прямого скачка уплотнения, приме-
ним к произвольной трубке тока,
пересекающей косой скачок, три
основных закона сохранения: массы,
полного импульса и полной энталь-
пии.
Условимся обозначать в дальней-
шем индексом 1 величины до скач-
ка, индексом 2 — после скачка; кроме
того, применим индекс t для обозна-
чения составляющей скорости в пло-
скости скачка ОС и индекс η — для
нормальной составляющей скорости.
Выбирая контрольную поверхность так, как показано на рис. 100, бу-
дем иметь:
а) закон сохранения массы
Pi^m = Р2^2п;
б) закон сохранения полного имнульса в проекции на линию разрыва
fhVinvit = Pa^snlV»
в) то же в проекции на нормаль к линии разрыва
Pi + PxV\n =» Рг + ΡΛ;
г) закон сохранения полной энтальпии
К +4" (Уи + VU = Ъ + Т <F" + Fi«).
Из уравнений пп. а) и б) сразу вытекает основное для теории косого скач-
ка равенство
vlt = vu = vu
утверждающее, что при прохождении газа сквозь косой скачок уплотнения каса-
тельная составляющая скорости сохраняется; скачкообразно изменяется лишь
нормальная составляющая
Переписывая с учетом этого свойства косого скачка уравнение полной
энтальпии (п. г)) в виде
fci+4-*7« = ** + 4-^i
2п
2 ' ln a ' 2
и сравнивая его, а также равенства пп. а) и в) с соответствующими уравне-
ниями (39), (40) и (41) теории прямого скачка (§ 28), убедимся, что три основ-
ных равенства, служащих для расчета элементов косого скачка
Pi^m = p2^
2п>
Pi + PiVtn = Рг + PzVL·
fci+4tTn=M-4^:
2п
полностью совпадают с соответствующими уравнениями теории прямого
скачка, если только под скоростью до и после скачка подразумевать нормаль-
ную ее составляющую. Это освобождает нас от повторения выводов § 28.

§ 52]
СУЖАЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
233
Отсюда следует, что соотношение между давлением и плотностью, полу-
чаемое из предыдущих равенств путем исключения скорости, т. е. ударная
адиабата Гюгонио, выражаемая равенством (43) гл. IV и графиком на рис. 37,
должна в случае косого скачка остаться той же, что и в случае прямого скачка.
Точно так же останутся теми же, что и в случае прямого скачка, основан-
ные на законе сохранения полной энтальпии h0 равенства'
"10 = "2о = "о» ^io == ^2о = Τ о, а10 = а20 = а0
а следовательно, и
Т* = Т*=Г*, а* = а% = а*.
Таким образом, при прохождении газа сквозь косой скачок уплотнения
сохраняются неизменными: энтальпия, температура и скорость звука в адиаба-
тически и изэнтропически заторможенном газе, а также критическое значение
температуры газа и критическая и максимальная его скорости.
Наряду с уравнением ударной адиабаты Гюгонио ((43), гл. IV) в теории
скачка сохраняется для нормальных скоростей и формула Прандтля ((49)г
гл. IV), но с измененной правой частью. Нет необходимости полностью повто-
рять вывод этой формулы. Разница в выводах заключена в том, что в теории
косого скачка уравнение Бернулли, написанное в форме (второе равенства
в системе (77) гл. III)
2 ~*~ А—1 ~~ 2(fe—1) " '
заменой V2—V\-\-V%, может быть переписано в виде
Л л. "2 - *+' π*2 V< - k+1 И*2
2 Ч~Т^Т~ 2(А—1) 2 2(*—1) '
где появившаяся справа «приведенная» критическая скорость а*, равная
a* = \f а*
К 1 туг
t J
к+1
будет, по условиям сохранения о* и Vt, также сохраняться при прохождении
газа сквозь косой скачок. Повторяя вывод, изложенный в теории прямога
скачка (§ 28), но используя уравнение Бернулли, только что составленное
для нормальной скорости Vn, и заключающуюся в правой части «при-
веденную» критическую скорость а*, получим следующие два вида формулы
Прандтля для косого скачка:
VlnV2n = a*z, λ1ηλ8η = 1, (75)
где под λη подразумевается отношение Vnla*.
Обращаясь к скоростным треугольникам, показанным на рис. 101, заклю-
чим о справедливости следующей системы равенств (Θ — угол отклонения
потока скачком, β — угол, образованный линией скачка ОС с направлением
набегающего потока):
Vln = Vt sin β, V2n = V2 sin (β_ θ),
Vlt = Vt cos β = Vzt = V2 cos (β-
Пользуясь принятыми ранее обозначениями для проекций скорости
на оси прямоугольной декартовой системы координат Оху
Vix = Щ, Vly = 0, V2X — V2 cos θ = u2, V2y = V2 sinG = vs,
можем переписать систему (76) еще так:
^т= ^ΙδΙηβ, V2n = uzsin$—v2cos$, 1
Vf = V1cos$ = u2cosf>-{-v2sin$. J
i-e)=y(. I (76)

234 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Из последнего равенства системы (77) легко выводятся выражения три-
гонометрических функций угла β скачка через декартовы проекции скоростей
до и за скачком
sinp = -^ip4 cosp = -S-, N^ViV.-u^ + vl (78)
Эти соотношения и равенства (77) позволяют найти выражения касатель-
ных и нормальных компонент скорости через ее декартовы проекции
Vjvz
N
v.= -
Ν
Vin = ητν1 (Fi — "2), V2n = -jr[u2 (Vi — u2) — vl\;
N
подставляя их в первое из равенств (75), получим после простых приведений
(79)
/e + l
Деля обе части этого равенства на а* или на а\, перепишем его в следу-
-ющих двух формах:
Д i f_ > 2 > u2
(in
*^·!-Μ^
(80)
лредставляющих уравнения семейства кривых соответственно в плоскостях
iuja*, vja*) или {щ1а^ v^fa^) с параметрами λΧ или Мх. В последней формуле
системы (80) предполагается, что входя-
щая в правую сторону величина а*/^
по известной изэнтропической фор-
муле выражена через Mi- Полученные
семейства представляют геометрические
места точек концов вектора скорости Vz
за косым скачком, отнесенного в первом
случае к а* и во втором — к с17 причем
в качестве параметров семейств исполь-
зуется величина скорости Vt до скачка,
отнесенная к а* или ах.
Кривые семейств (80) представляют
строфоиды (их еще называют гипоцис-
соидами или декартовыми листами),
графическое построение которых не сос-
тавляет труда.
На рис. 101 в размерных координа-
тах {и, v) показана одна из таких стро-
фоид. Луч OF, проведенный из начала
координат под углом Θ, равным повороту потока или, например, углу полу-
раствора клина, пересекает строфоиду в трех точках: D, Ε и F и таким
образом определяет три значения вектора скорости Vz за скачком уплот-
нения.
Как видно из уравнения (79), двойной точке В (через нее проходят две
касательные, показанные пунктиром) соответствует значение и — Vt скоро-
сти до скачка.
Поскольку OF ;> OB, а речь идет о торможении потока за скачком, точка
F и вообще обе бесконечные ветви строфоиды, расположенные вправо от точ-
ки В и уходящие к асимптоте, являются нерабочими и могут быть опущены.
Рис. 101.

§ 31!J
СУЖАЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
235
Физический смысл имеют только два значения вектора скорости V % за
скачком: OD и ОЕ. Как непосредственно следует из формул (76), отрезки
OG и ОН выражают при этом два возможных значения общей касательной
составляющей скоростей Vx и У2, a (BG, EG) и (ВН, DH) — нормальные
составляющие этих скоростей для двух возможных направлений скачка
уплотнения, соответствующих двум значениям βΧ и β2 угла β.
По условию, набегающий поток является сверхзвуковым, следовательно,
Vt = OB >α*. С другой стороны, из уравнения (79) легко заключить, что
точка А пересечения строфоиды с осью Ои будет иметь абсциссу О А =
=а* IV-l = а*/Ях < а*, так как λλ > 1. Отсюда следует, что точка S на оси
Рис. 102.
Ои, соответствующая критической скорости OS = а*, должна располагаться
между точками А и В, причем так, чтобы выполнялось условие инверсии
ОА -OB = OS2. Окружность радиуса OS = а* разграничивает области до-
и сверхзвуковых течений. Скорости за скачком могут быть как до-, так
и сверхзвуковыми. Подробнее этот вопрос будет разобран далее.
Заметим еще, что в каждом данном случае, т. е. при задании чисел λΧ
или Mi, существует такое значение θ= 0max, при котором точки D и Ε сольют-
ся в одну и, следовательно, этим значениям Θ, Kt или Мх будет отвечать лишь
одно значение угла β и лишь одно расположение косого скачка. Если при дан-
ных λΧ или Mi угол поворота потока задать большим Этах, то решение станет
невозможным. Это означает, что рассмотренная схема (рис. 100) прямолиней-
ного скачка ОС, исходящего из вершины угла (вершины клина), не может быть
в этом случае осуществлена, а должна быть заменена другой схемой, а именно
«отошедшей» от вершины О головной ударной волны; об этом будет сказано
далее.
На рис. 102 приведена диаграмма семейства строфоид, построенная для
значения к = 1,4 по первому уравнению системы (80). Бесконечные ветви,
как нерабочие, опущены. Каждой строфоиде соответствует свое значение пара-
метра λΧ или Мх, указанное в двойной точке кривой (^ — сверху, Mi —
снизу).
Перейдем к более детальному, аналитическому рассмотрению явления
прохождения газа сквозь косой скачок уплотнения.
Прежде всего воспользуемся указанным в начале параграфа приемом
получения формул косого скачка из соответствующих формул прямого скачка

236 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
путем замены V± и V2 на Vln — Vx sin β, V2Tl = V2 sin (β — θ), а следова-
тельно, Mx и М2 на М1п — Mi sin β и Μ2η = М2 sin (β — θ).
Наличие этого простого правила позволяет без труда составить отно-
шения давлений, плотностей и давлений торможения после и до косого
скачка и облегчает их запоминание.
Так, вместо формул (53) и (55) гл. IV будем в случае косого скачка иметь
следующие выражения для отношений давлений и плотностей до- и за скачком:
k + i Μ? sin* β
£« » MJsin'P--^, £« L/ - <81>
Аналогичным путем преобразуется характеризующее потери механиче-
ской энергии газа при прохождении его через косой скачок отношение давле-
ний адиабатически и изэнтропически заторможенного газа за скачком pZQ
к давлению до скачка р10 (§ 29). Формула (59) гл. IV в случае косого скачка
переходит в такую:
ft+1
2ft
M_fto~i*+1\fc-1 (Μ, sin β) ft"1 (m
(l-f-^-Mfsin^)" * (fcM?smsp_±=±)b *
Как и в теории прямого скачка, будем иметь следующие асимптотические
выражения для этого отношения:
а) при Мг sin β ^> 1 (~ — символ асимптотического равенства)
„_ ^20 Г (fc+l)h+1 Τ»"»
Λ ——
[W^Y" (".-пЙ-^ (83)
и для изменения энтропии
^=-ln^~T^rln(M'sinP>- (84>
Заметим, что правая часть в этой формуле всегда положительна, так как
(β >α)
Mi sin β = sin p/(l/Mj) = sin β/ sin a > 1.
Согласно асимптотической формуле (83) в потоке воздуха (к = 1,4) при
Мг sin β ^> 1, величина κ будет обратно пропорциональна пятой степени
произведения Μλ sin β;
б) при числах IV^sin β, близких к единице,
Ρ*"^«1-3^κμ***ρ>"-1Γ·
S2 — sj 2k
я~^ ^ ТЩ+ψ l(Ml sin Ρ)2~1]3·
(85)
Как только что указывалось, выражение в квадратной скобке всегда
положительно. Формулы (85) представляют обобщение на случай косого скачка
формул (61) и (64) гл. IV.
Определим связь между углами β и θ при заданном значении числа Mj
набегающего потока.
С этой целью, по-видимому, проще всего воспользоваться основным соот-
ношением (75), которое, если принять во внимание соотношения (76), может

£ 52]
СУЖАЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
237
быть переписано в форме
VinV2n = V± sin β · V2 sin (β — θ) = V* sin β cos β tg (β - θ) = α*2 =
= α
«2 k—1
k+i
V\ cos2 β;
отсюда непосредственно получается зависимость между углами β, θ и ско-
ростным коэффициентом ^
Г*Р*Ф-в)+^]сов»р=4.
*+U~° г-Ц- (86)
Заменяя здесь λΧ через число Маха Мх по известной формуле (78) гл. III,
получим
tg(p—е>_ к-\ , 2 _ 1+
tgP
М? sin2 β
ft4-1 ' (ft+1) Mf sin2 β fc4-l
M? sin2 β
(87)
Это равенство может быть разрешено относительно tg θ и дает
tge=
ft 4-1
■ctgp.
(88)
-31Π2β-
Mf
На рис. 103 приведен график зависимости θ от β в виде семейства кривых
с параметром Mi· Как уже ранее было отмечено, каждому заданному значению
θ <С 6шах соответствуют два значе-
ния β. Если обозначить через β„ &
значение β, отвечающее максимуму / β
θ при данном Мц то по кривым
рис. 103 можно заключить, что 70°
одно из полученных значений β
будет лежать в интервале (ос, β„,),
где α—угол Маха при заданном Мц
другое —в интервале ($т, π/2). Для
определения первого значения β
следует пользоваться сплошными
кривыми, для определения второ-
го — пунктирными. Сплошные
кривые отделены от пунктирных
линией, проведенной через точки
максимальных значений θ = 6max.
Эта двузначность в определе-
нии β по заданному значению θ
соответствует сущности явления
прохождения газа сквозь косой
скачок уплотнения. Так же, как в теории сопла Лаваля, выбор режима тече-
ния за косым скачком зависит от давления за скачком. Как это следует из
первой формулы системы (81), большему β отвечает и большее значение отно-
шения pjpx давлений за скачком и перед скачком, а меньшему β — соответ-
ственно меньшее отношение этих давлений.
Припоминая, что рассматриваемое отношение давлений служит мерой
интенсивности (мощности) скачка, будем называть косые скачки, определя-
емые верхней областью диаграммы (рис. 103) по значениям π/2 >β >β,„,
заданным пунктирными кривыми, сильными, а скачки, соответствующие диа-
пазону углов α <С β <С β™, рассчитываемые по нижним сплошным кривым,—
Рис. 10

238 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
слабыми. Фронт сильного скачка служит поверхностью (в плоском движе-
нии — линией) сильного изменения кинематических, динамических и термо-
динамических характеристик потока газа, фронт слабого скачка — поверхно-
стью (линией) слабого изменения этих величин. Оба типа изменений наблю-
даются, например, в «отсоединенных» волнах (рис. 104).
Выясним условия, при которых поток за косым скачком уплотнения будет
до- или сверхзвуковым. Найдем связь между числами Маха Мх и М2 до и за
скачком. Для этого воспользуемся формулой (51) гл. IV для прямого скачка
и, следуя общему уже неоднократно при-
/с мененному приему, произведем в этой фор-
в/ м>/ муле замену Mi на Мх sin β, а М2 на
/\ М2 sin(P — θ). Тогда получим искомую форму-
/ х<^~ >«^ ЛУ связи
Iм<# \*Ж i+±ziM.ain»p
J njfi>em*r M'8in»(P-e) = - τ=Γ. (89)
ΑΙ Qj^Y max шгнпзр
чЧЧЧчччччччч^чччччччччччччЗ»- ™1ЯП Ρ §
Рис. 104. Пользуясь этим выражением и соотно-
шением (88), можно выразить число Маха
за скачком М2 через число Маха до скачка Мх и угол β. При этом при
одном и том же Mi двум различным значениям β, соответствующим сильному
и слабому скачку, будут отвечать два отличных друг от друга значения М2,
причем сильный скачок, подобно прямому скачку, переводит сверхзвуковой
поток в дозвуковой, а слабый скачок почти всегда сохраняет поток сверхзву-
ковым. Исключением является незначительная по размерам область диаграм-
мы на рис. 103, граничащая с θ = 0max. Кривой с крестиками на диаграмме
отмечено геометрическое место точек, в которых М2 = 1. Выше этой кривой
М2 < 1, ниже М2 > 1.
Из диаграммы следует, что при Θ, близких к 8тах, и любых Мх оба зна-
чения β могут соответствовать переходу от сверхзвуковой скорости к дозву-
ковой скорости, т. е. в этой области значений θ как сильный, так и слабый
косые скачки ведут себя как прямые, переводя сверхзвуковой поток в дозву-
ковой. Следует, однако, заметить, что в этом случае направление сильного
скачка отличается от направления слабого скачка менее чем на 10°, так что
и разница в интенсивности скачков становится мало заметной.
Пользование расчетными формулами затруднено, так как они достаточно
громоздки. Существуют подробные таблицы для воздуха (к = 1,41), связы-
вающие величины Mi, β, θ, М2, pjpx, p2/pi и приращение энтропии Δδ =
= s2 — Sj *), но они при интервале чисел Мх от 1,05 до 4,00 через 0,05 и срав-
нительно грубом делении углов θ и соответствующих им β занимают 27 стра-
ниц только что цитированной книги.
В связи с этим можно рекомендовать при не требующих большой точности
расчетах пользоваться составленной также для воздуха (к = 1,41) несложной
номограммой 2) на стр. 240, 241. В отличие от диаграммы на рис. 103, в основу
этой номограммы положено семейство кривых β (Mi; θ) с параметром θ. Эти
кривые показаны на номограмме сплошными куполообразными кривыми (если
смотреть вдоль оси Mi), представляющими двузначную связь β и Мх. Заметим,
что семейство кривых β (Мх; Θ) построено по уравнению (88) при нескольких
значениях Θ, рассматриваемого как параметр, и это семейство не следует сме-
*) Α. Φ е ρ ρ и, Аэродинамика сверхзвуковых течений (перев. с англ.), Гостех-
пздат, М., 1953, табл. 5, стр. 431—458.
2) Г. В. Л и π м а н, А. Е. Пакет, Введение в азродинампку сжимаемой жидко-
сти, ИЛ, М., 1949.

§ 52]
СУЖАЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОЕОЙ ПОТОК
239
шивать с семейством кривых на рис. 103, где аргументом является Θ, а
Mi — параметром.
Пользование номограммой заключается в следующем. По требуемому
значению Θ, находящемуся на вертикальной шкале справа, выделяем ту
кривую семейства β (Мх; 0), которая отвечает выбранному значению Θ. После
этого, задаваясь входящим в число известных величин числом М1? находим
два соответствующих ему значения β. Через каждую из этих двух точек
пересечения выбранной кривой β (Мх) с вертикалью Mi = const проходят по
две кривые: одна сплошная выводит на правую крайнюю вертикальную шкалу
чисел М2, вторая пунктирная — на верхнюю горизонтальную шкалу мощно-
сти скачка р^/ру. Большему значению β соответствует большая мощность
скачка, меньшему — меньшее значение мощности p2fpi·
В нижнем левом углу номограммы приведен ключ к номограмме. Вход
показан стрелками, направленными от шкал θ и Mi к точке пересечения кри-
вых, выход — стрелками, направленными от этой точки к шкалам β, pjpi
и М2, на которых можно прочесть ответы. Ключ указан для одного значе-
ния β; он остается тем же и для второго значения β.
Изложенное справедливо только до тех пор, пока угол поворота потока
(угол полураствора клина) 0 не превосходит максимально допустимого при
данном Mi< значения 6тах. В интервале 1 <^ Мх <С! 4 величина 6тах меняется
от 0 до 38с47'. При Mi ->■ оо 6шах->45с22'. Как это непосредственно видно
из диаграммы на рис. 103, при θ = 6max поток за скачком всегда дозвуковой
(линия θ = 6max лежит выше показанной крестиками линии М2 = 1)·
Если θ > 0max, то, как уже ранее указывалось, наличие прямолинейно-
го присоединенного к вершине угла (клина) О косого скачка уплотнения невоз-
можно. Вверх по течению перед точкой О возникает криволинейная «голов-
ная» ударная волна или отсоединенный скачок уплотнения АС (рис. 104)..
В непосредственной близости к точке А отсоединенный скачок А С ведет
себя как прямой, а при удалении от точки А, сначала как сильный косой
скачок, а затем с уменьшением местного угла β постепенно «ослабевает»,
и переходит в прямолинейный косой скачок. При этом вниз по потоку за
отсоединенным скачком имеет место как до-, так и сверхзвуковое течение газа.
За участком АВ скачка образуется дозвуковая зона течения газа, за участком
ВС — сверхзвуковая зона. Эти две характерные зоны потока за скачком
разделяются линией BD, вдоль которой скорость газа равна местной скорости
звука. Течение за отсоединенной криволинейной волной является «смешан-
ным», трансзвуковым. Аналитические методы исследования таких потоков
представляют до сих пор большие математические трудности, преодолеваемые
только при помощи электронных вычислительных машин 1).
В отличие от прямолинейного присоединенного скачка, поток за отсое-
диненным криволинейным скачком будет вихревым, а поле энтропии станет
неоднородным. Действительно, по определению, данному еще в гл. IV,
изменение энтропии при прохождении газа сквозь скачок определяется
равенством (В — газовая постоянная)
s2 — % = — В In (р2(/р10);
согласно (82) изменение энтропии будет зависеть от местного значения β,
которое меняется вдоль криволинейной волны АС.
Наличие в головной отсоединенной волне участков сильных волн (вклю-
чая центральный участок, близкий к прямому скачку) естественно вызывает
мысль о необходимости создания такого «волнолома», который разрушал бы
1) «Обтекание затупленных тел потоком реального газа», сборник под ред. О. М. Б е-
лоцерковского, изд. Вычисл. центра АН СССР, М., 1966.

240
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. VI
iff
I
0
гр
—г~=
Начальное
45 ЗЛ_
Отношение
1 · 2 3 Ь 5 6 7 8 9/0/2
г,б з,о
Начальное

в
CvjCiiaoO,^^ (^ CboO, -is iNj >5l ^ O, 4>. (\S <^5 Co ^ *■
Конечное число М2
С»
tN>
^ -Ρ3 «fts Λ
Ci Чэ eg -N]
<Э> til
C5
S
β
в
о
о
и
Η
*σ
ω
ω
ο
и
ο
а
ο
1-3
ο
ν.
*4

242 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
отошедшую волну и заменял ее системой косых скачков, сопровождающихся,
как мы уже знаем, меньшими потерями механической энергии.
С этой целью тупой носок тела, или превосходящий допустимый угол
раствора клина или конуса, заменяют заостренной, постепенно расширяю-
щейся «иглой», на поверхности которой в сверхзвуковом потоке образуются
слабые скачки со сравнительно малыми углами β. Как это видно из ранее выве-
денной формулы (82), потери механической
энергии благодаря наличию у числа Маха IVIj
множителя sin β при этом будут снижаться.
На рис. 105 показан вход в камеру реак-
тивного двигателя с «иглой», разбивающей
головную волну на косые конические (см. да-
лее § 72) скачки. Напомним, что той же цели
Рис. 105. служил сверхзвуковой диффузор, теория кото-
рого была изложена в § 31.
Такого рода «игла», имеющая целью уменьшить входные потери механи-
ческой энергии, носит наименование иглы Осватича по имени немецкого
ученого, впервые в 1944 г. опубликовавшего *) подробное исследование зави-
симости отношения полных давлений в набегающем потоке и на входе в камеру
ofi
ОЛ
0,2
1 ~ ~1,5 Ζ 2,5 3 3,5 4 4,5 5
М,
Рис. 106.
реактивного двигателя после прохождения потоком системы косых скачков
(на рис. 105 их два), замыкаемой прямым скачком. Им было найдено также
возможное оптимальное значение этого отношения при заданном числе η
скачков: (п — 1) косых и одного прямого.
На рис. 106 приведены кривые зависимости этого оптимального отноше-
ния от числа Μ набегающего потока для η = 1, 2, 3, 4. Нижняя кривая (п —
— 1) соответствует расположению на входе обычной ударной волны. График
на рис. 106 показывает, что применение «иглы» позволяет и при больших чис-
лах Маха улучшить восстановление полного давления, в то время как сверх-
звуковой диффузор, описанный в § 31, дает реальные результаты лишь при
числах Маха полета, не превышающих 1,6—1,8. Сводку практических данных
по воздухозаборникам на скоростных самолетах можно найти в руководствах
по прикладной аэродинамике 2).
х) Теория К. Осватича подробно изложена в книге: Р. Герман, Сверхзвуковые
входные диффузоры, Физматгиз, М-, 1960, стр. 161—180. См. также Г. И. Петров и
Е. П. У х о в, Расчет восстановления давления при переходе от сверхзвукового потока
к дозвуковому при различных системах плоских скачков уплотнения, М., 1947 (цитируем
по книге Г-Н. Абрамовича «Прикладная газовая 'динамика», «Наука», М., 1976,
стр. 457).
2) А. К. Мартынов, Прикладная аэродинамика, гл. XII, «Машиностроение»,
М., 1972, стр. 388—405.

§ 53]
РАСШИРЯЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
243
§ 53. Расширяющийся сверхзвуковой поток. Движение газа
в секторе разрежения
Рассмотрим принципиально отличающуюся от предыдущей задачу Пранд-
тля — Майера *) о повороте сверхзвукового потока вокруг кромки выпукло-
го угла О (рис. 107). Как далее станет ясным, нисколько не нарушая общно-
сти, можно предполагать, что начальный поток слева от прямой ОС0 (ОС0 пер-
пендикулярно к первоначальному потоку) является звуковым (λ0 = М0= 1)·
Потоку после полного поворота на
угол θ соответствует Днородное те-
чение справа от прямой ОС с безраз-
мерной скоростью λ и числом М, боль-
шими единицы, так как поток рас-
ширяется (будем предполагать, что
давление ρ на линии ОС удовлетво-
ряет условию перехода к сверхзвуко-
вому течению). Поворот на конечный
угол θ можно рассматривать как ре-
зультат совокупности последователь-
ных малых поворотов в области
С0ОС', а затем в области С ОС" Рис. 107.
и т. д. Нелинеаризованная задача
расчленяется, таким образом, на
ряд линеаризованных. Отсюда сразу следует, что лучи ОС0, ОС, ОС", . . . яв-
ляются линиями возмущения и вместе с тем характеристиками. Вдоль них
возмущения потока постоянны; переходя вниз по потоку от одной линии
возмущения к следующей, бесконечно близкой, заполним линиями возмуще-
ния весь сектор С0ОС, называемый сектором разрежения.
В теории линеаризованных сверхзвуковых потоков была получена
формула
#-= А±6 , (90)
U°° VfA%,-l
выражающая величину малого приращения скорости газа и при повороте
потока на малый угол Θ. Применяя здесь эту формулу к любому текущему
элементарному сектору разрежения (поток в целом не линеаризуется), пере-
пишем ее в виде
dV dB . (91)
ν
Vm2-
Входящие сюда величины V, θ и Μ представляют текущие значения этих
величин для некоторой промежуточной линии ОС сектора разрежения.
Чтобы проинтегрировать уравнение (91), перейдем от числа Μ к скорост-
ному коэффициенту λ. Тогда по известной формуле перехода (80) гл. III
будем иметь (в рассматриваемом движении αλ > 0; dQ > 0, θ > 0 при отсчете
по часовой стрелке)
d% dQ ^ (92)
f
λ2—1
ft—1
ft + 1
λ2
г) L. Ρ г a n d 11, Neue Untersuchungen über die strömende Bewegung der Gase und
Dämpfe. Vorträge und Diskussionen von der 78 Naturforscbersammlung zu Stuttgart, Phys.
Zeitschr. 8, 23, 1907; Th. Meyer, Über zweidimensionale Bewegungsvorgänge in einem
Gas, das mit|Uberschallgeschwindigkeit strömt, Forschungsbeft des VDI 62, 1908.
16*

244 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Переменные разделяются, и интегрирование дает
-тч/тМ^· (93)
Г ft+Ι Λ
причем здесь использовано ранее поставленное начальное условие 0 = 0
при λ = 1.
По определению линии возмущения угол возмущения а, образованный
ею с направлением потока в данной точке, равен
*-ч-
a=:arcsin1Jr = arctgy^=f = arctg \ λ*+* . (94)
Зададим положение линии возмущения ОС углом ε, образованным ею
с начальной линией ОС0. Тогда из рис. 107 легко заключить, что
l + Zlila^^^-^-j-
— arctgi/—^^ arctg V ~
U«
fc-1 "^6 ' λ2-1
τ+τλ
Замечая, что аргументами последних двух арктангенсов служат взаимно
обратные величины и что сумма таких арктангенсов равна π/2, получим
-/Я-(/Й*/тШ
(п;
Совокупность формул (93), (94) и (95) представляет параметрическое
решение поставленной задачи, причем роль параметра играет λ.
Пользуясь известным^ соотношением [(79), гл. III] между λ и М, найдем
λ2—1
-—-— = Μ2— 1
. ft—1 IVI lj
ft+l
λ2
после чего совокупность предыдущих формул, связывающих θ, α и ε с λ,
может быть заменена соответствующей группой формул связи с числом Μ
θ=]/|=|arctg (j/4+T^,Vi2-1)~arCtgl/rM2_1'
(96)
К этим соотношениям можно было прийти и непосредственным интегри-
рованием уравнения (91), переписанного в форме
dQ= V^~idM
Μ (i+!^iM2) *
легко выводимой из изэнтропической формулы (72) гл. III и очевидного рав( н-
ства V = Мо.

S 53]
РАСШИРЯЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
245
Давление и плотность в секторе разрежения определим по обычным изэн-
тропическим формулам
2
к— 1
1
Ро
-(i+-^m·) *-'=(i
(97)
оговоримся, что здесь, как обычно, индекс 0 обозначает условие адиабатически
и изэнтропически заторможенного газа.
Некоторая громоздкость полученных формул^заставляет пользоваться
таблицами и графиками, которые могут быть раз навсегда составлены для
θ°
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
ε°
0,00
23,72
30,04
34,82
38,88
42,34
45,42
48,30
50,93
53,46
55,84
58,16
60,38
62,49
64,52
66,53
68,47
70,33
72,18
73,98
75,74
77,49
79,20
80,90
82,55
84,20
85,81
87,42
а°
90,00
67,28
61,96
58,18
55,12
52,66
50,58
48,70
47,07
45,54
44,16
42,84
41,62
40,51
39,48
38,47
37,53
36,67
35,82
35,02
34,26
33,51
32,80
32,10
31,45
30,80
30,19
29,58
Μ
1,000
1,084
1,133
1,178
1,220
1,258
1,295
1,332
1,366
1,401
1,435
1,470
1,505
1,539
1,572
1,608
1,641
1,675
1,710
1,744
1,779
1,815
1,850
1,884
1,918
1,954
1,989
2,025
λ
1,000
1,068
1,107
1,141
1,173
1,201
1,227
1,253
1,276
1,299
1,322
1,344
1,366
1,387
1,407
1,428
1,448
1,467
1,486
1,504
1,523
1,541
1,559
1,576
1,592
1,609
1,625
1,641
Таблица i
vivo
0,527
0,477
0,449
0,424
0,401
0,381
0,363
0,345
0,329
0,313
0,298
0,284
0,270
0,257
0,245
0,233
0,221
0,210
0,199
0,189
0,179
0,170
0,161
0,153
0,145
0,137
0,130
0,123
θ°
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
129,32
I
ε°
89,02
90,58
92,12
93,66
95,18
96,68
98,20
99,67
101,13
102,58
104,02
105,46
106,88
108,30
109,71
111,11
112,51
113,89
115,27
116,63
118,00
119,36
120,71
122,07
123,41
124,74
126,03
219,32
α°
28,98
28,42
27,88
27,34
26,82
26,32
25,80
25,33
24,87
24,42
23,98
23,54
23,12
22,70
22,29
21,89
21,49
21,11
20,73
20,37
20,00
19,64
19,29
18,93
18,59
18,26
17,97
0,000
Μ
2,062
2,098
2,135
2,174
2,214
2,251
2,296
2,339
2,378
2,422
2,466
2,508
2,550
2,595
2,640
2,689
2,734
2,778
2,826
2,873
2,920
2,968
3,021
3,074
3,131
3,188
3,250
οο
λ
1,657
1,673
1,688
1,704
1,720
1,735
1,752
1,767
1,781
1,795
1,810
1,824
1,837
1,851
1,864
1,878
1,891
1,903
1,917
1,928
1,939
1,951
1,963
1,975
1,987
1,999
2,012
2,437
ν/ρο
0,116
0,110
0,104
0,097
0,092
0,086
0,080
0,075
0,071
0,066
0,062
0,058
0,054
0,051
0,047
0,044
0,041
0,038
0,036
0,033
0,031
0,029
0,027
0,025
0,023
0,021
0,019
0,000
любых значений к. Приводим табл. 9, где сопоставлены характерные величи-
ны θ, α, ε, ρ/ρο, Μ, λ, а также график (рис. 108), на котором приведены кри-
вые зависимости тех же величин, кроме ε, от угла θ для воздуха (к = 1,41).
Проанализируем полученные результаты. Прежде всего следует отметить,
что все характеризующие поток величины не зависят от радиус-векторов г
точек области течения относительно полюса О, т. е. от расстояния до верши-
ны угла, а зависят лишь от полярного угла ε. Мы здесь вновь встречаемся
с особым случаем, когда уравнение в частных производных, описывающее
плоское, двумерное движение, сводится к обыкновенному дифференциальному
уравнению, т. е. уравнению с одной независимой переменной.
Подобно случаю центрированных волн разрежения за поршнем (§ 34),
исследование которых привело к необходимости решения простой автомодель-

246 ПЛ КОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ГГЛ. VI
ной задачи в плоскости (х, t), точно так же в случае плоского движения в секто-
ре разрежения мы имеем автомодельную задачу, но в плоскости (х, у) или
(г, ε). Прямолинейные характе-
*· Р/Ро
л,м
40
2,0
W
90'
ж
s
π
^
Μ
ОС'
рМ
1
0,6
№
0,2
10
го зо
Рис. 108.
40
50 60
б'
О
ристики, заполняющие сектор раз-
режения, являются также центри-
рованными, так как все проходят
через вершину угла О. Независи-
мость от радиуса-вектора г, а тем
самым и автомоделъностъ задачи,
конечно, связаны с наличием усло-
вия однородности потока слева от
первой линии возмущения.
Далее, из полученного реше-
ния сразу следует, что при воз-
растании λ до максимально воз-
можного значения
Чпах'
V-
fc+1
или числа Μ до Μ = оо, т. е. при истечении с максимальной скоростью Утах
е абсолютный вакуум, угол|9 возрастает до своего максимального значения
вши—(|/ -*=Т~ i)T'
При этом, согласно (94) и (95), будет
: U» етах— ""о Г "max— 2 У U 1*
а-
Таким образом, существует предельный угол поворота потока 6шах, для
воздуха (к — 1,41) равный 129,32°, который мог бы осуществиться только
в идеальном случае расширения газа до абсолютного вакуума. На практике
могут иметь место повороты потока только на углы, меньшие 6тах.
Найдем уравнение линий тока в секторе разрежения в полярных коорди-
натах (г = ON, ε). С этой целью заметим, что по известной формуле диффе-
ренциальной геометрии
1 йг
г de
= Ctg α.
С другой стороны, из~~формул (94) и (95) легко исключить параметр λ
и найти непосредственнуюсвязь^между а и ε; будем иметь
dr
dz
</ёг*(/£Н
Интегрирование приводит ^следующему уравнению семейства линий
тока с параметром г0, равным начальному радиусу-вектору линии тока на пря-
мой ОС0 (ε = 0):
- h+1
r·
■ = r„[cos(VriT|-e)]
Линии тока образуют семейство подобных друг другу кривых с центром
подобия в точке О.
Изложенное решение задачи об обтекании внешности угла является
общим и не зависит от ранее поставленного ограничения λ0 = М0 = 1 при
8 = 0. Это условие было выдвинуто лишь для упрощения формулы (93)

§ 54]
СЛУЧАЙ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ МАХА
247
и дальнейших с нею связанных соотношений. По известному свойству сверх-
звуковых потоков полученное решение может быть использовано для началь-
ного потока с любыми значениями чисел λ > 1 или Μ > 1. В этом случае
следует только начинать с характеристики (линии возмущения), соответ-
ствующей заданному начальному значению λ или М, и подводить к ней одно-
родный прямолинейный поток.
Точно так же и конец поворота потока определяется заданием θ или λ
и Μ на выходе и построением выходного однородного прямолинейного потока
со скоростью и углами, рассчитанными по изложенной теории.
Откажемся от условия λ0 = М0 = 1 при θ = 0 и примем за начальную
любую характеристику ОСг, соответствующую значению Μ = Мг > 1.
Обозначим индексом 1 параметры потока на входной характеристике ОСх
и сохраним величины без индекса для текущих значений параметров внутри
сектора разрежения. При этом условимся отсчитывать угол поворота потока θ
от направления потока на входе, а ε — от начальной характеристики; опре-
деление а останется прежним. Тогда равенства (96) примут вид
- arctg ( j/j^l VW^i ) ] - arctg VW^l + arctg УЩ^Л,
1
a==aTCtgTW=i>
К этим равенствам можно присоединить известные изэнтропические фор-
мулы для давления и плотности
Ρ Λ + Τ^Υ^" ρ /l + T^V^
Ρ _ i 2 1 ρ _ f I \ (Μ)
(98)
Расчеты этих величин можно вести по ранее указанной табл. 9 или кри-
вым на рис. 108.
§ 54. Случай больших чисел Маха. Закон подобия
гиперзвуковых потоков
Рассмотрим случай обтекания тонкого профиля с очень большими числа-
ми Маха (М Э" 1)' такое обтекание иногда называют гиперзвуковым. Будем
продолжать считать газ однородным, отвлекаясь от тех сложных процессов,
которые на самом деле возникают в гиперзвуковых потоках за счет высоких
температур, образующихся при торможении газа на поверхности тела и при
прохождении сквозь поверхности «сильных» разрывов. Будем в настоящем
параграфе пренебрегать явлениями диссоциации и последующей возможной
рекомбинации молекул газа, ионизации газа и некоторыми другими физи-
ческими и химическими процессами, характерными для гиперзвуковых движе-
ний газа. К некоторым из этих существенных явлений мы вернемся в послед-
ней главе курса, где пойдет речь о более близкой к действительности модели
газа, обладающего внутренним трением (вязкостью) и теплопроводностью.
Строгая математическая постановка задач гиперзвукового обтекания тел
представляет большие, во многом еще до сих пор непреодоленные трудности,
так как в этих условиях возникают сложные взаимодействия потока с силь-

248 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 1ГЛ. VI
ными разрывами, вызывающими, как уже указывалось, неизэнтропичность
потока в тонком слое вблизи поверхности тела. Наличие в этой области зна-
чительного влияния таких процессов, как вязкое трение, теплопроводность,
диссипация механической энергии, излучение, и повторим еще раз, диссоциа-
ция — рекомбинация молекул и ионизация газа, делают этот вопрос очень
сложным.
Остановимся на дополнительном рассмотрении изложенных в двух пре-
дыдущих параграфах простейших явлений торможения и ускорения одно-
родного потока газа с точки зрения тех особенностей, которые возникают при
больших значениях числа Маха набегающего потока (Mi Э> 1) и талых углах
поворота потока.
Обращаясь сначала к прохождению газа сквозь косой скачок, рассмотрим
формулы (87) и (81). По условию тонкости тела будем считать тело заострен-
ным с малым углом при вершине Θ. Тогда, как бы ни были велики числа Mi,
угол косого скачка с набегающим потоком β будет иметь тот же порядок мало-
сти, что и Θ. Это позволит произвести в рассматриваемых формулах замену
синусов углов на сами углы, а косинусов — на единицы. Откидывая малые
величины высших порядков, будем иметь, согласно (87), квадратное уравне-
ние относительно ΜΧβ = Кс:
кг - -*+! (Μ,θ) кс -1 = о, (100)
решение которого при очевидном условии Кс = MiP > 0 может быть пред-
ставлено так:
кс=М£=Ц±к+1/(±р-)2 к*+1, (101)
где введено обозначение
К = Mi9 (102)
для величины, играющей, как будет видно из дальнейшего, роль критерия
подобия обтекания газом тонких заостренных тел при больших значениях
числа Mi-
Формулы (81) перейдут в следующие:
-*±1я|
Vz 2fc v7i ft —1 p2 2 /1ПЧ\
-K-T+iKc "Щ- "pT~lt *-*£Ι· ( }
Li
При сохранении числа/? будут сохраняться, очевидно, и отношения (103)
давлений и плотностей за скачком и до скачка.
По первой из формул (ЮЗ) найдем коэффициент давления в потоке
за скачком
τ"**
к+
τΜ^±θ^, (104)
пропорциональный при постоянном К квадрату угла θ поворота потока при
его торможении, причем коэффициент пропорциональности представляет
функцию числа К. Пользуясь непосредственно квадратным уравнением (100)
и его решением (101), можем переписать (104) в форме явной зависимости от К
^Ι^+νΙΨΤ+τ*]*- <105>

§ 54]
СЛУЧАИ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ МАХА
249
Формула (105) выражает закон подобия гиперзвуковых слабо сужающихся
потоков, в частности обтекания клинообразных профилей с малыми углами
полураствора Θ. Согласно этому закону, если в двух таких обтеканиях вели-
чины К одинаковы, то коэффициенты давлепия будут относиться как квадра-
ты углов полураствора клиньев.
Убедимся теперь, что аналогичный закон подобия имеет место и в случае
расширяющихся потоков, если угол расширения мал, а начальное число Маха
велико.
Применим к первому равенству системы (98) асимптотические, верные
для достаточно больших х равенства (~ — знак асимптотического равенства)
arctg;r~-^ Yx2— i ~ x.
Тогда получим
η 2 / 1 1_\
А—1 V Mi M /'
откуда следует
J^L~1—*zl N1,9=1—k-^-K. (106)
Максимально возможный угол поворота Этах будет соответствовать
истечению в вакуум (Т = 0, а = 0, Μ = оо) и равен
2
етах= (Λ_1)Μ1. (107)
Коэффициент давления ср будет равен
а согласно (99) и (106)
— 2fe -Ι ρ ~К
2fe
2 ! / Mi \"
(108)
Как и в случае торможения газа при прохождении сквозь косой скачок
в полной аналогии с равенством (105), можем предыдущую формулу пере-
писать в виде
2ft
2
с
Ρ kK*
(l_±zi *)*-»_!
θ2, (109)
что приводит к следующему общему закону подобия гиперзвуковых потоков:
если в двух подобных плоских гиперзвуковых потоках, слабо отклоняющихся
от однородного, величины К одинаковы, то коэффициенты давления отно-
сятся, как квадраты углов отклонения.
Вводя, как и ранее, обобщенное понятие «относительной толщины» τ,
которая может быть равна либо относительной толщине профиля в собствен-
ном смысле этого слова, либо относительной вогнутости дужки, либо, наконец,
углу атаки, будем считать величину К, равную произведению характерного
числа Маха, например числа Маха М<х> однородного набегающего потока, на
относительную толщину τ, критерием подобия двух гиперзвуковых пото-
ков, слабо отклоняющихся от заданного однородного гиперзвукового потока,
и записывать закон подобия в этом случае в общей форме
ср = τ2/ (К).
(110)

250 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗЛ [ГЛ. VI
Переходя от коэффициента давления ср к коэффициентам подъемной си-
лы су и волнового сопротивления сх, связанным с ср интегральными соотно-
шениями
§cpdx, сж= — §cpdy= — §cp-j~
dy dx.
убедимся что (среднее значение dyldx пропорционально τ) в потоках с оди-
наковыми значениями критерия К коэффициенты подъемной силы, так же
как и коэффициенты давления, будут относиться, как квадраты, а коэффи-
циенты волнового сопротивления, как кубы относительной толщины. Ука-
занный закон подобия содержится, очевидно, с
как частный случай в общем законе (59), где
надо только положить Ψ = τ2 и пренебречь
под знаком корня единицей по сравне-
нию с М«-
сектор
разрежения
Рис. 109.
Рис. 110.
Пользуясь формулами (105) и (109), легко получить выражения коэффи-
циентов подъемной силы и волнового сопротивления для пластинки АБ
(рис. 109), расположенной под малым углом атаки θ (на рис. 109 этот угол
атаки показан сильно преувеличенным) к набегающему на нее однородному
потоку с числом Маха М«>, значительно превосходящим единицу. Обозначая,
как и раньше, индексами 1 и 2 соответственно верхнюю и нижнюю поверхно-
сти пластинки, будем, очевидно, иметь
Рг—Pi
TPocU*x
— CP2~cPi:
θ
а подставляя сюда значения ср«и ср1, заданные формулами (105) и (109), окон-
чательно получим1) (угол атаки θ соответствует углу полного поворота потока)
_ 2h
k—i
У θ
tk+i
-t
/т,+£+тИЧ1-¥*г]}9'- <««>
В этой формуле при К > т—г , что согласно формуле (107), соответ-
ft·—1
ствует θ > 6max, квадратную скобку надо считать равной единице. Это обоз-
начает, что на верхней поверхности пластинки при θ = 9max образовалось
н при θ >>6max сохраняется нулевое давление (абсолютный вакуум).
г) Г. Г. Ч е ρ и ы й, Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью, Фпзматгиз,
М., 1959, сгр. 47.

S 55] УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ В ПЛОСКОСТИ ГОДОГРАФА СКОРОСТИ 251
На рис. 110, заимствованном из только что цитированной монографии
Г. Г. Черного, сплошными кривыми показаны зависимости су (Θ) при раз-
личных Моо в интервале (3 < Моо < оо), рассчитанные по формуле (111) для
воздуха (к = 1,4), пунктирными прямыми нанесены соответствующие значе-
ния су (Θ) по формуле (43) линейной теории Аккерета (§ 50). Наконец, верхняя
прямая (Моо = 0), показанная штрих-пунктиром, отвечает известной нам по
гл. V формуле су = 2πθ для несжимаемой жидкости.
Рассмотрение кривых на рис. 110 показывает, что при Моо > 5 формула
Аккерета дает заниженные значения коэффициента подъемной силы.
Можно еще заметить, что с возрастанием чисел Моо кривые с2/(6) все
более отходят от линейного закона и приближаются к квадратичному закону.
Так, в предельном случае Моо = °° формула (111) приобретает чисто квад-
ратичный вид
Су = (к + 1)θ2 (112)
и только численным коэффициентом отличается от соответствующей формулы
«ударной» теории Ньютона, заключающейся вкратце в следующем.
При значениях Моо, близких к бесконечности, косой скачок в точке А
(рис. 109) пластинки становится очень близким к нижней поверхности, так
что можно без большой ошибки считать линии тока набегающего потока под-
ходящими вплотную к нижней поверхности пластинки и давление на ней
равным полной потере количества движения, соответствующей абсолютно
неупругому удару частиц газа о нижнюю поверхность пластинки со скоро-
стью, равной нормальной компоненте скорости набегающего потока (каса-
тельная компонента скорости сохраняется),
Р2 = Poo (i/oc SlnlJ)2 « Poot/οοθ2.
С другой стороны, на верхней поверхности пластинки при Моо = оо дости-
гается полный вакуум, т. е. в этом случае рг = 0. Таким образом, коэффи-
циент подъемной силы будет равен (I — длина пластинки)
(Р2 — Pi)1 _ OQ2
су — -т — ω« ,
уРоо^У
что при к = 1 совпадает с формулой (112), а при к = 1,4 (воздух) дает резуль-
тат, примерно на 17% меньшие.
§ 55. Уравнения газовой динамики в плоскости годографа скорости
Фундаментальное значение для развития современной газовой динамики
имело установленное С. А. Чаплыгиным *) в его докторской диссертации,
защищенной в 1904 г., преобразование общих уравнений к независимым
переменным в плоскости годографа. Этот переход из физической плоскости
в плоскость годографа скоростей приводит к замечательному результату:
нелинейные уравнения газовой динамики становятся линейными.
Из условия отсутствия иихря
ди _ dv ρ
ду дх
п уравнения неразрывности
д(ри) d(pv) =q
дх ' ду
х) С. А. Ч а п л ы г и н, О газовых струях, Ученые записки Московского унии -рсп-
тета, Отд. физ.-матем. наук, в. 21, 1904.

252 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
можно заключить о наличии потенциала скоростей φ и функции тока \р так, что
дх ' ду
да д(р )
я, , (113)
Ро "~ дУ ' Ро & ' j
где р0 — плотность в покоящемся газе. Отсюда следует
udx-\-vdy = dq>, — vdx-\-udy — -^-d^.
Умножим второе из этих уравнений на i = У—1 и сложим с первым; тогда
получим
(u — iv) d(x+iy) = dtp + i — dty.
Производя замену (V— величина вектора скорости, θ — угол его с осью Ох)
и — iv — Ve~l6, x + iy = z,
найдем следующую, обобщенную на случай сжимаемого газа известную
связь между сопряженной скоростью и производной от комплексного потен-
циала по координате
dz^fa + i-^d^^e™. (114)
Совершим переход в плоскость годографа (F, Θ). С этой целью примем
в равенстве (114) переменные х, у (а следовательно, и z), а также φ и ψ за функ-
ции новых переменных V и Θ; тогда равенство (114) перейдет в следующее:
Сравнивая в этом равенстве коэффициенты при дифференциалах неза-
висимых переменных, получим
dV v [dv ^ ρ dv )e - дв~ ν [ дв +1Т^Ж)е · *110'
Входящее сюда отношение р0/р является функцией скорости 1 или ско-
ростного коэффициента λ. Действительно, по известной изэнтропической
формуле
Чтобы исключить из системы уравнений (115) независимую переменную z,
продифференцируем первое уравнение системы по Θ, второе — по Т" и резуль-
таты вычтем друг из друга, тогда в силу очевидного соотношения
θθ ον ~ av ее
получим равенство
v \deav+l ρ dQdv)e +vie W—p"T6V =
= -L(J^-+iPo__d4_\ie 1_ ie дЧ d / 1 Ρο\3ψ
v\dVdQ^1 ρ dVdQ)e v*e -ЪТ + 1е dv[T-p-)-dti'

§ 55 ] УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ В ПЛОСКОСТИ ГОДОГРАФА СКОРОСТИ 2θ3
которое после сокращений и сравнения действительных и мнимых частей
приведет к системе уравнений
1 дер
V dV
d
dV
(rf)
ΘΘ »
1 Θφ
V dQ
ρ dV '
(117)
Перейдем от величины V к скоростному коэффициенту λ и осуществим вычис-
ление производной в правой части первого уравнения системы (117)
d М_Ро\ _ d
Ли р ' d%
(-SM
fc-1
тогда система (117) примет следующую форму:
"Ж
(*-£И
θλ
1 —λ2
<9ψ
(118)
h-i
λ 1
('
к— 1
"Α+1
λ2
ft-l
Вводя вместо λ переменную τ,
получим систему уравнений Чаплыгина
- М-*
5φ
δτ
1 * ft —i "
2τ ft
(1—τ)*-1
δψ
δθ '
δφ 2τ
δθ i
(1—τ)"-1
δψ
δτ
(119)
Перекрестным дифференцированием и вычитанием можно получить рао-
дельные уравнения для φ и ψ, причем эти уравнения будут линейными урав-
нениями второго порядка в частных производных. Так, например, уравнение
для функции тока ψ будет иметь вид
^[2τ(1-τ)-Μ] +
ft+1
к —I
δ2ψ
= 0.
(120)
2%{\~%)h-i
Остановимся на случае дозвукового течения (λ < 1). Заменяя в уравне-
нии (118) λ на новую переменную s, связанную в случае дозвукового течения
с λ дифференциальным соотношением
"•-/-г
1 —λ2
δλ
*-1.λ, λ
fc+1
приведем систему (118) к форме
д<Р _ \Ггг д^ д(Р — . \fJc θΨ
δθ У ds · ds ~~ V dQ »
где величина К представляет следу* щую функцию λ:
1—λ2
К--
ft + l
h+l
1 \ fc-1
λ2)
(121)
(122)
(123)

254 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Выведенные Чаплыгиным уравнения (119) и (120) были в дальнейшем
приведены к различным, так называемым каноническим формам Л. С. Лейбев-
зоном *), Н. А. Слезкиным 2) и С. А. Христиановичем 3).
§ 56. Влияние сжимаемости на распределение давлений
в плоском дозвуковом потоке
Важное практическое значение задачи об учете влияния сжимаемости
или, иначе говоря, числа Моо набегающего дозвукового потока на распреде-
ление давления по поверхности крылового
профиля и на его подъемную силу вызвало
появление ряда упрощенных приемов этого
учета.
Правило Прандтля — Глауэрта, как уже
было указано ранее, пригодно лишь в случае
тонких, слабо изогнутых профилей, располо-
женных под малым углом атаки в потоке со
сравнительно малыми значениями числа Мтс.
Излагаемые в настоящем параграфе приемы
позволяют вводить поправку на сжимаемость
для более толстых и изогнутых профилей, при
больших углах атаки и диапазонах чисел Μα,.
Функция Υ Κ (λ), входящая в систему уравне-
ний (122), при λ, не слишком близко подходя-
щих к единице, мало отличается от единицы, как об этом можно заключить
из рис. 111 и табл. 10, составленных для воздуха (к = 1,41).
Рис. ill.
λ
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
Μ
0
0,0457
0,0913
0,1372
0,1832
0,2294
0,2759
Vk
1,0000
1,0000
1,0000
0,9999
0,9996
0,9991
0,9982
Таблица
λ
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
Μ
0,3228
0,3701
0,4179
0,4663
0,5152
0,5649
0,6154
10
Vk
0,9965
0,9940
0,9899
0,9840
0,9754
0,9632
0,9461
λ
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
Μ
0,6668
0,7192
0,7727
0,8274
0,8834
0,9409
1,0000
Vk
0,9221
0,8925
0,8416
0,7740
0,6788
0,5092
0
Там же для сравнения приводится и функциональная зависимость Υ К
от М, аналитически выражаемая легко выводимой из (123) формулой
1
УК= (1 -М2)1/* (1 +^γ~ Μ2)
ft-1
(124)
Так, например, при λ = 0,65 (Μ = 0,615) величина Υ К только на 5% отли-
чается от единицы. Заменив в системе (122) приближенно У~К на единицу,
г) Л. С. Л е й б е н з о н, О теории движения газов, ДАН СССР, № 9, 1935.
2) Н. А. С л е з к и н, К вопросу о плоском движении газа, Труды Московского Гос.
университета, 1935, а также ДАН СССР, нов. сер., т. III, № 9, 1936.
3) С. А. Христианович, Обтекание тела газом при больших дозвуковых ско-
ростях, Труды ЦАГИ, вып. 481,1940, а также С. А. Христиановичи И.М.Юрь-
е в, Обтекание крылового профиля при докритичеокой скорости потока, Прикл. матем.
и мех. 11, вып. 1, 1947.

§ 56] ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ 255
получим в плоскости (s, θ) систему равенств
ds
ds
(125)
аналогичную точным условиям Коши — Римана (индекс 0 при величине
означает, что она относится к потоку несжимаемой жидкости)
дВл
dsn
ds0
дВ„
(126)
в плоскости (s0, θ0), причем, согласно определению (121), принятому при
введении функции s, в случае очень малых λ0 будет
dsn
(127)
Совпадение приближенных равенств (125) в плоскости (s, θ) с точными
условиями (126) в плоскости (s0, θ0) еще ничего не говорит о связи между
сжимаемым и несжимаемым потоками, так как граничные условия в плоско-
стях s0, θ0 и s, θ отличны друг от друга.
Отвлечемся в первом приближении от разницы между ds и ds0 и положим
ds--
[—λ2
= cfen
dXc
λ0
(128)
A+l
Проинтегрируем это обыкновенное уравнение первого порядка, связывающее
λ и λ0, а произвольную постоянную интегрирования найдем из условия совпа-
дения скоростных полей при предельном переходе к несжимаемой жидкости
,. λ
1.
(129)
Интегрирование приведет нас к некоторой, не зависящей ни от формь
профилей, ни от характера их обтекания, приближенной связи между λ и λ0,
которую ввиду громоздкости аналитического выражения представим графи-
ком (рис. 111) и табл. 11.
λ
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
Μ
0
0,0457
0,0913
0,1372
0,1832
0,2294
0,2759
λο
0
0,0500
0,0998
0,1493
0,1983
0,2467
0,2943
Та
λ
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
блица
Μ
0,3228
0,3701
0,4179
0,4663
0,5152
0,5649
0,6154
11
λο
0,3410
0,3862
0,4307
0,4734
0,5144
0,5535
0,5904
λ
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
Μ
0,6668
0,7192
0,7727
0,8274
0,8834
0,94 9
1,00 0
λο
0,6251
,6568
0,6857
0,7110
0,7324
0,7483
0,7577
Имея эту связь, нетрудно получить зависимость коэффициента давления
ср в газе от коэффициента ср0 в несжимаемой жидкости.
По известным изэнтропическим соотношениям

256 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 1ГЛ. V
найдем при наличии сжимаемости
1
cv~~ 1
Ρ —Ρα
2р0
P-V»
Р°°П,
fc-u*
h-1
fc+1
к—I
λΙ
_ k+l
~~ к
fc+1
fc—1
fc+1
fc —1
fc+1
λ2
fc-i
1--=+λ1
-1
fc+1
(130)
Присоединяя сюда равенство, соответствующее несжимаемой жидкости,
λ° *2 (131)
^-«-(ev
и соотношение между λ и λ0, представленное табл. 11, будем рассматривать
совокупность формул (130) и (131) как параметрическую связь между ср и ср0
W
W
U7
се
#
<У»
V
£^2
V
Λ
/
^
/TJ
^
X
У,
ё
7,
У,
го,
и,у
Ч
80
1/
Ч
70
-0,
60
мда=<до
id^j
в φ qz чз о>ч о,5 о,в о? ojs οβ i,o у Ср μ
Рис. 112.
через параметр λ. Это дает «начальное приближение по Христиановичу». При
выбранном числе М«> находим Я», а следовательно, по табл. 11 и λ0«, после
чего, задаваясь различными значениями λ0 и определяя соответствующие λ,
получим по формулам (130) и (131) искомую связь между ср и ср0.
Иа рис. 112 и 113 приводятся сетки кривых *), выражающих эту связь
при различных числах М<х> отдельно для положительных и отрицательных ср.
Пунктирная линия λ = 0,85 на рис. 113 показывает предел применимости
метода; при больших λ результаты получаются неудовлетворительными;
отрезками кривых справа от этой линии пользоваться нельзя.
L) В. С. Полядский, Расчет распределения давления при больших скоростях
полета, Изд. Бюро новой техники НКАП, 1943; там же см. таблицы пересчета и указание
поправок по более точному приближению.

$ 06] ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ 257
>
\
N
"\
\
\
\
с:
\^\
V"
^2С,
\
й5
\*
ч \
\
\
\\
1^
z5\
<4\
S
\
Ν-
Α
Λ
\
vS
л
'V
i
А
W
\
\
0
л
\
ν
V
\
V
\
04
\
\
%
\
\
ψ>
X
\
\
\\^
\\
\
, N
Ψ
\
А
\
0
Λ
ч\
\\
ч ^
«4^
\
1 ч
V
л
\
\*
л
νΝ
1
\
1ч
\
А
ч\
\N
N
sV
зХ
-%
\
ь
\
s\
\\
^
^
^
\
А
2-^v.
%
К
\ч
\
А
л
\
L\
S\l
S^
\V
^
N
■a-
\2
\
. \
\\ "
v
^
1 V
^
s&
^
A
\
\
\
\
sV
^
^
^
--\
^0,62
X
л
V
iV
S
&
^
^
\3
Sc
λ
к
л
у
\Υ
^
^
^
Ч\
а
а*·
·.
к
\
\\
л
м
'0,66
\
л
\\
\
^
>х
г
S
?
V
Д
№
λ
^
II
ε
К
\
;S
sv!
w^
Щ
V
η
\V
^
i$
A
№
S
1
1
^
§
i£
v?
λ
S\
ВД
4>
^
^
^
\\
I
•SKsX
^a
5?
^
Λ(\
^
- -
3· -
«4
' ^ Г
I I
4>
I
i
I
I
I
I
17 Л,Г. Лойцянский

258 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
К числу недостатков изложенного приближенного приема относится от-
сутствие явной зависимости между ср и ср0 и вытекающая отсюда необходи-
мость пользования приведенными сетками кривых. Этот недостаток можно
устранить, если ввести упрощение, выдвинутое впервые Чаплыгиным1) и за-
ключающееся в замене действительной адиабаты аппроксимирующими ее
различными простыми кривыми или прямыми 2). Так, Карман и Чень 3), ис-
пользуя прямолинейную адиабату, предложили простую приближенную
аналитическую формулу связи ср и ср0:
c„ =
Сро СР0
ρ- * Mi ,/ч—π,- , 1
^"Е+т.+уГ-и.^ '"-"ч+тС-'"-"*)'*
(132)
не заключающую в своем составе показатель адиабаты к.
При малых Μ оо формула (132) переходит в формулу Прандтля — Глауэрта
"-ро
В отличие от последней, формула (132), заключающая в знаменателе
ср0, не позволяет установить простое соотношение между су и суй\ вычисление
су приходится проводить интегрированием пересчитанного распределения
давления в каждом отдельном случае.
Формула Кармана — Ченя удобна для вычислений и, как показывает
сравнение с опытами, дает удовлетворительную оценку влияния сжимаемости
(числа Μ со) на коэффициент давления ср0 при обтекании того же профиля
несжимаемой жидкостью даже при достаточно больших значениях чисел
Маха.
На рис. 114 приведено для иллюстрации сравнение с опытом результатов
расчета коэффициента давления ср в точке, находящейся на расстоянии 30%
хорды от носика, при угле атаки а = —2° и при различных значениях числа
Μ со для верхней поверхности крылового профиля NACA 4412.
Если отнести верхнюю экспериментальную точку при Μ со = 0,6 к числу
выпадающих, то можно заметить, что кривая, составленная по формуле Кар-
мана — Ченя, хорошо соответствует опытным точкам.
Влияние сжимаемости при дозвуковом обтекании профилей проявляется
в возрастании разрежений на верхней поверхности профиля — факт, который
уже был отмечен при изложении теории малых возмущений Прандтля —
Глауэрта. На рис. 115 показаны полученные экспериментально распределе-
ния давления по верхней поверхности некоторого крылового профиля при
различных числах Мтс набегающего потока. Можно заметить, что с возраста-
нием числа Μ со от значения 0,4 до 0,68 пик разрежения возрос почти вдвое.
Формулу, близкую по структуре к формуле Кармана — Ченя, можно
получить из простых, не связанных с теорией Чаплыгина соображений, если,
согласно Лэйтону4), предположить, что коэффициент давления в данной
точке сжимаемого дозвукового потока может быть выражен через соответ-
1) С. А. Ч а п л ы г и н, О газовых струях, Ученые записки Московского универси-
тета, Отд. физ.-матем. наук, в. 21, 1904.
2) Детальное изложение такого рода методов можно найти в монографии Г. А. Д о м-
бровского, Метод аппроксимации адиабаты в теории плоских течений газа, «Наука»,
М., 1964. У
3) Th. v. К á r m á n, Compressibility effects in aerodynamics, Journ. Aeron. Sci. 8,
July 1941; H. S. Tsien, Two-dimensional subsonic flow of compressible fluids, Journ.
Aeron. Sci. 6, August 1939 (см. 4-е изд. настоящего учебника).
4) E. V. L a i t о n e, New compressibility correction for two-dimensional subsonic
flow, Journ. Aeron. Seien. 18, №5, 1951, p. 350.

§ 56] ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ 259
ствующий коэффициент давления в несжимаемом потоке по формуле Прандт-
ля — Глауэрта, в которой только под числом М<» следует подразумевать
местное, переменное от точки к точке число М.
На самом деле в дозвуковом потоке, описываемом дифференциальными
уравнениями в частных производных эллиптического типа, влияние сжимае-
мости не сводится к местному, характеризуемому числом Μ в данной точке,
-W
ср
-0,6
-0,6
-0,4
-0,2
О
эксперимент
Христианович
(нач.лрибл.)
Норман- Чень
Лрандтль -Глауэрт
0,Z Ofi
Рис. 114
Οβ Οβ
Μοβ
1Мо==0,/я?
.Мео-де
Μ "0,635
Рис. 115
а требует учета влияния сжимаемости на поток в целом. В этом^заключается
приближенность допущения Лэйтона.
Согласно этому допущению, коэффициенты давления в соответствующих
точках связаны формулой
ср0
ср = -
V \ — М2
Исключим М, пользуясь изэнтропическим соотнишением
(133)
Ср ^
V — Ра
2рсо Р—Ра
— О V2
о г оо σο
Poe^i P"
Ш?
л-!
(134)
Отсюда, находя Μ2 и разлагая полученное для него выражение в ряд по сте-
пеням малой величины —х-ср, будем иметь
ft-l
/ 2 \ /. кМ* \ h
M»-(Mi+^)(i+-2=·^)
~=Mi-(i+^MS,)MS,cp+
Подставляя в (133), получим формулу Лэйтона
СрО
/1-М» +
М?
(i+VM^)
(135)
2]Λ —ML
' ОО
ср0
заключающую, так же как и формула Кармана — Ченя, поправочные сла-
гаемые в знаменателе в формуле Прандтля — Глауэрта. Сравнение формул
17*

260 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛТ.НОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Лэйтона и Кармана — Ченя показывает, что при приближении Моо к единице
поправка Лэйтона возрастает значительно быстрее, чем поправка в формуле
Кармана — Ченя. При относительно небольших ср и не слишком близ-
ких к единице значениях Μ со формула Лэйтона дает лучшее совпадение
с опытом, чем формула Прандтля — Глауэрта, и близка к формуле Карма-
на — Ченя.
Все изложенные только что упрощенные методы расчета не были связаны
с определением полного решения задачи о дозвуковом обтекании, в частности,
с влиянием сжимаемости на присоединенную циркуляцию, обеспечивающую
плавный сход газового потока с задней острой кромки крылового профиля х).
§ 57. Околокритическое обтекание крылового профиля
При возрастании числа Моо вблизи поверхности обтекаемого крылового
профиля возникают сложные явления, трудно поддающиеся теоретическому
анализу. Вернемся к кривым рис. 115. Прежде всего обращает на себя внима-
ние явление смещения пика разрежения вниз по потоку, начиная примерно
с Моо = 0,5.
Последняя кривая на рис. 115, относящаяся к числу Моо = 0,835, резко
выпадает из общей закономерности развития кривых давления с ростом Мю.
Прежде всего бросается в глаза значительное уменьшение по абсолютной
величине и сглаживание по форме пика разрежения, затем ясно видно скачко-
образное восстановление давления, показанное на рисунке пунктиром. Эти
явления можно объяснить образованием критического сечения в трубке тока,
суживающейся к точке максимальной скорости в дозвуковом потоке. Даль-
нейшее расширение трубки тока создает движение, аналогичное движению
в сопле Лаваля. Скорость становится сверхзвуковой и затем в скачке уплотне-
ния возвращается к дозвуковому значению. Наличие скачков уплотнения
приводит к возникновению значительных потерь механической энергии и вред-
но отражается на аэродинамических характеристиках крылового профиля.
Одной из мер борьбы с этим явлением стало создание профилей с возможно
поздним образованием критической скорости на их поверхности.
Назовем критическим числом Мкр такое значение числа Μ то набегающего
на крыло потока, при котором где-то на поверхности крыла местное число Μ
становится равным единице, т. е. возникает скорость, равная местной скоро-
сти звука.
Легко связать величину Мкр с минимальным значением коэффициента
давления срт. Для этого, пользуясь выражением ср (134), предположим, что
где-нибудь на профиле скорость достигла местной скорости звука и местное
число Μ стало равным единице; тогда ср достигает минимального по сравне-
нию с другими точками потока значения срт, а число Моо становится равным
Мкр· Следовательно, если в только что указанной формуле положить
Ср = Срт, Мсо = Мкр, Μ = 1,
то тем самым определится искомая связь между Мкр и срт
где, подчеркнем это, величина срт обозначает коэффициент давления при
заданном Моо = Мкр, т. е. в действительном течении газа при наличии учета
сжимаемости.
*) Точные в этом смысле решения были получены одновременно Л. И. Седовым
и Ц. Ц. Лпыем. См. Л. И. Седо в, Плоские задачи гидродинамики π аэродинамики,
Гостехиздат, М.— Л., 1950.

S of]
ПЛОСКИЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
261
В практических расчетах полезнее располагать связью между Мкр и коэф-
фициентом давления срот при обтекании того же профиля несжимаемой
жидкостью, так как последняя величина легко рассчитывается методами,
изложенными в предыдущей главе, или определяется продувками в трубах
малых скоростей. Пользоваться для пересчета срт в сТ,от изложенным выше
правилом Прандтля — Глауэрта или начальным приближением по Христиа-
новичу было бы мало оправданным, так как срт относится к числу Мте =
= Мкр, при приближении к которому предыдущие приемы становятся все
более и более неточными.
Вспоминая чисто экспериментальный факт удовлетворительности фор-
мулы Кармана — Ченя и при Μ со, близких к Мкр, можем использовать эту
формулу и определять Мкр как функцию от сРОт из совокупности равенств
(132) и (136), переписанных в виде
'POm
'рт
Μ2
кр
\ ,
i-T(i-l/i-
_ 2 г/ 2 у
1
~Мкр) сРт
к
^МИр)*-'
(137)
Подставляя значение срт из второго равенства в первое, получим иско-
мую связь между сРОт и Мкр; однако, ввиду громоздкости окончательного
результата, не будем его выписывать.
Предложены различные приближенные
формулы для определения М„р по рассчитан-
ному срот. Приводим одну из них, составлен-
ную Темплем г) для воздуха (к = 1,4),
(1 + 0,2М£р)2
Cpom=l —0,522 М2 н_ппс;М2 λ2 (138)
Ч2Ф(1
-0,05Μ£ρ)2
Рис. 116.
практически эквивалентную совокупности
равенств (137) и приводящую к хорошему
совпадению с опытом. Соответствующая кривая
показана на рис. 116.
Из определения понятия критического
числа Мкр можно заключить, что в дозвуковых
потоках следует отдать предпочтение таким
профилям, которые при том же значении потреб-
ной величины подъемной силы (коэффициента су) имеют по возможности
большее значение Мкр, а следовательно, меньшее срт. Иными словами, надо
стремиться к тому, чтобы одна и та же площадь, заключенная между кривыми
распределения давления по верхней и нижней поверхностям крыла, достига-
лась при пологих кривых распределения давления, а не за счет резких
пиков разрежения. Такого рода профили с повышенными значениями Мкр
были созданы у нас в Союзе и за рубежом и получили широкое распростра-
нение в авиации и турбостроении.
§ 54 Плоский сверхзвуковой поток. Общие свойства характеристик.
Графический метод расчета сверхзвуковых течений
Переход в плоскость годографа привел к созданию аналитических мето-
дов интегрирования дифференциальных уравнений сверхзвукового течения
идеального газа. Однако при практических расчетах предпочитают пользо-
*) У. Ф. X и л τ о н, Аэродинамика больших скоростей, ИЛ, М., 1955, стр. 29.

262 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
ваться простыми графическими приемами интегрирования этих уравнений,
основанными на применении метода характеристик.
Вернемся к основной системе уравнений плоского безвихревого движе-
ния газа (2) и (3) настоящей главы
ди dv л
dy dx
(139)
Обобщая прием, изложенный в § 33 при решении задачи Римана о рас-
пространении конечных возмущений, составим линейную комбинацию урав-
нений (139); умножим соответственно первое из этих уравнений на неопреде-
ленный множитель Л2) второе — на Лх и сложим их между собой. Тогда
получим
A^dfi-u^^+^-A&v)^- (At + A^^ + A^-^-g-^O,
или, собирая по отдельности члены с производными от и и от ν,
Л,(»г-^[^ + ^5)Й-(Л, + Л^)[^-^|^^]-0. (140,
Попытаемся теперь, распоряжаясь величинами Лх и Л2, определить
в каждой точке плоскости (х, у) такое направление с угловым коэффициентом
т = dy/dx, чтобы выражения в квадратных скобках равенства (140) пред-
ставили соответствующие этому направлению производные по х от и и ν:
ди , Aj — Α?μν du йк . ди' dy ди . ди _ du
дх А2 (я2— и2) ду дх ~* ду dx дх* ду dx *
ду Л2 (а2—v2) dv dv , dv dy dv", dv. dv
dx Ai-\-AzUV dy dx ' dy dx dx * dy dx *
и, следовательно, уравнение (140) превратилось в дифференциальное урав-
нение в плоскости годографа (и, ν)
dv _Аг{сР—и2)
du Ai + A2"i' *
Для выполнения этих условий необходимо подчинить величины Аг и Л2
At —A2w _ Azjat-v2) _ ,,,9v
Л2(аЗ-и2)-_(Л1 + А2ш;)1-т' llfbi'
или, что все равно, однородной системе уравнений
Л2 — Л2 [т (а2 — и2) -\- uv] = 0, тЛх + Л2 [а2 — v2 + muv] = 0,
которая будет иметь отличные от нуля решения только при равенстве нулю
определителя системы, т. е. при
(и2 — а2) т2 — 2uvm + ν2 — а2 = 0. (143)
Составляя дискриминант этого квадратного уравнения
UV - (и2 - α2) (ν2 - а2) = а2 (и2 + ν2 - а2) = а2 (V2 - а2),
убедимся, что действительные решения будут иметь место при выполнении
условия
V > а или Μ > 1.
Итак, в каждой точке сверхзвукового потока можно определить два
характеристических направления с угловыми коэффициентами щ и т2,

§ 58)
ПЛОСКИЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
263
(144)
равными корням квадратного уравнения (143)
/ dy \ uv + a Υ V2 — a2
так, чтобы дифференциалам dx, dy, соответствующим этим направлениям
в физической плоскости течения, сопоставлялись дифференциалы du, dv
в плоскости годографа, связанные уравнением (141).
Фундаментальное значение имеет тот факт, что дифференциальное урав-
нение (141) может быть проинтегрировано в конечном виде для произволь-
ного сверхзвукового течения. Переписывая уравнение (141) в тождественном
виде
dv _ Λ2 (а2 —и*) __ Λ2 (α2— ν2) α2 — υ?
йа Ax-f-A^uu Ai + Azuv a2 — υ2
и сравнивая с (142) и (143), получим
dv а2 — и2 uv-\-ayV2 — а2 ,.,г,
-Т-=— т~2 Т= ~ а а · (^5)
аи а2 — ν2 αΔ — ν2 ч '
Перейдем теперь от проекций скорости и, ν к величине вектора скорости V
и углу Θ, образованному этим вектором с осью Ох физической плоскости,
положив
и = V cos θ, ν = V sin θ,
du = dV cos θ — V sin θ Од, dv = dV sin θ + V cos θ dB.
Тогда уравнение (145) перейдет в следующее:
sinG dV + V cos θ de V2 sin θ cos θ ± α2 Υ Μ2 — 1
cosGdF—Fsm6<№ a2 — V2sm2e
Соберем члены с dV и dQ; тогда после простых приведений и сокращений
получим
dV
dB = ±VW-i-^-, (146)
т. е. известное уже нам по § 53 уравнение (91), интеграл которого представлен
формулой (93), а в данном случае может быть записан в общей форме
θ = ± σ(λ) + const, ]
* Η -τ~ л. ' К ~т~
1 W147)
-λ2
k+i" / ' * k+i )
Семейства интегральных кривых уравнения (144), соответствующие
наличию разных знаков перед радикалом, образуют характеристики в физи-
ческой плоскости (х, у), а величины т1 и т2 представляют угловые коэффи-
циенты касательных к характеристикам или характеристические направле-
ния в физической плоскости.
Будем называть для определенности интегральные кривые, соответ-
ствующие дифференциальному уравнению (144) с положительным знаком
перед радикалом, т. е.
dy uv+a YV2 — α2
~dx~ и2—а2 '
характеристиками первого семейства, интегральные кривые уравнения
dy uv—a YV2 — а2
dx и2 — а2
характеристиками второго семейства.

264 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Точно так же дифференциальные уравнения (145) или их интегралы (147)
определяют в каждой точке плоскости годографа скоростей два семейства
кривых — характеристик в плоскости годографа. Пусть знаку плюс соот-
ветствуют характеристики первого семейства, знаку минус — вт,орого семей-
ства. Обозначая через η угловой коэффициент характеристических направле-
ний в плоскости годографа, бу-
дем иметь по (145)
ЛлОАЛч\\^ _/db_\ _ uv±a У У* —а*
Л^ (148)
Рис. 117.
Характеристические направ-
ления в физической плоскости
и плоскости годографа, как это
сразу следует из (144) и (148),
связаны между собой очевидными
соотношениями
щт^ +1=0, п2тг + 1=0.
Отсюда следует, что при выборе
осей Ох и Оу параллельными осям
О'и и O'v, характеристические
направления первого семейства
в физической плоскости будут
перпендикулярны к характеристи-
ческим направлениям второго се-
мейства в соответствующей точке
плоскости годографа и, наоборот, характеристические направления вто-
рого семейства в физической плоскости окажутся перпендикулярными
к характеристическим направлениям первого семейства в плоскости го-
дографа.
Таким образом, характеристические направления в физической плоско-
сти жестко сопряжены с характеристическими направлениями в плоско-
сти годографа. Но дифференциальные уравнения характеристик в пло-
скости годографа (146) были проинтегрированы и привели к конечным
формулам (147) характеристик, представляющих два совершенно опре-
деленных, одинаковых для всех плоских сверхзвуковых течений семейства
кривых.
Замечая, что в общем случае безразмерная скорость λ меняется в преде-
лах 1 ^λ<^|/ £—j, причем левая граница соответствует критической
скорости У = а*, а правая — предельной максимальной скорости У = Утах,
проведем концентрические окружности λ = 1 и λ = Ι/ ^-τ и заполним
пространство между ними щеткой кривых (147). Эти кривые представляют
собой два семейства эпициклоид (рис. 117), описываемых точками окруж-
ности радиуса у ( [/ ]~Ti— l) , катящейся по кругу λ = 1.
Располагая такой раз навсегда для данного к (на рис. 117 для воздуха,
к = 1,4) вычерченной сеткой эпициклоид, нетрудно при помощи простых гра-
фических приемов строить характеристические направления в точках физи-
ческой плоскости, проводя через эти точки перпендикуляры к соответствую-
щим, заданным семействами (147), характеристическим направлениям в пло-
скости годографа.

S 581
ПЛОСКИЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
265
Прежде чем перейти к изложению этих графических приемов, остано-
вимся предварительно на рассмотрении некоторых общих свойств характе-
ристик в физической плоскости.
1. Характеристики уравнений плоского сверхзвукового течения образуют
с вектором скорости газа в данной точке углы, равные углам возмущений
(углам Маха)
■ 1
α = ± arcsin -vj-,
т. е. совпадают с линиями возмущений (линиями Маха).
Для доказательства воспользуемся известной формулой аналитической
геометрии для тангенса угла 6 между направлениями с заданными угловыми
коэффициентами т и v/u; будем иметь по (144)
'±aVv2 — a2
tg6 = -
и
1 +
>±αΥν2 — α2 ν
uz — a2
так что действительно
a2v ± au VV2 -a2
и (F2 — а2) ± αν Υν2 — α2
sin δ = ± -jyj- = sin α.
Vv2-
Υ м*
Отсюда сразу вытекает второе свойство характеристик в физической
плоскости (рис. 118).
2. Вектор скорости направлен по биссектрисе угла между характери-
стиками в физической плоскости.
Отметим, наконец, еще третье свойство характеристик.
3. Проекции скорости газа на нормали к характеристикам в данной точке
физической плоскости равны по абсо-
лютной величине местной скорости
звука.
Действительно (рис. 118),
Fnl = Fcos(90° + a)= —Fsina =
_-_V.-L-
м
-a,
/ (с,)
Fn8 = Fcos(90° —a) = Fsina=V--^- = a.
Пользуясь последним свойством
характеристик в физической плоскости,
легко показать, что кривая зависи-
мости λ (α) для любого сверхзвукового
потока представляет эллипс, форма ко-
торого зависит только от показателя адиабаты к, выражающего физические
свойства газа.
Используем для этого известное изэнтропическое соотношение (Fmax—
скорость истечения в вакуум, когда а = 0)
Рис. 118.
V2
V2
max
— α*2.
2 Τ"*—1 2 ~ 2 At — 1
Обозначим через и я ν проекции вектора скорости V на оси координат,
первая из которых направлена по касательной к характеристике, а вторая —

266 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
по нормали к ней. Тогда ν по свойству 3 будет равно ±а, и предыдущее равен-
ство можно переписать в форме
u2 + v2 . ν2 _ 1 к + 1 »2
2 ~Т~к—1~ 2 /с-1
или, полагая 1и = и/а*, λν = ν/α*,
§^λ£ + λ? = 1, (149)
и малой полуосью, равной единице. Эллипс (149) — его называют эллипсом
/~к-\-1
Буземана — расположен в области между окружностями λ= 1 и λ= у к__^,
причем в соответствии со сказанным выше большая его полуось направлена
по касательной к характеристике в данной точке физической плоскости,
а малая — по перпендикуляру к ней, т. е. по касательной к сопряженной
характеристике в плоскости годографа скоростей.
Возможное расположение эллипса Буземана по отношению к сетке
эпициклоид показано на рис. 117. Если эллипс, нанесенный на кусок прозрач-
ного материала, совмещен своим центром О с центром окружностей, ограни-
чивающих семейство эпициклоид, и так повернут, чтобы некоторая его точ-
ка А совпала с заданной точкой (λ, θ) плоскости годографа, то большая полу-
ось эллипса, образующая с вектором скорости угол а, укажет направление
одной из характеристик (линий возмущения) в физической плоскости. Направ-
ление другой характеристики получим, если совместим с концом вектора
скорости, т. е. точкой (λ, θ), точку А' эллипса, служащую зеркальным отра-
жением точки А эллипса относительно его большой оси.
Таким образом, пользуясь эллипсом Буземана, можем, зная величину
и направление скорости в некоторой точке физической плоскости, без допол-
нительных вычислений чисто графическим путем провести через нее два
характеристических направления в этой (физической) плоскости. При этом
малая полуось эллипса укажет сопряженное характеристическое направ-
ление в плоскости годографа.
На использовании изложенных свойств семейств характеристик в физи-
ческой плоскости течения и плоскости годографа скоростей основан графи-
ческий метод расчета плоских сверхзвуковых потоков г).
По своей общей идее он аналогичен графическому методу расчета рас-
пространения волн конечной амплитуды, изложенному ранее в § 33. Некое
его своеобразие заключается лишь в удобстве использования заранее раз
навсегда вычерченных: 1) сетки характеристик в плоскости годографа —
известных уже нам эпициклоид (147) — и 2) эллипса Буземана (149), изго-
товленного в виде прозрачного шаблона.
Перепишем уравнения характеристик в плоскости годографа (147) в фор-
ме двух отдельных уравнений -~
θ = ^-σ(λ), θ = σ(λ)-<?2,
первое из которых представляет семейство эпициклоид, идущее снизу вверх,
а второе — сверху вниз.
2)L. P r а n d 1, A. Busemann, Näherungsverfahren zur zeichnerischen Er-
mittlung von ebenen Strömungen mit Überschallgeschwindigkeit, Stodola Festschrift, Zü-
rich, 1929. Детали метода и многочисленные иллюстрации его применения можно найти
в обзоре одного из создателей этого метода А. Буземана, помещенном в Handbuch der Ex-
perimental Physik, Bd. 4, 1 Teil, § 26, S. 421, Leipzig, 1931.

§58]
ПЛОСКИЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
267
Складывая и вычитая эти равенства почленно, получим
6 = |(С1-С2), а(Я)=1(С1 + С,2), (150)
так что радиально расходящиеся из точки О (рис. 117) лучи (Θ = const) будут
определяться условием Сг — С2 = const, а изотахи (λ = const), а следова-
тельно, и изобары (р/ро = const) — условием Сх -f C2 — const.
На рис. 119 приводим эскиз общепринятой разметки семейств эпициклоид.
Применяемая в графических операциях сетка эпициклоид имеет более
густую разбивку, соответствующую обычно интервалу изменения Сх и С2,
Рис. 119.
равному единице. На семействе эпициклоид Сг стоят цифры от 560 до 615,
на семействе С2 — от 360 до 415. Вместо ранее указанной на рис. 117 размет-
ки углов θ здесь принята разметка радиусов разностями постоянных Сг — С2
от 165 до 235 (например, метка 210 стоит на пересечении эпициклоид 605
и 395). Окружности, концентрические с основными Ι λ = 1 и λ = Т/ , _, 1 ,
размечаются суммами констант N = Сг -\- С2. Согласно (150), эта сумма
является характерным в принятой разметке числом, определяющим безраз-
мерные значения: λ или М, давления р/р0, температуры Т/Т0, плотности р/р0.
Существуют подробные таблицы этих величин, рассчитанные для воз-
духа в зависимости от числа iV = Сг + С2. Приводим в качестве образца
табл. 12 *). Остальные характерные величины можно при желании опреде-
*) См. цитированный ранее обзор А. Буземана, а также книгу Α. Φ ejp p и, Аэроди-
намика сверхзвуковых течений, Гостехиздат, М., 1953, стр. 424, табл. 2.

268
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
[ГЛ. VI
N
1000
999
998
997
996
995
994
993
992
991
990
989
988
987
986
985
984
983
λ
1,000
1,073
1,110
1,141
1,172
1,200
1,227
1,253
1,278
1,300
1,322
1,343
1,365
1,387
1,409
1,426
1,447
1,466
Μ
1,000
1,090
1,142
1,186
1,228
1,265
1,305
1,342
1,376
1,413
1,443
1,474
1,506
1,542
1,575
1,608
1,643
1,680
vivo
0,527
0,476
0,449
0,424
0,402
0,382
0,363
0 345
0,329
0,313
0,298
0,284
0,270
0,257
0,245
0,233
0,221
0,210
Ν
982
981
980
979
978
977
976
975
974
973
972
971
970
969
968
967
966
965
Τабл i
λ
1,486
1,503
1,520
1,539
1,556
1,575
1,590
1,608
1,625
1,640
1,656
1,671
1,686
1,700
1,718
1,732
1,748
1,763
i ца 12
Μ
1,718
1,750
1,780
1,815
1,850
1,885
1,923
1,958
1,995
2,028
2,065
2,101
2,138
2,178
2,215
2,258
2,298
2,338
P/VO
0,200
0,190
0,180
0,171
0,162
0,153
0,145
0,137
0,130
0,123
0,116
0,109
0,103
0,097
0,091
0,086
0,081
0,076
Ν
964
963
962
961
960
959
958
957
956
955
954
953
952
951
950
949
948
947
λ
1,776
1,791
1,805
1,819
1,832
1,845
1,858
1,872
1,884
1,898
1,910
1,923
1,936
1,948
1,960
1,972
1,984
1,995
Μ
2,378
2,421
2,460
2,506
2,548
2,592
2,636
2,680
2,730
2,778
2,825
2,875
2,920
2,978
3,028
3,078
3,135
3,180
ρ/ρο
0,071
0,067
0,062
0,057
0,055
0,051
0,048
0,044
0,041
0,039
0,036
0,033
0,031
0,029
0,027
0,025
0,023
0,021
лить по известным изэнтропическим соотношениям или таблицам (см.
табл. 4).
Задаваясь скоростями потока на некоторой начальной кривой, не совпа-
дающей с характеристиками физической плоскости, например на входе в рас-
считываемое сопло, и, пользуясь эллипсом Буземана, нанесем в достаточно
WD сии .„„„„//////У/,//////////////////////////////////,
,яч № /ев гоо
Рис. 120.
близких друг к другу точках начальной кривой характеристические направ-
ления в физической плоскости. Точки пересечения их определят новую кри-
вую, разбитую на малые интервалы. Сетка характеристик в плоскости годо-
графа дозволит найти сопряженные с характеристиками в физической пло-
скости эпициклоиды и тем самым получить числа Сг, С2 и их сумму. По этим
числам, пользуясь ранее указанной таблицей, найдем термодинамические
величины в точках новой кривой, которая может быть опять принята за
начальную и т. д.
Таким образом, часть физической плоскости, в которой происходит
сверхзвуковое течение газа, окажется заполненной характеристиками, раз-
бивающими ее на малые «ромбы», по диагоналям которых будут направлены
искомые отрезки линий тока. Внутри каждого такого ромба помещают одно

§ 58]
ПЛОСКИЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
269
над другим значения отметок эпициклоид (характеристик в плоскости годо-
графа), относящихся к данному ромбу физической плоскости. Верхнее число
(большее) относится к характеристике, идущей снизу вверх, нижнее (мень-
шее) — к характеристике, идущей сверху вниз.
Наличие в потоке твердых границ или свободных поверхностей мало
усложняет графическое построение. Процесс отражения сводится к переходу
от одного семейства характеристик в физической плоскости к другому.
Суммы индексов при помощи существующих таблиц легко переводятся
в средние значения термодинамических параметров, относящиеся к малой
области данного ромба. Пример графического построения сопла показан
на рис. 120; поток представляет переход от радиально расширяющегося
с полным углом раствора в 20° к плоскопараллельному потоку. Шаг сетки
по углам равен 2° (см. верхние и нижние цифры).
При наличии сужений потока, вызывающих возникновение косых скач-
ков, в графическом построении удобно пользоваться диаграммой строфоид
(см. рис. 102).
Кроме только что изложенного графического метода, обладающего пол-
ной общностью, имеются еще различные приближенные аналитические мето-
ды, особенно для такого важного случая, как плоское безвихревое движение
газа при очень больших значениях чисел Маха. Уже был ранее упомянут
метод Ньютона, позволяющий в некоторых случаях, несмотря на его при-
ближенность, получать при определении суммарных динамических характе-
ристик удовлетворительную точность.
К вопросу о приближенных методах расчета сверхзвуковых обтеканий
тонких тел мы еще вернемся в конце следующей главы в связи с рассмотре-
нием пространственных сверхзвуковых потоков.

Глава VII
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
§ 59. Потенциалы скоростей простейших пространственных потоков
На основании общих соображений, приведенных в начале гл. V, задачу
о внешнем обтекании тела можно значительно упростить, сделав наперед
предположение о безвихревом характере движения. В этом предположении
во всей области движения имеем
rot V = О
и, следовательно, вектор скорости имеет потенциал φ, связанный с вектором
скорости равенством V = grad φ. В прямоугольной декартовой системе
да д<р д(р
дх ду oz
Общие формулы проекций скорости на оси криволинейных координат
будут (111.16)
F9. = (gradT)e. = -^-^ (4 = 1,2,3). (1)
В цилиндрической и сферической системах криволинейных координат
будем иметь формулы:
а) цилиндрические координаты (III.18)
ν — -^L ν — _L_^L ν — д(с · io\
г— дг ' Κε— г дв ' z~ dz ' К">
б) сферические координаты (III. 19)
V — дср V« — 1 9φ V 1 д(Р /Q\
Vr-1r' "θ—7ГЖ' Κε-"β1ΕθΙΓ· (d)
Предполагая еще, что жидкость несжимаема, будем иметь условие
div V = div grad φ = V2cp = 0, (4)
представляющее известное уравнение Лапласа. Искомый потенциал скоро-
стей φ является решением уравнения Лапласа, удовлетворяющим определен-
ным граничным условиям. Рассмотрим задачу о внешнем обтекании непо-
движного твердого тела с поверхностью σ и ортом внешней нормали η без-
граничной жидкостью, причем примем поток на бесконечности однородным
со скоростью V оо. Тогда граничными условиями будут:
а) условие непроницаемости поверхности тела
Vn = gradn φ = -^- = 0 на поверхности σ;
б) условие на бесконечности
V = grad φ = V го при г -> оо,
где г — радиус-вектор точек области течения относительно начала коорди-
нат, расположенного вблизи обтекаемого тела

§ 59]j ПОТЕНЦИАЛЫ СКОРОСТЕЙ ПРОСТЕЙШИХ ПОТОКОВ 271
Как доказывается в теории потенциала, при весьма широких предполо-
жениях о виде поверхности σ и при только что указанных граничных}усло-
виях, уравнение Лапласа имеет единственное решение (задача Неймана)
Не останавливаясь на общей теории, перейдем к рассмотрению некоторых
простейших частных гидродинамических задач, а затем и более общих про-
странственных течений.
Начнем, как и в случае плоского движения, с установления потенциалов
простых движений.
1. Безграничный однородный прямолинейный поток, имеющий заданную
скорость Foo с проекциями иж, νΧ, Ιυ^, будет удовлетворять очевидной
системе равенств
-^- = Uac = const, ~- = 170, = const, -z?- = Woo — const.
ox ду ' dz
Следовательно, потенциал скоростей в этом случае равен
φ = UooX + Vooy + WooZ = Voa (x cos α + у cos β + z cos у), (5)
где α, β, γ — углы заданного направления потока с осями координат Ох,
Оу и Oz.
2. Поток от источника (стока) мощности О, помещенного в начало
координат О в безграничной жидкости, будет симметричен и даст поле ско-
ростей, отвечающее очевидному условию сохранения расхода
V-AnR2 = О,
где R — расстояние точки потока от источника; отсюда получим
ν Я-
4nR*'
Замечая, что в сферической системе координат
Vr~~ dR~V 4лД»' e R дв U' ε RsinQ дв U*
найдем искомый потен даал скоростей
причем в случае источника Q > 0, в случае стока О < 0. В выражении (6)
нетрудно узнать простейший случай ньютонова потенциала, встречающегося
в теории притяжения, электростатике и др.
fj 3. Лоток диполя β безграничной жид-
кости получим, используя прием нало-
жения потоков. Определим сначала по-
тенциал скоростей поля, создаваемого
совокупностью источника и стока с равны-
ми по абсолютной величине мощностя-
ми +ν- Рис. 121.
Расположим сток (рис. 121) в
точке А прямой линии AL, источник —
в смежной точке А', находящейся от точки А на расстоянии А А' = Δ$. Опре-
делим потенциал скоростей φ в некоторой точке Μ с вектором-радиусом
AM = г, образующим угол θ с направлением прямой AL; найдем (г' = А'М)

272
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
Предположим теперь, что источник сближается со стоком, а мощность
увеличивается до бесконечности а при этом выполняется равенство
lim Q-AA' = m.
А'->-А
Q-coo
Тогда, переписывая потенциал скоростей φ в виде
1 П ΛΔ' Vr'~l/r
и переходя к пределу, получим следующее выражение потенциала скоростей:
4=—£γ-£γ(τ)> (7)
или, вычисляя производную и замечая, что, согласно рис. 121,
1 dr cos θ
ds \ r I
получим еще такое выражение потенциала:
т cos θ ,а\
(р=—щз-- ®
Полученный предельный поток с потенциалом скоростей φ, определен-
ным формулами (7) или (8), называют потоком диполя в точке А с осью AL
и моментом т. Иногда момент диполя рассматривают как вектор т, имеющий
величину т и направленный по оси диполя AL; при этом потенциал диполя
можно представить при помощи скалярного произведения момента на вектор-
радиус так:
Ф =
4л г3
4. Непрерывное распределение источников в безграничной жидкости.
Пусть внутри некоторого объема τ непрерывно распределены источники
(стоки) так, что на единицу объема приходится мощность д. Величина q,
представляющая функцию координат точек в объеме τ, играет роль объем-
ной плотности распределения источников (q > 0) или стоков (q < 0). Эле-
менту объема dx, находящемуся в некоторой точке А объема τ, будет соот-
ветствовать источник мощности q dx, и потенциал скоростей этого элемен-
тарного источника в любой точке Μ пространства, заполненного жидкостью,
как внутри, так и вне объема τ будет равен
где г — длина вектора-радиуса AM = г, соединяющего элементарный источ-
ник в точке А с текущей точкой пространства М. Пользуясь приемом нало-
жения потоков, определим потенциал скоростей в точке Μ от непрерывно
распределенных в объеме τ источников в виде
τ
Подчеркнем, что интегрирование производится по всем элементарным
объемам, образующим объем τ, т. е. по переменным координатам точки А,
в то время как точка М, в которой определяется потенциал скоростей,
является фиксированной. Если обозначить через (а, Ъ, с) декартовы коор-
динаты точки А, а через (х, у, z) — координаты точки М, то формулу (9)

§ 59]
ПОТЕНЦИАЛЫ СКОРОСТЕЙ ПРОСТЕЙШИХ ПОТОКОВ
273
можно переписать явно так:
/ ч 1 Г Г Г q(a, b, c)dadbdc ..л.
Если область течения жидкости безгранична, то функция φ при удалении
точки Μ в бесконечность будет стремиться к нулю. Обозначим через R сред-
нее расстояние точки Μ от частиц конечного объема τ; тогда при достаточном
удалении точки Μ можно сказать, что потенциал скоростей φ будет стре-
миться к нулю, как IIR при R -> оо, или еще иначе, что функция φ обра-
щается в нуль первого порядка относительно малой величины 1/R
φ = 0 (1/R).
Потенциал скоростей (9) совпадает по форме с общим выражением ньюто-
нова потенциала. Если под q понимать плотность распределения массы
в объеме τ, то выражение (9) даст потенциал сил тяготения единичной массы
в точке Μ к некоторой, в общем случае неоднородной массе, заключенной
в объеме τ; если под q понимать плотность распределения электрических
зарядов, то φ будет потенциалом электростатического поля.
Вспоминая определение величины дивергенции вектора скорости как
отнесенного к единице объема расхода жидкости из непрерывно распреде-
ленных источников, можем, очевидно, в любой точке объема τ написать
div V = q
или, заменяя V =*grad φ, div V = ν2φ, получим следующее уравнение
Пуассона:
ν2φ = д. (И)
Отсюда следует, что функция φ, определенная формулой (9) в некоторой
безграничной области, заключающей в себе заполненный источниками конеч-
ный объем τ, является решением уравнения Пуассона (11) внутри объема;
в остальной области, где q = 0, функция φ представляет решение уравнения
Лапласа
У2Ф = О,
причем это решение таково, что обращается на бесконечности в нуль пер-
вого порядка.
В теории потенциала доказывается, что ньютонов потенциал (9) пред-
ставляет единственное конечное, непрерывное, однозначное решение урав-
нения Пуассона (11), обращающееся в бесконечности в нуль первого порядка.
Следует, конечно, иметь в виду, что указанное решение является лишь
простейшим частным решением уравнения Пуассона, отвечающим безгранич-
ной области и не подчиненным граничным условиям, которые возникают
в задачах определения потенциала в ограниченных, конечных по размерам
областях.
Наряду с объемным распределением источников в гидродинамике, так же
как и в других отделах физики, рассматриваются еще поверхностные и линей-
ные распределения источников. Сохраняя для поверхностной и линейной
плотности распределения мощности источников то же обозначение q, будем
иметь соответствующие потенциалы скоростей в виде поверхностного и линей-
ного интегралов
V С qda 1 (* qds //)0.
σ L
Первое из этих выражений, представляющее потенциал скоростей непре-
рывного распределения источников по некоторой поверхности σ, дает гидро-
18 л. Г. Лойцянский

274
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
динамическую интерпретацию известного в теории тяготения и электростати-
ческого притяжения потенциала простого слоя. Потенциал простого слоя
является решением уравнения Лапласа, причем, как доказывается в теории
потенциала, потенциал простого слоя конечен и непрерывен во всей области,
включая и поверхность σг). Производная от потенциала простого слоя
по направлению нормали к поверхности σ
претерпевает при переходе текущей точки
Μ через поверхность σ разрыв непрерыв-
ности — конечный скачок.
Подобно тому как только что рас-
М сматривались потенциалы скоростей не-
прерывных распределений источников,
можно ввести аналогичные понятия и для
непрерывного распределения диполей.
Остановимся на одном, наиболее интерес-
ном распределении диполей, образующем
так называемый двойной слой. Возьмем
некоторую поверхность σ и покроем ее
непрерывно распределенными диполями так, чтобы моменты их (или оси)
совпали по направлению с внешними нормалями η к поверхности σ. Обозна-
чив плотность распределения диполей через т, получим вектор момента-
диполя, приходящегося на элементарную площадку da с ортом внешней
нормали п, в виде mdan, а элементарный потенциал скоростей ^φ, согласно'
(7) или (8), будет равен
, 1 д I 1 \ j 1 то cos θ ,
d4>= —^rn — [~) da = _.___ do,
где θ (рис. 122) — угол между внешней нормалью к поверхности σ и векто-
ром-радиусом г = AM текущей точки Μ относительно точки А, взятой
на поверхности.
Полный потенциал скоростей от покрытой диполями поверхности о*
II f _ 9 /1\,. If mcosd , //|ОЧ
Рис. 122.
служит гидродинамической аналогией известного в теории электричества
и магнетизма потенциала двойного слоя. Если потенциал простого слоя пред-
ставляет, например, электростатический потенциал заряженной'поверхности,
то потенциал двойного слоя дает магнитный потенциал намагниченной
поверхности (магнитного листка).
Упомянем, что потенциал двойного слоя (13) также является решением
уравнения Лапласа, но, в отличие от простого слоя, потенциал двойного слоя
претерпевает разрыв непрерывности при переходе текущей точки Μ через
поверхность σ.
Комбинируя потенциалы простого и двойного слоев, можно решать раз-
личные задачи обтекания тел.
§ 60. Поле скоростей вокруг заданной системы вихрей
в безграничной жидкости; формула Био — Савара
Наряду с основными особенностями скоростного поля: источниками,
стоками и диполями, рассмотрим еще вихревые трубки и линии.
Предположим, что в некотором объеме τ (конечном или бесконечном, как,
например, в случае бесконечно длинной вихревой трубки) задано непрерывное
а) В точках поверхности а потенциал простого слоя выражается, согласно (12),.
через несобственный интеграл, который берется в смысле своего главного значения·

§ 60] ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ ВОКРУГ ЗАДАННОЙ СИСТЕМЫ ВИХРЕЙ 275
распределение завихренности Ω и требуется разыскать распределение ско-
ростей во всей области течения. Простейшей задачей такого рода является
определение по заданному полю вихрей поля скоростей в безграничной
области. В этом случае вопрос сводится к составлению
такого решения относительно V уравнения
rot V = Ω, (14)
которое стремилось бы к нулю при удалении на бес-
конечность от области, занятой вихрями.
Введем в рассмотрение векторный потенциал А,
связанный с вектором скорости V соотношением
V = rot А, (15)
причем подчиним векторный потенциал дополнитель-
ному условию
div .4 = 0.
Тогда уравнение (14), если вспомнить основную
формулу векторного анализа (III.9)
rot rot А = grad div A — V2A,
превратится в следующее:
V2-4 = -Ω. (16)
Рассматривая это уравнение как векторный аналог уравнения Пуассона
(11), можем составить решение уравнения (16) в форме векторного обобщения
ньютонова потенциала (9)
Рис. 123.
где г — радиус-вектор текущей точки поля Μ по отношению к элементу
объема dr.
Согласно (15) получим искомое значение вектора скорости
V = — t f ^-^ ^
5(18)
|τ a.»
Остановимся подробнее на случае окружающей в поле вектора rot V =
= Ω вихревую нить L (рис. 123) элементарной вихревой трубки с конечной
циркуляцией Г. Обозначим через dr элемент нити, ориентированный в ту же
сторону, что и Ω; тогда, производя под знаком интеграла (18) по известной
теореме о связи между интенсивностью вихревой трубки и циркуляцией
скорости по охватывав щему трубку контуру замену
Ω dx = Ω do'ds = Ω dc-dr = Γ dr,
получим вместо (18)
F=^roti>=iHrot(->)·
Использз^я формулу векторного анализа
rot (— dr) = — rot (dr) -f-grad i — J X dr
и замечая, что dr является потенциальным вектором, так что rot (dr)
сможем предыдущее выражение V переписать в виде
L
о,
(19)
18*

276
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
Полученное решение задачи о поле скоростей вокруг заданной вихревой
нити L с циркуляцией Г можно еще упростить, непосредственно вычисляя
градиент под знаком интеграла
grad (1) = _±gradr= —1 Г.= __L;
это приводит к гидродинамическому аналогу известной в теории электромагне-
тизма формулы Био — Савара
drxr
4π J
(20)
Если рассмотреть элементарную скорость dV, образованную (индуциро-
ванную, как принято говорить) в точке Μ элемен-
том вихревой нити dr, то можно вместо (20) на-
писать
dV= Г drXr
4π г3 '
или, переходя к величине элементарной скорости,
Г \dr х г | _ Г ds sin θ
\dV\
(21)
Рис. 124.
4π г3 4π га
По аналогичной формуле Био — Савара опре-
деляют магнитное поле от элемента электричес-
кого тока.
Чтобы проиллюстрировать применение форму-
лы (20), определим скорость, индуцированную в
различных точках пространства прямолинейным
отрезком АВ вихревой нити с циркуляцией Г
(рис. 124).
Замечая, что все элементы прямолинзйного вихря будут в данной точ-
ке Μ давать одинаково направленные элементарные скорости dV (по перпен-
дикуляру к плоскости, проведенной черзз отрезок АВ и точку М, в сторону
вращения, создаваемого вихрем), найдем по (21), пользуясь очевидными
равенствами (h — кратчайшее расстояние точки Μ от отрезка АВ)
h = rs\n§, ds = ~d(Wctgd)=h —τ-?.;
затем получим выражение для [ dV \
, ,тг ■ Г sin θ sin2 θ h dQ
h?
sin2 У 4ji/i
-sin
Θ<ΖΘ.
Интегрирование по θ от θ = α до θ =: л — β дает искомую величину
скорости V, индуцированной вихрзвым отрезком АВ:
π-β
V =
4nh
I sin θ dQ = -r-r-(cos a-j-cos β).
(22)
Формула (22) играет основную роль в расчетах поля скоростей вокруг
вихревых линий и будет в дальнейшем использована в теории крыла конеч-
ного размаха.
Полагая в формуле (22) а = β = 0, получим вновь известную из теории
плоского движения формулу скорости, индуцированной бесконечно длинной
прямолинейной вжхревой нитью
V =
2πλ

§ 61] ПОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ ЗАМКНУТОЙ ВИХРЕВОЙ ЛИНИИ 277
§ 61. Потенциал поля скоростей замкнутой вихревой линии
В случае замкнутой вихревой линии легко получить простое выражение
потенциала скоростей.
Рассмотрим замкнутую вихревую линию L в поле вектора rot а (рис. 125),
ограничивающую некоторую разомкнутую поверхность σ, и составим выра-
жение интеграла от векторного про-
изведения
\ а х dr.
Построим элементарный цилиндр
с образующими, параллельными орту
нормали η к поверхности σ, и с на-
правляющей U, ограничивающей
элементарную площадку do; тогда
сможем написать
\ axdr' = -r-\ ax(nxn') do',
L' С
Рис. 125.
где о' — полная поверхность элементарного цилиндра, состоящая из боко-
вой поверхности и двух оснований do, a dr' и do' обозначают соответственно
элементы контура L' и поверхности о' элементарного цилиндра (do' на
рис. 125 представлено заштрихованной полоской). Применив формулу трой-
ного векторного произведения (1.5), получим
L'
[ а х dr' = -^ [ nan'{da'—^ \ п'ап do1' =
L' С " С
= п —г- div а — grad I ап —г- 1 = η AW a do—grad (an da).
Суммируя обе части последнего равенства по всем элементарным конту-
рам L' слева и по всем элементарным площадкам do справа, получим
\ axdr=\ re diva da—grad \ ando. (23)
Положим в этой формуле а = grad (1/r); тогда будем иметь вместо (19)
Но, как уже ранее упоминалось, функция 1/г удовлетворяет уравнению
Лапласа
так что оковчательно найдем
"--£*■* J £(тК
(24)
Искомый потенциал поля скоростей замкнутой вихревой нити, следова-
тельно, будет равен
Г
ч>=—&г
J дп \ г )
do.
(25)

278
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
Сравнивая (25) с выражением потенциала двойного слоя (13), заключим,
что потенциал скоростей замкнутой вихревой нити L с циркуляцией Г совпа-
дает с потенциалом двойного слоя диполей, расположенных по поверхности σ,
опирающейся на контур L, и имеющих одинаковую по всей поверхности плот-
ность распределения момента, равную циркуляции вихревой нити.
Доказанная только что гидродинамическая теорема представляет аналог
известной теоремы электродинамики об эквивалентности кругового электри-
ческого тока полю магнитного листка.
§ 62. Функция тока в пространственных движениях
В пространственных движениях нельзя ввести функцию тока в общем
случае движения, как это было сделано при изучении плоских движений;
функция тока существует только в отдельных частных случаях, некоторые
из них будут рассмотрены ниже.
Согласно (III.16), уравнение несжимаемости (4) будет иметь вид
£ (H>Hsvgi) + -JL (HsHlvg2) + -£- (вдг,; = о.
Предположим, что одна из составляющих скоростей движения, например
Vq„ повсюду равна нулю или сохраняет независящую от q3 величину, причем
в последнем случае коэффициенты Ляме Hj. и Н2 также не зависят от q3.
Тогда предыдущее уравнение сведется к более простому
^(ВД^) + ^(ЯзЯ^2) = 0,
и можно будет утверждать существование функции ipj удовлетворяющей
системе равенств
*W* = ±<g-. **W, = =F^ (26)
откуда следует
v _ 1 δψ ν _ ' 1 5ψ .„-
■Ч - =*=н2н3 aft-· ·4- + нгнх-ЩГ ΚΔΙ)
Такого рода функцию ψ будем по аналогии со случаем плоского движе-
ния называть функцией тока в криволинейных координатах. Выбор верхних
или нижних знаков произволен и определяется из дополнительных сообра-
жений.
Подчеркнем, что наличие функции тока зависит не только от характера
движения, но и от выбора криволинейной системы координат, при помощи
которой движение описывается.
Рассмотрим, например, осесимметричное относительно оси Oz движение
несжимаемой жидкости в меридианных плоскостях, проходящих через
ось Oz. При таком движении существуют все три декартовы проекции ско-
рости и, v, w, и все они зависят от трех координат х, у, z, так что из урав-
нения несжимаемости — +-=—\--r- = 0, составленного в декартовых коор-
динатах, можно заключить об отсутствии функции тока. Вместе с тем при
пользовании цилиндрической системой координат (г, ε, z) и при меридиан-
ности движения (Vz ~ 0) уравнение неразрывности будет иметь вид
£i^) + £W = 0 (28)
dr dz

$ 62] ФУНКЦИЯ ТОКА В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДВИЖЕНИЯХ 279
и позволит обнаружить наличие функции тока ψ (г, z), связанной с проек-
циями скорости на оси цилиндрических координат соотношениями *)
rV д_±1 rV д± j
rVr~ IT' rV*~^dF>
откуда следует
Аналогично в сферической системе координат (R, θ, ε) при Ve = О
уравнение несжимаемости будет
3 (дзуд sin θ) д (RVe sin θ) η , оПх
Ш ' 5Θ _U' W
и проекции скорости на оси сферической системы координат выразятся через
-соответствующую функцию тока ψ следующим образом:
^в~ да sine зо ' Κθ— iisme ак · W
Введенная уравнениями (27) функция тока обладает свойствами, анало-
гичными функции тока в плоском движении. Замечая, что
по (27) найдем
Следовательно, вдоль линии тока
ψ = const, g3 = const.
В случае ранее рассмотренного осесимметричного движения жидкости
но меридианным плоскостям (ε = const) равенства "ψ = const представят
поверхности, образованные вращением линий тока вокруг оси Oz. Поверх-
ности ψ = const назовем поверхностями тока. В рассмотренном только что
частном случае осесимметричного движения можно на оси Oz положить
ψ = 0; тогда значения гр будут пропорциональны секундным объемным рас-
ходам жидкости через ортогональное к оси сечение трубки тока, ограни-
ченной данной поверхностью тока.
Действительно, секундный объемный расход сквозь ортогональное к оси
Oz сечение, ограниченное окружностью данного радиуса г, будет, согласно
:(29) и условию ψ (0) = 0, равен
г τ
Q=\ Vz2nrdr = 2n [ у-^-гОг = 2щ(г).
о о
Теперь понятно, что выбор знаков в правых частях (27) произведен так,
■чтобы при Q >0 было и ψ >0.
Функцию тока можно рассматривать как одну из составляющих вектор-
ного потенциала скоростей .4, связанного с вектором скорости равенством
) Выбор знаков будет вскоре пояснен.

280 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
(15). Действительно, согласно этому равенству и формулам (III.16), имеем
1 r0(giV д &**?}_
1 Гд(Н2Ад^ 3(Я^д1)
Ч-Г0ЧЛ--ВДГ1, 3?1 3g2 J·
Выбирая вектор А перпендикулярным во всем пространстве координат-
ным поверхностям д3 — const, найдем
v 1 g(g8^ „ 1 g(^8^ .
У^~\НгНг dg2 ' *Ч Я3Я, вац '
положив HsAg = ±ψ (дц ^г). а коэффициенты Ляме и величину Ад —
не зависящими от gs, получим формулы (27). Так, например, в сферической
или цилиндрической системах координат вектор А должен быть направлен
по касательной к параллельным кругам, соответствующим изменению одного
ε, и не зависеть от ε.
Приведем несколько примеров функций тока для простейших движений.
1. Однородный прямолинейный поток со скоростью V», параллельной
оси Oz.
В цилиндрической системе координат имеем
г <9z ' z r дг '
следо вательно
ψ = ^-ΓοοΓ2. (32)
2
В сферической системе координат
Интегрирование этой системы уравнений в полных дифференциалах дает
■ф = уУто#28т20. (33)
2. Источник (сток). Выражение функции тока в сферической системе
координат найдем, интегрируя систему уравнений
Получим
л 4π£2 >i2SiI1e ее ' θ ~—ТШйТЖ·
. £>cos6 ,
Ψ= ^ h const,
или, подбирая константу из условия ψ = 0 при θ = 0,
Ψ = ^(1-<*8θ). (34)
3. Диполь. Используя выражение потенциала скоростей (8), будем
иметь в сферических координатах систему уравнений
у _ го cos 6 __ 1 9ψ _ го sin θ Ι #ψ
к 2яД8 — lysine βθ ' ^θ~ 4nJ?3 — — /isinG ~Ш '

§ сз]
ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ. ПАРАДОКС ДАЛАЫБЕРА
281
откуда следует
3ψ
= 9 „ sin θ cos О,
OR
дв 2nR
Легко найти интеграл этой системы
т sin2 θ
4jti?2
sin2 θ.
1> = -
АлЛ
(35>
обращающийся в пуль при θ = 0.
§ 63. Обтекание сферы. Парадокс Даламбера
Точно так же, как и в случае плоского обтекания круглого цилиндра,
можно найти пространственное обтекание сферы, накладывая однородный
поток, параллельный, например, оси Oz, со скоростью Уто на поток от диполя
Рнс. 126.
с моментом, ориентированным вдоль этой оси, но в сторону, противополож-
ную набегающему потоку (рис. 126). Складывая функции тока (33) и (35),
ьайдем функцию тока составного потока *■)
ψ = 1Γ„^81Ι12θ-:Ζ^-Β1η2θ=(4-^«.^2—4^-)sm26. (36)
2 ' °°" *"" " 4лД
Булевая поверхность тока
!>=(■
2УооП AnR
) sin2 θ = <
разбивается на уравнение поверхности сферы
где а — радиус сферы, и уравн1_ние оси Oz
θ = 0, π.
Отсюда следует, что, желая получить функцию тока обтекания сферы
радиуса а потоком со скоростью Уоо на бесконечности, направленным вдоль
оси Oz, надо положить в выражении функции тока (36)
т = 2na3Voc',
тогда получим
^ = |F„^[l-(-J)3]sin*e. (37>
J) В соответствии с Еыбсрсм направления момента т в формуле (35) заменено на
(—тя), где т > 0.

282 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Нетрудно найти и потенциал скоростей, проинтегрировав систему урав-
нений связи потенциала φ с функцией тока ψ или, проще, непосредственно
составляя сумму потенциалов слагаемых потоков (5) и (8),
<Р = ^^^=^[1ч4(1)]созе. (38)
Исследуем полученный поток. Прежде всего найдем распределение ско-
ростей
".-SWM-S·)']"»'».
(39)
Сразу видно, что на поверхности сферы (Л = а) выполняется основное
граничное условие непроницаемости твердой стенки
vn = vR = о,
а на бесконечности (R -»- оо)
VR = Foo cos θ, Ve = — Vсо sin θ,
т. е. скорость однородного потока на бесконечности равна по величине F„>
и направлена по оси Oz в положительную сторону.
Распределение скорости по поверхности сферы характеризуется равен-
ством
3'
Fe= —^'Foosine.
Точки А и £?|(рис. 126) критические, в них скорость обращается в нуль.
Максимальная скорость имеет место в миделевой плоскости при θ = π/2;
она равна по абсолютной величине
2
I Ve |max — '—Vex
Сравнивая этот результат со случаем обтекания круглого цилиндра
(гл. V), видим, что в пространственном случае обтекания сферы максимальная
скорость на ее поверхности достигает только трех вторых скорости набегаю-
щего потока, в то время как в случае плоского обтекания круглого цилиндра
максимальная скорость в два раза превышает скорость набегающего потока,
т. е. цилиндр производит более значительное возмущение однородного
потока, чем сфера. Это и естественно, так как сечение цилиндра, нормальное
к [потоку, бесконечно, а у сферы ограничено. Заметим, что (так же как
и в случае плоского потока) в действительности максимальная скорость не
достигает столь большого значения; сфера представляет плохо обтекаемое
тело; поток реальной жидкости срывается с поверхности сферы, не доходя
при одних условиях даже до миделевой плоскости, при других — несколько
.заходя {за нее.
Распределение давления по поверхности сферы получим по теореме
Бернулли
Ρ + Ρ-й- = ·Ρ°° + Ρ τ~»
из которой следует выражение коэффициента давления
2 v a
"-i-W-i-i***.

<§ 63]
ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ. ПАРАДОКС ДАЛАМВЕРА
283
Рис. 127.
Как видно непосредственно из последней формулы, главный вектор сил
давления потока идеальной жидкости на поверхность сферы будет равен нулю.
Сфера не оказывает сопротивления набегающему на нее однородному на бес-
конечности потоку, или, иначе, сфера при своем равномерном движении в иде-
альной жидкости не испытывает сопротивления. В этом заключается частный
•случай известного парадокса Далам-
бера, о котором уже была речь в гл. V.
В рассмотренном только что случае сфе-
ры этот парадокс следует из сообра-
жений симметрии распределения дав- f^
ления по поверхности сферы, однако >-
парадокс верен и в общем случае. >-
Докажем справедливость парадо-
кса Даламбера для пространственного
безвихревого обтекания конечного по
размерам тела произвольной формы.
Для этого определим прежде всего по-
рядок убывания скоростей возмущения
однородного потока некоторым ограниченным замкнутой поверхностью σ
телом (рис. 127) при удалении от этого тела.
Разобьем потенциал φ обтекания тела на потенциал однородного потока
со скоростью FOo, параллельной, например, осяОг, и на потенциал скоростей
возмущения φ', вызванный возмущающим действием тела на однородный
поток, в который оно помещено.
Покажем сначала, что при удалении на бесконечность (R —>■ сю) потен-
циал возмущений φ' убывает как Ι/i?2. На примере обтекания сферы в этом
легко убедиться, обратившись к формуле (38) и отделив в ней потенциал
возмущения; найдем
Если, имея в виду общее свойство решений уравнения Лапласа — возму-
щения потока при удалении от источника этих возмущений убывают,—
допустить, что на больших средних расстояниях от возмущающего поток
тела детали его формы не могут влиять на закон убывания потенциала ско-
ростей возмущений, то можно заключить, что и для любого тела конечных
размеров закон убывания φ' будет
φ' =
°Ш
ΙΚ тому же результату можно прийти из более строгих соображений,
если заметить, что потенциал возмущений φ', вызываемый телом произв ль-
ной формы, должен удовлетворять уравнению Лапласа, которое в сф ρ че-
ских координатах можно записать в виде (III.19)
(*%■)+■£*£№%) +
■ О.
(40)
dR \" dR ) ' sine дб \ 3Θ 7 ^ sin2θ δε2
Желая разыскать общий вид решения этого уравнении, положим
φ' (R, θ, ε) = X (R) Υ (θ, ε)7 (41)
Подставляя это произведение в предыдущее уравнение, будем иметь
,, d I no dX
dR
(*ж) +
X д
sin θ 3Θ
I Sill О -ТГ- I + ■ a» я~я~ = U>
\ 3Θ / ' sin2 0 3ε2

284 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ/VIl
или, отделяя функцию R от остальных переменных,
1 ч iwjx_\ Lr_J_X(Sine-^U^--f—1 ~(т
Т~Ш \К Чй) ~ ТЧЖ¥ 3Θ« \ξ1η^ δθ )^iSm*e |<fe> J- Vй '
Слева стоит функция только R, справа — только ε и Θ. Поскольку
переменные R, θ и ε независимы друг от друга, из предыдущего равенства
следует
iriR\ni~dir)-const·
Легко видеть, что в число решений X (R) этою уравнения будут входить
целые положительные или отрицательные степени переменного R, если
только произвольную константу положить равной η (η + 1). Останав-
ливаясь лишь на целых отрицательных значениях чисел η = —к (к > 0)у
так как потенциал возмущения φ' должен убывать с ростом R, получим
по (41) систему частных решений уравнения Лапласа (40) в виде
•у*(е;е)-, ал=1,2,3,..л»).
Среди функций Yk (θ, ε) — их i азывают сферическими функциями,— удо-
влетворяющих, согласно (42) f условию выбора const = \к (к — 1), уравне-
нию в частных производных
£55Γθ" ^θ [sin b^Γ j +HtfQ ^i^ + Λ (Λ α) Уfe - U'
будем выбирать только решения, ограниченные при всех значениях θ и ε.
При к = 1 решением этого уравнения, ограниченным при всех значениях
0 ^ θ ^ л, будет Yt = const, что соответствует простейшему частному
решению const//?, представляющему известный уже нам ньютонов потенциал
единичного источника (стока). При к = 2] уравнение имеет решением
const· cos θ, что приводит к потенциалу скоростей диполя.
В силу линейности уравнения Лапласа искомый потенциал φ' можно*
представить как сумму частных решений
-,_ у П (6, ε) _С v Yft(6,8) ,,,v
V ~ Zi pk - R-r Ζ ^Γ~» 1ад'
fe=l fe=2 '
Докажем, что постоянная С равна нулю. Для этого окружим обтекаемое
тело сферой С0 большого радиуса R0 и, замечая, что между поверхностью
тела σ и поверхностью сферы σ„ нет источников или стоков, напишем условие
равенства нулю суммарного расхода жидкости сквозь поверхность σ0
0.
Используя равенства
do0 = Rl sin θ dQ de, f do0 = 4jx/?02 ,
Oo Joe! &° О,? b=2f- 0 L с Л
Оо
получим
2π
№ f
-4π^-2 -^rr J &,]" У* (θ, е)[8тв<Ю = 0,
IE fe=2 . 0 J о [О
откуда при R0 -+■ оо при ограниченности функций Уй (θ, ε) следует, что

5ψ3]
ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ. ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРА
285
Итак, общщ^вид потенциала скоростей возмущений будет
L°°
„' _ V JYk (θ, 8)3
h=2 Λ*
φ'=Σ
»л* '
■следовательно, потенциал φ', а по (3) величина скорости возмущения V,
«будут иметь при больших R соответственно порядки
. *■-<>(£). *"=°(ж)·
После этого уже нетрудно доказать парадокс Даламбера. Применим
теорему количеств движения в форме Эйлера к объему жидкости, заключен-
ному между контрольными поверхностями σ и σ0, предполагая, что между
ними нет источников (стоков); (F — главный вектор сил давления на тело)
— Р,{ УХУ.***» —^pn0da0 — F = U,
σ0 σο
так как перенос количества движения через пов^хность твердого тела σ
равен нулю.
При предположенном безвихревом характере движения в рассматривае-
мой области течения справедлива теорема Бернулли
р = COnst i~2^.
Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим
F= -ρ J VnoVdo0+l· \v*n0da0,
так кяк поверхностный интеграл I n0do0 равен нулю.
Разбивая по предыдущем/ скоро г, потока нд основную скорость нате-
канил Voo ж скорость возмущения V, будем иметь
F= -pFco'J Fno^0-p,j VnoVrda0 + l· j ЦК. + V Ι2 η, da0;
σ0 σ0 σ0
замечая, что
J Vno da0 = 0, J щ da0 = 0,.]
O0 O0S
найдем
F = - ρ J VnoV do0 + p}^ (K. - V) щ dJ0 +1 j V* i0 dj0.
c0 c0 σ0
Но по только что доказанному скорость возмущения V имеет при боль-
ших R0 порядок i/Rl, тогда как элемент интегрирования do0 — порядок Д„.
Устремляя R0 к бесконечности, убедимся, что главный вектор F сил давле-
ния потока на тело стремится к нулю. Но F не может зависеть от произволь-
ного радиуса R0 мысленно проведенной сферы; следовательно, главный
вектор F равен нулю, что и доказывает парадокс Даламбера: при безвихревом
обтекании тела конечного размера идеальной несжимаемой жидкостью
и отсутствии вокруг тела источников либо стоков главный вектор сил давле-
ния потока на тело равен нулю.

28€ простр.анстз енное безвихревое движение [гл. vii
парадокс Даламбера справедлив для тел конечных размеров, ограничен-
ных замкнутой поверхностью. Главный вектор сил давления потока на тело,
распространяющееся до бесконечности,
например на полутело (рис. 128), зави-
сит от закона возрастания ширины d
сечения этого полутела с увеличением
расстояния z до бесконечности. Так, со-
противление полутела с поперечным
размером сечения, стремящимся к конеч-
ной величине при удалении на бесконеч-
ность, например у полутела, образованного
наложением однородного потока на источ-
ник, равно нулю.
Параболоид вращения дает пример полутела бесконечно большого сопро-
тивления. Среди полутел, ширина которых возрастает медленнее, чем у пара-
болоида, могут быть тела конечного сопротивления *).
Рис. 128.
§ 64. Уравнение продольного осесимметричного движения. Течение
сквозь каналы
Одним из наиболее распространенных видов пространственных течений
является движение, симметричное относительно некоторой оси (например,,
оси Ох), называемое осесимметричным.
Сюда относятся движения в соплах
круглого сечения, в конфузорах и диф-
фузорах, осевое обтекание тел враще-
ния, дирижабельных и других форм.
Составим общее уравнение про-
дольного осесимметричного движения,
происходящего в меридианных плос-
костях (рис. 129), образующих с пло-
скостью хОу угол ε, и выберем в них
некоторую, не зависящую от угла ε
систему ортогональных криволинейных координат дг, д2- Тогда будем иметь
в каждой из меридианных плоскостей
г = r (ft. ft), х = х fe, ft)
и вообще для любой точки Μ
У = r (ft. ft) cos ε, z = г (дг, дг) sin ε, x = x (ft, ft);
отсюда по формулам (III.13) легко найти коэффициенты Ляме
Рис. 129.
"<=vm2+m+m=v^y+m
2
B.=n.-V№+{&)'+(Z)'->b»*>-
(44)
*) Специальное исследование вопроса о влиянии формы полутела на его сопротив-
ление проведено в статье М. И. Гуревнча, Обтекание осесимыетричного полутела
конечного сопротивления, Прикл. ыатеы. и мех. 11, № 1, 1947.

§ 64]J
УРАВНЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДВИЖЕНИЯ
287
Уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей будет, соглас-
но равенству (II 1.16), иметь вид
°(Ъ"*) + ^ШГЦ9\0 (45)
td0i V #! dgi ) ' dq2 V H9. f>q2 / K '
так как третий член равенства (III.16), заключающий производную по коор-
динате ε, в силу принятой симметрии движения, обращается в нуль.
Подчеркнем, что уравнение осесимметричного движения (45), составлен-
ное в координатах дг и q2, не совпадает с уравнением плоского движения
в тех же координатах.
Выберем в меридианных плоскостях в качестве криволинейных коорди-
нат прямоугольные координаты (х, г); будем иметь Нх = 1, Нт = 1 и, следо-
вательно, уравнение движения приведется к виду
■ε ('-£)+£ ('-&)-°. m
соответствующему уравнению Лапласа в цилиндрических координатах при
отсутствии зависимости движения от ε.
Остановимся на решении задачи об осесимметричном протекании несжи-
маемой жидкости сквозь канал, поверхность которого представляет поверх-
ность вращения, причем будем полагать, что вращательное движение жидко-
сти вокруг оси канала отсутствует. Рассмотрим лишь сравнительно простую,
«обратную» задачу об определении формы поверхности канала и поля скоро-
стей в канале по заданному закону изменения скорости вдоль оси канала.
Задача эта представляет практический интерес для проектирования
формы каналов по заданным их общим габаритам.
Такого рода задачи встают, например, при проектировании конфузоров
и диффузоров аэродинамических труб, вентиляционных и других каналов,
ограниченных по своим размерам объемом отведенных помещений. Аналогич-
ный метод может быть с успехом применен также при расчете по возможности
малых по длине патрубков, соединяющих две цилиндрические трубы разных
диаметров, и в других вопросах.
Докажем сначала, что решение уравнения (46), обращающееся в задан-
ную на оси симметрии функцию φ0 (х), может быть представлено в^виде опре-
деленного интеграла
π
φ (х, г) = — \ <р0 (х + ir cos ω) αω,~ '(47)
о.
где φ0 (х + ir cos ω) — аналитическая функция комплексного переменного
t = а, + ir cos ω (48)
в некоторой области плоскости t, заклкчающей внутри себя начало коорди-
нат t = 0 *). Составляя производные
"я Г'π
Ιγ = 7Γ .[ «ftOOcoscocfo, -0-= —~ j (p;;(!f)cos2coau
(Г 0
*) Е. Т. У и τ τ е к е ρ л Г. Н. В а т с о в, Kjpc современного анализа, ч. II,.
ГТТИ, М., 1934, стр. 223.

288
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
ж применяя интегрирование по частям, найдем второе слагаемое в уравне-
нии (46)
о о
= —L f %(t)coszcod(o + — [(p;(t)sin<D]23> — ~ f 4>"0(t)sinz(od(o^
№ о
= — -£- J q£ (*)*»·
Первое слагаемое уравнения (46), равное
_д_
дх
('■2-)—&-4f«<o*·.
отличается от второго только знаком. Таким образом, убеждаемся, что дей-
ствительно равенство (47) дает интегральное представление решения уравне-
ния (46). Исследуем это решение. Подставляя в правую часть (47) г = О,
непосредственно убеждаемся, что функция φ0 (х) представляет распределе-
ние потенциала скоростей φ (х, г) вдоль оси симметрии движения Ох. Перей-
дем к скоростям; найдем по формуле (47)
η [η
F* = IH IT W· ('>*>' ^-^ЧП %(*)cosWco. (49)
о о
-При г = 0 будем иметь
л
Ух = Фо (х)» ^г = — ФО (ж) 1 cos ω°α(υ = 0.
о
Введем в рассмотрение вместо функции φ0 (t) функцию /0 (i) = cpjj (t).
Вид этой функции зависит от распределения скорости Vx вдоль оси Ох,
так как по определению
/о (х) = ФО (ж) = (Fa)r=0.
Будем в дальнейшем считать это распределение заданным. Тогда фор-
мулы (49) представятся так:
π π
Vx = 4" f /о («) <fo>, Fr = -i- f /0 (i) cos ω da>. (50)
о о
Введем еще функцию тока ψ (ж, г). По (29) и (50) имеем
я
о
откуда интегрированием по г получим
л
ψ=it jг dr j ^° (*+l> cos ω) йс°; (51)
о о

§ 64]
УРАВНЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДВИЖЕНИЯ
289
произвольная функция координаты х. входящая при этом частном интегриро-
вании по г, равна нулю, так как ось Ох (г = 0) может быть принята в силу
симметрии потока за нулевую линию тока (ψ = 0 при τ = 0 и любом х).
Полученные выражения (47), (50) и (51) можно рассматривать как реше-
ние вадачи о безвихревом осесимметричном протекании идеальной несжимае-
мой жидкости сквозь канал, границей которого служат поверхности вращения
ψ (х, г) = const, (52)
а закон изменения продольной скорости Vx вдоль оси канала Ох задан функ-
цией /0 (х). Такого типа решение не позволяет непосредственно находить тече-
ние жидкости в канале произвольного заданного наперед профиля *); можно
однако, проектировать разнообразные каналы и отбирать среди них те, кото-
рые наилучшим образом удовлетворяют поставленным условиям, например
требуемой степени однородности поля скоростей в данном сечении канала.
С этой целью составим разложение в ряд
/0 (х + ir cos ω) = /о (ж) + ir cosco /о (ж) -f- . . .
н подставим его в формулы (50) и (51). Замечая, что
π π
-ljcos^№c?co=2j2g!1)2 , -i-jcos^oxfo^O,
получим
(-1)" г2пЛ2п)
(53)
^г) = -^Щ^г^-*\х).
n=l
Пользуясь разложениями (53), можно строить различные формы конфузоров,
диффузоров и других каналов. Так, например, положим 2)
х i
/0 (х) = 0,55 + 0,90 j Φ (х) dx, Φ (x) = -φ=- e~x2,
Χ
J<D(a:)*r = 4Erf(-^-)t Erf(±co) = ±l,
о
что дает изменение Vx вдоль оси Ох от 0,1 при х — — оо до 1 при х = оо,
показанное на рис. 130. Последовательные производные функции /0 (х) опре-
деляются очевидным равенством
/<0η+1)(;ε) = 0,90Φ<η>(:ε),
*) По этому поводу см. Β,*!Γ. С а н о я н, Движение жидкости в осесимметричном
канале заданного профиля и расчет действительных давлений, Труды Ленингр. долитехн.
ин-та им. Калинина, № 176, 1955, стр. 160—174.
2) Η S. Τ s i e η, On the design of the contraction cone for a wind tunnel, Journ.
Aeron. Sci. 10, № 2, 1943, p. 68—70.
19 л. Г. Лойцянский

290 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
причем
1 Яп —г-ж2.
Вспоминая определение полиномов Эрмита *)
Я„И = (-1)пДае,^-(е"Тас1),
будем иметь такое выражение для последовательных производных заданной
функции /0 (ж):
/((Г+1) (а:) = (- 1)η0,90^β~^**Ηη (х).
Пользуясь таблицами полиномов Эрмита и производя указанные в систе-
ме (53) суммирования, найдем искомые значения продольной и радиальной
скоростей, а приравнивая различным константам выражение функции тока,
φ
0,8
0,6
0,2
0
в
(1
э8
""
Рис. 130.
определим возможные формы каналов. На рис. 131 приводятся линии тока
и распределения продольных скоростей, соответствующие рассматриваемому
осееимметричному потоку в конфузоре.
Римскими цифрами отмечены сечения трубок тока, а римскими цифрами
со штрихами — соответствующие этим сечениям эпюры скоростей. Принимая
линию тока за твердую стенку, получим профиль конфузора, причем эпюры
покажут, насколько однородно поле скоростей в различных сечениях конфу-
зора. Так, например, видно, что профиль конфузора, показанный на рис. 131
штриховкой, имеет достаточно хорошую форму; некоторое повышение скоро-
сти к стенкам конфузора не вредит делу, так как подтормаживание жидкости
из-за вязкости вблизи стенок должно выправить поле.
§ 65. Осесимметричное продольное обтекание тел вращения
При исследовании пространственных течений приходится пользоваться
различными криволинейными системами координат: цилиндрической, сфери-
ческой, эллиптической и др. Такой подход не только упрощает описание кар-
тины движения, но иногда просто неизбежен: от удачного выбора системы
координат зависит возможность разделения переменных в дифференциальных
уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий. В пло-
ском безвихревом движении переход от физической плоскости z = х + Ψ
*) Ε. Я н к е и Ф. Эмде, Таблицы функций, Гостехиздат, М., 1948, стр. 122.

§ 65] ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 291
к вспомогательной плоскости £ = ξ + Щ был эквивалентен пользованию
в физической плоскости криволинейными координатами |, η вместо прямо-
линейных х, у. В пространстве трех измерений столь удобного аналитиче-
ского аппарата, как комплексное переменное, нет, и приходится непосред.
ственно применять формулы перехода от прямолинейных координат к^криво-
линейным, выражая в этих координатах сами дифференциальные уравнения
и соответствующие граничные условия.
Рис. 132.
Для расчета внешнего осесимметричного обтекания тел вращения
(рис. 132, а) возьмем в меридианных плоскостях (г, х) эллиптическую систе-
му координат (|, η), связанную с (г, х) соотношениями
х = с ch ξ cos η, 0 ^ ξ <C oo,
г = с sh ξ sin η, 0 ^ η ^ π,
где величина с представляет расстояние фокусов семейства координатных
линий — софокусных эллипсов и гипербол — от начала координат.
Положим
ch I = λ, cos η = μ, 1 < λ < οο, — 1 <ξ μ < 1;
тогда связь между координатами (г, х) и (λ, μ) будет иметь вид
Χ = ολμ, r = cVk2-l Yl-μ2.
Определив производные
дг . , /"1-μ2 дг -/"λ·-!
(54)
найдем коэффициенты Ляме
Ж = с^
δμ
= ελ,
H^V (ж) +(ж) =CV "я^Г'
H»=V (βμ) +(ajr) =cl Т=$Г' '
(55)
После этого уже нетрудно составить и основное дифференциальное уравне-
ние Лапласа для потенциала скоростей. По (III. 16) получим
(56)
l[(^)l]+i[(*-^]=0·
19*

292
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
1.ГЛ. VII
Будем искать частное решение этого уравнения в виде произведения
двух функций от переменных λ и μ в отдельности
φ = L (λ) Μ (μ); (57)
тогда в уравнении (56) переменные разделятся и из равенства
"ЩГ<аИ ' αλ ]~ Μ(μ)φ|^ μ' *μ J
в силу независимости λ и μ будет следовать, что каждая из частей равенства
должна быть постоянной. Полагая эту постоянную равной η (η + 1), где η —
целое положительное число, получим для определения L (λ) и Μ (μ) два
обыкновенных линейных уравнения второго порядка лежандрова типа
d [(1-μ*)|^] + η(η-Η)Μ = 0.
1(58)
αμ L αμ
Этим уравнениям удовлетворяют *) два класса независимых решений:
1) функции Лежандра 1-го рода —■ полиномы Лежандра Рп (х), опреде-
ляемые равенствами
Р0 (х) = 1, Рг (х) = х, Р2 (х) = ~ (Зх2 - 1), \Р3 (х) = - (5ж3 - Зх), . . .
и рекуррентным соотношением для вычисления последующих полиномов
(п + 1) Рп+1 (х) = (2и + 1) хРп (х) - пРп.г (х);
2) (функции Лежандра 2-го рода Qn (x), определяемые равенствами
<?0(*)=i-in-J±^, ρ1(Χ)=.|.3;1η^±1_1,
<?2(*) = !(3*2-1)1η|±1-|*,
ρ,(Χ)=|(5^-3Ι)1η|±1-|-^ + 4, ...
и рекуррентным соотношением
(η + 1) <?n+1 (x) = (2n + i) xQn (x) - nQ^ (x),
совпадающим с предыдущим соотношением для полиномов Лежандра.
Представим решение уравнения (56) как сумму двух потенциалов:
1) потенциала фтс однородного потока, набегающего на тело со скоростью £7те;
этот потенциал по первой из формул (54) будет равен
φ то = U их = Ι/οοΟλμ
и 2) потенциала φ' скоростей возмущений, который выразим суммой частных
решений (57).
Функция Рп (ж), как полином п-й степени, обращается в бесконечность
при бесконечно возрастающем аргументе, функция же Qn (x) при этом стре-
мится к нулю, но зато логарифмически бесконечна при х = +1. В случае
внешнего обтекания тела координата λ = ch ξ может достигать бесконечных
значений, а координата μ ограничена. Примем во внимание, что потенциал
скоростей возмущенного движения (т. е. обтекания за вычетом однородного
потока со скоростью, равной скорости на бесконечности) должен стремиться
к нулю при удалении от поверхности тела, причем по предыдущему (§ 63)
г) Е. Т. У и τ τ е к е ρ и Г. Н. В а т с о н, Курс современного анализа, ч. II,
ГТТИ, М-, 1934, стр. 91 и след.

§ 65] ОСЕСИММЕТРПЧНОЕ ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 293
должно быть
*'=°(ж)·
Из приведенных соображений следует, что искомые частные решения
должны иметь вид произведений
Qn (λ) Ρη (μ) (η = l, 2, ...);
подчеркнем, отсчет η при суммировании начинается с единицы, а не с нуля.
Это подтверждается наличием следующих очевидных асимптотических
равенств, справедливых при больших значениях λ, а, следовательно, соглас-
но (54), и R = Ух2 -f r2, имеющего тот же порядок, что и λ:
<M^!i„!±i~!+^+...=0(i-)=0(i-),
Таким образом, будем иметь правильный порядок убывания φ' на
бесконечности, если положим
оо
Ф' = сС7„ 2j4n£n (λ) Λ, (μ), (59)
где Ап — постоянные коэффициенты, зависящие от формы поверхности тела.
Складывая потенциалы <рто и φ', получим искомый потенциал скоростей
продольного обтекания тела вращения со скоростью на бесконечности, рав-
ной t/TO,
φ = cU„, ( Σ AnQn (λ) Ρη (μ) + >μ). (60)
η=1
Для определения коэффициентов Ап найдем выражение функции тока ψ.
По формулам (1), (26) и (55) будем иметь
ch|) _ ΗλΗε δψ _ „/.„гч^Ф *Ψ _ Η*Ηε д(Р ,/?а <\ δ(Ρ
Ж Щ~ δμ~ с^ μ ; δμ ' ф — Н% δλ~°^ > δλ »
или после подстановки разложения (60)
оо
-|* =_Λ7..[(1-μ») 2 Λ»$»^- + λ(1-μ*)],
71=1
ОО
|Wt/ro[>-l)2 4η^.Ρη + μ(λ»-1)].
Переписывая второе равенство в виде
^.Λ.μ-|)(Σ>.*'.+μ).
подставим под знак суммы выражение для Рп из основного дифференциаль-
ного уравнения функций Лежандра (58)
n— n(n+i) ф И μ; ψ J'

294 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Гогда будем иметь
оо
ti=1
Интегрируя по μ и добавляя необходимую функцию от λ, получим окон-
чательное выражение для функции тока
Уравнение нулевой поверхности тока будет
2Ап dQn dPn
η (η -(-1) dK <2μ
Σ2Λη dQn dPn . л β ,г.у\
n(n4-i\ ~dT da -rl-v W
и=1
Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения в эллип-
тических координатах, можно определить величины коэффициентов Ап, что
и решает задачу. Конечно, именно этот пункт и является наиболее сложным
с вычислительной стороны х).
Имея выражение потенциала скоростей, найдем скорость по формуле
V У λ~]-V μ Η1\βλ Ι + ΗΖμ\βμ )
ΟΟ ΟΟ
^τ[(λ«-1) (2 ^^ρ„+μ)2 + (1-μ2) (2^·|+α)2].
(63)
η=1 η=1
Проиллюстрируем метод простейшим примером. Рассмотрим обтекание
эллипсоида вращения, меридианное сечение которого имеет уравнение
Л = Ад.
Полагая в уравнении (62) Ап = 0 при η > 1 и λ = λ0, получим
1 1
Л
d<?i \ 1 . λ0+1 λ0
(Ж) lb-
\ <3λ 7я=Яо 2 λ0—1 λ§ —1
Потенциал скоростей будет равен по (60)
φ (λ, μ) = -cU J Ч λρ+λ, λο -λ μ. (64)
\ 2 1η λο —1 Xg —1 /
Этому выражению можно придать несколько иной вид, если ввести явно
полуоси эллипсоида а и Ъ < а, расположенные соответственно по осям Ож
и Or. Будем иметь, согласно (54), уравнение эллипса λ = λ0 в виде
т2 -2
с2Я§ ^ с*(ЯЦ—1) *'
откуда следует
&0 = а, €ΥλΙ~ l = b,
х) См. С. Kaplan, Potential flow about elongated bodies of revolution, NACA,
Rep. № 516, 1935; в этой статье вопрос об определении коэффициентов Ап сводится к ре-
шению линейной системы алгебраических уравнений.

§ 65] ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 295
или, вводя эксцентриситет е — с/а,
В этих обозначениях получим
φ (λ, μ) = -и«д Ι Δ .*-* βλ 1 μ. (65)
■ΙλΙη
λ+1
λ —1
1 In 1 + e
2е Ш 1-
-e l
1
1
— е2
Для проверки можно, пользуясь этим выражением, получить потенциал
обтекания сферы радиуса а, если заметить, что по определению эллиптических
координат в этом случае будет е -> 0, с"к -> R, μ -> cos θ при с -*~ О, где
Л и θ — сферические координаты. Производя разложения (λ > 1, е<1)
1-т±г=1»^4-!!(т-+чЬ+-)-,»4±7-*(«+т-+···)
λ
и заменяя е на с/а, убедимся, что
φ -> UcR 1 -f у (-77) IcosG при с->-0,
т. е. к известному уже выражению (38).
Проекции скорости на оси эллиптических координат будут
1 , λ 1 λ
ln-
1 д(Р _ /Г τ/- λ2—1 / 2 λ—1 λ2 —1 . \
ΗΓ~9λ~ °° " λ2-μ2 | 1 1 + « « Ιμ'
2 1-е 1-е2
1., λ+1 ,
— λ 1η -τ 7—1
»~#μ βμ - "~Κ λ2-μ2 Ι 11ηΙ
+ e
1-е2
Полагая здесь λ = λ0, убедимся, что на поверхности эллипсоида V% = 0;
это и естественно, так как координатные линии (λ) перпендикулярны
к поверхности эллипсоида и условие V% = 0 эквивалентно условию равен-
ства нулю нормальной к поверхности составляющей скорости. Распределе-
ние скоростей по поверхности эллипсоида определится равенством
v _ ез[7г- - / I-"2
'и. —
ЛГ i-μ2
1 + е У 1 —β2μ2
11 * м «I 1 + e K 1-*2μ2
Полученное только что решение относится к обтеканию эллипсоида вра-
щения, удлиненного вдоль по течению. Подобным же образом можно иссле-
довать случай обтекания сплюснутого эллипсоида, фокусы меридианного
сечения которого лежат не на оси Oz, а в меридианных плоскостях 1). В толь-
ко что цитированных курсах приводится также решение бол е общей задачи
об обтеканип эллипсоида, у к· торого все оси различны.
*) См., например, И. А. К и б е л ь, Н. Е. К о ч и н и Н. В. Розе, Теоретиче-
ская гидромеханика, ч. I, Физматгиз, М., 1963, стр. 365, а также Г. Лам б, Гидродина-
мика, Гостехиздат, М., 1947, стр. 175—181.

296
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VI
§ 66. Поперечное обтекание тел вращения
Наряду с продольным обтеканием тел вращения представляет интерес
и поперечное обтекание, перпендикулярное (рис. 132, б) к оси симметрии
тела. Из сложения этих двух потоков можно получить обтекание тела враще-
ния под любым углом атаки. Изложим решение задачи о поперечном обтекании
тела вращения.
В этом случае уже не получается осесимметричного движения. Уравне-
ние Лапласа, определяющее потенциал скоростей, будет в ортогональной
системе криволинейных координат, согласно (III. 16), иметь вид
д I Н2Н3 δψ \ д i H3Ei д<р \ д I HjHz *Р \ = q
flff! \ Hi eqi ) "Г dq2 [ #2 Sq2 ) "Τ" dq3 \ H3 dqz J
Сохраняя ту же систему координат (λ, μ, ε), что и в случае осесимметрич-
ного обтекания тела вращения, и припоминая выражения коэффициентов
Ляме (55), перепишем предыдущее уравнение в форме
Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух
функций
φ = Ν (λ, μ) Ε (ε);
тогда, подставляя последнее выражение в уравнение (66) и разделяя функции
независимых переменных, получим систему уравнений (к — произвольное
число, которое будем считать положительным и целым)
Первое уравнение имеет решение
Ε = A cos кг -\- В sin кг;
второе, если положить N = L (λ) Μ (μ) и разделить переменные, может быть
приведено к системе уравнений
имеющей в качестве частных решений так называемые присоединенные функ-
ции Лежандра *)
&<μ) = {±-μην*±*ψ-, Qkn(K) = (l>-lf2 **"<*>. (67)
Комбинируя эти функции так, чтобы выражение потенциала скоростей
возмущенного движения было ограниченным при λ ->- оо, получим общее
выражение потенциала скоростей
оо оо
φ (λ, μ) = 2 2 Qhn (λ) Pkn (μ) (Ank cos кг + £nfe sin кг) + F^;
здесь последнее слагаемое представляет собой потенциал скоростей набегаю-
щего на тело однородного потока со скоростью на бесконечности Foo, направ-
ленной параллельно оси Оу (рис. 132, б).
"гттм НмПР1?оо/' Е' УЛоТ текеР и г· Ватсон, Курс современного анализа,
Ч· X-if X Χ ΧXIj iVl.7 ХУо^) СТр. 11У.

S 66]
ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
297'
Полагая в только что выведенной общей формуле потенциала
Am = с* ос,Сп, Ап% = Апз = ...== О,
Вт = Bnz = . . . = О,
т. е. довольствуясь решением', содержащим cos ε, и, кроме того, представляя
у по формулам, помещенным в начале предыдущего параграфа, как функ-
цию λ, μ и ε
y = r cos ε = с sh ξ sin η cos ε = с У λ2 — 1 ΥΙ — μ2 cos ε,
получим следующее выражение потенциала скоростей поперечно набегаю-
щего со скоростью FTC вдоль оси Оу потока:
оо
φ = CFTO cos ε Σ CnQl (λ) Ρ\ (μ) + cV^ у!2^! ΥΤ^Γ2 cos ε,
n=l
или, используя определение присоединенных функций Лежандра (67),
оо
y^cv^vw^i ут=^( 2 спт-^г+1)С05е· (68)
п=1
Для определения постоянных Сп, как и ранее, следует составить гранич-
ное условие на заданной поверхности обтекаемого тела. В этом случае неосе-
симметричного движения функция тока отсутствует и приходится непосред-
ственно вычислять нормальную скорость Vn = -~- и приравнивать ее нулю.
Несколько облегчая вычисления, выпишем в выбранной системе коорди-
нат (λ, μ) условие, что при непроницаемости поверхности обтекаемого тела
элемент дуги его меридианного сечения параллелен составляющей скорости
в меридианной плоскости (условие скольжения жидкости по поверхно-
сти тела):
V% ~ νμ »
или, вспоминая выражения элементов дуг координатных линий и проекций
градиента потенциала на направления этих линий,
Отсюда вытекает искомое граничное условие
тт2 дф Tji. dtp αλ ,fiQ,
в котором λ является заданной функцией μ согласно уравнению контура
обтекаемого тела в меридианной плоскости. Составляя частные производные
δφ/δλ, δ(ρ/δμ, по (68) будем иметь
θφ
<*/42γ(Σ^.3?-^·+1)+
cFooCOse βλ У λ2 —1 \ /-1 η αλ αμ
n=l
+ /(λ2-1)(1-μ2) VCn^,
n=l
βφ
-■*/££( Σ*.4№+») +
cVoo cos ε δμ

298 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Заменив входящие сюда выражения вторых производных на основании
дифференциальных уравнений функций Рп и Qn
(1_λ*)^ = 2λ^-η(Λ+1)ρΛ, (1-μ")^?- = 2μ*=—И(п+1)РП,
получим после простых приведений
______ оо
1 дд> _ л Ι/" 1 —μ2 ^ ~ <ft?Ti dPn ,
cF^cose βλ ~~ Κ * λ2-1 — " ^λ αμ "*"
η=1
+/{ε£ Σ »0.+1)с.<?.^+*1/4Йт.
ομ
η=1
1 <?φ
cVoo cos ε δμ
λ2—1
со οο
.. -, /^λ2- 1 ν ^ dQn dPn . /W-l ν , , ,,Γ <?<?η ρ -^
ri=l n=l
Подставляя эти выражения производных в (69) и используя ранее выве-
денные значения коэффициентов Ляме
Я2 -г2 λ2~μ2 Я2 Гй λ2~μ2
получим после очевидных сокращений
Σ <?.[(λ + μ^-)^.^—(. + 1) (Λ^.+^1..^)]_λ + μ*..
η—1
Имея в виду, что на поверхности тела λ представляет заданную функцию
от μ, перепишем граничное условие в окончательной форме так:
71= i
Рассмотрим поперечное обтекание эллипсоида вращения λ = λ0, продоль-
ное осесимметричное обтекание которого было изучено в предыдущем
параграфе.
В этом случае граничное условие (70) можно выполнить, положив Сп = 0
при η > 1; тогда будем иметь (Рх = μ)
откуда, согласно ранее приведенному выражению Qt (λ), следует
<?! = — λο
**- 1-λ01η> + 1
λ2-1 2 и λ0 —1
Напомним, что здесь λ0 = 1/е, где е — эксцентриситет эллипса, представ-
ляющего меридианное сечение эллипсоида. Потенциал скоростей рассма-
триваемого поперечного обтекания эллипсоида вращения равен по (68)
ф^с7оо/^^1/ГГр{с1[(?0(Л) + 1-11Г] + 1}со5 8; (71)

§ 671
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОСОБЕННОСТЕЙ
299
скорости определяются простым дифференцированием (71)
v,= — ^t ν — _LiSL ν - 1 gtP
λ #λ βλ ' μ~#μ βμ ' ε~ Ηε δε ·
Решение задачи о продольном и поперечном обтекании тела вращения
приводит, как это видно из содержания настоящего и предыдущего парагра-
фов, к необходимости проведения в каждом отдельном случае трудоемких
вычислений. Эти вычисления могут быть облегчены применением приближен-
ных методов, использование которых ограничено лишь случаем обтекания
тел большого удлинения с отношением длины к максимальной толщине
порядка 8—12 (см. § 76 четвертого издания настоящего курса). При совре-
менной машинной технике вычислений такого рода приближенные методы
в значительной мере теряют свое значение.
§ 67. Применение метода особенностей для расчета продольного
и поперечного обтеканий тел вращения
Изложенный в предыдущих параграфах метод исследования продоль-
ного и поперечного обтеканий тел вращения, основанный на непосредствен-
ном решении уравнения Лапласа в эллиптических координатах, не является
единственным методом решения этой задачи. Первоначально формы обте-
каемых тел вращения для дирижаблей определялись наложением однород-
ного, параллельного некоторой оси потока на поток от системы источников
(стоков), распределенных вдоль той же оси. Для этой цели применялись
вначале дискретные особенности потока — системы источников (стоков) или
диполей, а впоследствии — непрерывные их распределения.
Предположим для определенности, что на отрезке (—с, +с) оси Ох
задано непрерывное распределение источников (стоков) интенсивности q (х).
Тогда потенциал φ' возмущенного движения, созданного этой системой осо-
бенностей, будет, согласно второй из формул (12), равен (знак минус введем
в определение интенсивности q)
с
, / ч _1_ Г д {х') dx' ,„2\
4'{r,X)~Jnj ■yfr2 + (z_x')z ■ \ >
— с
Если задаться видом функции q (x'), то, вычисляя интеграл (72), получим
потенциал скоростей возмущений, а дифференцирование по г и а; позволит
вычислить и проекции скорости V'r и ν'Χ· Наоборот, задаваясь формой обте-
каемого тела, можно, переходя от потенциала скоростей возмущенного
движения к полному потенциалу продольного обтекания тела однородным
потоком с заданной скоростью на бесконечности и написав условие непро-
ницаемости поверхности тела, получить интегральное уравнение, в котором
q (x') будет неизвестной функцией. Заменяя потенциал скоростей на функцию
тока, Карман х) разработал метод приближенного интегрирования соответ-
ствующего интегрального уравнения, основанный на замене интеграла
конечной суммой. Однако метод Кармана не был достаточно общим и, кроме
того, требовал решения в каждом отдельном случае системы большого числа
линейных алгебраических уравнений, что делало его на практике слишком
трудоемким.
Аналогично, пользуясь выражением потенциала диполя (8), можно соста-
вить и потенциал q^ поперечного обтекания тела вращения, складывая потен-
1) Th. v. Kármán, Berechnung der Druckverteilung an Lüftschiffkörpern, Abhand-
lungen aus dem Aerodyn. Inst. Aachen, H.6, 1927.
Подробное изложение этого и других методов, а также применение их к расчетам
см. Н. Я. Фабрикант, Курс аэродинамики, ч. I, гл. III, Гостехиздат, М., 1938.

300
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
циал однородного натекания с заданной скоростью на бесконечности с потен-
циалом скоростей возмущенного движения жидкости от непрерывно распре-
деленных по отрезку —с <ж<с диполей интенсивности т (х') с осями,
направленными вдоль Оу:
с
, . . г cos ε f m(x')dx' ,nox
«Ρ* (г, М) = тг )c [r2+(MTf,2 · (73)
Здесь также можно задаваться распределением интенсивности т (х1)
или, наоборот, определять эту интенсивность из интегрального уравнения,
представляющего условие непроницаемости заданной поверхности тела по
отношению к потоку, складывающемуся из возмущенного и однородного
на бесконечности.
Не останавливаясь на изложении этих в настоящее время уже малоупо-
требительных методов, укажем лишь на простую их связь с методами, изло-
женными в предыдущих параграфах. Покажем, что при заданной форме
поверхностей обтекаемых тел вращения неизвестные функции q (х') и т (х')
могут быть выражены через ранее введенные коэффициенты Ап и Сп *).
Разобьем ось симметрии тела вращения Ох на две области: одну, опре-
деляемую интервалом —с ^ х ^ с, заполненным особенностями, и вторую,
представляющую остальную часть оси Ох, где | х | > с. В эллиптических
координатах λ, μ, введенных в начале § 65, отрезок, на котором расположе-
ны особенности, можно представить, согласно второй из формул (54), так:
λ = 1, — 1<μ<1,
а остальную часть оси Ох, как
μ = ±1, 1 <λ< οοΓ
Тогда, сравнивая между собой вне отрезка (—с <; х' <; с) выражения
потенциалов возмущений (72) и (73) с соответственными выражениями тех же
потенциалов, взятыми из формул (60) и (68), и приняв во внимание, что
Рп (1) = 1, αΡη/αμ |'μ=1 = η (η + 1)/2, получим следующие два равенства:
-1 п=1
1 Г т И*') Ф' __ γ у n(n + l) s, dQn _
4jtc2 J (λ-μ')3 ~V°° ^J 2 С'1"Ж*' ^
-1 n=l
которые при заданных коэффициентах Ап и С„ можно рассматривать как
два интегральных уравнения для определения неизвестных функций д и т.
Интегральное уравнение (74) может быть решено, если искать решение
в виде ряда
со
Я (φ') = Σ αηΡη (μ'), -1<μ'^1.
η—Ι
Подставляя это разложение в (74), получим
°° +1 со
JLya г Ρη(μ')Φ' . „ v . „
я=1 -1 n=l
x) См. ранее цитированную статью Каплана.

£ 67]
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОСОБЕННОСТЕЙ
301
Замечая, что по известной формуле теории функций Лежандра1)
+1
Г Рп (μ') du' 9η ...
1
перепишем предыдущее интегральное уравнение в виде
1
n=l n=i
^anQn(K)=cUlx %Αηρη(λ),
откуда будет сразу следовать искомое решение
оо
ап = 2лс6ГсоЛп, д (х') = 2ncUac Σ ΑηΡη (ж'/с). (76)
n=l
Для разыскания второй неизвестной функции т (х') продифференцируем
раз по λ и другой раз по μ' известное разложение 2)
оо
Τ^Γ=Σ (2π + 1)^„(λ)Ρη(μ');
n=l
тогда получим
dQn dPn
^Υ=-τΣν»+ν-
(λ —μ')3 2 ΔΛ ν ' ' dl da' '
n=l
Подставляя это разложение в интегральное уравнение (75), преобразуем
его к виду
со 1 со
2 <*»+!>#■ J »w^*=f-2^c,f.
8лс2
я=1 -1 π=1
Используя далее разложение неизвестной функции т (ομ') в форме
оо
т (Ф') = - 2ncWBC (1 - μ'2) Σ^-^F
и замечая, что в силу ортогональности полиномов Лежандра
0 при кфп,
при к = п,
-1 ^ ^ I 2#» + l
убедимся в справедливости равенства
Сп = ^71
Итак, имеем
т(ф') = ^(О=-2яС^0О[1-(4-)2]Е С*-7§Т (77)
ft=l
Совокупности формул (72) и (76), (73) и (77) позволяют при желании
пользоваться потенциалами скоростей возмущений в цилиндрических коор-
динатах, если уже заранее вычислены коэффициенты Ап и Сп. Заметим, что
эти коэффициенты проще определять при помощи разложений уравнения
х) Е. Т. У и τ τ е к е ρ и Г. Н. В а т с о н, Курс современного анализа, ч. II,
Физматгиз, М., 1963, стр. 114.
2) Там же, стр. 117.

302 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
контура меридианного сечения в ряды по функциям от эллиптических коор-
динат, а уже затем проводить расчеты в эллиптических или цилиндрических
координатах.
Заметим еще в заключение, что для тел с очень большим удлинением
можно определить q (х) и m (х) из следующих двух простейших предпо-
ложений:
1) в случае продольного обтекания считать нормальную к поверхности
тела составляющую скорости возмущения У η равной скорости плоского движе-
ния от источника, расположенного в ближайшей точке оси. Тогда условие
непроницаемости поверхности даст
откуда
g(x)^2nUaor^ = Uco^1 (78)
причем г (х) представляет заданное уравнение контура меридианного сече-
ния, А — площадь поперечного сечения;
2) в случае поперечного обтекания тела вращения выберем m (x) из усло-
вия, чтобы элемент тела, вырезанный плоскостями х и x -\- dx, обтекался так
же, как элемент цилиндра бесконечного размаха в плоском движении. Это
приведет к равенству
m (x) = 2nVoar* (x) = IV^A (x). (79)
§ 68. Элементы теории крыла конечного размаха
При рассмотрении плоского обтекания цилиндрического крыла бесконеч-
ного размаха уже указывалось, что образующиеся в результате взаимодей-
ствия крыла с потоком вихри могут быть заменены одним присоединенным
вихрем, обусловливающим наличие подъемной силы крыла. Этот присоеди-
ненный вихрь, в согласии с классической теоремой Гельмгольца, не может
начинаться или заканчиваться в жидкости. Совпадая по направлению с осью
крыла бесконечного размаха, присоединенный вихрь приходит из бесконеч-
ности и в бесконечность же уходит. Интенсивность присоединенного вихря
одинакова вдоль размаха цилиндрического крыла, одинаковы и циркуляция
скорости по контуру, охватывающему любое сечение крыла, и подъемная
сила единицы длины крыла.
Опыт показывает, что на крыле конечного размаха, например на крыле
самолета, циркуляция не сохраняется вдоль размаха, а достигает своего мак-
симального значения посередине крыла и обращается в нуль на его концах.
Объясняется это возможностью выравнивания давлений на нижней и верхней
поверхностях крыла за счет возникающих перетеканий воздуха на концах
крыла из области повышенного давления на нижней поверхности в область
разрежения на верхней.
Выравнивание давлений приводит к исчезновению подъемной силы,
а следовательно, и циркуляции присоединенного вихря на концах крыла.
Наличие перетекания воздуха с нижней поверхности на верхнюю образует
на крыле поперечные течения, которые смываются с его поверхности набе-
гающим потоком и, сходя с задней кромки крыла, образуют вихри.
Первые шаги на пути создания теории крыла конечного размаха были
сделаны у нас в России Чаплыгиным *) и в Германии Финстервальдером 2)
1) С. А. Чаплыгин, Результаты теоретических исследований о движении
аэропланов. Доклад 9/XI 1910 г., Собрание сочинении, т. II, Гостехиздат, М., 1948,
стр. 230—245.
2) F i n s t e r w a 1 d e r, Die Aerodynamik als Grundlage der Luftschiffahrt, Zeits.
für Flugtechn. und Motorluftschiffahrt (ZFM), № 1, 2, 1910.

§ 68i ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА 303
в 1910 г., однако широкое распространение благодаря своей исключительной
простоте и наглядности получила относящаяся к периоду 1913—1918 гг.
схема несущей линии Прандтля *), основы которой и излагаются в настоя-
щем параграфе.
Сущность этой схемы крыла конечного размаха заключается в сле-
дующем. От основного присоединенного вихревого шнура крыла отделяются.
и уносятся потоком так назы-
присоединенные
Вихри
Баемые свободные вихри, оси
которых в некотором удалении
от крыла совпадают с линиями
тока уносящей их жидкости.
При поступательном равноме-
рном движении крыла конеч-
ного размаха в перпендикуляр-
ном к оси крыла направлении
или, что то же, при набегании
однородного потока на крыло
можно заменить крыло неко-
торой воображаемой стацио-
нарной системой неподвижных
вихрей, состоящей из присоединенных вихрей крыла и сошедших с крыла
свободных вихрей; эта схема показана на рис. 133.
Несколько идеализируя схему, заменим присоединенный вихрь крыла
несущей вихревой линией, представленной отрезком —I ^ z ^ /£[оси Ozr
Рис. 133.
Ua
fit
ШЯ.^/®: ЪЁ. .^.' .^.
с с с с
Рис. 134.
а свободные вихри расположим в плоскости xOz в виде уходящих в беско-
нечность лучей, параллельных оси Ох, вдоль которой набегает поток (рис. 134).
Свободные вихри образуют вниз по потоку за несущей линией вихревую пеле-
ну, представляющую, так же как и вихревой слой (§ 42), поверхность раз-
рыва составляющих скоростей, параллельных оси Oz.
Пусть непрерывная и дифференцируемая функция Г (z) характеризует
распределение циркуляции вдоль несущей линии (—I ^z ^1). Изменению
циркуляции присоединенного вихря от значения Г (ξ) в точке Μ (z = ξ)
до Г (Q + -J dl в точке М' (z = ξ + dQ на аТ = ^ <Ζξ
соответствует
1) L. P r a n d t 1, Ergebnisse und Ziele der Göttinger Modellversuchanstalt, ZFM,
1913, № 3, а также Tragflügeltheorie I, II, Göttinger Nachrichten, 1918.

.304 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
сход вихревой полоски (на рис. 134 заштрихованной), образующей элемент
вихревой пелены, циркуляция которого равна также аТ.
Вихревая система крыла конечного размаха индуцирует поле скоростей,
которое складывается с однородным набегающим потоком. В результате тако-
го наложения создается неоднородное поле скоростей, допускающее при-
ближенное рассмотрение.
Проведем через точки несущей линии перпендикулярные к ней плоско-
сти, одна из которых Π {О'х'у') показана на рис. 134. Рассмотрим проекцию
действительного поля скоростей в
точках плоскости Π на эту плос-
кость и назовем соответствующий,
лишенный поперечных скоростей w
поток сечением действительного по-
тока плоскостью П, или, для крат-
кости, плоским сечением потока.
Если бы крыло имело бесконеч-
хг ный размах, поток был бы плоским;
"*" тогда, удалив крыло, мы получили
бы однородное поле набегающего
потока с некоторой скоростью на бес-
конечности V'„о. В случае крыла
конечного размаха это не так. Если
в плоском сечении из полного поля
скоростей вычесть поле возмущений
от расположенного в этой плоскости
элемента несущей линии, то остав-
шееся поле плоского сечения потока будет содержать как однородную
часть 1/*, от набегающего потока, так и добавочную неоднородную
часть Vu индуцируемую свободными вихрями пелены, расположенными
в плоскости Oxz. Неоднородность поля этих индуктивных скоростей Vt
является следствием различия расстояний отдельных точек плоскости от эле-
ментов свободных вихрей пелены.
Анализируя количественное различие между индуктивными скоростями
в точках плоскости Π вблизи точки О', можно было бы доказать г), что во
всех плоских сечениях потока, удаленных от концов А и В несущей линии,
различия между полями индуктивных скоростей вблизи точки пересечения
несущей линии с близкими друг к другу плоскостями сечения тем меньше,
чем больше удлинение крыла, т. е. отношение его размаха к средней хорде.
Представляется допустимым для каждого плоского сечения потока
ввести понятие о своей местной скорости на бесконечности Vm (рис. 135),
равной сумме векторов скорости потока на бесконечности перед крылом U„>
и индуктивной скорости Vt от свободных вихрей пелены
Vm = tf с + Vt (80)
Как видно из рис. 134, вектор индуктивной скорости Vt в точке О'
несущей линии должен быть направлен по оси О'у'. Расположение его в отри-
цательную сторону оси О'у' соответствует показанным на рисунке направ-
лениям вращения частиц жидкости вокруг свободных вихревых линий.
Примем следующую гипотезу плоских сечений: при достаточно больших
удлинениях крыла конечного размаха каждое плоское сечение потока, удаленное
от концов крыла, можно рассматривать как плоский поток с местной скоро-
стью на бесконечности, равной сумме векторов скоростей потока на бесконеч-
х) А. А. Дородницын, Обобщение теории несущей линии на случай крыла
с изогнутой осью, не перпендикулярной потоку, Прикл. матем. и мех» 8, 1944.

§ 68]
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
305
ности впереди крыла и скорости, индуцированной свободными вихрями пелены
в соответствующей точке несущей линии.
Эта гипотеза, сообщающая условным плоским сечениям потока смысл
подлинных плоских движений, сводит расчет крыла конечного размаха
к решению изложенной в гл. V задачи о плоском обтекании крыловых про-
филей, образующихся в пересечении крыла конечного размаха плоскостями,
нормальными к оси крыла, и к последующему суммированию результатов
по всем плоским сечениям крыла. Такое допущение имеет смысл только для
крыльев значительного удлинения. Изложенная гипотеза плоских сечений
несправедлива для крыльев малого удлинения.
Обозначим через а (рис. 135) угол атаки набегающего потока на беско-
нечности перед крылом, т. е. угол между вектором ?7ТО и хордой сечения
крыла, и назовем этот угол геометрическим углом атаки. Введем в рассмо-
трение также действительный (или эффективный) угол атаки ае как угол
между местной скоростью на бесконечности Vmvi той же хордой. Угол между
скоростями Uоо и Vm обозначим через а{ и назовем углом скоса потока или
индуктивным углом. Как видно из рис. 135,
ав = α — ccj. (81)
Найдем проекцию dvt на ось Оу элементарной индуцированной скорости
в точке О' (рис. 135) от вихревой полоски, ограниченной вихревыми лучами,
выходящими из точек Μ и М'. Рассматривая эту полоску как вихревую нить
с циркуляцией аТ и применяя формулу (22) при а = 90°, β = 0°, получим
, 1 iff 1 dV dt, /Q0.
Здесь (рис. 134) dT <C 0, dt, >0, z < ξ и по (82) dvt < 0, что как раз
и соответствует показанному на рисунке расположению точки О', где опре-
деляется элементарная индуктивная скорость по отношению к вихревому
лучу, выходящему из точки М. От элементарной индуктивной скорости dvt
перейдем к полной индуктивной скорости vt в точке О', производя суммиро-
вание величин dvt по всем элементарным полоскам вихревой пелены, исклю-
чая ту, которая исходит из отрезка несущей линии (z — ε, z + ε), заклю-
чающего внутри себя точку О' с координатой z. Это объясняется тем, что, как
известно, вихревая нить не индуцирует определенных скоростей в своих
точках, которые являются особыми точками поля скоростей вокруг вихре-
вой нити. Величина ε может быть выбрана сколь угодно малой и в результа-
те указанного суммирования будем иметь следующее выражение индуктив-
ной скорости:
-I z+ε
Входящий в эту формулу предел носит наименование главного значения
(в смысле Коши) несобственного интеграла г)
-I
Подразумевая в дальнейшем, что интеграл (84) должен быть вычислен в смыс-
ле своего главного значения, определенного в правой части (83), будем иметь
г) См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. III, Гостехиз-
дат, М., 1933, стр. 415 и т. IV, 1941, стр. 240.
20 Л. Г. Лойцянский

306
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ГЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
в кратком обозначении
i
1 Г «Я1 dt, ,QK.
^-ш^-щ-^Т' (85)
Будем предполагать, что индуцированные скорости vt малы по сравне-
нию со скоростью набегающего потока Ux. Это как раз соответствует, как
из дальнейшего станет ясным, случаям малых углов атаки, для которых
справедлив линейный закон связи между коэффициентом подъемной силы
и углом атаки. Тогда, замечая, что (рис. 135)
получим, согласно (85), формулу для индуктивного угла или скоса потока
1 f dT dt, /oc.
a' = i^)iT7T· (86)
Для вычисления индуктивной скорости и индуктивного угла будем пред-
полагать заданным распределение циркуляции по размаху Г (z). Представим
его в форме тригонометрического ряда
оо
Г (Θ) - WJL 2 Ап sin ηθ, (87)
n=l
где угол θ связан с переменной по размаху координатой г равенством
z = —I cos θ. (88)
Концам отрезка несущей линии (z = —I, z = I) соответствуют значения
θ = 0 и θ = л; при этом циркуляция Г обращается в нуль.
Если распределение циркуляции симметрично относительно начала
координат (z = 0, θ = π/2), то должно быть Г (Θ) = Г (π — Θ) и, следо-
вательно,
Вычислим по (87) производную dT/dt,, полагая параллельно с (88)
ξ = —I cos θ'; будем иметь
dT dT . dZ, /Tr 7 ■sn . a, 1 /tt К* л cosnG'
-d%=-dW--W = /iL°°l2j nA»cosк0Т^Ж = 46то 2jn^n-1EF-
«=1 n=l
Подставляя это выражение в формулу (85), получим выражение индук-
тивной скорости
П °° оо я
°°*""' X/.
. COS θ' — COS θ
0 η=1 n=i 0
Интеграл, стоящий под знаком суммы, вычисляется в смысле своего
главного значения и равен *)
π
cos ηθ' ,., _ π sin ηθ
J cos θ'—cos θ sine '
0
x) Вычисление этого интеграла можно найти, например, в книге: В. В. Голубев,
Лекции по теории крыла, Гостехиздат, М., 1949, стр. 215—216.

S 68]
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
307
так что окончательно получим следующие выражения: индуктивной скорости
sin ηθ
sin θ
ν1φ)=-υοο %ηΑη^, (89)
П=1
а по (86) и угла скоса
sin ηθ
ai(6)=S^^f-. (90)
n=l
Перейдем к определению сил, действующих на крыло конечного размаха.
Для отрезка несущей линии длиной dz будем по теореме Жуковского иметь
элементарную силу, перпендикулярную к местной скорости на бесконечности
Vm (рис. 135) и равную по величине
dR = pVmT dz,
причем с точностью до малых величин второго порядка относительно af
можно положить
Vm = VUl + v?« С/соУТ+Ц « С/»;
таким образом, вместо предыдущей формулы получим
dR = р£/тоГ dz. (91)
Вычисляя составляющие по осям координат, получим в принятом при-
ближении (рис. 135)
dRx = dR sin ее,- « dR »ссг = ρ £/ οοΓα£ dz,
dRv = dR cos at « dR = pUoS dz
и, интегрируя по размаху,
i i
Rx = pi/» f Г (z) ссг (z) dz, Ry = pU00\T (z) dz. (92)
-I -I
Для вычисления интегралов воспользуемся вновь тригонометрическими
представлениями циркуляции (87) и индуктивного угла (90). Будем иметь
Л оо оо
sinmG
Rx = 4pUUz j 2 A» sin ηθ Σ mA™ ^ШГ sin θ dQ =
0 n=l m=l
оо я
= pi/*, (2Z)2 2 mAnAm f sin ηθ sin m0 <ΖΘ.
η, m=l 0
Замечая, что по свойству ортогональности функций синусов кратных дуг
я' f n
-гг. если п = т.
л /-31
( sin ηθ sin τηθ ей = J Τ'
Jo 10,
если пфт,
получим
Лх = я^(2/)а2и^"· (93)
n=l
2§*

308
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VI
Аналогично найдем
i
Ry = pi/» \ Г (z) dz = 4pUUz j 2 An sin ηθ sin θ dQ=
-I 0 n=l
oo V
= pUZ, (2Z)2 2 An \ sin иб sin 0 rf6.
n=l 0
Но по только что указанному свойству ортогональности синусов крат-
ных дуг
при η = 1,
при »>■!,
f sinrcesin6iZe = jT
о 10
следовательно, в сумме, входящей в предыдущее равенство, сохранится лишь
один член, так что будет
pU2
Ry = n^(2l)*Ai. (94)
Рассматривая обтекание крыла конечного размаха как равномерное,
поступательное и прямолинейное его движение со скоростью С/То в покоящей-
ся на бесконечности жидкости, естественно назвать составляющую Rx,
направленную в сторону, противоположную движению тела, сопротивлением
крыла, а составляющую Ry, перпендикулярную к направлению движения
и несущей линии, подъемной силой. Вместе с тем, отмечая вихревую природу
сопротивления, представляющего часть подъемной силы в потоке, скошенном
вблизи несущей линии, благодаря индуктивному действию вихревой пелены,
это сопротивление называют индуктивным сопротивлением.
Обозначим через S площадь крыла в плане, т. е. проекцию его на пло-
скость xOz, содержащую скорость набегающего потока и ось крыла (несущую
линию). Введем в рассмотрение коэффициенты индуктивного сопротивления
cxi и подъемной силы су, положив
γρυΙ-s Три^
Тогда, пользуясь (93) и (94), найдем
оо
ек1 = яШ-^пА'п, Cy = n^f-Al. (95)
71=1
Величина
Ъ-ψ. (96)
в случае крыла, прямоугольного в плане, равная отношению размаха крыла
21 к его хорде Ь, называется удлинением крыла. Вводя эту величину в (95),
получим окончательно следующие формулы коэффициентив индуктивного
сопротивления и подъемной силы:
оо
ся£ = яЯ 2 nAl, cy = nlAi. (97)
п=1
Как это непосредственно следует из первого равенства системы (95),
индуктивное сопротивление представляет сумму существенно положительных
величин. Отсюда следует, что индуктивное сопротивление крыла конечного

S 68] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА 309
размаха при отличной от нуля подъемной силе (At ^ 0) будет минимальным,
если все коэффициенты в разложении циркуляции, кроме первого, равны
нулю. Это, согласно равенству (87), соответствует распределению циркуляции
Г = AUcolAt sin θ, (98)
или, возвращаясь к переменной z по (88),
Г = 4Г/еоМ1|/Г1- (|)2. (99)
Переписывая последнее равенство в виде
Г2 , z!
(4l7eoMi)*
1,
убедимся, что эпюрой распределения циркуляции по размаху крыла (несущей
линии) будет эллипс!с полуосями: по оси z — равной полуразмаху крыла I,
по оси Г — максимальной по размаху циркуляции Гт, причем коэффициент
Аг можно выразить через эту максимальную циркуляцию Гт так:
WoolA^Tn, A, -J^-. (100)
Уравнение эллипса будет
Полученное распределение циркуляции называется эллиптическим.
По только что доказанному при эллиптическом распределении циркуляции
индуктивное сопротивление минимально. В связи с этим крыло с эллиптиче-
ским распределением циркуляции имеет в теории крыла принципиальное
значение; рассмотрим основные его свойства. Прежде всего из формул (89)
и (90) сразу следует, что при эллиптическом распределении циркуляции
индуктивная скорость и индуктивный угол (скос) одинаковы вдоль всего раз-
маха. Действительно, подставляя в формулы (89) и (90) значения коэффи-
циентов Ап
А * т л л η
Ai~ ΙεΤ^Γ' Л2— 3 — '
получим
Крыло с постоянным по размаху геометрическим углом атаки называют
геометрически незакрученным; крыло с постоянным по размаху действитель-
ным углом атаки называют аэродинамически незакрученным.
Из доказанного только что свойства одинаковости угла скоса вдоль раз-
маха крыла с эллиптическим распределением циркуляции следует, что гео-
метрически незакрученное крыло с эллиптическим распределением циркуляции
будет и аэродинамически незакрученным.
Из формул (102) заключим, что с возрастанием размаха при заданной мак-
симальной циркуляции индуктивная скорость и угол скоса стремятся к нулю,
как это и должно быть при переходе к крылу бесконечного размаха.
Докажем, что геометрически незакрученное крыло с эллиптическим рас-
пределением циркуляции и одинаковыми по всему размаху аэродинамическими
характеристиками сечений имеет эллиптическую форму в плане.
Для доказательства свяжем коэффициент подъемной силы с'у сечения
крыла с соответствующим ему значением циркуляции Г (z). По теореме

310 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Жуковского будем иметь для единицы длины крыла (6 — хорда)
. Р*7£> ,
pUool = Су ■ 2 о,
или, вспоминая еще, что для малых углов атаки, отсчитываемых от направ-
ления нулевой подъемной силы,
> I dc'v \
су—υ
где а0 — наклон кривой зависимости с'у от а, а ае — действительный угол
атаки, найдем общую формулу искомой связи в виде
T~a0bU«,ae. (103)
Отсюда сразу следует, что у крыла с эллиптическим распределением
циркуляции при постоянной вдоль размаха аэродинамической характери-
стике сечений крыла а0 и отсутствии геометрической закрученности (а =
= const, аг = const, ae = const) закон изменения хорды Ъ вдоль размаха
совпадает с законом изменения циркуляции Г, т. е. также будет эллиптиче-
ским. Форма крыла в плане, согласно (101), (ЮЗ) и очевидному соотноше-
нию Гто = -τ?- a0bmUaoae, представится уравнением (bm — максимальная
хорда сечения, соответствующего z = 0)
Итак, при принятых условиях геометрической незакрученности и одина-
ковости аэродинамических характеристик вдоль размаха, крыло с эллипти-
ческим распределением циркуляции будет иметь и эллиптическую форму
в плане; такое крыло может быть названо эллиптическим.
Определим связь между коэффициентами индуктивного сопротивления
и подъемной силы эллиптического крыла. По (97) при А2 = As = . . . = 0
cxi ~ πλ4*, Су = пКАг.
Исключая отсюда А1г получим
с**=жс'у (105)
Аналогичную формулу можно вывести и для крыла любой формы в пла-
не. Положим
uw σο
j %nAl = i+-L 2 η4*=1 + β, (106)
n=l n=2
где δ тем меньше, чем ближе рассматриваемое крыло к эллиптическому.
Тогда из (97) в общем случае получим
Чгсу- (107>
Предположим, что при полете на режиме максимальной скорости потребные
для поддержания самолета в воздухе су невелики (су да 0,15—0,20). При
этом коэффициенты индуктивного сопротивления cxi будут малы по сравне-
нию с коэффициентами профильного сопротивления схр, обусловленного
сопротивлением трения и сопротивлением давления, возникающими из-за

§ 681 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА 311
Que
zoo
неидеальности воздуха. Наоборот, при малых скоростях полета основное
эначение приобретает индуктивное сопротивление.
Приводим на рис. 136 для иллюстрации типичную кривую полного
лобового сопротивления Q самолета с выделением роли индуктивного сопро-
тивления (заштрихованная полоска) при различных скоростях полета *).
При полете со сравнительно боль-
шими значениями су (например,
транспортные самолеты с боль-
шой дальностью) выгодно уве-
личивать удлинение, границы
выбора которого ставятся проч-
ностью крыла и другими кон-
структивными соображениями.
Все эти вопросы, так же как
и вопросы применения формул (97)
к конкретным крыльям, рассмат-
риваются в специальных курсах
теории крыла и аэродинамики
самолета.
Обратимся к рассмотрению
наиболее сложной задачи теории
крыла, а именно к задаче определения циркуляции, образующейся на
крыле заданной формы в плане с заданными аэродинамическими харак-
теристиками сечений.
Сохраним обозначения Ъ (z), a (z) и с0 (z) для заданных наперед перемен-
ных вдоль размаха величин: хорды, геометрического угла атаки и производ-
ной коэффициента подъемной силы по углу атаки. Тогда для циркуляции Г (z)
получим по формулам (103) и (81)
ft
i
ь %
lip
«0^
w
л
у^
о"»
200
300 4DD
V км/час
Рис. 136.
Tjz) = i αβ (z) b (z) UcoUs = yO0 (z) b (z) C/TC [a (z) — аг (z)].
(108)
Если в этом равенстве заменить индуктивный уголАсС{ (z) согласно его
выражению (86), то для определения неизвестной циркуляции Г (z) найдем
следующее интегро-дифференциальное уравнение Прандтля:
r(z)=|<(z№)i7TO[«»-b4^ \ f иг]·
1(109)
В этом уравнении, подчеркнем еще раз, под геометрическим углом атаки
a (z), так же как и под действительным углом в предыдущем равенстве, под-
разумевается угол, отсчитанный от направления нулевой подъемной силы.
В современных специальных курсах аэродинамики самолета излагаются
многочисленные методы решения уравненияжПрандтля (109), в том числе
и методы, использующие машинную технику счета. Как уже упоминалось,
изложенная теория «несущей линии» пригодна лишь для расчета крыльев
самолета с большим относительным удлинением. Теория крыльев малого
удлинения основывается на замене крыла вихревой поверхностью, прихо-
дящей на смену вихревой «несущей линии». Литература в этой области
как в Советском Союзе, так и за рубежом весьма обширна. Отошлем к «Сбор-
нику теоретических работ по аэродинамике», Оборонгиз, 1957, где (в статьях
П. И. Чушкина и Г. А. Колесникова) излагаются методы расчета крыльев
малого удлинения и приводится основная библиография по этому вопросу.
г) См. Б. Т.
М., 1948, стр. 25.
Горощенко, Аэродинамика скоростного самолета, Оборонгиз,

312 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Благодаря в значительной степени исследованиям советских ученых,
широкое развитие получила теория нестационарного движения крыла в без-
вихревом потоке несжимаемой жидкости и газа х).
§ 69. Общий случай движения твердого тела в безграничной
несжимаемой идеальной жидкости
При рассмотрении внешнего обтекания твердого тела до сих пор предпо-
лагалось, что тело неподвижно, а набегающий на него поток однороден и ста-
ционарен, или же жидкость вдалеке от тела неподвижна, а тело движется
сквозь нее поступательно, прямолинейно и равномерно. Именно в этом пред-
положении был доказан парадокс Д ламбера о равенстве нулю главного
вектора сил давления жидкости на поверхность тела конечных размеров.
Обратимся теперь к рассмотрению общего случая неравномерного и непо-
ступательного движения твердого тела в безграничной, несжимаемой идеаль-
ной жидкости, покоящейся на бесконечности.
Условимся в дальнейшем все величины, относящиеся к твердому телу,
обозначать индексом «звездочка», а для тех же величин в окружающей тело
жидкости сохраним обычные обозначения. Так, вектор скорости точек твер-
дого тела обозначим через V* (u*, v*, w*) и будем считать равным
V* = Vt + e>*xr*, (110)
где V* (и*, i?o» ^о) — скорость произвольной точки О* твердого тела, принятой
за полюс; ω* — угловая скорость вращения тела вокруг мгновенной оси,
проходящей через полюс О*; г* — векторы-радиусы точек твердого тела отно-
сительно полюса О*.
Введем в рассмотрение две системы координат: 1) абсолютную, неподвиж-
ную систему Oxyz и 2) относительную, подвижную, связанную с твердым
телом систему 0*x*y*z*. Если по ходу вывода отсутствует дифференцирова-
ние по времени, то время теряет свое значение как независимое переменное,
а становится просто параметром, [отмечающим следующие одну за другой
пространственные картины явления. При этом, нисколько не нарушая общно-
сти, можно в любой фиксированный момент времени считать обе системы
координат совпадающими и пользоваться для описания явления либо коор-
динатами х*, у*, z*, либо х, у, z.
В тех же случаях, когда время является аргументом, по которому произ-
водят дифференцирование, уже нельзя пренебрегать взаимным движением
координатных систем и становится необходимым различать два рода произ-
водных: абсолютную d/dt, вычисляемую в неподвижной системе координат
Oxyz, и относительную d*/dt, определенную в подвижной, связанной с твер-
дым телом системе 0*x*y*z*. Напомним, что абсолютная и относительная
производные по времени от некоторой вектор-функции a (f) связаны соотно-
шением (III. 1')
da d*a , , ...
-3Γ=-Λ-+ω*Χα tin)
Согласно доказаной в начале гл. V теореме Лагранжа можно считать,
что движение, вызванное в жидкости перемещающимся в ней телом, будет
безвихревым. Потенциал скоростей φ, в отличие от предыдущих — стационар-
ных движений, является функцией не только координат, но и времени.
Из равенства V = grad φ и уравнения несжимаемости жидкости div V —
— 0 следует, что искомый потенциал φ (х, у, z, t) должен удовлетворять
г) С. М. Белоцерковский, Б. К. Скрипач и В. Г. Табачников,
Крыло в нестационарном потоке газа, «Наука», М., 1971 (там же — обширная библио-
графия).

§ 69]
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
313
в каждый данный момент времени уравнению Лапласа
V\ = 0. (112)
Граничные условия непроницаемости поверхности твердого тела σ, тре-
бующие, чтобы проекции на нормаль η к поверхности σ скорости V частиц
жидкости, скользящих по поверхности, совпадали с соответствующими проек-
циями скорости V* точек твердой поверхности, а также убывания потенциала
φ при удалении от тела, могут быть записаны в форме
Vn = 4JL=У*=Vgn + (ω* х г*) · η = utnx+v%n + w%nz + ω£ (ynz — zny) -f-
+ ft>*(znx — ΧηΖ)+αξ (xnv — ynx) (на σ);
ср = О(1/Я2)->-0 при Д-э-оо.
(ИЗ)
о»
В равенствах приняты обозначения: V*x = и*, V%y = ν*, V*2= w*
причем проекции взяты на оси Oxyz, в данный момент времени совпадающие
с 0*x*y*z*.
Подчеркнем, что для определения нестационарного поля потенциала
скорости φ (х, у, z, t) никакие начальные условия не требуются, так как
уравнение (112) не содержит частной производной по времени. Решение
в любой данный момент времени t не зависит от предыстории потока. Время
служит в этой задаче только параметром, влияние которого проявляется
в конкретном виде правой части граничного условия (113), содержащей
характеристики движения твердого тела.
Пользуясь линейностью уравнения (112), будем, следуя Кирхгофу *),
искать решение этого уравнения в форме
φ = uj}<pj + i^<p2 + ы>оФз + ω£φ4 + ω£φ5 + ω? φ6. (114)
Тогда уравнение (112) распадается на систему следующих шести уравне-
ний Лапласа для каждой из функций <рг:
VV = 0 (i = 1, 2, . . ., 6) (115)
с граничными условиями
d(Pi _ „ дфг _ „ _£Фз. _ „ .
~&Г-Пх' дп ~"»» дп z'
дЦ>и 5фк θψα
-^L = ynz — zny, -J2- = znx—xnz, -^. = ХПу — ψΙΧ·
ср4 = <9(Ш?2)->0 при R-+oo.
(116)
Уравнения (115) не содержат производных по времени. Замечая, что
правые части граничных условий (116) в системе координат Oxyz тождествен-
ны с соответствующими выражениями в совпадающей с ней и связанной
с телом системе координат 0*x*y*z*, убедимся, что решения <рг- уравне-
ний (115) при граничных условиях (116) также от времени зависеть не будут.
Отсюда следует, что равенство (114) представляет искомое решение для
потенциала φ (х, у, z, t) в виде суммы произведений заданных наперед функ-
ций времени ut (t), v% (t), w% (t); ω£ {t), v>y (£), ω? (i), определяющих дви-
жение тела в жидкости, на неизвестные функции φ£ (х, у, z) только от ко-
ординат, τ
Функции ц>1 (х, у, z) можно интерпретировать как потенциалы скоростей
следующих движений жидкости относительно связанной с твердым телом
координатной системы: первые три потенциала <р17 <р2, <р3 соответствуют
1) См. восемнадцатую лекцию классических «Vorlesungen über Mathematishen Phy-
sik von G. К i r с h h o f f», Erster Band, Mechanik, Leipzig, 1897, s. 222.

314
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
обтеканиям рассматриваемого тела при его поступательных и равномерных
движениях со скоростями, равными единице, вдоль осей координат; последние
три потенциала φ4, φ5, Φβ — вращательным движениям тела с единичными
угловыми скоростями вокруг осей координат. Функции <рг в связи с этим
называют единичными потенциалами.
Предполагая,что функции фгтем или другим способом определены, перей-
дем теперь к разысканию главного вектора и главного момента сил давления
жидкости на движущееся в ней твердое тело. Заключим движущееся тело
внутрь некоторой жидкой сферы большого радиуса R0 с поверхностью
<т0 и применим теорему количеств движения к жидкой массе, находящейся
в переменном во времени объеме τ между поверхностями σ и σ0. Обозначим
через Q вектор количества движения жидкости в объеме τ, через F — иско-
мый главный вектор сил давления жидкости на поверхность тела о и через
F' — главный вектор сил давления, приложенных извне к поверхности σ0;
тогда будем иметь
i£-_Fj_*" 1201
dt ~ ~*~ '
откуда следует, что
F = F'—^. (117)
Отметим, что в равенстве (117) и в предыдущем равенстве производная
по времени является абсолютной производной, т. е. выражает быстроту изме-
нения во времени главного вектора количеств движения жидкости по отно-
шению к неподвижной системе координат Oxyz.
Вектор F' найдем по формуле
F' = — J рщ do0,
куда вместо давления ρ следует, согласно интегралу Лагранжа — Коши
(§ 38), подставить выражение
,-P/W-Jf-p£.
причем по условиям покоя жидкости на бесконечности
р-*-р<*>, V ~>-0, φ-э-О при R ->- оо
функция / (t) в последнем равенстве может быть заменена на постоянную
величину ρ „ο/ρ. Отбрасывая интеграл от постоянного слагаемого />«,, получим
F' = p J -g-noda0 + |- J V*n0do0. (118)
Главный вектор количеств движений жидкости в объеме τ, заключенном
между поверхностями σ и σ0, выразим через поверхностные интегралы так:
Q= j pVdx— p j gradq>dx = —p С φηωτ + ρ Γ φ»0^σ0; (119)
τ τ σ σ„
знак минус перед первым интегралом в правой части объясняется тем, что
внешняя нормаль к поверхности тела σ является внутренней нормалью по
отношению к объему жидкости τ, заключенному между поверхностями σ и σ0.
Возвратимся теперь к вычислению главного вектора F сил давления
потока на движущееся в нем тело. Согласно (117), для определения векто-
ра F необходимо вычислить индивидуальную производную от главного век-
тора количеств движения Q, представленного правой частью формулы (119).

§ 69]
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
315
Составляя выражение производной
Ж= —Ж (р \ Vnd°) + 1F (Ρ ] Φ****), (120)
сохраним пока без изменения первое слагаемое в правой части, а второе выра-
зим как сумму локальной производной по времени, легко вычисляемой при
неподвижности (независимости от времени) поверхности σ0 в виде
-gf j ρφ«0^σ0 = j р'-^-и0 da0,
и конвективной производной," которая требует для своего вычисления непо-
средственного составления предела отношения разности приращенного и пер-
воначального значения дифференцируемого интеграла к приращению вре-
мени. Такой предел, как известно (§ 14), сводится к потоку количества
движения сквозь поверхность, т. е. в данном случае к интегралу
о.
Подставляя полученные выражения локальной и конвективной производ-
ных в правую часть (120), получим
-§-= —Ж J РФ«^+ J ρ)^-ηοασ0+ j "pVnaVdo0
с σ0 σ0
и, возвращаясь к выражениям (117) и (118), найдем следующее выражение
главного вектора сил давления, приложенных со стороны жидкости к поверх-
ности движущегося в ней тела:
F=-^- J ρφηωτ + Ρ J (γν*η0-νηον) da0. (121)
σ σ0
Устремим теперь радиус R0 поверхности σ0 к бесконечности. Тогда, рас-
суждая так же, как при доказательстве парадокса Даламбера (§ 63), убедим-
ся, что выражение, стоящее под знаком интеграла в последнем слагаемом
правой части равенства (121), имеет порядок lAR^, в то время как поверх-
ность интегрирования имеет порядок R*; следовательно, при R0 —>- оо сла-
гаемое это стремится к нулю. Окончательно найдем искомую формулу глав-
ного вектора сил давления жидкости на поверхность тела
F = AJp(p„da. 1(122)
σ
Повторяя в точности те же рассуждения, найдем выражение главного
момента сил давления жидкости на поверхность тела
Μ = -^- С ρφΓ Χ η do. (123)
σ
Следуя принятым ранее обозначениям, зададим главный вектор Q*
и главный момент К* количеств движения твердого тела, движущегося
в жидкости. Тогда, согласно теоремам количеств и момента количеств движе-
ния в применении к твердому телу, получим уравнения движения твердого
тела

316 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
где F* и М* обозначают соответственно главный вектор и главный момент
внешних сил, приложенных к твердому телу, помимо реакций жидкости F
и М. Принимая во внимание (122) и (123), перепишем предыдущие урав-
нения в виде
_L((>*_f pqndo^F*, -%·(Κ·— f ρφΓΧ«^σ) = Μ*. (124)
σ σ
Введя обозначения
— \ pq>ndo = B, — pq>rXndo = I, (125)
σ σ
перепишем уравнения (124) в сокращенной форме еще так:
-^f(Q* + B) = F*, ±(K* + I) = M*. (126)
Полученным уравнениям дадим следующую трактовку: уравнения движе-
ния твердого тела в жидкости можно рассматривать как уравнения движения
тела в пустоте, если к главным векторам количеств и моментов количеств
движения твердого тела прибавить соответственно дополнительные векторы
Bui, определенные равенствами (125). Назовем их векторами количеств
и моментов количеств движения жидкости, присоединенными к твердому телу.
Рассмотрим теперь детальнее полученные выражения (122) главного
вектора F и (123) главного момента Μ сил давления жидкости на поверх-
ность. С этой целью, воспользовавшись (125), перепишем их для^краткости
в форме
F=-f-' "=-аг <127>
и перейдем от примененных в этих равенствах абсолютных производных
к относительным, согласно равенству (111).
Будем иметь для^ вектора F выражение
F=-~—ω* х В. (128)
Что касается выражения (123) главного момента М, то здесь надо при-
нять во внимание существенную для правильного вычисления абсолютной
производной по времени разницу между вектор-радиусом г в абсолютной
системе координат и совпадающим с ним в данный момент времени относи-
тельным вектор-радиусом г*. При принятом нами мгновенном совпадении
подвижной 0*x*y*z* и неподвижной Oxyz систем координат абсолютный
вектор-радиус г следует рассматривать как предельное значение суммы
вектор-радиуса точки О* и относительного вектор-радиуса г*
что нельзя не учитывать при вычислениях абсолютной производной. Будем
иметь, согласно вторым равенствам систем (125) и (127),
с с °*
= — [~^ X j рфи do + r0* X -^ J ρφ» do +-^- j pcpr* X n do\ ^0 =
= FgXtf + -!-[(/)r=r*l·
dt

§ 69J
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
317
Переходя после этого от абсолютных производных к относительным,
окончательно получим искомую формулу главного момента сил давления
потока на поверхность тела
M=—£L — e>mxI—VZxB, (129)
где под I понимается его выражение в относительной системе координат
I=—[pW*xndc. (130)
σ
Разберем два частных случая общего движения твердого тела в
жидкости.
1. Тело движется в жидкости поступательно и равномерно. В этом
случае ω* = 0, В не зависит от времени, и равенство (128) приводит к изве-
стному уже нам парадоксу Даламбера (§ 63). Как это следует из (129), глав-
ный момент сил давления при этом не равен нулю
M=—V%xB.
Равновесию тела соответствует выполнение условия параллельности век-
торов V% и В.
2. Движение тела складывается из равномерных движений полюса
и вращения вокруг полюса. Парадокс Даламбера в этом случае уже неспра-
ведлив; имеем по (128)
F = —ω* Χ В
Главный момент состоит из двух слагаемых
М=— ω*Χ/— VtxB.
Для дальнейшего полезно изменить обозначения проекций векторов
скорости V* полюса тела и угловой скорости ω* его вращения, положив
"о — ?i, *>о = 92, ы>о = д3; ω£ = ?4, ω£ = ?5, ω*=ς6;
точно так же примем обозначения
Вх = Blt Ву = В2, Вг = В3; 1Х = Я4. Iv = В* Iz = В6.
В новых обозначениях выражение потенциала [скоростей (114) будет
β
φ= Σ ?лФ*· (131)
Воспользуемся теперь выполняющейся в любой момент времени на
поверхности тела σ системой равенств (116); тогда в новых обозначениях
будем иметь по (131)
б б
Я,= -рГ φ-|^ωτ=-ρ J 2 ?*Φ*-§Γ^=Σλ'*<7* (i = l, 2, ...,6),
(132)
где введено обозначение
»«--pJ-§r4>*dff· (133>
σ
Величины Ягь, вычисленные в связанной с твердым телом координатной
системе, представляют некоторые постоянные, зависящие лишь от плотности

318
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ, VII
жидкости и формы поверхности тела, так как по ранее доказанному фг не
зависят от времени.
Являясь коэффициентами в выражениях (132) присоединенных количе-
ства и момента количества движения через скорости qh, величины Ягь играют
роль инерционных коэффициентов, присоединяемых к инерционным коэффи-
циентам, входящим в аналогичные выражения количества движения и момента
количества движения самого твердого тела.
Так, например, проекция количества движения твердого тела, массу
которого мы обозначим через т*, на ось Ох будет равна
Q* = J V* dm* = j (ut + ω*Ζ - <£y) dm* =
= m*u% -\-(x>l \ z dm* — ω* \ у dm* = m*u* + m*zc«J — т*уси>*у
m* m*
где yc и zc — координаты центра тяжести тела; остюда в новых обозначениях
следует
О* = т*дг + m*zcq5 — m*ycqe.
Проекция на ось Ох суммы количества движения Q* и «присоединенного»
количества движения В будет равна
Q* + Bl = (т* + λΧ1) qx + λ12?2 + K13q3 + Aj4?4 +
+ (m*zc + λ15) qs + (—m*yc + λ16) де.
Как видно из структуры этого выражения, инерционные коэффициенты
Kik присоединяются к инерционным коэффициентам в выражении проекции
количества движения твердого тела: Яи — к массе, λ15 и λ16 — к статическим
моментам масс; остальные коэффициенты в общем случае дополняют члены,
отсутствующие в выражении проекции главного вектора количества движе-
ния твердого тела. Инерционные коэффициенты %ih называют коэффициен-
тами присоединенных масс.
Тридцать шесть коэффициентов присоединенных масс
/i=l, 2, ...,6\
и U = l, 2 в)
обладают свойством симметрии, т. е. не зависят от порядка индексов. Чтобы
это доказать, составим применительно к объему τ, ограниченному поверхно-
стями тела σ и сферы σ0 большого радиуса R0, следующее известное соотно-
шение (применено первое из равенств (II 1.9) при а = grad <ph):
J <PiV29b[tfr= j φ{ div (gradfa^tfr = f div (qjj grad q>ft) dx— f grad φ4 grad q^cftj
tj x τ τ
и вычтем из него аналогичное соотношение с измененным порядком индексов;
тогда получим общую формулу
\ (фг^Фь — <PftV2(Pi) dx = j div (<pj gradfajifr— f [div (q>k grad φ£) dx.
[τ τ τ J
Замечая, что единичные потенциалы φ{ и фй удовлетворяют уравнению
Лапласа, и применяя в правой части вторую формулу (ΙΙΙ.8), приходим
к равенству

§ C91
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
319
Примем во внимание, как и раньше, что интеграл справа при удалении
поверхности сферы σ0 на бесконечность стремится к нулю (<рг имеет порядок
lARo, — — порядок l/i?o); тогда будем иметь
о а
или, по определению коэффициентов присоединенных масс,
что и доказывает свойство симметрии этих величин.
Присоединенные массы %ih входят коэффициентами в выражение квадра-
тичной зависимости кинетической энергии Τ возмущенного движения жидко-
сти от скоростей движения твердого тела.
Подсчитывая кинетическую энергию жидкости в объеме τ между поверх-
ностями σ и σ0 и замечая, что внешняя нормаль на σ совпадает с внутрен-
ней по отношению к объему τ, получим
Τ = ·γ \ V2dx=~ \ gTaaq-graaqdT =
% τ
=т| div(<Pgrad<P)dx—-§- _[ φν2φατ = — -|- j Φ-^σ + -|- J φ-^- ασα
τ τ σ σο
и, вновь замечая, что при удалении поверхности σ0 на бесконечность второй
интеграл справа обратится в нуль, получим
Τ
—Н»£*· <13*>
Подставим сюда разложение потенциала скоростей φ на единичные потен-
циалы составных движений фг; тогда, перемножая суммы, найдем искомое
выражение кинетической энергии возмущенного движения жидкости через
скорости тела и присоединенные массы
б ε
Τ=τΣ Σλ»?**· (135>
i=l fc=l
Сравнивая это выражение с выражением (132), получим связь между
присоединенной кинетической энергией возмущенного движения Τ и при-
соединенным количеством движения Bt
Bi=JSr (i==u 2' ••·,6)· (136)
Если написать в развернутом виде выражение кинетической энергии
самого движущегося твердого тела
Г* = -1 f F*2 dm* = -i- \m* «s + v*02 + <2) + 2m*xc (ν*0ω*- ittfcu*) +
rn*
+ 2m*yc {w%(x>t—иЫ) + 2m*zc (ufc*- vfat) + -W + J„< + J^t2 -
— 2Jy Ζω£ω? — 2/2Жсо?со*—2JXy(oi(u$],
то легко убедиться, что при присоединении кинетической энергии Τ возму-
щенной телом жидкости к энергии самого движущегося тела Т* коэффициен-
ты Яг-£, так же как и в случае векторов количеств и моментов количеств движе-
ния, присоединяются к соответствующим инерционным коэффициентам

320
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
в выражении Т*: массе, статическим моментам, моментам инерции и центро-
бежным моментам. Это еще раз поясняет смысл коэффициентов Яг^ и проис-
хождение названия присоединенных масс.
Приведем расчеты нескольких простейших «присоединенных масс».
Пусть круглый цилиндр радиуса а, окруженный безграничной идеальной
несжимаемой жидкостью плотности р, совершает поступательное движение
вдоль оси Ох, перпендикулярной оси цилиндра, со скоростью и0, являющейся
заданной функцией времени t. В этом случае потенциал скоростей возму-
щенного движения будет
φ =-Re (u0-?-) = — u0(i)o2Re (—) = —u0(t)a2 x2^y2 =
= —и0(t)α2-^-= — u0(i)α2 cose
и коэффициент при u0(t)
a2 cos ε
<Pi =
будет играть роль единичного потенциала, а коэффициент присоединенной
массы по (133) будет равен
2Л 2л
λ11=—ρ Ι φ4 (-Р-\_ )ade = pa2 \ cos2ede = npa2=*m,
о г~° о
где т — масса жидкости в объеме цилиндра, приходящаяся на единицу его
длины.
Реакция жидкости на цилиндр будет определяться по формуле
ρ dBx « dup du0
x dt " dt dt ■
В случае равномерного движения цилиндра (-jr = 0) эта сила про-
падает и имеет место парадокс Даламбера. При ускоренном движении цилин-
дра реакция жидкости существует, причем она тем больше, чем больше уско-
рение цилиндра.
Составляя дифференциальное уравнение движения цилиндра (т* —
масса единицы длины цилиндра, F* — внешняя сила, помимо реакции жидко-
сти)
видим, что его можно переписать так:
(m* + m)-^- = F*.
Под действием приложенной силы F* цилиндр будет двигаться в жидко-
сти так же, как в пустоте, если только массу его увеличить на присоединенную
массу жидкости в объеме цилиндра.
~\ Столь же просто решается задача о прямолинейном движении шара.
В ^этом случае будем иметь
оЗсозб ,. a? cos θ
2Я Я
1 „ f jJ / «3 cos θ \ / а? 2 cos θ \ 9 . „ ,. 2 „ 1
о о
где т — массе жидкости в объеме шара.

§ 68
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
321
Дифференциальное уравнение движения шара будет
♦ du0 _ ρ* .F _ 1 m <Ζ"ο , p.
m 4r-*x + tx-—Tm~jr+F*'
или
(т'+тт№=к
Сравнивая это уравнение с уравнением прямолинейного движения шара
под действием той же силы F* в пустоте
приходим к заключению, что движение шара в жидкости можно рассматри-
вать как происходящее в пустоте, если только к массе maj а присоединить
дополнительную массу, равную половине массы жидкости в объеме шара.
Если масса жидкости в объеме движущегося тела мала по сравнению
с массой самого движущегося тела (например, снаряд или самолет в воздухе),
то присоединенной массой можно пренебречь. В других случаях (дирижабль
в воздухе, корабль или торпеда в воде и др.), наоборот, роль присоединенных
масс оказывается первостепенной.
Имея в виду особенно большое прикладное значение понятия приг-оедг-
ненной массы для тел вращения (дирижабельные и торпедные формы), выве-
дем общие формулы присоединенных масс для продольного относительно оси
симметрии и поперечного по отношению к ней движения тела вращения.
В случае продольного движения вдоль оси Ох имеем
^1 = ЯЯЖ=—ρ j (pt-^±-iZo-,
или, в силу граничного условия (116) на поверхности тела и очевидного равен-
ства do — 2лг ds,
λΗ= — ρ I (finxda— — 2πρ I ^(rnxds— — 2πρ I (p^rdr.
σ
Используя (54), получим
1
λη=2προ* |φ1[(1_μ2)λ-|^_(λ2_1)μ]φ.
-1
Согласно (59), для потенциала возмущенного движения с единичной
скоростью будем иметь
оо
ф|=—с Σ AnQn(k)Pn(\i),
n=l
так что для присоединенной массы в продольном движении, или, короче,
продольной присоединенной массы получим следующее общее выражение:
J оо
Кп=-2лрСз | { [(1 _ μ2) λ -^ — (λ2— 1) μ] 2 ^η<?η (λ) Ρη (μ)} φ,
-1 η=1
где подразумевается, что координата λ есть заданная функция μ согласно
уравнению обвода меридианного сечения тела.
В случае эллипсоида вращения с большей осью о, направленной вдоль
оси Ох, имеющего уравнением обвода λ = λ0 =— (е— эксцентриситет),
21 Л. Г. Лойцянский

322
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[гл. vii
предыдущий интеграл легко вычисляется. Как ранее в § 65, получим
1 . , λο + 1 , 1 , l + e
4 ч/о2 л\ 2 u λ0 —1 4 ,, 2e 1-е
λ„ = τπρ6'Μ-1) λο ° λο + 1 =тярдУ 1 !—Γ+Γ'
Я|—1 2 λ0-1 1-е2 2е 1-е
где, напоминаем, а ж Ъ — большая и малая полуоси, е — эксцентриситет.
Полагая в последней формуле е = 0 и раскрывая неопределенность, вновь
получим присоединенную массу шара
(1+-*-^...)-!
(λ11)β=ο = -jf npa
4 _._з
1 e2+..._ji+^_i2+...J_|
2 з
е=0
Аналогичным путем определим и присоединенную массу тела вращения
при поперечном его поступательном движении вдоль оси Оу или поперечную
присоединенную массу.]
Сохраняя обозначения § 66, найдем
1 оо
λ22 Я^лрс» J (1_μ2)(λ2-_1) (μ-|-+λ) 2^η-^-|^ψ
-1 η=1
и в частном случае поперечного движения эллипсоида вращения (в направле-
нии, перпендикулярном большей оси)
%22~
1
4 е2
--„ праи .
2 2
1-е2 1-fe
" 2*3 1а 1-е
, 1-е2 ,_ 1 + е
+ 2еЗ 1п1_е
при е =0 последняя формула также переходит в присоединенную массу шара.
Присоединенные массы играют важную роль в расчетах нестационарных
движений тел в жидкостях, явлений удара тел о свободную поверхность
жидкости и др.1).
Задача о плоском нестационарном движении жидкости, вызываемом
неравномерно движущимся профилем, представляет частный случай изложен-
ной общей теории, если циркуляция вокруг нрофиля принимается постоян-
ной. Классическое исследование этого случая движения профиля и установ-
ление формул силы и момента принадлежит С. А. Чаплыгину и относится
к 1926 г.2), а дальнейшее развитие этого вопроса — Л. И. Седову 3). Основ-
ная трудность в изучении нестационарных движений крылового профиля
заключается в переменности во времени циркуляции и возникновении в связи
с этим в потоке сходящей с профиля вихревой пелены, оказывающей индук-
тивное влияние на его обтекание.
х) Л. И. Седов, Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, Гостехиздат,
М., 1950, стр. 30—40, 160—166, 187—199. В этой монографии даны таблицы присоединен-
ных масс для цилиндрических тел. См. также монографию: А. М. Васин, Теория устой-
чивости на курсе и поворотливости судна. Серия «Современные проблемы механики»,
Гостехиздат, М., 1949, где можно найти графики присоединенных масс для эллипсоидов
и других тел, и курсы: Н. Е. К о ч и н, И. А. К и б е л ь и Н. В. Розе, Теорети-
ческая гидромеханика, ч. I, гл. VII, Физматгиз, М., 1963; Н. Я. Фабрикант. Курс
аэродинамики, ч. I, Гостехиздат, М,, 1938.
2) С.А. Чаплыгин, О влиянии плоскопараллельного потока воздуха на движу-
щееся в нем цилиндрическое крыло, Труды ЦАГИ, вып. 19, 1926, см. также Собрание
сочинений, т. II, Гостехиздат, М., 1948.
3) Л.И.Седов, К теории неустановившихся движений крыла в жидкости, Труды
ЦАГИ, вып. 229, 1935, а также «О неустановившемся движении внутри жидкости тел вра-
щения», Труды ЦАГИ, вып. 515, 1940.

§ 70] ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 323
Изложение существующих теорий нестационарного движения крыла
в жидкости можно найти в специальной монографии А. И. Некрасова «Теория
крыла в нестационарном потоке», изд. АН СССР, 1947 и в только что цитиро-
ванной монографии Л. И. Седова; последняя содержит также исследование
колебаний крыла в газе.
Теория нестационарного движения крыла конечного размаха изложена
в специальных монографиях *).
§ 70. Осесимметричное до- и сверхзвуковое обтекание
тонкого тела вращения
Так же как и в случае плоского обтекания, уравнения пространственного
безвихревого движения идеального совершенного газа можно получить,
используя условия: 1) неразрывности течения, 2) отсутствия в потоке завих-
ренности и 3) адиабатичности и изэнтропичности процесса.
Уравнение неразрывности в цилиндрических координатах легко полу-
чить при помощи приведенной в (III.18) формулы для дивергенции. Считая
окружную (трансверсальную) скорость Vz равной нулю и движение не зави-
сящим от азимута ε, будем иметь
Условимся обозначать: продольные, параллельные оси цилиндрической
симметрии движения координату и скорость через х и и, а поперечные —
через г и v. Тогда уравнение неразрывности приобретет вид
1!£!±+1<Е!± = о. (137)
При симметрии потока единственной, не равной тождественно нулю ком-
понентой вихря [см. (III.18)] будет азимутальная компонента, так что усло-
вие отсутствия завихренности в принятых обозначениях сведется к одному
уравнению [(III.18)1
·£—к·-0· <138>
совпадающему с уравнением (3) плоского движения газа (§ 48). Уравне-
ние (137) отличается от уравнения (1) § 48 наличием под знакаь и производ-
ных множителя г.
Принимаемое нами условие адиабатичности и изэнтропичности процесса
движения газа будет в дальнейшем использовано в разнообразных, наиболее
подходящих для данного этапа рассуждения формах, аналогично тому, как
уже это делалось в плоском случае (§ 48).
Пользуясь уравнениями (137) и (138),можно ввести две функции: потен-
циал скоростей φ (х, г) и функцию тока ψ (ж, г), положив, согласно (1..8),
»~£. »-■£ <139>
и удовлетворив уравнение (137) при помощи равенств (рто — плотность
в невозмущенном однородном потоке; выбор знака был пояснен в § 62)
_P_ru = i* _Р_гг;=_^. (140)
Роо дг ' роо дх ' Х >
г) Η. Η. Π о л я х о в, Теория нестационарных движений несущей поверхности,
Изд-во ЛГУ, 1960; СМ. Белоцерковский, Б. К. Скрипач, В. Г. Та-
бачников, Крыл > в нестационарном потоке газа, «Наука», М., 1971.
21*

324
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VTI
Подставляя значения и и ν из (139) в (137), получим основное уравнение
для определения потенциала скорости φ (х, г)
а производя аналогичную операцию с выражениями проекций скоростей
(140) и уравнением (138), найдем основное уравнение для определения функ-
ции тока ψ (х, г)
Уравнения (141) и (142) нелинейны, так как плотность ρ представляет,
согласно уравнению Бернулли, функцию скорости V. Напомним вывод этого
и, кстати, еще необходимого для дальнейшего соответствующего соотношения
для давления р. Используя формулу Сен-Венана и Вантцеля (равенство (30)
гл. III), будем иметь, определяя константу по условиям на бесконечности,
2 Λ—1 poo L \ Ρ» / J 2 »
откуда следует (/фоо/роо = о», U00/a00 = Moo)
-E-.tl+J^Mi (!_£)]'-'. (143)
а по изэнтропическому соотношению р/роо = (p/poo)ft найдем и искомое выра-
жение для р/роо
Линеаризация уравнений (141) и (142) применительно к задаче простран-
ственного обтекания тонкого тела вращения, вызывающего в набегающем
потоке малые возмущения, приводит к принципиальным затруднениям х).
Разобьем так же, как это делалось в плоском случае, потенциал скоро-
стей и функцию тока на части, соответствующие невозмущенному однородно-
му потоку фоо, ψοο и малым возмущениям φ, ψ, положив
Аналогично, считая однородный поток параллельным оси симметрии Ох,
а скорость его равной Uao, представим проекции скорости и, ν и плотность 7>
также разбитыми на величины, соответствующие невозмущенному потоку
Uco, 0, роо, и малые возмущения и, ν, ρ
U = Uoo+U, V = V, P = Poo-|-f>.
Подставляя эти разложения в (139), (140), получим
JJ | 7,— g(P°° | δΨ Г,_ дф°° , 5φ
(1+-£-Hl'-+i>--si+-g
(145)
дх дх
х) См. М. Ван-Да й к, Методы возмущений в механике жидкости, «Мир», Μ
1967, стр. 236—242. г

§ 70] ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 325
Отсюда в нулевом приближении (φ = ψ = и = ν = ρ = 0) будем иметь
что приведет к обычным выражениям для потенциала скоростей π функции
тока невозмущенного потока φ» и ψ,»:
φοο = £/οο#, ψ«, = -у #ооГ2. (146)
Из первой строки системы равенств (145) непосредственно следует
=--£· '--£-■ i1")
Для вывода аналогичных связей проекций скоростей возмущения с соот-
ветствующей им функцией тока необходимо в последних двух строках системы
(145) исключить возмущение плотности р. С этой целью заметим прежде все-
го, что
V2 = (U„ + uf + ν* = Ul + 2Ujt + u2 +1>,
Ul Z7oo \ Un ) \ Uco ) '
и перепишем равенства (143) и (144) в следующей форме:
-к=->Фж:+Ш2+(тЬУ+■■■!■ /
Напомним, что при рассмотрении линеаризованных уравнений плоско-
го течения газа мы в предыдущей главе пользовались аналогичными форму-
лами, но сохраняли только первые члены в квадратных скобках, пренебрегая
квадратичными членами.
Как будет далее показано, в случае пространственного осесимметричного
обтекания тонких тел вращения такое отбрасывание допустимо только для
члена (u/Uoo)2, который по сравнению с малой величиной u/U„>, конечно,
представляет малую высшего порядка. Чго же касается величины (p/Uoo)2,
то она, как это будет следовать из дальнейших оценок, не имеет второй поря-
док малости по сравнению с u/t/οο, так что отбрасывание в квадратной скобке
слагаемого (v/Uk)2, при сохранении первого члена 2ulUoo, не является оправ-
данным.
Для рассмотрения этого далеко не простого вопроса применим следую-
щий прием: сначала произведем обычную, аналогичную плоскому случаю
грубую линеаризацию, сохранив в квадратных скобках равенств (148) типько
первый член 2и//_70о, т. е. положив
JL^-mi-jji-, Jl»_Mi-^-f (i49)
/Λ» t/oo ^oo t/oo
а затем, используя полученное таким образом — не будем его называть «пер-
вым приближением»— приближенное решение, оценим, как говорят, a poste-
riori величину отброшенного члена (vlUoo)2-
Подставляя второе из соотношений (149) в последние два равенства (145)
и приравнивая коэффициенты при малых величинах первого noj ядка, найдем

326
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
выражения проекций скоростей возмущений через функцию тока возмущений
и = -
1 1 д« ~__J_.*L (150)
1 —М^ г дг ' г 5х
Формулы (147) совпадают с соответствующими формулами (13) плоского
линеаризованного движения (гл. VI), а формулы (150) отличаются от формул
(15) того же параграфа на множитель 1/г перед производными в правых
частях. ^
Подставляя полученное значение возмущения плотности ρ (149) в (141)
и приравнивая малые первого порядка, составим линеаризованное уравне-
ние для потенциала скоростей возмущений
<1-му#+-5н4-£~° («ч
и аналогичным путем линеаризованное уравнение для функции тока воз-
мущений
C-Mi)#+#-f# = 0, (152)
отличающееся от предыдущего знаком при последнем члене в левой части.
Обратимся к рассмотрению граничных условий на поверхности обте-
ка мого тела.
Для уравнения (151) граничное условие может быть получено как усло-
вие непроницаемости поверхности тела. Пусть уравнение поверхности тела
в цилиндрических координатах будет г — г0 (х).
Тогда условие непроницаемости поверхности тела можно записать как
равенство углов наклона к продольной оси касательной к контуру тела
и линии тока
*3l=г; (*)=(—LJ\ & (tW> . (153)
Это граничное условие не может быть, как в плоском случае, «снесено»
на ось тела, т. е. применено при г = 0, так как в случае осесимметричного
движения ось Ох является особой линией — на ней ν = оо, что непосред-
ственно следует из второго равенства (150). Избежать эту особенность можно
приближенно, заменив предыдущее условие таким:
r0(x)r'0(x)= (rV^° . (154)
Иначе будет обстоять дело при пользовании уравнением (152) для функ-
ции тока. В этом случае граничное условие выражает тот факт, что поверх-
ность тела является нулевой поверхностью тока
ψ = Сфоо + Ф)г=г0(х) = Υ Ucorf + Сф)г=го(ж) = 0,
ИЛИ
— 1
ψ = — -g- Uoorl (х) при r = r0(x).
Это условие может быть «снесено» на ось Ох и сведется к следующему при-
ближенному:
~ 1
ψ=—2U°°ro(x) ПРИ г = 0. (155)

§ 70] ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 327
Рассмотрим в указанной простейшей постановке задачу Кармана г) о про-
дольном сверхзвуковом обтекании тонкого тела вращения.
Основное дифференциальное уравнение этого течения в цилиндрических
координатах может быть, согласно (151), представлено в виде
θ2ψ
1 / &φ Ι δψ
дх2
ω2
(-3-+т-£)-°. »2-м»-1·
Следуя Карману, докажем, что уравнение (156) имеет интеграл
/(9 «К
Y(x — ξ)2 — ω2/-2 *
(156)
(157)
где х — ξ = 0 соответствует лобовой точке тела, а / (ξ) — некоторая непре-
рывная, дважды дифференцируемая функция, тождественно равная нулю
при ξ ^ 0. Замечая, что дифференцирование затруднено тем обстоятельством,
что функция, подлежащая интегрированию, в верхнем пределе обращается
в бесконечность, произведем заме-
ну переменной интегрирования,
положив
М^>/
ξ = х — cor ch i,
dl·, — —cor sh t dt.
(158)
Интеграл (157) примет при этом
более простой вид
arch ■
φ (ж, г)= \ / (х — u>rcbt)dt,
(159)
Рис. 137.
который может быть еще более упрощен, если заметить, что изменению пере-
менной t в области
arch <[ t <С оо
or ^
соответствует область изменения ξ
0>ξ>-οο,
где по сделанному предположению / (ξ) = 0. Это позволяет заменить верх-
ний предел интегрирования в (159) на оо и получить
φ (х, г) = \ f (x — ωτ ch t) dt.
(160)
Интеграл определен во всем пространстве (х, г), но в области вне конуса
(рис. 137)
х = or (161)
с половиной угла раствора а, равной
α = arctg — = arctg —
6 ж ^ ω
= arcsin
Мс
х) Т. Карман, Проблема сопротивления в сжимаемой жидкости, перев. с англ.
в сб. «Газовая динамика», ГОНТИ, М., 1939, стр. 81—90.

328
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
£ГЛ. VII
тождественно равен нулю, так как в этой области аргумент функции /, стоя-
щей под интегралом, становится отрицательным; действительно,
х — cor ch t <с х — шг< 0 при х <t or.
Это показывает, что рассматриваемые возмущения однородного потока
сосредоточены внутри конуса (161), который носит наименование конуса
возмущений — конуса Маха. Угол раствора этого конуса 2а раьен удвоен-
ному углу возмущения (углу Маха), подобно тому, как это имело место в пло-
ском сверхзвуковом потоке.
Нетрудно доказать, что интеграл (160), а следовательно, и равный ему
интеграл (159) удовлетворяет дифференциальному уравнению малых возму-
щений в сверхзвуковом потоке (156).
Вычислим непосредственно по (160) производные г)
дх
дх*
= \ f (x — (iircht)dt,
о
оо
= f f(x — (s>rcht)dt.
ητ~=—ω I f (x— (i>rcht)ch.tdt,
о
~~ °°
-gL = ω2 f /" (x - ων ch i) ch21 dt
о
и заметим, что интегрирование по частям дает
= — ш
о
оо
= — ω f /' (x — cor ch t) sh i]~ — co2r f /" (x — cor ch t) sh21 dt.
[ f'(x — (i>rcht)d(sht) =
о
Из условия / (ξ) == 0 при ξ <С 0 следует, что
lim [/' (x — u>r ch t) sh t] = 0,
и подстановка обращается в нуль; получим, вычисляя левую часть (156),
^ оо
ω2
"0
Интеграл (157) можно рассматривать как сверхзвуковой аналог потен-
циала скоростей возмущений от распределения источников вдоль положи-
тельной части оси Ох, в случае несжимаемой жидкости (Моо = 0, ω2 = —1)
представленного равенством (72). Между этими двумя гидродинамическими
образами имеется принципиальное различие, с математической стороны
выражающееся в том, что соответствующий потенциал скоростей в несжи-
маемой жидкости удовлетворяет уравнению эллиптического типа (урав-
нению Лапласа), а потенциал (160) — уравнению гиперболического типа —
волновому уравнению (156). С физической стороны это различие заключает-
*) Штрихи при / под знаком интеграла обозначают производные по всему аргументу,
стоящему в скобках.

§ 701 ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 329
х—tor
ся в том, что влияние возмущений в первом случае распространяется на всю
область, заполненную жидкостью, во втором — только на часть ее, рас-
положенную внутри конуса возмущений с вершиной в точке О, откуда начи-
нается распределение вдоль оси конуса (ось Ох) сверхзвуковых источников.
Потенциал скоростей возмущений (160) может быть использован для
расчета сверхзвукового обтекания удлиненных тел вращения однородным
потоком, параллельным их оси симметрии. Подчиним с этой целью неизве-
стную функцию / (ξ) условию непроницаемости поверхности обтекаемого
тела. Это условие в принятом приближении можно записать, выразив равен-
ство тангенсов углов с осью Ох касательных к линии тока и конт\ру мери-
дианного сечения обтекаемого тела в точках его поверхности
где г = г0 (х) представляет уравнение меридианного сечения тела. Для
вычисления скоростей возмущений и, ν используем равенства (147) и (160)?
будем иметь
сю оо
и= \ f (x — corchf) dt, v= — ω \ f'(x — orcht)chtdt, (163)
о о
или, возвращаясь к переменной ξ,
x-esr x—e>r
u= г r® ^ -=_j
Подставляя последнее выражение в равенство (162), найдем следующее
интегральное уравнение для определения неизвестной функции / (| :
х- Шго(ж)
f „/'"Γ^'® dl = -t7.ro(х)r'0(x). (165)
J У (х — ξ)2— ω2/-2 (х)
Это уравнение в грубом приближении легко интегрируется, если для
тел большого удлинения положить под знаком интеграла и в в рхнем его
пределе
шг0 < х — ξ, сог0 < х.
Тогда получим (напомним, что / (0) = 0)
\ /'£)<£ = /(*) = -Uxr0(x)r'0(x), (166)
Ъ
или, характеризуя тело законом изменения площади его поперечного сече-
вия А (х) = зтг2. (х),
*(*)=—1ЕГА'М- <1б7>
Это приближение эквивалентно отмеченному в конце § 67 выражению (78)
для несжимаемой жидкости.
Подставляя полученное значение / (х) в равенство (157), найдем искомое
выражение потенциала
х—Шг
φ (Я rt=_.^2L f Δ'(Pi , ^ (168)
ΦΙΙ,Γ| 2π J Λ UV(*-£)2-b>2r2 V '

330 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Отсюда уже нетрудно определить проекции скоростей возмущении на оси
цилиндрической системы координат
х-<йг Л
0 \ (169)
V~ 2лг J Л ™ y{x -ξ)»_ων* ' J
о
и выр ж ние коэффициента давления
_^ ж-or
«ρ—ΚΓ-Τ [ ^®7^Ξ3Γ· <170>
Су мируя давления по поверхности тела вращения данной длины I
и считая г0 (0) = r0 (Ζ) = 0, можно получить волновое сопротивление тела.
Опуская в гчпсления, приведем окончательную формулу, принадлежащую
Карм у
I I
Rx=-nPcQ\ J/'(ξ)/'(x)ln\x-%\dxc%. (171)
о о
Вычисление сопротивления по этой формуле облегчается, если заметить
формальную аналогию между выражением (171) и первым из равенств (92),
выражающим индуктивное сопротивление крыла конечного размаха. Дей-
ствительно, заменяя в равенстве (92) at (z) по формуле (86), получим
i i
пос интегрирования по частям
i i
д* = :ИГ(*)[1Г'(0-г=т]*
В = ^
J |Γ(Ζ)Γ(91η|*-ς|<£<&.
-г -г
Таким образом, можно формулировать следующий результат: волновое
сопротивление тела вращения при продольном его обтекании может вычис-
ляться по формулам индуктивного сопротивления крыла конечного размаха,
если вместо распределения циркуляции по размаху задавать распределение
мощности источников по оси тела вращения.
Ото позволяет при вычислении волнового сопротивления тела в сверхзву-
ковом потоке применять тот же метод разложения в тригонометрические ряды,
что при расчете индуктивного сопротивления крыла конечного размаха по
теории несущей линии.
В частности, в полной аналогии с теорией крыла конечного размаха,
можно заключить, что при заданном удлинении тела вращения коэффициент
волнового сопротивления будет минимален, если распределение мощности
источников принять по эллиптическому закону.
Чтобы составить представление о разнице между распределениями дав-
ления но поверхности удлиненного тела вращения и соответствующего ему
по форме поперечного сечения крылового профиля, приведем сравнительные
графики распределения коэффициента давления для чечевицеобразного деся-
типроцентного симметричного профиля, образованного дугами параболы
н имеющего то же меридианное сечение тела вращения при М«, = 1,4
{рис. 138). На графике отчетливо видно резкое падение давления на крыловом

§ 70]
ОСЕСПММЕТРПЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
331
профиле по сравнению с соответствующим ему телом вращения. Это отличие
приводит к значительной разнице (рис. 139) и в законах возрастания волно-
вого сопротивления с увеличением относительной толщины крылового
"а
Μ
о
-о,г
-№
1
I;
//
Ι/
I/
/Ι
/I
«zmmmmmzz^
Рис. 138.
Рис. 139.
-0,2-
профиля и тела вращения. Естественно, что в случае тела вращения этот
рост значительно слабее.
Происхождение волнового сопротивления, поясненное уже в гл. VI,
подтверждается графиками, изображенными на рис. 138. Сравнивая распре-
деление давления по телу вращения, обте-
каемому несжимаемой жидкостью (Мю = 0),
с соответствующим распределением при
Моо = 1,4, обнаруживаем появление асиммет-
рии в распределении давлений.
За счет частичной задержки восстанов-
ления давления в кормовой части тела вра-
щения при сверхзвуковом обтекании (сдвиг
сплошной кривой относительно пунктирной
вниз по потоку) и возникает волновое со-
противление. Отсутствие восстановления дав-
ления, наблюдаемое в случае плоского кры-
ла, приводит к резкой разнице между волно-
выми сопротивлениями крыла и тела враще-
ния, имеющего меридианное сечение, совпа-
дающее с профилем крыла.
На рис. 140 приведено сравнение теоре-
тического распределения коэффициента дав-
ления по формулам настоящего параграфа
с экспериментом х) для снаряда, имеющего
оживальные нос и корму и цилиндрическую
среднюю часть, при числе Моо = 1,87.
Для решения задачи об обтекании тонкого тела вращения, расположен-
ного в набегающем потоке под некоторым малым углом атаки, в полном соот-
ветствии с теорией обтекания тел несжимаемой жидкостью (§ 66), приходится
наряду с продольным рассматривать еще поперечное обтекание тела вращения.
х) Рисунки 138—140 заимствованы из книги A. Shapiro, Thejlynamics and
thermodynamics of compressible fluid flow, vol. I, II, N.Y.,, 1953.
0.0B
Q04
О
ожив
s
/
1
/-
цил
ожиб.
0,2 Ofi- 0,6
Рис. 140.
OjB Ifi
«г

332 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Дифференциальное уравнение малых возмущений в однородном сверх-
звуковом потоке, направленном перпендикулярно к оси тела вращения (попе-
речный поток), будет содержать полярный угол ε в плоскости Оху. В этом
случае уже нельзя откидывать производные по углу ε, и уравнение для
определения потенциала скоростей возмущений ц>г в случае поперечного
обтекания будет
д2?! 1 (&ψ1 1 βψ! 1 д2ф!\ 0
дхъ ω* \ дгй ~*~ г дг ~*~ г« δε2 / '
а его интеграл имеет вид
ж—<лт ж-юг
Λ ©«ξ ~Ι-~π~ cose Г (*-g)m(g)<g .
J_A[ Г /i(S)^ -i
cos ε =
1/(^-ξ)2-ω2Γ* J r j V>-g)2-
,2r2
arr
m (ξ) определяет плотность распределения интенсивности сверхзвуковых
диполей на оси симметрии тела вращения.
Для вычисления коэффициента давления в случае очень тонких тел
применяется тот же упрощенный прием, что и в случае продольного обтека-
ния, но основанный на приближенной формуле (79), связывающей плотность
распределения моментов диполей и закон изменения площади поперечного
сечения тела вращения.
Потенциал поперечного обтекания в этом грубом приближении, справед-
ливом только для очень тонких тел, может быть представлен в конечной
форме
1 т/ А(х)
cpt = — Vioo —— cos ε.
Наличие потенциалов продольного и поперечного обтекания позволяет
путем простого сложения решений получить обтекание тонкого тела при
любом угле атаки а, а затем и вычислить коэффициенты подъемной силы
и сопротивления. Опуская вычисления *), укажем лишь, что коэффициент
подъемной силы оказывается равным су = 2а, а к коэффициенту сопротивле-
ния в продольном обтекании, который может быть вычислен по (171), от попе-
речного обтекания присоединяется еще член cxi = α2, называемый коэффи-
циентом индуктивного сопротивления. Эти результаты, выражающие неза-
висимость коэффициентов cv и cxi от формы тела, имеют весьма приближен-
ный характер и не могут конкурировать с более точными теориями, отличаю-
щимися от только что изложенной теории Кармана в первую очередь тем,
что в них принимается во внимание наличие головной ударной волны на
носовой части тела, а в случае тела вращения с заостренным носком —
наличие конического присоединенного скачка уплотнения (см. далее § 72).
Вернемся теперь к поставленному еще в начале параграфа вопросу
о допустимости использованной только что линеаризации. Для оценки
порядков величин скоростей возмущений и, υ в зависимости от основного
малого параметра, характеризующего осесимметричное обтеклпие тонкого
тела вращения, его относительной толщины τ, воспользуемся формула-
ми (164) и применим их к простейшему случаю /' (х) = const, что, согласно
(167), будет соответствовать обтеканию конуса с малым углом полураствора θ0,
определяемым равенством
ТГНГ = *θο«θο· (172)
г) См. Г. В. Лип мани А. Рошко, Элементы газовой динамики, перев. с англ.,
ИЛ, М., 1960, стр. 290—294. ' у

$ 70] ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 333
Простые вычисления показывают, что в этом случае будут справедливы
следующие выражения проекций скоростей на поверхности конуса (г = г0 (х)):
и0= —const-arch [х/(tor0)], v0 = const■ ω J/ (~—)
пли, принимая во внимание (172),
Щ-
■ const-arch (-^) , yo^const-ω }/——--1.
Замечая, что θ0 мало, и предполагая, что число Маха не настолько
велико, чтобы произведение
ωθ0 = VMl-i θ0 « Μοοθ0
перестало быть малым, получим следующие простые асимптотические оцен-
ки *), справедливые при ωθ0 < 1:
щ ~ — const.·In I —g-), y0~const--o-. (173)
Но из граничного условия (162) и равенства (172) сразу следует, что
v0 = О (θ0). Таким образом, по второму из равенств (173) убедимся, что вве-
денная константа имеет порядок θ^, а проекция скорости возмущения и0 при
заданном числе Маха — порядок θ„ In θ0. Возвращаясь к принятому обозна-
чению τ для обобщенного понятия относительной толщины тела вращения
(τ = О (θ0)), окончательно получим следующую общую оценку порядка
малости проекций скорости возмущений:
Μ = 0(τ4ητ), ν = 0(τ). (174)
Отсюда следует, что слагаемые u/U^ и (v/Uoo)2 в квадратных скобках
равенств (148) не разнятся по порядку, так как при не слишком малых τ
сомножитель Ιητ слабо влияет на порядок произведения τ2 Int. Так, напри-
мер, если τ = Ю-1, то ulV„ будет иметь порядок 2·10~2, a (y/VOo)2 поря-
док Ю-2, т. е. тот же порядок.
Сохранив в выражении (148) относительной величины возмущения плот-
ности р/рте квадратичный член (у/С/оо)а, имеющий, как мы только что убеди-
лись, тот же порядок, что и первый член 2u/Uoo, мы тем самым отказываемся
от допустимости линеаризации уравнения малых возмущений.
Однако, как показывает детальное исследование 2), можно все же
построить корректное первое приближение, основанное на использовании
линеаризованных уравнений (151) и (152) с граничными условиями (154)
и (155), если для расчета коэффициента давления
Ρ— Poo 2р ρ Ροο ρ 2 ρ
применить вместо неточной формулы (149) разложение (148), сохранив
в квадратной скобке два члена, имеющие одинаковые порядки, так что будет
с*=-2-1г-ш2· <i75>
Такой подход и используется обычно, когда разыскивается первое при-
ближение в задачах сверхзвукового обтекания тонких тел вращения.
*) См., например, Г. Б. Д в а й т, Таблицы интегралов и другич математические фор-
мулы, дерев, с англ., ИЛ, М-, 1948, стр. 157, формула (707).
а) М. Lighthill, Supersonic flow past bodies of revolution, Rep. & Mem. Aero.
Res. Council, № 2003, 1945.

334 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Приведем без доказательства полученные в этом первом приближении
формулы 1) коэффициента давления ср и сопротивления сх передней части
тела (т. е. без учета так называемого донного давления на кормовом срезе;
I — длина тела, А (х) — площадь нормального к оси сечения):
х
А" (х)
ь>£+4т К®1-<*-»«-(£)'·
о
I I х
Сх =
О 0 0
Если А' (I) = 0, последняя формула сводится к ранее выведенной фор-
муле Кармана (171). Это имеет место в двух случаях: 1) если г0 (I) = 0,
т. е. тело не имеет кормового среза, 2) г'0 (I) = 0, т. е. наклон контура тела
к направлению набегающего потока на границе кормового среза равен нулю,
что непосредственно следует из очевидного равенства А' (х) = 2лг0 (х) г0 (х).
Определенное уравнением (152), граничным условием (155) и равен-
ством (175) первое приближение справедливо как для сверхзвукового, так
и для дозвукового движений. Это приближение может быть положено в основу
теории подобия осесимметричных пространственных обтеканий тонких тел
вращения.
§ 71. Законы подобия обтекания тонких тел вращения
и тонких крыльев конечного размаха
Применим вновь, в полной аналогии с тем, как это было сделано в § 51
для плоского движения, соображения подобия, позволяющие вести пересчет
с одного до- или сверхзвукового обтекания на другое, ему подобное.
Не будем полностью повторять рассуждения § 51. Заметим, что в осе-
симметричном случае, так же как и в плоском, преобразование, аналогич-
ное (53) предыдущей главы, сохраняет свою силу и сводит дифференциальное
уравнение (152), составленное для двух сравниваемых потоков, к одному
л тому же
Я2Й Л2Й _ 1 дб _п
причем никаких условий подобия преобразование (53) не дает.
Различие намечается в условиях подобия граничных условий (155).
Полагая, как и в плоском случае, для обоих сравниваемых потоков
г01 (х) = cxji (ξ), r02 (x) = crzh (ξ),
будем иметь два граничных условия
Ψ, (0, %) = ψ4θ= -|t/lC2r^2 ш, φ2 (0, ξ)- ψ2θ= -\v*h*p(i),
откуда следует первое условие подобия
U<i\ _ игх\
4Ι Ψ2
(176)
Коэффициент давления ср определим формулой (175). в которую подста-
вим значения и и υ по (150) и воспользуемся вновь преобразованием, анало-
*) Г. В. Л и π м а н и Α. Ρ о ш к о, Элементы газовой динамики, перев. с англ.,
ИЛ, М-, 1960, стр. 281—286. V

§ 71] ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ОБТЕКАНИЯ ТОНКИХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 335
гичпым (53) предыдущей главы. Будем иметь для двух сравниваемых
движений
_ 2Ψ1 1 дв |1 —Mf|Tf 1 /οθ\Ζ
ρ1 "^ Ut η dr\ U\ η2 \ dl ) '
ИЛИ
= -,-_2Ψ2..Ι_£θ |1-Μ1|Ψ1 1 / дв\2
ΡΖ Uz η δη Ε/2 η2 \ 3ξ ) ·
[^ifpi___ 2 ae 11—Mf | Ψ1 1 / <эе \2
Ψ1 + η дц Ui η2 \~βξ) '
UzCpz _^ _ _2__g6 |1 — Μ1|Ψ2 _J_ / 3θ\2
Отсюда следуют еще два условия подобия сравниваемых течений
UlCPi = U2CP2 (1 —Μ2)Ψ! _ (1-Μ1)Ψ2
Ψ! ψ2 г/i υ2
(177)
которые присоединяются к условию (176). Исключая отношения TJX ¥j
и Uz/W2, получим два условия подобия
%·■
4-=-%-* (i-Mb^=(i-Mi)xi
1 12
которые можно трактовать как одно, общее для осесимметричных до- и сверх-
звуковых потоков соотношение подобия
ср = т2/(т1/|1-М4|). (178)
Легко заметить, что равенство (178) содержится как частный случаи = τ2)
в общем законе (59) предыдущей главы, выведенном для плоского до- верх-
звукового течений.
Подчеркнем, что в случае осесимметричного до- и сверхзвуков бтека-
ния тонких тел нет того широкого разнообразия законов подобия, как в слу-
чае плоского обтекания. В частности, нельзя получить аналог соотн шения
Прандтля — Глауэрта (29) предыдущей главы, позволявшего π распреде-
лению коэффициента давления ср0 на поверхности данного тел в потоке
несжимаемой жидкости непосредственно судить о распределении того же
коэффициента ср в дозвуковом потоке газа. Как это следует из формулы (178)
можно лишь составить отношение коэффициентов давления ср в газе к ср0 —
в несжимаемой жидкости
'* - >w=m_. {m
ср0 /(τ)
Зная распределение коэффициента давления по поверхности некоторого тон-
кого тела вращения в потоке несжимаемой жидкости, по формуле (179) можно
получить распределение того же коэффициента в потоке газа, но только на
тонком теле, аффинно в поперечном к потоку направлении из тененном
в 1/1 — ML раз.
Закон подобия (178), выраженный для сверхзвуков гх потоков в форме
Ср = т2/(тУМ£-1),
при очень больших значениях Мто ^ 1 переходит в соотношение
ср = τ2/ (Мест) = τ2/ (К),
совпадающее с (110) предыдущей главы.

336 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ |ГЛ. VII
Сравнительно просто решается вопрос о законе подобия для тонких
крыльев конечного размаха в потоках до- и сверхзвуковых скоростей. Пользуясь
тем же выбором осей координат, как в § 68, составим уравнение малых воз-
мущений в декартовых координатах
<-т^г(#+#И· <18°>
В этом трехмерном случае функция тока возмущений отсутствует и надле-
жит пользоваться потенциалом скоростей возмущений φ (х, у, z). Граничное
условие непроницаемости поверхности крыла может быть снесено в пло-
скость Oxz:
υ=[4·) =υ„τΥΡ-, (181)
\ ду /у=0 д(х/с) ν '
где форма поверхности крыла предполагается заданной уравнением
y = cch(±,j-); (182)
здесь с — средняя хорда крыла, I — его размах.
Обозначая в двух сравниваемых движениях, как и в плоском случае,
буквами Фх и Ф2 масштабы потенциалов скоростей и произведя замену
переменных
*! = *„ = £, */i^|l-M*| = t/2]/"|l-M22| = r), "
*il/|l-Mi| = *a]/]l-M*| = £, \ (183)
φ1 = Φ,θ(ξ,η,ε), £2 = Φ2θ(ξ,η, ξ),
аналогичную (65) предыдущей главы, будем иметь вместо уравнений (180)
для каждого потока следующее одно уравнение:
й|2 ± [δη* + ар ) — υ·
Граничное условие (181) в двух сравниваемых потоках приведется
к таким:
Чтобы они в подобных течениях совпали, следует положить
У 1^1 _ #2τ2
<Di/|l-Mf| Ф2/|1-МЦ'
(184)
что дает первое условие подобия.
В условие геометрического подобия по (182) и (183) будет входить соот-
ношение
откуда, замечая, что относительное удлинение крыла λ == P/S, где S — пло-
щадь крыла в плане, в подобных крыльях пропорционально произведению 1с,
найдем второе условие подобия
К V\l-Ml\ = К У\1-Щ. (185)

§ 71] ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ОБТЕКАНИЯ ТОНКИХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 337
Коэффипиенты давлений в подобных системах определяются равен-
ствами х)
_ __ 2щ_ 2_ дцц _ _ 2Qi δθ
Ср1~ Vi — Ui~dT~' иТЖ'
— _ 2"·2 2_ 'Vg __ 2Ф2 δθ
из совпадения которых для подобных течений будет следовать третье условие
подобия
α»! Φ,
(186)
В системе равенств (184) и (186) величины Фх и Ф.2 совершенно произ-
вольны. Введя обозначения для повых произвольных величип
будем иметь окончательно следующую совокупность условий подобия (сим-
вол «idem» означает «одно и то же», в последнем условии подразумевается
«в сходственных точках сравниваемых движений»):
Ау\\-ьл* | =idem> λ"|/"|1 —MS,| = idem, ^ = idem, (187)
которая может быть заменена одной условной функциональной зависимостью
Как и в плоском случае, величина А здесь совершенно произвольна;
пользуясь этим произволом, можно получать разнообразные законы подобия.
1
Полагая, например, в случае дозвукового обтекания А = 7
У1—м«
получим обобщение на случай тонкого крыла конечного размаха правила
Прандтля — Глауэрта (29) предыдущей главы
Это правило позволяет после изменения относительного удлинения крыла λ
в У1 — Ы1о раз пользоваться для плоских сечений крыла в дозвуковом пото-
ке обычным правилом Прандтля — Глауэрта.
Если положить А = | 1 — М^, |-1, то соотношение (188) приобретет
симметричный по отношению к обоим поперечным к потоку направлениям вид
1
сР=|1_М2)|/(-Ч/Ч1-М1)|; λ1/"|1-Μ2,|), (190)
который выражает такой закон подобия: если, сохраняя неизменными хорды
плоских сечений, изменить в У \ 1 — М%, | раз поперечные к потоку размеры
крыла, т. е. относительные толщину и удлинение, то коэффициент давления
при этом изменится в | 1 — ЬЛ%> |-1 раз.
г) В этом случае характерная для осесимметричного движения особенность отсут-
ствует и можно пользоваться обычной линейной связью коэффициента давления ср и ско-
рости возмущения и.
22 Л. Г. Лойцянский

338
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
Наконец, полагая, А
условие подобия
Ст,=
τ/ У\ 1— ML· |, получим наиболее простое
■f(bV\i-Ml\). (191)
Только что разобранный случай обтекания газом тонкого крыла был
основан на той же гипотезе плоских сечений, что и упоминавшаяся в § 68.
Малость скорости возмущения в направлении оси Oz (размаха крыла) пред-
пплагает наличие большого удлинения крыла, что делает обтекание крыла
почти плоским. Именно этим объясняется бро-
сающееся в глаза сходство полученных законов
подобия с соответствующими законами для
плоского движения (§ 51). Различие сказыва-
ется лишь в наличии дополнительного аргу-
мента λ У\ 1 — ЪЛ%,\ , определяющего влияние
конечности размаха крыла.
Интересно хотя бы приближенно оценить
влияние этого фактора на распределение коэф-
Рис. 141. фициента давления по крылу. С этой целью
можно воспользоваться материалами теорети-
ческого расчета, выполненного Гессом и Гарднером х) для семейства трех-
осных эллипсоидов, формулы распределения скоростей по поверхности
которых в потоке несжимаемой жидкости известны 2). Рассмотрим эллипсоид
(рис. 141) с фиксированной малой относительной толщиной % — tic и
различными относительными удлинениями
''mas/"*>
λ = (2&)8=(2&)2
S neb
4 Ъ
Значе-
ние λ = оо отвечает обтеканию тонкого эллиптического цилиндра беско-
нечного размаха; при Ъ = t и, следовательно, λ = — τ, будем иметь про-
дольное обтекание эллипсоида вращения с относительной толщиной τ и осью
вращения, совпадающей с направлением набегающего потока.
Гесс и Гарднер вычислили зависимость отношения w-max/£/oo (только
множителем — 2, отличающимся от величины cpmln) от числа Мм в дозвуко-
вом газоволг потоке при различных удлинениях λ крыла для данного значения
относительной его толщины tic = 15%. Отношение um&JU оо дает наглядную
оценку возмущения, вносимого крылом в однородный поток.
Результаты расчетов приведены на рис. 142. Верхняя кривая соответ-
ствует эллиптическому цилиндру (λ = оо), нижняя — эллипсоиду вращения
*) R. V. Hess, С. S. Gardner, Study by the Prandtl—Glauert method of com-
pressibility effects and critical Mach-number for ellipsoids of various aspect ratios and thick-
ness ratios, NACA Rep. NL7B03a, 1947.
2) См., например, Η. Ε. К о ч н н, И. Α. Κ π б е л ь, Н.В.Роз е, Теоретическая
гидромеханика, ч. I, Физматгиз, М., 1963, стр. 387—396, а также: Аэродинамика (под ред.
Дюрэнда), т. 1, ОНТИ, М., 1937, стр. 317—327.

§ 71] ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ОБТЕКАНИЯ ТОНКИХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 339
(t = Ь); в последнем случае удлинение равно
λ = |-- = -- = Αθ,15 = 0,191.
Различие между двумя крайними кривыми изменения максимальной
безразмерной скорости возмущения в функции от числа Моо весьма отчетливо.
Верхняя кривая следует правилу Прандтля — Глауэрта
цтах ио max 1
Ucc Ua
"Ι/Ι-Mf
и дает сравнительно значительное изменение рассматриваемого отношения.
Нижняя кривая представляет более слабое изменение того же отношения
с числом Моо, что характерно для тела вращения. Можно получить аналити-
ческую формулу этого изменения, если воспользоваться последней форму-
лой § 65, выражающей распределение скоростей по поверхности эллипсоида
вращения при его обтекании несжимаемой жидкостью. Максимальное значе-
ние этой скорости получим при μ = 0; будем иметь
1 , 1
и0 max U0 max л е
■1= -. τ-, 1 =
«•-чО-Ы-о
"" "" «_4-<l-<*)lni±i « '(1 «*)lni±i
2 1-е 2 ' 1-е
Заметим, что эксцентриситет эллипса будет равен
V'c
так что
Υ\ — τ2 —~ τ2 In ^V,_
2 l — Yl—τ2
Учитывая малость величины τ, что необходимо при пользовании линеари-
зованной теорией, и разлагая радикалы в ряд, найдем следующее при-
ближенное соотношение для потока несжимаемой жидкости
ио max
Lpai = T2(ln-— 1)+0(τ41η2τ).
Возвращаясь к ранее проформулированному правилу (178) расчета коэф-
фициента давления ср или пропорциональной ему величины отношения ulU^
скорости возмущения по заданному ср0 или u0/U<x> в потоке несжимаемой
жидкости для тела с сокращенными поперечными к потоку размерами,
т. е. относительной толщиной τ ]/Ч — М£>, получим
-^L = x2(ln 2 — <) (192)
U°° \ τ-j/l-M2^ /
Эту формулу можно еще преобразовать к виду
"max _ С»|п =1 + 1 ^С1-^) /193ч
"Omax cP»min 2 1-1η2 + 1ητ· '
На рис. 143 приводятся кривые, соответствующие зависимости от Моо
этого отношения при различных удлинениях крыла. Верхняя кривая соот-
ветствует формуле Прандтля — Глауэрта (29) предыдущей главы, нижняя —
формуле (193).
22*

340 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
°ргтп
Сро mm
&
У
а
1,0
DA
t/c=KS
•i
λ=~
ν//2
/Χ/Λ5
^эллипсоид
бртцвния
0,6
Рис. 143.
0,8
Мс
1,0
Из графика, изображенного на рис. 143, видно, что относительное увели-
чение коэффициента давления за счет сжимаемости при Мто = 0,7 для эллип-
тического цилиндра достигает 40 %, в то время как при том же Мто для эллип-
соида вращения это увеличение не достигает и 20 %. Этот факт отражает
известное свойство течений: эллиптический цилиндр, как тело бесконечного
размаха, приводит к более значительно-
му возмущению потока, чем имеющее
то же меридианное сечение тело вра-
щения.
Промежуточные кривые на рис.
142 и 143 позволяют заключить, что
влияние числа М« при пространствен-
ном дозвуковом обтекании тем меньше,
чем меньше относительное удлинение
тела. Штрих-пунктирные кривые в пра-
вой части графиков, пересекающие
сетки сплошных кривых, ограничивают
области применимости их. Абсциссы
точек пересечения штрих-пунктирных
кривых со сплошными соответствуют
критическим значениям Мто = Мкр,
т. е. таким, при которых в точке максимального возмущения на поверхности
тела возникает звуковая скорость.
Обратим внимание на существенный факт: критическое число Мкр уве-
личивается с уменьшением относительного удлинения λ. Если для эллиптиче-
ского цилиндра данной, 15-процентной относительной толщины 1У1кр « 0,78,
то для эллипсоида вращения с той же относительной толщиной оно достигает
значения Мкр ^ 0,93, что еще раз подтверждает сравнительную слабость
влияния сжимаемости на пространственное дозвуковое обтекание тел.
Приведенные соображения относятся, конечно, только к рассмотренному
обтеканию семейства эллипсоидов. Однако они качественно отражают осо-
бенности пространственного обтекания и других тел, отличных от эллип-
соидов.
Отмеченное ранее сходство обтекания крыльев конечного размаха с пло-
скими течениями позволяет путем тех же соображений, что и в конце § 51,
установить следующий закон подобия для околозвуковых «квазиплоских»
течений:
cP[(k+l)M%0)1,s
2/3
-/{
1 —Μ
L — "'So 1
представляющий аналог закона подобия (73) предыдущей главы для пло-
ского движения.
§ 72. Продольное сверхзвуковое обтекание кругового конуса.
Конический скачок уплотнения
Основной особенностью сверхзвукового обтекания заостренных тел вра-
щения является образование вблизи лобовой части тела поверхности разрыва
при известных условиях имеющей форму присоединенного конического скачка
уплотнения. Как об этом можно заключить из рис. 144, представляющего
картины плоского (слева) обтекания клина и пространственного (справа)
обтекания конуса, течение газа за коническим скачком принципиально отли-
чается от течения за плоским скачком уплотнения тем, что в случае простран-
ственного растекания газа линии тока криволинейны.

§72] ПРОДОЛЬНОЕ СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО КОНУСА 341
Также криволинейны и линии Маха, показанные на рисунке штрихами.
В отличие от плоского косого скачка, в котором направление вектора
скорости непосредственно за скачком уплотнения было известно — оно совпа-
дало с направлением щеки клина,— в случае конического скачка такое
упрощающее решение задачи условие уже не имеет места, оно должно быть
Рис. 144.
заменено решением задачи о криволинейном движении частиц газа за кони-
ческим скачком, удовлетворяющим граничным условиям на поверхности
разрыва и на поверхности конуса, обтекание которого разыскивается.
Для рассмотрения этой задачи воспользуемся сферической системой коор-
динат (R, θ, ε) и, довольствуясь частным случаем чисто меридианного движе-
ния, опустим азимутальные (по оси ε) компоненты и производные по коорди-
нате ε. Составим уравнение неразрывности в сферических координатах
[см. (III.19)]
1 д (рУе sin θ)
div(pF)= ^
dR
= 0.
~*~ R sin θ
Производя дифференцирование, с целью исключения плотности ρ преобра-
зуем его к виду
sinQll^ + Rm^ + LJ^ RWRSinQ +l$iiFesine = 0. (194)
Заметив, что (а — местная скорость звука)
др
dR
dp dp
~ dp dR~
1 dp
α2 dR '
99 ..
дв
dp dp _ 1 dp
~ dp 5Θ a2 dQ '
исключим производные от давления, воспользовавшись для этого уравне-
ниями Эйлера в сферических координатах
Будем иметь
dVR . Ve dVR
v%
dR
fr4£l+
^ R d% R
Ve dVe . VRVe
dR
R 9Θ
R
1 dp
ρ dR '
ρ R 9Θ
±^L Liv
ρ dR a? \ '
±_?L= 1-(rV
ρ de «2 \ '
dVR Ve dVR
П
R~~dR~'
dVe
R
dR
R
-Ve
ее
dVe
R
)·
+vRv,),

342 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
а уравнение (194) после подстановки в него этих выражений и простых при-
ведений перейдет в такое:
+ 2FR+Fectgea2==a (195)
В силу прямолинейности образующих конической поверхности разрыва
движение за нею будет безвихревым. Это позволяет к уравнению (195) при-
соединить еще условие отсутствия завихренности, которое в разбираемом
частном случае осесимметричного меридианного движения будет, согласно
(III. 19), иметь вид
TOt*v~l—dR 3rJ=0'
или
rJw~ ^r+v«=°- с196)
При отсутствии завихренности во всей области течения имеет место урав-
нение Бернулли, которое можно записать в форме (С — константа)
аг = С-*=±{П + У1). (197)
Совокупность уравнений (195), (196) и (197) представляет собой замкну-
тую систему уравнений, которые и должны быть положены в основу решения
поставленной задачи осесимметричного сверхзвукового обтекания кругового
конуса.
Граничными условиями будут:
а) условие непроницаемости поверхности обтекаемого конуса (Θ = θ0)
Ve = 0 при θ = θ0; (198)
б) условия на поверхности разрыва (β — угол образующей конического
скачка с направлением набегающего потока)
Francos β, Fea=-^-F1sinp при θ = β, (199)
которые совершенно идентичны условиям на плоском косом скачке (§ 52);
первое из них выражает условие постоянства проекции скорости на направле-
ние образующей конического скачка, а второе — сохранение секундной мас-
сы газа при прохождении газа сквозь скачок.
Решение поставленной задачи будет автомодельным, т. е. таким, которое
позволяет вместо системы уравнений в частных производных (195) и (196)
использовать систему обыкновенных дифференциальных уравнений. С такого
рода автомодельными задачами мы уже имели дело ранее (центрированные
волны в нестационарном сверхзвуковом одномерном и стационарном плоском
двумерном движениях). Используем коническую симметрию граничных усло-
вий задачи и будем искать решение уравнений из условия, что все параметры
движения и состояния газа являются функциями только полярного угла θ
и не зависят от радиуса-вектора R.
Такое решение является частным случаем более общего класса простран-
ственных конических движений газа, которые могут быть и не меридиан-
ными, т. е. заключать и азимутальную компоненту скорости х).
г) См., например, Α. Φ ер ρ и, Аэродинамика сверхзвуковых течений, перев.
с англ., Гостехиздат, М., 1953. гл. XII.

§ 72]
ПРОДОЛЬНОЕ СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО КОНУСА
343
При сделанном предположении уравнения (195) и (196) приведутся
к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений
которая в силу второго уравнения еще упростится и окончательно примет вид
i!i,F _a2(VR+Vectge) dVR т/
dQ
0.
(200)
Классическую интерпретацию первого из этих уравнений и основанный
на ней простой графический метод интегрирования системы (200) предложил
А. Буземан *).
Обозначим через и, ν проекции вектора скорости V соответственно на
ось симметрии Ох (рис. 145) и перпендикулярное к ней направление Оу.
С ,п
>-и
Проекции u, v связаны со сферическими компонентами VR и Уе равен-
ствами
и = VR cos θ —Уе sine, y = FRsine-fT/ecose, (201)
так что
sin θ — FRsin0 — VqC s0,
cos θ + VR cos θ — Ve sin Θ.
С учетом второго равенства (200) первый и последний члены в правых частях
уничтожаются и остается
dv_ _ fv_ _j_ dFe
dQ
du
dv
dQ
*"«-
*£*»<u
de
dVe
d0
£—(*-+&)***· *-("»+-&) «■<>.
(202)
Обозначим через ds дифференциал дуги годографа gg (рис. 145, б). Тогда
из (202) следует, что
ds
= Ydu2 + dv*=(vR+^)dQ.
(203)
Кроме того, косинусы углов между касательной tt (рис. 145, б) к годо-
графу в точке N' и осями О'и и О'ν, пропорциональные du/dQ ийу/сШ, связаны
с косинусами cos θ и cos (π/2 — θ) = sin θ, определяющими направление
радиус-вектора ON = R по отношению к осям Ох, Оу или О'и, O'v,
равенством
du A dv . „ л
_cose + irsine=o.
*) А. В u s e m a n n, Drücke auf Kegelförmige Spitzen bei Bewegung mit Über-
schallgeschwindigkeit, Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech. 9, № 6, 1929.

344 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Отсюда следует, что касательная it перпендикулярна к ON, а нормаль пп
образует с осью О'и угол Θ, который м< жно рассматривать как дополнитель-
ный к углу смежности (кривизны).
Таким образом, из равенства (203) с точностью до знака вытекает форму-
ла радиуса кривизны $ годографа gg в точке N':
«=ж=^+^. (204>
При этом первое из уравнений системы (200) сводится к выражению радиу-
са кривизны годографа через сферические компоненты вектора скорости,
угол радиус-вектора точки потока с осью абсцисс в физической плоскости
и местную скорость звука
Радиус кривизны годографа имеет, естественно, размерность скорости.
Можно привести формулу (205) к безразмерному виду, если, например, раз-
делить обе части последнего равенства на максимальную скорость Fmax =
= у Г7} а*, определенную соотношениями (19) гл. IV. Тогда пользуясь
еще обозначением (22) той же главы, получим
Fffl» ^(Va/W/tl-W^-l И/(*-ЭД-*/<1-х>-1' . (206)
xR = (VR/Vm!ix)\ Te-(Fe/Fmax)2, r=(F/Fmax)2. |
Пользуясь формулой (205) или ее безразмерным видом (206), можно
простым графическим приемом строить годографы скоростей частиц газа.
Располагая заданной скоростью Vr или величиной Ухг и углом 0Х
в точке Nt физической плоскости, найдем положение точки N[ в плоскости
годографа (рис. 146). Проектируя вектор Vx на
направление радиус-вектора и перпендикуляр-
ное к нему направление, находим V1R и Ухе
или V^ir и V^ie, в плоскости годографа рав-
ные соответственно отрезкам LXN[ и О'Lx. По
формуле (206) находим радиус кривизны годо-
графа в точке N[, в безразмерном виде равный
*W IZ/ifc-lW^e/il-TO-l·
Проводя дужку круга N^N^ радиусом 8^,
примем ее приближенно за искомую дужку
годографа gg. После этого найдем вновь зна-
; чения М~%1= 0'N'2, Vx^r = L2N'2, V^ =
= 0'L2 и новое значение угла θ = θ2, опре-
деляемое направлением N'j3r. Определив за-
Рпс. 146. Тем по (206) новое значение 9^2^шах, прове-
дем этим радиусом дужку N'2N'3 и т. д. Та-
ким образом, искомый годограф представляется приближенно совокупно-
стью соприкасающихся дужек окружностей.
Остается лишь показать, как в изложенном графическом методе исполь-
зуются граничные условия. Зададимся наперед некоторым значением угла β
между образующими конического скачка и направлением набегающего пото-
ка, а также числами ЬЛг и ^ набегающего потока. Тогда, выбирая соответ-

§72] ПРОДОЛЬНОЕ СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО КОНУСА 345
ствующую этим числам строфоиду (рис. 102), по заданному β определим
точку Ε (рис. 147) на строфоиде. Для этого можно, например, провести
луч O'G под заданным углом β к оси О'и, а затем из двойной точки В стро-
фоиды опустить на луч OG перпендикуляр BG. Точка пересечения этого пер-
пендикуляра со строфоидой даст искомую точку Е, а отрезки O'G и EG —
радиальную VR2 и поперечную Ve2 компоненты вектора скорости газа на
поверхности конического скачка непосредственно после прохождения через
него. Отрезки O'G и BG равны соответственно тем же компонентам до скачка:
VRl и TV
Имея эти данные, можно применить графический метод Буземана
и, вычисляя последовательно по формуле (205) или (206) центры кривизны
Рпс. 147. Рис. 148.
годографа, построить при помощи малых дужек кругов кривизны искомый
годограф. Построение следует вести до тех пор, пока угол радиус-вектора
текущей точки К годографа с осью О'и (рис. 147) не станет равным углу
полураствора θ0 обтекаемого газом кругового конуса. Эта точка К0 станет
конечной точкой графического построения, а отрезок О'К0 определит пре-
дельное значение скорости на поверхности обтекаемого конуса.
Задаваясь различными значениями угла β (но сохраняя значение Мх)
и повторяя указанное построение, получим геометрическое место точек К0,
которое представляет собой кривую, благодаря ее специфической форме
обычно называемую «яблоковидной».
Таким образом, можно заранее сетку строфоид, построенную для различ-
ных значений Мг и \ (рис. 102) дополнить сеткой яблоковидных кривых
и годографов, что позволит сравнительно просто решать задачи продольного
обтекания круговых конусов, угол раствора которых отвечает условию нали-
чия присоединенной к вершине конуса ударной волны.
Практический способ построения фронта конического скачка весьма
прост (рис. 147). Выбрав по значению безразмерной скорости набегающего
на конус потока соответствующие ударную поляру и яблоковидную кривую
и построив угол θ0, равный углу полураствора конуса, найдем положение
точки К0, определяющей величину и направление скорости на поверхности
конуса. Спускаясь из этой точки по отрезку кривой годографа в точку Е,
определим вектор скорости непосредственно за фронтом скачка. Опуская
затем, так же как это делалось при решении задачи о плоском скачке, перпен-
дикуляр O'G на прямую BG, проходящую через точку Е, определим угол β
направления фронта конического скачка.
Приводим график (рис. 148), иллюстрирующий разницу в максималь-
ных углах полураствора Вотах (М«,), допускающих существование присоеди-
ненного косого скачка в случае клина и присоединенного конического скачка

"346
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
ъ случае обтекания конуса. Как это отчетливо видно из приведенного
графика, особенностью пространственного течения является факт значитель-
но большего значения θ0 max для конуса при том же числе Маха набегающего
потока, чем в случае плоского обтекания клина. Как всегда, мы имеем здесь
дело со смягчающим влиянием симметричного
растекания газа вблизи вершины конуса.
Для практических расчетов пользуются
графиками, на которых, кроме строфоид, ябло-
ковидных кривых и годографов, нанесены еще
сетки кривых, позволяющих непосредственно
снимать с графиков значения давлений и других
термодинамических параметров х).
В заключение приведем еще график (рис.
149), позволяющий судить о том, насколько
теоретический расчет угла полураствора β ко-
нического скачка (угол полураствора конуса
/
вг
40'
20'
0°
(
\
^
е0~аот
мс
θ0 = 30°) правильно предсказывает действитель-
Рис. 149.
ные его значения при различных числах Маха;
к сожалению, диапазон экспериментальных чи-
сел Маха на графике невелик. Как видно из гра-
фика, левая ветвь кривой, соответствующей слабому коническому скачку,
отклоняется вверх и вправо, чтобы образовать еще ветвь, отвечающую силь-
ному, отсоединенному скачку. Такая же двузначность, естественно, будет
иметь место и в распределении коэффициента давления по поверхности кону-
са. Пояснение возможности возникновения слабого или сильного кониче-
ского скачка сохраняется таким же, как и в случае плоского косого скачка.
§ 73. Сверхзвуковое обтекание тонкого тела вращения
при очень больших значениях числа Маха
В случае продольного сверхзвукового обтекания тонкого тела вращения
(Мто > 1) выведенные в начале предыдущего параграфа дифференциальные
уравнения имеют простые асимптотические решения.
Вернемся к рассмотрению системы уравнений (200) и граничных усло-
вий (198) и (199). ν
При очень больших числах Маха и выполнении условия, что головная
волна представляет собой присоединенный к вершине конуса конический
скачок, можно принять, что разность θ — θ0 во всей области течения между
поверхностями конуса и скачка будет малой величиной.
Тогда для приближенного определения функций VR (θ) и Ve (θ) можно
воспользоваться их разложениями в ряды по степеням малой разности
^ — θ0 2).
Обозначим через Vh = VR (θ0) постоянное значение скорости газа на
поверхности конуса и заметим, что по условию непроницаемости поверхно-
сти конуса нормальная составляющая скорости Fe (θ0) будет равна нулю
Кроме того, из системы уравнений (200) сразу следует, что на поверхности
конуса справедливы равенства
«й U' <Ю
d?VR
= -2Ffc.
(207)
) См. ранее неоднократно цитированную книгу Α. Φ е ρ ρ и и обзор А. Бузе-
м а н а в Handbuch der Experimental Physik, Bd. 4, Teil 1, Leipzig, 1931, S 421, а также
йгРг ° B ° B' AaP0№HaMHKa тел вращения, Оборонгоз, М 1958
Μ., 1959, стр. 107? 108.*' ТечеШШ Газа ° большой сверхзвуковой'скоростыо, Физматгиз,

3 73] СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 347
Искомые степенные разложения можно, таким образом, представить
<в виде
VRIVh = 1 _ (θ _ θ0)2, Ve/Vh = -2 (θ - θ0). (208)
Подставляя эти выражения в граничные условия (199) на коническом
•скачке (θ = β), будем иметь два равенства
2$-ee)Ffe = ^-FlSinP, [1-(β-00)^ = ^ cos β,
мз которых при малых β (соответствующих условию тонкости тела вращения)
-сразу следует простое приближенное соотношение
β-θο=4-§-β- (209)
Входящее сюда отношение плотностей Pi p2 выражается формулой
р! /с—1 2 1
"fe"~~ ft +1 ft +1 Mfsin^p'
совпадающей в случае конического скачка со второй формулой системы (81)
гл. VI для плоского косого скачка.
Подставляя это значение отношения плотностей в (209) и используя те же
обозначения: К — ΜΧΘ0, Кс = ΜΧβ, что и в § 54, где излагалась теория пло-
ского гиперзвукового обтекания клина, составим квадратное уравнение
к+3 я!_яяс- *-=о,
2(fc+l) с ft+1
лоложительным корнем которого будет
Как показывает сравнение результатов расчета по этой формуле с точной
теорией, формула (210) может с успехом применяться для не слишком боль-
ших углов полураствора конуса, примерно до θ0 = 15°, при всех К < 3,
а при несколько больших углах и при К > 3.
Определим с той же степенью приближения давление на поверхности
аконуса, которое обозначим через ph. Для этого составим выражение
2k
Ph _РЬ_-£2 t at, \ h-i
-Ш ft <2">
и заметим, что первый сомножитель справа может быть вычислен по теореме
Бернулли, так как движение газа за коническим скачком безвихревое, а вто-
рой сомножитель — по известной формуле (103) гл. VI отношения давлений
-за и перед скачком.
Будем иметь
vl 4 , v%2+vh
ft—1 ' 2 ft—1 ' 2
откуда после разделения обеих частей на первое слагаемое справа следует
4, .ft-1^2 / Vj rja\
4 2 4 \ ^2 + у|2/'·

348 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Используя приближенные соотношения (208), перепишем предыдущее
равенство в форме
а,
%_ й_1 vi а\ г. г 1 γ .г 2(р-ад -|П _
|"_а+~^_^Г"4"1 L1—(β—е0)з J -t-Li-(p-e0)2 J i
= 1+^Μ^{1-[1 + 2(β-θ0)2]+4(β-θ0)2} =
Подставим это выражение в (211) и применим еще формулы (103) гл. VI,
согласно которым будет
_Р2 _ 2fc If2 fe—^
Pi ft + 1 c fc+1'
α! ?! Λ Ρ2 / 2fc „2 /с-1\-1& + 1~2/, , fc—1^,4-*
Тогда после простых преобразований получим следующую формулу для
коэффициента давления сг на поверхности конуса:
^■g = |-gfcz2L = -*-(jgg-l) + 2(ge-J£)» *+1^ , (212)
в которой при желании /£"с может быть выражено через К согласно (210).
Формула (212) также хорошо совпадает с точными расчетами в вышеука-
занном интервале угла полураствора обтекаемого конуса.
Пользуясь общей идеей метода Ньютона, изложенного в предыдущей
главе для плоского гиперзвукового движения, можно с некоторой степенью·
приближения применять только что полученные формулы и к тонким телам
вращения, отличным от кругового конуса. Для этого достаточно сопоставлять
углы полураствора конуса θ0 с местными углами атаки на заданной поверх-
ности тела вращения, т. е. полагать
К = М^ = М1хМ = К0Мг, (213)
ах dx ax
где у — у (х) представляет уравнение меридианного сечения тела враще-
ния, а τ — относительную толщину тела в том обобщенном смысле, как об
этом говорилось ранее.
Такой приближенный метод, по своей идее опирающийся на метод Нью-
тона, был предложен в свое время (1947 г.) С. В. Валландером и получил
наименование метода касательных конусов (в плоском случае — касатель-
ных клиньев).
Рассмотрим, например, тело «оживальной» формы с параболическим
контуром меридианного сечения
У^Х — γΧ2,
для которого по (213) К = К0 (1 — х). В этом случае х), как показывает
расчет по формулам (210) и (212), распределение давления по поверхности
тела вращения выбранной оживальной формы определится для воздуха
l) R.F. Probstein, К. Bray, Hypersonic similarity and the tangent-cone ap-
roximation for unyawed bodies of revolution, Journ. Aeron. Sci. 22, № 1, 1955.

:§ 73J СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 349
{к = 1,4) формулой
т(^-1)=1'041^(1~^)2-0^54+l/"l,084^(l-x)4 + i,656^ {i-x)\
Формула сопротивления при этом будет иметь вид
схЩ = 0,347/q - 0,454 - -^ [4,278N*- (1,382К*0 +1,055)2 N +
+ (0,608^+ 0,464) In (2,4007V+ 1,309^+1)],
где
JV = Y0,297K*o + 0,454iq.
Сравнение приведенных приближенных соотношений, составленных по
методу касательных конусов для выбранной оживальной формы, с точным
решением приведено на рис. 150 и 151 и может быть признано вполне удо-
влетворительным.
В ранее уже неоднократно цитированных специальных монографиях,
посвященных сверхзвуковым течениям при очень больших числах Маха,
Р_
Pi
10
\
^
j£N
1ft-^
К0-2,29
^^.
^
^
Ч^
^^g
««м/
0,2 0,4 0,6 0,8 _ 1,0
х
Рис. 150.
О
:
Mi
xj
об
09
δ 12
Ь' 1
Рис. 151.
излагаются и другие приближенные методы расчета, как, например, метод
плоских сечений, метод пограничного слоя и др.
Задача о сверхзвуковом обтекании тонких тел вращения при очень боль-
ших числах Маха в том случае, когда головная волна «отходит» от острого
носика тела, вследствие слишком большого значения угла при вершине,
либо наличия затупления носика, представляет значительные трудности.
Так же, как и в плоском случае, отошедший скачок имеет вблизи оси симме-
трии потока почти плоский участок, соответствующий прямому скачку,
и соседние с ним участки «сильного» разрыва, за которыми поток является
дозвуковым. Движение в области между головной волной и поверхностью
обтекаемого тела имеет в связи с этим смешанный до-, сверх- и трансзвуко-
вой характер.
Наличие конечной кривизны у поверхности головной волной приводит
к вихревому характеру течения газа за поверхностью волны и переменности
энтропии. Все это увеличивает трудности рассмотрения обтеканий тел с ото-
шедшей волной. Между тем на практике приходится обычно иметь дело с тела-
ми, у которых носовая часть затуплена. Это объясняется наличием процес-
сов разрушения заостренной части тела при полете его с большими сверх-
звуковыми скоростями (оплавление, иногда испарение — сублимация) из-за

350 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VH
сильного разогрева за счет тепла, возникающего в результате диссипации
механической энергии.
Наряду с этим при разогреве газа до сравнительно высоких температур,
порядка 1000 К, в газе возникают физико-химические превращения, изме-
няющие его первоначальный состав. Так, в воздухе при достижении 2000 К
значительная часть молекулярного кислорода диссоциирует и превращается
в атомарный; при 4000 К начинается диссоциация азота, а при более высоких
температурах, порядка 7000—10 000 К, наблюдается заметная ионизация
воздуха, сопровождающаяся образованием свободных электронов (элек-
тронного газа). В этих условиях в газе происходит резкое возрастание тепло-
проводности и электропроводности, между его молекулами возникают куло-
новы силы взаимодействия. Все это позволяет приписать газу особое агре-
гатное состояние, именуемое плазмой (точнее, низкотемпературной плазмой).
Изучение газовых потоков такого рода представляет значительные труд-
ности и не может войти в настоящий общий курс. Это составляет предмет
специального курса гиперзвуковой аэродинамики. Желающих расширить
и углубить свои знания в области аэротермодинамики гиперзвуковых движе-
ний невязкого газа отошлем к капитальной монографии В. В. Лунева,
Гиперзвуковая аэродинамика, «Машиностроение», М., 1975.

Глава VIII
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ.
ДВИЖЕНИЯ ПРИ НЕБОЛЬШИХ РЕЙНОЛЬДСОВЫХ ЧИСЛАХ
§ 74. Ньютоновская вязкая жидкость и ее реологическое
уравнение. Обобщенный закон Ньютона
Дифференциальные уравнения движения, баланса энергии и вещества?
в потоках жидкости и газа, выведенные в гл. II, относились к совершенно»
произвольным средам, лишь бы только эти среды обладали двумя достаточно
общими свойствами — сплошностью и текучестью. При выводе уравнений
были использованы: второй закон динамики в применении для сплошной
системы материальных частиц и общий термодинамический закон сохранения
полной энергии системы.
В последующих главах рассматривались простейшие модели сплошной
среды: идеальная (лишенная внутреннего трения) несжимаемая (капельная,
обладающая капиллярными свойствами) жидкость или газ в условиях движе-
ния с малыми значениями числа Маха, характеризующего сжимаемость газа,
и более общая модель идеального газа при больших до- и сверхзвуковых
скоростях, когда свойство сжимаемости среды приобретает первостепенное
значение. В последнем случае для определенности принятой модели прихо-
дилось еще дополнительно накладывать условие «совершенства» газа, выра-
жаемого уравнением состояния газа,или задаваться наперед термодинамиче-
ским характером процесса движения газа (адиабатичность, изотермичность).
Напомним, что свойство идеальности жидкости или газа выражалось
отсутствием касательных напряжений в них и выводимым отсюда условием
сферичности тензора напряжений (Ш — тензорная единица)
Ρ = -р%, (1)
при наличии которого все нормальные напряжения в данной точке среды
могут быть выражены через одну скалярную величину — давление. Урав-
нение (1) представляет простейший пример реологического уравнения среды.
Под реологическими уравнениями (законами) сред понимают уравнения,
связывающие компоненты тензоров напряжений, деформаций и их произ-
водных по времени (тензор скоростей деформаций S представляет производ-
ную по времени от тензора деформаций S). Такие уравнения могут быть
независимыми от конкретных обстоятельств данного движения среды,
т. е. одинаковыми при разнообразных движениях рассматриваемой среды,
либо зависеть от характера различных возможных ее движений, в частности
от конструкции аппаратов, в которых движения происходят, от предыстории
потоков и т. п. Наиболее общим учением о текучести сплошных сред, как
уже упоминалось во введении, является реология.
Следующим в порядке сложности после (1) реологическим уравнением
служит уравнение текучести обычной вязкой жидкости, в простейшем случае
прямолинейного слоистого (ламинарного) движения отвечающее известному
закону Ньютона г)
ди .„.
τ = ^' <2>
х) И. Ньютон, Математические начала натуральной философии, отд. IX, пред-
положение (перевод А. Н- Крылова, пзд. Морской Академии, 1915, стр. 436).

352 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
Этот реологический закон утверждает существование простой пропорцио-
нальности между касательными напряжениями, действующими в плоскостях
соприкасания слоев жидкости и производными от скорости по направлениям,
нормальным к этим плоскостям. Формула (2) определяет внутреннее трение
или, как говорят, вязкость жидкости по Ньютону. Коэффициент μ, который
может зависеть только от температуры жидкости, но не от давления (об этом
подробнее будет сказано далее; на самом деле в реальных жидкостях при
очень больших давлениях μ зависит также и от давления), носит наименова-
ние динамического коэффициента вязкости (в практике употребляют более
короткий термин коэффициент вязкости), в отличие от кинематического
коэффициента вязкости ν, равного отношению
ν = μ/ρ (3)
.динамического коэффициента вязкости к плотности жидкости.
Размерность динамического коэффициента вязкости μ, согласно фор-
муле (2), будет
сила-длина сила
длина2 ■ скорость скорость ■ длина'
В физической системе единиц (СГС) динамический коэффициент вязкости
(или как иногда для краткости говорят просто вязкость) выражают в пуа-
зах (П), по имени французского исследователя Пуазейля, равных
111 = 1
дпна·с
см2
= 1
см-с *
Обычно пользуются в сто раз меньшей единицей — сантипуазом, кото-
рой соответствует динамическая вязкость воды при 20,5 °С.
В технической системе за единицу вязкости можно принять величину
кгс · с
В системе СИ единицей вязкости является паскалъ-секунда
1 Па -с = 1 (Н -с)/м2 = 10 П,
равная 103 сантипуаз.
Коэффициент кинематической вязкости выражается в м2/с, см2/с; вели-
чину, равную 1 см2/с, называют стоксом; в сто раз меньшую,— сантистоксом.
Динамический и кинематический коэффициенты вязкости жидкостей
и газов значительно зависят от температуры; приводим табл. 13 и 14 этих
зависимостей. Заметим, что, как видно из этих таблиц, оба коэффициента
вязкости воды, динамический и кинематический, убывают с возрастанием
Таблица 13. Зависимости коэффициентов вязкости воды от температуры
Температура
в °С
0
5
10
15
20
25
30
35
μ-102 π
1,792
1,519
1,308
1,140
1,005
0,894
0,801
0,723
с
1,792
1,519
1,308
1,141
1,007
0,897
0,804
0,727
Температура
в СС
40
45
50
60
70
80
90
100
μ-102 Π
0,656
0,599
0,549
0,469
0,406
0,357
0,317
0,284
. „ > см2
ν-10-
с
0,661
0,605
0,556
0,477
0,415
0,367
0,328
0,296

§ 74]
НЬЮТОНОВСКАЯ ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ
353
Таблица 14. Зависимости коэффициентов вязкости воздуха от температуры
Температура
в °С
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
μ·10« Π
1,709
1,808
1,904
1,997
2,088
2,175
2,260
2,344
2,425
2,505
2,582
2,658
2,733
СМ2
V
С
0,132
0,150
0,169
0,188
0,209
0,230
0,252
0,274
0,298
0,322
0,346
0,371
0,397
Температура
в "С
260
280
300
320
340
360
380
400
420
440
460
480
500
μ·10« Π
2,806
2,877
2,946
3,014
3,080
3,146
3,212
3,277
3,340
3,402
3,463
3,523
3,583
СМ2
V
с
0,424
0,451
0,481
0,507
0,535
0,565
0,595
0,625
0,656
0,688
0,720
0,752
0,785
температуры, коэффициенты вязкости воздуха, а также и других газов, уве-
личиваются.
Существуют очень вязкие жидкости, как, например, глицерин, для кото-
рого при 3 °С значения μ = 42,20 Π, ν = 33,40 см2/с; машинное масло
при 10 °С имеет μ = 6,755 Π, ν = 7,34 см2/с.
Вязкость этих жидкостей, как правило, быстро уменьшается с ростом
температуры (см. прилагаемую таблицу вязкости глицерина). Применяются
1° С
μ, Π
см2
с
3°
42,20
33,40
18е
10,69
8,48
21°
7,78
6,18
различные эмпирические формулы зависимости вязкости жидкостей от тем-
пературы, но ввиду их сложности и малой общности, по-видимому, пред-
почтительнее пользоваться непосредственно таблицами *).
Зависимость коэффициента вязкости газа от температуры представляется
формулой Саттерлэнда, выводимой теоретически в кинетической теории газов
(константы зависят от рода газа)
const T3,s ,/.
μ= т+с " (4>
где С » 122 (для воздуха). На практике предпочитают пользоваться при-
ближенной степенной формулой
μ _ Ι_τ_γ:~
(5)
где показатель степени η различен для разных газов и, кроме того, сам зави-
сит от интервала температур.
С возрастанием температуры показатель степени η в формуле (5) убы-
вает. Для приближенных оценок принимают η = 1 для сравнительно малых
и η = 0,76 для больших температур.
г) См. статью П. Α. Ρ е б и н д θ ρ а] «Вязкость», помещенную во втором томе
«Физического словаря», БСЭ, 1960.
23 п. Г. Лойцянский

354 динамика вязкой несжимаемой жидкости [гл. viii
Для воздуха в интервале температур 90 К < Τ < 300 К Коп и Хартри
предложили интерполяционную формулу (в физической системе единиц)
μ = 1.15Γ8/»,
не более чем на 5% отличающуюся от формулы Саттерлэнда
_ 15,06Г3/2
^~~ Г + 122 *
Вопрос о вязкости газов и ее связи с теплопроводностью и диффузией
будет рассмотрен в начале последней, одиннадцатой главы курса. В настоя-
щей главе внимание будет сосредоточено на случае несжимаемой жидкости
(или соответственно газа при малых числах Маха).
Реологическое уравнение (2) представляет частный случай более общего,
соответствующего любому пространственному движению вязкой жидкости,
закона линейной связи между тензором напряжений и тензором скоростей
деформаций. Этот закон носит наименование обобщенного закона Ньютона,
а жидкости, удовлетворяющие этому закону, называют ньютоновскими.
В случае изотропной ньютоновской вязкой среды (жидкости или газа),
т. е. такой, что ее физические свойства одинаковы во всех направлениях
в пространстве, а выражающие эти свойства физические константы пред-
ставляют инвариантные скаляры, наиболее общим видом линейной связи
между тензором напряжений Ρ и тензором скоростей деформаций S будет
Ρ = aS + 6g, (6)
где а и Ъ — скаляры, а % — единичный тензор или тензорная единица, опре-
деляемые в любой системе координат своими компонентами (И.З) г)
0, если 1ф1,
. . . (i, 7 = 1,2, 3).
1, если i = 7 v '
Для того чтобы уравнение (6) представляло линейную связь между тензо-
рами, скаляр а не должен зависеть от компонент тензоров Ρ или S; этот
скаляр представляет физическую константу, которая из условия совпадения
(6) со своим частным случаем (2) должна быть положена равной 2μ.
В анизотропной среде равенство (6) не сохранило бы своей простоты.
Вместо скаляра а в некоторой комбинации с тензором S вошел бы тензор,
характеризующий анизотропию среды, но, так же как и скаляр а, не завися-
щий от тензоров Ρ и S.
В отличие от а, скаляр Ъ может быть связан линейным образом с тензора-
ми Ρ и S, но в силу изотропности только через скалярные линейные комби-
нации компонент этих тензоров, т. е. через линейные их инварианты (11.20).
Линейным инвариантом тензора напряжений будет сумма трех нормаль-
ных напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным коорди-
натным площадкам в данной точке потока, т. е. величина
Рп + Ры + Pzs·
Линейным инвариантом тензора скоростей деформаций, как уже изве-
стно из гл. I, служит равная в несжимаемой жидкости нулю сумма
с I с j с dVi , dV2 , dV3 ,. rr n
Η
J) В дальнейшем мы будем часто, где это окажется выгодным, менять обозначения
х, у, г на xt, x2, х3 и соответствующие проекции также обозначать числовыми индексами,
например писать Vx, V2, V3 вместо и, v, w.

§ 74]
НЬЮТОНОВСКАЯ ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ
355
Чтобы найти скаляр Ъ, приравняем линейные инварианты тензоров
в левой и правой частях основного равенства (6). Тогда получим
Рп + р22 + Рзз = 36,
откуда
■(Pu + Pas + fts)·
(7)
Обобщая понятие давления, введенное в динамику идеальной жидкости
согласно системе равенств pyi = р22 = р33 ~ —р, примем в качестве про-
стейшего допущения, что и в ньютоновской несжимаемой вязкой жидкости
взятое с обратным знаком среднее арифметическое трех нормальных напряже-
ний, приложенных к взаимно перпендикулярным площадкам в данной точке
среды, представляет давление в этой точке
о- (Ри + Рю + Pa») = Ρ-
(8)
Сделанное предположение является дополнительной гипотезой к обоб-
щенному закону Ньютона, так как, исходя из общих гидродинамических
соображений, нельзя доказать, что определенная таким образом инвариант-
ная скалярная величина ρ будет действительно той самой термодинамиче-
ской характеристикой жидкости или газа, которая, например, в случае
совершенного газа будет связана с другими термодинамическими характери-
стиками газа — плотностью и температурой — формулой Клапейрона. Пра-
вильность принятой гипотезы (8) оправдывается практикой применения
теории движения ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости.
Окончательно, согласно (6), (7) и (8), получим следующее выражение
обобщенного закона Ньютона для несжимаемой вязкоГ жидкости
Ρ = 2μ£ — р% = 2μ def V —
или в компонентной (аналитической) форме
Ра
i-*+*S
при ] = i.
О)
(10)
Равенство (9) представляет реологическое уравнение ньютоновской
несжимаемой вязкой жидкости. Выпишем в развернутом виде формулы при-
нятой связи (9) в трех основных системах координат: прямоугольной декар-
товой (х, у, z), цилиндрической (г, ε, z) и сферической (В, θ, ε):
а) в прямоугольной декартовой системе (х, у, z)
ди
дх
Ρυυ=*—Ρ + 2\1·β£,
,= -ρ + 2μ—-,
(11)
Р**=—Ρ + 2μ·£τ, Pyy=*—P+*\ilt, Pzz-
(ди . dv л / до , dw \
(dw , ди \
~ЬИ ~T"dT) '
б) в цилиндрической (полярной при Vz = 0) системе (г, ε, z) (IV. 10)
/>ΓΓ=-/> + 2μ-^, />εε=-/'4-2μ(7--^ + -^), ρΖΖ = - ρ+ 2μ -^ ,
Ι 1 dVr . dVe Vs\ (dVs, l dVz\
ldVz . dVr\ .
(12)
23*

356
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. VIII
в) в сферической системе (R, θ, ε) (IV. 12)
/ 1 5FR Й7е Μ _ / 1 дУе 1 дУе Vg ctg θ \
„ _„ (W*, * dVR F* \
Pm — V \ m -TEsinQ βε R l·
§ 75. Реологические законы неньютоновских вязких
несжимаемых жидкостей
Свойствами ньютоновских жидкостей, описываемых реологическим урав-
нением (9), обладает большинство жидкостей, а также все газы.
Тонкие суспензии, глинистые растворы, масляные краски дают примеры
жидкостей, отличных по своим свойствам от ньютоновских. Вязкость таких
«неньютоновских» жидкостей уже не является величиной, зависящей от тем-
пературы, а становится функцией скорости сдвига и других факторов:
деформации, движения, времени.
Особый интерес благодаря своему широкому распространению представ-
ляют «пластические» жидкости, в которых наряду с вязкостью проявляются
также пластические свойства, заключающиеся в наличии некоторого предель-
ного напряжения сдвига, после достижения которого только и возникает
«текучесть» среды. Таковы, например, еязкопластические жидкости, реоло-
гические законы которых обычно приписывают Бингэму (1916 г.), хотя они
были известны уже задолго до этого (в 1889 г.) Φ. Η. Шведову.
Довольствуясь ранее упомянутым простейшим случаем плоского слои-
стого прямолинейного движения вдоль оси Ох со скоростью сдвига ε = duldy
(вспомнить формулы (34) § 7), напишем реологическое уравнение такой
вязкопластической жидкости в форме (τ0 — предельное напряжение сдвига,
μ' — коэффициент пластической или структурной вязкости)
τ = τ0 + μ'ε при τ > τ0; (14)
при т<г0 текучесть отсутствует (ε = 0), т. е. среда ведет себя, как твер-
дое тело.
Только что описанной вязкопластической модели удовлетворяют, напри-
мер, движения таких встречающихся в практике сред, как применяемые
на нефтепромыслах для промывания скважин глинистые и цементные рас-
творы х), масляные краски, сточные грязи, а также некоторые пасты. Физи-
ческое объяснение особых свойств всех этих жидкостей основывается на пред-
ставлении о наличии в них при покое некоторой пространственной жесткой
структуры, которая в состоянии сопротивляться любому внешнему воздей-
ствию до тех пор, пока вызванное им напряжение сдвига не превзойдет соот-
ветствующее этой структуре предельное напряжение. После этого структура
полностью разрушается и жидкость начинает вести себя, как обычная ньюто-
новская вязкая жидкость, при кажущемся напряжении, равном избытку
τ — τ0 действительного напряжения над предельным. При уменьшении этого
кажущегося напряжения до нуля, т. е. возвращении действительного напря-
г) См. Α. Χ. Μ и ρ з а дж а нз а де, Α. Α. Μ и ρ з о я н, , Г. М. Гевинян
и М. К. С е и д - ρ з а, Гидравлика глинистых и цементных растворов, «Недра», М., 1966,
«стр. 31—43.

§ 75] РЕОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ 357
жения к предельному его значению, пространственная жесткая структура
восстанавливается 1).
Другие, так называемые «псевдопластические» жидкости лишены пре-
дельного напряжения текучести, но их кажущаяся вязкость опредрляется
коэффициентом, зависящим от скорости сдвига. Такие «нелинейные» жидко-
сти (суспензии асимметричных частиц, растворы высокополимеров) под-
чиняются реологическим уравнениям типа (Оствальд, Рейнер)
τ = /се", (15)
где к и n < 1 почти постоянны в широких интервалах напряжений и скоро-
стей деформаций, а кажущийся коэффициент вязкости τ/ε = Αε"_1 убывает
с ростом ε.
Отсутствие предельного напряжения роднит псевдопластические жидко-
сти с так называемыми «дилатантными» жидкостями, у которых, в отличие
от псевдопластических, кажущаяся вязкость с увеличением напряжения уве-
личивается (п > 4). Такая закономерность наблюдается, например, в суспен-
зиях твердых частиц при высоких их концентрациях. Как указывается
в ранее цитированной монографии Уилкинсона (стр. 23), свойством дилатант-
ности могут обладать и такие жидкости (например, крахмальные клейстеры),
которые нельзя отнести к концентрированным суспензиям твердых частиц.
Многие новые синтетические материалы представляют собой еязкоупругие
среды, обладающие как вязкой текучестью, так и свойством упругого вос-
становления своей формы. Сюда могут быть отньсены разнообразные высоко-
вязкие жидкости, в частности, смолы.
Для этих сред были установлены два отличных друг от друга реологиче-
ских закона, соответствующих двум различным подходам к определению
совместного действия сил упругости и вязкости среды.
В закономерности, предложенной Фойхтом, используется «параллельное»
действие упругости и вязкости, при котором общее касательное напряжение τ
представляется простой суммой упругого напряжения τΧ = Ge (ε — дефор-
мация сдвига, G — модуль сдвига) и τ2 = με (μ —динамический коэффициент
вязкости, ε — скорость сдвига)
τ = τ1 + τ2 = Ge + με. (16)
Интегрирование этого уравнения во времени в предположении о постоян-
стве приложенного напряжения (τ = τ0) и равенстве нулю начальной дефор-
мации приводит к соотношению
—£[»-« »(-■£)] <17>
выражающему явление запаздывания установления при t —*- оо упругой дефор-
мации (τ0/G) под действием постоянного напряжения. Постоянная μ/G играет
здесь роль характерного времени процесса и называется временем запазды-
вания. Интегрирование уравнения (16) для задачи мгновенного снятия напря-
жения при заданной начальной деформации приведет к равенству
ε = ε0ехр(--|) (18)
представляющему запаздывание убывания деформации после снятия напря-
жения; время запаздывания то же, что и в предыдущем случае.
1) См., например, монографию: У. Л. У и л к и н с о н, Неньютоновские жидкости,
перев. с англ., «Мир», М., 1964, стр. 20, 21.

358 динамика вязкой несжимаемой жидкости [гл. viii
«Последовательное» действие упругости и вязкости положено в основу
реологического закона Максвелла
e = e1+'s2=^ + j-, (19)
выражающего суммирование скоростей сдвига: при упругой деформации
εΧ = τ/G и в вязком движении ε2 = τ/μ.
Интегрирование (19) при постоянной деформации ε и начальном напря-
жении τ0 приводит к равенству
т = т0ехр(--^), (20)
представляющему закон убывания, или, как принято говорить, релаксации
напряжений. В этом случае постоянная времени μ/G играет роль времени
релаксации.
Можно отметить существенную разницу между моделями Фойхта и Макс-
велла. Для модели Фойхта характерным является тот факт, что при действии
постоянного напряжения скорость сдвига ε, которую можно получить из (17)
дифференцированием по времени, при t -> оо быстро стремится к нулю,
т. е. «тело» Фойхта под действием постоянной нагрузки не обладает свой-
ством беспредельной текучести. «Тело» Максвелла, для которого, как легко
видеть из (19), при условиях: τ = τ0, τ = 0 имеет место соотношение
ε->—- ^ 0 при i->oo,
в противоположность «телу» Фойхта, будет течь под действием постоянной
нагрузки с постоянной скоростью сдвига ε0 = τ0/μ. Вот почему среду, под-
чиненную реологическому закону Фойхта, часто называют вязкоупругим
твердым телом, в отличие от «тела» Максвелла, которо» представляет вязко-
упругую жидкость.
Перечисленные примеры не исчерпывают всего разнообразия специфиче-
ских свойств неньютоновских жидкостей. Механические свойства многих
жидкостей существенно зависят не только от скорости деформирования, но
и от продолжительности деформирования, а также от предыстории потока.
Такие жидкости именуют тиксотропными. Некоторые из них, реопектиче-
ские жидкости, обладают способностью увеличивать жесткость своей струк-
туры при наличии сдвигового движения, другие, наоборот, разрушать струк-
туры. К первому типу можно отнести, например, цементные растворы в режи-
ме «цепенения», расплавленные металлы, которые в жидком состоянии
представляют собой чисто ньютоновские жидкости, а на начальной стадии
затвердевания заполняются мельчайшими кристаллическими образованиями,
приближающими их к дилатантным жидкостям.
Тиксотропия может проявляться и в обратном, также связанном со вре-
менем эффекте разрушения жесткой структуры под действием сдвигового
деформационного движения, как это имеет место, например, в жидкостях
типа кефира. Под влиянием встряхивания кефир, представляющий почти
жесткое желеобразное тело, свободно выливается из бутылки, а после неко-
торого времени покоя вновь восстанавливает свою структуру.
Современные синтетические материалы, используемые в машинострои-
тельной, текстильной, пищевой и других видах промышленности, дают много
примеров разнообразных неньютоновских (их иногда называют реологиче-
скими) жидкостей, механические законы движения которых очень сложны
и могут, с известной степенью приближения, представляться комбинацией
простейших законов, кратко описанных в настоящем параграфе.

§ 75] РЕОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ НЕНЫОТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ 359
С рассматриваемой сейчас реологической стороны с неньютоновскими
жидкостями тесно граничат более общие образы неоднородных жидкостей,
не обладающих специфическими молекулярными структурами, а представ-
ляющих просто механическую смесь разнообразных по химическому составу
и по фазовому состоянию веществ, которые могут быть как нейтральными,
так и реагирующими между собой. В некоторых случаях (тонкие суспензии,
растворы) бывает трудно отличить неоднородные жидкости от неньютонов-
ских, так как их реологические свойства оказываются близкими друг к другу.
Было даже замечено, что при переходе одних режимов движения в другие
{ламинарного режима в турбулентный; см. начало гл. X) неньютоновские
жидкости могут потерять свои молекулярные особенности и перейти по своим
динамическим свойствам в класс неоднородных жидкостей.
О неоднородных, многокомпонентных и многофазных средах уже была
речь в § 13 гл. II. Там же были выведены основные уравнения динамики
и термодинамики такого рода сред, но был оставлен в стороне вопрос о рас-
крытии сущности тензоров напряжений Ρσ> и Р, относящихся к г-й ком-
поненте (фазе) и смеси в целом, а также дополнительных тензоров Pl3l}
(см. формулу (72) гл. II). Чтобы сделать основную систему уравнений движе-
ния неоднородной среды замкнутой, необходимо дополнительно ввести коли-
чественные закономерности, связывающие только что упомянутые тензоры
с характеристиками движения и состояния отдельных компонент (фаз)
и смеси их в целом. Можно было бы думать, что такие количественные связи
должны быть по форме аналогичными тем реологическим законам, которые
только что были введены для несжимаемых ньютоновских и неньютонов-
ских жидкостей, а в дальнейшем и для газов (см. начало гл. XI).
Широта понятия «неоднородные жидкости» слишком велика, чтобы
можно было надеяться на установление сколько-нибудь строгих и достаточно
общих реологических законов для неоднородных жидкостей. Такие законы
должны были бы содержать в себе как частные случаи реологические законы
однородных сред, соответствующих отдельным компонентам (фазам), и в то же
время учитывать всю сложность механических, физических и химических
процессов взаимодействия и превращения компонент (фаз) в смеси, о которых
уже была частично речь в § 13.
Попытаемся, хотя бы вкратце, но все же пояснить специфическую слож-
ность вопроса об установлении реологических законов для неоднородных сред.
Будем считать известными реологические законы «чистых» компонент
(фаз), понимая под таковыми только что изложенные в предыдущем и настоя-
щем параграфах связи между тензорами напряжений, деформаций, скоростей
деформаций и различными другими механическими и физико-химическими
параметрами.
Эти «истинные» реологические законы относятся к случаям движений
однородной среды, соответствующей данной компоненте или фазе и целиком
заполняющей произвольно выделенный объем. Как было отмечено уже
в § 13, тензор напряжений Р(г> для г-й фазы, движущейся в смеси, может быть
выражен через «истинный» тензор напряжений Р0(г> по формуле (72) гл. II.
При этом появляется система дополнительных тензоров, выражающих
взаимодействие данной г-й фазы с остальными /-ми фазами, имеющее место
вдоль межфазных границ.
Установление реологических законов для «межфазных» тензоров Р{П'
представляет особенные затруднения, так как само понятие деформации,
так же как и скорости деформации, становится в этих условиях очень слож-
ным *). При деформации выделенного объема смеси происходит совместное
*) См. по этому поводу: Р.И. Нигматулин, Методы механики сплошной среды
для описания многофазных смесей, Прикл. матем. и мех. 34, № 6, 1970, 1097—1112.

360 динамика вязкой несжимаемой жидкости [гл. viii
деформирование отдельных фазовых объемов и межфазных границ. Это при-
водит к тому, что реологические законы для отдельных фаз в смеси не могут
представлять связь между тензором напряжений Р(г>, тензорами деформа-
ций £(i) и скоростей деформаций S{i) и другими механическими и термо-
динамическими характеристиками только одной i-й фазы, а должны выражать
влияния всех остальных фаз. Таким образом, установление реологического
закона для i-й фазы, движущейся в смеси, упирается в необходимость изуче-
ния совместного деформирования и движения всех фаз и не может быть
сведено к рассмотрению только данной i-й фазы, как это имело место в слу-
чае чистой фазы и истинного реологического закона.
Реологический закон для реальной фазы в смеси должен учитывать,
кроме дополнительного тензора Р{П}, зависящего от поведения фаз на меж-
фазных граничных поверхностях, еще все те взаимодействия и превращения
фаз, о которых была речь в § 13. Так, например, даже в случае простейшей
двухфазной смеси, состоящей из несущей фазы и примеси, увлекаемой в движе-
ние несущей фазой, становится необходимым учитывать многие существен-
ные влияния, как, например: действующие на отдельные частицы примеси
архимедовы силы, силы трения, приложенные к частицам, в частности
стоксовы силы (см. далее § 82), инерционные влияния при ускоренном движе-
нии (присоединенные массы), а иногда и силы типа магнусовых при вращениях
частиц примеси, кулоновы и пондеромоторные силы в случае заряженных
частиц примеси и электропроводности несущей фазы и многие другие.
При этом возможны два подхода: один, наиболее общий, когда кон-
центрация примеси недостаточно мала, заключающийся в рассмотрении
всех только что перечисленных сил в их действии на частицы примесей
и реакций частиц на несущую фазу, и другой, или совершенно не прини-
мающий во внимание обратное влияние примесей на несущую среду, или
рассматривающий это влияние лишь приближенно, как это, например, имело
место в диффузионной постановке (вспомнить § 13).
Наличие этих, часто почти непреодолимых трудностей заставляет иссле-
дователей во многих случаях отказываться от рационально обоснованных
подходов и вставать на путь далеко идущих упрощений, начиная с полного
пренебрежения влиянием малообъемных фаз на основную несущую фазу,
движение которой рассматривается как автономное движение ньютоновской,
либо неньютоновской жидкостей. При таком подходе движения остальных
фаз, при пренебрежении их взаимодействием, рассчитываются как простой
перенос этих фаз заданным потоком несущей фазы, иногда с учетом возмож-
ного скольжения между фазами и несущим их потоком.
Одной из наиболее основных линий в существующих приближенных под-
ходах к решению задач о движении неоднородных многокомпонентных
и многофазных сред, включая сюда и потоки с твердыми дисперсионными
примесями в жидких или газообразных несущих средах, является сохранение
для смеси в целом реологического уравнения однородной (ньютоновской или
неньютоновской) среды. Физические, а при необходимости и химические
«константы» при этом как-то в среднем учитывают специфические особенности
отдельных составляющих неоднородную среду веществ.
Примером такого рода определения динамического коэффициента вязко-
сти может служить общая формула (6.16) на стр. 272 монографии С. Coy *),
представляющая сложную связь коэффициентов вязкости, плотностей и харак-
теристик движения отдельных составляющих смеси и условного коэффи-
циента вязкости смеси в целом. На следующих страницах той же монографии
приводятся менее сложные приближенные формулы, применимость которых
ограничивается отдельными частными случаями движений.
х) С. Со уЧ Гидродинамика многофазных систем, «Мир», М., 1971.

§ 75] РЕОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ 361
Таковы предельно простые формулы самого С. Coy, утверждающие равен-
ство кинематических коэффициентов вязкости компонент (фаз) и смеси их
в условиях нереагирующей смеси, малого «скольжения» относительно сред-
ней скорости и малого градиента концентрации. Для газообразных смесей
часто применяют формулу Гиршфельдера, Кертисса и Берда, связывающую
обратную величину динамического коэффициента вязкости смеси с соответ-
ствующими коэффициентами для отдельных компонент и вязких взаимодей-
ствий между ними. Эта формула может применяться также для газов, запы-
ленных твердыми примесями с размерами частиц, меньшими длины свобод-
ного пробега молекул в несущей газовой фазе.
Для сред с малыми объемными концентрациями примесей широко рас-
пространено применение к динамическому коэффициенту вязкости несущей
фазы поправки Эйнштейна. Исправленный динамический коэффициент вяз-
кости смеси μ* выражается через соответствующие коэффициенты: μ — для
«чистой» несущей фазы и μ — для жидкой или газообразной примеси со сфе-
рической формой частиц по формуле *)
-£— = 1 + се =— ,
μ μ + μ
где се — объемная доля примеси.
В случае твердой примеси следует положить μ = оо; тогда предыдущая
формула приводится к более простой, справедливой для твердых суспензий
μ* = μ(1 + τα).
В случаях примесей несферических частиц вязкость смеси возрастает. Так,,
для твердых частиц, имеющих форму эллипсоидов вращения с отношением
полуосей 6:1, будет
μ* = μ (1 + 5α).
Заметим, что поправка Эйнштейна весьма существенна. Например, для
крови, состоящей из ньютоновской несущей фазы — плазмы с динамическим
коэффициентом вязкости μ = 0,015 Π — и переносимых плазмой кровяных
телец с объемной концентрацией се « 40%, если рассматривать эти тельца
как твердые эллипсоиды вращения 2) с указанной относительной толщи-
ной 1 : 6 (что близко к действительности), будем иметь μ* = 3μ.
В отдельных конкретных случаях технических расчетов всегда прихо-
дится делать те или другие упрощающие допущения, опирающиеся во многом
на интуицию и понимание сущности происходящих процессов. На этом,
конечно, нет возможности останавливаться в настоящем общем курсе3)»
Некоторые примеры составления замкнутых систем дифференциаль-
ных уравнений движения неоднородных сред отнесены нами в последнюю
главу курса, где открывается возможность вести изложение для газовых
потоков и учитывать не только динамическую, но и термодинамическую сто-
роны дела.
*) Обоснование этой формулы можно найти в курсе Дж. Батчелор, Введение
в динамику жидкости (перев. с англ. под ред. Г. Ю. Степанова), «Мир», М-, 1973,
стр. 313—321.
2) R. Т. Jones, Blood flow, Annual Review of Fluid Mechanics, v. 1, 1969,
pp. 223, 224.
8) Отсылаем интересующихся к содержащей большие конкретные материалы и мно-
гочисленные библиографические ссылки только что цитированной книге С. Coy.

"362 динамика вязкой несжимаемой жидкости [гл. Yin
§ 76. Уравнения Стокса ^изотермического движения ньютоновской
вязкой несжимаемой" жидкости
Используем общие, справедливые как для ньютоновской, так и неныото-
новской жидкостей, уравнения динамики в напряжениях (гл. II, (32)) и урав-
нение несжимаемости (гл. II, (44)). В полученную систему уравнений
Ρ
йи
9FX-
дРя
dp,
■ух
дрх
dv r,
ρ—ρ*ν
dw г,
du
dx
дРху
дх
dPxz
■Ь
ду
дРуу
dz
dPzy
ду
9ρνΖ
дрг
дх
ду
dv_ , 5ш=0
дх ' ду dz
(21)
подставим значения напряжений по (11). По условию изотермичности μ
= const и может быть вынесено за знаки дифференцирования, так что
дРх
дРух дргх
dpzx dp1 0 е% д I ди dv \ . . д ( ди dw] \ _
дх ду ' dz дх ' ~*~ дх2 ' ^ ду \ ду
др I дги , д®и , <5% \ д ( ди ,
дх
\дх*
> dz )
dp)
*1д /Λ;„ τ/\ dL j .,V72,
= -^ + μν^ + μ^ (div F) = -^r + μψη
'дх
дх
и аналогично для следующих двух строк системы (21).
Разделив обе части трех первых уравнений (21) на постоянную ρ и выде-
лив в левой части локальные и конвективные части ускорения, получим
систему уравнений (ν = μ/ρ — кинематический коэффициент вязкости)
ди ди ди ди „ 1 ψ , rt
я* ' я~ ' ду ' dz х ρ & ' '
dt
dv
{dt
dx
dv
dx
dv
ду
VU . VV , νυ , υυ „ ,
dv
dz
dw
dp
dw dw , dw , „„, „ i υ» .
dt
ду
ди dv . dw _
Ρ ду
1 Jp
ρ dz
+ vS/2u,
dx
dz
(22)
или^в векторной форме
dV 1
jf + (V · V) V = F —i- grad ρ + W2F,
div[F:
= 0,
}
(23)
где символ V2^ обозначает вектор лапласиан от V (III. 9) с проекциями
(v4 vv, vV
Уравнения (22) или (23) носят наименование уравнений Стокса.
В приложениях приходится иметь дело с уравнениями Стокса в проек-
циях на оси прямоугольных криволинейных координат. Для облегчения
•составления такой формы уравнений полезно заметить, что по (III.9) для
лесжимаемой жидкости (div V = 0) будет
V'V = grad div V — rot rot V = —rot rot V,

§76] УРАВНЕНИЯ СТОКСА ДВИЖЕНИЯ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ 363
а уравнения (23) перепишутся в форме
^L + (V.V)V = F-±gvadp.
■ ν rot rot V
divF = 0.
'}
(24)
Это позволит при проектировании последнего члена в правой части динами-
ческого уравнения (24) воспользоваться формулами (III.16). Приведем сле-
дующую краткую запись уравнений Стокса в цилиндрической и сферической
системах координат (объемные силы опущены):
а) цилиндрические координаты (г, ε, z)
dVr
dt
dt
dV
vr
dVr
Ve dVr
+ VT
dr
dVP
de
VP dVF
■V,
dVT
П
dr
V dV*
d(rVr) . dVe
дг
Ve dVz
V7
dz
1 dp
ρ dr
9Ve ,
-r \ \ ν ν r r2 r2 дг )
vrvE
dz
ρ r dг ' \ r
2 dVr
de
r dг
d{rVz)
■v,
dV,
dr
de
dr2
dr
dz
I _2
= 0,
dz
d2
ρ dz ' z
5ε2
fe2
), \ (25)
б) сферические координаты (R, θ, ε)
dVR
dt
VR
dVR . Ve dVR
У»
dVR
VI
V2
r в
dR
R
1 dp
ρ dR
v(v2F,
dQ ^ RsinQ
2VR 2
de
dVe
R
2yectg0
dVP
R2
dVe
dt
dVP
vR
dR ~*~ R dQ
R2 dQ
eve
R2
vRve
R2 s n θ ог
У£ ctg θ
ρ R θθ^4ν^θη
R sin θ de
2 dVR
R
R
V6
2 cos θ dVE
dt
Ρ
dR
1
V~R^ +
Ffl dVF
R2 de
Ve dVE
R2 sin2 θ R2 sin2 θ de
vevR . yeyEctge __
R
dp
1
ρ R sin θ de
dQ
-ν(νΨ,
R sin θ 5ε
d
(WR sin Θ) + ~ (RVe sin ΘΗ
R2 sin2 θ "*""
d (RVE)
R ' R
2 dVR , 2 cos θ еУе
\ (26)
l s / ™ e \ . i e
Д2 sin θ
■ = 0,
d
de
i?2sm20 de
)·
Д2 dii
Д2 sin θ 9Θ
(sine^)
Я2 sin2 θ θε2
Первому уравнению (24) можно придать форму, аналогичную уравне-
нию Громека — Ламба (гл. III, (7)) для идеальной жидкости (предполагается,
что объемные силы имеют потенциал П, т. е. F = —grad Π)
J^L + rot. V Χ V = - grad (\-W + Π + -jp) - ν rotjrot.F,
divV = 0.
}
(27)

364 динамика вязкой несжимаемой жидкости ,гл. viii
Совокупность уравнений (22) представляет замкнутую нелинейную
систему четырех уравнений в частных производных второго порядка с четырь-
мя неизвестными функциями и, v, w и ρ; величины ρ и ν являются заданными
постоянными, а проекции объемной силы Fx, Fy, Fz (силы веса, инерционные
центробежные или кориолисовы силы) — заданными функциями координат
и скоростей. Нелинейность системы обусловлена наличием конвективной
составляющей ускорения в левой части уравнений (22).
Для получения конкретных решений при интегрировании системы урав-
нений (22) должны быть использованы граничные, а в случае нестационар-
ного движения и начальные условия. Вспомним, что в идеальной жидкости
основное граничное условие на омываемой жидкостью твердой поверхности
заключалось в непроницаемости поверхности и в связи с этим в совпадении
нормальных к поверхности составляющих скоростей частиц жидкости и точек
самой поверхности. В случае вязкой жидкости это граничное условие заме-
няется условием «прилипания» частиц жидкости к твердой стенке. Это означает
отсутствие как нормальной к твердой поверхности относительной скорости
между частицами жидкости и близлежащими точками поверхности, так
и касательных составляющих относительной скорости, т. е. отсутствие
скорости скольжения жидкости по поверхности.
Не следует связывать указанное только что допущение об отсутствии
скольжения частиц жидкости по твердой поверхности («прилипание») с явле-
нием «смачиваемости» жидкостью (или отсутствия смачиваемости) твердой
поверхности, которое характеризует так называемый «краевой эффект»
(образование мениска) на границе трех фаз (твердая, жидкая, газообразная),
или твердой поверхности и двух жидкостей разной плотности. Ртуть не сма-
чивает внутреннюю поверхность стеклянной трубки, по которой течет, но
прилипает к ней.
Таким образом, в отличие от идеальной жидкости, при обтекании твер-
дых поверхностей вязкой жидкостью должно выполняться граничное условие
равенства нулю скорости жидкости на неподвижной обтекаемой поверхности
или совпадения скоростей частиц жидкости со скоростями точек движущейся
твердой поверхности, с которыми жидкие частицы соприкасаются. Это гра-
ничное условие даже в конце XIX века оспаривалось отдельными авторами,
но в настоящее время уже полностью оправдано *). Исключением из этого
общего положения являются граничные условия в сильно разреженных
газах, где допускается наличие скольжения газа по твердой поверхности,
пропорциональное производной по нормали к поверхности от касательной
составляющей скорости.
В число граничных условий входит также задание скорости вдалеке от
обтекаемого тела в случае внешнего обтекания или расхода в случае протека-
ния жидкости сквозь канал, а также задание давления в какой-нибудь одной
точке потока, в частности, в бесконечном удалении от обтекаемого тела.
Начальные условия фигурируют в задачах нестационарных движений
и предсгавляют задания распределения скоростей в области течения в неко-
торый начальный момент, изменения во времени давления в данной точке про-
странства и др.
Для частных классов задач о движении вязкой жидкости существуют
строгие доказательства теорем о существовании и единственности решений.
Эти теоремы, помимо своего общего математического содержания, важны еще
потому, что указывают, каковы должны быть присоединенные к дифферен-
циальным уравнениям граничные и начальные условия, а также и другие
дополнительные требования, без выполнения которых решение задачи не
г) См. очерк «Заметка об условиях на поверхности соприкосновения жидкости с
твердым телом», помещенный в конце второго тома монографии «Современное состояние
гидроаэродинамики вязкой жидкости» (под ред. С. Голдстейва), ИЛ, М., 1948, стр. 356.

§ 77] ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 365
будет единственным, а иногда и вообще не может существовать. Таковы
требования плавности обтекаемой поверхности или наличия на ней конеч-
ного числа изломов или разрывов кривизны, условия, налагаемые на распре-
деления физических величин, непрерывность, существование производ-
ных и т. п.
Иногда в число условий единственности входят некоторые интегральные
равенства, подобно тому, как это имело место в идеальной жидкости, где при
расчете подъемной силы крылового профиля (гл. V) использовалась «при-
соединенная» циркуляция. В динамике вязкой жидкости аналогичную роль
играют: задание величины импульса струи при расчете явления распростра-
нения струи в пространстве, затопленном той же жидкостью, задание сопро-
тивления тела для определения течения в аэродинамическом следе за ним и др.
§ 77. Подобие течений вязкой несжимаемой жидкости
Метод подобия весьма плодотворен при изучении не только гидродинами-
ческих, но и многих других физических и технических вопросов. Прежде все-
го следует отметить прямое назначение этого метода как научного обоснова-
ния приемов моделирования действительных, «натурных» процессов в лабо-
раторных условиях. Метод подобия позволяет устанавливать требования,
которые следует предъявлять к лабораторной модели и проведению на ней
исследуемого процесса для того, чтобы результаты моделирования могли
быть в дальнейшем использованы для проектирования реальных объектов.
Кроме того, обработка лабораторных измерений и обобщение результатов
этих измерений в виде эмпирических формул также ведется согласно указа-
ниям метода подобия.
Но это чисто прикладное значение метода подобия далеко не исчерпывает
общую его ценность. Вот уже много лет, как метод подобия используется
и при теоретическом изучении явлений как способ предсказания внутренней
структуры переменных и параметров, входящих в выводимые из теории анали-
тические соотношения, а иногда даже и самой формы этих соотношений. Стоит
всшжнить, например, выведенные в гл. VI и VII соотношения подобия
до- и сверхзвуковых обтеканий тонких тел, а также изложенные в гл. IV
и VI построения «автомодельных» решений. В настоящей и последующих
главах придется встретиться со многими примерами использования идей
метода подобия.
Два физических явления называют подобными, если величины, характе-
ризующие одно явление, могут быть получены из соответствующих величин
другого, взятых в сходственных пространственно-временных точках, простым
умножением на одинаковые во всех точках множители, называемые коэффи-
циентами подобия. "
Пусть φ (г; t), а (г; t), Q (r; t) соответственно представляют некоторые
в общем случае нестационарные поля распределений физических скалярных,
векторных или тензорных величин в пространственно-временной области
(г; t); здесь г представляет вектор-радиус точки, а его проекции (х, у, z) —
координаты этой точки. Сравним с этим явлением некоторое другое, харак-
теризуемое соответственно скалярными, векторными или тензорными функ-
циями φ (г; £), а (г; t), Q (r; t) в области (г; t). Пространственно-временную
точку Μ (г; t) будем называть «сходственной» по отношению к точке Μ (г; t),
если векторы-радиусы этих точек (или их координаты) и соответствующие
моменты времени могут быть получены одни из других простыми линейными
преобразованиями
r = klr (или х = кгх, у = кгу, z — k^); t = ktt, (28)

366 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
в которых коэффициенты подобия кг и kt одинаковы для всех точек сравнивае-
мых областей и, кроме того,— подчеркнем этот факт — коэффициент подобия
ki — один и тот же для всех координат, т. е. не зависит от направления
координатных осей в пространстве.
Рассматриваемые два физических явления будем считать подобными
(в первоначальном общепринятом смысле этого слова), если характеризую-
щие их функции φ, a, Q и φ, a, Q, определенные в сходственных точках
областей (г; t) и (г; i), могут быть получены одни из других также простыми
линейными преобразованиями
φ = &φφ, а = каа, Q = kQQ (29)
с одинаковыми для различных сходственных точек значениями коэффициен-
тов подобия λ:φ, ка, kq и — подчеркнем это опять — одинаковыми коэффи-
циентами подобия: ка для всех проекций вектора яи^ — для всех компонент
тензора Q.
Несколько расширяя только что высказанное определение подобия,
введем еще аффинное подобие; о нем уже была речь в гл. VI и VII.
В случае аффинного подобия совокупность преобразований (28) и (29)
заменяется следующими более общими преобразованиями:
Φ Λφψ, ах = кахах, ау^=кауау, az = kajiz,
Qxx kQxxQxx, Qxy — kQxyQxy и т. д.,
справедливыми в «сходственных» точках, определяемых формулами перехода
х = кхх, y = kvy, z = kzz, l=ktt. (31)
Коэффициенты подобия к^, ка , . . ., kQ , kQ , . . ., кх, ку, к2, так же
к к и ранее, не меняются при переходе от одной точки к другой, но изотропии
уже нет и ка^ φ ка^ φ /ц, kQxx φ kQxy φ . . ., kx φ ky φ kz.
Преобразования (28) и (29), характеризующие обычное подобие, или (30)
и (34) — аффинное подобие, можно интерпретировать еще иначе, если для
каждого из рассматриваемых явлений ввести некоторые постоянные величи-
ны, характеризующие количественный порядок (масштаб) переменных физи-
ческих величин, описывающих явления. Эти постоянные величины будем
в дальнейшем называть масштабами соответствующих переменных величин
(длин, времени, скоростей, давлений и др.). В области одного из сравниваемых
явлений, скажем первого, в котором обозначения не имеют черточек сверху,
обозначим через L и Τ какие-нибудь характерные длину и время и примем
их за масштабы этих величин; в области другого явления аналогичным обра-
зом выделим соответствующие масштабы L и Т, так что можно будет, соглас-
но (28), написать
1=кгЬ, f=ktT. (32)
Точно так^ же определим и масштабы Ф, A, Q* и Ф, A, Q* для величин
<р, a, Q, φ, α, Q; при этом будет
Ф = /сфФ, А = каА, Q* = kQQ*. (33)
Исключая из равенств (32) и (33) коэффициенты подобия кь ки /гф и т. д.,
можем преобразования (29), справедливые для сходственных точек, в кото-
рых, согласно (28), будет
(30)

§ "J ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 367
переписать в форме безразмерных соотношений
Φ ф ' А А ' q* ~ Q* ■ { 0)
Применяя обозначение «idem» для указания одинаковости сравнивае-
мых безразмерных величин в сходственных точках областей, где протекают
исследуемые явления, будем иметь следующее, заменяющее (34) и (35) опре-
деление подобия явлений:
-|- = idem, -^- = idem, -£_ = idem,
если
-£- = idein, -jr- = idem, -^- = idem; -γ = idem.
Иными словами, два подобных явления в сходственных пространственно-вре-
менных точках областей их протекания отличаются между собой только мас-
штабами описывающих явления величин.
Отсюда сразу следует, что если в дифференциальных уравнениях, гра-
ничных и начальных условиях, а также других условиях единственности
решений этих дифференциальных уравнений перейти от обычных размерных
переменных к безразмерным, которые могут быть получены путем отнесения
размерных величин к их масштабам, то как сами теперь уже безразмерные
дифференциальные уравнения, так и соответствующие им безразмерные гранич-
ные, начальные и другие условия единственности, станут одинаковыми для
обоих сравниваемых явлений.
Все, что утверждалось сейчас для подобных явлений в обычном употреб-
лении термина «подобие», полностью относится и к случаю аффинного подо-
бия, с той лишь разницей, что при аффинном подобии для разных коорди-
нат должны быть разные масштабы длин: Χ, Υ, Ζ; точно так же и для разных
проекций векторов ах, ау, az различные масштабы, скажем, Ах, Ау, Azu т. д.
Напомним, что как раз такое применение метода аффинного подобия имело
уже место в гл. VI и VII настоящего курса при изложении теории подобия
до- и сверхзвуковых обтеканий тонких тел.
Подобие обтеканий тел идеальной, лишенной внутреннего трения (вяз-
кости) несжимаемой жидкостью (или, что то же, идеальным газом при малых
числах Маха) обеспечивалось простым геометрическим подобием обтекаемых
тел и их подобным расположением относительно набегающих на них потоков
в сравниваемых течениях (равенством углов атаки и других углов, опреде-
ляющих положение тела относительно набегающего на него однородного
потока).
Так, плоские обтекания двух круглых цилиндров идеальной несжимае-
мой жидкостью при условии T/(Vcca) = idem (см. § 40) были подобны между
собой, независимо от того, каковы радиусы цилиндров, скорости набегающих
потоков и плотности жидкостей в сравниваемых течениях. При этом в сход-
ственных точках потоков были одинаковы и коэффициенты давлений срг
а следовательно, в конечном счете, и коэффициенты подъемной силы су.
Для двух геометрически подобных крыловых профилей гидродинамическое
подобие потребовало бы еще одинаковости углов атаки и, кроме того, выпол-
нения постулата Чаплыгина о конечности скорости на задней острой кромке.
Пространственные обтекания геометрически подобных тел, подобно разме-
щенных в однородных потоках идеальных несжимаемых жидкостей с раз-
личными скоростями, подобны между собой.
Перейдем к рассмотрению условий подобия двух изотермических потоков
ньютоновских вязких несжимаемых жидкостей с различными, но постоянными.
(36>

368 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
плотностями и вязкостями. Следуя только что указанному приему сравнения
безразмерных дифференциальных уравнений и соответствующих им гранич-
ных и начальных условий, приведем уравнения Стокса (22) к безразмерному
виду, выбрав в качестве масштабов времени, длин (в частности, координат),
скоростей, давлений и объемных сил соответственно некоторые характерные
для потока постоянные величины: Т, L, V, Р, F.
Обозначая штрихом безразмерные значения времени, координат, скоро-
стей, давлений и сил, положим:
t = Tt'; x = Lx', y = Ly', z = Lz';
u = Vu', v = Vv', w = Vw'\ p = Pp
FF'X, FV = FF'V, FZ=FF'Z.
'-
(37)
Подставляя эти значения t, x, .
лолучим
и, ...,/?, Fx, ... в уравнения (22),
V du'
Τ dt'
72
(«"
du'
dx'
du'
ду'
■IV
ди'
ди' \ _
dz' ) ~
= FF'X-
др'
pL дх'
vV 1 д*и'
L2 \ dx'2
д*и'
ду'2
д*и' \
dz12 } '
V ди>'
Τ dt'
γ%
(и-
dw'
дх'
, ди/ , , dw'
ду"
dw' \ __
dz' ) ~~
= FF'Z
L \ дх' ^
ду'
dp'
pL dz'
ди' , dv' , dw'
■vV I dho'
L2
(
^ dz' ) U'
дх'2
dho'
dy'2
r dz'2 I '
после чего, сокращая обе части первых трех уравнений на соответствующим
образом выбранную комбинацию масштабов Т, L, V, Ρ и физических кон-
стант, сведем число составленных из них комплексов в уравнениях к мини-
муму. Так, предполагая в общем случае, что конвективные ускорения не
опущены, разделим обе части первых трех уравнений на V2IL\ будем иметь
Sh
Sh
du'
dt'
dv'
dt
, du'
■u
dx'
, dv'
dx'
du'
ду'
■It/
du'
= _i_p._FlJ^£l_| 1 / d*u' д*и' д*и' \
Fr x ^ dx' "τ" Re ^ dx"1· "·" ду'2 "*" dz'2 I '
dv'
ду'
■w
, dv'
dz'
Fr
p. dw' . t dw' , , dw'
Sh-5T + U-S7-+" Т5Г
-■irii-E».*
ду'
i_ 1 d*v' д*у' d2v' \
T~ Re \ dx'2 + dy'2 "*" dz'2 ) '
■W
dw'
dz'
du'
dx'
dv'
dy'
dw'
dz'
Fr z tU dz'
= 0.
Re
/ dho'
\ dx'2 "r
dho'
dy'
'2
d*w' \
dz·2 ) '
(38)

§ 77] ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 369
В уравнения (38) вошли следующие безразмерные одночленные ком-
плексы, называемые «числами подобия»:
-γψ- = S h — число Струхала,
Ρ
-yj- = Eu — число Эйлера,
VL
ν
= Re — число Рейнольдса,
(39)
V2
"^X" = F r — число Фруда.
Уравнения (38) представляют безразмерные уравнения Стокса динамики
вязкой несжимаемой жидкости. К этим уравнениям присоединяются соответ-
ствующие данной конкретной задаче безразмерные начальные и граничные
условия, а в ряде случаев и другие условия единственности решений уравне-
ний Стокса.
Предположим, что два в общем случае нестационарных потока ньютонов-
ской вязкой несжимаемой жидкости подобны между собой. Тогда, по преды-
дущему, безразмерные начальные, граничные и другие условия единственно-
сти, так же как и сами безразмерные уравнения Стокса (38), должны быть
одинаковыми для обоих сравниваемых между собою движений. Но, по предпо-
ложению о существовании подобия, все безразмерные, обозначенные штрихами
переменные в сходственных точках потоков одинаковы, следовательно, для
совпадения дифференциальных уравнений остается потребовать, чтобы были
одинаковыми числа подобия, т. е.
Sh = idem, Eu = idem, Fr = idem, Re = idem. (40)
Перечисленные условия подобия, включая последнюю систему равенств,
являются необходимыми условиями подобия. Трудности стоят на пути выяс-
нения достаточных условий подобия. Эти трудности связаны с тем обстоя-
тельством, что существующие доказательства теоремы единственности реше-
ний уравнений Стокса относятся к отдельным классам движений вязких
несжимаемых жидкостей. Для этих классов движения теорема об условиях
подобия (необходимых и достаточных) двух входящих в них движений,
конечно, может считаться полностью доказанной. Большое разнообразие
встающих перед практикой задач (наряду с обычными задачами обтекания тел
и протекания жидкости сквозь трубы и каналы существуют еще задачи сво-
бодной конвекции, распространения струй, образования следов за телами,
развития пограничных слоев и мн. др.) не позволяет считать вопрос об уста-
новлении достаточных условий подобия движений вязкой несжимаемой
жидкости решенным.
Условимся среди всех чисел подобия (39) особо выделять составленные
только из тех масштабов сравниваемых потоков и физических констант среды,
которые заключаются в постановке задачи об определении движения, т. е.
наперед заданы. Одинаковость таких чисел подобия обусловливает подобие
двух сравниваемых течений, и поэтому сами числа могут быть названы крите-
риями подобия. Критериев подобия меньше, чем чисел подобия для соответ-
ствующего класса течений, так как не все масштабные величины, введенные
при составлении безразмерных уравнений и граничных и начальных условий,
на самом деле могут быть заданы наперед. Значения некоторых из них опреде-
ляются только после того, как будет получено единственное решение данной
конкретной задачи. Отсюда следует, что число достаточных условий, пред-
ставленных системой равенств вида (40), будет меньше общего числа необхо-
димых условий.
24 Л. Г. Лойцянский

370 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
Проиллюстрируем высказанные положения одним примером, многие
другие примеры будут сопутствовать изложению в следующих параграфах
и главах.
Поместим в однородный поток вязкой несжимаемой жидкости с кинемати-
ческим коэффициентом ν, плотностью ρ и постоянной скоростью Ft» цилиндр
диаметра d и поставим задачу об определении сопротивления цилиндра
набегающему на него потоку в предположении, что движение стационарно,
а объемных сил нет. Тогда среди необходимых условий подобия (40) остаются
лишь два: Eu = idem и Re = idem. Число Рейнольдса, в данном случае
равное Re = Vecdiv, является критерием подобия, так как содержит задан-
ные наперед масштабы: скоростей — ?«,, длин — d и также заданную физи-
ческую константу v. Сила сопротивления — обозначим ее величину через W—
может быть определена только после решения задачи обтекания, так как она
вычисляется суммированием по поверхности цилиндра сил давления потока
на поверхность и сил трения жидкости о поверхность цилиндра, которые
в свою очередь зависят от решения задачи обтекания. Число Эйлера, содер-
жащее в своем составе масштаб неизвестного наперед давления, не может
при этом быть критерием подобия,
а будет функцией числа Рей-
нольдса.
Коэффициент сопротивления сш
единицы длины цилиндра, определя-
емый отношением (σ — площадь ми-
ю1
ю~
\
делевого сечения цилиндра)
W
Ю'1 Юй
ю'
Ю* W6
W
Ю5 70s
Re ψ
■9К,а
Рис. 152.
стыо оправдывает это заключение.
играет роль числа Эйлера (так как
Wlo имеет размерность перепада
давления) и зависит от числа
Рейнольдса. Эксперимент полно-
Результаты опытов, проведенных над
цилиндрами различных диаметров, помещенных в разные по скоро-
стям и физическим свойствам жидкости потоки, вполне удовлетворитель-
но легли на одну и ту же кривую зависимости cw (Re), показанную на
рис. 152.
Если детальнее присмотреться к экспериментальной картине обтекания
цилиндра, то можно заметить, что оно не является стационарным; на самом
деле картина обтекания цилиндра все время изменяется: в кормовой части
цилиндра то с одной, то с другой стороны его поверхности срываются вихре-
образные массы подторможенной цилиндром жидкости, создавая в потоке
колебания с частотой, зависящей от скорости потока, его вязкости и диа-
метра цилиндра, точнее, от рейнольдсова числа.
Такие колебания цилиндра в потоке постоянной скорости, происходя-
щие за счет внутренних явлений в пограничном слое на поверхности цилинд-
ра, приводящих к только что отмеченным отрывам масс жидкости с поверх-
ности цилиндра, относятся к числу автоколебаний. Их можно наблюдать
на всевозможных плохо обтекаемых телах. Возникая в жидкости, эти перио-
дические процессы вызывают вибрации тел, погруженных в жидкость.
Известны автоколебания фабричных труб и высотных зданий во время ветра,
причем частота этих колебаний не связана с частотой порывов ветра, как
это имело бы место при вынужденных колебаниях. Аналогичные автоколе-
бания совершают перископ подводной лодки, трубки конденсатора паро-
вой турбины и др.

§ 771 ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 371
Чешский физик Струхал х) еще в конце девятнадцатого века изучал коле-
бания струн в однородном потоке воздуха (подобные вибрациям телеграфных
проводов в ветреную погоду) и по высоте звука определял частоту колеба-
ний N = 1/Т (Т — период колебаний). Он первый заметил, что безразмер-
ная одночленная комбинация частоты колебаний Ν, диаметра струны d
и скорости набегающего потока Утс, ныне называемая числом Струхала
Sh
Nd
о,гг
ΟβΟ
0,18
0,16
W
ц/г
to'
ч
'*-*_-'"
/5h
_.
1,0
о
106
Re<
Vd
10*
сохраняет определенное постоянное значение, близкое к 0,2.
Рассмотрим это явление с точки зрения метода подобия. Отвлекаясь
от действия объемных сил, получим три числа подобия: Sh, Ей (или cw) и Re.
Среди них только число Re состоит из заданных наперед величин V«,, d и ν
и, следовательно, представляет критерий подобия автоколебательных движе-
ний вязкой несжимаемой жидкости,
возникающих при обтекании цилиндра.
Числа подобия Shn cw содержат неиз-
вестные наперед величины частоты авто-
колебаний N = 1/Т и сопротивления
W и являются поэтому функциями
критерия подобия Re. Опыты подтвер-
ждают это положение. На рис. 153
приводятся кривые Sh (Re) и cw (Re),
составленные по опытам А. Рошко 2).
Опыты над цилиндрами проводились
в широком диапазоне диаметров от
0,235 до 6,35 мм. Судя по кривой, при
больших значениях Re устанавливает-
ся значение Sh = 0,21. Это хорошо оп-
равдывается при не слишком больших
значениях чисел Re, однако известно, что при достижении числом Рейнольдса
значений порядка 5 -105 сопротивление резко падает (см. рис. 152), изменяется
характер обтекания цилиндра и стремление числа Струхала к постоянному
значению 0,21 нарушается. Этому вопросу будет посвящено внимание в гл. IX
при рассмотрении явления «кризиса обтекания» круглого цилиндра.
Изменим теперь постановку задачи. Поместив цилиндр в однородный
поток постоянной скорости FTC, приведем его в заданный по желанию коле-
бательный режим с частотой N. В этом случае число Струхала Sh станет
наряду с числом Рейнольдса Re критерием подобия, а коэффициент сопро-
тивления cw будет уже функцией двух щитериев подобия Sh и Re
с», = /(Sh, Re).
Не будем останавливаться на прикладном значении метода подобия
и многочисленных особенностях его применения при моделировании в гидро-
технике и гидротурбостроении 3), а также теплотехнике 4). Отметим, что
Рис. 153.
х) Strouhal, Ann. der Phys. u. Chem. (Wiedemann's Ann.) 5, 1878, 216—251.
2) A. R о с h k o, On the development of turbulent wakes from vortex streets. NACA
Rep. 1191, 1954.
8) А. П.Зегжда, Теория подобия и методика расчета гидротехнических моделей,
Госстройиздат, М., 1938.
4)Г. Гребер, С. Эрки У. Григуль, Основы учения о теплообмене, ИЛ,
М., 1959; А. А. Г у х м а н, Физические основы теплопередачи, Энергоиздат, М., 1934;
С. С. К у τ а т е л а д з е, Основы теории теплообмена, Машгиз, М., 1957; Α. Α. Γ у Χ-
μ а н, Введение в теорию подобия, «Высш. школа», М., 1963.
24*

372 динамика вязкой несжимаемой жидкости [гл. viii
в настоящем параграфе был намеренно рассмотрен лишь сравнительно узкий
класс течений: жидкость считалась несжимаемой, поток изотермическим
и физически однородным.
Более широкая постановка вопроса о подобии будет дана §§ 85 и 109
в связи с введением более общих уравнений, учитывающих такие существен-
ные физические процессы, как сжимаемость, теплообмен, диффузия при-
месей (массообмен) и др. i).
Следует указать, что принятое изложение метода подобия не является
единственно возможным. Широко используется и другой, на первый взгляд
более простой способ, основанный на принципе размерностей 2). Этот метод
в явной форме не пользуется дифференциальными уравнениями и соответст-
вующими им граничными, начальными и другими возможными условиями
единственности решений этих уравнений, но требует достаточно глубокого
понимания сущности явлений, без чего нельзя правильно выбрать основную
систему физических параметров, описывающих явление, и указать, какие из
них в постановке рассматриваемой конкретной задачи являются заданными
наперед, а какие зависящими от них. В основе теории размерности лежит
П-теорема 3).
Само собою разумеется, что возможности метода подобия как при одном,
так и при другом построении, ограничиваются только общими указаниями
относительно зависимостей между переменными параметрами и физическими
константами, но и эти указания в трудных задачах интегрирования дифферен-
циальных уравнений гидродинамики бывают очень полезны. Разыскание
конечных количественных соотношений может быть достигнуто, только
путем интегрирования уравнений движения или использования резуль-
татов эксперимента.
В качестве применения метода подобия, основанного на рассмотрении ■
размерностей входящих в данную задачу величин, приведем следующий
широко распространенный случай. Жидкость плотности рис коэффициентом
динамической вязкости μ течет сквозь горизонтальную цилиндрическую
круглую трубу диаметра d под действием постоянного перепада давлений,
на участке трубы I равного Δρ; при этом сквозь трубу проходит также постоян-
ный секундный объемный расход Q. Оставляя в стороне вопрос о деталях
движения жидкости по трубе — этот вопрос будет разобран в следующем
параграфе для случая ламинарного движения и в гл. IX — для турбулент-
ного,— выясним, какие указания может дать метод подобия относительно
общего вида зависимости между перепадом давлений в трубе Ар (обеспечи-
ваемым работой насоса или напором столба жидкости между резервуаром
и трубой) и секундным объемным расходом сквозь трубу Q.
Возможны две постановки этой задачи:
1) задан потребный расход Q, надо рассчитать необходимый для его полу-
чения перепад давления Ар на заданном участке длины трубы Ζ;
2) задан располагаемый перепад давления Ар на участке трубы длиной I,
требуется определить секундный объемный расход жидкости сквозь трубу Q.
*) Литература по общей теории подобия очень обширна. Помимо только что цитиро-
ванных прикладных руководств, можно рекомендовать монографию Л. И. Седова,
Методы подобия и размерности в механике, «Наука», М-, 1972; в этой книге излагается
общая теория вопроса и, что очень важно, разбираются многочисленные примеры, иллю-
стрирующие применение метода подобия.
2) Этот метод особенно подробно излагается в двух только что цитированных руко-
водствах А. А. Гухмана и Л. И. Седова.
3) Доказательство этой теоремы см. в только что цитированной монографии Л. И. Се-
дова. История возникновения и развития метода размерностей в период с начала XIX ве-
ка (Фурье) до настоящего времени изложена в статье: Н. G б г 11 е г, Zur geschichte des
Π-Theorems, Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech. 55,1975, S. 3—8.

§ 77] ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 373
При решении отвлечемся от действия объемных сил, в данном случае от
тяжести, так как труба расположена горизонтально, и примем во внимание
стационарность задачи. Тогда среди чисел подобия останутся лишь Ей =
= P/(pV2) и Re = Vdh. Примем за масштаб давлений Ρ перепад давлений
на характерной для данной трубы длине — ее диаметре d; этот перепад можно
выразить через заданный перепад Ар на какой-то длине I по формуле
За масштаб скоростей выберем среднюю по сечению трубы скорость течения
жидкости Fcp, определенную очевидным отношением
Q
^ср = ч
4
При таком выборе масштабов числа подобия будут
Ьр d ,_,_ ^cpd
ср
1-- L-itJ ** И—*
В первой постановке (задано Q, подлежит определению Ар на заданном
участке трубы длины I) критерием подобия будет рейнольдсово число Re,
а число Эйлера Ей явится функцией его; тогда, вводя, как это обычно делают,
коэффициент сопротивления трубы λ, согласи· формуле сопротивления
(Ей = λ/2)
будем иметь
X = /(Re).
Опыты многих десятков лет полностью подтвердили правильность этого
соотношения для течения самых различных жидкостей в гладких трубах раз-
ного диаметра, в широком диапазоне секундных объемных расходов, или, что
то же, средних по сечению трубы скоростей. Вопрос о виде функциональной
зависимости / (Re), как уже упоминалось, будет в дальнейшем детально
рассмотрен.
Во второй постановке задается перепад Ρ = — d, но остается неизвест-
ным секундный объемный расход, т. е. средняя по сечению трубы скорость
Vcv. В этом случае среди чисел подобия Ей и Re нет ни одного критерия,
так как обе эти величины содержат в своем составе наперед неизвестную вели-
чину Fcp. В этом случае легко построить критерий, содержащий заданную
величину Ρ = -у- d и не содержащий Vcp = ()/(π^2/4); чтобы исключить из
числа Ей величину Vlv, составим безразмерный комплекс
phpd? pcPAp d
Ей-Re
2_.
μ4 μ2 Ζ
Этот комплекс и будет во второй постановке задачи о подобии играть роль
критерия подобия, а число Рейнольдса Re = Vcpd/v останется просто числом
подобия. Будем иметь в этом случае
__ Vcvd _ ijQ _ , / ρ^Δρ d \
Κβ~~ ν ~ nvd~h { μ2 I ) '
где/х — символ новой функциональной зависимости. Если условиться в обеих
сравниваемых системах под величиной Ар понимать перепад давления на

374 динамика вязкой несжимаемой жидкости Егл. viii
участке длины I = d или кратном d, то предыдущая формула может быть
переписана еще так:
„ nvd , Г Ар I d \2-|
v=-trhl—\~) J·
В качестве другого примера рассмотрим случай нестационарного движе-
ния вязкой несжимаемой жидкости, физические свойства которой характери-
зуются константами ρ и μ, по бесконечно длинной круглой цилиндрической
трубе диаметра d под действием перепада давления Ар, представляющего
некоторую гармоническую функцию с периодом Τ (или частотой N = 1/7)
и амплитудой Р. В этом случае (опускаем действие объемных сил) никакой
характерной скорости не задается и, таким образом, ни одно из чисел подо-
бия Sh, Ей и Re не может быть критерием. Как и в предыдущем случае,
поскольку задается перепад давления (за масштаб давлений можно принять,
например, амплитуду колебаний давления Р) и частота N нестационарного
движения (для простоты рассмотрим только установившиеся вынужденные
колебания жидкости), то критерии подобия составим, комбинируя числа Sh
и Ευ с числом Рейнольдса Re так, чтобы скорость V исключилась. Будем
иметь следующие два критерия подобия:
С D 2 Ρ f Vd \2 ρ , d \2
ou r> Nd Vd Nd*
Sh.Re = -r ~^Τ-·
Число Рейнольдса Re = Vdlx не будет в разбираемом случае критерием
подобия, а определится как функция только что указанных двух критериев
подобия
R.-^=/.re. £(4)2]· <*>
В заключение, не останавливаясь на подробностях, заметим, что число
Фруда, в частном случае силы веса (F — g), равное Fr = V2/(gl), в большин-
стве практических задач движения корабля, так же как и число Рейнольдса,
будет являться критерием подобия. Если при испытании моделей кораблей
в бассейнах пользоваться в качестве жидкости водой, то осуществить строгое
моделирование, требующее одинаковости на модели и в натуре критериев
подобия Fr и Re, оказывается невозможным. Действительно, условия
V2 VI
—j- = idem, —=idem, при g — idem. и ν = idem
приводят к двум условиям
V2
—г- = idem, VI = idem,
т. е. V — idem, I = idem, а это означает, что модель и натура должны совпа-
дать по скорости движения корабля и по его размерам; таким образом, моде-
лирование оказывается невозможным. В практике судостроения моделиро-
вание ведут раздельно: только по критерию Рейнольдса, когда преимуще-
ственное значение имеет сопротивление трения воды об обшивку корабля
и сопротивление давлений, обусловленное формой корабля, независимо от его
положения по отношению к свободной поверхности, где возникают волны
и создается волновое сопротивление, и только по критерию Фруда, если,
наоборот, главное значение приобретает волновое сопротивление.
Возможны случаи, когда в изучаемом явлении никакая характерная
скорость движения жидкости указана быть не может. В этом случае, как
и в предыдущих примерах, можно освободиться от скорости, составляя без-

§ 77] ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 375
размерный комплекс
Fr _ У2 ν2 ν2
Ке2 ~~gT V4* ~"iP"·
Этот комплекс играет роль критерия подобия в вопросах свободной кон-
векции жидкости; обратная величина носит наименование критерия Галилея.
Метод подобия и соображения теории размерностей могут служить не
только для предсказания структуры безразмерных постоянных величин —
чисел и критериев подобия, при помощи которых строятся закономерности,
устанавливаемые после полного решения задачи, но и для упрощения самого
решения. Так, например, из анализа размерностей можно, не решая уравне-
ний, заметить, будет ли задача автомодельной или нет, а это позволяет заранее
уменьшить число независимых переменных в уравнениях в частных произ-
водных, сводя их в случае двух переменных к обыкновенным дифференциаль-
ным уравнениям. Такие примеры приводились в предыдущих главах. В дру-
гих случаях те же простые соображения позволяют до интегрирования
уравнения сделать полезные выводы по поводу общего вида ожидаемого
решения и структуры тех независимых и зависимых переменных, в которых
решение будет выражаться.
В обычных стационарных задачах обтекания, когда известны характер-
ные величины: размер обтекаемого тела L, скорость набегающего потока V
и физические константы жидкости μ и р, предсказание структуры решения
не составляет труда; очевидно, что решение должно иметь вид
— — i ( JL· JL _М р—Ро —р(х у z \
V~!i\L· L> L),^^^, pV2 ~ \L* L' L)
с возможными упрощениями в случае плоского или осесимметричного харак-
тера потока. Но существует много задач, в которых нет такой простой, непо-
средственной постановки. Часто задаются некоторые косвенные величины,
как, например, секундный объемный расход жидкости сквозь сечения трубы
при постановке внутренней задачи протекания жидкости, мощности источни-
ков, схематизирующих подачу жидкости в поток, начальный импульс (секунд-
ное количество движения) струи, распространяющейся в затопленном жидко-
стью пространстве и др. В этих случаях, как уже упоминалось, даже построе-
ние чисел подобия требует дополнительных соображений, не говоря уже
о разыскании структуры самого решения. Следующий простой прием может
при этом оказаться полезным.
Рассматривая размерности величин, указанных при постановке задачи,
построим из них, если это удастся, одночленные комплексы, имеющие размер-
ности длины и скорости, и примем их за искомые масштабы длин и скоростей
L и V. Если же построение таких комплексов из заданных величин окажется
невозможным, то это укажет на необходимость существования безразмерных
комплексов переменных, не содержащих масштабы длин или скоростей.
Последнее соображение позволяет уменьшить число независимых перемен-
ных задачи, сводя их к некоторым комплексам основных переменных,
т. е. убедиться, что искомое решение будет автомодельно. В других случаях
в обсуждении структуры решения большую пользу приносит рассмотрение
граничных и начальных условий.
Поясним сказанное примерами.
Пусть некоторое плоское движение задается секундным объемным расхо-
дом Q на единицу длины и физическими константами μ и р. Примерами таких
течений могут быть радиальное течение в плоском конфузоре (диффузоре)
с прямолинейными стенками, линии сечения которых плоскостью движения
пересекаются в источнике мощности Q, а кроме того разнообразные спирале-

376 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
Р — Ро _ (Р — Ро) I* __ ρ / г
pV2 ρ·ν2 \ L
видные плоские течения г). Замечая, что размерности Q (в плоском движении)
и ν = μ/ρ одинаковы и определяются произведением масштабов скоростей
и длин VL, убеждаемся в невозможности выразить масштабы V и L через Q
и комбинацию ν физических констант μ и р. Это говорит о возможности разыс-
кания автомодельных решений. Пользуясь полярными координатами (г, ε)
и вытекающим из соображений размерности равенством VL — v, V = v/L,
получим (/г, /ε и Ρ — символы неизвестных функций)
■)·
Переписывая эти равенства в впде
убедимся, что для того, чтобы несуществующий в рассматриваемой задаче
масштаб длин L не входил в решение, надо положить (F, G и Ε — новые
неизвестные функции)
'-(-£■ ·)-*-'<·>■ /.(-Ь*)=4-С<*>. Р(-Ь e) = (-r)2£W,
что приведет к следующей структуре решения:
Уг = ^(е), Fe = fG(e), -£^L = (f f Ε (ε).
Легко убедиться, что подстановка этих выражений в систему уравнений
Стокса (25), примененных для частного случая плоского движения (Vz = О,
— = 0] , приведет к системе обыкновенных дифференциальных уравнений,
служащих для определения функций F (ε), G (ε) и Ε (ε). Только что указан-
ная структура решения говорит об его аетомоделъности. Конечно, следует
еще проверить, может ли полученная форма решения удовлетворить постав-
ленным в каждой конкретной задаче граничным условиям. Отметим, что
роль числа Рейнольдса в рассматриваемом классе задач будет играть без-
размерная величина Q/v.
Поставим ту же задачу в случае пространственного движения с заданным
секундным объемным расходом Q и физическими константами μ и р. Теперь
уже Q и ν имеют различную размерность, а именно Q — [VL2], а ν — [VL],
отношение Q/v может быть принято за масштаб длин, a v2/Q — за масштаб
скоростей. Автомодельность в этом случае не имеет места, и решение пред-
ставляется в форме (R, θ, ε — сферические координаты)
VrQ __4 ( vR fl \ VqQ , i vR Й \ VEQ г / vR a \
(Р-Ро)<?*_п/уД fl \
Легко заметить, что решение пространственной задачи будет обладать
свойством автомодельности, если даны: импульс (секундное количество движе-
*) Такой класс плоских движений вязкой несжимаемой жидкости был изучен
Гамелем (G. Η a m е 1, Spiralformige Bewegungen zahen Fliissigkeiten, Jahr.-Ber.
Dtsch. Math. Ver. 25, 1917, S. 34—60) и в дальнейшем обобщен и уточнен рядом
авторов (см. A. Rosenblatt, Solutions exactes des equations du mouvement des liqui-
des visqueux, Memor. Sci. Mathem. 72, 1933).

§ 77] ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 377
ния) источника /, имеющий размерность pV2L2, и физические константы
μ и р, что соответствует, например, распространению струи в жидкости
с теми же физическими константами. Действительно, из равенств
{VL)2 ==^_> yL = v
нельзя определить V и L1). Поэтому, составляя решение в форме (V = v/L)
ν - ν -/л1т"'у>£]' т—т-=г* Ιτ' θ'ε)'
и переписывая его несколько иначе:
заключим, что отсутствие в рассматриваемом классе задач характерного
(составленного из характерных для данного класса задач основных заданных
величин) масштаба длин накладывает на неизвестные функции /л, /θ, /ε, Ρ
требование иметь вид
/R = 4-/i(6, ε), /θ = ^-/2(θ, ε), /e = -£-/„ (θ, ε), Ρ= (^Λ (θ, ε);
при этом структура решения получится следующей:
Ув=-%-ПФ,г), Ve = -jj-/,(e, s), У, = -5-/,(β, ε);
■ ^=(-f)2Pl(e,,).
В этом, достаточно общем случае подстановка выведенных выражений
для сферических компонент скорости и давления в систему уравнений Стокса
(26) не приведет к системе обыкновенных дифференциальных уравнений,
но уменьшит на единицу число независимых переменных в системе уравнений
в частных производных, служащих для определения функций fR, /θ, /ε, P.
Такие решения также заслуживают названия подобных или автомодельных,
так как соответствующие им эпюры величин RVR/v = /α (θ, ε) и т. д. будут
одинаковыми при всех R. При наличии осевой симметрии: УЕ = 0, д/де = О
(случай осесимметричной незакрученной струи) аргумент ε исчезает, реше-
ние задачи приведется к интегрированию системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, и задача станет в обычном смысле слова автомодельной.
Аналогичные рассуждения, проведенные для плоского варианта предыду-
щей задачи, покажут, что в этом случае ([/] = [pV2L], [v] = [VL]) автомо-
дельное™ не будет. В дальнейшем придется еще многократно применять
изложенный прием для упрощения решения разнообразных задач динамики
вязкой жидкости, теории ламинарного и турбулентного пограничного слоя.
г) Из предыдущих двух соотношений сразу следует, что рейнольдсовым числом в этом
случае будет безразмерная постоянная величина у //ρ/ν.

378 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
§ 78. Установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости
по цилиндрическим и призматическим трубам
Одним из наиболее простых случаев движения вязкой несжимаемой
жидкости является так называемое ламинарное (слоистое) движение по
цилиндрической трубе произвольного сечения, при котором линии тока —
прямые линии, параллельные оси трубы.
Как показывают опыты, такое движение осуществляется в цилиндриче-
ских трубах с различными формами сечений, если только число Рейнольдса
не превосходит некоторого определенного критического своего значения,
после чего движение перестает быть ламинарным, частицы жидкости при-
обретают сложные траектории и приводимое в настоящем параграфе реше-
ние теряет свою силу. Практически излагаемые сейчас результаты имеют зна-
чение лишь при движениях с
Ψ PL очень малыми скоростями или
-*-^ -р. в тонких капиллярах, или, на-
&P-S м\ > w I \p конец, при движении очень вяз-
ких жидкостей. Подробнее об
условиях существования лами-
нарного режима течения и яв-
лений перехода его в более
сложный, турбулентный режим
*~рТ ^ будет сказано в начале главы X.
Направим (рис. 154) ось Oz
-*-z
по оси трубы и будем предпола-
Рис. 154. гать трубу бесконечно длинной,
а поток — направленным вдоль
оси трубы, так что из трех компонент скорости (u, v, w) остается лишь одна
w, а остальные две равны нулю. Отвлекаясь от действия объемных сил и
считая поток изотермическим, а следовательно, плотность ρ и коэффициент
вязкости μ постоянными, будем иметь, согласно уравнениям Стокса (22),
систему уравнений
Р дх ' ρ ду *
dZ ρ dz "Γ \ dx* "*" dy* ~T"~dF) » ~dT~U*
Из последнего уравнения этой системы следует, что w представляет функ-
цию только х и у, а из первых двух — что ρ — функция только z. Иными
словами, если провести нормальные к оси трубы сечения, то во всех таких
сечениях распределения скоростей одинаковы, а давление меняется только
от сечения к сечению, сохраняя в данном сечении одинаковое значение.
Такие движения называют установившимися.
[Предыдущая система равенств сводится к одному
/ дЧе , d*w \ dp
μ[δΧ* +~W)--d7' (43)
Левая часть равенства (43) представляет функцию только отжиг/, правая —
только от z; при независимости координат друг от друга это может быть лишь
в случае постоянства левой и правой частей равенства по отдельности.
Введем удобное для дальнейшего обозначение
.§ = const=--££., (44)
где Δρ — постоянное вдоль трубы падение давления на произвольно выбран-
ном участке длины I. r

§ 78] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ТРУБАМ 379
При установившемся движении вязкой жидкости по цилиндрической тру-
бе перепад давления Ар, будучи умножен на площадь сечения St = S2 = S
(рис. 154), играет роль движущей силы Ap-S, уравновешиваемой силами
сопротивлений трения жидкости о поверхность трубы с равнодействующей,
равной \ rw ds-l, где xw (s) — переменное по периметру напряжение трения.
Отсюда непосредственно следует, что давление в цилиндрической трубе
должно уменьшаться вниз по течению, а следовательно, Ар >0. Для трубы
переменного сечения, где движение может быть как ускоренным, так и замед-
ленным, такое заключение сделать нельзя.
В конкретных расчетах перепад давления Ар на участке трубы длины
I либо задается непосредственно, либо может быть выражен через другие
заданные величины: секундный расход жидкости сквозь трубу, среднюю
по сечению или максимальную скорости.
Уравнение (43) сводится к линейному уравнению в частных производных
второго порядка в плоскости Оху
__, d*w , дгю Ар //cs
которое должно быть решено при граничном условии обращения в нуль ско-
рости w на контуре С нормального к оси цилиндра сечения и дополнительным
условием, определяющим либо заданный перепад давления на произвольно
выбранном участке трубы, либо секундный объемный расход сквозь сечение
трубы (или вычисляемую по нему среднюю скорость), либо, наконец, макси-
мальную скорость на оси трубы.
Поставленная задача с математической стороны аналогична извест-
ной задаче теории упругости о кручении призматического стержня г).
В качестве первого наиболее простого примера интегрирования урав-
нения (45) разберем плоское ламинарное движение вязкой несжимаемой жид-
кости между двумя безграничными плоскостями y=±h, которое можно
представить себе как предельный случай течения по призматической трубе
прямоугольного сечения, если одну сторону прямоугольника сохранять
равной 2h, а другую устремить к бесконечности. В этом смысле рассматри-
ваемое движение может быть названо течением жидкости сквозь «плоскую»
трубу. В данном случае координата х исчезает, и уравнение (45) сведется
к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка
d2w _Δρ^
~W~ "μΓ'
(46)
и его интеграл при граничных условиях w = О при у = ± h будет
W-
Распределение скоростей представляется параболой второго порядка.
Максимальная скорость штах достигается в плоскости симметрии потока
(у = 0) и равна
1 Δρ-fe2 //,о\
Вычисляя секундный объемный расход, отнесенный к единице длины
в направлении Ох, перпендикулярном к плоскости, параллельно которой
г) См., например, Η. Χ. Α ρ у τ ю н я н, Б. Л. Абрамян, Кручение упругих
тел, Физматгиз, М.. 1963.

380 динамика вязкой несжимаемой жидкости (гл. viir
происходит движение жидкости, найдем
<?-Ι»*-τ-τ· <49>
откуда определится средняя по сечению скорость
Q 1 Ap.h* 2 ,гПЧ
«'cP = -g-=y-j5-=T"w ( ]
Можно отметить существенное обстоятельство: при данном, определяемом
мощностью и конструкцией насоса перепаде давления на участке плоской
трубы выбранной длины расход пропорционален кубу расстояния между
плоскостями, т. е. резко уменьшается с уменьшением этого расстояния
и, наоборот, резко увеличивается с его увеличением. Если задаться потреб-
ным расходом, то необходимый для его обеспечения перепад давлений,
приводящий жидкость в д ижение, будет меняться обратно пропорцио-
нально кубу ширины щели между плоскостями. Как далее будет показано,
этот факт еще усиливается при переходе к трубе круглого сечения, где
расход пропорционален четвертой степени диаметра трубы.
Вводя коэффициент сопротивления λ движению жидкости сквозь щель
между плоскостями при помощи формулы
аналогичной (41), и используя в левой ее части выражение ДрЛ через wcp,
согласно (50), получим закон сопротивления для плоской трубы
, 24 D »οΡ2Α
λ = -^ , где Re = ——. (52)
Аналогичное движение будет происходить в «плоском» длинном лотке,
у которого ширина днища во много раз больше высоты лотка (глубины
потока), если лоток наклонить. Благодаря наличию свободной поверхности,
вдоль которой давление постоянно (оно равно атмосферному давлению
в открытом лотке), продольного перепада давления в потоке не будет, т. е.
dp/dz = 0; поперечный перепад давления будет гидростатическим, одина-
ковым во всех сечениях.
Если лоток наклонен к горизонту под некоторым углом а, то роль
объемной силы будет играть вектор ускорения силы тяжести. Проекция
его на ось Oz, направленную, как и ранее, по потоку, в данном случае под
углом α к горизонту будет, очевидно, равна Fz = g since, так что уравне-
ние движения жидкости в направлении оси Oz будет иметь вид
. d2w n
или (pg = y — удельный вес жидкости)
__=_A_Sina. (53)
■
Граничные условия будут определяться «прилипанием» жидкости к
днищу лотка и отсутствием трения на свободной поверхности; обозначая
глубину потока через h, получим граничные условия (ось Oz расположена
вдоль днища)
w=0 при г/ = 0, -^-==0 при y = h. (54)

§ 78] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ТРУБАМ 381
Сравнивая уравнение (53) с (46), видим, что свободное движение в
лотке будет определяться тем же уравнением, что и напорное движение в
плоской трубе, если положить
Ар/1 = pg sin α = γ sin α.
Интегрирование уравнения (53) при граничных условиях (54) дает
γ sin α /07 .
откуда следует, что и в этом случае профилем скоростей будет служить
парабола второго порядка. Приводим формулы секундного объемного рас-
хода, средней и максимальной скоростей:
^ γ/г3 sin а Q у№ sin α у№ sin a 3
V_ 3μ ' W<V—— 3μ ' W™™~ 2μ" -^ТШср·
Рассмотрим течение сквозь цилиндрическую трубу эллиптического
сечения. Если сечение трубы представляет эллипс с полуосями а и Ь, урав-
нение которого в плоскости Оху будет
х2 а2-\-у2/Ь2 = 1,
то решение уравнения (45), удовлетворяющее граничному условию обра-
щения в нуль на контуре сечения, будет
где, согласно уравнению (45), постоянная А определится из условия
и будет равна
. Δρ a?b2
~2μΓ а.2+Ъ2 '
Таким образом, получим распределение скоростей в сечении эллип-
тической трубы в виде
Δρ а2Ь2 /. ж2 у2 \ /с:сх
w ж-^пИ1-^--И· (56)
Эпюрой векторов скорости, проведенных из точек данного сечения трубы,
будет служить поверхность эллиптического параболоида, кривыми одина-
ковой по величине скорости — изотахами — подобные друг другу эллипсы
(с одинаковым отношением полуосей).
Из распределения скоростей (56) найдем максимальную по сечению
скорость на оси эллиптической трубы
_ Δρ а2Ь2 ,c-7v
"Wx— 2μΙ а? + Ъ* , \°')
после чего распределение скоростей может быть переписано в виде
H> = H>max(l—J"-fr)· (58)
Определим секундный объемный расход жидкости Q сквозь сечение
эллиптической трубы. Имеем
Q= J J wdxdy = wmax^ (l—J- — ^dxdy.
*s s
Положим для упрощения вычислений
z-ax', y=by', r' = Vx'2 + y'2.

382 динауика вязкой несжимаемой жидкости [гл. viii
Тогда интеграл по' площади эллипса сведется к интегралу по площади S'
единичного круга и будет равен
1
Q = wmnab Г j (1 - х'2—у'2) dx' dy' = wmaxab J (1 - r'2) 2π/ dr' = -J- abwmax.
S' 0
По (57) получим
0 = Y^few = -p^rp^-. (59)
Среднюю скорость шср определим как отношение секундного объемного
расхода Q к площади сечения трубы S = nab; получим, согласно (59),
_ Q __ 1 _ Ар а*Ь* ,fify.
Отметим, что в отличие от плоской трубы в эллиптической трубе сред-
няя скорость равна половине максимальной. Эта закономерность сохраняет-
ся и в частном случае цилиндрической трубы круглого сечения.
Полагая в предыдущих формулах Ъ = а, получим основные формулы
ламинарного течения сквозь цилиндрическую трубу круглого сечения.
Распределение скоростей (58) примет вид (о — радиус трубы, ж2 + у2 =
= г2)
K>=Wmax(l—^), (61)
где по (57)
^шах = -£4^- = 2шср. (62)
Эпюрой скорости в этом случае является параболоид вращения с мери-
дианным сечением в виде параболы (61), называемой обычно параболой
Пуазейля по имени французского врача и физиолога, исследовавшего
законы движения крови по капиллярным сосудам и опубликовавшего резуль-
таты своих работ в докладах Парижской Академии наук в 1840 г.
Секундный объемный расход по (59) равен
и выражает известный закон Пуазейля: при установившемся ламинарном
движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую трубу
круглого сечения секундный объемный расход пропорционален перепаду дав-
ления на единицу длины трубы и четвертой степени ее радиуса (или диа-
метра). В формулировке закона Пуазейля подчеркнуто, что движение
установившееся. Под этим понимается наличие одинакового распреде-
ления скоростей во всех сечениях трубы. Такой характер движения дости-
гается в части трубы, достаточно удаленной от входа в нее. Наоборот, в
начальном участке трубы, расположенном за входом, движение неуста-
новившееся, и закон Пуазейля несправедлив.
Отметим вновь существенную особенность течения: потребный для
получения заданного расхода сквозь трубы разного диаметра перепад дав-
ления обратно пропорционален четвертой степени диаметра трубы (напом-
ним, что в случае плоской трубы этот перепад был обратно пропорционален
третьей степени ширины зазора между плоскостями). Это обстоятельство
имеет важное значение в вопросах прогонки жидкостей сквозь трубы мало-
го диаметра (например, капиллярные трубки, капиллярные кровеносные
сосуды и т. п.), а также в случаях движения очень вязких жидкостей.

§ 78] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ТРУБАМ 383
Определим, подобно тому как это было ранее сделано для плоской
трубы, коэффициент сопротивления λ круглой трубы формулой
Δ,-^-=£-. (64)
Тогда, выражая Ар чере
[ий следующий закон с
труб:
d 2
Тогда, выражая Ар через wcp по (62), получим после простых при-
ведений следующий закон сопротивления для цилиндрических круглых
7 64 r> WcVd /СКч
X = lte> где Re = ^^· (65>
Подставляя это выражение λ через Re в (64), убедимся, что в случае
ламинарного потока сопротивление круглой трубы, так же как и плоской,
пропорционально первой степени средней скорости движения жидкости
сквозь трубу. Формула сопротивления (64) только внешне имеет вид квад-
ратичной зависимости от средней скорости. Истинная зависимость от ско-
рости определяется лишь на основании закона сопротивления (65), выво-
димого из уравнения движения жидкости.
Формула (65) останется верна и для эллиптической трубы, если под ее
эффективным диаметром понимать длину d, квадрат которой представляет
среднюю гармоническую от квадратов большой и малой осей эллипса
1 _ 1 Г 1 1 η 1 да+ьа
в чем легко убедиться, подставляя в (64) выражение из (60).
Распределение скоростей (61) в цилиндрической трубе круглого сече-
ния можно получить и непосредственно, заменив в левой части уравнения
(45) лапласиан его выражением в полярных координатах (III. 18). Будем
иметь
7Г('Т)-^ <66>
Интегрируя, найдем общее решение
™=—$Ггг + С11пг + С2. (67)
Из условия ограниченности скорости на оси трубы при г = 0 следует,
что Сг = 0; вторая постоянная найдется из условия
w = 0 при г = а,
что приведет к параболическому профилю скоростей (61). Решение (67)
представляет большую общность, чем ранее приведенное (61). Так, напри-
мер, пользуясь равенством (67), получим распределение скоростей в облас-
ти между двумя соосными круглыми цилиндрами радиусов о и 6> а. Под-
чиняя решение (67) граничным условиям
w = 0 при г = а и г — Ь,
получим распределение скоростей в сечении
а также формулы расхода и средней скорости
^-^1ГГ Ш (Ь/α) J- W°v- 8μΙ 1° +β In (Ь/α) J · {™}
Приемом, аналогичным использованному при составлении решения
(55) для цилиндрической труфы эллиптического сечения, удается постро-

384
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. VIII
ить решение для призматической трубы, сечением которой служит рав-
носторонний треугольник. Направляя ось Ох по основанию треуголь-
ника, а ось Оу — по высоте, будем иметь уравнения прямых, образующих
стороны треугольника {а — сторона): у = 0 (основание), у = —-~— ± УЪ x
(боковые стороны).
Составляя обращающееся в нуль на контуре сечения треугольной
трубы произведение
y^y_V3x-±^l)(y+V3x-^l),
убедимся, что лапласиан в плоскости (х, у) от этого произведения равен
постоянной величине (—2а]/г3): следовательно, искомое решение будет
w = —
2
^у{,1-Уъ-Ц<){,+Уъ-Ц<).
Секундный объемный расход сквозь сечение треугольной трубы и сред-
няя по сечению скорость равны
п _ а* УЪ Ар __ а2 Ар
Ч~ 320 μΙ ' ww— 80 μΙ ·
Коэффициент сопротивления λ в формуле
Λ 7 1 Кр
будет, как и в предыдущих примерах, обратно пропорционален рейнольд-
сову числу
, 160 ,.. »срв
Используя разложения в бесконечные ряды, можно решить задачу
о протекании несжимаемой вязкой жидкости сквозь трубу прямоугольного
сечения. Обозначим высоту прямоугольника, параллельную оси Оу, через
2/i, а основание, параллельное оси Ох, — через 2%h, где κ — любая поло-
жительная постоянная. Ось Oz, как и ранее, проведем через центр прямо-
угольника и направим вниз по потоку.
Преобразуем уравнение (45) к безразмерному виду, приняв за масштаб
длин высоту h, а за масштаб скоростей — имеющую размерность скорости
величину — · — . Введем следующие обозначения для новых безразмер-
ных переменных ξ, η и w*:
I = x/h, η = y/h, w* = ΙρμΙ/φ? Ар). х (70)
Подставляя в (45), составим безразмерные уравнения и граничные
условия
~W + ~drf'=z'~1' I (71)
w* = 0 при ξ=±κ, |η|<1 и при η=±1, |ξ| <κ. J
Для решения этого уравнения воспользуемся известным рядом Фурье
если |f|<1,
оо (Я
ς££—-^—{"Г·
_ „.-,-. . , С72)
п=о I 0, если |i| = l.

§ 78] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ТРУБАМ 385
Тогда уравнение (71) можно представить в виде (| ξ | < κ)
π 2j
n=0
(~l)n
2/z + l
cos
I 2 ~W·
Решение этого уравнения естественно искать в форме ряда
(73)
(74)
тг=0
в котором, согласно (72), первое граничное условие системы (71) уже выпол-
нено.
Подставляя разложение (74) в уравнение (73) и приравнивая коэф-
фициенты при косинусах с одинаковыми аргументами, получим систему
обыкновенных дифференциальных уравнений (штрих означает производ-
ную по η)
v„_/2n±i_n\2 4 (-1)» л
Ιη \ 2 κ / * η η 2η+1 · Ι
Γη = 0πρπη = ±1 (ге = 0, 1, .-.)· >
Общие решения этих уравнений можно представить в виде
(75)
(76)
где постоянные Ап определяются путем непосредственной подстановки
выражения (76) в уравнение (75) и оказываются равными
( —1)"2
κ 16κ2 ( — 1)"
А
п= ' 2п+1 iTw
(·
■)·
π3 (2п+1)3 '
(77)
2 κ
а постоянные Вп и Сп находятся из граничных условий (75), т. е. из систе-
мы уравнений
2п-{-1 л \ , г _и( 2п+1 π
±)+Сп&(-
Вп Ch ( 2 ^1 -г -п =« V —2
,-, , / 2п4-1 π \ п , / 2л+1 π \
Α..
Таким образом, найдем
Вп =
Лт
ch
/ 2w-t-l π \
I 2 х |
, С„ = 0 (п = 0, 1, ...),
(78)
где числа 4П уже определены равенствами (77). Возвращаясь к (74), най
дем искомое решение в безразмерной форме
(—2 к Ч)
W
2j (2n
(-1)"
16κ2
яз 2л (2и+1)3
п=0
chl
ch(>±li)
COS
I 2 ;rfeJ
(79)
и в размерной
16κ2 /г2Др
w-
2л (2п
(-1)г
μΖ ^U (2n + l)3
?г=0
ch
1 —■
/ 2п + 1 яу \
I 2 κΑ /
(
2n-\-l η
)
4^5-)· <80>
25 Л. Г. Лойцянскай

386 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
Опуская простые вычисления, заметим, что секундный объемный рас-
ход Q и средняя по сечению скорость шср будут определяться равенствами
(параметр κ > 1 представляет отношение ширины прямоугольного сече-
ния Ъаь к его высоте 2h)
^ - ^μΤ Ш 7 W' "^ _ fctfc» _ 16μΖ
... 16 1024 /Χ, πκ . 1 ., 3πκ , \
/(κ) =_____ (th_ + _th-T- +.·.), J
7 (κ),
3 π5κ
а функция / (κ) имеет следующие значения
(81)
κ
/(х)
1
2,253
2
3,664
3
4,203
5
4,665
10
5,000
12
5,059
100
5,299
οο
5,333
Относя расход Q к ширине трубы 2yih, т. е. вводя величину Q' =
= Ql(2vh) и после этого переходя в выражениях Q' и wcv к пределу при κ->-οο,
найдем по последнему столбцу таблицы
8μΙ
8μΙ
3 μΙ
ср
Δ/Λ2 16 1 Aph2
16μΖ 3
μΙ
в полном соответствии с] формулами (50) для плоской трубы. Полагая в
соотношениях (80) и (81) κ = 1, получим решение задачи о течении несжи-
маемой вязкой жидкости по призматической трубе квадратного сечения.
Вводя, как и ранее, коэффициент сопротивления λ формулой
Αρ = λ
ри>;
ср
2Λ
и выражая в левой части Ар через wCp по второму равенству системы (81),
найдем после простых приведений закон сопротивления призматических
труб прямоугольного сечения
•k-^-JL·. Вг- W^2k /RON
А- Re /(κ) ' Ке~~ · (82)
Переходя к пределу κ—>-оо, получим вновь закон сопротивления плос-
кой трубы (52), а при κ = 1, по только что приведенной табличке, и за-
кон сопротивления трубы квадратного сечения.
Для приближенной оценки сопротивления цилиндрических или призма-
тических труб сложного фигурного профиля применяют прием сравнения
сопротивлений этих труб с эквивалентной им по сопротивлению трубой
круглого сечения, у которой за радиус (или диаметр) принимается так
называемый «гидравлический» радиус гГ (или диаметр dr = 2r,), равный
отношению площади нормального сечения S трубы (рис. 154) к периметру
Ρ сечения:
rr = ±-dr = SIP.
Прием этот очень груб и имеет смысл только, если у сравниваемых
труб сечения геометрически близки друг к другу.
Чтобы пояснить смысл этого приема, установим сначала связь между
перепадом давления Ар на некотором, произвольно выбранном участке
трубы I и суммарным трением по внутренней, как говорят, «смоченной»
поверхности этой трубы. Примем во внимание, что, как указывалось в
начале параграфа, движение жидкости во всех сечениях одинаково. Это

§ 78] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ТРУБАМ 387
соответствует равновесию объема жидкости, ограниченного двумя сечениями
(рис. 154) S± = S2 = S трубы, находящимися друг от друга на расстоянии
I, и боковой поверхностью трубы, равной произведению периметра сечения
Ρ на длину участка I. Условием равновесия служит очевидное равенство
(ти, — переменное по периметру сечения напряжение трения, ds — диф-
ферепциал дуги периметра)
5Δρ= ^Twds-l = P-L I Twds-l = PTwl,
ρ ρ
где xw означает среднее по периметру напряжение трения xw. Отсюда,
используя введенное понятие гидравлического радиуса, получим
тш=-^гг, (83)
т. е. среднее по периметру цилиндрической {призматической) трубы напря-
жение трения равно перепаду давления на участке трубы длиной в гидрав-
лический радиус.
В частном случае плоской трубы с расстоянием между параллельными
плоскостями 2h будем иметь на единицу длины в поперечном к потоку и
параллельном плоскостям направлении
S = 2/i-l, Ρ = 2 -1, гг = SIP = h, dr = 2h;
в круглой трубе радиуса а —
S = πα2, Ρ = 2πα, rr = α/2, dr = a.
Напряжение трения tw в круглой трубе совпадает по величине
с перепадом давления на участке длиной в полрадиуса трубы, т. е.
Ар а 1 Δρ , _
Tw==-TT=T-rd- (ОД
Аналогично для напряжения трения τ на проведенной внутри круглой
трубы коаксиальной цилиндрической поверхности произвольного радиу-
са г будет
Ар г
следовательно, деля обе части последних равенств одно на другое, получим
соотношение (у — расстояние поверхности от стенки трубы)
т = т^ = тш(1—1-), (85)
выражающее линейность связи между напряжением трения, приложенным
к площадке, перпендикулярной к вектору-радиусу любой точки некоторого
сечения относительно центра сечения, и величиной этого радиуса-вектора.
Равенства (84) и (85) неоднократно будут в дальнейшем применяться. Подчерк-
нем, что при выводе соотношения (83) никак не использовалась ламинарностъ
движения и свойственная этому режиму эпюра скоростей. Соотношение (83)
может быть применено и к турбулентному движению жидкости по цилиндри-
ческой (призматической) трубе произвольной формы сечения, точно так же
как равенства (84) и (85) — к ламинарному и турбулентному движениям
в цилиндрической трубе круглого сечения и в плоской трубе.
Более того, эти равенства, выражающие баланс движущего жидкость
перепада давления с тормозящим движение сопротивлением трения, могут
применяться к движениям любых сплошных сред по цилиндрическим трубам,
в частности, к движениям неньютоновских жидкостей. Простейший пример
такого движения составит содержание следующего параграфа.
25*

388 динамика вязкой несжимаемой жидкости [гл. уш
§ 79. Установившееся движение неньютоновской вязкопластической
жидкости по цилиндрической трубе кругового сечения
Рассмотрим установившееся (равномерное) ламинарное движение по
цилиндрической трубе кругового сечения вязкопластической жидкости,
реологическое уравнение течения которой, согласно помещенному в начале
§ 75 равенству (14), представим в форме (г — текущий радиус точки, а —
радиус трубы)
dw f , ° при τ0<τ<τ„„ Ι
\ 0 при τ^τ0. J
Напомним, что в этом равенстве τ — напряжение трения в любой точке
сечения трубы, приложенное к площадке, перпендикулярной к радиусу
трубы, τ0 — характерное для данной вязкопластической жидкости предель-
ное напряжение, после достижения которого только и начинается течение
вязкопластической жидкости; μ' — динамический коэффициент структурной
(пластической) вязкости.
В связи с тем, что границы применимости реологического закона (86)
указаны в величинах τ, для облегчения интегрирования этого равенства
полезно принять в качестве аргумента само напряжение т. С этой целью,
пользуясь равенством (85) предыдущего параграфа, перепишем (86) в виде
tw dw J
α ατ 1
dr dx dr α ατ \ г, * '
0 , τ = τ0.
Несложное интегрирование при выполнении очевидного граничного
условия
w = О при τ = %w
приведет к следующей связи скорости с напряжением трения в той же точке:
w= <
2 (88)
Twa (. Τη \ * .
4μ'Ζ
α,
(89)
Напряжение %w может быть выражено по (84) через заданный перепад
давления Δρ на участке длиной I. Уравнение (88) дает следующую эпюру
скоростей (г0 = -т-^)"·
ς α^Δρ Г, г* У*±(л г\-|
j 4μ'Ζ L «2 abp \ W _Γ Γ° ^'
Как видно, эпюра скоростей состоит частью из поверхности параболоида
вращения (от стенки трубы до цилиндрической поверхности радиуса г0),
а частью из плоской площадки, перпендикулярной к оси трубы (в централь-
ной части трубы, внутри только что указанной цилиндрической поверхности)
(рис. 155). В этой центральной части трубы вязкопластическая жидкость
движется, как твердый стержень. При Δρ/Ζ < 2τ0/α такой «твердый стержень»
заполнит все сечение трубы и по свойству «прилипания» вязкой жидкости
ас твердой поверхности жидкость останется неподвижной.

§ 79] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПО ТРУБЕ КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ 389
Если в равенствах (89) положить г0 = 0, что соответствует τ0 = О,
т. е. перейти к обычной ньютоновской вязкой жидкости, то эпюра скоростей
приведется к известному уже параболоиду вращения, а плоская площадка
исчезнет.
Рис. 155.
Имея эпюру скоростей, легко определить секундный объемный расход Q
вязкопластической жидкости сквозь сечение трубы. Вычисление Q можно
проще всего осуществить, переходя в интеграле расхода
а а а а
Q= \ 2ziwrdr = zi \ wd (г2) = л [г2г^]°—π \ rz—r-dr — —π I r2--—dr
0 0 0 0
от независимой переменной г к τ по формуле (85). Будем иметь, воспользо-
вавшись реологическим законом (86),
το
Заменяя здесь xw его выражением через Δρ по (84), получим формулу
Букингэма
п ncfiAp Г. 4 / 2τ0Ζ \ 1 / 2х01 \4т па*Ар , Ι 2τ01 \ (Щ.
При τ0 = 0 и μ' = μ вернемся к известной уже формуле Пуазейля (63).
Средняя по сечению скорость wcp по (91) будет равна
_ Q _ а*Ар Г, 4 / 2τ01 \ 1 / 2τ01 ΠΙ
ср ~ па? — 8μ'Ζ L 3 \ аАр ) "·" 3 V аАр J J
_ d2Ap , / 4τ01 \ _ d2Ap , ( τ0 \
~ 32μ'1 T \ dAp ) 32a'l S \ %w )
(92)
Используем ту же формулу сопротивления (64), что и для ньютоновской
вязкой жидкости. К сожалению, в данном случае равенство (92) относительно
Ар просто разрешено быть не может. Поэтому применим следующий прием.
Из (92) следует
*-£['(&)П *·■
pwCpd
(93)

390 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
с другой стороны, из (92) можно определить рейнольдсово число
pd?Ap , Ι 4τ0Ζ \ 1 рй2То
or>_ Prf3AP W^\_l pdH0 , / 4τ0Ζ \ ш ν
Κβ 32μ'2Ζ ' \ dAp ) ~ 8 μ'2 И \ dAp ) '
32μ'2Ζ
4τ0Ζ
dAp
4τ0Ζ
8 μ':
4τ0Ζ
(94)
/ / 4τ0Ζ\ ,/4τ0Ζ\ |/4τ0Ζ \
,1\ dAp ) Μ dAp ^/ \ dAp I
Безразмерное число ρ<Ρτ0/μ'2 не содержит Δρ. Оно характеризует вязко-
пластические свойства жидкости. Совокупность равенств
„ 64 Г / 4V\-]-i _ 1 pdH0 , / 4τ0Ζ \
можно рассматривать как параметрическое [роль параметра играет величина
4τ0Ζ/(^Δρ)] выражение закона сопротивления вязкопластических жидкостей
движению в трубах. Исключая из последней системы равенств параметр
4τ0£/(^Δ/>), получим
λ Re
64
ΜΛ μ' )'
откуда следует общий вид закона
сопротивления движению вязко-
пластических жидкостей по трубам
круглого сечения
64
Re
Re =
\ μ «Op /
pwcpd
(95)
Таким образом, в теории подо-
бия течений вязкопластических
жидкостей по круглым цилиндри-
ческим трубам имеют место два
критерия подобия:
1) число Рейнольдса
Re
pwcvd
Рис. 156.
характеризующее влияние струк-
турной вязкости и
2) так называемый «параметр пластичности»
T0d
П'=
μ'κ>0ρ '
определяющий эффект пластичности жидкости.
Указанные критерии могли бы быть заменены и другими, представляю-
щими различные их комбинации *).
На рис. 156 представлен закон сопротивления (95) в логарифмическом
масштабе. Закон представлен в координатах (lg Re, lg λ) в виде семейства
параллельных прямых с параметром П. Значению Π = 0 соответствует ниж-
няя прямая, выражающая обычную закономерность λ = 64 Re для нормаль-
ной вязкой жидкости. Прямые семейства опираются своими нижними кон-
цами на кривую, отвечающую переходу ламинарного движения обычной
вязкой жидкости в турбулентное.
*) См. ранее уже цитированную монографию: У. Л.
новскпе жидкости, перев. с англ., «Мир», М., 1964.
У и л к и н с о н, Неныото-

§ 80] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ 391
§ 80. Установившееся движение электропроводной вязкой жидкости
по призматическим трубам при наличии поперечного магнитного поля
В современных металлургических процессах широко применяют управ-
ление движением жидких металлов по трубам и каналам при помощи внеш-
них, постоянных или переменных магнитных полей. Возникающие при этом
смешанные гидродинамические и электромагнитные проблемы входят в срав-
нительно новую область механики жидкости и газа, носящую наименование
магнитной гидродинамики (МГД) ').
Ограничимся разбором случая стационарного движения несжимаемой
жидкости, имеющей постоянный коэффициент электропроводности и находя-
щейся под действием внешнего стационарного однородного магнитного поля.
Будем пренебрегать наличием в жидкости свободных электрических зарядов.
Магнитную проницаемость (общепринятое обозначение μ, которое уместно
сохранить в настоящем параграфе, не следует смешивать с обозначением
динамического коэффициента вязкости; приходится для последнего пользо-
ваться выражением произведения ρν плотности жидкости ρ на кинематиче-
ский коэффициент вязкости ν) будем считать одинаковой, для всех жидкостей
и твердых границ, приравнивая ее значению μ0 в пустоте. Отвлечемся,
наконец, от действия всех объемных сил, кроме пондеромоторной силы (силы
Лоренца) / X В, где / — плотность электрического тока, возникающего
в движущейся со скоростью V электропроводной жидкости с коэффициентом
электропроводности σ за счет местного электрического поля с напряжением Ε
и магнитного поля с магнитной индукцией В, определяемая обобщенным
законом Ома
j = a(E + VxB). (96)
При принятых упрощениях подлежащая рассмотрению система уравнений
МГД сводится к следующей:
p(F.V) F= —gradp + pvVaV + /X#; divF=0;
miB = \i0j, divl? = 0; rotJ£ = 0, div£ = 0,
причем к ней должен быть присоединен закон Ома (96).
Основной особенностью магнитогидродинамических исследований
является тот факт, что по самому существу явлений оказывается совершенно
недостаточным пользоваться обычными уравнениями движения жидкости,
добавляя лишь к действующим чисто механическим объемным силам пондеро-
моторную силу Лоренца (гл. II, § 11), выражающую действие внешнего
магнитного поля на движущуюся электропроводную жидкость. На самом
деле изучению подлежит значительно более сложное явление взаимодействия
магнитного поля с потоком жидкости в условиях, когда твердые границы
потока в зависимости от своей электропроводности сами влияют на магнитное
поле в области течения жидкости.
С математической стороны, это означает, что нельзя рассматривать урав-
нения движения жидкости (уравнения Стокса и уравнение неразрывности)
отдельно от уравнений электромагнитного поля (уравнений Максвелла).
Уравнения движения только в очень упрощенной постановке можно считать
*) Основы электродинамики, знание которых необходимо для понимания содержа-
ния настоящего параграфа, а также более широкое изложение этих вопросов см. в книге:
А. Б. В а т а ж и н, Г. А. Любимов, С. Α. Ρ е г и ρ е р, Магнитогидродинамиче-
ские течения в каналах, «Наука», М., 1970. В главе XIII курса Г. Н. Абрамовича,
Прикладная газовая динамика, «Наука», М-, 1976, можно найти краткое изложение
необходимых для дальнейшего сведений в этой области.
(97)

392 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
«автономными», допускающими самостоятельное интегрирование отдельно
от общих уравнений электродинамики сплошных сред.
Переходя к вопросу о граничных условиях, соответствующих возможным
стационарным задачам, заметим, что они состоят из известных уже по пре-
дыдущему гидродинамических условий («прилипание» жидкости к поверхности
обтекаемых тел, условия на бесконечности и др.) и специфических электро-
магнитных условий на границах жидкой и твердой фазы (например, стенки
трубы), а также твердой фазы и внешней области (газ, пустота).
Рассмотрим магнитогидродинамическое обобщение изложенной ранее
в § 78 задачи о движении несжимаемой вязкой жидкости по цилиндрическим
(призматическим) трубам на случай электропроводной жидкости и наличия
поперечного к направлению потока жидкости однородного магнитного поля.
Теоретические и экспериментальные работы в этом направлении много-
численны х). Начало им было положено в известной работе Гартмана2).
Воспользуемся тем же расположением осей координат относительно
трубы, что и на рис. 154. Неизвестными величинами в разбираемой задаче
являются: поле скоростей V, электрическое напряжение JE и магнитная
индукция В. Покажем, что в рассматриваемом случае бесконечно длинной
трубы постоянного сечения со стенками из однородного материала и постоян-
ной толщины б, которую будем считать малой по сравнению с размерами
сечения трубы, решение задачи можно свести к определению двух функций
Vz = w (х, у) и Вz — В (х, у), а электрическое поле Ε из уравнений
исключить.
Так же как и в ранее рассмотренной в § 78 чисто гидродинамической
задаче, из условия равноправности сечений в бесконечно длинной трубе
с постоянными геометрическими параметрами сечений следует, что все рас-
пределения механических и физических величин будут зависеть только от
координат х и у в плоскости сечения трубы. Исключением является давление,
уменьшающееся вдоль трубы по линейному закону, но перепад давления на
участке фиксированной длины также сохраняет свою величину вдоль трубы.
В этих условиях электрический ток вдоль трубы невозможен, так что, соглас-
но (96), при и = 0 и ν = 0 будет
U = cEz = 0; и = 0, Ег = 0,
т. е. индуцированные токи располагаются в плоскостях нормальных сечений
трубы, а индуцированная составляющая магнитного поля по закону Био—
Савара направлена по оси Ог. Принимая во внимание наличие одно-
г) С. Α. Ρ е г и ρ е р, О течении электропроводящей жидкости в присутствии маг-
нитного поля по трубам произвольного профиля, Прикл. матем. и мех. 24, № 3, 1960,
541—542; Я. С. У φ л я н д, Установившееся течение электропроводной жидкости в пря-
моугольном канале нри наличии поперечного магнитного поля, Шурн. техн. физ. 30, в.
10, 1960; Г. Α. Γ ρ и н б е ρ г, Об установившемся течении проводящей жидкости в пря-
моугольной трубе с двумя непроводящими стенками и двумя проводящими, параллельными
внешнему магнитному полю, Прикл. матем. и мех. 25,1961, 1024—1034, а также «О некото-
рых случаях течения проводящей жидкости по трубам прямоугольного сечения, находя-
щимся в магнитном поле», там же, 26,1962,80—87; А. Г. К у л и к о в с к и и, Г. А. Л Го-
би м о в, Магнитная гидродинамика, Физматгиз, М., 1962, стр. 56—58; J. A. S h e τ-
ο 1 i f f, Steady motion of conducting fluids in pipes under transverse magnetic fields,
Proc. Cambridge Phil. Soc. 49, № 1,1953,136—144; С h i e h С Chang, T. S. Lund-
g г e n, Duct flow in magnetohydrodynamics, Zeitschr. angew. Mathem. u. Physik. XII,
1961, 100—114; D. M. S 1 о a n, P. Smith. Magnetohydrodynamic flow in a rectangular
pipe between conducting plates, Zeitschr. Angew. Mathem. u. Mech. 7, 1966, 439—443;
J.C.R. Hunt, Magnetohydrodynamic flow in rectangular ducts, J. Fluid Mech. 21, 4, 1965,
577—590.
2) J. Η a r t m a n n, Hg-Dynamics. 1. Theory of the laminar flow of an electrically
conductive liquid in a homogenous magnetic field, Mat.-Fys. medd. Kgl. Danske Vis. sen-
kab. 15, № 6, 1937.

§ 80] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ 393
родного внешнего поперечного магнитного поля с компонентами (О, Β0, 0)
и условие соленоидальиости магнитного поля, выражаемое в данном случае
равенством div В = dBJdz = 0, заключим *), что суммарные компоненты
магнитного поля будут равны
Вх = 0, Ву = В0 = const, Bz = В (х, у).
При этом, как легко заключить из первого электродинамического урав-
нения системы (97), величину Β/μ0 можно рассматривать как «функцию
тока» (см. § 39) плоского поля векторов / (jx, jy), так что
дВ . дБ /Гло.
Мо/х = -^-. Pfl/B=—и"· (98)
Возвращаясь к первому динамическому уравнению системы (97) — урав-
нению Стокса,— перепишем его в проекциях на оси координат в виде
др__ -- р, 1_ ЯдВ_ \
дх ']У г ' μ0 дх '
(99)
Заметим, что первые два из этих уравнений приводятся к равенствам
д
дх
(*+&)-<>■ i ('+£)-<>·
выражающим, что сумма ρ + 52/2μ0 является функцией только z. Вспоминая,
что по предыдущему В зависит только от х и у, заключим, что dpldz представ-
ляет функцию только z. Но тогда из последнего равенства системы (99),
в котором левая часть — функция только от z, а правая — только от х и у,
следует, что каждая из этих частей в отдельности равна постоянной; пред-
ставим, как и раньше, эту постоянную в виде
др Ар
-^- — const = т-
dz I
(д2 о5 \
уравнение движения жидкости в трубе
■"**+-Й~5- -TF- <Ш>
Второе уравнение можно найти, применяя операцию rot к левой и правой
частям уравнения (96), что позволит освободиться от электрического поля Е,
а затем составляя проекцию обеих частей полученного уравнения на ось Oz.
Имеем, используя первое уравнение второй строки (97) и (Ш.9),
rot j = ~ rot rot В = — grad divfi — — V2B = — V2B, rot Ε — 0,
J μο μο μο μο
rot (V х В) = (B-W) V— (V-S7) B + VuivB — B div F= (β·ν) V— (V.V) β;
проектируя на ось Oz, получим второе искомое уравнение
ν2£ + σμ0β0 — -0, (101)
выражающее структуру магнитного поля в движущейся жидкости.
*) В изложении общей части задачи о движении электропроводной жидкости сквозь
цилиндрическую (призматическую) трубу любого сечения и плоскую трубу использованы
только что цитированные работы Шерклифа, Чанга и Лундгрена.

394 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
Выделим в плоскости Оху следующие три области (рис. 157):
1) область Sx внутри трубы, в которой должно быть произведено инте-
грирование системы уравнений (100) и (101);
2) тонкую (толщину обозначим через б) область S2, занятую твердыми
стенками трубы; в этой области и> = 0 и для определения функции В доста-
точно проинтегрировать уравнение Лапласа
S7ZB = 0 (102)
и, наконец,
3) внешнюю по отношению к трубе область S3, заполненную непроводя-
щей электричество средой (σ = 0), в которой /х = jy = 0, а, следовательно,
по первому из электродинамических уравнений
с| в этой области будет
rot В = 0, ^-=^ = 0, Вг = const.
"^ Но в бесконечном удалении от трубы маг-
нитное поле направлено параллельно оси Оу,
следовательно, Bz = В = 0 во всей области S3.
Обозначим через Сх и С2 границы, отделяю-
щие iS"j от S2 и S2 от S3, и условимся обозначать
индексами 1, 2 и 3 величины В ω а, соответству-
ющие областям Slt S2 и <S3. Перейдем в состав-
ленных уравнениях к безразмерным величинам, положив (а — некоторая
характерная длина, I — длина, на которой задан перепад давления Δρ)
х αξ, y-αη, " = -£-^"·, Β = ψ *> Ш'^*' (ЮЗ)
Тогда получим безразмерную систему уравнений в области Sl
di* + dxf +на дт] J' ^I^ + ^Tj^ + Ha-^f-u> 11υ*>
где безразмерное число
\р
называют числом Гартмана.
Во второй области (S2) будем иметь уравнение Лапласа
В третьей (Ss), как уже указывалось, будет
w = 0, Щ = 0.
Обратимся к составлению граничных условий на границах Сг и С2
раздела областей.
Кроме очевидного гидродинамического условия
w = 0 (на Сх),
совпадающего с обычным условием гидродинамической задачи (§ 78), и зада-
ния перепада давления Δρ на участке I или секундного объемного расхода Q
(средней скорости wcp), должны быть еще составлены электродинамические
граничные условия, которые выводятся из условий сопряжения (непрерыв-
ности) значений касательной составляющей Et на контуре и величины В.
На контуре Сг, являющемся общей границей областей St и S2, скорость
w = 0; поэтому, кроме условия ВЛ = В2, будем еще, согласно условию непре-
На = Б0а(-^)1/2 (105)

§ 80] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ 395
рывности {Et)x ~ {Et)2 и закону Ома (96), иметь условие (jja^ — (/*/σ)2-
Это условие легко выразить через условие сопряжения нормальных произ-
водных от функции В, если, пользуясь (98), произвести в предыдущем условии
сопряжения замену jt = (1/μ0) (дВ/дп). Тогда будем иметь следующую окон-
чательную форму условия сопряжения на границе Сг (по сделанному ранее
предположению, магнитная проницаемость μ0 во всех областях одинакова)
1 dBj __ 1 дВ2
0j дп σ2 дп
(107)
На контуре С2 в силу непрерывности В будем иметь В2 — В3 — 0.
Чтобы упростить задачу с выведенными только что условиями сопряже-
ния на границах областей, воспользуемся принятой малостью отношения
толщины области S2 — толщины стенки трубы б — к характерному размеру
а области Sj_. Пренебрегая в области S2 кривизной стенок трубы, можем при-
нять в качестве приближенного решения уравнения Лапласа (106) для В2
линейную функцию, т. е. положить в области S»
а на границе Ct, где В2 = В,,
дВ2 _ п а
дВ? г, а
—г— -В^
дп 1 fi
Такое допущение будет строгим для случая плоской трубы с любой тол-
щиной стенок, а в принятом приближении справедливо лишь в локальном
смысле (см. далее случай плоской трубы).
Таким образом, согласно (107), примем следующую приближенную
систему граничных условий в безразмерных координатах
и>* = 0, i?L + -EL=0 (на С±), £* = 0(паС2), (108)
где использовано обозначение
ф-Йг- (109>
Если σ2 = 0, что соответствует случаю, когда стенкой трубы служит
изолятор, то φ = 0 и, следовательно, по (108) на контуре Сх будет В\ = 0.
В этом случае задача упрощается и сводится к решению совокупности диффе-
ренциальных уравнений (104) при гр- ьнчпых условиях
w* = 0, Щ = 0 (на Q.
В противоположном случае (σ2 = то), когда стенки трубы обладают
абсолютной проводимостью, коэффициент φ = то и граничные условия для
системы уравнений (104) будут
w* = 0, дВ\1дп = 0 (на Сх).
Приведенная только что постановка задачи о движении вязкой, несжи-
маемой и электропроводной жидкости по цилиндрической (призматической)
трубе с произвольной формой сечения является достаточно общей, так как,
наряду с гидродинамической общностью, в ней содержится еще возможность
произвольного задания величины φ, характеризующей сравнительную элек-
трическую проводимость жидкости и стенок трубы.
Рассмотрим в качестве иллюстрации наиболее простую из возможных
задач, для которой, как сейчас станет ясным, предыдущая постановка являет-
ся вполне строгой.— задачу о движении электропроводной жидкости в пло-
ской трубе.

396
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
1ГЛ. VIII
Расположим, как и в § 78, безграничные плоскости, представляющие
стенки трубы, перпендикулярно к оси Оу, а тем самым и перпендикулярно
к внешнему однородному магнитному полю, на расстояниях -±h от плоскости
симметрии трубы Oxz. Тогда искомые величины не будут зависеть от х или,
в безразмерных переменных, от ξ. При этом из уравнения (106) можно будет
заключить о строгой линейности функции В\ по переменной η.
Уравнения (104) сведутся к системе двух обыкновенных уравнений вто-
рого порядка с постоянны »ш коэффициентами
^*.На-^=-1, igI + Ha^ = 0, (HO)
drf ~ dt] ' drf ' ' '" dr\
которые должны быть решены при граничных условиях (за характерную
длину а примем половину расстояния между плоскими стенками трубы, рав-
ную h)
ы;* = 0, ^.±^- = 0 при η=±1. (Ill)
Искомое решение будет
,»·_ 1 Ф+1 l~1 ch(Har]) 1 л
На Наф+thHa L ch На J' I
д*_ η , 1 Ф+1 sh(Ha^ f (1 2>
На "^ На Hacp+thHa ch Ha · >
Первое решение этой задачи, относящееся к частному случаю непрово-
дящей стенки (φ = 0), было дано в 1937 г. Гартманом (см. ранее цитирован-
ную его статью). Им же был впервые отмечен основной эффект наличия попе-
речного к потоку магнитного поля: с ростом магнитной индукции В0, точнее,
числа Гартмана, определенного равенством (105), профили скоростей в сече-
ниях плоской трубы становятся все более пологими, или, как иногда говорят,
«заполненными».
Вычислим среднюю скорость по сечению и?ср. Прежде всего определим
секундный объемный расход
h 1
ρ= j Wdy = ~^^f^ w*dx\.
-к -i
Подставляя сюда значение w* по первому из равенств (112), найдем
п 2fe3 Др φ + l Ha-thHa Жоч
• v vp I Ha2 Наф+thHa · ^ '
Сравним это выражение с соответствующим ему при φ = 0 и На = 0
выражением (49) § 78. Заметив, что
thHa = Ha—^-На3+...,
убедимся, что раскрытие неопределенности приводит к (49). Из форму-
лы (ИЗ) определим искомую среднюю скорость
ν, - Q - h2 Др φ+1 Ha~thHa ,n
"7°Ρ~2Λ~νρ Ι На2 Наф-hthHa · ^^>
Отсюда найдем безразмерную скорость
w - На \л сЬ(Нал)-] ..„
шср Ha-thHa L chHa J· (llD)
Отметим, что w/wcv не зависит от φ, г. е. от проводимости стенок.
На рис. 158, где по оси ординат отложено отношение размерной скорости w

§ 80]
УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ 397
расстояниеΤ ητ пСге™/Начению »ср, а по оси абсцисс - безразмерное
вли™ nonl^n n РУбЫ' ШКа3аН пР°Ф«Рмулированный ранее эффект
ηηη™οΞΡτ^^ ШЛЯ Η& Ф°РМУ ПР°Филей СК°Р°СТИ
^™ ™ ™ РУ ЭффеКТ' не зависяЩий, как только что было пока-
зано от проводимости стенок, называют эффектом Гартмана.
ся в ο7^Ζ°ΙΤ7' ЧТ° ПРИ На "** ° Профюш с«оростей (115) превращают-
UJi * паРаболу второго порядка (47); отношение wjw*m которое
ZZ π? Μ ΘΤ <ШОЛНОту>> "Рофилей, равно ·/, при На = 0 и стремится к еди-
нице при На -+ оо, что соответствует однородному профилю по всему сече-
нию, исключая пристеночную область толщины 1/На.
Введем, как и в случае отсутствия магнитного поля, формулу сопротив-
ления в виде *
Δρ = λ
I P">;
ср
2k
(R.
wcp2fe
)
Подставляя в левую часть значение Ар из (114), после простых сокра-
щении найдем закон сопротивления для движения электропроводной жидко-
сти в плоской трубе, расположенной в по-
перечном млгнитном поле U5
a___g На2 Hacp+thHa
Re φ+1 На —thHa
(116)
Предельный переход при На -»- 0 приво-
дит к закону сопротивления (52) при отсут-
ствии магнитного поля
(^)на=0 = К '■
2А
Re
ω
швр
ЬО
0,5
Отношение
_L^J_^jjg?. Наф+thHa
λ0 3 φ+l На —thHa
(117)
О
*i
ψ
I
Υ\
Ha=tf
tia=2
Ηα*Λ7
На=5й
Ю
0,5
О
Рис. 158.
представляет функцию φ и На, график кото-
рой показан на рис. 159. Можно заметить,
что отношение λ/λ0 совпадает с обратным
отношением Q0/Q, где Q0 = (0На=о.
Некоторые детали анализа распределения плотности электрического тока
можно найти в ранее процитированной работе Чанга и Лундгрена.
Никаких принципиальных трудностей по сравнению со случаем непро-
водящей жидкости (§ 78) не представляет рассмотрение потока проводящей
жидкости в призматической трубе прямоугольного сечения.
В более поздней работе Слоана и Смита х) рассматривается (рис 160)
движение электропроводной жидкости (коэффициент электропроводности σΧ)
в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, по каналу прямо-
угольного сечения S1 между двумя плоскими проводящими стенками (коэф-
фициент электропроводности σ2), перпендикулярными к оси Оу, вдоль кото-
рои направлено внешнее однородное магнитное поле с индукцией В0. Толщи-
на проводящих стенок может считаться конечной, имеющей тот же порядок
что и высота канала 2h, и равной (д - 1) h. Две другие стенки непрово-
дящие. v
hot,„Ql) D' ^* 3 l ° ? ?' Р~ f1^1 *,Ь' Magnetohydrodynamic flow in a rectangular pipe
between conducting plates, Zeitschr. f. angew. Mathem. u. Mech. 46, 1966, 439-443.

398
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. VIII
При сохранении выбора безразмерных величин (103) задача сведется
к необходимости интегрирования системы дифференциальных уравнений (104)
и (106) при граничных условиях
w* = 0 при ξ=±κ, |η|<1 и т] = ±1, |1|<Х
Bf = 0 при ξ=±κ, |η|<1,
Щ = 0 при |=±κ, Κ|η|<9 и η = ±1, |ξ|<κ,
θ£*
= σ<
дВ%
t BX = В% при η = ± 1 и 111 < κ.
(118)
Следуя тому же методу, что и изложенный в § 78 для течения непро-
водящей жидкости по призматической трубе прямоугольного профиля в
δ 10 /δ
Рис. 159.
го
S,
'/ О
■x-Zh
ш
Ш
νλ
kqh
h I
t t \J t
Рис. 160.
отсутствие магнитного поля, будем искать решение уравнений (104) и (106)
в форме рядов Фурье
оо
">*= Σ /nOOcosKI),
тг=0
В* = 2 £nOl)cQs(fln£),
п=0
Σ &п (Л) cos (β„ξ), 1 < η < g,
Β%=·
n=0
Σ δ„(η)οοδ(βη|), — 9<τ]< — 1,
η=0
где положено
α"={η+τ)^'
граничные условия по ξ уже выполнены.
Используя еще, как и ранее в § 78, разложение
(119)
(120)
1=-4 5fefrcos(«ni) при |||<κ
п=0

§ 80] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ 399
и подставляя его и ряды (119) в уравнения (104) и (106),'получим, приравнивая
коэффициенты при косинусах с одинаковыми аргументами, следующую
систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
с постоянными коэффициентами (штрих — производная по η):
1"n — a2nfn-\-На g'n =
4 (—1)"
h"
gn—«ngn + Ha/n = 0;
с граничными условиями
hn = 0 при η = i
/n = 0, gn = hn, Gzgn = GtK
/n = 0, gn = Sn, Gzgn^GiSn
sn = 0 при η =—д.
при
при
η=1,
η=—1,
(121)
(122)
Не останавливаясь на деталях решения этой сравнительно простой
с математической стороны задачи, приведем в окончательной форме выраже-
ния для безразмерных скорости iv* и магнитной индукции поля В* в обла-
сти Sx течения жидкости
w
п=0
*η = Σ
( —1)"2 и Dn сЬа^ — ЕпсЬ^ц
xal \ Dn ch я„ — En ch β
OO
n ( —1)*2 Ensbf,nr\ — Dnshant\
^ ) cos anl,
η I
v.ai
n=0
Dnch.an — £nchpn;
cos anl;
здесь положено
Dn = σ4βη sh βη — σ2βη th [αη (1 — q)\ ch βη,
En = σ4βη sh an — σ2αη th [an (1 — g)] ch an,
«„, β„ = γ(-Η&±^Η&2 + 4α")·
Удовольствуемся указанием общего вида решения, отсылая интересую-
щихся подробностями к ранее цитированной статье Слоана и Смита.
Эффективность примененного для построения только что указанного
решения метода Фурье зависит от быстроты сходимости рядов. Получение
численных результатов требует достаточно быстрой сходимости этих рядов
в интересующих практику интервалах изменения числа Гартмана и других
физических параметров, характерных для отдельных конкретных задач.
При очень больших значениях числа Гартмана могут быть построены спе-
циальные асимптотические решения.
Следует заметить, что метод Фурье не является единственным методом
решения задач этого рода. В работах Г. А. Гринберга г) путем применения
метода функций Грина выводятся интегральные уравнения, численные реше-
ния которых могут проводиться при помощи последовательных приближе-
ний. Вопрос об эффективности метода, конечно, и в этом случае решается
рассмотрением быстроты сходимости приближений.
*) См. ранее цитированные две работы этого автора.

400 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
§ 81. Пульсирующее ламинарное движение вязкой жидкости
по круглой цилиндрической трубе
Задача о нестационарном движении вязкой жидкости по цилиндриче-
ской трубе круглого сечения уже давно привлекала внимание исследовате-
лей. Простейший случай этой задачи в 1879 г. рассмотрел еще Гельмгольц *).
В общей постановке для любых начальных условий и заданного закона зави-
симости перепада давлений в трубе от времени задача была систематически
исследована в сочинении казанского профессора И. С. Громека, относящемся
к 1882 г. 2). Частные случаи той же задачи были разобраны различными
авторами 3).
В настоящем параграфе изложено решение задачи об установившемся
пульсирующем движении вязкой жидкости в круглой трубе под действием
гармонически изменяющегося со временем перепада давления.
Уравнение нестационарного ламинарного движения по трубе круглого
сечения получим из (22), полагая и = ν = 0 и Fx = Fy = Fz = 0. Сохраним
в третьем уравнении системы (22) член dwldt, характеризующий нестацио-
нарность, и примем во внимание уравнение неразрывности. Тогда, как
и в случае стационарного движения, получим dwldz = 0. Третье уравнение
системы (22) сведется к виду
dw _2 1 др
vV2itf= —r--3-,
причем левая часть зависит только от х, у и t.
Замечая, что из первых двух уравнений (22) следует др/дх = др/ду = 0,
заключим о независимости давления, а следовательно, и всей правой части
от х и у. Это означает, что dpldz является функцией только времени. Полагая
-■£-'»
и выражая лапласиан в цилиндрических координатах, придем к следующей
форме уравнения нестационарного ламинарного движения вязкой жидкости
в цилиндрической трубе круглого сечения [см. (25)]
dw / дЧи , 1 dw \ 1 , ... .,„,.
Уравнение это надо интегрировать при граничном условии
w = 0 при г = а (124)
и начальном условии (в случае осесимметричного движения)
w = w0 (г) при t = 0. (125)
В качестве примера рассмотрим установившееся пульсирующее движе-
ние, соответствующее гармоническому закону изменения перепада давления
в трубе
/ (t) = pA cos ω£.
1) Η. Η е 1 m h о 11 z, Über electrische Grenzschichten, Ann. d. Phvs. u. Chem.
7, 1879, 337—382.
2) И. С. Г р о м е к а, К теории движения жидкости в узких цилиндрических труб-
ках, Ученые записки Казанского ун-та, 1882, а также Соб. соч., Изд. АН СССР, 1952,
стр. 149—171.
3) P.Szymanski, Quelques solutions exactes des equations de l'hydrodynamique
de fluide visqueux dans un tube cylindrique, Journ. de Mathem. 11, 1932, 67 107;
А. И. Л у р ь е, Операционное исчисление, ОНТИ, 1935, стр. 205—209; П. Л я м б о с и',
Вынужденные колебания несжимаемой вязкой жидкости в жесткой горизонтальной трубе,
в сб. «Механика», вып. 3, ИЛ, М., 1953, стр. 67—77.

§ 81]
ПУЛЬСИРУЮЩЕЕ ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
401
Начальное условие при этом теряет свое значение, остается лишь граничное
условие (124). Положив
w (г, t) = φ (г, t) + A sin ω« (126)
и введя вместо t новую переменную τ = vt, перепишем уравнение (123) в виде
соответственно преобразуем граничное условие (124)
φ (α, τ)=—^-sin-^-τ. (128)
Уравнение (127) относится к параболическому типу и совпадает с урав-
нением теплопроводности. Поставленная задача эквивалентна задаче рас-
пространения тепла в бесконечном цилиндре, на поверхности которого тем-
пература пульсирует со временем по закону (128).
Составим частное решение уравнения (127) в форме произведения функ-
ций от г и τ
φ = R (r) e~i%x, (129)
где λ — пока неопределенная, но действительная величина. Подставляя
в (127), получим для определения R (г) обыкновенное линейное уравнение
второго порядка
**.+!«.+ад=о. (130)
Частное решение его, конечное при г = 0 (на оси трубы), будет1)
R (г) = J0 (г УЩ = Ьег (г VI) — i bei (r VI). (131)
Здесь J0 (х Vi) — бесселева функция нулевого порядка от комплексно-
го аргумента, а действительные функции Кельвина Ьег (х) и bei (x) представ-
ляют действительную и взятую с обратным знаком мнимую части /0 (х Vi)
(Re — действительная часть, 1ш — мнимая часть)
Ьег (ж) = Re/0 (ат уТ) - 1 х* ' х*
XV 0 = ii—
2Ч2 ~ 2242628г
Xе . ж1»
22 224262 i 22426282102
(132)
Вводя комплексную постоянную интегрирования В — iC, составим
общее решение уравнения (127) в виде действительной части выражения
φ (г, -r) = Re {{В — iC) [Ьег (г ]/!) — i bei (г ]Λλ)] (οοβλτ —*£υηλτ)) =
= В [Ьег (г |Λλ) cos λτ — bei (r ]/"λ) sin λτ] —
— С [bei (r ]Λλ) cos λτ + Ьег (г ]Λλ) sin λτ]. (133)
Подставляя это выражение в граничное условие (128), приравнивая
аргументы тригонометрических функций и коэффициенты при одинако-
вых тригонометрических функциях, получим систему уравнений для
*) См., например, Э. Грей и Г. Б. Мэтьюз, Функции Бесселя и их приложе-
ния в физике и механике, ИЛ, М., 1949, стр. 39; применяемая нами формула (131) легко
выводится из формулы (64) цитируемой страницы курса переходом от функции 10 к /0
от соответствующего аргумента. Таблицы функций Ьег (х) и bei (х) можно найти в книге:
Е. Я н к е и Ф. Э м д е, Таблицы функций, Гостехиздат, М., 1948.
26 л. Г. Лойцянский

402
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. VIII
определения λ и констант В и С
ЯЬег(а}/-£)-СМ (α J/-2-) =0,
Bw(«/f) + Ctar(./|)-4·
Вычисляя константы, найдем
J5=-
ω
ω
)
ber^(fl|/ JJL)+bei»(e}/
(134)
Возвращаясь к переменной f = τ/ν и подставляя полученное значение
φ (г, τ) из (133) в (126), окончательно получим следующее выражение для
искомого распределения скоростей:
w (г, t)
ω
sin coi -f-
bei (, /Z) ber (r |/^)-b, (. /|) bei ( r /|)
coscof
(135)
Входящие сюда функции затабулированы, так что вычисление эпюр
скоростей в различные моменты времени не составляет труда.
Чтобы дать некоторое представление о характере изменения эпюр ско-
ростей со временем, приводим на рис. 161 заимствованные из ранее проци-
тированной статьи Лямбоси
эпюры скоростей в указанные
на оси абсцисс моменты вре-
мени для значений параметра
-30° О' 30'
а |/^ = 2,849 и 7,237,
являющихся корнями функции
Ьег (а У ω/ν), что облегчает вы-
числения по формуле (135).
Судя по этим кривым, убедимся,
что при рассмотренных колебаниях в трубе возникают обратные токи.
Наблюдается также опережение слоев, расположенных вблизи оси трубы,
пристеночными слоями.
WW О' 30' 60' 90' 120450480"
Cut
Рис. 161.

§ 82] ОБТЕКАНИЕ ШАРА ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА 403
Решение задачи о приведении в движение покоящейся в круглой цилин-
дрической трубе вязкой жидкости под действием внезапно приложенного
заданного постоянного перепада давления можно найти в монографии
Н. А. Слезкина х).
В правой части уравнения (123) в этом случае надо заменить
Δρ
/ (t) = const =
I
а начальное и граничное условия будут
w = 0 при t = 0, w = 0 при г = а.
Решение этой задачи сводится к рядам, содержащим бесселевы функции.
Отсылая за выводом к только что цитированной монографии, приведем фор-
мулу распределения скоростей
"(г, «) = «»$.
В этой формуле λΗ
1--3—8 2«р(.
корни уравнения
/о (λ*) = 0,
νλ|* ν /·(**£)
а
а
λ|Λ(λ,0
а /0 и /х — бесселевы функции нулевого и первого порядка. Первые два сла-
гаемых в квадратной скобке выражают установившееся (при t —»- оо) движе-
ние и соответствуют ранее уже полученной параболе Пуазейля (61).
Приведем еще формулу секундного объемного расхода
Q =
πα*Δρ
8μΖ
1-
оо
-32 2
ft=l
exp
(
vXjji
a?
К
-)
—
§ 82. Обтекание шара при малых значениях числа Рейнольдса;
формула Стокса
Получение в предыдущих параграфах точных решений уравнений Стокса
сравнительно простыми математическими средствами было обусловлено линей-
ностью основных уравнений, которая
следовала из предположения о пря-
молинейности линий тока в цилин-
дрических (призматических) трубах
и одинаковости сечений вдоль трубы.
Решение задач внешнего обтекания
тел вязкой жидкостью требует ре-
шения нелинейных уравнений, при-
чем нелинейность заключена в стоя-
щем в левой части уравнения инер-
ционном члене, выражающем конвек-
тивную часть ускорения. Откидыва-
ние этого члена или замена его при-
ближенным линейным выражением рис- \§2.
приводит к линеаризации уравнений
Стокса.
Простейшим примером такой линеаризации может служить классическая
задача Стокса о медленном стационарном обтекании шара; под этим
*) Н. А. С л е з к и н, Динамика вязкой несжимаемой жидкости, Гостехиздат, М.,
1955, стр. 322—326.
26*

404 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
понимают такое обтекание, при котором основное значение придается
силам трения и давлений, а инерционные члены откидываются.
Обозначим скорость однородного потока на бесконечности через FTO,
а радиус шара через а. Направим основную ось Ох (рис. 162) сферической
системы координат (R, θ, ε) параллельно вектору Vca. Пренебрегая объем-
ными силами и инерционными членами, приведем уравнение Стокса (27)
к виду
grad ρ + μ rot Ω = 0,
Q = rotV, divF
i = 0, )
= o. ) (136>
Исключим давление ρ, для чего к обеим частям первого из уравнений систе-
мы (136) применим операцию вихря. Получим
rot rot Ω = 0. (137)
Замечая, что благодаря осевой симметрии обтекания вихревые линии
представляют окружности в плоскостях, перпендикулярных к оси Ох, с цен-
трами на этой оси, заключим о наличии у вектора вихря лишь одной состав-
ляющей Ωβ, которую для краткости обозначим просто Ω, включая в это обо-
значение знаки +; составляющие ΩΗ и Ωθ, очевидно, равны нулю, так как
вихрь вектора направлен по касательной к вихревой линии. В силу той же
симметрии имеем
~ = 0, Ω = Ω(/?,Θ).
Вспоминая (III. 19), будем иметь выражения компонент вихря вектора
в сферической системе координат
и, повторяя ту же операцию,
rotR (rot Ω) = 0, rote (rot Ω) = 0,
rote (rot Ω) = A- -±. (R rote Ω) - ± JL (rotR Ω)
J-[-R±-li™Ll i д Г * д Ю ■ ml
dR L П R—dR~\—R-dQ 1л1шТЖ(Й8Ше)] =
L^iST Ж (Ω sin θ)] ·
1 d2(RQ) 1 д
R dR* 7?2 dQ
Таким образом, уравнение (137), если обе его части спроектировать на
оси сферической системы координат, сведется к одному уравнению
ρ 84RQ) , д Г 1 д . η π
решение которого Ω (R, θ) можно пока подчинить лишь одному граничному
условию
Ω -^ 0 при R ->■ оо. (139)
Разыскивая решение уравнения (138) в виде произведения двух функций
Ρ (R) и θ (θ), каждая из которых зависит лишь от одной переменной, подста-
вим значение Ω = Ρ (R) Θ (θ) в уравнение (138); получим
В силу независимости координат Лив, левая и правая части этого равен-
ства должны быть порознь постоянными; отсюда следует (ее — произвольная

§ 82] ОБТЕКАНИЕ ШАРА ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА 405
постоянная)
Используя произвол в выборе постоянной, подберем ее так, чтобы второе
из только что полученных уравнений имело соответствующее по смыслу зада-
чи периодическое решение. Заметим, что при а = 2 уравнение это имеет
очевидное решение
Θ (0) = sin θ,
а первое уравнение системы превращается в
^ [АР(Я)] = АР (Я);
легко видеть, что единственное решение последнего уравнения, удовлетво-
ряющее условию обращения в нуль при R -> оо, будет const//?2. Обозначая
константу через А, получим искомое решение для вихря Ω в виде
Ω-^-. (140)
Обратимся теперь к задаче разыскания сферических составляющих ско-
рости Ун и Ve (составляющая VB = 0 в силу симметрии обтекания); имеем
для их определения два уравнения: 1) уравнение (140), которое, пользуясь
выражением вихря скорости Ω через составляющие скорости в сферических
координатах VR и Ve, можно переписать в форме
1 d(RVe) 1 dVB _ A sin θ ,141.
R dR R дв ~ R2 '
и 2) уравнение несжимаемости в сферических координатах (при VR = 0)
1 d(R2VR) 1 g(F6sin6) _п ,,,2λ
R2 dR "t" R sin θ δθ Κ '
Систему уравнений (141) и (142) надо решить при граничных условиях
VR = 0, Ve = 0 при R
VR = £/«, cos θ, Ve = — Uсо sin θ при R
— a, 1
<143>
= oo. J
Принимая во внимание эти граничные условия, будем искать решение
в виде
F„=(t/oo + 2 -^-)«*θ, Γβ=(-#-+2 ^r)sme, (144)
fc=l h=l
где число п считаем неопределенным. Подставляя выражения (144) в урав-
нения (141) и (142) и приравнивая коэффициенты при одинаковых тригономе-
трических функциях, получим равенства
Σ [λ* + (1 - *) К] &~к = А, Σ 1(2 - к) lh + 2Xk] R^ = 0.
В силу произвольности величины R будем иметь при к=\
1 λ - 4
1 1
Xi = -i4, Xj-f-2A1 = 0, Aj =—й-λ/j =—ξ" '
а при /с> 1
λΛ + (1-Α:)λ,; = 0, (2-*)λΛ + 2Α; = 0.

406 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
Последняя однородная система имеет решения, отличные от нуля, только
при равенстве нулю определителя системы
2 — (1 — к) (2 — к) = 0.
Корни этого уравнения: к = 0 и к = 3, причем первый отбрасывается,
так как к^\. Отсюда следует равенство
1
все остальные Xh и Х'к тождественно равны нулю.
Возвращаясь теперь к (144), составляем общие выражения скоростей
VR=(U~ + ±+^)cosQ, Fe=(-27.—4+^-) sin 6;
подчиняя эти скорости граничным условиям (143), получим два уравнения
для определения коэффициентов А и λ3:
А , λ^_ τ τ ___ _А_ . %з
аз — u°°t 2α "г" 2оЗ
Найдем
А n~dUcOi Λ3 "у" & U οο·
Окончательно получим следующие выражения компонент скорости в сфе-
рической системе координат:
'-"■['-тт+тЙ']»*
F,—P.[l-^-|(i.)']-neJ
(145)
Выделяя из полученных выражений составляющие скорости на беско-
нечности: Uоо cos θ и (—Uoa sin θ), получим составляющие скорости возму-
щения шаром безграничной вязкой жидкости
•Ti—р-[4тг-т(тг),]"в· **-1Чттг+т(тг),]"»в·
Отметим, что в отличие от обтекания шара идеальной жидкостью, где
порядок скоростей возмущения был 1/Д3, в вязкой жидкости имеет место
возмущение, убывающее при удалении от шара лишь как IIR.
Распределение завихренности определится по (140) в виде
Ω=_3 t/0 sint)
2 —со RS .
Остается найти распределение давления в потоке и трение на поверхности
шара, а затем и полное сопротивление шара. Из первого уравнения (136)
имеем
grad ρ = —μ rot Ω,
или в сферических координатах
1 dp 1 д 1Т>г\к 3 ,7 sin θ
R dQ r R dR \ > ~~ 2 ^ °° R3 ■
Эта система уравнений в полных дифференциалах легко интегрируется
и дает искомое выражение давления
3 ,, cos θ .
р= —γμο^οο-^—\-poo-,

§ 821 ОБТЕКАНИЕ ШАРА ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА 407
тогда, составляя по предыдущему коэффициент давления, получим
с _ Р~Р°° _ 3μ cos6 6 cos θ Μ/Π
Ρ ±ot/2 ~ PUoca (Я/а)* "~ "Re" (R/a)* ' ^ '
где под Re подразумевается характерное для обтекания шара число Рейнольд-
са (d = 2а — диаметр шара)
□ _ pi7ood _ г/cod
μ iv
Отметим характерные отличия распределений давлений при медленном
обтекании шара вязкой жидкостью от обтекания его идеальной жидкостью:
1) в идеальной жидкости коэффициент давления на поверхности зависит
только от относительного расположения точки (угла Θ), в которой давление
определяется, и не зависит от размеров тела, скорости и плотности жидкости;
в вязкой жидкости коэффициент давления является функцией числа Рейнолъд-
са обтекания, т. е. зависит от абсолютного размера тела, от скорости, плот-
ности и вязкости жидкости;
2) распределение давления по поверхности шара не симметрично отно-
сительно миделевой плоскости, так что главный вектор сил давления при
обтекании шара вязкой жидкостью отличен от нуля (парадокс Даламбера
не имеет места);
3) коэффициент давления в критических точках не равен единице;
он зависит от числа Рейнольдса и имеет разные знаки в передней и задней
критических точках; в миделевом сечении (θ = π/2) давление на поверхности
шара равно давлению в невозмущенном потоке, а максимальное разрежение
достигается в задней критической точке.
Касательная составляющая напряжения трения на поверхности шара
тяе будет равна, согласно (13),
/ dVe , 1 dVR Ve \ I dVe \ 3 Uco ■ a
Взяв на поверхности шара поясок (на рис. 162 показанный штриховкой)
с площадью 2πα sin θ -a dQ = 2πα2 sin θ dQ, умножим на эту площадь напря-
жение трения τΕΘ и давление р; полученные таким образом элементарные
силы спроектируем на ось Ох и просуммируем по всей поверхности шара
(от θ = 0 до θ = π). Тогда получим проекцию на направление скорости
набегающего потока силы сопротивления движению тела в вязкой жидкости,
приложенную к телу со стороны жидкости, в виде
Wx= f (— τΕθ sin θ — ρ cos θ) · 2πα2 sin θ сЮ = 3πμα£/«> \ sin6d6—6πμα?7οο. (147)
Jo ο
Это выражение силы сопротивления называют формулой Стокса.
Полученное решение пригодно лишь при очень малых значениях числа
Re — -^Ξ . Это следует из того, что отношение величин откинутых инер-
V
ционных членов к членам, характеризующим силы трения, имеет порядок
рейнольдсова числа. Действительно,
ΡI (У-v) ν I _ pulo . μυ^ _ Re#
μ I rot ΩI d d2
Можно вообще утверждать, что число Re служит мерой сравнительной
роли инерционных и вязкостных членов в уравнениях движения. Чем меньше
число Re, тем больше роль сил вязкости в рассматриваем· м движении.

408 динамика вязкой несжимаемой жидкости [гл. viii
Переходя в формуле (147) от силы сопротивления к коэффициенту сопро-
тивления сх, будем иметь
Wx _ βημαυ™ _ 24_ (148>
Сх-~Г~~2 ~~ 1 „г 2~Re· { '
-tr- pUcona2 -γ- pUocna*
Более точные теории Озеена и Озеена — Голдстейна дают для коэффи-
циента сопротивления вместо (148) разложение в ряд по степеням числа Re,
принимаемого малым,
, _JMl+-Re — Re2-i- )
C*-1^l1+16Ke 1280Κθ ' ··)■
Сохраняя только первый член ряда, получим решение Стокса; два члена
дают формулу Озеена
'* = ■£(*+■&**)·
Как видно из прилагаемой таблицы, опытные значения коэффициента
сопротивления сх движению шарика в вязкой жидкости при Re <С 0,73 пре-
вышают теоретические значения, а при Re ~ 1,5 продолжают превышать сх,
Re
0,0531
0,2437
0,7277
1,493
сх
Стоке
451,2
98,5
32,98
16,07
Оаеен Опыт
465,5
103,1
38,23
22,32
476,6
109,6
38,82
19,40
рассчитанный по Стоксу, но становятся меньше, чем сх по Озеену. Вообще
можно заметить, что при Re порядка нескольких единиц как формула Озеена,
так и уточненная формула Озеена — Голдстейна становятся неудовлетво-
рительными. Объясняется это тем, что с возрастанием числа Re в кормовой
области шара (так же как и других «плохо обтекаемых» тел) образуются слож-
ные нестационарные явления типа тех автоколебаний, о которых уже была
речь в § 77. Заметим в заключение, что формулу Стокса (147) можно практи-
чески применять только в случаях очень малых (порядка 10~2) значений чисел
Рейнольдса (пыль и мелкие дождевые капли в атмосфере, падение мелких
шариков в очень вязких жидкостях и т. п.).
В настоящее время благодаря широкому распространению численных
методов интегрирования дифференциальных уравнений (как обыкновенных,
так и в частных производных), обеспечиваемых наличием электронных вычис-
лительных машин, интерес к приближенным методам интегрирования нели-
нейных уравнений Стокса, основанным на той или другой их линеаризации,
в значительной мере снизился *).
Заметим, что наряду с рассмотренной только что стационарной задачей
Стокса имеется решение ее нестационарного аналога. Приведем без вывода 2)
формулу Буссинеска сопротивления W шара радиуса а, движущегося посту-
пательно с заданной скоростью V (t) в безграничной области, заполненной
г) Основной монографией по этим вопросам в свое время являлась книга: С. W. О s е-
е n, Hydrodynamik, Akad. Verlag, Leipzig, 1927. Обзор более поздних исследований в том
же направлении можно найти в начале монографии L. Rosenhead (editor), Laminar
boundary layers, Oxford, Clarendon Press, 1963.
2) Вывод смотри в первом издании книги: А. И. Лурье, Операционное исчисление
и его приложения к задачам механики, Гостехиздат, М-, 1938, стр. 209—216.

§ 83] ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ БЛИЗКИМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ 409
вязкой жидкостью [V (0) = 0]
t
W=— βπμαν (t) — \ npa3V (t) — 6πμα2-^ \ v'^ #
0 у πν J у t — τ
Здесь первый член представляет стационарную формулу Стокса (147),
во втором нетрудно узнать инерционную составляющую сопротивления, соот-
ветствующую наличию присоединенной массы шара.
В случае шара, приведенного импульсивно из покоя в поступательное,
прямолинейное и равномерное движение со скоростью V0, будем иметь сле-
дующую величину сопротивления 1):
^ = 6πμαη(1 + )/^).
Из этой формулы при t = оо вновь получим формулу Стокса (147).
§ 83. Пространственное движение вязкой несжимаемой жидкости
между двумя близкими параллельными плоскостями.
Гидродинамическая теория смазки. Плоский цилиндрический
и пространственный сферический подшипники. Сферический подвес
Соответствующая представлению о «медленном» движении вязкой жидко-
сти, т. е. о таком движении, при рассмотрении которого можно пренебречь
инерционными силами по сравнению с вязкими силами и силами давления,
линеаризация применяется также в задачах о движении вязкой жидкости
сквозь тонкие щели. Сюда относятся такие важные для практики вопросы,
как фильтрация вязких жидкостей (воды, нефти) сквозь пористые среды
(песок, грунт, каменистые трещиноватые породы), движение жидких смазоч-
ных масел в тонком зазоре между вращающимся валом и подушкой под-
шипника.
Начнем с рассмотрения вопроса о пространственном движении несжи-
маемой вязкой жидкости между двумя безграничными параллельными пло-
скостями, расположенными на малом расстоянии 2/г. друг от друга, точнее,
на таком, что Re = будет мало. Между плоскостями могут располагать-
ся цилиндрические препятствия той же высоты 2h.
Расположим координатную плоскость Оху в срединной плоскости,
а ось Oz направим перпендикулярно к ограничивающим поток плоскостям.
Будем считать, что движение происходит в плоскостях, параллельных
границам потока, тем самым примем, что w = 0. Кроме того, с целью линеа-
ризации уравнений откинем в них конвективные члены (ускорения). Прене-
брегая действием объемных сил и считая движение стационарным, составим
следующую систему уравнений:
μ \~дх2"^~ду^^"дгТ) ~~te
I д*у дЧ д2у \ _
μ \ дх* "· ~ду*+~&?> ~~
ду2
дЧ , дЧ\ _ др
ду~
др_
dz '
ди . dv Λ
дх ду
(149)
*) См. Н. А. С л е з к н н, Динамика вязкой несжимаемой жидкости, Гостехиздат,
М., 1955, стр. 341—349.

410
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. VIII
Ь? др
Подчиним компоненты скорости и, ν граничным условиям
и = ν — 0 при z = dszh. (150)
Согласно третьему уравнению системы, давление ρ является функцией
только х и у. С другой стороны, взяв производную по х от обеих частей пер-
вого уравнения системы (149), по у — от второго уравнения той же системы
и сложив результаты, получим уравнение Лапласа для определения ρ (х, у)
Пользуясь (151) и припоминая равенство (47), легко простой подстанов-
кой убедиться, что уравнениям (149) и граничным условиям (150) можно
удовлетворить, положив
*-[>-(-гП· '--^['-(т)']· <152>
Составляя средние по нормали к ограничивающим поток плоскостям
скорости и ш ν по формулам
h h
1 Г л & др - 1 f , h? dp //)KQ.
u-2h\ udz=-!$-£> v = 1e) vdz=-^^ <153>
-h -h
или определяя максимальные скорости по (152)
"max— 2μ дх , VmaK— 2μ 0y , {Ы*)
убедимся, что поля этих местных средних или максимальных скоростей в пло-
скости Оху соответствуют некоторым воображаемым плоским х) безвихревым
движениям идеальной жидкости с одним из следующих потенциалов:
— fe2 h2
Ψ=-3|Γ^ Фт=—^А (155)
пропорциональных действительному давлению ρ в данной точке потока вязкой
жидкости. При этом изопотенциалъные кривые будут совпадать с изобарами.
Решение задач безвихревого обтекания цилиндрических тел, помещенных
между плоскопараллельными границами потока вязкой жидкости, этой вооб-
ражаемой идеальной жидкостью может быть произведено обычными методами,
изложенными в гл. V настоящей книги. В этом смысле рассматриваемое
воображаемое движение можно назвать «вязкой аналогией» плоского без-
вихревого потока идеальной жидкости. Однако стоит отметить интересную
особенность такого рода обтекания, заключающуюся в том, что для определе-
ния поля давлений нельзя уже пользоваться уравнением Бернулли, которого
в этом случае, как и в других случаях вязких потоков, просто нет. Следует
оговориться, что предыдущие рассуждения, использованные при выводе
решений (152) и вытекающих из него следствий (153) — (155), теряют свою
силу вблизи поверхности помещенного в поток цилиндрического тела, однако
область эта по сравнению с размерами тела невелика, и ее влиянием на
потенциальный поток можно пренебречь. Как показывают наблюдения, этот
эффект становится заметным в кормовой области обтекаемого тела и в следе
за ним. Аналогичные явления имеют место в течениях вязкой жидкости
в пограничных слоях, теории которых посвящена следующая глава.
Μ Подчеркнем, что, как это непосредственно следует из равенств (152), в действи-
тельности никакого плоского движения в рассматриваемом случае нет. Плоскими яв-
ляются лишь поля средних и максимальных скоростей, определенных равенсгвами (153)
и (154).

§;,83] ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ БЛИЗКИМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ 411
Указанной аналогией пользуются для демонстрации при помощи реаль-
ной вязкой жидкости плоских безвихревых обтеканий идеальной жидкостью
контуров заданной формы х). С этой целью испытуемый контур вырезают
из тонкого листа и зажимают между ограничивающими поток пластинами из
прозрачного материала. Для визуализации линий тока в поток между плоско-
стями вводят тонкие струйки подкрашенной жидкости. При этом удается
получать отчетливые «спектры» плоских обтеканий.
Близким по механизму к только что рассмотренному движению вязкой
жидкости сквозь тонкую щель между параллельными плоскостями является
фильтрационное движение вязких жидкостей сквозь пористые среды. Лежа-
щий в основе теории этих движений закон был открыт в середине прошлого
века известным французским гидравликом Дарси на основании проведенных
им опытов 2), хотя по своей сущности закон этот представляет простое и есте-
ственное обобщение линейных зависимостей (153) средней скорости от гра-
диента давления.
В общем случае пространственного фильтрационного потока, проникаю-
щего сквозь пористую среду, обычно под действием силы веса жидкости, закон
Дарси выражается так:
1b=-/Cgrad(^-+Z). (156)
Здесь b — вектор «скорости фильтрации» в данной точке, определенный как
предел отношения секундного расхода жидкости через площадку, перпенди-
кулярную к направлению максимального расхода, к величине площадки,
когда эта величина стремится к нулю. В круглой скобке стоит известный
по гл. III трехчлен Бернулли (V2/2g -\-ply -f-z), который в данном случае
выродился в двухчлен, так как скорость движения сквозь поры, как правило,
имеет порядок нескольких миллиметров в секунду, а иногда и меньше. При
этом квадратом скорости можно пренебречь по сравнению с остальными сла-
гаемыми: пьезометрической высотой ply и нивелирной высотой z. Вместе
с тем малая скорость или, точнее, малые рейнольдсовы числа протекания
вязкой жидкости сквозь поры позволяют пренебрегать конвективными уско-
рениями, вызываемыми кривизной пор и переменностью площади их сечений.
Эти особенности пористой среды при малых числах Рейнольдса незначи-
тельно сказываются на среднем сопротивлении пор, а тем самым и на рас-
ходной составляющей фи1Ьтрационной скорости. Вот в чем заключается
причина столь глубокого сходства закона Дарси (156), выведенного на
основании обработки опытных материалов и представляющего по существу
результат пространственного осреднения движения вязкой жидкости по
случайно ориентированным и разнообразным по геометрической форме порам
фильтрующей среды, и законами строго определенных движений той же
жидкости в тонкой щели между параллельными плоскостями.
Коэффициент пропорциональности к, входящий в формулу Дарси (156),
называют коэффициентом фильтрации; он является постоянной величиной,
если фильтрующая среда однородна, а жидкость обладает постоянными физи-
ческими свойствами. Чтобы выявить влияние вязкости движущейся жидкости
на коэффициент фильтрации, его выражают в форме (μ и ν — соответственно
динамический и кинематическил коэффициенты вязкости, у — удельт;ый вес
*) Н. S. Hele-Sha w. Investigation of the nature of surface resistance of water and
of stream motion under certain experimental conditions. Trans. Inst. Nav. Arch. XI. 25,
1898, а также F. R i e g e 1 s, Zur Kritik des Hele-Shaw-Versuches, Zeitschr. angew. Math,
u. Mech. 18, 1938, 95—106.
2) H. D а г с у, Les fontaines publiques de la ville de Dijon, Paris, 1856

412 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
жидкости, g — ускорение силы тяжести)
μ ν
Величина с носит наименование коэффициента пористости среды и зависит
только от геометрического характера пор, зернистости грунта и т. п.
При движении вязких жидкостей сквозь пористые среды со сравнительно
большими средними размерами пор (крупнозернистые породы, галька, руда,
каменный уголь) линейный закон Дарси (156) уже не оправдывается и должен
быть заменен более сложным нелинейным. Физически это объясняется в пер-
вую очередь, влиянием конвективных ускорений в потоке, а затем и потерей
устойчивости ламинарного движения жидкости в порах и перехода к режиму
турбулентной фильтрации. О последнем судят по изменению фильтрацион-
ного числа Рейнолъдса, равного Ы/ν, где d — средний диаметр пор.
Методы решения задач фильтрационного движения воды под гидротехни-
ческими сооружениями, так же как и нефти при просачивании ее сквозь
грунт, в настоящее время хорошо разработаны. Если оставить в стороне
сложные комплексные задачи фильтрации многофазных сред (например,
нефть — газ, вода — твердая взвесь) через неоднородные, анизотропные
грунты, движения с физико-химическими превращениями (испарение, кон-
денсация, химические реакции в «засыпках»), то методы эти близки к приме-
няемым в гидродинамике плоских потоков идеальной жидкости (гл. V).
Движение жидкого смазочного масла в зазоре между вращающимся
валом машины и неподвижной подушкой подшипника относится к числу
тех же задач «медленных» движений вязкой жидкости сквозь тонкие щели,
что и описанные в начале параграфа. Существенная разница здесь в том, что
из-за эксцентричности вала по отношению к подшипнику зазор между ними
переменен по толщине и кроме того, одна из границ (поверхность вала) нахо-
дится в быстром движении.
Если рассматривать замкнутый цилиндрический подшипник, то при
отсутствии эксцентричности, т. е. при совпадении геометрических осей
круглого цилиндрического вала и опорной поверхности подшипника, вопрос
о ламинарном движении вязкой жидкости в кольцевом зазоре постоянной
толщины решался бы очень просто, даже независимо от ограничительного
предположения о малости зазора.
Действительно, рассмотрим плоское движение вязкой жидкости между
двумя вращающимися с разными угловыми скоростями ω, ω' коаксиальными
цилиндрами соответственно с радиусами i? и R' (штрих относится к внешнему
цилиндру). Считая движение стационарным и происходящим по концентри-
ческим окружностям, расположенным в плоскостях, перпендикулярных
к общей оси цилиндров, из соображений симметрии заключим, что (в настоя-
щем параграфе обычное обозначение азимутального угла ε заменим на φ)
Vr = 0, Vz^0, ±^0, {.О.
Тогда уравнения Стокса (25) сведутся к системе двух обыкновенных
дифференциальных уравнений
(157)
решение которых при граничных условиях
Υφ = βω при г — Я, Υφ = R'u)' при г = Е'
*v* .
dr2 '
1
г
dVy
dr
v* о
F| 1 dp
r ρ dr *

§ 83] ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ БЛИЗКИМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ 413
будет
^Ч> jR'2-
Ρ
(Λ'2 — Я2)5
[ (ω'/?2 - ω/?'2)2 ~ _|_ 2/?2/?'2 (со - ω') Χ
X(cu'i?2 — ω/?'2)1η(Γ/β)-
(ω-
- + const.
2r2
(158)
Касательное напряжение трения между кольцевыми слоями окажется
равным
(ω—ω')Λ27?'2
,= —2μ-
(Д'я_Д8) ra
(159)
а суммарный момент относительно оси вращения сил трения по какой-нибудь
окружности радиуса г
2π
L= \ τΓφΓ2^φ— —4πμ
(ω —ω') Д2Д'2
Τ?'2 —Я2
(160)
не будет зависеть от радиуса этой окружности.
Полагая в последней формуле ω' = 0, R' — R = ε и считая зазор между
цилиндрами ε малым по сравнению с радиусами цилиндров, получим исто-
рически одну из первых, принадлежащую
Н. П. Петровух) формулу для момента со-
противления вращению шипа в соосном под-
шипнике
L =
4πμω7?2(# + ε)2
2πμω/?3
(161)
Момент этот пропорционален динамичес-
кому коэффициенту вязкости и обратно про-
порционален ширине зазора между цилин-
драми.
Переходя к изложению более близкого
к гидродинамической теории трения в под-
шипнике случаю эксцентрического располо-
жения шипа по отношению к подшипнику, Рис. 163.
рассмотрим следующую задачу Зоммерфель-
да 2). Будем пренебрегать «концевыми» эффектами в подшипнике, иными
словами, примем, что подшипник имеет бесконечную длину в направлении
оси вращения, а движение в зазоре между шипом и вкладышем под-
шипника является плоским.
В этой схематической постановке задача сведется к рассмотрению движе-
ния вязкой несжимаемой жидкости между двумя эксцентрично расположен-
ными окружностями (рис. 163), из которых одна (внешняя) неподвижна,
а другая вращается с заданной угловой скоростью ω, причем эксцентриситет
е = О'О принимается очень малым по сравнению с радиусами окружностей R
и R' >Я
е <#,#'.
*) Η.П. Петров, Трение в машинах и влияние на него смазывающей жидкости,
Инженерный журнал, 1883.
2) См. сборник «Гидродинамическая теория смазки» под ред. Л. С. Лейбен-
з о н а, Гостехиздат, М., 1934, а также С. Μ. Τ а р г, Основные задачи теории ламинар-
ных течений, Гостехиздат, М., 1951, и ранее уже цитированную монографию Н. А. С л е з-
к и н а.

414 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
Используя последнее условие и считая движение жидкости в зазоре
между окружностями медленным в том смысле, что можно пренебречь инер-
ционными членами по сравнению с членами, учитывающими вязкие силы
и изменение давления, приведем уравнения Стокса в полярных координа-
тах (г, φ) [формула (25)] к упрощенному виду
^ф_ 1 аР ,PVr_dp dvr 1 5F<p_n Mfi9.
μ-^τ-— -ц* V-gpr—ρ-, -dT-rT~d^-v' (WZ)
При составлении этих уравнений учтена относительная тонкость зазора,
позволяющая считать, что
1 *νφ i дут ^ф
2 I
V* > Vr;
дг2 " г
гричине
дг2
дУт
дг '
>■
1
Г2
1 βνφ
г дг '
dwr
dWr
г2 δψ2 ' г2 θφ '
r2 dtp * r2 ' dr >? r '
d2Vy
dr2 ^ di* '
и из первых двух равенств системы (162) следует
_£р др_
дг ^ 5<р '
что позволяет в дальнейшем принять
-^■ = 0, Р = Р(Ч>).
Кроме того, в последнем уравнении системы (162) можно заменить вне
знака производной г = /?, а от переменной г (й <^ г <^ R + /i) перейти
к переменной ξ = г — Л, изменяющейся в интервале 0 -^ ξ ^ /г., где под
h = h (φ) = ЖМ"' (рис. 163) понимается местная толщина зазора между
цилиндрами. Ее легко разыскать из треугольника О'ОМ', положив при-
ближенно
О'О cos φ + ОМ' = О'Μ'
или
е cos φ + R -f h = R'.
Вводя в дальнейшем обозначение R' — R = ε и относительный эксцен-
триситет λ = e/ε, будем с принятой точностью иметь
h (φ) = ε — е cos φ = ε (1 — λ cos φ).
На рисунке ось Оу проведена через линию центров О'О, так что при
выбранном начале отсчета углов φ будет
Καα = ε — е ПРИ 9 = 0,
^тах = ε + е при φ = π.
Уравнения (162) могут быть переписаны так:
.,*%>_ I dp dV 1 BVV
ν-βψ—τη^' ^г+д--^- = 0· (163>
Первое из уравнений допускает повторное интегрирование по перемен-
ной ξ и дает

§ S3] ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ БЛИЗКИМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ 415
Удовлетворяя
получим
граничным условиям
νφ = ω/? при
Fg, = 0 при
F„— -1 dp (t h\t-
ε = ο,
i = k
4-2* (h
Перейдем к средней по сечению зазора h скорости Уф, определив ее как
о
тогда из предыдущего равенства найдем
^"-ilfff+T^- <165>
Проинтегрируем по £ от 0 до h также обе части второго уравнения систе-
мы (163). Тогда, замечая, что по условию неподвижности в радиальном
направлении и непроницаемости обеих твердых стенок будет Vr = 0 при
ξ = 0 и ξ = h, получим
^•(fcf„) = 0, ΑΓφ = ρ = const.
Это равенство выражает условие сохранения секундного объемного рас-
хода жидкости через любое сечение зазора. Сравнивая с (165), получим урав-
нение для определения давления
dp _6μω#2 12μ/?<? ,„„
d(p h? h3 ' ^ '
интеграл которого, если включить новую аддитивную постоянную интегри-
рования в определение р, считая, например, ρ = 0 при φ = 0, будет иметь
вид
ρ (φ) = 6μω* f Α- 12μ*<? j -*L·. (167)
о о
Постоянную (?, наперед неизвестную, можно исключить, если восполь-
зоваться условием периодичности распределения давления
Ρ (Φ + 2π) = ρ (φ),
или, в частности, соотношением
ρ (2π) = ρ (0) = 0.
Это дает
2π
f dtp
. J A2
g—J-^-s—■ α68)
δ
Таким образом, распределение давлений в зазоре подшипника полностью
определено. Уровень давления в точке минимального зазора или какой-нибудь
другой точке может быть задан произвольно и в выражение поддерживающей
силы не войдет.

416 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 1ГЛ. VIII
Напряжение трения xw определим, пользуясь выражением скорости V^
по (164). Согласно (166) будем иметь
т _„ (dVv\ __ * Ψ v>R _βμ<? 4μωΛ ,,Rq
Введем в рассмотрение интегралы
φ
■Мф; *)=[,, Λ, ,h (*=L 2, 3).
J (1—Acos<p)ft
Выполнив интегрирование, получим
51 (φ; λ) = oZ^vi arct^ (jA^ *«Τ).
_L
sin φ . 1 sin φ
1 2 (1 —λ2)2 Γ—λ cos φ ""^2(1 — λ2) (1 —λ cos φ)2'
Замечая, что при φ = 2π арктангенсу соответствует значение π, полу-
чим необходимые для дальнейшего значения этих функций при φ = 2π:
St (2π; λ) = —^-rr , S2 (2π; λ) = —^Цу-, 53 (2π; λ) = π<2+λ2>
IV y (1_я*)1/а (1 — λ2)/2 (1—λ2)/2
Пользуясь этими величинами, найдем по (168)
<?=<»шщ£· (17°)
Возвращаясь к (166) и (167), получим
/>(ф)=^[*.(«р; x)-^zffLsa(rt λ}], (i7i)
а по (169) и напряжение трения
т {пл 2iuoR Г 3(1-λ2) о Ι М7™
τ»^—8(1_λα»φ)1(2+λ»)(1 —λοοβφ) J' l /Z;
Сравнивая последние два выражения между собой, заключим, что
Р(ф)=0(-5")> τκ(φ) = 0(4);
это позволяет при вычислении главного вектора F реакций жидкости сумми-
ровать лишь силы давления и пренебрегать при этом в принятом приближе-
нии силами трения. Будем иметь, относя главный вектор F к единице длины
вдоль оси подшипника,
2л 2π 2π
Fx— \ ρ cos (-я—φ) Rdq> R \ ρ sin ψ αφ, Fv= —R \ ρ cos φ dip.
0 0 0
Заметим, что в силу периодичности и нечетности давления ρ и четности
cos φ второй интеграл тождественно равен нулю. Первый интеграл проще
всего вычислить по частям; найдем
2π 2π
5 12зх Г η ο
pd (cos <p) =—Rp cos φ Γ -{-R \ -j-cos<pd<p.
ο η

f> 83] ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ БЛИЗКИМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ 417
По условию периодичности давления первое слагаемое обращается
в нуль; подставляя вместо dp/αφ его выражение (166), получим
2π 2π
„ _ бцсоДЗ г г соз φ αφ 2(1 —λ2) f cos φ αφ 1
*~ ε2 LJ (1 —λ cos φ)2 2 + λ2 J (1 —λοΟβφ^-
Ο
Замечая, что
сочийр 1 [|g (2 λ)_51(2π; ^] = -J^,
(1—λ COS φ)2 λ " v ' 1Ч ' /J ,j Я2)/2
i
0
получим после простых приведении
12ημω№λ_ Ш)
ε2(2+λ2)/1-λ2
Вектор F показан на рис. 163 приложенным к центру внутренней окруж-
ности. Можно указать векторную формулу (вектор ω угловой скорости вра-
щения вала направлен внутрь чертежа, а вектор е эксцентриситета от точки О'
к точке О)
F = 12л^3 ω х е. (174)
ε3(2 + λ2) )Λ-λ2
Сила F может уравновесить вертикальную нагрузку (вес вала с ротором
и др.)> если при горизонтальной оси вала смещение его е, как показано на
рис. 163, будет также лежать в горизонтальной плоскости. При этом главный
вектор F играет роль поддерживающей силы.
Обратимся к вычислению отнесенного к единице длины вала момента
сопротивления жидкости вращению вала. Имеем (ось Oz направлена внутрь
чертежа)
Lz = J тш/?2dcp = ^ [3^8) S, (2π; λ) -2S± (2л; λ)] =
о
_ 4ημωΒ3 (1+2λ2) ,^
ε(2+λ2)}^1 —Я2 "
В ранее цитированном труде Η. П. Петров рассмотрел случай коаксиаль-
ных цилиндров, или, что все равно, концентрических окружностей. Это соот-
ветствует е = 0 и λ = 0. Как видно из (173), в этом случае поддерживающая
сила отсутствует, что и непосредственно вытекает из соображений симметрии,
а формула (175) переходит в формулу Петрова (161).
При современном состоянии гидродинамической теории смазки подшип-
ников решаются гораздо более сложные задачи, связанные с учетом конеч-
ности ширины подшипника, нарушающей плоский характер движения смазки
в зазоре между валом и подушкой подшипника, неполным заполнением
зазора смазкой, влиянием конвективных ускорений и т. п.
Приведем пример пространственного движения смазки в сферическом
подшипнике, сделав те же предположения, что и раньше, о «медленности»
движения смазки в полости между вращающейся внутренней сферой и непо-
27 Л. Г. ЛойцянскиЙ

418 динамика вязкой несжимаемой жидкости [гл. viii
движной внешней, что позволит откинуть нелинейные члены в уравнениях
Стокса, и о сравнительно малом поперечном к потоку размере полости х).
Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости в полости между
двумя эксцентрически расположенными сферами с центрами О ж О'
(рис. 164, а) и радиусами В и В', причем В' >В. Разность радиусов ε =
= В' — В будем считать малой по сравнению с радиусами сфер, а величину
е
L· 6)
V\V
М'
Ри
с. 164.
оА К
отношения ε/Β примем за малую первого порядка и условимся в дальнейшем
все величины сравнивать с нею.
Используем сферическую систему координат г, θ, φ, приняв ось Oz, про-
веденную через центры сфер, за полярную ось, а плоскость Oxz начала отсче-
та долгот φ оставляя произвольной. Широте θ и долготе φ какой-нибудь
точки Μ поверхности внутренней сферы соответствуют дуги ΖΜ и ΧΝ.
Поперечный размер полости в точке Μ обозначим через h (θ, φ) и определим
как расстояние между точками Μ и М' на внутренней и внешней сферах,
расположенными на одном и том же радиусе, проведенном из центра О
внутренней сферы. С ошибкой порядка (ε/?)2 будет справедливо равенство
(рис. 164, б)
h = ε + е cos θ, (176)
где эксцентриситет е определяется как расстояние 00' между центра-
ми сфер.
Считая движение стационарным, пренебрегая инерционными членами
и учитывая, как в предыдущем примере плоского подшипника, преимуще-
ственное значение производных поперек полости (по г) по сравнению с про-
изводными по θ и φ, приведем уравнения Стокса в сферических координатах
(26) к виду (далее для текущего радиуса-вектора принято обозначение г,
а для азимута — φ)
др.
дг '
dVr
μ
d*Vr
дг2
1
dr.
г sin θ <9θ
.дР -ur*ve
6Q ~μ дг2 '
(FesinB)-
dp . η
— = μΓ sin θ ■
&*ν„
дг2
(177)
r sin θ (9φ
α) Л. Г. Лойцянский, Гидродинамическая теория сферического подшипни-
ка, Прикл. матем. и мех. 19, в. 5, 1955, 531—540, а также «К теории сферического подшип-
ника», там же, 20, в. 1, 1956, 133—135; G. Н. Wannier, A contribution to the hydro-
dynamics of lubrication, Quart, of Appl. Mathem., VIII, № 1, 1950, 1—32.

§ 83] ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ БЛИЗКИМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ 419
=°Ш·
Из уравнения неразрывности (последнее уравнение) следует, что про-
изводная dVrldr имеет одинаковый порядок с величинами Ve/R или vjR.
На этом основании, обращаясь к первым трем равенствам системы (177),
заключим, что
г др/дг _ q Ι ε \ г др/дг
δρ/дв — \ R ) ' «?ρ/«?φ
так что в принятом приближении можно пренебречь величиной др/дг по срав-
нению с величинами др/дв и др/дц> и считать давление ρ функцией только θ
и φ. Кроме того, с той же ошибкой можно во втором, третьем и четвертом
уравнениях системы (177) заменить величину г, не входящую под знак диф-
ференцирования, на R.
Вводя, как и в предыдущем примере, вместо г переменную ξ = г — R,
изменяющуюся поперек потока в полости, заполненной жидкостью в пре-
делах О <Ι ξ <1 h, приведем на основании указанных упрощений систе-
му (177) к виду
&VQ 1 dp θ2νφ ! др
μ/?
1
дВ
dt?
9t
Rsin
__(yeSine)
μβ sin θ δφ '
Л sin θ δφ
(178)
Выпишем граничные условия на внутренней и внешней сферах, обозна-
чая нулем сверху компоненты скорости точек поверхности движущейся
внутренней сферы, причем, в отличие от разобранного ранее примера плоско-
го подшипника, будем предполагать, что внутренняя сфера не только вра-
щается, но и совершает в данный момент некоторое малое (порядка толщины
зазора) поступательное движение. Имеем
Vr = V°r, Ve = Vl νφ=ν°φ при ξ = 0, j
Vr=Ve = V9 = 0 при l = h. J (179)
Интегрирование первых двух уравнений системы (178) при граничных
условиях (179) дает
Ve =
-И^-Н+^-хЬ
να=
w
2μβ sin θ
dp
θψ
£(1-В+п(1-£И
(180)
Перейдем, в полной аналогии с предыдущим примером, к средним
скоростям
h2 dp , 1
Vt^v^—^g-^+^n,
(181)
F<P = X J Vvd1*- ~~ 12μ/?ε1ηθθ^+ 2 F»
Проинтегрируем теперь обе части последнего уравнения системы (178) —
уравнения неразрывности — по ξ от 0 до h, тогда в только что принятых
обозначениях будем иметь
-A. (hV0 sin θ) + ^r (hVJ = V°TR sin θ
δφ
(182)
и, подставляя сюда выражения Ve и 7ф из (181), получим следующее урав-
нение для определения распределения давления по поверхности внутренней
27*

420 динамика вязкой несжимаемой жидкости 1гл. viii
сферы [при проведении преобразований принято во внимание, что, согласно
(176), h не зависит от φ и поэтому вынесено за знак дифференцирования
по этой переменной]
= 6μΛ [-jg- (hV°e sin θ) + h ^] sin θ - 12μW? sin2 θ (183)
Для вычисления величин V°, Fg, V% заметим, что по известной формуле
кинематики твердого тела
V0 = V0 + ω Χ г°, (184)
где вектор V0 определяет малую скорость центра О внутренней сферы, ω —
конечную угловую ее скорость, а г° — вектор-радиус точки на сфере. Тогда,
задавая вектор V0 его величиной V0, углом α с осью Oz и углом β его проек-
ции на плоскость Оху с осью Ох и аналогично вектор ω его величиной ω
и углами γ и δ, будем, применяя формулы сферической тригонометрии
(r£ = R, г§ = Γφ = 0) (см. рис. 164, α и в) иметь
V°r=V0r, У§ = 7ое+Ясоф, У» = У0ф-Ясое;
V0r — ^о cos (^о» ОМ) = V0 [cos α cos θ + sin α sin θ cos (φ — β)],
^οθ = V0 cos (V0, OMj) = V0 [—cos α sin θ -f- sin a cos θ cos (φ — β)],
^οφ ■= ^o cos (V0, ONj) = — V0 sin a sin (φ — β);
ωθ = ω cos (ω, ОМ-,) = ω [—cos у sin θ -f- sin V cos θ cos (φ — δ)],
(Oq, = ω cos (ω, ΟΝ^) = —ω sin у sin (φ — δ);
и, следовательно,
Fe = ^о Г—cos α sin θ + sin α cos θ cos (φ — β)] — ω/? sin у sin (φ — δ).
V%, = — V0 sin cc sin (φ — β) -f ω# [cos у sin θ — sin у cos θ cos (φ — δ)]
(185)
Подставляя эти выражения в правую часть уравнения (183), заметим, что
наряду с последним членом в правой части этого уравнения, имеющим поря-
док R2V0, после подстановки и использования (176) появятся члены, содер-
жащие множителем V0eR, отношение которых к только что указанному члену
будет иметь порядок e/R, и, следовательно, эти члены могут быть опущены.
Таким образом, составим окончательный вид приближенного уравнения,
служащего для разыскания распределения давления ρ (θ, φ) по поверхности
подвижной сферы
sin θ-^g- i&3-^-sin6| -f/г3y-|-=6μ.R2ωesinγsin3θsm(φ--δ) —
— 12μ70β2 sin2 θ [cos α cos θ -f sin α sin θ cos (φ — β)]. (186)
Будем искать решение этого уравнения в форме|
ρ (θ, φ) = Θ0 (θ) + ΘΧ (θ) cos (φ — β) + Θ2 (θ) sin (φ — δ). (187)
Подставляя выражение р в (186) и приравнивая коэффициенты при
cos (φ — β) и sin (φ — δ) в обеих частях полученного при этом уравнения,
лридем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго

§ 831 ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ БЛИЗКИМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ 421
порядка
sin θ "Ж ( К' sin θ ж) = — 12HV?2 cos α sin2 θ cos θ,
sin θ Ж (h3 sin θ Ж ) ~ Λ301 = _ 12^Fo^2 sin α sin3 Θ, 1 (188)
sin θ -^ ( /г3 sin θ ^) _ НЮ2 = 6μΛ2ω* sin γ sin3 θ,
из которых последние два отличаются только постоянным множителем в пра-
вой части.
Первое из уравнений (188) легко непосредственно интегрируется. Дей-
ствительно, сокращая обе его части на sin θ и один раз интегрируя, получим
Ь? -^ = - 6μΛ2^0 cos a sin'6 +
sin θ-
Из условия конечности величины др/θθ, согласно (187), следует конеч
ность d&0/dQ, что в свою очередь требует равенства нулю константы интегри
рования С-у. Повторное интегрирование дает
е
0o(e) = -^FOJR2cosajsine<M
h3
о
причем новая константа интегрирования выбрана так, чтобы Θ0 (0) = 0; это
определяет выбор постоянного уровня давлений в полости между сферами.
Интеграл в правой части после замены h его выражением по (176) легко вычис-
ляется и дает
Ω ,fi. 3nF0i?zcos α(2+λ + λ cos θ) (1 — cos θ) /лоа\
Uo(b) ε3(1 + λ)* (1 +λ cos θ)* ' (18У)
где введено обозначение λ = el г (0 <Ι λ ^ 1), аналогичное случаю плоского
подшипника.
Второе и третье уравнения системы (188) должны быть проинтегриро-
ваны при граничных условиях
0, = Θ2 = 0 при θ = 0 и θ = π,
которые непосредственно вытекают из условия конечности величины V9,
определяемой вторым равенством системы (181), а следовательно, необходи-
мости обращения в нуль производной др1дц> при θ = 0 и θ = π, что при нали-
чии (187) и приводит к только что поставленным граничным условиям.
Решения второго и третьего уравнений системы (188) при указанных
граничных условиях могут быть также найдены в замкнутой форме, а именно:
= IWPrina 2-ΗοββΘ sin θ
1W ε3 (4 -j- Яа) (1-f λ cos θ)2 '
~ ,m_ бцДЗсоеБШТ 2+Ясо8б „.^ Q
^2 [?) - ρ (4 + λ2) (1 + λ COS θ)«
(190)
Совокупность уравнений (187), (189) и (190) полностью определяет рас-
пределение давлений ρ (θ, φ) по поверхности сферического шипа в подшип-
нике, после чего уже без труда можно рассчитать «поддерживающую» силу,
распределение скоростей и напряжений трения, необходимые для расчета
момента сопротивления вращению шипа.
При вычислении главного вектора F реакций жидкости на "внутреннюю
сферу можно пренебречь вязкими нормальными и касательными напряже-
ниями, имеющими порядок μΒ.2νο/ε и μ/?2Τ/6/ε, по сравнению с давлением,

422 динамика вязкой несжимаемой жидкости [гл. via
имеющим порядок μ/?27θ/ε2. Получим (σ — поверхность внутренней сферы,
п — орт внешней нормали к ней)
2π я
F= — { pndo= —Rz \ αφ [ рпsin θ<2Θ,
σ 0 0
или в проекциях на оси координат (рис. 164, о)
Fx= — R2 f Жр f ρ sin в cos (MOx)dQ= — R2 \ cosq>d<p j psm2QdQ,
о о
2π π
0
2я
0
Я
Fy= —R2 \ dq> f ρ sin θ cos (ΜOy) dQ = —Л2 f sin<pd(p j £sin2ed6,
0 0 0 0
2π π .^_ 2π π
Fz=—R2 f <Ζφ [ /?sinecos(MOz)de=— Л2 f d<p f ρ sin θ cos θ dQ.
0 0 0 0
Подставляя сюда выражение ρ (θ, φ) по (187) и выполняя интегрирова-
ние по φ, составим следующие формулы для проекций Fx, F у и Fz:
π я ч
Fx = — nR2 cos β f θ, (θ) sin2 θ dQ + nR2 sin δ \ Θ2 (θ) sin2 θ d0,
о о
π π
F„ = — nR2 sin β j 0t (θ) sin2 θ dQ — пД2 cos 6 j Θ2 (θ) sin2 θ <Ю,
Fr=—nIP
J во (θ)
sin 2θ <Ю.
(191)
Остается подставить значения функций Θ0 (θ) по (189) и функций
©! (θ), Θ2 (θ) по (190). Вычисляя интегралы, окончательно получим
(192)
„ 4πμ Л4 (2VQ sin α cos β -|- сое sin γ sin δ) ν ...
rx= P Λ, (Λ),
ρ 4πμД* (2F0 sin α sin β—сое sin γ cos δ) г, . .
ty = -г λ, (λ), ν
ρ 8πμ/?«70 cos α ^ ,„,
^z= ^ Λ2(Λ),
где для краткости введены обозначения
^1(λ)=2(4 + λ^)[(τ+λ3-)1ηΤ^λ-^]'
^W = ui(n?_lnn) ;
л:1(0) = л:я(0) = 1.
Совокупность формул (192) эквивалентна одной векторной
F=-^ir^^Ve + ^jr^X)»xe + ^iLW^^(V0.e)ei (194)
в которой введен вектор е = 0'0 смещения центра внутренней сферы отно-
сительно внешней.
(193)

§ 83] ! ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ БЛИЗКИМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ 423
При отсутствии поступательного движения внутренней сферы (V0 = 0)
формула- (194) значительно упрощается и приводится к следующей:
ρ = ^-ΚΙ(Κ)ωΧβ. (195)
Согласно этой векторной формуле, при вращении внутренней сферы
вокруг некоторой оси, не сопровождаемом поступательным движением сферы,
главный вектор реакций вязкой несжимаемой жидкости перпендикулярен
к плоскости, проведенной через эту ось и линию центров внутренней и непо-
движной внешней сфер. Формула (195) по своей структуре аналогична ранее
выведенной формуле (174) для плоского движения цилиндрического шипа
в подшипнике.
В частном случае (V0 = 0, ω J_ e) получим формулу Ванье 1)
F =
?i^i[(6» + ^).„l±i-2a].
В момент совпадения центров сфер (λ = 0) главный вектор F опреде-
лится только поступательным движением внутренней сферы и будет равен
ν_ 8πμΑ* τ/
Обращает на себя внимание резко выраженная зависимость этого векто-
ра от радиуса сферы R и поперечного размера полости ε. Сравнительно с фор-
мулой Стокса, относящейся к движению сферы в безграничной вязкой несжи-
маемой жидкости, сопротивление той же жидкости движению сферы внутри
близкой по размеру оболочки по порядку в (R/ε)3 раз превосходит сопротив-
ление движению в безграничной жидкости.
Вычислим в заключение главный момент L сил вязкого трения, прило-
женных к поверхности внутренней сферы. Пользуясь для этой цели группой
формул (13), помещенных в начале настоящей главы, будем иметь (применяя
обозначения τ вместо pi}, г — вместо R, φ — вместо ε, dt, — вместо dR)
i l sv dve νθ\ /dv0\
Tre = »[T-W + ^- — )Ε=ο = μΙΙθΕ=ο'
_ (dVq> 1 dVr Υφ\ = (9νφ\
Произведенные здесь упрощения очевидны; величины
v v sv, Wr
малы по сравнению с сохраненными слагаемыми.
Подставляя в только что приведенные выражения τΓθ и τΓφ значения
Vq и Vy по (180), получим
_ _^_ £Р_ μ!^ h δΡ μΥφ
ΤγΘ ~~ 2R δθ h ' Tr(P— 2R sin θ dq> h '
а используя после этого ранее выведенные выражения (185) для V% и FJj,
и трехчленное представление давления ρ (187), найдем
τΓθ=-2|-[Θ;(θ>+Θ;(θ)εο8(φ-β) + Θ;(θ)81η(φ-δ)] +
+ ^у- sinysin (φ —δ),
Тгф = 2дЖ^1®1(6)8т(ф-Р)-в2(в)С08(ф-б)]-
— ^г— [cos у sin θ — sin γ cos θ cos (φ —δ)].
(196)
х) См. цитированную в этом параграфе работу Ванье.

424 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
Элементарные моменты сил трения dLx, dLy и dLz относительно прямо-
угольных декартовых осей координат определим как суммы моментов относи-
тельно этих осей касательных к поверхности сферы сил, имеющих сфериче-
ские компоненты
dFG = тгеЛ2 sin θ dQ dtp, dF^ = TrqiR2 sin θ dQ dq>,
и соответствующие декартовы компоненты
dFe cos θ cos φ, dFe cos θ sin φ, — dFe sin Θ,
—dFy sin φ, dF^ cos φ, Ο.
Замечая, что точка М приложения этих сил имеет координаты
(R sin θ cos φ, R sin θ sin φ, R cos θ), по обычному правилу составим форму-
лы моментов относительно осей координат:
dLx = — R3 (тге sin φ + τΓφ cos θ cos φ) sin θ dB dcp,
dLy = R3 (τΓθ cos φ — τΓφ cos θ sin φ) sin θ dQ dq>,
dLz = /?3τΓφ sin2 θ dQ d<p.
Подставляя сюда значения τΓβ и τΓ(ρ по (196), собирая члены с тригономе-
трическими функциями угла φ и произведя сначала интегрирование по φ от
0 до 2π, а затем и по θ от 0 до π, найдем
L* —
4πμ/?4 Γ 2
Г-тг (1 +λ2) ω sin γ cos δ 5-TV sin α sin β Ki(k),
\Ly = _ ^^t [-1 (1 + λ2) ω sin у sin δ + ~^- V0e sin a cos β J K^ (λ),
Lz = j— ω (1 — λ2) cos у Кг (λ),
(197)
где функции Кг (λ) и К2 (λ) — те же, что и раньше.
Полученная совокупность формул для моментов относительно осей коор-
динат эквивалентна одной векторной формуле для момента относительно
начала координат
+ 8ημ^ (1 + λ*) Κ, (λ)-(1-λ*) Κ2 (λ) (ω>β) e (198)
При чисто вращательном движении внутренней сферы (V0 — 0) будем иметь
Χ=_^(1 + λ2)^(λ)ω + 8^(1+λ2)Α(λ)--(1-ληΑ-2(λ)(ω<β)β> (199)
а в частном случае перпендикулярности оси вращения и линии центров сфер
(ω-e = 0), рассмотренном ранее Ванье, получим более простую формулу
4πμ7?4ω ъъ-\-е2
[(ε2 + β2)1η1±!_2εβ].
При концентрическом расположении сферы (е — 0) формула (199) при-
ведется к виду
£=_^ω, (200)

§ 83] ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ БЛИЗКИМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ 425
представляющему обобщение формулы Петрова (161) для цилиндрического
подшипника на случай сферического подшипника.
Уравнения движения смазки в сферическом подшипнике относятся
к тому же типу, что и уравнения для расчета сферического подвеса, пли, как
его иногда называют, гидростати-
ческого подшипника.
Схема такого рода подвеса пока-
зана на рис. 165. Тяжелая сфера
неподвижно висит в потоке несжи-
маемой вязкой жидкости, создавае-
мом за счет подвода этой жидкости
через отверстие S в дне также непод-
вижной сферической чаши, охваты-
вающей подвешенную в потоке сфе-
ру; при этом зазор h между поверх-
ностями сферы и чаши предполага-
ется очень малым по сравнению с
их радиусами R и R'.
Проводя оси координат, как
показано на рис. 165, приходится по
соображениям упрощения расчетов
выбирать направление оси O'z' так,
чтобы она проходила через центр отверстия подвода жидкости S. В связи
с этим равенство (176), определявшее ширину зазора h между сферами
в случае сферического подшипника, усложняется.
Как легко судить из чертежа,
Рис. 165.
h = ММ' & О'М' — О'О cos (О'О, О'М') — ОМ,
0'M' — OMttR' — R = z, 0'0=е,
cos (О'О, О'М') = cos ψ cos θ -f- sin ψ sin θ cos φ,
так что (ψ — постоянный при данном расположении сферы относительно чаши
угол между вектором смещения е центра сферы О и осью Oz)
h (θ, φ) — ε — e (cos -ψ cos θ -f- sin ψ sin θ cos φ). (201)
Таким образом, в случае подвеса величина h является функцией как Θ,
так и φ, что уже не позволяет при выводе уравнения (183) выносить ее за знак
производной по φ. Кроме того, V0 = 0, так что вместо (183) надлежит интегри-
ровать следующее уравнение:
-•τΗ^Η+ε^Φ-ο.
(202)
где h задается равенством (201).
Разработкой методов интегрирования уравнений типа (202) занимается
теория смазки. Удовольствуемся рассмотрением простейшего случая подвеса
вертикально смещенной сферы (ψ = 0, π), когда ширина зазора h определяет-
ся равенством (176). Более общая задача, когда наряду с вертикальным сме-
щением центра сферы О имеется и горизонтальное (боковое) смещение, в при-
ближенной постановке (малые λ = el e) может быть также без особого труда
рассмотрена 1).
1)Л. Г. Лойцянский, Л. Г. Степанянц, Гидродинамическая теориям
сферического подвеса, Тр. ЛПИ № 198, 1958, 89—98.

426 динамика вязкой несжимаемой жидкости [гл. viii
Схематизируем подвод жидкости из отверстия в дне чаши, поместив
в точку S (Θ = 0) источник с секундным объемным расходом Q и приняв,
что сток происходит из круговой щели (Θ = θ^ на верхнем краю чаши в про-
странство с абсолютным давлением рг. Уравнение (202) переписывается
в виде
и имеет первый интеграл
£(*■#*.<>)-»
h3 -L· sin θ = const.
Для определения константы составим условие постоянства расхода
сквозь горизонтальное сечение зазора
2nRhsinQ · Ve = const = Q,
или по первому из равенств (181) при Vq = 0
Итак, имеем
dp _ |6μ#
nh3 dp . р. Λ
6μ £Ш v
d& π (ε— e cos θ)3 sin θ*
Интегрируя еще раз и используя граничное условие
Ρ = Pi ПРИ θ = 6lf
(203)
получим искомое распределение давления
πε3
Ρ-Ρ1 = ^£-[Φ(Θ1)-Φφ)], (204)
где положено
1 λ 1 , 2λ
(' 2 1 — λ2 (1 — XcosG)2 ' (1 — λΖ)Ζ1 — XcosG
-7^^1η^1-λ008θ)-?(ΤΤ^1η(1+008θ)+2(Λλ)31η(1-005θ)· (205)
При θ = 0, т. е. непосредственно в самом источнике S, давление равно
бесконечности. Чтобы сделать решение более физичным, допустим, что на
самом деле вблизи точки S в корпусе чаши имеется пазуха с постоянным дав-
лением р0; размер этой пазухи можно задать углом θ0. Тогда рабочий пере-
пад давлений р0 — pt в подвесе будет, согласно (204), связан с расходом
формулой
Ро ~ Pi = U [ф (0i) ~ ф (Во)]. (206)
Несмотря на сравнительную сложность формулы распределения давле-
ния (204), сила F, поддерживающая сферу, вычисляется просто. Заметим, что
порядки напряжения трения и давления будут
гак что
τ/iPo-Pi) =0(ε).
Это доказывает возможность пренебречь трением при определении под-
держивающей силы F и находить силу как интеграл только элементарных
;ил давления. Имеем, производя интегрирование по частям и отсчитывая

§ 84]
ДИССИПАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
427
давление от значения рг,
θθ Θ1
Fz = — 2nR2Po ( sin θ cos θ dB — 2nR2 f ρ sin θ cos θ dQ =
ο θο
-пЛ.^.вЛ—й^^. (207)
θθ
где положено
i а. а\_ (1—Xcos60)2(l—XcosBt)2 ,Q„Q
i( * ° ~ 77^ ^Wo—θ!-θο\ . θ,+θ0 . θ,-θ0· <208)
11—λ cos λ "cos ' "1 sm ' ' u sm ' u
Зависимость компоненты поддерживающей силы Fz от безразмерного
вертикального смещения внутренней сферы λ очень сложна, так как Q при
заданном рабочем перепаде давлений р0 — рг представляет в свою очередь
функцию от безразмерного смещения λ. На самом деле вопрос еще сложнее,
так как обычно поддерживают постоянным не этот перепад, а перепад рк — рг,
где рн — абсолютное давление в камере нагнетания, откуда газ сквозь
некоторый канал подводится к отверстию S.
Аналогичные задачи встают перед современной техникой применения
газовой «смазки» в высокооборотных станках, а также в опорах подвесов
приборов управления движениями. Теория газовой смазки, даже при простей-
шем предположении об изотермичности потока в зазорах, приводит к необ-
ходимости интегрирования нелинейных уравнений и, в связи с этим, к при-
менению различных приближенных методов расчета или ЭВЦМ. Основное
значение в развитии советских исследований в этом направлении имела рабо-
та С. А. Шейнберга *). Литература по газовой смазке весьма обширна;
удовольствуемся перечислением нескольких оригинальных статей, книг
и оЬзоров 2).
§ 84. Диссипация механической энергии. Принцип минимума диссипации
в «медленных» движениях. Диффузия завихренности
При движении вязких жикостей часть механической энергии за счет
работы неконсервативных внутренних сил трения превращается в тепло.
Чтобы убедиться в том, что здесь действительно имеет место необратимый
процесс перехода механической энергии в тепловую, введем в рассмотрение
удельную энтропию потока.
Из первого начала термодинамики (s — удельная энтропия, U — удель-
ная внутренняя энергия, Τ — абсолютная температура) следует при сохра-
нении удельного объема (несжимаемости жидкости)
Г *- = -§·. (209)
х) С. А. Ш е й н б е ρ г, Газовая смазка подшипников скольжения, «Трение и износ
в машинах», сб. VIII, М., 1933.
2) Л. Г. Степанянц, Некоторые методы газодинамической теории смазки, Тр.
ЛПИ, № 280, 1967; Н.Д. Заблоцкий и И. Е. Сипенков, Один способ поста-
новки задачи о принудительной газовой смазке подшипников скольжения, Тр. ЛПИ,
№ 265, 1966; Я. М. Котляр, К теории воздушных подвесов сферического типа, Изв.
АН СССР, ОТН, 6, 1959; L. G. S t е ρ а η у a n t s, N. D. Ζ а Ы ο t s k y, I.E. S i-
p e η k о v, Method of theoretical investigation of externally pressurized gas-lubricated bea-
rings, Trans. ASME, Paper No. 68-LUBS-44; С. А. Шейнберг, В. П. Ж е д ь,
Μ. Д. Ш и ш е е в, Опоры скольжения с газовой смазкой, «Машиностроение», М-, 1968;
в том же издательстве: В. Н. Константинеску, Газовая смазка, 1968; О. Ρ i n-
kus, В. Sternlicht, Theory of hydrodynamic lubrication, McGraw-Hill, N. Y.,
1961; E. A. S a i b e 1, Ν. Α. Μ а с k e n, The fluid mechanics of lubrication, Annual
Review of Fluid Mechanics, v. 5, 1973, 185—212.

428 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
Определим производную от удельной внутренней энергии dUldt равен-
ством (48) гл. И. Тогда получим
pT^ = pq-Nln. (210)
Отсюда мы можем заключить, что изменение энтропии в потоке несжи-
маемой вязкой жидкости происходит по двум причинам: из-за притока тепла
pq извне и потерянной мощности внутренних сил (—iVln). Отвлекаясь от
притока тепла извне, т. е. считая поток адиабатическим (но не изэнтропиче-
ским), докажем, что взятая с обратным знаком мощность внутренних сил
(—Nin) существенно положительна, а следовательно, положительно и соот-
ветствующее ей секундное приращение удельной энтропии. В случае несжи-
маемой жидкости вся мощность (—Nln) необратимым образом переходит
в тепло. В дальнейшем припишем ей поэтому наименование удельной «дисси-
пированной мощности» и обозначение Nmc.
Вспоминая выведенное в § 12 выражение iVln (45), как взятого с обратным
знаком скалярного произведения тензора напряжений на тензор скоростей
деформаций, будем иметь в случае несжимаемой жидкости
Nmc = P-S. (211)
Подставим в (211) выражение тензора напряжений Ρ через «S1, соответ-
ствующее обобщенному закону Ньютона (9). Тогда получим следующее
выражение для диссипированной в единице объема и в единицу времени меха-
нической энергии:
Nwc = Ρ · S = 2μ£2—рШ · S;
или, замечая (11.12), что для несжимаемой жидкости (div V = 0)
g.5 = 5fi=4^+i!44j2-=clivr=0,
11 дх ' бу ' дг '
окончательно получим
N№C = 2μ52, (212)
где по определению квадрата величины тензора как суммы квадратов его
компонент положено
з
/ ди \2 / dv \2 / dw \2 1 I ди dv \ 2 1 / δν , dw \2
= l^rJ +[-ду-) +[-еТ) +т1"^ + "&; +ΥΥΕ + -θν-) +
, 1 / dw , ди \2 ...,.
При составлении суммы учтено, что квадраты недиагональных членов
войдут по два раза. Итак, имеем
N„e^K£Y+(%Y+m>+±■(£+§)*+
Энергия, диссипированная в единицу времени в конечном объеме τ,
определится интегралом
Nmc= J Nmcdx= \ P-S ατ = 2μ С ε2ατ. (215)
τ τ [τ

$ 84]
ДИССИПАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
429
Диссипированная энергия как сумма квадратов является величиной
существенно положительной, что соответствует ранее отмеченной положи-
тельности прироста энтропии, выражающей необратимость перехода меха-
нической энергии потока вязкой жидкости в тепло. Из выражения (214)
следует, что единственным движением вязкой несжимаемой жидкости, не
сопровождаемым диссипацией механической энергии, является квазитвердое
ее движение, в котором все слагаемые в квадратных скобках — квадраты
скоростей деформаций — обращаются в нуль по отдельности.
Понятие диссипированной энергии легло в основу установленного
Гельмгольцем 1) принципа «минимума диссипированной энергии», справедли-
вого для всякого медленного стационарного движения, допускающего
отбрасывание инерционных членов в уравнениях движения несжимаемой
вязкой жидкости, под действием консервативного поля объемных сил.
Сравним между собой действительное медленное движение в некоторой
области, ограниченной замкнутой поверхностью σ, с произвольным другим
движением той же (несжимаемой, вязкой, ньютоновской) жидкости, совпа-
дающим с ним по скоростям на поверхности σ. Обозначим через V, Ρ и S век-
тор скорости, тензоры напряжений и скоростей деформаций в действитель-
ном движении, а буквами со штрихами —■ разности между этими величинами
для произвольного и действительного движений, так что для произвольного
движения вектор скорости и тензоры напряжений и скоростей деформаций
будут равны
V + V, Р + Р', S + S'.
Составим, согласно (215), выражение мощности Л^ис, диссипируемой
при произвольном движении жидкости в объеме, ограниченном поверхно-
стью σ; найдем
#*»={ (P + P'HS + S')dx =
τ
=Л P-Sdx + [ P.S'dr+ j P'.Sdr + j P'-S'dx. (216)
τ τ τ τ
Первый интеграл представляет мощность Nmc, диссипированную в дей-
ствительном движении. Второй и третий интегралы равны между собой.
Действительно, согласно равенству (9) настоящей главы,
P.S' = 2[iS-S' — рШ-S', Ρ'.5 = 2μ5/.5 — р'Ш-S,
причем для несжимаемой жидкости %-S' = div V = О, %~S = div V = О,
следовательно,
P.S' = P'-S.
Докажем, что при сделанных предположениях оба эти интеграла равны
нулю. Для этого вычислим выражение (суммирование по повторяющемуся
индексу!)
v'myP-diy(PV')^v^~(ptJn~-Pu^=
1 / дУ'г , dVj \ 1 / dV'i ÔV'j \ А,, р с-
x) H.Helmholt z, Zur Theorie der stationären Ströme in reibenden Flüssigkeiten,
Verhandl. der naturalist.-med. Vereines, 30 Okt. 1868.

430 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ, VIII
после чего получим
\p.S'dx=\ div (PV')dx- f V «JDiv Ρ dx.
τ τ τ
По формуле Гаусса — Остроградского
\ div (PV) dx=\ (PV')n do=0,
τ σ
так как по условию V = 0 на поверхности σ. Принимая далее во внимание,
что действительное медленное стационарное движение при наличии консерва-
тивного поля объемных сил с потенциалом Π удовлетворяет уравнению
в напряжениях
—grad Π +- Div P = 0
и что вследствие этого (div V = 0 по условию несжимаемости)
-F'-DivP=F'.gradn-div(nF') — ndivF' = div (UV),
получим, вновь применяя формулу Гаусса — Остроградского и используя
условие V = 0 на σ,
- [ V'.DivPdx= f di\(Oy')dx=\uVnda=0.
τ τ σ
Наконец, четвертый интеграл, по предыдущему, может быть представ-
лен в виде существенно положительной величины
2μ f S'
dx.
Вернемся теперь к равенству (216) и перепишем его в виде
Ν^ο-Νω1α = 2μ f S,zdx> 0. (217)
Отсюда вытекает следующий принцип Гельмгольца: механическая энер-
гия, диссипируемая при действительном медленном стационарном движении
вязкой несжимаемой жидкости в некотором объеме, меньше, чем в аналогичном
произвольном движении несжимаемой жидкости с тем же распределением
скоростей на поверхности, ограничивающей этот объем.
Принцип Гельмгольца можно трактовать как вариационный принцип
минимума диссипируемой энергии
6\s2dx = Q. (218)
τ
Этот принцип является в известной степени аналогом принципа минимума
потенциальной энергии деформаций, широко используемого в теории упру-
гости. Принцип Гельмгольца в гидродинамике вязкой жидкости, так же как
принцип минимума потенциальной энергии в теории упругости, может быть
положен в основу применения прямых методов вариационного исчисления для
решения задач о медленном движении, в частности для задач гидродинамиче-
ской теории смазки.
Необратимость процесса диссипации механической энергии обусловли-
вает тот факт, что приведенная в движение и предоставленная сама себе
вязкая жидкость рассеивает (диссипирует) сообщенную ей механическую

§84]
ДИССИПАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
431
энергию до тех пор, пока не придет в состояние покоя. При этом механиче-
ская энергия, сообщенная некоторому объему жидкости, будет диссипиро-
ваться не только в том же самом объеме жидкости, а начнет постепенно рас-
пространяться по всей области, занятой потоком, перераспределяться в ней.
Это распространение, или, как говорят, дисперсия механической энергии
осуществляется двумя отличными друг от друга процессами. Первый заклю-
чается в простом переносе энергии потоком жидкости и носит наименование
конвекции. Второй является результатом наличия в жидкости внутримоле-
кулярного переноса; его называют диффузией. Природа этого процесса та же,
что и у вязкого трения, которое, как уже ранее упоминалось, представляет
макроскопическое проявление микроскопического (молекулярного) пере-
носа количества движения.
У молекулярного переноса — диффузии — механической энергии и ана-
логичного переноса количества движения — вязкого трения — общий носи-
тель и, как далее будет выяснено, общий коэффициент переноса (диффузии);
это — динамический коэффициент вязкости μ или кинематический коэффи-
циент вязкости v. В конце главы нам придется встретиться с процессами
переноса тепловой энергии (теплопереносом) и введенного в жидкость веще-
ства (массопереносом), частью которых будет также диффузия (теплопровод-
ность, массопроводность). И в этом случае носителями явятся молекулы, но
разница в переносимой субстанции вызовет различие и в коэффициентах
переноса (диффузии).
Наряду с коэффициентами вязкости появятся коэффициент теплопро-
водности и коэффициент массопроводности (коэффициент диффузии в соб-
ственном смысле этого слова, под которым понимают обычно диффузию при-
меси вещества).
Проиллюстрируем сказанное на примере дисперсии завихренности
в потоке вязкой несжимаемой жидкости. Вводя обозначение Ω = rot F,
перепишем уравнение Стокса (27) настоящей главы в форме
iL+fixF=-grad(— + n + -|-)-vrotQ
и возьмем от o'jl-ux его частей операцию rot. Тогда получим
-^- + rot (Ω Χ V) = — ν rot rot Ω.
Произведем в этом уравнении векторные преобразования (div V = 0t
по условию несжимаемости жидкости, div Ω == 0) (III.9)
rot(QxF) = (V.V)0 — (ii-V)V + iidivV—V divQ = (V.V)Si — (Si-V)V,
rot rot Ω = grad div Ω — V2ii = — ν2Ω,
тогда получим
i£ + (V.V) Ω- (Ω· V) V = νν2Ω,
или, применяя обозначение индивидуальной производной ((42), гл. I)
следующее обобщение уравнения Гельмгольца ((16), гл. III) на случай
несжимаемой вязкой жидкости:
4£— (Ω·ν)^ = νν2Ω. (219)
В отличие от уравнения (16) гл. III в правой части (219) стоит выраже-
ние диффузии завихренности, причем роль коэффициента диффузии завихрен-

432 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
ности играет кинематический коэффициент вязкости v. Это говорит о тожде-
ственности молекулярного механизма влияния вязкости на движение жидко-
сти и на диффузию завихренности.
В частном случае плоского потока второй член в левой части (219),
пропорциональный производной от вектора скорости по направлению век-
тора ii, перпендикулярного к плоскости движения, будет равен нулю,
н уравнение (219) перепишется в более простой форме
^. = J^_ + (V. V) Ω = W2H. (220)
Замечая, что в этом случае можно заменить вектор Ω на его проекцию
ΩΖ = ±Ω, получим
—.+ V-grad Ω = νν2Ω. (221)
Рассмотрим процесс диффузии прямолинейной вихревой линии в без-
граничной области, заполненной вязкой несжимаемой жидкостью.
Пусть в некоторый начальный момент времени t = 0 в несжимаемую
вязкую жидкость введена бесконечная вихревая нить с циркуляцией Г
л соответствующим ей полем скоростей
2лг'
Такое поле может одинаково существовать как в идеальной, так и в вяз-
кой жидкости. В самом деле, движение это безвихревое, а следовательно,
повсюду вокруг вихревой линии Ω = 0; уравнения вязкой жидкости при
этом не отличаются от уравнений идеальной жидкости, а единственное гра-
ничное условие V —*■ 0 при г —>■ оо одинаково выполняется в обоих случаях.
Разница лишь в том, что в идеальной жидкости, где нет диссипации энергии
за счет работы сил внутреннего трения, такой вихрь не диффундирует в толщу
всего объема жидкости и может сохраняться бесконечно долго, поддерживая
указанное установившееся круговое движение частиц без притока энергии
извне; в вязкой же жидкости для поддержания такого движения необходимо
сообщение энергии от источника завихренности, например от вращающегося
в жидкости тонкого цилиндра, а если такой источник исчезнет, то постепенно
затухнет и движение жидкости.
Рассмотрим тот нестационарный процесс, который произойдет, если
в некоторый момент времени t = 0 удалить источник завихренности.
Предполагая движение плоским и, в силу симметрии, с круговыми линия-
ми тока, опустим в (221)конвективный член V-grad Ω, равный нулю, так как
вдоль линий тока завихренность сохраняет постоянное значение. Тогда
уравнение (221) примет вид
_ = νν2Ω
или в полярных координатах (dQ/de = 0)
5Ω _jv__£_ / ΘΩ \
dt ~ г дг V дг } ■
Уравнение это может быть переписано в форме известного уравнения
теории распространения тепла
t-H^ + i^)- (222)
Интеграл его, удовлетворяющий начальному условию Ω = 0 при t = 0
иг >0и граничному условию Ω -»- 0 при г ->- оо, будет
А -—

f 84]
ДИССИПАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
433
в чем легко убедиться простой подстановкой этого выражения в уравнение,
начальное и граничное условия. Чтобы найти величину А, воспользуемся
теоремой Стокса и напишем, что в любой момент времени интенсивность
вихревой трубки радиуса г
г
\ Ω · 2лг dr
равна циркуляции скорости V-2лг по окружности радиуса г
Будем иметь
V = ~4tT i Τ е~Ш 2лг dr = "Т1 (i - е Wt)
о
и, сравнивая с начальным распределением скоростей
найдем
У = 2Гг °РИ i = 0' Г>°«
4πν'
Таким образом, будем иметь окончательные формулы: распределения
вихря
Ω:
г --^
4nvi
(223)
и распределения скоростей
"-£('--*)· (224'
Проанализируем полученные результаты. В начальный момент времени
t = О движение повсюду (г >0) было безвихревым. После удаления источ-
ника завихренности, т. е. при t >0,
во всем пространстве мгновенно
возникло некоторое распределе-
ние завихренности, которое пред-
ставляется быстро ('убывающей с
а,<аг<а3...
Qtlmhmhmhm
Рис. 166.
Рис. 167.
возрастанием ""расстояния г функцией (223). Завихренность в центре
(г = 0) монотонно убывает простом времени, а в точке, находящейся на неко-
тором расстоянии от центра, сначала возрастает, а затем убывает до нуля
при t — оо.
28 Л. Г. Лойцянский

434
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. VIII
Рассмотрим какую-нибудь окружность радиуса г — а. Изменение со
временем завихренности в точках этой окружности представится в виде
Г -J*
Исследуя эту функцию на максимум — минимум, заключим, что в момент
времени tm — o2/4v завихренность достигнет своего максимального зна-
чения
Ω _ Г -- Г
т &Jivetm 3ia2e '
При дальнейшем возрастании времени завихренность будет убывать.
Об общем характере зависимости от времени завихренности в точкахг
находящихся на разных расстояниях от центра, можно судить по кривым,
приведенным на рис. 166.
Кривые распределения скоростей в различные последовательные момен-
ты времени приведены на рис. 167.
Пользуясь полученными формулами и графиками, можно составить
общее представление о явлении диффузии единичного вихря в безграничной
вязкой жидкости. Более сложно с математической стороны решается вопрос
о диффузии в безграничной вязкой жидкости вихревой трубки конечных
размеров, а также плоского и цилиндрического вихревого слоя *). Отметим
существенное обстоятельство: диффузия вихревой трубки тем значительнее,
чем меньше ее диаметр; быстрее всего затухают мелкие вихри.
Все рассмотренные до сих пор случаи интегрирования уравнений Стокса
были достаточно просты. Это объясняется тем, что путем тех или других
допущений задачи сводились к линейным уравнениям, не заключавшим
в себе нелинейного элемента — конвективного инерционного члена (V -V) V.
Точные аналитические решения полных нелинейных уравнений движения
вязкой жидкости немногочисленны. Большой теоретический интерес пред-
ставляют опубликованные недавно К. И. Бабенко 2) асимптотические реше-
ния при малых числах Рейнольдса.
В настоящее время большое внимание привлекают к себе численные
методы решения нелинейных уравнений Стокса, основанные на применении
ЭВЦМ. Количество численно проинтегрированных уравнений для разно-
образных задач движения вязкой жидкости растет день ото дня, развиваются
и применяемые для этой цели методы, образующие в своей совокупности
новую самостоятельную область науки. Отошлем интересующихся к спе-
циальным сборникам, издающимся Вычислительным Центром Сибирского
отделения АН СССР 3) с 1970 г. и по сие время, многочисленным публика-
циям по этому поводу в советских и зарубежных журналах, а также к имею-
щейся монографии 4).
Не располагая возможностью даже кратко остановиться на результатах
этой сравнительно новой области механики жидкости и газа, отметим, чта
пока удается выполнять решения общих задач динамики вязкой жидкости,
относящиеся лишь к области сравнительно малых рейнольдсовых чисел
х) См. по этому поводу: Н- Е. К о ч и н, И. А. К и б е л ь и Н. В. Розе, Тео-
ретическая гидромеханика, ч. II, Физматгиз, М., 1963, стр. 453—460.
2) К. И. Бабенко, Теория возмущений стационарных течений вязкой несжи-
маемой жидкости при малых числах Рейнольдса, Доклады АН СССР 227, № 3, 1976,
стр. 592—595.
3) Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, АН СССР, Сибир.
отд., т. I, 1970 и последующие выпуски.
4) А. Д. Г о с м е н, В. М. Пан, Α. Κ. Ρ а н ч е л, Д. Б. Сполдинг,
М. В о л ь φ ттт τ е й и, Численные методы исследования течений вязкой жидкости,
«Мир», М-, 1972.

§ 85] НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ И ДИФФУЗИЯ ПРИМЕСЕЙ 435
(обтекание тел при Re « Ю3). Замечательно, что численные решения помо-
гают обнаруживать явления, недоступные для непосредственного экспери-
ментального изучения. В этом смысле иногда говорят о численном экспери-
менте. Численными методами можно не только описать картину линий
тока, но и найти распределения давлений и коэффициенты сопротивле-
ния тел *).
§ 85. Неизотермические движения и диффузия примесей
в несжимаемой вязкой жидкости
В настоящем параграфе остановимся лишь на наиболее простом случае
неизотермического движения несжимаемой вязкой жидкости, когда темпера-
тура жидкости мало изменяется в процессе движения, что позволяет пре-
небречь влиянием этих изменений на коэффициенты вязкости, теплоемкости,
теплопроводности и другие термодинамические параметры, в частности, на
коэффициент диффузии примеси. Как будет показано в последней (XI) главе,
при движении жидкости (газа) с малыми числами Маха, когда сжимаемостью
можно пренебречь, пренебрежимо мало также и количество механической
энергии, диссипируемой в тепло. При невысоких степенях нагрева среды
можно не учитывать лучистый обмен и считать, что теплообмен полностью
осуществляется теплопроводностью.
Имея в виду важность в некоторых случаях учета свободной конвекции,
возникающей в среде за счет разности ее плотностей в неоднородном поле
температур, включим в рассмотрение объемную архимедову силу
Ρ в
Понятие об архимедовой силе, действующей на твердое тело, погружен-
ное в жидкость, непосредственно обобщается на случай жидкого тела плотно-
сти р, отличной от плотности р0 окружающей его жидкости. Возникающая
при этом равнодействующая силы тяжести pg δτ элементарного объема δτ
и приложенной к нему архимедовой силы (—p0g" δτ), будучи отнесена к эле-
ментарной массе ρ δτ, даст ту объемную силу
ρδτ ~ ρ ё ρ *'
которая должна учитываться при составлении дифференциального уравне-
ния свободной конвекции жидкости. Вводя термический коэффициент рас-
ширения жидкости β, определяемый равенством
р r
где Δρ и AT соответственно «избыточные» плотность и температура, можно
представить F в форме
F = $gAT. (225)
Уравнения Стокса (23), характеризующие динамическую сторону явления,
будут иметь вид
divF = 0. i
1) П. П. К о ρ я в о в, Ю. Н. Павловский, Численное решение эадачи
о движении кругового цилиндра в потоке вязкой жидкости. «Проблемы прикладной мате-
матики и механики», сборник, посвященный шестидесятилетнему юбилею А. А. Дородни-
цына, «Наука», М-, 1971, стр. 247—261.
28*

436 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. VIII
Для вывода уравнения распространения тепла — его еще называют
уравнением баланса тепла — используем приведенное в гл. II общее урав-
нение баланса энергии (48). Удельную внутреннюю энергию U в несжимае-
мой среде определим произведением принимаемого за постоянную величину
коэффициента теплоемкости среды с на абсолютную температуру Τ в дан-
ной точке.
Для вектора q* отнесенного к единице площади и единице времени
потока тепла в данной точке примем закон Фурье (λ — коэффициент тепло-
проводности среды)
q*=— XgradT; (227)
тогда удельный приток тепла д извне к данной точке среды определится как
предел отношения суммарного притока тепла сквозь произвольную поверх-
ность σ, ограничивающую некоторый объем τ и заключающую внутри себя
рассматриваемую точку, к массе ρτ при стягивании поверхности σ в эту
точку (и — орт внутренней нормали к поверхности σ)
If 1 i*
рд = lim— \ q%do=— lim— I (λ grad T)n do = div (λ grad Τ).
σ σ
При постоянном коэффициенте теплопроводности λ (однородная среда)
удельный приток тепла д будет равен
рд = λ div grad Τ = λν2Τ.
Вспоминая еще сказанное ранее о малости величины NauC, получим
искомое уравнение баланса тепла в виде
iL+ F-grad T=~W2T^αν2Γ, (228)
где α = λ (рс) — коэффициент температуропроводности.
Перейдем в уравнениях (226) и (228) к безразмерным переменным, как
уже это было сделано с уравнениями Стокса в § 77. Тогда получим (AT —
дополнительный масштаб для перепадов температур)
Sh ^-+(V'-V) V - -Eu grad· ρ'+ -±-\g' +-^- V
er i > <229>
Sh -gr + V'.gnd'r = ~ V'2r.
i'W, Λ
Здесь, помимо известных нам уже по предыдущему чисел Струхала,
Эйлера и Рейнольдса
Sh=^, |Eu = p^ !Re=-v-. (230)
появилось новое число\ Пекле
Ре—^-. (231)
и, кроме того, число Фруда имеет специфическое для неизотермического
движения жидкости значение
Fr = irjW- (232>
Укажем, что вместо чисел Пекле и Фруда обычно пользуются следующи-
ми двумя их комбинациями с остальными числами подобия (230): числом
Прандтля Рг, равным отношению числа Пекле Ре к числу Рейнольдса Re

§ 85i НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ И ДИФФУЗИЯ ПРИМЕСЕЙ 437
и числом Грасгофа
Gr=^ = *^. (234)
Число Грасгофа используют при изучении явлений свободной конвек-
ции, так как оно не содержит масштаба скорости, отсутствующего в задании
свободной конвекции.
Уравнение распространения тепла (228) по форме идентично с уравне-
нием распространения примеси. В основу вывода этого уравнения можно
положить уравнение концентрации (68) гл. II, составленное для какой-то
i-й компоненты или фазы примеси. Отвлечемся от наличия источников при-
тока примеси, т. е. положим J0) = 0, и, кроме того, примем следующий,
аналогичный закону Фурье, закон Фика для скорости диффузии примеси
(г = 1) в однородной жидкости — носителе
V*=-^- grade. (235)
В этой формуле D обозначает коэффициент диффузии примеси в жидко-
сти — носителе, с — концентрацию примеси в данной точке потока (сохра-
няем для концентрации общепринятое обозначение с, которое не следует
смешивать с аналогичным обозначением для теплоемкости в предыдущих
формулах). Считая коэффициент диффузии D постоянным, получим, согласно
(68) гл. II, следующее уравнение диффузии примеси:*
Яг I
^- + F.gradc = £>V2c, (236)
действительно совпадающее по внешней форме с уравнением распростране-
ния тепла (228). Полученное уравнение присоединяется к уравнениям Сток-
са, причем в большинстве случаев принимается, что наличие примеси не
влияет на динамику среды-носителя, т. е. уравнения Стокса не содержат
в числе неизвестных концентрацию примеси (условие пассивности примеси).
Переходя в уравнении (236) к безразмерным величинам, в полном соот-
ветствии с уравнением распространения тепла (второе уравнение систе-
мы (229)), получим
Sh-^F+^-^^'^-piT^^'· (237)
где Ped — диффузионное число Еекле, отличающееся от числа Ре (231)
коэффициентом диффузии вещества (примеси) D, заменяющим коэффициент
температуропроводности а:
Ped = -^. (238)
Отношение
Sc = Prd=-^r=!=J^ (238)
носит наименование числа Шмидта или диффузионного числа Прандтля.
Численные значения коэффициента переноса D для различных жидко-
стей и газов можно найти в специальных руководствах и справочниках г).
Удовольствуемся этими первичными сведениями. Решение даже самых про-
стых задач о тепломассопереносе, в зависимости ст многообразия граничных
условий, может оказаться весьма сложным с вычислительной стороны.
словарь
г) См. Д. К. Белащенко, А. А. Жуховнцкий, Двффувия, Фвз. э цикл.
ipb, том I, СЭ, М-, 1960, стр. 622 и 623.

438 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 1'ГЛ. VIII
Особенно это относится к тем случаям, когда уравнения Стокса не автоном-
ны, т. е. заключают в себе в качестве неизвестных температуру или концен-
трацию. Но даже и при автономности уравнений Стокса решение линейных
уравнений распространения тепла и примеси требует сложных вычислений.
Несколько легче решаются задачи, отвечающие большим значениям чисел
Рейнольдса и Пекле; об этих задачах мы дадим представление в конце сле-
дующей главы 1).
Более общие уравнения теплопереноса, учитывающие приток тепла за
счет диссипации механической энергии и зависимость физических констант
от температуры, будут рассмотрены в последней, XI главе курса. Там же
расширятся представления о переносе примеси в многокомпонентных потоках.
*) Примеры применения только что выведенных уравнений тепломассопереноса
потребовали бы значительного места в настоящем, не претендующем на изложение этих
самостоятельных вопросов учебнике. Отошлем интересующихся к специальным курсам:
Д. Б. С π о л д и н г, Конвективный массоперенос, «Энергия», М.— Л., 1965; Г. Г ρ е-
б е р, С. Эр к, У. Г ρ и г у л ь, Основы учения о теплообмене, ИЛ, М., 1958; А. В. Л ы-
к о в, Ю. А. Михайлов, Теория тепло- и массопереноса, Госэнергоиздат, М., 1963.

Глава IX
ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 86. Взаимодействие конвекции и диффузии в потоке
вязкой жидкости. Пограничный слой. Уравнение Прандтля
Представление о пограничном слое 1), образующемся при обтекании
вязкой жидкостью или газом твердых поверхностей или при смешении
потоков разных скоростей и физических свойств, лежит в основе объяснения
и количественного описания многих важных для техники процессов.
Среди областей техники, особенно успешно использующих результаты
теории пограничного слоя, в первую очередь следует упомянуть «старых»
потребителей: авиастроение, кораблестроение и энергетическое машино-
строение, включающее турбокомпрессоростроение и электрогенераторострое-
ние. В более позднее время к ним присоединились ракетостроение, специаль-
ное моторостроение, проектирование и эксплуатация атомных, а в недале-
ком будущем — и ядерных реакторов, МГД-генераторов электроэнергии
и весьма разнообразная тематика, относящаяся к химической технологии.
Под пограничным слоем в узком смысле этого понятия, как вихревого
или скоростного пограничного слоя понимают тонкую в поперечном к потоку
направлении область течения реальной (вязкой) среды, где, в отличие от
окружающего ее безвихревого потока, движение является вихревым и харак-
теризуется резками изменениями скорости и завихренности в поперечном
к потоку направлении.
Различают пристенные пограничные слои, расположенные между твер-
дой поверхностью обтекаемого тела и внешним безвихревым потоком, и сво-
бодные, с двух сторон окруженные безвихревым потоком (затопленные струи,
следы за омываемым вязким потоком телом). Подчеркнем, во избежание
возможного смешения понятий, обязательное наличие примыкающего к обла-
сти пограничного слоя безвихревого потока, а в случае пристенного слоя —
еще (вообще говоря, абсолютно твердой, а в некоторых задачах гидроаэро-
упругости и упругой) непроницаемой или проницаемой поверхности.
Положим в основу понятия пограничного слоя изложенное в конце пре-
дыдущей главы описание двух процессов распространения завихренности
в движущейся вязкой среде: диффузии и конвекции.
Возникнувшая в набегающем на тело безвихревом потоке, вследствие
«прилипания» вязкой жидкости к поверхности тела, завихренность путем
молекулярной диффузии распространяется от места своего зарождения —
твердой поверхности тела — в близлежащие к поверхности тела слои набе-
гающего на него потока и, вместе с тем, благодаря наличию конвекции,
сносится потоком, образуя за кормой тела область завихренного движения,
называемую следом. Существующий между этими двумя процессами баланс,
количественно задаваемый уравнением Гельмгольца (219) предыдущей гла-
вы, может быть положен в основу объяснения специфических явлений,
происходящих вблизи поверхности тела, обтекаемого вязкой жидкостью,
при сравнительно больших значениях числа Рейнольдса Re = UooL/v,
1) L. Ρ r a n d t 1, Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiaer Reibung, Verhandl.
d. III Kongr., Heidelberg, 1904 (имеется русский перевод в издании ЦАГИ, М., 1931).

440 ЛАМИНАРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
составленного по скорости набегающего на тело потока {/«,, линейному
размеру тела L и кинематическому коэффициенту вязкости жидкости v.
Увеличение числа Рейнольдса означает возрастание роли конвективного
ускорения в уравнении Стокса (23), а тем самым, как это следует из вывода
уравнения Гельмгольца, и конвекции завихренности. Повышение роли этого
процесса приводит к двум следствиям:
1) уменьшению с ростом числа Рейнольдса поперечного к потоку раз-
мера области завихренности;
2) благодаря сохраняющемуся балансу между процессами конвекции
и диффузии, сосредоточению последней в этой тонкой области.
Первое из этих следствий служит объяснением существования при боль-
ших числах Рейнольдса пограничного слоя, второе говорит о повышенной
интенсивности диффузии в области пограничного слоя и об определяющем
значении в нем диффузии завихренности в поперечном к поверхности тела
направлении.
Прежде чем перейти к подробному анализу движения вязкой жидкости
в области пограничного слоя, остановимся на некоторых соображениях,
позволяющих дать количественную оценку общего закона убывания толщины
пограничного слоя в зависимости от изменения числа Рейнольдса потока.
Удовольствуемся случаем плоского стационарного движения, когда
уравнение баланса между процессами конвекции и диффузии завихренно-
сти (221) предыдущей главы может быть записано в простейшей форме
•grad Ω = \·ν2Ω.
Для оценки порядка изменения с ростом числа Рейнольдса величин,
стоящих в левой (конвекция завихренности) и правой (диффузия завихрен-
ности) частях этого уравнения, применим прием, использованный в начале
гл. VIII для вывода условий подобия двух потоков вязкой жидкости и заклю-
чающийся в выражении входящих в уравнения переменных величин в частях
характерных для них постоянных масштабов. При рассмотрении процессов
конвекции и диффузии завихренности в области пограничного слоя, усло-
вимся отличать масштабы продольных длин и скоростей: L0 и £/0 от соответ-
ствующих масштабов поперечных длин и скоростей: 60 и V0. Введем также
масштаб Ω0 для завихренности.
Что касается первых двух масштабов, то их конкретизация не нуждается
в особых разъяснениях. За величину L0 можно взять, например, диаметр
обтекаемого жидкостью кругового контура, хорду или максимальную толщи-
ну крылового профиля, внутренний радиус трубы, на входе в которую обра-
зовался пограничный слой, и т. д. За масштаб продольных скоростей V0
естественно выбрать скорость £/«> набегающего на тело потока или скорость
на входе в трубу. Масштаб завихренности Ω0 из дальнейшего рассуждения
выпадает, и его нет необходимости конкретизировать.
Особого разъяснения заслуживает вопрос о выборе поперечного масшта-
ба длин 60. Этот масштаб естественно связать с расстоянием, на которое рас-
пространяется диффузия завихренности в направлении, поперечном к поверх-
ности обтекаемого тела, представляющей источник завихренности. Такого,
конечного по величине, расстояния в задачах динамики вязкой жидкости,,
изложенных в предыдущей главе, не существовало.
Вспомним, например, задачу Стокса об обтекании вязкой жидкостью
сферы (§ 82), или расчет диффузии завихренности, образованной вихревой
витью (§ 84). Во всех этих случаях влияние вязкости распространялось мгно-
венно, а в безграничных потоках и на бесконечно большие расстояния. Этот
принципиальный факт является прямым следствием обобщенного закоиа
Ньютона, выражавшего линейную связь между тензорами напряжений
и скоростей деформаций, и обуславливает эллиптический характер диффе-

t 86)
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОНВЕКЦИИ И ДИФФУЗИИ
441
ренциальных уравнении Стокса с присущей этому типу уравнений бесконеч-
ной скоростью распространения влияния вязкости.
В настоящее время существуют теории, основанные на допущении
о конечности скорости распространения влияния вязкости, в частности,
о конечной скорости диффузии завихренности. Изменения, которые при этом
вносятся в выражение обобщенного закона Ньютона, нарушают эллипти-
ческий тип уравнений движения вязкой жидкости и делают их принадлежа-
щими к гиперболическому типу, для которого, как нам уже известно из
содержания гл. VI, характерна конечная скорость распространения возму-
щений. Это новое направление в динамике вязкой жидкости еще не получило
широкого призвания и является значительно более сложным с математи-
ческой стороны по сравнению с принятым в настоящем курсе классическим
подходом.
Дальнейшее изложение основывается на концепциях бесконечной ско-
рости диффузии завихренности и безграничной области ее распространения
в неограниченном потоке вязкой жидкости. Эти концепции не метают уста-
новлению излагаемой далее общей точки зрения на характер стремления
продольной скорости в пограничном слое к соответствующей ей скорости во
внешнем потоке, а завихренности — к нулю при приближении к условной
границе этих смежных областей потока.
Поперечная тонкость области пограничного слоя позволяет считать эта
стремление несравнимо более быстрым, чем во внешней по отношению
к пограничному слою области потока. Вместе с тем можно потребовать нали-
чия той или иной степени плавности стремления продольной скорости и за-
вихренности к их предельным значениям на границе этих двух, внутренней
и внешней областей.
Согласно принятым концепциям о бесконечной скорости распростране-
ния влияния вязкости и безграничности области этого распространения,
указанный только что характер изменения величин при строгой постановке
соответствовал бы асимптотическому стремлению величин к своим предель-
ным значениям. Такую асимптотическую постановку обычно сохраняют
при составлении граничных условий для дифференциальных уравнений
пограничного слоя на внешней его границе и символизируют при помощи
выражения (у —>- оо), где у — расстояние данной точки от поверхности тела.
Под толщиной пограничного слоя как некоторой конечной величины δ
подразумевают расстояние от поверхности обтекаемого тела до такой точки
в потоке (у = о), где практически, с любой наперед заданной степенью
приближения можно принять продольную скорость в пограничном слое
равной ее значению в той же точке безвихревого потока, или завихренность
равной нулю. Геометрическое место таких точек дает приближенное, «конеч-
ное» представление о внешней границе пограничного слоя. Отмеченная асим-
птотичность распределений продольных скоростей и завихренности в области
пограничного слоя сближает понятия пограничного слоя конечной толщины
с асимптотическим слоем.
Наличие только что указанных обстоятельств оправдывает исторически
сложившееся представление о конечной толщине пограничного слоя; однако
имеющийся в таком определении произвол в величине допускаемой погреш-
ности делает это определение расплывчатым. В дальнейшем оказалось
предпочтительным иметь дело с менее наглядными, но более точными и одно-
значными определениями толщины пограничного слоя, основавными на ин-
тегральных характеристиках распределений продольных скоростей в нормаль-
ных к поверхности тела сечениях пограничного слоя, представляющих
функционалы этих распределений.
Каждая из них, являясь переменной вдоль поверхности тела величи-
ной δ, может служить местным для нормального к потоку сечения пограиич-

442 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
ного слоя масштабом длин, в частности, координат. Введенный ранее
постоянный масштаб поперечных длин δ0 следует трактовать как величину,
характеризующую общий порядок толщип пограничного слоя в рассматри-
ваемом потоке; величина δ0 зависит от рейнольдсова числа. Чтобы найти
чакон этого изменения, сравним порядки величин конвекции и диффузии,
заданные левой и правой частями уравнения баланса завихренности, выразив
эти порядки при помощи введенных ранее масштабов. Учитывая, что поря-
док члена в правой части определяется диффузией в поперечном направле-
нии, найдем
О (F-grad Ω) = ™L, Ο (νν2Ω) = ^-,
где символ О служит выражением порядка изменения величины с ростом
рейнольдсова числа.
Приравнивая эти порядки, согласно уравнению баланса конвекции
и диффузии, получим
Ζ7ρΩ0 νΩ0
откуда будет следовать
60/L0 = Vv/(U0L0) = 1/ /R^, Re0 = U0L0/v.
Полученное равенство выражает общий для всех плоских, стационар-
ных ламинарных пограничных слоев закон изменения их относительных
толщин обратно пропорционально корню квадратному из рейнольдсова
числа потока. Это — первое основное свойстг.о ламинарного погранич-
ного слоя.
Подчеркнем, что здесь идет речь об изменении порядка толщин погра-
ничного слоя в результате общего для всех сечений пограничного слоя изме-
нения рейнольдсова числа потока, а не изменения толщин вдоль поверхности
тела при фиксированном рейнольдсовом числе.
Наряду с только что рассмотренным скоростным или вихревым погра-
ничным слоем, приходится иметь дело и с другими по физическим свойствам
переносимой субстанции пограничными слоями, как, например, температур-
ным и диффузионный (концентрационным). Они представляют также тонкие
в поперечном к поверхности тела направлении области, в которых сосредото-
чена интенсивная диффузия тепла (температуры) или вещэства (концентра-
ции), но тонкость этих областей обусловлена большими значениями не числа
Рейнольдса, а числа Пекле (Ре) и диффузионного числа Пекле (Ре<г), о кото-
рых была речь в конце гл. VIII.
Нет необходимости вновь повторять все рассуждения, проведенные
только что для скоростного (вихревого) пограничного слоя, применительно
к этим двум слоям. Заметим лишь, что в случае плоского стационарного
распространения тепла и вещества уравнения баланса конвекции и диффу-
зии могут быть представлены в форме равенств
V -grad Τ = aV2Tt V -grad с = Dv2c,
совпадающих с ранее указанным уравнением для завихренности Ω, если
в нем заменить Ω на Τ или с, a v на α или D. Оценивая порядки входящих
в последние уравнения величин и вводя для этого наряду с прежними масшта-
бами еще дополнительные: δοτ и Sod соответственно для поперечных длин
в температурном и в диффузионном (концентрационном) слоях, получим
выражения для этих масштабов и выпишем их вместе с ранее полученной
закономерностью для порядка толщины скоростного пограничного слоя:

§ 86]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОНВЕКЦИИ И ДИФФУЗИИ
443
Вводя еще (§ 85) числа Прандтля и Шмидта («Прандтля диффузионное»)
Pi"o = -p^-i Sc0 = Prdo =
Ρ ело
Re0
получим соотношония между порядками толщин пограничных слоев
JOT
=o(YW0),
Sod
:O(VSc0) = O{VPrd0)9
(2)
выражающие тот факт, что при больших значениях чисел Рг0 и Sc0 (Pi"do)
температурные и концентрационные пограничные слои значительно тоньше
скоростных, а при малых значениях чисел Рг0 и Sc0 (Рг<го)> наоборот,
значительно толще.
Переходя к выводу основного дифференциального уравнения движения
вязкой среды в области ламинарного пограничного слоя, сосредоточим
в настоящем параграфе внимание лишь
на случае плоского, пристенного ста-
ционарного скоростного пограничного
слоя. В последующих параграфах
настоящей главы будут рассмотрены
более сложные случаи как нестационар-
ных, так и пространственных течений,
причем не только в пристенных, но
и в свободных пограничных слоях.
В конце главы будут приведены некото-
рые сведения о температурных и кон-
центрационных пограничных слоях.
Понятие о турбулентном пограничном слое и эмпирических и полуэмпири-
ческих методах его расчета можно найти в гл. X курса, а о ламинарном
и турбулентном пограничных слоях в сжимаемой, неизотермической среде —
газе при сверхзвуковых скоростях его движения — в заключительной главе.
Малость при больших значениях числа Рейнольдса потока порядка толщин
пограничного слоя δ0 позволяет рассматривать показанную на рис. 168
ортогональную сетку параллельных контуру тела и нормальных к ним
кривых как прямолинейную декартову систему (ж, у) в области пограничного
слоя и сохранить для уравнений Стокса (22) гл. VIII обычную их форму
Рис. 168.
ди , да 1 др . 1
дх ' ду ρ дх \
ди , до 1 др , I
дх ' ду pj ду · V
д*и
д*и
дх2
ду*
5%
И
Г ду*)'
(3)
ди , ди п
дх ау
J
Принятое только что упрощение в выборе системы координат не являет-
ся принципиальным. Весь дальнейший вывод можно было провести, и не
считая указанную на рис. 168 сетку координатных линий прямолинейной1).
Пользуясь принятым ранее методом оценки порядков отдельных членов
системы уравнений (3) при помощи постоянных масштабов: продольных
скоростей — U0, продольных длин — L0, поперечных — δ0, определим,
прежде всего, масштаб поперечных скоростей V0. Для этого заметим, что,
согласно последнему уравнению системы (3) — уравнению несжимаемости,—
х) См., Н. Е. К о чин, И. А. Кибель, Н. В. Розе, Теоретическая гидроме-
ханика, ч. II, Физматгиз, М-, 1963, 550—552, а также монографию «Laminar boundary
layers», ed. by L. Rosenhead, Oxford, Clarjndon Press, 1963, pp. 201—203.

444 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 1ГЛ. IX
будет (у = 0 соответствует контуру тела)
V
о
так что
ν0 = Ο(ν)=ψ^ (4)
и, следовательно,
У0 _ б0 _ 1
т. е. поперечная скорость в области пограничного слоя имеет тот же относи-
тельный порядок, что и толщина слоя. Это — второе основное свойство
ламинарного пограничного слоя.
Оценивая аналогичным образом члены в левой и правой частях второго
уравневия системы, найдем порядки членов, не содержащих давление:
О (u^)=U0V0/L0=U0U0b0/Lt=(Ul/Lc)/Vfte0,
'(^-^-тэ^-^^*· (6>
Согласно приведенным оценкам, члены эти имеют при больших значе-
ниях рейнольдсова числа Re0 порядок 1/|/ Re0 или еще более малую величи-
ну l/(Re0 У Re0). Что же касается члена, содержащего производную др/ду,
то он, являясь с точностью до не зависящего от Re0 множителя разностью
величин^ порядка 1/"J/ Re0 сам должен иметь такой же порядок. Таким об-
разом, в принятом приближении теории пограничного слоя, т. е. при
больших значениях Re0> можно пренебречь малым значением этого члена
и положить др/ду = 0, откуда следует третье основное свойство погранич-
ного слоя: во всех точках данного, нормального к поверхности тела сечения
пограничного слоя давление имеет одно и то же значение.
Вспомним, что аналогичным свойством строго обладали все рассмотрен-
ные в гл. VIII равномерные прямолинейные движения вязкой жидкости
в цилиндрических или призматических трубах, а также между близкими
друг другу параллельными плоскостями и в малых зазорах подшипников.
В пограничном слое это свойство обеспечивается малой его толщиной и, как
следствие, почти параллельностью линий тока поверхности тела.
Указанное свойство позволяет в рассматриваемом случае плоского
стационарного движения жидкости в области пограничного слоя заменить
в правой части первого уравнения1" системы (3) частную производную др/дх
на полную производную dpidx. Согласно тому же свойству, распределение
давления ρ (х) вдоль пограничного слоя совпадает с распределением давле-
ния во внешнем безвихревом потоке. Это распределение по теореме Бернул-
ли (§ 20), справедливой для набегающего на тело безвихревого потока
идеальной жидкости, можно связать со скоростью во внешнем потоке. Благо-
даря тонкости пограничного слоя, можно «снести» эту скорость на поверх-
ность тела, положив ее равной той, зависящей только от продольной коорди-
наты х скорости скольжения V (х) жидкости по поверхности тела, которая
имела бы место в идеальной жидкости, т. е. при отсутствии пограничного
(5)

§ 86]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОНВЕКЦИИ И ДИФФУЗИИ
445
слоя. Скорость U (х) будем в дальнейшем называть скоростью на внешней
границе пограничного слоя, или, короче, внешней скоростью.
Согласно теореме Бернулли, имеем
ρ Ldx dx · \ I
Используя ранее принятый способ оценки порядка отдельных членов
системы уравнений (3) и основываясь на равенстве (7), получим оценку чле-
на, содержащегося в правой части первого уравнения системы (3):
\ ρ dx ) - L0 » (b)
которую присоединим к следующей очевидной оценке остальных членов
этого уравнения:
°M5H=TH^o)/Re„, ' <9)
Приняв во внимание эти оценки, опустим первое слагаемое в круглых
скобках в правой части первого из уравнений системы (3) как малое по срав-
нению со вторым, а также все второе уравнение системы (3), которое уже
использовано для обоснования третьего свойства пограничного слоя.
Перепишем теперь систему (3) в виде
ди . ди 1 dp , дйи
дх ду ρ dx ' ду2
ди , dv ^
~~дх *"ду"~ '
·)
(10)
или эквивалентном ему по (7), более удобном для последующего изложения
виде
to . ди jj dU , cftu
дх ду dx ■ ду*
ди_ dv_ = Q > <">
дх * ду
Уравнения эти, представляющие систему нелинейных уравнений
в частных производных второго порядка параболического типа, были указа-
ны Л. Прандтлем в 1904 г. 1).
Согласно идее Прандтля, внешняя скорость U (ж), входящая в уравне-
ние (11), считается заданной, заранее рассчитанной по теории плоского без-
вихревого обтекания тела идеальной несжимаемой жидкостью (гл. V).
В такой постановке задачи предполагается, что пограничный слой по всему
контуру обтекаемого тела настолько тонок, что его искажающее влияние
на внешний поток пренебрежимо мало. Можно сказать, что при этом не учи-
тывается обратное влияние пограничного слоя на внешний безвихревой
поток. В некоторых случаях (плавное обтекание удобообтекаемых тел) такое
пренебрежение обратным влиянием пограничного слоя на внешний поток
г) См. ранее цитированный доклад Прандтля на III Международном конгрессе
в Гейдельберге.

446 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
вполне допустимо, в других случаях оно настолько велико, что внешнюю
скорость U (х) приходится вычислять по (9), используя экспериментально
замеренное распределение давления по контуру тела.
Уравнения (11) подлежат интегрированию при следующих граничных
условиях:
и = 0, υ —О при у = 0, \
и -*■ U (х) при у -»- оо, I (12)
и~и0(у) При £ = £„. J
Первые два из них выражают условие прилипания вязкой жидкости
к твердой стенке (у = 0) — контуру обтекаемого тела. Третье (у —*~ оо)
представляет требование асимптотического стремления продольной ско-
рости и в области пограничного слоя к скорости U (х) на границе погранич-
ного слоя с безвихревым потоком. Это граничное условие можно интерпре-
тировать как операцию «сращивания» (иногда говорят «сшивания») решения
уравнений Прандтля движения вязкой жидкости в пограничном слое
(внутренняя область со своей бесконечностью — границей пограничного
слоя) с решением уравнений Эйлера для безвихревого обтекания тела идеаль-
ной несжимаемой жидкостью (внешняя область с бесконечностью в набега-
ющем на тело невозмущенном однородном потоке).
Особо характерным для уравнений параболического типа является
последнее граничное условие, выражающее задание профиля скоростей
и0 (у) в некотором начальном сечении пограничного слоя (а; = х0). Согласно
общей теории дифференциальных уравнений в частных производных, реше-
ние уравнений параболического типа при заданных граничных условиях
определяется только в области течения, расположенной вниз по потоку за
этим начальным сечением.
В области течения, описываемого параболическими уравнениями, влия-
ние начального профиля скоростей вверх по потоку не могло бы иметь места.
Только благодаря существованию внешнего безвихревого потока, описы-
ваемого уравнениями эллиптического типа, и ранее упомянутому эффекту
обратного влияния пограничного слоя на внешний поток в этой смешанной
области действия уравнений параболического и эллиптического типов иногда
приходится наблюдать влияние начального профиля на области погранично-
го слоя, расположенные вверх по течению относительно начального сече-
ния (см. далее § 118).
Если отвлечься от сравнительно узкого класса специальных задач,
связанных с необходимостью строгого продолжения вниз по потоку в погра-
ничном слое заданного начального профиля скоростей, то можно заметить,
что начальное граничное условие не является особенно существенным, так
как его влияние вниз по потоку быстро убывает с возрастанием относитель-
ного, выраженного в частях начальной толщины слоя расстояния от этого
сечения. По сравнению с продольными расстояниями поперечный размер
пограничного слоя настолько мал, что начиная с некоторого сечения все
остальные будут находиться достаточно далеко от начального по числу
калибров пограничного слоя.
Вопрос о существовании и единственности решения уравнений (11)
при граничных условиях (12) выходит аа рамки настоящего курса г).
1) Из работ этого направления заслуживают внимания следующие: О. А. О л е п-
н и к, О системе уравнений пограничного слоя для нестационарного течения несжимаемой
жидкости, ДАН СССР(168, № 4, 1966, 751—754, и ряд других работ того же автора, цити-
рованных в только что указаннои статье, а также К. Nickel, Ein Eindeutigkeitssatz
für instantionäre Grenzschichter, Math. Leitscbr. 74, 1960 и его обзор, Prandtl's boundary-
layer theory from the viewpoint of a mathematician, Ann. Rev. of Fluid Mech. 5, Palo
Alto, Calif., 1973, 405—428.

§ 86]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОНВЕКЦИИ II ДИФФУЗИИ
447
Теория пограничного слоя позволила объяснить природу часто встре-
чающегося в практике явления отрыва потока от поверхности плавной формы.
Явление это тесно связано со свойством прилипания вязкой жидкости
к твердой поверхности обтекаемого ею тела и образованием на ней погранич-
ного слоя.
Механизм вязкого отрыва отличен от механизма описанного в гл. V
инерционного срыва безвихревого потока идеальной жидкости с высту-
пающих острых кромок тела. При наличии вязкого отрыва непосредственно
за ним в так называемом ближнем следе возникают сложные нестационарные
попятные движения с замкнутыми
линиями тока. Эти похожие на вихри
образования периодически отрыва-
ются от тела (вспомнить описанный
в § 77 процесс автоколебаний ци-
линдра в потоке), уносятся потоком,
разрушаются и создают в дальнем
следе за телом хаотическое турбу-
лентное движение (см. § 99).
Стационарный отрыв является
результатом взаимодействия трех
факторов: инерции потока, вязкого Рис. 169.
взаимодействия между смежными
слоями жидкости и с твердой поверхностью, и направленного в сторону,
противоположную движению, обратного перепада давления. Процесс возник-
новения и развития отрыва в нестационарных условиях будет рассмотрен
в § 94.
В кормовой области профиля вниз по течению за точкой минимума
давления Μ (рис. 169) происходит возрастание давления и dp/dx ;>0 (эта
область носит наименование диффузорной); при этом жидкость в погранич-
ном слое движется из области меньшего давления в область большего давле-
ния против подтормаживающего ее перепада давлений. Если^ бы жидкость
была идеальна и скорость на поверхности крыла не равнялась нулю, то
запас кинетической энергии жидкости оказался бы достаточным для преодо-
ления тормозящего поля давлений.
В пограничном слое поле давлений, по предыдущему, не отличается
от поля давлений в идеальной жидкости, между тем в непосредственной
близости к поверхности крыла скорости малы, а следовательно, и кинети-
ческая энергия частиц жидкости ничтожна. В этих условиях торможение
жидкости вызывает остановку, а далее и попятное (рис. 169) движение под
действием перепада давления, направленного против движения. Встреча
набегающего потока с попятно движущейся в пограничном слое жидкостью
приводит к резкому оттеснению линий тока от поверхности тела, к утолще-
нию пограничного слоя и к отрыву его от поверхности тела. До точки отры-
ва S, как видно из рис. 169, (ди/ду)у:=0 >0, за точкой отрыва (ди/ду)у=0<: 0;
в самой точке будем иметь условие отрыва
(■s-u-°- <1з>
Приведенное только что объяснение явления вязкого отрыва показы-
вает, что отрыв такой природы может возникнуть только в диффузорной
области пограничного слоя, где вязкие взаимодействия в жидкости сосу-
ществуют с обратным по отношению к направлению потока перепадом давле-
ний. Точка отрыва S, таким образом, всегда располагается ниже по течению,
чем точка Μ минимума давления (максимума внешней скорости).

448 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Условие отрыва (13) сохранит свой вид и после перехода к безразмерным
величинам и' = u/U, у' — y/δ. Замечая, что выраженное в этих новых пере-
менных уравнение для определения положения точки отрыва (ди'/ду')У'=0 =
= 0 не будет явно содержать рейнольдсово число, заключим, что безраз-
мерная абсцисса точки отрыва x's = xJL, являющаяся корнем этого уравне-
ния, также не будет зависеть от рейнолъдсова числа.
Сделанный только что вывод о независимости положения точки отрыва
от рейнолъдсова числа, конечно, справедлив только в предположении о при-
менимости уравнения Прандтля в предотрывной области. На самом деле
в области отрыва — ее размеры требуют специальной оценки по рейнольдсо-
ву числу — уравнения Прандтля в рассмотренной форме теряют силу. При
приближении к точке отрыва тормозящее влияние стенки резко убывает
до нуля, и преимущественное значен е производных по нормали к стенке
по сравнению с производными в направлении, параллельном стенке, исчезает.
При этом уже нет оснований пренебрегать величиной <92и/<3ж2 по сравнению
с д2и/ду2 в круглой скобке в правой части первого из уравнений (3). Попереч-
ный размер пограничного слоя, так же как и поперечная скорость, перестает
быть малым, существенным становится и поперечное изменение давления 1).
Большое значение приобретает факт заметного в этих условиях искаже-
ния "внешнего безвихревого потока за счет оттеснения его линий тока от
поверхности тела. Особенно резким такое искажение будет, если пограничный
слой оторвется от поверхности тела. При этом теряется возможность той
прямой постановки решения уравнений пограничного слоя, о которой до сих
пор была речь. Уже нельзя задавать наперед распределения скоростей во
внешнем безвихревом потоке, которое имело бы место в отсутствие погранич-
ного слоя.
При наличии отрыва пограничного слоя обтекание тела перестает быть
плавным. Область пограничного слоя, включая сюда сорвавшийся слой
и аэродинамический след, несмотря на большие значения рейнольдсова
числа, уже не тонка, и изложенная теория теряет силу.
В этом случае, как упоминалось, необходимо учитывать обратное влияние
пограничного слоя на потенциальное обтекание или пользоваться экспери-
ментальным распределением давления по поверхности профиля.
Тормозящее влияние обратного перепада давления является необходи-
мым условием отрыва пограничного слоя с поверхности тела. Так, при
постоянстве давления вдоль *пограничного слоя отрыв произойти не может.
Условие постоянства давления возникает, например, при обтекании тела
тонкой сравнительно с размерами тела струей. Внешняя граница такой струи
является свободной поверхностью, так как граничит с неподвижной средой,
в которой давление повсюду постоянно. Отрыв пограничного слоя от поверх-
ности тела в такой струе не происходит", тонкие струи прилипают к поверх-
ности тела, вдоль которой они распространяются. Это любопытное, часто
наблюдаемое явление иногда называют эффектом Коанда по имени румын-
ского инженера А. Коанда, который обратил внимание на это явление еще
в 1910 г. 2).
Отрыв пограничного слоя относится к числу вредных явлений, вызы-
вающих резкое повышение сопротивления обтекаемых жидкостью тел, опас-
ные вибрации их, а в случае внутренних течений по трубам и каналам
к уменьшению полезного расхода жидкости, возрастанию потерь энергии
и уменьшению коэффициента полезного действия.
*) В. В. Сычев, О1 ламинарном отрыве, Изв. АН СССР, МЖГ, № 3, 1972;
■S. N. Brown, К. S t eV'a г t sjo η, Laminar] separation, Ann. Rev. of Fluid Mech.
1, Palo Alto, Calif, 1969, 45—72.
z) Подробное ΟΗΗΟβΗΗθ^τοΓΟ^βπθΗΗΗ, историю его открытия и последующего исполь-
зования монгао*найтн в статье: J. R e b a. Applications of the Coanda-effect, Sci. American,
June, Η966, pp. 84—92.

§ 87]
РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЯ ПРАНДТЛЯ
449
§ 87. Различные формы уравнения Прандтля.
Уравнения Мизеса и Крокко
В приложениях теории плоского ламинарного пограничного слоя
в несжимаемой жидкости предпочтительнее вместо двух уравнений (11)
иметь дело с одним, получаемым из системы (11) путем введения функции
тока ψ (х, у), как известно, связанной с и ж ν равенствами
и = fop/dy, ν = — д^/дх. (14)
При этом уравнение несжимаемости (второе уравнение в системе (11))
выполняется тождественно, и уравнение Прандтля с соответствующими ему
граничными условиями приводится к виду
(15)
Указанные формы уравнений Прандтля (11) и (15) не являются един-
ственно употребительными. Остановимся на двух, часто встречающихся
формах: уравнении Прандтля — Мизеса 1) и уравнении Крокко 2).
Уравнение Прандтля — Мизеса основано на использовании, наряду с х,
в качестве второй независимой переменной — функции тока ψ.
Переход в уравнениях (15) от переменных (х, у) к переменным Прандтля —
Мизеса (ξ = ж, η = ψ) может быть произведен по формулам (по определению
функции тока: дц1дх = д\р/дх — — ν, д-ц/ду = д\р/ду = и)
д д , дг\ д д д
~дх~~Щ'~дх"~дг\~~Щ, υ1η"«
д дг\ д д ..„.
~dy~-~dy~~frf-U~fti> Г llb'
5« _ д I д \ I
-ду*-и~&Г\и~ШГ)· )
Применяя это преобразование к первому уравнению системы^(И), будем
иметь
5ψ δ2ψ д-ф дЦ)
ду дх ду дх дуъ
ψ = 0, д\р/ду = 0
дЦ/ду -»- U (х)
д^/ду = щ{у)
rr dU . δ3ψ
dx ' дуз
при у = 0,
при у -> оо
при х = х0.
ди тт dU . д I ди \
θη \ δη
Вводя в рассмотрение «дефект» кинетической энергии в пограничном слое по
сравнению с внешним потоком
г = ±{Ц*-и*), (17)
или, согласно основному свойству пограничного слоя — постоянству давле-
ния по сечению слоя,— дефект полного напора
*) R. Μ i s е s, Bemerkungen zur Hydrodynamik, Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech.
7, 1927, 425—431. Уравнения эти, судя по некоторым данным, были установлены Прандт-
лем еще в 1914 г.
2) L. С г о с с о, A characteristic transformation of the equations of the boundary
layer in gases, ARC Rep. № 4582, London, 1939.
29 л. Г. Лойцянский

450 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
получим уравнение ламинарного пограничного слоя в форме Мизеса (U зависит
только от ξ)
о_ о<>_ ЯК..
(19)
dz дЧ
Y2vVZ~ z
дЧ
δη2
(Ζ)η=0 = γ U2·
где положено Ζ--
Граничные условия для этого уравнения в частных производных второго
порядка будут следующими:
z = Z(|) при η = 0, z ->- 0 при η
Ζ —Ζο(η) ПРИ £ = Ιο·
оо
Ч
(20)
Определив в результате интегрирования z (ξ, η), можно вернуться
к обычной переменной у, обратив интеграл
it Ψ
„=Л iL-f—^^. (21)
* J и J 1/2 (Ζ-*) V
о о y v '
Уравнение пограничного слоя в форме Прандтля — Мизеса (19) по внеш-
нему виду напоминает уравнение теплопроводности, но для того нелинейного
случая, когда коэффициент температуропроводности — коэффициент при вто-
рой производной в правой части, равный У 2 ν У Ζ — z,— зависит от темпе-
ратуры (в настоящем случае роль температуры играет дефект кинетической
энергии).
Л. Крокко предложил выбрать независимыми переменными вместо (х, у)
следующие новые: ξ = х, η = и, а в качестве зависимой переменной исполь-
зовать напряжение трения τ = μ ди/ду.
Для вывода формул перехода от (ж, у) к (ξ = х, η = и) имеем два очевид-
ных равенства
δη у-, ди дх , ди ду ди . ди ду
~дТ ~ ~дх If "т~ ~~ду~ ~Щ~ * U ~T~~dy~ [а|"'
дц_
дц
из которых следует:
дц
~ду~
дц _
дх
дх
. ди дх , ди ду ди ду
дх дг[ ' ду дг\ ду дг\ '
ди
1
ду
ди
дх
μ ду/дц
да, ду
~~ду~~дТ-
или
τ
ду __ μ
δη τ
ду_
dl
(22)
Пользуясь этими выражениями, установим формулы перехода к пере-
менным Крокко
_д_ _ j9|__д_ ,_дц_ _д_ ___д τ_ ду д
дх ~ дх д£>дх дц ~ д\ μ" ~Щ ~Ы\ '
д
ду
д\ д дц д τ д
ду dl·, ~*~ ду дц ~~μ~ ~дц ·
(23)
Применяя формулы перехода (23) к первому уравнению системы (И)
и сокращая обе части полученного при этом равенства на τ/μ, будем иметь
дг
-nnlLim,— — dP ду дх _ dp μ
(24)
Второе уравнение системы (И) — уравнение неразрывности — преобра-
зуется к виду (дц/δξ = 0)
ду , ду _п
δξ Τ" δη ~ U·
(25)

§ 88]
ПОДОБНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПРАНДТЛЯ
451
Дифференцируя обе части (24) по η, найдем
_ρη ± tlL) _piL + D^i - -^ J- (Α.\ _i_!£l
μ'' dlj, \ дц) μ δξ ^Ρ δη - d| δη U / + Λ]* '
Чтобы исключить ν, вычтем почленно обе части этого равенства из умно-
женных на ρ обеих частей равенства (25); тогда, замечая еще, что ду/д-ц =
= μ/τ, получим следующее уравнение пограничного слоя в форме Крокко:
Граничными условиями к нему, согласно (24), будут
^ = 2μ|- при η = 0, τ = 0 при n = U; 1 ^
τ = τ0(η) при ξ = ξο· >
§ 88. Подобные решения уравнения Прандтля.
Примеры подобных решений
Среди общих решений уравнений плоского стационарного ламинарного
пограничного слоя в несжимаемой жидкости, соответствующих произволь-
ному заданию распределения скорости U (х) на внешней границе погранично-
го слоя, выделяется своей сравнительной простотой и вместе с тем интересной
гидромеханической интерпретацией результатов класс подобных или, как
еще принято говорить, автомодельных задач, отвечающих степенной форме
задания U (х). В этом случае дифференциальное уравнение в частных произ-
водных (15) может быть сведено к обыкновенному дифференциальному урав-
нению третьего порядка, численное решение которого уже давно затабули-
ровано.
Метод подобия широко используется в механике жидкости и газа. При-
меры применения этого метода уже приводились в предыдущих главах
настоящего курса, они встретятся и в настоящей и следующих главах.
Распределения продольных скоростей в различных сечениях одного
и того же пограничного слоя называются подобными (английский термин
self-similar, откуда наш термин — автомодельные), если они отличаются
друг от друга только постоянными в данном сечении пограничного слоя,
но изменяющимися от сечения к сечению масштабами продольных скоростей
и ординат, а будучи выраженными при помощи этих масштабов в безразмер-
ном виде, окажутся тождественными.
Выбор масштаба скоростей очевиден. Это — скорость на внешней грани-
це пристенного пограничного слоя U (х) или максимальная скорость на оси
струи или следа ит (х) в случае свободного пограничного слоя. Сложнее
обстоит дело с выбором масштабов ординат в сечениях пограничного слоя.
В отличие от использования условного понятия толщины пограничного
слоя, как это делалось при оценке порядков членов уравнений Стокса в § 86,
сейчас встает вопрос о точном количественном определении той конкретной
длины, которую естественно принять за характерный масштаб ординат в сече-
ниях пограничного слоя. Определение этой величины должно быть тесно
связано с формой профиля скоростей в данном сечении пограничного слоя,
его полнотой, урезанностью или другими какими-нибудь средними характе-
ристиками формы профилей скорости.
Этой цели удовлетворяют разнообразные способы определения толщины
пограничного слоя, начиная с ранее уже упомянутого, имеющего скорее
историческое, чем практическое значение определения величины δ как такой
ординаты у = δ, при которой разность (1 — u/t/)· 100 составляет заданный
29*

452 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫ!! СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЯ· IX
малый процент (1—2%), и кончая следующими, более современными инте-
гральными определениями:
оо ^
δ*= Ι Μ—yr)dy —толщина вытеснения,
о
оо
б** = ^ ~ (\—ii-\ φ —толщина потери импульса,
о
б*** — \ -тг[^—γη) dy — толщина потери энергии,
(28)
содержащими сходящиеся в силу асимптотического стремления ulU —*~ 1 при
у ->- оо интегралы. Происхождение терминов, приведенных в (28), будет
пояснено в дальнейшем.
Интегральные толщины (28) и возможные другие представляют функцио-
налы распределений продольных скоростей в сечениях пограничного слоя.
Численные величины этих функционалов могут быть определены только
после полного решения конкретной задачи, между тем как в излагаемом
далее методе подобия толщина пограничного слоя входит в самом начале при
составлении безразмерной формы искомого решения.
Такая характерная для метода подобия обратная связь между коли-
чественным определением толщины пограничного слоя и решением конкрет-
ной задачи, требующая пересчета этой толщины от одного приближения
к другому, служит повышению быстроты сходимости приближений. Пре-
небрежение этим обстоятельством в известных методах Блазиуса, Гертлера
и др., не использующих связь между масштабом ординат и распределениями
продольных скоростей в сечениях пограничного слоя, служит, по-видимому,
главной причиной медленной сходимости приближений в этих методах.
Не уточняя пока конкретного выбора толщины пограничного слоя,
обозначим этот масштаб ординат через δ. Тогда по определению функции
тока (14) будет
У 1//6
ψ=|«φ = Ε7δ| -f rf(-f), (29)
о о
а следовательно — масштабом функции тока будет служить произведение Ub
масштабов скоростей и ординат.
Вводя для безразмерных ординат, продольных скоростей и функции
тока обозначения
у/δ = |, и/U = φ, ψ/(*7δ) = Φ, (30)
заключим, что подобное решение уравнения (15) должно иметь вид
I
ψ = £/δΦ(ξ) = *7δ|φ(ξ)^, (31)
о
где функции φ и Φ должны зависеть только от безразмерной ординаты ξ.
Что касается абсциссы х, то она входит только в масштабы δ (х) и U (х).
Выясним условия существования подобных решений уравнения (15),
т. е. определим вид функций U (х) и δ (ж), допускающих решение уравне-
ния (15) в форме (31). С этой целью подстави в уравнение (15) значение
функции тока ψ по (31). Предварительно найдем выражения входящих в (15)
производных через переменные Φ и ξ (штрих — символ производной по х,

§88]
ПОДОБНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ИРАНДТЛЯ
453
точка — по 1)
■^=((/'б+(7б')Ф-да|Ф=|[(р+1р) Ф_|р|Ф], 1
^=£(ΡΦ--!ΚΦ), ! (32)
$-"*■ $=т*· $=£■*■ J
Здесь введены обозначения для «параметров подобия»
tf'z = β, £V = β; z = δ2/ν. (33)
Величины β и β являются неизвестными функциями х, а обозначение
одной из них черточкой сверху объясняется наличием своеобразной сопря-
женности между ними, заключающейся в том, что при замене U на z одна
из них переходит в другую:
β=^~β при U^z. (34)
Это свойство, как далее будет выяснено, сохраняется и у других параметров
подобия.
Подстановка значений производных (32) в уравнение и граничные усло-
вия (15) приводят к обыкновенному двухпараметрическому дифференциаль-
ному уравнению в переменных (Φ, ξ), содержащему два параметра подобия
β и β, являющихся, согласно (33), функциями от х:
φ'+(β+γβ)ΦΦ + β(1-Φ2) = 0,
ф = ф = 0 при ξ=0, Φ-> 1 при |->оо.
(35)
В тех случаях, когда уравнение в частных производных (15) сводится
к обыкновенному дифференциальному уравнению, начальное условие (при
х = х0) отпадает.
Для того чтобы решение этого уравнения бы ю подобным, т. е. функ-
цией только |, необходимо потребовать, чтобы параметры подобия β и β
были постоянными величинами
U'z = β = const, Uz' = β = const. (36)
Это потребует для определения U (х) и δ (х) интегрирования несложной
системы обыкновенных уравнений (36). Ставя условие конечности z = δ2/ν
при U = 0 и вводя постоянную интегрирования с, получим следующие
выражения для U, z и δ:
1 — 771
U = cxm, Ζ = -£-**-™, б=(^)1/2ж-Т-1 (37)
cm \ cm ) ч '
где введено обозначение
то = —&=-, β^^^-β, β = ±Ζ^β. (38)
β i β ' r 1—m r r m r v '
Как это следует из первого равенства системы (37), уравнение (35) может
содержать подобное решение только при степенном распределении ско-
рости U (х). Степенным оказывается и распределение масштаба ординат δ (х),
который был введен в рассмотрение совершенно произвольным образом,
независимо от решения уравнения (35).
Покажем, что интегральные масштабы δ* и δ**, определенные по (28),
и напряжение трения tw на поверхности обтекаемого тела (ξ = 0) будут
также определяться степенными выражениями.

454 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ГЛ IX
Имеем, согласно (31),
ц _ 1 Э[ф/(СГ6)] Ub _ dO _д ,g. й йч
U — U д (y/δ) δ — dg ~ψνς' Ρ' РЬ
(39)
а следовательно, можно положить
ОО СО -ч
6*=j (l—g-)di,= J(i-6)d|.e=4(p, β)6,
О О
ОО DO
6**=j-f (l—g-)dj,= j<b(l-0)d£.6 = B(P,P)6,
о
τω=-!¥-ε(β,Ρ),
(40)
где приняты следующие обозначения:
ОО СО
J (1-Φ)(ξ=4φ, β), f Φ(1-Φ)<*| = Β(β, p),
о о
Φ(0;β, β) = ξ(β, β).
(41)
Равенства (40) показывают, что интегральные толщины δ* и δ** опре-
деляются теми же степенными формулами, что и δ, а напряжение трения
%w — степенной формулой с показателем степени, равным разности показа-
телей степени в выражениях U и δ.
Пользуясь произволом в выборе постоянных параметров подобия β и β,
подберем их так, чтобы коэффициент при втором члене в левой части уравне-
ния (35) стал равен единице
1 гг
β + -£-β = 1, β = 2(1-β).
(42)
Тогда уравнение (35) приобретет более простую, однопараметрическую
форму
}
(43)
Φ + ΦΦ + β(1 —Ф2) = 0,
ф = ф = 0 при ξ = 0, Φ -»- 1 при g-j-oo.
При этом параметр β будет, согласно (38), связан с т равенствами
2т β
β =
m+1
т--
2-β
(44)
а формулы (37) и (40), служащие для определения толщин δ, δ*, δ*
и напряжения трения tw, примут вид
2ν π 1/2 *-п
δ* (х) = Α (β) δ (z), δ** (я) = Β (β) δ (х),
Χ
(45)

§88]
ПОДОБНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПРАНДТЛЯ
455
Уравнение (43), выведенное в несколько другой форме Фокнером
и Скэн х), было численно проинтегрировано Хартри 2), указавшим на то,
что решение этого уравнения при т <С 0, β -< О перестает быть единствен-
ным и допускает бифуркацию (две различные ветви интегральной кривой).
При численном интегрировании уравне-
ния (43) им была выбрана та из ветвей
решения, для которой асимптотическое
стремление u/U' —>- 1 при ξ —>- оо было
быстрейшим. В дальнейшем советскими
авторами 3) было дано обоснование этого
требования, опирающееся на рассмотре-
ние асимптотик возмущенного, неавтомо-
дельного решения, близкого к рассматри-
ваемому, автомодельному.
Табл. 15 содержит значения безраз-
мерной скорости u/U — Φ (ξ; β) (рис. 170)
в области пограничного слоя при значе-
ниях β в интервале от β = —0,1988, что
соответствует сечению пограничного слоя в точке отрыва, до β = 2,4.
Соответственно этому однопараметрическому решению были вычислены
переводные коэффициенты Α (β) и В (β). Их значения помещены в табл. 16.
В последнем столбце этой таблицы приводятся также значения функции
ξ (β), необходимой для определения напряжения xw тренвя на поверх-
ности тела
u/U
1,0
0,8
0,6
ОЛ
о,г
о
Р'/л
/л
/х
ASy^
~Р'п s
-0,195
* 4
Рис. 170.
τω = ^-ξ(β)
Зт-1
(/η+1)ο3μρπ1/2 —2
"ε Φ).
(46)
2 J
He будем останавливаться на рассмотрении общего характера получен-
ного однопараметрического решения в зависимости от изменения параметра β.
Отошлем интересующихся к обширной специальной монографии по теории
ламинарного пограничного слоя 4), где подробно описаны свойства однопара-
метрического и двухпараметрического подобных решений, в зависимости от
выбора значений параметров. Там же можно найти подобное решение для
случая проницаемой стенки, сквозь которую вдувается или отсасывается
жидкость с теми же физическими константами, что и омывающая поверхность
тела. Остановимся лишь на двух простейших частных случаях однопара-
метрического подобного решения, соответствующих значениям параметров:
β = т = 0 и ρ = т ~ 1.
Степенное распределение продольной скорости U (х) на границе погра-
ничного слоя с безвихревым потоком содержит в себе класс задач, отно-
сящихся к внешнему по отношению к пограничному слою плоскому, без-
вихревому, симметричному обтеканию клина с углом при вершине, равным
βπ =
m-fl
л. Значению β = т = 0 соответствует нулевой угол клина, т. е.
пограничный слой на продольно обтекаемой бесконечно тонкой пластинке
(U = const — Uсо). Эта задача носит наименование задачи Блазиуса б),
который дал ее численное решение вскоре после появления уравнения
х) V. М. F а 1 к η е г, S. W. S к a n, Some approximate solutions of the boundary
layer equations, Phil. Mag. 12, 1931.
2) D. R. Η a r t r e e, On an equation occuring in Falkner—Skan's approximate
treatment of the equations of the boundary layer, Proc. Cambr. Phil. Soc, p. II, 33, 1937.
3) А. Г. Куликовский, Ф. А. Слободкина, О выборе автомодельного
решения в теории пограничного слоя. «Механика жидкости и газа», № 4, 1974, 42—46.
4) Laminar boundary layers, Editor L. Rosenhead, Oxford, 1963, pp. 243—252.
5) Η. Β 1 a s i u s, Grenzschichten in Flussigkeiten mit kleiner Reibung, Zeitschr. of
Math. u. Phys. 56, 1908.

456 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИВ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Т аб ли-
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,2
1,4
1.6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
6,2
6,4
-0,1988
0,0000
0,0010
0,0040
0,0089
0,0158
0,0248
0,0358
0,0487
0,0636
0,0803
0,0991
0,1423
0,1927
0,2498
0,3126
0,3802
0,4509
0,5230
0,5946
0,6635
0,7278
0,8158
0,8364
0,8789
0,9132
0,9399
0,9598
0,9741
0,9839
0,9904
0,9945
0,9969
0,9984
0,9992
0,9996
0,9998
0,9999
1,0000
—0,19
0,0000
0 0095
0,0209
0,0343
0,0495
0,0665
0,0855
0,1063
0,1289
0,1533
0,1794
0,2364
0,2991
0,3665
0,4372
0,5095
0,5814
0,6509
0,7162
0,7754
0,8273
0,8713
0,9071
0,9352
0,9563
0,9716
0,9822
0,9893
0,9938
0,9965
0,9981
0,9990
0,9995
0,9997
0,9999
0,9999
-0,18
0,0000
0,0137
0,0293
0,0467
0,0659
0,0868
0,1094
0,1338
0,1598
0,1874
0,2166
0,2791
0,3463
0,4170
0,4896
0,5621
0,6327
0,6995
0,7605
0,8146
0,8607
0,8986
0,9286
0,9515
0,9681
0,9798
0,9876
0,9927
0,9959
0,9978
0,9988
0,9994
0,9997
0,9999
0,9999
-0,16
0,0000
0,0198
0,0413
0,0643
0,0889
0,1151
0,1427
0,1719
0,2023
0,2341
0,2671
0,3362
0,4083
0,4820
0,5555
0,6269
0,6944
0,7561
0,8107
0,8574
0,8959
0,9265
0,9499
0,9669
0,9789
0,9871
0,9924
0,9957
0,9977
0,9988
0,9994
0,9997
0,9999
0,9999
-0,14
,0000
,0246
,0507
,0781
,1069
,1370
,1684
,2010
,2347
,2694
,3050
,3784
,4534
,5284
,6016
,6712
,7354
,7927
,8422
,8836
,9168
,9425
,9616
,9752
,9845
,9907
,9946
,9970
,9984
,9992
,9996
,9998
,9999
0,
0,
0,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
0,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
0,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
-0,10
,0000
,0324
,0659
,1003
,1356
,1718
,2088
,2466
,2849
,3237
,3628
,4415
,5194
,5948
,6660
,7314
,7896
,8398
,8817
,9153
,9413
,9607
,9746
,9841
,9904
,9944
,9969
,9983
,9991
,9996
,9998
,9999
0,0000
0,0469
0,0939
0,1408
0,1876
0,2342
0,2806
0,3266
0,3720
0,4167
0,4606
0,5453
0,6244
0,6967
0,7610
0,8167
0,8633
0,9011
0,9306
0,9529
0,9691
0,9804
0,9880
0,9929
0,9959
0,9978
0,9988
0,9994
0,9997
0,9999
0,9999
o,l
0,0000
0,0582
0,1154
0,1715
0,2265
0,2803
0,3328
0,3839
0,4335
0,4815
0,5274
0,6135
0,6907
0,7583
0,8160
0,8637
0,9019
0,9315
0,9537
0,9697
0,9808
0,9883
0,9931
0,9961
0,9978
0,9988
0,9994
0,9997
0,9998
0,9999
0,2
0,0000
0,0677
0,1334
0,1970
0,2584
0,3177
0,3747
0,4294
0,4816
0,5312
0,5782
0,6640
0,7383
0,8011
0,8528
0,8940
0,S260
0,9500
0,9612
0,9792
0,9873
0,9924
0,9957
0,9976
0,9987
0,9993
0,9996
0,9998
0,9999
0,3
0,0000
0,0760
0,1490
0,2189
0,2858
0,3495
0,4100
0,4672
0,5212
0,5718
0,6190
0,7033
0,7743
0,8326
0,8791
0,9151
0,9421
0,9617
0,9754
0,9847
0,9908
0,9946
0,9970
0,9984
0,9991
0,9995
0,9997
0,9999
0,9999

§ 88] ПОДОБНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПРАНДТЛЯ 457
ц а 15
0,4
0,0000
0,0834
0,1628
0,2382
0,3097
0,3771
0,4403
0,4994
0,5545
0,6055
0,6526
0,7351
0,8027
0,8568
0,8988
0,9305
0,9537
0,9700
0,9812
0,9886
0,9933
0,9962
0,9979
0,9989
0,9994
0,9997
0,9999
0,9999
0,5
0,0000
0,0903
0,1756
0,2558
0,3311
0,4015
0,4670
0,5276
0,5834
0,6344
0,6811
0,7615
0,8258
0,8860
0,9141
0,9421
0,9621
0,9760
0,9852
0,9913
0,9952
0,9974
0,9986
0,9993
0,9994
0,9999
0,6
0,0000
0,0966
0,1872
0,2719
0,3506
0,4235
0,4907
0,5524
0,6086
0,6596
0,7056
0,7837
0,8449
0,8917
0,9264
0,9514
0,9689
0,9807
0,9884
0,9933
0,9962
0,9979
0,9989
0,9995
0,9997
0,9999
0,8
0,0000
0,1080
0,2081
0,3003
0,3848
0,4619
0,5317
0,5947
0,6512
0,7015
0,7460
0,8194
0,8748
0,9154
0,9443
0,9644
0,9779
0,9867
0,9922
0,9956
0,9976
0,9987
0,9993
0,9997
0,9998
0,9999
1,0
0,0000
0,1183
0,2266
0,3252
0,4144
0,4946
0,5662
0,6298
0,6859
0,7350
0,7778
0,8467
0,8968
0,9324
0,9569
0,9732
0,9841
0,9905
0,9946
0,9971
0,9985
0,9992
0,9996
0,9998
0,9999
1,2
0,0000
0,1276
0,2433
0,3475
0,4405
0,5231
0,5959
0,6596
0,7150
0,7629
0,8037
0,8682
0,9137
0,9450
0,9658
0,9793
0,9879
0,9931
0,9962
0,9980
0,9989
0,9995
0,9997
0,9999
1,6
0,0000
0,1441
0,2726
0,3859
0,4849
0,5708
0,6446
0,7076
0,7610
0,8058
0,8432
0,8997
0,9375
0,9620
0,9775
0,9871
0,9928
0,9961
0,9980
0,9990
0,9995
0,9998
0,9999
2,0
0,0000
0,1588
0,2980
0,4186
0,5219
0,6096
0,6834
0,7449
0,7858
0,8376
0,8717
0,9214
0,9530
0,9726
0,9845
0,9914
0,9954
0,9976
0,9989
0,9994
0,9997
0,9999
2,4
0,0000
0,1720
0,3206
0,4472
0,5537
0,6424
0,7155
0,7752
0,8235
0,8624
0,8934
0,9373
0,9640
0,9799
0,9892
0,9944
0,9970
0,9985
0,9993
0,9996
0,9998
0,9 9
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
η,5
0 6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,2
1,4
1 6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3 4
3,6
3,8
4,0
4,2
4 4
4 6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
6,2
6,4

458 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Таблица 16
Ρ
—0,1988
—0,1950
—0,1900
—0,1800
—0,1700
—0,16 0
—0,1500
—0,1400
—0,1200
—0,100
—0,050
0,000
А(Р)
2,3588
2,1170
2,0068
1,8716
1,7789
1,7067
1,6470
1,5959
1,5113
1,4427
1,3124
1.2168
В(Р)
0,5854
0,5814
0,5765
0,5677
0,5600
0,5522
0,5452
0,5386
0,5263
0,5150
0,4905
0,4696
UP)
0,0000
0,0552
0,0857
0,1286
0,1621
0,1908
0,2164
0,2397
0,2818
0,3193
0,4003
0,4696
Ρ
0,0500
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,8000
1,00
1,20
1,60
2,00
Α (Ρ)
1,1417
1,0803
0,9842
0,9110
0,8526
0,8046
0,7640
0,6987
0,6479
0,607
0,544
0,498
в (Ρ)
0,4515
0,4355
0,4082
0,3857
0,3667
0,3503
0,3360
0,3118
0,2923
0,276
0,250
0,231
ξ (Ρ)
0,5311
0,5870
0,6867
0,7748
0,8544
0,9277
0,9958
1,1203
1,2326
1,336
1,521
1,687
Прандтля. Полагая в формуле (46) т = β = 0, с = E/Oo и определив ξ (0)
по табл. 6, получим известную формулу Блазиуса для текущего значения
напряже ия трения на стенке
xw = 0,332 j/^~, (47)
а по фор 'лам (40) и той же таблице значений Α (β) и В (β) при β = 0
получим
δ* (х) = 1,721}/-^, δ** (х) = 0,664]/-^. (48)
Общепринято вместо (47) пользоваться безразмерными формулами коэф-
фициентов сопротивления:
а) местного (в данной точке пластинки с абсциссой х)
0, = -^=™*. Re,--^; (49)
_Lpt^ V Re*
б) полного (с двух сторон на длине пластинки L)
L
2 \ xw dx
Г Wf о 1,328 . _ t/coL ,ςπ.
4-PCTJ.-2L -|"Pt^-2L VReL
Заслуживают внимания следующие характерные для ламинарного погра-
ничного слоя на продольно обтекаемой пластинке закономерности: 1) толщина
пограничного слоя возрастает вниз по потоку пропорционально корню
квадратному из абсциссы; 2) напряжение местного трения пропорционально
полуторной степени скорости и убывает обратно пропорционально этому
корню (рис. 171).
Другой характерный случай дают значения т = 1, β = 1, соответ-
ствующие углу полного раствора клина π. Этот случай может рассматривать-
ся как течение в пограничном слое вблизи лобовой критической точки
тела (U = сх).
В этом случае, согласно (45), толщины пограничного слоя имеют постоян-
ные значения
«=}/-£-, δ*=Λ(1) j/-^=0,648 ]/^,δ**=#(1)|/-^-=0,292|/-^, (51)

§ 89] ЛОКАЛЬНОЕ ПОДОБИЕ. МЕТОД КОЧИНА — ЛОЙЦЯНСКОГО 459
а напряжение трения xw [см. (46)] меняется вдоль потока по линейному закону
Гш = ξ (1) Ι^μρΑε = 1,2326 Ущ&х. (52)
Заметим еще, что сходящемуся потоку во внутренней части клина со
скоростью U = —с/х (плоский конфузор) соответствует значение т = —1,
а следовательно β = оо. Случай больших
значений β подробно рассмотрен в моно-
графии 1), почти целиком посвященной
описанию подобных, плоских и простран-
ственных изотермических и неизотерми-
ческих движений в пограничных слоях.
В этой монографии помещены таблицы,
относящиеся к случаю β ^> 1.
Расходящийся поток внутри клина
(ПЛОСКИЙ ДИффуЗОр) ВОЗМОЖеН ТОЛЬКО При Рис 171
β > — 0,1988; т > —0,0904, так как при
этих предельных значениях β (см. табл. 16) ξ = 0, что соответствует отрыву
потока от стенок диффузора и последующему попятному движению
жидкости.
Рассмотренные в настоящем параграфе точные подобные решения урав-
нения пристенного пограничного слоя при степенном задании скорости
на внешней границе U = схт могут с успехом служить и в общем случае
не степенного задания внешней скорости, но для описания лишь местного
характера движения в пограничном слое: при ускоренном (£/' > 0, β > 0;
конфузорный участок пограничного слоя) или замедленном (U' < 0, β < 0;
диффузорный участок пограничного слоя) движениях во внешнем потоке.
Расширение такого толкования подобных решений приводит к излагаемому
в следующих параграфах методу обобщенного подобия расчета ламинарного
пограничного слоя при произвольном распределении скорости U (х) на внеш-
ней границе пограничного слоя.
Применительно к свободным пограничным слоям (струям, следам)
вопрос о существовании подобных решений был рассмотрен значительно
позже 2). Численное решение уравнения Фокнера — Скэн — Хартри при
соответствующих свободным пограничным слоям граничных условиях было
выполнено только через тридцать лет после появления решения для пристен-
ного пограничного слоя 3). Ограничимся в этом вопросе библиографическими
справками.
§ 89. Локальное подобие. Метод Кочина — Лойцянского
Приведенное в предыдущем параграфе точное решение уравнения плоско-
го стационарного пограничного слоя (15) для класса задач о подобных движе-
ниях со степенным распределением скорости на внешней границе погранич-
ного слоя можно положить в основу приближенного метода расчета лами-
нарного пограничного слоя с произвольным распределением скорости на его
внешней границе.
х) Н. L. Evans, Laminar boundary-layer theory, Addison-Wesley Publ. Сотр.,
London, 1969.
2)K. Stewartson, Further solutions of the Falkner—Skan—equation,
Proc. Cambr. Phil. Soc. 50, 1954, 454—465; K. Stewartson, Falkner—Skan equation
for wakes, AIAA Journ., v. 2, № 7, July, 1964.
3) E. D. Kennedy, Wake-like solutions of the laminar boundary layer equati ins,
AIAA Journ. 2, 1964, 225—231.

46O ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
В этом предположении параметры β и β уже не будут постоянными,
так что исчезнет и подобие профилей скорости в сечениях пограничного слоя.
Замечая, что определение (33) параметров β и β сохранится, заключим, что
при произвольности распределения скоростей U (х) на внешней границе
пограничного слоя β = β (х) и β = β (х) будут также произвольными и
не зависящими друг от друга функциями, относительно которых можно
только сделать общее допущение об их непрерывности и дифференцирз7емости.
Уравнение (35), из которого путем интегрирования можно было бы
получить двухпараметрическое семейство подобных решений Φ (ξ; β, β)
с постоянными параметрами семейства β и β, в условиях произвольности U (х)
и переменности параметров β (ж) и β (х) теряет значение уравнения подобия
в строгом смысле этого термина, но может сохранить это свое значение в неко-
тором условном, приближенном смысле, лучше всего выражаемом терми-
ном локальное подобие.
Пользуясь независимостью величин β и β, расширим их назначение как
параметров, придав им смысл независимых переменных, стоящих в одном
ряду с основной независимой пер менной |. Повторим теперь сделанный
в предыдущем параграфе переход в уравнении (15) к новым переменным,
но более общий, чем (31) а именно — положим
ξ = 3,/δ, Φ = Φ (ξ; β, β). (53>
Используя формулы (32) и учитывая переменность β и β, получим,
в отличие от (35), уравнение в частных производных
^+(β+4β)Φ-^+β[1-(^π=
= Uz ГД(?'У β' (х) + Д(Ф' дФ-1д1) β' (*) 1 (54)
с граничными условиями
Φ = 0, θΦ/θξ = 0
д<Ыо% -> 1
Φ = Φο(Ε)
1=0,
при
при
при β = β0,
οο.
β=βο,
(55)
где Φ0 (ξ) — одно из строго подобных решений, рассмотренных в предыду-
щем параграфе.
Входящие в правую часть якобианы имеют обычные выражения
Б(Ф, дФ/δξ) _ дФ д*Ф дФ д*Ф
D(h β)
Ζ) (Φ, дФ/dl)
дФ
didf>
сРФ
0β
дФ
<%?
Д(6. β)
δ1 di δβ ^β
д&
(56)
Можно заметить, что переход от уравнения (54) с соогветствующими ему
граничными условиями (55) к уравнению (35) с граничными условиями,
отличающимися от (55) отсутствием последней строчки, можно выполнить,
сохраняя переменные β и β в левой части уравнения (54), но полагая равны-
ми нулю производные по этим переменным, а следовательно — и якобианы
(56) в правой части. Такое, по существу, возвращение переменным β и β
их первоначального значения как параметров можно проинтерпретировать
следующим образом.
В случае произвольного распределения внешней скорости U (х) и отсут-
ствия при этом подобия профилей скорости в различных сечениях пограпич-

§ 89] ЛОКАЛЬНОЕ ПОДОБИЕ. МЕТОД КОЧИНА-ЛОЙЦЯНСКОГО 4Н1
иого слоя, условимся рассматривать профиль скоростей в данном выделенном
сечении с абсциссой х и параметрами подобия β (ж) и β (х) так, как будто
во всех остальных сечениях пограничного слоя профили скоростей подобны
профилю скоростей в этом выделенном сечении, что выдвигает требование
равенства параметров β и β во всех сечениях пограничного слоя их значе-
ниям β (х) и β (х) в данном, выделенном сечении.
Примененный прием был бы тем более строг, чем меньше размер выбран-
ной области его применения в окрестности данного сечения пограничного
слоя. Иными словами, возможность применения такого приема имеет локаль-
ный характер, чем и объясняется происхождение термина локальное подобие.
Можно полагать, что применение понятия локального подобия к приближен-
ным расчетам пограничного слоя ограничивается достаточно гладкими на-
рушениями строгого подобия, вызываемыми переменностью параметров
Μ "р.
Примером применения локального подобия к приближенному расчету
плоского стационарного ламинарного пограничного слоя может служить
существующий уже тридцать пять лет, но до сих пор еще используемый
однопараметрический метод Кочина — Лойцянского г).
Подобно тому, как это было принято при нахождении точного решения
Фокнера — Скэн — Хартри, удовольствуемся однопараметрический подхо-
дом, выбрав между параметрами β и β связь (42), которая приводит уравне-
ние (35) к виду (43) с одним параметром β. Это позволит воспользоваться
имеющимися таблицами безразмерной скорости u/U = Φ (ξ, β) и функций
ξ (β), Α (β) и В (β), приведенными в предыдущем параграфе.
Сущность метода Кочина — Лойцянского заключается в разыскании
неизвестной функции β (х) = U' (x) z (х) = Ε/'δ2/ν, а тем самым и δ {х),
так как, имея табличное определение безразмерной скорости и/С/ = Φ (ξ, β)
(см. табл. 15) и найдя δ (х), можно будет получить решение л*обой конкрет-
ной задачи с заданным распределением U (х) в форме
Простейший путь определения β (х) подсказывается самим равенством
(42), которое, используя определения β и β (33), можно переписать в форме
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
U (x) z' (x) = 2~2U' (x) z (x),
имеющего решение
X
z {х) = б2 (x)h = [2/t/2 (x)} j U (t) dt. (57)
о
Однако это решение не удовлетворяет основному требованию, предъяв-
ляемому к определению толщины пограничного слоя, которое было уста-
новлено в самом начале предыдущего параграфа. Это требование, напомним,
заключается в том, что понятие толщины пограничного слоя неразрывно
связано с распределением продольных скоростей в сечениях внутри погра-
ничного слоя и должно количественно представляться функционалом этого
распределения.
*) Н. Е. К о ч и н, Л. Г. Л о й ц я в с к и й, Об одном приближенном методе
расчета ламинарного пограничного слоя, ДАН СССР 36, № 9, 1942.

462 ЛА ПИАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Интеграл, входящий в (57), является функционалом заданного рас-
пределения скорости U (х) на внешней границе пограничного слоя, а не ис-
комого решения задачи. Некоторые авторы не учитывают указанного важ-
ного обстоятельства и пользуются таким hi правильным определением
толщины пограничного слоя.
Принятый в методе Кочина—Лойцянского правильный путь составле-
ния уравнения, из которого можно получить искомое значение δ (х), а сле-
довательно и β (ж), был в 1921 г. указан Карманом *), предложившим для
этой цели пользоваться ныне носящим его имя интегральным соотношением
импульсов.
Соотношение это может быть получено почленным интегрированием
обеих частей уравнения Прандтля (11) по у от у = 0 до у = оо, либо у = δ,
как это было принято в старых теориях пограничного слоя конечной толщи-
ны. Предварительно преобразуем левые части уравнений (11), чтобы обеспе-
чить сходимость далее вводимых интегралов. Уравнения (11), пользуясь
вторым из них, можно тождественно преобразовать к виду
д , ,. . д . . гт dU , d2u
дх ч ' ду v ' dx l ду2
д .{Uu) + 4r{Uv) = u.dU
дх v ' ду v ' dx '
после чего почленным вычитанием правых и левых частей этих уравнений
получить
^lu(U-u)]+^[v(U-u)] + (U-u)*L=-v^.
Теперь уже можно произвести указанное выше интегрирование, которое
приведет к следующему промежуточному результату:
оо, 6 оо, 6
ди \ У—°°, δ
=0 *
о о
Используем граничные условия (12), или соответствующие предположе-
нию о конечности толщины пограничного слоя условия: и = U, ди/ду = 0
при у = δ.
Предполагая существование интегралов
оо, β оо, 6
\ u(U — u)dy, \ (U — u)dy
о о
и допустимость перемены порядка дифференцирования и интегрирования
в первом интеграле левой части предыдущего равенства, получим
оо, б о°, 6
Л. | Be7-»)* + f- \ p7--)*-v(^-)
о о
или, вводя обозначения (28) для толщины вытеснения и толщины потери
импульса, а также %ю = μ (ди1ду)у=0 для напряжения трения на обтекаемой
поверхности (у — 0),
d · (£/2δ**) + U — δ* = %w
dx v ' dx
1) Th. Кárinán, Über laminare und turbulente Reibung, Zeitschr. f. angew. Math,
u. Mech. 1, 1921.

§ 89]
ЛОКАЛЬНОЕ ПОДОБИЕ. МЕТОД КОЧИНА — ЛОЙЦЯНСКОГО
463
Раскрывая значение производной от произведения, получим общеприня-
тый вид интегрального соотношения Кармана
йб*
V
dx
{-^-(2δ** + δ*) =
pi/2
(58)
Применительно к излагаемому в настоящем параграфе методу интеграль-
ное соотношение Кармана в принятых переменных подобия проще всего
получить непосредственно из уравнения (54), интегрируя почленно обе его
части по ξ от ξ = 0 до ξ = оо. Так же, как в изложенном только что общем
выводе уравнения (58), необходимо заранее обеспечить сходимость получае-
мых при этом интегралов. Замечая, что на внешней границе пограничного
слоя (ξ ->- оо) имеют место асимптотические равенства (~ — знак асимпто-
тического равенства)
Φ
S оо оо
Ξξ_| (1_φ)<£ = ξ_ j (i_6)dg+ j (1-O)d£~l--£-,
дФ
Ч(т)· ё-° при е-~.
> (59)
и вспоминая определения (40) и (41) величин Α (β, β), -β (β, β) π ξ (β, β),
найдем для двухпараметрического семеьства Φ (ξ; β, β)
g**
β (β, β),
j ф^=(ф)Р»= _φ(0; β, β)= -ξ (β, β),
0
ΟΟ ΟΟ ΟΟ
f ΦΦ^ξ = f φ_±-(φ-1)<ξ= J Φ(1 —6)dg =
υ ο ο
οο
= Ж»-тИ*)
0
οο οο οο
[ (1 —Φ*)<£ = \ (1 — Φ)οξ+ j Φ(1 —Φ)<£ =
0 0 0
οο οο
ο ο
-— -^=Λ(β,β)+5(β, β),
1
οο οο
J дg, β) ^-j \
дФ дЩ>
δ
<?ξ <?ξ0β θβ <?ξ2
οο οο
-нИСНтП-Нт^ж)*·
ΟΟ
Ρ Д(Ф, gQ3/g|) dt_
J D iE. I)
= _^-μ(β, β) + Β(β, β)1+-^-
зв
_£Ш_
3β '
δβ
(60>

464 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Выполняя после этого интегрирование и пользуясь только что получен-
ными значениями интегралов (60), получим (штрих — производная по х)
-С». Й + (Р+4-Р)д(Р.В+РМ». й+я<М)1=
--^{■Ц-Г+f-V). (М)
Пользуясь имеющимся произволом в выборе формы функционала, опреде-
ляющего толщину пограничного слоя δ, положим эту толщину равной толщи-
не потери импульса δ** [вторая строка (40)]; тогда, в силу очевидных тождеств
Ι*<Ρ,β)]«..=4Ξ-*1, (Α) д во. (М-\ -о,
' δ** \ <?р /6=δ** \ aft /6=δ**
правая часть уравнения (61) обратится в нуль и, пользуясь обозначениями
η = Σ//δ**, Ζ = δ**2/ν, / = *7'z, 7=^Ζ';
Φ = ψ/(Ε/δ**) = Φ(η;/,7), Я = б*/б** = Я(/,7), L (62)
перепише i интегральное соотношение (61) в форме
-ε(/,Λ+(/+4-/)+Ι1+^(/. /)]/=°· (63)
Аналогично тому, как это было принято в предыдущем параграфе,
остановимся на однопараметрическом приближении, соответствующем зави-
симости ξ π Η только от одного параметра /. Это позволит определить ξ (/)
и Η (J) пересчетом табл. 16 предыдущего параграфа при помощи следующих
формул перехода:
t/'б**2 _ £Λδ2 /_6^_\2_ftE>2/ft\. „__ Α (β)
(64)
При таком однопараметрическом подходе уравнение (63) приведется
к следующему:
и позволит выразить / через /:
/= 2 {ξ (/)-[2+ //(/)]/}. (65)
Значения £ (/). Η (/) и / (/) приведены в табл. 17. График функции / (/) (не
■будем его приводить) почти не отличается от прямой
l(f) = a-bf (66)
с приближенными значениями коэффициентов: а = 0,45, 6 = 5,35. Отклоне-
ния от прямой не превышают 3% от первого слагаемого в правой части (66).
Для разыскания зависимости δ** от х вернемся к определениям (62)
величин / и / через U и z. Будем иметь для определения z (x), а следователь-
но, и δ** (х) обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка
относительно z (x):
UJ=J(U'z), (67)

§ 89] ЛОКАЛЬНОЕ ПОДОБИЕ. МЕТОД КОЧИНА — ЛОЙЦЯНСКОГО 465
Таблица 17
1
—0,0681
-0,06
—0,05
-0,04
—0,03
—0,02
—0,01
0,00
0,01
£Ш
0,0000
0,064
0,098
0,130
0,155
0,178
0,200
0,221
0,240
на)
4,03
3,35
3,12
2,96
2,84
2,74
2,66
2,59
2,53
1(1)
0,821
0,772
0,715
0,658
0,602
0,548
0,495
0,441
0,388
/
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
1(f)
0,257
0,274
0,291
0,307
0,323
0,338
0,352
0,366
0,380
Н(/)
2,48
2,43
2,38
2,34
2,30
2,26
2,23
2,20
2,18
1(f)
0,336
0,283
0,232
0,180
0,130
0,078
0,028
—0,023
—0,074
где /задается равенством (65). Пользуясь (66), это уравнение можно пред-
ставить в виде линейного неоднородного уравнения
Uz' + bU'z = α,
решение которого при условии конечности z (х) при х = 0, U = 0 будет
х
z(x) = -f—\Ub-i(t)dt, (68)
U" (х) J
причем
z(°) = M7'(0) ·
Отличие полученного сейчас решения (68) от указанного ранее реше-
ния (57) очевидно. В правую часть уравнения (67), согласно (65), входят
величины ξ (/) и Η (/), являющиеся функционалами искомого решения,
зависящими от формы кривых распределения продольных скоростей в сече-
ниях пограничного слоя. При пользовании приближенной формулой (68)
эта функциональность сохраняется в значениях коэффициентов а и Ь.
Заметим, что уравнение (67) легко преобразуется к виду
где роль неизвестной функции играет / (х). Приближенное решение его,
основанное на применении (66), при условии конечности / при х = 0, U (0) =
= 0, имеет вид
откуда следует
Пользуясь этими решениями и табл. 17 функции ξ (/), найдем распреде-
ление напряжения трения rw (x), а приравнивая его нулю — и абсциссу
точки отрыва х = xs. Значение параметра /8 в точке отрыва по табл. 17
определится как fs = —0,0681.
Не будем приводить конкретных примеров и сравнения результатов
расчета по изложенному только что методу с точными решениями. Такое
30 л. Г. Лойцянский

466 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
параллельное сравнение для нескольких методов будет произведено в конце
следующего параграфа. Отметим лишь, что метод Кочина — Лойцянского,
поскольку об этом можно судить по проведенным расчетам, дает заниженные
значения напряжения трения и, в связи с этим, заниженные значения модуля
параметра отрыва | /s |.
Изложенный в настоящем параграфе приближенный метод расчета
ламинарного пограничного слоя основывался на использовании однопара-
метрического семейства профилей скорости, представлявших точные подобные
решения уравнений Прандтля (11). Такой подход или несколько более
общий, заключавшийся в выборе «конкурирующих» однопараметрических
семейств профилей скорости среди других, известных к тому времени точных
решений, возник только в самом конце тридцатых годов. Ранее использова-
лись искусственно образованные аналитические семейства профилей, просто
схожие по форме с действительными профилями, совпадающие с ними на
внешней (у = δ) и внутренней (у = 0) границе пограничного слоя. Произвол
в выборе такого рода конкурирующих наборов профилей скорости породил
большое число различных приближенных методов и, по-видимому, отражал
широко в то время принятый в теории упругости метод Ритца.
Основную идею этих методов покажем на примере ранее всех появив-
шегося и вызвавшего многочисленные подражания метода К. Польгаузена г).
Будучи опубликована одновременно и в том же журнале, что и ранее проци-
тированная статья Кармана, статья Польгаузена ставила целью иллюстра-
цию применения интегрального соотношения Кармана.
Автор этой статьи предложил принять за однопараметрическое семейство
профилей продольных скоростей в сечениях пограничного слоя семейство-
многочленов четвертой степени
и _ 12+λ у ·_λ_
7Г~ 6 6 2
Ш'-тЧ-Я'+^Ш4-
^2|-2|* + Ρ+4-λ§(1-ξ)3 (70)
с параметром семейства, равным λ = U'62/v, где δ — принятая конечной
толщина пограничного слоя, а ξ = y/δ. Коэффициенты многочлена (70)
выбраны согласно граничным условиям
№и _ UU'
ду* ~~ ν
и==0' -7йТ= — ПРИ У=°>
U==t/' "% β0' ~δ^ ПрИ ^==δ·
(71);
Первое из этих условий совпадает с аналогичным условием (12), второе
получено из уравнения (11) путем применения его к твердой поверхности
(у = 0, и = ν = 0). Третье выражает равенство продольных скоростей
в пограничном слое и внешнем потоке в точке их сращивания на конечном
расстоянии у = δ от твердой поверхности, вместо соответствующего асимпто-
тического условия (12). Наконец, четвертое и пятое выражают плавность
перехода от и к U в точке сращивания {у = б).
Последние условия на искусственно введенной внешней границе погра-
ничного слоя и число их заключают в себе произвол, который, как пока-
зали последующие исследования 2), чувствительно отражается на методе.
1) К. Pohlhausen, Zur näherungsweisen Integration der Differenzialgleichungen
der laminaren Grenzschichten, Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech. 1, 1921.
2)JI. Г. Лойцянский, Аэродинамика пограничного слоя, Гостехиздат,
M.— Л., 1941, стр. 170—189. См. также более позднюю монографию того же автора:
Ламинарный пограничный слой, Физматгиз, М., 1962, стр. 96—98.

§ 89] ЛОКАЛЬНОЕ ПОДОБИЕ. МЕТОД КОЧИЫА — ЛОЙЦЯНСКОГО 467
Так, например, вытекающее из уравнения (11) дополнительное! условие
(dsu/dy3)y=0 = 0, введенное вместо последнего условия в системе (71), значи-
тельно улучшает точность метода Польгаузена, лишний раз подчеркивая
интуитивный характер этого метода.
С оперативной стороны метод Польгаузена во многом аналогичен методу
Кочина — Лойцянского. Так же, но на основании профиля скоростей (70)
составляются функции
'•W-T-i(1-5-)«*-sr-ns.
о;
*1
D !\ \ δ** f U ( \ U \ Ai 31 λ λ2
315 945
9072
««-[-ет_=г+
_λ_
б
\
(72)
Подстановка их в интегральное соотношение (58) приводит к сложному
нелинейному уравнению первого порядка, которое автор решал графическим
методом изоклин. Определенное из этого уравнения δ (х) подставлялось
в предыдущие равенства, что и давало решение задачи.
Ζ7'δ2
Переход от λ = к уже использованному в настоящем параграфе
и принятому в дальнейшем параметру / = t/'6**2/v позволяет свести решение
к интегрированию уравнения (69) при принятом обозначении (65) для
функции / (/). В табл. 18 приведены пересчитанные значения функций ξ (/),
λ
8
7,052
7
6
5
4
3
2
1
0
—1
/
0,0831
0,0770
0,0767
0,0689
0,0599
0,0497
0,0385
0,0264
0,0135
0
—0,0140
ε ω
0,340
0,332
0,331
0,321
0,310
0,297
0,283
0,268
0,252
0,235
0,217
H(f)
2,29
2,31
2,31
2,33
2,36
2,39
2,43
2,47
2,51
2,55
2,60
Τ аб ль
7(f)
—0,033
0
0,002
0,046
0,098
0,158
0,226
0,300
0,382
0,470
0,563
ца 18
λ
—2
—3
-4
—5
—6
—7
—8
—9
—10
— И
—12
/
-0,0284
—0,0429
—0,0575
—0,0720
—0,0862
—0,0999
—0,1130
—0,1254
—0,1369
—0,1474
—0,1567
ε ω
0,199
0,179
0,160
0,140
0,119
0,100
0,079
0,059
0,039
0,019
0
Η (/)
2,66
2,72
2,78
2,85
2,92
3,00
3,08
3,18
3,28
3,38
3,50
7(f)
0,662
0,764
0,870
0,978
1,085
1,198
1,308
1,417
1,523
1,625
1,724
Η (/), / (/). Так же, как и раньше, можно, но не столь точно произвести
замену / (/) ее линейным приближением (66) и получить решение в фор-
ме (68). Значения постоянных а и Ъ отличны от приведенных ранее для метода
локального подобия. Их приближенные значения будут: а = 0,47, Ъ = 6,10.
Как показывают расчеты, метод Польгаузена, в отличие от метода Кочи-
на — Лойцянского, приводит к завышенным значениям напряжения трения
на поверхности тела (τ^,) и соответственно завышенному значению модуля
параметра точки отрыва, т. е. к затянутому по сравнению с действительным
положению точки отрыва.
Описание других приближенных методов расчета ламинарных погра-
ничных слоев можно найти в ранее уже цитированной монографии, изданной
под редакцией Л. Розенхеда.
30*

468 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
§ 90. Метод обобщенного подобия в теории плоского
стационарного пограничного слоя х)
В немея к выведенному в предыдущем параграфе уравнению (54). В при-
нятых переменных, основанных на использовании «стандартной» толщины
пограничного слоя δ** (х), это уравнение сохранит свой вид
д3Ф' , / л . 1-;\* '&>Φ , , Г л I дФ \ 2
^+(1+^)*^+>[1-тъ
_т1п Г Р(Ф, дФ1дц) 4, , Р(Ф, θΦ/θη)7/"1 /7оч
-UZl Ш1) ;+ β (η, Я ;-1' ( }
соответствующий замене β на /, β на / и сохранению обозначений: z = δ**2/ν
и Φ (η; /, /); входящие в правую часть якобианы равны
D (Ф, дФ/дц) _ дФ д*Ф дФ &Ф
£>(η, f) дц~~дцЩ~~~дГ drf ·
Ρ (Φ, δΦ/θη)_ 5Φ δ2Φ дФ д*Ф
(74)
Ζ) (η,/) Ι^Ι дц df df ^η2 '
В рассмотренном в предыдущем параграфе локально-подобном прибли-
жении производные дФ/df и дФ/df равнялись нулю. Входящие в правую часть
уравнения (73) якобианы при этом также были равны нулю, и уравнение
(73) совпадало с уравнением локально-подобного приближения (35).
Уравнение (73) не удовлетворяет требованиям подобия, так как при-
сутствующие в правой части множители Uzf и Uzf делают уравнение зави-
сящим явно от х. Составляя, согласно определениям параметров / и / (62),
выражения
Uzf = U'z.Uz' + UU"z* = ff + UU"z*, Ι
: . j- (75)
Uzf = U'z-Uz' + U4z" = ff+U4z", J
убеждаемся, что последние слагаемые справа зависят от х и не выражаются
через / и /. Если приписать переменным подобия / и / индексы «1», то вторые
слагаемые, стоящие в правых частях (75), можно интерпретировать как
следующие по порядку переменные подобия:
U = UU"z\ h = U4z\ (76)
удовлетворяющие общему закону составления 2)
h = U*-i^z\ /ft = z*-i-£Lt/\ (77)
dx* ' lh dxk
x) Изложению сущности метода обобщенного подобия в разных его аспектах посвя-
щен ряд работ, среди которых отметим лишь следующие: Л. Г. Лойцянский, Уни-
версальные уравнения и параметрические приближения в теории ламинарного погранич-
ного слоя, Прикл. матем. и мех. 29, № 1, 1965; и того же автора: Универсальные уравне-
ния теории ламинарного пограничного слоя и параметрические методы их интегрирова-
ния, Труды ЛПИ, № 280, 1967; Обобщенно-подобные решения уравнений пограничного
слоя, сборник, посвященный шестидесятилетнему юбилею Л. И. Седова, «Наука», М-,
1969, стр. 301; Методы подобия в теории интегрирования уравнений ламинарного погра-
ничного слоя, сборник «Вопросы математической физики», посвященный семидесятипяти-
летнему юбилею Г. А. Гринберга, «Наука», Л., 1976, стр. 237—254. Ссылки на статьи,
содержащие разнообразные применения метода обобщенного подобия, приводятся далее.
2) На возможность использования величины /г в качестве параметра указал, по-ви-
димому, впервые И. Тани (J. Tan i, On the solution of the laminar boundary layer equa-
tions, Journ. Phys. Soc. Japan 4, 1949). См. также русский перевод этой статьи в сборнике
«Проблемы пограничного слоя и вопросы теплопередачи», Госэнергоиздат, М.— Л., 1960,
стр. 165—172.

§ 90]
МЕТОД ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ
469
Выражения параметров fk и fk могли бы быть получены и из соображе-
ний размерности. Отметим вновь наличие симметрии
h^th при U^Lz. (78)
Равенства (75) сведутся к таким:
Uzf^fJt + f^ Uzf\ = f~U + h- (79)
Введение новых переменных /2, /2 в преобразование (62) (см. далее (80))
приведет к появлению в уравнении (73) производных ]'г и ]'г, которые
по равенствам, аналогичным (79), будут содержать новые переменные /3, /а
и т. д.
Только введение с самого начала в преобразование (62) двух бесконеч-
ных последовательностей (77) позволит вывести искомое уравнение, лишен-
ное зависимости от х.
Применим к уравнению (15) преобразование обобщенного подобия
η = ylb**, Φ = ψ/(£/δ**) = Φ [η, (/ft), (Ml, (80>
в котором приняты сокращенные обозначения (fk), (fk) для последователь-
ностей параметров обобщенного подобия (/15 /2, . . .) и (/17 /2, . . .).
Предварительно установим связь между производными от ψ в физиче-
ской плоскости (х, у) и соответствующими производными Φ в пространстве
bl, (/й), (/ft)]; аналогично тому, как это было сделано ранее, будем иметь
оо
fc=l
%-Μ^-τ7*»+°·Σ (£* ' ■ ~ 7'n ' <81>
ду ' ду2 δ** ' дуЗ δ**2
Далее, непосредственно из определений параметров обобщенного подо-
бия (77) следует
Uzh = {k-l)zb-^Ub.Uz' + z*^U^ + kU^U>z,
/Ι]/*+/*μ-θ*. 1 (82)
fl]fh + fh+l = &k,~· J
dxk dxk+i dxh
откуда вытекают следующие' формулы:
Uzfb = [{k-i)U + kh
структура которых отвечает ранее отмеченному свойству симметрии
θηΤ^θκ при h^t'h. (83)
Подставляя эти выражения в (81), а полученные таким образом значения
производных— в уравнение (15), после простых приведений получим искомое
уравнение пограничного слоя в переменных обобщенного подобия
!?+('.+1'.)*^+Ф-(1Г)>
оо
^ L D(n, /ft) ^ Л (η,/О J *

470 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
К уравнению (84) присоединяются граничные условия
ф = ф = 0 при η = 0, Φ ->- 1 при η~->- оо,
'Ф = Фо» при fh = /м, fk = fk0 (Λ = 1, 2, . .. )·
Последнее условие, отмеченное индексом 0, выражает, что искомая
интегральная кривая должна выходить из точки, соответствующей некоторо-
му автомодельному (подобному) решению. Заметим, что общему подобному
решению, изложенному в § 88, будут соответствовать зависящие от показате-
ля степени т в законе скорости U = схт следующие значения параметров
/ьо и fho'·
. 9 f ( )
/- = (-l)ft^(--l)---(- + fc-2)^(^), J
где Β (β) — функция, приведенная в табл. 16. Как и должно быть в автомо-
дельном решении, параметры fk0 и fk0 не зависят от х.
Уравнение (84) при граничных условиях (85) представляет нелинейное
дифференциальное уравнение третьего порядка в частных производных,
обладающее свойством универсальности в том смысле, что оно и соответ-
ствующие ему граничные условия имеют один и тот же вид для любых анали-
тических заданий распределений скорости U (х) на внешней границе погра-
ничного слоя. Это особое свойство уравнения (84) и граничных условий (85)
является прямым следствием введенного представления об обобщенном
подобии движений в пограничном слое.
Таким образом, установлена возможность приведения дифференциально-
го уравнения Прандтля (15), содержащего в себе и в соответствующих ему
граничных условиях частное, характерное для данной конкретной задачи
распределение скоростей на внешней границе пограничного слоя, к универсаль-
ному дифференциальному уравнению (84), одинаковому для всех возможных,
обладающих свойством аналитичности, т. е. существования производных
любого порядка функции U (х).
Введение бесконечно большого числа переменных fh, fk и неизбежность
в практических расчетах «урезания» сумм, входящих в правую часть уравне-
ния (84), без доказательства сходимости такого процесса, придает, конечно,
всему методу эвристический характер.
Уравнение (84) при граничных условиях (85) должно быть один раз
численно проинтегрировано на ЭВЦМ, причем речь может пока, по-видимо-
му, идти лишь об «отрезке» уравнения, соответствующем значению к = 1,
так как даже это простейшее приближение потребует пользования тремя
переменными (η, /1? /х), что в настоящее время является верхним пределом
числа независимых переменных, допустимого при пользовании ЭВЦМ для
интегрирования уравнений в частных производных.
Имея в виду указанное существенное обстоятельство, связанное с исполь-
зованием ЭВЦМ для численного интегрирования уравнения (84), а также
и затруднения, возникающие на последнем этапе решения заданной конкрет-
ной задачи, упростим это уравнение, сведя его к виду, содержащему лишь
независимые переменные η и /.
Это можно сделать, применив к уравнению (84) использованный нами
в предыдущем параграфе прием локализации по переменным fh, согласно
которому все производные по fh опускаются, а следовательно, опускается
второй якобиан под знаком суммы в правой части, а сами переменные (/ft),
(85)

S 90]
МЕТОД ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ
471
входящие явно, сохраняются. Но единственным из переменных (fk), явно
присутствующим в первой круглой скобке в левой части уравнения (84)
и в выражении Qk в квадратной скобке первого из равенств (82), является Д,
который можно выразить в функции от переменных (fh), используя для этой
цели интегральное соотношение (65), обобщенное на случай бесчисленного
множества переменных (fk).
Переписывая уравнение (84) в локализованной по переменным (fh) форме
д*Ф
If +1 7 \фг*фЛ-{ ΙΙ (дф\2Л ^ η Д(Ф,аФ/01)).
ft=l
Ф = Ф = 0 при η = 0, Φ ->- 1 при η-ν оо;
Φ = Φ0(η) при (fh)=(fM),
(87)
произведем почленное интегрирование обеих частей этого уравнения по η
βτ η = 0 до η = оо. Нет необходимости повторять эту операцию, совершенно
тождественную с той, которая производилась в предыдущем параграфе.
Полученное интегральное соотношение будет иметь тот же вид, что и (65):
7i = 2{S(/„ /2, .. .)-[2 + Н (/„ /2, .. .)Ш (88)
с той лишь разницей, что £,, Н, а следовательно, и Д будут уже функциями
бесчисленного множества переменных (fk).
Совокупность уравнений (87) и (88) при θ^ (к = 1, 2, . . .), определяемых
первым равенством системы (82), представляет упрощенное по сравнению
с (84) и также «универсальное» уравнение, требующее интегрирования один
раз навсегда и последующего табулирования решения.
Заметим, что уравнение (84) в результате проведенной локализации
по переменным (fh) потеряло свой чисто дифференциальный вид. Наличие
в составе уравнения (87) величины/17 зависящей, согласно (88), от функциона-
лов искомого решения
оо
t(/i, /а, ...) = Ф(0; /„ П, ...), //(/„ /*,...)= \ (1-Φ)<*η, (89)
Ъ
придает уравнению (87) своеобразный интегро-дифференциальный характер,
что мало чем усложняет численное его решение.
Фактическое решение уравнения (87) требует ограничения числа незави-
симых переменных на современном уровне вычислительной техники, по-види-
мому, тремя: η, f1 и /2. Это приводит к необходимости применения известного
метода урезания, который заключается в приравнивании нулю переменных,
начиная с некоторого индекса.
В нашем случае, по определению (77), равенство нулю переменных fk,
начиная с к = s, эквивалентно предположению о равенстве нулю производ-
ных от U (х) этого порядка
/. =/,+!=.·. =0, если _ = _—=... =0. (90)
Это можно интерпретировать геометрически как условие замены про-
извольной функции U (х) ее приближением вблизи данной точки с абсцис-
сой х обверткой парабол соптвьтствующей степени.

472 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Так, однопараметрическое представление уравнения (87) (верхний индекс
означает принадлежность к соответствующему ему приближению)
*·* '■(/1+4?,")φ'«^+/44-(-5φ"> "2
Θη3
ф(1):
= /i/i1,(
drf
θφ<1> 02Ф<1>
дг)
дЦ 9rph dh
ф<1) = 0 при η = О, Ф(1> ->- 1 при
Φ(1) = Φο(η) при /1==0,
П-)
)·
drf
η —i
I
(91)
где
Λ" (/i) = 2{ξ(1) (A) - [2 + Я<« (/,)] Λ} (92)
соответствует предположению о том, что произвольная кривая U (х) вблизи
каждой точки заменена своей касательной в этой точке, иными словами,
представлена «оберткой» касательных.
С точки зрения развиваемого в настоящем параграфе метода обобщенно-
го подобия это однопараметрическое приближение должно привести к извест-
ному методу Хоуарта х), основанному на использовании точного решения
уравнения Прандтля для линейного распределения скорости на внешней
границе пограничного слоя. Решение уравнения (91) будет точным для этого
частного случая и приближенным для случая произвольного распределе-
ния U (х).
Аналогично двухпараметрическое приближение уравнения (87)
-Τ-+('.+4»-)«--^!-+/.[»-(-Τ·Π-
_ (_f 7(2) , 4 \ / дФ(2) #>Φ<2> дф(2) <?2ф(2) ^ ,
_i_ (4 _l Of(2h 4 ( дфт 52ф<2) дф(2) 52Ф2>\
I
(93)
ф<2) = ф(2) = о при η = 0, Φ(2>
Φ'2> = Φ0(η) при U-.
дцдн
1
при
О,
η
оо,
где
If = 2 {£<*> (/„ /2)_ [2 + #<*(/,, U)\ /J,
(94)
соответствует замене произвольной кривой распределения скорости U (х)
на внешней границе пограничного слоя оберткой парабол второй степени.
Первый параметр /17 наряду с толщиной потери импульса δ** (х), кото-
рая выражает в интегральной форме предысторию движения в пограничном
слое, содержит еще первую производную внешней скорости U' (х), тем самым
учитывая влияние местного уклона кривой распределения этой величины.
Положительным значениям fx соответствует ускоренное движение (конфузор-
ный участок пограничного слоя), отрицательным — замедленное движение
(диффузорный участок).
Второй параметр /2 также суммарно учитывает предысторию потока
в пограничном слое через величину z (x), но, в отличие от /а, заключает в себе
выражающее влияние местной кривизны распределения внешней скорости
произведение UU", знак которого говорит о том, будет ли кривая распреде-
ления внешней скорости U (х) выпукла или вогнута в данной точке по отно-
х) L. Η о w а г t h, On the solution of the laminar boundary layer equations, Proc.
Roy. Soc. A164, 1938.

§ 90]
МЕТОД ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ
473
ft <о, fz со
шению к оси Ох (рис. 172). Последующие параметры fh выражают зависи-
мость от старших производных и не имеют простой геометрической интер-
претации.
Можно полагать, что двухпараметрическое приближение, учитывающее
влияние не только наклона касательных к кривой заданного распределения
скорости U {х), но и кривизну в отдельных
точках этой кривой, должно давать доста-
точно точные результаты расчета. Излагае-
мый далее пример иллюстрирует это ут-
верждение.
Рассматривая граничные условия (87),
можно заметить, что первая их строка соот-
ветствует обычным граничным условиям
«прилипания» к твердой поверхности и
асимптотического стремления продольной
скорости к своему значению на внешней
границе пограничного слоя. Граничное
условие, помещенное во второй строке,
выражает при fk0 = 0 выбор в качестве ав-
томодельного, простейшего из них решения Блазиуса задачи о пограничном
слое на продольно обтекаемой пластинке. Функция Ф0 (η), входящая в это
граничное условие, удовлетворяет уравнению (U = const, V = 0, /10 = 0Т
/м = По)
f,<0,f2>0-
Φο+ξ0ΦοΦ0=ο. £о=ф„(0);
φ0 = φ0 = 0 при η = 0, Ф0
1 при η —>- оо.
}
(95)
Это уравнение может быть введено в программу машинного интегриро-
вания уравнения (87), особым решением которого (/х = 0) оно является-
Аффинным преобразованием
=о
Фо = Ф» η-η·/δ, й"(тР-Ц
уравнение (95) сводится к стандартной форме
dr\*s
ч
dtf* '
dOt
dif
при η* = 0,
оо,
(95')
представляющей частный случай уравнения Фокнера — Скэн (43) при β — 0,
Значения безразмерной скорости ulU = йФ*/е?г|* помещены в табл. 15
под рубрикой β = 0 (ξ = η*), а ££ = (а2Ф*/ац*\*=о в последнем столбце
табл. 16. При β = 0 имеем ξ* = 0,4696.
Уравнение (87), по самой своей сущности, не может учитывать влияние
произвольного начального профиля скоростей и = и0 (у) при х = х0, кото-
рое определяется последним граничным условием в уравнении (15). Это
условие никак не отражено в универсальном уравнении (87), но заключено
в начальном условии завершающего расчет пограничного слоя обыкновенно-
го дифференциального уравнения первого порядка
ах
z =
/l (/li Hi · · ·)» I
z0 при x = xo, )
(96)
которое выводится из интегрального соотношения (88) путем замены в левой
части 7i его значением Ji = Uz' no (77). Правая часть уравнения (96),

474 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
__ Таблица 19. Значения функции £ ^2) (/4, /2)
\ -0,13 -0,1225-0,115-0,11 —0,105 -0,1 -0,095 —0,09 -0,08 -0,06 -0,04 —0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08
—0,25 —0,0012 0,0354 0,0608 0,0751 0,08820,1004 0,1118 0,1227 0,1430 0,1787 0,21010,2380 0,2639 0,2806 — — —
—0,20 — 0,0049 0,0396 0,0570 0,07210,0858 0,0985 0,1104 0,1323 0,1704 0,2037 0,2333 0,2608 0,2787 — - —
—0,15 — — 0,0037 0,0293 0,04880,0654 0,0802 0,0937 0,1183 0,1598 0,1956 0,2274 0,2569 0,2764 — — —
—0,12 — — — 0,0035 0,02960,0489 0,0655 0,08040,1069 0,1514 0,1895 0,2230 0,2538 0,2745 — — —
—0,10 - - - - 0,01430,0368 0,0548 0,0705 0,0982 0,1444 0,1842 0,2194 0,2514 0,2734 — — —
—0,08 - — — — -0,00900,0234 0,0437 0,0606 0,0894 0,1364 0,1776 0,2147 0,2487 0,2721 — — —
-0,06 - — — — — 0,0056 0,0314 0,05010,0806 0,1284 0,1699 0,2083 0,2448 0,2704 — — —
_0,04 — — — — — — 0,0172 0,03910,0714 0,1204 0,1620 0,2002 0,2386 0,2687 — — —
—0,02 - - — - - — -0,0093 0,0243 0,0614 0,1129 0,1548 0,1926 0,2303 0,2616 0,2923 — -
0 ____ — _ _ -0,00510,0597 0,1036 0,1471 0,1855 0,2208 0,2545 0,2870 0,3190 0,3511
0,02 ____ _ _ _ _ o,f)572 0,1031 0,1457 0,1836 0,2187 0,2521 0,2853 0,3131 0,3429
0,04 _____ __ _ _ о,0471 0,1026 0,1442 0,1817 0,2166 0,2498 0,2822 0,3127 0,3415
0,06 ____ __ _ _ 0,0360 0,0934 0,1371 0,1754 0,2103 0,2431 0,2744 0,3045 —
0,08 ____ __ __ 0,0166 0,0849 0,1306 0,1695 0,2046 0,2375 0,2687 0,2986 -

§ 90] МЕТОД ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ 475
Таблица 20. Значения функции Т\(2> (А, А)
\^ -0,13 -0,1225-0,115 -0,11 -0,105 —0,1 -0,095 —0,09 —0,08 —0,06 —0,04 -0,02, 0 [0,02 0,04 0,06 0,08
-0,25 1,396 1,337 1,2801 1,2436 1,2080 1,1730 1,1387 1,1049 1,038 0,9083 0,7805 0,6534 0,5277 0,3896 — - -
-0,20 - 1,329 1,2704 1,2329 1,1965 1,1611 1,1265 1,0925 1,026 0,8966 0,7702 0,6450 0,5217 0,3826 — - —
_П,15 — - 1,2615 1,2219 1,1838 1,1471 1,1117 1,0772 1,010 0,8818 0,7571 0,6342 0,5139 0,3775 - - -
-0,12 - - - 1,2156 1,1766 1,1385 1,1020 1,0767 0,9990 0,8703 0,7471 0,6262 0,5075 0,3733 - - -
—0,10 - — - — 1,1722 1,1331 1,0957 1,0596 0,9908 0,8611 0,7387 0,6196 0,5028 0,3701 — — —
-0,08 - - - - 1,1650 1,1281 1,0897 1,0529 0,9828 0,8511 0,7284 0,6111 0,4974 0,3680 - - -
_0,06 - — - — - 1,1224 1,0840 1,0463 0,9748 0,8411 0,7165 0,5997 0,4895 0,3642 — — —
_0,04 - - — — — — 1,0783 1,0401 0,9669 0,8308 0,7042 0,5853 0,4771 0,3574 0,2794 — -
_0,02 - - _____ 1,0711 1,0333 0,9591 0,8216 0,6932 0,5717 0,4606 0,3451 0,2363 — -
0 _______ _ 1,0266 0,9500 0,8110 0,6817 0,5591 0,4416 0,3295 0,2220 0,1196 0,0235
0,02 - — _____ 1,0023 0,9485 0,8073 0,6774 0,5547 0,4374 0,3251 0,2210 0,1064 0,0024
0,04 —— _______ 0,9420 0,8037 0,6732 0,5503 0,4332 0,3211 0,2152 0,0974 —
0,06 __ ______ 0,9356 0,7932 0,6627 0,5391 0,4207 0,3064 0,1957 0,0884 —
0,08 -- _______ 0,9282 0,7839 0,6530 0,5287 0,4093 0,2939 0,1820 0,0732 —

476 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
согласно (^8) и (77), представляется в виде явной зависимости от {/иг так:
/i = 2 {£ (U'z, UU"z*, ...) — [2 + Η (U'-z, UU"z\ ...)] U'z}. (97)
Начальное условие, соответствующее уравнению (96), содержит величину
z0 = z Ы = [δ** (x0)]2h,
которая зависит от толщины потери импульса δ** (х0), равной
Г "о (у) Г л "о (у) ~] j,
J U(x0) Ι1 иКх0)]аУ>
(98)
и интегральным образом учитывает заданное начальное условие: и = щ (у)
при х = хь.
Численное интегрирование уравнения (87) на ЭВЦМ было выполнено г)
в двухпараметрическом, заключающем в себе как частный случай (/2 = 0)
однопараметричсское, приближении. Практическое значение при решении
*
it?
-
ф'
и
f2=-0,25
-0,20 ^У
-««\
-0,12 О
-0,10 \
-0,08-^
-0,06-^
-ОМ -О
-0,02*&
if
////
щ
/y/i
у/ 1
/ 1
' 1
1.
\V
f
yyyyi
1
?г^
1
·>
0,10
0,0δ
ψ&
<Ν
' /
/^
"Z^r^
-—
^0>06
^0,08
>
<очин-Л
ШЦЯНС)
wu
-DJ6 -ОД -0,08 -0,04 О
Рис. 173.
0,04
0,0д
ft
отдельных конкретных задач расчета пограничных слоев имеют: табл. 19 —
£2)(/и /г) и табл. 20 — /}2) ft, /2) (индекс, стоящий сверху, обозначает
номер приближения). Первая из этих таблиц служит для вычисления напря-
жения трения xw, вторая используется при интегрировании уравнения (96).
В таблице для Я<2) ft, /2) особой нужды нет.
Графики функций ξ'2» ft, /„) и ft2' ft, /2) в форме семейств с парамет-
ром /2 приведены на рис. 173 и 174. Можно отметить сравнительно сильное
влияние параметра /2 на кривые семейства ξ<2> ft, /„) и более слабое
на /f> ft, /2).
) Е. Ф. Озерова, Л. М. Симуни, Приближенное двухпараметрпческое
решение уравнении ламинарного плоского стационарного пограничного слоя в несжимае-
мой жидкости, Труды Л ПИ, № 313, Аэротерыодинамика, 1970

S 90]
МЕТОД ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ
477
На графиках показаны пунктиром выраженные в тех же переменных
кривые, соответствующие однопараметрическим методам Польгаузена
и Кочнна — Лойцянского, о которых была речь ранее. Можно заметить, что
при Д < 0 кривая Польгаузена пересекает кривые двухпараметрического
метода в области отрицательных значений /2, а кривая метода Кочина —
Лойцянского — в области положительных значений /2. Отсюда следует, что
метод Польгаузена более пригоден для случаев выпуклых в сторону оси у
Рис. 174.
кривых распределения внешней скорости U (х), а метод Кочина — Лойцян-
ского — для вогнутых в сторону оси у кривых этого распределения (ср.
рис. 172). Кривые однопараметрического метода Хоуарта (/2 = 0) занимают
промежуточное положение.
Если принять термин локально η-параметрическое приближение для
случая, когда в универсальном уравнении η-параметрического приближения
сохраняются все η параметров, но в правой его части отбрасываются произ-
водные по последнему параметру/п, то метод Кочина — Лойцянского должен
получить наименование локалъно-однопараметрического приближения. Пол-
ным однопараметрическим приближением является метод Хоуарта. Таким
путем может быть, наряду с изложенным двухпараметрическим приближе-
нием, получено локально-двухпараметрическое приближение, расчет которо-
го не требует проведения численного интегрирования уравнения с тремя
независимыми переменными η, /l7 /2; последнее переменное /2 рассматривает-
ся в этом случае как некоторый параметр, для отдельных фиксированных
значений которого приходится проводить интегрирование п.» двум независи-
мым переменным η и Д. _
То обстоятельство, что кривые f[2) (Д, /2) тесно группируются и при
этом близки к линейному закону, позволяет произвести замену
/И/i. U) = a(fj-bft + e(fit /2), (99)
учитывающую почти полное отсутствие зависимости уклона этих кривых
от /2 и лишь слабый параллельный их сдвиг вдоль оси /х, согласно^функции
а (/2). Последнее слагаемое ε (Д, /2) характеризует отклонение Д2) (/15 /2)
от линейного ее выражении (99) и легко табулируется, если значения а и b
уже выбраны.

478 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Уравнение (96) при выбранном выражении (99) для /f (/x, /2) может
быть формально проинтегрировано и переписано в виде
х
Ub (х) z (х) = j U*~ 1 (t) {а \П (t)] + ε [fi (t), /2 (t)]} dt + Ub (x0) z (x0). (100)
В этом уравнении z (x0) = z0 определяется либо по (98), если задано
начальное распределение и0 (у) при х = х0, либо по значению z0 в лобовой
критической точке обтекаемого тела х = 0, где U = 0. Эта точка является
особой точкой уравнения (96) и поэтому значение z (0) может быть определе-
но из условия конечности dzldx при х = 0, т. е. из уравнения /J2' (/10, /20) =
= 0, которое при U — сх вблизи х = 0 сводится к более простому уравне-
нию Д1} (/10) = 0, имеющему корень
/10 = 0,0854, Ζο = τ^ = -^.
Уравнение (100) можно заменить приближенным рекуррентным урав-
нением
Ub (xi)z(xi) = Ub(xi_l)z(xi_i) +
xi
-HalMzi-iJl + el/ite-t), h{Xi-i)\} j Ub-l{t)dt,
Xi-1
если весь интервал (х0, х) разбить на мелкие интервалы с узлами в точках
х — xt, а /2 (х) и ε (х) заменить ступенчатыми функциями. Обычный прием
вычислений «шаг за шагом» при этом с легкостью проводится.
Как показали расчеты, в некоторых, правда, достаточно «гладких»
случаях при определении z (x) и затем /х (ж), /2 (х), вполне можно довольство-
ваться однопараметрическим приближением, так как относительная ошибка
в определении δ** (х), быстро растущей в диффузорном участке, мала. Влия-
ние второго параметра /2 (х) существенно для вычисления напряжения тре-
ния %w и определения положения точки отрыва, для чего используются
зависящие от параметра /2 кривые ξ<2> (/1? /2). При таком подходе задача
значительно упрощается, так как а и b могут быть приняты просто постоян-
ными, а ε — функцией одного /х. В этом случае, если прямую для прибли-
женного представления действительной кривой Д (Д) провести по касатель-
ной к ней в точке f1 = 0, то будет а = 0,44, Ъ = 5,71.
Р. М. Террилл *) дал точное численное решение задачи о плоском погра-
ничном слое на поверхности круглого цилиндра при задании распределения
скорости на внешней границе по теоретическому потенциальному закону
синуса.
Решение Террилла выражено им в безразмерных величинах, причем
продольные длины отнесены к радиусу цилиндра а, продольные скорости —
к скорости набегающего потока £/„,, поперечные длины и скорости в погра-
ничном слое даны в известных уже нам масштабах а/у Re, t/oo/T^Re; Re =
= Ucca/v. В этом безразмерном представлении (не будем вводить для без-
размерных величин новые обозначения) распределение скоростей на внешней
границе пограничного слоя и напряжение трения на поверхности цилиндра
будут определяться двумя безразмерными величинами
U = 2 sin х, (ди/ду)у==0,
г) R. Μ. Τ е г г i 11, Laminar boundary-layer flow near separation with and without
suction, Phil. Trans. A253, 1960, 55—100.

§ 90]
МЕТОД ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ
479
\dylyo
где х — угловая координата точки на поверхности цилиндра, отсчитанная
от лобовой критической точки и выраженная в радианах.
Не приводя таблиц, помещенных в цитированной работе Террилла,
удовольствуемся сводным графиком двух представляющих наибольший
интерес величин: д**(х) и (ди/ду)у=0
(рис. 175). Как видно из рисунка, без-
размерная толщина потери импульса
б** (х) монотонно возрастает от неко-
торого начального значения в лобовой
критической точке, равного примерно
0,29. Это совпадает со значением В (β),
определенным по табл. 16 при т = β = 1
и с = 2, что соответствует закону
распределения скоростей на внешней
границе пограничного слоя вблизи
лобовой критической точки U со х.
Безразмерное напряжение трения
растет от нулевого значения при х = 0
и достигает своего максимального зна-
чения в точке х = 1, что соответствует
примерно углу 57°17' (один радиан). Затем напряжение трения убывает
до нулевого значения при xs = 1,82, или в градусах x°s = 104°30'. Эта точка
и является точкой отрыва S пограничного слоя с поверхности кругового»
V
Ofi
о,г
/(
■0
С-
№
0,8 1,2 1,6 ZJT
Рис. 175.
(дФу)у.о
0,8
0,6
ОЛ
02
оо
1
ν
\
Ьопарам. \\ точи.
X
х-
UCff.
0,Ь 0,6 1,2 1,6 2,0 х
Рис. 176.
0,3
\dyIyX
0,2
0,1
η
\ V
однопарам. \
1
1
^
\ \дВуз;парам
\ \\ тот.
1 1 1 \
1,6
1,7
Рис. 177.
1,8 1,3
х
цилиндра. В этом расчете, напомним еще раз, не учитывается обратное-
влияние пограничного слоя на внешний поток, т. е. то значительное искаже-
ние, которое отрыв вносит в теоретическое потенциальное обтекание.
Пример Террилла, как точное решение, принимается нами за своеобраз-
ный эталон, с которым сравниваются значения величин, рассчитанных по
двухпараметрическому приближению метода обобщенного подобия. Прибли-
женная кривая δ** (х) оказалась практически совпадающей с точной; макси-
мальное отклонение было вблизи точки отрыва и не превосходило 3 % от точ-
ного. Кривая однопараметрического приближения для величины;приведенно-
го трения (ди/ду)у=0 заметно отклоняется от точной кривой Террилла
(рис. 176).
Расчет по двухпараметрическому приближению приводит к величине
трения, почти полностью совпадающей с точным значением, исключая неболь-

480 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
шую область в непосредственной близости к точке отрыва (едва заметное
отклонение показано пунктиром; на рис. 177 эта область показана в увели-
ченном масштабе).
Снять ограничение на число используемых параметров можно было бы,
применяя вместо непосредственного интегрирования уравнения (87) разло-
жение функции Φ [η, (/ft)] в степенные ряды по параметрам (fh), однако
f
0,08
ОРЬ
О
-ом
-0fi6
-0,12
-ОМ
о ofi о,в /,г i,§ 2,0
а;
Рис. 178.
сходимость таких рядов ограничивается малыми значениями параметров.
Как можно судить по рис. 178, малость параметров /2 и /3, рассчитанных
для примера Террилла, обеспечивается только вдалеке от точки отрыва,
которая является особой точкой уравнения (87).
§ 91. Пограничный слой на проницаемой поверхности.
МГД-пограничный слой
Среди разнообразных применений метода обобщенного подобия в теории
ламинарного пограничного слоя остановимся в настоящем параграфе на двух
пристенных слоях: на проницаемой поверхности (отсос или сдув жидкости
с твердой поверхности) и МГД-пограничном слое в потоке электропроводной
жидкости.
Изложение примеров расчета пограничных слоев на проницаемых
поверхностях обычными методами можно найти в широко распространенной
монографии Г. Шлихтинга х) и в других специальных монографиях по погра-
ничному слою.
Метод обобщенного подобия к задачам ламинарного пограничного слоя
на проницаемой поверхности был впервые применен Чаном 2), составившим
универсальное уравнение и использовавшим для его решения метод разло-
жения решения в ряд по степеням параметров, относительно которого были
уже сделаны критические замечания в конце предыдущего параграфа.
Численное решение универсального уравнения в простейших приближениях
на ЭВЦМ для случая проницаемой поверхности было выполнено аспирантами
*) Г. Ш л и х τ и н г, Теория пограничного слоя, перев. с нем., гл. XIV, «Наука»,
М-, 1974.
2) Υ. Υ. С h а п, Loitsianski's method for boundary layers with suction and injection,
AIAA Journ 7, № 3, 1969, 562, 563.
fz(x)
f,(x)
\m
X) '
f.(x)
1

§ 91] ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ 481
кафедры гидроаэродинамики ЛПИ имени М. И. Калинина А. Л. Леснико-
вым г) и Л. Г. Шишкиной 2).
Уравнения ламинарного пограничного слоя на проницаемой поверхности
имеют тот же вид (11) или (15), что и на непроницаемой. Различие сказывает-
ся лишь на первом граничном условии на поверхности тела (у = 0). Если
обозначить через v0 (х) заданную скорость, с которой жидкость с теми же
физическими константами ρ, μ, ν, что и в набегающем потоке, проницает
твердую поверхность (у0 >■ 0 при вводе (вдуве) жидкости, ν0 < 0 — при
ее отсосе) в нормальном к ней направлении, то первая строка граничных
условий для уравнения (11) будет, в отличие от (12), иметь вид
и = 0, υ = ν0 при у = 0.
Вводя обозначение для переменной в этом случае вдоль поверхности
тела (у — 0) функции тока ·ψ (х, 0) = я])0 (х), изменим граничные условия
на поверхности тела (у = 0) для уравнения (15) на следующие (штрих, как
и раньше, обозначает производную по х):
-3-=*ь--«ь. -gr-o при у=°- (101>
Можно сохранить старые граничные условия (15), если ввести новую
функцию тока ψ* (х, у), связанную с ψ (х, у) равенством
ψ (х, у) = ψ0 (х) +ψ* (х, у); ψ* (х, 0) = 0. (102)
Таким образом, задача сводится к интегрированию уравнения
ду дхду дх dyz ™ ду* +V ду* '
Ψ* = 0' Ιτ = 0 пРи i/ = 0'
Qlh*
—^ U (х) при j/-voo,
ду
(103)
-щГ = ио(у) ПРИ ж = жо
о дополнительным по сравнению с (15) слагаемым
в левой части уравнения (103),
Попытка решения этого уравнения в ^аффинно-подобной форме
ψ* (х, у) = J7 (ж) δ** (ж) Ф* (у/б**) = J7 (а:) δ** (х) Φ* (η)
приведет, аналогично тому, как это имело место в § 88, к уравнению
φ·*+(/ + ^)φ*φ% + /(1_φ*2)_|_λφ*^ο, (104)
где, наряду с прежними параметрами / = U'z = £Γδ**2/ν и / = J7z', появ-
ляется новый, равный
λ(*) = -^ = «1. (105)
*) А. Л. Лесников, Ламинарный пограничный слой на проницаемой поверх-
ности, Инж.-физ. журн., № 5, 1972.
2) Л. Г. Шишкина, Двухпараметрическое решение уравнений ламинарного
пограничного слоя на проницаемой поверхности, Изв. АН СССР, Механика жидкости
я газа, № 6, 1973.
31 Д. Г. Лойцянскнй

482 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Повторяя алгоритм, принятый в § 90 для вывода уравнения погранично-
го слоя в переменных обобщенного подобия для непроницаемой поверхности,
введем преобразование
ψ· (*, y) = U (х) δ" (х) Φ* [η; (fk), (/ft), (λ*)],
f^XPr+2^.*
h
*fc-i
U\
dx* ' '" dxh
ци-i dk-ivp г*"172 = uh-i dbfr I
„V2
da*
(106)
dxk~l ν
Тогда придем к следующему универсальному уравнению движения вяз-
кой жидкости в пограничном слое на проницаемой поверхности:
д3Ф* . I* . 1 - \ Λ, θ2Φ* , г, / θΦ* \2т с*ф*
δη3
+ (/.+τΜφ
5η У J ' "* θη;
дФ* й2Ф* δΦ* θ2Φ*
) +
+е»(
θΦ* й2Ф* йФ* δ2Φ*
θη βη% д/ь 0η2
до* а2Ф* йф* а*Ф*
)+Λ»(·
)].
дг\ δη a/ft a/ft βη2"/ ' "ft V ^η dr\d%h a%h щ*
где введены старые обозначения (82) для Qk лЪк и новое для Afe:
Aft = {(*-1) Λ + 1(2к-1)/2] А} Ль + λ*+Ι,
причем при выводе уравнения (107) использованы соотношения
Uzfj = [(к- 1) Л + kfufj + f_h+i = 6ft,
C7z/h = [{к-1) л+ал] д+7~ft+, = θ,,,
i/zXft = {(к-1) Л + I(2fc-1)/2] Л} Яь + Xft+1 = Aft. J
Интегральное соотношение, выводимое аналогичным изложенному в § 89
приемом почленного интегрирования обеих частей уравнения (107) по η
от η = 0 до η = оо, приведется к виду
1107)
(108)
(109)
Λ = 2[ξ-(2 + #)Λ-λ!],
(110)
отличающемуся от (88) наличием последнего члена в квадратной скобке
в правой части (110).
Довольствуясь, как и в предыдущем параграфе, локализацией по всем
параметрам, кроме Л = / и ^ = λ, и урезанием по параметрам, по которым
оыла проведена локализация, получим универсальное двухпараметрическое·
дЗф*
чн-('+тГК^+[1-(^),]+*з;
=//-(
—/ θφ* а2Ф*
θφ* а2Ф*
Ф* =
δη df дг\
дФ*
дг\
df дц
0 при η = 0,
) + 7λ(
д*Ф*
aij»
дФ* д*Ф*
дФ* ааФ*'
df] дг\д% θλ drf
У-
дФ*
дт\
-»-1 при η-»-οο,
Φ* = Φ?(η) при / = λ = 0.
(Ill)
Уравнение это было проинтегрировано на ЭВЦМ Л. Г. Шишкиной
Приведенные в только что цитированной работе графики зависимости ξ (/ λ)
и /(/, λ) показаны на рис. 179 и 180. Отчетливо наблюдается увеличение I

S 91) ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ 483
и естественное при этом смещение точки отрыва (ξ = 0) вниз по потоку
при наличии отсоса (λ >0) и, наоборот, уменьшение ξ и смещение точки
отрыва вверх по потоку — при сдуве (λ <С 0) пограничного слоя.
Для определения толщины пограничного слоя служит уравнение
dz f (/, λ) __ 2{ξ(/, λ)-[2+#(/, λ)]/-λ}
dx U{x) U(x) '
(112)
причем так же, как и в случае непроницаемой поверхности, числитель справа
может быть приближенно заменен линейной функцией
/(/, λ) = α — bf—2αλ,
(ИЗ)
что облегчает интегрирование уравнения (112). Постоянная а была принята
равной 0,44, а 6=5,15. Отличие от принятого ранее 6=5,75 не существенно.
1,2
ар
0 -0J6 -0,12-0,0В-Oflk О 0,04 0,08 0 -0,08
f
Рис. 179.
1
*
?^v
02&
//
<А=0
Ой/
А*,
so?
'у
■к=о
< f
0,4 0,8
0,2 0/,
dv
.ш
\Д£
-Ολ
"2(HJ
<*0,7
0.6
12
0,08 ojb a
Рис. 180.
В качестве эталона сравнения с точным решением было взято уже
цитированное в конце предыдущего параграфа решение Террилла для двух
значений принятой за постоянную
безразмерной скорости отсоса vs — 0
и vs — 0,5. Как видно (рис. 181),
приближенные решения Л. Г. Шиш-
киной (нижние кривые) мало отлича-
ются от точных (верхние кривые).
Приближенное решение при vs = 0
совпадает с однопараметрическим,
сравнение которого с двухпарамет-
рическим и точным решением Тер-
рилла было показано на рис. 176.
Исследования магнитогидроди-
намических (в дальнейшем — МГД)
пограничных слоев в конце пятиде-
сятых — начале шестидесятых годов
проводились многими учеными (Ли-
кудис, Юнгклаус, Цинобер и Щер-
бинин, Россов, By и др.), исполь-
зовавшими для этой цели различные
методы теории пограничного слоя (автомодельные решения, однопарамет-
рические методы, разложения по малому параметру).
31*

484 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Первые применения метода обобщенного подобия к МГД-пограничному
слою были выполнены В. С. Юферевым *). Расчет следующих приближений
был произведен в дальнейшем югославским ученым 3. Боричичем 2).
Предполагая внешнее магнитное поле перпендикулярным к поверхности
тела (Вх = О, Ву = В; обозначения те же, что в § 80), внешнее электрическое
поле отсутствующим (Е = 0), а жидкость нейтральной, воспользуемся
общими уравнениями (96) и (97) гл. VIII движения вязкой проводящей
несжимаемой жидкости, причем остановимся на случае малых магнитных
рейнольдсовых чисел Rem = Ucobhm, где vm — кинематический коэффи-
циент магнитной вязкости, когда можно пренебречь зависимостью магнитной
индукции В от у и считать В = В (х).
Произведя обычные для теории пограничного слоя упрощения, будем
иметь (σ — коэффициент электропроводности жидкости)
θα ди
дх ду
1 dp , д*и σΒ2
ρ dx * ду* ρ
а на внешней границе пограничного слоя
1 dp σΒ2
ах
ρ dx
Ρ
и,
откуда почленным вычитанием левых и правых частей этих уравнений полу-
чим при принятых условиях следующие уравнения МГД-пограничного слоя
в форме:
ди , ди πττΙ I д2и
u-dI+v-dJ = uu+VW
ди dv p.
~дх"Т~~ду~ '
σΒ2
\-~(Р-и),
(114)
отличающейся от (11) наличием справа дополнительного члена, выражающего
влияние объемной пондеромоторной силы.
Вводя функцию тока ψ (х, у) и полагая для краткости σΖ?2/ρ = Ν,
составим основное для последующего уравнение
#ψ θ2ψ 3ψ θ2ψ
ду дх ду
dty
ψ = .
ду
дх ду*
= 0 при у —0,
if=u" ω
--- >?7 при z/-»-
х0.
ду
при х-
оо.
(115)
Совершив переход к обычным переменным обобщенного подобия
/ft = ^-1(dftC7/da;ft)zft, fh = zk-l(dkz/dxk)Uh J
(116)
и вводя еще новую последовательность
gh = U*-1 (d^N/dx4-1) z\
(117)
*) В. С. Ю φ е ρ е в, Параметрический метод расчета ламинарного пограничного
слоя в магнитной гидродинамике, «Магнитная гидродинамика», № 4, 1966. Того же авто-
ра: Об одном приближенном методе расчета ламинарного пограничного слоя в магнитной
гидродинамике, «Мех. жидк. и газа», № 1, 1967, 124—127.
а) 3. Б о ρ и ч и ч, Локально-двухпараметрические уравнения плоского движения
проводящей несжимаемой жидкости, «Магнитная гидродинамика», № 1, 1971, 5—10.

§ 91] ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ 485
получим универсальное уравнение МГД-пограничного слоя в следующей
форме:
03ф
5η3
Ч'.+47.)*-^+'.[«-(^П+*.(*-^)-
= 2[θ»(
дФ а2Ф
дФ а2Ф
ft=l
df] dr]dfh
)+М
<ЭФ <Э2ф
ση
дФ <Э2Ф
ση
dfh ση2 / ' "" \ ft] βη%
h \ ση δη dgfc
η = ο, я^^1 при ч-
дФ д*Ф
) +
βΛ 0η2
(118)
при η = υ, -^^1 при η->οο;
Φ = Φ0(η) при /1 = /2=...=0, f1 = 7i0f h = ho,
gl = glOi g2 = g20,···, j
где, наряду с ранее определенными 6ft и 6ft, возникают еще коэффициенты
Gfc = [(*--l)/i + fc7i]gft + gft+1 (119)
и при выводе (118) использованы соотношения
Uzf'h = Qh, Uzfh = Qh, Uzg'h = Gh. (120)
Интегральное соотношение приводит к следующему выражению для Д:
/, = 2К-(2 + Я)/1-Я^], (121)
которое лежит в основе определения толщины потери импульса δ** (х),
согласно уравнению
dz _ h [(h), (fk), Ы)
dx U (х)
(122)
Общность метода в различных областях применения и аналогия с пре-
дыдущим случаем выступают достаточно наглядно.
В ранее цитированной работе 3. Боричича проведено численное интегри-
рование на ЭВЦМ уравнения (118), «урезанного» по переменным (fk), (/ь),
(gh) при к > 1 и локализованн го по /l7 а также попеременно по j\ = / или
по g1 = g.
Выпишем общий вид этого уравнения
дзф
_ fji дФ д2Ф дФ д2Ф \ т- /
~''\&ц ση df df ση2 )~*~'g\
ЯП\
1 при η
σΦ σ^Φ
σ# ση2
Υ-
σΦ
Φ = 1η-==0 °РИ η_0'
οο,
(123)
σ/ ση2 ; ' ;6 V ση ση 6g
ΘΦ
ση
Φ = Φ0(η, g) при / = 0, Φ = ΦΑ(η,/) при g = 0,
но будем иметь в виду, что в случае дополнительной (кроме общей по /)
локализации по g в правой части уравнения (123) отсутствует вторая круглая
скобка и принимается во внимание первое граничное условие в последней
строке, относящееся к продольному обтеканию пластинки электропроводной
жидкостью, т. е. уравнению
Ф'оо + i ТооФооФоо + g (1 - Фоо) = 0,

486 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
а при дополнительной локализации по / в правой части уравнения (123)
отсутствует первая скобка и используется второе граничное условие для
уравнения
Фю + ( /оо + у Ао ) ФюФю + /оо (1 - Ф?о) = О,
выражающего локально-подобное решение (§ 89) для тела с произвольным
распределением скоростей на внешней границе пограничного слоя U (ж),
но в непроводящей жидкости. Сообразно с той или другой локализацией
определяются и функции /00 (g) или /10 (/)·
Таблицы и графики, приведенные в цитированной статье 3. Боричича,
отчетливо демонстрируют, что магнитный фактор g, совпадающий с квадра-
том числа Гартмана (§ 80), в котором в качестве характерной длины принята
толщина потери импульса б**, значительно влияет на течение электропро-
водной жидкости в МГД-пограничном слое. С ростом параметра g приведен-
ный коэффициент трения ξ возрастает, а отрыв пограничного слоя затяги-
вается.
§ 92. Температурный и концентрационный пограничные слои
в несжимаемой жидкости
Удовольствуемся в настоящем параграфе рассмотрением простейшего
случая несжимаемой вязкой жидкости с постоянными физическими характе-
ристиками (плотностью, коэффициентами вязкости, теплопроводности, диф-
фузии), что вполне допустимо, если скорости движения значительно меньше
скорости звука и малы разности температур и концентраций примесей. Кроме
того, будем, как и ранее, пренебрегать диссипацией механической энергии
и внутренними источниками возникновения тепла и вещества. В последней
главе курса, посвященной динамике и термодинамике газа при больших
скоростях, эти ограничения общности постановки задач о тепломассопереносе
будут сняты.
Как было выяснено в начале главы, при больших значениях рейнольдсо-
ва числа потока Re и чисел Ре, Ре<ь наряду со скоростными пограничными
слоями, будут образовываться тепловые (температурные) и диффузионные
(концентрационные) пограничные слои. В этих тонких по сравнению с харак-
терным для потока линейным размером слоях быстрота изменения темпера-
туры или концентрации в поперечном к потоку направлении будет значитель-
но превышать изменения в продольном направлении.
Этот важный факт позволяет представить уравнения распространения
тепла (228) и вещества (236) предыдущей главы при больших значениях
теплового и диффузионного чисел Пекле в форме (довольствуемся плоским
стационарным движением)
дТ , дТ д*Т дс . дс п д*с ..0/.
Напоминаем, что здесь а и D — коэффициенты температуропроводности
и диффузии. Эти уравнения температурного и диффузионного пограничных
слоев должны решаться совместно с уравнениями скоростного пограничного
слоя
ди . ди 1 dp . Sau ди . dv Λ ,.ηη
которые в принятой постановке являются автономными, не зависящими
от решений уравнений (124). Наоборот, уравнения (124) требуют для своего

I 92] ТЕМПЕРАТУРНЫЙ И КОНЦЕНТРАЦИОННЫЙ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 487
решения знания поля скоростей, т. е. предварительного решения динами-
ческой задачи (125).
В качестве простейшего типа граничных условий для уравнений (124)
примем следующие:
Τ = Tw, с = cw при у = 0, Т^-Тсо, с^-Соо при у -»- оо,
Τ = Т0 (у), с = с0 (у) при х = х0,
причем будем предполагать, что температура обтекаемой поверхности Tw
и температура Τ оо набегающего потока не зависят от х, т. е. одинаковы вдоль
температурного пограничного слоя. Точно так же будут одинаковы вдоль
потока и концентрации примеси вещества на поверхности cw и вдалеке
от нее Соо-
Покажем, что в условиях существования подобного решения для ско-
ростного пограничного слоя (§ 88) уравнения (124) также будут иметь подоб-
ные решения. Достаточно показать это для первого из уравнений (124).
Введем безразмерную температуру Θ, относя разность температур Tw—Τ
к характерному для нее масштабу — разности Tw — Too- Будем иметь
T=Tw~(Tw-Too)e{i).
Вспоминая выражения (32) для производных dtyldy = и, dty/dx = —ν
и непосредственно вычислив (точка — знак дифференцирования по |) произ-
водные:
Tw) θ ( -Ex) = -y-f (Г-- Tw) SB,
подставим эти выражения в первое из уравнений (124). Тогда, после очевид-
ного сокращения членов, содержащих произведение ΦΘ, получим искомое
уравнение в переменных подобия
θ+σ(β + γβ)ΦΘ = 0Ι (128)
где число Прандтля Рг, для краткости обозначенное буквой σ, как уже
было указано ранее, равно отношению ν/α кинематического коэффициента
вязкости ν к коэффициенту температуропроводности а.
Уравнение (128) интегрируется и дает решение в форме квадратуры.
При принятых граничных условиях (126) решение это, будет [β = 2 (1 — β)]:
θ(Ι;β,σ) = [[ΙθΧρ (-σ| Odg)dg]/[J exp ( -σ J Φ dg) dg], (129)
0 0 0 0
причем входящие сюда значения функции Φ (|; β) могут быть получены
интегрированием по ξ значений Φ (|, β), представленных в табл. 15.
Как об этом легко заключить по (124) и (126), точно такая же квадрату-
ра (129) определит и подобное распределение концентрации
θ,= ^=^- = θ(|;β,σ<1), (130)
где подстрочный индекс d относится к распределению концентраций и соот-
ветствующему ему числу Шмидта (Sc = Prd = ο"<0·
(126)
(127)

488 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. II
Не имея возможности привести таблицы или графики, ни распределе-
ний θ (ξ; β, σ) и эквивалентных им по форме θ (|; β, od), ни даже менее
громоздких и наиболее важных для расчетов температурных и концентра-
ционных слоев распределений θ (0; β, σ), θ (0; β, ad), отошлем интере-
сующихся к уже ранее цитированной монографии Эванса, где эти распределе-
ния приводятся и подробно анализируются.
Вспоминая помещенные в самом начале настоящей главы рассуждения
о сравнительной толщине скоростных, температурных и концентрационных
пограничных слоев в зависимости от величин чисел Прандтля и Шмидта,
дополним их аналогичными сведениями, относящимися к одному и тому же
значению этих чисел, равному единице, но различным величинам β.
Если β >0, что соответствует, как уже было выяснено в § 88, конфузор-
ному участку пограничного слоя с ускоряющимся движением жидкости на
внешней его границе, то температурный (так же, как и концентрационный)
пограничный слой толще скоростного. Если β <; 0 (диффузорный участок
с замедленным движением жидкости на внешней границе пограничного слоя),
то температурный (концентрационный) слой тоньше скоростного. Эта зако-
номерность, строго выполняемая в подобных пограничных слоях в несжи-
маемой жидкости, сохраняет свое значение и в газовых потоках больших
скоростей и перепадов температур.
Остановимся подробнее на двух случаях теплопереноса, соответствую-
щих значениям β — 0 и β = 1.
В первом случае (β = 0) имеет место теплоперенос с поверхности про-
дольно обтекаемой пластинки г). Примем за функцию Φ ее нормированное
значение Ф*, заданное стандартной формой уравнения Блазиуса (95').
Тогда, замечая, что, согласно этому уравнению, будет
ν { ' L Φο (0) J
найдем искомое решение (129) в следующей простой форме:
θ(Ι) = £ .
о
При числе Прандтля σ = 1 из этого равенства следует
θ (1)=pEf-=ф? О - гг. (132)
что выражает условие подобия при σ = 1 распределений: 1) разности между
температурой на стенке и в данной точке сечения пограничного слоя и 2) ско-
рости потока в том же сечении.
В общем случае (σ Φ 1) распределение θ (у) в температурном погранич-
ном слое не подобно распределению и (у) в гидродинамическом слое. Для
обычных газов σ сравнительно мало отличается от единицы и разница между
1) Е. Pohlhausen, Wärmeaustausch zwischen festen Körpern und Flüssigkei-
ten mit kleiner Reibung und kleiner Wärmeleitung, Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech. 1»
1921, 115.
(131)

f 92] ТЕМПЕРАТУРНЫЙ И КОНЦЕНТРАЦИОННЫЙ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 489
0,75
DJO
0,25
О
15/
rf
V
ψ
/6-Ofi
Рис. 182.
кривыми θ (ξ) и Φ* (ξ) невелика. Для жидкостей σ изменяется в широких
пределах (σ ^> 1 для вязких масел, глицерина; σ <^ 1 для жидких металлов)
и разница становится весьма заметной. На
рис. 182 приведены кривые распределения _/д?г
θ (|) для нескольких значений σ, подтвер- 91
ждающие сказанное; кривая для σ = 1 пред-
ставляет одновременно и распределение
безразмерной скорости ulU«,.
На рис. 182 отчетливо видна установ-
ленная в начале настоящей главы законо-
мерность, заключающаяся в том, что тол-
щина температурного пограничного слоя
(в том условном смысле, как это было принято
ранее) возрастает с уменьшением числа
Прандтля σ, совпадая с толщиной гидродинамического слоя только при
σ = 1. При σ > 1 температурный слой тоньше гидродинамического; при
σ < 1, наоборот, гидродинамический слой тоньше температурного.
Определим местный коэффициент теплоотдачи а (ж), равный
aw jTVe-r-ol "~ V ду )w \τυ,-τ00\ —
где qw — проекция вектора потока тепла q* ((227) гл. VIII) на нормаль к
поверхности, т. е. секундное количество тепла, переносимого через единицу
площади этой поверхности, а
оо
/(or) = (-g-)£_o = [CD*(0)F { J [Φ^(ξ)]-^}_1; Re^i^-, (134)
и найдем местное число Нусселыпа
(135)
характеризующее теплоотдачу в данной точке поверхности пластинки.
Функция / (σ), вычисленная Э. Польгаузеном, в интервале 0,6 <^ σ <^ 15
равна *)
/(a)» 0,664^0, (136)
так что в этом интервале чисел Прандтля можно пользоваться формулой
местной теплоотдачи
Nil* « 0,332 ^σ VRe^. (137)
Производя интегрирование по всей длине пластинки L, получим выра-
жение общего числа Куссельта Nil пластинки
L
\ qw dx L
Nu =
λ15Гц, —Г»I %\TW-T00\ 2
2-/И]/-^У-^ = /(а)|/^, (138)
или в приближенной форме для указанного ранее диапазона чисел Прандтля
Nu» 0,664 y^aVReo*; Re« =
UcoL
(139)
г) Опыты Э л и а с а (Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech. 9, 1929, 434—453, и в том
же журнале 10, 1930, 1—14) подтвердили теоретические результаты Э. Еслыаузена.

490 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Аналогичные формулы получим и для местного коэффициента массо-
переноса (qd — секундное количество вещества, переносимого через единицу
площади)
дс |
Qd
D
ду 1г/=о
d \cW—Coo\ I Сш — Ссо\ *
и соответственно местное диффузионное число Нуссельта
Huxd
D ~ 2
Hod)YRex,
(140)
и суммарное диффузионное число Нуссельта для всей поверхности пластинки
Nud =
Qd о
J I ду |y=c
dx
■ f {od)VRem.
(141)
D\cw — Coo| D | cw — cool
В случае произвольного β местное число Нуссельта определяется формулой
Nu* = К (о; β) Re*'*, (142)
где положено
Ζ(σ;β) = (2-β)-1/2 { J expf-σ J Φ* (ξ) d%] d|}~\
(143)
о о
Температурному пограничному слою вблизи лобовой критической точки
на цилиндрическом теле соответствует U = сх, β = 1. В этом случае местное
число Нуссельта будет равно
Nu* - -^ = К (а; 1) Rc£/2 - К (σ; 1) |/"^ х, (144)
где коэффициент К (о; 1) определяется по следующей таблице:
σ
К (о; 1)
0,6
0,466
0,7
0,495
0,8
0,521
0,9
0,546
1,0
0,570
1,1
0,592
7,0
1,18
10
1,34
15
1,54
Для круглого цилиндра диаметра d вблизи лобовой критической точки
будет
U — 2Uoo sin — » AUoox/d = сх,
так что с = AUoa/df и формула (144) приведется к виду
t/ood \ V* х
Nu* = 2tf(a;l)(i^p|.
(145)
Для расчета тепловых и концентрационных пограничных слоев с произ-
вольным распределением скорости на внешней границе скоростного погра-
ничного слоя можно применять метод обобщенного подобия. Автономное
уравнение гидродинамики (125) известным образом (§ 90) приводится к уни-
версальной форме. Вводя дополнительную последовательность тепловых
параметров, можно привести к универсальному виду и уравнения (124) г).
1) Этому вопросу посвящена статья: V. Saljnikov, V. Djordjevic, Uni"
versalisierimg der Gleichuag vom Temperaturengrenzschichtproblem, Zeitschr. f. angew.
Math. u. Mech. 48, № 8, 1968, 237—241.

$ 92] ТЕМПЕРАТУРНЫЙ И КОНЦЕНТРАЦИОННЫЙ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 491
Такое применение метода обобщенного подобия будет показано в последней
главе курса для более общего случая газового потока больших скоростей
и значительных перепадов температур.
Примером задачи, для которой уравнение скоростного пограничного
слоя не будет автономным, а окажется связанным с уравнением температур-
ного пограничного слоя, может служить задача о свободной ламинарной
конвекции несжимаемой жидкости вблизи поверхности вертикальной пла-
стинки бесконечной длины, но ограниченной нижней кромкой. Пластина
поддерживается при постоянной температуре Tw; температура окружающей
среды вдали от пластинки равна Τ«,.
i,u
а
0,8
0,6
т
0,2
2^
Vi
α
Sn д
яг
•Hat
+ 7
х*
°2
Δ/
ΟΟβ
Γ^**
ο»/*
φ
Рис. 183.
Движение в пограничном слое вызывается в данном случае наличием
подъемной (архимедовой) силы, удельное (отнесенное к единице массы)
значение которой может быть представлено в форме
gI^=gl^.l^=geI^ (146)
Уравнения движения и распространения тепла в скоростном и темпе-
ратурном пограничных слоях будут
Θ,
ди , ди д*и . Гц, —Го
ди , dv n θθ . θθ u-^,.
u = v = 0, θ = 1 при y = 0; u = 0, 0 = 0 при y=°o.
Вводя новые переменные (ψ—функция тока)
(147)
C-lj-
е~|_ 4ν2Γ«. J ХУ*
ψ (х, у) = 4vCxs'*<b (I), Θ (x, y) = i> (ξ),
(148)
выбор которых может быть выполнен на основании соображений^ размер-
ностей или из условия автомодельности задачи, придем к следующей системе

492 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 1ГЛ„ IX
=0, |
(149)
обыкновенных дифференциальных уравнений:
*Ф + ЗФФ— 2Ф2 + А = 0, &+3σΦ#:
Ф(0) = Ф(0) = 0, О(0) = 1; Ф(оо) =
Помещая на нижней кромке пластинки начало координат (х = 0),
будем иметь еще условия: и = 0, Φ = 0 при х = 0.
Уравнения (149) были проинтегрированы при помощи разложений
в ряды Э. Польгаузеном для воздуха (σ = 0,733).
ЦВ
4vC*J2
0£
0,1
Δ Α
О " £,. D
у >C
У + \
Jf · л
/ +
/ ·
•A
Οβ
Ifl f,5
Рис. 184.
2,0
Cjx'1*
2J>
На рис. 183 и 184 показаны безразмерные профили температур и ско-
ростей в сечениях слоя, рассчитанные теоретически; там же приводятся экс-
периментальные точки, находящиеся во вполне удовлетворительном совпа-
дении с теорией. Теоретическое значение местного числа Нуссельта в точке,
находящейся на высоте h от нижнего края пластинки, равно
IV* п _ ,л ,1,,
<№*_.£ = 0,508 [ФЧ1:^У\" = 0,359 (Gr)<
где используется число Грасгофа, равное (§ 85)
ght(Tw-Tco)
(150)
Gr=-
v*Ta
§ 93· Пространственные пристенные пограничные слон.
Свободные и смешанные пограничные слои
Простейший пример пространственного пристенного пограничного слоя
дает продольное осесимметричное обтекание тела вращения. Как и в пло-
ском случае, можно отсчитывать х вдоль контура
тела, а у — по нормали к нему (рис. 185) и
рассматривать эти координаты как прямолиней-
ные, а радиус-вектор г точки Μ по отношению
к оси тела с достаточным приближением считать
совпадающим с радиусом поперечной кривизны
тела г0 (х) в соответствующем нормальном к оси
тела его сечении. При таком подходе основное
уравнение пограничного слоя сохранит тот же вид,
что и в плоском случае, а уравнение неразрывно-
сти примет обычную для продольного осесимметричного движения в ци-
линдрических координатах форму
д(ги) , djrv) _0
Рис. 185.
дх
ду

{ 93] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 493
но с заменой координаты г на г0 (х). Основной системой уравнений в этом
■случае будет следующая:
д(г0и) d(r0v)
0;
дх ду
u = i7 = 0 при у = 0, u-*-U(x) при у-*-оо.
(151)
Уравнения (151) при помощи преобразования (штрих — производная
по х) 1)
о
(152)
с формулами перехода
± Г2_£_, .... ±_ _£___ 5
& ° дх^оУ ду* dy~°~dj
превращаются в уравнения
— ди - ди fj dU , д2и
дх ду dx ду2
U-
дх ду
! V = 0 При у за 0,
И
■U (х) при г/-»-оо,
(153)
ничем не отличающиеся от уравнений плоского пограничного слоя. Таким
образом, при расчетах пограничных слоев на телах вращения при осесим-
метричном продольном их обтекании, задача сводится к определению преобра-
зованного к новый координатам (152) заданного распределения V (х) ско-
рости на внешней границе пограничного слоя и последующего рассмотрения
плоского пограничного слоя.
Так, например, применим преобразование (152) к случаю пограничного
слоя, образующегося вблизи лобовой критической точки тела вращения
при продольном его обтекании.
Распределение скоростей во внешнем потоке вблизи критической точки
на теле вращения будет линейным (U = сх); в этой области можно считать
также г0 (ж) =* х. Тогда преобразование (152) сведется к следующему:
- 1 з
у = ху, и*=и,
X ' X2
и — с^Зх^с^':
Как об этом можно судить по последнему равенству, рассматриваемая
осесимметричная задача свелась к помещенной в § 88 плоской автомодельной
задаче Фокнера — Скэн с показателем степени т = 1/3 (β = 1/2). Таблицы
решения этой задачи были приведены в § 88. Пользуясь табл. 16, можем опре-
делить все интересующие нас величины в этой пространственной задаче
го
δ** = -
П)
Тц> ГдТц
х) Е. И. Степанов, Об интегрировании уравнений ламинарного погранич-
ного Ълоя для движения с осевой симметрией, Прикл. матем. и мех. li, в. 1,1947; см. также
W. Mangier, Вег. aerodyn. Vers.-Anst. Gottingen 45/А/17, 1945, и того же автора,
Zeitschr. f. angew. Math, u, Mech. 28, 1948, 97—103.

494 ЛАМИНАРНЫЙ ГОГРАНКЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. ИГ
Едва ли не самым простым примером существенно-пространственного
пограничного слоя с характерным для него различием направлений линий
тока в точках, находящихся на одном и том же перпендикуляре к поверхности
обтекаемого тела, может служить «скользящее» крыло бесконечного размаха
(рис. 186).
Пренебрегая, как и ранее, ролью кривизны поверхности и выбирая оси
координат согласно рис. 186, придем к следующей общей системе уравнений
трехмерного стационарного пограничного слоя:
dx ' ду ' dz ρ
dw , dw .
U-eT+V-9y- + W
dz
dz
ρ »' ~
dp , d*u
dx ~ dy* «
tfw
dy*·
ди dv
~dx~'
dy^ dz
(154)
с граничными условиями
ы; = 0
w-
W
при
при
У
0. |
оо, J
(155)
где U (х, z) и W (x, z)
Рис. 186.
ленной по размаху крыла)
переходят в следующие:*
ди
заданные наперед продольная и трансверсальная
компоненты скорости внешнего потока. Что
касается нормальной к поверхности компо-
ненты V, то она, как обычно в теории погра-
ничного слоя, наперед не задается. В первых
двух уравнениях системы (154) предполага-
ется, что давление может быть исключено
при помощи уравнения Бернулли для внеш-
него потока]
ρ+-|- ρ (С/2 + W2) = const. (156)
Задача о косом обтекании цилиндри-
ческого крыла бесконечного размаха облег-
чается тем, что в этом случае движение пере-
стает зависеть от трансвер сальной (направ-
координаты z. Уравнения движения (154)
и-—\-v-r— =U .
дх ' ду dx
dU д»и
+ V ду' ·
U-
dw
дх
(157)
, dw dho
+ V~dy~-V~dy^'
ди , dv л
~дх~*~~ду~~ '
а граничные условия будут
u — v = w = 0 при у = 0, х>0;
u-*-U(x), w-rfWo, = const при у-
u = £7(0), w = Woo при ж = 0.
Здесь U (х) определяется обтеканием крыла в плоскости, перпендикулярной
к его оси, a W^, представляет собой трансверсальную компоненту скорости
внешнего набегающего потока.
Система (157) с граничными условиями (158) в этом случае распадается
на две автономные системы: первое и третье уравнения соответствуют пло-
оо,
!
(158)

93] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 495
ской задаче обтекания крыла, а второе уравнение служит для последующего
определения трансверсальных скоростей w в пограничном слое.
Задача в такой постановке была разрешена у нас в Союзе В. В. Струмин-
ским 1), а затем за рубежом Сирсом 2). Следует заметить, что при наличии
указанной автономности рассматриваемая задача с математической стороны
ничем не отличается от задачи об определении температуры в плоском неизо-
термическом пограничном слое при числе Прандтля, равном единице, и при
условии пренебрежения превращением механической энергии в тепловую
за счет диссипации. Эта задача была рассмотрена в § 92.
Основной особенностью задач разбираемого сейчас типа является обра-
зующееся из-за нелинейности уравнений несоответствие между направления-
ми линий тока внутри пограничного слоя и во внешнем потоке. В то время
как во внешнем безвихревом потоке имеет место простое сложение векторов
скорости продольного и трансверсального потоков, внутри пограничного
слоя, где движение управляется нелинейными уравнениями, такой простой
суперпозиции потоков уже нет. Разница между направлениями течений вне
и внутри пограничного слоя позволяет говорить о наличии в этом случае
в пограничном слое некоторых вторичных течений.
В подавляющем числе задач о трехмерных пограничных слоях основное
значение приобретает разыскание этих вторичных течений. В той частной
задаче, которая сейчас будет рассмотрена, вторичные течения также суще-
ствуют и будут определены. Рассмотрим задачу о пространственном погранич-
ном слое вблизи лобовой критической линии разветвления набегающего на
цилиндр потока, вдоль которой U = 0. На цилиндре бесконечного размаха
критическая линия располагается по образующей цилиндра, а положение ее
зависит от контура нормального сечения цилиндра, от угла атаки, циркуля-
ции. Для дальнейшего важно лишь, что, располагая начало координат на
критической линии, будем иметь продольную U и трансверсальную W ско-
рости на внешней границе пограничного слоя равными (с > 0 — константа,
зависящая от формы носка крыла и угла атаки)
U = cz, W= Wo.
Будем искать решение уравнений (157) с граничными условиями (158)
в форме
и = сдар'(т]), w = W„>g{i\), ri^yj/^; (159)
тогда функция φ (η) будет удовлетворять обыкновенному нелинейному диф-
ференциальному уравнению третьего порядка и граничным условиям
φ·" + φφ'' = φ'2—1;
φ = 0, φ' = 0 при η = 0,1 (160)
φ'-»-1 при η->-οο,
а функция g (η) — обыкновенному линейному дифференциальному уравне-
нию второго порядка с соответствующими граничными условиями
1Г = 0 при η = 0, g-*-l при η-*-οο
} (161)
г) В. В. С τ ρ у м и н с к и й, ДАН СССР 54, Λ· 7, 1946, 575—578; см. также
работу этого автора в «Сборнике теоретических работ по аэродинамике», ЦАГИ, Оборон-
гиз, М., 1957, 175—188.
*) W. R. Sears, The boundary layer of yawed cylinders, Journ. Aeron. Sci. 15,
№ 1, 1948, 49-52.

496 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Задача является автомодельной, уравнения в частных производных свелись
к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Уравнение (160) является частным случаем рассмотренного в § 88
общего уравнения, относящегося к плоской задаче со степенной внешней
скоростью U = схт; в настоящем случае т — I.
Значения функции φ'(η) приведены в табл. 15, причем при т = 1 отме-
ченные в этой таблице величины Φ (ξ), β и ξ совпадают с применяемыми
в настоящем примере φ' (η), m и η. Искомое значение функции φ' (η) пред-
ставлено столбцом β — 1 табл. 15, а φ" (0) — последним столбцом табл. 16.
Функция g (η) определится непосредственным интегрированием уравне-
ния (161) и будет равна
η η οο t)
£(η)= f exp ( —J ^dr^drijΛ exp ( —J qxZtjjdi). (162)
Значения
в табл. 21 *).
этой функции и ее первой производной представлены
Т)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
в(гд
0
0,0570
0,1140
0,1709
0,2275
0,2836
0,3389
0,3932
0,4461
0,4975
0,5469
0,5941
g'(tl)
0,5705
0,5703
0,5695
0,5675
0,5636
0,5574
0,5486
0,5369
0,5221
0,5042
0,4835
0,4600
Та
Ц
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,2
2,4
2,6
б лица
е(ц)
0,6388
0,6808
0,7200
0,7561
0,7892
0,8192
0,8461
0,8702
0,8913
0,9257
0,9508
0,9686
21
g'(tl)
0,4340
0,4061
0,3767
0,3463
0,3154
0,2847
0,2544
0,2253
0,1975
0,1475
0,1059
0,0731
Т)
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
eW
0,9807
0,9885
0,9934
0,9963
0,9980
0,9990
0,9995
0,9997
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
ε' (η)
0,0485
0,0309
0,0190
0,0111
0,0063
0,0034
0,0018
0,0009
0,0005
0,0002
0,0001
0,0000
. ...
Направление линий тока внутри пограничного слоя зададим углом у
между касательными к линии тока и оси Ох, равным
V = arc tg (w/u) = arc tg<[^ ξτ^β.
(η).
Значение γ = Υη=ο — Υο на стенке позволяет построить предельную
линию тока на поверхности цилиндрического крыла. Эта линия тока рас-
сматривается как некоторый предельный образ, так как на самой твердой
поверхности жидкость к ней прилипает, и движения, а следовательно,
и линий тока, собственно говоря, нет.
Используя приведенные таблицы и раскрывая неопределенность типа
0/0, будем иметь на поверхности крыла (g' (0) = 0,5705, φ" (0) = 1,2326)
в то время как направление линий тока внешнего потока на границе погра-
ничного слоя будет образовывать с осью Ох угол|
Ye = arctg—.
1) Г. Ш л и х х и н г, Теория пограничного слоя, «Наука», М., 1974, 246.

§ 93] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 497
Сравнивая между собой углы предельных и внешних линий тока, видим,
что первый из них убывает вниз по потоку быстрее, чем второй. Если спроек-
тировать на касательную плоскость к поверхности крыла векторы скорости
точек, расположенных на одной нормали, то они расположатся веером
внутрп угла уе — γ0, а по абсолютной величине будут изменяться от нуля
для вектора скорости, образующего угол γ0 с осью Ох, и до 1^^»+ с2^2 —
для вектора с углом уе.
Уравнение предельной линии тока будет
-^- = 0,463^; г0 = 0,463^ in х + const,
ах сх с
а внешней—
dzP Woo "Oo, , ,
ze = In x + const.
dx ex
Точка x — 0 является особой точкой.
На рис. 187 х) приведено приближенно рассчитанное (не учитывающее
особенность при х = 0) расположение внешней и предельной линий тока
на косо обтекаемом круглом цилиндре", там
же показана линия отрыва, совпадающая г*т °°
с образующей цилиндра, и линия тока
попятного движения в заотрывной области, z передняя кромкаУ
Рассмотрен частный случай, когда UOar=W0
45/
' крыла
и поток образует угол 45° с направлением ) $*'/
оси Ох. ( *f/ /g
I i ' /Ψ
Случаи ламинарных пространственных ] №' /§■
пограничных слоев с более сложным заданием / <J>/ т
распределений скоростей во внешнем потоке \ V /$'
были рассмотрены Лусом 2) и В. В. Богда
0
новой 3). В этих работах особое внимание \ /шнятрыёаслоя
уделяется вторичным течениям, скорости
которых определяются разностью векторов
скоростей точек внутри и на внешней грани-
це пограничного слоя, расположенных на Рис·
одной и той же нормали к поверхности тела.
Существование вторичных течений обусловливается тем, будут ли линии
тока внешнего потока, рассчитанные по теории пространственного безвихре-
вого потока идеальной жидкости, геодезическими линиями для обтекаемой
поверхности, или нет. Если линии тока внешнего потока совпадают с геодези-
ческими кривыми обтекаемой поверхности, то вторичн'ге течения отсут-
ствуют 4).
Рассмотрим несколько простейших задач на «свободные» пограничные
слои.
Завихренная, благодаря прилипанию к поверхности обтекаемого тела
жидкость сходит с поверхности, образуя за телом «след», который в доста-
а) N. Rott, L. Crabtree, Simplified laminar boundary layer calculations for
bodies of revolution and for yawed wings, Journ. Aero. Sci. 19, № 8, 1952, 556—560.
2) H. G. L о о s, A simple laminar boundary layer with secondary flow, Journ. Aero.
Sci. 22, 1955, 35—40.
s) В. В. Богданова, Ламинарный пространственный пограничный слой с про-
дольным и поперечным перепадом давления, Изв. АН СССР, ОТН, серия мех. и машин.,
№ 1, 1960.
*) R. S e d n e у, Some aspects of three-dymensional boundary layers flows, Quart.
Ap. Math. 15, № 2, 1957. Подробное изложение этого вопроса см. Л. Г. Лойцян-
с к и й, Ламинарный пограничный слой, Физматгиз, М., 1962, 244—249. В этой моно-
графии можно найти и другие, близкие к только что рассмотренному, примеры.
32 Л. Г. Лойпянский

498 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
точном удалении от тела («дальний след») не зависит от формы тела, а только
от испытываемого телом сопротивления W, скорости набегающего потока
Uоо и, конечно, физических констант жидкости μ и р. Направим ось Ох
(рис. 188) по скорости набегающего пото-
ка. Возмущение, произведенное телом
в набегающем потоке, вызывает «про-
вал» на профилях скорости в сечениях
следа (рис. 188). Этот провал будет тем
слабее, чем дальше вниз по потоку рас-
положено выбранное сечение. Обозна-
чим возмущение продольной скорости
через их, положив
«1 = U оо — U,
Рис. 188. и примем его для больших значений х
за малую величину, квадратом и выс-
шими степенями которой и ее производных можно пренебречь. Столь же
малы будут и поперечные скорости, как об этом можно судить по уравнению
несжимаемости. Уравнение движения в следе сведется при этом к одному
|^ = 0 при у = 0,
щ~0 при у — ± оо.
(163)
Из этого уравнения и предположения о плавности перехода к нулю на
бесконечности (дщ/ду-э-О при £/->±оо), следует интегральное условие
>-*j σο
~г- \ u1dy = 0 или \ Uidy = const.
(164)
Чтобы понять смысл константы и вычислить ее, выведем интегральное
выражение сопротивления тела через скорости в сечении следа на большом
удалении от тела. Применим теорему количеств движения в форме Эйлера
к контрольной поверхности, охватывающей тело и имеющей вид прямоуголь-
ника со сторонами, параллельными осям координат. На рис. 188 прямоуголь-
ник показан штрихами. Считая стороны его 2h и 2L достаточно большими,
будем иметь с тем меньшей ошибкой, чем больше эти стороны, и, в частности,
чем больше h,
ft
pUl-2h-W— \ pu2dy = 0,
-ft
где W — сопротивление тела. В том же приближении получим уравнение
расхода
л
pU00-2h= \ pudy.
-л
Отсюда найдем приближенную формулу сопротивления W тела:
W
η η η η
= βυΙο·2}1— \ pifidy^Un \ pudy — \ pu2dy = [ pu(Uco — u)dy,
-ft -ft -It -ft

!'3] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 499
а считая сечение следа достаточно удаленным (L -*- оо) и ширину его доста-
точно большой (h -> сю), получим
W= f pM(i7eo —и)ф. (165)
— оо
Производя здесь замену и = Uoo — щ, Uoo — и = иг, и отбрасывая
квадраты малых величин, будем иметь
оо
W = pUco \ щау,
так что интегральное условие (164) может быть переписано в форме
оо
W
\ щйу = -
pUo
(166)
где W — сопротивление тела, след которого изучается. Докажем, что в доста-
точном удалении от тела движение в следе за ним определяется не формой
поверхности тела и его размерами, а только одной константой — сопротив-
лением его.
Уравнение (163) аналогично уравнению распространения тепла и имеет
простой интеграл типа источника
4vx
Wl = C^_^, (167)
у х
удовлетворяющий поставленным граничным условиям. Для определения
постоянной С подставим этот интеграл в равенство (164), тогда после вычис-
ления квадратуры получим
W
С = -
2 У ηρμΙ/ о
Окончательно будем иметь
щ = иоа — и= ———===■ ехр ( τ ) ·
21/ uproot V 4v* /
Закон убывания максимального возмущения на оси следа (у = 0) пред-
ставляется формулой
Uim=2v^uz~h- (168)
Применяя полученную формулу к следу вдалеке за продольно обтекае-
мой пластинкой длины L, получим, согласно (50),
и =1_02664 /Г / JW) ^l=1_0^/J. (169)
и°° У л ' х V 4v ж / ' i7oo "|/л г *
Вводя понятие условной ширины следа 26 (х) как удвоенной ординаты
такой точки, в которой отношение продольной скорости к скорости набегаю-
щего потока ulUсо будет на какую-то фиксированную малую величину отли-
чаться от единицы, получим по первому равенству (169)
δ (х) = const -Ух, (170)
после чего профили относительных возмущений скорости
Щ Uoo—U 1 — U/Ugo
Ulm ~~~ Uoo — Um i — Ujn/Uoo
32*

500 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
можно будет представить в виде
щ
Щт,
■>(*)■
(171)
говорящем о наличии подобия (аффинного подобия) распределения возмуще-
ний продольной скорости по нормальным сечениям следа вдалеке от источ-
ника возмущений — тела, след которого рассматривается.
Другим характерным типом свободных пограничных слоев служат так
называемые затопленные струи, распространяющиеся в неподвижной среде
с теми же физическими константами,
что и у самой струи, или, в оГщем
случае, с отличными от них.
В простейшей своей постановке
задачи эти относятся к случаю пре-
дельно тонкого по поперечному сече-
нию источника струи, но с конечным,
благодаря очень большой скорости
истечения, начальным импульсом
(секундным количеством движения)
/0. К этой упрощенной постановке
можно отнести и задачу о затоплен-
ной струе, вытекающей из сопла
конечного диаметра и с конечной
начальной скоростью, если рассмат-
ривать только область движения, достаточно удаленную от источника струи.
В этой далекой от источника области движение также будет определяться
импульсом, который можно рассматривать как начальный импульс экви-
валентной струи из тонкого источника.
Задача о затопленной струе в случаях плоской и осесимметричной круг-
лой струи была решена Г. Шлихтингом х). Применение уравнения Прандт-
ля — Мизеса (§ 87) к задаче о плоской струе было указано Л. Г. Лойцян-
ским 2).
Направим ось Ох по оси симметрия плоской струи (рис. 189). Отсут-
ствие внешней скорости U позволяет написать уравнение движения вязкой
несжимаемой жидкости в области плоской струи в одной из следующих
двух форм:
Рис. 189.
ди , ди д2и
δψ δ2ψ θψ дЦ>
= V
ди , dv
дх ду
_03ψ_
дуз ·
-о,
ду дх ду дх ду2
В силу симметрии имеем на оси струи
= 0, у = |0 или -3"=0, ψ = 0 при у = 0,
ди
(172)
(173)
а на внешней границе струи при переходе^ неподвижной, окружающей струю,
жидкости будет
и->0 или -тр--»-0 при i/-»-±oo.
(174)
Наличие таких нулевых граничных условий по у и отсутствие граничного
условия по х приводит к тривиальному решению и = 0, ν = 0 во всей обла-
λ) Η. S с Ы i с h t i n g, Laminare Strahlausbreitung, Zeitschrift f. aneew. Math,
υ. Mech. 13, № 4, 1933, 260. ё
2) Л. Г. Лойцянский, К теории плоских ламинарных и турбулентных струй,
Труды ЛПИ, № 176, 1955, 101—114.

§ 93] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 501
стп, что противоречит наличию движения жидкости в ламинарной струе.
Чтобы устранить это противоречие, перепишем первое уравнение системы
(172), используя второе, так:
d(v?) , d(w) д*и
дх ду дуг
и проинтегрируем его по у в пределах (—оо, оо). Тогда в предположении
существования интеграла в бесконечных пределах от первого слагаемого
π допустимости перемены порядка операций дифференцирования и интегри-
рования, получим
d
dz
j u2dy + [uv]°!O0 = v[-?ji]"c
Подстановка в левой части этого равенства обращается в нуль вследствие
предельного перехода, а в правой — из-за предположения о плавности этого
перехода, требующего стремления ди/ду -> 0 при г/-> +<х>. Таким образом,
получим
d
dx
\ uzdy = 0, \ u2dy = const.
Домножая обе части последнего равенства на постоянную плотность рт
перепишем его в форме
оо
/= I pu2dy = const = /0· (175)
— оо
Смысл этого равенства заключается в том, что секундное количество движе-
ния, переносимое сквозь поперечное сечение струи, одинаково для всех
сечений. Постоянная /0 служит такой же характерной постоянной для струи,
как интенсивность для точечного источника или стока, момент для точечного
диполя и т. п. Задание величины J0 делает задачу о распространении струи
вполне определенной. Теперь ясно, что решение и = ν == 0 не удовлетворяет
интегральному условию (175), которое можно рассматривать как условие
нетриеиалъности рошения системы (172) при граничных условиях (173)
и (174).
Условимся выражать продольные координаты х в частях масштаба
длин L, поперечные координаты у — в частях масштаба Υ = Z/I^Re =
= }/~vL/V. Тогда масштабом Ψ функции тока ψ будет служить величина
Ψ = \fv~VL, где V — некоторый масштаб скоростей. С другой стороны,
согласно (175), будет (штрихом обозначены безразмерные величины)
оо оо
ρ \ (£)Ч-/.. ψ \ (#)V-/..
— оо ~оо
так что, положив
составим условие (175) в безразмерном виде
оо
J (£-)·*·~1· <"β)

502 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Сопоставляя полученные значения Ψ, будем иметь выражения для мас-
штабов L и Ψ через V
г ^о ψ •'о
μρ73 ' pV '
причем по самому характеру задачи скорость V как масштаб не должна
входить в решение. Напишем общий вид решения в безразмерных коорди-
натах
Ψ' = ψ' (*', у')
и в размерных координатах
Для того чтобы правая часть этого выражения не зависела от V, общий
вид решения должен быть следующим:
·$' = ^1Ρ q>{y'lx'%'*). (177)
Действительно, при этом будет
^~W /;/« φ Ι /ο μ2ν/372 ~7*) ~ν —Χ4\ν ~ρ~^- x*i*) ■ (178)
Полагая
^=3/^фг = П, (179)
подставим выражение г[/ из (177), переписанного в форме
в третье уравнение (172), преобразованное к безразмерным координатам
dip' &\р' &ψ' д2т|/ _ δ3ψ'
~δΡ~ дх'ду' др~ ду'г ду'З ·
Предварительно вычислим
-^^'-/зф'» (η)? _^1 = |ж'-*/з [φ (η)-2ηφ' (η)],
яЦг = —j *'"4/s [Φ' (η) + 2ηφ" (η)].
Совершая указанную подстановку, придем к необходимости интегри-
рования обыкновенного уравнения третьего порядка (штрих — производ-
ная по η)
Фя' + у(ф'2 + ФФ")=0 (180)
при граничных условиях
φ = 0, φ" = 0 при η = 0, | g
φ' -»- 0 при η ->- zh oo j
и интегральном условии (176), которое можно записать теперь так
J<p'2(ti)*l = J. (182)

§ S3] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 503
Интегрируя (180) почленно, получим
φ'' + 1φφ' = 0,
причем уже удовлетворены первые два условия (181). Интегрируя еще раз
и вводя обозначение
φ = φ0 при φ' = 0,
будем иметь
Дальнейшее интегрирование дает
f dv _ 1 1 'Φο+φ __ i ~
J φ§-<ρ* 2φ0 1η φ0-φ ~ 6 ''
0
ЕЛИ
1
■ e3'
Φο + φ .Д^о*1
φ0 —φ
Отсюда найдем
1 1 1
?ФоП оФоП --гФоЧ
„О А -О _ Ь
ч> = ч>о—1 =Фоп[ !—i— = 90th (·β-φ0η). (183)
тгФоП ^ФоЧ --гФоЯ
ез +1 еб +е
Вычисляя производную по η,
ψ'(η)=4ψο·
сЬа(тфоТ1)
и подставляя в (182), получим следующее уравнение для определения φ0:
wrt]
36 ψη ' ~ ~ ~" *
-оо ch4(-g-(p0T))
Положим для вычисления интеграла
-6-φο4 = ξ;
тогда предыдущее уравнение перейдет в такое
фоз Ρ <g
) ch'g '
и, замечая, что определенный интеграл равен 4/3, найдем искомое значение ср0
φ0=|/|- = 1,6510.
Возвращаясь к (183), а затем к (178), получим
ψ= 1,6510 f/^th(0,2752 j/Js^). (184)
По самому смыслу функции тока следует, что секундный объемный
расход Q сквозь сечение струи будет равен
Q = 2 (ψ)1Ρ« = 3,3020 |/^.

504 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
У
Расход растет от сечения к сечению пропорционально корню кубическому
из расстояния сечения от источника струи. На выходе из щели (х = 0) расход
равен нулю. Вместе с тем, как ранее было указано, секундное количество
движения повсюду одинаково и конечно;
следовательно, и на выходе оно тоже ко-
нечно. При бесконечно большой скорости
истечения струи из щели и бесконечной
тонкости щели в полученном результате
нет никакого противоречия. С качественной
стороны этот результат выражает известное
свойство явления эжекции: расход жидкости
в струе мал по сравнению с расходом, эжек-
тируемым за счет существенного по величине количества движения
струи. Как видно из картины линий тока на рис. 189, в рассматриваемом
случае бесконечно тонкой щели струя целиком состоит из частиц жидкости,
заполняющей пространство, куда врывается струя. При истечении струи
из щели конечной ширины это уже будет не так.
Имея выражение функции тока (184), найдем распределения продоль-
ной скорости и по сечениям струи и максимального значения этой скорости
ит вдоль оси струи
'У/////////'/////////////////////////,
Рис. 190.
и
-0,4543 |/·
ит = 0,4543
V
ρ2ν#
pPvx
cb2(0,2752
V Pv2 f/T2/
(185)
Рассмотрим пример пограничного слоя смешанного типа — пристенную
струю *), в известном смысле объединяющую пристенный слой на пластинке
со свободной струей (рис. 190).
Конечно, при нелинейности уравнений движения не может быть речи
о каком-то наложении потоков друг на друга; однако, как далее будет пока-
зано, некоторое сходство профиля продольных скоростей вблизи ограничи-
вающей струю плоскости с соответствующим профилем вблизи пластинки
и профиля скоростей вдалеке от плоскости с профилем в струе все же наблю-
дается.
Уравнение движения будет
δψ δ2ψ
&$ 52ψ 03ψ
ду дхду
Ψ=ο,
дх
ду _
дтр
ду "*
ду*
0
-0
при
при
ду»
У =
у-
t
=о,
>■ ос
(186)
Для существования решения, отличного от нулевого, тривиального,
необходимо задать такую интегральную характеристику движения, кото-
рая, подобно импульсу струи, отвечала некоторому закону сохранения и тем
самым служила бы количественной мерой данной конкретной полуогранн-
ченной пристенной струи. Заметим, что импульс в данном случае уже не
может сохраняться вдоль струи, так как, в отличие от безграничной струи,
имеется внешняя сила трения жидкости о границу полуплоскости.
*) Н. И. А к а т н о в, Распространение плоской ламинарной струи жидкости вдоль
твердой стенки, Труды ЛПИ (Энергомашиностроение, Техническая гидромеханика), № 5,
Машгаз, М., 1953, 24—31, а также М. В. Glauert, Wall jet, Journ. Fluid Mech. 1, 1956.

§ 93] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 505
Искомое условие нетривиальности решения выведем, переписав урав-
нение пограничного слоя в форме
£<*>+-£ Μ = v-f£; (187)
умножив обе части почленно на ψ и проинтегрировав поперек слоя от О
до оо, будем последовательно иметь
д , . 9Ч . д i . . о &Ф &ф д I , ди\ дтЬ ди
или, после очевидного сокращения,
д ,, 9Ч , д ., . д 1 , ди \ д ( и* \
почленное интегрирование дает
д_
dx
Ъ
Ци2 dy -\-tyuv о = νψ— о — ν -^ |о . (188)
о
Замечая, что все подстановки равны нулю, найдем
оо
-L^u*dy = 0,
о
откуда следует, что величина (а представляет значение функции τ а на
внешней границе пограничного слоя)
оо α
f ψΜ2 dy = [ uty cfy> = const = E, (189)
о о
сохраняет одинаковое значение вдоль всего пограничного слоя, а е дание
может служить условием нетривиальности решения.
В дальнейшем, в связи с анализом полученного решения буде в шснено,
что величина Ε только числовой постоянной отличается от сохра ющегося
в сечениях пограничного слоя произведения секундных объемно о с ода Q
и отнесенного к единице массы количества движения К
Q=^udy, K = ^-=^u*dy.
Размерность величины Ε определится как [£/3δ2] = [U3L ULh)]
π будет
[Ε] = [vU*L].
Соображения размерностей в рассматриваемом случае больши\ рейнольд-
совых чисел приведут к общей форме решения [L = E/(vU2)]
, -, /~ Ε , I xxU* ., / № \
которая, ввиду отсутствия в условиях задачи характерной скорости должна
перейти в следующую автомодельную:

506 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ, IX
или в окончательном виде
l> = /^Fft), У]=У~^=г-. (190)
Подставив это значение ψ в уравнение (186), убедимся в автомодельности
задачи: уравнение сведется к обыкновенному (штрих — производная по η)
дифференциальному уравнению
4F'" + FF" + 2F'2 = 0; (191)
граничн е условия по (186) примут вид
F = F'=-0 при η = 0,
F' ->- 0 при η ->■ оо,
причем присоединяется еще интегральное условие
1 (192)
J*"*(Ti)F(Ti)*i = lf (193)
о
легко в водимое из системы равенств (189).
Уравнение (191) допускает интегрирующий множитель F. Найдем, один
раз интегрируя и определяя постоянную интегрирования из граничных усло-
вий (192)
4FF" — 2F'a + F*F' = 0. (194)
Совершая в этом уравнении замену переменных F' = Φ и принимая
за независимую переменную F, получим линейное уравнение первого порядка
*>. *_ф=__£ (195)
dF 2F 4 * { '
решение которого будет
0 = F' = CYT — ~F2. (196)
Обозначим через Fa, значение F при η = оо и Φ = 0. Тогда постоянная
С равна
С = -7Г Fa, у Foo,
и уравнение (196) может быть преобразовано к виду
JU^p-O/e-e*), θ = -£. (197)
Постоянную Foo определим, подставляя значения
в интегральное условие (193). Получим
Foo = 2,515. (198)
Уравнение (197) интегрируется и приводит к соотношению
i=°'7952[ln^W+21/5arctg7Si]· (199)
Объединяя его с уравнением (196), переписанным в виде
fi _ _
F'=-£- (VQ-θ2) = 1,054 (1/8-62), (200)

§ 93] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 507
получим F' в параметрической форме. Нетрудно определить величины
секундного расхода Q и импульса К; будем иметь
Q = f и йу = 2,515 У-vEx,
о
оо
К= ^u*dy = 0,884 |/-^.
(201)
Каждая из этих величин является функцией продольной координаты х, т. е.
изменяется при переходе от одного сечения струи к другому, но произведение
их сохраняет постоянное значение и просто связано с основной константой Ε
QK = ^-E.
(202)
Приведем еще формулу касательного напряжения трения на твердой
стенке, вдоль которой распространяется струя
T^^(fLo=°'221^KS·
(203)
На рис. 191 и 192 сравниваются между собой распределения скоростей
во внутренней (от стенки до точки максимума скорости и = ит по сечепию
ΠροφΙΜδ Блазиуса
■ Струя у стенки
1,0 2β 3β 4,0
У/!/ат
Τ
Рис. 191.
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
У-Ут
УщгУт
Рис. 192.
с ординатой ут) и внешней (за точкой максимума скорости) областях струи
с распределениями скоростей на продольно обтекаемой пластинке и в безгра-
ничной струе. По оси ординат на обоих рисунках отложено одно и то же
отношение и/ит, а по оси абсцисс: для внутренней области отношение ylyu /
текущей ординаты к ординате, соответствующей точке сечения, где и =
= um/2, а для внешней — отношение (у — ут)1{Уит^— Ут)·
Графики оправдывают высказанное ранее соображение о сходстве между
профилями скорости для рассматриваемого случая сложного движения
и для ранее рассмотренных более простых случаев. Практически полное
совпадение наблюдается во внешней области (рис. 192).
Примером автомодельного пространственного двумерного движения
в ламинарном пограничном слое может служить распространение осесим-

508 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX.
метричной струи, бьющей из бесконечно тонкого отверстия в безграничное
пространство, заполненное той же жидкостью.
Общие уравнения стационарного осесимметричного движения вязкой
жидкости в цилиндрических координатах (г, ε, х) получим из формул (25)
§ 76, откидывая производные по t и ε.
Будем иметь, обозначая через u,va.w соответственно осевую Vх, радиаль-
ную Vr и трансверсальную FE составляющие скорости,
ди ди _ _ 1 др , ( д*и 1 ди д*и \
U~te+Vfr J дх + V \ dr* + г dr + дх* ) '
dv dv w2· __ 1 dp [ dzv , 1 dv _ ν дЧ \
u~b7 + vTr 7 ~J^r~ + v\~d?r+TTF г*^дх*)>
dw dw , vw _ I &w \_ dw w . dzw \
и~дх~+и~дТ+~Г~'*\~д7*~+Т~дГ 72"i~fe2/'
d(ru) d(rv) _0
dx ~T dr "
Рассматривая область струи как пограничный слой, поперечный размер
которого при больших рейнольдсовых числах мал, будем предполагать
радиальную скорость ν малой по сравнению с продольной и и трансверсаль-
ной w. Вместе с тем откинем в скобках справа д%и1дхг и d2w/dx2 по сравнению
с радиальными производными. Тогда получим следующие уравнения рас-
простр нения осесимметричной струи, общие для случаев незакрученной
и закрученной струи:
ди . ди J_ j?£i / д*и . 1 ди \ др _ рш2
u~d~x~~i~v~dF~ ρ ТьГ"· v\lh*^~T~dT)' ~д? ~Т~'
dw dw , ш / dhv 1 dw w \ d (ru) . д (rv) n
u~dTl-v~dT + T~-v[-d^ + T-d? 7*~J' ~ЫГ^ дТ~~и-
В случае незакрученной струи *) движение будет происходить в мери-
дианной плоскости, так что
w = 0, |f = 0, ρ = ρ (ж) = const; (205)
последнее равенство является следствием одинаковости давления в безгра-
ничном пространстве, окружающем струю. При выполнении равенств (205)
уравнения (204) упрощаются и сводятся к следующим:
„ди ди I a2u 1 du \ д(ги) , d (rv) ^ /олг*ч
Как это непосредственно следует из соображений размерности, решение
уравнений (206) для случая незакрученной струи, бьющей из бесконечно
тонкого отверстия с нулевым расходом и конечным импульсом, будет авто-
модельным. Действительно, в случае очень больших рейнольдсовых чисел
секундный импульс, одинаковый для всех сечений, определится как
DO
/0 = р 2nru2 dr = const, (207)
о
и будет иметь порядок (Re = UL/v)
ptf2-Z/7Re = iiUL,
x) Η. Schlichting, Laminare Strahlausbreitung, Zeitschr. fur Aneew. Math*
und Mech. 13, 1933, 260.
(204)

§ 93] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 509
а функция тока ψ= \ ru dr — порядок
о
UL*/Re = vL.
Следовательно, решение задачи должно иметь вид
а по условию независимости от L
*-"£·τβ(τ/5:/τ)-«β(/^:τ). <208>
что и доказывает автомодельность задачи.
Для упрощения выкладок будем искать функцию тока в виде
1j? = vxa(i\), η=—^. (209)
х у ν
Найдем (штрих в дальнейшем означает производную по η)
1 а' „ l/v / , а \
и = , ν = -i— [а' } ,
х η ' х \ η / '
1 /_£\' _^f£_ _!__ /_£l_\" _£ii_ LT ( "' V i a"\
ди _ 1 I a' \' 5%
и, подставляя в первое уравнение системы (206), получим искомое обыкно-
венное дифференциальное уравнение третьего порядка для определения α (η)
α)"+ψ(τ)'+(τΥ=ο- (2io)
Граничные условия будут
а = 0, а' = 0 при η = 0,
причем второе вытекает из условия ограниченности продольной скорости
х η
на оси. Кроме того, имеем условие ограниченности а при η ->■ оо, так как
по (209) а пропорционально секундному объемному расходу жидкости сквозь
данное сечение струи.
Уравнение (210) один раз интегрируется непосредственно и дает
х\а" — а' + аа' = 0.
Вводя вместо η новую переменную ξ = In η, получим уравнение
d2a г, da da A
d? " dt, τ" ai
которое при принятых граничных условиях после однократного интегриро-
вания сводится к следующему:
da 4α—α2
Ж~ 2 ·
Интегрируя, получим
«(η)=-4η — · (211>
1 + — α2η2

510 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Для определения константы интегрирования α остается использовать
интегральное условие (207), которое при помощи (209) может быть переписано
в форме
I С<·№*-&■
Вычислив по (211)
, 2α2η
а =- L
(i+4-«2li2)
и подставив его в предыдущее соотношение, найдем
/:
о.,-·· 3 ''
16 πμ "
Возвращаясь к (209) и к последующим формулам для и и ν, получим
искомое решение задачи
ψ_ν3; ^ , и = ~"7 1 \Г' у= * i 1 7^-(212)
Форма линий тока и профилей продольной скорости в рассматриваемом
случае осесимметричного течения по своему общему характеру та же, что
и в плоском случае (рис. 189).
Секундный массовый расход жидкости сквозь данное сечение струи будет
по (212) равен
Μ
= 2πρ \ иг dr = 2np^(oo) = 8ηρ\Χ = 8πμΧ. (213)
Интересно отметить, что этот расход не зависит от секундного количества
движения, характеризующего данную струю, а только от вязкости жидкости,
причем растет пропорционально расстоянию от источника струи.
Распределение максимальной скорости на оси (η = 0) по (212) предста-
вится выражением
«max-——g—. (^0
Определяя границу струи как геометрическое место точек, где отноше-
ние и/итах сохраняет некоторое малое, но постоянное значение, убедимся,
что такой условной границей осесимметричной струи будет служить прямой
круговой конус с углом полураствора, равным arctg r/х и пропорциональным
]/rv2p//0. Замечая, что безразмерная величина J0/(pv2) играет в рассматривае-
мой задаче роль рейнольдсова числа Re = UL/v, убедимся, что условная
ширина струи уменьшается с ростом числа Рейнольдса по закону 1A|/Re,
что подтверждает возможность применения в этом случае уравнений погра-
ничного слоя.
В качестве примера неавтомодельного движения рассмотрим задачу
о распространении ламинарной закрученной осесимметричной струи в про-
странстве, затопленном той же, но покоящейся жидкостью *). В этом случае
удается получить решение в форме асимптотического ряда, расположенного
по обратным степеням расстояния сечения струи от источника струи.
2) Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Распространение закрученной струи в безграничном
пространстве, затопленном той же жидкостью, Прикл. матем. п мех. 17, в. 1, 1953.

§ 93] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 511
Уравнения движения вязкой жидкости в пограничном слое — закручен-
ной струе — представляются системой (204). Они содержат наряду с про-
дольной и и поперечной ν еще трансверсалъную компоненту скорости wT
характеризующую крутку струи. Хотя во внешнем потоке, согласно условию
задачи, давление повсюду одинаково, все же в самой струе имеется радиаль-
ный перепад давлений, уравновешивающий центробежные силы, вызываемые
закрученностью струи. Этот перепад связан с трансверсальной скоростью
вторым равенством системы (204). Наличие его вызывает переменность
давления и вдоль струи, что не позволяет пренебрегать членом др/дх в пер-
вом уравнении той же системы.
Из системы уравнений (204) могут быть выведены два основных закона
сохранения: количеств и момента количеств движения, из которых будут
следовать два интегральных условия нетривиальности решений.
Пользуясь последним уравнением системы (204) (уравнением неразрыв-
ности), перепишем первое уравнение той же системы после простых преобра-
зований в виде
и, интегрируя поперек струи, получим
оо
о
Здесь под ρ понимается давление в точке струи, отсчитанное от давления
вне струи; при этом предполагается существование интеграла в левой части.
Если считать (это можно проверить по полученному далее решению), что и
и ди/дг достаточно быстро убывают с ростом г, то подстановка обращается
в нуль, и предыдущее равенство приводит к первому интегральному условию
задачи
оо
2jt f г (ρ + pu2) dr = const = /0, (215)
о
обобщающему условие (207) на случай закрученной струи. Левую часть этого
равенства назовем потоком полного импульса сквозь сечение струи. При х ->■ оо
ρ ->- 0, и константа в уравнении (215) совпадает с константой незакручен-
ной струи.
Заметим, что третье уравнение системы (204) после умножения обеих
частей на г и использования уравнения неразрывности может быть перепи-
сано в форме
ajruw) цш± + vw=vr±_ ΓΙ A. (rw)l
дх ' dr ' dr \_r dr ^ ' A
или, после повторного умножения на г, еще так:
^{rzuw)+l(r*vw) = v{±[r±(rw)]-2^(rw)},
и проинтегрируем обе части последнего равенства поперек струи. Тогда при
аналогичных предыдущим предположениях о быстроте убывания и и w
с ростом г получим
оо
-rr- \ r2uwdr = 0
dx J

512 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
или, умножая на постоянную 2лр и интегрируя,
(216)
2лр \ r2uw dr = const = L0.
Ъ
Левая часть представляет перенос главного момента количеств движения
сквозь сечение струи. Момент этот L0 одинаков вдоль всей струи и, следова-
тельно, может служить мерой закрученности струи.
Наличие двух постоянных вдоль закрученной струи величин JQ и L0,
однозначно определяющих характерные длину и скорость, служит препят-
ствием к возможности сведения уравнений (204) к одному обыкновенному
уравнению, что делает задачу неавтомодельной.
Введем в этом случае функцию тока ψ меридианного течения и будем
искать ее в виде разложения
(217)
ψ = ν(α* + α0 + -^-+...),
где а, а0, % . . . — неизвестные функции той же переменной η, что и в слу-
чае незакрученной струи. Тогда компоненты скорости в меридианных сече-
ниях будут (штрих, как и ранее, обозначает производную по η)
_^ 1 дф __ а' 1 д0' 1 а[ 1
г дг ч\ х х\ х2, ' у\ х$
V
1 βψ V ν Г , о|.11/,1о1\1. ~|
Окружную скорость w зададим рядом
(218)
(219)
и, наконец, введем еще разложение для давления р, отсчитываемого, напо-
минаем, от давления окружающей струю жидкости,
Ρ
JL — Λ1 I с2 |
п ·»· "Г ~2 "г ·
(220)
Здесь 6ls Ь2,
^П t-2'
неизвестные функции переменной η.
Подставляя указанные разложения в систему уравнений (204) и прирав-
нивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему обыкно-
венных дифференциальных уравнений для определения искомых коэффи-
циентов.
Из первого уравнения системы (204) получим
(f)'+iii(f)'+-T1-?+^+*i-o.
Из второго уравнения той же системы найдем
ур[ = 0, т|с^ = ^, т|с;=2&А, η< = &22 + 2^δ3,
а из третьего
у | Η«ν 1 — а ,
= ο,
l + o.
1 —α-
-ηα
ь2 = о,
(221)
(222)
(223)

§ 93] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 513
Кроме того, аналогичная операция над интегральными условиями (215)
и (216) приведет к следующей системе интегральных условий:
о
со
о
оо
со
Jo
2πμ '
И
ηο4-
α'0*-\-2αα[
)dr) = 0,
J η(α'62 + α;&1)^η =
2πμ У ν
(224)
Принимая ось струи η = 0 за нулевую линию тока и используя условие
конечности скорости на оси, найдем граничные условия
а = а0 = а% = ... — 0,
а' = а'п = а\= ... 0
при η = 0,
(225)
а из условия ограниченности секундного объемного расхода сквозь сечение,
или, что то же, значения ψ при η = со, получим условие ограниченности
величин
а (со), а0 (со), . . . (226)
Далее по определению скорости закрученности имеем
b, = b2= ... 0 при η = 0, 1
и ъ а \ (227)
bi = b2= ... — U при η = со, J ч
и, наконец, по определению давления
сх = с2 = . . . = 0 при η = со. (228)
Заметим прежде всего, что из первого уравнения системы (223) сразу следует
существование решения Ъг = 0, удовлетворяющего граничным условиям
(227) и предпоследнему из интегральных условий (224). А тогда из первых
трех уравнений системы (222) и граничных условий (228) вытекает, чти
С\ == Са == ^3 =
При этом легко заметить, что функция α (η) удовлетворяет тому же
уравнению, тем же граничным условиям и интегральному условию, что
и в случае незакрученной струи. С точностью до малых порядка l/х2 разница
сводится к членам, содержащим функции а0 (η) и|Ь2 (η), которые нетрудно
разыскать.
Полагая в третьем уравнении системы (221)
^ = А
(229)
и переходя от аргумента η к новому аргументу ξ = α/4, связанным уже
ранее вычисленным соотношением
1+|αγ
33
Л. Г. Лойцянский

514 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
придем к гипергеометрическому уравнению
регулярное решение которого при очевидных граничных условиях
ξ = О при η = О, ξ = 1 при η = оо
будет
Α (ξ) = С (1 - ξ)2 (Ι - 4ξ).
Обращаясь после этого к уравнению (229) и повторяя интегрирование,
получим
αο(η) = βξ(2ξ-1)=-β·
(i+X«v):
где β — постоянная интегрирования.
Легко проверить, что составленная таким образом функция й0 (η) удо-
влетворяет условиям (225), (215) и третьему интегральному условию системы
(224) при с3 = 0.
Для определения Ь2 (η) проинтегрируем второе уравнение системы (223),·
которое представляется в виде
rfb"2 -f η&2 — К + r\ab'2 + щ'Ьг + αδ2 = (rfb'z — η&2 + ηαδ2)' = 0.
Получим
t)b'2=(l — a)b2,
откуда следует
Μη) = ν-7—Г t2 , (230)
(1+T«V)
причем постоянная интегрирования γ определяется из последнего интеграль-
ного условия системы (224), которое при Ь1 = 0 переписывается в виде
I (\a'b2dy) = -
2πμ "J/ v
Выполнив интегрирование, найдем
(231)
31/3 £0"l/Vo
64π V π l·1
Давление характеризуется функцией с4 (η), которая удовлетворяет
последнему уравнению системы (222) при Ъх = 0 и равна
2 а 1
(l + ΙοΛΙ»)3"
Используя полученные выражения неизвестных функций, придем к сле-
дующим приближенным формулам теории закрученной струи (umax обо-

§ 93] ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 515
зиачает скорость па оси струи):
■ψ —ν
α2η2
1+ * α2η2
Χ — β
4«v(i-4a2r)2)
/ i \2
(1 + Τ«2η2)
u =
2α2
у = У ν
βα2
-α2τ)Ζ
/ 1 \ 3 а;2 >
1 * P. 2
(HJaV)
№= γ·
αη
(l+Ta4]«)'
■τ^
3 Χ*
_2α2 1 2 1
«max— _ -ο-ρα -j-,
(232)
(1+4α2η2)
(? = 2πμ(4^+β).
Постоянные α и γ выражаются через характерные для данной закручен-
ной струи величины: импульс /0, момент L0 и физические константы ρ, μ.
Что касается константы β, то ее появление, собственно говоря, связано
не с закрученностыо струи, а с уточнением приведенного в предыдущем
параграфе решения для незакрученной струи за счет членов порядка Цхг
в выражениях проекций скорости и, ν и свободного члена в функции тока.
Но предыдущее решение задачи для незакрученной струи было точным для
источника с бесконечно малым диаметром выходного сечения. Как об этом
легко заключить по последней формуле системы (232), члены, заключающие
β, дают поправку на конечность начального расхода струи 1). Пользуясь
этой формулой и полагая в ней х = 0, получим в принятом приближении
Q0 — расход в начальном сечении)
Р 2πμ 4 2πμ «-
8ν
(233)
Отметим несколько важных с качественной стороны выводов. В то время
как продольная и поперечная скорости убывают обратно пропорционально
первой степени расстояния от источника струи, окружная скорость (закрут-
ка) убывает обратно пропорционально квадрату того же расстояния. Этим
объясняется тот факт, что при истечении из отверстия начальная закрут-
ка не остается заметной вдалеке от выхода струи.
Максимальное значение окружной скорости
31/3 γ
Wv,
достигается на конусе42)
η:
21/3
За
х) Решение, соответствующее конечному начальному диаметру истечения незакру-
ченной струи, было получено впервые Ю.Б. Румером в статье: Задача о затопленной
струе, Прикл. матем. и мех. 16. в. 2, 1952.
2) Теоретические исследования более сложных ламинарных струй см. В. И. Ко-
роб к о, Теория неавтомодельных струй, изд. Саратовского университета, 1977, ч. I.
33»

516 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
§ 94. Плоский нестационарный пограничный слой
Причина сравнительной сложности решения задач нестационарного
пограничного слоя заключается, во-первых, в наличии в его уравнениях
наряду с членами, выражающими конвективное ускорение, еще дополни-
тельного члена — локального ускорения и, во-вторых, в появлении, наряду
с граничными, еще начальных условий.
Известно, что соотношение между величинами локального и конвек-
тивного ускорений характеризуется порядком величины числа Струхала,
равного частному от деления характерной для данного движения длины
на произведение характерных скорости и времени. Существенные особенно-
сти нестационарных движений проявляются с достаточной отчетливостью
при сравнительно больших значениях числа Струхала. При малых значениях
этого параметра достаточно пользоваться квазистационарными приемами,
т. е. рассматривать нестационарное явление в каждый момент так, как будто
оно стационарно, но имеет в качестве определяющих параметров их мгно-
венные значения.
В настоящем общем курсе не представляется возможным углубляться
в этот сложный раздел теории пограничного слоя и приходится удовольство-
ваться рассмотрением лишь одной простейшей задачи, представляющей
интерес с точки зрения понимания механизма диффузии завихренности
от места ее зарождения на поверхности обтекаемого тела. Это — задача
о мгновенном (импульсивном) приведении в поступательное, равномерное,
прямолинейное движение тела, погруженного в неподвижную безграничную
вязкую, несжимаемую жидкость.
Если по условию задачи тело приобретает установившееся движение
мгновенно, то этого нельзя сказать об окружающей его жидкости.
Естественный интерес вызывают процессы установления движения
жидкости во времени: зарождения и развития пограничного слоя на поверх-
ности тела, появления отрыва и перемещения его вверх по течению, пере-
хода пограничного слоя в его установившуюся форму, соответствующую
стационарному обтеканию тела.
Возможность сравнительно простого решения этой задачи объясняется
тем, что внешний, набегающий на тело безвихревой поток при поступатель-
ном, прямолинейном и равномерном движении тела стационарен, и скорость
на поверхности тела определяется функцией только одной переменной х.
Такое простое решение имеет место до начала возникновения отрыва и
до тех пор, пока отрыв еще не получит своего полного развития, т, е.
в начале разгонного участка.
Обратное влияние пограничного слоя на внешний поток на этапе разви-
вающегося и перемещающегося отрыва станет заметным и приведет к появ-
лению времени в числе аргументов скорости внешнего потока. Пользуясь
сравнительной малостью продолжительности разгона и вводя время в опре-
деление толщины пограничного слоя, можно искать решение задачи в виде
ряда по степеням времени, сходимость которого при достаточно малых t
обеспечена. Это обстоятельство также облегчает решение.
Уравнения нестационарного пограничного слоя будут отличаться пали-
чием локального ускорения duldt в левой части уравнения (11), граничными
и начальными условиями. В рассматриваемом сейчас случае уравнения
будут иметь вид
ди , ди , ди т, dU , д2и
dt ' дх ' ду dx ду
ди dv ~
~дх+~ду~ '
2 1
(234)

§ 94] ПЛОСКИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ 517
u = U(x), v = 0 при г/ = 0, « = 0, (234)
u = 0, v = 0 при г/ = 0, i>0,
и—vC/(x) при у—ν оо,
ы = С/(0) при х=0, г/>0, «>0.
Первая строка приведенных условий выражает тот факт, что в начальный
момент t = 0 пограничного слоя еще нет, и жидкость скользит по контуру
цилиндрического тела. При малых значениях времени t пограничный слой
еще очень тонок, скорости и близки к своему внешнему значению U (х),
a v мало отличается от нуля. Тогда первое из дифференциальных уравне-
ний системы (234) можно привести к линейному виду, совпадающему по типу
с известным уравнением теории теплопроводности в твердом теле (индексы
при и, v, / и F в дальнейшем обозначают их принадлежность к соответствую-
щему приближению)
»4^-&-<>· <235>
Полагая *)
"i = tf(*)/i(i); л=у/(2Т^), (236)
получим для определения /х (η) обыкновенное дифференциал иое уравнение
второго порядка (штрих — производная по η)
П + 2η/1 = О,
которое при принятых условиях (234) имеет решение в форме известной
гауссовой функции ошибок
π
ft = ETir\ = ~ [e-* da,
У η J
что дает первое приближение для продольной скорости
иг = U (х) Erf η. (237)
Пользуясь уравнением неразрывности, введем соответствующее этому
первому приближению значение поперечной скорости
yi=_2^-g-[4Erf4-^(l-e-^)]. (238)
Чтобы разыскать второе приближение, положим в первом уравнении
системы (234) и = их + и2, ν = ν± + i>2.
Тогда поправка u2 определится из неоднородного также «теплового»
по типу уравнения
%2 di da: ' * их ' г ду
= и^[ЕтРу] ^-η^2ΕΓ£η-1+4(^Τ12-6"2η2)1· (239)
dx L у π π J
Разыскивая u2 в форме
u2 = iC/^/2N, (240)
получим для определения функции /2 (η) неоднородное уравнение
/;+2т)/:-4/2 = 4ГЕгг^ f^ne-^Erf^-l+^-ie-V-e-W)!, (241)
L "J/ jt " J
*) Η. Β 1 a s i u s, Grenzschichten in Flfüssigkeitu mit kleiner Beibung, Zeitschr.
Math. u. Phys. 56, 1908, 1—37.

518 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
решение которого будет
/2(η) = 1(2η2_1)ΕΓ£2η + ^-ηβ-12ΕΓ!η+1~^β-^ +
+ 4-β-2η2 + «(2τ12+1) + β[^(2η24-1)ΕΓ^ + ^-τ12]. (242)
Входящие сюда постоянные α и β определяются из принятых граничных
условий обращения /2 (η) в нуль при η = 0 и η = оо; найдем
«=-(1+ТБ-Н-1.212; Р = у^-(1+зН=0,804. (243)
Пользуясь вновь уравнением неразрывности, определим поперечную ско-
рость ν во втором приближении
_1(2η3-3η)ΕΓΙ2η + -^^[4-(4η2-1)β-τ12]ΕΓ!η— η —
0 6]/π
* ^-т.2 ays
зу
-^Г1!^
3π
f Erf(r1^2) + (H-Jr) (f η3 + η)
-w(l+^")[J^L(2τ,з+31^)Erfτ,+^(η2+l)e_,l2J^ (244)
Поступая аналогичным образом и дальше, можно было бы разыскать и тре-
тье приближение 1). Для этого пришлось бы решить неоднородное уравнение
Функция u3 должна содержать в качестве множителя i2 и будет иметь вид
* = *[^/.(П> + "(£)Ч(г|)], (246)
где функции /3 и F8 удовлетворяют следующим неоднородным уравнениям:
П + 2η/3 - 8/, = 4Θ (η), F'3 + 2r)F3 - 8F3 = 4θ (η) + 4Φ (η).
Выписывать в развернутом виде правые части не будем, отсылая интере-
сующихся к только что цитированной работе Голдстейна и Розенхеда; в этой
статье авторы не пожалели труда, чтобы вычислить величину поправки и3
в замкнутом виде 2). К сожалению, вопрос об области сходимости получаемых
таким образом рядов функций
и = их + и2 -f- и3 + . . ., ν — vx + у2 + v3 + · - -
остается открытым.
Для разыскания связи между абсциссой точки отрыва xs и соответствую-
щим ей временем fs определим корень уравнения (ди/ду)у=о = 0 или, что
то же, (ди/дц)^^^ = 0. Тогда получим во втором приближении
» + («+£) (τ).*·-0· <247>
Отрыв может произойти только в области отрицательного значения про-
дольной производной от скорости на внешней границе слоя4 (-т-^0 1 и нач-
1)S. Goldstein, L. Rosenhead, Boundary-layer J growth, Proc. Cambr.
Phil. Soc. 32, 1936, 392—401.
2) Авторы допустили в этом расчете ошибки, которые были впоследствии указаны
Вундтом (Н. W u n d t, Wachstum der laminaren Grenzschicht an schräg angeströmten
Zylindern bei Anfahrt aus der Ruhe, Ing. Archiv. 23, № 3,' 1955, 218) и приняты нами во
внимание.

§ 94] ПЛОСКИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ 519
нется ранее всего в точке с максимальным по абсолютной величине значением
этой производной. Промежуток времени £g от начала движения до момента воз-
никновения отрыва определится формулой
1 0,702
*. = ■
\ 3π ) \ dx /max \ dx /i
(248)
Замечательно, что время начала возникновения отрыва на поверхности тела
не зависит от физических свойств жидкости: плотности и вязкости, а только
от максимального наклона кривой распределения внешней скорости.
В случае круглого цилиндра радиуса с будет (х — дуга окружности,
отсчитываемая от передней критической точки)
DK,)-2P.dn(i). *_2^«»(i).
(249)
Максимальное по абсолютной величине значение этой производной
достигается при х = па, в кормовой критической точке.
Время, по прошествии которого от момента начала движения отрыв
пограничного слоя возникнет в кормовой критической точке, будет, соглас-
но (248), равно
ii+-k)u·
=. 0,351
U0
(250)
180
в:
Путь σ, который цилиндр, двигаясь со скоростью £/«>, пройдет от начала
движения до м мента зарождения отрыва в задней кромке, определится
равенством
с = Uoots = 0,351α (251)
и равен примерно трети радиуса цилиндра. Третье приближение дает несколь-
ко меньшее значение
σ = 0,32α. (252)
На рис. 193 штрихами показана зависимость угловой координаты θ|
точки отрыва (в градусах), отсчитанной от передней критической точки круг-
лого цилиндра, от безразмерного времени τ = tUcc/d (d — диаметр цилиндра).
Кривая эта рассчитана по изложенному
методу последовательных приближений.
В промежутке времени от τ = 0 до
Ts = tgUoa/d = 0,16 угол Θ" не меняется
и равен 180°. Затем, начиная с этого мо-
мента, угол Θ" убывает, что соответствует
перемещению точки отрыва по контуру
цилиндра вверх по потоку. Сплошной
кривой для сравнения показана та же
зависимость, определенная приближенным
методом, аналогичным методу Польгау-
зена х). В отличие от предыдущей, штри-
ховой кривой, эта сплошная кривая
асимптотически (τ —ν оо) стремится к ста-
ционарному, завышенному, как раньше
уже разъяснялось, значению угла точки
отрыва (107°5').
Оба метода не учитывают обратного влияния развивающегося отрыва
на внешний теоретический безвихревой поток, но в степенном методе Бла-
160
140
120
100
\
\
\
Vs
—
^ч
~
^.
β
0,2
0,4
0,6 0,8
Рис. 193.
х) Н. S с h u h, Calculation of unsteady boundary layers in two-dimensional laminar
flow, Zeitschr. f. Flugwiss. 1, 1953, 122—131.

520 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
зиуса, кроме того, теряется быстрота сходимости ряда с ростом времени τ,
чем можно объяснить отсутствие асимптотического стремления к стацио-
нарному значению угловой координаты точки отрыва. По-видимому, сте-
пенное решение (в третьем приближении) пригодно по указанной причине
лишь при τ ^ 0,3.
В настоящее время детально изучены не только случай импульсивного
приведения тела в равномерное поступательное движение, но также равно-
ускоренное, со степенным и показательным ростом скорости. Решение этих
и многих других задач нестационарного пограничного слоя можно найти
в ранее цитированных монографиях и в цитированных в них оригинальных
работах.
Применение метода обобщенного подобия в теории нестационарного
пограничного слоя, в связи со значительным увеличением числа параметров
подобия, становится, как это пока представляется, чрезмерно сложным
и, при современных возможностях ЭВЦМ, выполнимым лишь в локальных
приближениях*) либо при дополнительных упрощающих предположе-
ниях 2).
Приведенное решение наглядно показывает своеобразие процесса рас-
пространения влияния вязкости на обтекание приводимого в движение тела.
Опыты подтверждают теоретическое описание явления. Достаточно внима-
тельно рассмотреть известные фотографии Титьенса 3), описывающие начало
движения круглого цилиндра в водяном лотке, чтобы убедиться в справедли-
вости этого утверждения. На этих фотографиях отчетливо наблюдается,
как вначале отсутствующий пограничный слой постепенно утолщается
до тех пор, пока при некоторой максимальной толщине вблизи кормовой
критической точки цилиндра не возникает отрыв слоя. В дальнейшем этот
отрыв развивается и распространяется, стремясь занять свое предельное
положение, соответствующее установившемуся обтеканию цилиндра.
Результаты экспериментов по измерению распределений давления по
поверхности круглого цилиндра на разных стадиях его движения из состоя-
ния покоя, выполненных М. Швабе 4), подтверждают, что в начале движения
распределение давлений очень близко к теоретическому, соответствующему
безвихревому обтеканию цилиндра идеальной жидкостью. Это также говорит
о том, что в начале движения пограничный слой даже на таком плохо обте-
каемом в установившемся движении теле, как круглый цилиндр, весьма
тонок, полностью охватывает поверхность тела и поэтому не оказывает
заметного обратного влияния на внешний поток. Только после зарождения
отрыва и перемещения его от задней кромки цилиндра вверх по потоку
появляется резкая деформация кривой распределения давления, заканчи-
1) О. Н. Бушмарин, 10. В. Сараев, Параметрический метод в теории
нестационарного пограничного слоя, Инж.-физ. журн. 27, № 1, 1974; О. II. Бушмарин,
Параметрический метод расчета нестационарного ламинарного пограничного слоя
в несжимаемой жидкости с отсосом или вдувом, Инж.-физ. журн. 31, № 4, 1976.
2) M. D j u г i с, On the universal form of unsteady incompressible boundary layer
equation and its solving, Publ. de l'Instit. Math., Belgrad, 9, 1969; R. Ascovic, Quel-
ques contributions à l'étude de la couche limite laminaire tridimensionelle en regime non
stationaire, Rap. A—16 du Labor. d'Aerod. de Г Univ. Laval, Quebec, Canada, Juin, 1970;
V. S a 1 j n i k о v, Sur une forme possible d'équations universelles de la couche limite lami-
naire instationnaire, C.R. Acad. Sei., Paris, 272, 22 mars 1971; 830—833. V; S a 1 j n i-
k о v, Dj. D j u k i c, L'universalisation des equations de la couche limite laminaire insta-
tionaire, Récentes recherches sur les couches limites instantionaires, Jutam Symposium 1971;
E. A. E i с h e 1 b r e n n e r, ed., v.l, Quebec, Canada, 1972, p. 168—205.
3) См., например, Г. Шлихтинг, Теория пограничного слоя, персв. с нем.,
«Наука», М-, 1974, стр. 42 или С. Г о л д с т е й н, Современное состояние гидроаэродина-
мики вязкой жидкости, т. I, перев. с англ., ИЛ, М., 1948, фото 7—8.
4) M. S. Schwabe, Über Druckermittlung in der nichtstationären ebenen Strö-
mung, Ing.-Archiv 6, 1935.

§ 94] ПЛОСКИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ 521
вающаяся переходом к тому обычному распределению, которое наблюдается
при реальном установившемся обтекании цилиндра.
Аналогично, если тело совершает установившееся движение и в некото-
рый момент времени это движение нарушается, например внезапно меняется
угол атаки крыла, то переход к новому установившемуся движению, соот-
ветствующему новому положению крыла в потоке, не происходит столь же
быстро, как изменение угла атаки, а запаздывает. На реконструкцию обте-
кания, в связи с действием в пограничном слое вязких сил, необходимо
некоторое конечное время. За счет такого рода затягивания плавного обте-
кания крыла на закритические углы атаки можно на короткое время получить
заметное увеличение коэффициента максимальной подъемной силы крыла
(динамический коэффициент подъемной силы).
Математические трудности, возникающие при рассмотрении задач тео-
рии нестационарного ламинарного пограничного слоя, освещены в обзоре
Д. Т. Стюарта 1). Пример периодического слоя 2) разобран в четвертом
издании настоящего курса (стр. 602—604).
*) .Т. Т. S t'u а г t,j Unsteady boundary layers, ранее цитированный сборник докладов
на симпозиуме в Канаде, т.1, стр. 1; там же приводятся результаты разнообразных иссле-
дований нестационарных, как ламинарных, так и турбулентных пограничных слоев.
2) С. С. Lin, Motion in the boundary layer with a rapidly oscillating external flow,
Proc. 9-th Intern. Congr. Appl. Mech., Briissel, 4, 1957, 155—167.

Глава X
ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ
ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
§ 95. Неустойчивость ламинарных режимов течений
и возникновение турбулентности
Рассмотренные в предыдущих двух главах движения вязкой жидкости
относились к числу ламинарных движений. Траектории частиц, линии тока,
поля скоростей и давлений в этих движениях имели совершенно определен-
ный, «регулярный» характер. Выражением этой регулярности ламинарного
движения служил тот факт, что общая картина наблюдающихся в действи-
тельности ламинарных движений и многие их детали достаточно хорошо
описывались решениями уравнений Стокса при соответствующих, также
«регулярных», начальных и граничных условиях. Можно, например, вспом-
нить пуазейлеео движение вязкой жидкости по круглой трубе, соответствие
теоретически рассчитанных характеристик которого (парабола скоростей,
формулы расхода и сопротивления) опытным данным уже давно блестяще
подтверждено. То же относится к многочисленным другим примерам лами-
нарных движений вязкой жидкости: движению смазки в узких зазорах между
валом и цапфой подшипника, вполне удовлетворительно описываемому
гидродинамической теорией смазки подшипников, движениям в ламинарных
пограничных слоях, с достаточной точностью рассчитываемым по теории,
изложенной в предыдущей главе, и др.
Отмеченное совпадение результатов расчетов ламинарных течений
с экспериментом служит основой для заключения о справедливости уравне-
ний Стокса и их применимости для теоретического описания движений вязкой
жидкости. Не следует, однако, думать, что отсутствие в ряде случаев воз-
можности сделать такое заключение может служить основанием для утвер-
ждения о несоответствии теории действительности.
Наличие в реальных условиях разнообразных, чаще всего малых по вели-
чине случайных отклонений или «возмущений» может либо очень слабо изме-
нить рассматриваемое движение — это будет говорить об устойчивости дви-
жения по отношению к малым возмущениям,— либо полностью его исказить,
что имеет место при неустойчивости движения. Таким образом, в действи-
тельности наблюдаются только те из решений уравнений Стокса, которые
являются устойчивыми по отношению к возможным возмущениям.
В устойчивых движениях возникшие случайно или введенные по воле
исследователя в поток малые возмущения не развиваются с течением вре-
мени, а, наоборот, затухают, не влияя заметно на происходящие в потоке
жидкости процессы. В противоположность этому, в неустойчивых движениях
малые вначале возмущения растут, существенно изменяя характер началь-
ного движения и способствуя его переходу либо к новому устойчивому дви-
жению, если таковое имеется среди возможных решений уравнений Стокса,
либо к некоторому хаотическому, образованному нерегулярно движущимися
и взаимодействующими между собой жидкими массами. Процессы возникно-
вения и развития такого рода движений, так же как и их разрушения, носят
случайный характер и не поддаются строгому теоретическому анализу, тре-
буя для своего изучения своеобразных статистических подходов.

§ 95]
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
523
Эта форма движений вязкой жидкости, широко распространенная в при-
роде и технических устройствах, носит наименование турбулентных движе-
ний. Турбулентными являются движения воздуха в атмосфере, течения воды
в морях, океанах, реках и каналах, в водопроводных трубах, в газопрово-
дах, турбинах, насосах и компрессорах, в соплах ракетных и реактивных
двигателей.
Характерные особенности турбулентного движения просто обнаружи-
ваются, если, например, смотреть с моста на поверхность воды в канале,
покрытую мелким плавающим сором или налетом нефти. Можно заметить,
как отдельные тела, участвуя в среднем течении воды в канале, совершают
вместе с тем замысловатые поперечные, а вблизи берегов даже попятные дви-
жения. Аналогичные движения можно наблюдать за бортом корабля, осо-
бенно вблизи кормовой его части.
Исторически первыми научными наблюдениями турбулентного движения
были известные, относящиеся к 1883 г. опыты английского физика О. Рей-
нольдса, в которых он изучал движение воды в круглой цилиндрической
трубе. Повышая скорость ламинарно движущейся жидкости, можно было
заметить, как на подкрашенную и хорошо видимую вначале прямолинейную
струйку начинают накладываться волны, распространение которых вдоль
струйки говорит о появлении возмущений в ранее спокойном прямолинейном
движении. Постепенно с ростом скорости воды число таких волн и их ампли-
туда возрастают, пока, наконец, струйка не разобьется на нерегулярные,
перемешивающиеся между собой более мелкие струйки, хаотический харак-
тер которых позволяет судить о переходе ламинарного движения в турбулент-
ное. Описанная картина перехода полностью соответствует указанной ранее
причине этого перехода. С возрастанием скорости ламинарное движение
теряет свою устойчивость; при этом случайные возмущения, которые вначале
вызывали лишь колебания струек вокруг устойчивого их прямолинейного
ламинарного движения, быстро развиваются и приводят к новой форме
движения жидкости — турбулентному движению.
В этих опытах Рейнольде впервые обнаружил, что переход ламинар-
ного движения в турбулентное обусловливается достижением критического
значения некоторого безразмерного числа или критерия, которое в дальней-
шем получило его имя. По опытам самого Рейнольдса критическое число ока-
залось равным ReKp = {ucvd/v)KI) = 1,3 ·104; здесь ucp — средняя по расхо-
ду скорость, d — диаметр трубы, ν — кинематический коэффициент вязкости.
Впоследствии х) им же было открыто существование такого нижнего крити-
ческого значения ReKp, приблизительно равного 2000, что при Re < ReKp
движение в трубе оставалось ламинарным, каковы бы ни были введенные
в течение возмущения. Вместе с тем было замечено, что путем удаления воз-
мущений на входе в трубу или уменьшения начальной их интенсивности
можно искусственно затянуть ламинарное движение в область значительно
больших значений числа Рейнольдса. В частности, значение 1,3 -104, полу-
ченное Рейнольдсом, объяснялось наличием плавного входа в трубу в его
опытах. Однако не удалось получить определенное значение для верхней
границы критического числа; эта граница многократно отодвигалась все
более и более тщательными опытами 2) и была доведена чуть ли не до числа
5 -104. Конечно, такое затянутое ламинарное движение не терпит появления
даже очень небольших возмущений и сразу же переходит в турбу-
лентное.
!) Osborne Reynolds, On the dynamical theory of incompressible viscous
fluids and the determination of the criterion, Phyl. Trans, of the Royal Soc, 1895 (русский
перевод в сб. «Проблемы турбулентности», ОНТИ, М., 1936, стр. 185 и след.).
2) См. гл. V монографии: Л. Шиллер, Движение жидкостей в трубах, ОНТИ,
М., 1936.

524 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
Оставляя в стороне вопрос об опытных значениях критического рейнольд-
сова числа для цилиндрических труб с различной формой сечений 1), заме-
тим, что на величину критического числа сильно влияет отклонение трубы
от цилиндричности, т. е. диффузорностъ или конфузорностъ трубы. Так,
в сходящихся трубах (конфузорах) ReKp превышает соответствующее число
для цилиндрической трубы и, наоборот, в расширяющихся каналах (диффу-
зорах) ReKp сравнительно мало.
Отметим и в дальнейшем подтвердим опытными материалами, что встре-
чающаяся на практике шероховатость стенок не влияет на величину крити-
ческого числа Рейнольдса, что и естественно, так как нижнее число Рейнольд-
са связано с устойчивостью потока, а не наличием или отсутствием возму-
щений в нем.
Математическая теория устойчивости ламинарных течений в настоящее
время хорошо разработана, но ее изложение потребовало бы значительного
места. Принимая во внимание, что она по своему довольно сложному и, ско-
рее, чисто математическому характеру выпадает из общего стиля настоящего
курса, пришлось удовольствоваться в пем лишь качественным описанием
основного механизма явлений потери устойчивости и его связи с главным
для практики процессом перехода ламинарных движений в турбулентные,
для объяснения которого математическая теория устойчивости пока еще
мало что дает.
В русском переводе вышла монография Р. Бетчова и В.Крими-
нал е, Вопросы гидродинамической устойчивости, «Мир», М., 1971, кото-
рая содержит современное состояние этого вопроса в простом и ясном изло-
жении и с большим числом самых разнообразных приложений, включая
магнитогидродинамические и вязкоупругие течения, а также течения газа
со взвешенными в нем твердыми частицами. Эта монография в значительной
степени может восполнить имеющийся в настоящем курсе пробел.
Простейшим разделом общей теории устойчивости ламинарных движе-
ний является изучение устойчивости ламинарного потока по отношению
к малым возмущениям. Эта линейная теория получила наибольшее развитие
и излагается во многих специальных курсах и монографиях 2).
В последние годы стала развиваться нелинейная теория гидродинамиче-
ской устойчивости. Основы ее изложены в конце обзора, составленного
Дж. Стюартом и помещенного в только что цитированном руководстве под
ред. С. Розенхеда (стр. 562—578). Эта часть теории устойчивости также
пользуется методами теории колебаний, но изучает развитие возмущений
конечной амплитуды (интенсивности) 3).
Быть может, наиболее многообещающим является направление, приме-
няющее в вопросах устойчивости сплошных сред и, в частности, вязких дви-
жении, общие идеи теории устойчивости, восходящие к классическим иссле-
*) См. только что цитированную монографию Л. Шиллера, гл. VI.
2) Η. Ε. К о ч и н, И. А. К и б е л ь и Н. В. Розе, Теоретическая гидромеха-
ника, ч. И, изд. 4, Физматгиз, М., 1963, 658—686; Н. А. Слезки н, Динамика
вязкой несжимаемой жидкости, Гостехиздат, М., 1955, 385—432; Г. Ш л и х τ и н г,
Теорпя пограничного слоя, гл. XVI и XVII, «Наука», М., 1974; Ц. Ц. Линь, Теория
гидродинамической устойчивости, ИЛ, М., 1958; Laminar boundary layers, ed. byS.Rose-
nhead, Oxford, Clarendon Press, 1963, 492—578; А. С Μ о н и н π А. М. Я г л о м,
Статистическая гидромеханика, ч. I, раздел «Гидродинамическая неустойчивость и воз-
никнове ние турбулентности», «Наука», М-, 1965, 77—161. Этот список дополняет
только что цитированная монография Р. Бетчова и В. Криминале.
3) Краткий обзор работ этого направления с подробной библиографией можно найтп
в докладе Г. Гёртлера и В. Белые на симпозиуме по турбулентности в г. Киото (Япония)
19—24 сентября 1966 г. (Н. G δ г t 1 е г, W. W е 1 t e, Recent mathematical treatments of
laminar flow transition problems, Physics of Fluids, p. TI, 10, № 9, 1966). См. также обзор:
J. Т. Stuart, Nonlinear stability theory. Annual Review of Fluid Mechanics, v. 3 1971.
347—370.

§ 95]
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
525
дованиям Ляпунова (М. А. Красносельский, В. И. Юдович) '), относя-
щимся к устойчивости механических систем с конечным числом степеней
свободы.
Будущим теоретическим исследованиям по устойчивости ламинарных
движений предстоит отразить основные детали тех сложных, граничащих
со случайными движений, 'которые возникают при потере устойчивости изу-
чаемого начального движения, а пока внимание многих ученых привлекает
гидродинамический эксперимент, на современном уровне развития позволяю-
щий глубоко проникнуть в процессы перехода ламинарных движений в турбу-
лентные. Появившиеся в последнее десятилетие исследования в этом направ-
лении показывают, что нелинейные эффекты в вязких потоках крайне
своеобразны. Чрезвычайно характерны в этом смысле явления, возникающие
в круглой трубе при переходе рейнольдсова числа через критическое зна-
чение. Явления эти аналогичны и другим случаям ламинарного движения
вязкой жидкости, в частности куэттовскому движению между движущимися
параллельными плоскостями, между поверхностями вращающихся соосных
цилиндров и в пограничных слоях.
При входе в начальный участок трубы поток несет возмущения разно-
образной природы. Это могут быть либо возмущения, пришедшие извне,
например из помещения, в котором расположена всасывающая воздух труба,
или из резервуара с водой, вытекающей через трубу, либо возмущения,
образовавшиеся из-за неилавности входа в трубу. Последняя причина обыч-
но бывает доминирующей. Как упоминалось выше, уже Рейнольде в своих
первых опытах заметил, что при значениях Re, еще далеких от критических,
по прямолинейным струйкам краски в начальном участке трубы пробегают
дискретные волны или группы волн, затухающие вниз по течению. Эти
накладывающиеся на ламинарный поток возмущения по мере приближения
его к критическому состоянию становятся все более интенсивными и расплыв-
чатыми, пока, наконец, не заполнят всю область течения и поток станет
полностью турбулентным.
Было отмечено позднейшими исследователями (Л. Шиллер и др.), что
первичные возникновения этих сравнительно редких по частоте появления
возмущений не оказывают влияния ни на профили скоростей в сечениях
трубы, ни на общее сопротивление трубы. Только в непосредственной бли-
зости к кризису влияние этих волн становится заметным: искажаются про-
фили скоростей, изменяется закон сопротивления.
Тщательное исследование потока в трубе при рейнольдсовых числах,
близких к критическим, показало, что в одном и том же фиксированном сече-
нии трубы и при том же значении рейнольдсова числа Re = ucvdlv может
происходить чередование ламинарных и турбулентных режимов. Это явление
получило наименование перемежаемости (intermittency). Причина переме-
жаемости режимов течения заключается в том, что турбулентность, как
показали тщательные опыты, образуется вначале в дискретных областях
потока в виде «облачков» или «пятен» (spots), в случае трубы заполняющих
поперечное сечение трубы «пробками», которые могут достигать протяжен-
ности вдоль трубы порядка нескольких десятков диаметров трубы, причем
эта протяженность зависит от рейнольдсова числа потока.
Основной количественной характеристикой явления перемежаемости слу-
жит доля времени существования турбулентного режима в данном сечении
трубы. Эту безразмерную величину, равную нулю, если течение все время
ламинарное, и единице, если течение сохраняет турбулентную форму, назы-
*) Сошлемся на доклад В. И. Юдовича «Вопросы математической теории устой-
чивости течений жидкости» на Третьем Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной
механике (Москва, 25 января — 1 февраля 1968 г.), а также на цитированный доклад
Г. Гёртлера и В. Белые на симпозиуме по турбулентности в г. Киото (Япония).

526 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
вают «коэффициентом перемежаемости» и обозначают буквой у. Величина эта
зависит как от рейнольдсова числа потока, так и от расстояния х от входа
в трубу. На рис. 194 и 195 (опущены экспериментальные точки) показано
изменение коэффициента перемежаемости в круглой трубе в зависимости
Ψ
7
0,8
0,6
0,4
0,2
1
/
к*
'
Ъв=2Б00-
*0\
- 2300
I
1
=
100
200
300
400
x[d
500
Рис. 194.
Рис. 195.
от рейнольдсова числа Re и относительного расстояния от входа в трубу
xld по опытам И. Ротта х) на воздухе и воде и Д. Колза 2) на воде. Коэффи-
циент перемежаемости резко возрастает в области критического значения
числа Рейнольдса, причем в ближних к входу сечениях позже, чем в даль-
них. На рис. 196 кружками, не связанными с кривой, показан профиль
г
-
IV
г-—--JL·
ш
область
перехода
1 . 1
/
—_____£__
1
01—
3000
Рис. 197.
4000 5000
Re
скоростей при Re = 2550 щу = 0,7. Там же приводятся относящиеся к тому
же рейнольдсову числу профили скоростей: при ламинарном режиме (у = 0,
сплошная кривая — парабола Пуазейля, светлые кружки) и при турбулент-
ном режиме (у = 1, штриховая кривая, треугольники).
Отметим важный для дальнейшего факт выравнивания профиля ско-
ростей при переходе от ламинарного движения к турбулентному. При этом
на оси трубы скорость уменьшается, а на некотором фиксированном рас-
стоянии от стенки трубы, наоборот, увеличивается. Помещая измеритель
скорости на определенном небольшом расстоянии от стенки, можно по уве-
личению скоростного напора судить о переходе от ламинарного движения
к турбулентному. Такой прием, как далее будет показано, с успехом приме-
1) J. С. R о 11 а, Experimenteller Beitrag zur Entstehung turbulenter Strömung in
Rohr, Ing. Arch., № 24, 1956, 258—281.
2) D. Coles, Interfaces and intermittency in turbulent shear flow. Mécanique de la
turbulence. Colloque Internat, du Centre Nationale de la Recherche Scientifique (Marseille,
France). Изд. этого центра, Париж, 1962, 229—251.

§ 95]
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
527
няется при экспериментальном исследовании перехода в пограничном слое.
Более точное исследование перемежаемости связано с изучением возникнове-
ния и развития пульсаций скорости в потоке при помощи осциллографиче-
ской записи показаний термоанемометра.
На рис. 197 приводятся данные о скоростях движения турбулентных
пробок в трубе. Кривая / представляет выраженную в частях средней ско-
рости потока скорость передней, а кривая // — задней стенки пробки. Как
легко заключить из этих двух кривых, передние границы пробок при закри-
тических режимах движутся быстрее задних, вследствие чего пробки растя-
гиваются, заполняя при своем движении все большие и большие объемы
трубы. Вместе с тем передний край одной пробки догоняет задний край
смежной пробки. Все это приводит к тому, что при закритических значениях
Re в удалении от входа в трубу устанавливается сплошное турбулентное
движение. На том же рисунке для сравнения приведены кривые /// и IV
скоростей на оси трубы соответственно турбулентного и ламинарного потока,
отнесенных также к средней скорости потока.
Скорость передней стенки пробки сначала меньше, а с ростом рейнольд-
сова числа становится больше, чем скорость турбулентного потока на оси
трубы, а скорость задней стенки значительно меньше этой скорости. Можно
еще заметить, что до критического значения числа Рейнольдса скорость
передней грани пробки, наоборот, меньше скорости задней грани; это при-
водит к сокращению длин образующихся пробок и их исчезновению в лами-
нарном потоке.
Наряду с движением вязкой жидкости в круглых цилиндрических трубах
Д. Колзом были изучены также и переходные движения в пространстве
между соосными вращающимися цилиндрами х). При переходе через некото-
рое значение рейнольдсова числа устойчивое вначале круговое движение
частиц жидкости в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, сменяется
движением с ячеистой структурой замкнутых вторичных течений, располо-
женной периодически в направлении, параллельном оси вращения. Такое —
его обычно называют тэйлоровским — движение образуется в случае домини-
рующего вращения внутреннего цилиндра. В случае же доминирующего зна-
чения вращения внешнего цилиндра устойчивое круговое движение частиц
переходит в спиральное, смешанное ламинарно-турбулентное движение. Эти
периодически расположенные в пространстве спирали, сохраняя свою форму
и взаимное расположение, вращаются как одно целое вокруг общей оси
цилиндров с угловой скоростью, близкой к среднему арифметическому угло-
вых скоростей цилиндров.
Распределение вдоль спиралей турбулентных пробок подчиняется каче-
ственно тем же закономерностям, что и в случае смешанного ламинарного-
турбулентного движения по цилиндрической трубе. Коэффициент переме-
жаемости у на среднем радиусе принимает значения от 0,3 до 0,7.
Изменяя угловые скорости вращения внутреннего и внешнего цилиндра,
можно отчетливо наблюдать процессы возникновения и разрушения различ-
ных режимов движений вязкой жидкости между вращающимися цилиндрами,
от периодических тэйлоровских до двоякопериодических спиральных струк-
тур. Большой интерес заслуживает факт связи характеристик турбулентности
в пробках с тэйлоровскими вторичными течениями, которые, таким образом,
служат конечными возмущениями, способствующими переходу от ламинар-
ного движения к турбулентному 2).
*) См. предыдущую сноску.
2) Рекомендуем интересующимся ознакомиться со статьей: D. Coles, Transition
in circular Couette flow, Journ. Fluid Mech. 21, 3,1965, 385—482, в которой вопрос о пере-
ходных явлениях в куэттовском. круговом движении разобран с большими подробностями
и где приведены многочисленные фотографии искусственно визуализированных потоков.

528 ТУРБУЛРНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
§ 96. Переходные явления в пограничном слое. Кризис сопротивления тел
плохо обтекаемой формы
Сходство явлений перехода ламинарных движений в турбулентные
в круглой цилиндрической трубе и в куэттовском круговом движении распро-
страняется и на движение вязкой жидкости в пограничных слоях на поверх-
ности твердых тел, в струях и следах за телами. Если условиться при срав-
нительно грубом подходе количественно сопоставлять скорость на внешней
границе пограничного слоя со скоростью на оси трубы, а толщину погранич-
ного слоя с радиусом трубы, то следует ввести в рассмотрение рейнолъдсово
число пограничного слоя
Ree=—.
характеризующее поток в данном сечении слоя.
Многочисленные опыты по определению критического числа ReeKp для
пограничного слоя на пластине привели к значениям, близким к критиче-
скому числу трубы. Тот же порядок ReeKp был найден и при обтекании круг-
лого цилиндра, шара и крыловых профилей. При этом было обнаружено, что
относительное расположение критического сечения пограничного слоя, в ко-
тором ламинарный слой переходит в турбулентный, существенно зависит
от степени возмущенности набегающего на тело внешнего потока. При изме-
нении этого фактора изменяется и величина критического числа Рейнольдса
пограничного слоя.
Б отличие от переходных явлений, рассмотренных в предыдущем пара-
графе, в пограничном слое наличие того или другого режима движения
обусловлено развитием движения вдоль пограничного слоя. Так, начальный
участок слоя обычно бывает ламинарным, за ним располагается переходная
область, где одновременно сосуществуют турбулентные зоны потока с
ламинарными, и, наконец, область развитого турбулентного потока, со-
стоящая из турбулентного ядра и тонкого, вязкого подслоя граничащего с
твердой стенкой.
При малой интенсивности возмущений во внешнем потоке в опытах как
с пластинками, так и с крыльями, удавалось затянуть переход на большие
значения Re6Kp» чем в случае сильно возмущенных потоков. Так, например,
в пограничном слое на пластине, помещенной в мало турбулентную аэроди-
намическую трубу, наблюдалось ламинарное движение вплоть до критиче-
ского сечения пограничного слоя, где ReeKp — 6290, а на полированных
металлических крыльях самолета в полете ReeKp доводилось до величины
9300. Это показывает, что относительный размер ламинарного участка погра-
ничного слоя на крыле, особенно в спокойном набегающем потоке, зависит
от шероховатости поверхности крыла вблизи передней его кромки или
наличия производственных недостатков обработки поверхности в этой обла-
сти крыла. Такое отличие движения жидкости в пограничном слое от движе-
ния в трубе может быть объяснено тем, что вблизи носика крыла пограничный
слой еще очень тонок, бугорки шероховатости проникнут сквозь погранич-
ный слой и станут источниками возмущений во внешнем потоке, которые
будут проходить внутрь пограничного слоя через внешнюю его границу.
Вместо Ree, заключающего в себе неточную величину δ, можно рассмат-
ривать числа
ν ' ν '
составленные по более точно определяемым величинам: толщине вытеснения
и толщине потери импульса. Соответствующие критические их значения
могут быть найдены непосредственно по замерам скоростей в сечениях слоя

§ 96]
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
529
или пересчетом. В настоящее время широко используется число Re**. Зна-
чение Reip по опытам на различных крыльях в различных аэродинамических
трубах колеблется от 600 в сильно турбулентных трубах до 1300 в мало
турбулентных (по некоторым данным, относящимся к трубам с очень малой
турбулентностью, число Re^t достигало значения 2300).
Наблюдающееся различие в значениях Re«p для разных крыльев имеет
еще одну причину. Подобно тому как это имеет место в трубе переменного
сечения, критическое значение Re^p в пограничном слое зависит еще от того,
попадет ли критическое сечение в конфузорную или диффузорную части
пограничного слоя. В области ускоренного течения (конфузорная часть
слоя) Re«p имеет большие значения, чем в области замедленного течения
(диффузорная часть слоя). В случае свободного пограничного слоя, как,
например, в струе или в следе вдалеке за телом, критические значения числа
Рейнольдса очень малы, и практически всегда
приходится иметь дело с турбулентными
струями и следами за телом.
Теоретическое определение нижнего
критического числа Рейнольдса погранич-
ного слоя Re'Sp, под которым понимается
значение Re** в том сечении погранич-
ного слоя, где теряется устойчивость дви-
жения, может быть выполнено с вполне
удовлетворительной точностью при помощи
однопараметрического приближения. Так,
обозначая через
iffKp
Refi5='^
кр
*
3
·>
1
Χ.
>
\
\
\
>/
Л7
w
Υ
\
lgte*"(f)
\
-Οββ -Щ О Ц» №
f«P
Рис. 198.
величины Re* * и формпараметра / в сечении
слоя, где теряется устойчивость ламинарного
движения, можно, использовав теорию
устойчивости, получить приближенную связь
между Re^p и /кр, представленную сплош-
ной кривой на рис. 198. Этот график, в
рамках теории устойчивости является об-
щим для всех плоских пограничных слоев, т. е. не зависит от распределе-
ния скорости U (х) на внешней границе пограничного слоя.
Из графика непосредственно следует, что критические числа Re^pi
соответствующие положительным значениям /кр, т. е. конфузорному участку
пограничного слоя, значительно превышают критические числа в области
замедленного движения в диффузорной области. Этот факт условно выра-
жают, говоря, что ламинарный поток в конфузорной части пограничного
слоя более устойчив, чем в диффузорной. При этом за количественную меру
устойчивости принимают значение критического рейнольдсова 4HMaReK*.
Рассчитав по однопараметрической теории величины / = / (ж) и Re** =
= Re** (x) для обтекания с заданным распределением скоростей U (х),
исключим безразмерную абсциссу х и построим кривую связи текущих
значений / и Re** в тех же координатах, что и на рис. 198. Это приведет
к кривой (на рис. 198 показанной штрихами), имеющей наклон противопо-
ложного знака и пересекающей основную кривую. Действительно, в то
время как критическое число Рейнольдса Re^p в диффузорной части погра-
ничного слоя (/ < 0) меньше, чем в конфузорной (/ >0), текущее число Рей-
нольдса Re**, наоборот, возрастает вдоль поверхности тела вниз по потоку,
34 Л. Г. Лойцянский

530 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
т. е. при переходе от положительных / к отрицательным. Точка пересечения
сплошной кривой со штриховой определит искомое /кр для данного конкрет-
ного случая задания распределения внешней скорости U (ж), а тем самым
и абсциссу хкр точки потери устойчивости.
Не следует смешивать эту точку потери устойчивости ламинарного
пограничного слоя ни с началом переходной области, ни с той точкой пере-
хода ламинарного движения в турбулентное, которая интересует практику.
Под началом переходной области обычно понимают точку (сечение погранич-
ного слоя), где развивающиеся возмущения нарастают настолько заметно,
что уже начинают изменять ламинарный характер движения в пограничном
слое, а под точкой перехода такую промежуточную точку переходной области,
где турбулентный характер движения
уже значительно проявился, например,
в искажении профиля скоростей в се-
чениях пограничного слоя. В тех слу-
чаях, когда протяженность переходной
области по сравнению с размерами
тела невелика или не требуется боль-
шой точности в определении положения
перехода, пользование понятием «точки
перехода» вполне приемлемо.
Экспериментальное определение-
точки перехода в пограничном слое
производят обычно так. Микротрубку
полного напора, отверстие которой
направлено навстречу потоку, застав-
ляют перемещаться вдоль пограничного
слоя, оставляя носик трубки D (дина-
мическое отверстие) на одном и том же
малом расстоянии h (рис. 199) от по-
верхности крыла. Вычитая из полного
напора, регистрируемого отверстием D
трубки, давление в соответствующем
сечении пограничного слоя, замеряемое при помощи отверстия на поверх-
ности крыла, находящегося как раз под носиком микротрубки, можем опре-
делить скорость на выбранном фиксированном расстоянии от поверхности
в различных сечениях пограничного слоя.
В связи с утолщением ламинарного пограничного слоя вниз по потоку,
безразмерная скорость u/U, измеряемая на одном и том же расстоянии от
поверхности крыла внутри слоя, должна убывать. Действительно, относи-
тельная координата h/δ точки замера при этом уменьшается, а сама точка
как бы все глубже погружается в пограничный слой, переходя к относитель-
но меньшим скоростям.
На рис. 199 даны профили скоростей в последовательных сечениях
1—6 ламинарного (сплошные кривые), переходного и турбулентного (штри-
ховые кривые) пограничного слоя на крыле при одном и том же значении
Re набегающего потока. Как было уже показано на рис. 196, эти профили
значительно друг от друга отличаются. Вертикальная прямая соответствует
выбранному расстоянию у = h носика микротрубки от поверхности крыла.
Точки Аг, Аг, А3 дают значения u/U, регистрируемые микротрубкой в лами-
нарной части пограничного слоя. Когда носик трубки попадает в области
переходного или турбулентного режимов, величина u/U от сравнительно
малого значения (точка Ая) делает резкий скачок до значения Ak, а затем
снова падает, проходя значения Аъ, Аъ. Если отложить па оси ординат
(рис. 200) u/U, а на оси абсцисс относительные (в частях хорды) расстояния
Рис. 199.

§ 96]
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
531
по обводу крыла, то в результате такого рода построения можно получить
кривые, подобные приведенным на рис. 200. Область слева от вертикальной
штриховой линии соответствует ламинарному пограничному слою, между
штриховой линией и вертикальными черточками располагается переходная
область, и, наконец, справа от вертикальных черточек имеет место турбу-
лентное движение. На рис. 200 приведено несколько таких кривых, отно-
сящихся к различным числам Рейнольдса Reoo=£^«>fc/v в интервале от
1,7 -106 до 5,1 -10е. Из рассмотрения этих кривых видно, что протяженность
области перехода убывает с ростом рейнолъдсова числа набегающего потока,
но все же имеет вполне сравнимые
с хордой крыла значения. Экспери-
ментальное определение точки пере-
хода заключает в себе некоторый
произвол; одни авторы определяют
точку перехода как середину об-
ласти перехода, другие — как точку
минимума на кривой u/V, третьи —
как точку максимума.
Многочисленные эксперимен-
тальные исследования как лабора-
торного, так и натурного (самолет,
корпус корабля) типа показали, что
положение точки перехода сущест-
венно зависит от многих параметров
движения. Это прежде всего рей-
нольдсово число Re и количественные
характеристики турбулентной струк-
туры набегающего потока. Среди
этих характеристик основное значе-
ние имеют следующие три: 1) сте-
пень, или интенсивность, турбулент-
ности ε, определяемая отношением
осредненной во времени амплитуды
пульсаций скорости в набегающем потоке к его средней скорости; 2) масштаб
турбулентности L, характеризующий пространственную протяженность
жидких объемов во внешнем потоке, охваченных возмущениями, статисти-
чески связанных между собой в том смысле, что коэффициент корреляции
пульсаций скоростей в двух каких-нибудь точках этих объемов отличен
от нуля, и 3) частота пульсаций во внешнем потоке п, выбранная по макси-
мальному значению функции распределения кинетической энергии пульса-
ций по частотам 1).
Явление перехода, как это было уже отмечено, зависит от распределения
давления во внешнем потоке: в конфузорном участке пограничного слоя, где
внешний поток ускоряется, переход затягивается, смещаясь вниз по потоку,
а в диффузорном участке с замедляющимся движением, наоборот, предва-
ряется, переходя в верхние по потоку участки. Наконец, важное значение
имеет состояние поверхности обтекаемого тела: степень ее шероховатости,
волнистости, нагретости и многие другие причины.
В последнее время проводятся эксперименты по выявлению роли приме-
сей, вводимых в малых концентрациях в жидкость в пограничном слое, в
затягивании протяженности ламинарного участка или в уменьшении интенсив-
ности уже развившейся турбулентности. Особенно полезными в этом смысле
05 0,6
х/Ь
Рис. 200.
*■) Удовольствуемся пока этими качественными определениями степени, масштаба
и частоты турбулентности набегающего потока; количественное их onf еделение будет да-
но позже.
34*

532 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
Рис. 201.
оказываются высокополимерные примеси 4), введение которых даже в очень
малых дозах значительно сказывается на режиме течения (эффект Томса).
Остановимся на иллюстрации влияния некоторых из только что пере-
численных факторов на расположение точки перехода ламинарного движе-
ния в турбулентное в пограничном слое.
Влияние рейнольдсова числа на положение точки перехода на поверх-
ности гладкого крыла выражается в смещении точки перехода при возраста-
нии рейнольдсова числа в на-
правлении к передней кромке.
Для разных крыловых профилей
это смещение происходит различ-
но, причем оно зависит также от
условий опыта, т. е. турбулент-
ности набегающего потока и др.
Можно, однако, сделать некото-
рые общие замечания по этому
поводу.
Если на поверхности крыла
за точкой минимума давления
существует точка отрыва лами-
нарного слоя, то эта точка явля-
ется самой нижней (по потоку)
возможной точкой перехода, так
как сорвавшийся слой почти мгно-
венно переходит в турбулентное состояние. G возрастанием рейнольдсова
числа точка перехода перемещается вверх по потоку и оказывается распо-
ложенной выше по потоку, чем точка отрыва. При этом ламинарный отрыв
перестает осуществляться и заменяется турбулентным, который либо обра-
зуется, но значительно ниже по потоку, чем ламинарный, либо совсем отсут-
ствует. Точка перехода перемещается по направлению к точке минимума
давления и затем переходит в конфузорную область слоя. Схематически это
показано на рис. 201 для верхней поверхности крылового профиля с затя-
нутым конфузорным участком слоя (точка минимума давления примерно
на 45% хорды); там же для сравнения приведена кривая перемещения точки
потери устойчивости.
Как видно из графика, ламинарный участок пограничного слоя на этом
профиле простирается почти на всю переднюю область крылового профиля
даже при больших значениях рейнольдсова числа. Такого рода крыловые
профили называют ламинаризоеанными. На обычных крыловых профилях
точка минимума давления на верхней поверхности располагается значитель-
но ближе к носику профиля, соответственно этому уменьшается и участок
ламинарного слоя.
Для грубой оценки положения точки перехода на крыловом профиле
с гладкой поверхностью в практически наиболее интересной области значе-
ний рейнольдсовых чисел 106—107 можно рекомендовать выбирать за поло-
жение точки перехода точку минимума давления.
Опыты Шубауера и Скремстеда 2), проведенные в аэродинамической
трубе с интенсивностью турбулентности потока в рабочей части, изменяю-
f)IB. А. 'Иосе лев ич, В. Η. Π и л и и е н к о, Турбулентный пограничный
слой жидкости с полимерными добавками. Обзор: Методы расчета турбулентного погра-
ничного слоя, серия «Итоги науки и техники», гл. V, изд. ВИНИТИ, М-, 1977, а также
J. L. L u гл 1 е у, Drag reduction by additives, Ann. Rev. of Fluid Mech. 1, Palo Alto,
Calif., USA, 1969, 367—384.
2) G. B. Schubauer, H. K. Skramstad, Laminar boundary-layer oscilla-
tions and transition on a flat plate, NACA Rep. 909, 1948.

§ 86]
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
533
Рис. 202.
щейся в широких пределах, начиная от очень малых значений порядка
0,02%, показали существование двух основных причин возникновения перехода
ламинарного слоя в турбулентный: потери устойчивости ламинарного слоя
и наличия интенсивных возмущений во внешнем потоке.
На рис. 202 приведены кривые влияния интенсивности турбулентности
внешнего потока ε на местное рейнольдсово число Rex = Uocx/v, составлен-
ное для абсцисс точек, отделя-
ющих ламинарный участок погра-
ничного слоя на продольно обте-
каемой пластине от переходной
области и области развитого тур-
булентного движения в погра-
ничном слое. Как можно судить
по этим кривым, при интенсив-
ности турбулентности внешнего
потока, не превосходящей 0,1%,
границы ламинарного и турбу-
лентного участков пограничного
слоя не зависят от интенсивности
турбулентности внешнего потока.
В этом случае явление перехода
объясняется первой из указанных
ранее причин — потерей устойчивости ламинарного слоя. Началу переход-
ной области соответствует значение Rex, несколько меньшее 3-106; концу
переходной области, т. е. началу области развитого турбулентного движе-
ния, отвечает значение Rex, близкое к 4-106.
С возрастанием интенсивности турбулентности внешнего потока преиму-
щественное значение приобретает вторая причина — влияние внешних возму-
щений. Из рис. 202 отчетливо видно, как с возрастанием интенсивности тур-
булентности внешнего потока значения рейнольдсовых чисел на границах
переходной области начинают резко снижаться, размер ламинарного участка
уменьшается почти вдвое при сохранении интенсивности в сравнительно
узких пределах (до 0,36%). Б обычных аэродинамических трубах интенсив-
ности турбулентности могут достигать 1 %, а в других случаях, как, напри-
мер, в проточной части турбины или компрессора, и значительно больших
уровней. При этом ламинарные участки на поверхности обтекаемых тел
(крыловые профили, лопатки рабочего колеса) становятся совершенно незна-
чительными. Наоборот, при движении тела сквозь покоящуюся жидкость
(самолет в спокойной атмосфере и др.) интенсивность турбулентности набе-
гающего потока может быть очень малой и ламинарный участок по своей
протяженности окажется значительным. Обращает на себя также внимание
наличие заметной области перехода, которым при детальном расчете погра-
ничного слоя нельзя пренебрегать.
О влиянии интенсивности турбулентности набегающего потока на длину
переходного участка можно судить по эмпирической кривой Гренвилла
(рис. 203) х), составленной по данным опытов Шубауера — Скремстеда,
Холла — Хислопа и Драйдена (опытные точки опущены) на продольно
обтекаемой пластинке. В отличие от рис. 202, по оси ординат отложена
разность Re?* — Re£* рейнольдсовых чисел, заключающих в качестве
длины толщину потери импульса в точках перехода и потери устойчивости.
Судя по этой кривой, длина переходного участка быстро убывает с ростом ε,
достигая малых значений при ε порядка 2,5—2,8 л.
*) :См. неоднократно ранее цитированную монографию Шлнхтинга, стр.
рис 1б"21.

534 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
К числу менее изученных факторов следует отнести влияние масштаба
турбулентности набегающего потока на положение точки перехода. При-
мером этого влияния могут служить приведенные на рис. 204 результаты
опытов *) над пограничным слоем на эллиптическом цилиндре, расположен-
ном под нулевым углом атаки в воздушном потоке, турбулизированном
решетками, поставленными впереди цилиндра на некотором от него рас-
стоянии (размеры ячеек решетки приводятся на рисунке).
Вихри, созданные стержнями решетки, перемещаясь вниз по потоку,
разрушаются, образуя размытые области возмущенного движения, средние
1000
800
*^600
ш
*^400
ВС
200
О 0,8 1,6 2fi
е,%
Рис. 203.
размеры которых представляют масштаб турбулентности. Масштаб тур-
булентности L поддается измерению, а отношение его к линейному размеру
обтекаемого тела, в данном случае меньшему диаметру эллипса £>, наряду
с интенсивностью турбулентности ε служит характеристикой турбулентности
набегающего потока.
График на рис. 204 выражает связь между безразмерной величиной
абсциссы точки перехода ламинарного слоя в турбулентный на поверхности
эллиптического цилиндра и параметром Тэйлора 2), представляющим произ-
ведение интенсивности турбулентности на корень пятой степени из отноше-
ния характерного размера тела D к масштабу турбулентности L. Из этого
графика видно, что при малых значениях параметра Тэйлора внешние воз-
мущения слабо влияют на размер ламинарного участка слоя; здесь все опре-
деляется внутренней устойчивостью движения в слое. При сравнительно
больших значениях параметра это влияние резко усиливается — длина
ламинарного участка быстро сокращается.
Для качественной иллюстрации влияния продольного перепада давления
на положение точки перехода в пограничном слое при различных интенсивно-
стях турбулентности набегающего потока могут служить результаты опытов
Е. М. Минского 3) (рис. 205). На оси ординат отложена относительная дуго-
*) X. Л. Д ρ а й д е н, Современное развитие механики пограничного слоя, Сб.
«Проблемы механики», под ред. Р. Мнзеса и Т. Кармана, ИЛ, М., 1955.
2) Теоретическое обоснование выбора этого параметра см. G. I. Taylor, Statisti-
cal theory of turbulence, Proc. Roy. Soc, London, A 151, № 873, 1935, 421.
3) Ε. Μ. Минский, Влияние турбулентности набегающего потока на переход,
Труды ЦАГ11, вып. 415, 1939.
0,07
ИГ
0fi6
0β5
0/14
0,03
OJJZ
12
13
П
Xt,CM
15 16
ol Γ Ι -
• "\
-
о Решетка 2£см
• Решетка 9,5см
δ Решетка 12,7см
I I I
' I i
\δ
Vх
\Δ
•\
\·
ΟΙ
i 4
1,1 1,2 1,3 Ifi
Рис. 204.
1,5 1β

S 96]
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
535
вая абсцисса точки перехода на верхней поверхности четырнадцатипроцент-
ного крылового профиля, а на оси абсцисс — степень турбулентности ε.
Как показывает график, наблюдается отчетливое смещение точки перехода
к носику крыла при возрастании интенсивности турбулентности набегаю-
щего потока.
Протяженность ламинарного участка в лобовой части крыла резко
сокращается также при увеличении угла атаки (кривые рис. 205 относятся
к различным, отмеченным на них значениям угла атаки а). Это естественно,
так как при возрастании угла атаки увеличивается быстрота восстановления
/,8
14
tjo
0,6
02
I
A
0
,мм
0,25
? π 0,U
π
Λ
' о,г ол о,б μ
Рис. 205.
Рис. 206.
давления, что приводит к повышению диффузорности пограничного слоя,
а это вызывает ослабление устойчивости ламинарного участка пограничного
слоя.
Как было отмечено в предыдущей главе, кривизна поверхности при
малых отношениях толщины ламинарного пограничного слоя к радиусу
кривизны сказывается только через скорость внешнего потока. Можно
отметить, что на вогнутых поверхностях даже сравнительно малая кри-
визна поверхности оказывает существенное влияние на переход. На вы-
пуклых поверхностях такое влияние незаметно; явление перехода проис-
ходит так же, как и на пластине с соответствующим распределением дав-
лений.
Большой практический интерес представляет вопрос о влиянии состоя-
ния (обработки) поверхности на положение точки перехода ламинарного
пограничного слоя в турбулентный.
Бугорки шероховатости поверхности играют роль источников возникно-
вения возмущений в пограничном слое. Эти возмущения присоединяются
к тем, которые вносятся в пограничный слой из внешнего потока.
За количественную характеристику влияния одиночного элемента
(бугорка) шероховатости на возникновение перехода в следе за ним или
на положение точки перехода принимают отношение к/д% высоты к бугорка
шероховатости к толщине вытеснения δ* в точке расположения этого бугорка
на поверхности тела. В качестве оправдания выбора такой характеристики
можно привести кривую Драйдена (рис. 206), выражающую зависимость
рейнольдсова числа в точке перехода Re( = xtU J\ от относительной шеро-
ховатости /е/б|. Как видно, использование этой характеристики позволяет
объединить на одной кривой результаты опытов, относящихся к различным
абсолютным шероховатостям к. Об общности механизма влияния на положе-
ние точки перехода возмущений, ьозникающих из-за наличия отдельных

536 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
бугорков шероховатости и затем развивающихся в области следа за бугор-
ком, и существующих в самом набегающем потоке, можно судить по графику,
представленному на рис. 207 *). Из кривых этого графика следует, что при
малой относительной шероховатости k/δ* положение точки перехода опре-
деляется интенсивностью турбулентности набегающего потока ε, а при
сравнительно большой относительной шероховатости не зависит от этой
интенсивности.
В процитированном обзоре X. Л. Драйдена можно найти разнообраз-
ные экспериментальные материалы по вопросу о влиянии шероховатости по-
верхности на переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный.
„I 1 1 1 1 1—I 1—I л" ) -rJ t I ^" I ^" I .1т L
а 0,Z 0,U 0,6 0,6 1,0 О 0,2 0,4 0,6 0,6 1,0*
Ψκ &/*
Рис. 207. Рис. 208.
Экспериментальные исследования структуры пограничного слоя, выпол-
ненные на базе современных методов измерения, показали большую слож-
ность механизма перехода ламинарного режима течения в турбулентный.
Отсылая интересующихся к подробному докладу И. Тани 2), в котором собра-
ны последние достижения в этой области, отметим лишь некоторые, наиболее
своеобразные особенности рассматриваемого явления.
Прежде всего обращает на себя внимание неустойчивость плоской формы
возмущений. Если при помощи специального устройства, например колеблю-
щейся нити, натянутой вдоль размаха пластины, вызывать плоские, одина-
ковые по размаху возмущения, то они очень быстро теряют свой плоский
характер и приобретают волновое строение с периодически чередующимися
вдоль размаха вершинами и провалами в распределениях продольной (по по-
току) и поперечной (по размаху) осредненных скоростей и средней интен-
сивности пульсаций продольной скорости.
Вершинам в этих распределениях соответствует сосредоточенность завих-
ренности потока. Скоростная киносъемка отчетливо показывает возникно-
вение вихревых петель типа П-образных вихрей с распространяющимися
вдоль потока вихревыми «жгутами». Эти «свободные», совпадающие по на-
правлению с линиями тока вихри индуцируют скорости в плоскостях, нор-
мальных к направлению потока, что способствует переплетению этих вихре-
вых жгутов и еще большему усложнению структуры потока.
Общая неустойчивость потока в области перехода приводит к росту
амплитуды продольных пульсаций потока и тем самым к росту местной
интенсивности турбулентности ε. При этом, как можно судить по опытным
г) X. Л. Д ρ а й д е н, Переход ламинарного течения в турбулентное (обзорная
статья в сб. «Турбулентные течения и теплопередача», ИЛ, М., 1963).
2) I. Tani, Review of some experimental results on boundary-layer transition, Phys.
of Fluids, part II, 10, № 9, 1967, 11—16.

§ 96]
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
537
кривым Клебанова, Тидстрема и Саржента '), приведенным на рис. 208,
интенсивность ε резко возрастает с удалением от источника возмущения
(на рисунке значения ξ расстояния от источника возмущений в сантиметрах
нанесены в виде отметок на кривых).
Максимум ε с удалением от источника возмущений смещается от стен-
ки, достигая при ξ = 20,3 см положения, соответствующего двум пятым
толщины пограничного слоя. Эти кривые относятся к вершинам поперечного
к направлению потока волнообразного распределения возмущений. В долинах
^провалах) этого распределения наблюдаются возмущения очень малой
интенсивности, низкие частоты которых заставляют предполагать, что·
в этих областях долго сохраняются ламинарные режимы.
Таким образом, в пограничном слое, так же как и в течениях в трубах,
турбулентность возникает в ограниченных областях, сосуществующих
с областями ламинарного течения. Эти турбулентные «облачки» или «пятна»,
аналогичные турбулентным пробкам в потоках в трубах, распространяются
по течению в пограничном слое и образуют в переходной области явление
перемежаемости ламинарных и турбулентных режимов течения.
Наряду с этой очень характерной для переходной области перемежае-
мостью, являющейся следствием образования внутри пограничного слоя
замкнутых турбулентных областей — только что упомянутых «облачков»
или «пятен»,— вблизи внешней границы пограничного слоя наблюдается
еще другого типа перемежаемость, обусловленная взаимным проникнове-
нием сквозь границу пограничного слоя жидких объемов из сравнительно
слабо возмущенного внешнего потока в заполненную возмущениями боль-
шей амплитуды область пограничного слоя.
Следует заметить, что, вообще, о внешней границе турбулентного слоя,
так же как и о границе между вязким подслоем и турбулентным ядром,
можно говорить только как о некоторых, малых по поперечной толщине
зонах, заполненных то ламинарными, то турбулентными по своей внутрен-
ней структуре «протуберанцами», пронизывающими пограничный слой
со стороны внешнего потока и вязкого подслоя и придающими всему потоку
перемежающийся характер. Во внешней зоне—так «называемом надспое» —
происходит резкое изменение степе и турбулентности потока от значитель-
ной, по сравнению с внешним потоком величины до малой степени турбу-
лентности во внешнем потоке.
Несмотря на столь сложный механизм внутренних движении, область
пограничного, слоя, если рассматривать ее в сравнительно грубом, осредненном
виде, соответствующем данным таких общеупотребительных измерительных,
приборов, как микротрубки полного напора, соединенные со стандартньми
микроманометрами, оказывается достаточно простой.
Так, пользуясь экспериментальными профилями скоростей в сечениях
переходной области пограничного слоя, Ж. Перш ') вычислил условн ie тол-
щины δ* и δ**, а также их отношение Н. Ему удалось показать, что неза-
висимо от продольного перепада давления в пограничном слое (и даже
при переменных числах Маха) величина Η непрерывно падает от своего лами-
нарного значения (примерно 2,6) до турбулентного (1,3—1,4). На основании
обработки большого числа экспериментальных данных он установил закон
изменения безразмерной скорости в сходственных точках сечений переход-
ного слоя в зависимости от падения параметра Η и показал, что профили
скоростей в сечениях пограничного слоя в области перехода образуют одно-
параметрическое семейство с параметром Н.
Ц Цитируем по только что упомянутому обзорному докладу И. Тани.
2) J. Persh, The behaviour of the boundary layer in the region of transition from
laminar to turbulent flow, Journ. Aeron. Sci. 22, N 6, 1955, 443, 444.

■538 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
Явления в переходной области пограничного слоя на продольно обте-
каемой пластине были рассмотрены С. Дхаваном и Р. Нарасимхой г) в коли-
чественной постановке с точки зрения схемы «перемежаемости» возникнове-
ния в пограничном слое турбулентных «пятен». Коэффициент перемежае-
мости у, определение которого уже было дано в предыдущем параграфе, был
определен экспериментально при помощи обработки осциллограмм пульса-
ций скорости, замеренных малоинерционным тепловым анемометром. Ана-
литическим выражением изменения у в функции от продольной координаты х
может служить следующая экспоненциальная функция:
у = I - ех$ (-Αξ*), (Ι)
где А = const = 0,412, а ξ = (ж — xt)/K представляет безразмерную раз-
ность между продольными координатами: х — внутри переходной области,
xt — начала переходной области, λ — условна^ длина области перехода,
определяемая по криво" γ (х) в виде
λ= Ху=0>т5—Х ν=0,25
Эта длина, входящая в основное соотношение (1), является характерным
линейными масштабом области перехода.
Сравнение профилей осредненных скоростей в переходной области иР,
определенных экспериментально при π мощи трубки полного напора с тео-
ретическими ламинарными uL и турбулентными иТ, показывает, что имеется
простая связь
Щ> — (1 — Т) ui + yu%. (2)
Для средней во времени скорости и, получаемой в результате обработки
осциллограмм, соотношение это еще проще и сводится к линейному
и-={\ — у) иь + уит. (3)
Формула (2) может служить для приближенного определения коэффи-
циента перемежаемости у по показаниям трубки полного напора.
Для отношения условных толщин пограничного слоя Η = δ*/δ** было
установлено соотношение
Н-Нт + (Нь-Нт)е-*&. (4)
Изложенная только что эмпирическая теория движения жидкости в пере-
ходной области пограничного слоя — с такого рода теориями нам придется
в дальнейшем еще неоднократно встречаться — позволяет с достаточной для
практики точностью описывать количественно не только кинематическую
(профили скоростей, отношение толщин слоя), но и динамическую (местный
и полный коэффициент трения) стороны явлений. Однако при этом остается
неизвестной основная величина — абсцисса xt начала переходной области,
входящая в определение переменной ξ.
При очень малой интенсивности турбулентности г внешнего потока
можно считать, что начало области перехода совпадает с точкой потери
устойчивости ламинарного движения в пограничном слое, расчет положения
которой по графику Re*£ (/кр), показанному на рис. 198, был уже разъяс-
нен ранее.
*) S. Dhawan, R. Narasimha, SoraeJ properties of boundary layer flow
during the transition from laminar to turbulent motion, Journ. Fluid Meet 3 4 1958
418-436.

§ 96]
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
539
Ofi
0,3
0,2
0,1
О
/Ч,
""■"^
к\
^
| \
\ I
\l
1 l^t
I I I
1 1 1
six
■/Λ
sT
4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5Л 5,5
ig
5β 5,7
Существует ряд исследований влияния вводимых в жидкость твердых
примесей (мелких резиновых шариков или других «взвесей») на процесс
затягивания перехода ламинарного движения в турбулентное, в частности
смещения точки перехода в пограничном слое.
При рассмотрении турбулентного движения внутри пограничного слоя
в области, расположенной ниже по потоку, чем только что описанная область
перехода ламинарного режима движения в турбулентный, т. е. в области уже
«развитого» турбулентного движе-
ния, мы еще вернемся к более °>5v
детальному изучению отдельных
характерных зон турбулентного
пограничного слоя от ламинар-
ного «подслоя» на твердой стенке
до турбулентного «надслоя» вблизи
внешней границы слоя. Обратим-
ся к краткому обзору некоторых,
практически важных явлений (эф-
фектов), которые тесно связаны
с переходом ламинарного погра-
ничного слоя в турбулентный.
Если проанализировать кри-
вые (см., например, рис. 152)
зависимости коэффициента сопро-
тивления сх плохо обтекаемого тела (шара, кругового цилиндра, не слиш-
ком вытянутого эллипсоида) от рейнольдсова числа, то можно заметить,
что в области сравнительно больших этих чисел (порядка 2,4 ·105) наблю-
дается резкое уменьшение коэффициента сопротивления. Такое явление
получило наименование кризиса сопротивления.
Было замечено, что соответствующее критическое число Рейнольдса
FeKp сильно зависит от турбулентных характеристик набегающего потока,
от шероховатости поверхности тела, числа Маха в случае большой скорости
потока и от многих других причин. Эти параметры, как мы уже знаем, игра-
ют определяющую роль в развитии переходных явлений в пограничном слое.
Опыты главным образом над шарами и круглыми цилиндрами полностью
подтвердили это.
На рис. 209 приведены в полулогарифмических координатах кривые
сх (Re) для одного и того же шара, помещенного в аэродинамические трубы с
различной степенью турбулентности; на рисунке показаны лишь те участки
кривых сопротивления, где происходит указанное резкое падение сопротив-
ления. Разница между кривыми настолько отчетлива, что по значению ReKp
можно грубо судить об интенсивности турбулентности потока в трубе.
Чтобы уточнить определение величины ReKp> было принято полагать
Рис. 209.
ReKp = Re при
0,3.
Чем менее турбулентен поток в трубе, тем выше величина ReKp, дости-
гаемая при измерениях сопротивления шара в этой трубе. Так, кривая V
(ReKp ~ 270 000) соответствует опытам в аэродинамической трубе с интен-
сивностью турбулентности 0,5%, кривая I (ReKp ~ 125 000) — потоку
с интенсивностью турбулентности 2,5%; остальные кривые соответствуют
трубам с промежуточными значениями степени турбулентности.
Чтобы понять причину отмеченного явления резкого уменьшения сопро-
тивления шара, обратимся к рассмотрению кривых распределения давлений
по его поверхности (рис. 210). Из этих кривых следует, что уменьшение

540 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗРОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
сопротивления шара связано с коренной перестройкой всего окружающего
потока. Наблюдаемое вблизи Re = ReKp резкое возрастание максимального
разрежения, смещение вниз по потоку линий минимума давления Μ и линий
отрыва пограничного слоя S
1,0
Р-Ро
ifyvL
0,6
0А
о,г
о
-0,2
-44
-0,6
-0,8
-1,0
-1,2
-IJ
\
λ
\
1
\νλ
V
V/
Aft
V
/Re=^f 157200,0^0,471
//Re -251300, Cx 0,313
lURt =296500; 0^0,151
/KRe =424500; Ca=0,143
^f
Τ
Ум/
Ж
Μ
s
s
k
rj\
1
s/
i I
11
ft
1
1
(
II
J
O' 20° 40° 60° 80° 100° 120° 140°
Рис. 210.
160°
θ
говорит об улучшении обтека-
ния шара. Это объясняет умень-
шение коэффициента сопротив-
ления, так как при лучшем
охвате поверхности шара по-
током распределение давлений
как бы приближается к тому
идеальному (на рис. 210 пока-
занному штрихами), при кото-
ром, согласно парадоксу Да-
ламбера, сопротивление должно
равняться нулю.
Следует заметить, что ви-
зуальные наблюдения (рис. 211)
подтверждают описанную кар-
тину улучшения обтекания
шара в указанной области рей-
нольдсовых чисел. Явление это,,
получившее еще наименование
кризиса обтекания, объясняется
изменением расположения на
шаре линии перехода ламинар-
ного пограничного слоя в
турбулентный. При Re, мень-
ших 1,5-105, на поверхности
пограничного слоя, переходящего
шара происходит отрыв ламинарного
в турбулентный вне шара в оторвавшемся слое.
При возрастании рейнольдсова числа точка перехода Т, расположенная
в следе за шаром, перемещается навстречу потоку вначале к поверх-
ности шара. Как только точка Τ достигнет точки S ламинарного отрыва слоя,.
Рис. 211.
движение в оторвавшемся слое вблизи точки отрыва станет турбулентным,
перемешивание с подтекающей вдоль поверхности шара из отрывной облас-
ти жидкостью усилится, пограничный слой увлечет ее за собой, обтекание
улучшится, и точка отрыва (рис. 210) начнет смещаться вниз по потоку.
Теперь уже точка отрыва S будет соответствовать отрыву турбулентного
слоя, так как точка перехода будет находиться выше по потоку, чем точка
отрыва турбулентного пограничного слоя.

■S 96]
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
541
0,60 0,62
В дальнейшем будет доказано, что точка отрыва турбулентного погра-
ничного слоя при том же распределении скоростей во внешнем потоке всегда
расположена ниже по потоку, чем точка отрыва ламинарного слоя.
Судя по характеру кривых рис. 210, можно думать, что в точке перехода
Τ происходит местный, не получающий дальнейшего развития отрыв лами-
нарного слоя, сопровождающийся обратным прилипанием уже турбулентного
пограничного слоя к поверхности шара. Такой турбулентный пузырь (англий-
ский термин bublle) отрыва в развитом своем виде уже давно наблюдался
на лобовых участках крыловых профилей. Появление его и исчезновение
приводило к «загадочным» из-
менениям подъемной силы и
сопротивлений крыльев на
больших углах атаки, к «ги-
стерезису» коэффициента подъ-
емной силы при начальном
возрастании и последующем
убывании угла атаки и др. Одно
вз первых описаний этого яв-
ления можно найти в сборнике
монографий, вышедшем под
редакцией С. Голдстейна х)
Сущность явления возник-
новения пузыря заключается
в том, что при сравнительно
больших значениях рейнольд-
сова числа потока оторвавшийся ламинарный слой крайне неустойчив
и сразу же переходит в турбулентное состояние. При этом оторвавшаяся
от поверхности тела пристеночная граница слоя благодаря возникно-
вению интенсивного ее обмена жидкими массами с отрывной зоной, где
движение жидкости носит попятный характер, размывается и подсасывается,
прилипает к поверхности тела, образуя замкнутую отрывную зону, как
раз и являющуюся пузырем отрыва. Такой пузырь, аналогично развитому
отрыву, но значительно слабее, чем последний, искажает внешний поток,
приводит к так называемому сильному взаимодействию между пограничным
слоем и внешним безвихревым потоком.
На рис. 212 приводятся кривые равных скоростей (изотахи) вблизи тако-
го пузыря, образовавшегося за точкой минимума давления на сравнительно
толстом, восемнадцатипроцентном крыловом профиле при нулевом угле
атаки2). Опыты проводились в аэродинамической трубе низкой степени
турбулентности. Число Рейнольдса, построенное по длине хорды с, равня-
лось 1,7 -106. Границе замкнутой отрывной обласаи на рисунке соответствует
изотаха с отметкой нуль.
Аналогичные замкнутые отрывные зоны наблюдались в окрестности
передней кромки крыловых профилей при сравнительно больших углах
атаки 3) и на поверхности эллиптического цилиндра 4). Следует отметить,
что образование пузыря наблюдалось только в трубах малой турбулентности.
W 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,76
х/с
Рис. 212.
х) Современнее состояние гидродинамики вязкой жидкости, под ред. С. Голд-
стейна, т. II, § 209, ИЛ, М., 1948.
2) W. J. Bursnall, L. К. Loftin, Experimental investigation of localized
regions of laminar boundary-layer separation, NACA Techn. Note 2338, 1951; цитируем по
обзору X. Л. Д р а й д е н а в сб. «Турбулелтпые течения и теплопередача», ИЛ, М.,
1963, 29—32.
3) D. Е. G a u 11, Boundary-layer and stalling characteristics of the NACA 63—009
airfoil section, NACA Techn., Note 1894, 1949.
*) G. B. Schahauer, Air flow in boundary layer of au elliptic cylinder, NACA
Rep. 652, 1939.

542 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
Увеличение турбулентности набегающего потока приводит к исчезновению
пузыря отрыва. Можно думать, что описанное явление всегда сопровождает
кризис сопротивления, если влияние внешних возмущений мало.
Кризис сопротивления может осуществляться при рейнольдсовых чис-
лах, значительно меньших критических, если искусственно турбулизировать
пограничный слой путем введения
в него специальных изолирован-
ных шероховатостей — турбулиза-
торое. Так, например, в своих
классических опытах Прандтль
получал улучшение обтекаяия
шара и уменьшение его сопротив-
ления, помещая на поверхности
шара тонкое проволочное кольцо.
Б опытовых судостроитель-
ных бассейнах применяли такого
рода турбулизаторы, чтобы их
эффектом заменить недоступное
для бассейна увеличение рейнольд-
сова числа и тем самым при-
близить лабораторные условия
к натурным. Не всегда, конечно,
увеличение степени турбулент-
ности потока приводит к тому же
изменению сопротивления или
подъемной силы, что и увеличение
Рис. 213. рейнольдсова числа г). Это осо-
бенно относится к крыловым
профилям, вблизи лобовой точки которых развиваются явления кризиса,
подобные тем, которые имеют место на поверхности круглого цилиндра.
В частности, явлением кризиса обтекания объясняется наблюдаемый
факт резкого различия между максимальными значениями сут&х коэффи-
циента подъемной силы крыла, полученными при лабораторных исследова-
ниях в аэродинамических трубах (сравнительно малые рейнольдсовы числа)
и на самолете (большие рейнольдсовы числа). Известно, что коэффициент
подъемной силы су растет с углом атаки а до некоторого критического зна-
чения акр, при котором достигает своего максимального значения (рис. 213).
Отход су от линейной зависимости от α объясняется утолщением погранич-
ного слоя в кормовой (диффузорной части) слоя и тем самым усилением
обратного влияния пограничного слоя на внешний безвихревой поток.
Это влияние приводит к значительному искажению внешнего потока и тем
самым к нарушению теоретически предсказываемой в значительно более
широком интервале углов атаки линейности зависимости су (а).
Утолщение ламинарного пограничного слоя на лбу крылового профиля
приводит к раннему отрыву в области передней кромки, где слой ламипарен
и легко под действием обратного перепада давления отрывается. В этом слу-
чае, если наблюдение производится в малотурбулентных трубах или в натур-
ных условиях полета в малотурбулентной атмосфере, вероятно образование
пузыря отрыва, т. е. замкнутой отрывной области, которая, расширяясь
с возрастанием угла атаки, превратится в полный разомкнутый срыв потока
с поверхности крыла, приводящий к тому резкому нарушению циркуляции
х) Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Аэродинамика пограничного слоя, Гостехпздат, Л.—
М., 1941, 257—260.

§ 96]
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
543'
О
>*·
•
« >
У^р
о
β *
Размерь/ моделей
• —Ι,ΖΖ*73Ζμ
я —1,8Ь'Ю,97м
° —2,U*'W*
и падению коэффициента подъемной силы, которые показаны на рис. 213,
а иногда бывают еще гораздо более резкими.
С возрастанием числа Re при фиксированном угле атаки, в полном соот-
ветствии с только что описанным явлением кризиса, обтекание крыла улуч-
шается и появляется возможность перейти на большие углы атаки и получить
более высокие значения су, а следовательно, и сутах. При этом увеличи-
вается как само сут8,х, так и критический угол акр. Продолжая увеличивать
рейнольдсово число, можно добиться высоких значении сутлх.
Все сказанное относится, конечно, только к таким крыловым профилям,
на лобовой части которых при больших углах атаки создаются условия для
появления кризиса обтекания,
т. е. к профилям, форма носка У™ах
которых обеспечивает наличие '
ламинарного слоя на верхней
поверхности профиля и отрыв
пограничного слоя при ламинар-
ном режиме движения в нем. Тако-
вы, например, симметричные и „7
малоизогнутые профили со срав- '
нительно значительным удалением
от носка максимальной толщины
(«ламинаризованные» профили).
Существующие так называе-
мые несущие профили, имеющие
обычно значительную кривизну, о,6
не обладают этим свойством. С по-
верхности такого рода крыловых
профилей при больших углах
атаки срывается турбулентный
слой. На таких профилях возрастание рейнольдсова числа не приводит к уве-
личению критического угла атаки акр, а даже, наоборот, может привести:
к уменьшению их. Это объясняется уменьшением ламинарного участка
на верхней поверхности крыла за счет смещения вверх по потоку точки
перехода и, как следстви , утолщения турбулентного слоя, что приводит
к смещению точки отрыва турбулентно о ел я в направлении носка крыла у
т. е. к ухудшению обтекания г).
Графики, приведенные на рис. 213, подтверждают, что на профиле
NA0A-4412 имеет место рост сутлх с рейнольдсовым числом. Можно заме-
тить, что чем больше рейнольдсово число, тем позднее (по углам атаки)
начинается отклонение су от линейного закона, тем больше α р и сута%..
На рис. 214 приведен график роста сутях с рейнольдсовым числом для
крылового профиля с относительной толщиной 12,7% 2). Как показали
более поздние опыты, рост Cj/max у некоторых крыловых профилей продол-
жается до таких сравнительно больших Re, как 25 -106.
Положение точки перехода оказывает большое влияние не только на
подъемную силу, но и на сопротивление крыла. Как будет далее выяснено,
сопротивление трения поверхности при ламинарном пограничном слое зна-
чительно меньше, чем при турбулентном. В связи с этим представляется
естественным как можно дальше оттянуть вниз по потоку положение точки
перехода и увеличить относительную протяженность ламинарного участка
2-Юв
3/0"
ЫОь
5-Ю6 б-Ю6'
Re
Рис. 214.
*) См., например, П. П. Красильщиков, Влияние числа Рейнольдса и турбу-
лентности потока на подъемную силу крыла, Труды ЦАГИ, вып. 268, 1936, а также
Л. Г. Лойцянский, Аэродинамика пограничного слоя, Гостехиздат, Л.— М., 1941,.
256-262.
2) S. France, The NACA full scale wind tunnel, Techn. Rep. KACA, № 459.

544 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
пограничного слоя. Это достигают прежде всего тем, что повышают устой-
чивость ламинарного движения в пограничном слое выбором такой формы
профиля крыла, чтобы максимальная толщина профиля располагалась
на 40—60% хорды от носка крыла.
За счет оттягивания максимальной толщины увеличивают длину кон-
фузорного участка пограничного слоя, в котором, как уже ранее указы-
валось, ламинарное движение сохраняет свою устойчивость при значительно
больших местных рейнольдсовых числах Re**, чем в диффузорном. Кроме
того, подвергают тщательной полировке лобовую часть поверхности крыла,
чтобы свести к минимуму возмущения, имеющие своим источником шеро-
ховатость крыла или отдельные выступы на его поверхности в лобовом уча-
стке крыла, где пограничный слой еще относительно тонок.
Опыт показывает, что такие крылья с затянутым ламинарным погранич-
ным слоем действительно обладают весьма малым сопротивлением, но легко
теряют свое^преимущество при малейшем налете на поверхность крыла пыли,
капель дождя или даже прилипании насекомых.
В настоящее время разработаны и продолжают разрабатываться многие
другие методы уменьшения сопротивления. Применяют, например, отсос
с поверхности крыла сквозь щели или пористую поверхность воздуха, нако-
пившего возмущения при прохождении сквозь лобовую часть пограничного
•слоя. На место этого возмущенного воздуха поступает извне почти лишен-
ный возмущений в условиях спокойной атмосферы воздух, который сохра-
няет ламинарный режим движения в пограничном слое. Экономичность
такого рода «управления» пограничным слоем достигается благодаря тому,
что отсасывать приходится очень небольшие количества воздуха, соответ-
ствующие малому его расходу сквозь сечения пограничного слоя х).
§ 97. Уравнения Рейнольдса осредненного турбулентного движения
Для количественного описания развитого турбулентного движения Рей-
•нольдс 2) предложил следующий, получивший широкое применение прием.
Регистрируя во времени скорости потока в данной точке пространства, мож-
но положить
и-=и-\-и', ν = υ + ν', w = w-\-w', '](5)
где и, ν, w — действительные (актуальные) мгновенные скорости потока
в данной точке, и, υ, w — осредненные во времени скорости, а и', v', w' —
отклонения действительных скоростей от осредненных,— их называют пулъ-
сационными скоростями или, короче, пульсациями. Будем в дальнейшем пред-
полагать, что в развитом турбулентном движении пульсации малы по срав-
нению со средними скоростями потока и что величины осредненных скоростей
слабо зависят от способа осреднения. Условимся обозначать черточкой,
поставленной над величиной, среднее ее значение, определенное как обычное
интегральное среднее
t+T/2
ф(я, у, z; i)=-jr f φ (ж, у, z; τ) dx (6)
/-Γ/2
за промежуток времени Т, называемый периодом осреднения.
Будем предполагать, что для каждого рассматриваемого турбулентного
движения существует такой достаточно большой по сравнению с периодом
Ч См. Г. ГПлпхтинг, Теория пограничного слоя, перев. с ном., «Наука», М.,
19/4, а так.ке И. Гоше к. Аэродинамика больших скоростей, гл. II, § 4, ЯЛ, М., 1954.
2) О. R е у η о 1 d s. On the dynamical theory of incomoreesi ble viscous fluids and
Lhe determination of thecriterion.Phil. Trans, of the Roy. Soc.,1895 (имеется русский пере-
вод в со. «Проэлемы турбулентности», ОНТИ, М., 1936, 185 и стед )

i 97] УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ 545
турбулентных пульсаций, но малый по сравнению с характерным для осред-
ненного турбулентного движения интервалом времени (периодом колебатель-
ного процесса, временем прохождения телом своей длины или др.) постоян-
ный период осреднения Т, что сглаживание во времени (6) приводит к осред-
ненной величине, при повторном сглаживании уже не изменяющейся. Это
значит, что)
"φ = φ. (7)
Если в результате осреднения (6), проведенного в данной точке в разные
моменты времени t, будут получаться одни и те же значения φ, то такое осред-
ненное движение называется стационарным, а само турбулентное движение—
квазистационарным.
Предположение (7) эквивалентно утверждению о равенстве нулю сред-
них значений пульсаций величины φ, равных φ' = φ — φ. Действительно,
в силу линейности операции осреднения (6) и равенства (7) имеем
φ' = φ_φ = 0. (8)
В дальнейшем нам придется иметь дело исключительно с квазистацио-
нарными турбулентными движениями. В этом случае осредненное значение φ
будет функцией только координат, так что если ψ означает еще одну пульси-
рующую функцию времени и координат, то, согласно (6), получим (черта
сверху означает операцию осреднения (6), проведенную над всем выраже-
нием, стоящим под этой чертой)
φ,ψ = φ,ψ. (9)
Если турбулентное движение не квазистационарно, то равенство (9)
приходится постулировать как дополнительное свойство осреднения (6).
По определению осреднения (6) сразу следует, что среднее значение
производной от некоторой функции по координате равно производной от
среднего значения функции по той же координате
θφ _ δφ ,.ΠΛ
так как операции дифференцирования по координате и интегрирования по
времени независимы. Таким же свойством обладает и производная по вре-
мени. Действительно, по известной формуле дифференцирования интеграла
с переменными пределами получим
г
1+Υ
дц> д 1
~дГ~~~д1~Т~
'Σ
2
\ Φ (ж, У, z; x)dx
τ
4"[ψ(*. У, «5 i + -|-) —<р(ж, у, z; t—2")]=^- { η£ατ
и, следовательно,
dt dt '
35 Л. Г. Лойцянский

546 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
Пользуясь частью постулированными, частью выведенными из определе-
ния закона осреднения (6) свойствами 1), можно получить дифференциальные
уравнения осредненного движения несжимаемой жидкости. Следует лишь
предположить, как это и сделал Рейнольде, что действительное (актуальное)
движение, несмотря на всю его иррегулярность и влияние на него случай-
ных обстоятельств, связанных с предысторией потока, все же строго описы-
вается уравнениями Стокса. В этом простом, но далеко не очевидном допуще-
нии заключается основная идея общего подхода к описанию турбулентных
движений, выдвинутая Рейнольдсом. Надо заметить, что попытки создания
чисто статистической теории турбулентных движений, не опирающейся на
уравнения Стокса, не привели к сколько-нибудь существенным результатам.
Для вывода дифференциального уравнения осредненного турбулентного
движения воспользуемся уравнением в напряжениях (36) гл. II, которое
в случае отсутствия объемных сил может быть переписано в форме
P^ = pf- + p(^V)F = DivP,
а также уравнением несжимаемости жидкости
div V = 0.
Как легко заключить из тождественного преобразования (здесь и в даль-
нейшем предполагается суммирование по дважды повторяющемуся индексу
от 1 до 3)
1(ν·^ν]^(ν^)ν, = ν^ = ^Λν^)-ν^=[ΩΗ(νν)-ν^ν^
в рассматриваемом сейчас случае несжимаемой жидкости (div V = 0) преды-
дущим уравнениям можно придать следующую, будем говорить, «дивергент-
ную» форму:
p-^ = Div(P-PFF), divF = 0. (12)
Стоящий в круглых скобках тензор Ρ равен по формуле (9) гл. VIII
Ρ = — рШ + 2μ£,
а тензор-диада pVV характеризует перенос количества движения pV пото-
ком со скоростью V.
Согласно общему приему, указанному Рейнольдсом, разобьем все входя-
щие в уравнение (12) величины на их осредненные и пульсационные состав-
ляющие, соответственно обозначаемые черточкой сверху или штрихом. Будем
иметь
V=V+V, Р = Р + Р', VV = VV-i-VtV + VV' + V'V\
7=-pW + 2vJ,';P'=-p'$ + 2vJS', p = p + p', S = S + S\
Используя в уравнении (12) эту разбивку на осредненные и пульсацион-
ные части и производя после этого осреднение по ранее указанным законам,
получим следующие основные уравнения Рейнольдса:
ην — _
ρ — = Oiv(P-pVV-pV'V), divF = 0. (13)
α) Закон осреднения (6), использованный для турбулентного движения впервые Рен-
нольдсом, является простейшим из возможных законов осреднения. Несколько подробнее
вопрос об осреднении пульсирующих функций изложен во второй части курса Кочина,
Кибеля и Розе (4-е изд., Физматгиз, М., 1963, 686—691). Своеобразное изложение того
же вопроса можно найти в курсе Н.А. Слезкина, Динамика вязкой несжимаемой
жидкости, Гостехиздат, М., 1955, 438—452.

S .97] УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ 547
Сравнивая их с общими уравнениями в напряжениях (12), заключим,
что уравнения осредненного турбулентного движения (13) отличаются допол-
нительным членом — симметричным тензором второго ранга, диадой
П=-рГГ', (14)
которую можно трактовать как дополнительный, рейнолъдссв тензор турбу-
лентных напряжений, обусловленный осредневной величиной переноса пуль-
сационного количества движения pV пульсационвыми же скоростями V.
Используя для компонент тензора Π более удобные в письме обозначения ntj,
или^Яз,.*, пухм т. д., выпишем следующее табличное"представление тензора ГГ:
(пхх Zhcy nxz \
лух пуу луг I
«
/-&z
-pHV
V-pIV
— pu'v'
-pT*
— pv'w'
— pu'w'
— pv'w'
-pi?2
(15)
Тензор П обладает, очевидно, свойством симметрии, что использовано
в матричном представлении (15).
Уравнения Рейнольдса (13) в декартовых координатах (для краткости
применим обозначения координат и компонент скорости при[ помощи цифро-
вых индексов: х = хг, у — х2, z = xs; и = ντ, ν = v2, w = vs\ будут иметь
вид
dvi , — dvi 1 dp , _,- . 1 д . ~^~·\ Svt Λ .. c.
-u+v^=—p-u+^Vi+T^{-9ViV^ -^г0· (16)
Уравнения Рейнольдса (13) могут быть представлены и в любой криволи-
нейной системе координат. Удовольствуемся тем, что выпишем их в развер-
нутом виде для одной из них, наиболее распространенной, цилиндрической
системы с осредненными компонентами скорости υτ, νε, vz и пульсационными
v'r> ve, v'z. Будем иметь
гч Ι ^τ ,- д»т Ι "ε dvr , - dvz v% \ _
p \-dt+VT~d^^-T~~W^Vz~te 7)~
— -££л- /gV 1 dvr , Ι d*vr <βντ vr 2 дуг \
, id, ,2. 1 д . , ,. . д I —г-т. 1 . ,2.
+ —-frr(-rPvr) + — -fc( — pVrVe)+-te[—pvrvz)—- ( —pi>e),
р \~дГ^~1;г~дГ'Г г de^~v* dz "Г" г J"
— 1 ЁЕ-л- (?*"*■ I i ^ \ 1 .g2"e | aV ^ "ЕхА^и
— г ft +μ I ^ + г * + г! δε2 + &s гг + г2 де } + . ..у.
/ θυ2 . - dvz , ρε δ1;2 , - θΙ;2 \ _
РЫ + ^-ёГ + Т^Г + ^-ёг)-
— — "&Г + Iх ^ йг2 + г дг ~*~ r2 δε2 "г dz2 / "τ"
35*

548 ||ТУРБУЛБИТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКО ЖИДКОСТИ! [ГЛ. X
Компоненты полных ]напряжений в цилиндрических координатах будут
Ргг=—Ρ + 2μ-^ pvr , рее=— ρ + 2μ^— -^-+ — )— PVe,
Р«=—Ρ + 2μ-^~ρ»«, ^ε = μ(-^τ + —-^ — )~Р^·» J <18)
Тот же прием осреднения, как и при выводе уравнений (13), но приме-
ненный к уравнению (228) гл. VIII, позволит получить следующее уравнение
распространения тепла в турбулентном движении:
I fff . - df , - дТ , -дТ\
= Μλ%^^)+^^^9οΡ^) + ^(^%-9ον^). (19)
Здесь действительная (актуальная) температура Τ представлена суммой
осредненной температуры Τ и пульсационной Т'. Физические константы
плотности р, теплоемкости ср и теплопроводности λ предполагаются посто-
JbrlrfthlMtt -
Вектор q* с компонентами
g*=-pcpu'T\ q*=-pcpV'T', q*z=-pcpw'T' (20)
выражает турбулентный поток тепла.
Уравнение (19) te цилиндрических координатах (111.18) будет иметь вид
/ df , - df , ve df , - df \ 1 d /. df -T7F7\ .
. 1 d Ι λ df -Τ7Ζ7\ . d I . df -rzu\ ,ол\
+УЖ IT -te-WvvJ ) +_(λ — -pcpvzT ). (21)
Заменяя в уравнении (19) удельное теплосодержание (энтальпию) срТ
на концентрацию примеси некоторого вещества с,"получим уравнение турбу-
лентной диффузии этого вещества
(дс , — дс , — dc , — дс \
-sr+us+v-ei+"'-s} =
=^1-е^)+^И!--Р^)+1(рд|г-Р^), Р2)
где D — коэффициент обычной молекулярной диффузии вещества в смеси,
а вектор m = —pV'c' с компонентами
тх=: — ри'с', ту=— pW?t mz= —pw'c' (23)
является вектором турбулентного потока вещества.
Можно заметить, что уравнение (22) отличается от (19) заменой срТ
на с и λ — на pD; по такому же правилу получим из (21) уравнение диф-
фузии в цилиндрических координатах. В современных теоретических иссле-
дованиях по турбулентным движениям и турбулентному тепломассообмену
фигурирует также уравнение переноса удельной (отнесенной к единице
массы жидкости) кинетической энергии пульсационного движения

$ 97Г УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ 549
Положим, как и ранее, в основу вывода уравнение актуального движе-
ния (36) гл. II
P^- + 9(V-V)V = OivP,
которое, приняв V = V -\- V, Ρ = Ρ -|- Ρ\ можно переписать в форме
Ρ IF + ΡЧг + Ρ [<F+ V')' V](^+ V) = Div Ρ + Div P';
умножим обе его части скалярно ва V и произведем после этого осреднение
по принятым ранее заковам. Получим после простых преобразований сле-
дующую дивергентную форму ураенения переноса кинетической гнергш
пульсаций:
ijE. + div(F£ + -g-V'V' + — p'V'~ 2vV'Sr) = — Π·5 — 2vS'\ (25)
Уравнение (25) можво переписать в коордиватвсй форме, если раскрыть Ε
по (24), Π по (15) и вспсмвить определение тензора скоростей деформации.
Будем иметь, опуская зваки суммирования,
д (vhvk\, д Г- «У* , .IV' ,Vk\
(dv. dv. \-i яГ„ /dv. dv, \ dv.
Левая часть уравневня (25) представляет сумму локального изменения
со временем осредневвой удельной кинетической энергии Ε в данной точке
и дивергенции ссредненного потека полной энергии
1
aF = VE + ~V'V'-{-—p'V' — 2vV'S'. (27)
Правая часть уравнения (25) представляет разность двух удельных мощ-
ностей: 1) затрачиваемой осредневвым потоком на обра зование, или, как
иногда говорят, порождение (генерацию) турбулентных напряжений,
С = 1п.5 = 1цг;% (28)
и 2) диссипированной в тепло благодаря влиянию вязкости на пульсацион-
ное движение (§ 84)
iV„„c = 2v5'2 = 2v4^·. (29)
Уравнение (25) может быть переписано в форме
^.+ divF = G-iV„HC. (30)
Умножая обе части этого уравнения на элемент массы и выполняя инте-
грирование по некоторому конечному объему τ, ограниченному поверхностью
σ, получим теорему об изменении кинетической энергии турбулентных пуль-
саций в данном объеме жидкости «в форме Эйлера» (гл. II)
-£■ \ pEdx+ j pFn da= j pGdx— j pNmc dx.
τ σ τ τ
Заметим, что последний член в правей части этого уравневия, согласно
(29), существенно отрицателен, т. е. всегда представляет «потерю» механиче-
ской энергии турбулентного движения, ее непосредствеввый переход в тепло.

55(у турбулентные движения несжимаемой вязкой жидкости [гл. х
Отсюда следует, что кинетическая энергия пульсационного движения в дан-
ном объеме может поддерживаться только за счет притока пульсационной
энергии извне (второй член в левой части уравнения) и «порождения» ее
внутри объема, благодаря осредненному деформационному движению (пер-
вый член в правой части уравнения).
В частном случае турбулентности, сосредоточенной в объеме жидкости,
окруженном нетурбулентным потоком, поддержание турбулентных пульса-
ций возможно только за счет «порождения» ее внутри объема.
Не останавливаясь на более подробном анализе уравнения пульсацион-
ной энергии (25) *), обратим внимание на наличие в уравнении (25), кроме
рейнольдсовых напряжений, новых неизвестных: осредненных двойных
произведений пульсаций скорости и давления, тройных произведений пуль-
саций скорости, произведений пульсаций на пульсационный тензор ско-
ростей деформаций и квадрата этого тензора.
Естественно, уже давно встал вопрос о необходимости введения каких-
либо дополнительных допущений или гипотез, не связанных с самими урав-
нениями осредненного турбулентного движения или уравнениями Стокса
действительного движения вязкой жидкости. Такие допущения, которые
в конечном счете позволили с достаточной для практики точностью решить
проблему сопротивления и турбулентного тепломассопереноса для некоторых
простейших случаев движения, образовали специальную область теории тур-
булентности, получившую наименование полу эмпирической теории турбу-
лентности. Само название этой теории показывает, что лежащие в основе
ее допущения появились как обобщение накопленного экспериментального
материала и содержат в количественных выражениях вводимых закономер-
ностей некоторое число эмпирических констант.
Последующее содержание главы почти целиком посвящено изложению
и применениям современных полуэмпирических теорий турбулентности.
Что же касается существующих более строгих, но, к сожалению, еще далеких
от технических применений статистических теорий, то мы отсылаем
интересующихся к только что цитированным монографиям А. С. Монина
и А. М. Яглома, а также И. О. Хинце.
§ 98. Явления переноса в турбулентном потоке. Полуэмпирические
теории турбулентного переноса
Выделение из общего турбулентного движения некоторого, сравнительно
простого осредненного движения не меняет существа тех физических про-
цессов, которые в действительности происходят в турбулентных движениях.
Линии тока осредненного движения, непроницаемые для этого условно вво-
димого движения, проницаемы для пульсационного движения, которое пере-
носит из слоя в слой сквозь линии тока осредненного движения количество
движения, тепло, вещество и другие виды физических субстанций. Этот пере-
нос, аналогично тому, как это имеет место в случае молекулярного переноса
в ламинарных движениях, определяет турбулентное трение между слоями
в осреднанном движении, тепломассоперенос между ними и другие разнооб-
разные явления переноса.
Отличие от ламинарного (молекулярного) переноса здесь в том, что носи-
телями субстанции в турбулентном переносе являются не сравнительно
ничтожные по массе отдельные молекулы, а конечные объемы жидкости, как
1) По этому поводу рекомендуем для ознакомления обзорную статью· ОМ Phil-
lips, Schear-flovv turbulence, Ann. Rev. of Fluid Mech. 1, 1969, 245—263 Palo Alto Ca-
ll/0r?AcOUSAAa Т?КЖе моиогРаФии: И. О. Хинце, Турбулентность, § 1ЛЗ, Физматгиз,
Μ., 1963; А. С. Μ он иа, А. М. Я г л о м, Статистическая гидромеханика, ч. I, § 6, пп.
6.1 и 6.2, «Наука», М., 1965.

j 38]
ЯВЛЕНИЯ ПЕРКНОСА В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
551
///////////////////////////β//////////.
—з^С"
X
Рис. 215.
иногда говорят, «моли». В соответствии с этим и сами процессы турбулентного
переноса называют «молярными», в отличие от «молекулярных» процессов
переноса в ламинарных движениях.
С этой точки зрения прием выделения осредненного движения можно
представить себе так. Действительное турбулентное движение с характер-
ными для него извилистыми, хаотически переплетающимися линиями тока
и траекториями, заменяется некоторым упорядоченным слоистым (но не
будем говорить в этом случае ламинарным) движением. Такую замену можно
выразить принятым в метеороло-
гических применениях теории №
турбулентности термином стра-
тификация (от латинского слова
stratus — слой). Стратификация
может производиться по различ-
ным характеристикам потоков:
скорости, плотности, температуре
и др. В этом приеме имеется,
конечно, некоторый произвол,
обычно корректируемый интуи-
цией исследователя.
Рассматривая, например, уста-
новившееся осредненное турбу-
лентное движение в плоской трубе (рис. 215), представляют себе линии тока
осредненного движения в виде прямых, параллельных оси трубы. Это — стра-
тификация по скорости. При установившемся движении во всех сечениях трубы
имеет место одинаковый профиль осред! енных скоростей и (у). Форма про-
филя зависит от свойств турбулентного движения и будет в дальнейшем
определена. Линии тока пульсационного движения пересекают линии тока
осредненного движения, проникают из одного слоя осредненного движения
в другой и создают при этом перемешивание жидкости сквозь площадки,
расположенные вдоль линий тока осредненного движения.
Такого рода перемешивание — его называют турбулентным или моляр-
ным перемешиванием — сопровождается переносом сквозь границу между
слоями количества движения, энергии и других механических или термо-
динамических параметров осредненного движения жидкости, а также заклю-
ченных в жидкости примесей (например, дыма или пыли в воздухе, ила или
песка в воде и т. п.).
Перенос количества движения создает турбулентное трение между слоя-
ми, перенос тепла обусловливает турбулентную теплопроводность, перенос
примесей — турбулентную диффузию этих примесей. Механизм турбулент-
ного перемешивания одинаков как для трения, так и для теплопроводности
или диффузии; разница заключается лишь в особых свойствах переносимой
пулъсационным движением субстанции — количества движения, тепла или
примеси.
Выведем сначала общую формулу турбулентного трения в простейшем
случае установившегося плоского осредненного движения, представленного
на рис. 215. Рассмотрим элементарную площадку do = dx-1, параллельную
линии тока осредненного движения, находящейся на расстоянии у от нижней
стенки трубы. Через эту площадку проходят линии тока пульсационного
движения и переносят количества движения смежных слоев, расположенных
как сверху, так и снизу от площадки, на некотором расстоянии Г/2, причем
скоростью переноса служит поперечная к осредненному потоку пульсацион-
ная скорость ν'.
Касательное напряжение турбулентного трения пху = пух для крат-
кости обозначим просто τ и определим как среднюю во времени проекцию

552 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
на ось Ох отнесенного к единице площади переноса количества осредненного
турбулентного движения через площадку, расположенную вдоль линии тока.
Понимая под xdo силу трения, приложенную от верхнего слоя к нижнему,
будем считать количество движения, прошедшее из верхнего слоя в нижний,
приобретенным, т. е. положительным, а количество движения, перенесенное
из нижнего слоя в верхний, потерянным, т. е. отрицательным. Тогда, обо-
значая чертой сверху среднюю во времени, найдем
τ da = pi/ [и [у-\-—}—и (у—2r)]do
или, заменяя приближенно
— / , V \ —, ч , Г du
u(y±T)=u(y)±T_
и произведя очевидные сокращения, получим
—тут du . du du ,».,
Величина
pv4' = A (32)
выражает коэффициент турбулентного перемешивания (обмена) или, по
аналогии с молекулярной вязкостью, динамический коэффициент турбулент-
ной «-вязкости», а его отношение к плотности
е= —= р? (33)
— кинематический коэффициент турбулентной «вязкости».
Выделение коэффициента турбулентного перемешивания А в формуле
(31) для касательного напряжения турбулентного трения было впервые произ-
ведено французским ученым Ж. Буссинеком *); в связи с этим формуле (31)
можно приписать название формулы Буссинека. Если в рассматриваемом
частном случае движения в трубе предположить, что А есть некоторая
постоянная по сечению трубы величина, и, подсчитав сопротивление трубы,
подобно тому как это было сделано ранее в случае ламинарного движения,
непосредственно измерить действительное сопротивление и сравнить резуль-
таты между собой, то полученная таким образом средняя величина А окажет-
ся на много порядков превосходящей величину коэффициента молекулярной
вязкости μ.
Измерения показывают, что величина А, в отличие от μ, не является
характерной постоянной жидкости. Коэффициент А резко меняется по сече-
нию трубы от очень малых значений вблизи стенки трубы до некоторого
максимума примерно на расстоянии полурадиуса трубы от стенки и затем
вновь убывает до некоторого минимума на оси трубы.
На рис. 216 приведено полученное экспериментально распределение
в пристеночной области отношения — в функции от безразмерной, нор-
М1
мальнои к стенке координаты —=, где у* = |/ —, а τ№ — напряжение
трения на стенке. Показанные на рис. 216 экспериментальные точки: кружки
и крестики соответствуют опытным данным Дж. Лауфера в трубах и Г. Шу-
бауэра в пограничном слое 2).
г) J. Boussinesq, Essai sur la théorie des eaux courantes, Mémoires présentées par
diverses savants â l'Acad. d. Sei., Paris, 23, 1877.
s) И. O. X и h ц е, Турбулентность, Физматгиз, M., 1963, 607.

* ЗВ)
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
553
В дальнейшем будет показано, что значения величины —, не превы-
V
шающие примерно числа 12, соответствуют тонкой пристеночной области
вязкого подслоя. Вне вязкого подслоя, в
так называемом турбулентном ядре течения,
наоборот, турбулентное трение превосхо-
дит обычное вязкое. Как видно из рис. 216,
отношение — быстро растет, достигая значе-
ний нескольких десятков уже на расстояниях
от стенки, равных 5—6 толщинам вязкого
подслоя. Это обстоятельство позволяет заклю-
чить о возможности пренебрежения членом,
выражающим в уравнении (16) вязкое трение,
по сравнению с турбулентным трением в уда-
лении от твердой поверхности.
Рассматривая простейший случай плос-
кого осредненного движения с линиями тока,
параллельными оси Ох, и осредненпой ско-
ростью и, зависящей только от у, можно, согласно (31), написать выраже-
ние полного касательного напряжения трения в виде
Рис. 216.
ρΧυ = (μ + Α)^.
(34)
В непосредственной близости к стенке трубы слагаемое μ превосходит А,
причем на самой стенке А = 0, и напряжение трения совпадает с принятым
в теории ламинарного движения выражением
du
(du \
-dj)v=o'
(35)
Наоборот, в удалении от твердой стенки μ значительно меньше 4, иим
можно пренебречь, пользуясь формулой (31).
Оговоримся, что высказанное положение совсем не означает воз-
можности вообще пренебрегать вязкостью жидкости в турбулентных про-
- du
цессах; речь идет лишь о пренебрежении членами вида μ -з— по сравнению
с A-j—. Влияние же вязкости на внутренние процессы (затухание и зарож-
дение возмущений, нагрев потока и др.) сохраняет свое важное значение
в любом месте турбулентного потока.
Формула Буссинека (31) относится к числу локальных, определяющих
турбулентную часть напряжения трения в зависимости от неоднородности
поля осредненных скоростей вблизи данной точки потока. В настоящее вре-
мя взамен такого рода локальных законов, включая сюда и турбулентные
аналоги законов Фурье и Фика, выдвигаются релаксационные подходы *),
учитывающие «эффект памяти» в турбулентных потоках, существенно ска-
зывающийся при наличии резких неоднородностей в распределениях скоро-
стей («следы» за плохо обтекаемыми телами) или давлений (падающая на
поверхность ударная волна).
На современном этапе своего развития динамика турбулентного движе-
ния является одним из наиболее эмпирических разделов теоретической
1) Среди работ, развивающих эти идеи, можно указать следуюп.яе две наиболее
яркие из них: J. О. Η i n z e, Gedaechtniseffekte in der Turbulenz, Afdeling der Werk-
tuigbomikunde, Wthd N 75, Sept. 1975. Techn. Hogeschool Debit University of Technology,.
Holland; P. Τ. Κ. Β υ i 11 j e s, Memory effects in turbulent flows, ibid, Wthd N 97
April 1977.

554 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
гидроаэродинамики. Актуальность практических приложений теории турбу-
лентного движения, относящихся к самым разнообразным разделам совре-
менной техники, заставляет исследователя не пренебрегать и эмпирическими
путями.
Прандтль х) придал величине Г, входящей в формулу (32), физический
смысл, аналогичный длине свободного пути пробега молекулы в теории моле-
кулярного обмена. Он допустил, что, подобно молекулярному обмену, при
турбулентном обмене конечный объем жидкости, выйдя из слоя, находяще-
гося на некотором расстоянии от данного, сохраняет свое осредненное коли-
чество движения, пока не достигнет рассматриваемого слоя, и только здесь
смешивается с окружающей жидкостью, отдавая ей всю разницу количеств
движения. Расстояние от слоя, откуда объем вышел, до слоя, где произошло
смешение, Прандтль назвал путем смешения (Mischungsweg), отчего и вся
теория получила наименование теории пути смешения.
Согласно воззрениям Прандтля, нормальная к линиям тока осредненного
движения пульсация скорости должна быть пропорциональна разности ско-
ростей между слоями (со — знак пропорциональности)
υ'^1'%^. (36)
dy
Подставляя это выражение в формулу (31), производя осреднение и включая
коэффициент пропорциональности в новую величину I, получим формулу
Прандтля
которую, желая подчеркнуть знак величины τ, иногда переписывают в форме
Р22(-
■Aw-*
du
dy
dy
du
dy
(38)
Входящую в формулы (37) и (38) величину I, собственно говоря, только
пропорциональную ранее введенному пути смешения /', называют также
путем смешения, считая коэффициент пропорциональности входящим в ее
определение. В настоящее время неизвестной величине I уже не придают
обязательный смысл пути смешения, а считается, что эта величина характе-
ризует геометрическую структуру турбулентности потока, средний размер
участвующих в турбулентном переносе (перемешивании) жидких масс или,
иначе говоря, масштаб турбулентности.
Заметим еще раз, что при рассмотрении механизма турбулентного пере-
носа возможны два различных подхода. Первый — дифференциальный,
или локальный подход, утверждающий, что турбулентное перемешивание
на линии тока, находящейся на расстоянии у от стенки, полностью опре-
деляется физическими константами жидкости: плотностью р, вязкостью
μ и распределением осредненной скорости и (у) вблизи границы слоя, т. е.
совокупностью значений производных du/dy, d2uldy2, . . . Сама скорость
и(у) в эту совокупность не входит, так как, связывая с жидкой частицей, пере-
мещающейся вдоль границы слоев с постоянной скоростью и (у) (движение
установившееся!), поступательно движущуюся систему координат, можем
утверждать, что, согласно классическому принципу Галилея, все динами-
ческие процессы по отношению к этой инерциальной системе отсчета должны
*) L. Ρ г а> d 11, Untersuchungen zur ausgebildete Turbulenz, Zeitschr. f. angew.
Math. u. Mech. 5, 1925 или статью того же автора «Результаты работ последнего времени
но изучению турбулентности», помещенную в русском переводе в сб. «Проблемы турбулент-
ности», ОНТИ, М., 1936, 14—16.

ς 98]
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
555
протекать_одинаково, какова бы ни была скорость поступательного движения
системы и (у).
Второй, интегральный подход связывает процессы турбулентного пере-
носа с состоянием потока в целом, с процессами, происходящими в удалении
от данного слоя. Наибольшее распространение получило дифференциаль-
ное направление, которое и легло в основу современных полуэмпириче-
ских теорий.
Покажем, что формула Прандтля (37) может быть легко выведена из сооб-
ражений размерности (имеются сведения, что сам Прандтль вначале так ее
и выводил), если наряду с допущением о дифдЗеренциальности механизма
турбулентного перемешивания, сделать еще второе, ранее оправданное допу
щение о том, что уже в небольшом удалении от твердой стенки можно прене-
брегать обычной молекулярной вязкостью по сравнению с турбулентной
могчрной вязкостью. Тогда коэффициент турбулентной вязкости А должен
быть функцией от величин р, du/dy, d2u/dyz, . . .
Как обычно в теории размерности, примем, что А может быть представ-
лен одночленной степенной зависимостью (с/э — знак пропорциональности,
коэффициент пропорциональности безразмерен)
А оо р° (du/dy)0 {dhildy2)0 ...
Попытаемся удовольствоваться сначала зависимостью только от плот-
ности ρ и первой производной от скорости du/dy, положив при этом
А оэ ра (du/dy)b. (39)
Замечая, что, например, в физической системе размерностей масса -
длина — время (М, L, Т) будет
[p] = [ML-3], [du/dy] = [П
убедимся, что из равенства (39) при сравнении показателей степеней при
М, L и Τ вытекает не ыполнимая система равенств
а = 1, За = 1, 6 = 1,
т. е. формула вида (39) физически невозможна. Дополняя ее множителем,
содержащим некоторую степень длины, т. е. полагая
А оэ palm {du/dy)\ [Л = Ш, (40)
получим, приравнивая показатели степеней при М, L и Т, систему урав-
нений
а — 1, —1 — —За + тп, 6 = 1,
которая имеет единственное решение
а = 1, m = 2. 6 = 1,
что, согласно (39), приводит к формуле (коэффициент пропорциональности
включаем в определение I)
совпадающей с формулой Прандтля (37).

556 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
Примем теперь во вниманче роль второй производной cPu/dy2, для чего*
положим
Аыра {duldyf (dhi/dyz)c. (41;
В этом случае нет необходимости дополнительно привлекать величину I,
так как отношение (du/dy)/(d2u/dy2) имеет, очевидно, размерность длины
и, следовательно, должно быть
, __ к (du/dy) # ., 2)
~~ (dtu/dy*) '
здесь κ — некоторая безразмерная константа, а знак в правой части выбрав
так, чтобы вблизи твердой стенки, где duldy >> 0, d^uldy2 < 0, величина I
была положительной; подставляя величину I из формулы (42) в (37), получим
U-x^JS^L, г = н*р-<€Щ~ (43)
(dhi/dy2)2 (d?u/dy2)2
Формулы (42) и (43) были из других, значительно более сложных сообра-
жений выведены впервые Карманом 1).
Формулы Кармана (42) и (43) типичны для дифференциального подхода
к изучению турбулентных движений. Формула Прандтля (37) в этом смысле
менее типична, так как остающаяся неизвестной величина пути смешения I
оставляет открытой возможность применения к ее определению как диффе-
ренциального, так и интегрального подхода.
При рассмотрении турбулентных потоков в реальных жидкостях и га-
зах, наряду с переносом количества движения (импульса), часто приходится
иметь одновременно дело с переносом тепла и вещества. Практически интерес-
ные задачи тепломассопереноса в турбулентных потоках обычно допускают
простую стратификацию по температуре и концентрации, совпадающую со
стратификацией по скорости. Пользуясь идеей Буссинека о придании
формуле турбулентного трения того же вида, что и «ламинарный» закон
Ньютона, можно и турбулентным потокам тепла и вещества придать вид,
формально обобщающий извьстные уже нам по предыдущим главам законы
Фурье и Фиш.
Обозначим соответственно через Ατ, Agn Am коэффициенты турбулент-
ного переноса импульса (количества движения), тепла и концентрации при-
меси. Тогда будем иметь следующие выражения для касательного напряже-
ния трения τ, потока тепла q и потока вещества т
x=—pu'v'*=Ax-^, g = pcpv'T'= —CpAg-^-, m = pVc' = — Ат-щ · (44)
Вместо коэффициентов Ατ, Aq, Am иногда предпочитают иметь дело
с отношениями их к плотности среды
* = ·£. ε9 = Α, 8m = -^n. (45)
Как это непосредственно следует из правых частей (13), (19) и (22), пол-
ный перенос импульса, тепла и вещества может быть представлен как сумма
соответствующих молекулярного (ламинарного) и молярного^(турбулентного)
г) Th. Кarman, Mechanische Ähnlichkeit und Turbulenz, Nachr. d. Gesellsch.
d. Wissen, zu Göttingen, Math. Phys. Kl., 1930 (имеется русский перевод в ранее цитиро-
ванном сб. «Проблемы турбулентности», ОБТИ, М-, 1936, 271—286).

I 98] ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ 557
переносов
du . , ... da , . du
τπ = μ-^ + τ = (μ + Α)-^-=(μ + ρετ)-^-1
?π = — λ -^ + q = — (λ + cpAg) -^ = - (λ + рср89) -^-,
mn=—pD-^- + m^—{pD+Ar^~ = -~(pD + pem) -^-.
(46)
Можно сказать, что ламинарным коэффициентам переноса — коэффи-
циентам вязкости μ, теплопроводности λ и диффузии р£> — соответствуют
коэффициенты турбулентной вязкости Ах, турбулентной теплопроводно-
■сти Aq и турбулентной диффузии Ат.
В основе общей теории турбулентного переноса лежит представление
о том, что одни и те же объемы жидкости или газа, участвуя в пульсационном
движении, одновременно переносят количество движения, тепло и вещество.
При этом, казалось бы, коэффициенты переноса Ах, Aq и Ат должны быть
равны между собой. И это действительно было бы так, если бы переносимая
субстанция (количество движения, тепло, примесь вещества) не взаимодей-
ствовала с окружающей средой, вела себя пассивно в процессе переноса.
Но на самом деле это не так.
Если представить себе, что на некотором пути смешения 1'х, как этого
требует теория Прандтля, количество движения сохраняется, то отсюда еще
не следует, что на том же пути 1'х будут сохраняться и количества тепла
и вещества, заключающиеся в переносящем их жидком объеме. Естествен-
нее предполагать, что для тепла имеется свой путь смешения l'q, а для
вещества также свой путь смешения 1'т.
По изложенной в настоящем параграфе теории смешения можно пред-
полагать, что, согласно формуле (31) для переноса импульса и аналогичным
соотношениям для переноса тепла и вещества, будут справедливы равенства
Ax = pVTx~, Ag = pv'lg, Am = pv%l, (47)
а согласно основной связи (36) и такие
. 7^2 du . у ,, du . „ у du
Ax=ptT -щ-, Aq = piT ig -щ-, Am~plxLm-£-.
Введем обозначения:
.2
7"° /2 у ]· 12 у у _ /2
ьх — 'η Ι,τ£'5 — "-gi LTLm— Lrn
и перепишем равенства (47) в форме
Величины lx, lq и lm можно интерпретировать как пути смешения соот-
ветственно для процессов турбулентного переноса количества движения
(импульса), тепла и вещества (примеси).
Таким образом, различие в коэффициентах переноса формально сводится
к различию в путях смешения, физически объяснимому специфическими
особенностями явлений молекулярного (динамического, теплового и диффу-
зионного) взаимодействия «носителя» со средой, относительно которой он
перемещается в пульсационном движении.
Подобно тому как в случае ламинарного движения связь между молеку-
лярными процессами переноса импульса, тепла и вещества количественно
характеризуется числами (критериями) Прандтля и Шмидта
rr— λ , ъс- D -rrd,

558 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
точно так же и в случае турбулентного движения вводят естественные анало-
ги этих критериев — турбулентные числа Прандтля и Шмидта
Рп = ТХ- = -Т- = Т-: Sc,~£-=-b-. (49>
Конечно, эти турбулентные критерии принципиально отличаются от
своих ламинарных прототипов прежде всего тем, что они зависят от формы
движения, а не только от физических постоянных среды. Более того, харак-
теризуя соотношения между молярными (конечными объемами) переносами,
на много порядков превосходящими молекулярные переносы, турбулентные
числа Прандтля и Шмидта лишь слабо зависят от своих молекулярных зна-
чений. Если, скажем, числа Прандтля (молекулярные) для вязких масел
и жидких металлов разнятся, как мы уже знаем, в миллионы раз, то турбу-
лентные числа Прандтля в подобных движениях столь физически друг от
друга отличающихся сред будут близки друг к другу.
Как уже упоминалось, при полной пассивности переносимой субстанции
коэффициенты переноса должны быть равны между собой, а следовательно,
по (49) турбулентные числа Прандтля и Шмидта равны единице. На самом
деле, переносимая субстанция не полностью пассивна, а имеет место некото-
рая, сравнительно небольшая разница в активности тепломассопереноса по
сравнению с переносом импульса (трением).
Это приводит к тому, что турбулентные числа Прандтля и Шмидта
не слишком сильно отличаются от единицы то в одну, то в другую сторону.
Существует обширная литература по экспериментальному определению
турбулентного числа Прандтля, особенно для такого «крайнего» случая, как
турбулентные движения жидких металлов, в которых молекулярная тепло-
проводность очень велика по сравнению с вязкостью (числа Прандтля в лами-
нарном движении имеют порядок 10_3—10~4). Однако и в этих исследованиях
величина турбулентного числа Прандтля оказывается близкой к единице,
оставаясь в пределах 0,5 < Рп <с 2 *).
К сожалению, результаты экспериментальных работ по определению
средних величин турбулентного числа Прандтля из-за многих усложняющих
обстоятельств (определение производных от скоростей и температур, задан-
ных неточными экспериментальными кривыми, загрязненность поверхностей
и др.) мало точны, а иногда даже противоречивы. Так, например, по опытам
Людвига (1956) 2) Ρ г* возрастает от стенки к оси трубы, а по опытам Сляй-
хера (1957) 3), наоборот, убывает. Теоретическая сторона этого вопроса
плохо поддается изучению даже в полуэмпирической постановке. Некоторые
шаги в этом направлении все же сделаны как в Советском Союзе 4), так
и за рубежом 5).
Простейшим и практически часто достаточным является допущение о пас-
сивности переносимой субстанции и, следовательно, о равенстве чисел Рг/
и Sc( единице. Это допущение с успехом использовалось в исследованиях
теплоотдачи со стенок труб и в других случаях пристеночной турбулентностит
*) Обзор исследовании этого направления можно найти в монографии: С. С. К у-
тателадзе, В. М. Боригланский, И. И. Новиков и О. С. Федын-
с к и и, Жидкометаллические теплоносители, Атомиздат, М., 1967.
2) Н. L u d w i e g, Bestimmung des Verhaltnisses der Austauscbkoeffizienten fur
Warme und Impuls bei turbulenten Grenzsehiehten, Zeitsehr. f. Flugwiss. 4, H. 1/2, 1956.
3) C. S 1 e i с b e r, Experimental velocity and temperature profiles for air in turbulent
pipe flow, Paper ASME, № 57-HT-9, 1957.
4)K. Д. Воскресенский и Е. С. Турилина, Сб. «Теплопередача и
тепловое моделирование», Изд-во АН СССР, М., 1958, 87.
6) О. Е. D w у е г, Eddy transport in liquid-metal heat transfer, Amer. Inst. Chem.
Fnenr. Journal 9, № 2. 1963, 261—268.

§ 98]
ЯЬЛЕИПЯ ПЕРЕНОСА В Т} FEJJIEHTHOM ПОТОКЕ
559
но оказалось непригодным для движений в условиях свободной турбулент-
ности (струи, следы за телами).
Среди классических результатов в этой области прежде всего надо упо-
мянуть об аналогии Рейнольдса '), устанавливающей простую связь между
трением и теплопереносом в турбулентном- движении при равных единице
ламинарном и турбулентном числах Лрандтля, а кроме того, при отсут
ствии продольного перепада давления в потоке.
В этих условиях (Рг = μορ/λ = 1, Pri = ετ/εν = 1) уравнения плоского
пограничного слоя и теплопереноса в осредненных величинах, согласно (16)
и (19) и принятым обозначениям (44) и (45), будут иметь вид
- дй , - ой д Г . , , дй ] - дТ . - дТ д Г. , . дТ Π /C-m
а граничные условия, применительно к пластине, расположенной вдоль
оси Ох,
й=у = 0, Т=Ти при у = 0, 1
u^Uoc, Т=Тоо при г/=оо, J
где Т,р — температура поверхности, TOo — температура вдали от поверх-
ности.
Рассматривая систему уравнений (50) и граничных условий (51), убедим-
ся, что второму уравнению можно удовлетворить, положив
f~Tw и ^
1 оо I w U сю
а это гыражает тот факт, что распределения скоростей и перепадов температур
в сечениях потока, нормальных к твердой стенке, подобны между собой.
Дифференцируя обе части равенства (52) по у и положив затем у = О,
получим
Uсо \ &у )у=о~ Тсо — Ти, \ ду )и О*
Вводя в это равенство напряжение трения Тц, = μ (·=-)_ и поток
тепла qw = —λ (дТ/ду)у=о на поверхности тела, найдем соотношение
Qw
pt/·, pepUoopw-Tco)
(53)
левая и правая части которого представляют безразмерные трение и поток
тепла, выраженные в форме: слева — половина локального коэффициента
трения, т. е. 1/ас/, справа — в виде числа Стэнтона St, которое, желая под-
черкнуть входящие в него в качестве характерных величин t/TO, ΤΧ, обо-
значим через Stoo. Выражение (53) или то же выражение, переписанное в виде
4-c/=St», (54)
представляют «аналогию Рейнольдса» для случая потока вдоль твердой
поверхности при отсутствии продольного перепада давления или при возмож-
ности им пренебречь. Так, например, поступают при рассмотрении устано-
вившегося турбулентного движения жидкости в плоской или круглой цилин-
дрической трубе. В этом случае предпочитают вместо U& и Τто, рассматривае-
мых соответственно как скорость и температура на оси трубы, вводить
1) О. Reynolds, On the extent and action of the heating surface for steam boilers,
Proceed, of the Manchester Literary and Philosophical Society 14, 1874.

560 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
средние расходные скорости иср и температуру Тср, а вместо коэффициента
сопротивления трения Cf пользоваться коэффициентом сопротивления тру-
бы λ, входящим в известную уже по предыдущему (§ 78) формулу сопро-
тивления
Δ/3==λ_.____
Замечая, что, как и в случае пуазейлева движения,
tw = Ар, если L = -r d,
найдем
-^ = 4 (55)
Р"ср 8 V
Определяя по (52) указанные средние величины по сечению трубы,
получим
«ср Tw — ТСр „
7Г~ = τ -Τ ' (5б)
после чего, переписав (53) в форме
Тш / "ср \ 2 q^o гш — Уср "ср
pulv \ Uco I ~ pcpucp(Tw-Tcp) Tw Γ», £/то
и используя (56), придем к аналогии Рейнольдса для трубы в форме
"8= pcpucp(Tw-Tcp)=St (57)
Здесь St обозначает число Стэнтона, построенное по средним величинам
иср и ^ср·
Аналогия Рейнольдса была в дальнейшем расширена на более общие
случаи теплопереноса в турбулентных потоках *). В частности, обобщение ее
на случай числа Прандтля Рг, не равного единице, будет дано в § 102.
§ 99. «Свободная» турбулентность. Затопленные струи. Дальний след
Переходя к применениям полуэмпирических методов для расчета турбу-
лентных потоков, выделим особо два класса движений: 1) свободные, происхо-
дящие вдалеке от твердых поверхностей и подчиняющиеся закономерностям
так называемой свободной турбулентности, и 2) пристенные, в отличие
■от предыдущих развивающиеся вблизи твердых поверхностей и описываемые
закономерностями пристеночной турбулентности.
К первому классу относятся всевозможные случаи распространения
турбулентных струй в неподвижной жидкости и в спутных потоках, образо-
вания следа за телом и др.
Особенностью свободной турбулентности является отсутствие в движе-
ниях этого класса взаимодействия молекулярных и молярных процессов
переноса. В этих случаях приходится иметь дело с чисто турбулентными
движениями и только молярными процессами переноса, что значительно
упрощает расчет. Наиболее простыми в этом случае оказываются и приемы
задания коэффициентов переноса и пути смешения.
Отметим еще, что при исследовании свободной турбулентности прихо-
дится пользоваться методами, основанными как на дифференциальном, так
и интегральном подходах.
J) Обзор работ этого направления можно найти, например, в сборнике «Современное
состояние динамики вязкой жидкости», т. II, гл. XIV, §§ 279, 280, ИЛ, М., 1948.

§ 99]
«СВОБОДНАЯ» ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
561
Практическое значение теории турбулентных струй в современной тех-
нике (реактивные и ракетные двигатели, камеры горения парогенераторов,
отопительные и вентиляционные системы, аппараты химических производств
и др.) настолько велико, что эта теория
давно стала самостоятельным разделом ^У
прикладной гидродинамики и ей посвя- __
щены обширные монографии '). Удоволь- ~1
ствуемся поэтому лишь изложением некото- ~
рых наиболее интересных с теоретической —
HL
стороны результатов с целью иллюстрации ^
применений полуэмпирических методов к ^
-pFp-
этому разделу общей гидроаэродинамики.
Начнем с примера непосредственного
применения формулы Прандтля (37); рас-
смотрим осредненное турбулентное деиже-
ние в пограничном слое, образующемся в
области смешения струи очень большого диаметра с окружающей ее жид-
костью той же плотности.
Выбор осей координат показан на рис. 217. Диаметр струи принят беско-
нечно большим, так что движение в пограничном слое можно рассматривать
как плоское.
Уравнения осредненного турбулентного движения в пограничном слое
струи могут быть выведены из уравнений Рейнольдса (16) точно так же, как
уравнения ламинарного пограничного слоя из уравнений Стокса. Будем
иметь, отбрасывая черточки как обозначение осреднения,
ди , ди 1 дх ди , dv г. ,го.
u-Tr + v-z-——5-, -3- + -τ-=0· (58)
дх ' ду ρ ду дх ду ν '
В этих уравнениях в связи с отсутствием твердых, ограничивающих
поток поверхностей (влияние стенки трубы за точкой О не учитываем)
опущены вязкие члены; кроме того, пренебрегаем производной ρ ди'^/дх
по сравнению с dxldy, а давление принимаем постоянным во всей области.
Следуя Прандтлю, будем считать величину I постоянной по поперечному
сечению области смешения струи с окружающей жидкостью и изменяющейся
от сечения к сечению. Уравнение (58) представится в форме
ди . ди ,о / \ ди д*и ди . dv n
дх ' ду v ' ду ду2 ' дх ' ду '
или, используя функцию тока ψ (ж, у) осредненного движения,
3ψ д*$ д$ д*Ц _ 0»ф д^ _-
ду дхду дх ду* W ду2 дуЗ ' ^O>
Составим граничные условия. Считая скорость в невозмущенной части
струи равной U0, будем иметь2)
Ψ-*-#<#, ~^-~^ио ПРИ У-+°°, я>0,
-^-£/опри*=0, у>0.\
(60)
1) Г. Н. Абрамович, Теория турбулентных струй, Физматгиз, М., 1960
А. С. Г и н е в с к и й, Теория турбулентных струй и следов, «Машиностроение», М-,
1969; В. Н. Коробко, Теория неавтомодельных струй вязкой жидкости, ч. И. изд.
Саратовского университета, 1977.
2) W. Tollmien, Berechnung turbulenter Aushreitungsvorgänge, Zeitschr. An-
gew. Math. u. Mech. 6, 1926, 468—478.
38 Л. Г. Лойцянский

62 ТУРБУЛЕБЛЕЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ, X
Форма границы остается пока неизвестной. Недостающее третье гранич-
ное условие составляется на нижней границе (у —>- —оо) и будет, очевидно,
иметь вид
-^—*-о при у-»-— °°> ж>о,
> (61)
-5^ = 0 при х = 0, У<0,
ду
так как область смешения граничит снизу с жидкостью, не имеющей продоль-
ной скорости {и = 0). Отметим, что вовлечение окружающей жидкости
в струю (так называемая инжекция) имеет место и осуществляется благодаря
наличию на нижней границе поперечной скорости ν (рис. 217).
Чтобы определить I (х) и выяснить, не является ли поставленная задача
автомодельной, т. е. не сводится ли в рассматриваемом случае уравнение
в частных производных (59) с граничными условиями (60) и (61) к обыкновен-
ному дифференциальному уравнению, применим рассуждение, аналогичное
тому, которое уже неоднократно использовалось в теории ламинарного
пограничного слоя.
Обозначим через L совершенно произвольный, условиями задачи не
определенный масштаб длин. В отличие от ламинарного слоя, где масштаб
поперечных длин получался из масштаба продольных длин делением послед-
него на ]fRe , в теории турбулентного слоя, при пренебрежении в уравнениях
вязкими членами, а следовательно, и числом Рейнольдса, продольные и попе-
речные длины имеют одинаковый масштаб.
Переходя, как обычно, к безразмерным величинам, убедимся, что урав-
нение (59) никакой связи между масштабами функции тока Ψ и длин L
не даст, так как оно однородно относительно ·ψ. Из первого граничного усло-
вия (60) получим связь между масштабами функции тока, скоростей и длин
Ψ = U0L.
Следовательно, решение уравнения (59) должно иметь общий вид (штри-
хи временно приняты для обозначения безразмерных координат и функции
тока)
ψ' = ψ' (*', у')
или
* = IW(iE.,f).
Но масштаб L отсутствует в постановке задачи, следовательно, ему нет
места и в решении. Отсюда заключим, что функция -ψ' должна иметь форму
*'=*'*(■£).
Действительно, при этом масштаб L выпадает и размерная функция тока
будет иметь вид
q = U0x<p(^)=U0x<p(r]); 4 = JL. (62)
Определим теперь вид функции I (х), при котором такое решение урав-
нения (59) возможно. Вычисляя производные (далее штрих — символ произ-
водной по η)
£=£М<р(ч)-ч<р'М1. i£fr=--^W (ч)

§ 99}
«СВОБОДНАЯ» ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
563
и подставляя их в уравнение (59), получим после простых приведений
и сокращений
-<P4>" = £<PV. (63)
Согласно (62), величина φ является функцией только η; следовательно,
в предыдущем уравнении переменная х должна отсутствовать. Это приводит
к равенству
I = сх, (64)
где с — эмпирическая постоянная, зависящая, как показывают опыты, от тур-
булентной структуры пограничного слоя, т. е. от предыстории потока.
Уравнение (63) сводится после этого к обыкновенному дифференциаль-
ному уравнению
φ" (сV + ф) = О,
распадающемуся на два:
су + φ = О, (65)
φ" = 0. (66)
Уравнение (66) соответствует движению в невозмущенном ядре струи,
т. е. двум первым равенствам (60), которые, согласно (62), можно теперь
переписать в виде
φ (η) = η, φ' (η) = 1. (67)
Обозначим через % наименьший положительный корень уравнения
φ' (η) = i
и через η2 наименьший по абсолютной величине отрицательный корень урав-
нения
φ' (η) = ο.
Тогда, согласно (60), (61) и (62), равенства
η = |-=η, И [η = -| = η2 (68)
представят уравнения прямолинейных границ пограничного слоя смешения
струи с окружающей ее жидкостью, а ширина струи Ъ (х) определится раз-
ностью
Ь (х) = (% — η j) X. (69)
Сравнивая (64) и (69), убедимся, что принятое ранее допущение о посто-
янстве пути смешения по сечению струи эквивалентно допущению о пропор-
циональности пути смешения ширине струи в данном ее сечении. Такое пред-
положение вместе с допущением о зависимости введенной постоянной с
от предыстории потока, т. е. от движения до выхода струи в затопленное
той же жидкостью безграничное пространство, уже не имеет того локального
характера, как сама формула Прандтля (37), и говорит о смешении в данном
случае дифференциального и интегрального подходов, о которых была речь
в предыдущем параграфе.
Интегрируя обыкновенное (задача автомодельна!) линейное дифферен-
циальное уравнение третьего порядка (65), получим общий его интеграл
в форме
Φ (η) = Of-0* + <?2 т ( С2 cos Х^- αη + С3 sin ¥1. «η) ,
36*

564 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
где а = с_2/3 представляет единственную эмпирическую постоянную задачи.
Для определения постоянных интегрирования Сг, Сг и С3, и граничных зна-
чений % и η3 имеем четыре уравнения
φ" Ы = о, φ' ы = 1,
φ Ы = ъ. φ' (η2) = ο»
и одно дополнительное
Ф" Ы = О,
выражающие условие плавности перехода скоростей к заданным значениям
на границах области смешения.
Опуская простые выкладки, связанные с вычислением этих постоянных,
приведем результаты:
Сг = —0,0062, С2 ='0,987, С9 = 0,577,
αηΧ = 0,981, αη2 = —2,04.
На рис. 218 показаны кривые распределения продольных и поперечных
скоростей в области смешения. Проведенные в лаборатории Прандтля опыты
прекрасно подтвердили теорию и дали
возможность определить значения по-
стоянных с или а; они оказались рав-
ными: с = 0,0246, а = 11,8. Ширина
Ъ области смешения, согласно (69),
при этом равна
х, 3,021
5— ■ ,. „ х-
0,255*.
Рис. 218.
11,8
Изложенный расчет может быть
применен при проектировании аэроди-
намической трубы с открытой рабочей
частью, на границе которой образуется
описанная выше область смеше-
ния х).
Рассмотрим теперь затопленную осесиммепгричную незакрученную
струю 2). Примем ось струи за ось Ох. Обратимся к уравнениям Рейнольдса
в цилиндрических координатах (17) и произведем в них упрощения, соот-
ветствующие общим положениям пограничного слоя. Заметим, что в рас-
сматриваемом случае νε = 0 и равны нулю производные по ε. Кроме того,
из соображений симметрии следует равенство нулю касательных турбулент-
ных напряжений: лег = —pv'evr и лех = — pi^x- По тем же соображениям,
что и в теории^ ламинарной струи (безграничность затопленного простран-
ства), откинем член, содержащий давление; пренебрежем еще изменением
вдоль оси 'величины и*.
Обозначим для краткости
тогда уравнения турбулентного распространения струи, как это следует
из "последних двух уравнений хистемы (17), будут
ди , ди I / дх , τ \ „lid.. g я
х) Г. Н. I А б ρ а м о в и ч, Аэродинамика потока в открытой рабочей части аэтю-
динамической 'трубы, Труды ">ЦАГИ, вып. 223 и 236, 1935.
"" а) См. только что^цитированную"статыо,,В. Толлмина.

§ 99]
«СВОБОДНАЯ» ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
565
Используя формулу Прандтля для турбулентного трения, которая, как
легко сообразить, в настоящем случае (ди/дг < 0 при любых г) запишется
в форме
„ ди I ди ,„ / ди \2
получим уравнения распространения струи в виде
ди . ди 1 д Г ,„ / ди \2η 5 , ч , д . . ^ ,,,т
Вводя функцию тока ψ, связанную со скоростями α, ν формулами
»=т£· ' —7-3·· <71>
сведем задачу к решению одного уравнения третьего порядка
±*Ц*|_ Αψ β Μ _»M= а (гρ Г* (l*L)la\. (72)
г дг дх дг дх дг \ г дг ) дг X. L дг \ г дг / _} ) ч '
К этому уравнению присоединяется условие сохранения импульса
оо оо
2пр\ ru2dr=2np^~^)2dr = J(h (73)
о о
и граничные условия
Ψ = 0' f (74г) = 0пРиг = 0' (74>
=*--»-О при г->-оо.
Введем масштаб функции тока Ψ и масштаб длин L. Переходя к безраз-
мерным величинам, убедимся аналогично предыдущему параграфу, что
уравнение (72), так же как и граничные условия (74), никаких ограличений
на Ψ и I/ не накладывают. Из условия (73) получим одну связь между мас-
штабами Ψ и L:
Отсюда следует, что искомое решение для ψ должно иметь общий вид
(штрих — символ безразмерных координат и функции тока)
Ψ=*^0=1Λ^/-4'(τ· т)
2πρ
Но в условия задачи масштаб L не входит, не должен он присутствовать
и в решении. Для выполнения этого условия потребуем, чтобы функция
ψ' (х', г') имела форму
Ф'-а'Ф (-£).
Тогда действительно масштаб L выпадает, а размерная функция тока ψ
определится ьыражением
г
^=/ier^); ч=т· <75>
Полагая, как и ранее, путь смешения I функцией только х и подставляя
выражение (75) в уравнение (72), убедимся, что при наличии функции тока
вида (75) должно выполняться равенство I = сх.

566 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 1ГЛ. X
Вводя в уравнение (72) новую переменную η, согласно (75), и принимая
во внимание формулу для I, убедимся, что задача автомодельна; будем иметь
обыкновенное дифференциальное уравнение (штрих — производная но η)
й Ι φφ' \ d Г с2 / , φ' \П
αη V η / dr\ L η \ ψ η / J *
После почленного интегрирования обеих частей этого уравнения придем
к уравнению второго порядка
φφ' = ε2(φ"—-^)2 + const^. (76)
Постоянная интегрирования здесь равна нулю. В самом деле, при стрем-
лении η *-> 0 (г*-> 0), т. е. на оси струи, скорость и остается конечной, a v
стремится к нулю. Вычисляя эти скорости, получим (оо — знак пропорцио-
нальности)
1, φ' 1 / , φ \
следовательно, φ 7η стремится к конечной величине, а φ->0 при η —>■ 0.
Составляя далее производную ди/дг и требуя, чтобы она стремилась к нулю,
когда η ->■ 0, получим
ди
дг
Μ*"-υ)-*° "р-ч-о,
следовательно,
^(ф"-^)-0 при η + 0,
откуда и следует равенство нулю константы в уравнении (76).
Выбирая в уравнении (76) вместо η переменную η/j/c2, получим урав-
нение и граничные условия, не зависящие от частных значений констант.
Уравнение это интегрируется численным методом.
Поставленная только что задача о распространении круглой струи может
быть значительно проще решена, если вместо теории Прандтля, изложенной
в § 98, использовать другую, также полуэм-
пирическую теорию Прандтля, относящуюся
уже к 1942 г. 1). Заменим при решении задач
у свободной турбулентности, где обычно профили
// продольных осредненных скоростей имеют
перегиб (рис. 218), выражение (38) коэффици-
ента турбулентного трения А некоторым упро-
щенным, основанным на следующих соображе-
ниях. Предположим, что в сечении МгМ2
(рис. 219) скорость непрерывно переходит
от некоторого значения и = щ к значению
и = щ. Так, в струе, распространяющейся
сквозь затопленное безграничное простран-
Рис 219. ство, скорость их на внешней границе струи
равна нулю, и2 представляет максимальную ско-
рость umax на оси струи. В случае аэродинамического следа вдалеке за телом
скорость щ соответствует минимальной скорости на оси следа, а щ = 17ж —
скорости невозмущенного внешнего потока, набегающего на тело.
О
Μ
"а
М,
'/
и
и(у)
и, S
>■
г
х) \ Prandtl, Beraerkungen zur Theorie des freien Turbulenz, Zeitschr. Angew.
Math. u. Mech. 22, H. 5, 1942, 241; H. G δ r 11 e r, Berechnung von Aufgaben der freien
TurLulenz auf Grund eines neues Naherungsansatzes, ibid., 244.

{ 99]
«СВОБОДНАЯ» ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
567
Производная ди/ду на краях интервала МХМ2 обращается в нуль как
при переходе к однородным потокам, так и в тех случаях, когда точки Мх
и М2 соответствуют максимуму или минимуму скорости. При этом эпюра
скоростей имеет в рассматриваемом интервале точку перегиба, где д2и/ду2 =
= О, и становится близка к прямой линии повсюду, за исключением областей,
прилежащих к краям интервала. Пользуясь близостью эпюры скоростей
к прямой линии, можем в выражении (38) коэффициента турбулентного
обмена А произвести приближенную замену
ди
ду
l»2 —»l|
ь
и положить
А^Рг2|"27Ц|1
где b = МХМ2 — ширина области турбулентного перемешивания. Возни-
кающая при этом на краях области ошибка несущественна, так как в выра-
жении турбулентного трения (38) величина А умножается на производную
ди/ду, обращающуюся на краях области в нуль. Таким образом, коэффи-
циент турбулентного обмена в задачах свободной турбулентности может
быть принят постоянным по сечению, т. е. не зависящим от у (но, вообще
говоря, зависящим от х, т. е. переменным вдоль течения). Принимая постоян-
ный по сечению слоя путь смешения I, как это уже ранее указывалось, про-
порциональным ширине области обмена Ъ, получим следующую общую для
большинства задач теории свободной турбулентности формулу коэффициента
турбулентного трения
А = kpb \ u2 — щ |, (77)
где к — некоторый постоянный коэффициент пропорциональности; величины
b и | и2 — иг \ меняются от сечения к сечению и представляют неизвестные
функции координаты, отсчитываемой вдоль по течению.
Докажем, что в интересующем нас сейчас случае осесимметричного рас-
пространения турбулентной незакрученной струи коэффициент турбулент-
ного трения А постоянен во всей области струи, т. е. не зависит ни от х,
ни от г. Вспомним, что путь смешения Ζ пропорционал1Н ирине струи Ъ
и, как уже ранее было доказано, Ъ оо х.
С другой стороны, в настоящем случае
щ = О, и2 = цтах (х) = и (х, 0),
а из равенств (71) и (75) следует
и м-и\ п-±-Ш -i/^"1 Γφ,(Τ1)1
т. е.
Следовательно, по (77) имеем (σ —новая эмпирическая константа)
А = const = σVpJot ετ = — ~const — σ Ι/ —-. (78)
Ρ Ρ
Гипотеза постоянства коэффициента турбулентного перемешивания неод-
нократно применялась в задачах турбулентного движения в свободной атмо-
сфере, в океанах и реках. Для случая турбулентного движения жидкости
в аэродинамическом и тепловом следе та же гипотеза была сформулирована
в 1938 г. Б. Я. Трубчиковым г).
*) Б. Я. Трубчиков, Тепловой метод измерения турбулентности в аэродина-
мических трубах, Труды ЦАГИ, вып. 372, 1938, 16. См. также только что цитированные
статьи Прандтля и Гёртлера.

568 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ |ГЛ. X
Уравнения (70) могут быть теперь переписаны в форме
ди , ди „-./Г~?о1 д I ди \ д(ги) ,d(rv)__n
отличающейся от уравнений распространения ламинарной струи только тем,
что постоянный кинематический коэффициент молекулярной вязкости ν
заменен на кинематический коэффициент турбулентной вязкости ετ = σ]//0/ρ,
где σ представляет некоторую эмпирическую постоянную, зависящую от тур-
булентной структуры потока.
Нет необходимости, таким образом, вновь решать задачу, так как анало-
гичная с математической стороны задача уже была решена в § 93. Для сопо-
ставления решений заметим, что при расчете турбулентной струи необходимо
в формулах (212) предыдущей главы произвести замену
а
\/ 16πσ У ρ У 16πσ У ρ '
Будем иметь
(79)
Ψ =77^7 К Ч-х
ш
16πσ У ρ 3 / г \2 '
и —
64πσ2
1
(80)
8πσ У ρ х г 3 Ι г \2-i2»
L "*" 64πσ2 U/ J
-= 3 -iflL _L· 11—64πσ2 V7) J
v~ 16πσ V ρ ж2 г 3 /г \2р ·
По равенству (213) гл. IX найдем секундный массовый расход сквозь
сечения струи
М = 8пор]/^-х, (81)
а по (214) той же главы — формулу максимальной скорости на оси струи
3
/т4- (82)
шах 8πσ У ρ
Для облегчения экспериментальной проверки правильности полученных
закономерностей преобразуем формулу продольной скорости [второе равен-
ство системы (80)] к виду
«max \ R Г
где под R будем подразумевать значение г, при котором и = ~ Ща^. Из ра-
венства
2 fi+-iL_*M2
Ι τ 64πσ2 ж2 /
получим
3 1 _ 1/2 — 1 __ 0,414

§ 99]
«СВОБОДНАЯ» ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
569
и, следовательно, будет
^тах
(1+0,414-^)'
На рис. 220 сплошной кривой показан график этой функции и там же
нанесены опытные точки г); совпадение можно признать вполне удовлетвори-
тельным повсюду, кроме внешней границы струи, где могут сказываться
процессы «перемежаемости», принятым законом пути смешения не учиты-
ваемые.
В случае незакрученной турбулентной струи, вытекающей из отверстия
конечного диаметра с конечным начальным расходом, а также турбулентной
•Т
·/
ц
£
\
V1
цв*
П7
Ψ
Г)/!
ill -
Пй -
и,ч -
U,6
Л1 -
4,1
\°
-3 -2 4 OJ
Рис. 220.
г з
r/R
закрученной струи сделаем допущение о том, что формулы динамического
и кинематического коэффициентов (78) остаются справедливыми2).
Обобщая на турбулентную струю ранее выведенные формулы для лами-
нарной струи (§ 93) и производя замену ν на σ у /0/р, будем иметь вместо
равенства (233) гл. IX
р = . u°dZ
8σ
V4-
или, полагая импульс в начальном сечении струи равным
г ЛИ2
/0 = Р
-ui,
следующее выражение для константы β:
р=- d
4"|/πσ *
Формула максимальной скорости на оси струи, согласно предпоследнему
соотношению системы (232) § 93 и принятым выражениям (79) для α и αη,
будет
3 ,/4 1/, 1
Ρ
8πσ
1 P x \ 161/πσ x I
г) Α. Κ u e t h e, Investigations of the turbulent mixing regions, formed by jets,
Journ. of Appl. Mech. 11, № 3, 1935.
2) Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Распространение закрученной струи в безграничном
пространстве, затопленном той же жидкостью, Прикл. матем. и мех. 17, в. 1, 1953, 14.

570 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
Замечая, что коэффициент, стоящий впереди скобки, представляет мак-
симальную скорость Umax, в первом приближении (d = 0) определенную
формулой (82), перепишем предыдущее
равенство в виде
^μ=1 ^=-- (83)
"max 16|/ла ^ V '
Эту формулу можно рассматри-
вать как выражение поправки на конеч-
ность диаметра выходного сечения в
распределении максимальной скорости
на оси струи. Использовав опытные ма-
териалы В. С. Дубова *), мы нанесли их
(рис. 221) на прямую (83). Совпадение
получилось вполне удовлетворитель-
ным, если положить σ = 0,21. Суще-
ственность поправки очевидна: при
dlx = 0,18 она достигает 30%.
Заменяя в формулах (232) предыдущей главы α, αη, μ и ν их турбу-
лентными аналогами, получим решение задачи о закрученной турбулентной
струе. Не выписывая преобразован-
ных формул, что не представило цм/с
бы затруднений, приведем результаты
сравнения теоретического расчета с
опытными данными, помещенными в
выше цитированной статье В. С. Дубо-
ва. Опыты подтвердили правильность
Ряс. 221.
а)
АО
ВО
г,мч
Рис. 222.
20
40
4>
60 89
'Г ММ
допущения о постоянстве коэффициента турбулентного обмена в незакру-
ченной струе с конечным диаметром выхода, а также в закрученной струе.
х) В. С. Дубов, Распространение свободной закрученной струи в затопленном
пространстве, Труды ЛПИ, № 176, 1955, 137—145.

§ 99]
«СВОБОДНАЯ» ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
571
Чтобы дать об этом представление, на рис. 222, an б приведены распре-
деления продольных и, а также окружных w скоростей на разных расстоя-
ниях х от выходного отверстия струи. Интенсивность закрутки характери-
зуется безразмерным параметром
4L0
κ =
Jnd
и в случаях, изображенных на рис. 222, соответствовала значению κ = 0,52.
Отсутствие провалов в графиках продольной скорости вблизи оси при неболь-
ших расстояниях от выходного отвер- /
стия показывает, что этому значению ' ' -
параметра отвечает сравнительно слабая
закрученностъ струи. Наряду с экс-
периментальными точками проведены
и теоретические кривые, рассчитанные
В. С. Дубовым. Как это следует из гра-
фиков, с удалением от выходного отвер-
стия совпадение теории с опытом улуч-
шается.
Чтобы показать влияние увеличе-
ния закрутки, на рис. 223 приведены
графики продольной скорости при срав-
нительно сильной закрутке (κ = 1,25).
При небольших значениях х отчетливо
видны провалы в графиках продольной
скорости, убывающие с удалением от
выходного отверстия струи.
В непосредственной близости к
соплу, из которого происходит истече-
ние, можно наблюдать даже попятные движения. Нижняя кривая подтвер-
ждает указанный в § 93 факт, что в достаточном удалении от соцла закру-
ченная струя ведет себя как незакрученная.
Задача о распределении скоростей в турбулентном следе вдалеке за телом
в случае плоского движения представляет полную аналогию с задачей о ла-
минарном следе, решенной в § 93. В этом легко убедиться, если опять ввести
малую разность скоростей вне следа и внутри его
Щ = U оо — U
и принять, что путь смешения I пропорционален ширине следа 2Ь, а модуль
производной | duldy | в выражении кинематического коэффициента турбу-
лентной вязкости гх заменить приближенно на отношение щт&х/Ь, где
"imax— максимальное значение щ в сечении следа, имеющее место на его
оси. При этом получим
г, мм
Рис. 223.
I2
du
dy
οοδ2
ulmax
— Ьи
lmax·
С другой стороны, положив их = щт&х φ (у/Ъ), как и в ламинарном
следе, будем иметь
ь 1
следовательно,
1 ЦТ
°U lm ax = const · -yj— .

572 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
Отсюда заключим, что (к — эмпирическая константа, зависящая от турбу-
лентной структуры следа)
kW
ετ = „— = const.
PCoo
Уравнение Рейнольдса, если откинуть квадраты и высшие степени
малых величин, сведется к уравнению
и0
дш
дх
д2щ
4~W
совершенно аналогичному уравнению (163) § 93 для ламинарного следа.
Решая его при тех же граничных условиях, получим
Ul = Ua
■u=
2V"
/:
W -
Р^У2
крх
е kbWx
Вводя величину Υ как ординату у, при которой щ = у м1шах, получим
и,-
м1шах
:е-0,7(у/У)2.
На рис. 224 это равенство представлено в виде сплошной кривой в коор-
динатах (%/ицпах, ylY); там же нанесены результаты экспериментальных
замеров в значительном удалении
от тела. Как видно, совпадение
вполне удовлетворительно повсю-
ду, кроме непосредственной бли-
зости к границе следа, где экспе-
риментальные точки ложатся
несколько ниже, что объясняется,
вероятно, явлениями «перемежае-
мости» на границе следа.
Аналогичными методами рас-
считываются струи в спутных по-
токах и пространственные следы
за телом и системами тел. Изложе-
ние этих вопросов можно найти
в специальной литературе 1).
Вопрос о распределении тем-
пературы или концентрации при-
меси в потоках в условиях свобод-
ной турбулентности упирается в
необходимость правильного выбо-
ра соответствующих коэффициен-
тов переноса тепла eq и концентрации примеси гт. В настоящее
*) Сошлемся на ранее уже цитированную, основную для теории турбулентных струй
монографию Г. Н. Абрамовича, а также монографии: Современное состояние гид-
роаэродинамики вязкой жидкости, под ред. С. Г о л д с т е й н а, т. II, ИЛ, М., 1948;
Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Аэродинамика пограничного слоя, Гостехиздат, Л.—М., 1941;
Г. Шлихтинг, Теория пограничного слоя, перев. с нем., «Наука», М., 1974;
Л. А. В у л и с, В. П. К а ш к а ρ о в, Теория струй вязкой жидкости, «Наука», Мм
1965; А. С. Г и н е в с к и й, Теория турбулентных струп π следов, «Машиностроение»,
М., 1969; В. Н. Ко робко, Теория неавтомодельных струй вязкой жидкости, ч. II,
изд. Саратовского университета, 1977.
Укажем еще некоторые из многочисленных отдельных журнальных статей:
Г. Л. Г ρ о д з о в с к и й, Решение осесимметричных задач свободной турбулентности
по теории турбулентной диффузии, Прикл. матем. и мех. 14, в. 4, 1950; О. Н. Б у ш м а-
р и н, Турбулентная осесимметричная струя несжимаемой жидкости, вытекающая в спут-
Рис. 224.

§ 99]
«СВОБОДНАЯ» ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
573
От
AL
JL· 0,75
0,5
025
\
\
\
\
\
\
—г
о д; =
о х=
Δ 5"
юл '
ji > концентрация
йП 1
\ скорость
дг- температура
"41
\ ъ
\
\
\
\
>
\
ч- К
0,5
W
Рис. 225.
1,5
2.0
У/У
&
время приходится довольствоваться рассмотрением экспериментальных
материалов, которые до сих пор нельзя еще назвать исчерпывающими.
Если бы турбулентные числа Прандтля и Шмидта (49) были равны едини-
це, т. е. &х = гя = Ет, то профили скоростей, избыточных температур
и концентраций в турбулентных с
струях и следах оказались подоб- ~^ '
ними между собой. Опыты под-
тверждают наличие подобия профи-
лей избыточных температур и
концентраций, но отчетливо пока-
зывают отсутствие подобия между
профилями скоростей и избыточ-
ных температур, а следовательно,
и концентраций.
Приводим для примера заим-
ствованный из неоднократно уже
цитированной монографии Г. Н.
Абрамовича график (рис. 225) ре-
зультатов опытов автора моно-
графии и В. Я. Бородачева на
плоской нагретой и содержащей
примесь углекислого газа затопленной воздушной струе. Кривые скорости
(штриховая) и избыточной температуры (штрих-пунктирная) приведены без
указания экспериментальных точек; распределение безразмерной концентра
ции представлено экспериментальными точками, соответствующими различ-
ным безразмерным, отнесенным к ширине устья струи расстояниям от выхода
струи. Индекс т отмечает значения величин на оси, Δ71 — разность темпера-
тур в данной точке струи и во внешнем пространстве.
График наглядно показывает, что профили избыточной температуры
и концентраций в плоской струе подобны между собой (безразмерные профи-
ли совпадают), а профиль скоростей не подобен им. Числа Ргг и Set в рас-
сматриваемом случае оказываются близкими к 0,5.
Не останавливаясь на подробностях, отметим, что Дж. Тейлор 1) пред-
ложил другую полуэмпирическую теорию турбулентного движения, получив-
шую наименование «теории переноса завихренности». Согласно этой теории
в случае прямолинейного стратифицированного по скорости осредненного
движения с распределением скорости и = и (у) будет (τ = — ри' ν' — не за-
висящее от вязкости, чисто турбулентное напряжение трения)
ди
дх .
ду
9ω _ л д*и
п | ди I д2и_
Ф Та \~ду\ %2 '
Φ?
Та
ду
(84)
где положено ω = ди/ду, a lTa — тэйлоровский путь смешения, отличный от
прандтлевского. Как заметил Тэйлор, и это подтверждено экспериментом,
ный однородный поток той же жидкости,ТГруды ЛПИ, Энергомашиностроение, Техниче-
ская гидромеханика, № 5, 15—23, и того же автора «Закрученная струя в спутном потоке
жидкости той же плотности» в Трудах ЛПИ, № 176, 1955; Л. Г. Лойцянский,
К теории плоских ламинарных и турбулентных струй. Труды ЛПИ, № 176,1955; А. С. Г и-
невский, Турбулентный след и струя в спутном потоке при наличии продольного
градиента давления, Изв. АН СССР, Механика, «Машиностроение», № 2, 1959; а также
«Приближенные!уравнения^движения в задачах теории турбулентных струй», там же, № 5,
1963 и большое число работ Л. А. В гу л иЪ а и его сотрудников как в только что указан-
ной монографии, так и в сб. «Исследование $H3H4ecKnxT0CH0B рабочего процесса топок и
печей», Алма-Ата, 1956.
*) G. I. Taylor, The'transporfof^vorticity and heat through fluids in turbulent
motion, Proc. Roy. Soc. ser. A, 5, 1932. Русск. перевод в сб. «Проблемы турбулентности»,
ОНТИ, М., 1938.

574 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
Турбулвнтн.
коэффициент турбулентного переноса осредненной завихренности Αω в усло-
виях свободной турбулентности совпадает по величине с коэффициентами
переноса тепла Aq и вещества Ат, но не равен коэффициенту переноса
импульса Ах.
Подробности вопроса о тепломассообмене в потоках со свободной тур-
булентностью можно найти в ранее цитированных специальных монографиях.
§ 100. Двухслойная схема «пристенной» турбулентности.
Логарифмический профиль скоростей
Закономерности пути смешения и коэффициента турбулентного перено-
са при движении жидкости около твердой стенки принципиально отличаются
от закономерностей только что рассмотренных свободных турбулентных движе-
ний вдалеке от твердых поверхностей.
Наличие существенного влияния мо-
лекулярной вязкости на процессы тур-
булентного переноса значительно усло-
жняет изучение пристенной турбулент-
ности.
Чтобы подчеркнуть главную особен-
ность турбулентного движения около
твердой стенки, рассмотрим следую-
щий идеализированный случай *), про-
сто и наглядно поясняющий суть дела. Предположим, что заполняющая
верхнюю полуплоскость жидкость совершает плоское осредненное движение
(рис. 226), параллельное безграничной твердой стенке, совпадающей с осью Ох,
причем объемные силы отсутствуют. При такой стратификации по осреднен-
ным скоростям любые два поперечные линиям тока сечения идентичны в
кинематическом и динамическом смысле, т. е. все производные по х равны
нулю, а элементы движения могут зависеть только от ординаты у.
Сравним между собой ламинарное и осредненное турбулентное движения
такого типа. Замечая, что и = и(у), ν = 0, ρ = р(у), приведем уравнения
ламинарного движения к виду
77777777777777777777777P77777777777777ZV7,
Рис. 226
μ
d*u
dy2
■°· t-°.
откуда следует
и = Сгу -{- C2f ρ = const.
В рассматриваемом безграничном движении единственным граничным
условием является
и = 0 при у s= 0,
что дает С2 = 0. Для определения Сг примем в качестве заданной постоянной,
напряжение трения на стенке
du
'г/=о
Тогда распределение скоростей и(у) в ламинарном потоке будет
( du \
1βμ(-4Γ),
и-
μ
у,
(85)
и профиль скоростей окажется линейным (рис. 226,слева), а напряжение
трения между любыми слоями в осредненном движении постоянным и рав-
г) L. Ρ г а п d t 1, Neuere Ergebnisse der Turbulenzforschvmg, VDI,<;№ 5, 1933. Рус-
ский перевод в ранее цитированном сб. «Проблемы турбулентности», стр. 9.

flOO] ДВУХСЛОЙНАЯ СХЕМА «ПРИСТЕННОЙ» ТУРБУЛЕНТНОСТИ 575
ным напряжению трения на стенке
du ,
μ -τ- = const = xw.
Перейдем теперь к турбулентному движению, описываемому в настоя-
щем случае уравнением Рейнольдса (τ — чисто турбулентное трение)
d?u , dx г\
Интегрируя его, получим
du , у-,
или, замечая, что напряжение турбулентного трения τ = —pu'v' на стенке
равно нулю, так как на стенке не могут существовать нормальные к ней пуль-
сации ν', получим С3 = xw и, следовательно,
μ-^- + τ = τω. (86)
В непосредственной близости к стенке турбулентное трение τ значитель-
но меньше слагаемого \iduldy, соответствующего молекулярному трению;
в этой области уравнение (86) совпадает с уравнением ламинарного движения,
и интегрирование его приведет к линейному профилю скоростей (85).
Наоборот, в области, удаленной от стенки, слагаемое \y,duldy мало по
сравнению с турбулентным трением τ и может быть опущено. Уравнение
(86), если напряжение турбулентного трения задать формулой Прандтля,будет
τ = ρ/2(^)2 = τω. (87)
Замечая, что расстояние у данной точки от твердой стенки представляет
единственную характерную для потока длину, Прандтль полагает в этом
простейшем случае путь смешения I пропорциональным у
I = ку, (88)
где коэффициент пропорциональности κ представляет некоторую числовую
константу, определяемую из опыта *).
Уравнение (87) при наличии соотношения (88) просто интегрируется,
а интеграл его выражается в логарифмической форме
Сравнение этого распределения скоростей с ранее полученным ламинар-
ным распределением (85) показывает глубокое различие между ними. С мате-
матической стороны это различие выражается в том, что линейный профиль
скоростей при ламинарном движении становится логарифмическим при турбу-
лентном движении. Существенно, что эта особенность турбулентного движе-
ния сохраняется вблизи стенки и в случаях движений более сложных, чем
рассмотренная выше упрощенная схема.
г) Нельзя не отметить, что в текущей литературе, особенно по техническим прило-
жениям теории турбулентности, эту простейшую, введенную Прандтлем в только что
процитированной популярной статье формулу (88) принимают за общий закон, справедли-
вый для всех турбулентных пограничных слоев, и приписывают ей даже наименование
«закона Прандтля». Между тем эта формула имеет место лишь в пристеночной области.
Важность этой формулы и непосредственно выводимого из нее логарифмического закона
скоростей, как выражающих особенность турбулентного движения вблизи стенки, неоспо-
рима и должна быть подчеркнута.

576 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ЕГЛ. X
Для определения постоянной интегрирования С нельзя использовать
граничное условие на стенке, так как в пристеночной области уравнение (87)
несправедливо. Совершенно так же, как в § 98, приходится выделить вблизи
твердой границы тонкий «вязкий подслой» с линейным профилем скоростей,
а затем провести сращивание логарифмического решения с линейным (85).
Примем следующую упрощенную схему. Представим себе поток разби-
тым на две резко отличные по структуре области: тонкую пристеночную область
чисто вязкого движения — вязкий (ламинарный) подслой — и область не
зависящего от вязкости, полностью турбулентного движения — турбулентное
ядро потока. Принятое разделение, конечно, очень схематично. На самом
деле при удалении от стенки влияние вязкости убывает непрерывно, а не
сосредоточивается в некоторой резко очерченной области. В порядке уточ-
нения такой схемы можно было бы ввести еще промежуточную между вяз-
ким подслоем и турбулентным ядром потока переходную область, где наряду
с турбулентным трением фигурировало бы и молекулярное трение. Введение
такой переходной области оказывается полезным при изучении тепломас-
сопередачи и будет в дальнейшем, так же как и теория непрерывного убыва-
ния влияния вязкости, изложено. Как показывает сравнение с опытами,
в гидродинамических вопросах можно удовольствоваться такой схемой двух
областей: вязкого подслоя и турбулентного ядра (двухслойная схема).
Обозначим через δΒ толщину вязкого подслоя и через ив скорость
на границе между вязким подслоем и турбулентным ядром потока, общую
для обеих областей. Движение в вязком подслое характеризуется величи-
ной напряжения трения на стенке tw и физическими константами жид-
кости μ и р. Рассматривая эти величины с точки зрения теории размерности,
составим из них две возможные комбинации:
^-l^—, h= ,— =— (90)
Первая из этих величин ν* имеет размерность скорости, хотя по своей
природе состоит из динамических величин: напряжения и плотности; назовем
ее поэтому динамической скоростью. Вторая имеет размерность длины и по
той же причине может быть названа динамической длиной *). Для облегчения
запоминания этих важных для дальнейшего выражений можно заметить,
что, если принять динамическую длину и динамическую скорость за масштабы
длин и скоростей, то составленное при их помощи число Рейнольдса v^ljv
будет равно единице.
Легко убедиться, что определенные равенствами (90) выражения динами-
ческих скорости и длины могут отличаться только безразмерным множителем
от любых других, имеющих размерности скорости или длины одночленных
комбинаций величин τ, ρ, μ. Действительно, предположим, что длина δ
может быть представлена в виде степенного одночлена, зависящего от физи-
ческих констант μ, ρ и напряжения трения на стенке Tw
δ = αμαρ6τ4,
где α — некоторая безразмерная константа.
Составляя уравнение связи размерностей [L] = [ γτ-\ Г-уг! I TWI
и сравнивая показатели степени при М, L, Τ слева и справа, получим систе-
му уравнений
а -\-Ъ -f с — 0, —а —ЗЬ — с = 1, —а —2с = 0,
х) В заграничной литературе для этих величин применяются термины, не допускаю-
щие буквального перевода: Schubspannunggeschwindigkeit, friction-velocity, friction-
length.

§ 100] ДВУХСЛОЙНАЯ СХЕМА «ПРИСТЕННОЙ» ТУРБУЛЕНТНОСТИ 577
имеющую единственное решение
_J^ ^_
~2
л г, * 1
Отсюда следует
-± - —
: αμρ 2 τ«, = α —, = aL.
У WP
Аналогично убедимся в том, что всякая одночленная комбинация р,
μ и-Гц,, имеющая размерность скорости, может отличаться от ν# только безраз
мерным множителем.
Из доказанного следует, что толщина вязкого подслоя δΒ и скорость
на границе подслоя ив должны быть пропорциональны соответственно
динамической длине 1% и динамической скорости ν%.
Докажем, что коэффициенты пропорциональности у них одинаковы.
Положим
где α — безразмерная константа. Тогда по (85) будем иметь
uB = ^-6B = a-Tw v
^ в Iх У WP L
т. е. действительно
Пользуясь полученными формулами, определим постоянную С в равен-
стве (89), которое теперь можно переписать в виде
u^-^-hxy + C. (93)
На границе вязкого подслоя имеем
Ив = — у, 1пбв + С,
так что по (91) и (92) будет
С — αν* νΛ In (α —) = νΛ Ι α 1η α) νΛη —.
Подставляя это значение константы в формулу (93), найдем
φ = ν1ηη + α —^Ιηα, (94)
где
u yvm у
или, переходя от натуральных логарифмов к десятичным (lg),
φ=2|031εη + α_^03_1&α> (95)
И. Никурадзе х) проводил опыты над турбулентным движением воды в длин-
*) J. N i k u к a d s e, Gesetzmässigkeiten der turbulenten Strömung in glatten Röhren»
VDI, Forachungsheft 356, 1932. Русский перевод см. в неоднократно цитированном сб·
«Проблемы турбулентности», стр. 75—150.
37 Л. Г. Лойцянский

578
ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВоЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. X
ных цилиндрических трубах круглого сечения в широком диапазоне чисел
Рейнольдса Re = ucvdh (ucp — средняя по расходу скорость, d — диаметр
трубы, ν — кинематический коэффициент вязкости) от критического их значе-
ния до Re « 3,24· 106.
зь
зг
30
гв
26
2 U
7?
го
18
/б
f/r
/2
/0
(
и
%
•
о
ε
0 i
f
Л
г /,
jS
i·*
* i
■&$
β t,
rt?^^
8 г
в г,
a^*
г г,
<*·
>
4 г,
"^vA
о
6 I
Рис
8 I
. 22
4&ч
afl
dn
^
Г
•Re=£/ ю3
•RB~ft2-i03
.RE=tf,7-/D3
°RS=23,3-W3
*Re=U3,b-W3
iRe=ws,o-w3
~RZ=№,0-103
0 Д
7.
г д
4 Д
ff 4
5 4,
^
f
W
j*f
^
^
^
°Re=396,0-W3
~№=7Z5,0-W3
*Re=///0-/03
+ Rt~W9,0W3
+Re= 2350,0-10*
'Rt=27S0,0-103
«Re=J2«o,o- /o3
0 k,
w
2 Щ* <\t7 4,0 £0
На рис. 227 приведены результаты его точных, систематически поставлен-
ных опытов по измерению скоростей в сечении трубы. Как это следует и»
графика, экспериментальные точки вполне удовлетворительно располагаются
по прямой, соответствующей логарифмическому профилю скоростей
и
ущ
Φ = 5,75 lg η + 5,5 = 5,75 Ig-^-f 5,5.
(96)
Принципиальное^значение имеет тот факт, что логарифмическая форму-
ла (96) сохраняет свою форму для всех рейнольдсовых чисел течения, или,
как принято говорить, универсальна. В дальнейшем будут введены степен-
ные формулы для скорости, не обладающие свойством универсальности-
Структура логарифмических формул такова, что влияние рейнольдсова числа,
т. е. вязкости, полностью входит в масштабы длин I* и скоростей ν#; это
и делает формулу (96) универсальной. С физической стороны указанное
свойство логарифмических формул объясняется наличием вязкого под-
слоя, в котором сосредоточено все влияние вязкости, и отмеченной ранее
пропорциональностью масштабов 1% и ν* толщине подслоя δΒ и скорости на
его внешней границе ив. Приведенные соображения могут служить оправда-
нием наименования масштабов Ζ* = ν^ν* и v* — Vtw/p универсальными, а ве-
личин φ = ulv^ и η = г/Л* = yvjv соответственно универсальными скоростью
и координатой.
Согласно (85) в ламинарном подслое в универсальных переменных будет
существовать равенство
φ = η, (97)

100] ДВУХСЛОЙНАЯ СХЕМА «ПРИСТЕННОЙ» ТУРБУЛЕНТНОСТИ 579
а на границе подслоя по (91)
Сравнивая формулу (96) с теоретически выведенным логарифмическим
распределением скоростей (94), убеждаемся в том, что для количественного
совпадения необходимо приближенно положить κ » 0,4; α « 11,5.
Экспериментальные данные отклоняются от прямой (96) лишь в области
сравнительно малых значений η = yvjv, соответствующих точкам, близ-
ким к стенке трубы, где уже становится заметным влияние вязкости (пе-
реходная область); крайней левой точке горизонтальной шкалы lg η т 1
соответствует примерно граница вязкого подслоя. Пользуясь координа-
тами (φ, η), перепишем линейный профиль скоростей (97) в вязком под-
слое в форме
φ = η = Ю^ч.
При логарифмическом масштабе абсцисс, принятом на рис. 227, этому про-
филю будет соответствовать не показанная на рисунке цепная линия, пере-
ход на которую с прямой (96) и намечается при малых значениях lg η. Располо-
жение этой цепной линии будет показано далее. Можно заметить еще намечаю-
щееся отклонение экспериментальных точек вверх от прямой (96) в правой
ее части, зависящее от влияния отличия движения в круглой трубе от
рассмотренного упрощенного случая плоского движения вблизи безгранич-
ной плоскости. Это плоское движение можно себе представить как предельный
случай движения в трубе, если при фиксированном расстоянии (у) точки
потока в трубе от ее стенки устремить к бесконечности расстояние между
плоскостями в плоской трубе или радиус в круглой цилиндрической трубе.
Правильность такой трактовки идеи Прандтля также будет подтверждена
ниже.
Имея в виду только что отмеченное различие между теоретическим (пра-
вильнее сказать, полуэмпирическим) логарифмическим профилем скоростей
и опытной кривой вблизи оси трубы, все же применим формулу (94) к оси
трубы, где и = umax, а у = а, и произведя почленное вычитание полученного
таким путем соотношения из (94), придем к профилю «дефекта» скорости
("max — U)
"max — и 1 i_. α
содержащему только одну эмпирическую константу κ; подставляя κ = 0,4
получим
"max~~"=5,751g-. (99)
Константы κ « 0,4 и α « 11,5 представляют две основные эмпирические
постоянные, характеризующие турбулентное движение. Иногда бывает удоб-
но вводить еще третью постоянную /, выражающуюся через первые две и опре-
деляющую уклон логарифмической кривой скоростей на границе вязкого
подслоя, но со стороны турбулентного ядра.
Взяв производную от обеих частей (94), получим
f=[*L\ =JL = 0,218.
1 \ di\ /π=ηΒ κα
Таким образом, проведенный упрощенный теоретический анализ позво-
ляет уловить основные закономерности распределения скоростей при турбу-
лентном движении в круглой трубе. Необходимость использования двух
37*

580 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
эмпирических констант сохраняется и в далее излагаемой более точной
теории, которая, так же как и изложенная выше, относится к числу полуэмпи-
рических теорий.
Обратимся теперь к выводу аналогичной (98) формулы «дефекта» скорости,
получаемой для плоской трубы на основании более строгой, но, конечно, так-
же полуэмпирической теории Кармана. Используем для этого действительное
распределение полного напряжения трения по сечению трубы высоты 2h:
гп — τ^Ι -j-J,
(100)
,-и
легко выводимое при установившемся движении из условия равновесия эле-
мента жидкости между двумя сечениями трубы, и формулу Кармана для
напряжения турбулентного трения (43).
Имеем вне вязкого подслоя (г/^бв) (штрих — производная по у)
? и'4 I л7* У\
Уравнение это может быть переписа-
но в форме (знак минус в правой части
выбран в связи с тем, что и" < 0)
и" у. 1
/'-1
легко интегрируется и дает первый инте-
грал
и ν*. У h
Рис. 228.
Следуя Карману г), примем
и' = оо при у = 0,
что приближенно соответствует в действительности очень большой величине
наклона кривой скорости вблизи стенки. Отсюда следует
ν» 1
с=-^г· и'^ =
{2xh i_yi_wfc
Интегрирование этого уравнения приводит к следующему, содержаще-
му одну эмпирическую константу распределению «дефекта» скорости
-=4[4i-j/<-i)+/i-f].
(101)
На рис. 228'приводятся для сравнения теоретические кривые (101) и
(98) при значении κ = 0,4; там же в виде вертикальных отрезков нанесены
границы экспериментальных данных Никурадзе в диапазоне Re от 4-104
до 3,24-106. Как видно из графика, простая по структуре формула (98) при
κ = О^'удовлетворительно представляет действительное распределение скоро-
стей; формула (101) при том же значении κ дает несколько заниженные
г—И
значения~величины -S^— , что можно объяснить влиянием слишком грубого
граничного условия, принятого Карманом при у = 0.
1) Th.v. Kármán, Mechanische Ähnlichkeit und Turbulenz, Nachrichten der
Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math. Phys. Kl. 1930. Русский перевод
см. в сб. «Проблемы турбулентности», ОНТИ, М., 1936, 274—276.

S 100] ДВУХСЛОЙНАЯ СХЕМА «ПРИСТЕННОЙ» ТУРБУЛЕНТНОСТИ 581
Пользуясь соотношением (101), можно следующим образом интерпретиро-
вать формулу (98). Фиксируем в плоской (или круглой) трубе значения орди-
наты у и будем ширину трубы стремить к бесконечности. При малых ylh
получим вместо (101)
υ* κ у '
т. е. при h — а формулу (98). Итак, действительно, рассмотренное идеализи-
рованное течение Прандтля представляет предельный случай плоской или
круглой цилиндрической трубы, если полуширину h или радиус а устремить
к бесконечности, а расстояние точек от стенки трубы фиксировать.
2,0 22 2,4 2,6 2β 3,0 3,2 3,4 3fi 3β 4,0 4,2 4,4 4,6
Рис. 229.
В своей центральной части профиль скоростей близок к классическому
профилю
"™*~" =5,08(1--L)s'\
введенному в гидравлику Дарси1).
Определим среднюю скорость в трубе иср как
и
Совершая указанное осреднение над обеими частями формулы (98), полу-
чим при κ = 0,4
"max"
*ср
^lln(i)-2n{a-y)dy~-
о
—МЧ-^-тИ*)*8·75· (102>
Эта формула связи между максимальной (на оси трубы) и средней скоро-
стью по сечению трубы хорошо подтверждается на опыте, как это видно из
рис. 229. В отличие от ламинарного движения в круглой трубе, при котором
"шахтер = 2, в турбулентном движении это отношение уменьшается с ростом
*) H. D а r с у, Recherches expérimentales relatives au mouvement de l'eaux dans les
tuyaux, Mémoires de diverses savantes étrangers, t. XV, 1858.

582 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
υ
υ,
'max
рейнольдсова числа от 1,3 при малых его значениях (Re « 5000) до 1,15 при
сравнительно больших (Re « 3 000 000). Это говорит о резком отличии формы
профиля скоростей в турбулентном движении от параболы скоростей в лами-
нарном движении.
На рис. 230 профили скоростей нанесены в координатах (и/итах, у/а),
и это отличие отчетливо видно. Можно заметить, что турбулентные профили
1,0
0,3
г
0,8
0,7
0,6
0,5
о,з $
о,г
0.1
о
/
1
1
1
1
1
/
/
/
/
г- ■
kl^^
/
/
/
i
/
/
/
/
/
I /'
/
/
Re
о 4 -103
• 23,3 -10s
с 105 ·103
θ UW 10s
"θ 2350-ΙΟ3
ο 3240-Μ3
*τ
S
^^^'
**
■^ΙΙΓΓ
0,1 0,2 0,3 ΟΛ 0,δ 0,6 0,7 0,8 0,9 f,0
Рис. 230.
располагаются значительно выше или, как принято говорить, более заполнены,
чем ламинарные, причем степень их заполненности возрастает с рейнольдсовым
числом. Экспериментальные точки соответствуют выше цитированным опытам
Нику ρ ад зе.
§ 101. Логарифмические и степенные формулы сопротивления
гладких и шероховатых труб
Выведенные формулы распределения скоростей содержат неизвестную
заранее величину ν%, связанную с напряжением трения на стенке трубы. Что-
бы сделать задачу определенной, необходимо найти дополнительную связь
между величинами г;* и итах или иср. Такая связь задается формулой сопро-
тивления трубы турбулентному движению жидкости.
Располагая формулами распределения скоростей и выражением для тол-
щины вязкого подслоя и скорости на внешней его границе, легко выведем
и искомые формулы сопротивления. Задача сводится к определению за-
висимости коэффициента сопротивления λ, входящего в формулу (Ар — пе-
репад давления на участке трубы длиной L, d — диаметр трубы, иср —
средняя скорость)
Αρ = λ
d
cp
(103)

§ 101] ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ 583
от реинольдсова числа
Re = -2-,
При равномерном установившемся движении жидкости в трубе движу-
щий перепад Ар -т- уравновешивается сопротивлением трения xw nd L,
так что из равенства
Ар —τ— = rwnd · L
•следует
Подставляя полученное выражение Ар в формулу (103), получим
, = λ
Рыср
8
или, вспоминая еще определение величины динамической скорости ν^ =
= VtJp,
2 "2
ν* — "g" ыср;
■отсюда следует
"ср _ 2 1/2
(104)
Для вывода искомой формулы сопротивления, т. е. связи между коэффи-
циентом сопротивления λ и рейнольдсовым числом Re = ucpd/v, восполь-
зуемся одним из следующих двух приемов: применим формулу скоростей
(96), выведенную из условия сращивания турбулентного ядра потока с вязким
подслоем, к оси трубы (и = iimax, у — а) или формулу скоростей (99),
при выводе которой использовано граничное условие на оси трубы,
к границе вязкого подслоя. И в том и в другом случае получим одну и ту
же формулу
- = 5,751gi^ + 5,5,
которую можно тождественно переписать так (d=2a):
*ср
^ = 5.'^(^1Йг)+о.5,
или, используя (102) и (104),
Многочисленные опыты (Стэнтон и Пэннел, Омбек, Нуссельт, Якоб
ж Эрк, Шиллер и Герман, Никурадзе) хорошо подтверждают следующую
■формулу с округленными коэффициентами *):
= 21g(ReVl)-0,8. (105)
1/λ
Формула (105) дает искомую связь λ (Re) в неявном виде. Никурадзе
предложил пользоваться следующей явной зависимостью:
λ = 0,0032 Ч-igL, (106)
Re0,237 »
г) J. N i k u г a d s e, цитировано раньше; в русском переводе см. сб. «Проблемы
турбулентности», стр. 143.

584 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ £ГЛ. X
близость которой к эксперименту иллюстрируется сплошной кривой на рис.
231. На том же рисунке штрихами приведена для сравнения прямая, соот-
ветствующая широко используемой в гидравлике формуле Блазиуса
0,3164 (107)
λ = -
Re0,2B »
применимость которой, как показывает рис. 231, ограничена значениями
Re<I 106. В левом нижнем углу показана штрих-пунктиром прямая, соответ-
ствующая закону сопротивления λ = 64/Re при ламинарном движении.
1,56
ifiO
3**
§_/,#
0,92
0,75
О50
4
^
V
\
1
!*■>
1
\
>,\
*
■ь.
л ^
^\
4
8
sSV
\
\
4
^ъ
ж-
v pp
L
г
4,
в
5,
0
F
^
ft
5,
ис
then
^5
^
w,
цзт
RB^
. 2
s,
31
8
a*,
>^
4
4
г
л=щш
■^
\
4
"4.
tf
N
Ζ
*v^
?
η 0237
Re^^'H
У
%
#
Re
Путь расчета установившегося турбулентного движения жидкости
круглой трубе таков. Задается диаметр трубы d, коэффициент кинематичес-
кой вязкости жидкости ν и потребный объемный расход. По расходу и диамет-
ру находим иСр, а следовательно и число Рейнольдса Re = ucpdh. После
этого по (106) находим коэффициент сопротивления λ, а затем и перепад
давления Ар на заданном участке трубы длины L
По величине Δρ найдем
d 2
τ„=-£κ;
'•-V%-
У%
%\/2
и.
cw? i
\
Остается воспользоваться формулой скоростей (96), чтобы задача мог-
ла считаться полностью решенной.
Наряду с выведенными полуэмпирическими соотношениями — логариф-
мическим профилем скоростей и логарифмическим законом сопротивления —
большую роль до сих пор продолжают играть чисто эмпирические степен-
ные соотношения. К числу последних относится только что упомянутая
ормула Блазиуса (107), которая представляет частный [случай^общего степен-
ного закона сопротивления!
λ = c/Re"
(108)
Как показывают опыты, с возрастанием рейнольдсова числа показатель
степени т и коэффициент с изменяются, причем т убывает. Пользуясь экспе-

§ 101] ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ 585>
риментальной формулой Блазиуса, Карман г) из соображений размерности
показал, что степенному закону сопротивления (107) соответствует степен-
ной профиль скоростей
"/"max = (*//й)1/7,
получивший] наименование закона одной седьмой.
Точно так же общей формуле (108) соответствует степенной закон скоро-
стей
и/ит&х = (у/а)п. (109)
Чтобы найти связь между показателями степени тип, применим тот же
способ, что и при выводе ло-
гарифмического закона соп-
ротивления из логарифмиче-
ского профиля скоростей.
Используя (109), найдем
о
О 0/t О Dfi О 0J8 О Ζ О U О fym
Рис. 232.
(п+1)(п + 2) ·
Применим теперь формулу (109) к границе вязкого подслоя, по ожив-
г/=овв5а—-ш u = uB = av*.
ν*
Будем иметь
"max' V αν*4 » ыср ытах \ ucpd } \ ν* ) '
откуда, согласно (104), после простых приведений следует
λ =
бтг-г-1 2(и-1) 2
_ п+1 п+1 . „..K+i
2 а [(п +1) (и + 2)]
(110)
2п ·
Re"4"1
Сравнивая это выражение со степенной форм лой сопротивления (108),
получим
2/г
т =
п+1 ·
5и+1 2(п-1) 2
п+1 „ п+1 г/„ I л\ /„ | 9м п+*
с=2п+1 α η+1 [(«+!)(«+ 2)]
(111)
(112)
г) В ранее уже цитированной работе, помещенной в журнале Zeitschr. f. Angew.
Math. u. Mech. 1, 1921.

586 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
Отсюда сразу следует, что закону сопротивления Блазиуса (107), в кото-
ром т принято равным V4, соответствует закон одной седьмой для профиля
скоростей.
Приводим графики Никурадзе (рис. 232), иллюстрирующие уменьшение
числа т с ростом рейнольдсова числа.
Наряду со степенной формулой скорости (109) представляет интерес
степенной профиль в координатах (u/v%, у/1% = yvjv), а именно
Л- = А(Щп.
С опытом хорошо согласуются формулы
JL^s.74 l-^Yh при 40<-^<700,
Л = 9,60(^Ц1/8 при 70<-^<1Ю0,
а также и другие формулы с убывающим показателем степени и возрастающим
коэффициентом.
Основное преимущество логарифмического профиля скоростей (96) заклю-
чается в том, что он справедлив в чрезвычайно широких пределах изменения
yvjv, начиная примерно от значения, равного 40, и, по имеющимся опытным
данным, до значения во всяком случае не меньшего 100 000, что и говорит
об универсальности этого отношения.
Можно еще указать степенную формулу сопротивления в такой, легко
выводимой из (ИЗ) форме
__2п_
tw b Remax •-g'PWmax? Квщах = ~ . (114)
В частности, закон одной седьмой (n = i 7, A = 8,7) дает
-j£_ = 0,0225 Remai?. (115)
Р"тах
Изложенное относилось лишь к движению в гладкой трубе со строго
цилиндрической поверхностью. На практике приходится иметь дело с более
или менее шероховатыми трубами, а также с трубами с неточной цилиндрично-
стью внутренней поверхности — волнистостью.
Изучением влияния различного типа шероховатостей на сопротивление
труб занимается гидравлика, располагающая большим числом разнообразных
практических формул для определения сопротивлений применяемых в тех-
нике труб.
Несколько идеализируя и вместе с тем обобщая понятие шероховатости,
представим себе, что внутренняя поверхность трубы покрыта бугорками,
имеющими вид зерен примерно одинакового размера. Обозначим через к
высоту бугорка шероховатости (практически среднюю высоту) и условимся
называть величину к, выраженную в миллиметрах, абсолютной шерохова-
тостью, а отношение высоты бугорка к к радиусу трубы а —'относительной
шероховатостью. В дальнейшем предполагается, что относительная шерохо-
ватость сравнительно невелика (от 0,2 до 7%).
Рассмотрение типичных для труб с указанной зернистой шероховатостью
экспериментальных кривых сопротивления, показанных на рис. 233 х), приво-
1) J. N i k u r a d s e, Strömungsgesetze in rauhen Röhren, VDI Forschun^sheft,
№ 361, 1933.
(113)

5 101] ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ 587
дит к следующим заключениям (на кривых за параметр принята величина
а/к, обратная относительной шероховатости):
1) относительная шероховатость не влияет на критическое число ReKP
перехода ламинарного режима в турбулентный; для различных а/к кривые
•сходят с известной уже нам ламинарной прямой λ = 64/Re при одном и том
же значении ReKP, примерно равном 2-103 (логарифм критического числа
Рейнольдса близок к 3,3);
2) переходный режим также почти не зависит от относительной шерохо-
ватости;
5,6 6JJ
Рис. 233.
3) чем меньше относительная шероховатость, тем в большем диапазоне
рейнольдсовых чисел наблюдается обычное турбулентное движение, соответ-
ствующее гладким трубам; так, при относительной шероховатости порядка
0,2% кривая сопротивления почти до Re = 5-104 совпадает с кривой Блазиуса
λ = 0,3164/Re0·25 сопротивления гладких труб; наоборот, при к/а порядка 3—
7% кривые сопротивления пересекаются с кривыми гладких труб и резко
от них отличаются;
4) при тем больших числах Рейнольдса, чем меньше относительная шеро-
ховатость, коэффициент сопротивления перестает зависеть от числа Рейнольдса
и определяется только относительной шероховатостью; при этом значения
коэффициента сопротивления растут вместе с относительной шероховатостью.
Этим основным результатам можно дать наглядное теоретическое истолко-
вание, если сопоставить высоту бугорка шероховатости к с толщиной вяз-
кого подслоя δΒ.
Схематизируя явление, рассмотрим следующие три случая.
1. Первый предельный режим: бугорки шероховатости погружены в
вязкий подслой (к <^ δΕ); наличие этих бугорков не нарушает ламинарно-
сти подслоя, бугорки обтекаются без отрывов и вихреобразований. В этом
случае нет никакой разницы"между;гладкой и шероховатой трубами. Шерохо-
ватая труба является гидродинамически гладкой.
2. Второй предельный режим: бугорки шероховатости выходят за пре-
делы вязкого подслоя (k J> δΕ). Отрывное обтекание бугорков сводит тор-
мозящее влияние поверхности трубы к сопротивлению плохо обтекаемых тел

588 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ, X
(бугорков шероховатости), которое не зависит от рейнольдсова числа и про-
порционально скоростному напору набегающей жидкости.
Этот режим можно назвать режимом развитой шероховатости.
3. Промежуточный режим, когда к имеет тот же порядок, что и бЕ. Этот
режим является наиболее общим; предыдущие режимы по отношению к нему
служат предельными.
Дадим полуэмпирическое обоснование теории турбулентного течения
в шероховатых трубах. Имея в виду, что в общем случае сопротивление xw
по своей природе представляет отнесенное к единице площади суммарное
сопротивление бугорков шероховатости, можно допустить справедливость
формулы сопротивления (uk — скорость на высоте бугорка)
ов»
*(■*?-).
где величина kuh/v играет роль рейнольдсова числа обтекания бугорков»
От юда следует, что
или разрешая относительно t-JL
^±- = ф ( kv* \
υ*
Вид функции Ф неизвестен и будет определен из опытов. Важно лишь отме-
тить, что из предыдущих рассуждений вытекает независимость вида этой
функции от рейнольдсова числа и шероховатости.
Воспользуемся линией вершин бугорков шероховатости у = к, где и = uh
(к — некоторая средняя высота бугорков) для составления граничного усло-
вия при определении постоянной интегрирования С в выражении (89) лога-
рифмичес ого профиля скоростей. Тогда получим формулу распределения ско-
ростей в шероховатой трубе
Отсюда обычным приемом выведем формулу сопротивления Применяя
(116) к оси трубы, проделаем далее те же выкладки, что при выводе формулы
сопротиьления гладкой трубы. Будем иметь
-^ = 5,75 Ig^ + Φ (-*?-). ^р^ + ^-5,751ё±=ф^).
Заменим здесь, лж и ранее,
"max — "ср „ "ср 21/2
= 0,75, =—т=- х
тогда получим формулу сопротивления
3·75+τ?-5·751^=φ(^-)· <117>
Сравнивая между собой (116) и (117), убедимся что для определения
неизвестной функции Φ (kvjv) имеются два не зависящих друг от друга пути:
один, согласно (116),— по измеренным профилям скоростей, другой, основан-
ный на применении (117),— по сопротивлениям трубы. Используя ранее цити-
рованные экспериментальные исследования Никурадзе, нанесем на одном

I 1011 ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ 589
графике (рис.234) функцию <S?(kv#/v), определенную указанным двояким
образом
ф(ЬЦ=^_5,751е-£ = 3,75 + -^-5,751е-±
На рис. 234 белыми и черными кружочками нанесены экспериментальные
данные, полученные соответственно по измеренным скоростям и сопротивле-
ниям. Возможность такого рода сравнения делает определение функции
Φ (kvjv) более надежным.
В первом предельном ре- //
жиме, где профиль скоростей Ф(-£у
должен иметь обычный вид
логарифмического профиля в
гладкой трубе, очевидно, бу-
дет
<D(-^)=5,751gi^ + 5,5,
во втором предельном ре-
жиме
φ (-^) = const = 8,48.
промежуточный
'^^Лжим
о ПО Ш
• по (117)
mi
■ъсг- 2-й пред режим
Οβ Ofi 1,0 1fi 1,8
Рис. 234.
2β 2,6 3,0
Как видно из графика (рис. 234), первый предельный режим имеет место
до значения
feu
lg^<0,47,
kv&
<з,
что определяет границу использования формул гладких труб неравенством
^-<0,25.
Пользуясь определением толщины вязкого подслоя, можем, соглас-
но (91), (104) и (106), написать
V
6Е V
—=а = а -s
α αν* 2α · и.
2и,
ср
65
ср
а 4l/~2
Re 1/λ ~~ Re 1/0,0032+0,221 Re-°,237 ■
что дает следующую оценку для области использования формул гладких труб:
к_ 1М
а ReV0,0032+0,221 Re-<V>37 "
Второй предельный режим определится по тому же графику рис. 234
условием
lgi^L>l,8, -^->60
или
>6,
что приведет к оценке границы области развитой шероховатости
■>
390
Re V0,0032+0,221 Re-o.^? *
Таким образом, каждому значению рейнольдсова числа Re течения
в трубе соответствуют определенные границы относительной^щероховато-
сти к/а, в которых можно пользоваться теми или другими формулами.

590 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
Практически важен второй предельный режим, для которого функция
Φ (kvj\) сохраняет постоянное значение, численно равное 8,48. В этом
случае профиль скоростей будет по (116) определяться формулой
-f = 5,75 lg -£ + 8,48, (H8>
а формула сопротивления (117) после простых приведений представится так:
λ—τ—^ ?- (119>
Отметим, что приведенные формулы теории идеализированной шерохо-
ватости могут применяться для практических расчетов труб, если знать
величину эквивалентной относительной шероховатости kja, которую для
различных поверхностей можно установить экспериментально1).
Изложенная в настоящем и предыдущем параграфах полуэмпирическая·
теория установившегося турбулентного движения в плоских и цилиндриче-
ских трубах с гладкими и шероховатыми поверхностями имеет уже более чем
полувековую давность и стала общепринятой. Нельзя не указать на ряд ее-
недостатков, в частности на отмеченную уже неприменимость предсказанного·
ею логарифмического профиля скоростей вблизи оси трубы, некоторую необ-
ходимую «и ру» констант при переходе от логарифмического профиля скоро-
стей к логарифмической формуле сопротивлений и др.
§ 102. Тепломассоперенос в условиях «пристенной» турбулентности
В задачу настоящего курса не входит изложение практических методов
расчета тепломассопереноса. Этому вопросу посвящены многочисленные спе-
циальные руководства и монографии.
В настоящем параграфе мы остановимся лишь на некоторых принци-
пиальных вопросах, тесно связанных с турбулентным движением и сопро-
вождающим его турбулентным переносом тепла. Что касается турбулентного
переноса вещества, то полуэмпирическая теория этих процессов совпадает
с аналогичной теорией процессов распространения тепла, так что все, что
будет изложено в настоящем параграфе, в одинаковой степени относится
к тому и другому процессам.
Решение общей задачи переноса в турбулентных потоках упирается, как
мы ранее уже видели, в недостаточность наших знаний о коэффициентах
переноса ετ, ε9, ет. Если для первог) из этих коэффициентов удается скон-
струировать достаточно удовлетворительное полуэмпирическое выражение,
содержащее понятие пути смешения, то для остальных двух приходится
пользоваться либо предположением о пассивности переносимой субстанции,
или, что то же, о равенстве турбулентных чисел Прандтля и Шмидта единице,
либо задаваться какими-то эмпирическими средними значениями этих чисел,
либо, наконец, принимать в расчет эмпирические их распределения по потоку.
В настоящем параграфе мы остановимся исключительно на рассмотрении
явлений тепломассопереноса в обстановке «пристенной» турбулентности, ког-
*) Более подробное изложение теории турбулентного движения жидкости при нали-
чии шероховатости стенок можно найти в монографии: Г. ΠΙ л и х τ и н г, Пограничный
слои, перев. с нем., «Наука», М., 1974, а также в отдельных статьях: Л. Г. Л о и ц я- в-
с к и й, Об универсальных формулах в теории сопротивления шероховатых труб, Труды
ЦАГИ, вып. 250, 1936, и там же: К. К. Фе дя е в с к и и, Примерный расчет интенсив-
ности трения и «допускаемых» высот шероховатости для крыла, а также Н. S с h 1 i с h-
t i n g, Experimentelle Untersuchungen zum Rauhigkeitsproblem, Ing.-Archiv 7, 1936
(в этой работе, по-видимому, впервые было введено понятие эквивалентной шероховато-
сти).

§ 102] ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС В «ПРИСТЕННОЙ» ТУРБУЛЕНТНОСТИ 591
да, судя по многочисленным экспериментальным материалам, предполо-
жение о равенстве турбулентных чисел Прандтля и Шмидта единице представ-
ляется удовлетворительным.
Принципиальное значение для дальнейшего имеет вопрос о том, сохраня-
ется ли в явлениях переноса тепла деление потока на подслой с молекулярной
природой переноса {температурный подслой) и турбулентное ядро, где
процессы переноса чисто молярные, не зависящие от молекулярной струк-
туры жидкости, и каково должно быть соотношение между толщинами вяз-
кого и температурного подслоев.
Аналогично тому, как это указывалось в теории ламинарного пограничного
слоя (§ 86), совпадение толщин вязкого подслоя с температурным подслоем
возможно лишь при равенстве молекулярного числа Прандтля единице (Рг =
= 1), так как только при этом осуществляется подобие профилей распределе-
ния скорости и температуры по сечению.
Если молекулярное число Прандтля меньше единицы (Рг < 1), что свиде-
тельствует о повышенной роли теплопроводности жидкости по сравнению
с вязкостью (λ > yiCp), молекулярные процессы теплопроводности сохранят
свое значение в области турбулентного ядра, где вязкостью можно пренебречь.
Отсюда следует, что при Рг< 1 толщина температурного подслоя будет пре-
восходить толщину вязкого подслоя. Так, например, в жидких металлах (ртуть,
расплавы металлов), для которых Рг -С li процессы молекулярной теплопро-
водности будут иметь первенствующее значение в большей части турбулентно-
го ядра.
Наоборот, при молекулярных числах Прандтля, больших единицы (Рг>1),
турбулентный (молярный) характер переноса тепла преобладает над
молекулярным, т. е. обычной теплопроводностью. Это приводит к тому, что
в некоторой внешней части вязкого подслоя развивается турбулентный перенос
тепла и, следовательно, температурный подслой становится тоньше вязкого.
Такого рода соотношение между толщинами вязкого и температурного подслоев
особенно резко проявляется в потоках очень вязких жидкостей (смазочных
масел, глицерина и др.), у которых Рг Э> 1·
Расширение аналогии Рейнольдса ((53), (54)) на случай молекулярных
чисел Прандтля, не равных, но близких к единице, было предложено Тэйлором1)
и Прандтлем 2). Считая, что в этом случае можно пренебречь'малой разницей
в толщинах вязкого и температурного подслоев, а распределения скоростей
и температур внутри этих тонких, совпадающих по толщине слоев принять
линейными, будем иметь, опуская знак осреднения по времени (τ =
= const = tw, q = const = qw, jTe —температура на границе вязкого подслоя),
Τη Тт1
АШ^»Ъ *-*·—ЧЗ-и-*-*^· <120>
Согласно принятому условию равенства единице турбулентного числа
Прандтля, в турбулентном ядре потока, независимо от условия Ρ г Φ 1,
будет существовать подобие распределений осредненных скоростей*и темпера-
тур, так что {Uсо > ив, Тоо<. ТВ<С Tw— скорость и температура вдалеке от
твердой стенки, на внешней границе турбулентного пограничного слоя или
на оси трубы)
U со — UB
1) G.J. Taylor, Conditions at the surface of a hot body exposed to the wind, Techn.
Rep. Adv. Com. Aeron. 2, № 272, 1916.
2) L. Ρ r a n d t 1, Bemerkung über den Wärmeübergang im Rohr, Phys. Zeitschr.
29, 1928.

592 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ.
и, следовательно, вне вязкого (или температурного, что при Ρ г ~ 1 одно и
то же) подслоя имеет место соотношение
1 дТ _ 1 ди
Тао — Тъ ду ~ Uco — UB ду '
которое можно тождественно переписать в форме (Aq = Ατ, ε5 = ετ)
дТ ди
cPAQ~8y- Ατ ду
pCp (Too - Тв) (С/« - UB) ρ ψ с — UB)2 »
или lcpAq-т— =^q — const = 9ω; Лт-^—=τ —const = Tu,Jt
5u> τ1«
pCp (i/βο - «в) l^B - Γβο) Ρ (Ucc - UBf '
(122)
что представляет очевидное обобщение формулы (53).
Исключим теперь из системы равенств (120) и (122) две величины: δΒ и
Тя. Будем иметь
' » С ρ ■* в = Ср i и> г Г WB — ,
X;
W
а равенство (122) перейдет в следующее:
Qw
pCpUoo {Tw—Tcc) pU^ [i + (P r „ 1} Ba/t/oo] '
(123)
вли по принятым ранее обозначениям (конец § 98)
1
St— ? jj—, (124)
l + (Pr-l) -gi-
Переходя, как и в § 98, в случае плоской или цилиндрической круглой
трубы от Uсо и Too к средним расходным величинам цср и Гср (при составле-
нии этих величин можно при числе Прандтля, близком к единице, пренебречь
•слабым неподобием распределений скоростей и температур в вязком подслое,
составляющем ничтожную часть интервала интегрирования), получим вместо
(124)
St= ЬЁ. (125)
1+(Рг_1) "" V '
и,
ср
Полученные соотношения (124) и (125) представляют искомые обобщения
аналоги Ι Рейнольдса (54) и (57) на случай малого отличия числа Ρ г от
единицы. Переписывая их в форме (а ж 11,5)
-о|- = —+ (Рг-1)-^- —= —+ (Рг-1)-^-^-—-
Stoo cf Ua> Cf cf V* Ua
v*
^(Pr) = a(Pr —1) (126)
или
убедимся, что в рассматриваемом случае малого отличия Ρ г от единицы дело
сводится к малому поправочному слагаемому в классической формуле ана-

§ 102] ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС В «ПРИСТЕННОЙ» ТУРБУЛЕНТНОСТИ 593
логии Рейнольдса. Величина λ является функцией от рейнольдсова числа
потока и была уже определена в предыдущем параграфе.
На рис. 235 показан график (прямая 1) функции g (Ρ г), входящей в фор-
мулу (126). Для сравнения там же приведены экспериментальные точки Игла—
Фергюссона г). Совпадение с опытом формулы Прандтля (126) можно признать
удовлетворительным только при числе Ρ г, близком к единице.
Рис. 235. Рис. 236.
Карман 2) отказался от «двухслойной» схемы и поместил между вязким
подслоем и турбулентным ядром, в которых соответственно
φ = η при 0 -< η < 5, φ = 5,75 lg η + 5,5 при η > 30,
новый «промежуточный» (его иногда называют «буферным») слой с распреде-
лением скоростей (рис. 236)
φ = 11,5 lg (η/5) + 5 при 5 < η < 30.
Такое введение переходной области от вязкого подслоя к турбулентному
ядру резко расширило область применения обобщенной аналогии Рейнольдса.
Кривая 2, соответствующая формуле «трехслойной» схемы (рис. 235)
g(Pr) = 5{(Pr-l) + 2,31g[l + |(Pr-l)]}, (128)
очень хорошо совпала с данными Игла и Фергюссона до значений числа Ρ г
порядка 10.
Дальнейшее продвижение в область больших чисел Прандтля потребова-
ло использования «многослойных» схем и привело к сложным методам расче-
та. Этого недостатка лишена «бесслойная» теория непрерывно распределен-
ного по всей области взаимодействия молекулярных и молярных процессов
переноса i3).
*) A. Eagle, R. Fergusson, On the coefficient of heat transfer from the in-
ternal surface of tube walls, Proceed. Roy. Soc, London, ser. A, 127, 1930.
2) Th. v. К а г m a n, The analogy between fluid friction and heat transfer, Trans.
Amer. Soc. Mech. Engnr. 61, 1939.
3)R. Deissler, Analysis of turbulent heat transfer, mass transfer and friction in
smooth tubes at high Prandtl and Schmidt-numbers NACA Rep. № 1210, 1959; Th. Han-
ratty, Study of turbulence close to a solid wall, Phys. of Fluids, Supplement, 1967,
126-133.
38 л. Г. Лойцянский

594 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
Положив турбулентные числа Прандтля и Шмидта (49) равными единице,
перепишем формулы (46) в обобщенном виде (знаки, зависящие от направления
потоков тепла или вещества, так же как и знаки осреднения, опущены) 1)
b=^-f-(l + Pr^-)-X-f.[l-Pr + Pr/(R)],
mn = pD^(l + Sc-^-)-pD-|-[l-Sc + Sc/(R)].
В формулы (129) входит учитывающая влияние молекулярных процессов
переноса на молярные (турбулентные) процессы «переходная» функция / (R)
от локального рейнольдсова числа R
D Pdu/dy _ ετ
построенного по действительному, включающему в себя влияние вязкости
пути смешения I (у), выбранному в качестве характерного локального масштаба
поперечных к линиям тока осредненного движения длин, в частности ординат,
и локальному масштабу скоростей I du/dy (от местной скорости и(у), как уже
ранее было пояснено, турбулентный обмен зависеть не может). Подчеркнем,
что путь смешения 1(у) отличен от введенного в § 98 прандтлевского пути
смешения 1рГ (у), равного в рассматриваемом сейчас простейшем случае движе-
ния 1Рг = κy.
Это различие между действительным и прандтлевским путями смешения
особенно велико в граничащей непосредственно с твердой поверхностью
тонкой области, имеющей поперечный размер порядка вязкого подслоя
(§ 100). Если в этой области сохранить определение кинематического коэф-
фициента турбулентного обмена
ετ =.- l2du/dyt εΧ/ν = A2dq>/dr\, (131)
где Λ = Ш*,) то, как показали разнообразные по физической сущности
опыты, прандтлевское определение пути смешения Лрг = κη в этой области,
при dy/dt) близком к единице, не совместимо с обнаруженным эксперимен-
тальным законом
ε,/ν = γκ4η4, (132)
где γ представляет универсальную постоянную, равную 0,0092 по Дайслеру
или 0,0125 по Хэнрэтти, а κ = 0,4. Однако, при выходе из этой области,
Λ быстро приобретает значение Λ = ΛρΓ= κη, что позволяет в ряде слу-
чаев с достаточным приближением использовать эту обычную закономер-
ность, вместо неизвестной Л (у) во всей области рассматриваемого турбу-
лентного течения.
Дополним ранее введенные для потока в целом универсальные масштабы:
скоростей — ν# = к τω/ρ, длин — 1# = ν Ιν%, аналогичными масштабами
температур и концентраций вещества, положив
Т* = ?и>/(Рср *>♦). с« = mw/(pvj. (133)
*) Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Полуэмпирическая теория взаимодействия процессов
молекулярного и молярного обмена в турбулентном движении жидкости, Труды Все-
союзн. съезда по теоретической и прикладной механике (27 января — 3 февраля 1960 г.),
Изд. АН СССР, М., 1962, 145—165 и того же автора «Перенос тепла в турбулентном
движении», Прикл. матем. и меч., т. XXIV, в. 4, 1960, 637—646.
(129)
(130)

§ 102] ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС В «ПРИСТЕННОЙ» ТУРБУЛЕНТНОСТИ 595
Выраженные в частях этих масштабов координаты у, скорости и, темпера-
туры Τ и концентрации вещества с будут далее обозначаться так:
У — У"* __ „
и
Т I
X·
(134)
Деля обе части равенств (129) соответственно на xw, qw и mWl вспоми-
ная, что в рассматриваемом простейшем случае имеют место равенства
τπ = const = rw, qB = const = qw, ma = const — mw
и переходя к универсальным величинам (134), получим следующую систе-
му уравнений для определения функций φ(η), ψ(η), Χ (η):
л i ,o\ d(P л 1-Pr + Pr/(R) # . _ i-Sc+Sc/(R) dt ,, ^
В этой системе трех уравнений заключены четыре неизвестные φ, ψ, %
и R, кроме того, еще не определена переходная функция /(R).
Сопоставляя первое уравнение системы (135) с выраженным в универсаль-
ных переменных локальным рейнольдсовым числом (130)
/ I \2 1% ц, d<p ^д2 αφ
\ h I v Z* dt] df\ '
R =
(136)
найдем связь между А и R:
A = /R/(R),
(137)
которая, после приближенной замены в левой ее части Λ на Λρ/= κη,
приведет к следующим, дополняющим систему (135) равенствам:
η—^KR/(R), ^η-2κ y__ dR.
Тогда получим искомую замкнутую систему дифференциальных уравне-
ний, имеющую параметрическое решение в квадратурах:
R Rf (R)+/(R)
^■L·]
о
R
1/R/3(R)
Rf (R)+/(R)
, , 1 f Rf (R)+/(R)
о [-pV+/(R)-i]l/R/(R)
dR,
Rf (R)+/(R)
dR,
(138)
0 [■^+HR)~i]liRnR)
Решение это справедливо при любых числах Прандтля и Шмидта и мо-
жет быть использовано так, как это уже делалось в предыдущем параграфе,
для расчета течения и тепломассопереноса в плоской и круглой цилиндриче-
ской трубах, а также и в пограничном слое. ·
Непосредственное рассмотрение системы (138) обнаруживает, что второе
и третье уравнения этой системы при Pr = Sc становятся тождественными.
Это соответствует сделанному ранее замечанию о количественной эквивалент-
ности процессов тепло- и массопереноса. Кроме того, также непосредственно
можно заключить о подобии распределений скоростей и температур, а следова-
тельно, л концентраций при Рг = Sc = 1·
38*

596 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ, X
Обратимся к выбору переходной функции / (R), которая по своему
назначению должна выражать переход от вязкого режима течения вблизи
твердой стенки (малые R) к смешанному вязкотурбулентночу течению вдали
от нее (большие R).
Согласно общему равенству
du , i i i\ du , du
или в универсальных координатах
%w dr\ * v dr\ dx\ \ ' ν /
и первому уравнению системы (135), выражающему способ введения функции
/(R), будем иметь
/(R) = i+-V- (139)
При малых R, используя экспериментальный закон (132) и прандтлевское
определение Лрг = κη, найдем при dq>/dr\ « 1
/ (R) « 1 + γκ4η4 » 1 + yR2. (140)
При больших R будем иметь асимптотическое равенство (~ — знак
асимптотического равенства при R —»- оо)
/(R)~l + R. (141)
Не вдаваясь в неизвестный механизм действительного перехода режимов
течения от вязкого на твердой стенке до смешанного вязкотурбулентного
вдалеке от нее, потребуем от функции / (R) плавного, монотонного перехода
от значения (140) при малых R к (141) — при больших R. Легко убедиться,
что этим предельным условиям можно удовлетворить функцией/(R)
/(R) = 1 + r[1-(i+-Jr)~S], (142)
которая при s —>· оо приводит к экспоненциальному выражению той же
функции
/(R) = l + R(l-e-vR). (Ш)
На рис. 237 в логарифмическом масштабе штрихами показаны кривые 3 и
4, соответствующие формулам (140) и (141); на том же рисунке показаны
кривые 1 и 2, нанесенные согласно (142) и (143). Возрастание s от s = 2 до
s — оо мало влияет на форму перехода /(R) с кривой (142) на кривую (143).
Удовольствуемся приведением двух результатов расчета *).
На рис. 238 показано сравнение «универсального» профиля скоростей
ц = φ (η) с результатами различных экспериментов.
Произведенный на основе параметрического уравнения (138) расчет
коэффициента теплоотдачи привел к следующему асимптотическому обоб-
щению аналогии Рейнольдса на случай больших чисел Прандтля (~
знак асимптотического равенства при Рг—>-оо)
β1~0,04λ1/2Ρ|·-3/4-(0,0124 + 0,0175λ1/2)Ρ|·-6/* +
+ 0,0985λ1/2Ρ|·-7/* + Ο(ΡΓ-9/'). (144)
*) См. ссылку на стр. 594.

δ 102] ТЕПЛОЫАССОПЕРЕНОС В «ПРИСТЕННОЙ» ТУРБУЛЕНТНОСТИ 597
Как показало сравнение с относящимися к движению в трубах экспери-
ментальными результатами, приведенными в ранее цитированной статье Дайс-
лера, тепловое число Стэнтона St, так же как и диффузионное число Std,
igfW
'г/
//
//
//
S/7
?f
12 3
LffK
Рис. 237.
отличающееся от (125) заменой числа Прандтля Рг на число Шмидта Sc, до-
статочно удовлетворительно выражается формулой (144). Штриховая кривая
на рис. 239 соответствует асимптотическому ряду (144), сплошная — пре-
дельной формуле — первому члену
ряда (144)
St=0,(^1/2Pr-3/*.
St.St,
(145)
При расчете этих кривых коэффици-
ент сопротивления трубы λ вычис-
лялся по формуле Блазиуса λ =
= 0,3164 Re-0·25, справедливой при
использованном в опытах рейнольд-
совом числе Re = 104.
Использовав простейшее физи-
ческое допущение о влиянии вяз-
кости на распределение пути смеше-
ния, Ван-Драйст1) получил широко
вошедшую в практику формулу
г = ху[1—ехр(—ц1А*)\, Л* = 26.(146)
Рг, Sc
Рис. 239.
В этой формуле квадратная скобка, стоящая в правой части, служит
поправочным множителем, выражающим влияние вязкости на прандтлевское
распределение пути смешения.
В настоящее время учение о «пристенной» турбулентности получило
значительное развитие как большой самостоятельный раздел общей тео-
рии турбулентных потоков. У нас в Союзе этим вопросом особенно много
занималась группа ученых Сиби; ского отделения Академии Наук СССР
1956.
*) Е. V а n - D r i e s t, On turbulent flow near a wall, Journ. Aeron. Sci. 23, № 11,

598 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ £ГЛ. X
(Э. П. Волчков, М. А. Гольдштик, А. И. Леонтьев, В. Е. Накоряков,
B. В. Орлов, Ε. Μ. Хабахпашева, В. И. Штерн и др.) под руководством
C. С. Кутателадзе. Современное состояние этого раздела, включая резуль-
таты последних советских теоретических и экспериментальных исследова-
ний, можно найти в монографии С. С. Кутателадзе х).
§ 103. Полуэмпирический и эмпирический методы расчета турбулентного
пограничного слоя на гладкой и шероховатой пластинах
Рассмотрим решение простейшей задачи о турбулентном пограничном
слое на продольно обтекаемой пластинке, восходящее к первой работе Карма-
на по полуэмпирическим методам 2) и несколько измененное нами в расчетной
части. Остановимся сначала на установлении уравнений, используемых в этой
задаче.
Вывод уравнений турбулентного пограничного слоя из общих уравнений
Рейнольдса, так же как и последующий вывод интегрального соотношения
импульсов, нельзя признать полностью обоснованным. Ничего другого, кро-
ме интуитивно воспринимаемой аналогии с ламинарным пограничным слоем,
заключающейся в откидывании продольных производных по сравнению с по-
перечными, π замены второго уравнения условием малости поперечного перепа-
да давления по сравнению с продольным, в сущности говоря, нет. Поэтому
уравнения турбулентного пограничного слоя вблизи твердой поверхности
составляются из уравнений Рейнольдса (16) аналогично тому, как уравнения
ламинарного слоя были составлены из уравнений Стокса движения вязкой
жидкости. Будем иметь в случае плоского стационарного турбулентного
пограничного слоя
ди , ди тт dU , 1 δτπ ди δν Α ,. ,п.
где тп обозначает полное касательное напряжение трения между слоями
осредненного течения и заключает в себе как турбулентное, так и обычное
вязкое трение
ди —T~i ди ,
д
При составлении первого из уравнений (147) откинуты члены — (—ри'2)
и μ-^-γ, как малые по сравнению с основным членом -~s-, характеризующим
влияние трения. Такое откидывание общепринято, хотя и нет твердой уверен-
ности в том, что оно одинаково справедливо во всех областях пограничного
слоя, в частности вблизи отрыва.
^ равнения турбулентного пограничного слоя (147) представляют неопре-
деленную систему уравнений, так как, в отличие от случая ламинарного слоя
тп содержит неизвестное слагаемое τ. Остановимся на тех простейших приемах
расчета турбулентного пограничного слоя, которые широко применяются
на практике и в какой-то мере до поры до времени ее устраивают. Приемы эти
базируются на использовании первого и наиболее просто выводимого из уравне-
ния (147) интегрального соотношения — знакомого уже нам по предыдущей
главе уравнения импульсов, иногда на уравнении изменения осредненной
г) С. С. К у т а т е л а д з е, Пристенная турбулентность, «Наука», Новосибирск,
1973.
2) Th. К á r m á η, Mechanische Ähnlichkeit und Turbulenz, Nachr. d. Gesellsch. d.
Wissen, zu Göttingen, Math. Phys. Kl., 1930 (см. русский перевод в ранее уже цитирован-
ном сборнике «Проблемы турбулентности», ОНТИ, М., 1936, 271—286).

§ 103] РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 599
энергии пульсаций (26) или на аналогичных уравнениях для рейнольдсовых
напряжений.
Уравнение импульсов в случае турбулентного слоя выводится в точности
так же, как и в случае ламинарного слоя, и имеет тот же вид
^+^(2 + Я) = ^, (148)
где тредш основными неизвестными являются: толщина потери импульса δ**,
отношение δ*/δ** = Η и напряжение трения %w или коэффициент местного
трения Cj = 2тш /(р£/2). Для установления приближенных дополнительных
связей между этими величинами в теории ламинарного слоя достаточно бы-
ло более или менее удачно выбрать однопараметрическое семейство профилей
скорости в сечениях слоя. В случае турбулентного слоя величины %w или cf
непосредственным дифференцированием профиля осредненных скоростей опре-
делены быть не могут, и необходимо либо пользоваться полуэмпирическими
законами связи между напряжением трения τ в любой точке потока и распреде-
лением скоростей вблизи этой точки (Прандтль, Карман), либо какими-нибудь
эмпирическими законами сопротивления, как, например, связью между Cj,
Re** = £/δ**/ν и выбранными формпараметрами.
Сравнительно просто решается задача о турбулентном пограничном слое
в случае продольного обтекания гладкой и шероховатой пластин, когда
U = const = Uco, U' = 0.
Начнем с полуэмпирического метода. Сразу же после появления формул
Прандтля (37) и Кармана (43), авторы этих формул применили их для расчета
турбулентного пограничного слоя х).
Покажем 2), что при использовании формулы Кармана и в предположе-
нии постоянства напряжения трения поперек пограничного слоя существует
простой путь построения решения задачи о турбулентном пограничном слое
на продольно обтекаемой пластине, использование которого позволяет
легко обобщить ниже изложенную теорию сопротивления пластины в не-
сжимаемой жидкости на случай газового потока с большими числами М-
Интегральное соотношение импульсов (148) для продольно обтекаемой
пластины имеет вид (С7' = 0)
dx pUl » ·
где х — координата, направленная вдоль поверхности пластины; U'<» и ρ —
соответственно скорость и плотность набегающего потока; тш — напряжение
трения на стенке; δ**—толщина потери импульса. Применим универсальные
координаты
и υ*υ
ν*
здесь у — координата по нормали к поверхности пластины; ν — коэффициент
кинематической вязкости; ν* — динамическая скорость. Тогда
оо
•"-tcI-H1-!)*1·
о
где h = C/oo/f*.
*) Сводное изложение этих методов расчета можно найти в нашей монографии «Аэро-
динамика пограничного слоя», Гостехиздат, Л.— М., 1941, 310—313 и 335—338.
2) Ю. Б. Лапин и Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Применение метода Кармана к
расчету турбулентного пограничного слоя на пластине в газовом потоке, Труды ЛПИ,
№ 217, 1961.

600 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
Принимая φ в качестве независимой переменной вместо η, получим
(точка над буквой — производная по φ)
***=т1Ж-1М1)- <ш>
о
Величина η = dt]/d(p в вязком подслое равна единице (η = 1). В турбу-
лентном ядре для определения η используем соотношение Кармана (штрих
означает производную по у)
τ = рх2и'Чи"2;
κ — константа турбулентности, равная 0,4.
Принимая допущение о постоянстве напряжения трения поперек слоя
τ = тш и переходя к универсальным координатам: φ = и у*,η = yvj\, по-
лучим (штрих теперь означает производную по η)
$—-*■ (150>
Знак минус появляется после извлечения корня в связи с тем, что φ" < 0.
В равенстве (150) поменяем местами аргумент и функцию, тогда получим
уравнение η/η = κ, из которого следует, что
η = Cgwp. (151)
Если обозначить через / величину производной dq/dr] на границе вяз-
кого подслоя η = ηΒ = а со стороны турбулентного ядра, положив (§ 100)
/=(■£-) =φ'(α + 0) = -1-,
' \ dt] /η=·ηΒ+0 Υ ν ' κα '
то равенство (151) примет вид
r\ = ^-j—e^, (152)
где α — константа турбулентности, равная 11,5.
Возвращаясь к равенству (149), заметим, что, строго говоря, интеграл
в правой части этого равенства следовало бы разбить на два участка: 0 <^φ ^
^аи α^φ^Α, ив каждом из них подставить свое значение η. Однако
ввиду относительной тонкости вязкого подслоя, мало влияющего на зна-
чения интеграла (149), можно опустить первый участок, продолжив второй
до стенки. Как показывают вычисления, при больших h заметной разницы
в значениях интеграла не получается.
Таким образом, исключая η из равенств (149) и (152), получим следующее
выражение для толщины потери импульса:
1
S**.
/г/со
f и(1 — u)e*hudu, (153)
где и = φ/h.
Величина yh, как это видно из ее определения, существенно превосходит
единицу. В таких случаях удобно пользоваться следующим общим представле-
нием интеграла (содержащего показательную функцию), которое получается
как результат интегрирования по частям:
|^/(ψ)^=^[/(ψ)-^+^-...].

§ 103]
РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
601
В том случае, когда ряд в квадратных скобках не обрывается, эту форму
можно рассматривать как ряд, выражающий значение интеграла при боль-
ших xh.
Выполняя в (153) интегрирование с помощью последнего ряда, получим
выражение для толщины потери импульса
ve
е
,y.h
(1-я-)· <154>
Найдем еще выражение для формпараметра Η = δ*/δ**. Способом, анало-
гичным показанному выше, можно найти следующее выражение для толщины
вытеснения:
Λ* ·~ gXh#
/κ2Ζ7„
Составляя отношение δ*/δ**, согласно приближенному равенству (154), полу-
чим выражение для Η
if«_V=(1_5T/fr.
которое при числах Рейнольдса 106 — 107 дает значение Η = 1,3, хорошо
согласующееся с опытом.
Возвращаясь к выражению (154), заметим, что при вычислении толщины
потери импульса можно пренебречь вторым слагаемым в скобках по сравне-
нию с первым. Как показали расчеты, при больших значениях v)i ошибка,
получающаяся в вычислении коэффициента трения при таком приближении,
является незначительной.
Приняв для толщины потери импульса такое приближение, подста-
вим ее выражение в интегральное соотношение импульсов. После простых
преобразований получим следующее уравнение:
J^Lh4(**) = dRex; Rex = ^.
Беря интеграл от обеих частей этого уравнения и используя граничное усло-
вие Rex = 0 при ν* = оо, т. е. h = 0, будем иметь в том же приближении
Логарифмируя обе части этого равенства и возвращаясь от переменной h
к cj по равенству h = ]/2/c^, получим формулу Кармана
ilY7f=A+B\g{Rexcf),
где по опытам Кемпфа можно положить А = 1,7; В = 4,15.
Полуэмпирическая формула Кармана представляет неявную зависимость
между местным коэффициентом сопротивления cf и рейнольдсовым числом Re*,
что для вычислений представляет некоторое неудобство. В связи с этим появи-
лись эмпирические методы расчета турбулентного пограничного слоя на пла-
стине и раньше всех основанный на применении «закона одной седьмой» для
профиля скоростей и «одной пятой» [см. далее формулу (163)] для сопротивле-
ния. Изложим простой эмпирический метод, охватывающий широкий диапазон
рейнольдсовых чисел.
Введя рейнольдсово число Re**=t/oo6**/v, перепишем уравнение
импульсов в форме
d Re- ■ iw 1 л сеч

€02 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
В этом уравнении две неизвестные величины: Re** (или б**) и τω, что
делает его неопределенным. В качестве дополнительного соотношения, замы-
кающего уравнение (155), зададимся эмпирическим законом сопротивления.,
связывающим безразмерное трение тш/(рС/^) с местным реинольдсовым числом
Re**. В качестве такого закона используем степенной закон, предложенный
Фолкнером г) в результате обработки обширных экспериментальных материа-
лов, полученных из опытов в аэродинамических трубах, гидравлических лот-
ках и ткрытых водных бассейнах при больших значениях рейнольдсовых
чисел Ret = UccL/v (L — длина пластины). Закон этот после пересчета на
принятую в последующем изложении толщину потери импульса может быть
представлен в виде
-0-*= 0,00655 Re**"1'*. (156)
Уравнение (155) после подстановки этой закономерности принимает вид
d. ρ8** = 0,00655 Re**-1*»;
интегр ование дает
Re**'/e = ^-.0,00655 Re* + С. (157)
Пр положим сначала, что ламинарный участок пограничного слоя прене-
брежимо лпл и турбулентный слой устанавливается прямо с передней кромки
пластины. Тогда δ** = 0 при х = 0 или, что все равно, Re** = 0 при
Re^c = 0; это означает, что С = 0.
При тчком предположении будем иметь по (157)
Re** = 0,0153 Re£'', (158)
или, воз ращаясь от рейнольдсовых чисел Re** и Re* к толщине потери им-
пульса 6** и абсциссе х,
δ** = 0,0153 (т^)1'' *6/'·
Таким образом, приходим к выводу, что толщина потери импульса β тур-
булентном пограничном слое на пластине растет пропорционально абсциссе
е степени шесть седьмых; этот закон мало отличается от линейного. Вспомним,
что в случае ламинарного слоя на пластине толщина потери импульса возра-
стала пропорционально корню квадратному из абсциссы, т. е. гораздо медлен-
нее, чем в турбулентном слое.
Отношение толщины потери импульса к абсциссе представляет слабую
функцию рейнольдсова числа
Ь**1Х = 0,0153 Refh·
Все эти соотношения хорошо соответствуют опытным данным, получен
ным в аэродинамических трубах и бассейнах.
По закону Фолкнера и (158) найдем (значок 0 при коэффициенте сопротив-
ления отмечает, что рассматривается продольное обтекание пластинки, при
котором dpldx и dUldx равны нулю)
ci0=xEi^- = 0,0131 Re**-1/e = 0,0131-0,0153-1/β Re:'7'. (159)
*) V. Μ. F a 1 k η e r, The resistance of a smooth flat plate with turbulent boundary-
layer, Aircraft Engineering 15, 65, 1943.

§ 103] РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 603
Окончательный вид формулы местного коэффициента трения будет
cf0 = 0,0263 Re-1''. (160)
Отсюда уже легко получить и выражение полного коэффициента сопро-
тивления пластины длины L, определяемого формулой
Г - w
Имеем
L
^ xwdx 1 Re
С/0 =^~7Т7= ICfod (i")=_^ Ic'°d Re*'
fP^oo^ о о
и в силу (160)
С/0 = 0,0307 Re-1/', (161)
где под Re понимается рейнольдсово число обтекания пластины
Re = i^.
Эмпирические формулы (160) и (1б1) хорошо совпадают с опытом при
больших значениях чисел Рейнольдса и могут с успехом применяться для ра-
счета сопротивления пластин при тех режимах обтекания, когда ламинар-
ный участок достаточно мал.
На рис. 240 приводится сводный график, на котором нанесены экспери-
ментальные точки, относящиеся к самым различным условиям опытов в воздухе
и в воде на пластинах как полностью гладких, так и со специально помещен-
ными вблизи носовой точки шероховатостями, служащими для преждевремен-
ного создания турбулентного пограничного слоя; опыты проведены в широ-
ких пределах рейнольдсовых чисел г).
Предлагаемая степенная формула (161) в широком диапазоне рейнольд-
совых чисел практически совершенно не отличается от логарифмической
формулы Прандтля — Шлихтинга 2) (на рисунке — сплошная кривая)
С}0 = 0,455 (lg Re)"2·58 (162)
π прекрасно соответствует опытным точкам чисто турбулентного обтекания
пластины без ламинарного участка в носов й части. Показанная штрих-
пунктиром степенная зависимость
С/0 = 0,074 Re-1'5 (163)
пригодна лишь при сравнительно малых Re, примерно до Re = 5-106. При
больших Re эта прямая отходит от экспериментальных точек, как это хорошо
видно на нижней части рис. 240. Эмпирическое обоснование формулы (163)
связано с использованием для профиля скоростей закона одной седьмой, о кото-
ром была речь в § 101.
Из верхнего графика, приведенного на рис. 240, следует, что коэффициент
сопротивления пластины с полностью ламинарным слоем значительно мень-
ше, чем коэффициент сопротивления пластины с полностью турбулентным
*) Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости, т. II, ИЛ, М.,
1948, 40—42.
2) См., например, нашу монографию «Аэродинамика пограничного слоя», Гостехиз-
дат, Л,— М., 1941, 313.

604
ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
ЕГЛ. X
°· °07 г 1 1—Ι—Ι i—'—Ι—Ι—r~n 1 1—Ι 1—Ι—Ι—Ι—m
nnnnc Ламинарный, погра^--^, x'.^""" ' , I t Г
о,оог —: —=i^^t^r 1
00015 I ' I I I i г—I I I _i I I I , I LJ I I
10s 1,5 Ζ 2,5 3 k 5 6 7 8 9 I0E 1,5 2 2,5 3 4 » 5 6 7 в 9 ΙΟ7
КриШ Ш турбулентного \ Сг 0,455 (ig^ Re
пограничного слоя [' СГ*0,07ЧН
o,ooi54, I—I 1 1—I—.—1J 1—H---L· I— Г~| r~J—LU
Ю7 1,5 I 1,5 3 4 5' 6 7 8 9 W8 1,5 2 2,5 3 k 5 6 7 8 9 ΙΟ3
Re
Рис. 240.

§ юз]
РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
605
слоем. Так, например, если бы каким-нибудь образом удалось получить обте-
кание пластины с полностью ламинарным слоем при Re = 500 000, то коэффи-
циент сопротивления ее был бы равен С/яам = 0,0018; при полностью турбу-
лентном слое и том же Re имеем С/турб = 0,005, т. е. примерно в три раза
больше. При больших числах Рейнольдса эта разница становится еще
разительнее. Отсюда можно заключить о выгодности затягивания ламинар-
ного слоя на обтекаемом теле одним из тех путей перемещения точки пере-
хода, о которых говорилось в начале настоящей главы.
Чтобы рассчитать сопротивление пластины, имеющей в носовой части
участок ламинарного пограничного слоя, необходимо разыскать входящую
в равенство (157) постоянную С, в этом случае уже не равную нулю.
Заменяя область перехода одной точкой, необходимо условиться о спо-
собе сращивания решений на стыке областей ламинарного и турбулентного
движений. Наиболее естественным с точки зрения принятых в предыдущей
и настоящей главах приемов является использование предположения об
одинаковости толщины потери импульса в сечении, где происходит смыкание
ламинарного и турбулентного участков; при этом δ** или Re** в начальной
точке турбулентного пограничного слоя приравниваются их значениям в кон-
це ламинарного участка, рассчитанным по теории ламинарного погранич-
ного слоя.
Интегрируя обе части уравнения импульсов по х от переднего края пла-
стины до точки перехода, заключим, что принятое условие сращивания пред-
ставляет естественное с физической стороны требование непрерывности роста
полного сопротивления Wx = pU2co&**(x) участка пластины от х = 0 до
данного х при переходе абсциссы конца участка за абсциссу точки перехода.
Обозначая общие для обоих участков пограничного слоя в точке перехода
величины соответствующих чисел Рейнольдса через Rext и Re**, получим по
(157)
Re**'/e _ Ref/е = 0,00765 (Re* - Re*,), (164)
причем, согласно теории ламинарного пограничного слоя на пластине, будет
Ref = 0,664]/"^!^".
Не останавливаясь на деталях, укажем, что учет влияния величины Re^t
на полное сопротивление пластины приводит к переходным кривым, показан-
ным на рис. 240 штриховыми линиями. Для различных аэродинамических
труб или других искусственных потоков положение и форма этих переходных
кривых зависят от изменения значений параметра Re^. Величина Re^ зависит
от турбулентности набегающего потока, шероховатости поверхности вблизи
передней кромки и других причин.
Изложенный только что эмпирический метод расчета турбулентного погра-
ничного слоя относится только к пластине с гладкой поверхностью.
Метод был обобщен на случай шероховатой пластины В. Ф. Дробленко-
вым *), предложившим для режима установившейся шероховатости, когда
tw/pUlo не зависит от рейнольдсова числа, а только от местной относительной
шероховатости δ**Ik, пользоваться степенным законом сопротивления
-^ = 0,0031 (^1)-1/в. (165)
Применяя вновь уравнение импульсов, получим уравнение
^ - 0,0081 ( ·£)Λ
1)В. Ф. Дробленков, Турбулентный пограничный слой на шероховатой
криволинейной поверхности, Изв. АН СССР, ОТН, 8, 1955, 17—21.

606 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
которое, будучи проинтегрировано при граничном условии 6** — 0 при
х = 0, даст формулу изменения толщины δ** вдоль пластины
6** = 0,008ж(у)-1/'.
После этого уже нетрудно по (165) найти распределение местного коэффи-
циента трения
τ" =0,0139 (у)"7', (166)
с, = -
1
PUI
а, проинтегрировав по длине пластины /,— и коэффициент полного сопротив-
ления пластины
I %wdx
С/ = -
■9UII
= 0,0162(1)
l \-4i
(167)
На рис. 241 приведены для сравнения результаты расчета по формуле (167)
и по формуле Шлихтинга *)
^=(1,89 + 1,62^1)' ' ,
выведенной из более сложных теоретических соображений.
(168)
CflW
6,0
5fl
40
3,0
2,0
f,o
г П
I
^■#
t^s.
■^^"**
. I..
^
— no формуле (167)
—·— по срормуле (168)
1
^
1
3,5 4,0 %5 $0 5,5
Рис. 241.
6,0
6,5
iffCi/κ)
He будем останавливаться на рассмотрении вопроса о расчете сопротивле-
ния пластины при промежуточном режиме течения в пограничном слое, соот-
ветствующем интервалу шероховатости 1/4 <С к/Ьв < 6. Укажем, что Прандтль
и Шлихтинг подробно изучили этот вопрос и разработали общие номограммы
для расчета Cf и Cf при любом режиме шероховатости 2); приводим их на
рис. 242 и 243. Пользуясь этими номограммами, можно производить разно-
образные, конечно, только оценочные расчеты. Так, например, если задаться
абсолютным размером бугорка шероховатости к, то крпвые семейства х/к =
= const на рис. 242 или Ilk = const на рис. 243 представят зависимости
местного'коэффициента сопротивления от местного или общего рейнольдсовых
1) H. Schlichtin g, Experimentelle Untersuchungen zum Rauhigkeitsproblem,
lng.-Archiv 7, 1936.
2)L. Prandtl und H. Schlichtin g, Der Winderstandsgesetz rauher Plat-
ten. Werft, Reederei, Hafen 14, 1934.

§ ЮЗ]
РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
607
чисел при фиксированном х или коэффициента полного сопротивления при
фиксированной длине пластины I. Кривые семейств Udclv — const при
заданной абсолютной шероховатости к позволяют определить изменение тех
J^f 3-Ю3 ПО4 3-Ю* 1-Ю5 3-Ю5
Рпс. 242.
У°°К=3-Ш
5, s> s s H> la sss
5-Ю3
•m
i-iDs
Ζ 0s
5 Η
1 /Γ
Ζ )0
Рис. 243.
же коэффициентов при переменных х или I. Можно поступать и наоборот,
задаваясь величиной х или I, а менять к.
Все изложенное относится, конечно, только к случаю так называемой
общей шероховатости, одинаковой и распределенной равномерно по всей
поверхности пластины. Вопрос усложняется, если шероховатость имеет

€08 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
характер изолированных неровностей, хотя бы и закономерно расположен-
ных по поверхности (сварные швы, заклепки и т. п.). Исследование влияния
такого типа местных шероховатостей, существенное для авиации, корабле-
строения и других областей техники, требует специального рассмотрения х).
При пользовании эмпирическими методами расчета турбулентного погра-
ничного слоя необходимо различать законы сопротивления: (156) — в слу-
чае гладкой, (165) — в случае шероховатой пластины, и формулы сопротив-
ления: (160) и (161) — в случае гладкой и (166) и (167) — в случае шерохова-
той пластины.
Отличие «закона» сопротивления от «формулы» сопротивления заклю-
чается в том, что «закон» справедлив независимо от предыстории потока
в пограничном слое, которая сводится лишь к заданию положения точки
перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный. Так формулы
(160), (161), (166) и (167) верны лишь в том случае, когда ламинарный участок
на передней кромке тела пренебрежимо мал.
Для вывода формул сопротивления, соответствующих различным поло-
жениям точки перехода, необходимо воспользоваться формулой (164) и ана-
логичной формулой для шероховатых пластин, после чего уже нетрудно
найти и формулу сопротивления для данного конкретного расположения
и протяженности ламинарного участка.
Укажем, что в практических расчетах часто предпочитают во всех слу-
чаях пользоваться формулами сопротивления для полностью турбулентного
пограничного слоя, но изменять положение точки начала отсчета абсцисс,
вводя некоторую «эффективную» длину пластины, учитывающую предысто-
рию потока в среднем.
§ 104. Эмпирический метод расчета турбулентного пограничного слоя
с заданным распределением давления во внешнем потоке
Сложность механизма турбулентного движения, особенно в диффузор-
ном участке пограничного слоя, не позволяет создать рациональный метод
теоретического описания этого важного для практики явления. Поэтому
сохраняют свою ценность простые эмпирические приемы количественной
оценки процессов, происходящих в турбулентном пограничном слое, и, в пер-
вую очередь, предсказания расположения точки отрыва, а в режиме безотрыв-
ного обтекашш — определения сопротивления тела 2).
Обратимся к рассмотрению одного из таких приемов, представляющего
аналогию изложенного ранее однопараметрического метода расчета лами-
нарного пограничного слоя 3). Напомним, что для однопараметрического
расчета ламинарного пограничного слоя были введены параметры
£/'6**2 ^ Тц16** б*
/ — v . ь — μ£/ » "■ δ**'
из которых первые два можно переписать в виде
/ -^Re**, ^-g^Re**, Re** ^-.
г) К. К. Федяевскпй, Примерный расчет интенсивности трения π «допускае-
мы\» высот шероховатости для крыла, Труды ЦАГИ 250, 1936; К. К. Федяевскпй
и Η. Η. Фомин а, Исследование влияния шероховатости на сопротивление и состояние
пограничного слоя, Труды ЦАГИ 441, 1939.
2) К. К. Федяевскпй, А. С. Г π н е в с к и й, А. В. Колесников,
Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости, «Судостроение»,
Л., 1973.
3) Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Приближенный метод расчета турбулентного погра-
ничного слоя на профиле крыла, Прнкл. матем. π мех. 9, 1945, 433—448.

§ 1041 ЭМПИРИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 609
Наличие в выражениях / и Ζ, множителя Re** при безразмерных вели-
чинах U'b**IU и rw/pU2, характеризующих отнесенные к удвоенному ско-
ростному напору продольный перепад давления на условной толщине δ**
пограничного слоя
_ δ** -g/(pCT*) = — δ** (- p£/£/')/(pt/2) = U'b**IU
и напряжения трения на твердой стенке rw, приводит к тому, что в ламинар-
ном пограничном слое функциональные зависимости £ (/) и Η (/) сохраняют
свой вид при любых рейнольдсовых числах пограничного слоя. В случае
турбулентного пограничного слоя разыскать для величин U'6**/U и rwlpU'2
такой общий множитель G(Re**), чтобы подобно ламинарному пограничному
слою величины
/ = i^!lG(Re**), £ = ._gLG(Re**), (169)
представляющие естественное обобщение параметров Бури *), оказались свя-
занными зависимостью
I = t (/), (170)
не содержащей рейнольдсова числа, строго говоря, нельзя. Однако, судя по
имеющимся опытным материалам, выбор величины G (Re**) может быть
произведен так, чтобы влияние рейнольдсова числа на зависимость (170)
было сравнительно слабо. Слабую функцию рейнольдсова числа представляет
также и отношение δ*/δ** = Η. Так, по опытам Ф. Хама 2) для гладких
и шероховатых пластин справедливо общее соотношение
Н0= (1-6,8 Υ\)~\ (171)
которое в случае гладкой пластины при использовании формулы сопротивле-
ния (160) дает
#о = (1 — OJSRe-1/!*)-!.
Показатель степени при Rex говорит о том, что Н0 является слабой функ-
цией Rex. Действительно, величина Н0 при переходе от Re* = Ю6 к Re* =
= 107 уменьшается от 1,41 до 1,33, т. е. примерно на 6%. На шероховатой
пластине роль рейнольдсова числа еще меньше, а в случае технической шеро-
ховатости вообще отсутствует. Значения Н0 в зависимости от относительной
шероховатости могут изменяться в широких пределах (2 -Ξ- 2,5). Принимая
во внимание эту слабую изменяемость величины Н0 с ростом рейнольдсова
числа на пластине (dp/dx = 0), будем либо считать в дальнейшем величину Η
не зависящей от Re* и полагать
н = н (л,
либо учитывать влияние рейнольдсова числа по формулам для пластины.
Не ограничивая себя заранее видом функции G (Re**) и приняв опреде-
ленную первым из равенств (169) величину / за формпараметр, выведем
из интегрального соотношения (148) уравнение для определения формпара-
х) А. В u г i, Eine Berechnungsgrundlage für die turbulente Grenzschicht bei besch-
leunigter- und verzögerter Grundströmung, Dissertation, Zürich, 1931; см. также J. N i-
k u к a d s e, Untersuchungen über die Strömungen des Wassers in konvergenten und diver-
genten Kanälen, VDI Forschungsheft № 289, 1929.
2) F. R. H a m a, Boundary layer characteristics for smooth and rough surfaces, Trans.
Soc. Nav. Architects Marine Engrs 62, 1954, 333—358.
39 Л. Г. Лойцянский

610 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ, X
метра /. С этой целью умножим обе части (148) на G(Re**)
G(Re**)^-+V+H)f=l. (172)
Первое слагаемое в левой части можно преобразовать так (штрих — производ-
ная по х)
db** d Г η, π **ч U'b** U Π о** dG dRe**
<W>^=4[G<RO^F#-]-a·
d Re** dx
_ d /, U \ c»» dG I U db** . U'b** \ __
~ dx V U' ) dRe** \ ν dx + ν /
—JL(fJL\ — Q »» dG dd** .ρ ·· dG/dRe**';=_-
~ dxV V ) Ke d Re** dx Ke G (Re**) '
_ d l,U \ Re** dG/d Re** „ ,~ »»v d6** Re** dG/d]Re**, ,
~ dx V U' ) G(Re**) °4Ke ) dx G(Re**) ''
Вводя обозначение
m /Рг««ч .. Re** dG/d Re** _ dlgG (Re**) ',„„.
m(Ke '_ G(Re**) dig Re** ' (1'd>
найдем из предыдущего уравнения
[l + m(Re**)]G(Re**)-^ = ^(/^-)-m(Re**)/.
db**
Пользуясь равенством (172), исключим отсюда величину G (Re**) —%—
тогда получим
d
dx
(/-^-) = (l + m)S~[2 + m + (l+m)i/]/
или после раскрытия производной в левой части
£=■£'(/> + ■£-/. (174)
где для краткости принято обозначение
F (f) = (1 + т) I - [3 + те + (1 + те) Я] /. (175)
Уравнение (174) по форме ничем не отличается от своего ламинарного
аналога (69) гл. IX, которое являлось основным для расчета ламинарного
пограничного слоя. Различие заключается лишь в виде функциональной
зависимости F (/), представленной равенством (65) гл. IX для ламинарного
слоя и равенством (175) настоящей главы для турбулентного слоя. Если в
последнем равенстве положить те = 1, что соответствует ламинарному слою,
то правые части (175) и (65) гл. IX совпадут (F в § 89 обозначено /)·
Функцию G (Re**) определим различным образом для удаленной от
точки отрыва области, состоящей из всей конфузорной зоны и той части диф-
фузорной, где влияние обратного перепада давления еще незначительно,
и области вблизи отрыва — предотрывной области пограничного слоя.
В первой из этих областей продолжим аналогию с ламинарным погра-
ничным слоем. Вспомним, что множитель Re**, обеспечивавший парамет-
ру ξ в случае ламинарного слоя независимость от рейнольдсова чпсла, оста-
вался одним и тем же при наличии и отсутствии продольного изменения
давления в слое. Допустим, что в рассматриваемой сейчас первой области это
свойство сохраняется и в случае турбулентного слоя; примем в качестве
универсализирующего множителя величину G(Re**), обратно пропорцио-

§ 104] ЭМПИРИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 611
нальную местному коэффициенту сопротивления трения пластины {V = 0),
положив
Легко видеть, что численное значение коэффициента пропорциональности
здесь несущественно, так как изменение этого коэффициента вызовет пропор-
циональное изменение Z, и /, но не повлияет на т, и следовательно, при-
ведет к такому же изменению F (/), а при этом вид уравнения (174) не на-
рушится.
Положим, следуя (159),
G (Re**) = 153,2 Re**1'6; (176)
тогда по (173) найдем т = 1/6, и функция F (/) будет равна
F(f) = ^Z-(% + iH)f. (177)
Линеаризуем функцию F (/), положив, как на пластине
С = (£)/=о = 1, Я = #о = 1,3 -г- 1,4.
Принимая эти значения Z, и Н, найдем для F (/) линейное представление
F(f) = a— bf, (178)
аналогичное представлению (66) гл. IX, но в случае турбулентного слоя
с постоянными а и Ь, равными
а = 1,17, Ь = 4,7 Ч- 4,8. (179)
Уравнение (174) допускает при этом решение в виде простой квадратуры
Если принять ламинарный участок на поверхности крылового профиля
отсутствующим, то будем иметь
х
f{x) = ^-\ub-^l)dl, (180)
U° (х) J
4 о
причем, так же как и в ламинарном слое, точка разветвления потока (х = 0)
является особой. Раскрывая неопределенность, найдем
f(0) = aU'(0) &ZLB =4 = 0,24.
v v ' Ы/ь-i (0) V (0) ъ
Если учитывать наличие ламинарного участка в интервале абсцисс (0 < х <
< xt), то выражение для / несколько усложнится и примет вид
'м~££И^®*+£'.]·
Здесь Ut, U't и ft представляют значения U, U' и / в точке перехода х = хи
причем ft вычисляется по первой из формул (169)
V δ** vU'
f = -±±-G(Re?*) = -щ- Rei*G (Ref ).
39*

612 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ, X
Окончательно будем иметь
х
f (Я) = ЕЖ \а f t/b-i (ξ) dl + vUbt~2 RetG (Re**)]. (181)
Ub (x) L J J
xt
Согласно принятому уже ранее для пластины условию смыкания лами-
нарного и турбулентного пограничных слоев величина Re** должна быть
рассчитана по теории ламинарного пограничного слоя.
Пользуясь формулами (180) или (181), найдем / (х), после чего, согласно
первому равенству системы (169), получим уравнение для определения Re** (х)
Re**G(Re**) = -^f(x).
Так, например, для полностью турбулентного пограничного слоя на всей
поверхности профиля будем иметь по (180)
х
Re**G (Re**) = 153,2 Re**7/* = —± \ U^ (ξ) с%. (182)
\U о-2 (х) J
v ' о
Выполнив квадратуру, определим Re** (х), а следовательно, и δ** (х),
после чего в принятом приближении (£ = 1), согласно второму равенству
системы (169), найдем формулу для местного коэффициента трения
с,=-т^ = -ёТр!^ = 0,0131 Re**"1/., (183)
аналогичную формуле для пластины, но при Re**, рассчитанном для задан-
ного распределения скорости внешнего потока U (х).
Определив таким образом xw или Су в функции от ж и просуммировав
по повер. ности крыла проекции элементарных сил трения τ„, dx на направ-
ление набегающего потока, определим полное сопротивление трения крыла.
Для дальнейшего может представить еще интерес определение толщины
вытеснения δ* (х). В принятом приближении эта величина равна
б* (х) = #0δ** (х) = (1,3 -т- 1,4) δ** (х); (184)
величины, стоящие в скобках, показывают границы значений Н0 при различ-
ных значениях реинольдсова числа натекания: первое соответствует высшим
значениям, второе — низшим.
Такой прием расчета, основанный на использовании приближенного
равенства t, = 1, справедливого только при отсутствии продольного пере-
пада давлений, пригоден лишь для области пограничного слоя, далекой
от точки отрыва.
Можно было бы уточнить изложенный метод, используя эмпирические
данные о зависимости £, Η и F от /. Статистически обработав большое число
опытных материалов, относящихся к плоскому движению несжимаемой
жидкости в турбулентных пограничных слоях, А. И. Каменецкийг) пред-
ложил следующие эмпирические формулы для основных характеристик тур-
булентного пограничного слоя:
I = Cf/Cfo = 1 + 0,1367/ + 0,015/2 + 0,00333/3,
Я = Но - 0,0701/ + 0,02913/2 + 0,01083/3 + 0.001606/4,
F = F0- 4,694/ + 0,0238/2 - 0,0246/3,
(185)
г) А. И. К а м е н е ц к и й, Новый эмпирический метод расчета турбулентного по-
граничного слоя в несжимаемой жидкости, Труды ЛПИ, № 313, 1970, 62—67.

I 104] ЭМПИРИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 613
где Cf0, Н0 и F0 представляют соответствующие значения этих характери-
стик на пластине (/ = 0). Эти величины содержат в себе влияние рейнольд-
сова числа Re** на указанные характеристики. Согласно этим формулам
точке отрыва (£ =0) отвечает значение /s = —6, являющееся н которым
приближенным средним значением из обработанных экспериментальных
материалов.
В только что цитированной статье А. И. Каменецкого можно найти
количественное подтверждение выдвинутой нами в 1945 г. 1) идеи об анало-
гии между основными характеристиками ламинарного и турбулентного по-
граничных слоев.
Обратимся теперь к рассмотрению непосредственно предотрывной области
и точки отрыва. Эта область характеризуется развитой внешней частью
профиля скорости, удовлетворяющей закону «падения дефекта скорости».
Напомним, что этот профиль идентичен профилю в пограничной области
между краем струи и внешней неподвижной жидкостью. Вблизи точ и отры-
ва и за нею в сорвавшейся струе влияние рейнольдсова числа становится
пренебрежимо малым. Это допускает простое решение, служащее для опреде-
ления δ**— толщины потери импульса. Примем по условию независимости
от рейнольдсова числа во всей предотрывной области т=0, следовательно.
G (Re**) = const = Gs
и, кроме того,
ξ = 0, # = #s.
Тогда, согласно (174), придем к уравнению
!=[ж-(3+я*)^]/' <186>
интегралом которого будет
1 ui+Hs ·
Если предположить, что в предыдущей области, граница которой со
второй, предотрывной областью, характеризуется величиной /х, расчет был
произведен по ранее изложенному методу, то, сращивая решения при / = fx,
определим постоянную интегрирования С как
и\+н»и
С К~
и получим следующее уравнение для расчета / или f = f fs вблизи отрыва:
*4-£ ^)3№ (Ш)
Замечая, что вблизи отрьва будет справедливо соотношение
/ = —jj—Gs,
найдем соответствующее (187) выражение для отношения толщин потери
импульса
*) Л. Г. Л о н ц я н с к и й, Приближенный метод расчета турбулентного погра-
ничного слоя на профиле крыла, Прикл. матем. и мех. 9, 1945, 433—448.

614 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ, X
Исходя из других теоретических соображений и использовав эмпириче-
ские данные, Росс и Робертсон1) предложили формулу
аналогичную (188) при Hs = 2,8. Следует заметить, что выбор в формуле
(188) числа Hs — 2,8 не противоречит экспериментальным данным для зна-
чения Hs в точке отрыва. Исходя из соображений размерности и некото-
рых общих для теории пограничного слоя допущений, к тому же резуль-
тату пришел Г. М. Бам-Зеликович2).
Обобщение только что изложенного эмпирического приема на случай
шероховатой поверхности было выполнено В. Ф. Дробленковым3).
Метод Бури, так же как и изложенное в настоящем параграфе его обобще-
ние, заслуживают справедливой критики из-за существующей ограничен-
ности их применения, о чем уже ранее говорилось. Однако эта ограниченность
связана не с неудачным выбором параметров /, t, и Н, как об этом пишут
некоторые авторы, а с тем фактом, что, вообще, количество параметров,
учитывающих влияние формы кривой распределения скорости на внешней
границе слоя — мы их называем «формпараметрами»,—в случае турбулентно-
го пограничного слоя должно быть значительно большим, чем в ламинарном
слое, τ к как в силу турбулентного «затягивания» отрыва диффузорныи
участо с тормозящим поток обратным перепадом давлений имеет в турбу-
лентном пограничном слое большую протяженность, чем в ламинарном. Это
обстоятельство сильно снижает доверие к результатам расчетов в области
отрыва пограничного слоя.
Отсутствие замкнутой системы уравнений турбулентного движения
жидкости и, в частности, движения в пограничном слое не допускает
рационального решения проблемы расчета турбулентного пограничного
слоя. Если ограничиться приближенными, полуэмпирическими подходами
и при енением параметрических методов с большим, чем в изложенном
в настоящем параграфе методе числом формпараметров, то на этом пути можно
ожидать полезных результатов от расширения метода обобщенного подобия,
изложенного в гл. IX для ламинарного пограничного слоя, на случай турбу-
лентного пограничного слоя. В единственной опубликованной на эту тему
статье ') а ожно найти вывод «универсального» уравнения в переменных обоб-
щенного подобия, решением которого служит безразмерный «универсальный»
набор профилей продольных скоростей в сечениях турбулентного погра-
ничного слоя, не зависящий от распределений внешней скорости в различ-
ных частных: задачах, и уравнения импульсов, служащего для нахождения
распределения толщины пограничного слоя в заданном конкретном слу-
чае. Статья имеет программный характер и не содержит численного решения
универсального уравнения.
Большой практический интерес представляют протоколы конференции
по расчетным методам теории турбулентного пограничного слоя, проведен-
ной в 1968 г. Стэнфордским университетом (Калифорния, США Б)).
*) D. Ross, I. R о Ь е г t s о η, An empirical method for calculation of the growth
of a turbulent boundary layer, Journ. Aeron. Sci. 2i, 5, 1954, 355—358.
г) Г. М. Бам-Зеликович, Расчет отрыва пограничного слоя, Изв. АН СССР,
ОТН, № 12, 1954.
3) В. Ф. Д ρ о б л е н к о в, Турбулентный пограничный слои на шероховатой
криволинейной поверхности, Изв. АН СССР, ОТН, № 8, 1955.
4) Л. Г. Л ойцянский, Метод обобщенного подобия в полуэмпирических тео-
риях турбулентного пограничного слоя, Труды ЛПИ, № 352, 1976, 4—9.
5) Proceedings Computation of Turbulent Boundary Layers — 1968 AFOSR-IFP —
Stanford Conference, published and distributed by Thermosciences Division, Dep. of Mech
Engng. Stanford, California, USA. 1969.

S 105] ОБРАТНОЕ ВЛИЯНИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ВНЕШНИЙ ПОТОК 615
Результаты обследования существующих методов расчета турбулентных
пограничных слоев, выполненного специальной комиссией, показали, что:
1) необходимы новые экспериментальные результаты, чтобы судить о чувстви-
тельности методов расчета турбулентного пограничного слоя к влиянию
начальных условий; 2) начальная турбулентность потока представляет важ-
ное условие развития турбулентного пограничного слоя и следует в дальней-
шем отдать предпочтение тем методам, которые учитывают эти обстоятельства;
3) результаты новых обширных экспериментальных исследований были бы
очень важными для проверки применимости существующих методов к пред-
сказаниям отрыва турбулентного пограничного слоя; 4) до сих пор не суще-
ствует достаточно простого, пригодного для инженерных расчетов турбу-
лентных пограничных слоев метода, однако результаты выполненных по
заданию оргкомитета конференции массовых расчетов, приведенные в первом
томе протоколов конференции, могут быть использованы как материал
для интерполяции.
К этим выводам добавим, что все использованные в работах конференции
методы были существенно эмпирическими и не содержали новых теоретиче-
ских идей.
Рекомендуем для ознакомления с существующим положением в этой
важной области теории пограничного слоя имеющиеся обзоры г).
§ 105. Обратное влияние пограничного слоя на внешний поток
Полное сопротивление крыла конечного размаха или, следуя приня-
тому наименованию, лобовое сопротивление можно представить как сумму
индуктивного и профильного сопротивлений. Напомним, что индуктивное
сопротивление является составляющей подъемной силы на направление набе-
гающего на крыло потока. Перейдем к рассмотрению по природе отличного
от индуктивного профильного сопротивления, которое возникает из-за наличия
трения в жидкости.
Все силы, приложенные к элементам поверхности крыла со стороны
набегающего на него потока, можно разбить на касательные и нормальные.
Первые из этих сил называют, несколько обобщая это понятие, трением.
Такой термин полностью соответствует лишь случаю гладкой (в аэродинами-
ческом смысле этого слова) стенки крыла, когда касательные силы опреде-
ляются действительно трением в жидкости — вязкостью. Сохраним тот же
термин и для случая шероховатой стенки, понимая в этом случае под напря-
жением трения отнесенную к единице площади крыла сумму сил сопротивле-
ний отдельных бугорков шероховатости. Проекцию главного вектора прило-
женных к крылу касательных сил на направление потока на бесконечности
будем называть сопротивлением трения.
Нормальные силы давления потока на поверхность крыла образуют
в своей совокупности главный вектор сил давлений, проекция которого на
направление потока на бесконечности называется сопротивлением давлений.
Профильное сопротивление крыла представляется суммой сопротивления
трения и сопротивления давлений.
В случае безвихревого обтекания тела конечного размера безграничным
потоком идеальной жидкости сопротивление давлений, а следовательно, и про-
*) Методы расчета турбулентного пограничного слоя, сб. под ред. А. С. Г и -
невского, серия «Итоги науки и техники», изд. ВИНИТИ, М., 1977; гл. I, §§ 1
и 2, составлены А. Н. Секундовым и А. В. Колесниковым, гл. II — А. С. Гпневским
и гл. III — А. В. Колесниковым, а также более ранний обзор: B.G. Thompson,
A critical review of existing methods of calculating the turbulent boundary layer, ARC K&M,
№ 3447, London, 1067.

616 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ {ГЛ. X
Рис. 244.
фильное сопротивление равны нулю; это составляет содержание парадокса
Даламбера. В реальной вязкой жидкости парадокс Даламбера не имеет места.
Основное свойство пограничного слоя передавать без искажений на поверх-
ность крыла давление внешнего, безвихревого потока может навести на мысль,
что парадокс Даламбера для движений с пограничным слоем сохраняет по
отношению к сопротивлению давлений свою силу. Действительно, если бы
распределение давлений во внешнем потоке в точности совпадало с тем, которое
получается при безотрывном обтекании крыла идеальной жидкостью, то
сопротивление давлений равнялось бы нулю. Однако на самом деле это не
так. Линии тока вследствие подтормаживающего влияния стенки оттесняют-
w ся от поверхности крыла; такое
1 аиг-Ц искажение картины течения
^·— ■ ■ ■ ■ · приводит к нарушению идеаль-
ного распределения давлений
по поверхности крыла.
Пограничный слой не толь-
ко управляется внешним пото-
ком, но и оказывает на него об-
ратное влияние. Строго говоря,
даже нельзя задавать наперед
распределение давлений или
скоростей во внешнем потоке,
так как это распределение в
свою очередь зависит от разви-
тия пограничного слоя, а следо-
вательно, является функцией рейнольдсова числа, шероховатости поверхно-
сти и других факторов; однако практически, если тело обтекается без
срывов и рейнольдсовы числа достаточно велики, то пренебрежение обрат-
ным влиянием пограничного слоя на распределение давлений π скоростей
во внешнем потоке оказывается допустимым. Обратное влияние погранич-
ного слоя на внешнее обтекание проявляется особенно сильно на участках
пограничного слоя, где слой наиболее толст, например вблизи точки
отрыва.
На рис. 244 показаны для сравнения кривые зависимости коэффициентов
профильного сопротивления и сопротивления трения серии симметричных
профилей ?Куковского от относительной их толщины. На диаграмме сила
сопротивления отнесена к миделевой площади крыла, а не к площади в плане;
этим объясняется, почему при уменьшении относительной толщины коэф-
фициенты профильного сопротивления и сопротивления трения возрастают.
Показанная вертикальными штрихами разность между коэффициентами про-
фильного сопротивления и сопротивления трения определяет коэффициент
сопротивления давлений. Рассмотрение диаграммы, составленной при фикси-
рованном числе Рейнольдса {U^clv = 4-105), приводит к отчетливому выводу
о росте роли сопротивления давления с увеличением относительной тол-
щины профиля и, наоборот, о повышении значения сопротивления трения
при переходе к тонким профилям х).
Как показывают опыты, сопротивление давлений хорошо обтекаемого
крылового профиля при наличии на его поверхности полностью ламинарного
или полностью турбулентного пограничного слоя убывает с ростом рейнольд-
сова числа, что и естественно, так как при возрастании рейнольдсова числа
толщина пограничного слоя уменьшается и внешний поток приближается
к безвихревому обтеканию профиля идеальной жидкостью.
г) Подробнее см. «Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости»
(ред. С. Г о л д с τ е ы н), т. II, ИЛ, М., 1948, 78—85.

§ 105] ОБРАТНОЕ ВЛИЯНИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ВНЕШНИЙ ПОТОК 617
Чтобы разобраться в природе обратного влияния пограничного слоя
на внешний поток и, в частности, в причинах искажения теоретического
распределения давлений в безвихревом обтекании крылового профиля идеаль-
ной жидкостью, сравним какую-нибудь действительную линию тока (рис.
245, а, сплошная линия), приходящую в точку Μ данного сечеш я М0Мг
пограничного слоя, и показанную на рис. 245, а пунктиром ли ию тока
а) 6)
Рис 245.
безвихревого потока идеальной жидкости, совпадающую с пред ущей в
удалении впереди тела. Отрезок ММ' представляет смещение действительной
линии тока по отношению к идеальной. Из условия одинаковости бъемного
расхода жидкости в сравниваемых движениях сквозь сечения М0М = у
и М0М' = у — ММ', являющегося следствием совпадения обеих линий тока
вдалеке от тела вверх по потоку, заключим, что (через U обозначена одоль-
ная скорость на внешней границе слоя)
у
[ udy = U(y — MM').
о
При составлении правой части этого равенства принято во внимание, чта
на протяжении малой толщины слоя скорость в безвихревом потоке идеальной
жидкости может быть принята постоянной и равной U. Согласно последнему
равенству отмеченное смещение линии тока в точке Μ с координ той у бу-
дет равно
у
о
На поверхности обтекаемого тела (у = 0) смещение линии тока исчезает;
у обоих сравниваемых потоков, действительного и идеального, общая нулевая
линия тока совпадает с поверхностью крыла. При удалении от поверхности
крыла смещения действительных линий тока по отношению к идеальным
возрастают. Наконец, на границе пограничного слоя (у = 6) величина смеще-
ния достигает своего максимального значения *)
б
(MM')y=6=J (l_iL)dfc, = e·.
о
Итак, смещение действительной линии тока относительно линии тока без-
вихревого обтекания тела идеальной жидкостью на внешней границе погранич-
ного слоя равно толщине вытеснения 6*.
4) Здесь и далее можно полагать б = оо.

618 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ (ГЛ. X
Докажем, что действительное распределение давления по поверхности
крылового профиля при плоском его обтекании вязкой жидкостью совпадает
с распределением давления при безвихревом обтекании идеальной жидкостью
полутела (рис. 246), образованного наращиванием на профиль крыла и по обе
стороны от нулевой линии тока в его следе толщины вытеснения, рассчитанной
по действительному распределению давления', контур этого полутела назовем
«эффективным».
Предположим, что задано плоское обтекание крылового профиля реаль-
ной (вязкой) жидкостью, сопровождаемое образованием на теле пограничного
слоя, а за телом — аэродинамического
следа. Наряду с этим действительным
потоком в пограничном слое рассмот-
рим в той же области воображаемый
потенциальный поток, который яв-
лялся бы непрерывным продолжением
Рис. 246. действительного внешнего потенциаль-
ного потока на область, занятую погра-
ничным слоем.
По известному свойству пограничного слоя в построенном таким обра-
зом пот нциальном потоке давления, а следовательно, и продольные скорости
должны совпадать с давлениями и скоростями в потоке на внешней границе
пограничного слоя. Вместо характерного для движения в пограничном слое
убывания скорости от некоторого значения на внешней границе слоя до
нулевого значения на поверхности крыла, в эквивалентном по давлениям по-
тенциальном'потоке повсюду на данной нормали будет одинаковая скорость,
равная скорости на внешней границе слоя. Отсюда следует, что рассматривае-
мый потенциальный поток, обладающий тем же объемным расходом через
сечение рассматриваемой струйки, что и действительный поток в пограничном
слое, не сможет заполнить всю область пограничного слоя (включая в поня-
тие пограничного слоя и аэродинамический след).
Для пределения новой области течения рассмотрим (рис. 245, б)
некот рую точку Μ сечения пограничного слоя. Отметим сплошной линией
действит льную линию тока, проходящую через точку М, а пунктиром,
идущи i в некоторую точку М' на той же нормали,— линию тока потенциаль-
ного потока, совпадающую с только что указанной действительной в удале-
нии от тела вверх по потоку.
Подчеркнем отличие фигурирующего в настоящем рассуждении вообра-
жаемого потенциального потока, совпадающего с действительным повсюду
вне пограничного слоя, от ранее рассмотренного потенциального потока,
имеющего с действительным общую нулевую линию тока.
Как видно из рис. 245, действительные линии тока располагаются
в одном случае выше идеальных, в другом, наоборот, ниже.
Составляя условие одинаковости расхода в действительном и воображае-
мом потенциальном потоках сквозь сечения МгМ и МХМ', отсчитанные от
внешней границы пограничного слоя, получим
е
f udy = U(6 — y — MM'),
υ
так что расстояние между сравниваемыми линиями тока в действительном
и воображаемом движениях будет равно
б
MM' = j (i~)dy.

5 105] ОБРАТНОЕ ВЛИЯНИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ВНЕШНИЙ ПОТОК 619
На границе пограничного слоя (у = б) ММ' = 0 и обе линии тока
совпадут. При углублении в пограничный слой величина ММ' будет возрас-
тать, а воображаемые линии тока будут оттесняться от поверхности
крыла. Когда, наконец, действительная линия тока совпадет с поверхностью
крылового профиля, линия тока воображаемого безвихревого потока
окажется оттесненной от поверхности на расстояние
β
(ATJifVo=J(i--£)<fo = 6·,
о
равное толщине вытеснения г). Таким образом, основная, нулевая линия
тока действительного движения (рис. 246), разветвляющаяся в передней кри-
тической точке контура тела, совпадающая далее с контуром тела и уходя-
щая сквозь аэродинамический след в бесконечность за телом, должна быть
в воображаемом безвихревом потоке заменена на некоторое бесконечное полу-
тело, образованное наращиванием по нормали к нулевой линии тока тол-
щины вытеснения, рассчитанной по действительному распределению
давления.
На рис. 246 показаны сплошной линией основной профиль и нулевая
линия тока в следе за ним, а пунктиром — «эффективный» контур, обтекание
которого потенциальным потоком эквивалентно по распределению давления
обтеканию профиля реальной жидкостью. Воображаемый безвихревой поток,
входящий в пограничный слой через внешнюю его границу (на рисунке
не показанную) с теми же скоростями, что и действительный поток, но в
дальнейшем не подвергающийся действию торможения трением, имеет внут-
ри пограничного слоя большие скорости, чем действительный поток. При
этом воображаемый поток не может заполнить всю область пограничного
слоя, часть плоскости между нулевой линией тока в действительном движении
и границей полутела в воображаемом течении остается не заполненной жидко-
стью, а линия у = δ* является граничной линией тока.
Изложенные в настоящем параграфе соображения о простейшем приеме
учета обратного влияния пограничного слоя на внешний безвихревой поток
были высказаны в предположении о несжимаемости жидкости. Легко убе-
диться, что аналогичный прием может быть применен и в случае пограничного
слоя в сжимаемой жидкости — в потоке газа с до- или сверхзвуковыми
скоростями. Достаточно повторить все те же рассуждения, заменив лишь
у 6
рассмотрение объемных расходов I udy или l udy соответствующими
о у
ν б
массовыми расходами I pu dy или I pudy и приняв за определение толщины
о υ
вытеснения величину
о
где р6 — плотность на внешней границе слоя. Кроме того, подчеркнем, что
все изложенное в настоящем параграфе относится в одинаковой степени
как к турбулентному, так и к ламинарному пограничным слоям.
Практическое определение формы полутела и последующее вычисление
сопротивления давления как проекции на направление набегающего потока
главного вектора сил давления безвихревого потока идеальной жидкости
*) В этом можно видеть происхождение названия толщины вытеснения.

620 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 1ГЛ. X.
на поверхность полутела связано с большими трудностями. Поэтому сопро-
тивление давления предпочитают находить как результат вычитания сопро-
тивления трения из профильного сопротивления; простой приближенный
способ вычисления профильного сопротивления сейчас будет изложен. Что
же касается сопротивления трения, то оно, по предыдущему, находится
суммированием элементарных сил трения по поверхности.
§ 106. Приближенные формулы профильного сопротивления
Рассмотрим крыловой профиль (рис. 247) в безграничном плоском пото-
ке жидкости со скоростью на бесконечности, равной £/«» и плотностью р.
Сравним опять два эквивалентных по распределению давлений потока:
1) действительный, сопровождающийся образованием на поверхности крыло-
вого профиля пограничного слоя (а затем следа), и 2) воображаемый безвих-
ревой поток идеальной жидкости, набегающий на полутело (на рис. 247 пока-
зано пунктиром) и совпадающий с действительным вне пограничного слоя.
Рис. 247.
Возьмем какое-нибудь перпендикулярное к направлению скорости на
бесконечности, удаленное от тела вниз по потоку сечение σ2 аэродинамиче-
ского следа, проведем через крайние точки этого сечения соответствующие
им линии тока во внешнем потоке и рассмотрим образованную таким образом
трубку тока.
Обозначим через σΧ сечение этой трубки тока, проведенное параллельно
сечению σ2 вдалеке перед обтекаемым телом. Тогда, применяя к отрезку труб-
ки тока между сечениями σ2 и σ2 в действительном и воображаемом потоках
теорему количеств движения в форме Эйлера в проекции на ось Ох, направ-
ленную по скорости набегающего потока, будем иметь:
1) для действительного потока
ρ f u2dy — ρ J u2dy — Rx + Xp = 0;
σ, сг
2) для воображаемого потока
ρ J и* dy - (σ2 - δ*) pul - Rix + Xp = 0.
В этих равенствах Rx обозначает сопротивление крылового профиля
в действительном движении, т. е. искомое профильное сопротивление, Rix—
сопротивление давлений части боковой поверхности полутела, отсеченной
плоскостью σ2, Χρ— одинаковую для обоих потоков проекцию на ось Ох
главного вектора сил давлений, приложенных (как показано на рис. 247

S 1G6] ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 621
стрелками) к боковой поверхности выделенного объема трубки, щ— продоль-
ную скорость в потенциальном потоке в сечении σ2, а δ* — толщину вытес-
нения в том же сечении. Вычитая почленно друг из друга левые части состав-
ленных равенств, получим
(σ2 — б*)ри· —ρ j u2dy + Rix — Rx = 0.
Заметим, что по определению толщины вытеснения б*
a2-6* = a2--j (l-JL)dy=^dy;
σ, σ,
тогда из предыдущего равенства будет следовать
Rx = ρ \ и (и2 — и) dy + Rix.
Устремим теперь сечение σ2 на бесконечность вниз по течению. Как было
указано в конце § 63, сопротивление давлений изображенного на рис. 246
пунктиром бесконечного полутела со стремящейся к некоторому конечному
пределу δ%> толщиной б| будет равно нулю; предельный переход в предыдущем
равенстве дает при этом
σο
Rx= Hm ρ \ и (w2— u)dy-\- lim Rix = p I u(Uoo — u) dy=pU%,d%',
где δ£>* — толщина потери импульса в сечении следа, удаленном на бесконеч-
ность вниз по течению; выражение коэффициента профильного сопротивления
Схр через толщину потери импульса на бесконечности б„* будет (с — хорда
крылового профиля)
С*р = т^- = 2-^. (190)
Непосредственное нахождение 6t? не представляется возможным; поэтому
выведем приближенную связь этой величины с толщиной потери импульса
на задней кромке крылового профиля1), допускающей простое теоретическое
и непосредственное экспериментальное определение. Составим с этой целью
уравнение импульсов для области аэродинамического следа. Применив к урав-
нениям Рейнольдса (16) те же рассуждения, что и при выводе уравнения
импульсов для ламинарного слоя, с той лишь разницей, что в данном случае
интегрирование поперек слоя (следа) может производиться в интервале
(—оо, оо), и поэтому член с тш будет отсутствовать, получим
db** 2 Д7 fi«, I dU -. ,
dx ~^ U dx ~т~ U dx ν·
Деля обе части этого уравнения на δ** и интегрируя по х вдоль следа от зад-
ней кромки (индекс «к») до бесконечно удаленного сечения вниз по потоку
(индекс σο), получим
, δ«* , ul f° 6* V ,
*) Г. Сквайр| и А. Юнг, Расчет профильного сопротивления к^ыла, сб.
«К вопросу о максимальной скорости самолета», Оборонгиз, М., 1941.

622 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 1ГЛ, X
Довольствуясь случаем малых продольных перепадов давления (сравнительно
тонкое, мало изогнутое крыло при небольших углах атаки), заменим вели-
чину б*/б** = // под знаком интеграла ее средним значением
тогда, выполняя интегрирование в правой части предыдущего соотношения,
найдем
In -|^ = In J£.-.*.(tfK + tf„) In -^
Ок ^оо υ υ«
или
fiS* \ и~ )
Подставляя полученное выражение 6£>* в равенство (190), получим сле-
дующую приближенную формулу профильного сопротивления
1
/ ГТ \ 2+Т (НК+Яоо) £**
С-=2Ш *г- <191>
Как показывают измерения распределений давлений по поверхности кры-
ловых профилей, величина отношения £7К/{7ТО мало разнится от единицы,
если крыловой профиль сравнительно тонок и слабо изогнут, а угол атакп
или соответствующий ему коэффициент подъемной силы су невелики; послед-
нее имеет место на режимах полета с максимальной скоростью. Так, например,
в этих условиях на крыловом профиле с 14%-ной относительной толщиной
(NACA-2414) при су ==0,18 величина UjUcc равна 0,9, т. е. на 10% мень-
ше единицы; даже при 25%-ной относительной толщине и при су = 0,25
это отличие от единицы не превосходит 25%.
Величина Η'то равна единице, в чем убедимся, полагая и = U — и' =
= i/oo — и' под знаком интегралов в выражениях б* и б** и пренебрегая
в достаточном удалении от задней кромки крыла второй и старшими степенями
малой добавки и'. Величина Н, равная, как уже ранее указывалось, вбли-
зи точки минимума давления 1,4 -Ь- 1,3, может при приближении к задней
кромке возрастать при сохранении безотрывного обтекания до значения
1,8 -h 2,3.
На первый взгляд наличие сравнительно высокого показателя степени
в формуле (191), равного 3,2 ■— 3,4, может потребовать точного знания вели-
чины UjUoo, что было бы затруднительно как с точки зрения эксперимента,
так и расчета. На самом деле это не так. Если использовать соотношение
(182), из которого легко выводится выражение последнего сомножителя
бк*/с в формуле (191) через распределение скоростей внешнего потока U (х)
по длине пограничного слоя, то легко убедиться, что это выражение будет
содержать в качестве сомножителя величину UjUco в отрицательной степени,
по абсолютной величине близкой к показателю степени в формуле (191).
Таким образом, в окончательном выражении для Схр близкое к единице
отношение UJU^ возводится в степень, немногим разнящуюся от нуля.
Этим фактом может быть объяснено, почему формула (191) при На, — 1»
Hv = 1,4 переходящая в известную формулу Сквайра и Юнга
'.»-* (&)-£■
дает хорошее совпадение расчетов с опытными материалами.
(192)

§ 106] ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 623
Используя в выражении|(181) принятое ранее значение постоянной а= 1,17,
округляя коэффициент Ъ = 4,7 — 4,8 до значения Ъ та 5, что облегчает вы-
числения, и принимая по предыдущему G (Re**) = 153,2 Re**x/ , получим
после простых выкладок
х/с -|в/7
*</с
где п< ложено (с — хорда крылового профиля)
ре=-5=2-.
Для определения величины бк*/с следует произвести расчеты по этой
формуле при х/с = xjc отдельно для верхней и нижней поверхностей крыло-
вого профиля и результаты сложить. При подстановке полученных таким
образом значений (Ь**/с)х=х в предыдущую формулу входящая в знаменатель
величина (t7K/t70o)M/7 » {UJU«,)3·6 может быть сокращена со стоящей в чис-
лителе величиной UJUоо в степени 2 -J- -ψ{Ηκ -\-Нс<?), равной 3,2 -— 3,4.
Это приведет к следующей расчетной формуле для коэффициента профильного
сопротивления Схр:
xt/c
где, напоминаем, сомножитель, представляющий степень квадратной скобки,
должен быть вычислен отдельно для верхней и нижней поверхностей, а
результаты сложены. Как видно из этой формулы, распределение U (х) входит
только под знак интеграла. Значение Ut в точке перехода при больших рей-
нольдсовых числах мало отличается от соответствующего значения Um в точке
максимальной скорости или, что то же, минимального давления. Отсутствие
необходимости в определении величин UK и Нк на задней кромке дела τ послед-
нюю формулу удобной для расчетов профильного сопротивления крыла. Заме-
тим, что в случае продольного обтекания пластины (С/ = const = Г7ТС) при
полностью турбулентном пограничном слое последняя формула совпадает с
формулой (161); следует только обратить внимание на разницу в определении
коэффициентов Cf и Схр: в первом коэффициенте суммарная сила трения
относится ко всей смоченной поверхности, т. е. для пластины в плоском потоке
к удвоенной ее длине, во втором — суммарная сила профильного сопротивления
делится на хорду, т. е. в случае пластины на ее длину.
Выведенная только что формула пригодна для расчета профильного
сопротивления при больших рейнольдсовых числах. В случае относительно
малых рейнольдсовых чисел (примерно для Re <Г 5-Ю6), соответствующих
закону (163) для пластины, можно рекомендовать формулу Шпейделя г)
xt/c
требующую, как и ранее приведенная формула, суммирования последнего
сомножителя для верхней и нижней поверхностей. Существуют номограммы
/Сетки), по которым, задаваясь геометрическими параметрами крылового прг-
*) Цитируем по монографии Г. Шлихтинга, Теория пограничного слоя, пе-
рев. с нем., «Наука», М., 1974, 683.

€24 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
филя и положением точки перехода, можно определить коэффициенты профиль"
ного сопротивления крыла при данном рейнольдсовом числе набегающего
на него потока *).
Изложенный только что метод расчета профильного сопротивления крыла
можно обобщить2) на случай решетки профилей. Рассмотрим обтекание пло-
ской решетки профилей (рис. 248) с давлениями и скоростями на бесконечности:
А со, Vlc0 — до решетки и pzcx>, V2<x> — за решеткой. Обозначим плотность
Рис. 248.
жидкости через р, вектор-шаг через t; тогда, используя теорему количеств
движения, будем в случае вязкой жидкости иметь ту же формулу для опре-
деления главного вектора приложенных к профилю в решетке сил, что
и в слу идеальной жидкости, а именно (§ 46)
R = (Pice — Pzca) t + р (f · Fjco) (Vloo — Faoo)
Ρ знп а будет лишь в том, что в силу наличия потерь энергии за счет
раб ы д ссипативных сил трения полные напоры перед и за решеткой
буду от ичны друг от друга; величина потери напора равна
Р' = (ft- + -j-P^f») — (pzcc + -γ P^ioo) .
Гла ый вектор R представится как сумма
R = 4"р doo-Vi») * + Ρ (t-Vix) (Viao-V2co) +p't,
или в принятых в § 46 обозначениях
R*=p(Vm'Vd)t-p(t-Vn)Vd + p't = pVmx{txVJ + p't.
Первое слагаемое справа представляет силу Жуковского и может быть
обозначено через Rj, второе — силу сопротивления профиля в решетке; обо-
значим его через R'. Итак,
R = Rj + R',
причем сила сопротивления R' связана с потерей напора р' простой формулой
R' = p't.
*) См. цитированную работу Сквайра и Юнга.
а) Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Сопротивление решетки профилей, обтекаемой вязкой
несжимаемой жидкостью, Прпкл. матем. и мех. 11, в. 4, 1947.

§ 106] ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 625
По сравнению с единичным крыловым профилем задача о расчете про-
фильного сопротивления решетки усложняется тем, что пограничные слои,
сходящие с отдельных профилей в решетке, на некотором расстоянии вниз
по потоку смыкаются (рис. 248), образуя движение, не подчиняющееся урав-
нениям пограничного слоя. Обозначим это сечение индексом 2 без знака оо
и предположим, что неоднородность поля скоростей в этом сечении следа
за решеткой мала. Тогда легко показать1), что потеря напора может быть
выражена формулой
p'-pvI ^
t COS β2οο '
гдеб|*—толщина потери импульса в рассматриваемом сечении следа, β200—
угол между вектором скорости F2oo и перпендикуляром к оси решетки.
Используя, как и в случае единичного профиля, изложенный ранее прием
перехода от сечения в следе к сечению на задней кромке профиля (6** =
= δκ*, U = Uv), будем иметь следующие формулы для потери напора р' и силы
сопротивления R':
\*2°°/ flcos β200 V V2cc I COS β2οο
В последних формулах фигурирует скорость на бесконечности за решеткой
F2co, а не средняя векторная скорость Vm, обычно принятая в теории решеток.
Замечая, что F200 cos β2οο = VmcosPm, где β7η — >гол между Vm и перпенди-
куляром к оси решетки, будем иметь
• -рТ.^)*'^)"* (193)
V Vm I \ r2oo / iCOsPm
и соответствующую формулу для силы сопротивления.
Рассматривая среднюю векторную скорость Vт как некоторую условную
скорость на бесконечности, можно было бы принять за сопротивление величину
составляющей D силы JS' на направление скорости на бесконечности
D = R· cospm = pn (^-)3*2 (^)Ч «Г (194)
и соответствующий ей коэффициент сопротивления писать в виде
Формула (195) аналогична формуле (192) для изолированного крылового
профиля; отличием является лишь множитель (Vm/V2co)0·2, практически
мало отличающийся от единицы.
Произведенные по формуле (195) расчеты сопротивлений профилей в тур-
бинной решетке показали удовлетворительное совпадение с непосредственно
замеренными опытными величинами 2). Некоторые трудности, возникающие
при расчете компрессорных решеток, связаны с наличием в такого типа ре-
шетках больших положительных градиентов давления и предотрывных явле-
ний, усложняющих применение упрощенной теории турбулентного погранич-
ного слоя.
*) См. только что цитированную нашу статью.
2) Л. М. Зысина — Моложен, Расчет потерь в решетках профилей турбо-
машин, сб. «Аэрогидродинамика», Машгиз, М-, 1954, ЦКТИ, книга 27. Сводку результа-
тов по исследованию потерь в турбинных колесах и направляющих аппаратах, содержа-
щую и собственные результаты автора, можно найти в монографии: И. И. К и ρ и л л о в,
Газовые турбины и газотурбинные установки, Машгиз, М., 1956, 134—166.
40 Л. Г. Пойцянский

626 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
§ 107. Некоторые сведения о внутренней структуре
турбулентных потоков
До сих пор рассматривалось лишь осредненное турбулентное движение*
а нерегулярная часть движения — пульсации — учитывались суммарными
характеристиками: интенсивностью турбулентности и напряжением турбу-
лентного трения, причем почти ничего не говорилось о закономерностях
изменения этих величин по сечениям трубы или пограничного слоя. В заклю-
чение настоящей главы осветим, хотя и в краткой форме, некоторые,
наиболее важные представления о внутренней структуре турбулентных
потоков.
В настоящее время литература, специально посвященная исследованиям·
турбулентности потоков, весьма обширна, имеются и подробные обзоры1).
Особое значение придается экспериментальным работам, ставящим себе целью
изучение «тонкой» структуры турбулентных процессов.
В настоящее время уже не подлежит сомнению факт образования в турбу-
лентных потоках отдельных жидких объемов, размеры которых сравнимы с
«внешним» масштабом потока (радиус трубы, толщина пограничного слоя
и т. п. ). Эти объемы имеют самостоятельность как в своем движении по·
отношению к общему осредненному потоку, так и по внутренней своей структу-
ре2). Их принято называть крупными вихрями, хотя следует отметить, что
термин вихрь в этом случае необходимо понимать не в его обычном смысле т
а скорее как жидкий «ком» вихревого происхождения. Масштаб этих крупных
вихрей, совпадающий с «внешним» масштабом потока в целом, называют
большим масштабом турбулентности.
В процессе турбулентной диффузии происходит распад этих крупных
вихрей на более мелкие, в которых еще инерционные явления преобладают
над вязкими. Такие находящиеся, как говорят, в «инерционном интервале
масштабов» вихри участвуют в конвекции и турбулентной диффузии, но в пре-
небрежимо малой степени подвержены действию вязкости. Общий процесс
дальнейшей деградации вихрей приводит их в конечном счете к мелким вих-
рям с малым масштабом, на которые уже действует вязкая диффузия
и последующая вязкая диссипация кинетической энергии в тепло. Такая
«каскадная» схема3), конечно, несколько грубо передает действительные
процессы, происходящие в турбулентных потоках, но правильно описывает
общие тенденции.
Вихри малого масштаба, быстро угасая, не способны сколько-нибудь
долго хранить и переносить вниз по потоку информацию о возмущениях,
г) Сошлемся на обзорную статью Линь Цзяо-цзяо, Статистические теории
турбулентности, помещенную в сб. «Турбулентные течения и теплопередача», ИЛ, М.,.
1963 (перев. с америк. изд. 1959 г.), на ранее цитированные монографии А. С. Μ о н и н а
еА.М. Яглома, а также И. X и н ц е. Экспериментальная методика изучения тур-
булентной структуры потока в канале и анализ результатов измерений турбулентных ха-
рактеристик в нем изложены в работе: Ж. Коит-Белло, Турбулентное течение в ка-
нале с параллельными стенками, перев. с франц., «Мир», М., 1968.
2) Отличие средней скорости такого индивидуального объема от местной скорости
осредненного потока наглядно показано в опытах А. Фавра, И. Гавильо и Р. Дюма.
(См. A. Favre, I. Gaviglio, R. Dumas, Structure of velocity space-time
correlations in a boundary layer, Phys. Fluids, Supplement 10, 1967, 138.)
3) Истоки ее восходят к Л. Ричардсону (L. F. Richardson, Weather prediction
by numerical process, Cambr. Univ. Press, 1922) и послужили основой известных работ
А. Н. Колмогорова, в которых эта общая схема была применена к установлению конкрет-
ных количественных закономерностей в потоках с большими реинольдсовыми числами (сам
Ричардсон никаких количественных выводов из предложенной им схемы не сделал, хотя
в последующей работе 1926 г. интуитивно использовал эту схему; см. исторический очерк
во введении к ч. I монографии: А. С. МоннниА. М. Яглом, Статистическая гидро-
механика, «Наука», М., 1965).

§ 107] ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ 627
возникших в выше расположенных областях потока. Эту роль выполняют
вихри большого и, частично, инерционного масштабов, благодаря наличию
которых только и возможно появление упомянутого в § 98 «эффекта памяти»
в турбулентных движениях.
Кинетическая энергия крупных вихрей имеет порядок удельной энергии
местного осредненного движения, затем она уменьшается с уменьшением
масштаба и становится пренебрежимо малой у мелких вихрей.
Изложенное структурное деление турбулентного потока имеет не толь-
ко качественное, но и количественное значение, так как существующие в
структурных описаниях турбулентности закономерности включают в себя,
как правило, эти основные три «масштаба турбулентности».
Количественное определение «масштаба турбулентности» тесно связано
со статистической связанностью пульсаций скоростей в исследуемой области
возмущенного потока. Мерой этой связи служит коэффициент корреляции
между пульсациями скоростей в точках жидкого объема, несущих в себе
следы того первоначального вихревого возмущения, которое постепенно пере-
носится от объемов одного масштаба к другим, более мелким масштабам.
Определив пространственное распределение коэффициента корреляции, мы
тем самым сможем оценить пространственную структуру турбулентных возму-
щений и найти на каждом этапе разрушения вихря его масштаб.
Современная измерительная техника указывает разнообразные пути изу-
чения внутренней структуры турбулентных течений. Сюда входит прежде
всего непосредственная фотокиносъемка сделанных видимыми при помощи
твердых примесей или газовых пузырьков водяных потоков х), позволяющая
получить картину линий тока, измерить среднюю интенсивность пульсаций
скорости и другие статистические характеристики, в том числе коэффициент
корреляции и масштаб.
В воздушных потоках с успехом используется метод тепловой анемо-
метрии, основанный на эффекте охлаждения потоком тонкой короткой
платиновой нити, разогреваемой электрическим током. В равновесном состо-
янии по электрическому сопротивлению нити можно судить об осреднен-
ной скорости потока. По отклонениям от равновесия в компенсационной
схеме (колебания шлейфа осциллографа, помещенного в нулевую ветвь моста)
можно судить об интенсивности пульсаций скорости в потоке и записать эти
пульсации в некотором масштабе 2).
Используя разнообразные электрические, тепловые, электродинами-
ческие, а в настоящее время и лазерные3) приборы, можно непосредственно
регистрировать средние квадратичные значения пульсаций скорости и сред-
ние значения их произведений в одной и той же или двух различных точках
потока. Это дает величину интенсивности турбулентности, напряжение
турбулентного трения и коэффициент корреляции между пульсациями
скорости в двух точках потока. Как далее будет пок· злно, отсюда нетрудно
*) Ε. Μ. Минский, О пульсации скоростей в открытом потоке, Те-хн. заметки
ЦАГИ, № 105, 1936; Е. М. Минский и Б. Α. Φ и д м а н, Об экспериментальном
определении некоторых статистических характеристик турбулентных потоков, Изв. Энер-
гетич. ин-та им. Г. М. Кржижановского 9; Б. Α. Φ и д м а н, Применение высокоскорост-
ной киносъемки к исследованию поля скоростей турбулентного потока, Изв. АН СССР,
серия географ, и геофиз. 12, № 2, 1946, а также другие работы того же автора (Изв АН
СССР, ОТН, № 11, 1953 и др.).
2) Первые экспериментальные исследования в этом направлении были проведены
голландским физиком И. Бюргерсом и под его руководством Ван дер Хегге Цииненом в
1924 г. в Дельфте (см. Proc. of the 1-st Intern. Congr. of Appl. Mech., Delft, Holland, 1924,
а также ряд статей указанных авторов в Известиях Голландской Академии наук).
3) Б. С. Ρ π н к е в и ч у с, Допплеровскнй метод измерения локальных скоростей
с помощью лазеров, Успехи физических наук 111, вып. 2, 1973, 305—330.
40*

628 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
найти и средний масштаб турбулентности. За деталями эксперимента
отсылаем к специальным руководствам 1).
Примем в дальнейшем обозначение заглавными буквами U, V, W проек-
ций осредненной скорости и соответствующими строчными буквами и, v, w
проекций пульсационной составляющей скорости. Сохраняя ранее принятый
знак осреднения во времени в виде черты сверху, составим три основные
осредненные характеристики пульсационных скоростей — корни квадратные
из средних квадратичных пульсаций скорости
Уи1, УР, УЖ
Эти величины, отнесенные к местной или общей осредненной скорости, опре-
деляют первые статистические характеристики турбулентного потока —
интенсивности турбулентности в разных направлениях.
Возьмем в данный момент времени t две точки в пространстве: Μ (х,
у, z) и М' (х', у', z'); обозначим проекции пульсационной скорости этих
точек соответственно и, v, w л и', v', w'. Тензор второго ранга (в общем
случае несимметричный) с таблицей
(ии' uv' ий-'
vu' vv vw'
wu' wv' ww'
назовем тензором моментов двухточечной корреляции между пульсационными
скоростями 2). Устремив точку Μ' κ Μ, получим в пределе симметричный
тензор моментов одноточечной связи
(и2 uv uw \
vu v2 vw I ,
wu wv w2 /
компоненты которого отличаются только постоянными множителями (—р)
от компонент тензора Π турбулентных напряжений (15). Удаляя точку М' от
1) С. Г. Попов, Измерение воздушных потоков, Гостехиздат, М., 1947,
190—199; Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Аэродинамика пограничного слоя, Гостехиздат,
Л.—М., 1941, 382—402. См. также специальные статьи: Ю. Г. Захаров и
Ε. Μ. Минский, Исследование турбулентности с помощью термоанемометра, Техн.
заметки ЦАГИ, № 172,1938; Ю. Г. Захаров, Е. М. Минский и М. С. Φ π-
л и π π о в, К методике измерения турбулентности термоанемометром, Труды ЦАГИ,
№ 402, 1939. Анализ погрешностей при измерениях термоанемометром можно найти в ра-
боте: Ю. Г. Захаров, Измерение средних π пульсационных скоростей воздушного
потока при помощи термоанемометра, Труды ЦАГИ, № 599, 1946. Некоторые новые схемы
описаны в работах Т.В. Смирнова (Труды ЛПИ, № 217, 1961). Зарубежная литература
по термоанемометрии также весьма обширна; отметим некоторые работы: Н. D г у d e п,
Turbulence investigations at the National Bureau of Standardts, Proc. 5th Intern. Congr.
Appl. Mech., 1938; H. Dryden, G. Schubauer, W. Mock, H. Skram-
s t a d, Measurements of intensity and scale of wind tunnel turbulence and their relation to
the critical Reynolds' number of spheres, Techn. Rev. NACA 581,1937; A. Hall, Measure-
ments of the intensity and scale of turbulence, ARC R & M, № 1842, 1938; S. С о r r s i n,
Extended applications of the hot wire anemometer, Rev. Sci. Instruments 18, 469, 1947;
A. Townsend, The measurement of double and triple correlation derivatives in isotropic
turbulence, Proc. Camb. Phil. Soc. 43, 560, 1947; Ж. Конт-Белло, Турбулентное
течение в канале с параллельными стенками, перев. с франц., «Мир», М., 1968.
2) Понятие тензора моментов корреляции было впервые введено советскими учеными
Л. В. Келлером и А. А. Фридманом в их совместном докладе «Дифференциальные уравне-
ния турбулентного'движения сжимаемой жидкости», сделанном на Первом Международ-
ном конгрессе по прикл. механике в Дельфте (Голландия) в 1924 г. См. Proceed of the First
Intern. Congr. for Applied Mechanics, Delft (Holland), 1924, 395—405. В дальнейшем
это понятие легло в основу теории однородной изотропной турбулентности Кармана и
Хоуорта ц получило широкое применение в статистической теории турбулентности.
(196)

* 107J ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ 629
точки М, будем получать моменты двухточечной связи между пульсацпоп-
ными скоростями частиц, все менее и менее между собой статистически связан-
ных; компоненты этого тензора будут стремиться к нулю.
Коэффициентом корреляции между двумя случайными пульсирующими
во времени величинами φ и ψ называют величину
^l7fc. (197)
Если между величинами φ и ψ нет статистической связи, то числитель,
равный среднему интегральному за достаточно большой промежуток деремени
произведения этих величин, будет равен нулю. Если, наоборот, пульсирующие
величины φ и ψ полностью связаны, то коэффициент корреляции, благодаря
принятому способу нормирования (197), будет в зависимости от соотношения
фаз равен ±1. Промежуточным степеням статистической связанности пуль-
саций будут соответствовать абсолютные значения коэффициента корреляции,
лежащие между нулем и единицей. Коэффициент корреляции является основ-
ной количественной мерой статистической связи между двумя, заключающими
в себе элемент случайности пульсирующими величинами.
Коэффициент пространственной корреляции между пульсациями ско-
ростей ut и и,· (i, / = 1, 2, 3) в двух точках Μ и М' с координатами Xi и
х\ = хг + г обозначим так (нижние индексы относятся к номерам проекций
коррелируемых скоростей пульсаций, верхний индекс к номеру координатн й
осп, в направлении которой расположены точки Μ и М'):
Ли'(г, 0,0)
R% (0, Г, 0) = »iy*i,+2,**>uiW,*2T-r,*a, , I (19g)
У и\ (хи х2, х3) Vu] (xu xz+r, хг)
Д8'(0,о,г) ^ ' -4
Щ( Ь
\ и\(хъ
Щ (хь
У и\ (хь
щ {хи
х2'
Ж2,
Xе} t
^2»
x2i
xz) Uj(xi + r, х2, х3)
X3)V й*(Х1 + г> »2, Х3)
а'з) UjiXb Х2+Г, Х3)
XS) V U2j(Xi, Xz+r, Хз)
xz)ui(x\, х2> хз+г)
V и\ (х^ ж2. ^з) V и] (ж1. ж2· хз + г)
В общем случае произвольной пространственной структуры турбулентно-
сти приходится, таким образом, иметь дело с большим числом коэффициентов
двухточечной корреляции (связи).
Вводя интегралы
оо
L™= ^R()dr. (199)
о
где R^ — один из введенных системой равенств (198) коэффициентов корре-
ляции, получпм систему «масштабов турбулентности», в общем случае крайне
сложную.
Обычно довольствуются рассмотрением лишь «продольного» и двух «попе-
речных» по отношению к направлению пот· ка масштабов, задавая их инте-
гралами
оо оо оо
Lx=\R™dr, Ly = ^B™dr, Lz=jtf»dr, (200)
0 0 0
наиболее просто определяемых экспериментально; в настоящее время имеются
возможности для измерения и других масштабов. Масштаб турбулентности
представляет вторую статистическую характеристику турбулентности. Опре-
деляемые формулами (199) и, в частности, (200) масштабы являются масштаба-
ми крупных вихрей или «большими масштабами».

630 ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. X
Введем, наконец, третью характеристику турбулентности — функцию
F(k) распределения кинетической энергии пульсаций по частотам к этих
пульсаций во времени. Бесконечно малая величина F (к) dk определяет долю
энергии пульсаций с частотой, лежащей в интервале (к, к -f- dk), в общей,
отнесенной к единице массы осредненной энергии пульсационного движения.
Опуская численный множитель V2, определим эту среднюю по частотам энер-
гию выражением
2 0
uz = —
I u*(k)F(k)dk
I F (к) dk "О
О
= f и2 (к) F (к) dk, (201)
0,4
0,2
°oVV
о ·
J I 1 L.
так как из самого определения функции распределения следует, что
оо
[ F{k)dk=l. (202)
о
Приведем некоторые количественные результаты, относящиеся к введен-
ным только что характеристикам турбулентного движения. Начнем со сво-
бодной турбулентности. Картина убывания интен-
,==■ я/^ сивности турбулентности наблюдается в струе,
о °°°°° "*100 окруженной спутным потоком (рис. 249). Приво-
·£····.°* *200 дятся кривые1) распределения V и* в сечениях,
+ ++ +Λ. ν нормальных к потоку и находящихся на различных
vvvwvvv относительных расстояниях xld от среза сопла.
**%νν Скорость на выходе из сопла 10,2 м/с, скорость
,oi oy>v[ спутного потока 8,5 м/с. Из кривых следует,
4 § что вблизи границы струи и спутного потока на вы-
r/R ходе из сопла (г//? = 1) возникают возмущения
большой интенсивности, убывающие вниз по по-
Рис. 249. току. Убывает при этом и интенсивность турбу-
лентности потока, выходящего из сопла.
Аналогичное, но более детальное исследование провели у нас
А. С. Гиневский, Л. И. Илизарова и Ю. М. Шубин 2). Пользуясь методом
тепловой анемометрии, авторы измерили целый ряд турбулентных характе-
ристик струи в спутном потоке: распределение интенсивностей продольной
ε„ = V u2/t/ и поперечных ε„ = V v2/U, sw = V w%IU пульсаций скорости,
двухточечный коэффициент корреляции R1^' (0, у) = Ruu (у) и соответствую-
щий ему масштаб турбулентности L™ = L (у), а также одноточечный коэф-
фициент корреляции г между продольной и и поперечной ν пульсациями.
Измерения производились при различных отношениях т — Uco/U0 скорости
спутного потока U'«, к скорости U0 на срезе сопла, из которого вытекала
струя. На рис. 250, а приводится сводный график, который полезно
детально рассмотреть. На этом рисунке, относящемся к сечению струи
xld = 20 (х — расстояние сечения от среза сопла, d — диаметр выходного
сечения сопла), приводятся все одноточечные характеристики: εω, ε0, ew; r
и отдельно расположенный график величины ΔΖΙ = (U — Ux)l(Um — Ucc)
*) Υ. Kobashi, Experimental studies on compound jets, Proc. of the 2nd Japan
Nat. Congr. for Appl. Mech., 1952, 223—226.
2) А. С. Гиневский, Л. И. Илизарова, Ю. Μ. Шубин, Исследова-
ние микроструктуры турбулентной струи в спутном потоке, Мех. жидк. и 1аза, № 4,
1966, 81—88. "

« 107] ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ 631
избыточной безразмерной осредненной скорости U — U^, отнесенной к раз-
ности скоростей на оси Um и в спутном потоке £/«>· По оси абсцисс
отложено безразмерное расстояние
г XI лп I/ W -и.™ ^Vs = ^/6l/z OT оси струи, отне-
сенное к такому значению
У — °i/2, которое соответствует
точке, где AU — V2. Как бы в
дополнение к рис. 249, где было
показано убывание интенсивности
продольной пульсации с удалением
от среза сопла, на рис. 250, а при-
Р""-"1
ом=0,04
• 0,21
1 1
1
20
40
60
6)
у, мм
Рис. 250.
водятся интересные данные по убыванию интенсивностей пульсаций в ре-
зультате уменьшения скорости струи на срезе сопла или увеличения скорости
спутного потока.
Фр,
4J0
4,0
1,0
φ
61
to
20
40 60
80 100
020
0,W 0,60
б)
ΟβΟ 1β
Φ
Рпс. 251.
Обращает на себя внимание, во-первых, наличие максимумов интенсивно-
сти пульсаций и затем быстрое спадание интенсивностей при приближении к
«границе» струи, а, во-вторых, отличие понятия «границы струи», как точки
данного сечения, в которой избыточная скорость равна нулю (τμ/2 = 2,2),
и такой воображаемой точки, где все возмущения, производимые струей
в окружающем ее спутном потоке, равнялись бы нулю.

632
ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. X
ψ
0,60
OfiO
ом
0,20
^
(ф
ii!»
о,го о,4а οβο
аво
Φ
Рис. 252.
Можно заметить, что понятие о такой второй, физически мыслимой грани-
це было бы количественно трудно определимым, так как между струей и
спутным потоком имеется «пограничный слой», где происходит довольно плав-
ный переход от струи к спутному потоку. При малых значениях параметра
го вторая граница оказалась бы заметно различной для разных турбулентных
характеристик. Заимствуем из той же, только что процитированной работы
график (рис. 250,6) распределения по сечению
струи коэффициента двухточечной корреляции
продольных скоростей пульсаций Ruu (у) и по-
перечного масштаба L (у), определенного по
изменению коэффициента корреляции (верхние
кривые) согласно первому интегралу (200).
Обращает на себя внимание факт почти постоян-
ства масштаба в центральной областл струи и
изменение его в разные стороны при разных зна-
чениях параметра го на краю струи.
Многочисленные экспериментальные данные
по турбулентной структуре потока в плоской
трубе можно найти в книге Ж. Конт-Белло *).
Рассмотрим некоторые из них. На рис. 251, α и б
представлены относящиеся к сечениям на раз-
ных относительных расстояниях xlD от входа
в трубу распределения интенсивности продоль-
ных пульсаций, отнесенной к динамической
скорости ν%— Y~tw/p, в функции от безразмер-
ного расстояния от стенки, составленного
различным образом для пристеночной и центральной частей потока (D —
полурасстояние между стенками плоской трубы; экспериментальные точки
опущены).
Рис. 251, а описывает «пристеночную» область; на оси абсцисс отло-
жена обычная «универсальная» координата (безразмерное расстояние от стен-
ки) η = yvj\. В вязком подслое (η <С 11,5) интенсивность продольных пуль-
саций резко возрастает с удалением от стенки, достигая максимума примерно
в центре переходной области от вязкого подслоя к логарифмической зоне.
Затем интенсивность плавно убывает до своего значения на оси трубы, как это
показано на рис. 251, б, отличающемся от рис. 251, α масштабом абсцисс. При-
веденные графики относятся к потоку с числом Рейнольдса Re=Uc^D/v =
= 120 000.Как показывают графики, приведенные в цитированной книге,
интенсивности продольных и поперечных пульсаций, отнесенные к динами-
ческой скорости, слабо зависят от рейнолъдсова числа потока.
Опуская графики спектров частот и коэффициентов корреляций — они
имеются в большом количестве в цитированной книге Ж. Конт-Белло, —
покажем лишь один общий график (рис. 252) (экспериментальные точки опуще-
ны; их разброс сравнительно с другими графиками значителен) распределений
продольного Lx и двух поперечных Ly и Lz масштабов турбулентности по
сечению трубы xlD =118 при рейнольдсовом числе Re = 120 000. Продоль-
ный масштаб Lx значительно превосходит по величине оба поперечных.
Для масштабов Lx и Ly характерно наличие максимумов примерно
на 30 %полурасстояния между стенками трубы D, считая от стенки трубы.
Исследования турбулентности в области пограничного слоя также мно-
гочисленны. Изучены как распределения интенсивностей, так и корреляции,
масштабов и частотных спектров.
х) Ж. Конт-Белло, Турбулентное течение в канале с параллельными стен-
ками, «Мир», М., 1968.

§ 107] ВНУТРЕННЯЯ СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ 633^
iff
100ψ 1%
у у 5
^^У ,20
у/, 30
^\Уу35
^уСм
5β
6,1
6,7
Рис. 253.
7,3
7,9м
Отсылая к ийгеющемуся на русском языке обзору X. Драйдена '), где
приведены систематические материалы по структуре турбулентного погра-
ничного слоя при наличии продольного отрицательного и положительного
перепадов давления, приведем в качестве примера диаграмму распределения
местной интенсивности турбулентности V uz/U в диффузорной области погра-
ничного слоя (рис. 253). Кривые у
представляют геометрические места 20см\
точек одинаковой интенсивности
турбулентности, показанной спра-
ва в процентах.
Возрастание интенсивности
турбулентности в данном сечении
слоя при приближении к стенке
объясняется влиянием двух факто-
ров: увеличения при приближении
к стенке абсолютной среднеквад-
ратичной пульсации скорости и2,
подобного показанному на рис.
251 а, и одновременным умень-
шением скорости осредненного движения U. Распределение местной интен-
сивности турбулентности вдоль пограничного слоя при данном значении
ординаты (у = const) показывает сильный рост интенсивности в диффузорной
части слоя (х >5,5 м). Исключительно высокая интенсивность (40%) имеет
место вблизи точки отрыва турбулентного пограничного слоя (xs = 7,84 м).
Частотные (спектральные) характеристики турбулентного пограничного
слоя показывают, что внутри слоя преимущественное значение имеют колеба-
ния частоты, низкой по сравнению с частотами колебаний вне пограничного
слоя. Так, в пограничном слое на пластине в сечении, соответствующем чи-
слу Рейнольдса Re* = 650 000, преимущественное значение имеют частоты
до 40—50 Гц, при Re* = 1 600 000— до 20 Гц, а вне пограничного слоя —
порядка 100 Гц. Доля высоких частот (порядка 1000 Гц) совершенно невелика.
Понижение частот при переходе к большим ReK говорит о возрастании масшта-
ба турбулентности с увеличением толщины пограничного слоя.
Можно заметить простую связь между частотой пульсаций и масштабом
турбулентности. При прохождении крупномасштабного вихря мимо непо-
движного датчика частотомера будет зарегистрировано большее время, чем
при прохождении мелкомасштабного вихря. Отсюда следует общая законо-
мерность: большим по масштабу вихрям соответствует меньшая частота
и, наоборот, меньшим — более высокая частота. Пользуясь взамен частоты
обратной по отношению к ней величиной — длиной волны, убедимся в пол-
ном соответствии ранее отмеченного различия в процессах рассеяния вихрей
известному общему закону о более быстром рассеянии коротких волн по
сравнению с длинными 2).
г) X. Драйден, Современное развитие механики пограничного слоя, сб. «Проб-
лемы механики», ИЛ, М., 1955, 277—290.
2) Для ознакомления с общей теорией турбулентности рекомендуем наиболее-
доступную для этой цели монографию И. О. X и н ц е, Турбулентность, Физматгиз,
М., 1973.

Глава XI
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
§ 108. Основные уравнения движения вязкого газа
В основу изучения движения вязкого газа положим следующие общие
допущения:
1) газ совершенен, т. е. давление р, плотность ρ и абсолютная температу-
ра Τ удо летворяют закону Клапейрона
f = RT, (1)
коюрый при части i предположении о неизменности коэффициента теплоем-
ко ти при π стоянн м давлении ср можно еще написать в виде
Р ср ср
где h — э талъпия (тепловая функция), в общем случае ср, зависящего от
температуры, выражаемая интегралом
τ
h=^cp(T)dT; (3)
о
2) г з представляет «ньютоновскую» среду, подчиненную известному
уже нам по гл. VIII обобщенному закону Ньютона о линейной связи между
тензором напряжений и тензором скоростей деформаций. В отличие от несжи-
маемой жидкости, в случае газа, который будем считать, так же как и в гл.
VIII, средой изотропной, скалярный коэффициент Ъ, входящий в основ-
ной линейный закон
P = aS + b%, (4)
зависит не только от линейного инварианта тензора напряжений Ри + р22 +
-\-р33, но и от линейного инварианта тензора скоростей деформаций
dV^dx-f^ + dVz/dx^-l-dVJdxs = div V, который в случае движения газа
с большими скоростями не будет равен нулю.
Как и ранее в гл. VIII, положим а = 2μ и, чтобы найти выражение коэф-
фициента Ъ, приравняем линейные инварианты обеих частей равенства (4).
Будем иметь
Pii +Р22 +Рзз = 2μ(ΗνΓ + ЗЬ. (5)
Обобщая принятое в гл. VIII определение давления для несжимаемой
жидкости, положим
1/3(рц + Ргг +Рзз) = — Ρ + μ'^ν V, (6)
где. коэффициент μ' назовем коэффициентом объемной вязкости или вторым
коэффициентом вязкости.
Подставляя выражение (6) в равенство (5), найдем
b=-p-(^-^)divV, (7)

§ 10SI ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА 635
после чего формула обобщенного закона Ньютона для газа (4) примет вид
Ρ = 2μ£+[-ρ-(!.μ-μ')<11νν]£. (8)
На возможность допущения (6) указывал еще Стоке, а после него в своих
лекциях по теории тепла Кирхгоф. Вторая вязкость оказывает существенное
влияние на быстро развивающиеся процессы г газе, как, например, взрыв,
прохождение газа сквозь скачок уплотнения и др.
В дальнейшем мы удовольствуемся лишь учетом влияния обычной первой
вязкости, а второй вязкостью будем пренебрегать, положив
μ' = 0. (9)
При этом
P = 2vS-(p ^^vaivV)%, (10)
или в матричной форме
(ди J_ /_£"■ JM 1 I ди дш\·
Ох 2 \ ду ' Их > 2 I oz "*" дх )
1 / ди , ди \ dv 1 / dv , dw \
тЬх+Ту-) -Щ Т\-& + а*г)
2\дх~^дг) 2 \ Оу + dz ) dz
/1 0 0\
-(ρ + ΙμαΙνΚ) (θ 1 Oj; (11)
3) динамический коэффициент вязкости μ является функцией толъ о
абсолютной температуры Т. В дальнейшей! используются различные законы
этой зависимости. Прежде всего приведем в несколько ином, чем в § 74, виде
формулу Саттерлэнда
где Ts — постоянная Саттерлэнда, имеющая для воздуха значение, близкое
к 122 К, а Т0 и μ0—абсолютная температура и коэффициент вязкости,
соответствующие некоторому начальному состоянию газа. Широко также
применяется степенная формула
μ/μ0 = (Т/Т0)п, (13)
где η = 1/2 для сравнительно высоких температур и η = 1 для более низких.
По Клрману в среднем η = 0,76. Иногда считают
п = 8/9 при 90<Г<300К 1
η =3/4 при 250<71<600 К. J (1 )
Чепмен и Рубезин х) предложили для пользования в теории пограничного
слоя простой линейный закон связи μ и Т:
-}h=c4-=cil· (15>
μοο 1 те Λοο ν
с постоянной С, выбранной из условия возможного приближения к формуле
Саттерлэнда (12) и равной (Tw — температура на стенке, 2Oo — температура
г) D. R. Chapman, Μ. W. R u b e s i n, Temperature and velocity profiles in
the compressible laminar boundary layer with arbitrary distribution of sur.ace temperature,
Journ. Aoron. Sci. 16, 1949, 547. Русский иеревод в сб. </Механик·.», в. 4, ИЛ, М.,
1950, 50.

636
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
на внешней границе пограничного слоя)
Tw\\4z Tcc + Ts
с-ш
πτ , (*6>
4) коэффициенты теплоемкости ср и cv, а следовательно, и их отношение к
не зависят от абсолютной температуры газа и являются физическими кон-
стантами газа;
5) коэффициент теплопроводности газа λ пропорционален динамическом]/
коэффициенту вязкости μ, так что число Прандтля Рг = μορ/λ, в дальнейшем
для простоты письма обозначаемое через σ, рассматривается как физическая
постоянная газа
μερ/λ = σ = const. (17)
Для вывода уравнений динамики вязкого газа используем уравнение
в напряжениях (36) (гл. II)
9^ = pF + Oi,P
(18)
и, подставив в него выражение Ρ из (10), составим следующее основное уравнение
Навъе — Стокса динамики вязкого газа:
Ρ^Γ-ρΡ-Ε^α(ρ^μαΙγν)+2ΩΙν(μ8).
В проекциях уравнение (19) будет иметь вид
du j-, dp , п д I ди \ , д Г / ди , dv \ ~! ,
(19)
dv
Р-5ГР
др_
ду
+±н-
dv_
dz
+
\Л-1
2 д
dw
ду I Л 3 ду
fadivF),
(20)
dw „ dp д Г / du dw \ 1 д Г / dv . dw \ 1 ,
К этим уравнениям присоединяется уравнение неразрывности
dp
dt
+ div(pF) = 0
или
dp i djp'u) , g(pp) 0(pu>)
<?i
дх
ду
dz
0.
(21)
(22).
Наличие переменной величины Τ делает полученную систему уравнений
незамкнутой; число неизвестных: и, v, w, ρ, ρ, μ, Γ превосходит на единицу
число уравнений. Чтобы получить замкнутую систему уравнений, составим
еще уравнение баланса тепла в движущемся газе. С этой целью используем
уравнение баланса энергии в дифференциальной форме (47) гл. II
Р^г(СсГ + — ) = pF-V + div(PV) +
РЧ
(23)

5 108] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА 637
и, аналогично тому, как это делалось в гл. III, перейдем от внутренней энергии
cvT к энтальпии h, связанной с нею известной формулой
h = cpT- cvT + ?-.
Кроме того, удовольствуемся рассмотрением притока тепла только через
теплопроводность, т. е. положим
р<7 = div(X grad T),
где коэффициент теплопроводности λ будем считать функцией температуры
Τ и пропорциональным μ согласно (17).
Заменяя в уравнении (23) тензор напряжений Ρ его выражением (10),
получим
р4(*+-?-)-|*-''+р4Ш+
+ 2div ^F£)-div [(ρ + 4 μ<Κν V) r] + div (^-gradft),
или, используя очевидное преобразование
и равенство (17), следующую форму уравнения баланса тепла
PW (h + Ir)=pf*-Vr + lT + div'(2μ^5—|μνdivFЧ~£ grad h) . (24)
Входящее под знак дивергенции в правой части произведение вектора
скорости V на тензор S может быть выражено через дифференциальные вектор-
ные операции над вектором V в форме
VS = graa(l£-)—jVxTotV. (25)
Отметим основной для дальнейшего частный случай стационарного дви-
жения при отсутствии объемных сил. Используя (21), получим
р4(*+тН4(*+т)+р^(»+т)-^И*+-?·)].
и уравнение (23) преобразуется к следующему, как иногда говорят, «дивер-
гентному» виду:
div[pF(fe + -y-)—2μν5 + |-μν^νν—£-gradfe] = 0. (26)
Пользуясь выражением (25), можно представить уравнение (26) в сле-
дующем развернутом виде:
div\pV^h + ~)j — μgv^ά (Л + ^2) — μτΟΙνΧν + ^μναΙγν^ = 0. (27)
Можно указать и другие полезные формы уравнения баланса тепла.
Вспомним уравнение изменения кинетической энергии (44) гл. II
Заменяя в выражении (45) гл. II мощности внутренних сил Ρ по равенству (10),
получим следующее выражение мощности внутренних сил:
Nin = — 2μ52 + ρ div V + ~ μ (div Vf. (29)

638
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
1ГЛ. XI
Сравнивая с соответствующим выражением Nin в случае несжимаемой жидко-
сти, убедимся, что при наличии сжимаемости в выражении Nin добавляются
два новых слагаемых
ρ(ΗνΚ + -|μ((ΠνΚ)2;
первое из них выражает секундную работу давления, а второе — сил внутренне-
го трения при сжатии газа. Диссипируемая мощность, т. е. необратимая
часть мощности внутренних сил с обратным знаком будет равна
Nwc = 2μ52 —д. μ (div V)\ (30)
Выражение диссипируемой мощности (30) в виде разности квадратов
не позволяет судить непосредственно о знаке этой величины и об условиях
обращения ее в нуль. Покажем, что диссипируемую мощность можно предста-
вить в форме суммы квадратов. Имеем по (30)
^дис- 2μ (5»1 + 4+5Ι, + 25·, + 25* + 25«Ι)-
—g- μ (Su -f- $22 ~Ь *^зз + 2S,11S22 -f- 2ο22θ33 + 25335ц) =
= 4Λ(522 + 4 + 4) + |μ(25?1 + 24 + 24-25Η^2-2522533-2533511)
или, комбинируя члены во второй скобке,
^ΒΗθ = 4μ(4+^ + ^)+4μ[(5Η-5,0*+(5Μ~588)8+(58,-5„)^ (31>
Из последнего вьражения сразу следует, что, кроме тривиального случая
квазитвердого движения газа, о котором уже была речь в гл. VIII при рас-
с отрении движения вязкой несжимаемой жидкости, механическая энергия
вязкого газа не будет диссипироеаться в тепло и при изотропном радиальном
расширении или сжатии газа, когда скорости сдвига равны нулю, а скорости
относительных удлинений ио любым направлениям в пространстве одина-
ковы: SX1 = 522 =*S,33. Заметим, что при учете второй вязкости диссипи-
руемая в тепло механическая энергия при радиальном расширении или сжа-
тии газа уже не равна нулю.
Вычитая почленно обе части (28) из (23) и вновь переходя от внутренней
энергии к энтальпии, получим после простых преобразований следующую
форму уравнения баланса тепла:
PlN^ + V?2-i^(divF)2 + div^gradA). (32)
Сравнив это уравнение с (40) гл. III и приведенными там последующими
рассуждениями, убедимся, что при наличии вязкости движение уже не может
быть баротропным, а при условиях адиабатичности — изэнтропическим.
Уравнения (24) или (32) замыкают систему уравнений динамики вязкого
газа, по крайней мере в той постановке, которая принята в начале настоящего
параграфа. Более широкие постановки, учитывающие существенные при
сверхзвуковых движениях теплоотдачу путем лучеиспускания, явления диссо-
циации, ионизации и др., требуют специального изучения.
Вопрос об условиях существования и единственности решения составлен-
ной системы уравнений до сих пор не ясен. Соответствующие условия обычно
указываются в каждом отдельном случае. В число граничных условий, так
же как и в несжимаемой вязкой жидкости, входит равенство нулю скорости на
неподвижной твердой границе, а при движении тела в газе совпадение скорое-

<S 109J
УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ ПОТОКОВ ВЯЗКОГО ГАЗА
639
тп частиц газа, прилегающих к поверхности тела, с соответствующими скоро-
стями точек поверхности тела.
Как уже упоминалось в гл. VIII, в разреженных газах условие прилипа-
ния газа к твердой стенке не имеет места; в этих условиях наблюдается
скольжение газа по стенке, которое можно считать пропорциональным произ-
водной по нормали к поверхности обтекаемого тела от касательной составляю-
щей скорости. Не приходится и говорить о том, что условие прилипания
совершенно теряет свою силу в сильно разреженных газах, когда длина
свободного пробега молекулы становится сравнимой с линейными размерами
тела. В этом случае газ уже нельзя рассматривать как сплошную среду.
Такого рода движения газа выходят за рамки механики в узком смысле
слова и составляют предмет изучения кинетической теории газое. Заметим,
что вопросы обтекания тел разреженными газами приобретают в последнее·
время практическое значение в связи с полетами ракетных снарядов на
больших высотах.
В случае внешнего обтекания тел безграничным потоком газа в число
граничных условий входит задание скорости набегающего потока или скорос-
ти движения тела по отношению к покоящемуся вдалеке от тела газу; при
протекании газа сквозь каналы обычно задают секундный массовый расход,,
при изучении распространения струй — секундное количество движе-
ния и т. п.
Граничные условия для темперауры могут быть также разнообразны.
Наиболее часто встречается задание распределения температуры по поверхно-
сти обтекаемых тел или на стенках каналов, по которым происходит
течение газа, и температуры набегающего газа. В других случаях задается
распределение теплоотдачи, т. е. секундного количества тепла, проходя-
щего через единицу площади поверхности.
Согласно закону Фурье последнее эквивалентно заданию производной
от температуры по направлению нормали к поверхности обтека мого тела
или канала. В такого рода граничных условиях заложено предположение
об отсутствии скачка температур между обтекаемой стенкой и прилипающими
частицами газа. Эти граничные условия хорошо подтверждаются опытными
исследованиями в неразреженных газах; (точнее, при малой по сравнению
с размерами обтекаемых тел или каналов величине длины свободного пробе-
га молекул). В случае же разреженных и особенно сильно разреженных газов
указанные граничные условия теряют свой смысл. В разреженных газах
наряду со скольжением газа образуется скачок температур, который, так
же как и скорость скольжения, можно принять пропорциональным темпера-
турному перепаду в газе вблизи стенки. В сильно разреженных газах поня-
тие температуры (так же как и скорости) нуждается в некотором уточнении,
которое дается в кинетической теории газов.
В число граничных условий входит еще задание давления в какой-нибудь
одной точке, обычно вдалеке от обтекаемого тела, во входном сечении ка-
нала или др.
Начальные условия, как и в несжимаемой жидкости, представляют за-
дание в начальный момент времени поля скоростей и температур, и, кроме
того, давления в какой-нибудь точке.
§ 109. Условия подобия потоков вязкого газа
Следуя по тому же пути, что и в гл. VIII при изложении вопроса о подо-
бии при движении несжимаемой вязкой жидкости, составим систему безраз-
мерных уравнений динамики вязкого газа. Ограничимся рассмотрением
случая неподвижного тела в безграничном, однородном на бесконечности
потоке со скоростью У,*,, плотностью р«,, давлением /)«>, температурой Т<х,

640
ДИНАМИКА ВЯЗКОГ. ГАЗА
[ГЛ. XI
энтальпией h^, коэффициентом вязкости μ^,; величины ср, с„ и отношение
ср cv=k будем считать повсюду в данном потоке одинаковыми. Обозначим
масштаб длин через L и примем в качестве масштабов других величин их зна-
чения на бесконечности. Для случая стационарного движения без объемных
сил уравнения (1), (13), (20), (22), (27) после выделения масштабов примут
вид (штрих обозначает безразмерные величины)
Poc^L I , , ди' \ Роо др' μοονοο Г0 д I , ди' \
Гдф'и') d(p'v') d(p'w') |_0
L да? ~*~ ду' "т" dz' J —u'
L L дя?
4- div' [pocFcop'F' (h^h' +±VIV'Z) - ψμ' gvad' (^Lh' + VlV'z) -
Разделим обе части первых трех равенств на коэффициент pooV^/L
при безразмерном конвективном ускорении. В четвертом равенстве масштабный
множитель исключается. Обе части пятого равенства разделим на выражение
PooVoohoJL. Тогда будем иметь в безразмерных величинах
, , ди' ,_ рос др' , μ°ο Го д I „' ди' \ 1_ Π
Р" дя? + ··· _ —PcoF^ to' ^pooFoo^ 1*1?~\μ 1P"J+ "-J
0(pV) ■ 0(pV) ■ g(pV) _n
ftc' "·" ду' ~*~ dz' »
1 J72 \ ii / fc' V2
X со T7Y9 I Moo t Л§ / «■ . oo
div'[p'F'(^+T^-F,2)-p^r^^di(^+-eF'2)-
Штрих при символе дифференциальной операции показывает, что операция
производится в безразмерных координатах.
В бесконечном удалении от тела скоростное поле однородно, скорости
деформаций отсутствуют и движение вязкого газа совпадает с движением
идеального газа. Следовательно, на бесконечности можно применять формулы
идеального газа. Будем, в частности, иметь
ρ» 1 а1о 1 vlo v2
Роо __ Роо коо_ 1 ,, ..ма _ А: —1
Poofeoo рооУ^ feoo AM», K ' IV1°° ~~ ~Т~
Кроме того, введем обозначение рейнольдсова числа потока
Re<x> = P°°FooL
μοο

§ 109]
УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ ПОТОКОВ ВЯЗКОГО ГАЗА
641
Тогда получим окончательно следующую систему безразмерных уравнений
стационарного движения вязкого газа:
, / , ди' . , ди' , ди' \ 1 др' 1 (0 д I , ди' \ , Л
, д Γ , ( ди' dv' \\.д Г, ( ди' dw' \Ι 2 д . , Α. , τ,η\
, Ζ , dv' , , dv' , dv' \
1 dp' , 1 f 5 Γ , /_^_ i &/ \Ι,9 δ / , dt/ \
= ~'AMiliri"'Ri^' l^' l/ \ду'^~ dx')\-^Z ду' ψ ~οΥ) '
, i , dm' , dw' , dw' \ 1 dp'
, 1 f δ Γ , / ди' , dw' \ 1 β Γ , ( dv' . dw' \ η
d (pV) . a (PV) . g (pν) _ η
аж' "г dy' ~*~ dz' ~V>
div' { p'V (fc' + ~Μ2Χνη - j±-μ' grad' [|-+ (A-1) M^'8 j -
-iirM>'(r0t' V' X V'-^V'aWV')) = 0,
ρ' = Λ'ρ', μ'= /(&')·
(33)
К этой системе уравнений присоединяются безразмерные граничные
условия, о которых было в общих чертах сказано раньше. Для рассматривае-
мого случая обтекания тела эти граничные условия приведутся к заданию
в безразмерном виде уравнения поверхности, равенства нулю на ней величи-
ны скорости, заданию распределения безразмерной температуры или нор-
мальной ее производной, а также безразмерных значений скорости, давления
и температуры на бесконечности, равных при ранее выбранных масштабах
единицам.
Безразмерная система уравнений и граничных условий движения вяз-
кого газа представляет некоторый самостоятельный интерес, так как позво-
ляет изучать не только отдельное единичное движение, но одновременно весь
класс движений, отличающихся от данного масштабами линейных размеров
тел, скоростей, температур и т. д. Вместе с тем безразмерная система урав-
нений позволяет установить необходимые условия подобия двух движений
газа. Предположим, например, что рассматриваются два геометрически, кине-
матически и динамически подобных стационарных обтекания вязким газом
тела или системы тел, причем влиянием объемных сил можно пренебречь.
Границы обтекаемых тел в обоих движениях должны быть геометрически
подобны и подобно расположены по отношению к набегающим потокам, что
входит в определение геометрического подобия, представляющего часть усло-
вий общего подобия явлений.
При наличии геометрического подобия безразмерные (т. е. отнесенные
к масштабам длин в сравниваемых потоках) координаты в сходственных точ-
ках будут выражаться одинаковыми отвлеченными числами. Безразмерные
граничные условия будут также одинаковы; одинаковыми окажутся и без-
41 Л. Г. Лойцянский

642
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
размерные величины скоростей, давлений, температур в сходственных точ-
ках потока, представляющие решения безразмерной системы уравнений (33).
Следовательно, одинаковы должны быть и сами безразмерные системы урав-
нений. Как видно из структуры системы (33), при этом в двух подобных систе-
мах должны иметь одно и то же значение величины: Reoo, Moo, к ш о; если
задана температура на поверхности обтекаемого тела, то из безразмерных
граничных условий для температуры будет еще вытекать одинаковость отно-
шения размерных температур на стенке в каких-нибудь сходственных точках
к температуре на бесконечности. Это отношение Tw /Tt» температуры на стенке
обтекаемого тела Tw к температуре набегающего потока Τх называют тем-
пературным фактором.
Отсюда следует прямая теорема подобия: если два стационарных движе-
ния однородного (не диссоциированного и неионизованного) вязкого газа при
отсутствии объемных сил и лучеиспускания подобны между собой, то соот-
ветствующие этим движениям числа Reoo, Moo, к, σ и Tw /Т^ одинаковы для
обоих рассматриваемых движений. Естественно, возникает вопрос об уста-
новлении достаточных условий, т. е. условий, обеспечивающих подобие
двух гидроаэродинамических явлений. Однако решение этого вопроса
упирается в необходимость строгого доказательства теоремы о существова-
нии и единственности решений уравнений, что в настоящее время сделано
лишь для простейших случаев. Кроме того, разнообразие постановок
задач о движении газа также вызывает некоторые трудности. Обо всем этом
и о применениях соображений теории размерностей к разысканию типов ре-
шений уравнений Навье — Стокса, в частности, автомодельных решений,
уже подробно говорилось в гл. VIII и IX. Не будем вновь возвращаться
к этим вопросам, так как они полностью совпадают с соответствующими
местами теории подобия несжимаемой вязкой жидкости.
В более общем случае наличия объемных сил, например сил веса, при-
шлось бы еще вводить число Фруда, а при нестационарности движения —
число Струхала.
§ 110. Пример одномерного течения газа: толщина скачка уплотнения
Интегрирование уравнений динамики вязкого газа представляет значи-
тельные математические трудности. Простейшим примером такого интегри-
рования является решение одномерной задачи о переходе безграничного сверх-
звукового потока в дозвуковой. Этот переходный процесс протекает в тонкой,
но конечной по величине области, которая должна при более глубоком рас-
смотрении явления заменить принятую в динамике идеального газа упрощен-
ную схему прямого скачка уплотнения или ударной волны, представляющих
плоскости разрыва динамических и термодинамических характеристик пото-
ка. Как сейчас будет показано, размеры этой переходной области очень малы
и, во всяком случае, сравнимы с длиной свободного пробега молекулы.
Естественно, возникает вопрос о допустимости применения в областях
столь малого размера уравнений динамики сплошной среды вообще и выве-
денных в предыдущем параграфе уравнений, в частности, так как само пред-
ставление о rase как о некоторой сплошной среде справедливо лишь при дви-
жениях в области, размеры которой велики по сравнению с длиной свобод-
ного пути пробега молекулы. Имея в виду это существенное возражение *),
разберем все же поставленную задачу, хотя бы как просто пример решения
классических уравнений динамики вязкого газа.
*) Краткие сведения и литературные ссылки см. «Современное состояние аэродина-
мики больших скоростей» (под ред. Л. Хоуорта), т. 1, ИЛ, М., 1955, 130—134.

§ ПО]
ПРИМЕР ОДНОМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
643
Как уже только что было подчеркнуто, это решение показывает, что
переходная область имеет порядок длины свободного пути пробега молекулы
π вместе с тем представляет движение газа в ударной волне как строгое
решение уравнений динамики вязкого газа *).
Рассмотрим безграничный однородный поток вязкого газа, параллельный
оси Ох и направленный в положительную сторону оси; из трех компонент
скорости и, v, w при этом остается лишь одна и. Будем предполагать движение
стационарным и одномерным, зависящим лишь от одной координаты х. Вы-
веденные в начале главы дифференциальные уравнения движения, вместе
с уравнением баланса энергии, уравнением Клапейрона и уравнением за-
висимости коэффициента вязкости от температуры, которую примем за сте-
пенную, в этом случае значительно упростятся и в размерных величинах
примут вид
du dp.4d(du\d..r. ■*
(34)
Имеем замкнутую систему пяти уравнений с пятью неизвестными: и, р,
ρ, μ, h. Исследуем интегралы этих уравнений, конечные при х = ± оо.
Прежде всего заметим, что уравнения (34) допускают тривиальные инте-
гралы:
и = щ, ρ = рг, ρ = pl7 μ = μ2, h = h^,
где индексом 1 обозначены постоянные, равные соответствующим значе-
ниям величин при х = — оо. Этим тривиальным интегралам соответствует
однородный поток во всем пространстве (—оо < х <; оо).
Однако это решение, удовлетворяющее условию конечности всех эле-
ментов при х = ± оо, не единственное; существует и другое, не тривиальное
решение системы (34). Для разыскания этого решения заметим, что второе
уравнение системы имеет очевидный интеграл
рц = р^,
а третье, если в нем принять для простоты σ = 3/4 (что близко к значению
σ = 0,72 для воздуха) и положить постоянную интегрирования равной
pxUj (fh -f uf/2), интеграл
Пользуясь предыдущим интегралом и уравнением Клапейрона, перепи-
шем первое уравнение системы (34) в интегрируемой форме
. du k—l d r/l",\ . ^ d I . du \
MS- —'IT(Ю+Т-гГ (rf-E-) ·
г) Первые решения этой задачи (σ = 0, 3/4, оо; независимость μ и λ от температуры)
были уже давно даны Рэнкином, Рэлеем, Прандтлем, Тэйлором и Гамелем. Более точное
решение принадлежит Б е к е ρ у (R. Becker, Stosswelle und Detonation, Zeitchr.
Кг Phys. 8, 1921—1922, 321—322). Уточнению решения Бекера (σ— 3 4, μ ~ У~Т) посвя-
щена работа Томаса (L. G. Thomas, Note on the Becker's theory of shock front, Journ.
Chem. Phys. 12, 1944, 449—453) и ряд других работ. См. Μ. Мордухов и П. Ли-
б и, О полном решении уравнений одноразмерного движения вязкого теплопроводного
сжимаемого газа, сб. «Механика», вып. I, ИЛ, М., 1950, а также А. Л и б е ρ, Φ. Ро-
ма в с, Г. Лев, Приближенные решения для ударной волны в установившемся одно-
мерном течении вязкого и сжимаемого газа, сб. «Механика», вып. I, ИЛ, М., 1952.
41*

€44
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
что сразу даст интеграл
к—1 7 , 4 du , о , к—1 7
ргщи= —ρ!1-{-Υμ~ + ρ1η1 + —£—ρ1]11
или
4 du . . . к —1/7 , ч
^-^ = р1Щ(и — Щ) + —g—(ph — pih).
При составлении последнего интеграла, кроме ранее принятых граничных
условий, использовано еще условие равенства нулю производной duldx при
-х = — оо, вытекающее из конечности скорости на бесконечности.
Выражая в последнем уравнении μ через h согласно последнему равен-
ству системы (34), a h и ρ — через и согласно предыдущим интегралам, полу-
чим основное дифференциальное уравнение для определения скорости и
как функции от х
4 ffei+T»!"5-"'Y du _
= p1u1(u-u1) + ^-[^-(^ + 4-4)-pA]. (35)
Прежде чем интегрировать полученное обыкновенное уравнение первого
порядка, перейдем к безразмерным координатам
/ OiUiX , U
X =■ - U = .
Будем иметь, деля обе части уравнения (35) на pjttf,
/ A + JL_-L u'« \"
4 / и\^ 2 2 I du' , fc-1 Г1 /ftt 1 1 \ hi "I
τ a; I dx· ~u 1H ~U' lTf+τ 2"u /""SfJ»
w
или, замечая, что по формулам динамики идеального газа, справедливым
для однородного потока (х' = — оо)
hi CpTi α2 1
~й\ uf~~ (k—\)ul~ (к— 1)М? »
получим
4/ к 1 А-1 \«<й/ ^-М^-(1+Ш?)и' + 1Н-±11м?
JL /1 4-- iM2 — MV21 — = - 2
3 11+ 2 IVI» 2 WilU ) dr' ШЬ?
(36)
Определим корни числителя в правой части, чтобы узнать, при каких
значениях и' производная от скорости'обращается в нуль; для этого решим
квадратное уравнение
-*±1м2и'2- (1 + AM?) и' +1 + -£=! М? - 0.
Корни этого уравнения будут
Ι + AMf ± }/ (l + AMi)*-4-£±i-MJ (! + _*_! М2)
' = (*+1)М?
_1-ЬА;М?±(1-М12) J
(Л l)Mf ~ 1
Г 1+±=±м?
' *-ь1 ..,
2 М*
1 1.

§ no]
ПГИМЕР ОДНОМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
645
Введем пока лишь для краткости обозначение
1+-^-М?
■= и„ = -
смысл которого вскоре станет ясным. Тогда дифференциальное"уравнение
(36) можно переписать в следующем, более компактном виде:
(к—1 , \п
fe+1 / __E^i±±l_V~n -(37)
(и'-1)(в'-иа 4ftMfn \ 2 / dx''
Предположим, что щ < 1 или, согласно принятому обозначению,
l+.*=J_Mf
—гт-, <1, Mt>l;
-ψ-Mi
иными словами, предположим, что вначале, при х' = — оо, поток был сверх-
звуковым. Тогда, как это видно непосредственно из уравнения (37), при изме-
нении и' в интервале и'2 < и' < 1 аргумент х' будет изменяться в интервале
—оо <; х' < оо. Рассматриваемые дифференциальные уравнения (34) имеют,
следовательно, нетривиальное решение, соответствующее убыванию безраз-
мерной скорости и' от значения и\ = 1 на бесконечности вверх по течению
с числом Mi, большим единицы (движение сверхзвуковое), до некоторого зна-
чения щ на бесконечности вниз по течению. Легко показать, что при и' = u'z
поток будет дозвуковым (М2 < 1)· Для этого используем полученный в числе
первых интегралов интеграл энергии
из которого по предыдущему сразу следует
hi— ЦИ-л.—\ Л. L
и\ \ и\ "г 2 / м| 2 '
1 _ Г 1 1 Τ 1 J__
(fe-l)Mi~L(fc-l)Mf+ 2 J u'i 2~
-* ib 1 . k 1 \ 2 A;—1
(*-i)M5 ^1+±_LM?; 2 (,_i)(i+-b±M?)'
или
M!=-
i+*—LMf
fcMf g—
В последней формуле нетрудно узнать выведенное ранее соотношение (51)
гл. IV между числами Мх и М2 до и после прямого скачка уплотнения. Отсюда
сразу следует, что М2 < 1-
Итак, рассматриваемое нетривиальное решение системы (34) представляет
не что иное, как переход от сверхзвукового движения к дозвуковому в однородном
потоке вязкого газа. Нетрудно убедиться в том, что не только числа М, но
и температуры, плотности и давления на бесконечности вверх и вниз по тече-
нию связаны между собий теми же соотношениями, что и в теории прямого

646
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
скачка уплотнения, изложенной в гл. IV для идеального газа. Разница
здесь в том, что в идеальном газе скачок уплотнения представлял некоторую
нормальную к линиям тока поверхность разрыва параметров движущегося
газа, причем само явление скачка приходилось рассматривать как предель-
ное образование, не допускающее описания при помощи непрерывных реше-
ний уравнений движения. В вязком газе, наоборот, явление перехода сверх-
звукового потока в дозвуковой описывается непрерывным решением уравне-
ний движения, а именно интегралом дифференциального уравнения (37)
в области движения (—оо < х' < оо). Покажем, что эта область перехода
сверхзвукового потока в дозвуковой имеет очень малую протяженность,
зависящую от параметров потока и в первую очередь от Мх. Вернемся к урав-
нению (37) и, пользуясь имеющимся произволом в выборе начала отсчета
абсцисс х, поместим начало координат в ту точку, где скорость и равна кри-
тической скорости а*, соответствующей параметрам потока вверх по течению.
Тогда, вводя еще для краткости дополнительное обозначение
3 / ft-f 1
■m'-v-E.
будем иметь
о*
У
14
к—\
fc+l
Mf
■ = У~и'г при ξ = 0.
Интегрируя (37)^от этого эначения, получим
А—1
и'
(
Щ
А+1
)п
и'
du'
(u'-l)(u'-«i)
(38)
Выполнение квадратуры справа зависит от численного значения величины п.
Общий характер кривой скорости и' показан на рис. 254. Левая и правая
Рис. 254.
Рис. 255.
ветви кривой настолько быстро асимптотически стремятся к значениям
щ = 1 π щ, что ширина области, где происходит переход, очень мала. При-
мем за меру толщины левого переходного участка среднюю интегральную
величину
о
^--nwi'1-')
dL·

§ но]
ПРИМЕР ОДНОМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
647
равную отношению заштрихованной на рис. 254 левой части площадки к мак-
симальной разности ординат 1 — Yu2 на этом участке. Аналогично опреде-
лим толщину правого переходного участка как
ос
А2 = —4 r\ W-<)dl.
у и* —и, J
Полная толщина перехода сверхзвукового течения в дозвуковое будет
равна
О оо
Д = Д1 + А2=- * \ (l-u')dl + —4 7\ (u'-u'2)dl. (39)
1—у и* J у и%—ио J
у - -оо ν i i Q
На рис. 255 приведены составленные А. Е. Головиной кривые изменения
толщины скачка А, выраженной в частях длины свободного пробега молекулы
Zt = 1,255 Vfc-Hi-
1 У Pi«i
(flj, μΧ, pj — скорость звука, вязкость, плотность на бесконечности вверх
по течению), в функции от числа Мх при различных п. На основании приведен-
ных графиков можно заключить, что толщина скачка уплотнения имеет поря-
док длины свободного пробега, исключая значения Мц близкие к единице,
или очень большие Mi при η = 1. Экспериментальная проверка этого факта
затруднительна, так как границы скачка в силу его колебательных переме-
щений бывают обычно размыты и не поддаются фотографированию даже при
очень малых временах экспозиции.
В табл. 22 приведены (по Томасу) абсолютные и отнесенные к длине пути
свободного пробега значения толщины скачка при Τ = 300 К, η = 1/2,
к = 1,4, σ = 3/4 для различных значений числа Mi· Некоторое количествен-
ное отличие от кривой η = 0,5 рис. 255 объясняется разницей между опре-
делением понятия толщины скачка у Томаса и по формуле (39).
Таблица 22
т
1
2
3
Толщина скачка Δ
абсолютная в мм
оо
17,38-10-5
10,66-10-5
относительная
к It
оо
3,98
2,69
Mi
4
5
оо
Толщина скачка Δ
абсолютная в мм
8,76-10-5
7,95-10-5
6,58-10-5
относительная
Ь il
2,28
2,09
1,74
С точки зрения изложенной только что теории становится ясной причина
указанного в гл. IV возрастания в скачке уплотнения энтропии. Прирост
энтропии служит указанием на наличие в области перехода сверхзвукового
потока в дозвуковой потерь механической энергии, превращающейся за счет
внутреннего трения (вязкости газа) в тепло.
Изложенный только что расчет толщины скачка уплотнения и распреде-
ления скоростей, как уже указывалось, является грубым. Он приводит к зани-
женной толщине скачка. Среди исследований, глубже вникающих в сущность
явления, но все же основанных на использовании уравнений Навье — Стокса,

648
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
следует особо выделить работы, учитывающие влияние термодинамической
неравновесности движения газа в области скачка *). Время пребывания газа
в узких пределах скачка настолько мало, что прирост кинетической энергии
молекул газа (разогрев газа) не успевает равновесно распределиться по всем
степеням свободы молекул двух- или многоатомного газа.
Время релаксации поступательной и вращательной частей энергии моле-
кулы сравнимо со временем прохождения газа сквозь скачок уплотнения, а
колебательная часть имеет большее время релаксации. Это отражается на
значениях физических констант газа и существенно изменяет процесс движе-
ния, влияя как на толщину скачка, так и на распределение скоростей и тем-
ператур в нем. В настоящее время под руководством Г. Липмана разработана
теория, основанная на кинетических соображениях. Толщина скачка, рас-
считанная по этой теории, хорошо совпала с результатами экспериментов 2).
Точные решения задач динамики газа были ранее малочисленны.
Отметим принадлежащее Л. Г. Степанянцу 3) точное решение плоской
задачи о движении вязкого газа вокруг вращающегося цилиндра и в по-
лости между вращающимися цилиндрами без ограничительных допущений
об изотермичности движения и без отбрасывания инерционных членов,
а также численное исследование свободной конвекции газа в плоской прямо-
угольной области, опубликованное В. И. Полежаевым 4).
Создание и внедрение в научную практику ЭВЦМ вызвало появление
большого числа точных решений динамических и тесно связанных с ними
тепловых задач о движении газа при сравнительно небольших значениях
рейнольдсова числа. Решения эти позволяют глубже заглянуть в происходя-
щие процессы, заметить многие особенности движений, не поддающиеся
экспериментальному обнаружению, и строго выводить формулы сопротив-
ления и теплоотдачи, которые могут быть получены из численного решения
задач.
Большой технический интерес представляет теория «газовой смазки»,
являющаяся обобщением изложенной в § 83 гидродинамической теории
смазки несжимаемой вязкой жидкостью на случай «смазки» газом. В этой
теории приходится иметь дело с нелинейным уравнением Рейнольдса, реше-
ние которого определяется преимущественно приближенными численными
методами.
§ 111. Ламинарный пограничный слой при движении газа
с большими скоростями
Для вывода основных уравнений ламинарного движения вязкого газа
в пограничном слое применим прием, ничем по существу не отличающийся
от ранее уже использованного для несжимаемой жидкости.
Удовольствуемся рассмотрением плоского стационарного движения при
отсутствии объемных сил. Уравнения динамики (20) и баланса тепла (27)
г) Ю. П. Л у нь к η е,! О структуре ударных волн," Hi урн. техн. физ. 27, .№ 6,
1957.
2) В. Schmidt, Electron beam density measurements in shock waves in argon,
Intern. Congr. of applied mechanics, Stanford, 19fi8; Abstracts, 103.
J) Л. Г. Степанянц, Некоторые случаи движения сжимаемого вязкого газаг
Труды ЛПИ; Энергомашиностроение, Техническая гидромеханика, № 5, 1953, 111—128.
*) В. И. Полежаев, Численное решение системы двумерных нестационарных
уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа в замкнутой области, Механика жидко-
сти и газа, № 2, 1967, 103—111.

§ 1Н]
ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЙ В ГАЗЕ
64»
в этом случае приводятся к виду
du
~9У
ди
dx
pU-^ + рг;—=
dp
дх
.id/ ди \ 2 д I dv \ ,
+Т-&- l^ir)—з-&Г (v-di) +
. д I ди \ , д I dv \
dv . dv dp , д I ди \ , д I dv \
+ 3 ду V1 ду } з ~ду~ νμ"δΓ/'
д (pit) . д (pv)
дх
ду
= 0,
ди
~dy~
д Г / ? I u2 i ν* \ д / h . i и* , ν2 \
.2 dv Π . d Γ /, , Φ .υ2 \ fl / A . н! , 4 i^ \
&>
ди "\
-^i*r+T.lu;^J=0>
(40>
ft—1
к "' μ1 ' Ui Г
Перейдем к безразмерной форме этих уравнений, выражая все величины
в характерных масштабах, но, в отличие от предыдущего, примем заранее
во внимание различие в пограничном слое масштабов продольных и попе-
речных координат и скоростей. Поэтому сохраним для х и и масштабы: L
(какой-то характерный для обтекаемого тела размер, например хорда крыла)
и С/с» (скорость набегающего потока), а для у я ν примем свои, пока еще не
определенные масштабы YnV. Сохраняя остальные обозначения, как в § 109,
и вынося масштабы, будем иметь, используя, как и ранее, штрихи для обо-
значения безразмерных величин:
e^kpv^-i
iPooUeoV , , du'
PootfooV
дх' ' У
_ _2 μΧΥ d
3 LY dx'
dv'
PV~W =
Poo dp
L dx'
)'_ . 4 μοο^οο d I , du' \
' + 3 L2 dx' \μ ,й' /
/ , dv' \ "jWToo d I , du' \ ■ HooF д I , dv' \
' 1μ dy' )1 Ψ~ dy' \r dy' /τ LY dy' \μ dx' )
P" dx'
μοοΤ7 d
U~ dx
PooF2 . , dv'
Υ
' \μ dx' ) ~^ 3 У
Pooi7oo d(p'u')
Υ
4 μΧΥ d
Poo dp' . μΙΧυ
d
dy'
du'
dy' ' LY dx
dv' \ 2 Ucoi7oo
_ I ' dv \ _
dy' Ιμ dy' )-
PooF fl(pV) _
-(μ -зг) +
LF 5y' Ιμ ox' ) *
dx'
dy'
0,
1 g
L &c'
μ ν -г-г
* dy
[pooC/oopV (hooh' + Ul-^+V2^)-
μοο , g^ /fjoo ,, j_^ г 72 »'2 Ι Τ/?. "^ \ Цсо^соУ
ΖΓμ "aF \ΙΓ +3U" 2 tr 2 j У
2 μοο^οο^ „,„, ft/ -1,1 β Γ ν , , /, л.,г/а Ji!!i уаЛ^М
L ' 5z' '
. 2 UooUooF , , du' ~\ ,
p' = p'fc', μ'=/№')·

€50
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
Разделим обе части первых трех уравнений на постоянные комплексы
масштабов, стоящие при первых членах слева в этих уравнениях, а обе части
четвертого уравнения на р°° °° °° . Тогда, принимая во внимание выражения
безразмерных комплексов масштабов через числа М«>, Reoo и к, уже ранее
примененные в § 109, получим такую систему безразмерных уравнений:
, , ди'
LV
YUa
1
ρ ν
, ди'
dy'
1 dp'
JcML дх'
Ь_ 1_
3 Rec
3 YU0
, , dv'
1
ReTO дх
LV
д__ I , ди' \ _
x' [μ дх' )
i , ы_\л )__t ^\г J_{ 'ди' \ i Lv i L( ' dv' \
' \μ ду' )+ Reco V Υ I dy' 1μ ду' f^YUoc Re» dy' 1μ \дх' ) '
YU0
, , dv'
dv' \ , 4
1 LUoo dp'
1
LV
YUoc
LUX d
ReTC дх
I > ου \
(μ IP")
кМ2х YV dy' ' Reoo YV дх'
1 / L \ 2 d I , dv' \ 2 1
(»'&) +
3 Re™ \ Υ ) dy' \μ ду' ) 3 Re,
djp'u') , LV djp'v') __
LUcc д
YV dy'
(μ -E7) ·
дх'
^ {pV [*' + (*-!) Mi (-£-+
1 YUa
V2 v'
U2
Ree
1
, d
μ IP
LV
г [£ + <*■
dy'
г)]~
1) Mi (-§
0,
Vs v'e
)]-
(*_1)Μ1(μν-^~4μν^-)} +
^'£[£+<*-»> *(t+t£-£)]-
Reoc YUa
Reoo 1
ωτ'(*-1)Μ^(μν^-4μν^-)}-ο.
p' = p'h', μ' = /(Λ')·
Пользуясь произволом в выборе масштабов У и У, подчиним их условию,
чтобы безразмерные поперечные координаты и скорости, так же как и со-
ставленные с их помощью производные от скоростей по координатам, были
нулевого порядка по отношению к изменению рейнольдсова числа, т. е. стре-
мились к конечным величинам при Reoo —*- оо. Это приводит к двум условиям,
которые, если включить в определение масштабов У и У не зависящие от Reoo
коэффициенты пропорциональности, могут быть (сравнить с § 86 гл. IX)
записаны в виде
LV
YUa
1, -^_Ш2=1илиУ = -4=, V =
Ua
(41)
1/Reoo ' J/Reoo
Используя полученные выражения Υ и V, приведем предыдущую систему
уравнений к виду
р'и'
р'и'
ди'
дх'
dv'
■ I I ди'
1'· dp'', . 4 1
dy'
1 д
3 Reoo дх'
дх'
3 Reoo ox
t , Ου'
1 оу
, 1 δ
I , ди' \
Μμ -аР-)-
/,,' dv' \ i д ( ' ди' \ i д д I ' д*' \
mi -шдх'
dv'
1
Re0
d£
dy'
Reoo di
>' , д I , ди' \ .
' (,,' dv' "\_u4 д (,,' dv' \ 2 д I > ди' \
(42)

§ ml
ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ГАЗЕ
651
й(рУ) , Д(рУ) _п
дх* ~г ау» '
,{PV [*' + <*-!)MS, (^+rL^)]-
1
Re«
1
Rec
» д ГЬ' , /7 ,ч .,2 / 4 и'2 1 υ'2 \ ]
(^-1)Μ^(μν|1-4μν|1)} +
+ ^ {^ [*' + (*-«№ (^ + 1Ь^)]"
(*-1)Μ·.(μν-^-1μν-|1)}=0Ι
Re»
p' = p'fc', μ' = /(/0·
(42)
)
Перейдем в этой системе к предел у при Reoo->- oo или, что все равно,
откинем в ней величины первого и высших порядков относительно малой
величины Ι/Reoo. Это даст
, , ди' . , , ди'
Зр'
дх
ду'
к№ дх
■ д I , ди' \
дР'
Г = О,
д(Р'и') g(pV) _п
их' "г" л"' '
■ε·[ρ'«'(Α'.
%' "' их' ' d\f
p' = p'fc', μ' = Μ/0·
Заметим, что в силу второго равенства можно произвести замен
др'/дх' = dp'/dx'; кроме того, пользуясь третьим равенством (уравнением
неразрывности), перепишем левую часть четвертого равенства (уравнения
баланса тепла) в виде
pV-J^fc'+i^M^+pV^^'+^M2^'2).
Таким образом, получим следующую первую основную форму безразмер-
ных уравнений плоского стационарного ламинарного пограничного слоя
в вязком газе при больших скоростях:
п' ' — л_п' ' ^L.~ I dp' д I , ди' \
р" дх· ~rpv ду' ~ км^ dx' "+" ду' U1 ap"J·
0(pV) fl(pV) _0
дх'
ду'
pV^(V + ^MLu'»)+PV^(fc'+±^Ml,u'*) =
(43)

652
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
Сгл. хг
Введем в рассмотрение величину энтальпии адиабатически и изэнтропи-
чески заторможенного газа или полную энтальпию газа
K = h + -^-
(44)
В случае вязкого газа величина h0 уже не будет постоянной, как в идеальном
газе, а представит некоторую неизвестную функцию координат. Относя ее
к энтальпии набегающего потока /гтс, получим
h i/2 h
h' — J±-
П°~ Асе
Ас>
2К
ho
2Ао
U~
Вспоминая известные соотношения газовой динамики (гл. IV), справедли
вые в однородном набегающем на тело потоке, найдем
к- 1
h'0=h'-
Мю U
'2
(45)
Первой основной форме системы безразмерных уравнений пограничного
слоя (43) можно, следовательно, придать вид
, , ди' 1 dp' Id i , ди'
, , ди'
ρ и'
дх' '
д(р'и') . д (РУ)
риж=
Ш* dx
■ jd I , dt£_\
' + ду' ψ ду' ) ♦
о,
дх' ^ ду'
PU 1^+РУ ду' - ду' [μ ду') + \Т 1)W\Vldy')'
p' = p'h', μ' = /(Λ')·
(46)
Вторую основную форму безразмерных уравнений пограничного слоя
получим из системы (43) путем простых преобразований третьего уравнения
системы. Имеем
„/ / dh' , , dh' , п .. .., , I i , ди' , , , ди' \
fy+P» 1j!- + (*-l)Miu'(pn'-5?- + pV-5r) =
вместе с тем из первого уравнения системы (43) следует, что
.',./ ди' I „'..' ди' \ 1 , dp' , ,,, д I , ди'
i I i i ди . , , ди \
и {9u'-b-r + pv-w)^
kML dx'
, , д I , ди' \
Предыдущее равенство переходит при этом в такое:
/ , dh'
ди' \2
1~'„' т — к~l ,'dP\/L· 4\ЛЛ2 ' / ди V , 1 д / , dh' \
Имеем, таким образом, вторую основную форму системы безразмерных
уравнений плоского стационарного ламинарного пограничного слоя в вяз-
ком газе, движущемся с большими скоростями
, , ди'
Рм1ьГ
, ,дЬ!
/ , ди
p'v —-г
^ оу'
,, dh'
-ρ υ
ду'
Ш
/с— 1 , dp'
к dx
L_^p1_j Ё_ /,,'^fil\ a(pV) , a<pv) _n
и», Ar' "^v V*1 ay' /' as' "I aT-~u
р^р'й', μ' = /(Λ').
' _J_/b 4\IU|2 // 5u' \2 1 δ 1 , dh' \
(47)

§ ml
ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ГАЗЕ
653
Третье уравнение этой системы выражает в явной форме баланс между без-
размерными конвективным изменением энтальпии (левая часть уравнения),
мощностью сил давления (первый член справа), теплом, возникшим за счет
диссипации механической энергии (второй член справа), и теплом, отводи-
мым путем теплопроводности (третий член справа).
Нетрудно теперь вернуться и к размерной форме тех же уравнений. Вспо-
миная выбранные в начале параграфа масштабы, получим системы уравне-
ний в размерных величинах. Первая основная форма уравнений будет
ди . ди dp
^ дх ^ ду их
Л- д (,,—\ д(Рц) . д(ру) _0
^ ду \μ ду )' дх "+" ду —U'
dh0 . dh0 д 1 dh0 \ . / 1 . \ д I dh \
ри^+^1>у-=1>у-(»-ду-)+Ь-Чж(»1а)>
Вторая основная форма будет
(48)
ди , ди
W-te+W-dy-^
dp д_ / ди \
dx ~*"д£ 1μ"% j'
д (ры)1
дх
d(Pv) _Q
ду
dh . dh dp . I ди\2 1 д I dh \
к — \ , μ , / h \
(49)
При желании можно от энтальпии h перейти непосредственно к абсолют-
ной температуре Т. Тогда третье уравнение системы (49) — уравнение ба-
ланса тепла — примет вид
I дТ . дТ \ dp . / ди\2 ер д ( дТ\ /епч
Совершая в системе уравнений (42) предельный переход Re» -*- оо, мы
пренебрегли тем обстоятельством, что в уравнении баланса тепла им ются
члены порядка ML/Reco, которые при сравнительно небольших Re со, но,
конечно, таких, при которых вообще верна теория пограничного слоя (при-
мерно Re«, > 100), и значительных числах Μ со (например, М«> ~> 10) уже
перестают быть малыми, и откидывание этих членов становится неоправ-
данным.
В связи с этим дадим физическую оценку порядка величины Mro/Reco-
Для этого, наряду с ранее введенными характерными размерами тела L
и' пограничного слоя δ, рассмотрим еще основной молекулярный размер —
длину I свободного пробега молекул газа между двумя последовательными
их столкновениями. По известной формуле для динамического коэффициента
вязкости
μ = 0,499ρ^,
где ν — средняя скорость свободного пробега молекул, выражающаяся
через давление и плотность, или скорость звука, в виде (к = cplcv)
получим
1 = \,2ЪЪУк~.

654
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗ ^
[ГЛ. XI
Составим1) характерное для рассматриваемого явления отношение
1=4 т=1·255^ V№
С/со
δ
При больших значениях числа Рейнольдса Re«> =
Vo
оправдывается соот-
ношение δ/L = 1A|/Reoo, так что
-г М0
4--= 1,255/Λ- ,
δ ν 1/Reo
Отсюда следует, что интересующая нас величина Moo/1/Ree» имеет поря-
док отношения длины свободного пробега молекул газа к толщине пограничного
слоя.
Таким образом, можно прийти к заключению, что уравнения погранич-
ного слоя, выведенные в предыдущем параграфе, справедливы, во-первых,
при достаточно больших рейнольдсовых числах и, во-вторых, при
условии сравнительной малости длины свободного пробега молекулы по отно-
шению к толщине пограничного слоя. По-
следнее условие означает, что газ не дол-
быть разреженным.
Если движение газа происходит при
малых значениях рейнолъдсова числа 2), то
теряется само представление о погранич-
ном слое. Можно сказать, что погранич-
ный слой становится сравнимым по тол-
щине с потоком в целом (δ « L), [и тогда,
в отличие от только что составленной фор-
мулы для отношения Ι/δ при больших
рейнольдсовых числах, при малых зна-
чениях Re» будет
Пользуясь отношением Ι/δ как основным критерием применимости урав-
нений пограничного слоя, можно приближенно наметить области соотноше-
ния чисел Рейнольдса Re» и Маха Моо, для которых при данном к, сравни-
тельно мало меняющемся от газа к газу, должны применяться те или другие
методы расчета течений вязкого газа. На заимствованной из цитированной
статьи Ченя диаграмме, показанной на рис. 256, нанесены в полулогарифми-
ческом масштабе линии связи между Μ«, и Re«> при трех заданных значениях
параметра Ι/δ: 0,01; 1; 10. Эти линии, конечно, весьма условно разграничи-
вают области применимости различных методов исследования газовых по-
токов.
Правая крайняя область характеризует совокупность значений Re«>
и Μ», для которой справедливы уравнения Навье — Стокса. При больших
рейнольдсовых числах в этой области можно пользоваться уравнениями по-
Рис. 256.
х) X. Ш. Чень, Аэродинамика разреженных газов, сб. «Газовая динамика», ИЛ,
М., 1950, 310—357.
2) В статье, помещенной в Abhandl. aus dem Aerod. Inst. Aachen, № 4, 1925, Карман
заметил, что рейнольдсово число, как это сразу следует нз кинетических соображений,
примененных при выводе предыдущих формул, может быть представлено в виде Re«> =
= (UoJv) (L/l). Малость этой величины может иметь место в следующих случаях: 1) L «
« I, f/oo <C " (броуновское движение мелких частиц, взвешенных в жидкости или газе);
2) L > I, Uoo <C *> (обычные условия «медленного» движения тела в вязкой жидкости);
3) L <£ I, Uoc ж ν (движение тел в сильно разреженных газах).

§ 111]
ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ГАЗЕ
655
граничного слоя в газе при больших скоростях, если числа Мтс значительно
отличаются от нуля, и уравнениями пограничного слоя в несжимаемой жид-
кости, если числа Мто мало отличаются от нуля. Асимптотический ход огра-
ничивающей рассматриваемую область кривой при очень малых рейнольд-
совых числах показывает, что в этих условиях только при совершенно
незначительных величинах М<», т. е. при очень малых абсолютных скоростях
движения, допустимо применение уравнений гидродинамики; это соответствует
классической области «медленных движений», задаче Стокса о шаре и т. п.
Левая крайняя область значений М» и Re«> относится к сильно разре-
женным газам, когда уже вообще нельзя говорить о газе как о непрерывной
среде. Это — область свободного молекулярного движения газа, описывае-
мого статистическими методами кинетической теории газов. В настоящее
время эти методы заняли свое место в расчетах силовых и тепловых воздей-
ствий разреженной атмосферы на летящее в ней тело при очень больших
высотах полета (супераэродинамика) г).
Наибольшие трудности представляет промежуточная область. До сих
пор нельзя еще говорить об установившихся методах расчета движений в по-
граничных слоях в этой области значений Re<» и Moo, хотя вопросами этого
рода для общих движений вязкого газа еще во второй половине XIX века
занимался Максвелл, а в начале нашего века Кнудсен, Милликен и др. Если
говорить о той части рассматриваемой промежуточной области, которая гра-
ничит с крайней правой областью применимости уравнений Навье — Стокса,
то здесь, по-видимому, можно удовольствоваться введением некоторых по-
правок в обычные методы механики жидкости и газов. Поправки эти идут
в двух направлениях. Во-первых, становится существенным введение до-
полнительных членов в уравнения Навье — Стокса, выражающих необхо-
димость использования в этих случаях некоторых нелинейных законов, при-
ходящих на смену линейным законам Ньютона, Фурье и Фика.
Из кинетических соображений следует, что в рассматриваемой части
переходной области, соответствующей слабо разреженным газам, наряду
с обычными линейными членами в выражениях компонент тензора вязких
напряжений, векторов потока тепла и веществ, должны еще входить нели-
нейные комбинации производных скоростей по координатам (Д. Барнетт г)).
Отношение этих дополнительных членов к основным, соответствующим ли-
нейным законам, имеет как раз порядок величины MiLVReoo или, согласно
предыдущему, квадрата отношения Ι/δ — длины свободного пробега к толщине
пограничного слоя.
Кроме того, и это, быть может, имеет наибольшее принципиальное зна-
чение, коренному изменению подлежат граничные условия на поверхности
твердого тела как для скоростей, так и для температур. Еще в 1875 г. Кундт
и Варбург, проводя опыты над колеблющимся в разреженном газе диском,
обратили внимание на уменьшение амплитуд затухания при снижении дав-
ления в окружающем газе. Этот факт, не укладывающийся в законы динамики
ньютоновской вязкой жидкости, смог быть объяснен только при помощи
отказа от основного свойства вязких газов вообще — «прилипания» частиц
газа к твердой стенке. Было выдвинуто предположение о наличии «скольже-
ния» разреженного газа по поверхности диска, причем в случае изотермиче-
2) Некоторое представление о задачах н методах этого раздела аэродинамики можно
получить, ознакомясь с содержанием гл. X монографии У. Д. X е й 8, Р. Φ. Π ρ о б-
с τ и н, Теория гиперзвуковых течений, ИЛ, М., 1962.
2) D. Barnett, The distribution of molecular velocities and the mean motion in a
non-uniffom gas, Proc. London Mathem. Soc. 40,1935, 382—435. См. также С. Ч е π м е н
π Т. Каулннг, Математическая теория неоднородных газов, перев. с англ., ИЛГ
М., 1960.

656
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
ского движения газа скорость uw этого «скольжения» была принята равной
ди
Входящий сюда коэффициент у получил наименование коэффициента
скольжения газа. Кундт и Варбург на основании своих опытов показали, что
коэффициент скольжения, имеющий, очевидно, размерность длины, пропор-
ционален длине свободного пробега молекул и даже близок к ней по своей
численной величине; этот коэффициент обратно пропорционален абсолют-
ному давлению в газе. Теория «коэффициента скольжения» была дана в 1879 г.
Максвеллом 1), предложившим формулу
γ = 0,998-^-*,
в которой величина / выражает долю касательного к поверхности тела коли-
чества движения молекул, теряющегося при ударе молекул о поверхность
тела. Эта доля близка к единице.
Молекулы газа при встрече с твердым телом попадают на сложную по
молекулярной структуре «шероховатую» поверхность тела. При этом только
небольшая часть молекул непосредственно отражается от поверхности тела,
а подавляющее число молекул «застревает», абсорбируется поверхностью
и лишь затем уже как-то диффузно, т. е. независимо от направления падения
молекул на поверхность, испускается, реэмиссирует. Как показывают опыты,
коэффициент / имеет близкие к единице значения при течении воздуха над
твердой металлической поверхностью или над ртутью и несколько отличается
от единицы при течении над стеклом или маслом.
При неизотермическом движении разреженного газа граничные усло-
вия для скорости усложняются. Кроме того, возникает необходимость изме-
нения еще граничного условия для температуры на стенке. Подобно скоро-
сти, температура вблизи поверхности тела также претерпевает скачок, про-
по; циональный длине Ζ пути свободного пробега молекулы, а именно
Τ - Тр = 1,996 -^ -г^г — I %- ;
здесь а — коэффициент «аккомодации», введенный Кнудсеном и выражаю-
щий долю той части молекул, которые после соприкосновения с поверхностью
при реэмиссии их приобретают среднюю энергию, аккомодированную (при-
способленную) к энергии молекул, имеющих температуру поверхности тела
Тр; к = ср с„, λ — коэффициент теплопроводности газа. Таблицу коэффи-
циентов аккомодации а, так же как и коэффициентов скольжения у, можно
найти в цитированной статье Ченя и в специальных руководствах по кинети-
ческой теории газов.
Применение уравнений движения разреженных газов (уравнений Бар-
нетта) к расчету конкретных потоков, в частности к пограничному слою,
представляет пока еще непреодолимые трудности. В работах этого нового
направления физической механики газов продолжают пользоваться уравне-
ниями Навье — Стокса, но в качестве граничных условий принимают в том
или другом виде условия скольжения и аккомодации. В настоящее время
имеются специальные руководства по динамике разреженного газа 2).
1) С. Maxwell, Philos. Trans, of the Roy. Soc. of London 170, 1879, 231—256.
2) M. H. К о г а и, Динамика разреженного газа, «Наука», М., 1967;'В. П. ПТ π д-
л о в с к и й, Введение в динамику разреженных газов, «Наука», М-, 19G5.

§ И 2] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 657
§ 112. Ламинарный пограничный слой на пластине, продольно
обтекаемой газом с большими скоростями
Для исследования ламинарного пограничного слоя, образующегося на
пластине при продольном ее обтекании вязким газом с большими скоростями,
применим вторую основную форму (47) уравнений в безразмерных величинах.
Примем во внимание, что в этом случае dp'/dx' = 0, р' = const = 1; будем
пользоваться степенным законом вязкости. Вопрос сводится к интегрирова-
нию системы уравнений
9 и дх, -j-pv ду, - jy, \V ду, } , дх. -г- ду, -ν,
, , dh' , , dh' ,j ,.,„ , / ди' \2 1 д I , dh' \ j ,Cjt.
А. А. Дородницын *) указал общее преобразование координат, придаю-
щее уравнениям пограничного слоя в газе форму, близкую к уравнениям по-
граничного слоя в несжимаемой жидкости. Преобразование это определяется
системой равенств
«-if*· i-f**· <52)
о о
где р0 и р0 — давление и плотность в адиабатически и изэнтропически затор-
моженном внешнем потоке.
Используя в случае пластины (р = ρ ос) вместо р0 и р0 величины рх и
ρ'», будем иметь (штрих—знак безразмерной величины)
у
? = *', i)'=JpW· (53)
о
С целью упрощения вида последующих формул откинем временно штрих
в обозначении безразмерных величин; возвращение к размерным величинам
будет в соответствующих местах оговорено.
Формулы перехода от дифференцирования по х, у к дифференцированию
по Ι, η будут
д д . дг\ д д д
так как ρ и η являются функциями не только у, но и х.
Первое равенство системы (51) преобразуется к виду
ди , дт\ ди . ди д\1 . ди \ ,_,.
^и-ж+ри^^+ри'р-щ=рщ{^^) (54)
и после сокращения на ρ и принятия в расчет последних двух равенств си-
стемы (51) дает
Из второго равенства той же системы (уравнения неразрывности) выте-
кает наличие функции тока ψ, причем
_ dip _ д\р __ dty _ dip dr\ #ψ _ &φ δη
" ду " дт\ * " дх dl·, дх ση dl·, дх
г) А. А.Дородницын, Пограничный слой ь сжимаемом газе, Прикт. матем.
и мех. 6, в. 6, 1942.
42 л. Г. Лойцянский

658
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ, XI
Отсюда можно заключить о справедливости соотношений
»-■£. »£+■»—£· <56>
Сравнивая с уравнением (55), видим, что если ввести обозначение
u~jt + pv = v> (57*
то уравнения (55) и (56) приведутся к виду
ди , ~ ди д I, „_, ди \ д\Ь ~ #ψ ди , dv n /C-Q4
"ΙΤ+^λγ^λγΙ* лг)' и==~й* v=—w* ж+^г=0· (58)
Аналогичному преобразованию подвергнем и третье уравнение системы
(51) — уравнение баланса тепла; будем иметь
dh . 3η dh . dh 1 д \l dh \ . /7 ,. .., ,/au\2
или, сокращая обе части на ρ, используя обозначение (57) и последние два
соотношения в системе (51),
^+^=Н(""-1^)+(*-1)м-"""1(^)2· <59>
Аналогично задаче о пограничном слое на пластине в потоке несжимае-
мой жидкости будем искать выражение для продольной скорости и (ξ, η) и
энтальпии h (ξ, η) в функции от одного аргумента £, равного
ξ = —L. (60)
2V6
Тогда, согласно второму равенству системы (58), получим
п _ ч/(зVI) _ ς
♦-И-ifo)*'-2^ $ «(тутИтЭД-2^ $»«>«-
Введем для краткости обозначение
t
2 j u(C)dC=q)(C);
о
тогда будем иметь следующие выражения функции тока ψ, скоростей и и vr
а также производных по £ (обозначаемых в дальнейшем штрихом) от скоро-
сти и и энтальпии h
Ψ=νΤφ(α и=1-φ'(9. у=^|-(Сф'-ф),
ж=-ж£ф (0, -^=7νΙφ (С)' ^ = ЖФ (ς)'
d/г 1 у.,, dh 1
Подставляя эти выражения в первое из уравнений (58) и в уравнение
(59), получим систему следующих двух обыкновенных дифференциальных
уравнений, служащих для определения неизвестных функций φ и /г:
(йп-1ф"У + фф" = о,

112] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 659
Отметим, что задача о ламинарном пограничном слое на пластине, про-
дольно обтекаемой однородным газом, является, так же как и в случае несжи-
маемой жидкости, автомодельной, что выражается в возможности использо-
вания в качестве независимой переменной ξ по (60).
Граничные условия для φ будут те же, что и в случае несжимаемой жид-
кости:
φ = 0, φ' = 0 при S = 0, I
φi=2 при ς= оо. J
Граничные условия для энтальпии h могут быть разнообразны. Если
задана постоянная вдоль всей пластины безразмерная (отнесенная к Too)
температура Tw, то граничные условия в безразмерной форме будут
h = hw при 1 = 0, )
h—i при £— оо. }
Если на пластине отсутствует теплоотдача, то граничные условия для
знтальпии сведутся к следующим:
-^^0 при £ = 0,
h = 1 при ξ = оо.
(64>
Интегрирование уравнений (61) в общем случае требует применения
численных методов.
Рассмотрим простейший случай, когда связь между коэффициентом вяз-
кости и температурой линейна (п = 1). В этом случае вместо (61) получим
систему уравнений
h" + ayh
' + .£(*_1)Μ1φ- = 0. J (65>
Первое из этих уравнений, разрешаемое при граничных условиях (62),
формально ничем не отличается от соответствующего уравнения задачи о по-
граничном слое на пластине в несжимаемой жидкости. Интегрируя второе
уравнение системы (65), найдем h (£) в форме
оо
h (£) = 4 (ft -1) М1& (0 - ~ \ W (Z)f dt, + Cu (66)
I
где введено обозначение
ос ε
д (С) = 2σ\ [φ* (Qf dl j [φ" (ξ*)]2""7 <%*, (67>
а постоянные интегрирования С и Сх должны быть определены из граничных
условий (63) или (64). Полагая £ = оо, найдем значение постоянной Сг = 1;
полагая ξ = 0, получим [по (63)]
1-А«+4-(*-1)М^(0)
С~ ~ . (68)
о
42*

660
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
Обозначим через ht и Г( значения энтальпии и температуры пластины
в условиях отсутствия теплоотдачи (64). В этом случае пластина может играть
роль измерителя температуры потока — пластинчатого термометра.
Дифференцируя (66) и замечая, что по (67) будет #' (0) = 0, найдем
С = 0, т. е. по (68) при hw = ht получим
ht = i-\-^{k-i)M2^{0), (69)
или, переходя к размерным температурам,
Tt = Tc.fl +.|-0(О) (fc-l)ML], (70)
где, согласно (67),
Ь (0) = 2σ J [φ" (ξ)]σ dt j [φ" (i*)f-° <%*. (71)
о о
Постоянную С в общем случае наличия теплоотдачи с поверхности пла-
стины можно представить, согласно (68) и (69), в следующем виде:
С = J?~hw . (72)
-g- J [φ" (Of x,
о
Проанализируем полученные результаты. Прежде всего легко убедиться,
что при Моо—»-0 соотношения (66) и (72) в переменной £ совпадут с ранее
выведенной формулой (131) гл. IX для несжимаемой жидкости в переменной
η; полученное таким путем равенство
(73)
дает распределение температур в пограничном слое на пластине, обтекаемой
несжимаемой жидкостью при учете линейного закона связи между коэффи-
циентом вязкости и температурой.
Возвращаясь к случаю газа, движущегося с большими скоростями, когда
влиянием сжимаемости (числа М«) пренебрегать нельзя, будем предполагать,
что функция Φ (£) уже затабулирована для различных σ. Для дальнейшего
особенно важно знать величины Ь (0); приводим их значения при нескольких
<j (для газа не превышающих единицу):
θ = 0,6; 0,8; 1,0;
θ (0) = 3,08; 3,58; 4,00.
Обращаясь к формуле (70), видим, что она для случая η = 1 представ-
ляет решение задачи об измерении температуры газового потока Τ = Too
при помощи непосредственного замера температуры Τ = Tw = Tt поверх-
ности продольно обтекаемой этим газом пластины, при условии, что тепло
от пластины не отводится (нет теплоотвода через державку и проволочки из-
мерительной термопары). Как наглядно показывает формула (70), такой пла-
стинчатый термометр будет вместо температуры потока Too показывать тем
большую температуру Τ и чем больше число Моо, что и естественно, так как
пластина тормозит поток и вследствие диссипации механической энергии
потока в тепло должна дополнительно нагреваться; это торможение связано
Tw — T
1 w — i oo
\ W (Of di
0
I It" (Of %
0

§ 112]
ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ
661
с повышением энтропии. Однако, как это сразу следует из формулы (70),
при σ = 1 и φ (0) = 4 термометр будет показывать температуру адиабатиче-
ского и изэнтропического торможения
при значениях σ < 1 это уже не так, и Г(< Т0.
Формула (70) может служить для вычисления поправок на показания
пластинчатого термометра в газе с заданным числом σ, отличным от единицы.
Величину -τ-·θ (0) называют коэффициентом восстановления. Коэффициент
восстановления в широком диапазоне изменения величины (к — 1) ML пред-
ставляет функцию σ, мало отличающуюся от Υ о, как в этом нетрудно убе-
диться непосредственной проверкой по приведенной только что таблице зна-
чений ■& (0).
Ту же, примерно, температуру (70) будет иметь поверхность ракеты, со-
вершающей полет в атмосфере. При больших Μто температура поверхности
может превзойти допустимые с точки зрения прочности конструкции значе-
ния. Значительное при высоких температурах лучеиспускание способствует
охлаждению поверхности г).
Для того чтобы определить коэффициент теплоотдачи пластины, имею-
щей температуру Τ = Tw, вычислим размерную производную от температуры
по нормали к пластине дТ/ду на поверхности пластины. Имеем, переходя
в правой части к размерным величинам,
откуда следует
Но по (66)
dh _ 1 с) у τ ΘΤ _ 2 , /* v^x ρη
dt, ~ Гсо V ~ δη ~ Гсс V «У» р
/ дТ\ _ Too i /" Uoo Pu, / dh \
\ dy )y=o 2 V Vooa; p» \ dt, /£=o*
dT
ду ;
dh
кроме того, в случае пластины (р=р<х) по формуле Клапейрона будет
Pip Τ оо
poo T и)
Используя выражение (72) для С, в размерных величинах принимаю-
щее форму
1 Tt-Tw
С =
т~ 1 г
J [<P"(Qf«
будем иметь
(f)^-T(»·.-»■-)■■&'«/"е-· <74>
где, как и в (136) гл. IX, положено
/ (σ) β _ ! » 0,664 / σ. (75)
^O-TdE
г г φ" (0 τ
J Lq>*(0) J
0
x) И. А. К и б е л ь, Пограничный слой в сжимаемой[ншдкости с учетом излучения,
ДАН СССР*25, № 4, 1939.

662
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
1ГЛ. X
ах
Вводя число Нуссельта Nil, получим, подобно (138) гл. IX,
Лоо (/ го — * оо)
~~ Ксо{Тго-Тсо) J AW \ дУ jy=0 ~~ Tw-Toc λοο Tw JKO) V Voo J 2Vx '
0 0 *
Принимая во внимание, что коэффициенты теплопроводности находятся
в том же соотношении, что и динамические коэффициенты вязкости, т. е.
при η = 1
"■ц; Tw
Лоо /со
и выполняя, кроме того, интегрирование, получим
Nu = ■—р- / \о) у Reoc (76)
входящая сюда величина 7< определяется по (70).
При отсутствии теплоотдачи Тю — Tt и Nu = 0. При наличии теплоот-
дачи, но малых Μ к., т. е. при малых скоростях, когда влияние сжимаемости
несущественно, Tt ~ Т^ и, следовательно,
Nu = / (a)VR^Z= 0,664/σYReZ (77)
Это совпадает с ранее полученной в гл. IX формулой (139).
Наконец, при σ = 1 будем иметь
Nu = 0,664 ^-J° /RiL 3(78)
, tt /%-\ i -ш / VooS? 1 Po_
Обращаясь^ к вопросу о сопротивлении" пластины, найдем сначала
напряжение трения τω. Имеем, переходя к размерным величинам,
ди ?
£/оо Ucc Ρ Ну
откуда следует
(ди \ 1 -, / (7ло гт Тсс Τ и /г,.
i*)»-0eTK ^~Τ^~ΤΓφ (0)·
причем φ" (0) имеет то же значение φ" (0) =1,328, что и в несжимаемой среде.
Итак, если при η = 1 величины μ и ρ в выражении рейнольдсова числа
соответствуют параметрам в набегающем потоке, то коэффициент местного
трения остается тем же, что и в случае несжимаемой жидкости
Как можно заключить из проведенных выкладок, для вычисления коэф-
фициента сопротивления и теплоотдачи нет необходимости иметь явные фор-
мулы связи между новым переменным £ и ооычным yl\^x, так как в оконча-
тельные выражения входят лишь значения величин при у = 0 или у = со.
Сложнее решается вопрос о распределении скоростей и температур в сече-
ниях пограничного слоя, так как полученные распределения скоростей

§ 112]
ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ
663
V.
и 1
~ = ~2 ф' (^) и температур (энтальпии) (66) выражены через аргумент Ζ,
связанный с обычными размерными координатами по формуле
с-т/Ы-т^.
в свою очередь зависящей от распределения температур. Дифференцируя по
j/, получим
Sj = 1 |/"t^T fe(oo)
ду 2 t VooZ /г (9 '
Связь между Z, и у/]/"ж определится интегральным соотношением
те£г1»©«-т/£
У*
На рис. 257 и 258 г) приводим графики влияния числа М«> на профили
скоростей и температур при η = 1, σ = 0,7 и к — 1,4 для пластины, темпера-
а т-т
Оса Т-Т
10 ™__ __ . 'В >*>
0,5
2~
'^5
^3
1 ш '°°
/7=/
6=0,7
к=1,4
0,2
0,1
2,0
4,0
6,0
6,0 Щ
(if
W5
Мсо=0\
S^
π 1
6 07
к 1,
2,0 4,0
ξΟ
6,0_ 10,0
Рис. 257,
Рис. 258.
V
О-
тура которой путем охлаждения поддерживается равной темпь атуре набе-
гающего потока. На рисунках обращает на себя внимание факт в зрас ания
с числом Μ» толщины скорост-
ного и температурного погранич- '>"
ных слоев.
Профиль скоростей с ростом
числа Μ» урезывается, стано-
вится более пологим. Температу-
ра при удалении от стенки сначала
возрастает, а затем возвращается
к прежнему значению, Гпричем
максимум отношения
Т— Тсс
0.5
О
f
&
г
^5^
'Ш £ 'во
п = 1
6=0,7
к=1,1}
1
1,0 2Л
3,0
4,0 6,0 6,0
У
/х„х
То — Тоы
Рис. 259.
(Т0 — температура адиабатически и изэнтропически заторможенного газа),
следуя расширению пограничного слоя, отодвигается от стенки, но сохраняет
неизменной свою величину.
1) W. H a n t z s с h e, H. W e n d t, Die laminare Grenzschicht der ebener Platte
mit und ohne Wärmeübertragung, Jahrbuch 1942 der Deutschen Luftfahrtforschung, 40—51.
Из этой работы заимствованы лишь упоминаемые и несколько дальнейших графиков;
изложенный выше метод расчета отличен от метода Хантше и Вендта.

664
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
Сравнение этих кривых с кривыми, показанными на рис. 259 и 260,
соответствующими случаю искусственного охлаждения пластины (Tw =
1 \
= -т- Та, I , говорит о некотором уменьшении толщин пограничных слоев.
1,0 2fl 3,0
Рис. 260.
ЦО 5,0 6,0
uxfbK
У \(Uo<> я.
и*
0,5
M^=5fi
/Моо=0
/7 = /
6-0,7
2,0
Рис. 261.
На рис. 261 демонстрируется спрямление кривых распределения скоро-
стей в координатах [u/U„>, у Υ U oopJ{\i>wx)\ номере роста М» в случае
отсутствия теплоотдачи с поверхности пластины.
Расе отренное только что решение, справедливое при η = 1, пригодно
лишь при сравнительно невысоких температурах поверхности пластины.
λ ожно без труда и при этом значительно повысить точность расчета, если
вместо простейшего закона в безразмерной форме μ' = h' принять более
близкую к действительности, также приближенную линейную формулу Чеп-
мена — Рубезина (15), аппроксимирующую
Т^-бб'С закон Саттерлэнда (12). Разница будет лишь
в том, что в правой части уравнения (54)
на место произведения μρ (напоминаем, в
безразмерных величинах) станет не единица,
а постоянная Чепмена — Рубезина С, рав-
ная в безразмерных величинах
в г 4_ ^_ H-*s
I*
1,2
1,0
0.8
ч-р*^*.
Cff/π
Ιβ
ΙΛ
1,2
Ιβ
0,6
Т^-Ш'С
с=
'"w '
ЧгР
Cam-
О
hw-\-hs
где hs= TSITос, а Ts = 122 К. Все останется
по-прежнему, если в масштабы поперечной
координаты и функции тока ввести постоян-
ный множитель У С.
Тогда для коэффициентов сопротивления
вместо (79) будут справедливы формулы
°'664 УС, Cf = -±gLVC, (80)
Cf-
l/Re,
У Re„
Рис. 262.
при больших значениях числа [Маха значи-
тельно приближающиеся к решениям на
основе общей формулы Саттерлэнда, что подтверждается графиками
на рис. 262. На этих двух графиках, относящихся к низким температурам
потока: 7,00= — 86°С (полет на высоте 50 км) и Г«= — 233°С (экспери-

§112] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 665··
мент в аэродинамической трубе сверхзвуковых скоростей), но к высоким,
резко возрастающим с ростом числа Маха температурам стенки, пунктиром
показаны результаты расчета по простейшей линейной формуле вязкости
(79), а сплошными кривыми с отметками «Ч. — Р.» и «Сат.» — соответствую-
щие результаты при принятии формул: (15) — Чепмена — Рубезина и (12) —
Саттерлэнда; пользование формулой Чепмена — Рубезина оправдывается.
Простые эмпирические формулы расчета коэффициента сопротивления
пластины предложил Юнг*). Формулы эти
1-п
^1Λ^; = 0,664[θ,45-1-0,55^-+0,09(λ;-1)Μ2οο/σ] 2 (81)
для общего случая задания температур пластины и набегающего газа и
1-п
Cf YWex = 0,66411 + 0,365 (к-1) ML Vo]
(82)
24
Т го
Г„ /β
\
\\
V
n=1, любые б
--.
П'0,76,6
. \\ 1 1
I
n*0,69, 6=0,75
s
'
/7-Й
~~
—
m.frOfi
18
В
0
uo
Л-Οβ
0,6
OA
о
для случая отсутствия теплоотдачи (пластинчатый термометр) мало (в пре-
делах 1%) отличаются от теоретических решений для практически встречаю-
щихся значений σ, η и чисел
М« < 10.
Сравнение некоторых резуль-
татов теоретических расчетов 2) со-
противления при отсутствии тепло-
отдачи с эмпирической формулой (82)
приведено на рис. 263. Сплошные
линии соответствуют теоретическим
расчетам, штриховые—формуле (82).
Cf-Щ?
0,7
0,6
0,5
Т*
-d
^
^
М«ГЛ7
\-Q - - .
й
t
ж
U/A
^
г /
4
/б
'в
■^Moo=/i
4 6
Рис. 263.
Ю
16
Рис. 264.
гь
зг
W
/CL· '
Верхняя прямая относится к случаю η = 1, когда, как было доказано»
в настоящем параграфе, произведение cf VRex не зависит ни от числа Маха,
ни от σ.
В заключение приведем еще один график для случая отсутствия теплоот-
дачи при σ = 1, η = 0,76 (рис. 264) распределения температуры в сечениях
слоя при различных числах Μ «. -^ 10. Обращает на себя внимание естествен-
ный ввиду отсутствия теплоотдачи (охлаждения) с поверхности пластины
х) Цитируем по статье этого автора «Пограничные слои», помещенной в сб. «Совре-
менное состояние аэродинамики больших скоростей» (под ред. Л. Хоуорта), т. I,
ИЛ, М., 1955, 433.
2) Численные методы решения уравнений пограничного слоя на пластине применя-
лись Эммонсом и Браынердом, Jovim. of Appl. Mech. 8, A-105, 1941 и 9,
A-l, 1942. При современном развитии ЭВЦМ задачи этого рода не представляют трудно-
стей.

666
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
резкий рост с числом М«> температуры стенки и толщины температур-
ного слоя. Сопоставляя этот график с распределением скоростей, помещен-
ным на том же рисунке, отметим равенство толщин скоростного и теплового
слоя, имеющее место при σ = 1. Профили скоростей имеют перегиб, особенно
заметный при больших Μ со *).
Мы удовольствовались пока рассмотрением лишь одного простейшего
случая интегрирования системы уравнений (61), а именно случая η = 1,
когда первое уравнение этой системы становится автономным и интегри-
руется отдельно от второго. Представляет интерес и другой также простой
случай, когда число Прандтля σ принимается равным единице (для воздуха
σ = 0,72). К этому случаю нам еще придется вернуться при рассмотрении
более сложной задачи о ламинарном пограничном слое при наличии продоль-
ного перепада давления, а сейчас ограничимся лишь следующим общим ана-
лизом этого случая. Обратимся к первой форме уравнений пограничного
слоя, представленной системой (46). Полагая в третьем уравнении системы
σ = 1, получим линейное относительно h0 уравнение в безразмерных вели-
чинах
ри
dho , dhf, д I dht
дх ' " ду ду V ду
которое в случае dpldx = 0, в силу первого уравнения системы (46), имеет
очевидн га частный интеграл (а и Ъ — постоянные)
h0 = аи -f- Ъ.
Переходя к размерным величинам, можем этот, носящий имя итальян-
ского аэродинамика Л. Крокко интеграл переписать в виде
Испопьзуя очевидные условия
T=TW при ц = 0, »
Г=Гоо при u**U„, ) (84)
определим а и Ъ; окончательно найдем следующую связь между распределе-
ниями температур и скоростей (интеграл Крокко)
£--ii1Mi(Tsr)*+('-£+iii *)£-+£ «*>
Обозначая, как и ранее, значком нуль температуру, соответствующую
адиабатически и изэнтропически заторможенному газу, будем иметь для
любой точки пограничного слоя
w('+iTi*)-'-(»+4rw)-
-'■(« + Τ*ΚΓ-^7ξ-)-'(»+*Τ1Μ1-^τξ.)
*) Подробности, относящиеся к решениям задач о ламинарном пограничном слое,
можно найти в подробном обзоре Г. К у э ρ τ и, Ламинарный пограничный слой в сжи-
маемой жидкости, сб. «Проблемы механики» (под ред. Р. Μ и з е с а и Т. Кармана),
ИЛ, М., 1955. К сожалению, обзор доведен только до 1948 г. и посвящен по преимуществу
зарубежным работам. Обзор советских работ примерно за этот же промежуток времени
можно найти в статье Л. Г. Лойцянского «Пограничный слой» в юбилейном сбор-
нике «Механика в СССР за XXX лет», Гостехпздат, М-, 1950, 300—320. См. также
монографию: Л. Г.! Л о й ц я н с к и и, Ламинарный пограничный слой, Фпзматгиз, М..
1962, 319—352, '

$ 112]
ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ
667
и следовательно, на внешней границе слоя (ц = ?/«,) и на поверхности пла-
стинки (и = 0) будет
Гяо=Гв(1+*_»М*,), TW0=TW.
Переписывая (85) в форме
-i^VW„ "·
получим равенство
Тр~Tw0 и (Ярл
Топ-Тип - Uее, » 1°°>
служащее обобщением на случай движения совершенного газа при больших
скоростях известного уже нам по гл. IX соотношения подобия (132). Согласно
(86) можно утверждать, что в любом сечении слоя при σ = 1 и произвольном
показателе степени η в законе зависимости вязкости от температуры поле
перепадов температур газа, адиабатически и изэнтропически пересчитанных
на покоящийся газ, подобно полю скоростей.
Разыскание в этом случае профиля скоростей по сечению пограничного
слоя, а вместе с тем по (85) и профиля температур, представляет некоторую
трудность. Эту трудность надо избежать до проведения численного интегри-
рования нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения, к ко-
торому сводится задача.
Для составления указанного уравнения исключим φ из совокупности
первого уравнения системы (61) и результата дифференцирования того же
уравнения по Ζ,
{hn-\y + φφ" = о, (йп-у')" + φφ"' + ф'ф" = о.
Умножим с этой целью первое из этих уравнений на φ'", второе на φ"
и вычтем почленно одно из другого. Получим
(Т^-У)" ф" + <PV" - {hn-\")' φ'" = 0.
Примем во внимание, что безразмерная энтальпия h является, согласно
интегралу Крокко (85), известной функцией безразмерной скорости и; кроме
того, вспомним, что функция φ (ξ) была выбрана из условия и = -^-φ'(ξ).
Полагая
φ' = 2щ кп~ги' = s,
перепишем предыдущее уравнение в форме
s-g-=-2ufc"-'H, (87)
причем предполагается, что h (и) заменено его выражением согласно (85).
Исследование случая σ = 1 связано, таким образом, с интегрированием урав-
нения (87). При этом уже не используется преобразование Дородницына,
так как координата у не входит в число аргументов.
Из первого уравнения системы (61), переписанного в преобразованной
форме

€68
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
|ГЛ. XI
и очевидных соотношений φ" φ 0, φ = 0 при и = О следует граничное усло-
вие
аи
при
и=0.
(88)
(89)
Кроме того, из определения s следует
s = 0 при и = 1.
Следовательно, точка s = 0, и == 1 является особой для нелинейного
уравнения второго порядка (87). Полагая в правой части уравнения и = 1
и замечая, что при этом по (85) будет h = 1, составим приближенное уравне-
ние
s — -— 2
интегральные кривые которого совпадают с искомыми интегральными кри-
выми точного уравнения (87) вблизи особой точки и = 1, s = 0. Определение
интегральных кривых приближенного уравнения не составляет труда.
Имеем (А — постоянная интегрирования)
ds d?s 2 ds I ds \2 . .
откуда при помощи подстановки — In (As) = z2 и использования граничного
условия (89) можно получить (erf — известное уже нам по предыдущему
обозначение интеграла ошибок)
и=1-^етПУ^ЫЩ)+^
Задаваясь различными значениями произвольной постоянной интегри
рования А, выберем такую интегральную кривую, чтобы, выйдя из особой
точки по этой кривой и продолжая ее затем
численным методом интегрирования точного
уравнения (87), прийти, согласно гранич-
ному условию (88), в точку, где и = 0,
dsldu = 0. Такой метод часто приходится
применять при решении краевых задач по-
граничного слоя. Результаты только что
описанного расчета при отсутствии теплоот-
дачи и показателе степени η в законе зависи-
мости коэффициента вязкости от температу-
ры, равном 0,76, были уже приведены на
рис. 264 и в соответствующем месте текста
обсуждены. Высокие температуры стенки
(при Μ», = 10 более чем в 20 раз превыша-
ющие абсолютную температуру внешнего
потока) объяснялись отсутствием охлаж-
дения поверхности пластины. Если, напри-
мер, потребовать, чтобы за счет сильного
JLD,8
Um 0,6
ОЛ
0,2
6
5
7"оо 3
г
1
оу
к
(г/
~о
■5
<s
\
1
<^м
сё-Ю
-М„=Л7
12 1В
Рис. 265.
1
охлаждения было Tw = -г 1"„,, то расчет
приведет к кривым, показанным на рис. 265. Можно заметить, что при этом
максимумы температур сместятся с поверхности пластины внутрь погранич-
ного слоя и значительно уменьшатся по сравнению со случаем отсутствия
теплоотдачи. Толщины скоростного и температурного пограничных слоев
будут опять совпадать, так как σ = 1.
При решении задач теории ламинарного пограничного слоя в газе при
больших скоростях, в частности в случае пластины (dp/dx = 0), можно с ус-

$ 113] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА КОНУСЕ 669
пехом пользоваться переменными Мизеса или Крокко, описанными в гл. IX
(§ 87). В настоящем общем курсе мы не имеем возможности останавливаться
на этом вопросе и отсылаем к ранее цитированным специальным обзорам по
теории ламинарного пограничного слоя в газе при больших скоростях или
к нашей монографии г). Заметим, что изложенное исследование поведения
интегральных кривых уравнения (87) вблизи особой точки проводилось прие-
мом перехода к скорости как независимому переменному, близким к приме-
нению переменных Крокко.
Как показано в только что цитированных источниках, применение пере-
менных Крокко позволяет снизить порядок системы уравнений (61), в част-
ности, в случае линейной связи между коэффициентом вязкости и темпера-
турой; вместо первого уравнения системы (65), являющегося уравнением
третьего порядка, можно получить уравнение второго порядка
КК" + 2η = О,
где К = 2τ "J/^Reoo Ι^ξ/(роо£/|о), а штрихи означают дифференцирование по
переменной η = u/Uoo- Несмотря на внешнюю простоту, уравнение это не
может быть разрешено в квадратурах, а требует применения численных
методов интегрирования. Первый случай применения переменных Мизеса
к задаче о ламинарном пограничном слое на пластине в продольном газовом
потоке был опубликован Карманом и Ченем 2).
§ 113. Ламинарный пограничный слой на конусе
в продольном сверхзвуковом потоке
Можно заметить некоторую аналогию пограничного слоя на продольно
обтекаемой пластине и на конусе 3). Предположим, что угол полураствора
конуса θ0 соответствует при заданном числе Маха Μ «> в набегающем потоке
случаю присоединенной к вершине конуса ударной конической волны. За этой
волной движение идеального (невязкого) газа будет потенциальным и «кони-
ческим», т. е. все параметры газа должны сохранять постоянные значения
вдоль любой конической поверхности, соосной с обтекаемым конусом, имею-
щей общую с ним вершину и расположенной между ним и ударной волной.
В частности, давление в этом движении идеального газа должно сохранять
постоянное значение на поверхности обтекаемого конуса, а следовательно,
по известному свойству пограничного слоя, давление будет постоянным и во
всем пограничном слое в вязком газе. Этот факт сближает движение в погра-
ничном слое на конусе со случаем продольно обтекаемой пластины. Можно
показать, что между этими двумя движениями существует простое соот-
ветствие.
С этой целью сопоставим уравнения пограничного слоя на конусе в сфери-
ческих координатах
/ ди ν ди \ 1 д I ди \
е(рц) . 1 д(ру) 2ри _п
дг ~+" г /50 "г" г ~~ '
/ dh ν dh \ _ 1 1 д 1 dh \ μ ( ди \'<
(90)
*) Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Ламинарный пограничный слой, . изматгиз, М., 1962,
334—346.
2) Th. К á r m á n, H. S. Т s i е n, Boundary laver in compressible fluid, Journ.
Aeron. Sei. 5, 1938.
3) W. Hantzsche, H. Wendt, Die laminare Grenzschicht an einem mit Über-
schallgeschwindigkeit angeströmten nicht angestellten Kegel, Jahrbuch 1941 der Deutschen
LuftfahrtforschuDg, 1—77.

670
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
{ГЛ. XI
и соответствующие им граничные условия (θοο >θ0 — условный угол, пред-
ставляющий границу слоя)
и=0, у = 0, h — hw ( или -zx = 0 j при θ = θ0, I
и-
ие, h->he при θ->θ0
(91)
с уравнениями пограничного слоя и граничными условиями на пластине
в том же газе
(— ди . - ди \ д I ди \
д(ри) d(pv)
= 0.
дх ' ду
'- дк , - dh \ 1 д
I- dh , - oh \ Id/ dh \ , I ди \i
u = 0, ν —0, h=hw (или -т- = 0) при г/ = 0,
u—>-ue, h-+he при у-^-оо.
Замечая, что обе задачи аетомоделъны (в постановках задач нет характер-
ного масштаба длины), будем искать решение задачи о продольном обтека-
нии пластины в обычном виде:
(92)
и=и®, ν=?β-, h = h(& ξ= у
Ух ' "' "V3" s yi·
а для пограничного слоя на конусе — в аналогичной форме
н = «(0, v=jj&-, h = h{l), ^1ψθο)
^- = (θ-θ0)|/7.
(93)
(94)
Тогда система уравнений (90) переходит в систему обыкновенных диф-
ференциальных уравнений
(put; , ~\ du d i du\
-~-]-pv) ж = -^ (μ ж),
dl dl
К d(pu) d(pv)
2 dl ^ dl
pv-l , _ ~ \ dh
f 2pu = 0,
1 d I dh
I put , -\ dh 1 d I dh \ , / du \2
(95)
а система (92) — в следующую
1 — с . ςτ\ du d
2 fc dl ^ dl K^V' '
/ ! — 9 , fr\ dh l d { dh \ , ( du \2
(-TP^ + pF)-c = -lf (μ—)+μ(_ ) ;
u — 0, F = 0, /г = йю f или -^р = 0 ) при ξ = 0,'·1
и —>- ие, h-*-he при ξ -»- оо.
(96>

§113] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ НА КОНУСЕ 671
Если в системе (95) совершить дополнительное преобразование
(97)
то она переходит в систему [условия в последних строках (96) и (98), как
обычно, асимптотические]
{-Ф+'")ъ-*(*ъ)·
& d(pu) d(pW)
2 dEi ' d?i
Pw^j , ri7 \ dh
'- = 0,
l d
I Рым i xxt\ dh 1 d I dh \ , I du \^
(_P^L + pH/)—^-^(μ—)+μ(—) ;
u = 0, W=0, h=hw(-^- = 0) при U = 0,
u-
■ ue, h-*-he при £t->-oo,
(98)
ничем не отличающуюся от уравнений и граничных условий (96) для пласти
ны, так что и = и, V = W.
Отсюда можно заключить, что если функции аргумента ξ
«=α*(ξ), v^£l£L 7>-
Yi
, h=h*Q
(99)
представляют собой решение для пластины, то, согласно (97), функции аргу-
мента £х
u = u*(U), i;=^|[W(St)—|elU'(W], Λ-Λ* (Si) (ЮО)
дадут искомое решение для конуса.
Сопоставляя эти решения, можно прийти к следующим выводам. Услов-
ные толщины слоя δ*, δ** на конусе при тех же значениях абсциссы г = х
в У^В раз меньше, чем на пластине (δ*, δ**). Действительно, имеем, например,
оо оо
Mt'-^-vsK*-^]*
«-Κ1-^]'*-^1-^]*·
так что
δ* =
Уз
и аналогичные соотношения для толщин потери импульса.
Сравним еще напряжения трения: xw на конусе и τω на пластине. Будем
иметь
_ _/μ_^\ /μ du* β±\ _/JL*ili/4i/7\ —
Ты,~ Ι г 9Θ /θ=θ0~ I r d& dQ /El=o_ I г dCi V V /ε,=0~
θ=θο
-V*("fL.-Ts*»
так что при одном и том же значении абсциссы г = х напряжение трения на
конусе в 1^3 раз больше, чем напряжение трения на пластине. Точно так же

«672
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
(ГЛ. XI
убедимся, что коэффициент полного сопротивления трения на конусе при
прочих равных условиях в ^ У^З раз больше соответствующего коэффициен-
та на пластине. Действительно, первый из этих коэффициентов равен
(4//3) хи (Ц
i-^peulnLz\ \ 1nrxwdr = (у реи|л£2\ I 2лг]/3xw dr = j-
а второй-
(4-PeI^)"1 j^dT-^H,
TP*«i
что при равенстве величин ие и ие приводит к высказанному ранее заключе-
нию. Точно β таких же отношениях УЗ и ^ ]f3 находятся местные и сред-
ние коэффициенты теплоотдачи.
К тем же результатам можно прийти с более общей точки зрения, приме-
няя к уравнениям пограничного слоя на продольно обтекаемом конусе пре-
образование Манглера *), заключающееся в переходе от координат х, у, от-
считываемых вдоль меридианного сечения поверхности тела вращения и по
нормали к нему, к координатам х, у в соответствующем плоском пограничном
слое по формулам (г0 (х) — радиус поперечной кривизны тела вращения)
:=^rs0(l)dl, У = г0(х)у.
(101)
Все остальные параметры потока сохраняются
U=U, Ue = Ue, l]3 = l]5, |
р = р, р = р, h = h, μ = μ, J
(102)
«роме поперечной скорости
ν, которая преобразуется согласно равенству
:_ v j rO(x)
ГО
■уи.
(103)
Составим уравнения пограничного слоя на теле вращения при продоль-
ном его обтекании газом в координатах хиу, причем используем то приближе-
ние, о котором шла речь в § 93 при выводе системы уравнений (151); тогда
получим (для общности в первом уравнении сохранено слагаемое, определяе-
мое перепадом давления)
и
ди
Р(- Вх
д (г0ри)
ди \
рие
du„
dx
ду
0*-§γ)·
)
a (/-„ρ»)
ах
ду
(104)
/ dh . dh \ 1 д I dh \ , I ди \'
ρ [u sr+v -87) =ir-bT (μ W)+μ (w)
Введем функцию тока ψ (х, у) согласно равенствам
1
~rr^. rnV=
Ρ
rnu =
1 Γδψ _ 1 0ψ
'W r°v р"ЬТ'
(105)
!) W. Mangier, Zusammenhang zwischen ebenen und rotationssymmetrischen
Grenzschichten in kompressiblen Flüssigkeiten, Zeitschr. f. angew. Math.u. Mech. 28, 1948,
Я7. Преобразования (101), (103) совпадают с преобразованиями Степанова (§ 93).

S ИЗ] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА КОНУСЕ 673
удовлетворяющим второму уравнению системы (104). Применяя преобразо-
вание (101), согласно которому
-i-t-k+i^. £-'.-£-. сое»
к системе равенств (105), получим
г и 1 г д^ г „ 1 ^2 Щ> · 1 \ 1 #Ф ,.ъ~,
ГоМ=уГо1Г' ΓοΙ,=~-τΓ·-β-Γ»(1:^-τ^ (107)
откуда следует
-~»=τ£· '-*+^~i£· <108>
Применяя к первому и третьему уравнениям системы (104) преобразова-
ния (106) и используя для второго уравнения той же системы равенства (108),
пол} чим по (102) следующую систему уравнений в новых переменных:
— /— ди , — ди \ — due д I— дй \
V дх ду I dx ду Vг ду I
^F+^f~* Ι (109)
— I— dh , — dh\ 1 д /— dh \ , — I ди \2
совпадающую с уравнениями пограничного слоя в плоском газовом потоке;
совпадут и преобразованные граничные условия.
Пользуясь этим общим преобразованием в рассмотренном в начале пара-
графа частном случае конуса [г0 (х) = ах], будем иметь по первому равенству
системы (101)
х —-а2х3, у — аху, (110)
где а ■= sin θ0 (θ0 — половина угла раствора конуса). Сравним между собой,
например, напряжения трения для конуса xw и для пластины tw. По второму
равенству системы (101) получим в соответствующих точках (х, у) и (х, у)
общее соотношение
Xw=^ (f-Lo^ (ilU Шу=*=^г°=^ах· (111)
Вспомним, что Хантше и Вендт провели сравнение xw и rw при одинако-
вых значениях абсциссы на образующей конуса и вдоль пластины; по (110)
это означает, что надо положить
х = -^-а2х3 или ах = У^З.
Возвращаясь после этого к равенству (111), получим
Тц> = У о tw
в полном соответствии с предыдущим результатом. Аналогичным образом
можно получить и остальные соотношения.
В ранее цитированной нашей монографии по теории ламинарного погра-
ничного слоя можно найти многие другие примеры расчета пограничного слоя
в газе при отсутствии продольного перепада давления.
43 л. Г. Лойцянский

674
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ, XI
§ 114. Ламинарный пограничный слой при больших скоростях
и наличии продольного перепада давлений
Изложим сначала наиболее простой приближенный метод расчета лами-
нарного пограничного слоя в газе при наличии заданного продольного пере-
пада давлений *), справедливый, как далее будет указано, при не слишком
больших значениях числа Маха, например, Мм<2.
Рассмотрим случай теплоизолированной поверхности, т. е. примем, что
поток тепла через поверхность равен нулю и, следовательно, имеет место гра-
ничное условие
-^- = 0 при у = 0. (112)
Удовольствуемся также предположением σ = 1. Тогда, как легко убе-
диться, частным интегралом уравнения баланса тепла (третьего уравнения
системы (48)), удовлетворяющим предыдущему граничному условию, будет
h0 = const,
или, вспоминая (44),
Λ + Χ = Λο, (ИЗ)
где h0 — постоянная для всех точек пограничного слоя величина. Последнее
равенство эквивалентно следующему (Т0, так же как h0, одинаково для всех
точек пограничного слоя):
**= Го (!--£). <114)
Замечая, что вне пограничного слоя поток потенциален, а давление попе-
рек пограничного слоя не меняется, получим для всех точек слоя известное
изэнтропическое (гл. III) соотношение
р-ро^-щУ'1' (115)
где ие — скорость на внешней границе слоя, &р0 — давление в адиабатически
и изэнтропически заторможенном газе, одинаковое для всех точек погранич-
ного слоя. По закону Клапейрона найдем соответствующее соотношение для
плотности (р0 — плотность адиабатически и изэнтропически заторможенного
газа):
h
р- t__y ■ (не»
2h0
Пользуясь принятой ранее степенной связью между динамическим коэф-
фициентом вязкости и абсолютной температурой, получим
ТГ) =μ°(1-^7) · (117>
Приняв во внимание, что интеграл (113) уравнения баланса энергии уже най-
ден, остановимся на первых двух уравнениях пограничного слоя в размер-
ных величинах
ofuiij-г;— \ = —*La-JL (η Л. \ д(Р") , д(ру)
1)А. А. Дородницын и Л. Г. Лойцянскпп, К теории перехода ла-
минарного слоя в турбулентный, Прикл. матем. и мех. 9, в. 4, 1945.

§ 114] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ 675
и, введя для краткости обозначения
и
а-
УЩ '
(119)
совершим над уравнениями (118) преобразование Дородницына *), в настоя-
щем случае имеющее вид
HiM'1"*»*"'*· »-1£*-уй=Й£-*. «2°>
Заметим, что
δ* р0 δξ "f" δ* δη ^ ' dl^~ дх дц'
д __ ρ д _(1 —к2)'1"1 δ .
ду ~ Ро 9η — Ι — α* δη '
(121)
кроме того, по первой из этих формул и соотношению (115)
h h+\
= (1—α2)'
da;
«
-^o^iirri1-062)
_.9.\fe-i о
2αα':
ft+l
ft+l
--ξττΜ1-»2)''"1 "X=-Po(l-«2)h_1 «e«;; (122)
штрих здесь и далее означает дифференцирование по \.
Подставляя полученные выражения в первое из равенств (118), преобра-
зуем его к виду
и
ди , ~ ди 1—а2 , , δ Г . , __, ди 1
где положено для краткости
у =
I» и δη
1—a2 "■ fe δ*
2\k 1
(123)
(124)
(1 — a-
Из уравнения неразрывности следует
или
δψ ρ δψ
г ду ро δη '
U =
_δψ__ _ /1_-2\fe-i ^ψ . ^η ^ψ
■ я-, — У1 " ^ δξ δ* δη
δ;τ
1 δψ
Ρο 9η '
Ι>
1— α2
1 δψ
Ρο 9ξ
h
Η—a2\h-l
δη
δα:
Вводя опять скорость ν по (124), перепишем последние два равенства
в виде
1 δψ - _ 1 δψ
_ Ро ду] ' Ρο ^ '
откуда сразу получим уравнение неразрывности в переменных Дородницына
ди ди /-,
(125)
!) А. А. Дородницын, Пограничный сл!-й в сжимаемом газе, Прикл. матем.
и мех. 6, в. 6, 1942.
43*

676
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
Пользуясь уравнениями (123) и (125), путем, аналогичным уже ранее
примененному в гл. IX, выведем уравнение импульсов в переменных Дород-
ницына
оо. 6η ос, 6η
d
\ u(ue-u)dn + ue j (J_g-Ue_u)d4 = v0(-^-)4=o, (126)
о о
где под δη понимается конечная толщина пограничного слоя, определенная
как значение η, при котором и ?» ие. Введем аналогичные условные толщины
пограничного слоя
оо, б оо, 6
0 0
Тогда, используя тождество
\ α2 \ —
ие — и = =— [ие — г/ + асс (ие— и)],
1—а2 1 —а2
преобразуем уравнение (126) к виду
<% ^\ "е ^ 1-α2 / Ч ue(l —α2) Ч "f V 3η /η=ο '
Это и есть искомое уравнение импульсов. Устремляя в нем а —>■ 0, ξ —>■ ж,
η —>- у, ν0 —»- ν, т. е. переходя к малым скоростям, получим известное уже нам
по гл. IX уравнение импульсов для несжимаемой жидкости.
Предположим теперь, что профили скоростей в сечениях пограничного
слоя могут быть заданы однопараметрическим семейством
^=Ф(^;/). (129)
не зависящим явно от числа Μ со, т. е. таким же, как и в случае несжимаемой
жидкости (Мсо = 0). При этом, конечно, сохраняется неявное влияние числа
Μ со через величины ие, δη*, η и /.
Принятое допущение справедливо при не слишком больших значениях
Мсо. Так, например, для пластины (/ = 0) величина
e=Lo(»6**)J»=o = L д (η δ**) _|т)=о = ф'(0; 0)
должна быть независимой от числа Мсо и равной 0,221. Точные расчеты пока-
зывают, что на самом деле эта величина возрастает с числом Мсо, достигая
значений: ξ = 0,222 при Moo = 0,65, ξ = 0,227 при Moo = 1,59 и ξ = 0,234
при Мсо = 3,05. Изложенное ниже решение, привлекающее к себе своей про-
стотой, применимо, таким образом, лишь при сравнительно небольших чис-
лах Мсо- Используя (129), будем иметь
δ*
( — )
\ dt] /п
jst<P'<0;« = -jkE</).
0
$гф'(0;/) = 9
После подстановки этих выражений в (128) получим
(130)

§ 1141 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ 677
Умножим обе части этого уравнения на 1 —а2 и приведем его к виду
1 d Г (1-й*) δ**2Ι i_«2 ^ и'т*2 -.
тж[^^-]=^1и/)-^^г[2+ж/)]}.
Теперь можно заметить, что роль формпараметра играет величина
ц'6**"
/ = 1Л-^, (131)
так как при этом выражение, стоящее внутри фигурных скобок, будет яв-
ляться функцией только формпараметра /. Предыдущее уравнение приводится
к виду
[^]-ψ*<Λ.
_d Г(1 —α'
или после выполнения дифференцирования в левой части
dl dl yl_-2^'dl·, (i_aa)»· v ;
Таково основное уравнение однопараметрической теории, представляю-
щее простое обобщение теории гл. IX на разбираемый случай движения газа
с большими скоростями. Входящая сюда функция
F(/) = 2 {Ш)-[ 2+ #(/)]/} (133)
ничем не отличается от соответствующей функции / для несжимаемой
жидкости.
Вернемся теперь к основной переменной х; будем иметь, сохраняя штрих
для обозначения производной по х,
*L = F{f)4-ln _^_+/j-ln К . . (134)
dx y" dx у^-з ' dx _ o+jL-
(1 —a2)" h_1
Из сделанного ранее предположения о независимости формы профиля
(129) от числа Μ тс следует, что вид функции F (/) должен быть тем же самым,
что и в случае несжимаемой жидкости (Мте = 0). Это позволяет, так же как
и в случае несжимаемой жидкости, заменить функцию F (/) ее линейным при-
ближением
F{f) = a-bf
и после простого интегрирования уравнения (134) получить
х
= аи^ Г Ъ1 (1 _ -2)m_i d (135)
где положено
т-2 + ^-4. (136)
Для воздуха (А;=1,4) при 6=5,75 будет т=2,63. Формула (135)
может быть преобразована к виду
f = а _ R,_ [ аъ~1 (1 -a2)™"1 dx, (137)
ab(l_a2)m J
более удобному для расчетов. Для пересчета заданного распределения коэф-
фициента давления сро {х) по поверхности профиля на распределение a (x)
при различных Мтс < Мкр служит предлагаемая на рис. 266 сетка кривых.

678
ДИНАМИКА ВЯЗКиГО ГАЗА
[ГЛ. XI
Сделанное ранее допущение заставляет считать отрывное значение /s
при больших докритических скоростях не зависящим от Моо- Вспоминая, что
возрастание числа Моо в докритической области вызывает резкое увеличение
разрежения, а следовательно, и уклона и'е (х) за точкой минимума давления,
т
ψ
0,3
0,2
0,1
»
1
i<
1
If/
'/
//
ψ
φ,
ш
ш
А
щ
Ψ
ш
Ф,
ж
%
Ψ
w
Й
щ
Ψ-
>λ
υ
<<■
%
Ψλ
&
'*
ъ
//
у<
Гл
Ρ
й
t>
8
$
ъ
У/
&
6
ч
у·-
^
Ι Τ
ЗДОЯ·
E9 S3 5
» is ca-
^
ча^ОЗ^^Ч-^^'ЬГЧэ'<5j «5Г *5йГ *5i
1
ш
Ψ
i
§
I
i
%
£s
V/
//f
y.
*,
4
>
ъ
/
*/
yy
Ул
£l
;>
U
7
A
У
\>
Λ
V
У
t>
v/
\/,
's
v^
/
"""J
/
^
S>
<SJ
1?
«ST
H
с
f
«■
SS
5&-
St.
1
W
0J5
-0,5 -1,0
Рис. 266.
-1.5
-2,0
-2β
"pa
заключим, согласно (135), что это повлечет за собой убывание xs, т. е. пере-
мещение точки отрыва вверх по потоку. Отсюда следует, что сжимаемость
жидкости при докритических скоростях предваряет отрыв ламинарного по-
граничного слоя, т. е. ухудшает обтекание
тела. Расчеты подтверждают это соображе-
ние. Так, например, точка отрыва ламинар-
ного слоя с верхней поверхности крылового
профиля NACA-4412 при су = 0,146 и
Мм = 0 лежит примерно на 11% хорды от
передней кромки, а при М»= 0,4 перемеща-
ется в точку, лежащую на 5% хорды от
носика.
Наглядным подтверждением явления
смещения точки отрыва вверх по потоку
с ростом числа Μ со могут служить результаты
опытов Ферри над кризисом сопротивления
шара. В связи с ухудшением обтекания шара
при росте Моо можно ожидать, что для улуч-
шения обтекания шара, происходящего при
кризисе обтекания, потребуются тем большие рейнольдсовы числа, чем боль-
ше число Моо. Наблюдения Ферри над обтеканием шара при разных Моо,
результаты которых приведены на рис. 267, хорошо подтверждают это пред-
положение. С возрастанием числа Моо от 0,3 до 0,7 принятое в § 96 условное
значение ReKp возрастает от 400 000 примерно до 740 000.
Явлением предварения отрыва вследствие сжимаемости газа объясняется
также факт уменьшения су тах с ростом М«> при докритических режимах.
Перейдем к рассмотрению общего случая произвольных (на самом деле
не столь больших, чтобы следовало принять во внимание характерные для
Рис. 267.

ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ 679
высоких температур газа явления его диссоциации и ионизации) чисел М«,
и чисел Прандтля, не равных единице х).
В этом случае интеграл (113) уравнений движения и баланса энергии
отсутствует, и необходимо решать полную систему уравнений (48), которая
после простых преобразований третьего уравнения системы может быть пере-
писана в форме
ди , ди dp,
д(Ри)
ду
d(pv)
dx
ду
(^Ь
дх
ду
о,
_„ dh0 dh0 id/ dho \ /1 , \ д I ди\
——ph = p = pe, μ = μβ0α(Χ),
(138)
где положено
г-
ТеО
г*еО
(139)
а /г0 представляет собой переменную полную энтальпию (44); в рассматривае-
мом сейчас общем случае, конечно, h0 Φ- he0. Входящая в последнее равенство
системы (138) функция а (х) выражает некоторую общую зависимость коэффи-
циента вязкости от температуры (энтальпии).
По определению параметров адиабатически и изэнтропически затормо-
женного газа будем иметь
Р = Ре = Рео(1—о£)
» Ρ — РеО 7Г
fc-1
ae = uelV2he0. (140)
Применим к первпм трем уравнениям системы (138) общее преобра-
зование Дородницына
V
(141)
(142)
найдем
о
дг\ д д
0
Ре д
Ρ
дх РеО dl·, ' дх θη ' ду ре0 θη
кроме того по (140) (штрих — производная по ξ),
dpe
dx
и, следовательно,
Ре dpe
РеО dl
dp,
к
k — l h,
е0
иеие{1— а?)
Ь-1
h+1
dx
= — Рео(1 — ae)k i UeUe.
(143)
Применяя преобразование (142) к первому равенству системы (138)
и используя (143), получим
Ре ди , / θη ρ \ ди
V РеО dl·, ^ Г \ дх ^ ре0 / θη
h+1
= рр0(1 —a?)h"1 иеи'е-
Р д
РеО μ*° дЦ
[в(х)-£г·^-]·
1) А. А. Дородницын, Ламинарный пограничный слой в сжимаемом газе,
сб. «Теоретические работы по аэродинамике», ЦАГИ, Оборонгиз, М., 1957, 140—173.

680
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
откуда, деля обе части равенства на величину
2я
Ре (1-«|)*~1
РеО ,ви %
придем к следующему выражению для первого (динамического) уравниния:
где положено
Ре θΧ · ре0 ре ν е/ ОХ % '
А РеО I еО '
Вводя функцию тока ψ при помощи равенств
ду Рео δη '
Ρν=—Μ.= Ее-Л^—ЛиЛ^^—.р^Л^—р и дГ]
' дх рео δξ дх δη ре0 δξ ах *
(145)
получим
так что будет
1 ^ ~ 1 δψ ,,/in
u = J-, v= £- . (14b)
Pro δη » pe0 Сё
ди ■ dv 0. (147)
δξ ' δη
Наконец, преобразуем аналогичным образом третье уравнение системы
(138) — уравнение баланса энергии. Введем вместо полной энтальпии h0 ее
безразмерную величину
Применяя к третьему уравнению системы (138) преобразование (142),
получим
Ре δ# . / θη . ρν \ д®
РеО δξ r V & ' ре0 / δη
= μβρ__Ρ__δ_Γ , ч_Р_Л1 /l_i) Ρ^ο _1ГаМ-£-и — I
σ Рео δη L Ш Рео δη J \σ ) pe0he0 δη L Ш pe0 δη J «
после чего, разделив обе части на рре1ре0, окончательно установим следующий
вид уравнения баланса энергии в переменных Дородницына:
δ·& ~ && ve0 δ г, , . θ* 1 /1 . \ δ Г , . . S (а2) 1 ,. ,пч
Совокупность уравнений (144), (147), (149) и граничных условий:
и = у = 0 при η = 0,
и — ие (|) при η = сю,
— = 0 при η = 0 (если поверхность тела теплоизолирована),
Φ = Фш (I) при η = 0 (если температура поверхности задана),
■& = 1 при η = оо (ив том, и другом случае)

§ 114] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ 681
представляет собой искомую постановку задачи о плоском ламинарном погра-
ничном слое на крыловом профиле в газовом потоке больших скоростей при
заданном распределении давления на внешней границе пограничного
слоя.
Рассматривая полученные уравнения, можно заметить, что левые части
первых трех основных уравнений задачи, составленных в переменных Дород-
ницына, совпадают с соответствующими уравнени-
ями плоского ламинарного пограничного слоя в
потоке несжимаемой жидкости. Однако правые
части этих уравнений содержат явное влияние
сжимаемости через величины %1%е и Ъ (%).
При использовании зависимости коэффициента
вязкости от температуры (энтальпии) в форме
Чепмена — Рубезина (15) будем иметь Ъ (%) = 1.
Действительно, по (15)
US
1,0
μ
И-рО .
Ch
Chro
0,5
μβ
к
·**. ^
^-i^
Je'MOK
""""■■■^«Г^Ч..
так что
μεο
a(l) = %b{%)
h
heo
%·
0,5
Pnc. 268.
1ft X
В только что цитированной работе А. А. Дородницына наряду с при-
ближенной формулой (15) принимается другая, также близкая к формуле
Саттерлэнда, но уже нелинейная формула, отвечающая значению функ-
ции Ъ (%)
Ь(Х) = 1 +0,3 (1-х).
Соответствующая этому закону на графике (рис. 268) штриховая прямая
располагается между кривыми Саттерлэнда для Те = 330 КиГе = 660 К,
показанными сплошными линиями.
При наличии такого рода связи между μ и Г, для значения σ = 14/19,
справедливого для двухатомных газов, и в предположении об отсутствии
теплоотдачи А. А. Дородницыным было проведено численным методом опре-
деление неизвестных функций и и # для трех случаев задания ие (ξ):
1) параболического распределения ие (ξ) = сг ξ + с3 ξ3;
2) для продольного обтекания пластины ие = const;
3) односкатного профиля ие (ξ) = b0 — 6Х|.
Таблицы соответствующих вспомогательных функций, через которые вы-
ражаются искомые решения, можно найти в цитированной выше работе.
Пользуясь этими классами решений последовательно для конфузорного участ-
ка пограничного слоя, для области минимума давления и диффузорного
участка слоя, А. А. Дородницын построил приближенное однопараметриче-
ское решение рассматриваемой задачи, которое является обобщением реше-
ния, изложенного в начале параграфа для случая ограниченных значений
числа Маха набегающего потока.
Составим два основных интегральных соотношения (штрих — производ-
ная по ξ)
(МП'-^ЬЫ^)^,,.

682
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
где приняты следующие обозначения:
оо оо
о о
оо со
6S= f (1-0)А], Ь&= \ — (l-Q)dr\,
О
Я — -^— Я — б^
(151)
При условии тепловой изоляции поверхности тела (dft/dt) = 0 при η = 0)
второе интегральное соотношение сводится к уравнению
(иеЫУ = 0;
интегрируя и имея в виду условие в лобовой критической точке ие — 0,
заключим, что вообще в этом случае будет δ|.* = 0.
Предположим теперь, в отличие от ранее принятого допущения, ограни-
чивающего рассуждение небольшими значениями М<» и Ме> что профили ско-
ростей и температур в сечениях пограничного слоя могут быть представлены
выражениями
и,
U φ.(-^-,ΛΜ.,σ), θ = %(-^τ,/,Μ.,σ), (152)
где роль параметров играют следующие величины:
1) формпараметр
/ = — . (153)
аналогичный рассмотренному в начале этого параграфа;
2) местное число Маха Ме, связанное с ае соотношением
«1= \_/ , (154)
i+JL_!M.
и 3) число Прандтля σ.
Тогда, подставляя выражения (152) в интегральные выражения (151)
и первое из интегральных соотношений (150), придем для определения форм-
параметра / к тем же уравнениям (134) и (135), что и в предыдущем простей-
шем случае. Разница будет лишь в выражении функции F, которая
уже будет зависеть от параметров ае, о и примет форму
F (/; ае, а) = 2ξ - 2/ (2 + Я - Я<>); (155)
при этом приведенный коэффициент трения Ζ, также будет другим, а именно
Как показали расчеты, в интервале изменения Ме от нуля до 2,378 и при
σ = 14/19 « 0,74, что близко к значению числа Прандтля для воздуха, вид
функции F (/; ае, а) слабо зависит от ае. Это подтверждает сделанное в на-
чале параграфа упрощающее допущение о независимости F от Ме при не
слишком больших числах Маха и позволяет вновь воспользоваться линейным
представлением функции F (/) и получить значение / (х) в форме (137) при
тех же значениях констант а и Ь.
Точно так же и ξ (/; ае, σ) при σ = 14/19 слабо зависит от ае и может
определяться по обычному графику или таблице, как для несжимаемой жид-

§115] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 683
кости. Напряжение трения т^, согласно определению ξ (156), выразится как
k
*«=MlrLo=J!i^w<1-ai>,,~1' (157)
причем δ** вычисляется заранее по известному уже / {х) и формуле (153),
переписанной для переменной х в виде
2h-l
f==^d^j[Veo{l_al)k-i } (15g)
Таким образом, при числе Моо. доходящем примерно до значения 2,4,
динамические величины рассчитываются просто. На рис. 269 и 270 приво-
Рис. 269. Рис. 270.
дятся зависимости %ю = TjTe0 и Н§ от / при различных а?е в пределах от 0,1
до 0,6. Как видно из приведенных графиков, влияние параметра Ме на эти
величины существенно.
§ 115. Преобразование уравнений ламинарного пограничного
слоя в газе к форме уравнений для несжимаемой жидкости
Преобразование Дородницына (141) только частично преобразует уравне-
ния ламинарного пограничного слоя в газе при больших скоростях к виду,
соответствующему уравнениям в несжимаемой жидкости. Несколько модифи-
цируя это преобразование *·), можно при некоторых ограничительных усло-
виях привести первое (динамическое) уравнение системы (138) к точному
совпадению с соответствующим уравнением для несжимаемой жидкости.
Рассмотрим сначала случай σ = 1, η = 1 и отсутствия теплоотдачи (теп-
лоизолированная поверхность).
Обозначим через а скорость звука и заменим для краткости индексом 1
предыдущий индекс еО, отвечающий адиабатически и изэнтропически затор-
моженному значению величины на внешней границе пограничного слоя. Тогда
по известным формулам (гл. III) будет
где под символом Ue понимается величина
Ue = ^-ue. (160)
#е
*■) К. Stewartsou, Correlated incompressible and compressible boundary layers,
Pros. Roy. Soc. A200, 1949, 84—100.

684
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
Кроме того, по тем же формулам найдем
Ре
Pi
V τ J _ ъ
Pi
&
fe-1
(161)
Произведем в первых двух (динамических) уравнениях системы (138)
преобразование координат и скоростей, предложенное К. Стюартсоном:
J Pi «i «i J Pi v
0
u.
V = -=i-i;,
«1
(162)
где выражение у приводится ниже (167). При помощи равенств (159) и (161)
преобразование (162) может быть переписано в виде
х 3i>-l ft+1 у Ч
о ое
>
(163)
При принятых ограничительных условиях третье уравнение системы
(138) — уравнение баланса энергии — может быть заменено своим очевид-
ным интегралом
i + 2 Ме
который при принятых обозначениях перепишется так:
Ге l\t 2α?
А—1 м2^. /с—1 #? Λ —1 С/2
/с—1 Z7S
Ъ· 2of Хе ' 2 а| 2 а? *е
Формулы преобразования к новым переменным будут
ft+l _
)
Ре W
3ft-1
_Э__ 2(fc-l) _θ_
sy д
Заметим, что из равенств
μ
μ!
2*1* Pi
рг
_3__ 2(h-l) _р *
,ъ, — ле
(164)
(165)
следует
Pi^i Pi
ft
A_^-l
μρ
MlPi
:X
ft~l
В силу (165) и полученного только что соотношения перепишем первое
равенство системы (138) сначала в форме
3ft-1 ft+l
РХ,
2(ft-l),, да
ди , Г ЗУ . ^(ft-l) Ρ Ι ди
"Ж + У^-Ш + Мк -t\HY =
3fe-l
t-'еле ""e ^ γ·
2fe+l
p" „, ft-i μΙΡΙ <>ги
7Г"лг
Ре
дУ«
ЗЬ~1
а затем, разделив обо части на %с ( * р, еще так:
и
ди
дХ
ЗУ
■Ия
du„
dX
3*и
<?У2
(166)

§115] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ С85
где введенная ранее величина ν определяется выражением
3h-l Ь+1
г-*""'-" ["te^-St*"*""]· <167>
Теперь используем преобразование компонент скорости. Будем иметь
согласно второй строке (163), вместо (166)
Произведя дифференцирование и воспользовавшись (164), получим (штрих —
производная по X)
Пользуясь легко получаемой из (159', связью между Хе и U'e
Ь=-^ГВД, (169)
найдем следующие два представления для выражения, стоящего во второй
круглой скобке в первом члене правой части (168):
1) leUeUe+\%eV^XeUeU-e-^±£UlU'e =
2) %JUeU'e +1 yum = - -jlL·. -|_ + I Uhe =
_ a? / 1 fc-1 Ue \ aj ,
~ k—i \ ъ 2 a\ )^e fc-1 К*-
Умножая первое из этих представлений на первое слагаемое в первой
скобке правой части (168), а второе — на второе слагаемое в той же скобке,
получим вместо (168)
<ЭУ2
и после очевидных сокращений придем к уравнению
полностью соответствующему уравнению пограничного слоя в i есжимаемои
жидкости.
Покажем, что преобразованные компоненты U и V удовлетворяют усло-
вию несжимаемостл жидкости. С этой целью введем функцию тока ψ, положив
P« = Pi-^-, РУ=-Р1-^·. (171)
Воспользуемся вновь формулами преобразования (162) и дифференциаль-
ными соотношениями (165); тогда получим
U = у-чш=ν-12 -Hi- yv._£. il = ^L

686
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
и аналогично по определению (167) приведенной скорости ν
3fe-l 3fe-l
— Xe 'Xe ^Xe ay йя 2Ce [_Хе дХ^дх dYjJ дХ ·
Итак, имеем
TJ-B- F__il iiL + iil-O ri72>
U-W» v~ Ж* dX + dY~v' W
т. е. приведенные компоненты скорости U, V действительно соответствуют
некоторому «фиктивному» потоку несжимаемой жидкости и функция тока
для этого движения в плоскости (Χ, Υ) является одновременно и функцией
тока рассматриваемого газового потока в плоскости (х, у).
Уравнения пограничного слоя в плоскости (Χ, Υ) могут быть записаны
теперь в форме, аналогичной уравнению (15) гл. IX
θ-ψ Ргр θψ а«ф _п dUe дЦ „_-.
8Y ΘΧΘΥ дХ ΘΥ* ~ е dX "^ * о»УЗ - \i,0f
Граничные условия для системы уравнений (170) и (172) или для одного
уравнения (173) также совпадают с обычными условиями для несжимаемой
жидкости
i/=F = 0 при F = 0, U-+Ue(X) при Y-+oo
или
ψ = -?Ρ=0 при У=0, jjL^Ue{X) при У — оо.
Напряжение трения на поверхности тела определится по формуле
2h-l 2ft-1
Основное затруднение, возникающее при практических расчетах по
только что изложенному методу, заключается в том, что при наличии простой
связи действительной скорости внешнего потока ие с продольной координатой
х соответствующая ей связь Ue (X) в «фиктивном» потоке несжимаемой жид-
кости может оказаться достаточно сложной, не подходящей под известный
класс точных решений. В других случаях, наоборот, простая зависимость
Ue (X) будет связана со сложным распределением ие (х).
Остановимся, наконец, на более общем случае, когда число Прандтля σ
не равно единице и поверхность тела является теплоотдающей, но ограни-
чимся вместе с тем допущением о линейности связи вязкости газа с его темпе-
ратурой или энтальпией. Примем для количественного выражения этой свя-
зи неоднократно упоминавшуюся ранее формулу Чепмена — Рубезина, введя
входящую в эту формулу константу С множителем в первое из преобразо-
ваний (163).
Введение этой константы не нарушит процессы вычислений, которые
были только что произведены, так что не стоит их повторять. Принципиаль-
ная разнпца лишь в том, что интеграл (164) в рассматриваемом сейчас случае
σ φ1 и при наличии теплоотдающей поверхности уже не будет иметь места
и в общей системе уравнений придется рассматривать и дифференциальное
уравнение баланса тепла.

§ 115] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 687
Введем в рассмотрение тепловую функцию S, положив
5 = -^~1; S^O при У^оо.
(175)
Произведя в системе уравнений (138) указанное преобразование и перехо-
дя к приведенным скоростям i/вУ, придем к следующей общей системе урав-
нений ламинарного пограничного слоя:
i/4^ + F-^ = i7^-(l + S) + v£
дХ
дУ
ΘΥ
dUe
е dX
dU , dV
тт dS , T7 dS
mj_
8Y2 ' dX "*" dY
k-l
o,
1 d2S
1 —σ
Μ!
θ2
σ dY2
σ , , к— 1 KJ2 δΥ2
14 κ— Μ?
[(£)']
(176)
с граничными условиями
[/ = F = 0, S = SW при У = 0, ·
U-+Ue(X), S-+0 при У-^оо,
С7 = г70(У), 5 = 50(У) при Х = Х0..
(177)
Входящая в граничные условия (177) величина
»Ь|л —
hy
/С—1
М*
Г'-»
при заданных наперед числе Маха набегающего потока М<м и постоянной
адиабаты к играет в случае газового потока больших скоростей роль «темпе-
ратурного фактора», о котором уже была речь в гл. IX.
Можно заметить, что в ранее рассмотренном частном случае σ = 1 и при
отсутствии теплоотдачи с поверхности тела будет иметь место интеграл
h0 = hx, или, согласно (175), S = 0. Тогда система уравнений (176) упро-
стится и сведется к ранее выведенной системе (170) и (172).
Система уравнений (176) была использована Коэном и Решотко г) для
разыскания автомодельного решения, соответствующего степенному заданию
Ue — сХт и представляющего обобщение на случай газового потока извест-
ного уже нам по гл. IX решения Фокнера — Скэн — Хартри. Коэн и Решот-
ко положили полученное решение в основу создания приближенного однопара-
метрического метода расчета ламинарного пограничного слоя в газе при
произвольном распределении внешней скорости2), представляющего аналог ме-
тода Кочина — Лойцянского (гл. IX), относящийся к случаю газового пото-
ка больших скоростей. Как уже указывалось в конце гл. IX, последний ме-
тод является только локсиько-однопараметрическим, дает преуменьшенное
трение и слишком ранний отрыв; этим недостатком обладает и метод Коэна —
Решотко. Удовольствуемся поэтому приведенными краткими замечаниями
по поводу этого метода и перейдем к изложению другого, более точного
метода.
*) С. Б. Cohen, Ε. R e s h о t k о, Similar solution for the compressible laminar
boundary layer with heat transfer and pressure gradient, NACA Rep. 1293, 1956.
2) C. B.Cohen, E. Reshot k'o, The compressible laminar loundary layer with
heat transfer and arbitrary pressure gradient, NACA Rep. 1294, 1956.'

688
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
§ 116. Метод обобщенного подобия в теории ламинарного
пограничного слоя в газовом потоке больших скоростей
Введем в уравнения (176), согласно (172), функцию тока -ψ (Χ, Υ) и
перепишем их в форме
ο>ψ θ2φ
θ-ψ θ2ψ
δΥ δΧ δΥ
δΧ SY2
£^(1 + 5) + ^**
dX
dY3
δψ dS θψ dS _ vt f d*S ., , S2 VI 1 3ψ\2-1·» .
5У θΧ θΧ SY
σ Ι θΥ2
w при Γ = 0,
t/e, 5-^0 при У-^оо,
■ψ=-|^-=ο, s=s
5ψ
(178)
где принято Sw = const и используется дополнительное обозначение для
«параметра сжимаемости»
fc-1
Μ?
κ=1 — Хе =
i. Л
(179)
Что касается граничных условий в начальном сечении X = Х0, поме-
щенных в последней строчке системы (177), то они в полном соответствии
с приближенным приемом, изложенным в гл. IX в случае несжимаемой жид-
кости, будут заменены некоторыми интегральными условиями, о которых
сейчас будет речь.
Пользуясь уравнениями движения и баланса энергии в форме (176),
выведем обычным, изложенным в гл. IX приемом следующие два интеграль-
ных соотношения:
dZ*
dX
F
dZ*
где приняты обозначения
Λ**2
F = 2[£-(2 + tf)/],
Г _ Г д U Ue) 1
^~[_ 9 (Υ Δ* ) Jy о'
о
dX
Zs
Ue '
Vl
-2(ξ/σ + /8);
Γ dS 1 ■
1 d(Y/As) Ji-o·
(У/Δ
/s — Ue^si
oo
%* K1+J-£)'n'· Δ"
Ш<-£К·
oo
Δ, .-J
_£_
с/.
SdY.
Имеют место соотношения
Vе
Г dS 1 _ ^ Д** _ / Д** \ 2
[ е(У/д**) Jy=o ts' д8 ' '~~ >s'\ &s ) ■
(180)
(181)
Примем в^качестве условий в начальном сечении (X = Х0) следующие
интегральные условия:
Ζ** = Z**, Zs = Zs0 при X = ZD. (183)

$ 116} МЕТОД ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ В ПОТОКЕ БОЛЬШИХ СКОРОСТЕЙ 689
Как вскоре будет выяснено, эти условия должны быть заданы наперед
для того, чтобы решения системы (180) двух обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений первого порядка с неизвестными величинами Ζ** и Zs были
определенными.
Введем, в полной аналогии с методом, изложенным ранее в § 90, систему
параметров
fn = U^~1^-Z**n (n=l,2, ...,00), (184)
которые в случае произвольного задания функции Ue (X) в классе анали-
тических функций могут рассматриваться как независимые переменные.
Относительно параметра сжимаемости κ, определенного равенством (179),
в дальнейшем делается предположение о наличии лишь слабого количествен-
ного его влияния на движение и теплоперенос, вследствие чего он не вклю-
чается в число основных параметров. Это предположение оправдывается тем,
что главная часть влияния сжимаемости уже учтена в преобразовании Дород-
ницына — Стюартсона. Используя терминологию § 90, можно сказать, что
влияние этого дополнительного параметра сжимаемости κ учитывается
локально, т. е. сам параметр κ сохраняется в уравнениях (178) и в последую-
щих «универсальных» уравнениях, но производные по этому параметру опус-
каются. Полный учет влияния параметра несколько усложняет вид универ-
сальных уравнений и необходимые для интегрирования этих уравнений вы-
числения, но может быть также осуществлен х).
Процесс приведения уравнений (178) к «универсальному», не содержаще-
му функцию Ue (X) виду ничем не отличается от ранее (§ 90) выполненного
для случая несжимаемой жидкости.
Перейдем в уравнениях (178) от независимых переменных X,Yn функции
тока ψ к новым переменным
Φ
(185)
Ъ = В-&*, /„("=1,2, ...) и Φ = Βν^
Тогда, повторяя в точности те же преобразования, что и в § 90, получим
следующую систему «универсальных» уравнений:
03Ф F+2/t ф д*Ф
0g»
&S
2В*
δξ2
^['+Mf)2]=
^
дФ θ2Φ
дФ 52Ф
n=l
<■ ~ p+2fi /ts dS , о / л\ д ( дФ д*Ф \
ер
Ф-2-0,
дФ
= -£-2 {[(n-l)fi+nFVn + fn+i}(
дФ dS
дФ dS
л=1
S = SW
dl dfn dfn dl
при ξ = 0;
-»-l, S-»»0 при ξ-
■*;
Φ=Φο(ξ), S=S0® при Λ = 0, /2 = 0, .
(186)
)
*) Это сделано аспирантом кафедры гидроаэродинамики Л ПИ В. Любеновым (Бол-
гария). Как показали его исследования, использованный в дальнейшем изложении ло-
кальный подход является достаточно точным. См. В. Любенов, Двухпараметрическое
решение уравнений ламинарного пограничного слоя в газе. Труды ЧИ № 313, 1970,
28—35.
44 д. Г. Лойцянский

690
ДИПАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
(187)
Здесь под Ф„ (ξ) и S0 (ξ) подразумевается решение задачи продольного
обтекания пластины, уже рассмотренное выше (§ 112), а В — нормирующий
множитель, выбираемый из условия, чтобы первое из уравнений для этой
задачи имело обычный «блазиусовский» вид (точка обозначает производную
по I)
*Фо + ФоФ0=0;
S0 + σΦο^ο + 2 (σ-1) κ0 (Φ* -f Φ0"Φ0) = 0;
фо = фо=0. S0=SW при ξ = 0;
Φ0->1, So-*0 при ξ-»-σο.
Оставляя в стороне вопрос о представлении решения системы (186)
в виде степенных рядов г), рассмотрим результаты численного решения си-
стемы (186) в однопараметрическом приближении, проведенного С. М. Ка-
пустянским 2) по программе, разработанной Л. М. Симуни и Η. Μ. Терентье-
вым 3).
Особенно просто рассматриваемая система решается в случае однопара-
метрического приближения при числе Прандтля, равном единице (σ = 1).
Система (186) приводится в этом случае к виду
д*Ф
idg
d*S
θξ2
F+2/j φ θ*Φ
2J32
дФ д2Ф
F+2h ф OS _ 1 p i дФ dS ΘΦ dS \
~*~ 2& w di в* r,i \ di df. dft θξ ) '
дФ д2Ф
dfi dl*
Ф =
дФ
дФ
+ 1,
= 0,
s-
S = SW при
3ξ dft
= 0;
(188)
oo;
0 при '
Φ = Φ„(ξ), S = S0(l) при /t = 0,
гДе А — аналог формпараметра однопараметрических методов
и-
г/;д**2
Остановимся на некоторых результатах численного решения уравнений
(188).
На рис. 271 приведены кривые зависимости: а) безразмерной скорости
U/Ue = дФ/dl·, и б) тепловой функции 5 при трех значениях параметра /х:
1 — fi = 0, 2 — /j - — 0,05, 3 — /t = — 0,0646 и при значении темпера-
турного фактора Sw = 0,4 (пересекающиеся стрелки показывают шкалы, по
которым следует вести отсчет).
На рис. 272 даны графики двух основных расчетных величин ξ и Я
в функции от Д. Цифрами 1 и 2 обозначены кривые ξ (/х) при Sw = — 0,4
г) СМ. К!апустянский, Ламинарный пограничный слон в газовом потоке
больших скоростей, Труды ЛПИ, № 248, 1965, 59—64.
2) СМ. К а π у с τ я н с к и и, Однопараметрическое решение уравнений ламинар-
ного пограничного слоя в газовом потоке с произвольными внешней скоростью и перепа-
дом температуры, Инж.-физ. журнал 9, № 6, 1965, 768—774.
3) Л. М. Симуни, Η. Μ. Τ е ρ е н τ ь е в, Численное решение однопараметри-
ческого уравнения теории ламинарного пограничного слоя, Труды ЛПИ 248,1965, 56—58.

§ 116] МЕТОД ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ В ПОТОКЕ БОЛЬШИХ СКОРОСТЕЙ 691
соответственно по изложенному методу и методу Коэна — Решотко. Обра-
щают на себя внимание преуменьшенные значения ξ и абсолютного отрывного-
яначения параметра /ls, рассчитанных по Коэну — Решотко, по сравнению-
г з
6 £
Je
Οβ
0,7
0,6
0,5
Ofi
0,3
о,г
o,i
о
i\
а)
и
'-г
-3
' ,г
-/
-2
-3
—*-
6)
О 1 2
Рис. 271.
3 ξ
S
о
0,1
0,2
0,3
ОЛ
Η
3,6
3fi
3,0
2fi
1,8
ΙΑ
/,0
Ι
Η
ν>
Ι
\
\
\
\
\
/t
\i
/ 1г Г
' Ι '
/
I
\6
\
4
9l
' 1
1
1
/
1,
'^
/
1
^
0,36
0,32
0,2B
0,24
ОМ
0.Ш
0,1Z
0,08
0,04
О
-0β-0ββ-0№ 0 0,04 Oftb\0J2
Рис. 272.
ft
с однопараметрическим решением Капустянского, представляющим аналог
более точного решения Хоуарта в несжимаемой жидкости. Цифрой 3 отмечена
кривая ξ (/j) для значения Sw = 0,4. Можно заметить, что параметр Sw
сильно влияет на отрывное значение параметра fx,
как это отчетливо показано на рис. 273.
На рис. 272 цифрами 4 и 5 показаны для
сравнения соответственно кривые Капустянского
и Коэна — Решотко для Η (/j) при Sw = — 0,4,
а цифрой 6 — та же величина по Капустянскому
при Sw = 0,4.
В аналогичной нумерации на рис. 274 при-
водятся графики функции F (/2) и величины от-
клонения этой кривой от прямой ε (Д): 4 — при
Sw = — 0,4, 5 - при Sw = 0,4.
Графики приведенного коэффициента тепло-
отдачи t* (Д) при Sw = — 0,4 показаны на
рис. 275: 1 та. 2 — соответственно по Капустянс-
кому и Коэну — Решотко, 3 — по Капустянс-
кому для Sw = 0,4. Значения £* в точке отрыва
в зависимости от температурного фактора Sw
показаны на рис. 273.
Предыдущие результаты относились к простей-
шему случаю числа Прандтля, равного единице
(σ =1). В последующем С. М. Капустянский выпол-
нил численное интегрирование системы уравнений (186) в случае σ φ 1 х). В ци-
тируемой статье автор исследует влияние изменения κ и о на зависимости
ξ* (/х) и £s (/х), а также на приведенный коэффициент трения £. Подтверж-
дается тот факт, что пренебрежение производными по κ, τ. е. использование κ
Рис. 273.
*) С. М. Капустянский, Однопараметрическое решение уравнений лами-
нарного пограничного слоя в газовом потоке больших скоростей при числе Прандтля, не
равном единице, Труды ЛПИ, № 265, 1966, 24—34.
44*

692
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
как локального параметра, сравнительно слабо отражается на трении, но
несколько сильнее на теплоотдаче. Влияние κ и σ на Ζ, в конфузорной области
ε
VI
0,10
0,08
0,06
0,04
0fl2
О
\
V
г
А
,\3
1\
Xs
\
\\
i
Λ
ν
\
ν
/
/
/
F
и
1,0
Οβ
Οβ
0,4
Οβ
С*
-0,10
-ΟβΒ
-0,00
-0,04
-0β£
2
/l
Π
Ι
Щ
4
i_-
-Ο,12-0βδ-004 0 0,04 0,060,12
Рис. 274.
f,
-0,12 -0,08 -0,04 О 0,04 0,08 0,12
Рис. 275.
0,04
-0,06
-ОМ
-0,10
пограничного слоя ничтожно, а в диффузорной — заметнее; влияние тех же
параметров на F, наоборот, заметно в конфузорной области и ничтожно
в диффузорной; аналогично ведет
-ΟβΟ
-0,06
~0β4
~0β3
-0,02
-qpi
Λ t
Ψ
s
^"""vV
' V
1,5-6
16-6
=0,72; .
x~0
3,7-6=0,72; Χ=Οβ
4,8-6=0,72; x=0,95
• '^K
7 \\
^
3
A
Fs
себя и величина Н.
Значительное количественное
воздействие оказывают параметры
κ и σ на приведенные коэффициенты
теплоотдачи £* или £s. Удоволь-
ствуемся (рис. 276) приведением
графиков Fs (/ls) (сплошные кривые)
и L,s (fls) (пунктир). Определение этих
величин было дано равенствами (181)
и (182). Графики соответствуют од-
ному значению температурного фак-
тора Sw = — 0,4.
Коэффициент теплоотдачи ξ8
уменьшается по абсолютной вели-
чине по мере удаления от лобовой
критической точки и приближения
к точке отрыва. Кроме того, при
данном значении /s резкое уменьше-
ние абсолютного значения £s имеет
место с увеличением κ. Большой
интерес представляет имеющееся
в цитированной статье исследование конкретного течения при различных
числах Маха Μ с» и температурах стенки Tw. Приводим табл. 23 результатов
Таблица 23
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
-0,02
0,02 0,04 0,06 0,08
ffs
Рис. 276.
τ
Моо
хотр
I
II
1045 К
3,606
0,404
0,345
5
0,800
0,540
3,606
0,300
0,260
1465 К
4,5
0,407
0,335
6,08
0,867
0,560

§ 117] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 693
расчета абсциссы, точки отрыва жотр в примере, рассмотренном ранее Коэ-
ном — Решотко (I — по Капустянскому, II — по Коэну и Решотко).
Из приведенной таблицы видно, что в рассматриваемом случае сверх-
звукового потока при постоянстве числа Μ со увеличение температуры по-
верхности тела способствует отрыву; наоборот, при фиксированной темпера-
туре увеличение числа Маха приводит к запаздыванию отрыва. Таблица под-
тверждает также ранее уже отмеченный факт преуменыпенности значений
абсцисс точки отрыва, рассчитанных по методу Коэна — Решотко; разница
между этими значениями и более точными, полученными С. М. Капустян-
ским, возрастает с ростом числа Маха.
Отошлем интересующихся деталями применения метода: таблицами
«универсальных» функций и соответствующими им графиками к диссертации
С. М. Капустянского *).
§ 117. Ламинарный пограничный слой в гиперзвуковом потоке
При скоростях движения газа, сравнимых по величине или не слишком
превосходящих скорость распространения в нем малых возмущений (ско-
рость звука), возникают специфические для этих режимов движения явления,
теоретический анализ которых, как было показано в предыдущих парагра-
фах, представляет скорее вычислительные, чем принципиальные, трудности.
Методы интегрирования уравнений пограничного слоя и программы числен-
ного их интегрирования на ЭВЦМ в этих случаях уже разработаны. Более
серьезные трудности возникают при рассмотрении движений газа в погранич-
ных слоях при очень больших сверхзвуковых, или, как иногда говорят, гипер-
звуковых скоростях. Сопровождающие такого рода движения физико-хими-
ческие явления очень сложны, и многие из них и до сих пор еще недостаточно
изучены. Основное значение имеют явления, сопровождающиеся переходом
механической энергии потока в тепловую. Это, прежде всего, разогрев газа
при прохождении его через скачки уплотнения и особенно через мощную
«головную волну», образующуюся на тупоносых телах. Большое значение
имеет также и диссипация механической энергии в тепло, происходящая в по-
граничных слоях.
Возникающие в этих случаях температуры достигают высоких значе-
ний. Так, например, при возвращении космического корабля в плотные слои
атмосферы Земли со второй космической скоростью (порядка 11 км/с) темпе-
ратура вблизи поверхности может достигать 12—13 тысяч градусов (при
вхождении с первой космической скоростью эта температура имеет порядок
восьми тысяч градусов). Еще большие скорости, а следовательно, и темпера-
туры могут достигаться при входе метеоритов в атмосферу Земли.
В условиях такого нагрева воздух уже не может рассматриваться как
однородный газ. При температурах порядка 1000 К основным в составе воз-
духа является молекулярный азот Ν2 и в значительно меньшей доле молеку-
лярный кислород 02 (содержание остальных компонент мало). Это позволяет
с хорошим приближением считать воздух однородной средой. С повышением
температуры энергия столкновений молекул становится столь значительной,
что возникает сначала явление диссоциации (для кислорода реакция 02 =
= 0+0, заметная при температурах порядка 3000 К, для азота Ν2 =
= N -f N при температурах порядка 6000 К), а затем и ионизации (начало
1)C. M. Капустянский, Параметрический метод решения уравнений ла-
минарного пограничного слоя в случае движения газа с большими скоростями, Диссер-
тация, ЛПИ, 1965. См. также V. Saljnikov, Z. Boričič, Die universelle,Grenz-
schichtgleichimgen für den Fall der kompressiblenen laminaren Strömung, Zeitschr- Math.,
Mech. Sonderheft — T, Bd. 74, 1974, 146—148.

694
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
образования положительных ионов азота Ν+ и выделения электронов е~ при-
мерно при 10 000 К и для кислорода 0+ при 8500 К). Такого рода хими-
ческие реакции приводят к тому, что воздух при высоких температурах пре-
вращается в многокомпонентную смесь газов (Ν2, Ν, О, 02, Ν+, 0+, е~ и Др.)»
динамика и термодинамика которой требуют значительно более сложного ана-
лиза, чем в случае однородного газа.
Дело усложняется еще тем, что разогрев газа происходит в столь тонкой
области (толщина скачка уплотнения, согласно изложенному в § 109, имеет
порядок длины свободного пути пробега молекулы), что на этом малом пути
сообщенная молекулам при нагреве кинетическая энергия не успевает распре-
делиться по всем внутренним степеням свободы молекул, и газ не приходит
полностью в термодинамически равновесное состояние. В таких случаях гово-
рят, что газ релаксирует, а время, потребное для приобретения газом равно-
весного состояния, и эквивалентную этому времени длину, пройденную газом,
называют соответственно временем и длиной релаксации.
Процесс релаксации определяется количеством столкновений молекул,
необходимых для приобретения равновесной энергии в движениях молекулы
с отдельными степенями свободы. Так, например, известно, что для установ-
ления равновесного движения с поступательными степенями свободы доста-
точно нескольких столкновений молекул, для вращательных это уже десятки
столкновений, а для колебательных — много тысяч. Для полного выравни-
вания энергии молекул по всем степеням свободы необходимы десятки тысяч
столкновений.
Неравновесность явлений диссоциации и ионизации газа еще более
усложняет задачу расчета таких потоков.
Наличие в двух- и более атомных молекулах внутренних степеней свобо-
ды существенно влияет на коэффициенты теплоемкости, которые при доста-
точно высоких температурах уже нельзя считать физическими константами
газа. Табл. 24 х) дает представление о значительности влияния температуры
Таблица 24. Зависимость ср кал/(моль-К) от абсолютной температуры Τ
Газ
С
СО
со2
О
о2
1000
4,970
7,930
12,96
4,997
8,333
3000
5,170
8,895
14,88
5,002
9,552
Температура К
5000
5,470
9,100
15,32
5,208
10,20
7000
5,588
9,362
14,84
5,410
10,34
9000
5,810
10,11
14,87
5,513
9,882
11 000
7,247
12,16
14,88
5,569
9,098
на коэффициент теплоемкости ср для различных газов. При учете этой зави-
симости энтальпию газа определяют интегралом (3).
Составим уравнения плоского стационарного пограничного слоя в потоке
смеси реагирующих между собой газов, считая все процессы термодинами-
чески равновесными. Сохраним обозначение плотности р, давления р, скоро-
сти V (и, ν), энтальпии h, абсолютной температуры Τ для смеси газов и усло-
вимся обозначать индексом i соответствующие значения этих величин для
отдельных, входящих в смесь компонент. Символом /<г>, в полном согласии
с обозначениями, принятыми в § 13, обозначим отнесенную к единице объема
г) Б. В. К\л е к с е е в, Пограничный слой с химическими реакциями, Вычисли-
тельный центр АН СССР, М., 1967, 19.

5 117] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 695
секундную массовую скорость образования i-ш. компоненты смеси в данной точке
потока.
Приняв определение средней скорости V(i> компоненты i-ro сорта в дан-
ной точке и средней скорости смеси V по формулам § 13 гл. II, будем опускать
черточки над буквами, так как никаких других скоростей, кроме средних,
в дальнейшем рассматриваться не будет. Довольствуясь стационарным слу-
чаем, будем иметь, согласно (64) гл. И, уравнение неразрывности для i-й
компоненты смеси
-J^(P(i)"(i>) +-щ- (P(i)»(i)) = Jl\ (189)
а для смеси в целом по уравнению (10) гл. II
^(pu) + ±(pv) = 0. (190)
Динамическое уравнение пограничного слоя для смеси газов примем тем же,
что и для однородного газа с плотностью и коэффициентом вязкости, соот-
ветствующими смеси газов, а именно
ди , ди dp . д I ди\ ,Лпл^
Грубая оценка коэффициента вязкости смеси возможна по формуле
1 _ γ с<*> , /~~т~ 1 _ -^ с<{)
μ _ ^ μ<*> ' то) ' т~ Z\ m(i) >
(i) ^ (i)
где введены обозначения: ρ, μ, т — соответственно плотность, динамический
коэффициент вязкости и молекулярный вес в данной точке смеси, a p(i), μ(1>,
тт — то же для i-й компоненты (р(Г) — плотность при парциальном давле-
нии р'ц компоненты); с(1) = р<1)/р — массовая, или весовая, концентрация
i-й компоненты в данной точке смеси.
Уравнении состояния i-й компоненты смеси примем в форме
рЛ = Д<*> рЛуЛ. (192)
Температуру Г(1) отдельных компонент смеси будем считать одинаковой и рав-
ной общей равновесной температуре Τ смеси в данной точке. Тогда, опреде-
ляя по закону Дальтона давление смеси ρ в данной точке как сумму парциаль-
ных давлений /?(l), будем иметь
р= 2 /Я = (2 i?(i,P{i)) Τ = i?p2\ (193)
(г) (г)
где газовая константа смеси R определяется равенствами
r=j 2 p(i)# (i>=2 — R(i) = Σc<i)/?(i)· (194)
(i) (г) (г)
При таком выборе газовой постоянной смеси уравнение ее состояния
сохраняет ту же форму, что и уравнение состояния однородного газа.
Основные особенности процессов движения и тепломассопереноса в реаги-
рующих смесях газов лежат в термодинамической или, точнее, в термохими-
ческой области. Рассмотрим вывод уравнения теплового баланса движущейся
смеси газов и уравнений диффузии отдельных ее компонент.
Заметим, что конвективный подвод тепла в смеси ничем не отличается
от такого же в однородном газе; при составлении левой части уравнения тепло-

696
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ, XI
вого баланса следует лишь принять во внимание, что энтальпия смеси h опре-
деляется как сумма произведений энтальпий ЫХ) отдельных компонент на кон-
центрации с™ этих компонент
Λ*=2<^Λ· (195)
(i)
В правую часть уравнения баланса тепла, так же как и в уравнение (32)
для однородного газа, войдут члены, выражающие: мощность сил давления,
секундное количество диссипируемой в тепло механической энергии и тепло,
подводимое путем теплопроводности, но, кроме этих общих для смеси и одно-
родного газа источников тепла, имеются еще два специфических для движущей-
ся смеси газов источника теплообразования.
Во-первых, при образовании i-ж компоненты смеси с массовой скоростью
J(l> выделяется секундное количество тепла J0)h*ll,\ где под h*(1) подразу-
мевается некоторая характерная для каждой компоненты энтальпия, пред-
ставляющая «скрытую» теплоту образования i-й компоненты. Это приводит
к необходимости присоединения к ранее перечисленным членам правой части
уравнения баланса еще члена
(i)
равного, согласно уравнению (189) и соотношению p<i)=pc(ri?,
Σ h*d) [^(ρΛ'*0 + ^(Ρ*ν*>)]. (196)
(i)
Приведем табл. 25 «энтальпий образования» некоторых часто встречающихся
газовых компонент при ОК1).
Таблица 25
Компонента
Энтальпия h* <*>
ккал/моль
С
264
СО
66,77
со2
0
О
58,97
02
0
С+
523,8
СО+
390,4
0+
372,9
°2
282,4
Во-вторых, дополнительной причиной переноса тепла в смеси является
диффузия компонент в смеси. Вспоминая (§ 13), что скорость диффузии частиц
i-й компоненты в смеси определяется разностью скоростей i-й компоненты
и самой смеси в данной точке, получим выражение последнего дополнитель-
ного члена в виде суммы взятых с обратным знаком дивергенций векторов
потока тепла отдельных компонент р<г> (У'г> — V) 7г(1) = рс<г> (Vm — V) h{t),
равной
- i [ρ Σc<i) vu -u)hii)] ~if [ρ Σc(i) (y(i) -v) h<i)] - (197>
г)Б. В. Алексеев, Пограничный слой с химическими реакциями, Вычисли-
тельный центр АН СССР, М., 1967. 21.

§ 117] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 697
Таким образом, уравнение баланса энергии для движущейся смеси газов-
β пограничном слое приведется к виду (7i*(i) = const)
pu Jl (| ,<*■<>)+ pc_£. (3^0,) =
-^+^(w)2+i(4)+^(Sp«'-v'*-")+i(Sp^;i..·.)-
(i) (i)
—fc[Sp(u<i)-u)c(^<i)]--|r[2p(^)-i;)c<i)/i<i)]· <198>
Основные свойства пограничного слоя, позволяющие упростить правую
часть уравнения теплового баланса, по отношению к дополнительным чле-
нам еще не приняты во внимание. Прежде чем произвести эти упрощения,
сделаем во второй строке тождественное преобразование:
-^ (2 ри**ч·*)+~(Σ р*4 w'*)) = -^ [ Σ ρ κ' -и) c(i)^(i> ] +
W (i) (г)
+if [ Σ ρ И~v) cii)h*li)] +!- (Σ ρ^*>λ·<,) ) +-щ (Σ p^i,fc*ti>).
(») (г (г)
Перенося последние два члена в левую часть равенства и принимая во вни-
мание уравнение неразрывности для смеси газов (190), перепишем уравнение
баланса (198) в форме, содержащей в качестве основной неизвестной разность
энтальпий Ы%) — /i*(t)
Pu i [ Σ c(i) (h™ - h*il)) ] + P*> -щ; [ Σ c<i) (h<b - h*a)) ] =
(i) (i)
=«l+^f)2+i(xf)-^2p("'''-">','<*">-**',,>]-
—w~ [ Σ ρ ^<ъ ~y)c(i) (fe(i) _ Λ*(1))1 -
(i)
Предпоследним членом справа можно, как всегда в пограничном слое,,
пренебречь по сравнению с остальными и переписать уравнение баланса
в виде
f^^'f + P^'■§=^'f + ^1(w)2+i[λf-ΣP('"·'-'')',·,(''<"-"*^')].
(199>
где для краткости введено обозначение
7^=2c(i)(^(i)-/l*(>)· (200)
Довольствуясь схемой бинарной смеси (i = 1, 2; D l) = Dz = D), при-
мем обобщенный закон диффузии, согласно которому скорость диффузии
i-й компоненты определяется через градиенты концентрации и температуры
по формуле
η nTW
у<*> — V = — grad ст — -=—г- grad Г. (201)
C'i) б Гс»)
Слагаемые в правой части выражают последовательно скорости массодиффу-
зии и термодиффузии, т. е. те скорости распространения i-й компоненты

698
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
1ГЛ. XI
относительно смеси, которые возникают за счет неоднородности полей кон-
центраций этой компоненты, а также температуры, общей для всех ком-
лонент смеси.
Величины D, DT являются соответственно коэффициентами массодиф-
фузии (их обычно называют просто коэффициентами диффузии) и термо-
■диффузии.
Замечая, что входящая в последний член правой стороны уравнения (199)
разность скоростей ifh — ν, согласно (201), может быть переписана в виде
в дет г>Т^ ят
ν<«-ν= Κ-—Α ■£—■¥-, (202)
cm ду yc(i) ду * v '
получим окончательно следующую форму уравнения баланса тепла в погра-
личном слое, образовавшемся в потоке смеси реагирующих газов:
дЪ , dh dp . I ди \ 2 , д I. дТ \ ,
дет , D™ дТ
(i)
Составим, наконец, уравнение диффузии (иногда говорят концентрации)
i-й компоненты смеси. Искомое уравнение должно содержать в левой своей
части конвекцию г-й компоненты, а в правой диффузию этой компоненты
и секундную массу образования этой компоненты, т. е. иметь вид (процесс
предполагается стационарным)
е>с<*> , дап д Г / дет Dni) дТ \Ι , r(i, /оп/ч
Не останавливаясь на дальнейших преобразованиях и возможных упро-
щениях *) полученной системы уравнений (189) — (191), (203), (204) — это
не отвечает задачам настоящего, общего курса,— отметим некоторые труд-
ности, связанные с установлением граничных условий для концентраций.
Условия, которым подчиняются концентрации компонент смеси на твердой
поверхности обтекаемого смесью газов тела, зависят от каталитических
свойств этой поверхности. Если речь идет о реакции диссоциации, то поверх-
ность тела может в той или другой степени способствовать рекомбинации
атомов в молекулы. На абсолютно каталитической поверхности обычно кон-
центрации атомов сА = 0; на абсолютно некаталитической стенке дсА/ду = 0.
Практически приходится иметь дело с промежуточным случаем и вводить
условие баланса потока атомов на стенку и абсорбции их на стенке со
скоростью, пропорциональной некоторой степени концентрации атомов:
Pw'-'w Ι β Ι — ^wJfiAwPw) ·
где показатель степени η определяет порядок реакции' абсорбции атомов,
а коэффициент хш — каталитическую способность поверхности тела.
При современных возможностях численного расчета на ЭВЦМ задачи
ламинарного пограничного слоя в диссоциирующем газе поддаются подробно_
*) Сошлемся на монографию: У.Д. Хейз, Р. Φ. 'Π ρ о б с τ и н, Теория гипер-
звуковых течений, ИЛ, М., 1962, где на стр. 376—400 подробно изложены автомодельные
решения этих уравнений. Приведенное у нас уравнение (203) в этой монографии преобра-
зовано к уравнению относительно полной энтальпии h0 = V c(i» (hib — h* <*)) 4- ия,
(i)
« член, выражающий учет термодиффузии, опущен.

i U7ll ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 699
му анализу. Особенно просто решаются две предельные задачи: 1) случай
«замороженного» движения (/ } = 0), когда все процессы в диссоциированном
газе определяются только конвекцией и диффузией отдельных компонент
(скорость реакции—диссоциации — равна нулю), и 2) случай «равновесной»
диссоциации, когда концентрация является заданной функцией температуры
и давления, а уравнение диффузии отсутствует. В этом последнем случае
решение может быть получено в «универсальном» виде при помощи метода,
аналогичного изложенному в § 116 *).
Удовольствовавшись этими общими замечаниями, отошлем интересующих-
ся к нашей монографии2), где подробно рассмотрен случай интегрирования
уравнений ламинарного пограничного слоя в диссоциирующем и рекомбини-
рующем газе вблизи лба тела вращения3), а также к существующим обзорам
работ в этой области 4).
Особую сложность представляют задачи пограничного слоя в гиперзвуко-
вом потоке при наличии разрушения поверхности тела из-за высоких темпера-
тур обтекающего поверхность газа. Появляющиеся в этих условиях процессы
плавления или непосредственного испарения (сублимации) поверхности тела
создают в пограничном слое многокомпонентные смеси, содержащие наряду
с диссоциированными и ионизованными частицами еще сложные молекулы
материала разрушающейся поверхности. Это приводит к необходимости уста-
новления граничных условий на деформирующейся поверхности, учета тепло-
вых явлений в самом твердом теле, ограниченном разрушающейся поверхно-
стью, и рассмотрения условий его механического разрушения (образование
трещин и их «выветривание»).
Несмотря на исключительную сложность этих явлений, требующих для
«своего изучения привлечения данных из разнообразных областей механики,
термодинамики и термохимии, в настоящее время, особенно благодаря заме-
чательным достижениям отечественных ученых, уже имеются методы расче-
та 6), вполне удовлетворяющие практику.
При движениях тел со скоростями, близкими ко второй космической ско-
рости (примерно 11 км/с), существенным становится влияние излучения газа
на аэротермодинамические параметры пограничного слоя. Этот поток излу-
чения сказывается на тепловом потоке к поверхности тела в носовой его
части и оказывается сравнимым с тепловым потоком, возникающим за счет
х) Н.В. Кривцова, Ламинарный пограничный слой в равновесно диссоцииро-
ванном газе при произвольном распределении внешней скорости, Мех. жидк. и газа, № 6,
3966.
2) Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Ламинарный пограничный слой, Физматгиз, М., 1962,
457—470.
3) Подробнее см.: J. Fay, F. R i d e 11, Theory of stagnation point heat transfer in
dissociated air, Journ. Aeron. Sci. 25, № 2, 1958, 73—85; русский перевод в сб. «Проб-
лемы движения головной части ракет дальнего действия», ИЛ, М., 1959, 217—256.
4) Г. Людвиг, М. X е й л ь, Теория пограничного слоя с диссоциацией и ио-
яизацией, «Проблемы механики», вып. IV, ИЛ, М., 1963, 37—99.
5) Сошлемся на первые советские работы этого направления: Г. А. Тирский,
Сублимация тупого тела в окрестности критической точки в плоском и осесимметричном
потоке смеси газов, Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1, № 5, 1961, 884—902;
"В. В. Щенников, Растет ламинарного пограничного слоя у сублимирующей по-
верхности, Журн. Вычисл. матем. и матем. физ. 1, № 5, 1961; Н. А. А н φ и м о в, Ла-
минарный пограничный слой на химически активной поверхности, Изв. АН СССР, Мех.
и машин., № 3, 1962, 3—12 и того же автора, Горение графита в потоке воздуха при высо-
ких температурах, Изв. АН СССР, Мех. и машин., № 5, 1964; см. также В. М. Овсян-
ников, Разрушение осесимметричного тела вращения аз материала сложного химиче-
ского состава в высокоэнтальпийном потоке воздуха, Мех. зкндк. и газа, № 5, 1965, и
обзор в юбилейном сборнике «Механика в СССР за 50 лет»; Динамика вязких жидкостей
я газов, теория ламинарных и турбулентных пограничных слоев (под ред. Л. Г. Л о й-
цянского), §8, Проблема термозащиты поверхности тела в гиперзвуковом потоке,
составлен Г. А. Тирским «Наука», М-, 1970, 552—559.

700
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
диссипации механической энергии в пограничном слое. Для ознакомления
с существующими исследованиями в этой области можно рекомендовать моно-
графию *).
Отметим, наконец, большой интерес к вопросам движения ионизованных
газов, так называемой «холодной плазмы» (температура до 15 000 К), обла-
дающих электрической проводимостью и повышенной теплопроводностью
(движения с малыми числами Прандтля). Особо важное техническое значе-
ние имеют задачи движения плазмы в магнитном поле.
§ 118. Взаимодействие ламинарного пограничного слоя
с внешним невязким гиперзвуковым потоком
Методы расчета ламинарного пограничного слоя в газовом потоке боль-
ших цо- и сверхзвуковых скоростей, изложенные в предыдущих параграфах
настоящей главы, были выдержаны в стиле классической теории пограничного
слоя: распределение давления во внешнем безвихревом невязком потоке счи-
талось заданным наперед, а обратное влияние пограничного слоя на внеш-
ний поток, даже в случаях таких очевидных нарушений предпосылок теории
Прандтля, которые имели место в предотрывной области, где поперечные раз-
меры и скорости в пограничном слое теряют свою сравнительную малость,
не принималось во внимание.
В последнее время получил значительное развитие новый, важный для
практики раздел теории пограничного слоя — учение о взаимодействии погра-
ничного слоя с внешним невязким потоком, расширившее рамки классической
теории на случай движений вязкой среды (несжимаемой и сжимаемой) в обла-
стях, граничащих с особыми точками течений, такими как точка отрыва
слоя от твердой поверхности и последующего его «прилипания» к ней, точка
нарушения «гладкости» контура, движений в «донной» области за срезом сна-
ряда, в «ближнем» следе за телом и др.
Задачи этого рода приобретают особо важное значение в условиях сверх-
звуковых, а еще больше, гиперзвуковых потоков, в которых увеличение роли
обратного влияния пограничного слоя на внешний невязкий поток а, следо-
вательно, и усиление взаимодействия между ними обусловливается сравни-
тельно большой толщиной области гиперзвукового пограничного слоя. При-
чиной этой особенности гиперзвукового пограничного слоя является расши-
рение газа при тех высоких температурах, которые обычно возникают в дви-
жениях с большими числами Маха, и сопутствующее этому расширению·
уменьшение плотности газа, а тем самым и уменьшение числа Рейнольдса,
что влечет за собой увеличение роли вязкого трения на поверхности тела.
Как уже отмечалось при изложении теории пограничного слоя в потоке
несжимаемой жидкости, путь непосредственного интегрирования уравнений
Навье — Стокса при тех значениях числа Рейнольдса, которые характерны
для теории пограничного слоя первого приближения (уравнения Прандтля),
в рассматриваемых случаях оказывается недоступным, причем не только для
аналитического, но и для численного, машинного решения. На помощь при-
ходят асимптотические методы (методы малых возмущений). Мы уже позна-
комились с частным случаем применения такого рода методов, когда рассмат-
ривали основной для теории пограничного слоя прием «сшивания» решений
уравнений Прандтля с внешним невязким потоком (§ 86).
Сущность асимптотических методов заключается в следующем. Вся рас-
сматриваемая область течения разбивается на некоторое число подобластей,
с характерными для каждой из них внутренними масштабами: линейными
продольными и поперечными размерами, скоростями, давлением и другими
1) Б а й Ш и » и, Динамика излучающего газа, «Мир», М., 1968.

§ 118] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ С ВНЕШНИМ ПОТОКОМ 701
механическими или термодинамическими величинами. Вместе с этими внут-
ренними рассматриваются еще внешние, общие для всех подобластей мас-
штабы: размер области течения в целом, скорость i/<» и др. По этим внешним
масштабам строится рейнольдсово число Re = ——, которое предполагается
большим, а обратная величина Ι/Re — малой. В каждой из подобластей про-
изводится переход от размерных величин к безразмерным, отнесенным к ха-
рактерным для подобласти масштабам, причем делается основное допущение,
что при предельном переходе Re -*· с© все таким образом нормированные
в подобластях величины стремятся к конечным значениям или, как принято
говорить, имеют порядок единицы.
В результате такого предельного перехода уравнения Навье — Стокса,
составленные для всех подобластей, упрощаются, принимая тот или другой,
зависящий от специфических особенностей движения в данной подобласти
вид (уравнения Эйлера, уравнения Прандтля, уравнения «медленного»
вязкого движения). Решения таких упрощенных уравнений, найденные для
каждых двух смежных областей, «сшиваются» друг с другом. Наглядным
примером может служить классическая теория пограничного слоя Прандтля.
Предельный переход Re -> оо, что соответствует «исчезновению» вязкости
(ν ->- 0), превращает уравнения Навье — Стокса в уравнения Эйлера.
Но уравнения Эйлера не допускают интегрирования при граничных условиях,
соответствующих прилипанию среды к поверхности твердого тела (нулевая
относительная скорость на твердой поверхности).
Естественно появляется необходимость разбиения всей области течения
на две подобласти: внешнюю, описываемую уравнениями Эйлера с граничным
условием только «непроницаемости» поверхности, т. е. равенства на ней нутда
нормальной составляющей относительной скорости и внутреннюю тонкую
пристеночную область — пограничный слой — в которой условие «прили-
пания» выполняется, но благодаря тонкости этой области, уравнения Навье —
Стокса упрощаются и переходят в уравнение Прандтля. Напомним, что урав-
нения Прандтля получаются из уравнений Навье — Стокса предельным пере-
ходом Re -> оо уже только после того, как все величины в пограничном слое
отнесены к своим характерным масштабам: продольным, имеющим порядок
единицы, и поперечным с порядком l/]/^Re.
В интересующих нас сейчас асимптотических теориях, наряду с под-
областями типа классического пограничного слоя, появляются еще другие
подобласти, порядки которых по продольным и поперечным размерам, скоро-
стям, перепадам давления и др. отличаются от l/j/"Re. Оценка порядков по
рейнольдсову числу масштабов протяженности этих подобластей и механи-
ческих и термодинамических характеристик движений среды в них представ-
ляет основной этап построения асимптотических решений. Вторым этапом
служит составление рядов по параметрам, малость которых обеспечивается
стремлением внешнего реинольдсова числа к бесконечности, и определения
коэффициентов этих рядов в том или другом простейшем приближении.
При этом выполняется «сшивание» асимптотических решений в смежных
подобластях. Заметим, что такой метод необходим и при численном решении
уравнений Навье — Стокса при больших значениях реинольдсова числа,
так как позволяет заранее оценить характерный для каждой подобласти, мас-
штаб размеров ячеек применяемой сетки.
Не имея возможности в настоящем общем руководстве останавливаться
на деталях применения асимптотических методов, укажем лишь, что задача
об определении порядков по рейнольдсову числу характерных масштабов
подобластей потока требует в каждом отдельном случае применения тех или
других, во многом интуитивных, физических соображений, что особенно отно-
сится к сложным сверхзвуковым и гиперзвуковым задачам. Много случаев

702
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
решений такого рода задач асимптотическими методами можно найти в серии
статей В. Я. Нейланда, В. В. Сычева и их сотрудников г). Асимптотические
методы получили применение и в теории пограничного слоя в несжимаемой
жидкости, особенно для изучения явления отрыва 2).
Основное значение асимптотических методов не сводится только
к учету обратного влияния пограничного слоя на внешний невязкий поток,
выражающегося в искажении внешнего потока за счет оттеснения линий тока
в нем от твердой поверхности, обусловленном подтормаживающим влиянием
твердой стенки (вспомнить § 105). Особо важно, что эти методы раскрывают
природу других весьма важных физических явлений в сверхзвуковом погра-
ничном слое, одним из наиболее существенных из которых является проти-
воречащая, на первый взгляд, гиперболическому и параболическому харак-
теру уравнений движения во внешней и внутренней областях пограничного
слоя возможность распространения возмущений вверх по потоку. Механизм
этого распространения становится ясным и получает количественное опре-
деление благодаря рассмотрению расположенной непосредственно на твердой
поверхности подобласти малых скоростей, свободно пропускающей волны
возмущений вверх по потоку. Этот эффект носит наименование свободного
взаимодействия, а область пограничного слоя, где он имеет место,— области
свободного взаимодействия.
Остановимся сначала на рассмотрении наиболее простой задачи о взаимо-
действии пограничного слоя с внешним гиперзвуковым потоком на продольно
обтекаемой пластинке, причем удовольствуемся лишь учетом влияния оттес-
нения линий тока и отвлечемся от только что указанного эффекта свободного
взаимодействия 3). В настоящее время эта задача уже рассмотрена в более
общем аспекте 4).
В основу количественного анализа явления положим уже известную нам
по § 54 связь между давлением в гиперзвуковом потоке и углом отклонения
линий тока от направления набегающего невозмущенного потока.
Условимся различать «местный угол атаки» θω, образованный касатель-
ной к контуру обтекаемого тела в данной его точке с направлением невозму-
щенного потока, и аналогично построенный эффективный местный угол
атаки θ для эффективного, т. е. полученного наращиванием по нормали
к обтекаемой поверхности толщины вытеснения δ* (ж), определенной по (205),
контура. Углы θ и 6Ш сравниваются между собой для точек, принадлежащих
одному и тому же сечению пограничного слоя. Разность этих углов Θ* =
= θ — 0Ш при их малости может быть приближенно приравнена значению
производной db*ldx в точке того же сечения пограничного слоя. Напомним
(конец § 105), что в случае сжимаемой среды — газа — под «толщиной
вытеснения» следует понимать величину
δ*=i (4-^) *· <205>
' о
1) Библиографию ом. в обзоре, составленном В. Я. Нейландом и помещенном в треть-
ем томе русского перевода монография: П. Ч ж е н, Отрывные течения, «Мир», М., 1973.
2) В. В. Сычев, О ламинарном отрыве. Мех. жидк. и газа, № 3, 1972, 47—59.
Систематическое изложение применения асимптотических методов для потоков несжимае-
мой жидкости, основанное на использовании возможного вида аналитических решений
в подобластях и аналитических особенностей этих решений, можно найти в работе
С. Francois, Emploi des méthodes de perturbation pour l'étude des écoulements lami-
naires; application aux problèmes de separation. Bull. № 128, ONERA, 1969, 1—162.
3) У. Д. X e й 3, P. Φ. Π ρ о б с τ и h, Теория гиперзвуковых течений, ИЛ,
М„ 1962, 430—431.
4) В.Я. Нейланд, Распространение возмущений вверх по течению при взаимо-
действии гиперзвукового потока с пограничным слоем. Мех. жидк. и газа, N° 4, 1970,
40—49, и того же автора: К асимптотической теории взаимодействия сверхзвукового по-
тока с пограничным слоем, Мех. жидк. и газа, № 4, 1971, 41—47.

§ 118] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ С ВНЕШНИМ ПОТОКОМ 703
где рд и щ обозйачают значения плотности и скорости на внешней границе
пограничного слоя, рассчитанные по распределению давления, уже исправ-
ленному на оттеснение линий тока из-за влияния пограничного слоя.
Заметим, что в гиперзвуковом потоке (Моо ^> 1) плотность ρ мала и можно
считать (л; знак приближенного равенства) δ* « δ. Тогда будем иметь
основные для дальнейшего равенства
e=ew+e*^ew+^-^ew+§.
к=Μοοθ=Μ,, (θω+θ*)« мто (еш+-^)» Мое (бш+-§)
(206)
В случае продольного обтекания плоской пластинки (Bw = 0), когда
зависимость толщин слоя δ*, δ от продольной координаты является одночлен-
ной степенной, предыдущие равенства перейдут в следующие
е= *£«.£.*.£; ^м.^*^—*μ.Α (207)
ах х х их х х ч
Считая, что головная ударная волна образуется во внешнем по отноше-
нию к пограничному слою невязком потоке, примем следующую модель
гиперзвукового обтекания вязким газом тонкого крылового профиля с острой
передней кромкой.
Внешний однородный поток со скоростью £/то, плотностью ρ со, давлением
Роо и температурой Τ со проходит сквозь головную ударную волну на передней
острой кромке профиля и только после этого встречается с внешней границей
пограничного слоя у = δ (х), на которой значения скорости, плотности, давле-
ния и температуры соответственно равны иб, рб, рб и Гб. Область потока между
головной ударной волной и внешней границей пограничного слоя обычно
называют ударным слоем. Для оценки порядков величин: толщины погра-
ничного слоя δ и отношения давлений pjp<x> = pip оо отвлечемся от завих-
ренности потока в ударном слое и, согласно обычной прандтлевской схеме,
положим (черта над буквой означает среднее по сеченю· слот значение
величины) _
б^б^со-^^-Ё—^-£=i-. (208)
pU() μοο ρ Poo "б
Примем для зависимости коэффициентов вязкости от температуры линей-
ный закон (15) и заметим, что в гиперзвуковом потоке (Моо > 1) косой скачок
образует столь малый угол с набегающим потоком, что без большой погреш-
ности можно заменить щ на Uco. Кроме того, считая поверхность тела тепло-
изолированной, положим Т/Тж « —5—ML. Тогда вместо (208) получим
/ Роо = Рос Τ \
или, вспоминая (207),
enlfv^^ffcYCV^IVRbZ, Re*~ = ^. (209)
х х z r ρ Ι μ°°
Согласно (105) гл. VI будем иметь следующее выражение коэффициента
давления ср:
р—р<х> 2
ср- 1 *м;
"-ГРоо^оо
(-£-'НФ+/(Ф),+т]°·.

704
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
откуда найдем
_Р_
Роо
В рассматриваемом сейчас случае гиперзвукового обтекания «эффектив-
ного» профиля известный уже нам по § 54 критерий подобия К = Μ«>θ, как
это следует из (209), удовлетворяет соотношению пропорциональности
К ^ % Υ If ; г = Mlo Vc/Vr^Z. (211)
Сравнивая (211) и (210), заключим, что искомое действительное значение
отношения давлений pip то определяется как функция параметра %, который,
таким образом, становится обобщенным критерием подобия гиперзвуковых
обтеканий тел, учитывающим ту часть взаимодействия пограничного слоя
с внешним невязким потоком, о которой только что была речь.
Приведенные соображения относятся к случаю продольного обтекания
тонкой пластинки, но допускают обобщение и на случай тонкого клина при
пподольноь его обтекании и при наличии малого угла атаки. При этом при-
ходится наряду с параметром % учитывать еще влияние параметра Kw =
= Μοοθ^, так как в этом случае уже нельзя отбрасывать Qw по сравнению
с Θ* = d6*/dx.
Двумя крайними случаями взаимодействия являются:
1. Слабое взаимодействие (% <^ 1). Этот предельный случай подразумевает
сравнительно малые гиперзвуковые скорости (К < 1) и большие значения
рейнольдсова числа (Re,» ^> 1). Распределение давления в этом случае
мало отличается от невозмущенного пограничным слоем. Исследование
слабого взаимодействия с помощью асимптотических разложений по степеням
малого параметра % не столь сложно и заключает в качестве нулевого при-
ближения движение, не учитывающее взаимодействие.
Подробный анализ влияния слабого взаимодействия на распределение
давлений приводит г) к формуле (для воздуха к = 1,4)
^-=1+0,31х + 0,05х* (0<Х<4), (212)
Роо
дающей хорошее совпадение с результатами экспериментов в этой области
значений критерия %.
2. Сильное взаимодействие {% ^> 1). В этом случае, отвечающем очень
большим значениям числа Маха (М«^ 1) и конечным ReTO, эффекты взаимо-
действия весьма существенны. При К ^> I правая часть равенства (210) может
быть заменена асимптотическим (при больших К) рядом
ρ _к(к + \) г ЗЛг+1 8к 1
Роо 2 "t"fc-(-l (Λ+1)3 А'2 "т" '··' V10)
откуда следует оценка величины р<х,/р по К при К Э· 1
Роо _ 2 1 2 1 2 / х \2
ρ ~ k(k+l) К* к(к+1) Μ£θ2 W Λ (4+1) М*. I 6* ) · (214)
Согласно этой оценке будем иметь по (209)
^«^мьуг/те^^у^-. pis»
*) См. ранее цитированную монографию Хейза и Пробстина, стр. 447.

§ 118] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ С ВНЕШНИМ ПОТОКОМ 705
так что
х х U(* + l) 1/(?елсо J
Возвращаясь к (215), получим искомую оценку для отношения давлений
Λ.„ψ-*~μ-%11. (217,
Приведем без вывода ') дающую хорошее совпадение с результатами
экспериментов в воздухе (к = 1,4) формулу
-£- = 0,514х + 0,759 + 0(1/Х) (4<х<7,5).
В отличие от слабого взаимодействия, при котором относительная тол-
щина пограничного слоя имеет порядок δ/L с*> Re£ {L — длина пластинки,
Re^ = UooLheo), в случае сильного взаимодействия будет δ/L с*> Re^1/4;
развитие толщины пограничного слоя вдоль пластинки в случае слабого
взаимодействия определяется обычной закономерностью δ оэ ж1/2, в то время
как в случае сильного взаимодействия имеет место более быстрый рост δ оэ ж3/4;
отношение давлений pip ос в обоих случаях представляется функциями от
одного и того же параметра х = Mloj/C / j^Re^c»; в случае сильного взаимо-
действия будет справедливо соотношение pip то оо аг1/2.
Механизм взаимодействия пограничного слоя с внешним невязким пото-
ком значительно усложняется в случае тонких, но имеющих затупленную
переднюю кромку тел. Как мы уже знаем (гл. VI и VII), в этих случаях при
очень больших значениях числа Маха образуются головные ударные волны
сложной криволинейной конфигурации. При прохождении через такую волну
набегающий на тело однородный изэнтропический поток становится вихревым
и неизэнтропическим, причем в условиях, соответствующих представлению
о сильном взаимодействии, индуцированные ударной волной завихренность
и градиент энтропии в области между головной волной и внешней границей
пограничного слоя могут оказаться очень интенсивными.
Классическая теория ламинарного пограничного слоя не учитывает
завихренности внешнего потока, а учитывает только скорость на внешней
границе пограничного слоя. Имевшиеся попытки расширения теории Прандтля
на этот случай, насколько нам известно, не получили достаточного развития.
Разобранный эффект оттеснения линий тока при наличии «вихревого взаиь о-
действия» может значительно исказиться, особенно вблизи π едней затуп-
ленной кромки тела. Упомянем еще, что при гиперзвуковом обтекании вяз-
ким газом тонких тел вращения, помимо только что указанных эффектов,
важен еще эффект поперечной кривизны тела, который в случае потоков малых
скоростей проявляется лишь на сильно удлиненных тонких телах.
Значительной частью теории взаимодействия пограничного слоя с внеш-
ним невязким потоком служит изучение явлений отрыва, связанных с суще-
ствованием во внешнем потоке скачков уплотнения, которые взаимодейству-
ют с пограничным слоем. Примеры такого взаимодействия показаны на
рис. 277, а я б.
Падающий скачок / (на рис. 277, а) создает вблизи точки N интенсивный
местный градиент давления, вызывающий отрыв пограничного слоя. Замеча-
тельно, что, благодаря наличию медленного вязкого движения вблизи стенки
в срывной области, индуцированное скачком возмущение давления распро-
страняется вверх по потоку. Этим объясняется подтвержденный опытами
*) См. ранее цитированную монографию Хейза и Пробст π на, стр. 460.
45 Л. Г. Лойцянский

706
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[гл. хг
факт расположения области предотрывного утолщения слоя и точки отрыва S
выше по потоку, чем точка падения скачка N на поверхность тела, причем это
смещение точки отрыва вполне заметно на фотографиях.
Линии тока, отошедшие от поверхности тела вследствие отрыва, образуюг
зону течения газа, аналогичную рассмотренному в гл. VI течению внутри
тупого угла. В этой зоне возникает система косых скачков, обверткой которых
служит скачок II с криволинейным вблизи тела фронтом. Этот скачок играет
роль отраженного скачка, основание которого расположено вблизи точки
отрыва пограничного слоя S.
Область отрыва может быть как разомкнутой, так и замкнутой в зави-
симости от интенсивности падающего скачка и характера невозмущенного
распределения давлений по поверхности тела. В показанном на рис. 277, а
Рис. 277.
случае оторвавшийся пограничный слой поджимается обратно к поверхности
тела в точке Т; отрывная область замыкается.
Поджатие потока к поверхности тела приводит далее к расширению газа
в секторе разрежения ///. Последующее спрямление линий тока вызывает
появление новой зоны вогнутых линий тока и образование еще одного скач-
ка IV.
Падающий скачок представляет некоторое внешнее возмущение погра-
ничного слоя. Оно может возникнуть, например, в сверхзвуковой решетке
от смежных лопаток или как головная волна, отраженная от стенок аэро-
динамической трубы.
Косой скачок II может и без внешних причин возникнуть в точке отрыва,
вызванного обратным перепадом давлений в диффузорной части погра-
ничного слоя. В этом случае само наличие отрыва вызывает появление косого-
скачка, который в свою очередь оказывает обратное влияние на развитие
пограничного слоя.
Рис. 277, б иллюстрирует срыв пограничного слоя с уступа О А. Такое
явление наблюдается, например, за срезом снаряда в так называемой «донной»
области. Пунктирами заштрихована «область смешения», лежащая между
внешним потоком и расположенной в углу А ОВ областью обратных течений,
в которой газ можно приближенно рассматривать как «заторможенный», так
как в ней скоростные напоры сравнительно с внешним потоком невелики.
В точке В сорвавшийся пограничный слой вновь «прилипает» к стенке. Вдоль
области смешения давление остается почти постоянным. Вблизи точки В
присоединения сорвавшегося слоя к стенке наблюдается резкое, но имеющее
местный характер повышение давления, которому во внешнем потоке отвечает
система скачков уплотнения. Наличие такого повышенного давления, дей-
ствуя на газ, чаетично эжектированный из застойной зоны в зону смешения,
заставляет некоторый объем газа из этой зоны рециркулировать в за-
стойную зону и участвовать в показанном на рис. 277, б попятном движении.
В связи с этим между областью смешения и зоной обратных токов имеется

§118] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ С ВНЕШНИМ ПОТОКОМ 707
обмен массой, который при стационарном процессе сбсикхнсирован и позволяет
предположить, чго масса газа в зоне обратных течений сохраняется посто-
янной.
На этом основана широко распространенная, простая в применениях
модель «донной области», предложенная Г. Корстом*) и впоследствии
уточненная на влияние относительной толщины пограничного слоя в точке
отрыва Д. Нэшем 2). Не имея возможность останавливаться на этих π многих
других специальных вопросах, отметим некоторые общие обстоятельства,
связанные с изучением местных явлений взаимодействия пограничного
слоя с падающими на него скачками уплотнения и возникающими при этом
местными отрывами.
Согласно классическим представлениям теории пограничного слоя в сверх
звуковом потоке, передача возмущений вверх по потоку невозможна, так как
такого рода передача противоречит и параболическому характеру уравнений
движения в области пограничного слоя, и гиперболическому характеру срав-
нений движения во внешней области. Между тем как это, например, имело
место в случае, показанном на рис. 277, а, такое «предварение» влияния внеш-
него потока на движение в пограничном слое наблюдается. Аналогичный
факт можно установить и в случае, показанном на рис. 277, б, где располо-
жение точки В присоединения пограничного слоя к твердой стенке оказывает
влияние на течение в срывной зоне и на внешний поток.
Как уже было отмечено в конце § 105, вблизи точки отрыва, так же как
и вблизи любой другой точки резкого продольного изменения параметров
в пограничном слое, нарушается основное допущение, использованное при
выводе уравнений пограничного слоя, а именно, предположение о медленно-
сти изменения величин вдоль по потоку по сравнению с резким их изменением
поперек потока. Восстановление роли продольных производных приводит
к возвращению к уравнениям Навье — Стокса, имеющим в случае стацио-
нарных движений эллиптический характер. Кроме обычного для стационар-
ных параболических уравнений пограничного слоя задания граничных усло-
вий в начальном сечении, на стенке и на внешней границе пограничного слоя
возникает необходимость задания граничного условия где-то вниз по потоку,
без чего эллиптические уравнения не дадут определенного решения.
Широкое распространение получили методы, основанные на сращивании
асимптотических (при Re -*- оо) решений уравнений движения газа в разных
по характеру движения областях. При разработке этих методов было уста-
новлено, что, в отличие от классической теории пограничного слоя с харак-
терными для нее двумя областями: пограничным слоем и внешним невязким
потоком, в асимптотической теории, применительно к рассматриваемому
сейчас вопросу о движении газа вблизи особой точки с резким продольным
изменением внешних характеристик пограничного слоя, приходится иметь
дело с задачей сращивания решений в трех расположенных вблизи рассмат-
риваемой особой точки пограничного слоя зонах. Следуя В. Я. Нейланду 3),
укажем, что общий для всех этих зон продольный размер имеет порядок Re-3/B.
Внешняя зона имеет тот же поперечный размер, а течение в ней в первом
приближении может описываться линейной теорией сверхзвуковых потоков.
В непосредственно к ней прилегающей второй, «промежуточной», области
с поперечным размером порядка Re~1/2 сохраняется движение, в первом при-
ближении совпадающее с тем, которое было в нев змущенном пограничном
г) Н. Н. К о г s t, A theory for base pressure in transonic and supersonic flow/Trans.
ASME, ser. E, J. Appl. Mech. 23, № 4, 1956.
2) J. F. N a s h, An analysis of the dimensional turbulent base flow, including the ef-
fect of approaching boundary layer; Aeronaut., Res. Council., Rep. and Mem., № 3344,
1963.
3) См. приведенную ссылку на составленный им обзор.
45*

708
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
слое вдалеке от рассматриваемой особой точки. Возмущения в промежуточ-
ной области малы и в первом приближении не влияют на распределение
давлений.
Наконец, третья, «пристеночная» область, играющая в асимптотических
теориях особо важную роль, так как изменение толщины пристеночного слоя
является как раз той причиной, которая вызывает возникновение продольного
градиента давления во внешнем потоке, обусловливает срыв потока с поверх-
ности тела. Эта область имеет сравнительно меньшую по порядку толщину,
а именно Re~5/e. Течение в ней, хотя описывается обычными по внешней форме
уравнениями ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости, одна-
ко эти уравнения имеют принципиальную особенность — стоящий в правой
части член dpldx уже не является заданным наперед, а должен быть определен
в процессе решения из условия сращивания течения в пристеночной области
с внешним сверхзвуковым потоком. Это условие сохраняет эллиптический
характер уравнения движения в пристеночной области, так как оно вместе
с известной нам по гл. VI формулой Аккерета для коэффициента давлений,
вычисленного по линейной теории сверхзвуковых течений, позволяет выра-
зить величину dpldx через вторую производную от толщины вытеснения в вяз-
кой части области течения по формуле
td£°*M-*»S-» Μοο dx> <218)
непосредственно вытекающей из предыдущего содержания настоящего пара-
графа. В уравнениях асимптотической теории возникает при этом член, содер-
жащий «старшую» вторую производную по х от неизвестной функции δ* (х),
что требует задания второго граничного условия по переменной х в точке, рас-
положенной вниз по течению за рассматриваемой особой точкой пограничного
слоя.
Этот существенный факт приводит к'тому, что возмущения, возникающие
за точкой отрыва, например в точке присоединения В (рис. 277, б) оторвавшего-
ся слоя, оказывают влияние на выше по течению расположенные области
пограничного слоя, в чем и проявляется эллиптический характер исходных
уравнений Навье — Стокса.
Расчеты распределений давления по поверхности тела в срывной зоне
и вблизи ее по асимптотическим теориям приводят к хорошему совпадению
с существующими экспериментальными данными, как об этом, например,
можно судить по графику давления, приведенному на рис. 278 х). Здесь
точками S и R отмечены точки отрыва и последующего возвращения сорвав-
шегося пограничного слоя на обтекаемую поверхность. Вертикальной стрел-
кой показано место падения скачка уплотнения, расположенное вблизи вер-
шины лежащего на плоской стенке клина с углом раствора 15°; L — абсцисса
вершины клина.
На рис. 278 отчетливо видно, что точка отрыва S расположена слева и на
заметном расстоянии вверх по потоку от точки падения скачка уплотнения.
Она находится, как это и должно быть согласно общей теории пограничного
слоя, в области возрастающего давления. Максимальное давленпе достигается
непосредственно за точкой R присоединения сорвавшегося пограничного слоя
и является основной причиной возврата газа из'области смешения в отрывную
зону и создания в ней попятного движения (рис. 277, б).
Мы лишены возможности в настоящем общем курсе останавливаться на
изложении разнообразных методов асимптотических представлений решений
г) Л. Лиз, Б. Л. Ρ и в з, Сверхзвуковые отрывные π присоединяющиеся лами-
нарные течения, Ракетная техника и космонавтика 2, ,1$ 11, 1964, 22—39.

§ 119]
ГАЗОВЫХ! ПОТОК С ТВЕРДЫМИ ПРИМЕСЯМИ
709
уравнений Навье — Стокса и отсылаем интересующихся к следующим обзо-
рам *).
Изложенные соображения, поясняющие механизм перед ачи?резких изме-
нений во внешнем потоке (падение ударной волны на пограничный слой, отрыв
пограничного слоя, угловая точка на
поверхности тела) по ламинарному
пограничному слою вверх по потоку,
описывают широкий класс явлений как
в сверхзвуковом и пшерзвуковом, так
и в дозвуковом движениях газа. Ана-
логичные по общей структуре процессы
имеют, как уже об этом упоминалось
в гл. IX, место и в пограничных слоях
в потоках малых скоростей. Желая
подчеркнуть характерную особенность
всей этой группы явлений, заключаю-
щихся в возможности всесторонней, как гмс· с °·
вниз так и вверх по течению, передачи
возмущений в пограничном слое и их обратного влияния на внешний поток,
для такого рода движений используют ранее упомянутый термин течения
со свободным взаимодействием 2).
Вклад советских ученых в эту новую, актуальную и быстро растущую
область общей теории пограничного слоя бесспорно велик. Имена исследова-
телей, особенно много сделавших для ее прогресса, а также ссылки на опуб-
ликованные ими работы можно найти в тех из только что цитированных обзо-
ров, которые были составлены советскими авторами.
§ 119. Газовый поток с твердыми примесями
Как уже ранее (гл. II и VIII) указывалось, исследования двин ення мно-
гофазных сред могут осуществляться только путем введения в постановку
задачи значительных упрощений, связанных с отказом от изучения некоторых
деталей явления.
Поучительным примером в этом смысле может служить задача о движении
газа с примесью твердых частиц («запыленного» газа) 3), имеющая сущест-
венное значение для исследования работы сопел ракетных двигателей на твер-
дом топливе, рабочих колес газовых турбин при наличии в потоке твердых
частиц и др.
Рассмотрим движение совершенного (удовлетворяющего уравнению Кла-
пейрона) газа со скоростью V1, температурой Τх и плотностью ρ х. в кото-
ром распылена твердая фаза, представленная сплошной средой со скоростью
') S. N. Brown, К. Stewartson, Laminar separation, Ann. Rev. of Fluid
Meh . 1, 1969, 45—72; Ann. Rev. Inc. Palo Alto, California, USA и в третьем томе того же
ежегодника за 1971 г.: V. V. Μ i k h a i 1 ο ν, V. Ya. N e i 1 a n d, V. V. S у с h e v,
Thef theory of viscous hypersonic flow, 371—396. Особенно рекомендуем вышедшую в
русском переводе монографию П. Ч ж е н а, Отрывные течения, т. 1—3,«Мир»,М., 1972—
73, с обзором А. И. Голубинского, Г. И. Майкапара и В Я. Ней-
л а н д а «Новые результаты исследований отрывных течений», помещенным в 3-м томе.
2) Теория течений со свободным взаимодействием в случае турбулентного погранич-
ного слоя разработана значительно меньше и, естественно, не на таком теоретическом
уровне, как в случае ламинарного потока. Некоторое представление о подходах к реше-
нию задач этого рода можно получить, например, познакомившись со статьей Л. В. Г о-
гиша, Т. Б. Соболевой и Г. Ю. Степанова, Взаимодействие турбулент-
ного следа с внешним потоком, Мех. жидк. π газа, № 3, 1969, 71—80.
3) F. Marble, Dynamics of dusty gases, Ann. Rev. of Fluid Mech. 2, 1970. 397—
445.

710
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
частиц V2), температурой Т{2) и плотностью р(2); последняя величина опре-
деляется произведением числа частиц в единице объема смеси η на массу
отдельной частицы т. Предполагается при этом, что все частицы имеют один
и тот же размер, форму и массу. Взаимодействием твердых частиц между
собой, так же как и влиянием на них броуновского движения, пренебрегаем.
Объемная концентрация частиц считается малой, что допустимо, например,
в случае мелкой металлической примеси в газе. Последнее допущение позво-
лит в дальнейшем пренебречь и эйнштейновой поправкой на вязкость (ко-
нец § 75).
Если, наконец, отвлечься еще от фазовых превращений (например, от
горения металлической примеси в газовом факеле), то уравнениям движения
и теплообмена рассматриваемой двухфазной среды (гл. II, § 13) можно при-
дать следующий вид:
а) уравнение неразрывности для газа (1) и примеси (2) по отдельности
-^-fdiv(p(1)F(1))-0, i|p-+div(p(2)F<2)) = 0; (219)
б) уравнение «в напряжениях» для газа (внешними объемными силами
пренебрегаем)
р<1>^=ВгуРа) + *\ (220)
где F — отнесенная к единице объема смеси сила действия частиц твердой
примеси на газ, Ра — тензор напряжений в газе.
в) уравнение движения примеси в принятом условии отсутствия взаимо-
действия между частицами, включая сюда как вязкие напряжения, так и дав-
ление,
Р(2,Т= -*: (221>
отрицательный знак соответствует реакции газа на твердую фазу. Ввиду отсут-
ствия Р(2) положим в дальнейшем Р1 = Р;
г) уравнение баланса энергии для газовой фазы в предположении об
адиабатичности потока смеси
р«> ^- = div (PVn) +q + F.Va\ (222)
где q—отнесенный к единице объема приток тепла от твердой фазы; Еп) =
д) уравнение баланса энергии для твердой фазы (примеси)
здесь знак минус, стоящий^перед q, соответствует переносу тепла от газовой
i-F'2>2 = еГ<2> +у
1 2 1 а
фазы к твердым частицам; Е(2} = U{2) -)- -^-Vi2) = еГ<2) -|—^- F(2) , с — теп-
лоемкость твердой фазы.
Наличие силового взаимодействия azF между твердой и газообразной
фазами, так же как и теплопереноса ±д между ними, предполагает существо-
вание разности скоростей Vl2) — Va) = V* и температур Тф — Та> = Т*
фаз; однако можно себе представить как предельный случай, что при V* —>- 0
и Т* —>- 0 величины F и q останутся конечными. Это будет так, если при стрем-
лении массы m частиц к нулю, а числа их η к бесконечности, произведение
гпп = ρ 2) останется конечным.
Пользуясь этим предельным представлением, рассмотрим в каче-
стве «нулевого» приближения в решении поставленной задачи случай

I 119]
ГАЗОВЫЙ ПОТОК С ТВЕРДЫМИ ПРИМЕСЯМИ
711
F(2, = VtU = ν и т-,2) = Та, = т Тогда из уравНений неразрывности (219),
переписанных в форме
^ + p»divF = 0, ^- + p«)divF = 0, (224)
будет следовать
1 Ф(1) _J_dpW 99,.
p(i) Л ~ р<2) dt ( '
или
*>£)-<>■ (226)
Последнее равенство говорит о сохранении величины отношения
κ = р^/р^ = const (227)
вдоль линий тока, а если предположить, что в некоторый начальный момент
времени это отношение плотностей не зависело от координат, то равенство
(227) будет справедливым в любой момент времени и в любой точке потока.
Складывая почленно обе части уравнений (220) и (221), переписанных
теперь в виде
получим
или, полагая
pJ»(l+x)iL=DivF (228)
рш (!+*) = Ρ, i229)
будем окончательно иметь уравнение «в напряжениях» в форме
piL=DiVjP. (230)
Аналогично, переписав уравнения баланса энергий (222) и (223) в развер-
нутой форме и учитывая принятое в «нулевом» приближении совпадение ско-
ростей и температур обеих фаз, получим (коэффициенты теплоемкостей с„
и с приняты постоянными)
^WIt)"»-'·"·
Складывая, как и ранее, обе части этих уравн ний почленно, найдем
(p'% + Ρ 2)c) -J + (pfl) + p<2') 4 (4") = div <PF)'
to полученному уравнению придать ви
P-|-(^ + -r)-div(FV)f (231)
после чего уже нетрудно полученному уравнению придать вид
d Ι- π . V2
где положено
cv = ^±^. (232)

712
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
Замечая еще, что первое из уравнений (224) можно, пользуясь обозначе-
нием (229), переписать в одном из следующих двух обычных видов:
^ + pdiv^ = 0, Je. + div<pF)-0, (233)
а уравнению Клапейрона придать форму
4 = ЯГ, Л^, (234)
заключим, что уравнения (233), (230) и (231) с присоединенным к ним равенст-
вом (234) представляют полную совокупность уравнений движения и баланса
энергии однородного газа с приведенными физическими параметрами р, cv и Rf
определенными равенствами (229), (232) и (234). Приведенные параметры ср,
А: и а, как нетрудно убедиться, будут определяться аналогичными по типу
равенствами
Cp-i-tcc — Ср кс _ , / 1 κ /ср
СР~ 1 + jc ' к= cv + xc ' a = al У (1 х)(1 + кс/с„)· (235>
Входящий в уравнения (230) и (231) тензор напряжений Ρ выражается
обычным образом через давление ρ и тензор скоростей деформаций S по фор-
муле (10), причем, в силу принятого допущения о малости объемной концен-
трации твердой примеси, нет даже необходимости принимать во внимание
ранее указанную поправку Эйнштейна на величину динамического коэффи-
циента вязкости μ «несущей» газовой фазы.
Что касается кинематического коэффициента вязкости ν и чисел Рейнольд-
са, Маха и Прандтля потока в целом, то «приведенные» их значения будут:
ν = μ/[(1+κ)ρ(1'] = ν/(1 + κ),
Re" = V0L/v= (1 + κ) V0Lh = (1 + κ) Re; Re = ^
V
M_T/ л- v°Г(1±2Ш±™/£е) 11/2
m_,0a_e(1) l + Kcl,
(236)
P7 = μ(% λ°» = (μ«% λ<») [(1 + xc/Cp)/(l + κ)].
Чтобы получить решение в «первом» приближении, откажемся от допу-
щений:
р* = (1 + к)^> — ρ — 0, V* = F<2> — V* = 0, Т* = Г<2> — ТЪ = 0
(237)
и будем определять эти величины путем разложения их в ряды по степеням
малых параметров.
Условимся с этой целью характеризовать динамическое взаимодействие
между твердой частицей и окружающим ее газом временем %v торможения
частицы при заданной начальной ее относительной скорости (F)t=0 До ско-
рости, в е раз меньшей; величину τν называют «временем релаксации скоро-
сти». Примем в качестве тормозящей силу Стокса ((147) гл. VIII), для сфери-
ческого шарика радиуса ε равную F = 6πμεΤ7. При таком, как говорят,
«квазистационарном» подходе уравнение торможения твердой частицы массы
m будет иметь вид
трГ=—6πμεΤ»
откуда сразу следует
Ρ=(η-οβνρ(-«=ΚΙ?).

§ И9]
ГАЗОВЫЙ ПОТОК С ТВЕРДЫМИ ПРИМЕСЯМИ
713
и по только что данному определению «времени релаксации* скорости» τν
(У) _
——ν - e-i - смз ( 6π^ετν \
получим
т-=^г <238>
Аналогичным рассуждением можно определить и «время релаксации тем-
пературы» τΓ = тср/(АлеХ), понимая под ним время, необходимое для умень-
шения в процессе теплоотдачи начально заданной разности Т% = Т^' — Τψ
между температурами газа и твердой частицы в е раз (ттг — масса частицы, ε—
ее радиус, ср и λ — соответственно теплоемкость при постоянном давлении
и теплопроводность газа). Можно, наряду с временами релаксации скорости
и температуры τν и τΓ, ввести соответствующие «пути релаксации» lv =
= V0tv и lT = Vqtt, характеризующие расстояния, на которых указанные
изменения начальных значений разностей скоростей или температур произой-
дут. При этом будут справедливы следующие оценки порядков величин F*
Ъ-°(ък)-°(Ф-)-°№'
Приведенные оценки выражают, что сравнительно с характерной скоро-
стью движения F0 и температурой Т0 скорость V* и температура Т* и 1еют
тот же порядок малости, что и «пути релаксации» lv и 1Т по сравнению с харак-
терным для движения в целом линейным размером L. Это позволяет выбрать
в качестве малых параметров отношения lvIL для динамических и lTIL для
тепловых величин и искать решения уравнений (219) — (223) в форме
рядов по этим малым параметрам:
р* - ρ? (Ζν Ц + р* (lv Lf + ..., V· = V* (lv/L)+V* (Zv Lf +
ρ = Pi[(lv L) + p2 (Zv Lf + ..., T*=T* (УЦ + T% (lT Lf +
Подставляя эти разложения в уравнения (219) — (223) и прир внивая
коэффициенты при первых степенях малых параметров, получим следующую
систему уравнений первого приближения (довольствуемся стационарным
случаем):
div(p?Vo + xp„Vi) = 0, (Fo'V)Fo -J-VT, I
) (240)
Fo'grad T0 = (cp/c) (Zv It) -%■ Tf. J
Последние два уравнения интересны тем, что выражают в простом явном
виде разности скоростей и температур V* и Т% в первом приближении (это
отмечено нижним индексом 1) в функции от величин, соответствующих нуле-
вому приближению (имеющими нижний индекс 0) г).
В статье Ф. Марбла можно найти разнообразные применения изложенного
метода малого параметра, подробное рассмотрение одномерного случая (дви-
жения в сопле), плоского пограничного слоя на пластине, приведенной вне-
запно в продольное равномерное движение (задача Рэлея), задачи Блазиуса
о стационарном ламинарном пограничном слое на полубесконечной пластине.
Кроме того, там же изложен вопрос о прохождении «запыленного»" газа сквозь
.'.".' } (239)
х) Подробности этого анализа см. в ци ировантой статье Ф. Марбла.

714
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
скачок уплотнения. Имеются в обзоре и указания способа учета влияния фазо-
вого превращения. Приближенные методы расчета ламинарного и турбулент-
ного пограничных слоев на пластине в потоке газа, несущем твердые частицы,
развиты в неоднократно (гл. II и VIII) цитированной монографии С. Coy
(см. гл. 8, §§ 8.3—8.7), там же можно найти и теорию неоднородных струй
(§§ 8.8 и 8.9).
Значительно большие трудности заключают задачи с газовыми пузы-
рями в потоке жидкости (кавитационные движения, кипение и парообразова-
ние) и взвешенными в газовом потоке каплями (процессы конденсации).
Такого рода явления иногда рассматривают, отвлекаясь от вязкости несу-
щей фазы 1).
Основная сложность изучения движений газожидкостных смесей заклю-
чается в необходимости учета радиальных колебаний газовых пузырьков
под действием, с одной стороны, сжимаемости заполняющего их газа, а с дру-
гой, инерции окружающей жидкости, совершающей нестационарное безвихре-
вое движение.
В настоящем курсе не может найти себе место изложение практически
ень важных вопросов о турбулентных потоках, несущих примеси. Литерату-
ра в это обла ти, особенно относящаяся к техническим применениям (гидро-
технические проблемы переноса речными потоками песка, ила и др., гидро-
и пневмотр нспорт, «кипящий слой» и др.), весьма обширна. Удовольствуемся
лишь нес ол кими ссылками, относящимися к статьям теоретического значе-
ния, опубли ованным в последнее время 2).
§ 120. Турбулентный пограничный слой в газе
на продольно обтекаемой π астине
Воп ос о влиянии сжимаемости газа на возникновение турбулентности,
τ к же как и на механизм установившейся турбулентности, еще мало изучен.
Теорет ч с ие работы по устойчивости ламинарного пограничного слоя при
болып х скоростях показывают, что'при прочих равных условиях с возра-
станием числа Моо устойчивость ламинарного слоя ослабевает; это надо
понимать в том смысле, что с ростом Μ те должно уменьшаться нижнее крити-
ческое число ReKp, начиная с которого возмущения в слое перестают затухать.
Однако опыты 3), подтверждая правильность этого положения примерно
до Μ» = 3,5, показывают, что при дальнейшем росте Мм явление разви-
вается в противоположном направлении.
*) В. В. Прокофьев, Задача о движении жидкости и газовых пузырьков с уче-
том их относительного перемещения, Мех. жидк. и газа, № 3, 1972, 87—96.
Одномерную постановку вопроса о распространении малых и конечных возмущений
по газожидкостной среде, а также одномерную теорию сопла Лаваля для такой среды
можно найтп в обзоре: L. van Wijngaarden, One dimensional flow of liquids
containing smal gas bubbles, Ann. Rev. of Fluid Mech. 4, 1972, Ann. Rev. Inc. Palo Alto,
California, USA. См. также Μ. Ε. Дейч и Г. А. Филиппов, Газодинамика двух-
фазных сред, «Энергия», М., 1968.
2) Г. Н. Абрамович, О влиянии примеси твердых частиц или капель на струк-
ЧРУ турбулентной газовой струи, Докл. АН СССР 190, № 5, 1970; см. также М. К. Л а-
а τ с и Φ. Α. Φ ρ и ш м а н, О допущениях, применяемых при расчете двухфазной
струи. Мех. жидк. и газа, № 2, 1970. Недавно появилось новое теоретическое исследова-
ние этого вопроса с общей статистической точки зрения: J. О. Η i n z e, Turbulent fluid
and particle interaction, Progress in heat and mass transfer, v. 6, Pergamon Press-Oxford &
New York, 1972. Новые экспериментальные материалы по диффузии частиц в турбулент-
ных струях можно найти в том же сборнике в статье V. М. Goldschmidt. M. К.
Householder, G. Ahmad i, S. Chuang, Turbulent diffusion of small partic-
les suspended in turbulent jets.
a) R. К о г k e g i, Transition studies and skin-friction measurements on an insulated
flat plate at a Mach number of 5, 8, Journ. of the Aeron. Sci. 23, № 2, Febr. 1956, 97—107.

§ 120] ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 715
10
На рис. 279 приведены экспериментальные данные по изменению с ростом
числа Μ» низшего критического числа Рейнольдса, соответствующего точке
потери устойчивости ламинарного слоя, т. е. началу переходной области,
и числа Рейнольдса в точке, за которой имеет место уже развитое турбулент-
ное движение (конец переходной области).
Как следует из приведенных графиков, примерно при Моо = 3,5 дости-
гается максимальное смещение границ переходной области вверх по потоку
и максимальная ширина самой области. При дальнейшем росте Моо (до Моо =
= 5,8) границы смещаются вниз по потоку, Рр in.g
и по-видимому, имеют тенденцию продол-
жать смещаться в том же направлении
при больших Μ». Этот факт очень важен
с точки зрения решения вопроса о струк-
туре пограничного слоя на поверхности
тел, движущихся с большими числами
Μ со, без чего, в свою очередь невозможен
сколько-нибудь точный расчет сопротив-
ления и теплоотдачи тел.
Причина расхождения теоретических
исследований с опытом лежит в незакончен-
ности теории устойчивости ламинарного
слоя в сжимаемой жидкости при больших
скоростях. В последнее время в литературе /гл
(см. только что цитированную статью)
высказываются сомнения насчет точности
этой теории, в частности, в связи с отсут-
ствием до сих пор учета влияния числа Μ оо №
на длины волн распространения возмуще-
ний и рост их амплитуды при больших
сверхзвуковых скоростях. Как показы- Рис. 279.
вают опыты, возмущения, созданные в пото-
ке, например, при помощи турбулизирующих решеток, при больших значе-
ниях Μ оо почти мгновенно затухают, что говорит о повышенной устойчивости
ламинарных течений при этих значениях Моо. Можно думать, что в такого
рода условиях приведенные в § 96 соображения об отрывном происхожде-
нии явления перехода ламинарного слоя в турбулентный у е становятся
несправедливыми. Вероятно, в этом случае причиной перехода служит толь-
ко потеря устойчивости движения в ламинарном слое, начало которой при
больших числах Моо затягивается в область значительных по величине рей-
нольдсовых чисел. Приведенные соображен я нуждаются еще в системати-
ческой экспериментальной проверке.
Дестабилизирующее влияние на ламинарный пограничный слой оказы-
вает подвод тепла через обтекаемую поверхность и, наоборот, стабилизирую-
щее влияние — теплоотвод от поверхности тела. Этот, по-видимому, бес-
спорный факт доказан теоретически и экспериментально х). На рис. 280 при-
веден график, иллюстрирующий это положение результатами опытов Хиг-
гинса и Паппаса 2) над пластиной при Моо = 2,40.
Сжимаемость газа при Моо ^ 1 оказывает слабое действие на механизм
турбулентного обмена. Опыты советских исследователей (Г. А. Варшавский,
— ■ν
"4
1булешное у
дбижение А'
'/Область///.
/, перехода /7
/ ]
/J
Ламинарное
дбижение
1
ма
*) Е. van Driest, Calculation of the stability of the,laminar boundary layer in
a compressible fluid on a flat plate with heat transfer, Journ. Aeron. Sci. 19, № 12, 1952,
801; N. Shapiro, Effects of pressure gradient and heat transfer on a stability of the
compressible laminar boundary layer, Journ. Aeron. Sci. 23, № 1, 1956, 81—83.
2) Цитируем по монографии: A. Shapiro, The dynamics and thermodynamics of
compressible fluid flow, 2, N. Y., 1953, 1077.

716
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
1ГЛ. XI
Rex-fO-
А. А. Гухман, Н. В. Илюхин, В. Л. Лельчук, В. Н. Тарасова), относящиеся
к 1933—1938 гг., так же как и более поздние опыты зарубежных ученых
(Фрёссель, Юнг, Кинен и Нейман), показали, что при дозвуковых скоростях
можно с успехом пользоваться теми же степенными или логарифмическими
формулами сопротивления, как и для несжимаемой жидкости, если под ско-
ростью и плотностью понимать их определен-
ным образом осредненные по сечению трубы
значения *). Теоретически в бесскачковом по-
токе такая возможность сохраняется с доста-
точным приближением и для не слишком боль-
ших сверхзвуковых скоростей (М <С 1>?) 2)>
однако в действительности сверхзвуковые
движения в трубах сопровождаются образо-
ванием сложных систем скачков уплотнения,
которые не позволяют рассматривать поток
как одномерный и пользоваться представ-
лением об установившемся турбулентном дви-
жении.
Движение газа в турбулентном погранич-
ном слое с большими до- π сверхзвуковыми
скоростями представляет актуальную проблему
современной аэродинамики. Пути практичес-
кого решения этой проблемы лежат в обобще-
нии на случай движения газа с большими ско-
ростями эмпирических и полуэмпирических
теорий турбулентности в несжимаемой жид-
кости. Следует заметить, что опытная про-
верка возможности применения такого рода
теори" для движения газа с большими скоростями стала вполне воз-
можной в связи со значительным развитием техники эксперимента в сверх-
звуковых аэродинамических трубах и в полете. Произведенное сравнение
теоретических и экспериментальных результатов показало, что при помощи
эмпирических и полуэмпирических методов можно установить вполне удов-
летворяющие практику закономерности.
Остановимся на рассмотрении турбулентного пограничного слоя на про-
дольно обтекаемой газом гладкой пластине. Довольствуясь сначала случаем
теплоизолированной пластины и оставляя в стороне вопрос о форме профилей
скорости и температуры в сечениях слоя, поставим себе целью составление
эмпирической формулы зависимости коэффициента местного сопротивления Cf
от местного реинольдсова числа Re*. Для этого используем известные эмпири-
ческие связи между Cj и Re^ в изотермическом движении несжимаемой жид-
кости. В отличие от этого движения, где константы μ и ρ одинаковы во всем
потоке, в рассматриваемом случае величины μ и ρ меняются в зависимости от
изменения температуры по сечению слоя. Принимать μ π ρ соответствующими
температуре Тх набегающего потока нет никаких оснований, так как, оче-
видно, вблизи поверхности пластины газ имеет температуру Tw, при больших
Μ» значительно превосходящую Τ«,. Относить μ и ρ к температуре поверхно-
Рис. 280.
х) См. монографию: А. А. Г у х м а н и Н. в. II л ю х ц н, Основы 1ченин о теп-
лообмене при течении газа с большой скоростью, Машгиз, М., 1951, где можно найти крп-
тпческип обзор большинства советских и зарубежных исследований по этому вопросу π
подробную библиографию. В монографии приведены также удобные для практических
расчетов степенные формулы сопротивления π теплоотдачи труб.
") R. D e i s s 1 е г, Analytical and experimental investigation of adiabatic turbulent
flow in smooth tubes, NACA Tech. Note, № 2138, 1950.

5 1201 ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 717
сти Tw представляется более обоснованным *), но ясно, что при этом полу-
чится преувеличенное влияние температуры на вязкость и плотность газа.
Естественно, является мысль отнести физические константы газа к некото-
рой средней температуре Тт, большей Τ*,, но меньшей Tw. Тёккер 2) сделал
простейшее допущение, положив Тт равным среднему арифметическому
температур i» и 7^,
L m == "о" (■* оо-Т" I т)·
Пользуясь в этом предположении формулой сопротивления (160) гл. X,
будем иметь, обозначая индексом т значения констант газа при Τ = Тт
^— = 0,0263 (Р"у-М '\ (241)
причем (ρ = const)
J-pmUl
μτη
i-tT- <242>
poo I m tloo
Замечая, что нашей целью является разыскание связи между cf и Rex,
выраженных при помощи заданных наперед характеристик набегающего на
пластину потока £/«,, ρ», μ^,, τ. е.
cf = -r2z—, Re^= ρ°°υ°°* (243)
-Ln ТП 'U°°
исключим из (241) pm и μ„ на основании (242). Получим сначала
rw Ps.^0 0263 /лао»)-^(^1\^/±т.\^ (244)
1 „ г2 Рт ' \ μοο / V рт / \ Иоо / ' ν '
■JPccU^
а затем
6-п
cf R«£7 = 0,0263 (^-)6 7 (!^)п/7 = 0,0263 (|=-) 7 . (245)
Как известно, показатель степени η в законе зависимости коэффициен
вязкости от температуры, в практическом диапазоне температур изменяю-
щийся в пределах от 1 до 1/2, близок к 3/4; не будет большой ошибки, если для
простоты положить η = 1. Далее примем коэффициент восстановления тем-
пературы на поверхности пластины равным единице, т. е. в предположенном
условии отсутствия теплоотдачи с поверхности пластины будем считать тем-
пературу пластины Tw равной температуре адиабатически и изэнтропически
заторможенного газа, набегающего со скоростью [/„ на пластину. Тогда
получим
Too 27\» £Τοο &
Tm ~ Τ +TW ~ Тво + Таа (1 + ±_± ML) 2+±^i M*. '
Подставляя это выражение в (245), найдем
cf Re*'7 = 0,0263 / г^т Υ''. (246)
^2+*=±Μ·
)6h
г) Впервые такое допущение было сделано Т. Карманом в докладе на конгрессе име-
ни Вольта в Риме в 1935 г. Т. Карман, Проблема сопротивления в сжимаемой жид-
кости, сб. «Газовая динамика», ГОНТИ, М., 1939, 58—59.
а) М. Tucker, Approximate calculation of turbulent boundary layer development
in compressible flow, NACA Tech. Note, № 2337, 1951.

718
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
Интегрируя по всей длине пластины, получим формулу коэффициента
полного сопротивления
2 \5/?
C,Rex/2=0,0307
~ / 2 у/г
(247)
представляющую обобщение формулы (161) гл. X на случай газа.
Как следует из этих эмпирических формул, влияние числа Моо на коэф-
фициенты местного и полного сопротивления не зависит от влияния числа
Рейнольдса Re^ или Re, так что, принимая обычное обозначение индексом «0»·
величин при Моо = 0, будем иметь
Cfo c/o
[г+±
Mi
— 1
ML
(248)
На рис. 281 приводится сравнение формулы (248) — кривая I — с опыт-
н ми данными различных авторов *). Верхний предел чисел Моо доведен
почти до Моо = 8, причем, как это следует из рис. 281, совпадение формулы
Тёккера с пытными материалами остается вполне удовлетворительным и при
этих сравнительно больших зна-
Ча
10
0β
т
о,г
Π
,^•5
•
чениях числа Моо- На том же ри-
сунке приводится кривая 77, от-
вечающая использованию в каче-
стве характерной средней темпера-
туры Тт температуры Tw поверх-
ности пластины, т. е. кривая
cf _ cf _ *
Cfo
с/о
14
λ+1
ML
м0
δ
Рис.281.
Эта кривая подтверждает
ранее высказанное соображение
о том, что применение темпера-
туры поверхности пластины в
качестве средней температуры в
пограничном слое должно приводить к преувеличению влияния сжимае-
мости воздуха (числа Μ «,) на коэффициент сопротивления пластины.
В полуэмпирической теории турбулентного пограничного слоя в сжимае-
мой жидкости при больших скоростях исторически наметились два направле-
ния. Первое из них, открытое работой Ф. И. Франкля и В. В. Войшеля 2)г
основывалось на непосредственном переносе в газовую динамику формул полу-
эмпирических теорий Прандтля и Карман». В дальнейшем по аналогичному
пути пошел Ван-Драйст 3).|
) На рис. 281 светлые кружки представляют результаты опытов Чепыена и'Кестера
(D. R. Chapman/ R. Η. К е s t е г, Journ. Aero. Sci. 20, № 7, 1953, 441—449)
треугольники — опытов Колза (D. Coles, Joura. Aero. Sci. 21, N° 7, 1954, 433—449)',
черные точки — опытов Лобба, Винклера и Перша (R. К. L о Ь b, E. M. Winkler
J. Ρ е г s h, Journ. Aero. Sci. 22, № 1, 1955, 1—10).
2) Ф. И. Франкль и В. В. Войшель, Трение в турбулентном погранич-
ном слое около пластинки в плоскопараллельном потоке сншмаемого газа при больших
скоростях, Труды ЦАГИ 321, 1937.
3) Е. R. van Driest, Turbulent boundary layer in compressible fluids, Journ.
of the Aeron. Sci. 18, № 3, 1951, и того же автора «Турбулентный пограничный слой при
различных числах Прандтля» в сб. «Проблема пограничного слоя π вопросы теплопереда-
чи», Энергоиздат, М., 1960, 216—229. В последней из указанных статей проводится
приближенный учет влияния коеффициента восстановления.

§ 120] ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 719
В работах второго направления использовались переменные Дородницына
и предполагалось, что формулы полу эмпирических теорий турбулентности
остаются справедливыми, если их составлять в этих переменных. Ответ на
вопрос о том, какое направление дает результаты, более близкие к действи-
тельности, мог дать только опыт при больших числах М, а ко времени появле-
ния обоих направлений опытные материалы еще отсутствовали. При числах М,
немного превышающих единицу, оба направления давали, естественно, мало
отличающиеся друг от друга результаты. Лишь после того, как были получены
данные по сопротивлению трения плоских поверхностей при больших числах
Μ (доходящих почти до 8), стало ясно, что только первое направление дает
правильные результаты.
В работе Франкля и Войшеля авторы встали на путь непосредственного
обобщения на случай газового потока метода Кармана, упростив его лишь
допущением о постоянстве напряжения трения поперек пограничного слоя.
Идя по этому пути, они сначала нашли форму профилей скорости в сечениях
слоя, затем обычным способом получили так называемый «закон сопротив-
ления», т. е. связь между местным коэффициентом трения и числом Рейнольд-
са пограничного слоя. Исключая это число Рейнольдса из уравнения «закона
сопротивления» и уравнения импульсов, им удалось получить искомую связь
между местным коэффициентом сопротивления и числом Рейнольдса, пост-
роенным по скорости набегающего потока и абсциссе данной точки на пла-
стине.
Степень приближения, принятая Франклем и Войшелем, позволила им
самим провести вычисления лишь до чисел М, мало превышающих единицу.
Переход к большим числам Μ потребовал бы, по-видимому, либо еще больше-
го усложнения и без того сложной вычислительной методики этих авторов,,
либо непосредственного применения численных методов.
Покажем *), что при использовании формулы Кармана и в предположе-
нии постоянства напряжения трения поперек пограничного елоя существует
более простой путь построения решения, не требующий предварительного вве-
дения понятий о числе Рейнольдса пограничного слоя и «законе сопротивле-
ния». Этот путь в значительной мере упрощает исследование задач о турбу-
лентном пограничном слое в газовом потоке. Использование простого асимп-
тотического разложения, уже примененного ранее в § 103 для несжимаемой
жидкости, позволяет обобщить теорию Кармана сопротивления пластины
в несжимаемой жидкости на случай газового потока с большими чис-
лами М.
Ограничимся случаем, когда число Прандтля равно единице (а = l)t
и будем рассматривать обтекание пластины как теплоизолированной («пла-
стинчатый термометр»), так и с отводом тепла.
Применим к задаче о турбулентном пограничном слое на пластине
в потоке газа тот же прием, который был использован в § 103 для счучая:
несжимаемой жидкости. В обозначениях этого параграфа
гп_ и h—Uc° ы — Φ ■n—V*V
tf# t?# 'J со Π \и>
формула Крокко (85) может быть легко преобразована к виду
£-«—(*)-*(*)'. <249)
*) Ю. В. Лапин и Л. Г. Лойцянский, Применение метода Кармана к
расчету турбулентного пограничного слоя на пластине в газовом потоке, Труды ЛПИ,
№ 217, 1961.

720
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
£ГЛ. XI
где
ω=1——- (ω>»0 при нагреве поверхности ий<0 при охлаждении);
·» W
— КЛ2 °°
Υ 7) «Vice ~7p ,
ь 1 w
Tt~ JO, (1+ —5—M») — температура термометра, равная темпера-
уре поверхности пластины Tw при отсутствии теплоотдачи (ω = 0).
Замечая, что при постоянстве давления по сечению слоя имеет место
раве ство
р -Tw - *- (250)
Ρω
Mi-M*)"
составим основное соотпош ние Кармана (150) гл. X, кот рое при наличии
еж емости среды будет иметь вид
φ —κ
V ^'-(*Η(*)'
(251)
Меняя, как и ранее в § 103, ргумент и фугкцию, получим вместо (251)
урав ение
(252)
π рвым интегралом которого ужит равенство
(
Vy
φ ω
η Cexpl -^arcsin * 2Vt I (253)
Для определения константы С приходится задаваться значением производной
dq>/dr\ на границе ламинарного подслоя со стороны турбулентного ядра. Про-
стейшим допущением является требование, чтобы эта величина имела то же
значение / = 1/(κα), что и в случае малых скоростей (см. стр. 579 внизу),
т. е. φ' (а -|- 0) не зависит от коэффициентов γ и ω. Такое допущение
эквивалентно пренебрежению изменением плотности на протяжении лами-
нарного подслоя; оно приводит к следующему результату (и = φ/fe):
η = у ехр
Ууи+ -■ Vy-r-i
κ/г I 2 V γ . h 21/■ ν
—— Ι arcsin ■ arcsin -■-
Vt V /»+-& /«+£
(254)
Легко убедиться, что при ω = γ ~ 0 правая часть этого равенства совпадает
с соответствующим выражением (152) для несжимаемой жидкости (§ 103).
Толщины вытеснения и потери импульса пограничного слоя в случае
газа выразим равенствами
σο оо
о о
Используя равенства (250) и (254) и производя преобразования, анало-
гичные проведенным в § 103, получим следующее выражение для толщины

§ 12°] ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 721
потери импульса:
δ** =
(1—ω — y)h2vv
fUc
Г и(1-ц)_ x
■! 1 — ωυ — vii2
им — yu*
X exp
xh
Vv
Vy
=■ I arcsin·
2VV
ω
/
1 +
ω2
4γ
•arcsin ·
2Vy
/'+£
du. (256)
Вводя новую переменную
Vyx
■ψ = —— arcsin
У V
2Vy
|A+
преобразуем (256) к виду
/fccY
cos V Υ Φ
ω2
4γ
Χ
(257)
Χ (sin Υ у ψ — sin "|/"γ г}зш) (sin ]/"γ ψ» — sin ]/" γ ψ) d-ψ, (258)
где положено
ω
ψ0
Vy
arcsin
ψκ, = —y=- arcsin
у v
1 1
ψΒ = —-=■ arcsin
Vy
i/yh =
2У ν
ω
2У7
V7 α i ω
* ' A ' 2 У γ
/< ',
(259)
Для вычисления определенного интеграла, стоящего в правой части
равенства (258), вновь применим асимптотическое разложение (154) преды-
дущей главы (§ 103). Интегрируя с точностью до члена, содержащего v?h3
в знаменателе, и представляя приближенно ψΒ в виде^
Фв = *ю +
α
получим следующее выражение для толщины потери импульса:
с** _
(1 — ω — Υ)ν^
fxWc
^(Φ^-ψ^) / i _ 2-1,5ω-γ \
' xftV 1 —ω —ν '
(260)
(261)
Аналогичным способом может быть получено выражение для толщины
вытеснения (255)
1
τ(3-1,5ω-τ+.|.)
κΛ(1+γ) У 1—ω — у _
(262)
46 л. Г. Лойцянский

722
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
Составляя, согласно последним двум равенствам, отношение δ*/δ** = Η,
найдем
τ(3-1,5ω-τ—|L)'
(i+τ)
Η
2γ
κΛ(1 + γ) ]/1—ω —γ
λ Γ. 2—1,5ω —γ "1
(1-ω-ν) 1
L κ/i V 1 —ω — ν J
(263)
κΛ"|/ 1 —ω — у
• В предельном случае течения несжимаемого газа (у = 0) и отсутствия теп-
лопередачи (ω = 0) получаем выражение для Н, полностью совпадающее
с соответствующим равенством в § 103.
Приняв для толщины потери импульса более грубое приближение (пре-
небрегая вторым слагаемым в последней круглой скобке равенства (261)),
подставим ее выражение
*** β"κανω(1 — ω — ν) „x/iW-.-U)..,)
fxW0
(264)
в интегральное соотношение импульсов. После простых преобразований полу-
чим уравнение
/κ*
■h2d[e
κΜΨοο-υΟ
J — d risxw'i Rea
UadX
(265)
Взяв интеграл от обеих частей этого уравнения и используя граничное
условие RexW — 0 при h = 0, получим в том же приближении
/κ2
.ft2gHiK*O0-*I0)=Re
XW·
(266)
Равенство (266) переходит в пределе в соответствующее выражение для
несжимаемой жидкости (индекс «0»)
e-j^-hle^o=Rex0.
(267)
Далее, разделим обе части равенства (266) соответственно на обе части
равенства (267), тогда будем иметь
Ь_ \ 2 ^(Фоо-Фи,)-*/!!) __ РшЦ°°
Pcc\lw
\ h )
(268)
Переходя в последнем равенстве от h к Cf и логарифмируя, получим
-ig
cf , κ V2~Ig e
c/o
Vc/o
'(•ψοο — tMlA — ω — у /
c/o
Принимая для ci0 степенную зависимость от числа Rex0
cf0 = 0,0263 Re^oI/7
и вводя обозначения
F = 4^=l,5bRexfr, G=lgJi=-.
(269)
(270)
Vc/o
Я=/±
-ω — у
V
ω
ω
arcsm -
/1+ω2
21/γ . 21/Т
r — - arcsm
/
1 +
ω2
(271)
4γ Κ * ' 4γ
получим зависимость коэффициента трения от параметров набегающего
потока и условий на стенке в следующей неявной форме:
-ig^+F/<:j/^W+<
(272)

§ 120] ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 723
Это уравнение можно свести к трансцендентному уравнению с одним пара-
метром
\gN +N = L, (273)
если положить
L = lg.™+£+£, ЛГ = _™ (274)
2l/-£i-
' cfo
Таким образом, выражение для коэффициента трения запишется в виде
^-=1^ (275)
где F и К — известные функции, а N определяется из решения уравне-
ния (273).
Как показали расчеты, уравнение (273) может быть заменено приближен-
ным, более простым равенством
N = 0,123 + 0,820L, (276)
которое оказывается достаточно точным в широком диапазоне изменения всех
параметров. В этом случае равенство (275) принимает вид
cf F^KP-
е» 4[0,123+0,820(lg^+rZ+£)j2·
(277)
Для определения величины G необходимо задаться законом изменения
вязкости с температурой. В качестве такого закона может быть принята либо
формула Саттерлэнда, либо степенная зависимость вязкости от температуры.
В последнем случае выражение для G будет
G = nlg
W
ш
где η — показатель степени в законе μ ~ Тп. Небезынтересно провести срав-
нение изложенного метода с методом Ван-Драйста, основанным на переносе
в газовую динамику формулы Прандтля. После приведения формулы Ван-
Драйста к виду (272) выясняется, что отличие заключается в величине G,
которая при принятии степенного закона изменения вязкости выражается
равенством
е=(»+т)'^·
При рассмотрении равенства (277) обнаруживается, что при больших
значениях числа Рейнольдса величина отношения cflcf0 очень слабо зависит
от числа Рейнольдса. Действительно, устремляя число Рейнольдса к беско-
нечности (Re^o -*■ оо) или, что то же, F к бесконечности, получим следующую
предельную формулу для отношения cf/cf0:
Эта формула может оказаться полезной при проведении приближенных расче-
тов сопротивления трения при больших числах Рейнольдса.
По изложенному методу были проведены расчеты местного коэффициента
трения. Результаты расчета для случая отсутствия теплопередачи (7V7^ = 1)
и сравнение их с опытными данными различных авторов показаны на рис. 282.
Три кривые на этом рисунке соответствуют трем различным значениям числа
Рейнольдса (106, 107 и 108).
46*

724
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
[ГЛ. XI
Как явствует из рисунка, расчетные и опытные данные хорошо совпа-
дают вплоть до больших чисел М». Влияние температурного фактора на коэф-
фициент трения показано на рис. 283. с /с
f.6["
tfl
Οβ
0,6
ΟΑ
0,2
ь<
ЩгЮ
SRv, /
ox;
/0 s
6
10 7
/
o"^ii
г ь
Рис. 282.
8 10
и
1.0
0,8
Щ
о,\
/,ол
/0,6
0,2
-0£
щю7
i^^v
2 4
Рис. 283.
Б В.
Μα,
Рассмотрим два имеющих практическое значение частных случая.
1) Теплоизолированная пластина.
В этом случае температура стенки Tw равна температуре торможения:
^=^(1+-^!^),
а величины ω и γ соответственно равны
k—i
ω = 0, ν = -
ML
i+±=L m
(278)
(279)
Определяющая процесс функция К будет выглядеть так:
К --= \/~ ~- arcsin У у. (280)
2) Пластина с подогревом или охлаждением при малых скоростях.
В этом случае, устремляя γ —> 0, будет иметь
К =
2(1/1 —ω + ω — l)
ω
(281)
В предельном случае течения несжимаемой жидкости при отсутствии
теплоотдачи (ω = γ = 0) величина К = 1.
Изложенное решение относится к числу полу эмпирических. Напомним
что формула Кармана, положенная в основу вывода уравнения (251), стано-
вится неверной вблизи внешней границы пограничного слоя, где все последо-
вательные производные по нормальной к поверхности пластинки координате
•от осредненной скорости стремятся к нулю. Неверно также допущение о по-
стоянстве напряжения трения во всей области пограничного слоя. Как это

§ 120] ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 725
непосредственно следует из уравнений Рейнольдса турбулентного погранич-
ного слоя
при условии dp/dx = 0, отвечающем рассматриваемому случаю продольного
обтекания пластинки, будет
(£U=0· (283)
Дифференцируя обе части первого уравнения системы (282) по у и раскры-
вая производные во втором уравнении, убедимся, что при у = 0 будет иметь
место система равенств
1Р\дх ду^ду ду )]у=0 — { дуг )у=о> \р-д1 + Р~ду~)у=о~ '
из которой сразу следует, что
θΖτ Χ =0. (284)
\ ду* )у=
Наличие равенств (283) и (284) позволяет считать, что при малых рас-
стояниях от поверхности пластины можно приближенно полагать τ = const =
= τω. Это в известной степени оправдывает сделанное ранее допущение, но,
конечно, ограничивает справедливость его «пристеночной» областью.
Как следует из сравнения результата расчетов с опытными материалами,
принятое приближение достаточно хорошо передает влияние числа Маха
набегающего потока и температурного фактора на такую характеристику
пограничного слоя, как отношение коэффициента поверхностного трения
в газовом потоке больших скоростей к соответствующему значению этого
коэффициента при отсутствии влияния сжимаемости (Μ«, = 0). Подчеркнем,
что в этом отношении ошибки, возникающие при отдельном определении
числителя и знаменателя, могут, в известной степени, скрадываться, чем,
по-видимому, и объясняется хорошее совпадение результатов расчета с экспе-
риментальными данными, показанное на рис. 281 и 282.
Вопрос о тепловых характеристиках пограничного слоя остался в сторо-
не, но мог быть легко изучен благодаря наличию равенства (249), справедли-
вость которого интуитивно оправдывается допущением о равенстве числа
Прандтля единице. При отсутствии этого допущения дело значительно ослож-
няется в связи с необходимостью введения коэффициента восстановления.
Большую сложность представляет расчет турбулентного пограничного
слоя в газе при наличии продольного перепада давлений. Идя на упрощения,
многие авторы используют формулы линейного изменения пути смешения
и постоянства напряжения трения, справедливые лишь в «пристеночной»
области пограничного слоя на продольно обтекаемой пластине *). Нельзя не
отметить, что даже при таких значительных упрощениях жтод расчета оста-
ется крайне трудоемким с вычислительной стороны.
Своеобразен путь, по которому пошел для решения задачи Д. Колз 2).
В цитируемой рабите обсуждается вопрос о существовании такого общего
1) См., например, монографию: Л. Е. К а л и х м а н, Турбулентный пограничный
слой на криволинейной поверхности, обтекаемой газом, Оборонгиз, М., 1956, а также
Ю. В. Л а п и н, Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа, § 17,
«Наука», М., 1970. Предельно упрощенные приемы такого рода расчетов можно найти
в монографии У. X. Дорренса, Гиперзвуковые течения вязкого газа (перев. с англ.),
«Мир», М., 1966, 317—322.
2) D. Coles, The turbulent boundary layer in a compressible fluid, RAND
Corpor. Rep. R-403-PR, 1962.

726
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
|гл. XI
преобразования координат, скоростей и термодинамических характеристик
турбулентного пограничного слоя, которое смогло бы свести уравнения турбу-
лентного пограничного слоя в газе к соответствующим уравнениям в несжи-
маемой жидкости. Попытки разыскания подобного преобразования имелись
в ряде более ранних работ многих авторов г). Составляя уравнения, которым
должны удовлетворять неизвестные функции, входящие в рассматриваемое
преобразование, Д. Колз обнаруживает существование инвариантной по отно-
шению к этому преобразованию величины
в том смысле, что значение этой величины в потоке несжимаемой жидкости
(роо = рю, μ со = Ци>) сохраняется тем же, что и в сжимаемой
^=-c,ReS,*=(c/Rei*)o.
PwV-w
Это соотношение Д. Колз называет законом «соответствующих состояний»
в пограничных слоях на гладких поверхностях и отмечает, что частный случай
этого закона для автомодельных движений в ламинарных пограничных слоях
был уже хорошо известен и раньше.
Среди новых полу эмпирических методов привлекает внимание метод
Д. Б. Сполдинга 2), основанный на применении формулы Прандтля для
напряжения трения и соответствующих ее обобщений на формулы тепломас-
сопереноса с введением коррективов при помощи «турбулентных чисел»
Прандтля и Шмидта. В этом методе применяется составной закон пути сме-
шения, состоящий из линейного возрастания в пристеночной области и по-
стоянства во внешней области пограничного слоя, а вместо схемы «вязкого
подслоя» используется представление о непрерывном влиянии вязкости на тур-
булентный обмен во всей пристеночной области, правда, лишь в том при-
ближенном виде, который был установлен Ван-Драйстом 3), внесшим поправ-
ку в линейный закон изменения пути смешения. Распределение полного
напряжения трения в сечениях слоя принимается в форме линейной зави-
симости от производной давления dpfdx
xn'sT:w+~-y-\-Jwu,
где'первые два слагаемых в правой части прямо следуют из первого из уравне-
ний (282), а последнее соответствует напряжению трения за счет возможного
секундного переноса массы Jw сквозь поверхность тела, если она проницаема.
Аналогичные формулы вводятся для величин переноса тепла и вещества.
Некоторых упрощений в расчетах тепломассопереноса в турбулентном
пограничном слое в газовом потоке больших скоростей можно добиться, пре-
небрегая влиянием рейнольдсова числа или учитывая это влияние ступенчато
в каждом данном интервале рейнольдсовых чисел как одинаковое"во всем ин-
*) Отметим среди работ этого направления следующие: N. Van L e, Transforma-
tion between compressible and incompressible boundary layer equations, Journ. Aeron. Sci.
20, 1953, 583—584; Α. Μ a g e r, Transformation of the compressible turbulent boundary
layer, Journ. Aeron. Sci. 25, 1958, 305—311; F. E. С u 1 i k, J. A. F. Η i 11, A turbulent
analog of the Stewartson—Illingworth transformation, Journ. Aeron. Sci. 25, 1958, 259—262.
2) S. V. Ρ a t a n k a r, D. B. Spalding, Heat and mass transfer in boundary
layers, Intertext Books, London, 1970. Там же см. подробную библиографию, включающую
работы в этой области как самого Сполдинга, так и его сотрудников.
3) Е. R. van D r i e s t, On turbulent flow near a wall, Journ. Aeron. Sci. 23,
1956, 1007.

§ 120] ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 727
тервале 1). Требования практики заставили уже давно встать на путь исполь-
зования проверенных опытом, чисто эмпирических закономерностей2).
Методы приближенных расчетов турбулентных пограничных слоев в сверх-
звуковых потоках однородных и многокомпонентных газов изложены в моно-
графии Ю. В. Лапина 3).
1) Сошлемся на серию работ С. С. Кутателадзе, А. И. Леонтьева и
нх сотрудников в различных изданиях Сибирского Отделения АН СССР. См. доклады:
S. S. Kutateladze, The concept of fluid with disappearing viscosity and some prob-
lems of the phenomenological theory of turbulence near the wall, Third Intern. Heat Trans-
fer Conference, Chicago, USA, Aug. 1966; S. S. Kutateladze, A.I. Leontiev,
B.P. Mironov, Turbulent boundary layer with mass injection and longitudinal pressure
gradient in the finite Reynolds number region, Journ. Soc. Mech. Eng., Semi-Intern. Sym-
posium, Tokyo, Japan, Sept. 1967; монографию: С. С. К у т а т а л а д з е, А. И. Леон-
тьев, Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое, «Энергия», М., 1972,
а также уже ранее цитированную монографию: С. С. Кутателадзе, Пристенная
турбулентность, «Наука», Новосибирск, 1973.
2) В. С. А в д у е в с к и й, В. Н. К а л а ш н и к, Проблемы расчета трения и
теплообмена в турбулентном пограничном слое, Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт,
№ 5, 1967, 9—24.
3) Ю. В. Лапин, Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках
газа, «Наука», М., 1970, а также цитированный в конце гл. X обзор ВИНИТИ, гл. V,
составленная Ю. В. Лапиным.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абрамович Г. Н. 140, 242, 391, 561, 564, 572, 573,
714
Абрамян Б. Л. 379
Авдуевский В. С 727
Акатнов Н. И. 504
Аккерет (Ackeret J ) 221
Алексеев Б. В. 694, 696
Анфимов Н. А 699
Арутюнян Н. X. 379
Архимед 82
Аскович (AscoviC R.) 520
Ахмади (Ahmadi G.) 714
Бабенко К. И. 434
Бай Ши-и (Pai S. I.) 700
Бам-Зеликович Г. М. 614
Барнетт (Barnett D.) 655
Басин А. М. 322
Батчелор (Batchelor G. К.) 361
Беккер (Becker) 643
Белащенко Д. К. 437
Белоцерковский О. М. 239
Белоцерковский С М. 312, 323
Бернулли (Bernoulli D.) 90, 92
Бетчов (Betchov R ) 524
Бингэм (Bingham E. С.) 356
Блазиус (Blasius H.) 455, 517
Богданова В. В. 497
Боричич (BoriCiC Ζ.) 484, 485, 693
Боришанский В. М. 558
Бородачев В. Я. 573
Брайнерд (Brainerd J. G.) 665
Браун (Brown S. Ν ) 448, 709
Брэй (Вгау К ) 348
Буземан (Busemann A.) 266, 267, 343, 346
Бури (Bun A.) 609
Буссинек (Boussinesa J.) 408, 552, 556
Бушмарин О. Н. 520, 572
Бэрд (Baird R. В.) 361
Бэрсиолл (Bursnall W. J.) 541
Бюргере (Burgers J. M.) 627
Валландер С. В. 348
Ван-Вийнгарден (Van Wijngaarden L.) 104, 106,
714 л
Ван-Дайк (Van Dyke Μ.) 219, 324
Ван-дер-Хегге Цийнен (Van der Hegge Zijnen)
627
Ван-Драйст (Van Driest E.) 597, 715, 718, 726
Ван-Ле (Van Le N.) 726
Ванцель (Vantzel) 95
Ванье (Wannier G. H.) 418, 423
Варбург (Warburg) 655
Варшавский Г. А. 715
Ватсон (Watson G. Ν.) 287, 292, 296.Г301
Ватажин А. Б. 391
Вельте (Welte W.) 524, 525
Вендт (Wendt H.) 663, 669
Вернье (Wernier Ph.) 74
Винклер (Winkler Ε. Μ ) 718
Войшель В. В. 718, 719
Вольфштейн (Wolistein M.) 434
Воскресенский К. Д. 558
By (Wood А В.) 483
Вуд (Wood А. В.) 105
Вулис Л А. 572, 573
Вундт (Wundt H.) 518
Гавильо (Gaviglio J.) 626
Гамель (Hamel G.) 376, 643
Гарднер (Gardner С. S.) 338
Гартман Г. М. (Hartmann G. Μ.) 392
Гевинян Г. М. 356
Гельмгольц (Helmholtz H.) 39, 42, 91, 204, 400.
429
Герман (Hermanr R.) 140, 242
Гертлер (Gortler Η.) 372, 524, 525, 566, 583
Гесс (Hess R. V.) 338
Гиневский А. С. 561, 572, 573, 608, 614, 630
Глауэрт Г. (Glauert H.) 216
Глауэрт Μ. (Glauert M.) 504
Гогиш Л. В. 709
Голдстейн (Goldstein S.) 408, 518, 520, 541, 572,
616
Голдшмидт (Goldschmidt V. Μ.) 714
Головина Α. Ε 647
Голт (Gault U. Е.) 541
Голубев В. В. 306
Голубинский А. И. 709
Гольдштик М. А. 598
Горлин С. М. 143
Горощенко Б. Т. 311
Госмен (Gosman A. D.) 434
Гошек (HoSek J.) 544
Гребер (Groeber H.) 438, 371
Грей (Gray A.) 401
Григуль (Grigull U.) 371, 438
Гринберг Г. А. 392
Гродзовский Г. Л. 572
Громека И. С. 35, 40, 89, 400
Гротт (De Grott S. R.) 74
Гуревич М. И. 204, 286
ГухманА. А. 371, 372,716
Гюгонио (Hugoniot H.) Ill, 126
Дайслер (Deissler R.) 594, 716
Даламбер (d'Alembert J.) 193
Дарси (Darcy Η.) 411, 581
Двайер (Dwyer Ο. Ε.) 558
Двайт (Dwight Η. Β.) 333
Дейч Μ. Ε. 75, 714
Делей (Delhaye J. M.) 74
Джонс (Jones R. Т.) 361
Джорджевич (DJordJeviC V.) 490
Джукич (D]ukiC Dj.) 520
Джурич (DJuriC Μ.) 520
Домбровский Г. А. 258
Дородницын А. А. 304, 657, 674, 675, 679, 681
Драйден (DJyden Η. L.) 533, 535, 536, 541, 628, 633
Дробленков В Φ. 605, 614
Дубов В. С. 570, 571
Дхаван (Dhawan S.) 538
Дьердьевич 490
Дюма (Dumas R.) 626
Дюрэнд (Durand W. F.) 338
Жедь В. П. 427
Жуковский Η. Ε. 177, 181, 183, 192, 204, 205
Жуховицкий А. А. 437
Заблоцкий Н. Д. 427
Захаров ГО. Г. 628
Зегжда А. П. 371
Зельдович Я. Б. 135, 136, 150, 154
Зоммерфельд (Sommerfeld А.) 413
Зысина-Моложен Л. М. 625
Игл (Eagle А.) 593
Илизарова Л. И. 630
Илюхин Н. В. 716
Иоселевич В. А. 532
Калашник В. Н. 727
Калихман Л. Е. 725
Каменецкий А. И. 612, 613
Кантровиц (Kantrowit? А.) 156
Каплан (Kaplan С.) 294, 300
Капустянский С. М. 690, 691, 693
Карман (von Karman Th.) 258, 299, 327, 330, 462,
556, 580, 585, 593, 598, 628, 654, 666, 669, 717
Каулинг (Cowling Т.) 655

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
729
Капшаров В. П. 572
Келлер Л. В. 628
Кельвин (Kelvin, Thomson W.) 52, 53, 158, 165
Кемпф (Kempf G.) 601
Кеннеди (Kennedy Ε. D.) 459
Кертисс (Curtiss С. F.) 361
Кестер (Kester Κ. Η.) 718
Кибель И. А. 92, 198, 295, 322, 338, 434, 524,
536, 661
Кириллов И. И. 625
Кирхгоф (Kirchhoff G.) 204, 313
Клебанов (Klebanoff P. S.) 536
Кнудсен (Knudsen J. G.) 655
Коанда (Coanda A.) 448
Кобаши (Kobashi Y.) 630
Коган М. Η. 656
Когарко Б. С. 106
Колесников А. В. 608, 615
Колесников Г. А. 311
Колз (Koles D.) 526, 527, 725, 726
Константинеску (Constantmescu V.) 427
Конт-Белло (Conte-Bellot J.) 626, 628, 632
Коп (Соре) 354
Корзин (Corrsin S.) 628
Коркеги (Korkegi R.) 714
Коробко В. Н. 572
Корст (Korst Η. Η.) 707
Корявов Л. П. 435
Котляр Я. М. 427
Кочин Η. Ε. 14, 92, 198, 204, 295, 322, 338, 434,
461, 524, 536
Коэн (Cohen С. В.) 687
Крабтри (Crabtree L.) 497
Крайко А. Н. 71
Красильщиков П. П. 543
Краснов Η. Φ. 346
Красносельский М. А. 525
Кривцова Н. В. 699
Криминале (Criminale V.) 524
Крокко (Сгоссо L.) 449, 450
Крылов А. Н. 351
Кулик (Culick F. Ε. G.) 726
Куликовский А. Г. 392, 455
Кунд (Kundt A.) 655
Кутателадзе С. С. 75, 371, 558, 598, 727
Куэрти (Kuerti G.) 666
Кыоз (Kuethe A. M.) 569
Лаатс М. К. 714
Лаваль (Laval) 117
Лагранж (Lagrange) 31, 159
Лайтхилл (Lighthill M.) 333
Ламб (Lamb H.) 295
Лапин Ю. В. 599, 719, 725, 727
Лаплас (Laplace) 103
Лауфер (Laufer J.) 552
Лев (Lew H.) 643
Лейбензон Л. С. 254, 413
Лельчук В. Л. 716
Леонтьев А. И. 598, 727
Лесников А. Л. 481
Либер (Liber P.) 643
Либи (Libby P. А.) 643
Лиз (Lees L.) 708
Ликудис (Likoudis P. S.) 483
Линь Цзяо-цзяо (Lin С. С.) 156, 260, 524, 626
ЛипманЦлертапН. W.) 226,230, 238, 332, 334, 648
Лобб (Lobb R. К.) 718
Лойцянский Л. Г. 14, 418, 425, 461, 466, 468, 497,
500, 510, 542, 543, 569, 572, 573, 590, 599, 608,
613, 614, 624, 628, 666, 669, 674, 699, 719
Лофгин (Loftin L. К.) 541
Лумли (Lumley Т. L.) 532
Лундгрен (Lundgren Т. S.) 393, 397
Лунькин Ю. П. 648
Лурье А. И. 14, 400, 408
Лус (Loos Η. G.) 497
Лыков А. В. 438
Лэйтон (Laitone E. V.) 258
Любенов (Lubenov V.) 689
Любимов Г. А. 391, 392
Людвиг (Ludwig) 558, 699
Ляыбоси (Lambosi P.) 400
Ляпунов А. М. 525
Магнус (Magnus К.) 177
Мазур (Mazur P.) 74
Майер (Mayer Th.) 243
Майкапар Г. Н. 709
Максвелл (Maxwell С.) 358, 655, 656
Манглер (Mangier W.) 493, 672
Марбл (Marble F.) 709, 713
Мартынов А. К. 242
Мизес (Mises R.) 449, 666
Милликен (Millikan С В.) 655
Минский Ε. Μ. 534, 627, 628
Мирзаджанзаде А. X. 356
Мирзоян А. А. 356
Миронов Б. П. 727
Михайлов В. В. 709
Михайлов Ю. А. 438
Мокк (Mock W.) 628
Монин А. С. 524, 550, 626
Мордухов (Morduchow Μ ) 643
Мэйджер (Mager A.) 726
Мэкин (Macken N. Α.) 427
Мэтьюз (Mathews G. В.) 401
Навье (Navier L.) 630
Накоряков В Е. 598
Нарасимха (Narasimba К.) 538
Нейланд В. Я. 702, 709
Некрасов А. И. 323
Нигматулин Р. И. 71, 74, 75, 359
Никкель (Nickel К.) 446
Никурадзе (Nikuradse J ) 577, 583, 586, 588, 609
Новиков И. И. 558
Нуссельт (Nusselt W.) 583
Ньютон (Newton I.) 103, 351
Наш (Nash J. F.) 707
Овсянников В. Μ 699
Озеен (Oseen С. W.) 408
Озерова Ε. Φ. 476
Олейник О. А. 446
Омбек (Ombeck H.) 583
Орлов В. В. 598
Осватич (OswatitsclrK.) 242
Оствальд (Ostwald W.) 357
Павловский Ю. Н. 435
Пакет (Pucket A. E.) 238
Пан (Pun W. Μ.) 434
Паппас (Pappas С. С.) 715
Паскаль (Pascal В.) 79, 82
Латанкар (Patankar S. V.) 726
Патерсон (Patterson G. N ) 150
Перш (Persh J.) 537
Петров Г. И. 242
Петров II. П. 413
Пилипенко В. Н. 532
Пинкус (Pinkus О.) 427
Польгаузен К. (Pohlhausen К.) 466
Польгаузен Э. (Pohlhausen E.) 488, 489
Полядский В. Ф. 256
Поляхов Η. Η. 323
Попов С. Г. 628 ,„ „,„
Прандтль (Prandtl L.) 116, 128, 140 216, 242,
266, 303, 439, 445, 542, 554, 564, 566, 574,575,
591, 599 606, 608, 643 „nr> πηη
Пробстин (Probstem R. F.) 348, 698, 702, 704
Прокофьев В. В. 714
Пруден (Pruden E. W.) 223
Пуазейль (Polseuille) 352, 382
Пуассон (Poisson S. D.) 98, 126
Пэннел (Pannel J.) 583
Райзер Ю П. 135, 136, 150, 154
Ранчел (Runchal Α. Κ ) 434
Реба (Reba I.) 448
Ребиндер Л. А. 353
Регирер С. А. 391, 392
Рейнер (Reiner M.) 357
Рейнольде (Reynolds О.) 523, 559
Реслер (Resler E.) 156
Решотко (Reshotko E.) 687
Ривз (Reeves В. L.) 708
Ридел (Ridell F. R.) 699
Риыан (Riemann В ) 123, 144
Ричардсон (Richardson L. F.) 626
Робертсон (Robertson I.) 614
Розе Н. B. 92, 198, 295, 322, 338, 434, 524, э36
Розенблатт (Rosenblatt A.) 376
Розенхед (Rosenhead L.) 408, 443, 455, 467, 5 IS,
524
Романо (Romano F.) 643
Росс (Ross D ) 614
Россов (Rossov V. I.) 483
Pott (Rott N.) 497
Ротта (Rotta J. C.) 526
Рошко (Roshko A.) 226, 232, 334, 371
Рубезин (Rubesin N. W.) 635, 664
Румер Ю. Б. 515

730
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Рэлей (Rayleigh J. W. S.) 643
Рэнкин (Rankine W.) 643
Сайбл (Saibel Ε. Α.) 427
Сальников (Saljnikov V.) 490, 520
Саноян В. Г. 289
Сараев Ю. В. 520
Саржент 536
Саттерлзнд (Sutherland D. Μ.) 353, 635, 666
Седов Л. И. 74, 153, 198, 260, 322, 323, 372
Сеид-рза М. К. 356
Секундов А. Н. 615
Сен-Венан (Samt-Venant В.) 95
Симуни Л. М. 476 690
Сипенков И Ε 427
Сире (Sears W R ) 495
Сквайр (Squire Η. Β.) 621, 624
Скремстед (Skremstad Η. Κ.) 532, 533, 628
Скрипач Б. К. 312, 323
Скэн (Skan S. W.) 455
Слезкин Н. А 254, 403 409, 413, 524
Слоан (Sloan D. Μ ) 392, 397
Слободкина Φ. Α. 455
Сляихер (Sleicher С.) 558
Смирнов В. И. 200, 305
Смит (Smith P.) 392, 397
Соболева Τ Б. 709
Coy (Soo S.) 71 73, 75, 360, 361
Сполдинг (Spalding D. В.) 434, 438, 726
Спрейтер (Spreiter J. R.) 231
Старков В К. 71
Стернин Л. Е. 71
Степанов Г. К). 192, 204, 361, 709
Степанов Е. И 493
Степанянц Л. Г. 425, 427, 648
Стоке (Stokes С.) 44, 362, 635
Струминский В. В. 495
Струхал Strouhal V ) 371
Стэнтон (Stanton Т. Е.) 583
Стюарт (Stuart J. Т.) 524
Стюартсон (Stewartson К.) 459, 683, 709
Сычев В. В. 702, 709
Сэдни (Sedney R.) 497
Табачников В. Г. 312, 323
Тани (Tam I ) 468, 536
Тарасова В. Н. 716
Тарг СМ 413
Таунсенд (Townsend А.) 628
Теккер (Tucker M.) 717
Теле ов С Г. 74
Темпль 261
Терентьев Η. Μ 690
Террилл (Terrill R. М.) 478
Тидстрем (Tidstream К. D.) 536
Тирский Г. А 699
Титьенс (Tietjens Q.) 520
Толмин (Tollmien W.) 561
Томас (Thomas L. Η.) 532, 643, 647
Томпсон (Thompson В. G.) 615
Томе (Toms В. А.) 532
Томсон (Thomson) см. Кельвин
Трубников Б. Я. 567
Турилина Е. С. 558
Тэйлор Дж. (Taylor G. 534, 573, 591, 643
Уилкинсон (Wilkinson W. L.) 357, 390
Уиттекер (Whitteker Ε. Τ.) 287, 292, 296, 301
Уфлянд Я. С. 392
Ухов Е. П. 242
Фабрикант Н. Я. 299, 322
Фавр (Favre А.) 626
Федынский О. С. 558
Федяевский К. К. 590, 608
Фергюссон (Fergusson R.) 593
Ферри (Ferri А.) 114, 238, 267, 342, 346, 678
Фидман Б. А. 627
Филиппов Г. А. 75, 714
Филиппов Μ С. 628
Филлипс (Phillips О. М.) 550
Финстервальдер (Finsterwalder S.) 302
Флетнер (Fletner А. )177
Фойхт (Voigt W.) 357,1358
Фокнер (Falkner V. Μ.) 455
Фомина Η. Η. 608
Франкль Φ. И. 718, 719
Франс (France S.) 543
Франсуа (Francois С.) 702
Френкель Я. И. 14
Фридман А. А. 91, 92, 628
Фрипшан Ф. А. 714
Фэй (Fay J.) 699
Хабахпашева Ε. Μ. 598
Хама (Hama F. R.) 609
Хантше (Hantzsche W.) 663, 669
Хартри (Hartree D. R.) 354, 455
Хейз (Hayes W. D.) 698, 702, 704
Хейль (Meil M.) 699
Хеле-Шоу (Hele-Shaw H. S.) 411
Хиггияс (Higgins R. M.) 715
Хилл (Hill J. A. F ) 726
Хилтон (Hilton W. F ) 223, 261
Хинце (Hinze J. O.) 550, 552, 626, 714
Хислоп 533
Холл (Hall A. A.) 533
Хоуорт (Howarth L.) 472, 628, 642, 665
Хоусхолдер (Hauscholder Μ. Κ.) 714
Христианович i . A. 254, 256
Хэнрэтти (Hanratty J. T.) 594
ЦиноРер А. Б. 483
Чан (Chan Υ. Y.) 480
Чанг (Chang С ) 392, 393, 397
Чаплыгин С. А. 118, 181, 183, 191, 192, 251, 258,
302
Чень Сюе-сень (TsienH. S.) 258, 289, 654, 669
Чепмен Д. (Chapman D. R.) 665, 718
Чепмен С. (Chapmen S.) 655
Черный Г. Г. 250, 346
Чжен (Cheng P.) 702, 709
Чуанг (Chuang S.) 714
Чушкин П. И. 311
Шапиро A. (Shapiro А.) 331, 715
Шапиро Н. (Shapiro N.) 715
Швабе (Schwabe M. S.) 520
Шведов Φ. Η. 356
Шейнберг С. А. 427
Шерклиф (Shercliff J. A.) 392, 393
Шидловский В. П. 656
Шиллер (Schiller L.) 523, 525, 583
Шиманский (Szymanski P.) 400
Шишеев М. Д. 427
Шишкина Л. Г. 481, 482
Шлихтинг (Schlichting H.) 480, 496, 500,508,
520, 524, 533, 544, 572, 590, 608, 623
Шмидт (SchmMt В.) 648
Штерн В. И. 598
Штернлихт (Sternlicht В.) 427
Шу (Schuh H.) 519
Шубауэр (Schubauer G. В.) 532,-» 533, 541, 552,
606, 628
Шубин Ю. М. 630
Щенников В. В. 699
Щербинин Э. В. 483
Эванс (Evans Η. L.) 459, 488
Эйлер (Euler L.) 78
Эйнштейн (Einschtein Α.) 361
Элиас (Ehas F.) 489
Эмде (Emde F.) 290, 401
Эммонс (Emmons Η. W.) 665
Эрк (Erk S.) 371, 438, 583
Юдович В. И. 525
Юнг (Young A.) 621, 624
Юнгклаус (Jungklaus G.) 483
Юрьев И. М. 254
Юферев В. С. 483, 484
Яглом А. М. 524, 550, 626
Якоб (Jacob M.) 583
Янке (Janke E.) 290, 401

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебания 370
Автомодельность 246, 377, 562, 659, 670
Адиабата изэнтропическая 100
Пуассона 98, 126
— ударная Гюгонио 126
Алгебра векторная 14 и д,
— тензорная 17
Анализ векторный 21 и д.
— тензорный 27
Аналогия вязкая плоского безвихревого потока
идеальной жидкости 410
— Рейнольдса 559
— —, асимптотическое обобщение 596
Анемометрия тепловая 627
Аэростатика 78, 86
Баланс тепла, уравнение 436
Барботаж 105
Баротропность 80, 97
Безразмерность 367, 639
Бугорок шероховатости 535, 586
Быстрота изменения элементарного объема среды
во времени 49
Вектор 14, 17
— аксиальный 16
— главный сил давления жидкости на поверх-
ность тела 191, 315
— напряжения 58
— потенциальный 90
— присоединенный количества движения 316
— — момента количества движения 316
— физический (истинный) 16
Вектор-шаг решетки 202
Величина комплексной скорости 170
Вес удельный 54
Ветер звуковой 135
Вихреисточник (вихресток) 173
Вихрь вектор-функции 21 и д.
— изолированный 172
— крупный 626
— мелкий 627
— присоединенный 192, 302
— свободный 303
— скорости 36, 159
Водослив 204
Возможность динамическая движения 91
Волна головная 137, 142, 693
— звуковая 103, 133, 134, 135
— Маха 218
— простая 102, 146
— разреженная 123, 147, 150
— — за движущимся поршнем 150
— — центрированная 150
— сжатия 123
— ударная 123, 133, 232. 642
— — в трубе 149, 155
головная 239, 705
— — отсоединенная 136
— — плоская 123
— — сферическая 135
Волнолом 137, 143, 239, 242
Восстановление давления 118
Вращение элементарного объема квазитвердое
37, 39, 40
Время запаздывания 357
— релаксации газа 358, 694
— — напряжений 358
— — скорости 712
темпера-i у ры 713
Вход безударный 201
— в атмосферу 693
Выветривание 699
Высота гидравлическая 94
— нивелирная 94
Высота пьезометрическая 94
— скоростная 94
Вязкость 10, 11
— пластическая (структурная) 356, 390
— по Ньютону 352
— турбулентная 552
Газ 12 (см. также Жидкость сжимаемая)
— вязкий 634
— запыленный 709
— покоящийся 86, 95
Генерация турбулентных напряжений 549
Гидравлика 87, 94, 586
Гидродинамика магнитная 391
Гидростатика 78
Гипотеза плоских сечений 304
Гипоциссоида 234
Гистерезис коэффициента подъемной силы 541
Годограф скоростей 251
Градиент скалярного поля 21—23
Давление 79, 81, 355
— гидродинамическое 88
— гидростатическое 79
— критическое 106
— статическое 141
Двигатель реактивный прямоточный 136
Движение (см. также Поток)
— адиабатическое 96
— баротропное 80, 158
— безвихревое 40, 45, 158
пространственное 270 и д.
— винтовое 36, 40
— вязкой жидкости между двумя близкими
параллельными плоскостями 409
— газа баротропное 92, 211
дозвуковое 128, 254
— — изэнтропическое 111
— — неадиабатическое 119
— — по трубе неизэнтропическое при наличии
сопротивления 120
— — сверхзвуковое 128
— изэнтропическое 100
— ламинарное 378
— осесимметричное безвихревое 286
— осредненное стационарное 535
— плоское стационарное 167
— по трубе вязкой жидкости ламинарное пуль-
сирующее 400
— ■— — установившееся 378 и д.
— слоистое 551
— турбулентное 378, 523 и д.
квазистационарное 545
— тэйлоровское 527
— циркуляционное 172
— элементарного объема 39
— деформационное 45
Дефект кинетический энергии 449
— полного напора 449
Деформация поля вектора 27, 28
— — скоростей 39
Диада 19
— дифференциальная 27
— координатная 20
—■ сопряженная 27
Дивергенция вектора скорости 49
— векторного поля 21
— поля тензора 27, 28
— тензора напряжений 61
Диполь 172, 180, 271, 299
Дисперсия механической энергии 431
Диссипация механической энергии 427 и д.
Диссоциация 693
Дифференциал тензорный 28
Дифференцирование (см. Производная)

732
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Диффузия 431, 696
— завихренности 431, 440
— турбулентная вещества 548
Диффузор 116, 524
— сверхзвуковой 136
Длина динамическая 576
— пластины эффективная 608
— профиля 178
■— релаксация 694
Единица тензорная 18, 79, 88, 354
Единицы вязкости 352
Жидкость 13
— аномальная 13
— бингамовская 10
— вязкая 351 и ρ
— — электропроводная, движение в попереч-
ном магнитном поле 391
— вязкопластическая 356
— дилатантная 357
— идеальная 11 88
■— нелинейная 357
— неньютоновская 10 356
— неоднородная 66, 359
— несжимаемая 56
вязкая 351 и д
— —, равновесие 81
— ньютоновская 13, 354
— пластическая 356
— псевдопластическая 357
— реологическая 358
— реопектическая 358
— сжимаемая 103
— тиксотропная 358
Задача автомодельная 153, 246
— Блазиуса 455
— Зоммерфельда 413
— Кармана о продольном сверхзвуковом обтека-
нии тонкого тела вращения 327
— Неймана 271
— Прандтля — Майера 243
— Римана о распространении конечных возмуще-
ний 144, 262
— Стокса 403
Закон Архимеда 82
— Да реи 411
— изменения кинетической энергии 64
— — моментов количеств движения 62
— изотропии нормальных напряжений 78
— Максвелла 358
— Ньютона 351
обобщенный 354, 355
для газа 634, 635
— с одной седьмой 585, 603
— Ома обобщенный 391
— подобия (см. Подобие)
— постоянства секундного расхода вдоль трубки
тока 78
— Пуазейля 382
— релаксации напряжений 358
— реологический 351
— сохранения массы 55
— — полной энтальпии 126
— — энергии 65
— Фика 70, 437, 556
— Фойхта 357
— Фурье 436
Закрученность струи 512
Запаздывание упругой деформации 357
Запирание потока 106, 115
Звук 103, 133
Зоны мертвые 204
— срывные 204
Игла Осватича 137, 143, 242
Измерение давлений 140
Изобара 80
Изостера 54, 80
Изотаха 381
Изотропия нормальных напряжений 79
— физических свойств 354
Изэнтропа 100
Инвариант тензора квадратичный (второй) 20
— — кубичный (третий) 20
— — линейный (первый) 20, 354
Инварианты Римана 144
Инжекция 562
Интеграл Бернулли 92
— Коши 180
— Лагранжа — Коши 163
Интенсивность вихревой трубки 42, 44, 159
— турбулентности 531
Испарение 699
Истечение из сопла 114
— струи, закручивание 44
Источник (сток) 172, 272, 280, 299
— звука точечный 135
Катализ 698
Кинематика сплошной среды 31 и д.
Кинетика фазовых превращений физическая 75
— — — химическая 75
Количество движения присоединенное 316
Кольцо вихревое 162
Компоненты тензора скоростей диагональные 47
— недиагональные 48
Конвекция 'iO, 431, 435 и д.
— завихренности 440
— свободная 437
Контур эффективный 618, 702
Конус Маха 219, 328
Конфузор 114, 290, 376, 524
Концентрация 69, 695
Координата универсальная 578
Координаты криволинейные 24, 278
— эйлеровы 75
Коэффициент волнового сопротивления 221
— восстановления 661, 718, 725
— — полного давления в сверхзвуковом диффу-
зоре 138
— вязкости динамический 352, 431
— — кажущийся 357
— — кинематический 352, 431
смеси 361, 695
— — объемной (второй коэффициент вязкости) 634
— — турбулентной динамический 552
— — — кинематический 552
— давления 174, 214, 216, 333
— диффузии 431, 437, 698.,
завихренности 431
турбулентной 557
— индуктивного сопротивления 308, 332
— корреляции 629
между пульсациями скоростей 627
— массодиффузии 698
— массопроводности 431
— перемежаемости 526
— подъемной силы 194, 217, 221 308
— — — динамический 521
— пористости среды 412
— присоединенной массы 318
— скольжения газа 656
— скоростной 107
— сопротивления крылового профиля 194
— — при движении газа по трубе 121
— температуропроводности 436
— теплоемкости при постоянном давлении 96, 694
— — — — объеме 96
— теплопроводности 431, 436
— термический расширения жидкости 435
— термодиффузии 698
— турбулентного обмена 567
— — переноса импульса 556
— — — концентрации примеси 556
тепла 556
— турбулентной вязкости 552, 557
диффузии 557
— — теплопроводности 557
— фильтрации 411
— электропроводности 484
Коэффициенты Ляме 25, 278, 286
— переноса 10
— подобия 365
Кривая интегральная 34
Кривые Хилтона и Прудена 223
Кризис обтекания 540, 678
— сопротивления 539, 678
Критерии подобия 369
Критерий Галилея 375
— подобия гиперзвуковых потоков 249
— — — — обобщенный 704
Крутка струи 511
Крыло (см. также Профиль крыловой)
— конечного размаха 302
— незакрученное аэродинамически 309
— — геометрически 309
Линия вихревая 40, 93, 275
замкнутая 277
— возмущения в сверхзвуковом потоке (линия
Маха) 218, 243, 265

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
733
Линия изопотенциальная 169
— изостерическая 54
— несущая Прандтля 303
— тока 32, 33, 169
— — нулевая 169
Лоб профиля 178
Масса переменная 56
— присоединенная 320, 360
поперечная 322
продольная 321
Массодиффузия 697
Массоперенос 431
Масштаб 366
— турбулентности 531, 534, 554, 629
большой 626
малый 626
— универсальный 578
МГД-пограничный слой 480
Метеорология динамическая 99
Метод Блазиуса 452
— Бури 609, 614
— Гертлера 452
— графический построения годографа скорости
частиц газа 344
— графоаналитический интегрирования 144
— касательных конусов (касательных клиньев)
348
— комплексной переменной 167 и д.
— конформных отображений 204
— Кочина — Лойцянского 461
— Коэна — Решотко 687
— Лагранжа 31, 32
— особенностей 294
— осреднения 67, 544
— подобия 365
— — обобщенного 468, 688
— Польгаузена 471
— размерностей 372
— урезания 471
— Фурье 399
— характеристик 262
— Хоуорта 472
— Эйлера 32
Механика жидкости и газа 9
— переменной массы 56
— сплошных сред несимметричная 63
— — — симметричная 63
Модель сплошной среды макроскопическая 9 и д.
Модуль скорости 170
Моль 551
Момент главный сил давления жидкости на по-
верхность тела 191, 315
— диполя 173
— количества движения присоединенный 316
Мощность внутренних сил удельная 99
— диссипируемая 428, 638
Набла 21 и д.
Надслой 537
Напор полный 95
— пьезометрический 15
— скоростной (динамический) 95
Направление безударного обтекания 201
— бесциркуляционного обтекания 182
Направления характеристические 145
— — в физической плоскости 263
Напряжение 58
— касательное турбулентного трения 551, 553
— касательное 59
— нормальное 59
Неоднородность поля 51
Нестационарность поля 51
Нить вихревая (см. Линия вихревая)
Нормировка функции распределения 68
Область диффузионная 447
— течения многосвязная 45, 162
— — односвязная 45, 160
Облачко турбулентное 537
Обтекание гиперзвуковое 247
— клина бесконечного сверхзвуковое 231
— конуса продольное сверхзвуковое 340
— крыловых профилей 178
— осесимметричное дозвуковое 323
— — сверхзвуковое 327
— пластины 185
— — разрывное безграничным потоком 209
—. —· —-в канале конечной ширины 210
— — — струей конечной ширины 209
— сферы 281
Обтекание тел вращения поперечное 296, 299
— тел вращения продольное осесимметричное
290, 302
— тонких слабоискривленных тел 212
— тонкого профиля дозвуковое 215
— — — сверхзвуковое 218
— вращения сверхзвуковое при очень боль-
ших числах Маха 346
— цилиндра бесциркуляционное 173
циркуляционное 175
— шара при малых значениях числа Рейнольдса
403
— эллипса циркуляционное 183
Объем удельный 54
Однородность поля скоростей 51
Окружность основная 183
Особенности потока дискретные 172, 299
Осреднение по множеству частиц 67
Ось решетки 202
Отверстие динамическое 142
— статическое 141
Отрыв пограничного слоя ламинарного 448, 520
— — — турбулентного 540
Отсос 544
Парабола Пуазейля 382, 403
Парадокс гидростатический 82
— Даламбера 193, 200, 283, 285,: 616
Параметр пластичности 390
— сжимаемости 688
— Тэйлора 534
— Чаплыгина 118
Паскаль-секунда 352
Пелена вихревая 303
Перемежаемость 525
Переменные Дородницына 657, 675, 683, 719
— Крокко 450
— Лагранжа 31
— Прандтля — Мизеса 449
— Эйлера 32
Перемешивание турбулентное (молярное) 551
Перенос суммарный количества движения в j диф-
фузионных потоках компонент (фаз) 74
— турбулентный 550
— физической величины через поверхность 75
Период осреднения 544
π-теорема 372
Плазма низкотемпературная 350, 700
Пластина шероховатая 605
Пластичность жидкости 356, 390
Плоскость годографа скорости 171, 251
— физическая (плоскость течения) 171
Плотность вероятностная распределения частиц
в пространстве 68
— — — — по скоростям 68
— распределения вихрей 187
— — мощности внутренних сил 64, 65
— — объемного действия поверхностных сил 61
реактивных сил 62
— среды 54, 68
Поверхность вихревая 93
— изопотенциальная 80, 160
— изостерическая 54
— контрольная 75
— проницаемая 480
— разрыва 89
— свободная 81
— тока 34 93, 279
Подвес сферический 425
Подобие 334, 365, 639
— аффинное 366
— динамическое 224, 226
— кинематическое 225
— локальное 460
— обобщенное 468, 688
Подслой 537
— ламинарный (вязкий) 553, 591
— температурный 591
Подход квазистационарный 712
Подшипник гидростатический 425
Показатель адиабаты 86
Поле скоростей нестационарное 32
— — однородное 51
— — стационарное 32 51
— тензора напряжений 60
— угловых скоростей (вихрей) 40
Полином Эрмита 290
Полюс 36, 312
Поправка Эйнштейна 3S1, 712
Постоянная газовая 96
— Саттерлэнда 635
— Чепмена — Рубезина 664

734
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Постоянные циклические многосвязной области
162
Постулат Жуковского — Чаплыгина 181, 192
Потенциал векторний 170, 275
— единичный 314
— комплексный 170 ид.
— объемного действия поверхностных сил 92
сил давления 87
— объемных сил 80, 92
— простого слоя 274
— скоростей 160
— — векторный 279
— — замкнутой вихревой линии 278
— слоя двойного 274
— — простого 274
Потери механической энергии 100, 131, 242
Поток (см. также Движение)
— вектора сквозь поверхность 23, 41
— — угловой скорости 42
— вещества турбулентный, вектор 548
— гаэовый/с твердыми примесями 67, 709
— гиперзвуковой 247, 693, 700
— дозвуковой 107
— звуковой 107
— одномерный 110
— полного импульса сквоэь сечение струи 511
— сверхзвуковой 107
плоский 218, 261
— — расширяющийся 243
— — сужающийся 231
— спутный 133
— тепла турбулентный, вектор 548
— фильтрационный 411
Правило Прандтля — Глауэрта 216, 337
Преобразование Дородницына 657, 675, 683
Приближение диффузионное 70
— локальное п-параметрическое 477
— начальное по Христиановичу 256
Прилипание 364, 447
Примесь 360
— высокополимерная 532
Принцип Гельмгольца минимума диссипированной
энергии 429
— размерностей 372
Приращение индивидуальное (субстанциональ-
ное) 46
Пробка турбулентная 527
Производная индивидуальная (субстанциональ-
ная) 46
— конвективная 50, 76, 315
— лагранжева в эйлеровом представлении 77
— локальная 50, 315
Протекание сквозь канал осесимметричное без-
вихревое 289
Противодавление 115
Профиль крыловой 178
— — Жуковского — Чаплыгина 188
— — — — — изогнутый 190
обобщенный 190
— — ламинаризованный 532
— — несущий 543
— — обтекаемый плохо 181
— — ■— хорошо 181
— — ромбовидный 223
— — тонкий 196
— — чечевицеобразный 223
— скорости логарифмический 578, 586
Процесс адиабатический 86
— изотермический 86
— необратимый 127
— переноса молекулярный 551
молярный 551
Псевдовектор 16
Псевдоскаляр 16
Пуаз 352
Пузырь турбулентный 541
Пульсация 544
Путь смешения 554, 567, 590
Пятно турбулентное 537
Работа элементарная внутренних сил давления
удельная 99
Равновесие газа бароклинное 86
— — баротропное 86
— жидкости баротропное 80
— — несжимаемой 81
— твердого тела, погруженного во вращающуюся
Жидкость 85
Распределение циркуляции эллиптическое 309
Расход объемный секундный 171, 381
Расходимость (см. Дивергенция)
Реология 10, 13, 351
Ресивер 95
Решение автомодельное 153, 245, 342, 377
Решения подобные уравнения Прандтля 451
Решетка компрессорная 625
— профилей 202, 624 и д.
— турбинная 625
Ротор 21
Роторы Флетнера 177
Руль Жуковского 188
Ряд Лорана 179
Сантипуаз 352
Сантистокс 352
Связность области течения 45, 160
Седло 34
Сектор разрежения 243
Сетка эпициклоид 264
Сечение критическое 106
пограничного слоя 528
— плоское потока 304
— трубки тока 35
— — нормальное (ортогональное) 35
Сила архимедова (гидростатическая подъемная
82, 435
— межмолекулярная 12
— объемная (массовая) 57
— поверхностная 57
— подсасывающая 194
— подъемная (поддерживающая) 193
крыла 308
— — профиля в решетке 204
— пондеромоторная Лоренца 391
Система координат 16, 26, 27, 30
— уравнении линеаризованная 100
Скаляр 14, 17
— физический (истинный) 16
Скачок разрежения, невозможность его 127
— уплотнения 100, 128 и д.
— — интенсивности большой 133
малой 133
— — конический 340
косой 232, 248
— — — сильный 237
слабый 238
— — отсоединенный 239
прямой 125, 642
Скелет руля Жуковского 188
Скорость газа критическая 106
— девиации потока 203
— динамическая 576
— диффузии фазы 69
— звука 103, 133
адиабатическая 103
— — в газожидкостной смеси 105
изотермическая 103
— — стандартная 104
— индуктивная 304
— комплексная 170
— массовая секундная образования компоненты
смеси 69, 695
— на внешней границе пограничного слоя 445
— относительного объемного расширения среды
в точке 48
— — удлинения 47
— пульсационная 544
— распространения малых возмущений в идеаль-
ном газе 100
— — ударной волны 133
— скольжения 444, 639
— сопряженная 170
— спутного потока 133
— универсальная 578
— элементарная индуцированная 276
Скос потока 305
След аэродинамический 159, 439
— — ближний 447
дальний 498
турбулентный 571
— тензора 20
Слой вихревой 187, 303
— двойной 274
— пограничный 439
— — диффузионный (концентрационный) 442,
486
— — ламинарный 442
— — — на пластине 455, 657
— — — при движении газа с большими скоро-
стями 648 и д.
— — магнитогидродинамический 480
— — на проницаемой поверхности 480
— — плоский нестационарный 516

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
735
Слой пограничный пристенный 439
— — свободный 439, 497, 529
— — скоростной (вихревой) 442
— — температурный 442, 486
турбулентный в газе на продольно обте-
каемой пластине 714
Смазка в подшипнике 412
— газовая 427, 648
Смесь 69, 359
— газов многокомпонентная 694
Смола 357
Соотношение интегральное Кармана 462
Сопло 114 и д.
— Лаваля 117, 136, 157
— — обратное 138
Сопротивление волновое 221, 330
— давлений 615
— индуктивное крыла 308, 615
— лобовое 615
— профильное 615, 620 и д.
— — решетки 624
— трения 615
— участка трубы 120, 386
Составляющая деформационная 38, 45
— ускорения конвективная 51
— — локальная 51
Состояния агрегатные 12—14
Спектр обтекания 32
Сплюснутость Земли относительная 85
Способность поверхности каталитическая 698
Среда вязкая 10, 351
— вязкоупругая 357
— газожидкостная 104
— газообразная 13
— гетерогенная (многофазная) 67, 359—360
— гомогенная (однофазная) 67
— жидкая 13
— идеальная 10, 88
— неоднородная 66 и д.
— сплошная 9
— твердая 12
Стационарность поля скоростей 51
Степень турбулентности 531
Сток 172, 271
Стоке 352
Стратификация 551
Строфоида 234, 269, 345
Структура внутренняя турбулентного потока 626
— молекулярная 12
Струя 35
— затопленная 500, 564
— осесимметричная 508
— — закрученная 510
— турбулентная 5?9
Сублимация 699
Супераэродинамика 655
Сфероид 85
Схема каскадная 626
Сход плавный 201
Текучесть сплошной среды 9, 356
Тело вязкоупругое 358
— Максвелла 358
—, погруженное во вращающуюся жидкость 85
— твердое 12
— — аморфное 13
— — кристаллическое 13
— Фойхта 358
Температура критическая 106
Тензор 17
— антисимметричный 17
— второго ранга 17
— деформаций 9
— дифференциальный 27
— единичный 18, 79, 88, 354
— моментов двухточечной корреляции 628
— мультипликативный 19
— напряжений 9, 59
— симметричный (самосопряженный) 17
— — моментов одноточечной связи 628
— скоростей деформации 9, 38
— турбулентный напряжений рейнольдсов 547
Теорема Бернулли 92, 94, 95
— — в относительном движении 96
— Гельмгольца вторая 41
— — первая 39
— Жуковского 177
для решетки 204
— Кельвина кинематическая 52
— — о баротропном движении идеальной жидко-
сти 158
Теорема Кельвина о кинетической энергии без-
вихревого движения 165
— Лагранжа 159
— о взаимности касательных напряжений 63
— об изменении кинетической энергии 64
— подобия прямая 642
— Римана 179
— Стокса 44
— — для многосвязных областей 162
— Эйлера количеств движения в сплошной среде
78
—, я-теорема 372
Теория крыла конечного размаха 302
— Ньютона ударная 220
— пути смешения 554
— смазки гидродинамическая 413 и д.
— турбулентности полуэмпирическая 550
— ударных волн элементарная 123
— устойчивости ламинарных течений 524
Тепломассоперенос в условиях пристенной тур-
булентности 590
Теплоперенос 436
Термодиффузия 697
Термометр пластинчатый 660
— сопротивления 142
Течение (см. Движение, Поток)
— идеального газа одномерное нестационарное
143 и д.
— разрывное идеальной несжимаемой жидкости
204
— со свободным взаимодействием 709
Толщина вытеснения 452, 461, 617, 619
— пограничного слоя 441, 452, 461
— потери импульса 452
— — энергии 452
— профиля 178
— — относительная 178
Точка особая 34
— критическая 34, 174, 182, 282, 407
— перехода ламинарного движения в турбу-
лентное 530
— потери устойчивости ламинарного погранич-
ного слоя 530
Траектория частицы 33
Трение внутреннее 351 и д.
— турбулентное 537
Трехчлен Бернулли 90, 92
Труба ударная, элементарная теория 154 и д.
Трубка вихревая 41, 275
элементарная 41
— скоростная 140
Прандтля 140
— тока 34
конечная 34
— — элементарная 34
Турбулентность 522 и д.
— свободная 564
Турбулизатор 542
Угол атаки 178, 221
— — геометрический 305
— — действительный (эффективный) 305
— — местный 220
— — практический 183
теоретический 183
эффективный 702
— бесциркуляционного обтекания профиля 182
— возмущения (угол Маха) 328
— выноса профиля 202
— Маха (угол возмущений) 265
— скоса потока (угол индуктивный) 305
■— установки профиля в решетке 202
Удлинение крыла 308
Узел 34
Управление пограничным слоем 544
Уравнение баланса тепла 436, 486
энергии 65, 96
— Бернулли 94
— волновое двумерное 218
одномерное 10J
— Гельмгольца 91
— Громека — Ламба 90
— Гюгонио 126
— динамики в напряжениях для смеси компо-
нент (фаз) 73
— Клапейрона 86, 634
— концентрации компоненты (фазы) 69
— Лапласа 167, 270, 273, 313
— Навье — Стокса динамики вязкого газа 636
— неразрывности 55
— — для смеси 69
— — компоненты (фазы)

736
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Уравнение несжимаемости 56
— пограничного слоя в переменных обобщенного
подобия 469, 689
в форме Крокко 451
Прандтля — Мизеса 450
— Прандтля 449
— Пуассона 273
■ , векторный аналог 275
— реологическое среды 351
— Фокнера — Скэн — Хартри 455
— Фридмана динамической возможности движе-
ния 91
Уравнения движения твердого тела в жидкости
315
— динамики сплошной среды в напряжениях 61
— Рейнольдса осредненного турбулентного дви-
жения 544
— Стокса 362
— — безразмерные 369
— Чаплыгина 253
— Эйлера динамики идеальных жидкости и газа
89
— — статики среды 80
Ускорение конвективное 51
— локальное 51
Условие непроницаемости 89, 214, 313
— подобия достаточное 369, 642
— — необходимое 369
— прилипания 364, 639
Условия Коши — Римана 169
Устойчивость гидродинамическая 524
Фаза вещества 12, 67
— несущая 360
Фактор температурный 642
Фигура равновесия вращающейся тяготеющей
к центру жидкости 84
Фильтрация 409, 411
Фокус 34
Формпараметры 614
Формула Аккерета 221, 251 708
— Био — Савара, Гидродинамический аналог 276
— Влазиуса 458
для сопротивления трубы турбулентному
течению 584
— Еукингэма 389
— Вуссинека 408, 553
— Ванье 423
— Вуда 105
— Гиршфельдера — Кертисса — Берда 361
— Дарси 411
— Жуковского о подъемной силе профиля 193
— Кармана для волнового сопротивления 330
полуэмпирическая 601
— Кармана — Ченя 258
— Копа — Хартри 354
— Крокко 719
— Лэйтона 260
— Озеена 408
— Озеена — Голдстейна 408
— Петрова 413
— Прандтля 128
— — для косого скачка 233
— Прандтля — Глауэрта 216
— распространения звука Лапласа 103
— Ньютона 103
— Саттерлэнда 353, 635, 664
— Сквайра — Юнга 622
— сопротивления трубы турбулентному движе-
нию 583
— Стокса 44, 407
— Темппя 261
— теории скоростной трубки основная 141
— Чепмена — Рубезина 664
— Шпейделя 623
Формулы изэнтропические 108
— канонические уравнений Чаплыгина 253
— Кармана 556
Фотокиносъемка 627
Функция давления 87, 92
— Кирхгофа 205
— комплексной переменной 169
— преобразующая 179
— распределения частиц 67
функция тока 168
— — в криволинейных координатах 278
— характеристическая течения 170
Характеристики 145, 218, 243
— волнового уравнения 103
— в плоскости годографа 264
— в физической плоскости 262
— частотные (спектральные) турбулентного по-
граничного слоя 633
Хвост профиля 178
Хорда профиля 178
Центр давления 195
Центрифугирование 86
Циркуляция вектора 23, 43
— скорости 43, 162, 171, 180, 302
— — теоретическая 183
— ускорения 52
Числа подобия 369
Число Гартмана 394, 396
— Грасгофа 437
— Маха 11, 107
— —, измерение 143
— — критическое 142
— — очень большое 247, 346
— Нуссельта 489, 662
— Пекле 436
— — диффузионное 437, 486
тепловое 486
— Прандтля 436, 636
— — диффузионное 437
— — турбулентное 558, 591
— Рейнольдса 11, 121, 369, 390, 407
— — критическое 523
обтекания бугорков 588
— — пограничного слоя 528
— — критическое 528
— — — — — нижнее 529
— — фильтрационное 412
— Струхаля 369, 371, 516
— Стэнтона 559
— Фруда 369, 436
— Шмидта 437, 487
— — турбулентное 558
— Эйлера 369
Шаг решетки 202
Шероховатость пластины 605
общая 607
— трубы абсолютная 586
— — зернистая 586
относительная 586
развитая 588
Ширина следа 499
Шнур вихревой присоединенный 303
Щель статическая 141
Эксперимент численный 435
Эллипс Буземана 266
Энергия внутренняя совершенного газа 96
— кинетическая при безвихревом движении 166
— потенциальная объемного действия поверх-
ностных сил 90
— удельная внешняя (кинетическая) 65
внутренняя 65
— — полная 65
Энтальпия 96, 126, 634
— полная (энтальпия торможения) 99, 128, 232
Энтропия 127
— удельная ΘΘ, 427
Эпициклоиды 264
Эффект Гартмана 397
— Коанда 448
— Магнуса 177
— Тоыса 532
Явления околозвуковые 133
— подобные 365
Ядро турбулентное течения 553, 576