/
Text
О.С.СЕРГЕЛЬ
ПРИКЛАДНАЯ
ГИДРОГАЗО -
ДИНАМИКА
Допущено Министерством высшего и среднего специального
образования СССР в качестве учебника для студентов
авиационных специальностей высших учебных заведений
МОСКВА «МАШИНОСТРОЕНИЕ» 1981
ББК 22.253.3
С32
УДК 532. 013
Сергель О. С.
С32 Прикладная гидрогазодинамика: Учебник для
авиационных вузов. — М.: Машиностроение, 1981.—
374 с, ил.
В пер.: 1 р. 20 к.
1703040000 ББК 22
532
Издательство «Машиностроение», 1981 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В книге с общих позиций фундаментальных законов физики
излагаются основы гидрогазодинамики.
Материал, приводимый в учебнике, соответствует программе
курса «Прикладная гидрогазодинамика» для студентов факультет
тов двигателей летательных аппаратов авиационных вузов и мо-
может быть использован студентами и инженерами других энерге-
энергетических специальностей. Этот материал базируется на предше-
предшествующих курсах математики, физики, механики и термодинамики
и является фундаментом последующих курсов, таких как тепло-
теплопередача, лопаточные машины, реактивные двигатели, регулирова-
регулирование и испытание реактивных двигателей.
Автор уделил большое внимание выявлению физического смыс-
смысла рассматриваемых явлений и уравнений, их описывающих.
Краткость изложения достигнута за счет широкого использовав
ния газодинамических функций при выводе формул и решение
задач.
Для лучшего усвоения курса в текст включены задачи, которые
необходимо решать при работе над курсом. Это поможет не только
закрепить, но и расширить получаемые знания.
Предлагаемый учебник возник на основе учебного пособия
автора [23] и учета замечаний о его содержании и форме.
Автор выражает глубокую благодарность рецензентам профес-
профессорам Виноградову Б. С, Дубинскому М. Г. и доценту Панчен-
ко В. И., а также академику Люлька А. М., профессорам Абрамо-
Абрамовичу Г. Н., Борисенко А. И., Гахуну Г. Г., Овсянникову Б. В.г
Степчкову А. А., доценту Сухареву А. Д. и другим товарищам за
ценные замечания и помощь на различных этапах работы над;
книгой.
950
ВВЕДЕНИЕ
Прикладная гидрогазодинамика — наука, изучающая законы
движения жидкостей три их взаимодействии с твердыми телами и
между «самими жидкостями при скоростях существенно меньших
скорости света, т. е. когда справедливы законы классической меха-
механики Ньютона и отсутствуют релятивистские эффекты.
Жидкостями называются субстанции, обладающие легкопод-
вижностью или текучестью, т. е. непрерывно и сколь угодно сильно
деформирующиеся под действием сколь угодно малого срезываю-
срезывающего напряжения. Легкоподвижностью в равной степени облада-
обладают капельные жидкости и газы. Поэтому и те и другие называются
одинаково — жидкость. Легкоподвижность обеспечивает использо-
использование жидкостей в технике в качестве рабочих тел различных теп-
тепловых и гидравлических двигателей, агрегатов, систем охлаждения
и смазки, плавание кораблей и полеты летательных аппаратов.
С другой стороны, легкоподвижность и некоторые другие свойст-
свойства настолько существенно усложняют процессы движения жидкос-
жидкостей по сравнению с движением твердых тел, что для их изучения
необходима специальная наука — механика жидкости. Механика
жидкости бурно развивается и объединяет много различных на-
направлений, обусловленных конкретными свойствами отдельных
классов жидкостей и условиями протекания процессов их движения.
Прикладная гидрогазодинамика, ,в которой принимается ряд
упрощенных моделей жидкостей и их движений, позволяющих по-
получить результаты, удовлетворяющие по точности практику, явля-
является лишь ветвью механики жидкости.
Курс состоит из гидростатики, .в которой изучается равновесие
жидкостей и тел в них погруженных, кинематики, где исследуется
движение жидкостей вне связи с определяющими движение взаи-
взаимодействиями, и динамики, изучающей движение жидкостей при их
взаимодействии с твердыми телами и с жидкостями.
Динамика имеет два раздела:
1. Гидродинамика — изучает законы движения несжимае-
несжимаемой жидкости. При движении несжимаемой жидкости рассматри-
рассматриваемый, объем может деформироваться, .но не может изменить ве-
величины, т. е. плотность жидкости остается неизменной. Механичес-
Механическое движение несжимаемой жидкости не сопровождается термоди-
намическими процессами сжатия или расширения. В -современной
технике широко используются гидравличесжие системы. Для авиа-
авиационной техники это системы топливные, смазки, управления,
охлаждения. Кроме того, в ряде случаев движение газа можно
рассматривать как движение несжимаемой жидкости.
2. Газовая динамика — изучает движение газов при су-
существенном изменении их плотности. Основная особенность газо-
газодинамического процесса — неразрывная связь одновременно проте-
протекающих механического процесса движения газа (главным образом
его ускорения .или торможения) и термодинамического процесса
его расширения или сжатия. Поэтому для анализа и расчета газо-
газодинамических процессов используются законы механики и термо-
термодинамики и изменение параметров состояния газа .может изобра-
изображаться в pv, Ts, is координатах. Последнее помогает глубже усво-
усвоить их физическую сущность и упрощает расчеты. Несмотря нр
общность основных физических законов, которым подчиняется дви-
движение любых жидкостей, процессы движения сжимаемой жидко-
жидкости сложнее процессов движения несжимаемой и отличаются от
них не только качественно, но часто и количественно. Например,
лри течении несжимаемой жидкости по расширяющемуся каналу
скорость ее движения всегда уменьшается. При течении газа по
расширяющемуся каналу, в зависимости от условий, скорость мо-
может и уменьшаться и увеличиваться ,и не изменяться. Как показы-
показывают теория и опыт, плотность существенно изменяется при движе-
движении газа с большими скоростями — большими 30 ...40% от скорос-
скорости распространения звука в этом газе, а также при подводе к газу
или отводе от него тепла и механической работы.
Следовательно, газовая динамика это наука о законах движения
газа с большими скоростями, а при энергетическом обмене с внеш-
внешней средой — как при движении \с большими, так \и с малыми ско-
скоростями.
Значение гидрогазодинамики для инженеров-теплотехников
обусловлено тем, что все процессы течения газа в лопаточных ма-
машинах, реактивных двигателях и других теплосиловых и испыта-
испытательных установках суть газодинамические. Газовая динамика
учит управлять этими процессами и рассчитывать их. Только после
газодинамического (расчета, в котором определяются основные раз-
размеры двигателя и параметры газового потока, могут быть выпол-
выполнены расчеты охлаждения и на .прочность.
На рис. 0.1 даны схема турбореактивного двигателя с форсаж-
форсажной камерой сгорания (ТРДФ), графики изменения параметров
газового потока вдоль его тракта и .идеального цикла ТРДФ ~в ко-
координатах pv и is. Движение обращено: двигатель остановлен и на
него направлен поток со скоростью полета WH. При этом изменение
параметров воздушного потока по тракту и силовое взаимодейст-
взаимодействие двигателя и потока не меняются, что устанавливается принци-
принципом относительности движения. Обращение движения (поток —
двигатель) производится для того, чтобы вместо неустановившего-
неустановившегося движения рассматривать установившееся.
Рис. 0.1. Газодинамические процессы
в ТРДФ
Задача 0.1. Рассмотрите ха-
1т ,< t" j wc» рактер изменения скорости W и
I \!Ь1$ц. плотности q газового потока на
выделенных участках тракта
ТРДФ и докажите, что на них
происходят газодинамические
процессы. Например, процесс на
участке вх—к (вход в компрес-
компрессор — выход из компрессора)
представляет сочетание механи-
механического процесса торможения
(WK<WBX) и термодинамическо-
термодинамического процесса адиабатного сжатия
газа (qk>Qbx) за счет подвода к
газу механической работы в ком-
компрессоре и изменения площади
канала, т. е. является газодина-
газодинамическим.
Общая постановка задач в прикладной гидрогазодинамике
Дано: 1. Обла'сть течения жидкости и ее свойства.
2. Твердые тела, обтекаемые жидкостью, или канал, по которо-
которому она течет, и энергетическое воздействие на жидкость.
3. Значение параметров жидкости на границе области в началь-
начальный момент времени до-
доопределить простраиственно-временные поля всех парамет-
параметров текущей жидкости, т. е. скорости, плотности,- давления и тем-
температуры:
и = и(х, у, z, t)\ v = v(x, у, z, t)\
w = w(x, у, z, f)\
Q=Q(xy у, Z, t)\ p = p(x, y, Z, t)\
T = T{Xi y, z, t),
где и, v, w—проекции вектора скорости жидкости W на оси х, у, z
произвольно выбранной системы координат; q, р, Т — плотность,
давление и температура жидкости.
Решение поставленной задачи позволяет определить силовое
и тепловое взаимодействие между потеком жидкости и твердыми
телами, 'спроектировать и рассчитать работоспособную конструк-
конструкцию двигателя, агрегата или летательного аппарата.
В зависимости от заданных условий течения и определяемых
параметров в гидрогазодинамике различают следующие группы
задач.
Внутренние задачи — посвящены исследованию течений жидко-
жидкости в различных жаналах (см. рис. 0.1).
@.1)
Внешние задачи — рассматривают внешнее обтекание твердых
тел, например, летательного аппарата в полете или его модели
в аэродинамической трубе.
Струйные задачи — посвящены изучению течения струй жидкос-
жидкостей, .вытекающих из отверстий в пространство, не ограниченное
твердыми стенками и заполненное жидкостью того же агрегатного
состояния. Например, 'взаимодействие струи выхлопных газов ре-
реактивного двигателя с воздухом.
На практике эти задачи очень часто невозможно разграничить.
Например, при обтекании решеток профилей компрессоров и тур-
турбин, исследование течения в каналах между лопатками относится
к внутренней задаче; обтекание отдельной лопатки — к внешней-,
а взаимодействие межлопаточных потоков за решеткой — к струй-
струйной.
Каждая из перечисленных задач может быть прямой или обрат-
обратной. Если заданы невозмущенный поток, форма, раз-меры и поло-
положение обтекаемых тел, а требуется определить поля параметров
жидкости @,1), то задача называется прямой. Если заданы поля
параметров @.1), а требуется определить параметры невозмущен-
невозмущенного потока и характеристики твердых тел, обеспечивающих полу-
получение заданных полей, то задача называется обратной.
Прикладная гидрогазодинамика имеет простую логически строй-
стройную структуру. Анализ всех течений и решение всех задач бази-
базируется всего лишь на следующих четырех основных законах физи-
физики и шести основных уравнениях, выражающих в математической
форме все те же четыре основных закона.
Основной физический закон
Основное уравнение прикладной
гидрогазодинамики
1. Закон сохранения массы
2. Закон сохранения импульса
(Второй закон Ньютона о движе-
движении)
3. Закон сохранения и превраще-
превращения энергии
4. Второй закон термодинамики
1. Уравнение неразрывности течения
2, 3, 4. Уравнение количества движе-
движения в проекциях на оси координат .v,
У, г
5. Уравнение энергии
6. Уравнение изменения энтропии газа
В общем случае эти шесть уравнений являются независимыми. В частных
случаях все они остаются справедливыми, но некоторые могут быть зависимыми.
Например, при течении несжимаемой жидкости (p=const) неизвестных остается
пять и уравнения количества движения и энергии становятся зависимыми (см.
п. 4.6).
В дополнение к перечисленным фундаментальным принципам в анализе ис-
используются вспомогательные законы и уравнения, описывающие конкретные
свойства изучаемых жидкостей: уравнение состояния совершенного газа, законы
Ньютона о трении в жидкостях, Фурье — о теплопроводности, Фика — о диффу-
диффузии и т. п.
После твердого усвоения этих основных принципов весь остальной материал
может быть освоен без особого труда.
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ЖИДКОСТИ. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ
И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.1. СОВЕРШЕННЫЙ ГАЗ
В прикладной газовой динамике мы вместо реального газа бу-
будем использовать его .модель — совершенный газ, молекулы «кото-
«которого представляются © виде материальных точек, взаимодейству-
взаимодействующих только при соударениях. Совершенный газ имеет постоянные
теплоемкости Ср и Cv, показатель изоэнтропы k = Cp/Cv и молеку-
молекулярную массу т и удовлетворяет уравнению состояния (уравне-
(уравнению Менделеева—Клапейрона), являющимся одним из важных
уравнений газовой динамики:
P = RqT, A.1)
где R = mRfm = Cp—Cv—удельная газовая постоянная, Дж/(кг-К);
mR = 8320 Дж/(моль-К)—универсальная газовая постоянная; т—
масса моля газа, кг/моль.
Вводя энтальпию i = CpT и Ср = -
каларическое уравнение состояния
/?, получим из A.1)
к—1
'Q), ДЖ/КГ.
Постоянные значения к, т, R, Ср даны в табл. 1.1.
A.2)
Таблица U
Газ
Фреон 12
Воздух
Гелий
Водород
к
1,14
1,4
1,67
1,4
т,
кг/моль
121
28,97
4
2
ДжДкг-К)
69
287
2080
4160
Дж/(кг-К)
560
1005
5200
14580
Повышение температуры реального газа, которое часто проис-
происходит при его движении, ©начале интенсифицирует колебательное
движение молекул, затем вызывает их диссоциацию и ионизацию.
Все это приводит не толькоЪ изменению Ср, Cv и к, но и природы
газа — молекулярного веса, газовой постоянной и электропровод-
электропроводности. Исследование движения с учетом изменения свойств реаль-
8
кого газа представляет большие математические трудности и явля-
является предметам физико-химической газовой динамики.
Использование модели «совершенный газ» обеспечивает доста-
достаточную для практики точность расчетов, если температура воздуха
не превышает примерно 2500 К. При больших температурах эта
модель позволяет выяснить лишь механические особенности этих
сложных течений. Такое изучение является лишь первым необхо-
необходимым шагом в решении общей про'блемы.
Задача 1.1. Определите плотность воздуха в вашей комнате, задавшись необ-
необходимыми параметрами. Сравните ее с плотностью водорода при тех же пара-
параметрах. Ответ ^возд«1,2; qH2«0,08 кг/м3.
1.2. МОЛЕКУЛЯРНОЕ СТРОЕНИЕ
Особенности движения жидкостей (по сравнению с движением
твердых тел) обусловлены их специфическими физическими свой-
свойствами — легкоподвижностью, сжимаемостью и вязкостью. Эти
свойства являются проявлением особенностей молекулярного стро-
строения жидкостей.
Молекулы твердых тел располагаются на очень малых
расстояниях друг от друга и совершают колебания. Силы взаимо-
взаимодействия между ними очень велики и возрастают пропорционально
изменению расстояния. Поэтому твердые тела сопротивляются
сжатию, растяжению, изгибу, сдвигу, кручению. Напряжение а
при упругой деформации твердого тела пропорционально его отно-
относительной деформации А///. По закону Гука: о=ЕА1,Н, где Е — мо-
модуль упругости, / — размер тела, Д/ — величина деформации. Твер-
Твердые тела не обладают легкоподвижностью, поэтому на твердое те-
тело может действовать сосредоточенная сила, приложенная к одной
точке. Механика твердого тела — это механика материальной точ-
точки или совокупности неподвижных, относительно друг друга, мате-
материальных точек.
Молекулы капельных жидкостей располагаются на
больших расстояниях, чем в твердых телах, а силы взаимодействия
между ними значительно меньше. Молекулы капельных жидкостей
свободно перемещаются в пространстве, совершая колебания около
подвижных центров равновесия. При увеличении температуры хао-
хаотическое движение 'молекул и их колебания интенсифицируются,
а силы взаимодействия уменьшаются.
Молекулы газов в обычных условиях располагаются на
еще больших расстояниях друг от друга, находятся в непрерывном
хаотическом тепловом движении и сталкиваются между собой.
Силы взаимодействия между .ними настолько малы, что ими обыч-
обычно пренебрегают. При -повышении температуры газа скорость хао-
хаотического теплового движения молекул и число их соударений
возрастают.
Легкоподйвижность жидкостей является результатом слабых
связей между молекулами. В -силу легкоподвижности к поверхно-
поверхности жидкости не может быть .приложена сосредоточенная сила,
а только непрерывно распределенная нагрузка. Направленное дви-
жение жидкости слагается из хаотического движения огромного
числа молекул, непрерывно смещающихся относительно друг
друга.
Практику не интересует поведение отдельных молекул, а инте-
интересует изменение в пространстве и во времени макроскопических
параметров, характеризующих движение и состояние жидкости в
целом.
1.3. СПЛОШНОСТЬ ЖИДКОСТИ
Для того, чтобы стало возможным теоретическое исследование
направленного движения жидкости, необходимо разрешить два
принципиальных вопроса:
1. Каким образом применить для анализа движения жидкос-
жидкостей, имеющих .молекулярное строение, математический аппарат
исследования непрерывных функций, чтобы получить решение ви-
вида @.1)?
2. Как выявить силы, действующие в жидкости, и приложить
их к легко'подвижной дискретной среде, чтобы проанализировать
ее движение?
Ответ на первый вопрос дает постулат Даламбера—Эйлера,
утверждающий, что при изучении направленного движения жид-
жидкостей и сил взаимодействия их с твердыми теламл, жидкости
можно рассматривать как сплошную среду (континуум), лишен-
лишенную молекул и межмолекулярных пространств.
Реально существующее хаотическое движение молекул отража-
отражается в этом случае в величине макроскопических параметров дви-
движущейся жидкости — q, р, Т, W, которые для континуума являют-
являются функциями точек пространства. Это дает возможность приме-
применить для анализа движения * жидкостей математический аппарат
дифференциального и интегрального исчислений, хорошо разрабо-
разработанный для непрерывных функций, и получить решения @.1). Та-
Таким образом, гидрогазодинамика не изучает -молекулярные про-
процессы в жидкостях и, так же как термодинамика, является наукой
феноменологической. Поэтому ее называют также ветвью механи-
механики сплошных сред.
Параметры жидкости в данной точке. Для харак-
характеристики распределения .массы жидкости <в пространстве вводятся
понятия о средней плотности жидкости и о плотности в данной
точке.
Средней плотностью рср, кг/м3 называется отношение массы
жидкости Am к занимаемому объему AV
Qcp = Am/Al/. A.3)
Плотностью жидкости в данной точке называется предел отно-
отношения A.3) при стягивании объема к данной внутренней точке
Q = lim (Д/ю/ДУ). A.4)
ДК->0
10
Применяемые здесь и далее предельные переходы к бесконечно
малым объехму (ДУ->0), массе (Дт-Я)) или площадке (iAuS—Ю)
являются лишь условными обозначениями переходов к так называ-
называемым физически малым объему 6V, массе Ът и площадке 65. Для
того, чтобы жидкость можно было считать континуумом, т. е. для
того, чтобы плотность ее в данной точке имела определенное зна-
значение, необходимо, чтобы понятие физически малого объема 6V
удовлетворяло следующим условиям:
1) характерный размер 6V, например его диаметр d, должен
быть исчезающе мал по сравнению с характерными размерами те-
течения (размеры канала или обтекаемых тел) так, чтобы б У можно
было считать «точкой»;
2) объем 8V, с другой стороны, должен иметь такую величину,
чтобы содержащееся в нехМ число молекул было так велико, что
его изменение во времени за счет теплового хаотического движе-
движения не вызывало бы заметного изменения плотности. Это условие
выполняется, если d существенно превышает длину свободного
пробега молекул l(d/l^>l). При дальнейшем уменьшении объема
число содержащихся в нем молекул за счет теплового хаотическо-
хаотического движения так существенно изменяется во времени, что плот-
плотность в данной точке, а Вхместе с ней и постулат о оплошности, те-
теряют смысл. Поэтому предельный переход к бесконечно малому
объему ЛУ->0 для дискретной среды не имеет смысла и, как уже
было сказано, записывается условно. Для кабельных жидкостей и
для не слишком разреженных газов длина свободного пробега мо-
молекул, и следовательно, предельный размер физически малого объ-
объема исчезающе малы по сравнению с интересующими нас харак-
характерными размерами течений, поэтому .плотность в данной точке
имеет определенную величину и жидкость можно считать контину-
континуумом.
Все законы газовой динамики сплошной среды справедливы до
тех пор, пока справедлив постулат о сплошности жидкости. Коли-
Количественно пределы применения законов газовой динамики сплош-
сплошной среды определяются величиной критерия Кнудсена — отноше-
отношения длины свободного пробега молекул газа (/) к характерному
размеру течения (L)
Kn = l/L A.5)
Все течения газов в зависимости от величины Кп делятся на об-
области:
I. Kn = //L<0,01—течения континуума. Справедливы законы
гидрогазодинамики сплошных сред. При обтекании твердых тел
сплошной средой молекулы ее прилипают к твердой поверхности
(гипотеза Прандтля о прилипании) и поэтому скорость жидкости
на поверхности твердых тел всегда равна скорости этой поверхно-
поверхности, а температура жидкости на стенке равна температуре стенки
II. Кп>0,01 —течения разреженных газов. В этой области раз-
различают три степени разреженности:
11
1) 0,01<iKn<0,l—течения со скольжением. В этой области
течения не сильно разреженных газов наблюдаются два эффекта—
газ скользит по поверхности твердого тела с некоторой конечной
скоростью и температура его отличается от температуры поверх-
поверхности на конечную величину. При исследовании течений газо© в
этой области используются уравнения газовой динамики сплошной
среды -с внесением поправок на скач'ки скорости и температуры;
2) 0,1<Кп<10 — переходная, наименее исследованная область
течения разреженных газов;
3) Кп>10 — свободномолекулярное течение. Газ состоит из от-
отдельных молекул не взаимодействующих практически между со-
собой. С телами взаимодействуют отдельные молекулы и расчет это-
этого взаимодействия производится методами статической физики.
В области достаточно «сильно разреженных газов Кп>0,1 постулат
о сплошности, понятие о плотности в точке и законы газовой дина-
динамики сплошной среды не применимы.
Изучение течений разреженных газов является предметом газо-
газовой динамики разреженных газов или супергазодинамшш — моло-
молодой бурно развивающейся науки, возникшей в связи с развитием:
космической и вакуумной техники [1].
Задача 1.2. Используя данные международной стандартной атмосферы (при-
(приложение 1) определить для летательного аппарата с характерным размером L =
= 1 м изменение областей течения, с подъемом на высоту, вплоть до свободно-
молекулярного течения.
При исследовании движения континуума используются следую-
следующие понятия.
Жидкая частица — мысленно выделенная весьма малая
масса бт жидкости неизменного состава по объему, сравнимая с
физически малым объемом 6V. При движении жидкая частица мо-
может изменять объем и форму, но заключенная в ней масса жидко-
жидкости остается .неизменной.
Жидкий объем — мысленно выделяемый объем, состоящий
из одних и тех же жидких частиц. При движении может деформи-
деформироваться, но сохраняет постоянную -массу.
Контрольный объем — мысленно выделяемый постоян-
постоянный объем, занимающий неизменное .положение в пространстве.
Через этот объем протекает жидкость.
Внешняя или окружающая среда — жидкость и все
остальное, находящееся вне выделенного объема.
Контрольная поверхность — 'поверхность, ограничива-
ограничивающая контрольный объем (для жидкого объема—'поверхность
жидкого объема).
Жидкий контур — контур в пространстве, состоящий из од-
одних и тех же жидких частиц (или жидких частиц одинаковых
свойств).
Скорость жидкости в данной т о ч к е — мгновенная
скорость движения центра .массы жидкой частицы, проходящей в
данный момент через данную точку пространства.
12
Методика исследования движения «континуума
1. В рассматриваемом пространстве выбирается произвольная
система координат х, у, г.
2. В произвольной точке пространства мысленно выделяется
жидкий объем.
3. Внешняя среда мысленно отбрасывается и ее действие на
жидкий объем заменяется соответствующими силами, которые та-
таким образом переводятся из внутренних во внешние, определяю-
определяющие движение выделенного жидкого объема.
4. К объему применяются за,коны сохранения массы и механи-
механики твердого тела и изучается его движение за определенный про-
промежуток времени dt под действием приложенных сил. Составляют *
ся уравнения сохранения массы жидкого объема и движения жид-
жидкости.
5. Одновременно изучается обмен энергией между жидким объ-
объемом и внешней средой — составляется уравнение энергии. Кроме
того, .параметры газа в каждой точке пространства связываются
между собой уравнением состояния A.1).
Поскольку практику обычно в большей степени интересует из-
изменение параметров потока жидкости в зафиксированных точках
пространства, а не движение жидкого элемента, то устремляя dt
к нулю, переходят к контрольному объему. Предельный переход
dt-^O позволяет изучить изменение параметров жидкости, протека-
протекающей через контрольный объем. При выводе интегральных урав-
уравнений, удовлетворяющих конечным участкам течений, объемы вы-
выбираются соответствующей конечной величины. При выводе диф-
дифференциальных уравнений, удовлетворяющих каждой точке прост-
пространства, жидкий и контрольный объемы выбираются физически
малыми, «стягиваемыми в точку».
Эта методика позволяет получить шесть основных дифферен-
дифференциальных уравнений гидрогазодинамики, решение которых с ис-
использованием условий однозначности, конкретизирующих данную
задачу, (позволяет получить искомые поля @.1).
1.4. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЖИДКИЙ ОБЪЕМ
Внешние силы, действующие на жидкий объем и определя-
определяющие его движение, разделяются на массовые (объемные) и
поверхностные.
Массовые силы Rm приложены ко всем жидким частицам,
составляющим жидкий объем. К ним относятся силы тяжести л
силы инерции. Кроме того, к массовым силам относятся силы вза-
взаимодействия частиц токопроводящей жидкости с электромагнитны-
электромагнитными полями. Наука, изучающая эти течения, называется магнитной
гидрогазодинамикой [1].
Напряжением / массовой силы (м/с2, Н/кг) называется отноше-
отношение вектора массовой силы АДт к массе Am жидкой частицы, на
13
которую она действует:
A.6)
В соответствии со вторым законом
Ньютона, массовая сила равна произ-
произведению массы на ее ускорение, выз-
вызванное этой силой. Поэтому напряже-
напряжение массовой силы равно ускорению
центра массы частицы, проходящей в
данный момент времени через данную
точку, и характеризует распределение
массовых сил в пространстве, занятом
жидкостью. Проекции напряжения массовой силы на оси коорди-
координат х, у, z обозначим X, Y, Z, тогда
7 A.7)
Рис. 1.1. Поверхностные си-
.лы
где 7, J, к —орты.
Задача 1.3. Определить величины X, У, Z в поле сил тяжести на уровне моря,
.если ось Z направлена вдоль радиуса земли. Ответ. X=Y=0; Z=—9,8 м/с2.
Поверхностные силы Rs представляют (воздействие внеш-
внешней среды на поверхность выделенного объема. Это воздействие
распределено по поверхности непрерывно. Выберем на плоскости
S, рассекающей HeKOTqpyio маосу жидкости на части 1 п 2 (рис.
1.1), элементарную площадку AS, на которой лежит точка А (х, у,
z). Отбросим часть 2 и заменим ее действие на площадку AS час-
части 1 равнодействующей поверхностных сил ARs. В общем случае
величина ARs зависит от ориентировки площадки AS и направле-
направлена к ней под острым углом у. Ориентация площадки AS определя-
определяется единичным вектором внешней нормали п.
Нормальная составляющая ARn поверхностной силы ARS дей-
действует по нормали к поверхности AS, противоположно п.
Сила трения или тангенциальная составляющая AR-z действует
s плоскости AS.
Задача 1.4. В соответствии с рис. 1.1 изобразите схему сил действия части
/ на площадку AS части 2. Какой закон Вы применили при решении этой за-
задачи?
Напряжения поверхностных сил в точке А(х, у, г)—это преде-
пределы отношений соответствующих сил к площадке AS при стягива-
стягивании ее в точку. Различают следующие напряжения.
Напряжение равнодействующей поверхностой силы, Н/м2
A.8)
Нормальное напряжение, Н/м2
A.9)
,14
Знак минус показывает, что за положительное принято растягива-
растягивающее нормальное .напряжение.
Напряжение трения или касательное напряжение, Н/м2
A.10)
Д5-+0
1.5. ВЯЗКОСТЬ ИЛИ ВНУТРЕННЕЕ
ТРЕНИЕ В ЖИДКОСТЯХ
Вязкостью называется свойство всех реальных жидкостей
оказывать сопротивление относительному сдвигу частиц, т. е. из-
изменению их формы (но .не о'бъема). Для выяснения сущности вяз-
вязкости рассмотрим течение жидкости между нижней неподвижной
пластиной и верхней, движущейся параллельно нижней с постоян-
постоянной СКОрОСТЬЮ Ы\ (рИС. 1.2). ОПЫТ ПО- у\
казьтает, что скорость жидкости у м
нижней пластины равна нулю, у верх- "- w z
ней — щ (жидкость прилипает к твер-
твердым поверхностям), а скорость между
пластинами распределена линейно: ^ т^
и = щу/к, давление ПОСТОЯННО ВО ВСеЙ S777777777777Z7fl77p
области. Такое течение называют те- '
чением чистого сдвига. Для его осу-
осуществления к жидкости со стороны Рис- 1-2. Течение чистого
верхней пластины должна быть при- сдвига
ложена сила RT, уравновешивающая
силу вязкости (трения) жидкости, а для удержания на месте ниж-
р ней пластины — сила (i?T). Измерения показывают, что напряже-
напряжение трения т = /?х/5 пропорционально отношению скорости U\ к
расстоянию между пластинами ft и не зависит от абсолютной вели-
величины скорости (имеет значение лишь относительное движение сло-
слоев жидкости). Отношение Ui/Ji = du/dy называется градиентом ско-
скорости по нормали к плоскости скольжения слоев или кратко — па-
неречным градиентом скорости
х = ^ux\h = pduldy. A.11)
Формула A.11) выражает закон Ньютона о молекулярном трении
в жидкости — напряжение трения пропорционально поперечному
градиенту скорости. Этот закон был установлен Ньютоном экспе-
экспериментальным путем. Жидкости, удовлетворяющие уравнению
AЛ1), называются ньютоновскими. Для неньютоновских жидкос-
жидкостей (смолы, коллоидальные растворы) напряжение трения опреде-
определяется по более сложным формулам. Наука, изучающая движение
неньютоновских жидкостей, называется реологией.
Коэффициент пропорциональности ti=t/(ди/ду), Н-с/м2 назы-
называется динамическим коэффициентом вязкости или просто вязко-
вязкостью жидкости. Величина |ы зависит от природы жидкости, ее агре-
агрегатного состояния, температуры и практически не зависит от дав-
давления в широком диапазоне его изменения. Чем больше [х, тем
больше вязкость жидкости.
15
л ю5п
Н-с/м2
10*,Н-с/м1
10
8
V
к
IV-
ч
\
—-
- — 4
= 5
0,030
0,025 ^
-о
«о
0,020 *
0,015
0,0/0
40
60 t°C
0,005
Вопрос 1.5. Каков-физический смысл [х?
При исследовании течений, в которых действуют силы трения и
силы инерции, используется кинематический коэффициент вязко-
вязкости v, ,м2/с
v = [i/o, A.12)
Из рассмотрения рис. 1.3 следует, что с увеличением температуры
вязкость капельных жидкостей уменьшается, а газо© увеличивает-
увеличивается. Это объясняется различием в
механизмах молекулярного трения
в них.
Трение в капельных жидкостях
заключается, главным образом, в
преодолении сил взаимодействия
между молекулами слоев, смещаю-
смещающихся относительно друг друга.
С увеличением температуры капель-
капельной жидкости увеличиваются ча-
частота колебаний молекул и силы
взаимодействия между ними умень-
уменьшаются, а вместе с ними уменьша-
уменьшается и вязкость. Величина (i для
капельных жидкостей определяется
экспериментальным путем.
Трение оз газах обусловлено пе-
переносом направленного количества
движения молекул при их тепловом
хаотическом движении. Пусть два
соседних слоя газа движутся в од-
одну сторону с различными скоростя-
скоростями («быстрый» и «медленный»
слои). Молекулы «быстрого» слоя, переходя в «медленный», уско-
ускоряют его молекулы, а сами подтормаживаются и наоборот. С уве-
увеличением температуры газа скорость хаотического движения мо-
молекул и число соударений возрастают, а вместе с этим — перенос
количества движения и вязкость газа.
В кинетической теории были найдены теоретическое обоснова-
обоснование закона Ньютона о молекулярном трении для газов и формулы
для .коэффициентов вязкости
. 11 = 0,499^*0, AЛЗ)
v = 0,499/Mtv, A. 14)
где /м и vM — длина свободного пробега и скорость теплового хао-
хаотического движения молекул.
Вопрос 1.6. Почему \х газа не зависит от давления?
Зависимость \i газа от температуры обычно определяется с дос-
достаточной степенью точности по эмпирической формуле
\^ = МТ/Т0)п. A.15)
16
Рис. 1.3. Зависимость вязкости
жидкостей от температуры:
/—масло; 2—воздух; 3—керосин; 4—во-
4—водород; 5—вода
dy
dL
*~\
у /
/
/
/
/
u+du
i
i
i
i
/ u
X
Зная, что v = \x/q и Q = p/RT, получим
v = vo(T/To)n+ipo/p AЛ6)
щ и v0 — значения коэффициентов при Т0 = 273 К и /*о=Ю5 Па. Ве-
Величина показателя п уменьшается с увеличением температуры.
Для воздуха при 7 = 273 К п=0,8, а при Т=4000 К л<=0,65. В
дальнейшем для воздуха будем полагать я = 0,76.
Задача 1.7. Получите формулу A.16), используя A.15), A.1) и A.12).
Поперечный градиент скорости ди/ду характеризует иаменение
скорости в направлении нормали к ней и является важнейшей ве-
величиной, так как закон Ньютона утвер-
утверждает, что вязкость жидкости может
проявиться только при ди/ду Ф0. Если
ди/ду = 0, то т = 0 и вязкость жидкости не
проявляется.
Геометрически (см. рис. 1.2)
поперечный градиент скорос-
скорости представляет тангенс угла а между
касательной к полю скоростей и = и(у) в
данной точке и нормалью к вектору ско-
скорости (если ОСЬ у И ОСЬ U имеют ОДИна- Рис. 1.4. Деформация
ковый масштаб). Для течения чистого сдвига
сдвига (см. рис. 1.2) ди/ду = du/dy =
= tga = const.
Физический <смы'сл градиента скорости. Дефор-
Деформация сдвига dl кубической жидкой частицы ,в неравномерном по-
поде скоростей за время dt (рис. 1.4) равна dl=dudt. Отсюда попе-
поперечный градиент скорости
ди/ду = du/dy=dl/{dydi)=tg y/dt A. 17)
представляет собой скорость относительной деформации сдвига.
Следовательно, в жидкостях касательные напряжения х = \х;(ди/ду)
пропорциональны скорости относительной деформации сдвига.
Одно из основных отличительных свойств жидкостей — их легко-
подвижность — в том и состоит, что даже при значительной вяз-
вязкости \х, при малой скорости относительной деформации сдвига
(ди/ду-+О) напряжение трения также исчезающе мало (т->*0) и
при неограниченном времени действия может вызвать деформацию
/жоль угодно большой величины (крохотные катера буксируют ко-
корабли в сотни тысяч тонн водоизмещением с малой скоростью).
С другой стороны, даже в очень маловязких жидкостях, таких,
как воздух, при больших скоростях относительной деформации
(ди/ду) силы трения приобретают большое значение. Если величи-
величина напряжения трения постоянна для всей площади 5 соприкосно-
соприкосновения слоев, как это имеет место в случае чистого сдвига, то сила
трения рассчитывается по формуле
#x=xS = p.(dti/dy)S. A. 18)
В противном -случае необходимо интегрировать по площади.
17
Сила трения между твердыми телами пропорциональна силе
нормального давления и не зависит ни от скорости относительного
движения тел, ни от площади их соприкосновения. Сила трения
покоя больше, чем сила трения при относительном движении. Сила
трения покоя в жидкостях равна нулю так же, как и при движе-
движении с равномерным полем скоростей, когда ди/ду = 0.
Обобщенный закон Ньютона или закон Сток-
с а. Любое напряжение в жидкостях пропорционально соответст-
соответствующей скорости относительной деформации. Например нормаль-
нормальное напряжение пропорционально относительным скоростям линей-
линейной и объемной деформаций.
Гидростатическое давление. Во всех случаях, когда
в данной точке отсутствуют тангенциальные напряжения, т. е. лри
покое, при движении с равномерным полем скоростей, независимо-
от ориентации площадки, на нее действует только нормальное
напряжение. Анализируя равновесие жидкой частицы можно дока-
доказать [18], что величина этого нормального напряжения не зависит
от ориентации площадки. Это напряжение с обратным знаком на-
называется гидростатическим давлением (р), т. е.
a=ax=:CSy==Gz== _л A. 19)
где аХу (Уу и gz — нормальные напряжения, действующие на грани
частицы перпендикулярные осям х, yt z ^произвольной системы ко-
координат.
Знак минус учитывает, что давление всегда направлено внутрь
выделенного объема жидкости, а напряжение принято считать по-
положительным, если его направление совпадает с направлением
внешней нормали. В общем случае течения вязкость жидкостей
проявляется не только в появлении касательных напряжений, но
и во влиянии на величину нормальных. При этом величина нор-
нормальных напряжений в данной точке зависит от ориентации пло-
площадки, т. е. ахфауфах. Однако среднее арифметическое трех
взаимно перпендикулярных нормальных напряжений в вязкой жид-
жидкости не зависит от ориентации площадки и для несжимаемой
жидкости, равно давлению с обратным знаком
о = (ох + ау + <,я)/3=^р. A.20)
В гидродинамике сжимаемой вязкой жидкости принимается
второе обобщение гипотезы Ньютона, согласно которому среднее
нормальное напряжение равно сумме давления (со знаком минус)
и произведения коэффициента второй вязкости ц на скорость от-
относительной объемной деформации е
о = (ох + оу + ож)/3=-р + г\е. A.21)
Коэффициент второй вязко'сти учитывает диссипацию энергии в
самопроизвольных процессах установления равновесия. Для одно-
одноатомных газов т]^0. Для многоатомных принимает существенное
значение, сопоставимое с коэффициентом вязкости \i, в тех процес-
процессах, скорость протекания которых значительно выше скорости ус-
18
тановления термодинамического равновесия. Это имеет место, на-
например, лри взрывах. В курсе рассматриваются процессы, для ко-
которых г]«0и среднее напряжение и давление определяются по
формуле A.20).
Таким образом, учет вязкости существенно усложняет анализ
законов движения жидкостей, так как вязкость приводит к появ-
появлению тангенциальных напряжений и сложным образом влияет на
нормальные напряжения.
Идеальная жидкость — это жидкость, лишенная вязкости
(|я = 0). Эту модель используют для упрощения расчетов в случае,
Поток Вне пограничного слоя
НеВазнущеннып
воздушный
Рис. 1.5. Динамический пограничный слой
когда силами вязкости можно пренебречь. Нормальное напряже-
напряжение в данной точке идеальной жидкости не зависит от ориентации
площадки и равно гидростатическому давлению с обратным
знаком.
Динамический пограничный слой. С вязкостью свя-
связано возникновение пограничного слоя при обтекании жидкостями
твердых тел. Течение в пограничном слое будет подробно рассмот-
рассмотрено в гл. 15. Здесь приводятся лишь предварительные сведения
о нем.
Пусть поток жидкости с равномерным полем скоростей ия =
-const набегает на поверхность плоской пластины и течет парал-
параллельно ей (рис. 1.5). Молекулы жидкости, непосредственно приле-
прилегающие к поверхности твердого тела, прилипают к этой поверхно-
поверхности под действием сил притяжения их к молекулам твердого тела.
Прилипшие молекулы из-за .вязкости жидкости взаимодействуют
с близтекущими слоями, подтормаживая их. Теоретически такое
тормозящее действие слоев друг на друга может простираться по
направлению нормали к пластине в бесконечность, т. е. скорость
вдоль нормали должна постепенно изменяться в таких пределах:
(/-О, u = uw = 0; y = oo\ и = ич*. Поэтому пограничный слой называет-
называется асимптотическим. Однако в большинстве интересующих нас слу-
* Индексами ниш отмечаются параметры невозмущенного потока и на по-
поверхности твердых тел соответственно.
19
чаев (маловязкие жидкости и достаточно большие скорости) зна-
значительное влияние прилипших молекул и, следовательно, сущест-
существенное изменение скорости наблюдается лишь в относительно тон-
тонком пристеночном слое 6/x<Cl. Здесь 8 = 8(х) толщина погранич-
пограничного слоя на расстоянии х от начала пластины, возрастающая
вдоль пластины (подтормаживаются все новые слои жидкости).
Граничные условия пограничного слоя. Вследст-
Вследствие асимптотичности пограничного слоя его условная толщина
определяется общепринятыми граничными условиями:
внутренняя граница (условия прилипания) у=0; u = uw = 0 ) (. ™
внешняя граница (условная) у = Ь; и = 0,99ин J
Формулировка теории пограничного слоя. Вск>
область течения жидкости около твердого тела можно разбить на
две качественно отличные зоны:
а) пограничный слой толщиной 8(х). Это относительно тонкий
слой 6/л:<с1, примыкающий к поверхности твердого тела. В этом
слое существенно изменяется скорость от uw=0 до ы=0,99 ии и
ди/ду^О. Поэтому только внутри пограничного слоя проявляется
вязкость жидкости и ее необходимо учитывать в расчетах. Однако-
для пограничного слоя учет вязкости существенно упрощается;
б) набегающий невозмущенный потек и область, лежащая над
пограничным слоем, в которых ди/дужО. Поэтому жидкость, теку-
текущую над пограничным слоем, можно считать идеальной (т = 0) .и
анализировать ее движение по более простым законам движения
идеальной жидкости.
Теория пограничного слоя разделяет решение общей сложной
задачи об обтекании твердого тела потоком вязкой жидкости на
две более простые: обтекание твердого тела лишь тонким слоем
вязкой жидкости и обтекание твердого тела несколько увеличен-
увеличенного в размерах (на величину пропорциональную толщине погра-
пограничного слоя) идеальной жидкостью. Пограничный слой возникает
при всех реальных течениях в лопаточных машинах и двигателях
и существенно влияет на их работу. Теория пограничного слоя
позволяет управлять сознательно этими течениями, а также рас-
рассчитывать их.
Одними из первых представления о .пограничном слое высказа-
высказали знаменитые русские ученые Д. И. Менделеев в монографии «О
сопротивлении жидкостей и воздухоплавании» A880 г.) и
Н. Е. Жуковский в работе «О форме судов» A890 г.) и в более
поздних лекциях. Известный немецкий ученый Л. Прандтль в
1904 г. получил дифференциальные уравнения движения жидкости
в пограничном слое, которые лежат в основе современной теории
пограничного слоя. Впервые эти уравнения были решены Блазиу-
сом в 1907 г. для простейших случаев пластины и круглого ци-
цилиндра. На этой основе, усилиями многих ученых мира, была соз-
создана современная теория пограничного слоя, которая бурно разви-
развивается и поныне. Большой вклад в эту теорию внесли советские
ученые Г. Н. Абрамович, В. С. Авдуевский, А. А. Дородницин,
20
И. Е. Кочин, Л. Г. Лойцянский, Г. И. Петров, Е. И. Степанов,.
В. В. Струминский и многие другие, а также зарубежные ученые
Т. Карман, Л. Прандтль, В. Толмин, Г. Шлихтинг и др.
Задача 1.8. Используя данные рис. 1.3 и 1.5 доказать, что напряжение тре-
трения имеет следующие значения
Ордината и напряжение
трения
У
Т, Н/М2
Сечение xt
0
-5,4
5i/2
Сечение х2
0
-2,7
52/2
-1,15
Ь2
1.6. СЖИМАЕМОСТЬ ЖИДКОСТИ
Сжимаемость — это свойство жидкостей изменять плот-
ность (объем) три изменении давления и температуры. Для коли-
количественной оценки сжимаемости используется модуль упругости
жидкостей Ж — отношение изменения давления Ар к относитель-
относительному изменению плотности Aq/q (Па) в данном процессе
J5f = A/7/(AQ/Q). A.23)
Относительное изменение плотности при заданном изменении дав-
давления Aq/q = Ар/Ж обратно пропорционально модулю упругости
Ж. Капельные жидкости малосжимаемы и их модули упругости
достаточно велики. Для воды, керосина и ртути соответственно
Ж =2-109; 1,3-109; 3,3- 109 Па.
Вопрос 1.9. Каков физический смысл модуля упругости и чему он равен для
абсолютно твердого тела?
Задача 1.10. Докажите, что при изменении давления на 107 Па (примерно»
на 100 атм.) плотность (объем) воды изменяется всего на 0,5'°/о.
При изменении температуры плотность жидкости изменяется
более существенно. Это свойство используется в термометрах и:
термостатах.
Сжимаемость газов очень велика. Переходя от конечных раз-
разностей к дифференциалам, получим
Ж =dp/(dQ/Q). A.24)
При изотермическом процессе /? = q const Ж = dp/(dQlQ) =p»
¦т. е. сжимаемость газов тем больше, чем меньше давление.
Вопрос 1.11. Во сколько раз при атмосферном- давлении и изотермическом,
процессе сжимаемость газа больше сжимаемости воды?
При изоэнтропном процессе (/?=QK const, к = С /Cv и dp/dq =
= кр/д)
= й/? A.25)
и сжимаемость газов определяется не только давлением, но и по-
показателем изоэнтропы к, уменьшаясь с его увеличением. В этом
проявляется вЛияние изменения температуры на изменение плот-
плотности газа в изоэнтропном процессе.
21
Для количественной оценки сжимаемости жидкости при изме-
изменении только температуры при р = const используется .коэффициент
температурного расширения $т= (~^ • Учет изменения
Q \dT )р
плотности газа, вызванного изменением температуры, имеет осо-
особенно существенное значение при исследовании пограничного слоя
(п. 15.5).
Несжимаемая жидкость — жидкость, плотность которой
при изменении давления и температуры не изменяется (q = const).
Эта модель используется для упрощения исследования течений,
когда относительное изменение плотности жидкости весьма мало,
т. е. Aq/q<C1. Для решения вопроса—применима ли модель не-
несжимаемой жидкости при исследовании заданного течения — необ-
необходимо знать изменения давления и температуры и вызванное имч
относительное изменение плотности. Изменение давления в потоке
несжимаемой жидкости без обмена энергией с внешней средой и
без потерь определим, используя известное из курса физики урав-
уравнение Бернулли D.60)
P-\-qW2J = const. A.26)
Из уравнения следует, что ,в заданных условиях полная энергия
жидкости постоянна, а ее составляющие — потенциальная энергия
давления и кинематическая энергия могут взаимооревращаться.
Предположив, что в процессе скорость течения может только
уменьшаться, придем к выводу, что максимально возможное изме-
изменение давления в процессе течения будет равно скоростному напо-
напору Ap = QW*/2.
Свяжем воедино характеристику процесса (Ap = QW2/2)y харак-
характеристику жидкости Ж (см. 1.23) и допустимую погрешность в
пренебрежении сжимаемостью (Aq/q<C1). Получим критерий, опре-
определяющий предел применения модели несжимаемой жидкости
Aq/q = Ьр/Ж — (Я№У2Ж )<? 1. A. 27)
Итак, газ можно рассматривать как несжимаемую жидкость, если
скоростной напор существенно меньше модуля объемной упруго-
упругости. Знак приблизительно равно в A.27) отражает использование
уравнения Бернулли для несжимаемого газа, что, однако, при ре-
решении задачи о пределе применения модели несжимаемой жидко-
жидкости не вызывает ощутимой погрешности.
Вопрос 1.12. Какой газ имеет большую сжимаемость при изоэнтропном про-
процессе: водород, воздух или фреон 12?
Скорость звука а, м/с — скорость распространения малых
возмущений давления в данной среде, рассчитывается по формуле,
известной из курса физики, а также с учетом A.24)
A.28)
Для совершенного газа, с учетом адиабатического процесса, в
22
звуковой вол'не
A.1), получим
(p = QK const; dp[dQ = Kp/Q) и уравнения
из A.28):
'состояния
A.29)
В несжимаемых средах q = const, с?р = 0, Ж = оо и а=оо, т. е.
возмущения распространяются мгновенно. Все жидкости в боль-
большей или меньшей степени сжимаемы и звук в них распространя-
распространяется с конечными скоростями.
Скорость звука в данном газе зависит только от его абсолют-
абсолютной температуры —а~~]/Т. Скорость звука в различных газах при
одинаковой температуре зависит от их природы a~l/KmR/m. По-
Показатель изоэнтропы для различных газов изменяется в узких пре-
пределах A.1... 1,67), поэтому основное влияние оказывает молеку-
молекулярная масса газа.
Водород т—2 кг/моль
Воздух т=28,97 кг/моль
Фреон т = 121 кг/моль
A.30)
Задача 1.13. Подсчитать скорость звука в водороде, воздухе и фреоне при
Г=288 и 900 К. Сравнить эти величины со скоростью звука в воде.
Число Маха — отношение скорости газа W к местной око*
рости звука а*
M = W/a. A.31)
Подставляя в A.27) значение модуля упругости из A.28) и ис-
используя A.31), получим условие, когда газ можно считать несжи-
несжимаемым
. - A.32)
Число Маха в газовой динамике является важнейшим критери-
критерием сжимаемости движущегося газа. Газ можно рассматривать ,как
несжимаемую жидкость только при течениях с М<С1 (обычно при
М<0,3...0,4).
Задача 1.14. Доказать, что при # = 0,5 км, скорости полета W=108 м/с и
при //=11 ...25 <км и W=93 м/с, воздух можно считать несжимаемым с погреш-
погрешностью Ар/р^6%.
* Молекулярные теплопроводность и диффузия.
При существовании поперечных градиентов температуры dT/dy=^O
и концентрации С, кг/м3 избыточной примеси dC/dy^O в жидко-
жидкости наблюдается теплопроводность и диффузия. Удельные потоки
тепла q, Дж/(м2-с) и избыточной примеси G, кг/(м2-с) определя-
определяются законами Фурье и Фика
q=— ЫТ/dy, G = - DdC/dy. A. 33)
* На практике часто используется число Маха полета МПолета = ЧРполет&/аг
что правомерно, так как в соответствии с принципом относительности движения
Коэффициенты теплопроводности А,, Дж/(м-с-К), тем-
температуропроводности %, м2/с и диффузии D, м2/с для
газов определяются теоретически © кинетической теории газов
\=0A99qCpImV?a; X=VqCp=0,499/m^m; Z) = 0,499/m*>m. A.34)
Формулы A.33) и A.34) имеют одинаковую структуру с A.11),
A.13) и A.14). Это является результатом того, что механизм мо-
молекулярного переноса количества движения (трения), тепла (теп-
(теплопроводности) и вещества (диффузия) в газах одинаков — тепло-
тепловое хаотическое движение молекул.
Для капельных жидкостей величины этих коэффициентов опре-
определяются экспериментально.
Глава 2
ГИДРОСТАТИКА
Для равновесия жидкости, изучаемого в гидростатике, харак-
характерно постоянство формы объема, т. е. отсутствие смещения от-
отдельных ее частиц. Вследствие этого касательные напряжения от-
отсутствуют и на элемент жидкости действуют только массовые
силы и нормальные к поверхности силы гидравлического дав-
давления.
а)
Рис. 2.1. Виды равновесия жидкости:
а— абсолютное; б и в—относительное
Различают абсолютное равновесие жидкости, т. е. равновесие
относительно сосуда, движущегося равномерно и прямолинейно
или покоящегося относительно земли (рис. 2.1,а), и относительное
равновесие — равновесие относительно сосуда, движущегося пря-
прямолинейно с постоянным ускорением а, м/с2 относительно земли
(рис. 2.1,6) или относительно сосуда, вращающегося с постоянной
угловой скоростью со, 1/с относительно своей оси (рис. 2.1,<з).
Свободные поверхности, отделяющие жидкость от атмосферы
и являющиеся одновременно поверхностями уровня, т. е. поверх-
поверхностями равного давления (р = const), в рассматриваемых случаях
имеют различный вид (см. рис. 2.1).
Общим условием равновесия жидкости, независимо от его вида,
является равенство нулю равнодействующей -всех сил, приложен-
25
/
P(dy dz)
/
П '
/
/;
! dz
/
/dy
ixiSblh-ti-i
ных к любому элементу жидкости и, следовательно, равенство ну-
нулю суммы моментов этих сил относительно произвольной оси.
2.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
РАВНОВЕСИЯ
Дифференциальное уравнение равновесия или уравнение Эйле-
Эйлера позволяет после интегрирования получить распределение дав-
давления р = р(х, у, z) в покоящейся жидкости при заданном распре-
распределении напряжения массовой силы Jm = J(x, у, г), плотности q =
= (>(*> У» z) и давления р0 на
? свободную поверхность жидко-
жидкости.
Пусть на мысленно выделен-
выделенный элементарный параллелепи-
параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис.
2.2) действует известная массовая
сила Rm, напряжение которой
Tm = xT+Yj+.ZK9 а на грани, схо-
сходящиеся в точке О (х, у, z) — ис-
* t комое давление р(х, у, z). На
Рис. 2.2. Равновесие элемента жид- противоположных гранях давле-
кости ние соответственно будет р +
+ (dp/dx)dx; /?+ (dp/dy)dy; p.+
+ {opldz)dz. На рис. 2.2 приведены только силы давления, па-
параллельные оси х. Запишем уравнение равновесия элемента в про-
проекции на ось х как равенство нулю суммы проекций всех сил на
эту ось
Xgdxdydz + {p-[p + (др/дх) dx]} dydz=0.
Производя очевидные упрощения и повторяя аналогичные вы-
выкладки для осей у я z, получим дифференциальные уравнения рав-
равновесия жидкости в проекциях ,на оси координат
X-(l/Q)(dp/dx)=Q; Г-Ш(др/ду)=0; B.1)
Z-(l/Q)(dpfdz) = O.
Задача 2.1. Получите уравнение равновесия в векторной форме. Ответ / =
=A/р) grad p.
Умножим уравнения B.1) ,на dx, dy, dz соответственно, сложим
и учитывая, что (dp/dx)dx+ (dpfdy)dy+ (dpfdz)dz=dp, т. е. пред-
представляет собой полный дифференциал давления р(х, у, г), полу-
получим эквивалентное уравнение равновесия, не содержащее частных
производных:
dp = Q [Xdx -\- Ydy -\- Zdz). B. 2)
Правая часть B.2) как и левая является полным дифференциа-
дифференциалом некоторой функции координат. Не ли q=const, то Xdx-\-Ydy-{-
-\-Zdz=dU и
dp=QdU. ¦ B.3)
26
Здесь U(x, у, z) —силовая функция, частные производные которой
по координатным осям в данном случае равны соответствующим
проекциям на оси напряжения массовой силы
дЦ/дх=Х; dU/dy=V; d(J/dz=Z. B.4)
Сила, удовлетворяющая условиям B.3) и B.4), имеет потен-
потенциал. Итак, равновесие жидкости возможно только лишь под дей-
действием массовых сил, имеющих потенциал.
2.2. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ
Дифференциальное уравнение поверхности уровня получим, ис-
использовав условие /? = const, т. е. подставив dp=O в уравнения
B.2) и B.3):
и dU=0: ?/=const.
Для поверхности уровня, проходящей через точки Х\\ у\\ z\y
уравнение B.5) примет вид
Xix-xJ + Viy-yJ + Ziz-z^O. B.6)
Из уравнения B.3) следует, что для неоднородной по плотно-
плотности жидкости ее плотность должна зависеть от силовой функции
Q=«p(?/) и уравнение равновесия B.3) примет вид:
dp = <t{U)dU = d\<t{lJ)\. B.7)
Интегрируя B.7), получим
p = 4(U) + C. B.8)
Уравнения B.5) и B.8) показывают, что на поверхности уровня
постоянно не только давление, но и силовая функция и плотность.
Неоднородная капельная жидкость при равновесии располагается
слоями одинаковой плотности: большим значениям плотности со-
соответствуют большие давления. Это свойство используется для
разделения неоднородных по плотности жидких смесей в центри-
центрифугах и отстойниках.
Дифференциальное уравнение поверхности уровня B.5) явля-
является, кроме того, условием перпендикулярности двух векторов —
напряжения массовой силы J = Xi + Yj+Zk и вектора dl = dxi+
*\-dyj + dzK, располагающегося произвольно на поверхности уров-
уровня. Отсюда следует, что поверхность уровня всегда нормальна к
напряжению суммарной массовой силы, действующей на жидкость
при равновесии (см. рис. 2.1).
2.3. АБСОЛЮТНОЕ РАВНОВЕСИЕ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. ЗАКОН ПАСКАЛЯ
Определим гидростатическое давление р в произвольной точке
А(х, у, z) в капельной жидкости q = const при ее абсолютном рав-
27
новесии относительно сосуда небольшого размера *, если давление
на свободной поверхности р0 (см. рис. 2.1,а).
Выберем на произвольной высоте горизонтальную плоскость
сравнения (нивелирную плоскость) хоу, от которой вверх по радиу-
радиусу земли будем отсчитывать .координаты z. В данном случае в
каждой точке жидкости из массовых сил действует только напря-
напряжение силы тяжести с проекциями X = Y = 0 и Z = —g и дифферен-
дифференциальное уравнение равновесия B.2) принимает вид
dp=-Qgjz. B.9)
Задача 2.2. Опишите физический смысл уравнения B.9).
Проинтегрируем B.9), найдем р = —Qgz+c. Постоянную с опре-
определим из граничных условий: z = z0, p = p0 и c = po + QgZo. Учтем, что
Zq—z есть глубина погружения h точки А и получим основное урав-
уравнение гидростатики для несжимаемой жидкости
Р = А) ~~\~Qg (%о ~~ z) = Л) ~\~Qgh> ) /о 1ГЛ
P/Qg + z = PoiQg + zo = const, J
где Qgz — давление столба жидкости высотой z при плотности q на
основание <площадью ib квадратный метр, Па: z — геометрическая
или нивелирная высота, м; p + Qgz — гидростатическое давление,
Па; (p/Qg)-\-z — гидростатическая высота, м.
Задача 2.3. Запишите уравнение B.10) так, чтобы его члены выражали
удельную энергию жидкости (Дж/кг). Разберите энергетический смысл уравне-
уравнения B.10). Приведите примеры практического использования этой энергии жид-
жидкости.
Вопрос 2.4. Как изменятся гидростатический напор и давление в точке Л,
если нивелирную плоскость опустить на 5 м? Почему положение нивелирной
плоскости можно выбирать произвольно?
Уравнение B.10) позволяет сделать следующие выводы.
1. Давление р в любой точке покоящейся жидкости складыва-
складывается из давления на свободную поверхность р0 и давления Qgh
столба вышележащей жидкости. Этот вывод представляет содер-
содержание первого основного закона гидростатики — закона Паскаля:
давление, приложенное к покоящейся жидкости, передается во все
ее точки одинаково.
2. Давление в- жидкости
при q = const с увеличением
глубины погружения h=z0—z
возрастает линейно и тем бы-
быстрее, чем больше плотность
жидкости (см. рис. 2.1, а).
3. Поверхности уровня (р =
= const) параллельны свобод-
свободной поверхности z$ = const.
Задача 2.5. Докажите, что уси-
Рис. 2.3. Схема гидравлического пресса лие .пресса /?=103#i (рис. 2.3).
* В этом случае ускорение силы тяжести постоянно для всего пространства,
занятого жидкостью (^=9,81 м/с2), и силы тяжести имеют потенциал.
28
///////у
Задача 2.6. Определите давления абсолютное, избыточное и вакуум, если по-
показания пьезометров с № 1 по № 6 равны 0,4; 0,55; 0,25; 0,05; 0,2; 0,1 м ртутно-
ртутного столба (рис. 2.4) соответственно.
ПР<
•¦¦*
1 р=0 г
2 ;
и.
у — loyllhc/n -
—
1
"- h
:
J
5
"о \
- i,
- — -
1
6
щ
0
-?:
Рис. 2.4. Измерение давления
Абсолютное давление
So
Ответ д
р. 10-4 Па *
Р\
5,33
Р2
7,33
Рг
7,33
Избыточное давление
1,33
3,33
3,33
Ра
0,67
Рь
2,67
Ро
2,67
Вакуум
3,33
1,33
1,33
2.4. СИЛА ДАВЛЕНИЯ НА ПЛОСКУЮ СТЕНКУ
Определим силу R давления капельной жидкости на площадь S
плоской стенки, расположенной под углом а к свободной поверх-
поверхности (рис. 2:5). Ось х совместим с линией пересечения свободной
поверхности и стенки. Для того, чтобы на чертеже изобразить пло-
площадь 5 в двух проекциях, ось х и стенда повернуты около оси у на
90°. Обозначим центр тяжести площади S буквой С, центр давле-
давления или точку приложения равнодействующей сил давления — D,
'площадь произвольной элементарной площадки — dS. В соответст-
соответствии с уравнением B.10) сила давления на элементарную площад-
площадку равна dR = pdS=(po + Qgh)dS, где h = y sin а —глубина погру-
погружения dS. Сила R давления на площадь 5 получим в результате
интегрирования '/f=^dR=pQS-\-Qg sin a ^ ydS. Учтем, что {ydS
s s s
есть статический момент площади 5 относительно оси ох, равный
.произведению /площади 5 на координату центра тяжести Ус, тогда
Я = Pos + ЯёУс sin <zS = PoS + QghcS = PcS, B.11)
29
¦\Ш
где Pc = pQ+Qghc — давление жид-
жидкости в центре тяжести площади S.
Сила R складывается из силы poS,
равномерно распределенной по пло-
площади, с равнодействующей в центре
тяжести, и силы избыточного давле-
давления R1136 = QghcSi неравномерно рас-
распределенной, с равнодействующей в
точке ?)', расположенной всегда ни-
ниже точек Си/). Сила R не зависит
ни от угла наклона стенки а, ни от
формы сосуда, содержащего жид-
жидкость. Составив уравнения момен-
моментов сил относительно оси ох, можно
получить формулы для расчета ор-
ординат точек D' и D
Рис. 2.5. Определение силы давле-
давления жидкости на плоскую пло-
площадку
B.12)
+ PoSyc)/R, B. 13)
j — момент инерции площади 5 относительно оси, проходя-
проходящей через центр тяжести параллельно оси ох. Для определения
xD, и xD необходимо составить уравнение моментов относитель-
относительно оси у.
Рис. 2.6. Иллюстрация гидростатического пара-
парадокса
Задача 2.7. Докажите, что силы давления жидкости одинаковой плотности
на днища трех сосудов одинаковы (рис. 2.6).
2.5. ЗАКОН АРХИМЕДА
В покоящейся жидкости мысленно выделим произвольный объ-
объем жидкости V. Он находится в равновесии, следовательно, под-
поддерживающая его сила равна и противоположна силе тяжести
#п = — Rt = — Q>*gV. Очевидно, чтолюбоетело тогожеобъема будет
испытывать со стороны жидкости ту же поддерживающую силу
Это рассуждение доказывает закон Архимеда —тело, погруженное
в жидкость, испытывает поддерживающую силу, равную силе тя-
тяжести вытесненной им жидкости (рис. 2.7).
30
Равнодействующая R сил, при-
приложенных к телу, равна разности
этих сил
R=Rn — ^T=gV{QM — Qt). B. 14)
Задача 2.8. Укажите условия, при ко-
которых тело, погруженное в жидкость, бу-
будет всплывать, тонуть и находиться в
равновесии.
Задача 2.9. Укажите причину возник-
возникновения поддерживающей силы.
Задача 2.10. Определите поддержива-
поддерживающую силу куба V= 1 м3, qt = 500 кг/м3,
одной гранью плотно прилегающего ко дну
водоема глубиной /t=6 м при D —
¦Л Л Л J"X f^ Л. ТТ "Г V
у—
\_
=P*<gv =
ртчу'
—J
- - -j
Рис. 2.7. Равновесие тела, по-
погруженного в жидкость
водоема глуиииии rt = u м пуп ио —
= 1Ю1330 Па. Не представляет ли этот принтер опровержение закона Архимеда/
Ответ. Жидкость прижимает куб ко дну с силой 150330 Н.
2.6. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТИ
ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНОМ РАВНОУСКОРЕННОМ
ДВИЖЕНИИ СОСУДА
Пусть оси (координат скользят вместе с сосудом по наклонной
плоскости с ускорением а (см. рис. 2.1,6). Напряжение массовой
силы в данном случае слагается из напряжений силы тяжести
(—g) и силы инерции от ускорения в переносном движении ап, на-
направленной в сторону противоположную ускорению а. Из рис.
2.1,6 следует, что X==/X = anx; У=0; Z=jz = a?2—g. Подставляя эти
значения в уравнение B.2) и интегрируя, найдем
В соответствии с граничными условиями для произвольной точки
свобо дной поверхности х=х0; у=yo;z = zo; р = ронайцемС = ро — яХ
x(anJCK0-\-anzz0 — Szo) уравнение для определения давления в про-
произвольной точке х, у, z примет вид
x(x-xo) + aaz{z-zQ)-g(z-zo). B. 15)
Свободная поверхность перпендикулярна напряжению суммарной
массовой силы и угол наклона ее к горизонту определяется из
B.15) при р = Ро
B. 16)
X—Xq
¦g
х
Z
Задача 2.11. Докажите, что при ускорении ракеты а = 0 давление керосина
перед "насосом (рис. 2j8) р= 1^24 • 1:05; при a=\\ug—р=8,65 • 1Ю5 Па. Сохра-
Сохранится ли равновесие керосина при переменной величине вертикального ускоре-
ускорения?
Задача 2.12. Докажите, что при горизонтальном полете самолета с ускоре-
ускорением а=—0,5 g (рис. 2.9) давление керосина перед насосом р\ = 105, у стенки р2=
= 1,16-105 Па и угол а=26°30'. Сохранится ли равновесие керосина при пере-
переменной величине горизонтального ускорения?
31
Керосин
р
Насос
/
st
Z
2м z
р'
\
.
п=10с
г
II ;
Ni
I
1
-с 0
ро=105П&
' i
X
I
I
Рис. 2.8. Иллюстрация к задаче 2.111 Рис. 2.9. Иллюстрация к задаче 2.12
2.7. РАВНОВЕСИЕ [КАПЕЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СОСУДЕ
Равновесие жидкости реализуется лишь при постоянной угло-
угловой скорости вращения со = const (см. рис. 2.1,в). В этом случае
напряжение суммарной массовой силы складывается из напряже-
напряжения силы тяжести (—g) и центробежной силы ап = со2г, направлен-
направленной противоположно центростремительному ускорению (—а), т. е.
J = an+g. В силу симметрии этот случай можно рассматривать как
плоский: X=au = (xJr; Y=0; Z=—g. Подставляя эти значения в
уравнение B.2) и интегрируя, получим р= Qgz-\-C. Ис-
Используя граничные условия r=0, z = zOf p = po найдем C=po+Qgzo
и формулу для расчета давления жидкости в произвольной точке
(г, г)
p-=Po + Qg(zo-z) + Q*2r*/2. B. 17)
Уравнение свободной поверхно€ти получим, приняв в B.17) р = ро:
z = zQ4-a2r*/2g. B.18)
Это уравнение параболы. Следовательно свободная поверхность —
параболоид вращения.
2.8. РАВНОВЕСИЕ ГАЗОВ. МЕЖДУНАРОДНАЯ
СТАНДАРТНАЯ АТМОСФЕРА
В пространстве, занятом газом, могут изменяться давление,
плотность и температура. Поэтому интегрирование дифференци-
дифференциального уравнения равновесия B.2) возможно только при исполь-
использовании уравнений состояния p = RqT и поля температур Т=Т(х,
у, z). Параметры воздуха и других газов в окружающей среде из-
изменяются не только в зависимости от высоты над уровнем океана,
но и от времени года, географической широты и погоды. Между
32
тем мощность различных тепловых двигателей, тяга реактивных
двигателей, характеристики летательных аппаратов и т. д. сущест-
существенно зависят от состава и параметров окружающего воздуха.
Для того, чтобы обеспечить возможность сравнения характеристик
двигателей (летательных аппаратов), испытанных при различных
атмосферных условиях, а также возможность сопоставления их
характеристик с расчетными, была принята Международная стан-
стандартная атмосфера (МСА)—единый условный закон изменения
давления, температуры и плотности воздуха по высоте, отсчитыва-
отсчитываемой от уровня океана (приложение 1).
При всех расчетах атмосферные условия принимаются соответ-
соответствующими МСА. Все экспериментальные характеристики двига-
двигателей, летательных аппаратов и агрегатов, полученные при раз-
различных атмосферных условиях, приводятся к условиям МСА, т. е.
пересчитываются по формулам приведения так, что характеристи-
характеристики становятся такими, какими бы они были при испытании дан-
данного объекта при стандартных условиях. Только после этого имеет
смысл сравнение характеристик объектов с расчетными и между
собой.
На уровне океана в МСА приняты так называемые нормальные
атмосферные условия: # = 0, /?0= 101330 Па = 760 мм рт. ст., Го =
= 288,2 К, Q» 1,23 кг/м3.
Атмосферу условно принято делить по высоте на следующие
зоны в зависимости от осредненного состава газа и закона измене-
ния температуры по высоте:
1) тропосфера #=0... 11 ,км, 7 = 7*0—6,5-Н, К;
2) стратосфера #=11...25 км, 7^216,7 К=-const;
3) химосфера # = 25 ... 80 км (изменение Т см. приложение 1).
До высоты 80 км состав воздуха .изменяется незначительно;
4) ионосфера #=80 ...400 км, 7»185 + 7#. Содержит .ионизи-
.ионизированный электропроводящий газ;
5) мезосфера # = 400 ... 1000 км, 7« 1800 K=const содержит
ионизированный газ с преобладанием в верхних слоях ионов гелия
и водорода;
6) экзосфера #>1000 км—зона переходная к космическому
пространству. Как уже указывалось, верхние слои атмосферы уже
нельзя считать сплошной средой.
При расчете МСА начало координат располагается на уровне
мирового океана (#=0). Ось z заменяется осью высот #, которая
направляется вверх. При равновесии в атмосфере действует толь-
только сила тяжести, следовательно, X=Y=0; Z=—g и дифференци-
дифференциальное уравнение B.2) принимает вид
dp+QgdH=0. B.19)
Для тропосферы Т=Т0-$Н и Q=QopTolpoT=Qop/[po(l-$H/To)].
Подставляя значение q в B.19) и интегрируя, получаем формулы
2 950 33
Беркёнса для расчета давления и плотности участков МСА с ли-
линейным распределением температур
\ B 20)
О/Оо = A — P///7-)(^oq^/Ppo)-i ] .
Для участков атмосферы с Г=const—q/qo=p/Po и интегрирование
уравнения B.19) приводит к формуле Галлея
p/Po=Q/Qo = e-Q°gH/p°- B.21)
Бели в задаче задается высота Я, то этим по МСА однозначно
задаются параметры «воздуха р, q, 7. Если же задаются давление
или плотность воздуха, то из МСА однозначно определяются соот-
соответствующие высота Н и остальные параметры воздуха.
Задача 2.13. Определить подъемную силу Ry дирижабля объемом У=500 м8
на высоте #=0 и #=10 км при заполнении его гелием и водородом при р =
= 105 Па; Г=1290 К. Силой тяжести конструкции дирижабля пренебречь. Ответ:
Для гелия Ryo=32№; Rylo = 1B20 Н. Для водорода Ry0 =5617: Ry10 = 1620H.
Задача 2.14. Какова будет подъемная сила этого дирижабля на Луне? Ответ:
На Луне нет атмосферы и ?л=—9,81/6 м/с2. Поэтому на дирижабль будет дей-
действовать не подъемная сила, а сила тяжести.
При заполнении гелием R=—135 Н, при заполнении водородом R=—67,5 Н.
Глава 3
КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
Движение твердого тела может быть определено, если в любой
момент времени известны вектора скорости трех его точек', не ле-
лежащих на одной прямой.
Движение жидкости определяется только в том случае, если в
любой момент времени известны вектора скоростей всех ее частиц
в рассматриваемом пространстве, т. е. если известно пространств
венно-временное поле скоростей. Определение этого поля и являет-
является предметом кинематики жидкости.
Вопрос 3.1. Чем объясняется такая существенная разница в определении
движения твердого тела и жидкости?
3.1. МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ЭЙЛЕРА
ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
В методе Лагранжа изучается движение каждой отдельной
жидкой частицы или жидкого объема (см. п. 1.3). Каждая частица
в начальный^момешт времени t0 помечается ее координатами д:о, Уо>
z0 или70 = ^оЙ-^оГ+'гоК. Движение считается определенным, если
для каждой частицы известны уравнения, описывающие ее путь во
времени, т. е. параметрические уравнения траекторий всех частиц
в векторной или координатной форме
х=х(х0, у0, z0, t)\ y=y(xQ, y0, z0, t);
C.1)
где г; х, у, z— текущие радиус-вектор и координаты помеченной
частицы; г0, хОу уо, z0, t — переменные Лагранжа.
Векторы скорости W и ускорения 7 частиц и их проекции на
оси координат в любой точке траектории определяются как соот-
соответствующие производные по времени
fy7 u=dx/dt; v=dy/dt; w =
Jx=du/dt=d2x/dt2...
Задача З.2. Напишите выражения для проекций скорости v и w и ускорений
/у и Jt.
2* 35
Обычно в гидрогазодинамических исследованиях требуетсй
определить значения параметров потока .в заданных точках прост-
пространства, а не судьбы помеченных частиц.
Метод Эйлера. В методе Эйлера изучается изменение ско-
скорости жидкости и других параметров, происходящее во времени в
точках х, у, z контрольного объема. Движение жидкости считается
определенным, если известно пространственно-временное поле ско-
скоростей в векторной или координатной форме:
C.3)
=WG, t); W=Vu2 + v2 + w2
= и(х, у, z, f)\ v = v(x, у, z, t);
= w(x, у, z, t)9
где г, х, у, z, t — переменные Эйлера.
Строго говоря, все реальные течения жидкостей являются про-
пространственными и неустановившимися, т. е. течениями, в которых
параметры жидкости зависят от всех трех пространственных коор-
координат и от времени и описываются уравнениями @.1). Расчеты
таких течений чрезвычайно сложны. Однако, многие практически
важные течения, с достаточной для практики точностью, могут
быть представлены и рассчитаны в виде следующих упрощенных
моделей.
1. У ст ановившееся или стационарное течение.
Это течение, в котором параметры жидкости в каждой точке поля
не .изменяются во времени. В этом случае время исключается из
числа независимых переменных и уравнения полей упрощаются
и = и{х, у, z); v = v{x, у, z); w = w(x, у, z)\) g „
p = p(x, у, z); q=q(x, y, z); T = T(x, y, z). J
2. Плоское (двухмерное) течение. Это течение, в
котором частицы жидкости движутся параллельно некоторой фикси-
фиксированной плоскости, например хоу, причем во всех плоскостях, па-
параллельных этой плоскости, течение одинаково. Параметры жидко-
жидкости не изменяются вдоль оси г, перпендикулярной этой плоскости.
Задача 3.3. Запишите уравнения полей параметров для плоского неустано-
неустановившегося и установившегося течений.
3. Одномерное течение — течение, в котором параметры
жидкости зависят от одной пространственной координаты, напри-
например х. Уравнения полей для одномерного установившегося тече-
течения имеют наиболее простой вид
)
р=р{*)\ Q=p(*); т=Т{х).\
Заметим, что газодинамический расчет сложного пространст-
пространственного неустановившегося течения в ТРДФ (см. рис. 0.1) на прак-
практике производится с использованием модели установившегося од-
одномерного течения.
В общем случае движения C.3) скорость я«вляется функцией
четырех независимых .переменных, поэтому ускорение и его компо-
36
ненты определяются как полные или субстанциональные производ-
производные по времени.
Запишем выражение полной производной в виде оператора,
применимого к любому параметру:
=^ + u^ + v^+w^^+(W%.. C.6)
dt & дх ду дг dt
Тогда выражение для ускорения жидкой частицы будет
, C.7)
dt dt ' дх ду s ' Фг
& для его проекции на ось х
где dW/dt — местная или локальная составляющая полной произ-
производной— характеризует изменение скорости в данной точке прост-
пространства во времени. При неустановившемся течении dWfdt отлич-
отлична от нуля, за исключением особых моментов, когда параметр во
времени проходит через максимум или минимум. При установив-
установившемся течении (dW/dt)=0;
и —^-\-v-^--{-w-^-=A^.7),..— оператор конвективной состав-
составив ду дг
ляющей. Конвективная составляющая характеризует
изменение параметра в пространстве в данный момент времени.
Может отличаться от нуля как для нестационарного, так и для
стационарного течения
А*=——Г-\—— 7+ -^"к— оператор Гамильтона.
дх ду дг ,
Задача 3.4. Запишите выражение для Jy и Jz.
Линия тока. Это линия в пространстве, в каждой точке ко-
которой, в данный момент времени, вектора скорости частиц каса-
тельны (рис. 3.1,а). Из условия параллельности вектора скорости
W и (вектора элемента линии тока dl=dxi-\-dyj -\-dz к следует,
что к
Wdf= {wdy — vdz)T-\- {adz — wdx) 7+ (vdx — udy)lc=0.
Из условия равенства нулю проекций этого нуль-вектора получим
дифференциальное уравнение линии тока
dx/u=dy/v=dz/w. C.9)
Для построения линии тока, проходящей через точку А\ (рис.
3.1,6), следует отложить соответствующие одному и тому же мо-
моменту времени вектор скорости W\ частицы А\, вектор W% частицы
А2у находящейся на векторе W\ вблизи А\ и т. д. Уменьшая длину
отрезков полученной ломаной линии и увеличивая их число до
'бесконечности, получим в пределе линию тока. В установившемся
37
течении положение линий тока в пространстве не изменяется и они
совпадают с траекториями частиц. В неустановившемся течении
положение линий тока может непрерывно изменяться и не совпа*
дать с траекториями.
Элементарная струйка. Трубка тока. В движущей-
движущейся жидкости выделим элементарную площадку dS (рис. 3.1,в).Че-
3.1,в).Через все точки площадки проведем линии тока. Полученный объем-
объемный, пучок линий тока называется элементарной струйкой, а его
боковая поверхность — трубкой тока.
, Рис. 3.1. Линия и трубка тока
Задача 3.5. Докажите, что поверхность трубки тока удовлетворяет условию
непротекания, т. е. непроницаема для жидкости.
Параметры жидкости могут изменяться только вдоль оси эле-
элементарной струйки и не изменяются поперек струйки. Последнее
объясняется тем, что сечения элементарной струйки могут быть
выбраны столь малыми, что изменением параметров в них всегда
можно пренебречь. Однако, при этом, поперечные градиенты ско-
скорости dW/dr, температуры дТ/дг и концентрации избыточного ком-
компонента дс/дг могут иметь любые конечные значения, т. е. в эле-
элементарной струйке может иметь место трение, теплопроводность и
диффузия. Совокупность элементарных струек называется потоком
жидкости.
3.2. РАСХОД ЖИДКОСТИ. СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ
Объемным расходом жидкости Q, м3/с называется
объем жидкости, протекающий через данную поверхность в секун-
секунду. Из курса векторного анализа следует, что объемный расход че-
через произвольную поверхность 5 (см. рис. 3.1,в) равен потоку век-
вектора скорости
Q= t (W-7i)dS= f W cosadS= f {udydz-\-vdxdz-\-wdxdy),
s s i
C. 10)
где a — угол между вектором скорости W и ортом внешней норма-
нормали п к элементарной площадке dS.
Живым сечением Sm называется сечение потока, каждая
элементарная площадка которого нормальна к соответствующему
вектору скорости. В этом случае C.10) упрощается
Q = f WdS. C.11)
Массовым расходом жидкости G, кг/с называется
масса жидкости, протекающая через данное сечение в секунду.
Если плотность в различных точках поверхности одинакова, то
массовый расход равен объемному, умноженному на плотность:
G=Qq. C.12)
Поперечным сечением потока называется сечение
площадью 5, перпендикулярное оси потока.
Среднерасходной скоростью WCv называется постоян-
постоянная для всего поперечного сечения потока скорость, при которой
расход равен действительному, т. е.
G=q Г W cos adS=qWcpS. C.13)
$
Выражение C.13) является определяющим для ореднерасходной
скорости
WC9=Q/qS=Q/S=(\/S) j WcosadS. C.14)
В элементарной струйке скорость W в поперечном сечении посто-
постоянна, т. е. равна среднерасходной, и, если угол между линиями то-
тока невелик, так, что cos a»l, то расход рассчитывается по фор-
формуле G = qWS.
Вектор q№=|G/S|, кг/(м2-с) называется плотностью тока
и равен массе жидкости, протекающей через квадратный метр се-
сечения в секунду.
Задача 3.6. На основании рис. 3.1,в и формулы C.13) сделайте заключение
об изменении плотности тока сжимаемой и несжимаемой жидкости в зависимости
от площади сечения канала при •—¦— = 0.
dt
3.3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
Уравнение неразрывности (сплошности) выражает закон сохра-
сохранения массы при учете сплошности движущейся жидкости и явля-
является одним из основных .в гидрогазодинамике.
Для жидкого объема закон утверждает неизменность его мас-
массы во времени (dm/dt=0).
Для контрольного объема V с замкнутой контрольной поверх-
поверхностью S (рис. 3.2), через который протекает жидкость, заключа-
заключаем, что разность между массой жидкости, вытекающей из объема
и втекающей ,в него, равна изменению массы жидкости в нем. В не-
неизменном контрольном объеме изменение массы может произойти
Л 39
только за счет изменения плотности жидкости при неустановив-
неустановившемся течении, т. е.
(? n(QW)dS= - UdQjdt)dV.
C.15)
Формула Остроградского — Гаусса для произвольного векто-
вектора а
Фп-adS = \ div adV— \ 1 1 I dV C. 16)
j J \_dx ду dz J
s v v
позволяет заменить в C.15) интеграл по поверхности интегралом
по объему и получить
V=0. C. 17)
V
Приравняв подынтегральную функ-
функцию C.17) нулю, так как она не-
непрерывна, а интеграл по произволь-
произвольному объему равен нулю, получим.
дифференциальное уравнение не-
неразрывности
w
Рис. 3.2. Контрольный объем —^_ = —
dt
дх
d(QV)
dz
]
C. 18)
Дивергенция (расхождение) вектора плотности тока [cUv(qU?)]
представляет разность между массой жидкости, вытекающей из
элементарного контрольного объема и втекающей в него, отнесен-
отнесенную к единице времени и объема. Она равна локальной производ-
производной от плотности.
Задача 3.7. Определите размерность div (pW).
Задача 3.8. Объясните значение знака минус в C.18).
Задача 3.9. Используя C.18) и C.8) получите дифференциальное уравнение
неразрывности в форме dp!dt=—р div (W).
Задача 3.10. Получите уравнение C.16), рассмотрев протекание жидкости
через элементарный контрольный объем с ребрами dx, dy, dz.
Для различных течений уравнение неразрывности принимает
следующие формы:
для несжимаемой жидкости q = const, dQ/dt=O,
/dz=O C. 19)
для установившегося течения dg/dt^O и
div (qW)=д (Qu)/dx+д (Qv)/dy + д (Q.w)/dz = 0, C. 20)
т. е. расходы жидкости, вытекающей из контрольного объема Ог
и втекающей в него Gh равны. Следовательно, при установившем-
установившемся течении в канале расход жидкости через любое поперечное се-
40
чение /—/, 2—2, ... i—/ одинаков
писать:
и с учетом C.13) можно за-
заДля элементарной струйки при установившемся течении и №г-Ср=
¦ Ol=Q2=Ol=QlW1S1=Q2W2S2=QiWiSi=const C.21)
Для несжимаемой жидкости не только массовый расход во всех
сечениях одинаков, но и объемный расход
Ql = Q2 = Ql = WlSl = W?2=WlSl. C.22)
Задача 3.11. Укажите, чем определяется изме-
изменение скорости течения в канале для несжимаемой
и сжимаемой жидкости?
Сопла и диффузоры. Каналы, в ко-
которых жидкость ускоряется (W2>W\), на-
называются соплами или конфузорами, а те-
течения в них - конфузорными.
Каналы, в которых жидкость тормозит-
ся (W2<Wi), называются диффузорами, а
течения в них — диффузорными.
Для несжимаемой жидкости сапла — сужающиеся каналы
E2<Si), а диффузоры — расширяющиеся (S2>Si).
Для сжимаемой жидкости соплами могут служить и сужаю-
сужающиеся и расширяющиеся каналы, в зависимости от условий тече-
течения; то же самое относится и к диффузорам.
Задача 3.12. Запишите всеми возможными способами условие несжимаемо-
несжимаемости при течении.
Задача 3.13. Опишите свойства_жидкости и характер ее движения для трех
случаев: a) div(#) =0;- б) div(Q#)=0; в) div (qW)=— 2 кг/(м3с).
Задача 3.14. Докажите, что расход воздуха через канал между двумя ло-
лопатками t=\0fi2 м высота (по нормали к чертежу) А=О,'05 м, 1^1=300 м/с, pi =
=6 кг/м3 и а ==30° равен G=t),9 кг/с (рис. 3.3).
Рис з.З. Течение между
лопатками
3.4. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ
Для (выяснения .кинематических особенностей движения жид-
жидкости необходимо общее движение с «абсолютной» скоростью W—
= W(r, t) разложить на простейшие.
Как известно, скорость произвольной точки твердого тела W
всегда может быть представлена как векторная сумма скорости
Wq поступательного движения полюса О и скорости вращения
(о)Х/*0) вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс:
Г=#0+(шхГ0). C.23)
Движение жидкой частицы является более сложным и определя-
определяется следующей теоремой. _^
Теорема Коши — Гельмгольца. Скорость движения W
любой точки жидкой частицы в данное мгновение можно рассмат-
41
ривать как результат сложения векторов скоростей более простых,
движений *:
1) скорости ювазитвердого движения, представляющей сумму
скорости WQ поступательного движения вместе с произвольным
полюсом О, находящимся в самой частице, и скорости вращения
частицы (соХ/*о) около собственной оси, т. е. оси, проходящей че-
через полюс О C.2^);
2) скорости WD деформационного движения, изменяющего фор*
му и размеры частицы:
C.24)
С'
С
V
О;о'
В
1
1
5'
О6Х
\ А А'
М X
a)
Рис. 3.4. Деформация элемента жидкости \]
Наличие или отсутствие деформационного и вращательнога
движения жидких частиц определяет качественно отличные моде-
модели движения жидкости.
На рис. 3.4 совмещены в полюсе О две проекции на плоскость
ху элементарного жидкого параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz
в начальный момент движения t и в момент t+dt после перемеще-
перемещения в пространстве, деформаций и вращения. Для наглядности на
рис. 3.4,а представлен результат лишь линейной деформации удли«
нения ребер, а на рис. 3.4,6 — только деформации сдвига ребер и
вращение элемента. Пусть проекции скорости полюса О в началь-
начальный момент времени и и v. Проекции скоростей точек Л и С в об-
общем случае будут
uA=u-{-(du/dx)dx, vA = v-\-(dv/dx)dx,
uc = u-\-(du/dy)dy и vc—v-\-(dv/dy)dy.
Скорости относительной линейной деформации.
Точка А движется относительно полюса О вдоль оси х со ско-
скоростью (ди/дх)ёх.Это вызывает линейную деформацию удлинения
или укорочения ребра ОЛ, равную АА'= (dufdx)dxdt. Аналогичное
рассмотрение линейных деформаций вдоль осей у и z позволяет
* Доказательство теоремы Коши—Гельмгольца, Стокса, второй теоремы
Гельмгольца и теоремы Томсоиа можно .найти в учебниках по аэродинамике; см.»
например, Л. Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978, 736 с.
42
рассчитать величины линейных деформаций, отнесенных к длине
ребер, в секунду, т. е. скоростей линейных деформаций гХу еу, е2
вдоль соответствующих осей координат:
гг=дт/дг. C.25)
Объемная деформация состоит в изменении объема dV=dxX
Xdydz параллелепипеда на величину 6V=6Vx + 6Vy+8Vz за счет
удаления или сближения противоположных граней. Учтем, что
АА'= (du/dx)dxdt и подсчитаем составляющую объемной деформа-
деформации за счет изменения длины ребра dx по очевидной формуле, а
для ребер dy и dz—по аналогии
bVx=AA'dydz = (du/dx)dVdt; j 3 2g.
bVy = {dv!dy)dVdt, bVz = (dw/dz)dVdt. J
Скорость относительной объемной деформации
е представляет изменение объема частицы, отнесенное к ее перво-
первоначальному объему и времени деформации:
p=*x + *y-\-*t. C.27)
Для несжимаемой жидкости e = div W = 0.
Задача 3.15. В точке х, у, z патока p = const, ди/дх = 0; dw/dz— —1,2 с™1.
Определите ovfdy и опишите деформацию частицы.
Задача 3.16. В точке х, у} z ех=Ю;2; еу = 0,4; е2=0,2. Определите свойст-
свойства жидкости и величину объемной деформации.
Скорость относительной деформации сдвига и
угол поворота частицы (рис. ЗА, б). Движение точки А
параллельно оси у со скоростью v-\-(dv/dx)dx можно представить
как движение вместе с полюсом 0 со скоростью v и относительно
полюса со скоростью {dvjdx)dx, В результате относительного дви-
движения ребро О А за время dt повернется на бесконечно малый угол
d?A ~ tg d$A = AN'jdx = (dv/дх) dxdt/dx = (dv/дх) dt. Аналогично
ребро ОС повернется на угол d$c=CC"/dx = (du/dy)dt. Общая от-
относительная деформация сдвига частицы или деформация скашива-
скашивания прямого угла Л ОС в Аг (Уг С" происходит в одинаковой степе-
степени под действием тангенциального напряжения хху и %ух и равна
d$A-\-d$c=(dv/dx-[-dii/dy)dt. Обозначив скорость суммарной отно-
относительной деформации сдвига, вызванной хху, через б^ = (^Рс +
+ 'Фа)№*> * вызванной хух — через Oyx = {d$c + d$A)/dt, приходим к
•заключению, что они равны 6ху = вух/ Рассуждая аналогично най-
найдем скорости относительных деформаций сдвига в плоскостях xz
и yz:
=dw/dx+ди/dz; Byz = д2у=dw/ду + dv/dz. C. 28)
Итак, получены девять скоростей относительных деформаций
C.25) и C.28), из которых шесть тангенциальных попарно рав-
равны
Ъу = 9ух; Ь,г = %х; Ьуг = Ьгу. C.29)
43
Вращение частицы около собственной оси. Опре«
делим угол dyz поворота частицы в плоскости хоу около собствен*
ной оси, проходящей через точку О параллельно оси г. Совместим
(см. рис. 3.4,6) параллелограммы по диагоналям ОВ и ОВ" и за-
запишем очевидное равенство
dh + dyz=dh-dyz, C.30)
отсюда dyz=0,5(d$A-d$d)=0,5(dv/dx—du/dy)dt. C.31)
По аналогии для вращения около осей, параллельных осям хиу,
получим
dyx=0,5(dw/dy—dv/dz) di\ dyy=0,5(du/dz — dw/dx)dt. C.32)
3.5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
Вихревым называется движение, сопровождаемое вращением
частиц жидкости около собственных осей. Проекции угловой око-*
рости вращения частицы на оси х, у, z найдем как (Ox—dyxfdt; (оу=*
=dyyfdt и (oz=dyz/dt в соответствии с C.31) и C.32)
ш,=0,5 (dw/ду - dv/dz). ¦ C.33)
Интенсивность вихревого движения частиц
жидкости характеризует вектор угловой скорости
+ «>| + в)*» C.34)
о)
yJ I z '
а также ротор вектора скорости или вихрь скорости
?)
Вектор угловой скорости и ротор вектора скорости,, направляют
перпендикулярно плоскости вращения частицы, т. е. вдоль оси
вращения так, чтобы со стороны острия вращение частицы было
бы направлено против часовой стрелки.
Движение, в котором отсутствует вращение частиц жидкости
около собственных осей, называется безвихревым или потенциаль-
потенциальным.
Задача 3.17. Используя рис. 1.5, определите величины и направление угловых
скоростей вращения частиц жидкости и величины вихря скорости в сечениях
Xi и *2 при у=п; 0,56; 1,26. Укажите на рис. 1.5 области вихревого и безвих-
безвихревого течений.
Ответ: <Oz = 0,5rot u^=—A,5-105, 5,0 • 104; 0; 7,5- 104; 3,13- 104; 0).
Вихревая линия, вихревой шнур и вихревая
трубка. Эти понятия используются для геометрической характе-
характеристики поля векторов угловых скоростей вращения частиц жидко-
жидкости и установления связи между этими частицами. Эти понятия
аналогичны понятиям «линия тока», «элементарная струйка» и
44
«трубка тока». Поэтому иллюстрацией^ к их определению может
служить рис. 3.1, если на нем вектор W мысленно заменить векто*
ром угловой скорости со.
Вихревая линия — это линия, в каждой точке которой в
данный момент времени вектора угловых скоростей касательны,
т. е. это в общем случае пространственная криволинейная ось вра«
щения всех частиц жидкости, находящихся на ней в данный мо*
мент. Аналогично уравнению линии тока получим уравнение вихре-
вихревой линии
C. 36)
Вихревой шнур представляет
собой объемный пучок вихревых ли-
. ний, проведенных через все точки вы-
выбранной площадки.
Вихревой трубкой называется
поверхность вихревого шнура. При
бесконечно малом контуре вихревая
грубка называется элементарной. Рис 3.5. Циркуляция ско-
Интенсивность или напр я- роста
жение вихревого шнура. Ин-
Интенсивность вращения твердого тела определяется величиной угло-
угловой скорости о, которая постоянна для всех его точек. В потоках
жидкости, в вихревых шнурах конечных размеров частицы жид-
жидкости могут вращаться с различными по величине и направлению
угловыми скоростями. Поэтому интенсивность Г(м2/с) вихревого
шнура оценивается потоком вектора вихря скорости или удвоен-
удвоенным потоком вектора угловой скорости через площадку данного
поперечного сечения его [см. C.35)]:
Г = Г л • rot VPdS = 2 f n adS. C. 37)
Существенным недостатком 1рассмотренной оценки' интенсивности
вихревого шнура является невозможность экспериментального из«
мерения векторов со и rot W современными приборами.
Циркуляцией с-к о ip ости П л о замкнутому к о н т у-
• ру I в векторном поле скоростей (рис. 3.5) называется
интеграл по этому контуру от скалярного произведения вектора
скорости W на соответствующий вектор элемента контура dl:
Г,=ф Wdl = ф W cos adt = ф (udx + vdy + wdz), C. 38)
здесь а — угол между вектором скорости и касательной к контуру
в данной точке. Для определения знака циркуляции выбирают по-
положительное направление обхода контура, например, против часо-
часовой стрелки. Циркуляция скорости по замкнутому контуру / (см,
45
рис. 3.5) равна сумме циркуляции по произвольным контурам /ь
h, /з, ... размещенным внутри контура /, т. е. Г^П+Г^ + Г^ +Ti%
Это объясняется тем, что при подсчете циркуляции для отдельных
контуров, общие участки .проходятся два раза с противоположны-
противоположными знаками, как это показано стрелками на рис. 3.5. Циркуляция
скорости дает возможность оценить интенсивность вихревого шну-
шнура с помощью легко измеряемого на практике вектора скорости.
Теорема Стоке а утверждает, что интенсивность вихревого
шнура равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, опоя-
опоясывающему вихревую трубку один раз по ее поверхности так, что
его можно стянуть в точку не выходя за пределы жидкости
[ [ C.39)
s i
Следствия теоремы Стокса. 1. Если контур охватыва-
охватывает несколько вихревых трубок или областей, то циркуляция ско-
скорости по этому контуру равна алгебраической сумме циркуляции
по контурам, охватывающим каждую вихревую область отдельно.
2. Если внутри рассматриваемой области течение безвихревое, то
циркуляция скорости по любому замкнутому контуру в этой обла-
области равна нулю. Однако, если циркуляция по некоторому замкну-
замкнутому контуру равна нулю, это еще не значит, что течение безвих-
безвихревое: интенсивности вихревых трубок величины алгебраические,
поэтому они могут дать в сумме ноль и при вихревом движении.
Задача 3.18. Докажите, чго вращение жидкости по закону ur=const во
всей области, исключая ось вращения, является потенциальным движением {для
этого достаточно доказать, что циркуляция скорости по произвольному элемен-
элементарному контуру высотой dr, лежащему между радиусами, равна нулю).
Задача 3.19. Решите задачу 3.17, определяя циркуляцию скорости по эле-
элементарным контурам в соответствующих точках.
Теорема Томсона или закон сохранения цирку-
циркуляции скорости утверждает, что если: 1) силы, действующие
в жидкости имеют потенциал; 2) идеальная жидкость баротроп-
на*; 3) поле скоростей непрерывно, то циркуляция скорости по
любому замкнутому жидкому .контуру остается постоянной во все
время движения жидкости
C.40)
т. е. при выполнении условий теоремы, вихри не могут ни возник-
* Баротропными называются жидкости, в которых плотность есть функция
только одного давления р = Ф(р), например, при течении несжимаемой жидко-
жидкости Ф(р)= const, при изотермическом течении Ф(р)=Ср, при течении, сопро-
сопровождаемом политропическим процессом O = Cpvn, где п — показатель политро-
политропы. Для баротропной жидкости характерно, что термодинамический процесс во
всей области течения одинаков.
Бароклинными называются жидкости, в которых плотность не является
функцией только давления. Например, при местном нагревании жидкости р =
=Ф(Т).
46
нуть вновь, если их не было, ни исчезнуть, если они имелись. Это
следствие теоремы Томсона называется теоремой Лагранжа.
В действительности вихревое движение постоянно возникает и.
рассеивается. Но это всегда связано с нарушением какого-либо из
условий теоремы Томсона. Например, водовороты за кормой ко-
корабля, вихревое движение в пограничном слое, вихри за крылом
самолета возникают и рассеиваются под действием сил трения —
сил, не имеющих потенциала. Вихри за ударными волнами появля-
появляются вследствие нарушения непрерывности поля скоростей. Воз-
Возникновение вихрей у нагретых поверхностей объясняется наруше-
нарушением баротропности.
Теорема Томсона имеет большое значение для понимания мно«
гих закономерностей практически важных течений. Большинство
течений развивается из состояния покоя или равномерного и пря-
прямолинейного течения, при (которых вихри отсутствуют. В первом
приближении, если влияние трения не велико, в соответствии с те-
теоремой Томсона, вихри будут отсутствовать и в дальнейшем, не-
несмотря на то, что в большинстве случаев, частицы жидкости, на-
например, обтекая тела, начинают двигаться по криволинейным тра-
траекториям.
Теорема Гельмгольца о сохранении вихревых
линий. Если принять условие теоремы Томсона, то можно утвер-
утверждать, что: 1) интенсивность вихревой трубки во все время движе-
движения остается (постоянной, 2) интенсивность, вихревой трубки посто-
постоянна вдоль всей ее длины, т. е. циркуляция скорости по любому
контуру, охватывающему трубку, постоянна.
Если величина вихря скорости по сечениям вихревой трубки
не изменяется, то основываясь на теореме Гельмгольца и формуле
C.39), получим
Sx rot Wx = Si rot ^ = const; S^x=S^i = 0,5 const. C. 41)
Следствия теоремы Гельмгольца: 1) чем меньше
площадь сечения вихревой трубки, тем больше интенсивность вих-
вихревой трубки. Однако, сечение вихревой трубки нигде не может
быть равным нулю, так как в этом случае интенсивность вихревой
трубки была бы равна бесконечности, что физически не выполни-
выполнимо; 2) вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидко-
жидкости— они либо замыкаются на себя, <как кольца табачного дыма,
либо опираются на свободную поверхность жидкости или твердого
тела (водовороты, смерчи), или, наконец, уходят в бесконечность.
Тот хорошо известный факт, что водовороты не всегда доходят до
дна, а исчезают в толще жидкости, или, вихревые шнуры от крыла
самолета сохраняются лишь на конечном расстоянии, а не уходят
в бесконечность, объясняется влиянием вязкости, приводящей к
диффузии завихренности через поверхность вихревой трубки и за-
затуханию ее в окружающей среде.
47
3.6. БЕЗВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ
Единственным условием безвихревого движения является от-
отсутствие вращения жидких частиц относительно собственных о-сей.
При этом частицы могут двигаться по любым траекториям и де-
деформироваться. Математическое выражение этого условия полу-
получим, положив ,в уравнениях C.33) cdz=(d1/='Co3c = O или
ди/ду=dv/dx; ди/dz=dw/дх;
dwfdy=dv/dz. C.42)
Потенциал скорости. На основании C.42) заключаем,
что скорость в случае безвихревого течения имеет потенциал, т. е.
функцию -координат ф(я, у, z), частные производные которой * по
любому направлению п и, следовательно, по координатным осям
равны соответствующим проекциям вектора скорости
dy/dx=u\ d<f/dy=v\
y/ C.43)
Потенциал скорости полностью определяет поле скоростей
W2=и2+v2 + w2 = {ду/dxf + [dffldyf + (d<?/dzJ и grad <? = W.
Поэтому безвихревое течение жидкости называют также п о-
тенциальным. Справедливость равенств C.43) доказывается
подстановкой значений и, v и w в C.42), в результате чего полу-
получаются тождества вида д2<у/дудх=д2хр/дхду.
Эквипотенциальные поверхности и линии. Это
поверхности для пространственного и линии для плоского движе-
движений жидкости, для которых потенциал скорости имеет постоянное
значение <р = С, Лр = 0. Умножая равенства C.43) соответственно
на dx, dy и dz, складывая и приравнивая dicp нулю, получим урав-
уравнения эквипотенциальных поверхностей в пространстве х, у, z и
линий в плоскости х, у:
dy={д^/дх) dx + (dyldy) ду+(ду/dz) dz = \
= udx + vdy+wdz = O; C.44)
rfcp=(ду/дх) dx -f- (d<?fdy) dy=vtdx+vdy=0. J
Сопоставляя C.44) и C.9) заключаем, что эквипотенциальные ли-
линии и линии тока ортогональны.
Уравнение Лапласа для потенциала скорости
при пространственном и плоском течении несжимаемой жидкости
получим, подставляя значения и, v, w no C.43) в уравнение нераз-
неразрывности C.19):
Определение поля скоростей для потенциального течения несжи-
несжимаемой жидкости сводится к решению уравнения Лапласа C.45).
Граничным условием при обтекании твердых тел является условие
непротекания, т. е. равенство нулю нормальной составляющей ско-
скорости на поверхности тела Wnw= (d(p/dn)w=O.
48
3.7. БЕЗВИХРЕВОЕ ПЛОСКОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ
ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Использование этой модели позволяет аналитически получить
искомое поле скоростей W=W(x, у) для многих практически важ-
важных и сложных видов течения жидкости. Достаточно сказать, что
именно эта модель была использована Н. Е. Жуковским при соз-
создании теории подъемной силы крыла.
Функция тока. Это функция .координат г|)(х, у), частные
производные которой имеют следующий вид
dtyfdx =—v; dty/dy=u. C. 46)
Отсюда следует, что W2 = u2 + v2=\{d^ldyJ + (ch^/dxJ и функция
тока, так же как потенциал скорости, определяет поле скоростей
рассматриваемых течений и удовлетворяет уравнению неразрыв-
неразрывности несжимаемой жидкости C.19).
Уравнение линии тока if> = const, di|) = 0. Умножая ра-
равенства C.46) на dx и dy, складывая и приравнивая сумму нулю,
получим уравнение
(dty/ду) dy + (dty/дх) dx=dty=udy — vdx=0, C.47)
которое в соответствии с C.9) представляет собой уравнение се-
семейства линий тока, ортогональных эквипотенциальным линиям
(«рис. 3.6).
Физический смысл разности двух з н а ч е н и й
функций тока (-ф2—яМ. Объемный расход жидкости dQ чз-
рез произвольную площадку АВ высотой AZ=1 м, расположенную
между двумя линиями тока \|э и яр + Дяр (см. рис. 3.6), есть сумма
двух расходов: dQ = udy+ (—vdx). В соответствии с C.47)
Ф.
dQ = dty и Q=f дГф = ф2 —ф1в C.48)
Итак, разность \р2—"фi есть объемный расход жидкости через пло-
площадку высотой AZ=1 м, расположенную между линиями тока i|)i
и г|>2.
Уравнение Лапласа для функции TOiKa. Для при-
принятой модели течения функция тока является гармонической функ-
функцией. Используя определение функции тока C.46) и условие потен-
циально'сти течения C.42), получим уравнение Лапласа для функ-
функции тока
V4=дЩдх2 + дЩду2 = 0. C. 49)
Интеграл этого уравнения представляет семейство линий то,ка
^(^ У)=С- Конкретное значение постоянной интегрирования соот-
соответствует определенной линии тока. Граничным условием является
совпадение одной из линий тока с непроницаемой для жидкости
поверхностью обтекаемого твердого тела (при внешней задаче)
или с поверхностью канала (при внутренней задаче). Эта линия
тока tyw(x, у) =CW называется нулевой.
49
Связь между потенциалом скорости <p(x, у) и
функцией то к а ф(х, у). Сопоставляя формулы C.43) и C.46),
получим
т. е. ф и г|) с точностью до произвольной постоянной однозначно
связаны между собой и полностью определяют поле скоростей.
Итак, непосредственное определение толя скоростей заключа-
заключается в решении уравнения Лапласа C.45) или C.49) для определе-
определения <р(х, у) или ty(x, у), удовлетво-
удовлетворяющих граничным условиям дан-
данной задачи *. Однако в большинст-
большинстве случаев это является невыполни-
невыполнимой задачей. Поэтому используется
косвенный способ решения задач.
Выбирается произвольный потенци-
потенциал скорости ф(л: у), который удов-
удовлетворяет уравнение Лапласа, и
строится картина линий тока. Если
некоторые из линий тока совпадают
с твердыми поверхностями канала
(при решении внутренних задач)
или обтекаемого тела (при решении
внешних задач), то -выбранная
функция удовлетворяет граничным
условиям задачи и является ее ре-
решением. В этом случае поле скоро-
скоростей определяется по формулам C.43). Если же не будут найдены
линии тока, совпадающие с твердыми поверхностями, то выбран-
выбранная ф(х, у) не является решением задачи. Простое угадывание
решений достаточно сложных задач не выполнимо. В этом случае
используются метод наложения полей и метод конформных ото-
отображений.
3.8. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ ИЛИ СУПЕРПОЗИЦИИ
ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЙ
В силу линейности уравнения Лапласа его решение для слож-
сложного сечения может быть получено наложением ряда простейших
полей, для которых известны потенциалы скоростей фь ф2,... или
функции тока api, я|J... Потенциал скорости ф и функция тока г|) син-
синтезируемого* или результирующего поля определяются алгебраи-
алгебраическим, а вектор скорости—геометрическим суммированием исход-
исходных значений:
Рис. 3.6. Линии тока Сф = С) и
эквипотенциальные линии
?=<Pi+<p2+...;
C.51)
Задача 3.20. Используя уравнения Лапласа для результирующего и исходных
потоков, докажите справедливость C.51).
* Следует иметь в виду, что функция тока г|? существует в любом нераз-
неразрывном течении, а потенциал скорости ср — только в безвихревом.
50
Примеры простейших течений. Рассмотрим некото-
некоторые простейшие течения принятой модели [см. п. 3.7]. Поля .скорос-
.скоростей заданы. Задача состоит в определении потенциалов скорости
и функций тока с тем, чтобы в дальнейшем использовать эти тече-
течения для синтезирования более сложных.
1. Плоскопараллельный поток. Пусть вектор скорости
lF=-const и линИ'И тока составляют с осью х угол ее. Тогда и =
Рис. 3.7. Источник и сток
= W cos oc=!const и v = W sin a=const. Интегрируя уравнения
C.44) и C.47), получим выражения для потенциала скорости и
функции тока
y = ux-\-vy, ty = uy — vx. C.52)
При ф=С и -ф = С выражения C.52) превращаются соответственно
в уравнения эквипотенциальных линий и линий тока
y=C/v — (u/v)x; y = (v/u)x-\-C/u. C.53)
Если поток параллелен оси х, то W=u, v = Q, и из C.52) соответст-
соответственно получим
9 = Wx; ty = Wy\ x = c)W\ y = cJW. C.54)
Задача 3.21. Определить уравнения линий тока и величины векторов скорости
исходных потоков № 1 и № 2 и результирующего № 3, если заданы потенциалы
скорости ф1 = 4я + 2// и фг = —2х—4г/. Изобразить течения в плоскости хоу.
Ответ. Линии тока 1) у = 0,5* + с/4; 2) у = 2х — с/2; 3) у=— х + с/2;
Скорости 1) ar=4; v1 = 2; ^^4,5; 2) и2= — 2;
i>2=—4; IF2^4,5; 3) a =-. 2; v3 = — 2; 1F3^2,8.
2. Плоский точечный источник и сток. Пусть ось
г представляет совокупность бесчисленного множества точечных
источников. В плоскости хоу эта совокупность проектируется в ви-
виде плоского точечного источника, расположенного в начале коор-
координат (ри€. 3.7). Жидкость растекается из этого источника вдоль
линий тока — прямых лучей i|)=const — во все стороны плоскости.
Эквипотенциальные линии nipедставляют* окружности с центром в
начале координат. Мощностью источника называется секундный
расход жидкости, приходящийся на один метр оси z—Q, м3/(м-с).
Скорость жидкости в любой точке окружности радиуса г равна ра-
51
диальной (W=Wr) и определяется по уравнению расхода C.22) и
C.48), а ее компоненты — из простых геометрических соотношений
W=Wr=Q/B я г) = dQI{rdb) =
u = Wcos B = (
= W sin 6=
C.56)
где rrfe — элемент дуги между двумя линиями тока, расход жидко-
жидкости между которыми dQ=dty.
Используя уравнение C.55), определим для источника и стока
потенциал скорости и функцию тока с точностью до постоянной
C.56)
Течение в сток направлено обратно — от периферии в начало коор*
динат. Мощность стока при-
принимается отрицательной
(Q<0). На основании фор-
формулы C.55) заключаем, что
скорость обратно пропорци-
пропорциональна радиусу и в начале
координат обращается в
бесконечность. В реальных
течениях бесконечно боль-
шие скорости недостижимы.
Поэтому источник и сток
называются гидродинами-
гидродинамическими особенностями, че-
через которые можно провес-
провести бесчисленное множество
линий тока.
3. Потенциальный
вихрь. Течение индуциру-
индуцируется вихревой нитью, совпадающей с осью z. На плоскость ху эта
нить проектируется в начало координат как точечный вихрь. Ли-
Линиями тока г|) = С являются концентрические окружности с цент-
центром в начале координат (рис. 3.8); эквипотенциальными линиями
i|? = C — лучи, исходящие из начала координат. Запишем выраже-
выражение циркуляции -скорости для окружностей — линий тока:
r = 2nrWu = 2nrd<f/dl = 2nrd<?/(rdB)=const, C.57)
где Wu — окружная скорость частицы на окружности радиуса г.
Радиальная составляющая скорости Wr=0. В соответствии с тео-
теоремой Стоиса циркуляция скорости по линиям тока любых радиу-
coiB будет одинакова, так как овсе они охватывают лишь один то-
точечный вихрь, тогда
Wu=r/2nr=coiist/r=WUlr1/r9 C.58)
т. е. окружная скорость частиц обратно пропорциональна расстоя-
расстоянию от точечного вихря, при г->0 Wu-*oo. В реальных условиях
Рис. 3.8. Потенциальный вихрь
52
бесконечно большие скорости недостижимы, поэтому точечный
вихрь, так же как источник и сток, является гидродинамической
особенностью.
Докажем, что циркуляция скорости по любому замкнутому кон-
туру, не охватывающему точечный вихрь, например, по элементар-
элементарному контуру 1, 2у 3, 4, равна нулю
= dBd (Wur)=dbd (const) = 0.
Контур 1, 2, 3, 4 выбран произвольно, поэтому на основании етер'во-
го следствия теоремы Стокса заключаем, что вся область течения,
за исключением точечного вихря, потенциальна. В этой области все
жидкие частицы движутся поступательно по криволинейным траек-
траекториям, деформируются, но не вращаются около со!бственных осей.
Бели мысленно провести на поверхности элемента линию, напри-
например /—3, то ©о время движения эта линия будет параллельна
своему начальному положению, как стрелка компаса, вращаемого
по окружности.
Определим потенциал скорости и функцию тока с точностью
до постоянной, интегрируя уравнения C.57) ,и C.48):
|i ^ ^ C.59)
В этих формулах циркуляция скорости Г характеризует интенсив-
интенсивность точечного вихря.
В реальных случаях потенциального вращения жидкости вмес-
вместо точечного вихря .имеет место ядро вихря с конечным радиусом1
г0. В ядре вихря жидкость вращается по закону вращения твердо-
твердого тела со = IFu/r=const и максимальная скорость имеет конечное-
значение Н^Ио=о)г0 (пунктир на рис. 3.8).
3.9. СИНТЕЗИРОВАНИЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ТЕЧЕНИИ
ИЗ ПРОСТЕЙШИХ
Для того, чтобы синтезировать циркуляционное обтекание тела:
любого контура заданным плоским потоком, следует так подобрать
распределение особенностей (источников, стоков, .вихрей) внутри
этого контура, чтобы они деформировали заданный поток так же,
как исследуемое тело. При этом необходимо выполнить следующие-
условия:
алгебраическая сумма расходов источников и стоков должна
равняться нулю;
одна из линий тока (нулевая) должна совпадать с контуром
тела;
общая напряженность присоединенных вихрей должна равнять-
равняться циркуляции скорости по любому контуру, охватывающему тело.
Пример 1. Диполь. На рис. 3.9 даны линии тока течения, полученного нало-
наложением источника А и стока В одинаковой мощности Q. Вследствие смещения-
источника и стока от начала координат, их потенциалы скорости и функции то-
тока в соответствии с формулами C.56) примут вид
9и = (<?/2я) In V(* + еJ + У2\ +« = (Qftn) arctg [yftx + е)];
9С = —@/2л) In Y(x - еJ + г/2; фс = -((?/2я) arctg [у/(* - е)].
Для результирующего течения ф = фи + фс и i|)==i|)u + ^c. Если источник и сток
сближать, сохраняя постоянной мощность, то при их совпадении (е—>0) тече-
течение прекратится — сток поглотит источник.
Рис. 3.9. Взаимодействующие 'источник А, сток В и
ПОЛЬ
ди-
Диполем (см. рис. 3.9) называется течение, возникающее при одновремен-
одновременном стягивании источника и стока в начало координат (е—>0) и увеличении их
мощности (Q-*-oo), но так, что момент диполя M = lim2Q. e сохраняет посто-
е-Я)
янное значение:
<рДи11 = lim (<ptt + <pc) = — lim
0 *- 2Я О
2е
arctg
ип = lim i
e->0
Q->oo
lim -
-arctg
2е
Рассматривая в этих уравнениях 2е как приращение аргумента, а числитель —
как приращение соответствующих функций, получим
М д ,. г—. ч . М
? (arctg f) •
Выполняя дифференцирование, получим потенциал скорости и функцию тока ре-
результирующего течения — диполя
М х М cos б
м
м
sin
C'60)
где 9 — угол между радиусом-вектором точки и осью х. Семейство линий тока
г|? = С х2+у2 = Су представляют окружности с центрами на оси у, проходящие
через начало координат; эквипотенциалшые линии ф = С, х2 + у2 = Сх — окруж-
окружности с центрами на оси х> проходящие через начало координат. Вследствие
54
равенства мощности источника и стока результирующий поток жидкости череа
замкнутый контур, охватывающий диполь, равен нулю. Это свойство обеспечи-
обеспечивает широкое применение диполя для синтезирования еще более сложных тече-
течений жидкости около твердых тел.
Задача 3.22. Докажите, что фдип и г|)Дип C.60) удовлетворяют уравнению*
Лапласа.
Пример 2. Поперечное обтекание бесконечно длинного кругового цилиндра,
радиус которого г0. Рассмотрим это течение как плоское и покажем, что она
Рис. 3.10. Поперечное обтекание ци-
цилиндра идеальной жидкостью
Рис. 3.11. Циркуляционное обтекание
цилиндра
может быть представлено как результат наложения плоскопараллельного потока
(Wu <Pi; ipi) и диполя M=2nro2Wi\ фг; гр2. Определим потенциал скорости <р и
функцию тока гр синтезируемого течения с использованием формул C.54), C.60)
и значения М:
Р = *1 + ?2 = Щ [х +
= +1 + <Ь = Wx [у -
+ г/2)] = Wx (г + гЦг) cos 0,
+ у2)] = Wx (r - гЦг) sin 0.
Выделим из семейства линий тока i|)=C нулевую -ф=0: у[\—r02f(x2+y2)] = 0.
Нулевая линия тока представляет совокупность окружности радиуса Го, воспро-
воспроизводящей контур обтекаемого цилиндра, и прямой #=0, совпадающей с осью *
(рис. 3.10), т. е. удовлетворяет граничным условиям задачи. Радиальную Wr и-
окружную Wu скорости найдем по определению
Wr = дфг = Wr1(l— гЦгъ) cos 0;
Wu = ду/dt = (dv/rdb) = -Wx A + rg/гз) sin 0;
Wr>0, если направлена в сторону увеличения г, и Wu>0, если соответствуег
положительному направлению вращения (против часовой стрелки). На бесконеч-
бесконечном удалении от цилиндра (г—*оо) как вдоль оси *@=0 и O=jt), так и вдоль
о \
оси у(9 = я/2 и 0 — -т- я)и при любом 9 имеет место плоскопараллельное те-
течение невозмущенного потока со скоростью Woo=Wi. Поэтому «скорость на'
бесконечности от тела l^oo» и «скорость невозмущенного потока Wi» являются
синонимами. На стенке цилиндра при r=ro; WV=0 и
W = Wu = — 2ТГ1 sin 0. C. 62>
Формула C.62) описывает распределение скоростей по поверхности цилиндра.
В точках Л и В при 9 = я и 9=0 скорость равна нулю. Точка А называется
передней критической точкой. В этой точке поток раздваивается. Точка В, в ко-
которой потоки вновь соединяются, называется задней критической точкой.
Задача 3.23. Для случая обтекания бесконечного цилиндра (см. рис. 3.10)
требуется:
55
1. Доказать, что при г=г0 и углах 9=90 и 270° окружная скорость U7W =
= ^21^1, при 0 = 30° Wu = —Wi и радиальная Wr = 0.
2. Объяснить причину увеличения скорости при 0=90 и 270°.
3. Доказать, что уравнение линии тока, проходящей через точки х=0, #=
— 2г0 имеет вид у—г02у/(х2+у2) =Зго/2, а расход жидкости между этой линией
тока и нулевой линией тока Q = 3Wiro/2.
4. Указать положения критических точек А и В в случае, когда поток будет
¦направлен под углом 30° к оси х.
Пример 3. Циркуляционное обтекание цилиндра (рис. 3.11). Циркуляционное
обтекание бесконечного цилиндра получим наложением полей соответствующего
бесциркуляционного обтекания цилиндра (фь i|)i) и присоединенного потенциаль-
потенциального вихря с циркуляцией Г. В соответствии с формулами C.61) и C.59), по-
получим
Ч> = <Pi + ?2 = IF* (г + ГУГ) cos 0 + Г6/2я; )
\ C. 63)
Ф = *1-Ь+2 = ^«о (г-го/г) sin в + Г 1пг/2л. J
Уравнения эквипотенциальных линий и линий тока получим, положив в C.63)
<р = const и \|) = const.
Частные производные потенциала скорости определяют радиальную и ок-
окружную составляющие скорости
Wr = ду/дг = W^oo A — гЦгъ) cos 6; |
> C. 64)
—W^ A + г^/г2) sin 0 + Г/2яг. |
'На поверхности цилиндра г=г0, И7г = 0 и распределение скорости имеет вид:
W= Wu = —2Woo sin 6 + Г/2яг0. C. 65)
Задача 3.24. Для условий рис. 3.11 и циркуляции Г = —2nr0Woo доказать,
что: 1) скорость жидкости на поверхности цилиндра (г=го) при различных уг-
углах 0 имеет следующие значения:
6° 0 90 180 210 270 330 360
w* -t^oo -31Р,. -W^ 0 +1^^ 0 -W^
2) вектор скорости в точке г=2/*о и 0 = 30° равен Ш7«1,3 • UP» и составляет с
осью х угол —^^30°.
Вопрос 3.25. При каком значении циркуляции скорости Г, критические точ-
точки Л и В совпадут в точках х=0, у=—г0? Ответ. Г=—4яг0^оо.
ЗЛО. О МЕТОДЕ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
При теоретическом исследовании обтекания тел сложной фор-
формы, например, авиационных крыловых .профилей, возникают боль-
большие трудности в отыскании простейших течений с известными по-
потенциалами скорости и функциями тока, которые могли бы синте-
синтезировать эти сложные течения. В этих случаях с успехом применя-
применяется метод конформных отображений сложных профилей на дру-
другой контур, потенциал скорости которого известен. Обычно в
качестве известного течения используют циркуляционное обтекание
цилиндра. Метод конформных отображений основывается на тео-
теории функций комплексного переменного, поэтому (все вычисления
ведутся в комплексных переменных.
Формулировка задачи. Пусть в физической плоскости z комплекс-
комплексного переменного z=x+iy задан произвольный крыловой профиль I, обтекае-
обтекаемый плоским потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости, ско-
скорость которого на бесконечности W<* составляет угол 9 с осью х (рис. 3.12).
Требуется определить поле скоростей во всей области течения, внешней по от-
отношению к контуру /.
Пусть уже решена сложная, но чисто геометрическая задача
конформного отображения — найдена однозначная аналитическая
функция комплексного переменного:
l = F{z) или z = /(C), C.66)
конформно отображающая область внешнюю, относительно иссле-
исследуемого контура / на плоскости комплексного переменного z=x +
+ iy на область, внешнюю относительно круга /*, во вспомогатель-
Рис. 3.12. Конформное отображение течений
ной плоскости комплексного переменного ? = ?*+/?], а также осу-
осуществляющая обратное отображение. Для того, чтобы .конформное
отображение было единственным, функции C.66), в соответствии
с теоремой Римана, выбираются так, чтобы точкам z=<x> в физи-
физической плоскости соответствовали точки ?=оо во вспомогательной
плоскости и чтобы в этих точках производная dzjdt, была положи-
положительна, т. е.
{dzjdQoo = moo > 0. C. 67)
В этом случае, каждой точке z = x + iy крылового профиля / в плос-
плоскости z будет соответствовать одна определенная точка ? = ?+пг)
окружности I* во вспомогательной плоскости и наоборот. При кон-
конформном отображении контуры изменяются так, что их бесконечно
малые элементы остаются геометрически подобными и углы между
касательными в точке пересечения двух кривых не изменяются
и в данном случае равны п. Исключение составляет особая точка
В, для которой конформность отображения нарушается и острый
угол отображается в угол равный я (точка S*).
Метод конформных отображений попользуется для решения
гидродинамических задач потому, что вместе с контуром тела, при
использовании той же самой функции C.66), отображается и поле
скоростей течения около него на поле скоростей циркуляционного
обтекания цилиндра во вспомогательной плоскости ? и наоборот.
Применение функций к о м п л е к с <н ого переменно-
переменного при конформном отображении течений. Форму-
Формулы C.50) в теории функций комплексного переменного называют-
называются условиями Коши — Римана, которые необходимы и достаточны,
57
чтобы выражения ф + ар и ф*+/г|)* являлись аналитическими функ-
функциями %()z и х* (?) комплексных переменных z = x+iy и ?=|+йг1,
Х(*)=Х(*+ДО=?+*И хЧ«=Х*E+/Ч)=^ + '?*. C.68)
где ф, г|) — потенциал скорости и функция тока течения около про-
профиля в плоскости z, соответственно; ф*, г|э* — известные потенциал
скорости и функция тока циркуляционного обтекания цилиндра
C.63), соответственно; %{z)—комплексный потенциал течения
около профиля в физической плоскости z.
Комплексный потенциал циркуляционного обтекания (кругового
цилиндра во вспомогательной плоскости %*(?) получим, подставив
в C.68) значения ф* и г|э* из C.63) и производя преобразования:
^-+-?rin(;, C.69)
где Woo —сопряженная скорость на бесконечности в плоскости ?;
Г* — циркуляция скорости вокруг контура /*.
Комплексный потенциал течения около исследуемого профиля
%(z) неизвестен и задача сводится к его отысканию с последую-
последующим определением ф и г|э.
Соотношение между комплексными .потенциалами течений при
конформном отображении установим, используя отображающую
функцию C.66):
Х(*)=Х[/(О]=хЧС)=? + ^=?*+*Г. C.70)
Символ комплексного потенциала % сам по себе не подразуме-
подразумевает какой-либо определенной функции, а лишь указывает, что он
относится к определенному течению, рассматриваемому в данной
комплексной плоскости.
Равенство -ф = -ф5*5 в соответственных точках течений г и ? по-
показывает, что на обоих контурах г|э и Ф? имеют одно и то же по-
постоянное значение, т. е. контуры / и /* являются нулевыми линия-
линиями тока.
Соотношение между скоростями невозмущен-
невозмущенных потоков при конформном отображении найдем, продиф-
продифференцировав C.70) по ?, учтя C.67), и что сопряженная ско-
скорость на бесконечности равна производной от комплексного потен-
потенциала по комплексной переменной:
C.71)
При отображении направление комплексных и сопряженных ско-
скоростей невозмущенных потоков не изменяется (/Поо>0), а их вели-
величины изменяются в Шоо раз.
Циркуляция скорости вокруг контуров / и /* при конформном
отображении сохраняет неизменное значение. Действительно, ис-
используя C.71), C.66), C.67) и C.70) и учтя, что_циркуляция рав-
равна действительной части (д. ч.) & Wdz и д. ч. | W*d%> получим
58
= Д. ч.(|)^-)^ = Г*. C.72)
Итак, при конформном отображении сохраняются неизменными на-
направление невозмущенного потока и циркуляция скорости и в
mOo(dzldt)oo раз изменяется абсолютная величина скорости.
Порядок определения комплексного потенци-
потенциала обтекания заданного профиля:
1) заданный профиль конформно отображается на вспомога-
вспомогательную плоскость ?:
а) определяется радиус окружности г0 и расположение окруж-
окружности на плоскости ?. Для этого используются геометрическое опи-
описание профиля в плоскости z=x+ly и функция C.66);
б) определяется масштаб конформного отображения скорости
в соответствии-с C.66) и C.71) W*oo/WO9 = (dz/dQOo = moo и учи-
учитывается C.72). Все эти данные лодставляются в C.69) и находит-
находится явный вид комплексного потенциала циркуляционного обтека-
обтекания круга
X*(Q = rriooW^i-mooWOQrlX + (r/2m)/\nV C.73)
2) определяется искомый комплексный потенциал течения око-
около профиля / в физической плоскости г. Для этого учитывается,
что %(z) =%*(?), и в C.73) подставляется функция ?> = F(z):
X (*) = mJfnF (z) + mJW^rljF (z) + (V/2ni) In F (z). C. 74)
Определение ф и \|) сводится к выделению действительной и мни-
мнимой частей C.74).
Как видим, гидродинамическая задача отыскания комплексного
потенциала обтекания заданного профиля заданным потоком не
представляет труда, если известны отображающая функция C.66)
и циркуляция скорости Г.
Функция 2 = 0,5 (? + Го2/?)> отображающая круг на профиль кры-
крыла, была найдена Н. Е. Жуковским в 1910 г. и названа его именем.
Применяя эту функцию Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин получи-
получили серию теоретических крыловых профилей. Профили, отличаю-
отличающиеся от теоретических, при отображении дают искаженный круг
и метод 'конформного отображения применим лишь для прибли-
приближенного исследования их обтекания. Циркуляция Г для круга мо-
может иметь произвольное значение и поэтому должна быть задана
такой, какая действительно возникает при обтекании профиля I.
При безотрывном обтекании авиационных профилей, имеющих
заднюю острую иромку, циркуляция может иметь только одно
определенное значение, обусловленное формой профиля и его рас-
расположением относительно заданного невозмущенного потока. Опре-
Определение циркуляции скорости около профиля будет рассмотрено в
п. 18.1.
Глава 4
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГИДРОГАЗОДИНАМИКИ
Получим и рассмотрим уравнения движения, энергии и второго
закона термодинамики для общего случая неустановившегося про-
пространственного движения сжимаемой вязкой жидкости.
4.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Уравнение движения жидкости и моментов количества движе-
движения были получены в 1755 г. академиком Российской Академии
Наук Эйлером A707—1783 гг.). Эти уравнения лежат в основе
возникшей тогда новой науки—гидродинамики со строгими мате-
математическими методами решения ее задач.
Интегральное уравнение движения для жидко-
жидкого объема получим как обобщение второго закона Ньютона о
движении материальной точки
d{mW)ldt = R, D.1)
где т—масса материальной точки, кг; W — скорость движения ма-
материальной точки, м/с; mW — количество движения материальной
точки, кгм/с; jR —равнодействующая сил, действующих на мате-
материальную точку, Н.
Задача 4.1. Дайте формулировку второго закона Ньютона и проанализируй-
проанализируйте его физический смысл.
Выберем в потоке контроль-
контрольный объем V, заполненный в мо-
момент времени t жидким объемом
(рис. 4.1) так, что контрольная
поверхность (сплошная линия) и
граница жидкого объема или
жидкая поверхность (пунктирная
линия) в момент времени t сов-
совпадают. Внутри объема V могут
находиться твердые тела — не-
неподвижные или подвижные (ло-
(лопасти турбомашин), производя-
производящие обмен теплом и механичес-
механической энергией между жидкостью
/Граница жидкого обьрмп
$ чомент f
Гранича жидкого
объема В момент t+At
Рис. 4.1. Контрольный
объемы
и жидкий
и внешней средой. В этом случае к внешним участкам контроль-
контрольной поверхности и жидкой поверхности, обозначенными цифрами /
и 2, добавляются внутренние участки 3, 4, 5, 6, вырезающие части
объема, занятые не жидкими частицами, а твердыми телами. Рас-
Расход жидкости через эти дополнительные участки контрольной по-
поверхности равен нулю, так как твердые тела непроницаемы для
жидкости, а количество жидкости, вытекающей из контрольного
объема через поверхность 5, равно количеству жидкости, втека-
втекающей в него через поверхность 4 (эти поверхности расположены
сколь угодно близко друг к другу и одинаковы по площади).
Итак, выделенный объем содержит только жидкие частицы.
Уравнение D.1) справедливо для любой частицы, находящейся
в объеме и имеющей плотность q*, объем dVi, скорость Wu т. е.
D.2)
где Ai?i — равнодействующая внешних сил, действующих на час-
частицу /.
Интегральное уравнение движения для всего жидкого объема
V получим суммируя уравнения типа D.2) по всем жидким части-
частицам, заключенным внутри жидкой поверхности в момент време-
времени /:
± L &9 D.3)
где I QWdV —полная производная по времени от вектора сум-
v
марного количества движения жидкого объема; #s —вектор рав-
равнодействующей всех внешних сил, действующих на жидкий объем
в момент времени t.
При суммиро!вании, силы взаимодействия между жидкими час-
частицами, согласно третьему закону Ньютона, уравновешиваются.
Поэтому, равнодействующая Яъ в соответствии с A.6) ,и A.8) рав-
равна сумме внешних элементарных массовых—Rm и поверхностных—
^A...б) сил
^ = 2A^ = ^ + ^A...6)=pQ^+ (J5 ~rdS.
V s A...6)
Поверхностные силы должны суммироваться по жидкой поверхно-
поверхности. Однако поскольку в момент суммирования t жидкая поверх-
поверхность совпадает с контрольной, то в дальнейшем удобнее считать,
что суммирование ведется по контрольной поверхности S(i...6), вклю-
включающей все участки 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Сила реакции жидкости R — поверхностная сила, с ко-
которой жидкость действует на обтекаемые ею тела. По абсолютной
величине она равна и обратна по знаку равнодействующей, с кото-
которой твердые тела (подвижные и неподвижные) действуют на жид-
жидкость. В данном случае (см. рис. 4.1) взаимодействие происходит
61
на внутренних участках контрольной поверхности S5+56=SE;6), a
силы, действующие на S3 и 54, взаимно уравновешиваются и сила
реакции жидкости будет
=- J 7dS=-t J *ndS+ j xdS\9 D.4)
где /г —орт нормали к площадке fl?S; 5E; 6)— поверхность твердых
тел, обтекаемая жидкостью.
Равнодействующая поверхностных сил, действующих на всю
контрольную поверхность S(i...6) определяется по формуле
где/?5A;2) —равнодействующая поверхностных сил, действующих
на части контрольной поверхности 1 и 2, через которые происхо-
происходит обмен жидкостью между выделенным контрольным объемом
и окружающей средой.
С учетом силы реакции жидкости интегральное уравнение дви*
жения жидкого объема D.3) лримет вид:
at j
Итак, на основании интегрального уравнения движения D.3)
или D.6) можно утверждать, что производная по времени суммар-
суммарного количества движения жидкого объема равна сумме всех
внешних сил, действующих на этот объем. Это уравнение является
самым общим динамическим уравнением гидрогазодинамики. Оно
применимо для объема любой величины и для любого (даже раз-
разрывного) движения, при .котором параметры состояния жидкости и
характеристики движения претерпевают разрыв внутри объема.
Это уравнение является исходным для расчета сил, действующих
в потоках жидкости.
Расчетная форма интегрального уравнения
движения для контрольного объема. Преобразуем
полную производную по времени суммарного количества движения
к форме, удобной для решения практических задач. Пусть в мо-
момент времени t жидкий объем занимает контрольный объем III+I
(см. рис. 4.1). Обозначим суммарное «количество^движения жидко-
го объема в этом положении через Kt = KIIIt-\-KIt. За время At
жидкий объем переместится и займет положение /+//. При этом,
под действием сил, его суммарное количество движения изменится
и будет Kt+u = Kft+M-{-К///+Д/. Тогда, по определению, лроизвод-
ная по времени суммарного количества движения жидкого объема
d V ~ 117 ЛЛ Г 15 t + tit t
будет —-\QWdV = lim—^ -. Подставляя в это выраже*
dt У д*-и) Д*
v
62
ние значение суммарных количеств движения и группируя члены
с одинаковыми числовыми индексами, получим
[Q +^. D.7)
V
При Д?->0 часть жидкого объема It+it стремится к контрольному
объему III+ I и первый член правой части D.7) будет частной про-
производной суммарного количества движения жидкости в контроль-
контрольном объеме по времени
% д СD 8)
д/->0 A* dt J
V
При установившемся течении эта реличина равна нулю. Учтем, что
контрольная поверхность SA...6) состоит из поверхности 5Вых> через
которую жидкость вытекает из контрольного объема, и SBX — через
которую она втекает в него, а элементарная масса жидкости, отме-
отмеченная на рис. 4.1 штриховкой — dGBbIxkt=QWI1dSBbncAt9 получим,
что второй член .правой части D.7)
Hm ""'+" """= \ QWnWdS- \ QWnWdS D.9)
д/->0 At J J
представляет разность между секундными количествами движения
жидкости, вытекающей из контрольного объема и втекающей в не-
него. Величина §Q\VnWdS называется также потоком количества дви-
движения жидкости, протекающей в секунду через данную поверх-
поверхность. Подставляя D.8) и D.9) в D.7), а результат в D.3), полу-
получим расчетную формулу интегрального уравнения движения для
контрольного объема:
\ QWnWdS- \ QWjPdS, D.10)
где /?а определяется формулой D.6).
Первая теорема Эйлера на основании D.10) уста-
устанавливает, что равнодействующая внешних сил /Га , действующих
в данный момент на жидкость в контрольном объеме, равна изме-
изменению во времени суммарного количества движения жидкости в
этом объеме (частная производная по времени) плюс разность по-
потоков количества движения жидкости на выходе из контрольного
объема и на входе в него *.
* Уравнению D.10) можно придать форму 7fa =— \ QJfrdV
V S(\ ;2)
Следовательно, количество движения, втекающее в контрольный объем, принято
отрицательным, а вытекающее — положительным.
63
Интегральное уравнение движения для конт-
контрольного объема в проекциях на ось х получим, иодставив
значение #s из D.6) в D.10) и спроектировав его на ось х:
+ М nod \ -Rx
1 х \$ rx
QWnudS-
D.11)
где символ S у интеграла обозначает площадь контрольной по-
поверхности, не соприкасающуюся с
твердыми поверхностями, а /?* —
проекция на ось х сил действия
жидкости на твердые поверхности,
соприкасающиеся с контрольной
^ поверхностью.
U^/ Задача 4.2. Напишите уравнение D.10)
У в проекциях на оси у и z для неустано-
неустановившегося и установившегося течений.
»-х Сформулируйте для этих случаев первую
теорему Эйлера.
Интегральные уравнения
движения для произволь-
произвольного контрольного объема элементарной струй-
струйки при установившемся течении в проекциях на оси х, у, z (рис.
4.2). Подставив в уравнение D.11)
—
Рис. 4.2. Контрольный объем
для элементарной струйки
и G2=OX=:
получим уравнение движения в проекциях на ось х и по аналогии
для осей у и z
<ох)\ . D.12)
т. е. проекция равнодействующей всех 1внешних сил, приложенных
к струйке жидкости на любом ее участке, равна проекции на ту
же ось разности потоков количества движения на выходе из уча-
участка и на входе в него или равна произведению расхода на прира-
приращение проекций скорости.
Задача 4.3. Используя D.12) укажите необходимые и достаточные условия
движений жидкости ускоренного, замедленного и без ускорения.
Одной из важнейших задач гидрогазодинамики является опре-
определение сил взаимодействия между жидкостью и обтекаемыми те-
телами, т. е. сил R. Эта задача может решаться двумя способами.
Первый основывается на D.4) и требует вычисления интеграло!В по
поверхности тел от нормальных и тангенциальных напряжений,
что во многих случаях представляет непреодолимые трудности.
Второй способ основывается на применении уравнения движения
64
D.10) или D.12). При установившемся движении и известных или
отсутствующих массовых силах искомая сила определяется только
по состоянию потока на входном и выходном участках контроль-
контрольной поверхности без определения распределения нормальных и ка-
касательных напряжений по телу. Эта важнейшая особенность урав-
уравнения движения, ка<к видим, позволяет при правильном выборе
контрольной поверхности решать задачи, недоступные для первого
способа.
Поскольку в расчете используются силы и параметры течения
только на внешней части контрольной поверхности, то внутренние
ее части не рассматриваются — они были выделены лишь для
обоснования, метода. Внешние участки контрольной поверхности
следует выбирать так, чтобы они были перпендикулярны к линиям
тока или параллельны им и располагались в областях, где попе-
поперечный градиент скорости равен нулю. При таком выборе конт-
контрольной поверхности силы трения на нее не действуют — f xdS=0,
s
нормальное напряжение равно гидростатическому давлению —
f ~rdS= f andS= Г pndS, расход жидкости через нее легко
подсчитывается или равен нулю и расчет существенно упрощается.
Уравнение движения является основным не только в гидрогазо-
гидрогазодинамике, но и в теории лопаточных машин, и в теории реактив-
реактивных двигателей.
1
4.2. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Пример 1. Расчет простейшего эжектора. В струйном водяном
насосе или эжекторе (рис. 4.3) высоконапорный или эжектирующий поток
подается из сопла с площадью сечения
S1 = li0~3 м2 при давлении /?i = P2=2 • 1Ю-5 Па
со скоростью tti = 30 м/с и эжектирует
или подсасывает низконапорный или эжек-
тируемый поток со скоростью «2=10 м/с
через кольцевое сечение площадью 52=
= 10~2 м2. В цилиндрической камере сме-
смешения 1—3 с площадью сечения S3=Si +
Н-5а=1,1 • 10~2 м2 оба потока полностью
перемешиваются до постоянной по сечению
3 скорости и3 и давления р3. Пренебрегая
трением воды о стенки камеры смешения
/—3 определить величины и3 и р3.
Торцевой участок 1-1 контрольной р 43 Схема эжектооа
поверхности совместим со срезом высоко- ™L* °' ^хема эжектора
напорного сопла, а 3—3 с сечением канала,
в котором заканчивается смешение потоков. Цилиндрический участок 1—3 рас-
расположим сколь угодно близко к внутренним стенкам камеры смешения.
Скорость Из определим из условия равенства объемных расходов воды в се-
сечениях 1—1 и 3—3
( 2
\{
i аГ\ ' "J •
J
= C0-10-3 +
= ц,8 м/с.
3 950
65
Высоконапорный поток при смешении передает часть количества движения низ-
низконапорному. Для определения давления р3 используем уравнение движения
D.11). JHEo условию напряжение трения на контрольную поверхность не дейст-
вует (j tdS\ =0, проекция массовых сил на ось х равна нулю J XqdV=0, так
как ось х горизонтальна, а течение происходит в поле сил тяжести, когда Х==
= У=0, a Z=—g. Силы давления на цилиндрическую поверхность 1—3 уравно-
уравновешиваются. Поэтому проекции на ось х, отличные от нуля, дают только силы
давления на сечение /—/ — piE1+52)=Pi53 и на сечение 3—3 (—pzSz). В пра-
д С
вой части D.11) член-— \ oudV=0 вследствие стационарности течения, а про-
ot J
v
ек-Ц'ИИ потоков количества движения принимают простой вид
J QWnlldS =
5
QWnUdS =
Подставляя все эти значения в D.11), получим
(Pi — Ръ) ^з =
ИЛИ
откуда
103C02.10-3-
1Q2. Ю-2— 11,82.1 ,1. 1Q-2)
1,1-10-2
=2,33-105 Па
Увеличение статического давления в камере смешения соответствует уменьше-
уменьшению количества движения жидкости, что объясняется уменьшением кинетической
энергии жидкости за счет выравнивания поля скоростей.
Пример 2. Определение сил действия жидкости на стен-
стенки расширяющегося, сужающегося и цилиндрического
каналов. Определим проекцию Rx на ось х силы, с которой жидкость дейст-
действует на стенки расширяющегося канала (дозвукового диффузора) и тел, скреп-
скрепленных с его стенками (рис. 4.4). Примем, что течение, установившееся в виде
элементарной струйки; параметры потока в сечениях 1—1 и 2—2 соответственно
Wi, pu Pi и Wz, Pzy рг; площади сечений S\ и 52; давление неподвижной окру-
окружающей среды /?н.
Сила Rx имеет составляющие внутреннюю Rx вн и легко определяемую на-
наружную Rx н. При pH='Const и отсутствии трения
D. 13)
Сила Rx вн, к определению которой сводится
задача, представляет сумму проекций на
ось х сил трения и давления, с которыми
жидкость действует на внутренние поверхно-
поверхности стенок канала 1—2 и на твердые тела,
размещенные на участке 1—2. Расчет ее по
D.4) неосуществим, так как не известно рас-
распределение напряжения трения и давления по
поверхностям. Поэтому, для определения силы
Rx вн используем интегральные уравнения
движения D.11) и D.12). Торцевые участки
контрольной поверхности /—/ и 2—2 совмес-
совместим с входным и выходным сечениями канала,
а боковой — с внутренней поверхностью сте-
стенок 1—2 (см. рис. 4.4). Выделение твердых
тел, находящихся в потоке, на рисунке не по-
показано, но подразумевается. При выбранных
контрольной (поверхности и оси х первый и
второй члены D.11) равны нулю, так как
Рис. 4.4. Расширяющийся ка-
канал
массовая сила тяжести жидкости в контрольном объеме перпендикулярна к оси
х, а на участках контрольной поверхности 1—1 и 2—2, перпендикулярных к ли-
линиям тока, г = 0, ас = /?и (§nadS\ = (\7ipdS\ = p\Si — p2S2.
Правая часть D.11) может быть представлена в виде правой части D.12), т. е.
Rsx = PiSi — p2S2— Rxbh^G {W2 — Wi) или
Rjcbh = —[(P252— Pi^i) -h OAT2— !Ti)i = (PlSi + GTTO— (/?252 + G\r2). D.14)
Величина /?5 + С№=Ф называется полным импульсом жидкости в данном се-
чении и
Л,вн=Ф1-Ф2. D.15)
Псщста'вляя это значение Rx вн в D.13), получим
Rx=*l—*2 + (S2—Si)pn. D. 16)
Сила Rx воспринимается узлами крепления конструкции. Осевая сила действия
жидкости на стенки сужающихся и цилиндрических каналов рассчитывается по
тем же формулам D.13) —D.16). Знаки Rx вн и Rx определяются величинами
положительных и отрицательных сил их составляющих и, в зависимости от усло-
условий, могут быть любыми для любых каналов с машинами внутри. Знак и вели-
величина Rx н определяются по D.13).
Знак силы Rx вн. В соответствии с D.15) Rx вн>0, при уменьшении пол-
полного импульса жидкости Фг<Ф1 и Rx вн<0, при его увеличении Ф2>Фь Умень-
Уменьшение полного импульса всегда обусловлено действием на жидкость твердых
поверхностей с тормозящей силой, а увеличение — с ускоряющей силой (совпада-
(совпадающей по направлению со скоростью). Скорость потока в обоих случаях может
изменяться любым образом, так как ее изменение определяется направлением
суммарной силы/?2*,а не силой (—Rx*n). Сила Rx вн<0 для летательного аппа-
аппарата является положительной составляющей силы реактивной тяги, a Rx вн>0—
отрицательной.
Короткие расширяющиеся каналы без тел внутри применяются как дозвуко-
дозвуковые диффузоры, например в ВРД, и как сверхзвуковые части реактивных сопел.
В этом случае сила трения не велика и ею в первом приближении пренебрегают.
Тогда из рис. 4.4 следует, что Rx вн, слагающаяся только из проекции элемен-
элементарных сил давления на внутренние поверхности стенок, отрицательна, т. е. явля-
является положительной составляющей силы тяги.
Задача 4.4. Определить направление Rx вн и изменение полного импульса
жидкости для сужающегося канала и изобразить схему нагружения стенок.
Укажите разницу между силами R^x* Rx* Rxmit Rxk» изобразив их составляю-
составляющие. Каково правило знаков для этих сил?
Для цилиндрической трубки при отсутствии между сечениями /—/ и 2—2
твердых тел и пренебрегая трением, получим, что Лхвн = 0, так как силы дав-
давления перпендикулярны к оси и уравнения движения DЛ5) и D.16) свиде-
свидетельствуют о неизменности полных импульсов.
Ф2 = Ф\ или GWi + pxS = GW2 + p2S, D. 17)
но G = QiWiSx = Q2W2S2 или qWx = Q21^2 и
Pi ~ P2 = QiWi (W2 — W{) = Q2IF2 (W2 — Wx) = Q1W1W2 —
или Л-Л=021Г!-
Для несжимаемой жидкости рг = Рь Wz=Wx и рг=Рь т. е. при Rx вн=»0 тече-
течение жидкости вдоль цилиндрической струйки не изменяется.
Для сжимаемой жидкости в цилиндрической струйке параметры могут из-
изменяться и при ЯЖвн=0 и Ф2=Фь Для этого необходимо лишь изменить плот-
плотности рг#рь например за счет подвода или отвода тепла.
Задача 4.5. Пренебрегая трением определить для форсажной камеры X—Ф
(см. рис. 0.1) Яхвх, Фф/Фж и рх—рф, если 5я=5ф=,0,|5 im2, р*=1,2 кг/м3, Wx =
ь=100 м/с, Й?ф=400 м/с. Как подсчитать ускоряющую газ силу?
Ответ. рх—рф=3,6- 104 Па.
3* 67
Задача 4.6. Определить величину Rx вн, действующую на стенки горизон-
тальноитрубь1 сечением 5=0,2 м2 при течении по ней воды, если pi =
Па, р2=9,9- 105 Па. Что это за сила и как она направлена? Нарисуйте
изменение W, р, р вдоль оси трубы.
Ответ. ЯЛВН—2-Ю3 Н.
Пример 3. Сила, действующая на стенки криволинейного
канала. Для определения равнодействующей сил, с которыми жидкость дей-
то
Рис. 4.5. Криволинейный канал
Рис. 4.6. Действие
патку
струи на ло-
ствует на патрубок /—2, выберем контрольную поверхность 1—2—2—1. Участи
ки контрольной поверхности /—/ и 2—2 пусть будут -нормальны к векторам IFi
и W2 (рис. 4.5). Применим D.11) и D.12) для осей х и у, получим
Л* вн = 6^1 — Gii2 •+¦ p\Si cos cti — P2S2 cos ct2 = Ф1 cos ai — Ф2 cos 0,2',
Ry BH = mg + Gvi — Gv2 -f p\Si sin й\ — P2S2 sin a2 =
= mg + Ф1 sin ai — Ф2 sin ct2,
где mg — сила тяжести жидкости с массой т, заключенной в контрольном объ-
объеме; g=— 9,81 м/с2.
Для определения суммарной силы, действующей на патрубок, необходимо
к^/?Вд прибавить силу давления /?н, приложенную к его наружной поверхности
/?=#вн+/?н, аналогично Rx=Rx вн+Rx н и Ry=Ry ън+Ry *•
Задача 4.7. Плоская струя идеальной жидкости плотности р истекает из не-
неподвижного сопла высотой h со скоростью и0 и обтекает криволинейную лопат-
лопатку, приводя ее в движение с постоянной скоростью и (рис. 4.6). Определить го-
горизонтальную Rx и вертикальную Ry составляющие силы, возникающие в ре-
результате действия струи на лопатку (без учета силы внешнего давления).
Ответ: Rx = Q0h (щ —- иJ A — cos P); Ry = mg~ Q0h (u0 — u)t sin p, где /я—
масса жидкости в контрольном объеме над лопаткой.
4.3. СИЛА ТЯГИ РЕАКТИВНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ*
В проточной части воздушно-реактивного двигателя (см. рис.
0-1) тепло подводится к воздуху и количество движения его воз-
возрастает, что приводит к возникновению реактивной силы — резуль-
результирующей сил давления и трения, приложенных со стороны газово-
газового потока к поверхностям двигателя. Только часть реактивной си-
силы двигателя—эффективная сила тяги сило!вой установки /?Эф —
идет на совершение полезной работы по преодолению лобового со-
* Впервые вывод формулы силы тяги ВРД дал основоположник теории ВРД
акад. Б. С. Стечюин (см. «Техника воздушного флота», 1929, № % с. 96—ЮЗ).
68
противления и инерции самого летательного аппарата; остальная
часть затрачивается на преодоление сопротивления самой силовой
установки.
Итак, эффективная сила тяги силовой установки является ре-
результирующей всех сил давления и трения, действующих на ее по-
поверхности со стороны газовых потоков — протекающего через дви-
двигатель и обтекающего силовую установку снаружи.
Величина внешнего сопротивления силовой установки зависит
от ее компоновки и условий полета и, в малой степени, от режима
работы и тяги двигателя.
Сила тяги реактивного двигателя R является важнейшим его
параметром, который необходимо уметь надежно и просто рассчи-
рассчитывать при проектировании, исследованиях и сравнении двига-
двигателей.
Силу тяги двигателя R весьма трудно выделить из общей сум-
суммы элементарных сил давления и трения, действующих на установ-
установку. Поэтому условия ее определения установлены ОСТ 1 00192—75
(стр. 42, 260). Реактивная тяга (тяга)—«Результирующая всех
газодинамических сил (давления и трения), приложенных к внут-
внутренней и наружной поверхностям двигателя в предположении, дто
внешнее обтекание двигателя идеальное».
Основная формула тяги ВРД. Получим на основании
этого определения формулу для расчета тяги ВРД. Уточним усло-
условия ее расчета.
Определение силы тяги простым суммированием элементарных
сил давления и трения по поверхности двигателя неосуществимо из-
за сложной формы поверхности и трудностей расчета распределе-
распределения сил по ней. Поэтому, применим для расчета уравнение количе-
количества движения в полных импульсах D.15), позволяющее опреде-
определить силу тяги для ВРД любого типа без анализа внутренних процес-
процессов, только по состоянию потока на границах контрольной поверхнос-
поверхности, которую для упрощения расчета необходимо правильно выбрать.
Остановим двигатель и направим на него окружающую среду
. со скоростью полета WH и параметрами рн, Qh, Ти (см. рис. 0.1).
Контрольную поверхность Н'—С—С—Н' выберем цилиндричес-
цилиндрической, соосной с двигателем, с торцевыми поверхностями Н'—Н' и
С'—С, нормальными к оси двигателя и имеющими такие большие
одинаковые площади S, что цилиндрическая поверхность Н'—С
лежит вне возмущений, вносимых двигателем в поток. В этом слу-
случае силы внешнего давления на поверхность Н'—С', нормальные
оси двигателя, взаимно уравновешиваются, касательные напряже-
напряжения отсутствуют, так как поперечный градиент скорости в окрест-
окрестностях Н'—С равен нулю, а также отсутствует обмен количеством
движения через эту поверхность между выделенным контрольным
объемом и внешней средой. Торцевую поверхность Н'—Н' рас-
расположим перед двигателем на расстоянии, недостижимом для воз-
возмущений, вносимых двигателем. Эти возмущения обычно заключа-
заключаются в том, что струйка невозмущенного потока площадью попе-
поперечного сечения SH подтормаживается на входе в двигатель в жид-
ком контуре Н—I; скорость ее уменьшается, давление и плотность
соответственно увеличиваются. На жидкую поверхность Н—I дей-
действует только сила давления, дающая проекцию на ось х. При та-
таком выборе поверхности Н'—Н' через нее будет протекать невоз-
невозмущенный поток с параметрами WHy pH, QH. Расход воздуха, посту-
поступающего в двигатель, обозначим GB, а протекающего через конт-
контрольную поверхность вне двигателя — G. Торцевую поверхность
С—С7 совместим со срезом реактивного сопла. Это удобно тем, что
в этом сечении имеется четкое разделение потоков: потока газа,
истекающего из сопла с расходом Gt=Gb-\-G^t=qcWcSc, имеюще-
имеющего постоянную (среднюю) скорость WC>WH и давление рс, в об-
общем случае отличное от рн(рс?=Рв) и Тс>ТНу и внешнего потока
воздуха, обтекающего двигатель.
Результирующая сил да)вления и трения, которая действует на
внешний поток со стороны жидкого контура Н—I и внешней по-
поверхности двигателя, вызывает изменение количества движения. По-
Поэтому параметры воздуха в сечении С—С вне площади среза
сопла 5С отличаются от параметров невозмущенного потока Wn
ирн.
Идеализация течения при расчете силы тяги
ВРД. Условно принимается, что результирующая сил давления и
трения по поверхности Н—I—С внешнего потока равна нулю и
давление по ней постоянно р=рн. Следовательно, количество дви-
движения внешнего воздуха не изменяется и параметры его в сечении
С—С" на площади S—5С (вне сопла) сохраняют в точности зна-
значение параметров невозмущенного потока рн, Qh, Wh и неизменный
расход G. В действительности, при принятых условиях, расходы не
равны: (S—5h)qh^h=7^E—Sc)qh^h, так как 5Н=^5С. Однако раз-
разница в расходах может быть сделана сколь угодно малой при ус-
ЛО1ВИИ »0.
о
Сила воздействия газов на двигатель, в принятых условиях, на-
называется силой тяги ВРД R и равна разности полных импульсов
газа на входе и выходе из всего контрольного объема Н'—С'—
—С—Н' (см. рис. 0.1). В соответствии с D.15)
Уаирощая, получим формулу силы тяги ВРД
R=-[QB(We-Wn) + QiTWe+Sc(pc--pB)] } 4 19)
или R = - [GTWC - CBWH + Sc (pc - ря)). /
Знак минус показывает, что R направлена противоположно векто-
вектору скорости невозмущенного потока, т. е. в направлении скорости
полета.
Такое направление силы тяги считается положительным. Поэто-
Поэтому в дальнейшем знак минус опускается.
Сила тяги ВРД слагается из двух членов —из изменения се-
секундного количества движения массы газа, протекающего через
70
двигатель — (GTWC—GBWH) и статической составляющей [Sc(pe—
~~Рн)], учитывающей разницу в давлении выхлопных газов и дав-
давлении окружающей среды.
Характерно, что R не зависит от величины площади входа в
двигатель Si и от скорости и давления воздуха в этом сечении, а
только от GB и скорости полета.
Из общепринятой и наиболее универсальной формулы D.19)
легко получить формулы расчета силы тяги для частных случаев.
Сила тяги ВРД при расчетном режиме работы сопла (/?с=/?н)
R=Gs(Wc-WH)+G,TWc. D.20)
Сила тяги ВРД, работающего на старте (WH=0)
R=(Qn+OlT)Wt+Sc(pc-pJ. D.21)
Сила тяги ВРД при ,пренебреж<ении расходом топлива, так как
он мал по сравнению с расходом воздуха G^T <^ 0,06(/в:
R=Qn(W*-Wm)+Sc{pc-pJ D.22)
Сила тяги ракетных двигателей (ЖРД, РДТТ), в которых ат-
атмосферный воздух не используется и количество движения рабо-
рабочего тела изменяется от 0 до GTWC, определяется по формуле
R=GrWc+Sc(pc-p«), D.23)
где GT — расход газа.
Внешнее сопротивление силовой установки определяется обыч-
обычно экспериментально или теоретически при расчете обтекания зе
внешним потоком.
При принятом определении силы тяги ВРД D.19) эффективная
тяга рассчитывается по формуле [25]
§иГЯэф=/?-[ С (P-P.)dS] -I f {P-pB)dS\ -XTP, D.24)
где Г I (p — pH)dSl —дополнительное сопротивление входного
. kL J,
йства (сопротивление по жидкой линии тока);
— Pi)dS\ —сопротивление сил давления, действующих на
I
k
гондолу силовой установки; ХгР — 'сопротивление трения, действу-
действующее на внешнюю поверхность гондолы. При р=ря и идеальном
обтекании (ХгР=0) приходим к формуле тяги.
Вопрос 4.8. Почему сила тяги ВРД зависит от скорости полета №н, а сила
тяги ракетного двигателя не зависит? Есть ли разница в расчете силы тяги ВРД
s условиях старта и ЖРД в полете?
4.4. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
(ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА)
Уравнение моментов количества движения не является новым
независимым уравнением гидрогазодинамики. Оно представляет
новую форму уравнения движения, членами которого являются не
71
силы и не количества движения, а моменты сил и моменты коли*
чества движения. Это уравнение широко используется при иссле-
исследовании вращательного движения жидкости, является основным в
теории турбомашин.
Уравнение моментов количества движения для жидкого объема
так же, как и для твердого тела, устанавливает, что момент равно-
равнодействующей внешних сил относительно произвольной оси равен
полной производной по времени от суммарного момента количест-
количества движения относительно той же оси, т. е.
>х"г = — ( V mWx~*r\ , D.25)
где г — радиусы векторы внешних сил и элементарных ,масс, имею-
имеющих скорости W, м; mWXr—момент количества движения эле-
элементарной массы т, кгм2/с
Расчетная форма уравнения может быть получена с помощью
предельного перехода (Af-Я)) от рассмотрения движения жидкого
объема к контрольному объему. Не повторяя выкладок D.1 )>
умножив векторно D.10) на соответствующие радиусы-векторы,
получим уравнение моментов количества движения для контроль*
ного объема в векторной форме
[ QWn(Wxr)dS-
D. 26)
устанавливающее, что сумма моментов всех внешних сил, прило-
приложенных к жидкости в контрольном объеме относительно произ-
произвольной оси, равна частной производной по времени суммарного
момента количества движения этой жидкости плюс разность сум-
суммарных секундных моментов количеств движения на выходе из
контрольного объема и на входе в него относительно той же оси.
Уравнение моментов количества движениядля
конечного участка 1—2 эле-
элементарной струйки при ус-
установившемся течении отно-
относительно оси z. Спроектируем
равнодействующую всех внешних сил,
действующих на жидкость в контроль-
контрольном объеме /—2 и скорости на входе
в контрольный объем и на выходе из
него на плоскость ху. Получим экви-
эквивалент плоского течения (рис. 4.7).
Разложим скорости на радиальные —
Wr и окружные — Wu составляющие.
47 И Моменты количества движения от ра-
выводу" уравн^ниГ^оме^ диальных составляющих равны нулю
тов количества движения и=0) и уравнение D.26) принимает
72
щ
Рис. 4.8. Схема центробежного Рис. 4.9. Иллюстрация к выводу
компрессора дифференциального уравнения дви-
движения
простейшую и наиболее часто употребляемую форму
N[z = Rr=G(Wu2r2-Wulrl). D.27)
В -соответствии с D.27), момент равнодействующей внешних сил
относительно произвольной оси равен приращению момента секунд-
секундного количества движений жидкости GWur на участке струйки
1—2, относительно той же оси.
Задача 4.9. Укажите условия, необходимые и достаточные для увеличения,
уменьшения и постоянства момента секундного количества движения вдоль эле-
элементарной струйки относительно заданной оси.
Вращение жидкостипо инерции. Если момент внеш-
внешних сил относительно данной оси ршен нулю (Mz = 0), то момент
секундного количества движения сохраняет постоянное значение и
жидкость вращается по инерции
Wa2r2 = Wulr1 = Wtir=const; flre = const/r. D.28)
Итак, ©ращение жидкости по инерции подчиняется закону по-
потенциального^ вихря (см. п. 3.8, рис. 3.8).
Задача 4.10. Подсчитать механическую энергию (мощность), сообщаемую
воздуху рабочим колесом центробежного компрессора (рис. 4.8), если дано: рас-
расход воздуха G = 25 кг/с; вход — осевой {W\ параллельна оси); №2=495 м/с;
чх2=25°. Ответ #=5-103 кВт.
4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
В НАПРЯЖЕНИЯХ
Дифференциальные уравнения, удовлетворяющие любой точке
пространства, позволяют определить искомые поля @.1).
На рис. 4.9 представлены произвольно выбранный элементарный
жидкий объем dV=dxdydz постоянной массы dm = QdV=Qdxdydz и
действующие на него напряжения массовых и поверхностных сил.
Для примера нанесены только поверхностные напряжения, дейст-
действующие на грани, нормальные к оси х. .Первый индекс у тангенци-
тангенциального напряжения обозначает ось координат нормальную к гра-
грани, на которую оно действует; второй — ось на которую оно проек-
73
тируется. Индекс у нормального напряжения обозначает ось коор-*
динат, на которую оно проектируется.
Составим уравнение движения элементарного жидкого объема
в проекциях на ось х, используя проекцию на ось х уравнения
D.2):
d(uQdV)/dt=QdVdu/dt = LRx. D.29)
Проекция на ось х равнодействующей A<RX складывается из про-
проекций массовой силы, сил нормальных и тангенциальных напря-
напряжений
+ [ (V+^f *V- V) dxdz+(xzx+ i&idz-x^ dxdy}.
Раскрывая скобки, подставляя ARX в D.29), сокращая на dV=
=dxdydz9 выражая полную производную du/dt в соответствии с
C.6) и производя аналогичные выкладки для осей у и г, получим
уравнения движения в напряжениях
Л da (да . да , да , да
D.30)
^ ^ dy ^ dz
Уравнения D.30) содержат девять новых неизвестных: три нор-
нормальных и шесть тангенциальных. Выразим эти новые неизвест-
неизвестные через основные — и, v, w, p, q, используя обобщенный закон
Ньютона о том, что напряжения в жидкости пропорциональны ско-
скоростям соответствующих относительных деформаций.
Касательные напряжения равны приведениям соответствую-
соответствующих скоростей относительных деформаций сдвига на коэффициент
вязкости жидкости. В соответствии с равенством парных скоростей
относительных деформаций сдвига C.28) равны и парные танген-
тангенциальные напряжения, т. е.
да - dv \ ( да , dw
~ ~ ( dv , dw \
Итак, новых неизвестных шесть, а не девять.
74
Нормальные напряжения вызывают деформацию жидкости не
только в направлении их действия, но и в перпендикулярных, при-
приводя к деформациям сдвига и объемной. Наглядной моделью тако-
такого явления может служить растяжение резинового стержня, умень-
уменьшающегося при этом © диаметре. Исследования показывают, что
нормальные напряжения зависят от давления и линейных (е) и
объемных (е) скоростей относительных деформаций элемента жид-
жидкости [1]
2
_2_
3
_2_
3
D.32)
где ох, ау, oz —слагаемые проекций нормальных напряжений, ко-
которые так же, как и тангенциальные напряжения D.31), зависят
от вязкости и выражаются через скорости линейных и объемных
относительных деформаций и \х
* ^ 2 о da 2 (da , dv_ , dw \ ,* ооч
3 dx 3 [dx dy dzj
Задача 4.11. Напишите выражения о*/' и ог" и выражения Ох", с/', oz" для
несжимаемой и для идеальной жидкостей.
Перепишем уравнения движения в напряжениях D.30) с уче-
учетом D.31) и D.32) вН/м3.
du = у
dt
дх
дх
ду
dz
D.34)
Задача 4.12. Запишите дифференциальные уравнения движения в напряже-
напряжениях в проекциях на оси у и z и опишите физический смысл их. Установите,
сколько неизвестных напряжений содержат три уравнения типа D.34).
4.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
НАВЬЕ-СТОКСА A845 г.)
Подставим в уравнения D.30) значения тангенциальных D.31)
и нормальных D.32) напряжений, примем, что \х постоянно по всей
области течения. После преобразований и замены \x/q=v получим
уравнения Навье-Стокса — дифференциальные уравнения неуста-
неустановившегося пространственного движения сжимаемой вязкой жид-
жидкости
ди | да , ^да , да „ 1 др , / д2а , д^а , ^
dt ' дх ' ду ^ dz q дх * [dx* ' dtp '
4- —) 4- — v — (— 4- — 4- — V
~ dz* ) ' 3 дх [дх ~ ду dz ) '
dt dx dy dz Q dy [ dx^
D.35)
75
I &v \ . 1 д I du , dv . ate; \
"^ d^" ^J" 3 d? U* ^"dy"^~d7
Используя символы полной производной C.6), оператора Лап-
Лапласа C.45) и дивергенции C.27), получим уравнения Навье-Сток-
са в более компактной форме
du v 1 dp . . , 1 д ,. -й>
dt q дх Г ' 3 ^д:
^ K^+vAt) + vdiv#; | D.36)
dt q dy 3 dy I
dw ~ 1 ^/? , A ,1 д л.
= Z ?-4-vkw-\ v — div
d l 3 d
vw\v
dt q dz l 3 dz
Умножая уравнения D.36) соответственно на 1, j,~% и склады-
складывая, получим вместо трех одно уравнение Навье-Стокса в вектор*
ной форме: _^
—=Г— — grad /?+vA#+— v grad (divW). D.37)
at Q 3
На основании D.37) заключаем, что вектор полного ускорения
жидкой частицы равен векторной сумме ускорений, вызванных от-
отдельными силами та<к, как будто бы каждая из этих сил действует
на частицу в отдельности. На основании уравнений D.35) и D.37)
можно сделать аналогичное заключение о проекциях ускорений на
оси х, у, z.
Бели D.37) умножить на плотность q, to придем к выводу, что
сила инерции частицы равна векторной сумме всех сил, действую-
действующих на нее.
Уравнения D.35) ... D.37) лежат в основе современной механи-
механики сжимаемой вязкой жидкости. Одним из основных граничных ус-
условий, применяемых три их интегрировании, является равенство
нулю скорости жидкости на поверхности обтекаемых твердых тел
(см. п. 1.5).
Интегрирование уравнений Навье-Стокса для общего случая
движения сжимаемой вязкой жидкости встречает непреодолимые
математические трудности. Поэтому большинство гидродинамичес-
гидродинамических задач решается приближенно и тогда в уравнениях Навье-
Стокса пренебрегают членами, влияние которых не велико по срав-
сравнению с остальными.
Уравнения Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости
получим, положив в уравнениях D.35) ... D.37) последний член,
выражающий скорость относительной объемной деформации, рае*
ным нулю e=div W=0:
76
— / ——— —J— V I "~| |-~ ~—-— I ,
flfw г» 1 ¦ Gz? i (d%w i d^w i d^w \ I
==Z — V I I w j ^ j
/У/ n ^ ' V r^j-2 ^ /9/y2 "^ ^2 / ' J
D.38)
q 17
Точные решения этих уравнений получены лишь для немногих
простейших течений.
Задача 4.13. Получите дифференциальные уравнения равновесия жидкости
('2.1) из уравнений На.вье-Сто,кса D.35).
4.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
^-Z—^-T- D-39)
Уравнения Эйлера* — движения идеальной сжимаемой
жидкости получим, положив в уравнении D.36) v = 0.
du у 1 dp t dv у 1 dp dw у _^ 1 dp
dt q dx ' dt Q dy ' dt Q ^t
Уравнение Громеки-Лемба A881 г.). Выразим в урав^
нениях D.39) в явном виде проекции ускорений поступательного
и вращательного движений частицы. Для этого добавим к du/dt,
dv/dt и dw/dt с положительным и отрицательным знаками следую-"
щие выражения соответственно
dv , dw du , dw dv , du
v \-w ; a \-w ; v \-u—.
dx ' dx dy ' dy dz ' dz
Производя перегруппировку членов, получим
du/dt: ~
du du | du . dv , dw , (du dw
выражение для
du dv
(du dw \ o I du dv \
dz dx J y \ dy dx )
здесь и Y-v \-w = (u2-\-v2-4-w2) =— —
dx dx dx 2 dx dx \ 2
du dw \
dz dx
Преобразуя аналогично dv/dt и dw/dt и подставляя их значения в
D.39), получим уравнения Громеки-Лемба
^ 1 dp du , d (W*\ , rt/_ _. ч/i
^ 1. dp _ dv ¦ d 1W*
q dy ~ dt ~*~ dy[ 2
^ 1 ^/?
q ^
dv
dt
~dz \ 2
D.40)
* Леонард Эйлер в своем трактате «Общие принципы движения жидкостей»
A755 г.) впервые вывел основную систему дифференциальных уравнений дви-
движения идеальной жидкости, положив этим начало аналитической механике
сплошной среды с широкими задачами и строгими методами их решения.
77
Суммы первого и второго членов правой части уравнений D.40)
представляют проекции ускорения поступательного движения час-
частицы, а третьи члены — вращательного. Умножая уравнения D.40)
на dx, dy, dz соответственно и складывая, получим
дх
dy
dz
dx dy dz
и v w
Интегралы Коши — Лагранжа и Б е р н у л л и. Урав-
Уравнение D.41) легко интегрируется, если три члена, заключенные в
скобки, являются полными дифференциалами некоторых функций,
а определитель равен нулю, т. е. когда:
1) массовыми силами являются только силы тяжести, имеющие
потенциальную силовую функцию U(x, у, z, t), частные производ-
производные которой по х, у, z равны проекциям ускорения массовой силы
тяжести dU/dx=X, dUfdy=Y и dU/dz=Z и, следовательно, Xdx+
+ Ydy+Zdz=dU. Если ось z направлена по радиусу земли, то Х=
= У=0, a Z=—g и дифференциал силовой функции
dU=~-gdz\ D.42)
2) течение баротропно, т. е. q = q(p). В этом случае существует
функция Р(х, у, г), частные производные которой
дР 1 dp дР 1 др дР 1 др _ п
= ?-, = ?-, = — и отсюда
дх q дх ду q dy dz q dz
±№dx+*±ay + ?-dz)=dP=lZ-; D.43)
q \ дх ду ' dz ) q v f
дх
ду
3) течение потенциально: сох = (оу = (ог=0. Это значит, что опрз-
делитель для всей области течения равен нулю и существует по-
потенциал скорости (р(х, у, z, t)y т. е. dxp/dx=u :dy>[dy=v: d<f)/dz=w.
Значение смешанной производной не зависит от порядка диффе-
дифференцирования, т. е.
dt ~~ dt { dx )dx \dt)' dt ~dy \ dt ) '
dw ^/^?\ f du , , dv , , dw * \ , / dv \ , л лл,
= — /——] и dxA dy-\ dz)=d -1-). D.44)
dt dt \ dt ) \ dt ' dt U~ dt ) \ dt ) v ;
Подставляя D.42) ... D.44) в D.40), получим уравнение, состоящее
только из полных дифференциало1В
D.45)
Интеграл уравнения D.45) называется интегралом Ко-
Коши— Лагранжа для потенциального баротропного в поле сил
78
тяжести течения идеальной сжимаемой жидко'сти. Интегрируя
D.45), получим
Произвольная функция времени c(t) в интеграле Коши —Лагран-
жа D.46) постоянна для всей области потенциального течения,
является функцией только времени и определяется из начальных
условий. Это значит, что сумма четырех членов левой части D.46)
постоянна во <всей области потенциального течения и может изме-
изменяться только во времени. Уравнение D.46) содержит четыре неиз-
неизвестных: р=р(х, у, z, i); q = q(x, у, г, t); W=W(x, у, z, t) и <р =
= <p(#, У, z> t). Для их определения необходимо к D.46) добавить
уравнения: Лапласа C.45), определяющее <р, определения скоро-
скорости через <р: W2 = (ду/дхJ + (д<р/дуJ + (dyjdzJ и баротропности
()
Q Q(p)
Дифференциальное уравнение Бернулли* для
установившегося баротропного в поле сил тяжести течения идеаль-
идеальной сжимаемой жидкости получим из уравнения D.45) при
d/dfO
0. D.47)
Интеграл Бернулли, называемый также уравнением Бернулли,
является результатом интегрирования D.47)
Для потенциального течения константа уравнения Бернулли
D.48) постоянна для всей области течения.
Уравнение Бернулли D.48) остается справедливым и для вих-
вихревого течения жидкости, когда определитель D.41) равен нулю
вследствие пропорциональности его строк: 1) (Первой и третьей
(dx/u=dy/v = dz/w)i2) второй и третьей (а>х/и = <оу/0 = (©2/а>), 3) пер-
первой и второй (dx/(ux=dy/(dy=dz/(uz). Первое условие есть диффе-
дифференциальное уравнение линий тока C.9); второе—условие парал-
параллельности векторов скорости W и угловой скорости о, т. е. условие,
совпадений линий тока и вихревых линий, когда частицы движут-
движутся вдоль линий тока и вращаются вокруг них (винтовое движение;
описано впервые проф. Казанского университета И. С. Громека в
1881 г. и носит его имя); третье — дифференциальное уравнение
вихревых линий C.36)].
Итак, константа с в интегралах Бернулли при вихревом тече-
течении идеальной жидкости сохраняет постоянное значение только
* Даниил Бернулли A700—1782 г.), академик Российской Академии наук.
В 1783 г. была опубликована его книга «Гидродинамика или записки о силах
и движении жидкости», в которой было приведено полученное им уравнение,
связывающее изменение скорости, давления и высоты расположения движущейся
жидкости. Это уравнение и называется его именем. С выходом в свет этой кни-
книги в науке появился термин «Гидродинамика».
79
для данной вихревой линии, а не для всего пространства, как при
безвихревом течении. При переходе к другим линиям тока и вих-
вихревым линиям константа изменяет свое значение.
Уравнение Бернулли является одним из основных в гидрогазо-
гидрогазодинамике, так как определяет изменение основных 'Параметров те-
течения— давления, плотности, скорости и высоты положения жид-
жидкости.
4.8. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ
Проинтегрируем дифференциальное уравнение Бернулли D.47)
для конечного участка струйки 1—2 (рис. 4.10) и получим
l20. D.49)
Работа проталкивания [dp/Q, т. е. работа сил давления по пере-
мещению килограмма жидкости из области 1 с давлением р\ в об-
Линия полного напора
Пьезометрическая линия
потен-
циальной энер-
энергии положения
Мибелирная линия z-0
Рис. 4.10. Иллюстрация к уравнению Бернулли
для идеальной жидкости
ласть 2 с давлением рг, для несжимаемой и сжимаемой жидкостей
представлена на диаграмме pv (см. рис. 4.10). Сила давления на-
набегающего потока p\Sl совершает работу, подавая килограмм
жидкости через сечение 1 в .контрольный объем (линия 1—1).
В процессе течения давление изменяется от р\ до рг (в данном
случае уменьшается). Под действием силы давления p2S2 кило-
килограмм жидкости выталкивается из контрольного объема /—2 (ли-
2
ния 2—2). Для того, чтобы вычислить f dp/q и получить возмож-
возможность использовать уравнение Бернулли D.49), необходимо знать
80
зависимость q = q(p), т. е. термодинамический процесс, происходя-
происходящий в газе одновременно с течением по каналу 1—2.
Задача 4.14. Вычислить интеграл j dp/Q для основных термодинамических
процессов и- объяснить каким образом в уравнении Бернулли учитывается влия-
влияние теплообмена между газом и внешней средой на изменение параметров газа
при течении.
Ответ. 1. Изобарный процесс р=const,
2
O, D.50)
2. Изотермический процесс Т = const,
2
\ dp/Q = -^- In -^- . D. 51)
J Gi Pi
1
3. Адиабатный процесс p = Q const,
{ dp___LaI^T Л__*_пт.[7*?Лтг , D>52)
P2\ir Л _J_ PT \lP2 Yir 1
4. Политропный процесс p — Qnconst,
2
у _ L /_—J л __ | I j^T^U—\n «. i I D.53)
J Q П— 1 Qi LVPl/ J П— 1 L\ /^1 / J
1
5. Изохорный процесс q = const,
2
( dp/Q = P2~Pl . D. 54)
Уравнение Бернулли для несжимаемой идеальной жидкости при
течении без обмена механической работой с внешней средой полу-
2
чим, подставив значение [dp/дяз D.54) в D.49) и производя эле-
ментарные преобразования:
^c2, D.55)
или Qgzx + Pi + -^=Og-^ + A + -y^=Poi = AJ D. 56)
^Og-^ + A + ^
или 2l + ^i. + ZL=Z2 + ^ + Zi = ^ = ^, D.57)
Qg %g Qg %g
где с — полная механическая энергия килограмма жидкости или
полный напор, Дж/кг\
Po = ^Q — полная механическая энергия массы жидкости объемом
б кубический метр или полный напор, Дж/мъ или Па;
81
= ——=— — полная механическая энергия 1/g, кг жидкости
Qg g
или полный напор в метрах столба данной жидкости.
Все три величины имеют одинаковый физический смысл, поэто-
поэтому © учебной и технической литературе можно встретиться с тем,
что любой из них (Присваивается название полного напора.
Составляющие полной механической энергии
жидкости наиболее наглядно изображаются и измеряются в
метрах столба жидкости (см. рис. 4.10): gz, Qgz, z — потенциальная
энергия положения жидкости, отсчитанная от произвольной выб-
выбранной нивелированной плоскости, или геометрический напор,
Дж/кг; Па; м;
Р Р
—; р\ потенциальная энергия давления* жидкости или
Q Qg
пьезометрический напор, Дж/кг; Па; м;
SzJr — I Qgz-{-p; z-{--^= —потенциальная энергия жидкости или
гидростатический напор **, Дж/кг; Па; м;
№ qW2 W'2 %
ir * ~Т~' о кинетическая энергий жидкости или скоростной
(динамический) напор, Дж/кг; Па; м.
Пьезометрический напор р может измеряться от полного ваку^
ума р = 0 или, например, от давления окружающей среды Во (см,
рис. 4.10). В первом случае в обеих частях равенства D.56) долж-
должно подставляться абсолютное давление, во втором — избыточное.
Таким образом, начало отсчета энергии произвольно, но должно
быть одинаковым для обеих частей равенства. Для измерения ки-
кинетической энергии используется трубка полного давления, кото-
которая устанавливается в точке измерения открытым концом против
вектора скорости жидкости (см. рис. 4.10). Струйка жидкости, под-
подтекающая к открытому концу трубки, полностью затормаживается
(W = 0) и весь скоростной напор превращается в давление, которое
в сумме со статическим достигает давления торможения р* (Па)
в данной точке, которое называется также полным
Р ~/?+ 2 } D.58)
или
* Потенциальная энергия давления специфическая форма энергии, присущая
только жидкости. Она равна произведению плотности жидкости на работу про-
проталкивания при ее переводе из области pi = 0 в область с давлением р D.54).
Под действием статического давления жидкость поднимается в манометре ста-
статического давления (см. рис. 4.10). При этом энергия давления превращается в
потенциальную энергию положения plpg. Потенциальная энергия давления мо-
может превращаться в кинетическую, расходоваться на совершение внешней рабо-
работы или затрачиваться на преодоление сопротивлений.
** Гидростатический напор в поперечном сечении сохраняет для всех точек
постоянное значение, хотя составляющие его изменяются (см. рис. 4.10).
82
Уровень жидкости в трубке полного давления выше уровня жидко-
жидкости в трубке статического давления на величину .скоростной высо-
высоты W2/2g (см. рис. 4.10). На примере трубки полного давления
прослеживается цепочка превращения кинетической энергии в ло-
тенциальную энергию давления и энергии давления в потенциаль-
потенциальную энергию положения.
Задача 4.15. Вода, как идеальная жидкость, при давлении роо = Ю5 Па со
скоростью №=50 м/с обтекает шар. Определить давление pKi в передней и рК2
•в задней критических точках.
Ответ: /?к1=рк2 = 13,5 • 105 Па.
Энергетический смысл уравнения Бернулли
D.55) ... D.57) заключается в утверждении закона сохранения
полной механической энергии единицы массы несжимаемой жид-
жидкости: а) при потенциальном течении для любой точки простран-
пространства; б) при вихревом — только вдоль вихревой линии, линии тока
и элементарной струйки. Этот закон иногда формируется в виде
теоремы трех высот—в приведенных условиях сумма трех
высот — геометрической, пьезометрической и динамической сохра-
сохраняют неизменное значение [см. уравнение D.57), рис. 4.10]. При
этом составляющие полной энергии могут взаимопревращатьзя.
Следует иметь в виду, что изменение кинетической энергии несжи-
несжимаемой жидкости вдоль элементарной струйки (W22—W{2) не мо-
может задаваться произвольно: в соответствии с *уРавнением нераз-
неразрывности это изменение однозначно определяется изменением пло-
площади поперечного сечения канала W2=WlSifS2.
Течения в горизонтальной струйке имеют большое практическое
значение, так как часто реализуются в системах двигателей и ис-
испытательных установок. Они описываются уравнениями Бернулли
D.47) и D.56) с учетом D.58) при условии z=€onst, т. е.
D.59)
D.60)
Итак, увеличение скорости несжимаемой жидкости в горизон-
горизонтальной* элементарной струйке всегда сопровождается уменьшени-
уменьшением давления, а уменьшение скорости ^-увеличением давления
вплоть до р* при W=0. Поэтому скоростной напор широко исполь-
используется, например, для подачи воды в систему ох'лаждения двигате-
двигателей быстроходных катеров, для разрушения горных пород с по-
помощью водяной струи, а в случае сжимаемой жидкости — для сжа-
сжатия воздуха, поступающего в ВРД в полете и т. д.
В связи с тем, что скорость несжимаемой жидкости может из-
изменяться только вследствие изменения площади сечения, приходим
к важному выводу о том, что картина линий тока при течении не-
несжимаемой жидкости однозначно определяет не только изменение
скорости, но и статического давления: при сгущении линий тока
давление уменьшается, при расширении — увеличивается. Это пра-
правило широко используется при анализе движения жидкости и ее
взаимодействия с телами.
83
Метод определения скорости несжимаемой
жидкости по измерению статического и полного давлений ос*
нован на использовании формулы D.58), из которой имеем
Vх
= i/ 2 ?-=!?-=l/2g-AA*, D.61)
где ДЛ*=А*—- Л=- ?- = w2/2g — скоростная высота.
Qg
Вопрос 4Л6. Во сколько раз необходимо увеличить разность между давле-
давлениями торможения и статическим, чтобы скорость увеличилась в два раза?
Максимальная скорость течения или истечения
несжимаемой жидкости при заданном /?* = const те*
оретически может быть достигнута при истечении в полный вакуум
р = 0. Из D.61) имеем
Vg D. 62)
В этом случае вся потенциальная энергия давления будет превра-
превращена в кинетическую. Получение больших скоростей истечения
жидкости имеет существенное практическое значение. Например,
топливо в камеры сгорания двигателей впрыскивается с большими
скоростями, что обеспечивает необходимое качество смесеобразо*
вания.
Вопрос 4.17. Каково должно быть полное давление р*, чтобы максимальная
теоретическая скорость истечения воды и ртути равнялась 100 и 200 м/с? Какие
высоты столбов воды и ртути соответствуют этим /?*?
Предел применения уравнений неразрывности
и Бернулли. На рис. 4.11 изображен канал, по которому течет
жидкость при постоянстве Sb W^9 р\, qi, /?i*=P2* и при произволь-
произвольно изменяемой площади сечения 2. Казалось бы, что Ит\У2==
Q
= WX—=00. Однако по уравнению Бернулли D.60) при Ц72==оо дав-
ление /?2 — Р\ — —— — должно было бы принять значение ми-
минус бесконечность, что лишено смысла: абсолютное давление не
может быть меньше нуля. Таким образом уравнения неразрывности
и Бернулли справедливы лишь до тех пор, дока минимальное дав-
давление в канале остается большим нуля.
Кавитация. На практике оказывается, что в жидкости дав-
давление, равное нулю, недостижимо. Если давление р2 снижаясь
достигнет давления паров этой жидкости, насыщающих простран-
пространство при данной температуре p2=Pt>0, то начнется процесс обра-
образования пузырьков пара (кипение) и неразрывность течения ка-
капельной жидкости нарушится. Далее смесь капельной жидкости и
пузырьков пара попадает в расширяющийся канал (см. рис. 4.11)^
давление возрастает и пузырьки пара начинают конденсироваться.
Кавитацией называется совокупность процессов образования пу~
84
зырьков пара и их конденсации. Кавитация может возникать не
только в трубопроводах, но и при внешнем обтекании тел в об-
областях, где возрастают местные скорости и уменьшается давление.
Кавитации подвержены быстроходные колеса насосов и турбин и
гребные винты. Конденсация пузырьков пара происходит на твер*
дых поверхностях очень быстро и завершается гидравлическим
ударом, при котором развивается местное ударное давление на
твердые поверхности, достигающее сотен и даже тысяч атмосфер.
Поэтому кавитация сопровождается тряской, шумом, снижением
КПД насосов и турбин, эрози-
эрозией твердых поверхностей, а
иногда и выходом из строя
агрегатов. Обычно работа гид-
гидравлических систем с кавита-
кавитацией не допускается. Для пре-
предотвращения кавитации мини-
минимальное давление жидкости в
системе должно быть больше
давления паров, насыщающих
пространство. Одним из эф-
эффективных способов предот-
предотвращения кавитации является
снижение температуры жидко-
жидкости, что, 'как известно, приво-
приводит к снижению давления паров, насыщающих пространство. На-
Например, вода при 373 К кипит при 105 Па, а при 293 К —при
2,4-103 Ita. При кавитации многокомпонентных жидкостей (керо-
(керосины, бензины и т. д.) вначале вскипают легкие фракции, а затем-
тяжелые, так как /7^ лег.фр>Лтяж.фр. Конденсация происходит в об-
обратном порядке. Для оценки возможности возникновения кавита-
кавитации используется безразмерный критерий — число кавитации
W2',S2
Рис. 4.11. Возникновение кавитации
Величина х подсчитывается для сечения, расположенного на входе
в тот агрегат, где может возникнуть .кавитация. Значение числа
кавитации для входного сечения, при котором возникает кавитация
в агрегате, называется критическим — хкр. При х>хКр гидравличес-
гидравлическое сопротивление агрегата и его КПД не зависят от величины х.
При х<хкр затраты полного напора на преодоление гидравличес-
гидравлического сопротивления, вызванного кавитацией, возрастают с уменьше-
уменьшением х. Явление кавитации используют в навигационных регулято-
регуляторах постоянного расхода. Пусть давление р\ в сечении У.поддер-
У.поддерживается постоянным (см. рис. 4.11), а давление рг уменьшается
за счет открытия крана. При этом р2 будет уменьшаться, а ско-
скорость W2 и расход жидкости G = W2qS2 увеличиваться до тех пор*
пока при p2 = pt в сечении 2 не возникнет кавитация. При дальней-
дальнейшем уменьшении р3 парообразование в сечении 2 интенсифицирую
8S
ется и давление р2 будет оставаться равным ри а расход — автома-
автоматически лоддерживаться постоянным.
Расходомер Вентури используется для определения ско-
скорости и расхода жидкости, для чего измеряются статические дав-
давления р\ и р2 в широком Si и узком S2 сечениях (см. рис. 4.11).
Выразим из уравнения Бернулли D.60) W2, а отношение W\IW2
заменим отношением площадей S2/S1 и получим расчетные форму-
формулы для скорости в узком сечении
Г 2 Pi— Pz _ Г 28Ah
D. 64)
тде Ыъ=-
Qg
При течении газа давления измеряются U-образными пьезометра-
пьезометрами, заполненными жидкостью, плотность которой дп отлична от
плотности протекающего газа (или жидкости) д. В этом случае
формула D.64) будет иметь вид
'2 =
У
Pi — P2
Г
^Формула D.64) не учитывает гидравлические потери в трубке Вен-
Рис. 4.12. Иллюстрация к задаче D.18):
а—струйный насос; б—скоростной наддув ба-
бака; в—обтекание профиля
$6
тури, которые в ней не велики.
Задача 4.18. Используя уравне-
уравнение Бернулли объяснить: а) прин-
принцип работы струйного насоса, в ко-
котором высоконапорный поток d ис-
используется для подачи жидкости G%
из резервуара (рис. 4Л'2, а); б) прин-
принцип наддува топливного самолетного
бака для предотвращения кавитации
в топливной системе при полетах на
большой высоте (рис. 4.Г2,б); в) при-
причину появления подъемной силы
крыла при заданной картине линий
тока (рис. 4.12, в).
Сила взаимодейст-
взаимодействия бесконечно длин-
длинного цилиндра с идеаль-
идеальной несжимаемой жид-
жидкостью при установив-
установившемся поперечном об-
обтекании (см. ршс. 3.10).
Единственной силой при рас-
рассматриваемых условиях может
быть равнодействующая сил
нормальных к поверхности
давлений. Для определения
распределения давления по по-
поверхности цилиндра восполь-
зуемся данными, полученными при кинематическом исследовании*
данного течения (см. п. 3.8). Запишем уравнение Бернулли D.56)
для элементарной струйки, практически совпадающей с нулевой
линией тока. Сечение 1—1 выберем в невозмущенном потоке, где
скорость W\ и давление р\, а текущее сечение — на поверхности
цилиндра. В этом сечении скорость W определяется по формуле
C.62), а давление р является искомым. Пренебрегая изменением
г, получим
W2
p-Pl=Q—1A-4 sin2в). D.65)
В гидрогазодинамике принято выражать изменение давления на
поверхности тела числом скоростных напоров или безразмерным
коэффициентом давления р
D.66)
На рис. 4.13 приведено распределение по (поверхности цилиндра
относительной окружной скорости WufW\ и коэффициента давления
р. В критических точках А и В скорость жидкости равна нулю и
давление равно давлению торможения в невозмущенном потоке
(ji? = l). По мере уменьшения угла 8 скорость увеличивается, а дав-
давление, уменьшается. При 150 и 30° B10 и 330°) скорость и давле-
давление идеальной жидкости на поверхности цилиндра становятся та-
же, как в невозмущенном потоке. При 10 = 90 и 270° давление
кими
снижается ,на при скоростных
невоз^ущенного потока и за
счет этого скорость возрас-
возрастает в два раза.
Парадокс Далам-
бера — Эйлера. В силу
полной симметрии распреде-
распределения давления по поверхно-
поверхности цилиндра равнодейству-
равнодействующая сил давления равна
нулю. Полученный' вывод
называется парадоксом Да-
ламбера — Эйлера: при до-
дозвуковом безотрывном обте-
обтекании тел идеальной жидко-
жидкостью сила лобового сопро-
сопротивления равна нулю: сила
трения отсутствует, а вто-
вторая составляющая — сила
сопротивления давления,
действующая на переднюю
часть шара, уравновешива-
уравновешивается силой давления на кор-
нашора по сравнению с давлением
Теория
210 240 270 300 330 8
Рис. 4.13. Распределение скорости и коэф-
коэффициента давления по поверхности цилинд-
цилиндра:
/—опыт; 2—теория
мовую часть. Парадокс состоит в несоответствии этого
вывода с экспериментальными данными — при обтекании тел ре-
реальными жидкостями всегда возникает сила лобового сопротив-
сопротивления (см. п. 18.2).
4.9. СИЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ИДЕАЛЬНОЙ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ И ЦИЛИНДРОМ
ПРИ ЦИРКУЛЯЦИОННОМ ОБТЕКАНИИ ЕГО.
ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ
Трение между поверхностью цилиндра и идеальной жидкостью
отсутствует. Поэтому сила взаимодействия является равнодейству-
равнодействующей сил давления жидкости на .поверхность цилиндра. Формулы
C.64), C.65) и рис. 3.11, полученные при кинематическом исследо-
исследовании течения (п. 3.9), показывают, что при циркуляционном об-
обтекании цилиндра сохраняется симметрия линий тока' относитель-
относительно оси у, перпендикулярной к вектору скорости невозмущенного
потока Woo. В результате этого симметрично и распределение дав-
давлений относительно оси у и сила лобо!вого сопротивления Rx = 0,
что соответствует парадоксу Даламбера — Эйлера. Симметрия ли-
линий тока относительно оси х при циркуляционном обтекании отсут-
отсутствует. Руководствуясь картиной линий тока и уравнением Бернул-
ли D.59) заключаем, что сила давления на верхнюю поверхность
цилиндра будет меньше, чем на нижнюю. Равнодействующая этих
сил направлена вдоль оси у перпендикулярно к вектору скорости
невозмущенного потока, т. е. является подъемной силой Ry.
Рассчитаем эту силу как сумму элементарных сил давления,
действующих на поверхность цилиндра длиной в один метр, Н/м:
2*
Ry= -J/?sin8rf/, D.67)
где знак минус учитывает, что при sin 0>О сила давления жидко-
жидкости на цилиндр направлена вниз, т. е. отрицательна, а при sin 9<
<0 — вверх, т. е. положительна. Подставляя в D.67) значение
4l = rodQ (см. «рис. 3.11), р = с —Q— из уравнения Бернулли D.55)
ири 2=const, W для нулевой линии тока из C.65) и произведя эле-
элементарные преобразования, найдем
Ry= -cr0 [ sin bdd-\-— [ sin ddd-
о
w г 2те
w г 2те 2%
°°
учитывая, что
2те 2те 2ic
=O, a
получим формулу Жуковского для определения подъемной силы,
Н/м
Ry=-Q..W»r. D.68>
В рассматриваемом случае циркуляция скорости отрицательна я
подъемная сила положительна, т. е. направлена вверх.
Формула Жуковского пригодна для любого контура, обтекаемо-
обтекаемого плоскопараллельным потоком идеальной жидкости. Обычно
знак минус в формуле D.68) опускают, а направление подъемной
силы определяют в соответствии с теоремой Жуковского о
подъемной силе A906 г.), «которую можно сформулировать
следующим образом.
При поперечном циркуляционном обтекании идеальной жидко-
жидкостью бесконечного цилиндра на его участок длиной в один метр
действует подъемная сила (сила Жуковского), перпендикулярная
к вектору скорости невозмущенного потока и равная произведению
плотности тока невозмущенного потока на циркуляцию скорости
околё{ цилиндра. Направление подъемной силы укажет ^вектор ско-
скорости^ невозмущенного потока, если его повернуть на прямой угол
в сторону, обратную направлению циркуляции скорости.
Задача 4.19. Определите зависимость подъемной силы цилиндра от скорости
Woo для условий рис. 3.11 Ответ: /?у='2ягор№А
Движение, аналогичное рассматриваемому, можно наблюдать
при обтекании вращающихся тел реальной жидкостью, так как
вращающиеся тела увлекают вязкую жидкость в циркуляционное
движение (величина циркуляции скорости определяется окружной
скоростью поверхности тела). В этом случае возникновение си-
силы, поперечной к вектору скорости невозмущеннбго потока, назы-
называется эффектом Магнуса. Эффект Магнуса использовался при
создании ротора Флетнера — вертикальной, вращаемой башни, ус-
устанавливаемой на палубе корабля и создающей при ветре силу
тяги, перпендикулярную к направлению ©етра. Аналогично теннис-
теннисные и волейбольные мячи, в зависимости от направления и интен-
интенсивности закрутки, меняют направление полета самым неожидан-
неожиданным образом *.
* При рассмотрении циркуляционного обтекания цилиндра потенциальным
потоком идеальной жидкости величина циркуляции скорости задается произ-
произвольно.
4.10. ПЛОСКОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ
ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Получим дифференциальное уравнение потенциала скорости
для заданных условий. Для этого* уравнение -неразрывности C.18)
запишем в виде
дх ду \ дх ду
Частные производные плотности выразим через частные производ-
производные давления -и скорость звука a2 = dpfdQ, учтя, что для баротроп-
ного течения dQ/dp=dqIdp:
дх dp дх а? дх ' ду dp ду а? ду
Частные производные давления в D.70) заменим их значениями из
уравнений Эйлера D.39), в которых пренебрежем массовыми си-
силами:
дх са \ дх 1 ду ) ду & [ дх ' ду
Подставляя D.71) в D.69) и заменяя по C.43)
да Id у+dv/dx=2дЩдхду,
получим основное дифференциальное уравнение газовой динамики
для плоского потенциального установившегося течения газа ,
(а2 _ U2) ^1 _ 2uv -^+(а* - v2) ^-=0, D.72)
V ; й*2 дхду ~К ду2 к '
позволяющее получить поле скоростей. Если и<^а и v<^a, то урав-
уравнение D.72) переходит в уравнение Лапласа C.45) для несжима-
несжимаемой жидкости. Следовательно, при небольших дозвуковых ско-
скоростях течение газа можно рассматривать как течение несжимае-
несжимаемой жидкости. При W<a D.72) называется уравнением эллипти-
эллиптического типа, при W=a — параболического и при W>a — гипербо-
гиперболического. Метод решения уравнения параболического типа был
предложен С. А. Чаплыгиным в 1896 г. В этой работе были зало-
заложены основы газовой динамики, как самостоятельной науки.
Этот метод в последствии был развит С. А. Христиановичем. Бо-
Более простой, но менее точный метод линеаризации уравнения
D.72) был разработан Л. Прандтлем и английским ученым Глауэ-
ром. Для решения уравнения гиперболического типа используется
метод характеристик.
4.11. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Пять основных уравнений гидрогазодинамики — состояния
A.1), неразрывности C.18) и три уравнения движения D.35) со-
содержат шесть искомых параметров и, v, w, p, q, 7. Шестое — урав-
90
нение энергии необходимо для того, что'бы замкнуть систему основ-
основных уравнений. Используем методику вывода интегрального урав-
уравнения движения (см. п, 4.1, рис. 4.1). Применим закон М. В. Ломо-
Ломоносова * о сохранении и превращении энергии к жидкому объему,
который в момент t занимает контрольный объем III+I и имеет
полную энергию Ег = Ецц + Ец. Пусть за время А/ жидкий объем
переместится в положение / + // и его [полная энергия изменится
до Et+M = Eu+M = E\it+Lt за счет обмена энергией € внешней сре-
средой. Запишем это в виде уравнения закона сохранения энергии для
жидкого объема
Q-L = Et+Lt-Et, ' D.73)
где Q — внешнее тепло, Дж; L — внешняя механическая работа,
Дж.
Уравнение D.73) устанавливает, что количество энергии, кото-
которой жидкий объем обменялся с внешней средой, равно измене-
изменению его полной энергии за тот же период времени.
Правило знаков устанавливается в соответствии с первым зако-
законом термодинамики:
Q>0 — тепло подводится из внешней среды к жидкому объему
и полная энергия его возрастает;
Q<0 — тепло отводится от жидкого объема во внешнюю среду
и полная энергия его уменьшается;
L>0 — работа совершается жидкостью и отводится во внеш-
внешнюю среду, как это, например, происходит в гидравлических или
газовых турбинах. При этом полная энергия жидкого объема
уменьшается;
L<0 — работа подводится к жидкому объему извне, как это
происходит, когда жидкость протекает через насос или компрессор.
При этом полная энергия жидкого объема возрастает.
Работу турбины, насоса, компрессора называют технической
(LTex). Техническая работа может производиться только в том слу-
случае, если жидкость протекает по движущимся каналам (межлопа-
(межлопаточные каналы вращающихся колес лопаточных машин). Понятие
«внешней работы» шире: оно, например, включает работу, которую
может совершать быстротекущая струйка над рядом текущей, ус-
ускоряя ее за счет трения. Эта составляющая работы трения отно-
относится к внешней механической работе, но не к работе трения, как
мы ее привыкли понимать, так как в этом случае она идет на уве-
увеличение кинетической энергии медленно текущей струйки и дисси-
диссипации энергии нет.
В уравнении энергии имеет значение не абсолютная величина
полной энергии, а лишь разность ее значений для двух положений
жидкого объема. Поэтому, в состав полной энергии включают ее
составляющие, которые могут измениться при изучаемом движе-
движении жидкости. Опыты показывают, что к составляющим полной
* Ломоносов JVL В. A711—1765 гг.) впервые высказал основные положения,
законов сохранения материи и энергии, опередив на столетие развитие науки.
91
энергии несжимаемой жидкости D.55), для газов необходимо доба-
добавить внутреннюю энергию u = cvT. Это объясняется тем, что изме-
изменение температуры газа в процессе движения приводит « измене-
изменению плотности, т. е. к совершению работы сжатия или расширения
и изменению составляющих механической энергии.
Следовательно, для газа, Дж:
Интегральное уравнение энергии для контроль-
контрольного объема. Устремим At к сколь угодно малой величине
&t-Hit-*-0. При этом часть жидкого объема It+м совпадает с конт-
контрольным объемом, а тепло и техническая работа примут элемен-
элементарные значения dQ и dLTex *.
Выполним с D.73) этот предельный переход, разделим полу-
полученное уравнение на dt и перейдем к уравнению энергии для конт-
контрольного объема, Дж/с:
^ *-** д D.75)
dt dt д/_>о А*
Рассмотрим более подробно правую часть D.75)
Et+Lt-Et а]ы*п+и-Вн
At д/о
Задача 4.20. Используя D.74), D.75), D.7Б) и рассуждения, связанные с вы-
выводом D.8) и D.9), получите интегральное уравнение энергии (Дж/с) для конт-
контрольного объема в виде
dQ dlrex д С( р
С ( V W2\ Г / Р W2\
-h \j \u + g* + -J; + —) QwndS- )[u + gz+Q+Y) QW*dS' D# 77)
^вых 5вх
• Итак, количество энергии, (которой жидкость, протекающая че-
через контрольный объем, обменивается с внешней средой в единицу
времени, равно изменению полной энергии жидкости, содержащей-
содержащейся в контрольном объеме за тоже время (частная производная по
времени) плюс разность полных энергий секундных расходов жид-
жидкости на выходе из контрольного объема и на входе в него.
Задача 4.21. Перечислите составляющие полной энергии для сжимаемой и
несжимаемой жидкостей.
Задача 4.22. Дайте формулировку закона сохранения энергии для контроль-
контрольного объема при установившемся течении.
* Подчеркнем, что dQ и c?LTex это очень ;малые количества внешнего тепла
и внешней механической-работы, которыми жидкость, протекающая через кант-
рольный объем, обменивается с внешней средой за время dt, но ни в коем слу-
случае не дифференциалы каких-либо функций.
9
-Уравнение энергии для конечного участка эле-
элементарной струйки при установившемся течении
сжимаемой вязкой жидкости. Для установившегося те-
течения первый член правой части D.77) равен -нулю. Для произ-
произвольного участка элементарной струйки 1—2 (см. рис. 4.2) 5ВХ=
=SV SBtAX=S2, суммарная удельная энергия жидкостии-\- ??+——Ь
-\ по сечению элементарной струйки не изменяется и может
быть вынесена за знаки интегралов с индексами 1 и 2 соответст-
соответственно. Оставшиеся интегралы равны расходам жидкости через се-
сечения /—/ и 2—2 и, вследствие стационарности течения, равны
между собой
Обозначим удельное внешнее тепло на участке 1—2 через q= >
Gdt
Дж/кг, а удельную внешнюю работу—через /тех=—I?2L и получим
Gdt
интегральное уравнение энергии для произвольного участка 1—2
элементарной струйки, Дж/кг:
D.79)
Дифференциальное уравнение энергиидля эле-
элементарной струйки. Уменьшим расстояние между сечени-
сечениями 1—2 до бесконечно малой величины, в пределе получим из
D.79) дифференциальное уравнение энергии для элементарной
струйки
? D.80)
4.12. ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
ДЛЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ТЕЧЕНИЯ
В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКЕ
Общее тепло йщъ (Дж/кг), подводимое к газу, движущемуся
или неподвижному, определяется по уравнению п е р в о г о за-
закона термодинамики
D.81)
93
где pdv — работа деформации газа (расширения или сжатия);
du = cvdT— изменение внутренней энергии; dq — внешнее тепло;
dqTV = dlTV>0 — тепло трения.
Работа вязких напряжений или работа трения dlT^>0 затрачи*
вается жидкостью на преодоление гидравлических сопротивле-
сопротивлений — трения, завихрений, ударов и т. д. В дальнейшем, ори отсут-
отсутствии оговорок, мы всегда будем считать, что работа трения пол-
полностью превращается в тепло трения, которое воспринимается той
же жидкостью.
В действительности не вся работа трения превращается в темо
трения: малая доля ее может переходить ,в кинетическую энергию
жидких частиц (см. п. 4.3). Важно, что эта энергия остается внут-
внутри жидкости (как и QTp) и не участвует в обмене <с внешней оре-
дой.
Вычтем из уравнения энергии D.80) уравнение .первого закона
термодинамики D.81), проинтегрируем и получим обобщенное
уравнение Бернулли или уравнение баланса механических энергий,
Дж/кг:
^i^ D.82)
показывающее, что работа проталкивания (сил давления) равна
сумме работ по преодолению гидравлических сопротивлений (/Тр),
технической (/тех) и изменений потенциальной энергии положения
и кинетической энергии направленного движения жидкости.
Уравнения энергии D.73) ... D.80) не содержат в явном виде
работы трения и теплоты трения, а уравнение Бернулли D.82) —
внешней теплоты. Может создаться ошибочное мнение, что эти
уравнения не учитывают всех особенностей течений. В действитель-
действительности эти уравнения справедливы как для течений с внешним теп-
теплом, так и с теплом трения и при их отсутствии. Трение не изменя-
изменяет баланса полных энергий, поэтому не присутствует в явном виде
в уравнениях энергии. Однако в уравнениях энергии трение авто-
автоматически учитывается тем, что взаимопревращение отдельных
составляющих «полной энергии в процессах с гидравлическим со-
сопротивлением и без него, различно. Внешнее тепло в уравнении
Бернулли учитывается при вычислении интеграла работы протал-
проталкивания D.50) ... D.54).
Обобщенное уравнение Барнулли для элементарной струйки
(Дж/кг) несжимаемой жидкости можно записать в следующей
форме
gZl-^.-EL J z=zgz2-\ 1 Ь^тех~"Мтр- D. 83)
Q 2 Q 2
Задача 4.23. Запишите обобщенное уравнение Бернулли и'4.83) так, чтобы
размерность его членов была Па и м.
Вопрос 4.24. Как изменится полная энергия несжимаемой жидкости и газа,
если на участке 1—2 элементарной струйки имеются гидравлические сопротив-
94
ления (/тР!=104 Дж/кг), а техническая работа не совершается? Чем объясняет-
объясняется различие?
Задача 4.25. Определить мощность привода шестеренчатого насоса ТРД
(рис. 4.14), если расход керосина G=2,5 кг/с, Wi = 2 м/с, р = 820 кг/м3, pt =
t=2- 105 Па, р2 = 52- 105 Па, КПД насоса т] = 0,65. Укажите направление враще-
вращения верхней шестерни.
Ответ: Мощность привода 23,5 кВт.
Задача 4.26. Рассчитать мощность Саяно-Шушенской ГЭС, если высота пло-
плотины z=200 м, расход воды в реке Енисее У=3380 м3/с, КПД турбины т]=0,96.
Ответ: N = 6,4- 106 кВт.
Рис. 4.14. Схема шестерен-
шестеренчатого насоса
Рис. 4.15. Иллюстрация к опреде-
определению тепла теплопроводности
4.13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Мысленно выделим в произвольной точке пространства элемен-
элементарный жидкий объем dV=dxdydzf имеющий массу dm=qdV (рис.
4.15). Рассмотрим обмен энергией между элементом и внешней
средой и возможные превращения энергии при движении элемента
за время dt. Прибавим к правой части уравнения D.81) члены
vdp со знаком плюс и минус. Получим уравнение первого закона
термодинамики в форме*
dq + dqrp=di - vdp = CpdT - vdp. D. 84)
Разделим уравнение D.84) на dt ,и умножим на q, учтем, что qv =
= 1, тогда, Дж/(м3-с):
dt
D.85)
т. е. суммарное тепло идет на изменение энтальпии газа и «а ра-
работу проталкивания. Выразим члены левой части D.85) через па-
параметры потока и коэффициенты, характеризующие свойства жид-
жидкости, примем, что частица получает внешнее тепло только за счет
теплопроводности жидкости. Тепловой поток Qx, поступающий че-
* du + pdv + vdp — vdp~du+d(pv) — vdp = di— vdp,
где di=du+d(pv)=CpdT — элементарное изменение энтальпии газа, Дж/кг.
95
рез грань, нормальную к
оси х, определяется по зако-
закону Фурье, Дж/с:
Qx=-\ — dydz, D.86)
дх
где К — коэффициент тепло-
теплопроводности жидкости, за-
зависящий от природы жидко-
жидкости и от температуры,
Цж/(м. с. град); гра-
ох
диент температуры в на-
направлении оси х. Тепло, по-
полученное за счет теплопро-
теплопроводности, равно разности
между теплом, подведен-
подведенным к элементу и отведенным от него (см. рис. 4.15):
е *±-dV= \QX - (Qx+d-Q± dx)] dydz+
dt L V dx /J
Рис. 4.16. Иллюстрация к определению
работы дополнительных вязкостных на-
пряжений
Раскрывая скобки -и деля на dV=dxdydz, получим, Дж/(м3-с):
^^Г = - T:L + TL+^b=~divQ. D.87)
dt \ дх ду dz j
Выражая в D.87) Qx, Qy и Qz по закону Фурье D.86) и полагая
X=const, что допустимо, если изменение температуры в рассматри-
рассматриваемой области невелико, найдем, Дж/(м3/с):
о-^2-=\(—+— 4-— )=ЫТ D 88)
dt \ дх% ду% dz^) * *
При учете зависимости К и Ср от температуры уравнение энергия
существенно усложнится.
Теплота трения. Суммарная работа Q—- вязкостных на-
dt
пряжений — тангенциальных т и дополнительных нормальных сг",
приложенных к элементу жидкости, равна сумме произведений
каждого напряжения на соответствующую проекцию скорости. Ра-
Работа вязкостных напряжений, действующих на грани, перпендику-
перпендикулярные к оси х (рис. 4.16), равна
dlr 1 г " i
dt dxdydz
Раскрывая скобки, опуская члены высшего порядка малости и про-
производя аналогичные выкладки для 1У и /z, найдем, Дж/(м3-с):
D.89)
Q "^ ~
Общая работа сил дополнительных вязкостных напряжений равна
сумме работ вдоль осей х, yf z:
X (хгхи + xzyv + a'zw). D. 90)
Эта работа складывается из двух качественно отличных работ
. D-91)
где Ir — работа равнодействующей вязкостных напряжений. Эта
работа преобразуется в кинетическую энергию элемента и равна
сумме произведений компонентов равнодействующей вязкостных
напряжений D.33) на соответствующие проекции скорости
<4-92>
/тр — работа трения, превращающаяся полностью в тепло трения,
равна разности суммарной работы вязкостных напряжений и рабо-
работы равнодействующей этих напряжений
dqTP dlrp d
ди
iA nO\
D-93)
Заменяя в D.93) т и о" их значениями из D.31) и D.33), получим
теплоту трения, Дж/(м3-с):
Подставляя в D.85) значение Q —— по D.88), получим дифферен-
дифференциальное уравнение энергии, Дж/(м3/с):
4 950 $7
4 р dt dt ^ U*2 <^2 <^2/ dt V J
dq[? •
где q определяется по D. 94).
dt
Дифференциальное уравнение энергии D.95) показывает, что
полное изменение энтальпии газа во времени (полная производ-
производная) равно -сумме работы проталкивания и тепла, .получаемого эле-
элементом за счет теплопроводности и прения. Оно устанавливает
связь между всеми шестью .искомыми параметрами течения и, v, wy
р, q, Т и характеристиками индивидуальной жидкости Ср и X.
Разделив уравнение D.95) на qCp, получим, К/с:
+ ХЛГ + , D.96)
dt qCp dt rJL Cp dt V J
где x = коэффициент температуропроводности, м2/с — пред-
qCp
ставляет отношение тепла, подведенного теплопроводностью в
единицу времени через единицу площади при единичном градиенте
температуры (К) к количеству тепла, необходимому для нагрева-
нагревания единицы объема жидкости на один градус (qCp). Чем больше
%, тем быстрее прогревается жидкость при неустановившемся ре-
режиме и заданном тепловом «потоке, т. е. тем выше «температуро-
«температуропроводность» жидкости.
Задача 4.27. Дать подробную запись всех четырех членов уравнения D.96).
4.14. УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ
Второй закон термодинамики и его уравнение устанавливают
направление протекания самопроизвольных (Процессов: в конечных
изолированных системах самопроизвольные реальные процессы
протекают необратимо, так что приближают систему к состоянию
равновесия, т. е. сопровождаются увеличением энтропии системы.
Для неизолированных систем, участвующих в энергетическом об-
обмене с внешней средой, уравнение второго закона термодинамики
определяет изменение энтропии ds в элементарном процессе,
Дж/(кг-К):
<f !«±p^ D.97)
Проинтегрировав D.97) с использованием уравнения первого за-
закона dq^ =dq+dqTV = du+pdvt получим формулы для расчета из-
изменения энтропии совершенного газа в процессе 1—2 по значению
параметров в состоянии 2 и 1
D.98)
В заключение приведем систему основных уравнений гидрогазо-
гидрогазодинамики.
1. Уравнение неразрывности C.18): ——= — div(QW).
dt
Уравнения количества движения в проекциях на оси координат
D.36) ^
dt Q dx ' 3 dx
3. -^- = r-^--^+vA^+^vA
dt q dy ' 3 dy
dt • Q dz * 3 dz
5. Уравнение энергии D. 96): —=— ^-+хАГ + — И*-.
y F v ; dt qCp dt~K ~ Cp dt
6. Уравнение состояния A.1): p=qRT.
7. Уравнение второго закона термодинамики D.97):
dq + <tyTP
^/5 = .
Т
Эти уравнения описывают самые различные процессы течения
жидкостей, удовлетворяющие условиям, принятым при выводах.
Поэтому они имеют множество решений. Решение (конкретной за-
задачи возможно, если сформулированы условия однозначности, кон«
кретизирующие данную задачу.
Однако, сложность реальных течений жидкостей и, соответст-
соответственно, системы уравнений, приведенной выше, не дает возможности
получить точные решения для большинства задач гидрогазодина-
гидрогазодинамики. В этом случае действительные течения заменяют их упро-
упрощенными моделями, переходят к приближенным численным реше-
решениям уравнений на ЭВМ и к экспериментальным исследованиям1
течений на моделях.
Глава 5
ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ И АНАЛИЗ
РАЗМЕРНОСТЕЙ
При изучении сложных течений жидкостей, как уже отмеча-
отмечалось, большое значение имеет эксперимент. Экспериментальные ис-
следо;ван,ия обычно связаны с большими материальными затрата-
затратами, трудоемки и на натурных объектах часто невыполнимы. Науч-
Научная постановка эксперимента основывается на теории подобия фи-
физических явлений. Эта теория дает возможность осуществить моде-
моделирование, т. е. замену испытания натуры испытанием ее умень-
уменьшенной или увеличенной модели в удобных лабораторных услови-
условиях, обеспечивающих получение применимых к натуре результатов,
например испытание модели самолета ib аэродинамической трубе,
корабля в гидроканале, турбины на холодном газе и т. д. Теория
подобия позволяет при минимальных временных и материальных
затратах получить от единичного эксперимента научный результат,
т. е. результат, распространимый на все подобные .исследуемому
явления. Законы теории подобия всегда применяются при создании
новых конструкций машин и двигателей на базе уже существу-
существующих.
Основными задачами этой теории являются определение необ-
необходимых и достаточных условий подобия модельных и натурных
процессов, правил постановки единичного эксперимента ,и получе-
получение -обобщенных зависимостей, справедливых для всех подобных
процессов.
5.1. ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Физические процессы подобны, если геометрически подобны
системы, в которых они протекают, и в сходственные моменты вре-
времени в сходных точках пространства все однородные размерные
параметры пропорциональны *. Из этого определения следует, что:
1. Подобными могут быть только одинаковые, т. е. однородные
физические процессы, описываемые одними и теми же по форме
* Сходственные моменты времени имеют одинаковое начало отсчета и про-
пропорциональны между собой. В установившихся процессах любые моменты вре-
времени сходственные. Координаты сходственных точек удовлетворяют условию ге-
ометрического подобия: — = —= W(i—2) (см. рис. 5.1). Однородные
z\ yi хг
параметры имеют одинаковый физический смысл и размерность.
100
и содержанию уравнениями. Если аналитическое описание двух
процессов одинаково по форме, но различается по физическому
смыслу, то такие явления .называются аналогичными, например
диффузия 0= ~D—^— и теплопроводность q=—\ .
dn dn
2. Геометрическое подобие системы обязательно для подобия
любых физических процессов. Оно выполняется, если сходственные
элементы располагаются под одинаковыми углами друг к другу и
Рис. 5.1. Геометрически подобные ступени турбины
к векторам скорости набегающего потока и размеры всех сходст-
сходственных элементов отличаются в одинаковое число раз (рис. 5.1):
^2 ^2 У2 Х2 л-»
Ai zx уг xi l l~ h
Ь/B-3), —=....= = 0/A-3),
E.1)
где Ci — константа геометрического подобия или масштаб геомет-
геометрического моделирования. Это положительная безразмер-
безразмерная величина, которая не может быть равна ни нулю, ни еди-
единице.
3. Полное подобие физических процессов означает подобие по-
полей всех однородных величин, т. е. ,в сходственные моменты време-
времени в сходственных точках пространства любой параметр <р2 может
быть получен из однородного параметра первого подобного процес-
процесса ф1 -с помощью преобразования подобия 92 = Cp(i-2) <Pi*
Рассматривая параметры, определяющие протекание гадрога-
зодинамических процессов, заключаем, что условиями подобия их
Я1вляются:
1. Геометрическое подобие E.1).
101
2. Кинетическое подобие или подобие полей скоростей
Щ V2 W2 n U2 W2 п
= = = СИA—2)> =...= = С
III v\ w\ U3 W3
= = = C/
E.2)
3. Динамическое подобие или подобие полей сил, действующих
в жидкости. Выразим пока это подобие как пропорциональность
параметров, входящих в уравнение Навье — Стокса для двух по-
подобных явлений
h г* . Р2 п . Q2
— = О/A—2)» =ЬрA_2), —
h Pi . Qi
E.3)
4. Тепловое подобие или подобие полей температур и тепловых
потоков
7*2 п 42 п ^2 п
— = С>ГA-2); = Cg(i_2); — = СхA-2)>
Ж = СгA-2). E.4)
Таким образом, два подобных процесса отличаются один от
другого только масштабами так, как будто их одноименные пара-
параметры одинаковы, но измерены в различных системах единиц. Зна-
Значит условия однозначности этих процессов одинаковы по форме а
содержанию и подобны, а безразмерные уравнения, описывающие
их протекание, тождественны. Из рассмотрения геометрического
подобия E.1) особенно наглядно видно, что константы подобия не
определяют всю группу подобных процессов (фигур), так как при
переходе к другой паре фигур могут произвольно изменять свог
значение: Сц1-.2)ФС/B-з>?= Сга-з).
Условия, индикаторы и инварианты подобия.
Константы подобия различных параметров могут отличаться по ве-
величине, но не могут выбираться произвольно, а «связаны между собой
уравнением, которое называется условием подобия. Условие подо-
подобия получается в результате преобразования уравнений, связываю-
связывающих параметры, которые определяют протекание подобных процес-
процессов. Получим для примера условие простейшего геометрического
подобия для рабочих лопаток турбины (см. рис. 5.1). Запишем
формулы для подсчета площадей Si = b\h\\ S2 = b2h2. Используем
формулы подобного преобразования E.1) и S2=SiCs(i-2), получим
S\CS(\-2) = bihlC2i A-2)- Сопоставляя это выражение с S\ = bih\, нахо-
находим, что они справедливы только, если
Cs(i-2)=C/(i_2), т. е. при
С5/С?=1. E.5)
102
Аналогичные выкладки для любой другой пары подобных фи-
фигур позволяют сделать вывод о том, что уравнение E.5) связи ме-
между константами справедливо для (всех подобных фигур и являет-
является условием их подобия. Поэтому в E.5) опущены индексы A—2).
Левая часть E.5) называется индикатором подобия. Для подобных
течений индикаторы подобия должны быть равны единице. Под-
Подставляя в E.5) значения констант подобия, найдем, что безразмер-
безразмерное выражение
ь\ ь\ b\ №
сохраняет неизменное (инвариантное) значение для всех фигур,
подобных изображенным на рис. 5.1, и называется инвариантом
или критерием подобия. Следовательно, критерием подобия назы-
называется безразмерный комплекс параметров, характеризующих дан-
данное4 явление. Условия подобия гидрогазодинамических процессов
гораздо сложнее разобранного элементарного геометрического
подобия. Поэтому критерии гидродинамического подобия являются
более сложными безразмерными комплексами, состоящими обычно
из большего числа размерных параметров, характеризующих эти
процессы.
5.2. ТРИ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
Эти теоремы обобщают все сказанное выше и лежат в основе
практического применения теории подобия.
Т е о р е м ,а I. Для подобных процессов индикаторы подобия
равны единице, а одноименные критерии подобия одинаковы. Тео-
Теорема позволяет установить связь между константами подобия и
определить критерии подобия с помощью подобного преобразова-
преобразования уравнений, описывающих подобные процессы.
Теорема II. Решение любого дифференциального уравнения
можно представить в виде обобщенного критериального уравнения,
устанавливающего связь между критериями подобия, полученными
на основании теоремы I или другим 'Способом:
К1 = /(К2, К3 Кя). E.7)
Вид функции f и значения некоторых констант, входящих в нее,
определяются при помощи единичного эксперимента.
Теорема III. Для подобия физических процессов необходимо
и достаточно подобие условий однозначности и равенство одно-
одноименных определяющих независимых критериев подобия. При этом
равенство определяемых критериев подобия обеспечивается авто-
автоматически. Определяющими критериями подобия К2, Кз ••• Krt назы-
называются безразмерные комплексы, 'Составленные из параметров,
входящих в условия однозначности. Определяемым критерием по-
подобия ki называется безразмерный комплекс, включающий опреде-
определяемый в задаче'параметр. Теорема III определяет правила про-
проведения единичного эксперимента и обработки его результатов для
103
того, чтобы их можно было распространить ,на все подобные про-
процессы:
а) при единичном эксперименте необходимо выдерживать одно-
одноименные определяющие критерии подобия такими же, как на на-
натуре:
б) при эксперименте необходимо измерять все параметры, вхо-
входящие в критерии подобия;
в) (результаты эксперимента необходимо представить в безраз-
безразмерном критериальном виде.
Теория подобия и единичный эксперимент дают возможность
решить задачу для всей группы 'подобных процессов.
Критерии подобия разделяются на: а) критерии гидродинами-
гидродинамического подобия, получаемые на основании анализа дифференци-
дифференциального уравнения Навье—Стокса; б) критерии теплового подобия^
получаемые на основании анализа уравнения энергии.
5.3. КРИТЕРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ
На основании первой теоремы подобия получим индикаторы
подобия ,и определяющие критерии гидродинамического подобия.
Для этого запишем дифференциальные уравнения Навье — Стокса
D.35) одномерного течения * для натурного (индексы /) и по-
подобного ему модельного (индексы 2) течений. Полагая, что массо-
массовые силы это силы тяжести, т. е. что X\ = X2=g, получим
; <5-8>
-b?r- <5-9>
Оба течения подобны, поэтому, производя преобразования подобия
E.1), E.2), E.3) и подставляя значения параметров с индексом 2
в уравнение E.9), получим урашение движения, описывающее мо-
модельное течение в параметрах натурного:
Си dui \СиЪ дих r Cp \ dpi , Cfiu 4 д^а\
c7d/i СГ d7i Cfi o7d^ C\ 3Vl dx\
E. 10)
Уравнения E.8) и E.10) справедливы лишь в том случае, если все
безразмерные сомножители членов уравнения E.10) равны друг
другу, т. е. могут быть сокращены. Таким образом, условие гидро-
гидродинамического подобия течений принимает вид
JS fl ??? E.11)
Ct Ct e CQCt Cj
* При такой сокращенной записи в уравнении сохраняются все члены, вы-
выражающие действующие в жидкости силы. Это и обеспечивает получение всех
критериев гидродинамического подобия.
104
Выражение E.11) устанавливает связь между константами подо-
подобия и указывает на подобие полей всех сил, действующих в подоб-
подобных течениях. Действительно, уравнения E.9) и E.10) тождест-
венны, т. е. почленно равны, например ——-—= ——, следова-
тельно: CJCt= (du2/dt2)/(dujdty) — есть отношение локальных сил
инерции модельного и натурного течений, Cu2/Ci — отношение кон-
конвективных сил инерции; Cg — отношение массовых сил; Cp/CQCi—
отношение сил давления; СиС/С? — отношение сил, обусловлен-
обусловленных вязкостью и сжимаемостью модельного и натурного те-
течений.
Итак, в подобных потоках отношения одноименных сил одина-
одинаковы. Для получения индикаторов и критериев подобия все члены
E.11) сравниваются со вторым членом Cu2/Ci:
CJCt = d/Cl и индикатор подобия Cl/(CtCu)=l;
Подставляя в .индикаторы подобия значения констант из E.1),
(S.2), E.3) и учитывая произвольность выбора процессов 1 и 2,
получим следующие определяющие критерии гидродинамического
подобия.
Критерий Струхаля или временной однородности (гомо-
хронности)
E. 12)
где / — характерный размер обтекаемого тела, канала, путь, про-
проходимый частицей за единицу времени; W — характерная скорость
течения жидкости; t — характерное время процесса или время пе-
периода явления, происходящего с частотой n=lft. Критерий Sh ха-
характеризует отношение локальной составляющей силы .инерции к
конвективной составляющей силы инерции. Его можно рассматри-
рассматривать как отношение характерного времени движения частиц жид-
жидкости 1/W к характерному времени t нестационарного или периоди-
периодического процесса. Критерий Струхаля выбывает из числа опреде-
определяющих при исследовании установившегося течения.
Критерий Фруда
Fr = ^- E.13)
характеризует отношение конвективных сил инерции к силам тя-
тяжести в потоке и является определяющим, если силы тяжести ока-
оказывают существенное влияние на движение жидкости. При движе*
нии жидкости в горизонтальной плоскости и при движении газов с
небольшим изменением высоты эти силы пренебрежимо малы и
критерий Фруда выбывает из определяющих. Если движение жидко-
105
сти возникает вследствие свободной конвекции в среде переменной
плотности, то в уравнения Навье —Стокса необходимо добавить
силу Архимеда B.14). В этом случае вместо критерия Фруда в
число определяющих вводится критерий Г р а с г о ф ф а
, E.14)
где р = ——— —коэффициент объемного расширения жидкости;
Qq&T
Qo и q—плотность холодных и напретых частиц среды; ДГ — раз*
ность тем;ператур, вызывающая свободную конвекцию, например
AT = TW—Too.
Критерий Грасгоффа выражает отношение сил Архимеда, вызы-
вызывающих конвекцию, к силам вязкости, препятствующих ей.
Критерий Эйлера
характеризует отношение сил гидродинамического давления и сил
инерции в потоке. В газовой динам.ике критерий Эйлера .представ-
.представляют с помощью выражений для скорости звука а2 = кр/р и числа
Маха M. = W/a в следующем виде Еи=1/(кМ2). Следовательно, в
газовой динамике вместо критерия Эйлера используются два дру-
других критерия: число Пуассона ил,и показатель адиабаты k = Cp/Cv
и число Маха №=W/a, которые характеризуют сжимаемость газа
и в подобных течениях должны быть одинаковы. При исследовании
течений несжимаемой жидкости Ей не является определяющим,
так как в качестве характерного давления вместо р можно принять
скоростной напор qW2/2 и тогда Ей =1/2. Если статическое давле-
давление заменить разностью статических давлений Ар в разных точках
течения, то критерий Эйлера примет вид Еи = Ар/(qW2). В этом ви-
виде критерий Эйлера /применяется при исследовании гидравличес-
гидравлических сопротивлений в каналах как определяемый критерий.
'Критерий Рейнольдса
E.16)
характеризует отношение сил инерции к силам вязкости в потоке.
Итак, все критерии гидродинамического подобия являются ме-
мерой отношений определенных сил, действующих в потоках. Равен-
Равенство односменных критериев в подобных течениях означает, что
отношения соответственных сил в этих течениях одинаковы.
Задача 5.1. Докажите, что уравнение неразрывности C.18) при преобразова-
преобразовании подобия дает только критерий Струхаля.
Аэродинамические коэффициент ы — это безразмер-
безразмерные комплексы, содержащие искомые величины и поэтому являю-
являющиеся определяемыми критериями подобия.
1. Коэффициент лобового сопротивления
с^-г^—' EЛ7)
106
где Rx—сила лобового сопротивления тела; —-—- скоростной
напор невозмущенного потока, Па; 5 — характерная площадь тела,
для шара, например, S = k/?2, для крыла—площадь его в плане
и т. д.
2. Коэффициент подъемной силы
Си= у-к—, E.18)
где Ry — подъемная сила.
3. Коэффициент полной аэродинамической си-
силы
<V=7^a— • E.19)
где %=VR2x-{-RI— полная аэродинамическая сила.
4. Коэффициент давления
E\20)
2
5. Коэффициент сопротивления трения
С/--Г5Я-. E-21)
Характерным для всех аэродинамических коэффициентов явля-
является то, что силы в них отнесены к скоростному напору. Все эти
коэффициенты могут быть получены в результате подобного преоб-
преобразования уравнений, включающих искомые величины. Например,
для получения Сх следует подвергнуть преобразованию подобия
интегральное уравнение количества движения Rx = G(ti2—и\) =
= qWS(u2—щ). Применив разобранную ранее методику, получим
условие подобия, связывающее константы подобия Crx = CQ C2u Csi
CR
индикатор подобия ?—= 1 и вводя произвольный сомножи-
QU
D
тель два — коэффициент лобового сопротивления Сх= \
QW
2
Задача 5.2. Получите коэффициент сопротивления трения С/ с помощью по-
подобного преобразования уравнения Ньютона
du dti
i! = li — -0,499 lvmQ—.
dy dy
107
5.4. КРИТЕРИИ ТЕПЛОВОГО ПОДОБИЯ
Тепловое подобие в потоках осуществляется при выполнении:
1) гидродинамического подобия;
2) 'подобия полей температур;
3) постоянства критериев теплового подобия.
Подобие полей температур при небольших скоростях потока
обеспечивается при постоянстве для подобных потоков температур-
температурного фактора, представляющего отношение соответственных абсо-
абсолютных температур
TJTW E.22)
или, лучше, избыточных температур
bT/bT0 = (T-Tw)/(T»-Tw). E.23)
В этом случае константа температуры может быть представлена
как
При больших скоростях газовых потоков температурным фактором
или температурным критерием является
W 1 — 1 А/
6 = — = 2^—^ = 2——. E.24)
СрАТ0 T^-Tw ATq
В E.22), E.23) и E.24) Г, Гоо, Tw ,и 7^ —температуры в сходст-
сходственных точках невозмущенного потока, поверхности обтекаемого
тела и полная температура невозмущенного потока (см. гл. 11) со-
соответственно. Подобие полей температуры определяет подобие по-
потоков тепла, например, если GW7V)>1, то поток тепла направлен
от жидкости к твердому телу, а если GW7V) <1—от твердого те-
тела к жидкости.
Для получения критериев теплового подобия, основыва-
основываясь на преобразовании подобия уравнения Навье—Стокса, упро-
упрощенно преобразуем уравнения энергии D.96).
Запишем уравнение D.96), сохранив лишь части членов, кото-
которые определяют их размерность. Сомножителями всех этих членов
поставим комплексы из констант подобия, индексами которых яв-
являются размерные параметры, входящие в соответствующие члены:
Ст дТ ¦ СиСс дТ _ ср 1 др .
Ct dt ' Сi дх ~CQCC Ct qCp dt
CuCp \ ftp CyCT ^2f Сfiu -y / du
' CnCc Ci qCp U ~dx~ ~*~ C? Z dx* Cc C\ Cp \ dx
у p у i P
Условие теплового подобия получим приравняв комплексы, состав-
составленные из констант подобия:
Ст _ СиСг __ Ср _ СиСР _ CiC* _ СчСи
Q *" р Q р * р *
108
Равенство второго и шестого членов E.25) дает индикатор подобия
=1 и критерий — = —.Равенство второ-
к F СЬТ 1\Р Re -
1 и критерий
СССТ CtCu к F СРЬТО 1\Р„ Re
го и четвертого членов E.25) дает индикатор подобия
С2 W2
X —=1 и критерий —?= -— = ?6. Равенство первого и
СсС Q^l CAT
р
второго, а также третьего и четвертого членов E. 24) дают инди-
катор —1— = \ и критерий Струхаля Sh = » т. е. во всех этих
С(Си Wt
случаях мы не получаем новых независимых критериев Подобия.
Критерий Фурье или критерий те-плов ой гомо-
хронности
Fo=-^- E.26)
получается в результате сравнения первого и пятого членов E.25)
и характеризует отношение тепла, переносимого теплопровод-
теплопроводностью, к изменению энтальпии за счет нестац-ионариости процес-
процесса. Критерий Фурье является определяющим при исследовании не-
неустановившихся процессов теплообмена.
Кр итерийПекле
Ре=—. E.27)
X
получается в результате сравнения второго и пятого членов E.25)
и характеризует отношение конвективного переноса энтальпии к
теплу, передаваемому молекулярной теплопроводностью.
Критерий Прандтля
Рг=—=— E.28)
Re г
удобен тем, что составлен только из физических констант v и %У
характеризующих интенсивность молекулярного переноса коли-
количества движения и тепла. Постоянство критерия Прандтля необхо-
необходимо выполнять в процессах течения жидкости, сопровождающихся
передачей тепла. Величина критерия Рг определяется природой
жидкости, ее агрегатным состоянием и температурой (табл. 5.1).
Определяемые критерии теплового подобия получаются в курсах
теплопередачи и используются при расчетах теплообмена в по-
потоках.
Итак, на основании первой теоремы подобия получены следую-
следующие определяющие критерии подобия: Sh = l/(Wt)\ N[ = W/a; к =
C/C lE /(W*)]F Wyl) G WT/*) R Wl
Fo=Xt/P; Pr = —;
x
* В скобках приведены критерии, заменяющие предыдущие. Например, в
критериальном уравнении могут быть либо Re и Рг, либо Re и Ре.
109
Таблица 5.1
Жидкость
Одноатомный газ
Двухатомный газ
Трехатомный газ
Четырех- и более
атомный газ
Ртуть
Ртуть
Жидкий калий
Вода
Вода
Масло
т, к
288
288
288
288
330
773
373
273
323
273
Рг
0,67
0,73
0,80
1,00
0,03
0,008
0,008
13,7
3,6
500,0
Примечания
Для газов Rr^l, v«%. Механизм моле-
молекулярного переноса количества движения
и тепла практически одинаков — тепловое
хаотическое движение молекул. Соблюда-
Соблюдается подобие полей скорости и температу-
температуры. Рг слабо зависит от температуры и
давления
Для жидких .металлов Рг-Cl, v<^%. Тре-
Трение обусловлено взаимодействием моле-
молекул, а теплопроводность — движением сво-
свободных электронов, их большое количество
движется с большими скоростями. Подобия
полей скоростей и температур нет
Для жидкостей Рг>1, v>x. Трение
обусловлено взаимодействием молекул, а
теплопроводность — хаотическим тепловым
движением молекул, интенсивность которо-
которого мала. Подобия полей скоростей и темпе-
температур нет
При исследовании молекулярной диффузии попользуется к р и-
терий Шмидта Sc=v/A который иначе называется диффу-
диффузионным критерием Прандтля PrA = v/?> и представляет от-
отношение молекулярного коэффициента кинематической вязкости vk
молекулярному коэффициенту диффузии D.
Определяющие параметры для подсчета критериев, могут выби-
выбираться .в известной степени произвольно, но обязательно одинако-
одинаково для всех сравниваемых подобных процессов. Обычно за опреде-
определяющие выбираются параметры, задаваемые условиями однознач-
однозначности и легко определяемые в эксперименте. От выбора определя-
определяющих параметров зависит величина критериев подобия, поэтому
их выбор всегда оговаривается или отмечается соответствующими
индексами при критериях.
5.5. СОСТАВЛЕНИЕ КРИТЕРИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
На основании второй теоремы подобия составим обобщенное
критериальное уравнение, например, для группы подобных процес-
процессов, для которых определяемым критерием подобия является коэф-
коэффициент лобового сопротивления
Cr=/(Sh, Fo, Fr, М, к, Re, Tw/T», Рг).
E.29)
Как уже указывалось, вид функции / определяется с помощью
единичного подобного эксперимента, выполняемого при одинаковых
с .натурой всех одноименных определяющих критериях .подобия.
Такое подобие называется полным. Исследования показывают, что
,110
полное подобие, т. е. полное моделирование сложных явлений не
выполнимо — оно приводит к тождественности течений. Это обсто-
обстоятельство не препятствует .применению теории подобия, та»к как
для практики достаточно выполнение приближенного или
частичного 'подобия. При частичном моделировании доби-
добиваются, чтобы для натуры и модели были бы одинаковы только те
определяющие критерии подобия, которые в исследуемой области
течения существенно влияют на величину определяемого критерия.
Критерии подобия, которые слабо или совсем не влияют в данной
области на определяемый критерий, называются неопределя ю-
щ.ими и исключаются из критериального уравнения. Неопределя-
Неопределяющие критерии выявляют на основании условий однозначности за-
задачи, оценки относительной величины членов уравнений, описыва-
описывающих процесс, экспериментальных данных. Области значений дан-
данного определяющего критерия, в которых его изменение не влияет
на величину определяемого критерия, называются автомодель-
автомодельными — .подобие выполняется автоматически при любых значени-
значениях этого критерия. Например, часто можно .пренебречь нестабиль-
нестабильностью процесса и исключить из E.29) критерии Струхаля Sh и
Фурье Fo; при изотермическом течении — температурный фактор
(TooJTw) и число Прандтля Рг; при исследовании течений несжи-
несжимаемой жидкости — числа Пуассона к и Маха М и обобщенное
критериальное уравнение существенно упрощается
C,=/(FrRe). E.30)
Условие FrM = FrH и ReM = ReH для уменьшенной в Сг раз модели
удовлетворить невозможно: первое требует уменьшения скорости
обтекания модели WM=WK']/Ciy второе — увеличения WM=WH/C[.
Для разрешения этого противоречия приходится либо проводить
модельный опыт с использованием жидкости, свойства которой
определяются из равенств критериев подобия и величины Ci, либо
вводить дополнительные ограничения в условия однозначности, су-
сужая группу подобных процессов. Например, сопротивление кораб-
корабля плохообтекаемой формы проявляется в образовании тяжелых
волн на поверхности воды и называется волновым. Для таких ко-
кораблей сопротивление трения не играет существенной роли и кри-
критерий Рейнольдса выбывает из определяющих и .при испытании мо-
модели корабля в гидроканале необходимо выполнять только равен-
равенство критериев Фруда. Корабль на подводных крыльях при движе-
движении не поднимает волн и его сопротивление есть только сопротив-
сопротивление трения. Критерий Фруда выбывает из определяющих и при
моделировании необходимо выдерживать постоянство чисел Рей-
Рейнольдса.
Для процессов обтекания тел воздухом критерий Фруда выбы-
выбывает из определяющих. При малых скоростях полета самолета
M<S 1 —сжимаемость воздуха не проявляется и число М также вы-
выбывает из определяющих и критериальное уравнение принимает
вид Cx=/(Re). При испытании в аэродинамической трубе умень-
уменьшенной модели самолета выполнение условия ReM = ReH приводит,
Ш
как уже указывалось, к увеличению скорости воздуха Wu =
что может привести при обтекании модели к существенному увели-
увеличению числа М и нарушению подобия условий однозначности
{М<С1). Чтобы исключить такую возможность, создают дозвуко-
дозвуковые трубы большего размера, обеспечивающие испытания натуры,
либо используют дозвуковые трубы замкнутого типа, в которых
циркулирует воздух высокого давления и плотности.
Вопрос 5.3. Почему повышение давления воздуха в аэродинамической трубе
позволяет уменьшить размер модели?
10~12 4 6810° 2 4 6810 2 4 6 8102 2 Ч 68103 2 4 68104 2 4 68Ю52 4 6 Re
Рис. 5.2. Зависимость коэффициента сопротивления шара от числа Рей-
нольдса:
/—по формуле Стокса [см. формулу G.38)]; 2—экспериментальные данные разных ав-
авторов
Часто наблюдаются автомодельные области и в отношении от-
отдельных параметров. Например, полнота сгорания топлива в каме-
камерах сгорания ВРД не зависит от давления при р>5-104 Па. Это
позволяет производить доводку камер сгорания на установках при
давлении воздуха /?^5-104 Па, т. е. при расходе воздуха и топли-
топлива в 40 раз меньшем, чем на натуре, работающей при давлении
20...25-105 Па.
Пре,имущество критериального уравнения. Кри-
Критериев лодобия всегда меньше, чем размерных параметров, опреде-
определяющих процесс. Если уравнение Cx = f (Re) представить в виде
Cx=f(W, Dy (ы, q), то для исследования этой зависимости потребу-
потребуется не единичный эксперимент, а огромное их число: первая се-
серия— Cx=f{W) при постоянных D, \i, q; вторая серия — Cx = f(D)
при постоянных W, \x, q; третья серия— Cx=f(\i) при постоянных
W, D, q; четвертая серия — Сх=р(д) при постоянных W, D, \х. Обоб-
.112
щить результаты этих опытов, не прибегая к критериям подобия,
невозможно. Теория подобия указывает, что нет надобности изу-
изучать зависимость Сх от каждого параметра, так как величина Сл
зависит не от каждого отдельного параметра, а от их безразмер-
безразмерной комбинации Re—- независимо»от того, по какой причине
величина этой комбинации изменяется. Графически результаты
единичного опыта представляются также в безразмерной крите-
критериальной форме. Это обеспечивает удобство использования этих
данных для расчета всех .подобных течений. В настоящее (Время
имеются обширные экспериментальные данные для многих групп
подобных процессов. Пример — экспериментальные данные, при-
приведенные на рис. 5.2. Характерно, что эти данные справедливы для
любых сочетаний W, D, jx, q (анализ графика см. п. 18.2).
Задача 5.4. Определить силу тяги R, необходимую для горизонтального по-
полета аэростата DH=\Q м со скоростью Wn = 20 м/с на высотах #i = 0 и Я2 =
= 20 км.
Ответ: /?i = 2520 Н, Я2=630 Н.
5.6. ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТЕЙ
Анализ размерностей параметров, определяющих процесс, явля-
является единственным методом определения критериев подобия и
обобщенного критериального уравнения для сложных явлений, ма-
математическое описание которых отсутствует. Дальнейшее примене-
применение теоремы III и эксперимента дает возможность придать крите-
критериальному уравнению конкретную форму.
Анализ размерностей основывается на не требующем доказа-
доказательства положении о том, что размерность всех членов одного и
того же уравнения всегда одинакова. Следовательно, любое физи-
физическое уравнение может быть написано в безразмерном виде. Для
этого его следует разделить на один из членов. Для применения
анализа размерностей необходимо знать все параметры, которые
существенно влияют на развитие процесса, т. е. на величину опре-
определяемого критерия подобия. Метод анализа размерностей менее
надежен, чем метод подобного преобразования уравнений, так как
при его использовании легко упустить из вида какой-либо опреде-
определяющий параметр. Уменьшить вероятность ошибки позволяет «я-
теорема»: если определяемый критерий подобия зависит от п
размерных параметров, размерности которых составлены из к не-
независимых единиц, то этот критерий всегда можно выразить через
п = п—к безразмерных критериев подобия, составленных из раз-
различных комбинаций размерных параметров.
Если /г^к, то систему определяющих параметров нельзя при-
привести к безразмерным критериям. Такая система называется не-
неполной. При применении теории размерностей необходимо прове-
проверить полноту системы (/г>к), выявляя для этого все определяю-
определяющие параметры. Однако, даже формально, полная система может
все же оказаться ошибочной с физической точки зрения, если бу-
будут упрощены некоторые из определяющих параметров.
113
Задача 5.5. Определить коэффициент лобового сопротивления Сх для твер-
твердых тел в стационарном потоке несжимаемой жидкости.
Решение: il. Составление списка физических параметров, определяющих Сх.
На основании наблюдений заключаем, что при малых числах М,, Сх зависит ог
плотности жидкости р [кг/ил3], скорости невозмущенного потока W [м/с], линей-
линейного размера тела / [м], вязкости жидкости \х [кг/(м ¦ с)].
2. Проверка полноты системы. Число определяющих параметров /1 = 4, ко-
количества независимых размерностей к = 3 кг, м, с. Система полная, jt=/i=
= к=1 и Сх является функцией одного безразмерного критерия подобия, сос-
составленного из р, W, I, \х. Запишем это условие в общем виде
Cx=f(Q*W6, 1\ f). E.31>
3. Определение критерия подобия. Используем условие равенства размернос-
размерностей левой и правой частей 05.31),*т. е. [Сх]=[р]а[№]бМв[|л]г, в которое под-
подставим размерности физических параметров и учтем, что Сх безразмерная ве-
величина юг° • м10- со=[кг/|м3]а[м:/с]б[м]в[кг/м • с]г. Приравняем показатели степени
кг, м и с для левой и правой частей этого равенства и получим для
кг—О = а+г; м—0 = — За+ 6+в—г; с—О=—б—г. E.32)
Три уравнения, а неизвестных четыре. Поэтому выразим все неизвестные череэ
а, тогда г=—а; б = а; в = а. Подставляя эти значения в E.31) получим Сх =
= /(Rea). He уменьшая общности, положим а=1, так как любая степень безраз-
безразмерной величины есть также безразмерная величина, т. е.
E.33)
Применяя анализ размерностей мы получили такой же результат, как и при
применении теории подобия.
4. Проведение единичного эксперимента для определения явного вида /(Re).
Если бы тело обтекал газ с большим числом М, полученная зависимость
Cx = f(Re) была бы ошибочной, несмотря на формальную полноту системы
определяющих размерных параметров. В эту систему необходимо добавить ста-
статическое давление и зависимость приняла бы вид Cx=/(Re, M).
Критериальные уравнения часто имеют более простую форму Cx = CReaM6,
где с, а, б определяются в единичном эксперименте.
Глава 6
РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
6.1. ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ
В ТУРБУЛЕНТНОЕ
Английский физик О. Рейнольде в 1883 г. доказал существова-
существование двух качественно различных режимов течения жидкостей в тру-
трубах— ламинарного и турбулентного. Рассмотрим опыт Рейнольдса
(рис. 6.1). Прозрачная жидкость вытекает из бака постоянного
уровня 1 по стеклянной трубке 2. Струйка той же, но подкрашен-
подкрашенной жидкости подается из бачка 4 для визуализации характера те-
течения основной жидкости в трубке 2. При открытии крана 3 сред-
средняя скорость жидкости W, а вместе с ней и число Рейнольдса
Ке=- возрастают, но до определенных величин, названных
критическими WK? и ReKP—(- ) , подкрашенная жидкость те-
чет на всей длине трубки 2 в виде резко очерченной цилиндри-
цилиндрической струйки параллельно стенкам, не смешиваясь с основной
жидкостью. Этот спокойный режим течения в виде несмешиваю-
щихся слоев жидкости, при котором картина линий тока определя-
определяется только формой канала, называется ламинарным или слоистым.
На направленное ламинарное течение наложено хаотическое теп-
тепло-вое движение молекул и перенос всех субстанций поперек пото-
потока из слоя в слой имеет чисто молекулярный механизм. Молеку-
Молекулярная диффузия подкрашенной жидкости в соседние слои проис-
происходит так медленно, что на конечной длине трубки 2 ее результат
не заметен.
Пр.и сверхкритических значениях скорости и числа Рейнольдса
струйка подкрашенной жидкости полностью перемешивается с ос-
основной жидкостью на малом расстоянии от места подачи и весь
основной поток равномерно окрашивается. Так как переход к та-
такому течению происходит внезапно, то ясно, что при этом ламинар-
ламинарный режим течения сменяется качественно отличным режимом с
мощным переносом вещества (подкрашенной жидкости) от слоя к
слою поперек .потока (рис. 6.1,6). Этот режим беспорядочного бур-
бурного течения называется турбулентным. Опыты показывают, что
переход от ламинарного режима течения к турбулентному сопро-
сопровождается аналогичной интенсификацией теплопередачи между
слоями жидкости и жидкостью и стенками трубы и увеличением
потерь на трение, т. е. интенсификацией поперечного переноса ко-
115
личества движения. Эти эффекты настолько существенны, что ис-
используются для определения момента смены режимов *.
Итак, турбулентный режим течения отличается от ламинарного
резкой интенсификацией переноса всех субстанций: вещества
-к
Струйка подкрашенной
жидкости
w
Рис. 6.1. Иллюстрация к опыту Рейнольдса:
а—ламинарное течение; б—то же турбулентное; в—то же переходное;
1—бак постоянного уровня; 2—трубка; 3—края; 4—'бачок
(диффузия), тепла (теплопроводность) и количества движения
(трение). Этот перенос называется турбулентным в отличие от мо-
молекулярного при ламинарном течении.
Закон Рейнольдса о подобии режимов течения.
На основании опытов при различных |х, q, W, d Рейнольде устано-
установил, что переход от ламинарного течения к турбулентному не опре-
определяется величиной какого-либо одного из этих параметров вне
связи с другими. Согласно закону подобия переход от ламинарно-
ламинарного режима течения к турбулентному всегда происходит при при-
примерно одинаковом критическом числе Рейнольдса при произволь-
произвольной величине каждого параметра в отдельности. Для круглых труб
в обычных условиях
2300.
F.1)
/кр
Течения при Re<ReKp ламинарны и подобны между собой, а при
Re>ReKP — турбулентны и также между собой подобны. Значение
ReKP в сильной степени зависит от велич.ины случайных возмуще-
возмущений потока в трубе: тряска, неровности ошверхности стенок трубы,
поперечные конвективные токи, вызванные нагревом, плохообтека-
емые предметы в потоке, изменение формы и размеров канала и
* Критерий Пекле Pe = PrRe, поэтому при Pr = const критическому числу
Рейнольдса должно соответствовать критическое число Пекле, при переходе че-
через которое будет резко изменяться перенос тепла.
116
т. д. Тщательным уменьшением возмущений ряду исследователей
удалось затянуть переход ламинарного течения в турбулентное да
ReKp = 40000 .и, по-видимому, это не является пределом. При Re^>
3>23О0 ламинарный режим оказывается крайне неустойчивым и
малейшее возмущение приводит к бурной турбулизации потока.
Если после этого плавно уменьшать число Re, уменьшая, напри-
например, скорость, то обратный переход турбулентного режима в лами-
ламинарный произойдет в области Re«23O0. Это явление называется
гистерезисом. Авиационные и другие промышленные трубопроводы
работают в условиях тряски и возмущений, поэтому можно быть
уверенным, что в них при Re»4000 течение будет иметь полностью-
развитой турбулентный характер. При числах Re<2000 даже са-
самые сильные возмущения потока со временем сами затухают и:
всегда существует устойчивое ламинарное течение.
В области критического числа Рейнольдса имеется узкая об-
область, в которой течение является переходным, называемым пере-
перемежающимся (см. рис. 6.1,в). На этом режиме ламинарное и тур-
турбулентное течение хаотически во времени перемежаются. Это тече-
течение характеризуется коэффициентом перемежаемости у, указываю-
указывающим долю времени, занятую турбулентным течением в данной точ-
точке потока: если y=1—течение только турбулентное, если y = 0 —
чисто ламинарное. Перемежающееся течение имеет место в узкой
области чисел Рейнольдса и менее всего исследовано. Поэтому &
обычных расчетах принимают, что при ReKp ламинарный режим те-
течения сразу переходит в турбулентный.
Увеличение ReKp при уменьшении возмущений и внезапность
перехода ламинарного течения в турбулентное и наоборот показы-
показывает, что эти переходы -связаны с потерей устойчивости одного ре-
режима и приобретением устойчивости другим.
6.2. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАМИНАРНОГО
ТЕЧЕНИЯ
Разобьем ламинарный поток, текущий около стенки на беско-
бесконечно тонкие слои и представим, что скорость от слоя к слою из-
изменяется ступенчато (рмс. 6.2). Пусть изменение скорости AW от
«медленного» слоя М к «быстрому» — Б пропорционально скорости
невозмущенного потока AW=kW. Поверхность соприкосновения
слоев, на которой скорость изменяется скачкообразно, называется
поверхностью тангенциального разрыва скорости. Устойчивость ла-
ламинарного режима течения определяется устойчивостью этой по-
поверхности. Относительность движения позволяет представить слой
М неподвижным, а слой Б движущимся со скоростью kW (рис.
6.2,а). Пусть случайное возмущение искривило поверхность тан-
тангенциального разрыва скорости. В сечениях 2 и 4, из-за уменьше-
уменьшения площади, скорость в струйке Б возрастет, а давление станет
меньше давления р в неподвижном слое М. В сечении 3 давление
в слое Б повысится. Так возникнут силы избыточного давления
Ар, направленные перпендикулярно к вектору скорости невозму-
117
щенного движения жидкости, усиливающие случайное возму-
возмущение. Для определения Ар при условии q = const составим для
участка /—2 струйки Б уравнение неразрывности kWS = W2S2 и
т, , q(kWJ . Щ
уравнение Бернулли Р+ = Р2~
но, найдем
Решая их совмест-
совместQW2
Рис. 6.2. Потеря устойчивости ла-
ламинарного течения:
а—случайное возмущение; б—развитие
случайного возмущения; в—турбулент-
в—турбулентное движение
F.2)
xWWWWWч\\\\\\\\\\\\\\\\\х tit
12 3 4
Как видим, силы Ар пропорциональны силам инерции жидкости
— Q—— . В дальнейшем будем называть силы Ар просто силами
инерции.
Итак, случайные возмущения ламинарного течения приводят
к возникновению сил инерции (Ар), усиливающих эти возмуще-
возмущения— встречные движения масс жидкости поперек потока. Силы
трения препятствуют развитию возмущений, т. е. способствуют
сохранению ламинарного течения. Ламинарный режим или поверх-
поверхности раздела между слоями устойчивы, когда силы трения намно-
намного превышают силы инерции, т. е. при небольших значениях чисел
Рейнольдса *. Ламинарный режим не устойчив и при наличии слу-
случайного возмущения переходит в турбулентный, если силы инерции
существенно превышают -силы.трения, т. е. при больших значениях
чисел Re. В этом случае случайное возмущение усиливается (рис.
6.2,6) вплоть до полного разрыва поверхности между слоями, ког-
когда конечные объемы жидкости самых различных размеров хаоти-
хаотически перебрасываются из одного слоя в другой, обмениваясь ве-
* В п. 5.3 доказано, что число Рейнольдса характеризует отношение сил
инерции к силам трения в течении. Это можно показать и так:
W qW% силы инерции
W [х (W/d) силы трения
118
ществом, количеством движения и теплом. Траектории частиц жид-
жидкости при турбулентном движении не определяются стенками кана-
канала, а чрезвычайно перепутаны и извилисты. Конечные объемы,,
участвующие в турбулентном перемешивании, называются моля-
молями жидкости (рис. 6.2,8).
Необходимым и достаточным условием возникновения устойчи-
устойчивого (развитого) турбулентного течения является: 1) наличие гра-
градиента скорости dW/dy\ 2) .наличие случайных возмущений в пото-
потоке; 3) превышение сил инерции над силами вязкости, т. е. Re>
>Re
RKp
Задача 6.1. Определить режим течения керосина р=820 кг/м3, 7 = 310 К
[х (по рис. 1.3), G=l,2 кг/с в трубе d=0,03 м топливной системы ТРД.
Ответ: Re=5,3 • 104>ReKp-—течение турбулентное. Олределить диаметр тру-
трубы а, при котором течение будет ламинарным.
6.3. ПУЛЬСАЦИОННОЕИ ОСРЕДНЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
Безынерционные измерения с помощью термоанемометра в фик-
фиксированной точке турбулентного движения показывают, что ско-
скорость не остается неизменной во времени, а непрерывно с большой
частотой E... 105 Гц) хаотичес-
хаотически изменяется или пульсирует по
величине и направлению около
некоторого среднего значения
(рис. 6.3). Пульсации скорости
являются результатом хаотичес-
хаотического пульсационного движения
молей жидкости. Это движение
вызывает аналогичные пульсации
всех параметров потока —давле-
—давления, температуры; в сжимаемой
жидкости — плотности, в неодно-
неоднородной — концентрации. Эти
пульсации можно представить
аналогично пульсациям скорости
(см. рис. 6.3). Пульсация пара-
параметров является самым харак-
характерным свойством турбулентного
течения.
Ламинарное течение сплошной
среды может быть как неустано-
неустановившимся, так и установившимся.
Рис. 6.3. Истинная, пульсацион-
ная и осредненная скорости
Турбулентное течение сплошной среды является принципиальна
неустановившимся хаотическим течением. Система основных диф-
дифференциальных уравнений (см. гл. 4), описывающая распределение
истинных или мгновенных значений и, v, w, p, T, q в потоке, спра-
справедлива как для ламинарного, так и для турбулентного течений.
Для многих случаев ламинарного течения существуют методы ин-
интегрирования этих уравнений. Турбулентное движение настолько
сложно, что пока не удается даже записать условия однозначно-
сти ни для одной из задач и, следовательно, проинтегрировать ос-
основные дифференциальные уравнения и определить поля истин-
истинных параметров. Для решения большинства практических задач
нет необходимости изучать изменение истинных параметров жид-
жидкости в турбулентных течениях.
В современных теориях турбулентное течение представляется
как хаотическое движение молей жидкости, наложенное на главное
направленное движение жидкости с некоторой средней скоростью
и средними параметрами *. При исследовании турбулентных тече-
течений в большинстве случаев изучается изменение этих средних па-
параметров, представляющих для практики наибольший интерес.
В этом изучении существенная роль отводится эксперименту и те-
теории подобия.
Разложим турбулентное течение на осредненное по времени
и пульсационное. Обозначим истинное значение х — составляющей
скорости в точке А в момент /, через и, ооредненное во времени —
через гг, .и пульсационную составляющую — через и' (см. рис. 6.3).
Вводя аналогичные обозначения для других параметров, получим
Параметры осредняются во времени в заданной точке пространст-
пространства, например
'o+'i to+t1
п=— \ udi\ р = — \ pdt. F.4)
to t0
Турбулентное течение называется квазиустановившимся или уста-
повившимся по осредненным параметрам, если эсти параметры не
изменяются .во времени в любой точке турбулентного течения. Мы
будем рассматривать только квазиустаноадвшиеся турбулентные
течения (см. рис. 6.3). В этом случае турбулентное течение может
рассматриваться как «слоистое» со- своей постоянной средней ско-
скоростью в каждом слое. Средние значения скорости, давления и
температуры в заданной точке такого течения измеряются датчи-
датчиками, обладающими достаточной инерционностью.
Минимальная величина интервала осреднения t\ в формуле
F.4) такова, что при его увеличении значение осредняемой величи-
величины не изменяется (см. р.ис. 6.3). В этом случае осредненные по
времени значения пульсационных составляющих по определению
будут равны нулю
и' = 0; v' = 0; w' = 0; /J' = 0; f' = 0; c' = 0. F.5)
Если для характеристики турбулентного течения указываются
определенные значения пульсационных скоростей и', v\ w\ то под
* Хаотическое движение молей как капельной жидкости, так и газов, упо-
уподобляется тепловому хаотическому движению молекул газов. Поэтому характе-
характеристики этих двух движений схожи по смыслу и названию.
120
этим понимаются среднеквадратичные значения этих величин, на-
например
/ ~ц+71
tt'=l/tf'2=1/ J. V {u,')*di. F.6)
г— Г . <• + '.
Обычно пульсации составляют сотые доли от среднего значения
скорости, но (влияние их на осредненное течение очень велико. Она
проявляется как бы в увеличении вязкости осредненного движения
по сравнению с молекулярной вязкостью. Эта дополнительная или
кажущаяся вязкость ил,и кажущиеся турбулентные напряжения
являются основными понятиями всех современных теорий турбу-
турбулентности. Термин «.кажущиеся» отражает инерционный условный
характер турбулентных напряжений.
В дальнейшем будем употреблять следующие формулы осред-
осреднения параметров во времени (для примера взяты параметры и
и v):
dt dt
F.7)
F.8)
Однако, осредненные значения произведений пульсационных сос-
составляющих могут быть не равны нулю
u'v' фО, {и'Jф0; и'Т'фО и т. д. F.9)
В этом случае между пульсациями существует корреляция (связь).
Именно наличие корреляции между пульсациями приводит к до-
дополнительной вязкости в турбулентном потоке.
6.4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ (КАЖУЩИЕСЯ)
ТУРБУЛЕНТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Задача состоит в получении формул для определения дополни-
дополнительных турбулентных напряжений и установлении зависимости
их от О'Средненных параметров турбулентного течения, а также
в составлении системы дифференциальных уравнений, которым
удовлетворяли бы осредненные параметры и, для которых возмож-
возможно составить условия однозначности.
Рассмотрим квазиустановившееся турбулентное движение не-
несжимаемой вязкой жидкости при отсутствии массовых сил. Пол-
Полная система уравнений в этом случае состоит из уравнений нераз-
неразрывности C.19) л Навье—Стокса D.35). Из уравнения D.35) ис-
исключим равные нулю массовые силы (X=Y=Z = 0) и члены, учи-
учитывающие сжимаемость жидкости (div W=0). Левые части этих
уравнений преобразуем с помощью уравнения C.19) и получим
121
•Г—+
[dt ^
<[—+
I dt
Q
dt
dx
d(vu)
dx
d(wa)
dx
d(uv)
~ dy
d(uw)
~dz~
1=_
dy
dz ]
_dp_
dx
dy
J
F. 10)
Подставим в уравнения C.19) и D.10) вместо давления .и компо-
компонента скорости их выражения через осредненные значения л пуль-
пульсации по F.3) и осредним по времени каждый член. Осреднение
C.19) с учетом du'/dx = dv'/dy = dw'/dz=O показывает, что
дп/дх-^dv/dy+dw/dz = 0, ' F.11)
т. е. что уравнению неразрывности турбулентного течения несжи-
несжимаемой жидкости удовлетворяют истинные, ооредненные и дульса-
ционные компоненты скорости. Осреднение членов уравнений дви-
движения F.10), квадратичных относительно осредненных скоростей
типа п29пг? не изменит этих членов, так как в соответствии с F.7)
п2 = п2, uv = uv. Осреднение членов, линейных относительно пуль-
пульсаций типа du'jdt, ди /дх, д2и//дх2у а также членов смешанного ти-
типа пи\ uv' и т. д., даст нули. Члены, квадратичные относительно
пульсаций и^иУ и т. д., после осреднения останутся в виде выра-
выражений и'2, u'v' и т. д. Произведя эти осреднения, преобразовав ле-
левые части уравнений с помощью F.11) и перенеся члены, квадра-
квадратичные относительно пульсаций, в правые части, получим диффе-
дифференциальные уравнения движения для средних параметров квази-
установившегося турбулентного течения несжимаемой жидкости
(da г du , du \ dp
dx ~ dy~ dz ) dx
-.[¦
| du'v' | du'w'
- dv , — dv .
dx ' dy~ dz)
dz
— dd x dp
[
da' v'
y
dv'w'
dz
)¦¦
— dw . - dw
dx ~ dy
— dw
-w
— \da'w' , dv'w'
ZC Q
— Q
dx
dw \ dp
dz) % dz
dz J
dy
F. 12)
которые называются ура!Внениями.Рейнольдса.
Уравнения F.12) отличаются от уравнений Навье—Стокса
D.38) тем, что все соответственные члены в них написаны для
осредненных параметров, поэтому для квазиустаонови-вшегося тур-
122
булентного течения члены д.../dt отсутствуют. Наиболее важное
отличие состоит в том, что уравнения F.12) содержат дополни-
дополнительные члены, обусловленные турбулентными пульсациями. На
основании сопоставления уравнений F.12) и D.34) заключаем, что
дополнительные члены в F.12) представляют суммы проекций на
оси х, у, z дополнительных или кажущихся турбулентных напря-
напряжений, которые можно записать в виде таблицы
QU
'2
QU V QU W
QU V QV
/2
QV W
Qtl'w'
*>ху
F. 13)
/'2- rt..= .
у'2; в.= —с
где ox=—Qti'z\ oy=—qv'2; az = —qw'2 — нормальные дополнитель-
дополнительные напряжения, "обусловленные пульсационным движением, дейст-
вующие на площадки нормальные к осям х, у, z\ x'xy^—Qu'v'^Xyx
и т. д. — касательные дополнительные напряжения, парные из ко-
которых, по аналогии с обычными, равны между собой. Аналогично
может быть получено дифференциальное уравнение энергии для
осредненного турбулентного течения.
Система уравнений F.11), и F.12) содержит шесть но*вых не-
неизвестных дополнительных напряжений F.13) и, следовательно,
не зам,юнута. Современные теории турбулентности предназначены
для описания механизма турбулентных течений, указания путей
управления ими ,и получения выражений дополнительных напряже-
напряжений через компоненты осредненной скорости и, vy w для того, что-
чтобы замкнуть систему F.11) и F.12).
6.5. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
Турбулентные течения происходят не только в трубах, но и в
пограничном слое при внешнем обтекании тел, в струйных течениях
в неограниченном стенками пространстве (струя отработавших га-
газов реактивного двигателя в атмосфере). Каждое ,из этих течений
имеет свою специфику и свои закономерности.
Полуэмпир.ичеокие теории турбулентности основаны на экспе-
экспериментальных данных. Расчетные формулы обязательно содержат
некоторое число экспериментальных констант, определяемых не
свойствами жидкостей, а особенностями данного вида турбулентно-
турбулентного течения. Поэтому в настоящее время нет универсальной теории
турбулентности. Более строгие статистические теории турбулентно-
турбулентности, основанные на законах статистической физики, пока еще дале-
далеки от применения в технике [22, 28]. Наибольшее распространенна
в настоящее время имеет теория пути перемешивания, предложен-
предложенная Прандтлем в 1925 г.
В теории пути перемешивания хаотическое пульсационное дви-
движение молей, как капельной жидкости, так и газов, наложенное
на осредненное течение, уподобляется тепловому хаотическому
123
движению молекул газа. Поэтому характеристики этих двух дви-
движений схожи по смыслу и .названию.
В качестве основного постулата «в теории пути перемешивания
принимается, что моли жидкости, совершающие пульсации, на
определенном расстоянии /, названном путем перемешивания, со-
сохраняют свою индивидуальность, т. е. оереднанное количество дви-
движения, скорость пульсации, температуру, .концентрацию избыточ-
избыточного элехмента и т. д. и лишь пройдя это расстояние смешиваются
с окружающей средой (теряют индивиду-
индивидуальность), привнося в нее тем самым
пульсации окорости, температуры, 'Кон-
'Концентрации и т. д. Предполагается, что
путь перемешивания равен также мас-
масштабу турбулентности, т. е. характерно-
характерному размеру пульсирующего моля. В тур-
турбулентном потоке имеется широкий
спектр масштабов турбулентности от са-
самых крупных, соизмеримых с попереч-
ным размером канала, до самых мелких,
приближающихся к молекулярному уров-
ню. Отсюда следует, что крупные моли
пульсируют на большие расстояния,
мелкие — на меньшие. Если для турбу-
турбулентного течения называется определенная величина пути переме-
перемешивания, то под этим понимают его среднеквадратичеокое значе-
значение. Аналогом пути перемешивания является путь свободного про-
пробега молекул. Аналогом пульсационной составляющей скорости —
скорость теплового хаотического движения молекул газа.
Изотропной турбулентностью называется турбулент-
турбулентное течение, в котором средние пульсационные скорости одинако-
одинаковы во всех направлениях
u
Ри, 6.4 Иллюстрация к
теории пути перемеши-
вания
Степенью турбулентности е или интенсивно-
интенсивностью турбулентности называется отношение средней пуль-
пульсационной составляющей к среднемассовой скорости потока. Для
неизотропной турбулентности
F-14)
Для изотропной турбулентности s = V^TT'2/!^.
Выражение пульсационных составляющих че-
через осредненные скорости. Рассмотрим наиболее простое
плоско-параллельное 'квазиустанови'вшееся турбулентное течение
около стенки канала с прямоугольным сечением ((рис. 6.4). В этом
случае гг = гг(у), г;=г? = О, v = v't w = wf и из касательных напряже-
напряжений рассмотрим только одно
xyx=—q?u'. F.15)
124
Пусть моль жидкости совершает пульсацию из слоя Б в слой М на
расстояние Ау = 1 со скоростью v'. Тогда за время dt через площад-
площадку dS пройдет масса жидкости dm = Qv'dSdt. При этом моль вызо-
вызовет в слое М продольную положительную пульсацию скорости,
равную разности скоростей в слоях Б и М, которая, как предпола-
предполагается, по абсолютной величине равна поперечной пульсационной
скорости
, , ,, — , du . — д dii , du ,п 1г>ч
u' = \v'\ = u-\ Д#— u= Ly =/ . F. 16)
1 l ' df/ dy dy V J
Так <в теории Прандтля пульсационные составляющие скорости вы-
выражаются через осредненную скорость и путь перемешивания.
В F.16) знаки /пропорциональности заменены знаками равенства
в предположении, что все коэффициенты пропорциональности учте-
учтены в величине пути перемешивания.
Физический смысл дополнительного касатель-
касательного напряжения. При пульсации моль жидкости переносит
из слоя Б в слой М через площадку dS избыточное количество дви-
движений u'dm=<QV'u'dSdt Вследствие этого на площадку dS будет
действовать положительная касательная сила турбулентного тре-
трения XrdS, импульс которой за время dt равен перенесенному коли-
количеству движения, т. е. xdSdt = Qv'u'dSdt. После сокращения и осред-
осреднения во времени, получим искомое дополнительное напряжение,
обусловленное турбулентным перемешиванием
XT = QV'tl'. F.17)
Положительный знак Хт определен положительным знаком пе-
переносимого пульсацией избыточного направленного количества
движения из верхнего слоя Б в нижний — М при заданном dufdy>
>0 (см. рис. 6.4). Для определения знака хух в уравнениях Рей-
нольдса F.12) и в F.15) необходимо учитывать знак осредненного
произведения v'u!\ который в рассматриваемых условиях отрица-
отрицателен, так как отрицательная v' вызывает положительную и'. Зна-
Значит между v' и и! существует корреляция, поэтому .их осредненное
произведение не равно нулю и отрицательно t/w'<0, т. е. турбу-
турбулентное касательное напряжение xyx=—Qv'u' в этом случае так
же положительно, хух = хг и имеет такой же знак, как и напряже-
напряжение молекулярного трения x=\idujdy.
Подставим значения и' и v' из F.16) в F.17), получим форму-
формулу Прандтля
F.18)
имеющую при исследовании турбулентных течений такое же значе-
значение, как формула Ньютона x = \idufdy при исследовании ламинар-
.ных течений.
125
При изменении знака du/dy должен изменяться и знак каса-
касательного напряжения. Чтобы учесть это формулу F.18) записыва-
записывают следующим образом
du
dy
du
dy
du
F. 19)
где \it — коэффициент турбулентной вязкости, Н-с/м2, он вводится
по аналогии с динамическим коэффициентом 'вязкости A.11).
В соответствии € F.19) ;и F.16)
du
dy
а кажущийся кинематический коэффициент вязкости
du
F. 20)
F.21)
Формулы F.19), F.20) и F.21) по структуре совпадают с фор-
формулами A.11), A.13) и A.14), определяющими напряжение моле-
молекулярного трения, динамический и кинематический коэффициенты
вязкости газа и, следовательно, могли быть написаны без выводов,
по аналогии.
Формулы турбулентного переноса тепла и ве-
вещества. Запишем эти формулы по аналогии с формулами моле-
молекулярного переноса A.33) и A.34) и имея в виду F.16)
du
, dT „ ,2] du
qT=—\ — = —qCpI\ —
dy \ dy
du
dy
DT=lxvr=li
du
dy
F. 22)
dy
dy
du_
dy
dU
dy
— , F. 23)
где l\—путь перемешивания для турбулентного переноса тепла и
вещества.
Рассмотрев направления теплового и диффузионного турбулент-
турбулентных потоков найдем, что при одинаковых знаках dTJdy и dC/dyonu
одинаковы с молекулярными. Следовательно, в турбулентных тече-
течениях полный перенос слагается из молекулярного и турбулентного
dT
dy
dC
dy
F. 24)
F. 25)
F. 26)
Турбулентные критерии Прандтля и Шмидта.
Используются для относительной оценки интенсивности турбулент-
турбулентного переноса количества движения и тепла и количества движе-
126
ния и примеси. По аналогии с Pr = v/% ,и Sc=v[D и с учетом F.21),
F.22) и F.23) запишем
PxT^=vTj^T = llll\ Sct-^^Vj/D^^///!. F.27)
В соответствии с теорией пути перемешивания одни и те же
объемы жидкости, пульсируя, одновременно переносят количество
движения, тепло и примесь. Казалось бы, что механизм переноса
всех субстанций должен быть одинаков — турбулентная диффузия,
и Ргт и ScT должны быть равны единице. Однако это простейшее
предположение Ргт~1 и ScT~l приближенно выполняется лишь
для турбулентных течений в трубах и в пограничном слое, т. е. для
пристеночной турбулентности, где имеет мес-
место подобие полей скорости, температуры и
концентрации.
В струйных течениях при свободной турбу-
турбулентности обычно
pTr = bCr = U,O...U,O И /!==(!,ZO...Z) /,
т. е. перенос скалярных субстанций — тепла
и примеси происходит одинаково, но более ин-
интенсивно, чем перенос количества движения.
Для объяснения этого явления на рис. 6.5
схематично показано, что при пульсации моль Рис б 5> Иллюстра-
переносит количество движения на расстояние ЦИя механизма тур-
/ между центрами тяжести моля в начале и в булентного переноса
конце пульсаций независимо от его вращения.
При этом скалярные субстанции — тепло и примесь, из-за враще-
вращения моля, переносятся на большее расстояние 1\. Вращение моля
яхри пульсации' является дополнительным механизмом переноса
скалярных субстанций, т. е. механизм турбулентного переноса
количества движения и скалярных субстанций похож, но неоди-
неодинаков.
Твердые поверхности в турбулентных течениях вызывают сни-
снижение размеров молей ,и ограничивают их вращение и описанный
эффект ослабляется. Турбулентные числа Прандтля и Шмидта
практически не зависят от свойств жидкостей, а определяются фор-
формой движения и координатами точки. В этом они коренным обра-
образом отличаются от молекулярных аналогов. Если Рг=у/% для
жидких металлов и масел отличаются в сотни тысяч раз (см.
табл. 5.1), ToKPrT = vT/xT и Sct=vt/DTi для подобных течений этих
различных жидкостей, близки к единице.
Сопоставление турбулентного и молекулярно-
молекулярного переносов. Сравнение формул молекулярного -и турбулент-
турбулентного переноса показывает, что при одинаковых поперечных гради-
градиентах скорости отношение турбулентного переноса любой субстан-
субстанции к молекулярному равно по порядку величины Iv'/l^y^. Оценим
это отношение для течения воздуха с гг=50 м/с в трубе d=100 мм
при обычных параметрах трубной турбулентности e = i>'/5=5%,
127
/ = 0,1, d=lO мм, при Г = 300К, р=105 Па, когда им = 600 м/с, /м =
= 10-5 мм
хт = lv' = Ю-2,5 _4 1Q3
% lHvM 10-5-600
Вопрос 6.2. В чем причина интенсификации турбулентного переноса по срав-
сравнению с молекулярным?
Диссипация энергии в турбулентных течениях.
Энергия направленного осредненного движения в результате на-
наличия градиента скорости du/dyФ0 непрерывно переходит в наи-
наиболее крупные моли жидкости, вызывающие появление кажущихся
турбулентных напряжений. Вследствие неустойчивости движения
непрерывно возникают асе меньшие и меньшие турбулентные обра-
образования. Для самых малых из них числа Рейнольдса Re = t///v ока-
оказываются малы, а силы молекулярного трения — велики. Именно
на этом уровне масштабов, близких к молекулярным, энергия дви-
движения преобразовывается в тепло, т. е. происходит диссипация
энергии главного движения. Как показывает приведенная оценка,
диссипация энергии в турбулентном течении больше, чем в лами-
ламинарном.
Значение турбулентности. Турбулентные течения не-
необходимо организовывать, когда требуется интенсифицировать
процессы переноса, например смешение топлива с воздухом, хими-
химическую .реакцию (реакцию горения -в камерах сгорания двигате-
двигателей), охлаждение раскаленных поверхностей жидкостью или пере-
передачу тепла от жидкости к твердым телам. Многие процессы в дви-
двигателях были бы неосуществимы при ламинарных течениях. Нао-
Наоборот, течение следует ламинизировать, когда необходимо предот-
предотвратить смешение различных сред, текущих рядом, уменьшить
теплообмен между жидкостью и твердым телом уменьшить гидрав-
гидравлические потери при течении жидкости в трубах. В овязи с этим
встает вопрос об управлении режимами течения.
Управление режимами течения. В соответствии с вы-
выводами теории пути церемешивания F.18), интенсивность турбу-
турбулентности можно увеличить, если в потоке образовать зоны повы-
повышенных градиентов скорости du/dy (рис. 6.6,а). Для этого в пото-
потоках устанавливаются турбулизаторы — завихрители и турбулизи-
рующие решетки, выполненные из плохообтекаемых стержней.
В зонах смешения воздуха и топлива и в зоне горения камер ВРД
так увеличивается степень турбулентности от естественной трубной
8 = 5% до 8 = 75%. Только при такой турбулентности удается обес-
обеспечить высокое качество сгорания при современных длинах камер
сгорания и скоростях потока в них. Изменяя размер ячеек турбу-
тизирующих решеток, можно соответственно изменять масштаб
турбулентности. Установка в потоках сеток из тонкой проволоки
приводит к выравниванию поля скоростей du/dy-^О и интенсивность
турбулентности снижается. Именно так в аэродинамических тру-
трубах добиваются снижения турбулентности до 8 = 0,1% и ниже. Для
128
уменьшения интенсивности турбулентности в трубах устанав-
устанавливают хонейкомб — набор длинных трубок d\<Ld так, что
Re! = —-< 2000 и течение в трубках ламинаризуется (рис. 6.6,6).
В заключение отметим, что теория пути перемешивания позво-
позволила заменить неизвестные пульсационные составляющие и\ v'T
w1 в формулах переноса через осредненную скорость (du/dy) n
путь перемешивания /, который хотя и не является константой
Турбупизирующая
\ решетка
?,°/о
Шейкомб
Рис. 6.6. Иллюстрация управления режимами те-
течения:
а—турбулизирующая решетка; б—хонейкомб
жидкости, как \х, Я, D, но является функцией точки и формы турбу-
турбулентного течения. Во многих случаях удается установить простую»
связь между длиной пути перемешивания и характерными разме-
размерами рассматриваемых течений. Эти зависимости устанавливаются
экспериментально для каждой формы турбулентного течения от-
отдельно (п.п. 8.1, 17.1). Поэтому теория пути перемешивания назы-
называется полуэмпирической и не является универсальной.
В теорли пути перемешивания принята весьма упрощенная мо-
модель турбулентного движения. Эта теория не объясняет разницы
в механизмах переноса количества движения с одной стороны »
примеси и энтальпии с другой (Ргт=й=1, Sc=^=l), а также наблюда-
наблюдаемого в опытах турбулентного переноса за сетками в условиях
du/dy = 0. Поэтому имеются другие теории турбулентности [28] и их
разработка продолжается.
Однако теория пути перемешивания с успехом применяется для
расчета турбулентных течений в трубах, в пограничном слое и в
струйных течениях. Кроме того, эта теория указывает эффектив-
эффективные методы управления турбулентными течениями.
6.6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ПО ЧИСЛУ РЕЙНОЛЬДСА
Число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерция
к силам вязкости, действующих на частицы жидкости в потоках,-
является .важнейшим критерием гидродинамического подобия те-
течений. Во-первых, его величина определяет качественно отличные?
режимы течения жидкости — ламинарный и турбулентный. Во-вто-
950
129
рых, предельным' значениям Re<l и Re->-oo соответствуют два
предельных случая течений: ,при ползущих течениях, когда Re<l,
силы трения намного больше сил инерции. Это позволяет получить
для таких течений приближенные решения уравнений Навье—
Стокса D.35) отбрасыванием относительно малых инерционных
членовтипадй—, что переводит эти уравнения в линейные. Прите-
ох
чениях с очень большими числами Re-^oo силы трения значитель-
значительно меньше -сил инерции, что приближенно и формально соответст-
соответствует течению идеальной жидкости [л-*0. Однако, в этом случае
нельзя исключить из уравнения Навье—Стокса все члены, завися-
зависящие от вязкости, т. е. нельзя во всей области течения положить
|х = 0, так как при этом не будет выполняться граничное условие
прилипания жидкости на поверхности твердых тел. Определение
возможных упрощений уравнений Навье—Стокса в предельном
случае Re->-oo является предметом теории пограничного -слоя (см.
гл. 15).
6.7. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ
Повышенные гидравлические потери в элементах проточной
части двигателей, лопаточных машин, гидравлических систем де-
делают их нерентабельными и даже неработоспособными. В газо- и
нефтепроводах через каждые 50... 100 км устанавливаются доро-
дорогостоящие компрессорные и насосные станции, в которых жидко-
жидкости сообщается энергия для преодоления гидравлических сопро-
сопротивлений. С другой стороны, в ряде устройств используется их
повышенное сопротивление. Таковы парашюты, стабилизаторы
пламени, сетки для выравнивания полей скоростей в аэродинами-
аэродинамических трубах и т. д. Поэтому расчет гидравлических сопротивле-
сопротивлений и управление ими является одной из основных задач гидрога-
зодинам.ики.
Гидравлические поте,ри при течении несжима-
несжимаемых жидкостей в каналах. Гидравлические потери на
участке 1—2 канала могут быть рассчитаны по уравнению Бернул-
ли D.83). Общепринято их выражать в паскалях или в метрах
столба жидкости, что соответствует методике их эксперименталь-
экспериментального измерения
р/тр=0^(Я1-Я2)-д/тех; Па; ±1тр = (Нг-Н2)-±1тех. F.28)
о о
При /Тех = 0 и z%=Zi гидравлические потери определяются разностью
полных давлений .
^-^^-, F.29)
если при этом S2=SU то W2 = Wt и
&тр=Ьр* = Ьр=р1-р2; j-lrp=Ah*=Ah= Pl~P2 . F.30)
130
Различают два вида гидравлических потерь:
а) местные потери Арм*, АЛМ*; б) потери па трение в прямых
каналах постоянного сечения Д/?Тр, Д^тр- Суммарные потери на
участке 1—2 являются суммой этих потерь
q/tp=A/?m + A/7tp; —/тр=ДА*4-ДЛТр- F.31)
о
В большинстве задач уравнение Берлулли используется для
определения падения полного давления на участке канала 1—2 и
Рис. 6.7. Виды гидравлических сопротивлений:
а—внезапное расширение канала; б—то же постепенное; в—внезапное сужение канала;
г—то же постепенное; д—поворот канала; е—потери на трение
для определения потребной технической (внешней) >работы для
обеспечения заданного полного давления рг*. Для этого необходи-
необходимо знать величину гидравлических потерь, т. е. рассчитывать их
без использования уравнения Бернулли.
Расчет местных гидравлических потерь. Мест-
Местные потери это затраты энергии жидкости на образование и под-
поддержание вихрей в вязкой жидкости, вызванное изменением раз-
размеров и формы канала, а также на совершение работы трения на
этих -участках. На рис. 6.7 представлены три простейшие вида
местных сопротивлений: 1) внезапное а и постепенное б расширен
ние канала; 2) внезапное в и постепенное г сужение канала; 3) по-
поворот канала д. Другие, более сложные виды местных сопротивле-
сопротивлений — краны, дроссели, различные устройства, помещенные в по-
поток, являются сочетанием простейших видов.
5*
131
Местные потери выражаются по формуле Вейсбаха в долях
скоростного напора
ДА: = С,-^; д/м = С,.-^1, F.32)
где Wi — среднемассовая скорость в сечении i .канала; ^ — коэф-
коэффициент местного сопротивления — отношение энергии, затрачен-
затраченной на преодоление данного местного сопротивления, к скоростно-
скоростному напору в сечении /. Величина ?* зависит от формы местного со-
сопротивления, от режима течения и числа Рейнольдса, а также от
выбора сечения i для подсчета средней скорости Wi.
На рис. 6.7 схематично показано измерение местных потерь
двумя пьезометрами полного давления. Приемники полного давле-
давления выполняются из тонких трубок d = 0,5...0,8 мм 'с тем, чтобы
вносимое ими возмущение в поток было минимальным.
Потери на трение или линейные потери. Это за-
затраты энергии на преодоление трения при течении жидкости в пря-
прямых каналах постоянного сечения (рис. 6.7,е). Калибром трубы
называется ее диаметр d. Потери на трение на участке трубы в
один калибр выражаются по аналогии с F.32)
F. 33)
где Стр^^о! — коэффициент сопротивления трения, зависящий
g
от режима течения, числа Рейнольдса и шероховатости стенок
трубы.
Потери на трение в трубе, длина которой равна lid калибров,
определяется по формуле Дарси—Вейсбаха
U,^s,,pl,p. F.34)
Расчет гидравлических сопротивлений сводится к определению
средней скорости и ? и ?Тр, которые, прежде всего, зависят от ре-
режима течения. Из-за принципиальных различий между ламинар-
ламинарным и турбулентным течениями их исследуют раздельно.
Глава 7
ЛАМИНАРНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ
ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
(ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРАВЛИКИ)
Рассмотрим пр,имеры точных и .приближенных решений уравне-
уравнений Навье—Стокса D.35) и неразрывности C.19) для установив-
установившихся ламинарных течений несжимаемой жидкости. Под точными
будем понимать решения п.ри сохранении в уравнениях всех чле-
членов, тождественно не равных нулю для изучаемых течений. Приб-
Приближенными будем называть решения, полученные исключением из
уравнений членов, величина которых мала по сравнению с величи-
величинами других членов.
Трудности интегрирования уравнений Навье—Стокса связаны с
их нелинейностью. Поэтому возможность их точного и приближен-
приближенного интегрирования обеспечивается для течений, в которых квад-
квадратичные члены типа udu/dx тождественно или приближенно рав-
равны нулю.
7.1. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
Получим точные решения уравнений Навье—Стокса и нераз-
неразрывности для течений, в которых существует только одна состав-
составляющая скорости и, а а = до = 0. В этом слу-
случает из уравнения неразрывности C.19)
следует, что du/dx=Q, т. е. что и=и(у, z)
и не зависит от координаты х. Это является
условием стабилизированного течения. За
давление примем гидростатическое давле-
давление, постоянное для любых точек верти-
вертикальных сечений. В этом случае массовые рис> 7.1. Плоское тече-
силы тяжести уравновешиваются и выбы- ние в канале с парабо-
вают из уравнений Навье — Стокса. лическим распределени-
С учетом всех перечисленных условий ем ск°Р°стеи
уравнения Навье — Стокса принимают вид
^=0; ^=0; ^=,(^L+^)==COnst=-^; G.1)
ду дг дх г \ ду2 ' dz*) I v }
где / — длина канала 1—2, на которой рассматривается падшие
давления Ар=р\—р2.
Постоянство dp/dx=—Ар/1 вдоль течения следует из независи-
независимости левой части уравнения от у и z(dp/dy=dp/dz = O) .и правой
части от левой (ди/дх=0), следовательно, левая и правая части
m
рав'ны одной и той же, постоянной для данного течения, величине.
Уравнение G.1) является линейным дифференциальным уравне-
уравнением относительно переменной и (у, z), так как из него выбыл»
все квадратичные члены.
Задача 7.1. Проанализируйте подробно исходные условия течения и получи-
получите из C.19) и D.35) уравнение G.1).
Течение в зазоре между плоскими параллель-
параллельными бесконечными стенками (рис. 7.1). В этом слу-
случае скорость и изменяется только вдоль оси у и уравнение G.1)
принимает вид
*? J*L G.2)
Задача 7.2. Выполните последовательное двойное интегрирование G.2). При-
Примените граничное условие прилипания: y=±:h/2\ u=0 для определения констант
интегрирования и получите решение уравнений Навье—Стокса в виде искомого»
поля скоростей, представляющего параболу
Определим максимальное значение скорости при у = 0
игаах=^- Ц-И\ G.4)
среднюю скорость в соответствии с C.14)
Л/2
S О
= — h2 = — #max, G. 5)
гидравлическое сопротивление на длине / из G.5)
Ьр=Рх~Р2= \2 ¦ G.6)
Умножив и разделив G.6) на 2ucpQ, получим
Qi/срЛ h 2 Reh h 2 '
Сравнивая G.7) с формулой {6.34) Дарси—Вейсбаха находим, что
при ламинарном течении .коэффициент сопротивления трения ?тр
не является постоянной величиной, а обратно пропорционален чис-
лу Реинольдса Reu= , определенному по средней скорости и
{*¦
высоте канала А:
¦у-йг\. G'8)
134
Если ось х совместить с нижней стенкой, а ось у направить
вверх, то уравнение поля скоростей примет вид:
«=~^-р^)- G-9)
Задача 7.3. Укажите природу гидравлического сопротивления в ламинарном
течении и его действительную зависимость от ucp, h, I, p, \i. Объясните, как учи-
учитывается эта зависимость в формуле Дарси—Вейсбаха G.34), по которой рассчи-
рассчитывается это сопротивление.
Задача 7.4. Получите формулу распределения напряжения трения по сече-
сечению канала. Изобразите поле
векторов x=f(y).
Течение Куэтта. Это
течение в канале высотой
h между бесконечными па-
параллельными плоскими
стенками, одна из которых
движется в своей плоскос-
плоскости с постоянной скоростью
и0 (рис. 7.2). Условия одно-
однозначности этого течения та-
такие же, как у предыдущего,
и поэтому оно описывается
уравнением G.2). Произ-
Производя двойное интегрирова-
интегрирование G.2) и используя гра-
граничные условия прилипания
-ць-qt о о}г op oft oft /ft ц /ft и/и0
у
и = 0 при */ = 0 и и = и0 при
y=h, получим искомое поле
скоростей
Рис. 7.2. Течение Куэтта между двумя па-
параллельными плоскими стенками. Кривые
со значениями /?>0 соответствуют падению
давления в направлении движения верх-
верхней стенки, а со значениями р<0 — повы-
повышению давления в этом направлении; кри-
кривая /? = 0 соответствует градиенту давле-
давления, равному нулю
Проанализируем изображенные на рис. 7.2 поля скоростей, давае-
даваемые уравнением G.10) для различных значений Ар/1.
Течение чистого сдвига или простое течение
Куэтта. Это течение обусловлено прилипанием жидкости к
подвижной и неподвижной стенкам и трением между ее слоями при
dp/dx = 0. Поле скоростей линейно в соответствии с первым членом
правой части G.10)
u = uoy/h. G.11)
Напряжение трения а сечениях канала постоянно
х = \ulu/dy=\iuQ/h. G.12)
Чем меньше расстояние между пластинами, тем больше т. Греб-
Гребцам хорошо известно реакое увеличение сопротивления лодки при
переходе с глубокого места на мелкое.
Течение при неподвижных пластинах ^ = 0. Тече-
Течение обусловлено только градиентом давления Ap/l = const: Поле
135
скоростей соответствует .второму члену G.10) и уравнению G.9)
уже исследованного течения и является параболическим (см.
рис. 7.1).
Течение Куэтта при щфО и Ар/1ф0 описывается урав-
уравнением G.10) и представляет собой наложение течения простого-
сдвига и течения при dp/dx=?0 в канале. Возможность .применения
метода наложения полей объясняется линейностью уравнения
G.2). Вид результирующего поля скорости определяется безраз-
безразмерным градиентом давления
_ Д2 Ар _ № / dp \
2{ш0 / 2ри0 \ dx }
При р>0, т. е. при уменьшении давления в направлении движения
верхней стенки, скорость положительна по всей ширине канала и
равна сумме скоростей, составляющих течений. При р<0, т. е. при
возрастании давления в направлении движения стенки, скорости
этих независимых течений направлены в разные стороны и вычи-
вычитаются. Поэтому в части поперечного сечения возможны отрица-
отрицательные скорости, т. е. возвратное течение.
Теория Куэтта используется в теории смазки (см. п. 7.3).
Задача 7.5. Определить при каком значении р возникает возвратное течение*
Ответ |—р|>1.
Задача 7.6. В течение Куэтта ио=1,5 м/с, h='S мм, расход масла Q='O;
ц = 2 • 10~2 Н • с/м2. Определить градиент давления и построить поля скоростей,,
слагаемых течений и результирующего.
Ответ: dp[dx = 2- 104 Н/м3.
Течение Пуазейл я—Г а г е н а. Это пространственное осе-
симметричное течение в прямолинейной трубе с круглым попереч-
поперечным сечением. Жидкость движется под действием перепада давле-
давления dpjdx =const<0. Поскольку скорость вдоль оси х не изменя-
изменяется (du/dx=0), то силы давления уравновешиваются противопо-
противоположно .направленными силами трения. Силы инерции отсутствуют
и движение описывает уравнение G.1). Симметрия течения позво-
позвони д*и
ляет сделать вывод о равноценности производных и и^
заменив у и г на г, записать уравнение G.1) в следующем виде
2*5i = _L_A?.. G.13)
Так ка,к у я z имеют, как положительное, так и отрицательное
значения, то граничными условиями будут и = 0 при r=±R, где-
г — текущий радиус, a R — радиус трубы; кроме того du/dr = 0 при-
г=0. Решением уравнения G.13) является поле скоростей в попе-
поперечном сечении трубы
и = ± ^L(/?2__r2)=2_ ?L#(i _^L) , G.14)
представляющее параболу в осевом сечении и параболоид враще-
1.36
ния в пространстве. Скорость имеет максимальное значение на оси
трубы пр,и г=0
Объемный расход жидкости через сечение трубы равен объему
параболоида вращения G.14), т. е. половине произведения площа-
площади основания на высоту, т. е. на wmax:
U (? 16
Формула G.16) выражает за/соя Пуазейля—Гагена и использует-
используется для расчетов трубопроводов, при экспериментальном определе-
определении расхода жидкости по измерению скорости на оси трубы и при
экспериментальном определении вязкости жидкости |i.
Средняя скорость течения по определению
кй*^Ъи- GЛ7)
Заменяв R=d/2, после несложных преобразований получим из
G.17) формулу для расчета потерь на трение
64 / Qttcp 64 / Qti2
Сопоставление G.18) с формулой Дареи—Вейсбаха F.34) по'ка-
зывает, что при ламинарном течении ?Тр обратно пропорционален
Qucvd
числу Рейнольдса Red =
СТР=^-. G.19)
Равенство G.19) .выражает закон сопротивления для круглой
трубы при ламинарном сечении. Зависимость ?Tp=/(Re) .представ-
.представлена на рис. 8.3.
Напряжение трения определяется по закону Ньютона
т = -р-^-=-^-г ¦ G.20)
^ dr 21 К }
и распределено линейно по радиусу трубы. Знак минус учитывает
уменьшение скорости с увеличением г.
Задача 7.7. При ламинарном течении в трубе - расход жидкости увеличили в
три раза за счет: увеличения средней скорости; увеличения диаметра трубы при
неизменной иср. Определить изменение потерь на трение.
Ответ: Api/Apo = 2; Ар2/Ар0 = 1 /3.
Вопрос 7.8. В чем физическая причина увеличения потерь в первом и умень-
уменьшение во втором случаях задачи G.7) ?
Вопрос 7.9. Почему при течении между стенками ?тр = -—, а при тече-
64
нии в трубе Стр = ?
137
<!
К,ос
1,8
1,6
W
\
l/dRe
О k 8 12 16 20 2k XtO5/dRe
Точные решения уравнения Навье—Стожа хорошо подтверж-
подтверждаются в экспериментах (см. рис. 8.3). Формула Дарси—Вейсбаха
2
= С — остается расчетной для ламинарных течений*
d 2
но не выражает в явном виде истинной зависимости потерь на тре-
трение от и, d, |x, q, так как для ламинарного течения ?тр не констан-
константа, а зависит от этих параметров [см. формулы G.8) и G.19)].
В действительности, в соответствии с законом Пуазейля, потери на
трение при ламинарном течении
пропорциональны первой степени
средней скорости, вязкости жидко-
жидкости и длине канала и обратно про-
порциональны квадрату диаметра
трубы или квадрату высоты канала
и не зависят от плотности, т. е. от
инерционных свойств жидкости, та<к
как gudu/dx=0 [см. формулы G.6)
и G.16)]. При заданных \i> I, ucv> и:
особенно расходе Q, эффективным
средством снижения сопротивления
является увеличение диаметра тру-
трубы, что объясняется уменьшением
градиентов скорости du/dr и напря-
напряжения трения. При нарушениях
стабилизированного ламинарного
течения, связанных с наличием
местных сопротивлений, нагревом и
охлаждением, приводящим к попе-
поперечным токам и изменениям |ы по сечениям и длине трубы, рас-
рассмотренные точные решения не применимы, либо требуют введе-
введения поправок.
Начальный участок трубы. На входе в начальный
участок поле скоростей практически равномерно (см. рис. 7.3). За
счет трения жидкость у стенки трубы тормозится, а в области оси
трубы ускоряется, так как расход жидкости вдоль трубы постоя-
постоянен. В конце участка пограничный слой смыкается на оси, образуя
параболический профиль скоростей, который в дальнейшем не из-
изменяется. Длина начального участка, «называемого участком гидро-
гидродинамической стабилизации течения, определяется по эмпиричес-
эмпирической формуле
Рис. 7.3. Формирование параболи-
параболического профиля скоростей
KJd = 0,029 Re,
G.21)
и при Red = 2300 /Нач = 66,5 d. Падение давления на начальном
участке больше, чем на участке такой же длины при стабилизиро-
стабилизированном ламинарном течении и рассчитывается по скорректирован-
скорректированной формуле Дар-си—Вейсбаха
ЫЬ-^J-Sk, G.22)
138
где k — эмпирический коэффициент, переменный по длине началь-
начального участка (см. рис. 7.3).
Уравнения Навье—Стокса допускают точные решения для ряда
других ламинарных течений, например, 'существует точное реше-
решение уравиенлй Навье—«Сток-са в цилиндрических координатах для
течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндра-
цилиндрами [30].
7.2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКОВ
РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛАХ
Для того, чтобы применить уравнение Бернулли D.83), полу-
полученное для элементарной струйки, к потокам реальной жидкости
в каналах, необходимо в этом уравнении .использовать истинную
величину средней удельной кинетической энергии Еь в данном се-
сечении. Эта величина, с учетом неравномерного поля скоростей и
неравномерного распределения .кинетической энергии по сечению,
определяется как средняя интегральная, Дж/кг:
умножив и разделив G.23) на и%, получим
где a=f usdS/u%S — коэффициент Кориолиса или коэффициент не-
8
равномерности поля скоростей — отношение действительной кине-
кинетической энергии потока к кинетической энергии потока с тем же
расходом, но имеющего равномерное поле скоростей в том же се-
сечении.
Уравнение Бернулли для потоков реальной жидкости принима-
принимает вид
+ i^g2+ + 2 + rex+rr G.25)
Если поля скоростей в сечениях 1 и 2 одинаковы, то a2=ai.
Задача 7.10. Определите величину коэффициента Кориолиса: 1) для равно-
равномерного поля скоростей; 2) для ламинарного течения в круглой трубе. Ответ:
<Х1==1; а2 = 2.
Как -следует из рис. 7.3, коэффициент а возрастает на началь-
начальном участке от а=1 до а = 2. Это значит, что при одинаковых рас-
расходах, кинетическая энергия жидкости при неравномерном поле
скоростей больше, чем кинетическая энергия при равномерном.
139
Более существенное уменьшение потенциальной энергии давле-
давления на .начальном участке по сравнению со стабилизированным ла-
минариым течением (К = 1,09) объясняется не только большими
потерями на трение, но и затратами этой энергии на двукратное
увеличение кинетической энергии.
Задача 7.11. Вода при 7 = 300 К вытекает в атмосферу из открытого бака
по горизонтальной трубке d=\0-2 м, 1 = 2 м. Пренебрегая местным сопротивле-
сопротивлением на входе в трубку, определить: 1) среднюю скорость мСр, до которой в.
трубке течение будет ламинарным, если ReKp = 2300; 2) падение полного Ар*
и статического Ар давлений на длине трубки; 3) высоту Zq уровня воды в баке
над осью трубки, обеспечивающую иср.
Ответ: иср = 0,184 м/с; Др* = Др~97 Па; zo = O,O44 м.
Задача 7.12. Определить мСр ламинарного течения воздуха при 7 = 300 К>
р = 105 Па в трубке d=\0~2 м, считая p = const и ReKp=2300. Ответ: wcp»
«0,35 м/с.
Как видим, в обычных усло-виях ламинарное течение может ре*
ализоваться в тонких трубках и при малых ucv.
7.3. О ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ
НАВЬЕ—СТОКСА И НЕРАЗРЫВНОСТИ
ДЛЯ ПОЛЗУЩИХ ТЕЧЕНИЙ
О гидродинамической теории смазки. Ползущее
течение смазочного масла в зазоре между подшипником и валом
(шипом) имеет большое практическое значение и составляет пред-
1CB7;)
со)
Ш)
Рис. 7.4. Иллюстрация к гидродинамической теории смаз-
смазки:
а—вал покоится и=0; б—вал вращается со скоростью v\ /—вал; 2—
подшипник
мет гидродинамической теории смазки, основоположниками кото-
которой являются Н. П. Петров A883 г.), Рейнольде A886 г.),
Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин л др. [18].
Смазка предназначена для уменьшения тренля между подшип-
подшипником и валом и их охлаждения. При отсутствии .вращения вал /
выдавливает масло и опирается на подшипник 2 (рис. 7.4,а). В мо-
момент трогания трение является сухим и напряжение трения макси-
максимально. Вращающийся вал, за счет прилипания масла и вязкости^
140
увлекает его во вращение и как .насос нагнетает в клиновидную
щель. Давление масла в щели увеличивается, вал под действием
равнодействующей R всплывает в масляном слое и его ось смеща-
смещается от оси подшипника на расстояние эксцентриситета е (рис.
7.4,6). Величина эксцентриситета при вращении вала устанавлива-
устанавливается автоматически в зависимости от величины зазора Ло, окруж-
окружной скорости вала щ и нагрузки на «его N. Чем больше нагрузка,
тем больше эксцентриситет, так ка:к при этом клшшвидность щели
Рис. 7.5. Поля скоростей смазочного масла в зазоре подшип-
подшипника в точке отрыва s при 9 = 0 и при 8 = я
увеличивается и давление в ней повышается. При отсутствии на-
нагрузки, как это может быть при вертикальном вале, эксцентриси-
эксцентриситет равен нулю и давление во всем -кольцевом зазоре постоянно.
Зазор между подшипником и валом ho=Ro—Го имеет очень малую
величину—всего несколько десятых миллиметра. Течение такой
тонкой масляной пленки в зазоре обладает важным .свойством —
при достаточно быстром вращении вала градиенты давления в ней
могут достигать очень больших значений, в результате чего тонкая
пленка масла поддерживает сильно напруженный вал и предохра-
предохраняет его от непосредственного соприкосновения с подшипником.
Малая толщина зазора h0 по сравнению с длиной подшипника
вдоль оси вала I и длиной окружности 2яг0 позволяет при-
приближенно рассматривать течение смазочного масла как течение
Куэтта.
Направим ось х по окружности вала в сторону вращения так,
что dx = r<fl§, ось у — по нормали к поверхности вала (рис. 7.5)
и ось z — параллельно оси вала по его поверхности. Рассматри-
Рассматриваемое течение отличается от течения Куэтта тем, что толщина
зазора изменяется вдоль оси 8 = 6 (х). В соответствии с этим из-
изменяется и скорость и = и(х) и, следовательно, конвективные силы
Q#-^- тождественно не равны нулю. Также не постоянен градиент
давления.
141
Оценим силы .инерции и силы трения, входящие в уравнение
Навье — Стокса
да о#2
QU —
Силы инерции _ дх _ 2яг0 _ §щ2пг0 /_^o_\2 = ne* /j 2Q)
Силы трения д^и Щ_ ^ \ 2яг0 /
Полученное соотношение называется приведенным числом Рей-
нольдса. Очевидно, что силами инерции можно пренебречь, если
Re*<l.
Задача 7.13. Определить Re* для подшипника го=4-1О-2 м, /го== 2• 10~4 м,
частота вращения я=33,3 1/с, q=800 кг/м3, М'=3-10-2 Н • с/м2.
Ответ: Re* =0,0355. Силами инерции можно пренебречь.
Произведем дальнейшее упрощение уравнения Навье—Стокса
для рассматриваемого ползущего течения: 1) «исключим уравнения
для направления у и zt так как v и w малы по сравнению с w,
2) в уравнении для направления х пренебрежем членом d2ufdx2t
который в Bя/о/ЛоJ раз .меньше d2ufdy2. В результате iBcex этих
упрощений вместо трех уравнений остается одно:
-^=1*^, G.27)
dx Г ду'2 v }
в котором dpjdx уже не является постоянным.
Уравнение неразрывности можно записать в виде условия пос-
постоянства расхода масла для всех сечений, т. е.
Q= f udy=const. G.28)
6
Граничные условия:
и = и0 при #=0; и=0 при y=h =
р=р0 при л; = 0F=0); р=Ро при лг =
Интегрирование уравнения G.27) позволяет получить следующие
формулы приближенного решения уравнений Навье—Стокса [18].
Поле скоростей
1*у{уЪ) G.30)
1 G.29)
> = 360°). |
Ь
получается так же, как в течении Куэтта — суммированием поля
скоростей ии обусловленного чистым сдвигом, и и2, обусловленно-
обусловленного градиентом давления (см. рис. 7.5). При определенном значе-
значении dp/dQ>0 в точке 5 подшипника возникает отрыв течения от
стенки, а за ним возвратное течение — зона рециркуляции, что час-
часто приводит к перегреву масла.и подшипника вплоть до его рас-
расплавления.
Распределение давления по поверхности вала
Р sin 6 B + ^ cos 6)
142
где р(8) и р@) —давления при заданном угле 0 и при 6 = 0; р =
— efh0 — относительный эксцентриситет. При Р>0,3 возможен от-
отрыв течения от подшипника.
Распределение напряжений трения по поверхности вала
G.32J
Момент сил трения, приложенный к валу длиной в один метр Нм/м:
М = 4Я^° <2g2+1> . G.33)
h B + р2)"|Л1_ Р2
На рис. 7.4,6 приведено распределение избыточного давления
по поверхности вала, напряжение трения в характерных точках и
равнодействующая поверхностных сил R, которая для одного по-
погонного метра вала рассчитывается по формуле, Н/м:
R= 12Я^° * . G.34)
Задача 7.14. Определить длину подшипника скольжения, момент сил трения
Mi и мощность W на преодоление трения, если частота вращения вала п=
=-'33,3 1/с; го=4-10-2 м; /*0 = 2 • 10~4 м; нагрузка #=3000 Н; относительный
эксцентриситет Р = 0,3; ц=3-10 Н*с/м2, q=800 кг/м3. Ответ: l=N/R&
«0,053 м; Ml = Ml=0JS Н-м; W=Mla>=№ Вт.
Обтекание шара при Re=-^-<4. Как и в разнообраз-
разнообразных ползущих течениях при обтекании шара при Re<l основное
значение имеют силы трения и давления, а инерционные силы от-
относительно малы, что позволяет исключить их из уравнений На-
вье—Стокса— линеаризовать их. Не останавливаясь на вычисле-
вычислениях [30], приведем некоторые результаты приближенного интегри-
интегрирования, полученные Стоксом при граничных условиях прилипания
жидкости к поверхности шара.
Разность давлений в точке х поверхности шара и «в невозмущеа-
ном потоке при совмещении начала координат с центром шара
3 llX /ij Or-1*
P — Poo — 9""#оо. (/.OOl
2 г
Разность давлений в передней критической точке при #i = —г&
и в задней критической точке при х^= +г0 отличается знаками
„ „ , 3 fA /f-r Q/?\
Р\-2—Роо= ~\ tloo- (/. OD1
- 2 г0
Интегрирование давления и касательного напряжения по по-
поверхности шара приводит к формуле Стокса для силы лобового
сопротивления шара
^ = 6я|ШооГ0. G.37)
Одна треть силы лобового сопротивления шара при Re<l являет-
является силой сопротивления давления (давление на переднюю часть
143
jnapa больше, чем на заднюю) и две трети — силой сопротивления
трения.
Записав формулу E.17) для коэффициента лобового сопротив-
сопротивления и подставив значение Rx из G.37), получим
С Rx 24 (j OQ\
Х~~оЛ ~~Re~' ( }
Сравнение результатов расчета по G.38) с результатами экспери-
экспериментов (см. рис. 5.2) показывает их удовлетворительное совпаде-
совпадение лишь при Re<l. При Re>l пренебрежение силами инерции
приводит к недопустимым погрешностям.
Как видим, при обтекании шара реальной жидкостью парадокс
Деламбера—Эйлера не имеет места—возникает сила лобового со-
сопротивления, являющаяся результирующей силой поверхностных
.сил трения и давления.
Из рассмотрения формул G.35) и G.36) следует, что на окруж-
окружности миделя, т. е. максимального сечения шара, перпендикуляр-
лого вектору скорости невозмущенного потока (при х = 0), давле-
давление равно давлению в невозмущенном потоке, а максимальное раз-
разряжение имеет место в задней критической точке.
По формуле Откса G.37) можно рассчитывать осаждение
мелких капелек воды и пыли в атмосфере или маленьких металли-
металлических шариков в вязких жидкостях.
Задача 7.15. Опишите методику определения вязкости жидкости, основан-
основанную на использовании формулы G.37).
О вихревой природе ламинарных течений. Слоис-
Слоистое ламинарное течение является вихревым. Мельчайшие жидкие
частицы во всех точках потока, где градиент скорости отличен от
нуля, вращаются около собственных осей. Поэтому ламинарное
течение и сопровождается диссипацией энергии.
Глава 8
УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТУРБУЛЕНТНОЕ
ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
В ТРУБАХ. ПРИСТЕНОЧНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Турбулентные течения в трубах наиболее часто встречаются
в технике, .имеют большое практическое значение и им посвящены
многочисленные исследования. Опыты показывают, что влияние
стенки на характеристики турбулентных течений настолько вели-
велико, что пристеночные турбулентные течения в каналах и в турбу-
турбулентных пограничных слоях обтекаемых тел имеют много общих
фундаментальных закономерностей. Пр,и ламинарном течении в
трубе поле течения однородно — определяется только молекуляр-
молекулярным трениехМ. Формулы поля скоростей u/umax=(l—r2/R2) и зако-
закона сопротивления ?Tp = 64/Re получены чисто теоретическим путем
из решения уравнений .неразрывности и Навье—Стокса (см. п. 7.1).
При турбулентном режиме течения также существует однозначная
связь между полем скоростей и законом сопротивления. Однако
эти зависимости получить теоретически пока .невозможно: либо
поле скоростей, либо закон сопротивления должны быть получены
из эксперимента.
8.1. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ
Рассмотрим турбулентное течение при Re>ReKp в цилиндричес-
цилиндрической прямой трубе за участком гидродинамической стабилизации,
длина которого по данным различных -исследователей составляет
25... 100 калибров. Турбулентный пограничный слой сом,кнут на
оси и радиус трубы R можно рассматривать как толщину б турбу-
турбулентного пограничного слоя на плоской пластине. Ось х направим
по стенке в направлении течения, ось у— ^перпендикулярно к ней
и по направлению к оси трубы. Введем обозначения: г — текущий
радиус, отсчитываемый от оси трубы; и —осредненная во времени
текущая скорость, неизменная -вдоль оси трубы; wcp —среднерас-
ходная скорость; итйх — скорость на оси трубы.
Течение в турбулентном пограничном слое, вследствие влияния
стен,ки, неоднородно и может быть разделено на три качественно
различных концентрических слоя: ламинарный подслой, переход-
переходный слой и слой полностью развитого турбулентного течения, каж-
каждый со своим законом распределения скоростей и законом сопро-
сопротивления.
145
1. Ламинарный подслой толщиной бл, текущий
у самой стенки. На стенке и = 0 (условие прилипания). Кро-
Кроме того, стенка гасит все турбулентные пульсации u'=v' = 0 (усло-
(условие непроницаемости и прилипания). Поэтому на стенке кажуще-
кажущееся турбулентное напряжение трения тт = —qv/u/ = 0 и действует
только молекулярное трение та =xM+T'?+%M=\t'(dti/dy)w В непос-
непосредственной близости от стенки на толщине бл пульсационные сос-
составляющие исчезающе малы и турбулентное трение пренебрежи-
пренебрежимо ло сравнению с молекулярным. Таким образом в ламинарном
подслое турбулентного пограничного слоя течение является лами-
ламинарным и перенос всех субстанций имеет, в основном, молекуляр-
молекулярный механизм. Все сказанное можно записать в виде граничных
условий ламинарного подслоя
y=0(r=R); u=0; u' = v'=0; x=xw
Толщина ламинарного подслоя настолько мала Fл«0,01 /?), что
с трудом измеряется в экспериментах. Однако ламинарный под-
подслой имеет решающее влияние на развитие течения и особенно на
сопротивление, так как определяет касательные напряжения на
стенке. На толщине ламинарного подслоя скорость ламинарного
течения -возрастает от 0 до ил по линейному закону
и = илу/Ъл (8.2)
и на границе у = бл достигает очень большой величины мл«0,5атах.
Вследствие линейности поля скоростей напряжение трения в лами-
ламинарном подслое постоянно
*м=*лг = №л/Ъл = \>.и/у. (8.3)
2. П е р е х о д н ы й слой, примыкающий к ламинар-
ламинарному подслою. Турбулентные пульсации здесь уже настолько
велики, что турбулентные напряжения соизмеримы с вязкостными
и
ts=TM + tT. (8.4)
3. Турбулентное ядро течения. Занимает централь-
центральную часть трубы. Здесь турбулентное трение несоизмеримо больше
молекулярного, поэтому
(^J ' (8.5)
Изменен,ие напряжения трения по радиусу тру-
б ы. Выделим мысленно жидкий цилиндр радиусом г и длиной L
и составим уравнение количества движения D.12) в проекциях на
ось трубы. Скорость жидкости вдоль трубы не изменяется ,и силы
давления на торцы 1 и 2 цилиндра уравновешиваются силами тре-
трения, действующими на боковую поверхность цилиндра: (р\—р2) X
Хя/-2=*2яг1, и
т^^-^г, (8.6)
146
т. е. напряжение трения пропорционально радиусу: на оси равно
О, а на стенке— максимально. Формула справедлива как для ла-
ламинарного, так и для турбулентного установившегося течения при
рассматриваемых условиях (/? = const, q= const) и позволяет опре-
определить напряжение трения на .стенке «по измеренным давлениям ч
начале ,и конце участка трубы. Сопоставляя формулы (8.6) и
F.34), получим
^ или xw = ^qu?. (8.7)
Универсальный логарифмический закон рас-
распределения скоростей в турбулентном погра-
пограничном слое по Прандтлю. При течении около гладкой
стенки при у = 0 v' = u' = 0 и 1 = 0. С увеличением у начинают появ-
появляться турбулентные пульсации и возрастает путь перемешивания
/. Следуя Прандтлю примем, что
1) ©близи стенки путь перемешивания пропорционален рассто-
расстоянию от стенки
/=*у, (8.8)
где к — одна из основных экспериментальных констант теории при-
пристеночной турбулентности.
В соответствии с экспериментальными данными пропорциональ-
пропорциональность пути перемешивания расстоянию от стенки имеет место лишь
до #у7?^0,1. В этой области и«0,4. При y/R>0,\ увеличение пути
перемешивания замедляется и определяется интерполяционной
формулой
//# = 0,14-0,08A -*///?J-0,06A-у//?)*; (8.9)
2) вблизи стенки напряжение трения является чисто турбулент-
турбулентным, постоянно и равно напряжению трения на стенке та =тт =
*=Tw=|Const. Тогда, с использованием формул (8.5) и (8.8), полу-
получим
(gJ (8.10)
Интегрируя (8.10), получим универсальный закон распределения
скоростей в турбулентном пристеночном течении
и = Vx*/Q lny + c: (8. 11)
Для того, чтобы (8.11) придать безразмерный вид, введем в рас-
рассмотрение: 1) динамическую скорость v*
^ = KitJ/Q = /I5VJ, - (8. 12)
которая является мерой интенсивности пульсационного движения;
2) число Рейнольдса v#yfv, выражающее соотношение сил инерции
147
пульсационного движения к силам вязкости. Учитывая, что v*lv-
= const, получим ^
f*
(8.13)
где С\—-экспериментальная константа, зависящая от шероховато-
шероховатости стенки.
Для гладких стенок Ci = 5,5 и, с учетом х = 0,4, универсальный
закон распределения -скоростей примет вид
(8.14)
JO
25
го
75
10
(у
/
>
Sf
у
о Re- y-W3
• 2j3'W*
€> 1,1-W5
Ф 4-,0-W5
® 1,1-W6
e 2,O'WS
&/??>= 3,2-W6.
9 Pauxapdm
5
Jr
Рис. 8.1. Универсальный логарифмический ,закон распределения скоростей в
гладкой трубе:
/—кривая, соответствующая уравнению ф=Т1, т. е. ламинарному течению; 2—то же перехо-
переходу от ламинарной формы течения к турбулентной; 3—то же уравнению (8.14), т. е. турбу-
турбулентному течению при любых числах Рейнольдса; 4—то же уравнению (8.25), т. е. турбу-
турбулентному течению при Re<105; 5—то же уравнению ф= 11,5тI/10
На рис. 8.1 сопоставляются результаты расчета по (8.14) (кривая
3) с да-н,ными эксперимента для гладких труб <в широком диапазо-
диапазоне чисел Рейнольдса Re = Qud/\x. Кривая 1 соответствует ламинар-
ламинарному течению в ламинарном подслое и рассчитана по уравнению
u/v* = v*y/v, которое получается из формул (8.3) и (8.12). Кривая
2 проведена по экспериментальным точкам для переходной обла-
области от ламинарного к турбулентному течению.
Приведенные данные подтверждают существование в присте-
пристеночном турбулентном пограничном слое трех качественно отлич-
отличных областей течения:
148
при (ii^/v)<5-чисто ламинарное течение (кривая /);
при 5 < (^y/vX 70 — ламинарно-турбулентное течение
2)
р
(кривая 2);
при (v*y/v) > 70 — чисто турбулентное течение (кривая 3).
(8.15)
Универсальный закон распределения скоростей не применим
вблизи стенки при (у* #/v) <70, где молекулярное трение, которым
мы пренебрегали пр.и выводе закона, играет существенную роль.
В области чисто турбулентного течения при v*y/v>70 вплоть до
оси трубы универсальный закон хорошо подтверждается экспери-
экспериментами в широком диапазоне чисел Рейнольдса, что и доказывает
его универсальность и позволяет распространить <на любые, сколь
угодно большие числа Рейнольдса без экспериментальной про-
проверки.
В турбулентном ядре условия t = tw=const и 1 = 0,4 у, принятые
при выводе логарифмического закона распределения скоростей, не
выполняются: с увеличением у (уменьшением г) т, в соответствии
с (8.6), уменьшается, а путь перемешивания I возрастает все мед-
леннее (8.9). Хорошее совпадение логарифмического закона с экс-
экспериментальными данным,и в этой области объясняется тем, что т
и / располагаются в разных сторонах исходного уравнения (8.5)
и изменение т компенсируется изменением /.
Универсальность логарифмического закона — его кажущаяся
независимость от числа Рейнольдса — объясняется тем, что в его
выражения входит динамическая скорость VxViwlQ' определяе-
определяемая напряжением трения на стенке, которое зависит от числа Рей-
кольдса.
Толщина ламинарного подслоя бл и скорость ил
при у = дл. Практически невозможно точно определить границу
ламинарного подслоя. В соответствии с рис. 8.1 л условиями (8.15)
она может быть определена по точке касания кривых 1 и 2 пример-
примерно при lg (v^y/v) «0,7, т. е.
8л«5г/г>„. (8.16)
Зависимость (8.16) используется при изучении влияния шерохова-
шероховатости стенки на характеристики турбулентного течения (п. 8.3).
Очень часто толщину ламинарного подслоя определяют по точке
пересечения кривых 1 и 3:
ЪЛ = <*Ф*, (8. 17)
где а= 11,5... 12,5 — вторая основная экспериментальная констан-
константа пристеночной турбулентности.
Скорость ия на границе ламинарного подслоя получим, подста-
подставив в (8.3) значение бл из (8.17):
(8. 18)
Из формул (8.17) и (8.18) следует, что число Рейнольдса, сос-
составленное для ламинарного подслоя, .имеет постоянное значение
для любых чисел Рейнольдса осредненного течения
Reg =jMi:==a2^ 130...156. (8. 19)
л
Незначительная величина Re^ показывает, что в ламинарном под-
подслое силы вязкости существенно .превышают силы инерции и в нем
имеет место в основном ламинарное течение. При увеличении чис-
числа Рейнольдса осредненного течения «в трубе за счет увеличения
скорости увеличивается и ил, а толщина ламинарного подслоя при
этом уменьшается, так как ReSji=const. Это явление оказывает су-
существенное влияние на трение при турбулентном течении около
шероховатых поверхностей (п. 8.3).
Граница переходной области определяется точкой,
где кривая 2 сливается с кривой 3 (см. рис. 8.1):
. (8.20)
Поле скоростей в переходной области представляет собой плавную
кривую, сопрягающую логарифмическое поле турбулентного ядра
и линейное в ламинарном подслое. Уравнение этого поля можно
получить, если при выводе логарифмического закона учесть моле-
(du . 010du \
та = р |-Qx2/2 — 1 и граничные условия лами-
ламинарного подслоя, полученные из эксперимента.
М а кс и ;м а л ь н а я и с р е д н я я скорости осредненно-
осредненного течения. Максимальную скорость определим из (8.14) при
условии y=R:
^^ = 2,5 In i!s*-f5,5. (8.2l)
Вычитая из (8.21) значение — по формуле (8.14), получим
g =_2,51п^-; JL=Jhn^L JL 2,5 In-2-. (8.22)
Среднюю скорость определим по C.14), подставив значения ufv*
кз (8.22):
о о
Выполнив интегрирование, получим
(8.23)
Степенной закон распределения скоростей.
Опыты показывают, что поле скоростей в турбулентном пристеноч-
150
ном пограничном слое хорошо описывается следующим, чисто эм-
эмпирическим, степенным законом
u/umax = (y/R)" или и/иш»=A-г/^)«, (8.24)
где п — показатель степени, определяемый экспериментально.
Недостаток степенного закона состоит в том, что он не универ-
универсален: показатель степени п зависит от числа Рейнольдса, умень-
уменьшаясь с его увеличением (табл. 8.1). В пределах Re = 4-103... 105"
достаточно хорошее совпадение расчетных и экспериментальных
данных обеспечивается при п=1/7. Поэтому степенной закон назы-
называют законом одной седьмой. Большим преимуществом степенного*
закона является простота, что и определяет широкое применение
его в технических расчетах.
Таблица 8.Т
Re=«cprf/v
п
с (л)
Mcp/Wmax
Коэффициент Ко-
риолиса а
Ламинар-
нсе
течение
Re<ReKp
0,5
2,0
Турбулентное течение
4-Ю3
1/6
7,8
0,79
1,13
2,3-10*
1/6,6
8,37
0,81
1,Ы05
1/7
8,74
0,82
1,05
1,Ы0«
1/8,8
10,4
0,85
3,2-106
1/10
11,5
0,875
1,025
оо
0
1
1
Уравнению (8.24) придают следующий вид
ti/v# = с (п) (yvx/v)n. (8. 25)
Значения коэффициента с(п) для различных чисел Рейнольдса
приведены в та'бл. 8.1. На рис. 8.1 нанесена кривая 4, рассчитанная
по уравнению (8.25) три п=1/7, которая хорошо совпадает с ре-
результатами опыта только до Re<105. Кривая 5 представляет рас-
распределение скоростей при /г= 1/10. В этом случае наблюдается хо-
хорошее совпадение с опытными данными при больших числах Re if
расхождение при малых.
Задача 8.1. Получите формулу uCp/um3iXi используя степенной закон (8.24>
и методику получения формулы (8.23).
Ответ:
—. (8.26)
"max (я
Отношение ucv/um8iX характеризует наполненность поля скорос-
скоростей: при uCp/umSLX=l поле скоростей полностью наполнено или рав-
равномерно. Для ламинарного течения аСр/атах = 0,5 и не зависит от
числа Рейнольдса. Мощный механизм турбулентного перемешива-
перемешивания приводит .к выравниванию поля скоростей и к существенному
увеличению ucvJum8iX, возрастающему с увеличением числа Рей-
нольдса, в пределе до единицы.
На рис. 8.2 приведены безразмерные поля скоростей, измерен-
измеренные в гладких трубах. Турбулентные поля скоростей существенно
151
и/и
to
¦0.8
0,6
цг
f
/
/
/
/
/
/
/
/
2
&&
/
/
о Re^O-103
о ф10*
о A -10s
© 1,1-10е
® 2,0-Ю6
®/?e=3,0-10s
qz
0,6
0.8
Рис. 8.2. Распределение скоростей в
гладкой трубе при различных числах
Рейнольдса (по Никурадзе):
/—турбулентная; 2—ламинарная Re<2300
более наполнены по сравнению
с параболическим ламинарным
и их наполненность повыша-
повышается с увеличением числа Рей-
Рейнольдса. Большей наполненно-
наполненности соответствует более крутое
нарастание скорости у стенки
(ди/ду)т'^>(ди1ду)л и, следо-
следовательно, большая кинетичес-
кинетическая энергия слоев жидкости,
текущих в непосредственной
близости от стенки при одина-
одинаковых среднерасходных ско-
скоростях. Поэтому различная на-
наполненность полей скоростей в
ламинарных и турбулентных
пристеночных пограничных
слоях является их основной
особенностью, которая часто
определяет качественное отли-
отличие в развитии важнейших те-
течений жидкостей (см. п. 15.6).
Коэффициент неравномерности поля скоростей а (п. 7.2) для
турбулентного течения в трубе близок к единице (см. табл. 8.1) и
обычно в расчетах этих течений не учитывается.
Задача 8.2. Керосин <q = 840 кг/м3 при Т=288 К в количестве G= 19,9 кг/с
подается на испытательную станцию тю трубе d=0,ll м с гладкими стенками.
На участке L='liO м развитого турбулентного течения измерен пе-
перепад давлений Ap=Pi-p»=4,6-l!Q4 Па. Требуется: 1) Д™азатъ,
что течение турбулентное, т^ = П,5 Н/'м2, i/*=0,117 м/с, бл/#=4,5-10 3,
MjI/ttmax = 0,46, Mcp/Wmax = 0,85, t/nePex/^ = 2,7-10-2; 2) предположить, что тече;
ние при заданных условиях ламинарное и сравнить размерные поля скоростей
ламинарного и турбулентного течений, отметив характерные особенности; 3) до-
доказать, что Дрг/'АРл = 3(Х
8.2. ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ ГЛАДКИХ ТРУБ
Выведем ,из универсального закона распределения скоростей
соответствующий универсальный закон сопротивления. Для этого
подставим в (8.23) величину umaLX из (8.21) и получим
(8. 27)
и
-ср"
Формула (8.7) с учетом (8.12) примет вид
Мер /Стр
2/2
(8. 28)
ср
Подставив в (8.27) динамическую скорость v* из (8.28) и (преобра-
(преобразовав величину
152
заменим натуральный логарифм десятичным и оолучим закон со-
сопротивления
—L-=2,0351g(Reyc7p)-0,91.
Формула с незначительно измененными численными коэффициен-
коэффициентами по сравнению с их значениями, полученными теоретически,
_L=—2 lg (Re 1/сТр) — 0,8
У Стр
(8. 29)
100
го
3
8
7
6
5
2,0
%
X-
\
\
D
V
V
© R/Xs-507
* 252
• 126
о 60
э Щ
А
(роя
to
никурайзе й-R/K' 1300~Галаб1
(песочная (техничесл
mepoxoSamoc/nt,) шерахоба/ni
кХГТ
?>
m
__ 1
mnTirrtff
pnfyna
>»¦¦¦¦¦¦"
^A
>—e
•ее*
M*
»«-
tfi.
¦r
в
If!)
•(>
tea
6 8 W3 2
4- 6 810s Z
Рис. 8.З. Закон сопротивления шероховатых труб:
/—кривая, соответствующая закону сопротивления G.19) при ламинарном течении;
2—то же закону сопротивления (8.30) при турбулентном течении в гладкой трубе;
3—то же закону сопротивления (8.29) при турбулентном течении в гладкой трубе
выражает универсальный закон сопротивленля Прандтля для
гладких труб при турбулентном течении. Вывод этой формулы име-
имеет большое теоретическое значение, так ка(к устанавливает одно-
однозначную связь между профилем скоростей и законом сопротивле-
сопротивления. С использованием закона сопротивления все характеристики
турбулентного течения в гладкой трубе могут быть рассчитаны,
если известны |ы, q, ucv, dy т. е. Re = Q«Cp^/M"
Закон сопротивления, соответствующий сте-
степенному закону распределения скоростей при «=1/7, был
получен Блазиусом в 1911 г. на основании обработки э(кспер,имен-
тальных данных с учетом закона подобия Рейнольдса и называется
формулой Блазиуса
^4 (8.30)
t^Re
153
Оказывается, что эта формула может быть получена теоретически
на основами (8.24) при п=\/7. Подставляя значение ?Тр из (8.30)
в (8.7), заменяя d = 2JR и wcp = 0,8 umaXi получим
. (8. 31)
Опыты Никурадзе. На рис. 8.3 нанесены коэффициенты
сопротивления гладких и шероховатых труб, полученные И. И. Ни-
куразде в экспериментах A930—1933 гг.). Универсальный закон
сопротивления (8.29)—кривая 3 — блестяще подтверждается экс-
экспериментальными данными во всей области турбулентного течения
в гладких трубах ,и может быть экстраполирован .на сколь угодно
большие числа Рейнольдса.
ФорхМула Блазиуса (8.30) дает хорошее совпадение с экспери-
экспериментальными данными только до Re^lO5.
В расчетах удобно пользоваться формулами И. И. Никурадзе
и П. К. Казакова
W=0,0032+1gl W=_J__, (8.32)
которые аппроксимируют универсальный закон сопротивления в яв-
*ном виде ?TP f(R)
8.3. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ШЕРОХОВАТЫХ ТРУБАХ
Все реальные стенки в большей или меньшей степени шерохо-
шероховаты. Естественная шероховатость может иметь самые различные
размеры, геометрические формы и распределение по поверхности.
Это крайне затрудняет ее количественную оценку и обобщение ре-
результатов исследования ее влияния на закон сопротивления и рас-
распределение скоростей. На рис. 8.3 представлены результаты экспе-
экспериментов Никурадзе с круглыми трубами, внутренние стенки ко-
которых были плотно обклеены песком с зернами определенных раз-
размеров. Такая однородная «песочная» шероховатость полностью ха-
характеризуется так называемой абсолютной шероховатостью, т. е-
средней высотой гребешков шероховатости Ks и относительной
шероховатостью Ks//? или относительной гладкостью трубы RIKs-
При ламинарном течении все шероховатые трубы имеют такое же
сопротивление, как и гладкие — закон сопротивления, а следова-
следовательно и распределение скоростей не изменяется. Это объясняется
тем, что вязкая жидкость заполняет впадины между бугорками и
л амин арность течения не нарушается. Критическое число Рей-
Рейнольдса и сопротивление в переходной области также практически
не зависят от шероховатости.
При турбулентном течении в шероховатых трубах следует раз-
различать:
1) режим без проявления шероховатости, когда
в определенных пределах чисел Рейнольдса коэффициенты сопро-
сопротивления шероховатых и гладких труб совпадают. В этом случае
величина гребешков шероховатости так мала, что все они лежат
154
внутри ламинарного подслоя (К8/6Л<1) и не возмущают ламинар-
ламинарное течение в подслое так же, как это наблюдается при ламинар-
ламинарном течении в трубе. Такие трубы называются технически или гид-
гидравлически гладкими.
Коэффициент сопротивления для гидравлически гладких труб»
рассчитывается по формулам для гладких труб и не зависит от ше-
шероховатости. Предельная величина шероховатости для этого режи-
режима определяется в соответствии с условияхми (8.15)
2) переходный режим наступает при увеличении числа
Рейнольдса и уменьшении при этом толщины ламинарного подслоя
(8.19), так что Кв/6Л>1. Гребешки шероховатости частично попа-
попадают в область турбулентного течения, вызывая дополнительные
завихрения и потери энергии. Кривая ?Tp=/(Re) шероховатой тру-
трубы отходит вверх от кривой гладкой трубы. Величина шерохова-
шероховатости для этой области определяется по (8.15)
5<_К^<70) Стр==/(Не; K5/R).
Коэффициент сопротивления в этой области зависит как от числа
Рейнольдса, так и от относительной шероховатости.
3) режим с полным проявлением шероховатое-
т и, при котором все гребешки шероховатости выступают из лами-
ламинарного подслоя
Сопротивление обусловлено не тренлем, а завихрением турбулент-
турбулентно текущей жидкости гребешками шероховатости. Поэтому коэф-
коэффициент сопротивления прения не зависит от числа Рейнольдса:
а определяется только величиной шероховатости (чем больше
KsfR, тем больше ?Тр). Этот режим течения называется, кроме то-
того, автомодельным относительно числа Рейнольдса и режимом
квадратичной зависимости гидравлического сопротивления от ско-
2
рости, что следует из формулы Дарси—Вейбаха Д/7=С*р — ,
в которой, в данном случае, ?Тр не зависит от числа Рейнольдса и,
следовательно, скорости. Для расчета коэффициента сопротивле-
сопротивления для шероховатых труб получена интерполяционная формула
-7^=l,74-21g (i<?-| ^т=~) . (8.33)
При исчезающе малой шероховатости Ks/R-^0 формула (8.33) пе-
переходит в формулу (8.29) универсального закона сопротивления
для гладких труб. При Re->oo — в формулу
155
которая представляет собой универсальный закон сопротивления
для режима с полным -проявлением шероховатости.
Для практических расчетов сопротивления труб с естественной
шероховатостью широко используется универсальная формула
А. Д. Альтшуля
4' (8-35)
где К'— размер, пропорциональный абсолютной шероховатости
(табл. 8.2).
Таблица 8.2
Материал трубы
Стекло
Тянутые трубы из латуни,
свинца, меди
Бесшовные стальные трубы
тщательного изготовления
Стальные трубы
Чугунные трубы
к
0,6
3,0
25
• 103,
мм
0
0
, .
2,0
.10
.50
Рис. 8.4. Распределение скоростей
в шероховатых трубах (по закону
Никурадзе)
Цв y/R
При малых значениях Re— по сравнению с числом 7 формула
d
(8.35) переходит в формулу Канакова (8.32) для гладких труб.
При Re—^>7 обращается в формулу для режима с полным про-
проявлением шероховатости
Стр = - —— • (8-36)
Распределение скоростей. Закону сопротивления ше-
шероховатых труб соответствует распределение скоростей. На рис. 8.4
изображены профиль скорости для гладкой трубы и три профиля
для труб с различной шероховатостью для режима с полным про-
проявлением шероховатости. Профили скоростей в шероховатых тру-
трубах менее наполнены и имеют вблизи стенок тем менее крутое на-
нарастание скорости, чем больше шероховатость. Приведенные поля
скоростей для шероховатых труб могут быть описаны степенным
законом с показателем п= 1/4 ... 1/5.
156
8.4. РАСЧЕТ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПОТЕРЬ В ТРУБАХ
С НЕКРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
Определим силу трения, действующую на внешнюю поверхность
жидкости, текущей в трубе длиной L
Rx = ULxw, (8.37)
где П—смачиваемый периметр сечения трубы; xw — касательное
напряжение на стенке, зависящее в основном от средней скорости
к плотности жидкости и от числа Рейнольдса. Из (8.37) следует,
что при прочих равных условиях, сила трения пропорциональна
смачиваемому периметру. При заданной площади сечения круг
имеет наименьший периметр, поэтому круглые трубы имеют наи-
наименьшее сопротивление. Однако на практике, например в теплооб-
менных аппаратах, используются трубы с некруглым сечением.
Опыты показывают, что для расчета сопротивления труб некругло-
некруглого сечения применимы все формулы для круглых труб, если в них
диаметр заменить на гидравлический диаметр, равный отношению
учетверенной площади поперечного сечения потока к смачиваемо-
смачиваемому периметру трубы *
Эта замена обеспечивает количественный учет влияния формы се-
сечения и смачиваемого периметра на режим течения и сопротивле-
сопротивления труб некруглого сечения. Для трубы круглого сечения dT=d.
Задача 8.3. Для условий задачи 8.2 сопоставить гидравлические потери
при подаче керосина по трубам прямоугольного сечения «S=0,0475 X 0,2=9,5 X
Х10-3 м2 и круглого сечения 5 = л;Я2=3,14@,055J=9,5-10-3 м2.
Ответ: Ар,—1/А/7О=1,'52.
* Возмолшо использование гидравлического радиуса #r=S/n=l,4tfr.
157
Глава 9
МЕСТНЫЕ ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ
СОПРОТИВЛЕНИЯ. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ
ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ
Затраты полного напора жидкости на преодоление местных со-
сопротивлений рассчитываются по формуле Дарси F.32). Подстав-
Подставляя в F.32) значение средней скорости п* = ~1Г> получим
(9.1)
Задача расчета Ар*м состоит в определении коэффициентов раз-
различных местных сопротивлений ? для турбулентного и ламинарно-
ламинарного течений.
9.1. МЕСТНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
ПРИ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЯХ
Опыты показывают, что при турбулентном режиме течения -ве-
-величина коэффициента ? зависит почти исключительно от типа мест-
местного сопротивления и практически не зависит от Re (автомодель-
на относительно Re). Это соответствует квадратичному закону
местного сопротивления Д/?м*~и2, который является признаком:
того, что местные потери в основном обусловлены вихреобразова-
кием, но не трением. Обычно коэффициенты местных сопротивле-
сопротивлений определяются из опытов и даются в виде графиков, таблиц и
эмпирических формул. Коэффициент местного сопротивления для
внезапного расширения трубы может быть рассчитан аналитически.
Потери при внезапном расширении трубы
(«удар» Б о р д а — К а р н о). Измерение потерь полного напора
при внезапном расширении трубы представлено на рис. 6.7,а. По-
Поток вытекает из малой трубы, но сечение его увеличивается не
внезапно, как у канала, а постепенно. Поток сам создает себе
постепенно расширяющийся жидкий контур, в котором скорость
уменьшается (u2 = UiSi/S2), а статическое давление возрастает
Р2>Р\- Турбулентные пульсации подсасывают жидкость из кольце-
кольцевого пространства, расположенного между жидким контуром и
стенкой трубы большего диаметра. Часть полного напора затрачи-
затрачивается на образование и поддержание вихрей и обратных токов в
этой зоне. Трение приводит к затуханию вихрей, вызывая диссипа-
диссипацию энергии. Потери при внезапном расширении канала называ--
158
ются потерями на «удар» Борда — Карно,
так как скорость жидкости уменьшается на f
малом расстоянии и быстро текущая жид- s
кость как бы соударяется с медленно теку-
щей. -
Контрольное сечение 1 выберем сразу t
за малой трубой. В этом сечении все па-
параметры потока соответствуют площади Sx рис 9 х лабиринтное
малой трубы и равны щ; рх; p*v но давле- уплотнение
ние рх действует на всю торцевую площадь,
равную S2. Сечение 2 выберем там, где
жидкий контур расширяется до стенок трубы. Обозначим искомые
потери через Д/?* = р*— р\. Примем, что поля скоростей в сечениях
1 и 2 равномерны (ai = a2= 1), трение о стенки канала отсутствует
и запишем для участка 1—2 уравнение Бернулли G.25), количест-
количества движения D.12) и неразрывности C.22)
2 2
J^p-; (9.2)
{Р\ — P2)S2=Q{u2~ ui) = u2QS2(ii2 — иг); (9.3)
ulS1. (9.4)
Подставим в (9.2) значение pi—р2 из (9.3) и затем и2\и,\ из (9.4),
получим формулу для подсчета потерь на «удар» Борда—Карно
2
д ;? \Ц\ ^2/ / 1 *^1 \ 1 /Q СЧ
^ ~Q 2 ~"V ~~1?2/ ^~#
Сопоставляя формулы (9.5) и (9.1), определим искомый коэффи-
коэффициент сопротивления
(9.6)
Формулы (9.5) и (9.6) выражают теорему Борда — Кар-
Карно: «Потеря полного напора равна скоростному напору потерян-
потерянной скорости q(u{—и2J/2». Эта теорема хорошо подтверждается
экспериментами и будет .использована при изучении течений в диф-
диффузорах (п. 16.1).
На рис. 9.1 представлена схема лабиринтного уплотнения, ши-
широко используемого в технике для уменьшения перетекания жид-
жидкости из области р\ в область р2<р\. В подшипнике протачивают-
протачиваются кольцевые канавки, образующие ряд внезапных расширений ка-
канала-зазора, повышающих его гидравлическое сопротивление. Та-
Таким образом, гидравлическое сопротивление может играть не толь-
только отрицательную роль (затрата энергии), но и положительную.
Потери при внезапном сужении трубы (рис.
6.7,б) обусловлены, главным образом, вихреобразованием при вхо-
входе в трубу меньшего диаметра — поток срывается с острой кромки.
На частицы жидкости, движущейся по криволинейным линиям
159
тока действуют центробежные силы, направленные к оси струи и
сжимающие ее так, что S3<52. Течение на участке 3—2 аналогич-
аналогично «удару» Борда—Карно. Для расчета коэффициента сопротивле-
сопротивления внезапного сужения И. Е. Идельчи'ком [12] предложена эмпи-
эмпирическая формула
(9.7)
Скругление входной кромки .приводит к уменьшению потерь. Если
тонкостенную трубу меньшего диаметра вставить внутрь большей
трубы так, чтобы ее -конец был погружен в жидкость, то радиус
кривизны струек, втекающих в трубу, уменьшится, центробежные
силы, сжимающие струю, возрастут и с ним,и возрастут потери.
Эти эффекты ,не учитываются формулой (9.7).
Задача 9.1. Сравните максимально возможные гидравлические потери при
внезапном расширении и сужении канала. Укажите условия их возникновения и
в каком из этих двух случаев возможно возникновение кавитации.
Потери при постепенном сужении канала (см.
рис. 6.7,г). Конфузорные течения устойчивы — в них нет причин
для возникновения вихрей (п. 15.6). Вихри образуются лишь в ци-
цилиндрической трубе на выходе из конфузора. Для устранения этих
вихреобразований коническую часть следует сопрягать с цилиндри-
цилиндрической плавной кривой. В справочниках [12] приводятся формулы
для построения сопла Витошинского. На выходе из этого сопла
поле скоростей близко к равномерному, а потери минимальны.
Так как потери в таком сопле обусловлены, в основном, трением,
то коэффициент местных потерь зависит от числа Рейнольдса и от-
отношения площадей Si/S2 и колеблется в пределах ?=0,01 ... 0,1.
Меньшие значения соответствуют большим числам Re.
Потери в колене. Коленом называется внезапный поворот
канала без закругления. Потери обусловлены вихреобразованием
и быстро увеличиваются с увеличением угла поворота б. При 8 =
= 90° ?Кол=1. Из-за больших потерь холена в трубопроводах при-
применять не рекомендуется.
Потери в отводах. По сравнению с коленом при плавном
повороте трубы (в отводе) сопротивление «снижается и тем больше,
чем больше относительный радиус кривизны R/d (см. рис. 6.7,д и
9.2). Потери в отводах состоят из потерь на трение и вихреобразо-
вание. Потери на трение учитывают, включая длину колен в об-
общую длину трубопровода.
Потери на вихреобразования рассчитываются по формуле
A/?* = A/7=--COTBQa2/2. (9.8)
Коэффициент сопротивления отвода зависит от относительного
радиуса кривизны R/d, угла поворота б и формы поперечного сече-
сечения канала и рассчитывается по эмпирической формуле, предло-
предложенной Г. Н. Абрамовичем
Сотв = 0,73а&с, (9.9)
где a = /1(R/d); Ь = /2(Ь); c = /3(l/d) (см. рис. 9.2). Зависимости
160
a=fl(R/d) и b=f2{8) не требуют пояснений. Зависимость с=
=h(l/d) показывает, что сопротивление отвода имеет минимум
при //d=2,5. При движении жидкости по криволинейному каналу
на все частицы жидкости в направлении радиуса кривизны дейст-
действуют центробежные силы, пропорциональные квадрату окружной
Непросрилировань /
Направляющие лопатки
Профилированы
Рис. 9.2. Иллюстрация к расчету сопротивления отводов
скорости, .которая у оси больше, чем у боковых стенок, где ско-
скорость снижается за счет трения. Поэтому в отводе возникает
«па!рный вихрь»: в середине потока жидкость перемещается от
внутренней стенки .к -внешней, а у боковых стенок в обратном на-
направлении (см. рис. 9.2). В результате сложения кругового и пос-
поступательного движений жидкости в отводе поток разделяется на
два винтовых потока. На образование и поддержание napnofo вих-
вихря расходуется полный напор жидкости. Эта потеря пропорцио-
пропорциональна моменту инерции площади поперечного сечения вихря. Ми-
Минимальным моментом инерции обладает круглое сечение вихря,
которое и получается при соотношении сторон l/d=2,5. Примене-
Применение наивыгоднейшей формы сечения отвода (//d = 2,5) уменьшает
notepio на вихреобразование в 2,5 раза по сравнению с круглым
6 950 Ш1
Вид сопротивления
Гибкое соединение труб
Угольник 90° (корпус свер-
сверленый)
Тройник-ответвление
Кран топливный
Обратный клапан
Фильтр сетчатый
Датчик расходомера
вращающейся крыльчатке
Таблица 9.1 сечением. Для уменьшения со-
сопротивления отводов больших
размеров (в аэродинамических
трубах, в двигателях) в них
устанавливают направляющие
лопатки, изогнутые по дуге
круга (непро'филированные)
или еще более эффективные —
профилированные (см. рис.
при
То же при заторможенной
крыльчатке
Выход в трубу (выход из
бака)
Выход из трубы (вход в
бак)
0,3
1,2... 1,3
3,5
1...2,5
11...12
0,5..Л
1,0
2»° 9.2). Установка лопаток пре-
• 70 пятствует вихреобразованию и
существенно уменьшает сопро-
сопротивление отводов.
В системах охлаждения,
смазки и топливных системах
двигателей и испытательных
установок обычно имеет место
турбулентный режим течения
жидкости и можно считать,
что коэффициенты местных сопротивлений не зависят от числа
Re. Ориентировочные данные для некоторых местных сопротив-
сопротивлений приведены в табл. 9.1.
9.2. МЕСТНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ЛАМИНАРНОМ
РЕЖИМЕ ТЕЧЕНИЯ
При ламинарном режиме течения потери напора на преодоле-
преодоление местных сопротивлений представляет собой сумму
* * *
где Д/?тр — потеря напора на преодоление сил тренич, действующих
в данном местном сопротивлении пропорциональная первым степе-
степеням вязкости жидкости и скорости, т. е. A/?T*p=(,4/Re)(Q#2/2): Д/?вихР—
потери напора на отрывы потока и вихреобрааование в местном
сопротивлении, пропорциональная квадрату скорости, т. е. Д/?вИхР =
= Bqu?/2.
Следовательно
где Л и В — безразмерные .констаиты, зависящие от формы и раз-
размеров местного сопротивления. Сопоставляя формулы (9.10) и
(9.11), найдем
Re
(9. 12)
Соотношение между первыми и вторыми членами в формулах
(9.10) ... (9.12) зависит от формы и размеров местного сопротивле-
сопротивления и от числа Re. Например, при течении через жиклер (рис. 9.3)
162
на участке 1—2 имеют место потери
напора на трение, а на участке 2—3 —
на завихрение. В настоящее время ве- кию
личины коэффициентов местных со-
сопротивлений при ламинарном режиме т
ю
1
b
! L
1 3
сЪчг
3
Л
ч
\
<!
\
\
si
s
\
г \
2
\
ч
5s,
, s
Рис. 9.3. Схема жиклера
определяются эксперимен-
10 1OZ 10 Rer
Рис. 9.4. Зависимость коэф»
фициентов местных сопро-
сопротивлений от числа Рей-
нольдса:
1—фильтр фетровый; 2—кран*
отключения; 3—клапан; 4—
угольник 90°; 5—обратный кла-
клапан
течения
тально.
На рис. 9.4 приведены, в логариф-
логарифмических координатах, зависимости
?=/(Re) для некоторых местных со-
сопротивлений, измеренные в экспериментах. При ламинарном тече-
течении (Re<ReKp) коэффициенты местных сопротивлений уменьшают-
уменьшаются с увеличением числа Рейнольдса, что отражает существенное
влияние трения. При переходе к турбулентному течению (Re>
>ReKp) наблюдается переход к автомодельной области.
Задача 9.2. Объясните, почему, теорема об «ударе» Борда—Карно не приме-
применима при ламинарном течении.
Задача 9.3. Рассчитать потери полного напора при истечении из трубы S\
в неограниченное пространство S2->oo стабилизированных ламинарного и тур-
турбулентного потоков, выразив потери через средние скорости. Ответ: А/7* = QtfJ?p;
V
Эквивалентная длина трубопровода. При расче-
расчетах ламинарных течений в трубопроводах в тех случаях, когда
местные сопротивления пропорциональны скорости в первой степе-
степени, их часто для удобства выражают через эквивалентную длину
трубопровода /Экв. Эквивалентной называется длина такого прямое
линейного трубопровода заданного диаметра, сопротивление кото-
которого равно данному местному -сопротивлению, т. е.
2 = (^квМ) ^— > следовательно
Re 2
1ЭКВ=Ы Re/64.
(9.13)
В этом случае суммарные потери полеого напора на участке тру*
бопровода длиной I, на которой размещено местное сопротивление,
будет
?. (9.14)
163
9.3. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ
И НАСАДКИ
Изучение истечения жидкостей имеет большое практическое
значение, так как этот процесс реализуется при подаче топлива
через форсунки в камеры сгорания двигателей, при подаче воды
через сопла на лопасти гидротурбин и для получения тяги водо-
водометных судо.в, при перетекании жидкостей через жиклеры в систе-
системах регулирования двигателей и т. д.
В процессе истечения потенциальная энергия жидкости частич-
^" но превращается в кинетическую энер-
энергию струи и частично затрачивается
на преодоление гидравлических по-
потерь. Задача состоит в определении
скорости истечения жидкости, ее рас-
расхода и гидравлических потерь при за-
заданных условиях или необходимых
условий для получения заданного рас-
расхода и скорости истечения.
Истечение жидкости через
малое отверстие в тонкой
стенке при постоянном напо-
р е. Рассмотрим (рис. 9.5) истечение
жидкости (q, (ы) из сосуда неограни-
неограниченной емкости в газовую среду при
постоянном напоре, или перепаде давления pi+QgZ\—р2 при сле-
следующих условиях: 1) отверстие мало d\[zxA—— )<0,1, что позво-
\ Qg I
ляет принять постоянство напора для любой точки отверстия;
2) стенка либо тонка, либо имеет острую кромку (см. рис. 9.5),
так что потери на трение по длине отсутствуют; 3) отверстие до-
достаточно удалено от свободной поверхности 1—1 и боковых стенок,
так что струйки жидкости подтекают к отверстию свободно и сим-
симметрично со всех сторон. Требуется определить скорость истечения,
расход жидкости и коэффициент сопротивления отверстия ?.
Частицы жидкости, обтекая кромку отверстия, движутся по кри-
криволинейным траекториям, что приводит к возникновению центробеж-
центробежных сил, направленных к оси и сжимающих струю до минимально-
минимального диаметра d2<d ,на расстоянии @,5... 1) d от стенки. В этом сече-
сечении давление в струе становится равным давлению р2 окружающей
среды. Отношение площади сечения сжатой струи S2 к площади
отверстия 5 называется коэффициентом совершенного сжатия
СТруи 8.
(9. 15)
cfZts2
Рис. 9.5. Истечение через
отверстие в тонкой стенке
Для определения скорости истечения и2 запишем уравнение
Бернулли G.25) для участка 1—2. При этом примем, что скорость
жидкости в сечении 2—2 струи и2 распределена равномерно (ко-
(коэффициент Кориолиса аг=1), скорость жидкости в сечении 1—/
164
&i = 0, так как Si^$>S, нивелирная плоскость проходит через ось
струи и учтем, что гидравлические потери являются местными по-
потерями /Тр=€()И22/2 и техническая работа отсутствует 1теХ==®
(9. 16)
Из (9.16) получим
^/Щ ггЕЩуё (9.17)
Если бы из отверстия .истекала жидкость без гидравлических по-
потерь (? = 0), то теоретическая скорость истечения ит была бы боль-
больше действительной:
(9. 18)
В формулах (9.17) и (9.18) Я — перепад гидростатических напо-
напоров на оси отверстия; у = и2/ит— l/yi + ? — скоростной коэффициент,
учитывающий снижение скорости .истечения по сравнению с теоре-
теоретической за счет потерь. Опыты показывают, что скорость в ядре
струи равна теоретической, а наружные слои движутся медленнее,
так как заторможены при взаимодействии со стенкой. Поэтому и2
в действительности является среднемассовой скоростью в сеченич
2—2. Подсчитаем расход жидкости через сечение 2—2:
(9.19)
где -ф=Еф = G/GT — коэффициент расхода—отношение действитель-
действительного расхода .к теоретическому Gt=^Sq \f'lgH, т. е. к расходу при
отсутствии потерь (? = 0; ф=1) и сжатия струи (е=1). Коэффици-
Коэффициенты е, ф, г|> зависят от формы и размеров отверстия и от числа
Рейнольдса. На рис. 9.6 приведена зависимость е, ф, if) от Re = uTd/v
для круглого отверстия в тонкой стенке, .полученная из экспери-
экспериментов А. Д. Альтшулем *. При Re<50 велика роль вязкости и
торможения жидкости у кромок отверстия, соответственно велик
коэффициент сопротивления ? и мал скоростной коэффициент ф,
л сжатие струи фактически отсутствует (е^1) и ф^ф. С увеличе-
увеличением числа Рейнольдса вместе с крутым возрастанием ф увеличи-
увеличивается г|), достигая максимума г|)^0,67 при Re»350, а затем
уменьшается в связи с уменьшением ie (увеличением сжатия струи
за счет увеличения -центробежных сил). При Re>5-104 значения
всех коэффициентов асимптотически приближаются к значениям,
соответствующим истечению идеальной жидкости при Re->oo, ?->¦
¦ , ф-Н, 8=0,61 и ф-*0,61. Для маловязких жидкостей (вода,
керосин, бензин, кислоты, жидкие водород и кислород) истечение
обычно происходит при больших числах Рейнольдса и в расчетах
принимают 8=0,63; ? = 0,065; ф = 0,97; -ф=0,61.
* Величины ср и i|), найденные экспериментально, автоматически учитывают
имеющую место неравномерность поля скоростей в сечении струйки 2—2.
165
Задача 9.4. Определить процент снижения действительного расхода по срав-
сравнению с теоретическим .при Re=105. Определить процент снижения расхода за
счет сжатия струи и за счет гидравлического сопротивления (снижения скорости).
Нес о © ершенное сжатие струи происходит при истече-
истечении из струйной форсунки — цилиндрической трубки с круглым
ю
100 500 W00 6000 W* б-Ю* 10sRe=uTd/ у
Рис. 9.6. Зависимости е, ср и г|) от ReT для
круглого отверстия в тонкой стенке
отверстием в центре тонкостенного днища (рис. 9.7). В этом слу-
случае струя сжимается меньше, чем при совершенном сжатии за счет
направляющего действия стенок трубки, а коэффициент сжатия ен
больше е и рассчитывается по эмпирической формуле
ен = е + 0,37/г2, (9.20)
где n = S/S\—отношение площади отверстия к площади сечения
трубки. Если п не очень близко к единице, то коэффициент сопро-
сопротивления ? не зависит от п и величины е и ф определяются по гра-_
фику (см. рис. 9.6), а коэффициент расхода определяется, как
d2fsz
Рис. 9.7. Схема струйной
форсунки
Рис. 9.8. Истечение под
уровень
166
Скорость определяется по уравнению Бернулли G.25) с
учетом кинетической энергии жидкости в трубке (см. рис. 9.7)
Оп\
1 у 2ri *"=<?]/ 2^ —. (9.21)
Задача 9.5. Определить давление торможения р4* перед соплами струйных
форсунок с flf = 2-10-3 м, я=0,2 для впрыска керосина [х=2-10—3 Н • с/м2, @ =
= 820 кг/м3 в форсажную камеру ТРДФ со скоростью и2=100 м/с, если давле-
давление газов в ней р2 = 2,5-105 Па. Определить число форсунок i при G=10 кг/с.
Ответ: pt*=4,6 • 1:0е Па, /= 61.
Истечение через затопленное отверстиеилии-с-
течение 'под уровень называется перетекание жидкости из
одного сосуда в другой, заполненный той же жидкостью (рис. 9.8).
В этом случае гидравлические сопротивления состоят из местного
сопротивления затопленного отверстия-н?ди22/2 и «удара» Борда—
Карно, на который затрачивается вся кинетическая энергия струи
q
Для определения скорости струи в сжатом сечении 2—2 запи-
запишем уравнение Бернулли G.25) для течения жидкости между се-
сечениями 1—1 и 3—3. Учтя, что Wi^O, u3^0 и поле скоростей в се-
сечении 2—2 равномерно, получим
+ {l+Q!!l; T. е.
(9. 22)
У i "Г (. \ L У J
И
G = S2u2q = b<?Sq V2gH = ^SQV2gH, (9. 23)
где H = (z1 — z3)~\—l-—— —разность гидростатических напоров
на оси отверстия до него и за ним.
В данном случае скорость истечения и расход жидкости не за-
зависят от глубины погружения отверстия.
Коэффициенты сжатия—«е, скоростной — ф и расхода — г|), при
истечении под уровень определяются так же, как при истечении
в газ.
Истечение жидкости через внешний цилиндри-
цилиндрический насадок. Внешний цилиндрический насадок представ-
представляет собой цилиндрическую трубку или сверление в толстой стенке
длиной l=B...6)d без закругления входной кромки. Возможны
два режима истечений .из насадка: а я б (рис. 9.9). Режим а на-
наблюдается .гари сравнительно малых напорах и, следовательно, ско*
ростях истечения. Струя при входе в насадок сжимается. Окружен-
Окруженная завихренной жидкостью, она постепенно расширяется так, что
167
на выходе приобретает площадь поперечного сечения насадка.
Поэтому коэффициент сжатия струи для этого режима равен еди-
единице и коэффициент расхода численно равен коэффициенту скоро-
скорости г|)=<р. Потери напора в цилиндрическом насадке в основном
являются потерями на «удар» Борда—Карно между сечениями 2—
3. Осредненные значения коэффициентов для этого режима при
Re= (uTd/v) > 104 следующие:
е=1; С--=0,5; ф = ср= 1/|Л~+С~=0,82.
При истечении через внешний цилиндрический насадок (режим
а) потери напора по сравнению с истечением через отверстие в
Рис. 9.9. Истечение через цилиндрические насадки при различных
режимах:
а—без сжатия струи; б—с сжатием; в—«под уровень»
тонкой стенке .возрастают в 7,7, скорость истечения щ уменьшаете^
примерно в 1,2 раза за счет возникновения дополнительных потерь/
Расход увеличивается в 1,35 раза за счет того, что на выходе от-
отсутствует сужение струи. Это значит, что скорость жидкости и2 вф
сечении 2—2 возрастает в 1,35 раза за счет снижения давления в
этом сечении Р2<рз и мы имеем здесь дело с «сосущим» действием
цилиндрического насадка на режиме а.
Переход истечения от режима а к режиму б. При
увеличении напора Zi~\-———скорость жидкости в сечении 2—2
Qg
увеличивается, а давление уменьшается. При некотором критичес-
критическом значении напора \z1 -f-Pl ~~ Рз) давление в сечении 2—2 до-
\ Qg /кр
стигает давления паров, насыщающих пространство при данной
температуре жидкости (P2 = pt)- При этом начинается кипение
жидкости и режим истечения а переходит <в режим б. Давление а
сечении 2—2 сравнивается с р3 и истечение становится точно та-
таким же, как .истечение через отверстие в тонкой стенке, т. е. ско-
скорость возрастает за счет уменьшения сопротивления, а расход
уменьшается за счет сужения струи.
168
Для определения критического напора примем р\=рг и P2—pt-
Составим уравнение Бер-нулли G.25) для участка 2—3:
- + о
(tf 2кр — ИЗкрJ
(9.24)
где q-
— потери полного напора на „удар" Борда —Карно
на участке 2 — 3 при критическом режиме истечения а. Подставив
в уравнение (9.24) значения и2кр-= кр =—?- и U'3k? =
получим
.. />з— Pt
Принимая <р = 0,82; g = 0,64, получим
~ Ръ — Pt
р 0,75Qg
При истечении воды при Г=293 К, и pi=p3=l05 Н/м2 и Pt = i
ХЮ3Н/м2
_ 105-2,4-юз _
1кр 0,75-103.9,81
Истечение под уровень через цилиндрический
насадок (см. рис. 9.9,<з). При увеличении напора сверх крити-
критического в насадке сохраняется режим истечения а, но возникает
кавитация, вследствие чего коэффициент сопротивления растет и
расход жидкости уменьшается.
Недостатком (внешнего цилиндрического насадка является не-
неустойчивость режима истечения, т. е. возможность самопроизволь-
самопроизвольного уменьшения расхода при увеличении напора, а также повы-
повышенные гидравлические потери на режиме истечения а.
При истечении из сопла Вито-
шинского 8=1, ? = 0,01 ... 0,1 -ф = ф =
= 0,99 ... 0,95. Большие значения <рс
и я|)с соответствуют большим числам
Рейнольдса. Такие насадки обеспе-
обеспечивают максимальную скорость ис-
истечения и расход в 1,5 раза боль-
больший, чем при истечении из отвер-
отверстий в тонкой стенке.
Истечение через диффу-
зорный, т. е. расширяющий-
расширяющийся насадок. Добавление к тонкой
стенке с отверстием диффузорного
насадка (рис. 9.10, а) вызывает сни-
снижение давления р2<рг в минималь-
минимальном сечении и соответствующее уве-
рИс. 9.10. Насадки:
а-дИффузорный; б-комбинированный
169
личение скорости и расхода. Поэтому такие насадки называются
сосущими. При неизменном диаметре отверстия d и при небольшом
напоре 2i 4-——— добавление диффузорного насадка может
Qg Qg
увеличить расход жидкости в 2,5 раза (ф = 2,5). При увеличении
напора в узком сечении возможно возникновение кавитации, приво-
приводящей к снижению расхода. Наилучшие результаты дают диффу-
зорные насадки при 0^8°. При увеличении угла 9>8° возможен
S(z)
Рис. 9.11. Слив через дон-
донное отверстие
Рис. 9.12. Схема центробежной форсун-
форсунки
отрыв течения от стенок, увеличение потерь и уменьшение расхода.
Особенно хорошие данные имеют комбинированные насадки, соче-
сочетающие сужающееся сопло и диффузор (рис. 9.10, б), в которых
вихревая зона может быть исключена и потери сведены к мини-
минимуму.
Задача 9.6. Вода из горного озера подается по цилиндрической трубе само-
самотеком. Укажите, как увеличить расход воды, не изменяя диаметра трубы и ее по-
положения.
Истечение жидкости при переменном напоре
черездоияое о т в е р с т .и е. Для случая, когда слив осуществ-
осуществляется через относительно небольшое отверстие S/S(z)<l (рис.
9.11) .напор изменяется медленно и тогда истечение элементарного
объема dV=— S(z)dz можно рассматривать как установившийся
процесс, происходящий при постоянной -высоте столба жидкости z.
Знак минус учитывает, что при принятом отсчете z от дна сосуда
dz<0. Для определения времени t опорожнения всего сосуда выра-
выразим dV по формуле (9.19) при р\ = р&
=-S (z) dz =
Интегрируя в пределах от Н\ до текущего значения Я, получим
н
/= —
Для сосуда 5 (z)=const имеем t--
170
S(z)dz
Время полного опорожнения сосуда три # = 0
t= 2S^J!}_ . (9.25)
Числитель @.25) равен удвоенному объему жидкости в начальный
момент, знаменатель — объемному расходу в начальный момент
истечения. Следовательно, время полного опорожнения сосуда .в
два раза больше времени истечения того же объема при постоян-
постоянном напоре, равном начальному.
Центробежная форсунка. Центробежные форсунки ши-
широко применяются для распыливания топлива в камерах сгорания
ГТД и ЖРД.
Центробежная форсунка состоит из камеры закручивания с
сопловым отверстием на оси (рис. 9.12). Для того, чтобы закру-
закрутить жидкость, ее подают в камеру закручивания со скоростью щ
тангенциально по каналу, ось которого расположена на расстоянии
R от оси сопла. В камере жидкость вращается по инерции, т. е.
созданный на входе секундный момент количества движения, если
не учитывать сил трения, остается постоянным до выхода из сопла
GtiiR=Gu2rB или а2=^и^/гв.
Этот закон сохранения момента количества движения D.28) по-
показывает, что окружная составляющая скорости жидкости на зы-
ходе из сопла и2 сильно возрастает, а в соответствии с уравнением
Бернулли, давление уменьшается до давления среды, в -которую
впрыскивается жидкость. Центробежные силы прижимают поток
к стенкам сопла и образуют тонкую пленку жидкости толщиной
г с—г в. Внутри этого кольцевого слоя жидкости образуется газовый
вихрь, вращающийся под воздействием трения по законам враще-
вращения твердого тела (см. п. 3.8). Кроме вращения с окружной ско-
скоростью и2 кольцевой слой жидкости движется вдоль сопла с посту-
поступательной скоростью v2. Вылетая из сопла струя образует под дей-
действием центробежных сил полый конус распыла (коническую плен-
пленку) с углом 0, величина -которого определяется соотношением ско-
скоростей и2 и v2:
С удалением от сопла диаметр пленки увеличивается, она
утоньшается и распадается на мельчайшие капли, обеспечивая хо-
хорошее смесеобразование и сгорание. Теория центробежной форсун-
форсунки разработана проф. Г. Н. Абрамовичем [1]. Она позволяет опре-
определить коэффициент расхода г|) в зависимости от размеров и фор-
формы форсунки и располагаемого напора [19].
Определение скорости и расхода несжимаемой
жидкости по измерению давлений. Для определения
расхода и скорости в трубопроводах используются дроссельные
приборы: диафрагма, сопло и трубка Вентури (рис. 9.13). Рас-
Расход и средняя скорость жидкости в трубопроводе определяются по
измеренной дифференциальным пьезометром или другими мано-'
171
метрами разности давлений до дроссельного прибора р\ и -снижен-
-сниженного давления р во втором поясе измерений.
Запишем для участка 1—2 течения через диафрагму уравнение
Бернулли D.25) с учетом гидравлических потерь, равных §qu22/2
и равномерности полей скоростей (ai = a2=l):
Учтем несовершенное сжатие струи «в соответствии с формулами
(9.15) и (9.20) S2 = enS вместе с уравнением неразрывности ti\S\ =
= U2S2iT.e. Ui = u2euS/Si и обозначая S/Si = m, получим
Рис. 9.13. Диафрагма, сопло и трубка Вентури
Однако, для определенности и удобства, давления измеряют не в
сечениях 1 и 2, а .непосредственно перед диафрагмой pi и за ней р,
где давления за счет действия центробежных сил больше, чем р\
и р2, поэтому при переходе к р\ и р в последнюю формулу вводит-
вводится поправочный коэффициент
и2-
G = S2ti2Q =
(9. 26)
¦S/2q(A-/0, (9.27)
где
Агя
т=<р—коэффициент расхода, тогда
-Р) (9-28)
и средняя скорость в трубе
ul=QI{fiSl). (9.29)
Если диафрагмы, сопла и расходомеры Вен тури выполнены и
смонтированы в трубопроводе в строгом соответствии со стандар-
172
тами, то о.ни не требуют тарировки и коэффициенты расхода г|) в.
формуле (9.28) находятся в справочнике [12]. В противном случае
необходима тарировка. Диаф<рагма наиболее проста л имеет наи-
наименьший размер, но вносит максимальные потери напора — 8р, ко-
которые, в основном, являются потерями на «удар» Борда — Карно
при расширении струи от 5г до S\. Минимальные потери имеет рас-
расходомер Вентури. Однако он имеет максимальную длину и относи-
относительно дорог.
(e-w)d
,1 Рис. 9.14. Измерение вектора скорости:
а—трубка Пито—Прандтля; б—изменение давления по поверхности трубки;
в—пятиканальный насадок ЦАГИ
Формула (9.28) справедлива и для газов при числе М<0,2,
При больших числах М<1 необходимо вводить поправку на сжи-
сжимаемость. Если для измерения перепада давлений применяется
дифференциальный манометр, заполненный жидкостью, плотность,
которой Qn и в трубках «ад этой жидкостью находится та же жид-
жидкость, что течет в трубе и имеет плотность Q<<Qn, то для того, что-
чтобы определить рх—р по .измеренному перепаду Ah, следует за-
записать уравнение равновесия столбов жидкости
и p1 — p =
и Q = ф5 V2gMi(Qn-Q). (9.30)
Скорость жидкости в данной точкеопределяют
с помощью трубки Пито — Прандтля, в которой объеди-
объединены в одном корпусе приемники полного и статического давлений
(рис. 9.14,а). Трубка Пито—Прандтля используется для определе-
определения скорости полета самолета. При измерениях приемник полного
173
давления ориентируется против вектора скорости. Изменение дав-
давления вдоль осевой линии перед трубкой при М<1 изображено на
рис. 9.14,6 пунктирной линией: к критической точке на носике полу-
полусферы скорость уменьшается до нуля, а давление возрастает до дав-
давления торможения р* в набегающем потоке. Сплошная линия по-
показывает изменение статического давления на поверхности трубки:
линии тока сближаются, скорость увеличивается и давление на
сферической поверхности снижается до статического давления в
яевозмущенном потоке и .ниже. Затем линии тока расходятся и на
расстоянии C... 5) d давление снова сравнивается со статическим
в лабегающем потоке. Здесь в сечении В располагаются отверстия
для измерения статического давления. Располагать отверстия в се-
сечении А было бы неправильно, тах как даже незначительное сме-
смещение их привело бы к большим ошибкам при измерении. Около
державки поток .вновь подтормаживается и давление повышается.
^Скорость определяется по уравнению Бернулли (9.21):
(9.31)
где ф — коэффициент трубки Пито—Праадтля, определяется кон-
конструкцией трубки и числом Рейнольдса. Если трубка Пито—
Прандтля выполнена в соответствии со стандартом, то тарировка
ее .не требуется, так как ср отличается от единицы не более, чем на
1...2%. В противном случае требуется тарировка и определение
<P=/(Re).
При правильной установке ось трубки должна совпадать с век-
вектором скорости (угол скоса -потока должен быть равен нулю). Это
требование может выполняться не очень точно, так как трубка
Пито—(Прандтля не особенно чувствительна к скосу потока: ее по-
показания практически не изменяются при скосе потока на ±15°.
Поэтому трубка Пито—Лрандтля удобна для определения величи-
величины скорости и не пригодна для точного определения направления
вектора скорости в пространстве.
Для определения направления и величины вектора скорости в
пространстве с точностью до 0,Р применяется пятидырочный наса-
насадок ЦАГИ (см. рис. 9.14,в). На рисунке показано положение уров-
уровней жидкости в пьезометрах при совпадении вектора скорости с
осью трубки.
Глава 10\
ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ
ТРУБОПРОВОДОВ
В различных гидравлических системах жидкость передается
по трубопроводам. Таковы, например, системы подачи топлива,
смазки и охладителя в двигательных установках, нефти в нефте-
нефтепроводах и т. д. При отсутствии энергетического обмена с внеш-
внешней средой (/Тех = 0) жидкость движется по трубопроводу вследст-
вследствие того, что ее потенциальная энергия в начале трубопровода
больше, чем в конце. Эта разность потенциальных энергий затра-
затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений между
рассматриваемыми сечениями трубопровода и, если изменяется его
сечение, на изменение кинетической энергии жидкости. Повышен-
Повышенная потенциальная энергия жидкости в начале трубопровода может
создаваться за счет: работы насоса — насосная подача; повышенно-
повышенного давления газа на свободную поверхность жидкости в баке — вы-
теснительная или баллонная подача; разности уровней жидкости —
самотечная подача. Методика расчета трубопроводов одинакова
для -всех типов подач. Трубопроводы бывают простые — постоянно-
постоянного сечения, без (разветвлений и сложные — различного диаметра и
с разветвлениями. При расчете трубопроводов используются урав-
уравнения неразрывности, Бернулли, формулы расчета сопротивлений
и экспериментальные данные.
10.1. ПРОСТОЙ ТРУБОПРОВОД
Пусть простой трубопровод расположен произвольно в прост-
пространстве, имеет общую длину I, диаметр d, содержит п местных со-
сопротивлений и передает заданную жидкость (q, v) (рис. 10.1).
Уравнение Бернулли G.25) для участка /—2 трубопровода при
условии /Тех = 0, щ = Щ = иу ai = a2=l и с учетом F.31), F.32) и
F.33) примет вид
?. (юл)
П ч
где величина [ Стр Ь \ . С/ I — сумма последовательно соеди-
175
пенных гидравлических сопротивлений трубопровода; С/груб —их ко-
коэффициент; ^—^ = ЛГПотр — потребный напор в том случае, если
подлежит определению в задаче; ——— = Нрасп — располагаемый на-
лор, когда эта величина задана.
Задача 10.1. Укажите, на что расходуется располагаемый напор.
Ломинарный режим
Турйупентный режим
Рис. ЮЛ. Простой трубопровод
Выразим гидравлические потери через объемный расход Q м3/с
tfnoTp=22-Zl + CQ™. A0.2)
Определим -коэффициент пропорциональности С и показатель сте-
степени т для ламинарного течения. Учтя, что ?Tp = 64/Re, ? = ?ТрХ
Х1вкв/с1 и 11 = 4 Q/(nd2), получим
64
128v
Red
ngd*
Q,
.128v
т. е.
ngd*
A0.3)
Для турбулентного течения
-, Т. е.
176
X a ip а кт еристика трубопровода или зависимость пот-
потребного .напора от расхода жидкости выражается формулой A0.2).
На рис. 10.1 приведены характеристики различных трубопро-
трубопроводов при разных Д-г = г2—Z\ для ламинарного и турбулентного
течений.
При ламинарном режиме характеристика близка к прямой
m^l, при турбулентном — к параболе тж2. Тангенс угла накло-
наклона касательной к характеристике тем больше, чем больше С, т. е.
чем больше сопротивление трубопровода. Точка А пересечения ха-
характеристик с осью — определяет объемный расход при движении
жидкости самотеком за счет разности нивелирных высот (z^—Z\) <
<0. Потребный напор в этом случае равен нулю, т. е. pi=p2. Для
того, чтобы в таком трубопроводе уменьшить расход, необходим
отрицательный потребный напор (р2>Р\). Точки В соответствуют
покою жидкости Q = 0.
Если за потребный (располагаемый) напор принимают вели-
величину
то характеристики всех трубопроводов ^n0Tp=/(Q) будут прохо-
проходить через начало координат.
Порядок расчета простого трубопровода зави-
зависит от постановки задачи.
Задача 10.2. Дано: Расход Q, свойства жидкости р, v, размеры трубопровода
и его шероховатость, тилы местных сопротивлений, z2 и 24. Определить потреб-
Pi — Р2
ный напор #потр = •
Решение: 1) определяется режим течения Re = ud/v, где u=4Q/.nd2; 2) оп-
определяются коэффициенты .местных сопротивлений ?,- и ?Tp=i/(Re, KIR) на осно-
основании материалов, приведенных ъ главах 6, 7, 8 и 9; 3) определяется ЯПОтр 'по
формулам A0.2), A0.3) или A0.4).
Задача 10.3. Дано: свойства жидкости q, v, размеры трубопровода, шерохо-
шероховатость стенок, типы местных сопротивлений, располагаемый .напор Ярасп. Оп-
Определить расход жидкости Q.
Решение задач такого типа выполняется графоаналитическим способом:
1) задается ряд значений расхода Q; 2) для каждого значения Q определяются
Re, ?ь gTp и Япотр [см. решение задачи A0.2)]; 3) строится характеристика тру-
трубопровода #n<>Tp = f(Q); 4) по заданной величине Ярасп определяется искомый
расход Q по характеристике.
Задача 10.4. Дано: расход Q и свойства жидкости q, v, типы местных соп-
сопротивлений, размеры трубопровода, кроме диаметра, относительная шерохова-
шероховатость, располагаемый 'напор ЯраСп. Определить диаметр трубопровода d.
Решение выполняется графоаналитическим способом: 1) задается ряд значе-
значений диаметров d\ 2) для каждого значения d определяется Re, ?*, ?Тр и ЯПОтр
{см. решение задачи A0.2)]; 3) строится график Япотр=/(^); 4) по этому гра-
графику и заданному ЯраСп определяется диаметр трубопровода d и выбирается
ближайший к стандартному; 5) уточняется величина расхода Q для выбранного
стандартного диаметра.
Сифон — это простой самотечный трубопровод, одна часть
177
которого расположена Выше сво-
свободной поверхности питающей
его жидкости, а другая — ниже
(рис. 10.2). Жидкость движется в
сифоне за счет разности уровней
z2. Для того, чтобы сифон начал
действовать, необходимо всю тру-
трубу заполнить жидкостью. Учтем»
что для свободных поверхностей
9—0 и 2—2 р2 = ро, и2=и0=0 и
суммарное сопротивление сифо-
сифона складывается из потерь линей-
линейных и местных при входе в тру-
трубу, в отводе и ори «ударе» Бор-
да — Карно на выходе из трубы
и запишем уравнение Бернулли
G.25).
)^ A0.6)
Рис. 10.2. Сифон
где г2 представляет потребный (располагаемый) на'пор #ПОТр.
Вопрос 10.5. Чем определяется расход жидкости через сифон?
Формула A0.6) показывает, что расход жидкости через сифон
не зависит от вьгсоты ее 'подъема Z\. Однако лри увеличении гх дав-
давление жидкости р\ уменьшается вплоть до давления паров, насы-
насыщающих пространство, при котором в сечении 1—1 возникает ка-
кавитация и расход жидкости уменьшается вплоть до полного пре-
прекращения лодачи. Предельное значение pi^pt рассчитывается па
уравнению Бернулли для участка 0—1. Сифон рассчитывается па
методике расчета простых трубопроводов [см. задачи A0.2), A0.3)»
(Ю.4)].
10.2. СЛОЖНЫЕ ТРУБОПРОВОДЫ
Последовательное соединение труб. Рассмотрим
соединение трех труб различного диаметра (рис. 10.3). В этом слу-
случае расход жидкости через весь трубопровод равен расходу через
каждую трубу, а сопротивление всего трубопровода равно сумме
сопротивлений последовательно соединенных труб
Q=Qi=Q2=Q3; /тр(д-*)=/тР1+/Тр2+/Трз. (Ю.7)
Выразим потребный (располагаемый) напор по формуле A0.5),.
учтем, что в общем случае ивфиА <и авфаА и запишем уравнение
Бернулли G.25) для трубопррвода А—В:
A0.8)
где
С, __ 1 / аВ аА
2 V 51 S\
Построим характеристики 1, 2 я 3 труб (см. рис. 10.3). Харак-
Характеристику трубопровода А—В получим, складывая все три пот-
178
Рис. 10.3. Последовательное
соединение труб
Q=Q+Q2+Q3 Q,
Рис. 10.4. Параллельное соедине-
соединение труб
ребяых напора при одинаковых расходах, как это следует из
A0.7). Последовательное соединение труб рассчитывается по'сле
этого по методике расчета простого трубопровода [задачи A0.2),
A0.3), A0.4)].
Параллельное с о е д и н е н и е т р у б о 'п р о в о д о в. Пусть
в сечениях А и В соединяются три различных трубопровода 1, 2 и
3 (рис. 10.4). Ра-сход жидкости Q до разветвления в сечении А и
после слияния в сечении В равен сумме расходов через параллель-
параллельные трубопроводы, т. е.
Q=Qi+Q2+Q3. (Ю.9)
Суммарные гидравлические потери всего разветвления —/тр(л-я)
равны суммарным гидравлическим потерям каждого трубопровода
— /тр/ и равны по уравнению Бернулли G.25) разности полных
напоров в сечениях А и В (НА—Яв), т. е.
/^ ^ 1 НН A0 10)
тр(АВ)тр1 ^тР2 т& ав ( )
о о о о
Суммарные гидравлические потери можно выразить через расходы
жидкости
Н А — Нв=C2Q™';
HA-HB=C3Qf>.
A0.11)
В A0.11) величины коэффициентов С*, тг определяются обычно
по формулам A0.3) и A0.4).
179
Для построения характеристики параллельного соединения
труб необходимо сложить расходы A0.9) при одинаковых потерях
полного напора (см. раде. 10.4). При этом характеристики отдель-
отдельных труб строятся по формулам A0.11).
Задача 10.6. Составьте методику определения расходов жидкости в парал-
параллельно соединенных трубах Qiy Q2, Q3,.... Qb если заданы суммарный расход
жидкости, q, v размеры трубопроводов и их местные сопротивления.
Q,m3/c
Рис. 10.5. Разветвленный трубопровод
Разветвленный тр у бол р о в о д. Разветвленным называ-
называется трубопровод, состоящий из нескольких труб, имеющих одно
общее сечение разветвления или соединения этих труб. Разветвлен-
Разветвленные трубопроводы -наиболее часто применяются в авиационной тех-
технике, например подача топлива к двигателю из разных -баков (рис.
10.5). Возможность обратного течения в трубах 1, 2, 3 предотвра-
предотвращается постановкой обратных клапанов.
Общий расход жидкости через разветвленный трубопровод
равен сумме расходов через отдельные трубопроводы A0.9).
Учтем, что скорость жидкости -в начале и в конце каждого тру-
трубопровода одинакова и запишем уравнение Бернулли G.25) для
первой трубы
¦»
~ I Р\ _ РА | 1 ; _____ РА _ . Р\ 1 ;
Zl~] — *-тр ИЛИ — Zl~\ Чр*
Qg Qg g Qg Qg g P
Выразим для труб 1, 2, 3 сумму потерь через расход жидкости
и получим
180
l +
Qg Qg
lA=Z2+-PL
Qg Qg
A0. 12)
Qg Qg )
где Ci и mi — определяются из формул A0.3) или (Ю.4) в зависи-
зависимости от режима течения. Таким образом, для нашего случая по-
получена система из четырех уравнений A0.9) и A0.12), содержа-
содержащих четыре неизвестных Qi, Q2, Qz 'И рА-
Решение задач удобно выполнять графическим способом:
1) строится зависимость pA/Qg=f{Q) для каждого разветвления
[см. рис. A0.5)]; 2) складываются расходы Q = Q\ + Q2+Qz при
постоянных значениях Pa/qS-
Полученная кривая 1 + 2 + 3 является характеристикой всего
разветвленного трубопровода при заданных размерах трубопрово-
трубопроводов и их местных сопротивлениях, свойствах жидкости и значени-
значениях р\, р2, pz и Z\y z2y 23. Как видим, с уменьшением давления рл
расход возрастает. Предел увеличения расхода обусловлен возник-
возникновением кавитации в сечении А.
Трубопроводы, состоящие из нескольких параллельных и после-
последовательных соединений, рассчитываются графо-аналитически с
использованием характеристик. Трубопровод разбивается на ряд
простых. Строятся характеристики параллельно соединенных прос-
простых трубопроводов и характеристики этих соединений, затем скла-
складываются все последовательно соединенные участки и получается
характеристика .всего трубопровода.
10.3. ТРУБОПРОВОД С НАСОСНОЙ
ПОДАЧЕЙ ЖИДКОСТИ
В пп. 10.1 и 10.2 были рассмотрены лишь отдельные участки
трубопроводов без анализа работы всей гидравлической системы,
включающей источник энергии. Исключением являлась лишь прос-
простейшая самотечная система — сифон. Рассмотрим теперь совмест-
совместную работу трубопровода с насосом. Насосная подача жидкости в.
авиационной и ракетной технике наиболее распространена вследст-
вследствие ее надежности, хороших характеристик и минимального веса.
На рис. 10.6 представлена схема топливной системы двигателя.
Насос подает топливо из бака к двигателю, где оно впрыскивается
через форсунку с большой скоростью в камеру сгорания. Часть
трубопровода до насоса называется всасывающей, а за насосом—
нагнетающей или напорной.
Всасывающий трубопровод. Запишем уравнение Бер-
нулли G.25) для всасывающего трубопровода 0—1, полагая ио = О.
181
Уравнение A0.13) показывает, что процесс всасывания, осущест-
осуществляемый насосом, создающим пониженное давление pi<Po, обеспе-
обеспечивается давлением ро в баке. Давление ро расходуется на подъем
топлива на высоту z\, сообщение ему кинетической энергии a\U{2/2g^
преодоление всех гидравлических сопротивлений всасывающего
трубопровода и сохраняется в виде давления рь которое долж-
Рабочая тонка
'нас
"потр
Рис. 10.6. Насосная подача
J
но обеспечивать бескавитащюнную работу -насоса (см. п. 4.7).
Е'сли бак сообщается с атмосферой, то при увеличении высоты по-
полета давление р0 уменьшается, а вместе с ним и р\, что ограничи-
ограничивает высотность системы ввиду возможности .возникновения кави-
кавитации. Для предотвращения кавитации следует снижать темдера-
туру топлива (pt) и увеличивать давление р\, уменьшая высоту
всасывания z\ и гидравлическое сопротивление всасывающего тру-
трубопровода и повышать давление р0, наддувая бак. Наддув бака
ограничен прочностью ба>ка, а следовательно, его весом. Поэтому
часто непосредственно под баком устанавливается подкачивающий
насос (см. рис. 10.8), подающий топливо к основному насосу лод
необходимым давлением Pi=p*+Ap, где Ар — запас по кавитации.
Для расчета всасывающего трубопровода используется уравне-
уравнение A0.13), позволяющее, например, определить потребное давле-
давление в баке ро при заданных z, pi, Q и /Тр и решать другие задачи.
Потребный напор — это напор, который необходимо сооб-
сообщить одному килограмму топлива в насосе для обеспечения за-
заданных параметров работы системы. Для его определения запи-
182
шем уравнение Бернулли G.25) для всего трубопровода, т. е. для
участка 0—3:
Япотр = -^/язс=га+^а + а8^- + -1-/ч,(^) A0. 14)
где /Нас = —^тех=?^расп — полезная работа насоса, сообщаемая*
одному килограмму топлива; /?3 — давление газов в камере сгора-
сгорания; /Тр@-з) — гидравлическое сопротивление всей системы.
Выражая кинетическую энергию топ л нова и гидравлические по-
потери через расход в соответствии с A0.2) и A0.11) и подставляя в
A0.14), получим
A0. 15)
Уравнение A0.15) является характеристикой всего трубопрово-
трубопровода, изображенного на рис. 10.6.
Работу, которую .насос сообщает жидкости или полезную рабо-
работу 'Hacoica можно подсчитать по уравнению Бернулли (в Дж/кг или;
в м), составленного для участка 1—2 при условии di = d2, U\ = U2>
Формула A0.16) «показывает, что работа насоса заключается в по-
повышении давления топлива.
Характеристика насоса — это зависимость полезной
работы насоса от расхода жидкости HHSLC=f2{Q) при постоянной
частоте ©ращения вала насоса (см. рис. 10.6).
Установившийся режим работы гидравлической системы с на-
насосной подачей определяется точкой пересечения характеристики
трубопровода HnoTp=f(Q) и характеристики насоса #Hac = f2(Q)>-
которая называется рабочей точкой и соответствует условию
#потр = #нас. В° время работы такой режим устанавливается и под-
поддерживается автоматически. Режимы работы двигателей и вместе
с ними расходы топлива изменяются в широком диапазоне. Поэто-
Поэтому топливные системы снабжаются системами регулирования, поз-
позволяющими смещать рабочие точки на меньшие и большие расхо-
расходы. Например, широко применяется регулируемый перепуск части
топлива помимо насоса из нагнетающей магистрали во всасываю-
всасывающую.
Полезной мощностью No называется механическая энергия, ко-
которую насос сообщает всей массе топлива в секунду
(Ю. 17)
Мощность двигателя, приводящего в действие насос, больше по-
полезной (N>N0) на величину мощности, затраченной на преодоле-
преодоление гидравлических сопротивлений в насосе и сопротивлений тре-
183
ния в приводе и подшипниках. Эти потери учитываются общим
КПД насоса
Q7)
Q.
(Ю. 18)
0,85
для
Значения полного КПД находятся в пределах 0,60 ..
шестеренчатых и 0,7... 0,85 для центробежных насосов.
Замкнутый трубопровод с насосной подачей
применяется в системах охлаждения и смазки
двигателей или каких-либо объектов (рис. 10.7).
Уравнение Бернулли G.25) при и2=щ для
участков 1—2 и 2—1 может быть записано так:
Pi Р2
Qg Qg
¦=="^~+т/тр(г-/)-
Замкнутый
с насосной
Qg
Рис. 10.7.
трубопровод
подачей:
/—компенсационный бачок;
2—насос; 3—двигатель
Из этих уравнений получим
Lr P2— Pl 1 /
Qg g
' потр'
A0. 19)
т. е. напор насоса равен суммарным гидравлическим потерям сис-
системы или потребному напору.
Для замкнутого трубопровода обязателен компенсационный или
расширительный бачок, соединенный трубкой с верхней точкой тру-
трубопровода. Без компенсационного бачка абсолютное давление .внут-
.внутри замкнутого трубопровода было бы неопределенным и перемен-
переменным в связи с утечками жидкости и колебаниями ее температуры.
В компенсационный бачок также отводятся пары жидкости, кото-
которые скапливаются в верхней части трубопровода.
Задача 10.7. На рис. 10.8 приведена топливная система двигателя. Керосин
G = 0,28 кг/с впрыскивается через пять струйных форсунок со скоростью «4 =
= 100 м/с в камеру сгорания, где давление газов pIV = №6 Па. Скоростной ко-
коэффициент ф=О,97, коэффициент несовершенного сжатия струи ен = 0,66. Дав-
Давление керосина на входе в насос 7 ри=A,3- 105 Па обеопеч'ивается подкачиваю-
подкачивающим насосом 2. Трубопровод технически гладкий, с?= 12-10~3 м, /=6 м. Полный
КПД (насоса 7 г]='0,7. Местные сопротивления: 3 — отвод Rjd=% б = 90!°, 4 —
кран отключения, 5 — фильтр фетровый, 6 — расходомер. Сопротивлением трубо-
трубопровода от сечения ///—/// до сопла форсунки пренебречь.
Определить: 1) полный напор керосина и его составляющие в сечениях 0, /,
//, ///, IV; 2) мощность, затрачиваемую на привод насоса 7; 3) диаметр сопла
струйных форсунок.
Решение: 1. Режим течения в трубопроводе
ud
Re= — =
v
где
3,12-Ю-з
2,45-10-6
G
•= 14700 > 23Э0— режим течения турбулентный,
4G 4-0,28
820.3,14-122.10-6
м/с.
184
2. Давление керосина на выходе из подкачивающего насоса 2 определим из
уравнения Бернулли G.25), записанного для участка /—// при ^^^ и а/;=а;^
1
;тр — + ЗСз ¦
(I)
где для Re=14 700 коэффициент сопротивления Прения определяется по (8.30):
0,3164 0,3164
:^ 0,029.
тр /Re /14 700
Коэффициент сопротивления отвода ?0Тв определяется по (9.9) и рис., 9.2.
?отв=0,73а6с=0,73 -'0,1*8 • 1 • =а, 1'3,-
Ро = Ю'5Па
__Керосин р=820кг/м?_
6/
0 i
5 6
Рис. 10.8. Топливная система двигателя:
/—топливный бак; 2, 7—насосы; 3—отвод; 4—«ран отключения;
5—фетровый фильтр; 5—расходомер; 5—камера сгорания
Коэффициенты местных сопротивлений 4 и 5 ло рис. 9.4, /полагая, что они не за-
зависят от числа Рейнольдса при Re>104:
?4=2, ?5 = 3,5 и Сб = 7 (по табл. 9.1), гг ==4 м, z2 = 1 м.
Подставляя все полученные данные в формулу A), найдем рг.
/^=820.9,81A—4) + 1,3-105+[ 0,029
(о,с
12-Ю-з
+ 3-0,13 + 2 +3
,5 + 7)
X
3. Полный напор #ш на выходе из насоса 7, относительно нивелирной ли-
линии, проходящей через сопротивления 4, 5, 6, определим из уравнения Бернулли,
записанного для участка ///—IV:
«IV
' 2g
Piv «.
Qg +2^
где
тогда
106
820-9,81 2-9,81
2-9,81
185
4. Полный напор ib сечениях 0, /, //, III', IV определим л о формуле Я = z~\-
Р u2i
Н + ~— и по данным, приведенным в таблице, построим график изменения
Уо о
полного напора и его составляющих, приняв условно местные сопротивления
равномерно распределенными по соответствующим участкам (рис. 10.9)
Сечение
г, м
P/Qg* м
Il2/2gf М
Я, м
0-0
5,0
12,5
0
17,2
/-/
4,0
25,8
0,46
30,26
п—и
1,0
16,2
0,46
17,65
ш-ш
1,0
673,54
0,46
675
IV-1V
1
124
510
635
Рис. 10.9. Изменение полного напора и
его составляющих вдоль топливной сис-
системы
нения Бернулли для участка //—///
1
Полный напор на участке 0—/
увеличивается за счет работы подка-
подкачивающего насоса, а на участке /—//
уменьшается, расходуясь на преодо-
преодоление гидравлических сопротивлений.
Увеличение полного напора на участ-
участке //—III соответствует работе, со-
сообщаемой керосину в насосе — регу-
регуляторе. На участке ///—IV полный
напор уменьшается на величину гид-
гидравлических потерь в сопле фор-
форсунки, энергия давления p/pg умень-
уменьшается, расходуясь в незначительной
степени на преодоление гидравличес-
гидравлического сопротивления сопла форсунки,
а, в основном, превращаясь в кине-
кинетическую энергию керосина (скорость
увеличивается от 3 до 100 м/с).
5. Работа /7, сообщаемая кероси-
керосину в насосе 7, определяется из урав-
1
Я// = Нщ + —/тех = НIII— /7;
li=g(HTjг—HiJ)=9,81 F75—17,66) = 6450 Дж/кг.
6. Мощность, затрачиваемая двигателем на привод насоса—регулятора
UG 6450-0,28
N = -3— т-z— = 2570 Вт = 2,57 кВт.
7. Площадь
расхода
0,7
и диаметр d$ сопла форсунки определяется по уравнению
G =
0,28
100-0,66-820-5
10-6
/4^Ф , /-1,04-1
я = V 3,14
1,04-10-6
1,15-Ю-з м.
Глава 11
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ
ДИНАМИКИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ.
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Основными уравнениями газодинамики элементарной струйка
при установившихся течениях совершенного газа являются уравне-
уравнения состояния A.1), неразрывности C.21), количества движения
D.12) и D.15), моментов количества движения D.27), энергии
D.79), Бернулли D.82) и второго закона термодинамики D.97).
Часть этих уравнений преобразуется в форму, удобную для газоди-
газодинамических исследований и расчетов.
Ниже под внешней работой / будем понимать только техничес-
техническую работу /техн =/турбины>0, /Тех = /компр<0.
В общем случае течение газов сопровождается изменением па-
параметров состояния q, р, Т, т. е. термодинамическими процессами.
Классификация течений, основанная на уравнениях энергии и
второго закона термодинамики.
I. Адиабатные течения — течения без теплообмена между газом
и внешней средой dq = Q;
а) идеальные адиабатные или изоэнтропные (обратимые)
dg = 0; rf/Tex^O; dlT?=dgr?=0; ds = d
Изменение параметров в этих течениях определяется из уравнения
изоэнтропы
\) Qi
б) адиабатные с потерями (необратимые)
dg = 0; Лтехё0; dlr? = dgrp>0; ds>0; (И. 16)
ib) энергетически изолированные изоэнтропные (идеальные
адиабатные)
dg = Q; dlTex = 0; dlT? = dgTP = 0; ds = 0. A1. 1в)
Изменение параметров определяется уравнением A1.1а);
г) энергетически изолированные с потерями (адиабатные необ-
необратимые)
dg = 0; dLrex = O; dlrp = dgT?>0; ds>0. A1. 1г)
II. Политропные течения при различных условиях
dq ^ 0; rf/Tex ^ 0; dlT? = dgTp > 0; ds ^ 0. A1.2)
187
11.1. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ТЕПЛОВОЙ ФОРМЕ
ИЛИ УРАВНЕНИЕ ЭНТАЛЬПИИ.
ПАРАМЕТРЫ ЗАТОРМОЖЕННОГО ПОТОКА.
ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ х(Х), л(к), в(Х)
Запишем, с небольшой перестановкой членов, интегральног
уравнение энергии D.79) для произвольного участка /—2 элемен-
элементарной струйки газа
В расчетах газовых течений в лопаточных машинах, реактив-
ткых двигателях, испытательных установках и т. д. членом g(z2—
—Z\) пренебрегают, как относительно малым. Следовательно, ве-
величина \ti-\- — -|——J будет представлять полную энергию газа.
Члены u + p/q всегда встречаются вместе, поэтому их объединяют
и, как известно, называют э.нталь:пией (тепло-содержанием) L Эн-
Энтальпия является удельной потенциальной энергией газа и, с по-
помощью формул A.1), A.2), A.29) может быть представлена сле-
следующим образом
^ RT ^ A1.4)
u+ J R CD R
Q р К — 1 К -- 1
Тогда уравнение энергии примет вид:
^ J^ + _lj. A1.5)
Величина
W2
l*=i+-r AL6)
является полной удельной энергией газа в данном сечении элемен-
элементарной струйки и называется полной энтальпией (энтальпией за-
заторможенного потока). Полная энергия (энтальпия) состоит из
потенциальной м = и-\- — )и кинетической (W2/2) энергий газа.
Полной энтальпии соответствует полная температура, которая
также называется температурой торможения
? % A1.7)
В A1.7) все три параметра Г*, Т и W относятся к одному и тому
же сечению струйки. С учетом A1.6) и A1.7) уравнение энталь-
энтальпии* A1.5) примет вид, Дж/кг:
q~Lrex = il~h = Cp{Tl-Tl). A1.8)
* В некоторых учебниках уравнения типа A1.5), A1.8) называются уравне-'
ниями теплосодержания.
188
Из A1.7) и A1.8) следует, что при Ср = const температура тормо-
торможения, так же как и полная энталыпия, выражает полную энергию
газа, но в масштабе Ср.
Дифференциальное уравнение энергии. Уменьшим
расстояние между сечениями 1... 2 элементарной струйки до беско-
бесконечно малой -величины и, в пределе, получим дифференциальное
уравнение энтальпии
dq-dl^ = di* = CpdT\ A1.9)
где dq и dlTex — элементарное тепло и элементарная техническая
работа на произвольном участке струйки dZ\ di*, dT* — элемен-
элементарные изменения полного теплосодержания и полной темпера-
температуры.
Уравнения энтальпии A1.5), A1.8) и A1.9) являются важней-
важнейшими, так ка,к лежат в основе решения подавляющего большинст-
большинства задач. Физический смысл этих уравнений — закон сохранения и
превращения энергии — изменение полной энергии газа Gг*—*i*)
или СР(Т2*—Т\*) равно энергии, которой газ обменивается с внеш-
внешней средой на участке 1—2. Уравнение A1.8) дает однозначный
ответ об изменении важнейшего параметра Г* .в любом течении.
Уравнение энтальпии не содержит теплоты трения. Однако оно
справедливо, как для идеальных процессов (/Тр = ^тр = 0), так и для
реальных (/Тр = <7тр>0). Это объясняется тем, что энергия газа,
расходуемая на преодоление любых сопротивлений, полностью
превращается в тепло, воспринимаемое тем же газом. Поэтому
преодоление сопротивлений не может изменить полной энергии га-
газа, а лишь вызывает необратимое превращение кинетической энер-
энергии в потенциальную. Это приводит к тому, что течения с потерями
и без них при одинаковых начальных условиях развиваются раз-
различным образом. Однако для определения этой разницы одного
уравнения энтальпии недостаточно: необходимо дополнительно ис-
использовать уравнение Бернулли и независимое определение гид-
гидравлических сопротивлений.
Задача 11.1. Определить изменение температуры торможения воздуха
&Т* = Т2*—Ti* для условий: 1) <7=106 Дж/кг; 2) /турб=104 Дж/кг; 3) q =
= — Ш6; 4) /компР =—104 Дж/кг; 5) q=0, /Тех='О, /тр=Ю3 Дж/кг; СР =
= 1005 Дж/(кг-К).
Задача 11.2. Определить полную энергию и температуру торможения возду-
воздуха в сечениях 1 и 2 элементарной струйки, если /ТехA_2) = 0, <7(i-2)=105 Дж/кг,
WW.2'00 м/с, 7\ = 50Ю К, 1^2 = 60.0 м/с, к =4,4, СР=1СО5 Дж/(кг-К).
Ответ: 7\* = 520 К, t±* = 5,2.105, ;2* = 6,2-105 Дж/кг, Г2* = 620 К.
Задача 11.3. Определить температуру торможения Тс на выходе газов из
-сопла ТРДФ (см. р.и-с. 0.1). Самолет летит на высоте #=!25 км, число Маха
М=2,5, /компР = 6-104 Дж/кг, <7г = 7,05-Ю5 Дж/кг, /турб=6,05 • 104 Дж/кг,
.<7тф —КN Дж/кг. Нарисовать график изменения полной энергии газа (*"*) по
тракту двигателя. Ответ: при к=1,4 и Ср = 1000 Дж/кг — 71с* = 2190 К.
Энергетически изолированные течения. Под-
Подставляя в уравнения энтальпии A1.9) и (Н.8) условия энергети-
энергетической изолированности dq = 0 я dlTex = 0y лолучим:
= 0; /2 = /? = /*=const; | A1 10)
(
189
Учитывая, что сечения 1 я 2 канала выбраны произвольно, за-
заключаем, что в энергетически изолированных течениях полная
энергия газа, т. е. энтальпия торможения i* и температура тормо-
торможения Г* сохраняют постоянное значение независимо от величины
потерь.
Это положение является важнейшим при исследовании энерге-
энергетически изолированных течений.
Подставив значения /* = /-) и Т* = Т-\ в уравнение
A1. 10), получим
. . Wl . . W2 . . W2—W2 „ _ Ш2
22 2 A1.11)
W2 _ _ Wl—W2 _ W2
1 9/° l ' or l or or
?d\j p ?\~4 p Z\j p ZjKJ p
Из анализа полученных уравнений следует, что ускорение энер-
энергетически изолированного потока происходит за счет уменьшения
энтальпии газа или его температуры. Это ускорение сопровождает-
сопровождается уменьшением давления и плотности, т. е. расширением газа.
Разность давлений при ускорении энергетически изолированного
потока является единственным источником ускоряющей газ силы
R = G(W2—W\) и силы для совершения работы по преодолению со-
сопротивлений. Уменьшение давления при ускорении энергетически
изолированного потока можно проследить и по уравнению Бернул-
ли, которое для рассматриваемого случая принимает вид
Q 2
Наоборот, торможение энергетически изолированного потока
всегда сопровождается увеличением энтальпии, температуры, дав-
давления и плотности, т. е. сжатием газа.
Энтальпия торможения /* и температура тор-
торможения Гн* невозмущенного потока это энтальпия
и температура, которые принимает газ при его полном энергетиче-
энергетически изолированном торможении. Эти энтальпия и температура на-
называются также полными.
W2
Если U^H">0, то iH =
Если W = 0, то /=/* и Т=Т*.
Механизмы превращения кинетической энергии
в энтальпию в энергетически изолированных
потоках могут бытьследующими:
1) изоэнтропное сжатие газа за счет кинетической энергии при
его торможении, сопровождающееся увеличением Т, р, q (обрати-
(обратимый процесс ds = Oy мыслимый только для газа);
2) затрата кинетической энергии только на преодоление сопро-
сопротивления. Этот процесс наблюдается на теплоизолированной плас-
190
тинке в пограничном слое: в этом случае скорость газа у стенки
Ww = 0, а температура может достигнуть значения Г* невозмущен-
кого -набегающего потока. При этом давление газа сохраняется ,не-
изменным. Такое торможение газа является необратимым, сопро-
d
dqFp
вождается увеличением энтропии ds = ^>0 и называется дис-
диссипацией или рассеиванием кинетической энергии. Рассматривае-
Рассматриваемое превращение возможно как в газовых потоках, так и в пото-
потоках несжимаемой жидкости;
Рис. 11.1. Измерение температуры торможения в газо-
газовом потоке
3) политро'пное сжатие газа отри его торможении, сопровождаю-
сопровождающееся преодолением сопротивлений, в результате чего возрастает
энтропия и энтальпия, а давление и плотность повышаются мень-
меньше, чем при адиабатном сжатии. Такой механизм возможен толь-
только для газов.
Измерение температуры газа в потоке. Аэроди-
Аэродинамический нагрев тел.
Рассмотрим, какую температуру примет горячий спай термола-
термолары ГС, помещенный в газовом потоке, имеющем скорость WUi тем-
температуру Тн и Tl = TH-\ (рис. 11.1). Газ, текущий в централь-
центральной струйке, при подходе к критической точке К, изоэнтропно за-
затормаживается (WK = 0). Вся кинетическая энергия газа переходит
в энтальпию, которая достигает значения полной энтальпии невоз-
невозмущенного потока /К = С> а температура — температуры торможе-
торможения Гк=7*, если тело является адиабатным, т. е. не участвующим
в теплообмене. Итак
W2
WK = 0 и Tt = Tl=Tn-\ -. A1. 12)
Динамический добавок температуры в критической точке имеет
максимальное значение AT=Wll2J2Cp (см. рис. 11.1).
Во всех остальных точках поверхности ГС скорость газа будет
также равна нулю, .но уже не за счет адиабатного сжатия, а за
счет трения. В этом случае также вся кинетическая энергия прев-
превратится в тепло и воспримется газом. Если бы теплообмен между
заторможенным на поверхности газом и близтекущими слоями от-
191
сутствовал, то в любой точке поверхности газ имел бы температу-
температуру торможения невозмущенного потока. Однако опыты показыва-
показывают, что между заторможенным на поверхности газом и близтеку-
щими слоями возникает теплообмен, в результате которого темпе-
температура газа на стенке Tw оказывается меньше Г*н, но больше
Tn{'fn<Tw<T*), и динамический добавок температуры снижается
(¦см. рис. 11.1). Это снижение температуры зависит от интенсивно-
интенсивности теплообмена, который определяется свойствами жидкости и
режимом течения ее около поверхности тела (п. 15.5),
Кроме того, горячий спай будет отдавать тепло окружающей
среде излучением с поверхности ,и теплопроводностью по прово-
проводам, стойкам и т. д. и температура его может принимать неопре-
неопределенную величину.
На рис. 11.1 показана схема экранированной термопары с про-
прососом газа, обеспечивающей измерение температуры, близкой к
температуре торможения .невозмущенного потока Гн*. Горячий
спай термопары помещается в камеру торможения. Газ набегаю-
набегающего потока перед отверстием энергетически изолированно затор-
затормаживается до Wo?.0. В результате адиабатного сжатия темпера-
температура газа повышается до теА\шературы торможения набегающего
потока. Следовательно, горячий опай окружен неподвижным газом,
температура которого равна Гн*. Потери тепла излучением снижа-
снижаются за счет уменьшения диаметра шарика горячего спая и экра-
экранирования его корпусом камеры торможения, имеющей темпера-
температуру достаточно близкую к температуре торможения. Для умень-
уменьшения потерь тепла за счет теплопроводности электродов термо-
термопары они делаются малого диаметра. Для уменьшения «инерцион-
«инерционности» термопары делается небольшое вентиляционное отверстие
2 (d2<Cdi), которое обеспечивает непрерывную смену газа около
горячего спая лр-и почти полном его торможении.
Из сказанного -следует, что измерение термодинамической тем-
температуры газа в потоке неподвижным термометром принципи-
принципиально невозможно.
В дальнейшем изложении будем полагать, что термолара, по-
помещенная >в газовый поток, измеряет его температуру торможения.
Аэродинамическим нагревом называется нагрев до
Г>ГН при движении тел в газах, вызванный адиабатным сжатием
в области критических точек и трением на поверхности. В связи с
тем, что этот нагрев может достигать очень больших величин, в
технике вводится понятие тепловой барьер. Тепловой барьер не
имеет конкретных пределов, но свидетельствует, что для полетов в
атмосфере с большими скоростями необходимо применять жаро-
жаростойкие материалы и организовывать охлаждение и тепловую за-
защиту летательных аппаратов.
Задача 11.4. Адиабатное тело движется в воздухе, имеющем температуру
Г„ = 300 К, со скоростями Мн=0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 2; 5; 10; 23; 32. Рассчитать ди-
динамический добавок к температуре и построить графики АГ=/(М) в предполо-
предположении, что свойства воздуха при нагреве не изменяются. Объясните, что пред-
предпринимают для того, чтобы искусственный спутник земли (М=23, №=8000 м/с)
не сгорал при входе в 'плотные слои атмосферы?
192
Преобразование п о л н о й э я т а л ь п и и в кинетичес-
кинетическую энергию потока. Для энергетически изолированного
перевода газа из состояния покоя (W=0; /*; Г*) в состояние дви-
движения с параметрами W, iy Т необходимо израсходовать часть пол-
полной энтальпии в соответствии с уравнением A1.6)
A1.13)
Отсюда получаем формулу для расчета скорости течения газа в
точке любого потока по значениям i и i* в этой точке
к—
Максимальная скорость истечения (l^max) .При
энергетически изолированном течении скорость l^max будет полу-
получена тогда, когда полная энтальпия целиком будет превращена в
кинетическую энергию, т. е. когда газ расширится до абсолютного
вакуума — Г=0, р = 0 и q=0:
A1.15)
Безразмерная скорость — отношение скорости потока
к максимальной скорости
(иле)
является, как и число М, критерием подобия газовых потоков.
Критическая скорость потока. Критическая
скорость звука. Критические параметры. Критичес-
Критической называется скорость потока, равная местной скорости звука. При
критическом (звуковом) течении все параметры потока называют-
называются критическими и отмечаются индексом кр»: №кр = акр; М =
== и^кр/^кр== 1', *кр, i KpJ Ркр', Qkp-
Критическая скорость устанавливается при израсходовании на ус-
ускорение газа лишь определенной части полного теплосодержания
в соответствии с A.29) и A1.14):
WKp=aKp=VKRTKp=y2(i*-iKp)= [/ 2—^—R(T*-TKp). A1.17)
Из формулы A1.17) найдем критическую температуру
и критическую скорость з*вука
WKP=aKP=y 2 -JL- RT*, (И. 19)
т. е. величина критической скорости звука в данном газе определя-
определяется только его температурой торможения.
7 950 19з
Приведенная скорость — отношение скорости потока
(полета) к критической скорости звука, рассчитанной по (.11.19):
b = W/aJ A1.20)
является, как и число М, важнейшим критерием подобия газовых
потоков и широко используется.
Задача 11.5. Используя формулы A1.6), A1.7), A1.15) и A1.19), получите
следующие выражения полной энтальпии
где а* = YkRT* — скорость звука в заторможенном потоке газа.
^ Физический смысл чисел М, X и Л. Разделим выражение A1. 13)
последовательно на i = —— A1. 14), на i*=^-^——-^ (П. 21) и на
к—1 к—1 2
Wmax> ПОЛуЧИМ
A1.22)
A1.23)
tw-2 с\гтгтч1 с\ \ • /
"max
Из рассмотрения формул A1.22) ... A1.24) следует, что числа
МД и Л характеризуют степень преобразования полной энтальпии
газа в его кинетическую энергию в данной точке любого потока,
т. е. имеют одинаковый физический смысл. Поэтому, между М, К
и Л существует однозначная связь и задание одного из них опреде-
определяет два других.
Задача 11.6. Докажите, что между М, % и Л существует следующая связь
9 \е Li
¦ к+1 ., 2 к + 1 .,
М2= —:—; 12= — = -—- Д2. A1.25)
Задача 11.7. Для энергетически изолированного течения газов, имеющих
К=1,4 и 1,25, определить значения М, Я, Л и —~—для характерных скоростей
потока—-0, акр, №Шах.
Ответ: см. табл. 11Л.
Задача 11Л Постройте графики Я=/(М) и Л=/(М). Определите области
Л>М Ч<М
Энергетически изолированные изоэитропные
течения. Для этих течений, удовлетворяющих условиям A1.lie),
уравнения энтальпии A1.8) и Барнулли D.52) и D.79) записыва-
записываются одинаково
194
Таблица 11.1
w
0
к-1,4
М-
0
1
сю
X=sWr/flKp
0
1
V к—1~">4
At= "^' max
0
I/"—=0,402
К к-И
1
^1-*(Х)
0
0Л7
1
к-1,25
М
0
1
сю
X
0
1
3
А
0
0,333
1
0
0,14
1
Zi=const=-^H_
2 2
A1.26)
и свидетельствуют о том, что ускорение газа сопровождается его
изоэнтролным расширением, торможение — изоэнтропным сжатием
за счет кинетической энергии газа. При полном энергетически изо-
лированном и изоэнтропном торможении до W=0, М = 0, А,=0 все
параметры принимают значения параметров торможения /*, Г*,
Р*, 0*-
Полное давление или давление торможения /?н*
и плотность заторможенного газа qh* в невозмущен-
невозмущенном потоке это давление и плотность, которые принимает газ в
случае его полного энергетически изолированного и изоэнтропного
(без потерь) торможения.
Изменение параметров газового потока от заданного состояния
(W, Г, /?, q) до параметров торможения (№=0, Г*, р*9 q*) и об-
ратно рассчитывается по уравнению изоэнтропы A1.1а)
^. (П. 27)
Газодинамические функции — это безразмерные функ-
функции приведенной скорости X (или М и Л), представляющие отно-
отношения параметров, комплексов параметров, размеров потока, час-
часто встречающихся в газодинамических уравнениях. Газодинами-
Газодинамические функции, в зависимости от "величины К и для различных к=
= CP/CV вычислены и сведены в графики и таблицы (см. приложе-
приложения II—V). Применение газодинамических функций существенно
сокращает вычислительную работу, упрощает теоретические вы-
выкладки и позволяет более четко и наглядно выявить физические
закономерности изучаемых явлений. Поэтому газодинамические
функции находят самое широкое применение в газовой динамике,
теории лопаточных машин и реактивных двигателей.
7*
195
Рассмотрим первую группу наиболее употребительных функ-
функций.
Газодинамические функции основных парамет-
параметров газового потока х(\) = Т/Т*, я(Х)=/?//?*, е(Х)= q/q* оп-
определяются из A1.23) с учетом A1.27):
Обратные отношения параметров можно получить из A1.22) и
A1.27) в зависимости от числа М
^ ^ ^ A1.31)
A1.32)
М^. A1.33)
2 j .(X) V }
Связь между х(Х)9 л (к), г (к) установим, поделив уравне-
уравнение состояния для термодинамических параметров p = gRT на урав-
уравнение состояния для параметров торможения p*=Q*RT*:
я(Х) = в(Х)т(Х). A1.34)
Газодинамические функции A1.28) ... A1.33) широко использу-
используются для быстрого определения параметров в одной и той же точке
любого газодинамического потока. Например, для заданной точки
A Ki
1—к~ ^i г1, так как переход
к + 1 /
к параметрам торможения в данной точке, по определению, проис-
происходит по изоэнтропе.
Для элементарной струйки эти формулы справедливы для од-
одного и того же сечения. В энергетически изолированном и изоэн-
тропном потоке все параметры торможения сохраняют неизменное
значение, поэтому для любой точки А можно, например, написать
Подчеркнем, что давление торможения в газовых потоках мож-
можно рассчитывать только по формулам A1.29) и A1.32), т. е.
/?*=—^—. Формула /?*=/? + ^т- D.58) и все из нее следующие
применимы только для несжимаемой жидкости.
196
Задача 11.9. 1. Сформулируйте, что такое Г*, р*, р*. Подчеркните разницу
в определениях. 2;. Начертите графики т(А,), n(X)t е(Я) для к=1,4 и определите
критические значения этих величин (при Я=1).
Задача 11.10. Самолет летит с Мн=3 на высоте #=25 км. Обратив движе-
жение, определить с помощью формул и таблиц газодинамических функций па-
параметры невозмущенного потока воздуха
Рн> Рн* Тн, Г*, qh, Qh, WHt якр, Хн.
Изображение в pv, Ts и is координатах термоди-
термодинамических процесс о в, сопровождающих течения
газов. Состояние текущего газа с параметрами Ти ри qi, W\ изо-
Рис. 11.2. Изображение состояния движущегося газа в коор-
координатах pv, Ts, is
Сражается в координатах pv, Ts и is не одной точкой, а двумя (Гь
Ри Qi) и G*1*, pi, q*).( Положение точки (Гь pi, q\) определяется
пересечением любых двух из четырех линий: изотермы Theorist,
изобары р\ = const, изохоры Qi = const и изоэнтропы 5i=iconst. Точ-
Точка (Ti*, /?i*, Qi*) лежит на пересечении изоэнтропы сжатия Si =
=€onst, проходящей через точку (Г1, pu Qi), с любой из линий
Ti*=.const (/i* = const); pi*=const; Qi* = const (рис. 11.2).
Таким образом, для определения всех параметров потока за-
заданного газа (к, R) необходимо знать три параметра, например р,
Т <и р* или q, Т и Т*, или q, Г* и р* и т. д. Изображение термодина-
термодинамических процессов, происходящих в движущемся газе, выполня-
выполняется с помощью уравнений энтальпии, Бернулли и второго закона
термодинамики.
11.2. ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ТОРМОЖЕНИЯ
R ПОТОКАХ
Вторым, после температуры торможения, важнейшим парамет-
параметром является давление торможения, объединяющее в себе стати-
статическое давление в потоке и основной критерий газовых течений
К (М, Л). Методика измерения давлений статического и торможе-
торможения в газовых дозвуковых течениях ни чем не отличается от описан-
описанной для несжимаемой жидкости ((см. п. 4.8 и 9.4)*. Измеренные р
* Определение давления торможения в сверхзвуковом потоке, ом. п. 1!2.3.
197
/
^^
1
а*
Р?
Pi
<•
-*
Si \
2'
\ <
Pz '
*2
'Pi p
з^0у
5 *S 1
а.
\
S3
Рис. 11.3. Определение адиабатиого тепло-
теплоперепада
и р* служат для определения скорости течения газа. Методика
определения скорости газа коренным образом отличается от ме-
методики определения скорости несжимаемой жидкости
Скорость газа в подавляющем большинстве случаев рас-
рассчитывается по эквивалентным формулам
W=aKpl; W=aM\ W = WmayiA. A1.35)
Приведенная скорость X обычно определяется из A1.29) или из
таблиц или графика я(А,)=р/р*. Критическая скорость звука опре-
определяется из A1.19), для
чего необходимо изме-
измерить температуру тормо-
торможения в точке измерения
рир*.
Располагаемая
энергия или адиа-
адиабатный теплопере-
теплоперепад. Располагаемой
энергией или адиабатным
геплоперепадом h = i*—4
называется часть полной
энергии килограмма га-
газа, которая может быть
превращена в механическую работу или кинетическую энергию
газа в процессе изоэнтропного расширения от заторможенного
состояния /*(Г*), р*, q* до минимального давления в системе Яо
(рис. 11.3). Например, для ТРДФ (см. рис. 0.1) Во равно давле-
давлению окружающей атмосферы. Оставшаяся часть полной энергии,
равная /а, имеет другое качество — она в заданных условиях не
может быть превращена изоэнтропным путем в другие виды энер-
энергии.
Величина адиабатного теплоперепада зависит от величины па-
параметров торможения i*(T*) и р* и от величины минимального
давления Во. При постоянных i* и Во адиабатный теплоперепад
уменьшается при увеличении энтропии, или, что то же самое, при
уменьшении давления торможения (s2>Si\ p2*<pi* и h2<hi). При
p* = S0 адиабатный теплоперепад равен нулю. Следовательно,
в энергетически изолированных течениях (i* = const) гидравличес-
гидравлические сопротивления приводят к увеличению энтропии, снижению
полного давления и уменьшению адиабатного теплоперепада, т. е.
i* = const; dqTV>0; ds>0; dp*<0 и dh<0.
Изменение полного давления вдоль оси произ-
произвольного потока. Для решения большинства газодинамичес-
газодинамических задач необходимо знать, как изменяются параметры затормо-
заторможенного потока вдоль его оси. Изменение температуры торможе-
торможения, как уже указывалось, определяется по уравнению теплосодер-
„ч* ж* * О — 'тех
жания ^2— Il=z^~r—"
Коэффициент сохранения полного давления
a=pl/p*i A1.36)
198
вводится для определения изменения давления торможения на уча-
участке /—2 произвольной элементарной струйки.
Переход от Ть pi к Т\* и pi* и от Т2, р2 к Г2* и /?2* является изо-
энтропным. Это позволяет заменить в формуле изменения энтропии
D.98) параметры Ти ри Т2у р2 -на параметры торможения Г4*, /?i*,
Г2*, р2*, т. е.
К—
Потенцвируя A1.37), получим формулу, определяющую изменение
давления торможения
)
e V * ^ , A1/38)
где е«2,72 — основание натурального логарифма.
Изменение давления торможения зависит только от изменения
энтропии и температуры торможения на рассматриваемом участке
элементарной струйки. Увеличение энтропии всегда способствует
уменьшению давления торможения, а увеличение температуры тор-
торможения — его увеличению.
Коэффициент сохранения полного давленияка-
н а л а 0—#аоп = —?-, состоящего из п последовательно соединен-
соединенно
ных сопротивлений, равен произведению коэффициентов сохране-
сохранения полных давлений этих сопротивлений
* *
°on = Р*п1р1 = Рг/Ро • р\\р\ • pt/pl... Чг^ ^- =<зга2ог... <*п-.хоп. A1. 39)
Рп-2 Рп-1
Задача 11.11. Определите характер изменения давления торможения при ра-
работе идеальных (изоэнтропных) компрессора и турбины.
Изменение параметров торможения и адиабат-
адиабатного тепло перепада в энергетически изол и ip о ван-
ванны хтечениях. В этих течениях Т2*ТХ и, в соответствии с A1.38)
и /7* = Q*i?r*, изменение р* и q* определяется только изменением
энтропии
= e (^). A1.40)
В энергетически изолированных течениях возможны только два
случая -изменения р* и q* (рис. 11.4):
d
1) в изоэнтропных течениях ds = =0, а = \ и все па-
параметры торможения и их функции, т. е. /*, Г*, р*, q*, a^, Wm8iX,
сохраняют неизменное значение. На рис. 11.4 эти процессы изоб-
изображены пунктиром. Процессы изоэнтропного ускорения (расшире-
(расширения) газа 1*—2а и торможения (сжатия) 2а—/* являются обрати-
обратимыми. При любом числе их повторений адиабатный теплоперепад
hi сохраняет неизменную (величину;
199
2) в течениях с потерями ds= (dqTV/T)>0 и, в соответствии с
A1.40), давление и плотность заторможенного газа уменьшаются
и а<1.
На рис. 11.4 энергетически изолированные реальные (с потеря-
потерями) процессы ускопечт*я (расширения) изображены сплошными
Рис. 11.4. Изменение давления торможения и
адиабатного теплоперепада в энергетически изо-
изолированных течениях
линиями /—2 и 3—4У а торможения (сжатия) — линиями 2—3 и
4—5*. Как те, так и другие процессы протекают с увеличением
энтрошии, уменьшением давления торможения и снижением адиа-
адиабатного теплоиерепада. Если эти процессы многократно повторять,
то весь адиабатный теплоперепад полностью израсходуется -на пре-
преодоление сопротивлений. На рис. 11.4 показано, что в точке 5*, где
Рб* = 50, 1^5 = 0 и /г5 = 0. Полная энергия в этих энергетически изо-
изолированных процессах не изменится — /5* = А*, но весь начальный
адиабатный теплоперепад h\ перейдет на нижний уровень, т.. е. дис-
сипирует. При заданном Во этот газ уже нельзя будет изоэнтроп-
но ни ускорить, ни получать от него работу <в турбине.
Задача 11.12. Докажите, что площадь под процессом /—2 (см. рис. 11.4)
равна #трСр.
11.3. ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ
НЕРАЗРЫВНОСТИ И РАСХОДА. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ q(K) иу(К)
Запишем уравнение неразрывности для критического сечения
струйки SKP, WKp = aKp, Af=l, QKp и для любого другого сечения S,
rMM
A1.41)
, которую назы-
назыA1.42)
A1.43)
Введем* газодин амическую функцию
вают приведенным расходом:
=S/S
Заменяя W/aKp=l и QQ*/QKpC*=e W/®A)» получим
V 2
200
Каждому значению qCk) соответствует два значения К — одно
меньше, а другое больше единицы (см. приложение III). Правиль-
Правильное значение X определяется в соответствии с условиями задачи.
Максимальное значение q(X) = l имеет место при Я=1.
Подставим в A1.41) из A1.42) QW=QK?aK9q(k), из A1. la) и A. 1)
kp
RT* \ к +1
из
к +
тогда получим уравнение расхода в газодинамической форме
T* A1.44)
/"/ 2 \K+1 к
где /гг=1/ I V-1 — —постоянный для данного газа коэф-
фициент.
В табл. 11.2 приведены значения т для некоторых газов.
Таблица 11.2
Газ
Воздух
Водород
Продукты сгорания ТРД
Продукты сгорания ТРДФ
к
1,4
1,4
1,33
1,25
К,
Дж
кг.К
287,3
4160
288,3
289
/кг.К \0,5
т 1
\ Дж )
0,0404
0,0106
0,0396
0,0388
Газодинамическая функщи я у{к). Подставим в A1.44)
значение р*=р/я(А,) и заменим отношение q(k)/n{X) через у (А,),
лолучим формулу для расчета расхода по статическому давлению
A1.45)
где
и= ?(*) =/ к + 1\д
я(Х) I 2 )
\zr-i X
к—1
к+1
A1.46)
График у(%) приведен в приложении III.
Формулы A1.44) и A1.45) используются для определения рас-
расхода газа по параметрам его состояния в рассматриваемом сече-
сечении дли любого параметра по заданному расходу и другим па-
параметрам в том же сечении. Кроме того, эти формулы широко ис-
используются как уравнение неразрывности (Gi = G2) для расчета
изменения того или другого параметра между сечениями 1—2 в
произвольных газовых течениях.
Задача 11.13. Воздух движется в цилиндрической трубе энергетически изо-
изолированно с гидравлическими потерями, так что Я4=0,1, а А,2=1. Определить
'вкр2/аКр1, P2*//?i*, Q2*/qi*, W2/Wu T2fTit p2/pu (s2—Si). Изобразить схему процес-
процесса в is и 7s — координатах, показав изменение адиабатного теплоперепада. От-
* */*ЮЛ57 T/T1 = 0M\ P2/Pi=0,084; s2-Si = 535 Дж/(кг-К).
201
Задача 11.14. Из сопла ТРЛФ (см. рис. 0.1) вытекают отработавшие газы
к =1,25, #=290 Дж/(кг-К). Определить расход газа G и скорость его истечения
Wo при 5С = 1,2 м2, Гс* = 2190 К, рс=Ю4 Па, рс*=Ю5 Па.
Ответ: №с = 1525 м/с, 6=46,5 кг/с.
11.4. ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ
КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ В ПОЛНЫХ ИМПУЛЬСАХ.
ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ zCL), /(X), r(X)
Уравнение количества движения в -полных импульсах для жид-
жидкого объема 1—2 (рис. 11.5) получим, изменив «а обратный знак
в уравнениях D.14) и D.15), определяющих силу действия жид-
жидкости на стенки сосуда, т. е.
=Ф2-Ф15 A1.47)
где Rx вн — аила, действующая^ на жид-
жидкий объем 1—2 со стороны стенок ка-
канала и твердых тел, расположенных на
этом участке и связанных с каналом.
Выразим полный импульс Ф через
Рис. 11.5. Иллюстрация к приведенную скорость X учитывая, что
задаче 11.15 _ _._ , хяо w*
к+1
-Х2
, - . —-к1>1л-г—)• (П.48)
к &WSW ' / 2к KPl ~ ^ ' V ;
Критическое значение импульса определим из условия Л =
v -U 1
фк =рк SK -^-GWK = GaK .
к
Введем газодиламиче^кую функцию
= 0±±Оакг (Ц.49)
к
A1.50)
z (X) зависит только от Я и не зависит от к, принимает минималь-
минимальное значение z(X) =2 при Х=1.
Введем еще две газодинамические функции—
f(k), равную отношению полного импульса к полному импульсу
газа, затоморженного в том же сечении:
/ (X) = Ф/Ф* = Ф/(/?*5), A1.51)
и г (Я), равную отношению статической составляющей полного им-
импульса к полному импульсу:
г(Х)=/75/Ф. A1.52)
Графики г(Я), /(X), и г(Х) приведены в приложении IV.
202
Следует иметь в виду, что некоторым значениям z(k) и
соответствуют по два значения % — меньше и больше единицы.
Правильное значение % выбирается на основании условий задачи
;и дополнительных уравнений.
Преобразования позволяют установить, что
jb. (Ц.53)
A1.54)
а r().
W /(X) A+Х2)
Полный импульс можно выразить на основании
A1.48), A1.50), A1.51) и A1.52) следующим образом
^р7^-)8. A1.55)
Тогда уравнение количества движения в полных
импульсах примет три эквивалентные формы
Выбор уравнения определяется условиями задачи.
Задача 11.15. В канале, площадь сечений которого на участке /—2 изменя-
изменяется неизвестным образом (пунктир на рис. 11.5), воздух течет энергетически изо-
изолированно и изоэнтропно. Для условий, обозначенных на рисунке, определить
вектор равнодействующей сил, с которыми воздух действует на стенки канала.
Решение. Искомая сила является проекцией на ось сил давления воздуха на
внутренние стенки канала. Поскольку ни форма канала, ни распределение стати-
статического давления вдоль оси не известны, решить задачу интегрированием элемен-
элементарных сил давления невозможно. Примен-им для решения уравнение количества
движения A1.56), позволяющее определить искомую силу по параметрам состо-
состояния воздуха в сечениях 1 и 2. Порядок дальнейшего решения является общим
для исследования всех течений и решения всех задач и состоит в применении
основных уравнений газодинамики к заданным условиям.
1. Для определения изменения температуры торможения используем уравне-
уравнение энтальпии A1.8). Для энергетически изолированного течения
? = 0, /Xex = 0 H*2=4, Т*2=Т\, аКр2=ЯкР1. A)
2. Для определения изменения энтропии применим уравнение второго закона
термодинамики D.97). Для энергетически изолированного (dq=O) и изотропно-
изотропного (^тр = 0) течений >
ds = 0, s2=Si. B)
3. Для определения изменения давления торможения используем уравнение
A1.38). С учетом A) и B) получим
<1 = /?2//71 = 1» р1^Р*\- C)
Следовательно, для определения искомой силы удобно применить A1.56), содер-
содержащее р*.
203
4. Для определения Я2 применим A1.44) в виде уравнения неразрывности
для сечений /—2 (G2=Gi). Учтем, что qCki) = qA0,2) =0,3 (см. приложение III),
и получим
5. Для определения Rx вн используем A1.56), изменив в правой части знак
на обратный, так как определяется проекция силы, действующей на стенки и,
подставив значения f(%i) =/@,2) = 1,023; f(K2) =/(Ю,4) = 1;08 (см. приложение
IV), получим
Rxm = p*[f(ki)Si — /(Х2M2]= 1,02.106A,023-0,5-- 1,08-0,25) =
= 2,45-105//.
Сила Rx вн>0, т. е. стремится оторвать сопло от трубы.
11.5. ЗАКОН ОБРАЩЕНИЯ ВОЗДЕЙСТВИЙ
Уравнение закона обращения воздействий позволяет определить
какой знак должно иметь то или другое воздействие для ускоре-
ускорения или торможения дозвуковых и сверхзвуковых газовых потоков.
Виды воздействий. Параметры газового потока могут из-
изменяться под влиянием следующих воздействий окружающей
среды:
1) геометрического dS^O (сужение или расширение канала);
2) расходного dG^O («подвод или отвод массы газа);
3) теплового dq^O (подвод или отвод тепла);
4) механического dlTex^0 (работа турбины или компрессора);
5) гидравлических потерь dlTV>0.
Все эти воздействия входят в основные уравнения газовой ди-
динамики: изменение площади канала и расходное воздействие — в
уравнение неразрывности и расхода C.13), тепловое и механичес-
механическое— в ура'внение энтальпии A1.5), гидравлических потерь — в
уравнение Бернулли D.82).
Выполним совместное преобразование этих уравнений и урав-
уравнения состояния, исключим из них параметры состояния Т, р, и q
и получим зависимость изменения скорости газа от пяти изучае-
изучаемых воздействий. ?
Продифференцируем уравнение расхода G = qWS, разделим ле-
левую часть на G, а правую — на qWS, и выразим
dQ dG dW dS
Q G W S
Продифференцируем уравнение состояния p = qRT и определим
dp fa
lL. = ^dT-\- — RT^-. A1.58)
Q к q
Подставив в A1.58) dq/g из A1.57) и заменив kRT на а2, получим
dp _ndj I a2 (dG dW dS \
Q к \ G W S ) '
204
Подставим RdT из уравнения теплосодержания dq—
Подставим tffp/Q в уравнение Бернулли —Q
упростим и получим уравнение закона обращения воз-
воздействия
/ад9 i\ dW dS dG к—1 , 1 ,г к ,, /11 cQv
(М«- l)_=_-_-_rff-_rfZTMe-_rff,p. A1.59)
Пять членов правой части уравнения представляют перечислен-
перечисленные ' физические воздействия на газовый поток, ускоряющие или
тормозящие его в зависимости от знака и режима течения.
Характерной особенностью первых четырех воздействий явля-
является то, что они могут изменять свой знак (например, dS^O).
Пятое — воздействие трения — имеет всегда положительный
знак, являясь односторонним воздействием (dlTV>0).
Слева расположен член уравнения (М2—1) dW/W, знак кото-
которого определяет знак необходимого воздействия на поток.
Если dW/W>Oy то поток ускоряется (конфузорные течения).
Если dW/W<0, то поток тормозится (диффузорные течения).
Знак сомножителя (М2—1) изменяется при переходе через ско-
скорость звука. Следовательно, при заданном знаке изменения ско-
скорости потока (например, при его ускорении dW/W>0) знак левой
части уравнения при переходе через скорость звука изменяется на
обратный, что требует такого же изменения знака воздействия на
поток.
Закон обращения воздействия имеет ряд экви-
эквивалентных формулировок.
1. Любое физическое воздействие одинакового знака противо-
противоположным образом влияет на дозвуковые и сверхзвуковые газовые
потоки.
2. Переход через скорость звука с помощью одностороннего
воздействия невозможен. Это явление называется кризисом тече-
течения и будет подробно разобрало ниже.
3. Переход через скорость звука возможен только в том случае,
если в критическом сечении знак воздействия изменить на об-
обратный.
Задача 11.16. Определите: 1) характер изменения скорости газовых потоков
(М<1) и (М>1) в суживающемся канале и достижимые величины скорости;
2) как ускорить дозвуковой поток (М<1) до сверхзвукового (М>1) только за
счет геометрического воздействия? Нарисуйте схему канала, а под ним график
изменения Т* и Т, р* и р, Q* и q, W, а, аКр, М, Я, соблюдая (качественно) оди-
одинаковый масштаб для однородных параметров. Изобразите схему процесса в is-
координатах, отметив критическое состояние (M=A,=il); 3) каковы энаки пря-
прямых воздействий, ускоряющих дозвуковые и тормозящих сверхзвуковые потоки?
4) каковы знаки обратных воздействий, ускоряющих сверхзвуковые и тормозя-
тормозящих дозвуковые потоки?
Закон обращения воздействия отражает усиливающееся влия-
влияние сжимаемости Fa3a на его движение при увеличении числа М.
205
При переходе через М=1 эти количественные изменения переходят
в качественные — обращаются воздействия. Поэтому закон обраще-
обращения воздействия A1.59) является законом превращения количест-
количества в качество для газовых течений.
Закон обращения .воздействия неприменим для несжимаемой
жидкости. При Q=const W2 = WiSifS2> т. е. ускорение может проис-
происходить только в сужающемся канале при воздействии одного зна-
знака dS<0.
11.6. ОБЛАСТИ ТЕЧЕНИИ ГАЗОВ В ЗАВИСИМОСТИ
ОТ ЧИСЛАМ
Рассмотрим энергетически изолированное изоэнтропное (rfG =
= dq=dlTex = dlTV = 0) ускорение газа в трубке тока переменого се-
сечения dS^.0. В этом случае уравнение энтальпии в соответствии с
A1.21) принимает
^ / A1.60)
2 к-1 2 к-1 2 V '
и показывает, что ускорение потока происходит за счет потенци-
потенциальной энергии (энтальпии), т. е. сопровождается адиабатным рас-
расширением газа с уменьшением Т(a), q, /?, до нуля при W=WmaiX
при постоянных Г* (а*, акр, Wmax), p*, Q*. Обратным процессом
является изоэнтропное сжатие газа за счет кинетической энергии
при его торможении. Этим процессам соответствует изменение га-
газодинамических функций т(А,), г(Х) и я (Я) [см. приложение II].
Разделим члены а2/(к—1) и W2f2 уравнения A1.60) на равные
величины (а*J/(к—1) и fl^ax/2, получим уравнение энтальпии в
виде уравнения эллипса энергетически изолиро-
изолированных изоэнтротных течений
Рассмотрение эллиптической зависимости скорости звука от
скорости течения (рис. 11.6) позволяет наглядно установить обла-
области течений газа, существенно различные по физическим характе-
характеристикам.
Выразим в явном еиде влияние числа М и изменения скорости
энергетически изолированного и изоэнтропного течения на измене-
изменение основных параметров потока. Преобразуем уравнение Бернул-
лк—Qdpj{Qp) = —KqW^dWl(KpW), заменим кр/Q на а2, получим
A1.62)
Уравнение энтальпии A1.11) разделим на Т и подставим в него
а2 W
=-—[ "{р. получим
^=2-^U=-(k-1)M*J^ (П.бЗ)
206
Разделим уравнение A1.58) ч/а*
на RT и, учтя A1.62) и A1.63),
найдем
dQ dp dT
Q p T ~
Выразим из A1.57) dS/S и уч-
учтем, что dG/G = 0, получим
Рис. 11.6. Эллипс энергетически изоли-
изолированных течений
Полученные формулы и анализ рис. 11.6 позволяют сделать
важные выводы:
1. Увеличение скорости dW/W>0 в энергетически изолирован-
изолированном изоэнтропном течении всегда сопровождается уменьшением
Т(а), р, q, т. е. изоэнтроп'ным расширением газа, а торможение
dW/W<0 — сжатием. Этот же характер изменения параметров
имеет место при энергетически изолированных течениях с гидрав-
гидравлическими потерями.
2. При малых числах М<1 даже существенное изменение ско-
скорости потока вызывает лишь незначительное изменение парамет-
параметров
dp
р
W
dT
Т
о
da
а
dW
W
dQ_
Q
dW
W
Это позволяет выделить область течений при М<^1, в которой газ
можно рассматривать как несжимаемую жидкость q^ const, упро-
упрощая тем самым расчеты при допустимых погрешностях (см. об-
область / на рис. 11.6). Предельное значение числа М, определяю-
определяющего границу области I, зависит от допустимой погрешности вы-
вычисления и будет определено ниже.
3. Уравнения A1.64) и A1.65) показывают, что при ускорении
дозвукового потока
dQ
Q
dW
W
»поэтому оло может реализовать-
реализоваться только в суживающемся канале при dS/S<0. При М» 1 сжима-
сжимаемость газа становится настолько существенной, что изменение
плотности равно, а по знаку обратно, изменению скорости dq/Q =
= —dW/W. Поэтому ib критическом сечении ускорение потока про-
происходит при неизменной площади канала rf5,/S=0, а в сечениях,
близких- к критическому, незначительное изменение площади сече-
сечения канала вызывает существенное изменение 'Скорости. Эти осо-
особенности позволяют выделить зону дозвуковых течений, в которой
сжимаемость газа играет существенную роль и должна учитываться
(см. область // на рис. 11.6), и зону околозвуковых или трансзву-
трансзвуковых течений (см. область /// на рис. 11.6). При М>1 плотность
207
изменяется в большей степени, чем .скорость
dQ
>\dW/W\, .Как
Q
это следует из A1.64) и A1.65). Поэтому сверхзвуковые энергети-
энергетически изолированные потоки могут ускоряться только в расширяю-
расширяющихся каналах («см. область IV рис. 11.6).
Наконец, при М>6...7 из сверхзвуковых течений выделяется
область гиперзвуковых течений, характерная тем, что скорость га-
газа в них изменяется незначительно при существенном изменении
параметров Т(а), /?, q, а число М изменяется -преимущественно за
счет изменения скорости звука.
Задача 11.17. Число М в энергетически изолированном изоэнтропном тече-
течении воздуха изменяется в режимных областях в 4 раза: 1) от Mi=0,25 до М2 =
=0,0625; 2) Mt = l, М2 = 0,25; 3) Mi = 4, М2=1; 4) Mi = 25,37, М2=6,34. Опре-
Определить, используя таблицы газодинамических функций, изменение скорости
U^/U^i, скорости звука а^а^ и плотности p2/pi, а также области течения по эл-
эллипсу (см. рис. 11.6) и указать их особенности.
Граница области течений практически несжи-
несжимаемых газов. Определим предельные величины чисел М или
\ до которых энергетически изолированные и изоэнтропные тече-
течения газа можно рассчитывать как течения несжимаемой жидкости,
не превосходя заданной погрешности 6% в определении парамет-
параметров. Максимальная ошибка при этом может быть допущена в опре-
определении параметров торможения. При энергетически изолирован-
изолированном и изоэнтропном торможении несжимаемой жидкости плотность
и температура ее не изменяются (отсутствует термодинамический
процесс), т. е. q/q*=1 и Т/Т* = \. Для сжимаемого газа такие со-
соотношения выполняются только лр-и Х=0, так как е@) = 1 и т@)=
= 1. Следовательно, в расчетах изменения плотности и температу-
температуры газ можно считать несжимаемым с точностью до 6% пр.и ус-
условии
Q/e* = e(X) = l—J1-; A1.66)
^ A1.67)
где g = ?lzi?ioo и 8= Т*~~Т 100.
Q* Г*
Разложим формулу A1.32) в ряд и пренебрежем членами, со-
содержащими числа М в степени шесть и выше, получим:
^-=1+^-М2+^М4+... A1.68)
Следовательно, при расчете р*/р без учета сжимаемости газа,
т. е. по формуле Бернулли Р*1р=—(/? + — )=—X
—1» ошибка при малых числах М равна—- М4, а ошибка
в процентах 6% будет
— ЛИ. 100
Ьо/О= ? A1.69)
.208
В таблице приведены предельные значения А, и М три 6 = 2; 5 и
10% для q, Г и р пруц к= 1,4.
1
Параме
Q
Т
Р
\
0,22
0,35
0,68
м
0,2
0,32
0,65
5-5о/о
X
0,35
0,55
0,78
м
0,32
0,52
0,75
8-10%
0,50
0,78'
1,0
м
0,47
0,75
1,0
Итак, для упрощения расчетов, газ можно принимать за несжи-
несжимаемую жидкость при М^0,2, допуская при этом погрешность, не
превышающую 2%.
11.7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СЛАБЫХ (ЗВУКОВЫХ)
ВОЛН ДАВЛЕНИЯ В ГАЗОВЫХ ПОТОКАХ
На рис. 11.7 представлено положение слабых волн давления
(dp-^О) в газовых потоках различной скорости через три секунды
после включения точечного источника А ежесекундных звуковых
колебаний. В неподвижном газе (W=0) слабые волны давления
распространяются со скоростью звука а в виде сферических кон-
концентрических звуковых волн во всем пространстве.
В потоке дозвуковой скорости W=a/2 звуковые волны распро-
распространяются также во все стороны пространства. Из-за того, что они
Рис. 11.7. Распространение элементарных звуковых
волн в газовых потоках
209
сносятся потоком, их скорость относительно неподвижного наблю-
наблюдателя в направлении потока (W+a=l,5 а) больше, чем вверх по
потоку (а—W=a/2). Поэтому проекции этих сферических волн на
плоскость представляют собой окружности, расположенные не
концентр ично.
В критическом потоке (№кр = Якр) звуковые волны сносятся со
скоростью их распространения. Поэтому они не могут проникнуть
против потока и распространяются в полупространстве за источ-
источником А.
В сверхзвуковом потоке (W = 2a) звуковые волны концентриру-
концентрируются внутри конуса Маха, вытянутого по потоку за источни-
источником А. Только внутри конуса Маха проявляются звуковые возму-
возмущения (слышен звук). Если источник волн является непрерывно
действующим (например, игла в -сверхзвуковом потоке), то на по-
поверхность конуса Маха все волны попадают в одинаковой фазе
бесконечно слабого (элементарного), а потому изоэнтропного сжа-
сжатия (или расширения). Поверхность конуса Маха представляет
тончайшую коническую область сжатия, толщина которой порядка
длины свободного пробега молекул газа при данных условиях.
Проекции образующих конуса на поверхность называются харак-
характеристиками.
Свойства характеристик.
1. Характеристики существуют только в сверхзвуковых тече-
течениях. В потоках с равномерным полем скоростей характеристики
прямолинейны.
2. Угол <хо наклона характеристики к вектору скорости невоз-
невозмущенного потока тем меньше, чем больше число М (см. рис. 11.7)
± A1.70)
Мн
При М=1 ао = 9О°, а при М=оо ао=О, т. е. положение характерис-
характеристик совпадает с вектором максимальной скорости.
3. До прямолинейной характеристики поток не возмущен, сле-
следовательно вдоль характеристики параметры потока не изменяют-
изменяются, а изменяются только при пересечении характеристики. В сверх-
сверхзвуковом потоке с неравномерным полем скоростей характеристи-
характеристика криволинейна: касательная в данной точке составляет угол <хо =
= arcsin A/M) с вектором местной скорости (рис. 11.8).
4. Соста»вляющая скорости набегающего потока, перпендику-
перпендикулярная к характеристике (см. рис. 11.7), равна местной скорости
распространения звука
Wa=a. A1.71)
Обратив движение, заключаем, что характеристика в направлении
своей нормали распространяется всегда со скоростью звука, а ко-
конус Маха—в направлении оси со сверхзвуковой скоростью W=*
= a/sin a0.
5. При обтекании сверхзвуковым потоком бесконечно малого
внутреннего тупого угла 180°—d6, образованного двумя плоскостя-
210
=30
Характеристика
Рис. 11.8. Характеристика в
неравномерном поле ско-
скоростей
ми, возникает плоская вол<на элементарного изоэнтротшого сжатия,
а при обтекании внешнего тупого угла 180°+d6— характеристика
изоэнтротгаого разрежения (рис. 11.9).
Изменение параметров потока на характерис-
характеристиках.
1. Энергетическая изолированность и изоэнтропность сжатия
или расширения на характеристиках определяет постоянство пара-
параметров торможения Г*, р*, q*, акр. В ряде случаев, например, при
изучении затухания звуковых волн, необходимо учитывать их не-
изоэнтрооность.
2. На характеристике сжатия давление, температура и плот-
плотность газа повышаются, а на характеристике разрежения — пони-
понижаются в соответствии с уравнением адиабаты p=iqk const.
н
S X S
Рис. 11.9. Изменение параметров на характеристиках
211
3. Нормальная составляющая скорости WHU на характеристике
сжатия уменьшается, а на характеристике разрежения — увеличи-
увеличивается. Это следует из уравнения количества движения в проекци-
проекциях на -нормаль к характеристике, составленного для выделенных
пунктиром параллелепипедов 1, 2, 3, 4 (см. рис. 11.9)
(p«-Pi)dS=dQ(Wla-WHU). A1.72)
Для характеристики сжатия р\ = Рн + с1р>рн и Wiu<WHU.
Для характеристики разрежения Pi=/?H—dp<pH и Wiu>WHU.
4. Радиальная составляющая скорости при переходе через ха-
характеристики .не изменяется
Wlr=W»r. A1.73)
Это объясняется тем, что проекция на плоскость волны равнодей-
равнодействующей на элемент 1, 2, 3, 4 силы равна нулю.
5. Изменение составляющих скорости приводит к тому, что на
характеристике сжатия вектор скорости уменьшается W\<WH и от-
отклоняется от первоначального направления на угол db в ту же
сторону, что и отклоняющая поверхность, так что угол между век-
вектором скорости и характеристикой уменьшается ао/==ао—db. На ха-
характеристике р'азрежения вектор скорости увеличивается W\>WB
и отклоняется от первоначального направления на угол dd, также
в сторону отклоняющей пластины, но так, что угол между векто-
вектором скорости и данной характеристикой увеличивается a/ = a0 + d6.
Следует еще раз подчеркнуть, что при пересечении сверхзвуковым
потоком одной характеристики изменение параметров настолько
мало, что им обычно пренебрегают. Однако, как будет показано
ниже (см. пп. 13.1, 16.3), при последовательном пересечении мно-
множества однотипных характеристик (сжатия или разрежения) про-
происходит изоэнтропный процесс непрерывного конечного изменения
параметров. Области сверхзвуковых течений, в которых давление
вдоль линии тока непрерывно повышается или понижается, назы-
называются волнами сжатия и волнами разрежения, соответственно.
В экспериментах применяется оптический прибор Теплера, поз-
позволяющий определить угол между характеристикой и вектором
скорости и, следовательно, найти число М= 1/arcsin o&o.
Глава 12
СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ (УДАРНЫЕ ВОЛНЫ)
Непрерывное торможение сверхзвукового потока М>1 до до-
дозвукового М<1 осуществимо-в строго определенных условиях (см.
п. 16.3). Если эти условия нарушаются, то при торможении сверх-
сверхзвуковых потоков возникают скачки уплотнения или ударные вол-
волны. На них сверхзвуковой t поток тормозится ударно: скорость
снижается скачком, увеличиваются плотность (отсюда «скачки уп-
уплотнения»), давление и температура. Основная особенность скач-
скачков уплотнения состоит в том, что фронт их — б — очень тонок —
порядка длины свободного пробега молекул в данных условиях и
тем тоньше, чем больше число М. Для воздуха при нормальных
физических условиях б« 18-10~5 мм при М = 2 и 6 =8-10~5 мм при.
М=5.
При построении инженерной теории скачков уплотнения при-
примем, что газ идеальный, процесс — энергетически изолирован, а
скачки уплотнения — поверхности разрыва параметров потока
F = 0). Конечная, хотя и изчезающе малая, толщина фронта
скачка уплотнения в реальном газе обусловлена влиянием вязко-
вязкости, теплопроводности и диффузии.
Существенно необратимое ударное сжатие газа на скачках соп-
сопровождается специфическими ударными или волновыми потеря-
потерями — ростом энтропии, уменьшением давления торможения и ади-
адиабатического теплоперепада. При полетах с М>1 перед летатель-
летательными аппаратами возникают ударные волны и значительное вол-
волновое сопротивление. При входе воздуха в ВРД при М>1 также
возникают скачки уплотнения, приводящие к падению полного
давления и тяги. Вся техника сверхзвуковых течений связана са
скачками уплотнения.
Скачок уплотнения и ударная волна — названия одного и топ>
же явления. Иногда под ударной волной понимают фронт ударно-
ударного сжатия газа, перемещающийся в пространстве со сверхзвуковой
скоростью, а остановленную встречным сверхзвуковым потоком:
Ударную волну — скачком уплотнения. Условность такого разделе-
разделения очевидна: ударная волна перед сверхзвуковым самолетом бу-
Дет скачком уплотнения для летчика.
Возникновение ударных волн связано с суммирова-
суммированием элементарных волн давления Др-И) (рис. 12.1, а). Сместим
поршень в трубе резко вправо до упора. Воздух перед поршнем бу-
21&
дет сжат и возникнет волна давления /—Я, которая будет распро-
распространяться к открытому концу трубы. При этом распределение
температуры воздуха вдоль оси трубы будет иметь вид, аналогич-
аналогичный распределению давления. Каждый элемент волны Ар->0 пред-
представляет собой слабое возмущение, которое распространяется в
пространстве с местной скоростью звука а = УкЦТ к открытому
концу трубы. Чем выше расположено возмущение от основания
волны Я, тем больше скорость его движения по предварительно
i
/ af a1
J \ cl \ я
Поршень >.
/ ^
PS*
в
X
11
и
it
/ a /% ^^j
Поршень
I I
I i
X
Рис. 12. l. Распространение возмущения в газе:
.«—волна давления; б—то же, разрежения
тжатому и разогретому газу. Откладывая вправо от волны /—Н
величины ан = Ук#Тю а = Ук/?Т и ax = YKRTv получим положе-
положение волны давления и температуры через секунду. Повторяя та-
такую, операцию найдем, что с течением времени исходная пологая
волна давления 1—Н самопроизвольно становится все более кру-
крутой, пока все элементарные волны давления не сложатся в поверх-
поверхность разрыва BДр=рц—рн), разделяющую области, в которых
давление и другие параметры разнятся на конечную величину
{р\\—рн), (Т\—Гн) и т. д. Эта поверхность и называется ударной
волной и распространяется со сверхзвуковой скоростью.
Сдвинем теперь поршень резко влево (рис. 12.1, б). Возникшая
при этом волна разрежения 1—Н начнет распространяться вправо.
Так как Т1<^Тп и а1 = ]/Лк/?Г1<^ан = |^к/?Гн, то волна разреже-
разрежения самопроизвольно будет становиться все более пологой, пока не
исчезнет. Таким образом доказывается невозможность существова-
существования адиабатных скачков разрежения. На практике скачки разреже-
разрежения наблюдаются при конденсации паров воды или газов в аэроди-
аэродинамических трубах, а также во фронте пламени. Но это не адиабат-
адиабатные скачки. Их существование объясняется подводом к газу в об-
ласти'пониженного давления тепла конденсации в первом случае и
химической реакции — во втором. В этих случаях Т{>ТН и ai:i>aH.
Возникновение скачков уплотнения при обте-
обтекании тел сверхзвуковым потоком. При обтекании тел
дозвуковым потоком элементарные волны давления, возникающие
214
Прямой скачи к уплотнения
Рис. 12.2. Обтекание те-
тела дозвуковым потоком
Рис. 12.3. Обтекание за-
затупленного тела сверх-
сверхзвуковым потоком
при взаимодействии потока с телом, распространяются во все сто-
роны со скоростью звука а. Эти волны уже на достаточном расстоя-
расстоянии искривляют линии тока подготавливая поток для безударного
обтекания тела (рис. 12.2).
При обтекании затупленного тела сверхзвуковым потоком (рис.
12.3) элементарные волны давления не могут распространяться
против сверхзвукового потока (a<W7H) и «подготавливать» его
для плавного обтекания. Поэтому, как говорят, сверхзвуковой по-
поток «слепо» натыкается на препятствие так, что на некотором рас-
расстоянии от тела образуется скачок уплотнения, на котором ударно
тормозится сверхзвуковой поток.
12.1. ПРЯМЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
Прямым называется скачок уплотнения, фронт которого перпен-
перпендикулярен к векторам скорости перед скачком (Wn) и за {Wx)
скачком. Прямой скачок возникает в тех случаях, когда скорость
газа при переходе через скачок не изменяет своего направления.
Задача исследования. Задаются параметры набегающего потока
Гн*, Рн*, к, R. Требуется определить параметры газа за прямым скачком
/?i* и т. д.
2 IS
Для решения поставленной задачи выделим сечениями Я—Н
до скачка и 1—1 за скачком произвольный участок элементарной
струйки газа, пересекающей скачок (см. рис. 12.3). Сечеаия Н—Н
и 1—1 расположим сколь угодно близко друг к другу. В этом слу-
случае их площади будут равны Si = SH, а боковая поверхность струйки
равна нулю SH-i = 0.
Рассмотрим для этого участка струйки основные уравнения га-
газовой динамики:
1. Уравнение неразрывности G1 = GH.
2. Уравнение энтальпии q — /техн = **~ & = Ср(Т\ — Т*н).
3. Уравнение движения в полных импульсах #ь = ф1—<
4. Уравнение состояния p=qRT.
-5. Уравнение второго закона термодинамики ds=
т ,
Постоянство полной энергии газа при перехо-
переходе через прямой скачок объясняется энергетической изоли-
изолированностью течения в струйке Н—/, окруженной струйками с та-
такими же параметрами. Итак, при <7 = /Техн=0 из уравнения энталь-
энтальпии и формул A1.19), A1.15) и A1.8), получим
•* •* Т* Т* * IV/ 11/7" /1 О О\
I 1 ^^^ I * 1 \ ^^ 1 ' CL ^^ CL ' A 1 ¦ /7 * \Х/ ;^z; \Х/ I 7 7 1
Неизменность полной энтальпии показана на диаграммах (см.
рис. 12.3).
Уменьшение скорости Wi=f(WH) и приведенной
скорости X\=f(XH) на прямом скачке уплотнения.
На поверхность трубки тока Н—1 действуют только силы нормаль-
нормального давления, проекция которых на ось трубки равна нулю, т. е.
-/?вн:=0Eн-1 = ()) и уравнение количества движения в полных им-
импульсах для прямого скачка с учетом A1.56), Gi = GH и aKpi = aI{^K
принимает вид:
Ф1==Фн; z(\l)=z(kB); ^i + — =К+— . A2.3)
Отсюда получаем основное кинематическое соотношение для пря-
прямого скачка *
A2.4)
Подставляя значения iA,H = WH/aKP и &i = WVaKpb получим
l \ A2.5)
Из формул A2.4) и A2.5) следует, что за прямым скачком уп-
уплотнения скорость всегда дозвуковая:
* Решение ^i=A,H соответствует течению без изменения параметров и к
скачку не имеет отношения.
216
2
Хн>1, а Х1=Х<1 и Г1 = -
При этом, чем больше WH и Ян, тем сильнее скачок. При к = 1,4
Ян max = 2,45 И ^imin = 0,407.
Увеличение плотности газа на прямом скачке
уплотнения определим из уравнения неразрывности Q\WX =
Wh с учетом A2.5) и^^/
Увеличение температуры газа на прямом скач-
скачке с учетом A2.2), A2.4) ит(Я) = Т/Т*, будет
k+1Uh/ ц2 7)
к+ 1 н
Повышение давления газа на прямом скачке*
Выражая расход газа в уравнении неразрывности из A1.45), полу-
получим
1
р\ =у(^н)_
1
1-—ч
к + 1
Подставляя в формулу A2.8) значение ikl из A1.25) и произ-
производя алгебраические преобразования, получим часто используемую
формулу
jBL = _2L_m5 —^-=-i, A2.9)
р» к + 1 к 4- 1
из которой также следует, что чем больше Мн, тем сильнее скачок
уплотнения: при Мн->оо давление также возрастает до бесконечно-
бесконечности pi/pH-+oo.
Ударная адиабата или адиабата Гюгонио. Под-
Подставляя в A2.6) значение Я^ из A1.25), преобразуя полученное сов-
совместно с A2.9), получим уравнение ударной адиабаты, — основное
динамическое соотношение ударной волны:
К+ 1 _Рн_
или -^- =—— 21 . A2. 10)
Qi— Qh Qi + Qh Qh . к 4- 1 _ Рн
к—1 Pl
Ударная адиабата устанавливает зависимость между плотно-
плотностью и давлением газа до скачка и за скачком.
Отличие ударного сжатия газа от изоэнтроп-
ного (см. рис. 12.3 и 12.4). При изоэнтропном сжатии q2/qi =
1
^ (pzlpi) к, т. е. бесконечному увеличению давления соответствует
бесконечное увеличение плотности. Ударная адиабата в координа-
217
тах is, T\s и pv представляет геометрическое место точек, изобра-
изображающих состояния газа за скачками различной интенсивности при
заданных начальных условиях. Поэтому ударная адиабата в коор-
координатах is и Тр обращена выпуклостью вверх. При слабых скачках
Мй-»-1 ударная адиабата асимптотически стремится к изоэнтропе,
а а->1. С увеличением интенсивности скачков ударные потери и
энтропия быстро возрастают, а о уменьшается и ударная адиабата
отходит от изоэнтропы. При Мн->оо, pi/pir+oo ударная адиабата
асимптотически стремится к предельной изохоре
Qlmax = QH^Hmax=QH —! • A^- И)
К— 1
ПрИ К=1,4 Qimax/QH = 6; При K=l,2 Qimax/QH=H.
Ограниченное увеличение плотности газа при ударном сжатии объ-
объясняется большим его разогревом (за счет потерь) по сравнению с
разогревом при изоэнтропном сжатии.
Задача 12.1. Постройте графики изоэнтропы и ударной адиабаты в коорди-
координатах Qi/QH = f(Pi/PH) для к=1,4. Определите изменение плотности qJqh в этих
Процессах при р1/рн=1О и 20.
Падение полного давления на прямом скачке
уплотнения. На основании D.97) и A1.40) заключаем, что в
энергетически изолированном процессе ударного сжатия, сопровож-
сопровождающемся волновыми потерями и ростом энтропии газа, полное
давление уменьшается. Коэффициент сохранения полного давления
удобнее рассчитать, пользуясь уравнением неразрывности в форме
A1.44):
р q (XH) SH p^q (Xi) S\
m r= = /77 -= .
V.K Vt\
При условии, что Si=SH, Г1* = 71Н* и i^i = 1/Ян, получим
A2Л2)
На рис. 12.4 приведена зависимость a=f (А*) Для прямого скач-
скачка, рассчитанная по A2.12). При Ан^1 скачки и ударные потери
отсутствуют и а=1. При малых Ян^1,25 снижение полного дав-
давления невелико. При увеличении Хн потери быстро возрастают и
при Ки = 2 (Мн = 3,2)—а = 0,72, т. е. на скачке теряется 78% полного
давления набегающего потока. При Мн—>ооиХн—Л/ !±-иа_*0.
у к— 1
Однако, при этом, потери не поглотят всего полного давления
набегающего потока Р1* = сгрн*=И=0, так как при pH=const и Мн->оо,
На основании уравнения состояния p*=q*RT* и Т\* = ТИ* зак-
заключаем, что отношение плотностей заторможенного потока на пря-
218
мом скачке равно отношению полных давлений, т. е. может быть
рассчитано по A2.12).
Проведенный анализ показывает, что изменение
всех параметров на прямом скачке уплотнения определяется для
данного k = Cv/Cv только величиной Хя.
Задача 12.2. Воздушный поток Мн = 3,16 тормозится на прямом скачке уп-
уплотнения. Доказать, что: Г*/Г* = 1; /?*//?* = 0,286; qI/qI = 0,286; Тг/ТИ = 2,27;
р1/рн= 11,6; Qi/qh = 4; 1^/1^ = 0,25; акр1/акр„=1; Wmaxl/Wmax„ = 1; Хн = 2;
^ = 0,5; 5i—5H = 358 Дж/кг-К.
Превращение энергии на прямом скачке уплот-
уплотнения. Сравним на диаграмме is рис. 12.3 изоэнтропное Я—Я* и
ударное Я—1—1* торможения одинаковых газовых потоков Ян>1.
При изоэнтропном торможении Я—Я* кинетическая энергия газа
Wy2 = hH = iH*—iR затрачивается на обратимое адиабатное сжатие
газа. При этом энтропия sH, T*, р*, q* и адиабатный теплоперепад
hH сохраняются неизменными и при адиабатном обратимом расши-
расширении газ вернется в исходное состояние Я.
Ударное сжатие протекает с ударными потерями необратимо и
лишь условно изображается линией Я—У, соединяющей точки, от-
отвечающие состоянию газа до и после скачка. На прямом скачке уп-
уплотнения при неизменной полной энергии (ii*=/H*) кинетическая
энергия набегающего потока U^2==Ah=ih*—(в частично сохраня-
сохраняется в виде кинетической энергии газа за скачком W\2f2=ii*—i\,
частично превращается в теплосодержание газа i\—i\ и частично
диссипирует, что приводит к потере адиабатного теплоперепада
i'—iH=AA==ftH—hx. Этот процесс сопровождается ростом энтропии
S\>sH и снижением полного давления /?i*<pH*. Из состояния гн*,
Pi* газ не может изотропно вернуться в состояние Я и приобрести
исходную кинетическую энергию, а может расшириться до состоя-
состояния V и приобрести кинетическую энергию W2v/2=hi = ii*—i\\
Скорость распространения ударной волны в
неподвижном газе. Если сверхзвуковой поток Wn>a9 удер-
удерживающий ударную волну на месте (см. рис. 12.3), остановить, то
ударная волна будет распространяться по неподвижному газу с той
же по величине, но обратной по направлению скоростью WB =—WH.
Поэтому для определения WB составим уравнение неразрывности
Qh^h=Qi^i = Q^ и количества движения (pR—Pi)S = qWS(W{—WH)
для струйки Я—1. Из этих уравнений найдем
и Wl =
l \ Pl~p" ^. A2.13)
Qi—Qu Qh V Qi—Qh Qi
Скорость ударной волны тем больше, чем она сильнее, т. е. чем
больше р\—рн и qi/qh. Вследствие того, что Wi<?.WB, при обраще-
обращении движения за ударной волной установится массовый поток газа,
скорость которого Wn будет меньше скорости ударной волны:
Qll) . A2.14)
QlQa
219
Q8
0.6
«4
0,2
О
-*<
\
V
л
\
ч
\
\
V \
\
\
-Ударная
адиабата
1,5
2,0
0 1 2 3,2 5,3 /7„
Рис. 12.4. Потери полного давления на скачках уплотне-
уплотнения:
/—три косых скачка+прямой; 2—косой скачюк+прямой; 3—прямой
скачок
Отставание массового потока от фронта волны и ударные поте-
потери приводят к тому, что ударная волна, предоставленная самой се-
себе, быстро ослабевает и вырождается в звуковую волну
Pl-Рн
; WB=
=а; Wn = 0. A2. 15)
Как известно, за звуковой волной массовый поток газа отсут-
отсутствует.
Для того, чтобы ударная волна распространялась в пространст-
пространстве с постоянной скоростью, к ее фронту необходимо непрерывно
подводить энергию. Например, условием постоянства скорости
ударной волны перед сверхзвуковым самолетом является наличие
тяги.
Другим примером стационарного распространения ударной вол-
волны является детонационная волна. Детонационной волной называ-
называется сочетание ударной волны и следующей за ней области экзо-
экзотермической химической реакции. В ударной волне горючая газо-
газовая смесь сжимается так, что температура ее превышает темпера-
температуру воспламенения. Смесь сгорает и непрерывно подпитывает
энергией ударную волну. Количество энергии, выделяющееся в зо-
зоне горения, зависит от природы и состава горючей смеси. Поэтому
каждбй смеси соответствует своя определенная скорость детонаци-
детонационной волны.
12.2. КОСЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
Косыми скачками уплотнения называются скачки,
фронт которых составляет с вектором скорости сверхзвукового на-
набегающего потока угол а, отличный от прямого (рис. 12.5)* Этот
угол косого скачка, в зависимости от условий (Мн, сок) изменяется
в пределах от угла характеристики ссо до 9(f, т. е. ао^<а^9О°. Ко-
Косые скачки уплотнения возникают при обтекании сверхзвуковым
220
потоком плоского клина (рис. 12.5, а), внутреннего тупого угла
(рис. 12.5, б) и конуса (рис. 12.5, в), а также при отсутствии откло-
отклоняющей поверхности, когда в сверхзвуковом потоке должно повы-
повыситься давление и измениться его направление. Если угол со откло-
отклоняющей поверхности меньше предельного значения (отах (см. ни-
ниже), то возникают плоские или конические присоединенные косые
скачки уплотнения, вершины которых совпадают с вершинами кли-
клина, внутреннего тупого угла или конуса.
Рн
Рис. 12.5. Косые скачки уплотнения:
а—у клина; б—у внутреннего тупого угла; в—у конуса
Плоские косые скачки уплотнения имеют место в плоских возду-
воздухозаборниках сверхзвуковых ВРД, в сверхзвуковых компрессорах
и камерах сгорания, при обтекании крыльев сверхзвуковых лета-
летательных аппаратов. Конические скачки имеют место в осесиммет-
ричных сверхзвуковых диффузорах и при сверхзвуковых полетах
заостренных осесимметричных тел.
Рассмотрим плоские косые скачки уплотне-
уплотнения как* поверхности разрыва параметров иде-
идеального газа. Разложим вектор скорости набегающего потока
WH и потока за скачком Wx на нормальные к скачку и тангенци-
тангенциальные составляющие. Отметим их индексами п и t соответственно
и запишем очевидные геометрические соотношения:
A2.16)
A2.17)
A2. 18)
A2. 19)
A2.20)
221
где. р — угол между фронтом косого скачка и вектором скоро-
скорости Wx.
На косом скачке уплотнения нормальная составляющая скоро-
скорости совершает скачок WXn<iW^n, а тангенциальная составляющая
не изменяется
Wu = Wnt. A2.21)
Эти утверждения доказываются также, как для характеристики'
сжатия [см. формулы A1.72) и A1.73)] и позволяют сделать важ-
важный вывод: косой скачок уплотнения можно представить как пря-
прямой скачок для нормальной составляющей скорости, сносимый
вдоль фронта скачка со скоростью W^ Поэтому косые скачки уп-
уплотнения можно рассчитывать по формулам расчета прямых скач-
скачков уплотнения, если в них заменить все параметры, включающие
векторные величины— W^ Wx Тн*, Тх*, акр, Яш Xh MH, Мь/>й*,рЛ
на параметры, связанные с нормальными составляющими скоро-
скоростей — WH п, WXn, Т*ш, T*w акр п, Ян п, Л,ш, Мн п, Мщ, /?,, Р*ы-
Задача состоит в получении формул этой замены.
На косом скачке уплотнения энергетический обмен с внешней
средой отсутствует и уравнение энтальпии q—/Tex=*i*—к***
= Ср(Г1*-Гн*)=0дает
/*==/*; Т\* = Т*К; а =а A2.22)
т. е. полная энергия (температура торможения) на косом скачке
уплотнения не изменяется.
Температура частичного торможения это темпе-
температура, которую примет газ не при полном его торможении, а при
частичном энергетически изолированном погашении только нор-
нормальной составляющей скорости. Такую температуру покажет тер-
термометр, движущийся вдоль скачка со скоростью 'Wt.
Подставим в Г* = Г + ^— значения W2H и W2 из A2.16) и jno-
лучим
w2 w2 w2
-—. A2.23)
По определению температура частичного торможения Т*п = Т-\-
w2k
-\--pr- » тогда из A2.23) с учетом A2.21) найдем
W2
T*n=T*Hn = T*in = Tll-\-(Wln/2Cp) = T1-\ —=const, A2.24)
т. е., что температура частичного торможения на косом скачке не
изменяется. Выразим Гп* из A2.23) через Г*
Т* = Т* ^-=7^* к L по 251
222
2СР
значения
1 '
и W
1СР
Условная критическая скорость звука это
критическая скорость звука, подсчитанная по температу-
температуре частичного торможения
— #Г*. A2.26)
Подставляя в формулу A2.25) значения Г* и Тп* из A2.19) и
A2.26), найдем, что условная критическая скорость звука
a%n=a%-K-=±Wit A2.27)
к |1
на косом скачке, так же как ОкР, не изменяется.
Приведенные скорости^п и^щ это отношение соот-
соответствующей нормальной составляющей скорости к условной кри-
критической скорости звука
Kn = WnnjaKVn; K = Wln/aKpn. A2.28)
Вследствие-того ,что аКрп=#=Якр> Янп и Х\п не являются нормальны-
нормальными составляющими приведенных скоростей А,н и Х\.
Подставляя W\n из A2. 17) и а%п из A2.27) в \ln = wln/a%n и
учитывая, что W)=W\ cos2 а, после преобразований получим
. A2.29)
1-—
к+ 1
Нормальные составляющие чисел М это отношение
соответствующей нормальной составляющей скорости к местной
скорости звука:
MHn = WHn/aH = (WH sin <x)/aH = MH sin a; Mln = Wla/al =
= MlSinp. A2.30)
Для %п и Мп справедливы формулы связи A1.25) и, следова-
следовательно, по одной из заданных величин можно находить другую
в таблицах газодинамических функций, не обращая внимания на
индекс я.
к—1
Учитывая, что х(Х) = Т/Т* = [п(\)} к =[e(X)]*-if Т\ = Т*п и Т*п =
= Гнл, приходим к заключению, что для косых скачков справед-
справедливы следующие соотношения
* (*i)/* (К) = ^; я (Хх)/л (Хн) = я (Х1я)/я (Х,я);
ЧКнп) A2.31)
^i)/*W = *(^i«)/e^i*).
Записав уравнение состояния газа до и после скачка
PJ№J=Pi/(QiTi) = R, A2.32)
заключаем, что соотношение между всеми скалярными Параметра-
Параметрами до и после прямого скачка полностью сохраняется для косого
скачка.
223
Теперь запишем, формулы д л я расчета косых скач-
скачков уплотнения на основании формул расчета прямых скач-
скачков A2.1).
1. Основное кинематическое соотношение
KKn=U WlnWHn=a%n, A2.33)
т. е. нормальная составляющая скорости за косым скачком всегда
меньше скорости звука \n=l/Kw Wln=alvJWHn. Однако пол-
полная скорость за косым скачком W\ может быть как сверхзвуковой,
так и дозвуковой.
Связь между Х\ и К получим, используя A2.18) и A2.21):
X1 = XHcosa/cosp, W1 = l^Hcosa/cos^. A2.34)
2. Уменьшение полного давления
Pin
к+1
x2 ^p
к + lJ
A2.35)
Несмотря на то, что р1ф р^п и р\ф р\п, их отношения одина-
одинаковы. Это следует из A2.31):-4= PlK{K) =*-
Р PX(k) p
4 ?.
Рп PnX(ki) pH П(к1п) рнп
3. Увеличение плотности газа
Qi/eH=*Hii. A2.36)
4. Увеличение давления газа
18{п2а^^11, A2.37)
К+1 ^ '
Рн У(Шяп) К+1 К+1 К+1 К+1
5. Увеличение температуры
_тA/Аня) = тгA/Хн) /jg 38)
-с(Хн)
6. Ударная адиабата Гюгонио, как состоящая целиком из ска-
скалярных параметров, сохраняет ту же форму, что и для прямого
скачка
к + 1 Рп
Pi — Рн _к pi Л- Рп . pi __ к— 1 pi ,|2 39)
Qi — Qh Qi + Qh Qh j k+ 1 /7H
к— 1 pi
7. Угол между фронтом скачка и вектором скорости за скачком
определим, разделив первую формулу A2.19) на вторую:
A2.40)
, Полученные соотношения показывают, что:
224
0,8
0,6
0,2
-бп.с=0,53
\
р; Ры
1
— Рн
с Рте
О 1
Рис. 12.6.
скачков
Сравнение косого и прямого
1. Изменение всех параметров газа на косом скачке уплотнения
определяется только величиной Лн п, которая, в свою очередь, оп-
определяется приведенной скоростью набегающего потока К и углом
скачка A2.29).
2. При одинаковом MH>l(ta>l) косой скачок уплотнения всег-
всегда слабее прямого так как Мнп = Мн8та<Мн(Янп<Ан). На-
Например, при Мн. = 3 ац.с = 0,33 (рис. 12.6). Определим по графику
рис. 12.6 коэффициент сохранения полного давления для косого
скачка ок.с при а = 30° и
том же числе Мн=3. Для
этого перейдем к МНп =
=МН sin а= 1,5 и получим
ак.с = 0,93.
Ударное сжатие газа
на прямом и косом скач-
скачках уплотнения при оди-
одинаковых начальных усло-
условиях сравниваются в ко-
координатах Ts (рис. 12.6).
Давление, температура и
плотность на косом скач-
скачке повышаются в мень-
меньшей степени, чем на прямом, а волновые потери уменьшаются.
Система скачков уплотнения. Итак, если в полете с
большим числом Мн перед входным отверстием диффузора ВРД
возникает прямой скачок уплотнения, то потери полного давления
воздушного потока оказываются так велики, что эффективная ра-
работа двигателя невозможна. Газовой динамикой разработан метод
замены прямого скачка системой из нескольких более слабых ко-
косых скачков уплотнения (см. п. 16.2). При этом потери полного
давления сильно снижаются. Например, при &н=2 (Мн«3,2)
о"п.с»0,28, а.для системы из трех косых скачков и одного слабого
прямого (Тзк.с+п.с= 0,8 (см. рис. 12.4). Замена прямых скачков уп-
уплотнения косыми приводит к снижению лобового сопротивления
тел при сверхзвуковых полетах и т. д. Поэтому теория косых скач-
скачков уплотнения имеет большое практическое значение.
Расчет косых скачков. Обычно бывают известны Ян, рш*>
Гн*, к, У? и угол отклоняющей плоскости со. Определению подле-
подлежат Ян п, а, р и параметры за косым скачком. Формула A2.29) со-
содержит два неизвестных — Хн п и а. Поэтому к ней добавляются
формулы A2.40) и A2.20). Итак, для определения XHn необходимо
решить совместно три уравнения
; sin2 a
к—1
1-—-К
tgP = -72—tga и a = c
* Если известен угол скачка а, то К п определяется по A2.29) и по ее зна-'
чению рассчитывается изменение всех параметров.
8 950
225
Решение для каждого заданного А,н и ш производится на счетно-
решающей машине или методом подбора, который сводится к сле-
следующему:
1. Задаются произвольные значения угла скачка а в пределах
ао<а<9О°, где ao = arcsin A/MH);
2. Для каждого значения а и заданных А,н и к по формуле
A2.29) рассчитывается Янп, по A2.40) —угол р и по A2.20) —
угол со. Решением являются значения а, Ян n, P, соответствующие
заданному углу со. После этого все параметры за косым скачком
рассчитываются по формулам A2.35) ... A2.38).
Рис. 12.7. Зависимость угла косого скачка от угла отклонения по-
потока:
а—диаграмма а©; б—присоединенные косые скачки; в—отошедшая головная
волна
Расчеты упрощаются, если вместо определения Хнп из A2.30)
определить MHn=MHsin а и по его значению найти %нп по табли-
таблицам газодинамических функций для заданного к.
Для быстрого определения угла косого скачка а в зависимости
от заданных значений к=Ср/Сг, числа Мн и угла полуклина со стро-
строится график асо или a=/(coiMH).
Анализ зависимости а=/((о, Мн) (рис. 12.7,а). Одному
и тому же числу Мн.и углу отклонения потока со соответствуют два
возможных положения косого скачка, например, при Мн=3, ю =
= 20°; ai^38° и а2~83° (см. также рис. 12.7,6). Скачки с меньши-
меньшими углами а (ветви г—в) называются слабыми косыми скачками,
так как скорость за ними остается сверхзвуковой Mi>l. При ю=0
{точки г) косые скачки уплотнения вырождаются в характеристики
*аг = ao=arcsin A/MH), на которых отклонения потока бесконечно
малы. При увеличении угла w слабые косые скачки становятся все
^сильнее и в точках в имеет место второй предел слабых косых
скачков, за которыми Мц=1.
226
Скачки с большими углами а (ветви в—а) называются сильны-
сильными косыми скачками, так как скорость за ними становится дозву-
дозвуковой. При уменьшении угла со сильные косые скачки становятся
все сильнее и в точке а косые скачки превращаются в самые силь-
сильные прямые скачки а=90° с A,i = 1ДН. При уменьшении числа Мн до
единицы угол характеристики увеличивается до ао=9О°. В этом
случае три точки — б, в, г совмещаются с точкой а (см. рис.
12.7, а).
Опыт показывает, что в обычных условиях реализуются устой-
устойчивые слабые косые скачки уплотнения (сплошные линии на рис.
12.7, б). Сильные косые скачки (пунктирные линии) возникают
лишь в особых условиях, например, если в точках Г и Д имеются
твердые тела, на которые опираются эти скачки. Если убрать тела
Г и Д, то сильные скачки сами собой перейдут в слабые и угол
умеНЬШИТСЯ ОТ #2 ДО Оц.
Точки б для каждого Мн, (см. рис. 12.7, а) соответствуют макси-
максимально возможному отклонению потока на присоединенных косых
скачках. С увеличением Мн угол сотах увеличивается и при Мн=°°
достигает 46°. Если угол полуклина (окл>сотах, то поворот потока
на этот угол на косом скачке уплотнения оказывается невозмож-
невозможным и косой скачок перестраивается в отсоединенную криволиней-
криволинейную головную волну (см. рис. 12.7, в), На участках отсоединенной
головной волны реализуются все возможные углы косых скачков
для данного Мн от а = 90° на оси (точка а) до a = ao=arcsin A/MH) в
бесконечном удалении от оси. На участке а—в реализуются силь-
сильные скачки. В зоне аве дозвуковой поток поворачивает в сужаю-
сужающихся струйках тока на угол соКл>Ютах и разгоняется к линии в—е
до % = 1. За линией в—е поток в расширяющихся линиях тока уско-
ускоряется до сверхзвукового. За точкой в начинается область слабых
косых скачков. Итак, дозвуковой поток может поворачиваться на
любой угол, а сверхзвуковой на косом скачке не более, чем на
сотах. Когда же сверхзвуковой поток должен повернуться на угол
больший сотах, он переходит в дозвуковой.
Отсоединенная головная волна возникает также при сверхзву-
сверхзвуковом обтекании затупленных тел и перед входным отверстием воз-
воздухозаборника ВРД, когда он не может пропустить весь воздух
сверхзвуковой струи равного с ним поперечного сечения.
Задача 12.3. Воздушный поток Мн = 3,16, /?* = 106 Па, 7* =625 К обтекает
клин с полууглом со=20°. Используя диаграмму асо, доказать, что:
^* ^ = ^/^ = 0,71, 7VrH=l,7, Pl/pH=4t62, (h/cb=2,7,
102 Дж/кг-К, />*„= 1,75-105, /?1=9,7.104 Па, Г*„=380,
Г1==35бК, Хх= 1,62, Х1/г = 0,61,aKp = 458 м/с, якр/г = 357, Мн« = 2,03, ХН/г=
= 1,64. Сопоставить результаты с результатами расчета прямого скачка (см.
задачу 1.2.2) и изобразить изменение параметров в fs-координатах.
Особенности сверхзвукового осесимметрично-
го обтекания кругового конуса. На рис. 12.8, а и
рис. 12.8, б для наглядности совмещены конические (сверху) и
плоские (снизу) течения (Мн=2) при равных полууглах конуса и
8* 227
клина сокон = о)кл = 20° (см. рис. 12.8, а) и при одинаковых углах ко-
конического и плоского скачков аКон = акл = 380 (см. рис. 12.8, б). Как
это было показано ранее и как это следует из рис. 12.8, а и б, в
плоском обтекании клина все параметры сверхзвукового потока
изменяются только на косом скачке, за которым поток течет парал-
параллельно поверхности клина без каких-либо изменений. Упрощающим
расчет обстоятельством является то, что направление скорости за
плоским косым скачком заранее известно.
>
'4
А
У
-ли
Дга5
О 10 20 30 40 (J&,
в)
Рис. 12.8. Сравнение конических и плоских косых скачков:
/—конический косой скачок; 2—то же плоский; а—щри й>кон=сокл; б—при одинако-
одинаковых углах скачков; в—диаграмма мкон=/йкл
Коническое течение является пространстве н-
н ы м. Это усложняет его математический анализ и обусловливает
следующие особенности. Острие конуса меньше возмущает сверх-
сверхзвуковой поток, чем бесконечный плоский клин. Поэтому при оди-
одинаковых полууглах конуса и клина конический скачок слабее пло-
плоского, т. е. имеет меньший угол наклона (на рис. 12.8, а Мн=2,
о)кон = сокл = 20°, аКон=38°, аКл = 55°). Вследствие того, что фронт
скачка является поверхностью разрыва F = 0), скачкообразное из-
изменение параметров на нем не зависит от формы поверхности—
плоской или конической. Поэтому, если известно число\Мн и угол а
конического скачка, то изменение всех параметров на этом кониче-
коническом скачке и угол поворота потока на нем оэ могут быть рассчи-
рассчитаны по уже полученным формулам для плоского косого скачка
A2.29), A2.40), A2.20) и т. д. Так как конический скачок слабее
плоского, то угол поворота потока на нем меньше угла полуконуса
<о<Юкон. Для рассматриваемого примера Мн=2, а=38° по диаг-
диаграмме асо (см. рис. 12.7) находим угол поворота потока cd= 9°<
Окон=20°. Вследствие того, что конус непроницаем для газа, по-
поток за скачком плавно поворачивает и течет в криволинейных су-
суживающихся каналах, образованных поверхностями тока и в бес-
бесконечности принимает направление, параллельное образующей ко-
конуса. В этих суживающихся каналах сверхзвуковой поток изоэнт-
ропно тормозится. Итак, торможение сверхзвукового потока в ко-
228
ническом течении слагается из ударного (на коническом скачке) и
изоэнтропного (за скачком при обтекании конуса). Поэтому тор-
торможение сверхзвукового потока при коническом течении сопровож-
сопровождается меньшими потерями, чем при плоском. Следует иметь в ви-
виду, что уменьшение расстояния между линиями тока при течении
около поверхности конуса частично компенсируется увеличением
радиуса кольцевого сечения струйки и площадь поперечного сече-
сечения ее уменьшается незначительно. Поэтому, несмотря на то, что
за коническим скачком при обтекании конуса поток поворачивает
на достаточно большой угол (Ао) = о)Кон—со = 20—9=11°), парамет-
параметры в изоэнтропном сжатии изменяются также незначительно. Учи-
Учитывая все это, можно приближенно рассчитывать параметры газа
по состоянию непосредственно за коническим скачком.
На рис. 12.8, б показано, что при Мн—2 конус с полууглом
Окон = 20° и клин с @кл = 9° образуют конический и плоский скачки
с одинаковыми а=38°. С этой точки зрения клин с (оКл=9° можно
считать при Мн = 2 эквивалентным конусу с соКон=20°.
На рис. 12.8, в представлена зависимость угла полуконуса от
полуклина соКон=/(сокл), Для которых конические и плоские скачки
имеют одинаковую интенсивность, для чисел Мн=1,5; 2; 3; 4 и 5.
Пунктиром на графике нанесены значения сотах Для клина и кону-
конуса. При со>сотах возникает отошедшая криволинейная ударная
волна. Из графика следует, что соКонтах>соКлтах- Например, при
Мн = 2 СОкл тах = 23р, а 0)Кон max = 38°.
Методика расчета конических скачков при за-
заданных числе Мн и угле полуконуса о)кон:
1. По заданным соКон и Мн определяется эквивалентное значе-
значение угла (Окл.эквив по графику рис. 12.8, б.
2. По найденному значению соКл.эквив определяется угол кониче-
конического скачка аКОн по диаграмме асо (см. рис. 12.7, а).
3. Конический скачок рассчитывается как плоский по заданному
Мн и определенному <хКон-
Задача 12.4. Воздушный поток Мн = 3,16, рн*=Ю6 Па, Гн* = 625 К обтекает
конус с полууглом со = 20°. Рассчитать параметры за коническим скачком и со-
сопоставить с результатами задачи 12.3.
12.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ТОРМОЖЕНИЯ рв*
И ПРИВЕДЕННОЙ СКОРОСТИ В СВЕРХЗВУКОВЫХ
ПОТОКАХ
Если трубка Пито—Прандтля (см. рис. 9.14, а) установлена в
сверхзвуковом потоке, то перед ней возникает ударная волна. Осе-
Осевая газовая струйка ударно тормозится на центральном участке
отсоединенной криволинейной ударной головной волны. Диаметр
струйки, попадающей в центральное отверстие трубки Пито—
Прандтля, мал. Поэтому с достаточной для практики точностью
полагают, что она тормозится на прямом скачке уплотнения. За
скачком К\= AДН) <1 и давление торможения Р\*=1Оц.сРк*- При
подходе к центральному отверстию струйка полностью энергети-
229
чески изолированно и изоэнтропно затормаживается так, что ма-
манометр, подсоединенный к трубке полного давления замерит дав-
давление торможения за прямым скачком уплотнения р\*. Если боко-
боковые отверстия для замера статического давления находятся на рас-
расстоянии более пяти диаметров насадки от переднего края, то, как
показывают опыты, давление в них устанавливается равное стати-
статическому давлению рн в невозмущенном сверхзвуковом потоке.
Для определения приведенной скорости ан невозмущенного
сверхзвукового потока подставим в формулу A2.12) значение
Рн* =Рн/я (А,н) , ПОЛУЧИМ
Pi
Рп
к— 1
"к+1
к— 1 1
A2.41)
к—1
Эта формула является разновидностью формулы Релея. Она мо-
может быть представлена графиком или таблицей /?1*/Рн=/(Ян), по
которым можно быстро определить Ад, зная измеренные в экспери-
эксперименте значения р\* и рн.
Давление торможения определится как рн*=Рп/п(ки), а ско-
скорость
*крн~
2к
к+1
rK.
Как видим, для расчета скорости должна быть известна или изме-
измерена температура торможения Гн* (см. рис. 11.1).
Для уменьшения возмущения сверхзвукового потока трубки Пи-
Пито—Прандтля выполняются минимального диаметра с головкой в
виде усеченного конуса.
12.4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И ОТРАЖЕНИЕ
СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ
Скачки взаимодействуют при их пересечении друг с другом, а
также с волнами разрежения, твердыми поверхностями и граница-
границами свободных сверхзвуковых струй.
И
Рис. 12.9. Пересечение скачков
Скачками одного семейства
называются скачки, повора-
поворачивающие поток в одну и ту
же сторону. Скачки различ-
различных семейств поворачивают
поток в разные стороны.
Пересечение двух косых
скачков А В и Б В одного се-
семейства (рис. 12.9) приво-
приводит к образованию выше
точки пересечения В одного
более сильного скачка ВГ.
Условиями равновесия та-
такой системы являются:
230
1) равенство угла coi'+tofe поворота потока на сильном скачке
ВГ суммарному углу поворота потока на скачках АВ и БВ\
2) равенство статических давлений Рз=р4 в областях /// и IV.
Этих условий достаточно для расчета системы. Углы скачков
Он, см и анв определяются по диаграмме шо (см. рис. 12.7, а) для
(О\ и Мн, 0J и Мь (coi+!oJ) и Мн соответственно.
При некотором сочетании углов соь ©2 и Мн может оказаться,
что ръФрь В этом случае из точки В выходит отраженный скачок
\\\\N\N\\\\\\\\\\\\\\\\\
CJ U
Рис. 12.10. Отражение косого скачка от твердой поверхности:
а—правильное отражение; б—маховское отражение
уплотнения BE (при р2<Р*) или волна разрежения (при Р2>Ра),
обеспечивающие условие /?з=Р4- Этот скачок уплотнения или волна
разрежения получаются очень слабыми и в приближенных расче-
расчетах не учитываются. Полное давление за системой скачков в об-
области /// получается всегда больше, чем в области IV за одним
сильным скачком рз*>Р4*. При рз=Р4 это значит, что поток в об-,
ласти /// течет с большей скоростью, чем в области IV (Wz>Wi), и
линия тока ВЦ является поверхностью тангенциального разрыва
скоростей, которая не может препятствовать выравниванию стати-
статического давления в областях /// и IV. В вязком газе вместо поверх-
поверхности тангенциального разрыва возникает вихревой струйный по-
пограничный слой с плавным изменением скорости от Wz до W±. Вих-
реобразование связано с диссипацией энергии и дополнительным
уменьшением полного давления.
Правильное отражение скачка от плоской
стенки (рис. 12.10, а). На косом скачке уплотнения АБ сверх-
сверхзвуковой поток тормозится от Мн до Mi и поворачивает по часовой
стрелке в сторону стенки на угол ю. Непосредственно у стенки по-
231
ток повернуть не может, поэтому в точке Б возникает отраженный
косой скачок, на котором поток Мг тормозится и поворачивает на
тот же угол со в противоположную сторону, после чего течет с М2
параллельно стенке. Скачки АБ и БВ принадлежат к различным
семействам. Параметры этого течения могут быть определены по
диаграмме асо: по заданным Мн и со определяются углы ан и р =
= ан—со; затем Xi=iA,Hcos a/cos p и Мь По со и Mj определяется а\.
Маховское отражение (рис. 12.10,6). При некоторых
сочетаниях со и MHi<MH может установиться такое малое Мз, для
которого максимальный угол отклонения потока созтах меньше со,
потребного для придания потоку направления, параллельного стен-
стенке. В этом случае правильное отражение скачка оказывается не-
невозможным и возникает маховское отражение с У-образным
скачком с тройной точкой Б. Точка отражения косого скачка Б от-
отходит от стенки и между ней и стенкой возникает сильный скачок
БГ, близкий к прямому. Поэтому поток, текущий около стенки, не
изменяет направления и за скачком становится дозвуковым (Мб<
<1). На косом скачке БД поток М3 поворачивает на угол созтах =
= со—Асо и течет с M4>Ms под углом Лео к стенке. Величина Дсо
легко определяется в диаграмме асо. На линии тока БЕ имеет ме-
место тангенциальный разрыв скорости, который в случае реальной
жидкости превращается в струйный турбулентный пограничный
слой. Статические давления в потоках одинаковы Р4=Рб, а пол-
полное— больше за системой скачков /?4*>Р5*. Параллельное стенке
направление поток получает в криволинейных линиях тока, подоб-
подобных БЕ.
Взаимодействие скачка уплотнения АН с вол-
волной разрежения, т. е. с множеством характеристик, располо-
расположенных внутри угла НСК (рис. 12.11), приводит к постепенному
уменьшению интенсивности скачка, который в точке К вырождает-
вырождается в характеристику КД. Это объясняется тем, что за каждой вол-
волной разрежения статическое давление уменьшается и скорость воз-
Рис, 12.11. Взаимодействие
• скачка уплотнения с волной
разрежения
Рис. 12.12. Взаимодействие
скачка с границей свободной
струи
232
растает, например /?2<Pi и скачок НБ слабее АН. Статическое
давление на характеристике КД или АЖ не изменяется — Р4=Рн и
должно быть таким же, как в области.///, т. е. р4=Рк=Рз=Рн- По-
Поэтому в сверхзвуковом потоке отбор статического давления для его
измерения можно производить либо со стенки АЕ, параллельной
потоку, либо с поверхности СВ за волной разрежения. На поверх-
поверхности Л С за косым скачком АН статическое давление больше, чем
в набегающем потоке
?+ Мн51П2ан .
К + 1
Рн К + 1
Полное давление в области IV равно полному давлению в набе-
набегающем потоке Р4*=Рн* и больше, чем полное давление в областях
/// и /: Р4*=Рн*>Рз*. При рз=Рн это соответствует МН=М4>М3.
Отражение косого скачка АС от границы сво-
свободной струи^СЯ (рис. 12.12). Косой скачок Л С взаимодей-
взаимодействует с границей струи в точке С. В точке С косой скачок отража-
отражается в виде волны разрежения СБД, проходя через которую сверх-
сверхзвуковой поток М! ускоряется до М2, а давление снижается до дав-
давления окружающей среды р2=рн- Иначе течение протекать не мо-
может, так как область НСД отделяется от окружающей среды толь-
только границей струи СН, которая не способна удерживать разность
давлений. Граница струи отклоняется в точке С от своего первона-
первоначального положения на угол, равный сумме углов отклонения пото-
потока в косом скачке и в волне разрежения СВД.
Глава 13
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
НА ГАЗОВЫЙ ПОТОК
Рассмотрим ускорение и торможение газовых потоков за счет
расширения и сужения каналов или трубок тока dSfS^.0 при отсут-
отсутствии остальных воздействий dG=A7=rf/Tex==d/TP=0.
В этих энергетически изолированных и изоэнтропных течениях
параметры торможения и их производные i*, T*, p*, q*, a«p, WmtLTt
a<* постоянны. В соответствии с уравнением Бернулли dp/q=*
= —WdW ускорение всегда сопровождается уменьшением статиче-
статического давления, т. е. адиабатным расширением, а торможение —
повышением давления или адиабатным сжатием. При этом проис-
происходит обратимое взаимопревращение кинетической и потенциаль-
W\
ной энергий газа при неизменной его полной энергии i*=ix -\ =
wl
=/2-|——=Ср7ч*=const. Равнодействующая сил давления 7?==
= G(W2—Wi) является единственной силой, ускоряющей R>0 или
тормозящей \R<C0 газ на участке 1—2 канала рассматриваемого
течения.
Уравнение закона обращения воздействия A1.59) для данного
случая
{№-l)dW/W=dS/S A3. 1)
называется формулой Гюгонио и показывает, что дозвуковой поток
М<1 ускоряется в сужающихся каналах и тормозится в расширя-
расширяющихся, а сверхзвуковой поток М> 1 ускоряется в расширяющихся
и тормозится в сужающихся.
На практике широко используются каналы переменного сече-
сечения. Это прежде всего сопла и диффузоры реактивных двигателей
и их элементов: компрессоров, камер сгорания и турбин. Изучение
этих важнейших течений как одномерных при отсутствии других
воздействий позволяет установить их основные закономерности, а
затем оценить особенности реальных течений и потери.
234
13.1. УСКОРЕНИЕ СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА
ПРИ ОБТЕКАНИИ ВНЕШНЕГО ТУПОГО УГЛА
(ТЕЧЕНИЕ ПРАНДТЛЯ—МАЙЕРА)
Криволинейную поверхность тела всегда можно, с известным
приближением, заменить граненой. Тогда расчет обтекания тела
сверхзвуковым потоком сведется к расчету обтекания внутренних
тупых углов (к расчету волн сжатия) и внешних тупых углов, т. е.
к расчету течения Прандтля—Майера или волн расширения.
Рис. 13.1. Течение Прандтля—Майера
На рис. 13.1 представлена схема этого течения. Две полубеско-
полубесконечные стенки образуют внешний тупой угол ЛС?=180°+6к.
Сверхзвуковой Л,н> 1 равномерный плоскопараллельный поток иде-
идеального газа течет вдоль стенки АС энергетически изолированно и
изоэнтропно.
Требуется определить изменение параметров потока при обте-
обтекании угла АСВ.
Физическая картина течения. Вершина угла С явля-
является источником слабых возмущений, которые в виде бесчисленного
множества прямолинейных характеристик разрежения располага-
располагаются в пределах угла НСК. Первая характеристика разрежения
НС располагается лод углом ctoH = arcsin A/MH) к вектору скорости
невозмущенного потока (см. п. 11.7). Прямолинейность характерис-
характеристик указывает на неизменность всех параметров потока до встречи
с ними. Конечное изоэнтропное расширение газа по закону р=
235
= QKconst, ускорение ЯК>ХН и поворот потока на угол бк в течен.ии
Прандтля—Майера происходит только в пределах угла НСК и яв-
является результатом бесчисленного множества элементарных скач-
скачков разрежения на характеристиках (см. рис. 13.1).
Опыты показывают, что сверхзвуковое течение реального газа
й области внешнего тупого угла близко следует законам изоэнтроп-
ного течения.
Расчет течения Прандтл я—М а й е р а удобно произво-
производить в полярной системе координат г, <р с полюсом в точке С. Па-
Параметры потока вдоль радиуса вектора не изменяются (d/dr=O)r
так как он совпадает с характеристиками. Это даег возможность
заменить частные производные по <р на обычные д/дф=ё/Жр.
Параметры торможения в этом течении не изменяются и все ос-
остальные параметры могут быть рассчитаны по формулам Г=
= Г*т(А,), р=р*я(Я), Q = Q*e(A,), №=ОкРА,. Поэтому задачей иссле-
исследования является определение приведенной скорости А,=А,(<р). Для
этого используются следующие уравнения:
1) соотношение между скоростью W и ее нормальной Wu и ра-
радиальной Wr составляющими (см. рис. 13.1)
W2 = Wl + W2n A)
разделив A) на а^р, получим
Х* = Х*+Х*; B)
2) равенство нормальной составляющей скорости и местной ско-
скорости звука (см. рис. 11.7)
Wu=a; C)
3) уравнение энтальпии A1.21) для <7=/Тех=0 с учетом A) и
C)
ZL ZL=1±1 A =const; A3. 2)
2 к1 2 V '
1 +
к—1 2 2 к—1 2
4) уравнение отсутствия циркуляции скорости по любому замк-
замкнутому контуру а б в г в пределах угла НСК (рис. 13.2), которое
получим на основании теоремы Томсона (см. п. 3.5), условия ко-
которой полностью выполняются при течении Прандтля—Майера:
Производя сокращения, опуская члены второго порядка малости»
получим уравнение отсутствия циркуляции
-L*Vr = -LWu; -^- = ХВ. A3.3)
2
Разделив A3.2) на ^- и подставим Хи из A3.3)> получим
d (— х )
X, \2 к— 1,2 ч U+1 Ч К— 1 ,
^1
—
Г K_i
V 1~^Гх1'
236
Интегрируя, найдем
или
н, *у
Рис. 13.2. Иллюстрация к доказа-
доказательству отсутствия циркуляции
скорости в пределах угла НСК
A-J
Рис. ГЗ.З. Обтекание внешнего ту-
тупого угла звуковым потоком Ха=
Подставив в A3.3) значение V из A3.4), найдем Я,„ и по B) Х=
=М<Р):
[/;] A3.5)
Прибавив к правой части D) sin2
и минус и упростив, получим искомую Х =
со знаком плюс
2=1-1 ?— sin2 \/ ^—^
^к-1 | У к + 2
A3.6)
Частный случай течения Ан=Мн=1. При Мн=1
sin аон~1/Мн,= 1 и первая характеристика СН перпендикулярна к
вектору скорости И7ник стенке АС. Поэтому ее удобно принять за
начало отсчета углов ф (рис. 13.3). Подставив в A3.6) ф = 0 и А,=
=Лн=1 найдем, что постоянная интегрирования с=0 и A3.6) при-
принимает вид
(,3.7)
позволяющий рассчитать X для любого угла ф в пределах угла
нск.
237
Связь между углами характеристики <хо, по-
поворота характеристики ф и поворота потока 8
очевидна из рис. 13.3.
b + f = ao + b A3.8)
где ao=arcsinl/M. A3.9)
Формулы A3.7) ... A3.9) позволяют произвести полный расчет
течения при Хн=1 и показывают, что при увеличении ср, а следова-
следовательно и б, приведенная скорость X увеличивается, а давление, тем-
температура и плотность уменьшаются вплоть до нуля (полный ваку-
вакуум). При этом скорость и приведенная скорость достигают макси-
максимально возможных значений W^max = V2/*, Xmax== -(М = ОО).
К ~—~ 1
Дальнейшее ускорение и поворот потока оказываются невозмож-
невозможными.
Предельные углы поворота характеристики и
потока определим, подставив в A3.7) значение ^тах, а в A3.8) —
значение фтах и оо=0 (при М = оо):
/g-f. A3-10)
-')-§-•
Задача 13.1. Подсчитать фтах и бтах для к=1,67; 1,4; 1,3: 1,2. Ответ: для
К=1,4 фтах=220р27', 6тах=!13.0а27'; К=\Д\ фтах = 3'0'0°, 6тах = 210°.
Если бк>бтах и истечение происходит в вакуум, то поток пово-
поворачивает только на угол бтах и течет не по стенке СВ, а по лучу
КС, соответствующему бтах и фтах- Между этой характеристикой
КС и стенкой СВ образуется пространство ВС/С, в котором отсут-
отсутствуют молекулы исходного потока. Это явление называется отры-
отрывом сверхзвукового потока.
Уравнение линий тока течения Прандтля—
М а й е р а при А,н= 1 получим, рассмотрев подобные треугольни-
треугольники — скоростей и криволинейный, образованный отрезком линии
тока, dr и дугой rdcp (рис. 13.4):
Wa а
кр
Подставляя в дифференциальное уравнение линии тока
A3.12) значения Хг и %и из A3.4) и A3.5), разделяя переменные,
учитывая что sin ( 1/ ^^— ср) rfcp= — l/ d cos ( 1 / к~ ср 1
V f К -p 1 г К — I \ \ К -р 1 /
и интегрируя в пределах от г0 до г и от ф = 0 до ф, получим уравне-
уравнение линии тока
238
A3.13)
Рис. 13.4. Линия тока течения
Прандтля—Майера
где г0 — радиус-вектор данной линии тока на характеристике НС.
При увеличении углов ф и б радиус-вектор линии тока увеличи-
увеличивается и тем в большей степени, чем больше Го, так что сечение ка-
канала, образованного двумя поверхностями тока, увеличивается.
Это, в соответствии с законом обращения воздействия A3.1), вызы-
вызывает увеличение скорости сверхзвукового потока. Используя фор-
формулу A3.13) можно спроектировать плоский криволинейный ка-
канал, в котором будет ускоряться
сверхзвуковой поток в течении
Прандтля—Майера.
Задача 13.2. Определить величину ра-
радиуса — вектора линии тока для конечно-
конечного Го И Лтах.
Течение при Ян=1 рассчитывает-
рассчитывается по формулам A3.7) ... A3.13)
очень просто, если задан один из
параметров ф, W, р, Г, q, а, а0, поз-
позволяющий определить X или М.
Задача 13.3. Запишите формулы, по
которым следует определять X или М
по каждому из приведенных выше параметров при заданном невозмущенном по-
потоке (Я„=1, к,/?, рн, Гн).
Однако, обычно заданным является невозмущенный поток и
угол его поворота бк- В этом случае расчет становится громоздким.
Для упрощения расчета составлена таблица (см. приложение V) по
следующей методике:
1) задаются произвольные значения угла ф от 0 до фтах',
2) по формулам A3.7), A3.9) и A3.13) определяют Х(М), <хо,
г/г0 и по таблицам г (X), я (X), г (X);
3) по формуле A3.8) определяют угол отклонения потока бк.
Расчет течения А,н= 1 с помощью таблиц. Значение
заданного параметра находится в соответствующем вертикальном
столбце таблицы. Горизонтальная строка таблицы, включающая
это значение параметра, является решением задачи.
Задача 13.4. Звуковой воздушный поток М=1, р=105 Па, 7 = 300 К обтека-
обтекает внешний тупой угол бк = 5°. Определить Як, фк, Рк, TKt QK с использованием
таблицы и без нее.
Решение общей задачи при Хя> 1 сводится к расчету
уже разобранного случая А,н=1: принимают, что сверхзвуковой по-
поток Хн>1 получен в результате предварительного ускорения фик-
фиктивного звукового потока Яф = Мф=1, Рф*=рн*, Тф* = Тв* при пред-
предварительном повороте его на фиктивный угол «бф и при повороте
характеристики НС на угол фф (рис. 13.5). Интересующее нас тече-
течение между характеристиками НС и КС будет одинаково как для
23»
заданного потока Хн>1, так и для фиктивного Л,ф=1. Поэтому об-
общий случай при А,н>1 можно рассчитывать с помощью таблицы
приложения V, составленной для Яа=1, следующим образом':
1. В столбце для Я находится заданная величина Хя>1 и в гори-
горизонтальной строке находятся соответствующие ей <рф и бф.
2. Определяются суммарные углы <р2 = фф + <рк или 8а = ^ф + ^к
в зависимости от того, что известно —срк или К-
3. В соответствующем столбце таблицы находится <ps или б а.
Горизонтальная строка, содержащая эти значения, дает решение
задачи. Для определения параметров потока при промежуточных
углах <pi и 6{ суммарные углы определяются по тем же формулам
'<Ра = <Рф + <Р/ и »я = *ф + 8/-
Полученные ранее формулы максимальных углов поворота для
случая Ли> 1 справедливы лишь для суммарных углов
„ / к + 1 я
Упрел = у --Г!
и2тах"
Максимальные углы поворота сверхзвукового потока от перво-
первоначального направления называются предельными, их величина
уменьшается с увеличением Ян>1:
?пред —Tsmax"^ &пред = ^S max ~ ^ф-
Задача 13.5. Сверхзвуковой воздушный поток А,н=1,81, рн = Ю5 н/м2, Гн =
=300 К набегает на бесконечно тонкую пластинку, установленную под углом
атаки 6к = 60°. Доказать, что Л,к =2,37*1, Гк* = Гн* = б60 К, Рк* = Рп*= 1^587X
Xl'O6 Па, рк=0,'997- 102 Па, Гк = 41,6 К, рк='8,Э2- 10 кг/м3, гк/г0 = 2,27 • W,
б 9227
Обтекание сверхзвуковым потоком выпуклой
граненой стенки — это последовательное обтекание внешних
тупых углов с вершинами CVC2... Сп (рис. 13.6, а). Для определе-
определения конечных параметров потока расчет можно сразу произвести
для 6s=6i-{-62-r ... +бп. Если общий угол поворота потока окажется
больше предельного для заданного числа А,н в2>бпред, то при бщед
произойдет отрыв сверхзвукового потока при рк и Гк=0.
Обтекание плавной выпуклой поверхности
можно представить как обтекание ломаной с бесконечным числом
граней. В этом случае каждая точка криволинейной поверхности
является источником элементарных возмущений (рис. 13.6, б). Для
определения угла характеристики уБ , исходящей из любой точки Б
поверхности, и определения всех параметров потока, на ней необхо-
необходимо через исследуемую точку провести касательную и определить
угол поворота потока бь. Это позволит определить б2=бБ +бф, %Б
Иф?.
Расчет обтекания пластины сверхзвуковым
потоком рассмотрим в качестве примера использования теорий
течения Прандтля—Майёра и косых скачков уплотнения.
240
Лн>1
6
б)
в
Рис. 13.5. Общий случай течения Рис. 13.6. Обтекание сверхзвуковым
Прандтля—Майера Хн>1 потоком выпуклых поверхностей:
а—ломаной; б^плавной
На рис. 13.7 представлена схема плоскопараллельного обтека-
обтекания бесконечно тонкой пластины, установленной под углом атаки i
к вектору скорости сверхзвукового потока А*в>1. Требуется опреде-
определить подъемную силу Ry, силу лобового сопротивления Rx и их ко-
коэффициенты Су и Сх.
С верхней стороны пластины сверхзвуковой поток отклоняется
у внешнего тупого угла (точка С) на угол 6 = /, расширяется и те-
течет вдоль пластины СВ с Л2>А,Р
и р2<.Рп- Единичная пластина не
может развернуть безграничный
поток. Поэтому за пластиной по-
поток должен принять примерно ис-
исходное направление. Это происхо-
происходит на хвостовом косом скачке
уплотнения, так что Я3<Л2, Рг =
кг
РнЛ
Рис. 13.7. Пластина в сверхзвуковом
потоке идеального газа
Снизу пластины сверхзвуко-
сверхзвуковой поток тормозится на косом
скачке и течет вдоль С В с A,i<Ah
и Р\>рн, принимает за пластиной
примерно исходное направление с
A4>'Ai и р4 = Рн. Приведенная ско-
скорость кьф-к*. Следовательно за
пластиной возникает поверхность
тангенциального разрыва скоростей. Поэтому давление Рз==Р4=Рн
и направление векторов скоростей W3 и W^ одинаково.
Полная аэродинамическая сила при заданных условиях равна
разности давлений, умноженной на площадь пластины, нормальна
к пластине и приложена в центре тяжести
Подъемную силу и силу лобового сопротивления найдем в со-
соответствии с определением и с рис. 13.7:
Ry = R cos i = (pl — p2) S cos/ и Rx = (рг — p2) S sin /.
241
Подставляя эти значения в формулы E.18) и E.17), деля и умно-
умножая на рн и к и учитывая, что к -^-=
Qh
2 cos i
ajj, получим
_ ( Pi P2\
\pB pj
pi
/72 \ 2 cos /
pH
pH
14)
A3.15)
120
100
80
60
20
Проведенный анализ позволяет сделать интересные выводы:
1. Теорема Н. Е. Жуковского о подъемной силе D.68) справед-
справедлива и для сверхзвукового обтека-
>edtw/nax ния пластины идеальным газом, ко-
которое является циркуляционным
(W2>W\) и подъемная сила отлич-
отлична от нуля.
2. Парадокс Деламбера — Эйле-
Эйлера (см. п. 4.8) не имеет места при
сверхзвуковом обтекании идеаль-
идеальным газом пластины 'под углом ата-
атаки и Это является результатом
ударных потерь на скачке уплотне-
уплотнения. Аэродинамическое ка-
качество профиля — это отноше-
отношение RylRx или Су/Сх.
Для пластины в сверхзвуковом
потоке
\
ternary
#пред
к
\
max для
-
Область применена^y^TTj
/теорий 'Пран'дтля-Маиера а '//
[/.косых скачковуплотнения/А
'// / Л/ / / /V / / / Л/У //\////у
мн
Рис. 13.8. Область примени-
применимости теорий течения
Прандтля—Майера и косых
скачков уплотнения для
расчета обтекания тел
K = Cy/Cx=ctgL A3.16)
При отсутствии трения К с уве-
увеличением угла атаки монотонно
уменьшается.
Теория течения Прандтля—
Майера и теория косых скачков уплотнения применимы для оп-
определения Су и Сх пластины в том случае, если ее угол атаки
меньше максимальных углов поворота потока — t<j6max и полу-
полуклина— /<Осотах. Эта область углов для .к= 1,4 на рис. 13.8 за-
заштрихована.
13.2. ОТРАЖЕНИЕ И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК
Этот раздел удобно изучить после знакомства с течением Пран-
Прандтля—Майера. Закономерности отражения и пересечения характе-
характеристик будут использованы при анализе сверхзвуковых течений.
Пусть характеристика разрежения падает в точке Н на стенку,
параллельно которой течет сверхзвуковой поток (рис. 13.9, а), При
пересечении характеристики разрежения СН поток отклоняется от
242
стенки. В результате этого между отклоненным потоком и стенкой
возникнет внешний тупой угол 180°+rf6, генерирующий отражен-
отраженную характеристику разрежения Я/С, на которой поток совершает
поворот по часовой стрелке на угол d8. Угол отраженной характе-
характеристики аОк<аОн, так как МК>МН.
Задача 13.6. Показать, что при падении на стенку характеристики сжатия
отразится характеристика сжатия и угол ее отражения будет больше угла па-
падения-
Рис. 13.9. Отражение и пересечение характеристик:
л—отражение характеристики разрежения от стенки; б—то же для волны
разрежения; в—то же от границ свободной струи
Если на стенку падает волна разрежения (рис. 13.9, б), то от-
отраженные характеристики разрежения расходятся веером, как бы
продолжая падающую волну. Для того, чтобы падающие характе-
характеристики не отражались от стенки, ее необходимо спрофилировать
так, чтобы в месте падения каждой характеристики стенка откло-
отклонялась бы от прежнего направления на угол поворота потока на
данной характеристике.
При падении на стенку волны сжатия отражаются характерис-
характеристики сжатия, при этом они сходятся. При их сложении может воз-
возникнуть ударная волна.
На рис. 13.9, в представлена схема течения в виде плоскопа-
плоскопараллельной струи, отделенной от неподвижного газа поверхностью
тангенциального разрыва скорости Я/С.
Волна разрежения падает из вершины тупого угла на поверх-
поверхность тангенциального разрыва скорости НК и отражается в виде
сходящегося пучка характеристик сжатия. Давление в невозмущен-
невозмущенном потоке левее первой характеристики НС равно давлению рн
окружающей среды, так как граница струи не удерживает перепа-
перепада давления. За характеристикой разрежения НС давление Pi<pH-
Но вблизи границы струи давление должно быть равно давлению
рн окружающей среды. Следовательно, от точки Н границы свобод-
свободной струи должна отразиться характеристика сжатия, на которой
Давление потока повышается от рх до рн. Таким образом, давление
по обе стороны границы струи остается рн, а. внутри струи — более
низким.
Итак, при отражении характеристик от твердой стенки тип воз-
возмущения сохраняется: характеристики разрежения отражаются в
243
виде характеристик разрежения, а характеристики сжатия — в ви-
виде характеристик сжатия. При отражении от границы свободной
струи тип возмущения изменяется на обратный.
Пересечение х а р а кт ер и ст и к иллюстрирует рис. 13.10.
Вершины внешних тупых углов С и С, обращенные друг к другу,
образуют волны разрежения. В пределах угла ИСК располагаются
характеристики разрежения первого семейства, а в пределах
Н'С'К! — второго. Номе-
Номера семейств назначаются
произвольно.
Характеристики пер-
первого и второго семейств
в области 1—2, 3, 4 пере-
пересекаются и взаимодейст-
взаимодействуют между собой.
Сверхзвуковой поток по
линии тока 1—1 в тече-
течении Прандтля — Майера
на характеристиках пер-
первого семейства изоэнтро-
пно расширяется, уско-
ускоряется и поворачивает
против часовой стрелки.
В области С—2—Н' те-
течет без изменений парал-
параллельно прямолинейной
стенке СН' и затем уско-
ускоряется в течении Пранд-
Прандтля—Майера на харак-
характеристиках второго семей-
семейства, поворачивая по часовой стрелке до первоначального направ-
направления. Аналогично развивается течение по линии тока
//—//. В области пересечения и взаимодействия характеристик
(линия тока ///—///) сверхзвуковой поток последовательно пере-
пересекает характеристики то первого, то второго семейств, поворачи-
поворачивает то против, то по часовой стрелке, так что в общем не изменяет
своего направления, а ускоряется так же, как весь остальной поток.
Взаимодействие характеристик в области 1, 2, 3, 4 приводит к их
искривлению (на рис. 13.10 показано в увеличенном масштабе) *.
Например, характеристика 1—2 искривляется потому, что поток
подходит к ее различным точкам, предварительно пересекая раз-
различное количество характеристик первого семейства, т. е. при раз-
различных числах М (Mr>MB>Ms >Ма), следовательно, под различ-
различными углами аог<аов<аоб<аоа<аон. Стенки канала спрофилиро-
спрофилированы так, что характеристики не отражаются. Поэтому в области
3—К—А—К, ограниченной последними характеристиками волн
* В области взаимодействия падающих и отраженных характеристик также
имеет место их 'искривление и по той же причине. На рис. ГЗД 13,9,в это ис-
искривление условно не показано.
244
Рис. 13.10. Пересечение характеристик
разрежения 3—К' и 3—К и отходящими от кромок сопла К!—А и
К—А, сверхзвуковой поток однороден. Эта область называется
ромбом измерений, так как в сверхзвуковых аэродинамических тру-
трубах в эту область устанавливают исследуемые модели. Рассмот-
Рассмотренный пример иллюстрирует метод характеристик, применяемый
для профилирования сверхзвуковых частей сопел Лаваля.
13.3. УСКОРЕНИЕ ДОЗВУКОВОГО ПОТОКА
В СУЖАЮЩЕМСЯ СОПЛЕ ПРИ ОДНОМЕРНОМ
ИДЕАЛЬНОМ ТЕЧЕНИИ
Сосуд неограниченной емкости, в котором сохраня-
сохраняются постоянными параметры заторможенного газа 71*, р* (рис.
13.11), соединен сужающимся соплом с внешней средой, в которой
давление заданной величины рн может устанавливаться с помощыо
отсасывающего вентилятора. Отметим параметры потока на срезе
сопла индексом с, а в произвольном сечении — индексом х. Рас-
WXO к,
P*
J*
*? Г
P '
1*
Pkp
p*
G Wc
-/Va
f'PKp)
p *
p*
Pi
Pkp
Ph<Pkp
Фкр{
4
1
*%? PV**C
V
4 5
I
i*
iz
i*P.
U
о т 1 pH/P*
Рис. I3.ll. Режимы истечения из сужающегося сопла
смотрим влияние располагаемого отношения давлений pjp* на
распределение параметров вдоль сопла и на их величину на сре-
срезе сопла.
В связи с энергетической изолированностью и изоэнтропностыа
течения при любом режиме истечения, параметры торможения сох-
сохраняют постоянное значение ГЖ* = ГС* = Г*, рх*=Рс*:=Р*. Поэтому
режим истечения из сопла определяется величиной
A3.17)
позволяющей определить Яс и, следовательно, все параметры. Та-
Таким образом задача исследования сводится к определению рс =
4(pJp*).
В теории сопел используются также обратные величины: распо-
располагаемое отношение давлений ЯсРаСп=р*/ря и отношение давле-
давлений сопла Яс*=Рс*/
с*/Рс-
245
Возможные режимы работы сужающегося
*сопла:
1. Рн/р* = 1- Перепада давления нет. Давление во всем тракте
сопла постоянно—р = рс=Р* = Рн; я(А,с) = Рс/р* = Р*/Р* = 1, А,с = 0 и
истечение отсутствует. На графиках рис. 13.11 это состояние отме-
отмечено точками У*.
2. 1>рн/р*>яA) =Ркр/р*. Располагаемое отношение давлений
меньше критического и может обеспечить только дозвуковую ско-
скорость истечения Wc<a. При дозвуковых скоростях истечения дав-
давление на срезе сопла равно давлению в окружающей среде рс=ря.
Это равенство поддерживается автоматически: если давление на
срезе сопл^а окажется больше или меньше давления окружающей
среды, то волны разрежения или давления из окружающей среды
со скоростью звука, большей скорости истечения, достигнут среза
сопла и восстановят рс=Рн. Это важнейшее условие позволяет оп-
определить Хс по п(Хс) =Рс/Рс*=Рн/р*. В рассматриваемой области
Рн/р*>яA) уменьшение рс=Рн от р* до рз=Ркр приводит к измене-
изменению распределения давления и скорости внутри сопла — к увели-
увеличению dW/dx, абсолютного значения dp/dx<Oy скорости Wc, при-
приведенной скорости Хс и расхода газа G (см. рис. 13.11). Процесс
расширения газа в сопле изображен в координатах pv и is линией
7*—2.
3. Рн/Р*=::=Рнкр/Р*==:Рскр/Р*==л(\)- Критическое отношение дав-
давлений обеспечивает истечение со скоростью звука WCtKp = aKp, Xc =
= МС=1, О = С/Кр=Отах. Критическое отношение давлений яA) =
к
1К~1 зависит только от величины показателя адиабаты к.
Для воздуха (к = 1,4) —я A) =0,528, т. е. я*жр = /?*//?с #кр= 1,89.
Задача 13.7. Построить график я*с Кр = [(к), отметив на нем характерные
точки для к='1,67; 1,4; 1,33; 1,25.
4. рн/р*<яA). Сверхкритическое отношение давлений. В этой
области перепадов в сопле реализуется критическое истечение
/*—3. Давление на срезе сопла остается критическим, большим
давления окружающей среды рс=Рз=Р*яA)>рн. В соответствии с
этим действительным перепадом давлений на сопле (рс Кр/Рс*) по-
поток ускоряется лишь до скорости звука А,с=1. Остающаяся часть
располагаемого перепада давлений рзКр—Рн и теплосодержания
*'кр—Ц Для ускорения потока в сужающемся сопле не может быть
использована и диссипирует в окружающем пространстве. Поэтому
на диаграммах рис. 13.11 эти перепады изображены пунктиром. При
рн/р*<яA) сопло оказывается изолированным от внешней среды.
Это явление называется запиранием сопла и кризисом геометриче-
геометрического воздействия. Это явление соответствует закону обращения
воздействия A3.1): максимальная скорость в сужающемся сопле
может быть получена только на срезе и не может превышать ско-
скорость звука. Физически это объясняется тем, что при снижении дав-
давления в окружающей среде до рн<Ркр волны пониженного давле-
давления не достигают среза сопла, так как сносят-ся потоком, истекаю-
246
щим из сопла с той же скоростью звука. Поэтому в сопле сохра-
сохраняется критический режим истечения с неизменными скоростью ис-
истечения и расходом (см. рис. 13.11).
С этим явлением очень часто приходится иметь дело на практи-
практике. Так кризис оказывает существенное влияние на работу ВРД.
При работе на критическом режиме сопло может быть исполь-
использовано в качестве простейшего регулятора, поддерживающего пос-
постоянный расход газа при переменном рн<С/?кр-
Задача 13.8. Предложите возможные способы использования перепада дав-
давлений рКр—Р4 для ускорения потока за сужающимся соплом до Я1
Методика расчета сужающегося сопла при за-
данныхр*, рн, Т* и Sc.
I. Определяются рс и %с на срезе сопла. Отношение ря/р* срав-
сравнивается с яA). Возможны только два случая дозвукового и зву-
звукового истечения:
1) Рн/р*>яA)—режим истечения дозвуковой и давление на
срезе сопла равно давлению окружающей среды рс=Рн, поэтому
Р«/Р*. A3.18)
По величине п(Хс) определяется Яс.
2) рн/р*^яA) —режим истечения критический Яс=1:
Рс=Ркр=Р*яA)> Pu-
Pull. Определяются параметры потока на срезе сопла и в произ-
произвольном сечении х, где площадь сечения Sx:
q=q4K), W=\a^ Q = mp*q(K)S/VT*.
По последней формула определяется площадь сечения сопла при
заданном расходе.
Задача 13.9. Самолет с ТРД летит на высоте #=12 км с Мн = 0,8. Опреде-
Определить тягу R двигателя, если газ к=1,4, #=287 Дж/кг • К, р* = -105 Па, Г* =
= 1000 К истекает энергетически изолированно и изоэнтропмо из сужающегося
сопла 5С =0,2 м2. Расходом топлива пренебречь.
Ответ: i? = l,4104 H.
13.4. РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В КАНАЛЕ
С ГОРЛОМ. СОПЛО ЛАВАЛЯ
Определим возможные режимы энергетически изолированного
<7 = i?Tex=0, Г*=const, aKV=const одномерного и изоэнтропиого
ds=0, /?*=const, /?кр=/?*яA)=const течения воздуха в канале с
горлом, например 51=52=25р (рис. 13.12).
Используем уравнение закона обращения воздействия A3.1):
247
и уравнение неразрывности
A1.44), получим
= Gr=G2, подставив в него G из
A)
Каждый возможный режим течения при заданных р* и Г* опреде-
определяется условиями на входе (М! или Pi/p*) и располагаемым отно-
отношением давлений р2/р^. При p2=Pi=P*, Jt(ii) =jt(^2) = 1 и Х\ =
=А,2=0 — течение отсутствует. Течение
•возникает при р2<р*.
Режим /—/. Сверхзвуковой поток
Mi>l в соответствии с A3.1) изоэнтроп-
но тормозится в сужающемся канале
(pr>Pi),HOB горле остается сверхзвуко-
сверхзвуковым Л,г> 1; так как p2/p* = pi/p*, в расши-
расширяющейся части сверхзвуковой поток изо-
энтропно ускоряется и в сечении 2 при-
принимает параметры такие же, как в сече-
сечении /. Режим /—/ можно назвать режи-
режимом сверхзвуковой трубки Вентури.
Режим //—//. Сверхзвуковой 'поток
Mi>l изознтропно тормозится в сужа-
сужающемся канале до скорости звука и, уже
как дозвуковой поток, продолжает тор-
тормозиться в расширяющемся «канале.
В соответствии с формулой A) при S2 =
=S\, q{%2) = Я{hI =0,5, но Т^ФХх. Зна-
Значение ki находится в сверхзвуковой об-
области, A,i = l,72, а \2 — в дозвуковой, Х2 =
=0,33 и р!=р*я(Я)=0,09р*, а р2 =
=р*я(Л2)=0,94р*>р!.
Режим //—II представляет собой режим
изоэнтропного диффузора, называемого
Рис. 13.12. Режимы те-
течения газа в канале с
горлом
работы сверхзвукового
также обращенным соплом Лаваля.
Режим ///—///. Дозвуковой поток Mi<l ускоряется (см. 13.1)
в сужающемся канале и изоэнтропно расширяется (pr<Pi), но в
горле остается дозвуковым Яг<1; так как p2/p* = pi/p*, то в расши-
расширяющейся части дозвуковой поток обратимо тормозится и в сече-
сечении 2 принимает такие же параметры, как в сечении 1. Режим
III—/// это режим работы трубки Вентури (см. рис. 9.13).
Сверхзвуковое сопло Лаваля A889 г.). Режим IV—
IV рассмотрим более подробно, так как он реализуется в сверхзву-
сверхзвуковых соплах Лаваля, широко применяемых в реактивных двига-
двигателях, газовых и паровых турбинах и т. д.
Дозвуковой поток Mi<l ускоряется в сужающемся канале до
скорости звука в горле Хг=1. Таким образом, в идеальном сопле
Лаваля критическое сечение или сечение перехода А,=М=1 совпа-
совпадает с горлом сопла. Затем сверхзвуковой поток продолжает уско-
ускоряться в расширяющейся сверхзвуковой части сопла Лаваля до
248
%2>1. Это обеспечивается соответствующим перепадом давления
Р\>Рг>р2-
Задача 13.10. Для сопла Лаваля S2 = S1=2*SKp, работающего на режиме
IV—IV, доказать, что Я* = 0,33, А* = 1,72,-рг/р* = 0,528, р4/р2= 10,4 при к=1,4.
Расчет идеального сопла Лаваля на расчет-
расчетном режиме работы. Расчетным называется режим сверхзву-
сверхзвукового истечения газа А,с>1 при /?с = Рн-
Расход газа через сопло определяется критическим сечением
T A3. 19)
При заданных G, /га, р* и Г* по A3.19) рассчитывается SKp.
Формула A3.19) позволяет сделать важный вывод о том, что
при заданных р* и Г*, расход газа через канал с горлом максима-
максимален при максимальном значении <7(А/г) = 1, т. е. при совпадении се-
чекия перехода А,=М=1 с сечением горла (Sr = SKp). Расход газа
через канал с горлом снижается при любом отклонении величины
Хт от единицы.
Площадь сечения Sx по заданному кх (или наоборот) рассчиты-
рассчитывается по уравнению неразрывности для сечения х и критического
JJ. A3.20)
Параметры газа расчитываются обычно так: рх — р*лAКх)г
Приведенная методика расчета идеальных течений применима
для приближенного расчета реальных хорошо спрофилированных
сопел Лаваля, так как гидравлические потери в них невелики.
Задача 13.11. Для условий задачи 13.9 определить тягу ТРД, снабженного
расчетным соплом Лаваля (рс = Рн), с 5кр = 0,2 м2.
Ответ: #=1,47-104 Н.
Режимы работы сопла Лаваля. При неизменных р*г
^*i 5кр, 5С в зависимости от давления рш окружающей среды, соп-
сопло Лаваля может работать на режимах расчетном, недорасшире-
ния, перерасширения, смешанном и дозвуковом (рис. 13.13).
1. Расчетный режим — давление на срезе сопла равно давлению
окружающей среды рСр=Рт- Изменение скорости и давления газа
в сопле изображено линиями /—//—/. За соплом сверхзвуковая
струя сечением Sc течет со скоростью Wcv при давлении рСр=Рн
не смешиваясь с окружающей средой, так как рассматривается
идеальный газ. При истечении реального газа скорость его по ме-
Ре удаления от сопла уменьшается за счет турбулентного смеше-
смешения с окружающим газом.
2. Режим недорасширения — давление на срезе сопла больше
Давления окружающей среды рСд>Рн. Степенью нерасчетности на-
называется величина n=pcV/pH- Изменение скорости и давления газа
в тракте сопла на режиме недорасширения полностью совпадает с
Расчетным (линия /—//—1) и давление на срезе сопла и скорость
истечения остаются расчетными рср и WGV: волны пониженного
249
давления из окружающей среды не могут достичь среза сопла —
они сносятся сверхзвуковым потоком. Избыточное давление рСр—
—ри2 расходуется на увеличение скорости сверхзвукового потока
идеального газа, но уже за срезом сопла. Схема структуры сверх-
сверхзвуковой струи идеального газа
при истечении из плоского сопла
Лаваля при недорасширении по-
показана на рис. 13.14. Такую же
структуру имеет осесимметричная
сверхзвуковая струя при малой
степени недорасширения п =
=рс/рн—HL Кромки сопла С и
Сх создают волны разрежения
НСК и HiCiKu на которых не-
дорасширенный сверхзвуковой
поток изоэнтропно ускоряется,
поворачивая на угол б (см. ли-
линию тока Л—Т). Область тече-
течения // отделена от внешней сре-
среды границей свободной струи С\Н
и СН\, поэтому давление в ней
равно давлению окружающей
среды рц — Ри2я(А,ц) =/?н2/р*> т. е.
в этой области весь перепад дав-
давления использован для ускорения
потока. Угол поворота потока б
можно рассчитать по формулам
теории течения Прандтля—• Май-
ера. Далее поток ускоряется на
втором семействе характеристик
НСК, поворачивает на угол б в
сопла обратную сторону и течет парал-
параллельно ОСИ ПрИ рП1<Рп = ря2 И
Хш>Ли. Границы свободной
струи НК и HiK\ не могут выдержать перепад давления /?Н2—Рпь
Поэтому волны разрежения отражаются от них в виде волн сжа-
сжатия НСК и Н\С\К\ с такой же интенсивностью, как и волны раз-
а"р
т
/77
Pi
I
Ркр
W
/77
п\
\
\
—-^.
V
— -— _^
,
*
\\Я
1
N
-
1,2,3
5
6
7
9
д рнз~рс
8
7
6
5
и
'3 Рнз=Рс
1 РнГРср
2Рн2<Рср
G
к
;
Рис. 13.13. Режимы работы
Лаваля
И К
Рис. 13.14. Схема плоской сверхзвуковой недорасширенной струи
идеального газа
250
режения. На этих волнах сжатия поток последовательно сжима-
сжимается и поворачивается так, что в области IV приобретает
такие же параметры, как и в области //, а в области
/ — как на срезе сопла. Полученная структура называется бочкой
и в дальнейшем повторяется бесконечное число раз. Течение реаль-
реальной жидкости сопровождается турбулентным смешением с внешней
средой и диссипацией энергии. Это приводит к тому, что после
10... 15 бочек струя становится изобарной, т. е. давление в ней
сравнивается с давлением в окружающей среде. При больших сте-
степенях недорасширения п=рс/рн>2 вместе с изоэнтропными волна-
волнами расширения и сжатия в осесимметричной струе возникают скач-
скачки уплотнения (рис. 13.15). В этом случае недорасширенный сверх-
сверхзвуковой поток поворачивает на характеристиках около кромок С
Рис. 13.15. Схема осесимметричной
сверхзвуковой недорасширенной струи
идеального газа:
/—висячий скачок; ЛТ—линия тока; d—d\—
диск Маха; d—е и c?i—ei—отраженный скачок;
С\НК и СН\К\—волны разрежения;
волны сжатия; CHKef и C\H\Kexf\—граница
струи
и С\ сопла на больший угол б и течет вдоль границ струи СНК\ и
С\Н\К\е\ с давлением, равным давлению рн окружающей среды.
В областях, прилегающих к оси струи, поток сильно перерасширя-
перерасширяется — Росев<Рн.
Из-за отклонения границы струи на больший угол 6 и ее искрив-
искривления, характеристики сжатия (отраженные от границы струи) об-
образуют сходящийся узкий пучок, направленный к оси. Висячий ска-
скачок уплотнения 1 есть результат сложения характеристик сжатия.
Возникновение висячего скачка уплотнения в осесимметричной
струе объясняется сверхзвуковым радиальным растеканием сильно
перерасширенного газа из центральных областей в периферийные,
где давление равно давлению окружающей среды. Этот скачок яв-
является поверхностью вращения, при приближении к соплу ослабе-
ослабевает и не доходит до кромок сопла, поэтому и называется висячим.
В осесимметричном течении криволинейный висячий скачок не мо-
может правильно, регулярно отразиться от оси, поэтому возникает
как бы маховское отражение от оси в виде прямого скачка d—d\,
который называется диском Маха и за которым течение становится
Дозвуковым. От диска Маха d—d\ отходит кольцевой скачок d—еу
который отражается от границы струи (точки е) в виде волн
разрежения. В сечении е—в\ заканчивается первая бочка и начи-
начинается подобная ей вторая, за ней третья и т. д. Для того, чтобы в
сечении е—е\ возникла вторая бочка, необходимы недорасширен-
кый сверхзвуковой поток в этом сечении (ре>ри) и (We^ae). Пе-
Периферийный поток (линия Л—Т) является сверхзвуковым — он пе-
251
ресекает два косых скачка: за висячим скачком давление становит-
становится атмосферным рн, за скачком d—ер>рн и поток направляется
к оси, образуя сужающийся жидкий контур, в котором дозвуковой
поток ускоряется до скорости звука в минимальном сечении. Затем,
периферийный поток поворачивает в волнах разрежения, выходя-
выходящих из точек (е—ei), ускоряется и образует расширяющийся кон-
контур, в котором внутренний поток принимает сверхзвуковую ско-
скорость. Потери полного давления в скачках уплотнения предшеству-
предшествующих бочек приводят к ослаблению последующих скачков: умень-
уменьшаются давление в начале, перерасширение в средней части, диа-
диаметр максимального сечения. Постепенно струя становится изобар-
изобарной. При большой степени нерасчетности п=рс/Рн>5 потери на
скачках первой бочки настолько велики, что давление в сечении
е—в\ равно окружающему. Поэтому последующие бочки отсутству-
отсутствуют — имеет место изобарная сверхзвуковая струя.
При недорасширенном истечении из сужающегося сопла име-
имеют место подобные структуры сверхзвуковых струй с той лишь раз-
разницей, что первые характеристики разрежения лежат в плоскости
среза сопла и поэтому искривление границы струи начинается от
кромок сопла.
3. Режим перерасширения — давление на срезе сопла меньше
давления окружающей среды рс<Рн« До некоторого предела повы-
повышение давления окружающей среды (рН4 на рис. 13.13) не влияет
на течение по соплу, которое остается расчетным (линия /—//—
/—4): волны повышенного давления сносятся сверхзвуковым пото-
потоком, истекающим из сопла.
Возможность перерасширения сверхзвукового потока в сопле
Лаваля широко используется в аэродинамических трубах для полу-
получения сверхзвуковых скоростей я(А,с) =рс/р* больших, чем это со-
соответствует располагаемому отношению давлений зх(Ян) =
/*( )
Рр(РРс )
Структура плоско-параллельной струи за соплом при давлении
окружающей среды рнз показана на рис. 13.16, а. Перерасширенная
струя (линия тока Л—Т) сжимается ударно на косых скачках уп-
уплотнения С В и С{В до давления окружающей среды Р2=Рнз и те-
течет к оси в области 2, отделенной от окружающей среды границей
свободной струи С А и С\А\. Вторично эта струя ударно сжимает-
сжимается на отраженных скачках ВА и ВАи принимает осевое направле-
направление и давление р\>рш- Косые скачки ВА и ВАХ отражаются от
границы струи в виде волн разрежения АНК и А\Н\К\ и образо-
образовавшийся недорасширенный сверхзвуковой поток в дальнейшем
приобретает уже разобранную структуру (см. рис. 13,16а и 13,14).
С повышением давления окружающей среды увеличивается угол
косых скачков СВ и С\В, уменьшается скорость потока за ними и
увеличивается угол поворота на скачках ВА и ВАи который необ-
необходим для придания потоку осевого направления в области /. Ког-
Когда этот угол со становится больше (отах (см. п. 12.2), система косых
скачков перестраивается в так называемую мостообразную (рис.
13.16,6) с прямым скачком в области оси и отраженными скачками
252
ВА и B{Ai (правильное отражение косого скачка от оси переходит
в маховское). При дальнейшем повышении рн размер прямой удар-
ударной волны BB,i увеличивается и она приближается к срезу сопла.
При ^=Х21<^ J*L
Рс
й скачок уплотнения
Mc2-
(см. п. 12) сверхзвуковое ис-
Р (^с) К + 1 К -Ь 1
течение оказывается невозможным и прямой у
размещается на срезе сопла Лаваля, за которым поток уже дозву-
дозвуковой. При дальнейшем повышении давления до рН5... Рн8 (см. рис.
Рис. 13.16. Струя иде-
идеального газа при пере-
перерасширении:
а—правильное отражение ко-
косых скачков; б—маховское
отражение (диск Маха)
13.13) ударная волна перемещается внутрь сопла, так как скорость
ее распространения сверхзвуковая. Например, при рН7 реализуется
течение дозвуковое в сужающейся части сопла, сверхзвуковое на
участке //—V в расширяющейся части до ударной волны и дозву-
дозвуковое на участке VI—7 за ударной волной. Наконец, при рн* ска-
скачок доходит до критического сечения и исчезает. При рнэ устанав-
устанавливается режим полностью дозвукового течения трубки Вентури.
На режимах рН4 ••• Рнэ дозвукового истечения из сопла Лаваля дав-
давление на срезе сопла равно давлению окружающей среды.
Режимы истечения из сопла Лаваля и тяга
реактивного двигателя. При постоянном давлении рн ок-
окружающей среды рассмотренные режимы работы сопла Лаваля
можно получить с помощью изменения полного давления р* от его
расчетного значения. При сверхзвуковом течении в расширяющей-
расширяющейся части приведенная скорость в любом сечении х сопла определя-
определяется только отношением площадей q(Xx)=S1^fSx. Поэтому, при
увеличении р* на входе в сопло, статическое давление Рх=Р*п(кх)
повысится во всех сечениях и установится режим недорасширения
Рс>рн, а при уменьшении р* —режим перерасширения. На режи-
режиме недорасширения, полученном за счет увеличения давления тор-
торможения, тяга возрастет, по сравнению с тягой на расчетном режи-
253
ме, вследствие увеличения расхода газа и возникновения положи-
тельной разности давлений (рс—Ря) D.19). На режиме перерасши-
перерасширения с пониженным р*, тяга уменьшается за счет снижения расхо-
расхода и отрицательного члена (рс—ря).
На рис. 13.17, б показано, что при неизменных р*, рн и 5кр ре-
режим недорасширения можно получить, укоротив сверхзвуко-
Рис. 13.18. Сопло с косым срезом
Рис. 13.17. Расчетное, укороченное »
удлиненное сопла Лаваля:
а—«расчетное сопло; б—то же с недорасшире-
ни ем; в—то же с перерасширением
вую часть сопла Лаваля, умень-
уменьшив 5С, по сравнению с расчетной
величиной (рис. 13.17, а). Это
приводит к уменьшению тяги дви-
двигателя, так как исключается
часть сопла (см. пунктир на рис.
13.17, б), на которой избыточное,
по сравнению с атмосферным,
давление Ар = р—рн создает по-
положительную составляющую тя-
тяги. Следовательно, уменьшение скорости истечения не компенсиру-
компенсируется полностью увеличением давления на срезе сопла D.19). В оп-
определенных пределах укороченные сопла вызывают лишь незначи-
незначительное снижение тяги, поэтому они широко используются для
уменьшения их веса и габаритов.
Режим перерасширения получается при удлинении
сверхзвуковой части сопла Лаваля по сравнению с расчетной
(рис 13.17, в). При этом тяга двигателя также снижается, так как
добавляется участок сопла, на котором внешнее избыточное давле-
давление создает отрицательную составляющую тяги: величина отрица-
отрицательного члена рс"—Рн не компенсируется увеличением скорости
истечения. В космосе рн=0 и увеличение площади выходного сече-
сечения сопла вплоть до бесконечности (Sc-*oo; Wc-^WmSLX) будет при-
приводить к увеличению тяги, если, конечно, не принимать во внима-
внимание увеличение гидравлических потерь.
254
Задача 13.12. Гипотетический ракетный двигатель с идеальным соплом Ла-
валя 5Кр=@,01 м2, /?*=Ю7 Па, Г* =2500 К, к=1,4, #='287 Дж/кг • К работа-
работает на высоте #=30 им. Определить тягу R и площадь среза сопла Sc при рас-
расчетном режиме работы рс = рн, а также процент 6R снижения тяги при умень-
уменьшении площади среза сопла -в 10 раз и 6/?Кр при использовании сужающегося
сопла. Ответ: 5С = 1,59 м2, /?== 1,73 ¦ 1'05 Н; 6/? = 3,9; б/?кр = 26,5%.
13.5. СОПЛО С КОСЫМ СРЕЗОМ
При недорасширенном истечении из плоского сопла Лаваля ис-
использованный в укороченном сопле перепад давления рс—Рн затра-
затрачивается на увеличение скорости вне сопла (см. рис. 13.14). При
этом этот поток поворачивает около кромок С и Ci сопла на угол б,
определяемый в теории течения Прандтля—Майера. В газовых и
паровых турбинах для получения потока максимальной скорости,
отклоненного на угол б от осевого направления, используются соп-
сопла Лаваля или сужающиеся сопла с косым срезом, в которых пло-
плоскость среза сопла не перпендикулярна оси потока (рис. 13.18).
Рассмотрим схему и работу расчетного сопла Лаваля с косым
срезом. В области СС\Н сверхзвуковой недорасширенный поток
(Яс>1, Рс>Ри) течет параллельно плоской стенке СН. Кромка Сх
сопла генерирует волну разрежения HQ\K. Первая характеристика
С\Н располагается под углом aOc = arcsin A/MC), а последняя С\К
при расчетном режиме совпадает с косым срезом сопла. Козырек
НК спрофилирован по уравнению A3.13), т. е. воспроизводит ли-
линию тока течения Прандтля—Майера. Поэтому характеристики
разрежения, падающие на поверхность козырька НК, не отража-
отражаются. Весь поток в течении Прандтля—Майера (см. п. 13.1) в пре-
пределах угла НС\К расширяется до р=рк=Рн и ускоряется до
я(Як) =Рк/р* и поворачивает от оси на угол 5.
Если вся стенка СК плоская, то возникают отраженные харак-
характеристики разрежения и струя принимает более сложную конфигу-
конфигурацию, которую можно рассчитать, используя метод характеристик.
Однако приближенный расчет может быть выполнен по теории те-
течения Прандтля—Майера. Также более сложными для расчета
оказываются нерасчетные режимы истечения.
При сужающемся сопле с косым срезом первая характеристика
перпендикулярна №с=акр.
Задача 13.13. Приняв ЛкР = 10-2 М; Хс= 1,2; /?с = 106 Па; Тс= 1000 К; /?н==
-105 Па; к = 1,4; # = 287 Дж/кг-К (см. рис. 13.18); доказать, что С\С =
= 1,05.10-2; Citf= 1,33-10-2 м; Ci/f = 2-10—2 М; Хк = 1,43; аос = 52°30';
18°20' Г 872К 10°
д р кР ; с ; /с ; с ;
= 6-105 Па; к = 1,4; # = 287 Дж/кг-К (см. рис. 13.18); доказать, что С\
= 1,05.10-2; Ctf 133102 C/f 2102 Х 143 52
«ОК=18°20';
Реальные течения в сужающихся соплах и в соплах Лаваля
рассматриваются в п. 15.7.
Глава 14
ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ГАЗОВЫЙ ПОТОК
РАСХОДНОЕ, ТЕПЛОВОЕ, МЕХАНИЧЕСКОЕ,
ТРЕНИЯ И КОМБИНИРОВАННОЕ
Каждое воздействие будем рассматривать в одномерной поста-
постановке и при отсутствии других воздействий. Исключение составит
рассмотрение комбинированного воздействия.
Прямую задачу сформулируем следующим образом:
Дано: 1. Площадь сечения канала S = const.
2. Совершенный газ к, /?, Ср.
3. Неизмененные параметры торможения газа в сечении 1—1 до
воздействия 7^*, pi*.
4. Приведенная скорость Лц, которая может самопроизвольно из-
изменяться до Х\ при воздействии, превышающем критическую вели-
величину (см. ниже).
5. Величина воздействия.
6. Давления р\ и р%, необходимые для осуществления данного
течения.
Определим изменение параметров газа на участке /—2,
вызванное заданным воздействием, т. е. Л/, Г2*, /?2*, Яг, Рг, Т2, дъ
W2, G/, G2. Одновременно рассмотрим обратную задачу — опреде-
определение величины воздействия для получения заданных параметров в
сечении 2—2.
Кризис воздействия (запирание канала) для
любого воздействия состоит в том, что дозвуковой поток, в соответ-
соответствии с уравнением A1.59) закона обращения воздействия, за счет
воздействия одного знака можно разогнать только до скорости зву-
звука, которая поэтому может установиться только на срезе канала.
Величина критического воздействия для данного газа определяет-
определяется величиной Лц. При дальнейшем увеличении воздействия на срезе
трубы сохраняется критическое истечение А,2=1, а расход газа в се-
сечении 1—) снижается и вместе с ним приведенная скорость до Ли7,
для которой новая величина воздействия является критической.
Сверхзвуковое сопло. Критическое течение Л=1 можно
получить и в промежуточном критическом сечении трубы, если за
этим сечением изменить знак воздействия на обратный и продол-
продолжать ускорять уже сверхзвуковой поток. Так можно получить рас-
расходное, механическое и тепловое сверхзвуковые сопла и диффузо-
диффузоры. С помощью однозначного воздействия трения невозможно осу-
осуществить плавный переход через скорость звука.
256
Если при торможении сверхзвукового потока увеличить воздей-
воздействие сверх критического, то в промежуточном сечении трубы воз-
возникает прямой скачок уплотнения, переводящий скачком сверхзву-
сверхзвуковой поток в дозвуковой, который затем ускоряется до А,2=1 тем
же воздействием, которое тормозило сверхзвуковой поток. При
этом общая изоэнтропность течения на скачке нарушается, а ис-
исходный расход газа di и A,i>l до определенного предела не изме-
изменяются.
14.1. РАСХОДНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
Расходное воздействие заключается в подводе к газовому пото-
потоку (dG>0) или отводе от него (dG<cO) через перфорированные
стенки трубы массы газа с параметрами, которые имеет основной
поток в соответствующих сечени-
сечениях (рис. 14.1).
В соответствии с A1.59) урав-
уравнение закона обращения расход-
расходного воздействия принимает вид
(М2 - 1) dW/W = -dG/G A4. 1)
и мы заключаем, что дозвуковой
поток ускоряется при подводе
массы (dG>0), а сверхзвуко-
сверхзвуковой — при отводе (dG<0). Для
торможения знаки должны быть
изменены на обратные. Расход-
Расходное сверхзвуковое сопло (см. рис.
14.1) можно представить как ряд
концентрических сопел Лаваля с
общим критическим сечением, об-
образованных не твердыми стенка-
стенками, а поверхностями тока.
Учитывая энергетическую изо-
изолированность и изоэнтропность течения и уравнения A1.8) и
A1.40), приходим к выводу о постоянстве вдоль трубы парамет-
параметров торможения 7*1*, рх*, Ql*, aKVl и т. д. Следовательно, для оп-
определения всех параметров в произвольном сечении 2—2 необхо-
необходимо знать только зависимость X2 = f(A,i и iAG), которую опреде-
определим, сопоставив уравнения расхода A1.44) для сечений 1—1 и
/
I
1
1
«5
1 AG>0
_.
^_^__^
л
¦
G
—i—
и/
H
г •
n
P_
Рис. 14.1. Сверхзвуковое
сопло
расходное
q{h)=q$i)— , A4.2)
где G2 = GX ± ЛC.
^Критический подвод газа AGKp к потокам с параметрами pi*,
i 1*, Яь при котором сверхзвуковой поток тормозится, а дозвуковой
ускоряется до скорости звука, найдем, положив в A4.2)
950
257
У 7*1
—-l), A4.3)
q(M) 1
где Ql=mI'n У— ~ — расход основного газа через сечение / —/.
Ут\
Формулами A4.2) и A4.3) следует пользоваться совместно с
A4.1) и отдельно для дозвуковой и сверхзвуковой областей, так
как каждому значению q{X) соответствует два значения Я<1 и
При 0<AG<AGKP сверхзвуковой поток тормозится, но остает-
остается сверхзвуковым, а дозвуковой ускоряется, но остается дозвуко-
дозвуковым.
При AG>;AGKp в промежуточном сечении сверхзвукового потока
возникает ударная волна, за которой дозвуковой поток ускоряется.
Этот вопрос здесь подробно не рассматривается.
При AG>AGKp и дозвуковом течении в сечении 2—2 сохраняет-
сохраняется кризис <7(А,2) = 1, но расход основного газа и приведенная ско-
скорость в сечении 1—1 снижаются до G/ и Я/. Подставляя эти зна-
значения в A4.2), получим выражение для определения А,/:
^. A4.4)
Таким образом, при kG = GK?=m ^1_7~, q(k\) = O1 \[ = 0 и
подача в трубу исходного газа прекращается. Увеличить подачу
дополнительного газа сверх GKP при заданных /?*, Т* и S невоз-
невозможно.
Если при заданном направлении массообмена к сечению /—1
подать сверхзвуковой поток, то канал обратится в сверхзвуковой
диффузор.
Задача 14.1. При заданном направлении массообмена (см. рис. 14.1) к сече-
сечению 1—/ подается сверхзвуковой поток Xi>l. Изобразите изменение параметров
потока и ts-диаграмму 'процесса.
Расходное воздействие встречается в различных смесителях, а
также используется для ускорения и регулирования сверхзвуково-
сверхзвукового потока в некоторых аэродинамических трубах. С помощью отбо-
отбора газа от сверхзвукового потока удобно получать различные чис-
числа М>1, так как при таком регулировании в сверхзвуковом потоке
скачки уплотнения не возникают.
Задача 14.2. Приняв 5=0,02 'м2, р±*= 106 Па; 7y=d60OK; Xi='0,2 и на вы-
выходе из сопла Я2 = 2 (см. рис. 14.1), доказать, что AGKP = 14; GKp = 20,3 и AG=
=—1в,:3 кг/с, pi = 9,8- Ш5; р2=2-10* Па; 72=5:ЗЗК.
258
14.2. МЕХАНИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
Рассмотрим подвод механической энергии к газовому потоку э
изоэнтропном (идеальном) компрессоре /тех<0, ds = 0 и отвод — в
изоэнтропной (идеальной) турбине /Tex>0, ds = O.
Уравнение A1.58) для механического воздействия принимает
вид
dW
W
A4.5)
На основании A4.5) заключа-
заключаем, что в сверхзвуковом меха-
механическом сопле (рис. 14.2) до-
звуковой 'поток ускоряется до
А,= 1, совершая работу на ко-
колесе турбины, а за критичес-
критическим сечением сверхзвуковой
поток ускоряется при подводе
к нему механической энергии
в компрессоре. В сверхзвуко-
сверхзвуковом диффузоре сверхзвуковой
лоток тормозится, совершая
работу в турбине, а дозвуко-
дозвуковой — при подводе к нему ме-
механической энергии в компрес-
компрессоре.
Температуру торможения
Г2* в произвольном сечении
канала 2—2 определим из
уравнения энтальпии
U
///////////////А//
ППППЖ1П
?
*2 = 7*1—
Т* | 'к
I*
h
*
Рис. 14.2. Сверхзвуковое механичес-
механическое сопло
Давление торможения р2* и плотность заторможенного газа
определим из уравнения изоэнтропы
Итак, все параметры торможения уменьшаются при совершении
газом работы в турбине и увеличиваются при подводе механиче-
механической энергии в компрессоре, проходя через минимум в критическом
сечении.
Приведенную скорость в произвольном сечении 2—2 определим
из сопоставления уравнений A1.44) для сечений 1—1 и 2—2. "'''
Р*2 \ т\ ) \т\
к + 1
9*
259
или, с учетом A4.6), получим
к+1
!(к-1>. A4.9)
По A4.9) можно определить величину и знак /Тех для получения
заданной Яг или Я2 по заданной /тех. Все остальные параметры по-
потока в сечении 2—2 рассчитываются по формулам A1,28 ... 11.30).
На практике сверхзвуковые механические сопло и диффузор не
реализуются прежде всего потому, что ударные волны, возникаю-
возникающие при сверхзвуковом обтекании лопастей машин делают процесс
принципиально не изоэнтропным. Однако элементы механического
воздействия всегда встречаются в лопаточных машинах.
Задача 14.3. Изобразите схему сверхзвукового механического диффузора,
изменение параметров газа вдоль тракта и в ^-координатах.
14.3. ТЕПЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
Подвод тепла к движущемуся газу — один из основных процес-
процессов в реактивных двигателях — осуществляется в камерах сгора-
сгорания. Процессы подвода и отвода тепла происходят в различных
теплообменных аппаратах.
При тепловом воздействии имеют место два важнейших явле-
явления, предсказанные Г. Н. Абрамовичем в 1946 г.: тепловой кризис
и тепловое сопротивление, заключающееся в снижении полного дав-
давления при подводе тепла к движущемуся газу [1]. Уравнение
A1.59) для теплового воздействия
(М2—1)-^ = —S^flty A4. 10)
показывает принципиальную возможность осуществления сверхзву-
сверхзвукового теплового сопла, в котором дозвуковой поток разгоняется
до скорости звука за счет подвода критического количества тепла,
а сверхзвуковой поток за критическим сечением ускоряется за счет
отвода тепла (рис. 14.3). Если при показанном на рид. 14.3 направ-
направлении теплообмена на вход подать сверхзвуковой поток, то может
, быть осуществлен сверхзвуковой тепловой диффузор.
В отличие от изоэнтропных геометрического, расходного и ме-
механического воздействий тепловое воздействие сопровождается из-
изменением энтропии ds=dq/T^.O и процесс уже не описывается
уравнением изоэнтропы.
Показатель политропы термодинамического
процесса в тепловом сопле. Разделим уравнение Бернул-
ли dpfq = —WdW на уравнение неразрывности d§lq= —dW/W и
полученное dp/dQ = W2 сопоставим с уравнением политропы, извест-
известным из термодинамики —?- = п— —=п —, получим формулу,
uQ Q К К
определяющую показатель политропы
п=к№. A4.11)
260
Рисунки 14.3 и 14.4
иллюстрируют непрерыв-
непрерывное изменение показателя
'политропы (в тепловом
сопле и происходящее
взаимопревращение энер-
энергии на его характерных
участках.
В области
0
— = 0,85 (до Х =
= 0,87), где 0<я<1 и
подводимое тепло затра-
затрачивается на увеличение
энтальпии (температуры)
T=const
Рис. 14.3. Сверхзвуковое тепловое сопло
5
Рис. 14.4. Изменение по-
показателя политропы п в
тепловом сверхзвуковом
сопле
и кинетической энергии направленного движения газа EK=W2/2.
В сечении где М = 1/ — п=\ процесс изотермичен. Темпе-
Температура достигает максимума и все подводимое тепло идет на уве-
увеличение кинетической энергии.
В области
1/ —
W К
при 1<л"<к кинетическая энергия
увеличивается как за счет подводимого тепла, так и за счет умень-
уменьшения энтальпии (температуры). Это объясняется интенсивным рас-
расширением газа за счет увеличения сжимаемости с ростом числа М.
В критическом сечении М=1, я = к теплообмен с внешней сре-
средой отсутствует и ускорение газа осуществляется только за счет
уменьшения энтальпии.
В области М>1, я>к увеличение кинетической энергии и отвод
тепла происходит за счет уменьшения энтальпии, вызванного ин-
интенсивным расширением газа.
Расчет параметров газового потока в произ-
произвольном сечении 2—2 при тепловом воздейст-
воздействии одного знака.
261
1. Температура торможения определяется из уравнения энталь-
энтальпии
Tl=Tl + J-, 'A4.12)
увеличивается при подводе тепла q>0 и уменьшается при отво-
отводе <7<0, достигая максимума при М=1. Следовательно максимумы
Г и Г* в сверхзвуковом тепловом сопле не совпадают.
Для расчета А,2 и изменения всех остальных параметров исполь-
используем уравнение количества движения в полных импульсах A1.56).
Для данного случая RB = 0 и Ф2 = Ф\. Подставляя в это равенства
различные выражения полных импульсов из A4.56) и учитывая,
что #Кр2/#кр1 = у Т1/Т*, получим следующие формулы
2. Подогрева или охлаждения газа
В = Г2/Гг = [г(\1)]*/[г(Ь)]*. A4.13)
3. Относительного количества тепла
???1. (.4. м)
l\ Tl 1
4. Коэффициента сохранения полного давления
a=pl/pl = f(h)/f(h)- A4.15)
5. Отношения статических давлений
P2lPi = r{\2)lr{\x). A4.16)
6. Отношения температур
T2lT^T\lT\-x{h)lx (Х,) = [г (ХОРДг (А2)]2-т (A2)/t (X,). A4. 17)
7. Отношения плотностей и скоростей
A4. 18)
Как видим, изменение всех параметров потока при тепловом
воздействии для заданного k = Cv/Cv определяется только Х\ и Х2>
Тепловой кризис возникает при критическом подогреве
Подставив в формулы A4.13) ... A4.17) значения Л2=1 и к=1,4>
получим формулы для определения критического подогрева и кри-
критических параметров
Т2к?_ [z(h)]2 . - _ 1
0кр- —--Т—, ^кр-вкр-1.
а ^?=/М.; ^=^1; \ A4.19)
/7* 1,27 /?! r(XO V 7
Q2kp PTi 2Xi
262
Как видим, Экр и дКр зависят только от Ль а отношения остальных
параметров — только от Х,\ и k=Cp/Cv. На рис. 14.5 представлена
зависимость i8Kp = /(^i). Под кривой расположена область подогре-
подогревов 0<0Кр, соответствующих А,2<1, а над кривой — заштрихован-
заштрихованная область неосуществимых при данных A,i подогревов. При этих
лодогревах 9>8Кр на срезе трубы сохраняется кризис А,2=1, а рас-
расход газа G,i и К\ автоматически снижаются до G/ и Х\', для которых
данный подогрев будет критическим. Как видим, при уменьшении
Х\ величина вкр резко увеличивается. Запирание камеры сгорания
ТРД не допускается, так как происходящее при этом уменьшение
расхода воздуха может нарушить его нормальную работу. Для
1
fa/,
V/,
tta
0 0j2 Of 0;<? Л, $
Рис. 14.5. Зависимость критического подогрева от
предотвращения запирания камеры сгорания при заданном подо-
подогреве, необходимо снижать Х\ так, чтобы 6<О9кр и Лг<1. Однако,
при заданных р* и Г*, это приводит к увеличению ее габаритов и
массы.
Методика решения задач.
I. Определяется величина критического подогрева по К\ из
A4.19).
II. Заданный подогрев сравнивается с критическим. Если:
1) 0,1<вКр, то дозвуковой поток ускоряется, но остается дозву-
дозвуковым, а сверхзвуковой тормозится, но остается сверхзвуковым
Яг>1. Величина %2 определяется из A4.13) или A4.14). Остальные
параметры определяются из A4.15) ... A4.18).
2) '02='Экр> то при дозвуковом и сверхзвуковом течениях А,2=1.
Параметры рассчитываются из A4.19).
3) Эз>Экр, то на срезе трубы сохраняется кризис ^2=1, но при
дозвуковом течении расход и приведенная скорость в начале трубы
снижаются до G\ и А/. Значение Х\ определяется из первой фор-
формулы A4.19):
z{h) = 2V^ A4.20)
Остальные параметры определяются из A4.19) при замене в
них Яц на \К\.
Если Х\>\ при 0з>ЭКр, то в промежуточном сечении теплового
Диффузора возникает прямой скачок уплотнения, за которым дозву-
дозвуковой поток ускоряется до Яг= 1.
263
Задача 14.4. Воздух поступает в цилиндрическую камеру сгорания Хх =г
= 0,3; рх — Юб Па; Т{ = 400 К; S = 0,l м2. Необходимо осуществить три раз-
различных годогрева воздуха—0i=2, 62 = 3,3, в3 = 10. Доказать, что при 0! =
==2—Х2 = 0,48; Х/1 = Х1 = 0,3; G{ = Gx = 93 кг/с; а = 0,945; при 62=3,З^Х2=-1;
\[ = Xi = 0,3; G\ = 93 кг/с; о = 0,825; при 03 = 10; Х2 = 1; XJ=O, 16; GJ=64 кг/с;
0 = 0,8.
Тепловое сопротивление. Сопоставление формул
A4.15) и A4.10) с изменением f(X) {см. приложение IV] показы-
показывает, что при подводе тепла как к дозвуковому, так и к сверхзву-
сверхзвуковому потоку, полное давление уменьшается и a = p2*/Pi*<l.
Уменьшение полного давления
при подводе тепла к движущему-
движущемуся газу является специфическим
тепловым сопротивлением. Пря
отводе тепла от движущегося га-
газа полное давление возрастает.
Чем больше подогрев, тем боль-
больше снижение полного давления.
Для дозвукового потока а„
отп =
Рис. 14.6. Иллюстрация к объясне-
нию природы теплового сопротивле-
При -подводе тепла к сверхзвуко-
вому потоку
р
x1
K-^^- x1^xm
Природа теплового сопротивления может быть
выяснена с использованием т5-диаграммы (рис. 14.6) и второго
закона термодинамики D.97), который для конечного процесса без
гидравлических потерь принимает вид
[ d4 гч
> = \— • Это уравнение
показывает, что при одинаковом количестве подводимого тепла
увеличение энтропии тем больше, чем ниже среднеинтегральная ве-
величина температуры этого процесса.
Подведем к заторможенному газу при pi* = const тепло q =
=-Ср(Г2*—Тг*) = площади (SaJL-l*—В—SB); при этом располага-
располагаемая энергия возрастет от hi до hB. Подведем теперь то же тепло к
движущемуся газу q = Cp(T2*—Ti*) -площади (Si—1—2—52) =
= площади (Si—1*—В—SB). Так как тепло подводится при более
низкой температуре, то в соответствии с D.97) энтропия увеличи-
увеличивается E2—Si)>(SB—Si) и возникает тепловое сопротивление
p2*<Pi*, а располагаемая энергия возрастает в меньшей степени
hi<.h2<hB. Максимально возможное увеличение располагаемой
энергии /гад = /*1+ СР(Г2*—Ti*) произойдет при изоэнтропном под-
подводе механической энергии в компрессоре по адиабате 1*—Л. При
этом полное давление увеличивается р\\' р* =
принципиальное отличие механической энергии
264
1. В этом
которая может
быть без остатка превращена в любые другие виды энергии, от
тепла.
Только в энергетически изолированных течениях снижение пол-
полного давления указывает на уменьшение располагаемой энергии
газа. При подводе тепла к движущемуся газу располагаемая энер-
энергия его увеличивается. Именно в этом состоит назначение камеры
сгорания. Уменьшение полного давления при этом указывает толь-
только на то, что располагаемая энергия повышается на меньшую вели-
величину, чем при подводе того же количества тепла к неподвижному
газу при р* = const и при более высокой температуре. Для сниже-
снижения теплового сопротивления необходимо подводить тепло при ми-
минимальном значении Яь т. е. при максимальной температуре. Этот
способ снижения теплового сопротивления ограничивается увели-
увеличением массы и габаритов камеры.
14.4. ВОЗДЕЙСТВИЕ ТРЕНИЯ
Трение сопровождает все реальные течения. В этом параграфе
рассматриваются течения вязкого газа в трубе. Величину воздейст-
воздействия трения будем изменять с помощью изменения длины трубы.
Уравнение A1.59) для данного случая
W а2 тр
показывает, что дозвуковой поток М<1 под воздействием трения
ускоряется dW>0, а сверхзвуковой — тормозится dW<0. В связи с
тем, что воздействие трения имеет только положительный знак
*тр = <7тр>0, ускорение дозвукового потока и торможение сверхзву-
сверхзвукового может происходить только до скорости звука. Плавный пе-
переход через скорость звука за счет трения невозможен. Поэтому
скорость звука может устанавливаться только на срезе трубы.
Температура торможения при воздействии трения не изменяет-
изменяется— 711* = 7l2* = r* = const и акр = const по причине энергетической
изолированности течения и в соответствии с уравнением энтальпии
A1.8).
Давление и плотность заторможенного газа при воздействии
трения уменьшаются, что объясняется увеличением энтропии ds =
= dqTV/T>0 и следует из A1.38) и р* = р*/?Г*. Для определения
р2* и q2* в произвольном сечении 2—2 трубы используем уравнение
неразрывности A1.44)
г)/д (Х2). A4. 22)
При известных Х2 и Х\ все остальные параметры определяются по
A1.28 ... 11.30).
Приведенная скорость в произвольном сече-
сечении 2—2 трубы. Подставим в A4.21) значение
1 X2 , = — и dlТп = Сто см-
к+1 ) W ак? X тр Чтр d 2
265
F.34). После преобразования получ'им дифференциальное урав-
уравнение
" A3
vrp
к-f- I
dx,
A4.23)
где dx — элемент длины трубы, на котором коэффициент сопротив-
сопротивления трения равен ?тр = const.
В большинстве практически важных турбулентных течений газа
в шероховатых трубах коэффициент сопротивления трения не зави-
\
\
\
\
А
0,01
OfiS
0,10
QJ0
0,30
0/fO
9991
394
95,4
21,78
8,69
У
/
0,4 0,9 \2 1,6 2,0 ^
Рис. 14.7. Газодинамическая функция
ч
<
V77T
N
А:
ч
ш ш
ж м
\
—
0,4
о ар *,о х
Рис. 14.8. Зависимость Я-2=/(Я, %)
сит от числа Рейнольдса, а в технически гладких трубах лишь сла-
слабо зависит от него (8.30). Кроме того, при заданном течении чис-
число Рейнольдса Re = QWdfp, изменяется вдоль трубы только в связи
с изменением \i за счет относительно небольшого изменения темпе-
температуры A.15). Примем ?тр вдоль данной трубы постоянным и про-
проинтегрируем A4.23) в пределах от A,i до Х2 и от 0 до х, получим
=^Т^*=Х, A4-24)
где х — приведенная длина трубы — характеризует особенности
газа и течения: ( (— In X2) = ср (X) —газодинамическая функция
Х2 J
(рис. 14.7). Приняв эти обозначения, придадим A4.24) более крат-
краткую форму
<p(*i)-<pfa) = X. A4.25)
Критическую приведенную длину трубы определим из A4.25)
при Я2=1 и <р(А,2) = 1
Xkp=?(*i)-1. A4.26)
На рис. 14.8 приведены графики А,2=/(Яь х)> рассчитанные па
A4.25). Величина Х\ отложена по оси ординат при % = 0. Каждому
ii соответствует определенная критическая приведенная длина тру-
266
бы Хкр, ПРИ которой на срезе трубы устанавливается Яг=1 и труба
оказывается «запертой». Этот режим называется кризисом воздей-
воздействия трения. При дальнейшем увеличении длины трубы ХкР > Хкр
на ее срезе сохраняется кризис Яг=1 и W2 = aKp, но плотность газа
уменьшается из-за дополнительного уменьшения давления. Расход
газа снижается GiK?<CGx и \х изменяется до %\\ если %\<\, то
%\<%и а если Xi>l, то к\>к\, что соответствует уменьшению
q(k\) и, следовательно, расхода. Величина Ai/ определяется из
A4.26). Чем короче труба, тем большую величину имеет %\<\ и
тем меньшую Ai>l, при которых на срезе устанавливается кризис.
При % = 0 труба превращается в отверстие, для которого Яц = Яг = 1.
В этом случае расход газа достигает максимальной величины
*
Отм = ту=~. При х-юо*! —О и G{->0.
Рассмотрим возможные режимы течения по трубе заданной дли-
длины х = 0,5. При Xi = 0,5; 0,55 и 0,57 (кривые /, //, ///) в трубе реали-
реализуются дозвуковые течения. Величины к2 рассчитываются из A4.25).
При Л.1 = 0,65 на срезе трубы % = 0,5 устанавливается скорость звука
^2=1 (кривая IV). При этом расход достигает максимальной для
данных условий величины. Дальнейшее увеличение Х\ и расхода
для данной трубы невозможно, например, режим V для % = 0,5 не-
неосуществим.
При ^i = 2,45 течение в трубах % = 0,5 все сверхзвуковое А,2~ 1,8
(режим VI). Уменьшая Яь т. е. увеличивая расход, придем при Аа =
— 1,83 к VII критическому режиму Я2=1. Дальнейшее снижение
приведенной скорости на входе, например, до Ац = 1,6 приводит к
режиму VIII, при котором непрерывное торможение сверхзвуково-
сверхзвукового потока невозможно, так как оно привело бы к кризису в проме-
промежуточном сечении трубы. Поэтому сверхзвуковой поток плавно
тормозится лишь на части трубы, до некоторого сечения, в котором
возникает прямой скачок уплотнения а—б. За прямым скачком
дозвуковой поток ускоряется до Яг=1 на срезе трубы. Положение
скачка в трубе определяется основным кинематическим соотноше-
соотношением для прямого скачка %акб = 1. В действительности возникает
не прямой скачок уплотнения, а система скачков. Однако, как по-
показывают исследования, их суммарный эффект близок к эффекту,
вызываемому рассмотренным прямым скачком.
Термодинамический процесс при течении с
трением протекает при переменном показателе политропы /г, как
и процесс при подводе тепла. Продифференцируем уравнения по-
политропы r = Qn~1const, неразрывности gW=consf и температуры
торможения Т* = Т-\ — = const. Получим соответственно — =
Решая совмест-
(л1) ; ; rfr(Kl)
Q Q W KR
но эти уравнения и заменяя кДТ = а2, найдем, что
/г=1 + (к— 1)М2. A4.27)
267
ъ/ъ*
На рис. 14.9 представлено изменение параметров газа и показа-
показателя политропы в трубе для течения с трением в зависимости от Я2.
Принято для дозвукового потока Яц = 0,1 для сверхзвукового — Х\=*
= 2,051 и к= 1,4. Разрыв между графиками для дозвукового и сверх-
сверхзвукового потоков .подчеркивает невозможность'плавного перехода
через скорость звука за счет
= т2т/Т7* трения. При М->0, Т-+Т*,
что соответствует точке 1 на
диаграмме Ts для дозвуко-
дозвукового течения, п->1 и процесс
близок к изотермическому.
При Мг=1 п = к и процесс в
критическом сечении на вы-
выходе из трубы адиабатен.
На срезе трубы величина
энтропии максимальна, а
полное давление минималь-
минимально. В соответствии с уравне-
2
Бернулли \ — =
J Q
— Ч» работа про-
0,9
0,8
0J
0,6
0,5
ОА
аз
0,2
0J
О
\
\
\
\
>
\7
7
\
ЗА
3,0
2,6
2,2
нием
талкивания
dp
—, равная
сумме площадей А и Б в ди-
диаграмме Ts, затрачивается
на увеличение кинетической
энергии газа (площадь А) и
на совершение работы тре-
трения (площадь Б). При Mi->
-^оо (точка 1 на диаграмме
Ts для сверхзвукового тече-
течения) п-^со и процесс изохо-
Затем показатель политропы уменьшается и при Яг=1 я = к.
Рис. 14.9. Изменение параметров газового
потока при воздействии трения
рен.
Уменьшение кинетической энергии газа
(сумма площадей
В и Г диаграммы Ts сверхзвукового течения) расходуется на со-
совершение работы трения (площадь Г = ^Тр) и на работу проталки-
2 \
J Q /
вания газа в области с большим давлением площадь В
X
Задача 14.5. Розлух /?1* = 5.105 Па, Ti* = 400K, Xi = 0,5, ц= 1,6.10-5
Н-с/м2 течет в трубе d = 0,2 м при относительной шероховатости A/R= 1/125;
Х2 = 1. Доказать, что Хкр=1>6; хкр = 9,8 м; G = 22,6 кг/с; W2 = 366 м/с;
* * р2 = 1,87-105 Па; Т2= 333 К.
268
14.5. КОМБИНИРОВАННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
В рассмотренных сверхзвуковых соплах газ ускоряется от до-
дозвуковой скорости до сверхзвуковой за счет одноименных воздей-
воздействий при изменении их знака за критическим сечением.
С использованием рассмотренных пяти воздействий можно пред-.
ставить 16 комбинированных сверхзвуковых сопел, в которых до-
дозвуковой и сверхзвуковой потоки ускоряются разноименными воз-
воздействиями различных знаков. Например, дозвуковой поток ускоря-
ускоряется до Х=1 в цилиндрической трубе за счет подвода тепла, а
сверхзвуковой — в расширяющемся канале до %>1. Такое сопло
используется в некоторых СПВРД.
Задача 14.6. Нарисуйте 20 схем возможных сверхзвуковых сопел. Отметьте
сопла, имеющие практическое значение для получения сверхзвуковых потоков.
На практике газовый поток часто подвергается одновременна
нескольким воздействиям. Суммарный эффект может быть оценен
с помощью уравнения закона обращения воздействия. Например,
определим положение критического сечения сопла Лаваля, работа-
работающего с трением. Учтем, что критическому сечению соответствует
М= 1 и запишем уравнение обращения воздействия:
Ш2-П— — 0 — — — — dl т е — — — dl
Так как d/TP>0, то при трении критическое сечение располагается
в расширяющейся части сопла Лаваля, а в горле поток является
дозвуковым.
Задача 14.7. Определить положение критического сечения относительно гор-
горла сопла Лаваля, если течение в нем сопровождается подводом тепла (догорание
топлива) и отводом тепла (охлаждение стенок).
Глава 15
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ.
РЕАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В СОПЛАХ
Характеристики и работоспособность реактивных двигателей и
летательных аппаратов определяются характером силового, тепло-
теплового и химического или физического взаимодействий между твер-
твердыми поверхностями тел и потоками жидкостей, их обтекающих.
Эти взаимодействия обусловлены, в конечном счете, процессами,
происходящими в пограничном слое. Основные идеи теории погра-
пограничного слоя и определение динамического пограничного слоя уже
были приведены в п. 1.5.
Теория пограничного слоя изучает обтекание твердых тел ре-
реальной жидкостью при больших числах Рейнольдса Re=QHuBl/ixn'>
^> 1, где qh, ин, jjtH — параметры невозмущенного потока, / — харак-
характерный размер тела (см. рис. 1.5). В дальнейшем будет доказано,
что только при Re^l пограничный слой обладает основным своим
свойством — относительно малой толщиной 6/x<Cl. Следует иметь
в виду, что масштаб длины вдоль оси у на всех рисунках, изобра-
изображающих пограничный слой, для наглядности сильно увеличен.
Течения при Re>l это течения маловязких жидкостей (газы,
вода, керосин и т. д.) с достаточно большими скоростями и около
тел достаточно больших размеров.
Течение при Re> 1 реализуется в авиационной и ракетной тех-
технике, где достижения теории пограничного слоя широко использу-
используются и перед ней ставятся все более сложные задачи. Исследова-
Исследованию пограничного слоя посвящены многочисленные теоретические
и экспериментальные исследования и монографии [1, 2, 18, 29, 30].
В этой главе мы будем рассматривать внешнее обтекание тел
или течения внутри каналов, когда площадь сечения пограничного
слоя составляет малую долю сечения канала, так что течение в яд-
ядре потока потенциально.
Тепловой пограничный слой. Пусть газ обтекает с
Re»l нагретую пластину TW>TU (рис. 15.1). Очевидно, что газ
подогревается в пристеночном слое, тем более тонком 8т = 8т(х),
чем больше тепловой аналог числа Рейнольдса—число Пекле Ре =
= RePr = aH//%H, т. е. чем больше скорость ин невозмущенного пото-
потока и чем меньше коэффициент температуропроводности жидкости
Х- Этот слой называется тепловым или температурным погранич-
пограничным слоем. Как видим, поле температур в пограничном слое опре-
определяется полем скоростей и температуропроводностью жидкости.
270
градиенты
учитывать
В пределах теплового пограничного слоя поперечные
температур дТ/ду могут быть велики и их необходимо
при расчете течения в пограничном слое.
Вне теплового пограничного слоя дТ/дужО и теплопроводность
не учитывается.
Тепловой пограничный слой возникает также при больших чис-
числах Мн в результате аэродинамического нагрева газа (см. п. 11.1).
Диффузионный пограничный слой 6д=бд (х) по
структуре аналогичен тепловому. Например, когда искусственный
спутник земли входит в плотные слои атмосферы со скоростью
Tw U',T
1п;Т
Рис. 15.1. Динамический и тепловой пограничные
слои
Wu = 8 км/с, то теплота трения в пограничном слое частично затра-
затрачивается на испарение графитовой обмазки поверхности спутника
при температуре ~4000 К. Эта температура намного ниже темпе-
температуры торможения, что и обеспечивает сохранность спутника.
Пары графита диффундируют в диффузионный пограничный слой и
его концентрация с изменяется от 100% на стенке до нуля на внеш-
внешней границе пограничного слоя. Диффузионный пограничный слой
тем тоньше, чем больше ин и чем меньше коэффициент диффузии D\
Следовательно, поле концентраций определяется также полем ско-
скоростей и все три поля должны иметь общие свойства. Между тем,
размерные поля скоростей и = и(у) с одной стороны и поля темпе-
температур Т = Т(у) и концентраций с = с(у) с другой, имеют различную
форму и различные граничные условия:
Внутреннее (на стенке) у = 0; uw = 0, T~TW, c = cw
Внешнее у = Ь; и = 0,99ин Т = 0,99Тю с = 0,99сн
Это затрудняет теоретические исследования пограничного слоя.
Безразмерные поля скоростей, температур и
концентраций используются в теории пограничного слоя в
следующем виде:
с — с
c =
w
? • !
A5. 1)
Для больших чисел М Т =—; — =
TH—TW
271
Несмотря на то, что в общем случае безразмерные поля скоро-
скоростей, температур и концентраций не совпадают, их использование
имеет следующие преимущества, облегчающие исследования:
1. Граничные условия для всех трех пограничных слоев в без-
безразмерных координатах одинаковы и определяются: внутреннее —
из условия прилипания, внешнее — по общепринятой договоренно-
договоренности об определении толщины асимптотических пограничных слоев
Внутреннее
Наружное у
= т|=1, и = Т = ~с = Т* = 0,99.
A5.2)
Рис. 15.2. Определение толщины вытеснения: .
/—линия тока; 2—линии тока идеальной жидкости
2. При одном и том же режиме течения в пограничном слое
(см. ниже), безразмерные поля одного и того же параметра в ря-
ряде случаев аффинно-подобны, т. е. безразмерные поля совпадают.
3. В некоторых случаях все три безразмерные поля совпадают.
Тогда изучение всех трех явлений сводится к изучению одного из
них.
Вытесняющее действие пограничного слоя сос-
состоит в том, что через его сечения, за счет уменьшения скорости и
плотности, протекает меньше реальной жидкости, чем протекало
«бы идеальной, т. е. в том, что часть жидкости вытесняется за его
границу во внешний поток. На рис. 15.2 представлено взаимодейст-
взаимодействие пограничного слоя с набегающим потоком, приводящее к отк-
отклонению линий тока от поверхности тела во внешний поток. Это
приводит к появлению в пограничном слое вертикальной составля-
составляющей v скорости W. Из-за малой относительной толщины погра-
пограничного слоя угол наклона линий тока очень мал и, следовательно,
составляющая v при обтекании плоской пластины очень мала и не
сопоставима с горизонтальной составляющей v<^u. Поэтому изме-
изменение количества движения жидкости в пограничном слое в нап-
направление оси у практически отсутствует. Отсюда мы приходим к
важнейшему выводу теории пограничного слоя о том, что стати-
статическое давление поперек пограничного слоя не
изменяется
др/ду=О. A5.3)
Задача 15.1. Нарисуйте схему р=р(у) и р* = р*(у) в произвольном сечении
пограничного слоя (ом. рис. 1.5).
272
Пограничный слой вносит, кроме вытесняющего действия, сле-
следующие эффекты: за счет трения удельное секундное количество
движения жидкости, текущей в пограничном слое, уменьшается
вдоль оси х, уменьшается ее удельная кинетическая энергия, могут
изменяться энтальпия и концентрация избыточного элемента.
15.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Толщина пограничного слоя 8=6 (х) количественно не оценива-
оценивает исчерпывающим образом эффекты, вносимые пограничным
слоем. Кроме того, определение б в экспериментах чрезвычайно
затруднено из-за асимптотичности пограничного слоя. Поэтому,
для количественной оценки перечисленных эффектов и.для более
точного определения в экспериментах б, вводятся интегральные
толщины. Рассмотрим лишь две из них.
Толщина вытеснения б* есть расстояние, на которое ото-
отодвигается от тела линия тока внешнего течения в результате вы-
тесняющего действия пограничного слоя (см. рис. 15.2).
Иначе, толщина вытеснения Ъ* (х) это толщина слоя, в
каждом сечении которого Ъ*-1 расход невозмущенного потока
Ъ*дяин равен расходу, вытесненному из пограничного слоя к
соответствующему сечению Ъднин— gudy, т. е.
— [qudy. Учитывая, что bQHuH= Г QttuHdy, получим ~
6 6
у. A5.4)
О
Обозначим у1Ъ = х\, тогда dy = bir\. Приу^О, rj = O; при у = Ъ, ц=1
и
1
A5.5)
Из графика QU=f(y) (см. рис. 15.2) следует, что величина б*
легко и достаточно определенно находится из условия равенства
заштрихованных площадей. При этом, асимптотичность погранич-
пограничного слоя практически не оказывает влияния на ее величину. Вели-
Величина '6 определяется из A5.5).
Толщина потери импульса б** = б**(л;)—это толщи-
толщина слоя, в каждом сечении которого газ с параметрами невозму-
невозмущенного потока проносит секундное количество движения, равное
потерянному жидкостью, текущей в пограничном слое за счет
уменьшения скорости (из-за трения).
273
Приравняв секундное количество движения газа в слое толщи-
толщиной б**, равное 6**днин2, уменьшению секундного количества дви-
движения массы жидкости, текущей в пограничном слое, получим
8 8
Qh«h=1 QUtiBdy—^QU2dy, т. е.
6
8«={_S!L(l_ JL)dy или ъ** = ъ\-^(\--?-) di\. A5.6)
J Qh"h \ UnJ .) Qh"h V И н /
О О
Отношение этих толщин называется формпараметром
Формпараметр — это отношение количества движения жидко-
жидкости, вытесненной из пограничного слоя во внешний поток, к коли-
количеству движения, потерянному жидкостью, протекающей в погра-
пограничном слое. Чем больше величина Я, тем меньше наполненность
поля скорости пограничного слоя.
Порядок расчета безотрывного обтекания
тела п р и Re> 1 и использование толщи н*ы вытесне-
вытеснения:
1) рассчитывают параметры жидкости U\ = U\(x), pl = pl(x)r
Т\ = Т\(х) и т. д. на поверхности исследуемого тела при обтекании
его идеальной жидкостью. В первом приближении принимают, что
эти параметры равны параметрам на внешней границе погранично-
пограничного слоя;
2) по найденным параметрам рассчитываются параметры жид-
жидкости первого приближения в пограничном слое, в том числе 5*;
3) поверхность тела во всех сечениях мысленно отодвигают по
нормали в сторону потока на величину б*;
4) рассчитывают параметры идеальной жидкости на поверхно-
поверхностях полученного фиктивного тела. Найденные параметры прини-
принимают за параметры второго приближения для внешней границы
пограничного слоя;
5) рассчитывают параметры пограничного слоя второго прибли-
приближения.
При Re»l б/л:<С1, поэтому приближенные расчеты ограничива-
ограничивают вторым приближением.
Рассмотрим пример использования толщин вытес-
вытеснения и потери импульса при оценке влияния
пограничного слоя на тягу ракетного двигателя. Опустим
ряд деталей .[1]. Пусть идеальное плоское сопло Лаваля рассчита-
рассчитано для получения тяги R=Gu (штрихпунктир на рис. 15.3). При
реальном течении в сопле Лаваля возникает пограничный слой и
тяга уменьшится, по сравнению с расчетной, за счет уменьшения
расхода и скорости жидкости в пограничном слое. Для восстанов-
восстановления тяги до расчетной при неизменных р* и Г* и рс = Рп иеобхо-
274
Рис. 15.3. Коррекция сопла Лава-
ля
димо все поперечные сечения
сопла увеличить от hu до йд =
=;/zw + 26* + 2i6** (сплошная ли-
линия). При увеличении размеров
на 26* (пунктир) расход газа
окажется равным расчетному. •
Однако, при этом, тяга будет
еще меньше расчетной, так как в
сохраняющемся пограничном слое
газ имеет меньшие скорости. При
увеличении поперечных размеров
сопла еще на 26** тяга создава-
создаваемая реальным соплом с погра-
пограничным слоем будет равна рас-
расчетной, правда при несколько большем расходе газа, чем в иде-
идеальном случае, что и компенсирует потери количества движения
газа в пограничном слое скорректированного сопла.
Задача 15.2. Указать методику расчета параметров потока на внешней
границе пограничного слоя при течении газа через сопло Лаваля, имеющего се-
сечения /гд = /гд (х). Толщина вытеснения задана 6* = 6*(*).
15.2. ЛАМИНАРНЫЙ, ПЕРЕХОДНЫЙ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ
РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Течение в пограничном слое на стенке (рис. 15.4) может быть
ламинарным, переходным и турбулентным, независимо от режима
течения невозмущенного потока. Имеется много общего между те-
течениями в трубе и в пограничном слое на стенке. Если Re<RedKp =
= (<шСр??/[х)кр> то течение во всей трубе ламинарное, если Re>
>RedKp — турбулентное (см. п. 6.1). Если для пограничного слоя
на стенке за характерный размер принять толщину пограничного
слоя б, соответствующую радиусу трубы 6 = d/2, а за характерную
скорость — скорость внешнего потока иИу соответствующую скоро-
скорости на оси трубы ин = итах> то, как показывают эксперименты, пе-
переход ламинарного течения в турбулентное будет также опреде-
определяться критическим числом Рейнольдса
Re 8Кр=Снйн8кр/|Ь1 = B.8. • -30) 108. A5. 8)
Как видим, значение критического числа Рейнольдса для погра-
пограничного слоя на плоской пластине и для трубы имеют один и тот
же порядок. Разница заключается в том, что вдоль достаточно
длинной пластины режим течения в пограничном слое изменяется.
На малых расстояниях от передней кромки пластины толщина пог-
пограничного слоя мала F<6Кр) и в пограничном слое сохраняется
устойчивое ламинарное течение с молекулярным механизмом пе-
переноса. При увеличении толщины ламинарного пограничного слоя
до критической величины бКр при расстоянии л:кр устойчивость ла-
ламинарного течения в пограничном слое нарушается и появляется
участок переходного течения, где хаотически во времени сменяются
ламинарный и турбулентный режимы течения. За переходным уча-
275
Ламинарный
пограничный
Переход- Турбулентный
ноя ) пограничный слой
стком начинается турбу-
турбулентный пограничный слой
с турбулентным механизмом
переноса. Характерным
признаком перехода являет-
является резкое увеличение тол-
толщины пограничного слоя и
напряжения трения на стен-
стенке. Длина переходного
участка не велика и течение
на этом участке исследовано
недостаточно. Поэтому в
расчетах принимают, что
ламинарный пограничный
слой в сечении лгкр сразу пе-
переходит в турбулентный.
В дальнейшем будет установлена количественная связь между
б, б*, б** и х. Каждый из этих параметров может быть принят за
характерный размер пограничного слоя, тогда критические числа
Рейнольдса для пограничного слоя на плоской пластине будут
Рис. 15.4. Ламинарный, переходный и тур-
турбулентный (пограничные слои
Re5* =Р„М
кр
кр
103;
102.
A5.9)
Существенное влияние на переход оказывает степень турбулент-
турбулентности набегающего потока, продольный градиент давления dpldx
и различные возмущения. Меньшие значения ReKp относятся к бо-
более высокой степени турбулентности набегающего потока и к диф-
фузорным течениям (dp/dx>0), большие — к мало турбулизиро-
ванным конфузорным течениям (dp/dx<0).
15.3. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
Ламинарный пограничный слой имеет место при Re=QH#H|
<Re6Kp, т. е. вблизи передних кромок обтекаемых тел (малые
л: и б), при полетах на больших высотах или при течениях разре-
разреженных газов (малые q), при повышенной вязкости жидкости и
при искусственной ламинаризации пограничного слоя (см. п. 15.6).
При этом, однако, число Рейнольдса всегда должно оставаться дос-
достаточно большим Re^>l и б/#<С1.
Дифференциальные уравнения пограничного
слоя. Течение жидкости в пограничном слое описывается систе-
системой основных дифференциальных уравнений (см. п. 4.14). Рассмот-
Рассмотрим установившееся двухмерное течение сжимаемой вязкой жид-
жидкости при отсутствии массовых сил вдоль плоской или слабо иск-
276
ривленной стенки *. Ось х направим по поверхности стенки в нап-
направлении вектора скорости, ось у — в направлении внешней норма-
нормали с поверхности стенки.
Для этого случая система основных дифференциальных урав-
уравнений принимает следующий вид
*Ш*№10; A5.10)
+0;
дх ду
да < да 1 dp r f д?а , д^а\ , 1 д (да , dv\ пг- 11Ч
и \-v — = —+ v I Н v — A5. 11}
дх ^ ду Q дх ^ \дх2 ~ду*)~ 3 дх [дх ^dtj ) V '
dv ] dv I dp , (d^v . d^v\ . 1 д /da , dv \ nr 1OV
^ —4-х; — = ^- + v f ч v — ; (lo. lz)
дх ду q ду ' [дх* ду2) 3 ду [дх [ ду )
дТ , ^Г \ ( др , др \ , /^2Г . ^гх
, v (9 Г/да \2 .(dv \21 , /dw , dv \2 2 /ди , дг/ \
Упростим уравнения A5.10... 15.13), исключив из них члены от-
относительно малой величины. Для этого приведем эти уравнения к
безразмерному виду, использовав следующие безразмерные вели-
величины:
ря; x=x/l; y~=y/l; 8 = 8//; Ьт = Ът/1.
Характерный размер тела t_ выберем ^ак, чтобы Re = ^H-?/vH^> 1Г
/^ г?, a duldx, дТ/дх, др/дх имели бы порядок не
более единицы, получим
дх ' ду
1 1
дх
^*.= ^J.&+^—+—)+-^- —— (—+—V B)
ду q дх ' ReW2 ' dW ' Re 3 дх \дх ^ ду Г
115*— 1 1 IS» I J. 16*
5 52
дх 1 ду q ду ' Re
15 5 1 15 l§2
дх ду СрнТа Q \ дх ' d
11 5^ 1 11155 ?¦ 1 1 -
5 62
* Слабо искривленная вдоль оси х стенка определяется условием 6/г
F-—толщина пограничного слоя, г —радиус кривизны поверхности стенки).
277
h^h v lc)\(du\2,ldv\2],(du,'dv\ 2 l да ,dv\\
Под членами уравнений указаны относительные порядки их
величин .Поясним их определение. Величины и, /?, q, T, v, ^,
С^, х имеют по определению порядок единицы. Действительно,
при у = 0 # = 0, а при y = S и=1, следовательно максимальное зна-
значение и в пределах пограничного слоя имеет порядок единицы
и ^ 1 и йй^1 и <?2#ж 1.
При л: = 0, х = 0; при х = 1, х=\ и <?л;~ 1 и длс2~ 1. При # = 0,
г/ = 0; при у = ъ,~~у = Ъ/1, т. е. #~&//<^1 и ду — Ь/1<^\ -и (?у2—
Из уравнения неразрывности следует, что dv(dy^\, так как
дЪ
и q~1, т. е. 1
ду
ь//
¦1 или
<^1, поэтому в пограничном слое dvjdx — Ъ и d2vldx2 — b.
Используя полученные результаты, найдем, что
б пограничном слое д2п/ду2 принимает наибольшее значение. В пог-
пограничном слое силы инерции и силы вязкости имеют одинаковый
лорядок, т. е. и -z—— I 7=- + -^ *
дх Re \dx ду )
Из этого условия и уравнения B) следует, что
или Ь = Ъ/1х\/УШ. A5. 14)
Таким образом, теория пограничного слоя применима -только
при больших числах Рейнольдса, когда пограничный слой относи-
относительно тонок. При этом уравнение количества движения B) можно
упростить, отбросив д2п/'дх2 и последний член его, как относитель-
относительно малые величины. Из уравнения C) следует, что др/дужб. Ин-
Интегрируя это выражение получаем, что величина разности давлений
на стенке и на внешней границе пограничного слоя Др~82, т. е.
очень мала: давление поперек пограничного слоя не меняется и
равно давлению на внешней границе пограничного слоя. Это дав-
давление определяется течением без трения и может быть рассчитано
ло уравнению Эйлера D.39), поэтому его следует рассматривать
как известную функцию продольной координаты х. Итак, для пог-
пограничного слоя уравнение A5.12) превращается в уравнение
A5.3), т. е. др/ду = О, которое ранее было получено из качественных
соображений. Для дальнейшего важно, что продольные градиенты
давления во внешнем потоке и в пограничном слое одинаковы.
278
«2„
Определим порядок постоянных сомножителей уравнения D)
=(к— 1)Мн — не зависит от числа Рейнольдса, принимаем по-
рядок равный единицы
1ия vH uj — ч ¦ ' 1);
PrRe
vHtfH
CPJTK
V
CpT»
(к
ДЛЯ
-1)
Re
газоз
мн2
Pr
Используем для оценки членов уравнения D) все полученные
выше результаты, перейдем в упрощенных уравнениях A) ... D) к
размерным координатам и получим дифференциальные уравнения
ламинарного пограничного слоя, которые называются уравнения-
уравнениями Прандтля A904 г.) и замыкаются уравнением состояния
0; A5.15)
+0;
дх ду
да ¦ да д^а 1 dp /1cr 1Z?4
и \-v — = v — ; A5. 16)
дх ' ду ду2 Q дх к J
^ = 0; A5. 17)
ду
дх ' ду ду* ' qCp дх Ср \ду
p=QRT. A5.19)
Кроме того,- как уже указывалось, зависимость р = р(х) счита-
считается заданной. Граничные условия соответствуют A5.2).
При выводах принято, как и ранее, считать постоянными v, % ер
Ср. Если учесть их изменение от температуры, то уравнения услож-
усложнятся, так как v, % и Ср войдут под знаки производных.
Задача 15.3. Опишите физический смысл и размерность уравнений A5.15)....
...A5.19) и каждого их члена.
Уравнение энергии, содержащее температуру
торможения получим, умножив уравнение A5.16) на и, сло-
сложив с A5.18) и учтя, что
д ( да \ д \ \ 2 ' / da \2
ду\ ду) ду L ду J \ду
И
получим
Приближенно для газов Pr = v/%— 1 и A5.20) принимает вид:
и "+^ -^- = 1д-т- • A5.21)
(?л: ^ di/2 7
27$
На основании A5.21) и того, что при малых числах МР^Г из
уравнения A5.18) можно исключить два последних члена, выража-
выражающих тепло, выделяющееся от сжатия и трения. В этом случае
тепловой поток между жидкостью и телом определяется разностью
термодинамических'температур газа и стенки и определяется из-
известным из курса физики уравнением Ньютона, Дж/(м2/с)
q = a(TK-Tw), A5.22)
где а — коэффициент теплопередачи, Дж/(м2сК).
При больших Мн и Рг=1 уравнение энергии A5.21) имеет та-
такой же вид, как и при малых скоростях с той разницей, что оно со-
содержит температуру торможения, а не термодинамическую темпе-
температуру газа. Отсюда заключаем, что при больших Мн и Рг=1 теп-
теплообмен определяется разностью между температурой торможения
газа и температурой стенки в соответствии с уравнением Ньютона
q = a{K-Tw). A5.23)
Газ будет передавать тепло в стенку, если TU*>TW. Если при этом
Tn<.Tw, то стенка будет нагреваться за счет тепла, выделившего-
выделившегося в пограничном слое за счет трения.
Дифференциальные уравнения пограничного
слоя при параллельном обтекании плоской
стенки и при Рг=1. Запишем уравнение Эйлера D.39) для
течения вне пограничного слоя и — -{-v — = — — . Учиты-
дх ду q дх
вая, что при у>8 v = Q, u = uH = const, приходим к выводу, что при
данном течении, как во внешнем потоке, так и в пограничном слое,
др/дх = О и уравнения A5.16) и A5.21) принимают вид
да | ди д%и , 1 г- п л \
v \-v — = v — ; A5.24)
дх ^ ду ду* к }
дТ* , дТ* дФ* /1С OP-N
а \-v =у . A5.25)
дх ~ ду Л ду2 v ;
При Pr=l v=x и A5.24) и A5.25) одинаковы относительно и и
и Г*. Однако, решения их различны вследствие разницы в гранич-
граничных условиях для искомых и и Г*.
Гидродинамическая теория теплообмена и
диффузии. Заменим в A5.24) и A5.25) под знаками производ-
производных размерные ипТ* безразмерными
получим
ди , да д%и /1 с О?\
U \-v — = v ; A5.26)
дх ' ду дуъ v }
дТ* , дГ* д^Т* пк О7Ч
и [-V = у ; A5.27)
дх ' ду К ду2 к }
280
Следует заметить, что дифференциальное уравнение диффузии
и \-v—=D в этих условиях аналогично уравнению
дх ду ду2 - С-С
энергии A5.25), где D — коэффициент диффузии, а С =—^—
безразмерная концентрация избыточного элемента. Три аналогич-
аналогичных уравнения при Pr=v/% = PrA=v/D, т. е. при v = %=D и* при оди-
одинаковых граничных условиях
у = 0; ц = у/Ь = О; п = 0; Т=0; С = 0;
у = Ь; т|=1; й = 0,99; Г=0,99; С = 0,99
"имеют совершенно одинаковые решения
^ A5.28)
8 = 8Г = 8Д. A5.29)
При малых числах Мн Т*жТ и решение будет
1 8 = 8г = 8д. A5.30),
При Рг = Рг^= 1 при больших Мн в пограничном слое на плоской
стенке имеет место подобие полей скоростей, температур торможе-
торможения и концентраций, а при малых Мн — полей скоростей, термоди-
термодинамических температур и концентраций. Безразмерные поля всех
трех параметров й, Т и С в обоих случаях сливаются. Толщины ди-
динамического, теплового и диффузионного пограничных слоев сов-
совпадают.
Задача 15.4. Объяснить в чем причина обнаруженного подобия полей скоро-
скоростей, температур и концентраций в пограничном слое.
Гидродинамическая теория теплообмена и диффузии A5.28) и
A5.30) позволяет заменить трудно выполнимые измерение-и рас-
расчет полей температур и концентраций в пограничном слое более
простым — измерением и расчетом полей скоростей.
Таким образом, анализ дифференциальных уравнений, даже без
их решения, привел к практически важному результату.
Уравнения пограничного слоя существенно проще общей систе-
системы уравнений. Однако, их аналитическое решение, даже для про-
простейшего случая обтекания плоской стенки при Рг=1, весьма тру-
трудоемко. В более сложных случаях дифференциальные уравнения
A5.15) ... A5.19) решаются численными методами с использовани-
использованием ЭВМ. С методами решения дифференциальных уравнений мож-
можно познакомиться по следующим источникам [1, 18, 21, 22, 30].
Интегральный метод решения задач о погра-
пограничном слое. Уравнение Кармана. Определение основных ха-
характеристик пограничного слоя т, б, б*, б** существенно упрощает-
упрощается, если перейти от дифференциальных уравнений, справедливых
для любой точки в пределах пограничного слоя, к интегральным
281
Рис. 15.5. Силы, действующие на
элемент пограничного слоя
уравнениям количества движения и
неразрывности, составленным для
конечного участка пограничного
слоя. Преимущество метода состоит
в его простоте, наглядности и уни-
универсальности: он обеспечивает по-
получение аналитических зависимос-
зависимостей, как для ламинарного, так и для
турбулентного пограничных слоев.
Недостаток метода состоит в
том, что его использование возмож-
возможно только в том случае, если из-
известно поле скоростей в погранич-
пограничном слое. Этим полем приходится задаваться на основании обра-
обработки табличных данных решений дифференциальных уравнений
или экспериментальных данных. Поэтому этот метод является
приближенным.
Получим интегральное уравнение количества движения для
участка двухмерного пограничного слоя при установившемся тече-
течении сжимаемой вязкой жидкости вдоль стенки малой кривизны
(рис. 15.5).
Направим ось х вдоль поверхности стенки, а ось у — по норма-
нормали к ней. Размер выделенного объема по нормали к чертежу при-
примем равным единице. Интегральное уравнение количества движе-
движения D.11) для рассматриваемого случая примет вид
= f QWnudS~ J QWnudS.
A5.31)
Пренебрегая массовыми силами, выразим в явном виде проек-
проекцию на ось х суммы сил, действующих на контрольную поверх-
поверхность /—2—3—4 индексы у давления опущены
#ях = рЪ-\-р sin adl — (p-{-dp){b-\-db) — xwdx, где dl — длина дуги
2-3.
Учитывая, что sina = d6/dl и пренебрегая dpd8, получим
'х. " A)
Проекция на ось х секундного количества движения жидкости,
втекающей в контрольный объем через участки контрольной по-
поверхности 1—2 и 2—3 может быть выражена так
и
j- I \ Qudy \dx—[ qudy =
B)
1 Последний член уравнения B) представляет произведение ско-
скорости жидкости ин, втекающей через участок контрольной поверх-
282
ности 2—3, на ее секундную массу. Эта масса, при установившем-
установившемся течении, равна разности масс жидкости вытекающей через уча-
участок поверхности 3—4 и втекающей через участок 1—2.
Через участок контрольной поверхности 3—4 жидкость выносит
приращенное на длине dx секундное количество движения.
6 / 6 \
[ QWnudS = [ Qii2dy + ?[\ Qu2dy I
Уравнение A5.31), с учетом A), B) и C), примет вид
ь ь
&1 + %
C)
Т + %;Г W^ + Hf Uudy D)
dx dx J dx J
о о
Для плоской стенки dp/dx = 0, daH/dx = 0, получим
б б
%w = —{ {quuh —QU2)dy=—\Qii(tioo — ti)dy. E)
ax о ax e)
о о
Разделив обе части E) на qu\ и учитывая A5.6), получим ин-
интегральное уравнение количества движения для плоской стенки и
несжимаемой жидкости
Tw/Quul=dQ**ldx. A5.32)
Опуская преобразования уравнения D), приведем интегральное
уравнение количества движения для сжимаемой вязкой жидкости
при градиентных течениях, т. е. когда dpfdx, du^/dx, dqjdx отличны
от нуля
V =^!1 + ^н + —
A5.33)
QHuH dx qh dx uH dx
В уравнении Кармана A5.33) ии = ин(х) и
являются известными функциями, так как они всегда могут быть
определены из расчета обтекания тела, увеличенного в размерах
на 6* = 6*(л:), потоком идеальной жидкости или найдены из экспе-
эксперимента.
Уравнение Кармана это обычное дифференциальное уравнение.
Оно справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного
пограничных слоев. Уравнение содержит два неизвестных xw и б**,
поэтому для его решения необходимо еще одно независимое урав-
уравнение, таким уравнением является закон трения Xw = \*>(duldy)w.
Для определения (dujdy)w необходимо уравнение поля скоростей
в пограничном слое.
Уравнение поля скоростей для ламинарного
погранично го слоя несжимаемой жидкости на
плоской стенке, как показывают опыты, хорошо аппрокси-
аппроксимируется полиномом
283
где и = и/иКу г] = *//6, а коэффициенты Ах находятся из следующих
граничных условий:
и = 0, д2и/ду\2 = 0 при г] = 0; и=1, ди/дг\ = 0 при г] = 1
Условие д2п/дц2 = 0 вытекает из уравнения A5.24) при t/=0.
Используя эти условия, найдем, что Л0=0; А{ = 3/2; Л2 = 0; Л3 =
= —1/2 и профиль скоростей будет
и = — ч- --г]3. A5.34)
Уравнение A5.34) показывает, что поля скоростей ламинарного
пограничного слоя подобны в заданных условиях, т. е. сливаются в
безразмерных координатах.
Расчет параметров ламинарного погранично-
пограничного слоя при течении несжимаемой жидкости
вдоль плоской стенки. Для расчета толщины вытес-
вытеснения используем формулы A5.5) и A5.34) и найдем
1
8* = 8^1 —— т, + —ti3Wti = 0,3758. A5.35)
о"
Толщина потери импульса. Используем A5.6) и
A5.34), получим
1
Ъ** = Ъ[ (-L г]-— rfH1- — Ti+—r]3)rfTi = 0,139s! A5.36)
1CI Oil О ^ О I '
Напряжение трения на поверхности стенки оп-
определим по закону Ньютона A.11) с использованием
A5.34)
— -1 -(—Y] =—!»«—. A5.37)
Толщина п огр а н ичн о го слоя б. В уравнение A5.32)
подставим значение б*'* из A5.36) и %w из A5.37) и найдем, что
Ъс1Ъ= —^- . Проинтегрировав это выражение в пределах
0—б и 0—х получим
8=4,64 i/^-^jc0-5; A5.3S)
i_-!^._«l.. (.5.39)
Толщины теплового и диффузионного погра-
пограничных слоев на плоской стенке при T^const, Tw=
= const и при Сн=const, Cw = const, рассчитываются по форму-
формулам [30]
284
*gL ; • A5.40)
при Ргд = Рг=1, bT = bR = b.
В газах механизмы переноса количества движения, тепла и ве-
вещества примерно одинаковы— тепловое хаотическое движение мо-
молекул. Поэтому, приближенно, часто для газов полагают Рг»
~Ргд^1, v~%zzD и толщины всех трех пограничных слоев оди-
одинаковыми. Они увеличиваются вдоль стенки пропорционально х°>5
Если Рг = Ргд<1, т. е. x = ?>>v, то 8у = Вд>&.
Если Рг = Ргд>1, т. е. х=?>О, то 8Г = 8Д<&.
Напряжение трения в сечении х пластины определим, исполь-
используя A5.37), A5.39) и A5.36)
Wqh«2 = O,3235//r?I. _ A5.42)
На практике часто используется коэффициент
сопротивления трения
Cfx = 2xWx/qhuI = 0,647/1/ Wx. A5.43)
Среднеинтегральные значения напряжения
трения tw(o-x) и коэффициента сопротивления
трения Cf(p-X) для участка стенки 0—х необходи-
необходимы для расчета силы трения, действующей на
стенку.
Выполнив интегрирование A5.42) и A5.43), получим *
f 0,3235^ dx 9
\ —r==- = 2xwx =
X
о
A5.44)
; = iV^L= 2C = Ь292 _ A5.45)
и О
Сила трения #т, с которой жидкость действу-
действует на стенку длиной х и шириной Ь, определим по
* Для принятого поля скорости в ламинарном пограничном слое A5.34)
d 5** xwr 5**
= — 0,1396=0,5— и —Щ = 0,5 — ;
dx dx x Qh^ x
= —; сдо_х) = 2—.
285
известной формуле
A5.46)
Задача 15.5. Нарисуйте схематично зависимости Twx = Twx(x) и ()
= Tw(o_*)(jc) и объясните физическую причину наблюдаемого изменения. Срав-
Сравните профили скорости в трубе и в пограничном слое при ламинарном течении
При Мн = «тах И 6 = /?.
Задача 15.6. Для условий рис. 1.5 определите силу трения на участке лами-
ламинарного пограничного слоя, если ширина пластины 2 м, a ReXKp=106. Ответ
Ят =0,685 Н.
Таблица 15.1
Величина
Толщина вытеснения
Толщина потери им-
импульса 6**
Толщина пограничного
слоя
Интегральный коэффи-
коэффициент сопротивления тре-
трения Cf(Q_x)
Точное решение
0,345 5
0,133 5
-о/У Re,
С/(о-дг)=1,328/КЙе^
Приближенное
решение
0,375 5
0,139 5
—-4,64/|/Re7
X
C/(o-*)=l,292/]/~Rei
В табл. 15.1 сравниваются результаты приближенного расчета
ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости на плоской
стенке с использованием интегрального уравнения количества дви-
движения с точным решением дифференциальных уравнений. Можно
считать, что точность приближенных решений достаточна для прак-
практических целей.
15.4. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
Дифференциальные уравнения турбулентного пограничного
слоя при внешнем обтекании можно получить из уравнений Рей-
нольдса F.12) аналогично тому, как были получены уравнения ла-
ламинарного пограничного слоя A5.15) ... A5.18). Однако, решить
эти уравнения, даже для простейших случаев, пока не удается. По-
Поэтому теория пограничного слоя для турбулентного течения явля-
является полуэмпирической.
Турбулентный пограничный слой при продоль-
продольном обтекании гладкой плоской стенки несжи-
несжимаемой жидкостью. Это течение является простейшим, так
как градиент давления вдоль стенки равен нулю др/дх = 0, поэтому
скорость вне пограничного слоя постоянна ин = const. Это позволя-
позволяет ввести основное допущение о примерно одинаковой структуре
турбулентных пограничных слоев на пластине и в трубе и использо-
использовать для расчета турбулентного пограничного слоя на стенке фор-
формулы, полученные в гл. 8 для турбулентного течения в трубе, заме-
заменяя в них скорость итах на оси трубы и радиус трубы R на скорость
286
tiH невозмущенного потока и толщину пограничного слоя б соот-
соответственно. Следовательно^ профили скорости в турбулентном ядре
лограничного слоя могут бить представлены логарифмическим за-
законом (8.13) и степенным законом одной седьмой (8.24) также с
заменой um3iX на ин и R на б
и/Ип=(У/Ъ)п = Чп A5.47)
при линейном законе распределения скоростей в ламинарном под-
подслое (см. п. 8.1).
Вместе с A5.47) мы вводим предположение с подобии профилей
скорости, которые в безразмерных координатах и/ин и у[Ь слива-
сливаются. Закономерности обтекания плоской стенки имеют большое
практическое значение, так как применяются при расчетах сопро-
сопротивления трения лопастей турбомашин, сопел, диффузоров, лета-
летательных аппаратов и кораблей при их безотрывном обтекании.
При обтекании этих тел градиент давления не равен нулю, однако,
как показывают опыты, их сопротивление мало отличается от соп-
сопротивления трения плоской стенки.
Основные параметры турбулентного погранич-
пограничного слоя рассчитаем на основании принятого допущения.
Толщины вытеснения б* и потери импульса б** определим, под-
подставив значение и/ин из A5.47) в A5.5) и A5.6) при л =1/7. После
интегрирования получим
&* = —— 8 = 0,1258; &** = - S = 0,097S. A5.48)
л + l A + л)A+2л) ;
Величина формпараметра # = б*/б** для ламинарного и
турбулентного пограничных слоев #л = 0,375/0,139 = 2,7; #т =
= 0,125/0,097=1,29 соответствует большей наполненности турбу-
турбулентного пограничного слоя по сравнению с ламинарным (см.
рис. 8.2)
Напряжение трения на стенке определим по (8.31), за-
заменив Umax на ин и R на б, т. е.
tWo^S = 0,0225 (vH/^I/4 = 0,0225/4/R^ A5.49)
Толщину пограничного слоя определим из интеграль-
интегрального уравнения количества движения A5.32), в которое подставим
значение Xw/Qh^u2 из A5.49) и б** из A5.48)
Примем условно, что турбулентный пограничный слой начина-
начинается с переднего края пластины, т. е. проинтегрируем это диффе-
дифференциальное уравнение в пределах от 0 до б и от 0 до х и получим
ех, A5. 50)
следовательно S*=0,0461л: {uHx/vH)-^5^^ л:0'8;
8**=0,036a:(«ha:/vh)-1/5^jc0»8. A5. 51)
287
Сопоставляя A5.50) и A5.38) заключаем, что при одинаковых
Re* толщина турбулентного пограничного слоя больше, чем лами-
ламинарного, так как он нарастает быстрее — 6Труб ~ я0»8, а 6Л~#0'5.
Турбулентный пограничный слой также как ламинарный, может
быть относительно тонким б/я-Cl, только при Re^^>l.
Среднеинтегр ал ьное напряжение трения на
стенке %w(o-x) определим, подставив в A5.49) значение б из
A5.50). Для лучшего совпадения расчетных и экспериментальных
5
4
2у5
1,5
V
1 \
i
\
ч
\
^3
******
**—
10s
5 106
5 Ю7
5 10б
5 10*
Рис. 15.6. Закон сопротивления гладкой плоской плас-
пластины
данных, полученный после интегрирования числовой сомножитель
0,036 заменим на 0,037
X
о-,) = — \
G / (о r)z==r.
@-х)
-1/5
A5.52)
A5.53)
Формулы A5.52) и A5.53) дают хорошее совпадение с резуль-
результатами опытов в пределах 5-105<Rex<107 (кривая 2 на рис.
15.6). Верхний предел соответствует верхнему пределу для форму-
формулы Блазиуса (8.30), а при Re*<5-105 пограничный слой является
ламинарным.
Вывод закона сопротивления из универсального логарифмиче-
логарифмического профиля скоростей значительно сложнее, чем из степенного
закона и прежде всего потому, что логарифмические профили ско-
скоростей вдоль пластины не подобны один другому.
Интерполяционная формула Шлихтинга [30]
2'58 A5.54)
дает хорошее совпадение с экспериментальными данными в преде-
пределах 5- 105<Rex<109 (см. кривую 3 на рис. 15.6).
288
При одинаковых числах Рейнольдса сопротивление трения при
турбулентном пограничном слое (кривые 2 и 3) существенно выше,
чем при ламинарном (прямая 1, соответствующая формула 15.45).
С увеличением Re* эта разница возрастает. Следовательно, для
уменьшения сопротивления трения данного тела, следует «затяги-
«затягивать» ламинарный пограничный слой, сдвигая х^ возможно даль-
дальше по потоку.
Сила трения Rx, действующая на стенку длиной х шириной Ь со
стороны смешанного ламинарного (л) и турбулентного (т) погра-
пограничного слоя (см. рис. 15.4) рассчитывается по формуле
2
хкр)лхкр) b -^-. A5. 55)
Задача 15.7. Для бесконечно тонкой плоской пластины длиной х = 3 и ши-
шириной Ь=10 м при угле атаки а=0, определить величину силы трения Rx> если
«н = 30 м/с, рн=Ю5 Па, Гн = 300 К, |х= 1,8-Ю~5 Н-с/м2, RexKp = 10e. Ответ:
Д* = 90 Н.
Закон сопротивления для равномерно шерохо-
шероховатой стенки. Шероховатость реальных поверхностей может
существенно увеличивать сопротивление тел. Например, шерохова-
шероховатость поверхности нового корабля приводит к повышению сопротив-
сопротивления на 30... 40% по сравнению с сопротивлением гидравлически
гладкой стенки. Результаты исследования влияния шероховатости
используются для определения необходимой чистоты обработки по-
поверхностей.
Отношение высоты гребешков шероховатости Ks поверхности
стенки к толщине пограничного слоя Ks/в является аналогом ха-
характеристики шероховатости труб Ks/R (см. п. 8.3). Для трубы от-
относительная шероховатость вдоль течения остается постоянной, в
то время как для стенки она уменьшается вместе с увеличением
6 = 6(*). Поэтому, при малых х, где Ks/б велико, имеет место ре-
режим полного проявления шероховатости, за ним следует переход-
переходный участок, а за ним — участок без проявления шероховатости.
Границы между участками определяются значениями безразмер-
безразмерной шероховатости v% Kslv так же, как при течении в трубах (см.
п. 8.3). При этих рассуждениях для простоты принимаем, что тур-
турбулентный пограничный слой начинается с переднего края плас-
пластины.
Прандтль и Шлихтинг [30] нашли закон сопротивления шеро-
шероховатой стенки из закона сопротивления шероховатых труб путем
трудоемкого пересчета, сходного с пересчетом для определения за-
закона сопротивления гладкой стенки, приведенного в начале этого
параграфа.
На рис. 15. 7 приведена^зависимость интегрального коэффициен-
коэффициента сопротивления трения С/(о-Х) от числа Rex=uHx/v. В качестве
параметров использованы относительная гладкость стенки x/Ks и
йн^5^ = Кек5- Если для пластины заданной длины х изменяется
скорость, то величина x/Ks остается постоянной и величина С/(о-лг)
определяется по кривой x/Ks=const. Если изменяется длина плас-
10 950 289
тины при ия=const, то uHKs/v= const и C/(o-jo определяется по
кривой #НК5Л= const. Пунктирная линия указывает границу обла-
области течений с полным проявлением шероховатости, когда С/ф-Х)Ф
^•/(Re). Для этого режима может быть использована интерполя-
интерполяционная формула
(^p5. A5.56)
Ws 2 5 W6 2 5 W7 2 S Г08 2 5 Ю9 *ел=^-
Рис. 15.7. Закон сопротивления пластины с песочной шерохова-
шероховатостью
Допустимая высота шероховатости еще не вызы-
вызывает увеличения сопротивления стенки по сравнению с сопротивле-
сопротивлением гладкой стенки при заданном режиме обтекания. Эта величи-
величина позволяет заранее установить степень чистоты обработки по-
поверхности для уменьшения сопротивления. Допустимую высоту ше-
шероховатости Ksfx можно определить по рис. 15.7 по кривой xfKs=
=const, которая отклоняется от кривой сопротивления гладкой
пластины при заданном числе Rex=uRx/vIl.
Задача 15.8. При условиях задачи 15.7 определить силу трения, если после
покраски шероховатость крыла стала Ks = 0,3 мм. Определить допустимую ве-
величину шероховатости. Ответ: Rxi = 150 Н, Ks доп =0,06 мм.
Критическая высота шероховатости вызывает в
пограничном слое переход ламинарного течения в турбулентное.
Шероховатость критической высоты изменяет величину сопро-
сопротивления из-за перемещения точки перехода вверх против тече-
течения.
290
В соответствии с экспериментальными данными критическая
высота шероховатости определяется формулой
A6.67)
где
Задача 15.9. При условиях задачи 15.7 вычислить критическую высоту ше-
шероховатости. Ответ: Ks кР«0,43 мм при Резс = 1О6.
Критическая высота шероховатости, вызывающая переход ла-
ламинарного течения в турбулентное, в 10... 15 раз больше допусти-
допустимой высоты шероховатости для турбулентного пограничного слоя.
15.5. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ
НА ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ ч
Рассмотрим течение газа с большим числом Мн около плоской
адиабатной стенки. Условием такой стенки является отсутствие теп-
теплообмена с газом, т. е. при у = 0 gv=0 и (dT/dy)w = 0*. В этом
случае у стенки возникает тепловой пограничный слой (см. рис.
15.1), на толщине которого температура газа увеличивается от Тш
при у = 8Т До эффективной температуры Te=Tw на стенке
A5.58)
где г= е2 н =—| — —коэффициент восстановления темпе-
ин/2Ср Тн — Г„
ратуры — отношение тепла нагрева газа на поверхности адиабат-
адиабатной стенки -к кинетической энергии невозмущенного течения.
Для ламинарного пограничного слоя на теле произвольной
формы
гл=1 + -^(]/"Рг-1). A5.59)
н
Для турбулентного пограничного слоя
„2
где инх — скорость на внешней границе пограничного слоя в сече-
сечении х.
В передних критических точках нн*кр = 0; гкр=1 и Те=Ткд = Тя*9
т. е. критическая точка термически всегда наиболее нагружена.
Для плоской стенки иих = ии и для воздуха Рг = 0,72 и
0,9, A5.61)
т. е. 15 и 10% тепла трения отводится от газа, заторможенного у
* Течения с теплообменом между газом и телами рассматриваются в курсе
теплопередачи.
10* 291
Рис. 15.8. Поля скоростей и температур
при Рг<1 и Рг=1:
а—Рг<1; Те<Тп*; б—Рг-1; Ге=Гн*
стенки во внешний, по отношению к динамическому пограничному
слою, поток. В этом случае бт>б, a Tq=Tw<.T11* (рис. 15.8, а).
Изменение температуры торможения поперек пограничного слоя
не противоречит общей энергетической изолированности течения:
полная энергия одних слоев газа в пределах теплового погранично-
пограничного слоя увеличивается на столько же, на сколько уменьшается энер-
энергия других за счет теплопередачи. При Рг=1, гл = гт=\, Ге = Гн* и
бт = б (рис. 15.8, б).
Как мы видим, все характеристики ламинарного и турбулентно-
турбулентного пограничных слоев определяются числом Рейнольдса. При тече-
течении несжимаемого газа (бу-
(будем считать Мн = 0) повы-
повышение температуры в погра-
пограничном слое ничтожно и по-
поэтому вязкость и плотность
газа в пограничном слое и
в невозмущенном потоке
одинаковы. Поэтому число
Рейнольдса Кен = дн"н#/И'Н>
подсчитанное по парамет-
параметрам невозмущенного пото-
потока, характеризует течение в
пограничном слое. При боль-
больших чцслах Мн температура газа в пограничном слое сущест-
существенно повышается, например, при Мн=6 АТ = Те—Гн^2000 К,
что призодит к существенному увеличению вязкости и к уменьше-
уменьшению плотности газа в пограничном слое по сравнению с таковыми
в невозмущенном потоке. В этом случае jih и qh и ReH не опреде-
определяют течение в пограничном слое.
Определяющая температура. Исследования показа-
показали, что характеристики как ламинарного, так и турбулентного погра-
пограничного слоя, в сжимаемом газе можно рассчитывать по формулам
A5.39), A5.45), A5.50) и A5.53), полученным для несжимаемой
жидкости, если в них qh и \хя заменить на QOnp, jionp, найденными
при определяющей для пограничного слоя температуре 7\щрGУ<3
<.Tonv<.Tw). Определяющая температура рассчитывается по эм-
эмпирической формуле [30]
-Т*х\ A5.62)
где Ти х — температура в сечении х при у=<6ч.
Для адиабатной стенки Tw = Te, ТВХ=ТВ при Рг = 1, г
чим
Голр = 0,287^ + 0,727;;
Т н
1, полу-
полуA5.63)
Подставляя в формулы A5.39), A5.45), A5.50) и A5.53) значе-
значения QH = QonpG\>np/rH), М'Н=М'ОпрGчн/71опр)п, где для воздуха /г = 0,76
(см. п. 1.5), получим для ламинарного пограничного слоя
292
зг
24
16
\
\
ч
\
\
\
\
\
8 ,16 Т/Тн
32
24
16
8
О
/А
/
/
6
у
(I
Рис. 15.9. Распределение температур и
скоростей в ламинарном пограничном
слое на адиабатной пластине. Рг=1;
к=1,4; и п = 0,76; ГГУ№
= 4,64—^—
Ofi OJSu/uH
700
60
20
JO
Ц5
V
Ламинарный
n ограни чн&/й
слой
^Cf=7JJ28//^el
ч.
Uff7J
V 2,0
J-J L_
к
N
¦««
•ч
^
А
i j
1
i i
s
V
as
4
слои
"-^
М„=0 2 b S
fan
1A\
Г2
—4S»,--.
1 «
h
——
•**
—m
¦Ц
•«¦
2 4 6SW6 2 4 6 dfO7 2
Рис. 15.10. Интегральный коэффициент сопротивления трения плос-
плоской пластины. Рг= 1, к=1,4, л=0,76
^У(Г
0,6
N
—^^
15.11. Относительная тол-
толщина вытеснения и потери им-
импульса для турбулентного по-
пограничного слоя в зависимости
ЦОГ ОТ Мн
^ 6 10 /',
10* 950
293
n+l
n+
Ь /TonpN 2 Гч I л7ОК-1 A/f2~|0'88. ,1f- aAx
-г =I —=—I = 1+0,72-—-MH ; A5.64)
Cf@_x) /Твг&Гг +072 iziiM^l-0'12 A5.65)
^ / L 2 J
и для турбулентного пограничного слоя
8М=о
С/(о.,) =^J[W_\iT?==r1 +0,72l^i М2„]"°'65, A5.67)
С/ (о-*) м-о \ тн ) L .2 J
где б и С/@-а) — толщина пограничного слоя и интегральный коэф-
коэффициент сопротивления трения для сжимаемого газа и &м=>о и
С/(о—*)м=о —толщина пограничного слоя и интегральный коэф-
коэффициент сопротивления трения для несжимаемого газа, т. е. рас-
рассчитанные по параметрам невозмущенного потока qh и |хн.
При увеличении числа Мн увеличивается температура газа в
пограничном слое (рис. 15.9), повышается вязкость и уменьшается
плотность газа. Число Рейнольдса уменьшается и вместе с ним уве-
увеличивается толщина пограничного слоя и уменьшается наполнен-
наполненность поля скоростей, т. е. (dti/dy)w- Последнее, несмотря на уве-
увеличение |ш, приводит к существенному уменьшению С/ (рис. 15.10).
5
Толщина вытеснения 8* = 8 — \-^-^увеличивается, приближа-
Qhh
0
ясь к толщине пограничного слоя, за счет уменьшения плотности
газа (рис. 15.11). Толщина потери импульса уменьшается за счет
уменьшения %w A5.32).
Из сказанного следует, что толщину пограничного слоя можно
увеличивать, подогревая газ и уменьшать, охлаждая его. Это свой-
свойство пограничного слоя используется для управления течением.
Задача 15.10. Самолет летит с Мн = 3 на высоте Н = 20 км. Определить си-
силу сопротивления трения, действующую на крыло, с учетом сжимаемости возду-
воздуха. Принять, что крыло — бесконечно тонкая пластина размахом 10 и шириной
3 м, обтекаемая без образования ударных волн и что турбулентный пограничный
слой начинается от передней кромки крыла. Ответ: /?х = 3440 Н.
15.6. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ С ПРОДОЛЬНЫМ
ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ. ОТРЫВ.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СО СКАЧКАМИ УПЛОТНЕНИЯ.
УПРАВЛЕНИЕ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ
Практически важные течения в соплах и диффузорах, около
крыла самолета и лопаток турбомашин сопровождаются изменени-
изменением давления. Как уже было установлено, градиент давления одина-
одинаков во внешнем течении и в пограничном слое. Понижение давления
dpfdx<C.O и особенно его повышение dp/dx>0 в направлении тече-
294
ния, приводит к сильной деформации профилей скорости, а следо-
следовательно, температуры и концентрации, в пограничном слое, что
существенно влияет на сопротивление тел, теплообмен и диффузию»
При градиентных течениях профили скорости в пограничном слое
не являются подобными для различных сечений при одинаковом
режиме течения, что существенно затрудняет теоретический ана-
анализ и расчет течений.
Деформация профилей скорости в погранич*
ном слое при продольном градиенте давления.
Пренебрегая трением запишем уравнение Бернулли для произволь-
произвольРис. 15.12. Отрыв пограничного слоя
ных сечений хх и х2>хх для двух струек несжимаемой жидкости,
текущих у наружной (н) и внутренней (в) границ пограничного
слоя при одинаковом др/дхфО так, что ив<.ич и ( )<(+
)
i— Р2 =(
Q
. Р\ — Р2 _(ин2 + «нО (Ин2 — «нО .
f Q 2
Приравнивая правые части уравнений, получим
A5.68)
Формула A5.68) показывает, что при др[дхФ0 деформация
неравномерных полей скорости происходит всег-
всегда так, что скорость медленно движущихся
слоев изменяется в большей степени, чем ско-
скорость быстродвижущихся.
Поэтому в конфузорных течениях (dpfdx<.0)9 например, около
передней части профиля, наполненность полей скорости в погра-
пограничном слое возрастает и отрыв пограничного слоя невозможен
(профили / и 2 на рис. 15.12) и его толщина 8(х) увеличивается в
меньшей степени, чем на плоской стенке.
Отрыв пограничного слоя. В диффузорном течении
вдоль поверхности М—Б наполненность полей скорости уменьша-
уменьшается (профили 2, 3, 4) и толщина 8 (я) пограничного слоя увеличи-
увеличивается в большей степени, чем на плоской стенке.
В диффузорном течении жидкость движется из области мень-
меньшего давления в область большего, расходуя запас кинетической
ю*
295
энергии. В некотором сечении 5 запас кинетической энергии конеч-
конечного пристеночного слоя оказывается израсходованным на совер-
совершение работы проталкивания и трения и он останавливается (про-
(профиль 4). Тогда встречный поток жидкости устремляется из обла-
области Б повышенного давления к сечению S (профиль 5), где этот
встречный поток оттесняет основной от стенки. Происходит отрыв
пограничного слоя. Отрыв пограничного слоя всегда связан с обра-
образованием вихрей в результате взаимодействия прямого и обратно-
обратного течений. Эти вихри проникают во внешний поток, усиливают
диссипацию кинетической энергии жидкости и уменьшают полное
и статическое давления, по сравнению с теми, которые имели бы
место при безотрывном течении.
Понижение статического давления объясняется тем, что отрыв-
отрывная зона, расположенная в кормовой части профиля, отклоняет ли-
линии тока внешнего потока так, что жидкость течет в каналах почти
постоянного сечения. При безотрывном течении около этого же
профиля жидкость текла бы в расширяющихся каналах (см. рис.
15.12).
Отрыв пограничного слоя оказывает существенное влияние на
развитие дйффузорных течений. Например, в известных условиях,
отрыв может вызвать неустойчивую работу компрессора (помпаж)
вплоть до выхода двигателя из строя.
Условием отрыва пограничного слоя в сечении 5 является спе-
специфический остроконечный профиль 4 (см. рис. 15.12), для которо-
, го на стенке не только uw = 0> но и (du/dy)w=Oi т. е. равно нулю
местное напряжение трения Xw==\i(du/dy)w=0, или безразмерный
критерий подобия Tw/(Qh^h2) =0. Использовать Tw/QhUh2 как опреде-
определяемый критерий отрыва неудобно, так как расчет и измерение
Ттг(#) в дйффузорных течениях затруднены. Поэтому заменим этот
критерий.
Как было показано, деформация полей скоростей и отрыв пог-
пограничного слоя определяются градиентом давления dp/dx>0, a
также характерным размером пограничного слоя; например, тол-
толщиной вытеснения б* или толщиной потери импульса б**, опреде-
определяющими наполненность поля скоростей. Составим из этих двух
параметров определяемый критерий подобия (dp/dx) • F**/Qh^h2),
который в соответствии с теорией подобия, для заданного газа
(Pr = const и к=const), может зависеть только от чисел Re и Мн.
Таким образом, обобщенное критериальное уравнение отрыва
будет i
(dp/dx) • (Ъ**/ЯпК$) = / (Re MH).
Опыты показывают, что отрыв турбулентного пограничного слоя
при течении несжимаемой жидкости не зависит ни от Re, ни от Мн
и происходит при условии
296
^>,5; -^--*!1> 0,005. A5.69)
dx Qh«h dx qhuzh
Для ламинарного пограничного слоя, учитывая большое влия-
влияние вязкости на течение, определяемый критерий подобия состав-
составляется иначе и имеет следующие значения при отрыве
A5.70)
dx
dx
При течении сжимаемого газа величина критерия отрыва зави-
зависит от числа Мн. Например, для турбулентного пограничного слоя
,. . dp
при Мн = 4 отрыв происходит при
dp 5*
0,008.
Рис. 15.13. Профили ско-
скоростей в ламинарном и
турбулентном погранич-
пограничных слоях в сверхзвуко-
сверхзвуковом течении:
/—ламинарный погранич-
пограничный слой; 2—то же турбу-
турбулентный
Используется ряд других критериев отрыва пограничного слоя*
Например, установлено, что турбулент-
турбулентный пограничный слой отрывается при
значениях формпараметра #=6*/6**>
>( 1,8.. .2,4), тогда как для турбулент-
турбулентного поля скорости на плоской стенке
Я =1,29.
Итак, отрыв пограничного слоя воз-
возможен только при dp/dx>0.
Отрыв в несжимаемой жидкости при
заданном режиме течения не зависит ни
от Re, ни от Мн и наступает тем раньше,
чем больше dp/dx>0 и б**. Эксперимен-
Эксперименты показывают, что турбулентный погра-
пограничный слой значительно устойчивее ла-
ламинарного, т. е. отрывается при больших
значениях dp/dx>Q и б**. Это объясня-
объясняется большей наполненностью поля ско-
скорости в турбулентном пограничном слое,
т. е. большей кинетической энергией при-
пристеночных слоев (см. рис. 8.2).
Расчет пограничного слоя при dp/dx^O является весьма слож-
сложным.
Расчет ламинарного пограничного слоя основывается на числен-
численном интегрировании дифференциальных уравнений с использова-
использованием ЭВМ. Турбулентный пограничный слой рассчитывается с по-
помощью полуэмпирических соотношений, Основанных на интеграль-
интегральном уравнении количества движения.
Взаимодействие пограничного слоя со скач-
скачками уплотнения. Пограничный слой при сверхзвуковых те-
течениях имеет две качественно отличные области— дозвуковую, тол-
толщиной А, с изменением скорости от uw = 0 до «=аи сверхзвуко-
сверхзвуковую, переходящую во внешний поток (см. рис. 15.13). Толщина зву-
звуковой области в турбулентном пограничном слое существенно
меньше, чем в ламинарном — ЛТ<САЛ. Это необходимо учитывать
при изучении взаимодействия ламинарного и турбулентного погра-
пограничных слоев со скачками уплотнения.
В случае течения идеальной жидкости косой скачок отражает-
отражается от стенки в виде косого скачка (см. рис. 2.10).
297
Когда взаимодействие скачка с пограничным слоем сопровож-
сопровождается отрывом последнего от стенки, картина изменяется корен-
коренным образом.
Ламинарный пограничный слой (рис. 15.14). Па-
Падающий из вне скачок АБВ попадает в сверхзвуковую область ла-
ламинарного пограничного слоя, в которой скорость изменяется от
Войны разрежения
Рг
Pi
Ротр
Рн
Tw
О
1 В
Рис. 15.14. Схема взаимодействия косого скачка с ла-
ламинарным пограничным слоем
Ов>а до и = а. Поэтому скачок изгибается, оканчивается на линии
и = а и давление газа в различных слоях за ним оказывается различ-
различным. За скачком в пограничном слое возникает поперечный гради-
градиент давления др/ду>0. Повышенное давление, установившееся за
скачком, передается по дозвуковой области пограничного слоя про-
против течения. В результате перед скачком в пограничном слое возни-
возникает большой продольный градиент давления др/дх>09 вызываю-
вызывающий интенсивное увеличение толщины пограничного слоя, уменьше-
уменьшение скорости и искривление линий тока, образующих вогнутую по-
поверхность НД.
При обтекании поверхности НД сверхзвуковым потоком возни-
возникают слабые волны сжатия, образующие косой скачок уплотнения
ЖБЕ, который можно рассматривать как первый отраженный ска-
скачок. Давление в области Т больше, чем в области Я, так как поток
298
перед Т пересекает более сильный скачок. Такой перепад давления
направляет поток к стенке и оторвавшийся пограничный слой мо-
может снова к ней присоединиться. Выпуклая поверхности ВИ гене-
генерирует слабые волны разрежения и сверхзвуковой поток, после
скачка, ускоряется в течении Прандтля—Майера и поворачивает к
стенке. Стенка направляет поток вдоль своей поверхности так,
что линии тока создают вогнутый контур КЛ, на котором возника-
возникают слабые волны сжатия, образующие второй отраженный косой
скачок МС. В зависимости от условий пограничный слой за этим
скачком может турбулизироваться или остаться ламинарным.
Итак, при взаимодействии с пограничным слоем, скачок уплот-
уплотнения отражается в виде двух скачков с промежуточным ускоре-
ускорением в волне разрежения. Поэтому суммарные потери полного дав-
давления на скачке МС больше, чем потери при регулярном отраже-
отражении скачка от стенки.
Давление на стенке начинает повышаться в точке Н еще до точ-
точки отрыва 0 и принимает следующие значения: р0Тр в точке 0 отры-
отрыва пограничного слоя, р\ в отрывной зоне между точками 1 и В, рп в
точке присоединения пограничного слоя к стенке и, наконец, дости-
достигает максимального давления р2, которое равно давлению за вто-
вторым отраженным скачком МС.
В качестве параметров, характеризующих отрыв пограничного
слоя при взаимодействии его со скачками, используют два безраз-
безразмерных давления:
1) Pi/Ph— отношение давления в зоне отрыва к давлению в не-
невозмущенном потоке. Это отношение называется критическим. При-
Приближенно принимают, что критическое отношение давлений равно
повышению давления на первом отраженном косом скачке, возни-
возникающем из-за утолщения пограничного слоя вблизи точки отрыва;
2) Ротр/Рн — отношение давления в точке отрыва к рн.
Взаимодействие пограничного слоя -со скачками, особенно, если
оно сопровождается отрывом, является очень сильным. Из-за того,
что в пограничном слое велико значение ди/ду, падающий скачок
искривляется и его интенсивность изменяется вдоль фронта. Это
приводит к появлению большого градиента давления др/ду, вызы-
вызывающего, в свою очередь, появление большого градиента др/дх и
ди/дх. Увеличение толщины пограничного слоя приводит к образо-
образованию волн сжатия и расширения, существенно изменяющих внеш-
внешнее течение на большом расстоянии от стенки. Вследствие того,
что в этом течении не выполняются основные допущения ни теории
пограничного слоя (др/ду= 0, ди/дх ^ди/ду)у ни ударных волн (от-
(отсутствие градиента вдоль фронта скачка), теоретические исследо-
исследования крайне затруднены.
Если взаимодействие ламинарного пограничного слоя сопровож-
сопровождается отрывом, то основное свойство этого течения состоит в том,
что параметры потока вблизи точки отрыва, в том числе величина
Ри/Рн и Ротр/Рн зависят только от Мн и Re* и не зависят ни от формы
поверхности твердого тела, ни от интенсивности и причины появле-
появления основного скачка (падающий извне скачок, скачки, возникаю-
299
щие при обтекании внутренних тупых или прямых углов при тече-
течении в каналах и т. д.).
В соответствии с приближенными теориями, удовлетворительно
подтверждающимися в экспериментах, при Мн>1,2 безразмерные
давления зависят только от Мн и Rex
Рот?
Рн
= 1 + 0,57-
A5.72)
Рис. 15.15. Величина отхода первого отражен-
отраженного косого скачка в зависимости от интен-
интенсивности падающего скачка
Как видим, отрыв ламинарного пограничного слоя затрудняется
при уменьшении Rex и увеличении Мн. Первое соответствует увели-
увеличению вязкости газа, второе — увеличению количества движения
газа в пограничном слое.
В соответствии с экспериментальными данными, расстояние Ь,
на которое отходит первый отраженный скачок от падающего (рис.
15.15), пропорционально толщине вытеснения б* невозмущенного
пограничного слоя перед точкой отрыва и повышению давления
Рг/рн на падающем скачке (рис. 15.15).
Турбулентный пограничный слой. При невязком
сверхзвуковом обтекании внутреннего тупого угла возникает при-
присоединенный скачок уплотнения (см. рис. 12.5, б). При реальном
течении, вследствие взаимодействия с пограничным слоем, скачок
изменяет свою интенсивность и расположение, смещаясь вверх по
потоку (рис. 15.16). Это необходимо учитывать при проектирова-
проектировании сверхзвуковых входных устройств ВРД.
Рассмотрим взаимодействие турбулентного пограничного слоя
со скачком уплотнения при обтекании внутреннего тупого угла, соп-
сопровождающегося отрывом (см. рис. 15.16).
Давление на стенке в зоне взаимодействия увеличивается неп-
непрерывно от рн до /?2, равного давлению во внешнем потоке за скач-
300
ком уплотнения. Критическому давлению ри равному давлению за
первым скачком, соответствует лишь точка перегиба, а не площад-
площадка, как это имеет место при ламинарном пограничном слое (см.
рис. 15.14) *.
Критические отношения давлений рц/рн и p0Tp/Pn не зависят от
интенсивности и причины возникновения основного скачка уплот-
уплотнения и от числа Re, которое слабо влияет на характеристики пог-
пограничного слоя, а определяются величиной Мн [1]:
\ш- A5.73)
Ра
-— iW4
; *^ 1+0,15-
Рп
м,
Рис. 15.16. Схема взаимодейст-
взаимодействия скачка уплотнения с тур-
турбулентным пограничным слоем
Сопоставление значений крити-
критических отношений давления и вели-
величин Ь отхода первого косого скачка
от падения основного для ламинар-
ламинарного и турбулентного пограничных
(Pf/Ри)/!
(Pi/Ph)t
Рис. 15.17. Критическое отно-
отношение давлений для ламинар-
ламинарного и турбулентного погра-
пограничных слоев в зависимости
от Мн
слоев (рис. 15.17) и A5.15) показывает, что турбулентный погра-
пограничный слой отрывается при существенно большем критическом
отношении давлений, т. е. при 'взаимодействии с более сильными
скачками уплотнения, а отход Ь первого скачка при турбулентном
пограничном слое в десять раз меньше, чем при ламинарном. Это
объясняется тем, что вследствие большей наполненности поля ско-
скорости турбулентного пограничного слоя, затруднена передача дав-
давления против течения по тонкому дозвуковому слою (см. рис.
15.13) и пристеночные слои, обладающие большей кинетической
энергией, выдерживают без отрыва больший градиент давления
др/дх>0.
Протяженность зоны отрыва тем больше, чем больше отход Ь
первого скачка, т. е., чем больше интенсивность основного скачка.
Отрыв турбулентного пограничного слоя не может возникнуть
* При больших углах со на кривой распределения давления может получить-
получиться и площадка.
30L
при Мн<1,3, так как при этом критическое отношение давлений
больше, чем повышение давления на прямом скачке уплотнения.
Если интенсивность скачка уплотнения недостаточна для отрыва
турбулентного пограничного слоя, то происходит лишь умеренное
его утолщение и отражение скачка становится близким к регуляр-
регулярному (см. рис. 12.10).
Для того, чтобы определить произойдет ли отрыв пограничного
слоя при заданных условиях и получить представление о протяжен-
Рис. 15.18. Взаимодействие пограничных слоев со скачками
уплотнения в местных сверхзвуковых областях:
а—-ламинарный слой; б—то же турбулентный
ности зоны отрыва, необходимо: 1) определить перепад давлений
на основном скачке Рз/Рн', 2) определить режим течения в погра-
пограничном слое и толщину вытеснения б* перед основным скачком без
учета взаимодействия; 3) рассчитать критический перепад давле-
давления pi//?H по A5.71), если пограничный слой ламинарный, или по
A5.73), если турбулентный; если р\1рв>Рь1рш— отрыва нет, если
А/Рн<Срз/Рн — отрыв есть. Величина b отхода первого скачка уп-
уплотнения определяется на основании экспериментальных данных
рис. 15.15.
Задача 15.11. Определить, при каком угле ан фронта падающего на пласти-
пластину косого скачка произойдет отрыв пограничного слоя, если координата падения
скачка х=2 м, RexKp = 106, р,н=1,42-10-5 Н-с/м2, qh=0,122 кг/мз. мн = 3, Гн =
= 217 К, Я=287 Дж/Сиг-К). Ответ ан>а0°.
Взаимодействие пограничного слоя со скач-
скачками уплотнения в местных сверхзвуковых об-
областях течения. Критическим называется такое число Мнкрг<С
<1, при котором в какой либо области течения около крылового
профиля, скорость потока достигает местной скорости звука за счет
ускорения дозвукового потока в передней конфузорной области те-
течения. Если число 1>Мн>Мнкр, то вблизи поверхности профиля
возникает область сверхзвуковых скоростей (рис. 15.18, а). В обла-
области А В дозвуковой поток ускоряется в сужающихся струйках до
Мн=1, а в области ВБ сверхзвуковой поток перерасширяется. Так
как поток перед профилем дозвуковой, то он и с профиля сходит
дозвуковым. Торможение сверхзвукового потока происходит на
скачке уплотнения, который начинается на линии М=1 и кончает-
302
Малое dp/dx > О
Разрезное крыло
о.)
Рис. 15.19. Управление пограничным
слоем:
а—ламинаризация; б—устранение отрыва
ся на линии М'=1 и взаимодействует с пограничным слоем. Лами-
Ламинарный пограничный слой имеет дозвуковую зону достаточной тол-
толщины. Давление в этой зоне передается против потока и сущест-
существенно отклоняет наружу линии тока. Сверхзвуковой поток на вог-
вогнутой поверхности образует слабые волны сжатия, складывающие-
складывающиеся в криволинейный наклонный скачок, который соединяется с бо-
более мощным замыкающим скачком, образуя так называемый К —
образный скачок. В зависимости от числа Мн и распределения дав-
давления, ламинарный погранич-
пограничный слой может турбулизо-
ваться или остаться ламинар-
ламинарным, присоединиться к поверх-
поверхности или образовать полно-
полностью развитой не присоединя-
присоединяющийся к стенке отрыв, кото-
который обычно устанавливается,
если за скачком имеет место
dp/dx>Q. Может также обра-
образоваться система нескольких
Я-образных скачков с проме-
промежуточным течением Прандт-
ля-т-Майера.
При турбулентном погра-
пограничном слое передача давле-
давления вверх по потоку затруд-
затруднена, утолщение пограничного
слоя не велико и поэтому возникает лишь один замыкающий ска-
скачок, близкий к прямому (рис. 15.18,6).
Взаимодействие скачков уплотнения с пограничным слоем на
профиле приводит к уменьшению давления на кормовую часть про-
профиля и вызывает резкое увеличение силы лобового сопротивления.
Это сопротивление давления называется волновым сопротивлением.
Методы управления пограничным слоем
для уменьшения или увеличения сопротивления
тел и тепло-, массообмена между телами и пото-
потоками указывает теория пограничного слоя (рис. 15.19).
Искусственная ламинаризация пограничного
слоя заключается в увеличении абсциссы лгкр точки перехода ла-
ламинарного пограничного слоя в турбулентный для уменьшения тре-
трения и тепло-, массообмена между поверхностью тела и потоком жид-
жидкости. Она заключается в уменьшении толщины пограничного слоя
б, интенсивности турбулентности набегающего потока, градиента
давления dpfdx>0 и высоты гребешков шероховатости.
Наиболее эффективными методами уменьшения толщины лами-
ламинарного пограничного слоя является охлаждение обтекаемой стен-
стенки (поверхности крыла топливом), удаление с поверхности тела
наиболее заторможенных слоев пограничного слоя отсосом или сду-
сдувом пограничного слоя перед ожидаемой точкой перехода его в
турбулентный, а также уменьшением dp/dx>0 за счет применения
303
ламинаризованных профилей, в которых диффузорная часть отне-
отнесена к корме.
Часто систему отсоса и сдува пограничного слоя упрощают, ис-
используя разрезные крылья и лопатки турбомашин, в которых для
сдува используется кинетическая энергия набегающего потока (см.
рис. 15.19, а).
Если требуется увеличить трение, теплообмен и диффузию, то
следует турбулизировать пограничный слой.
Отрыв пограничного слоя можно предотвра-
предотвратить, уменьшая dpfdx>0 и толщину пограничного слоя любым из
разобранных выше способов, а также искусственно турбулизуя ла-
ламинарный пограничный слой перед точкой отрыва, например с по-
помощью установки турбулизирующего ребра (см. рис. 15.19, б).
15.7. РЕАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В СУЖАЮЩИХ СОПЛАХ
И СОПЛАХ ЛАВАЛЯ
Примем реальные течения в соплах энергетически изолирован-
изолированными — ? = 0, /тех= О, Г* = const, акр = const.
Два фактора отличают эти течения от одномерных изоэнтроп-
ных, рассмотренных в п. 13.3: отклонение от одномерности, т. е. не-
неравномерность полей скоростей и других параметров в поперечных
сечениях сопел и гидравлические потери. Для сужающихся сопел
это потери на трение, приводящие к увеличению энтропии
dqep \
5= >01 и снижению давления торможения рс*<
!<Ср*, а при докритическом располагаемом отношении давлений
Рн/р*>яA) и к снижению скорости истечения WC<.WCU (рис.
15.20).
«Возвращенное тепло». Уменьшение кинетической энер-
гии —^— —=ic — iCu ПРИ Рн/Р*^> лA), обусловленное гид-
гидравлическими потерями и равное в Ts — координатах площади
Си—С—sc—Si под участком Си—С изобары рн, меньше суммарной
работы трения, т. е. площади 1*—С—sc—Si на величину так назы-
называемого «возвращенного тепла», равного площади 1*—С—Си. Эта
часть работы вязкостных напряжений превращается в кинетиче-
кинетическую энергию направленного движения газа (см. пп. 4.12 и 4.13).
Теоретический расчет гидравлических потерь в сопле весьма
трудоемок (расчет пограничного слоя при градиентном течении).
Поэтому на практике потери в соплах оцениваются суммарно с по-
помощью следующих эмпирических коэффициентов.
1. Скоростной коэффициент <рс — отношение действительной
среднерасходной скорости истечения Wc=XcaKV к скорости изоэнт-
ропного истечения Wc и = Яс utf-кр при том же располагаемом отно-
отношении давлений рн/р* (см. рис. 15.20).
<tc = WJWcu = \Jlcu. A5.74)
304
2. Коэффициент сохранения полного давления сопла <ус — отно-
отношение полного давления рс* на срезе сопла к полному давлению
р* перед соплом. Связь ас=/(фс) для случая дозвукового истече-
истечения установим, использовав соотношение рн/Рс*=Рн/р*Ос=я(^с)
Рт
Рси=Рс
Ркр
=Рн
/ ,
с
с
т*
Рис. 15.20. Сопоставление идеального и реального процес-
процессов истечения из сужающегося сопла
3. Коэффициент расхода г|эс — отношение действительного рас-
расхода газа Gc = qcWcSc к расходу при изоэнтропном истечении
Gcu = QcuWcuSc. Учитывая A1.44) получим
^c = Oc/Oc, = (Qc/QcJcpc = a^(X^(XcJ = ac?(XcwcpJ^(XcJ. A5.76)
Действительный расход газа через сопло получим из A5.76) и
A1.44)
A5.77)
Значения скоростных коэффициентов для различных сужающих-
сужающихся сопел лежат в узких пределах фс=0,92 ... 0,99. Меньшие значе-
значения относятся к простым отверстиям и коническим соплам. Плав-
Плавно сужающиеся сопла, спрофилированные по формуле Витошинско-
го [12], имеют фс = 0,98 ... 0,99. Такие сопла применяются для аэро-
305
динамических труб дозвуковых скоростей и обеспечивают практиче-
практически равномерное поле скорости на выходе вплоть до Яс=0,95. Ско-
Скоростной коэффициент данного сопла при изменении скорости исте-
истечения изменяется слабо и в расчетах может приниматься постоян-
постоянным.
Коэффициент сохранения полного давления сопел при постоян-
постоянном фс существенно зависит от Яс и A5.75) 2 при <рс=0,98 и Хс «=*
= 0,5 сгс = 0,99, а при Яс и= 1 <гс=0,975.
О 0,1 0,2 0,3 О,Ь 0,5 0,6 0.7 Цв рн/р*
Рис. 15.21. Коэффициенты расхода
сужающихся сопел в зависимости от
располагаемого отношения давления
рн/р*, угла конусности ус и степени
поджатия n — S0/Sc при к—1,4
ШШ
Рис. 15.22. Распределение давле-
давления вдоль стенки сопла, линия пе-
перехода Х=1, поля скоростей в се-
сечениях I, II, III при втором кри-
критическом отношении давлений
(Рн/р*)стаб
Величина коэффициента расхода суживающихся сопел зависит
от формы сопла в области выходного сечения, угла конусности Ye,
степени поджатия n=SofSCf располагаемого отношения давлений
рн/р* и числа Рейнольдса (рис. 15.21). Коэффициенты расхода
всех сужающихся сопел увеличиваются с уменьшением рн/р*, что
обусловлено перестройкой полей скорости в выходных сечениях со-
сопел и, в меньшей степени, увеличением числа Рейнольдса, т. е.
уменьшением толщины пограничного слоя. Опыт показывает, что
чем меньше /?н/р*>яA), тем равномернее поле скорости и выше
значение \|?с.
Профилированное сопло Yc = 0 обеспечивает максимальную рав-
равномерность поля скорости и, соответственно, максимальное значе-
значение ifc и минимальное его повышение с уменьшением pjp*.
Второе критическое отношениедавлений. Харак-
Характерно, что для всех сужающихся сопел коэффициенты расхода и
расходы газа принимают постоянное максимальное значение не при
критическом отношении давлений Рн/р*=яA) =0,528, как это име-
имеет место при идеальном истечении, а при меньшем, так называемом
втором критическом отношении давлений или отношении давлений
стабилизации расхода (Рн/р*)стабил<яA), тем меньшем, чем менее
306
равномерно поле скорости на выходе из сопла. Только при втором
критическом отношении давлений реальное сопло «запирается».
Истечение из профилированного сопла при
сверхкритических отношениях давлений сопровож-
сопровождается перестройкой полей скорости в области выходного сечения,
обусловленной деформацией пограничного слоя. При докритиче-
ских отношениях давлений толщина пограничного слоя и толщина
вытеснения достигают максимальной величины в выходном сече-
сечении. При сверхкритическом отношении давлений Рн/р*<яA) вол-
волны пониженного давления рн<Ркр из окружающей среды прони-
проникают внутрь сопла по дозвуковой области течения пограничного
слоя и устанавливают в этой области тем большие отрицательные
градиенты давления dp/dx<.0, чем меньше рн/р*<эт;A). Под дей-
действием этого отрицательного градиента давления на выходном уча-
участке сопла происходит ламинаризация (утоньшение) и «сброс» пог-
пограничного слоя и линии тока образуют расширяющийся канал и
сверхзвуковые области течения у стенок сопла (рис. 15.22). По-
Поверхность перехода Х=1 деформируется и смещается внутрь сопла,
действительная («эффективная») площадь критического сечения и/
вместе с ней расход газа и ipc, возрастают. Деформация линии пе-
перехода и увеличение i|)c и расхода через сопло происходит до
(Рн/р*) стабилизации <СяA), при котором устанавливается пол-
полный сброс пограничного слоя в выходном сечении сопла. Дальней-
Дальнейшее снижение (рн/р*) <(р/р*)стабилиз. не вызывает изменения ко-
коэффициента расхода и расхода газа (см. рис. 15.21). Действитель-
Действительное сопло запирается при втором критическом отношении давле-
давлений (рн/р*)<яA). В этом случае на концевом участке сопла наб-
наблюдается существенная деформация полей скоростей с появлением
характерных местных сверхзвуковых областей. Струйки, прилега-
прилегающие к пограничному слою разгоняются до Х>1, а в области оси
сопла остаются дозвуковыми (см. рис. 15.22).
Коэффициенты расхода конических сопел имеют тем меньшее
значение, чем больше угол конусности ус и степень поджатия п.
Чем меньше г|)с, тем в большей степени он возрастает при уменьше-
уменьшении Рн/р* и тем меньше величина второго критического отношения
давления (см. рис. 15.21).
При истечении уьъ конического сопла или из
отверстия струя газа продолжает сужаться за пределами соп-
сопла так, что фактическая площадь узкого сечения струи S меньше
площади выходного сечения сопла. При этом скорость в выходном
сечении сопла распределена неравномерно: линии тока у стенок
сопла имеют максимальную кривизну и скорости здесь имеют боль-
большую величину, чем в области оси.
При рн/р*<яA) происходит деформация линии перехода А,= 1.
В этом случае коэффициент расхода на основании уравнения не-
неразрывности A1.44) может быть выражен
¦с=«кД A1.78)
где акр=/7^>//7*—коэффициент восстановления полного давления
307
сопла при критическом истечении, S=S/SC — коэффициент суже-
сужения струи за пределами сопла.
Приближенный расчет суживающихся сопел:
1. Для заданного сопла выбираются на основании эксперимен-
экспериментальных данных [1, 11, 12] фс, \хс и рассчитывается <ус по A5.75).
2. Определяется режим истечения —Хс. Если /?„//?*> асяA), то
* /У>*<зсяA), то ХС = ХСИ=1;
c cKr
3. Расход газа при заданном сопле или площадь выходного се-
сечения сопла рассчитывается по A5.77) или по A5.78).
Задача 15.12. По условиям задачи 13.9 подсчитайте, о*с, 'фс и тягу ТРП, ес-
если фс=О,95. Ответ: ас = 0,93, <фс = 0,93, R= 1,275-104 Н.
Реальные течения в соплах Лаваля. Так же, как в
сужающихся соплах, два фактора отличают эти течения от одно-
одномерных изоэнтропных, рассмотренных в п. 13.4: отклонение от одно-
одномерности и гидравлические потери. В соплах Лаваля к потерям на
трение добавляются потери на скачках уплотнения и при отрывах
пограничного слоя, которые могут возникать в сверхзвуковых час-
частях сопел. Теоретический расчет сверхзвуковых течений с большим
dp/dx при наличии скачков и отрывов пограничного слоя чрезвы-
чрезвычайно сложен. Поэтому потери в соплах Лаваля обычно оценивают-
оцениваются суммарно с помощью скоростного коэффициента <рс A5.74), ко-
коэффициента сохранения полного давления ос A5.75) и коэффици-
коэффициента расхода г|)с A5.76).
Коэффициент расхода сопла Лаваля *фс и не-
неравномерность полей скоростей в области гор-
горла. Если в области горла сопла Лаваля реализуется кризис А,= 1,
то расход газа определяется величиной поверхности перехода А,= 1
и ее расположением относительно горла. Идеальный максимально
возможный расход Gu = mp*SKP/YT* соответствует одномерному
изоэнтропному течению, когда поверхность перехода А,= 1 совпада-
совпадает с минимальным сечением 5кр.
Реальная структура потока в области горла, а следовательно
величина *фс в сильной степени зависит от угла конусности сужа-
сужающейся части Yc и относительной кривизны стенки горла rfRKV
(рис. 15.23).
При большом 7с и малых rfRKV в сужающейся части сопла ли-
линии тока искривляются и сужаются и скорости газа интенсивно на-
нарастают тем в большей степени, чем ближе расположены слои к
стенкам. Поэтому поверхность перехода Х—1 во внешних слоях по-
потока располагается до горла в сужающейся части сопла, а в обла-
области оси сопла—за горлом (пунктир на схеме сопла рис. 15.23).
Отклонение скорости газа от критического значения в узком сече-
сечении (в области оси А,<1, во внешних слоях А,>1) приводит к сни-
снижению расхода по сравнению с идеальным, так как дA)>д(Хф\).
Кроме того, при больших 7с и малых r/RKV возможен местный от-
отрыв пограничного слоя и образование местных косых скачков уп-
уплотнения, из-за сужения ряда трубок тока сверхзвукового течения,
308
вызванного неравномерностью полей скорости в области горла*
Скачки уплотнения приводят к нарушению равномерности полей
параметров сверхзвукового течения и к снижению полного давле-
давления.
Величина я|)с особенно существенно зависит от r/Якр (см. рис-
15.23). Кривые фс = /(г//?кр; ус) сливаются уже при г//?кр«0,35^
При г/#кр«2 коэффициент расхода достигает высокого и, практи-
6
А
\
2
2
V
0,2 0,Ь 0,6 0,8 х/й
Рис. 15.23. Коэффициент расхода Рис. 15.24. Изменение толщины по-
сопла Лаваля /?Кр = 0,0225; dc= граничного слоя по длине коническо*
= 0,094; /=0,19 м; а=<15°; Re=107 го сопла Лаваля (см. рис. 15.23,
Yc = 30°, г/#кр:=2):
/—толщина пограничного слоя в началь-
начальном сечении бо=5 мм; 2—бо^О; 3—толщи-
3—толщина пограничного слоя в горле 6WT4=0 [1]
чески максимального значения t|?c« 0,985. При г//?кр«2 поля ско-
скорости в области горла оказываются достаточно равномерными, по-
поверхность перехода А,= 1 приближается к минимальному сечению,
вихревые и ударные потери практически отсутствуют и остается
только влияние трения. Дальнейшее увеличение г//?кр>2 нецелесо-
нецелесообразно, так как удлиняет и утяжеляет сопло, увеличивает потери
на трение, не повышая а|)с.
Влияние вязкости газа на в е л ич и н у i|)c. При реаль-
реальном течении на стенках сопла Лаваля возникает пограничный слой
(рис. 15.24). Если дозвуковая часть сопла Лаваля обеспечивает
равномерные поля скорости в области горла вне пограничного слоя,
то течение в сопле Лаваля можно разделить на две качественно
различные области: течение в области толщины вытеснения погра-
пограничного слоя 6* = 6*(x), сопровождающееся диссипацией кинетиче-
кинетической энергии, увеличением энтропии и уменьшением давления тор-
торможения и течение в ядре, занимающее большую часть поперечно-
поперечного сечения (см. рис. 15.24). Течение в области ядра можно считать
энергетически изолированным и изоэнтропным с неизменными
Р*, Т* и Окр. Поверхность перехода Х=1 располагается перпенди-
перпендикулярно оси сопла. Уменьшение расхода, по сравнению с идеаль-
идеальным, объясняется только загромождением узкого сечения сопла об-
областью толщины вытеснения 8КР, т. е. уменьшением эффективной
поверхности перехода до Skp-эф-
309
Для осесимметричного сопла
/ A5. 79)
A5.80)
Данные рис. 15.24 показывают, что толщина пограничного слоя
в критическом сечении чрезвычайно мала — 6^0,46 мм и практи-
практически не зависит от толщины пограничного слоя в начальном сече-
сечении.
Поэтому толщину пограничного слоя в выходном сечении сопла
Лаваля приближенно можно рассчитывать, полагая бКр=О (см. ли-
линия 3 на рис. 15.24).
В области горла происходит ламинаризация пограничного слоя
под влиянием отрицательного градиента давления. Толщина вы-
вытеснения в критическом сечении без учета сжимаемости A5.35) бу-
будет 6* = 0,375 6^0,17 мм..
Задача 15.13. Рассчитать коэффициент расхода сопла Лаваля, изображенно-
изображенного на рис. 15.23 с учетом влияния только трения (с учетом данных рис. 15.24).
Ответ: я|)с = 0,988.
Эксперименты и расчеты показывают, что коэффициент расхода
сопла Лаваля с хорошо спрофилированной дозвуковой частью, учи-
учитывающий влияние и трения и неравномерности полей скорости,
достигает высоких значений — i|)c=^0,998.
Особенности течения в потенциальном ядре
сопла. Площади поперечных сечений потенциального ядра мень-
меньше площадей соответствующих сечений сопла на площадь области
толщины вытеснения 55* = 2я/?8*. Как уже указывалось, в крити-
критическом сечении 6Кр~0. Поэтому в дозвуковой части сопла погра-
пограничный слой вызывает увеличение скорости течения и уменьшение
статического давления, а в сверхзвуковой — уменьшение скорости
и увеличение статического давления по сравнению с их значениями
при течении идеальной жидкости в том же сопле при сохранении
р* неизменным. Приведенная скорость Хс и на срезе сопла при изо-
энтропном течении определяется из уравнения неразрывности
<7(ЯС и) =5кр/5с. Аналогично, для потенциального ядра, в предполо-
предположении §кР = 0, получим
=sjsc.a=sj(sc-sb«), A5.8i)
где Яс.я — приведенная скорость в потенциальном ядре на срезе
сопла; SC.H — площадь сечения ядра на срезе сопла; 6fi* —пло-
—площадь, занятая областью толщины вытеснения S* на срезе
шпла.
Очевидно, что Ас.я<&с и, так как q (Яс.я) >q(kc и). Это подтверж-
подтверждают опытные данные [1]
310
Дкр, м
1,43-10~2
Дс, м
2,4-10-2
Не
3,9-105
Дс.я/Дс
0,79
Мси
2,5
2,0
Однако, это снижение скорости не связано с увеличением энтро-
энтропии (течение в ядре изоэнтропно) и поэтому не может принимать-
приниматься во внимание при расчете коэффициента сохранения полного
давления сопла A5.75).
Задача 15.14. Определить толщину вытеснения на срезе сопла для данных,
приведенных в таблице.
Расчет сопла Лаваля при реальном течении.
В зависимости от назначения сопла и заданных параметров потока
выбирается форма сопла и коэффициенты расхода г|?с (см. рис*
15.23) и скоростной коэффициент фс @,92 ... 0,99) и определяются:
1. Коэффициент восстановления полного давления ас и среднее
давление торможен«ия на срезе шпла рс* по заданному Хс и най-
найденному фс A5.75)
2. Расход или площадь критического сечения A5.77)
Тс /г*
3. Площадь выходного сечения сопла по уравнению неразрывно-
неразрывности G = G^=GC\ Sc=№cfiGcq(Xc)]SvV.
4. Параметры потока на срезе сопла по обычным формулам
? Qc = Q*e(Xc); Wc = lcaKp.
Определение скорости истечения из сопла Лаваля Wc' для рас-
расчета силы тяги реактивных двигателей D.19) основывается на
использовании скоростного коэффициента фс/==^с7^си, представ-
представляющего произведение трех коэффициентов
<Pc = <pTP<fyPa, A5.82)
где фтр — скоростной коэффициент, учитывающий потери на тре-
трение, которые увеличиваются с увеличением длины сопла (<p*p
уменьшается), рассчитывается с использованием теории погранич-
пограничного слоя (фтр=фс = 0,92 ... 0,99). фр — скоростной коэффициент,
учитывающий потери, вызванные неравномерностью полей пара-
параметров течения и скачками уплотнения в области горла. Для сопел
Лаваля с конической дозвуковой частью <рр рассчитывается по эм-
эмпирической формуле [1]:
V=l- 0,032 k(RJry>\ A5.83)
где k = Cv/Cv; /?кр — радиус критического сечения; г — радиус кри-
кривизны стенки сопла в области горла (рис. 15.23).
311
При г//?Кр«2; фр=1, фа —скоростной коэффициент, учитываю-
учитывающий уменьшение осевой составляющей скорости истечения (величи-
(величина которой определяет тягу) вследствие отклонения потока от осе-
осевого направления при выходе из конического сопла (см. рис. 15.23).
Для равномерного конического потока определяется как среднее
значение проекции вектора скорости на ось сопла (см. рис. 15.23)
^ + r=l + cosa> A5.84)
Уменьшение полуугла раскрытая сопла а при 5Kp/Sc = const при-
приводит к снижению потерь на радиальность истечения, т. е. к уве-
личению фа. При этом увеличивается поверхность трения и потери
на трение. Оптимальное коническое сопло, пр.и котором фтрфа до-
достигает максимума, имеет место при а = 8 ... 12°.
Следует иметь в виду, что уменьшение средней осевой состав-
составляющей скорости, из-за конического поля скоростей, учитываемое
<Ф*х, приводит к снижению тяги двигателя, но не вызывает увеличе-
увеличения энтропии и снижения р*. Поэтому, при определении коэффици-
коэффициента сохранения полного давления сопла Лаваля по формуле
A5.75), вместо фс следует подставлять только произведение
Фт^р, учитывающее гидравлические потери, вызывающие рост энт-
энтропии и снижение р.
Задача 15.15. Изобразите схематично в is-диаграмме процессы изоэнтроп-
ного и реального расчетных сверхзвуковых истечений из сопел Лаваля при оди-
одинаковых начальных р*, Г*, р, Т и конечном рс. Отметьте для обоих случаев рКр»
7кр, дайте определение ас и ф0.
О форме сопла Лаваля. Одномерная теория определяет
площади сечений сопла Sx—S^/q^x), но не определяет его форму
и длину, которые выбираются в зависимости от назначения сопла
Сопла реактивных двигателей должны иметь минимальные по-
потери, габарит, массу и стоимость. Этим требованиям при неболь-
небольших скоростях истечения Мс = 3 удовлетворяют простейшие сопла,
составленные из конических дозвуковой и сверхзвуковой частей,
соединенных горловиной, описанной дугой окружности с радиусом
кривизны r/RKV&2. Углы конусности сужающейся части сопла ре-
рекомендуются в пределах 20=30... 60°, а расширяющейся — 2а=
= 16... 25°. Эти условия обеспечивают максимальную величину
' 1
При больших скоростях истечения Мс>3 в ракетных двигате-
двигателях применяются сопла со специально спрофилированными криво-
криволинейными стенками. Сужающаяся часть таких сопел и сопел аэро-
аэродинамических труб выполняется по профилю Витошинского, либо
профилируется по методу акад. С. А. Христиановича, а расширяю-
расширяющаяся сверхзвуковая часть профилируется по методу характерис-
характеристик. Физическое представление о таком профилировании можно
получить по рис. 13.10. Имеется и ряд более простых чисто геомет-
геометрических методов построения профиля сверхзвуковой части сопла,
дающие хорошие результаты [1].
312
Рис. 15.25. Псевдоскачок
Воздушно-реактивные двигатели работают в широком диа-
диапазоне режимов и высот. Этим режимам не удовлетворяют сопла
неизменных проходных сечений. Поэтому широко применяются ре-
регулируемые сверхзвуковые сопла [1, 25J.
Псевдоскачки. При истечении из сопла Лаваля с большим
перерасширением на срезе сопла устанавливается мостообразный
скачок уплотнения (см. рис. 13.16, б). Если отношение давле-
давлений рн/рс превосходит критическое для пограничного слоя сопла
при его взаимодействии с косым скач-
скачком уплотнения СВ, то возникает отрыв
пограничного слоя от стенки. Эффектив-
Эффективное сечение потенциального ядра и чис-
число Мс уменьшается и система скачков
смещается внутрь сопла в некоторое се-
сечение х с Лзс<А,с, Рх>Рсу где система ста-
стабилизируется и течение происходит с от-
отрывом пограничного слоя (рис. 15.25).
Интересно отметить, что несмотря на
то, что скачки и отрыв вносят большие
гидравлические потери, тяга двигателя при течении с отрывом
пограничного слоя получается выше, чем при полном перерасши-
перерасширении с мостообразным скачком за срезом сопла. Это объясняет-
объясняется тем, что за скачком и отрывом пограничного слоя давление
на стенке внутри сопла увеличивается, достигая атмосферного на
срезе и таким образом устраняется участок сопла, имевший при
полном перерасширении отрицательную составляющую тяги (см.
фис. 13.17).
Опыты показывают, что обычно в соплах устанавливается не
один прямой скачок, как это представлено на рис. 13.13, а система
мостообразных или косых скачков. Поскольку эта система имеет
конечную протяженность, то измерения показывают не мгновенное
увеличение давления, как на рис. 13.13, а постепенное. Поэтому
эти системы называются посевдоскачками. При дальнейшем повы-
повышении давления во внешней среде псевдоскачки приближаются к
горлу при Мх^1,3, отрыв пограничного слоя прекращается, псев-
псевдоскачок превращается в скачок, близкий к прямому, за которым
в расширяющемся канале реализуется дозвуковое диффузорное
течение. В горле скачок исчезает и во всем сопле реализуется до-
дозвуковое течение.
11 950
Глава 16
ДИФФУЗОРЫ
Диффузоры служат для торможения жидкости. Несжимаемая
жидкость тормозится только в расширяющихся каналах (W2=s
= WiS,ifS2). При этом кинетическая энергия жидкости, в соответ-
соответствии с уравнением Бернулли D.83), превращается в энергию
давления и частично затрачивается на преодоление сопротивления
диффузора. Как было установлено A1.59), торможение газа мож-
можно осуществить за счет геометрического, расходного, теплового и
механического воздействий, а при сверхзвуковом течении — даже
за счет трения. Комбинация этих воздействий может усилить или
ослабить диффузорный эффект.
В этой главе мы рассмотрим торможение газовых потоков за
счет геометрического воздействия. Такое торможение газа находит
широкое применение во входных устройствах ВРД, межлопаточных
каналах компрессоров, в камерах сгорания, в аэродинамических
трубах и т. д.
Рассмотрим диффузоры ВРД, которые подразделяются, по чис-
числу Маха полета Мн, на дозвуковые Мн<1, малых сверхзвуковых
скоростей Мо<1,5 и сверхзвуковые Мн>1,5. Все эти диффузоры
должны иметь минимальные габариты, массу и потери.
16.1. ДОЗВУКОВЫЕ ДИФФУЗОРЫ ВРД
Дозвуковые диффузоры представляют собой расширяющиеся
каналы с плавно очерченными входными кромками для предотвра-
предотвращения отрыва потока на входе (рис. 16.1). Чем значительнее уве-
увеличение площади сечения диффузора на единицу его длины dS/dx
тем больше dp/dx>0 и тем меньше длина и масса диффузора. На
практике приходится ограничивать величину dp/dx для того, чтобы
избежать отрыва пограничного слоя — источника наиболее сущест-
существенных потерь полного давления в дозвуковых диффузорах
(п. 15.6). Вторым источником потерь является трение в погранич-
пограничном слое.
Температура торможения воздуха при энергетически изолиро-
изолированном течении в диффузорах, в соответствии с A1.8), остается
постоянной Т2* = Т1* = Ти*. Полное давление из-за гидравлических
потерь, в соответствии с D.97) и A1.38), уменьшается, что при-
314
0,8
0,6
о,1*
0,2
[
к
А
20 ЬО 60 80 WO f20 МО /SO <x°
Рис. 16.2. Зависимость коэффициента
смягчения удара от угла раствора
диффузора круглого сечения
водит к снижению тяги и эко
номичности двигателя. Стати-
Статическое давление и плотность
увеличиваются за счет умень-
уменьшения скорости, но в меньшей
степени, чем это могло бы
произойти при отсутствии гид-
гидравлических потерь, т. е. при
изоэнтропном сжатии.
Расчет пограничного слоя в
диффузорных течениях трудо-
трудоемок, поэтому величину гид-
гидравлических потерь в диффу-
диффузорах обычно рассчитывают с
помощью экспериментальных
коэффициентов.
Примем обозначения параметров, соответствующие рис. 16.1, и
рассчитаем потери полного давления, связанные с отрывом погра-
пограничного слоя и образованием и поддержанием вихревых зон, как
потери на удар Борда—Карно при внезапном расширении канала
с Si до 52 (9.5), который смягчен плавным расширением диффузо-
диффузора. Обычно при расчетах бывает задана приведенная скорость X*
на выходе из диффузора. Поэтому выразим коэффициент сохране-
сохранения полного давления в долях скоростного напора не на входе»
как это было сделано в (9.5), а на выходе из диффузора. Полагая,
приближенно, газ несжимаемым, т. е. Q2«Q2*^Qh* и учитывая, что
^ получим
Рис. 16.1. Режимы работы дозвуко-
дозвукового диффузора
2к
.-.-¦($.-.)¦
-.
-¦(-?--./
A6.1)
11*
315
• Q \ 9
здесь [-2— 1) =Суд —коэффициент потерь на удар Борда—Карно
W1 /
при внезапном расширении канала с S\ до S2; г|) — эксперименталь-
экспериментальный коэффициент смягчения удара, зависящий только от угла рас-
раствора диффузора а (рис. 16.2).
При а = 0 г|) = 0, т. е. потери на отрыв пограничного слоя отсутст-
отсутствуют. С увеличением а возрастает dpfdx, возникает отрыв погра-
пограничного слоя, вихревые зоны перемещаются от выходного сечения
диффузора к входному, г|) увеличивается, а а уменьшается — поте-
потери возрастают. В пределах углов раствора диффузоров 40<а<
. <150° коэффициент смягчения удара становится больше единицы
и достигает максимального значения а|)=1,2 при а=60°. Следова-
Следовательно, в этом диапазоне углов вихревые потери при постепенном
расширении канала больше, чем при внезапном, когда а=180° и
t|)=l,0. Объясняется это тем, что вихревая зона при внезапном рас-
расширении устойчива, а при 40<а<150° неустойчива и периодиче-
периодически смывается потоком. На непрерывное возобновление вихревой
зоны и затрачивается дополнительная энергия потока. Коэффици-
Коэффициент сохранения давления торможения в дозвуковых диффузорах
может быть определен по формуле, аналогичной A6.1)
*
а -^-= 1 — Сд—?Ц-Х|Э A6.2)
Рн • К + 1
где ?д — коэффициент сопротивления диффузора, учитывающий
как потери на отрыв пограничного слоя, так и на трение.
Минимальные потери соответствуют а«6°. При увеличении уг-
угла а>6р потери на трение уменьшаются, так как при заданном
S2/S1 диффузор становится короче, зато потери на вихреобразова-
ние резко возрастают. При уменьшении а<6° потери на вихреобра-
зование слегка уменьшаются (при этих углах они малы), но воз-
возрастают потери на трение из-за увеличения длины диффузора. На
практике для уменьшения длины диффузора углы раскрытия де-
делают а = 8... 12°. При таких углах видимый отрыв пограничного
слоя от стенок диффузора обычно еще не наблюдается. Для умень-
уменьшения габаритов и массы желательно делать диффузоры возмож-
возможно короче. При сс>15° целесообразно выполнять стенки диффузора
криволинейными с постепенно возрастающим углом а так, чтобы
.градиент давления вдоль оси х был бы постоянным dp/dx = const.
Течение в таком диффузоре обладает большой устойчивостью, пог-
пограничный слой нарастает медленнее и снижение потерь может дос-
достигать 40%. Хороший результат дает также ступенчатый диффузор
с организованным срывом потока. Передняя часть такого диффузо-
диффузора имеет а<10... 12° и заканчивается внезапным расширением до
S2. В этом случае внезапное расширение стабилизирует течение за
диффузором и не вносит заметных потерь, так как скорость потока
перед ним уже невелика.
Формулы A6.1) и A6.2) показывают, что потери полного дав-
давления возрастают при увеличении приведенной скорости Х2 на вы-
316
ходе из диффузора, что при заданном S2/S>\ соответствует увеличе-
увеличению Х\.
Уменьшение потерь в диффузоре при больших а может быть
достигнуто отсосом или сдувом пограничного слоя.
Пропускная способность диффузора оценивается коэффициен-
коэффициентом расхода^ (см. рис. 16.1):
-_=S-., A6.3)
Op Qh^hSi Si
где SH — площадь поперечного сечения невозмущенной струи, по-
попадающей в диффузор: S,i — площадь входного отверстия диффу-
диффузора; GR — действительный расход жидкости через диффузор;
Gp — расчетный расход, т. е. расход жидкости с параметрами не-
невозмущенного потока через входное сечение диффузора.
Влияние на работу диффузора соотношения
между скоростью полета WH и скоростью воз-
воздуха во входном сечении W\. Пусть самолет летите
постоянной скоростью УРИ на постоянной высоте Я. Тогда, изменяя
частоту вращения компрессора, т. е. изменяя рг, можно получить
три различных режима работы диффузора (см. рис. 16.1):
I. Режим без преобразования скорости и давления воздуха до
диффузора W\ = WH и р\=рв. Струя воздуха попадает в диффузор
из бесконечности без изменения сечения SH=Si- Коэффициент рас-
расхода i|? = I.
II. Режим с внешним расширением потока Wx>Wn\ Pi<pH>
Qi<Qh и i|)=Shii/Si>1. Этот режим возникает при снижении дав-
давления р2 за счет увеличения частоты вращения компрессора. Ре-
Режим II не желателен, так как сопровождается повышенными поте-
потерями полного давления an<oi за счет увеличения Х\ и Яг, а также
возникновения отрыва пограничного слоя на входе в диффузор из-
за увеличения угла притекания струй к передней кромке диффу-
диффузора.
III. Режим с внешним сжатием газа Si>5H, ip = SH/Si<l, W\<
<WH, pi>pH, /?1*=рн*- Получается при уменьшении частоты вра-
вращения компрессора и увеличении /?2- Как показывают опыты, опти-
оптимальным режимом работы дозвукового воздухозаборника является
режим, при котором №и«0,5№н. В этом случае перед диффузором
возникает изоэнтропное торможение газа, в котором реализуется
примерно 75% общей степени повышения давления в диффузоре
Рг/Рн. Дальнейшее повышение сжатия воздуха перед диффузором
приводит к чрезмерному увеличению углов притекания воздуха к
передней кромке диффузора и может вызвать отрыв пограничного
слоя от наружной поверхности диффузора, что приведет к увели-
увеличению лобового сопротивления. Если диффузор задросселировать
полностью на выходе, то воздух будет тормозиться вне диффузора
изоэнтропно и р2=рв*, сг = 1 и i|)=0. При открытии дросселя появ-
появляется расход воздуха (г|р>0) и потери в диффузоре (а<1).
317
Задача 16.1. Определить коэффициенты сопротивления и сохранения полно-
полного давления конического диффузора, если S2fSi^=3; a=iH0°; Я2=Ю,2 и 0,4, а по-
потери на трение составляют 30% от потерь на отрыв пограничного слоя. Ответ
Сд = 0,84, 0=0,98 ... 0,92.
Степень повышения давления в диффузоре
яд =Рг/рн зависит от режима работы диффузора, числа М, отноше-
отношения площадей S2/Si и гидравлических потерь. Расчеты и опыты по-
показывают, что при нормальной работе диффузора, увеличение сте-
степени расширения S2/Si сверх четырех мало эффективно. Так нап-
например, при Mi = 0,75, при S2/5i=4; л;д=1,32, а при S2/Si = 5 ... яд =
= 1,33.
16.2. ДИФФУЗОРЫ ДЛЯ НЕБОЛЬШИХ
СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЕЙ
При Мн=1,5 используются обычные расширяющиеся диффузо-
диффузоры с острыми входными кромками. В зависимости от коэффициен-
коэффициента расхода "ф наблюдаются следующие режимы работы таких диф-
диффузоров (рис. 16.3).
Рис. 16.3. Режимы работы
зора
односкачковаго диффу-
диффуI. При ф'<1 перед диффузором возникает отошедшая ударная
волна. Струя сечением SH<oi, попадающая в диффузор, пересека-
пересекает участок скачка близкого к прямому. Дозвуковой поток Xi'=1Ah
изоэнтропно тормозится на участке между ударной волной и вход-
входным сечением диффузора до %\<Х\' и затем — до A*<Ai в дозву-
дозвуковом диффузоре. При этом на поверхность струи между скачком и
сечением 1—1 действует повышенное давление, вызванное центро-
центробежными силами частиц воздуха, движущихся по дуге с радиусом
кривизны г. Проекция суммарной силы этого давления на ось х
называется дополнительным сопротивлением диффузора.
318
II. При увеличении расхода воздуха до ф=1 скачок уплотнения
располагается непосредственно на кромке диффузора, а внешний
поток тормозится на косых скачках уплотнения, что соответствует
минимальному внешнему сопротивлению диффузора. На этом ре-
режиме потери в дозвуковом диффузоре больше, чем при первом ре-
режиме за счет увеличения A,i и Х2 вследствие отсутствия изоэнтроп-
ного сжатия перед входом.
III. При увеличении объемного расхода воздуха через сечение
2 диффузора за счет снижения р2 сверхзвуковая струя сечением
SH = Si входит в диффузор, ускоряется в расширяющемся канале и
ударно тормозится в более интенсивном скачке уплотнения внутри
диффузора. Поэтому потери полного давления еще возрастают —
вш<а1ь На этом режиме яр = 1 и Wi = WH. Режим -ф>1 в сверх-
сверхзвуковом полете не реализуется.
"Коэффициент сохранения полного давления рассмотренного
входного устройства ВРД определяется по формуле
а = pljpl = р!/pi • pi/p\ = оп>сад, Ц( 16. 4)
где ап.с, Од — коэффициенты сохранения полного давления в пря-
прямом скачке уплотнения A2.12) и в дозвуковом диффузоре A6.2).
Потери полного давления на прямом скачке уплотнения при
Мн=1,5 не велики а>0,93. Это и позволяет с успехом применять
этот простейший односкачковый диффузор.
16.3. СВЕРХЗВУКОВЫЕ ДИФФУЗОРЫ
Потери полного давления на прямом скачке уплотнения, весь-
весьма малые при Мн незначительно превосходящем единицу, резко
возрастают с увеличением Мн (рис. 16.4). Уже при Мн = 2 а = 0,72.
За счет таких потерь полного давле-
давления тяга ВРД с односкачковым диф-
диффузором уменьшилась бы, примерно,
на 40% по сравнению с тягой ВРД
при изоэнтропном сжатии и эффек-
эффективный полет был бы невозможен.
. Снижениеволновыхпотерь.
Исследования показали, что волновые
потери в сверхзвуковом диффузоре
снижаются при замене сильного пря-
прямого скачка уплотнения системой бо-
более слабых косых скачков, за которы-
которыми скорость остается сверхзвуковой, с
замыкающим слабым прямым скач-
скачком, переводящим поток в дозвуко-
дозвуковой. * Последовательный ряд косых
скачков возникает у поверхностей
бт
1,0
V
0,6
4*
0,2
О
\
\
\
л
i
зк+л
S
*¦—
Рис. 16.4. Зависимость
(CTm)max ОТ ЧИСЛЭ Мн ДЛЯ
входных устройств с различ-
различным числом скачков
* Системой называется последовательность скачков, между которыми не об-
образуется волн разрежения.
319
торможения сверхзвукового диффузора, которые располагаются
под углами со к сверхзвуковому потоку (рис. 16.5).
Классификация входных устройств. По располо-
расположению скачков уплотнения относительно плоскости входа они под-
подразделяются на три типа:
Ми>1
Рис. 16.5. Входные устройства:
а—с внешним сжатием; б—то же с внутренним; в—то же со смешанным
а) внешнего сжатия — косые скачки уплотнения располагаются
перед плоскостью входа;
б) внутреннего сжатия — скачки уплотнения находятся внутри
канала;
в) смешанного сжатия — часть скачков уплотнения располагает-
располагается вне и часть — внутри канала.
Каждый тип воздухозаборни-
воздухозаборника имеет свои преимущества и
недостатки, которые здесь не
рассматриваются. Отметим толь-
только, что из рис. 16.5 видно, что
при одинаковой площади входа,
воздухосборник внешнего сжа-
сжатия имеет максимальное внешнее
сопротивление, а внутреннего —
минимальное. Входные устройст-
устройства • в основном выполняются
плоскими или осесимметричны-
ми (рис. 16.6).
Число скачков системы выбирается из условия получе-
получения высокого значения коэффициента сохранения полного давле-
давления о при расчетном числе Мн полета при входном устройстве при-
приемлемых габаритов, массы и возможностей регулирования.
Оптимальной системой данного числа скачков для заданного
числа Мн называется система, обеспечивающая максимальное зна-
значение коэффициента сохранения полного давления <тт. В оптималь-
оптимальной системе внешнего сжатия все скачки уплотнения должны схо-
сходиться на передней кромке А обечайки (рис. 16.7, а). В этом слу-
случае обеспечиваются максимальные значения ат, расхода воздуха
(г|)=1) и минимальное внешнее сопротивление.
Исследования показывают, что максимальное значение (aw)max
для системы из т плоских скачков уплотнения, т. е. из (т—1) ко-
косых и одного замыкающего прямого
• °(/и-1K,| A6. 5)
Рис. 16.6. Схемы воздухозаборников:
а—плоского; б—осесимметричного
320
имеет место при одинаковой интенсивности всех косых скачков
°1=з2 — ..-3/1,-1 ^=3к- A6.6)
Это значит, что для всех косых скачков оптимальной системы оди-
одинаковы нормальные составляющие чисел Мг-П, Ягп = ^гп/^гкр п, по-
повышение давления, температуры и плотности и увеличение энтро-
энтропии A2.2), т. е.
МнЛ = М1я^=... = М(т_2)Л; Хн/1 = Х1л = ...=л(/я__2)Л;
Pl/Pn=P2/Pl ==... = Рт-\1Рт-2\ Л/^н •== Т2/Тг = ... = Тm_xlTm_2\
A6.7)
в)
Рис. 16.7. Входное устройство:
а—при Мнр; б-ппри Мн<Мнр; в—при Мн>Мнр
Замыкающий прямой скачок оптимальной системы при 1,5<МН<5
немного слабее косых скачков
МGг_1)=0,94Мн/г==:0,94Мн пп ан. A6.8)
Поэтому из A6.5) получим
KzUx-4™^, A6.9)
Следовательно, расчет оптимальной системы скачков для задан-
заданного М„ состоит в определении величин углов наклона поверхно-
поверхностей торможения со^ и углов фронтов косых скачков аи которыми
определяются а всех скачков оптимальной системы и, наконец, ве-
величины (am)max- Остальные геометрические размеры оптимальной
системы определяются на основании заданного расхода воздуха,
фокусировки скачков на обечайке и уравнения неразрывности.
Методика р а счет а о>ь сог, ан, «2 и а3тах и трехскач-
ковой оптимальной системы скачков (см. рис.
16.7, а).
321
I. Рассчитывается система 2—3, состоящая из второго косого и
замыкающего прямого скачков. Поскольку оптимальное располо-
расположение первого косого скачка уплотнения и, следовательно, число
М,1 за ним, неизвестны, для расчета выбираются не менее четырех
произвольных значений Ми, лежащих в пределах 1<Ми<СМн. Для
каждого Ми составляется таблица расчетных данных
1
М1*
2
hn
3
hn
4
Pa
5
6
ак2
7
xa
8
x3
9
10
а2-3
11
I I
Рн Pj P
. sH s5 sn -
a G 6
Рис. 16.8. Оптимальная трехскачковая система входного устройства ВРД
В соответствии с номерами столбцов выполняются следующие
действия:
1. Задаются 5...6 значений угла а2 в пределах от а0 до 65°.
Далее определяются (см. п. 12. 2); 2 —М1л=М1/sin а2; 3 — Х1л=
= /(М1л) по таблицам газодинамических функций или по формуле
¦м-
\п
l + JL^i-M*
Ч-Х2л=1/Х1п; 5-
9 —X3=
6 — аJ==а2 —
10-ап =
); 8-X2 = X1^i5i ;
COS p2
11— а2-з=°к2°п- Для каждого Mlf- строятся графики
ок2> ап.с а2^з» а2 в зависимости от оJ и определяются их наивыгод-
наивыгоднейшие значения (рис. 16. 8, а).
II. Рассчитываются по методике пункта / для первого косого
скачка значения o>i, orKi, Mi для различных <хн при заданном Мн.
По результатам расчетов по пунктам I и II строится график, по
которому определяются оптимальные параметры компоновки (рис.
16.8,6).
На диаграмме is (рис. 16.8, в) сравниваются ударное сжатие
воздуха на прямом скачке (Н—П) и в трехскачковой системе
322
(Н—1—2—3) при одинаковых начальных условиях. Сжатие в каж-
каждом из слабых скачков системы сопровождается незначительным
увеличением энтропии и снижением полного давления. Поэтому и
суммарные потери в системе меньше, чем для прямого скачка
О2к+п>огп. В соответствии с меньшими потерями статическое давле-
давление, плотность и кинетическая энергия воздуха после сжатия в сис-
системе скачков выше, а температура ниже, чем после сжатия в пря-
прямом скачке уплотнения.
Задача 16.2. Объясните причину увеличения потерь в системе скачков (см.
рис 16.8, б) при увеличении и уменьшении а„ по сравнению с ан опт. Изобрази-
Изобразите соответствующее 'изменение линии Н—1—2—3 на рис. 16.(8, в.
Рис. 16.9. Диффузоры:
а—изоэнтропный; б—z выбитой ударной волной; в—смешанный
Зависимость (am)max от Мн для плоских оптимальных систем
скачков показана на рис. 16.4. Выигрыш от перехода к большему
числу скачков получается тем значительнее, чем больше Мн. Если
Мн лежит в пределах 1,8 ... 2,0, то используется двухскачковая сис-
система (/(+77), если в пределах 2 ... 2,5 — трехскачковая и так далее.
«Изоэнтропный» диффузор. В пределе, при бесконечно
большом числе бесконечно слабых скачков уплотнения, можно тео-
теоретически представить плавное изоэнтропное сжатие сверхзвуково-
сверхзвукового потока а=1. Изоэнтропное сжатие от Мн до М=1 представляет
обращенное изоэнтропное расширение от М=1 до Мн. Поэтому
контур поверхности торможения рассчитывается для каждого Мн
по формуле A3.13), определяющей линию тока в течении Прандт*
ля—Майера (рис. 16.9, а).
В действительности полностью изоэнтропное торможение сверх-
сверхзвукового потока осуществить не удается: течение происходит при
большом dp/dx>0, что приводит к отрыву пограничного слоя, воз-
возникновению скачка уплотнения, переходящего в отошедшую удар-
ударную волну у обечайки (рис. 16.9, б).
Использование отсоса пограничного слоя и сочетание скачков
уплотнения и слабых волн сжатия (рис. 16.9, в) дает воз-
возможность частично использовать изоэнтропное сжатие газа и уве-
увеличить а.
Регулирование входных устройств. Оптимальная
компоновка входного устройства соответствует только расчетным
числу Жнр и режиму работы двигателя. При неизбежных отклоне-
отклонениях Мн от Мнр и изменениях режима работы двигателя компонов-
компоновка теряет оптимальность. Например, при Мн<СМнр углы косых
323
скачков увеличиваются и они отходят от кромки обечайки, превра-
превращаясь в отошедшую (выбитую) ударную волну (см. рис. 16.7, б)«
Это приводит к увеличению потерь, т. е. к уменьшению «а и к умень-
уменьшению расхода воздуха SH<S,i и *ф<1. Кроме того, взаимодейст-
взаимодействие ударной волны с пограничным слоем вызывает его от-
отрыв (см. п. 15.5) и неустойчивую работу воздухозаборника (пом-
паж). Оптимальность системы нарушается и при MH>MIip (см.
рис. 16.7, в).
Для того, чтобы компоновка входного устройства при изменении
Мн и режима работы двигателя возможно меньше отклонялась от
оптимальной, сверхзвуковые входные устройства делаются регули-
регулируемыми. Наиболее полное регулирование включает изменение уг-
углов со установки поверхностей торможения, относительное осевое
смещение обечайки и центрального тела, изменение проходных се-
сечений или регулирование расхода воздуха перепуском, а также уп-
управление пограничным слоем.
Особенности течения воздуха за замыкаю-
замыкающим систему прямым скачком. На рис. 16.7, а показа-
показано, что дозвуковой поток за прямым скачком снова ускоряется в су-
сужающемся канале до Х= 1 в горле воздухозаборника и до %> 1 — в
расширяющемся канале и переходит в дозвуковой Х<С\ на прямом
скачке уплотнения. Только после этого дозвуковой поток тормозит-
тормозится до заданного ^в~0,5 перед компрессором в расширяющемся
дозвуковом диффузоре. При такой организации течения небольшие
изменения режима работы двигателя и, следовательно, объемного
расхода воздуха, сказываются только на положении этого прямого
скачка и не нарушают расчетной системы скачков. При увеличении
объемного расхода, т. е. снижения давления на входе в компрессор,
скачок перемещается вниз по потоку и становится сильнее, потери
возрастают и объемный расход через двигатель увеличивается при
неизменном массовом расходе. При уменьшении объемного расхо-
расхода, т. е. при повышении давления, скачок смещается против тече-
течения, ослабевает, потери уменьшаются и объемный расход через
двигатель уменьшается и оптимальность системы сохраняется. Та-
Таким образом, в данном случае, скачок уплотнения играет положи-
положительную роль газодинамического регулятора постоянства массово-
массового расхода воздуха через двигатель при переменном объемном рас-
расходе. Это регулирование достигается введением дополнительных
потерь. Если бы за замыкающим скачком уплотнения отсутствова-
отсутствовала бы сверхзвуковая зона течения с прямым скачком, то повыше-
нине давления, например, в дозвуковой части диффузо-
диффузора приводило бы к выбиванию расчетной системы скачков (см.
рис. 16.7, б).
Влияние пограничного слоя на работу диффу-
диффузора. Пограничный слой, нарастающий на поверхностях тормо-
торможения увеличивает углы со и отклоняет скачки от расчетного поло-
положения. Взаимодействие пограничного слоя со скачками уплотнения
приводит к их искажению и вызывает отрыв пограничного слоя
(см. п. 15.6). Заторможенный в пограничном слое воздух, попадая
324
в двигатель, снижает давление торможения. Для уменьшения вред-
вредного влияния пограничного слоя применяются различные способы
управления им: слив, отсос, охлаждение поверхностей торможения*
Работа сверхзвуковых и особенно гиперзвуковых входных уст-
устройств невозможна без управления пограничным слоем. Например;,
при М = 6, входное устройство без управления пограничным слоем
имеет а = 0,1, а с управлением а —0,3.
Задача 16.3. Используя график рис. 16.4, определите для Мн = 3 отношение
статических давлений за оптимальной трехскачковой системой и за прямым скач-
скачком, если ^2=1,34 (см. рис. 16.7, а). Ответ: /?3/Рп=1Д
Глава 17
ТУРБУЛЕНТНЫЕ СТРУИ
В природе и технике широко распространены течения жидко-
жидкостей с тангенциальным разрывом скорости. Течения жидкостей оди-
одинакового агрегатного состояния по обе стороны поверхности тан-
тангенциального разрыва называются струйными. Свободные струи
не ограничены стенками. Характерным примером свободной турбу-
турбулентной струи является поток газов, истекающих из сопла реактив-
реактивного двигателя в атмосферу. На рис. 17.1 схематично показаны ус-
условные границы такой струи и «мгновенная фотография» ее турбу-
турбулентной структуры (под осью) с некоторыми ее характеристиками.
В теории турбулентных струй предполагается, что при слиянии
потоков параметры в каждом из них распределены равномерно,
т. е. что пограничный слой на внутренних и внешних поверхностях
сопла отсутствует. В этом случае разрыв на срезе сопла претерпе-
претерпевает не только скорость газа, но и его температура ТофТн, плот-
плотность qo=7^Qh, концентрация избыточного компонента софсн, пара-
параметры торможения То*ФТн*, ро*фрн*, Qo*=^Qh*. При этом, важно
иметь в виду, что статическое давление не претерпевает разрыва
Ро=Рн в дозвуковых и расчетных сверхзвуковых струях, которые
являются изобарными др/дх=др/ду=О.
Поверхность тангенциального разрыва скорости при Re=
_ Qo(tto —цн) о ^ юз неустойчива и генерирует турбулентность
но
(см. п. 6.2), которая называется свободной, так как ее возникнове-
возникновение не связано с присутствием стенок. Интенсивность свободной
турбулентности & = и'/ит (ит — скорость на оси струи) достигает
20% и существенно превосходит естественную степень турбулент-
турбулентности в трубах B... 5%) и в развитом пристеночном турбулентном
пограничном слое (8... 12%). Струйная турбулентность определя-
определяет смешение сред, структуру струй и их название — свободные тур-
турбулентные струи.
Классификация турбулентных струй*:
I. По числу Мо=Ио/#о истечения из сопла:
1) сверхзвуковые нерасчетные (см. п. 13.4) и изобарные расчет-
расчетные;
* При Re<103 могут существовать ламинарные струи, редко встречающиеся
в технике и здесь не рассматриваемые.
326
по скорости
по пульсациям
О хн хП л
Рис. 17.1. Подогретая струя в спутном потоке
2) изобарные дозвуковые.
II. По относительному движению активной струи и окружающей
среды:
1) спутные — струи и окружающая среда движутся водном
направлении с разными скоростями и0 и ип (см. рис. 17.1);
2) затопленные — струи вытекают в неподвижную окружающую
среду иИ=0;
3) встречные — струи и окружающая среда движутся в противо-
противоположных направлениях;
4) струи в сносящем потоке — направления потоков пересека-
пересекаются;
5) закрученные струи.
III. По форме сопла:
1) плоско-параллельные;
2) осесимметричные и другие.
327
IV. По соотношению и состоянию параметров газа:
1) изотермические однородные Т0 = ТНу qo=Qh, Cq=ch\
2) подогретые и охлажденные ГО^ГН; Qo^Qm
3) содержащие примесь СоФс^;
4) двухфазные — содержащие примеси в виде мельчайших
взвешенных жидких или твердых частиц;
5) струйные течения, сопровождающиеся химическими и дру-
другими реакциями и т. д.
Этот длинный и далеко не полный список соответствует столь
же широкому применению струй, часто определяющих рабочие
процессы в реактивных двигателях, топках и металлургических
печах, в вентиляционных устройствах, химических аппаратах, в
струйных регуляторах и т. д.
Теория струй является частью более общей теории погранично-
пограничного слоя. Однако практическая значимость струйных течений и мно-
многочисленные исследования, обобщенные в капитальных моногра-
монографиях Г. Н. Абрамовича [2], А. С. Гиневского [10] и др. * выделили
теорию турбулентных струй в самостоятельный раздел гидрогазо-
гидрогазодинамики.
Задача теории струй. Дано: 1) ширина 260 плоского
сопла или радиус Ro осесимметричного; 2) равномерные поля пара-
параметров потоков на срезе сопла е0, Ро> ^о, Qg, Щ и в окружающей сре-
среде 8Н, Рн = Ро, ^н, Qh, Сн, ^н (СМ. рИС. 17.1).
Определить параметры струи, т. е. поля скоростей, темпера-
температур, плотностей и концентраций: и = и(х, у)\ Т=Т(х, у); q = q(x, У)>
с=с(х,у).
Может быть поставлена и обратная задача — определить харак-
характеристики исходных потоков для получения заданных полей пара-
параметров.
Кроме того, теория должна указать пути управления струйны-
струйными течениями для интенсификации или ослабления смешения.
При анализе турбулентных струй используются:
a) полуэмпирическая теория турбулентно-сти (см. пп. 6.1 ... 6.5-);
6) основные уравнения гидрогазодинамики;
b) экспериментальные данные.
17.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА И СТРУКТУРА
ТУРБУЛЕНТНЫХ СТРУЙ
Рассмотрим схему осесимметричной неизотермической струи в
спутном потоке (см. рис. 17.1). Такая струя характеризуется степе-
степенью подогрева 0 = 71О/71Н, отношением плотностей /г=он/о<ь спутно-
стью m = ujuo и разностью концентраций избыточного элемента
Как уже упоминалось, на границе струи у кромок сопла имеет
место тангенциальный разрыв скорости и0—ин, du/dy=oo и возни-
* Абрамович Г. Н., Крашенинников С. Ю., Секундов А. Н. Турбулентные те-
течения при воздействии объемных сил и неавтомодельности. М., «Машинострое-
«Машиностроение», 1975, с. 96.
328
кает специфическая, свободная турбулентность *. Поперечные
пульсации переносят моли активной струи за пределы цилиндри-
цилиндрической поверхности Ro. Эти моли сообщают часть своего количест-
количества движения внешней среде, вовлекая ее в движение вдоль оси х и
одновременно сами подтормаживаются. Вместо жидкости, выне-
вынесенной пульсациями из активной струи, поперечные пульсации вно-
вносят в активную струю через поверхность, радиус которой Ro, моли
жидкости из окружающей среды, которые подтормаживают актив-
активный поток и ускоряются сами. Механизм обмена теплом и избы-
избыточным компонентом аналогичен. Подторможенные частицы ак-
активного потока, перемешанные с вовлеченными в движение части-
частицами окружающей среды, образуют турбулентный пограничный
слой струи (слой смешения), толщина которого у кромки сопла
равна нулю и возрастает в направлении течения. Турбулентный об-
обмен ликвидирует тангенциальный разрыв, так что в любом сечении
пограничного слоя имеет место плавное непрерывное распределе-
распределение осредненных скорости, температуры, плотности и концентра-
концентрации.
Рассмотрим сначала' поля скорости в спутной струе, а затем
поля температуры и концентрации.
Внешняя граница пограничного слоя О—А совпа-
совпадает с внешней границей струи и определяется граничным усло-
условием
и — ин=0,0\ (ит — ин) при y=Rrp, A7. I)
где ит — скорость на оси струи в данном сечении х.
Поперечная составляющая скорости v на внеш-
внешней границе направлена к оси струи (линия тока v—и на рис. 17.1),
так как в струю вовлекается масса окружающей жидкости. Это
подсасывающее действие струи используется в эжекторах. Величи-
Величина v не превышает 3% от ит. Поэтому, в приближенных расчетах,
ее не учитывают. По мере удаления от сопла струя непрерывно
расширяется за счет вовлечения жидкости окружающей среды и
снижения скорости.
Внутренняя граница пограничного слоя О—Б совпадает с грани-
границей ядра постоянной скорости О—Б—О. В пределах ядра скорость
жидкости в каждой точке равна и0. В сечении струи л:н, турбулент-
турбулентный обмен достигает оси струи и квазиламинарное ядро постоян-
постоянной скорости исчезает и далее пограничный слой занимает все се-
сечение струи. Участок струи, на котором расположено ядро постоян-
постоянной скорости, называется начальным. Внешняя и внутренняя гра-
границы начального участка прямолинейны.
Переходный участок струи имеет относительно не-
небольшую протяженность хи/хнж 1,2 ... 1,5. В области, примыкающей
к оси струи переходного участка, происходит интенсивная турбули-
* В реальных течениях поля скоростей неравномерны из-за присутствия на
стенках сопла пограничного слоя. Струйная турбулентность возникает из-за на-
наличия конечного, но большого градиента скорости dujdy, а расчеты необычайно
усложняются.
329
зация и перемешивание жидкости, только что вышедшей из ядра
постоянной скорости, т. е. степень турбулентности еи = ^//ит увели-
увеличивается (см. рис. 17.1). Это приводит к уменьшению осевой ско-
скорости ит и деформации полей скорости (а также полей температу-
температуры и концентрации) в поперечных сечениях переходного участка.
Деформация полей заканчивается к сечению лсп, где степень турбу-
турбулентности на оси струи достигает максимума.
Основной участок струи располагается за переходным
х>хи и характеризуется постоянством интенсивности турбулентно-
турбулентности Ей вдоль оси струи и подобием полей скорости во всех его по-
поперечных сечениях.
Задача 17.1. Нарисуйте схему совмещенных полей скорости u = f(y) для
различных сечений основного участка струи (см. рис. 17.1).
Поля абсолютной скорости u=f(y) в различных сечениях основ-
основного участка струи различны: чем дальше отстоит сечение от среза
сопла, тем шире поле и меньше ит (см. рис. 17.1).
Подобие полей скорости для всех поперечных сечений
основного участка струи заключается в том, что в соответственных
точках любых сечений /, 2 yi!Rrpi = y2/Rrp2 безразмерные скорости
равны Ui~~Uh = и2 — ин ^ т^ е безразмерные поля скорости
—= = f(y/Rrv) Для всех сечении совпадают и описыва-
ит — ин Аит
ются формулой Шлихтинга
и-ин =^ ^/2^ A7. 2)
где нн, tim, и — скорости: спутного потока, на оси струи, на рассто-
расстоянии у от оси струи в данном сечении, соответственно, Y] = y/i?rp —
расстояние от оси струи до точки со скоростью м, выраженное в до-
долях 7?гр или полуширины йгр данного сечения струи.
Асимптотичность пограничного слоя (см. рис. 17.1) затрудняет
экспериментальное определение его толщины Rvv или 6гр. Поэтому,
обычно, нормирование ординаты поля ведется не по /?гр или 6гр, а
по ординате ус при которой ц~~Цн =0,5. Ордината ус достаточ-
но точно определяется по экспериментальным данным, a yJRvp
рассчитывается по формуле A7.2)
A7.3)
и расчетная формула A7.2) приобретает вид
Jg_="-"- =h /¦JL-f'2. A7.4)
bUm Urn—"* L \2,27#c / .
Поле скоростей Au/Aum=f(y/yc) приведено на рис. 17.2.
Опыты показывают, что формулы Шлихтинга A7.2) и A7.4)
применимы для самых различных струй: осесимметричных, пло-
плоских, затопленных, в спутном потоке и в противотоке, подогретых
и охлажденных (O,25<qh/qo<4), для течений в турбулентном слое
330
за плохообтекаемым телом и т. д.
Для всех этих случаев безразмер-
ные поля скорости универсальны,
т. е. не зависят ни от числа Рей-
нольдса Re0 ни от числа Маха Мо,
ни от других индивидуальных осо-
особенностей струи.
На основном участке течение
приобретает такую же структуру,
как при истечении из точечного ис-
источника Ro-+-O или из плоской щели
260-^0 — из полюса струи (см. рис.
17.1). Полюс струи может распола-
располагаться как слева, так и справа от
среза сопла, на расстоянии х0 или
совпадать с ним, в.зависимости от
условий истечения (рис. 17.3).
В приближенных расчетах иногда пренебрегают переходным
участком и полагают, что основной участок примыкает к началь-
начальному в сечении, которое называется переходным.
\
К
\
\
\
ч
ч\
0,75
0,5
0,25
0,5 1,0 1,5 2,0 </Д
Рис. 17.2. Безразмерные поля
температуры и скорости на основ-
основном участке струи
Рис. 17.3. Упрощенная схема затопленной изотермической струи
Безразмерное поле скоростей в пограничном
слое начального участка струне небольшой погрешно-
погрешностью можно рассчитать по формулам A7.2), A7.3) и A7.4), в кото-
которых вместо ит следует подставлять и0, а вместо /?гр или 6гр — тол-
толщину пограничного слоя в данном сечении начального участка, т. е.
расстояние от границы ядра постоянной скорости до грани-
границы струи.
Подобие полей температуры и концентрации
избыточной примеси. Подобие полей скорости в поперечных
сечениях пограничного слоя струи предопределяет подобие полей
температуры и концентрации.
331
Опыты показывают, что при одинаковых граничных условиях
и—ин __ Т — Гн __ с — сн __q qj
ит — ии Тт—Тн ст—сп
тепловой и диффузионный пограничные слои толще динамического
#гр.т = #гр.с>#гр.гг, что -соответствует более интенсивному турбулент-
турбулентному переносу тепла и вещества по сравнению с переносом количе-
количества движения (см. рис. 6.5). Это значит, что турбулентное число
Прандтля меньше 1.
Для осесимметричной струи /?Гр.т = ^гр.с~ l,187?rp.u и Ргт~0,8.
Для плоскопараллельной струи /?Гр.т = #гр.с«1.45/?гр.и и Ргт~
«0,5.
При этих условиях безразмерные поля скорости, температуры и
концентрации сливаются
Однако, для упрощения исследования обычно принимают, что
границы струи по температуре и концентрации совпадают с грани-
границами по скорости /?rp.T = ^r.pc=^rp.w=^rp.w(^). При этом граничные
условия несколько изменяются
(JL.) =^
\ЬТт)г? \кст
В этом случае безразмерные поля температуры и концентрации
хорошо аппроксимируются формулой
( у \ту*г,,и-ияугт
\2,27yJ J {um— uj
Универсальные поля скорости и температуры сравниваются на
рис. 17.2. В данных координатах большая наполненность поля
температур, по сравнению с полем скоростей, указывает на уже от-
отмечавшуюся более интенсивную передачу тепла поперек струи по
сравнению с передачей количества движения. В связи с этим, ядро
постоянных температур и концентраций короче ядра постоянной
скорости и безразмерные температура —~ и концентрация
Tq— Тн
Ст~~ Сн вдоль оси х уменьшается быстрее, чем безразмерная
с0— сн
скорость ада~а* (см. рис. 17. 1).
ио — ин
Уравнения A7.2) ... A7.5) замечательны тем, что не зависят от
индивидуальных свойств струи и позволяют определить искомые
поля скорости, температуры, плотности и концентрации, если опре-
определены границы струи #rp.u=^rp.u(X) или bTV.u = bv^u(x) и значения
параметров на оси струи ит, Тт, ст (в изобарных струях поле
плотности определяется полем температуры Q=pl{RT).
Итак, струйные течения обладают свойствами, характерными
для пограничного слоя: поперечные размеры течения малы по
сравнению с продольными, поперечная скорость мала по сравне-
332
нию с продольной v<^uy поперечный градиент продольной скорости
больше продольного ди/ду^ди/дх, безразмерные поля скорости,
температуры и концентрации универсальны.
Особенности свободной турбулентности. В при-
пристеночном турбулентном пограничном слое стенка гасит пульсации.
Поэтому величина пути смещения или масштаба турбулентности в
поперечных сечениях пропорциональна расстоянию от стенки /==
= ку = 0,4у (см. п. 8.1). Струйный турбулентный пограничный слой
не ограничен стенками. Поэтому величина пути смешения в дан-
данном сечении имеет постоянное значение. Из подобия полей скоро-
скорости следует, что отношение характерных линейных размеров сече-
сечений вдоль оси х величина постоянная, т. е. величина пути смешения
пропорциональна толщине пограничного слоя
//#rp = const; //?rp = const. A7.6)
Опыты показывают, что свободная турбулентность имеет двоя-
кую структуру. Основная часть пульсаций имеет сравнительно ма-
малый масштаб и высокие частоты от нескольких килогерц до 200 Гц
и содержат основную часть турбулентной энергии. На эту структу-
структуру налагается система больших вихрей с частотой пульсаций по-
порядка 20.... 30 Гц. Расширение свободных турбулентных струй оп-
определяется движением этих вихрей, для которых справедлива за-
зависимость A7.6). Большие вихри искривляют границы погранич-
пограничного слоя с ядром постоянной скорости и с окружающей средой
и осуществляют захват нетурбулентной жидкости. Эта модель пред-
предполагает наличие сравнительно резкой границы между турбулент-
турбулентной и нетурбулентной жидкостью, что подтверждается опытом.
В тонком слое, в месте соприкосновения турбулентной и нетурбу-
нетурбулентной жидкостей, должна проявляться вязкость, так как пере-
передача завихренности может происходить только за счет сил сдвига.
Этот тонкий слой называется ламинарным надслоем, по аналогии
с ламинарным подслоем в турбулентном пограничном слое на твер-
твердой поверхности. Очевидно, что в области границ струйного погра-
пограничного слоя течение имеет перемежающийся характер, так как
через данную точку пространства хаотически во времени проходят
моли жидкости различной степени турбулентности. На рис. 17.1 со-
сопоставляются поле скорости и коэффициент перемежаемости у (см.
п. 6.1) в сечении основного участка струи. Вблизи оси струи коэф-
коэффициент перемежаемости равен единице, а в области границы он
резко падает до нуля. Характерно, что ширина струи, определенная
по пульсациям скорости, т. е. по у, всегда превышает ширину, опре*
деленную по осредненной скорости. График распределения степени
турбулентности ги = и'/ит по сечению основного участка струи по-
показывает неравномерность этого распределения. Максимум интен*
сивности примерно соответствует максимуму du/dy.
Расширение границ турбулентной струи. Из фи^
зических представлений о турбулентном движении и из соображе^
ний размерности следует, что скорость нарастания толщины Ь пло-
зза
ского струйного пограничного слоя пропорциональна пульсацион-
ной составляющей поперечной скорости,
dt dx dt dx
По F.16) v' = ufttldu/dy. Ввиду подобия полей скорости гради-
градиент du/dy во всех сечениях пограничного слоя пропорционален мак-
максимальной разности скоростей, отнесенной к его толщине dufdy~
~ (Цт—uH)fb, где ит и ин скорости на внутренней и внешней гра-
границах пограничного слоя, тогда
^~4-(aw —«н), а с учетом (\7.6) — v'~(um — uH).
а
Подставляя значение v' в A7.7), получим, что нарастание толщи-
толщины пограничного слоя по длине струи
J!L V> __K-"hI fl7 gx
dx и \и\ V
пропорционально интенсивности турбулентности vr\u, характерной
для всего данного сечения пограничного слоя. Так как v'/u всегда
положительно, то струя расширяется — db/dx>0. При этом величи-
величина vf является фактором, увеличивающим Ь во времени, а и —
уменьшающим, сносящим приращение Ь вдоль течения.
Характерную скорость и в уравнении A7.8), с учетом
сжимаемости ^ = qh/qo^1, рационально определять как среднемас-
совую для данного сечения пограничного слоя. Однако, скорость
правильно осреднять не по площади сечения, а по толщине погра-
пограничного слоя. Основанием для этого служат экспериментальные
данные, показывающие, что законы нарастания толщины плоской и
осесимметричной струи одинаковы. Итак
ъ ь
uC9=\Qudy/\Qdy. A7.9)
о 6
Вследствие того, что и и g изменяются как вдоль, так и поперек
струи, уравнение A7.8) с использованием ucv получается чрезвы-
чрезвычайно сложным не только для решения, но и для качественного
анализа.
Избыточные скорости Аит=ит—ин, температура АТт = Тт—Гн,
а следовательно и плотность Qm—Qh по длине основного участка
струи по абсолютной величине быстро уменьшаются (см. рис. 17.1),
поэтому сильное влияние сжимаемости газа на форму границы
струи проявляется лишь в переходном участке и в начальной части
основного. Опыты с сильно подогретыми струями показывают, что
почти на всей длине основного участка граница струи слабо изог-
изогнута. Поэтому сложную зависимость A7.9) для характерной ско-
скорости в сечении можно заменить упрощенной:
334
н ^ A7.10)
Qm 4- Qh
Подставляя удвоенное значение и из A7.10) в A7.8), заменяя знак
пропорциональности знаком равенства и константой С, получим за-
закон нарастания толщины струи
Qh 2Л+ Qh Uh )
UHQm \ Qm Urn)
A7.11)
Здесь константа С может быть определена только эксперимен-
экспериментальным путем.
Анализ закона нарастания толщины погранич-
пограничного слоя струй.
1. Затопленная изотермическая струя ин=0, ГО = ГН и qo=Qh-
Для этого простейшего случая из A7.11) получим линейный за-
закон расширения струи
^1=^^С; R3 = Cx; bs=Cx. A7. 12)
dx dx
Прямолинейность границ начального и основного участков изо-
изотермической затопленной струи позволила, на основании обширных
экспериментов, определить величины констант С, которые оказа-
оказались одинаковыми для осесимметричной и плоской струй.
Для начального участка С^0,27; ан^15°30'.) /1Т ЛГкЛ
Для основного участка С»0,22; а^12°30'. J
Эти значения констант сохраняются для любых турбулентных
струй, если только не производится их искусственная турбулизация
перед срезом сопла.
Эксперименты показывают, что полюс, в котором пересекаются
прямолинейные границы основного участка изотермических затоп-
затопленных струй, практически совпадает со срезом сопла (*o = O). По-
Поэтому отсчет абсцисс сечений, как для начального и переходного,
так и для основного участков, в формулах A7.12) следует произво-
производить от среза сопла (см. рис. 17.3).
Расчеты струй, с использованием интегрального уравнения ко-
количества движения и значений константы С (см. п. 17.2), показы-
показывают, что вследствие пространственное™ течения, начальный и пе-
переходный участки осесимметричной струи короче соответствующих
участков плоской при одинаковых законах расширения границ.
В реальных течениях прямолинейные границы начального и основ-
основного участков плавно сопрягаются криволинейной границей пере-
переходного участка.
2. Два полубесконечных потока при qo=qh характерны тем, что
на границах пограничного слоя um = u0 = const и uH=const, поэтому
границы прямолинейны (см. 17.11)
JL = c \и™-а»\ = const и ? = const;t.
dx \am\ + |ан|
335
Сопоставляя эти выражения с A7.12), получим
b = \ат—ин\ ,|^ щ
Ьз \и>т\ + 1«н|
При спутном движении двух полубесконечных потоков ит и ин
«меют одинаковые знаки. Поэтому, с увеличением спутности т —
= ujuo, утолщение пограничного слоя уменьшается. В пределах
€</п<0,5 эксперименты подтверждают закономерность A7.14),
что указывает на стабилизирующее действие спутности, приводя-
приводящее к уменьшению тангенциального разрыва скорости и к сниже-
снижению интенсивности турбулентности (см. рис. 17.1). При 0,5<яг^1
величина 6/&3~0,3 и формула A7.14) не применима.
Задача 17.2. Объясните, почему возникает турбулентный пограничный слой
при т=1, когда тангенциальный разрыв скорости формально отсутствует.
При распространении струи во встречном потоке, скорости на
границах пограничного слоя имеют разные знаки, тогда из A7.14)
имеем
JL.=J±*±3jl = \, A7. 15)
Ьз ит + ин
т. е. при встречном движении струй угол утолщения пограничного
слоя не зависит от соотношения скоростей на границах и всегда
равен углу утолщения затопленной струи. Эксперименты подтвер-
подтверждают этот вывод и показывают, что встречный поток так обтекает
струю, что практически не взаимодействует с ее границами.
3. Струя конечной толщины в спутном потоке (qo = Qh)- В на-
начальном участке um—Uo = const и иИ=const. Поэтому все выводы
для полубесконечных потоков справедливы для начального участ-
участка конечных струй.
Для основного участка формула A7.11) принимает вид
db_ = c\un-u*l % A7.16)
dt \im + ин
При иИ<.и0 величина осевой скорости ит вдоль оси основного
участка уменьшается и стремится к ин. Вследствие этого dbfdx
вдоль оси также уменьшается и граница струи в спутном потоке
криволинейна (рис. 17.4).
4. Затопленная струя, плотность газа которой не равна плотно-
плотности газа в окружающей среде /г = qh/qo^ 1 • Разница в плотностях
может быть достигнута за счет разницы в температурах, так как
для изобарной струи qh/qo = TofTUy либо за счет использования раз-
различных газов. При ин = 0 формула A7.11) принимает вид
—)
dx
Если струя подогрета 0 = 71О/ГН>1 и qh/Qo> 1, то она расширяет-
расширяется в большей степени, чем изотермическая. Длины начального и пе-
переходного участков сокращаются, границы их прямолинейны. В ос-
336
Рис. 17.4. Границы осесимметричных за-
топленных струй при m=uliluo<\
новном участке Qm увеличивается
вдоль оси, приближаясь к qh, поэто-
му границы криволинейны. Однако,
на расстоянии более 50 bQ от сопла,
они приобретают направление, па-
параллельное границам изотермичес-
изотермической струи С = 0,22. Холодная струя
0 = ГО/Т'н<1, qh/qo<1 напротив, расширяется медленнее изотер-
изотермической, но к х>50Ь0 ее границы также принимают направле-
направление, параллельное границам изотермической затопленной струи.
Дальнобойностью струи называется расстояние от среза сопла>
при котором скорость на оси достигает половины исходной ит =
05
50 60 100 120 /42 15 ]
Задача 17.3. При одинаковых Ьо и и0 качественно сравните границы и даль-
дальнобойность следующих струй: затопленных — изотермической, подогретой, ох-
охлажденной; изотермических — затопленной и в спутном потоке.
17.2. РАСЧЕТ СТРУЙ
Для решения поставленной задачи, т. е. для определения пара-
параметров газа в струе и(х, у), Т(х, у), q(x, у) и с(х, у), кроме уже
определенных границ струи A7.12) и A7.13) и универсальных про-
профилей параметров в поперечных сечениях слоя смешения A7.4) и
A7.5), необходимо определить изменение этих параметров вдоль
оси основного участка струи um{x), Tm(x), Qm(x) и cm(x). Для это-
этого используем следующие основные уравнения газовой динамики в
интегральной форме.
1. Уравнение количества движения. Выделим произвольный ко-
конечный участок изобарной осесимметричной затопленной струи.
Напряжения трения на контрольной поверхности равны нулю — от-
отсутствуют поперечные градиенты скорости. Силы давления уравно-
уравновешиваются вследствие изобарности струи. Таким образом, проек-
проекция на ось х суммы сил, действующих на элемент, равна нулю и
уравнение выражает постоянство количества движения в любом се-
сечении струи:
A7.18)
где у — текущий радиус точки сечения, в которой скорость равна
и, а плотность — q.
В более общем случае спутной струи абсолютная величина ко-
количества движения увеличивается по мере удаления сечения от соп-
сопла за счет непрерывно добавляющейся массы спутного потока, об-
обладающей количеством движения, равным произведению массы на
скорость спутного потока. Примем за начало отсчета скорость спут-
спутного потока г/н, тогда уравнение будет выражать закон сохранения
337
избыточного количества движения масс жидкости, протекающих в
*гр
различных сечениях, например Qo#oJtA?o< f QU22nydy, но
A7.19)
о
С помощью уравнения A7.19) и экспериментальной константы
С определяется ит=ит(х).
2. Уравнение сохранения энергии выражает постоянство для
всех сечений струи избыточной энтальпии газа по отношению к эн-
энтальпии окружающей среды. За начало отсчета температуры при-
принимается температура окружающей среды Гн.
CPoQQUo(T-Tn)!tI$= \?CpQu(T~THJnydy. A7.20)
о
Это уравнение используется для определения Тт=Тт(х) и, следо-
следовательно, Qm = Qm(x).
3. Уравнение сохранения массы избыточного компонента для
любого сечения струи
Со — О я/?о = ^ qu {с — О 2nydy A7. 21)
используется для определения cm=cm(x).
Свободные турбулентные струи при конечных размерах началь-
начальных поперечных сечений не осесимметричной формы деформируют-
деформируются и в основном участке становятся осесимметричными. Поэтому
рассмотрим расчет осесимметричной струи, имеющей наибольшую
значимость.
Затопленная осесимметричная струя. Пусть зада-
заданы радиус сопла Ro и следующие идеализированные условия: рав-
равномерные поля скорости ио<а, температуры 8 = (Г0/Гн)-^1, плотно-
плотности п= (qh/qo)-^1 и концентрации избыточного элемента (со/сн)-">-1
(см. рис. 17.3).
Требуется определить ит(х), Тт(х), дт(х)> ст(х).
В рассматриваемых условиях изменение параметров в струе оп-
определяется только начальным импульсом qqUo2tiRo2. Температура,
плотность, концентрация избыточного компонента и давление во
всем поле течения практически постоянны и поэтому являются пас-
пассивными параметрами, не влияющими на характеристики струи.
Для определения изменения скорости вдоль оси основного уча-
участка используем A7.18), приведя его к безразмерному виду
2 J (u/u0YJL-d(y/R0)=--L A7.22)
- о
338
Заменим у//?гр = Ч; d(yjRrp)=dr\;-%-=---?- ^-; JL^JLIhl .
Учитывая, что /?гр/#о и ит/по не зависят от у и tj и могут быть
вынесены за знак интеграла, получим
1
)
Подставляя значение и/ит из A7.2), получим, что\ ] v\dr\=
О
= 0,067 и тогда из A7.23) найдем связь между безразмерным ра-
радиусом поперечного сечения и безразмерной скоростью на оси это-
этого сечения
D /Г) о Т011 Iii (\1 9ЛЛ
Г\ рр/ /\Q Z/, / ZjICQ/ **-m* V /
Радиус переходного сечения определим из условия ит=ио
7> Г) / г> о 79 ( 1 7 9 ^
дп — An/А о—^,/^. ^ 1 / . ZO/
Длина переходного участка яп определяется из условий
v /г) Г) //°/1> тл DID 9 79* "г Z^" 1С¦—' 9 79/П 99 • 194
тЛ/ it/ • V О \ П/ ^^ ^\ 0 ^^ \ П/ ¦* \ О 5 ^ У */^П V ТТ/ ^* *^"^*-^ -^ ^ / ?j I \J ^ ^ ^ s^***s L Ami ^ Тг •
A7.26)
Абсцисса начального участка в соответствии с эксперименталь-
экспериментальными и расчетными данными [2]
~Z у ID -—' Я П7 97^
•Л/д — *^н' ^0 ^*~' \ /
Отсюда угол между образующей ядра постоянных скоростей и
осью струи аяжТ°- Для плоской струи ^H=W^o^9 и ая^6°30'
(см. рис. 17.3).
Граница основного участка осесимметричной^ и плоской струй
определяется по A7.12) и A7.13) одинаково Л=0,22а;, 5 = 0,22а;.
Осевая скорость газа ит=ит(х) в основном участке осесиммет-
осесимметричной струи определим, используя A7.24), A7.12) и A7.13)
ит _ 12,4
щ x/R0
Подобный расчет для плоской струи дает
ат __ 3,8
. 28)
- и*п=14,4. A7.29)
щ ух/Ь0
Сопоставление A7.28) и A7.29) подтверждает уже отмечав-
отмечавшееся более быстрое затухание скорости в осесимметричной струе.
Объемный расход газа через поперечные сечения основного уча-
участка осесимметричной струи ч
г
Q= \
^-(—\ \ —x\dx\.
0
339
В этом уравнении jti?02«o = Qo — расход газа через сопло,
1
Q/Qo=h9uo/un. A7.30)
Сопоставление A7.30) и A7.28) показывает, что расход газа на
основном участке осесимметричной струи возрастает пропорцио-
пропорционально х. В конце начального участка ит=и0 и QH=l,9Qo.
Изменение температуры газа вдоль оси основного участка Осе-
Осесимметричной ctpyn определим, выполнив преобразования уравне-
уравнения сохранения избыточной энтальпии A7.20), аналогично преоб-
преобразованию уравнения сохранения импульса.
При n = QjQ0-^\, д = Т0/Тн-+\ и Ср = СРо, получим
(
где, в соответствии с A7.5), при РгГ = 0,
Принимая во внимание подобие полей температур и концентра-
концентраций, найдем
iZk = -^?5L = 0,88-^ = -l^.' . A7.31)
АГ0 Ас'о Щ x/R0
Полученные формулы дают возможность рассчитать осесиммет-
ричную и плоскую затопленные изобарные струи только для при-
принятых идеализированных условий, при которых определяющим
активным параметром является только начальный импульс
2R2
В реальных течениях, помимо начального импульса, действует
еще ряд активных факторов, управляющих течениями.
Спутность т = ин/и0 и отношение плотностей я—Qh/qo существен-
существенно влияют на границы струи и изменение параметров в слое сме-
смешения.
Увеличение плотности активной струи, например за счет ее ох-
охлаждения в = Го/Гн<1, приводит к увеличению длины начального
участка струи и к соответствующему смещению кривой, характери-
характеризующей затухание осевой скорости, вдоль оси основного участка
(рис. 17.5).
Аналогичное влияние увеличения спутности показано на рис.
17.4.
Особенно существенное влияние на струйное течение оказывает
неравномерность распределения параметров струи на срезе сопла,
обусловленное пограничным слоем на его стенках. Эта неравномер-
340
ность изменяет начальные интег-
ральные параметры струи: рас-
расход, импульс, энтальпию, что
обычно в расчетах учитывается
введением коэффициентов, оцени-
оценивающих . эту неравномерность.
Кроме того, неравномерность про-
профиля скорости приводит к повы-
повышению уровня турбулентности и
к сокращению длины начального
участка.
При истечении в спутный по-
поток действие внутреннего и внеш-
внешнего пограничных слоев сумми-
суммируется и усиливается. Этим объ-
объясняется развитие конечного тур-
турбулентного слоя смешения при/п=мнМ)=1.
Наконец, существенным фактором, с помощью которого можно
управлять процессами турбулентного смешения, является искусст-
искусственная турбулизация струй, которая становится эффективной при
80>5%.
Исследованием установлено, что различные воздействия на
струи прежде всего влияют на начальный и переходный участки, а
закон изменения параметров вдоль оси основного участка практи-
практически не изменяется. Поэтому, если измерены или рассчитаны абс-
абсциссы переходных сечений соответствующих параметров хии, #пт,
хпс, то изменение этих параметров вдоль оси осесимметричной
струи может быть рассчитано по следующим формулам
20 W
Рис. 17.5. Изменение безразмер-
безразмерной скорости вдоль оси струи в
зависимости от начального подо-
подогрева
АС0
Для плоско-параллельной струи
J/ л: ДГо, У х Дс0 I/ л:
Дй0
A7.32)
т. е. в соответствующих безразмерных осях координат поля осевых
параметров газа универсальны.
Расчет струй при более сложных начальных условиях можно
найти в специальной литературе.
Глава 18
ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ПОТОКАМИ ЖИДКОСТИ
18.1. ПРОФИЛЬ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ.
ПОСТУЛАТ ЖУКОВСКОГО—ЧАПЛЫГИНА
Г/Ж
Woo ^~
Рис. 18.1. Схема
кого профиля
аэродинамичес-
Одной из важнейших задач гидрогазодинамики является изуче-
изучение взаимодействия потоков с крылом и винтом самолета, лопатка-
лопатками компрессоров, газовых турбин, насосов и т. д.
Крыловым профилем или просто профилем называется линия,
очерчивающая поперечное сечение крыла или лопатки. В зависимо-
зависимости от назначения используются профили самых различных форм.
Для обычных дозвуковых профилей
характерны скругленные передние
кромки и заостренные задние (рис.
18.1). Для сверхзвуковых профилей
характерны заостренные как зад-
задние, так и передние кромки.
Геометрические характеристики
? дозвукового профиля: 1) средняя
линия или дуга — геометрическое
место центров окружностей, вписан-
вписанных в профиль; 2) хорда Ь — отре-
отрезок прямой, соединяющий две наи-
наиболее удаленные точки средней ли-
линии; 3) относительная толщина С=
= С/Ь — отношение максимального диаметра вписанной в профиль
окружности к длине хорды. Для современных профилей
С=4 ... 20%; 4) относительная абсцисса хс=хс/Ь — отношение рас-
расстояния от передней кромки до сечения максимальной толщины к
длине хорды хс = 0,2 ... 0,4; 5) относительная кривизна /=//6 — от-
отношение максимальной стрелы прогиба осевой линии к длине хор-
хорды; / = 0...40%; 6) относительная абсцисса Xf=xf/b — отношение
абсциссы сечения с максимальной стрелой прогиба к длине хорды
?/^0,2 ... 0,5; 7) угол атаки а — угол между направлением вектора
скорости Woo невозмущенного потока и хордой профиля; 8) угол
атаки <хо нулевой подъемной силы — угол между хордой и направ-
направлением вектора скорости невозмущенного потока при подъемной
силе Ry = 0, т. е. при бесциркуляционном обтекании профиля; на
рис. 18.1, ао<О; 9) аэродинамический угол атаки сьа — угол между
направлением скорости невозмущенного потока и направлением
нулевой подъемной силы ал=а—ао.
Под аэродинамическими характеристиками профиля понимают
342
характеристики прямоугольного крыла бесконечного размаха. На
всех участках единичной длины такого крыла действуют одинако-
одинаковые полная аэродинамическая сила R, подъемная сила Ry, нор-
нормальная к вектору скорости на бесконечности и сила лобового соп-
сопротивления Rx, совпадающая по направлению с направлением век-
вектора скорости на бесконечности, т. е. исключаются концевые эф-
эффекты, присущие крыльям или лопаткам конечных размеров.
В соответствии с положениями теории подобия используются
не только силы и моменты сил, но и их безразмерные коэффици-
коэффициенты
•-> А , •-» в А^ . /-> Г\х . •"¦ 1Vi
R Л TV73 ' У ^ 1ХГГ2 ' Х Л TV/2 ' т Л TV7-2 '
bz
где R, Ry, Rx — силы, действующие на один погонный метр крыла
бесконечного размаха Н/м; М — момент силы R относительно выб-
выбранной оси; г — характерная длина.
Отношение величины подъемной силы профиля к силе лобового
сопротивления называется качеством профиля
K=R,IR*=cyicx.
Задача 18.1. Покажите, что качество есть отношение проекции на горизон-
.таль длины планирования профиля к высоте, с которой начинается его планиро-
планирование. Подсчитайте, на какое расстояние спланирует с высоты 1000 м планер
(К=38), пассажирский самолет (К=10) и сверхзвуковой лайнер (К=6).
В общем случае Су, СХУ Ст зависят от геометрии профиля или
других тел, угла атаки и от критериев подобия: чисел Re, M и др.,
а также от взаимодействия исследуемых тел с соседними телами.
В динамически подобных системах Су, Сх, Ст и К одинаковы.
Обычно Су, Сх и Ст определяются экспериментально.
Теорема Жуковского о подъемной силе (п. 4.9), постулат Жу-
Жуковского—Чаплыгина (см. ниже) с использованием метода кон-
конформного отображения (см. п. 3.10) позволяют определить вели-
величину Ry и Су теоретически.
В течение ряда лет, после получения Н. Е. Жуковским формулы
подъемной силы /?2/ = рс»№7ооГ, ученые и инженеры не могли ее ис-
использовать при проектировании крыльев, винтов самолетов и лопа-
лопаток турбомашин, так как не были известны причины самопроиз-
самопроизвольного появления циркуляции скорости Г (см. п. 3.5) вокруг про-
профиля и методы расчета ее величины. В 1908 г. Н. Е. Жуковский и
С. А. Чаплыгин сформулировали свой знаменитый постулат.
Постулат Жуковского — Чаплыгина. При безотрыв-
безотрывном обтекании профиля, вокруг него возникает циркуляция скоро-
скорости Г такой величины, при которой струи плавно стекают с задней
острой кромки с конечной скоростью. Постулат — необходимое до-
дополнение к теореме Жуковского. Он определяет причину возникно-
возникновения и величину циркуляции скорости вокруг профиля.
Возникновение циркуляции скорости и распре-
распределение давления по профилю. Циркуляция скорости и
подъемная сила равны нулю при обтекании симметричного профи-
343
Рис. 18.2. Бесциркуляционное об-
обтекание профиля:
а—при нулевом угле атаки; б—пои }г-
ле атаки а
Рис. 18.3. Обтекание профиля с
циркуляцией скорости
ля при нулевом угле атаки сс = О (рис. i8.2). В этом случае задняя
острая кромка совпадает с задней критической точкой или точкой
схода струи. Суммарные силы давления на нижнюю и верхнюю по-
поверхности профиля одинаковы.
При увеличении угла атаки а>0 передняя критическая точка К
перемещается вниз по профилю к точке 5, а точка схода струй В —
вверх по профилю к точке А (рис. 18.2, б). Если было бы возмож-
возможно плавное обтекание жидкостью задней острой кромки, то устано-
установилось бы новое бесциркуляционное обтекание профиля — Г=0,
Ry = 0. Однако, при радиусе закругления острой кромки г-»-0, ско-
скорость безотрывно обтекающей жидкости должна беспредельно воз-
возрастать (см. п. 3.8), так что давление, вычисленное по уравнению
Бернулли, должно было бы неограниченно уменьшаться /?->-(—оо),
что невозможно. В действительности на верхней поверхности про-
профиля самопроизвольно возникает течение жидкости к задней кри-
критической точке, где давление понижено. Это течение возвращает
точку схода струй в заднюю острую кромку профиля. При этом
поток жидкости срывается с острой кромки в виде начального или
разгонного вихря, вращающегося против часовой стрелки с цирку-
циркуляцией (—Г) и сносится потоком (рис. 18.3).
Так как циркуляция скорости в невозмущенном потоке равна
нулю, то по теории Томсона (см. п. 3.5) циркуляция скорости по
жидкому контуру, охватывающему профиль и разгонный вихрь,
должна остаться равной нулю Fs=0, как бы далеко не уносился
потоком разгонный вихрь. Но это возможно только в том случае,
если при срыве разгонного вихря вокруг профиля установится цир-
циркуляция, равная циркуляции разгонного вихря и направленная в об-
344
ратную сторону. При наложении такой циркуляции на гипотетиче-
гипотетическое бесциркуляционное течение (см. рис. 18.2, б) получаем реальп
ное безотрывное обтекание профиля, при котором скорости над
профилем становятся больше, а под профилем меньше скорости нет
возмущенного потока. В соответствии с уравнением Бернулли дав-
давление под профилем повышается, а над профилем — понижается,
что приводит к возникновению подъемной силы.
При дальнейшем увеличении угла атаки или скорости набегаю-
набегающего потока происходит аналогичное явление: с задней острой
кромки срывается новый разгонный вихрь, вращающийся в ту же
сторону, что и первый, и на величину его циркуляции возрастает
циркуляция вокруг профиля, а вместе с ней и^и струи плавно
стекают с задней острой кромки.
При уменьшении угла атаки точка схода струй -сместится на
нижнюю поверхность и с острой кромки сойдет так называемый
остановочный вихрь, вращающийся в обратную сторону. Это приве-
приведет к соответствующему-уменьшению циркуляции вокруг профиля
или даже к изменению ее знака и к уменьшению подъемной силы
или к изменению ее направления. Как показывает опыт, безотрыв-
безотрывное циркуляционное обтекание профиля может происходить в опре-
определенном диапазоне углов атаки и скорсотей. При больших углах
атаки безотрывное обтекание переходит в отрывное.
Определение числовой величины циркуля-
циркуляции скорости для заданных профиля и условий
обтекания (poo, W<x>, a). Ha основании постулата Жуковского—
Чаплыгина определяется точное положение передней и задней кри-
критических точек на профиле в физической плоскости z. Отобразив
профиль и течение около него на вспомогательную плоскость ?
круга (см. п. 3.10), находим соответствующие критические точки
и поток, что и определяет искомую циркуляцию, одинаковую для
круга и профиля в обеих плоскостях и определяемую выражением
r = mubWoo sin (a — aQ) = mubWоо sin ал, A8. 1)
где mu — коэффициент, приближенное значение которого для про-
произвольного профиля имеет вид
A8.2)
Подъемная сила для профиля единичной длины, Н/м
Ry = QW0OT = mubQWl sin aA
И Cy = -^— 2
Для обычно применяемых малых углов атаки sin ал
12 950
A8,
A8.
и
(Iff
A8
.3)
¦4)
.5)
.6)
345
Если задняя кромка закруглена, то для определения циркуля-
циркуляции скорости необходимы дополнительные условия.
Задача 18.2. Объясните, почему для обычных самолетов необходимы доста-
достаточно длинные взлетно-посадочные полосы.
Подъемная сила плоской пластины при без-
безотрывном дозвуковом обтекании идеальной жид-
жидкостью. Полагая в A8.2) С = 0 и f = 0, получим
Су = 2па. A8.7)
Равнодействующая сил давления на верхнюю и нижнюю поверх-
поверхности перпендикулярна к пластине. Кроме того, при обтекании пе-
переднего торца конечной толщины, давление на него понижается, в
результате чего вдоль пластины действует тянущая сила. Подъемная
Сила является равнодействующей этих сил и по теореме Жуков-
Жуковского перпендикулярна вектору скорости невозмущенного потока.
Если пластина очень тонка, то обтекание передней кромки яв-
является отрывным. К отрывному обтеканию теорема Жуковского не
применима.
Задача 18.3. Обоснуйте форму профиля, приведенного на рис. 18.1: закруг-
закругление передней и заострение задней кромок, изогнутость / и СфО.
Задача 18.4. Человек, массой т = 80 кг поддерживается в воздухе при q=
= 1,2 кг/м3 воздушным змеем, который буксируется со скоростью №оо = 100 км/ч.
Определить площадь змея при угле атаки а=3°, если он выполнен: а) в виде
Йрбфиля С=1О%; /=2%; ао=3°; б) © виде плоской пластины. Ответ: Sa =
^=2,34 м2; S6 = b м2.
18.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТЕЛ С ПОТОКАМИ
РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Возникновение подъемной силы при обтекании тел реальными
жидкостями определяется теоремой Жуковского и постулатом Жу-
Жуковского—Чаплыгина так же, как в уже изученном обтекании тел
идеальной жидкостью.
При обтекании тел реальной жидкостью всегда возникает сила
лобового сопротивления Rx — сумма проекций на направление ско-
скорости невозмущенного потока сил трения Rx тр и сил давления Rx д
жидкости, действующих на поверхность тела. Направление силы
лобового сопротивления совпадает с направлением скорости невоз-
невозмущенного потока, т. е. противоположно направлению движения
тела. Полная аэродинамическая сила R равна векторной сумме
Подъемной силы и силы лобового сопротивления R=Ry+Rx.
Силы лобового сопротивления крыла или лопатки турбомашины
состоит из сопротивлений профильного RXp, волнового Rxb и индук-
индуктивного Rxi
И 8 8)
т. е. C C + C + C I
Профильное сопротивление это сопротивление бес-
бесконечно длинного крыла при обтекании его с дозвуковой скоро-
346
стью. Оно слагается из сопротивлений трения и давления
Схр=Схтр + Сха. A8.9)
Возникновение этих составляющих обусловлено существовани-
существованием пограничного слоя на поверхности тел при обтекании их вязкой
жидкостью. Причины появления силы трения и методика расчета
ее величины были изучены в гл. 15. Сила лобового сопротивление
давления /?хд возникает вследствие взаимодействия пограничного
слоя с внешним потоком. Для простоты, рассмотрим обтекание
симметричного профиля при нулевом угле атаки. При обтеканиц
его идеальной жидкостью сила сопротивления давления, действу*-
ющая на переднюю часть профиля ^дп, полностью уравновешива-
уравновешивается силами давления тяги, действующими на кормовую часть про-
профиля Rx Дк и сопротивление давления равно нулю.
Для того, чтобы найти распределение давления по поверхности
профиля, обтекаемого реальной жидкостью, следует рассмотреть
обтекание идеальной жидкостью профиля, все сечения которого
увеличены на две толщины вытеснения пограничного слоя б* =
= 6*(x) (см. п. 15.1]. В этом случае распределение давления на пе-
переднюю часть профиля практически не изменится из-за малого зна-
значения б и б* на этом начальном участке конфузорного течения*
В кормовой диффузорной области течения б и б* увеличиваются
существенно, поперечные сечения каналов между линиями тока и
статическое давление увеличиваются в меньшей степени, чем в иде-
идеальном случае. Это приводит к уменьшению силы давления на кор-
кормовую часть профиля и к возникновению силы лобового сопротив-
сопротивления давления Яхд = ЯХлд—#хДК>0.
Задача 18.5. Нарисуйте схемы распределения статического давления по про-
профилю при обтекании его идеальной и реальной жидкостью и докажите, что в
первом случае Rx д = 0, а во втором — Rx д>0.
Для определения силы Rx лобового сопротивления тела приме*
ним теорему количества движения к контрольному объему жидко-
жидкости (см. п. 4.1), включающему обтекаемое тело (рис. 18.4) *. При-
Рис. 18.4. Лобовое сопротивление профиля Сх
* Формула подъемной силы Ry = pooWooT также может быть получена из
теоремы количества движения.
12*
347
менение теоремы количества движения основано на том, что тело
действует на жидкость с силой, равной силе лобового сопротивле-
сопротивления, но противоположно ей по направлению, что вызывает соответ-
соответствующее этой силе уменьшение количества движения жидкости.
Это проявляется в существовании за обтекаемым телом аэродина-
аэродинамического следа, т. е. спутной струи. Частицы жидкости, подтормо-
подторможенные в пограничном слое, попадают в этот след и постепенно,
обычно турбулентно, смешиваются со сносящим потоком. Границы
следа расширяются, а скорость на оси увеличивается, приближаясь
в бесконечности к скорости невозмущенного потока (см. гл. 17) *.
Непосредственно за плохообтекаемым телом давление в следе мо-
*жет быть существенно ниже давления в невозмущенном потоке.
'Однако, оно очень быстро выравнивается, в то время как отличие в
скорости остается на больших расстояниях за телом.
Таким образом, все пространство, окружающее обтекаемое те-
тело, можно разделить на три качественно различные области: потен-
потенциальный поток, пограничный слой и след, в котором господствуют
законы свободных турбулентных струй.
Применив для жидкости в контрольном объеме ABCD интег-
интегральное уравнение количества движения D.11) и учитывая, что
расход жидкости через сечения АВ и CD одинаков, получим
или
A8.10)
Формула A8.10) показывает, что возникновение силы лобового
сопротивления объясняется рассеянием механической энергии в
потоке вследствие вязкости жидкости, т. е. возрастанием энтропии.
Для определения Сх необходимо знать распределение параметров
потока на контрольной поверхности.
Задача 18.6 Определить Сх профиля (см. рис. 18.4), если хорда Ь = 2 м;
6 = 0,2 м; №оо = 100 м/с; Wm = 90 мс. Принять, что распределение скоростей ли-
линейное, а давление на всех границах постоянно р=Роо. Ответ: Сж = 0,'02.
Хорошо- и плохо обтекаемые тела. Тела, обтекаемые
без отрыва пограничного слоя называются хорошообтекаемыми; с
отрывом — плохообтекаемыми. Обтекаемость тел может характери-
характеризоваться соотношением сил сопротивления трения и давления. Об-
Обтекаемость тел, так же как величина аэродинамических коэффи-
коэффициентов, зависит от формы тел, угла атаки, чисел " Рейнольдса и
Маха, взаимодействия с окружающими телами и т. д.
Сопротивление тонких профилей при дозвуковом безотрывном
обтекании обусловлено почти исключительно трением. При малых
Re^<ReCCKp и нулевом угле атаки сопротивление тонкого профиля
практически равно сопротивлению тонкой пластины при ламинар-
* Формула поля скоростей A7.2) получена Шлихтингом для дальнего следа.
348
ном пограничном слое. При уве-
увеличении Rex>ReXKp сопротивле-
сопротивление увеличивается за счет появ-
появления турбулентного погранично-
пограничного слоя. Скругление передней
кромки позволяет избежать от-
отрыв потока при изменении угла
0,02
~- —
/
А
L
-1
/
**А
J
0,2
Рис. 18.5. Зависимость
•сопротивлений трения и
давления от относитель-
относительной толщины профиля
{поток дозвуковой)
Рис. 18.6. Экспериментальная
кривая Су(а) для единичного
профиля
атаки от нулевого. Заострение задней кромки обеспечивает плав-
плавный сход струи с нее в определенном диапазоне углов атаки и по-
получение подъемной силы, а также малые dp/dx в кормовой части
профиля и безотрывное его обтекание.
С увеличением относительной величины С профиля увеличива-
увеличивается диффузорность течения в его кормовой части и сопротивление
давления (рис. 18.5).
Зависимость Су и Сх несимметричного профиля от угла атаки а
приведена на рис. 18.6. Для несимметричного профиля угол нуле-
нулевой подъемной силы отрицателен (ао= —7°). При а<а0 подъем-
подъемная сила направлена вниз Ry<0, Cy<0. Вначале Су возрастает
пропорционально а, что качественно соответствует теоретической
зависимости A8.6), однако измеренные значения Су получаются
меньше теоретических за счет влияния вязкости. При критическом
угле атаки аКр коэффициент подъемной силы достигает максимума
и при дальнейшем увеличении резко падает, а Сх возрастает. Это
объясняется тем, что отрыв пограничного слоя при увеличении а в
области акр распространяется на все большую часть верхней по-
поверхности профиля. Это приводит, с одной стороны, к уменьшению
давления на кормовую часть, что увеличивает Сх, и к увеличению
давления на среднюю часть верхней поверхности профиля, разре-
разрежение над которой имеет наибольшее значение в образовании
подъемной силы. Все это происходит за счет уменьшения циркуля-
циркуляции скорости около профиля при отрывном обтекании задней ост-
349
рой кромки *. Любой из рассмотренных ранее методов ликвидации
отрыва пограничного слоя (см. п. 15.6) может обеспечить увеличен
ние акр и Су.
Коэффициент лобового сопротивления плохо-
обтекаемых тел. Рассмотрим зависимость Cx=f(Re) на при-
примере обтекания шара при Моо = 0 и постоянной интенсивности тур-t
булентности г<х> невозмущенного потока (см. рис. 5.2).
I. При малых числах Reoo<100 отрыв пограничного слоя отсут-
отсутствует, картина обтекания шара близка к картине обтекания шара
идеальной жидкостью и сила лобового сопротивления является
почти исключительно силой сопротивления трения. Резкое сниже-
снижение Сх с увеличением Re<x> показывает, что в этой области сила
сопротивления пропорциональна скорости Woo, что характерно для
ламинарного течения.
II. При 100<Reoo<2,5-103 в кормовой части возникает неустой-
неустойчивое вихревое движение. Это понижает давление в кормовой час-
части и приводит к увеличению сопротивления давления и замедле-
замедлению падения Сх с увеличением Re<x>.
III. В области 2,5-103<Reoo<2-105 ламинарный пограничный
слой отрывается от поверхности шара. Положение точки (линии)
отрыва ламинарного пограничного слоя не зависит от Re*, и
происходит в одной и той же точке S при <р«80° при dp/dxX
X (8*J/|iooWcx>= 1,92 (см. п. 15.6), т. е. при dp/dx>0. Это указывает
на то, что при обтекании шара вязкой жидкостью, точка минималь-
минимального давления М располагается, вследствие воздействия погранич-
пограничного слоя на поток, при ф^70°, а не при 90°, как в случае идеаль-
идеальной жидкости. Ламинарный пограничный слой, оторвавшийся от
поверхности, продолжает на некотором расстоянии \s—Т течь в ви-
виде ламинарной струйки. Образовавшаяся поверхность тангенци-
тангенциального разрыва скорости неустойчива, поэтому в сечении Т возни-
возникает интенсивная струйная турбулентность. В результате интенсив-
интенсивного турбулентного обмена жйкость подсасывается оторвавшимся
(активным) потоком из кормовой области, где давление понижает-
понижается до величины р=(р—Poo)/(q«>№W2) «—0,4 аналогично тому, как
это происходит при поперечном обтекании цилиндра, где рж —1,2
(см. рис. 4.13). На расстоянии одного-двух диаметров шара давле-
давление в среде сравнивается с давлением в окружающей среде р = 0 и
из этой области возникает встречный завихренный поток к кормо-
кормовой поверхности шара — зона обратных токов.
Пониженное давление на кормовую часть плохообтекаемого те-
тела называется донным давлением. Разность сил давления на лобо-
лобовую и кормовую поверхности и представляет силу лобового сопро-
сопротивления давления, которая доминирует в этой области чисел Re.
Здесь положение точки отрыва ламинарного пограничного слоя не
изменяется и коэффициент лобового сопротивления сохраняет пос-
* При отрывном обтекании острой кромки скорость вязкой жидкости имеет
конечную величину, так как эта кромка оказывается «скругленной» вихрем, об-
образующимся из заторможенных в пограничном слое частиц.
350
тоянное значение для шара С* = 0,45 ... 0,47 (для цилиндра Сх& 1,3)
и сила лобового сопротивления Rx~Woo2. Область III называется
областью локальной автомодельности по числу Рейнольдса.
В этой области происходит перестройка структуры обтекания. При
увеличении числа Рейнольдса Re*, увеличивается интенсивность
турбулентности в области обратных токов и точка Т перехода ла-
ламинарного течения в турбулентное приближается к точке 5 отрыва
ламинарного пограничного слоя.
\
Рис. 18.7. Степень тур-
турбулентности в зависимо-
зависимости от критического чис-
числа Рейнольдса
Рис. 18.8. Волновой кризис
IV. При Reoo»3,2-105 наблюдается кризис сопротивления, при
котором Сх уменьшается в 3 ... 5 раз при незначительном увеличен
нии числа Рейнольдса. Это интересное явление объясняется тем,
что при ReooKp точка перехода Т совпадает с точкой отрыва S ла-
ламинарного пограничного слоя, т. е. ламинарный пограничный слой
турбулизуется перед его отрывом. Турбулентный пограничный слой
обладает большей сопротивляемостью отрыву. Поэтому точка от-
отрыва, теперь уже турбулентного пограничного слоя, резко, кризис-
кризисным образом, перемещается по потоку и устанавливается при угле
<р= 120 ... 140° в области большего dp/dx>0. Обтекание шара улуч-
улучшается, кормовая поверхность шара, на которую действует пони-
пониженное давление, уменьшается и Сх уменьшается за счет уменьше-
уменьшения сопротивления давления (сопротивление трения увеличивает-
увеличивается за счет появления турбулентного пограничного слоя). При
Reoo>ReooKp снова наступает зона автомодельности по числу Re<x>,
что соответствует постоянному положению линии отрыва турбулен-
турбулентного пограничного слоя.
В области 2,5- 103<Reoo<2-105 можно снизить Сх с 0,47 до 0,1,
если искусственно турбулизовать ламинарный пограничный слой,
например, установив перед точкой отрыва S на поверхности шара
турбулизующее колечко из тонкой проволоки.
Измерение интенсивности турбулентности в
потоках методом шар а. Положение точки Т перехода лами-
ламинарного пограничного слоя в турбулентный зависит от степени тур-
351
булентности е<х> набегающего потока и шероховатости поверхности
шара. Зависимость ReooKp=/(eoo) при гидравлически гладком шаре
представлена на рис. 18.7. Эта строго выполняющаяся зависимость
используется для определения степени турбулентности потока по
измерению Сх шара. При этом, за Re^p принимают значение числа
Reoo, при котором C 03
0.06
1=3,0
OJ 0,8 0>9 10 7,/
OJ 0,8 0,9 W V
12
Рис. 18.9. Схема обтекания крылового профиля при околозвуковых
скоростях и зависимость Сх и Су от числа М«>
Плохообтекаемые тела широко используются в качестве пара-
парашютов, тормозных щитков самолетов, стабилизаторов пламени в
форсажных камерах сгорания ТРД и в различного рода турбули-
заторах потоков.
Влияние сжимаемости газа или числа Моо н а
величину Су и Сх. Волновое сопротивление. J>ac-
смотрим течение идеального газа при р<х> = const между верхней по-
поверхностью профиля и отвердевшей поверхностью тока (рис. 18.8).
Увеличение числа М^ в этом случае соответствует увеличению пол-
полного давления невозмущенного потока Plo=P
При увеличении М*, от 0 до 0,3 сжимаемость газа практически не
проявляется, скорость в любых сечениях струйки, например lji 2,
изменяется в одинаковой степени, коэффициент давления р2 =
Р2—РОО со— 2 \л оо 1 т е остается ПОСТОЯННЫМ И Сх И
2 2
Су2 сохраняют неизменное значение (рис. 18.9).
При 0,3<Моо<Мкр сжимаемость жидкости проявляется в том,
что максимальная скорость течения, например в минимальном се-
352
чении 2 увеличивается в большее число раз, чем увеличивается
№«>. Это объясняется уменьшением плотности при ускорении газа.
Такое увеличение скорости вызывает соответственное уменьшение
давления P2IP00* и увеличение Су.
Теоретические расчеты и опыты показывают, что Су профиля
и области 0,3<Моо<Моокр следует рассчитывать по формуле*
Cy = CyH/V\-N[b A8.11)
где Су н — коэффициент подъемной силы данного профиля при за-
заданном угле атаки в потоке несжимаемой жидкости (Моо<;0,3).
При кризисе Моо = Мкр<1 скорость в минимальном сечении '2
достигает скорости звука, а давление — критического минимально-
Р2кр / 2 \——
го значения —— =[ )к-1 = яA). При дальнейшем увеличении
Р \к+1/
Моо>Мкр отношение /?2кр/Роо* не изменяется, поэтому Р2кр = Р*°°п 0)
увеличивается и Су уменьшается.
Коэффициент лобового сопротивления Сх профиля в области
0,3<Моо<Мкр сохраняет неизменное значение вследствие сохра-
сохранения неизменной картины течения и картины распределения дав-
давления по профилю (при обтекании профиля идеальным газом
Ся = 0).
Область обтекания профиля Мкр<Моо<;1 качественно отлич-
отлична от области Моо^Мкр. При Моо>МКр, за минимальным сечением
2, поток, становясь сверхзвуковым, продолжает ускоряться в рас-
расширяющемся канале, а давление — падать. Сверхзвуковая область
замыкается скачком уплотнения. Связанное с этим понижение ста-
статического давления на кормовую часть профиля (см. п. 15.6) вызы-
вызывает резкое увеличение лобового сопротивления давления (см. рис.
18.8), которое в связи с причиной возникновения называется волно-
волновым сопротивлением.
Увеличение Сх продолжается и при Моо>1 за счет образования
перед профилем головной ударной волны.
При дальнейшем увеличении числа Моо, когда угол со полукли-
полуклина сверхзвукового профиля становится меньше (Ощах (см. рис. 12.7),
отошедшая ударная волна превращается в присоединенные косые
скачки уплотнения и Сх начинает снижаться вместе с уменьшени-
уменьшением угла косых скачков и волновых потерь.
При увеличении Моо>3 ... 5 углы головных косых скачков уплот-
уплотнения изменяются незначительно (см. рис. 12.7) и Сх перестает за-
зависеть от числа Моо.
Область МКр<Моо<1 называется областью волнового кризиса
сопротивления или звуковым барьером, так как в ней происходит
пяти-, десятикратное увеличение Сх при незначительном увеличе-
увеличении Моо.
* Число Моо = Мкр<1 называется число М невозмущенного потока при ко-
котором скорость потока в некотором сечении около профиля достигает значения
.местной скорости звука.
353
Стреловидное крыло — это крыло, передняя кромка ко-
которого образует с поперечной осью самолета угол стреловидности
X (см. рис. 18.8, б).
Поток, обтекающий стреловидное крыло, можно представить
как сумму двух потоков: 1) тангенциального Wt = W^ sin% текуще-
текущего вдоль крыла и не влияющего на распределение давления по
профилю (если пренебречь влиянием вязкости); 2) нормального к
крылу Wn = W00cos%J определяющего распределение давления по
профилю. Следовательно, эффективное число Мп, определяющее
характер обтеканий профиля
меньше числа Мао, чем больше
угол стреловидности.
Результаты опытов показы-
показывают, что увеличение угла
стреловидности приводит к
увеличению Л4кр, существенно-
существенному снижению максимального
0,2
Рис. 18.10. К обтеканию шара
значения Сх и смещению его
в область более высоких чи-
чисел Моо. Поэтому все современ-
современные сверхзвуковые самолеты имеют стреловидные крылья.
В действительности, тангенциальная составляющая потока вза-
взаимодействует с пограничным слоем, снося его вдоль крыла. Это
уменьшает положительный эффект стреловидности. Для устране-
устранения этого вредного влияния вязкости на поверхности крыла уста-
устанавливаются ребра, препятствующие перетеканию пограничного
слоя.
Уменьшение удлинения T = lfb крыла приводит к увеличению
Мкр и к снижению Сх (см. рис. 18.8, б) за счет уменьшения разре-
разрежения около верхней поверхности крыла. Последнее объясняется
усилением эффекта перетекания воздуха (см. ниже) и использова-
использованием относительно более тонких профилей.
Звуковой барьер в авиации был преодолен за счет двух техни-
технических достижений:
1) замены поршневых авиационных двигателей реактивными,
что обеспечило получение потребных тяг при малом весе силовой
установки;
2) резкого снижения лобового сопротивления крыла и летатель-
летательного аппарата за счет улучшения их газодинамических характери-
характеристик.
Влияние сжимаемости на обтекание плохооб-
текаемых тел. В качестве примера рассмотрим обтекание
шара. Для шара Мкр^0,6 (рис. 18.10). При Моо<Мкр сжима-
сжимаемость газа проявляется в увеличении абсолютных значений
dp/dx^O. Это приводит к стабилизации ламинарного погранично-
пограничного слоя и затягиванию кризиса сопротивления на большие числа
ReKp, например, ReKp~4,57-105 при Моо = 0,5 вместо ReKP = 3,2-105
при Моо = 0 (см. рис. 5.2).
354
При Моо>Мкр на поверхности шара образуется зона сверхзву-
сверхзвуковой скорости, замыкающаяся скачком уплотнения, который, не-
независимо от режима течения в пограничном слое, вызывает его от-
отрыв. В связи с этим, при Мкр<Моо<1 кризис сопротивления шара
со снижением Сх (см. рис. 5.2) совсем не возникает (Сх не зависит
от Reoo).
При увеличении числа Моо в области Мкр<<Моо<1 наблюдается
резкое увеличение сопротивления шара, совпадающее с появлени-
появлением ударных волн. Точка отрыва пограничного слоя смещается по
направлению к передней критической точке (рис. 18.10) и обра-
образуется турбулентный след большего диаметра с пониженным дав-
давлением на кормовую поверхность шара. При Моо>1 перед шаром
устанавливается отошедшая криволинейная ударная волна и Сх
продолжает повышаться и достигает величины Схтах~1,05 при
MooS 1,7.
Как показывают эксперименты, точка отрыва пограничного
слоя смещается на корму на угол 9 ~ 110°, зона пониженного дав-
давления сокращается и в связи с этим наблюдается незначительное
снижение Сх.
При обтекании затупленного тела сверхзвуковым потоком ото-
отошедшая ударная волна ни при каких числах М» не может транс-
трансформироваться в присоединенную, как это имеет место при заост-
заостренных телах.
18.3. КРЫЛО КОНЕЧНОГО РАЗМАХА.
ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Пусть крыло конечного размаха / установлено в потоке идеаль-
идеальной жидкости под положительным углом атаки а и имеет циркуля-
циркуляцию скорости Г, направленную по часовой стрелке и положитель-
положительную подъемную силу (рис. 18.11, а). В этом случае давление жид-
жидкости на нижней поверхности крыла больше, чем на верхней рНИж>
>рв. Концевые эффекты крыла конечного размаха состоят в том,
что возникает самопроизвольный поперечный ток жидкости из об-
области большего давления в область меньшего: на нижней поверх-
поверхности крыла — от оси симметрии к торцам; затем вокруг торцов;
на верхней поверхности — от торцов к оси симметрии. Взаимодей-
Взаимодействие этого тока с невозмущенным потоком приводит к образова-
образованию около торцов вихревых шнуров и вихревой пелены за задней
кромкой. Вихревые шнуры вызывают отклонение невозмущенного
потока вниз, уменьшая действительный угол атаки по сравнению с
геометрическим, что и является причиной появления индуктивного
сопротивления.
При отрицательном угле атаки изменяются на обратные нап-
направления циркуляции скорости, подъемной силы (/?ниш<Рв), попе-
поперечного тока и направление отклонения потока. Индуктивное соп-
сопротивление сохраняется. Только при установке крыла на угол ну-
нулевой подъемной силы (Г = 0; Ry = 0, рНиж = рв) поперечные токи
прекращаются, пропадают вихри и индуктивное сопротивление.
355
Для того, чтобы определить подъемную силу и индуктивное сопро-
сопротивление крыла конечного размаха, используют вихревую модель
крыла.
Крыло бесконечного размаха воздействует на обтекающий его
поток как бесконечный, так называемый присоединенный вихрьу
имеющий циркуляцию крыла Г и расположенный вдоль его разма-
размаха. В простейшей вихревой схеме крыло конечного размаха заме-
заменяется присоединенным вихрем с постоянной циркуляцией Г. Вихрь
Рис. 18.11. Крыло конечного размаха: *
а—простейшая вихревая схема с П-образным вихрем; б—скос потока за крылом конечного
размаха
не может окончиться в жидкости (см. п. 3.5), и за торцами крыла
подхватывается потоком и вытягивается вдоль линии тока в беско-
бесконечность. Эти вихри называются свободными или вихревыми усами
и имеют циркуляцию скорости Г такую же, как у присоединенного
вихря. В первом приближении принимают, что крыло конечного
размаха действует на поток так же, как П-образный вихрь, состо-
состоящий из присоединенного вихря и двух свободных вихрей *.
Свободные вихри индуцируют за крылом вертикальное поле ско-
скоростей, направленное вниз, вызывающее отклонение всего потока
на угол Да (рис. 18.11, б).
Средняя скорость скоса потока определяется величинами цир-
циркуляции скорости и относительного размаха крыла (см. Юрьев
Б. Н. Экспериментальная аэродинамика, ч. II. Оборонгиз>
М. 1938.):
^CjziiyW^ A8.12)
* В действительности циркуляция скорости и подъемная сила изменяются
вдоль конечного размаха, достигая максимального значения в области оси сим-
симметрии и уменьшаясь до нуля у торцов. Однако принятая схема правильно ил-
иллюстрирует физическую картину течения и для прямоугольного в плане крыла
обеспечивает получение результатов, удовлетворительно согласующихся с
опытом.
356
где l=lfb— относительный размах или удлинение прямоугольного
крыла.
Угол скоса потока
весьма мал, так как t;Cp<C^H. Поэтому tgAa^sin Да^Да и
cos Да» 1. >
Таким образом приходим к выводу,_что^кры_ло конечного раз-
размаха обтекается потоком со скоростью W=WH + vcv, равной при-
примерно WH и направленной под истинным аэродинамическим углом
атаки щ = а—Да, где а — геометрический угол атаки.
В соответствии с теоремой Жуковского на крыло действует
сила
направленная перпендикулярно вектору скорости W, т. е. отклонен-
отклоненная от направления, перпендикулярного вектору скорости набегаю-
набегающего потока WH.
Проекция силы R на ось у дает подъемную силу крыла конечно-
конечного размаха
#,, = /? cos Да ^/?.
Проекция силы R на направление невозмущенного потока дает
силу индуктивного сопротивления
/?*, = /? sin Aa = /?Aa=QHU7Hr/Aa.
Коэффициент индуктивного сопротивления крыла конечного
размаха определим с учетом, что Y = CybWnf2
Cxi=Cyba = Cy/nl. A8. 13)
Итак, крыло конечного размаха обладает специфическим индук-
индуктивным сопротивлением даже при обтекании его идеальной жидко-
жидкостью.
Коэффициент индуктивного сопротивления пропорционален
квадрату коэффициента подъемной силы и обратно пропорциона-
пропорционален удлинению крыла. Следовательно индуктивное сопротивление
отсутствует либо в случае нулевой подъемной силы (Су = 0), либо'
при бесконечном удлинении крыла (Г«оо).
Индуктивное сопротивление образно называют платой за подъ-
подъемную силу крыла конечного удлинения, так как для него невоз-
невозможно получить подъемную силу без индуктивного сопротивления/
При прочих равных условиях крыло большего удлинения имеет
и большую подъемную силу и меньшее индуктивное сопротивление.
Планеры летают на малых скоростях. Поэтому для них индуктив-
индуктивное сопротивление имеет существенное значение. Для его сниже-
снижения увеличивают удлинение Г=20... 30 вместо 1=6... 7 для пасса-
пассажирских самолетов.
Задача 18.7. Придумайте устройство, уменьшающее Cxi заданного крыла
при заданном угле атаки.
357'
18.4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕШЕТОК ПРОФИЛЕЙ.
ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО ДЛЯ РЕШЕТОК
Профилированные лопатки, установленные на вращающихся ра-
рабочих колесах лопаточных машин (турбомашин), образуют рабо-
рабочие решетки (рис. 18.12). Кроме них, турбомашины имеют нейо*
движные решетки — направляющие, спрямляющие, сопловые. Жид-
Жидкость, протекая по межлопаточным каналам решеток, взаимодейст-
взаимодействует с лопатками, изменяет направление своего движения и пара-
параметры. Механическая энергия подводится к рабочему колесу комп-
компрессора извне. Лопатки рабочей решетки совершают техническую
с"*
\
1
L
Г
J
////////л
Рабочая
лопатка
2
\\\
1
1
+
2
1 1 !
•
\
J
'/ / / / г^~ / / /
Лопатка
спрямляю
щего
аппарата
сзад
'Pf
Рис. 18.12. Ступень осевого компрессора
работу над газом (/к = *з*—И*)* увеличивая его энергию и подавая
газ вдоль оси машины (отсюда осевой компрессор) к потребителю.
На вращающихся лопатках турбины газ совершает техническую
'работу, которая передается внешнему потребителю. В неподвиж-
неподвижных решетках техническая работа не совершается, а происходит
Преобразование энергии для получения потока заданных парамет-
параметров и направления.
Основные задачи исследования турбомашин состоят в определе-
определении сил взаимодействия между потоком жидкости и лопатками в
заданной решетке, а также в определении формы, размеров, числа
лопаток и углов их установки для получения заданной работы при
максимальном КПД. Решение этих задач непосредственно на тур-
бомашинах встречает большие трудности: течение жидкости в ра-
рабочих решетках является неустановившемся, лопатки по высоте
имеют переменный профиль, а конечная высота лопатки вносит
концевые эффекты. Поэтому в основе современных теоретических
и экспериментальных исследований течений в турбомашинах лежит
метод исследования течений в плоских бесконечных решетках экви-
эквивалентных профилей, предложенный Н. Е. Жуковским в 1889 г.
Для получения плоской решетки рассечем кольцевую решетку
двумя соосными цилиндрическими сечениями с радиусами г и
r+dr (см. рис. 18.12). Развернем на плоскость полученную кольце-
кольцевую решетку и увеличим количество и высоту лопаток беспредель-
358
Рис. 18.13. Силы, действующие на профиль
в диффузорной решетке при обтекании
сжимаемой вязкой жидкостью
но. Получим неподвижную
плоскую решетку профилей
(рис. 18.13).
Введем следующие опре-
определения: фронт решетки и—
линия, соединяющая соот-
соответственные точки профилей
(положительное направле-
направление от корытца к спинке
профиля); ось решетки а —
нормаль к фронту (положи-
(положительное направление совпа-
совпадает с направлением дви-
движения жидкости); шаг ре-
решетки t — расстояние меж-
между соответственными точка-
точками соседних профилей; отно-
относительный шаг t = tjb; густо-
густота решетки x=b/t; устано-
установочный угол профиля Ф —
угол между хордой профиля
b и фронтом; угол входа
Pi —угол между вектором
скорости W\ на входе в ре-
решетку и фронтом; угол выхода р2 — угол между вектором скоро-
скорости W2 на выходе из решетки и фронтом; угол поворота потока в
решетке Ар=.р2—Pi-
Плоская решетка однозначно определяется формой профиля и
величинами хорды 6, шага t и установочного угла Ф.
Классификация р ешеток в е сь м а обширна: 1) по
направлению движения жидкости относительно оси вращения ма-
машины — осевые, радиальные, осерадиальные, диагональные; 2) по
числам М на входе в решетку — дозвуковые (Mi<MKP), околозву-
околозвуковые (MKp<Mi<l,0), сверхзвуковые (М,>1); 3) по изменению
параметров потока — диффузорные или компрессорные [W2<WX;
/7>А; (я — Pi)>p2>Pi], активные или турбинные (
; Р2 = я —&), конфузорные или турбинные (W2>Wu
илир2>я—рь !
Задача 18.8. Изобразите схемы плоских дозвуковых диффузорной активной
и конфузорной решеток.
Силы, действующие на профиль в решетке. Те-
Теорема Н.Е.Жуковского для решётки. Представим раз*
нодействующую R всех поверхностных сил, действующих на про-
профиль в решетке, как сумму окружного Ru и осевого Да усилий (см,
рйс. 18.13)
?=?«+/?; R=V"^+Rl A8.14)
Выделим контрольный объем аф1Ь2а2 единичной высоты, вклю-
включающий один из профилей. Участки контрольной поверхности аф\
359
и a2b2 расположим параллельно фронту решетки на таких расстоя-
расстояниях от нее, где параметры потока распределены равномерно. По-
Поверхности аха2 и bxb2 проведем на расстоянии шага друг от друга
по конгруэнтным линиям тока, совпадающим при совмещении. По-
Поэтому силы действия внешней среды на поверхности аха2 и bxb2
равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, т. е.
уравновешиваются.
Закрутка пот о к а в решетке. При диффузорной решет-
решетке WX>W2 и из треугольника скоростей (см. рис. 18.13) имеем
7la=Wx sin рь WXa=Wx cos [V,
A8. 15)
где AWU — закрутка потока в решетке, т. е. разность окружных
доставляющих скоростей на входе в решетку и на выходе из нее;
ДWa — разность осевых составляющих скоростей.
Циркуляция скорости по замкнутому конту-
р у п\Ъ\ Ь2а2 равна сумме циркуляции по его отдельным участкам.
Учитывая, что Гь1ь2 = Га2а1 получим
~tW2 cosp2 и T = tbW ]
Среднегеометрическая плотность тока Jm (см.
рис. 18.13) определяется по формуле
7т=Ц^, A8.17)
где Qm, Wm — плотность и скорость жидкости, соответствую-
соответствующие средней геометрической плотности тока; ^i = QiW1 иУ2"
s=q2W2~плотности тока в сечениях axbx и a2b2.
Уравнение неразрывности для сечений a\bu mm
и a2b2:Q=tQtWi sin ^l=tQ2W2 sin $2 = tQmWm sin pm, или с уче-
учетом A8. 15)
01^ = 02^ = 0^^; т. е. Jla = J2a = Jma = Ja; A8. 18)
Из определения и из рис. 18.13 следует, что
¦ Jma=-^^- A8-19)
Для определения окружной Ru и радиальной Ra составляющих
^ равнодействующей составим уравнение количества движения для
контрольного объема ахЬхЪ2а2 в проекциях на фронт и ось решетки,
^ изменив знак сил на обратный (определяется сила действия жид-
жидкости на тело), Н/м:
Ru=-G(W2u-Wlu)=JmaY; A8.20)
360
Окружное усилие Ru, действующее на профиль в решетке, рав-
равно произведению секундного расхода жидкости на закрутку потока
в решетке или произведению осевой плотности тока на циркуля-
циркуляцию скорости по контуру п\Ь\Ь2а2.
Осевое усилие Ra в диффузорной решетке отрицательно, т. е.
действует противоположно направлению потока, т. е. \t(pi—р2) \ >
>\% (Wia—W2a) |. В рабочем колесе компрессора суммарное ок-
окружное усилие Ru определяет крутящий момент, работу компрессо-
ра и закрутку потока, а осевое усилие — подачу газа вдоль оси ма-
машины. Осевое усилие воспринимается упорным подшипником комп-
компрессора.
Сила Жуковского и дополнительная осевая
сила. Представим равнодействующую R как сумму силы Жуков-
Жуковского 9 и дополнительной осевой силы Fa (см. рис. 18.13).
A8.22)
так, чтобы сила Жуковского была перпендикулярна вектору сред-
средней геометрической плотности тока Jm и *& cosy = $u=Ru> & sin-Y =
Условие перпендикулярности $ и Jm (см. рис. 18.13) дает
•'та <у?и
A8.23)
= JmT=QMWMY. A8.24)
Дополнительную осевую силу определим в соответствии с рис.
18.13 и формулами A8.23) и A8.21)
A8.25)
Теорема Н. Е. Жуковского A912 г.). При обтекании
прямолинейной плоской решетки сжимаемой вязкой жидкостью на
профиль действует сила Жуковского 2?, нормальная к вектору
средней геометрической плотности тока и равная произведению
средней геометрической плотности тока на циркуляцию скорости
по контуру aibib2a2 и дополнительная осевая сила Fa. Для опреде-
определения направления силы Жуковского следует повернуть вектор
средней геометрической плотности тока на 90° в сторону, противо-
противоположную направлению циркуляции скорости.
Подъемная сила Ry и сила лобового сопро-
сопротивления /?х профиля в решетке представляют проек-
проекции равнодействующей на направление силы Жуковского и сред-
средней геометрической плотности тока, соответственно
; A8-26)
A8-27)
361
Обтекание решетки несжимаем ой вязкой жид-
жидкостью Q\=Q2 = Qm=Q- В соответствии с A8.18) заключаем, что
-W2a=0; A8.28)
A8.29)
В этом случае W = —L+—?;
У т 2
U/mu=Zl«±Z2fL.. A8.30)
Составим уравнение Бернулли для участка потока между сечения-
сечениями аф\ И Я2&2
Р\Л—1~:=1 Р2 Н—--Ьо^тр» (^8.31)
где q/Tp=Pi*—р2*—гидравлические потери в решетке. Выразим из
A8.31) величину Др с учетом A8.15) A8.16), A8.17) и A8.28)
= С'тр-—Г. A8.32)
Подставляя это значение Ар в A8.29) получим
Fa = Wrr A8-33)
Подставляя значение Fa из A8.33) в A8.26) и A8.27), найдем
Ry = $- Fa cos pm = qWmT - tQlT? cos pOT; A8. 34)
Rx = Fa sin pm=/Q/Tpsin pm. A8. 35)
При обтекании решетки несжимаемой вязкой жидкостью дополни-
дополнительная осевая сила Fa и сила лобового сопротивления профиля
Rx обусловлены только гидравлическими потерями. Подъемная си-
сила уменьшается за счет гидравлических сопротивлений.
Обтекание решетки несжимаемой идеальной
жидкостью Q = const, |ы = 0, /Тр = 0. В этом случае ^а = 0, Rx = 0
(парадокс Даламбера—Эйлера) и полная аэродинамическая сила
совпадает с силой Жуковского и с подъемной силой, Н/м:
R = <$=Ry=Jmr=QWmr, A8.36)
где Г — циркуляция скорости по любому контуру, охватывающему
профиль.
Теорема Н. Е. Жуковского. При обтекании прямолиней-
прямолинейной плоской решетки несжимаемой идеальной жидкостью на про-
профиль действует только сила Жуковского (подъемная сила), нап-
направленная по нормали к вектору средней геометрической скорости.
Для определения направления силы Жуковского следует вектор
средней геометрической скорости повернуть на 90° в сторону, про-
противоположную направлению циркуляции скорости.
Обтекание решетки идеальной сжимаемой
жидкостью. Исследования показывают, что в этом случае рав-
362
нодействующая сила не перпендикулярна вектору средней геомет-
геометрической плотности тока и, следовательно, ИфЗ фЯу, Fa^0 и
ИхфО. Однако, для не очень больших дозвуковых скоростей эти
отклонения не велики и обычно полагают
Р=0;
A8.37)
Теорема Жуковского имеет огромное теоретическое и практиче-
практическое значение. Она указала конструкторам от чего зависит подъ-
подъемная сила профиля в решетке
и способы ее увеличения. Для
увеличения подъемной силы
при заданной средней геомет-
геометрической плотности тока не-
необходимо увеличивать цирку-
циркуляцию скорости T=\tAWu, т. е.
при заданном шаге—за'крут-
ку потока AWu = Wiu—W2u.
В диффузорной решетке
увеличение закрутки ограни-
ограничено, т. к. требует увеличения
диффузорности dp/dx>0, что
вызывает отрыв пограничного
слоя (см. п. 15.6). В активной
а\
Рис. 18.14. Силы, действующие на
профиль в конфузорной решетке при
обтекании сжимаемой вязкой жидко-
жидкостью
(dp/dx= 0) и конфузорной
(dp/dx<Q) решетках допусти-
допустима значительно большая за-
закрутка потока.
Теорема Н. Е. Жуковского о силовом воздей-
воздействии потенциального потока сжимаемой жид-
жидкости на единичный профиль. Устремим шаг решетки к
бесконечности ?->оо и таким образом перейдем от обтекания про-
профиля в решетке к обтеканию единичного профиля.
Решетка из бесконечного числа профилей, при конечном шаге,
поворачивает весь поток, проходящий через нее и изменяет его па-
параметры.
Единичный профиль вносит в поток ли1иь местные возмущения
и не изменяет заметно направления и параметров всего потока. По-
Поэтому, если сечения аф[ и аф^ удалить от профиля на достаточное
расстояние, то можно записать Q2 = Qi и W2 = W{i = Wm и Fa=Rx = 0-
Подъемную силу единичного профиля, равную силе Жуковского,
получим из A8.36), Н/м:
A8.38)
Итак, использовав уравнение количества движения, мы полу-
получим формулу для расчета подъемной силы, аналогичную D.68), по-
полученную ранее на основе кинематического анализа течения (см.
п. 4.9).
Задача 18.9. Сопоставьте дозвуковые диффузорную A8.13)м и конфу|°(?1^>
(рис. 18.14) решетки, изменение параметров потока в них и действующие с
363
Приложение I
Международная стандартная атмосфера (МСА)
Высота
от уровня
океана
Н, км
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
15
20
25
30
№
40
50
60
70
80
90
100
120
200
Температура Г,
К
. 288,2
281,7
275,1
268,6
262,1
255,6
249,1
242,6
236,1
229,6
223,2
216,7
216,7
216,7
216,7
230,4
244,9
257,7
274,0
253,4
219,2
185,0
185,0
209,2
446,2
1536,4
Давление р,
Па
101 330
89 880
79 490
70 130
61660
54 050
47210
41090
35 650
30 790
26 490
22 690
12110
5530
2 530
1200
500,2
296
84,6
44,1
5,8
1,11
0,18
0,03
3,01.10~3
2,00-10—4
Плотность q,
кг/м3
1,23
1,11
1,01
9,09-Ю-1
8,19-Ю-1
7,37. Ю-1
6,60-Ю-1
5,90-Ю
5,26-Ю-1
4,67-Ю-1
4,14-Ю-1
3,65- Ю-1
1,95-Ю-1
8,89-Ю-2
4,06-10
1,79-10~2
6,76-10~3
4,00-10~3
1,08-Ю~3
3,32-10~4
9,27- КГ5
2,09-10~5
3,47-10~6
5,39-Ю
2,33-10~8
4,43-Ю-10
Вязкость {л-105,
Нс/м2
1,79
1,76
1,73
1,69
1,66
1,63
1,60
1,56
1,53
1,49
1,46
1,42
1,42
1,42
1,42
1,49
1,89
1,57
1,72
1,62
1,44
1,24
1,24
1,39
Длина свободного
пробега молекул lf
м
6,9-10~8
2,1-Ю-7
9,7-Ю-7
2,2-10-&
4,8-10—6
2,2-10—5
7,8-10—5
2,6- ИГ4
9,3-10~4
4,3-10
2,1-10~2
9,5-10
1,3
300,0
364
О 0,2 ф 0,6 0,8 1,0 1,2 /,4 tfi 1,8 2,0 2,2 ^ 2,6 2,8 Я
Приложение II. Газодинамические функции т(%); п(Х)\ г(Х)
О 0,2 ф 0,6 0,8 1,0 /,2 1,4- /,8 2,0 2,2 2fi 2,6 2,8 3,0 Л
Приложение III. Газодинамические функции q{K)\
365
1,1
0,9
0,8
0,7
Ц6
0,5
0,3
о,г
0,1
1
I
\
\
\
_^
\
Л
i
К
¦и
\
\
и
k
\
\
'25^
',<M-
\
\
Vzz
-3,0
2,8
2,6
2,2
0 0,2 ЦЬ ЦВ Ц8 1,0 ф 1,Ь 1,6 1,8 2,0 2,2 2/t 2,6 2f Л
Приложение IV. Газодинамические функции 1/2 г(Я);
/W; г (К)
Приложение V
Таблица газодинамических функций (к=1,4)
м
1,000
0,9996
0,9983
0,9963
0,9933
0,9896
0,9850
0,9796
0,9733
0,9663
0,9583
0,9496
0,9400
0,9296
0,9183
0,9063
0,8933
0,8796
0,8650
0,8496
0,8333
0,8163
0,7983
0,7796
0,7600
0,7396
0,7183
0,6962
0,6733
0,6496
0,6250
0,5996
0,5733
0,5463
0,5183
0,4896
0,4600
0,4296
0,3983
0,3662
0,3333
0,2996
0,2650
0,2296
0,1933
0,1563
0,1183
0,0796
0,0400
0
1,0000
0,9986
0,9942
0,9870
0,9768
0,9640
0,9485
0,9303
0,9097
0,8868
0,8616
0,8344
0,8053
0,7/45
0,7422
0,7086
0,6738
0,6382
0,6019
0,5653
0,5283
0,4913
0,4546
0,4184
0,3827
0,3479
0,3142
0,2816
0,2505
0,2209
0,1930
0,1669
0,1427
0,1205
0,1003
0,0821
0,0660
0,0520
0,0399
0,0297
0,0214
0,0147
0,0096
0,0058
0,0032
0,0015
0,0006
0,0001
0,13-10—4
О
1,0000
0,9990
0,9959
0,9907
0,9834
0,9742
0,9630
0,9497
0,9346
0,9178
0,8991
0,8787
0,8567
0,8332
0,8082
0,7819
0,7543
0,7256
0,6959
0,6653
0,6340
0,6019
0,5694
0,5366
0,5035
0,4704
0,4374
0,4045
0,3720
0,3401
0,3088
0,2784
0,2489
0,2205
0,1934
0,1677
0,1435
0,1210
0,1002
0,0812
0,0642
0,0491
0,0361
0,0253
0,0164
0,0097
0,0048
0,0017
0,0003
О
0,000
0,0788
-0,1571
0,2344
0,3102
0,3842
0,4557
0,5243
0,5897
0,6515
0,7091
0,7623
0,8169
0,8543
0,8924
0,9250
0,9518
0,9729
0,9879
0,9970
1,0000
0,9969
0,9880
0,9735
0,9531
0,9275
0,8969
0,8614
0,8216
0,7778
0,7307
0,6807
0,6282
0,5740
0,5187
0,4630
0,4075
0,3530
0,3002
0,2497
0,2024
0,1588
0,1198
0,0857
0,0570
0,0343
0,0175
0,0063
0,0012
О
0,000
0,0789
0,1580
0,2375
0,3176
0,3985
0,4804
0,5636
0,6482
0,7346
0,8230
0,9136
1,0069
1,1030
1,2024
1,3054
1,4126
1,5243
1,6412
1,7638
1,8929
2,0291
2,1734
2,3269
2,4906
2,6660
2,8547
3,0586
3,2798
3,5211
3,7858
4,0778
4,4020
4,7647
5,1735
5,6383
6,1723
6,7934
7,5243
8,3985
9,4641
10,794
12,500
14,772
17,949
22,712
30,658
46,593
94,703
1,000
1,0015
1,0058
1,0129
1,0227
1,0350
1,0496
1,0661
1,0842
1,1036
1,1239
1,1445
1,1651
1,1852
0,2042
1,2216
1,2370
1,2498
1,2595
1,2658
1,2679
1,2655
1,2584
1,2463
1,2286
1,2054
1,1765
1,1417
1,1012
1,0551
1,0037
0,9472
0,8861
0,8210
0,7524
0,6813
0,6085
0,5349
0,4617
0,3899
0,3203
0,2556
0,1956
0,1420
0,0960
0,0585
0,0302
0,0111
0,0022
О
1,000
0,9971
1,9885
0,9744
0,9551
0,9314
0,9037
0,8727
0,8391
0,8035
0,7666
0,7290
0,6912
0,6535
0,6163
0,5800
0,5447
0,5107
0,4779
0,4466
0,4167
0,3882
0,3613
0,3357
0,3115
0,2886
0,2670
0,2467
0,2275
0,2094
0,1923
0,1762
0,1611
0,1467
0,1333
0,1205
0,1085
0,0971
0,0864
0,0763
0,0668
0,0576
0,0490
0,0408
0,0331
0,0258
0,0189
0,0122
0,0059
О
1,000
0,0457
0,0914
0,1372
0,1830
0,2290
0,2760
0,3228
0,3701
0,4179
0,4663
0,5152
0,5649
0,6154
0,6668'
0,7192
0,7727
0,8274
0,8833
0,9409
1,0000
1,0609
1,1239
1,1890
1,2566
1,3268
1,4002
1,4769
1,5575
1,6423
1,7321
1,8273
1,9290
2,0380
2,1555
2,2831
2,4227
2,5766
2,7481
2,9414
3,1622
3,4190
3,7240
4,0961
4,5674
5,1958
6,1033
7,6053
10,957
20,0500
10,1000
6,8167
5,2000
4,2500
3,6336-
3,2071
2,900О<
2,6722
2,5000>
3682
2667
1885
128&
083?
0500
026S
2,0111
2,002&-
2,0000'
2,0024
2,0091
2,019$
2,озза
2,0500
2,0692
2,0907
2,1143-
2,139Г
2,166Г
2,1952
2,2250-
2,2561
2,2882
2,2314
2,
2,3905
2,4263-
2,4628
2,5000
2,5378-
2,5762.
2,6151
2,654S
2,6944
2,7348-
2,7755
2,8167"
2,8581
367
Приложение VI
Таблица для расчета сверхзвуковых течении газа с
6°
0°00'
0°30'
Г00'
2°00'
3°00'
4°00'
6°
8°
10°
12°
14°
16°
18°
20°
22°
24°
26°
28°
30°
32°
34°
36°
38°
40°
42°
44°
46°
48°
50°
52°
54°
56°
58°
60°
62°
64°
66°
68°
70°
72°
74°
76°
80°
82°
84°
86°
88°
90°
92°
94°
96°
0°00'
18°24'
23°32'
30°00'
34°54'
38°52'
45°24'
5Г00'
55°50'
60°20'
64°25'
68°24'
72°06'
75°42'
79°12'
82°30'
85°48'
89°00'
92°00'
95°05'
98°03'
101°00'
103°57'
106°48'
109°36'
112°21'
115°12'
117°54'
120°36'
123°18'
126°00'
128°36'
13Г15'
133°54'
136°30'
139°03'
141°36'
144°12'
146°42'
149°12'
151°42'
154°15'
156°45'
159°15'
161°42'
164°12'
166°42'
169°06'
171°36'
174°00'
176°27'
178°54'
увеличением скорости (к=1,4)
м
1,000
1,051
1,083
1,133
1,178
1,219
1,294
1,367
1,43о
1,504
1,569
1,639
1,705
1,775
1,846
1,914
1,988
2,063
2,130
2,209
2,285
2,366
2,454
2,539
2,624
2,717
2,816
2,910
3,010
3,119
3,236
3,344
3,470
3,606
3,742
3,876
4,02
4,193
4,348
4,515
4,695
4,912
5,126
5,362
5,59
5,875
6,18
6,46
6,84
7,18
7,61
8,09
X
1,000
1,042
1,067
1,107
1,142
1,172
1,227
1,277
1,323
1,367
1,408
1,448
1,486
1,523
1,559
1,594
1,628
1,660
1,691
1,722
1,752
1,782
1,810
1,838
1,865
1,891
1,918
1,943
1,967
1,990
2,014
2,036
2,058
2,080
2,100
2,121
2,140
2,159
2,177
2,195
2,212
2,228
2,244
2,260
2,274
2,28S
2,302
2,315
2,328
2,34С
2,35С
2,36
*(Х)
0,528
0,497
0,479
0,450
0,424
0,402
0,364
0,330
0,299
0,271
0,246
0,222
0,201
0,181
0,162
0,146
0,130
0,116
0,1040
0,0920
0,0814
0,0717
0,0630
0,0552
0,0481
0,0419
0,0360
0,0310
0,0267
0,0229
0,0194
0,0164
0,0138
0,0115
0,954-10-2
0,784-10-2
0,645-10-2
0,525-10-2
0,426-10-2
0,339-10-2
0,270-10-2
0,214-10-2
0,165-10-2
0,126-10-2
0,97Ы0-з
0,722-Ю-з
0,545-10-3
0,398-10-3
0,285-10-3
0,197-10-3
0,139-10-3
0,954-10-4
е(Х)
0,634
0,607
0,591
0,565
0,542
0,522
0,497
0,452
0,422
0,393
0,367
0,341
0,318
0,295
0,273
0,253
0,233
0,215
0,198
0,182
0,167
0,152
0,139
0,126
0,114
0,104
0,093
0,084
0,075
0,067
0,060
0,053
0,047
0,041
0,036
0,031
0,027
0,0235
0,0203
0,0172
0,0146
0,0124
0,0103
0,851-10-2
0,705-10-2
0,570-10-2
0,466-10-2
0,373-10-2
0,294-10-2
0,226-10-2
0,176-10-2
0,134-10-2
непрерывным
т(Х)
0,833
0,819
0,810
0,796
0,783
0,771
0,749
0,728
0,708
0,688
0,670
0,650
0,632
0,613
0,595
0,576
0,558
0,541
0,523
0,506
0,488
0,471
0,454
0,437
0,420
0,404
0,387
0,371
0,355
0,340
0,324
0,309
0,294
0,279
0,265
0,250
0,237
0,223
0,210
0,197
0,184
0,173
0,160
0,149
0,138
0,127
0,117
0,107
0,09
0,087
0,07
0,07
90°00'
72°06'
67°28'
62°00'
58°06'
55°08'
50°36'
47°00'
44° Ю'
41°40'
39°35'
37°36'
35°54'
34°18'
32°48'
ЗГЗО'
30°12'
29°00'
28°00'
26°55'
25°57'
25°00'
24°03'
23°12'
22°24'
2Г36'
20°48'
20°06'
19°24'
18°42'
18°00'
17°24'
16°45'
16°06'
15°30'
14°57'
14°24'
13°48'
13°18'
12°48'
12°18'
1Г45'
1Г15'
Ю°45'
Ю°18'
9°48'
9°18'
8°54'
8°24'
8° 00'
7°33'
7°06'
г/г0
1
1,049
1,087
1,147
1,205
1,262
1,372
1,498
1,626
1,772
1,923
2,094
2,291
2,500
2,735
2,993
3,319
3,647
4,046
4,436
4,955
5,521
6,166
6,919
7,798
8,710
9,954
11,20
12,94
14,72
16,90
19,49
22,49
26,30
30,55
36,40
43,15
51,62
62,50
75,00
91,20
111,7
143,3
177,0
219,8
279,3
361,0
466,0
631,0
841,2
1135
1478
368
Продолжение приложения VI
8°
98°
100°
102°
104°
130°27'
181
183
186
188
220
°2Г
°48'
°12'
°36'
°27'
8
9
9
10
м
,636
,259
,891
,626
со
X
2,371
2,380
2,389
2,397
2,449
7С(Х)
0,628.
0,403
0,257.
0,156-
(
10-4
10-4
10-4
10-4
)
• (X)
0,996-10-3
0,726-10-3
0,526-Ю-з
0,368-Ю-з
0
0,063
0,055
0,049
0,042
0
6
6
5
5
0
¦8
°39'
°12'
°48'
°24'
°00'
г/г0
2240
3092
4730
7440
оо
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1976. 888 с.
2. Абрамович Г. Н. Теория турбулентных струй. М.: Физматгиз, 1960. 715 с.
3. Авдуевский В. С. и др. Под ред. В. К. Кошкина. Основы теплопередачи
в авиационной и ракетно-космической технике. М.: Машиностроение, 1975. 6.24 с.
4. Аржаников Н. С, Садекова Г. С. Аэродинамика больших скоростей. М.:
Высшая школа, 1965, 560 с.
5. Бекнев В. С, Панков О. М., Янсон Р. А. Газовая динамика газотурбин-
газотурбинных и комбинированных установок./Под ред. В. В. Уварова. М.: Машиностро-
Машиностроение, 1973. 392 с.
6. Борисенко А. И. Газовая динамика двигателей. М.: Оборонгиз, 1962. 793 с.
7. Виноградов Б. С. Прикладная газовая динамика. М.: Изд. Университета
дружбы народов им. Патриса Лумумбы, 1965. 348 с.
8. Вукалович М. П., Новиков И. И. Техническая термодинамика. М.: Энер-
Энергия, 1968. 496 с.
9. Вулис Л. А. Термодинамика газовых потоков. М.: Госэнергоиздат, 1950.
304 с.
10. Гиневский А. С. Теория турбулентных струй и следов. М.: Машинострое-
Машиностроение, 1969. 400 с.
11. Дейч М. Е. Техническая газодинамика. М.: Энергия, 1974. 592 с.
12. Идельчик И. Е. Гидравлические сопротивления. М.—Л.: Госэнергоиздат,
I960. 464 с.
13. Иров Ю. Д. и др. Газодинамические функции. М.: Машиностроение,
1965. 400 с.
14. Копырин М. А. Гидравлика и гидравлические машины. М.: Высшая шко-
школа, 1961. 302 с.
15. Кочин И. А., Кибель И. А. и Розе И. В. Теоретическая гидромеханика.
Ч. I. M.: Физматгиз, 1963. 584 с.
16. Краснов Н. Ф. Аэродинамика. Т. 1 и 2. М.: Высшая школа, 1976, 384,
368 с.
17. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: Гостех-
теоретиздат, 1953. 788 с.
18. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 736 с.
19. Некрасов Б. Б. Гидравлика и ее применение на летательных аппаратах.
М.: Машиностроение, 1967. 368 с.
20. Повх М. Л. Техническая гидромеханика. Л.: Машиностроение, 1969. 524 с.
21. Седов Л. И. Методы подобия и размерностей в механике. М.: Наука,
1967. 428 с.
22. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. I и II. М.: Наука, 1976. 536,
5716 с.
23. Сергель О. С. Прикладная гидрогазодинамика. Ч. I и II. Изд. МАИ.
1968. 187, 242 с.
370
24. Степчков А. А. Задачи по гидрогазовой динамике. М.: Машиностроение,.
1980. 180 с.
25. Теория воздушно-реактивных двигателей/Под ред. С. М. Шляхтенко, М.:
Машиностроение, 1975. 568 с.
26. Фабрикант Н. Я. Аэродинамика. М.: Наука, 1964. 814 с.
27. Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений.: Пер. с англ. М.: Гос-
техтеоретиздат, 1963. 458 с.
28. Хинце И. О. Турбулентность. М.: Физматгиз, 1963. 680 с.
29. Чжен П. Отрывные течения: Пер. с англ. Т. 1, 2 и 3. М.: Мир, 1972—
1973. 300, 280, 300 с.
30. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969. 744 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Введение 4
Глава 1. Основные физические свойства жидкости. Некоторые понятия и
определения >% 8
1.1. Совершенный газ ~. 8
1.2. Молекулярное строение 9
1.3. Сплошность жидкости 10
1.4. Силы, действующие на жидкий объем 13
1.5. Вязкость или внутреннее трение в жидкостях 15
1.6. Сжимаемость жидкости 21
Глава 2. Гидростатика s 25
2.1. Дифференциальное уравнение равновесия 26
2.2. Уравнение поверхности уровня 27
2.3. Абасолютное равновесие несжимаемой жидкости. Закон Паскаля 27
2.4. Сила давления на плоскую стенку 29
2.5. Закон Архимеда , 30
2.6. Относительное равновесие жидкости при поступательном равноус-
равноускоренном движении сосуда 31
2.7. Равновесие капельной жидкости во вращающемся сосуде ... 32
2.8. Равновесие газов. Международная стандартная атмосфера . . 32
Глава 3. Кинематика жидкости ..¦,...»,,,, • 35
3.1. Методы Лагранжа и Эйлера исследования движения жидкости . 35
3.2. Расход жидкости. Средняя скорость 38
3.3. Уравнение неразрывности 39
3.4. Движение жидкой частицы 41
3.5. Вихревое движение жидкости 44
3.6. Безвихревое течение жидкости 48
3.7. Безвихревое плоское установившееся течение несжимаемой жидкости 49
3.8. Метод наложения или суперпозиции полей течений 50
3.9. Синтезирование более сложных течений из простейших . , . . 53
3.10. О методе конформных отображений 56
Глава 4. Основные уравнения гидрогазодинамики » 60
4.1. Уравнения движения жидкости 60
4.2. Примеры применения интегрального уравнения движения ... 65
4.3. Сила тяги реактивных двигателей 68
4.4. Уравнение моментов количества движения (второе уравнение
Эйлера) 71
4.5. Дифференциальное уравнение движения в напряжениях ... 73
4.6. Дифференциальные уравнения Навье—Стокса A845 г.) ... 75
4.7. Дифференциальные уравнения Эйлера и их интегрирование . . 77
372
Стр.
4.8. Анализ уравнения Бернулли 80
4.9. Сила взаимодействия между идеальной несжимаемой жидкостью и
цилиндром при циркуляционном обтекании его. Теорема Н. Е. Жу-
Жуковского о подъемной силе . . 88
4.10. Плоское потенциальное установившееся течение идеального газа . 90
4.11. Интегральное уравнение энергии 90
, 4.12. Обобщенное уравнение Бернулли для установившегося течения в
элементарной струйке 93
4.13. Дифференциальное уравнение энергии 95
4.14. Уравнение второго закона термодинамики 98
Глава 5. Теория подобия и анализ размерностей 100
5.1. Подобие физических процессов 100
5.2. Три теоремы теории 'подобия 103
5.3. Критерии гидродинамического подобия . 104
5.4. Критерии теплового подобия 108
5.5. Составление критериального уравнения ПО
5.6. Теория размерностей 113
Глава 6. Режимы течения жидкости 115
6.1. Переход ламинарного течения в турбулентное 115
6.2. Потеря устойчивости ламинарного течения 117
6.3. Пульсационное и осредненное движение 119
6.4. Дополнительные (кажущиеся) турбулентные напряжения . . . 121
6.5. Полуэмпирическая теория пути перемешивания 123
6.6. Предельные течения по числу Рейнольдса 129
6.7. Гидравлические потери 130
Глава 7. Ламинарное установившееся течение несжимаемой жидкости (эле-
(элементы гидравлики) 133
7.1. Точные решения 133
7.2. Уравнение Бернулли для потоков реальной жидкости в каналах . 139
7Л. О приближенных решениях уравнений Навье—Стокса и неразрывно-
неразрывности для ползущих течений . . ,140
Глава 8. Установившееся турбулентное течение несжимаемой жидкости в
трубах. Пристеночная турбулентность 145
8.1. Поле скоростей 145
8.2. Закон сопротивления гладких труб , . 152
8.3. Течение жидкости в шероховатых трубах 154
8.4. Расчет гидравлических потерь в трубах с некруглым поперечным
сечением 157
Глава 9. Местные гидравлические сопротивления. Истечение жидкости че-
через отверстия и насадки . 158
9.1. Местные сопротивления при турбулентных течениях .... 158
9.2. Местные сопротивления при ламинарном режиме течения . . . 162
9.3. Истечение жидкостей через отверстия и насадки 164
Глава 10. Гидравлический расчет трубопроводов . . .... 175
ЮЛ. Простой трубопровод 175
10.2. Сложные трубопроводы 178
10.3. Трубопровод с насосной подачей жидкости 181
Глава 11. Основные уравнения газовой динамики элементарной струйки.
Некоторые понятия и определения 187
11.1. Уравнение энергии в тепловой форме или уравнение энтальпии. Па-
Параметры заторможенного потока. Газодинамические функции т(Х),
л(к), г (к) -. . . 188
11.2. Изменение давления торможения в потоках 197
11.3. Газодинамическая форма уравнения неразрывности и расхода. Га-
Газодинамические функции q(X) и у(Х)
373
Стр.
11.4. Газодинамическая форма уравнения количества движения в пол-
полных импульсах. Газодинамические функции z (X), f(A,), г (К) . . 202
11.5. Закон обращения 'воздействий 204
11.6. Области течений газов в зависимости от числа М 206
11.7. Распространение слабых (звуковых) волн давления в газовых по-
потоках 209
Глава 12. Скачки уплотнения (ударные волны) 213
12.1. Прямые скачки уплотнения 215
12.2. Косые скачки уплотнения 220
12.3. Определение давления торможения /?и* и приведенной скорости в
сверхзвуковых потоках 229
12.4. Взаимодействие и отражение скачков уплотнения 23'0
Глава 13. Геометрическое воздействие на газовый поток 234
13.1. Ускорение сверхзвукового потока при обтекании внешнего тупого
угла (течение Пра-ндтля—Майера) 235
13.2. Отражение и пересечение характеристик 242
13.3. Ускорение дозвукового потока в сужающемся сопле при одномер-
одномерном идеальном течении 245
13.4. Режимы течения газа в канале с горлом. Сопло Лаваля . . . 247
13.5. Сопло с косым срезом 255
Глава 14. Воздействие на газовый поток расходное, тепловое, механическое,
трения и комбинированное 256
14.1. Расходное воздействие 257
14.2. Механическое воздействие 259
14.3. Тепловое воздействие 260
14.4. Воздействие трения 265
14.5 Комбинированное воздействие 269
Глава 15. Основы теории пограничного слоя. Реальные течения в соплах 270
15.1. Интегральные характеристики .пограничного слоя 273
15.2. Ламинарный, переходный и турбулентный режимы течения в пог-
пограничном слое - 275
15.3. Ламинарный пограничный слой 276
15.4. Турбулентный пограничный слой 286
15.5. Пограничный слой в сжимаемом газе на плоской стенке . . . 291
15.6. Пограничный слой с продольным градиентом давления. Отрыв.
Взаимодействие со скачками уплотнения. Управление пограничным
слоем -. 294
15.7. Реальные течения в сужающихся соплах и соплах Лаваля . . 304
Глава 16. Диффузоры 314
16.1. Дозвуковые диффузоры ВРД 314
16.2. Диффузоры для небольших сверхзвуковых скоростей . . . . 318
16.3. Сверхзвуковые диффузоры 319
Глава 17. Турбулентные струи 326
17.1. Общие свойства и структура турбулентных струй 328
17.2. Расчет струй 337
Глава 18. Обтекание тел потоками жидкости 342
18.1. Профиль и его характеристики. Постулат Жуковского—Чаплыгина 342
- 18.2. Взаимодействие тел с потоками реальной жидкости .... 346
18.3. Крыло конечного размаха. Индуктивное сопротивление . . . 355
18.4. Элементы теории решеток профилей. Теорема Н. Е. Жуковского
для решеток 358
Приложения I—VI : : : : 364
Список литературы 370
374
ИБ № 2192
Олег Сергеевич СЕРГЕЛЬ
ПРИКЛАДНАЯ ГИДРОГАЗОДИНАМИКА
Редактор В. И. Рыбакова
Художественный редактор В. В. Лебедев
Технический редактор Т. И. Андреева
Корректоры А. П. Озерова и В. А. Во-
Воробьева
Обложка художника В. В. Евдокимова
Сдано в набор 13.08.80.
Подписано в печать 12.12.80. Т-19756
Формат 60X90Vi6
Бумага типографская № 2
Гарнитура литературная.
Печать высокая
Усл. печ. л. 23,5.
Уч.-изд. л. 24,74.
Тираж 4000 экз. Заказ 950 Цена 1 р. 20 к.
Издательство «Машиностроение», 107076,
Стромынский пер., 4
Московская типография № 8
Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли,
Хохловский пер., 7.
УВАЖАЕМЫЕ ТОВАРИЩИ!
Своевременно заказывайте и приобретайте в местных
книжных магазинах литературу, выпускаемую издатель-
издательством «Машиностроение».
Специализированный магазин «Техническая книга»
(Москва, К-51, ул. Петровка, 15) принимает предвари-
предварительные заказы на новую литературу, а также высылает
по почте наложенным платежом литературу, имеющую-
имеющуюся в его ассортименте.
В издательстве «Машиностроение» в 1981 году вый-
выйдут следующие книги:
Ярковец А. И, Основы механизации и автоматизации
технологических процессов в самолетостроении: Учеб.
пособие для авиационных вузов. — М.: Машинострое-
Машиностроение, 1981.
Изложены основы механизации и автоматизации
технологических процессов в самолетостроении. Приве-
Приведены общие требования к конструкции заготовок, дета-
деталей и сборочных единиц. Освещены процессы обработки,
изготовления и сборки, которые -предстоит автоматизи-
автоматизировать. Рассмотрены направления и средства механиза-
механизации и автоматизации технологических процессов изготов-
изготовления и испытания систем бортового оборудования.
Мунин А. Г., Кузнецов В. М., Леонтьев Е. А. Аэроди-
Аэродинамические источники шума. — М.: Машиностроение,
1981.
В книге обобщены исследования по аэроакустике и
аэроакустическим характеристикам затопленной, спут-
ной, соосной струй .и струй, истекающих из сопел раз-
различных конфигураций. Изложена теория малых вихре-
вихревых, энтропийных и акустических возмущений в неодно-
неоднородном потоке сжимаемого газа. Рассмотрены основные
источники шума. Дан метод расчета интенсивности излу-
излучения шума различными участками турбулентной струи.
Приведены решения задач о шуме профиля, свободного
ротора при дозвуковых, около- и сверхзвуковых скоро-
скоростях и др.
Книга предназначена для инженеров авиационной
промышленности. Она может быть полезна инженерно-
техническим работникам других отраслей промышлен-
промышленности, занимающихся борьбой с аэродинамическими шу-
шумами.