/
Author: Лойцянский Л.Г.
Tags: механика газов аэродинамика физика плазмы механика физика динамика механика жидкостей и газа издательство дрофа
ISBN: 5-7107-6327-6
Year: 2003
Text
Классики отечественной науки
Л. Г. Лойцянский
МЕХАНИКА
ЖИДКОСТИ
И ГАЗА
Издание седьмое, исправленное
Рекомендовано
Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебника
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности 010500
«Механика»
эрофа
МОСКВА 2003
УДК 533@75.8)
ББК 22.253я73
Л72
Серия «Классики отечественной науки» основана в 2003 году
Рецензенты:
академик РАН, председатель НМС по МЖГ Г. Г. Черный
(НИИ механики МГУ им. М. В. Ломоносова);
засл. деят. науки РФ, проф., д-р физ.-мат. наук Ю. В. Лапин
(зав. кафедрой гидроаэродинамики СПбГПУ)
проф., д-р физ.-мат. наук Г. Ю. Степанов
(НИИ механики МГУ им. М. В. Ломоносова)
Лойцянский Л. Г.
Л72 Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. — 7-е изд., испр. — М.: Дрофа,
2003. — 840 с, 311 ил., 22 табл. — (Классики отечественной науки).
ISBN 5—7107—6327—6
В учебнике F-е изд. — 1987 г.) содержится изложение основных разделов механики
жидкости и газа: кинематики, статики и динамики однородных идеальных и вязких сред, а
также элементов динамики реологических жидкостей и многокомпонентных газовых смесей.
Представлены аналитические и численные методы интегрирования уравнения динамики
жидкостей и газов. Особое внимание уделено задачам теории ламинарного и турбулентного
пограничных слоев.
Для студентов вузов и втузов, инженеров, аспирантов и научных работников.
УДК 533@75.8)
ББК 22.253я73
Учебное издание
Лойцянский Лев Герасимович
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Учебник для вузов
Зав. редакцией Б. В. Понкратов
Редактор Е. А. Вольмир
Художественное оформление Ю. В. Христин
Технические редакторы Н. А Торгашова, И. В. Грибкова
Компьютерная верстка А. В. Перепелкин
Изд. лиц. № 061622 от 07.10.97.
Подписано в печать 28.12.02. Формат 70xl08'/i6. Бумага типографская. Гарнитура «Литературная».
Печать офсетная. Усл. печ. л. 73,5. Тираж 7000 экз. Заказ № 9487.
ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа» обращаться по адресу:
127018, Москва, Сущевский вал, 49. Тел.: @95) 795-05-50, 795-05-51. Факс: @95) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник». 109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А.
Тел.: @95) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Магазин «Переплетные птицы». 127018, Москва, ул. Октябрьская, д. 89, стр. 1.
Тел.:@95)912-45-76.
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов
в ОАО «Можайский полиграфический комбинат».
143200, г. Можайск, ул. Мира, 93.
© ООО «Дрофа», 2003
ISBN 5—7107—6327—6 © Оформление. ООО «Дрофа», 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к шестому изданию 8
Введение 9
§ 1. Предмет механики жидкости и газа. Математическая модель жидко-
жидкости и газа — сплошная текучая среда 9
§ 2. Краткие сведения о молекулярной структуре вещества .... 10
Глава I. Поле физической величины. Условия физической объективности вели-
величин, заданных аналитически. Основные операции поля 12
§ 3. Скалярные и векторные поля. Условия физической объективности ва-
данных аналитически скалярных и векторных величин .... 12
§ 4. Тензор второго ранга. Условия физической объективности его аналити-
аналитического задания. Диада и тензор поворота 15
§ 5. Основные операции тензорной алгебры 18
§ 6. Разложение тензора на симметричную и антисимметричную части.
Инварианты Разложение тензора на сферическую и девиаторную
части 22
§ 7. Главные оси и главные значения симметричного тензора .... 24
§ 8 Производная по заданному направлению. Пространственные производ-
производные в скалярном, векторном и тензорном полях 27
§ 9. Мера неоднородности векторного поля — дифференциальная диада и
ее составляющие: деформация и ротация векторного поля ... 33
§ 10. Основные интегральные формулы поля. Теоремы Гаусса — Остроград-
Остроградского и Стокса 36
Глава II. Кинематика сплошной среды 40
§ 11. Задание положения и движения сплошной среды. Линии тока и траек-
траектории. Трубки тока и струи 40
§ 12. Распределение скоростей в элементарном объеме среды. Первая тео-
теорема Гельмгольца 44
§ 13. Деформационное движение жидкости. Тензор скоростей деформаций и
кинематический смысл его компонент. Главные оси тензора скоростей
деформаций 47
§ 14. Вихрь, вихревая линия, вихревая трубка. Вторая теорема Гельмгольца 50
§ 15. Теорема Стокса о связи между интенсивностью вихревой трубки и цир-
циркуляцией скорости по опоясывающему ее контуру 52
§ 16. Ускорение частицы среды. Локальная и конвективная составляющие
ускорения. Полное ускорение 53
§ 17. Кинематическая теорема Кельвина 56
Глава III Распределение массы и силы в сплошной среде. Равенства Коши.
Теорема о взаимности касательных напряжений 58
§ 18. Плотность распределения массы в сплошной среде. Закон сохранения
массы. Уравнение неразрывности 58
§ 19 Распределение сил в сплошной среде. Объемные и поверхностные силы.
Равенства Коши. Тензор напряжений 60
§ 20 Теорема о взаимности касательных напряжений 64
Глава IV Общие теоремы динамики сплошной среды 67
§ 21. Теорема количеств движения. Уравнение динамики «в напряжениях» 67
§ 22 Теорема моментов и вывод из нее теоремы о взаимности касательных
напряжений 69
§ 23. Теорема об изменении кинетической энергии и общий закон сохране-
сохранения энергии 71
§ 24. Перенос физической величины потоком среды сквозь поверхность.
Теорема Эйлера 74
§ 25. Статика текучей среды. Уравнения Эйлера равновесия среды . . 78
§ 26. Равновесие несжимаемой жидкости. Закон Архимеда .... 80
§ 27. Равновесие равномерно вращающейся несжимаемой жидкости. Цен-
Центрифугирование твердых частиц 83
§ 28. Баротропное равновесие газа 84
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Динамика идеальной среды. Основные уравнения и теоремы . . 86
§ 29. Уравнения Эйлера, Громека — Ламба и Гельмгольца — Фридмана.
Теорема Гельмгольца 86
§ 30. Теорема Бернулли 90
§ 31. Мощность внутренних сил. Уравнение баланса энергии .... 96
§ 32. Скорость распространения малых возмущений в идеальном газе. Ско-
Скорость звука 101
§ 33. Числа М и X. Изэнтропические формулы 106
Глава VI. Одномерный поток идеального газа 112
§ 34. Одномерное стационарное движение газа по трубе переменного сечения 112
§ 35. Истечение газа сквозь сопло 115
§ 36. Пример неадиабатического движения газа 120
§ 37. Неизэнтропическое движение газа по трубе при наличии сопротивления 121
§ 38. Плоская ударная волна и скачок уплотнения 124
§ 39. Изменение скорости и термодинамических параметров газа при про-
прохождении его через прямой скачок уплотнения 129
§ 40. Скорости распространения ударной волны и спутного потока за нею 134
§ 41. Элементарная теория сверхзвукового диффузора 137
§ 42. Измерение до- и сверхзвуковых скоростей пневматическими методами 142
§ 43. Нестационарное одномерное течение идеального газа. Распространение
возмущений конечной интенсивности 144
§ 44. Волны разрежения за движущимся поршнем. Центрированные волны
Автомодельная и общая задачи 151
§ 45. Элементарная теория ударной трубы 155
Глава VII. Безвихревые движения идеальной среды. Плоское безвихревое дви-
движение идеальной несжимаемой жидкости 158
§ 46. Теоремы Кельвина и Лагранжа; условия существования безвихревых
течений 158
§ 47. Потенциал скоростей и его определение по заданному полю скоростей 160
§ 48. Интеграл Лагранжа — Коши. Некоторые общие свойства безвихревого
движения 163
§ 49. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости. Применение
функций комплексного переменного 167
§ 50. Комплексные потенциалы простейших потоков 172
§ 51. Решение задачи обтекания по методу конформных отображений.
Постулат Жуковского — Чаплыгина. Формула циркуляции . . . 178
§ 52. Примеры применения метода конформных отображений. Обтекание
эллипса и пластинки 183
§ 53. Крыловые профили Жуковского — Чаплыгина 190
§ 54. Главный вектор и главный момент сил давления потока на замкнутый
контур. Формулы Чаплыгина. Теорема Жуковского. Коэффициенты
подъемной силы и момента пластинки 192
§ 55. Теория тонкого профиля (дужки) 198
§ 56. Теорема Жуковского о подъемной силе профиля в решетке . . . 204
§ 57. Применение метода конформных отображений в теории струйных
течений 206
Глава VIII. Плоское безвихревое движение идеального газа 214
§ 58. Основные уравнения движения и их линеаризация 214
§ 59. Дозвуковое обтекание тонкого профиля. Правило Прандтля — Глау-
эрта 218
§ 60. Сверхзвуковое обтекание тонкого профиля. Формулы Аккерета . . 221
§ 61. Законы подобия плоских до- и сверхзвуковых обтеканий тонкого про-
профиля. Случай околозвукового обтекания 227
§ 62. Сужающийся сверхзвуковой поток. Косой скачок уплотнения . . 235
§ 63. Расширяющийся сверхзвуковой поток. Движение газа в секторе
разрежения 247
§ 64. Случай больших чисел Маха. Закон подобия гиперзвуковых потоков 252
§ 65. Уравнения газовой динамики в плоскости годографа скорости . . 256
§ 66. Влияние сжимаемости на распределение скоростей и давлений в пло-
плоском дозвуковом потоке 258
§ 67. Околокритическое обтекание крылового профиля 267
§ 68. Плоский сверхзвуковой поток. Общие свойства характеристик. Графи-
Графический метод расчета сверхзвуковых течений 268
Глава IX. Пространственное безвихревое движение жидкости и газа . . 277
§ 69. Потенциалы скоростей простейших пространственных потоков . . 277
§ 70. Поле скоростей, индуцируемое заданной системой вихрей в безгранич-
безграничной жидкости. Формула Био — Савара 281
оглавление: 5
§ 71. Потенциал поля скоростей, индуцированного замкнутой вихревой
нитью 284
§ 72. Функция тока в пространственных движениях 285
§ 73. Обтекание сферы. Парадокс Даламбера 288
§ 74. Уравнение продольного осесимметричного движения. Течение сквозь
каналы 293
§ 75. Осесимметричное продольное обтекание тел вращения .... 297
§ 76. Поперечное обтекание тел вращения 303
§ 77. Применение метода особенностей для расчета продольного и попереч-
поперечного обтеканий тел вращения Тела большого удлинения . . . 306
§ 78. Элементарная теория крыла конечного размаха 309
§ 79. Общий случай движения твердого тела в безграничной идеальной не-
несжимаемой жидкости. Задача Кирхгофа 319
§ 80. Осесимметричное до- и сверхзвуковое обтекание тонкого тела вра-
вращения . 330
§ 81. Законы подобия обтекания тонких тел вращения и тонких крыльев
конечного размаха 342
§ 82. Продольное сверхзвуковое обтекание круговою конуса. Конический
скачок уплотнения 348
§ 83. Сверхзвуковое обтекание тонкого тела вращения при очень больших
числах Маха > 354
Глава X. Динамика несжимаемой вязкой жидкости (линейные задачи) . 359
§ 84. Ньютоновская вязкая жидкость и ее реологическое уравнение . . 359
§ 85. Реологические законы неньютоновских вязких несжимаемых жидкостей 364
§ 86. Уравнения Иавье — Стокса динамики ньютоновской несжимаемой
среды 369
§ 87. Подобие течений вязкой несжимаемой жидкости 373
§ 88. Основы теории размерностей. П-теорема 382
§ 89. Примеры решения уравнений Навье — Стокса. Простейшие линейные
задачи 386
§ 90 Установившееся движение вязкопластической жидкости по цилиндри-
цилиндрической трубе кругового профиля 396
§ 91. Установившееся движение электропроводной вязкой жидкости по тру-
трубам при наличии поперечного магнитного поля 399
§ 92. Пульсирующее ламинарное движение вязкой жидкости по цилиндриче-
цилиндрической трубе кругового профиля 409
§ 93. Диссипация механической энергии в потоке вязкой жидкости. Вариа-
Вариационный принцип Гельмгольца 412
§ 94. Диффузия завихренности 416
§ 95. Диффузия тепла и вещества в потоках несжимаемой вязкой жидкости 420
Глава XI. Интегрирование уравнений Навье — Стокса: линеаризованные, авто-
автомодельные и численные решения 423»
§ 96. Обтекание шара при малых значениях числа Рейнольдса; формула
Стокса и ее обобщения 423
§ 97. Пространственное движение вязкой жидкости между близкими парал-
параллельными плоскостями. «Спектры» Хили-Шоу. Закон Дарси . . . 429
§ 98. Движение вязкой жидкости между вращающимися коаксиальными
цилиндрами. Задача о скольжении ползуна вдоль плоскости, покры-
покрытой вязкой жидкостью 432
§ 99. Гидродинамическая теория смазки подшипника. Плоская задача . 437
§ 100. Пространственная задача гидродинамической теории смазки. Сфериче-
Сферические подшипники и подвесы 441
§ 101. Применение теории размерностей к определению структуры решений
уравнений Навье — Стокса. Автомодельные решения 451
§ 102. Методы численного решения > равнений Навье — Стокса движения
вязкой несжимаемой жидкости 458
§ 103. Пример численного решения внутренней задачи: циркуляционное те-
течение в каверне 477
§ .104. Численное исследование обтекания кругового цилиндра при умерен-
умеренных числах Рейнольдса 487
Глава XII. Ламинарный пограничный слой в несжимаемой жидкости . . 497
§ ,105. Взаимодействие конвекции и диффузии в потоке несжимаемой вязкой
жидкости. Ламинарный пограничный слой 497
§ 106. Вывод уравнений Прандтля движения вязкой жидкости в ламинарном
пограничном слое. Явление отрыва 501
§ 107. Различные формы уравнений Прандтля. Уравнения Мизеса и Крокко 507
§ 108. Простейшие автомодельные решения уравнений ламинарного погранич-
пограничного слоя. Пограничный слой на продольно обтекаемой пластинке . 509
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 109 Примеры плоских «свободных» пограничных слоев: дальний след за
телом, «затопленная» струя, бьющая из точечного источника . . 514
§ 110 Задача о плоской «пристенной» струе 521
§ 111. Общий случай точных автомодельных решений уравнений стационар-
стационарного плоского пристенного пограничного слоя 524
§ 112. Приближенные методы расчета ламинарных пограничных слоев. Инте-
Интегральное соотношение Кармана. Методы Польгаузена и Кочина —
Лойцянского 531
§ 113. Обобщение .аффинного подобия на неавтомодельные течения в погра-
пограничных слоях. Метод обобщенного подобия 538
§ 114. Примеры применения метода обобщенного подобия 549
§ 115 Пространственные пристенные пограничные слои. Свободные простран-
пространственные струи . 559
§ 116 Плоский нестационарный пограничный слой 571
§ 117. Температурный и концентрационный пограничные слои в несжимаемой
жидкости 576
Глава XIII. Турбулентные движения несжимаемой вязкой жидкости . . . 584
§ 118. Неустойчивость ламинарных режимов течений и возникновение тур-
турбулентности 584
§ 119. Переходные явления в пограничном слое. Кризис сопротивления тел
плохо обтекаемой формы 590
§ 120. Уравнения Рейнольдса осредненного турбулентного движения . . 606
§ 121 Некоторые сведения о внутренней структуре турбулентных потоков . 615
§ 122 Перенос импульса, тепла и примесей в турбулентных движениях. Ги-
Гипотезы Буссинеска, Фурье и Фика 623
<* 123. Теория «пути смешения» Прандтля 630
§ 124 «Свободная» турбулентность. Затопленные струи. Дальний след . 635
§ 125 Двухслойная схема «пристенной» турбулентности. Логарифмический
профиль скоростей 648
§ 126 Логарифмические и степенные формулы сопротивления гладких и
шероховатых труб 658
§ 127. Эмпирический метод расчета турбулентного пограничного слоя на про-
продольно обтекаемой пластине с гладкой и шероховатой поверхностями 666
§ 128 Эмпирический метод расчета турбулентного пограничного слоя с про-
произвольным распределением скорости на внешней границе . . . 673
§ 129 Полуэмпирический метод расчета турбулентного пограничного слоя
на продольно обтекаемой пластине 679
§ 130. Интегральные методы расчета турбулентных пограничных слоев . 681
§ 131. Сопротивление тела, движущегося в жидкости. Профильное сопротив-
сопротивление Сопротивление трения. Сопротивление давления .... 683
§ 132 Приближенные формулы профильного сопротивления 688
Глава XIV Некоторые современные методы расчета турбулентного погранич-
пограничного слоя в несжимаемой жидкости 695
§ 133. «Моментные» методы теории турбулентного пограничного слоя . . 695
§ 134 Введение в метод моментов первого порядка. Двухслойная схема . 696
§ ,135 «Пристенная» подобласть турбулентного пограничного слоя. Взаимо-
Взаимодействие молекулярной и турбулентной вязкостей 697
§ 136 Тепломассоперенос в «пристенной» подобласти 705
§ 137 «Внешняя» подобласть турбулентного пограничного слоя. Гипотеза
Клаузера 717
§ 138. Результаты численных расчетов турбулентных пограничных слоев по
методу моментов первого порядка .__ . 724
§ 139 Обзор применений моделей второго порядка. Модели: «k — е», «u'v' —
—k — e» 730
§ 140. Релаксационные явления в турбулентных пограничных слоях. Релак-
Релаксационное уравнение Хинце 732
Глава XV. Динамика вязкого газа 740
§ 141. Основные уравнения движения вязкого газа 740
§ 142. Условия подобия потоков вязкого газа 748
§ 143. Ламинарный пограничный слой при движении газа с большими ско-
скоростями 751
§ 144 Ламинарный пограничный слой на пластине, продольно обтекаемой
газом с большими скоростями 759
§ 145. Ламинарный пограничный слой на конусе в продольном сверхзвуко-
сверхзвуковом потоке 772
§ 146. Ламинарный пограничный слой при больших скоростях и наличии
продольного перепада давлений .... 777
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 147. Преобразование уравнений ламинарного пограничного слоя в газе к
форме уравнений для несжимаемой жидкости 787
§ 148. Метод обобщенного подобия Ъ теории ламинарного пограничного слоя
в газовом потоке больших скоростей 791
§ 149. Ламинарный пограничный слой в сверхзвуковом потоке смеси реаги-
реагирующих между собой газов 798
§ 150. Взаимодействие ламинарного пограничного слоя с внешним иевязким
сверхзвуковым потоком 807
§ 151. Турбулентный пограничный слой на пластинке, продольно обтекаемой
газом 815
§ 152. Турбулентный пограничный слой в газовом потоке при наличии про-
продольного гоадиента давлений 827
Именной указатель 831
Предметный указатель 835
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание подверглось значительной переработке с целью,
с одной стороны, приблизить его содержание к задачам учебника, а с
другой — обновить изложение некоторыми новыми современными воп-
вопросами.
Не имея возможности увеличивать и без того уже значительный объ-
объем книги, пришлось поступиться некоторыми специальными разделами
механики жидкости и газа, не отвечающими задачам настоящего общего
курса. Так, в динамике неоднородной жидкости опущен вопрос о дви-
движении многофазных сред и сохранен только вывод уравнений много-
многокомпонентных потоков газа, тесно связанный с описанием явлений дис-
диссоциации и ионизации молекул при сверхзвуковых течениях газа. Не
включен также раздел, посвященный макроскопическому подходу к
расчету потоков запыленного газа, уступающему место методам кине-
кинетической теории молекулярных движений. По той же причине исключен
параграф об исследовании скачка уплотнения с точки зрения динамики
сплошных сред и некоторые другие вопросы, затрагивавшиеся в пре-
предыдущем издании.
В отличие от предыдущих изданий, где лишь приведены формулы
векторного и тензорного исчислений, в настоящем издании помещено
краткое систематическое изложение основ этой области математики.
В дополнение к элементам теории подобия дано представление о теории
размерности и доказательство основной теоремы этой теории.
Вновь написаны три параграфа, содержащие изложение некоторых
общих методов численного интегрирования дифференциальных уравне-
уравнений и иллюстрации их применений к уравнениям Навье—Стокса дина-
динамики вязкой жидкости. Значительная переработка содержания главы о
турбулентности привела к появлению новой главы, специально посвя-
посвященной методам расчета турбулентных пограничных слоев. Во многих
местах учебника устранены замеченные методические просчеты.
Доктор физ.-мат. наук, профессор Г. Ю. Степанов с исключительным
вниманием прочитал рукопись и сделал большое число важных для ка-
качества книги научных и методических замечаний.
Доктор физ.-мат. наук, профессор Ю. В. Лапин прочел в рукописи
главу XIV и сделал по ней ряд полезных замечаний. В работе над ру-
рукописью и корректурами неоценимую помощь оказал доцент кафедры
гидроаэродинамики Ленинградского политехнического института канд.
физ.-мат. наук С. Б. Колешко, который не только осуществил научное
редактирование рукописи и сделал много полезных замечаний, но и со-
составил три новых параграфа (§ 103—105), посвященных численному ре-
решению задач динамики вязкой жидкости. Считаю своим долгом прине-
принести названнымлицамсвою сердечную благодарность.
От редактора
В подготовке настоящего издания большая помощь была оказана
коллегами Льва Герасимовича —сотрудниками кафедры гидроаэроди-
гидроаэродинамики СПбГПУ, в особенности С.Б.Колешко, и дочерью автора
И.Л.Лойцянской.
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Предмет механики жидкости и газа.
Математическая модель жидкости и газа — сплошная текучая среда
Все материальные тела, независимо от их агрегатного состояния:
твердого (кристаллического или аморфного), жидкого или газообраз-
газообразного, обладают внутренней молекулярной (атомной) структурой с ха-
характерным внутренним тепловым, микроскопическим движением моле-
молекул, являющимся причиной наблюдаемых на практике макроскопиче-
макроскопических процессов. В отличие от кинетической теории вещества^ механика
жидкости и газа занимается только этой макроскопической моделью,
представляющей жидкости и газы как некоторую сплошную текучую
среду с непрерывным (строго говоря, кусочно-непрерывным) распреде-
распределением физических величин, определяющих ее движение и состояние.
Подобно тому, как предметом теоретической механики принято счи-
считать модели материальных точек и частного случая сплошной среды —
абсолютно твердого тела, предметом механики жидкости и газа служит
модель сплошной деформируемой среды, обладающей, в отличие от упг
ругого тела, неограниченной деформируемостью — текучестью. Это
свойство выражается прямой зависимостью в такой среде касательных
напряжений от скорости деформации сдвига (подчеркнем: скорости де-
деформации, а не самой деформации). Равенство нулю скорости деформа-
деформации сдвига, например, при покое среды, означает и отсутствие в ней ка*
сательных напряжений, но пропорциональность этих двух величин име-
имеет место только в частном случае так называемых ньютоновских жидг
костей. Как будет показано далее в § 85 и 90, существуют жидкости с
аномальной текучестью, у которых одновременное равенство нулю ско-
скоростей сдвига и касательных напряжений может не осуществляться.
Этими и другими неньютоновскими жидкостями занимается общая на-
наука о текучести сред — реология.
Используемой в настоящем курсе модели сплошной среды приписы-
приписываются феноменологические свойства: плотность, силовая напряжен-
напряженность, деформируемость, вязкость, тепло- и электропроводность, намаг-
ничиваемость и др., сущность которых на молекулярном уровне не
рассматривается; эти вопросы — предмет специальных разделов фи-
физики.
Применительно к среде в целом и к отдельным ее частям постули-
постулируется возможность применения общих законов механики дискретной
системы материальных точек: сохранения массы, количества движения,
момента количества движения, механической и общей термодинамиче-
термодинамической энергии. Из этих общих механических законов выводятся основные
дифференциальные уравнения механики жидкости и газа и следующие
из них общие интегралы или теоремы. Полная определенность в при-
применениях этих уравнений требует учета дополнительных феномено-
феноменологических законов: уравнения состояния, закона Ньютона — для
вязкости, Фурье — для теплопроводности, Фика — для диффузии,
и других.
?0 ВВЕДЕНИЕ
§ 2. Краткие сведения о молекулярной структуре вещества
В зависимости от количественного -соотношения между кинетической
энергией движения молекул и потенциальной энергией межмолекуляр-
межмолекулярного силового взаимодействия возникают различные молекулярные
структуры и разновидности внутреннего движения молекул.
В твердых телах основное значение приобретает молекулярная энер-
энергия взаимодействия молекул, вследствие чего молекулы располагаются
в правильные кристаллические решетки с положениями устойчивого
равновесия в узлах этой решетки. Тепловые движения в твердом теле
представляют собой малые колебания молекул относительно узлов ре-
решетки с высокой частотой (порядка 1012 Гц) и амплитудой, пропорцио-
пропорциональной расстояниям между узлами решетки. В молекулярной структу-
структуре твердого тела обеспечиваются как «ближний», так и «дальний» по-
порядки. К твердым телам относятся также вещества в аморфном состоя-
состоянии, не имеющие кристаллической структуры, но обладающие «ближ-
«ближним» порядком, во многом схожим с таковым в жидкостях (см. далее).
Аморфные состояния мало устойчивы и легко переходят в кристалличе-
кристаллические.
В противоположность твердому телу, в газах отсутствуют как ближ-
ближний, так и дальний порядки. Молекулы газа совершают беспорядочное
движение, причем взаимодействие их сводится только к столкновениям.
В промежутках между столкновениями взаимодействием между моле-
молекулами пренебрегают, что соответствует малости потенциальной энер-
энергии силового взаимодействия молекул по сравнению с кинетической
энергией их хаотического движения. Среднее расстояние между двумя
последовательными столкновениями молекул определяет «длину сво-
свободного пробега». Скорость «пробега» молекул сравнима со скоростью
распространения малых возмущений (скоростью звука) в данном со-
состоянии газа.
Жидкие тела по своей молекулярной структуре и тепловому движе-
движению занимают промежуточное положение между твердыми и газообраз-
газообразными телами. По существующим воззрениям вокруг некоторой, приоб-
приобретающей роль центральной, молекулы группируются соседние молеку-
молекулы, совершающие малые колебания >с частотой, близкой к указанной ра-
ранее для колебаний молекул твердого тела в решетке, и амплитудой по-
порядка среднего расстояния между молекулами. Центральная молекула
либо (при покое жидкости) остается неподвижной, либо мигрирует со
скоростью, по величине и направлению совпадающей с местной средней
скоростью макроскопического движения жидкости. В молекулярной
структуре жидкости потенциальная энергия взаимодействия молекул
сравнима по порядку с кинетической энергией их теплового движения;
при этом обнаруживается ближний порядок, но отсутствует дальний.
Доказательством наличия колебаний молекул в жидкостях служит из-
известное «броуновское движение» мельчайших твердых частиц, внесен-
внесенных в жидкость. Колебания этих частиц легко наблюдаются в поле мик-
микроскопа и могут рассматриваться как результат соударения твердых
частиц с молекулами жидкости.
Различие в молекулярной структуре и тепловых движениях твер-
твердых, жидких и газообразных тел наглядно обнаруживается в явлении
диффузии, заключающейся в распространении одного вещества (вклю-
(включения) в другое (носитель). Диффузия одного газа в другом (напри-
(например, распространение запаха в воздухе) благодаря интенсивному моле-
молекулярному движению приводит к быстрому проникновению запаха в
самые удаленные уголки помещения. Наоборот, диффузия жидкости в
жидкости из-за слабой миграции центральных молекул, связывающих
группы молекул, происходит значительно медленнее. Ярким примером
§ 2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МОЛЕКУЛЯРНОЙ СТРУКТУРЕ ВЕЩЕСТВА Ц
может служить исторический опыт Рейнольде а, вводившего в спо-
спокойно движущийся (ламинарный) поток воды сквозь цилиндрическую
грубу тонкую струйку красящего вещества. Струйка вдоль почти всего
рабочего участка трубы не меняла заметно свою толщину, что говорит
о медленной молекулярной диффузии, присущей ламинарному движению
воды. При переходе к турбулентному режиму течения, когда молекуляр-
молекулярный механизм диффузии заменяется турбулентным перемешиванием ко-
конечных макрообъемов жидкости, возникает интенсивная турбулентная
диффузия, и красящее вещество быстро заполняет весь поток.
Заметим, что явление диффузии, хотя значительно более слабое, чем
в жидкостях, имеет место и в твердых телах. Два плотно притертых
друг к другу образца из разных металлов спустя длительное время об-
обнаруживают взаимное проникновение молекул.
Задачи астрофизики, связанные с изучением ионосферы, «звездных
облаков» и других астрономических объектов, и особенно разнообраз-
разнообразные физико-технические проблемы создания термоядерных реакторов,
магнитогидродинамических генераторов для прямого преобразования
тепловой энергии в электрическую заметно повысили интерес к вопро-
вопросам динамики ионизованных газов (плазмы).
В отличие от обычных электронейтральных газов, в которых сило-
силовое взаимодействие хаотически движущихся молекул проявляется лишь
при их взаимных соударениях, в плазме благодаря высокой концентра-
концентрации заряженных частиц возникают гораздо более существенные куло-
новские взаимодействия. Это придает плазме особые свойства, в частно-
частности повышенную электропроводность, наиболее заметно проявляющие-
проявляющиеся при воздействии на плазменные потоки внешних электрических и
магнитных полей.
Исключительные по своему физическому значению и прикладным
возможностям и вместе с тем весьма специфические свойства, которыми
обладает плазма, привели к представлению о ней как о четвертом (по-
(после твердого, жидкого и газообразного) агрегатном состоянии веще-
вещества1)-
') Подробный очерк о свойствах плазмы и явлениях в ней можно найти в статье
Б. Б. Кадомцева «Плазма» (Физ. энцикл. слов. Т. 4.— М.: Сов. энциклопедия, 1965,
с. 15—24). См. также разделы 1.3 и 1.4 в монографии: Лукьянов Г. А. Сверхзву-
Сверхзвуковые струи плазмы.— Л.: Машиностроение, 1985, с. 1Я—21 и приведенный в ней спи-
сок литературы.
ГЛАВА I
ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ.
УСЛОВИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ ОБЪЕКТИВНОСТИ ВЕЛИЧИН,
ЗАДАННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИ. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ПОЛЯ
§ 3. Скалярные и векторные поля. Условия физической объективности
заданных аналитически скалярных и векторных величин
Полем физической величины (скорости, ускорения, давления, плот-
плотности, температуры и т. д.) называют совокупность значений этой вели-
величины, однозначно определенных в каждой точке некоторой части прост-
пространства. Могут существовать скалярные, векторные и, как мы далее
увидим, тензорные поля в зависимости от рода той величины, распреде-
распределение которой задается полем.
Если во всех точках поля скалярные, векторные или тензорные вели-
величины имеют одно и то же значение, то поле называется однородным, в
лротивном случае — неоднородным. Поля физических величин могут не
изменяться с течением времени — быть стационарными, а могут изме-
изменяться — быть нестационарными.
Поле скалярной величины ф (например, температуры, давления,
плотности) аналитически задается в виде функции координат точек по-
поля и времени (г — текущий вектор-радиус точки М лространства)
У> г\ t)=q(M\ t)=<p{r; t). A)
Время здесь рассматривается как параметр, отмечающий отдельные
моменты, к которым относятся поля, если они нестационарны, и может
быть опущено, если поля стационарны.
Поле векторной величины а (скорости, ускорения, силы и т. п.) за-
задается векторной функцией координат точек М и времени
а = а(х, у, z,t) = a (M; t) = а (г; /) B)
или тремя проекциями вектора а
ах=ак(х, у, z\ t), ау=ау(х, у, z\ t), аг=аг(х, уу z\ t). C)
Для сокращения объема записи будем часто пользоваться, взамен
буквенной, числовой индексацией координат и проекций векторов, по-
полагая
х=хи у=х2, г=хг\ ax=aiy av=a2y аг=аг,
и писать вместо C)
ai=ui(xu x2y x3\ t) (/=1, 2, 3).
Кроме того, следуя приему, указанному Эйнштейном, будем опускать
знак суммы 2 пеРеД суммируемыми одночленами, если индекс, по ко-
которому производится «суммирование, повторяется в одночлене два раза.
Так, например,
3
(k=\, 2,3),
fpi = 2 2 u^b(imClm = upibqmCim (p, Ц = 1, 2, 3).
Повторяющиеся два раза индексы, по которым производится суммиро-
§ 3. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
13
вание, называют «немыми»; их обозначения можно в процессе вычисле-
вычисления менять:
ck=albhl=ambkm F=1, 2, 3).
Остальные индексы (как, например, k в предыдущей формуле) сохраня-
сохраняются в каждом данном процессе вычисления неизменными — их называ-
называют «свободными».
Напомним необходимые для дальнейшего формулы аналитической
геометрии, выражая их в принятых только что обозначениях.
Рассмотрим две системы прямоугольных декартовых координат:
OxiX2x3 и Ох/Хг'х/ (рис. 1), имеющих общее начало в точке О, но
(сак угодно повернутых друг по отно-
отношению к другу. Обозначим косинусы
углов между «новыми» (штрихованны-
(штрихованными) и «старыми» осями через aw со-
согласно таблице
«И
«21
«81
л2
«12
«28
«82
«13
«23
«33
(I)
Каждой системе координат сопо-
сопоставим свою совокупность единичных
векторов, направленных по осям коор-
координат и называемых базисом коорди- Рис. 1
натной системы. Таких базисов в дан-
данном случае два: iu i2, i, и i/, i2i i/. Вектор-радиус г точки М можно раз-
разложить по этим базисам, положив
= xll1 + x2i2
x'2i'2
D)
Умножая скалярно обе части этого равенства последовательно на
ii, *#2, h или на */, Uу *У, вспоминая, что
Ik * ii = ik • h = &ki —
и замечая еще, что, согласно таблице (I),
ik . it = a*/,
1, * = /,
О, k=f=lt
E)
F)
получим следующие формулы преобразования «старых» координат х1%
х2, хг в «новые» х/, х2> х%:
xk = ccklxx + aklx2 + akix3 = akixL (k = 1, 2, 3) G)
или, наоборот, «новых» */, x2, x/ в «старые» хи х2у xs:
Xk ==- d\kX\. ~i О&г&^г ~t" ^з^-^з == QlkXi \R === I, Z, oj. \o)
Учитывая, что проекции вектора а на оси координат аи а2, аг или
а/, а/, а/ определяются разностями координат конца и начала отрезка,
изображающего вектор, заключим, что формулы для проекций вектора
при переходе от одной системы координат к другой будут иметь анало-
аналогичный вид
ak = aklau ak = alka'i (k = 1, 2, 3). (9)
Заметим, что формулы (9) справедливы только в ортогональных систе-
системах координат, которые за редким исключением и используются ниже.
14 ГЛ. I. ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Условимся называть физически объективными величины, в силу сво-
своей физической сущности не зависящие от выбора системы координат, в
которой они аналитически представляются. Так, например, физический
скаляр (температура, давление, плотность и др.), заданный своим полем,,
т. е. функцией координат <р(хи хъ х3)у должен быть инвариантом, удов-
удовлетворяющим равенству
ф (*ъ х2> хз) = '
в котором подразумевается, что наборы «старых» и «новых» координат
соответствуют одной и той же точке пространства.
Аналогично, вектор, заданный тремя своими проекциями ah(xux2,х3)
(k=ly 2, 3) или в другой системе координат проекциями а/(х/, х2\ х3)
(/5=1, 2, 3), чтобы представлять физическую величину, должен не за-
зависеть от выбора осей координат.
Чтобы найти условия физической объективности векторной функции
а, докажем сначала, что скалярное произведение a-b=ahbk, где ак и bh
удовлетворяют формулам перехода (9), не зависит от выбора направ-
направления осей координат, в которых эти сомножители определены, т.е. яв-
является инвариантом.
Согласно (9) имеем (k — немой индекс)
akbk = a,ikfli<*mkb'm = a>ikO<nikdibm. A0)
Стоящее справа сомножителем выражение aihamh представляет собой,
согласно известной теореме аналитической геометрии, выражение коси-
косинуса угла между осями Ох/ и OxJ через косинусы углов этих осей с
осями системы Оххх2х3. По свойству взаимной ортогональности осей
координат будет
//ГчЧч A, если m = f, /11Ч
cos (х xm) = alkamk = ' A1)
10, если тф1.
Аналогично, выражая косинус угла между осями Oxt и Охт через
косинусы углов с осями системы Ох/х2хъ\ получим
COS (Xh Xm) = UklOLkm = ' A2)
10, если тф1.
Учитывая A1), получим доказывающее инвариантность скалярного
произведения а*Ь равенство
akbk = atbi = inv. A3)
Полагая в нем 6=а, убедимся в инвариантности суммы квадратов
проекций
akafk = aiai = ]nvy A4)
т. е. квадрата длины (модуля) вектора, а следовательно, и самой дли-
длины (модуля) вектора. Имея в виду, что
аФъ. = a -b = abcos{a>b)r
где а и b — инварианты, и задаваясь различными векторами &, убедим-
убедимся также в инвариантности расположения вектора а относительно точек
пространства.
Роль формул (9) как условий физической объективности аналитиче-
аналитического определения вектора очевидна. Что касается формул G) и (8) пе-
перехода от одной системы координат к другой, то они представляют со-
собой частный случай формул (9) применительно к вектор-радиусу г точ-
точки М и, следовательно, устанавливают физическую объективность ана-
§ 4. ТЕНЗОР ВТОРОГО РАНГА. ДИАДА И ТЕНЗОР ПОВОРОТА 15
литического определения вектор-радиуса точки при помощи ее коор-
координат.
Обратив 'внимание на идентичность формул перехода от одной си-
системы координат к другой для самих декартовых координат G), (8) и
для проекций векторов (9), можем сформулировать условия физиче-
физической объективности аналитического представления векторов: проекции
физического вектора при переходе от одной прямоугольной декартовой
системы координат к другой должны преобразовываться так же, как
координаты.
§ 4. Тензор второго ранга. Условия физической объективности
его аналитического задания. Диада и тензор поворота
Наряду со скалярными величинами, поле которых определяется од-
одной числовой функцией, и векторными величинами с полем, задавае-
задаваемым тремя числовыми функциями — проекциями вектора на оси коор-
координат, в механике сплошных сред используются и более сложные по
математической структуре физические величины — тензоры второго
ранга.
Определение тензора второго ранга можно ввести двумя независи-
независимыми друг от друга, приводящими к идентичным результатам спосо-
способами.
Обобщая понятия скаляра и вектора и условий физической их объ-
объективности, определим тензор второго ранга Т в каждой точке трехмер-
трехмерного пространства как совокупность девяти величин Tpq (р, ^=1,2,3) —
компонент тензора, заданных в некоторой прямоугольной декартовой
системе координат и преобразующихся при переходе к другой системе
координат по формулам (г, s — немые индексы)
Т'ря = aPr<x>qsTrs, Т pq = arpasgT'rs (p, q = 1, 2, 3). A5)
Эти равенства можно трактовать как формулы перехода от одной
прямоугольной декартовой системы координат к другой произведения
двух координат. Действительно,
что совпадает с A5).
Таким образом, согласно первому определению, тензор второго ран-
ранга представляет совокупность девяти величин — компонент тензора —
преобразующихся при переходе от одной системы координат к другой
как произведение двух координат.
Второе определение тензора исходит из понятий линейной вектор-
функции или линейного преобразования вектора. Аналитическим выра-
выражением того и другого являются равенства (/ — немой индекс, k — сво-
свободный)
bh=Thlat (k= 1,2,3), A6)
где ui и b{ — координаты векторов а и 6; Tkl — коэффициенты линейной
вектор-функции или линейного преобразования.
Второе определение тензора второго ранга гласит: если в линейном
преобразовании (линейной вектор-функции) A6) физическому вектору
а сопоставляется также физический вектор 6, то совокупность коэффи-
коэффициентов преобразования Ты (k, 1=1, 2, 3) представляет в свою очередь
физически объективную величину — тензор второго ранга.
В дальнейшем опустим упоминания о ранге тензора, так как тензо-
тензоры выше второго ранга, как правило, встречаться не будут. Единствен-
16 гл. i. поле физической величины
ным исключением будет тензор третьего ранга Леви-Чивита C4).
Тензоры обозначаются заглавными курсивными буквами (Р, Q, S
и т. д.), а их компоненты теми же, а иногда и строчными буквами с
двумя индексами. Так, тензор, представляющий совокупность коэффи-
коэффициентов линейного преобразования A6), может быть обозначен заглав-
заглавной буквой Ту а для его компонент принимается обозначение Thl.
Тензору Т соответствует его матрица (таблица), в которой первым
индексом принято обозначать номер строки таблицы, вторым — столб-
столбца. Тензор, матрица которого образована транспонированием — измене-
изменением порядка индексов на противоположный — матрицы исходного тен-
тензора Г, называют сопряженным, или транспонированным, по отношению
к тензору Т и обозначают Т*. Приведем эти две м-атрицы:
(Тп Т21 Т31\
Г\т12 rM Г82 . A7)
\T1S Т23 T3J
Условия физической объективности аналитического задания тензо-
тензора входят в оба его определения. Согласно первому определению требу-
требуется, чтобы компоненты тензора при переходе от одной системы коор-
координат к другой преобразовывались как произведения координат. Со-
Согласно второму определению A6) компоненты тензора должны быть
коэффициентами линейного преобразования физического вектора в фи-
физический. Покажем, что эти требования вытекают одно из другого.
Согласно (9) и A6) имеем
bs = &skbk = &skTkiai = ^sk^ki^pidp = UskUpiTмир*
но по тому же равенству A6), примененному теперь в системе со штри-
штрихами, будет
bs = Tspap\
сравнивая с предыдущим выражением, получим
Tsp =
т. е. соотношение A5). Таким образом, исходя из второго определения
тензора Т A6) и условий физической объективности векторов а и &
(9), мы пришли к первому определению тензора A5), что и доказывает
эквивалентность обоих определений.
Принятое определение тензора является физическим, чему и соответ-
соответствуют условия его физической объективности. Существует также опре-
определение тензора как математического объекта с заданными свойствами
относительно либо преобразования координат, либо выражения линей-
линейной вектор-функции. В настоящем курсе тензоры рассматриваются толь-
только в прямоугольных декартовой или криволинейной системах коорди-
координат, что позволяет пользоваться лишь одними нижними индексами б
обозначении компонент тензора.
Рассмотрим два характерных примера для каждого из указанных
только что определений.
Составим из проекций ak (k=l, 2, 3) и bt A=1, 2, 3) двух физиче-
физических векторов а и Ъ совокупность девяти величин dhi=ahbl. Пользуясь
формулами G), легко показать физическую объективность этих произ-
произведений попарно взятых проекций векторов. Действительно, согласно
этим формулам
dki = афг = cckmamainbn = ockmainambn =
Полученные равенства совпадают с условиями физической объектив-
объективности тензора Д аналитически заданного своими компонентами dmn=
§ 4. ТЕНЗОР ВТОРОГО РАНГА. ДИАДА И ТЕНЗОР ПОВОРОТА 17
=ambn. Тензор D носит наименование диады, или мультипликативного
тензора, образованного из двух физических векторов, а и 6; образова-
образование диады обозначают следующим образом:
D=ab. A8)
Таблицы (матрицы) тензора D и сопряженного с ним тензора D*
будут
/aA axb2 axb3\ (axbx афг а9ЬЛ
D аЛ аЛ а**, , #4 я А аф2 aJbA . A9)
W V
Выражение, стоящее в правой части A8), называют еще иногда
диадным произведением двух векторов; напомним, что скалярное про-
произведение a-b=b*a является скаляром, векторное произведение aXb=
=—ЬХа — вектором, диадное произведение аЪ — тензором, причем
D*={aby=ba. B0)
Простейшими примерами диады могут служить координатные диа-
диады, представляющие диадные произведения единичных координатных
векторов — ортов ih, ih Подобно тому, как вектор а может быть пред-
представлен разложением a=ahih, так же и тензор Т разлагается по коор-
координатным диадам T=Thlikih в чем легко убедиться, выписывая комло-
ненты обеих частей этого равенства и замечая, например, что
/0 1 0\
0 0 0,
о о о/
Ti2=(Thlikil)i2=Ti2HT.u.
Таково, например, разложение диады общего вида по координатным
диадам.
В качестве другого примера, иллюстрирующего второй способ опре-
определения тензора, рассмотрим тензор Я с матрицей, составленной из ко-
косинусов углов между двумя различными системами координат
(an al2 осхзХ
a21 a22 a28 . B1)
a31 a32 a33/
Нет необходимости доказывать физическую объективность аналити-
аналитического задания тензора 3( его компонентами а**, так как они являются
коэффициентами преобразований G) и (8) физического вектора г в
другой также физический вектор г*, или же преобразований (9) любого
физического вектора а в физический вектор а'.
Систему координат OXiX2'xz' можно рассматривать как результат
такого поворота системы Ох^хгхг, при котором одноименные «старые»
и «новые» оси совпадают. При этом любой вектор, закрепленный в си-
системе OxiX2xs, совершит вместе с нею поворот в пространстве. Покажем,
что произведение тензора Я B1) на произвольный вектор а, жестко свя-
связанный с Охгх2х3, выражает поворот этого вектора в пространстве вме-
вместе с системой Охгх2х3. Имеем по B1) (определение произведения тен-
тензора на вектор см. далее в § 5)
или, согласно первому равенству (9),
(Иа),=а/.
Полученное равенство, содержащее в левой части t'-ю проекцию пре-
преобразованного умножением на 51 вектора а в системе 0ха2х^ а в пра~
18 гл. i. поле физической величины
вой — одноименную проекцию а/ исходного вектора а в системе коор-
координат Ох/Хг'х/, говорит о том, что результат умножения вектора а спра-
справа на тензор к представляет собой тот же вектор а, но повернутый в
пространстве как одно целое с системой координат Ох{х2х3. Такая ин
терпретация вектора Ш позволяет дать физическому тензору 91 наиме-
наименование тензора поворота,
В дальнейшем мы встретимся с различными тензорами, причем в
большинстве случаев определение их будет связано с понятием линей-
линейной вектор-функции (или линейного преобразования) двух физических
векторов друг в друга, иными словами, соответствовать второму спосо-
способу определения физического тензора.
§ 5. Основные операции тензорной алгебры
Простейшими операциями над тензорами являются: сложение (вы-
(вычитание), умножение на скаляр и умножение на вектор.
Сложение (вычитание) и умножение на скаляр определяются ра-
равенствами
(P±Q±R±. . .)mn = Pmn±Qmn±Rmn±. . . ,
B2)
nz==1h± тпп'
Несколько сложнее вводится операция умножения тензора на вектор
и отличная от нее в случае произвольного тензора операция умножения
вектора на тензор. Операции эти определяют соответственно векторы
Ра и аР с проекциями (п — немой индекс)
(Pa)m = Pmnan, (aP)m=anPnm (m=l, 2, 3). B3)
Вспоминая введенное в предыдущем параграфе определение линей-
линейной векторной функции (линейного преобразования) A6) и сравнивая
правые части равенства A6) с первой системой равенств B3), убедим-
убедимся в эквивалентности операции умножения тензора на вектор Ра линей-
линейному преобразованию физического вектора а в другой физический век-
вектор. Очевидно, что умножение вектора на тензор аР эквивалентно ли-
линейному преобразованию физического вектора а по формуле A6) по-
посредством тензора Р*.
Операцию умножения тензора на вектор, определенную первым ра-
равенством B3), называют еще иначе умножением тензора на вектор
справа, а второе равенство B3) —умножением тензора на вектор сле-
слева. Отметим, что при любом порядке расположения сомножителей не-
немые индексы у тензора и вектора всегда являются смежными. Полезно
еще отметить тождества
Ра=аР\ Р*а=аР. B4)
Тензор, компоненты которого не зависят от порядка индексов, так
что
Smn = Snm (m, n=l, 2,3), B5)
называется симметричным. В его таблице [см. далее B9)] компоненты,
зеркально расположенные относительно главной диагонали, идущей от
левого верхнего угла к правому нижнему, одинаковы. Симметричный
тензор имеет только шесть отличных друг от друга компонент.
Простейшим примером симметричного тензора может служить так
называемая «тензорная единица» Е с компонентами, представляющими
собой уже встречавшиеся [см. равенства E)] символы Кронекера
§ 5. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ 19
бы, и имеющая одну и ту же таблицу
1 0 0\
010 B6)
\0 0 1/
во всех системах координат.
В самом деле, из определения тензора по первому способу A5)
следует, что если считать таблицу B6) выраженной в старых координа-
координатах, то в новых компоненты Е примут вид
или, вспоминая A2) (пг — немой индекс),
1, если l = kt
0, если 1фк,
что совпадает с E) F'W=6W).
Название тензорной единицы связано с очевидным соотношением
Еа=а. B7)
Тензор Л, компоненты которого при изменении порядка индексов
изменяют свой знак на противоположный, называют антисимметричным,
или кососимметричным. Имеем
А*=-А, Amn=-Anm, Amm=0 (m, n=l, 2, 3). B8)
У антисимметричного тензора различных по абсолютной величине
компонент только три.
Приводим таблицы симметричного и антисимметричного тензоров:
$п — ^2i ^13 = ЗзЛ
522 523 = S82 , B9)
s32 = s23 s33 J
i4i2 = — A21 A13=—A31\
0 Л23 = -Л32 . C0)
A31 = — A13 A32 = — A23 0 /
По определению операций умножения тензора на вектор для сим-
симметричного тензора S и антисимметричного тензора А имеем
Sa = aS = S*a = aS\
C1)
Аа = аА* — А
Рассмотрим детальнее операцию умножения антисимметричного
тензора А на вектор а справа. Докажем, что из совокупности трех ком-
компонент антисимметричного тензора, если их взять в определенном по-
порядке, можно составить так называемый сопутствующий тензору А век-
вектор с с компонентами
^=^23, c2=A3i, c3=Alz\ C2)
заметим, что в принятом определении сопутствующего вектора значе-
значения индексов в левой и правой частях каждого из этих равенств подчи-
подчиняются правилу круговой перестановки A—^2->3—И и т. д.).
Название «сопутствующий» подчеркивает, что хотя компоненты век-
вектора с совпадают с тремя из девяти компонент тензора А (включая и
нулевые значения А»), но, конечно, ни о каком равенстве вектора с и
тензора А не может быть и речи: это величины разного рода.
Равенства C2) можно заменить одним
Cr=*TMtA9t C3)
20 гл. i. поле физической величины
(r-+-s-+t по правилу круговой перестановки; г, s, /=1, 2, 3; по индексам
s и t не суммировать!), если ввести в рассмотрение символы Л е в и - Ч и-
в и т а, составляющие в совокупности тензор третьего ранга,
ere* = *V(*.X*\), C4)
где 1Г9 *„ it — орты прямоугольных координатных осей. Согласно опре-
определению C4) er9t равны нулю, если в числе индексов имеются хоть два
одинаковых, + 1, если индексы образуют круговую перестановку, и —1,
если круговая перестановка нарушена. Примером применения символов
Леви-Чивита может служить общая формула для компонент век-
векторного произведения двух векторов
C5)
предполагающая суммирование по повторяющимся «немым» индексам.
Имеем
(а х &)i = tisfljbt = г123а2Ь3 + el32a3b2 = a2b3 — аф2 и т. д.
Докажем, что три величины ck (?=1, 2, 3), выраженные через компо-
компоненты физического антисимметричного тензора А по формулам C2)
или C3), образуют физический вектор с. Иными словами, докажем, что
если компоненты А1п (/, п=1, 2, 3) удовлетворяют условиям физической
объективности тензора, то величины ck (k= 1,2,3) удовлетворяют усло-
условиям физической объективности вектора (9).
Согласно A5) в системе со штрихами имеет место равенство
Лоз — с[ = a2ra3sAs C6)
или, в развернутом виде,
С1 = А23 = (<*22аЗЗ — а23а32) Лз + (а23а31 а21а3з) ^31 + (a2ia32 ~ a22a3l) ^12~
= (а22аЗЗ — а23а32) С1 + (а23а31 ~ а21а3з) С2 + (a2ia32 ~ a22a3l) C3- C7)
Возводя определитель таблицы косинусов (I) по правилам умно-
умножения определителей1) в квадрат и пользуясь соотношениями A2),
убедимся в том, что квадрат определителя (det — символ определителя)
равен единице:
110 0
[det(a^)]2 = detFmn)=lo 1 0=1,
|о 0 1
а, следовательно, сам определитель равен
det(aw) = ±l, C8)
где плюс соответствует случаю сонаправленных систем координат (обе
системы правые или обе левые), а минус — разнонаправленным систе-
системам (одна — правая, другая — левая).
Полагая в A1) последовательно /=1, 2, 3 при т=1, получим си-
систему равенств (условия ортогональности систем координат):
auan + ^г0^ + ai3ai3 = 1,
a21an + a22a12 + a23a13 = 0, C9)
которую можно рассматривать как линейную неоднородную систему
уравнений относительно неизвестных an, ai2, a13. Замечая, что опреде-
определитель этой системы, согласно C8), равен единице (знак минус опуска-
опускаем, так как в дальнейшем будем пользоваться только сонаправлен-
det(aij)-det(fcij)=det(cmn), cmn =
§ 5 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ 21
ными, а именно правыми системами), найдем ее решение:
а11 = а22аЗЗ а23а32»
а13 = а2]а32
13
Справа стоят алгебраические дополнения элементов определителя
таблицы косинусов аи, ai2, ai3- Аналогично можно было бы показать,
что любой из элементов определителя таблицы косинусов det(aw) углов
между двумя осями координат равен своему алгебраическому допол-
дополнению. Определители, обладающие этим свойством, называют взаим-
взаимными.
Возвращаясь к равенству C7), перепишем его, согласно D0), в виде
D1)
Аналогично, пользуясь доказанным свойством взаимности определите-
определителя таблицы косинусов, выразим остальные проекции сг' и с/
Совокупность равенств D1) и D10, очевидно, и доказывает физи-
физически объективный характер сопутствующего антисимметричному тен-
тензору А вектора с.
Чтобы показать основное применение сопутствующего тензору А
вектора с, составим произведение тензора А на какой-нибудь вектор а,
например, справа. Будем иметь по C2)
(Аа)х = А11а1 + А12а2 + А13а3 = а2с3 — а3с2 = (а х с)и
(АаJ = А21ах + А22а2 + А23а3 = а3сг — ахс3 = (а х сJ,
(АаK = А31аг + А32а2 + А33а3 = ахс2 — а2сх = (ах сK
или, переходя к векторному представлению,
Аа=ахс. D2)
Это означает, что при умножении антисимметричного тензора А на
вектор а справа совокупность его компонент C2) ведет себя как сопут-
сопутствующий вектор с в том смысле, что в -результате получается векторное
произведение вектора а на сопутствующий вектор с. Такая эквивалент-
эквивалентность антисимметричного тензора сопутствующему вектору при прове-
проведении операции умножения, конечно, как уже упоминалось, не означает
равенства тензора А вектору с.
К формуле D2) можно присоединить аналогичную формулу для
произведения антисимметричного тензора на вектор слева
аА=сХа. D20
Если ввести в рассмотрение сопряженный, т. е. сопутствующий со-
сопряженному тензору А*=—А вектор с*=—с, то формулы C2) перей-
перейдут в следующие:
С\ = Лаз = — Л23, с\ = Лз1 = — Азъ cl = Л*2 = — А12
с сохранением круговой перестановки индексов, но с переменой знака
при тензоре А. ,
Справедливы формулы
аА*=аХс. D3)
22
ГЛ. I. ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Принятая операция умножения вектора на тензор аТ или тензора на
вектор Та не исчерпывает многообразия возможных операций такого-
рода. В несколько других обозначениях, чем принятые у нас, рассмат-
рассматривают следующие операции:
1) внешнее произведение аТ, приводящее к тензору третьего ранга,
представляемому разложением по координатным «триадам» ikiiim (да-
(далее сохраняется правило суммирования по дважды повторяющимся в
одночленах индексам от 1 до 3):
аТ=1кЦтакТ1т\ D4)
2) внутреннее произведение а-Г, дающее вектор, разложение кото-
которого по единичным векторам im имеет вид
a-T^aJJU D5)
совпадающий с принятым у нас ранее аТ\
3) векторное произведение аХТ, приводящее к тензору второго ран-
ранга со следующим разложением по координатным диадам:
а X Т = (ih X id inahTlm = inimeklnahTlm. D6)
§ 6. Разложение тензора на симметричную и антисимметричную части.
Инварианты. Разложение тензора на сферическую и девиаторную части
Пользуясь приведенными в предыдущем параграфе простейшими
операциями над тензорами, покажем, что тензор Р второго ранга обще-
общего вида может быть разложен на симметричную и антисимметричную
части. Это непосредственно вытекает из тождества
где
D7)
D8)
представляет симметричную, а
1 1
А == J_ /П П*\ === ^_
~ 2 2
D9)
— антисимметричную части тензора Р.
Запишем матрицы симметричной и антсимметричной частей тензо-
тензора Р:
Рп -{Рп + Р*) -
1 J_
~{Рп + Ръ) Я22 2
1
§ 6 РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕНЗОРА 23
Сопутствующие антисимметричной части тензора Р векторы сие*
будут иметь компоненты
cr = j erst (Pst - Pts), cr=j zrst (Pts - Pst)
или, в развернутом виде,
Cl = "Г (^23 ^32)» С2 — ~Z (^31 Лп)> С3 == Т" (^12 ^21/»
Если тензор Р представляет диаду aft (a этот случай в дальнейшем
встретится), то проекции сопутствующего вектора с для антисимметрич-
антисимметричной части в разложении диады ab будут равны
cr = ErstCisbt (г=1, 2, 3),
Ci = — {a2b3 — a3b2)y c2 = — (a3fti — flib3). ^ = -j- (axb2 — а2Ьг),
112.
откуда следует, что
f = j(ax»), E0)
т. е. сопутствующий вектор антисимметричной части диады равен поло-
половине векторного произведения векторов, образующих диаду.
Из компонент любого тензора Р можно составить три скалярных
выражения, инвариантных к преобразованию координат. Их называют
инвариантами тензора.
Первый инвариант 1Х («след») представляет сумму диагональных
элементов матрицы тензора
/1 = Р11 + Р22+Р3з = Ртт. E1)
Доказательство инвариантности не составляет труда. Имеем в новой
системе координат
А = Pkk = ^kl^kmPlm = в/mP/m = Рц\
здесь применено известное по предыдущему равенство
я ( 1, если m = L
= olm = {
{ 0, если тф\.
Вторым инвариантом J2 тензора Р называют скалярное произведе-
произведение тензора на самого себя, обозначаемое условно как квадрат тензора,
и равное сумме квадратов всех компонент тензора
J2 = PmnPmn = P2. E2)
Третьим инвариантом J3 тензора является определитель его мат-
матрицы
/о =
'3
= det (/>„,„).
Пользуясь первым инвариантом, можно составить тождество
Р=/,?+<Р—JlE)=PM + P<"\ E3)
представляющге разложение тензора Р на сферическую PM=JtE
24 ГЛ. I. ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
и девиаторную P(d) = P—/4? части. Матрицы этих частей имеют вид
P{s) (о* I °о) , E4)
\0 О JJ
V Р31 Р32 Ры-h)
Тензор Я(8), обладающий сферической симметрией (изотропией),
называют сферическим, или шаровым, тензором.
Из изложенных двух способов разложения тензора на составляю-
составляющие наибольший интерес для последующего представляет разложение
тензора на симметричную и антисимметричную части, причем [вспом-
[вспомнить D2) и D2')] произведение вектора на антисимметричную часть тен-
тензора справа или слева выражается векторным произведением этого
тензора на сопутствующий антисимметричному тензору вектор с, так
что
E6)
aP=aS-\- aA = Sa + ex a.
§ 7. Главные оси и главные значения симметричного тензора
Среди всевозможных осей систем координат существуют такие — их
называют главными осями симметричного тензора, — что после линей-
линейного преобразования, соответствующего данному тензору, векторы, рас-
расположенные по этим главным осям, сохранят свои направления в про-
пространстве.
Обозначим через е единичный вектор какой-нибудь главной оси за-
заданного симметричного тензора 5 и подчиним его условию сохранения
направления после преобразования (X — скаляр, Е — тензорная едини-
единица). Это условие можно записать в виде любого из двух эквивалентных
равенств
Se=Xe, (S—XE)e=Ot E7)
что в раскрытом виде приводит к системе уравнений относительно ei9
е2, е3
(S11-^K)e1 + S12e2 + Slze3 = 0f
Si A + (S22 - *) е2 + $23*3 = 0, E8)
Система эта с неизвестными еи е2, ег однородна и имеет тривиаль-
тривиальное нулевое решение, не согласующееся с очевидным условием
е\,+ е\ + е\=\. E9)
Для существования нетривиальных решений системы уравнений
E8) должно, как известно, выполняться условие равенства нулю опре-
определителя этой системы
Я S iS
*^12 *^22 — ^ *^23 —"* ^# V^Vf
•^13 *^23 *^33 — А
Кубическое уравнение F0) называется характеристическим, а его
корни — собственными числами матрицы S. В общем случае оно имеет
три не равных между собой корня ХA), Х{2\ А,C), и каждому из этих кор-
корней соответствуют свои значения единичных векторов: еA), е{2), еC).
§ 7. ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫс ЗНАЧЕНИЯ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА 25
Докажем сначала, что эти векторы взаимно ортогональны. Вос-
Воспользовавшись E7), будем иметь равенства
(S-XA)?)eA)=0, (S—X{2)E)e{2) = 0, (S-V3)?)eC) = 0. F1)
Умножив скалярно обе части первых двух из этих равенств соот-
соответственно на еB) и еA), найдем
еB)* (SeA)) =Я,A)еA)-е{2\ e(l). (Se{2)) =ЯB)гA)-е{2). F2)
Замечая, что в силу симметрии тензора S
) = e^Smne^ = e^Smne(n2)= e™ • (S*<*>),
и вычитая почленно друг из друга левые и правые части равенств F2),
получим
0=(ХA)—Х(а))вA).вB1
Отсюда, в силу принятого условия неравенства корней характеристиче-
характеристического уравнения А,A) и К{2), следует ортогональность векторов e{i) и еB).
Аналогично показывается ортогональность е{2) и еC), а тем самым и
взаимная ортогональность всех трех векторов еA), еB), еC).
Докажем теперь, что все не равные корни вещественны. Пусть, на-
например, X{i) и А,B) — комплексные и при этом сопряженные числа. Тогда и
соответствующие им проекции етA) и етB\ где га=1, 2, 3, должны бы-
были бы иметь вид сопряженных комплексных чисел
ещ — \^ш |~ ^'m^i ^m — f^m " ^m^>
а сумма их произведений (суммирование по га)
emJm = |Хт|Ят + VmVm,
как сумма квадратов, была бы больше нуля; однако эта сумма пред-
представляет собой не что иное, как скалярное произведение е^-е{2\ кото-
которое, по только что доказанному, равно нулю. Таким образом, доказана
вещественность всех трех корней А,A), Х{2\ А,C).
Покажем, наконец, что если принять за оси координат три главные
оси, соответствующие ортам e{i\ e{2\ еC\ то недиагональные компоненты
симметричного тензора S будут равны нулю, а диагональные — корням
характеристического уравнения X{i\ X{2), А,C), которые называются глав-
главными значениями симметричного тензора S.
Из равенств E7) следует (по га не суммировать!)
где, напоминаем, 6mn — компоненты тензорной единицы. Если штрихом
обозначить компоненты симметричного тензора 5 в главных осях, то на
основании последнего равенства будет
т, если п = т, ^
О, если пфт,
что и доказывает высказанное положение о равенстве нулю недиаго-
недиагональных членов, а главным значениям — диагональных членов.
Матрица симметричного тензора в главных осях имеет вид
Л<« о о \
S'l 0 к{2) О . F4)
и;
0
0
0
я<2)
0
0
0
26 ГЛ I. ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
В случае кратности корней характеристического уравнения, напри-
например ЯA)=ЛB), только третья главная ось, соответствующая единичному
вектору е{3\ будет иметь определенное направление в пространстве, ос-
остальные две будут расположены в плоскости, перпендикулярной к тре-
третьей оси, и положение их будет определено в пространстве с точностью
до произвольного поворота вокруг третьей оси.
В случае равенства между собой всех трех корней (^A) = А,B) =
=х{3)=К) симметричный тензор1 S будет обладать свойством изотропии
диагональных компонент, т. е. независимостью их от направлений осей
координат. Такой тензор, как уже упоминалось, называют шаровым, или
сферическим. Он определяется как произведение К на тензорную еди-
единицу, а его матрица имеет вид
(X О 0\ /1 0 0\
О X О )=Х о 1 О =Я?. F5)
\0 О XJ \0 О 1/
Выражение первого инварианта симметричного тензора 5 в главных
осях будет
/1=V+V2> + V3\ F6)
второго —
/2=(^>J+(Х<2>J+(ХC)J, F7)
третьего —
/,=ЛA)ЯB)ХC). F8)
Наряду с широко распространенными операциями сложения (вы-
(вычитания) тензоров, умножения их на скалярную величину или на вектор*
справа или слева, нам придется, хотя и реже, встречаться с операция-
операциями умножения друг на друга двух тензоров; последние операции мы от-
отделили от предыдущих и поместили в конец настоящего, заключающе-
заключающего тензорную алгебру, параграфа. Эти операции — их три — в соответ-
соответствии с родом получаемого результата (скаляра, вектора или тензора)
определяются и именуются так:
1) скалярное произведение (свертка) двух тензоров:
P-Q = PijQij (i, j — «немые» индексы); F9)
2) векторное произведение двух тензоров:
eimnPm8Qsn = PjsQsh-PKsQsi; G0)
здесь m, n, s — «немые» индексы; / и k следуют за i в порядке круговой
перестановки /->/->/г-к-к .. ;
3) тензорное произведение двух тензоров:
(PQ)ij=Pi8Q3i
(s — «немой» индекс, t, /=1, 2, 3). G1)
Отметим некоторые частные случаи и, прежде всего, формулу
p.E = E.P=Pii=:pii+p22+p33 G2)
Правая часть является первым инвариантом тензора А При скалярном
умножении тензора Р на самого себя получим
Р G3)
т. е. квадрат тензора Р. Это — второй инвариант тензора Р.
Из второй операции следует (i-*j-+k~*...; суммирование по ин-
индексу s):
(PXE)i=PjsEsh-Pk8E8j=Pjh-Pkj. G4>
§ 8. ПРОИЗВОДНАЯ ПО ЗАДАННОМУ НАПРАВЛЕНИЮ
27
Из последнего равенства заключаем, что условие симметричности тен-
тензора P=S можно записать в следующей не зависящей от координат
форме
РХЕ=0. G5)
§ 8. Производная по заданному направлению.
Пространственные производные
в скалярном, векторном и тензорном полях
Поскольку подробное изложение основ векторного анализа преду-
предусмотрено рядом общих курсов, приведем здесь лишь некоторые наиболее
необходимые для дальнейшего сведения. В первую очередь дадим опре-
определение производной по заданному направле-
направлению, а затем и общей пространственной произ-
производной.
Зададим в пространстве некоторую ось / и
введем прямоугольную декартову систему ко-
координат. Пусть ориентация оси и одновременно
положительное направление на ней определя-
определяются единичным вектором /(/,, /2, /3), где 1и /2,
/3 — направляющие косинусы оси в данной си- А
стеме координат (рис. 2).
В дальнейшем часто придется иметь дело >
с понятием производной от скалярной, вектор-
векторной или тензорной функций. Этому понятию
можно придать легко запоминаемый вид, если
ввести в рассмотрение символический вектор-оператор V («набла»)
м.
>
Ахv
I
х9
Рис-2
Операция производной от величины 4я по направлению вдоль оси
/ в данной точке М будет определяться, как обычная производная, пре-
пределом
dl
ШР-+0
MM'
А/
где Ч? — любая скалярная, векторная или тензорная функция, для ко-
которой этот предел существует. Производная dW/dl может быть вычисле-
вычислена по формуле производной от сложной функции:
^_ = ^_dxi_x V9 dx2 , а? dx3
dl ~ dx1 dl dx2 dl dx3 dl
или, если учесть, что
dl
по формуле
dl
dl
d4 _ dV , , a^F ; , dW f
'i H In ~~T~ /o»
dl dxx l^ dx2 2 ^ dx3
Так как для самого способа вычисления производной вид функции
V несуществен, "яолучим, опуская *?, следующую символическую фор-
формулу:
± tJL JL G6)
dl
дх2
дх3
28
ГЛ. I. ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Применение операции производной по направлению к скаляру ф, векто-
вектору а, тензору Т дает следующие выражения:
d(D Г7 1 # ^Ф
dl дх{
G7)
da /t тг\ ^ 1 да dT /, гхт / дТ
Примером может служить часто встречающаяся в дальнейшем про-
производная вектора Ь по направлению вектора а:
l G8)
где а=а/а — единичный вектор, направленный по вектору а.
Среди всевозможных направлений в поле скалярной величины ф
отметим одно характерное направление — нормали к поверхности уров-
уровня функции ф (рис. 3)
Ф^!, х2, .v3)=C=const
и зададим его единичным вектором пу
направив в сторону возрастания ф, так
что dq>/dn>0. Как видно из рис. 3, для
одного и того же приращения АС функ-
функции ф при переходе от одной поверхно-
Рис 3 сти уровня (ф=С) к другой (ф=С+АСу
ДС>0) разным направлениям / соответ-
соответствуют разные приращения Д/ = An/cos a, так что Д/^Дя и
dl
dn dl
dn
<
[dn
Градиент скалярной функции ф определяется как вектор
grad ф = ^'ф = —9L п%
dn
равный по величине производной от скалярной функции ф по нормали
к поверхности уровня и направленный в сторону наибольшего измене-
изменения ф в данной точке.
Общая пространственная производная от скалярной, векторной или
тензорной функций определяется как предельная интегральная опера-
операция (существование предела постулируется)
lim— [n ... 8а= V ...,
G9)
где т —объем, заключающий внутри себя данную точку поля, а —огра-
—ограничивающая рбъем поверхность, лба — ориентированный элемент по-
поверхности а( п — орт внешней нормали к поверхности о), а многоточие
в формуле G9) указывает место интегрируемого скаляра, вектора или
тензора с соответствующими символами произведений п на интегрируе-
интегрируемые величины.
Такими пространственными производными являются
lim — \ щ Ьа = grad ф,
т-*о Т J
§ 8 ПРОИЗВОДНАЯ ПО ЗАДАННОМУ НАПРАВЛЕНИЮ
lim— \п • a8a = diva,
т->о Т J
о
lim- f/*xa6a = rota,
о
lim— Г/ш 6a = Grad a,
о
lim- Г
Т-0 Т J
lim— Г
т->о т J
29
(80)
Используя в качестве о поверхность координатного прямоугольного
параллелепипеда и применяя указанный предельный переход, получим
аналитические выражения перечисленных операций пространственного
дифференцирования (суммирование по дважды повторяющимся индек-
индексам):
t=^L (/=1 2,3); diva=^-;
дх дх
даг
-—
dxq
даг
дап
q
dxq dxr
(81)
fYT
(Rot T)nm = e^V-^- [сравнить с D6)].
К тем же результатам можно прийти, пользуясь символическими
выражениями операций с вектором V:
grad ф = Vcp = —2- /л,
г- k
div a = v • a = .,
dxk
rot a = V x a =
«2
(82)
да.
да,
Grad a = Va = iki, ,
dxk
[сравнить с D6)].
30 ГЛ I ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Аналогичные выражения в системе ортогональных криволинейных
координат выглядят более сложно. Введем так называемые коэффици-
коэффициенты Л я м е (q{ — криволинейные координаты):
где конкретный вид системы криволинейных координат qu q2, q3 опреде-
определяется равенствами
xk=xk(qu Цъ Цъ) (k=l, 2, 3).
Заметим, что каждая из величин Я, имеет смысл коэффициента пропор-
пропорциональности в равенстве, выражающем связь между элементарным
приращением ds{ длины отрезка вдоль t-й координатной линии и прира-
приращением соответствующей криволинейной координаты dqc
dSi=Hidqi (no i не суммировать).
Тогда аналитические выражения пространственных производных в кри-
криволинейных координатах будут иметь следующий вид (по повторяю-
повторяющимся индексам не суммировать!): .
,= ^~g. A = 1,2,3),
div a = ZIHT [-Г" (а*ВД) + 4~ (a"H*HJ + 4-
"Qz ¦ "Чз
1 \ d(aHs) d(aH2)
rot,,, a = — —
НН [ dq2 dq3
dq3 a?x J
Н1ЩН3 L dqj. { Hx dq1 ) dq2 [ H2 dq2 j dq3 \ H3 dq3 ) \
(84)
(Div T)q, = —L- f4- {H2HzTqiq) + 4- (H.HJ^) + 4- (HJ
HiH2 dq2 H1H3 dq3 H\H2 dq± Ях//з dq\
<Div T)qt = —i— f/-
nin2H3 I aq1
Q2Q3
~*~ НгН2 dqx ^ H2H3 dq3 HXH2 dq2 H2H3 dq2 *
{Div Г)* = —i— \jL-(H2H3Tgiq3) + J- (ff^rj + -^- (Я^Г
ЯхЯзЯд L ^7i ^2 ^3
I
* Я!Я3 а^ ^ Я2Я3 дЯ2 НгН3 dq3 H2H3 dq3 '
Приведем для справки формулы в наиболее употребительных си-
системах криволинейных координат: цилиндрической и сферической.
§ 8 ПРОИЗВОДНАЯ ПО ЗАДАННОМУ НАПРАВЛЕНИЮ 31
Цилиндрическая (в том числе и полярная) система г, е, г:
х = r cos 6, y = rsine, г=г, г=]/д:2+у2, tge = y/x
0^е<2я, —оо<г<оо),
Hr=\, He = r, Hz=ly
dcr = r de dz, doe = dr dz, doz = r dr de, di=r dr de dz,
grad, ф = -^-, grads cp = - -^ > grad2 cp = -^-,
dr r o& dz
г дг dz
да, даг 1 |-a(ms) dar -j
rotg a = , го1г а = —
dz дг г у дг дг J
У2Ф- div grad ф^-i- v dr ' +-Li^L + ^L
г ar Tr2 йе2 Х аг2 '
(DivT)r=^ + -!- a"
dr r dг dz r
(Divr)8 = -^i + -L-^ + -^+ Tr8 + 7V ,.
or r dг dz r
(Divr), = ^l + -^4ii + —+ —•
ar r dг dz r
Сферическая система /?, Э, е:
*=/? sin 6 cos e, y=R sin 9 sin e, z=R cos 6
dx=RzsmBdRdede,
1 d {R up) j d (ofn sin Э) ] da
1 r d(assin6) da^
/?sin9 L <^9 ae J '
rot.a = -Lf-i-*5—i^Ll
r L sine ae a/? J'
1 r d (RaQ) daR -i
rote a == — —
Rl dR ae J'
(85)
32 ГЛ. I. ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
+ 4" B7*« + Гад ctg 9 - Гвв - Гм),
ае
4 + гвл + (Твв - ^м) ctg в],
4 + 7,л + (Гве + Гвв) ctg 81.
Символический оператор V был задан в прямолинейной ортого-
ортогональной системе координат своими проекциями д/дх{ (/=1, 2, 3). Заме-
Заметим, что этот оператор может быть обобщен и на любую ортогональную
криволинейную систему. Общие выражения различных пространствен-
пространственных производных (80) от скалярных, векторных и тензорных функций
через символический оператор V были приведены выше и раскрыты для
случая прямолинейной ортогональной системы координат. Целесооб-
Целесообразность применения оператора V не ограничивается очевидными удоб-
удобствами запоминания соответствующих формул; он может быть исполь-
использован и для вывода выражений пространственных производных от
сложных скалярных, векторных и тензорных функций. Вспоминая
обычное правило дифференцирования произведения двух функций
(87)
обобщим его на скалярные, векторные и тензорные операции с симво-
символическим вектором V. Для этого будем составлять по правилам вектор-
векторной алгебры различные комбинации V и дифференцируемых величин,
включая лишь те комбинации, которые имеют оператор V слева от этих
величин или могут быть к такому виду сведены, а затем сложим эти
комбинации.
Пользуясь этим приемом, найдем
grad (ф\|)) =V (|ф\|)) =фУ-ф+а|>Уф=ф grad ф+я|) grad ф,
div(фa)=V•(фa)=ф(V•a)+a•Vф=фdiva+a•gгadф,
— a-(VX6)=*-rota—a-roU,
— (a . V)ft + a (V-&) — ft(V.a) =
V)a—(a • VN + adivft — ftdiva,
)= (88)
= (a-VN+F-V)a-faXrot6+6Xrota,
grad(a2)=2(a-V)a+2aXrota,
<1п^^ф=У2ф (лапласиан ф),
rot grad фэО, div rot as 0,
grad diva=V (V -a) = V X (V Xa) +V2a=rot rot a+V2a.
§ 9. МЕРА НЕОДНОРОДНОСТИ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
33
D
(89)
Аналитические координатные выражения формул (88) приводить
нецелесообразно, так как они слишком громоздки и далее не потре-
потребуются.
§ 9. Мера неоднородности векторного поля — дифференциальная диада
и ее составляющие: деформация и ротация векторного поля
Дифференциальная диада D=Va, которая была введена в преды-
предыдущем параграфе, с компонентами Z)tJ=V<aJ=dai/<?^ и таблицей
дп\ dag да3
дхх дхг дхг
дах да^ да3
дх2 дх2 дх2
Ьп\ да^ доз
дх3 д*з ддг3
может служить мерой неоднородности векторного поля. Только равен-
равенство ее нулю во всех точках указывает на однородность векторного
поля.
Сопряженная диада D* с компонентами D*/ =/?# имеет таблицу
дп\ дп\ дпх
дхх дхг дх3
да2 дп2 д(ц
дхх дхг дх3
ddq дй3 доз
дхх дх7 дх3
Простым, но полезным для дальнейшего примером может служить
дифференциальная диада вектор-радиусов г(хи х2, хг) точек поля Vr
с таблицей
(90)
дхг
дх1
дх1
дхг
1 дхя
дхг
дхх
dxt
dxt
dxt
дх3
дх3
дх,
дх8
дхг
дх3
дх3
A
1о
0
1
1
0
!)•
выражающей справедливость равенства
Vr-?. (91)
Условие симметричности G5) тензора Р приводится теперь к виду
PXVrM). (92)
Тензору Z), в столбцах которого располагаются элементы градиен-
градиентов проекций вектора а, приписывают обозначение [см. (80) ]
Z)=Va=Grad a (93)
[см. формулу (89)], где оператор «градиент вектора», в отличие от
градиента скалярной функций, отмечают заглавной буквой.
Выражение полного дифференциала вектора а можно представить
равенствами
да» •
(da)i = —- ах* = DjtdXj = Dndxt = (D*dr)i
dx.
2-9487
34 гл. i. поле физической величины
или, в не зависящей от координат форме, равенством
da=D*dr. (94)
Введем операцию «производная вектора а по вектору 6» и обозна-
обозначим ее символом da/db; тогда будем иметь
?• = —. (95)
dr
Меру неоднородности векторного поля общего вида — тензор D —
можно разложить на две составляющие: деформацию и ротацию поля.
Для этого воспользуемся ранее установленным разложением тензора на
симметричную и антисимметричную части:
(96)
?>¦ == 1 (?>* + D) + 1(D* — D) = S + A*.
Симметричную часть S, равную
S = l (Grad « + 57) =def a> <97>
назовем мерой деформации, или, короче, деформацией векторного поля.
Ее компоненты в прямолинейной ортогональной декартовой системе
координат будут
(^р-) (U= 1.2.3). (98)
2\dxt дх.
Компоненты тензора def а в ортогональных криволинейных коорди-
координатах имеют вид
2 \Hr dqr ^ Hs dqs HrHs dgs HJ№% dqr
i ~-| Si Lj Si L-| Si L при r=s,
+
д 1 / 1 4. | 1 дая< Ч дИг Д», ОТ. \
** 2 l Иг дЯ1 ^ H, dq3 НгН, dq3 HJi, dqt ) '
Ht dqt HxHt dqi HtHt dq3
——+ —— — -^
a<" dHi
§ 9 МЕРА НЕОДНОРОДНОСТИ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 35
(def а) м = (def a) ,lfc, (def а) ,3„= (def а) ,л,
(),3(,2()M3
Так, в цилиндрической системе координат г, е, z (Яг=1, Ht—r, пг
1) имеем
1 г да, ар 1 даг \
(def a)rg = | (-*- 5. + - -г1" J
2 \ дг г г дг J
В сферической системе /?, 0, е (#л=1, Яе=/?,
-т(т+^)- <100)
1 даг
2 ^ дх( дх,
имеющая в качестве «сопутствующего» вектора
Антисимметричная часть
i(^) A02)
с компонентами в прямоугольной декартовой системе
003)
1 / да, да(\ \
ck = Aif =--[--L—-1 =-rot»a
. 2\dxi dxtj 2
(fc=l, 2, 3; i-+j-+k-+...), A04)
т. е. вектор
с = -L rot a, A05)
называется ротацией векторного поля 4).
Согласно E6) будет
Ъи = Т>*Ъ ==&def a + -rot a x&. A06)
l) Происхождение терминов деформация и ротация связано с применением их к
полям перемещений или скоростей точек сплошной среды (см. далее §§ 12, 13).
36 ГЛ. I. ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
§ 10. Основные интегральные формулы поля.
Теоремы Гаусса — Остроградского и Стокса
Используя определение G9) пространственной производной, мож-
можно вывести имеющие фундаментальное значение в механике жидко-
жидкости и газа интегральные формулы поля.
Перепишем предельные определения пространственных производных
(80) в приближенной форме, верной с точностью до малых четвертого
порядка относительно характерного линейного размера h элементар-
элементарной области. Рассмотрим далее вывод на примере первой из формул
(80). Введем для малого объема 6т
J шр 6<т« grad ф бт + О (Л4). A07)
о
Просуммируем обе части этого равенства по всем элементарным
объемам бт, составляющим конечный объем т. Заметим, что на общей
границе &о двух любых смежных элементарных объемов единичные
векторы п будут иметь противоположные для каждого из объемов на-
направления, что при непрерывности скалярной функции ф приведет к
взаимному попарному уничтожению элементов поверхностного инте-
интеграла, стоящего в левой части равенства A07). Такое взаимное унич-
уничтожение не затронет, очевидно, только поверхности элементарных объ-
объемов, находящихся на внешней границе поверхности <г, ограничиваю-
ограничивающей объем т.
Сумма таких некомпенсированных элементов приводит к интегра-
интегралу] Лфбсг для поверхности конечного объема.
а
Суммирование первых членов в правой части дает интеграл
j grad ф 6т. Таким образом, придем к точной формуле
т
§ щ 6а = J grad Ф бт, A08)
а х
так как при суммировании по объему малых величин четвертого по-
порядка накопится ошибка первого порядка, в пределе при Л-И) обра-
обращающаяся в нуль.
Аналогично, в соответствии с (80) получим систему интегральных
формул
п • а Ьа = J div а бт,
л х а ба = § rot а 6т, A09)
С X
а
совокупность которых можно представить в удобной для запоминания
символической форме
... 6<j = $V ... 6т, A10)
X
Формула (ПО) дает возможность перехода от поверхностного ин-
интеграла к объемному с заменой нормали п в первом интеграле на V
во втором. Многоточием в обеих частях обозначается интегрируемая
величина с соответствующим для нее знаком умножения.
§ 10 ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ПОЛЯ
37
Первая из формул системы A09), которую перепишем в разверну-
развернутом виде еще так (суммирование по i):
(Va6a= ffln6a=:(>(fl^Na= f diva 6т = Г —-6т, A11)
выражает теорему Гаусса — Остроградского.
Введем понятие потока вектора а через поверхность а:
Fof(a) = j an8o — § а • я 6а,
A12)
где ап=а-п — проекция вектора а на нормаль п к поверхности а в дан-
данной ее точке. Само по себе определение A12) имеет смысл как для
замкнутых, так и для разомкнутых поверхностей, причем знак Fa(a),
\Х2
С
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
очевидно, зависит от выбора направления нормали п в одну или в дру-
другую сторону. В формуле A11) фигурируют замкнутая поверхность и
внешняя нормаль. Таким образом, теорему Гаусса —Остроград-
—Остроградского можно сформулировать так: поток вектора через замкнутую
поверхность, ограничивающую некоторый объем, равен интегралу по
этому объему от дивергенции вектора.
Для доказательства другой, также очень важной теоремы Стоке а
понадобится понятие циркуляции вектора а по произвольному конту-
контуру С (рис. 4), которая определяется криволинейным интегралом вдоль
контура С:
в в
Гс(а)= С a -6r= [ aibxi. (ИЗ)
А
А
(С)
В случае замкнутого (Б->Л), самого себя не пересекающего контура С
циркуляция обозначается символом
Гс{а) = § a-Sr =§ afixt. A14)
(С) (С)
Направление обхода контура С выбирается таким, чтобы ограничен-
ограниченная контуром поверхность а оставалась при обходе слева.
Теорема Стоке а утверждает, что циркуляция вектора по замк-
замкнутому контуру С, на который опирается разомкнутая поверхность а
(рис. 5), равна потоку вектора rot а через поверхность а:
rc(a)=Fo(rota), A15)
а соответствующая этой теореме формула С т о к с а имеет вид
§а . бг = § rotna 6a. A16)
Направление нормали должно соответствовать направлению обхода
контура С, т. е. со стороны нормали обход должен представляться в
38 ГЛ. I. ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
положительном (против часовой стрелки) направлении. Докажем сна-
сначала теорему Стокса для элементарного прямоугольника ABCD
(рис. 6), расположенного в плоскости x3=const (ось Ох3 направлена
перпендикулярно к плоскости рисунка на читателя), со сторонами, па-
параллельными осям Oxt и Ох2, в центре которого помещена точка М с
координатами хи х2у хг и с заданным в ней вектором а (хи х2, х3). Зна-
Значения вектора а на серединах сторон выразим с точностью до О (fix2)
равенствами
на ТВ: а + — 8х19
на
на
на
ВС: а
CD: a
DA: a
, да ^
дх2
да ^
- —8*2.
дх» 2
Циркуляцию по обводу прямоугольника получим как сумму цир-
циркуляции по отдельным отрезкам АВ, ВС, CD и DA, равных по отдель-
отдельности, с учетом направления обхода,
= (аг + |J- 8х^ | АВ \ = (а2 + -g- 6
Гвс = - (Й1 + -g- бх2) | ВС | = - [а, + -g- бл:2) 28хи
= - (о, - -g- Ьх^ | CD | = - (а, - -g- бха j 2бл;2,
Суммируя, получим
Tabcd = (-^- — ^-) ШхЬхг = rot3 а 6а, A17)
\ охх ох2 1
где 8а обозначает площадь прямоугольника ABCD 8о
*=4бх1бх2. Равенство A17) показывает, что циркуляция вектора а по
обводу прямоугольника равна потоку вектора rota сквозь площадь
прямоугольника. Эту формулу можно применить к любому элементу 6а
поверхности а в форме
6r=rotna6a. A18)
Суммируя обе части формулы A18) по всем элементам поверхно-
поверхности а, заметим, что циркуляции по общим сторонам смежных яче-
ячеек взаимно уничтожатся, а останутся лишь циркуляции по тем сторо-
сторонам ячеек, которые как раз составляют контур С. В пределе получим
с i
Сумма правых частей в уравнении A18) приведется к полному потоку
вектора rota сквозь поверхность а, что и доказывает справедливость
теоремы Стокса.
Изложенных в этой главе основных понятий и формул векторного
и тензорного анализа достаточно для усвоения содержания настоящего
курса. Для более подробного ознакомления с основами векторного и
§ 10. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ПОЛЯ 39
тензорного исчислений рекомендуем следующие специальные учебные
пособия:
1) Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчис-
исчисления.- М.: Наука, 1965;
2) Седов Л. И. Механика сплошной среды, Ч. 1.—М.: Наука,
1983;
3) Лурье А. И. Теория упругости.—М.: Наука, 1970. Приложе-
Приложения I, И, III (с. 799-870);
4) Me из Дж. Теория и задачи механики сплошных сред.—М.:
Мир, 1974.
В предыдущем (пятом) издании (М.: Наука, 1978) настоящего учеб-
учебника на с. 14—30 приведена сводка наиболее употребительных формул
векторного и тензорного исчислений.
ГЛАВА II
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 11. Задание положения и движения сплошной среды.
Линии тока и траектории. Трубки тока и струи
Для задания положения и движения сплошной среды, в частности
жидкости или газа, существуют два способа.
Первый, связанный с именем Лагранжа, заключается в задании
текущих значений координат частиц среды хи хи х3 как функций вре-
времени, т. е. совпадает с применяемым в кинематике системы материаль-
материальных точек. Необходимость индивидуализации этих частиц требует до-
дополнительного задания значений координат каждой из них аи а2, as в
некоторый начальный момент времени t=tOy причем эти координаты
могут быть не только прямоугольными декартовыми, но и любыми кри-
криволинейными. Поскольку частиц сплошной среды бесконечно много, то
сами величины ак составляют непрерывное поле. Величины ак и t на-
называют лагранжевыми переменными.
Кинематические уравнения движения запишутся при этом в век-
векторной или координатной форме так:
*i —*i (flit а* аз; 0.
х2=х2(аи а2, а3; 0» A)
*з = *з (аи а2, а3; /).
или
х^х{(аи а2, а3; t) (t=l, 2, 3),
или
r=r(aua2, а3; t)=r(ay /).
Другой способ, принадлежащий Эйлеру и значительно шире
распространенный, чем способ Лагранжа, заключается в аналити-
аналитическом или векторном задании поля скоростей вектора скорости V с
проекциями Vt, V2, Vs:
Vi= Vi (xu x2i xz\ /),
V2=V2(xit x2y x3; 0. B)
^з= ^з (XU X2, Хг\ t),
или
Vi=Vi{xuxt,xt;t) A=1,2,3),
или
V=V(xux2,x>;t)=V(r,t).
Переменные хи xZt xiy t в этом случае называют эйлеровыми перемен-
переменными.
Подчеркнем, что в лагранжевом задании координаты хи х*, хг от-
относятся к движущимся частицам среды, а в эйлеровом — к точкам
пространства, с которыми в данный момент времени совпадают эти ча-
частицы, что позволяет переписать систему уравнений B) в виде одного
векторного или системы трех обыкновенных дифференциальных урав-
§ И. ЗАДАНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 41
нений первого порядка
C)
или
V^dxJdt^Viixu *2, *3; t) (i=l, 2, 3),
или
V=drldt=V(xux%,xb\t)
относительно неизвестных r(t) или Jtt(O> *2 @» *«@-
Три постоянных интегрирования Сь С2, С3, которые при этом по-
появятся и войдут в интегралы системы C)
^1=л^1(С1, С2, С3*, г)>
xt=xt(Cu C2, C3; t), D)
Xs—XsyCi, С2, С3', 0
могут быть исключены при помощи начальных условий при t=t0
01=*! (Сь С2, С3; fe),
Oi=*i(Ci, С2, С3; /о), E)
а3=х3(С1, С2, Cs; tQ).
Это приведет в конечном счете к лагранжеву заданию A). В дальней-
дальнейшем будет удобнее пользоваться эйлеровыми переменными и задавать
движение в форме B).
Поле скоростей является однородным, если векторы скорости во
всех точках поля одинаковы. Поле скоростей называют стационарным,
если оно не меняется с течением времени (dV/d/=0), в противном слу-
нае — нестационарным. В разделе кинематики
сплошной среды поле скоростей считается задан-
заданным.
Поля физических величин трудно обозримы
непосредственно. Для упорядочения представле-
представления о них разработаны специальные приемы.
Скалярное поле разбивается поверхностями
уровня скалярной функции. Таковы, например,
изотермы — поверхности одинаковой температу-
температуры и изопотенциальные поверхности в динамике, Рис 7
на которых сохраняются постоянными значения
потенциала силового поля.
В векторных полях рассматривают векторные линии, в каждой точ-
точке которых вектор направлен по касательной к этой линии. В дальней-
дальнейшем прежде всего встретятся линии тока (рис. 7), т. е. линии, в каж-
каждой точке которых вектор скорости среды направлен по касательной к
ним. В определении линий тока время играет роль фиксированного па-
параметра. В дальнейшем будем отличать линии тока от других вектор-
векторных линий, нанося на них стрелки, показывающие, в какую сторону
происходит движение.
Через каждую точку поля скоростей в данный момент времени мож-
можно, вообще говоря, провести линию тока и притом только одну. Суще-
Существуют, однако, и такие — их называют особыми — точки поля скоро-
скоростей, через которые проходят две или бесчисленное множество линий
42 ГЛ. II. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
тока, а иногда и такие, через которые не проходит ни одна линия тока.
Примеры таких особых точек будут даны в § 50 гл. VII.
Течение жидкости можно визуализировать, т. е. сделать видимым,
если, например, ввести в жидкость мелкие твердые частицы (порошки
ликоподия, алюминия или полистироловые шарики) или мелкие пу-
пузырьки газа (обычно водорода), а затем сфотографировать в отражен-
отраженном свете с малой выдержкой или снять на киноленту. При этом линии
тока наглядно показывают общий характер движения. Такие образы
движения жидкости называются спектрами потока. Аналогичные, на-
например, дымовые спектры осуществляют и в воздушных потоках.
Проф. М. Ван-Дайк (Стэнфордский университет, США) составил
замечательный по содержанию и оформлению атлас спектров водяных
и воздушных потоков, а также оптических картин до- и сверхзвуковых
течений, представляющий ценное учебное пособие по курсу механики
жидкости и газа *).
Записав условие, что вектор скорости V в данной точке, направлен-
направленный по касательной к линии тока, и дифференциал бг (рис. 7) вектор-
радиуса г этой точки имеют общее направление, получим векторное ра-
равенство, выражающее условие параллельности этих двух векторов:
VX6r=0, F)
или, в проекциях,
6*1 _ 6ДГ2 _ 6*3 /уч
Vi (xlt х2, х3; t) V2 (xlt х2, х3; t) V3 (xlt x2, лг3; О
Подчеркнем, что использование греческой буквы 6 в обозначениях диф-
дифференциалов указывает на бесконечно малое приращение величины в
пространстве, когда поле данной величины зафиксировано в данный
момент времени. Латинская буква d сохранена для обозначения диф-
дифференциалов величин как бесконечно малых приращений во времени
при движении среды.
В равенствах G) Vu V2, V3 — заданные функции координат и вре-
времени. Считая t параметром, принимающим любые фиксированные зна-
значения, можем рассматривать совокупность равенств G) как систему
двух обыкновенных дифференциальных уравнений (третье — следст-
следствие остальных). Интегралы этих уравнений представят конечные связи
между координатами, являющиеся уравнениями двух поверхностей; в
пересечении их получится искомая линия тока. Таким непосредствен-
непосредственным, но излишне трудоемким методом получения линий тока в даль-
дальнейшем пользоваться не будем.
От линий тока следует отличать траектории движения частиц
сплошной среды, определяемые как геометрическое место точек после-
последовательных положений отдельных частиц в пространстве в следующие
друг за другом моменты времени.
В каждый данный момент времени t дифференциал dr вектор-ра-
вектор-радиуса г движущейся частицы будет совпадать по направлению с век-
вектором скорости, так что дифференциальные уравнения траекторий бу-
будут аналогичны уравнениям G) линий тока, но с тем принципиальным
отличием, что теперь уже время t будет таким же независимым пере-
переменным, как xlf х2, xSi и уравнение траектории должно быть записано
в виде
^****t. (8)
i, х2, дг3; t) V2 (хъ х2, х3; t) V3 (xl9 x9, xs\ t)
l) Van-Dyke M. An album of fluid motion.—- Stanford, California, USA: The
Parabolic Press, 1982. Имеется и русский перевод: Альбом течений жидкости и газа/Под
ред. М. Ван-Дайка.—М.: Мир, 1986.
§ 11 ЗАДАНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
43
Если поле скоростей стационарно, то время t не будет входить в
проекции скоростей, исчезнет оно и из уравнений (8), и они совпадут
с G). Отсюда следует, что в стационарных полях скоростей траекто-
траектории и линии тока в любой момент времени совпадают.
К тому же результату можно прийти и из следующих простых гео-
геометрических соображений. Для построения линии тока, проходящей че-
через точку М (рис. 8), отложим вдоль вектора скорости произвольный
малый отрезок ММ{. В тот же момент времени t (t — фиксированный
параметр) в точке М{ скорость в силу неоднородности поля скоростей
будет уже иной, скажем, Vi. Откладывая вдоль направления Vt отре-
отрезок MiM2, получим следующую точку М2 и т. д. На рисунке показан по-
полигон ММ1М2М3... При бесконечной малости отрезков этот полигон
превратится в непрерывную кривую — линию тока.
Иначе будет строиться траектория точки. По прошествии малого
промежутка времени At точка М совершит перемещение MM'=VAt и
перейдет в точку М', которую выбором
Д? можно совместить с Miu Отсюда по
вектору скорости V, соответствующему
точке М' и моменту времени t+At, за но-
новый промежуток времени At точка М' пе-
переместится в точку М", а затем по век-
вектору скорости V" в точку М"' и т. д.
Рис. 8
Рис. 9
Очевидно, что полигон ММ'М"М'" ... в общем случае нестацио-
нестационарного поля скоростей будет отличен от полигона MMtM2... Предель-
Предельное положение точек полигона ММ'М".иш при Д/-*0 определит траек-
траекторию движущейся точки М среды, которая в случае нестационарного
поля скоростей не совпадет с линией тока. У линии тока и траектории,
проходящих через данную точку М, в этой точке будет общей каса-
касательная, направленная по вектору скорости V.
В случае стационарного потока, выбирая произвольные точки
Mi, М2, ... совпадающими с М', М", ... и замечая, что векторы скоро-
скоростей Vi, V2, ... в любой момент времени по условию стационарности
совпадут с V', V",... убедимся, что совпадут и линия тока с траекторией.
Проводя в данный момент времени через точки замкнутого кон-
контура С (рис. 9) линии тока, получим поверхность тока, заключающую
внутри себя часть жидкости, называемую трубкой тока. Если далее
рассмотреть контур С как жидкий, т. е. состоящий в любой момент
времени из одних и тех же частиц жидкости, то совокупность траекто-
траекторий точек этого контура ограничит струю. В случае стационарного
поля скоростей струя совпадает с трубкой тока. В любой точке поверх-
поверхности тока вектор скорости V направлен по касательной к линии тока,
так что среда не проникает сквозь поверхность тока. Поэтому, если
44 ГЛ II. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
среда несжимаемая (плотность ее повсюду одинакова) и, кроме того,
внутри трубки тока нет источников или стоков, то секундный объемный
расход ее Q, т. е. поток вектора скорости через поперечное сечение труб-
трубки, одинаков в данный момент для любого сечения трубки:
n6a = const, (9)
где п — нормаль к сечению трубки <j в данной точке.
Элементарные (построенные на бесконечно малом контуре) труб-
трубки тока, каково бы ни было поле скоростей, допускают проведение нор-
мальных к ним сечений, причем с точностью до малых высших поряд-
порядков эти сечения могут рассматриваться как плоские. Иначе обстоит
дело с трубками тока конечного размера. Для того, чтобы такие трубки
имели сечения, нормальные к линиям тока внутри трубок и на их по-
поверхности, необходимо выполнение условия существования поверхно-
поверхностей, нормальных к линиям тока.
Рассмотрим семейство поверхностей у(хи хг, #,)=const, пересека-
пересекающих линии тока. Условием ортогональности линий тока этим поверх-
поверхностям будет (X — скалярная функция)
grad qp=A,V.
Взяв от обеих частей этого векторного равенства операцию rot, слева
получим нуль, а справа, согласно третьему равенству системы (88)
гл. I, соотношение
rot V+grad XXV.
Умножая обе части таким образом полученного равенства
0=Я rot V+ grad XXV
скалярно на V и учитывая, что второе слагаемое справа перпендику-
перпендикулярно к вектору V, убедимся, что условием существования ортогональ-
ортогональных к линиям тока поверхностей будет
V.rotV=0. A0)
Таково ограничение, накладываемое на поле скоростей, без выполне-
выполнения которого невозможно существование сечений трубок тока, нор-
нормальных к линиям тока.
§ 12. Распределение скоростей в элементарном объеме среды.
Первая теорема Гельмгольца
В кинематике абсолютно твердого тела, представляющего простей-
простейший пример сплошной среды, излагается теорема Эйлера о разложении
вектора скорости V любой точки тела произвольных размеров на со-
составляющую Vo поступательного движения вместе с произвольно вы-
выбранным полюсом О и вращательную составляющую согласно вектору
угловой скорости со. Аналогичная по содержанию теорема, расширен-
расширенная учетом возможных деформаций среды, но по необходимости огра-
ограниченная применением к бесконечно малому объему, устанавливается
для любой сплошной среды, в частности для жидкости или газа.
Напомним, что в общем случае движения абсолютно твердого тела
распределение скорости задавалось формулой
V=V0+<*>X(r-r0), A1)
где V — вектор скорости любой точки М тела; Vo — скорость точки Мо>
выбранной за полюс; со — вектор угловой скорости вращения тела, оди-
§ 12. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ В ЭЛЕМЕНТАРНОМ ОБЪЕМЕ СРЕДЫ 45
яаковый для любой точки тела; г и г0 — вектор-радиусы точек М и Мо.
В проекциях на оси координат равенство A1) примет вид
-*8O) , A2)
3= V^ao + 0)! (X2-X2O) ~<
Имея в виду, что величины хш х20, х30; Vl0, V20, Vso; о>ь ео2, со3 одина-
одинаковы в данный момент времени t для всех точек тела, заключим, что
равенство A1) и его развернутая форма A2) представляют линейную
вектор-функцию вектор-радиуса г точки М или, что все равно, коорди-
координат Хи Хг, Xz.
В кинематике абсолютно твердого тела уравнения A1) или A2)
выражают вектор скорости Vлюбой точки тела как заданную функцию
координат. Поставим обратную задачу, обычно не рассматриваемую в
курсах теоретической механики, об отыскании выражения вектора угло-
угловой скорости вращения тела через заданное равенствами A1) или
A2) поле вектора скорости V. С этой целью, пользуясь равенствами
A2), найдем следующие разности производных от проекций скорости
К„ ]/2, V3 по координатам хи х2, х3:
dv3 dV2 __ 9
дх2 дх3 * Х lt
— — = (о2 — (— о2) = 2(d2, A3)
дх3 дхг
Разности, стоящие в левых частях этих равенств, представляют
проекции пространственной производной вектора V, именуемой ротором,
или вихрем, вектора скорости и обозначаемой символом rot V [см. фор-
формулы (80), (81) гл. I].
Из равенств A3) следует
@ = 1 rot К, A4)
что и служит решением поставленной обратной задачи кинематики аб-
абсолютно твердого тела.
В рассмотренном случае общего движения абсолютно твердого
тела уравнения A2) представляли проекции вектора скорости V линей-
линейными функциями координат, в силу чего величина и направление век-
векторов вихря скорости rot V и угловой скорости со были одинаковыми
во всем пространстве.
В случае деформируемой среды, в частности жидкости или газа,
поле скоростей не будет линейным относительно координат, но если
удовольствоваться рассмотрением в данный момент времени бесконеч-
бесконечно малого объема, то внутри него с точностью до бесконечно малых
высшего порядка малости поле скоростей можно считать линейным, а
формулу A3) справедливой. Представив мысленно элементарный объ-
объем среды мгновенно затвердевшим, заключим, что угловая скорость
его вращения в данный момент будет равна половине вихря вектора
скорости, который может быть вычислен в малой области этой мгно-
мгновенно затвердевшей, недеформируемой жидкости.
Формула A4) в случае абсолютно твердого тела справедлива
глобально, т. е. для всего тела в целом, а в случае деформируемой
среды — лишь локально в бесконечной близости к данной точке среды.
4C
ГЛ. II. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Далее вектору угловой скорости элементарного объема жидкости
будет дана более прямая трактовка, не опирающаяся на образ мыслен-
мысленного затвердевания объема.
Рассмотрим движение элементарного объема жидкости, выделив в
нем две произвольные точки М и Mi (рис. 10) со скоростями V и VA).
Относительное расположение точек М{ и М опре-
определяется вектор-радиусом бг=г4—г„, где г4 и
г0 — соответственно вектор-радиусы точек Мх
иАГ.
Пользуясь непрерывностью поля скоростей и
постулируя существование первых производных
от проекций скорости V по координатам, срав-
сравним скорости VA) и V. Применяя для этой цели
Рис. 10 символические представления полного диффе-
дифференциала вектора V в пространстве и полной про-
производной вектора V по вектор-радиусу г, получим, согласно формулам
(94) —(96) гл. I,
(
A5)
где выражение, помещенное в круглых скобках, обозначает произведе-
произведение тензора 6V/8r=D* на вектор бг «справа»1). Используя теперь равен-
равенство A06) гл. I при a=V, 6=бг, получим
V{1) = V + -rotК х бг + (del VNr.
A6)
Сравним это выражение, приведенное, согласно A4), к виду
VA)=V+G>X«r+(def VNr, A7)
с равенством A1) при r—ro=6r. Первое слагаемое в правой части мож-
можно рассматривать как скорость полюса М> второе — как вращательную
скорость точек элементарного объема с относительными вектор-радиу-
вектор-радиусами бг при угловой скорости о), а сумму этих двух слагаемых — как
скорость VKT в квазитвердом движении элементарного объема. Послед-
Последнее слагаемое назовем деформационной скоростью и обозначим через
Удеф. Тогда равенство A7), переписанное в виде
ф, A8)
где
A9)
будет выражать первую теорему Гельмгольца, представляющую
прямое обобщение теоремы Эйлера о распределении скоростей в дви-
движении абсолютно твердого тела. Первая теорема Гельмгольца гласит:
скорости точек элементарного объема сплошной среды складываются
из скоростей квазитвердого и деформационного ее движений.
Квазитвердое движение, точнее, общий случай движения абсолют-
абсолютно твердого тела, рассматривается подробно в курсе теоретической
механики2). Обратимся к описанию деформационной составляющей
скорости.
1) Точки в обозначениях Д S и Л*, обычно применяемые для сокращенного обо-
обозначения производных по времени, поставлены для того, чтобы не смешивать эти тен-
тензоры поля скоростей с тензорами D, S, А* для поля перемещений.
2) См. ЛойцянскийЛ. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики.
Т. I.—M.: Наука, 1982, с. 283—285.
§ 13. ДЕФОРМАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ 47
§ 13. Деформационное движение жидкости. Тензор скоростей
деформаций и кинематический смысл его компонент.
Главные оси тензора скоростей деформаций
Введем (рис. 11) в некоторый момент в выбранной точке произ-
произвольно ориентированную систему прямоугольных декартовых коорди-
координат MxiX2x3. Рассмотрим далее совокупность трех элементарных жид-
жидких отрезков 8ги бг2, бг3 с проекциями на эти
оси:
6*1F*4,0,0), бг2@, 6х2, 0),
бг3@, 0, 6*3). B0)
По прошествии бесконечно малого проме-
промежутка времени dt жидкие координатные от-
отрезки B0) переместятся в смежное положение Рис. 11
М'х/Хъ'х/, совершив, кроме квазитвердого,
еще деформационное перемещение [второе равенство системы A9)].
Новые значения координатных отрезков B0) и их проекций будут равны
(сохраним краткое обозначение 3 для def V)
8x't = 6*, + (S 6n){ dt = Sxt + Sit (Sr*)/ dt = Ьхс + Sl{8x(dt, B1)
так как по B0) Fг,),=0, если \Фь (/=1, 2, 3; в формулах B1)-B3)
по i не суммировать).
Относительные удлинения величин этих отрезков, согласно B1),
будут
^± B2)
и, следовательно, диагональные компоненты тензора скоростей дефор-
деформации Sti равны скоростям относительных удлинений е* координатных
отрезков 8г{
За время dt координатные векторы бг±, 6г2, 5г3 переместятся в положе-
положения бг/, 6г2', 6г3', причем деформируются (растянутся или укоротят-
укоротятся), а первоначально прямые углы между ними перестанут быть тако-
таковыми («скосятся»).
Новые значения углов между 6г/, 6г/ и 6г/ обозначим так:
^ я /Ч я /\v я
0^1» &Г2 в "Г Ti2» 6г2» ог3 = —- — 7гз> of 1» ог3 = — — Y13»
причем «скошения» прямых углов f12, ^2з, ^is условимся считать поло-
положительными, если углы уменьшаются.
Для определения этих скошений выпишем равенства («—знак
приближенного равенства)
cos Fr[, 6г2) = — • -^f = cos (^ — Yit) = sin Via« Yi2>
бл:, Sjto \ * /
-Y23, B4)
cos (бг;, 8r'3) = -Ц- • -^1 = cos (j — Ym) = sin713« yls.
;, 8r'3) = -Ц- • -^1 = cos (j — Ym) = si
1 3
48 ГЛ. II КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Используя B1) и вспоминая, что в первоначальном положении
=0, получим выражение сношения координатного угла Ьги 6гг
_6г[ Ьг'г _ i
Г12 Г " Г
6 Ь 6
2 t 6х2
= (S 6гг) - б/ytt + E6 г,) • &
12
Аналогично найдем скошения других координатных углов:
а скорости скошения координатных углов будут равны
Vi2=2i12, 7м=25м, т',з=2513. B5)
Отсюда следует, что недиагональные компоненты тензора скоро-
скоростей деформаций равны половинам скоростей скошений координатных
углов.
Для дальнейшего имеет значение еще одна характеристика дефор-
деформационного движения — скорость относительного объемного расшире-
расширения среды в данной точке 6, определенная равенством
6xdt бт dt v ;
как отношение приращения элементарного жидкого объема бт к перво-
первоначальной величине этого объема и к времени деформации dt.
Полагая
бт = 8x18x28x3f
бт' = 6x[6x'28xz = A + kxdt) 8*! • A + e2dt) Ьх2. A + e3dt) bx3t
найдем, опуская в окончательном варианте бесконечно малые, что со-
соответствует предельному переходу,
Таким образом, из определения 6 B6) и равенства B7) следует,
что дивергенция вектора скорости V имеет смысл скорости относитель-
относительного изменения элементарного объема жидкости в данной точке поля
скоростей.
В модели несжимаемой жидкости, с которой в дальнейшем при-
придется неоднократно встречаться, скорость относительного объемного
расширения при отсутствии распределенных источников по самому ее
определению равна нулю. При этом, независимо от всех прочих свойств
жидкости (плотности, вязкости и др.)> проекции скорости ее движения
оказываются связанными чисто кинематическим равенством — урав-
уравнением несжимаемости, называемым также менее определенно уравне-
уравнением неразрывности:
divK = -^+^-+.^L=:0. B8)
дхг дх2 дх3
Напомним (§ 7), что для любого симметричного тензора можно
указать такую прямоугольную систему координат — ее оси носят наи-
наименование главных,— в которой все недиагональные компоненты равны
нулю, а таблица тензора сводится к главным значениям тензора, рас-
расположенным на главной диагонали.
§ 13. ДЕФОРМАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
49
В приложении к тензору скоростей деформаций S это означает,
что в главных его осях скорости скошения координатных углов равны
нулю, а скорости относительных удлинений бесконечно малых коорди-
координатных отрезков равны главным значениям ХA), Х{2\ ЯC) тензора ско-
скоростей деформаций. Отмечая штрихами главные координаты и ком-
компоненты тензора в главных осях, будем иметь
Sn = X , Sn = 0, 513 = О,
B9)
= О,
= 0,
Озз = Я
/
0
\/
А /1
T7V
их2
т
То обстоятельство, что главные оси координат в каждый данный
момент в данной точке среды не скашиваются, позволяет придать век-
вектору со смысл мгновенной угловой
скорости трехгранника главных
осей, который представляет собой
мгновенный жесткий, если судить
только по направлениям осей,
«скелет» элементарного жидкого
объема. Не следует конечно за-
забывать, что в следующий момент
времени трехгранник главных
осей уже будет проходить через а)
другие частицы среды.
В качестве простейшего при-
примера рассмотрим движение чис-
чистого сдвига, в котором распределение скоростей имеет вид (рис. 12, б)
V^cx2y V2=0t V3=0. C0)
Среди компонент тензора скоростей деформации в координатах хи
хг отличными от нуля будут только ^12=а?21=—Т^~ ~~ • Характери-
Характеристическое уравнение F0) гл. I примет вид
Рис. 12
— 0
-~-~ л
0
C1)
и будет иметь корни — главные значения тензора скоростей деформа-
деформаций —
Я' A) С а B) С я (з) г\ (*2.с)\
Если выделить в начальный момент времени жидкий контур в виде
бесконечно малого квадрата с центром Af, то спустя время dt он перей-
перейдет в другое положение и превратится в ромб (с точностью до малых
второго порядка). Из физических соображений ясно, что скорость отно-
относительного удлинения оси Мх/ (рис. 12, а) положительна, а оси Мх2'
отрицательна, т. е. со временем отрезки оси Мх/ удлиняются, а оси
Мхъ укорачиваются. Прямой угол между диагоналями квадрата Мх/
и Мхг остается прямым после малой деформации, став углом между
диагоналями ромба. Это указывает, что оси Мх/ и Мх2' главные. При-
Придем к тому же выяоду аналитическим путем.
50 ГЛ. II. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Уравнения E8) и E9) гл. I приводятся к двум независимым урав-
уравнениям относительно проекций е(?\ е21] орта еA) одной из главных осей:
откуда, согласно C2), следует
Аналогично, для е<2) и е^ получим значения
т-' C4)
а для е^ и еB3) — нулевые значения, что отвечает двумерному харак-
характеру течения.
В то же время проекции ортов главных осей e{i\ e{2\ е{3) на оси
координатной системы Ох^2хг равны соответствующим косинусам уг-
углов между главными и обычными осями. Из C3) и C4) следует, что
углы между первой главной осью и осями Охи Ох2 равны 45°, а меж-
между второй главной осью и теми же осями соответственно 135° и 45°. От-
Отсюда следует, что первые две главные оси тензора скоростей деформа-
деформаций в точке М расположены по диагоналям квадрата (рис. 12), т. е.
как раз являются осями Мх/ и Мх2'. Третья главная ось образует с
плоскостью рисунка угол 90°, что было заранее очевидно, так как рас-
рассматриваемое движение происходит параллельно плоскости Ох^хъ.
Перемещение ММ' (рис. 12) характеризует поступательное пере-
перемещение V dt элементарного объема среды за промежуток времени dt.
Можно заметить, что за то же время система главных осей, служащая,
как ранее было указано, «скелетом» жидкого объема, повернулась по
часовой стрелке на угол со3 Л== — (— ) dt = — — dt. Знак минус
связан с тем, что ось Ох3 направлена перпендикулярно к плоскости
рисунка так, что со стороны этой оси поворот виден совершающимся
от оси Ох2 к оси Ох/, т. е. в отрицательном направлении.
Деформационная составляющая движения не имеет в механике
жидкости и газа того значения, как в теории твердого тела (упругого,
пластического и др.). Компоненты тензора скоростей деформаций
встретятся только в динамике вязких жидкостей и газов, где они ока-
окажутся связанными с компонентами тензора напряжений (обобщенный
закон Ньютона).
В ближайших главах основное значение будет иметь квазитвердая
составляющая движения, но, конечно, при этом нельзя забывать о при-
присутствии деформационной составляющей.
§ 14. Вихрь, вихревая линия, вихревая трубка.
Вторая теорема Гельмгольца
Как следует из предыдущего параграфа, квазитвердое движение
элементарного объема складывается из поступательного движения со
скоростью V, определяемой какой-либо точкой этого объема, принимае-
принимаемой за полюс, и вращательного движения вокруг мгновенной оси с век-
вектором угловой скорости <о= - rot V. Движение жидкости, сопровож-
даемое вращением отдельных ее элементарных объемов, называют вих-
вихревым, а сам вращающийся объем (иногда его угловую скорость) —
вихрем. Если движение элементарных объемов среды сводится только
§ 14. ВИХРЬ, ВИХРЕВАЯ ЛИНИЯ, ВИХРЕВАЯ ТРУБКА
51
к поступательному и деформационному, то такое движение именуют
безвихревым.
В общем случае каждой точке М поля скоростей движущейся сре-
среды сопоставляются два вектора: скорость V и угловая скорость со (рис.
13). Каждому из этих двух векторов соответствуют свои векторные ли-
линии: вектору V — линии тока, векторам © = 72 rot V или
вихревые линии, т. е. линии, в каждой точке
которых касательная совпадает по направле-
направлению с вектором Я или ш. Вихревые линии бу-
будут в дальнейшем часто отмечаться закруглен-
закругленной стрелкой, выражающей вращение элемен-
элементарных объемов вокруг касательных к вихре-
вихревым линиям.
Подобно тому, как раньше строились по-
поверхности тока, получим вихревую поверх-
поверхность а, проведя через точки некоторого
Рис. 13
Рис. 14
Рис. 15
замкнутого контура С вихревые линии (рис. 14), а ограниченную ею
часть жидкости, участвующую во вращении, назовем вихревой трубкой.
Аналогично секундному объемному расходу жидкости, равному по-
потоку вектора скорости сквозь любое поперечное сечение трубки тока
и одинаковому для несжимаемой жидкости вдоль всей трубки тока, бу-
будет равен в данный момент времени вдоль вихревой трубки и поток век-
вектора со или вихря ?2 = rot V.
Докажем следующую вторую теорему Гельмгольца: поток
вихря скорости Fa(Q) (так же, как и поток вектора угловой скорости
Fo((o)) сквозь любое поперечное сечение вихревой трубки одинаков в
данный момент времени вдоль всей трубки.
Выделим в вихревой трубке объем т, заключенный (рис. 15) между
боковой поверхностью абок трубки и двумя ее произвольными попереч-
поперечными сечениями аA) и аB). Применим к этому объему формулу Гаусса —
Остроградского в форме A11) гл. I при а=ю. Будем иметь
соп6а as \ div «о бт, C5)
т
где поверхность а, ограничивающая объем вихревой трубки т, состоит
из трех поверхностей: аA), оB) и <абок. По определению вихревой линии
на боковой поверхности будет соп=О, а подынтегральное выражение в
правой части C5) тождественно равно нулю (divrotV=0). Равенство
C5) приведется к виду J солба -f j шлба = 0. Изменяя направление орта
а'!) аB)
п{ на противоположное я/ так, чтобы косинус угла между <оA) и я/ был
положительным, получим
С0л,6<7= ^ (Опбог.
стA)
C6)
52
ГЛ. II. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Рис. 16
Поскольку поперечные сечения аA) и аB) выбирались произвольно, то
равенство C6) и доказывает вторую теорему Гельмгольца.
Из второй теоремы Гельмгольца следует, что поток вектора
Q (или со), одинаковый в данный момент для любых сечений вихревой
трубки, может служить мерой интенсивности вихревой трубки i в це-
целом.
Из второй теоремы Гельмгольца также можно заключить, что вих-
вихревые трубки не могут заканчиваться внутри среды, так как при этом
(оA'2)«0) со или п должны были бы становиться бесконечными. Опыт
подтверждает этот факт. В природе наблюдаются либо замкнутые вих-
вихревые кольца (рис. 16), как, например,
при выходе дыма из трубы, либо вихре-
вихревые трубки, начинающиеся и оканчиваю-
оканчивающиеся на поверхностях раздела твердой
поверхности и жидкости или жидкости и
газообразной среды. Таковы часто наблю-
наблюдаемые в реках водовороты, которые
представляют собой вихревые трубки,
опирающиеся одной своей стороной на
дно реки, а другой — на свободную ее по-
поверхность, отделяющую воду от атмосфе-
атмосферы, или только на дно или только на сво-
свободную поверхность. В стакане молока
или кофе можно наблюдать невооружен-
невооруженным глазом вихревые трубки, если быстро вынуть из стакана ложку. Во-
Водовороты гигантских размеров наблюдаются в океане за островами (на-
(например, за островом Ямайка), находящимися в быстрых течениях. Ве-
Вероятно, самыми «грозными» вихревыми трубками являются смерчи. Они
опираются нижним концом на поверхность океана, а верхним уходят в
слой нависших облаков. Причины возникновения их пока точно не из-
известны, но, по-видимому, связаны с тепловыми явлениями на границе
океана и атмосферы. Слабее проявляют себя циклоны и антициклоны в
атмосфере.
Обращает на себя особое внимание вихревая трубка, образующая-
образующаяся при истечении воды из резервуара с малым отверстием в дне. Ре-
Резервуар с водой, вращаясь вместе с Землей, уже обладает малой угло-
угловой скоростью, которая резко увеличивается при прохождении воды
сквозь узкое отверстие. При этом в область разрежения, которая об-
образуется при быстром вращении жидкости, индуцируемом резко воз-
возросшим вихрем (см. § 27), врывается воздух, создающий воздушную
полость (так называемый «полый вихрь»). Такое же явление имеет
место и в смерчах, внизу которых собирается вода из океана, а ввер-
вверху — водяной пар из облаков. Смерчи, образующиеся в пустынях, увле-
увлекают песок. Эти явления требуют для своего описания привлечения
динамики жидкости или газа. Результаты современных исследований,
относящихся к разнообразным вихревым течениям в природе и в тех-
технических устройствах, можно' найти в исключительной по наглядности
иллюстраций монографии В. Альбринга ')•
§ 15. Теорема Стокса о связи между интенсивностью вихревой трубки
и циркуляцией скорости по опоясывающему ее контуру
Непосредственное наблюдение вихревой трубки в прозрачной жид-
жидкости, не несущей примеси или специально не нагреваемой для визу-
визуализации потока, практически невозможно. Не существует также и
l) Alb ring W. Elementarvorgange fluider Wirbelbewegungen — Berlin: Acad.
Verlag, 1981, S. 305.
§ 16. УСКОРЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СРЕДЫ 53
приборов для измерения интенсивности вихревых трубок. Однако эту
интенсивность можно вычислить, если найти на соответствующем кон-
контуре распределение скорости при помощи одного из предназначенных
для этого приборов. Такими приборами являются, например, крыльча-
тые анемометры, скоростные трубки, термо- и лазерные анемометры.
Для указанного вычисления достаточно воспользоваться следующей
теоремой Стоке а: интенсивность вихревой трубки равна циркуляции
скорости по контуру, расположенному на поверхности вихревой трубки
и один раз ее опоясывающему.
Для доказательства теоремы С т о к с а применим формулу С т о к-
са [A16) предыдущей главы], положив a=V и определив интенсив-
интенсивность вихревой трубки iy например, как поток вектора вихря скорости
fi=rot V.
Будем иметь (а — произвольное сечение трубки, опирающееся на
контур С)
i = f Qn6cr = $ V • бг. C7)
а С
По этой теореме определение интенсивности вихревой трубки сво-
сводится к интегрированию элементов циркуляции V-fir вдоль контура,
опоясывающего трубку.
Вихревая трубка, заключающая внутри себя завихренные части
жидкости, может быть окружена жидкостью, частицы которой не вра-
вращаются вокруг своих осей, а движутся
поступательно по замкнутым, в том
числе круговым траекториям. Такая
безвихревая «оболочка» вызывается
(индуцируется) вихревой трубкой.
В этом случае для определения интен-
интенсивности вихревой трубки нет необхо-
необходимости вычислять циркуляцию по
контуру, один раз опоясывающему
трубку, а достаточно брать циркуля-
циркуляцию скорости по любому контуру, один
раз охватывающему трубку. При на-
наличии нескольких разделенных безвих-
безвихревыми потоками вихревых трубок ин-
интенсивности iu i2, ... (рис. 17) общая Рис- 17
их интенсивность, равная алгебраиче-
алгебраической сумме интенсивностей отдельных трубок, будет определяться цир-
циркуляцией скорости по контуру С, один раз охватывающему всю сово-
совокупность таких вихревых трубок.
По измеренной циркуляции по замкнутому контуру в поле скоро-
скоростей можно судить не о наличии или отсутствии внутри его вихревых
трубок, а лишь о суммарной их интенсивности. Равенство нулю цир-
циркуляции скорости по замкнутому контуру еще не позволяет сделать за-
заключение об отсутствии вихревых трубок, так как внутри этого конту-
контура могут быть вихревые трубки с различными направлениями враще-
вращения, которым соответствуют разные по знаку интенсивности.
§ 16. Ускорение частицы среды.
Локальная и конвективная составляющие ускорения. Полное ускорение
Ускорение частицы жидкости, так же как и вообще ускорение ма-
материальной точки, определяется производной вектора скорости этой ча-
частицы по времени
V = di- C8)
54 ГЛ. II. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРБДЫ
В лагранжевом представлении движения A) вектор скорости V
определится как
K--|-г(а,М;<). C9)
а вектор ускорения V — как
V=^r(a,b,c-J) D0)
(а, Ь, с — параметры, выделяющие данную частицу из множества дру-
других и равные координатам частицы в начальный момент).
В эйлеровом представлении вектор скорости задается равенствами
B), а для вычисления ускорения, т. е. векторной производной по вре-
времени от V надо принять во внимание следующие два обстоятельства,
обусловливающие изменение вектора скорости V с течением времени:
1) локальное (местное) изменение скорости во времени из-за нестацио-
нестационарности поля, 2) конвективное изменение скорости за счет перемеще-
перемещения частицы жидкости в неоднородном поле скорости.
Первое, локальное, ускорение определится как
^лок = ^. D1)
Для вычисления второго, конвективного, ускорения надо найти
приращение вектора скорости жидкой частицы, обусловленное лишь ее
перемещением (конвекцией) в соседнюю точку пространства в «замо-
«замороженном» поле скорости, и отнести его к соответствующему интервалу
времени. При использовании метода Эйлера это требует дифференци-
дифференцирования V(xu хг, xz\ t) по времени как сложной функции, когда чет-
четвертый аргумент t фиксирован, a Xi(t)9 x2(t), x3(t) являются перемен-
переменными координатами жидкой частицы. В результате производная от V
по направлению траектории умножается на производную от пути s по
времени, т. е. на величину скорости. Согласно формуле G8) гл. I полу-
получим (V=V/V)
^конв=^ — = (V ^)VV=(^-^)VV = (V^)V. D2)
os dt \ V J
Суммируя локальную и конвективную составляющие ускорения, полу-
получим выражение полного ускорения
V=d-^ + {V.\)V9 D3)
или, в проекциях на оси координат,
ИЛИ
Локальное ускорение равно нулю, если поле скоростей стационар-
стационарно. Конвективное ускорение отсутствует, если поле скоростей однород-
однородно. Например, в случае удара тела о поверхность воды вначале воз-
возникает локальное ускорение жидкости, а конвективное ускорение мож-
§ 16. УСКОРЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СРЕДЫ 55
но считать в начальный момент равным нулю; неоднородность поля
скорости и конвективное ускорение появляются лишь затем. Аналогич-
Аналогичное положение имеет место и при начале движения тела, погруженного
в неподвижную жидкость.
Оператор V-V называют конвективной производной, производную
d/dt — локальной производной, а полную производную d/dt, равную
?~|-+ <„.*), D5)
учитывающую полное изменение некоторой физической величины, свя-
связанной с движением индивидуальной частицы среды в поле этой вели-
величины — или, в более общем случае, в поле любой субстанции,— назы-
называют индивидуальной (лагранжевой) или субстанциональной произ-
производной.
Полное ускорение частицы в эйлеровом представлении ее движе-
движения, равное сумме локального и конвективного ускорений, определяет-
определяется как индивидуальная (субстанциональная) производная от вектора
скорости по времени. Сохраним для индивидуальной производной обо-
обозначение d/dt
Символическую формулу D2) конвективного ускорения можно за-
заменить другой, не содержащей символического оператора V. Приве-
Приведем сначала вывод одной важной формулы векторного анализа, выра-
выражающей конвективное ускорение через пространственные производные
grad и rot.
Вспомним формулу двойного векторного произведения
)-(а.&)с. D6)
Положив в ней 6==V, будем иметь
и, поменяв местами аи с,
V(с-а) = (с-V)a + сХ (VХа).
В первом из этих равенств операция дифференцирования V отно-
относится только к с при постоянном а, во втором, наоборот, к а при по-
постоянном с. По правилу символического составления пространственных
производных от сложных векторных выражений (см. конец § 8 гл. I)
объединим эти два выражения для одной и той же величины V(a-c)
и получим
Переходя частично от символических обозначений к операциям
grad и rot, получим формулу векторного анализа
grad (a.c) = (a.V)c+(c-V)a+aXrotc+cXrota, D7)
ранее [(88) гл. I] приведенную без вывода.
Положим в этом равенстве а=су а-с=а2. Тогда из векторного соот-
соотношения D7) будет непосредственно следовать
grad (а2) =2 (а. V) a+2aXrot a. D8)
Отсюда вытекает равенство
(а • V) а = grad— + rot a x a, D9)
которое при a=V приведет к не содержащему символических операто-
операторов выражению конвективной составляющей ускорения через операций
56 ГЛ. II. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
grad и rot
KKOHB=(K.V)r=grad-y + rotKxK. E0)
Последнее выражение VK0BB будет полезным <в динамике при выводе
уравнения Громека — Ламба. Большую помощь может оказать
это равенство и для вывода проекций ускорения в ортогональной кри-
криволинейной системе координат. Прямой подход к этому выводу заклю-
заключался бы в использовании разложения вектора скорости по ортам (еди-
(единичным векторам) ir осей координат в криволинейной системе
у = Vi + vQii2 + vqti3=v E1>
с последующим его дифференцированием по времени, которое потребо-
потребовало бы вычисления индивидуальных производных dVQrldt и dirfdt, что
само по себе достаточно трудоемко.
Удовольствуемся приведением выражений проекций ускорения на
оси наиболее употребительных систем криволинейных координат: ци-
цилиндрической (в том числе полярной) и сферической:
цилиндрическая система (г, е, г):
p.^ + v^ + ^ + v.^-H.
dt or г дг dz r
dt dr г дг dz
dt дг г де дг
сферическая система (R, 0, е):
1/ dV* л-v dv«>v*dv*, v* dv*
Vr = —— + Vr -^r + -r- — + •
dt dR R 36 RsinQ de R
— + VR — + — _ + ___. + -_ -ctg6, E3)
v^ + K/^+ + +
8 dt dR ^ R ae ^ RsinQ de ^ R ^ R
§ 17. Кинематическая теорема Кельвина
До сих пор изучались свойства вихревых трубок или эквивалент-
эквивалентных им по теореме С т о к с а циркуляции скорости по опоясывающим
вихревые трубки контурам в данный момент времени. Излагаемая ниже
теорема Кельвина позволяет с чисто кинематической стороны пред-
предсказать поведение вихревой трубки во времени1)- Формулировка тео-
теоремы такова: индивидуальная производная по времени от циркуляции
скорости по замкнутому жидкому (т. е. состоящему во все время дви-
движения из одних и тех же частиц жидкости) контуру равна циркуляции
ускорения по тому же контуру.
Рассмотрим сначала несколько более общий случай — изменение во
времени циркуляции скорости по разомкнутому жидкому контуру С
(рис. 18).
]) В связи с чисто кинематическим характером этой теоремы, не связанной с фи-
физическими свойствами жидкости или какими бы то ни было силовыми воздействиями,
ее называют кинематической теоремой Кельвина, отличая от динамической теоремы
Кельвина, которая будет рассмотрена далее в динамике жидкости.
§ 17 КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА КЕЛЬВИНА
57
Вычислим индивидуальную производную по времени от циркуля-
циркуляции вектора скорости V по разомкнутому контуру С между точками А
и В. Согласно определению интеграла как предела суммы имеем
A
(С)
A
(С)
A
(С)
A
(С)
В силу независимости операций d/dt и 6 их можно поменять ме-
местами, придав последнему интегралу в предыдущем равенстве вид
A
(С)
A
(С)
A
A
(С)
Интеграл от дифференциала равен разности значений первообраз-
первообразной функции на верхнем и нижнем пределах. Таким образом, будем
иметь
в в
E4)
6г
А
А
(С)
Соединяя точки В и Л, замкнем кривую С и по-
получим
Л "'.6г, E5)
(С)
(С)
или, в ранее введенных обозначениях для циркуля-
циркуляции,
d
Рис. 18
dt
Tc(V)=Tc(V).
E6)
Формула Кельвина E5) или E6) выражает общий закон из-
изменения со временем циркуляции скорости по замкнутому жидкому
контуру и тем самым по теореме Стоке а (§15), интенсивности вихре-
вихревой трубки, причем связывает это изменение с циркуляцией ускорения,
т. е. с циркуляцией объемной силы, которая, очевидно, равна работе
силы по замкнутому контуру. В этом заключается особое значение
теоремы Кельвина для динамики жидкости и газа, о чем будет
речь в последующем (см. гл. VII).
ГЛАВА III
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ И СИЛЫ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ*
РАВЕНСТВА КОШИ.
ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
§ 18. Плотность распределения массы в сплошной среде.
Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности
В динамике дискретной системы материальных точек динамические
характеристики, в том числе и инерционные, приписывались отдельным
точкам системы (массы материальных точек системы, приложенные к
ним силы). В случае абсолютно твердого тела рассматривались как
суммарные, но относящиеся к резко очерченным областям твердого
тела характеристики (моменты инерции, зависящие от размеров, внеш-
внешней формы тела и распределения в нем масс, векторы количества дви-
движения и момента количества движения), так и сосредоточенные в кон-
конкретных точках твердого тела силы (нагрузки), моменты сил.
В динамике сплошных сред (жидкостей, газов, упругих и других
«твердых» деформируемых тел) такой подход заменяется заданием не-
непрерывных распределений динамических и, вообще, физических вели-
величин по сплошной среде, характеризуемых плотностью распределения
этих величин.
Первым примером такого задания может служить плотность рас-
распределения массы в виде предела отношения массы Am малого объема
Дт, заключающего в себе данную точку М, к объему Дт, когда послед-
последний стремится к нулю, стягиваясь к точке М. Отношение Д/л/Дт назы-
называют средней плотностью в объеме Дт, а предел этого отношения при
Дт-Я) — плотностью среды в данной точке М и обозначают буквой р,
так что
p = hm —- = — . A)
дт—о Ат 6т
Отсюда непосредственно следуют выражения массы элементарно-
элементарного объема 8т через плотность р
бт=рбт B)
и массы т выделенного в среде конечного объема т
C)
Плотность характеризует инерционные свойства среды и образу-
образует скалярное поле p=p(jct, x2, xz\ t)9 которое может быть как стацио-
стационарным, так и нестационарным. Поверхности уровня в поле плотности
называют изостерами.
Плотность выражают в Международной системе единиц (СИ) в
кг/м3. Числовые значения плотности жидкостей и газов приведены в
таблицах физических величин.
В дальнейшем по-прежнему используем обозначение б для беско-
бесконечно малого приращения в пространстве, а букву d сохраним как сим-
символ приращения во времени.
В ньютоновской механике масса жидкого, т. е. состоящего во все
время движения из одних и тех же частиц, объема, сохраняет постоян-
постоянную величину, так что, согласно формуле B) (d/dt — символ индиви-
§ 18. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАССЫ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 59
дуальной производной по времени),
^Fт) ^(рбт)^бт + р(бт) о. D)
at at at at
Вспоминая данное в конце § 13 определение скорости объемного
расширения в, по формулам B6) и B7) гл. II будем иметь
— 6T = divK6T,
dt
и, следовательно, равенство D) приведется к такому
^ + pdivKUx = 0,
откуда, в силу произвольности величины бт, следует
+ pdivK=0. E)
dt
Закон сохранения массы в ньютоновской механике привел, таким
образом, к дифференциальному уравнению связи между плотностью и
скоростью E). Подчеркнем, что эта связь имеет место независимо от
приложенных к среде сил.
Уравнение E) обычно называют уравнением сплошности или урав-
уравнением неразрывности, хотя, быть может, ему более соответствовало
бы наименование уравнения сохранения массы.
Разлагая, согласно изложенному в § 16, индивидуальную произ-
производную, входящую в уравнение E), на локальную и конвективную со-
составляющие, получим
^ divK = O, F)
или, внося скалярную величину р внутрь круглой скобки,
dt
Вспоминая соответствующую формулу (88) гл. I (cp=p, a=V), по-
получим
div(pV)=V-grad p + p div V
и перепишем равенство F) в виде
J 0. G)
Это другая форма того же уравнения сплошности E), в которой
отсутствует индивидуальная производная плотности по времени.
Если поле плотности стационарно (dp/dt=O), уравнение сплошно-
сплошности примет вид
div(pV)=0 (8)
или в проекциях скорости Vk (k=l, 2, 3) (суммирование по k)
=д(рУ1) j d(9V2) t
дх дх
j t 0 (9)
dxk дхг дх2 дх3
Наконец, в случае постоянной плотности (несжимаемая однород-
однородная среда) получим уравнение несжимаемости жидкости
divV=0 A0)
60 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ И СИЛЫ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
ИЛИ
дхк дхг дх2 дх3
В дальнейшем встретятся случаи движения сплошной среды с не-
непрерывным по ходу движения возникновением (исчезновением) веще-
вещества определенного сорта за счет, например, химической реакции пре-
превращения одного из составляющих ее веществ в другое или вследствие
изменения фазового состояния вещества (испарение движущейся жид-
жидкости, сопровождающееся возникновением в ней пузырьков пара или,
наоборот, конденсация пара и появление в нем жидких капель, цепе-
нение жидкого металла, таяние льдинок в потоке воды и т. п.). В этих
случаях естественно говорить о применении в сплошных средах мето-
методов механики переменной массы1). Теоретической моделью такого рода
явлений может служить заданное наперед, определяемое химической
или физической кинетикой происходящих в движущейся среде процес-
процессов, непрерывное распределение источников притока (стока) массы, с
интенсивностью, характеризуемой секундным, отнесенным к единице
объема приростом массы вещества в данной точке потока. Эту величи-
величину, имеющую размерность [M/(L*T) ]=плотность/время, было бы есте-
естественно обозначить символом р, но, чтобы не смешивать ее с индивиду-
индивидуальной производной по времени dp/dt, примем для нее самостоятель-
самостоятельное обозначение /. Связь между величинами dpjdt и / определится из
очевидного соотношения
(бт)(рбт) 7бт| A1)
dt v ' dt w ' f v
приходящего на смену равенству D), и следующих из него, но обобщен-
обобщенных на случай динамики переменной массы уравнений неразрывности
^ A2)
A3)
§ 19. Распределение сил в сплошной среде.
Объемные и поверхностные силы. Равенства Коши. Тензор напряжений
В динамике сплошных сред выделяют два класса действующих на
частицы среды сил: объемные (иногда их еще называют массовыми) и
поверхностные. Под объемными силами понимают силы, действующие на
элементы объема, как, например, силы веса, тяготения, инерции, элек-
электростатического притяжения или отталкивания, силы действия магнит-
магнитного или электрического поля на частицы среды. К поверхностным от-
относят силы, которые при принятом в механике сплошных сред макро-
макроскопическом подходе действуют на элементы поверхности, ограничива-
ограничивающей объем, как, например, силы давления, или, более общо, силы, дей-
действующие со стороны потока на поверхность погруженного в него тела
или реакции тела на поток, силы внутреннего трения (вязкости) в среде.
Следует оговориться, что эта классификация сил условна, так как
механика Ньютона знает лишь силы, приложенные к массам, т. е. толь-
только объемные силы. Но в тех случаях, когда частицы, на которых сосре-
сосредоточено действие сил, расположены в столь тонком слое, что можно
без большой погрешности свести этот слой к некоторой «материальной
1) См. ЛойцянскийЛ. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. Т. II.—
М.: Наука, 1983, с. 110—114.
§ 19. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 61
поверхности», считают, что силы действуют на элементы этой поверх-
поверхности.
В отличие от динамики системы дискретных точек в динамике сплош-
сплошных сред имеют дело не с самими силами, а с плотностями их распре-
распределения в пространстве. Так, под плотностью распределения объемных
сил (коротко — объемной силой) F в данной точке М среды понимают
предел отношения главного вектора AR сил, приложенных к точкам ма-
малого объема Дт, заключающего в себе точку М, к массе Дт=рДт, где
р—некоторое среднее значение плотности в объеме Дт, когда объем Дт
стремится к нулю, сохраняя внутри себя точку М, т. е.
limlIm^—!•**-. (И)
Дт-»О А/Я р Дт-t-O Ат р 6т
Измеряется F в Международной системе единиц (СИ) в Н/кг или м/с2.
Отсюда следует, что обычная, ньютоновская сила б/?, приложенная
к элементарному объему бт в точке М, определяется через объемную
силу F как
6/?
В качестве примера можно указать, что в случае силы тяжести F=g,
где g—вектор ускорения свободного падения; случаю центробежной
силы инерции во вращающейся с угловой скоростью ю системе соответ-
соответствует объемная сила /7 = со2г, где г — вектор, равный кратчайшему рас-
расстоянию между точкой приложения силы и осью вращения и направлен-
направленный в сторону от оси.
Аналогично, поверхностные силы задаются вектором напряжения
^L-St, A5)
<7 ДО
где Др'—главный вектор сил, приложенных со стороны среды к выде-
выделенной в ней малой площадке До, а бр и ба — предельные их значения.
Измеряют р в Н/м2.
Вектор бр поверхностной силы, приложенной к площадке ба в дан-
данной точке пространства, равен, согласно A5),
бр=рба,
т. е. произведению вектора напряжения р на величину элементарной
площадки ба.
Отметим основное различие (кроме, конечно, несовпадения размер-
размерностей) между векторами F и р: в то время как вектор F является одно-
однозначной векторной функцией точек пространства и времени, т. е. обра-
образует векторное поле, вектор р принимает в каждой точке пространства
бесчисленное множество значений в зависимости от ориентации пло-
площадки, к которой приложено напряжение, и, таким образом, векторного
поля не образует.
Возьмем в точке М сплошной среды площадку ба, ориентацию ко-
которой в пространстве определим ортом п нормали к площадке (рис. 19).
Назовем одну из сторон площадки ба лицевой, а другую — тыльной.
Проведем с лицевой стороны единичный вектор нормали п. Откинем
мысленно с лицевой стороны площадки часть среды, заменив ее дейст-
действие на площадку силой рпба. Индекс п у вектора напряжения рп указы-
указывает на то, что сила приложена к лицевой стороне площадки с ортом
нормали п. Если бы, наоборот, была откинута часть среды с тыльной
стороны, то сила, эквивалентная действию откинутой среды, приложен-
приложенная к тыльной стороне площадки, была бы, согласно закону действия и
противодействия, равна — рпба. Конечно, выбор одной из сторон пло-
площадки в качестве лицевой, а другой — в качестве тыльной совершенно
62
Г Л III РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ И СИЛЫ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
произволен, но должен быть заранее указан и в процессе рассуждения
зафиксирован.
Докажем, что вектор напряжения рп можно представить как про-
произведение орта л, характеризующего ориентацию площадки 6а в про-
пространстве, на тензор второго ранга Р, являющийся функцией вектор-ра-
вектор-радиуса г точки и времени, т. е. образующий тензорное поле.
С этой целью рассмотрим вырезанный в среде элементарный тет-
тетраэдр МАВС (рис. 20) с вершиной в данной точке М, с основанием в
форме треугольника ABC, образованного пересечением наклонной плос-
плоскости с тремя координатными
плоскостями, и боковыми граня-
гранями, расположенными в коорди-
координатных плоскостях. Обозначим
площадь треугольника ABC че-
через б0п, а площади треугольни-
треугольников ВМС, АМС и АМВ, пред-
Рис. 19
Рис. 20
ставляющих собой проекции треугольника ABC на координатные плос-
плоскости, соответственно &ои 5а2, ба8, причем индексы 1, 2, 3 при этих пло-
площадках, так же как и при напряжениях ри р2, р3, приложенных к этим
площадкам, обозначают оси, перпендикулярные к площадкам.
Рассматривая взятый бесконечно малый тетраэдр как «жидкий»,
т. е. состоящий из частиц движущейся среды, напишем уравнение дви-
движения центра инерции этой системы частиц, общая масса которых пусть
равна б/п; будем иметь
где Vc—вектор ускорения центра инерции тетраэдра; F — плотность
распределения объемных сил, а рп, ри р2, р3—векторы напряжений, рас-
расположенные со стороны лицевых граней тетраэдра. Лицевыми, очевид-
очевидно, являются те, со стороны которых расположен орт я и, чтобы не вво-
вводить новых, орты iu *2, is (рис. 20). При последних трех членах в правой
части последнего уравнения стоят знаки минус, так как к внешним —
тыльным — сторонам боковых граней приложены напряжения —ри
—Рг> — Рз-
В рассматриваемом уравнении член слева и первое слагаемое спра-
справа как величины третьего порядка малости — они содержат элементы
массы, пропорциональные объему 5т — можно откинуть по сравнению с
остальными членами, содержащими элементы поверхностей 5оп, бо1э
6о2, ба3, являющиеся малыми второго порядка. Тогда, оставляя лишь
малые второго порядка, будем иметь
рпбап=Pi6a,+р2ба2+рзбсь. A6)
& 19. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 63
Замечая, что
8аг = 8оп cos (л, хг) = rtfon,
^^
fia2 = 6оп cos (/if x2) = ла6а„,
•^
ба3 = ба* cos (л, я3) = п3Ьап$
где яь я2, п$ обозначают косинусы углов орта п с осями координат, по-
получим после сокращения обеих частей уравнения A6) на бап и стяги-
стягивания тетраэдра к его вершине в точке М точное выражение
рп = nipi+n2p2+n3p5 = пьрк, A7)
или, в проекциях на оси декартовых координат,
/7п1 = /г1р11+П2Р21+«з/7з1, рпг = П1р12+П2Рг2+Пзрз2,
A8)
Рпз = MiPis + П2ргь + П3ргз.
Вспоминая определение напряжений ри р2, р3, отметим, что при
принятых обозначениях первый подстрочный индекс при напряжениях
Ри, Pi2, . • • обозначает ось, перпендикулярно к которой ориентирована
площадка 6а, второй — ось, на которую спроектировано это напряжение;
так, например, р18 обозначает проекцию на ось х9 напряжения, прило-
приложенного к площадке, перпендикулярной к оси хи Очевидно, что
Pj=PtA* (г= 1, 2, 3; суммирование по s от 1 до 3).
Величины с одинаковыми индексами р1Ь р22, Рзз, представляющие
проекции векторов напряжений рь р2, р3 на нормали к соответствующим
площадкам, называют нормальными напряжениями, а проекции р12, р21,
/?„, ... на оси, лежащие в плоскости площадок,— касательными напря-
напряжениями.
Система равенств A7) или A8) показывает, что проекции физи-
физически объективного вектора р« на оси координат являются линейными
функциями проекций на те же оси физически объективного вектора п.
Коэффициенты в этой линейной связи представляют совокупность де-
девяти величин
(Рп Ри Рп
А. Рп Рш
Как было отмечено в § 4, наличие линейной связи между проекция-
проекциями двух физических векторов рп и п говорит о физической объективности
совокупности величин A9) pw (?, /=1, 2, 3) и тем самым о физической
объективности определенного таблицей A9) тензора второго ранга с
этими компонентами.
Таблица A9) не удовлетворяет принятому порядку индексов: пер-
первый—номер строки, второй — столбца. Поэтому за тензор напряжений
примем тензор Р с таблицей
л /Рп Р12 PwX
Р\Р* Р22 Рп). B0)
\РШ1 Р» РЗЗ/
а тензору с таблицей A9) сопоставим тензор Р*9 сопряженный с тензо-
тензором напряжений Р. Как будет вскоре показано, различие между тензо-
тензорами Р и Р* отсутствует.
Вспоминая определение операции умножения вектора на тензор
справа (или тензора на вектор слева), можем переписать A8) в тен-
тензорной форме так:
Рп=пР = Р*п. B1)
64
Г Л III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ И СИЛЫ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
Равенство A7) и эквивалентные ему равенства A8), устанавливаю-
устанавливающие линейную зависимость между проекциями напряжения, приложен-
приложенного к любой площадке в данной точке, и косинусами углов нормали
к этой площадке с осями координат, имеют основное значение для ме-
механики сплошных сред. Они носят наименование равенств Коши, впер-
впервые их опубликовавшего в 1827 г. Формула B1) эквивалентна анали-
аналитическим формулам A7) или A8), но имеет перед ними то преимуще-
преимущество, что лишена зависимости от выбора той или другой декартовой си-
системы координат, чем подчеркивает свою физическую объективность.
§ 20. Теорема о взаимности касательных напряжений
Условия равновесия тетраэдра АВСМ, согласно известной теореме
статики, должны, кроме равенства нулю главного вектора A6), содер-
содержать еще условия равенства нулю главного момента приложенных сил.
Необходимо с этой целью отметить, что принятое в § 19 определе-
определение объемных и поверхностных сил нуждается в дополнении еще
определениями объемных и поверх-
поверхностных пар сил, которые, напри-
например, могут образовываться в ферро-
ферромагнитных жидкостях. Первые из
них, как малые третьего порядка, в
уравнения моментов не войдут, а
вторые должны быть учтены.
Отвлечемся от этого особого слу-
случая и примем, что в движущейся
среде поверхностных пар сил нет.
При составлении условия равно-
равновесия A6) положение точек прило-
приложения поверхностных сил не имело
значения. Для определения момен-
моментов поверхностных сил необходимо
знать координаты точек приложе-
приложения сил. Поскольку грани тетраэдра
бесконечно малы, можно принять, что поверхностные силы по ним рас-
распределены равномерно и, следовательно, точки приложения равнодейст-
равнодействующих находятся на пересечении медиан в треугольниках ЛВС, АМВ,
ВМС и АМС в точках G, Gu G2, Gs (рис. 21). Чтобы не загромождать
чертеж, на рисунке показано положение только точек G и G3 на грани
ABC и ее проекции АМВ. Обозначим через г, гA), гB), гC) вектор-радиу-
вектор-радиусы точек пересечения медиан G, Gf, G2, G3. Тогда искомым вторым усло-
условием равновесия тетраэдра будет уравнение моментов
Рис. 21
Заменяя в этом равенстве рп его разложением A7), получим после со-
сокращения на ба„
(r_r<o) хр,п,+ {г—г™) ХргП2+ (r—riS)) Xpsn, = O. B2)
Направленный отрезок G3G равен разности вектор-радиусов г и гC)
а так как точка G, является проекцией точки G на плоскость Мх&гу то
направленный отрезок GSG параллелен вектору *Y
§ 20. ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ 65
Аналогично, векторы r—r{i) и г—г{2) параллельны векторам *\ и *2,
так что можно положить (Хш— скаляры)
r—r^ =K{iHiy г—гB) = ЯB)*2, r—r{3) =Xi5)h. B3)
Подставляя значения этих разностей в B2), составим соотношение
&A)M*iXpi) +X{2)n2(i2xp2) +V3)n3(i3xp3) = 0. B4)
Остается определить скаляры ЯA), V2\ А,C). Для этого продлим от-
отрезки MGU MG2 и MG% до их пересечений с плоскостью ABC в точках
С/, 62', G/ (на рисунке это построение показано только для Gz). По
известной теореме о пересечении медиан в треугольнике будем иметь
= — MG 1 = Ar(i) ~MG'o=-r(*\ MG'3=-rW.
2 2 2
Учтем, что концы векторов MGi, MGg, /WG3', так же как и МG, лежат в
наклонной плоскости ЛВС. Следовательно, обозначая через h длину
перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость ЛВС, найдем
(л-орт нормали к ЛВС)
| [га> .„] = 1 [гэд .Я] = | [rw -л] =h. B5)
Умножая обе части каждого из равенств B3) скалярно на п, будем
иметь согласно B5)
[(г — г<*>) -л] = rn — rto.n = h — 2-h= -h = tik)nk
3 о
(&=1, 2, 3; по k не суммировать!).
Отсюда следует, что X{k)nk=h/3. Подставляя полученные значения К{к)
в равенство B4) и сокращая обе части на /г, придем к следующему век-
векторному соотношению:
iX + kt O. B6)
Принимая во внимание равенство pr = prsia (суммирование по
будем иметь
причем
0, s=l,
так что
Аналогично будет
Подставляя эти результаты в равенство B6), получим
*\ Xpi + h X р2 + <з X рз = (Р2з—Рзг) *i + {pzi—piz)h + (P12—P21) 1з = 0,
откуда прямо следует, что
Р23 = Р32, p3i=Pi3, Pi2 = p2U P = P*. B7)
Равенства эти выражают теорему о взаимности касательных напря-
напряжений: если через какую-нибудь точку среды провести три взаимно пер-
перпендикулярные бесконечно малые площадки, то для каждых двух из них
проекции вектора напряжения, приложенного к одной из площадок, на
нормаль к другой равны между собой.
3-9487
66 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ И СИЛЫ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
Равенства B7) устанавливают, что при принятом условии отсут-
отсутствия в среде непрерывного распределения поверхностных пар сил, ком-
компоненты тензора напряжений не зависят от порядка индексов, иным»
словами, тензор напряжений симметричен.
Механику сплошных сред (жидкостей, газов, упругих тел), для ко-
которой справедлива теорема о взаимности касательных напряжений иг
следовательно, симметричен тензор напряжений, называют «симметрич-
«симметричной», в противном случае — «несимметричной». Последняя получила
развитие только в недавнем прошлом, представляет предмет пока еще
небольшого числа исследований и не может занять место в настоящем
учебнике. Дальнейшее изложение посвящается только симметричной
механике жидкости и газа.
Отметим существенные для последующего выводы из теоремы о
взаимности касательных напряжений: 1) из девяти неизвестных компо-
компонент тензора напряжений различными являются только шесть; 2) в ра-
равенствах Кош и A8) порядок индексов при компонентах тензора на-
напряжений можно менять; 3) равенство B1) приобретает вид
рп==/1р=ря. B8)
Подчеркнем, что присутствие объемных или поверхностных пар сил
не ограничивает справедливости равенств Коши, так как при составле-
составлении главного вектора сил пары вклада не дают.
ГЛАВА IV
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 21. Теорема количеств движения. Уравнение динамики
«в напряжениях»
Обратимся к общей теореме об изменении главного вектора коли-
количеств движения системы, гласящей: производная по времени от глав-
главного вектора количеств движения системы равна главному вектору
внешних сил, приложенных к системе.
Применительно к механике сплошных текучих сред эта формули-
формулировка претерпевает небольшие изменения и становится следующей: ин-
индивидуальная производная от главного векто-
вектора количеств движения «жидкого» объема рав-
равна главному вектору внешних объемных и по-
поверхностных сил, приложенных к частицам,
расположенным соответственно в объеме и на
ограничивающей его поверхности.
Выделим в жидкости произвольный конеч-
конечный жидкий объем т (рис. 22). Если бт— эле-
элемент объема, содержащий точку М со ско-
скоростью V, то вектор его количества движения
Ькравен
Рис. 22
6/C=pV6t,
а главный вектор количеств движения во всем объеме т равен сумме
или интегралу элементарных количеств движения
г. A)
По тем же соображениям главные векторы внешних объемных и
поверхностных сил будут соответственно равны
п&о. B)
Таким образом, только что сформулированная в терминах динами-
динамики сплошных сред теорема об изменении количеств движения приводит
к равенству
х х а
В левой части выполним преобразование
XT XX
Последний интеграл по условию сохранения массы D) гл. III равен
68 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ТЕОРЕЛЩ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
нулю; следовательно,
dt
.JpVfc-Jpffc. D)
В последнем члене правой части C) произведем замену рп его вы-
выражениями A7) или B8) гл. III. Будем иметь, согласно теореме Гаус-
Гаусса— Остроградского, эквивалентные друг другу результаты
РпЬо - J (nlPl + п2р2 + пзРз) ба = J (Й1 + ib + |Ь) бт, E)
а х
= JDivP6t.
Возвращаясь к равенству C), подставим в него приведенные к объ-
объемным интегралам члены и объединим их, перенеся в левую часть
нения. Получим
dt дх± дх2 дх3
dV_ р
dt P
х
откуда, в силу произвольности объема интегрирования т, придем к сле-
следующим двум возможным выражениям уравнения динамики сплошной
среды в напряжениях:
F)
——р ¦+-
Векторы
dxt дхг дх2 дх3
стоящие в правых частях уравнений F), согласно равенствам E), мож-
можно рассматривать как пределы
lim — Г рп&о = lim — Г пР Ьа G)
дт->о At J дт-*о At J
да да
отношения главного вектора поверхностных сил, приложенных к поверх-
поверхности До, которая ограничивает объем Ат, заключающий внутри себя
данную точку М, к этому объему, т. е. как объемную плотность распре-
деления главного вектора поверхностных сил. Эту плотность будем на-
называть объемным действием поверхностных сил.
В декартовой системе прямоугольных координат уравнения F) при-
приобретут вид
р (—- + Vk —- | = pFf + — (i = 1, 2, 3; суммирование по k)
\ dt dxk ) dxk
§ 22. ТЕОРЕМА МОМЕНТОВ 69
или, в развернутом виде,
+ fB.f (8)
дх2 дх3
at
К этой системе уравнений присоединяется уравнение неразрывности
G) гл. III, имеющее в указанных координатах вид
Как будет показано далее, уравнения (8) вместе с уравнением (9)
являются основой динамики сплошных сред. В них содержатся как
частные случаи различные виды уравнений, отвечающие тем или иным
дополнительным допущениям относительно физических свойств опреде-
определенных моделей сплошных сред (идеальная, вязкая жидкости и др.).
Предыдущий вывод уравнения в напряжениях относился к случаю
отсутствия внутренних источников притока массы, т. е. (согласно концу
§ 18) соответствовал условию / = 0. При наличии такого рода источни-
источников (/=5^=0) и в условиях их неподвижности в левой части уравнений F)
появится дополнительный член /V, учитывающий изменение количества
движения со временем за счет наличия этих источников; будем иметь,
например, вместо второго уравнения F)
или, перенося член JV в правую часть,
р — = pf + DivP — JV. A0)
dt
Это уравнение можно рассматривать как уравнение динамики
сплошной среды переменной массы*), а последний член справа тракто-
трактовать как реактивную силу, отнесенную к единице объема, или плотность
распределения реактивных сил.
§ 22. Теорема моментов и вывод из нее теорем о взаимности
касательных напряжений
Закон изменения главного момента количеств движения системы
материальных точек гласит: производная по времени от главного мо-
момента количеств движения системы материальных точек равна главному
моменту внешних сил, приложенных к системе.
В динамике сплошной среды этот закон формулируется так: инди-
индивидуальная производная от главного момента количеств движения ко-
конечного жидкого объема равна главному моменту внешних объемных и
поверхностных сил, приложенных к этому объему и ограничивающей его
поверхности.
Пользуясь тем же рис. 22, найдем моменты указанных там векто-
векторов относительно произвольного центра О, на рис. 22 не показанного.
Обозначая через г текущий вектор-радиус точек объема т и ограничи-
ограничивающей его поверхности о, выразим только что сформулированную
1) Л о й ц я н с к и й Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. Т. II.— М.:
Наука, 1983, с. 110-114.
70 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
теорему следующим равенством:
-у ГгхрКбт= Ггхр/7бт+ Ггхрпба. A1)
т х о
Стоящий в левой части интеграл преобразуется так:
= j^- xpV8x+ jrxp^
XT XT
Первый из интегралов в правой части равен нулю, так как
at
третий также равен нулю, так как по закону сохранения массы
— (рбт) =0, и мы приходим к равенству
dt
ijrxpre.-j.-xpf»..
Обратимся к преобразованию поверхностного интеграла правой
части A1) в объемный. Перепишем его, согласно формуле Коши A7)
гл. III, в виде
«г
г хрпба = ^ г х (n^i + п2р2 + п3р3) 6а =
= J 1*1 (г xft) + л2 (^ хр2) + п3 (гхр3)] 6а
(У
или, используя интегральное соотношение Гаусса—Остроградского,
j
A2)
Подставляя полученные выражения в A1) и группируя члены, придем
к выражению
* Р ал *ь ах»
Отсюда, имея в виду первое равенство F) и произвольность объема ин-
интегрирования т, получим соотношение между векторами напряжений
Pi, Ply Pi
которое, замечая, что
дг ^//1 ., .v . дг . дг .
дхх дхг 3 ' дх% ' дх3
§ 23. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 71
можно записать в виде
iiXpi + hXp2 + hXp3 = 0. A4)
Последнее равенство совпадает с равенством B6) гл. III, которое, как
было показано, приводит к теореме о взаимности касательных напря-
напряжений и симметричности тензора напряжений (формула B7) той же
главы). -
Отметим, что соотношение A4) справедливо для любой сплошной
среды независимо от характера приложенных к ней сил и наличия или
отсутствия притока массы извне, если только в этой среде нет распреде-
распределенных пар сил. Иными словами, существование распределенных источ-
источников (стоков) массы не нарушило бы симметричности тензора напря-
напряжений.
Очевидно, что если считать свойство взаимности касательных на-
напряжений уже известным на основании геометрического вывода гл. III,
подставить соответствующую формулу B7) гл. III в равенство (И) и
учесть уравнение количеств движения F), то уравнение моментов A1)
просто обратится в тождество и не даст никакой новой информации.
Если же не основываться на геометрическом выводе теоремы о взаим-
взаимности касательных напряжений, а независимо проделать преобразова-
преобразования, приводящие уравнение баланса моментов к виду A4), то это будет
второе доказательство той же теоремы. Наконец, опираясь на опреде-
определение операции векторного умножения двух тензоров [G0) гл. I], мож-
можно было бы осуществить еще третье, тензорное доказательство симмет-
симметричности тензора напряжений в форме равенства G5) гл. I: РхЕ=0,
которое полностью не зависит от выбора координатной системы.
Однако поскольку подобные тензорные операции в дальнейшем не
понадобятся, опустим этот вариант доказательства и перейдем к сле-
следующему по порядку закону изменения кинетической энергии.
§ 23. Теорема об изменении кинетической энергии
и общий закон сохранения энергии
Напомним общую формулировку закона изменения кинетической
энергии системы материальных точек: производная по времени от кине-
кинетической энергии системы материальных точек равна сумме мощностей
как внешних сил, приложенных к системе, так и сил внутренних взаи-
взаимодействий между точками системы. Подчеркнем разницу в формули-
формулировках теоремы об изменении кинетической энергии и теорем количеств
и момента количеств движения: в только что приведенной формулиров-
формулировке, наряду с внешними силами, учитываются и внутренние.
Интегральное выражение теоремы об изменении кинетической энер-
энергии движущегося индивидуального объема сплошной среды составим,
пользуясь только что приведенной формулировкой для динамики мате-
материальных систем, в форме
JJ jln6T> A5)
где под ЛГ1П подразумевается отнесенная к единице объема мощность
внутренних сил, называемая иначе плотностью распределения мощно-
мощности внутренних сил.
Переходя от поверхностного интеграла к объемному при помощи
преобразования
[pn.Vbo=
72 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
в котором использованы легко проверяемое тождество
(nP)-V=n.(PV)
и формула Гаусса — Остроградского [A11) гл. I)], и освобождаясь тем
же путем, что и в предыдущих параграфах, от интегралов, получим
выражение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференци-
дифференциальной форме
Сравним это уравнение с равенством
V dt V d
составленным из второго уравнения F) путем скалярного умножения
обеих его частей на вектор скорости V. Почленное вычитание последних
двух уравнений дает выражение для плотности распределения мощно-
мощности внутренних сил
JVln = V.DivP—div(PV). A7)
Это выражение можно еще упростить, если использовать следую-
следующий ряд дифференциальных преобразований с оператором V:
div(PV) =V- (PV) = (VP) • V+P. (VV) = V-DivP + P- (VV). A8)
Здесь последнее выражение справа представляет собой скалярное про-
произведение тензора напряжений на диаду поля скоростей [см. формулы
A8), A9) и F9) гл. I]. Используя предыдущее равенство, найдем, со-
согласно A7),
N
или, разлагая диаду поля скоростей VV на симметричную S и антисим-
антисимметричную А части и замечая, что в силу симметричности тензора Р
будет Р-А=0, перейдем к следующему выражению мощности внутрен-
внутренних сил как взятого с противоположным знаком скалярного произведе-
произведения тензора напряжений на тензор скоростей деформаций:
Nin = —P-S. A9)
Правая часть A9), выражающая плотность распределения мощ-
мощности внутренних сил, по своей структуре напоминает формулу мощ-
мощности силы. Разница, однако, в том, что в случае дискретной силы мощ-
мощность определяется как скалярное произведение векторов силы и ско-
скорости, а в сплошной среде плотность распределения мощности внутрен-
внутренних сил равна скалярному произведению тензоров напряжений и
скоростей деформаций.
При движениях сплошных сред происходят преобразования одних
видов энергии в другие и в первую очередь механической энергии в теп-
тепловую. Для расчета этих преобразований служит уравнение баланса
энергии, выводимое из общего термодинамического закона сохранения
энергии (первого закона термодинамики), который для данного инди-
индивидуального объема движущейся среды формулируется так: индиви-
индивидуальная производная по времени от полной энергии данного движуще-
движущегося объема среды равна сумме мощностей приложенных к выделенно-
выделенному объему и его поверхности внешних массовых и поверхностных сил
и отнесенного к единице времени количества энергии, подведенной извне
к объему. Этот закон выражается интегральным равенством
вТ| B0)
§ 23. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 73
где [/ — удельная (отнесенная к единице массы) внутренняя энергия
среды, включающая в себя все возможные виды энергии внутренних
движений материи (в задачах механики жидкости и газа — это в первую
очередь тепловая энергия), a q—удельное количество энергии, подве-
подведенное извне в единицу времени к данной частице среды и заключающее
в себе отличные от работы макроскопических механических сил тепло-
тепловые и нетепловые виды энергии. Сумма внутренней и внешней (кинети-
(кинетической) энергии носит наименование полной энергии.
Левую часть уравнения B0), используя закон сохранения массы
D) гл. III, преобразуем так:
а поверхностный интеграл в правой части равенства B0), как и при
выводе формулы A6), может быть превращен в объемный:
J/>„.К8а = $ div(PKNт.
Подставляя написанные выражения в уравнение B0) и учитывая,
как и выше, произвольность объема т, получим уравнение баланса пол-
полной энергии в дифференциальной форме
pF-v+diw {PV)+pq- B1)
Сопоставляя уравнение баланса полной энергии B1) с ранее выве-
выведенным уравнением изменения кинетической энергии A6), можем, про-
произведя почленное вычитание этих уравнений одно из другого, получить
следующее уравнение баланса внутренней энергии:
p^=pq-Nln = pg + P.S, B2)
не заключающее в явной форме ни внешних объемных сил, ни скоростей
и выражающее связь между индивидуальным изменением во времени
отнесенной к единице массы внутренней энергии среды, притоком внут-
внутренней энергии извне и мощностью внутренних сил.
Пользуясь полученным выражением плотности распределения мощ-
мощности внутренних сил Nin A9), можем привести уравнение A6) к одно-
одному из следующих эквивалентных видов:
B3)
pA.fHL\ =pF-V + div(PV)-P-S.
Одно из уравнений баланса энергии (полной или внутренней) в
том или другом виде может быть присоединено к общей системе урав-
уравнений динамики жидкости, которая и после этого останется незамкну-
незамкнутой. Для замыкания системы необходимо либо ввести дополнительные
связи между компонентами тензора напряжений и тензора скоростей
деформаций (например, закон вязких напряжений Ньютона), либо на-
наложить упрощающие предположения на компоненты тензора напряже-
напряжений (модель идеальной, т. е. лишенной внутреннего трения жидкости).
74 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
При наличии притока массы от непрерывно распределенных источ-
источников в предыдущих формулах появятся дополнительные члены. Так,
дифференциальной формой теоремы об изменении кинетической энергии
вместо A6) будет служить уравнение
ln-T"' B4)
уравнения баланса энергии в дифференциальной форме B1) и B2) пе-
перейдут в следующие:
(u + )pFV + dWiPV) + pqJ{U + ]) B5)
P^=pg-Min-JU, B6)
и, наконец, выражение мощности внутренних сил приобретет вид
Nln=-P-S-^. B7)
Вывод формул B4) — B7) основан на использовании равенства
A1) гл. III вместо равенства D) той же главы и не представляет труда.
При выводе формул A0) и B4) — B7) предполагалось, что непре-
непрерывно распределенные источники^ масс неподвижны. В случае источни-
источников, движущихся со скоростями V, изменение плотности количества дви-
движения, вызываемое притоком_массы от этих движущихся источников,
определится разностью /(V—V), а соответствующая реактивная сила —
разностью /(V—V). Изменение кинетической энергии равно /(У2/2—
—F2/2), а изменение полной энергии E=U-\—V2 соответственно равно
1(Е—Е)у где E=U-\—F2. Такого рода выражения будут использованы
в § 149 при выводе уравнений движения неоднородных многокомпо-
многокомпонентных газовых смесей, в которых за счет физико-химических превра-
превращений возникают и соответственно исчезают массы некоторых компо-
компонент смеси.
В практических расчетах непосредственное применение общих за-
законов динамики жидкостей и газов бывает затруднительным. В связи
с этим предпочитают, как это имеет место, например, в гидравлике,
пользоваться интегральными их выражениями, часто сопровождаемыми
явными или неявными осреднениями полей скоростей или других физи-
физических величин. Этому вопросу посвящено содержание следующего па-
параграфа.
§ 24. Перенос физической величины потоком среды
сквозь поверхность. Теорема Эйлера
Интегральные формы рассмотренных выше законов динамики и ба-
баланса энергии сплошных сред [количеств и моментов количеств движе-
движения C) и A1), баланса кинетической и полной энергии A5) и B0)]
содержат в левых частях индивидуальные производные по времени от
выражений типа J Ф бт, называемых значениями физической величины
т
Ф в объеме т. Сама величина Ф в зависимости от вида уравнения может
быть скалярной, векторной или тензорной. В перечисленных случаях
юна соответственно равна pV, rXpV, pV2/2, (С/М^/2)
§ 24. ПЕРЕНОС ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ ПОТОКОМ СРЕДЫ 75
Индивидуальную производную d/dt от |фбт разобьем на локаль-
т
ную d/dt и конвективную (d/dt)K0Bb:
Для придания наглядности конвективной части производной, а так-
также ради определенных вычислительных удобств введем понятие перено-
переноса физической величины потоком
среды через так называемую конт-
контрольную поверхность.
Условимся называть контроль-
контрольной поверхностью движущегося
жидкого объема среды неподвиж-
неподвижную в пространстве поверхность, в
данный момент ограничивающую
рассматриваемый движущийся объ-
объем. Перемещаясь в пространстве,
жидкий объем протекает сквозь
контрольную поверхность.
Возьмем в пространстве, запол-
заполненном движущейся средой, элемен-
элементарную площадку 8а с ортом нор-
нормали п9 определяющим лицевую
сторону площадки. Произведение Рис. 23
ФКпба физической величины Ф на
секундный объемный расход Vn8o среды сквозь площадку ба представ-
представляет собой перенос величины Ф сквозь эту площадку, а интеграл
] ФУпба — перенос той же величины сквозь поверхность а конечной про-
с
тяженности.
Полагая, например, Ф равным отнесенному к единице объема век-
вектору количества движения pV, получим вектор переноса количества дви-
движения сквозь поверхность а, равный интегралу j pVVn6a. Вектор J ргХ
XVVn6o представляет собой перенос момента количеств движения. Про-
Протекающую сквозь поверхность о секундную массу среды j pVn6o МОЖ-
но рассматривать как перенос плотности р через поверхность а, скаляр-
скалярную величину \ р — Vn8o — как перенос кинетической энергии и т. п.
J ^
а
Докажем, что конвективная производная по времени от интеграла
некоторой величины, взятого по движущемуся объему, равна переносу
той же величины сквозь контрольную поверхность объема.
Для доказательства разобьем объем т (рис. 23, а) на элементарные
трубки тока ABCD и для каждой из них составим выражение бесконечно
малого конвективного изменения интеграла от величины Ф по объему
элементарной трубки, происшедшего за время dt в результате переме-
перемещения этого объема из положения ABCD в положение A'B'CD'
(рис. 23, б). Конвективное приращение величины j Ф5т за время dt,
\
по определению, обусловлено только изменением положения объема ин-
интегрирования в неоднородном поле Ф(*!, x2i xz\ t)y «замороженном» в
начальный момент L Следовательно, интеграл по общей части A'BCD'
нового и старого объемов на это приращение не повлияет и может быть
76 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
откинут. Тогда
^конв [ Ф бт= [ Ф (Xlt Х2, Х3\ t) бт — [ Ф (Xlt Хъ Хъ\ t) бт =
х A'B'C'D' ABCD
Ф (хи х2У хв\ t) бт — \ Ф (дг1э х2, х3\ t) бт.
ВВ'С'С AA'D'D
В силу элементарности объемов справедливы равенства
объем AA'D'D=— У1ПЬвх(И,
объем ВВ'С'С =V2n8o2dt.
Здесь индекс л означает, что проекции берутся на направление
внешней нормали п к поверхности, ограничивающей объем ABCD, за-
заключенный между сечениями ба4 и ба2. Искомое конвективное измене-
изменение интеграла от Ф в объеме элементарной трубки равно
Ф i Vinboidt+Ф2 V2n8o2dt.
Произведя суммирование этих величин по всем элементарным трубкам,
на которые разбит объем т, получим выражение бесконечно малого кон-
конвективного изменения рассматриваемого интеграла за время dt:
Ф бт = j ФУпЬа dt.
т
Деля на dt, перейдем к конвективной производной
D) Гфбт=ГфКлба, B8)
X О
что и доказывает ранее высказанное утверждение.
В левой части равенства B8) находится производная, вычисление
которой требует наблюдения за движением объема. Это — конвективная
производная в лагранжевом представлении движения среды [A),гл. II].
В правой части равенства B8) та же конвективная производная для
своего вычисления требует знания поля скоростей, т. е. основного эле-
элемента при использовании эйлеровых переменных [B), гл. II]. Можно
сказать, что выражение, стоящее в правой части B8), является конвек-
конвективной производной в эйлеровом представлении.
Индивидуальная производная по времени от интеграла по движу-
движущемуся жидкому объему т физической величины Ф заключает еще ло-
локальную часть, так что развернутое выражение для индивидуальной
производной имеет вид
АГфбт = —Гфбт+ ГфК„ба. B9)
dt J dt J J
x x о
Если поле величины Ф стационарно, то локальная часть отпадает и
в этом случае будет
^^ |Клба. C0)
Пользуясь B9) и полагая Ф=р, получим уравнение сохранения
массы в интегральной форме
> |>лба=0, C1)
$ 24. ПЕРЕНОС ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ ПОТОКОМ СРЕДЫ 77
имеющее особо простой смысл в случае стационарного потока, когда
первое слагаемое слева равно нулю. В этом случае равенство
О C2)
утверждает, что секундный массовый расход среды сквозь неподвижную
замкнутую поверхность, не заключающую внутри себя источников мас-
массы, равен нулю.
Если применить это равенство к объему конечной трубки тока, за-
заключенному между сечениями а4 и а2, где скорости и плотности обозна-
обозначены соответственно Vu V2i p4, p2, то будем иметь
V2nbo. C3)
Последнее равенство выражает закон сохранения секундного мас-
массового расхода вдоль трубки тока, или, пользуясь терминологией § 10,
закон сохранения потока вектора количества движения pV вдоль труб-
трубки тока.
Интегральной формой теоремы об изменении количества движения
среды в объеме т, ограниченном замкнутой поверхностью а, согласно
изложенному выше, будет
Г pF бт + Г рп8о — — Г pV бт — Г pVVnbo = 0. C4)
х о х а
Последнее слагаемое, включая знак минус, можно трактовать как пере-
перенос количества движения через контрольную поверхность внутрь объема
т. Действительно, орт внешней нормали направлен наружу объема, так
что если в некоторой точке поверхности вектор скорости V направлен
также наружу объема (Vn>0I то элемент интеграла «—pFnV6o» на-
направлен внутрь объема; если же вектор V направлен внутрь объема, то
Vn<0 и элемент интеграла направлен в ту же сторону, что и вектор V,
т. е. опять внутрь объема.
Полезно отметить, что из интегральных форм выражения законов
сохранения массы C1) и количества движения C4-) легко получить, ис-
используя формулу Гаусса — Остроградского, соответствующие диффе-
дифференциальные формы.
Равенство C4) в случае стационарного потока можно трактовать
следующим образом: главные векторы внешних объемных и поверх-
поверхностных сил, приложенных к выделенному жидкому объему, вместе со
езятым с противоположным знаком вектором переноса количества дви-
движения сквозь контрольную поверхность, соответствующую этому жид-
жидкому объему, образуют замкнутый треугольник, т. е. сумма этих трех
векторов равна нулю. Такова теорема Эйлера количеств движения в
сплошной среде.
Эта теорема, так же как и аналогичные формулировки для момен-
момента количеств движения и механической энергии, широко используются
в курсах гидравлики и прикладной гидродинамики. Среди этих приме-
применений отметим расчеты давления струи на плоскую или криволинейную
стенку, определение момента количеств движения жидкости, движущей-
движущейся сквозь рабочее колесо турбины, применение теоремы Бернулли (см.
далее), теоремы Бор да к расчету внезапно расширяющегося потока
я др.1).
:) Кроме учебников гидравлики, см. еще Лойцянский Л. Г., Лурье А. И.
Курс теоретической механики. Т. II.— 6-е изд. перераб. и доп.— М.. Наука, 1983, с. 143—
Л47, 191, 192, 245—251.
78 ГЛ IV. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 25. Статика текучей среды. Уравнения Эйлера равновесия среды
Уравнения неразрывности, динамики «в напряжениях», взаимности
касательных напряжений, баланса кинетической и полной энергии со-
составляют основную систему уравнений механики сплошных сред. Эта
система не является замкнутой, так как число неизвестных в ней значи-
значительно превосходит число уравнений. Без дополнительных допущений о
физических свойствах среды обойтись, как правило, нельзя. С главными
из этих допущений мы познакомимся в дальнейшем.
Вместе с тем существует распространенный и практически важный
класс задач, когда основная система уравнений сплошной среды замы-
замыкается без привлечения новых физических представлений. Это — стати-
статика, т. е. относительный покой, равновесие среды.
Как уже указывалось во введении, в основу механики сплошных
сред положены два допущения: первое — о сплошности, т. е. непрерыв-
непрерывности распределения в пространстве всех свойств, второе — о текучести^
или легкой подвижности. Для построения всех разделов кинематики
достаточно первого допущения, в то время как для динамики очень важ-
важно и второе.
Напомним, что, за исключением некоторых специальных жидкостей,
у текучих сплошных сред при отсутствии недиагональных компонент
тензора скоростей деформаций — скоростей сдвига — отпадают и каса-
касательные компоненты тензора напряжений. Таким образом, в покоящей-
покоящейся (V=0) текучей среде касательные напряжения отсутствуют:
Pl2 = P21=:P23=p32 = Pi3 = p3i = 0, C5)
а выражения нормальных напряжений имеют вид
рп = рпП, Pi = Pn*i, ръ = Ргг*г, Рз = Рзз*з. C6)
Используя C5), C6) и равенства Кош и A8) гл. III, найдем
Pli = p22 = P33=Pn, C7)
т. е. три нормальных напряжения, приложенные к трем взаимно пер-
перпендикулярным площадкам, как угодно ориентированным в простран-
пространстве, равны между собой. Этот закон изотропии нормальных напряжений
в точках сплошной среды, находящейся в равновесии, был открыт в се-
середине XVII в. Паскалем.
Общее значение нормальных напряжений в данной точке среды,
взятое со знаком минус, назовем давлением в этой точке и обозначим
буквой р, так что
Рп = р22 = Рзз = —р. C8)
Чтобы подчеркнуть, что принятое определение соответствует лишь
случаю равновесия среды, это давление называют гидростатическим
давлением.
Знак минус, взятый в определении давления, подчеркивает, что нор-
нормальное напряжение
рп = —рп, C9)
приложенное в точках поверхности мысленно выделенного объема, на-
направлено в сторону, противоположную орту внешней нормали к этой
поверхности, т. е. внутрь объема.
Давление р представляет собой физический скаляр, так же как
плотность, температура, концентрация и другие скалярные характери-
характеристики. Измеряется оно в Н/м2 (Па), кгс/м2, барах.
Давление в газе, где не может быть растяжений, всегда положи-
положительно; оно обращается в нуль только в условиях абсолютного вакуума;
в жидкости возможно существование растяжений.
§ 25. СТАТИКА ТЕКУЧЕЙ СРЕДЫ 79
При равновесии среды тензор напряжений в ней, согласно C6),
имеет таблицу
/-Р 0 0\ /10 о\
о -р о = — р о 1 о ,
V о о — р) \о о 1/
т. е. обладает сферической симметрией, что соответствует свойству мзо-
тро/ша нормальных напряжений в покоящейся среде.
Можно положить (Е — тензорная единица)
Р=—рЕ. D0)
Уравнения равновесия среды легко получить, если в уравнениях
динамики в напряжениях (8) положить Vi=V2=Vs = 0 и, кроме того,
принять во внимание C5) и C8).
Найдем следующие уравнения Эйлера статики среды:
или эквивалентное векторное уравнение
pf=gradp. D2)
Этот же результат можно было бы получить из второго уравнения F)
непосредственно, если заметить, что в рассматриваемом случае
DivP=— grad p. D3)
Из уравнения равновесия D2) можно исключить плотность и дав-
давление. Для этого возьмем сначала от обеих его частей операцию вихря
rot; тогда р исключится, так как rot grad p=0; будем иметь
rot(pF)=0.
Отсюда, раскрывая скобки по известному правилу (третье равенство
системы (88) гл. I), получим
protF + gradpXF = 0. D4)
Умножим обе части этого равенства скалярно на F; тогда, заметив,
что второе слагаемое, как векторное произведение, перпендикулярно к
своему сомножителю F, найдем следующее общее ограничение, накла-
накладываемое на класс сил, под действием которых возможно равновесие
жидкости или газа:
F.rotF=0, D5)
совпадающее по виду с условием A0) гл. II и выражающее существова-
существование поверхностей, нормальных к силовым линиям поля.
К числу объемных сил, удовлетворяющих условию D5), относятся,
прежде всего, силы, имеющие потенциал П, так как для них
F = — gradll, rotF = 0.
В этом случае
grad pxF = — grad pXgradn = 0, D6)
откуда следует, что при равновесии среды силовые линии поля потен-
потенциальных объемных сил ортогональны изостерам (поверхностям одина-
одинаковой плотности), а также что изостеры совпадают с изопотенциальны-
ми поверхностями силового поля.
Из D2) следует, что при равновесии среды силовые линии ортого-
ортогональны изобарам (поверхностям одинакового давления). Таким обра-
образом, вообще при равновесии жидкости или газа под действием потенци-
потенциального поля объемных сил изопотенциальные поверхности поля совпа-
совпадают с изобарами и изостерами.
80 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Можно доказать и обратное положение: если изобары совпадают
с изостерами, то равновесие жидкости или газа возможно только под
действием потенциального поля объемных сил. Действительно, из усло-
условия
grad/?Xgradp = O
или по D2)
FXgrad p = 0
на основании D4) следует
rotF = 0, F = — grad П.
Если в движущемся или покоящемся газе плотность является функ-
функцией только давления, то движение или равновесие называют баротроп-
ным. Из предыдущего следует, что баротропное равновесие газа возмож-
возможно при наличии только потенциальных сил, так как при условии р=
= р(р) изобары и изостеры, очевидно, совпадут; следовательно, как толь-
только что было показано, силовое поле должно быть потенциальным.
Уравнения Эйлера D1) представляют собой так называемую систе-
систему в полных дифференциалах и имеют общее решение вида
\j*B-J\F.dr D7)
J P (p) J
Ра Мо
или при наличии потенциала И(М)
р
Г Jr. = п (м) — п (М), D8)
J р (р)
где ро=р(Мо). Чтобы сделать задачу определенной, надо использовать
дополнительные допущения о форме зависимости плотности от дав-
давления.
§ 26. Равновесие несжимаемой жидкости. Закон Архимеда
Уравнение равновесия несжимаемой жидкости в потенциальном
поле внешних объемных сил будет
—р grad П = grad p, D9)
откуда при р = const прямо следует
р+рП=const. E0)
Пусть две несмешивающиеся жидкости разной плотности pj и рг
находятся во взаимном равновесии; при этом на поверхности раздела
этих жидкостей давление р и потенциал непрерывны. Производная от
левой части равенства E0) по любому направлению s, лежащему в ка-
касательной плоскости к поверхности раздела, должна удовлетворять од-
одновременно следующим двум равенствам:
ds ds ds ds
откуда вычитанием получим
(Pi-p2)^r=0;
последнее равенство при принятом условии Pi=7^p2 приводит к постоян-
постоянству потенциала объемных сил П на поверхности раздела. По E0) при
этом и давление р будет сохранять постоянное значение вдоль поверх-
поверхности раздела, которую в этом случае называют свободной поверх-
§ 26. РАВНОВЕСИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ЗАКОН АРХИМЕДА 81
ностью. Таким образом, при равновесии двух несмешивающихся несжи-
несжимаемых жидкостей разной плотности в потенциальном поле объемных
сил граница раздела жидкостей будет одновременно изопотенциальной
поверхностью и изобарой.
При равновесии несжимаемой жидкости в поле тяжести (ось z на-
направим по вертикали вниз) равенство E0) дает р — pg2 = const, или,,
если заменить произведение pg на удельный вес «у, р—^г=соп81.
Обозначим давление над свободной поверхностью жидкости (обыч-
(обычно атмосферное) через ри\ тогда, помещая начало координат в точку на
горизонтальной свободной поверхности, найдем p = pa+pgz=pa+fiz.
Давление в данной точке на глубине г, за вычетом дополнительного
давления столба воздуха на свободную поверхность, т. е. давление
Р'=уг, E1)
будем называть давлением жидкости, понимая под рг превышение дав-
давления в жидкости над атмосферным давлением на свободной поверх-
поверхности.
Поверхностью раздела — свободной поверхностью жидкости — слу-
служит горизонтальная плоскость z = 0; на всей этой плоскости р' = 0.
Главный вектор и главный момент сил давления жидкости на неко-
некоторую поверхность а определяются интегралами (я — орт внешней нор-
нормали к поверхности а, направленный внутрь жидкости)
R = — \ tip'do, L = — ^ rxnp'do, E2)
а а
причем поверхность а, вообще говоря, не замкнута. В частном случае
тяжелой жидкости, полагая p' = «(z, получим
R = — у j nz do, L = — v j rxnzdo. E3)
a a
Если поверхность a (рис. 24) представляет как угодно наклоненную
плоскую площадку, то п = const и первая из формул E3) дает
E4)
где zc (рис. 24) обозначает вертикальную координату центра инерции С
площадки а. Равенства E4) показывают, что главный вектор сил дав-
давления жидкости на любую плос-
плоскую площадку, как угодно на-
наклоненную к горизонту, равен по
величине весу цилиндрического
столба жидкости, имеющего сво-
своим основанием площадку, а высо-
высотой глубину центра тяжести пло-
площадки под свободной поверхно- 'у
стью жидкости.
Этот закон, примененный к
сосуду, заполненному жидкостью,
приводит к заключению о незави-
независимости давления жидкости на Рис. 24
стенку сосуда от формы сосуда,
сделанному Паскалем и получившему наименование гидростатическо-
гидростатического парадокса.
Если поверхность а замкнута и ограничивает некоторый конечный
объем т, то по E2), замечая, что gradp/=grad/?, получим
R = — J np'do = — J grad p dx. E5)
Сбободная
поверхность
(Р'=О)
82 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
В случае тяжелой жидкости имеем, согласно уравнению Эйлера,
grad/?=pg, E6)
где g— вектор ускорения силы тяжести.
Подставляя это значение градиента в E5), найдем
= -G, E7)
где G — вектор силы тяжести жидкости в объеме погруженного в нее
тела.
Равенство E7) показывает, что главный вектор сил давления тяже-
лой жидкости на поверхность погруженного в нее тела равен по величине
весу жидкости в объеме тела и направлен в сторону, противоположную
силе веса. Это — закон Архимеда, Вектор R называют архимедовой си-
силой или гидростатической подъемной силой в знак того, что эта сила
стремится вытолкнуть тело из жидкости, заставить его всплыть. Всякое
тело, погруженное в жидкость, теряет в своем весе столько, сколько ве-
весит вытесненная телом жидкость.
Архимедова сила может наблюдаться не только в тяжелой, т. е. на-
находящейся под действием сил веса жидкости, но и в любом случае, ког-
когда тело находится в переменном поле давлений. Такова, например, «ин-
«индукция» закрытого рабочего участка аэродинамической трубы с твер-
твердыми стенками на помещенное в трубу удлиненное тело, обусловленная
падением давления в направлении потока из-за наличия сопротивления
самого рабочего участка.
Главный момент сил давления жидкости на погруженное тело равен
L — —
Раскрывая выражение rot(pr) согласно третьей формуле системы
(88) гл. I и учитывая, что rotr^O, получим
L= —
X
или, согласно E6),
L = — jrxpg-dt. E8)
X
Замечая еще, что вектор-радиус г' центра инерции вытесненного
объема равен
и что, очевидно,
найдем по E8)
LC r'xR. E9)
X
Полученная формула показывает, что линия действия главного век-
вектора давления жидкости на погруженное в нее тело проходит через центр
тяжести вытесненного телом объема жидкости.
§ 27. РАВНОВЕСИЕ РАВНОМЕРНО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
83
§ 27. Равновесие равномерно вращающейся несжимаемой жидкости.
Центрифугирование твердых частиц
Если несжимаемая жидкость находится в относительном покое па
отношению к некоторой равномерно вращающейся с угловой скоростыо
© системе координат, то, чтобы написать условие относительного равно-
равновесия вращающейся жидкости, необходимо к непосредственно прило-
приложенным силам с потенциалом П присоединить еще отнесенную к едини-
единице массы инерционную центробежную силу F(I°, равную
и имеющую потенциал
П(ц) = — ~
F0)
F1)
где г—вектор, направленный по кратчайшему расстоянию от оси вра-
вращения к рассматриваемой точке жидкости и равный по величине этому
расстоянию. Уравнение относительно-
относительного равновесия вращающейся жидкости ^ ш
будет
р + рП— — pcoV2 = const, F2)
а уравнение свободной поверхности
жидкости (р=const) —
-.lo)V2 = const.
F3)
Найдем фигуру равновесия вра-
вращающегося объема однородной жид-
жидкости, притягивающейся к неподвиж-
неподвижному центру силой, обратно пропор-
пропорциональной квадрату расстояния до Рис. 25
центра.
Примем (рис. 25) ось z за ось вращения и начало координат О за
центр притяжения. Потенциал сил тяготения, отнесенных к единице
массы жидкости, будет равен —С//?, где С —некоторая константа, # =
=ix%+y2+z2— расстояние частицы жидкости М от центра тяготения —
начала координат О. Потенциал центробежных сил, отнесенных к еди-
единице массы жидкости F1), равен (— ~coV2), где о —угловая скорость
вращения жидкого объема, г=^х^+у2—расстояние жидкой частицы от
оси вращения Oz. Условие равновесия вращающейся жидкости, если
отвлечься от сил взаимного тяготения между частицами, будет по F2)
С 1
р —- р —¦ pcoV2 = const,
А 2
F4)
а уравнение свободной поверхности, ограничивающей вращающийся
объем жидкости,
F5)
j + — = const.
Это уравнение описывает искомую форму поверхности фигуры рав-
равновесия вращающейся массы жидкости. Чтобы дать некоторое, хотя бы
качественное представление о приложении только что полученной фор-
формулы к вопросу о форме Земли, представляющей в грубом приближении
вращающуюся однородную жидкость, тяготеющую к центру, зададим
34 ГЛ. IV. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
ускорение g0 тяготения масс на полюсе, находящемся на расстоянии
от центра Земли; тогда будем иметь
— = go» с =
и уравнение поверхности фигуры равновесия примет вид
^ = const,
Я 2
причем постоянная определяется из условия, что на полюсе R = R0, г=0,
откуда следует g0R0 = const. Окончательное уравнение свободной поверх-
поверхности будет
•или, вводя полярный угол 9 и полагая r = R sin 9, получим
?о#о . со2/?2 sin2 9 D ,аа.
-^- Н = goRo- F6)
Если бы Земля не вращалась (со = 0), уравнение свободной поверх-
поверхности свелось бы к равенству R=ROy и фигурой равновесия служила бы
сфера. За счет весьма медленного вращения, совершаемого Землей
с"*1), фигурой равновесия служит тело вращения, представ-
\о 700 /
ляющее несколько сплющенную у полюсов сферу — сфероид, уравнение
поверхности которого может быть в силу малости безразмерной вели-
величины
6,37-106-—— ^ 0,0034^ —
g0 V 24-60-60 ) 9,83 300
приближенно представлено так:
~ 4 2
Отсюда легко найти относительную сплюснутость Земли:
_J_
#min 2 ?0 ~600*
Геодезические измерения приводят к величине, в два раза большей.
Такое расхождение теории с опытом объясняется грубостью принятого
предположения об однородности Земли и неучетом взаимного притяже-
притяжения частиц, изменяющего самый закон притяжения к центру. На самом
деле закон притяжения зависит от формы жидкого тела, равновесие ко-
которого рассматривается, что делает строгое решение поставленной за-
задачи весьма сложным.
§ 28. Баротропное равновесие газа
Равновесие газа называется баротропным, если плотность газа мо-
может быть рассматриваема как функция только давления (р = р(р)).
В противном случае (р = р(р, Т)) равновесие называют бароклинным.
Отметим основные частные случаи баротропного равновесия:
1) газ несжимаем, т. е. имеет повсюду одинаковую плотность (р =
= const=р0); этот случай уже был разобран;
§ 28 БАРОТРОПНОЕ РАВНОВЕСИЕ ГАЗА 85
2) процесс изотермичен; при этом температура повсюду одна и та
же GI=const = ro) и из уравнения состояния Клапейрона следует
Р = ?-= const- р = ^р\ F7)
А/ о Ро
3) процесс адиабатичен (нет притока тепла извне); тогда имеет ме-
место адиабата
р = const .p* = p0 (-?-)*, F8)
где Л —показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей газа
при постоянном давлении ср и постоянном объеме cv\ для воздуха k& 1,4.
Значения величин ро> Ро, Го относятся к какой-нибудь характерной точ-
точке покоящегося газа.
В случае равновесия газа в потенциальном силовом поле уравнение
равновесия имеет вид D9).
Безотносительно к тому, будет ли равновесие или движение, лишь
бы только процесс был баротропным, введем функцию давления
градиент ее равен
^ F9)
Р(р)
Ро
6.Ф 1
grad 3* = — grad p = — grad p. G0)
dp p
Величина ( gradp) по соображениям, изложенным в § 21, 25.
может рассматриваться как отнесенный к единице массы главный век-
вектор сил давлений в данной точке, или вектор объемного действия этих
сил. Таким образом, функция давления 53, удовлетворяющая равенству
G0), представляет потенциал объемного действия сил давления.
Уравнение равновесия D9) может быть теперь переписано в форме
grad(П+^)= 0, откуда следует, что при баротропном равновесии среды
во всех ее точках выполняется равенство
G1)
Простые вычисления интегралов в F9) приводят к следующим зна-
значениям функции давления в отмеченных выше частных случаях баро-
тропных процессов:
1) несжимаемая жидкость (р = const)
?zl?q; G2)
р
2) изотермический процесс (р = — р
\ Р
3) адиабатический процесс \р = Ро\—]
I \ Ро / J
Ро
^1п-^-; G3)
(>о Ро
Ро
Удовольствуемся этими краткими представлениями из области ста-
статики жидкости и газа. Отошлем интересующихся к курсам гидравлики,
где разделы гидростатики и аэростатики занимают заметную
часть.
Г Л А В А V
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
§ 29. Уравнения Эйлера, Громека—- Ламба и Гельмгольца — Фридмана.
Теорема Гельмгольца
Простейшей моделью сплошной текучей среды является идеальная
среда, обладающая при движении свойством идеальной текучести, ко-
которое присуще, как это было выяснено в § 25, большинству сплошных
сред при их покое. Это свойство заключалось в отсутствии касательных
компонент тензора напряжений при нулевых касательных компонен-
компонентах— скоростях сдвига — тензора скоростей деформаций. Для идеаль-
идеальной среды постулируется отсутствие касательных напряжений безотно-
безотносительно к тому, покоится или движется среда. Принятое допущение
равносильно условию отсутствия в идеальной среде внутреннего трения.
В движущейся идеальной среде выполняется закон Паскаля
(равенства C5) —D0), гл. IV)
A)
вывод которого ничем не отличается от ранее приведенного в § 25.
Скалярную величину р, в отличие от введенного в предыдущей главе
гидростатического давления, будем называть гидродинамическим дав-
давлением или просто давлением в данной точке потока; знак минус, как
и в случае равновесия, подчеркивает противоположность направления
вектора нормального напряжения рп направлению орта нормали п к ли-
лицевой стороне площадки.
Отвлекаясь в модели идеальной среды от количественного влияния
внутреннего молекулярного обмена, проявляющегося в реальных жид-
жидкостях в виде трения и теплопроводности, сохраним качественное след-
следствие этого обмена — непрерывность распределения скоростей и других
физических величин. Это объясняет пригодность теории идеальной жид-
жидкости в установлении, например, общей картины плавного обтекания
тел, распределения давлений по поверхности таких тел, образования
подъемной силы и во многих других практически важных задачах.
От принципа непрерывности приходится отказываться лишь в от-
отдельных случаях: на поверхности раздела двух идеальных сред, на твер-
твердой границе обтекаемых тел, а также на некоторых специальных по-
поверхностях разрыва непрерывности.
В первых двух из указанных случаев допускается свободное сколь-
скольжение жидкостей друг по отношению к другу и скольжение жидкости
по поверхности твердого тела, причем ставится только условие отсут-
отсутствия взаимного проникновения жидкостей или протекания жидкости
сквозь поверхность твердого тела (условие непроницаемости).
Реальная среда не допускает наличия разрывов непрерывности ни
внутри движущегося потока, ни на границах его с твердым телом.
В действительности жидкость или газ не могут скользить вдоль поверх-
поверхности твердого тела; скорости тех частиц, которые граничат с твердой
стенкой, равны нулю, среда как бы прилипает к поверхности тела. Од-
§ 29. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА, ГРОМЕКА - ЛАМБА И ГЕЛЬМГОЛЬЦА - ФРИДМАНА 87
нако эта скорость, как правило, резко возрастает при удалении от по-
поверхности и на внешней границе весьма тонкого по сравнению с разме-
размерами тела пограничного слоя достигает значений, соответствующих схе-
схеме свободного скольжения идеальной среды. В этом другая причина
возможности применения схемы идеальной среды для расчета обтека-
обтекания тел плавной, вытянутой формы (крыло, фюзеляж, лопатка рабочего
колеса турбомашины и др,). В случае плохо обтекаемого тела погранич-
пограничный слой отрывается от поверхности тела и значительно искажает кар-
картину непрерывного обтекания тела идеальной средой.
Основные дифференциальные уравнения динамики идеальной сре-
среды непосредственно вытекают из общих уравнений движения, выведен-
выведенных в гл. IV, путем упрощения их на основании A) или очевидного в
этом случае равенства
DivP = — gradp. B)
Уравнение неразрывности [E), G) гл. III], как не содержащее
напряжений, сохранит тот же вид, что и в общем случае.
Уравнение динамики в напряжениях [F), (8) предыдущей главы]
значительно упростится и примет форму уравнения Эйлера
или в проекциях на оси декартовых прямоугольных координат
dt + Vl дхх + 2 дх, + V* dx3 ~Pl 7"^~ '
^ + ^+V^ + y3fW2-±f<L, D)
dt dxx dx2 dx3 р dx2
a/ X дхх 2 дх2 ^ 3 дх3 3 р дх3 '
или
Используя выражения проекций ускорения на оси цилиндрических
и сферических координат [формулы E2), E3) гл. II], запишем уравне-
уравнения Эйлера в этих двух системах:
цилиндрические координаты:
dt dr r дг dz r p dr
ai+v^+bZL+v^+rj?.-,,.^* Da)
dt dr r de dz r pr d&
dt dr r de dz p dz
сферические координаты:
\ Vq
R
+ V \ 1 =F lit
dt Г H dR R ^6 ^ RslnQ d&' R ~ R p dR '
dt T K dR ^ R as ^tfsine de ^ R R ё e pR
—L^ D6)
pR dQ Л '
dR l R dQ ^/?sin6 дг ^ R ^ R
-F
8
88 ГЛ V ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ СГЕДЫ
Уравнение Эйлера C) можно освободить от символической комби-
комбинации (V-V)V и вместе с тем выделить в левой части градиентное сла-
слагаемое.
Вспомним для этого установленное ранее выражение конвективной
составляющей ускорения E0) гл. II. Подставляя его в левую часть урав-
уравнения C), получим следующую модификацию уравнения Эйлера,
предложенную Громека и Ламбом
! E)
Для дальнейшего наибольший интерес представляет случай, когда
объемные силы имеют потенциал П, т. е.
F=-gradn, F)
и существует функция давления (движение баротропно)
введенная ранее в §28. При этом уравнение Громека — Ламба E) пе-
перейдет в следующее:
—+ gradf—+ ^ + n) +rotKvK = 0. (8)
dt \ 2 )
Введем обозначения:
¦у + ^ + П = В, (9)
A0)
Тогда уравнение (8) может быть представлено в форме
^ 0, A1)
at
или, в проекциях на декартовы оси,
A2)
Трехчлен Бернулли (9) можно трактовать как полную механи-
механическую энергию в данной точке, отнесенную к единице массы, т. е. по
обычной терминологии как полную удельную механическую энергию.
Действительно, первое слагаемое в левой части представляет удельную
кинетическую энергию, третье слагаемое — удельную потенциальную
энергию объемных сил.
Как уже разъяснялось в § 28, функция давления 9* имеет смысл по-
потенциала (потенциальной энергии) объемного действия сил давления
(точнее, массовой плотности действия этих сил). Следует избегать встре-
встречающегося иногда определения функции давления Ф (в случае р = const
равной р/р) как потенциала давлений. Давления образуют скалярное
поле, для которого понятия потенциала или потенциальной энергии не
существует.
Уравнение A1) или уравнения A2) связывают чисто кинематиче-
кинематические величины V и Q = rot V с динамическими характеристиками Пи?1.
§ 29. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА, ГРОМЕКА - ЛАМБА И ГЕЛЬМГОЛЬЦА — ФРИДМАНА 89
Переписывая уравнение A1) в форме
~д7~
A3)
видим, что при баротропном движении идеальной сплошной среды под
действием потенциального поля объемных сил левая, кинематическая
часть этого равенства представляет собой потенциальный вектор. Следо-
Следовательно, не всякое поле скоростей может быть создано в идеальной жид-
жидкости, баротропно движущейся под действием потенциального поля объ-
объемных сил, а только такое, которое удовлетворяет равенству
, (dV
rot
\dt
или, что то же самое,
ot
A4)
Раскрывая дифференциальную операцию вихря от векторного про-
произведения по правилу векторного анализа (см. пятое равенство системы
(88) гл. I)
t(QV) (VV)Q— (Q.V)V+OdivV— VdivQ
и откидывая последний член в правой части этого равенства как тожде-
тождественно равный нулю, перепишем предыдущее равенство в форме
— + (K-V)Q = (Q.V)K — QdivK,
dt
— QdivK.
или, вспоминая определение индивидуальной производной,
dt v
Первое слагаемое в правой части, равное, согласно A06) гл. I,
A5)
выражает эффект деформации вектора Q скоростным полем, второе
(—QdivV) определяет влияние сжимаемости.
Уравнение A5) называют уравнением ди-
динамической возможности движения идеальной
сжимаемой среды или уравнением Гельм-
гольца —Фридмана. Оно было полу-
получено А. А. Фридманом *) путем обобщения
уравнения Гельмгольца
— = (Q.V)K, A6)
Рис. 26
относящегося к случаю несжимаемой жидко-
жидкости (divV=0).
Введем понятие сохраняемости вихревых
линий. Пусть в некоторый момент времени в
жидкости существует вихревая линия (/, /)
(рис. 26), являющаяся векторной линией вектора Si^rot V; рассмотрим
жидкую линию (//, //), образованную в момент t + dt теми же жидкими
частицами, что и линия (/, /) в момент t. Если жидкая линия (//, //),
представляющая новое положение линии (/, /) к моменту времени t + dt,
^Фридман А А Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости.— М: ОНТИ, 1934
(гл. I, в частности, с. 34); см также К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Розе Н. В. Тео-
Теоретическая гидромеханика. Т. I — М. Гостехиздат, 1948, с. 150—160.
90 ГЛ. V. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
является также вихревой, то будем говорить, что вихревая линия (/, /)
при движении среды сохраняется, в противном случае — разрушается.
Докажем следующую теорему Гельмгольца: в движущейся под дей-
действием консервативного поля объемных сил идеальной несжимаемой
жидкости вихревые линии сохраняются.
Сравним между собой бесконечно малый жидкий вектор MMi и era
смежное положение М'М/ (при бесконечно малых перемещениях жид-
жидкости прямолинейные отрезки остаются с точностью до малых высших
порядков прямолинейными). Имеем из векторного многоугольника
MMM/M'
или, замечая, что по условию (К — произвольный бесконечно малый ска-
скаляр)
7Ш1 = Ш% 7Ш = Vdtf МгМ[ = [У + (ЯД-V) V]dt9
получим
= X[Q + (il-V) Vdt]. A7)
Последнее равенство, с учетом уравнения A6), приводит к соотно-
соотношению
dt\ Ш\ A8)
доказывающему теорему Гельмгольца, так как элемент жидкой линии
(//, //) оказывается направленным по вектору ?У, в который перейдет
за время dt вектор Q.
Приведенное доказательство справедливо только для идеальной не-
несжимаемой жидкости. Как показал А. А. Фридман1), теорема верна и в
случае любого баротропного движения идеального газа.
§ 30. Теорема Бернулли
Предположим, что идеальная жидкость под действием потенциаль-
потенциального поля объемных сил с потенциалом П совершает стационарное баро-
тропное движение с функцией давления ^. Тогда первый член в уравне-
уравнении A1) равен нулю, и, умножая обе части A1) скалярно на вектор ско-
скорости V, получим, в силу перпендикулярности последнего слагаемого
вектору V,
или, вспоминая определение производной по направлению,
отсюда заключаем, что
где символ d/ds означает производную, взятую вдоль траектории или ли-
линии тока, что при стационарном движении одно и то же. Из равенства
A9) сразу следует, что вдоль траектории или линии тока трехчлен
1) См. предыдущую сноску.
§ 30. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ 91
Бернулли В сохраняет одно и то же значение
В = (-,9 + 11 = const (вдоль линии тока). B0)
Полученное равенство можно рассматривать как первый интеграл
уравнения Эйлера, справедливый в случае стационарного движения при
наличии функции давления, представляющей потенциал объемного дей-
действия поверхностных сил, и потенциала объемных сил. Этот интеграл,
выведенный путем скалярного умножения обеих частей уравнения A1)
иа вектор скорости V, может трактоваться как интеграл механической
энергии уравнения движения центра инерции элементарного объема
жидкости {интеграл Бернулли).
Равенство B0) выражает следующую теорему Бернулли: при стацио-
стационарном баротропном движении идеальной жидкости под действием по-
потенциальных объемных сил сумма кинетической энергии единицы массы,
функции давления и приведенного к единице массы потенциала объем-
объемных сил сохраняет вдоль линии тока (траектории) постоянное значение.
Интеграл Бернулли мог быть выведен и непосредственно из уравне-
уравнения Эйлера C) без преобразования его к форме Громека — Л амба (8).
Действительно, переписывая в ^условияхтеоремы уравнение C) в виде
и умножая скалярно на вектор V, получим
но, по определению индивидуальной производной по времени от скаляр-
скалярной функции, в случае стационарного движения будем иметь
— i—\ = V
dt \ 2 )
так что
к.«»а(^.
что, по предыдущему, и приводит к равенству B0).
Из уравнения A1) в случае стационарного движения сразу следует
постоянство величины В также и вдоль любой вихревой линии. В самом
деле, откидывая в случае стационарного движения первый член, умно-
умножая обе части A1) скалярно на ft и рассуждая так же, как и при выводе
равенства A9), получим
ft . grad5 = Q AL . gradfi) = Q —= 0,
\ Q / dl
где d/dl определяет дифференцирование вдоль дуги вихревой линии.
Отсюда сразу следует, что и вдоль вихревой линии величина В имеет
одно и то же значение
В = \-ЯР + П= const' (вдоль вихревой линии). B1)
При стационарном движении вектор ftXV образует [см. A1)] потен-
потенциальное векторное поле с потенциалом В. При этом через каждую точку
пространства можно провести поверхность, ортогональную к векторной
линии поля вектора ИХ V, проходящей через эту точку. Эти ортогональ-
ортогональные поверхности будут поверхностями уровня трехчлена Бернулли и
вместе с тем полной удельной механической энергии. Касательные плос-
92 ГЛ. V. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
кости к этим поверхностям содержат векторы Йи V. Поверхности уров-
уровня можно получить, взяв (рис. 27) какую-нибудь линию тока и проведя
через все ее точки вихревые линии; эти вихревые линии образуют вихре-
вихревую поверхность — поверхность уровня, проходящую через данную ли-
линию тока. Можно поступить и иначе: взяв некоторую вихревую линию,
через все ее точки провести линии тока;
тогда эти линии тока образуют поверхность
В=const тока, проведенную через данную вихревую
линию.
Значения констант в равенствах B0)>
B1) определяются значением трехчлена
Бернулли в какой-нибудь одной почему-
либо характерной или заданной наперед
точке линии тока или вихревой линии. В об-
общем случае константы эти различны для
9 линий тока или вихревых линий, не лежа-
ис* щих на одной и той же поверхности уров-
уровня полной механической энергии.
Если во всех точках пространства выполняется векторное равенство
SXV=O, B2)
то поверхностей уровня нет, но в этом случае по A1) в стационарном
потоке
grad? = 0, B3)
т. е. трехчлен Бернулли сохраняет одно и то же значение во всем прост-
ранствеу занятом потоком жидкости или газа.
Равенство B2) выполняется в следующих двух случаях:
1) Q = 0 — движение безвихревое; подробному рассмотрению этого
важнейшего случая будут посвящены специальные главы курса;
2) Q\\V — вихревые линии совпадают с линиями тока; при таком
движении частицы в своем мгновенном вращении поворачиваются во-
вокруг касательных к линиям тока. Такое движение называется винтовым.
С винтовым движением приходится иметь дело, например, при рассмот-
рассмотрении так называемых «свободных» вихрей, сходящих с поверхности кры-
крыла конечного размаха.
Рассмотрим частные случаи теоремы Бернулли, относящиеся к от-
отдельным простейшим баротропным процессам.
В случае движения несжимаемой жидкости (р = const) имеем
Р=РЦР*=Р-+ const.
р р
Ограничиваясь среди объемных сил только силами тяжести и на-
направляя вертикальную ось z вверх, получим
II=gz+ const.
Тогда формулы B0) и B1) примут вид (символ const обозначает сохра-
сохранение величины В как вдоль линии тока, так и вдоль вихревой линии)
В = ^ + j + gz=-- const, B4)
B5)
или, если перейти от плотности р к удельному весу
— = Я= — + -?- + z
g 2g v
Отдельные члены равенства B5) имеют размерность длины и назы-
называются соответственно: V2I Bg) — скоростной, р/у — пьезометрической и
§ 30. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ 93
z—нивелирной высотами. Сумма этих высот Я называется гидравличе-
гидравлической высотой.
Формула B5) приводит к классической формулировке теоремы Бер-
нулли: при стационарном движении тяжелой идеальной несжимаемой
жидкости гидравлическая высота^ равная сумме скоростной, пьезометри-
пьезометрической и нивелирной высот, сохраняет постоянное значение вдоль линии
тока (траектории) или вихревой линии.
Эта форма теоремы Бернулли имеет основное значение в гидравли-
гидравлике и называется уравнением Бернулли.
Предположим в дальнейшем, что объемными силами по сравненик>
с поверхностными (давлением) можно пренебречь; тогда уравнение Бер-
Бернулли B4) примет более простой вид
Р+ ?y = const =p0. B6)
Первый член левой части этого равенства называют пьезометриче-
пьезометрическим напором, второй — скоростным или динамическим напором, сумму
их — полным напором р0. Теорему Бернулли формулируют так: при ста-
стационарном движении идеальной несжимаемой жидкости в отсутствие
объемных сил полный напор, равный сумме пьезометрического и ско-
скоростного напорау сохраняет свою величину вдоль линии тока {траекто-
{траектории) или вихревой линии.
Припоминая выражения функций давления 3* G3) и G4), помещен-
помещенные в § 28 гл. IV, получим следующие формы теоремы Бернулли:
а) для изотермического движения (Т = const, p/p = po/po, р/Ро=р/ро)
JH + i!!LinJl==JH + i^inJL = Const = —, B7)
2 Po Po 2 po Po 2
б) для адиабатического движения [p/po= (p/po)\ plpo={p/po)i/k]
V* k p ~"
if)const -^; B8)
2 k-\ po L V Po) J 2
f1 -^. B9)
2
f1f
2 k-\ po L Vpo
Здесь индекс нуль, относящийся к произвольно выбранной на линии
тока (траектории) или вихревой линии точке в дальнейшем будет при-
применен для параметров покоящегося газа. Если на данной линии тока
(траектории) или вихревой линии нет точки, где V=0, то всегда можно-
себе мысленно представить некоторое непрерывное адиабатическое дви-
движение идеального газа (далее будет показано, что оно также и изэнтро-
пическое), переводящее его из данного положения в «котел» (ресивер)
бесконечно большого объема, в котором газ становится неподвижным,
или, как принято говорить, адиабатически и изэнтропически заторможен-
заторможенным. Параметры газа в этом его состоянии называют адиабатически и
изэнтропически заторможенными, или параметрами торможения, и соот-
соответственно обозначают р0, р0, То. Уравнения Бернулли B8) и B9) при-
примут при этом один из следующих видов (первое равенство носит имена
Сен-Венана и Вантцеля):
^ll^'1} (зо)
v\i)], vlil
А — 1 Po L \pj J A — I Po L \Po
В приложениях, в частности, при расчетах турбомашин, приходится
иметь дело с относительным движением жидкости в некоторой равно-
94
ГЛ. V. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
мерно вращающейся вокруг неподвижной оси системе координат. Так,
при обтекании вращающегося с постоянной угловой скоростью рабочего
колеса абсолютный поток, т. е. поток по отношению к фундаменту тур-
турбины, будет, очевидно, нестационарным, и теорему Бернулли к нему при-
применять нельзя. В относительной системе координат, связанной с вращаю-
вращающимся колесом, поток стационарен, и теорема Бернулли в относительном
движении справедлива.
Обозначая через Vr относительную скорость и присоединяя к прило-
приложенным объемным силам центробежную силу инерции с плотностью рас-
распределения FD) = (o2r и потенциалом П(ц)=—'Л^ю2, где г — расстояние
от оси вращения, и кориолисову силу с плотностью распределения F(c) —
«— 2©XVr (исчезающую при скалярном умножении на Vr), получим
C1)
(const только вдоль относительных линий тока или траекторий).
Замечая, что /ч©=Кв представляет собой переносную (окружную)
скорость, будем иметь окончательную форму теоремы Бернулли в отно-
относительном движении
+ П = const.
C2)
Теорема Бернулли обычно широко иллюстрируется примерами в кур-
курсах гидравлики и прикладной гидромеханики. Для ознакомления с сов-
совместным применением теорем количеств движения и кинетической энер-
энергии в форме теоремы Бернулли полезно рассмотреть вывод теоремы
Б орд а об ударе при внезапном расширении потока1). Теорема Бер-
Бернулли широко используется в следующих главах настоящего курса. Ин-
Интересной иллюстрацией применения теоремы Бернулли к движению иде-
идеальной несжимаемой жидкости может служить общепринятый в аэроди-
аэродинамических лабораториях метод измерения скоростей при помощи так
называемой скоростной трубки, или трубки Прандтля.
Рис. 28
Рассмотрим схематический чертеж трубки Прандтля (рис. 28), при-
применяемой для измерения скоростей газа (воздуха) в условиях, допуска-
х) См.'-ранее цитированный «Курс теоретической механики». Т. II, с. 249—251.
Там же описаны некоторые приложения теоремы Бернулли.
§ 30. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ 95
ющих пренебрежение эффектом сжимаемости; аналогичного рода труб-
трубки применяют и для измерения скоростей в потоках жидкости. Поток на-
набегает вдоль оси трубки на ее носик, где имеется так называемое дина-
мическое отверстие D (рис. 28, а), и омывает боковую поверхность труб-
трубки с расположенным на ней статическим отверстием (щелью) S. При
достаточном удалении ножки трубки F и носика D от статического от-
отверстия (обычно принятые размеры показаны на рис. 28, б) можно счи-
считать, что вблизи отверстия D давление равно (рис. 28, а) давлению за-
заторможенного газа Ро, а вблизи статической щели — давлению р прохо-
проходящего мимо трубки газа. Вероятно, поэтому давление р необоснованна
называют статическим, хотя подобный термин в гидродинамике отсут-
отсутствует.
При изложении теории вязкого движения жидкости в пограничном
; слое на поверхности обтекаемого тела (гл. XII) будет показано, что дав-
* ление в любой точке сечения пограничного слоя, в том числе и на поверх-
ности, совпадает с давлением среды на внешней границе пограничного
; слоя, т. е. в потоке, проносящемся мимо статического отверстия трубки.
\ Таким образом, если трубка вблизи щели 5 имеет цилиндрическую фор-
\ му, а сама щель S располагается заподлицо к стенкам трубки так, что
i жидкость проходит мимо щели, не подвергаясь подпору со стороны вы-
I ступающих стенок этой щели, то давление в щели будет равно давлению
\ в невозмущенной трубкой жидкости вдали от трубки.
* Обозначим через р» и У» давление и скорость набегающего одно-
однородного потока и будем иметь в виду, что возмущающее влияние носика
г на поле параметров потока идеальной среды заканчивается до статиче-
статического отверстия. Таким образом, V* является измеряемой трубкой вели-
: чиной.
По теореме Бернулли, выражаемой в случае несжимаемой жидкости
равенством B6), будет
р°° "*" 7 ру2°° ~const=Ро>
4 где Ро~полный напор (полное давление), замеряемое отверстием D
трубки, Рсо — давление в отверстии S.
Отсюда следует формула для выражения искомой скорости
•=/
2 (Ро -
Если теперь рассмотреть трубку Прандтля в неоднородном потоке,,
однако считать, что размер носика гораздо меньше характерного разме-
размера неоднородности, то можно повторить прежние рассуждения и прийти
к подобной формуле
и— л/2 (Ро — р)
где р и V имеют смысл местных параметров невозмущенного трубкой
потока.
Измеряя разность давлений р0—р при помощи дифференциального
манометра и зная плотность движущейся среды, найдем ее скорость в
данном месте потока.
На самом деле, в результате неточностей изготовления трубки изме-
измеренные величины разности давлений могут несколько отличаться от дей-
действительных; для учета необходимых поправок в формулу C3) вводят
близкий к единице коэффициент, который определяют калибровкой
трубки, сравнивая в потоке данную трубку с некоторой образцовой.
96 ГЛ. V. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Теоремы Гельм гольца и Бернулли — два существенных
результата, выводимых из уравнения Эйлера, т. е. из закона количеств
движения идеальной сплошной среды. Закон моментов количеств дви-
движения при отсутствии в идеальной среде касательных напряжений вы-
выполняется автоматически в силу условия Р = —рЕ. Следуя принятой по-
последовательности изложения, обратимся к рассмотрению дальнейших по
порядку законов механики и термодинамики сплошных сред.
§ 31. Мощность внутренних сил. Уравнение баланса энергии
Уравнение баланса кинетической энергии A6) гл. IV в случае иде-
идеальной среды несколько упростится, поскольку напряжения сведутся к
давлению. Однако и в этом виде уравнение не имеет самостоятельного
значения, так как его с успехом заменяет интеграл Бернулли, выра-
выражающий закон сохранения полной механической энергии.
Обратимся к рассмотрению выражения мощности внутренних сил в
движущейся идеальной среде. В случае идеального газа эта мощность
соответствует работе сил давления, затрачиваемой на сжатие газа. За-
Замечая, что в рассматриваемом случае (суммирование по повторяющим-
повторяющимся индексам)
Р= — рЕ; Р-?= —/>?<?<,= — pSu= —p div V,
получим, согласно A9) гл. IV, следующее выражение искомой мощ-
мощности:
ЛГ1П=— p.s=pdivV. C4)
Заметим, что по уравнению неразрывности E) гл. III будет
р dt dt \р) w dt '
где v — удельный объем, равный 1/р, так что равенство C4) эквивалент-
эквивалентно следующему:
*т = рр-^. C5)
Если обе части этого равенства разделить на р и умножить на dt,
то получится известное из термодинамики выражение pdv удельной эле-
элементарной работы внутренних сил давления в идеальном газе.
Внутреннее трение (вязкость) в газе и теплопроводность представ-
представляют собой две стороны одного и того же процесса молекулярного пере-
переноса. Трение обусловлено переносом количества движения, теплопровод-
теплопроводность — переносом кинетической энергии молекул. Приняв в настоящей
главе схему идеального, т. е. лишенного внутреннего трения, газа, есте-
естественно отвлечься и от теплопроводности. Пренебрегая также лучеиспу-
лучеиспусканием, примем, что движущийся газ изолирован от притока тепла из-
извне. Такое движение называется адиабатическим*). Кроме того, заме-
заметим, что удельная внутренняя энергия термодинамически совершенного
газа пропорциональна его абсолютной температуре и равна U = cvT, где
cv — коэффициент теплоемкости газа при постоянном объеме.
Перейдем к рассмотрению уравнения баланса полной энергии B1)
гл. IV в предположениях: адиабатичности движения (<7 = 0), идеальности
1) В § 28 уже употреблялось понятие адиабатического состояния для обозначе*
ния такого состояния газа, когда p/pfe = const Как будет показано далее, для рас-
рассматриваемого случая идеального совершенного газа эти два определения эквивалентны
друг другу.
§ 31. МОЩНОСТЬ ВНУТРЕННИХ СИЛ. УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ 97
(Р= — рЕ) и совершенности газа (p/p = RTy U = cvT). Будем иметь
C6)
Введем наряду с внутренней энергией еще одну тепловую функцию —
удельную энтальпию
h = cpT. C7)
Напомним вывод основной термодинамической формулы
ср—cv = R, C8)
связывающей коэффициенты теплоемкости газа при постоянном давле-
давлении ср и при постоянном объеме cv с газовой постоянной R. Определяя
коэффициенты теплоемкости как величины, характеризующие быстроту
изменения количества тепла с ростом температуры, соответственно в
условиях сохранения давления или объема:
с -(W\ с -(dQ\
из первого начала термодинамики, написанного в форме (а
dQ = cvdT+pdvt
получим
(?)(Н
а по формуле Клапейрона
\дТ )р [дТ\ р )\р р *
Равенство C9) при этом приводится к C8).
Из формулы C8) найдем связь между внутренней энергией и энталь-
энтальпией
U = cvT = cpT — RT = h — -?-. D0)
Р
Подставляя это выражение внутренней энергии в уравнение баланса
C6), получим
Последнее слагаемое в правой части, если вычислить индивидуаль-
индивидуальную производную и воспользоваться уравнением неразрывности в форме
E) гл. III, преобразуется так:
p() + pdivK
У dt \ р) dt p dt dt p r dt
Подставляя это выражение в D1) и производя простые преобразования,
получим уравнение баланса энергии в одном из следующих видов
D2)
у dt \ ) к
4-9487
98 ГЛ. V. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Исключим из уравнения баланса энергии объемные силы и вектор
скорости V. С этой целью умножим обе части уравнения Эйлера C) ска-
лярно на V и полученное таким образом равенство
pV • — = р — (—) =PF • V-V • gradp
К dt У dt [ 2 J W S r
вычтем почленно из обеих частей первого из уравнений D2). Тогда най-
найдем следующую дифференциальную связь между плотностью, давлени-
давлением и энтальпией (т. е. температурой):
р-^ = -&. D3)
v dt dt v ;
Покажем, что из этого соотношения следует баротропность адиаба-
адиабатического движения идеального совершенного газа, и найдем соответст-
соответствующую связь между плотностью и давлением. Из равенства D3) и за-
закона Клапейрона вытекает, что при дифференцировании вдоль траекто-
траектории
^ ^ D4)
Но по C8)
или, после введения отношения cp/cv=k,
Равенство D4) может быть теперь переписано в виде
или
Интегрирование дает известную адиабату Пуассона
JL=(JL)\ -Р-Ц-Е-Г D6)
Ро \ Ро / Ро \Ро J
причем индекс нуль соответствует состоянию газа в какой-нибудь фикси-
фиксированной точке на траектории частицы. Итак, движение действительно
баротропно; соотношение между плотностью и давлением определяется
адиабатой D6).
Из D3), в силу только что доказанной баротропности движения, вы-
вытекает, что
dh _ 1 dp _ d#>
dt p dt dt *
т. е. вдоль траектории движения значения энтальпии и функции давле-
давлений различаются лишь на постоянную
h=&>+ const. D7)
Выражение функции давлений &>(р) для адиабатического движения
было уже выведено в § 28. Подставляя значение 3* из равенства G4)
этого параграфа в D7), получим адиабатическое соотношение между
§ 31 МОЩНОСТЬ ВНУТРЕННИХ СИЛ. УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ 99
абсолютной температурой Т и давлением р
или по D6)
• • i.
[ P \ P
~r~=== » =
^o V Po J Po
Заменяя здесь р на р по D6), получим адиабатические соотношения
между температурой и плотностью
1
V k—l Л / 71 \ Л—1
D9)
Простая связь между термодинамическими элементами газа р, р, Г
; и величиной скорости его движения V может быть выведена из уравне-
I ния баланса энергии при условии стационарности движения и консерва-
[ тивности объемных сил. В этом случае будет
I
и второе из равенств D2) приводится к виду
V .&*d(h+ — +
Замечая, что скалярное произведение вектора скорости на градиент ска-
скалярной функции пропорционально производной от этой функции по на-
направлению траектории или линии тока, получим равенство
У2/2+Л+П = const (вдоль траектории или линии тока). E0)
Комбинируя равенство E0) с D7), вновь получим уравнение Бернул-
ли B0), ранее выведенное из допущения о баротропности движения.
Только что приведенный вывод отличается тем, что в нем баротропность
процесса заранее не предполагалась, а вытекала из условия адиабатич-
ности движения газа.
В дальнейшем при изучении движений газа будем пренебрегать
влиянием объемных сил (в частности, весом). Это влияние существенно
сказывается лишь при движениях газа в пределах больших разниц вы-
высот над поверхностью Земли, например в динамической метеорологии.
При отсутствии объемных сил (П = 0) равенство E0) приводится к более
простому
h + *?- = срТ + YL = const, E1)
утверждающему, что при адиабатическом движении идеального газа его
абсолютная температура и скорость движения находятся вдоль траекто-
траектории в определенном соотношении: с возрастанием скорости газ охлажда-
охлаждается, с убыванием скорости, наоборот, разогревается.
Определим постоянную в равенстве E1) через параметры адиабати-
адиабатически заторможенного газа (V=0, h = h0, Т=Т0); тогда будем иметь ос-
основную для дальнейшего формулу
h+T=h°- E2)
100 ГЛ. V. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Стоящая слева сумма удельной энтальпии и удельной кинетической
энергии, сохраняющаяся при адиабатическом движении частиц газа
вдоль их траекторий (линий тока), носит наименование полной энталь-
энтальпии, или энтальпии торможения.
Не будем сейчас выписывать соотношения между скоростью и дав-
давлением или скоростью и плотностью, так как далее, в § 33, те же форму-
формулы получат более симметричную и удобную для запоминания форму.
Введем наряду с функциями состояния — энтальпией h и функцией
давления ЗР — еще одну функцию состояния, а именно удельную энтро-
энтропию 5, определяемую дифференциальным соотношением
ds = dQIT, E3)
где dQ— элементарный приток тепла, отнесенный к единице массы газа
и удовлетворяющий, согласно первому началу термодинамики, соотно-
соотношению
dQ = cvdT + pdv = cv dT -
Подставляя это выражение в E3), получим
Р2
dT р dp
:Cv~^ =CV-
Т рТ р pip p I R
или, замечая еще, что по D5)
СУ _ 1
R *-1 '
найдем
ds= -din —) .
Отсюда интегрированием получим следующее выражение удельной
энтропии в конечной форме:
^ In (-?-\ + const. E4)
Значение константы несущественно, так как приходится иметь дело лишь
с приращениями энтропии, а не с абсолютными ее значениями.
Если вдоль траектории движения выполняется равенство ds = 0> т. е.
энтропия сохраняет свою величину, то такое движение называется изэн-
тропическим.
Из уравнения E4) вытекает, что адиабатическое движение идеаль-
идеального газа, подчиняющееся соотношению D6), является изэнтропическим.
Соотношение D6) можно было бы назвать изэнтропической адиабатой
или, короче, изэнтропой. Ранее выведенные формулы E1), E2) также
носят наименование изэнтропических.
Согласно второму началу термодинамики в замкнутой (адиабати-
(адиабатической) материальной системе энтропия является неубывающей функци-
функцией времени. Возрастание энтропии в адиабатической системе показыва-
показывает, что внутри этой системы происходят необратимые процессы преобра-
преобразования механической энергии в тепло, сопровождаемые потерями меха-
механической энергии. Примером образования таких механических потерь
могут служить потери на внутреннее трение в неидеальных жидкостях
и газах. В следующей главе мы встретимся с явлением потери механи-
механической энергии газа при прохождении его сквозь скачок уплотнения —
поверхность разрыва непрерывности кинематических и термодинамиче-
термодинамических величин. В этом случае движение, будучи адиабатическим, окажет-
окажется неизэнтропическим.
§ 32. СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 101
§ 32. Скорость распространения малых возмущений
в идеальном газе. Скорость звука
Для выяснения особенностей движения газа очень важно сравнить
скорость его движения с характерной для данного газа и зависящей от
его термодинамического состояния величиной — скоростью распростра-
распространения малых возмущений (например, малых сжатий) по газу или, что
все равно, скоростью распространения звука.
С этой целью рассмотрим для простоты баротропный поток идеаль-
идеального совершенного газа, все линии тока которого параллельны оси х, а
составляющая скорости и, так же как давление р, плотность р и темпера-
температура 71, являются функциями только х и t\ при этом будем пренебрегать
действием объемных сил.
Уравнения Эйлера D) и уравнение неразрывности G) гл. III сво-
сводятся в этом случае к нелинейной системе дифференциальных уравне-
уравнений первого порядка в частных производных (используем буквенное обо-
обозначение проекции скорости u=Vt)
ди . ди 1 др
\-и — = ,
dt дх р дх
E5)
с тремя неизвестными функциями и, р, р. Чтобы сделать систему опреде-
определенной, необходимо в случае баротропного движения добавить еще урав-
уравнение связи между р и р или, в более общем случае, уравнение Клапейро-
Клапейрона и уравнение баланса энергии. Интегралы таким образом составлен-
составленной системы уравнений должны, конечно, еще удовлетворять заданным
начальным и граничным условиям.
Обратимся к решению простейшей задачи о распространении в газе
малых возмущений, которая может быть сформулирована так: в покоя-
покоящемся идеальном и совершенном газе создаются весьма малые возму-
возмущения скоростей, давлений или плотности, причем возникающее вслед-
вследствие этого движение является одномерным параллельным оси х баро-
тропным движением, зависящим лишь от координаты х и времени t\ тре-
требуется разыскать элементы возмущенного движения. Обозначим через
и, р и р скорость, давление и плотность возмущенного движения, через
р0 и р0 — давление и плотность в покоящемся газе, причем отвлечемся
от действия объемных сил; тогда, вводя обозначения и', р', р/ для малых
возмущений скорости, давления и плотности, будем иметь
Подставим эти значения возмущенных элементов в систему уравне-
уравнений E5) и откинем в них произведения малых величин и их производных
по координатам как малые высших порядков. Тогда, замечая, что с точ-
точностью до малых величин первого порядка малости при баротропном
движении будет
(
дх dp дх \ dp /о дх
получим вместо нелинейной системы E5) следующую линейную систему
двух уравнений с двумя неизвестными и! и р':
dt Po \ dp J о дх
E6)
102 ГЛ. V. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Система E6) может быть названа линеаризованной по сравнению с не-
нелинейной системой E5), так как она получена из нее путем линеариза-
линеаризации, заключающейся в откидывании малых второго и высших порядков.
Замечая, что величина dp/dp существенно положительна, так как
плотность совершенного газа растет с давлением, введем обозначение
%-) =al E7)
p/o
и перепишем систему E6) в форме
ди' 2 dp' Ьи! dp' /сох
Система уравнений E8) может быть сведена к одному уравнению.
Дифференцируя обе части первого уравнения системы E8) по времени
t, а второго— по х, умножая обе части второго уравнения на а% и вычи-
вычитая его почленно из первого, получим линейное уравнение гиперболиче-
гиперболического типа
^1_а^ = 0. E9)
Аналогичное уравнение найдем для определения р':
а замечая,что
и для р':
2ау =0
° дх*
Общее решение любого из этих уравнений можно представить в виде
суммы, в .частности,
' иЦи(х-аог); F0)
вид функций ft и f2 зависит от начальных условий задачи.
Введем новые координаты gf и |2, связанные со старыми при помощи
равенств
6i=x+aoff I2=x—aot F1)
Такое преобразование координат имеет простой кинематический смысл.
Ось координат О^ расположена вдоль оси Ох и движется поступатель-
поступательно в сторону отрицательного направления оси Ох со скоростью а0, точно
так же ось О2?2 движется поступательно в сторону положительного на-
направления оси Ох с той же скоростью а0.
Решение F0) принимает при этом вид
Ы. F2)
Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности, т. е. следующие два
частных решения уравнения E9):
K'=MSi)=M*+aoO, u'=ft(l*)=U(x-aot). F3)
Функция МЫ представляет в подвижной системе O&i не завися-
зависящее от времени распределение возмущений скорости. Эта фиксирован-
фиксированная форма одномерного возмущения, заданная начальным его распреде-
распределением, перемещается, согласно первому из равенств F3), как одно це-
целое вдоль отрицательного направления неподвижной оси Ох со скоро-
§ 32 СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИИ ЮЗ
стью а0. Аналогично этому функция /2(Ы> характеризующая распределе-
распределение возмущений в подвижной системе О2|2, представляет вторую фикси-
фиксированную форму возмущения, отличную, вообще говоря, по своему виду
от первой и распространяющуюся также как одно целое в положитель-
положительную сторону неподвижной оси Ох с той же скоростью а0.
Полагая в этих решениях ?4 = const или |2=const, получим две си-
системы плоских волн:
х—a0/ = const, F4)
представляющих две движущиеся в противоположные стороны со ско-
скоростью а0 перпендикулярные оси Ох плоскости, каждая из которых несет
постоянные, заданные начальными условиями значения возмущений ско-
скорости, давления, плотности или температуры; такие волны называют
простыми.
Общее решение уравнения E9), а следовательно, и аналогичных
уравнений для возмущений давления и плотности складывается, таким
образом, из решений, соответствующих двум распространяющимся в
противоположные стороны простым волнам; само уравнение E9), так
же как и однотипные уравнения для плотности и давления, являются
одномерными волновыми уравнениями. С геометрической стороны полу-
полученное решение можно интерпретировать как наличие в плоскости (xt t)
двух семейств прямых F4) с угловыми коэффициентами ±а0, обладаю-
обладающих тем свойством, что вдоль каждой из этих прямых сохраняются по-
постоянные значения заданных начальными условиями возмущений ско-
скорости или других параметров газа. Эти два семейства прямых представ-
представляют в рассматриваемом случае два семейства характеристик волново-
волнового уравнения E9).
Физически две такие простые волны можно создать перемещениями
с малой амплитудой поршня около некоторого первоначального поло-
положения.
Общая для обеих волн скорость а0 называется скоростью распрост-
распространения малых возмущений в газе и определяется, согласно E7), фор-
формулой
/ F5)
В последней формуле подстрочный индекс нуль, характеризующий
рассматриваемое невозмущенное состояние газа, опущен, так как фор-
формула F5) верна и в случае как угодно движущегося газа, если только
под величиной а понимать местную скорость распространения малых
возмущений относительно движущегося газа в данной точке потока.
К числу наиболее широко наблюдаемых явлений распространения малых
возмущений в жидкостях и газах относится распространение звука, за-
заключающееся, как известно, в распространении волн слабого сжатия и
разрежения. В связи с этим величину а называют скоростью звука.
Скорость звука, согласно формуле F5), зависит от характера баро-
тропности процесса распространения малых возмущений.
Если предположить, что жидкость несжимаема (р = const), то по
F5) а=оо. Это означает, что в модели несжимаемой жидкости возму-
возмущения распространяются с бесконечной скоростью, т. е. всякое измене-
изменение давления в данном месте потока должно мгновенно сказаться в
любом другом месте. В ряде случаев такое предположение может с до-
достаточным для практики приближением приниматься для расчетов, в
других, как далее будет показано, от него приходится отказываться и
пользоваться схемой сжимаемой среды, имеющей конечную скорость
распространения звука.
104
ГЛ V ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Принимая процесс распространения звука изотермическим и вспо-
вспоминая, что при изотермическом процессе (С —постоянная)
Гг, dP Г Р
dp P
получим изотермическую скорость звука
/
Если предположить, что процесс распространения звука происходит
настолько быстро, что можно пренебречь влиянием сравнительно мед-
медленного процесса отвода тепла и считать процесс распространения звука
адиабатическим, то будем иметь
F6)
адиабатическая скорость звука будет равна
а =
Формула изотермического распространения звука была предложена
Ньютоном, а формула F6) —Лапласом; эксперименты подтвердили
правильность формулы Лапласа F6). Под скоростью звука в дальней-
дальнейшем будет всегда подразумеваться адиабатическая скорость звука F6).
Применяя формулу Клапейрона, перепишем равенство F6) в виде
F7)
Отсюда следует, что скорость распространения звука в совершенном газе
зависит лишь от абсолютной температуры и физических свойств газа.
Замечая, что газовая постоянная R может быть выражена через молеку-
молекулярный вес газа \х и ускорение силы тяжести g по формуле
г> 848g м*
К
получим
а ^
Для воздуха ?=1,4, ц = 29; принимая g = 9,81 м/с2, получим, что ско-
скорость распространения звука в воздухе равна
а = 20,1/Г м/с;
в частности, при Т=273 К @°С) скорость звука достигает величины
332 м/с. Скорость звука в воздушной атмосфере меняется с высотой над
уровнем моря. Применяя стандартную атмосферу, получим табл. 1 стан-
стандартных скоростей звука в зависимости от высоты над уровнем моря.
Я, км
-1,0
0,0
1,0
2,0
г. к
294,5
288,0
281,5
275,0
а, м/с
345
341
337
333
Я, км
3,0
4,0
5,0
6,0
Таблица
т, к
268,5
262,0
255,5
249,0
1
а, м/с
329
326
322
317
Я, км
7,0
8,0
9,0
10,0
г, к
242., 5
236,0
229,5
223,0
а, м/с
313
309
306
300
§32 СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ J05
В кинетической теории газов показано, что скорость звука имеет
тот же порядок, что и средняя квадратичная скорость свободного про-
пробега молекул газа vs = Y^ которая также пропорциональна корню
квадратному из абсолютной температуры и определяется формулой
v8 = i3RT.
Сравнивая с F7), получим
где, напоминаем, k = cp/cv.
Для воздуха (Л= 1,4) скорость звука составляет примерно 70% от
средней квадратичной скорости свободного пробега молекул.
Скорость звука существенно зависит от молекулярного веса; так, ско-
скорость звука в аргоне при нормальных условиях меньше, чем в воздухе,
она равна 308 м/с, еще меньше эта скорость в двуокиси углерода —
258 м/с, в газообразном фреоне-12 скорость звука при 15°С снижается
до 120 м/с.
Гораздо сложнее описание явления распространения малых возму-
возмущений в неоднородных средах, таких как, например, газожидкостные
смеси1). Остановимся на распространении звуковых волн в воде, насы-
насыщенной пузырьками воздуха. Процесс образования такой смеси носит
наименование барботажа. Введем обозначения а и A—а) соответствен-
соответственно для объемных концентраций газа и жидкости; плотности газожидкост-
газожидкостной смеси, газа и жидкости по отдельности обозначим через р, рг и рж,
а соответствующие им скорости звука — через а, аГ и аж. Тогда для плот-
плотности смеси получим
р=арг+A— а)рж. F8)
Считая, что соотношение масс газа и жидкости в элементарном объе-
объеме смеси сохраняется, будем иметь
Рг= const- ^-рж. F9)
а
Примем для простоты, что пузырьки газа полностью увлекаются
жидкостью и что при этом давление в пузырьке рг совпадает с давлением
жидкости, а следовательно, и смеси в соответствующей точке. Кроме
того, будем считать, что температура в газовом пузырьке постоянна, а
следовательно, давление р пропорционально плотности рг; тогда по F9)
будет
р = const • рг = const • ~~а рж. G0)
ос
Предполагая, что распространение малых возмущений в газожид-
газожидкостной смеси происходит баротропно, возьмем от обеих частей F8) про-
производную порив полученном результате
произведем замену
J*?- — _L _^L —J_ арж — *
dp a2 'dp al' dp a*
ж
l) См. обзор van WijngaardenL. Onedimensional flow of liquids containing
small gas bubbles.—Annual Review of Fluid Mechanics, 1972, v. 4, p. 370.
106 ГЛ V. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
вместе с тем заметим, что из G0) следует
da аA —а) . аA —а)
dp p 9жаж
Тогда будем иметь
J_ __ _а_ 1-а __ аA-а)рг аA-а)рг аA-а)рж ^ ее A — <х)
В третьем слагаемом справа используем изотермичность сжатия га-
газового пузырька и заменим р на рг#Д Тогда предыдущее равенство мож-
можно переписать в форме
1 _ а а A-а) Л Рг°г Х\ , 1 — а аA — а) , а ({ — а) Рж
~&~~~р ^ [ *iVj а2 7* Р
или, замечая, что рг<рж, аг<аж и Рг^^рж^, окончательно получим
формулу В уда *)
1 _ а2 A-а)» , аA-а)рж
^~"? ~^~~ Р
Первые два слагаемых в правой части сравнительно малы и могут
быть опущены; на практике можно пользоваться следующей приближен-
приближенной формулой для скорости распространения малых возмущений (ско-
(скорости звука) в газожидкостной смеси
а .
а0— а)Рж
Минимум скорости звука соответствует объемной концентрации газа
а=1/2. Для воды с пузырьками воздуха при обычных условиях давления
(р=10 кПа) этот минимум равен 20 м/с, т. е. в 17 раз меньше скорости
звука в воздухе C40 м/с) и в 75 раз меньше скорости звука в воде
A500 м/с). Существенное отличие (а = 50 м/с) сохраняется и при 4% объ-
объемной концентрации воздуха. В цитированном обзоре Вийнгардена мож-
можно найти обобщения вышеуказанных формул скорости звука в газожид-
газожидкостных средах, учитывающие разность скоростей жидкости и пу-
пузырьков газа, влияние неизотермичности процесса сжатия пузырька,
наличия вязкости жидкости, частоты звуковых колебаний и других фи-
физических деталей процесса2).
§ 33. Числа М и X. Изэнтропические формулы
Скорость распространения малых возмущений или скорость звука
является важной характеристикой потока сжимаемой среды. В зависи-
зависимости от того, будут ли скорости движения частиц меньше или больше
скорости звука, принципиально различными будут и происходящие в
среде явления. Это может быть продемонстрировано на следующем прос-
простом и наглядном примере. Предположим, что из баллона большой ем-
емкости через сужающийся патрубок происходит истечение газа в некото-
некоторую камеру. Пусть вначале разность давлений между баллоном и каме-
камерой была невелика и скорость истечения сквозь патрубок не превосхо-
*) Wood А. В. A textbook of sound — London: Bell & Sons Ltd, 1941.
2) Детальную модель этих процессов можно найти в статье Когарко Б. С. Дви-
Движение смеси жидкости с газовыми пузырьками.— Сб. трудов Междунар. симпозиума по
неустановившимся течениям воды с большими скоростями (Ленинград, 22—26 июня
1971). М.: Наука, 1973, с. 243—246 и в других статьях того же автора.
§ 33. ЧИСЛА М И X. ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 107
дила скорости звука. Будем теперь медленно понижать давление в каме-
камере; тогда скорость истечения начнет повышаться. Создаваемые в камере
возмущения (уменьшения) давления будут распространяться против те-
течения из камеры через патрубок в баллон до тех пор, пока скорость в
выходном сечении патрубка не достигнет скорости звука. После этого
возмущения давления не смогут уже проникнуть в баллон, так как они
будут сноситься потоком, имеющим ту же скорость, что и скорость рас-
распространения возмущений в газе. Продолжающееся понижение давления
в камере не отразится на явлении истечения, скорость которого будет ос-
оставаться постоянной и равной скорости звука в выходном сечении па-
патрубка. Это явление носит наименование запирания потока. В дальней-
дальнейшем мы встретимся и с другими, столь же своеобразными явлениями в
потоках сжимаемой среды — газа.
Если где-нибудь в потоке газа скорость V станет равна местной ско-
скорости звука а, то такая скорость газа V = a* называется критической;
критическими будут называться и соответствующие значения р*, р*, Т*
давления, плотности и температуры.
Если скорость истечения в рассматриваемом только что случае до-
достигнет в выходном сечении патрубка своего критического значения, то
в этом, также называемом критическим, сечении патрубка давление,
плотность и температура газа примут соответствующие критические зна-
значения.
В адиабатическом движении газа критические значения параметров
состояния одинаковы для всех частиц газа и зависят только от полной
его энтальпии (§31) и могут быть определены, например, по «затормо-
«заторможенным» значениям параметров в баллоне, где газ предполагается не-
неподвижным. Наличие критических явлений представляет характерную
особенность газовых течений.
Приведенный пример показывает, что характер развивающихся в
потоке явлений тесно связан с величиной отношения скорости в данной
точке потока к скорости звука или критической скорости потока.
Отношение скорости V движения газа в данной точке потока к соот-
соответствующей этой точке местной скорости звука
характеризующее, будет ли поток в данной точке дозвуковым (М<1),
звуковым (М=1) или сверхзвуковым (М>1), представляет основной па-
параметр движения газа и называется числом М (числом Маха). Отноше-
Отношение скорости потока в данной точке к одинаковой для всего потока в це-
целом критической скорости У/а*=А, будем называть скоростным коэффи-
коэффициентом. В зарубежной литературе его обозначают символом М*.
В конце предыдущего параграфа уже указывалось, что скорость зву-
звука пропорциональна средней квадратичной скорости свободного пробе-
пробега молекул. Это позволяет рассматривать квадрат числа М как величи-
величину, характеризующую отношение кинетических энергий направленного
(внешнего, изучаемого в механике жидкости и газа) и хаотического, мо-
молекулярного (внутреннего) движений газа. Действительно, это отноше-
отношение энергий равно
t,« C/k) a* 3
При дозвуковом движении (М<1) кинетическая энергия направлен-
направленного движения меньше кинетической энергии хаотического. Это сохраня-
сохраняется и при сверхзвуковом движении до М=уЗ/& (для воздуха 1,46): при
больших значениях числа М кинетическая энергия направленного движе-
108 ГЛ. V. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
ния превосходит по величине кинетическую энергию молекулярного дви-
движения. С точки зрения динамики газа, рассматриваемого как сплошная
среда, характерным, критическим для процессов движения газа являет-
является не значение числа М, при котором выравниваются энергии направлен-
направленного и хаотического движений, а значение М=1, соответствующее равен-
равенству скорости частиц газа скорости распространения малых возмущений
в той же точке газа. Из дальнейшего станет ясно, что и сами уравнения
движения газа имеют принципиально друг от друга отличный характер:
эллиптический — в дозвуковом (М<1) и гиперболический в сверхзву-
сверхзвуковом потоках (М>1). Это математическое различие отражает физиче-
физические особенности двух основных режимов течения газа.
Пользуясь числами М и Я, можно составить простые, удобные для
запоминания формулы связи между скоростью, давлением, плотностью и
температурой в изэнтропическом адиабатическом движении.
Заменив в равенстве E1) энтальпию h ее выражением через темпе-
температуру, будем иметь
— + срТ = срТ09
где, как всегда, индекс нуль обозначает, что величина взята при V=0,
т. е. в адиабатически и изэнтропически заторможенном газе. Деля обе
части последнего равенства на срТ, получим
To i , V2
Замечая, что
у2 у2
"I+v
цт
перепишем предыдущую формулу в виде
Т Ь \ Т / Ъ 1 \ — 1
Т ' 2 То \ 2 ) V
Вспоминая, что скорость звука пропорциональна корню квадратно-
квадратному из абсолютной температуры, получим
G2)
Пользуясь формулами D8) и D9), легко по G1) получить изэнтро-
пические формулы: для отношения плотностей
G3)
^i + M),
Р V 2 / Ро
отношения давлении
?( *!)-« G4,
и отношения скорости потока к скорости звука в покоящемся газе
l. G5,
Изэнтропические формулы G1) —G5) осуществляют параметриче-
параметрическую связь между температурой, плотностью, давлением и скоростью
при помощи параметра М.
§ 33. ЧИСЛА М И I ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 109
Аналогичные по типу параметрические формулы можно установить,
имея в качестве параметра скоростной коэффициент X. С этой целью за-
заметим, что энтальпия связана со скоростью звука соотношением
G6)
h p ,
Р kR k - 1
и перепишем E1) в виде
V2 , а2 ,
— const,
2 А-1
где константу можно определить как из условия а = а0 при V=0, так и
из условия а = а* при V=a*. Будем иметь одно из следующих двух ра-
равенств:
1/2 п2 01 Т/2 л2 А 1 1
± 1 ^k 1 G7)
2 k—\ k—\ 2 ^—1 2 (Л — 1)
Деля обе части последнего равенства на V2, получим связь между
числом Маха М и скоростным коэффициентом К
JL A±1A (m
Л2 k + 1 ^ k + 1 Ма '
легко разрешимую относительно X или М. Таким образом, получим
' ]ГТТГ?, М G9)
и обратное соотношение
Если М=0, то и Я = 0; если же М->оо, то A,-*Amal=
(^тах=2,449 для воздуха при ?=1,4).
Заметим, что входящий в изэнтропические формулы двучлен
1 -|—=^- М2 может быть выражен через X по формуле
так что формулы G1) —G5) преобразуются к виду
k+\ ' по { k+\ ) '
f(l^f\ (82)
Ро \ k + 1 /
— =1 -t=^-X2 а =(\
Т k+\ ' {
Эти формулы, так же как и формулы G1) — G5), полезно запомнить,
потому что они постоянно встречаются при расчетах газовых потоков.
ГЛ. V. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Покажем, что в изэнтропических формулах G3) и G4) содержатся
как частный случай при М = 0 формулы несжимаемой жидкости
Р = Ро> Р+-^=А>. (83)
Подчеркнем, что условие М = 0 следует в этом случае, конечно, понимать
как наличие бесконечного значения скорости звука я, вытекающее из
формулы a = ]/dp/rfp при p = const, т. е. результат обращения в бесконеч-
бесконечность знаменателя а в выражении М, а не числителя V в нуль, что озна-
означало бы отсутствие течения. Разложим правые части G3) и G4) в сте-
степенные ряды при малых М; тогда будем иметь
Ро — Р
+ (85)
Ро 2
Полагая М = 0, найдем формулы (83) несжимаемой жидкости. Кро-
Кроме того, учитывая в полученных разложениях еще вторые члены, опре-
определим порядок погрешности, которую делают, рассматривая при малых
М движущийся газ как несжимаемую жидкость. Полагая р = const = р„,
пренебрегают по сравнению с единицей членами, старший из которых
равен 72М2. Если, например, допустить относительную погрешность за
счет неучета сжимаемости газа, равную 1%, то это равносильно требо-
требованию
72М2<0,01, М<0,14,
что для воздуха при нормальных условиях [Т= B73+ 15) К, а = 340 м/с]
приводит к ограничению скорости V<50 м/с. При скорости, близкой к
100 м/с, относительная ошибка доходит до 4%. Как видно из формулы
(84), при этом относительная ошибка для давлений в два раза меньше,
чем для плотностей.
Пользуясь изэнтропическими формулами, найдем выражение крити-
критических параметров газа 71*, а*, р*, р* через параметры Го, аОу р0, р0 за-
заторможенного газа. Для этого достаточно вспомнить, что при критиче-
критическом течении скорость V равна местной скорости звука а, т. е. в этом
случае М= 1. Тогда по G1) —G5) будем иметь
_k_ i__
а*-. / 2 р* f 2 \ k~x jy^ f 2 \ k~l
То k 4-1 а0 У к + 1 р0 \k 4- 1 У Ро U +
(86)
Составив изэнтропические соотношения для каких-нибудь двух точек с
числами Mt и М2 или \к и Х2 одного и того же потока или двух потоков,
но с одинаковыми параметрами заторможенного потока и поделив со-
соответствующие соотношения друг на друга, получим
к — \ л
тл
И
1 4
к
k
—
2
—
1
1
К
К
§ 33 ЧИСЛА М И Я. ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 1Ц
(87)
ГЛАВА VI
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
§ 34. Одномерное стационарное движение газа
по трубе переменного сечения
Если все динамические и термодинамические величины газового по-
потока являются функциями только одной, в общем случае криволинейной,
координаты и времени, то такой поток называется одномерным.
Для приближенных расчетов газовых потоков по трубам во многих
случаях можно довольствоваться следующей упрощенной одномерной
стационарной схемой. Принимая вектор скорости в данном сечении тру-
трубы или канала направленным вдоль оси, а величины скорости V, давле-
давления р, плотности р и температуры Т постоянными по сечению, будем рас-
рассматривать их как величины, изменяющиеся от сечения к сечению кана-
канала, причем закон изменения площади сечения А вдоль оси будем считать
заданным.
Отвлекаясь от влияния кривизны оси канала, примем за основной
аргумент прямолинейную декартову координату х, отсчитываемую вдоль
оси канала вниз по потоку от некоторого начального сечения.
Поток будем считать адиабатическим, а газ совершенным и идеаль-
идеальным. При этих условиях, как уже было ранее (§ 31) доказано, движение
газа можно считать изэнтропическим.
Пользуясь уравнением Эйлера
ii.*i = _±4? A)
dx p dx
и уравнением неразрывности
риА = const, B)
легко установить дифференциальное соотношение между изменениями
скорости и площади сечения трубы. С этой целью преобразуем A) к виду
P dp p p \
и возьмем от обеих частей B) логарифмический дифференциал; тогда !
получим
dp du_ dA_ .
Р « А \
Исключая при помощи этого равенства плотность в предыдущем
уравнении, найдем
/ 2 2\ ^Ц. 2 ^1_
(п и ~а ~А~'
или, деля обе части на а2,
и А
Из полученного уравнения, носящего имя Гюгонио1), вытекают
следствия:
*) Hugoniot H. Comptes Rendus de l'Acad. des Sciences.— Paris, 1880, v. 103,
p. 1178.
§ 34. СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ ИЗ
1. Если М<1, знак du противоположен знаку dA, т. е. при дозвуко-
дозвуковом движении газа, так же как и в случае несжимаемой жидкости, с воз-
возрастанием площади сечения трубы скорость движения уменьшается и,
наоборот, при уменьшении сечения скорость увеличивается.
2. Если М>1, знак du одинаков со знаком dAy т. е. при сверхзвуко-
сверхзвуковом движении газа в сужающейся трубе движение замедляется, в рас-
расширяющейся трубе — ускоряется. Этот парадоксальный на первый
взгляд результат объясняется тем, что при расширении газа плотность
его настолько сильно уменьшается, что произведение рА в равенстве B),
несмотря на увеличение площади Л, все же уменьшается, что и приводит
к возрастанию скорости и.
3. Если М=1, то dA^O; соответствующее сечение трубы будет кри-
критическим. Условие dA = 0 совпадает с необходимым условием экстрему-
экстремума площади сечения. Легко сообразить, что критическое сечение будет
минимальным, так как при подходе к максимальному сечению дозвуко-
дозвуковой поток замедляется, а сверхзвуковой ускоряется, что никак не может
привести к течению со скоростью звука в критическом сечении.
4. Если dA = 0 и сечение экстремально (максимально или минималь-
минимально), то либо М=1 и, следовательно, это сечение критическое, либо М=?1
udu=0. В последнем случае, каково бы ни было движение — дозвуковое
или сверхзвуковое, скорость в экстремальном сечении принимает также
экстремальное значение: при дозвуковом течении газа — минимальное в
максимальном сечении и максимальное в минимальном сечении, при
сверхзвуковом течении, наоборот, в максимальном сечении скорость мак-
максимальна, в минимальном минимальна.
Пользуясь уравнением B) и выведенными в конце гл. V изэнтропиче-
скими формулами, найдем связь между параметрами одномерного пото-
потока и площадью сечения, заданной в функции от координаты х. Дейст-
Действительно, согласно B) настоящей главы и (87) гл. V, имеем (индекс «1»
отмечает какое-нибудь фиксированное сечение трубы)
2
или окончательно
Это соотношение в совокупности с изэнтропическими формулами
E)
114
ГЛ. VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
дает параметрическое решение задачи об одномерном газовом потоке в
трубе переменного сечения, причем роль параметра играет число М. За-
Задаваясь функцией А(х), определим по D) М(х), а затем уже по E) и
искомые р(х)у р(*), Т(х) ии(х).
Формула D) упрощается, если принять Mf=l; тогда сечение с пло-
площадью At будет критическим (i4t=i4*), a D) преобразуется к виду
— =(-
A* U+1
J(?-l) 1
F)
На рис. 29 приведен график этой зависимости для воздуха (&=1,4).
График подтверждает ранее отме-
отмеченный факт: в дозвуковом потоке
*(М<1) для увеличения числа М се-
сечение А следует уменьшать, в сверх-
сверхзвуковом потоке (М>1), наоборот,
увеличивать. Так, например, из
рис. 29 следует, что для повышения
числа М от 0,2 до 0,8 газ должен
пройти через участок суживающейся
трубы — конфузора — с сечением,
уменьшающимся в три раза; чтобы
увеличить число М от значения 1 в
критическом сечении до 3,2 необхо-
необходимо построить расширяющуюся
трубу—сверхзвуковой диффузор—с
площадью на выходе, в пять раз пре-
превышающей площадь критического
сечения.
Присоединяя к равенству F)
очевидную группу формул
1
/
1
(
I
/
ч
/
\
\
**>
\
\
9
\
\
/
\
\
/
X
/
/
ч,
/
/
ч
1
1
ч
/
1
1
1
4
м
Рис 29
р*
1
' k-i
G)
найдем параметрическое решение, заключающее критические значения
Л*у р*, р*, Г*, а не Аи ри pj, Tu относящиеся к произвольному сечению.
Пользуясь равенствами (80) и (81) гл. V, нетрудно написать соот-
соответствующие формулы, выраженные через параметр %:
А / 2 \
A* \k+\ J
1
р*
и^го
k —
k
k-l
(8)
§ 35. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА СКВОЗЬ СОПЛО
Таблица 2
115
м
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2|8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
00
Я
0
0,218
0,431
0,635
0,825
1,000
1,159
1,300
1,426
1,536
1,633
1,718
1,793
1,858
1,914
1,964
2,008
2,047
2,081
2,112
2,138
2,437
0
0,089
0,176
0,259
0,337
0,408
0,474
0,531
0,582
0,627
0,667
0,701
0,732
0,758
0,781
0,802
0,820
0,835
0,849
0,862
0,873
1,000
р/р*
1,894
1,842
1,696
1,485
1,345
1,000
0,781
0,595
0,446
0,329
0,242
0,177
0,129
0,095
0,070
0,0515
0,0383
0,0296
0,0216
0,0163
0,0125
0
Р/Ро
1,0000
0,9725
0,8956
0,7840
0,6560
0,5283
0,4124
0,3142
0,2353
0,1740
0,1278
0,0935
0,0684
0,0501
0,0368
0,0272
0,0202
0,0151
0,0114
0,0086
0,0066
0
Р/Ро
1,0000
0,9803
0,9243
0,8405
0,7400
0,6339
0,5311
0,4374
0,3557
0,2868
0,2301
0,1841
0,1472
0,1179
0,0946
0,0762
0,0616
0,0500
0,0409
0,0335
0,0276
0
Т/Т9
1,0000
0,9921
0,9690
0,9328
0,8865
0,8333
0,7764
0,7184
0,6614
0,6068
0,5556
0,5081
0,4647
0,4252
0,3894
0,3571
0,3281
0,3019
0,2784
0,2572
0,2381
0
в
0,0000
0,3374
0,6288
0,8416
0,9632
1,0000
0,9705
0,8969
0,7999
0,6949
0,5926
0,4988
0,4161
0,3453
0,2857
0,2362
0,1953
0,1617
0,1342
0,1113
0,0933
0
Из уравнения неразрывности B), переписанного в форме
= р*м*Л* = р:*
Л9 __ ри _,
вытекает соотношение
(9)
A0)
где величина 0, согласно F) и первому из равенств (8), при заданном k
является функцией только М или Я:
2(fc—1) / h t \ 2(Л—1) /A^l_1\^-1 / h 1 \k—l
2 ; I k+i )
(ID
На рис. 29 приведен график 0(М) для воздуха (?=1,4). Для любого
сечения А трубы с заданным критическим (минимальным) сечением Л*
находим по A0) величину в; по A1) —М или X; по G) или (8) опреде-
определим р, р, Т и непосредственно скорость и. При проведении расчетов удоб-
удобно пользоваться имеющимися таблицами для воздуха (табл. 2) *); смысл
величины /г, приведенной в третьем столбце таблицы, поясняется в сле-
следующем параграфе.
§ 35. Истечение газа сквозь сопло
В качестве первого примера приложения выведенных формул 'рас-
смотрим задачу об изэнтропическом истечении газа из резервуара (кот-
(котла) очень большой вместимости.
Предположим сначала, что сопло, из которого происходит истече-
истечение, имеет вид конфузора, т. е. канала с уменьшающейся вниз по пото-
1) Подробные таблицы можно найти, например, в книгах: Ферри А. Аэродина-
Аэродинамика сверхзвуковых течений- Пер. с англ — М • Гостехиздат, 1953; А б р а м о в и ч Г Н.
Прикладная газовая динамика.— М.. Наука, 1976.
116
ГЛ. VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
ку площадью сечения. Обозначим через р0, р0, То термодинамические па-
параметры газа в котле, где газ, в силу большой вместимости котла, мо-
может рассматриваться как покоящийся (м=0, М=0), через р> р, f, M-—
соответствующие параметры в выходном сечении, площадь которого
пусть будет А, и через р'— давление в камере, куда происходит истече-
истечение; это давление рг в теории истечения называют противодавлением.
Обозначим через m массу газа, протекающую за одну секунду через
любое сечение сопла:
а_ через m* — критическое значение этой массы, соответствующее числу
АЛ в выходном сечении, равному единице; имеем т* = р*а*Л, и, следова-
следовательно, по A0) безразмерный секундный массовый расход будет равен
^ рц /?л (КА\ f 19^
Исключая из A2) М при помощи изэнтропического соотношения
k
Ро
A3)
получим выражение безразмерного расхода через отношение давления
на выходе к давлению в котле
A4)
На рис. 30 представлен график зависимости безразмерного секунд-
секундного массового расхода т/т* в функции от отношения противодавления
^ р' в камере к давлению в котле р0.
т lo \ 1 * >* ТЯ^ 1 1 ^° тех П0Р пока Давление на выходе
~т* у'\ l4^ из сопла р не станет равным крити-
критическому р*, противодавление р' бу-
будет совпадать с /?, и кривая опреде-
определится соотношением A4) (правая
сплошная ветвь кривой). При даль-
дальнейшем уменьшении противодавле-
противодавления, т. е. при р'<р*, наступит опи-
описанное в начале § 33 явление запи-
запирания выходного сечения. Возмуще-
Возмущения давления не смогут проникнуть
сквозь выходное сечение, и истече-
истечение будет происходить с постоянной
критической скоростью, несмотря на
w Q ^1 ц ц qq 1J то, что противодавление продолжа-
Рг/Ро ' ет уменьшаться. Часть графика на
рис зо Рис- 30, соответствующая интервалу
р7Ро<Р*/ро (для воздуха р*/ро=
= 0,528), представится сплошной
горизонтальной прямой, а не пунктирной спадающей кривой, как это
следовало бы по формуле A4).
Максимально возможный при заданных параметрах в котле секунд-
секундный массовый расход тщах газа сквозь выходное сечение сужающегося
/
/
/
/
/
/
/
/
/
s
/
N
///И
\
528
§ 35 ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА СКВОЗЬ СОПЛО 117
сопла равен ттах=т* = р*а*Л и, согласно (86) гл. V, представится так:
Г A5)
/_2_\**-»
Как указал Прандтль1), для воздуха можно пользоваться следую-
следующими простыми приближенными формулами истечения:
I = 0.76Л 1/
Gmax =
при р> |р0,
при р<-р0»
A6)
A7)
где G и Gmax представляют собой секундные весовые расходы, выражен-
выраженные в Н/с, а давления р0 и р должны быть выражены соответственно в
Па (Н/м2) или 10-кПа (Н/см2), в зависимости от того, задается ли пло-
площадь А отверстия истечения в м2 или см2; То — абсолютная температура
в баке.
Формула A6) получается в результате приближенной замены правой
ветви кривой на рис. 30 четвертью эллипса, а числа 0,528, выражающего
Рис 31
отношение критического давления к давлению в баке, числом 0,5. По-
Почленным делением A6) на A7) получим легко запоминаемую формулу
)
Ро ) Ро
A8)
Явление истечения газа в камеру с заданным противодавлением про-
происходит иначе, если сопло имеет как начальную суживающуюся (конфу-
зорную), так и выходную расширяющуюся (диффузорную) части. В этом
Прандтль Л. Гидроаэромеханика- Пер. с нем.— М: ИЛ, 1949, с. 327, 328.
118 ГЛ. VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
случае скорость газа, достигнув своего критического значения в сечении,
отделяющем конфузорную часть от диффузорной, при дальнейшем рас-
расширении газа в диффузорной части сопла может стать сверхзвуковой.
Такого рода сопла называют соплами Лаваля по имени шведского инже-
инженера Лаваля, впервые применившего их в качестве сопел для паровых
турбин.
Рассмотрим одномерное адиабатическое и изэнтропическое течение
газа в сопле Лаваля. Ход изменения площади А вдоль оси сопла задан
кривой на рис. 31, а; соответствующее изменение числа М — на кривых
рис. 31, б и, наконец, кривые давления, отнесенного к критическому его
значению, приведены на рис. 31, в.
Кривые М и р/р* построены по ранее выведенным формулам изэн-
тропического течения.
Из вида кривых можно сделать выводы о явлениях, происходящих
в сопле Лаваля. Если в наиболее узком сечении сопла А=А* число М
достигло значения М=1, то дальнейшее развитие потока может идти по
кривым, соответствующим как М>1, так и М<1, т. е. поток может стать
сверхзвуковым или остаться дозвуковым. Эта альтернатива разрешается
заданием противодавления на выходе из сопла.
По заданному отношению Л/Л* на выходе из сопла Лаваля, найдем
пользуясь F) или правой восходящей ветвью кривой на рис. 31, выход-
выходное значение М';>1 и, подставив его в правую часть первого равенства
G), определим расчетное значение отношения давления на выходе р' к
критическому давлению р*. Если противодавление в камере подобрать
равным этому расчетному давлению р\ то сопло Лаваля будет работать
на расчетном сверхзвуковом режиме, скорость на выходе будет превы-
превышать скорость звука и равней = М'а.
При том же значении Л/Л*, но пользуясь левой нисходящей ветвью
кривой на рис. 31, определим значение М"<1 на выходе из сопла и соот-
соответствующее ему по первому равенству G) отношение р"/р*. Выбирая
противодавление большим или равным р'\ получим различные дозвуко-
дозвуковые режимы истечения из выходного сечения сопла.
Подчеркнем, что дозвуковых режимов истечений из сопла Лаваля
заданной формы существует бесчисленное множество, в то время как
сверхзвуковое истечение единственно и может осуществляться только
при одном значении противодавления, равном р'.
Если противодавление окажется лежащим между расчетными зна-
значениями рг и р", то в сопле или вне его возникнут сложные явления, при
наличии которых движение газа в сопле уже не будет непрерывным одно-
одномерным и изэнтропическим. Если противодавление в камере окажется
меньшим р\ то газ по выходе из сопла будет продолжать непрерывно и
изэнтропически расширяться, пока не достигнет давления в камере, но
движение его вне сопла уже нельзя будет рассматривать как одномерное.
Секундный массовый расход через сопло Лаваля, так же как и в
случае чисто конфузорного сопла, не может превзойти своего максималь-
максимального значения, равного тому расходу, который пройдет сквозь сопло,
если в наиболее узком его сечении будет достигнута местная скорость
звука. Но, в отличие от конфузорного сопла, скорость на выходе из соп-
сопла Лаваля при сверхзвуковом режиме превосходит скорость звука и мо-
может быть подбором формы и длины сопла сделана тем больше, чем мень-
меньше противодавление. Можно представить себе мысленно такое идеаль-
идеальное сопло Лаваля, которое будет работать на расчетном режиме р' = 0.
Это означает, что в камере будет достигнут абсолютный вакуум, причем
наряду с р' обращаются в нуль р' и Т'.
Как об этом легко заключить из формулы Сен-Венана и Вантце-
ля C0) гл. V, скорость такого истечения является максимальной при
§ 35. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА СКВОЗЬ СОПЛО 119
данных параметрах газа в котле и равна
^ /l±I A9)
Вводя энтальпию адиабатически заторможенного газа (полную энталь-
энтальпию) ho = cpTOf можно еще написать
/ B0)
что непосредственно следует из равенства E2) гл. V при /i = 0.
Отметим, что для воздуха при абсолютной температуре Г0 = 273+
+ 15=288 К максимальная скорость будет 757 м/с. Подсчитаем еще чис-
числа М и X при максимальной скорости истечения. Замечая, что скорость
звука в вакууме равна нулю, а максимальная скорость истечения конеч-
конечна, найдем Мтах = оо. Скоростной коэффициент К достигает при этом свое-
своего максимального значения
Наряду с числами М и Я в газодинамических исследованиях исполь-
используют еще параметр Чаплыгина т, равный квадрату отношения скорости
течения к максимальной скорости и выражающийся, согласно A9), через
\ по формуле
(\ = ±=±-К. B2)
Из самого определения т следует, что ттах=1. В табл. 2 дано сравнение
чисел МДи ]/т~для воздуха (k = 1,4).
Все сказанное о движении газа в соплах справедливо для идеального
газа, лишенного внутреннего трения, и в случае полной адиабатичности
процесса, т. е. отсутствия притока или отвода тепла в сопле. На самом
деле явление движения газа в сопле неизмеримо сложнее.
Рассчитанное по приближенной теории сопло может не дать желае-
желаемого увеличения числа М на выходе, и только опытной проверкой мож-
можно добиться практически полезного результата; применяются и более точ-
точные расчеты.
При проведении расчетов одномерных газовых потоков часто бывает
полезно сравнивать термодинамические «текущие» характеристики газа
в любой точке потока с некоторыми стандартными. За такие состояния
в большинстве случаев выбирают два: покой газа и его критическое со-
состояние, т. е. движение с местной скоростью звука. Эти состояния можно
всегда себе мысленно представить осуществленными при помощи одно-
одномерного адиабатического и изэнтропического движения газа через не-
некоторый воображаемый канал.
Если движение дозвуковое, то газ приводится к покою при помощи
расширяющегося канала — дозвукового диффузора, служащего для пре-
превращения кинетической энергии потока в давление. Такой процесс носит
наименование восстановления давления. Чем больше степень восстанов-
восстановления давления, тем выше к. п. д. диффузора. В идеальном адиабатиче-
адиабатическом движении может произойти полное восстановление давления до зна-
значения Ро, определяемого уже известной адиабатической и изэнтропиче-
ской формулой.
Сверхзвуковой поток также может быть подторможен при помощи
специального сверхзвукового диффузора, аналогичного по внешней фор-
форме соплу Лаваля, причем, в отличие от него, в сужающейся части сопла
поток будет замедляться до некоторой меньшей, чем во входном сече-
сечении, но все же сверхзвуковой скорости, чтобы затем, перейдя скачкооб-
120 ГЛ. VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
разно в дозвуковой поток, продолжать далее тормозиться в расширяю-
расширяющейся части. Элементарный расчет такого сверхзвукового диффузора
будет приведен в §41 настоящей главы.
§ 36. Пример неадиабатического движения газа
Предположим, что адиабатичность одномерного стационарного пото-
потока идеального газа нарушается тем, что на некотором весьма коротком
участке к газу подводится извне тепло. Это вызывает изменение темпе-
температуры газа 7\ и температуры изэнтропически заторможенного газа Г10
до участка подогрева на величину АТ=Т2—7\ и соответственно на ДГ0 =
= Т20—Тш причем за участком подогрева вновь устанавливается адиаба-
адиабатическое течение с температурами Т2 и Г20.
Отвлекаясь от эффекта переменности сечения трубы на коротком
участке подогрева, определим изменение числа М на этом участке, пос-
после чего уже нетрудно будет найти и изменения всех остальных величин.
Основные уравнения поставленной задачи легко получить, если учесть,
что приток тепла не нарушает баланса массы и количества движения,
т. е. при прохождении газом участка подогрева остаются в силе следую-
следующие два равенства:
ри = const, p + pu2 = const. B3)
Первое из этих равенств в принятых условиях стационарного одно-
одномерного потока по цилиндрической трубе (Vn=V=u) непосредственно
вытекает из C3) гл. IV. Второе следует из равенства C4) той же главы,
если спроектировать обе его части на ось трубы, пренебречь действием
объемных сил, учесть стационарность потока, заметить, что при идеаль-
идеальности среды рпп=Рхх= —Р, и применить таким образом упрощенное ра-
равенство C4) к объему трубы, заключенному между двумя произвольны-
произвольными плоскими сечениями.
Припоминая известные уже формулы связи скорости звука с темпе-
температурой, давлением и плотностью газа, а также определение числа М,
будем иметь
kp/p a2 H VlRT Н У RT
B4)
kW) = const.
Отсюда, деля одно равенство на другое, получим искомую связь чис-
числа М с абсолютной температурой Т или температурой адиабатически
изэнтропически заторможенного газа То
= const, ;+Ш8 у% = const. B5)
Применим эти равенства к двум сечениям потока, ограничивающим
участок подогрева; тогда будем иметь
_ Mi /17
/ '
B6)
1+ftMJ 1 + Ш?
§ 37. НЕИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА
Задаваясь отношением
121
и числом Mt до прохождения участка подогрева, по первой формуле B6)
найдем М2, а уже затем по второй из формул B4) — и отношение дав-
давлений
B7)
Рг \+кЩ '
а также и все остальные термодинамические параметры. Наконец, зная
число М2 и температуру Г2, легко найдем и скорость газа за участком по-
подогрева.
Введем в рассмотрение функцию
B8)
входящую во вторую формулу B6). Вычислив производную
1-М2
убедимся, что функция /(М) имеет максимум при М=1, и этот максимум
равен
/A) =
1
V2(k+\)
/
1
/
/
•—
——.
—' —у
—
О 0,1 ОА 0,6 Of 1,0 \2 \4 15 1,8 2J}
М
Рис 32
На рис. 32 приведен график
функции /(М) для воздуха
(?=1,4). Как видно из графи-
графика и второй из формул B6),
подогрев газа при МА<1 вы-
вызывает возрастание функции
/(М2) и при этом числа М2, а
при Mi>l, наоборот, убыва-
убывание числа М2. Следователь-
Следовательно, приток тепла к дозвуково-
дозвуковому потоку ускоряет его, отвод
тепла — замедляет. В случае сверхзвукового потока приток тепла за-
замедляет его, отвод ускоряет. Так, например, при Г10 = 540 К и Mi = 0,5
увеличение температуры на 20% приводит к возрастанию числа М до
значения М2=0,6. При той же начальной температуре и числе Mt=l,4
подогрев на 7% приведет к уменьшению числа М до М2=1; при этом
давление увеличится более чем на 50%.
§ 37. Неизэнтропическое движение газа по трубе при наличии
сопротивления
Рассмотрим адиабатическое,, но не изэнтропическое движение газа
по трубе при наличии сопротивления трения, причем для простоты огра-
ограничимся случаем трубы постоянного сечения.
Для поддержания равномерного движения реальной жидкости в тру-
трубе постоянного сечения необходимо к сечениям трубы, ограничивающим
некоторый участок длины /, приложить движущий перепад давлений
122 ГЛ VI ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Др, который смог бы уравновесить сопротивление трения, препятствую-
препятствующее движению жидкости по трубе. Этот перепад давления называют со-
сопротивлением участка трубы и представляют формулой
*Р=КТ*Т~' B9)
где D — диаметр трубы, р — плотность жидкости, принимаемая постоян-
постоянной, иср — средняя но сечению трубы скорость движения жидкости, опре-
определяемая отношением секундного объемного расхода жидкости сквозь
сечение к площади сечения. Коэффициент сопротивления X представляет
собой безразмерное число, зависящее от физических свойств среды:
плотности р и коэффициента вязкости \ху а также от средней скорости иср
и диаметра D трубы. Более точно, X является функцией некоторого комп-
комплекса этих величин — рейнольдсова числа Re = p#cpZ)/[A1).
При принятом в настоящем параграфе приближенном одномерном
представлении движения будем считать среднюю скорость wcp совпадаю-
совпадающей со скоростью и одномерного движения, а коэффициент сопротивле-
сопротивления X — постоянной величиной. Последнее допущение можно оправдать
тем, что X слабо зависит от Re, а само число Re на данном участке трубы
обычно меняется сравнительно незначительно и может быть заменено
своим средним значением. Применяя формулу сопротивления B9) к
сжимаемому газу на участке длины dx, будем иметь
dp==j^pffL. (зо)
Н D 2 V '
Составим уравнение Эйлера A) для одномерного стационарного дви-
движения идеального газа, учитывая влияние трения дополнительным пере-
перепадом давления C0); тогда будем иметь уравнение движения
из которого найдем
*!. = _±4р_Х-*-, C1)
dx p dx 2D V
р 2 D
Воспользовавшись формулой Клапейрона и определением скорости зву-
звука я=У&р/р, получим, вводя число М,
t№. C2)
р 2 D и v '
Уравнение неразрывности B), переписанное (А = const) при помо-
помощи формулы Клапейрона в виде
дает после логарифмического дифференцирования
f— const,
*в<?_*. C3)
р Т и
Сравнение C2) и C3) приводит к соотношению
^ + о^Н^
ттг -^тН^- {34)
Но по определению числа М
ы = Ма = const-
1) Подробнее об этом см. гл. X и XIII настоящего курса.
§ 37. НЕИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПО ТРУБЕ
123
так что после логарифмического дифференцирования
du dM , 1 dT ,qrv
Ввиду адиабатичности движения, т. е. тепловой изоляции трубы, на-
напишем условие сохранения полной энтальпии h0 или, что все равно, тем-
температуры заторможенного газа
= consl;
C6)
тогда будем иметь, вновь логарифмически дифференцируя,
f— (*-o ??, •
/ . , *• *_ t Jo
Выражая при помощи C5) и C6) du/u и dT/T через число М и его диф-
дифференциал dM и подставляя эти значения в равенство C4), получим пос-
после простых преобразований следующее
основное соотношение:
2D
Положим d?>0, т. е. будем рас-
рассматривать развитие движения вниз
по потоку. Тогда сразу видно, что
dM>0, если М<1 и dM<0, если М>
>1. Это приводит к следующему вы-
выводу: при адиабатическом движении
газа по трубе постоянного сечения на-
наличие трения вызывает ускорение до-
дозвукового потока и замедление сверх-
сверхзвукового потока.
Пользуясь равенством C7), мож-
можно определить длину /* участка тру-
трубы, на котором дозвуковой поток, на-
начав с заданного значения Мо<1, до-
достигнет благодаря наличию ускорения значения Mi = l; аналогично
можно найти длину участка, на котором сверхзвуковой поток от задан-
заданного Мо> 1 замедлится до М4 = 1.
Интегрируя C7), будем иметь, полагая ? = 0 в сечении, где М = М0,
1 + ~т— мо
2D
k+\
In-
C8)
Так, например, для воздуха (Л =1,4) при М0 = 0,4 будем иметь, при-
принимая X=0,01 (это соответствует Re = 2,5- 10е),
— = 1,62 л 230;
D 1,4-0,01
в тех же условиях при Мо = 1,4 получим
/• = 2
D 1,4-0,01
• 0,07» 10.
Общий ход зависимости безразмерного параметра ?* от Мо пред-
представлен на рис. 33. Можно заметить, что при возрастании числа Мв до
124 ГЛ. VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
бесконечности ?* стремится к конечной величине
Г > ^ ln*+1 !
b 4
В частности, для воздуха (Л =1,4) кривая на рис. 33 имеет горизон-
горизонтальную асимптоту |* = 0,5751.
§ 38. Плоская ударная волна и скачок уплотнения
В отличие от задачи о распространении малых возмущений изучение
явления распространения конечных по интенсивности возмущений пред-
представляет математические трудности, так как требует интегрирования не-
линеаризованных уравнений E5) гл. V. Рассмотрению этого случая бу-
дет посвящен § 44; там же при-
водится принадлежащее Риману
строгое объяснение явлений воз-
возникновения в идеальном газе
ударных волн, представляющих
собой поверхности разрыва пара-
параметров состояния газа и скорости
его Движения. Остановимся сна-
сначала на элементарной теории
Рис. 34 ударных волн и удовольствуемся
простым качественным объясне-
объяснением причины их возникновения.
Представим себе (рис. 34) теплоизолированную от внешней среды
цилиндрическую трубу бесконечной длины, вдоль которой перемещается
поршень. Пусть вначале поршень и газ неподвижны, а затем поршень
мгновенно приобретает некоторую скорость и перемещается с этой ско-
скоростью влево, сжимая находящийся перед ним газ. Возникающее при
этом возмущение (сжатие газа) будет распространяться по трубе.
Разобьем мысленно область возмущенного газа на большое число
объемов близкими друг к другу, перпендикулярными к оси трубы плос-
плоскими сечениями, каждому из которых соответствуют свои значения воз-
возмущенных параметров газа и скорости распространения по отношению
к газу. Можно предположить, что распределение возмущений вдоль оси
в каждый момент непрерывно, т. е. в двух достаточно близких друг к
другу сечениях параметры газа мало разнятся между собой. Тогда, пред-
представляя движение газа в данном сечении как относительное в системе
координат, движущейся поступательно и равномерно со скоростью газа
в смежном сечении, можем в такой галилеевой системе применять тео-
теорию распространения малых возмущений. Это позволит утверждать, что
скорость распространения возмущений в каждом сечении равна местной
скорости звука.
Таким образом, распространение возмущений, создаваемых порш-
поршнем, можно рассматривать как совокупность непрерывно следующих друг
за другом звуковых волн, причем каждая последующая волна перемеща-
перемещается по газу, возмущенному предыдущими волнами. Но в рассматривае-
рассматриваемом адиабатическом и изэнтропическом движении сжатие газа сопро-
сопровождается его подогреванием, а скорость распространения возмущений
возрастает с температурой. Отсюда заключим, что каждая последующая
волна будет перемещаться относительно невозмущенного газа быстрее,
чем предыдущая. Волны будут догонять друг друга, складываться и об-
образовывать одну обладающую конечной интенсивностью волну сжатия,
называемую ударной волной.
Заметим, что при движении поршня влево за ним образуется разре-
разрежение, которое будет распространяться вправо от поршня также волно-
§ 38 ПЛОСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА И СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ 125
вым образом. Но в этом случае волны уже не будут нагонять друг друга,
так как последующая волна пойдет по газу, охлажденному предыдущей
волной, и скорость распространения последующей волны будет меньше
скорости предыдущей. Из этого простого рассуждения следует, что волны
разрежения не могут образовывать ударные волны. В следующем пара-
параграфе будет дано и другое, термодинамическое доказательство невоз-
невозможности такого рода образований.
Из описанного только что процесса развития ударной волны сжатия
следует, что после того, как ударная волна образовалась (в дальнейшем
будет доказано, что это произойдет через конечный промежуток време-
времени), по обе стороны от ее фронта параметры состояния газа и его ско-
скорость (абсолютная или по отношению к движущемуся фронту) будут
иметь значения, различающиеся между собой на конечные величины.
Фронт ударной волны представляет собой поверхность (в рассматривае-
рассматриваемом частном случае — плоскость) разрыва параметров состояния газа,
перемещающуюся по газу и вызывающую скачкообразное изменение
этих параметров, причем невозмущенный газ перед фронтом ударной
волны имеет меньшие давление, плотность и температуру, чем после
прохождения фронта.
Наличие такого скачкообразного изменения параметров газа — в
действительности очень резкого их изменения на участке длины, равной
по порядку пути свободного пробега молекулы,— показывает, что здесь
имеет место внутренний молекулярный процесс, связанный с переходом
кинетической энергии упорядоченного течения газа в кинетическую энер-
энергию беспорядочного теплового движения молекул. Этим объясняется ра-
разогрев газа при прохождении его из невозмущенной области перед фрон-
фронтом ударной волны в область возмущенного движения за фронтом удар-
ударной волны. Повышение средней квадратичной скорости пробега молекул
вызывает также возрастание давления и плотности газа при прохожде-
прохождении его сквозь фронт ударной волны.
Явление одномерного распространения плоской ударной волны допу-
допускает элементарный количественный расчет.
Обозначим через V постоянную скорость движения поршня (рис. 34),
а через 0 — скорость распространения относительно невозмущенного
газа ударной волны, показанной на рис. 34 штрихами. Предполагая, что
процесс возникновения ударной волны уже закончился, примем скорость
газа во всей области между ударной волной и поршнем одинаковой и
равной постоянной скорости движения поршня V; точно так же будем
считать постоянными в этой области и параметры газа. Таким образом,
как слева от ударной волны (в области невозмущенного газа), так и
справа от нее параметры движения и состояния газа сохраняют неизмен-
неизменные значения при всех положениях ударной волны. Отсюда следует, что
и скорость распространения ударной волны 8 также постоянна, причем из
приведенного рассуждения ясно, что ударная волна обгоняет газ, приво-
приводимый в движение поршнем, т. е. всегда будет Q>V.
Движение газа в системе координат, связанной с трубой, будет неста-
нестационарным^ так как ударная волна, перемещаясь вдоль трубы, изменяет
поле скоростей во времени. Обратим движение, сообщив мысленно всей
трубе вместе с движущимся газом поступательное движение вправо со
скоростью 6. Иначе говоря, будем рассматривать происходящее в трубе
явление с точки зрения галилеевой системы координат, движущейся по-
поступательно вдоль оси трубы вместе с фронтом ударной волны. Тогда
ударная волна окажется как бы остановленной, а движение газа — ста-
стационарным.
Неподвижную ударную волну, плоскость которой перпендикулярна к
направлению потока, будем называть прямым скачком уплотнения. Не-
Невозмущенный газ в новом рассмотрении уже не неподвижен, а подходит
126 ГЛ. VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
к скачку уплотнения слева направо (рис. 35) со скоростью 1Л = 9, а за
скачком движется со скоростью V2 = Q—V\ при этом, очевидно, Vi>V2\
давление, плотность и температура в этой галилеевой системе сохраняют
свои прежние значения. Условимся в дальнейшем обозначать индексом 1
величины перед скачком, индексом 2 — после скачка.
Чтобы найти связь между Vu pu рь 7\ и V2, p2, р2, Г2, воспользуемся
стационарностью потока и применим к нему теорему сохранения массы,
у/уу///////у//ууу//////ууууу/у/уу//у//ууу//////уу/////у/у//////////^^^ количества движения и
энергии в форме Эйлера.
Как следует из самих вы-
выводов, приведенные в
§ 24 эйлеровы формы
этих теорем могут быть
применимы и при нали-
наличии в потоке поверхно-
Рис 35 стей разрыва (например,
скачка уплотнения).
Следует только выбрать контрольную поверхность так, чтобы те ее ча-
части, на которых нормальная составляющая скорости отлична от нуля,
не совпали и не пересеклись с поверхностью разрыва.
Выберем за контрольную поверхность совокупность боковой поверх-
поверхности цилиндрической трубы и двух равных между собой по площади
нормальных сечений а* и а2 (рис. 35). Поверхность разрыва пересекает
только ту часть контрольной поверхности, где Vn = 0. В силу принятой од-
одномерности движения будем считать, что в сечениях at и а2 поля скорости
и других величин однородны. В этих условиях закон сохранения массы
при Oi = o2 и Vn = Vt или V2 сразу дает
р|^ = р2У2. C9)
Теорема об изменении количеств движения в форме C4) гл. IV, если
принять, что движение стационарно, объемные силы отсутствуют (F = 0)
и газ идеален (рп=—яр), в условиях однородности поля скоростей и
давлений в сечениях d и о2 после проектирования обеих частей C4)
той же главы на направление оси трубы даст второе искомое равенст-
равенство — сохранение полного импульса p + pl/2 —
Pi + Pi Vi2 = Рг + Рг V2Z. D0)
Аналогично уравнение баланса энергии B0) гл. IV в условиях иде-
идеального и совершенного газа рп= —яр, U = cvTy если отвлечься от объем-
объемных сил и перейти к форме Эйлера, сведется к такому:
1 p (cvT + у) Vnda = - j pVndo.
Произведя замену
найдем
Применяя эту формулу к выбранной контрольной поверхности, по-
получим
( +
§ 38. ПЛОСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА И СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ 127
или, в силу C9) и равенства сечений ai и о2,
это равенство представляет собой закон сохранения полной энтальпии
ho=h+ V2/2 газа при его прохождении через скачок уплотнения.
К системе уравнений C9), D0) и D1) можно присоединить уравне-
уравнение Клапейрона, вследствие которого будет
1 Р х R Pl k-l Pl
и аналогично
h — ——-Bl
2~*-l P, '
после чего равенство D1) заменяется следующим:
_^_а+ lL = -k— 2i- + lL . D2)
Л—1 pi 2 k — 1 р2 2 V
Таким образом, составлена система трех уравнений C9), D0) и D2)
с тремя неизвестными величинами V2> pz> Рг-
Найдем сначала связь между давлениями и плотностями до и за
скачком уплотнения, исключив из рассмотрения скорости Vi и Vt. Для
этого, согласно C9), перепишем уравнение изменения количеств движе-
движения D0) в виде
И ^ V2 - Vx)
и умножим обе части этого равенства: справа на выражение
а слева на равную ему величину
-~ +—=^тг + —= — + — ;
Pi^i Pi P2V2 Pi Pi P«
тогда получим
, l
+
Pa
С другой стороны, из уравнения баланса энергии D2) следует
Л — 1 V Pi р2
так что, приравнивая левые части двух последних равенств, найдем
Группируя в этом равенстве члены ср,и рг, получим уравнение Гюгонио
pt _(k+\)p2-(k-l)Pl _^(^+ l)Pc/Pi—(А—1) .„
Pi (*+1)Pi-(*-1)P» *+ 1 — (A —l)Pa/Pi '
Вспоминая связь между давлением и плотностью в адиабатическом
движении идеального газа, определяемую изэнтропической адиабатой
, * D4)
128
ГЛ. VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
видим, что уравнение Гюгонио D3) представляет адиабату, отличную от
изэнтропической; эту адиабату называют ударной адиабатой или адиаба-
адиабатой Гюгонио в отличие от изэнтропиче-
изэнтропической адиабаты Пуассона D4).
Полученный результат на первый
взгляд противоречит доказанному в пре-
предыдущей главе положению об изэнтро-
пичности адиабатического движения
идеального газа. Не следует, однако, за-
забывать, что, в отличие от рассмотренно-
рассмотренного ранее непрерывного вдоль трубки то-
тока движения, в настоящем параграфе
рассматривается разрывное движение с
конечным скачком параметров газа в не-
некотором сечении трубы. Отсюда следует
только сделать заключение, что прохож-
прохождение идеального газа сквозь скачок уп-
уплотнения не является изэнтропическим
процессом, а сопровождается необрати-
необратимым переходом механической энергии в
тепловую.
Как известно, при наличии необра-
необратимых процессов преобразования меха-
механической энергии в тепловую в замкну-
замкнутой (адиабатической) системе энтропия
этой системы должна возрастать. Легко убедиться, что в рассматривае-
рассматриваемом сейчас случае прохождения газа сквозь скачок уплотнения отнесен-
отнесенная к единице массы энтропия газа будет возрастать. Составим с этой
целью выражение энтропии по E4) гл. V. Получим
Рис. 36
На рис. 36 показаны для сравнения графики двух адиабат: изэнтро-
изэнтропической и неизэнтропической ударных адиабат. Как видно из этого гра-
графика, при p2/pi>l ударная адиабата располагается выше изэнтропиче-
изэнтропической, откуда и следует, что выражение, стоящее в квадратной скобке под
знаком логарифма в формуле D5), больше единицы, логарифм положи-
положителен, так что действительно s2>St.
Из формулы D5) сразу следует, что скачка разрежения быть не мо-
может. Действительно, повторяя формально все предыдущие рассуждения
относительно воображаемого скачка разрежения, можно было бы полу-
получить те же самые формулы и при Pi>p2, Pi>p2. Но при p2/pi<l кривая,
соответствующая ударной адиабате, ложится ниже изэнтропической
адиабаты [на рис. 36 эта ветвь показана штрихами; она пересекает ось
ординат в точке @, —""]]» так что в этом случае s2<54; это озна-
чает, что при прохождении газа сквозь воображаемый скачок разреже-
разрежения отнесенная к единице массы энтропия газа должна была бы умень-
уменьшаться, а это приводит к противоречию со вторым началом термодина-
термодинамики. Таким образом, и из общих термодинамических соображений сле-
следует, что скачок разрежения невозможен.
Заметим, что ударная адиабата имеет асимптоту
Pi
так как при этом отношение давлений, согласно D3), обращается в бес-
§ 39. ПРЯМОЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ 129
конечность. Отсюда следует, что, в отличие от обычного адиабатическо-
адиабатического и изэнтропического сжатия газа, например в теплоизолированном ци-
цилиндре с поршнем, как бы ни было велико сжатие pjpt газа в ударной
волне, созданное ею уплотнение газа p2/pt не может превзойти величины
—i— . Так, например, воздух, пройдя сквозь скачок уплотнения, не мо-
может повысить свою плотность более чем в шесть раз.
§ 39. Изменение скорости и термодинамических параметров газа
при прохождении его через прямой скачок уплотнения
По теореме Бернулли, справедливой порознь в областях до и после
скачка уплотнения, имеем
у- у"
Н ~ — 0 = СР* 10> ^2 Н Г" ==: ^20 = СР*20'
Сравнивая эти равенства с D1), заключим, что при прохождении
газа сквозь скачок уплотнения сохраняются полная энтальпия h0 и тем-
температура адиабатически заторможенного газа Го, а следовательно, и а0,
а*, Г*. Таким образом будет:
0 === ^20 == ^0> ' 10 === •* 20 == * 0» М = i 2 == ' >
D6)
аю == а2о = ао» а* = а! = а*.
Согласно формуле Клапейрона можно написать также, что
v*' /
Рю _ Рго Pi
iho p2o Pi P_>
Разыщем связь между скоростями Vx и К2 до и за скачком уплотне-
уплотнения. Перепишем с этой целью уравнение количеств движения D0) с уче-
учетом C9) в виде
V. _ Vа = -h 2L- . D8)
1 2 PV PK V
Уравнение Бернулли в форме второго из равенств G7) гл. V, применен-
примененное до и после скачка, дает
2(k —
k—\ k—\ p2 2(*—1) 2
Определяя из этих двух уравнений отношения pjpit P2/P2 и подставляя
их значения в уравнение D8), получим после простых преобразований
равенство
Но по доказанному выше в скачке уплотнения p2>pt и, следовательно,
по C9) Vi> Vz; при этом предыдущее равенство приводится к следующе-
следующему выведенному Прандтлем соотношению:
ViVz = a*\ D9)
которое при переходе к скоростным коэффициентам Хи Я2 преобразуется
5-9487
130
К ВИДУ
ГЛ. VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
ЛА.= 1. E0)
Из формулы Прандтля D9) при наличии неравенства V{>V2 сле-
дует
или
т. е. перед скачком движение газа сверхкритическое, за скачком — до-
критическое.
Воспользовавшись формулой (80) гл. V, убедимся, что Mt>l при
Х,>1 и М2<1 при Я2<1. Таким образом, заключим, что движение газа
до прохождения им скачка уплотнения является сверхзвуковым, за скач-
скачком — дозвуковым.
Перейдем в формуле Прандтля E0) от скоростных коэффициентов
к числам М. Согласно соотношению G9) гл. V будем иметь
k +1 Мх М2
v
* —
-MJ
k — 1
I
М;
Разрешив это уравнение относительно М2, получим связь между числа-
числами Mt и М2 до и после скачка
E1)
Составляя для упрощения вычислений производную с((М22)/с((М,2) вме-
вместо одинаковой с ней по знаку производной dM2/rfMb будем иметь
о,
откуда следует, что с возрастанием числа М, потока до скачка число М2
за скачком монотонно убывает. Приводим табл. 3 связи между М, и М2
Mi
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
М,
1,000
0,912
0,842
0,779
0,739
0,701
Pt/Pi
1,000
1,246
1,520
1,824
2,120
2,455
Mi
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
Таблица
М,
о,бе8
0,640
0,616
0,595
0,577
3
Pt/Pi
2,820
3,200
3,604
4,043
4,500
Mi
24
2,2
2,3
2,4
2,5
М.
0,561
0,546
0,534
0,522
0,512
Pt/Pi
4,970
5,480
6,000
6,550
7,400
в диапазоне l^Mt^2,5 для воздуха F=1;4); в этой же таблице приво-
приводятся и числовые значения отношения р2/Рь характеризующего сжатие
газа при прохождении его через скачок уплотнения. Формула связи p2/Pi
и Mj будет выведена далее.
Как показывает формула E1), при беспредельном росте Mi вели-
величина М2 стремится к своему предельному значению
для воздуха (&=1,4) равному 0,378.
2k
§ 39. ПРЯМОЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ 131
Определим относительные изменения давления
Др рв — Pi
ПЛОТНОСТИ
и температуры
при прохождении газа через скачок уплотнения. Для этого используем
основные соотношения C9), D0) и формулу Прандтля D9), написав
Pi Pi Pi I Vt) kpJh. \ V\ )
р\
АР
Pi
AT
г,
Pi
Р2 — Pi
Pi
Г2-7\
Остается применить формулы G9), (80) гл. V перехода от \t к Mi
или от Mi к %t, чтобы получить искомые соотношения
Ар = 2k ^-1 р, _{ 2k ^-l ffi2)
Pi *+I , *-!., ' Pi *+1 , *-1 ,. '
J-!rf- E3)
Аналогичные преобразования дают
р-г — Pi _ Vi _j_ Yl i
Pi V2 a'2
так что
Ар a 2 1 (t\d\
Pi
k+l M,
Ap _ Mi" _?|_ _ 2 x yggx
Чтобы определить относительное изменение температуры, использу-
используем равенство D1), из которого следует
дт - ^ у2 у* у- / у2 \
71! hx 2fix 2a\l(k—\)
Заменяя здесь, как и ранее, Mt через Я? или Л4 через Mi, получим
AT Лг — 1 ^J — 1
E6)
<57>
Чтобы оценить потерю механической энергии движущегося газа при
прохождении им прямого скачка уплотнения, условимся характеризо-
132
ГЛ. VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
вать механическую энергию полным давлением р0, т. е. давлением в
адиабатически и изэнтропически заторможенном газе. При этом за ко-
количественную характеристику необратимости процесса прохождения
0,8
0,6
0.4
0,2
О
—у
\
\
\
J
\ /
л
/
/
/
/
/
/
—¦
50 p,
w
40
30 Ш
20
W
0,0/=
4
\
\
S
'S
\
X
\
4
\
s
\
1
\
\
2 3 4 5 6 7
Mi
Рис. 37
/2345678
Рис. 38
газа сквозь прямой скачок примем величину х отношения полного дав-
давления р20 за скачком к р10 до скачка
Рю
E8)
Выражая р20 и pi0 по изэнтропическим формулам через давления рг
и pi газа за скачком и перед скачком, получим
vA-i
4
PlO
Заменяя здесь отношение р2/р, по E2) на одно из следующих:
Рг
Рг
i+^im;-,),
1+
2k
и используя выражения E1) и E0) М2 и Х2 через Mt и Хь получим ис-
искомое отношение в одном из следующих двух видов:
Рю
1 — "
—1 1
k+\
l~~
2k
E9)
§ 39 ПРЯМОЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ 133
Напомним, что, согласно D7), эти же выражения определяют и от-
отношение плотностей заторможенного газа за скачком и до скачка.
На рис. 37 представлен график второго соотношения E9) для воз-
воздуха (?=1,4); там же приведен график сжатия р2/р{ воздуха в скачке.
График, выражающий первое соотношение E9), имеет тот же характер,
но Pio/Рю обращается в нуль не при Mi-^oo, а при конечном значении
скоростного коэффициента Х1=^=\/——!- . Как видно из графика, чем
* k — 1
больше величины Mt или рг\Ри характеризующие интенсивность скач-
скачка, тем относительно меньшее давление р2о можно получить за счет по-
последующего адиабатического и изэнтропического торможения газа, про-
прошедшего через скачок уплотнения. Причина этого явления была выяс-
выяснена раньше: в скачке уплотнения имеет место необратимое превраще-
превращение механической энергии в тепловую, вследствие чего механическая
энергия становится меньше.
Более точно, чем на рис. 37, можно судить о значениях отношения
рго/Рю при больших числах Mt по графику рис. 38, где это отношение
построено в логарифмическом масштабе; здесь же дана зависимость
в(М|) [формулы A0), A1)], которая потребуется в § 41.
При больших М4 вторая из формул E9) может быть заменена при-
приближенной, асимптотической
Ы \ 2 / JL
*1
2* D-1)*
F0)
что дает простую количественную оценку поведения величин рм/рм при
больших Mf. Например, для воздуха (й=1,4) при больших Mt рас-
рассматриваемое отношение обратно пропорционально числу Mi в пятой
степени, что говорит о весьма значительных потерях механической энер-
энергии при прохождении газа через скачки большой интенсивности. Ука-
Укажем, что соответствующая этому случаю простая асимптотическая (вер-
(верная только при больших значениях М,) формула для х будет х~
-360 М Г5.
Исследуем поведение кривой на рис. 37 при малых значениях раз-
разности М,2—1. Преобразуем (второе равенство E9) к виду
._ , (Mi — 1)
Производя разложение по степеням малой величины М?—1, убедим-
убедимся, что коэффициенты при М?—1 и (М?—IJ обращаются в нуль, и
134 ГЛ. VI ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
разложение величины х = р2о/Рю будет иметь вид
,_1 **_<fci>l+... F!)
Из последнего разложения видно, что скачки малой интенсивности
не приводят к заметной потере полного напора, так как при Мь близком
к единице, рго совпадает с pi0 с точностью до малой величины
2k (M2,-!K
Так, для воздуха (?=1,4) эта величина имеет порядок 0,16(М?—IK
и, например при превышении скорости звука на 10% (Mt= 1,1) будет
равна 0,0015.
При наличии необратимых потерь в адиабатической системе возра-
возрастает ее энтропия. Для определения этого возрастания применим равен-
равенство D5) к параметрам адиабатически и изэнтропически заторможен-
заторможенного газа, что допустимо, так как изэнтропическое торможение не мо-
может влиять на приращение энтропии. Получим
R k — \ L Рю V P20
Но, по предыдущему, -^- = -^- , следовательно,
Рго Рго
k-\ lvpi0; j vpio1 F2)
Подставляя сюда отношение р2о/Рю по приближенной формуле F0),
найдем при больших Mj соотношение
s-^^ 37-lnMx, F3)
выражающее асимптотический закон роста энтропии при прохождении
газа сквозь скачки большой интенсивности.
При сравнительно малой интенсивности, т. е. при разности (М?—1),
близкой к нулю, будем иметь, согласно F1),
F4)
Отсюда следует, что скачки малой интенсивности приводят к сла-
слабым изменениям энтропии, т. е. околозвуковые явления можно с доста-
достаточной степенью приближения рассматривать как изэнтропические.
§ 40. Скорости распространения ударной волны
и спутного потока за нею
Составив основные соотношения для скачка уплотнения, вернемся
теперь к рассмотрению явления распространения ударной волны в про-
пространстве. Определим скорость 0 распространения ударной волны по
отношению к невозмущенному (покоящемуся) газу и скорость V движе-
движения возмущенного газа за ударной волной; последнее движение можно
было бы назвать спутным потоком газа за ударной волной. Согласно
изложенному в § 38 эти скорости связаны со скоростями Vi и V2 по от-
отношению к ударной волне равенствами
Q=VU V=Q—V2=Vi—V2. F5)
§ 40 СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 135
За меру интенсивности скачка, а следовательно, и ударной волны
можно принять число Мь равное, по предыдущему,
MY I \j /&&\
2 —— —— ф \WJ/
или сжатие газа в скачке pjply равное по E3)
-^- = _?*-Mi— —- . F7)
Рг k+l k+\
Тогда скорость 9 распространения ударной волны по отношению к не-
невозмущенному газу будет
с«— 1 * «т 1 Рг л /cq\
! Л*. . д 1601
Из этой формулы вытекают два важных следствия.
1. Скорость распространения ударной волны по отношению к He-
возмущенному газу всегда больше скорости звука в невозмущенном
газе.
2. При уменьшении интенсивности ударной волны скорость ее рас-
распространения стремится к скорости звука в невозмущенном газе
6 = аг при Мг = 1 или ра « рг.
Звуковую волну можно, таким образом, рассматривать как удар-
ударную волну очень малой интенсивности.
Чтобы определить скорость V спутного потока за волной, использу-
используем второе из соотношений F5) и формулу Прандтля D9); тогда по-
получим
Производя здесь замену
будем иметь после простых преобразований
Ь- (в9)
При больших Mi можно указать приближенную асимптотическую
формулу
"^8
из которой видно, что спутный поток за ударной волной при очень боль-
больших интенсивностях имеет скорость меньшую, чем скорость распростра-
распространения самой ударной волны, но довольно близкую к ней.
Выражение F9) по E3) легко преобразовать к виду
ft«'' <70>
Pi
или при очень больших р2//9,
136
Г Л VI ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО. ГАЗА
Как легко заключить из G0), в звуковой волне (p2/Pi~l) скорость
спутного потока близка к нулю. С ростом интенсивности ударной волны
скорость спутного потока возрастает; при очень больших интенсивно-
стях эта скорость пропорциональна корню квадратному из сжатия p2/Pi.
Приведем табл. 4 численных значений относительных сжатий и
уплотнений газа ударной волной, распространяющейся в неподвижном
Таблица 4
1
1
1
2
4
Mi
,18
,47
,94
,40
Др/Pi
0
0
1
9
22
,47
,39
,20
,20
Ар'Pi
0
0
0
2
3
,30
,81
,77
,74
Д7\ °С
0
33
87
465
1075
9, м/с
340
400
500
1000
1500
V, м/с
0
93
224
734
1181
М
5,
8,
11,
14,
90
80
80
70
Др/р
40,
92,
165
258
i
3
3
Др/Pi
4
4
4
4
,20
,58
,72
,78
дг, °с
1925
5 940
7 750
12 100
е. м/с
2000
3000
4000
5000
V, м/с
1611
2880
3300
4135
воздухе (&=1,4) при 15°С (Г=288 К) и нормальном атмосферном дав-
давлении; в той же таблице помещены соответствующие этим сжатиям зна-
значения Mt, 6, У и перепада температуры ДГ.
Заметим, что даже при сравнительно небольших сжатиях воздуха
ударной волной возникает сильный спутный поток. Так, например, лег-
легко подсчитать по предыдущим формулам, что ударная волна, несущая
относительное сжатие воздуха Лр/р! = 0,22, распространяясь со ско-
скоростью 370 м/с, могла бы вызвать спутный поток со скоростью 50 м/с.
Отсюда видно, сколь ничтожные сжатия воздуха несут с собой обычные
звуковые волны, почти совершенно не смещающие частицы воздуха.
Приведем следующие данные1): для звука в сто тысяч раз более
интенсивного, чем самая громкая игра оркестра, амплитуда изменения
плотности воздуха в звуковой волне составляет всего лишь 0,4% от нор-
нормальной плотности воздуха; амплитуда изменения давления равна
0,56% от атмосферного давления; амплитуда скорости воздуха не пре-
превышает 0,4% от скорости звука, т. е. имеет порядок 1,3 м/с. Амплитуда
смещения частиц воздуха при частоте в 500 Гц достигает 0,036 см. Звук,
создаваемый сильной сиреной, может вызвать спутный поток — «звуко-.
вой ветер», способный потушить свечу.
Приведенные в табл. 4 числовые данные относятся к идеальному
газу. Они рассчитаны в предположении об отсутствии вязкости и тепло-
теплопроводности, причем в силу адиабатичности предполагается и отсутст-
отсутствие лучистого отвода энергии, очень существенного при высоких темпе-
температурах. На самом деле энергия ударной волны частично поглощается
реальным газом и интенсивность волны при этом ослабевает; вместе с
тем действительные процессы распространения ударных волн не явля-
являются адиабатическими, т. е. энергия их отводится в окружающее про-
пространство.
Следует еще отметить то, что табл. 4 относится к распространению
плоской ударной волны, для которой все характерные величины сохра-
сохраняются постоянными независимо от расстояния от источника образова-
образования возмущения.
На практике приходится иметь дело со сферическими ударными
волнами, процесс распространения которых существенно нестационарен
и даже в простейших случаях требует для своего изучения применения
сложного математического аппарата.
]) Зельдович Я. Б, Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпе-
высокотемпературных гидродинамических явлений.— М.: Физматгиз, 1963, с. 18, 19.
§ 41. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХЗВУКОВОГО ДИФФУЗОРА
137
Отличие сферического распространения волн от плоского можно
просто показать на примере задачи о распространении сферической зву-
звуковой волны. Составим уравнения возмущенного движения в сфериче-
сферических координатах, поместив начало координат в центр возмущений (то-
(точечный источник звука). Точные уравнения будут состоять из уравне-
уравнения движения, совпадающего с соответствующим уравнением в плоском
случае (первое уравнение системы E5) гл. V), если только в нем заме-
заменить х на расстояние г точки относительно источника возмущений, а под
и понимать радиальную скорость газа,
ди , ди
\-и —
Ы дг
дг
и уравнения неразрывности, которое в сферических координатах приве-
приведется к такому:
д 1 д(*)
ur i l
dt r*
дг
В полной аналогии с § 32, пользуясь малостью возмущений, линеа-
линеаризируем эти уравнения и, довольствуясь предположением об адиаба-
тичности движения, придем к следующей системе уравнений малых воз-
возмущений:
ди' _._ g0 dp' _0
dt т р0 аг
dp' , Ро d(rV) _п
G2)
где, как и в § 32, ао2«= (dp/dp) 0.
Решение этой системы в виде расходящейся от центра волны имеет
вид
,_^
G3)
что соответствует убыванию интенсивности возмущения по закону 1/г.
Сферические звуковые волны по сравнению с плоскими обладают и дру-
другими особенностями, на которых мы не будем останавливаться1).
§ 41. Элементарная теория сверхзвукового диффузора
Простым примером одномерного потока с прямым скачком уплот-
уплотнения служит проточная часть прямоточного реактивного двигателя,
упрощенная схема которого по-
показана на рис. 39. Все устройство ///
может быть расчленено на следу-
следующие части: входную часть /— Мо
/// - сверхзвуковой диффузор, ^
среднюю часть III—IV — камеру 1^
горения и выходную частью IV—
V — сопло Лаваля.
Назначение сверхзвукового
диффузора заключается в пре-
превращении кинетической энергии
набегающего на двигатель сверхзвукового потока в энергию сжатия,
необходимую для повышения интенсивности горения топлива, подводи-
подводимого в камеру горения через форсунки.
1) См. цитированную только что книгу, с. 21, 22.
сдерхзбуновой %Ъ камера \
я.—,„™ |>ф горения i
сверх-
звунЬвое
сопло
138 ГЛ. VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Камера горения служит для сообщения потоку тепловой энергии,
которая является основным источником расширения газа и превращает-
превращается в ускоряющем поток сопле Лаваля IV—V в кинетическую энергию
струи на выходе из сопла V. Количество движения этой струи служит
источником реактивной силы двигателя, которая определяется как про-
произведение секундного массового расхода газа сквозь выходное сечение
двигателя на относительную скорость выхлопа. Простейший расчет про-
проточной части двигателя по одномерной теории элементарен и заключа-
заключается в использовании, с одной стороны, изэнтропических формул, а с дру-
другой— основных формул теории прямою скачка. Приток тепла при этом
может учитываться приближенно по теории, аналогичной изложенной в
§ 36.
В основе расчета лежит выбор режима работы двигателя. От выбо-
выбора режима зависит расположение прямого скачка уплотнения, неизбеж-
неизбежного при сверхзвуковом полете, внутри или вне проточной части двига-
двигателя. Оптимальным является расположение скачка в горле // сверхзву-
сверхзвукового диффузора или в непосредственной близости за ним. Действи-
Действительно, в этом случае набегающий на двигатель сверхзвуковой поток с
числом Mi>l станет [вспомнить следствия из уравнения Гюгонио C)]
замедляться в сужающемся канале на участке /—// до некоторого М2>
>1, но меньшего Мь затем посредством сравнительно малого по интен-
интенсивности скачка перейдет в дозвуковой поток и, оказавшись после это-
этого в расширяющемся канале //—///, будет продолжать замедляться,
восстанавливая давление. При этом весь канал /—/// работает на
полезное для двигателя восстановление давления перед камерой го-
горения.
При некоторых режимах работы двигателя скачок уплотнения мо-
может возникнуть перед входом в двигатель в виде так называемой отсое-
отсоединенной ударной волны (см. § 62). Наличие такого рода ударной вол-
волны на входе резко уменьшало бы к. п. д. двигателя, как об этом можно
заключить из следующей оценки. Обозначим через Vi>ai (at — ско-
скорость звука на данной высоте Н полета) скорость летательного аппара-
аппарата. Давление в набегающем потоке пусть будет pt\ давление в камере
горения — ра\ Предполагая сначала головную волну отсутствующей, а
процесс поступления воздуха в камеру горения изэнтропическим, будем
пренебрегать малой по сравнению со скоростью набегающего потока
скоростью движения воздуха в камере. Тогда получим
в частности, для воздуха F=1,4)
Так, например, при М,=2 получим сжатие воздуха в камере
На высоте //=10 км давление pt (по международной стандартной
атмосфере) равно примерно 26 кПа, в камере горения при М4=2 (это
на высоте 10 км соответствует скорости самолета, равной 600 м/с, или
2160 км/ч) при изэнтропичности торможения давление р^=200 кПа.
Такое повышение давления весьма благоприятно отразилось бы на ра-
работе двигателя. Однако из-за наличия головной ударной волны, участок
которой вблизи входа в двигатель можн® рассматривать как прямой
скачок, такое изэнтропическое движение не осуществляется. За счет по-
потерь механической энергии, согласно рис. 38, давление в камере будет
§ 41. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХЗВУКОВОГО ДИФФУЗОРА 139
равно
р2 = р20 = 0,75/?10 = 0,75 • 200 = 150 кПа,
т.е. 75% давления при изэнтропическом торможении. Разница эта была
бы значительнее при больших М1в Так, при Mi=3 давление в камере
составило бы лишь 35% давления изэнтропически заторможенного воз-
воздуха, при Mt = 4 —только 15%, при Mi = 5 —всего 5%. Для сохранения
эффекта повышения давления в камере горения двигателя необходимо
приближать процесс восстановления давления к изэнтропическому, т.е.
бороться с образующейся перед входом в двигатель головной волной.
Одним из способов такой борьбы является использование сверхзву-
сверхзвукового диффузора, благодаря которому скачок во время запуска дви-
двигателя сначала «садится» на
входное сечение, а затем пере-
мещается в глубь входного со-
пла двигателя, теряя при этом
свою интенсивность. Другой
путь борьбы с головной удар-
ударной волной заключается в ее
разрушении при помощи иглы,
выдвигаемой навстречу сверх-
сверхзвуковому потоку на входе в Рис- 40
двигатель. Объяснение эффек-
эффекта применения иглы выходит за рамки теории одномерного потока; изло-
изложение соответствующей двумерной теории будет дано в § 62.
Для количественной оценки возможности восстановления давления
в потоке при помощи сверхзвукового диффузора сделаем следующие
близкие к практике допущения: 1) поток в проточной части диффузора
адиабатичен, 2) стенки диффузора непроницаемы. Эти два основных до-
допущения сводятся к требованию отсутствия тепломассопереноса в диф-
диффузор извне. Используем условия сохранения вдоль потока секундной
массы и полной энтальпии или температуры торможения, а следова-
следовательно, и критической температуры. Сохраним в качестве индексов, от-
отмечающих принадлежность величины к тому или другому сечению диф-
диффузора, римские цифры1) (рис. 40) и обычные обозначения звездочкой
и нуликом для критических и «заторможенных» значений характерных
для потока величин.
Чтобы не вдаваться во второстепенные для одномерного подхода
детали условий входа внешнего потока в сверхзвуковой диффузор, при-
примем, что поток на йходе в диффузор образован некоторым воображае-
воображаемым, показанным на рис. 40 штрихами, идеальным соплом Лаваля с
площадью узкого сечения (горла) Л* и критическими характеристика-
характеристиками р*, р*, а*. Выходное сечение этого сопла будем считать совпадаю-
совпадающим с входным сечением диффузора.
Если бы поток в сверхзвуковом диффузоре можно было рассматри-
рассматривать как изэнтропический, пренебрегая наличием в нем необратимых
процессов: скачков уплотнения, трения и др., то этот диффузор пред-
представил бы в свою очередь идеальное сопло Лаваля, только с обратным
по направлению потоком. Такое сопло часто называют обратным соп-
соплом Лаваля, иногда сохраняя это наименование и для реального сверх-
сверхзвукового диффузора, восстановление давления в котором всегда связа-
связано с необратимыми неизэнтропическими процессами и прежде всего с
наличием скачков уплотнения, неизбежных при переходе сверхзвуко-
сверхзвуковых потоков в дозвуковые.
1) Арабские цифры 1, 2 были использованы уже для обозначения величин до и
за скачком.
140 ГЛ VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Среди всевозможных течений в сверхзвуковом диффузоре выделим
два основных предельных случая. В первом из них набегающий
сверхзвуковой поток переходит в дозвуковой еще до входа в диффу-
диффузор, пройдя сквозь отсоединенную ударную волну (см. далее § 62)
или через скачок уплотнения, сидящий во входном сечении диффузора.
Поскольку поток за прямым скачком всегда дозвуковой, то в этом слу-
случае диффузор работает как дозвуковой. Положение скачка при этом
не является устойчивым по отношению к малым возмущениям потока и
рассматривается лишь как удобный образ для противопоставления его
второму, оптимальному с точки зрения решения задачи о восстановле-
восстановлении давления случаю, когда скачок уплотнения, пройдя сквозь сужаю-
сужающийся участок /—//, займет положение в сечении // или в непосредст-
непосредственной близости за этим сечением.
Для приближенной, сравительно грубой оценки выигрыша в степе-
степени восстановления давления, осуществляемого сверхзвуковым диффузо-
диффузором, сосредоточим все внимание лишь на изменениях полного давления
при прохождении потока через скачки уплотнения, считая течения до и
за скачком по отдельности изэнтропическими. Количественной оценкой
этого восстановления явится введенный ранее равенством E8) коэффи-
коэффициент х, зависящий от числа М в потоке перед скачком по формулам
E9), F0) или F1).
Назовем коэффициентом восстановления полного давления в сверх-
сверхзвуковом диффузоре г) отношение величин х(М) для второго (скачок в
горле диффузора) и первого (скачок во входном сечении диффузора)
случаев, т. е. положим
где Mj —одно и то же в обоих сравниваемых случаях, а М/2} обознача-
обозначает число Маха в сечении (//) во втором случае, причем в этом случае за
счет замедления сверхзвукового потока в сужающемся участке /—// бу-
будет М,>М$>1.
В первом случае (скачок на входе), нисколько не нарушая общно-
общности, будем считать горло диффузора критическим (Л//=Л*/) и полагать
М(// = 1. Для определения т] остается лишь найти М(// при заданном М7,
так как сама функция х(М) уже известна и, например, для воздуха за-
табулирована.
С этой целью составим отношения площадей критического сечения
в воображаемом сопле Л аваля и горле диффузора А*/Ац для двух рас-
рассматриваемых случаев движения и приравняем их между собой, так как
и в том и другом случае геометрические размеры проточной части одни
и те же. Имеем в первом случае (закон сохранения массы; сечение //
критическое)
9 G5)
или, по закону сохранения полной энтальпии, а следовательно, критиче-
критической температуры и критической скорости газа,
Л* Р/7
Используя еще формулу Клапейрона (газ совершенен)
?- = RT' = RT), = flL G6)
Р* Р//
§ 41. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХЗВУКОВОГО ДИФФУЗОРА
Таблица 5
141
1
1,000
2
0,876
3
0,884
4
0,891
5
0,895
7
0,898
10
0,901
оо
0,903
Таблица 6
м,
л
1
1,000
1,5
1,049
2
1,157
3
1,341
4
1,452
6
1,558
8
1,602
10
1,624
оо
1,666
и переходя от критических давлений к полным, будем иметь в первом
случае работы сверхзвукового диффузора
Ро
G7)
Обращаясь к рассмотрению второго случая, когда скачок располо-
расположен в горле // сверхзвукового диффузора, вспомним, что в этом режиме
работы диффузора сечение // уже не является критическим. Число
М/л став меньшим, чем Мг, все же сохранит значение М(//>1, соответ-
соответствующее сверхзвуковому течению в этом сечении.
Введем по A0) функцию 0(М), которая, в силу изэнтропичности
движения на участке от горла воображаемого сопла Л аваля до сече-
сечения //, будет определяться равенствами A1). По закону сохранения
массы получим
Г11 11 л /~\ /|lJU)\ /*7Q\
=: = v3ilVi//J. \'о)
РА Ац
Сравнивая между собой G7) и G8), найдем искомую зависимость
М/У от М,:
в(М(/|) = х(М/). G9)
Это уравнение допускает простое графическое решение. Пользуясь
графиками функций в(М) и х(М), помещенными на рис. 38, можем, за-
задаваясь числом Мх на входе, найти х(Мх) и, снеся эту ординату на кри-
кривую 8(М), определить соответствующую абсциссу М(/). По виду кривых
на рис. 38 заключим, что отношение М/) /М7 будет близким к единице.
Приводим табл. 5 для воздуха (&=1,4), подтверждающую это во всем
диапазоне значений Мх.
Можно приближенно положить
М/2/ = 0,89М/ при 1,2^М/^оо.
При Mj>2,5 ошибка не превысит 1%.
Коэффициент восстановления полного давления в сверхзвуковом
диффузоре г] определим как функцию числа М7 на входе, исключая М/3}
из G4) и G9).
Приводим табл 6 зависимости ц от М7 для воздуха.
При рассмотрении табл. 5 и 6 можно заметить, что, несмотря на ма-
малую разницу в числах М на входе и в горле сверхзвукового диффузора,
выигрыш в восстановлении полного давления довольно значителен и
возрастает с ростом числа М7 в набегающем потоке. Этот факт находит
142 ГЛ. VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
свое объяснение в отмеченной ранее высокой степени зависимости (об-
(обратная пропорциональность пятой степени для воздуха) коэффициента
восстановления х от числа Маха.
Описание разнообразных случаев работы сверхзвуковых диффузо-
диффузоров и приближенную трактовку их с точки зрения как одномерной, так
и двумерной теорий можно найти в специальных руководствах по этому
вопросу1).
Изложенные в настоящем параграфе элементы одномерной теории
сверхзвукового диффузора весьма приближенно отражают сущность
происходящих в нем в действительности явлений. Прежде всего отме-
отметим, что наряду с прямыми скачками уплотнения в проточной части диф-
диффузора и на его входе образуются системы косых скачков, наклоненных
к оси диффузора под различными углами, отличными от прямого угла.
Эти скачки нарушают одномерность потока, делают его двумерным
(плоским или осесимметричным).
Кроме того, допущение об идеальности газа, т. е. отсутствии в нем
внутреннего трения, также слишком упрощает действительный поток в
диффузоре. На самом деле торможение потока силами трения создает
неоднородность профиля скоростей, не учитываемую одномерной теори-
теорией. Существенную роль в работе сверхзвукового диффузора может сы-
сыграть явление отрыва потока (пограничного слоя) от стенок диффузора,
тесно связанное с наличием в диффузоре косых скачков, падающих и
отражающихся от стенок диффузора; об этом будет идти речь в заклю-
заключительных главах курса.
§ 42. Измерение до- и сверхзвуковых скоростей пневматическими
методами
В отличие от трубок Прандтля (рис. 28), применяемых для потоков
малых скоростей (М<^;1), трубки для измерения больших сверхзвуко-
сверхзвуковых скоростей представляют собой тонкие, с передней частью кониче-
конической формы зонды со статическими отверстиями для измерения давле-
давления pi в набегающем потоке газа плотности р4. Полный напор pi0 изме-
измеряется отдельной, присоединенной к прибору трубкой.
Предположим, что газ движется с большими, но дозвуковыми ско-
скоростями (Mi<l). В этом случае можно применить формулу изэнтропи-
ческого движения
k
1. (80)
Регистрируя микроманометром отдельно давление р10 в динамиче-
динамическом и давление pi в статическом отверстиях обычной трубки Прандт-
Прандтля, определим число Mj движущегося газа, а зная температуру газа,
найдем скорость звука а, в движущемся газе, а следовательно, и ско-
скорость Vt. Измерение температуры можно производить, например, тер-
термопарой или другим термометрическим прибором, помещенным в такую
точку скоростной трубки, где скорость равна нулю, и можно быть уве-
уверенным, что измеряется температура изэнтропически заторможенного
газа То. Таким местом является лобовая точка на скоростной трубке,
где поток разветвляется. Измеряя непосредственно Го, найдем Г, по
формуле
1) См. Герман Р. Сверхзвуковые входные диффузоры/Пер, с англ.—М.: Физ-
матгиз, 1960
§ 42 ИЗМЕРЕНИЕ ДО- И СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЕЙ
затем скорость звука
и искомую скорость
143
Показание давления р10 в динамическом отверстии D можно считать
надежным, что же касается работы статического отверстия, то
относительно него следует сделать оговорку. При достаточно больших,
хотя и меньших единицы, значениях числа Mt на сферической поверх-
поверхности носика могут возникнуть зоны местных сверхзвуковых скоростей.
Последующий переход от сверхзвуковых ско-
скоростей к дозвуковым вызовет возникновение
на поверхности трубки перед статическим от-
отверстием S скачков уплотнения и местные ис-
искажения давления. Наименьшее значение чи-
числа Mt<l набегающего потока, при котором
на поверхности обтекаемого тела (в данном
случае измерительной трубки) возникают
сверхзвуковые зоны, называют критическим
числом М и обозначают Мкр1). Если число Mt
набегающего потока превосходит число Мкр,
то пользование статическим отверстием ста-
становится ненадежным и необходимо каким-ни-
каким-нибудь независимым путем определять давление
р{ в движущемся газе, например при движе-
движении газа по цилиндрической трубе измерять
давление на стенке трубы в сечении, близком
к носику скоростной трубки.
Применение статического отверстия S
при измерении скоростей в сверхзвуковом по-
потоке может также оказаться неудовлетворительным, так как в этом
случае перед динамическим отверстием возникает головная волна и
давление р4 не будет совпадать с показаниями микроманометра, со-
соединенного со статическим отверстием. Скачки уплотнения, садящие-
садящиеся на участок поверхности трубки DS, искажают поле давлений в
газе.
Используя показание р20 динамического отверстия за головной вол-
волной и измеряя каким-нибудь другим путем ри найдем их отношение
palpi. Это отношение связано с искомым числом Mj набегающего потока
формулой Рэлея
k±i JL
Р20 _ Р20 _?10__ /*+ 1 * M
7Г~ ft. Рг -\~
20
1в
12
8
п
у
/
/
1
/
1
1
1
рИс. 41
(kM*_Lz±\k
следующей из формулы E9).
На рис. 41 приводится зависимость между p2o/Pi и Mi для воздуха
(*=1,4).
При сверхкритических дозвуковых и сверхзвуковых скоростях носи-
носику трубки придают форму острой иглы (конуса с малым углом раство-
раствора), разбивающей головную ударную волну. Это позволяет улучшить
работу статического отверстия, служающего для определения давления.
1) Об этом подробно будет сказано в § 67 гл. VIII.
|44 ГЛ. VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Параллельно этой игле на некотором от нее расстоянии помещают за-
борник полного давления. Число Маха определяют, помещая в поток
термометр сопротивления1).
§ 43. Нестационарное одномерное течение идеального газа.
Распространение возмущений конечной интенсивности
Вернемся к рассмотрению нелинеаризованной системы дифферен-
дифференциальных уравнений одномерного нестационарного движения E5) гл.У,
которые при адиабатичности движения могут быть путем замены (& —
функция давления)
*?— 2 _LEP_ — dp _dp dp _ р d9
dp p dx dx dt dp dt a2 dt
dp dp dp p d&
dx dpdx a2 dx
переписаны в виде
~dt dx dx~~ '
(82)
a dt dx a dx
Введем вместо функции давления & новую функцию ^, положив
р
ddb = — d3b = — dpf &> = Г —^ . (83)
a pa J р(р)а (р)
Ро
При этом
dt a dt * дх ~ а дх '
и система (82) перейдет в следующую:
J^ + ^ + a^-O,
dt ^ дх^ dx
а/ ал- ал-
Почленным сложением и вычитанием преобразуем эту систему урав-
уравнений к виду
(84)
В левых частях этих уравнений стоят одномерные индивидуальные про-
производные: в первом уравнении от величины У>+и, связанной с точкой,
движущейся вдоль оси Ох со скоростью и + а, а во втором уравнении от
величины &—и, связанной с точкой, движущейся вдоль оси Ох со ско
ростыо и—а. Равенство нулю этих индивидуальных производных гово-
') См , например, Г о р л и н С. М. Экспериментальная аэромеханика.— М • Высшая
школа, 1970, с. 158—182. "
§ 43. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 145
рит о сохранении величины 9>+и в точке, движущейся со скоростью
+а, и величины 3*—и в точке, движущейся со скоростью и—а. Величины
г = У> + и, s = ?F>—u (85)
носят наименование инвариантов Римана1).
Замечая, что в одномерном движении вдоль оси Ох точке с абсцис-
абсциссой х соответствует на самом деле плоскость, перпендикулярная к оси
Ох и проходящая через эту точку, например плоское сечение трубы, мо-
можем интерпретировать полученный результат как наличие двух семейств
плоских волн, распространяющихся вдоль оси Ох.
Абсолютная скорость распространения волн первого семейства (С*)
равна
^ = и + а9 (86)
at
а второго семейства (С2)
?-«-«. (87)
Направляя ось Ох вниз по потоку, т. е. считая и>0, можем сказать,
что волны первого семейства в своем относительном движении по газу
распространяются в ту же сторону, что и газ, волны второго семейст-
семейства—в противоположную сторону. Относительная скорость распростра-
распространения волн по газу равна чья, где а — местная скорость звука; верхний
знак относится к первому семейству, нижний — ко второму. Волны пер-
первого семейства несут постоянное значение инварианта г, волны второго
семейства — инварианта 5.
В случае линеаризованного движения газа (§ 32) имела место ана-
аналогичная картина распространения возмущений, с той лишь разницей»
что волны в этом случае распространялись с постоянной скоростью, рав-
равной скорости звука в невозмущенном газе, и несли постоянные значения
параметров газа.
Прежде чем перейти к более детальному рассмотрению вопроса о
распространении конечных возмущений, заметим, что волновой харак-
характер уравнений (84) позволяет указать графоаналитический метод их ин-
интегрирования. Изложим основную идею этого метода.
С геометрической точки зрения уравнения (84) могут быть интер-
интерпретированы так. В каждой точке плоскости (/, х) существуют два на-
направления (на рис. 42 они показаны штриховыми линиями) с угловыми
коэффициентами
(f ) d1) =u-a, (88)
обладающих тем свойством, чго при бесконечно малом перемещении
вдоль этих направлений соответствующие значения инвариантов Рима-
Римана сохраняются.
Уравнения (86) и (87) можно рассматривать как дифференциаль-
дифференциальные уравнения семейств кривых Ci и С2, угловые коэффициенты каса-
касательных к которым определяются равенствами (88). Разыскание урав-
уравнений этих семейств кривых в конечной форме невозможно до интегри-
интегрирования уравнений (84) и нахождения и(х, t) и а(х, /); однако, как мы
сейчас увидим, наличие равенств (88) существенно как для представле-
!) Riemann В Ober die Fortpflanzung cbener Luftwellen yon endlicher
Schwingungsweite.— Abhandl d. Ges d. Wiss. zu Gottingen, 1860 (русский перевод:
Риман Б. Сочинения. О распространении плоских во:«н конечной амплитуды.—М .
Гостехиздат, 1948, гл. XXI).
146
ГЛ. VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
ния общего характера процессов, описываемых уравнениями (84), так
и для интегрирования этих уравнений.
Кривые С{ и С2 представляют собой так называемые характеристи-
характеристики системы (84), а направления касательных к ним (88) — характери-
характеристические направления. Напомним, что в случае линеаризованной
Рис. 42
Рис. 43
задачи (§ 32) уравнения характеристик были известны в конечной
форме; это были семейства прямых
*+a/=const, х—a/=const.
Математическому понятию характеристик в плоскости (х, t) как
раз и соответствуют введенные ранее понятия волн как плоскостей, дви-
движущихся со скоростями и + а и и—а и несущих значения инвариантов
Римана г и s.
Предположим, что нам задано некоторое начальное распределение
скорости u(s) и параметров газа p(s), p(s), a(s), а следовательно, и
&(s) вдоль некоторой кривой S (рис. 43), направление касательных к
которой не совпадает с характеристическими направлениями. В част-
частном случае это может быть заданием начальных условий при /=0, т.е.
на оси Ох, или граничных условий на прямых, параллельных оси О/.
Определив по (88) угловые коэффициенты кривой Cj в точке А и
кривой С2 в близкой точке В по формулам
tgвм = (-?) = иА + ам tg02а =
=ив— аВ9
2B
проведем через эти точки соответствующие характеристические направ-
направления и построим малый треугольник ААХВ.
На отрезке ААХ характеристики Ct сохраняется первый инвариант г,
т. е.
а на отрезке Л45 характеристики С2 — второй инвариант s, так что ,
Из полученной системы равенств находим
"в).
§ 43. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 147
«* =j(&A+UA—&B+ UB),
а следовательно, и рА„ рл„ аАх.
Повторяя такое же рассуждение относительно треугольника BBtCy
построенного по значениям угловых коэффициентов характеристики С\
в точке В и характеристики С2 в точке С, найдем значения uBl и 3>Вк в
точке Ви а следовательно, и рВхУ pBi и аВх. Это позволит наметить направ-
направления характеристик в точках Ai и Bi9 построить треугольник AxAiBt и,
по предыдущему, определить значения «и,?в точке А19 а затем в точ-
точках Л2, Вг и т. д. Задаваясь достаточно густым делением кривой 5 в точ-
точках Л, В, С и т. д., найдем значения неизвестных функций м, р, р, а в
сколь угодно близких друг к другу точках плоскости (х, t).
Обратимся теперь к более детальному рассмотрению вопроса об од-
одномерном распространении в идеальном газе возмущений конечной ин-
интенсивности. Покажем, что, подобно тому как это имело место в случае
малых возмущений, распространение конечных по величине возмущений
также может происходить при помощи простых волн (§ 32), т. е. волн,
бегущих с постоянной скоростью и несущих с собой постоянные значе-
значения параметров газа. Такого рода распространение возмущений конеч-
конечной интенсивности будет иметь место, если один из инвариантов Римана
постоянен во всей области течения, для чего, очевидно, достаточно, что-
чтобы этот инвариант был постоянным в начальный момент времени (при
/=0, вдоль оси Од:). Возможность такого рода допущения будет вскоре
пояснена и проиллюстрирована примером.
Пусть для определенности постоянен второй инвариант s=^P—и.
Полагая р=р0 при w = 0 и вспоминая определение #\ данное по-
последней из формул (83), будем иметь во всей области течения и в лю-
любой момент времени •
3> = и. (89)
При этом второе уравнение системы (84) выполнится тождественно, а
первое, переписанное в виде
|--|-(„+а)| = 0, (90)
показывает, что волны семейства Ci несут постоянные значения скоро-
скорости и. Согласно (89) постоянными будут также значения функции j?, a
следовательно, и параметров газа р, р и а. Отсюда следует, что абсо-
абсолютная скорость распространения волны и + а и скорость ее по отноше-
отношению к газу а сохраняют постоянные значения в данной волне, т. е. вол-
волна простая.
Из принятого условия и>0 и равенства (89) заключим, что ?Р>0у
а по (83) р>роУ т. е. возмущения, переносимые волнами первого семей-
семейства, соответствуют сжатию газа, а сами волны можно назвать волнами
сжатия.
Точно так же, сделав предположение о сохранении во всей области
течения и во времени инварианта г=?Р+и, т. е. положив
$4-w = const = 0, (91)
где константа выбрана равной нулю из тех же соображений, что и в
предыдущем случае, убедимся, что при этом второе уравнение системы
(84) перейдет в следующее:
? + („_а)!!«=0. (92)
of ох
148 ГЛ. VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
т. е. в волнах второго семейства С2, так же как и в волнах первого се-
семейства, скорость и сохраняет свое значение, а по (91) сохраняются ^,
р, р и а. Итак, при выполнении условия (91) второе семейство С2 также
представляет собой совокупность простых волн с абсолютной скоростью
распространения и—а и со скоростью а по отношению к газу, направлен-
направленной в сторону, противоположную движению газа. Согласно (91) и усло-
условию ы>0 заключим, что волны второго семейства представляют собой
волны разрежения.
В отличие от случая малых возмущений, рассмотренного в § 32, где
все простые волны имели одну и ту же по величине скорость распрост-
распространения, равную скорости звука в невозмущенном газе, в разбираемом
сейчас случае простых волн, несущих конечные по интенсивности возму-
возмущения, скорости распространения по отношению к газу, равные по аб-
абсолютной величине местной скорости звука, не одинаковы для различ-
различных волн данного семейства.
Легко убедиться в том, что в случае возмущений конечной интен-
интенсивности абсолютная и относительная скорости распространения про-
простых волн первого семейства С\ тем больше, чем интенсивнее переноси-
переносимые ими возмущения. Для этого выразим ^ через а, предполагая для
определенности движение изэнтропическим. Имеем в этом случае
dp a^\ (93)
a pa a dp p p
с другой стороны,
а2 = k ~ = const • р*~\
р
и, вычисляя логарифмический дифференциал, найдем
dp 2 da
р k— a
так что
d&^-^—da, !?> = -!—(а —а0), (94)
где значок нуль, как и ранее, относится к параметрам покоящегося газа
(ц=0), а постоянная интегрирования выбрана в согласии с определени-
определением 9> (83). Подставляя полученное значение & в (89), найдем
а = а° + ~Г~"' и + а = ао + *±±и. (95)
Из этих равенств непосредственно следует, что для волн первого се-
семейства С{ чем больше скорость и возмущенного движения газа, тем
больше скорости и+а абсолютного и а относительного распространения
волны. Но, согласно (89), большей скорости движения соответствуют и
большие значения 53, а вместе с тем давления ? и плотности р возму-
возмущенного газа, так как по определению функции 9*
Таким образом, абсолютная и относительная скорости распростра-
распространения волн первого семейства (волн сжатия) тем больше, чем больше
переносимые ими интенсивности возмущений.
Для волн второго семейства С2 — волн разрежения — будем иметь,
согласно (91) и (94),
Ь 1 Ь -L 1
и, и — а — — а0-] и (96)
§ 43. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
149
С увеличением разрежения, т. е. абсолютной величины разности р—р0,
будет, согласно (83), увеличиваться и абсолютное значение функции !Р,
так что по (91) увеличится и скорость движения газа и. Из первого ра-
равенства системы (96) заключим, что при этом скорость а распростране-
распространения волн разрежения относительно газа будет уменьшаться, а абсолют-
абсолютная скорость увеличиваться.
Отсюда следует основное отличие явления распространения конеч-
конечных возмущений от распространения малых возмущений: начальная
форма распределения возмущений не сохраняется.
У///////////Л
Рис 44
Чтобы составить общее представление о характере деформации кри-
кривой распределения начальных возмущений, рассмотрим опять движение
поршня в трубе (рис. 44). Пусть скорость поршня равна и0, направлена
слева направо вдоль положительного направления оси Ох; справа от
поршня образуется сжатие газа. В момент времени / = /, перед порш-
поршнем образовалось возмущение скоростей, которое можно себе предста-
представить в виде некоторой непрерывной спадающей кривой и = и{(х). В по-
последующий момент времени t=t2*>ti кривая распределения скоростей
и=иг(х) будет иметь более крутой уклон, так как за промежуток вре-
времени U—ti точки кривой Ui(x) сместятся в горизонтальном направлении
на отрезки, согласно теории распространения волн первого семейства
(волн сжатия) равные
a) (t2 - tt) =
(t2 - /2)
(97)
и, следовательно, тем большие, чем больше ординаты ui кривой их{х).
С течением времени уклон кривой будет продолжать возрастать, пока в
некоторый момент времени t=ioo в одной из точек кривой касательная
не станет перпендикулярной к оси Ох, а производная u'^ix) бесконеч-
бесконечной. В дальнейшем при />^оо верхние точки кривой распределения ско-
скоростей должны были бы обогнать нижние, а кривая — приобрести фор-
форму, показанную на рис. 44 крайней справа. Но такая форма физически
невозможна, так как при этом одному и тому же сечению трубы в дан-
данный момент соответствовало бы несколько различных скоростей. На
самом деле изменение формы продолжается только до тех пор, пока ка-
касательные не станут перпендикулярными к оси Ох. Предельной формой
распределения возмущений будет служить скачкообразное изменение
скорости, показанное на рис. 44 штрихами и соответствующее, очевидно,
ударной волне.
Таким образом, из теории распространения волн сжатия конечной
интенсивности вытекает неизбежность возникновения в трубе ударных
волн.
Оценим промежуток времени /„—tu необходимый для того, чтобы
из начального распределения скоростей образовалось распределение и =
150
ГЛ. VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
=uM(x) с бесконечно большим уклоном в какой-нибудь одной точке.
Этот промежуток времени можно принять за меру времени, по истечении
которого из заданного начального распределения возмущения образует-
образуется распределение, характерное для ударной волны.
Обозначим через и=и(х) некоторое промежуточное распределение
скорости, имеющее место в момент t. Кривая и(х) получается из кривой
Ui(x) параллельным оси Ох переносом ординат кривой и{(х) на рас-
расстояние (97), так что можно написать
иF)=М*). (98)
где положено
5 = х + [а0 + *±i и, (*)] (/ - /J. (99)
Поясним, что такой перенос ординат кривой щ(х) соответствует пе-
перемещению в плоскости (jc, t) вдоль прямолинейных характеристик пер-
первого семейства с постоянными на характеристике скоростями Ui{x).
Для вычисления производной в точке § возьмем производную по х
от обеих частей равенства (98); будем иметь, используя (99),
и' (I) J =*
u[(x)(t -tx)] =u[ (x),
откуда
ut(x)
A00)
Пусть х=хм—абсцисса точки, в которой кривая ui{x) имеет мак-
максимальный по абсолютной величине уклон ^'(л;™). Тогда, полагая, что
в момент времени t=too левая часть равенства A00) при |=?т обратит-
обратится в бесконечность, получим из условия конечности величины и[(хт)
следующее равенство:
Отсюда следует
{k+\)u[{xm) (k+\)\u[(xm)\
Полученное выражение может служить поденкой промежутка време-
времени, по истечении которого распределение скоростей с максимальным по
X
Рис 45
абсолютной величине уклоном |^(д:т)| перейдет в скачкообразное рас-
распределение скоростей, соответствующее образованию ударной волны.
Этот промежуток времени конечен и имеет тем меньшую величину, чем
больше максимальный уклон кривой начального возмущения скоростей.
§ 44 ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ ЗА ДВИЖУЩИМСЯ ПОРШНЕМ 151
При рассмотренном только что движении поршня слева от него об-
образуется разрежение, которое будет распространяться при помощи волн
второго семейства (волн разрежения) и также приведет к некоторому
непрерывному распределению скоростей возмущений, направленных в
сторону положительных х. Но в этом случае распределение скоростей
представится не спадающей, как на рис. 44, а восходящей кривой
(рис. 45), так как точки, ближние к левой стороне поршня, будут иметь
большие скорости, чем удаленные от нее. Выведенное из равенств (96)
заключение о возрастании абсолютной скорости распространения волн
второго семейства показывает, что в этом случае уклон кривых умень-
уменьшается и тенденция к образованию разрывов отсутствует.
§ 44. Волны разрежения за движущимся поршнем.
Центрированные волны. Автомодельная и общая задачи
Рассмотрим детальнее1) вопрос о волнах разрежения, образующих-
образующихся в одномерном газовом потоке за движущимся поршнем. Начнем с
простейшего случая так называемых центрированных волн разрежения.
Прежде всего заметим, что из условия сохраняемости скорости дви-
движения газа и и скорости звука а вдоль характеристик данного семей-
семейства, согласно (86) или (87), следует их прямолинейность в плоскости
(*, t). Действительно, если, например, принять постоянство инварианта
г, т. е. в изэнтропическом случае положить
и + -^- = const = их + -^- , A01)
k — 1 k — 1
то вдоль характеристик С2 второго семейства — волн разрежения —
должны сохраняться и и а, так что из равенства
dx
— = и — а = const — иг — аг
будет вытекать
~dt~ t-tx '
где (xi9 tt) — какая-то точка плоскости (х, t), находящаяся на характе-
характеристике С2, а иг и at — соответствующие скорость газа и скорость звука
в этой точке. Из этого равенства следует уравнение семейства характе-
характеристик Са в плоскости (х, t)
x—x^iu.—a^it—t,). A02)
Это—-прямые линии, на каждой из которых величины ui и at сохра-
сохраняют свое постоянное значение.
Если все характеристики данного семейства пересекаются в одной
и той же точке, то соответствующие им волны носят наименование цен-
центрированных.
Рассмотрим в качестве примера центрированных волн задачу о по-
потоке газа за движущимся поршнем (рис. 46) и определим, каков должен
быть закон движения поршня, для того чтобы вызываемые им волны
разрежения были центрированными.
Обозначая через (ху I) координаты общей точки (полюса) пересе-
пересечения характеристик второго семейства (волн разрежения), положим,
]) См. цитированную уже ранее монографию: Зельдович Я. Б., Р а й-
зерЮ. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений.—
М.: Физматгиз, 1963, с. 25—43, и Патерсон Г. Н. Молекулярное течение газов.— М.:
Физматгиз, 1960, с. 63—72.
152
ГЛ. VI ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
что в начальный момент (/=0) поршень (скорость его обозначим через
до), а вместе с ним и газ находились в покое (до = 0, u=uo=O, a—aQ)y
а с момента t = tx поршень, достигнув скорости доь стал двигаться равно-
равномерно с этой скоростью. Тогда, согласно A01) и A02), будем иметь
уравнения характеристик в плоскостях (х, t) и (м, а) в конечной форме
" " 2а 2д0
t- t
— = u — я, u-\-
k— 1
— 1
A03)
Отметим, что, в то время как характеристики семейства С2 в плос-
плоскости (х, t) представляют собой семейство прямых, зависящее от значе-
значения разности и—а, в плоскости (и, а)
все характеристики сливаются в одну
прямую.
Из уравнений A03) найдем
k+\
t— t
k — 1 X — A"
A04)
A05)
0 % _ r
X
Как видно из рис. 46, начальная
характеристика 3 сектора центриро-
центрированных волн // имеет уравнение
/- грарик пути поршня
2- грасрин пути частицы
х=—
S- мочальная характеристика
области II
4 - замыкающая характеристика
области II
Рис. 46
непосредственно следующее из урав-
уравнения (87) при ыо=О, a=a0=const и
условия прохождения этой характери-
характеристики через начало координат (на-
(начальное положение поршня в началь-
начальный момент времени). Область /, рас-
расположенная слева от этой характери-
характеристики, соответствует покоящемуся газу, и характеристиками в ней будут
служить прямые, параллельные начальной характеристике. Область //
замыкается характеристикой 4, проходящей через ту точку графика пути
поршня У, начиная с которой этот график становится прямолинейным, а
скорость поршня постоянной и равной до,. Замыкающая характеристика
будет иметь уравнение
x—x=(ui—ai)(t—i),
где tii = wi9 a ai — скорость звука слева от поршня, движущегося уже
равномерно со скоростью до,. Справа от замыкающей характеристики 4
в области /// характеристики будут являться прямыми, параллельными
этой характеристике.
Уравнение движения частиц газа при рассматриваемом движении
поршня определяется путем интегрирования уравнения
dx_
dt
и — — =
t— t
и имеет вид
A06)
A07)
Различные значения постоянной интегрирования а соответствуют
выбору частиц, движения которых рассматриваются. Полагая х=0
§ 44 ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ ЗА ДВИЖУЩИМСЯ ПОРШНЕМ 153
при /=—х/а0, найдем значение а(|) и, подставляя его в уравнение
A07), получим уравнение движения частицы, имевшей в начальный мо-
момент (при начале движения поршня) абсциссу ?. В частности, таким об-
образом можно найти и интересующий нас закон движения поршня, при-
приводящий к центрированным волнам разрежения. Для этого достаточно
составить уравнение движения частицы A07), выбрав константу а из
условия, чтобы § = 0 при / = 0. Тогда получим
2а0
Местное число Маха hA = u/a будет, согласно A04) и A05), равно
х — х
1 + г-
оно сохраняет постоянное значение вдоль каждой характеристики С2 и
поэтому служит естественной «отметкой» характеристик семейства
(рис. 46).
Пользуясь вторым из равенств A03), можно получить соотношение
а вслед за ним и группу равенств
существенно отличных от выведенных в предыдущей главе изэнтропиче-
ских формул для стационарного движения газа. Прежде всего, в скоб-
скобках, в отличие от стационарного движения, стоит число М в первой, а
не второй степени; кроме того, показатели степени у круглых скобок
справа в два раза превосходят соответствующие значения в стационар-
стационарном случае. Для оценки этой разницы предположим, например, что пор-
поршень движется с возрастающей скоростью так, что М->оо, д~>0 и, со-
согласно второму равенству A03),
И-* Umax = т^-7 «о-
к — I
Если скорость поршня будет больше этой скорости, то между порш-
поршнем и газом образуется вакуум, причем скорость истечения в вакуум
Umax в этом нестационарном случае отличается от стационарной макси-
максимальной скорости A9) тем что у последней перед величиной а0 вместо
2/(fe—1) стоит множитель ^2/(k—1). Таким образом, например, для воз-
воздуха скорость истечения в вакуум при рассматриваемом нестационарном
движении оказывается в Y& раз больше, чем в случае стационарного
движения. При стационарном движении газа удельная кинетическая
энергия истечения в вакуум, согласно B0), точно равна полной энталь-
энтальпии в резервуаре, из которого происходит истечение; в случае же неста-
нестационарного истечения кинетическая энергия в 2/(k—1) раз превосходит
полную энтальпию.
Простота приведенного выше решения для центрированных волн
была обусловлена тем, что решение представляется функцией отноше-
отношения (х—x)/(t—t), а не отдельно каждого переменного х и t. Переходя
к полярным координатам, можно было бы сказать, что решение зави-
154 ГЛ. VI. ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
сит только от полярного угла 8 = arctg x-^-z и не зависит от расстояния
/— t
г=У(;с—хJ-т (I—IJ текущей точки пространственно-временной плос-
плоскости до точки пересечения характеристик (ху t). Именно поэтому ре-
решение свелось к обыкновенному дифференциальному уравнению, кото-
которое, кроме того, оказалось достаточно простым и позволило представить
интеграл в замкнутом виде.
В дальнейшем придется часто встречаться с такого рода случаями
возможности сведения уравнений в частных производных к обыкновен-
обыкновенным дифференциальным уравнениям. В этих случаях решение представ-
представляется в функции от одного аргумента, который является некоторым со-
сочетанием основных аргументов задачи. Постоянным значениям этого
сложного аргумента соответствуют целые многообразия решений по от-
отдельным аргументам, которые можно рассматривать как подобные меж-
между собой. По этой причине вообще решение дифференциального уравне-
уравнения в частных производных, выраженное в функции одного сложного ар-
аргумента, представляющего одночленную совокупность аргументов, со-
содержащихся в постановке задачи, и удовлетворяющее обыкновенному
дифференциальному уравнению, к которому в этом случае приводится
основное уравнение в частных производных, носит наименование авто-
автомодельного (в заграничной литературе — подобного) решения, а сама
задача называется автомодельной.
Примером такого автомодельного решения является только что по-
полученное решение задачи о центрированных волнах разрежения, гдев
качестве сложного аргумента фигурировало сочетание (х—x)!(t—t),
В полной аналогии с этой одномерной нестационарной задачей в даль-
дальнейшем будет разобрана плоская стационарная задача о центрирован-
центрированных волнах разрежения в сверхзвуковом газовом потоке вокруг внеш-
внешности тупого угла. Большое число автомодельных задач будет рассмот-
рассмотрено также в последующих главах, посвященных теории движения вяз-
вязкой жидкости в пограничном слое1).
Автомодельные • решения представляют, конечно, лишь некоторые
простейшие частные решения поставленной общей задачи, но вместе с
тем в большинстве случаев оказываются полезными, так как позволяют
судить об основных сторонах рассматриваемого явления. Стоит отме-
отметить— в дальнейшем это будет подтверждено многочисленными приме-
примерами,— что возможность существования автомодельных решений обу-
обусловливается отсутствием в постановке задачи (уравнениях, граничных
и начальных условиях) некоторых характерных масштабов: времени,
длины, массы или др., т. е. некоторой ограниченностью самой постанов-
постановки задачи, отказом от общности постановки. Так, например, в предыду-
предыдущей задаче о центрированных волнах разрежения за движущимся порш-
поршнем не могло быть речи о произвольном заданном наперед законе дви-
движения поршня, а, наоборот, по ходу решения задачи был определен тот
частный закон движения поршня, при котором возможно существование
центрированных волн.
Рассмотрим теперь общую постановку задачи о волнах разрежения
за движущимся по произвольному закону поршнем.
Будем, как и ранее, предполагать, что первый инвариант Римана г
сохраняет постоянную величину во всей области течения, т. е. выполня-
выполняется равенство A01). Тогда, замечая, что вдоль прямолинейных, но в
общем случае не центрированных характеристик второго семейства С2
(волн разрежения) сохраняют свои значения и и а, будем иметь,
!) Разнообразные примеры автомодельных задач можно найти в книге: Седов
Л. И. Методы подобия и размерности в механике.— М Физматгиз, 1981
§ 45. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНОЙ ТРУБЫ
155
выполняя интегрирование дифференциального уравнния (87),
, A08)
где ф(и) является постоянной интегрирования, различной на разных ха-
характеристиках. Для определения функции <р (и) зададимся законом дви-
движения поршня лгп=Х(/п) и тем самым скорости поршня w=X'(tu).
Тогда совокупность равенств
<p(w)=X(ta)-[w-a(w)]tn, w=X'(Q A09)
после исключения ta определит вид функции ср(ад); функция a(w) на-
находится по A01). Решение задачи представляется уравнением
x=[u—a(u)]t+X(tn)—[w—a(w)]tny
которое надо рассматривать как уравнение для определения и в функ-
функции от х и t. В отличие от задачи о центрированных волнах в общем слу-
случае и является функцией от х и /, взятых по отдельности, а не от ка-
какой-то их совокупности.
В частном случае центрированных волн с полюсом в точке (*<» /0)
будем по A08) иметь
ф(и)=*в— (и—a)tOi
а для определения и(х91) получим по A08) равенство
и — а (и) =
X —-
диафрагма
т. е. вновь удостоверимся, что в центрированных волнах скорости час-
частиц, так же как скорость звука и другие термодинамические параметры
газа, будут функциями отношения (х—xo)/(t—10), а не х и t по отдель-
отдельности. За иллюстративным при-
примером и некоторыми деталями
рассматриваемой задачи отсы-
отсылаем интересующихся к цити-
цитированным выше страницам мо-
монографии Я. Б. Зельдовича и
Ю. П. Райзера.
t-t, -
отраженная
ударная волна
§ 45. Элементарная теория
ударной трубы
Схема ударной трубы, слу-
служащей для создания в лабора-
лабораторных условиях кратковремен-
кратковременных сверхзвуковых потоков, не
требующих для своего осуще-
осуществления затраты больших ко-
количеств энергии, показана на
рис. 47, а.
Цилиндрическая труба с за-
закрытыми входом и выходом
разделена на два отсека диаф-
диафрагмой, по обе стороны от ко-
которой находятся газы различных физических свойств. Газ, находящий-
находящийся в левом отсеке, сжат до значительно большего давления, чем другой.
В некоторый момент времени диафрагма разрушается и газ из левого
отсека устремляется в правый. Разрыв давлений, имевший место до
разрушения диафрагмы, распространяется в виде ударной волны впра-
вправо, увлекая за собой спутный поток газа. Этот поток встречает на своем
Рис. 47
156 I Л VI ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
пути исследуемую модель, размещенную в правом отделении трубы.
Специальная оптическая установка позволяет произвести при этом мгно-
мгновенное фотографирование спектра обтекания модели, а также и другие
интересующие исследователя измерения.
Элементарный расчет ударной трубы заключается в следующем.
Охарактеризуем физические свойства газов двумя константами: моле-
молекулярным весом \i и показателем адиабаты к. Пусть газу, вначале на-
находившемуся в правом отделении, соответствуют константы jit и ku a
газу в левом отделении — ц4 и &4. Начальные давления назовем соответ-
соответственно /?! и ри, причем p4>Pi- Трубу будем считать теплоизолирован-
теплоизолированной, а движение газа адиабатическим.
На диаграмме рис. 47, б приведены графики распространения удар-
ударной волны, поверхности контакта газов1) и волн разрежения. Как вид-
видно из графика, наибольшую скорость, выражаемую производной dx/dt9
имеет ударная волна, затем поверхность контакта газов и, наконец, вол-
волны разрежения, распространяющиеся по газу справа налево, но сноси-
сносимые вправо спутным потоком. Область трубы, занятая волнами разре-
разрежения (с возрастанием времени эта область расширяется), представля-
представляет собой область непрерывного изэнтропического движения, так что на
границах этой области, используя формулы D8) гл. V, получим
Рассматривая волны разрежения как простые волны конечной ин-
интенсивности, применим к ним теорию, изложенную в § 43. Согласно этой
теории во всей области, заполненной волнами разрежения, движущими-
движущимися с абсолютной скоростью и—я, сумма & + и, равная по (94)
№ + и = а + и + const,
сохраняет одно и то же значение, так что можно написать (на левой гра-
границе области 3 газ неподвижен)
_2 _ 2
kA - 1 Q* ~ kA — 1
Замечая, что вблизи поверхности контакта газов давление и ско-
скорость непрерывны, будем иметь (рис. 47, в)
где V — скорость спутного потока. Таким образом, вместо (ПО) полу-
получим, используя A11),
Вспоминая формулу E3) сжатия газа при прохождении его сквозь
ударную волну (/^, = 0/^ — число Маха ударной волны)
J^ = _2*L_Ml2-^i A13)
и выражение F9) скорости спутного потока за ударной волной, которое
х) Предполагается, что за малый промежуток времени работы ударной трубы
газы не успеют сколько-нибудь заметно перемешаться.
« 45. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНОЙ ТРУБЫ
в настоящем случае будет иметь вид
157
A14)
подставим эти выражения в равенство A12). Тогда получим
2*4
Pi Ui-M *i+ 1У L h + \ \ Mj a4j
Здесь pjpi — заданное начальное отношение давлений в отсеках трубы,
а отношение а,/а4 при одинаковости начальных температур газов может
быть, согласно § 32 гл. V вычислено как
a4
к4цг
(П6)
Подставляя это отношение в A15), найдем Mi, а следовательно, по
A14) и скорость спутного потока V в трубе.
На рис. 48 *) приводятся графики зависимости числа Mt от \g(pjpi)
при различных значениях параметра aja{ для &t = 7s и &4=7/5-
/,
1
/ /
к-
-—
1
/
/
/
2
1
теория
/
жлеримен)
/
71
10
б
Рис. 48
Рис. 49
Определим приближенно максимальное значение Мь соответствую-
соответствующее бесконечному значению отношения pjpi. Для этого положим рав-
равным нулю выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части
A15), и пренебрежем членом, содержащим Mt в знаменателе. Будем
иметь
(М ) / =оо = ^1 "^ * — . A17)
Отсюда видно, что отношение aj^i следует выбирать по возможно-
возможности большим, для чего выгодно в качестве газа, находящегося в левом
отделении трубы под большим давлением, выбирать газ с малым моле-
молекулярным весом, например водород (|л4 = 2,016), и, наоборот, в правое
отделение помещать тяжелые газы, например аргон (|ii=39,94).
Элементарная теория ударной трубы в ее простейшем виде дает
удовлетворительное совпадение с экспериментом, как об этом можно
судить по графику (рис. 49), заимствованному из цитированной выше
работы и соответствующему применению газов водород—аргон.
1) Реслер Е. Л., Лин С. Ц., Кантровиц А. Получение газов высокой тем-
температуры в ударных трубах.— Сборник переводов и обзоров «Механика», 1953, вып. 5,
с. 33—51.
ГЛАВА VII
БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ.
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 46. Теоремы Кельвина и Лагранжа; условия существования
безвихревых течений
Изучение неодномерных течений идеальной жидкости или газа: пло-
плоских, осесимметричных и более общих, пространственных движений
представляет математические трудности. Уравнения Эйлера динами-
динамики идеальной жидкости и газа в предыдущей главе были использованы
для вывода двух основных уравнений: Бернулли и Гельмголь-
ца — Фридмана с вытекающей из последнего уравнения теоремой
о сохранении вихревых линий. Непосредственное интегрирование урав-
уравнений Эйлера в общем случае вихревых движений не получило освеще-
освещения в нашем курсе, хотя появление ЭВМ во многом облегчило решение
такого рода задач. Имея в виду в настоящей главе обратиться к более
доступному для решения случаю безвихревых движений, отошлем ин-
интересующихся вопросами вихревых движений к специальной моногра-
монографии, написанной М. А. Гольдштиком1). Основным допущением, сы-
сыгравшим историческую роль в деле приближения теоретической гидро-
гидродинамики к конкретным приложениям, явилось предположение об отсут-
отсутствии в движущейся идеальной жидкости завихренности. Возможность
существования такого безвихревого движения обосновывается следую-
следующими двумя теоремами.
Теорема Кельвина: при баротропном движении идеальной жидкости
под действием поля объемных сил с однозначным потенциалом циркуля-
циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру не изменяется.
Эта теорема легко доказывается при помощи изложенной в § 17 ки-
кинематической теоремы Кельвина об изменении во времени циркуляции
скорости. Согласно этой теореме
~dt
Подставим в правую часть этого равенства выражение ускорения
по основному уравнению Эйлера C) гл. V, которое в случае потенци-
потенциальных объемных сил и баротропности движения может быть переписа-
переписано в виде
тогда получим
А ф V. б г = — (? grad (П + З5) • б г = — (Jp б (П + 3й),
так как скалярное произведение градиента от некоторой функции на
ориентированный в пространстве элемент дуги кривой есть не что иное,
как дифференциал этой функции, взятый вдоль дуги кривой.
*) Гольдштик М. А. Вихревые потоки.—Новосибирск: Наука, Сибирское
отд ние, 1981.
§ 46 ТЕОРЕМЫ КЕЛЬВИНА И ЛАГРАНЖА 159
При однозначности функции П (однозначность 2Р очевидна) контур-
контурный интеграл по замкнутому контуру от дифференциала равен нулю,
так что
dt
и, следовательно,
'•6 г = const,
что и доказывает теорему Кельвина. Вспоминая, что циркуляция скоро-
скорости по замкнутому контуру равна суммарной интенсивности вихревых
трубок, опоясанных этим контуром, можем на основании теоремы Кель-
Кельвина заключить, что при принятых оговорках о баротропности движе-
движения и наличии однозначного потенциала объемных сил сохраняются
также интенсивности вихревых трубок
(rot V)* da = const. A)
Предположим теперь, что в некоторый начальный момент времени
во всех точках области, заполненной жидкостью, отсутствует завихрен-
завихренность (rotV=0), т. е. элементарные жидкие объемы движутся без вра-
вращения, совершая лишь поступательное и деформационное движение;
тогда постоянная, стоящая в правой части A), будет равна нулю, и в
любой другой момент времени сохранится равенство
a=0. B)
Произвольность выбора поверхности о в равенстве B) позволит за-
заключить, что в любой момент времени и в любой точке области будет
(rotV)n = 0.
Наконец, в силу произвольности выбора направления нормали, найдем
rot V=0. C)
Отсюда следует теорема Лагранжа: если во всех точках баротроп-
но движущейся под действием объемных сил с однозначным потенциа-
потенциалом идеальной жидкости вихрь скорости в некоторый начальный момент
времени был равен нулю, то движение останется безвихревым и в лю-
любой последующий момент времени.
Из аналогичного рассуждения следует также, что если вначале дви-
движение было вихревым, то оно останется вихревым и в дальнейшем.
Предположим, что твердое тело, погруженное в покоящуюся жид-
жидкость, начинает двигаться. При покое жидкости завихренности не было,
следовательно, в условиях справедливости теоремы Лагранжа вихри об-
образоваться не могли, и движение останется во все дальнейшее время
безвихревым. Если в некоторый момент времени благодаря нарушению
условий теоремы Лагранжа завихренность в идеальной жидкости была
создана, то в дальнейшем, при сохранении этих условий, движение бу-
будет вихревым. В действительности приходится наблюдать как образо-
образование, так и исчезновение вихревых движений. Главной причиной тако-
гс нарушения справедливости теорем Кельвина и Лагранжа
служит наличие в реальной жидкости внутреннего трения {вязкости),
особенно существенного в тонком пограничном слое на поверхности об-
обтекаемого тела и в аэродинамическом следе за телом.
160
ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Внутреннее трение не является единственной причиной возникнове-
возникновения вихрей. Так, в свободной атмосфере причиной вихреобразований
служат отклонения от баротропности при движении воздуха: плотность
воздушных слоев зависит не только от давления, но и от температуры,
определяемой солнечной радиацией, от количества водяных паров и
других причин.
Модель идеальной жидкости допускает еще одну возможность на-
нарушения справедливости теорем Кельвина и Лагранжа. Это—
образование поверхностей разрыва сплошной жидкости, неустойчивых
и сворачивающихся в дискретные вихри. Таковы, например, наблюдае-
наблюдаемые в следе за обтекаемым телом вихревые дорожки Кармана (см.
спектры в ранее цитированном атласе М. В а н - Д а й к а).
Несмотря на наличие всех этих факторов, нарушающих существо-
существование безвихревого движения, схема безвихревого движения во многих
практических случаях дает близкую к действительности картину. Итак,
примем допущение об отсутствии завихренности и обратимся к рассмот-
рассмотрению основных свойств такого безвихревого потока.
§ 47. Потенциал скоростей и его определение
по заданному полю скоростей
Если движение жидкости безвихревое, то из условия равенства ну-
нулю вихря скорости rot V следует существование функции <р от коорди-
координат и времени, связанной со скоростью V равенством
V=gradcp,
D)
или, в проекциях на оси прямоугольных декартовых координат,
дф dcp dtp
дх ду dz
E)
называемой потенциалом поля скоростей (или потенциалом скоростей).
Потенциал скоростей, согласно ра-
равенствам D) или E), определяется с
точностью до постоянной.
Уравнением поверхности уровня по-
потенциала скоростей будет служить
<р(*, у, z; t) = const,
причем в случае стационарного поля ско-
скоростей время t как аргумент <р отсутст-
отсутствует.
По заданному полю скоростей из
уравнения D) можно найти потенциал <р.
Для этого достаточно умножить обе час-
части D) скалярно на направленный эле-
элемент бг какой-нибудь кривой С, выходя-
Рис 50 щей из точки Мо (рис. 50), и проинтегри-
проинтегрировать полученное выражение вдоль уча-
участка этой кривой М»М. Тогда для определения потенциала скоростей
ф(Л1) в точке М получим равенство
м
Мо
(С)
м
м
= J бф = ф(М) — ф(М0),
F)
м0
(С)
м0
(С)
§ 47. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ И ЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЕ 161
откуда будет следовать
м м
ф (/И) = ф ( Ио) ~f- С К • бг = ф (M0)-f- [ (и 6х -\~ v by -у- w 8z) G)
к L
(О ГС)
Если течение в односвязной области1) безвихревое, то, замкнув (на
рисунке штриховой кривой) кривую С при помощи кривой С так, что-
чтобы точка М совпала с Л10, и заметив, что при этом циркуляция скорости
по замкнутому контуру (С+С), равная сумме интенсивностей опоясан-
опоясанных контуром вихревых трубок, в рассматриваемом скоростном поле,
где нет вихрей, обращается в нуль, получим, согласно G),
ф(Л*)=ф(А1в) при М-*МОУ (8)
т. е. потенциал скоростей представляет собой однозначную функцию ко-
координат. Отсюда следует также, что интеграл в выражении G) не зави-
зависит от формы контура интегрирования С, так как в силу равенства ну-
нулю интеграла по замкнутому контуру, состоящему из участка М0СМ,
представленного на рисунке сплошной кривой, и участка MC'MQi пред-
представленного штриховой кривой, можно заключить, что
м м0 мм
^+^=0 или ^ = f-
М9 М Мо Мо
(С) (С) (С) (С)
Иное получится, если в безвихревом движении имеется изолирован-
изолированная вихревая трубка (рис. 50). Производя в этом случае интегрирова-
интегрирование по контуру С, вновь получим равенство G); но другой результат
будет иметь место, если вместо контура С взять контур Си охватываю-
охватывающий вихревую трубку. Интеграл, стоящий в правой части равенства
G), вычисленный по замкнутому контуру (Ct + Ci) (замыкание показа-
показано на рисунке штрихами), как это следует из теоремы Стокса (§ 15), бу-
будет равен интенсивности вихревой трубки
(Сг+С')
1
и, согласно G), потенциал в точке Мо после обхода вихревой трубки
окажется равным ф(М0)+Г. Выйдя из точки Мо и взяв за контур инте-
интегрирования петлеобразную кривую (не показанную на рисунке), k раз
опоясывающую вихревую трубку, вернемся в точку Мо со значением по-
потенциала, отличающимся от первоначального на величину, кратную ин-
интенсивности Г
Таким образом, если в односвязной области безвихревого движения
жидкости имеется вихревая трубка, то потенциал скоростей, выражен-
выраженный через скорости по формуле G), будет многозначной функцией точек
поля. Значение потенциала скоростей в точке окажется в этом случае
зависящим от формы кривой, вдоль которой производится интегриро-
интегрирование.
Имея в виду дальнейшие гидродинамические приложения, подой-
подойдем к вопросу о многозначности потенциала в безвихревом движении
еще иначе. Выделим из области течения жидкости чисто безвихревую
часть, рассматривая поверхности тока, ограничивающие вихревые труб-
трубки, как твердые стенки. Поясним, что вблизи вихревых линий всегда
!) Односвязной называется область, в которой любой замкнутый контур может
быть непрерывно стянут в точку.
6-9487
162
ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Рис. 51
имеются замкнутые линии тока, расположенные на поверхностях тока,
отделяющих вихревые линии от окружающей их жидкости.
В идеальной среде благодаря отсутствию трения можно мысленно,
нисколько не нарушая происходящего движения, заменять поверхности
тока твердыми, непроницаемыми для движущейся среды поверхно-
поверхностями.
При таком рассмотрении движения в жидкости уже нет вихревых
трубок, но зато сама область течения становится многосвязной*). Дей-
Действительно, по второй теореме Гельмгольца вихревые трубки не могут
заканчиваться в самой
жидкости: они образуют
либо замкнутые трубки —
вихревые кольца, либо
опираются на граничные
поверхности (твердые
стенки, свободные по-
поверхности раздела). Во
всех этих случаях замк-
замкнутый контур, опоясыва-
опоясывающий трубку, оставаясь
в области безвихревого
течения, не может быть
непрерывным преобра-
преобразованием сведен в точку
(рис. 51); это и доказы-
доказывает, что область чисто
безвихревого движения
при наличии указанного
выделения вихревых тру-
трубок, вообще говоря, не
односвязна. Значения циркуляции скорости Г по контурам, однократно
охватывающим трубчатую поверхность, нарушающую односвязность
пространства, заключающего жидкость, в общих случаях любых физи-
физических полей называют циклическими постоянными многосвязных обла-
областей.
При наличии в многосвязной области течения вихревых трубок тео-
теорема Сто кс а должна быть сформулирована так: циркуляция скорости
по замкнутому контуру, прове-
проведенному произвольно в много-
многосвязной области, отличается
от суммы интенсивностей опо-
опоясанных контуром вихревых
трубок на сумму целых крат-
кратных циклических постоянных
многосвязной области.
Проводя в многосвязной
области дополнительные по-
поверхности, можно уменьшить
степень ее связности и при же-
желании превратить многосвязную область в односвязную. Так, например
(рис. 52), двухсвязную область вне кольца (тора) можно сделать од-
носвязной, если дополнительно провести поверхность а, закрывающую
отверстие кольца. При наличии поверхности о проведение замкнутого
контура С, охватывающего кольцо, становится невозможным. Если цик-
циклическая постоянная рассмотренной до проведения а двухсвязной обла-
*) k-связной называется область, в которой можно указать k—1 не сводящихся
друг к другу непрерывным преобразованием контуров, не стягиваемых в точку.
Рис. 52
§ 48. ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА - КОШИ 163
сти отлична от нуля, то значение потенциала скорости гр+(М) на одной,
скажем передней, стороне поверхности о будет отличаться от значения
ф.(М) на задней стороне поверхности а на величину циклической посто-
постоянной, хотя значение потенциала взято в одной и той же точке М
(рис. 52, б). В этом случае потенциал скоростей у(М) при прохождении
через поверхность а претерпевает конечный скачок ср+—ф_, а поверх-
поверхность о представляет собой поверхность разрыва потенциала. Рассмат-
Рассматривая поверхность а вместе с поверхностью S как границу области, мож-
можно считать потенциал ф непрерывным во всей области.
§48. Интеграл Лагранжа— Коши. Некоторые общие свойства
безвихревого движения
В случае безвихревого движения идеальной жидкости легко указать
первый интеграл уравнений движения. Для этого возьмем уравнение
Эйлера в форме Громека — Л амба [(8) гл. V]
и положим в нем, согласно D),
V=grad<p, rotV=0. A0)
Тогда, замечая, что вследствие независимости операций частного,
или локального, дифференцирования по времени d/dt и пространствен-
пространственного дифференцирования, выражаемого операцией grad, можно менять
порядок дифференцирования:
будем иметь вместо (9) равенство
) 0, A1)
интегрирование которого приводит к выражению первого интеграла
уравнений движения
называемого интегралом Лагранжа — Коши; здесь f(t)—одинаковая
для всей области течения произвольная функция времени, определяемая
из граничных условий.
Интеграл Лагранжа — Коши играет в теории нестационарного дви-
движения идеальной жидкости такую же роль, как интеграл Бернулли при
стационарном движении. В последнем случае
^ = 0, /@ = const,
и равенство A2) превращается в обычный интеграл Бернулли
^- + 5Н П = const, A3)
причем при безвихревом движении константа, стоящая в правой части,
имеет одно и то же значение во всех точках движущейся жидкости, а не
только вдоль линий тока.
Интеграл Лагранжа — Коши, так же как и интеграл Бернулли, в
случае безвихревого движения служит для выражения давления р че-
через кинематические элементы <р, V и координаты, от которых зависит П.
Выражая V2 через проекции gradcp на оси декартовых координат, будем
164 ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
иметь
dt 2 (А дх) \ду ) \ дг
В случае движения несжимаемой жидкости при отсутствии объем
ных сил (^=р/р, 11=0) найдем
+ + /@- A5)
В частном случае нестационарного движения твердого тела сквозь
покоящуюся на бесконечном удалении от него несжимаемую жидкость,
полагая на бесконечности
получим
/(/)— const** —. A6)
p
При безвихревом движении жидкости или газа три неизвестные ве-
величины — проекции скорости и, и, w — выражаются через одну неизвест-
неизвестную функцию — потенциал скоростей ф(дс, г/, z, t). Принятое допущение
об отсутствии завихренности вместе с допущением о баротропности дви-
движения р=р(р) сводит решение задачи о движении жидкости или газа к
разысканию двух неизвестных величин ф и р. Для этой цели могут слу-
служить уравнение A4) и уравнение сохранения массы
Останавливаясь подробнее на случае несжимаемой жидкости, ис-
используем два основных условия: несжимаемости
divV=0
и наличия потенциала скоростей D). Тогда для определения неизвест-
неизвестной ф получим уравнение Лапласа
V29=0, A7)
в частности в декартовой системе координат
дх* "*" ду* дг*
Уравнение это должно интегрироваться при заданных граничных
условиях, зависящих от типа поставленной задачи. Так, в задаче о дви-
движении тела сквозь покоящуюся на бесконечности жидкость должны вы-
выполняться следующие граничные условия *):
а) на поверхности тела — условие непроницаемости, т. е. равенства
нормальных составляющих скоростей Уп=ду/дп частиц жидкости на
поверхности твердого тела нормальным составляющим скоростей Vn со-
соприкасающихся с ними точек твердого тела
v:,
an
б) на бесконечном удалении от тела — равенство нулю скоростей
частиц жидкости
0, A9)
1) Решение этой задачи, носящей имя Кирхгофа, будет дано в § 79 гл. IX.
§ 48. ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА - КОШИ 165
в декартовой системе
д(р дф дф л
дх ду дг
В задаче об обтекании неподвижного твердого тела жидкостью, име-
имеющей на бесконечности заданную скорость V^, будем иметь граничные
условия:
а) на поверхности тела
?- = 0; B0)
дп
б) на бесконечности
^ = 1^ cos (Ко.,*), ^- = V00cos(Vooy y\ 5L = l/00cos(F00,2). B1)
ox оу oz
Как известно, задача интегрирования уравнения Лапласа A7), или,
что все равно, разыскания гармонической функции, удовлетворяющей
условиям A8), A9) или B0), B1), представляет собой пример внешней
задачи теории потенциала. В дальнейшем будут разобраны различные
примеры решения задач такого типа, как для обтекания тел жидкостью
(внешняя задача), так и для внутреннего протекания жидкости сквозь
каналы (внутренняя задача).
Определив потенциал скоростей ф(*, */, 2, t), найдем давление р при
помощи интеграла Лагранжа — Коши A5); будем иметь
1} <22>
Безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости обладает
многими интересными свойствами. Докажем следующую теорему Кель-
Кельвина: если на границе некоторой односвязной области вихревое движе-
движение совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого дви-
движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии вихре-
вихревого движения.
Теорему Кельвина можно доказать, основываясь на том, что скоро-
скорости в безвихревом движении представляются градиентом потенциала
скоростей и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна ну-
нулю как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом деле,
условимся обозначать символом А разность между соответствующими
элементами вихревого и безвихревого движения. Тогда будем иметь сле-
следующее выражение для разности кинетических энергий:
ДГ = -?-Г[(К + ДКJ — V2]dx = p fv-AVdx + ?-f\uV\*dx. B3)
X XX
Первый интеграл справа равен
и по известной формуле
div((pa)=q) diva + grad
может быть преобразован так:
= J <р (ЛУ)п da — J фД (div V) dx.
166 ГЛ VII БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
где а — поверхность, ограничивающая односвязный объем, а диверген-
дивергенция разности двух векторных функций заменена на разность диверген-
дивергенций этих функций. По условию теоремы безвихревое и вихревое движе-
движения на поверхности а совпадают, т. е. ДУ=0 на а; кроме того, по усло-
условию несжимаемости div V=0. Таким образом, первый интеграл в равен-
равенстве B3) оказывается равным нулю и остается
из которого и следует теорема Кельвина. Теорему Кельвина можно
трактовать с вариационной точки зрения как утверждение о минималь-
минимальности кинетической энергии при безвихревом движении по сравнению с
любым другим, вихревым, движением, если только эти движения совпа-
совпадают на границе области.
Из теоремы Кельвина следует, что если на границе односвязной об-
области скорости равны нулю, то единственным возможным безвихревым
движением несжимаемой жидкости внутри такой области является по-
покой. Действительно, всегда можно представить себе произвольное (вих-
(вихревое!), сколь угодно медленное движение, при котором скорости на
границе области равны нулю; кинетическая энергия такого вихревого
движения будет как угодно мала, а кинетическая энергия соответствую-
соответствующего по теореме Кельвина безвихревого движения, будучи положитель-
положительной величиной, меньшей другой сколь угодно малой величины, должна
быть тождественно равна нулю во всей области.
К тому же результату можно прийти и непосредственно, не пользу-
пользуясь теоремой Кельвина. Для этого выведем полезную для дальнейшего
общую формулу кинетической энергии односвязного объема несжимае-
несжимаемой жидкости, движущейся безвихревым образом. Имеем
2 J 2
х х
Применим вновь формулу дивергенции произведения скаляра на вектор,
полагая в ней а= gradq>; тогда получим
= ?- |div((pgrad<p)dT—-?- Г ф div grad ф dx =
2
б
В поверхностном интеграле, полученном из объемного по формуле Гаус-
Гаусса— Остроградского, под п понимается орт внутренней нормали, на-
направленной внутрь объема жидкости, вследствие чего перед интегралом
поставлен знак минус. Замечая, что по A7) второй интеграл равен ну-
нулю, будем окончательно иметь
Т-—e.f<p*Loo. B4)
2 J дп
а
Если на ограничивающей односвязный объем жидкости поверхности а
скорость равна нулю, то и
V = ^Е =о
п дп
откуда по B4) сразу будет следовать, что и Г=0. Таким образом, вновь
приходим к тому же результату, который следовал из теоремы Кельвина.
§ 49. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 167
§ 49. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости.
Применение функций комплексного переменного
Изучение безвихревых движений начнем с простейшего класса та-
такого рода движений — плоского стационарного движения несжимаемой
жидкости.
Определение плоского движения в гидродинамике ничем не отлича-
отличается от соответствующего определения для твердого тела. При плоском
движении все частицы жидкости получают перемещения, параллельные
некоторой плоскости, которую примем за плоскость хОу, причем во всех
параллельных плоскостях движения тождественны. Будем рассматри-
рассматривать поэтому лишь движение в плоскости хОу. Каждая линия в таком
плоском движении, проведенная в плоскости хОу, является на самом
деле направляющей цилиндрической поверхности с образующими, пер-
перпендикулярными к плоскости хОу. Контур обтекаемого тела представит-
представится некоторой линией в плоскости, хотя на самом деле происходит обте-
обтекание бесконечного цилиндрического тела. Все значения расходов жид-
жидкости, сил, приложенных к обтекаемым телам, и т. д. будем относить к
единице длины в направлении перпендикуляра к плоскости хОуу т. е. в
направлении оси Ozy которая на рисунках в дальнейшем опускается.
Как уже упоминалось в предыдущем параграфе, в рассматриваемом
случае задача сводится к решению задачи об интегрировании при тех
или иных граничных условиях уравнения Лапласа, которое для плоско-
плоского случая имеет вид
дх2 ду2
В случае плоского движения задача эта может быть с успехом разреше-
разрешена при помощи метода комплексной переменной, применение которого
составляет основное содержание гидродинамики плоского безвихревого
движения несжимаемой жидкости.
Из уравнения неразрывности (несжимаемости)
w дх 1 ду
следует, что всегда можно найти функцию г|)(л:, у), тождественно удов-
удовлетворяющую уравнению B5) и связанную с проекциями скорости и и v
равенствами
дур сл|) /ос\
и = — , t; = — —-. (zo)
ду дх
Функция -ф (л:, у) имеет простой гидродинамический смысл. В самом
деле, напишем дифференциальное уравнение линий тока G) гл. II, в
случае плоского движения имеющее вид
d?i_dy
U V
и подставим в него значения проекций скорости по B6); тогда будем
иметь
dx dy
или
дх ду
Из последнего равенства следует, что функция tf сохраняет посто-
постоянные значения вдоль линий тока\ иными словами, семейство линий
168
ГЛ. VII БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
уровня функции
B7)
соответствующих различным значениям С, представляет собой совокуп-
совокупность линий тока. Функция \\)(ху у) в связи с этим называется функцией
тока. Для выяснения кинематического смысла функции тока рассмот-
рассмотрим в плоскости течения две бесконечно близкие линии тока: одну —
проходящую через точку МОу с соответ-
соответствующим значением функции тока
г|H, вторую — через точку Mt со значе-
значением функции тока i|)=i|)o+di|> (рис. 53).
Часть жидкости, находящаяся между
цилиндрическими поверхностями, перпен-
перпендикулярными к плоскости рисунка и име-
имеющими линии тока в качестве направля-
направляющих, образует элементарную трубку
тока, которую будем ограничивать плос-
плоскостью рисунка и параллельной ей плос-
плоскостью, находящейся на расстоянии еди-
единицы длины от плоскости рисунка. В слу-
случае плоского движения указанный толь-
только что образ трубки тока представляется
областью, заключенной между двумя ли-
линиями тока в плоскости движения жидкости. Это пояснение надо иметь
в виду в дальнейшем.
Замечая (рис. 53), что элементарный секундный объемный расход
жидкости dQ через любое сечение трубки тока не зависит от формы это-
этого сечения, выберем его в виде совокупности двух параллельных осям
координат отрезков M0Mo=dy и М'0М\ = —dx. Тогда, как это непосред-
непосредственно следует из рисунка, выражение для dQ примет вид
Рис. 53
ду
дх
откуда следует выражение расхода сквозь конечную по поперечным
размерам трубку (М0М)
B8)
Условимся в дальнейшем одну какую-нибудь линию тока произ-
произвольно рассматривать как нулевую, полагая, что вдоль нее
Это можно всегда сделать, так как, согласно системе равенств B6),
функция тока определяется с точностью до аддитивной постоянной. Ес-
Если принять такое условие, то значение константы в B7) на некоторой
линии тока будет равно секундному объемному расходу жидкости сквозь
сечение трубки тока, образованной этой линией тока и выбранной про-
произвольно нулевой линией.
Сопоставим выражения E) проекций скорости через потенциал ско-
скоростей, которые в случае плоского движения сводятся к системе двух
равенств
««Л*-, «,„.?., B9)
дх ду
и выражения B6) тех же проекций через функцию тока -ф; будем иметь
§ 49 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДЗИЖЬНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 169
следующую систему соотношений:
9 .
дх ду ду дх
Эти уравнения выражают известные условия Коши — Римана, при
выполнении которых комплексная величина
=ф(*. «/)+ *>(*. y)=ySz) CD
будет не просто функцией двух переменных (координат х> у), а функции
ей одной комплексной переменной z=x-riyi). Действительно, если ве-
величина х есть функция только положения точки М с координатой г, то
производная от нее в этой точке в свою очередь должна быть функцией
только положения точки, т. е. координаты г, а не зависеть от направле-
направления дифференцирования в плоскости. Иными словами, производные
dyjdz и производные по направлениям действительной и мнимой осей
должны быть равны между собой:
C2)
dz дх d(iy)
Замечая, что
_ д<р_ , • д\\>
-л 1
дх дх дх дх
д% _ . д(Ф + *Ч0 _&$ .дф
и учитывая условия Коши — Римана C0), убеждаемся в справедливо-
справедливости соотношений C2).
Для дальнейшего по-
полезно вспомнить, что
м
N
dzJ \ \ Ът^Ъ
х
0r
(X)
функция комплексного ' ^
переменного %(z) одно-
однозначно отображает точки
плоскости комплексного
переменного z=x+iy на
плоскость комплексного
переменного х—Ф + *Ч-
При этом происходит ото-
отображение фигур: замкну- Рис. 54
тых кривых и ограничи-
ограничиваемых ими частей плос-
плоскости z в соответствующие им фигуры или части плоскости %. Такое
отображение называют конформным. Далее будут приведены многие
примеры таких конформных отображений.
Основное свойство конформного преобразования (отображения), с
которым придется встретиться далее, заключается в подобии бесконечно
малых фигур: данной и преобразованной. Покажем это на примере бес-
бесконечно малого треугольника (рис. 54). Зададим в точке М плоскости
комплексного переменного z два бесконечно малых приращения dzx и
dz2, образующих между собою конечный угол а. Соответственно в точке
N плоскости комплексного переменного % появятся приращения d%u
&Ъ образующие между собой некоторый угол р.
Переход из плоскости z в плоскость % происходит согласно преобра-
преобразованию C1)
1) Координата z, соответствующая перпендикулярной к плоскости Оху оси Ог% в
плоском движении не встречается; это позволяет использовать букву z для обозначе-
обозначения комплексной величины x+iy.
170 ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Отсюда следует, что приращения d% с приращениями dz связаны
соотношениями (предполагается, что производная %'(z) существует и
в точке М не обращается ни в нуль, ни в бесконечность)
так что
d%2 dz2
Положим
dzx = dstfta*, dz2 = ds2eCa',
dx1 = dGie{^1 dX2=do2e^.
Тогда из предыдущего равенства следует
do2 ds2
Сравнивая модули и аргументы, получим
fL==-7L.Pi-P, = «i-a.. т. е. р=а,
do2 ds2
что и доказывает подобие указанных на рис. 54 бесконечно малых фигур
(треугольников).
Для дальнейшего важно подчеркнуть, что при конформном преобра-
преобразовании фигур соответствующие углы сохраняются, за исключением,
быть может, одной или нескольких точек, которые называются особыми.
Отделяя в произвольной функции комплексного переменного %(г)
действительную Re и мнимую Im части, получим потенциал скоростей
ф(х, у) и функцию тока г|)(л:, у) некоторого плоского безвихревого дви-
движения
, Ф(*, y) = lmx(z). C3)
Приравнивая функцию <р(я, у) различным постоянным
<р(х, у) = Су C4)
получим семейство изопотенциальных линий; аналогично совокупность
равенств
Ф(*. У)=С, C5)
согласно B7), представит семейство линий тока.
Легко убедиться, что изопотенциальные линии и линии тока в лю-
любой точке плоскости течения взаимно ортогональны. Для этого достаточ-
достаточно показать, что взаимно перпендикулярны векторы — градиенты функ-
функций <р и if. Имеем
дх ох ду о у дх \ ду) ду дх
а это и доказывает взаимную ортогональность изопотенциальных линий
и линий тока.
Если вместо функции %(z) рассмотреть функцию i%{z), то в новом
движении потенциал скоростей поменяется местами с функцией тока, а
изопотенциальные линии — с линиями тока; этим приемом часто прихо-
приходится пользоваться при построении обтеканий.Отсюда следует, что функ-
функция тока г|)(х, у) всегда играет сопряженную роль с функцией ф(х, у) —
потенциалом скоростей; каждая из этих функций может быть как функ-
функцией тока, так и потенциалом скоростей в двух сопряженных между со-
собой безвихревых плоских движениях идеальной жидкости. Функцию
() й называют комплексным потенциалом.
§ 49. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 171
Покажем, как, зная комплексный потенциал %(г), определить век-
вектор скорости V или его проекции и и v. Каждому комплексному числу
можно сопоставить в плоскости вектор с проекциями, соответственно
равными действительной и мнимой частям этого комплексного числа.
Условимся при изучении плоского движения обозначать светлой буквой
V комплексную скорость V=u + iv, а для величины скорости сохраним
обычное обозначение модуля комплексного числа
Наряду с комплексной скоростью V введем в рассмотрение сопря-
сопряженную скорость F, равную
7=и—iv. C6)
Если 0 — угол между V и осью Ох, то
V = u + iv = \V\{cosQ + ismQ) = \V\e{\
C7)
1/ = и- w = |К| (cos9 — fsin9) = |V|e-'e.
Можно заметить, что сопряженная скорость V является зеркаль-
зеркальным изображением V относительно оси Ои.
Плоскость Оху значений комплексной координаты z называют фи-
физической плоскостью или плоскостью течения. Совокупность значений
комплексной скорости V образует плоскость годографа скорости, или
просто плоскость годографа uOv\ в этой плоскости расположатся годо-
годографы скорости, т. е. геометрические места концов проведенных из на-
начала О векторов скорости частиц жидкости.
Рассмотрим производную dyjdz комплексного потенциала по комп-
комплексному аргументу. По ранее отмеченному свойству функций комплекс-
комплексной переменной
= = = *
dz дх дх дх дх
отсюда следует
*L = u — iv=V=\V\er**9 C8)
dz
т. е. производная от комплексного потенциала по комплексной координа-
координате равна сопряженной скорости. Проекции скорости и и v определятся
как
)9 у т. C9)
dz )' \dz] У '
Полезно еще рассмотреть контурный интеграл от сопряженной ско-
скорости V по замкнутому контуру С в плоскости течения, равный
D0)
Вычисляя действительную и мнимую части этого интеграла, найдем,
что действительная часть определяет циркуляцию скорости Г по замк-
замкнутому контуру, а мнимая — секундный объемный расход жидкости Q
через замкнутый контур; действительно,
D1)
172
ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
§ 50. Комплексные потенциалы простейших потоков
Пользуясь приемом C3) отделения действительной и мнимой час-
частей в выражении комплексного потенциала, можем определить потен-
потенциалы скоростей и функции тока, а по C9) —и распределение скорости
для нескольких простейших плоских
потоков идеальной несжимаемой
жидкости.
1. Однородный поток с вектором
скорости Voodoo, и ее), направленный
к оси Ох под углом 0оо (рис. 55):
Х(г) = ~
2. Источник (сток) в начале ко-
координат (рис. 56) с секундным объ-
Рис. 55 емным расходом (дебитом) Q —
действительной величиной, положи-
положительной в случае источника и отрицательной в случае стока:
2л
Ф = — In г, \|э = — е (г, е — полярные координаты).
V =
2лг*
11/1 = !
2лг
Источник
б) Сток
Рис. 56
3. Вихрь, изолированный в начале координат (рис. 57), с циркуля-
циркуляцией Г (действительная величина):
Х(г)= — lnz; Ф = — е, я|э=—— lnr, К= I KI ^
V 2л1 2д ' Y 2л
4. Диполь в начале координат с моментом m (рис. 58) (действи-
(действительная величина) и осью, направленной вдоль оси Ох:
Л. / \ III- П1Л 1ПА ,
X (z) = —; ф = = ; \Ь = —
W 2лг 2л (л-2 + у2) 2лг2 Y
ту ту
2л (х* + у2) ~ 2лг* '
2лг2
2лг2
Прием наложения потоков, оправдываемый линейностью уравнений
для ф и -ф, позволяет получать новые потоки. Так, например, поток дипо-
диполя (п. 4) может быть получен сложением потоков источника и стока
§ 50. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТЕЙШИХ ПОТОКОВ
173
одинаковой мощности, размещенных по оси Ох симметрично относитель-
относительно начала координат О в точках с абсциссами ±А, при предельном пере-
переходе: ft->0, |Q|-^oo, Q-2/i стремится к конечной величине т — моменту
диполя:
Y(z)= lim Q- 2h\n(z + h) — ln(z — h) _ т dim = m
ftlQI 2я
2h
2л dz
2nz
Значение m>0 соответствует расположению стока с положительной
стороны оси Ох, т<0 — противоположному случаю.
Путем такого наложения можно получить следующие потоки.
Рис. 57
Рис. 58
Рис 59
5. Вихрейci"очник (вихресток) (рис. 59)—сложением комплексных
потенциалов вихря и источника (стока):
174
ГЛ. VII БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
б. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра радиуса а пото-
потоком вдоль оси Ох (рис. 60) —наложением однородного потока (п. 1) на
поток диполя (п. 4) при m=2na2Voo (К*,— действительная положитель-
положительная величина):
2я
z
D2)
Нулевая линия тока (if=0) в рассматриваемом случае распадается
на две кривые: окружность (х2 ±уг = а2) радиуса а и ось Ох (у=0).
То же обтекание в слу-
случае Уто = | К» | eiQo° определя-
определяется комплексным потенциа-
потенциалом
y(z) — V z + V — D3>
Z
-^ выражение которого легко
х выводится из формулы D2),
если ее применить в плоско-
плоскости комплексного перемен-
переменного zr с осью Ох\ направ-
направленной по вектору скорости
V», так что по D2)
Рис 60
возвращаясь к плоскости z заменой z' на ze~ibco,
Скорость V в произвольной точке потока D2) равна
V__d%_ у Л &_
dz V г2
получим D3).
D4)
Распределение скоростей по контуру окружности z=aeie определяется
формулой
1^12^15^6 1, D5)
где 6 — полярный угол между радиусом окружности и осью Ох. Если
вместо полярного угла е перейти к дополняющему его до л/2 местному
углу атаки 6 — углу между вектором скорости в точке на контуре окруж-
окружности и направлением набегающего на тело потока, то D5) примет вид
\V\=2VX cos 9,
выражающий пропорциональность модуля скорости в точках контура
окружности косинусу местного угла атаки в этих точках. Эта закономер-
закономерность оказывается справедливой для обтекания эллипса и ряда других
течений (см. далее § 52). В точках Л(е = я) и В(е = 0) скорости равны
нулю; эти точки называются критическими точками потока. При на-
направлении движения, указанном на рис. 60, точка А называется передней
критической точкой, точка В — задней.
Скорость на поверхности цилиндра принимает свое максимальное
значение при е = ±тс/2 в точках С и D миделевого сечения цилиндра;
это максимальное значение скорости равно
\у |—оу
| " max | ^ У оо ,
т. е. удвоенной скорости набегающего потока или удвоенной скорости
на бесконечности.
Распределение давления в потоке и, в частности, по контуру цилинд-
цилиндра может быть представлено в форме коэффициента давления cv=.
§ 50. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТЕЙШИХ ПОТОКОВ 175
= (Р~poo)/(V2pV2eo). Применяя теорему Бернулли в форме B6) гл. V
и определяя константу как роо + 72рУ2оо, найдем в рассматриваемом
случае
с Р~~Ро° =1 —Ш!=1— 4sin26. D6)
Полученное распределение давления по контуру окружности, как
это прямо следует из симметрии обтекания по отношению к осям Ох и
Оу, результирующей силы не дает. Это является частным случаем пара-
парадокса Даламбера, который будет в дальнейшем (см. гл. IX) установлен
для тела любой формы при поступательном, прямолинейном и равно-
равномерном его движении сквозь покоящуюся вдали от него идеальную не-
несжимаемую жидкость.
7. Циркуляционное обтекание круглого цилиндра можно получить
наложением вихря с циркуляцией Г (п. 3) на бесциркуляционное обтека-
обтекание круглого цилиндра (п. 6). Комплексный потенциал составного дви-
движения будет, согласно D2) и п. 3,
^)^ D7)
что при Г>0 соответствует направлению циркуляционного движения
против часовой стрелки. Останавливаясь на этом случае, определим со-
сопряженную скорость
2{$)? D8>
и найдем положение критических точек, решая уравнение
или, что то же, квадратное уравнение
г2+ г г_а2==,
Корни его будут
z= Ti ±1/^-—-? . D9)
В зависимости от величины циркуляции возможны три типа обте-
обтекания.
а) Циркуляция велика: Г>4ла|Уоо|. В этом случае в выражении
D9) под знаком радикала будет стоять отрицательная величина, и мож-
можно написать
/ г / Г2^ 1\
z = — ± 1/ ± г — a2 i.
Оба корня квадратного уравнения мнимы, причем модуль одного
больше радиуса цилиндра, другого — меньше. В самом деле, корень
f2
Г J- /
l^i + |/ le
имеет модуль (Г>0)
Р > ТмЬ > «
176 ГЛ. VII БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
второй корень
Г2
16.-х2 l
имеет модуль
Г
г, =¦
4л I Ve
-l/ —Г- а>==
¦+
V
Г2
Заменим в знаменателе последнего выражения Г/Dл;|У*,)) на мень-
меньшую величину а; тогда получим
Первый корень дает критическую точку А (рис. 61, а), лежащую
вне круга на положительной стороне мнимой оси, второй — критическую
точку В на той же оси, но внутри круга.
Рис. 61
б) Промежуточный случай: Т=4ла\У„\. Корни г, и z2 равны меж-
между собой; критические точки совпадают (рис. 61, б) и находятся на мни-
мнимой оси в точке
zi—z2=at.
в) Циркуляция мала: Г<4яа|Уоо|. Корни D9) в этом случае ком-
комплексные,
I 1
16л2
¦I.
имеют общую ординату Г/Dл|Усо|) и отличаются лишь знаками абс-
абсцисс, по модулю меньших а. Модуль каждого из корней равен а, т. е.
они расположены на окружности радиуса а. Положение критических то-
точек показано на рис. 61, в. При уменьшении Г до нуля критические точ-
точки будут перемещаться, стремясь занять положение на пересечении ок-
окружности с осью Оху как это и должно быть при Г=0.
Как видно, при циркуляционном обтекании круглого цилиндра сохра-
сохраняется симметрия относительно оси Оуу но нарушается симметрия отно-
относительно оси Ох. В связи с ^тим главный вектор сил давления жидкости
на позерхность цилиндра будет отличен от нуля и направлен вдоль оси
Оу. Заметим, что в слоях жидкости под цилиндром скорости бесцирку-
бесциркуляционного обтекания цилиндра и чисто циркуляционного потока вокруг
цилиндра складываются, а над цилиндром вычитаются. При этом под
цилиндром скорости больше, а давления, согласно уравнению Бернулли,
меньше. Над цилиндром, наоборот, скорости меньше, а давления боль-
больше. Это приводит к тому, что в указанном обтекании главный вектор сил
§ 50. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТЕЙШИХ ПОТОКОВ 177
давления R жидкости на цилиндр будет направлен по оси Оу в отрица-
отрицательную сторону (вниз).
При циркуляционном течении по часовой стрелке (Г<0) картина
обтекания при том же расположении осей координат изменится на пере-
перевернутую вокруг оси Ох на 180°, и главный вектор окажется направлен-
направленным по оси Оу в положительную сторону, т. е. вверх. Можно дать про-
простое правило определения направления главного вектора сил давления
жидкости на поверхность цилиндра: поместив начало вектора скорости
V* в центр цилиндра О, повернем его на 90° в сторону, противополож-
противоположную направлению циркуляционного движения; это и даст направление
главного вектора R.
Остается вычислить величину Ry. Имеем
2Д
/? = — & pnds, Ry = — ф рпу ds =¦ — а Г р sin 8 de. E0)
о
На контуре круга по D8) будет
00 2та
= 21 Кос | ier** е S ~ е 16 —ierta = ^й Ы \ у\ sjne —) ,
1 21 2ла \ ' ' 2па ) '
так что
\V\ = \VOO\ 2sin8--
2я1 w.
E1)
ср= 1 — B sine —
о-
В отличие от бесциркуляционного обтекания цилиндра в рассматривае-
рассматриваемом сейчас случае циркуляционного обтекания коэффициент давления
зависит от параметра Г/(|Уоо|я), содержащего произвольную величину
наложенной циркуляции. Как это следует из E1), для подобия цирку-
циркуляционных обтеканий необходимо ставить условие одинаковости в срав-
сравниваемых течениях параметра Г/(|Коо|^)—безразмерной циркуляции.
Подставляя в выражение Ry E0) значение р по уравнению Бернул-
ли и принимая во внимание E1), получим
2я
?2 Г B|
2
Voo|sin8 LA sinede = — р|Коо|Г. E2)
Проделав аналогичные выкладки, можно было бы показать, что
/?х=0, но это очевидно и из соображений симметрии.
Как и в случае бесциркуляционного обтекания цилиндра, при цир-
циркуляционном обтекании сопротивления нет, но возникает поперечная
сила, равная произведению плотности жидкости на скорость набегающе-
набегающего потока и на циркуляцию. Полученное выражение E2) для Ry являет-
является частным случаем общей теоремы Жуковского, относящейся к лю-
любому обтекаемому контуру; доказательство этой теоремы будет дано
ниже.
При вращательном движении тел в реальной жидкости, обладаю-
обладающей внутренним трением (вязкостью), можно наблюдать возникновение
циркуляционных движений, качественно похожих на только что изучен-
изученные. Эффект образования при этом поперечной силы (эффект Магну-
Магнуса) помогает объяснить многие интересные явления. Таково, например,
возникновение аэродинамического момента действия воздушного потока
на вращающийся артиллерийский снаряд, приводящего в совокупности
178
ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
с гироскопическим моментом к повороту снаряда в плоскости стрельбы
и приближению его оси к касательной к траектории. К тому же роду
вопросов принадлежит историческая попытка, вновь привлекающая вни-
внимание кораблестроителей, создания судового движителя в виде верти-
вертикальных вращающихся цилиндрических башен (так называемых роторов
Флетнера), помещенных на палубе корабля и создающих движущую
силу, перпендикулярную к направлению ветра. Аналогичный эффект на-
наблюдается при полете закрученных футбольных и теннисных мячей. Та
или иная интенсивность закрутки и направление закрутки создают со-
совершенно неожиданные для партнера траектории мячей.
Отметим, что комплексный потенциал D7) является частным слу-
случаем более общего потенциала
XB) = VXZ + Voo — + — In 2,
z 2л i
E3)
соответствующего, как это следует из D3), наличию между вектором
V*, и осью Ох некоторого угла б,»; комплексный потенциал E3) может
быть положен в основу метода разыскания комплексных потенциалов
плоского обтекания тел иной формы.
Физическая
плоскость
Вспомогательная
плосмость
§ 51. Решение задачи обтекания по методу конформных отображений.
Постулат Жуковского — Чаплыгина. Формула циркуляции
Обратимся теперь к рассмотрению приложения метода конформных
отображений к решению прямой задачи определения обтекания крыло-
крыловых профилей. Под крыловым профилем понимают плавный, вытянутый
в направлении набегающего на него потока, замкнутый и самонепересе-
самонепересекающийся геометрический
lrl контур с закругленной пе-
передней кромкой («лоб» про-
профиля) и заостренной задней
кромкой («хвост» профиля).
Отрезок прямой, соединяю-
соединяющей некоторую точку перед-
передней кромки с вершиной угла
на задней кромке, называют
хордой крылового профиля
(выбор хорды может быть
весьма разнообразен), а
длину хорды — длиной про-
профиля; максимальную толщи-
толщину профиля в направлении,
перпендикулярном к хорде, называют толщиной профиля, а отношение
толщины к длине — относительной толщиной крылового профиля. Угол,
образованный вектором скорости набегающего потока вдалеке от про-
профиля (вектором скорости «на бесконечности») и направлением хорды,
носит наименование угла атаки. Условясь в этой обычной терминоло-
терминологии, перейдем к постановке основной задачи обтекания крылового про-
профиля плоским, однородным на бесконечности, безвихревым потоком
идеальной несжимаемой жидкости.
Набегающий поток зададим комплексным вектором скорости Vг«,,
образующим с осью Ох угол 9оо. Физическая плоскость г имеет заштри-
заштрихованный на рис. 62 вырез, что делает ее двухсвязной; для определен-
определенности задачи необходимо задать наперед циркуляцию скорости Г по про-
произвольному, охватывающему профиль контуру С4.
Будем считать первую, чисто геометрическую и самую трудную по
существу задачу об отображении внешней по отношению к заштрихо-
Рис. 62
§ 51. РЕШЕНИЕ ПО МЕТОДУ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 179
ванной на рис. 62 области С в физической плоскости на внешнюю по от-
отношению к заштрихованному кругу С* область вспомогательной плос-
плоскости, уже разрешенной.
Пусть функция комплексного переменного
E4)
представляет собой искомую преобразующую, или отображающую^
функцию, осуществляющую конформное отображение внешней по отно-
отношению к ограниченной контуром С (на рис. 62 заштрихованной) области
плоскости комплексного переменного z=x+iy на внешнюю по отноше-
отношению к заштрихованному на том же рисунке кругу С* с радиусом а и
центром в начале координат системы О* |т] часть вспомогательной плос-
плоскости комплексного переменного ?=? + /г). Наложим на преобразующую
функцию E4) дополнительные условия: 1) чтобы бесконечно удаленная
точка z=oo переходила при отображении в бесконечно удаленную точ-
точку ?=оо, и 2) чтобы направление скорости на бесконечности У*, при
переходе из плоскости z в плоскость ? сохранялось» Как доказывается в
теории функций комплексного переменного (теорема Римана), при вы-
выполнении этих условий преобразование E4) является единственным.
Пусть %(z) — искомый комплексный потенциал течения в физической
плоскости, а %* (?) — комплексный потенциал течения во вспомогатель-
вспомогательной плоскости, т. е. определенный в .предыдущем параграфе комплекс-
комплексный потенциал циркуляционного обтекания круглого цилиндра. Соглас-
Согласно E3) в настоящем случае будет
^ + ?ln?, E5)
где VL и Г* — скорость на бесконечности и циркуляция скорости по про-
произвольному контуру Cl, охватывающему С* во вспомогательной плоско-
плоскости ?. Пользуясь связью E4) между z и ?, заключим, что (х=ф+*Ч—
инвариант)
()
Взяв производную по ? от обеих частей этого равенства, получим
di9 _d% dz _d% р/П
dl dz dl dz1 KUf
или по C8)
F* = F/'E), E6)
а в бесконечно удаленных точках
Vt> = mooKoo, moo = /' (oo). E7)
По принятому ранее условию направление вектора скорости на бес-
бесконечности Уоо при конформном отображении сохраняется, т. е. векторы
1С и Voo параллельны. Отсюда следует (параллельность сопряженных
векторов F« и F*,, а из E7) заключим о действительности величины т*,,
так что
будем считать для определенности тто положительной величиной.
Преобразующая функция E4) может быть выражена рядом Лорана
z = f(i) = m^+ 2^. E8)
сходящимся во всей внешней по отношению к кругу С* области 1
180
ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Коэффициенты главной части этого ряда, представленной суммой членов
с отрицательными степенями ?, могут быть определены при помощи кон-
контурных интегралов (я=0, 1,2,...)
'«, E9)
вычисленных по окружности С* или по люб©й другой окружности, со-
содержащей внутри себя С*.
Преобразующая функция может быть также выражена при помощи
интеграла Коши
* '#?-. F0)
где ?'— комплексная переменная интегрирования.
Рассмотрим теперь циркуляцию Г*. Представив ее, согласно первой
из формул D1), как действительную часть интегралов
Г =
с*
1
V —
заключим, что циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, ох-
охватывающему обтекаемый профиль, при конформном отображении со-
сохраняет свое значение.
Приведенные рассуждения позволили выразить неизвестные вели-
величины Коо и Г* через заданные величины У«, Г и коэффициент т*,, опре-
определяемый, согласно E7), по известной преобразующей функции /(?).
Следовательно, будем иметь окончательное выражение комплексного
потенциала % в плоскости течения в виде параметрической зависимости
от параметра ?
F1)
Таким образом, если известно решение геометрической задачи о
конформном отображении внешней по отношению к обтекаемому контуру
С области физической плоскости z на внешнюю по отношению к кругу
С* произвольного радиуса а область вспомогательной плоскости ?, то
решение гидродинамической задачи об определении комплексного потен-
потенциала %(z) уже не составит труда.
Из системы равенств F1) следует, что задача об обтекании профиля
С потоком заданной по величине и направлению скорости на бесконеч-
бесконечности имеет бесчисленное множество решений, зависящих от произволь-
произвольного выбора величины циркуляции Г. С точки зрения теории идеальной
жидкости такой произвол отвечает сущности вопроса. Как уже было по-
показано раньше для случая обтекания окружности, налагая ту или дру-
§ 51 РЕШЕНИЕ ПО МЕТОДУ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
181
гую циркуляцию, можно получить бесчисленное множество форм обте-
обтекания кругового цилиндра с различным расположением критических
точек.
Точно так же для одного и того же крылового профиля с угловой
точкой на задней кромке и при той же по величине и направлению ско-
скорости на бесконечности теоретически возможны три указанных на рис. 63
типа обтекания. Буквами А и В отмечены критические точки обтекания.
В случае а), так же как и в случае в), жидкость должна перетекать
с одной стороны поверхности крыла на другую: с верхней на нижнюю в
случае б) и с нижней на верхнюю в случае а). При этом на острой кром-
кромке либо должны образовываться
бесконечно большие скорости, что
приводит к физически невозможным
бесконечно большим отрицательным
давлениям, либо должны происхо-
происходить срывы потока с поверхности
профиля и вихреобразование. Сре-
Среди трех указанных возможных форм
обтекания только одна форма б) с
задней критической точкой В, сов-
совпадающей с угловой точкой на зад- Рис. 64
ней кромке профиля, приводит к
плавному стеканию струй жидкости с задней кромки крыла с конечной
скоростью.
По свидетельству современников в конце 1909 г. С. А. Чаплыгин в
дискуссии 'по докладу Н. Е. Жуковского выдвинул в качестве обобщения
известного опытного факта следующий постулат: среди бесконечного
числа теоретически возможных обтеканий профиля с угловой точкой на
задней кромке в действительности осуществляется плавное обтекание с
конечной скоростью в этой точке.
Приоритет С. А. Чаплыгина, давшего общую трактовку этого по-
постулата, оспаривается в связи с использованием подобного постулата в
более ранних работах Н. Е. Жуковского по крыловым профилям частной
формы. Сохраним общепринятое в отечественной и зарубежной литера-
литературе наименование «постулат Жуковского — Чаплыгина».
Опыт показывает, что для каждого крылового профиля существует
диапазон углов атаки, в котором профиль обтекается без отрыва жид-
жидкости от его поверхности с плавным сходом с задней кромки. Крыловые
профили, отвечающие постулату Жуковского — Чаплыгина, обычно на-
называют хорошо обтекаемыми, остальные — плохо обтекаемыми. Само
собой разумеется, что обтекаемость не есть чисто геометрическое свой-
свойство профилей. В дальнейшем будет показано, что обтекаемость зависит
не только от формы профиля, но и от скорости потока, от угла атаки, от
физических свойств жидкости, присутствия вблизи профиля других тел
и др.
Постулат Жуковского — Чаплыгина позволяет однозначно опреде-
определить величину циркуляции Г, наложение которой приводит к безотрыв-
безотрывной форме обтекания крылового профиля с конечной скоростью на зад-
задней его кромке.
Пусть угловой точке В (рис. 64) на профиле С соответствует некото-
некоторая точка В* на окружности круга С*. Эти точки являются особыми точ-
точками преобразования, так как в них нарушается основное свойство кон-
конформного преобразования — сохранение углов между касательными к
преобразуемым контурам. Действительно, внешний угол с вершиной в
точке В на задней кромке, равный 2я—б, где б — внутренний острый
угол на задней кромке, переходит в плоскости ? в не равный ему угол я
с вершиной в точке В*.
182 ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Рассмотрим конформное отображение внешней по отношению к про-
профилю С малой области вблизи вершины угла В на малую, внешнюю по
отношению к кругу С* область вблизи точки В* в плоскости ?. Это кон-
конформное отображение можно представить формулой
2Я-6
&.)". F2)
где zB и ?в* — комплексные координаты соответствующих друг другу то-
точек В и В* в плоскостях z и ?, а М — некоторое действительное число.
В самом деле, положив вблизи точек В и В*
и подставив эти выражения в F2), найдем
Приравнивая аргументы, получим
2Л-6 2JX-6
* е ~*~
и убедимся, что изменению р* на я соответствует изменение E на 2я—б.
Пользуясь преобразующей функцией E4), можем установить связь
между скоростями в точках В и В*; получим
или, вычисляя производную по F2),
я-ft
По постулату Жуковского — Чаплыгина скорость VB должна быть
конечна, последний же сомножитель, поскольку б<л, равен нулю; сле-
следовательно, все произведение равно нулю. Отсюда следует, что соответ-
соответствующая задней кромке профиля точка круга во вспомогательной плос-
плоскости должна быть критической.
Из этого условия найдем циркуляцию Г, если, используя F1), напи-
напишем, что скорость в точке В* равна нулю
Полагая здесь
где е0 — полярный угол точки В* на окружности С*, В*, — угол, образо-
образованный скоростью на бесконечности с осями Ох или O*g, получим
¦ = o,
2nai
откуда найдем
или, переходя от показательных функций к тригонометрическим,
Г=—4лат0О | Vm | sin F00—80). F3)
§ 52. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
183
Введем обозначение 0»—го=а и перепишем формулу F3) в виде
Т=—4патоо \ V» | sin a. F4)
Повернем по отношению к заданному потоку профиль так, чтобы
без наложения циркуляции (Г = 0) задняя кромка совпадала с критиче-
критической точкой В. Отметим на профиле прямую КК (рис. 65, а), определяю-
определяющую направление скорости на бесконечности, соответствующее этому
бесциркуляционному обтеканию. Жестко связанную с профилем прямую
КК будем называть направлением бесциркуляционного обтекания, а со-
соответствующее значение угла 9оо = е0 — углом бесциркуляционного обте-
обтекания профиля.
а) Бесциркуляционное обтекание
б) Циркуляционное оотекание
Рис. 65
Повернув профиль на угол а (рис. 65, б), получим циркуляционное
обтекание с критической точкой в задней кромке Б, причем необходимая
для этого циркуляция определится равенством F4).
Острый угол а между направлением скорости набегающего потока и
направлением бесциркуляционного обтекания назовем теоретическим
углом атаки в отличие от практических углов атаки, определяемых как
углы между направлением скорости на бесконечности и хордами крыла,
задаваемыми разнообразными способами.
Формула F4) определяет так называемую теоретическую циркуля-
циркуляцию. Как показывают опыты, теоретическая циркуляция несколько пре-
превышает действительную; объяснение этого факта связано с наличием в
реальных жидкостях внутреннего трения.
Исключая из параметрической системы F1) циркуляцию при помощи
формулы F4), получим однозначное решение задачи о внешнем обтека-
обтекании крылового профиля.
Вывод формулы F4) основывался на наличии у крылового профиля
острой задней кромки. В случае обтекания профиля плавной формы без
угловой точки на задней кромке постулат Жуковского — Чаплыгина не
имеет места и циркуляция остается неопределенной. Теоретический рас-
расчет обтекания такого рода профилей требует или специальных допуще-
допущений, или задания положения задней критической точки.
§ 52. Примеры применения метода конформных отображений.
Обтекание эллипса и пластинки
Рассмотрим некоторые простые конформные преобразования внеш-
внешности круга во вспомогательной плоскости на внешность замкнутого
профиля в плоскости течения.
Первое такого рода преобразование, указанное Н. Е. Жуковским
и использованное С. А. Чаплыгиным в 1910 г., имело вид
или, в более симметричной форме,
184
ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Преобразование Жуковского F5) является простейшим частным
случаем общего преобразования E8), соответствующим значениям ко-
коэффициентов
Шоо = —, т1 = — с2, т0 = т2 — • • • == 0>
оно удовлетворяет всем поставленным в § 51 условиям.
Окружность С* радиуса с в плоскости ?— будем ее называть основ-
ной окружностью — преобразуется в плоскости z в отрезок F'F (рис. 66)
на оси Ох с концами в точках (—с, 0) и ( + с, 0). В самом деле, полагая
t)=ceiBt найдем
= — (eie-+ eri&) = с cos e,
так что полному обходу окружности
F7)
соответствует двойной
Рис. 66
обход отрезка FF', справа налево по верхней части разреза FFr и слева
направо по нижней части разреза.
Окружности С*, Cl, ..., концентрические с основной окружностью
С*, преобразуются в софокусные эллипсы С,, С2, ... с фокусами F, F'.
Действительно, обозначая через г радиус какой-нибудь из окружностей
и полагая в F5)
получим
откуда следует
1 / С2 \ .
[гsine,
1 / С2 \
2 \ Г )
= 1.
Обозначим полуоси эллипсов через а и 6. Из равенств
найдем
F8)
аг—Ьг=с2;
§ 52. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ
185
все рассматриваемые эллипсы имеют общее фокусное расстояние 2с и
фокусы в точках F и F'. Из F8) следует
r=a + b. F9)
Комплексный потенциал %(z) обтекания любого из эллипсов Сь С2,
в том числе в пределе и отрезка FF\ со скоростью на бесконечности У»,
образующей с осью Ох угол боо, и циркуляцией Г можно по-прежнему
составить в параметрической форме F1)
1 Гп
6 случае обтекания отрезка FF'
Комплексный параметр ? может
быть из системы G0) легко исключен.
Разрешая второе равенство относи-
относительно ?, получим
причем перед корнем взят верхний
знак, что соответствует отображению
внешности эллипса на внешность кру-
круга; в самом деле, принимая нижний
знак, мы бы имели
с2
G0)
надо положить 6 = 0, с = а.
2+ ^Т*—
Рис 67
и ?=0 при 2=оо, т. е. внешности эллипса соответствовала бы внутрен-
внутренность круга.
Таким образом, вместо параметрического представления G0) комп-
комплексного потенциала обтекания эллипса получим явное выражение этого
потенциала
которое легко упрощается, если обычным приемом уничтожить иррацио-
иррациональность в знаменателе второго слагаемого в квадратных скобках. Бу-
Будем иметь
G2)
Бесциркуляционное (Г = 0) обтекание эллипса показано на рис. 67
Нулевая линия тока, проходящая через критические точки А и В, состо-
состоит из самого обтекаемого эллипса и двух отрезков софокусной с ним ги-
гиперболы, параметры которой зависят от угла атаки боо.
Имея выражение комплексного потенциала скоростей G2) и взяв
от него производную по г, найдем сопряженную скорость, а следователь-
следовательно, и распределение скоростей и давлений по контуру обтекаемого эл-
эллипса.
А. Л. Гонор1) придал этим распределениям изящную форму, до-
доказав теорему: при безвихревом, бесциркуляционном обтекании эллип-
эллипса несжимаемой жидкостью в направлении его осей скорость в точках
контура пропорциональна косинусу местного угла атаки в этих точках.
1) Гонор А. Л. Определение поля течения на поверхности некоторых тел в пото-
потоке несжимаемой жидкости.— Механика жидкости и газа, 1976, № 2, с. 187—190.
186 ГЛ VII БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Приведем доказательство этой теоремы для случая набегающего по-
тока, параллельного большей оси эллипса. Аналогично проводится до-
доказательство в случае потока, параллельного малой оси, а путем нало-
наложения этих потоков — для обтекания под любым углом атаки.
_ Выражение потенциала скоростей ср найдем, положив в G2) Г=0,
F« = V^ = ?/«, и отделив в ней действительную часть. Для этого перей-
перейдем от декартовых координат х, у к эллиптическим |, ц:
x—cchl cos т), y = cch gsin т).
Координатными линиями будут служить семейства софокусных эллип-
эллипсов и гипербол (с — расстояние от начала координат до фокусов):
*2 | у2 =1 *2 У2 =1
? c2sh2? ' c2cos2ti c2sin2r)
Рассматривая обтекаемый эллипс с полуосями а и Ь как один из
эллипсов первого семейства (g=const), получим следующие соотноше-
соотношения, справедливые на контуре эллипса:
ch I = ale, sh I = b/c, с = i/a2 — b2,
= x/ay sin r\ =
Переходу от декартовых координат к эллиптическим соответствует
преобразование z—cch ?, где z=x + iy, ? = l + iri-
Комплексный потенциал скоростей % при этом приобретет вид
а его действительная часть и производные от нее по | и г\ будут равны
Ф = Uoo j/ (a + &)/(а — ft) (а ch g — ft sh g) cos T],
I/» V(a + ft)/(a —ft) (a sh g — ft ch g) cos л,
= — t/co V (a + ft)/(a — ft) (a ch ? — ft sh |) sin tj.
Для определения производных ду/дх и ду/ду используем систему ра-
равенств
дф дер д* \ ^Ф ду ду д(р дх . ду ду
1%~~дх~д][ ~~ду~д1* ~дц ~ ~дх~ ^дц ^ду ^дц 9
которая, согласно только что полученным соотношениям, приведется на
контуре эллипса к следующей:
а дх ^ Ь* ду ' Ь U дх а ду °° Ь
Решения этой системы уравнений выразятся в форме
дх аЬ* \а* Ь*
ду
а квадрат модуля скорости окажется равным
дх J V ду
Квадрат косинуса местного угла атаки 6 на контуре эллипса будет
равен
187
Сравнивая между собой полученные выражения \V\2 и cos29, убе-
убедимся в наличии на контуре эллипса соотношения
§ 52. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ
или, согласно уравнению эллипса в декартовых координатах,
cos26=<
которое доказывает теорему Гонора. Коэффициент давления ср=
= (р—/>оо)/G2р?/») определится равенством
При Ь=а вновь найдем указанные в § 50 формулы бесциркуляцион-
бесциркуляционного обтекания круглого цилиндра.
Теорема Гонора справедлива не только для плоского бесцирку-
бесциркуляционного безвихревого обтекания эллиптического цилиндра, но и в
случае пространственного обтекания вытянутого и сплюснутого эллип-
эллипсоидов вращения, а также и трехосного эллипсоида. Доказательство
этих результатов можно найти в ранее цитированной статье А. Л. Го-
Гонора.
Полагая в G2) с=0, Ь=а, получим комплексный потенциал цирку-
циркуляционного обтекания круга. Для этого достаточно лишь вычислить пре-
предельное выражение
1
22
входящее во второе слагаемое. Будем иметь
2ш
в полном соответствии с ранее указанным выражением E3).
Полагая в той же формуле G2) 6 = 0, а=с, найдем комплексный
потенциал циркуляционного обтекания пластинки длины 2с (отрезка FF'
на рис. 66)
= -(V +VQO)z — -(Koo-
2 2
— ln(z+ Vz2 — c2) =
2
где и»» v* — проекции V» на оси координат.
На рис. 68 показана картина линий тока обтекания пластинки при
Г=0. Нулевая линия тока состоит из поверхности пластинки и двух от-
отрезков софокусной гиперболы, параметры которой, так же как и в слу-
случае обтекания эллипса, зависят от угла атаки Э^.
Не останавливаясь на анализе течения, определенного формулой
G2) в общем случае, рассмотрим несколько подробнее выражение G3)
комплексного потенциала обтекания пластинки.
Вычисляя скорость, получим
1 + 77==г iv^z — -
dz
= = ^оо
2ш
G4)
188
ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
При произвольной величине циркуляции Г и г=±с скорость имеет
бесконечные значения, что соответствует обтеканию острых передней и
задней кромок.
Подчиним теперь величину Г условию конечности скорости на зад-
задней кромке (г=с), как того требует постулат Жуковского — Чаплыги-
Чаплыгина. Для этого должно быть
т. е.
= О,
2л/
Г=—
G5)
В рассматриваемом сейчас случае пластинки бесциркуляционное
направление совпадает с направлением самой пластинки, так что угол
BIF.
Рис. 68
Рис. 69
бо, входящий в формулу циркуляции F3), равен нулю. Определяя цир-
циркуляцию по этой формуле и заменяя по F5) moo = i/z, получим
Г = — 4я — с I
2 '
sin в» = —
| sin вв
G6)
в полном соответствии с только что непосредственно выведенной форму-
формулой G5).
Подставляя выражение циркуляции G5) в G4), получим следую-
следующую формулу распределения скоростей:
V = Moo — iva
Z—C
Z —С
7+7
G7)
На задней кромке (z=c) скорость конечна и равна ««, на передней
кромке (z=—с) скорость остается равной бесконечности. Выбором цир-
циркуляции нельзя сделать скорость конечной на обеих острых кромках.
Расположение линий тока в случае плавного обтекания задней кромки
показано на рис. 69.
В формулы G2) и G3) в качестве последнего слагаемого входиг
комплексный потенциал чисто циркуляционного обтекания эллипса или
пластинки
G8)
Соответствующие этому течению линии тока — эллипсы — показаны
на рис. 70. Сопряженная скорость будет
Г 1
§ 52 ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
189
На верхней поверхности пластинки (у=0, —с<.х<с) квадратному
корню соответствует знак плюс, так что сопряженная скорость действи-
действительна и равна
Г 1 (и+<0приГ>0).
2л уЖ-^х*
На нижней поверхности у корня следует брать знак минус, так что
Г 1
и =
при Г>0).
Отвлечемся от того, что отрезок F'F представляет собой твердую
стенку, и представим себе всю пло-
плоскость хОу занятой жидкостью. Тог-
Тогда линия F'F явится линией разрыва
скоростей в потоке. В самом деле,
по только что доказанному, при
Рис. 70
X
F1
о—
М
ds
Рис. 71
переходе через линию F'F (рис. 70) скорость и претерпевает конечный
скачок
и_-и. =
Построим на бесконечно малом отрезке ds линии F'F (рис. 71) пря-
прямоугольный контур, охватывающий точку М. Циркуляция скорости по
этому замкнутому контуру
(««)Л Tds
отлична от нуля; следовательно, на отрезке ds линии разрыва скоростей
расположены вихри с общей интенсивностью, равной этой циркуляции.
Обозначим через f плотность распределения вихрей, т. е. интенсив-
интенсивность непрерывного их распределения, приходящуюся на единицу длины
отрезка F'F; тогда получим
yds= (гг_—u+)ds
и, следовательно,
G9)
Непрерывное распределение вихрей на поверхности (при плоском
движении вдоль некоторой линии) образует вихревой слой.
Из сказанного выше следует, что чисто циркуляционное движение
G8) вокруг эллиптического цилиндра (в частности, пластинки) эквива-
эквивалентно потоку, образованному вихревым слоем, расположенным вдоль
линии, соединяющей фокусы эллипса, причем плотность распределения
вихрей в слое определяется формулой G9).
190 ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
§ 53. Крыловые профили Жуковского — Чаплыгина
Разобранные в предыдущем параграфе примеры обтекания эллип-
эллиптического контура и, в частном случае, пластинки не дают полного пред-
представления об обтекании крыловых профилей.
Составляя выражение производной от преобразующей функции F5)
(80)
видим, что точки F* и F'* (рис. 66) плоскости 5 с координатами t=±c
являются особыми точками конформного отображения F5), так как в
©
Рис. 72
этих точках производная равна нулю. В точках F* и F'* нарушается кон-
конформность отображения: углам п в этих точках соответствуют углы 2я
в точках F и F' плоскости г.
Окружность С*, проведенная через обе особые точки, преобразова-
преобразовалась в прямолинейный отрезок FF' или, точнее, в разрез плоскости z с
двумя угловыми точками, окружности же С[ и С2\ не проходящие через
особые точки, перешли в эллипсы —плавные кривые, не имеющие угло-
угловых точек. Проводя в плоскости % окружности или другие какие-нибудь
замкнутые кривые так, чтобы они проходили только через одну особую
точку, образуем в плоскости г профили с одной угловой точкой, из кото-
которых можно выбрать подходящие для крыловых профилей.
§ 53 КРЫЛОВЫЕ ПРОФИЛИ ЖУКОВСКОГО — ЧАПЛЫГИНА 191
Примерами такого рода теоретических крыловых профилей могут
служить профили Жуковского — Чаплыгина, образованные конформным
отображением F5) окружностей К*9 проведенных во вспомогательной
плоскости (рис. 72) через особую точку F* и содержащих внутри себя
вторую особую точку F'*. Особенностью этих профилей является нулевой
угол на задней кромке.
Если центр круга Kl находится в точке Nt оси О*?, то в плоскости г
получим симметричный профиль Ки называемый рулем Жуковского (по-
(показан на рисунке пунктиром). Круг С* переходит в отрезок F'F, служа-
служащий скелетом руля Жуковского в том смысле, что при уменьшении отно-
относительной толщины руля контур его /d будет стягиваться к отрезку/7'/7.
Чтобы получить руль небольшой (по сравнению с его длиной) толщины,
дадим точке Nt малое смещение влево от точки О*, равное по абсолют-
абсолютной величине Кс, где Я<С 1. Тогда уравнение окружности Ki можно пред-
ставить в виде
где 9—полярный угол точек окружности /С* (на рисунке не показан-
показанный). Подставляя это выражение в преобразование F5), получим урав-
уравнение руля Жуковского
-Л
е'е J
Не составляет труда, используя малость параметра Я, представить пра-
правую часть в виде разложения в ряд по степеням Я. Довольствуясь члена-
членами с первой степенью Я, получим
z = ccos0 + —te(cos29— I) + ikc(sin Q— -sin
или
x = с cos 0 -f — Xc (cos 20 — 1), у = Kc A — cos 0) sin 0.
Из второго равенства следует, что крайним абсциссам руля соответ-
соответствуют значения 0 = 0 и 0=я, так что длина, или хорда, Ь профиля
равна
Ь=х@) — х(л)=2с,
т. е. в принятом приближении не отличается от длины скелета — отрез-
отрезка FF'. Найдем максимальную толщину профиля. Максимальному зна-
значению ординаты профиля отвечает корень уравнения
dQ -v —cos 29) = О,
равный 6m=120°. Следовательно, максимальная ордината будет
tfaax = Xc sin 60° A + cos 60е) = -^-2- Хс,
4
а толщина
/=2утах = и^Цс
max ^
Круг /С* с центром в любой точке N плоскости ?, проходящий через
особую точку Z7*, преобразуется в изогнутый профиль Жуковского —
Чаплыгина /С. Дужка /Со служит скелетом для этого профиля, так же
как отрезок FF' — для руля а1# Вогнутость дужки /Со представляет вмес-
вместе с тем и вогнутость профиля /С. Если, сохраняя вогнутость профиля К,
192
ГЛ VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
уменьшать его толщину, то профиль будет стягиваться к своему скеле-
скелету—дужке Ко.
Для решения задачи об обтекании профиля К потоком со скоростью
Veo, направленной под углом О*, к оси Ох, проще всего поступить так.
Проведем во вспомогательной плоскости ? оси Ng' и Nr\' с началом в
центре смещенного круга N. Плоскость комплексного переменного ?'=
==?'+'V повернута относитель-
относитель()
Рис. 73
но плоскости ? на угол (—р
так что, положив
приходим к соответствию меж-
х ду плоскостями ? и ?" с парал-
параллельными осями координат
(а — радиус окружности К*)
Тогда, принимая плоскость
?" за вспомогательную, перейдем от преобразования F5) к преобразова-
преобразованию более общему
которое может быть переписано в виде ряда Лорана
2 Ъ 2 V 2 ?" 2 ?"а
Комплексный потенциал в плоскости ?" сохранит прежнюю форму
Х- (П
Совокупность последних двух равенств представляет собой искомое
решение задачи обтекания теоретических профилей Жуковского — Чап-
Чаплыгина.
Обобщенные профили Жуковского — Чаплыгина, соответствующие
преобразованию
z-oc _(Z-cy 9 т
ос
л
приводят к крыловым профилям с острым углом т на задней кромке
(рис.73).
Приближенные методы расчета обтекания крылового профиля про-
произвольной формы изложены в четвертом и предыдущих изданиях на-
настоящего курса, а также в § 55. При современных возможностях машин-
машинного счета такие приближенные методы практически становятся излиш-
излишними.
§ 54. Главный вектор и главный момент сил давления потока
на замкнутый контур. Формулы Чаплыгина. Теорема Жуковского.
Коэффициенты подъемной силы и момента пластинки
Определим динамическое воздействие потока на находящийся в нем
профиль.
Составим выражения главного вектора R и главного момента Lo сил
давления потока на профиль С (рис. 74) относительно начала координат
О. Используя уравнение Бернулли
р e const-?ip.
§ 54. ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ДАВЛЕНИЯ ПОТОКА 193
получим выражения главного вектора
я главного момента
Lo = — (j) (xny — упх) pds = |- (j) (хпд — упх) \V\*ds.
Переходя в этих формулах к комплексным величинам, заметим, что
Тогда предыдущие формулы силы и момента приведутся к виду
а/
2 У
Lo=-iRe ф|У|8<г*Ь&.
с
Заменим в этих фор-
формулах
найдем
(81)
с Рис. 74
Вспоминая, что по предыдущему v=d%/dz, перепишем эти выраже-
выражения еще в таком виде:
Приведенные формулы главного вектора и главного момента сил
давления потока на профиль были даны в 1910 г. С. А. Чаплыгиным1).
Покажем, что для вычисления контурных интегралов, входящих в
формулы Чаплыгина (81) или (82), нет необходимости полностью знать
комплексный потенциал, а достаточно иметь лишь первые три коэффи-
коэффициента в разложении производной от комплексного потенциала dyjdz,
или, что все равно, сопряженной комплексной скорости V в ряд Лорана.
Предполагая, что во всей внешней к обтекаемому профилю области
физической плоскости, включая и сам_контур С, особых точек нет, можем
представить сопряженную скорость V ее разложением в ряд Лорана в
физической плоскости
У = а0 + —- + -s- + ... (83)
*) Чаплыгин С. А. О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие
тела (К теории аэроплана).— Мат. сб., 1910, т. XXVIII.
7-9487
194 ГЛ VII БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Легко убедиться, что первые два коэффициента выражаются через
скорость набегающего потока V«> и циркуляцию Г, а именно
^-. (84)
Подставим в полученные только что формулы (81) разложение со
пряженной скорости в ряд Лорана (83), причем сохраним под знаком ин-
интеграла только те слагаемые, которые дадут результаты интегрирования,
отличные от нуля; будем иметь (С— произвольный круговой контур в
физической плоскости, охватывающий профиль С)
Используя выражения (84) первых двух коэффициентов а0 и аи по-
получим _
R=—i9 У^Г, Io=—2npRe(iVo.a2). (85)
Первая из формул (85) выражает известную теорему Жуковского о
подъемной силе крыла в плоскопараллельном безвихревом потоке иде-
идеальной несжимаемой жидкости. Эта теорема была опубликована в
1906 г. в классическом мемуаре «О присоединенных вихрях»1), в кото-
котором Н. Е. Жуковский впервые установил вихревую природу сил, дейст-
действующих со стороны потока на крыло, и указал на наличие простой зави-
зависимости между этой силой и циркуляцией скорости по контуру, охваты-
охватывающему обтекаемое крыло.
Для того чтобы, оставаясь в рамках теории идеального безвихрево-
безвихревого потока, определить величину воздействия потока на помещенное в
него тело, Жуковский заменяет крыло некоторым воображаемым жид-
жидким крылом, ограниченным замкнутой линией тока, и предполагает, что
внутри этого жидкого крыла происходит движение с особенностью—вих-
особенностью—вихрем2).
Такой вихрь Н. Е. Жуковский назвал присоединенным. Интенсив-
Интенсивность присоединенного вихря можно вычислить только при помощи не-
некоторого дополнительного допущения. Таким допущением, как мы уже
знаем, является постулат Жуковского— Чаплыгина о конечности скоро-
сти на задней острой кромке крылового профиля. Пользуясь этим посту-
постулатом, оказалось, как мы видим, возможным теоретически определить
величину наложенной циркуляции, или, что то же, интенсивность при-
присоединенного вихря. Эта величина задается формулами F3) или F4)
настоящей главы.
Идея присоединенного вихря и постулат конечности скорости на зад-
задней острой кромке крылового профиля представляют собой основу всей
теории крыла в плоскопараллельном потоке. Эти представления нашли
свое дальнейшее развитие и применение и в более общей, пространст-
пространственной теории крыла конечного размаха, системы крыльев, а также в
теории лопаточных аппаратов турбин, компрессоров и насосов.
Возвращаясь к первой формуле (85) и принимая во внимание ее
векторный характер, заключим, что величина главного вектора R равна
1) Жуковский Н. Е. Избр. соч., т. П.—Л.; М.: Гостехиздат, 1948, с. 97.
2) См. по этому поводу Степанов Г. Ю. О некоторых неточностях в разъясне-
разъяснениях теории крыла.— Механика жидкости и газа, 1975, № 3, с. 188, 189; Степанов
Г. Ю. О комментариях к избранным трудам С. А. Чаплыгина.— Механика жидкости
и газа, 1977, № 4, с. 180—183.
§ 54 ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ДАВЛЕНИЯ ПОТОКА
195
Г<0
Рис 75
произведению плотности жидкости на величину скорости набегающего
потока и величину наложенной циркуляции (Г— алгебраическая вели-
величина, которая может быть как положительной, так и отрицательной)
|#|=р|У«,||Г|, (86)
а его направление определяется (рис. 75, а, б) поворотом на 90° вектора
скорости набегающего потока VTO по часовой стрелке, если Г>0, и про-
против часовой стрелки, если Г<0. Таким образом, как уже отмечалось в
§ 50, главный вектор R является силой, поперечной к направлению на-
набегающего потока или к направлению поступательного движения тела в
обращенном движении. По формулировке Жуковского для получения
направления главного
вектора сил давления R
надо повернуть вектор
скорости набегающего по-
потока Voo на 90° в сторону,
противоположную на-
направлению циркуляции.
Заметим, что на-
направление циркуляции в
эбщем случае крылового
профиля произвольной
формы и любого направления натекания не поддается непосредст-
непосредственному восприятию, как это имело, например, место в случае цирку-
циркуляционного обтекания круглого цилиндра, допускающем простую фи-
физическую интерпретацию (§ 50). Для определения «направления цир-
циркуляции» необходимо в каждом отдельном случае находить знак Г,
пользуясь для этого формулой F3).
Весьма существен тот факт, что единственной силой, действующей
на профиль в плоскопараллельном безвихревом потоке идеальной несжи-
несжимаемой жидкости, является перпендикулярная к направлению набегаю-
набегающего потока или, в обращенном движении, поперечная направлению дви-
движения профиля сила, которая может быть названа подъемной или под-
поддерживающей силой, так как именно эта сила обеспечивает подъем са-
самолета в воздух, поддерживает его крыло при горизонтальном полете.
Подчеркнем отсутствие составляющей силы, направленной вдоль дви-
движения жидкости, или, что все равно, направления движения тела по
отношению к жидкости,— силы сопротивления. Это представляет собой
частный случай общего парадокса Даламбера.
Теорема Жуковского подтверждает парадокс Даламбера для любого
плоского безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости как
при наличии присоединенных вихрей, так и при отсутствии их. Общее
доказательство парадокса для пространственного течения будет дано в
§ 73 гл. IX.
Воспользовавшись теоремой Жуковского и постулатом Жуковско-
Жуковского—Чаплыгина, можно по формуле (86) и по формулам F3) и F4) по-
получить выражение величины подъемной силы в виде
|#| =Апагпкр\ V» |21sin(е0—0») | =4яя/лоор| V^ |2|sin a|, (87)
впервые указанном Чаплыгиным. Входящее в эту формулу произведе-
произведение am* зависит от формы обтекаемого контура.
Для иллюстрации применения формул (85) остановимся сначала на
простейшем примере, изложенном в конце § 52,— на обтекании пластин-
пластинки с плавным сходом струй с задней кромки. В этом случае ат0О = 1/2с, a
подъемная сила оказывается равной
\R\=2npc\Voo\2sma. (88)
196
ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Введем коэффициент подъемной силы как отношение величины
подъемной силы \R\ к скоростному напору набегающего потока
VzP | V^oo |2 и длине хорды Ь. Обычно ось Ох направляют по скорости Vu\
тогда подъемная сила будет направлена по оси Оу и может быть обоз-
обозначена через У или Ry. Вот почему коэффициент подъемной силы в на-
нашей литературе принято обозначать через су> а коэффициент сопротив-
сопротивления — через сх.
При этом обозначении будем иметь
Си =
—И1_ = 8л.
• sin a,
(89)
а в рассматриваемом сейчас частном случае пластинки (Ь=2с)
cy=2nsina. (90)
Как показывают многочисленные опыты, при сравнительно малых
углах атаки, при которых действительно выполняется условие плавного
схода струй с задней кромки, формула (90), переписанная в виде
)
6,28а,
(91)
удовлетворительно отражает установленную в опытах закономерность:
при малых углах атаки коэффициент подъемной силы пластинки прямо
пропорционален углу атаки. Одна-
Однако теоретическая величина коэффи-
коэффициента пропорциональности 2я=
= 6,28 несколько завышена. На
рис. 76 представлены для сравнения
Рис 76
Рис. 77
теоретическая прямая и экспериментальная кривая су(а) для сим-
симметричного профиля с отношением максимальной толщины к хорде, рав-
равным 9%. Как видно из рисунка, в интервале углов атаки —13°<а<;130
(область отрицательных а на рисунке не представлена, но она в силу
симметричности профиля только знаком отличается от области положи-
положительных а) расхождение между теоретическим коэффициентом подъем-
подъемной силы пластинки и экспериментальным для тонкого профиля неве-
невелико.
Возможность рассмотрения пластинки как предельного случая тон-
тонкого симметричного профиля при стремлении относительной его толщи-
толщины к нулю позволяет обосновать справедливость формулы (91). Физи-
Физически можно себе представить, что, как бы ни была тонка пластинка,
передняя ее кромка все же имеет некоторую закругленность, на которой
благодаря очень большой (для пластинки теоретически бесконечной)
§ 54. ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ДАВЛЕНИЯ ПОТОКА 197
скорости образуется значительное разрежение, создающее подсасываю-
подсасывающую силу, направленную навстречу потоку вдоль поверхности пластин-
пластинки. Эта подсасывающая сила вместе с силами давления, перпендикуляр-
перпендикулярными к пластинке, и дает подъемную силу, поперечную к направлению
набегающего на пластинку потока.
Чтобы вычислить главный момент Lo сил давления потока на плас-
пластинку, разложим сопряженную скорость V обтекания пластинки, опре-
определяемую в рассматриваемом сейчас случае плавного стекания жидко-
жидкости с задней кромки пластинки формулой G7), в ряд по отрицательным
степеням z:
V(z) = u0O — Woo I/ = Uoo — ivx-\
r z + с
Uoo ivx\
z + с г 2
Сравнивая это разложение с рядом (83), получим
а0 = иоо—«Jeo = Foo, al = civoo = ci\ V^ | sin a,
а2 = с2Шоо = c2i | Уоо | sin а.
По первой из формул (85) находим
или, пользуясь формулой циркуляции G5),
Rx = — 2яра&, Ry =
Момент Lo по второй из формул (85) будет равен
Lo = — 2яр Re cHv^i (и^ — iv^) = —
Переходя от проекций скорости и*,, v^ к их выражениям через мо-
модуль скорости и угол атаки а=9оо, получим
/?х=— 2ярс\ V» |2 sin2a. /?у=2ярс| 1/те |2 sin a cos a,
Lo = —яре21 У,» |2 sin a cos a.
Имея выражение проекций подъемной силы и момента относительно
точки О, можем найти уравнение линии действия равнодействующей.
Обозначим через х и у текущие координаты точки на линии действия
равнодействующей; тогда уравнение этой линии получим в виде
xRv—yRx=LOt
или, используя предыдущие выражения и произведя очевидные сокра-
сокращения,
х cos oL+y sin a= с cos a.
Точка Ц (рис. 77) пересечения линии действия подъемной силы с
пластинкой называется центром давления. Если привести все силы дав-
давления потока на пластинку к одной силе /?, то эта сила будет приложе-
приложена в центре давления Ц. Полагая в последнем уравнении */=0, найдем
абсциссу положения центра давления Ц на пластинке
с
*—т.
Центр давления потока на пластинку находится на четверти ее дли-
длины от передней кромки, причем, как показывает последняя формула,
положение центра давления не зависит ни от скорости набегающего по-
потока, ни от угла атаки.
198 ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Вводя в рассмотрение коэффициент момента
с - Lo }
m~V,P|l'
будем иметь при малых углах атаки (sin a»a, cosa» 1)
cm = f а.
•Сравнивая с формулой коэффициента подъемной силы с„=2ла,
видим, что
ст:су=1 :4.
Отметим, что это соотношение, обычно выражаемое через коэффи?
циенты dcmlda и dcjda в виде
dcm dcm . <Ьу _ JL
dcu da ' da * f
if
удовлетворительно соответствует опытным данным не только для обте-
обтекания пластинки, но и для тонких симметричных профилей.
Если принять точку Ц (—с/2, 0) за точку, относительно которой бе-
берется главный момент сил давлений, то момент Ьц будет равен нулю.
Это свойство пластинки, а также и тонких симметричных профилей ис-
используется при конструировании креплений рулей. За ось вращения
руля берут линию, проходящую через центры давления нормальных к
оси вращения сечений руля; это сводит к минимуму момент, необходи-
необходимый для поворота руля, и облегчает управление.
§ 55. Теория тонкого профиля (дужки)
Тонкий крыловой профиль малой вогнутости можно рассматривать
как дужку, уравнение которой в системе координат, показанной на
рис. 78, представляется в виде
±-[hx(x) + h2(x)]9 (92)
-с о
+с
где yi=fti(*) и #2=^2(*) —уравнения верхней и нижней поверхностей
тонкого профиля, приближенно заменяв-
мого дужкой.
Поместим дужку в плоскопарал-
плоскопараллельный безвихревой поток идеальной
несжимаемой жидкости, имеющий ско-
скорость на бесконечности V», образующую
й ф Л232 6L
с хордой профиля АВ=2с угол атаки 0».
Для расчета обтекания тонкого профиля
применим метод малых возмущений, при-
• няв, что возмущение скорости V*, произ-
производимое дужкой в набегающем потоке,
мало по величине. Таким образом, вектор скорости V в любой точке по-
потока может быть представлен суммой
у у I у* (93)
оо I • \ъ/и J
Условие непроницаемости дужки запишем в форме равенства нулю
«а контуре дужки проекции скорости V на нормаль к контуру:
Vn = Гооя + Vn = Uoo COS (Л, X) + Voo COS (/I, У) + Vn — 0.
§ 55. ТЕОРИЯ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 199
Отсюда вытекает граничное условие @ — угол касательной к дужке с
осью Ох, и*, и и» — проекции скорости У«> на оси Ох и Оу)
/\ /\
Vn = — Уооп = — [Ноо cos (#, х) + Уоо cos (я, у)] = Uoo sin 6 — Ucx cos 8, (94)
которое должно выполняться на обеих сторонах дужки. Из условия ма-
малой вогнутости следует, что угол 9 мал, и можно положить
sine«tg6 = A'(x), cos8«l.
Пользуясь малостью отклонений дужки от хорды АВУ заменим в*
граничном условии (94) нормальную компоненту скорости возмущения.
Vn на равную ей с точностью до малых высших порядков проекцию v*
этой скорости на ось Оу. Кроме того, граничное условие (94) выполним
йена дужке К, а на хорде АВ. Такой перенос граничных условий с одной*
кривой на мало от нее отклоняющуюся другую вводит ошибку второго
порядка малости. Итак, имеем граничное условие
v*(x, y)=uooh/(x)—Uoo при —c^x^Ic и t/=±0. (95)
Двойной знак при нуле выражает применимость граничного условия
(95) как на верхней, так и на нижней границе разреза АВ по оси Ох в
плоскости течения, т. е. непрерывность изменения функции v* (x, у),
представляющей взятую с обратным знаком мнимую часть F*, при пере-
переходе с одной стороны разреза Л В на другую.
На бесконечном удалении от дужки скорость возмущения обраща-
обращается в нуль; кроме того, еще должно быть выполнено условие Жуков-
Жуковского—Чаплыгина конечности скорости в точке В.
Задача сводится, таким образом, к разысканию голоморфной, исче-
исчезающей на бесконечности функции F*(z), мнимая часть которой на от-
отрезке действительной оси (—с^.х^с) удовлетворяет условию
lmVHz)=v00-u00h/(x)y (96)
непосредственно вытекающему из (95), причем функция V*(z) должна
быть конечна при z=c.
Сравним поставленную задачу с ранее рассмотренной задачей об
обтекании пластинки с конечной скоростью на задней кромке (§ 52).
Из полученного там распределения скоростей G7) найдем сопряженную
скорость возмущения
— с , . (' л -ш /г— с \
Z+ С \ * Z+ С/
В этом случае условие (96), очевидно, удовлетворено, так как на плас-
пластинке
aA/(jc)=O; кроме того, F*-*0 при z->oo и u*=0, v*=—v* при z=cf
т.е. F* конечно. На верхней стороне разреза.(—c^ix^ic, r/=-|-0) кор-
корню приписывается положительное значение, а на нижней (—c^x^Zc,
у=—0) — отрицательное, так что, приравнивая в предыдущей формуле
действительные и мнимые части, получим
^t u(x,0) veoV9
с ~~\~ х * с -\- х
v*(x, +0)=v*(x, — 0)=—vm,
откуда следует
и*(х, + 0) =—и*(х, -0),v*(х, + 0) — v*(х, —0). (97)
200 ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Конечный скачок в величине составляющей и* скорости возмущения при
переходе через разрез от положительных у к отрицательным равен
и* (*, + 0) — и* (х, — 0) = 2уоо Л/-
' С
— X
с + х
Как уже было разъяснено в конце § 52, этот разрыв в составляющей и*
при непрерывности составляющей v* может быть интерпретирован как
наличие вихревого слоя с общей интенсивностью, равной наложенной
на пластинку циркуляции.
Возвращаясь к вопросу об обтекании дужки, представим4) иско-
искомую сопряженную скорость возмущенного движения как произведение
(радикал играет ту же роль, что и в формуле G7) для пластинки)
(98)
где f(z)—ограниченная, голоморфная и исчезающая на бесконечности
функция; при таком выборе вида функции V* (г) будут выполняться ус-
условия F*(c)=0, V(c)=uoo безотрывного обтекания задней кромки
(z=c). На передней кромке (z=—с) скорость в общем случае обра-
обращается в бесконечность2).
По известной формуле Коши будем иметь следующее интегральное
представление функции f(z) через ее значения на контуре:
где L — контур выреза АВ с двумя бесконечно малыми окружностями,
выделяющими точки разветвления А и В подынтегральной функции
причем в верхней части разреза АВ у корня следует брать знак плюс и
считать
/(!) =
l^[ы< & + 0) - ixf F, + 0)] = - i у^±| [и* F, + 0) - iv* (t, + 0)],
а на нижней — знак минус, так что
Z7c W{l' -0) ~|V{l> -0I = ' YtzI [u* F. -0) - *V(Б. -0)].
Составляя интеграл (99), убедимся, что интегралы по малым ок-
окружностям с центрами в точках А и В при стремлении радиусов этих
окружностей к нулю также стремятся к нулю, а интеграл Коши (99)
сводится к разности определенных интегралов в пределах (—с, с), вы-
вычисляемых в положительном направлении оси Ох по верхней и нижней
сторонам разреза АВ. По основному свойству вихревого слоя, располо-
расположенного в этом общем случае вдоль дужвд, или, с ошибкой второго по-
порядка малости, по разрезу АВ, будут выполняться условия (97), так что
в разности интегралов слагаемые, содержащие м*(|, +0) и «*(|, —-0),
1) Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— М.: Гостех-
издат, 1950, с. 46—64; К и бель И. А., Кочин Н. Е., Розе Н. В. Теоретическая гид-
ромеханика. Ч. I.—M.: Физматгиз, 1963, с. 297—321.
2) См. по этому поводу замечание в § 52.
§ 55. ТЕОРИЯ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 201
сократятся, а слагаемые с и*(?, +0)=а*(?, —0)=а*(?, 0) сложатся;
получим
У- (г) = —l- Y*E11 2v* «•0)
и, согласно граничному условию (95),
Г (а)—Ly^Zf Г~^>-»~ l/l+Ig. A00)
Возвращаясь к полной скорости V и замечая, что при малом 8»
можно положить
um=\Vm\, w.= |V«|e.f
окончательно получим
iJ^i/!Z?? *'®-9i/l±IldE- A01)
ш ^ z + с J I — г f c — l
—с
Вычислим главный вектор и главный момент сил давления потока на
дужку. Для этого разложим в ряд по отрицательным степеням z выра-
выражения
1 /2 — с л/ 1 —с/Г . L.4-—_f!
У z+ с~У \+ф~ г 2 z* ~ " "
1 _ 1 1 _ 1 |
? — z ~ z 1 — Цг~ z z*
и подставим их в A01); сравнив результат подстановки с разложением
сопряженной скорости (83), найдем значения коэффициентов разло-
разложения
а0 = Коо,
«.---^fl*®-'
а следовательно, согласно (85), и общие выражения главного вектора и
главного момента
Rx = - 2прс | Коо |2 91 + 2р | Vco |2 9.О Г h' (g)
J
— 2р | К» |2 Г Л' F) "|/^У dg, (Ю2)
= - яре21 Кос |2 6те + 2р | Усе |2 J Л'
В принятом приближении /?ж=0, так как оба слагаемых в правой
части первой формулы системы A02) представляют малые величины
второго порядка, пренебрежение которыми в теории тонкого крыла обя-
202
Г Л VII БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
зательно; этот результат соответствует парадоксу Даламбера об отсут-
отсутствии сопротивления.
В случае пластинки /i'(|)=0 и равенства A02) приводят к извест-
известным уже формулам (с точностью до 0» в первой степени)
При произвольной форме дужки y=h(x) величины Rv и Lo могут
быть по A02) без труда вычислены, причем, подчеркнем это, все сла-
слагаемые, стоящие в правых частях второго и третьего равенств системы
Рис. 79
A02), имеют первый порядок малости. Интегральные члены в правых
частях выражений A02) для Ry и Lo являются дополнительными к соот-
соответствующим выражениям для пластинки; эти члены определяют влия-
влияние вогнутости дужки. Так, например, для дужки параболы
A03)
A04)
где б — стрелка прогиба, будем иметь
= - яре2
Как видно из этих формул, в принятом приближении относительная
вогнутость б/ Bс) увеличивает подъемную силу, но не влияет на момент
относительно начала координат О, расположенного на середине отрез-
отрезка ЛВ.
Согласно первой из формул A04) направление нулевой подъемной
силы @оо=—б/с), или, что то же, бесциркуляционное направление сов-
совпадает с направлением прямой, проведенной через вершину С дужки и
заднюю кромку В (рис. 79).
Вычисление скорости на поверхности дужки по формуле A01) пред-
представляет некоторые затруднения, связанные с тем, что интеграл, стоя-
стоящий в правой части, является несобственным и должен вычисляться в
смысле своего главного значения *).
Приводим, опуская вычислительные детали, формулу распределе-
распределения скоростей по поверхности параболической дужки, заданной уравне-
яием A03)
(,05,
Первое слагаемое выражает распределение скорости по пластинке
(для малых 8«), второе дает влияние вогнутости б/Bс) дужки.
!) См., например, Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. IV.—М.: Гос-
иехиздат, 1941, с. 252—253.
§ 55. ТЕОРИЯ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 203
При 6оо=0 предыдущая формула приводится к виду
полагая здесь г—±с% получим
U^y A06)
Замечая, что тангенс или синус малого угла наклона касательной
к дужке в точках (х=±с, у = 0) равен Ч:26/су а косинус — единице, за-
заключим, что в рассматриваемом случае векторы скорости на кромках
направлены по касательным к дужке в этих точках. Иными словами, при
0^=0 передняя кромка является точкой плавного, или, как говорят,
безударного входа жидкости на дужку, а задняя — плавного схода
(рис.79).
Подъемная сила, в этом случае равная
(ЯЛс- = 2др | Voo |2 б = 4пРс | V» |2 ?, (Ю7)
пропорциональна относительной вогнутости дужки.
На рис. 79 совмещены картины обтекания параболической дужки
при трех различных, наиболее характерных направлениях набегающего
потока, причем, чтобы избежать излишнего загромождения рисунка, по-
показаны лишь нулевые линии токов для каждого из трех потоков. Штри-
Штрихами показаны направления касательных к дужке в передней и задней
кромках. Направления набегающих потоков вдалеке от дужки представ-
лены векторами скоростей на бесконечности: К«, V{? и V*.
Согласно принятому при выводе равенства A05) условию для всех
трех потоков наложенные циркуляции подобраны так, чтобы задняя
кромка В была точкой конечной скорости и плавного схода потока.
В этой точке В, как это видно из рисунка, все три нулевые линии тока
(/), B) и C) имеют общую точку схода В и общую касательную, пока-
показанную штрихами и совпадающую с касательной к дужке в задней
кромке В.
Положения точек разветвления потока вблизи передней кромки Л,
наоборот, резко различаются. Плавный, безударный вход потока на пе-
переднюю кромку с конечной скоростью, определяемой по A06), образу-
образуется лишь при направлении набегающего потока по вектору скорости
на бесконечности V«}, т. е. параллельному хорде дужки АВ по оси Ох.
Это направление естественно назвать направлением безударного нате-
кания.
При бесциркуляционном натекании, соответствующем вектору ско-
скорости на бесконечности V(« , так же как и при натекании в направлении
касательной к дужке в передней кромке со скоростью на бесконечности
Vj?, скорость в точке А будет бесконечно большой, вход на дужку в пе-
передней кромке не будет безударным.
Изложенные обстоятельства, имеющие, строго говоря, отношение
лишь к рассмотренным симметричным относительно оси Оу параболи-
параболическим дужкам, в той или другой степени приближения оправдываются
и для дужек другой формы. Более того, как показывают точные расчеты
и опытные материалы, указанные свойства обтекания дужки оказыва-
оказываются качественно справедливыми и для профилей малых конечных тол-
толщин и кривизн. В этом случае под безударным обтеканием следует ус-
условно понимать такое, при котором вблизи носка профиля не образу-
образуется резких пиков разрежения, соответствующих большим местным ско-
скоростям на лобовой поверхности профиля. Для определения направления
набегающего потока, соответствующего этому условному безударному
204
ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
обтеканию, необходимо в каждом отдельном случае провести ряд ана-
аналитических расчетов обтекания рассматриваемого профиля. Углы атаки
при этих расчетах можно выбирать из соображений малого их отли-
отличия от угла атаки, отвечающего безударному обтеканию «скелета»
профиля.
§ 56. Теорема Жуковского о подъемной силе профиля в решетке
Под плоской решеткой профилей (рис. 80) понимают бесконеч-
бесконечную совокупность периодично расположенных в плоскости одинаковых
крыловых профилей, каждый из которых получается из смежного па-
параллельным переносом на некоторую, называемую шагом длину t в на-
направлении, определяющем ось решетки. Угол 0 между хордой профиля
и перпендикуляром к оси решетки иногда называют углом выноса, до-
дополнительный угол р'— углом установки профиля. Вектор /, равный по
бектор-шагЬ
Рис. 80
Рис 81
длине шагу и направленный перпендикулярно к оси решетки в сторону
течения, назовем вектором-шагом.
В отличие от одиночного профиля, в бесконечном удалении впереди
и позади решетки скорости в общем случае различны как по величине,
так и по направлению. Решетка не только меняет скорость набегающего
на нее потока, но и поворачивает поток.
Обозначим (рис. 81) вектор скорости потока в бесконечности перед
решеткой через V4, давление — через ри соответственно вектор скорости
и давление в бесконечном удалении за решеткой — через V2 и р2\ плот-
плотность повсюду одинакова и равна р.
Рассмотрим в плоскости рисунка трубку тока, образованную двумя
какими-нибудь линиями тока, сдвинутыми друг по отношению к другу
в направлении оси решетки на расстояние, равное шагу. Весь поток
можно, очевидно, разбить на такие равные между собой трубки тока,
так как обтекание обладает свойством периодичности с периодом, рав-
равным шагу.
Применим теорему количеств движения в форме Эйлера, взяв за
контрольную поверхность боковую поверхность только что выделенной
трубки тока и два бесконечно удаленных сечения трубки аь а2, парал-
параллельные оси решетки и равные по длине шагу. Тогда, обозначая через
R главный вектор сил давления потока на профиль, будем иметь
2)V2-R=0, A08)
Величины t-Vi=t>V2 представляют собой равные между собой секунд-
§ 56. ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ ПРОФИЛЯ В РЕШЕТКЕ 205
ные объемные расходы жидкости сквозь сечения трубки тока, а —R
есть главный вектор сил давления профиля на поток.
Предполагая поток безвихревым и применяя уравнение Бернулли,
получим
Pi-Pt=~P<yi-vb,
или, представляя разность квадратов скоростей как скалярное произве-
произведение суммы векторов скоростей на их разность,
Введем две характерные для обтекания решетки скорости: сред-
среднюю векторную скорость
и скорость девиации потока
Vd=*Vt-Vt,
характеризующую отклонение потока решеткой.
Тогда будем иметь
Pi—p2=pVm-Vd,
/.V^f.V^f.Vn.; /.Vd=#.(V2-V1)=0f A09)
и равенство A08) перепишется в форме
Выражение, стоящее справа, представляет собой разложение двойного
векторного произведения, так что окончательно получим
R=pVmX(txVd). (ПО)
Замечая, что по A09) вектор-шаг t перпендикулярен к скорости
девиации потока Vdt а вектор txVd перпендикулярен к плоскости тече-
течения, т. е. и Vmy найдем величину главного вектора в виде
Vd. (Ill)
Векторное равенство (ПО) дает в явной форме зависимость глав-
главного вектора R от плотности жидкости, шага t решетки и двух харак-
характерных скоростей — средней Vm и скорости девиации Vd потока. Скаляр-
Скалярное равенство A11) определяет величину главного вектора сил давления
потока на профиль в решетке как произведение плотности жидкости,
шага решетки, средней скорости и скорости девиации. Из векторно-
векторного равенства (ПО) следует, что главный вектор R лежит в плоскости
течения и направлен по перпендикуляру к средней скорости Vm в сторо-
сторону, определяемую векторным произведением (ПО).
Введем единичные векторы оси решетки а и нормали к плоскости
рисунка в сторону читателя fe, направив их так, чтобы совокупность век-
векторов /, а и k образовывала триэдр, сонаправленный с принятой правой
системой координат (вектор t не единичный, его величина равна шагу).
Замечая, что, согласно A09), вектор Vd=V2—Vt направлен параллель-
параллельно оси решетки, получим
Vd=(V»-Via)a
и, следовательно,
*Х Vd=*xa(l/aa—Vle) =t(V»—Vla)k.
Определим циркуляцию скорости Г по контуру, составленному из
направляющих сечений оь а2 и двух линий тока, смещенных на шаг.
206 ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Составляя интеграл ф Vsds по положительному направлению обвода
контура, показанному на рис. 81, получим (Oi = a2=M)
T=(V2a-Via)t,
так как интегралы по смещенным на шаг линиям тока равны по величи-
величине и противоположны по знаку. Итак, txVd=kTy а следовательно, по
(ПО)
R VkT A12)
формула эта сооответствует формуле для единичного профиля, причем
средняя векторная скорость Vm заменяет скорость на бесконечности Vw.
Устремим величину шага t к бесконечности, сохраняя в то же вре-
время величину циркуляции. При этом разность V2a—Via должна стремить-
стремиться к нулю, что при наличии равенства A09) приводит к установлению-
общей скорости Уг+У2-+У<х> вместо Vm, и формула A12) переходит в.
формулу Жуковского для единичного профиля
R = pVooXkT.
Правило определения направления вектора R по A12) остается тем
же, что и для единичного профиля. Вектор R имеет направление векто-
вектора Vm, повернутого в плоскости течения на 90° в сторону, противопо-
противоположную направлению циркуляции, т. е. тому направлению обхода кон-
контура интегрирования, при котором циркуляция окажется положитель-
положительной *).
§ 57. Применение метода конформных отображений
в теории струйных течений
Изложенный ранее (§ 51) метод конформных отображений получил
уже давно широкое применение не только при решении задач плоского
обтекания замкнутых контуров, в частности, крыловых профилей. Од-
Одной из наиболее важных областей применения этого метода явилась
теория течений идеальной несжимаемой жидкости с разрывным потен-
потенциалом, известных под названием струйных течений. Благодаря отсут-
отсутствию внутреннего трения в потоках идеальной жидкости становится
возможным возникновение нарушений сплошности течения, образова-
образования в потоке «мертвых» зон покоящейся жидкости.
Примерами течений с нарушением сплошности могут служить кави-
тационные «каверны» (полости), заполненные парами жидкости и воз-
воздухом, срывные зоны за плохо обтекаемыми телами, струи плотной сре-
среды в окружении жидкости (газа) малой плотности, водосливы через
преграду и из-под щита, течения, относящиеся к задачам транспорта на
«воздушных подушках». Некоторые из перечисленных задач и в первую
очередь — гидротехнические, связанные с движением воды в поле тяже-
тяжести и имеющие часто существенно пространственный характер, пред-
представляют значительные математические трудности и не могут быть изло-
изложены на страницах настоящего учебника 2).
*) Теоретические вопросы в этой области разобраны в специальных монографиях:
Кочин Н. Е Гидродинамическая теория решеток. Современные проблемы механики.—
М • Гостехиздат, 1949, и Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин—М.:
Физматгиз, 1962. В монографии более широкого содержания — Седов Л. И. Плоские
задачи гидродинамики и аэродинамики.—М.: Наука, 1980 — теории решеток посвя-
посвящена специальная гл. III. Практические вопросы численного расчета решеток профи-
профилей подробно освещены в монографии. Жуковский М И. Расчет обтекания решеток
профилей турбомашин.—М ; Л Машгиз, 1960.
2) Представление об этих трудностях и о способах приближенных решений такого
рода залач можно составить, ознакомясь с гл XI и XII монографии Гуревич М. И.
Теория струй идеальной жидкости.— М.. Наука, 1979.
§ 57. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ТЕОРИИ СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
207
Прямым методом решения задач плоских разрывных течений слу-
служит метод конформных отображений1). «Свободные» линии тока
(рис. 82), сорвавшиеся с обтекаемого тела, представляют неизвестные
по форме границы потока; в то же время в плоскости годографа сопря-
сопряженной скорости V или обратной величины — функции Кирхгофа
?=1/У, так же как и в плоскости комплексного потенциала х, границы
представляются отрезками простейших линий: прямых и окружностей
если обтекаются тела, состоящие из прямолинейных отрезков (пласти-
(пластины, клин), расположенные в каналах с прямолинейными границами,
Рис. 83
и т. п. При этом установление взаимно однозначного соответствия
между областями в плоскостях комплексных переменных V (или ?)
и х не составляет труда^ и метод конформных отображений дает пре-
преобразующую функцию V(%) или ?(х). Задача сводится к разысканию
связи между этими функциями и основным комплексным аргументом г
в физической плоскости, что может быть осуществлено при помощи оче-
очевидного соотношения
Продемонстрируем метод на примере удара струи, вытекающей из
канала конечной ширины, на перпендикулярно по отношению к ней рас-
расположенную пластину (рис. 83). Рассмотрим правую половину физиче-
физической плоскости г. Обозначим полуширину подводящего канала через L,
полуширину пластины через /, расстояние пластины от выходного сече-
сечения канала через h. Скорость, одинаковую по величине вдоль границ
свободных линий тока ВС и DC, назовем v09 скорость в канале вдалеке
от выходного отверстия ив; тогда
VA=vJ9 Fo=0, Vb=v0, VD = voi, \Vc\=v0.
Введем в рассмотрение комплексную переменную (функцию Кирх-
Кирхгофа)
с—i—J-**
v \v\
и установим соответствие между точками физической плоскости
плоскости годографа вектора обратной сопряженной скорости ?.
z и
J) Исторически первая простейшая схема принадлежит Гельмгольцу и Кирхгофу;
Helmholtz H Ober discontinuierliche Flussigkeitsbewegungen— Monatsber. Berlin.
Akad. Wiss, 1868, Bd 23, April; К i г с h h о f f G Zur Theorie freier Flussigkeitsstrahlen —
Crelle's Journ f Mathem , 1869, v. 70.
208
ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
Границам потока АОВС и ADC в плоскости z сопоставляются гра-
границы в плоскости ?, показанные на рис. 84 теми же буквами; область
течения отмечена штриховкой.
Наметим еще область течения (рис. 85) в плоскости комплексного
потенциала %. Это будет полоса между двумя параллельными действи-
действительной оси прямыми, соответствующими постоянству функции тока ф
вдоль линий тока. Линию тока АОВС примем за нулевую, линии тока
ADC припишем значение \|)=jt, тогда ширина полосы будет равна я.
Взаимно однозначное соответствие между заштрихованными обла»
стями плоскостей ? и % можно установить, отображая конформно обе
области на ту или иную полуплоскость, а затем по известной теореме
теории функций комплексного переменного, связывая отображающие
©
Рис. 84
Рис. 85
функции дробно-линейной подстановкой. Так, заштрихованная область
плоскости ? преобразуется в нижнюю полуплоскость при помощи соот-
соотношения
а полоса плоскости % в верхнюю полуплоскость при помощи преобразо-
преобразования
Zt=e\
Для взаимно однозначного соответствия между полуплоскостями
Zi и Z2 должно быть
ИЛИ
Постоянные а, 6, с определим из условий соответствия
X = 0 при ? = оо (в точке О),
X = In а при С = 1/0о (в точке В),
X = ш + In р при ? = — i/v0 (в точке ?>),
где In а и In p — неизвестные пока постоянные, равные абсциссам точек
В и D в плоскости yw. Подставляя эти значения в предыдущую формулу,
получим
a—l±i
а — 1
§ 57. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ТЕОРИИ СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
209
так что
а —
или, после простых преобразований,
К этому равенству присоединим очевидное соотношение
A13)
A14)
где постоянная определена из условия соответствия в точке О. Совокуп-
Совокупность равенств A13) и A14) дает искомое решение задачи; необходимо
лишь сопоставить неизвестные постоянные а, р с геометрическими пара-
параметрами задачи /, L, h и заданной скоростью i>«>, учтя, что расход при-
принят равным я.
Для этого определим прежде всего полуширину пластины /. Имеем
lna , Ina , - -. ^ ina ,
—— p
ivmwi^-A
Интегрирование может быть выполнено при помощи подстановок
- 1
для первого интеграла и
для второго. Будем иметь
а —
»0
arctg
l —
a — 1 r a + P
(П5)
Полуширину канала L выразим через расход jt и скорость v*
j я
Отношение
Я У0
210
ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
можно выразить только через аир, если заметить, что в точке А
Согласно A13) этому соответствует равенство
"о
,' Уа +
откуда
Итак, имеем
A16)
Силу давления струи на всю пластину найдем по теореме Бернулли
где Ро — давление в мертвой зоне за пластиной. Произведя на поверхно-
поверхности пластины замену
dz, \V\ =-Lf rfz=Wxf
лолучим
In a
In а
о о
Для вычисления интеграла следует заметить, что, согласно (ИЗ),
—О
так что
In a
Введем сюда явно длину пластины 2/; с этой целью из предыдущей
формулы найдем порознь
§ 57. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ТЕОРИИ СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
211
и подставим в выражение A15) полудлины пластины; тогда после про-
простых преобразований получим
,±ф.
Я+2
.(
A18)
Для определения постоянных а и р в нашем распоряжении пока
только одно уравнение A17). Составление второго уравнения требует
введения в расчет константы Л, определяющей расстояние пластины от
выходного сечения канала. Это нетрудно сделать, написав, что по A14)
XD
ли-In P
= Imzz) = Im С ?dx=lm {
Составив затем отношение h к / или L, получим искомое второе уравне-
уравнение для определения а и [}. Опуская эти вычисления, аналогичные тем,
которые были сделаны при составлении выражения A15) для /, удоволь-
удовольствуемся рассмотрением нескольких частных случаев, не требующих за-
задания А.
1. Струйное обтекание пластины безграничным потоком. В этом пре-
предельном случае (L->oo) из равенства A17) сразу следует, что величина
а близка к единице, а из физических соображений ясно, что для вычисле-
вычисления силы Р совершенно несущественна величина /i, а следовательно, и
значение параметра р. Подтвердим это вычислением. Перейдем в выра-
выражении A18) силы Р к пределу при а=1 и произвольном р. Проще всего
это сделать, разложив входящие в знаменатель функции arctg и In в
ряды по степеням малых аргументов 1/ C а~~~ и 1/ а~ и сохранив
только первые члены этих разложений; будем иметь
что представляет собой известную формулу Рэлея; из A16) следует, что
приа=1 У0 = ^оо.
2. Струйное обтекание пластины потоком конечной ширины, ограни-
ограниченной свободными поверхностями (рис. 86). Удалим выход из канала на
бесконечность в положительном направлении оси Оу (/i=oo). Вспоми-
Вспоминая, что In р представляет собой абсциссу точки D на прямой я|) = я
(рис. 86), т. е. значение потенциала скорости ф, изменяющегося от —оо
вдалеке вверх по течению, до +оо вниз по течению, положим In р= —оо,
и, следовательно, (J = 0. Тогда формула A18) дает выражение для силы
212 ГЛ. VII. БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
давления потока на пластину
1 .з «* 2я
A19)
1
In
1 +К (а-1O»
— 1
причем, согласно A16), i>0 = i>oo. Равенство A19) вместе с равенством
A17), переписанным в виде
1 — |/ (а — 1)а
V^ '
A20)
определяет Р при заданных р, Uoo, / и отношении l\L ширины пластины
к ширине свободной струи.
При L-+oo и фиксиро-
Д ванном /, т. е., согласно
A20), при а^1, из A19)
вновь получим формулу
Рэлея.
3. Струйное обтекание
пластины, находящейся в
канале конечной ширины
(рис. 87). Этот случай мож-
можно рассматривать как пре-
Рис. 86
Рис. 87
дельный при [З-^оо. Будем
иметь из равенства A16)
Ц) = М/а+1/а— 1);
сила определится по формуле A18) параметрическим выражением
A21)
которое надо рассматривать совместно с выражением отношения ширины
пластины к ширине канала
A22)
Легко проверить по A21), что при L-voo и фиксированном /, т. е., соглас-
согласно A22), при а-М, вновь получится формула Рэлея для случая попе-
поперечного обтекания пластины.
Рассмотренные только что случаи 2 и 3 дают общее представление о
необходимости поправок на ограниченность потока, которые надо делать
при продувках пластин в аэродинамических трубах с открытыми (свобод-
(свободная струя) и закрытыми рабочими участками.
Изложенный только что пример достаточно ясно иллюстрирует про-
простой классический метод Кирхгофа, до сих пор встречающийся в
практических приложениях, но уже не характеризующий современное
состояние теории струйных течений. Последняя обязана своим расцве-
расцветом трудам многих крупных ученых конца XIX и первой половины наше-
нашего века. Литература по теории струйных течений идеальной жидкости
чрезвычайно обширна, поэтому ограничимся перечислением лишь наибо-
наиболее заметных научных источников. Прежде всего сошлемся на осново-
основополагающие работы в этой области наших выдающихся ученых:
§ 67. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ТЕОРИИ СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИИ 213
Н. Е. Жуковского!), С. А. Чаплыгина2), А. И. Некрасо-
Некрасова3), М. А. Лаврентьева4), Л. И. Седова5). Укажем также
исторически важные исследования задачи о плоском струйном обтека-
обтекании клина, относящиеся к последней четверти XIX века и принадлежа-
принадлежащие Д. К. Бобылеву6) и И. В. Мещерскому7).
Не имея возможности сколько-нибудь подробно останавливаться на
указании многочисленных зарубежных трудов по теории струйных тече-
течений (отсылаем к цитированной далее монографии М. И. Гуревича и по-
помещенному в ней списку литературы), укажем лишь два капитальных
труда, сыгравших значительную роль в современном развитии теории
струй. Это замечательные по общности постановки задач струйного об-
обтекания работа Т. Леви-Чивитта8) и монография Г. Билля9).
В советской литературе выделяется богатая по содержанию моногра-
монография М. И. Г у р е в и ч а 10), в которой с большой строгостью и ясностью
изложены теоретические предпосылки методов расчета струйных течений
и приведены решения многих соответствующих задач, включая не толь-
только плоские, но и осесимметричные, а также имеющие большое практиче-
практическое значение задачи о струях «тяжелой» жидкости.
Значительный интерес представляет монография Л. В. Гогиша и
Г. Ю. С т е п а н о в а и) и работа второго из этих авторов 12).
Новый подход к струйным задачам, основанный на решении уравне-
уравнений Эйлера в общем случае вихревых течений, указан в монографии
М. А. Гольдштика13).
') Жуковский Н. Е. Видоизменение метода Кирхгофа для определения дви-
движения жидкости в двух измерениях при постоянной скорости, данной на неизвестной
линии тока.—Мат. сб. 1890, т. XV.
2) Ч а п л ы г и н С. А. К вопросу о струях в несжимаемой жидкости.— Труды отд.
физ. наук Общества любителей естеств. наук, 1889, т. 10, вып. 1; Чаплыгин С. А.
0 силах, действующих на цилиндр, обтекаемый потоком с образованием поверхностей
разрыва.—Сборник общетеоретической группы ЦАГИ, Труды ЦАГИ, 1935, вып. 240 и
совместная работа: Чаплыгин С. А., Лаврентьев А. Л. О подъемной силе и
сопротивлении длинного плоского крыла в предположении срыва с его верхней поверх-
поверхности.-Труды ЦАГИ, 1935, вып. 240.
3) Некрасов А. И. О прерывном течении жидкости в двух измерениях вокруг
препятствия в форме дуги круга.— Известия Иваново-Вознесенского политехнич. ин-та,
1922, № 5 (вып. матем.). С этой работой тесно связаны исследования: Секерж-Зень-
кович Я- И. К теории обтекании криволинейной дуги с отрывом струй.— Труды ЦАГИ,
1937, вып. 299 и другие работы того же автора.
4) Лаврентьев М. А О некоторых свойствах однолистных функций с прило-
приложениями к теории струй.— Мат. сб. (новая серия), 1938, т. 4 D6), № 3; Лаврен-
Лаврентьев М. А. Кумулятивный заряд и принцип его работы.— Успехи мат. наук. 1957,
т. XII, вып. 4 G6)
5) Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— М.: Наука, 1980
и ряд работ того же автора в Трудах ЦАГИ и Технических заметках ЦАГИ за 1934—
1938 гг.
6) Бобылев Д К. Заметка о давлении, производимом потоком неограниченной
ширины на две стенки, сходящиеся под каким бы то ни было углом.— Журн. Русского
физ.-хим. об-ва, 1881, т. XIII.
7) Мещерский И. В. К вопросу о сопротивлении жидкостей.— Журн. Русского
физ.-хим. об-ва, 1886, т. XVIII.
8) Levi-Civitta T. Scie e leggi di resistenza.—Rendiconti del Circolo Mathem.
di Palermo, 1907, t XXIII, № 1
9) V i 11 a t H. Aperc^us theoriques de la resistance des fluides.— Paris: Science,
Phys.- Math., № 38, edit. Gauthier — Villars, 1920, p. 101.
10) ГуревичМ. И. Теория струй идеальной жидкости.— М.: Наука, 1979; в моно-
монографии помещен обширный список литературы, содержащий 653 названия.
п) Г о г и ш Л. В., С т е п а н о в Г. Ю. Турбулентные отрывные течения.— М.: Нау-
Наука, 1979, с. 286—313.
12) Степанов Г. Ю. Гидродинамическая теория аппаратов на воздушной подуш-
подушке.-М.: Машгиз, 1963.
13) Гольдштик М. А. Вихревые потоки.— Новосибирск: Наука, Сибирское от-
отделение, 1981.
ГЛАВА VIII
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
§ 58. Основные уравнения движения и их линеаризация
Уравнение неразрывности (9) гл. IV в случае плоского стационарно-
го движения газа примет вид
(|L |L) i!L iE. A)
dx dy \дх ду) дх ду
При условии адиабатичности движения газа
др dp dp 1 dp др_ dp dp _1_ dp
dx dp dx a2 dx ' dy dp dy a2 dy
используя уравнения Эйлера D) гл. V, которые при плоском стационар-
стационарном движении в случае отсутствия объемных сил могут быть переписаны
в форме
dx ^ dy) dx \ dx dy) dy
получим
= и + и =(U + V
dx a2 \ dx л dy) ' dy a2 [ dx dy
Подставляя эти значения др/дх и др/ду в A), найдем уравнение
, B)
)+(fl^|0,
dx) dy
справедливое как для безвихревого, так и вихревого движения. В случае
безвихревого движения к этому уравнению присоединяется еще условие
отсутствия вихря
dy dx
При безвихревом стационарном адиабатическом движении идеаль-
идеального газа во всей области (плоскости) движения справедливо уравнение
Бернулли
1^ 1 ^ У5о+-^-, D)
2 ^ k I W
2 Л? —1 2V т f^ k-i 2 ^ k — I
при помощи которого можно выразить скорость звука через скорость
движения газа.
Условие C) отсутствия в потоке завихренности позволяет ввести по-
потенциал скоростей ф(я, у)у связанный с проекциями скорости формулами
dx ' dy w
Что касается функции тока, то ее существование вытекает из левой
части равенства A), согласно которому можно положить, вводя в пра-
правые части формул постоянный множитель р^,
ри = р«-^, рс —р.?. F)
§ 58. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ИХ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 215
Уравнение B) после подстановки в него выражений проекций ско-
скорости E) приобретает окончательный вид
\a*-(-**-Y]^=0' G)
\ ду J J ду* ' V '
Y]2 + \a(Y]
дх) J дх* дх ду дх ду ^ L \ ду J J ду*
входящий в это уравнение квадрат скорости звука а2 должен быть ис-
исключен при помощи вытекающего из D) равенства
Интегрирование уравнения G) с исключенным по (8) квадратом ско-
скорости звука при обычных условиях непроницаемости твердых стенок
обтекаемых тел и заданных значениях скорости на бесконечности пред-
представляет значительные математические трудности, связанные с нелиней-
нелинейностью уравнения. Обратимся к рассмотрению простейшего случая плос-
плоского обтекания тонких, слабо искривленных тел, расположенных в
однородном газовом потоке под малым углом атаки. В этом случае воз-
возмущения, создаваемые телом в однородном потоке, будут малыми, и
уравнения G) и (8) могут быть подвергнуты линеаризации.
Выберем направление однородного потока совпадающим с направ-
направлением оси Ох и обозначим (/«, р«,, р«>, аж и т. д. соответственно ско-
скорость, давление, плотность, скорость распространения звука в однород-
однородном потоке. Возмущения, вносимые в этот поток тонким телом, условим-
условимся обозначать тильдой (~), так что будем иметь
Остановимся сначала на тех двух основных случаях, когда однород-
однородный поток является дозвуковым или сверхзвуковым, т. е. когда число
Маха однородного потока Моо = ?/со/Яоо меньше или больше единицы
(Moo^l). Случай звукового потока (Моо = 1) обладает некоторыми осо-
особенностями и будет рассмотрен в дальнейшем отдельно.
Подставим в уравнения B) и C) значения проекций скорости и ско-
скорости звука, согласно совокупности равенств (9), и пренебрежем про-
произведениями возмущений и их производных по координатам, как малы-
малыми второго и высших порядков. В этом приближении будем иметь
>- 2 Тт2 \ ди . 2 dv Л ди dv ~
(Яоо ~ ?/оо) — + Яоо —- = 0, — — = О,
дх ду ду дх
или, деля обе части первого равенства на aj>
(l-lC)-^- + -fl = 0, Jf-J*-~o. A0)
дх ду ду дх
Представим потенциал скоростей <р и функцию тока if> возмущенного
движения в виде сумм потенциала скоростей ср*, и функции тока ^„од-
^„однородного движения и соответствующих потенциала <р и функции тока
$ малых возмущений, произведенных тонким телом в однородном потоке
Подставляя эти выражения в равенства E) и F), произведем в них
линеаризацию, отбрасывая малые высших порядков. Будем иметь
дх дх ду ду
216 ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
ду ду ) '
Сравнение конечных (малых нулевого порядка) величин сразу дает
Фоо = ?/оо*, ^оо = ?/«,*/, A2)
а сравнение малых величин первого порядка приводит к системе ра-
равенств
tU. + tS-f.^-, v А-. A4)
В левой части первого из равенств A4) выразим возмущение плотности
р через возмущение скорости и, воспользовавшись для этого уравнением
B9) гл. V, переписанным в форме (р0=/?оо, ро = р«,, kpjp^^a2^, const=
Произведем в этом равенстве принятую ранее линеаризацию. Перепи-
Перепишем его сначала в виде
а затем, после простых преобразований и пренебрежения малыми выс-
высшего порядка, получим
Возвращаясь к A4), найдем, исключая р,
1 — М^ ду дх
Подставляя значения й, v из A3) в первое из уравнений A0), полу-
получим основное линеаризованное уравнение для определения потенциала
скоростей возмущений qT
Взяв значения w, v из A5) и подставляя их во второе уравнение си-
системы A0), найдем аналогичное линеаризованное уравнение для опреде-
определения функции тока возмущений ф
Для решения задач обтекания тонкого крыла можно в одинаковой
степени пользоваться как уравнением A6), так и A7). Разница будет в
граничных условиях на контуре обтекаемого газом профиля.
§ 58. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ИХ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 217
Условие непроницаемости контура можно задать в двух различных
формах: либо равенством нулю нормальной к поверхности составляю-
составляющей скорости потока, либо равенством нулю функции тока, если поверх-
поверхность профиля рассматривается как нулевая линия тока.
Зададим контур профиля, расположенного в окрестности отрезка аЪ
оси Ох, уравнением (а и Ь — абсциссы передней и задней кромок про-
профиля)
h()
так что угол 8 касательной с осью х определяется равенствами
Условие непроницаемости контура профиля в первой из упомянутых
только что форм будет
Vn = Umn + Vn = 0 при y = h(x),
или, с той же степенью приближения,
v = -$?-=* U o*h'{x) при y = h(x), a
Вторая форма условия непроницаемости, согласно A1) и A2), будет
ф = ^оо4-^ = U<x>y+y = 0 при y = h(x), a^x^b,
или w
\|)= — Uooh(x) при y = h(x)f a^x^b.
Так же, как это уже было сделано в § 55, в принятой степени прибли-
приближения будем требовать выполнения только что выведенных условий не-
непроницаемости не на самом контуре, а на отрезке оси Ох между х=а и
jc=&, причем будем различать верхнюю и нижнюю стороны этого отрез-
отрезка, полагая для этого условно у= ±0.
Таким образом, для уравнения A6) будем иметь граничное условие
¦f^I/ooA'M при у=±0, а^х^Ь, A8)
ду
а для уравнения A7)
$ = — UJi (х) при у=±09 а^х^Ь. A9)
Что касается граничного условия на бесконечном удалении от про-
профиля, то оно очень просто формулируется для дозвукового движения
(Мвв<1) и сводится к убыванию возмущений до нуля при удалении от
контура профиля:
ф —>0t г|)->0 при \/ х2 + у2 ->оо.
Для сверхзвукового обтекания (Моо>1) это условие, как вскоре бу-
будет выяснено, не удовлетворяется.
В заключение параграфа составим необходимое для вычисления
давления потока на поверхности тела выражение коэффициента давле-
давления с„ сохранив для него то же определение D6) гл. VII, что и в случае
несжимаемой жидкости, но подчеркнув выбор в качестве характерного
значения величины плотности на бесконечности р = р«,, так что
ср = -Р^~. B0)
Пользуясь той из изэнтропических формул (87) гл. V, которая отно-
относится к давлениям, и полагая в ней Pi=p, Рг=рж, М,=М, М2=Мо„,
218
ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
преобразуем выражение B0) коэффициента давления ср к виду
k
'1+ ~~
2
или, производя замену А:(р„/р0СР) на а^ и
— 1
B1)
Это выражение коэффициента давления является общим, не связан-
связанным с допущением о малости возмущений.
В случае малых возмущений совершим над уравнением B8) гл. V
линеаризацию, аналогичную только что проведенной над уравнением
B9) той же главы. Тогда найдем
после чего для коэффициента давления ср получим искомое приближен-
приближенное выражение, справедливое лишь в случае малых возмущений:
2р 2и
B2)
Составленные уравнения для потенциала и функции тока возму-
возмущений представляют собой линейные уравнения в частных производных
второго порядка с постоянными коэффициентами. В такой приближен-
приближенной линеаризованной постановке решение задач газовой динамики может
быть выполнено сравнительно простыми приемами. В зависимости от
того, является ли движение газа дозвуковым (М«><1) или сверхзвуковым
(Мвр>1), уравнения A6) и A7) будут принадлежать к эллиптическому
или гиперболическому типу. В первом случае (Моо<1) уравнения мож-
можно сохранить в ранее указанной форме, во втором (Моо>1) переписать в
виде
Наличие отрицательного знака в гиперболических уравнениях соот-
соответствует особому, как уже было показано в §32 гл. V, волновому харак-
характеру процессов сверхзвукового течения газа.
§ 59. Дозвуковое обтекание тонкого профиля.
Правило Прандтля — Глауэрта
Контур профиля, помещенного в поток, зададим уравнениями верх-
верхней (индекс 1) и нижней (индекс 2) частей контура
которые для краткости будем обозначать так:
Будем пользоваться уравнением функции тока A7) и соответствен-
соответственно граничными условиями A9). Введя обозначение оJ=1—MLt придем
§ 59. ДОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 219
к следующей краевой задаче:
, 1 *$ =0.
со2 ду*
ал-2 со2 ду*
$ = — ?/оА,2 W при у = ± 0, а < х < 6, B4)
\f ->- 0 на бесконечности.
Перейдем от координат л: и у к новым координатам ? и tj, произве-
произведя аффинное преобразование (деформацию ординат) *)
1 = х, у) = (*у. B5)
Тогда краевая задача B4), поскольку в граничных условиях использу-
используются лишь нулевые и бесконечно большие значения у, сведется к такой:
$ = —С/оА.зF) при л = ±0, а<6<&, B6)
\р->0 на бесконечности.
Сопоставим эту задачу с задачей B4), в которой предварительно поло-
положим Моо = 0, со=1, что будет соответствовать обтеканию того же самого
тонкого профиля несжимаемой жидкостью (отметим это индексом 0 при
$). Будем иметь
д2?о ¦ д2?о _q
ал-2 ду*
% = — U9ohl,n(x) при у = ±09 а^х^Ь, B7)
t|H->0 на бесконечности.
Сравнивая B6) и B7), сделаем заключение о тождественности решений
этих уравнений, выраженных соответственно в переменных |, т] и х, уу
так что
¦ (S. ч) - ?. (х. у). •§-s ¦?¦• -^ —? • B8)
о§ dr от] с^
Пользуясь этими тождествами, равенствами A5) и преобразованиями
B5), получим
после чего на основании формулы B2) получим следующую связь меж-
между коэффициентами давления ср в линеаризованном дозвуковом потоке
газа (М«,<1) и ср0 в несжимаемой жидкости (Моо = 0):
с = - C0)
Полученное соотношение выражает следующее правило Прандт-
ля —Глауэрта: распределение коэффициента давления в плоском безви-
') Р г a n d 11 L Ober Stromungen deren Geschwindigkeiten mit der Schallgeschwindi-
gkeit vergleichbar sind.— Journ. Aeron. Res. Inst., Tokyo, 1930, v. 65, p. 14; Glauert H.
The effect of compressibility on the lift on airfoil.—Proceed. Roy. Soc. A., 1928, v. 118;
Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики.— М.: Наука, 1980.
220
ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
хревом линеаризованном дозвуковом потоке газа при данном значении
Моо<1 может быть получено из соответствующего распределения в пото-
потоке несжимаемой жидкости, если все ординаты этого распределения уве-
увеличить в 1/V1 — ML раз.
Вспоминая (§54 гл. VII), что подъемная сила профиля Ry и коэффи-
коэффициент подъемной силы су определяются по формулам
Cpdx,
= — ф P*iM = \
\у
= x/b>
где b — хорда профиля, заключим, что для профиля с одним и тем же
контуром в потоках газа и несжимаемой жидкости для коэффициентов
подъемной силы су и су0 справедливо соотношение
C1)
аналогичное C0).
Результаты экспериментов показывают, что интегральная формула
C1) справедлива в несколько более широком интервале чисел Моо<1,
чем локальная формула C0). На рис. 88 приводятся для сравнения ре-
результаты опытного определения су тонкого (относительная толщина
к.
1
0,4 0,5 0,6 Ц7 0,8 0,9
Рис. 88
6,5%), мало изогнутого винтового профиля при двух углах атаки 2° и 4°.
Можно заметить, что при угле атаки 4° экспериментальная кривая
(штрихи с кружками) уклоняется от теоретической (сплошная линия)
кривой C1) ранее, чем при угле атаки 2° (штрихи с крестиками).
Представляет интерес тот факт, что чем больше возмущение потока,
в данном случае чем больше угол атаки, тем меньше интервал чисел М„,
в котором сохраняет свою силу линеаризованная теория. Изложенная в
настоящем параграфе теория не дает количественного объяснения этого
важного факта. В дальнейшем будут приведены более общие соображе-
соображения о связи между линеаризованными обтеканиями тел в дозвуковом те-
течении газа и потоке несжимаемой жидкости, которые теоретически под-
подтвердят только что отмеченный факт.
Правило Прандтля — Глауэрта служит только для пересчета уже
заранее определенных ср0 и су0 в несжимаемой жидкости (например, по
методу теории тонкого крыла, изложенному в §55) на их значения при
заданном числе Моо<1 в дозвуковом газовом потоке.
§ 60. СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 221
§ 60. Сверхзвуковое обтекание тонкого профиля. Формулы Аккерета
При сверхзвуковом течении газа (Моо>1) второе из линеаризован-
линеаризованных уравнений B3) приобретает форму
^!iL^, C2)
o,
дл* со2 ду*
где, в отличие от предыдущего параграфа, положено
@2 = М2сО-1. C3)
Волновое уравнение C2) нам уже знакомо по §32 гл. V. Отличие мате-
математической структуры отражает физические особенности явлений, опи-
описываемых уравнением C2), по сравнению с явлениями дозвукового те-
течения.
Легко убедиться простой подстановкой, что общее решение уравне-
уравнения C2) может быть выражено формулой
гдеЙ4 и й2 — произвольные функции аргументов х—соу и х+ыу\ вид этих
функций определяется с помощью граничных условий задачи.
Рассмотрим частное решение
$i=^i (*-«*). C4)
Оно имеет следующий смысл: в плоскости течения (я, у) существует се-
семейство прямых линий
х—coy=const,
вдоль которых функция тока возмущений, а следовательно, и вообще воз-
возмущения параметров движения и состояния газа будут сохранять посто-
постоянные значения. Эти прямые представляют собой первое семейство (С\)
характеристик волнового уравнения C2) и играют роль линий возмуще-
возмущения в рассматриваемом сверхзвуковом потоке. Их именуют линиями или
волнами Маха.
Точно так же частному решению
C5)
соответствует второе семейство (С2) характеристику или линий возму-
возмущения,
const,
вдоль которых также сохраняют постоянное значение возмущения па-
параметров движения и состояния газа.
Рассматривая угловые коэффициенты этих семейств прямых
1 C6)
заключим, что углы а, образованные линиями возмущения с направлени-
направлением невозмущенного движения (осью Ох), равны
а = ± arcsin -^- . C7)
На рис. 89 показаны две линии возмущения от точечного источника
возмущений 5, находящегося на оси Ох. Только вдоль этих двух лучей,
выходящих из точки S, можно наблюдать возмущения однородного набе-
набегающего на точку 5 потока; во всех остальных точках плоскости течения
поток не возмущен и сохраняет свою однородность. Напомним, что «то-
222
ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
чечным» источником в плоском потоке служит на самом деле источник
возмущений в виде прямой, перпендикулярной к плоскости рисунка (на-
(например, расположенная поперек потока тонкая проволока). От действи-
действительно точечного источника в пространстве линии возмущения располо-
расположатся на конической поверхности с вершиной в точке 5 и углом полурас-
полураствора а, определяемым по C7). Этот конус возмущений называют еще
конусом Маха. По наклону линий возмущения можно судить о значении
числа ДА» однородного потока.
Рис. 89
Рис. 90
Так в аэродинамических сверхзвуковых трубах, внося в поток малые
возмущения при помощи тонких игл или зондов, наблюдают линии воз-
возмущения и по углам наклона их к направлению невозмущенного потока
определяют число M«, в трубе. Видимость линий возмущения обеспечи-
обеспечивается тем, что вдоль них плотность газа (воздуха), а следовательно, и
показатель преломления отличны от соответствующих значений в невоз-
невозмущенном потоке.
Обратимся к вопросу об обтекании тонкого профиля сверхзвуковым
потоком. Контур его, как и в дозвуковом потоке, будем задавать ордина-
ординатами верхней (индекс 1) и нижней (индекс 2) поверхностей: y=hl2{x).
Граничное условие представим, как и прежде, в форме
$ = — f/eA,2 (х) при у = ± 0, Ха < х ^ хв. C8)
Заполним область течения сверху и снизу от контура профиля
(рис. 90) соответственно характеристиками первого (С4) и второго (С2)
семейств. Только что изложенные свойства характеристик [формула C4)
для первого семейства и формула C5) для второго семейства] позволя-
позволяют сразу заключить, что решение уравнения C2) при граничном усло-
условии C8) может быть представлено в форме
C9)
где, напоминаем, индексу 1 при h соответствует верхний знак в круглой
скобке, а индексу 2 — нижний.
В отличие от дозвукового обтекания функция тока возмущений
г|)(х, у) при удалении на сколь угодно большое расстояние от контура
профиля не обращается в нуль, а сохраняет внутри верхней и нижней
полос, ограниченных крайними характеристиками AAU BBi и АА2у ВВг,
при у-*- ±оо то же распределение по х, как и на верхней и нижней по-
поверхностях профиля1). Вне указанных полос поток остается однородным
1) Асимптотические методы теории малых возмущений показывают, что на больших
расстояниях от профиля влияние малых второго порядка становится существенным уже
§ 60. СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 223
и скорость его равна ?/«,. Как это непосредственно видно из решения
C9) и показано на рис. 90, линии тока возмущенного движения (i|)=
=5Уоо{/+Ф=:const) представляют собой кривые, которые могут быть по-
получены параллельным переносом верхнего и нижнего контуров профиля
соответственно вдоль характеристик первого и второго семейств.
Располагая решением C9), найдем по A5) распределение возмуще-
возмущений составляющих скорости (штрих означает производную по всему аргу-
аргументу, стоящему в круглой скобке)
D0)
справедливое во всей области возмущенного движения. Из второго ра-
равенства системы D0) можно найти угол отклонения 81>2 касательной к
линии тока в возмущенной области от линии тока невозмущенного пото-
потока. Будем иметь по определению линии тока и в силу малости отклоне-
отклонения 01,2
01.2 ~ tg elf2 = v ~ »-~- ж hi* (х q= cot/),
а тогда из равенств D0) следует
е1>2, Z=ujdl9%.
Эти равенства выражают основное свойство линеаризованного сверхзву-
сверхзвукового потока: продольная и поперечная составляющие скорости возму-
возмущения при заданных скорости и числе Маха невозмущенного потока
пропорциональны местному углу наклона линии тока возмущенного дви-
движения по отношению к направлению невозмущенного потока и имеют
местный (локальный) характер. Тем же свойством обладают давление,
плотность и другие характерные для потока величины, что принципиаль-
принципиально отличает сверхзвуковой линеаризованный поток от дозвукового, в ко-
котором значения параметров потока в данной точке зависят от распреде-
распределения этих параметров во всем потоке в целом.
Припоминая одинаковую как для дозвукового, так и сверхзвукового
линеаризованных потоков формулу B2) коэффициента давления, най-
найдем, согласно D1), выражения коэффициента давления в любой точке
возмущенного потока
ср = ± * hi» (xzp<oy) = ±-
умГ-i
а затем и на поверхности (контуре) профиля, где приближенно можно
положить */= ±0,
D2)
Последнее равенство, выражающее пропорциональность коэффици-
коэффициента давления в линеаризованном сверхзвуковом потоке местному зна-
в первом приближении и искажает картину течения на рис. 90. Характеристики искрив-
искривляются и перестают быть параллельными между собой. См. В а н- Д а й к М. Методы
возмущений в механике жидкости.—М.: Мир, 1967, с. 147—161.
224 гл. viii. плоское безвихревое движение идеального газа
чению угла между касательной к контуру тонкого профиля и направле-
направлением невозмущенного потока — этот угол принято обычно называть мест-
местным углом атаки — напоминает известную «ударную» теорию Ньютона,
лротив применения которой в теории обтекания тел несжимаемой жид-
жидкостью боролся Эйлер. Как вскоре будет выяснено, «ударная» теория
Ньютона найдет свое применение как вполне удовлетворительный, хотя
и только приближенный, метод расчета обтеканий тел при очень боль-
больших значениях чисел Маха набегающего на тело сверхзвукового потока.
Коэффициент подъемной силы су найдем, выполняя интегрирование
(Ь=АВ — хорда профиля, в принятом приближении равная разности
*в—*а абсцисс точек В и Л)
хв
су = ф cPd (i) = 1J (cp2 - ср1) dx. D3)
ХА
Подставляя сюда значения cpi и ср2 из D2;, получим
хв
Введем угол атаки профиля е как острый угол между направлением
хорды АВ и набегающим потоком
g;
ХВ~~ХА
тогда предыдущая формула примет окончательный вид
48 D4)
Это — формула Аккерета1).
В линеаризованной теории сверхзвукового обтекания тонкого про-
профиля коэффициент подъемной силы не зависит от формы профиля, а
только от угла атаки и числа Моо>1 набегающего потока.
В отличие от линеаризованного дозвукового течения, в котором, как
это непосредственно следует из правила Прандтля — Глауэрта (§59),
сопротивление профиля отсутствует, при сверхзвуковом обтекании сопро-
сопротивление профиля отлично от нуля; оно носит наименование волнового.
Возникновение этого сопротивления может быть физически объяснено
той продольной несимметрией потока, которая отличает сверхзвуковой
поток от дозвукового. Если в дозвуковом потоке давление в задней кор-
кормовой части профиля восстанавливается и создает силу, противодейству-
противодействующую главному вектору сил давлений в передней (лобовой) части про-
профиля, то при сверхзвуковом обтекании такого уравновешивания не про-
происходит. В кормовой расширяющейся области течения имеет место явле-
явление, подобное наблюдаемому в сопле Лаваля: сверхзвуковой поток при
расширении ускоряется, давление в кормовой части не восстанавливает-
восстанавливается, а продолжает уменьшаться, что приводит к дополнительной отсасы-
отсасывающей силе, направленной вниз по потоку. Таким образом, в отличие
от дозвукового потока, главные векторы сил давления по лобовой и кор-
кормовой части поверхности профиля друг друга не уничтожают, а, наобо-
наоборот, складываются, образуя суммарную силу волнового сопротивления.
]) Ackeret J. Uber Luftkrafte auf Flugel, die mit grosserer als Schallgeschwin-
digkeit bewegt werden.— Zeischr. f. Flugtechn., 1925, Bd. 16.
§ 60. СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ
225
Коэффициент волнового сопротивления сх найдем, составляя выра-
выражение для силы сопротивления
ХА
Согласно D2) будем иметь следующую формулу Аккерета для ко-
коэффициента волнового сопротивления:
хв
D5)
Как видно из этой формулы, коэффициент волнового сопротивления
представляет собой малую величину второго порядка; в отличие от
коэффициента подъемной силы он зависит от формы обтекаемого профи-
ля. Так, для пластины
и по D5) получим
Сх'
D6)
Для вычисления сх в случае более сложных форм профилей полезно
в выражении D5) положить
h[ (х) х ех = <рх — е, h\ (x) ж 92 = ф2 + е,
где е —угол атаки (рис. 91), а ф( и ф2 — углы между касательными в
точках Mt и М2 верхней и нижней поверхностей и хордой профиля. Тог-
Тогда, согласно D5), сх выразится в виде
2е (ф2 ~
В случае симметричного крыла (ф! = ф2 = ф) получим
D7)
ML-l VM!L-i b J ' l/M^-l
где ф2 обозначает среднее интегральное значение квадрата угла наклона
8-9487
226
ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
касательной к контуру крыла относительно его хорды. Из формулы D7)
следует, что по линеаризованной теории из всех профилей, расположен-
расположенных к потоку под малым углом атаки, пластина обладает наименьшим
волновым сопротивлением.
Для ромбовидного профиля с максимальной толщиной (малой диаго-
диагональю) t и хордой (большой диагональю) Ь имеем y = t/bt так что
D8)
В случае чечевицеобразного профиля (рис. 92), составленного иа
двух одинаковых дуг окружностей, в принятом приближении можно на-
написать
Ь/2 Фо
о о
и заметить, что
b = 2R sin ф0 ж 2/?ф0, ~ = R — R cos ф0 ;
Окончательно найдем по D7)
b
2ф0
D9)
Теория Аккерета, как теория первого приближения, дает результа-
результаты, удовлетворительно совпадающие с экспериментом, если профиль до-
достаточно тонок, углы атаки малы, а
число Моо не слишком близко к едини- °*
це. Для примера приводим (рис. 93)
с °
у0
о
-0,2
-0,4
0,07
0,06
0,05
0,04
«а
\\
_ $
if
-6-4-20246
г, градусы
Рис. 93
сравнение теоретических кривых су(г) и сх(г), рассчитанных по фор-
формулам Аккерета D4) и D7), с экспериментальными кривыми Хилто-
Хилтона и Прудена *) для ромбовидного профиля относительной толщины 8,7%
со скругленными углами посредине при Моо=1,45. Экспериментальная
кривая нанесена сплошной линией, теоретическая — штриховой. Орди-
Ординаты теоретической кривой сх увеличены на число 0,008, соответствую-
соответствующее коэффициенту сопротивления трения, теорией Аккерета не учиты-
*) Н i 11 о n W. F., P r u d e n F. W. Subsonic and supersonic high-speed tunnel tests
of a faired double wedge airfoil—Rep. and Mem., 1943, № 2057.
§ 61. ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ПЛОСКИХ ОБТЕКАНИЙ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 227
ваемому. Более подробное изложение вопроса о границах применимости
формул Аккерета, а также дополнительные экспериментальные мате-
материалы можно найти в специальной литературе1).
§ 61. Законы подобия плоских до- и сверхзвуковых обтеканий
тонкого профиля. Случай околозвукового обтекания
В предыдущих двух параграфах, трактовавших задачи плоского, до-
и сверхзвукового обтекания тонкого профиля, были получены формулы,
позволявшие пересчитывать коэффициенты давлений и подъемной силы,
а также коэффициент волнового сопротивления для сверхзвукового обте-
обтекания данного профиля с одного значения числа Маха набегающего по-
потока на другое.
В случае дозвукового потока была установлена связь между ср
или Су тонкого профиля заданной формы и расположения в однород-
однородном потоке при произвольном, меньшем единицы числе Маха М*,, и со-
соответствующими значениями этих коэффициентов для того же и так
же расположенного профиля в однородном потоке несжимаемой жид-
жидкости (Моо=0). Из формул C0) и C1) непосредственно следуют не-
несколько более общие формулы пересчета
коэффициентов cv и су с одного значения М0О=М1<1 на другое М»—
«М2<1> конечно, подчеркнем это еще раз, для одного и того же по
форме и расположению тонкого профиля.
Судя по формулам D2), D4) и D5), для двух одинаковых по фор-
форме тонких профилей, одинаково расположенных в двух однородных
сверхзвуковых потоках с числами Мто, равными М4>1 и М2>1, будут
иметь место формулы пересчета
гггг-г ^
которые можно переписать в виде, тождественном с E0), если поменять
местами члены в числителе и знаменателе под знаком корня.
Указанные формулы являются частным случаем более общих со-
соотношений динамического подобия, которые можно установить для раз-
разных по форме, но аффинноподобных между собой тонких профилей, рас-
расположенных под малыми углами атаки в двух однородных потоках с
различными числами Маха, но, конечно, такими, чтобы сравниваемые
потоки были оба дозвуковыми или оба сверхзвуковыми.
Выясним условия динамического подобия двух линеаризованных
потоков газа и определим соотношения между коэффициентами ср, су,
а в случае сверхзвукового потока также и сх для таких подобных друг
другу потоков.
Рассмотрим два линеаризованных потока со скоростями на беско-
бесконечности Ui и числами Маха М„ заданные своими функциями тока ма-
малых возмущений \f>, в физических плоскостях движения {хи уд- Здесь и
дальше индекс i принимает значения t=l, 2 соответственно двум срав-
сравниваемым между собой потокам.
J) См., например, Хилтон У. Ф. Аэродинамика больших скоростей.— М.: ИЛ,
1955, с. 165-231.
228 ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Дифференциальные уравнения движения, согласно A7), можно
написать в форме
<*2, И-М*| ду) К h K '
где верхний знак относится к дозвуковому, а нижний — к сверхзвуко-
сверхзвуковому потоку. Без нарушения общности принимается, что хорды обоих
профилей одинаковы и равны Ь=хв—хА, а уравнения
0=1, 2)
соответствуют всему контуру профиля, который, в отличие от преды-
предыдущего (§§ 59, 60), не разделяется на верхнюю и нижнюю части.
Граничные условия на поверхностях расположенных в потоках тон-
тонких профилей будут по A9)
\j>, = —Uihi(X() при й=±0, xa^xi^xb (i = 1,2). E3)
Совершим в уравнениях E2) и граничных условиях E3) переход
к безразмерным переменным, положив
Ь
xi = bit, yt = л Л/»
yii-MJ|
E4)
bUtV|l—MI |Vfii&, ru), Ы = bxtHt(It).
В этих формулах перехода ?* — некоторые благодаря однородности
уравнений E2) произвольные постоянные, что отражает произволь-
произвольность масштабов г^. За масштабы ординат профилей приняты произве-
произведения длины хорды Ь на малую относительную толщину т<, под которой
в настоящем изложении принимается не только обычное отношение
максимальной толщины профиля him&x к длине хорды Ь, но и, более
общо, относительная вогнутость профиля, равная отношению стрелы
прогиба «скелета» профиля к длине хорды, или просто угол атаки; ?,,
т),, 6*, Н{ — безразмерные координаты и функции от них.
Выражая в уравнениях E2) и граничных условиях E3) все пере-
переменные через безразмерные их значения, получим после простых а>
кращений (f=l, 2)
^0/ 020/
1фЫ-°- E5)
при ти=.±О, -А^Ь<-г". E6)
О О
В случае дозвукового потока к условиям E6) добавляется еще ус-
условие: 9t->0 при Yif + Л? -* °°-
Если в сходственных точках сравниваемых двух потоков, определя-
определяемых равенствами безразмерных координат этих точек
в условиях геометрического аффинного подобия обтекаемых профилей
выполняются равенства
то такие потоки кинематически подобны друг другу.
§ 61. ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ПЛОСКИХ ОБТЕКАНИЙ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 229
Обращаясь к уравнению E5) и граничным условиям E6), убе-
убедимся, что для выполнения указанных требований должны соблюдать-
соблюдаться равенства (X — некоторая константа)
, Tl , = . т* = Х. E7)
Vi V11 — М; | Ч'2 V|l-MJ|
Выполнение дополнительного условия на бесконечности в дозву-
дозвуковом потоке не приведет к новому условию подобия.
При выполнении условий аффинности профилей и равенств E7) со-
совокупность уравнений E5) и граничных условий E6) приведется к од-
одному уравнению и соответствующим ему граничным условиям
а2е . а2е л
ziz = U,
при л = ±0, ^L<g<Jb
о о
0-^0 при Yl2 + т]2—> оо (дозвуковой поток).
При заданном значении X полученное уравнение имеет единствен-
единственное решение 8=6(?, т]), что и говорит о наличии кинематического по-
подобия между сравниваемыми потоками.
Как сейчас будет выяснено, различные значения постоянной X за-
зависят от выбора выражения для W через заданные константы т и М«>.
Этот выбор остается произвольным, причем каждому значению X соот-
соответствует свое условие E7) и вытекающее из него частное условие ки-
кинематического подобия. Некоторые из этих условий будут далее рас-
рассмотрены.
Для установления условий динамического подобия обратимся к
рассмотрению коэффициента давления ср в двух кинематически подоб-
подобных потоках. Согласно B2) будем иметь, переходя к безразмерным ве-
величинам в сходственных точках,
Cpi V, l/,(l-MJ) dyt^^1 дщ '
откуда следует, что условием динамического подобия служит
/(Л) E8)
Применяя символ «idem» (по латыни — «то же») для обозначения
одинаковых величин в сравниваемых двух динамически подобных пото-
потоках, можем условия E7) и E8) записать в следующей более краткой
форме:
X = т = idem, ^L. = idem. /59)
Совокупность равенств E9) можно представить в форме следую-
следующей функциональной зависимости'):
^ F0)
!) Липман Г. В., Рошко А. Элементы газовой динамики: Пер. с англ.— М.:
ИЛ, I960, с. 302—305.
230 ГЛ. VIII ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
выражающей тот факт, что при t/(W|1— M«|) =idem будет и
'Как это принято, в правых частях E8) —F0) опущены аргументы
| и т|, которые в сходственных точках сравниваемых потоков одинако-
вы. Не следует, конечно, забывать, что ср/Ч? при тД1? У\ \ — ML |) =^=в
*=idem представляет собой функцию от g и т), зависящую от выбора X.
Задаваясь различными выражениями произвольной постоянной Ч'
через постоянные т и М», будем получать разные значения X и соответ-
соответствующие им различные частные законы подобия. Так, полагая Ч'»
= |1 — М»|~'\ будем иметь, согласно E7) и E8), формулу (Х=%)
г — /(*)
Lp ,
в случае дозвукового потока совпадающую с ранее установленной
формулой C0) и выражающую тот уже известный нам (правило
Прандтля •— Глауэрта) факт, что если сравниваемые профили имеют
одинаковые относительные толщины (в том обобщенном смысле, как
это ранее говорилось), то коэффициенты давления в сходственных точ-
точках обоих потоков будут обратно пропорциональны корням квадратным
из значения разности 1—М2 или 1—м1-
Если положить Чх=1, то соотношение подобия F0) примет вид
и будет выражать другой аспект того же правила Прандтля — Глауэр-
Глауэрта, а именно: если в двух сравниваемых дозвуковых потоках относи-
относительные толщины тонких профилей будут между собой относиться как
корни квадратные из разностей A—М? ) и A—М22 ), то коэффициенты
давления в сходственных точках таких двух потоков будут одинаковы.
Только что высказанное правило поясняет ранее отмеченное свой-
свойство кривых су(Моо), приведенных на рис. 88 (§ 59). Условие одинако-
одинаковости отношения т/|/| 1 ML| приводит к тому, что чем больше угол
атаки, тем при меньших М*, можно ожидать совпадения расчетного и
экспериментального значений коэффициента подъемной силы.
Интересно еще положить xF=x; тогда
—ML|).
Справедливость такого равенства, утверждающего, что при данном зна-
значении АЛ» коэффициент давления пропорционален относительной тол-
толщине профиля, была неоднократно нами проверена для случая Мсо=0
в § 55 [см. первую из формул A04), а также A07)].
Если, наоборот, относительную толщину профиля менять обратно
пропорционально "|/| i —М«|, т- е- сохранять неизменной величину
% Y\ 1 М2о|, то коэффициент давления будет обратно пропорционален
11— ML | согласно формуле
которую получим из F0), если положим Ч/=1/|1—МЦ X=xV|l — ML|t
§ 61. ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ПЛОСКИХ ОБТЕКАНИЙ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 231
Положим, наконец, в равенстве F0)
тогда будем иметь
1 —
где /A) является, как уже отмечалось, функцией координат |, г\> опре-
определить вид которой из соображений подобия, конечно, нельзя. Полу-
Полученное выражение для ср находится в полном соответствии с формула-
формулами C0) и D2).
Отмеченное многообразие «правил подобия», позволяющее срав-
сравнивать обтекания при различных числах Маха набегающего потока про-
профилей с различными законами связи между относительными толщина-
толщинами и числами Маха, обусловлено линейностью и однородностью урав-
уравнений теории до- и сверхзвукового обтекания тонкого профиля.
Обратимся теперь к случаю околозвукового обтекания тонкого про-
профиля, характеризуемого близостью числа М*, набегающего потока к
единице. В этом особом случае изложенный в § 58 простейший способ
линеаризации уже неприменим и должен быть дополнен более тонкими
соображениями о сравнительной малости членов основного уравнения
G) и выражения скорости звука (8), применяемых к задаче обтекания
тонкого профиля. Для этого проще всего рассмотреть о.бщее уравнение
B) и выражение скорости звука D). Сделаем в них замену и> v и а
по формулам (9), причем, в отличие от предыдущей линеаризации
(§58), в множителях, стоящих перед производными скоростей возму-
возмущений дй/дх, дй/ду, dv/dxy дд/ду, представляющими собой малые пер-
первого порядка, сохраним не только конечные величины, но и малые пер-
первого порядка. С этой целью воспользуемся для квадрата скорости зву-
звука приближенной формулой
^^--^(^+2?/eoU^
В этом приближении получим
i]^-Uj,(f+ §
дх \ ду дх
ду
или, выделяя в левой части малые первого порядка и деля обе части
на а«,
\ tu 1\кд2 и dv , M2 v l ди . dv \
+ (k — 1) Moo r~ + Moo 7— —- + —-
и„ ду U^ \ ду дх )
Линеаризация требует отбрасывания правой части, что для случа-
случаев до- и сверхзвуковых движений приводило к уравнению A0). В раз-
разбираемом сейчас случае околозвукового движения значение М«,=1 яв-
является особым, так как при этом, обращается в нуль коэффициент при
производной дй/дх. Производную дй/дх при М«, близком к единице,
уже нельзя рассматривать как малую величину, а остальные производ-
производные дй/ду, dv/ду, dv/dx сохраняют свою малость. Вот почему первое
слагаемое в правой части должно быть сохранено, а остальные могут
быть, как и ранее, опущены. Таким образом, в случае околозвукового
обтекания тонкого профиля линеаризация нарушается, и мы будем
232 ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
иметь следующую, уже нелинейную систему уравнений движения
Ом2 \ ди i dv /а ! 1 \ к J2 и ди
дх ду U^ дх
ди dv ~
ду дх
В рассматриваемом случае проще иметь дело с потенциалом ско-
скоростей возмущений ф, чем с функцией тока возмущений -ф. Используя
наличие потенциала скоростей малых возмущений <р(лс, у), приведем
полученную систему к одному уравнению
с соответствующим ему граничным условием A8)
^ x) при у=±0, х
Для установления соотношений подобия двух плоских околозву-
околозвуковых обтеканий тонких профилей с заданными относительными толщи-
толщинами т4, т2, скоростями набегающих однородных потоков Uu Ui, числа-
числами Маха Mt и М2 и показателями адиабат kt и k% составим следующие
уравнения и граничные условия:
для первого потока
1 — MJ ду\ ~ иг(\-Щ) дх дх* f
F2)
^T- = Uih[(x) при уг = ±09 х^
dyi
и для второго
1-М22 ду\ С/9A—М?) ^ дх* '
F3)
-$1 = ?/2А2'(л;) при f/2 = ±0, ^
Подобно тому как это уже было сделано в начале параграфа, введем
преобразования
Ф2 = Ф2Ф, * = 6. V\l-Ml\y1 = V\\-Ml\y2 = 4),
F4)
причем по условию подобия функции <р(& л) и ^E) одинаковы в срав-
сравниваемых системах. При помощи этих функций уравнения и граничные
условия F2) и F3) перепишутся в форме
а2ф . д\ _ (*i + О m?Qi аф а2ф
дъ* !ь?~ c/i(i —м;> ag d?2 f
/ F5)
Л д1
фх у 11 — м; i
§ 61. ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ПЛОСКИХ ОБТЕКАНИЙ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ 233
• ± =
F5)
r t t
*'F)
*l Ф2 vTT-MJI
Требование совпадения этих двух систем, состоящих из уравнений
и граничных условий для первого и второго течений, приводится к двум
равенствам
^ фУГЕЕГ. Fб)
Выражения коэффициентов давления сР1 и сР2, согласно общей фор-
формуле
Ъи 2 dip
в сравниваемых потоках будут
2Фх дф 2Ф2 ^Ф
Ui Ос, и2 Ос,
откуда следует
= . F7)
Ф! Ф2 V '
Исключая из системы равенств F6) и F7) отношения Oi/(/i и
фг/{/2, получим искомые условия подобия двух плоских околозвуковых
обтеканий тонких тел
которые с той же условностью, что и раньше, могут быть выражены в
виде общей функциональной зависимости
Поскольку число Моо достаточно близко к единице (поток близок
к звуковому), оно может быть в числителе аргумента в правой части
F9) опущено, а соотношение F9) переписано в форме
Yll-NCl _j {k+x)% x Go)
Если, кроме того, сравнение производится в потоках с одинаковы-
одинаковыми физическими свойствами (одно и то же k)l то соотношение подобия
G0) еще более упрощается и приобретает форму
В отличие от ранее рассмотренных условий подобия для до- и
сверхзвуковых обтеканий тонких тел, в случае околозвукового обтека^
ния тонкого тела имеется лишь одно соотношение подобия. Этот факт
является следствием нелинейности уравнения F2) относительно потей-
234
ГЛ VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
циала ф: слева ср входит линейно, справа — нелинейно, в виде произве-
произведения двух производных.
Соотношению F9) можно придать и другие формы. Так, например
умножая обе его части на аргумент в правой части, можно освободить-
освободиться в левой части от относительной толщины т. Сохраняя то же обозна-
обозначение для функции f, будем иметь
G2)
Если обозначить через % аргумент в правой части, возведенный в
степень (-2/з), т. е. положить *)
V ——
И —
G3)
то соотношение G2) можно по-
после умножения обеих его ча-
частей на х переписать в виде
G4)
или в упрощенных формах, со-
соответствующих равенствам
G0) или G1).
Из равенства G4) следует,
что, в отличие от до- и сверх-
сверхзвуковых потоков, сравнивать
околозвуковые потоки можно
только в том случае, когда от-
относительные толщины тонких
профилен, числа Маха и пока-
показатели адиабаты этих потоков
связаны условием одинаковости параметра подобия % в обоих потоках.
Согласно формулам
Z 2
для околозвукового потока будем иметь
H-ML
fl-Mt
G5)
Убедительной иллюстрацией закона подобия околозвукового обте-
кания тонких тел могут служить кривые2), показанные на рис. 94 и
ол-т^ Липман г- в-» Рошко А. Элементы газовой динамики.— М.: ИЛ, 1960
•С. OU/. f
2)Спрейтер Дж. Аэродинамика крыльев и тел при околозвуковых скоростях —
Сборник переводов «Механика», 1960, № 3.
§ 62. СУЖАЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
235
относящиеся к продольному обтеканию тонких клиньев с половинами
углов раствора, равными 4,5°; 7,5° и 10°. На верхней половине рисунка
показаны три экспериментальные кривые зависимости коэффициента
сопротивления сх от числа Мое в околозвуковой области, найденные для
указанных трех углов раствора. На нижней половине того же рисунка
те же кривые нанесены в параметрах подобия (т*/й)
Л/ ——
Совершенно отчетливо обнаруживается факт объединения трех
кривых верхней половины рисунка в одну общую кривую на нижней
его части, что и подтверждает правильность выведенного закона подо-
подобия околозвукового обтекания тонких тел.
V/7//////////77/
§ 62. Сужающийся сверхзвуковой поток. Косой скачок уплотнения
Переходя к рассмотрению не линеаризованных сверхзвуковых те-
течений, соответствующих общему случаю конечных возмущений потока
телами, или течений сквозь сопла, остановимся сначала на двух основ-
основных явлениях: торможения, происходящего в условиях сужения сверх-
сверхзвукового потока, и наоборот, ус-
ускорения течения при его расши-
расширении.
Начнем с явления торможе-
торможения сверхзвукового потока, воз-
возникающего, например, при набе-
набегании на помещенное в него твер-
твердое тело. Простейшим случаем,
допускающим элементарное рас-
рассмотрение, может служить сим-
симметричное сверхзвуковое обтека-
обтекание бесконечного клина с углом
при вершине 29, имеющим неко-
некоторую конечную величину. По
известному свойству идеальных рис 95
потоков можно заменить нуле-
нулевую линию тока набегающего на
клин потока, направленную в вершину клина О (рис. 95), твердой стен-
стенкой и рассмотреть только верхнюю часть потока, которая будет пред-
представлять плоское течение внутри тупого угла, равного я—0.
Для выяснения общего характера потока обратим движение и рас-
рассмотрим течение, вызываемое в неподвижном газе движущимся со
сверхзвуковой скоростью вдоль своей линии симметрии бесконечным
клином. Такое течение можно уподобить рассмотренному в § 38 тече-
течению, вызываемому в газе толкающим его поршнем.
При движении клина его щеки также играют роль поршней, тол-
толкающих находящийся перед ними газ и вызывающих в нем образова-
образование волн уплотнения. Эти волны, догоняя друг друга, образуют фронт
разрыва параметров движущегося газа, который, в отличие от рассмот-
рассмотренного в § 38 случая ударной волны, параллельной плоскости поршня
и перпендикулярной к направлению его движения, будет как-то накло-
наклонен к направлению движения клина (линии его симметрии).
Выясним, в каких условиях возможно образование исходящей из
вершины клина О (рис. 95) плоской головной ударной волны ОС> ина-
иначе именуемой косым скачком уплотнения.
236 ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
С этой целью аналогично тому, как это делалось в § 38 при расче-
расчете прямого скачка уплотнения, применим к произвольной трубке тока,
пересекающей косой скачок, три основных закона сохранения: массы,
полного импульса и полной энтальпии.
Условимся обозначать в дальнейшем индексом 1 величины до скач-
скачка, индексом 2 — после скачка; кроме того, применим индекс t для
обозначения составляющей скорости в плоскости скачка ОС и индекс
п — для нормальной составляющей скорости.
Выбирая контрольную поверхность так, как показано на рис. 95,
будем иметь:
а) закон сохранения массы
Р1^1п = р2^2п;
б) закон сохранения полного импульса в проекции на линию раз-
разрыва
в) то же в проекции на нормаль к линии разрыва
г) закон сохранения полной энтальпии
hl + ±(V2u + Vin) = h2 + ±(Vlt + Vln).
Из уравнений пп. а) и б) сразу вытекает основное для теории ко-
сого скачка равенство
Vu=Vu=V»
утверждающее, что при прохождении газа сквозь косой скачок уплот-
уплотнения касательная составляющая скорости сохраняется; скачкообраз-
скачкообразно изменяется лишь нормальная составляющая.
Переписывая, с учетом этого свойства косого скачка, уравнение
полной энтальпии (п. г)) в виде
и сравнивая его, а также равенства пп. а) и в) с соответствующими
уравнениями C9), D0) и D1) теории прямого скачка (§ 38), убедим-
убедимся, что три основных равенства, служащих для расчета элементов косо*
го скачка
полностью совпадают с соответствующими уравнениями теории прямо-
прямого скачка, если только под скоростью до и после скачка подразумевать
нормальную ее составляющую. Это освобождает нас от повторения вы-
выводов § 38.
Отсюда следует, что соотношение между давлением и плотностью,
получаемое из предыдущих равенств путем исключения скорости, т. е.
ударная адиабата Гюгонио, выражаемая равенством D3) гл. VI и гра-
графиком на рис. 36, должна в случае косого скачка остаться той же, что
и в случае прямого скачка.
Точно так же останутся теми же, что и в случае прямого скачка,
основанные на законе сохранения полной энтальпии h0 равенства
а следовательно, и
§ 62. СУЖАЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК 237
Таким образом, при прохождении газа сквозь косой скачок уплот-
уплотнения сохраняются неизменными: энтальпия, температура и скорость
звука в адиабатически и изэнтропически заторможенном газе, а также
критическое значение температуры газа и критическая и максимальная
его скорости.
Наряду с уравнением ударной адиабаты Гюгонио [D3), гл. VI] в
теории скачка сохраняется для нормальных скоростей и формула
Прандтля [D9), гл. VI], но с измененной правой частью. Нет необхо-
необходимости полностью повторять вывод этой формулы. Разница в выво-
выводах заключена в том, что в теории косого скачка уравнение Бернулли,
написанное в форме [второе равенство в системе G7) гл. V]
У2 . а2 = k +1 д.«
2 Л 1
д
2 Л — 1 2 (Л— 1)
заменой V*=Vt+Vn может быть переписано в виде
К , а2 = k+\ fl.» vl = k+\
2 fc—1 2(Л— 1) 2 2(k— 1)
где появившаяся справа «приведенная» критическая скорость а*, равная
будет по условиям сохранения а* и Vt также сохраняться при прохож-
прохождении газа сквозь косой скачок. Повторяя вывод, изложенный в теории
прямого скачка (§ 38), но используя уравнение Бернулли, только что
составленное для нормальной скорости Vn и заключающее в правой
части «приведенную» критическую скорость а*, получим следующие
два вида формулы Прандтля для косого скачка:
VlnVm = ~cC\ Knl2n--=\, G6)
где под кп подразумевается отношение Кп/а*.
Обращаясь к скоростным треугольникам, показанным на рис. 95,
сделаем заключение о справедливости следующей системы равенств
@-угол отклонения потока скачком, р — угол, образованный линией
скачка ОС с направлением набегающего потока):
1/1я= Vt sin p, V2n=V2 sin (p-6),
G7)
Vlt=Vi cos $=V2t=V (pe) F
Пользуясь принятыми ранее обозначениями для проекций скоро-
скорости на оси прямоугольной декартовой системы координат Оху
Vix=Vu Viy=0y Vr2*=Vr2cos0 = W2, V2y=V2sinQ = v2,
можем переписать систему G7) еще так:
Vm=Vi sin p, V2n=u2sin p — y2cosp,
G8)
Vt^Vi cos p=w2 cos p + y2sin p.
Из последнего равенства системы G8) легко выводятся выраже-
выражения тригонометрических функций угла р скачка через декартовы про-
проекции скоростей до и за скачком
sinp= Vl~u* , cosp = ^, W = y(K1--a2J + ^ G9)
Эти соотношения и равенства G8) позволяют найти выражения
касательных и нормальных компонент скорости через ее декартовы
238 ГЛ VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
проекции
N
и2), V2n = 1 [u,(V, -u2) -o«];
подставляя их в первое из равенств G6), получим после простых при-
приведений
~-^. (80)
Деля обе части этого равенства на а*2 или на аД перепишем его
следующих двух формах:
if*.
о'
-1
1 + '
«4
'¦
(81)
представляющих собой уравнения семейства кривых соответственно в
плоскостях (w2/a*, vz/a*) или (ujaiy vja^ с параметрами Xt или Mt.
В последней формуле (81) предпо-
предполагается, что входящая в правук>
часть величина a*/#i по известной
изэнтропической формуле выраже-
выражена через М4. Полученные семейства
представляют собой геометриче-
геометрические места точек концов вектора
скорости V2 аа косым скачком, от-
отнесенного в первом случае к а* и во
втором — к alf причем в качестве
параметров семейств используется
величина скорости V4 до скачка, от-
отнесенная к а* или ах.
Кривые семейств (81) представ-
представляют собой строфоиды (их еще на-
называют гипоциссоидами или декар-
декартовыми листами), графическое по-
построение которых не составляет
труда.
На рис. 96 в размерных координатах (и, v) показана одна из та-
таких строфоид. Луч OF, проведенный из начала координат под углом 0„
равным повороту потока или, например, углу полураствора клина, пе-
пересекает строфоиду в трех точках: Z), Е и F и таким образом опреде-
определяет три значения вектора скорости \г за скачком уплотнения.
Как видно из уравнения (80), двойной точке В (через нее проходят
две касательные, показанные штрихами) соответствует значение и=Уг
скорости до скачка.
Поскольку OF>OB, а речь идет о торможении потока за скачком,
точка F и вообще обе бесконечные ветви строфоиды, расположенные
вправо от точки В и уходящие к асимптоте, являются нерабочими и
могут быть опущены.
Физический смысл имеют только два значения вектора скорости
Vz за скачком: OD и ОЕ. Как непосредственно следует из формул G7),
отрезки OG и ОН выражают при этом два возможных значения общей
касательной составляющей скоростей Vi и V2, а (BG, EG) и (ВЯ, DH)-
нормальные составляющие этих скоростей для двух возможных на-
Рис. 96
§ 62. СУЖАЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
239
правлений скачка уплотнения, соответствующих двум значениям р4 и
р, угла р.
По условию набегающий поток является сверхзвуковым, следова-
следовательно, Vi=OB>a*. С другой стороны, из уравнения (80) легко заклю-
заключить, что точка А пересечения строфоиды с осью Ои будет иметь абс-
абсциссу 0Л==а*2/1/1=а*Д1<а*, так как-Л,!>1. Отсюда следует, что точка
S на оси Ои, соответствующая критической скорости OS=a*, должна
располагаться между точками Л и Б, причем так, чтобы выполнялось
условие инверсии OA-OB=OSZ. Окружность радиуса OS=a* разгра-
разграничивает области до- и сверхзвуковых течений. Скорости за скачком
Рис. 97
могут быть как до-, так и сверхзвуковыми. Подробнее этот вопрос бу-
будет разобран далее.
Заметим еще, что в каждом данном случае, т. е. при задании чисел
&i или Мь существует такое значение в=бтах, при котором точки D и
Е сольются в одну и, следовательно, этим значениям 8, Xt или Mt будет
отвечать лишь одно значение угла р и лишь одно расположение косо-
косого скачка. Если при данных Х{ или Mi угол поворота потока задать
большим 6тах, то решение станет невозможным. Это означает, что
рассмотренная схема (рис. 95) прямолинейного скачка ОС, исходяще-
исходящего из вершины угла (вершины клина), не может быть в этом случае
осуществлена, а должна быть заменена другой схемой, а именно «ото-
«отошедшей» от вершины О головной ударной волны; об этом будет сказа-
сказано далее.
На рис. 97 приведена диаграмма семейства ударных поляр—стро-
поляр—строфоид, построенная для значения &=1,4 по первому уравнению (81).
Бесконечные ветви, как нерабочие, опущены. Каждой строфоиде соот-
соответствуют свои значения параметров it или Мь указанные в двойной
точке кривой (Xf — сверху, Mt - снизу).
Перейдем к более детальному, аналитическому рассмотрению яв-
явления прохождения газа сквозь косой скачок уплотнения. Прежде все-
всего воспользуемся указанным в начале параграфа приемом получения
формул косого скачка из соответствующих формул прямого скачка
путем замены V\ и V2 на Vln=Vi sin p, V2n=V2sin (р-0), а следователь-
следовательно, Mt и М2 на Mln=M4 sin р и М2п=М2 sin (р-8).
240 ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Наличие этого простого правила позволяет без труда составить от-
отношения давлений, плотностей и давлений торможения после и до ко-
косого скачка и облегчает их запоминание.
Так, вместо формул E3) и E5) гл. VI будем в случае косого скач-
скачка иметь следующие выражения для отношений давлений и плотностей
до- и за скачком:
А„ y^ m (82)
i + m
Аналогичным путем преобразуется характеризующее потери меха-
механической энергии газа при прохождении его через косой скачок отно-
отношение давлений адиабатически и изэнтропически заторможенного газа
за скачком р20 и до скачка р10 (§ 39). Формула E9) гл. VI в случае ко-
косого скачка переходит в такую:
. (83)
Ао V 2 ) _*_
k-l
Как и в теории прямого скачка, будем иметь следующие асимпто-
асимптотические выражения для этого отношения:
а) при MiSinp»l ( символ асимптотического равенства)
г
х = В» _ Г (*+*>fe+1 1 1 (М, sin pf ^ (84)
Рю [ 2k(k-\)k J
и для изменения энтропии
s-^ = -ln^~-2-ln(MlSinp). (85)
Заметим, что правая часть в этой формуле всегда положительна, так
как (р>а)
I/M sin а
Согласно асимптотической формуле (84) в потоке воздуха (?=1,4) при
MiSinp»l величина х обратно пропорциональна пятой степени про-
произведения М4 sin P;
б) при числах Mj sin p, близких к единице,
(86)
Как только что указывалось, выражение в квадратной скобке всегда по-
положительно. Формулы (86) представляют собой обобщение на случай
косого скачка формул F1) и F4) гл. VI.
Определим связь между углами р и в при заданном значении чис-
числа Mt набегающего потока.
С этой целью, по-видимому, проще всего воспользоваться основным
соотношением G6), которое, если принять во внимание соотношения
§ 62. СУЖАЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
241
G7), может быть переписано в форме
VWVM = Vj sin p • V2 sin (p — 9) = V\ sin p* cos P tg (p — 6) = a#* =
отсюда непосредственно получается зависимость между углами р, в и
скоростным коэффициентом Xt
[tgptg(p-6)
+
cos2 P = ^7" •
(87)
Заменяя здесь Я4 через число Маха Mt по формуле G8) гл. V, полу-
получим
*+l
Это равенство может быть разрешено относительно tg6 и дает
sin2 Р —
tg9 =
(89)
— — sin2 Р +
2 М^ М2
На рис. 98 приведен график зависимости 6 от р в виде семейства
кривых с параметром Mt. Как уже ранее было отмечено, каждому за-
заданному значению 8<0тах со-
соответствуют два значения E. a
Если обозначить через (}т зна- ' *
чение Р, отвечающее максиму-
максимуму 0 при данном Mt, то по кри-
кривым рис. 98 можно заключить,
что одно из полученных значе-
значений р будет лежать в интерва-
интервале (а, {У, где а — угол Маха
при заданном Мь другое — в
интервале ([5™, я/2). Для опре-
определения первого значения j}
следует пользоваться сплош-
сплошными кривыми, для определе-
определения второго — штриховыми.
Сплошные кривые отделены от
штриховых линией, проведен-
проведенной через точки максимальных
значений 0=9тах.
Эта двузначность в опреде-
определении р по заданному значению 0 соответствует сущности явления про-
прохождения газа сквозь косой скачок уплотнения. Так же, как в теории
сопла Лаваля, выбор режима течения за косым скачком зависит от дав-
давления за скачком. Как это следует из первой формулы системы (82),
большему р отвечает и большее значение отношения pjpt давлений за
скачком и перед скачком, а меньшему {J — соответственно меньшее отно-
отношение этих давлений.
Припоминая, что рассматриваемое отношение давлений служит
мерой интенсивности (мощности) скачка, будем называть косые скач-
скачки, определяемые верхней областью диаграммы (рис. 98) по значени-
Рис. 98
242 гл. vin. плоское безвихревое движение идеального газа
ям я/2>р>рт, заданным штриховыми кривыми, сильными, а скачки,
соответствующие диапазону углов а<р<рш, рассчитываемые по ниж-
нижним сплошным кривым,— слабыми. Фронт сильного скачка служит по-
поверхностью (в плоском движении — линией) сильного изменения кине-
кинематических, динамических и термодинамических характеристик пото-
потока газа, фронт слабого скачка — поверхностью (линией) слабого изме-
изменения этих величин. Оба типа изменений наблюдаются, например, в
«отсоединенных» волнах (рис. 99).
Выясним условия, при которых поток за косым скачком уплотне-
уплотнения будет до- или сверхзвуковым. Найдем связь между числами Маха
М4 и М2 до и за скачком. Для этого воспользуемся формулой E1) гл. VI
для прямого скачка и, следуя общему уже неоднократно примененному
приему, произведем в этой формуле замену Mt на Mj sin p, а М2 на
М2 sin(p— в). Тогда получим искомую формулу связи
sin2 (p - в) = ? —- . (90)
Пользуясь этим выражением и соотношением (89), можно выразить
число Маха за скачком М2 через число Маха до скачка М4 и угол р. При
этом при одном и том же М, двум различ-
различным значениям р, соответствующим сильно-
сильному и слабому скачкам, будут отвечать два
отличных друг от друга значения М2, при-
причем сильный скачок, подобно прямому скач-
скачку, переводит сверхзвуковой поток в дозву-
дозвуковой, а слабый скачок почти всегда сохра-
сохраняет поток сверхзвуковым. Исключением яв-
является незначительная по размерам об-
область диаграммы на рис. 98, граничащая с
6 = 6тах. Кривой с крестиками на диаграмме
Рис. 99 отмечено геометрическое место точек, в ко-
которых М2=1. Выше этой кривой М2<1, ни-
ниже М2>1.
Из диаграммы следует, что при 0, близких к 9тах, и любых М4 оба
значения р могут соответствовать переходу от сверхзвуковой скорости
к дозвуковой, т. е. в этой области значений 8 как сильный, так и сла-
слабый косые скачки ведут себя как прямые, переводя сверхзвуковой по-
поток в дозвуковой. Следует, однако, заметить, что в этом случае направ-
направление сильного скачка отличается от направления слабого скачка ме-
менее чем на 10°, так что и разница в интенсивности скачков становится
малозаметной.
Пользование расчетными формулами затруднено, так как они до-
достаточно громоздки. Существуют подробные таблицы для воздуха (&=
= 1,41), связывающие величины Мь р, 8, М2, pjpiy pjpt и приращение
энтропии A5=s2—s11), но они при интервале чисел Mj от 1,05 до 4,00
через 0,05 и сравнительно грубом делении углов 8 и соответствующих
им р занимают 27 страниц только что цитированной книги.
В связи с этим можно рекомендовать при не требующих большой
точности расчетах пользоваться составленной также для воздуха (k=
= 1,41) несложной номограммой2) на с. 244 и 245. В отличие от диаг-
1) Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений: Пер. с англ.— М.: Гостехиз-
дат, 1953, табл. 5, с. 431—458.
2) Л и п м а н Г. В., П а к е т А. Е. Введение в аэродинамику сжимаемой жидко-
жидкости.—М.: ИЛ, 1949.
§ 62. СУЖАЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК 243
раммы на рис. 98 в основу этой номограммы положено семейство кривых
j) (Mr, в) с параметром в. Эти кривые показаны на номограмме сплош-
сплошными куполообразными кривыми (если смотреть вдоль оси М4), пред-
представляющими двузначную связь р и М1в Заметим, что семейство кри-
кривых р (Mt; 6) построено по уравнению (89) при нескольких значениях
в, рассматриваемого как параметр, и это семейство не следует смеши-
- вать с семейством кривых на рис. 98, где аргументом является 0, a Mj —
параметром.
Пользование номограммой заключается в следующем. По требуе-
требуемому значению 6, находящемуся на вертикальной шкале справа, вы-
выделяем ту кривую семейства p(Mt; 0), которая отвечает выбранному
значению 6. После этого, задаваясь входящим в число известных ве-
величин числом М4, находим два соответствующих ему значения р. Через
каждую из этих двух точек пересечения выбранной кривой p(Mt) с вер-
вертикалью Mt=const проходят по две кривые: одна (сплошная) выводит
на правую крайнюю вертикальную шкалу чисел М2, вторая (штрихо-
(штриховая) — на верхнюю горизонтальную шкалу мощности скачка pjpi*
Большему значению р соответствует большая мощность скачка, мень-
меньшему-меньшее значение мощности pjpi-
В нижнем левом углу номограммы приведен ключ к номограмме.
Вход показан стрелками, направленными от шкал 9иМ,к точке пе-
пересечения кривых, выход — стрелками, направленными от этой точки
к шкалам {$, pjpi и М2, на которых можно прочесть ответы. Ключ ука-
указан для одного значения Р; он остается тем же и для второго значе-
значения В.
Изложенное справедливо только до тех пор, пока угол поворота
потока (угол полураствора клина) G не превосходит максимально до-
допустимого при данном Mt значения втах. В интервале l^Mt^4 вели-
величина вшах меняется от 0 до 38°47'. При Мг+оо 0тах->45°22/. Как это не-
непосредственно видно из диаграммы на рис. 98, при 8=6тах поток за
скачком всегда дозвуковой (линия 0=0,^ лежит выше показанной кре-
крестиками линии М2= 1).
Если 8>6тах, то, как уже ранее указывалось, наличие прямоли-
прямолинейного присоединенного к вершине угла (клина) О косого скачка уп-
уплотнения невозможно. Вверх по течению перед точкой О возникает
криволинейная «головная» ударная волна или отсоединенный скачок
уплотнения АС (рис. 99).
В непосредственной близости к точке А отсоединенный скачок АС
ведет себя как прямой, а при удалении от точки А — сначала как силь-
сильный косой скачок, а затем с уменьшением местного угла р постепенно
«ослабевает» и переходит в прямолинейный косой скачок. При этом
вниз по потоку за отсоединенным скачком имеет место как до-, так и
сверхзвуковое течение газа. За участком АБ скачка образуется дозву-
дозвуковая зона течения газа, за участком ВС — сверхзвуковая зона. Эти
две характерные зоны потока за скачком разделяются линией BD,
вдоль которой скорость газа равна местной скорости звука. Течение за
отсоединенной криволинейной волной является «смешанным», транс-
трансзвуковым. Аналитические методы исследования таких потоков пред-
представляют до сих пор большие математические трудности, преодолевае-
преодолеваемые только при помощи электронных вычислительных машин1).
В отличие от прямолинейного присоединенного скачка поток за от-
отсоединенным криволинейным скачком будет вихревым, а поле энтро-
энтропии станет неоднородным. Действительно, по определению, данному
1) Обтекание затупленных тел потоком реального газа/Под ред. О. М. Б е л о ц е р-
ковского.— М.: Изд. ВЦ АН СССР, 1966; Бе л оцерковский О. М. Численное
моделирование в механике сплошных сред.— М.: Наука, 1980.
244
ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
1,0
SO
so
70-'-
60
1
9
50
I
30
20
10
1,5
2,0
Начальное
JJ 3,0
Отношение
4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
р
пг
11
1
u
1
1
/
Щ
A
i i
1 1
1
(rzEinsijiE
и \1 \ / А /
UN У \[\ Vf
\w Л/ A]s
1N SI in /h»
ul NlltkT
tffltt
\\\\ \ ю
h
.
I/
/
/I
f /
4.I/
N
л1'
/
/
t
1
a —
; =
fr
x
V
A
1
V
||
-" ¦
^" ¦
^:
^¦'
s,
/
f
I /
A /
/ I/ u'
4h/ Л I/I |Y
ffira
tflH
41 rill II
\l 11 HI INU
nil i
\m\\\ \\\
ft \Ш\ \ ft \ *l\
MM u МУЛ L\
/7°
c/
V
\
U
\n \
v-
\
V
, t
t
V
\
i
\
i л
\
>
\
\
s
V
\
у
\
V
1 \\
\\\
w
Г
И
\
\
v
s
II
A
l
/
Г7Т]
T
1
it
f
f
\l \
J\ V
/Ir
с
>
?»
V
v
s
s
P2/P1
/
4
у
V
s
Sy
2-
V
\
у
*<•
ч
Lu
¦
^_
=
к
=
i
ч
4
С
ij
L
\
4
s
s
>.
s
¦ ¦*
: »
ге
I?
л
>
<
z
/
\
/
4
4
s
\
s
>
\
\
s
ц
\
v
V
4,
4
\
¦e
E»
?
at
?
—
i
rf
\
>
>
s
s,
яг г
«• -
= :
- =
я:
= ¦
¦— ¦
л
= ¦
s
^ 4
. — -
; — -
a —« ¦
- - =
:^ \
\~\
.-* =
= s>-
, »*'
.-:
;f
. j]
1
r 1
f "*
-S-
4
5 «^
4 ч
: sa
: =
; a«
; s»
a tO.
-
a =¦
¦ ¦—
s
1 4
\
ч
\
'I ^
s,
= .
¦Ш ¦
¦» •
¦» ¦
В*"
— •
/
ss:
B» »
—i •
¦M !
a» i
^«
¦ =
a ae
p —
1 -
:^
7
T
a •;
V
0
¦« """
- ^
«, S
4 s,
a-
aai
s-
a*
aai
у
aai
ч
aai
•>
|
—
аи
—'
¦e
a»
h
s
<
>
=
2
a-
Й2
*
aa
\
a*
s,
ч
a*
s s
i.
= a
в ¦
+ ;
s ¦
** J1
. J
^ •¦
/<'
= s
= (!
ав ¦
Z^ -
b.
> I
к j
^,
> r
L,
я ¦
¦ aa
a —
. as
а С
a ¦(
:»
. i.
>
' —
a a!
L
= a-
s
=
аи
a<
¦•
4
e
\
4
<
a
ч
¦c
и
¦С
ат»
¦¦
=
V
1
1
г
s
1
f
*
1,0
2,0 2,5.. 3,0
Начальное
15
§ 62. СУЖАЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
ЧИСЛО И/
245
4,5
5,0
5,5
дабление рг/Pi
16 18 20 22 24 26 28 30 32 34-
число М
5,0
5,5
246
ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
еще в F2) гл. VI, изменение энтропии при прохождении газа сквозь
скачок определяется равенством (R — газовая постоянная)
«a—Si—/J In (/?20/р10) ;
согласно (83) изменение энтропии будет зависеть от местного значе-
значения р, которое меняется вдоль криволинейной волны АС.
Наличие в головной отсоединенной волне участков сильных волн
(включая центральный участок, близкий к прямому скачку) естествен-
естественно вызывает мысль о необходимости создания такого «волнолома», ко-
который разрушал бы отошедшую волну и заменял ее системой косых
скачков, сопровождающихся, как мы уже знаем, меньшими потерями
механической энергии.
Рю
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
О
1
ч
ч
ч
ч
ч
s
s
ч
л
Т^
1
1
1
i
"^
•^
44
*-*
Рис. 100
15 г 2,5 3 3,5
Рис. 101
4,5 5
И,
С этой целью тупой носок тела, или превосходящий допустимый
угол раствора клина или конуса, заменяют заостренной, постепенно
расширяющейся «иглой», на поверхности которой в сверхзвуковом по-
потоке образуются слабые скачки со сравнительно малыми углами р. Как
это видно из ранее выведенной формулы (83), потери механической
энергии благодаря наличию у числа Маха Mt множителя sin p при
этом будут снижаться.
На рис. 100 показан вход в камеру реактивного двигателя с «иг-
«иглой», разбивающей головную волну на косые конические (см. далее
§ 82) скачки. Напомним, что той же цели служил сверхзвуковой диф-
диффузор, теория которого была изложена в § 41.
Такого рода «игла», имеющая целью уменьшить входные потери
механической энергии, носит наименование иглы Осватича по имени
немецкого ученого, впервые в 1944 г. опубликовавшего1) подробное
исследование зависимости отношения полных давлений в набегающем
потоке и на входе в камеру реактивного двигателя после прохождения
потоком системы косых скачков (на рис. 100 их два), замыкаемой пря-
прямым скачком. Им было найдено также возможное оптимальное значе-
значение этого отношения при заданном числе п скачков: п — 1 косых и од-
одного прямого.
На рис. 101 приведены кривые зависимости этого оптимального
отношения от числа М набегающего потока для п=1, 2, 3, 4. Нижняя
кривая (п=1) соответствует расположению на входе обычной ударной
волны. График на рис. 101 показывает, что применение «иглы» позво-
1) Теория К. Осватича подробно изложена в книге: Герман Р. Сверхзвуковые
входные диффузоры.— М.: Физматгиз, 1960, с. 161—180. См., также Петров Г. И.,
У х о в Е. П. Расчет восстановления давления при переходе от сверхзвукового потока к
дозвуковому при различных системах плоских скачков уплотнения.— М., 1947 (цитируем
по книге Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика.— М.: Наука, 1976, с. 457).
63. РАСШИРЯЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
247
лет и при больших числах Маха улучшить восстановление полного
давления, в то время как сверхзвуковой диффузор, описанный в § 41,
дает реальные результаты лишь при числах Маха полета, не превы-
превышающих 1,6—1,8. Сводку практических данных по воздухозаборникам
на скоростных самолетах можно найти в руководствах по прикладной
аэродинамике1).
§ 63. Расширяющийся сверхзвуковой поток.
Движение газа в секторе разрежения
Рассмотрим принципиально отливающуюся о-" предыдущей зада-
задачу Прандтля — Майера2) о повороте сверхзвукового потока вокруг
кромки выпуклого углэ О (рис. 102). Как далее станет ясным, нисколь-
нисколько не нарушая общности, можно предполагать, что начальный поток
слева от прямой ОС0 (ОС0 перпендикулярна к первоначальному пото-
потоку) является звуковым (Х0=^Мо=1). Потоку после полного поворота на
угол 0 соответствует однородное течение справа от прямой ОС с без-
безразмерной скоростью >\ и числом М, большими единицы, так как поток
расширяется (будем предпола-
предполагать, что давление р на линии
ОС удовлетворяет условию пе-
перехода к сверхзвуковому тече-
течению). Поворот на конечный
угол в можно рассматривать
как результат совокупности по-
последовательных малых поворо-
поворотов в области С0ОС, а затем в
области СОС" и т. д. Нелинеа-
ризованная задача расчленяет-
расчленяется, таким образом, на ряд ли-
линеаризованных. Отсюда сразу
следует, что лучи ОС0, ОС\
ОС",... являются линиями воз-
мущения и вместе с тем харак-
характеристиками. Вдоль них возмущения потока постоянны; переходя вниз
по потоку от одной линии возмущения к следующей^ бесконечно близ-
близкой, заполним линиями возмущения весь сектор С0ОС> называемый сек-
сектором разрежения.
В теории линеаризованных сверхзвуковых потоков была получена
формула
ТЙ = , (91)
Рис. 102
выражающая величину малого приращения скорости газа и при пово-
повороте потока на малый угол 0. Применяя здесь эту формулу к любому
текущему элементарному сектору разрежения (поток в целом не ли-
линеаризуется) и считая d9>0, перепишем ее в виде
dV «8 (92)
V М2 - 1
') Мартынов А. К. Прикладная аэродинамика.—М.: Машиностроение, 1972,
гл. XII, с. 388-405.
2) Prandtl L. Neue Untersuchungen iiber die stromende Bewegung der Gase
und Dampfe Vortrage und Diskussionen von der 78 Naturforschersammlung zu Stuti-
gart.— Phys Zeitschr, 1907, Bd 8, S 23; Meyer Th Uber zweidimensionale Bewe-
gungsvorgange in einem Gas, das mit Oberschallgeschwindigkeit stromt. —Forschungs-
beft des VDI, 1908, Bd. 62.
248 гл. viii. плоское безвихревое движение идеального газа
Входящие сюда величины У, в и М представляют текущие значения
этих величин для некоторой промежуточной линии ОС сектора разре-
разрежения.
Чтобы проинтегрировать уравнение (92), перейдем от числа М к
скоростному коэффициенту X. Тогда по известной формуле перехода
(80) гл. V будем иметь (в рассматриваемом движении dX>0; 6, d
>0 при отсчете по часовой стрелке)
/ \*-\
(93)
Переменные разделяются, и интегрирование дает
причем здесь использовано ранее поставленное начальное условие в=
=0 приЯ=1.
По определению линии возмущения угол возмущения а, образован-
образованный ею с направлением потока в данной точке, равен
i-^!ji.
¦ = arctg I/ ;]]| . (95)
Зададим положение линии возмущения ОС углом е, образованным
ею с начальной линией ОС0. Тогда из рис. 102 легко заключить, что
Замечая, что аргументами последних двух арктангенсов служат взаим-
взаимно обратные величины и что сумма таких арктангенсов равна я/2, по-
получим
Совокупность формул (94) — (96) дает параметрическое решение
поставленной задачи, причем роль параметра играет Я.
Пользуясь установленным выше соотношением между Я и М
= М2-1,
заменим совокупность предыдущих формул, связывающих 6, а и е с Я,
§ 63. РАСШИРЯЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
249
соответствующей группой формул связи с числом М
1СП
0 =
a == arctg -
6 — 1
I
arctg
(97)
L_-. *-УШш*{]
К этим соотношениям можно было прийти и непосредственным ин-
интегрированием уравнения (92), переписанного в форме
_
-(.+*=!*)
легко выводимой из изэнтропической формулы G2) гл. V и очевидного
равенства V=tAa.
Давление и плотность в секторе разрежения определим по обыч-
обычным изэнтропическим формулам
к _k_
Ро
Ро
(98)
здесь, как обычно, индекс 0 обозначает условие адиабатически и изэн-
тропически заторможенного газа.
Некоторая громоздкость полученных формул заставляет пользо-
пользоваться таблицами и графиками, которые могут быть раз навсегда со-
составлены для любых значений k. Приводим табл. 7, где сопоставлены
характерные величины 8, а, е,
р/Ро, М, I, a также график Я^л- Р/Ро
(рис. 103), на котором пока-
заны кривые зависимости тех
же величин, кроме е, от угла G
для воздуха (k = 1,41).
Проанализируем получен-
«ые результаты. Прежде всего
следует отметить, что .все ха-
характеризующие поток величи- J,o\so\—|—Рч|^Ц4^1—Ьгг|—|—|—\о,2
ны не зависят от радиус-векто-
радиус-векторов г точек области течения
относительно полюса О, т. е. от
расстояния до вершины угла,
а зависят лишь от полярного
угла е. Мы здесь вновь встре-
встречаемся с особым случаем, ког-
когда уравнение в частных производных, описывающее плоское, двумерное
движение, сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению,
т. е. уравнению с одной независимой переменной.
Подобно случаю центрированных волн разрежения за поршнем
(§44), исследование которых привело к простой автомодельной задаче
в плоскости (х, О» в случае плоского движения в секторе разрежения
также имеем автомодельную задачу, но в плоскости (х, у) или (г, г).
Прямолинейные характеристики, заполняющие сектор разрежения, яв-
3,0
9П
1,0
90'
Ж
*0Ш**
м
-21
¦— —
-™»
ю
20 30
Рис. 103
50 60
250 ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Таблица 7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
0,00
23,72
30,04
34,82
38,88
42,34
45,42
48,30
50,93
53,46
55,84
58,16
60,38
62,49
64,52
66,53
68,47
70,33
72,18
73,98
75,74
77,49
79,20
80,90
82,55
84,20
85,81
87,42
сс°
90,00
67,28
61,96
58,18
55,12
52. G6
50,58
48,70
47,07
45,54
44,16
42,84
41,62
40,51
39,48
38,47
37,53
36,67
35,82
35,02
34,26
33,51
32,80
32,10
31,45
30,80
30,19
29,58
М
1,000
1,084
1,133
1,178
1,220
1,258
1,295
1,332
1,366
1,401
1,435
1,470
1,505
1,539
1,572
1,608
1,641
1,675
1,710
1,744
1,779
1,815
1,850
1,884
1,918
1,954
1,989
2,025
я
1,000
1,068
1,107
1,141
1,173
1,201
1,227
1,253
1,276
1,299
1,322
1,344
1,366
1,387
1,407
1,428
1,448
1,467
1,486
1,504
1,523
1,541
1,559
1,576
1,592
1,609
1,625
1,641
Р/Ро
0,527
0,477
0,449
0,424
0,401
0,381
0,363
0,345
0,329
0,313
0,298
0,284
0,270
0,257
0,245
0,233
0,221
0,210
0,199
0,189
0,179
0,170
0,161
0,153
0,145
0,137
0,130
0,123
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
219,32
8°
89,02
90,58
92,12
93,66
95.18
96,68
98,20
99,67
101,13
102,58
104,02
105,46
106,88
108,30
109,71
111,11
112,51
113,89
115,27
116,63
118,00
119,36
120,71
122,07
123,41
124,74
126,03
219,32
а0
28,98
28,42
27,88
27,34
2М2
26,32
25,80
25,33
24,87
24,42
23,98
23,54
23,12
22,70
22,29
21,89
21,49
21,11
20,73
20,37
20,00
19,64
19,29
18,93
18,59
18,26
17,97
0,000
М
2,062
2,098
2,135
2,174
2,214
2,251
2,296
2,339
2,378
2,422
2,466
2,508
2,550
2,595
2,640
2,689
2,734
2,778
2,826
2,873
2,920
2,968
3,021
3,074
3,131
3,188
3,250
со
1,657
1,673
1,688
1,704
1,720
1,735
1,752
1,767
1,781
1,795
1,810
1,824
1,837
1,851
1,864
1,878
1,891
1,903
1,917
1,928
1,939
1,951
1,963
1,975
1,987
1,999
2,012
2,437
р/Ръ
0,116
0,110
0,104
0,097
0,092
0,086
0,080
0,075
0,071
0,066
0,062
0,058
0,054
0,051
0,047
0,044
0,041
0,038
0,036
0,033
0,031
0,029
0,027
0,025
0,023
0,021
0,019
0,000
ляются также центрированными, так как все проходят через вершину
угла О. Независимость от радиус-вектора г, а тем самым и автомодель-
ность задачи, конечно, связаны с наличием условия однородности по-
потока слева от первой линии возмущения.
Далее, из полученного решения сразу следует, что при возраста-
возрастании X до максимально возможного значения
или числа М до М=оо, т. е. при истечении с максимальной скоростью
Vmax в абсолютный вакуум, угол 0 возрастает до своего максимального
значения
При этом, согласно (95) и (96), будет
О Я . f\ Ji -
» ?max === "Г" "Т ^тах ==: "~~
Таким образом, существует предельный угол поворота потока бтах,
для воздуха (?==1,41) равный 129,32°, который мог бы осуществиться
только в идеальном случае расширения газа до абсолютного вакуума.
На практике могут иметь место повороты потока только на углы, мень-
меньшие вшах.
Найдем уравнение линий тока в секторе разрежения в полярных
координатах (r=ON, г). С этой целью заметим, что по известной
§ G3 РАСШИРЯЮЩИЙСЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК 251
формуле дифференциальной геометрии — =ctga. С другой стороны,
из формул (95) и (96) легко исключить параметр X и найти непосред-
непосредственную связь между а и е; будем иметь
|/tg(/
г de V k— \ \V k+\
Интегрирование приводит к следующему уравнению семейства ли-
линий тока с параметром г0, равным начальному радиус-вектору линии
тока на прямой OCQ (е=0):
Линии тока образуют семейство подобных друг другу кривых с
центром подобия в точке О.
Изложенное решение задачи об обтекании внешности угла являет-
является общим и не зависит от ранее поставленного ограничения А,0 = М0=1
при 6=0. Это условие было выдвинуто лишь для упрощения формулы
(94) и дальнейших с нею связанных соотношений. По известному свой-
свойству сверхзвуковых потоков полученное решение может быть исполь-
использовано для начального потока с любыми значениями чисел Х>1 или
М>1. В этом случае следует только начинать с характеристики (линии
возмущения), соответствующей заданному начальному значению X или
М, и подводить к ней однородный прямолинейный поток.
Точно так же и конец поворота потока определяется заданием 6 или
I и М на выходе и построением выходного однородного прямолинейного
потока со скоростью и углами, рассчитанными по изложенной теории.
Откажемся от условия А.о=Мо=1 при 0=0 и примем за начальную
любую характеристику ОСи соответствующую значению M=Mt>l.
Обозначим индексом 1 параметры потока иа входной характери-
характеристике OCi и сохраним величины без индекса для текущих значений па-
параметров внутри сектора разрежения. При этом условимся отсчитывать
угол поворота потока 0 от направления потока на входе, а е — от на-
начальной характеристики; определение а останется прежним. Тогда ра-
равенства (97) примут вид
-arctg (l/ — VMi— l) 1 -arctgУМ2— 1 + arctg VM!—1,
(99)
К этим равенствам можно присоединить известные изэнтропические
формулы для давления и плотности
• A00)
Расчеты этих величин можно вести по ранее указанной табл. 7 или
кривым на рис. 103.
252 ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
§ 64. Случай больших чисел Маха.
Закон подобия гиперзвуковых потоков
Рассмотрим случай обтекания тонкого профиля с очень больши-
большими числами Маха (М>1); такое обтекание называют гиперзвуковым.
Будем продолжать считать газ однородным, отвлекаясь от тех сложных
процессов, которые на самом деле возникают в гиперзвуковых потоках
за счет высоких температур, образующихся при торможении газа на
поверхности тела и при прохождении сквозь поверхности сильных раз-
разрывов. Условимся в настоящем параграфе пренебрегать явлениями дис-
диссоциации и последующей возможной рекомбинации молекул газа, иони-
ионизации газа и другими физическими и химическими процессами, харак-
характерными для гиперзвуковых движений газа. К некоторым из этих су-
существенных явлений мы впоследствии вернемся, чтобы изучить более
близкую к действительности модель газа, обладающего внутренним
трением (вязкостью) и теплопроводностью.
Строгая математическая постановка задач гиперзвукового обтека-
обтекания тел представляет большие трудности, так как в этих условиях воз-
возникают сложные взаимодействия потока с сильными разрывами, вы-
вызывающими, как уже указывалось, неизэнтропичность потока в тонком
слое вблизи поверхности тела. Наличие в этой области значительного
влияния таких процессов, как вязкое трение, теплопроводность, дисси-
диссипация механической энергии, излучение, и повторим еще раз, диссо-
диссоциация — рекомбинация молекул и ионизация газа, делают этот воп-
вопрос очень сложным.
Остановимся на дополнительном рассмотрении изложенных в двух
предыдущих параграфах простейших явлений торможения и ускорения
однородного потока газа с точки зрения тех особенностей, которые
возникают при больших значениях числа Маха набегающего потока
(Mi»l) и малых углах поворота потока.
Обращаясь сначала к прохождению газа сквозь косой скачок, рас-
рассмотрим формулы (88) и (82). По условию тонкости тела будем счи-
считать тело заостренным с малым углом 6 при вершине. Тогда в случае
слабых скачков и достаточно больших М4 угол косого скачка с набе-
набегающим потоком р будет иметь тот же порядок малости, что и в. Это
позволит произвести в рассматриваемых формулах замену синусов
углов на сами углы, а косинусов — на единицы. Откидывая малые ве^
личины высших порядков, будем иметь, согласно (88), квадратнее
уравнение относительно MiP^/C,.: /
k^ Кс - 1 = 0, A01)
решение которого при очевидном условии
может быть представлено так:
j/(y/B+if A02)
где введено обозначение
/С = М!9 A03)
для величины, играющей, как будет видно из дальнейшего, роль кри-
критерия подобия обтекания газом тонких заостренных тел при больших
значениях числа Mt.
§ 64. СЛУЧАЙ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ МАХА 253
Формулы (82) перейдут в следующие:
При сохранении числа /Сс будут сохраняться, очевидно, и отноше-
отношения A04) давлений и плотностей за скачком и до скачка.
По первой из формул A04) найдем коэффициент давления в по-
потоке за скачком
= p = lEL. flL _ Л = _L _^_ ЦМ^J - 1 ]
A05)
пропорциональный при постоянном К квадрату угла в поворота потока
при его торможении, причем коэффициент пропорциональности пред-
представляет собой функцию числа /С. Пользуясь непосредственно квадрат-
квадратным уравнением A01) и его решением A02), можем переписать A05)
в форме явной зависимости от К
<io6)
Формула A06) выражает закон подобия гиперзвуковых слабо су*
жающихся потоков, в частности обтекания клинообразных профилей с
малыми углами полураствора 9. Согласно этому закону, если в двух
таких обтеканиях величины К одинаковы, то коэффициенты давления
будут относиться как квадраты углов полураствора клиньев.
Убедимся теперь, что аналогичный закон подобия имеет место и в
случае расширяющихся потоков, если угол расширения мал, а началь-
начальное число Маха велико. Применим к первому равенству системы (99)
асимптотические, верные для достаточно больших х равенства
(--знак асимптотического равенства)
arctg* — - — -,
2 х
Тогда получим
откуда следует
A07)
Максимально возможный угол поворота 0тах будет соответствовать
истечению в вакуум (Г=0, а=0, М=оо)
^ <108>
Коэффициент давления ср равен
с — Р — Pi — 2 ( Р А
254 гл. vin плоское безвихревое движение идеального газа
г согласно A00) и A07)
^ ] A09)
Как и в случае торможения газа при прохождении сквозь косой
скачок, в полной аналогии с равенством A06) можем предыдущую фор-
формулу переписать в виде
2k
-'I9*-
<u0)
что приводит к следующему общему закону подобия гиперзвуковых по-
потоков около тонких тел: если в двух подобных плоских гиперзвуковых
потоках значения К одинаковы, то коэффициенты давления относятся
как квадраты углов отклонения.
Вводя, как и ранее, обобщенное понятие «относительной толщины»
т, которая может быть равна либо относительной толщине профиля в
собственном смысле этого слова, либо относительной вогнутости дуж-
дужки, либо, наконец, углу атаки, будем считать величину /С, равную про-
произведению характерного числа Маха, например числа Маха М» одно-
однородного набегающего потока, на относительную толщину т, критерием
подобия двух гиперзвуковых потоков, слабо отклоняющихся от задан-
заданного однородного гиперзвукового потока, и записывать закон подобия
в этом случае в общей форме
2{(К) (Ш)
Переходя от коэффициента давления ср к коэффициентам подъем-
подъемной силы су и волнового сопротивления сху связанным с с, интеграль-
интегральными соотношениями
i(tXt Сг —
= —фсрйу = — фср ^dx,
убедимся, что (среднее значение dy/dx пропорционально т) в потоках
с одинаковыми значениями критерия К коэффициенты подъемной си-
силы, так же как и коэффициенты давления, будут относиться как квад-
квадраты, а коэффициенты волнового сопротивления — как кубы относитель-
относительной толщины. Указанный закон подобия содержится, очевидно, как
частный случай в общем законе F0), где надо только положить W=xl
и пренебречь под знаком корня единицей по сравнению с М» .
Пользуясь формулами A06) и A10), легко получить выражения ко-
коэффициентов подъемной силы и волнового сопротивления для пластин-
пластинки АВ (рис. 104), расположенной под малым углом атаки 0 (на рис. 104
этот угол атаки показан сильно преувеличенным) к набегающему на
нее однородному потоку с числом Маха Мое, значительно превосходя-
превосходящим единицу. Обозначая, как и раньше, индексами 1 и 2 соответствен-
соответственно верхнюю и нижнюю поверхности пластинки, будем, очевидно, иметь
а подставляя сюда значения ср2 и сР1, заданные формулами A06)
и (ПО), окончательно получим1) (угол атаки 8 соответствует углу
1) Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью.— М.: Физ-
матгиз, 1959, с. 47.
§ 64. СЛУЧАИ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ МАХА
полного поворота потока)
255
2k
A12)
В этой формуле при К> -^—, что согласно формуле A08) соот-
k — 1
ветствует в>втах, квадратную скобку надо считать равной_ единице.
у
Это обозначает, что на верхней поверхности пластинки при 8=втах об-
образовалось и при "в>|6тах сохраняется нулевое давление (абсолютный
вакуум).
На рис. 105, заимствованном из только
что цитированной монографии Г. Г. Чер-
Черного, сплошными кривыми показаны за-
зависимости cv(Q) при различных M*, в ин-
интервале C<Моо<оо), рассчитанные по
семтор
разрежения
Рис. 104
Рис. 105
формуле A12) для воздуха (А=1,4), штриховыми прямыми нанесены
соответствующие значения cv(Q) по формуле D4) линейной теории Ак-
керета (§ 60). Наконец, верхняя прмая (М„ = 0), показанная штрих-
пунктиром, отвечает известной формуле су=2л9 для несжимаемой жид-
жидкости.
Рассмотрение кривых на рис. 105 показывает, что при Моо^5 фор-
формула Аккерета дает заниженные значения коэффициента подъемной
силы. _
Можно еще заметить, что с возрастанием чисел М«, кривые су(д)
все более отходят от линейного закона и приближаются к квадратич-
квадратичному закону. Так, в предельном случае M«>=(x> формула A12) приоб-
приобретает чисто квадратичный вид
A13)
и только численным коэффициентом отличается от соответствующей
формулы «ударной» теории Ньютона, заключающейся вкратце в сле-
следующем.
При значениях М„, близких к бесконечности, косой скачок в точ-
точке Л (рис. 104) пластинки становится очень близким к нижней поверх-
поверхности, так что можно без большой ошибки считать линии тока набега-
набегающего потока подходящими вплотную к нижней поверхности пластинки
и давление на ней равным полной потере количества движения, со-
256 ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
ответствующей абсолютно неупругому удару частиц газа о нижнюю по-
поверхность пластинки со скоростью, равной нормальной компоненте ско-
скорости набегающего потока (касательная компонента скорости сохра-
сохраняется) ,
р2 = Рос (f/co sin 0J ж Роои1&.
С другой стороны, на верхней поверхности пластинки при М«=оо
достигается полный вакуум, т. е. в этом случае Pi=0. Таким образом,
коэффициент подъемной силы будет равен (/ — длина пластинки)
что при &=1 совпадает с формулой A13), а при Л=1,4 (воздух) дает
результат, примерно на 17% меньший.
§ 65. Уравнения газовой динамики в плоскости годографа скорости
Фундаментальное значение для развития современной газовой ди-
динамики имело установленное С. А. Чаплыгиным 4) в его докторской
диссертации, защищенной в 1904 г., преобразование общих уравнений к
независимым переменным в плоскости годографа. Этот переход из фи-
физической плоскости в плоскость годографа скоростей приводит к заме-
замечательному результату: нелинейные уравнения газовой динамики ста-
становятся линейными.
Из условия отсутствия завихренности
ди до_
ду дх=0
и уравнения неразрывности
д(ри) j d(pu)^0
дх ду
можно сделать заключение о наличии потенциала скоростей ф и функ-
функции тока -ф, так что
«-2JL, «,-?", ~и = 1Г> JL»=--?L. ОН)
дх ду ро ду ро дх
где ро — плотность в покоящемся газе. Отсюда следует
Р
Умножим второе из этих уравнений на t=V— 1 и сложим с первым; тог-
тогда получим
(а — iv)d(x + iy) =dq> + i-^dy.
9
Производя замену (V — величина вектора скорости, 0 —угол его с
осью Ох)
u—iv= Ve~ie, x+iy=z>
найдем следующую, обобщенную на случай сжимаемого газа известную
связь между сопряженной скоростью и производной от комплексного
1) Чаплыгин С. А. О газовых струях.— Ученые записки Московского универ-
университета, Отд. физ.-матем. наук, 1904, в. 21.
§ 65. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ В ПЛОСКОСТИ ГОДОГРАФА СКОРОСТИ 257
потенциала по координате:
dz=(dcp + '—лИ-е'9. A15)
V р J V
Совершим переход в плоскость годографа (V, в). С этой целью
примем в равенстве A15) переменные х, у (а следовательно, иг), а
также ф и vj> за функции новых переменных V и 6; тогда равенство A15)
перейдет в следующее:
гк ав [dv ае ^ Р \dv ае
e ± (*L + , ?<l *L\ ei4V + -1 (*Е- + *22-**Л
К \dV р dV ) V \W p dQ J
Сравнивая в этом равенстве коэффициенты при дифференциалах неза-
независимых переменных, получим
ае v \дд l ' р я j ~ '
Входящее сюда отношение ро/р является функцией скорости V или
скоростного коэффициента X. Действительно, по известной изэнтропи-
ческой формуле
1
-?*-=: (l— ^-XA *"\ A17)
р \ k+1 )
Чтобы исключить из системы уравнений A16) независимую пере-
переменную г, продифференцируем первое уравнение системы по в, вто-
второе-по V и результаты вычтем друг из друга; тогда в силу очевид-
очевидного соотношения
абау =
получим равенство
(i\e fee
V\MdV P dQdVJ V dV p V dV
^ifiLx t-Po a2^ \et* l c?*d(p I ic* d (УуЛ^
V [dVdQ p dVdQj V dQ dV \V p J ft '
которое после сокращений и сравнения действительных и мнимых ча-
частей приведет к системе уравнений
v dv dv [v p ) ae' v ae pay'
Перейдем от величины V к скоростному коэффициенту X и вычислим
производную в правой части первого уравнения системы A18)
-1Л1роЛ=А
тогда система A18) примет следующую форму:
9-9487
258 ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Вводя вместо к переменную т,
V
получим систему уравнений Чаплыгина
1т
ат 2т _а_ аэ' ае _j_ ат ' * '
A-т)* A-х)*
Перекрестным дифференцированием и вычитанием можно полу-
получить раздельные уравнения для <р и *ф, причем эти уравнения будут ли-
линейными уравнениями второго порядка в частных производных. Так,
например, уравнение для функции тока гр будет иметь вид
ат L дт J _a ae2
2т A— т)^1
A21)
Остановимся на случае дозвукового течения (?*<1). Заменяя в
уравнении A19) X на новую переменную 5, связанную в случае дозву-
дозвукового течения с X дифференциальным соотношением
*+
—, A22)
приведем систему A19) к форме
где величина /С представляет следующую функцию X:
/С= L^? . A24)
k+1 V '
k~l
Выведенные Чаплыгиным уравнения A20) и A21) были приведены
к различным, так называемым каноническим формам Л. С. Лейбензо-
ном1), Н. А. Слезкиным2) и С. А. Христиановичем3).
§ 66. Влияние сжимаемости на распределение скоростей
и давлений в плоском дозвуковом потоке
Важное практическое значение задачи об учете влияния сжимаемо-
сжимаемости или, иначе говоря, числа М«> набегающего дозвукового потока на
распределение давления по поверхности крылового профиля и на его
подъемную силу вызвало появление ряда приближенных приемов этого
учета.
1) Лейбензон Л. С. О теории движения газов.— ДАН СССР, 1935, № 9.
2) С л е з к и н Н. А. К вопросу о плоском движении газа.— Труды Московского
гос. ун-та, 1935, а также ДАН СССР, 1936, нов. сер., т. 3, JSfe 9.
3) ХристиановичС. А. Обтекание тела газом при больших дозвуковых скоро-
скоростях — Труды ЦАГИ, 1940, вып. 481, а также Христианович С. А., Юрьев И. М.
Обтекание крылового профиля при докритической скорости потока.— Прикл. мат. и мех.,.
1947, т И, вып. 1.
§ 66. ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ
259
Правило Прандтля — Глауэрта, как уже было указано ранее, при-
пригодно лишь в случае тонких, слабо изогнутых профилей, расположен-
расположенных под малым углом атаки в потоке со сравнительно малыми значе-
значениями числа Моо. Излагаемые в настоящем параграфе приемы позво-
позволяют вводить поправку на сжимаемость для более толстых и изогнутых
профилей при больших углах атаки и диапазонах чисел М„. Функция
ЩИ), входящая в систему уравнений A23), при значениях Я, не
слишком близко подходящих к единице, мало отличается от единицы,
как об этом можно заключить из табл. 8, составленной для воздуха
D-1,41).
Таблица 8
0
0,05
0,Ю
0,15
0,20
0,25
0,30
м
0
0,0457
0,0913
0,1372
0,1832
0,2294
0,2759
1,0000
1,0000
1,0000
0,9999
0,9996
0,9991
0,9982
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
М
0,3228
0,3701
0,4179
0,4663
0,5152
0,5649
0,6154
УН
0,9965
0,9940
0,9899
0,9840
0,9754
0,9632
0,9461
Я.
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
М
0,6668
0,7192
0,7727
0,8274
0,8834
0,9409
1,0000
0,9221
0,8925
0,8416
0,7740
0,6788
0,5092
0
Там же для сравнения приводится зависимость fR от М, анали-
аналитически выражаемая легко выводимой из A24) формулой
A25)
Так, например, при А,=0,65 (М = 0,615) величина УК только на 5% отли-
отличается от единицы. Заменив в системе A23) приближенно У# на еди-
единицу, получим в плоскости (s, в) систему равенств
&Р^ д$^L A26)
ае
ае
аналогичную точным условиям Коши — Римана (далее индекс 0 при
величине означает, что она относится к потоку несжимаемой жидкости)
д дф Л д^ A27)
ds0
dsQ
дд0
в плоскости (s0, 90), причем, согласно определению A22), принятому
при введении функции s, в случае очень малых Ло будет
dso = ^. A28)
Совпадение приближенных равенств A26) в плоскости E, в) с
точными условиями A27) в плоскости (s0, 60) еще ничего не говорит о
связи между сжимаемым и несжимаемым потоками, так как гранич-
граничные условия в плоскостях s0, 0О и s, в отличны друг от друга.
Ввиду этого становится невозможным непосредственное получе-
получение универсальных (т. е. пригодных для всевозможных типов дозву-
дозвуковых течений) «пересчетных» формул. Для пояснения высказанного
утверждения рассмотрим два простейших течения — от вихря и от ис-
источника,— для которых имеются точные решения.
Можно показать, что в случае вихря (при одинаковой циркуляции
Г) распределения скоростей в потоках газа и несжимаемой жидкости
ничем не различаются, и, следовательно, ЯовЯ.
260
ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
В случае источника (при одинаковом массовом расходе Q) в пото-
потоке газа Q=2nrXa*p(k)9 а в несжимаемой жидкости Q=*2jir^0a*p0, где
р0 — постоянная плотность несжимаемой жидкости (ее можно принять,
например, равной плотности в изэнтропически заторможенном газе
р@)). Таким образом, для этого потока имеем уже иную зависимость
между К и )*:
которая, вероятно, соответствует наибольшей из возможных поправок
на сжимаемость1). Обе зависимости приведены на рис. 106 (прямая
1 — для вихря, кривая 2 — для источника).
0,8
0,6
0,2
/
Y
у
/ X
г
0,2
0,6
0,8
Рис. 106
Существуют различные приближенные методы учета сжимаемо-
сжимаемости, точность и границы применимости которых можно оценить только
путем сравнения с экспериментом. Рассмотрим ниже некоторые из этих
методов.
Отвлечемся от разницы между ds [формула A22)] и ds0 [форму-
[формула A28)] и положим
— = dso = -^. A29)
/3?
Проинтегрируем это обыкновенное уравнение первого порядка, связы-
связывающее К и А*, а постоянную интегрирования найдем из условия совпа-
совпадения скоростных полей при предельном переходе к несжимаемой
жидкости
lim— = 1.
A30)
]) Эти примеры, дающие верхнюю и нижнюю границы поправок на сжимаемость,
были любезно указаны автору Г. Ю. Степановым.
§ 66. ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ
261
Интегрирование приведет нас к некоторой, не зависящей ни от
формы профилей, ни от характера их обтекания, приближенной связи
между К и Яо, которую ввиду громоздкости аналитического выражения
представим кривой 3 (рис. 106) и табл. 9.
Имея эту связь, нетрудно получить зависимость коэффициента дав-
давления ср в газе от коэффициента сро в несжимаемой жидкости.
0
0,05
0,Ю
0,15
0,20
0,25
0,30
м
0
0,0457
0,0913
0,1372
0,1832
0,2294
0,2759
0
0,0500
0,0998
0,1493
0,1983
0,2467
0,2943
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
Таблица (
М
0,3228
0,3701
0,4179
0,4663
0,5152
0,5649
0,6154
Э
К
0,3410
0,3862
0,4307
0,4734
0,5144
0,5535
0,5904
Я,
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
М
0,6668
0,7192
0,7727
0,8274
0,8834
0,9409
1,0000
А*
0,6251
0,6568
0,6857
0,7110
0,7324
0,7483
0,7577
По известным изэнтропическим соотношениям
k+l "s k+l
найдем при наличии сжимаемости
— 1
. A31)
Присоединяя сюда равенство, соответствующее несжимаемой
жидкости,
Х° N2 A32)
и соотношение между X и Хо, представленное табл. 9, будем рассматри-
рассматривать совокупность формул A31) и A32) как параметрическую связь
между ср и сро через параметр X. В этом заключается приближенный
способ учета сжимаемости по С. А. Христиановичу. При выбранном
числе Моо находим Л«>, а, следовательно, по табл. 9 и Ко «>, после чего,
задаваясь различными значениями Хо и определяя соответствующие Л»
получим по формулам A31) и A32) искомую связь между ср и сро.
На рис. 107 и 108 приводятся сетки кривых1), выражающих эту
связь при различных числах М« отдельно для положительных и отри-
1) Полядский В. С. Расчет распределения давления при больших скоростях
полета.—Изд. Бюро новой техники НКАП, 1943; там же см. таблицы пересчета и ука-
указание поправок по более точному приближению.
262
ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
цательных ср. Штриховая линия Я=0,85 на рис. 108 показывает предел
применимости метода; при больших Я результаты получаются неудов-
неудовлетворительными; отрезками кривых справа от этой линии пользовать-
пользоваться нельзя.
К числу недостатков изложенного приближенного приема относит-
относится отсутствие явной зависимости между ср и сро и вытекающая отсю-
отсюда необходимость использования приведенных сеток кривых. Этот
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0# Of 1,0 1,1 Ср
Рис. ,107
недостаток можно устранить, если применить метод, предложенный
впервые С. А. Чаплыгиным1). Обратимся вновь к уравнениям A18),
приняв в них в качестве аргументов Я= V/a* и 0:
дер a d / 1 р0 \ дур д(р л Ро ^Ф
дк dk [к р ) дв ' дд рдА,#
Аналогичные уравнения для несжимаемой (р=ро) жидкости
иметь в прежних обозначениях вид
будут
Приближенный метод С. А. Чаплыгина заключается в сведении урав-
уравнений движения сжимаемого газа к уравнениям движения несжимае-
несжимаемой жидкости путем замены переменной X некоторой ее функцией Х(к).
Как будет ясно из дальнейшего, такое преобразование эквивалентно
использованию вместо действительной зависимости р(^)/р0 некоторой
приближенной. Уравнение движения сжимаемого газа после этой заме-
замены приведется к виду
дк
dk
Ро
dk
д*Р — У d ( * Ро ^ ^ дф , ро dk д^
дк dk V ^ Р ) М ' дб р dk di'
Р )
р dk
1) Чаплыгин С. А. О газовых струях.—Ученые записки Моско^кого универси»
Отд. физ. мат. наук, 1904, вып. 21.
) Чапл
лета. Отд. физ
§ 66. ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИИ
263
,1
к
г
ч"
V
i
А
\
i
ч
V
\
\
s
л
A
"V
Cs
с:
\
f
\
\
\
\
\
\
\
ч
\
\
\
1
\
\
\
\
\
\
\
У
л
ч\>
\
\
\
х
^г
\\
\
\\
\\
ч\
\
\
\
X
\
^\
л
к\
\\*
ч
ч
\
V
\
\
л
\
\
\
Д
V
ч^
чЛ
г_
\
\\
\
\
\
\
\
L V
\^
\\
N
\
, \
\
\
\
\
\
\
X
!^Ч>
—4—
у,
V
ч\
\
\V
V
л
л
\\
\
\
{
V
V
1\
\
41
\
\v
1
f
V
II
\\
\\
1
1
^^
Ч
1
i
Г
)
i
г
1
1
1
1
1
t
4S
Г
1
0г> ^ СЧЭ
г
чг
264 ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Будем считать ф=ф0, #ф=(ф0 при одинаковых (Я=Х0, б=80) значе-
значениях аргументов, потребовав совпадения соответствующих дифферен-
дифференциальных уравнений. Для этого должны выполняться равенства
p/ dh0 Uo / h P A °
Данная система обыкновенных дифференциальных уравнений опреде-
определяет зависимости K(kQ) и р(Я0)/р. Принимая во внимание условие со-
совпадения X и Яго при малых скоростях [Пт(Я,До)!=1]> получим решения
где С — постоянная интегрирования.
Как видно, получившаяся для гипотетического «газа Чаплыгина»
зависимость плотности от скоростного коэффициента
Ро
отличается от известной зависимости для адиабатического движения
-?- = A - ^U2^1 = 1 ——к2 + о
Ро Ч * + 1 / * + 1
Выбором постоянной С можно воспользоваться для наилучшего
приближения к действительной зависимости р(Х)/р0. Так, полагая 2С«
= 1/(&+1), С=0,2083 [&=1,4; кривая 4 на рис. 106], имеем погрешность
аппроксимации порядка Я4. Как показывают расчеты, для С=»0,296
(кривая 5 на том же рисунке) максимальная относительная погреш-
погрешность при Я<0,95 не превышает 2% !).
Использование тех или иных зависимостей р(Я)/р0 соответствует
замене действительной адиабаты Пуассона аппроксимирующими ее
различными простыми кривыми или прямыми2). Так, Карман и Чень3),
используя прямолинейную адиабату, предложили простую приближен-
приближенную аналитическую формулу связи ср и сро:
г
cD
A33)
не заключающую в своем составе показателя адиабаты k.
При малых Моо формула A33) переходит в формулу Прандтля -
Глауэрта
1) Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин.— М.: Физматгиз,
1962, с. 197.
2) Детальное изложение такого рода методов можно найти в монографии: Домб-
ровский Г. А. Метод аппроксимации адиабаты в теории плоских течении газа.— М.:
Наука, 1964.
s) К arm an Th. v. Compressibility effects in aerodynamics.— Journ. Aeron. ScL
July 1941, v. 8; Tsien H. S. Two-dimensional subsonic flow of compressible fluids.—
.Journ. Aeron. Sci., August 1939, v. 6 (см. 4-е изд. настоящего учебника, с. 303—307).
§ 66. ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ
265
В отличие от последней формула A33), содержащая в знаменате-
знаменателе Срв, не позволяет установить простое соотношение между су и суо,
вычисление су приходится проводить интегрированием пересчитанного
распределения давления в каждом отдельном случае.
Формула Кармана — Ченя удобна для вычислений и, как показы-
вает сравнение с опытами, дает удовлетворительную оценку влияния
сжимаемости (числа М«,) на коэффициент давления сро при обтекании
того же профиля несжимаемой жидкостью даже при достаточно боль-
больших, но, конечно, меньших единицы значениях чисел Маха.
На рис. 109 приведено для иллюстрации сравнение с опытом ре-
результатов расчета коэффициента давления ср в точке, находящейся на
расстоянии 30% хорды от носика, при угле атаки а=—2° и при различ-
различных значениях числа М«, для верхней поверхности крылового профиля
NACA 4412.
-0,6
-Oft
f .4
•
1
-—л
•
/
шперим
tpucmi/o/
V/
ент
чович
{арман- Чень
^андтль -Глауэр! 7
0,2 Ofi 0,6 0,8
Moo
Рис. 109
0=0,68
-0,835
0,25 0,50 0,75 ^^ х/с
Рис. ПО
Если отнести верхнюю экспериментальную точку при Мво=0,6 к
числу выпадающих, то можно заметить, что кривая, составленная по
формуле Кармана — Ченя, хорошо соответствует опытным точкам.
Влияние сжимаемости при дозвуковом обтекании профилей про-
проявляется в возрастании разрежений на верхней поверхности профиля —
факт, который уже был отмечен при изложении теории малых возму-
возмущений Прандтля — Глауэрта. На рис. ПО показаны полученные экспе-
экспериментально распределения давления по верхней поверхности некото-
некоторого крылового профиля при различных числах М» набегающего пото-
потока. Можно заметить, что с возрастанием числа М*, от значения 0,4 до
0,68 пик разрежения возрос почти вдвое.
Формулу, близкую по структуре к формуле Кармана — Ченя, мож-
можно еще получить из простых, не связанных с. теорией Чаплыгина сооб-
соображений, если, согласно Лэйтону1), предположить, что коэффициент
давления в данной точке сжимаемого дозвукового потока может быть
выражен через соответствующий коэффициент давления в несжимае-
несжимаемом потоке по формуле Прандтля — Глауэрта, в которой только под
числом Моо следует подразумевать местное, переменное от точки к точ-
точке число М.
*) Laitone Е. V. New compressibility correction for two-dimensional subsonic
flow.--Journ Aeron. Sci, 1951, v. 18, N° 5, p. 350.
266
ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
На самом деле в дозвуковом потоке, описываемом дифференциаль-
дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического типа, влия-
влияние сжимаемости не сводится к местному, характеризуемому числом М
в данной точке, а требует учета влияния сжимаемости на поток в це-
целом. В этом заключается приближенность допущения Лэйтона.
Согласно этому допущению коэффициенты давления в соответству-
соответствующих точках связаны формулой
A34)
Исключим М, пользуясь изэнтропическим соотношением
— 1
.A35)
Отсюда, находя М2 и разлагая полученное Для него выражение в ряд
по степеням малой величины ср, будем иметь
№ =
2 ") k-\
Подставляя в A34), получим формулу Лэйтона
С п — -
A36)
заключающую, так же как и формула Кармана — Ченя, поправочные
слагаемые в знаменателе в формуле Прандтля — Глауэрта. Сравнение
формул Лэйтона и Кармана — Ченя показывает, что при приближении
Мо„ к единице поправка Лэйтона возрастает значительно быстрее, чем
поправка в формуле Кармана — Ченя. При относительно небольших ср
и не слишком близких к единице значениях Мте формула Лэйтона дает
лучшее совпадение с опытом, чем формула Прандтля — Глауэрта, и
близка к формуле Кармана — Ченя.
Все изложенные только что упрощенные методы расчета не были
связаны с определением .полного решения задачи о дозвуковом обте-
обтекании, в частности с влиянием сжимаемости на присоединенную цирку-
циркуляцию, обеспечивающую плавный сход газового потока с задней острой
кромки крылового профиля 1).
Заметим, что в настоящее время есть возможность точного чис-
численного расчета распределения скоростей и давлений при обтекании
тел газом с любыми скоростями2).
1) Точные в этом смысле решения были получены одновременно Л. И. Седовым
и Ц. Ц. Линем. См. Седов Л. И. Плоские задачи гиродинамики и аэродинамики.—
М.: Наука, 1980.
2) Давыдов Ю. М. Таблицы расчета внешних околозвуковых течений газа.— М.:
Выч. центр АН СССР, 1983.
§ 67. ОКОЛОКРИТИЧЕСКОЕ ОБТЕКАНИЕ КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ 267
§ 67. Околокритическое обтекание крылового профиля
При возрастании числа М« вблизи поверхности обтекаемого кры-
крылового профиля возникают сложные явления, трудно поддающиеся тео-
теоретическому анализу. Вернемся к кривым рис. ПО. Прежде всего
обращает на себя внимание явление смещения пика разрежения вниз
по потоку, начиная примерно с Моо^ОД
Последняя кривая на рис. ПО, относящаяся к числу Мво=0,835, рез-
резко выпадает из общей закономерности развития кривых давления с
ростом Мое. Прежде всего бросается в глаза значительное уменьшение
по абсолютной величине и сглаживание по форме пика разрежения, за-
затем ясно видно скачкообразное восстановление давления, показанное
на рисунке штрихами. Эти явления можно объяснить образованием кри-
критического сечения в трубке тока, суживающейся к точке максимальной
скорости в дозвуковом потоке. Дальнейшее расширение трубки тока
создает движение, аналогичное движению в сопле Лаваля. Скорость
становится сверхзвуковой и затем в скачке уплотнения возвращается к
дозвуковому значению. Наличие скачков уплотнения приводит к воз-
возникновению значительных потерь механической энергии и вредно от-
отражается на аэродинамических характеристиках крылового профиля.
Одной из мер борьбы с этим явлением стало создание профилей с воз-
возможно поздним образованием критической скорости на их поверхности.
Назовем критическим числом Мкр такое значение числа М« набе-
набегающего на крыло потока, при котором где-то на поверхности крыла
местное число М становится равным единице, т. е. возникает скорость^
равная местной скорости звука.
Легко связать величину Мкр с минимальным значением коэффици-
коэффициента давления сртп. Для этого, пользуясь выражением ср A35), предпо-
предположим, что где-нибудь на профиле скорость достигла местной скорости
звука и местное число М стало равным единице; тогда ср достигает ми-
минимального по сравнению с другими точками потока значения Ср^ а
число Моо становится равным Мкр. Следовательно, если в только что
указанной формуле положить
Ср = Срт, М«, = МКр, М = 1,
тотем самым определится искомая связь между Мкр и срт
k k
где, подчеркнем это, величина срт обозначает коэффициент давления
при заданном Моо=Мкр, т. е. в действительном течении газа при нали-
наличии учета сжимаемости.
В практических расчетах полезнее располагать связью между Мкр
и коэффициентом давления срот при обтекании того же профиля несжи-
несжимаемой жидкостью, так как последняя величина легко рассчитывается
методами, изложенными в предыдущей главе, или определяется про-
продувками в трубах малых скоростей. Пользоваться для пересчета Срт в
ст изложенным выше правилом Прандтля — Глауэрта или прибли-
приближенным способом Христиановича было бы мало оправданным, так как
ст относится к числу Моо=Мкр, при приближении к которому указан-
указанные приемы расчета становятся необоснованными.
Вспоминая чисто экспериментальный факт сравнительной удов-
удовлетворительности формулы Кармана — Ченя и пр»и Моо, близких к Мкр,
можем использовать эту формулу и определять Мкр как функцию or
268 ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
сРОт из совокупности равенств A33) и A37), переписанных в виде
Срот ^^
A38)
Подставляя значение срт из второго равенства в первое, получим
искомую связь между сРОт и Мкр; однако, ввиду громоздкости оконча-
окончательного результата, не будем его выпи-
выписывать.
Предложены различные приближенные
формулы для определения М«р по рассчи-
рассчитанному срот. Приводим одну из них, со-
составленную Темплем1) для воздуха (fe=
= 1,4),
Срот
-2ft
-ho
-0,5
О
kl
039)
44 0,6 0,6 0,7 0,8
Рис. Ill
практически эквивалентную совокупности
равенств A38) и приводящую к хорошему
совпадению с опытом. Соответствующая
кривая показана на рис. 111.
Из определения понятия критического числа Мкр можно заключить,
что в дозвуковых потоках следует отдать предпочтение таким профилям,
которые при том же значении потребной величины подъемной силы (ко-
(коэффициента cv) имеют по возможности большее значение Мкр, а следо-
следовательно, меньшее срт. Иными словами, надо стремиться к тому, чтобы
одна и та же площадь, заключенная между кривыми распределения дав-
давления по верхней и нижней поверхностям крыла, достигалась при поло-
тих кривых распределения давления, а не за счет резких пиков разре-
разрежения. Такого рода профили с повышенными значениями Мкр были со-
созданы у нас в стране и за рубежом и получили широкое распростране-
распространение в авиации и турбостроении.
§ 68. Плоский сверхзвуковой поток. Общие свойства характеристик.
Графический метод расчета сверхзвуковых течений
Переход в плоскость годографа привел к созданию аналитических
методов интегрирования дифференциальных уравнений сверхзвукового
течения идеального газа. Однако при практических расчетах предпочи-
предпочитают пользоваться численными методами или простыми графическими
приемами интегрирования этих уравнений, основанными на применении
метода характеристик.
Вернемся к основной системе уравнений плоского безвихревого дви-
движения газа B) и C) настоящей главы
а2 — и2) — — uv — + — + а2 — V2) — = 0,
ох \ду дх I ду
A40)
ди dv ^
ду дх
1) Хилтон У. Ф. Аэродинамика больших скоростей. — М.: ИЛ, 1955, с. 29.
§ 68 ПЛОСКИЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК 269
Обобщая прием, изложенный в § 43 при решении задачи Римана о
распространении конечных возмущений, составим линейную комбина-
комбинацию уравнений A40); умножим соответственно первое из этих уравнений
на неопределенный множитель А2, второе —на А{ и сложим их. Тогда
получим
или, собирая по отдельности члены с производными от и и от v,
+ ](A1 + A2uv)\
Л2(а2-) ду] v l^ 2 '[дх Аг + A^uv ду
A41)
Попытаемся теперь, распоряжаясь величинами At и Л2, определить
в каждой точке плоскости (л:, у) такое направление с угловым коэффи-
коэффициентом m=dy/dxy чтобы выражения в квадратных скобках равенства
A41) представили соответствующие этому направлению производные
по х от и и v:
ди_ | Аг — A2uv ди^ ди_ . ди_ dy_ ди_ , ди_ dи
дх Л2 (а2 — ы*) ду ~ дх ~ду 1п ~ ~дх ~ду ~ ~dx~ '
dv_ _ Л, (а2 — у2) dv_ dv_ , dv_ dy_ dv , dv_ dv
дх \X + A2uv ду дх ду dx дх ду dx
и, следовательно, уравнение A41) превратилось в дифференциальное
уравнение в плоскости годографа {и, v)
*_=a№L=*L. A42)
du Ax + A2uv
Для выполнения этих условий необходимо подчинить величины At и
Л2 пропорции
ЛЛц» Л(а2,2)
или, что все равно, системе однородных уравнений
Л4—A2[m(a2—u2)+uv]=0, mAi+A2[a2—v2+muv]=0J
которая будет иметь отличные от нуля решения только при равенстве
нулю определителя системы, т. е. при
(u2—a2)m2—2uvm+v2—a2 = 0. A44)
Составляя дискриминант этого квадратного уравнения
2—а2) =^A^—^),
убедимся, что действительные решения будут иметь место при выпол-
выполнении условия V^a или М^1.
Итак, в каждой точке сверхзвукового потока можно определить два
характеристических направления с угловыми коэффициентами т^ и т2,
равными корням квадратного уравнения A44)
^ , (И5)
12 и*
так, чтобы дифференциалам dx, dyy соответствующим этим направлени-
направлениям в физической плоскости течения, сопоставлялись дифференциалы du,
dv в плоскости годографа, связанные уравнением A42).
Фундаментальное значение имеет тот факт, что дифференциальное
уравнение A42) может быть проинтегрировано в конечном виде для про-
270 ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
извольного сверхзвукового течения. Переписывая уравнение A42) в тож-
тождественном виде
do _ Ла (а2 — и2) _ Л2 (а2 — у2) а2 - и2
du Лх + Л2ии Аг + A2uv а2 — v2
и сравнивая с A43) и A44), получим
du_ а2 —и2 _ uv±aY У2 — а2 ,<*„.
~du~~m a2 — v2 ~ a2 — v2 ' l '
Перейдем теперь от проекций скорости и, v к величине вектора скорос-
скорости V и углу 6, образованному этим вектором с осью Ох физической плос-
плоскости, положив
m=1/cos9, 0=Vsin8,
du = dV cosQ—Vsinede, dv = dV sin Q+V cos QdQ.
Тогда уравнение A46) перейдет в следующее:
sinQdV+VcosQdQ _ V2 sin 6 cos 9 ± а2 У M2 - 1
cosQdV — VsmQdQ~ a2 — V2sin29
Соберем члены с dV и dQ; тогда после простых преобразований и сокра-
сокращений получим
^ A47)
т. е. известное уже нам по § 63 уравнение (92), интеграл которого пред-
представлен формулой (94), а в данном случае может быть записан в общей
форме
A48)
Семейства интегральных кривых уравнения A45), соответствующие
наличию разных знаков перед радикалом, образуют характеристики в
физической плоскости (х, у), а величины mt и гп2 представляют собой
угловые коэффициенты касательных к характеристикам или характери-
характеристические направления в физической плоскости.
Будем называть для определенности интегральные кривые, соответ-
соответствующие дифференциальному уравнению A45) с положительным зна-
знаком перед радикалом, т. е.
dy uv + a YV2 — а2
dx и2 —а2 э
характеристиками первого семейства, а интегральные кривые уравнения
dy uv — а У V2 — а2
dx~ и2 — а2
— характеристиками второго семейства.
Точно так же дифференциальные уравнения A46) или их интегралы
A48) определяют в каждой точке плоскости годографа скоростей два
семейства кривых — характеристик в плоскости годографа. Пусть знаку
плюс соответствуют характеристики первого семейства, знаку минус —
§ 68. ПЛОСКИЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
271
второго семейства. Обозначая через п угловой коэффициент характери-
характеристических направлений в плоскости годографа, будем иметь по A46)
A49)
Характеристические направления в физической плоскости и плоскос-
плоскости годографа, как это сразу следует из A45) и A49), связаны между
собой очевидными соотношениями
rtitf*2+1 = 0, п2гп1+1 = 0.
Отсюда следует, что при выборе осей Ох и Оу параллельными осям О'и
и 04 характеристические направления первого семейства в физической
плоскости будут перпендикуляр-
перпендикулярны к характеристическим направ-
направлениям второго семейства в соот-
соответствующей точке плоскости го-
годографа и, наоборот, характери-
характеристические направления второго
семейства в физической плоско-
плоскости окажутся перпендикулярны-
перпендикулярными к характеристическим направ-
направлениям первого семейства в плос-
плоскости годографа.
Таким образом, характеристи-
характеристические направления в физической
плоскости жестко сопряжены с
характеристическими направле-
направлениями в плоскости годографа. Но
дифференциальные уравнения ха-
характеристик в плоскости годогра-
годографа A47) были проинтегрированы
и привели к конечным формулам
A48) характеристик, представля-
представляющих два совершенно определен-
определенных, одинаковых для всех плоских сверхзвуковых течений семейства
кривых.
Замечая, что в сверхзвуковых течениях безразмерная скорость А, ме-
меняется в пределах 1^Я^|/ —^—, причем левая граница соответству-
* k — 1
ет критической скорости У=а*, а правая — предельной максимальной
скорости У= Утах, проведем концентрические окружности Я=1 и
1=у и заполним пространство между ними сеткой кривых A48).
Эти кривые представляют собой два семейства эпициклоид (рис. 112),
описываемых точками окружности радиуса —A/ —— 1) , катящей-
2 \ ' k — 1 /
ся по окружности X = 1.
Располагая такой раз навсегда для данного k (на рис. 112 для возду-
воздуха, k= 1,4) вычерченной сеткой эпициклоид', нетрудно при помощи прос-
простых графических приемов строить характеристические направления в
точках физической плоскости, проводя через эти точки перпендикуляры
к соответствующим, заданным семействам A48), характеристическим
направлениям в плоскости годографа.
Прежде чем перейти к изложению этих графических приемов, остано-
остановимся предварительно на рассмотрении некоторых общих свойств харак-
характеристик в физической плоскости.
Рис. 112
272
ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
1. Характеристики уравнений плоского сверхзвукового течения обра-
образуют с вектором скорости газа в данной точке углы, равные углам возму-
возмущений (углам Маха)
а = ± arcsin
м
т. е. совпадают с линиями возмущений (линиями Маха).
Для доказательства воспользуемся известной формулой аналитиче-
аналитической геометрии для тангенса угла б между направлениями с заданными
угловыми коэффициентами т и vfu\ будем иметь по A45)
V
т — —
и
1 +т —
и
uv±a]
—а2
v
и
— a2)±av~V К2-а2
так что действительно
sin б = ± = sin a.
м
Отсюда сразу вытекает второе свойство характеристик в физической
плоскости (рис. 113).
2. Вектор скорости направлен по биссектрисе угла между характе-
характеристиками в физической плоскости.
Отметим, наконец, еще третье свойство характеристик.
3. Проекции скорости газа на нормали к характеристикам в дан-
данной точке физической плоскости
равны по абсолютной величине ме-
местной скорости звука.
Действительно (рис. 113),
X
= — V • -^- = —a,
м
l/n2 = Fcos(90°-a) =
= Vsina = Vr • — =a.
M
Пользуясь последним свойством
характеристик в физической плос-
плоскости, легко показать, что кривая
зависимости А, (а) для любого сверх-
сверхзвукового потока представляет собой эллипс, форма которого зависит
только от показателя адиабаты &, выражающего физические свойства
газа.
Используем для этого известное изэнтропическое соотношение
(Vm&x — скорость истечения в вакуум, когда а = 0)
Рис. 113
а2
V2
Kmax
2 k— 1
Обозначим через и и v проекции вектора скорости V на оси коорди-
координат, первая из которых направлена по касательной к характеристике,
а вторая —по нормали к ней. Тогда v по свойству 3 будет равно ±а,
§ 68. ПЛОСКИЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК 273
и предыдущее равенство можно переписать в форме
2 k-l 2 ft—1
или, полагая Xu = «/a*, Kv=v/a*,
"'¦Xi + XS=l, A50)
что представляет в плоскости (Я„, ta) эллипс с большой полуосью
]/-i— и малой полуосью, равной единице. Эллипс A50) —его назы-
вают эллипсом Буземана — расположен в области между окружностями
)i=l и Х= 1/ , причем в соответствии со сказанным выше большая
" к — 1
его полуось направлена по касательной к характеристике в данной точке
физической плоскости, а малая — по перпендикуляру к ней, т. е. по каса-
касательной к сопряженной характеристике в плоскости годографа скоростей.
Возможное расположение эллипса Буземана по отношению к сетке
эпициклоид показано на рис. 112. Если эллипс, нанесенный на кусок
прозрачного материала, совмещен своим центром О с центром окружнос-
окружностей, ограничивающих семейство эпициклоид, и так повернут, чтобы не-
некоторая его точка А совпала с заданной точкой (А,, 8) плоскости годо-
годографа, то большая полуось эллипса, образующая с вектором скорости
угол а, укажет направление одной из характеристик (линий возмущения)
в физической плоскости. Направление другой характеристики получим,
если совместим с концом вектора скорости, т. е. точкой (А,, 6), точку Аг
эллипса, служащую зеркальным отражением точки А эллипса относи-
относительно его большой оси.
Таким образом, пользуясь эллипсом Буземана, можем, зная величи-
величину и направление скорости в некоторой точке физической плоскости, без.
дополнительных вычислений чисто графическим путем провести через.
нее два характеристических направления в этой (физической) плоскости.
При этом малая полуось эллипса укажет сопряженное характеристиче-
характеристическое направление в плоскости годографа.
На использовании изложенных свойств семейств характеристик в-
физической плоскости течения и плоскости годографа скоростей основам
графический метод расчета плоских сверхзвуковых потоков1).
По своей общей идее он аналогичен графическому методу расчета
распространения волн конечной амплитуды, изложенному ранее в § 43.
Некое его своеобразие заключается лишь в удобстве использования за-
заранее раз навсегда вычерченных: 1) сетки характеристик в плоскости го-
годографа—известных уже нам эпициклоид A48)—и 2) эллипса Бузе-
Буземана A50), изготовленного в виде прозрачного шаблона.
Перепишем уравнения характеристик в плоскости годографа A48)
в форме двух отдельных уравнений
e = Ci—(у(Х), е = а(Я)—С2,
первое из которых представляет собой семейство эпициклоид, идущих
снизу вверх, а второе—сверху вниз (знак угла 0 оговорен на с. 247).
Складывая и вычитая эти равенства почленно, получим
Э= j^-Q, a^-l^ + C^. A51)
1) Рг а n d 11 L., Busemann A. Naherungsverfahren zur zeichnerischen Ermitt-
lung von ebenen Stromungen mit Oberschallgeschwindigkeit.— Zurich: Stodola Festschrift,
1929. Детали метода и многочисленные иллюстрации его применения можно найти в-
обзоре одного из создателей этого метода А. Буземана, помещенном в Handbuch der
Experimental Physik.— Leipzig, 1931, Bd. 4, Teil 1, § 26, S. 421.
274
ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
так что радиально расходящиеся из точки О (рис. 112) лучи (8=const)
будут определяться условием С\—С2 = const, а изотахи (Х=const), а сле-
следовательно, и изобары (р/рп = const) —условием С{-\-С2 = const.
На рис. 114 приводим эскиз общепринятой разметки семейств эпи-
эпициклоид.
Применяемая в графических операциях сетка эпициклоид имеет бо-
более густую разбивку, соответствующую обычно интервалу изменения
С4 и С2, равному единице. На семействе эпициклоид Ct стоят цифры от
560 до 615, на семействе С2 — от 360 до 415. Вместо ранее указанной на
Рис. 114
рис. 112 разметки углов G здесь принята разметка радиусов разностями
постоянных d — С2 от 165 до 235 (например, метка 210 стоит на пересече-
пересечении эпициклоид 605 и 395). Окружности, концентрические с основными
(^=1 и Х = 1/ —1—] , размечаются суммами констант N=0^02.
Согласно A51) эта сумма является характерным в принятой разметке
числом, определяющим безразмерные значения: X или М, давления р/р0}
температуры Т/То, плотности р/р0.
Существуют подробные таблицы этих величин, рассчитанные для воз-
воздуха в зависимости от числа #=Ct+Ci. Приводим в качестве образца
табл. 101). Остальные характерные величины можно при желании опре-
определить по известным изэнтропическим соотношениям или таблицам.
1) См. цитированный ранее обзор А. Буземана, а также книгу Ф е р р и А. Аэро-
Аэродинамика сверхзвуковых течений.— М.: Гостехиздат, 1953, с. 424, табл. 2.
§ 68. ПЛОСКИЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
275
Задаваясь скоростями потока на некоторой начальной кривой, не
совпадающей с характеристиками физической плоскости, например на
входе в рассчитываемое сопло, и пользуясь эллипсом Буземана, нанесем
в достаточно близких друг к другу точках начальной кривой характери-
характеристические направления в физической плоскости. Точки пересечения их
определят новую кривую, разбитую на малые интервалы. Сетка харак-
характеристик в плоскости годографа позволит найти сопряженные с харак-
характеристиками в физической плоскости эпициклоиды и тем самым получить
Таблица 10
N
1000
999
998
997
996
995
994
993
992
991
990
989
988
987
986
985
984
983
1,000
1,073
1,110
1,141
1,172
1,200
1,227
1,253
1,278
1,300
1,322
1,343
1,365
1,387
1,409
1,426
1,447
1,466
М
1,000
1,090
1,142
1,186
1,228
1,265
1,305
1,342
1,376
1,413
1,443
1,474
1,506
1,542
1,575
1,608
1,643
1,680
Р/Ро
0,527
0,476
0,449
0,424
0,402
0,382
0,363
0,345
0,329
0,313
0,298
0,284
0,270
0,257
0,245
0,233
0,221
0,210
N
982
981
980
979
978
977
976
975
974
973
972
971
970
969
968
967
966
965
1,486
1,503
1,520
1,539
1,556
1,575
1,590
1,608
1,625
1,640
1,656
1,671
1,686
1,700
1,718
1,732
1,748
1,763
М
1,718
1,750
1,780
1,815
1,850
1,885
1,923
1,958
1,995
2,028
2,065
2,101
2,138
2,178
2,215
2,258
2,298
2,338
Р/Ро
0,200
0,190
0,180
0,171
0,162
0,153
0,145
0,137
0,130
0,123
0,116
0,109
0,103
0,097
0,091
0,086
0,081
0,076
N
964
963
962
961
960
959
958
957
956
955
954
953
952
951
950
949
948
947
1,776
1,791
1,805
1,819
1,832
1,845
1,858
1,872
1,884
1,898
1,910
1,923
1,936
1,948
1,960
1,972
1,984
1,995
М
2,378
2,421
2,460
2,506
2,548
2,592
2,636
2,680
2,730
2,778
2,825
2,875
2,920
2,978
3,028
3,078
3,135
3,180
Р/Ро
0,071
0,067
0,062
0,057
0,055
0,051
0,048
0,044
0,041
0,039
0,036
0,033
0,031
0,029
0,027
0,025
0,023
0,021
числа Си Сг и их сумму. По этим числам, пользуясь ранее указанной
таблицей, найдем термодинамические величины в точках новой кривой,
которая может быть опять принята за начальную и т. д.
Таким образом, часть физической плоскости, в которой происходит
сверхзвуковое течение газа, окажется заполненной характеристиками,
202 200
///////////////////////////'///////////Л
/-
4
/
\
/
4
"*&',' 'ч
589
389
Рис. 115
разбивающими ее на малые «ромбы», по диагоналям которых будут на-
направлены искомые отрезки линий тока. Внутри каждого такого ромба
помещают одно над другим значения отметок эпициклоид (характерис-
(характеристик в плоскости годографа), относящихся к данному ромбу физической
плоскости. Верхнее число (большее) относится к характеристике, иду-
идущей снизу вверх, нижнее (меньшее) — к характеристике, идущей сверху
вниз.
276 ГЛ. VIII. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Наличие в потоке твердых границ или свободных поверхностей мало
усложняет графическое построение. Процесс отражения сводится к пере-
переходу от одного семейства характеристик в физической плоскости к дру-
другому. Суммы индексов при помощи существующих таблиц легко пере-
переводятся в средние значения термодинамических параметров, относящие-
относящиеся к малой области данного ромба. Пример графического построения
сопла показан на рис. 115; поток представляет собой переход от ради-
ально расширяющегося с полным углом раствора в 20° к плоскопарал-
плоскопараллельному потоку. Шаг сетки по углам равен 2° (см. верхние и нижние
цифры).
При наличии сужений потока, вызывающих возникновение косых
скачков, в графическом построении удобно пользоваться диаграммой
ударных поляр (строфоид) (см. рис. 97).
Кроме только что изложенного графического метода, обладающего
полной общностью, имеются еще различные приближенные аналитиче-
аналитические методы, особенно для такого важного случая, как плоское безвихре-
безвихревое движение газа при очень больших значениях чисел Маха. Уже был
ранее упомянут метод Ньютона, позволяющий в некоторых случаях, не-
несмотря на его приближенность, получать при определении суммарных
динамических характеристик удовлетворительную точность.
К вопросу о приближенных методах расчета сверхзвуковых обтека-
обтеканий тонких тел мы еще вернемся в конце следующей главы в связи с рас-
рассмотрением пространственных сверхзвуковых потоков.
ГЛАВА IX
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
ЖИДКОСТИ И ГАЗА
§ 69. Потенциалы скоростей простейших пространственных потоков
На основании общих соображений, приведенных в начале гл. VII, за-
дачу о внешнем обтекании тела можно значительно упростить, сделав
предположение о безвихревом характере движения. В этом предположе-
предположении во всей области движения имеем
rotV=0,
и, следовательно, вектор скорости имеет потенциал ф, определяемый ра-
равенством V=grad(f. В прямоугольной декартовой системе
дф дф дф
дх ду dz
В проекциях на оси криволинейных координат [см. (84) гл. I]
VQi = (grad <р)„ = 4" "Г" С = ! ¦ 2, 3). (О
В цилиндрической и сферической системах криволинейных коорди-
координат, согласно (85) и (86) гл. I, имеем формулы:
цилиндрические координаты:
т/ дф v 1 дф у дф . /л)
дг г д& dz
сферические координаты:
т/ ^ф у 1 дф у 1 дф /оч
Предполагая еще, что жидкость несжимаема, составим равенство
div V=divgrad9 = V29 = 0, D)
представляющее собой известное уравнение Лапласа. Искомый потен-
потенциал скоростей ф является решением уравнения Лапласа, удовлетворяю-
удовлетворяющим определенным граничным условиям. Рассмотрим задачу о внешнем
обтекании неподвижного твердого тела с поверхностью а и ортом внеш-
внешней нормали п безграничной жидкостью, причем поток на бесконечности
считаем однородным и имеющим скорость У*,. Тогда граничными усло-
условиями будут:
условие непроницаемости поверхности тела
Vn = gradn Ф ¦= —2- — 0 на поверхности а;
дп
условие на бесконечности
У^ У при
где г—радиус-вектор точек области течения относительно начала коор-
координат, расположенного вблизи обтекаемого тела.
Как доказывается в теории потенциала, при весьма широких предпо-
предположениях о виде поверхности а и при только что указанных граничных
278
ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
условиях, уравнение Лапласа имеет единственное решение (задача Ней-
Неймана). Не останавливаясь на общей теории, перейдем к рассмотрению не-
некоторых простейших частных гидродинамических задач, а затем и более
общих пространственных течений.
Начнем, как и в случае плоского движения, с установления потен-
потенциалов простых движений.
1. Безграничный однородный прямолинейный поток, имеющий за-
заданную скорость Voo с проекциями и», ?>«>, ДО*,, удовлетворяет очевидной
системе равенств
—3L = и*, = const,
дх
ay
const,
—~ =
dz
• const.
Следовательно, потенциал скоростей в этом случае равен
Ф=иоох+г>оо1/+10ввг= V» (х cos a+y cos $+z cos у),
E)
где а, р, у— углы заданного направления потока с осями координат Ох,
Оу и Oz.
2. Поток от источника (стока) мощности Q, помещенного в начало
координат О в безграничной жидкости, симметричен и дает поле скорос-
скоростей, отвечающее очевидному условию сохранения расхода
где R — расстояние точки потока от источника; отсюда получим
т/_ Q
Замечая, что в сферической системе координат
4nR* 9 R dQ ' RsinQ
найдем искомый потенциал скоростей
F)
причем в случае источника Q>0, в случае стока Q<0. В выражении F)
нетрудно узнать простейший случай ньютонова потенциала, встречающе-
встречающегося в теории притяжения, электроста-
электростатике и др.
3. Поток диполя в безграничной
жидкости получим, используя прием
наложения потоков. Определим снача-
сначала потенциал скоростей поля, созда-
создаваемого совокупностью источника и
стока с равными по абсолютной вели-
величине мощностями ±Q.
Расположим сток (рис. 116) в
точке А прямой линии AL, источник —
в точке А\ находящейся от точки А на расстоянии ЛЛ'=А5. Определим
потенциал скоростей ф в некоторой точке М с вектором-радиусом AM=rt
образующим угол 0 с направлением прямой AL\ найдем (г'=А'М)
Рис. 116
4яг'
4кг
§ 69 ПОТЕНЦИАЛЫ СКОРОСТЕЙ ПРОСТЕЙШИХ ПОТОКОВ 279
Предположим теперь, что источник сближается со стоком, а мощ-
мощность увеличивается до бесконечности и при этом выполняется равенство
lim Q • A4' = m.
А'-*А
Q-*oo
Тогда, переписывая потенциал скоростей ср в виде
9QA4
4л АА'
и переходя к пределу, получим
ff1) G)
Ч Tff
4л ds \ r
или, вычисляя производную и замечая, что, согласно рис. 116,
jL(L\ — Lit — cose
ds [ г ) r* ds г* '
получим
т cos 0
Полученный предельный поток с потенциалом скоростей <р, опреде-
определенный формулами G) или (8), называют потоком диполя в точке А с
осью AL и моментом т. Иногда момент диполя рассматривают как век-
вектор т, имеющий величину т и направленный по оси диполя AL\ при этом
потенциал диполя можно представить при помощи скалярного произве-
произведения момента на вектор-радиус так:
т- г
Ф
4. Непрерывное распределение источников в безграничной жидкости.
Пусть внутри некоторого объема т непрерывно распределены источники
(стоки) так, что на единицу объема приходится мощность q. Величина q>
представляющая собой функцию координат точек в объеме т, играет роль
объемной плотности распределения источников (<7>0) или стоков
(</<0). Элементу объема dx, находящемуся в некоторой точке А объ-
объема т, соответствует источник мощности q dx, и потенциал скоростей это-
этого элементарного источника в любой точке М пространства, заполненно-
заполненного жидкостью, как внутри, так и вне объема т равен
где г—длина вектора-радиуса АМ = г, соединяющего элементарный ис-
источника точке А с текущей точкой пространства М. Пользуясь приемом
наложения потоков, определим потенциал скоростей в точке М от непре-
непрерывно распределенных в объеме т источников в виде
О)
Подчеркнем, что интегрирование производится по всем элементар-
элементарным объемам, образующим объем т, т. е. по переменным координатам
точки Л, в то время как точка М, в которой определяется потенциал ско-
скоростей, является фиксированной. Если обозначить через а, Ьу с де-
декартовы координаты точки Л, а через х, у, z — координаты точки М, то
280 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
формулу (9) можно переписать явно так:
ф(х и 2\ — 1 Гf f q(a,b,c)dadbdc
Если область течения жидкости безгранична, то функция <р при уда-
удалении точки М в бесконечность будет стремиться к нулю. Обозначим че-
через R среднее расстояние точки М от частиц конечного объема т; тогда
при достаточном удалении точки М можно сказать, что потенциал ско-
скоростей ф будет стремиться к нулю, как 1/7? при У?->оо, или, иначе, что
функция ф имеет порядок малой величины 1/R:
Потенциал скоростей (9) совпадает по форме с общим выражением
ньютонова потенциала. Если под q понимать плотность распределения
массы в объеме т, то выражение (9) даст потенциал сил тяготения еди-
единичной массы в точке М к некоторой в общем случае неоднородной мас-
массе, заключенной в объеме т; если под q понимать плотность распределе-
распределения электрических зарядов, то ф будет потенциалом электростатическо-
электростатического поля.
Вспоминая определение дивергенции вектора скорости как отнесен-
отнесенного к единице объема расхода жидкости из непрерывно распределенных
источников, можем, очевидно, для любой точки объема т написать
div V=q,
откуда, используя равенства У=дгас1ф, divV=V^p, получим следующее
уравнение Пуассона:
V29=<7- A1)
Отсюда следует, что функция ф, определенная формулой (9) в неко-
некоторой безграничной области, заключающей в себе заполненный источни-
источниками конечный объем т, является решением уравнения Пуассона A1)
внутри объема; в остальной области, где <7 = 0, функция ф представляет
собой решение уравнения Лапласа
У2Ф = 0,
причем ф = ОA//?).
В теории потенциала доказывается, что ньютонов потенциал (9) да-
дает единственное конечное, непрерывное и однозначное решение уравне-
уравнения Пуассона A1), обращающееся на бесконечности в нуль.
Следует, конечно, иметь в виду, что указанное решение является
лишь простейшим частным решением уравнения Пуассона, отвечающим
безграничной области и не подчиненным граничным условиям, которые
возникают в задачах определения потенциала в ограниченных областях.
Наряду с объемным распределением источников в гидродинамике,
также как и в других отделах физики, рассматриваются еще поверхност-
поверхностные и линейные распределения источников. Сохраняя для поверхностной
и линейной плотности распределения источников то же обозначение q>
будем иметь соответствующие потенциалы скоростей в виде поверхност-
поверхностного и линейного интегралов
Первое из этих выражений, представляющее потенциал скоростей
непрерывного распределения источников по некоторой поверхности о,
дает гидродинамическую интерпретацию известного в теории тяготения и
электростатического притяжения потенциала простого слоя. Потенциал
простого слоя является решением уравнения Лапласа, причем, как дока
§ 70. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ, ИНДУЦИРУЕМОЕ ЗАДАННОЙ СИСТЕМОЙ ВИХРЕЙ 281
зывается в теории потенциала, потенциал простого слоя конечен и непре-
непрерывен во всей области, включая и поверхность а1). Производная от по-
потенциала простого слоя по направлению нормали к поверхности а пре-
претерпевает при переходе текущей точки М через поверхность а разрыв
непрерывности — конечный скачок.
Подобно тому как только что рассматривались потенциалы скорос-
скоростей непрерывных распределений источников, можно ввести аналогичные
понятия и для непрерывного рас-
распределения диполей. Остановимся
на одном, наиболее важном распре-
распределении диполей, образующем так
называемый двойной слой. Возь-
Возьмем некоторую поверхность а и по-
кроем ее непрерывно распределен-
распределенными диполями так, чтобы моменты
их (или оси) совпали по направле-
направлению с внешними нормалями п к по-
поверхности а. Обозначив плотность
распределения диполей через т, по- Рис. 117
лучим вектор момента диполя, при-
приходящегося на элементарную площадку do с ортом внешней нормали л,
в виде mdon, а элементарный потенциал скоростей dcp, согласно G) или
(8), будет равен
, 1 д ( 1 \ , lmcosG,
dy = т — [ — } do = do,
4л дп { г) 4л г2
где 0 (рис. 117)—угол между внешней нормалью к поверхности о и
вектором-радиусом г=АМ текущей точки М относительно точки Л, взя-
взятой на поверхности.
Полный потенциал скоростей от покрытой диполями поверхности о
\ Г д ( 1 \ , 1 С mcos8 , /1ОЧ
Ф = \т — __ da = \ do A3)
4л J дп [г) 4л) г2 V 7
a a
служит гидродинамической аналогией известного в теории электричест-
электричества и магнетизма потенциала двойного слоя. Если потенциал простого
слоя представляет, например, электростатический потенциал заряженной
поверхности, то потенциал двойного слоя дает магнитный потенциал на-
намагниченной поверхности (магнитного листка).
Упомянем, что потенциал двойного слоя A3) также является реше-
решением уравнения Лапласа, но, в отличие от простого слоя, потенциал двой-
двойного слоя претерпевает разрыв непрерывности при переходе текущей
точки М через поверхность а.
Комбинируя потенциалы простого и двойного слоев, можно решать
различные задачи обтекания тел.
§ 70. Поле скоростей, индуцируемое заданной системой вихрей
в безграничной жидкости. Формула Био — Савара
Наряду с основными особенностями скоростного поля: источниками,
стоками и диполями, рассмотрим еще вихревые трубки и линии.
Предположим, что в некотором объеме т (конечном или бесконечном,
как, например, в случае бесконечно длинной вихревой трубки) задано
непрерывное распределение завихренности Q и требуется разыскать рас-
J) В точках поверхности or потенциал простого слоя выражается, согласно A2),
через несобственный интеграл, который берется в смысле своего главного значения.
282 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
пределение скоростей во всей области течения. Простейшей задачей та-
такого рода является определение по заданному полю вихрей поля ско-
скоростей в безграничной области. В этом случае вопрос сводится к состав-
составлению такого решения относительно V уравнения
rotV=Q, A4)
которое стремилось бы к нулю при удалении на бесконечность от области,
занятой вихрями.
Введем в рассмотрение векторный потенциал Д, связанный с векто-
вектором скорости V соотношением
V=rot4, A5)
причем подчиним векторный потенциал дополнительному условию
Тогда уравнение A4), если вспомнить последнюю формулу (88) гл. I
rot rot А = grad div А—У2Л,
превратится в следующее:
У2Л = —Й. A6)
Рассматривая это уравнение как векторный аналог уравнения Пуас-
Пуассона A1), можем составить решение уравнения A6) в форме обобщения
ньютонова потенциала (9)
где г — радиус-вектор текущей точки поля М по отношению к элементу
объема йт.
Согласно A5) получим искомое значение вектора скорости
Остановимся подробнее на случае окружающей в поле вектора
rotV=Q вихревую нить L (рис. 118) элементарной вихревой трубки с
конечной циркуляцией Г. Обозначим через dr элемент нити, ориентиро-
ориентированный в ту же сторону, что и й; тогда, производя под знаком интеграла
A8) по известной теореме Стокса о связи между интенсивностью вихре-
вихревой трубки и циркуляцией скорости по охватывающему трубку контуру
замену
Шх=Шо ds = Qdodr= Tdry
получим вместо A8)
К = —rot f-dr =— f rot (-dr) .
L L
Используя третье равенство (88) гл. I
rot (~dr\ =-rot(dr) + grad f-M xdr
и замечая, что dr является потенциальным вектором, так что rot (dr) =0,
сможем предыдущее выражение V переписать в виде
K = ^fgrad(-M Xdr. A9)
Полученное решение задачи о поле скоростей вокруг заданной вих-
вихревой нити L с циркуляцией Г можно еще упростить, непосредственно
§ 70. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ, ИНДУЦИРУЕМОЕ ЗАДАННОЙ СИСТЕМОЙ ВИХРЕЙ 283
вычисляя градиент под знаком интеграла:
г2 г г3
это приводит к гидродинамическому аналогу известной в теории элект-
электромагнетизма формулы Био — Савара
B0)
4л J г8
L
Если рассмотреть элементарную скорость dVy образованную {инду-
{индуцированную) в точке М элементом вихревой нити dr, то можно вместо
B0) написать
,1Г Г dry r
или, переходя к величине элементарной скорости,
\dV\ = г \drxr\ _ Г dsslnQ
B1)
По аналогичной формуле Био —Савара определяют магнитное поле
от элемента электрического тока.
Чтобы проиллюстрировать применение формулы B0), определим
скорость, индуцированную в точках пространства прямолинейным от-
режомАВ вихревой нити с циркуляцией Г (рис. 119).
Ряс 118
Рис. 119
Замечая, что все элементы прямолинейного вихря будут в данной
точке М давать одинаково направленные элементарные скорости dV (по
перпендикуляру к плоскости, проведенной через отрезок АВ и точку М,
в сторону вращения, создаваемого вихрем), и пользуясь очевидными
равенствами (h — кратчайшее расстояние точки М от отрезка АВ)
ft =* r sine, ds = -d(ftctg9) = ft dQ
найдем по B1) выражение для \dV\
h% sina9
sin2 9 '
=_L sin e л.
4h
284
ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Интегрирование по 6 от 8 = а до 0 = я—р дает искомую величину
скорости V, индуцированной вихревым отрезком АВ:
f
J
sined9--=
(cosa + cosР).
B2)
Формула B2) играет основную роль в расчетах поля скоростей во-
вокруг вихревых линий и будет в дальнейшем использована в теории кры-
крыла конечного размаха.
Полагая в формуле B2) а = р = 0, вновь получим известную из тео-
теории плоского движения формулу скорости, индуцированной бесконечно
длинной прямолинейной вихревой нитью,
§ 71. Потенциал поля скоростей,
индуцированного замкнутой вихревой нитью
В случае замкнутой вихревой нити легко получить простое выраже-
выражение потенциала скоростей.
Рассмотрим замкнутую вихревую нить L интенсивности Г в поле
вектора rota (рис. 120), ограничивающую некоторую разомкнутую по-
поверхность а, и составим интеграл
\axdr.
I
Построим элементарный ци-
цилиндр с образующими, парал-
параллельными орту нормали я к по-
поверхности а, и с направляющей
Z/, ограничивающей элементар-
элементарную площадку do; тогда
fa xdr' =j^ax(nxn')do\
Рис. 120 V с'
где о' — полная поверхность эле*
ментарного цилиндра, состоящая из боковой поверхности и двух осно-
оснований do, а dr' и do' — соответственно элементы контура L' и поверх-
поверхности о' элементарного цилиндра (do' на рис. 120 представлено заштри-
заштрихованной полоской). Применив формулу тройного векторного произве-
произведения, найдем
Г a xdr' = -i. {па* do* — 1 f n'ando' =n —div a —grad (<*«—) =
L$ o' a'
= n div a do — grad (an do).
Суммируя обе части последнего равенства по всем элементарным
контурам U слева и по всем элементарным площадкам do справа, по-
получим
B3)
\ a xdr = j n div a do — grad J an do.
L а о
Положим в этой формуле a = grad(l/r); тогда будем иметь вме-
вместо A9)
4л J \r J 4k J dn \ r
§ 72. ФУНКЦИЯ ТОКА В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДВИЖЕНИЯХ 285
Но, как уже ранее упоминалось, функция 1/г удовлетворяет уравнению
Лапласа
так что окончательно найдем
K = --^grad {±(±)do. B4)
4л J дп \ г ]
а
Искомый потенциал поля скоростей замкнутой вихревой нити, сле-
следовательно, равен
L[±(±)o. B5)
4я J дп \ г
Сравнивая B5) с выражением потенциала двойного слоя A3), за-
заключим, что потенциал скоростей замкнутой вихревой нити L с цирку-
циркуляцией Г совпадает с потенциалом двойного слоя диполей, расположен-
расположенных по поверхности а, опирающейся на контур L, и имеющих одинако-
одинаковую по всей поверхности плотность распределения момента, равную цир-
циркуляции вихревой нити.
Доказанная только что гидродинамическая теорема представляет
собой аналог известной теоремы электродинамики об эквивалентности
кругового электрического тока полю магнитного листка.
§ 72. Функция тока в пространственных движениях
В пространственных движениях нельзя ввести функцию тока в об-
общем случае движения, как это было сделано при изучении плоских дви-
движений; функция тока существует только в отдельных частных случаях;
некоторые из них будут рассмотрены ниже.
Согласно второму равенству системы (84) гл. I уравнение несжи-
несжимаемости D) имеет вид
д /и iji/ \ i о /и и 1/ \ i д (И И V \ О
Предположим, что одна из составляющих скоростей движения, на-
например Vqv повсюду равна нулю или сохраняет не зависящую от <7з ве-
величину, причем в последнем случае коэффициенты Ляме Hi и Я2 также
не зависят от qs. Тогда предыдущее уравнение сводится к более про-
простому
-f- (H2h3vQi) + JLipjiyj = о
и можно утверждать существование функции я|), удовлетворяющей си-
системе равенств
H2H3Vqi = ±^-, HzHxVqt = ^^, B6)
dq2 dqx
откуда следует
^, = ±-1—^, l/fc = T_±-*L. B7)
#2#з dq2 Н3Нг dqi
Такого рода функцию г|э будем по аналогии со случаем плоского дви-
движения называть функцией тока в криволинейных координатах. Выбор
верхних или нижних знаков произволен и определяется из дополнитель-
дополнительных соображений.
286 ГЛ IX ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Подчеркнем, что наличие функции тока зависит не только от харак-
характера движения, но и от выбора криволинейной системы координат, при
помощи которой движение описывается.
Рассмотрим, например, осесимметричное относительно оси Oz дви-
движение несжимаемой жидкости в меридианных плоскостях, проходящих
через ось Oz. При таком движении существуют все три декартовы про-
проекции скорости и, v, w, и все они зависят от трех координат ху у, г, так
du.dv.dw л
что из уравнения несжимаемости 1 1 = U, составленного в
дх dy dz
декартовых координатах, можно заключить об отсутствии функции тока.
Вместе с тем при пользовании цилиндрической системой координат г,
е, z при меридианности движения (Ve = 0) уравнение несжимаемости
имеет вид
——— Н — = 0 B8)
и позволяет найти функцию тока -ф(г, г), связанную с проекциями ско-
скорости на оси цилиндрических координат соотношениями (выбор знаков
будет вскоре пояснен)
dz дг
откуда
, т 1 д\|> »г ___ 1 д\|э «qq»
V г — ""¦— г ¦ у г — I • (*У)
г dz r дг
Аналогично в сферической системе координат (/?, 0, е) при Ке=0
уравнение несжимаемости имеет вид
d(R*VRs\nQ) d(J?Vesine) л
dR + дб
(Щ
и проекции скорости на оси сферической системы координат выражают
через соответствующую функцию тока ф следующим образом:
Введенная уравнениями B7) функция тока обладает свойствами,
аналогичными функции тока в плоском движении. Замечая, что в орто-
ортогональных криволинейных координатах уравнение линии тока при dq3 =
= 0 имеет вид
H2dg2 у rj dqi у „ dq2 у тт dq$ л
Vqi Vqi 41 х dt ' ЧЛ * dt * ч* ° dt
по B7) найдем
dqt dq2
Следовательно, вдоль линии тока
-ф = const, qz = const.
В случае ранее рассмотренного осесимметричного движения жид-
жидкости по меридианным плоскостям (e = const) равенства \|? = const пред-
представят поверхности, образованные вращением линий тока вокруг оси Oz.
Поверхности \р = const назовем поверхностями тока. В рассмотренном
только что частном случае осесимметричного движения можно на оси
Oz положить ф = 0; тогда значения г|) будут пропорциональны секундным
§ 72. ФУНКЦИЯ ТОКА В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДВИЖЕНИЯХ 287
объемным расходам жидкости через ортогональное к оси сечение труб-
трубки тока, ограниченной данной поверхностью тока.
Действительно, секундный объемный расход сквозь ортогональное
к оси Ог сечение, ограниченное окружностью данного радиуса г, будет,
согласно B9) и условию i|d@)=0, равен
r дг
о о
Теперь понятно, что выбор знаков в правых частях B7) произведен
так, чтобы при Q>0 было и ф>0.
Функцию тока можно рассматривать как одну из составляющих век-
векторного потенциала скоростей Л, связанного с вектором скорости равен-
равенством A5). Действительно, согласно этому равенству и формулам (84)
гл. I, имеем
dq, dq3
Выбирая вектор А ортогональным во всем пространстве координат-
координатным поверхностям <7,=const, найдем
положив #ji4«3=±t|)(<7i, qz)y а коэффициенты Ляме и величину Aq — не
зависящими от qSt получим формулы B7). Так, например, в сфериче-
сферической или цилиндрической системах координат вектор А должен быть
направлен по касательной к параллельным кругам, соответствующим
изменению одного е, и не зависеть от е.
Приведем несколько примеров функций тока для простейших дви-
движений.
1. Однородный прямолинейный поток со скоростью V*,, параллель-
параллельной оси Ог.
В цилиндрической системе координат имеем
V — о — — JLJ?$- V —V — 1 д^
г dz r дг
следовательно,
Ъ = \У~г\ C2)
В сферической сиртеме координат
Интегрирование этой системы уравнений в полных дифференциалах
дает
г|) =±1/^2 sin2 9. C3)
2. Источник (сток). Выражение функции тока в сферической систе-
системе координат найдем, интегрируя систему уравнений
к._ Q - 1 а» к* = 0 = L-Л
4л/?2 Я2sine 09 ' /?sin0 dR '
288
Получим
ГЛ IX ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
4л
или, подбирая константу из условия ф=0 при 8 = 0,
1р = -5-A— cos 9).
4л
C4)
3. Диполь. Используя выражение потенциала скоростей (8), будем
иметь в сферических координатах систему уравнений
1 дг|> у msinG 1 дф
у т cos 9
я* sine
rsine
т
4л/?2
¦ sin2 9.
C5)
откуда следует
~ае 2л~# ' or
Легко найти интеграл этой системы
. т sin2 9
обращающийся в нуль при 9 = 0.
§ 73. Обтекание сферы. Парадокс Даламбера
Точно так же, как и в случае плоского обтекания круглого цилинд-
цилиндра, можно найти пространственное обтекание сферы, накладывая одно-
однородный поток, параллельный, например, оси Oz, со скоростью К*, на
Рис. 121
поток от диполя с моментом, ориентированным вдоль этой оси, но в
сторону, противоположную набегающему потоку (рис. 121). Складывая
функции тока C3) и C5), найдем функцию тока составного потока1)
¦ -j
Уравнение нулевой поверхности тока
C6)
2 4л/? )
разбивается на уравнение поверхности сферы
/
т
]) В соответствии с выбором направления момента т в формуле C5) заменено
на —т, где т>0.
§ 73 ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ. ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРА 289
где а— радиус сферы, и уравнение оси Oz
6 = 0, л.
Отсюда следует, что, желая найти функцию тока обтекания сферы
радиуса а потоком со скоростью V^ на бесконечности, направленным
вдоль оси Ог, надо положить в выражении функции тока C6)
тогда получим
±[(?)•] sin«8. C7)
Нетрудно найти и потенциал скоростей, проинтегрировав систему
уравнений связи потенциала ф с функцией тока <ф или, проще, непосред-
непосредственно составляя сумму потенциалов слагаемых потоков E) и (8),
Исследуем полученный поток. Прежде всего найдем распределение
скоростей
C9)
Сразу видно, что на поверхности сферы (R=a) выполняется основ-
основное граничное условие непроницаемости твердой стенки
а на бесконечности (/?-мх>)
Ve=—V
т. е. скорость однородного потока на бесконечности равна по величине
]/л и направлена по оси Oz в положительную сторону.
Распределение скорости по поверхности сферы характеризуется ра-
равенством
Точки А и В (рис. 121) критические, в них скорость обращается в
нуль. Максимальная скорость имеет место в миделевой плоскости при
в=я/2; она равна по абсолютной величине
|vUv
Сравнивая этот результат со случаем обтекания круглого цилиндра
(гл. VII), видим, что в случае пространственного обтекания сферы мак-
максимальная скорость на ее поверхности достигает только трех вторых
скорости набегающего потока, в то время как в случае плоского обте-
обтекания круглого цилиндра максимальная скорость в два раза превышает
скорость набегающего потока, т. ё. цилиндр производит более значи-
значительное возмущение однородного потока, чем сфера. Это и естественно,
так как сечение цилиндра, нормальное к потоку, бесконечно, а у сферы
ограничено. Заметим, что (так же как и в случае плоского потока) в
действительности максимальная скорость не достигает столь большого
значения; сфера представляет собой плохо обтекаемое тело; поток ре-
реальной жидкости срывается с поверхности сферы, не доходя при одних
10-9487
290
ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
условиях даже до миделевой плоскости, при других — несколько заходя
за нее.
Распределение давления по поверхности сферы получим по урав-
уравнению Бернулли
из которого следует выражение коэффициента давления
— Ро
-=1—
"P— 1
Как видно непосредственно из последней формулы, главный вектор
сил давления потока идеальной жидкости на поверхность сферы равен
нулю. Сфера не оказывает сопротивления набегающему на нее однород-
однородному на бесконечности потоку, или, иначе, сфера при своем равномер-
равномерном движении в идеальной жидкости не испытывает сопротивления.
В этом заключается частный слу-
случай известного парадокса Да-
ламбера, о котором уже была
речь ранее. В рассмотренном
только что случае сферы этот па-
парадокс следует из соображений
симметрии распределения давле-
давления по поверхности сферы, одна-
однако парадокс Ьерен и в общем
случае.
Докажем справедливость /ш-
радокса Даламбера для прост-
пространственного безвихревого обте-
обтекания конечного по размерам
тела произвольной формы. Для этого определим прежде всего порядок
убывания скоростей возмущения однородного потока некоторым ограни-
ограниченным замкнутой поверхностью а телом (рис. 122) при удалении от
этого тела.
Разобьем потенциал <р обтекания тела на потенциал однородного
потока со скоростью V», параллельной, например, оси Ог, и на потен-
потенциал скоростей возмущения <р', вызванный возмущающим действием
тела на однородный поток, в который оно помещено.
Покажем сначала, что при удалении на бесконечность (/?->оо) по-
потенциал возмущений <р' убывает как 1/R*. На примере обтекания сферы
в этом легко убедиться, обратившись к формуле C8) и отделив в ней
потенциал возмущения; найдем
122
Если, имея в виду общее свойство решений уравнения Лапласа —
возмущения потока при удалении от источника этих возмущений убы-
убывают,— допустить, что на больших средних расстояниях от врзмущаю-
щего поток тела детали его формы не могут влиять на закон убывания
потенциала скоростей возмущений, то можно заключить, что и для лю-
любого тела конечных размеров закон убывания q/ будет
К тому же результату можно прийти из более строгих соображе-
соображений, если заметить, что потенциал возмущений <р', вызываемый телом
§ 73 ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРА 291
произвольной формы, должен удовлетворять уравнению Лапласа, кото-
которое в сферических координатах можно записать в виде [(86) гл. I]
dR { dR J ^ sin9 д&\ Э9 / sin*9 Эе* V '
Желая разыскать общий вид решения этого уравнения, положим
ф'(Я, е,в)=вд)У(е, е). D1)
Подставляя это произведение в предыдущее уравнение, будем иметь
dRJ sine ae v ae у sin2e ae*
или, отделяя функцию R от остальных переменных,
JL«:i D2)
X dR \ dR J Y LsinG dQ \ dQ J sin29 дг* J
Слева стоит функция только /?, справа — только е и 0. Поскольку
переменные #, 0 и е независимы друг от друга, из предыдущего равен-
равенства следует
1 d (R2dX
X dR [ dR
Легко видеть, что в число решений X(R) этого уравнения будут вхо-
входить целые положительные или отрицательные степени переменного /?,
если только произвольную константу положить равной п(п+\). Оста-
Останавливаясь лишь на целых отрицательных значениях чисел п = —k (k>
>0), так как потенциал возмущения срг должен убывать с ростом R,
получим по D1) систему частных решений уравнения Лапласа D0) в
виде
<*=1,2,3....,оо).
Среди функций УА@, е)—их называют сферическими функциями,—
удовлетворяющих, согласно D2) и условию выбора const = &(&—1),
уравнению в частных производных
будем выбирать только решения, ограниченные при всех значениях в и е.
При k=l решением этого уравнения, ограниченным при всех значе-
значениях 0^6^я, будет У4 = const, что соответствует простейшему частному
решению const//?, представляющему известный уже нам ньютонов по-
потенциал единичного источника (стока). При &=2 уравнение имеет ре-
решением const • cos 0, что приводит к потенциалу скоростей диполя.
В силу линейности уравнения Лапласа искомый потенциал q/ мож-
можно представить как сумму частных решений:
, ~ Yk (9, в) с - Yk (8, в)
ч>-2-]?--т+2-т?г-- D3)
Докажем, что постоянная С равна нулю. Для этого окружим обте-
обтекаемое тело сферой Со большого радиуса Ro и, замечая, что между по-
поверхностью тела а и поверхностью сферы с0 нет источников или стоков,
10*
292 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
напишем условие равенства нулю суммарного расхода жидкости сквозь
поверхность а0
Используя равенства
dao= Rl sin 9 dQ dz% \ da0 =
получим
со 2Я Я
(
(V*(e,e)sin9d9 = 0,
J
откуда при /?0->оо при ограниченности функций УЛ(8, е) следует, что
С=0.
Итак, общий вид потенциала скоростей возмущений будет
к—2
следовательно, потенциал q/, а по C) и величина скорости возмущения
V> будут иметь при больших R соответственно порядки
После этого уже нетрудно доказать парадокс Даламбера. Приме-
Применим теорему количеств движения в форме Эйлера к объему жидкости,
заключенному между контрольными поверхностями а и а0, предпола-
предполагая, что между ними нет источников (стоков) (F — главный вектор сил
давления на тело):
<т0 <х0
так как перенос количества движения через поверхность твердого тела
о равен нулю.
При безвихревом характере движения в рассматриваемой облает»
течения справедлива теорема Бернулли
р = const —-— .
Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим
О9
так как поверхностный интеграл J n0do0 равен нулю.
Разбивая, по предыдущему, скорость потока на основную скорость
натекания V«> и скорость возмущения V, будем иметь
о0
замечая, что
§ 74. УРАВНЕНИЕ ПРОДОЛЬНОГО ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДВИЖЕНИЯ
293
найдем
¦—pJiv-
da0 + р j (К. • V) nQ do0 +1
1 j 1/'л0
Но, по только что доказанному, скорость возмущения V имеет при
больших /?о порядок 1//?о3, тогда как элемент интегрирования do0—по-
do0—порядок #<А Устремляя RQ к бесконечности, убедимся, что главный вектор
f сил давления потока на тело стремится к нулю. Но F не может зави-
зависеть от произвольного радиуса Ro мысленно проведенной сферы; следо-
следовательно, главный вектор F равен нулю, что и доказывает парадокс
Даламбера: при безвихревом стационарном обтекании тела конечного
размера идеальной несжимаемой
жидкостью и отсутствии вокруг те-
тела источников либо стоков главный
вектор сил давления потока на тело
равен нулю.
Парадокс Даламбера справед-
справедлив для тел конечных размеров,
ограниченных замкнутой поверх-
поверхностью. Главный вектор сил давле- Рис |2з
ния потока на тело, распространя-
распространяющееся до бесконечности, напри-
например на полутело (рис. 123), зависит от закона возрастания ширины d
сечения этого полутела с увеличением расстояния г до бесконечности.
Так, сопротивление полутела с поперечным размером сечения, стремя-
стремящимся к конечной величине при удалении на бесконечность, например у
полутела, образованного наложением однородного потока на источник,
равно нулю.
Параболоид вращения дает пример полутела бесконечно большого
сопротивления. Среди полутел, ширина которых возрастает медленнее,
чем у параболоида, могут быть тела конечного сопротивления1).
§ 74. Уравнение продольного осесимметричного движения.
Течение сквозь каналы
Одним из наиболее распространенных видов пространственных те-
течений является движение, симметричное относительно некоторой оси
(например, оси Ох), называемое осесимметричным. Сюда относятся
движения в соплах круглого сече-
сечения, в конфузорах и диффузорах,
осевое обтекание тел вращения, ди-
дирижабельных и других форм.
Составим общее уравнение про-
продольного осесимметричного движе-
движения, происходящего в меридианных
плоскостях (рис. 124), образующих
с плоскостью хОу угол е, и выберем
в них некоторую, не зависящую от
угла е систему ортогональных кри-
криволинейных координат qu q2. Тогда
Рис. 124
будем иметь в каждой из меридианных плоскостей
r = r{ql9 q2), x=x(qu Яг)
•) Специальное исследование вопроса о влиянии формы полутела на его сопротивле-
сопротивление проведено в статье: Гуревич М. И. Обтекание осесимметричного полутела ко-
конечного сопротивления.— Прикл. мат. и мех., 1947, т. 11, № 1.
294 ГЛ. IX ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
и вообще для любой точки М
?/=г(^±, ?2)cose, z = r(<7i, ?2)sine, x=x(qiy qz)\
отсюда по формулам (83) гл. I легко найти коэффициенты Ляме
Уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей будет,
согласно шестому равенству (84) гл. I, иметь вид
r + (r
i dqj ^ dq2 \H2 dq
так как третий член этого равенства, содержащий производную по ко-
координате е, в силу принятой симметрии движения обращается в нуль.
Подчеркнем, что уравнение осесимметричного движения D5), со-
составленное в координатах qt и q2, не совпадает с уравнением плоского
движения в тех же координатах.
Выберем в меридианных плоскостях в качестве криволинейных коор-
координат прямоугольные координаты х, г; будем иметь #л=1, НТ=\ и, сле-
следовательно, уравнение движения приведется к виду
)+г^) 0, D6)
дх ) дг \ дг ) v '
соответствующему уравнению Лапласа в цилиндрических координатах
при отсутствии зависимости движения от е.
Остановимся на решении задачи об осесимметричном протекании
несжимаемой жидкости сквозь канал, поверхность которого представля-
представляет собой поверхность вращения, причем будем полагать, что вращатель-
вращательное движение жидкости вокруг оси канала отсутствует. Рассмотрим
лишь сравнительно простую, «обратную» задачу об определении формы
поверхности канала и поля скоростей в канале по заданному закону
изменения скорости вдоль оси канала.
Задача эта представляет практический интерес для проектирования
формы каналов по заданным их общим габаритам.
Такого рода задачи встают, например, при проектировании конфу-
зоров и диффузоров аэродинамических труб, вентиляционных и других
каналов, ограниченных по своим размерам объемом отведенных поме-
помещений. Аналогичный метод может быть с успехом применен также при
расчете по возможности малых по длине патрубков, соединяющих две
цилиндрические трубы разных диаметров, и в других вопросах.
Докажем сначала, что решение уравнения D6), обращающееся в
заданную на оси симметрии функцию фо(х), может быть представлено
в виде определенного интеграла
л
Ф (*, г) = i. Г ф0 (х + ir cos со) dec, D7)
о
где ф0 (л;+ir cos оэ)—аналитическая функция комплексного переменного
t—x + ircosto D8)
§ 74. УРАВНЕНИЕ ПРОДОЛЬНОГО ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДВИЖЕНИЯ 295
в некоторой области плоскости t, заключающей внутри себя начало ко-
координат/=04)- Составляя производные
л л
-?- = i- I ф^ (/) cos (о dco, —y = 1 Фо @ cos2
о о
и применяя интегрирование по частям, найдем второе слагаемое в урав-
уравнении D6)
г ('?) -'^+5- - - ;$ «(() cos'ada+71
О О
Л Л
e _ L f qf (/) cos2« do -b — [ф' @ sin ©С — — f ф! (/) sin2 со dco =
Первое слагаемое уравнения D6), равное
отличается от второго только знаком. Таким образом, убеждаемся, что
действительно выражение D7) дает интегральное представление реше-
решения уравнения D6). Исследуем это решение. Подставляя в правую
часть D7) г=0, непосредственно убеждаемся, что функция фо(*) пред-
представляет распределение потенциала скоростей ф(*, г) вдоль оси сим-
симметрии движения Ох. Перейдем к скоростям; найдем по формуле D7)
со. D9)
0 0
При г=0 будем иметь
X
i t \ С
0 » ' — я 0 J —
0
Введем в рассмотрение вместо функции фо(О функцию Ы0=Ф^@-
Вид этой функции зависит от распределения скорости Va вдоль оси Ох,
так как, по определению,
Будем в дальнейшем считать это распределение заданным. Тогда
формулы D9) представятся так:
л я
Vx = 1 f /0 @ Ло, Vr = - f^o @ cos о) dco. E0)
о о
Введем еще функцию тока ty(x, r). По B9) и E0) имеем, учитывая,
что осевая координата z в формуле B9) теперь соответствует х,
^Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Ч. II.— М:
Физматгиз, 1963, с. 250, 251.
296 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННрЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
откуда интегрированием по г получим
г я
ур = — [rdr Гfo{x + ircosco)rf(o; E1)
о о
появляющаяся при этом частном интегрировании по г функция коор-
координаты х равна нулю, так как ось Ох(г=0) может быть принята в силу
симметрии потока за нулевую линию тока (\|) = 0 при г=0 и любом х).
Полученные выражения D7), E0) и E1) можно рассматривать как
решение задачи о безвихревом осесимметричном протекании идеальной
несжимаемой жидкости сквозь канал, границей которого служат по-
поверхности вращения
<ф(л;, г) = const, E2)
а закон изменения продольной скорости Vx вдоль оси канала Ох задан
функцией fo(x). Такого типа решение не позволяет непосредственно на-
находить течение жидкости в канале произвольного заданного наперед
профиля1); можно, однако, проектировать разнообразные каналы и от-
отбирать среди них те, которые наилучшим образом удовлетворяют по-
поставленным условиям, например требуемой степени однородности поля
скоростей в данном сечении канала.
С этой целью составим разложение в ряд
/о (х+ir cos ю) = U (х) +ir cos ю/о' (х) +...
и подставим его в формулы E0) и E1). Замечая, что
я л
— Г cos2rt со dco = Bn)! , -!- Г cos2'1 codec = 0,
я J 23rl • (л!J я J
получим
„=,
2м (*!)*
~[ 2™ (п
Пользуясь разложениями E3), можно строить различные формы кон-
фузоров, диффузоров и других каналов. Так, например, положим2)
, Erf(±oo) = ±l,
что дает изменение Vx вдоль оси Ох от 0,1 при х=—оо до 1 при х=оо,
показанное на рис. 125. Последовательные производные функции fo(x)
1) По этому поводу см. С а н о я н В. Г. Движение жидкости в осесимметричном
канале заданного профиля и расчет действительных давлений.— Труды Ленингр. по-
литехн. ин-та им. Калинина, 1955, № 176, с. 160—174.
2) Tsien H. S. On the design of the contraction cone for a wind tunnel.— Journ.
Aeron. Sci., 1943, v. 10, № 2, p. 68—70
§ 75. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
определяются очевидным равенством
297
причем
(е 2 ).
Вспоминая определение полиномов Эрмита')
Hn(x) (l)e {e ),
dxr
будем иметь такое выражение для последовательных производных за-
заданной функции /о (*):
/Г1}М - (- 1)й 0,90
Пользуясь таблицами полиномов Эрмита и производя указанные в
системе E3) суммирования, найдем искомые значения продольной и
радиальной скоростей, а приравнивая различным константам выраже-
выражение функции тока, определим возможные формы каналов. На рис. 126
приводятся линии тока и распределения продольных скоростей, соот-
соответствующие рассматриваемому осесимметричному потоку в конфузоре.
* Э // и'..
0,2
О
/л
X
ш g iv w' v V
-2
0 1
Рис. 125
0 " 0,6 1,2 2,0 2,8 х
Рис 126
Римскими цифрами отмечены сечения трубок тока, а римскими циф-
цифрами со штрихами — соответствующие этим сечениям эпюры скоростей.
Принимая линию тока за твердую стенку, получим профиль конфузо-
ра, причем эпюры покажут, насколько однородно поле скоростей в раз-
различных сечениях конфузора. Так, например, видно, что профиль конфу-
зора, показанный на рис. 126 штриховкой, имеет достаточно хорошую
форму; неизбежное повышение скорости у стенок конфузора не вредит
делу, так как подтормаживание жидкости из-за вязкости вблизи стенок
должно выправить поле.
§ 75. Осесимметричное продольное обтекание тел вращения
При исследовании пространственных течений приходится пользо-
пользоваться различными криволинейными системами координат: цилиндри-
цилиндрической, сферической, эллиптической и др. Такой подход не только упро-
упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен: от удач-
удачного выбора системы координат зависит возможность разделения пере-
•) Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции: Формулы, графики,
таблицы-.—М.: Наука, 1977, с. 149.
298
ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
менных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетво-
удовлетворения граничных условий. В плоском безвихревом движении переход от
физической плоскости z=x + iy к вспомогательной плоскости 5в6+'ч
был эквивалентен пользованию в физической плоскости криволинейны-
криволинейными координатами |, к\ вместо прямолинейных дс, у. В пространстве трех
измерений столь удобного аналитического аппарата, как функции комп-
комплексных переменных, нет, и приходится непосредственно применять
формулы перехода от прямолинейных координат к криволинейным, вы-
выражая в этих координатах сами дифференциальные уравнения и соот-
соответствующие граничные условия.
Рис. 127
Для расчета внешнего осесимметричного обтекания тел вращения
(рис. 127, а) возьмем в меридианных плоскостях г, х эллиптическую
систему координат ?, г\у связанную с г, х соотношениями
х = с ch I cos л» 0 < I < оо,
г = с sh I sin Tjf 0 ^ г) ^ я,
где величина с представляет собой расстояние фокусов семейства коор-
координатных линий — софокусных эллипсов и гипербол —от начала коор-
координат.
Положим
тогда связь между координатами г, х и X, ц будет иметь вид
х = сХц, г=с-\[№—\ VI— ц2. E4)
Определив производные
дХ Г Л2-Г дц
найдем коэффициенты Ляме [(83) гл. 1]
, - = qi, — = cX,
= 1/ J^L\ ± ™\=г.-ш/К-\Р
--= г = с lA2 — 1 \/\—
E5)
После этого уже нетрудно составить и основное дифференциальное
§ 75. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 299
уравнение Лапласа для потенциала скоростей. По шестому равенству
системы (84) гл I получим
OU^}0- E6)
Будем искать частное решение этого уравнения в виде произведения
двух функций от переменных К и \i в отдельности
Ф=/,(Я)М(ц); E7)
тогда в уравнении E6) переменные разделятся и из равенства
dk J M(\i)d\i L d\x
в силу независимости % и \х будет следовать, что каждая из частей ра-
равенства должна быть постоянной. Полагая эту постоянную равной
л(л+1), где л —целое положительное число, получим для определения
ЦК) и M(\i) два обыкновенных линейных уравнения второго порядка
лежандрова типа
E8)
Этим уравнениям удовлетворяют1) два класса независимых решений:
1) функции Лежандра 1-го рода —полиномы Лежандра Рп(х),
определяемые равенствами
и рекуррентным соотношением для вычисления последующих полиномов
(п +1) Рп+1 (х) - Bл +1) хРп (х) — nPn-i (х);
2) функции Лежандра 2-го рода Qn(x), определяемые равенствами
, Ql(*) *ln
X ""™* 1 Zt X "mm 1
и рекуррентным соотношением
(л +1) Qn+i (x) = B/z +1) x Qn (x) —n Qn-t (x),
совпадающим с предыдущим соотношением для полиномов Лежандра.
Представим решение уравнения E6) как сумму двух потенциалов:
1) потенциала фго однородного потока, набегающего на тело со ско-
скоростью [/«,; этот потенциал по первой из формул E4) равен
и 2) потенциала ср' скоростей возмущений, который выразим суммой
частных решений E7).
•)УиттекерЭ Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа.-Ч. II.— М.:
физматгиз, 1963, с. 109 и след.
300 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Функция Рп(х), как полином п-й степени, обращается в бесконеч-
бесконечность при бесконечно возрастающем аргументе, функция же Qn(x) при
этом стремится к нулю, но зато логарифмически бесконечна при jc=±1.
В случае внешнего обтекания тела координата A, = chg может достигать
бесконечных значений, а координата \i ограничена. Примем во внима-
внимание, что потенциал скоростей возмущенного движения (т. е. обтекания
за вычетом однородного потока со скоростью, равной скорости на бес-
бесконечности) должен стремиться к нулю при удалении от поверхности
тела, причем по предыдущему (§ 73) должно быть
Из приведенных соображений следует, что искомые частные реше-
решения должны иметь вид произведений
подчеркнем, что отсчет п при суммировании начинается с единицы, а не
с нуля. Это подтверждается наличием следующих очевидных асимпто-
асимптотических равенств, справедливых при больших значениях величины А,
а следовательно, согласно E4), и величины R='\fx2+r2J имеющей тот же
порядок, что и X:
2 X —
Таким образом, будем иметь необходимый порядок убывания q/ на
бесконечности, если положим
<р'=<:[/« 2 AnQn(b)Pn(v), E9)
где Ап—постоянные коэффициенты, зависящие от формы поверхности
тела.
Складывая потенциалы фо» и ф', получим искомый потенциал ско-
скоростей продольного обтекания тела вращения со скоростью на беско-
бесконечности, равной (/„,
. F0)
Для определения коэффициентов Ап найдем выражение функции
тока г|>. По формулам A), B6) и E5) будем иметь
с({ ) с
дк //и а|ы V P d\i ' d\i Uh дХ К ' дк
или, после подстановки разложения F0),
Переписывая второе равенство в виде
§ 75 ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 301
подставим под знак суммы выражение для Рп из основного дифферен-
дифференциального уравнения функций Лежандра E8)
п(п+\)
Тогда будем иметь
n(n+l) dk d\x V ^' dp
Интегрируя по ц и добавляя необходимую функцию от Я,, получим
окончательное выражение для функции тока
Уравнение нулевой поверхности тока будет
У. ——— — ^2- +1=0. F2)
*¦"* л (л -f- 1) йК а\1
Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения в эл-
эллиптических координатах, можно определить коэффициенты Лп4).
В только что цитированной статье определение коэффициентов Ап све-
сведено к решению алгебраической системы уравнений первой степени, что
при современном состоянии вычислительной техники представляет про-
простую задачу.
Имея выражение потенциала скоростей, найдем скорость по фоо-
муле
Проиллюстрируем метод простейшим примером. Рассмотрим обте-
обтекание эллипсоида вращения, меридианное сечение которого имеет урав-
уравнение К=Я0. Полагая в уравнении F2) Ап = 0 при п>\ и ^=Я0, получим
А =
1
1 .
2
Потенциал скоростей будет равен по F0)
к 1м--
Этому выражению можно придать несколько иной вид, если ввести
явно полуоси эллипсоида а и Ь<С.ау расположенные соответственно по
!) См. Kaplan С. Potential flow about elongated bodies of revolution.— NACA
Rep, 1935, № 516
302 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
осям Ох и Or. Будем иметь, согласно E4), уравнение эллипса Х=Х0 в
виде
с% с»(Я» —1)
откуда следует
cX0 = a,
или, вводя эксцентриситет е = с/а,
е
В этих обозначениях получим
F5)
Для проверки можно, пользуясь этим выражением, получить потен-
потенциал обтекания сферы радиуса а, если заметить, что, по определению
эллиптических координат, в этом случае будет е-»-0, cX-*-R, (i->-cos8
при с-И), где R и 8 — сферические координаты. Производя разложения
A1)
ж X
и заменяя е на с/а, убедимся, что ср при с->0 стремится к
2
т. е. к известному уже выражению C8).
Проекции скорости на оси эллиптических координат будут
1 . Х+1
¦In;
1f \+e e
— in — -
Полагая здесь Х=Х0, убедимся, что на поверхности эллипсоида Vj,=-
= 0; это и естественно, так как координатные линии (X) перпендикуляр-
перпендикулярны к поверхности эллипсоида и условие Vx=0 эквивалентно условию
равенства нулю нормальной к поверхности составляющей скорости.
Распределение скоростей по поверхности эллипсоида определится ра-
равенством
— «V
Полученное только что решение относится к обтеканию эллипсоида
вращения, удлиненного вдоль по течению. Подобным же образом мож-
§ 76. ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 303
но исследовать случай обтекания сплюснутого эллипсоида, фокусы ме-
меридианного сечения которого лежат не на оси Ог, а в меридианных
плоскостях1). В только что цитированных курсах приводится также ре-
решение более общей задачи об обтекании эллипсоида, у которого все
оси различны.
§ 76. Поперечное обтекание тел вращения
Наряду с продольным обтеканием тел вращения представляет инте-
интерес и поперечное обтекание, перпендикулярное (рис. 127, б) к оси сим-
симметрии тела. Из сложения этих двух потоков можно получить обтекание
тела вращения под любым углом атаки. Изложим решение задачи о по-
перечном обтекании тела вращения.
В этом случае уже не получается осесимметричного движения.
Уравнение Лапласа, определяющее потенциал скоростей, в ортогональ-
ортогональной системе криволинейных координат, согласно шестому равенству
системы (84) гл. I, имеет вид
dqi \ #1 dqx J dq2 { Н2 dq% ) ^ dqa [ Н3 dq3 J
Сохраняя ту же систему координат (А,, ц, е), что и в случае осесим-
осесимметричного обтекания тела вращения, и припоминая выражения коэф-
коэффициентов Ляме E5), перепишем предыдущее уравнение в форме
+ )==0. F6)
2-l 1-Й2/ дг* V ;
Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух
функций
тогда, подставляя последнее выражение в уравнение F6) и разделяя
функции независимых переменных, получим систему уравнений (k —
произвольное число, которое будем считать положительным и целым)
« + *•?-0, ±\<p-l)^]+±\{l-rt^]-* l2^2
Первое уравнение имеет решение
Е=А coske + B sin^s^
второе, если положить N=L(k)M(\i) и разделить переменные, может
быть приведено к системе уравнений
имеющей в качестве частных решений так называемые присоединенные
функции Лежандра2)
^^ ^ F7)
') См., например, К и б е л ь И. А., К о ч и н Н. Е., Розе Н. В. Теоретическая
гидромеханика. Ч. I.— M.: Физматгиз, 1963, с. 365, а также Лам б Г. Гидродинами-
Гидродинамика.- №• Гостехиздат, 1947, с. 175—181.
*)Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Ч. II.— М.:
Физматгиз, 1963, с. 140—144.
304 гл- 1Х- ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Комбинируя эти функции так, чтобы выражение потенциала скоро-
скоростей возмущенного движения было ограниченным при А,->оо, получим
общее выражение потенциала скоростей,
ф (Я, ti) = 2 S Q" М Р" М (Ank cos кг + Bnk sin кг) + УооУ>
здесь последнее слагаемое представляет собой потенциал скоростей на-
набегающего на тело однородного потока со скоростью на бесконечности
Voo, направленной параллельно оси Оу (рис. 127, б).
Полагая в только что выведенной общей формуле потенциала
Ап^сУЛп, Лп2=Лп*=...=0, Я,*-**-...-09
т. е. довольствуясь решением, содержащим cose, и, кроме того, p
ставляя у по формулам, помещенным в начале предыдущего параграфа,
как функцию X, \i и е:
у = г cos е = с sh g sin r\ cos e = с ]/Х*— 11/1 —\x2 cos e,
получим следующее выражение потенциала скоростей поперечно набе-
набегающего со скоростью VTO вдоль оси Оу потока:
оо
Ф = cV.»cosе^ CnQ\{I)Р\(ц)
или, используя определение присоединенных функций Лежандра F7),
F8)
Для определения постоянных Сп, как и ранее, следует составить гра-
граничное условие на заданной поверхности обтекаемого тела. В этом слу-
случае неосесимметричного движения функция тока отсутствует и прихо-
приходится непосредственно вычислять нормальную скорость Уп=<?ф/дл и
приравнивать ее нулю.
Несколько облегчая вычисления, выпишем в выбранной системе
координат (Я, |х) условие того, что при непроницаемости поверхности
обтекаемого тела элемент дуги его меридианного сечения параллелен
составляющей скорости в меридианной плоскости (условие скольжения
жидкости по поверхности тела):
или, вспоминая выражения элементов дуг координатных линий и проек-
проекций градиента потенциала на направления этих линий,
Отсюда вытекает искомое граничное условие
в котором Я является заданной функцией ц согласно уравнению кон-
контура обтекаемого тела в меридианной плоскости. Составляя частные
§ 76. ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
производные ду/дк, dq>/d|i, по F8) будем иметь
сУ cos 8 дХ
305
c^cose d\i
Заменив входящие сюда выражения вторых производных на осно-
основании дифференциальных уравнений для функций Рп и Qn
получим после простых преобразований
cJLcose dk
Подставляя эти выражения производных в F9) и используя ранее
выведенные значения коэффициентов Ляме
7=1?'
получим после очевидных сокращений
d\i J dl d\i \ d\i dk dp J J
Имея в виду, что на поверхности тела % представляет заданную
функцию от [it перепишем граничное условие в окончательной форме
так:
d\X
Рассмотрим поперечное обтекание эллипсоида вращения А,=Я0, про-
продольное осесимметричное обтекание которого было изучено в предыду-
предыдущем параграфе.
В этом случае граничное условие G0) можно выполнить, положив
Сп=Опри я>1; тогда будем иметь (P^jx)
306 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
откуда, согласно ранее приведенному выражению Qt(X), следует
с1== —
Напомним, что здесь А,о=1/?, где в — эксцентриситет эллипса, пред-
представляющего меридианное сечение эллипсоида. Потенциал скоростей
рассматриваемого поперечного обтекания эллипсоида вращения равен
по F8)
Ф = cV» У^ПГ /Г=1[2 |Ci Jqo {X) + _L_J + I j Cos e; G1)
скорости определяются простым дифференцированием G1)
у =_L??_ у =JL?2L у — 1 д(?
Решение задач о продольном и поперечном обтекании тела враще-
вращения приводит, как это видно из содержания настоящего и предыдущего
параграфов, к необходимости проведения в каждом отдельном случае
трудоемких вычислений. Эти вычисления могут быть облегчены приме-
применением приближенных методов, использование которых ограничено
лишь случаем обтекания тел большого удлинения с отношением длины
к максимальной толщине порядка 8—12 (см. § 76 четвертого издания
настоящего курса). При современной машинной технике вычислений
такого рода приближенные методы в значительной мере потеряли свое
значение.
§ 77. Применение метода особенностей для расчета продольного
и поперечного обтеканий тел вращения. Тела большого удлинения
Изложенный в предыдущих параграфах метод исследования про-
продольного и поперечного обтеканий тел вращения, основанный на непо-
непосредственном решении уравнения Лапласа в эллиптических координа-
координатах, не является единственным методом решения этой задачи. Перво-
Первоначально формы обтекаемых тел вращения для дирижаблей определя-
определялись наложением однородного, параллельного некоторой оси потока на
поток от системы источников (стоков), распределенных вдоль той же
оси. Для этой цели применялись вначале дискретные особенности пото-
потока— системы источников (стоков) или диполей, а впоследствии — не-
непрерывные их распределения.
Предположим для определенности, что на отрезке (—с, +с) оси Ох
задано непрерывное распределение источников (стоков) интенсивности
q(x). Тогда потенциал q/ возмущенного движения, созданного этой си-
системой особенностей, будет, согласно второй из формул A2), равен
(знак минус введем в определение интенсивности q)
=^^=. G2)
2 + ('J
Если задаться видом функции q{xr), то, вычисляя интеграл G2),
получим потенциал скоростей возмущений, а дифференцирование по г
и х позволит вычислить и проекции скорости V/ и VJ. Наоборот, зада-
задаваясь формой обтекаемого тела, можно, переходя от потенциала ско-
скоростей возмущенного движения к полному потенциалу продольного об-
обтекания тела однородным потоком с заданной скоростью на бесконеч-
§ 77. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОСОБЕННОСТЕЙ 307
ности и написав условие непроницаемости поверхности тела, получить
интегральное уравнение, в котором q(x') будет неизвестной функцией.
Заменяя потенциал скоростей на функцию тока, Карман1) разработал
метод приближенного интегрирования соответствующего интегрального
уравнения, основанный на замене интеграла конечной суммой. Однако
метод Кармана не был достаточно общим и, кроме того, требовал ре-
решения в каждом отдельном случае системы большого числа линейных
алгебраических уравнений, что делало его по тому времени слишком
трудоемким.
Аналогично, пользуясь выражением потенциала диполя (8), можно
составить и потенциал ф4 поперечного обтекания тела вращения, скла-
складывая потенциал однородного натекания с заданной скоростью на бес-
бесконечности с потенциалом скоростей возмущенного движения жидкости
от непрерывно распределенных по отрезку —с<х<.с диполей интен-
интенсивности т(х') с осями, направленными вдоль Оу:
G3)
;(г, х. е) = 12». Г "С)*'
4Я J^ [r2 + (^__A.'JjV
Здесь также можно задаваться распределением интенсивности
/л(х') или, наоборот, определять эту интенсивность из интегрального
уравнения, представляющего условие непроницаемости заданной по-
поверхности тела по отношению к потоку, складывающемуся из возму-
возмущенного и однородного на бесконечности.
Не останавливаясь на изложении этих в настоящее время уже ма-
малоупотребительных методов, укажем лишь на простую их связь с мето-
методами, изложенными в предыдущих параграфах. Покажем, что при за-
заданной форме поверхностей обтекаемых тел вращения неизвестные
функции q(x') и т(х') могут быть выражены через ранее введенные ко-
коэффициенты Ап иСп2).
Разобьем ось симметрии тела вращения Ох на две области: одну,
определяемую интерзалом — с^х^с, заполненным особенностями, и
вторую, представляющую остальную часть оси Ох, где |а:|>с. В эллип-
эллиптических координатах X, ц, введенных в начале § 75, отрезок, на кото-
котором расположены особенности, представится согласно второй из фор-
формул E4), как
Я=1, —
а остальная часть оси Ох, как
|1 = ±1,
Тогда, сравнивая между собой вне отрезка (—c<ix'<Zc) выраже-
выражения потенциалов возмущений G2) и G3) с соответственными выраже-
выражениями тех же потенциалов, взятыми из формул F0) и F8), и приняв
во внимание, что Pn(l) = l, dPn/dji|M==1=Ai(/i+l)/2, получим следующие
два равенства:
1 У т(ф)йу! v ^
X), G4)
n(n+\) r 3l
-1
') KarmanTh. v. Berechnung der Druckverteilung an Luftschiffkorpern.— Abhand-
lungen aus dem Aerodyn. Inst. Aachen, 1927, H. 6. Подробное изложение этого и других
методов, а также применение их к расчетам см. Фабрикант Н. Я. Курс аэродина-
аэродинамики. Ч. I, гл. III.—M.: Гостехиздат, 1938.
2) См. ранее цитированную статью Каплана.
308 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
которые при заданных коэффициентах Ап и Сп можно рассматривать
как два интегральных уравнения для определения неизвестных функ-
функций q и т.
Интегральное уравнение G4) может быть решено, если искать ре-
решение в виде ряда
Подставляя это разложение в G4), получим
л=1
Замечая, что по известной формуле теории функций Лежандра1)
-1
перепишем предыдущее интегральное уравнение в виде
/1=1 Л=1
откуда будет сразу следовать искомое решение
ап = 2ncUooAn, q (xf) = 2
n=i
Для разыскания второй неизвестной функции т(х') продифферен-
продифференцируем раз по К и другой раз по ц' известное разложение2)
тогда получим
Подставляя это разложение в интегральное уравнение G5), преобра-
преобразуем его к виду
Используя далее разложение неизвестной функции m(qx') в форме
Л=1 иг
и замечая, что, в силу ортогональности полиномов Лежандра,
при кфпу
при k = n,
2я+1
') Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Ч. II.—М.:
Физматгиз, 1963, с. 135.
2) Там же, с. 138.
§ 78 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА 309
убедимся в справедливости равенства
Итак, имеем
(т)
Совокупности формул G2) и G6), G3) и G7) позволяют при жела-
желании пользоваться потенциалами скоростей возмущений в цилиндриче-
цилиндрических координатах, если уже заранее вычислены коэффициенты Ап и С„.
Заметим, что эти коэффициенты проще определять при помощи разло-
разложений уравнения контура меридианного сечения в ряды по функциям
от эллиптических координат, а уже затем проводить расчеты в эллип-
эллиптических или цилиндрических координатах.
Заметим еще в заключение, что для тел с очень большим удлинени-
удлинением можно определить q(x) и т(х) из следующих двух простейших
предположений:
1) в случае продольного обтекания будем считать нормальную к
поверхности тела составляющую скорости возмущения W равной ско-
скорости плоского движения от источника, расположенного в ближайшей
точке оси. Тогда условие непроницаемости поверхности даст
q(x)_u dr
откуда
V'_u
У п — Ь'оо — »
2лг dx
q (х) = 2nU00r ^- = UOO^-, G8)
dx dx
причем заданная функция г(х) описывает контур меридианного сечения,
Л —площадь поперечного сечения;
2) в случае поперечного обтекания тела вращения выберем т(х)
из условия, чтобы элемент тела, вырезанный плоскостями х и x+dx>
обтекался так же, как элемент бесконечного цилиндра в плоском дви-
движении. Это приведет к равенству
т(х) =2nVoor2(x) =2VmA(x). G9)
§ 78. Элементарная теория крыла конечного размаха
При рассмотрении плоского обтекания цилиндрического крыла бес-
бесконечного размаха уже указывалось, что образующиеся в результате
взаимодействия крыла с потоком вихри могут быть заменены одним
присоединенным вихрем, обусловливающим наличие подъемной силы
крыла. Этот присоединенный вихрь, в согласии с классической теоремой
Гельмгольца, не может начинаться или заканчиваться в жидкости. Сов-
Совпадая по направлению с осью крыла бесконечного размаха, присоеди-
присоединенный вихрь приходит из бесконечности и в бесконечность же уходит.
Интенсивность присоединенного вихря одинакова вдоль оси цилиндри-
цилиндрического крыла, одинаковы и циркуляция скорости по контуру, охваты-
охватывающему любое сечение крыла, и подъемная сила единицы длины
крыла.
Опыт показывает, что на крыле конечного размаха, например на
крыле самолета, циркуляция не сохраняется вдоль оси, а достигает свое-
своего максимального значения посередине крыла и обращается в нуль на
его концах. Объясняется это возможностью выравнивания давлений на
нижней и верхней поверхностях крыла за счет возникающих перетека-
310
ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
присоединенные
бихри^
Рис. 128
ний воздуха на концах крыла из области повышенного давления на ниж-
нижней поверхности в область разрежения на верхней.
Выравнивание давлений приводит к исчезновению подъемной силы,
а следовательно, и циркуляции присоединенного вихря на концах кры-
крыла. Наличие перетекания воздуха с нижней поверхности на верхнюю
образует на крыле поперечные течения, которые смываются с его по-
поверхности набегающим потоком и, сходя с задней кромки крыла, обра-
образуют вихри.
Первые шаги на пути создания теории крыла конечного размаха
были сделаны у нас в России Чаплыгиным') и в Германии Финстер-
вальдером2) в 1910 г., одна-
однако широкое распростране-
распространение благодаря своей исклю-
исключительной простоте и на-
наглядности получила относя-
относящаяся к периоду 1913—
1918 гг. теория несущей ли-
линии Прандтля3),основы ко-
которой и излагаются в на-
настоящем параграфе.
Сущность этой схемы
крыла конечного размаха
заключается в следующем.
От основного присоединен-
присоединенного вихревого шнура кры-
крыла отделяются и уносятся
потоком так называемые свободные вихри, оси которых в некотором
удалении от крыла совпадают с линиями тока уносящей их жидкости.
При поступательном равномерном движении крыла конечного размаха в
перпендикулярном к оси крыла направлении или, что то же, при набе-
набегании однородного потока на крыло можно заменить крыло некоторой
воображаемой стационарной системой неподвижных вихрей, состоящей
из присоединенных вихрей крыла и сошедших с крыла свободных вих-
вихрей; эта схема показана на рис. 128.
Несколько идеализируя схему, заменим присоединенный вихрь кры-
крыла несущей вихревой линией, представленной отрезком —Z^z^Z оси
Oz, а свободные вихри расположим в плоскости xOz в виде уходящих
в бесконечность лучей, параллельных оси Ох, вдоль которой набегает
поток (рис. 129). Свободные вихри образуют вниз по потоку за несущей
линией вихревую пелену, представляющую, так же как и вихревой слой
(§ 52), поверхность разрыва составляющих скоростей, параллельных
оси Oz.
Пусть непрерывная и дифференцируемая функция T(z) характери-
характеризует распределение циркуляции вдоль несущей линии (—l^.z^.1). Из-
Изменению циркуляции присоединенного вихря от значения Г(?) в точке
М (z=$) до Г(?) + — dl в точке № (z=? + ^) на dr=^-d? соответ-
ствует сход вихревой полоски (на рис. 129 заштрихованной), образую-
образующей элемент вихревой пелены, циркуляция которого равна также dr.
Вихревая система крыла конечного размаха индуцирует поле ско-
скоростей, которое складывается с однородным набегающим потоком. В ре-
1) Чаплыгин С. А. Результаты теоретических исследований о движении аэро-
аэропланов. Доклад 9/XI 1910 г.— Собрание сочинений. Т. II.— М.: Гостехиздат, 1948,
с. 230—245.
2) F i п s t е г w a I d е г. Die Aerodynamik als Grundlage der Luftschiffahrt.— Zeits.
fur Fiugtechn. und Motorluftschiffahrt (ZFM), 1910, № 1, 2.
3) P г a n d 11 L. Ergebnisse und Ziele der Gottinger Modellversuchanstalt.— ZFM,
1913, № 3, а также Tragflugeltheorie I, II.—Gottinger Nachrichten, 1918.
§ 78. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
311
зультате такого наложения создается неоднородное поле скоростей, до-
допускающее приближенное рассмотрение.
Проведем через точки несущей линии перпендикулярные к ней плос-
плоскости, одна из которых Щх'О'у') показана на рис. 130. Рассмотрим
проекцию действительного поля скоростей в точках плоскости П на эту
Рис. 129
плоскость и назовем соответствующий, лишенный поперечных скоро-
скоростей w поток сечением действительного потока плоскостью П или, для
краткости, плоским сечением потока.
Если бы крыло имело бесконечный размах, поток был бы плоским;
тогда, удалив крыло, мы получили бы однородное поле набегающего
потока с некоторой скоростью на бесконечности ?/«,. В случае крыла
конечного размаха это не так. Если
в плоском сечении из полного поля
скоростей вычесть поле возмущений
от расположенного в этой плоско-
плоскости элемента несущей линии, то ос-
оставшееся поле плоского сечения по-
потока будет содержать как однород-
однородную часть t/oo от набегающего пото-
потока, так и добавочную неоднородную
часть Vl9 индуцируемую свободны-
свободными вихрями пелены, расположенны-
расположенными в плоскости xOz. Неоднород-
Неоднородность поля этих индуктивных ско-
скоростей Vt является следствием раз-
различия расстояний отдельных точек
плоскости от элементов свободных Рис. 130
вихрей пелены.
Анализируя количественное различие между индуктивными скоро-
скоростями в точках плоскости П вблизи точки О\ можно было бы дока-
доказать1), что во всех плоских сечениях потока, удаленных от концов А и В
несущей линии, различия между полями индуктивных скоростей вбли-
вблизи точки пересечения несущей линии с близкими друг к другу плоско-
плоскостями сечения тем меньше, чем больше удлинение крыла, т. е. отноше-
отношение его размаха к средней хорде.
Представляется допустимым для каждого плоского сечения потока
ввести понятие о своей местной скорости на бесконечности Vm (рис. 130),
1) Дородницын А. А. Обобщение теории несущей линии на случай крыла с изог-
изогнутой осью, не перпендикулярной потоку.— Прикл. мат. и мех., 1944, т. 8.
312 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
равной сумме векторов скорости потока на бесконечности перед крылом
f/oo и индуктивной скорости V{ от свободных вихрей пелены
Vm=Um + Vt. (80)
Как видно из рис. 130, вектор индуктивной скорости V{ в точке О'
несущей линии должен быть направлен по оси О'у'. Расположение его
в отрицательную сторону оси О'у' соответствует показанным на рисун-
рисунке направлениям вращения частиц жидкости вокруг свободных вихре-
вихревых линий.
Примем следующую гипотезу плоских сечений: при достаточно
больших удлинениях крыла конечного размаха обтекание каждого плос-
плоского сечения потока, удаленного от концов крыла, можно рассматри-
рассматривать как плоский поток с местной скоростью на бесконечности, равной
сумме векторов скоростей потока на бесконечности впереди крыла и ско-
скорости, индуцированной свободными вихрями пелены в соответствующей
точке несущей линии.
Эта гипотеза, сообщающая условным плоским сечениям потока
смысл подлинных плоских движений, сводит расчет крыла конечного
размаха к решению изложенной в гл. VII задачи о плоском обтекании
крыловых профилей, образующихся в пересечении крыла конечного раз-
размаха плоскостями, нормальными к оси крыла, и к последующему сум-
суммированию результатов по всем плоским сечениям крыла. Такое допу-
допущение имеет смысл только для крыльев большого удлинения.
Обозначим через а (рис. 130) угол атаки набегающего потока на
бесконечности перед крылом, т. е. угол между вектором ?/« и хордой
сечения крыла, и назовем этот угол геометрическим углом атаки. Вве-
Введем в рассмотрение также действительный (или эффективный) угол
атаки ае как угол между местной скоростью на бесконечности Vm и той
же хордой. Угол между скоростями U» и Vm обозначим через а< и на-
назовем углом скоса потока, или индуктивным углом. Как видно из рис. 130,
ав=а—а*. (81)
Найдем проекцию dvt на ось Оу элементарной индуцированной ско-
скорости в точке О' (рис. 129) от вихревой полоски, ограниченной вихре-
вихревыми лучами, выходящими из точек М и М'. Рассматривая эту полоску
как вихревую нить с циркуляцией dT и применяя формулу B2) при а=
= 90°, 4Й = 0°, получим
4л 2-5 4к dl г—t, '
Здесь (рис. 129) dr<0, d?>0, z<? и по (82) dvi<01 что как раз
и соответствует показанному на рисунке расположению точки О', где
определяется элементарная индуктивная скорость по отношению к вих-
вихревому лучу, выходящему из точки М. От элементарной индуктивной
скорости dv{ перейдем к полной индуктивной скорости vt в точке О',
производя суммирование величин dv{ по всем элементарным полоскам
вихревой пелены, исключая ту, которая исходит из отрезка несущей ли-
линии (г—е, г+е), заключающего внутри себя точку О' с координатой г.
Это объясняется тем, что, как известно, вихревая нить не индуцирует
определенных скоростей в своих точках, которые являются особыми
точками поля скоростей вокруг вихревой нити. Величина е может быть
выбрана сколь угодно малой и в результате указанного суммирования
будем иметь следующее выражение индуктивной скорости:
„,= J-lim Г ?.-«-+ Г ?.4- . (83)
4 -/ 2+e
§ 78 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА 313
Входящий в эту формулу предел носит наименование главного зна-
значения (всмысле Коши) несобственного интеграла*)
*L^L-. (84)
Подразумевая в дальнейшем, что интеграл (84) должен быть вычислен
в смысле своего главного значения, определенного в правой части (83),
будем иметь в кратком обозначении
0|,_^ (?_«>. (85)
Будем предполагать, что индуцированные скорости vt малы по срав-
сравнению со скоростью набегающего потока ?/«>. Это как раз соответству-
соответствует, как из дальнейшего станет ясным, случаям малых углов атаки, для
которых справедлив линейный закон связи между коэффициентом подъ-
подъемной силы и углом атаки. Тогда, замечая, что (рис. 130)
оо
получим, согласно (85), формулу для индуктивного угла или скоса по-
потока
L_^_. (86)
Для вычисления индуктивной скорости и индуктивного угла будем
предполагать заданным распределение циркуляции по размаху Г(г).
Представим его в форме тригонометрического ряда
2 (87)
где угол 0 связан с переменной по размаху координатой z равенством
z = — /cos9. (88)
Концам отрезка несущей линии (г=—/, z=l) соответствуют значе-
значения 8=0 и 8=я; при этом циркуляция Г обращается в нуль.
Если распределение циркуляции симметрично относительно начала
координат (г=0, 0 = я/2), то должно быть ГF)=Г(л—0) и, следова-
следовательно,
Вычислим по (87) производную dr/d?, полагая параллельно с (88)
?=—/cosB'; будем иметь
% <вг № A /Sine' °° Zj sine'
Подставляя это выражение в формулу (85), получим выражение
индуктивной скорости
COS9' — COS 9 Я ^ J COS0' — COS
i
J) См., например, Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. III.— М.: ГТТИ,
1933, с. 415; Т. IV.— М.: Гостехиздат, 1941, с. 240.
314 ГЛ. IX ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Интеграл, стоящий под знаком суммы, вычисляется в смысле своего
главного значения и равен *)
я
С cos /i9' ,rw Jt sin пд
J cos 9' — < " ~
¦ cos 9 sin 9
так что окончательно получим следующие выражения: индуктивной ско-
скорости
а по (86) и угла скоса
(90)
Перейдем к определению сил, действующих на крыло конечного
размаха. Для отрезка несущей линии длины dz будем по теореме Жу-
Жуковского иметь элементарную силу, перпендикулярную к местной скоро-
скорости на бесконечности Vm (рис. 130) и равную по величине
причем с точностью до малых величин второго порядка относительно а,
можно положить
Vm =
таким образом, вместо предыдущей формулы получим
dK = 9UooTdz. (91)
Вычисляя составляющие по осям координат, получим в принятом
приближении (рис. 130)
dRx = dR sin <Xi ж dR • щ = р?/ооГа* dz,
dRy = dR cos at^dR = pU^T dz
и, интегрируя по размаху,
Я* = ptf» j Г(z)a,(z)dz, Ry = pU^^T(z)dz. (92)
Для вычисления интегралов воспользуемся вновь тригонометриче-
тригонометрическими представлениями циркуляции (87) и индуктивного угла (90). Бу*
дем иметь
Rx = 4р(/2оо/2 Г у. An sin nQ у. mArk ^- sin 9 d9 =
J ^ ^ sin 9
0 n=i m=i
оо Л
= pUl, B/J 2 mAnArn f sin «9 sin тв d6.
л,т=1
Замечая, что по свойству ортогональности функций синусов кратных дуг
\ sin п0 sin m9 d9
я/2, если n = m,
0, если пфт,
1) Вычисление этого интеграла можно найти, например, в книге: Голубев В. В.
Лекции по теории крыла.— М.: Гостехиздат, 1949, с. 215—216.
§ 78 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА 315
получим
Аналогично найдем
R = pi/« f Г (г) dz = 4p?/»/2 С V Л„ sin n8 sin 6 d9 =
-/ О Л=1
= pC/U B/J 2 An J sin n8 sin 9 dG.
Но по только что указанному свойству ортогональности синусов
кратных дуг
г» # ПрИ П==: 1
о 10 при п > 1
в сумме, входящей в предыдущее равенство, сохранится лишь один член,
так что будет
Ry = n?-2-BlJAv (94)
Рассматривая обтекание крыла конечного размаха как равномер-
равномерное, поступательное и прямолинейное его движение со скоростью ?/» в
локоящейся на бесконечности жидкости, естественно назвать составля-
составляющую Rx, направленную в сторону, противоположную движению тела,
сопротивлением крыла, а составляющую RVi перпендикулярную к на-
направлению движения и несущей линии, подъемной силой. Вместе с тем,
отмечая вихревую природу сопротивления, представляющего часть подъ-
подъемной силы в потоке, скошенном вблизи несущей линии благодаря ин-
индуктивному действию вихревой пелены, это сопротивление называют ин-
индуктивным сопротивлением.
Обозначим через 5 площадь крыла в плане, т. е. проекцию его на
плоскость xOz, содержащую скорость набегающего потока и ось крыла
(несущую линию). Введем в рассмотрение коэффициенты индуктивного
сопротивелния с* и подъемной силы суу положив
Тогда, пользуясь (93) и (94), найдем
оо
S ^ S
П=1
Величина
^ = — f (96)
в случае крыла, прямоугольного в плане, равная отношению размаха
крыла 21 к его хорде ft, называется удлинением крыла. Вводя эту вели-
величину в (95), получим окончательно следующие формулы коэффициен-
коэффициентов индуктивного сопротивления и подъемной силы:
(97)
316 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Как это непосредственно следует из первого равенства системы
(95), индуктивное сопротивление представляет собой сумму существен-
существенно положительных величин. Отсюда следует, что индуктивное сопро-
сопротивление крыла конечного размаха при отличной от нуля подъемной
силе (А{Ф0) будет минимальным, если все коэффициенты в разложе-
разложении циркуляции, кроме первого, равны нулю. Это, согласно равенству
(87), соответствует распределению циркуляции
Y=AU JA, sine, (98)
или, если вернуться к переменной z по (88),
(99)
Переписывая последнее равенство в виде
убедимся, что эпюрой распределения циркуляции по размаху крыла (не-
(несущей линии) будет эллипс с полуосями: по оси z — равной полуразма-
полуразмаху крыла /, по оси Г — максимальной по размаху циркуляции Гт, при-
причем коэффициент Ai можно выразить через эту максимальную циркуля-
циркуляцию Гт так:
= Tm Л = ^~7« (ЮО)
Уравнение эллипса будет
Полученное распределение циркуляции называется эллиптическим.
По только что доказанному при эллиптическом распределении циркуля-
циркуляции индуктивное сопротивление минимально. В связи с этим крыло с
эллиптическим распределением циркуляции имеет в теории крыла прин-
принципиальное значение; рассмотрим основные его свойства. Прежде всего
из формул (89) и (90) сразу следует, что при эллиптическом распреде-
распределении циркуляции индуктивная скорость и индуктивный угол (скос)
одинаковы вдоль всего размаха. Действительно, подставляя в формулы
(89) и (90) значения коэффициентов Ап
получим
Г
Аг = ¦ А2 = А3 = ... = О,
Крыло с постоянным по размаху геометрическим углом атаки на-
называют геометрически незакрученным; крыло с постоянным по размаху
действительным углом атаки называют аэродинамически незакру-
ченным.
Из доказанного только что свойства одинаковости угла скоса вдоль
размаха крыла с эллиптическим распределением циркуляции следует,
что геометрически незакрученное крыло с эллиптическим распределени-
распределением циркуляции будет и аэродинамически незакрученным.
Из формул A02) заключим, что с возрастанием размаха при задан-
заданной максимальной циркуляции индуктивная скорость и угол скрса стре-
§ 78 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА 317
мятся к нулю, как это и должно быть при переходе к крылу бесконеч-
бесконечного размаха.
Докажем, что геометрически незакрученное крыло с эллиптическим
распределением циркуляции и одинаковыми по всему размаху аэроди-
аэродинамическими характеристиками сечений имеет эллиптическую форму в
плане.
Для доказательства свяжем коэффициент подъемной силы с'у сече-
сечения крыла с соответствующим ему значением циркуляции Г (г). По тео-
теореме Жуковского будем иметь для единицы длины крыла (Ь — хорда)
или, вспоминая еще, что для малых углов атаки а'е, отсчитываемых от
направления нулевой подъемной силы,
Cy=f
da
где а0 — наклон кривой зависимости с' от a, a a'e—действительный
угол атаки, найдем общую формулу искомой связи в виде
Г=-1а0ШоосС (ЮЗ)
Отсюда сразу следует, что у крыла с эллиптическим распределени-
распределением циркуляции при постоянной вдоль размаха аэродинамической ха-
характеристике сечений крыла а0 и отсутствии геометрической закручен-
ности (a=const, a,=const, a^=const) закон изменения хорды Ь вдоль
размаха совпадает с законом изменения циркуляции Г, т. е. также бу-
будет эллиптическим. Форма крыла в плане, согласно A01), A03) и оче-
очевидному соотношению Гт= — 0oW^»ae> представится уравнением (bm—
максимальная хорда сечения, соответствующего г=0)
Итак, при принятых условиях геометрической незакрученности и
одинаковости аэродинамических характеристик вдоль размаха, крыло
с эллиптическим распределением циркуляции будет иметь и эллиптиче-
эллиптическую форму в плане; такое крыло может быть названо эллиптическим.
Определим связь между коэффициентами индуктивного сопротив-
сопротивления и подъемной силы эллиптического крыла. По (97) при А2=
ло
Исключая отсюда Аи получим
Cxi=lkc2y A05)
Аналогичную формулу можно вывести и для крыла любой формы в
плане. Положим
-L V пА2п= 1 + — у. пА1=\ + б, A06)
318
ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
где б тем меньше, чем ближе рассматриваемое крыло к эллиптическо-
эллиптическому. Тогда из (97) в общем случае получим
Cxi = ¦
A07)
600
Рис. 131
Предположим, что при полете на режиме максимальной скорости
потребные для поддержания самолета в воздухе су невелики (су«0,15—
—0,20). При этом коэффициен-
коэффициенты индуктивного сопротивле-
сопротивления cxi будут малы по сравне-
сравнению с коэффициентами про-
профильного сопротивления схР)
обусловленного сопротивлением
трения и сопротивлением дав-
давления, возникающими из-за не-
неидеальности воздуха. Наобо-
Наоборот, при малых скоростях по-
полета основное значение приоб«
ретает индуктивное сопротив*
ление.
Приводим на рис. 131 для
иллюстрации типичную кривую
полного лобового сопротивле-
сопротивления Q самолета с выделением роли индуктивного сопротивления (за-
(заштрихованная полоска) при различных скоростях полета1). При поле-
полете со сравнительно большими значениями су (например, транспортные
самолеты с большой дальностью) выгодно увеличивать удлинение, гра-
границы выбора которого ставятся прочностью крыла и другими конструк-
конструктивными соображениями.
Все эти вопросы, так же как и вопросы применения формул (97) к
конкретным крыльям, рассматриваются в специальных курсах теории
крыла и аэродинамики самолета.
Обратимся к рассмотрению наиболее сложной задачи теории кры-
крыла, а именно к задаче определения циркуляции, образующейся на кры-
крыле заданной формы в плане с заданными аэродинамическими характе-
характеристиками сечений.
Сохраним обозначения b(z), u{z) и ao(z) для заданных переменных
вдоль размаха величин: хорды, геометрического угла атаки и производ-
производной коэффициента подъемной силы по углу атаки. Тогда для циркуля-
циркуляции Г (г) получим по формулам A03) и (81)
Г (г) = 1 а, (г) Ь (z) и„а'в = ± а, (г) Ь (г) U^ [a (z) - ас (г)]. A08)
Если в этом равенстве заменить индуктивный угол а,-(г) согласно
его выражению (86), то для определения неизвестной циркуляции Г(г)
найдем следующее интегро-дифференциальное уравнение Прандтля:
Г (г)
:±ao(z)b(z)Ua
4я[/0
J
—/
A09)
В этом уравнении, подчеркнем еще раз, под геометрическим углом
атаки а («г), так же как и под действительным углом в предыдущем ра-
равенстве, подразумевается угол, отсчитанный от направления нулевой
подъемной силы.
*) См. Горощенко Б. Т. Аэродинамика скоростного самолета.— М.. Оборонгиз
1948, с. 25.
§ 79 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 319
В современных специальных курсах аэродинамики самолета изла-
излагаются методы решения уравнения Прандтля A09), в том числе и мето-
методы, использующие машинную технику счета. Как уже упоминалось, из-
изложенная теория «несущей линии» пригодна лишь для расчета крыль-
крыльев самолета с большим относительным удлинением. Теория крыльев ма-
малого удлинения основывается на замене крыла вихревой поверхностью,
приходящей на смену вихревой «несущей линии». Литература в этой об-
области как в Советском Союзе, так и за рубежом весьма обширна. Ото-
Отошлем читателя к «Сборнику теоретических работ по аэродинамике»
(Оборонгиз, 1957), где (в статьях П. И. Чушкина и Г. А. Колесникова)
излагаются методы расчета крыльев малого удлинения и приводится
основная библиография по этому вопросу.
Благодаря в значительной степени исследованиям советских ученых,
широкое развитие получила теория нестационарного движения крыла в
безвихревом потоке несжимаемой жидкости и газа1).
§ 79. Общий случай движения твердого тела в безграничной
идеальной несжимаемой жидкости. Задача Кирхгофа
При рассмотрении внешнего обтекания твердого тела до сих пор
предполагалось, что тело неподвижно, а набегающий на него поток од-
однороден и стационарен, или же жидкость вдалеке от тела неподвижна,
а тело движется сквозь нее поступательно, прямолинейно и равномерно.
Именно в этом предположении был доказан парадокс Даламбера о ра-
равенстве нулю главного вектора сил давления жидкости на поверхность
тела конечных размеров.
Обратимся теперь к рассмотрению общего случая неравномерного
и непоступательного движения твердого тела в безграничной, несжима-
несжимаемой идеальной жидкости, покоящейся на бесконечности.
Условимся в дальнейшем все величины, относящиеся к твердому те-
телу, обозначать индексом «звездочка», а для тех же величин в окружа-
окружающей тело жидкости сохраним обычные обозначения. Так, вектор ско-
скорости точек твердого тела обозначим через V*(u*, v*, w*) и будем счи-
считать равным
v*=v;+cD*xr*, (по)
где V*(u*Q, t>', w*0)—скорость произвольной точки О* твердого тела,
принятой за полюс; о>* — угловая скорость вращения тела вокруг мгно-
мгновенной оси, проходящей через полюс О*; г*— вектор-радиус точки твер-
твердого тела относительно полюса О*.
Введем в рассмотрение две системы координат: 1) абсолютную, не-
неподвижную систему Oxyz и 2) относительную, подвижную, связанную с
твердым телом систему O*x*y*z*. Если по ходу вывода отсутствует диф-
дифференцирование по времени, то время теряет свое значение как незави-
независимое переменное, а становится просто параметром, отмечающим следу-
следующие одну за другой пространственные картины явления. При этом, ни-
нисколько не нарушая общности, можно в любой фиксированный момент
времени считать обе системы координат совпадающими и пользоваться
для описания явления либо координатами х*, у*> 2*> либо х, у> г.
В тех же случаях, когда время является аргументом, по которому
производят дифференцирование, уже нельзя пренебрегать взаимным
движением координатных систем и становится необходимым различать
два рода производных: абсолютную d/dt, вычисляемую в неподвижной
системе координат Oxyz, и относительную d*/dt, определенную в под-
*) Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло в
нестационарном потоке газа.— М.: Наука, 1971 (там же — обширная библиография),,
320 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
вижной, связанной с твердым телом системе 0*х*у*2*. Напомним, что
абсолютная и относительная производные по времени от некоторой век-
вектор-функции a(t) связаны соотношением1)
^в?±+ш*хв. (Ш)
dt dt v '
Согласно доказанной в начале гл. VII теореме Лагранжа можно
считать, что движение, вызванное в жидкости перемещающимся в ней
телом, будет безвихревым. Потенциал скоростей ф, в отличие от преды-
предыдущих— стационарных движений,— является функцией не только коор-
координат, но и времени.
Из равенства V^gradcp и уравнения несжимаемости жидкости
divV=0 следует, что искомый потенциал ф(*, у, г, t) должен удовлет-
удовлетворять в каждый данный момент времени уравнению Лапласа
У2ф = 0. A12)
Граничное условие непроницаемости поверхности твердого тела о,
требующее, чтобы проекции на нормаль п к поверхности о скорости V
частиц жидкости, скользящих по поверхности, совпадали с соответству-
соответствующими проекциями скорости V* точек твердой поверхности, и условие
убывания потенциала ф при удалении от тела могут быть записаны в
форме
Vn =-f2- =Vn = V*On + КXг*) -n = ulnx+ vlriy + wonz +
on
+ со* (уп2 — zny) + со* (znx — xn2) + (o2 (xn'y — ynx) (на а); A13)
ф=ОA//?2)-*0 при #-мх>.
В равенствах приняты обозначения: Vlx = uQ> V*oy = vl, V*oz = w*O9 причем
проекции взяты на оси Oxyz, в данный момент времени совпадающие с
Подчеркнем, что для определения нестационарного поля потенциала
скорости ф(х, у у г, /) никакие начальные условия не требуются, так как
уравнение A12) не содержит частной производной по времени. Решение
в любой данный момент времени / не зависит от предыстории потока.
1Время служит в этой задаче только параметром, влияние которого про-
проявляется в конкретном виде правой части граничного условия A13), со-
содержащей характеристики движения твердого тела.
Пользуясь линейностью уравнения A12), будем, следуя Кирхго-
Кирхгофу2), искать решение этого уравнения в форме
Ф = "o^i + иоФг + <Фз + <Ф4 + ^Фб + *>гФв- A И)
Тогда уравнение A12) распадается на систему следующих шести урав-
уравнений Лапласа для каждой из функций фг:
У2Ф1.=О (f=l, 2, ...,6) A15)
с граничными условиями
дп on on
^ ynz — zn d$L = zrix — xnz> ^ = xtiy — ynx] A16)
дп дп дп
->0 при Я->оо.
!) Л о й ц я н с к и й Л. Г., Л у р ь е А. И. Курс теоретической механики. Т. I.—M:
Наука, 1982, с. 303, формула A2).
2) К и р х г о ф Г. Р. Механика. Лекции по математической физике.— М.: Изд-во АН
СССР, 1962, 18-я лекция, с. 122—197.
§ 79. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 321
Уравнения A15) не содержат производных по времени. Замечая,
что правые части граничных условий A16) в системе координат Oxyz
тождественны с соответствующими выражениями в совпадающей с ней
и связанной с телом системе координат O*x*y*z*, убедимся, что реше-
решения ф» уравнений A15) при граничных условиях A16) также от време-
времени не зависят. Отсюда следует, что равенство A14) представляет иско-
искомое решение для потенциала ср(ху у, г, /) в виде суммы произведений за-
заданных наперед функций времени г/'(/), v*Q(t)y ш*(/); со*(/), со*@,о>*(/),
определяющих движение тела в жидкости, на неизвестные функции
<!><(*• У*z) только от координат.
Функции ф,(х, у, г) можно интерпретировать как потенциалы ско-
скоростей следующих движений жидкости относительно связанной с твер-
твердым телом координатной системы: первые три потенциала <р4, <р2, ср3 со-
соответствуют обтеканиям рассматриваемого тела при его поступательных
и равномерных движениях со скоростями, равными единице, вдоль осей
координат; последние три потенциала ф4> ер5, фе — вращательным движе-
движениям тела с единичными угловыми скоростями вокруг осей координат.
функции ф» в связи с этим называют единичными потенциалами.
Предполагая, что функции <р< определены, перейдем к разысканию
главного вектора и главного момента сил давления жидкости на движу-
движущееся в ней твердое тело. Заключим движущееся тело внутрь некоторой
жидкой сферы большого радиуса Ro с поверхностью о0 и применим тео-
теорему количеств движения к жидкой массе, находящейся в переменном
во времени объеме т между поверхностями а и а0. Обозначим через
Q главный вектор количеств движения жидкости в объеме т, через F —
искомый главный вектор сил давления жидкости на поверхность тела о
и через F'— главный вектор сил давления, приложенных извне к по-
поверхности а0; тогда будем иметь
откуда следует, что
F = F' — ^L. A17)
dt v '
Отметим, что в равенстве A17) и в предыдущем равенстве произ-
производная по времени является абсолютной производной, т. е. выражает
быстроту изменения во времени главного вектора количеств движения
жидкости по отношению к неподвижной системе координат Oxyz.
Вектор F' найдем по формуле
F' = — J pnQdoQ9
куда вместо давления р следует, согласно интегралу Лагранжа — Коши
(§48), подставить выражение
причем по условиям покоя жидкости на бесконечности
р->Рео, V->0, ф->0 при R-+oo
функция /(/) в последнем равенстве может быть заменена на постоян-
постоянную величину Роо/р. Отбрасывая интеграл от постоянного слагаемого р«,
получим
rJ dt ° °^ 2 J ° ° A18)
М-9487
322 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Главный вектор количеств движения жидкости в объеме т, заклю-
заключенном между поверхностями а и а0, выразим через поверхностные ин-
интегралы так:
Q = jj pVdx = р ^ grad ydx = — р ^ щ da+ p ^ <pn0do0\ A19)
знак минус перед первым интегралом в правой части объясняется тем,
что внешняя нормаль к поверхности тела о является внутренней нор-
нормалью по отношению к объему жидкости т, заключенному между по-
поверхностями а и о0.
Возвратимся теперь к вычислению главного вектора F сил давления
потока на движущееся в нем тело. Согласно A17) для определения век-
вектора F необходимо вычислить индивидуальную производную от главно-
главного вектора количеств движения Q, представленного правой частью фор-
формулы A19). Составляя выражение производной
. A20)
сохраним пока без изменения первое слагаемое в правой части, а вто-
второе выразим как сумму локальной производной по времени, легко вы-
вычисляемой при неподвижности (независимости от времени) поверхности
Со в виде
д С j С дф л
— I р ф#0 ао0 = \ р —— fiQao0J
dt J J dt
и конвективной производной, которая требует для своего вычисления не-
непосредственного составления предела отношения разности приращенно-
приращенного и первоначального значений дифференцируемого интеграла к прира-
приращению времени. Такой предел, как известно (§ 24), сводится к переносу
количества движения сквозь поверхность, т. е. в данном случае к инте-
интегралу
Подставляя полученные выражения локальной и конвективной про-
производных в правую часть A20), получим
и, возвращаясь к A17) и A18), найдем следующее выражение главно-
главного вектора сил давления, приложенных со стороны жидкости к поверх-
поверхности движущегося в ней тела:
F = "л IpwdG+р I (i v*n° ~УпУ)
0
Устремим теперь радиус Ro поверхности с0 к бесконечности. Тогда,
рассуждая так же, как при доказательстве парадокса Даламбера (§ 73),
убедимся, что выражение, стоящее под знаком интеграла в последнем
слагаемом правой части равенства A21), имеет порядок 1//?J» в то вре-
время как поверхность интегрирования имеет порядок Ro't следовательно,
при R0-+oo слагаемое это стремится к нулю. Окончательно найдем иско-
§ 79. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 323
чую формулу главного вектора сил давления жидкости на поверхность
:ш
d r*
г = — \ pqwda. A22)
dt J
а
Проводя аналогичные рассуждения, найдем выражение главного
-омента сил давления жидкости на поверхность тела
A23)
Следуя принятым ранее обозначениям, зададим главный вектор Q*
v главный момент /С* количеств движения твердого тела, движущегося
в жидкости. Тогда, согласно теоремам количеств и момента количеств
движения в применении к твердому телу, получим уравнения движения
-зердого тела
где F* и М* обозначают соответственно главный вектор и главный мо-
момент внешних сил, приложенных к твердому телу, помимо реакций жид-
жидкости F и М. Принимая во внимание A22) и A23), перепишем преды-
предыдущие уравнения в виде
= М\ A24)
о
Введя обозначения
If A25)
перепишем уравнения A24) в сокращенной форме:
± ± M\ A26)
(Q + B)\ (/
at at
Полученным уравнениям дадим следующую трактовку: уравнения
сзижения твердого тела в жидкости можно рассматривать как уравне-
уравнения движения тела в пустоте, если к главным векторам количеств и мо-
чгнтов количеств движения твердого тела прибавить соответственно до-
'слнительные векторы В и /; определенные равенствами A25). Назо-
Назовем их векторами количеств и моментов количеств движения жидкости,
грисоединенными к твердому телу.
Рассмотрим теперь детальнее полученные выражения A22) главно-
главного вектора F и 41B3) главного момента М сил давления жидкости на
поверхность. С этой целью, воспользовавшись A25), перепишем их для
краткости в форме
F = -¦%-, М = --%- A27)
at at
р перейдем от примененных в этих равенствах абсолютных производ-
производных к относительным согласно равенству A11).
Будем иметь для вектора F выражение
F = — ?*- — «>*хВ. A28)
dt
Что касается выражения A23) главного момента М, то здесь надо
гоинять во внимание существенную для правильного вычисления абсо-
324 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
лютной производной по времени разницу между вектор-радиусом г в
абсолютной системе координат и совпадающим с ним в данный момент
времени относительным вектор-радиусом г*. При принятом нами мгно-
мгновенном совпадении подвижной O*x*r/*z* и неподвижной Oxyz систем
координат абсолютный вектор-радиус г следует рассматривать как пре-
предельное значение суммы вектор-радиуса точки О* и относительного век*
тор-радиуса г*
что нельзя не учитывать при вычислениях абсолютной производной. Бу-
Будем иметь, согласно вторым равенствам систем A25) и A27),
df d С t Г d С / .«v jT
___ = i рф/- x/i da= l РФ (го»+г )xnda =
dt dt J \ dt J л
о La -Ко*—°
= — —^— X \ pq>ndo+ го*Х — \ pyndo-\ \ рфг xndo
dt J dt J dt J
at
Переходя после этого от абсолютных производных к относитель-
относительным, окончательно получим искомую формулу главного момента си
давления потока на поверхность тела
М = —— — <**хГ—У\хВ% A29)
dt
где под / понимается его выражение в относительной системе координат
/=--$p<pr'x/ida. A30)
a
Разберем два частных случая общего движения твердого тела в
жидкости.
1. Тело движется в жидкости поступательно и равномерно. В этом
случае ю* = 0, В не зависит от времени, и равенство A28) приводит к
известному уже нам парадоксу Даламбера (§ 73). Как это следует из
A29), главный момент сил давления при этом не равен нулю
Равновесию тела соответствует выполнение условия параллельно-
параллельности векторов Vo и В.
2. Движение тела складывается из равномерных движений полюса
и вращения вокруг полюса. Парадокс Даламбера в этом случае уже не-
несправедлив; имеем по A28)
F=— (д*ХВ.
Главный момент состоит из двух слагаемых
М = — о>*х/— VlxB.
Для дальнейшего полезно изменить обозначения проекций векторов
скорости VI полюса тела и угловой скорости со* ехо вращения, положив
точно так же примем обозначения
§ 79. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 325
В новых обозначениях выражение потенциала скоростей A14)
будет
в
Воспользуемся теперь выполняющейся в любой момент времени на
поверхности тела а системой равенств A16); тогда в новых обозначе-
обозначениях будем иметь по A31)
дф/ С в дф, 6
(I = I,z, .. .,6;^
A32)
где введено обозначение
hk = -p D%*Жт. A33)
a
Величины fa, вычисленные в связанной с твердым телом координат-
координатной системе, представляют собой некоторые постоянные, зависящие
лишь от плотности жидкости и формы поверхности тела, так как, по ра-
ранее доказанному, <р< не зависят от времени.
Являясь коэффициентами в выражениях A32) присоединенных ко-
количества и момента количества движения через скорости qkt величины
fo играют роль инерционных коэффициентов, присоединяемых к инер-
инерционным коэффициентам, входящим в аналогичные выражения количе-
количества движения и момента количества движения самого твердого тела.
Так, например, проекция на ось Ох количества движения твердого
тела, массу которого обозначим через т*, равна
= rrCui + Ыу Г z dm*— (Dzf j/ dm*= т*щ + тгСгс^у — mmyc(olf
m* m*
где у* и ze — координаты центра тяжести тела; отсюда в новых обозна-
чениях следует
Q[ = nCqx + nCzcqb — m*ycqe.
Проекция на ось Ох суммы количества движения Q* и «присоеди-
«присоединенного» количества движения В будет равна
1Ъ) qb +
Как видно из структуры этого выражения, инерционные коэффици-
коэффициенты Xik присоединяются к инерционным коэффициентам в выражении
проекции количества движения твердого тела: А,ц — к массе, А,15 и Я1в —
к статическим моментам масс; остальные коэффициенты в общем случае
составляют члены, отсутствующие в выражении проекции главного век-
вектора количества движения твердого тела. Инерционные коэффициенты
^называют коэффициентами присоединенных масс.
Тридцать шесть коэффициентов присоединенных масс
1=1,2,....6
обладают свойством симметрии, т. е. не зависят от порядка индексов.
Чтобы это доказать, составим применительно к объему т, ограниченно-
326 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
му поверхностями тела а и сферы а0 большого радиуса /?0, следующее
известное соотношение (применено второе из равенств (88) гл. I при
a=gradcp*):
С cptV2(ff4T = [ Ф/ div (grad ф*) dx =[ div (ф< grad ф*) dx — С grad ф* • grad <fkdx
j j j *j
XX t X
и вычтем из него аналогичное соотношение с измененным порядком ин-
индексов; тогда получим общую формулу
§ (ф^2ф* — ф^ф,) dx = ^ div (ф< grad ф*) dx — ^ div (щ grad <p() dx.
х т т
Замечая, что единичные потенциалы ф, и фЛ удовлетворяют уравне-
уравнению Лапласа, и применяя к правой части формулу Гаусса — Остроград-
Остроградского, приходим к равенству
Примем во внимание, как и раньше, что интеграл справа при уда-
удалении поверхности сферы о0 на бесконечность стремится к нулю (ф< име-
имеет порядок 1//?оэ d(f>i/dn0 — порядок 1//?03); тогда будем иметь
дп J дп
а о
или, по определению коэффициентов присоединенных масс,
что и доказывает свойство симметрии этих величин.
Присоединенные массы Xik входят коэффициентами в выражение
квадратичной зависимости кинетической энергии Т возмущенного дви-
движения жидкости от скоростей движения твердого тела.
Подсчитывая кинетическую энергию жидкости в объеме т между
поверхностями а и а0 и замечая, что внешняя нормаль на а совпадает с
внутренней по отношению к объему т, получим
ренн
= | Jdiv (Ф grad Ф) dx-1 j tpV'cp dx = -1 j q> |EL da +1 j q> -g- da0
cr0
и, вновь замечая, что при удалении поверхности а0 на бесконечность вто-
второй интеграл справа обратится в нуль, получим
Подставим сюда разложение потенциала скоростей ф на единичные
потенциалы составных движений фг, тогда, перемножая суммы, найдем
искомое выражение кинетической энергии возмущенного движения жид-
жидкости через скорости тела и присоединенные массы
г 2 2
Сравнивая это выражение с выражением A32), получим связь меж-
между присоединенной кинетической энергией возмущенного движения Т и
§ 79. ОБЩИЙ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 327
присоединенным количеством движения В{
Bi=lT- (' = 1.2,...,6). A36)
Если написать в развернутом виде выражение кинетической энергий
самого движущегося твердого тела
Г -1 f К*2 dnC= — [лГ (u02 + и? + ^o2) + 2m*xc (vW2 — ^co*'
2 Jt 2
то легко убедиться, что при присоединении кинетической энергии Т воз-
возмущенной телом жидкости к энергии самого движущегося тела Г* ко-
коэффициенты Xiki так же как и в случае векторов количеств и моментов
количеств движения, присоединяются к соответствующим инерционным
коэффициентам в выражении Г*: массе, статическим моментам, момен-
моментам инерции и центробежным моментам. Это еще раз поясняет смысл
коэффициентов ^А и происхождение названия присоединенных масс.
Приведем расчеты нескольких простейших «присоединенных масо.
Пусть круглый цилиндр радиуса а, окруженный безграничной идеальной
несжимаемой жидкостью плотности р, совершает поступательное дви-
движение вдоль оси Оху перпендикулярной к оси цилиндра, со скоростью
«о, являющейся заданной функцией времени /. В этом случае потенци-
потенциал скоростей возмущенного движения будет
и коэффициент при ы0 (О
a2 cos е
«h——
будет играть роль единичного потенциала, а коэффициент присоединен-
присоединенной массы по A33) будет равен
2Л 2Я
Хп = — р \ фх ( —— | a de= pa2 \ cosa e d& = яра2 = m,
о о
где т —масса жидкости в объеме цилиндра, приходящаяся на единицу
его длины.
Реакция жидкости на цилиндр будет определяться по формуле
Р 4ВХ dU fa
dt n dt di
В случае равномерного движения цилиндра (duo/dt=O) эта сила
пропадает и имеет место парадокс Даламбера. При ускоренном движе-
движении цилиндра реакция жидкости существует, причем она тем больше»
чем больше ускорение цилиндра.
Составляя дифференциальное уравнение движения цилиндра (т* —
масса единицы длины цилиндра, F* — внешняя сила, помимо реакции
жидкости)
328 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
видим, что его можно переписать так:
Под действием приложенной силы F* цилиндр будет двигаться в
жидкости так же, как в пустоте, если только массу его увеличить m
присоединенную массу жидкости в объеме цилиндра.
Столь же просто решается задача о прямолинейном движении ша-
шара. В этом случае будем иметь
где m — масса жидкости в объеме шара.
Дифференциальное уравнение движения шара будет
ИЛИ
Сравнивая это уравнение с уравнением прямолинейного движения
шара под действием той же силы F* в пустоте
приходим к заключению, что движение шара в жидкости можно рас-
рассматривать как происходящее в пустоте, если только к массе шара
присоединить дополнительную массу, равную половине массы жидкости
в объеме шара.
Если масса жидкости в объеме движущегося тела мала по сравне-
сравнению с массой самого движущегося тела (например, снаряд или самолет
в воздухе), то присоединенной массой можно пренебречь. В других слу-
случаях (дирижабль в воздухе, корабль или торпеда в воде и др.)» наобо-
наоборот, роль присоединенных масс оказывается первостепенной.
Следует, конечно, иметь в виду, что присоединенные массы при об-
обтекании тел реальной жидкостью отличаются от вычисленных здесь в
модели безотрывного обтекания невязкой несжимаемой жидкостью.
Имея в виду особенно большое прикладное значение понятия при-
присоединенной массы для тел вращения (дирижабельные и торпедные
формы), выведем общие формулы присоединенных масс для продольно-
продольного относительно оси симметрии и поперечного по отношению к ней дви-
движения тела вращения.
В случае продольного движения вдоль оси Ох имеем
= Ьхх = — Р Г<
или, в силу граничного условия A16) на поверхности тела и очевидного
равенства do=2nrdsi
= — р С (pxnxda = — 2яр С yyrnxds = — 2яр С фхг dr.
а
§ 79. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 329
Используя E4), получим
1
- (X* - 1) ц] ф.
[
Согласно E9) для потенциала возмущенного движения с единичной
скоростью будем иметь
так что для присоединенной массы в продольном движении, или, коро-
че, продольной присоединенной массы, получим следующее общее вы-
выражение:
где подразумевается, что координата X есть заданная функция ц соглас-
согласно уравнению обвода меридианного сечения тела.
В случае эллипсоида вращения с большей осью а, направленной
вдоль оси Ох, имеющего уравнением обвода X=X0=lfe (e — эксцентри-
сет), предыдущий интеграл легко вычисляется. Как ранее в § 75, по-
получим
1
__ 1
где, напоминаем, а и Ь — большая и малая полуоси, е — эксцентриситет.
Полагая в последней формуле е=0 и раскрывая неопределенность,
вновь получим присоединенную массу шара
2
= — яря .
3
Аналогичным путем определим и присоединенную массу тела вра-
вращения при поперечном его поступательном движении вдоль оси Оу9 или
поперечную присоединенную массу.
Сохраняя обозначения § 76, найдем
и в частном случае поперечного движения эллипсоида вращения (в на
правлении, перпендикулярном большей оси)
ln
2е* 1-е
при е=0 последняя формула также переходит в формулу для присоеди-
присоединенной массы шара.
330 гл- IX- ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗБИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Присоединенные массы играют важную роль в расчетах нестацио-
нестационарных движений тела в жидкостях, явлений удара тел о свободную по-
поверхность жидкости и др.1).
Задача о плоском нестационарном движении жидкости, вызывае-
вызываемом неравномерно движущимся профилем, представляет частный слу-
случай изложенной общей теории, если циркуляция вокруг профиля прини-
принимается постоянной. Классическое исследование этого случая движения
профиля и установление формул силы и момента принадлежит
С. А. Чаплыгину и относится к 1926 г.2), а дальнейшее развитие этого
вопроса — Л. И. Седову3). Основная трудность в изучении нестационар-
нестационарных движений крылового профиля заключается в переменности во вре-
времени циркуляции и возникновении в связи с этим в потоке сходящей с
профиля вихревой пелены, оказывающей индуктивное влияние на его
обтекание.
Изложение классических теорий нестационарного движения крыла
в жидкости можно найти в специальной монографии А. И. Некрасова
«Теория крыла в нестационарном потоке» (изд-во АН СССР, 1947) ив
только что цитированной монографии Л. И. Седова; последняя содер-
содержит также исследование колебаний крыла в газе.
Теория нестационарного движения крыла конечного размаха и раз-
различной формы в плане изложена в специальных монографиях4).
§ 80. Осесимметричное до- и сверхзвуковое обтекание
тонкого тела вращения
Так же как и в случае плоского обтекания, уравнения пространст-
пространственного безвихревого движения идеального совершенного газа можно
получить, используя условия: 1) неразрывности течения, 2) отсутствия
в потоке завихренности и 3) адиабатичности и изэнтропичности про-
процесса.
Уравнение неразрывности в цилиндрических координатах легко по-
получить при помощи приведенной формулы (85) гл. I для дивергенции.
Считая окружную (трансверсальную) скорость Ve равной нулю и дви-
движение не зависящим от азимута е, будем иметь
dlv(PK)=T
Условимся обозначать: продольные, параллельные оси симметрии
движения координату и скорость через х и и, а поперечные — через г и
х) Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— М.: Наука,
1980. В этой монографии даны таблицы присоединенных масс для цилиндрических тел.
См. также монографию: Б а с и н А. М. Теория устойчивости на курсе и поворотливости
судна. Сер. Современные проблемы механики — М.: Гостехиздат, 1949, где можно найти
графики присоединенных масс для эллипсоидов и других тел, и курсы: К о ч и н Н. Е.,
К и бель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. I, гл. VII.— М: Физ-
матгиз, 1963; Фабрикант Н. Я- Курс аэродинамики. Ч. I.— M, ГОНТИ, 1938.
2) Чаплыгин С. А. О влиянии плоскопараллельного потока воздуха на дви-
движущееся в нем цилиндрическое крыло.— Труды ЦАГИ, 1926, вып. 19; см. также Собра-
Собрание сочинений — М/ Наука, 1964.
3) СедовЛ.И К теории неустановившихся движений крыла в жидкости.— Труды
ЦАГИ, 1935, вып. 229, а также О неустановившемся движении внутри жидкости тел
вращения — Труды ЦАГИ, 1940, вып. 515.
4) Поляхов Н. Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности.—Л.:
Изд-во ЛГУ, 1960; Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачни-
Табачников В. Г. Крыло в нестационарном потоке газа.— М.: Наука, 1971; Белоцерков-
Белоцерковский С. М., Н и ш т М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев несжи-
несжимаемой жидкостью.—М.: Наука, 1978.
§ 80. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 331
v. Тогда уравнение неразрывности приобретет вид
дх дг
При симметрии потока единственной, не равной тождественно нулк>
компонентой вихря будет азимутальная компонента, так что условие
отсутствия завихренности в принятых обозначениях сведется к одному
уравнению
?-?-* <138>
совпадающему с уравнением C) для плоского движения газа (§ 58).
Уравнение A37) отличается от уравнения A) § 58 наличием под знака-
знаками производных множителя г.
Принимаемое нами условие адиабатичности и изэнтропичности про-
процесса движения газа будет в дальнейшем использовано в разнообраз-
разнообразных, наиболее подходящих для данного этапа рассуждения формах,
аналогично тому, как уже это делалось в плоском случае (§ 58).
Пользуясь уравнениями A37) и A38), можно ввести две функции:
потенциал скоростей ср(х, г) и функцию тока *ф(х, г), положив, согласно
A38),
—?• —5- (|39>
и удовлетворив уравнению A37) при помощи равенств (рте — плотность
в невозмущенном однородном потоке; выбор знака был пояснен в § 72)
^ra==i*, _?_„__!!. A40)
Poo dr Poo дх
Подставляя значения и и v из A39) в A37), получим уравнение
для определения потенциала скорости у(х, г)
-5-
а производя аналогичную операцию с выражениями проекций скоростей
A40) и уравнением A38), найдем уравнение для определения функции
тока $(х, г)
дх \ рг дх J дг \ рг д
Уравнения A41) и A42) нелинейны, так как плотность р представ-
представляет собой, согласно уравнению Бернулли, функцию скорости V. На-
Напомним вывод этого и, кстати, еще необходимого для дальнейшего со-
соответствующего соотношения для давления р. Используя формулу Сен-
Венана и Вантцеля (равенство C0) гл. V), будем иметь, определяя кон-
константу по условиям на бесконечности,
1/2 и р г / п \~*~П Ui,
2 k — 1 р^ [ V Poo / J 2 f
откуда следует (&/Wpoo = Доо» ?/<»/Дс» = Моо)
k
"" Ч"'*. A43)
332 ГЛ. IX ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
а по изэнтропическому соотношению р/рм= (р/р«,)Л найдем и искомое
выражение для р/роо
"^. (Н4)
Линеаризация уравнений A41) и A42) применительно к задаче
пространственного обтекания тонкого тела вращения, вызывающего в
набегающем потоке малые возмущения, приводит к некоторым затруд-
затруднениям *).
Разобьем так же, как это делалось в плоском случае, потенциал ско-
скоростей и функцию тока на части, соответствующие невозмущенному од-
однородному потоку фоо, if*, и малым возмущениям ф, г|), положив
Аналогично, считая однородный поток параллельным оси симмет-
симметрии Ох, а скорость его равной ?/«,, представим проекции скорости и, v
и плотность р также разбитыми на величины, соответствующие невозму-
невозмущенному потоку и*, 0, рос, и малые возмущения 2, v> p
u = Uoo + uy v = v, p = poo-fp.
Подставляя эти выражения в A39), A40), получим
</„ +2? = *?=- + ?, *-^ + -f,
дх дх дг дг
A45)
дг дг \ Роо ) дх дх
Отсюда в нулевом приближении (ф = \|) = ^ = у = р = О) будем иметь
дх дг дг дх
что приведет к обычным выражениям для потенциала скоростей и функ-
функции тока невозмущенного потока фто и if»:
Фоо = ?/оол:, i|)Oo = yf/oo/-2. A46)
Из первой строки системы равенств A45) непосредственно следует
Для вывода аналогичных связей проекций скоростей возмущения с
соответствующей им функцией тока необходимо в последних двух стро-
строках системы A45) исключить возмущение плотности р. С этой целью за-
заметим прежде всего, что
V2 о и I и V / v
'оо
1) См. Ван-Данк М. Методы возмущений в механике жидкости.—М.: Мир
1967, с. 236—242.
§ 80. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 333
л перепишем равенства A43) и A44) в следующей форме:
A48)
Poo
Напомним, что при рассмотрении линеаризованных уравнений плос-
плоского течения газа мы в предыдущей главе пользовались аналогичными
формулами, но сохраняли только первые члены в квадратных скобках,
пренебрегая квадратичными членами.
Как будет далее показано, в случае пространственного осесиммет-
ричного обтекания тонких тел вращения такое отбрасывание допустимо
только для члена (и/и*J, который по сравнению с малой величиной
«/[/„, конечно, представляет малую высшего порядка. Что же касается
величины (?/?/« J, то она, как это будет следовать из дальнейших оце-
оценок, не имеет второй порядок малости по сравнению с ?/?/», так что от-
отбрасывание в квадратной скобке слагаемого (v/U»J при сохранении
первого члена 2м/?/« не является оправданным.
Для рассмотрения этого не столь простого вопроса применим сле-
следующий прием: сначала произведем обычную, аналогичную плоскому
случаю грубую линеаризацию, сохранив в квадратных скобках равенств
A48) только первый член 2н/?/оо, т. е. положив
а затем, используя полученное таким образом — не будем его называть
«первым приближением» — приближенное решение, оценим, как говорят,
a posteriori величину отброшенного члена (vi'UmJ.
Подставляя второе из соотношений A49) в последние два равенст-
равенства A45) и приравнивая коэффициенты при малых величинах первого
порядка, найдем выражения проекций скоростей возмущений через
функцию тока возмущений
Z = \ LiLf y = _±*L. A50)
1 —Mi, r dr r дх
Формулы A47) совпадают с соответствующими формулами A3)
плоского линеаризованного движения (гл. VIII), а формулы A50) от-
отличаются от формул A5) той же главы на множитель 1/г перед произ-
производными в правых частях. ^
Подставляя полученное значение возмущения плотности р A49) в
A41) и приравнивая малые первого порядка, составим линеаризованное
уравнение для потенциала скоростей возмущений
O-MLL? + i? + -4F-=o 051)
дх2 дг2 г дг
и аналогичным путем линеаризованное уравнение для функции тока воз-
возмущений
A-М1)Ц + Ц_-Ljf = 0, A52)
дх* дг2 г дг
отличающееся от предыдущего знаком при последнем члене в левой
части.
334 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Обратимся к рассмотрению граничных условий на поверхности об-
обтекаемого тела.
Для уравнения A51) граничное условие может быть получено как
условие непроницаемости поверхности тела. Пусть уравнение поверхно-
поверхности тела в цилиндрических координатах будет г—го(х). Тогда условие
непроницаемости поверхности тела можно записать как равенство углов
наклона к продольной оси касательной к контуру тела и линии тока
dX ["«, + " )r=r,W ".
Это граничное условие не может быть, как в плоском случае, «снесено»
на ось тела, т. е. применено при г=0, так как в случае осесимметрично-
го движения ось Ох является особой линией — на ней ?=oo, что непо-
непосредственно следует из второго равенства A50). Избежать эту особен-
особенность можно приближенно, заменив предыдущее условие таким:
-^Jjt*. A54)
Иначе будет обстоять дело при пользовании уравнением A52) для
функции тока. В этом случае граничное условие выражает тот факт, что
поверхность тела является нулевой поверхностью тока
^ = (Ф<* + $)г=Г0(*) = — UooA + ЦГ=Г9(Х) = 0,
или
Это условие может быть «снесено» на ось Ох и сводится к следующему
приближенному:
$ = 1- ?/ооГ20 (х) при г = 0. A55)
Рассмотрим в указанной простейшей постановке задачу Кармана1)
о продольном сверхзвуковом обтекании тонкого тела вращения.
Основное дифференциальное уравнение этого течения в цилиндри-
цилиндрических координатах может быть, согласно A51), представлено в виде
-1. A56)
Следуя Карману, докажем, что уравнение A56) имеет интеграл
A57)
где д:=| = 0 соответствует лобовой точке тела, а /(|)—некоторая не-
непрерывная, дважды дифференцируемая функция, тождественно равная
нулю при |^0. Замечая, что дифференцирование затруднено тем об-
обстоятельством, что функция, подлежащая интегрированию, в верхнем
пределе обращается в бесконечность, произведем замену переменной
интегрирования, положив
\ = х—со г ch U d\ =—v>r sh / dt. A58)
]) Карман Т. Проблема сопротивления в сжимаемой жидкости: Пер. с англ.—
В кн.- Газовая динамика.—М : ГОНТИ, 1939, с. 81—90.
§ 80. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Интеграл A57) примет при этом более простой вид
335
— (orcht)dt9
A59)
который может быть еще более упрощен, если заметить, что изменению
переменной / в области
arch — < / < оо
сог
соответствует область изменения
оо,
где, по сделанному предположению, /(g)s=0. Это позволяет заменить
верхний предел интегрирования в A59) на оо и получить
,/*) = (*/(# — a>rcht)dt.
A60)
Интеграл определен во всем пространстве (х, г), но в области вне
конуса (рис. 132)
х=сог A61)
с половиной угла раствора а, равной
а = arctg — = arctg — = arcsin ,
х со М^
тождественно равен нулю, так как в этой области аргумент функции /,
стоящей под интегралом, становится отрицательным; действительно,
х—&rcht<.x—сог<0 при х<С(ог.
Это показывает, что рассматриваемые возмущения однородного по-
потока сосредоточены внутри ко-
конуса A61), который носит на-
наименование конуса возмуще-
возмущений— конуса Маха. Угол рас-
раствора этого конуса 2а равен ^\a=arcsln-x
удвоенному углу возмущения
(углуМаха), подобно тому, как
это имело место в плоском
сверхзвуковом потоке.
Нетрудно доказать, что
интеграл A60), а следователь-
следовательно, и равный ему интеграл
A59) удовлетворяют диффе-
дифференциальному уравнению ма-
малых возмущений в сверхзвуко-
сверхзвуковом потоке A56).
Моо>/
Рис 132
Вычислим непосредственно по формуле A60) производные1)
JL == \ р (х — cor ch /) dty —- = [fix — cor ch /) dt,
дх J дх2 J
о о
^ oo oo
i!L = — (of/'(x — ©rchOch/Л, -^2- = co2 [f"{x — <archt)ch21dt
dr J dr2 J
') Штрихи при f под знаком интеграла обозначают производные по всему аргу-
аргументу, стоящему в скобках.
336 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
и заметим, что интегрирование по частям дает
= — g)G'(* — (orcht)d(sht) =
дг J
о
оо
= _ (о [/' (Л _ ©г ch t) sh t\" — caV f f" (x — or ch 0 sha / dt.
0
Из условия /(?) = 0 при |<0 следует, что
lim [/'(* — corch/)sh/] = 0,
*->оо
и подстановка обращается в нуль; получим, вычисляя левую часть
A56),
Интеграл A57) можно рассматривать как сверхзвуковой аналог по-
потенциала скоростей возмущений от распределенных вдоль положитель-
положительной части оси Ох источников, в случае несжимаемой жидкости (Моо=0,
оJ=—1) представленного равенством G2). Между этими двумя гидро-
гидродинамическими образами имеется принципиальное различие, с матема-
математической стороны выражающееся в том, что соответствующий потенци-
потенциал скоростей в несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению эллип-
эллиптического типа (уравнению Лапласа), а потенциал A57)—уравнению
гиперболического типа—волновому уравнению A56). С физической
стороны это различие заключается в том, что влияние возмущений в пер-
первом случае распространяется на всю область, заполненную жидкостью,
во втором — только на часть ее, расположенную внутри конуса возму-
возмущений с вершиной в точке О, откуда начинается распределение вдоль
оси конуса (ось Ох) сверхзвуковых источников.
Потенциал скоростей возмущений A60) может быть использован
для расчета сверхзвукового обтекания удлиненных тел вращения одно-
однородным потоком, параллельным их оси симметрии. Подчиним с этой
целью неизвестную функцию- /(?) условию непроницаемости поверхно-
поверхности обтекаемого тела. Это условие в принятом приближении можно за-
записать, выразив равенство тангенсов углов с осью Ох касательных к ли-
линии тока и контуру меридианного сечения обтекаемого тела в точках
его поверхности
= 4г. О62)
где r=ro(x) представляет уравнение меридианного сечения тела. Для
вычисления скоростей возмущений й; v используем равенства A47) и
A60); будем иметь
ы= \f'{x — (archt)dt, v = — (a\f'(x — a>rcht)chtdt, A63)
О О
или, возвращаясь к переменной |,
х—тг
^= — — f ,/,*~!lr(S),=rdi- A64)
$ 80. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 337
Подставляя последнее выражение в равенство A62), найдем следу-
следующее интегральное уравнение для определения неизвестной функции
/F):
9(
С
J
A65)
Это уравнение в грубом приближении легко интегрируется, если для тел
большого удлинения положить под знаком интеграла и в верхнем его
пределе
<ог0<лг—|, сог0<д:.
Тогда получим (напомним, что /@) =0)
J /' F) dl=f(x) = - (/«го (х) г0 (х), A66)
о
или, характеризуя тело законом изменения площади его поперечного се-
сечения Л (*)=яг?(л;),
f(x) = -^A'(x). A67)
Это приближение эквивалентно отмеченному в конце § 77 выражению
G8) для несжимаемой жидкости.
Подставляя полученное значение f(x) в равенство A57), найдем
искомое выражение потенциала
) = - Г Л'ф *5 A68)
Отсюда уже нетрудно определить проекции скоростей возмущений.
на оси цилиндрической системы координат
Х-&Г
A69)
2лг J
W У (х — ?J—@2г2 *
о
и выражение коэффициента давления
Cp = -^- = -L Г л*о , d| A70)
Суммируя давления по поверхности тела вращения данной длины /
и считая г0@)=го(/)=0, можно получить волновое сопротивление тела.
Опуская вычисления, приведем окончательную формулу, принадлежа-
принадлежащую Карману
Rx = -nPoo^f'(t)f'(x)\n\x-t\dxdt A71)
о о
Вычисление сопротивления по этой формуле облегчается, если за-
заметить формальную аналогию между выражением A71) и первым из.
равенств (92), выражающим индуктивное сопротивление крыла конеч-
338
ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
ного размаха. Действительно, заменяя в равенстве (92) o,(z) по форму-
формуле (86), получим
и после интегрирования по частям
Таким образом, можно формулировать следующий результат: вол-
новое сопротивление тела вращения при продольном его обтекании мо-
может вычисляться по формулам индуктивного сопротивления крыла ко-
конечного размаха, если вместо распределения циркуляции по размаху за-
задавать распределение мощности источников по оси тела вращения.
Это позволяет при вычислении волнового сопротивления тела в
сверхзвуковом потоке применять тот же метод разложения в тригоно-
тригонометрические ряды, что при расчете индуктивного сопротивления крыла
конечного размаха по теории несущей линии.
0,2
О
-0,2
Рис. 133
В частности, в полной аналогии с теорией крыла конечного разма-
размаха, можно заключить, что при заданном удлинении тела вращения ко-
коэффициент волнового сопротивления будет минимален, если принять,
что мощность источников распределена по эллиптическому закону.
Чтобы составить представление о разнице между распределениями
давления по поверхности удлиненного тела вращения и соответствую-
соответствующего ему по форме поперечного сечения крылового профиля, приведем
сравнительные графики распределения коэффициента давления для че-
чевицеобразного десятипроцентного симметричного профиля, образован-
образованного дугами параболы и имеющего то же меридианное сечение тела вра-
вращения при Моо = 1,4 (рис. 133). На графике отчетливо видно резкое па-
падение давления на крыловом профиле по сравнению с соответствующим
ему телом вращения. Это отличие приводит к значительной разнице
(рис. 134) ив законах возрастания волнового сопротивления с увеличе-
увеличением относительной толщины крылового профиля и тела вращения. Ес-
Естественно, что в случае тела вращения этот рост значительно слабее.
Происхождение волнового сопротивления, поясненное уже в § 60
гл. VIII, подтверждается графиками, изображенными на рис. 133. Срав-
Сравнивая распределение давления по телу вращения, обтекаемому несжи-
80. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
339
-0,2
эксперимент
маемой жидкостью (Моо = 0), с соответствующим распределением при
Mw—1,4, обнаруживаем появление асимметрии в распределении дав-
давлений.
За счет частичной задержки восстановления давления в кормовой
части тела вращения при сверхзвуковом обтекании (сдвиг сплошной
кривой относительно штриховой вниз по потоку) и возникает волновое
сопротивление. Отсутствие восстановле-
восстановления давления, наблюдаемое в случае
плоского крыла, приводит к резкой раз-
разнице между волновыми сопротивлениями
крыла и тела вращения, имеющего мери-
меридианное сечение, совпадающее с профи-
профилем крыла.
На рис. 135 приведено сравнение
теоретического распределения коэффи-
коэффициента давления по формулам настоя-
настоящего параграфа с экспериментом ') для
снаряда, имеющего оживальные нос и
корму и цилиндрическую среднюю часть,
при числе Моо=1,87.
Для решения задачи об обтекании
тонкого тела вращения, расположенного
в набегающем потоке под некоторым
малым углом атаки, в полном соответст-
соответствии с теорией обтекания тел несжимае-
несжимаемой жидкостью (§ 76), приходится наря-
наряду с продольным рассматривать еще по-
поперечное обтекание тела вращения.
Дифференциальное уравнение малых возмущений в однородном
сверхзвуковом потоке, направленном перпендикулярно к оси тела вра-
вращения (поперечный поток), будет содержать полярный угол е в плоско-
плоскости Оху. В этом случае уже нельзя откидывать производные по углу е>
и уравнение для определения потенциала скоростей возмущений ср{ в
случае поперечного обтекания будет
~dv2 ~tf[~dr* г дг г2 де2 ) ~ '
а его интеграл имеет вид
0,08
ожив
(
цил
ожид
0 0,2 ОЛ 0,6
0,8 1,0
х
Рис. 135
= ХЛГ Г MB* cose Г-
(О дг\ J K(*-SJ-G)V2 Г J
т(Ъ) определяет плотность распределения интенсивности сверхзвуковых
диполей на оси симметрии тела вращения.
Для вычисления коэффициента давления в случае очень тонких тел
применяется тот же упрощенный прием, что и в случае продольного об-
обтекания, но основанный на приближенной формуле G9), связывающей
плотность распределения моментов диполей и закон изменения площа-
площади поперечного сечения тела вращения.
Потенциал поперечного обтекания в этом грубом приближении,
справедливом только для очень тонких тел, может быть представлен в
конечной форме
!) Рисунки 133—135 заимствованы из книги: Shapiro A. The dynamics and ther-
thermodynamics of compressible fluid flow. Vol. I, II —N. Y., 1953.
340 ГЛ IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Наличие потенциалов продольного и поперечного обтекания позво-
позволяет путем сложения решений получить обтекание тонкого тела при лю-
любом угле атаки а, а затем и вычислить коэффициенты подъемной силы
и сопротивления. Опуская вычисления1), укажем лишь, что коэффи-
коэффициент подъемной силы оказывается равным с„=2а, а к коэффициенту
сопротивления в продольном обтекании, который может быть вычислен
по A71), от поперечного обтекания присоединяется еще член Cxi=ot,
называемый коэффициентом индуктивного сопротивления. Эти резуль-
результаты, выражающие независимость коэффициентов су и с* от формы те-
тела, имеют весьма приближенный характер и не могут конкурировать с
более точными теориями, отличающимися от только что изложенной тео-
теории Кармана в первую очередь тем, что в них принимается во внимание
наличие головной ударной волны на носовой части тела, а в случае тела
вращения с заостренным носком — наличие конического присоединен-
присоединенного скачка уплотнения (см. далее § 82).
Вернемся теперь к поставленному еще в начале параграфа вопросу
о допустимости использованной только что линеаризации. Для оценки
порядков величин скоростей возмущений и, v в зависимости от основно-
основного малого параметра, характеризующего осесимметричное обтекание
тонкого тела вращения — его относительной толщины т, воспользуемся
формулами A64) и применим их к простейшему случаю /'(A:)=const,
что, согласно A67), будет соответствовать обтеканию конуса с малым
углом полураствора 90, определяемым равенством
-^ = ^=tg90^90. A72)
Простые вычисления показывают, что в этом случае будут справед-
справедливы следующие выражения проекций скоростей на поверхности конуса
<М))
и0 = — const • arch^ , v0 = const • co|/ (—— J — 1,
или, принимая во внимание A72),
у^ 1 /»** / 1
и0 = — const • arch , vQ = const • со 1/ 1.
(Обо Г №оJ
(Обо
Замечая, что 0О мало, и предполагая, что число Маха не настолько
велико, чтобы произведение
перестало быть малым, получим следующие простые асимптотические
оценки2), справедливые при со0о<С1:
~ о *** 1
и0 const • In , v0 ~ const • — . A73)
cd9q 6q
Но из граничного условия A62) и равенства A72) сразу следует,
что v0 = O(Qq). Таким образом, по второму из равенств A73) убедимся,
что введенная константа имеет порядок 6$, а проекция скорости возму-
возмущения по при заданном числе Маха — порядок 9* In 90. Возвращаясь к
принятому обозначению т для обобщенного понятия относительной тол-
толщины тела вращения [т=О(90)], окончательно получим следующую
1) См. Липман Г. В. и Рошко А. Элементы газовой динамики: Пер. с англ.—
М.: ИЛ, 1960, с. 290—294.
2) См., например, Д в а й т Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические
формулы. Пер. с англ.— М.: Наука, 1983.
§ 80. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 341
общую оценку порядка малости проекций скорости возмущений:
й = О(т21пт), v = O(%). A74)
Отсюда следует, что слагаемые ?/?/„ и (v/U^J в квадратных скобках
равенств A48) имеют один и тот же порядок, так как при не слишком
малых т сомножитель In т слабо влияет на порядок произведения т2 In т.
Так, наприхмер, если т=10~1, то ?/?/«> будет иметь порядок 2-10, а
@соУ порядок Ю-2, т. е. тот же порядок.
Сохранив в выражении A48) относительной величины возмущения
плотности р/р« квадратичный член (v/U^J, имеющий, как мы только
что убедились, тот же порядок, что и первый член 2ulUooy мы тем самым
отказываемся от допустимости линеаризации уравнения малых возму-
возмущений.
Однако, как показывает детальное исследование1), можно все же
достроить корректное первое приближение, основанное на использова-
использовании линеаризованных уравнений A51) и A52) с граничными условиями
A54) и A55), если для расчета коэффициента давления
с — р~~Ро° = 2^ =2 Ро° ^ = 2 р
р 1 и1 и1 mi
применить вместо неточной формулы A49) разложение A48), сохранив
в квадратной скобке два члена, имеющие одинаковые порядки, так что
будет
?Ш" A75)
Такой подход и используется обычно, когда разыскивается первое
приближение в задачах сверхзвукового обтекания тонких тел вращения.
Приведем без доказательства полученные в этом первом приближе-
приближении формулы2) коэффициента давления ср и сопротивления сх передней
части тела (т. е. без учета так называемого донного давления на кормо-
кормовом срезе; / — длина тела, А(х) —площадь нормального к оси сечения):
О О
Если Л'@=0> последняя формула сводится к ранее выведенной
формуле Кармана A71). Это имеет место в двух случаях: 1) если гоA) =
=0, т. е. тело не имеет кормового среза, 2) г^(/)=0, т. е. наклон конту-
контура тела к направлению набегающего потока на границе кормового сре-
среза равен нулю, что непосредственно следует из очевидного равенства
А'(х)=2ягАх)г'0(х).
Определенное уравнением A52), граничным условием A55) и ра-
равенством A75) первое приближение справедливо как для сверхзвуково-
s) Light hi 11 М. Supersonic flow past bodies of revolution.—Rep. & Mem. Aero.
Res. Council, 1945, № 2003.
2) См. только что цитированную книгу Г. В. Липмана и А. Рошко, с. 281—286.
342 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
го, так и для дозвукового движений. Это приближение может быть по-
положено в основу теории подобия осесимметричных пространственных
обтеканий тонких тел вращения.
§ 81. Законы подобия обтекания тонких тел вращения
и тонких крыльев конечного размаха
Применим вновь, в полной аналогии с тем, как это было сделано в
§ 61 для плоского движения, соображения подобия, позволяющие вести
пересчет с одного до- или сверхзвукового обтекания на другое, ему по-
подобное.
Не будем полностью повторять рассуждения § 61. Заметим, что в
осесимметричном случае, так же как и в плоском, преобразование, ана-
аналогичное E4) предыдущей главы, сохраняет свою силу и сводит диф-
дифференциальное уравнение A52), составленное для двух сравниваемых
потоков, к одному и тому же
а*е ± а«е i ае _ Q
±
ag2 an2 л
причем никаких условий подобия преобразование E4) не дает.
Различие намечается в условиях подобия граничных условий A55).
Полагая, как и в плоском случае, для обоих сравниваемых потоков
будем иметь два граничных условия
& (о, I)=ч\е - -1 ихън\к* да, $
откуда следует первое условие подобия
Коэффициент давления ср определим формулой A75), в которую
подставим значения к и г; по A50) и воспользуемся вновь преобразова-
преобразованием, аналогичным E4) предыдущей главы. Будем иметь для двух срав-
сравниваемых движений
Ui X\ 0X\
— 2^2 1 dQ
(/] т] дт|
ИЛИ
hcPl _ 2_. J*L _ I1—M?lYi j_ (JULY
{fp!L_ — j_je 11 — M^ i y2 i / ae у
t9 ~^ л ал [/t ла V a? J '
Отсюда следуют еще два условия подобия сравниваемых течений
которые присоединяются к условию A76). Исключая отношения UilyVi
и Uz/Wz, получим два условия подобия
§ 81. ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ОБТЕКАНИЯ ТОНКИХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 343
которые можно трактовать как одно, общее для осесимметричных до- и
сверхзвуковых потоков соотношение подобия
cp = T*f{xV\l-fti.\). A78)
Легко заметить, что равенство A78) содержится как частный случай
(?=т2) в общем законе F0) предыдущей главы, выведенном для пло-
плоских до- и сверхзвуковых течений.
Подчеркнем, что в случаях осесимметричного до- или сверхзвуково-
сверхзвукового обтекания тонких тел нет такого широкого разнообразия законов по-
подобия, как в случае плоского обтекания. В частности, нельзя получить
аналог соотношения Прандтля — Глауэрта C0) предыдущей главы, по-
позволявшего по распределению коэффициента давления ср0 на поверхно-
поверхности данного тела в потоке несжимаемой жидкости непосредственно су-
судить о распределении того же коэффициента ср в дозвуковом потоке га-
газа. Как это следует из формулы A78), можно лишь составить отноше-
отношение коэффициентов давления ср в газе к ср0 — в несжимаемой жидкости
Зная распределение коэффициента давления по поверхности некоторого
тонкого тела вращения в потоке несжимаемой жидкости, по формуле
A79) можно получить распределение того же коэффициента в потоке
газа, но только на тонком теле, аффинно в поперечном к потоку направ-
направлении измененном в Vl — M« раз.
Закон подобия A78), выраженный для сверхзвуковых потоков в
форме
при очень больших значениях М«,3>1 переходит в соотношение
совпадающее с A11) предыдущей главы.
Сравнительно просто решается вопрос о законе подобия для тонких
крыльев конечного размаха в потоках до- и сверхзвуковых скоростей.
Пользуясь тем же выбором осей координат, что и в § 78, составим урав-
уравнение малых возмущений в декартовых координатах
В этом трехмерном случае функция тока возмущений отсутствует и над-
надлежит пользоваться потенциалом скоростей возмущений ф(х, у, z). Гра-
Граничное условие непроницаемости поверхности крыла может быть снесе-
снесено в плоскость Oxz:
A81)
^) ?/eeT ^f
ду i у=ъ д(х/Ь)
где форма поверхности крыла предполагается заданной уравнением
A82)
здесь Ь —средняя хорда крыла, / — его размах.
Обозначая в двух сравниваемых движениях, как и в плоском слу-
случае, буквами Ot и Ф2 масштабы потенциалов скоростей и произведя
344 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
замену переменных
Zi V|1-MI| = z2 V11 — М^| = t, A83)
Фх = Фхб (?, Ч. 0. Фа = Ф«в (I, Л, 0,
аналогичную F4) предыдущей главы, будем иметь вместо уравнений
A80) для каждого потока следующее одно уравнение:
д? \дг\* ' dt
Граничное условие A81) в двух сравниваемых потоках приведется
к таким:
Чтобы они в подобных течениях совпали, следует положить
A84)
OiV11 — м?|
что дает первое условие подобия.
В условие геометрического подобия по A82) и A83) будет входить
соотношение
откуда, замечая, что относительное удлинение крыла Х=/2/5, где S —
площадь крыла в плане, в подобных крыльях пропорционально произ-
произведению /&, найдем второе условие подобия
Кх V\l— Ml| = Я2 Y\l-Ml\. A85)
Коэффициенты давлений в подобных системах определяются равен-
равенствами !)
[ 2 a$x 2о>1 ае
дх ~ иг dt
дф2 2Ф2 ае
из совпадения которых для подобных течений будет следовать третье ус-
ловие подобия
дх ~ U% д\ э
овать треть
A86)
a>i а>2
В системе равенств A84) и A86) величины ф4 и Фг совершенно про-
произвольны. Введя обозначения для новых произвольных величин
будем иметь окончательно следующую совокупность условий подо-
подобия (символ «idem» означает «одно и то же>, в последнем условии
1) В этом случае характерная для осесимметричного движения особенность от-
отсутствует и можно пользоваться обычной линейной связью коэффициента давления с?
и скорости возмущения и.
% 81. ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ОБТЕКАНИЯ ТОНКИХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 345
подразумевается «в сходственных точках сравниваемых движений>):
=idem, *Y|1—ML| = idem, -^ = idem, A87)
a
которая может быть заменена одной условной функциональной зависи-
зависимостью
(т bV|lM
A88)
Как и в плоском случае, величина А здесь совершенно произвольна;
пользуясь этим произволом, можно получать разнообразные законы по-
подобия.
Полагая, например, в случае дозвукового обтекания А=-
получим обобщение на случай тонкого крыла конечного размаха прави-
правила Прандтля — Глауэрта C0) предыдущей главы
Это правило позволяет после изменения относительного удлинения кры-
крыла X вУ*1 — М« раз пользоваться для плоских сечений крыла в дозву-
дозвуковом потоке обычным правилом Прандтля — Глауэрта.
Если положить Л=|1—ML \~\ то соотношение A88) приобретает
симметричный по отношению к обоим поперечным к потоку направлени-
направлениям вид
который выражает такой закон подобия: если, сохраняя неизменными хор-
хорды плоских сечений, изменить в V | 1 — М» | раз поперечные к потоку раз-
размеры крыла, т. е. относительные толщину и удлинение, то коэффициент
давления при этом изменится в 11 — М» | -1 раз.
Наконец, полагая, А = т/У |1—ML|, получим наиболее простое ус-
условие подобия
Только что разобранный случай обтекания газом тонкого крыла был
основан на той же гипотезе плоских сечений, что и упоминавшаяся в
§78. Малость скорости возмущения в направлении оси Oz (размаха кры-
крыла) предполагает наличие большого удлинения крыла, что делает обте-
обтекание крыла почти плоским. Именно этим объясняется бросающееся в
глаза сходство полученных законов подобия с соответствующими зако-
законами для плоского движения (§61). Различие сказывается лишь в нали-
наличии дополнительного аргумента К V \ 1 —М^|, определяющего влияние
конечности размаха крыла.
Интересно хотя бы приближенно оценить влияние этого фактора на
распределение коэффициента давления по крылу. С этой целью можно
воспользоваться материалами теоретического расчета, выполненного
Гессом и Гарднером1) для семейства трехосных эллипсоидов, формулы
') Hess R. V., Gardner С. S. Study by the Prandtl — Glauert method of com-
compressibility effects and critical Mach-number for ellipsoids of various aspect ratios and
thickness ratios.—NACA Rep. NL7BO3a, 1947.
346
ГЛ. IX ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
шЬ
== — — . Значение К = оо отвечает об-
я Ь
МооД
распределения скоростей по поверхности которых в потоке несжимаемой
жидкости известны1). Рассмотрим эллипсоиды (рис. 136) с фиксирован-
ной малой относительной толщиной х—t/b и различными относительны-
относительными удлинениями Х=-^- =
теканию тонкого эллиптического цилиндра бесконечного размаха; при
А
a=t и, следовательно, Х= —т будем иметь продольное обтекание эл-
эллипсоида вращения с относительной толщи-
толщиной т и осью вращения, совпадающей с на-
направлением набегающего потока.
Гесс и Гарднер вычислили зависимость
отношения йшах/^оо (только множителем 2
отличающимся от величины cpmln) от числа
АЛ» в дозвуковом газовом потоке при раз-
различных удлинениях X крыла для данного
значения относительной его толщины //&=
= 15%. Отношение umax/^co дает наглядную
оценку возмущения, вносимого крылом в
однородный поток.
Результаты расчетов приведены на рис. 137. Верхняя кривая соот-
соответствует эллиптическому цилиндру (Х=оо), нижняя — эллипсоиду
вращения {t=a)\ в последнем случае удлинение равно
Х=—- = — — = —0,15 = 0,191.
п b n b я
Различие между двумя крайними кривыми изменения максимальной
безразмерной скорости возмущения в функции от числа М„ весьма от-
отчетливо. Верхняя кривая следует правилу Прандтля — Глауэрта
wmax uo max 1
Рис. 136
и дает сравнительно значительное изменение рассматриваемого отноше-
отношения. Нижняя кривая представляет более слабое изменение того же отно-
отношения с числом Моо,
что характерно для те-
тела вращения. Можно
получить аналитиче-
аналитическую формулу этого
изменения, если вос-
воспользоваться послед-
последней формулой § 75, вы-
выражающей распределе-
распределение скоростей по по-
поверхности эллипсоида
вращения ,при его об-
обтекании несжимаемой Рис- 137
жидкостью. Макси-
Максимальное значение этой скорости получим при |i=0; будем иметь
и<
о max
/1
—1=
,_i(,_,,,ni±i
-7<-""-ё;
1) См., например, Ко ч и н Н. Е., К и бе л ь Н. А., Розе Н. В. Теоретическая
гидромеханика. Ч. I.— М.: Физматгиз, 1963, с. 387—396, а также- Аэродинамика/Под
ред. Дюрэнда. Т. 1.—М.: ОНТИ, 1937, с. 317—327.
$ 81. ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ОБТЕКАНИЯ ТОНКИХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
347
Заметим, что эксцентриситет эллипса будет равен
е = -
так что
1--КТ— та
Учитывая малость величины т, что необходимо при пользовании ли-
линеаризованной теорией, и разлагая радикалы в ряд, найдем следующее
приближенное соотношение для потока несжимаемой жидкости.
Возвращаясь к ранее сформулированному правилу A78) расчета
коэффициента давления ср или пропорциональной ему величины отноше-
отношения й/t/eo скорости возмущения по заданному ср0 или йо/U* в потоке не-
несжимаемой жидкости для тела с сокращенными поперечными к потоку
размерами, т. е. относительной толщиной т V1 — М», получим
¦ = т
Эту формулу можно еще преобразовать к виду
ср mln
ио max cpo min
1 — In 2 + In T
A92)
A93)
На рис. 138 приводятся кривые, соответствующие зависимости от
М„ этого отношения при различных удлинениях крыла. Верхняя кривая
соответствует формуле Прандтля —
C0) й
Глауэрта C0) предыдущей главы, upmin
сро min
t/b=0,15
^
mm
А=оо
Эллипсоид
Вращения
нижняя —формуле A93).
Из графика, изображенного на
рис. 138, видно, что относительное
увеличение коэффициента давления
за счет сжимаемости при Мво=0,7
для эллиптического цилиндра до-
достигает 40%, в то время как при
том же Моо для эллипсоида враще-
вращения это увеличение не достигает и
20%. Этот факт отражает известное
свойство течений: эллиптический W
цилиндр, как тело бесконечного раз- "" "' "~ м0
маха, приводит к более значитель-
значительному возмущению потока, чем име- Рис. 138
ющее то же меридианное сечение
тело вращения.
Промежуточные кривые на рис. 137 и 138 позволяют заключить,
что влияние числа М» при пространственном дозвуковом обтекании тем
меньше, чем меньше относительное удлинение тела. Штрих-пунктирные
кривые в правой части графиков, пересекающие сетки сплошных кривых,
ограничивают области применимости их. Абсциссы точек пересечения
штрих-пунктирных кривых со сплошными соответствуют критическим
0,4
0,6
0,8
1,0
348
ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
значениям Моо=Мкр, т. е. таким, при которых в точке максимального
возмущения на поверхности тела возникает звуковая скорость.
Обратим внимание на существенный факт: критическое число Мкр уве-
увеличивается с уменьшением относительного удлинения X. Если для эллип-
эллиптического цилиндра 15-процентной относительной толщины Мкр«0,78,
то для эллипсоида вращения с той же относительной толщиной оно до-
достигает значения Мкр«0,93, что еще раз подтверждает сравнительную
слабость влияния сжимаемости на пространственное дозвуковое обте«
кание тел.
Приведенные соображения относятся, конечно, только к рассмотрен-
рассмотренному обтеканию семейства эллипсоидов. Однако они качественно отра-
отражают особенности пространственного обтекания и других тел, отличных
от эллипсоидов.
Отмеченное ранее сходство обтекания крыльев конечного размаха с
плоскими течениями позволяет путем тех же соображений, что и в конце
§ 61, установить следующий закон подобия для околозвуковых «квази-
«квазиплоских» течений:
=/
1-М»
V'MOk + D *?]•'•'
представляющий аналог закона подобия G4) предыдущей главы для
плоского движения.
§ 82. Продольное сверхзвуковое обтекание кругового конуса.
Конический скачок уплотнения
Основной особенностью сверхзвукового обтекания заостренных тел
вращения является образование вблизи лобовой части тела поверхности
разрыва, при известных условиях имеющей форму присоединенного ко-
конического скачка уплотнения. Как об этом можно заключить из рис. 139,
Рис. 139
представляющего картины плоского (слева) обтекания клина и про-
пространственного (справа) обтекания конуса, течение газа за коническим
скачком принципиально отличается от течения за плоским скачком уп-
уплотнения тем, что в случае пространственного течения газа линии тока
криволинейны.
Также криволинейны и линии Маха, показанные на рисунке штри-
штрихами.
В отличие от плоского косого скачка, в котором направление векто-
вектора скорости непосредственно за скачком уплотнения было известно —
оно совпадало с направлением щеки клина,— в случае конического скач-
скачка такое упрощающее решение задачи условие уже не имеет места, оно
§ 82. ПРОДОЛЬНОЕ СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО КОНУСА 349
должно быть заменено решением задачи о криволинейном движении час-
частиц газа за коническим скачком, удовлетворяющим граничным условиям
на поверхности разрыва и на поверхности конуса, обтекание которого
разыскивается.
Для рассмотрения этой задачи воспользуемся сферической системой
координат (/?, 6, е) и, довольствуясь частным случаем чисто меридианно-
меридианного движения, опустим азимутальные (по оси е) компоненты и производ-
производные по координате е. Составим уравнение неразрывности в сферических
координатах [см. (86) гл. I]
La(p*y«)+ '
R2 dR ^ RsinQ a0
Производя дифференцирование, с целью исключения плотности р преоб-
преобразуем его к виду
A94)
Заметив, что (а — местная скорость звука)
dp dp_ dp J_ dp dp dp_ dp J_ dp_
dR ~ dp dR ~ Ф dR * dQ ~ dp ~dQ ~ a2 dQ '
исключим производные от давления, воспользовавшись для этого уравне-
уравнениями Эйлера в сферических координатах [ D6) гл. V]
V дУ« . Ve Wr VI = 1 dp
R dR "* R dQ R p dR f
V aKe | Ke dVQ VRVQ^ { x dp
R dR ~*~ r ae "*" r p r да'
Будем иметь
1JP_= \(y Wr_ ,
p э^ a* V d« л ае
а уравнение A94) после подстановки в него этих выражений перейдет в
такое:
A95)
В силу прямолинейности образующих конической поверхности разры-
разрыва движение за нею будет безвихревым. Это позволяет к уравнению
A95) присоединить еще условие отсутствия завихренности, которое в
разбираемом частном случае осесимметричного меридианного движения
будет, согласно (86) гл. I, иметь вид
или
350
ГЛ IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
При отсутствии завихренности во всей области течения имеет место
уравнение Бернулли, которое можно записать в форме (С —константа)
a* = C-^±(V2R + Vl). A97)
Совокупность уравнений A95), A96) и A97) представляет собой
замкнутую систему уравнений, которые и должны быть положены в ос-
основу решения поставленной задачи осесимметричного сверхзвукового
обтекания кругового конуса.
Граничными условиями будут:
а) условие непроницаемости поверхности обтекаемого конуса
F=е0)
Уе=0 при е = 60; A98)
б) условия на поверхности разрыва (р — угол образующей кониче-
конического скачка с направлением набегающего потока)
Р2
при 8 = (
A99)
которые идентичны условиям на плоском косом скачке (§ 62); первое
из них выражает условие постоянства проекции скорости на направле-
направление образующей конического скачка, а второе — сохранение секундной
массы газа при прохождении газа сквозь скачок.
Решение поставленной задачи будет автомодельным, т. е. таким,
которое позволяет вместо системы уравнений в частных производных
С ,п
б)
Рис. 140
A95) и A96) использовать систему обыкновенных дифференциальных
уравнений. С такого рода автомодельными задачами мы уже имели дело
ранее (центрированные волны в нестационарном одномерном и стацио-
стационарном плоском двумерном движениях). Используем коническую сим-
симметрию граничных условий задачи и будем искать решение уравнений из
условия, что все параметры движения и состояния газа являются функ-
функциями только полярного угла 0 и не зависят от радиус-вектора R.
Такое решение является частным случаем более общего класса про-
пространственных конических движений газа, которые могут быть и не ме-
меридианными, т. е. заключать и азимутальную компоненту скорости1).
При сделанном предположении уравнения A95) и A96) приведут-
ся к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений
1) См, например, Ферри А. Аэродинамика
англ.— М/ Гостехиздат, 1953, гл. XII.
dQ
сверхзвуковых течений- Пер.
§ 82. ПРОДОЛЬНОЕ СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО КОНУСА 351
которая в силу второго уравнения еще упростится и окончательно при-
примет вид
+ ^a^ + vtge) *vJL_
Классическую интерпретацию первого из этих уравнений и основан-
основанный на ней простой графический метод интегрирования системы B00)
предложил А. Буземан').
Обозначим через u, v проекции вектора скорости V соответственно
на ось симметрии Ох (рис. 140) и перпендикулярное к ней направление
Проекции u, v связаны со сферическими компонентами VR и V9 равен-
равенствами
u= VR cos в—Ve sine, 0= У„ sin 8+Ve cose, B01)
так что
=^cos6
— = —Z- sin 6 + -^2- cos 9 + VR cos 0 — V9 sin 6.
dd dQ dQ
С учетом второго равенства B00) первый и последний члены в правых
частях взаимно уничтожаются, и остается
?C) ^(^)
Обозначим через ds дифференциал дуги годографа gg (рис. 140, б).
а из B02) следует, что
Обозначим через ds ди
Тогда из B02) следует, что
ds = Ydu2 + dv*= (VR + ^Л dQ. B03)
Кроме того, косинусы углов между касательной tt (рис. 140, б) к го-
годографу в точке N' и осями О'и и O'v, пропорциональные du/dQ и dv/dQf
связаны с косинусами cos в и cos(jt/2—в) = sin в, определяющими на-
направление радиус-вектора ON=R по отношению к осям Ох, Оу или О'и,
О'и, равенством
^cos8 + — sin6 = 0.
dv dQ
Отсюда следует, что касательная tt перпендикулярна к ON, а нор-
нормаль пп образует с осью О'и угол в, который можно рассматривать как
дополнительный к углу смежности {кривизны).
Таким образом, из равенства B03) с точностью да знака вытекает
формула радиуса кривизны Ш годографа gg в точке N':
! J5r- <204>
При этом первое из уравнений системы B00) сводится к выражению
радиуса кривизны годографа через сферические компоненты вектора
скорости, угол радиус-вектора точки потока с осью абсцисс в физической
плоскости и местную скорость звука
^Busemann A. Driicke auf Kegelformige Spitzen bei Bewegung mit Ober-
schallgeschwindigkeit.— Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech., 1929, Bd. 9, № 6.
352
ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Радиус кривизны годографа имеет, естественно, размерность ско-
скорости. Можно привести формулу B05) к безразмерному виду, если, на-
например, разделить обе части последнего равенства на максимальную
скорость Vmax=y k+ а*. Тогда, пользуясь обозначением B2) гл. VI,
получим
2, Т = (V/Vmax)\
B06)
Пользуясь формулой B05) или ее безразмерным видом B06), мож-
можно простым графическим приемом строить годографы скоростей частиц
газа.
Рис. 142
Располагая заданной скоростью Vi или величиной fxt и углом 6i
в точке Nt физической плоскости, найдем положение точки N? в плоско-
плоскости годографа (рис. 141). Проектируя вектор V4 на направление радиус-
вектора и перпендикулярное к нему направление, находим ViR и Vi9 или
Ут^ и УтП, в плоскости годографа равные соответственно отрезкам
LiN/ и O'Lt. По формуле B06) находим радиус кривизны годографа в
точке N/, в безразмерном виде равный
Проводя дужку кругаЛ^Л^' радиусом 9Ji, примем ее приближенно за
искомую дужку годографа gg. После этого найдем вновь значения
1/^ = 0^2, Утгя ==?2^2» Y^*Q ^O'Lz и новое значение угла 6=02, оп-
определяемое направлением N%(^im Определив затем по B06) новое зна-
значение Я2/Ктах, проведем этим радиусом дужку N2Ni и т. д. Таким обра-
образом, искомый годограф представляется приближенно совокупностью со-
соприкасающихся дужек окружностей.
Остается лишь показать, как в изложенном графическом методе ис-
используются граничные условия. Зададимся наперед некоторым значени-
§82. ПРОДОЛЬНОЕ СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО КОНУСА 353
ем угла р между образующими конического скачка и направлением на-
набегающего потока, а также числами Mi и ;WJL набегающего потока. Тогда,
выбирая соответствующую этим числам строфоиду (рис. 97), по задан-
заданному р определим точку Е (рис. 142) на строфоиде. Для этого можно,
например, провести луч O'G под заданным углом ji к оси О'и, а затем из
двойной точки В строфоиды опустить на луч O'G перпендикуляр BG.
Точка пересечения этого перпендикуляра со строфоидой даст искомую
точку ?, а отрезки O'G и EG — радиальную VR2 и поперечную VQ2 ком-
компоненты вектора скорости газа на поверхности конического скачка непо-
непосредственно после прохождения через него. Отрезки O'G и BG равны
соответственно тем же компонентам до скачка: VRi и VQi.
Имея эти данные, можно применить графический метод Буземана и,
вычисляя последовательно по формуле B05) или B06) центры кривизны
годографа, построить при помощи малых дужек кругов кривизны иско-
искомый годограф. Построение следует вести до тех пор, пока угол радиус-
вектора текущей точки К годографа с осью О'и (рис. 142) не станет рав-
равным углу полураствора 80 обтекаемого газом кругового конуса. Эта точ-
точка Ко станет конечной точкой графического построения, а отрезок О'Ко
определит предельное значение скорости на поверхности обтекаемого ко-
конуса.
Задаваясь различными значениями угла р (но сохраняя значение
МО и повторяя указанное построение, получим геометрическое место то-
точек /Со, которое представляет собой кривую, благодаря ее специфической
форме обычно называемую «яблоковидной».
Таким образом, можно заранее сетку строфоид, построенную для
различных значений Mj и А,4 (рис. 97) дополнить сеткой яблоковидных
кривых и годографов, что позволит сравнительно просто решать задачи
продольного обтекания круговых конусов, угол раствора которых от-
зечает условию наличия присоединенной к вершине конуса ударной
волны.
Практический способ построения фронта конического скачка весьма
прост (рис. 142). Выбрав по значению безразмерной скорости набегаю-
набегающего на конус потока соответствующие ударную поляру и яблоковидную
кривую и построив угол 8о, равный углу полураствора конуса, найдем
положение точки /Со, определяющей величину и направление скорости на
поверхности конуса. Спускаясь из этой точки по отрезку кривой годогра-
годографа в точку Е9 определим вектор скорости непосредственно за фронтом
скачка. Опуская затем, так же как это делалось при решении задачи о
плоском скачке, перпендикуляр O'G на прямую BG, проходящую через
точку ?, определим угол [J направления фронта конического скачка.
Приводим график (рис. 143), иллюстрирующий разницу в максималь-
максимальных углах полураствора ботах(Моо), допускающих существование присое-
присоединенного косого скачка в случае клина и присоединенного конического
скачка в случае обтекания конуса. Как это отчетливо видно из приведен-
приведенного графика, особенностью пространственного течения является факт
значительно большего значения 60тах для конуса при том же числе Маха
набегающего потока, чем в случае плоского обтекания клина. Как всег-
всегда, мы имеем здесь дело со смягчающим влиянием симметричного расте-
растекания газа вблизи вершины конуса.
Для практических расчетов пользуются графиками, на которых,
кроме строфоид, яблоковидных кривых и годографов, нанесены еще сет-
сетки кривых, позволяющих непосредственно снимать с графиков значения
давлений и других термодинамических параметров 1).
!) См. ранее неоднократно цитированную книгу А Ферри и обзор А. Бузема-
Буземана в Handbuch der Experimental Physik, Bd. 4, Teil 1, Leipzig, 1931, S. 421, а также
Краснов Н. Ф. Аэродинамика тел вращения.— М: Оборонгиз, 1958
'2-9487
354
ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
В заключение приведем еще график (рис. 144) *), позволяющий су-
судить о том, насколько теоретический расчет угла полураствора р кони-
конического скачка (угол полураствора конуса 80=30°) правильно предска-
предсказывает действительные его значения при различных числах Маха; к со-
сожалению, диапазон экспериментальных чисел Маха на графике невелик.
Как видно из графика, левая ветвь кривой, соответствующей слабому
коническому скачку, отклоняется вверх и вправо, чтобы образовать еще
20
т
/
Л
у
/
ус
*—•
80'
Р
60'
ш
20'
О'
1
Рис. 143
Рис. 144
ветвь, отвечающую сильному, отсоединенному скачку. Такая же дву-
двузначность, естественно, будет иметь место и в распределении коэффици-
коэффициента давления по поверхности конуса. Пояснение возможности возникно-
возникновения слабого или сильного конического скачка сохраняется таким же,
как и в случае плоского косого скачка.
§ 83. Сверхзвуковое обтекание тонкого тела вращения
при очень больших числах Маха
В случае продольного сверхзвукового обтекания тонкого тела вра-
вращения (М«>1) выведенные в начале предыдущего параграфа диффе-
дифференциальные уравнения имеют простые асимптотические решения.
Вернемся к рассмотрению системы уравнений B00) и граничных ус-
условий A98) и A99).
При очень больших числах Маха и выполнении условия, что голов-
головная волна представляет собой присоединенный к вершине конуса кониче-
конический скачок, можно принять, что разность 9—80 во всей области течения
между поверхностями конуса и скачка будет малой величиной.
Тогда для приближенного определения функций VR(Q) и 1Л>F) мож-
можно воспользоваться их разложениями в ряды по степеням малой раз-
разности 8—0о2).
Обозначим через Vk=VR(Q0) постоянное значение скорости газа на
поверхности конуса и заметим, что по условию непроницаемости поверх-
поверхности конуса нормальная составляющая скорости Кв(80) равна нулю.
Кроме того, из системы уравнений B00) сразу следует, что на поверх-
поверхности конуса справедливы равенства
=0,
* - » т — {Щ
Искомые первые члены разложений можно, таким образом, предста-
представить в виде
" Л=—2(8—8о).
1) Ferri A. Elements of aerodynamics of supersonic flow.—New-York: Mac-Millan
Company, 1949, p. 254, fig. 174.
2) Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью,—М.: Физ-
матгиз, 1959, с. 107, 108.
§ 83. СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 355
Подставляя эти выражения в граничные условия A99) на кониче-
коническом скачке @=Р), будем иметь два равенства
из которых при малых р (соответствующих условию тонкости тела вра-
вращения) сразу следует простое приближенное соотношение
p_eo = l?Lp. B09)
^ Рг
Входящее сюда отношение плотностей р{/р2 выражается формулой
Pi ?—1,2 1
-г
р2 k+\ k+ I
совпадающей в случае конического скачка со второй формулой системы
(82) гл. VIII для плоского косого скачка. Подставляя это значение отно-
иения плотностей в B09) и используя те же обозначения: /C=MiOot
Ke=Mip, что и в § 64, где излагалась теория плоского гиперзвукового
обтекания клина, составим квадратное уравнение
= 0,
k+l
положительным корнем которого будет
Кс _ k+\ /
Как показывает сравнение результатов расчета до этой формуле с
точной теорией, формула B10) может с успехом применяться для не
слишком больших углов полураствора конуса, примерно до 60=15°, при
всех /С<3, а при несколько больших углах и при /С>3.
Определим с той же степенью приближения давление на поверхно-
поверхности конуса, которое обозначим через ph. Для этого составим выражение
2k
lJ± B11)
ft Рг Pi \<h J Pi
й заметим, что первый сомножитель справа может быть вычислен по
теореме Бернулли, так как движение газа за коническим скачком безвих-
безвихревое, а второй сомножитель — по известному соотношению давлений за
и перед скачком.
Будем иметь
*-1 + 2 ~*-1 + 2
откуда после деления обеих частей на первое слагаемое справа следует
I/2 / и2 i/2
-3=14- *2 1 —
-5 + ^ а\ V V%2 ' V%2
Используя приближенные соотношения B08), перепишем предыду-
предыдущее равенство в форме
о! 2 ej с22 I Ll-(P-(
= 1+ (k - 1) Ml ф (p - 90J = 1+ (A - 1) -i-
356 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Подставим это выражение в B11) и применим еще формулы A04)
гл. VIII, согласно которым будет
Рш _ 2* ^а k — 1
al _П _ fH p2 _( 2k K2 hz^Y1 ]L±±K* (\JL hill.
^~T-^^-(JTT C~T+T) ~Г"аЧ 1+~F~
Тогда после простых преобразований получим следующую формулу для
коэффициента давления ср на поверхности конуса:
в которой при желании /Сс может быть выражено через К согласно
B10).
Формула B12) также хорошо совпадает с точными расчетами в вы-
вышеуказанном интервале угла полураствора обтекаемого конуса.
Пользуясь общей идеей метода Ньютона, изложенного в предыду-
предыдущей главе для плоского гиперзвукового движения, можно с некоторой
степенью приближения применять только что полученные формулы и к
тонким телам вращения, отличным от кругового конуса. Для этого до-
достаточно сопоставлять углы полураствора конуса 90 с местными углами
атаки на заданной поверхности тела вращения, т. е. полагать
К —ГА *
где у=у(х) представляет собой уравнение меридианного сечения тела
вращения, а т — относительную толщину тела в том обобщенном смысле,
как об этом говорилось ранее.
Такой приближенный метод, по своей идее опирающийся на метод
Ньютона, был предложен в 1947 г. С. В. Валландером и получил наиме-
наименование метода касательных конусов (в плоском случае — касательных
клиньев).
Рассмотрим, например, тело «оживальной» формы с параболическим
контуром меридианного сечения
для которого по B13) /С=/СоA— х)- В этом случае1), как показывает
расчет по формулам B10) и B12), распределение давления по поверх-
поверхности тела вращения выбранной оживальной формы определится для
воздуха (&=1,4) формулой
i. f JL -А = 1,041/С20 A - хJ - 0,454+
k \ р\ )
+ V 1,084К04A - х)*+ 1,656/Со2A-*J.
Формула сопротивления при этом будет иметь вид
сМ\ = 0,347/^ — 0,454 1— [4,278ЛГ3 - A,382/С + 1,055J ЛГ +
+ @fi08Kl + 0,464) In B,400/V + 1,309/Cj+l)],
где
]) P rob stein R. F., Bray K. Hypersonic similarity and the tangent-cone appro-
approximation for unyawed bodies of revolution.— Journ. Aeron. Sci., 1955, v. 22, № 1.
§ 83 СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
357
Сравнение приведенных приближенных соотношений, составленных
по методу касательных конусов для выбранной оживальной формы, с
точным решением приведено на рис. 145 и 146 и может быть признано
вполне удовлетворительным.
В ранее уже неоднократно цитированных специальных монографи-
монографиях, посвященных сверхзвуковым течениям при очень больших числах
Маха, излагаются и другие приближенные методы расчета, как, напри-
например, метод плоских сечений, метод ударного слоя и др.
Ю
I
0 0,2 Ofi 0,6 0,8 _ W
х
Рис. 145
Mi
xj
иб
об
09
А
и
А
/
/
Рис. 146
Задача о сверхзвуковом обтекании тонких тел вращения при очень
больших числах Маха в том случае, когда головная волна «отходит» от
острого носика тела вследствие слишком большого значения угла при
вершине либо наличия затупления носика, представляет значительные
трудности. Так же, как и в плоском случае, отошедший скачок имеет
вблизи оси симметрии потока почти плоский участок, соответствующий
прямому скачку, и соседние с ним участки «сильного» разрыва, за кото-
которыми поток является дозвуковым. Движение в области между головной
волной и поверхностью обтекаемого тела имеет в связи с этим смешан-
смешанный до-, сверх- и трансзвуковой характер.
Наличие конечной кривизны у поверхности головной волны приводит
к вихревому характеру течения газа за поверхностью волны и перемен-
переменности энтропии. Все это увеличивает трудности рассмотрения обтеканий
тел с отошедшей волной. Между тем на практике приходится обычно
иметь дело с телами, у которых носовая часть затуплена. Это объяс-
объясняется наличием процессов разрушения заостренной части тела при по-
полете его с большими сверхзвуковыми скоростями (оплавление, иногда
испарение — сублимация) из-за сильного разогрева за счет тепла, воз-
возникающего в результате диссипации механической энергии.
Наряду с этим при разогреве газа до сравнительно высоких темпе-
температур, порядка 1000 К, в газе возникают физико-химические превраще-
превращения, изменяющие его первоначальный состав. Так, в воздухе при дости-
достижении 2000 К значительная часть молекулярного кислорода диссоцииру-
диссоциирует и превращается в атомарный; при 4000 К начинается диссоциация
азота, а при более высоких температурах, порядка 7000—10 000 К, на-
наблюдается заметная ионизация воздуха, сопровождающаяся образова-
образованием свободных электронов (электронного газа). В этих условиях в газе
происходит резкое возрастание теплопроводности и электропроводности,
между его молекулами возникают кулоновы силы взаимодействия. Все
358 ГЛ. IX. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
это позволяет приписать газу особое агрегатное состояние, именуемое
плазмой (точнее, низкотемпературной плазмой).
Изучение подобных газовых потоков представляет значительные
трудности и не может войти в настоящий общий курс. Это составляет
предмет специального курса гиперзвуковой аэродинамики. Желающих
расширить и углубить свои знания в области аэротермодинамики гипер-
гиперзвуковых движений невязкого газа отошлем к монографии: Лу-
Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика.— М.: Машиностроение, 1975.
Исследование сверхзвуковых течений газа в настоящее время все в
большей степени связывается с применением численных методов. Наи-
Наибольшее распространение получили конечноразностные методы в своих
различных вариантах (см. далее § 102), а также метод «крупных час-
частиц», начало которого было заложено Ф. Харлоу1) в 1957 г. и получило
у нас в стране интенсивное развитие в работах О. М. Белоцерковского и
его сотрудников2).
Численные методы позволили решить сложные задачи сверхзвуко-
сверхзвукового обтекания идеальным газом тел разнообразных геометрических
форм8).
1) См. русский перевод: Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках.—В кн.:
Вычислительные методы в гидродинамике.— М.: Мир, 1967, с. 316—342.
2) Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в га-
газовой динамике: Вычислительный эксперимент.— М.: Наука, 1982.
3) Годунов С. К., Забродин А. В., И в а н о в М. Я., К Р а й к о А. Н. Числен»
ное решение многомерных задач газовой динамики.— М.: Наука, 1976.
ГЛАВА X
ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
(ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ)
§ 84. Ньютоновская вязкая жидкость и ее реологическое уравнение
Дифференциальные уравнения движения, баланса энергии и вещест-
вещества в потоках жидкости и газа, выведенные в гл. IV, относились к совер-
совершенно произвольным средам, лишь бы только эти среды обладали двумя
достаточно общими свойствами — сплошностью и текучестью. При выво-
выводе уравнений были использованы: второй закон динамики в применении
к сплошной системе материальных частиц и общий термодинамический
закон сохранения полной энергии системы.
В последующих главах рассматривались простейшие модели сплош-
сплошной среды: идеальная (лишенная внутреннего трения) несжимаемая
жидкость или газ в условиях движения с малыми значениями числа
Маха, характеризующего сжимаемость газа, и более общая модель иде-
идеального газа при больших до- и сверхзвуковых скоростях, когда свойст-
свойство сжимаемости среды приобретает первостепенное значение. В послед-
последнем случае для определенности принятой модели приходилось еще до-
дополнительно накладывать условие «совершенства» газа, выражаемого
уравнением состояния газа, или задаваться наперед термодинамическим
характером процесса движения газа (адиабатичность, изотермичность).
Напомним, что свойство идеальности жидкости или газа выража-
выражалось отсутствием касательных напряжений в них и выводимым отсюда
условием сферичности тензора напряжений (Е — тензорная единица)
Р=-рЕ9 A)
при наличии которого все нормальные напряжения в данной точке среды
могут быть выражены через одну скалярную величину — давление. Урав-
Уравнение A) представляет простейший пример реологического уравнения
среды. Под реологическими уравнениями (законами) сред понимают
уравнения, связывающие компоненты тензоров напряжений, деформаций
и их производных по времени. Такие уравнения могут быть одинаковы-
одинаковыми при разнообразных движениях рассматриваемой среды, либо зави-
зависеть от характера различных возможных ее движений, в частности от
конструкции аппаратов, в которых движения происходят, от предысто-
предыстории потоков и т. п. Наиболее общим учением о текучести сплошных сред,
как уже упоминалось во введении, является реология.
Следующим в порядке сложности после A) реологическим урав-
уравнением служит уравнение текучести обычной вязкой жидкости, в про-
простейшем случае прямолинейного «сдвигового» ламинарного движения
сводящееся к известному реологическому закону Ньютона *) пропорцио-
пропорциональности между касательной компонентой тензора напряжений (тре-
(трения) т и поперечной к направлению потока производной скорости сдви-
сдвига—касательной компонентой тензора скоростей деформации ди/ду
(рис. 147):
ё
^Ньютон И. Математические начала натуральной философии, отд. VII и IX»
лредположение/Пер. А. Н. Крылова, изд. Морской Академии, 1915, с. 436. См. также
Собрание трудов академика А. Н. Крылова. Т. VII.—М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1936.
360
ГЛ. X ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Коэффициент пропорциональности ц, который может зависеть толь-
только от температуры жидкости, но не от давления (об этом подробнее бу-
будет сказано далее; на самом деле в реальных>жидкостях при очень боль-
больших давлениях \х зависит также и от давления), носит наименование
динамического коэффициента вязкости, в от-
отличие от кинематического коэффициента вяз-
вязкости v,равного
/ C)
t
0
УУУУУУУУ/
и it/)
i
/
/
УУУУУУУУ/УУУУУУУУУУУ,
X
Рис. 147
т. е. отношению динамического коэффициента
вязкости к плотности жидкости.
Размерность динамического коэффициента
вязкости |i, согласно формуле B), будет
сила
сила • длина
длина2 • скорость скорость • длина
В физической системе единиц (СГС) динамический коэффициент
вязкости (или, как иногда для краткости говорят, просто вязкость) вы-
выражают в пуазах (П), по имени французского исследователя Пуаз ей-
ля, равных
1П =
дина - с
см2
= 1
см • с
Обычно пользуются в сто раз меньшей единицей — сантипуазом, которой
соответствует динамическая вязкость воды при 20,5° С.
В технической системе за единицу вязкости можно принять величину
КГС
В Международной системе (СИ) единицей вязкости является пас-
каль-секунда
1 Пас=10П = 1 Н-с/м2=1 кг/(м-с),
равная 103 сантипуаз.
Коэффициент кинематической вязкости выражается в см2/с, м2/с; ве-
величину, равную 1 см2/с, называют стоксом\ в сто раз меньшую — санти-
стоксом.
Динамический и кинематический коэффициенты вязкости жидкостей
и газов значительно зависят от температуры; приводим табл. 11 и 12
этих зависимостей. Заметим, что, как видно из этих таблиц, оба коэффи-
коэффициента вязкости воды, динамический и кинематический, убывают с воз-
возрастанием температуры, коэффициенты же вязкости воздуха, а также и
других газов, увеличиваются.
Таблица И. Зависимость коэффициентов вязкости воды от температуры
Температура,
°С
0
5
10
15
20
25
30
35
ц.10». П
1,792
1,519
1,308
1,140
1,005
0,894
0,801
0,723
с
1,792
1,519
1,308
1,141
1,007
0,897
0,804
0,727
Температура,
О
40
45
50
60
70
80
90
100
Ц-10», П
0,656
0,599
0,549
0,469
0,406
0,357
0,317
0,284
V.W.-2L
0
0,661
0,605
0,556
0,477
0,415
0,367
0,328
0,296
§ 84. НЬЮТОНОВСКАЯ ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ 361
Таблица 12. Зависимость коэффициентов вязкости воздуха от температуры
Температура,
°С
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
ц-104. П
1,709
1,808
1,904
1,997
2,088
2,175
2,260
2,344
2,425
2,505
2,582
2,658
2,733
см2
V,
с
0,132
0,150
0,169
0,188
0,209
0,230
0,252
0,274
0,298
0,322
0,346
0,371
0,397
Температура,
°С
260
280
300
320
340
360
380
400
420
440
460
480
500
Ц-104, П
2,806
2,877
2,946
3,014
3,080
3,146
3,212
3,277
3,340
3,402
3,463
3,523
3,583
см*
V,
с
0,424
0,451
0,481
0,507
0,535
0,565
0,595
0,625
0,656
0,688
0,720
0,752
0,785
Существуют очень вязкие жидкости, как, например, глицерин, для
которого при 3°С |х=42,20 П, v = 33,40 см2/с; машинное масло при 10° С
имеет |ш=6,755 П, v = 7,34 см2/с
Вязкость этих жидкостей, как правило, быстро уменьшается с рос-
ростом температуры (см. прилагаемую таблицу вязкости глицерина). При-
Применяются различные эмпирические формулы1) зависимости вязкости
жидкостей от температуры.
t, °с
(I, П
см2
3
42,20
33,40
18
10,69
8,48
21
7,78
6,18
Зависимость коэффициента вязкости газа от температуры представ-
представляется формулой Саттерлэнда, выводимой теоретически в кинети-
кинетической теории газов (константы зависят от рода газа)
const . Т3/* /У|Ч
* D)
* т + с
где С» 122 (для воздуха). На практике
приближенной степенной формулой
JL=(JL
предпочитают пользоваться
E)
где показатель степени п различен для разных газов и, кроме того, сам
зависит от интервала температур. С возрастанием температуры показа-
показатель степени п в формуле E) убывает. Для приближенных оценок при-
принимают п=1 для сравнительно малых и /г=0,76 для больших темпе-
температур.
В настоящей главе внимание будет, по преимуществу, сосредоточено
на простейших случаях изотермического движения вязкой несжимаемой
жидкости с постоянными значениями плотности и коэффициентов вяз-
вязкости. Более сложные движения газов с переменными физическими свой-
свойствами отнесены к последней главе.
зического
1) См. статью П. А. Ребиндера «Вязкость», помещенную во втором томе «Фи-
:кого словаря», БСЭ, 1960.
362 ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Реологическое уравнение B) представляет собой частный случай
более общего, соответствующего любому пространственному движению
вязкой жидкости закона линейной связи между тензором напряжений и
тензором скоростей деформаций. Этот закон, носящий наименование
обобщенного закона Ньютона, справедлив для не слишком разреженных
газов и для большинства жидкостей, именуемых «ньютоновскими». Ди-
Динамика «неньютоновских» жидкостей излагается в специальных курсах
реологии. Некоторые простейшие реологические законы движения «не-
«неньютоновских» жидкостей будут изложены в следующем параграфе;
кроме того, в § 90 будет дано решение задачи о движении наиболее рас-
распространенной «вязкопластической» (Бингама — Шведова) жид-
жидкости по цилиндрическому каналу кругового сечения.
Среди разнообразных по внутренней природе вязкости текучих
сред особо распространены и привлекают своей простотой изотропные
вязкие жидкости и полностью относящиеся к ним газы. Изотропия озна-
означает одинаковость механизма вязкого взаимодействия во всех направ-
направлениях и, как следствие, наличие скалярных (инвариантных) коэффи-
коэффициентов вязкости: одного, вышеупомянутого динамического коэффици-
коэффициента вязкости — в несжимаемых средах, двух—при движениях газов с
большими скоростями (см. начало гл. XV).
Обобщенный закон Ньютона дает линейную связь между тензором
напряжений и тензором скоростей деформаций, выражаемую в случае
изотропной среды тензорным соотношением
P=aS+bE, F)
где а и Ь — скаляры, Е — тензорная единица
Е ={0> еслИ l^if
11, если j = i.
Для того чтобы уравнение F) давало линейную связь между тензорами,
скаляр а не должен зависеть от компонент тензоров Р и 5; этот скаляр
представляет собой физическую константу, которая из условия совпаде-
совпадения F) со своим частным случаем B) должна быть положена равной
2|i. Скаляр Ъ может быть связан линейно с тензорами Р и S, причем в
силу изотропности вязкости должен представлять собой линейную 'ком-
'комбинацию первых инвариантов этих тензоров (§ 6). Первым инвариантом
тензора напряжений Р служит сумма трех нормальных напряжений
Первым инвариантом тензора скоростей деформаций S является
сумма
33
которая в рассматриваемом в настоящей главе случае несжимаемой
жидкости равна нулю. Первый инвариант тензорной единицы Е равен 3.
Чтобы найти скаляр Ь, приравняем линейные инварианты тензоров
в левой и правой частях основного равенства F). Тогда получим
откуда
Ь = у(Рп + Ри + Р8з)- G)
Обобщая понятие давления, введенное в динамику идеальной жид-
жидкости согласно системе равенств Рн=р22=Рзз=—Р, примем в качестве
простейшего допущения, что в ньютоновской несжимаемой вязкой жид-
§ 84. НЬЮТОНОВСКАЯ ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ 363
мсти взятое с обратным знаком среднее арифметическое трех нормаль-
нормальных напряжений, приложенных к взаимно перпендикулярным площад-
ш в данной точке среды, представляет давление в этой точке
— \(Рп + Рп + Рю)=Р- (8)
Сделанное предположение является дополнительной гипотезой к
обобщенному закону Ньютона, так как, исходя из общих гидродинами-
гидродинамических соображений, нельзя доказать, что определенная таким образом
инвариантная скалярная величина р будет действительно той самой тер-
термодинамической характеристикой жидкости или газа, которая, напри-
например, в случае совершенного газа будет связана с другими термодинами-
термодинамическими характеристиками газа — плотностью и температурой — фор-
\<улой Клапейрона. Правильность принятой гипотезы (8) оправдывается
практикой применения ее в расчетах движений ньютоновской вязкой не-
несжимаемой жидкости.
Согласно F), G) и (8) получим следующее выражение обобщенно-
обобщенного закона Ньютона для несжимаемой вязкой жидкости
P=2[xS-pE=—pE+2iidelV (9)
или, в компонентной (аналитической) форме,
+ ~г~ ПРИ / Ф if
:::
—- р + 2(л —- при / = i (не суммировать по О-
Равенство (9) представляет собой реологическое уравнение ньюто-
ньютоновской несжимаемой вязкой жидкости. Выпишем в развернутом виде
формулы принятой связи (9) в трех основных системах координат: пря-
прямоугольной декартовой (хи х2, х3), цилиндрической (г, е, z) и сфериче-
сферической (Л, 6, е):
в прямоугольной декартовой системе (хи х2, хг)
й1—р + 2^, рп — р+ъ&.ъ —
в цилиндрической (полярной при VZ=Q) системе (г, е, г), вспоми-
вспоминая компоненты def V в этой системе [A00) гл. I], получим
dVz dVr
_ + _
в сферической системе (R, 8, е) [см. компоненты def V в этой систе-
системе A01) гл. I]
364 ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
dVR dVfl
dv«
Приведенные только что выражения обобщенного закона Ньютона,
так же как и аналогичные выражения его в любой ортогональной кри-
криволинейной системе координат, которые легко составить, пользуясь (99)
гл. I, должны лежать в основе рассмотрения пространственных движе-
движений вязкой несжимаемой жидкости. Подчеркнем, что пользование клас-
классической формулой Ньютона B) для криволинейных линий тока путем
замены в ней производной d/dy на d/dny где п — нормальное к линиям
тока направление, недопустимо, что легко проиллюстрировать следую-
следующим простым примером. В квазитвердом вращении жидкости вокруг
неподвижной оси с распределением скоростей по закону V=cor (r—
расстояние до оси вращения) сдвиги, а следовательно, и скорости сдви-
сдвигов отсутствуют. По приведенному в § 25 определению текучести в ква-
квазитвердом движении не могут существовать и касательные напряжения.
Однако по произвольно примененной формуле B) получим т=
— \xdV/dr=ii(u^O. Правильный результат дает в этом случае (Кг=0)
формула для ргъ A2)
(dV V \
-~ — -j- J = |i (со — со) = 0.
Упомянем, что в анизотропных вязких жидкостях обобщенный за-
закон Ньютона значительно усложняется, так как скалярные коэффициен-
коэффициенты вязкости заменяются тензорами, выражающими пространственную
анизотропию вязкости жидкости и не связанными с тензорами напряже-
напряжений, деформаций и их производными по времени.
§ 85. Реологические законы неньютоновских вязких
несжимаемых жидкостей
Свойствами ньютоновских жидкостей, описываемых реологическим
уравнением (9), обладает большинство жидкостей, а также все газы.
Тонкие суспензии, глинистые растворы, масляные краски дают при-
примеры жидкостей, отличных по своим свойствам от ньютоновских. Нали-
Наличие у неньютоновских жидкостей разнообразных свойств, отличающих
их от ньютоновских, объясняется особенностями молекулярных структур
и внутренних, молекулярных движений.
Особый интерес благодаря своему широкому распространению пред-
представляют «вязкопластические» жидкости, в которых наряду с вязкостью
проявляются также пластические свойства, заключающиеся в наличии
некоторого предельного напряжения сдвига, после достижения которого
только и возникает «текучесть» среды. Реологические законы вязкопла-
стических жидкостей обычно приписывают Бингаму A916 г.), хотя
они были известны уже задолго до этого (в 1889 г.) Ф. Н. Шведову.
Довольствуясь ранее упомянутым (рис. 147) простейшим случаем
плоского сдвигового прямолинейного движения вдоль оси Ох со ско-
скоростью сдвига e=du/dy, приведем реологическое уравнение такой вяз-
копластической жидкости в форме
ПрИ Т>То, A4)
§ 85. РЕОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ 365
где То —предельное напряжение сдвига, \jj — динамический коэффици-
коэффициент структурной вязкости (точка над буквой — производная по време-
времени). При т<То текучесть отсутствует, т. е. среда ведет себя, как твердое
тело. Пример движения вязкопластической жидкости вдоль цилиндри-
ческой трубы кругового профиля разобран в § 90.
Только что описанной вязкопластической модели удовлетворяют, на-
лример, движения таких встречающихся в практике сред, как применяе-
применяемые на нефтепромыслах для промывания скважин глинистые и цемент-
цементные растворы1), масляные краски, сточные грязи, а также некоторые
пасты. Физическое объяснение особых свойств всех этих жидкостей
основывается на представлении о наличии в них при покое некоторой
лространственной жесткой структуры, которая в состоянии сопротив-
сопротивляться любому внешнему воздействию до тех пор, пока вызванное им
напряжение сдвига не превзойдет соответствующее этой структуре пре-
предельное напряжение. После этого структура полностью разрушается и
жидкость начинает вести себя, как обычная ньютоновская вязкая жид-
жидкость при кажущемся напряжении, равном избытку т—т0 действитель-
действительного напряжения над предельным. При уменьшении этого кажущегося
напряжения до нуля, т. е. при возвращении действительного напряжения
к предельному его значению, пространственная жесткая структура вос-
восстанавливается2).
Другие, так называемые «псевдопластические» жидкости лишены
предельного напряжения текучести, но их кажущаяся вязкость опреде-
определяется коэффициентом, зависящим от скорости сдвига. Такие «нелиней-
«нелинейные» жидкости (суспензии асимметричных частиц, растворы высокопо-
лимеров) подчиняются реологическим уравнениям типа (Оствальд, Рей-
нер)
т = /й«, A5)
гдей и п<1 почти постоянны в широких интервалах напряжений и ско-
скоростей деформаций, а кажущийся коэффициент вязкости т/е^&е71 убы-
убывает с ростом 8.
Отсутствие предельного напряжения роднит псевдопластические
жидкости с так называемыми «дилатантными» жидкостями, у которых,
в отличие от псевдопластических, кажущаяся вязкость с увеличением
напряжения увеличивается (п>1). Такая закономерность характерна
для суспензий твердых частиц при высоких их концентрациях, а также
крахмальных клейстеров, которые нельзя отнести к концентрированным
суснензиям твердых частиц.
Особенно большое внимание привлекают в настоящее время вязко-
упругие среды, обладающие как свойством вязкости, так и упругости.
К числу таких сред относятся очень вязкие синтетические материалы, а
также слабые растворы полимеров в ньютоновских жидкостях. Замеча-
Замечательно, что иногда даже небольшие по весу добавки полимеров превра-
превращают ньютоновские жидкости в неньютоновские, сообщая им специфи-
специфические вязкоупругие свойства.
В зависимости от подхода к определению совместного действия уп-
упругости и вязкости, различают две реологические модели:
1) модель Ф ой хт а, основанную на наложении упругого и вязкого
напряжений
e, A6)
') См. М и р з а д ж а н з а д е А. X , Мирзоян А. А., Г е в и н я н Г. М. и С е-
ид-рза М. К. Гидравлика глинистых и цементных растворов — М.: Недра, 1966,
с 31-43.
2) См. монографию: Уилкинсон У. Л. Неньютоновские жидкости: Перев с
-игл-М.: Мир, 1964, с. 20, 21.
366 ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
где q — модуль сдвига, е — деформация сдвига, e=du/dy — скорость
сдвига, ц — динамический коэффициент вязкости, причем рассматрива-
рассматривается плоское сдвиговое движение, подобное тому, которое изображено
на рис. 147 |> = 0, и=и{у)}\
2) модель Максвелла, основанную на наложении скоростей уп«
ругой и вязкой деформаций
где сохранены те же обозначения и рассматривается то же плоское сдви-
сдвиговое движение.
Различие этих моделей наглядно выявляется, если положить в пер-
первой модели A6) T=const = T0, а во второй — е = 0. Для модели Фойх-
та, интегрируя A6), получим при т=т0 равенство
выражающее запаздывание при росте времени t установления упругой
деформации xo/G, соответствующей постоянному напряжению т=т0.
Постоянная jli/G является характерным временем запаздывания.
Модель Максвелла при интегрировании уравнения A7), в пред-
предположении е = 0 приводит к решению
т = т0 ехр
(-т)-
описывающему возвращение с ростом времени t напряжения т к тому
нулевому значению, которое соответствовало бы равновесному состоя-
состоянию среды при отсутствии скорости деформации е.
Процесс возвращения к равновесному состоянию среды, выведенной
из этого состояния каким-то возмущением, именуют релаксацией, а ха-
характерное время развития этого процесса — временем релаксации.
Убывание напряжения в модели Максвелла, выраженное урав-
уравнением A9), дает пример релаксации напряжения в потоке вязкоупру-
гой жидкости. Величина
*• = ?-. B0)
фигурирующая как в модели Фойхта, так и в модели Максвелла,
может трактоваться в первом случае как «время запаздывания» уста-
установления упругой деформации, а во втором — как «время релаксации>
напряжения.
Уравнение Максвелла A7), с учетом характера прямолинейного
сдвигового движения (а = 0, B = du/dy), можно переписать в виде
XT + x=iie = fxg; B1)
при нулевом времени релаксации (Я=0) равенство f21) приводит к за-
закону Ньютона B), соответствующему мгновенному следованию на-
напряжения за скоростью деформации (иными словами, бесконечной ско-
скорости распространения возмущений). Вспомним содержание § 32, из
которого следовала бесконечно большая скорость распространения воз-
возмущений в несжимаемой жидкости и конечная скорость этого процесса
в сжимаемой среде — газе. Наличие свойства упругости в вязкоупругой
§ 85. РЕОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ 367
среде приводит, так же как в газе, к конечной скорости распространения
возмущений.
Для определения величины этой скорости заметим, что в рассмат-
рассматриваемом плоском прямолинейном сдвиговом движении основному урав-
уравнению динамики «в напряжениях» [(8), гл. IV] при отсутствии объем-
объемных сил можно придать вид
Взяв от обеих частей уравнения B1) производную по времени, по-
получим
или, согласно B2),
at* + х~дГ~Т ду* '
Это уравнение в частных производных гиперболического типа («теле-
(«телеграфное» уравнение) описывает волновое распространение напряже-
напряжения, причем скорость этого распространения определяется значением
корня квадратного из коэффициента при д2т/ду\ не зависит от вязкости
среды и равна
VT <24)
Наличие у вязкоупругих сред конечной скорости распространения
возмущений имеет следствием возникновение в движущейся вязкоупру-
гой жидкости зависимости движения в данной точке потока от предшест-
предшествующих движений в точках, расположенных вверх по потоку. Такое
явление называют «влиянием предыстории» потока, а жидкости, обла-
обладающие этим свойством,— «наследственными». Вязкоупругая жидкость
служит примером такого рода «наследственных» жидкостей.
Отметим существенную разницу между моделями Фойхта и
Максвелла.
Для модели Фойхта характерным является тот факт, что при дей-
действии постоянного напряжения скорость сдвига е, которую можно полу-
чить из A8) дифференцированием по времени, при t-+oo быстро стре-
стремится к нулю, т. е. «тело» Фойхта под действием постоянной нагрузки не
обладает свойством беспредельной текучести. «Тело» Максвелла, для
которого, как легко видеть из A7), при условиях: т=т0, т=0 имеет
место соотношение
е-> — =7^=0 при любых t,
в противоположность «телу» Фойхта, будет течь под действием по-
постоянной нагрузки с постоянной скоростью сдвига ео = то/|х. Вот почему
среду, подчиненную реологическому закону Фойхта, часто называют
вязкоупругим, «наследственным» твердым телом, в отличие от «тела»
Максвелла, которое представляет вязкоупругую «наследственную»
жидкость.
Перечисленные примеры не исчерпывают всего разнообразия специ-
специфических свойств неньютоновских жидкостей. Механические свойства
многих жидкостей существенно зависят не только от скорости деформи-
деформирования, но и от продолжительности деформирования, а также от пред-
истории потока. Такие жидкости именуют тиксотропными. Некоторые из
них, реопектические жидкости, обладают способностью увеличивать
368 ГЛ. X ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
жесткость своей структуры при наличии сдвигового движения, другие,
наоборот, разрушать структуры. К первому типу можно отнести, напри-
например, цементные растворы в режиме «цепенения», расплавленные метал-
металлы, которые в жидком состоянии представляют собой чисто ньютонов-
ньютоновские жидкости, а на начальной стадии затвердевания заполняются мель-
мельчайшими кристаллическими образованиями, приближающими их к ди-
латантным жидкостям.
Тиксотропия может проявляться и в обратном, также связанном с
временем, эффекте разрушения жесткой структуры под действием
сдвигового деформационного движения, как это имеет место, например,
в жидкостях типа кефира. Под влиянием встряхивания кефир, пред-
представляющий желеобразное тело, свободно выливается из бутылки, а
после некоторого времени покоя вновь восстанавливает свою структуру,
Современные синтетические материалы, используемые в машино-
машиностроительной, текстильной, пищевой и других видах промышленности,
дают много примеров разнообразных неньютоновских (их иногда назы-
называют реологическими) жидкостей, механические законы движения кото-
которых очень сложны и могут, с известной степенью приближения, пред-
представляться комбинацией простейших законов, кратко описанных в на-
настоящем параграфе.
Реология неньютоновских жидкостей граничит с динамикой неодно-
неоднородных жидкостей, под которыми понимают многофазные и многоком-
многокомпонентные среды. В такого рода средах, как, например, тонкие суспен-
суспензии частиц, вообще трудно отличить неоднородную среду, от неньютонов-
неньютоновской жидкости. Существует мнение, что в некоторых случаях неньюто-
неньютоновские жидкости при переходе от ламинарного движения к турбулент-
турбулентному могут потерять свою первоначальную молекулярную микрострук-
микроструктуру и стать неньютоновскими, несущими примеси, т. е. неоднородными
жидкостями.
Особенную сложность представляет вопрос о разыскании тензоров
напряжений для отдельных фаз в движущейся смеси и общих законо-
закономерностей для «межфазных» тензоров напряжений, в которых само по-
понятие деформации, так же как и скорости деформаций, становится особо
сложным ').
Основной линией преодоления этих трудностей является приближен-
ный подход, заключающийся в сохранении для смеси в целом реологиче-
реологического уравнения однородной, ньютоновской или неньютоновской среды,
физические константы которой как-то в среднем учитывают особенности
отдельных составляющих неоднородной смеси.
Для сред с малыми объемными концентрациями примесей широко
распространено применение поправки Эйнштейна к динамическому ко-
коэффициенту вязкости несущей фазы. Исправленный динамический коэф-
коэффициент вязкости смеси \i* выражается через соответствующие коэффи-
коэффициенты: \х — для «чистой» несущей фазы и \i для жидкой или газообраз-
газообразной примеси со сферической формой частиц по формуле2)
5 -
t B5)
Iх 11 +
где а — объемная доля примеси.
1) См. по этому поводу: Нигматулин Р. И. Методы механики сплошной сре-
среды для описания многофазных смесей.— Прикл. мат. и мех., 1970, т. 34, № 6, с. 1097-
1112, и монографию: Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред.—Я:
Наука, 1978, гл. I.
2) Обоснование этой формулы можно найти в курсе: Батчелор Дж. Введение
в динамику жидкости/Перев с англ.— М.: Мир, 1973, с. 313—321.
§ 86. УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ — СТОКСА ДИНАМИКИ НЬЮТОНОВСКОЙ СРЕДЫ 369
В случае твердой примеси следует положить [х=оо; тогда предыду-
предыдущая формула приводится к более простой, справедливой для твердых
суспензий сферических частиц:
(}) B6)
В случаях примесей несферических частиц вязкость смеси возрастает.
Так, для твердых частиц, имеющих форму эллипсоидов вращения с от-
отношением полуосей 6:1, будет
B7)
Заметим, что поправка Эйнштейна весьма существенна. Например,
для крови, состоящей из ньютоновской несущей фазы — плазмы с дина-
динамическим коэффициентом вязкости jx=0,015 П — и переносимых плазмой
кровяных телец с объемной концентрацией а^40%, если рассматривать
эти тельца как твердые эллипсоиды вращения1) с относительной тол-
толщиной 1:6 (что близко к действительности), будем иметь ц*=3ц.
Реология неньютоновских жидкостей представляет в настоящее вре-
время большую самостоятельную область механики сплошных сред2). В ее
современном развитии большая роль принадлежит известной советской
школе, группирующейся под руководством 3. П. Шульмана в Инсти-
Институте тепломассообмена (ИТМО АН БССР) в Минске3).
§ 86. Уравнения Навье — Стокса динамики
ньютоновской несжимаемой среды
Для вывода основных дифференциальных уравнений динамики вяз-
вязкой несжимаемой жидкости используем уравнения динамики сплошных
сред «в напряжениях» [F), (8) гл. IV] и присоединим к ним уравнение
несжимаемости A0), гл. III.
Подставим в правые части системы уравнений «в напряжениях» (8)
гл. IV, записанных с употреблением числовой индексации,
dt дхг дх2 дх3
ал*! ол-2 аг3
dt дхг дх2 дхв
ИЛИ
Р — = Р^+т^ (/,*= 1,2,3)
dt dxk
значения напряжений p{j по A1) настоящей главы. Останавливаясь на
случае изотермического движения, когда \i=const, p = const и v = const.
») Jones R. Т. Blood flow.—Annual Review of Fluid Mechanics, 1969, v. 1,
p. 223,224.
2) Среди общих руководств по реологии можно рекомендовать следующие: А с т а-
рита Дж., Map р у ч и Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей.— М.:
Мир, 1973; Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных
сред.—М.: Мир, 1975; Рейнер М. Деформация и течение. Введение в реологию.—М.:
ГНТИ нефт. и горно-топлив. литературы, 1963; Noll W. A mathematical theory of the
mechanical behavior of continous media — Arch Rat. Mech. Anal., 1958, v. 2, № 3, p. 197—
226, а также ранее цитированную монографию Уилкинсона.
3) См., например, Ш у л ь м а н 3. П., X у с и д Б. М. Нестационарные процессы
конвективного переноса в наследственных средах.—Минск: Наука и техника, 1983 и
помещенную там обширную библиографию.
370 гл. х. динамика несжимаемой вязкой жидкости
получим для первого уравнения системы B8)
дрц , дрп \дрп_ = __др_1 2u^^+ u— (^L + ^±
дхх дх2 dx3 дхх qx* дх2 \ дх2 дхх
В несжимаемой жидкости divV=0, а следовательно, и последнее
слагаемое справа равно нулю.
Повторяя подобные действия применительно к остальным двум урав-
уравнениям системы B8), деля обе части на р, раскрывая выражение произ-
производной dVi/dt и присоединяя еще уравнение несжимаемости A0) гл. III,
получим следующую систему уравнений Навье — Стоке а:
dt ^ х dxi 2 дх2 ^ 3 дх3
B9)
дх3
dVi j dV2 i dV3 =Q
дхх дх2 дх3
или кратко
5+^^-if + vW,, ^ = 0 (/,*-!. 2,3).
dt dxk p dxt dxk
Впервые на основании соображений о взаимодействии молекул эти
уравнения были получены Навье в 1822 г. и Пуассоном в 1829 г.,
а затем близким к только что изложенному путем С е н-В е н а н о м в
1843 г. и затем Стоксом в 1845 г.1).
В векторной форме уравнения B9) имеют вид
— + {V.V)V = F — ~
dt p
C0)
divV=0,
где символ V2V — лапласиан V — обозначает вектор с проекциями V2V<
(i-1,2,3).
В приложениях приходится иметь дело с уравнениями Навье —
С то кс а в проекциях на оси ортогональных криволинейных координат.
Для составления такой формы уравнений полезно учесть тождество E0)
гл. II
(V . V)K
а также следующее из последней строки системы (88) гл. I при условии
несжимаемости (divV=0) равенство
V2K = — rot rot К, C1)
в силу чего уравнения Навье — Стокса при условии потенциальности
]) Цитируем по фундаментальному курсу: Лам б Г. Гидродинамика.— М.: Гостех-
издат, 1947, с. 723.
§ 86. УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ - СТОКСА ДИНАМИКИ НЬЮТОНОВСКОЙ СРЕДЫ 371
объемных сил могут быть приведены к форме, аналогичной уравнениям
Громека — Л амба [(8) гл. V] для идеальной жидкости,
К + rotrxK= — gradf— + П + ±) —V rotrotK
dt \ 2 р /
C2)
Пользуясь проекциями на криволинейные оси операторов rot, grad и
div, получим следующие выражения уравнений Навье — Стокса в ци-
цилиндрических и сферических координатах (объемные силы опущены):
цилиндрические координаты (г, е, г):
г де
дг
дг
де
дг
d(rVr) dV, d(rV2)
дг + дг + дг
дг
V» г -?- -4- - — 4- — — 4- —
дг* ^ г дг ^ г2 де» дга
сферические координаты (R, 8, е):
dv«
R дд
RsinQ де
1 дР v
р дЯ
dR R дЭ "^ J?sin9 де "*" R
tf2sin9 де
/ '
_ i '.aP, , v
р/?д8
дЯ Я д9
, 2 ^
^Яад9
«sine де
p«sin9de
i
-3- («2^ sin 9) + -|-
/?2sinae ' /?asin9 дг
Sin 9)+ —!_ = 0,
де
C4)
i 2cos9 dVe)
««sWe д / *
де
д f^nQ д \ 1 [
in6 » V ^9 / /?2sii
/г3 а/?
Совокупность уравнений B9) представляет собой нелинейную сис-
систему четырех уравнений в частных производных второго порядка с че-
четырьмя неизвестными функциями Vu V2y Vs и р; величины р и v являются
372 ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
заданными постоянными, а проекции объемной силы Fu F2, F3 (силы
тяжести, инерционные, центробежные или кориолисовы силы)—задан-
силы)—заданными функциями координат и скоростей. Нелинейность системы обуслов-
обусловлена наличием конвективной составляющей ускорения в левой части
уравнений B9).
Для получения конкретных решений при интегрировании системы
уравнений B9) должны быть использованы граничные, а в случае не-
нестационарного движения и начальные условия. Вспомним, что в идеаль-
идеальной жидкости основное граничное условие на омываемой жидкостью твер-
твердой поверхности заключалось в непроницаемости поверхности и в связи
с этим в совпадении нормальных к поверхности составляющих скоростей
частиц жидкости и точек самой поверхности. В случае вязкой жидкости
это граничное условие заменяется условием «прилипания» частиц жидко-
жидкости к твердой стенке. Это означает отсутствие как нормальной к твердой
поверхности относительной скорости между частицами жидкости и близ-
близлежащими точками поверхности, так и касательных составляющих отно-
относительной скорости, т. е. отсутствие скорости скольжения жидкости по
поверхности.
Не следует связывать указанное только что допущение об отсутствии
скольжения частиц жидкости по твердой поверхности («прилипание»)
с явлением «смачиваемости» жидкостью (или отсутствия смачиваемости)
твердой поверхности, которое характеризует так называемый «краевой
эффект» (образование мениска) на границе трех фаз (твердая, жидкая,
газообразная), или твердой поверхности и двух жидкостей разной плот-
плотности. Ртуть не смачивает внутреннюю поверхность стеклянной трубки,
по которой течет, но «прилипает» к ней.
Таким образом, в отличие от идеальной жидкости, при обтекании
твердых поверхностей вязкой жидкостью должно выполняться граничное
условие равенства нулю скорости жидкости на неподвижной обтекаемой
поверхности или совпадения скоростей частиц жидкости со скоростями
точек движущейся твердой поверхности, с которыми жидкие частицы со-
соприкасаются. Это граничное условие даже в конце XIX века оспарива-
оспаривалось отдельными авторами, но в настоящее время уже полностью оправ-
оправдано1). Исключением из этого общего положения являются граничные
условия в сильно разреженных газах, где возможно скольжение газа по
твердой поверхности, пропорциональное производной по нормали к по-
поверхности от касательной составляющей скорости.
В число граничных условий входит также задание скорости вдалеке
от обтекаемого тела в случае внешнего обтекания или расхода в случае
протекания жидкости сквозь канал, а также задание давления в какой-
нибудь одной точке потока, в частности, в бесконечном удалении от об-
обтекаемого тела.
Начальные условия фигурируют в задачах нестационарных движе-
движений и представляют задания распределения скоростей в области течения
в некоторый начальный момент, изменения во времени давления в дан-
данной точке пространства и т. д.
Для частных классов задач о движении вязкой жидкости существуют
строгие доказательства теорем о существовании и единственности реше-
решений. Эти теоремы, помимо своего общего математического содержания,
важны еще потому, что указывают, каковы должны быть присоединенные
к дифференциальным уравнениям граничные и начальные условия, а так-
также и другие дополнительные требования, без выполнения которых реше-
1) См. очерк «Заметка об условиях на поверхности соприкосновения жидкости с
твердым телом», помещенный в конце второго тома монографии «Современное состоя-
состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости» (Под ред. С. Голдстейна).— М.* ИЛ, 1948
с. 356.
§ 87. ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ HFC/КИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 373
ние задачи не будет единственным, а иногда и вообще может не сущест-
существовать. Таковы требования плавности обтекаемой поверхности или нали-
чия на ней конечного числа изломов или разрывов кривизны, условия, на-
налагаемые на распределения физических величин, непрерывность, сущест-
существование производных и т. п.
Иногда в число условий единственности входят некоторые интег-
интегральные равенства, подобно тому, как это имело место в идеальной
жидкости, где при расчете подъемной силы крылового профиля (гл. VII)
использовалась «присоединенная» циркуляция. В динамике вязкой жид-
жидкости аналогичную роль играют задание величины импульса струи при
расчете явления распространения струи в пространстве, затопленном
той же жидкостью, задание сопротивления тела для определения тече-
течения в аэродинамическом следе за ним и т. п.
§ 87. Подобие течений вязкой несжимаемой жидкости
Метод подобия весьма плодотворен при изучении не только гидро-
гидродинамических, но и многих других физических и технических вопросов.
Прежде всего следует отметить прямое назначение этого метода как
научного обоснования приемов моделирования действительных, «на-
«натурных» процессов в лабораторных условиях. Метод подобия позволяет
устанавливать требования, которые следует предъявлять к лаборатор-
лабораторной модели и проведению на ней исследуемого процесса для того, что-
чтобы результаты моделирования могли быть использованы для проекти-
проектирования реальных объектов. Кроме того, обработка лабораторных из-
измерений и обобщение результатов этих измерений в виде эмпирических
формул также ведется согласно указаниям метода подобия.
Но это чисто прикладное значение метода подобия далеко не ис-
исчерпывает общую его ценность. Вот уже много лет, как метод подобия
используется и при теоретическом изучении явлений как способ предска-
предсказания внутренней структуры переменных и параметров, входящих в вы-
выводимые из теории аналитические соотношения, а иногда даже и самой
формы этих соотношений. Стоит вспомнить, например, выведенные в
гл. VIII и IX соотношения подобия до- и сверхзвуковых обтеканий тон-
тонких тел, а также изложенные в тех же главах построения «автомодель-
«автомодельных» решений. В настоящей и последующих главах придется встретить-
встретиться со многими примерами использования идей метода подобия.
Два физических явления называют подобными, если величины, ха-
характеризующие одно явление, могут быть получены из соответствующих
величин другого, взятых в сходственных пространственно-временных
точках, простым умножением на одинаковые во всех точках множители,
называемые коэффициентами подобия.
Пусть ф(г; t), а (г;/), Q(r; t) соответственно представляют некото-
некоторые в общем случае нестационарные поля распределений физических
скалярных, векторных или тензорных величин в пространственно-вре-
пространственно-временной области (г; /)', здесь г—вектор-радиус точки, а его проекции
^ ^ х) —координаты этой точки. Сравним с этим явлением некоторое
другое, характеризуемое соответственно скалярными, векторными или
тензорными функциями <р(г; г), a(r\ t), Q(r\ Т) в области (г; I). Прост-
Пространственно-временную точку M{r\ t) будем называть «сходственной»
по отношению к точке M{r\ t), если векторы-радиусы этих точек (или
их координаты) и соответствующие моменты времени могут быть полу-
получены одни из других простыми линейными преобразованиями
r=ktr (или x = kixy y = kty9 z = kiz)\ l=ktt9 C5)
в которых коэффициенты подобия kL и kt одни и те же для всех точек
374 гл. х. динамика несжимаемой вязкой жидкости
сравниваемых областей и, кроме того,— подчеркнем этот факт — коэф-
коэффициент подобия kt — один и тот же для всех координат, т. е. не зависит
от направления координатных осей в пространстве.
Рассматриваемые два физических явления будем считать подобны-
ми (в первоначальном смысле этого слова), если характеризующие их
функции_ф, a, Q и ф, а, Q, определенные в сходственных точках областей
(г; t) и (г; t), могут быть получены одни из других также простыми ли-
линейными преобразованиями
Ф = &фФ, a=kaa, Q=kQQ C6)
с одинаковыми для различных сходственных точек значениями коэффи-
коэффициентов подобия &ф, кп1 kQ я — подчеркнем это опять — одинаковыми ко-
коэффициентами подобия: ка для всех проекций вектора а и kQ — для всех
компонент тензора Q.
Расширяя только что высказанное определение подобия, введем
еще аффинное подобие; о нем уже была речь в гл. VIII и IX. В случае
аффинного подобия совокупность преобразований C5) и C6) заменя-
заменяется следующими более общими преобразованиями:
ф = &фф, ax=kaxaXf ау = кауау, аг = кп2аг,
C7)
<?**=kQxxQ**, QxV = kQxyQxy И Т. Д.,
справедливыми в «сходственных» точках, определяемых формулами пе-
перехода
x=kxxf y=kvy, z = kzz, t = ktt. C8)
Коэффициенты подобия ?„ Кх, ..., kQxx> kQxyy..., kxy kVf kZt так же как
и ранее, не меняются при переходе от одной точки к другой, но изотро-
изотропии уже нет и Кх ФКу ФКг% ^ххФкЯхуФ..., кхфкчфкг.
Преобразования C5) и C6), характеризующие обычное подобие,
или C7) и C8) — аффинное подобие, можно интерпретировать еще ина-
иначе, если для каждого из рассматриваемых явлений ввести некоторые
постоянные величины, характеризующие количественный порядок (мас-
(масштаб) переменных физических величин, описывающих явления. Эти по-
постоянные величины будем в дальнейшем называть масштабами соответ-
соответствующих переменных величин (длин, времени, скоростей, давлений
и др.)- В области одного из сравниваемых явлений, скажем первого,
в котором обозначения не имеют черточек сверху, обозначим через L
и Т какие-нибудь характерные длину и время и примем их за масштабы
этих величин; в области другого явления аналогичным образом выде-
выделим соответствующие масштабы I и f. Ограничиваясь для простоты
пока случаем простого подобия, будем иметь, согласно C5),
? = ?,!, T = ktT. C9)
Точно так же определим и масштабы Ф, A, Q* и Ф, Л, Q* для величин
Ф, a, Q, ф, а, Q\ при этом будет
D0)
Исключая из равенств C9) и D0) коэффициенты подобия ku ku й,
и т. д., можем преобразования C6), справедливые для сходственных
точек, в которых, согласно C5), будет
— = -, -^= —, - = -. •!¦ = —. D1)
§ 87. ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 375
переписать в форме безразмерных соотношений
Ф Ф' а л ' ф С* '
Применяя обозначение «idem» для указания одинаковости сравни-
сравниваемых безразмерных величин в сходственных точках областей, где про-
протекают исследуемые явления, будем иметь следующее, заменяющее
D1) и D2) определение подобия явлений:
— = idem, — = idem, ~ = idem,
D3)
если
— = idem, — = idem, — = idem; — = idem.
Lj Li L/ 1
Иными словами, два подобных явления в сходственных пространствен-
пространственно-временных точках областей их протекания отличаются между собой
только масштабами описывающих+явления велишн.
Отсюда сразу следует, что если в дифференциальных уравнениях,
граничных и начальных условиях, а также других условиях единствен-
единственности решений этих дифференциальных уравнений перейти от обычных
размерных переменных к безразмерным, которые могут быть получены
путем отнесения размерных величин к их масштабам, то как сами те-
лерь уже безразмерные дифференциальные уравнения, так и соответст-
соответствующие им безразмерные граничные, начальные и другие условия един-
единственности, станут одинаковыми для обоих сравниваемых явлений.
Все, что утверждалось сейчас для подобных явлений в обычном
употреблении термина «подобие», полностью относится и к случаю аф-
аффинного подобия, с той лишь разницей, что при аффинном подобии для
разных координат должны быть выбраны разные масштабы длин: X, У,
Z; точно также и для разных проекций векторов аху ауу аг различные мас-
масштабы, скажем, АХу Лу, Аг и т. д. Напомним, что как раз такое приме-
применение метода аффинного подобия имело уже место в гл. VIII и IX на-
настоящего курса.
Подобие обтеканий тел идеальной несжимаемой жидкостью (или,
что то же, идеальным газом при малых числах Маха) обеспечивалось
лростым геометрическим подобием обтекаемых тел и их подобным рас-
расположением относительно набегающих на них потоков в сравниваемых
течениях (равенством углов атаки и других углов, определяющих по-
положение тела относительно набегающего на него однородного потока).
Так, плоские обтекания двух круглых цилиндров идеальной несжи-
несжимаемой жидкостью при условии r/(K.a)==idem (см. § 50) были подоб-
подобны между собой независимо от того, каковы радиусы цилиндров, скорос-
скорости набегающих потоков и плотности жидкостей в сравниваемых течени-
течениях. При этом в сходственных точках потоков были одинаковы и коэф-
коэффициенты давлений ср, а следовательно, в конечном счете и коэффици-
коэффициенты подъемной силы су.
Для двух геометрически подобных крыловых профилей гидродина-
гидродинамическое подобие потребовало бы еще одинаковости углов атаки и, кро-
кроме того, выполнения постулата Жуковского — Чаплыгина о конечности
скорости на задней острой кромке. Пространственные обтекания гео-
геометрически подобных тел, подобно размещенных в однородных потоках
идеальных несжимаемых жидкостей с различными скоростями, подобны.
Перейдем к рассмотрению условий подобия двух изотермических
потоков ньютоновских вязких несжимаемых жидкостей с различными,
непостоянными плотностями и вязкостями. Следуя только что указанно-
376 ГЛ. X ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
му приему сравнения безразмерных дифференциальных уравнений и со-
соответствующих им граничных и начальных условий, приведем уравнения
Навье — Стокса B9) к безразмерному виду, выбрав в качестве масшта-
масштабов времени, длин (в частности, координат), скоростей, давлений и объ-
объемных сил соответственно некоторые характерные для потока постоян-
постоянные величины: 7\ L, V, Р, F.
Обозначая штрихом безразмерные значения времени, координат,
скоростей, давлений и сил, положим (здесь удобнее пользоваться бук-
буквенной индексацией: х9 у, z, uf v, w)
t = Tt'\ x = Lx\ y = Ly', z = Lz';
p = Pp\ D4)
Подставляя эти значения /, x, ...,«,..., p, FX9 ... в уравнения B9),
получим
T dt' ' L \ dx' ' dy' dz
PP' P dp' - vV (d2u! \d2u! . д2и' \
~~ x ^Г~дхТ L2 \дх'2 ду'2 dz^J
+ U + V + W
T dt' L\ дх' ду' d ]
D5)
~ У pL ду' + L2 \дх'* + ду'* dz'* j *
T dt' ^ L [ дх> ^ ду' ^ dz'
ГГ' P dp' \V (d2w' , d2w' . Л'\
pL dz' L2 \ dx'2 dy'2 dz'2 )
x' dy
после чего, сокращая обе части первых трех уравнений на соответствую-
соответствующим образом выбранную комбинацию масштабов Г, L, V, Р и физиче-
физических констант, уменьшим на единицу число составленных из них ком-
комплексов в уравнениях. Так, предполагая в общем случае, что конвектив-
конвективные ускорения не опущены, разделим обе части первых трех уравнений
на V2/L\ будем иметь
+«+•+*
dt' дх' ду' дг'
xEu + ( +
Fr дх' Re Uv'2 ду'2
dv' . , dv' . , dv' . , do'
+ u + v + w =
Fr y dy' Re \dx'2 "*"л«'2 л,/2 ) ¦ v )
IF u "ал7 a^' ~a?~ ~
1 r-,' _ dp' , 1
Fr dz' Re \ dx'2 dy'2
dx' dy' dz'
§ 87. ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 377
В уравнения D6) вошли следующие безразмерные одночленные
комплексы, называемые «числами подобия»:
L Р
— =S h — число Струхала, = Ей — число Эйлера,
D7)
VL V2
— = Re — число Рейиольдса, — = Fr — число Фруда.
v FL
Уравнения D6) представляют собой безразмерные уравнения Навье —
Стокса динамики вязкой несжимаемой жидкости. К этим уравнениям
присоединяются соответствующие данной конкретной задаче безразмер-
безразмерные начальные и граничные условия, а в ряде случаев и другие условия
единственности решений уравнений Навье — Стокса.
Предположим, что два в общем случае нестационарных потока нью-
ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости подобны между собой. Тогда,
по предыдущему, безразмерные начальные, граничные и другие условия
единственности, так же как и сами безразмерные уравнения Навье —
Стокса D6), должны быть одинаковыми для обоих сравниваемых меж-
между собою движений. Но, по предположению о существовании подобия,
все безразмерные, обозначенные штрихами переменные в сходственных
точках потоков одинаковы, следовательно, для совпадения дифференци-
дифференциальных уравнений остается потребовать, чтобы были одинаковыми чис-
числа подобия, т. е.
Sh = idem, Eu = idem, Fr = idem, Re = idem. D8)
Перечисленные условия подобия, включая последнюю систему ра-
равенств, являются необходимыми условиями подобия. Трудности стоят
на пути выяснения достаточных условий подобия. Эти трудности связа-
связаны с тем обстоятельством, что для строгого установления достаточных
условий подобия должна быть в широком аспекте граничных условий
доказана теорема о существовании и единственности решений уравне-
уравнения Навье — Стокса1). Большое разнообразие неизбежно встающих
перед практикой задач (наряду с обычными задачами обтекания тел
и протекания жидкости сквозь трубы и каналы существуют еще задачи
свободной конвекции, распространения струй, образования следов за
телами, развития пограничных слоев и т. д.) не позволяет считать воп-
вопрос об установлении достаточных условий подобия движений вязкой не-
несжимаемой жидкости исчерпанным.
Условимся среди чисел подобия D7) особо выделять составленные
только из тех масштабов сравниваемых потоков и физических констант
среды, которые содержатся в постановке задачи об определении движе-
движения, т. е. наперед заданы. Одинаковость таких чисел подобия обуслов-
обусловливает подобие двух сравниваемых течений, и поэтому сами числа могут
быть названы критериями подобия. Критериев подобия меньше, чем
чисел подобия для соответствующего класса течений, так как не все
масштабные величины, введенные при составлении безразмерных урав-
уравнений и граничных и начальных условий, на самом деле могут быть за-
заданы наперед. Значения некоторых из них определяются только после
того, как будет получено единственное решение данной конкретной за-
задачи. Отсюда следует, что число достаточных условий, представленных
системой равенств вида D8), будет меньше общего числа необходимых
!) Для ознакомления с этим вопросом рекомендуем монографию: Ладыжен-
скаяО. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Совре-
Современные проблемы математики.— М. Физматгиз, 1961 Доказательства существования и
единственности решений уравнений Навье — Стокса для отдельных задач можно найти
в монографии: Гольдштик М. А Вихревые потоки.— Новосибирск: Наука, Сибир-
Сибирское отд-ние, 1981.
378 ГЛ X ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
условий, а оставшиеся после выделения критериев подобия числа подо-
подобия окажутся выраженными через критерии подобия. Этот результат
будет вскоре (§ 88) подтвержден теорией размерностей.
Проиллюстрируем высказанные положения несколькими примера-
примерами; многие другие примеры будут сопутствовать изложению в даль-
дальнейшем.
Поместим в однородный поток вязкой несжимаемой жидкости с
кинематическим коэффициентом вязкости v, плотностью р и постоянной
скоростью VTO цилиндр диаметра d и поставим задачу об определении
сопротивления цилиндра набегающему на него потоку в предположении»
что движение стационарно, а объемных сил нет. Тогда среди необходи-
необходимых условий подобия D8) остаются лишь два: Eu = idem и Re=idem.
Число Рейнольдса, в данном случае равное Re=Vood/v, является крите-
критерием подобия, так как содержит заданные наперед масштабы: скорос-
скоростей— У«, длин — d и также заданную физическую константу v. Сила
сопротивления — обозначим ее величину через W — может быть опре-
определена только после решения задачи обтекания, так как она вычисляет-
вычисляется суммированием по поверхности цилиндра сил давления потока на
поверхность и сил трения жидкости о поверхность цилиндра, которые в
свою очередь зависят от решения задачи обтекания. Число Эйлера, со-
содержащее в своем составе масштаб неизвестного наперед давления, не
может при этом быть критерием подобия, а будет функцией критерия —
числа Рейнольдса.
Коэффициент сопротивления cw единицы длины цилиндра, опреде-
определяемый отношением (а — площадь миделевого сечения цилиндра)
с - W
играет роль числа Эйлера (так как W/a имеет размерность перепада
давления) и зависит от числа Рейнольдса. Эксперимент полностью оп-
оправдывает это заключение. Результаты опытов, проведенных над ци-
цилиндрами различных диаметров, помещенных в разные по скоростям и
физическим свойствам жидкости потоки, вполне удовлетворительно лег-
легли на одну и ту же кривую зависимости cw (Re), показанную на рис. 148.
Если детальнее присмотреться к экспериментальной картине обте-
обтекания цилиндра, то можно заметить, что оно не является стационар»
ным: в кормовой части цилиндра то с одной, то с другой стороны его
поверхности срываются вихреобразные массы подторможенной цилинд-
цилиндром жидкости, создавая в потоке колебания с частотой, зависящей от
скорости потока, его вязкости и диаметра цилиндра, точнее, от рей-
нольдсова числа.
Такие колебания цилиндра в потоке постоянной скорости, происхо-
происходящие за счет внутренних явлений в пограничном слое на поверхности
цилиндра, приводящих к только что отмеченным отрывам масс жидкос-
жидкости с поверхности цилиндра, относятся к числу автоколебаний. Их можно
наблюдать на всевозможных плохо обтекаемых телах. Возникая в жид-
жидкости, эти периодические процессы вызывают вибрации тел, погружен-
погруженных в жидкость. Известны автоколебания фабричных труб и высотных
зданий во время ветра, причем частота этих колебаний не связана с
частотой порывов ветра, как это имело бы место при вынужденных ко-
колебаниях. Аналогичные автоколебания совершают перископ подводной
лодки, трубки конденсатора паровой турбины и др.
Чешский физик Струхал *) еще в конце девятнадцатого века изучал
колебания струн в однородном потоке воздуха (подобные вибрациям те-
l) Strouhal. Ann. der Phys. u. Chem. (Wiedemann's Ann.), 1878, Bd. 5, S. 216-
251.
§ 87. ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
379
леграфных проводов в ветреную погоду) и по высоте звука определял
частоту колебаний N=l/T (Г —период колебаний). Он первый заметил,
что безразмерная одночленная комбинация частоты колебаний N, диа-
диаметра струны d и скорости набегающего потока УЖ1 ныне называемая
числом Струхала
сохраняет определенное постоянное значение, близкое к 0,2.
Рассмотрим это явление с точки зрения метода подобия. Отвлекаясь
от действия объемных сил, получим три числа подобия: Sh, Eu (или сю)
и Re. Среди них только число Re состоит из заданных наперед величин
Vm d и v и, следовательно, представляет критерий подобия автоколеба-
автоколебательных движений вязкой несжимаемой жидкости, возникающих при
1
\
Г1 1 10 102 W3 Ш* 10s 10s
Рис. 148
0,22
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
у
/
/
/Sh
1
/о3
Re»
ч
1,0
о
Рис. 149
обтекании цилиндра. Числа подобия Sh и cw содержат неизвестные на-
наперед частоту автоколебаний N=l/T и сопротивление W и являются
поэтому функциями критерия подобия Re. Опыты подтверждают это
положение. На рис. 149 приводятся кривые Sh (Re) и cw (Re), состав-
составленные по опытам А. Рошко1). Опыты над цилиндрами проводились в
широком диапазоне диаметров от 0,235 до 6,35 мм. Судя по кривой, при
больших значениях Re устанавливается значение Sh = 0,21. Это хорошо
оправдывается при не слишком больших значениях чисел Re, однако
известно, что при достижении числом Рейнольдса значений порядка
5-10* сопротивление резко падает (см. рис. 148), изменяется характер
обтекания цилиндра и стремление числа Струхала к постоянному зна-
значению 0,21 нарушается. Этому вопросу будет уделено внимание в
гл. XIII при рассмотрении явления «кризиса обтекания» круглого ци-
цилиндра.
Изменим теперь постановку задачи. Поместив цилиндр в однород-
однородный поток постоянной скорости У,», приведем его в заданный по жела-
желанию колебательный режим с частотой N. В этом случае число Струхала
Sh станет наряду с числом Рейнольдса Re критерием подобия, а коэф-
коэффициент сопротивления cw будет уже функцией двух критериев подобия
Sh и Re
!) Rochko A. On the development of turbulent wakes from vortex streets —
NACA Rep., 1954, v. 1191.
380 ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Любопытный пример различия в выборе критериев подобия среди
чисел подобия относится к разбираемому далее в § 89 случаю движения
вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрической трубе кругового
профиля.
Жидкость плотности рис коэффициентом вязкости \i течет сквозь
горизонтальную цилиндрическую круглую трубу диаметра d под дейст-
действием постоянного перепада давлений, на участке трубы / равного Др;
при этом сквозь трубу проходит также постоянный секундный объемный
расход Q.
Выясним, какие указания может дать метод подобия относительно
общего вида зависимости между перепадом давлений в трубе Др (обес-
(обеспечиваемым работой насоса или напором столба жидкости между ре-
резервуаром и трубой) и секундным объемным расходом жидкости сквозь
трубу Q.
Возможны две постановки этой задачи:
1) задан потребный расход Q, надо рассчитать необходимый для
его получения перепад давления Др на заданном участке длины трубы /;
2) задан перепад давления Др на участке трубы длины /, требует-
требуется определить секундный объемный расход жидкости сквозь трубу Q.
Отвлечемся от действия объемных сил, в данном случае от тяжес-
тяжести, так как труба расположена горизонтально, и примем во внимание
стационарность задачи. Тогда среди чисел подобия останутся лишь
Еи = Р/(рУ2) и Re=Vd/v. Примем за масштаб давлений Р перепад дав-
давлений на характерной для данной трубы длине — ее диаметре d\ этот
перепад можно выразить через заданный перепад Др на какой-то дли-
длине / по формуле
За масштаб скоростей выберем среднюю по сечению трубы скорость те-
течения жидкости Уср, определенную очевидным отношением
Vc = Q ^
— nd?
4
При таком выборе масштабов числа подобия будут
г- Ар d Ол 'сра
E*--T. ¦*»-—.
В первой постановке (известно Q, подлежит определению Др на
заданном участке трубы длины /) критерием подобия будет рейнольдсо-
во число ReQ, а число Эйлера EuQ явится функцией его; тогда, вводя, как
это обычно делают, коэффициент сопротивления трубы X, согласно фор-
формуле сопротивления (Еид=Я/2)
Р~ 7 2 '
будем иметь
Опыты многих десятков лет полностью подтвердили правильность
этого соотношения для течения самых различных жидкостей в гладких
трубах разного диаметра как при ламинарном, так и турбулентном ре-
режимах течения, в широком диапазоне секундных объемных расходов,
или, что то же, средних по сечению трубы скоростей. Вопрос о виде
§ 87. ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 381
функциональной зависимости f(ReQ) будет в дальнейшем детально рас-
рассмотрен.
Во второй постановке задается перепад Р = —d, но остается не-
неизвестным секундный объемный расход, т. е. средняя по сечению трубы
скорость Уср. В этом случае среди чисел подобия Ей и Re нет ни одного
критерия, так как обе эти величины содержат в своем составе наперед
неизвестную величину 1/ср. В этом случае легко построить критерий, со-
содержащий заданную величину P—-?-d и не содержащий Vcv=*
=QI(nd2l4); чтобы исключить из числа Ей величину Vlpl составим без-
безразмерный комплекс
Eu-Re2 = рЛр^ = р(РАр d
\i4 ц2 / #
Этот комплекс и будет во второй постановке задачи о подобии играть-
роль критерия подобия — числа Рейнольдса ReP, а число Рейнольдса
ReQ=KCp^/v останется просто числом подобия. Будем иметь в этом
случае *)
Ц D9)
nvd \ (Li2 I)
где fi —символ новой функциональной зависимости. Если условиться в
обеих сравниваемых системах под величиной Ар понимать перепад дав-
давления на сходственном участке l=d или кратном d, то предыдущая фор-
формула может быть переписана еще так:
В качестве еще одного примера рассмотрим случай нестационарного
движения вязкой несжимаемой жидкости, физические свойства которой-
характеризуются константами р и pi, по бесконечно длинной круглой ци-
цилиндрической трубе диаметра d под действием перепада давления Др,
представляющего некоторую гармоническую функцию с периодом Т
(или частотой N=l/T) и амплитудой Р. В этом случае (опускаем дейст-
действие объемных сил) никакой характерной скорости не задается и, таким
образом, ни одно из чисел подобия Sh, Eu и Re не может быть критерием.
Как и в предыдущем случае, поскольку задается перепад давления (за
масштаб давлений можно принять, например, амплитуду колебаний дав-
давления Р) и частота N нестационарного движения (для простоты рас-
рассмотрим только установившиеся вынужденные колебания жидкости), то
критерии подобия составим, комбинируя числа Sh и Ей с числом Рей-
Рейнольдса Re так, чтобы скорость V исключилась. Будем иметь следующие
два критерия подобия:
pV* \ v / р { v
<-, Ра Nd Vd Nd*
on • ке = ¦— • — = ¦
V v v
Число Рейнольдса Re=Vd/v не будет в разбираемом случае крите-
рием подобия, а определится как функция только что указанных двух
критериев подобия
*) Обозначения Reg и Rep заимствованы из статьи: Рождественский Б. Л.,
Симакин И. Н. Моделирование турбулентных течений в плоском канале.— Журнал
вычисл. мат. и мат. физики, 1985, № 1, с. 97, 98.
382 ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
В заключение, не останавливаясь на подробностях, заметим, что
число Фруда, в частном случае силы веса (F=g), равное Fr—V2/(gl)t*
большинстве практических задач движения корабля, так же как и число
Рейнольдса, будет являться критерием подобия. Если при испытании
моделей кораблей в бассейнах пользоваться в качестве жидкости водой,
то осуществить строгое моделирование, требующее одинаковости на мо-
модели и в натуре критериев подобия Fr и Re, оказывается невозможным.
Действительно, условия
V2 VI
— = idem, ¦—- = idem, при g = idem и v = idem
gl v
приводят к двум следующим:
— = idem, VI = idem,
х. е. V=idem, /=idem, а это означает, что модель и натура должны сов-
совпадать по скорости движения корабля и по его размерам; таким обра-
образом, моделирование оказывается невозможным. В практике судострое-
судостроения моделирование ведут раздельно: только по критерию Рейнольдса,
когда преимущественное значение имеет сопротивление трения воды об
обшивку корабля и сопротивление давлений, обусловленное формой ко-
корабля, независимо от его положения по отношению к свободной поверх-
поверхности, где возникают волны и создается волновое сопротивление, и толь-
только по критерию Фруда, если, наоборот, главное значение приобретает
волновое сопротивление.
Возможны случаи, когда в изучаемом явлении никакая характерная
скорость движения жидкости указана быть не может. В этом случае,
как и в предыдущих примерах, можно освободиться от скорости, состав-
составляя безразмерный комплекс
Fr _ уз у2 _ уз
Re* ~ gl У2/2 ~"~ gl9 #
Этот комплекс играет роль критерия подобия в вопросах свободной
конвекции жидкости; обратная величина носит наименование критерия
Галилея. В настоящем параграфе был намеренно рассмотрен лишь срав-
сравнительно узкий класс течений: жидкость считалась несжимаемой, поток
изотермическим и физически однородным.
Тот же метод будет в дальнейшем изложении применен к более ши-
широкому кругу явлений (неизотермические движения жидкости при на-
наличии примесей, движение газа с большими до- и сверхзвуковыми ско-
скоростями). Во всех этих случаях в основу всегда будет положена мате-
математическая модель явления — дифференциальные уравнения динамики
и термодинамики с относящимися к ним начальными и граничными ус-
условиями, а иногда еще дополнительными условиями, без которых задача
не может быть строго поставленной. Таковы, например, условия нетри-
нетривиальности решений, с которыми придется в дальнейшем встретиться в
задачах о развитии струй, следов и других «свободных» от влияния
твердых стенок движений.
§ 88. Основы теории размерностей. П-теорема
Параллельно с методом подобия широкое применение на практике
получил метод размерностей, обычно излагаемый в тех же руководст-
руководствах, что и метод подобия *).
*) Литература по теории подобия обширна. Укажем лишь некоторые источники,
достаточно широко трактующие этот вопрос: Седов Л. И. Методы подобия и размер-
размерности в механике.— М : Наука, 1981; Гух ман А. А. Введение в теорию подобия.—М.:
Высшая школа, 1973; Г у х м а н А. А. Применение теории подобия к исследованию про-
§ 88. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ. П-ТЕОРЕМА 383
Принципиальное отличие теории размерностей от теории подобия
заключается в том, что она не требует задания математической модели
явления, а довольствуется установлением перечня основных физических
величин, определяющих явление, и рассмотрением их размерностей.
Теория размерностей незаменима в тех случаях, когда математиче-
математическое моделирование, т. е. составление основных уравнений, еще не про-
проведено. В этих особо сложных случаях теория размерностей позволяет
предсказать структуру обобщенных (безразмерных) эмпирических фор-
формул, которые с успехом для практики заменяют до поры до времени не
установленные теоретические закономерности.
В рассматриваемой в настоящем учебном руководстве сравнительна
узкой области физики — механике жидкости и газа — обе теории: по-
подобия и размерностей одинаково удовлетворяют практику, а их приме-
применения могут проводиться параллельно.
Так, в теории подобия, изложенной в предыдущем параграфе, была
использована система уравнений Навье — Стокса D5), содержащая в
качестве коэффициентов постоянные размерные комплексы масштабов:
V/T, Vz/L и т. д. Эта система уравнений после деления обеих частей на
комплекс V2/L перешла в систему безразмерных уравнений D6), кото-
которую в смысле, разъясненном в § 61, можно условно представить функ-
функциональной зависимостью
G(Sh, Fr, Eu, Re) = 0.
Это равенство, выведенное из соображений теории подобия для частного
случая нестационарного движения вязкой несжимаемой жидкости при
наличии объемных сил, может служить примером общего соотношения,
доказываемого в теории размерностей и составляющего содержание так
называемой П-теоремы.
Переходя к изложению основ теории размерностей, отметим преж-
прежде всего, что вместо характерного для теории подобия выбора масшта-
масштабов физических величин, так сказать, по принадлежности, т. е. скорости
для скоростей, давления для давлений и т. д., в теории размерностей
масштабами служат принятые в исследовании единицы измерений, ком-
комбинации которых определяют размерности входящих в рассуждение фи-
физических— как переменных, так и постоянных — величин. Так, в чисто
динамических, не связанных с термодинамикой или другими разделами
физики, явлениях основными масштабами будут: масса, длина, время,
что соответствует системе MLT; в СИ — килограмм, метр, секунда.
Имея в виду в излагаемом далее рассуждении обратиться к случаю
наиболее общего физического явления, обозначим через х{ (/=1,2,...
,,.,/*) численные значения входящих в постановку задачи физических
величин, через [х{] — их размерности, а через М^ (/=1, 2,..., гп) — при-
принятые единицы измерений. Тогда размерность х{ представится в виде
степенного одночлена
Ш = М?1м1'\..Айт, E0)
где показатели степеней ati называют размерностями величин х{ по от-
отношению к выбранным основным единицам Mj (/=1, 2,..., m).
Следуя Гёртлеру1), введем матрицу
Л=||яУ (i=l,2, ...,л; /=1,2, ...,/п;
цессов тепломассопереноса.— М.: Высшая школа, 1974; Овсянников Л. В. Введение
в механику сплошных сред. Ч. II.— Новосибирский Гос. ун-т, 1976; ЛойцянскийЛ. Г»
Методы подобия и размерностей в механике жидкости и газа, Сб. метод, статей по тео-
рет. механике, вып. П.—М.: Высшая школа, 1981.
l) Gortler H. Zur Geschichte des П-Theorems.— Zeitschr. f. angew. Math. u.
Mech, 1975, Bd. 55, S. 3-8.
384 ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
называемую матрицей размерностей, а ее ранг, равный максимальному
¦йорядку не равного нулю минора, обозначим буквой г. Рассмотрим со-
совокупность степенных одночленов
ns = **lsx*2s ...xknns (s=l,2, ...,p), E1)
размерность которых в системе единиц М, (/=1, 2,..., ш) определится
в результате подстановки в E1) размерностей дг,- по E0) и будет равна
(s=l,2 р)
...МУ\ E2)
где в показателях степеней подразумевается суммирование по повторя-
повторяющемуся индексу i от t=l до i=n. Если все показатели степеней в E2)
окажутся порознь равными нулю, т. е. ki8 будут удовлетворять однород-
однородной системе линейных алгебраических уравнений (суммирование по И)
я<А,=0, ai2ki8=0, ..., aimki8=0, E3)
то все П, E=1, 2,..., р) станут безразмерными. Тогда, по терминоло-
терминологии теории подобия, Н8 смогут выражать числа подобия, но при условии,
что все Пв являются независимыми, т. е. ни одно из них не может быть
выражено в виде произведения других.
Если система степенных одночленов П^ П2, ..., ПР удовлетворяет
условиям независимости и безразмерности и, кроме того, такова, что
любая степенная одночленная зависимость П от хи х2, ..., хп может быть
выражена степенным одночленом, составленным из IL, то такая система
П« E=1,2,...,/?) образует фундаментальную систему безразмерных
•степенных одночленов.
Легко убедиться в том, что число р фундаментальных комплексов
це (s=l, 2,..., р) равно разности общего числа рассматриваемых физи-
физических величин п и ранга г матрицы размерностей Л, т. е.
р=п—г. E4)
Действительно, система линейных алгебраических уравнений E3)
при ранге матрицы коэффициентов А, равном r<m, может быть замене-
заменена системой г неоднородных уравнений с определителем, не равным
нулю. Уравнения эти будут содержать в качестве неизвестных величины
в левой части ki8i k28, ..., kr8 числом г, а в правой — &г+1|в?г+2в, ..., knt
числом п—г. Эти последние остаются произвольными и образуют сово-
совокупность показателей степени у фундаментальных комплексов П^ П2,...
..., ПР, причем, по только что доказанному, р,=п—г.
Функция f(xi9 x2, ..., хп) действительных переменных хи х2, ..., хП)
определенная в некоторой области D значений этих переменных, назы-
называется размерноодноррдной функцией этих переменных, если существу-
существует такая совокупность действительных чисел bh (k=l, 2,..., m), что
имеет место равенство
[ ^ах а2 ... am xlf ..., ах ... ат хп) — ах а2 ... ат j (xl9 хъ ..., хп)%
справедливое для всех ak (&=1, 2,..., т) и х{ 0=1, 2,..., п) в обла-
области D.
Переходя от системы единиц М5 (/=1, 2, ..., т) к единицам, ъщ
раз меньшим, тем самым заменим систему переменных х{ на систему
переменных
§ 88 ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ. П-ТЕОРЕМА 385
Если функция
y=f(*i, хг, ..., хп)
выражает некоторую физическую связь между переменными хи то она
должна обладать свойством размернооднородных функций, так что ве-
величина у имеет размерность
Для любой, не обращающейся в нуль размернооднородной функции
переменных хи х2,..., хп существует по крайней мере один степенной
одночлен этих переменных
Л1 Л2 ... ЛП ,
такой, что
а следовательно, размерность отношения
f(xl9 x2t .. ., хп)
/п
П
будет нулевой. Отсюда следует основная теорема теории размерностей,
именуемая U-теоремой и приписываемая обычно Бекингему1). Как
показало исследование Гёртлера, на статью которого была ранее
сделана ссылка, теорема эта за четыре года до появления публикации
Бекингема была доказана преподавателем С.-Петербургского поли-
политехнического института А. Федерманом2), работа которого не по-
получила широкой известности.
П-теорема формулируется так: если хи х2,..., хп — численные зна-
значения п физических величин, Л=||а^|| A=1,..., п\ /=1,..., пг) — мат-
рица их размерностей по отношению к единицам измерения Ми Мг, ...
,..,ЛЦ / — произвольная размернооднородцая функция переменных
ii, *i,... t*«i я Пь ...,ПР (р=п—г, г —ранг матрицы А) —фундамен-
гальная система степенных одночленов переменных хи х2,..., хп, то при
произвольных действительных числах kiy k2t ..., kn имеет место равен-
равенство
f (xlt x2, ..., хп) = *i'42 ... xnnG (П1Э П2, ..., Пр). E5)
Если равенство f(xu х2,..., д:п)=0 выражает некоторую физическую
связь между переменными хихг,...,хп, то П-теорема утверждает, что
эта связь может быть выражена в форме зависимости
G (Пь П2,..., ПР) =0 (р=п-г) E6)
между фундаментальными безразмерными степенными одночленами в
физических переменных хи х2у..., хп.
Таким образом, не располагая математическими моделями явления,
можно из соображений о размерностях физических величин установить
1) Buckingham E. On physically similar systems; illustration of the use of
dimensional equations.—- Phys. Rev., 1914, v. 4, p. 345—376 и того же автора: Model
experiments and the forms of empirical equations.—Trans. Amer. Soc. Mech. Eng., 1915,
v 37, p. 263—288. См. также: Бриджмен П. В. Анализ размерностей.—М.: ОНТИ,
1934.
2) Федерман А. Об общих методах интегрирования уравнений в частных про-
производных первого порядка.— Изв. С.-Петербургского политехнического института, 1911,
т. 16, с. 97-154.
•3-9487
386 ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
количество и состав чисел подобия, которыми являются фундаменталь-
фундаментальные комплексы Пь П2,..., Пр.
Проиллюстрируем это на примере несжимаемой вязкой тяжелой
жидкости. Введем основные меры — единицы измерения — всех пере-
переменных и постоянных физических величин, определяющих движение
жидкости, в форме матрицы их размерностей. Замечая, что
[x9y,z]=L, m=7\ [u9v9w]^LT'\ [g)=LT-\
[р]=МЬ-*Т-\ [p]=ML-3, [[i]=ML-lT-\
будем иметь следующую матрицу размерностей (по строкам — размер-
размерности величин, по столбцам — единицы измерения):
У> 2
t
V, W
р
g
р
ц
М
0
0
0
1
0
1
1
L
1
0
1
— 1
1
— 3
— 1
т
0
1
— 1
— 2
-2
0
— 1
Ранг матрицы г=3, число размерных, определяющих движение ве-
величин л=7. Фундаментальная система параметров П содержит р=я—
—г=7—3=4 параметра. Это ранее введенные числа подобия Sh, Fr,
Ей и Re.
Как видно из предыдущего, теория размерностей, так же как и тео-
теория подобия, устанавливает наличие неявных связей E6) между пара-
параметрами— числами подобия, но ничего не говорит о том, какие из чисел
подобия являются критериями подобия и входят в достаточные условия
подобия. Решение последнего вопроса, как мы видели в предыдущем па-
параграфе, зависит от постановки задачи, включающей математическую
модель (уравнения и краевые — начальные и граничные условия), как
и в теории подобия, но менее определенной при использовании теории
размерностей.
§ 89. Примеры решения уравнений Навье — Стокса.
Простейшие линейные задачи
Остановимся сначала на сравнительно легко решаемых линейных
задачах. Такие задачи либо точно следуют из самой постановки (уста-
(установившееся движение с прямолинейными траекториями, когда нелиней-
нелинейные члены отсутствуют), либо получаются в результате приближенной
линеаризации уравнений Навье — Стокса путем отбрасывания малых
конвективных ускорений, что соответствует малым рейнольдсовым чис-
числам (так называемые «медленные» или «ползучие» движения).
Одним из наиболее простых случаев движения вязкой несжимаемой
жидкости является так называемое ламинарное (слоистое) движение по
цилиндрической трубе произвольного сечения, при котором линии
тока — прямые линии, параллельные оси трубы.
Как показывают опыты, такое движение осуществляется в цилинд-
цилиндрических трубах с различными формами сечений, если только число Рей-
нольдса не превосходит некоторого определенного критического своего
значения, после чего движение перестает быть ламинарным, частицы
жидкости приобретают сложные криволинейные траектории и приводи-
приводимое в настоящем параграфе решение теряет свою силу. Практически из-
излагаемые сейчас результаты имеют значение лишь при движениях с
очень малыми скоростями или в тонких капиллярах, или, наконец, при
§ 89 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
387
движении очень вязких жидкостей. Подробнее об условиях существова-
существования ламинарного режима течения и явлений перехода его в более слож-
сложный, турбулентный режим будет сказано в начале гл. XIII.
Направим (рис. 150) ось Oz по оси трубы и будем предполагать тру-
трубу бесконечно длинной, а поток — направленным вдоль оси трубы, так
что из трех компонент скорости и, vy w остается лишь одна w, а осталь-
остальные две равны нулю. Отвлекаясь от действия объемных сил и считая
поток изотермическим, а следовательно, плотность р и коэффициент вяз-
вязкости [А постоянными, будем иметь, согласно уравнениям Навье — Сток-
са B9), систему уравнений
0 = - — -&,
р дх
Р ду
W
az ~~ p dz { дх* ду* dz* J*
25--0.
dz
Из последнего уравнения этой системы следует, что w представляет
собой функцию только а: и у, а из первых двух — что р — функция толь-
только г. Иными словами, если провести нормальные к оси трубы сечения,
то во всех таких сечениях
распределения скоростей
одинаковы, а давление меня-
меняется только от сечения к се-
чению, сохраняя в данном
сечении одинаковое значе-
значение. Такие движения назы-
называют установившимися.
Предыдущая система
равенств сводится к одному
№ ду* ) dz
ApS
ApS
Рис. 150
Левая часть равенства E7) представляет собой функцию только от х и
у, правая — только от г; при независимости координат друг от друга
это может быть лишь в случае постоянства левой и правой частей ра-
равенства по отдельности.
Введем удобное для дальнейшего обозначение
dz
I
F8)
где Др —постоянное вдоль трубы падение давления на произвольно вы-
выбранном участке длины /.
При установившемся движении вязкой жидкости по цилиндриче-
цилиндрической трубе перепад давления Др, будучи умножен на площадь сечения
51=:S2=S (рис. 150), играет роль движущей силы Ар-5, уравновешивае-
уравновешиваемой силами сопротивлений трения жидкости о поверхность трубы с рав-
равнодействующей, равной Cfwds-/, где xw(s) —переменное по периметру
напряжение трения.
Отсюда непосредственно следует, что давление в цилиндрической
трубе должно уменьшаться вниз по течению, а следовательно, Др>0.
Для трубы переменного сечения, где движение может быть как ускорен-
ускоренным, так и замедленным, такое заключение сделать нельзя.
В конкретных расчетах перепад давления Др на участке трубы дли-
длины / либо задается непосредственно, либо может быть выражен через
другие заданные величины: секундный расход жидкости сквозь трубу,
среднюю по сечению или максимальную скорости.
388 гл. х. динамика несжимаемой вязкой жидкости
Уравнение E7) сводится к линейному уравнению в частных произ-
производных второго порядка в плоскости Оху (уравнению Пуассона)
которое должно быть решено при граничном условии обращения в нуль
скорости w на контуре С нормального к оси цилиндра сечения и при
дополнительном условии, определяющем либо заданный перепад дав-
давления на произвольно выбранном участке трубы, либо секундный объ-
объемный расход сквозь сечение трубы (или вычисляемую по нему среднюю
скорость), либо, наконец, максимальную скорость на оси трубы.
Поставленная задача с математической стороны аналогична извест-
известной задаче теории упругости о кручении призматического стержня1).
В качестве первого, наиболе простого примера интегрирования
уравнения E9) разберем плоское ламинарное движение вязкой несжи-
несжимаемой жидкости между двумя плоскостями y=±h, которое можно
представить себе как предельный случай течения по призматической
трубе прямоугольного сечения, если одну сторону прямоугольника со-
сохранять равной 2А, а другую устремить к бесконечности. В этом смысле
рассматриваемое движение может быть названо течением жидкости
сквозь «плоскую» трубу. В данном случае координата х исчезает, и
уравнение E9) сводится к обыкновенному дифференциальному уравне-
уравнению второго порядка
и его интеграл при граничных условиях до=0 при y=±h будет
Распределение скоростей представляется параболой второго поряд-
порядка. Максимальная скорость дотах достигается в плоскости симметрии по-
потока (у=0) и равна
J^T' <62>
Вычисляя секундный объемный расход, отнесенный к единице дли-
длины в направлении Ох,, перпендикулярном к плоскости, параллельно ко-
которой происходит движение жидкости, найдем
1^
откуда определится средняя по сечению скорость
Можно отметить существенное обстоятельство: при данном, определяе-
определяемом мощностью и конструкцией насоса перепаде давления на участке
плоской трубы выбранной длины расход пропорционален кубу расстоя-
расстояния между плоскостями, т. е. резко падает с уменьшением этого расстоя-
расстояния и, наоборот, резко возрастает с его увеличением. Если задаться по-
потребным расходом, то необходимый для его обеспечения перепад давле-
давлений, приводящий жидкость в движение, будет меняться обратно пропор-
1) См., например, АрутюнянН. X., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел.—
М.: Физматгиз, 1963.
§ 89. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА 389
ционально кубу ширины щели между плоскостями. Как далее будет по-
показано, этот факт еще усиливается при переходе к трубе круглого сече-
сечения, где расход пропорционален четвертой степени диаметра трубы.
Вводя коэффициент сопротивления X движению жидкости сквозь
щель между плоскостями при помощи формулы
F5)
и используя в левой ее части выражение Ар// через доср, согласно F4),
получим закон сопротивления для плоской трубы
Х=*1,где11.-Лз?. F6)
Re v
Аналогичное движение будет происходить в «плоском» длинном
лотке, у которого ширина днища во много раз больше высоты лотка
(глубины потока), если лоток наклонить. Благодаря наличию свободной
поверхности, вдоль которой давление постоянно (оно равно атмосфер-
атмосферному давлению в открытом лотке), продольного перепада давления в
потоке не будет, т. е. dp/dz=0\ поперечный перепад давления будет
гидростатическим, одинаковым во всех сечениях.
Если лоток наклонен к горизонту под некоторым углом а, то роль
объемной силы будет играть вектор ускорения силы тяжести. Проекция
его на ось Oz, направленную, как и ранее, по потоку, в данном случае
под углом а к горизонту будет, очевидно, равна Fz=g sin а, так что
уравнение движения жидкости в направлении оси Oz будет иметь вид
^ 0
dy2
или (р?=Ч — удельный вес жидкости)
^ ^ F7)
dy2 \i
Граничные условия будут определяться «прилипанием» жидкости к
днищу лотка и отсутствием трения на свободной поверхности; обозначая
глубину потока через А, получим граничные условия (ось Oz располо-
расположена вдоль днища)
w = 0 при у = 0у — = 0 при y = h. F8)
dy
Сравнивая уравнение F7) с F0), видим, что движение в лотке бу-
двт определяться тем же уравнением, что и напорное движение в плос-
плоской трубе, если положить
-В. — pg sin a = у sin a.
Интегрирование уравнений F7) при граничных условиях F8) дает
откуда следует, что и в этом случае профилем скоростей будет служить
парабола второго порядка. Приводим формулы секундного объемного
расхода, средней и максимальной скоростей:
~ yh3 sin а Q yh2 sin а yh2 sin а 3
Зц ' Ср h 3fi max 2fi 2 Cp*
Рассмотрим далее течение сквозь цилиндрическую трубу эллип-
эллиптического сечения. Если сечение трубы представляет собой эллипс
390 ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
с полуосями а и Ь, уравнение которого в плоскости Оху
— + — = 1,
а2 ^ Р
то решение уравнения E9), удовлетворяющее граничному условию об-
обращения скорости в нуль на контуре сечения, будет
где, согласно уравнению E9), постоянная А определится из условия
1А ( а* + *« J ~ jx/
и будет равна
л _ Ар Q2fr2
~~ 2JI/ а2 + б2
Таким образом, получим распределение скоростей в сечении эллип-
эллиптической трубы в виде
**»f **) G0)
a
2fi/ a2 + Ь
Эпюрой векторов скорости, проведенных из точек сечения трубы, будет
служить поверхность эллиптического параболоида, кривыми одинаковой
по величине скорости — изотахами — подобные друг другу эллипсы (с
одинаковым отношением полуосей).
Из распределения скоростей G0) найдем максимальную по сечению
скорость на оси эллиптической трубы
после чего распределение скоростей может быть переписано в виде
/y2
Определим секундный объемный расход жидкости Q сквозь сечение
эллиптической трубы. Имеем
s s
Положим для упрощения вычислений
= byf9 f = V х'% + у'2.
Тогда интеграл по площади эллипса сведется к интегралу по площади
S' единичного круга и будет равен
Q = wmaxab f f A - a-'2 - y'2) dx' dy'=wmaxab f A - г'2) 2яг' dr' = -- atoraax.
По G1) получим
Среднюю скорость wcp определим как отношение секундного объемного
расхода Q к площади сечения трубы S=nab; получим, согласно G3),
^. G4)
4ц/ а2 + &2 v ;
§ 89. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА 391
Отметим, что, в отличие от плоской трубы, в эллиптической трубе
средняя скорость равна половине максимальной. Эта закономерность со-
сохраняется и в частном случае цилиндрической трубы круглого сечения.
Полагая в предыдущих формулах Ь=а, получим основные формулы
ламинарного течения сквозь цилиндрическую трубу круглого сечения.
Распределение скоростей G2) примет вид (а —радиус трубы.
22)
w = wmax A — ~- J , G5)
где по G1)
штах = ^ = 2шСр. G6)
Эпюрой скорости в этом случае является параболоид вращения с
меридианным сечением в виде параболы G5), называемой обычно па-
параболой Пуазейля по имени французского врача и физиолога, исследо-
исследовавшего законы движения крови по капиллярным сосудам и опублико-
опубликовавшего результаты своих работ в докладах Парижской Академии наук
в 1840 г.
Секундный объемный расход по G3) равен
и выражает известный закон Пуайзеля: при установившемся ламинар-
ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую
трубу круглого сечения секундный объемный расход пропорционален
перепаду давления на единицу длины трубы и четвертой степени ее ра-
радиуса (или диаметра). В формулировке закона Пуазейля подчеркнуто,
что движение установившееся. Под этим понимается наличие одинако-
одинакового распределения скоростей во всех сечениях трубы. Такой характер
движения достигается в части трубы, достаточно удаленной от входа в
нее. Наоборот, на начальном участке трубы, расположенном за входом,
движение неустановившееся, и закон Пуазейля несправедлив.
Отметим еще раз существенную особенность течения: потребный
для получения заданного расхода перепад давления на данном участке
трубы, называемый сопротивлением этого участка, обратно пропорцио-
пропорционален четвертой степени диаметра трубы (напомним, что в случае плос-
плоской трубы этот перепад обратно пропорционален третьей степени ши-
ширины зазора между плоскостями). Это обстоятельство имеет важное
значение в вопросах прогонки жидкостей сквозь трубы малого диамет-
диаметра (например, капиллярные трубки, капиллярные кровеносные сосуды
и т. п.), а также в случаях движения очень вязких жидкостей.
Определим, подобно тому как это было ранее сделано для плоской
трубы, коэффициент сопротивления А, круглой трубы формулой
др = х1^к. G8)
Тогда, выражая Ар через wcp по G6), получим следующий закон
сопротивления для цилиндрических круглых труб:
Я = -^,гдеЯе=^. G9)
Re v
Подставляя это выражение X через Re в G8), убедимся, что в слу-
чае ламинарного потока сопротивление круглой трубы, так же как и
плоской, пропорционально первой степени средней скорости движения
жидкости сквозь трубу. Формула сопротивления G8) только внешне
392 ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
имеет вид квадратичной зависимости от средней скорости. Истинная за-
зависимость от скорости определяется лишь на основании закона сопро-
сопротивления G9), выводимого из уравнения движения жидкости.
Формула G9) останется верна и для эллиптической трубы, если
под ее эффективным диаметром понимать величину dy квадрат которой
представляет собой среднюю гармоническую от квадратов большой и
малой осей эллипса
1 1 1 _ * °2 + ь*
BfcJJ 8
d* 2 LBaJ BfcJJ 8
в чем легко убедиться, подставляя в G8) выражение из G4).
Распределение скоростей G5) в цилиндрической трубе круглого се-
сечения можно получить и непосредственно, заменив в левой части урав-
уравнения E9) лапласиан его выражением в полярных координатах. Будем
иметь по (85) гл. I при цилиндрической симметрии и отсутствии азиму-
азимутальной составляющей
(
г dr \ dr [
Интегрируя, найдем общее решение
Wsss-^ + Clhir + C%. (81)
Из условия ограниченности скорости на оси трубы при г=0 следует, что
Cj=O; вторая постоянная найдется из условия
w=0 при г=а,
что приведет к параболическому профилю скоростей G5).
Решение (81) представляет большую общность, чем ранее приве-
приведенное G5). Так, например, пользуясь равенством (81), получим рас-
распределение скоростей в области между двумя соосными круглыми ци-
цилиндрами радиусов а и Ь>а. Подчиняя решение (81) граничным усло-
условиям
w=0 при г=д и г==Ь,
получим распределение скоростей в сечении
\ar+\n()], (82)
а также формулы расхода и средней скорости
J P 8fi/ L In (b/a)] v ;
8\il
Приемом, аналогичным использованному при составлении решения
F9) для цилиндрической трубы эллиптического сечения, удается по-
построить решение для призматической трубы, сечением которой служит
равносторонний треугольник. Направляя ось Ох по основанию треуголь-
треугольника, а ось Оу — по высоте, будем иметь уравнения прямых, образую-
образующих стороны треугольника (а — сторона): у=0 (основание)yy = 5LLi.±
± V~3 х (боковые стороны).
Составляя обращающееся в нуль на контуре сечения треугольной
трубы произведение
§ 89. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА 393
убедимся, что лапласиан в плоскости (х, у) от этого произведения равен
постоянной величине (—2аУЗ); следовательно, искомое решение будет
Секундный объемный расход сквозь сечение треугольной трубы и
средняя по сечению скорость равны
о==оУ1лр = *_*?_
4 320 ц/ ' ср 80 ill
Коэффициент сопротивления К в формуле
Н а 2
будет, как и в предыдущих примерах, обратно пропорционален рей-
нольдсову числу
Re ' v
Используя разложения в бесконечные ряды, можно решить задачу
о протекании несжимаемой вязкой жидкости сквозь трубу прямоуголь-
прямоугольного сечения. Обозначим высоту прямоугольника, параллельную оси Оу,
через 2А, а основание, параллельное оси Ох, через 2иЛ, где х — любая
положительная постоянная. Ось Ог, как и ранее, проведем через центр
прямоугольника и направим вниз по потоку.
Преобразуем уравнение E9) к безразмерному виду, приняв за мас-
масштаб длин высоту А, а за масштаб скоростей — имеющую размерность
скорости величину — • — . Введем следующие обозначения для но-
новых безразмерных переменных |, ц и w*:
b h' ' h /г2Ар V '
Подставляя их в E9), составим безразмерные уравнения и граничные
условия
av jv= 8
а§2 ^ drf y }
ш*=0 при 6==±х, |т]| <1 и при ti=±1, 111
Для решения этого уравнения воспользуемся известным рядом
Фурье
cos 2«±Jл^ = (л/4, если |*|< 1,
2 \о |*|1
| cos л^ (
^0 2« + 1 2 \о, если |*|=
Тогда уравнение (85) можно представить в виде (||| <х)
Решение этого уравнения естественно искать в форме ряда
(88)
в котором, согласно (86), первое граничное условие системы (85) уже
выполнено.
394
ГЛ. X ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Подставляя разложение (88) в уравнение (87) и приравнивая ко-
коэффициенты при косинусах с одинаковыми аргументами, получим систе-
систему обыкновенных дифференциальных уравнений (штрих означает про-
производную по ц)
¦2»+1я\«„ _ 4 (-1)" (89)
(90)
2 к ) П я 2/х + 1 '
Уп=0 при т]=±1 (/2=0, 1,...).
Общие решения этих уравнений можно представить в виде
где постоянные Ап определяются путем непосредственной подстановки
выражения (90) в уравнение (89) и оказываются равными
(-0*2
2п+ 1 я
IK
(91)
а постоянные Вп и Сп находятся из граничных условий (89), т. е. из си-
системы уравнений
2
2 х
Таким образом, найдем
ch
С-тН)
(92)
где числа Ап уже определены равенствами (91). Возвращаясь к (88),
найдем искохмое решение в безразмерной форме
я3 2л Bп+ l)»
/1=0
ch
ch
Bп+ 1 я
Л 2 х
V 2 х
7-61 (93)
и в размерной
16х2
Я3 Ц/ ^ B/7 f IK
1 —
ch
2ft-f 1 я_
, 2 x
COS
2/i + 1 ял-
2 x/i
Опуская простые вычисления, заметим, что секундный объемный
расход Q и средняя по сечению скорость wcv будут определяться равен-
равенствами (параметр х>1 представляет собой отношение ширины прямо-
прямоугольного сечения 2х/г к его высоте 2А)
(95)
§ 89. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ НАВЬЕ — СТОКСА
1 функция /(и) имеет следующие значения:
395
X
/м
1
2,249
2
3,659
3
4,213
5
4,661
10
4,997
12
5,053
100
5,300
оо
5,333
Q':
Относя расход Q к ширине трубы 2x/i, т. е. вводя величину Q'=
!/BхА) и после этого переходя в выражениях Q' и wcv к пределу при
о, найдем по последнему столбцу таблицы
ДрД8 ш* v Ap/i8 16 2 Apft3 Ap/i* 16 1 ДрД2
8ц/ 8ц/ 3 3 \il ' ср 16ц/ 3 3 jli/
в полном соответствии с формулами F3) и F4) для плоской трубы,
Полагая в соотношениях (94) и (95) х=1, получим решение задачи о
течении несжимаемой вязкой жидкости по призматической трубе квад-
квадратного сечения.
Вводя, как и ранее, коэффициент сопротивления X формулой
2h 2
и выражая в левой части Ар через wcv по второму равенству системы
(95), найдем после простых преобразований закон сопротивления приз-
призматических труб прямоугольного сечения
Переходя к пределу х->оо, получим вновь закон сопротивления
плоской трубы F6), а при х=1, по только что приведенной табличке, и
закон сопротивления трубы квадратного сечения.
Для приближенной оценки сопротивления цилиндрических или
призматических труб сложного фигурного профиля применяют прием
сравнения сопротивлений этих труб с эквивалентной им по сопротивле-
сопротивлению трубой круглого сечения, у которой за радиус (или диаметр) прини-
принимается так называемый «гидравлический» радиус гг (или диаметр dr=
=2гг), равный отношению площади нормального сечения S трубы
(рис. 150) к периметру Р сечения:
гГ — — dr — — .
2 Я
Прием этот очень груб и имеет смысл только, если у сравниваемых
труб сечения геометрически близки друг к другу.
Чтобы пояснить смысл этого приема, установим сначала связь меж-
между перепадом давления Ар на некотором, произвольно выбранном участ-
участке трубы / и суммарным трением по внутренней, как говорят, «смочен-
«смоченной» поверхности этой трубы. Примем во внимание, что, как указыва-
указывалось в начале параграфа, движение жидкости во всех сечениях одинако-
одинаково. Это соответствует равновесию объема жидкости, ограниченного дву-
двумя сечениями (рис. 150) Si==S2=S трубы, находящимися друг от друга
на расстоянии /, и боковой поверхностью трубы, равной произведению
периметра сечения Р на длину участка /. Условием равновесия служит
очевидное равенство (rw — переменное по периметру сечения напряже-
напряжение трения, ds — дифференциал дуги периметра)
SAp=
— г • —- \ xwas • / =
р
396 ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
где т» означает среднее по периметру напряжение трения т„. Отсюда,
используя введенное понятие гидравлического радиуса, получим
rw=^rTf (97)
т. е. среднее по периметру цилиндрической (призматической) трубы на-
напряжение трения равно перепаду давления на участке трубы длиной в
гидравлический радиус.
В частном случае плоской трубы с расстоянием между параллель-
параллельными плоскостями 2/t будем иметь на единицу длины в поперечном к
потоку направлении
S—2Л-1, P=2-l, rr=S/P=/i, dr=2/i;
в круглой трубе радиуса а —
S=na\ Р=2яа, гг=а/2, dr=a.
Напряжение трения т«, в круглой трубе совпадает по величине с
перепадом давления на участке длиной в полрадиуса трубы, т. е.
Xw=*L± = ±bLd. (98)
/24/ К '
Аналогично для напряжения трения т на проведенной внутри круг-
круглой трубы коаксиальной цилиндрической поверхности произвольного ра-
радиуса г будет
ДР г .
следовательно, деля обе части последних равенств одно на другое, по-
получим соотношение (у — расстояние поверхности от стенки трубы)
(99)
выражающее линейность связи между напряжением трения, приложен-
приложенным к площадке, перпендикулярной к вектору-радиусу любой точки не-
некоторого сечения относительно центра сечения, и величиной этого векто-
вектора-радиуса. Подчеркнем, что при выводе соотношения (97) никак не
использовалась ламинарность движения и свойственная этому режиму
эпюра скоростей. Соотношение (97) может быть применено и к турбу-
турбулентному движению жидкости по цилиндрической (призматической)
трубе произвольной формы сечения, точно так же как равенства (98) и
(99)—к ламинарному и турбулентному движениям в цилиндрической
трубе круглого сечения и в плоской трубе.
Более того, эти равенства, выражающие баланс движущего жид-
жидкость перепада давления с тормозящим движение сопротивлением тре-
трения, могут применяться к движениям любых сплошных сред по цилин-
цилиндрическим трубам, в частности к движениям неньютоновских жидко-
жидкостей. Простейший пример такого движения составит содержание сле-
следующего параграфа.
§ 90. Установившееся движение вязкопластической жидкости
по цилиндрической трубе кругового профиля
Рассмотрим установившееся ламинарное движение по цилиндриче-
цилиндрической трубе кругового профиля вязкопластической жидкости, реологиче-
реологическое уравнение течения которой, согласно помещенному в начале § 85
§ 90. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
397
с —
dw
T
—
0
To
при
при
T =
<
равенству A4), представим в форме (г — текущий радиус точки, а — ра-
радиус трубы)
A00)
Напомним, что в этом равенстве т — напряжение трения в любой
точке сечения трубы, приложенное к площадке, перпендикулярной к ра-
радиусу трубы, то —харак-
—характерное для данной вязко-
пластической жидкости
предельное напряжение,
после достижения кото-
которого только и начинается
течение жидкости; \i'—
динамический коэффици-
коэффициент структурной (пласти-
(пластической) вязкости.
В связи с тем, что гра-
границы применимости рео-
реологического закона A00) Рис. 151
указаны в величинах т,
для облегчения интегрирования этого равенства полезно принять в ка-
качестве аргумента само напряжение т. С этой целью, пользуясь равенст-
равенством (99) предыдущего параграфа, перепишем A00) в виде
ц' ' °^ " A01)
dw
~dr~
dw dx
' dx dr
xw dw_
a di
0.
Несложное интегрирование при выполнении очевидного граничного
условия о/=0 при т=т„; приведет к следующей связи скорости с напря-
напряжением трения в той же точке:
2fi'
A02)
_IoV const
зпюру скоростей г0 =
W =
Напряжение xw может быть выражено по (98) через заданный пере-
перепад давления Ар на участке длиной /. Уравнение A02) дает следующую
A03)
- — —т1 1- h ro<r<a>
0<г^г0.
Как видно, эпюра скоростей состоит частью из поверхности пара-
параболоида вращения (от стенки трубы до цилиндрической поверхности ра-
риуса г0), а частью из плоской площадки, перпендикулярной к оси тру-
трубы (в центральной части трубы внутри только что указанной цилинд-
цилиндрической поверхности) (рис. 151). В этой центральной части трубы вяз-
копластическая жидкость движется, как твердый стержень. При Лр//<
^2то/а такой «твердый стержень» заполнит все сечение трубы и по свой-
свойству «прилипания» вязкой жидкости к твердой поверхности жидкость
останется неподвижной.
398 гл. х. динамика несжимаемой вязкой жидкости
Если в равенствах A03) положить го=0, что соответствует т„=0,
т. е. перейти к обычной ньютоновской вязкой жидкости, то эпюра скоро-
скоростей приведется к известному уже параболоиду вращения, а плоская
площадка исчезнет.
Имея эпюру скоростей, легко определить секундный объемный рас-
расход Q вязкопластической жидкости сквозь сечение трубы. Вычисление
Q можно проще всего осуществить, переходя в интеграле расхода
а
J
dr j dr
от независимой переменной г к т по формуле (99). Будем иметь, вос-
воспользовавшись реологическим законом A00),
V
Заменяя здесь тш его выражением через Ар по (98), получим фор-
формулу Бекингема
Q~ i?7 L1 з UP г з Up i J ~ 8H'/; Up j •
При T0=0 и ц'=ц вернемся к известной уже формуле Пуазейля
G7).
Средняя по сечению скорость wcp по A05) будет равна
w ==-Q.==
р »
р яа» 8Ц'/ L 3 W / 3 \аАр J
Используем ту же формулу сопротивления G8), что и для ньюто-
ньютоновской вязкой жидкости. К сожалению, в данном случае равенство
A06) относительно Др просто разрешено быть не может. Поэтому при-
применим следующий прием. Из A06) следует
x-wrw^nr R.e?b?; Aо7)
Re I/ UAp / J |i' У '
с другой стороны, из A06) можно определить рейнольдсово число
8
'Ч^Др/ ' [dtLp J/[dbp ) '
Безразмерное число pdzxJn'2 не содержит Ар. Оно характеризует
вязкопластические свойства жидкости. Совокупность равенств
Re L U*P/J 8 ^2 Wp/
можно рассматривать как параметрическое [роль параметра играет ве-
величина 4то//(^Ар)] выражение закона сопротивления вязкопластических.
§ 91. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТР0ПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ
399
жидкостей движению в трубах. Исключая из последней системы ра-
равенств параметр 4то//(^Др), получим
64
откуда следует общий вид закона сопротивления движению вязкопла-
стических жидкостей по трубам круглого сечения
X = — Q
|S=SP«V
A09)
Таким образом, в теории подобия течений вязкопластических жид-
жидкостей по круглым цилиндрическим трубам имеют место два критерия
•юдобия:
1) число Рейнольдса
ю
характеризующее влияние
структурной вязкости, и
2) так называемый «пара-
«параметр пластичности»
П--?*-,
определяющий эффект пла-
пластичности жидкости.
Указанные критерии могли
бы быть заменены и другими,
представляющими различные
нк комбинации1).
На рис. 152 представлен за-
закон сопротивления A09) в ло-
логарифмическом масштабе. За-
Закон представлен в координатах
(lg Re, lgX) в виде семейства
параллельных прямых с пара-
параметром П. Значению П=0 со-
соответствует нижняя прямая,
выражающая обычную закономерность Х=64/1*едля нормальной вязкой
жидкости. Прямые семейства опираются своими нижними концами на
кривую, отвечающую переходу ламинарного движения обычной вязкой
жидкости в турбулентное.
§ 91. Установившееся движение электропроводной вязкой жидкости
по трубам при наличии поперечного магнитного поля
В современных металлургических процессах широко применяют уп-
управление движением жидких металлов по трубам и каналам при помо-
помощи внешних, постоянных или переменных магнитных полей. Возникаю-
Возникающие при этом смешанные гидродинамические и электромагнитные проб-
проблемы входят в сравнительно новую область механики жидкости и газа,
носящую наименование магнитной гидродинамики (М.ГДJ).
Рис. 152
!) См. ранее уже цитированную монографию: Уилкиксон У. Л. Неньютонов-
Неньютоновские жидкости/Пер, с англ.—М.: Мир, 1964.
2) Основы электродинамики, знание которых необходимо для понимания содержа-
содержания настоящего параграфа, а также более широкое изложение этих вопросов см. в кни-
400 ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Ограничимся разбором случая стационарного движения несжимае-
несжимаемой жидкости, имеющей постоянный коэффициент электропроводности
и находящейся под действием внешнего стационарного однородного маг-
магнитного поля. Будем пренебрегать наличием в жидкости свободных
.электрических зарядов. Магнитную проницаемость (общепринятое обо-
обозначение (л, которое уместно сохранить в настоящем параграфе, не сле-
следует смешивать с обозначением динамического коэффициента вязкости;
приходится для последнего пользоваться выражением произведения pv
плотности жидкости р на кинематический коэффициент вязкости v) бу-
будем считать одинаковой для всех жидкостей и твердых границ, прирав*
нивая ее значению \х0 в пустоте. Отвлечемся, наконец, от действия всех
объемных сил, кроме пондеромоторной силы (силы Лоренца) /ХВ, где
/ — плотность электрического тока, возникающего в движущейся со ско-
скоростью V электропроводной жидкости с коэффициентом электропровод-
электропроводности о за счет местного электрического поля с напряжением Е и маг-
магнитного поля с магнитной индукцией В, определяемая обобщенным за-
законом Ома
xB). (ПО)
При принятых упрощениях подлежащая рассмотрению система уравне-
уравнений МГД сводится к следующей:
р(К- V)V = — gradp + pvV2K + J xB\ divK = 0;
A11)
rot Я = iv/\ div? = 0;
причем к ней должен быть присоединен закон Ома (ПО).
Основной особенностью магнитогидродинамических исследований
является тот факт, что по самому существу явлений оказывается совер-
совершенно недостаточным пользоваться обычными уравнениями движения
жидкости, добавляя лишь к механическим объемным силам пондеро-
моторную силу Лоренца, выражающую действие внешнего магнитного
поля на движущуюся электропроводную жидкость. На самом деле изу-
изучению подлежит значительно более сложное явление взаимодействия
магнитного поля с потоком жидкости в условиях, когда твердые грани-
границы потока в зависимости от своей электропроводности сами влияют на
магнитное поле в области течения жидкости.
С математической стороны это означает, что нельзя рарсматривать
уравнения движения жидкости (уравнения Навье — Стокса и уравнение
неразрывности) оторвано от уравнений электромагнитного поля (урав-
(уравнений Максвелла). Уравнения движения только в очень упрощенной по-
постановке можно считать «автономными», допускающими самостоятель-
самостоятельное интегрирование отдельно от общих уравнений электродинамики
сплошных сред.
Переходя к вопросу о граничных условиях, соответствующих воз-
возможным стационарным задачам, заметим, что они состоят из известных
уже по предыдущему гидродинамических условий («прилипание» жид-
жидкости к поверхности обтекаемых тел, условия на бесконечности и др.)
и специфических электромагнитных условий на границах жидкой и
твердой фазы (например, стенки трубы), а также твердой фазы и внеш-
внешней области (газ, пустота).
гах: Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. I.—M.: Наука, 1983; В атажин А. Б.,
Любимов Г. А., Регирер С. А. Магнитогидродинамические течения в каналах.—
М.: Наука, 1970. См. также обзоры: Го г ос о в В. В., Полянский В. А. Электроди-
Электродинамика: Задачи и приложения, основные уравнения, различные решения.— Итоги науки
и техники, МЖГ, т. 10, М.: ВИНИТИ, 1976, с. 5—85; Гого сов В. В., Н а л ето.в а В.А.,
Шапошникова Г. А. Гидродинамика намагничивающихся жидкостей,— В том же
изд., т. 16, 1981, с. 75—208.
§ 91. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ 401
Рассмотрим магнитогидродинамическое обобщение изложенной ра-
ранее в § 89 задачи о движении несжимаемой вязкой жидкости по цилинд-
цилиндрическим (призматическим) трубам на случай электропроводной жид-
жидкости при наличии поперечного к направлению потока жидкости одно-
однородного магнитного поля. Теоретические и экспериментальные работы
в этом направлении многочисленны1). Начало им было положено из-
известной работой Гартмана2).
Воспользуемся тем же расположением осей координат относительна
трубы, что и на рис. 150. Неизвестными величинами в разбираемой за-
задаче являются: поле скоростей V, электрическое напряжение Е и маг-
магнитная индукция В. Покажем, что в рассматриваемом случае бесконеч-
бесконечно длинной трубы постоянного сечения со стенками из однородного
материала и постоянной толщины б, которую будем считать малой па
сравнению с размерами сечения трубы, решение задачи можно свести
к определению двух функций Vz=w(xy у) и В2=В(х,у), а электрическое
поле ? из уравнений исключить.
Так же как и в ранее рассмотренной в § 89 чисто гидродинамиче-
гидродинамической задаче, из условия равноправности сечений в бесконечно длинной
трубе с постоянными геометрическими параметрами сечений следует,
что все распределения механических и физических величин будут зави-
зависеть только от координат х и у в плоскости сечения трубы. Исключением
является давление, уменьшающееся вдоль трубы по линейному закону,
по перепад давления на участке фиксированной длины также сохраняет
свою величину вдоль трубы. В этих условиях электрический ток .вдоль
трубы невозможен, так что, согласно (ПО), при и=0 и и=0 будет
/2=о?2=0; /2=0, ?z=0,
т. е. индуцированные токи располагаются в плоскостях нормальных се-
сечений трубы, а индуцированная составляющая магнитного поля по за-
закону Био —Савара направлена по оси Oz. Принимая во внимание на-
наличие однородного внешнего поперечного магнитного поля с компонен-
компонентами (О, Во, 0) и условие соленоидальности магнитного поля, выражае-
выражаемое в данном случае равенством divB=dBJdz=0t заключим3), что сум-
суммарные компоненты магнитного поля будут равны
S*=0, 5y=fi0=const, B2=B(x,y).
При этом, как легко заключить из первого электродинамического'
уравнения-системы A11), величину В/\х0 можно рассматривать как.
•) Регирер С. А. О течении электропроводящей жидкости в присутствии маг-
магнитного поля по трубам произвольного профиля.— Прикл. мат. и мех., 1960, т. 24, № 3,
с. 541—542; У ф л я н д Я. С. Установившееся течение электропроводной жидкости в
прямоугольном канале при наличии поперечного магнитного поля.— Жури, техн. физ.,
I960, т. 30, вып. 10; Гринберг Г. А. Об установившемся течении проводящей жид-
жидкости в прямоугольной трубе с двумя непроводящими стенками и двумя проводящими,
параллельными внешнему магнитному полю.— Прикл. мат. и мех., 1961, т. 25, с. 1024—•
1034, а также: О некоторых случаях течения проводящей жидкости по трубам прямо-
иольного сечения, находящимся в магнитном поле, там же, 1962, т. 26. с. 80—87; Кули-
Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика.—М.: Физматгиз, 1962,
с. 56—58; Shercliff J. A. Steady motion of conducting fluids in pipes under transverse
magnetic fields.—Proc. Cambridge Phil. Soc, 1953, v. 49, № 1, p. 136—144; Chang
Chi eh C, Lund gr en T. S. Duct flow in magnetohydrodynamics.— Zeitschr. angew.
Mathem. u. Physik, 1961, Bd. 12, S. 100—114; Sloan D. M., Smith P. Magnetohydro-
dynamic flow in a rectangular pipe between conducting plates.— Zeitschr. Angew. Mathem.
u Mech., 1966, Bd. 7, S. 439—443; Hunt J. C. R. Magnetohydrodynamic flow in rectan-
rectangular ducts.—J. Fluid Mech., 1965, v. 21, p. 577—590.
2) Hartmann J. Hg-Dynamics. 1. Theory of the laminar flow of an electrically
conductive liquid in a homogenous magnetic field.— Mat.-Fys. medd. Kgl. Danske Vis-
senkab., 1937, v. 15, № 6.
3) В изложении общей части задачи о движении электропроводной жидкости
сквозь цилиндрическую (призматическую) трубу любого сечения и плоскую трубу ис-
использованы только что цитированные работы Шерклифа, Чанга и Лундгрена.
402
ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
«функцию тока» плоского поля векторов /(/*, /у), так что
дВ . дВ
A12)
Возвращаясь к первому динамическому уравнению системы A11) —
уравнению Навье — Стокса,— перепишем его в проекциях на оси коор-
координат в виде
арв_ . в _ Lr —
дх у |д0 дх
др _ . о 1 R дВ
ду (д0 ду
(ИЗ)
Заметим, что первые два из этих уравнений приводятся к равен-
равенствам
дх
ду
выражающим тот факт, что сумма р+Б2/B|Яо) является функцией толь-
только z. Вспоминая, что, по предыдущему, В зависит только от х и у, за-
заключим, что dp/dz представляет собой функцию только z. Но тогда из
последнего равенства системы A13), в котором левая часть — функция
только z, а правая — только х и у, следует, что каждая из этих час-
частей в отдельности равна постоянной; пред-
представим, как и раньше, эту постоянную в
с виде
дг
I
Таким образом, получаем первое иско
мое уравнение f V2 = —+ —J — уравне-
уравнение движения жидкости в трубе
Второе уравнение можно найти, применяя операцию rot к левой и
правой частям уравнения A10), что позволит освободиться от электри-
электрического поля ?, а затем составляя проекцию обеих частей полученного
уравнения на ось Oz. Имеем, используя первое уравнение второй строки
A11) и (88) гл. I,
roty = — rotrot# = — graddivtf l-V2B= V2#, rot? = 0,
проектируя на ось Oz, получим второе искомое уравнение
ду
(И5)
выражающее структуру магнитного поля в движущейся жидкосън.
Выделим в плоскости Оху следующие три области (рис. 153):
1) область St внутри трубы, в которой должно быть произведено
интегрирование системы уравнений A14) и A15);
§ 91. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ 403
2) тонкую (толщину обозначим через б) область S2i занятую твер-
твердыми стенками трубы; в этой области w = 0 и для определения функции
В достаточно проинтегрировать уравнение Лапласа
V25 = 0 A16)
и, наконец,
3) внешнюю по отношению к трубе область 53, заполненную не-
непроводящей электричество средой (о=0), в которой /х=/„=0, а, следо-
следовательно, по первому из электродинамических уравнений в этой области
дВ9 дВ
i = —1 = 0, Вг
дх ду
Но в бесконечном удалении от трубы магнитное поле направлено
параллельно оси Оу, следовательно, В2=В=0 во всей области Ss.
Обозначим через Ci и С2 границы, отделяющие 54 от S2 и 32 от S3>
и условимся обозначать индексами 1, 2 и 3 величины Вио, соответст-
соответствующие областям Sb S2 и 53. Перейдем в составленных уравнениях к
безразмерным величинам, положив (а — некоторая характерная длина,
!-длина, на которой задан перепад давления Др)
()V AI7J
Тогда получим безразмерную систему уравнений в области St
—^-+-^-+На—- =—1, —-1-! р+На-^- = 0, A18)
:де безразмерное число
На = Soa(—f A19)
\ vp/
взывают числом Гартмана.
Во второй области (S2) будем иметь уравнение Лапласа
4^ + -?Г = 0- A20)
В третьей (Ss), как уже указывалось, будет
Обратимся к составлению граничных условий на границах С\ и С2
раздела областей.
Кроме очевидного гидродинамического условия
w = 0 (на С,),
совпадающего с обычным условием гидродинамической задачи, и зада-
задания перепада давления Ар на участке I или секундного объемного рас-
расхода Q (средней скорости wcv), должны быть еще составлены электро-
электродинамические граничные условия, которые выводятся из условий сопря-
сопряжения (непрерывности) значений касательной составляющей Et на кон-
контуре и величины В.
На контуре Сь являющемся общей границей областей Sx и S2, ско-
скорость до=0; поэтому, кроме условия В{ — В2, будем еще, согласно усло-
условию непрерывности (Et)i=(EtJ и закону Ома (НО), иметь условие
j|t/0I==(/f/aJ. Это условие легко выразить через условие сопряжения
нормальных производных от функции В, если, пользуясь A12), произ-
произвести в предыдущем условии сопряжения замену jt = A/ц0) (дВ/дп). Тогда
будем иметь следующую окончательную ферму условия сопряжения на
404 ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
границе С{ (по сделанному ранее предположению, магнитная проницае*
мость |jto во всех областях одинакова)
0*1 дп о2 дп
На контуре С2 в силу непрерывности В будем иметь В2=В3=0.
Чтобы упростить задачу с выведенными только что условиями со-
сопряжения на границах областей, воспользуемся принятой малостью от-
отношения толщины области S2 — толщины стенки трубы б — к характер-
характерному размеру а области S,. Пренебрегая в области S2 кривизной стенок
трубы, можем принять в качестве приближенного решения уравнения
Лапласа A20) для В2 линейную функцию, т. е. положить в области S,
дп 2 б '
а на границе С\, где В2=Ви
дВ« D a
Такое допущение будет строгим для случая плоской трубы с любой
толщиной стенок, а в принятом приближении справедливо лишь в ло-
локальном смысле.
Таким образом, согласно A21), примем следующую приближенную
систему граничных условий в безразмерных координатах
дВ* В*
w* = °' "Г" + — = ° (на Cl)> В*= ° (на С^ A22>
дп ф '
где использовано обозначение
Ф = ^-. A23)
Если а2 = 0, что соответствует случаю, когда стенкой трубы служит
изолятор, то ф = 0 и, следовательно, по A22) на контуре Ct будет В[ =
= 0. В этом случае задача упрощается и сводится к решению совокуп-
совокупности дифференциальных уравнений A18) при граничных условиях
w*=0, B{ = 0 (на Сг).
В противоположном случае (а2 = оо), когда стенки трубы обладают
абсолютной проводимостью, коэффициент ф = оо и граничные условия
для системы уравнений A18) будут
ш* = 0, дВ[/дп = 0 (на Сг).
Приведенная только что постановка задачи о движении вязкой, не-
несжимаемой и электропроводной жидкости по цилиндрической (приз-
(призматической) трубе с произвольной формой сечения является достаточ-
достаточно общей, так как, наряду с гидродинамической общностью, в ней со-
содержится еще возможность произвольного задания величины <р, харак-
характеризующей сравнительную электрическую проводимость жидкости и
стенок трубы.
Рассмотрим в качестве иллюстрации наиболее простую из возмож-
возможных задач, для которой, как сейчас станет ясным, предыдущая поста-
постановка является вполне строгой,— задачу о движении электропроводной
жидкости в плоской трубе.
Расположим, как и в § 89, безграничные плоскости, представляю-
представляющие стенки трубы, перпендикулярно к оси Оу, а тем самым и перпенди-
перпендикулярно к внешнему однородному магнитному полю на расстояниях
§ 91 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ 405
±hoi плоскости симметрии трубы Oxz. Тогда искомые величины не бу-
будут зависеть от х или, в безразмерных переменных, от |. При этом из
уравнения A20) можно будет заключить о строгой линейности функции
Ь\ по переменной г\.
Уравнения A18) сведутся к системе двух обыкновенных уравнений
второго порядка с постоянными коэффициентами
«t^l^^ , A24)
+Ha1, +На 0,
dr\2 dx\ dr\2 dx\
которые должны быть решены при граничных условиях (за характер-
характерную длину а примем половину расстояния между плоскими стенками
трубы, равную /.»)
af = 0, ^1± — = 0 при т| = ±1. A25)
Искомое решение будет
ш* = _L _JL±i_ Г1 сЬ(НаЛI
На На ср + th На L ch На J '
A26)
В* = Л | 1 Ф+ 1 sh (На г)).
На На Наф + thHa ch На
Первое решение этой задачи, относящееся к частному случаю не-
непроводящей стенки (ф = 0), было дано в 1937 г. Гартманом (см. ранее
цитированную его статью). Им же был впервые отмечен основной эф-
эффект наличия поперечного к потоку магнитного поля: с ростом магнит-
магнитной индукции ВОу точнее, числа Гартмана, определенного равенством
A19), профили скоростей в сечениях плоской трубы становятся все бо-
более пологими, или, как иногда говорят, «заполненными».
Вычислим среднюю скорость по сечению wcp. Прежде всего опреде-
определим секундный объемный расход
vp /
-h -l
Подставляя сюда значение w* по первому из равенств A26), найдем
0 _ 2ft3 Ар ф + 1 На — th На
vp / На2 На ф + th На
Сравним это выражение с соответствующим ему при <р=0 и На=0 вы-
выражением F3) § 89. Заметив, что
ШНа = На — -На3 + ...,
з
убедимся, что раскрытие неопределенности приводит к F3). Из форму-
формулы A27) определим искомую среднюю скорость
—_ ^ . "• &Р ф г* 1 На —- хп На у« oq\
ср ~ 2/Г ~~ "vp" Т" На2 На ф + th На *
Отсюда найдем безразмерную скорость
JL» У? h _АШ?Л1] . A29)
о,ср На —thHa L ch На J v
Отметим, что wfwcp не зависит от <р, т. е. от проводимости стенок.
На рис. 154, где по оси ординат отложено отношение размерной скоро-
скорости ш к ее среднему по сечению значению wcPi а по оси абсцисс — без-
406'
ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
размерное расстояние т) от оси трубы, показан отмеченный ранее эффект
влияния поперечного магнитного поля на форму профилей скорости в
сечениях плоской трубы. Этот эффект, не зависящий, как только что бы-
было показано, от проводимости стенок, называют эффектом Гартмана.
Легко проверить, что при На-Ю профи-
15 \ s ^пИй-^ ли скоростей A29) превращаются в обыч-
ilta-;? Ную параболу второго порядка F1); отно-
_Hd=<5- шение яУср/ow, которое характеризует
¦ Mq-tf «полноту» профилей, равно а/« при На=0
. ^50 и стремится к единице при На-м», что со-
соответствует однородному профилю по все-
всему сечению, исключая пристеночную об-
область толщины 1/На.
Введем, как и в случае отсутствия маг-
магнитного поля, формулу сопротивления в
виде
Ар-
а
2h 2
Рис. 154
Подставляя в левую часть значение Др
из A28), после простых сокращений найдем
закон сопротивления для движения элект-
электропроводной жидкости в плоской трубе, расположенной в поперечном
магнитном поле
. _ 8 На» Наф + thHa
~ Re ф + 1 На — th На
A30)
Предельный переход при На->0 приводит к закону сопротивления.
F6) при отсутствии магнитного поля
, 24
Отношение
_ 1 На2 Наф + thHa
~ 3 ф+ 1 На —thHa
A31)
представляет собой функцию ф и На, график которой показан на
рис. 155. Можно заметить, что отношение К1К0 совпадает с обратным от-
отношением Qo/Q, где Qo=(Q)Ha-o.
Некоторые детали анализа распределения плотности электрическо-
электрического тока можно найти в ранее процитированной работе Чанга и Лунд-
грена.
Никаких принципиальных трудностей по сравнению со случаем не-
непроводящей жидкости (§ 89) не представляет рассмотрение потока про-
проводящей жидкости в призматической трубе прямоугольного сечения.
В работе Слоана и Смита1) рассматривается (рис. 156) движение
электропроводной жидкости (коэффициент электропроводности о{) в
направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, по каналу прямо-
прямоугольного сечения S{ между двумя плоскими проводящими стенками
(коэффициент электропроводности а2), перпендикулярными к оси Оу,
вдоль которой направлено внешнее однородное магнитное поле с индук-
индукцией Во. Толщина проводящих стенок может считаться конечной, име-
l) Sloan D. М, Smith P. Magnctohydrodynamic flow in a rectangular pipe bet-
yeen conducting plates.— Zeitschr. f. angew. Mathemat. u. Mech., 1966, Bd 46, S 439-
443.
§ 91. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ
407
ющей тот же порядок, что и высота канала 2Л, и равной (q—l)/t. Две
другие стенки непроводящие.
При сохранении выбора безразмерных величин A17) задача све-
сведется к необходимости интегрирования системы дифференциальных
уравнений A18) и A20) при граничных условиях
w* = 0 при g = ±x, hl<l и ч = ±1, I6IO.
[ = 0 при g = ±
= 0 при g = ±
дВ* дВ*
A32)
Следуя примененному в § 89 методу для течения непроводя-
непроводящей жидкости по призматической трубе прямоугольного профиля
S, о
х-г/i
11 \.,\ \
Рис. 156
в отсутствие магнитного поля, будем искать решение уравнений A18) и
A20) в форме рядов Фурье
B\ =2 gn (Л) cos Ы,
oo
^hn(r\)cos(anl}
=0
g s,,(Ti)cos(flnS), — <7<л<— 1,
==0
где положено
граничные условия по | уже выполнены.
Используя еще, как и ранее в § 89, разложение
1-1"
(-1)"
я <-> 2n+\
cosM при
A33)
A34)
408 ГЛ X ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
и подставляя его и ряды A33) в уравнения A18) и A20), получим, при-
приравнивая коэффициенты при косинусах с одинаковыми аргументами,
следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений вто-
второго порядка с постоянными коэффициентами (штрих — производная
по т)):
= 0, A35)
tin — a2nh = 0\ sn — ansn = O
с граничными условиями
/irt = 0 при л = q,
fn = 0, gn = hn, o2g'n = oxhn при т] = 1,
/л=0, gn = Sn, Ozgn^O^'n При Tl = — 1, A36)
srt = 0 при 11 = — Я-
He останавливаясь на деталях решения этой сравнительно простой
с математической стороны задачи, приведем в окончательной форме вы-
выражения для безразмерных скорости до* и магнитной индукции поля В\
в области Sj течения жидкости
" (^ \\n 9 / un en anj\ — t' en prtTi \ «,
1 = у J—LL±_ i 2 lJ 2—ifLL cosan|,
00 / i \rt <y ? sn p«11"~~ L
здесь положено
Dn = axart sh р„ — а2рл th [а„ A — ?)] ch ря,
?n =_- a^n sh ал — o2an th [aa A —- q)] ch an,
ссл, р„ = 1 (_ На ± Ун*2 + 4а2п).
Удовольствуемся указанием общего вида решения, отсылая интере-
интересующихся подробностями к ранее цитированной статье Слоана и Смита.
Эффективность примененного для построения только что указанно-
указанного решения метода Фурье зависит от быстроты сходимости рядов. Полу-
Получение численных результатов требует достаточно быстрой сходимости
этих рядов в интересующих практику интервалах изменения числа Гарт-
мана и других физических параметров, характерных для отдельных кон-
конкретных задач. При очень больших значениях числа Гартмана могут
быть построены специальные асимптотические решения.
Следует заметить, что метод Фурье не является единственным ме-
методом решения задач этого рода. В работах Г.А.Гринберга1) путем при-
применения метода функций Грина выводятся интегральные уравнения,
численные решения которых могут проводиться при помощи последова-
последовательных приближений. Вопрос об эффективности метода, конечно, и в,
этом случае решается рассмотрением быстроты сходимости приближе-
приближений.
См. ранее цитированные две работы этого автора.
§ 92 ПУЛЬСИРУЮЩЕЕ ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 409
§92. Пульсирующее ламинарное движение вязкой жидкости
по цилиндрической трубе кругового профиля
Задача о нестационарном движении вязкой жидкости по цилиндри-
цилиндрической трубе кругового профиля уже давно привлекала внимание иссле-
исследователей. Простейший случай этой задачи в 1879 г. рассмотрел еще
Гельмгольц1)- В общей постановке для любых начальных условий и за-
заданного закона зависимости перепада давлений в трубе от времени за-
задача была систематически исследована в сочинении казанского профес-
профессора И. С. Громека, относящемся к 1882 г.2). Частные случаи той же
задачи были разобраны различными авторами3).
В настоящем параграфе изложено решение задачи об установив-
установившемся пульсирующем движении вязкой жидкости в круглой трубе под
действием гармонически изменяющегося со временем перепада давле-
давления.
Основное дифференциальное уравнение ламинарного нестационар-
нестационарного движения в цилиндрической трубе круглого сечения получим тем
же путем, который указан в § 89, с той лишь разницей, что в левой час-
части сохраним локальное ускорение dw/dt. Будем иметь в цилиндрических
координатах4)
dt \ дг2 г дг ) р
где положено в общем случае
-¦?-'»•
Уравнение это надо интегрировать при граничном условии
ш = 0 при г=а A38)
и начальном условии (в случае осесимметричного движения)
w = wo{r) при t=0. A39)
В качестве примера рассмотрим установившееся пульсирующее дви-
движение, соответствующее гармоническому закону изменения перепада
давления в трубе
f(t)=pAcosa>t.
Начальное условие при этом теряет свое значение, сохраним лишь гра-
граничное условие A38). Положив
w (г, f) = ф (г, 0 + — sin at A40)
и введя вместо / новую переменную t=v/, перепишем уравнение A37)
в виде
дх дг2 г дг '
i)Helmholtz H. Gber electrische Grenzschichten — Ann d. Phys. u. Chem.,
1879, Bd. 7, S. 337—382.
2) Громека И С. К теории движения жидкости в узких цилиндрических труб-
трубках-. Ученые записки Казанского ун-та, 1882, а также Соб. соч.— М.: Изд-во АН СССР,
1952, с. 149-171.
s)Szymanski P. Quelques solutions exactes des equations de rhydrodynamique
de fluide visqueux dans un tube cylindrique.— Journ de Mathem , 1932, t. 11, p. 67—107;
Лурье А. И. Операционное исчисление.—M : ОНТИ, 1935, с. 205—209; ЛямбосиП.
Вынужденные колебания несжимаемой вязкой жидкости в жесткой горизонтальной тру-
трубе.—Веб. «Механика», вып. 3.— М.: ИЛ, 1953, с 67—77.
4) Так же, как и в стационарном случае, поле скоростей зависит не от z, а толь-
только от г и /; давление р — линейная функция г.
410 ГЛ X ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
соответственно преобразуем граничное условие A38)
Ф(а,т)= -sin — т. A42)
(О V
Уравнение A41) относится к параболическому типу и совпадаете
уравнением теплопроводности. Поставленная задача эквивалентна зада-
задаче распространения тепла в бесконечном цилиндре, на поверхности ко-
которого температура пульсирует со временем по закону A42).
Составим частное решение уравнения A41) в форме произведения
функций от г и т
<p = /?(r)e-a\ A43)
где К — пока неопределенная, но действительная величина. Подставляя
A43) в A41), получим для определения R(r) обыкновенное линейное
уравнение второго порядка
Частное решение его, конечное при г=0 (на оси трубы), будет1)
/?(г)=/0(г)^)=Ьег(гУГ)—/bei (rik). A45)
Здесь /0(*/0—бесселева функция нулевого порядка от комплекс-
ного аргумента, а действительные функции Кельвина Ьег(х) и bei(jc)
представляют собой действительную и взятую с обратным знаком мни-
мнимую части Jo(x^i) (Re — действительная часть, Im — мнимая часть)
22426282 ' " '
A46)
г~т л*2 х^ х^®
bei (л) = — Im Jn (xyi) = 1 ...
v; oV v } 22 224262 22426282102
Вводя комплексную постоянную интегрирования В—1С, составим
общее решение уравнения A41) в виде действительной части выраже-
выражения
Ф (г, т) = Re {(В — iC) [ber (г ]/Х) — i bei (r уТ)] (cos Хт — / sin Щ =
= В [ber (г уТ) cos to — bei (г уТ) sin Кт] —
— С [bei (г уТ) cos ^т + ber (r j/T) sinXx]. A47)
Подставляя это выражение в граничное условие A42), приравнивая
аргументы тригонометрических функций и коэффициенты при одинако-
одинаковых тригонометрических функциях, получим систему уравнений для
определения К и констант В и С
V
]) См, например, Г р е й Э., Мэтьюз Г. Б. Функции Бесселя и их приложения-
в физике и механике,— М.: ИЛ, 1949, с. 39; применяемая нами формула A45) легко вы-
выводится из формулы F4) цитируемой страницы курса переходом от функции /0 к Уо от
соответствующего аргумента. Таблицы функций ber(x) и bei(jc) можно найти в книге:
Янке Е., Эмде Ф. Таблицы функций.— М.: Наука, 1977.
§ 92 ПУЛЬСИРУЮЩЕЕ ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Вычисляя константы, найдем
4Н
со
Ьег2 а I/ —
Ьег а I/ —
A48)
СО
Ьег2 а
— + bei' a V —
Возвращаясь к переменной /=t/v и подставляя полученное значе-
значение <р(/\ т) из A47) в A40), окончательно получим следующее выраже-
выражение для искомого распределения скоростей:
bei a
1 —
bei г I/ —
Ьег а \/ —
sin at ¦+•
ЬеГ
) bei (, ^
- cos со/
• A49)
Входящие сюда функции затабулированы, так что вычисление эпюр
скоростей в различные моменты времени не составляет труда.
Чтобы дать некоторое представление о характере изменения эпюр
скоростей со временем, приводим на рис. 157 заимствованные из ранее
процитированной статьи Лямбоси эпюры скоростей в указанные на оси
абсцисс моменты времени для значений параметра
— = 2,849 и 7,237,
являющихся корнями функции ber(ayco/v), что облегчает вычисления по
формуле A49). Судя по этим
кривым, убедимся, что при рас-
рассмотренных
р
р колебаниях дав-
давления в трубе возникают обрат-
обратные токи. Наблюдается также
опережение слоев, располо-
расположенных вблизи оси трубы, при-
пристеночными слоями.
Решение задачи о приведе-
приведении в движение покоящейся в
круглой цилиндрической трубе
вязкой жидкости под действи-
действием внезапно приложенного заданного постоянного
можно найти в монографии Н. А. Слезкина1).
!)Слезкин Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости — М.: Гостехиздат,
1955, с. 322-326.
Л, /с /с с 'fr о si/ л _ —— —— "
~F ~? ~о ~Г Т и R Т 9 .7
Рис. 157
перепада давления
412 ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
В правой части уравнения A37) в этом случае надо принять
/(/) = const = ^f-f
а начальное и граничное условия будут
w = 0 при ^ = 0, w = 0 при г=а.
Решение этой задачи сводится к рядам, содержащим бесселевы
функции. Отсылая за выводом к только что цитированной монографии,
приведем формулу распределения скоростей
В этой формуле Kk — корни уравнения
/•(Х*)=0,
а /о и Л — бесселевы функции нулевого и первого порядка. Первые два
слагаемых в квадратной скобке выражают установившееся (при /-мх>)
движение и соответствуют ранее уже полученной параболе Пуазейля.
Приведем еще формулу секундного объемного расхода
Все рассмотренные в настоящей главе примеры движений вязкой
несжимаемой жидкости основывались на точном решении уравнений
Навье — Сток с а, которые в связи с отсутствием в прямолинейном
установившемся движении конвективного ускорения были линейными.
Приближенные решения, получаемые благодаря пренебрежению кон*
вективными членами и, тем самым, линеаризации уравнений Навье —
Стокса, так же как некоторые точные автомодельные решения нелинеа-
ризованных уравнений и численные решения неавтомодельных задач,
будут рассмотрены в следующей главе.
§ 93. Диссипация механической энергии в потоке вязкой жидкости.
Вариационный принцип Гельмгольца
В отличие от случая стационарного движения идеальной жидкости,
полная механическая энергия в потоке вязкой жидкости не сохраняет-
сохраняется, а рассеивается в пространстве. Это явление называется диссипацией
механической энергии. Диссипация происходит за счет той части рабо-
работы (мощности) внутренних сил, которая определяется вязкостью.
Для выяснения количественной стороны этого явления вспомним,
что, согласно второму закону термодинамики, необратимые потери ме-
механической энергии в виде превращения ее в тепло связаны с ростом
удельной энтропии s среды. В свою очередь приращение энтропии опре-
определяется в соответствии с основным (первым) законом термодинамики
равенством Т ds=cvdT-\-pd( — ) =dU -\-pd\ —), откуда для несжимае-
\ Р / \Р/
мой жидкости следует
rf = ^. m
Обратимся теперь к уравнению баланса внутренней энергии, в об-
общем виде выражаемому равенством B2) гл. IV; тогда получим
pT^ = pq-Nin. A51)
§ 93. ДИССИПАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ 413
Согласно этому уравнению изменение энтропии в потоке вязкой
жидкости происходит по двум причинам: либо за счет притока тепла q,
либо за счет потерянной мощности внутренних сил (—Nla). Отвлекаясь
от притока тепла извне, т. е. считая движение адиабатическим ((/=0),
докажем, что при течении несжимаемой вязкой жидкости, удовлетворя-
удовлетворяющей обобщенному закону Ньютона (9), величина (—Nin) неотрица-
неотрицательна и, согласно A51), соответствует в общем случае увеличению эн-
энтропии.
Имеем по A9) гл. IV и (9) настоящей главы
— Nin = P .5 = 2[xS • S — pE -S
или, замечая, что для несжимаемой жидкости (в буквенной индексации)
• S = — + — + -— = div К = 0,
ох ду дг
-/Vin = 2|i32>0, A52)
где (при составлении этой суммы учтено, что квадраты одинаковых не-
недиагональных членов попарно объединяются)
)' +
Равенство A51) приобретает теперь вид
PT*L = -Nin = 2liS\ A54)
at
откуда прямо следует, что мощность внутренних сил вязкости вызывает
увеличение энтропии, так что работе сил вязкости соответствует необ-
необратимый переход механической энергии в тепло — ее диссипация. Вве-
Введем для взятой со знаком минус мощности внутренних сил вязкости
(-Нл) обозначение #днс> положив
, A55)
гдеS2 определено правой частью A53).
Энергия, диссипированная в единицу времени в конечном объеме т,
определится интегралом
ЛГДМС = J ЛГдне^т = 2[i J S4%. A56)
X Т
Формула A55) позволяет ответить на вопрос, существуют ли такие
движения вязкой жидкости, при которых механическая энергия не рас-
рассеивается {не диссипируется) по потоку.
Подчеркнем, что диссипированная энергия как сумма квадратов яв-
является величиной неотрицательной, что соответствует ранее отмеченной
положительности прироста энтропии, выражающей необратимость пере-
перехода механической энергии потока вязкой жидкости в тепло. Из выра-
выражений A53) и A55) следует, что единственным движением вязкой не-
несжимаемой жидкости, не сопровождаемым диссипацией механической
энергии, является квазитвердое ее движение, в котором все слагаемые в
квадратных скобках — квадраты скоростей деформаций — обращаются
в нуль по отдельности.
Понятие дисскпированной энергии легло в основу установленного
Гельмгольцем !) принципа «минимума диссипированной энергии», спра-
l) Helmholtz H. Zur Theorie der stationaren Strome in reibenden Flussigkei-
ten.—Verhandl der naturalist.-med. Vereines, 30 Okt. 1868.
414 ГЛ X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
ведливого для всякого «медленного» стационарного движения, допуска-
допускающего отбрасывание инерционных членов в уравнениях движения не-
несжимаемой вязкой жидкости, псд действием консервативного поля объ-
объемных сил.
Сравним между собой действительное «медленное» движение в не-
некоторой области, ограниченной замкнутой поверхностью о, с произволь-
произвольным другим движением той же (несжимаемой, вязкой, ньютоновской)
жидкости, совпадающим с ним по скоростям на поверхности а. Обозна-
Обозначим через V, Р и S вектор скорости, тензоры напряжений и скоростей
деформаций в действительном движении, а буквами со штрихами —
разности между этими величинами для произвольного и действительно-
действительного движений, так что для произвольного движения вектор скорости и
тензоры напряжений и скоростей деформаций будут равны
V+V, Р + Р\ S + S'.
Составим, согласно A56), выражение мощности 7?ДИс > диссипируе-
мой при произвольном движении жидкости в объеме, ограниченном по-
поверхностью а; найдем
-Sdx+ Jp • S'dx+ \f • Sdt + jjp' -S'dx. A57)
т т т т
Первый интеграл представляет мощность NRVlCy диссипированную в
действительном движении. Второй и третий интегралы равны между со-
собой. Действительно, согласно равенству (9) настоящей главы,
Р -S' = 2\i'S .'S' — pE -S\ P' -S = 2|aS' -S — p'E • S,
причем для несжимаемой жидкости E-S'=div V/=0, ?-5 = div V=0,
следовательно,
P.S'=P'-S.
Докажем, что при сделанных предположениях эти два интеграла
равны нулю. Для этого вычислим выражение (суммирование по повто-
повторяющемуся индексу!)
V • Div Р - div (PV) = V\ ^L _ J_ (p y;} = _ pi J?L =
dx- dxj dxj
2 \ dx. t J
после чего получим
JdT-$K' -DivPdx.
По формуле Гаусса — Остроградского
div (PV) dx = J (PV')n do = 0,
гак как по условию V=0 на поверхности а. Принимая далее во внима-
внимание, что действительное медленное стационарное движение при наличии
консервативного поля объемных сил с потенциалом П удовлетворяет
уравнению в напряжениях
— gradn-f — DivP = 0
§ 93. ДИССИПАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ 415
и что вследствие этого (div V=0 по условию несжимаемости)
1V • Div Р = V • grad П = div (UV) — П div V = div (ПК'),
Р
получим, вновь применяя формулу Гаусса — Остроградского и исполь-
используя условие V'=0 на а,
Наконец, четвертый интеграл, по предыдущему, может быть пред-
представлен в виде неотрицательной величины
2ц
Вернемся теперь к равенству A57) и перепишем его в виде
#дас — Йдис = 2ц J S'f dx > 0. A58)
т
Отсюда вытекает следующий принцип Гельмгольца: механическая
энергия, диссипируемая при действительном «медленном» стационарном
движении вязкой несжимаемой жидкости в некотором объеме, не боль-
больше, чем в аналогичном произвольном движении несжимаемой жидкости
с тем же распределением скоростей на поверхности, ограничивающей
этот объем.
Принцип Гельмгольца можно трактовать как вариационный прин-
принцип минимума диссипируемой энергии
T = 0. A59)
Этот принцип является в известной степени аналогом принципа мини-
минимума потенциальной энергии деформаций, широко используемого в тео-
теории упругости. Принцип Гельмгольца в гидродинамике вязкой жидко-
жидкости, так же как принцип минимума потенциальной энергии в теории
упругости, может быть положен в основу применения прямых методов
вариационного исчисления для решения задач о «медленном» движении.
Необратимость процесса диссипации механической энергии обуслов-
обусловливает тот факт, что приведенная в движение и предоставленная сама
себе вязкая жидкость рассеивает (диссипирует) сообщенную ей меха-
механическую энергию до тех пор, пока не придет в состояние покоя. При
этом механическая энергия, сообщенная некоторому объему жидкости,
будет диссипироваться не только в том же самом объеме жидкости, а
начнет постепенно распространяться по всей области, занятой потоком,
перераспределяться в ней. Это распространение, или, как говорят, дис-
дисперсия механической энергии осуществляется двумя отличными друг от
друга процессами. Первый заключается в простом переносе энергии по-
потоком жидкости и носит наименование конвекции. Второй является ре-
результатом наличия в жидкости внутримолекулярного переноса; его на-
называют диффузией. Природа этого процесса та же, что и у вязкого тре-
трения, которое, как уже ранее упоминалось, представляет собой макро-
макроскопическое проявление микроскопического (молекулярного) переноса
количества движения.
У молекулярного переноса — диффузии механической энергии и
аналогичного переноса количества движения — вязкого трения — об-
общий носитель и, как далее будет выяснено, общий коэффициент перено-
переноса (диффузии)—кинематический коэффициент вязкости v. В дальней-
416 ГЛ. X. ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
шем придется встретиться с процессами переноса других величин: за-
завихренности, тепла (тешюперенос), вещества (массоперенос). Носите-
Носителями всегда будут служить молекулы в их тепловом движении, но на-
наряду с коэффициентом v для завихренности, появятся и другие коэф-
коэффициенты переноса. Так, в случае теплопереноса будет использован ко-
коэффициент температуропроводности, в случае переноса вещества —ко-
—коэффициент массопроводности.
§ 94. Диффузия завихренности
Выпишем уравнение Навье — Стокса в форме, аналогичной
уравнению Громека — Ламба C2), но вернемся к исходной форме
записи вязкого члена
—v rot rot V=vV2V.
К левой и правой частям таким образом полученного уравнения
+ rot
+ rotKxK grad ffn + ^)+VK A60)
dt \ 2 )
применим операцию вихря rot.
Тогда, не повторяя выкладок, произведенных в конце § 29 гл. V при
выводе уравнения Гельмгольца A6), и замечая еще, что
rot (V2V) = V2 (rot V) = V2G,
получим уравнение дисперсии (распространения) завихренности в вяз-
вязкой несжимаемой жидкости
— + (V • V) ft =± (Q - V) V + vV2ft A61)
dt
или в более короткой форме, вводя в левой части индивидуальную про-
производную Я по /,
(ft)K + ft. A62)
dt
Уравнения A61) и A62) можно рассматривать как обобщение урав-
уравнения Гельмгольца A6) гл. Уна случай несжимаемой вязкой жид-
жидкости.
Последний член справа представляет собственно диффузию завих-
завихренности Я, причем роль коэффициента диффузии играет кинематиче-
кинематический коэффициент вязкости v.
В случае плоского потока вектор Я перпендикулярен к плоскости
течения, а величина (Q-V)V, пропорциональная производной от V по
направлению перпендикуляра к этой плоскости, равна нулю, так что
уравнение A62) в плоском потоке примет вид
-f- = -^ + (^-V)ft = vV*ft. A63)
Рассмотрим простейший процесс диффузии отдельной прямолиней-
прямолинейной вихревой нити в неподвижной на бесконечном удалении от нее жид-
жидкости.
Пусть в некоторый момент времени /=0 в вязкую несжимаемую
жидкость введена бесконечная прямолинейная вихревая нить, которой
в перпендикулярной к ней плоскости соответствует вихрь с циркуляци-
циркуляцией Г и полем скоростей
!/ = -!-
2пг
§ 94. ДИФФУЗИЯ ЗАВИХРЕННОСТИ 417
Такое поле может существовать как в вязкой, так и в идеальной
жидкости, поскольку плоское безвихревое поле скорости с потенциалом
(Г \
—7 In г удовлетворяет условию V2cp=O, а единственное гранич-
граничное условие V-*b при г—>-оо, очевидно, выполняется. Разница лишь в
том, что в идеальной жидкости нет рассеяния (диссипации) энергии и
введенный в идеальную жидкость вихрь будет существовать бесконеч-
бесконечно долго, а в вязкой жидкости для поддержания движения с полем ско-
скоростей У=Г/Bлг) необходимо все время подводить энергию, например,
вращая в жидкости тонкий цилиндр, являющийся источником завихрен-
завихренности.
Рассмотрим теперь нестационарный процесс, который возникнет,
если в начальный момент / = 0 из индуцированного вихрем движения
вязкой жидкости изъять источник завихренности.
Предполагая движение плоским и, в силу симметрии, с круговыми
линиями тока, опустим в уравнении A63) конвективный член V-gradQ,
равный нулю, так как вдоль линий тока завихренность сохраняет посто-
постоянное значение. Тогда уравнение A63), спроектированное на ось Oz,
примет вид
dt
или в полярных координатах при dQ/de = 0, согласно (85) гл. I,
dQ v д ( dQ
dt r дг \ дг
Уравнение это может быть переписано в форме известного уравне-
уравнения теории распространения тепла
dQ, ( d2Q . 1 dQ \ /1 г л \
=v[ . A64)
dt \ dr* г дг ) v
Интегралом его, удовлетворяющим начальному условию й = 0 при
/=0 и г>0 и граничному условию Й->0 при г~^оо служит известное ре-
решение типа «источника тепла»
Л2
Q = -f e^% A65)
в чем легко убедиться простой подстановкой этого выражения в урав-
уравнение, начальное и граничное условия. Чтобы найти величину Л, вос-
воспользуемся теоремой Стокса и напишем, что в любой момент времени
интенсивность вихревой трубки радиуса г
г
С Q -2nrdr
циркуляции скорости по окружности радиуса г, равной V-2nr.
Будем иметь
г
А
е
2яг J t
и, сравнивая с начальным распределением скоростей
К = — при / = 0, г>0,
14-9487
418 ГЛ X ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
найдем
Таким образом, получим окончательные формулы: распределения
вихря
г2
~~ A66)
4л v/
и распределения скоростей
y = -L-(l-<f^). A67)
Легко убедиться, что полученные результаты соответствуют авто-
автомодельному решению уравнения A64), которое существует в связи с
отсутствием в постановке задачи масштабов длин и скоростей. Три-
Тривиальное решение уравнения A64) ?>==0 и V=0 не удовлетворяет усло-
условию заданной интенсивности вихря или циркуляции Г.
Проанализируем полученные результаты. В начальный момент вре-
времени / = 0 движение повсюду (г>0) было безвихревым. После удале-
удаления источника завихренности, т. е. при />0 во всем пространстве мгно-
мгновенно возникло некоторое распределение распространяющейся завих-
завихренности, которое представляется быстро убывающей с возрастанием
расстояния г функцией A66). Завихренность в центре (г = 0) монотонно
убывает с ростом времени, а в точке, находящейся на некотором рас-
расстоянии от центра, сначала возрастает, а затем убывает до нуля
при t = oo.
Рассмотрим какую-нибудь окружность радиуса г = а. Изменение со
временем завихренности в точках этой окружности представится в виде
v ' 4nvt
Исследуя эту функцию на максимум — минимум, заключим, что
в момент времени tm = a2/Dv) завихренность достигнет своего макси-
максимального значения
о — г — г
4nvet zicfie
При дальнейшем возрастании времени завихренность будет убывать.
Об общем характере зависимости от времени завихренности в точ-
точках, находящихся на разных расстояниях от центра, можно судить по
кривым, приведенным на рис. 158.
Кривые распределения скоростей в различные последовательные
моменты времени приведены на рис. 159.
Пользуясь полученными формулами и графиками, можно составить
общее представление о явлении; диффузии единичного вихря в безгра-
безграничной вязкой жидкости. Более сложно с математической стороны ре-
решается вопрос о диффузии в безграничной вязкой жидкости вихревой
трубки конечных размеров, а также плоского и цилиндрического вихре-
вихревых слоев !).
]) Кочин Н. Е , К и бель И А., Р о з е Н. В. Теоретическая гидромеханика.
II.—М.: Физматгиз, 1963, с. 453—460
§ 94 ДИФФУЗИЯ ЗАВИХРЕННОСТИ
419
Уравнение A64) в этом случае остается в силе, но начальные усло-
условия усложняются и принимают вид
Q (г, 0) = const = Qo при 0 < г < а,
Q(r, 0) = 0 при г у а.
Отсылая интересующихся к только что цитированному руководству,
приведем окончательный результат:
г2+а2 оо
k=l
A68)
где 1Л — бесселева функция, определяемая через бесселеву функцию
]к(г) с мнимым аргументом равенством
\k(z) = -±rJkliz). A69)
i
Желая определить быстроту рассеивания завихренности в зависи-
зависимости от начального радиуса вихревой трубки а, заметим, что по второй
из формул A68)
film"" - —
Q@f 0 = O0(l— e 4V0, A70)
и чтобы оценить время релакса-
релаксации т вихревой трубки конечного
аг<а3...
Рис 158
Рис. 159
радиуса а, т. е. промежуток времени, по истечении которого Q в центре
трубки достигнет половины своего начального значения, найдем, решая
уравнение
а2
т = ss u.titi
2
4VT = 1 т =
4v In 2
0,36—.
v
Если жидкостью является вода (v = 0,01 см2/с), то т = 36 а2, так что
при а=1 см время релаксации будет равно 36 с. Для воздуха (v =
=0,133 см2/с) т = 2,7 а2, т. е. при а=1 см т = 2,7 с. При а=1 м т ока-
окажется равным 450 мин (!). Эти соображения, заимствованные из статьи
Н. Е. Кочина, помещенной в только что цитированном руководстве
(с. 458, 459), будут полезны в дальнейшем при рассмотрении релакса-
релаксационных явлений в мелко- и крупномасштабной турбулентности.
Заметим, что диффузия вихрей тем значительнее, чем мельче их
размеры; быстрее всего релаксируют мелкие вихри.
420 ГЛ X ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
§ 95. Диффузия тепла и вещества
в потоках несжимаемой вязкой жидкости
Считая вязкую жидкость несжимаемой, т. е. ;не изменяющей при
движении свою плотность, откажемся от ее изотермичности и однород-
однородности, но вместе с тем удовольствуемся тем простейшим случаем, когда
переменность температуры и концентрации примеси не влияют на вяз-
вязкость, теплопроводность, теплоемкость и другие термодинамические
свойства жидкости, в частности, на коэффициент диффузии примеси.
При слабых нагревах среды отвлечемся от лучистого теплообмена и бу-
будем считать перенос тепла полностью осуществляемым теплопровод-
теплопроводностью.
Имея в виду важность в некоторых случаях учета свободной кон-
конвекции, возникающей в среде за счет разности ее плотностей в неодно-
неоднородном поле температур, включим в рассмотрение объемную архиме-
архимедову силу
Понятие об архимедовой силе, действующей <на твердое тело, по-
погруженное в жидкость, непосредственно обобщается на случай жидкого
тела плотности р, отличной от плотности р0 окружающей его жидкости.
Возникающая при этом равнодействующая силы тяжести р?бт элемен-
элементарного объема бт и приложенной к нему архимедовой силы (—рвввт),
будучи отнесена к элементарной массе рбт, даст ту объемную силу
р _ pg бт — pog бт _ р — р0 _ Ар
рбт р g р g'
которая должна учитываться при составлении дифференциального урав-
уравнения свободной конвекции жидкости. Вводя термический коэффициент
расширения жидкости |3, определяемый равенством
Р
где Др и AT — соответствен'но «избыточные» плотность и температура,
можно представить F в форме
F$&T A71)
Уравнения Навье — Стокса C0), характеризующие динамическую сто-
сторону явления, будут иметь вид
+ (y)V
Ot р
A72)
divF = 0.
Для вывода уравнения распространения тепла в несжимаемой сре-
среде— случай газа рассмотрен в § 149 — используем общее уравнение
баланса энергии B2) гл. IV, положив в нем U=cT, где с — теплоем-
теплоемкость среды, а Т—абсолютная температура. Для вектора потока теп-
тепла <7, отнесенного к единице площади и единице времени, примем закон
Фурье
</=— Я grad 7, A73)
где К — коэффициент теплопроводности среды. Удельный приток тепла
pq (на единицу объема) извне к данной точке среды определится пре-
пределом
9Q
= — lim i- Г qn da = lim — Г (К grad T)n do = div (X grad Г).
J т-о т J
§ 95. ДИФФУЗИЯ ТЕПЛА И ВЕЩЕСТВА В ПОТОКАХ ЖИДКОСТИ 421
В случае однородной среды с постоянным коэффициентом тепло-
теплопроводности X этот приток тепла определится равенством
Мощность внутренних сил, входящая в уравнение B2) гл. IV, как
это было показано в § 93, в случае несжимаемой вязкой жидкости сво-
сводится к диссипируемой в тепло механической энергии A55), при малых
скоростях, точнее, малых числах Маха ничтожна и может быть опуще-
опущена; это непосредствен© следует из предпоследнего безразмерного урав-
уравнения C3) гл. XV, в котором члены, содержащие диссипацию механи-
механической энергии, пропорциональны числу Маха в квадрате.
Искомое уравнение теплопроводности, иногда именуемое уравне-
уравнением баланса тепла, примет вид
— + V • gradr = — V27=aV27\ A74)
dt pc
где константа а носит наименование коэффициента температуропровод-
температуропроводности. Уравнение A74) присоединяется к уравнению A72), образуя с
ним общую систему уравнений процесса теплопередачи в несжимаемой
среде.
Применим к этой системе уравнений обычный прием теории подобия,
служащий для установления чисел и критериев подобия. Составим си-
систему безразмерных уравнений
dt'
A75)
ft-^ + K'.grad'r-JLv'Y'.
Здесь, помимо известных нам уже по предыдущему чисел Струхала,
Эйлера и Рейнольдса
Sh = , Eu = , Re = , A76)
появилось число Пекле
Ре = -^-, A77)
а
и, кроме того, число Фруда имеет специфическое для неизотермического
движения жидкости значение (AT — масштаб перепада температур)
Fr = — —— . A78)
gL p Д71
Укажем, что вместо чисел Пекле и Фруда обычно пользуются двумя
их комибнациями с остальными числами подобия A76); числом
Прандтля Рг, равным отношению числа Пекле Ре к числу Рей-
Рейнольдса Re
Pr=—= - = -tiL, A79)
Re a X
и числом Грасгофа
Число Грасгофа используют при изучении явлений свободной кон-
конвекции, так как оно не содержит масштаба скорости, отсутствующего в
задании свободной конвекции.
422 ГЛ X ДИНАМИКА НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Перейдем к рассмотрению близкого к предыдущему явления распро-
распространения (диффузии) примеси в однородной среде — «носителе». От-
Отсылая за подробным описанием диффузии к § 149, заметим здесь, что
явления теплопередачи и массопередачи находятся в тесной связи и
допускают одну и ту же математическую модель. Аналогом вектора
потока тепла q A73) в процессах диффузии вещества служит вектор
плотности потока массы pCV* примеси, содержащий, кроме плотности,
скорость диффузии V* и концентрацию примеси С (сохраняя обозначе-
обозначение, близкое к общепринятому, введем для концентрации заглавную
букву С, чтобы не смешивать ее с теплоемкостью с). Скорость диффузии
примеси в «носителе» определяется законом Ф и к а
V* = —-?- gradC, A81)
аналогичным закону Фурье распространения тепла A73) с той лишь
разницей, что вместо коэффициента теплопроводности X входит коэффи-
коэффициент массопроводноаи D, именуемый обычно коэффициентом диффу-
диффузии примеси
Дифференциальное уравнение диффузии примеси выводится по-
подобно уравнению баланса тепла A74) и имеет ту же форму:
Fir
-^- + V -grad С = D**C. A82)
ot
Полученное уравнение A82), так же как A74), присоединяется к
уравнениям A72), причем обычно предполагается отсутствие влияния
примеси на динамическую часть явления (условие пассивности при-
примеси). Более общий подход, относящийся к многокомпонентным смесям
газов, излагается в § 149 применительно к теории ламинарного погра-
пограничного слоя в потоке газа больших до- и сверхзвуковых скоростей. Пе-
Переходя в уравнении A82) к безразмерным переменным, получим
Sh ^ + V ¦ grad' С = -L- V'C, A83)
at ?Qd
где Ped — диффузионное число Пекле, отличающееся от числа Ре A77)
коэффициентом диффузии вещества (примеси) Z), заменяющим коэффи-
коэффициент температуропроводности а:
Ре* = ¦*%-• №
Отношение
носит наименование числа Шмидта, или диффузионного числа Прандтля.
Численные значения коэффициента переноса D для различных
жидкостей и газов можно найти в руководствах и справочниках1). Ре-
Решение линейных уравнений распространения тепла и примеси часто тре-
требует сложных вычислений-)
Уравнения теплопереноса, учитывающие приток тепла за счет дис-
диссипации механической энергии, рассмотрены в последней главе курса.
') См , например, Б е л а щ е п к о Д К , Ж у х о в и ц к и й А. А Диффузия — Физ
энцикл словарь Т I — М Советская энциклопедия, I960, с 622,623.
2) Примеры применения только что выведенных уравнений тепломассопереноса по-
потребовали бы значительного места в настоящем, не претендующем на изложение этих
самостоятельных вопросов учебника Отошлем ннтеоесующихся к специальным курсам:
С п о л д и к г Л Б Конвективный массоперенос — М ; Л Энергия, 1965; Гребер Г.,
Эрк С, Г р и г \ л ь N Основы >чения о теплообмене — М ИЛ, 1958; Л ы ков А В,
Михайлов Ю А Теория тепло- и массопереноса — М Госэнергоиздат, 1963; Ж у'
к а у с к а с А А Конвективный перенос в теплообменниках —М : Наука, 1982.
ГЛАВА XI
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА:
ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ, АВТОМОДЕЛЬНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ
РЕШЕНИЯ
§96. Обтекание шара при малых значениях числа Рейнольдса;
формула Стокса и ее обобщения
Получение в предыдущих параграфах точных решений уравнений
Навье — Стокса сравнительно простыми математическими средствами
too обусловлено линейностью основных уравнений, которая следовала
из предположения о прямолинейности линий тока в цилиндрических
(призматических) трубах. Решение задач внешнего обтекания тел вяз-
вязкой жидкостью требует решения нелинейных уравнений, причем нели-
нелинейность заключена в стоящем в левой части уравнения инерционном
члене, выражающем конвектив-
конвективную часть ускорения. Откидыва-
Откидывание этого члена или замена его
приближенным линейным выра-
выражением приводит к линеариза-
^wm уравнений.
Простейшим примером такой
линеаризации может служить
классическая задача Стокса о
медленном стационарном обтека-
ниишара\ под этим понимают та-
такое обтекание, при котором
основное значение придается си-
силам трения и давлений, а инер-
инерционные члены откидываются.
Обозначим скорость однородного потока на бесконечности через V«,,
а радиус шара через а. Направим основную ось Ох (рис. 160) сфери-
сферической системы координат (/?, 8, е) параллельно вектору У*,. Пренебре-
Пренебрегая объемными силами и инерционными членами, приведем уравнение
Навье —Стока C0) гл. X к виду
(О
Рис. 160
divV =
Исключим давление /?, для чего к обеим частям первого из уравнений
системы A) применим операцию вихря. Получим
rotrotQ = 0. B)
Замечая, что благодаря осевой симметрии обтекания вихревые ли-
линии представляют собой окружности в плоскостях, перпендикулярных
коси Ох, с центрами на этой оси, заключим, что вектор вихря имеет
лишь одну составляющую Qe, которую для краткости обозначим про-
просто й, включая в это обозначение знаки ±; составляющие QR и й9, оче-
очевидно, равны нулю, так как вихрь вектора направлен по касательной к
вихревой линии. В силу той же симметрии имеем
-25- = о, Q = Q(/?,e).
де
424 гл XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА
Вспоминая (86) гл. I, будем иметь выражения компонент вектора
rot Я в сферической системе координат
ii» rot,Q = 0
rotRQ{Qsm% roteii
R sin 9 дв R dR
и, повторяя ту же операцию,
rotR(rotQ)=0, rote(rotQ)=0,
rote (rot Q) = ±JL(R rote О)- у ^ (rot* 0) =
R dR [ R dR
R dR2 R2 dQ L sin 9
Таким образом, уравнение B) в сферических координатах сведется
к более простому
A r_i_A(Qsin eI=o, C)
ae L sine ae J w
решение которого Q (/?, 6) можно пока подчинить лишь одному гра-
граничному условию
Q->0 при /?-^оо. D)
Разыскивая решение уравнения C) в виде произведения двух функ-
функций P(R) и 6F), каждая из которых зависит лишь от одной перемен-
переменной, подставим значение Q = P(R)8(Q) в уравнение C); получим
P(R)
= 1_А1_1_А[0@Mт0]]
0(9) d9 \ sin 9 dti v ' J
В силу независимости координат R и 0 левая и правая части этого
равенства должны быть порознь постоянными; отсюда следует (а —
произвольная постоянная)
в(9)
JL /_!_ А [0 (9)sin9]] = —а.
de \ sine d9 l w JJ
Используя произвол в выборе постоянной, подберем ее так, чтобы
второе из только что полученных уравнений имело соответствующее по
смыслу задачи периодическое решение. Заметим, что при а = 2 это урав-
уравнение имеет очевидное решение
в @)= sine,
а первое уравнение системы превращается в
Единственное решение последнего уравнения, удовлетворяющее
условию обращения в нуль при R-+ooy будет const//?2. Обозначая кон-
константу через А, получим искомое решение для вихря Q в виде
Я=~- E)
Обратимся теперь к задаче разыскания сферических составляющих
скорости VR и VQ (Кг = 0 в силу симметрии обтекания); имеем для их
определения два уравнения: 1) уравнение E), которое, пользуясь выра-
выражением вихря скорости Я через составляющие скорости в сферических
§ 96 ОБТЕКАНИЕ ШАРА ПРИ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ЧИСЛА РЕЙНОЛЬДСА 425
координатах VR и V0, можно переписать в форме
1 dVR л sine
r or r ae я2 '
и2) уравнение несжимаемости в сферических координатах (при Уе =
F)
Н — -=0. G)
Я2 dR RsinQ ae V '
Систему уравнений F) и G) надо решить при граничных условиях
Vr = f/oc cos 0, Vq = — f/oosinB при/? = оо.
Принимая во внимание эти граничные условия, будем искать реше-
решение в виде
Vr = (Uoo + 2 -]f) c°s 9, 1/0 = ^-^+2 9~)sin 9' (9)
где число п считаем неопределенным. Подставляя выражения (9) в
уравнения F) и G) и приравнивая коэффициенты при одинаковых три-
тригонометрических функциях, получим равенства
В силу произвольности величины R будем иметь при k= 1
Последняя однородная система имеет решения, отличные от нуля, толь-
только при равенстве нулю определителя системы
2—A—Л) B—Л) =0.
Корни этого уравнения: & = 0 и k = 3, причем первый отбрасывается,
так как/^1. Отсюда следует равенство
все остальные Xk и xl тождественно равны нулю.
Возвращаясь теперь к (9), составляем общие выражения скоростей
R R
подчиняя эти скорости граничным условиям (8), получим два уравнения
для определения коэффициентов/! и Х3:
14-- = -(/ А 1 Кз =.Ц
Найдем
426 ГЛ XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА
Окончательно получим следующие выражения компонент скорости
в сферической системе координат:
A0)
Выделяя из полученных выражений составляющие скорости на бес-
бесконечности: f/ooCos6 и (—/7„о sin 0), получим составляющие скорости
возмущения шаром безграничной вязкой жидкости
Отметим, что, в отличие от обтекания шара идеальной жидкостью,
где порядок скоростей возмущения был \/R\ в вязкой жидкости имеет
место более сильное возмущение, убывающее при удалении от шара
лишь как \/R.
Распределение завихренности определится по E) в виде
Остается найти распределение давления в потоке и трение на по-
поверхности шара, а затем и полное сопротивление шара. Из первого урав-
уравнения A) имеем
gradp= — firotfl,
или в сферических координатах
до 1 д /гл . оч о г 1 cos 0
—— = — и (Q sin 0) = 3ixa(/oo ,
dR r Я sin 9 d0 v ' r R3
1 dp \д, пгчч 3 T t sin 9
= it (RQ) = — aaUoo .
R дд R dR v ; 2 r R*
Эта система уравнений в полных дифференциалах легко интегри-
интегрируется и дает искомое выражение давления
3 л cos 9 ,
( '
тогда, составляя по предыдущему коэффициент давления, получим
—Роо 3\х cos 9 6 cos 9
где под Re подразумевается характерное для обтекания шара число Рей-
нольдса (d = 2a — диаметр шара)
ке = =-=
Отметим характерные отличия распределений давлений при «мед-
«медленном» обтекании шара вязкой жидкостью от обтекания его идеаль-
идеальной жидкостью:
1) в идеальной жидкости коэффициент давления на поверхности
зависит только от относительного расположения точки (угла 0), в ко-
которой давление определяется, и не зависит от размеров тела, скорости
и плотности жидкости; в вязкой жидкости коэффициент давления явля-
§ 96. ОБТЕКАНИЕ ШАРА ПРИ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ЧИСЛА РЕЙНОЛЬДСА 427
ется функцией числа Рейнольдаа обтекания, т. е. зависит от абсолют-
абсолютного размера тела, от скорости, плотности и вязкости жидкости;
2) распределение давления по поверхности шара не симметрично
относительно миделевой плоскости, так что главный вектор сил давле-
давления при обтекании шара вязкой жидкостью отличен от нуля (парадокс
Даламбера не имеет места);
3) коэффициент давления в критических точках не равен единице;
он зависит от числа Рейнольдса и имеет разные знаки в передней и зад-
задней критических точках; в миделевом сечении (8 = я/2) давление на по-
верхности шара равно давлению в невозмущенном потоке, а максималь-
максимальное разрежение достигается в задней критической точке.
Касательная составляющая напряжения трения на поверхности
шара Тле будет равна, согласно A3) гл. X,
dR r R ae
Взяв на поверхности шара поясок (на рис. 160 показанный штри-
штриховкой) с площадью 2па sin Q-a dQ = 2na2 sin 9 d9, умножим на эту пло-
площадь напряжение трения тй6 и давление р\ полученные таким образом
элементарные силы спроектируем на ось Ох и просуммируем по всей
поверхности шара (от 8 = 0 до 9 = я). Тогда получим проекцию на на-
направление скорости «абегающего потока силы сопротивления движению
тела в вязкой жидкости, приложенную к телу со стороны жидкости,
в виде
я
Wx=[(— т*е sin 9 — р cos0) • 2па2 sin 9dQ = Зтцхаи* [ sin9dQ =
о о
A2)
Это выражение силы сопротивления называют формулой Стокса.
Полученное решение пригодно лишь при очень малых значениях
числа Re — U^d/v. Это следует из того, что отношение величин откину-
откинутых инерционных членов к членам, характеризующим силы трения,
имеет порядок рейнольдсова числа. Действительно,
9\(У-У) У\ _ ^4 . ^ =R
|i|rotO| d ' d?
Можно вообще утверждать, что число Re служит мерой сравнитель-
сравнительной роли инерционных и вязкостных членов в уравнениях движения.
Чем меньше число Re, тем больше роль сил вязкости в рассматриваемом
движении.
Переходя в формуле A2) от силы сопротивления к коэффициенту
сопротивления сх, будем иметь
Wx
С
Более точные теории Озеена и Озеена — Голдстейна дают
для коэффициента сопротивления вместо A3) разложение в ряд по
степеням числа Re, принимаемого малым,
Сх= 2A + e
Re I 16 1280
428
ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
Сохраняя только первый член ряда, получим формулу Стокса;
два члена дают формулу О з е е н а
»?+«• «
На рис. 161 ') показаны кривые: / — по Стоксу, 2— по Озеену,
3 — по опытам. После значения числа Рейнольдса, имеющего порядок
единицы, кривые 1 и 2 заметно отходят от кривой 5, причем в разные
стороны. Как можно судить по этим результатам, формулу Стокса
[A2) или A3)] можно применять только в случаях очень малых чисел
Рейнольдса, например для мелких дождевых капель или пылив
атмосфере, падения стальных шариков в очень вязких жидкостях и т. п.
При больших рейнольдсовых числах указанные только что фор.
мулы становятся неудовлетворительными.
\
\
ч
. z
s/d
-@
\n
f \s\ _J
ж
Re
-/ 0 1 LgRe
Рис. 161
2,0 —
1,0
0 10 20 30 40 50
Рис. 162
Объясняется это тем, что с возрастанием числа Re в кормовой об-
области шара (так же как и других «плохо обтекаемых» тел) образуется
отрыв и сложные нестационарные явления типа автоколебаний, о кото-
которых уже была речь в § 87. Явления эти развиваются в области за кор-
кормой тела, причем относительные размеры этой области возрастают с
ростом числа Рейнольдса, как об этом, например, можно судить по
рис. 1622), относящемуся к плоскому обтеканию кругового цилиндра.
Для широкого диапазона рейнольдсовых чисел приходится пользо-
пользоваться эмпирическими данными (см. гл. XIII). Что касается прибли-
приближенных расчетов сопротивления сферы или круглого цилиндра беско-
бесконечного размаха, то в связи с развитием численных методов они стали
вполне осуществимыми. Пример численного решения задачи об обте-
обтекании круглого цилиндра будет вскоре разобран (§ 104). Литература по
методам линеаризации уравнений Навье — Стокса в случае обте-
обтекания кругового цилиндра и сферы очень обширна3).
Наряду с рассмотренной стационарной задачей подробно исследо-
исследован и нестационарный ее аналог. Приведем без вывода4) формулу Бус-
1) Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.— М.: Мир, 1973, с. 293.
2) Там же, с. 328.
3) Классической монографией, содержащей методы линеаризации, явилась в свое
время книга: О seen С. W. Hydrodynamik.— Leipzig: Akad. Verlag, 1927. Среди наибо-
наиболее распространенных в настоящее время курсов, где этому вопросу уделяется доста-
достаточное внимание, укажем: Кочин Н. Е., К и бель И. А., Розе Н. В. Теоретическая
гидродинамика Ч. II.— М.: Физматгиз, 1963, с. 504—534; Слезкин Н. А. Динамика
вязкой несжимаемой жидкости.— М.: Гостехиздат, 1955, а также только что цитирован-
цитированную монографию Дж. Бэтчелор а. Критические замечания по поводу методов линеа-
линеаризации имеются в монографии: Ван-Дайк М. Методы возмущении в механике жид-
жидкости.—М: Мир, 1967.
4) Лурье А. И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механи-
механики.—М.: ГОНТИ, 1938, с. 209—216.
§ 97. ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ БЛИЗКИМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ 429
синеска сопротивления W сферы радиуса а, движущейся поступа-
поступательно с заданной переменной скоростью V(t) в безграничной области,
заполненной вязкой жидкостью [V@) =0]
t
— n9aW (t) — блра2 —^ f V'(T)dx .
3 VnvJ Yt — T
Здесь первый член представляет формулу Стокса A2), во втором не-
нетрудно узнать инерционную составляющую сопротивления, соответст-
соответствующую наличию присоединенной массы шара.
В случае шара, приведенного импульсивно из покоя в поступатель-
поступательное, прямолинейное и равномерное движение со скоростью Vo, будем
иметь величину сопротивления*)
Изэтой формулы при /=оо вновь получается формула Стокса A2).
§ 97. Пространственное движение вязкой жидкости
между близкими параллельными плоскостями.
«Спектры» Хили-Шоу. Закон Дарси
Соответствующая представлению о «медленном» движении вязкой
жидкости, т. е. о движении с пренебрежимо малыми инерционными си-
силами по сравнению с вязкими силами и силами давления, линеаризация
применяется также в задачах о движении вязкой жидкости сквозь тон-
тонкие щели. Сюда относятся такие важные для практики вопросы, как
фильтрация вязких жидкостей (воды, \нефти) сквозь пористые среды
(песок, грунт, каменистые трещиноватые породы), движение жидких
смазочных масел в тонком зазоре между вращающимся валом и подуш-
подушкой подшипника и др.
Начнем с рассмотрения пространственного движения несжимаемой
вязкой жидкости между двумя безграничными параллельными плоско-
плоскостями, расположенными на малом расстоянии 2h друг от друга, точнее,
на таком, что Re = u-2h/v мало. Между плоскостями могут распола-
располагаться перпендикулярные к плоскостям цилиндрические препятствия той
же высоты 2ft.
Расположим координатную плоскость Оху в срединной плоскости,
а ось 0z направим перпендикулярно к ограничивающим поток пло-
плоскостям.
Будем считать, что движение происходит в плоскостях, параллель-
параллельных границам потока, тем самым примем, что w = 0. Кроме того, с целью
линеаризации уравнений откинем в них конвективные члены (ускоре-
(ускорения). Пренебрегая действием объемных сил и считая движение стацио-
стационарным, составим следующую линеаризованную систему уравнений
Навье — Стокса
^ { дх* ду2 dz* ) дх '
ду
дх ду
]) См. С лез к и н Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости.— М.: Гостех-
издат, 1955, с. 341—349.
430 гл XI- ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
Подчиним компоненты скорости и, v граничным условиям
u — v = 0 при z=±h. A6)
Согласно третьему уравнению системы давление р является функ-
функцией только х и у. С другой стороны, взяв производную по х от обеих
частей первого уравнения системы A5), по у — от обеих частей второго
уравнения той же системы и сложив результаты, для определения
р(х, у) получим уравнение Лапласа
^!р+_^=0. A7)
дх* ду* V '
Пользуясь A7) и припоминая равенство F1) гл. X, легко простой
подстановкой убедиться, что уравнениям A5) и граничным условиям
A6) можно удовлетворить, положив
2\х дх[ U ) J 2\i dyl U
Составляя средние по нормали к ограничивающим поток плоско-
плоскостям скорости п и v по формулам
h h
If, h2 dp 1 f , h2 dp /im
u = \ udz= -, v = vdz= *- A9
или определяя максимальные скорости по A8)
^тах = ~ Г" , ^'max = " Г" , B0)
2jLl дх 2|И ^
убедимся, что поля этих местных средних или максимальных скоростей
в плоскости Оху соответствуют некоторым воображаемым плоским*)
безвихревым движениям идеальной жидкости с одним из следующих
потенциалов скоростей:
Ф=_^р,срт = -^р, B1)
пропорциональных действительному давлению р в данной точке потока
вязкой жидкости. При этом изопотенциальные кривые будут совпадать
с изобарами.
Помещая модели тел малой высоты данного контура между двумя
очень близкими друг к другу параллельными плоскостями и пропуская
^ерез такого рода щель несжимаемую вязкую жидкость, мож;но полу-
получить сбтекания, аналогичные плоским безвихревым обтеканиям тел та-
такого же контура, но бесконечно длинных по размаху (§ 51 гл. VII).
В этом смысле рассматриваемое воображаемое движение можно на-
назвать «вязкой аналогией» плоского безвихревого потока идеальной жид-
жидкости. Однако стоит отметить интересную особенность такого рода об-
обтекания, заключающуюся в том, что для определения поля давлений
уже нельзя пользоваться уравнением Бернулли, которого в этом случае,
как и в других случаях вязких потоков, просто нет. Следует оговориться,
что предыдущие рассуждения, использованные при выводе решений
A8) и вытекающих из него следствий A9) — B1), теряют свою силу
вблизи поверхности помещенного в поток короткого цилиндрического
тела, однако область эта по сравнению с размерами тела невелика, и
]) Подчеркнем, что, как это непосредственно следует из равенств A8), в действи-
действительности никакого плоского движения в рассматриваемом случае нет Плоскими я<вля*
ются лишь поля средних и маскимальных скоростей, определенных равенствами A9)
и B0). '
§ 97 ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ БЛИЗКИМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ 431
ее влиянием на потенциальный поток можно пренебречь. Как показы-
показывают наблюдения, этот эффект еле заметен даже в кормовой области
обтекаемого тела и в следе за ним.
Указанной аналогией пользуются для демонстрации при помощи
реальной вязкой жидкости плоских безвихревых обтеканий идеальной
жидкостью контуров заданной формы1) («спектры» Хил и-Шоу).
С этой целью испытуемый контур вырезают из тонкого листа и зажи-
зажимают между ограничивающими поток пластинами из прозрачного мате-
материала. Для визуализации линий тока в поток между плоскостями вводят
тонкие струйки подкрашенной жидкости. При этом удается получать
отчетливые «спектры» плоских обтеканий.
Близким по механизму к только что рассмотренному движению
вязкой жидкости сквозь тонкую щель между параллельными плоскостя-
плоскостями является фильтрационное движение вязких жидкостей сквозь по-
пористые среды. Лежащий в основе теории этих движений закон был от-
открыт в середине прошлого века известным французским гидравликом
Дарси на основании проведенных им опытов2), хотя по своей сущ-
сущности закон этот представляет простое и естественное обобщение ли-
линейных зависимостей A9) средней скорости от градиента давления.
В общем случае пространственного фильтрационного потока3),
проникающего сквозь пористую среду, обычно под действием веса жид-
жидкости, закон Дарси выражается так:
) B2)
Здесь Ь — вектор «скорости фильтрации» в данной точке, определенный
как предел отношения секундного расхода жидкости через площадку,
перпендикулярную к направлению максимального расхода, к величине
площадки, когда эта величина стремится к нулю. В круглой скобке
стоит известный трехчлен Бернулли V2/Bg) -fp/f-fz, который в данном
случае выродился в двучлен, так как скорость движения сквозь поры,
как правило, имеет порядок нескольких миллиметров в секунду, а иног-
иногда и меньше. При этом квадратом скорости можно пренебречь по срав-
сравнению с остальными слагаемыми: пьезометрической высотой ply и ни-
нивелирной высотой z. Вместе с тем малая скорость или, точнее, малое
рейнольдсово число протекания вязкой жидкости сквозь поры позволяет
пренебрегать конвективными ускорениями, вызываемыми кривизной пор
и переменностью площади их сечений.
Эти особенности пористой среды при малых числах Рейнольдса не-
незначительно сказываются на среднем сопротивлении пор, а тем самым
и на расходной составляющей фильтрационной скорости. В этом и за-
заключается причина сходства закона Дарси B2), выведенного на осно-
основании обработки опытных материалов и представляющего по существу
результат пространственного осреднения движения вязкой жидкости по
случайно ориентированным и разнообразным по геометрической форме
порам фильтрующей среды, с законами строго определенных движений
той же жидкости в тонкой щели между параллельными плоскостями.
Коэффициент пропорциональности k, входящий в формулу Дарси
B2), называют коэффициентом фильтрации; он является постоянной
!) Hele-Shaw H. S. Investigation of the nature of surface resistance of water
and of stream motion under certain experimental conditions.—Trans. Inst. Nav. Arch. XI,
1898 v 25, а также R i e g e 1 s F. Zur Kritik des Hele-Shaw-Versuches.— Zeitschr. an-
gew.'Math. u. Mech., 1938, Bd 18, S. 95—106
*2) Da re у Н. Les fontaines publiques de la ville de Dijon — Paris, 1856
з) Аравин В. И., Нумеров С. Н. Теория движения жидкостей и газов в не-
деформируемой пористой среде.— М : Наука, 1973; Полубаринова-Кочина П.'Я.
Теория движения грунтовых вод.— 2-е изд.— М : Наука, 1977.
432 ГЛ. XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ НАВЬЕ - СГОКСА
величиной, если фильтрующая среда однородна, а жидкость обладает
постоянными физическими свойствами. 4Tq6bi выявить влияние вязко-
вязкости движущейся жидкости на коэффициент фильтрации, его выражают
в форме (|х и v — соответственно динамический и кинематический коэф-
коэффициенты вязкости, у — удельный вес жидкости, g — ускорение силы
тяжести)
. _ ус _ gc_
\к V
Величина с носит наименование коэффициента пористости среды и за-
зависит только от геометрического характера пор, зернистости грунта
и т. п.
При движении вязких жидкостей сквозь пористые среды со срав-
сравнительно большими средними размерами пор (крупнозернистые поро-
породы, галька, руда, каменный уголь) линейный закон Дарси уже не оправ-
оправдывается и должен быть заменен более сложным нелинейным. Физи-
Физически это объясняется в первую очередь влиянием конвективных уско-
ускорений в потоке, а затем и потерей устойчивости ламинарного движения
жидкости в порах и перехода к режиму турбулентной фильтрации.
О последнем судят по изменению фильтрационного числа Рейнольдса,
равного bd/v, где d — средний диаметр пор.
Методы решения задач фильтрационного движения воды под гидро-
гидротехническими сооружениями, так же как и нефти при просачивании ее
сквозь грунт, в настоящее время хорошо разработаны. Если оставить
в стороне сложные комплексные задачи фильтрации многофазных сред
(например, нефть — газ, вода — твердая взвесь) через неоднородные,
анизотропные грунты, движения с физико-химическими превращениями
(испарение, конденсация, химические реакции в «засыпках»), то методы
эти близки к применяемым в гидродинамике плоских безвихревых пото-
потоков идеальной жидкости 4).
§ 98. Движение вязкой жидкости между вращающимися
коаксиальными цилиндрами. Задача о скольжении ползуна
вдоль плоскости, покрытой вязкой жидкостью
Предполагая в следующем параграфе остановиться на гидродина-
гидродинамической теории смазки подшипников, изложим сейчас решение двух
задач, каждая из которых упрощенно отражает движение вязкой несжи-
несжимаемой жидкости в тонкой пленке между валом и подшипником. Первая
из них относится к движению вязкой жидкости между поверхностями
двух вращающихся друг по отношению к другу коаксиальных цилинд-
цилиндров, т. е. не учитывает влияния их эксцентричности, характерной для
действительных подшипников. Вторая задача рассматривает поступа-
поступательное движение ползуна с опорной плоскостью, наклоненной под ма-
малым углом к плоскости скольжения, покрытой вязкой жидкостью. Об-
Область движения жидкости имеет вид клинообразной щели, куда жид-
жидкость всвлекается благодаря свойству прилипания к стенке. Эту задачу
иногда называют задачей о «вязком клине». Эффект «вязкого клина»
с учетом криволинейное™ стенок служит основой гидродинамической
теории подшипников.
Рассмотрим плоское движение вязкой жидкости между двумя вра-
вращающимися с разными угловыми скоростями со, ©' коаксиальными ци-
цилиндрами соответственно с радиусами R и R' (штрих относится к внеш.
нему цилиндру). Считая движение стационарным и происходящим по
1) См. только что цитированные монографии В. И. АравинаиС. Н. Нумеа о.
ва и П. Я. Полубариновой-Кочиной. v
§ 98. ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ЦИЛИНДРАМИ 433
концентрическим окружностям, расположенным в плоскости, перпенди-
перпендикулярной к общей оси цилиндров Ог, из соображений симметрии заклю-
чим, что (в настоящем параграфе обычное обозначение азимутального
угла е заменим на ср)
' дф ' дг
Тогда уравнения Навье — Стокса C3) гл. X в полярных координа-
координатах сведутся к системе двух обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
<*% , 1 <*Уф ^ф KJ 1 dp ,поч
т I _____ ^ _____ ч* ^^^ 11 ~ ___ _______ ~ i _ьО/
dr2 r dr r2 r p dr
страничными условиями
Уф=#со при г=/?, У9=Я'<*' при г=/?'. B4)
Общее решение первого из уравнений B3) можно представить в виде
^ф = -^ + С2г, B5)
а постоянные С\ и С2 определить из граничных условий B4). Опуская
простые выкладки, получим
v,=_JL_ U'*. _ „#?- V + ^^ШЦ,
B6)
2R2R'a{(* — (o')x
=Г(Я (оЯУ + 2R
р (Я'1-Л2J L 2
х (со'/?- - о*'2) in (i.) - <—ff**' ] + const.
() ff
Касательное напряжение трения между кольцевыми слоями ока-
окажется равным
Тгф = -2,("Т'»'>*>«"> B7)
(Я'2-Я2) г2
а суммарный момент относительно оси вращения сил трения по какой-
нибудь окружности радиуса г
L = f W*dq> = - 4д^ (—«»') 1УУ B8)
О
не будет зависеть от радиуса этой окружности.
Полагая в последней формуле со/ = 0, R'—/? = е и считая зазор между
цилиндрами е малым по сравнению с радиусами цилиндров, получим
исторически одну из первых, принадлежащую Н. П. Петрову1) формулу
для момента сопротивления вращению шипа в соосном подшипнике
j = _ 4я?Щ/?2 (R -J- еJ _ _ 2лрю)^з
е (/?' + /?) е * l 7
Момент этот пропорционален динамическому коэффициенту вязкости, и
обратно пропорционален ширине зазора между цилиндрами.
*) Петров Н. П. Трение в машинах и влияние на него смазывающей жидкости.—
Инженерный журнал, 1883 г. См. также сборник статей с Гидродинамическая теория
смазки» (под ред. Л е й б е н з о н а Л. С.).— М.: ОНТИ, 1934.
434 ГЛ. XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
Перейдем ко второй задаче, решение которой было выполнено
Рейнольдсом и Рэлеем1).
Удовольствуемся плоским случаем (Vz = 0), зададим (рис. 163)
отрезком CD опорную плоскость ползуна, а отрезок ОВ расположим в
плоскости, вдоль которой ползун движется (отрезок OS равен проек-
^ ции CD на эту плоскость). Угол ме-
у)[ *~ 4N^J п ЖДУ CD и ОВ считается малым, так
же как и среднее расстояние между
этими плоскостями в интервале ОВ.
Предполагая перемещение ползуна
поступательным, прямолинейным и
равномерным со скоростью ?/, парал-
параллельной ОВ, обратим движение, сооб-
сообщив рисунку такую же скорость в про-
противоположном направлении. Ползун
при этом представится неподвижным,
а отрезок ОВ будет двигаться в плоскости со скоростью U в направле-
направлении от широкой части щели BD к узкой ОС. По свойству прилипания
вязкой жидкости к твердой поверхности она будет увлекаться в том же
направлении.
Обозначим через h0 и ftt соответственно высоты выходного и вход-
входного сечений щели, h — текущую ординату отрезка CD, а —проекцию
CD на ось Ох, направленную вдоль ОВ, как это показано на рисунке.
Уравнение отрезка CD зададим формулой
C0)
где k — постоянный коэффициент, равный
Заметим, что (штрих означает производную по х)
Л'=^->0. C2)
При составлении уравнений движения вязкой жидкости, увлекае-
увлекаемой в клинообразную щель движущимся отрезком ОВ, примем во вни-
внимание тонкость щели и непроницаемость стенок, ограничивающих щель.
Это позволит считать поперечную скорость Vy пренебрежимо малой по
сравнению с Vxy а производную d2VJdy2 значительно большей, чем
d2VJdx2. Пренебрегая, кроме того, конвективными членами, приведем
систему уравнений Навье — Стокса к виду
Граничные условия будут:
Vx = — U9 Vy = 0 при */ = 0,
VX = Q, Vy = 0 при y = h, C4)
р = Ро при х = 0 и х = ау
причем последнее условие соответствует выравниванию давления вне
вязкого клина.
*) Сошлемся на два наиболее доступных источника- Ламб Г. Гидродинамика-
Перев. с англ.—М.; Л.: Гостехиздат, 1947, с. 730, 731; Тарг СМ. Основные задачи
теории ламинарных течений.-— М; Л.: Гостехиздат, 1951, с. 319—324.
$ 98 ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ЦИЛИНДРАМИ 435
Интегрируя обе части первого уравнения системы C3) по у и при-
принимая во внимание граничные условия C4), получим
Vx — (у2 — hy) (h — у). C5)
Условие одинаковости расхода жидкости сквозь любое сечение по-
потока дает
h
j Vxdy = const
о
или, после подстановки Vx из C5) и интегрирования,
h? dp . ?Т, ,
-f- Uh = const.
6ц dx
Судя по последнему граничному условию системы C4), в промежу-
промежуточной точке с абсциссой хт в интервале 0<хт<а должно выполнять-
выполняться условие dp/dx = 0. Вводя обозначение h = hm при х = хт, из предыду-
предыдущего равенства найдем
?//zm = const.
Исключая константу, из последних двух уравнений получим
6|я dx my
откуда следует
dp 6\iU iU «v /QAv
— = in — nm). (oo)
dx h3
Вычислив в точке х=хт производную (d2p/dx2)Xm=—§\iUh'{xm)lhzm,
убедимся в том, что в силу условия C2) она имеет отрицательное
значение. Отсюда следует, что в точке х = хт давление максимально.
Перейдем от аргумента jck/i, используя для этого основное геомет-
геометрическое соотношение C0), согласно которому
dp dp dh , h0 dp
dx dh dx a dh
Перепишем после этого равенство C6) в форме
dp h h
dh ~~ kh0 /i3
и проинтегрируем его по h\ будем иметь
C7)
kh0 [h 2h* J V ;
Используя граничные условия C4) и равенство C0), найдем постоян-
постоянные интегрирования hmn Ь:
h — 9/i ] +k h — n
Подставляя эти значения постоянных в C8) и возвращаясь к пере-
переменной jc, получим следующее окончательное выражение для р(х):
D0)
h\k
436 ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
причем абсцисса хт, как это непосредственно следует из C0) и первого
равенства системы C9), будет равна
* <«)
Решим теперь основной вопрос о величине направленной вдоль Оу
силы R, поддерживающей ползун. Имеем по D0) (над CD давление
равно ро)
Сила R достигает своего максимума при ?»192, т. е. при /*i/A0~2,2, и
равна при этом
^-. D3)
Для определения сопротивления F движению ползуна найдем сна-
сначала напряжение трения т на его опорной поверхности или, что все
равно, в силу малости угла раствора клинообразной щели, на отрез-
отрезке ОВ
T = l
ду
откуда, согласно C5),
h 2 dx
и, после подстановки значения dpfdx по C6) и Л по C0),
т = ц U Г 4а 6A+*) °2 1 D4)
^ h0 [a + kx 2 + k (a + /w)a J ' V ;
Интегрируя по x от х=0 до ^=a, определим полную силу сопротивле-
сопротивления движению ползуна
При ft =1,2, соответствующем максимальной поддерживающей силе,
будет
F = Fmax^ 0,753^-. D6)
«о
Коэффициент трения, условно определяемый отношением величины
сопротивления к величине поддерживающей силы, как видно из фор-
формул D5) и D2), пропорционален ho/a, т. е. очень мал.
Отсылая за дополнительными сведениями к цитированным выше
источникам, проиллюстрируем основной факт достижения больших под-
поддерживающих сил ползуна за счет малости зазора между опорной по-
поверхностью ползуна и плоскостью его скольжения. При оптимальном
значении отношения hJhQ = 2,2 рассмотрим случай квадратного в плане
ползуна, а = 0,1 м, /i0 = 10~4 м, ?/=1 м/с, (г = 0,706-10-1 Н-с/м2.
Расчет по формуле D3) показывает, что в этих условиях #тах до-
достигает значения ИЗО Н. Это делает понятным существование больших
поддерживающих сил в обильно смазанных подшипниках скольжения
и указывает на главную причину образования таких сил —эффект «вяз-
«вязкого клина».
§ 99. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ ПОДШИПНИКА
437
Найдем абсциссу xR точки приложения равнодействующей R рас-
распределенных по отрезку CD элементарных поддерживающих сил. С этой
целью составим момент равнодействующей Lc как интеграл (малость
угла раствора «клина» позволяет принять косинус этого угла равным
единице)
а
Lc=[(p-Po)xdx=
D7)
после чего абсцисса xR определится как xR=LcJR, т. е., согласно D2) и
D7), будет равна
I— 2k]
При 6=1,2 будет xR& 0,42а, т. е. точка приложения поддерживаю-
поддерживающей силы R находится не посередине несущей поверхности (отрезка
CD), а несколько ближе к точке С, что объясняется значительным сдви-
сдвигом точки максимума давления (#т=0,31а при 6=1,2) к левому краю
ползуна.
§ 99. Гидродинамическая теория смазки подшипника.
Плоская задача
Переходя к более близкому к гидродинамической теории подшип-
подшипника случаю эксцентрического расположения шипа по отношению к под-
подшипнику, рассмотрим следующую задачу Зоммерфельда1). Будем
пренебрегать «концевыми» эффектами в подшипнике, иными словами,
примем, что подшипник имеет бесконечную длину в направлении оси
вращения, а движение в зазоре между ши-
шипом и вкладышем подшипника является
плоским.
В этой схематической постановке задача
сведется к рассмотрению движения вязкой
несжимаемой жидкости между двумя экс-
эксцентрично расположенными окружностями
(рис. 164), из которых одна с центром в
точке О' (внешняя) неподвижна, а другая
(внутренняя) с центром в точке О вращает-
вращается с заданной угловой скоростью со, причем
эксцентриситет е=0'0 принимается очень
малым по сравнению с радиусами окруж-
окружностей R и R'>R
Рис. il64
Диапазон изменения радиус-вектора г в зазоре между окружностя-
окружностями
Используя последнее условие и считая движение жидкости в зазоре
между окружностями медленным в том смысле, что можно пренебречь
инерционными членами по сравнению с членами, учитывающими вязкие
силы и изменение давления, приведем уравнения Навье — Стокса в по-
полярных координатах [ C3) гл. X] к упрощенному виду
1 * >¦?-¦?. ^+^=о. . («)
дг*
дг
>) См. ранее цитированный сборник «Гидродинамическая теория смазки»/Под ред.
Лейбензона Л. С — М.: ОНТИ, 1934, а также Тарг С. М. Основные задачи тео-
теории ламинарных течений.—М.: Гостехиздат, 1951, и ранее уже цитированную моногра-
монографию Слезкин а Н. А.
438 гл- XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА
При составлении этих уравнений учтена относительная тонкость
зазора, позволяющая считать, что
d2V I dV i d2V 1 dV V
or2 т or г2 д(р2 г2 дф г2
a2vr i акг i d2vr i акт кг dvr vr
^г2 г дг * г2 дф2 г2 дф ' г2 ' дг г
По той же причине
d2Vr d2Vy
дг2 <^ дг2 '
и из первых двух равенств системы D9) следует
др ^ до
дг д(р
что позволяет в дальнейшем принять
Кроме того, в последнем уравнении системы D9) можно заменить
вне знака производной г на /?, а от переменной г (R^r^R + h) перейти
к переменной ? = r—R, изменяющейся в интервале 0^?^/г, где под
/г = Л(ф) =ММ' (рис. 164) понимается местная толщина зазора между
цилиндрами. Ее легко разыскать из треугольника О'ОМ'; положив при-
приближенно
О'О cos <p
или
Вводя в дальнейшем обозначение R'—/? = е и относительный эксцен-
эксцентриситет Х = е/е, будем с принятой точностью иметь
/г(ф) =е—e
На рисунке ось Оу проведена через линию центров О'О, так что
при выбранном начале отсчета углов ф будет
/imin = e — e при <р = 0,
Лтах = е + в При ф = Л.
Уравнения D9) могут быть переписаны так:
/-^=.L*L, ^L + _L^=o. E0)
Г as2 R dq dt, R dy V ;
Первое из уравнений допускает повторное интегрирование по пере-
переменной ^ и дает
Удовлетворяя граничным условиям
Кф = со/? при ? = О,
КФ = 0 при ? = ft,
получим
§ 99 ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ ПОДШИПНИКА 439
Перейдем к средней по сечению зазора h скорости 7Ф, определив
ее как
h
тогда из предыдущего равенства найдем
РФ = ?—*г. + ±а>Я. E2)
\2\iR ^ф 2
Проинтегрируем по ? от 0 до /г также обе части второго уравнения
системы E0). Тогда, замечая, что по условию неподвижности в ради-
радиальном направлении и непроницаемости обеих твердых стенок будет
Vr=0 при ? = 0 и ? = /г, получим
-*-(Арф) = О, ЛРФ = Q = const.
Это равенство выражает условие сохранения секундного объемного рас-
расхода жидкости через любое сечение зазора. Сравнивая его с E2), полу-
получим уравнение для определения давления
dp _ бцсо/?2 \2\jlRQ
интеграл которого, если включить новую аддитивную постоянную интег-
интегрирования в определение р, считая, например, р = 0 при ф=0, будет
иметь вид
f Tjfr- 12|i/?Q f Tjfr- E4)
J ^2(ф) J ^3(ф)
Постоянную Q, наперед неизвестную, можно исключить, если вос-
воспользоваться условием периодичности распределения давления
или, в частности, соотношением
рBя)=р@)=0.
Это дает
2Я
J л2
Q=lco#-^ . E5)
2 лтт
о
Таким образом, распределение давлений в зазоре подшипника пол-
полностью определено. Уровень давления в точке минимального зазора или
какой-нибудь другой точке может быть задан произвольно и в выраже-
выражение поддерживающей силы не войдет.
Напряжение трения тю определим, пользуясь выражением скорости
У,по E1). Согласно E3) будем иметь
Т«, = I
440 Г Л XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
Введем в рассмотрение интегралы
5*(Ф'Л) = Г й г F=1,2,3).
J A —Xcoscp)*
Выполнив интегрирование, получим
5х(ф;Я) = —1—-arctg
AЯ2)/
2 A-Я2J 1—
Замечая, что при ф = 2л арктангенсу соответствует значение л, по-
получим необходимые для дальнейшего значения этих функций при <р=2д:
г>2 Bл, л; = —, ъ3 Bл, л) = — .
A Я2)Л Л2) А
х (, ;, 2 (, ;
A— Х2)А A— Я2)Л
Пользуясь этими величинами, найдем по E5)
Возвращаясь к E3) и E4), получим
а по E6) и напряжение трения
Г
(ф; Я)]. E8)
E9)
х.(Ф)
шхт/ 8A _ Я cos ф) L B + Л2)A
Сравнивая последние два выражения между собой, заключим, что
это позволяет при вычислении главного вектора F реакций жидкости
суммировать лишь силы давления и пренебрегать при этом в принятом
приближении силами трения. Будем иметь, относя главный вектор F к
единице длины вдоль оси подшипника,
2Я 2Л 2Я
Fx = j p cos [ — ф) Rdy = R \ p sin фйф, Fy = — R I p cosфЖр.
0 0 0
Заметим, что, в силу периодичности и нечетности давления р и чет-
четности соэф, второй интеграл тождественно равен нулю. Первый.интег-
Первый.интеграл проще всего вычислить по частям; найдем
2Я
Fx = —R t pd{cos<v) = —
§ 100. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СМЛЗКИ 441
По условию периодичности давления первое слагаемое обращается
в нуль; подставляя вместо dp/dq его выражение E3), получим
г- 2Я 2Я -1
р 6tu(ofl3 С cos ф ^ф 2 A — X2) С cos ф 4ф
* 8*""" J A-ЯС05фJ 2 + A2 j (l-ACOSCp)*
Замечая, что
2Я
Г* COS ф ^ф _L[Q (О -\\ С (О • а \1
J A — \ соэфJ X 2 * ' A __;
о ч
СОБф^ф _ 1 Q /о .. Q /О«ИМ__
(I — X COS фK Л A Я,2) 'f
О
найдем после простых преобразований
гх — (bU)
е2 B + a2) J/ 1 — a2 V
Вектор F показан на рис. 164 приложенным к центру внутренней
окружности. Можно указать векторную формулу (вектор ю угловой
скорости вращения вала направлен внутрь рисунка, а вектор е эксцент-
эксцентриситета— от точки О' к точке О)
9ггмРЗ
сохе.
е3 B + Х2)У 1-Х*
Сила f может уравновесить вертикальную нагрузку (вес вала с
ротором и др.), если при горизонтальной оси вала смещение его е, как
показано на рис. 164, будет также лежать в горизонтальной плоскости.
При этом главный вектор F играет роль поддерживающей силы.
Обратимся к вычислению отнесенного к единице длины вала момен-
момента сопротивления жидкости вращению вала. Имеем (ось Oz направлена
внутрь рисунка)
2Л
L=s I ТщД аф = -i о2 (/Я Л) — 2ол Bп\ Л) =
I 8 I 24- А2 л^7' 1\'/
4яио)/?3 A + 2а2) /«оч
= . (DZ)
е B + а2) К 1 — а2
В ранее цитированном труде Н. П. Петров рассмотрел случай коак-
коаксиальных цилиндров, или, что все равно, концентрических окружностей.
Это соответствует е = 0 и а = 0. Как видно из F0), в этом случае поддер-
поддерживающая сила отсутствует, что и непосредственно вытекает из сооб-
соображений симметрии, а формула F2) переходит в формулу Петрова B9).
При современном состоянии гидродинамической теории смазки под-
подшипников решаются гораздо более сложные задачи, связанные с уче-
учетом конечности ширины подшипника, нарушающей плоский характер
движения смазки в зазоре между валом и подушкой подшипника, непол-
неполным заполнением зазора смазкой, влиянием конвективных ускорений
и т. п. '
§ 100. Пространственная задача гидродинамической теории смазки.
Сферические подшипники и подвесы
Приведем пример пространственного движения смазки в сфериче-
сферическом подшипнике, сделав те же предположения, что и раньше, о «мед-
«медленности» движения смазки в полости между вращающейся внутренней
442
Г Л XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ —СТОКСА
сферой и неподвижной внешней, что позволит линеаризовать задачу,
откинув нелинейные члены в уравнениях Навье — Стокса, и о сравни-
сравнительно малом поперечном к потоку размере полости ').
Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости в полости
между двумя эксцентрически расположенными сферами с центрами О
и О' (рис. 165, а) и радиусами R и /?', причем R'>R. Разность радиусов
е = /?/—R будем считать малой по сравнению с радиусами сфер, а вели-
величину отношения e/R примем за малую первого порядка и условимся в
дальнейшем все величины сравнивать с нею.
б)
Уо
иг
Рис 165
Используем сферическую систему координат г, 0, ср, приняв ось 0zr
проведенную через центры сфер, за полярную ось, а плоскость Oxz на-
начала отсчета долгот ср оставляя произвольной. Широте 6 и долготе ф
какой-нибудь точки М поверхности внутренней сферы соответствуют
дуги ZM и XN. Поперечный размер полости в точке М обозначим через
Л (9, ср) и определим как расстояние между точками М и М' на внутрен-
внутренней и внешней сферах, расположенными на одном и том же радиусе,
проведенном из центра О внутренней сферы. С ошибкой порядка (eRJ
будет справедливо равенство (рис. 165, б)
y F3)
где эксцентриситет е определяется как расстояние 00' между центрами
сфер.
Считая движение стационарным, пренебрегая инерционными чле-
членами и учитывая, как в предыдущем примере плоского подшипника,
преимущественное значение производных поперек полости (по г) по
сравнению с производными по 9 и ср, приведем уравнения Навье — Сток-
са в сферических координатах C4) гл. X к виду (далее для текущего
радиус-вектора принято обозначение г, а для азимута —ср)
др d2Vr $р д2Ке др
дг дг2 ' дб дг2 дф
дг
rsinB
г sin 9
Из уравнения неразрывности (последнее уравнение) следует, что
производная dVr/dr имеет одинаковый порядок с величинами Ve/R или
*) Лойця некий Л. Г Гидродинамическая теория сферического подшипника.—
Прикл. мат. и мех., 1955, т. 19, вып 5, с. 531—540, а также: К теории сферического под-
подшипника, там же, 1956, т 1, вып 1, с 133—135; \V a n n i е г G. H. A contribution to
the hydrodynamics of lubrication — Quart of Appl Mathem , 1950, v 8, № 1, p. 1—32.
§ 100 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СМАЗКИ 443
УД. На этом основании, обращаясь к первым трем равенствам систе-
системы F4), заключим, что
г др/дг п ( Е \ г др№г
\ D I
R
так что в принятом приближении можно пренебречь величиной др/дг
по сравнению с величинами dp/dQ и др/дц> и считать давление р функци-
функцией только 0 и ф. Кроме того, с той же ошибкой можно во втором, третьем
и четвертом уравнениях системы F4) заменить величину г, не входящую
под знак дифференцирования, на R.
Вводя, как и в предыдущем примере, вместо г переменную ? = r—R,
изменяющуюся поперек потока в полости, заполненной жидкостью, в
пределах 0^?^/г, приведем на основании указанных упрощений систе-
систему F4) к виду
0 ' О р ф 1 Ор
a;2 ix r ае ' a:2
F5)
a; я sine ae v u ; /?sine аф
Выпишем граничные условия на внутренней и внешней сферах, от-
отмечая нулем в верхнем индексе компоненты скорости точек поверхности
движущейся внутренней сферы, причем, в отличие от разобранного ра-
ранее примера плоского подшипника, будем предполагать, что внутренняя
сфера не только вращается, но и совершает в данный момент некоторое
малое (порядка толщины зазора) поступательное движение. Имеем
Vr = V°n VQ = Vl 1/ф = П при ? = 0,
КГ = К0 = КФ = О при ? = Л. F6)
Интегрирование первых двух уравнений системы F5) при гранич-
граничных условиях F6) дает
т/ h* др
F7)
h2 dp
Перейдем,
скоростям
в полной аналогии
h
6 h J
0
h
h .'
0
с предыдущим
h2 dp I
\2\iR ae 2
\2uR sin в аф
примером,
2 Ф*
к средним
F8)
Проинтегрируем теперь обе части последнего уравнения системы
F5)—уравнения неразрывности — по ? от 0 до ft; тогда в только что
принятых обозначениях будем иметь
4" (hVd sin 9) + -A- (AVg = V!/? sin Э F9)
дб дер
и, подставляя сюда выражения Ге и 7Ф из F8), получим следующее
уравнение для распределения давления по поверхности внутренней
444 ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
сферы (при проведении преобразований принято во внимание, что, со-
согласно F3), h не зависит от ф и поэтому вынесено за знак дифференци-
дифференцирования по этой переменной)
= 6ц# — (Wl sin 6) + h -^ sin 6 ~ 12ц/?г^ sin2 0. G0)
I dQ dcp J
Для вычисления величин V% ^e» Уф заметим, что по известной фор-
формуле кинематики твердого тела
У°==У0 + соХЛ G1)
где вектор Vo определяет малую скорость центра О внутренней сферы,
со — конечную угловую ее скорость, а г°— вектор-радиус точки на сфере.
Тогда, задавая лектор Vo его величиной Vo, углом а с осью Oz и углом
Р его проекции на плоскость Оху с осью Ох и аналогично вектор ш его
величиной со и углами ^ и б, будем, применяя формулы сферической
тригонометрии (r? = /?, rg = r? =0) (см. рис. 165, айв) иметь
W = Vo cos (Ko, OM) = Vo [cos a cos 9 + sin a sin 6 cos (cp — p)],
Koe = ^о cos (KOt OMX) = Vo [— cos a sin 0 + sin a cos 9 cos (ф — P)],
Уоф = ^o cos (Vo, ONt) = — V0 sin a sin (Ф - P);
а)в = со cos (a), OMX) = со [— cos y sin 9 + sin v cos 9 cos (cp — 6)],
о)ф «=s a) cos (со, ОЛ^Х) = — со sin y sin (ф — 6);
и, следовательно,
Vl = Vo [— cos a sin 9 + sin a cos 9 cos (ф — P)] — (oR sin у sin (ф — 6),
Уф = — Vo sin a sin (ф — P) + <oR [cos у sin 9 — sin y cos 9 cos (ф — 8)].
G2)
Подставляя эти выражения в правую часть уравнения G0), заметим,
что наряду с последним членом в правой части этого уравнения, имею-
имеющим порядок R2V0y после подстановки и использования F3) появятся
члены, содержащие множителем VoeR, отношение которых к только что
указанному члену будет иметь порядок e/R, и, следовательно, эти члены
могут быть опушены. Таким образом, составим окончательный вид при-
приближенного уравнения, служащего для разыскания распределения дав-
давления р(9, ф) по поверхности подвижной сферы
sin 9 — (? &- sin 9) + Л3 — = 6(х#2сое sin у sin3 9 sin (<p — 6) -
— 12цУ0Я2 sin2 9 [cos a cos 9 + sin a sin 9 cos (<p — p)]. G3)
Будем искать решение этого уравнения в форме
р(9, ф)=0о(9)+01(9)со8(ф—p)+02(9)sin(V-6). G4)
Подставляя выражение р в G3) и приравнивая коэффициенты при
соз(ф—р) и э1п(ф—б) в обеих частях полученного при этом уравнения,
придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго
порядка
sin 9 -^ (h? sin 9 ^-) = — \2iiV0R2 cos a sin2 9 cos 9,
du \ du j
dft
(h3smQ^i-)—hs@1 = — \ 2цК0#2 sin a sin3 9, G5)
\ dQ J
sin 6 -4- (h* sin 6 ^i) — Л302 = 6[.iRhoe sin v sin3 6,
d% v dv J
§100 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СМАЗКИ 445
из которых последние два отличаются только постоянным множителем
в правой части.
Первое из уравнений G5) легко непосредственно интегрируется.
Действительно, сокращая обе его части на sin 6 и один раз интегрируя^
получим
** cosasinG ?
d9 r u ' sin 9
Из условия конечности величины dp/dQ, согласно G4), следует ко-
конечность rfeo/rf6, что в свою очередь требует равенства нулю константы
интегрирования С4. Повторное интегрирование дает
е
0/г\\ /* т / r\o ( SIT
0(В) = — 6рУ0/<2 cos а \ —
о
причем новая константа интегрирования выбрана так, чтобы G0@)=0;
это определяет выбор постоянного уровня давлений в полости между
сферами. Интеграл в правой части после замены h его выражением по
F3) легко вычисляется и дает
0#2 cos а B + Я + ^ cos 9) A — cos 9)
°[) e»(l+W» A +1 cos 9J
где, как и в случае плоского подшипника, введено обозначение Х = е/г
Второе и третье уравнения системы G5) должны быть проинтегри-
проинтегрированы при граничных условиях
в4=02=О при 6 = 0 и 0 = jt,
которые непосредственно вытекают из условия конечности величины Vv,
определяемой вторым равенством системы F8), а следовательно, необ-
необходимости обращения в нуль производной dpldy при 0 = 0 и 8 = я, что
при наличии G4) и приводит к только что поставленным граничным
условиям.
Решения второго и третьего уравнений системы G5) при указанных
граничных условиях могут быть также найдены в замкнутой форме, а
именно:
sin a 2+Лсоз9Q
_
acos9J
G7)
+ л2)A -b
Совокупность уравнений G4), G6) и G7) полностью определяет
распределение давлений р@, ф) по поверхности сферического шипа в
подшипнике, после чего уже без труда можно рассчитать «поддержи-
«поддерживающую» силу, распределение скоростей и напряжений трения, необ-
необходимые для расчета момента сопротивления вращению шипа.
При вычислении главного вектора F реакций жидкости, приложен-
приложенного к внутренней сфере, можно пренебречь вязкими нормальными и
касательными напряжениями, имеющими с точностью до квадрата ха-
характерной длины порядок соответственно \iR2V0le и |i/?2Fe/e, по сравне-
сравнению с давлением, с точностью до характерной длины имеющим порядок
[ii?2Fe/e2. Получим (о — поверхность внутренней сферы, п — орт внеш-
внешней нормали к ней)
446 Г Л XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ— СТОКСА
или в проекциях на оси координат (рис. 165, а)
2Л Л //\ч 2Л Л
Fx = — R2 f dcp \р sin 0 cos (MOx) dQ = — R2\ cos cp dq>[p sin2 9 d9,
0 0 0 0
Л /\ 2Л Л
Fy = — R- J c/cf f /? sin 9 cos (MOy) dQ =-- — tf2 J sin ф d<p f p sin2 9 d9,
0 0 0 0
2Л Л /\ 2Л Л
<p \p sin 9 cos (AfOz) dQ = — R2 J с?ф f psin0cos9d9.
0 0
Подставляя сюда выражение р@, ф) по G4) и выполняя интегриро-
интегрирование по ф, составим следующие формулы для проекций Fx, Fy и Fz:
л л
Fx = — nR2 cos C \ 0! (9) sin2 9 d9 + л/?2 sin 6 f в2 (9) sin2 9 d9,
о о
л л
Fy = — nR2 sin p ^ вх (9) sin2 9 dQ— nR2 cos б f 02 @) sin2 9 dQ, G8)
0
Л
z = — nR2 \во(в)sin2QdQ.
Остается подставить значения функций 60(9) по G6) и функций
Qi (9), 02(9) по G7). Вычисляя интегралы, окончательно получим
п 4 л и/?4 BУп sin a cos 6 -|- оо^ sin v sin б) ^ /л ч
BУ0 sin a sin ft — <pg sin y cos б) ^ nv /7m
A2
2 ()
где для краткости введены обозначения
1 V 2 D + Л2) L V А, Я.3 ) \—Х X2
/С2 (X) = — f-^ In Щ^ ; (80)
/С1@) = /Ся@)=1.
Совокупность формул G9) эквивалентна одной векторной формуле
е3 е3 е5 X2
(81)
в которой введен вектор е^О'О смещения центра внутренней сферы от-
относительно внешней.
При отсутствии поступательного движения внутренней сферы (Vo=
= 0) формула (81) значительно упрощается и приводится к следующей:
. (82)
Согласно этой векторной формуле при вращении внутренней сферы
вокруг некоторой оси, не сопровождаемом поступательным движением
сферы, главный вектор реакций вязкой несжимаемой жидкости перпен-
§ 100 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧ \ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СМАЗКИ 447
ликулярен к плоскости, проведенной через эту ось и линию центров
внутренней и неподвижной внешней сфер. Формула (82) по своей струк-
-\ре аналогична ранее выведенной формуле F1) для плоского движе-
движения цилиндрического шипа в подшипнике.
В частном случае (V0 = 0, <o±e) получим формулу Ванье1)
±±-2геЛ .
_ е J
В момент совпадения центров сфер (к = 0) главный вектор F опре-
определится только поступательным движением внутренней сферы и будет
равен
р _ 8яц/?4 у
Обращает на себя внимание резко выраженная зависимость этого
вектора от радиуса сферы R и поперечного размера полости е. Срав-
Сравнительно с формулой Стокса, относящейся к движению сферы в безгра-
безграничной вязкой несжимаемой жидкости, сопротивление той же жидкости
движению сферы внутри близкой по размеру оболочки по порядку в
(RkK раз превосходит сопротивление движению в безграничной жид-
жидкости.
Вычислим в заключение главный момент L сил вязкого трения, при-
приложенных к поверхности внутренней сферы. Пользуясь для этой цели
группой формул A3), помещенных в начале гл. X, будем иметь (при-
(применяя обозначения т вместо рц, г — вместо /?, ср — вместо е, д? — вме-
вместо dR)
ае
Произведенные здесь упрощения очевидны; величины
v v dVr dVr
малы по сравнению с сохраненными слагаемыми.
Подставляя в только что приведенные выражения тге и тгф значения
1/е и УФ по F7), получим
h_ _др_ _ ^9 _ _ h dp __ ИVl
Тг0~~ 2# ае h ' гф~ 2/?sine аср к у
а используя после этого ранее выведенные выражения G2) для V\ и Уф
и трехчленное представление давления р G4), найдем
ц = -^— [ex (9) sin (ф - р) - 02 (9) cos (Ф - б)] -
у 2R sin 9
—-— [cos у sin 9 — sin у cos 9 cos (q> — 6)].
h
Элементарные моменты сил трения dLXi dLy и dLz относительно
прямоугольных декартовых осей координат определим как суммы
См цитированную в начале этого параграфа работу Ванье.
448 ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА
моментов относительно этих осей касательных к поверхности сферы сил,
имеющих сферические компоненты
dF* = Tre/?2 sin 9 dQ d<p, dF^x^R2 sin 9 dQ d<p,
и соответствующие декартовы компоненты
dFe cos 0 cos ф, dFQ cos 0 sin cp, —dFe sin 8,
—dFy sin ф, dFv cos ф, О.
Замечая, что точка М приложения этих сил имеет координаты
(/?5Ш0со8ф, /?sin6sincp, /?cos0), по обычному правилу составим фор-
формулы моментов относительно осей координат:
dLx = — R3 (TrQ sin ф + тгф cos 8 cos ф) sin 0 rf0 dq>,
dLy = R3 (тгв cos ф — тгф cos 0 sin ф) sin 0 d0 с(ф,
Подставляя сюда значения тге и тГФ по (83), собирая члены с триго-
тригонометрическими функциями угла ф и произведя сначала интегрирование
по ф от 0 до 2я, а затем и по 0 от 0 до я, найдем
Г _|_
L 3
ш sin Y cos б L. i/oe sin ос sin
8
Ly = _ i^i I A A _j_ p) ш sin 7 Sin б + ~ Voe sin a cos pi Kt (X), (84)
1 - X«) co
3e
где функции Ki(X) и /С2(Я) — те же, что и раньше.
Полученная совокупность формул для моментов относительно осей
координат эквивалентна одной векторной формуле для момента отно-
относительно начала координат
{ вяц/г« (i + mi(*)-(i--*.a)x«fl)(a) с)с щ
При чисто вращательном движении внутренней сферы (Vo=0) бу-
будем иметь
Зв Зб X,2
(86)
а в частном случае перпендикулярности оси вращения и линии центров
сфер (со•? = ()), рассмотренном ранее Ванье, получим более простую
формулу
ne:L!_2el
' е— е J
При концентрическом расположении сферы (г = 0) формула (86)
приведется к виду
« (87)
представляющему собой обобщение формулы Петрова B9) для цилинд-
цилиндрического подшипника на случай сферического подшипника.
xr
§ 100. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СМАЗКИ 449
Уравнения движения смазки в сферическом подшипнике относятся
ктому же типу, что и уравнения для расчета сферического подвеса или
как его иногда называют, гидростатического подшипника
Схема такого рода подвеса
показана на рис. 166. Тяжелая
сфера неподвижно висит в пото-
потоке несжимаемой вязкой жидко-
жидкости, создаваемом за счет подвода
этой жидкости через отверстие 5
в дне также неподвижной сфери-
сферической чаши, охватывающей под-
подвешенную в потоке сферу; при
этом зазор h между поверхностя-
поверхностями сферы и чаши предполагается
очень малым по сравнению с их
радиусами R и R'.
Проводя оси координат, как
показано на рис. 166, приходится
по соображениям упрощения рас-
расчетов выбирать направление оси Рис. 166
0У так, чтобы она проходила
через центр отверстия подвода жидкости S. В связи с этим
F3), определявшее ширину зазора h между сферамиN^
ского подшипника, усложняется. "
Как легко видеть из чертежа,
h = ММ' ^ О'М* — О'О cos ((УО, (ХМ') — ОМ,
cos (О'Д VM') = cos \f cos 9 + sin г|> sin 9 cos q>,
так что (ф~ постоянный при данном расположении сферы относитель-
относительно чаши угол между вектором смещения е центра сферы О и о?ью Ог)
h (9, ф)=е—е (cos ф cos 9 +sin г|> sin 9 cos ср). (88)
Таким образом, в случае подвеса величина h является функцией
как 8, так и Ф, что уже не позволяет при выводе уравнения G0) выно
где А задается равенством (88).
,Лав3Г„б°ТК0Й мет°Д0В интегрирования уравнений типа (89) занима-
занимается теория смазки. Удовольствуемся рассмотрением простейшего слу-
случая подвеса вертикально смещенной сферы (ф=0, я), когда ширина за-
зазора А определяется равенством F3). Более общая задача^когда наря-
наряду с вертикальным смещением центра сферы О имеется и горизонталь-
горизонтальное (боковое) смещение, в приближенной постановке (малые Х = е/г)
может быть также без особого труда рассмотрена»). ' '
1958С № 19
сфери-
15-9487
450 ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА
Схематизируем подвод жидкости из отверстия в дне чаши, поме-
поместив в точку S @=0) источник с секундным объемным расходом Qh
приняв, что сток происходит из круговой щели @ = 00 на верхнем краю
чаши в пространство с абсолютным давлением рь Уравнение (89) пере-
переписывается в виде
_^_ [лзА5щ9) = 0
dQ [ dQ I
и имеет первый интеграл
Для определения константы составим условие постоянства расхода
сквозь горизонтальное сечение зазора
2nRh sin 0 • Fe=const = Q,
или по первому из равенств F8) при Vq=0
— sin 0 = Q.
6fi d8
Итак, имеем
m
dO я (e — e cos 9K sine ' v '
Интегрируя еще раз и используя граничное условие
p=Pi при в = 9ь
получим искомое распределение давления
Р-Р1 = ^[Ф(в1)-Ф(в)Ь (91)
где положено
l- ln(l +cos9)H ! in A-.
(92)
При 9 = 0, т. е. непосредственно в самом источнике S, давление рав-
равно бесконечности. Чтобы сделать решение более физичным, допустим,
что на самом деле вблизи точки S в корпусе чаши имеется пазуха с по-
постоянным давлением р0; размер этой пазухи можно задать углом 6^
Тогда рабочий перепад давлений р0—р^ в подвесе будет, согласно (91),
связан с расходом формулой
Po-Pi= ^[ФF1)-Ф(в0)]. (93)
Несмотря на сравнительную сложность формулы распределения
давления (91), сила F, поддерживающая сферу, вычисляется просто. За-
Заметим, что порядки напряжения трения и давления будут
так что
т/(Ро—Pi)=O(e).
Это доказывает возможность пренебречь трением при определении
поддерживающей силы F и находить силу как интеграл только элемев-
§ 101. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ 451
тарных сил давления. Имеем, производя интегрирование по частям и
отсчитывая давление от значения ри
fC dp
J dQ ~
~T,> (94)
где положено
' 1' / niO OA\ AlQ П f\ ^ '
l _% cos °-^° cos ?^A sin
Зависимость компоненты поддерживающей силы Fz от безразмер-
безразмерного вертикального смещения внутренней сферы X очень сложна, так
как Q при заданном рабочем перепаде давлений р0—рх является в свою
очередь функцией безразмерного смещения X. На самом деле вопрос
еще сложнее, так как обычно поддерживают перепад давлений рн—ри
где Ре—абсолютное давление в камере нагнетания, откуда газ сквозь
некоторый канал подводится к отверстию 5.
Рассмотрение вопроса об устойчивости равновесия тяжелой сферы
в несколько упрощенной постановке устройства поддува (точечный ис-
источник в точке 5) можно найти в четвертом издании настоящего кур-
курса1). Выясняется, что при 9i<90° возможно только одно, а при 9i>90°—
два положения равновесия сферы.
Изложенная теория относилась к использованию несжимаемой
жидкости или газа в условиях, когда его сжимаемостью можно прене-
пренебречь. При значительных нагрузках на подвес или на вращающийся вал
в подшипнике вопрос существенно усложняется ввиду необходимости
учета сжимаемости среды в уравнении Рейнольдса. Это уравнение даже
при изотермическом подходе нелинейно и требует для своего интегри-
интегрирования применения приближенных численных методов.
§ 101. Применение теории размерностей к определению структуры
решений уравнений Навье — Стокса. Автомодельные решения
Составление матрицы размерностей (§ 88) и основного соотношения
П-теоремы E6) гл. X позволяет в ряде случаев упростить разыскание
решений нелинейных уравнений Навье — Стокса, сводя эти диффе-
дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным диф-
дифференциальным уравнениям. Такое упрощение всегда возможно, если
по самой сути постановки задачи в ней отсутствуют некоторые мас-
масштабные величины, например длина или скорость. Задачи, допускаю-
допускающие указанное упрощение, относятся к числу автомодельных (сравните
с содержанием § 44). Проиллюстрируем это на классической задаче
Кармана о стационарном движении вязкой жидкости в полупро-
полупространстве над равномерно вращающимся в своей плоскости диском бес-
бесконечного радиуса.
Выберем цилиндрическую систему координат г, г, е, поместив на-
начало в центр диска и направив ось г перпендикулярно к плоскости его
зращения. Описывающими явление переменными и постоянными слу-
служат следующие девять величин: координаты г и z (e в силу симметрии
выпадает), угловая скорость вращения диска со, составляющие скорости
частиц жидкости VT, l/e, Vz, перепад давления Л/? = р—р«>, плотность
1) Лойцянский Л. Г Механика жидкости и газа—4-е изд — М.: Наука, 1973,
с 483.
452 ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА
жидкости р и кинематический коэффициент вязкости v. Уравнения дви-
движения представляют собой сложную нелинейную систему дифференци-
дифференциальных уравнений в частных производных (производные по е в силу
симметрии движения опущены), имеющую, согласно C3) гл. X, вид
г дг dz т р дг \dr* г dr ^ dz2
г2 г дг
дг dz p dz
при граничных условиях
l/r=0, Ve = cor, У2 = 0 при z=0,
(97)
Vr->-0t Vt-+0 при z->oo.
Решение системы (96) при граничных условиях (97) не содержит
масштабов длин и скоростей. Их можно составить из соображений раз-
мерности. За масштаб длин примем имеющую размерность длины ве-
величину "/v/co, за масштаб скоростей — величину /уоГи за масштаб дав-
давлений— величину pvco. Принимая во внимание, что граничные условия,
помещенные в первую строку (97), выполняются при любых значениях
г, а У, при z=0 равна У8 = (ог, будем искать решение в форме (Vt<0)
(98)
P—Po = — pvcoP(^),
где положено ? = 2}/cd/v. Убедимся, что результат подстановки выраже-
выражений составляющих скорости и давления (98) в систему дифференци-
дифференциальных уравнений (96) приведет к системе обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений (штрих означает производную по g) J)
F2—G2 + F'H=F",
2FG + G'H = G">
(99)
HH'=P'+Hf\
2F+H' = 0
с граничными условиями
F=0, G=l, Я = 0, Р = 0 при ? = 0,
A00)
F->0, G->0 при ^оо.
Этим доказана автомодельность решения задачи Кармана. Из пер-
первого, второго и четвертого уравнений (99) определяются Fy G и Я, а из
третьего — Р. Приближенное решение системы обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений (99) с граничными условиями A00) было вы-
1) Уравнения (99) и граничные к ним условия A00) были установлены Карм*
ном (Karman Th. Ober laminare und turbulente Reibung.— Zeitschr. f. angew. Math
u. Mech., 1921, Bd. 1, S. 233—252).
§ 101. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ
453
полнено Кокреном1) методом разложения функций F(?), G(?), #(?)
в ряды
G =
A01)
при малых ? и
4c*
12c4
A02)
2A
с
2c3
,
при больших ?;, где константы а0, Ьо, А, В к с определялись из условий
непрерывного перехода функций F, G, Я, F\ Gr от малых значений ?;
к большим. Таким путем были найдены следующие значения констант:
ао=О,51О, &о = — 0,616, с = 0,886, А = 0,934, 5=1,208 A03)
и составлены таблицы зависимостей F> G, Н и Р от ?, содержащиеся в
цитированной статье Кокрена.
Удовольствуемся приведением
графиков трех первых из этих
функций (рис. 167). Из графиков
следует, что функции F и G стре-
стремятся экспоненциально к нулю
при ?-*оо, причем, если величина
у/© мала, то F и G практически
отличны от нуля только в преде-
пределах тонкого слоя на поверхности
диска. Этот случай дает первый
в курсе пример пограничного
слоя, теория которого будет осве-
КО
0,8
0,6
0,4
0 ?
п
\
\
\
/У
V
\
А
у
F "
_/
/\
ч
1—с^
1
-и
1
3,0
в следующей главе. Пока
подчеркнем лишь, что отношение
порядка толщины этого слоя Yv/co Рис. 167
к искусственно для условий зада-
qH Кармана вводимому радиусу диска а будет иметь порядок
4,0 С,
YI--
Re =
A04)
Отметим характерное для рассматриваемого движения явление. Вдале-
Вдалеке от поверхности диска (^оо), согласно разложению функции Н
A02), будет (#)с_оо=— с, а следовательно, по (98) A/х):е=оо=— c-fu*y
или по A03)
о=_ 0,886 /^i. A05)
С такой скоростью вращающийся диск бесконечно большого радиу-
радиуса будет подсасывать [знак минус в правой части A05)] окружающую
*) Cochran W. G. The flow due to a rotating disc—Proc. Cambr. Phil. Soc,
1934, v. 30, p. 365—375.
454 ГЛ. XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ НАВЬЕ - СТОКСА
его жидкость и отбрасывать ее благодаря центробежным объемным си-
силам к периферии диска (в задаче Кармана — в бесконечность).
Отвлекаясь от концевого эффекта при г=а, где а — радиус диска,
можем применить полученное решение задачи Кармана к диску конеч-
конечного радиуса а. Вычисляя секундный расход Q жидкости, отбрасывае-
отбрасываемой центробежной силой с поверхности диска,
о
получим
Q = 0,886ла2 ]Лчо; A06)
в полном согласии с A05)
В том же приближении определим момент сопротивления жидкости
вращению диска конечного радиуса а
а
М = — 2я С r2pzedr,
о
где положено
Момент сопротивления диска, смачиваемого жидкостью с двух сторон,
будет равен
2М = — яра4 -|/vo?G' @) = 0,616яра4 V'vw, A07)
а вводя коэффициент сопротивления
2М 2,
можно получить формулу сопротивления
3,87 D
С==; Re
Формула эта находится в хорошем соответствии с опытными данными
по сопротивлению дисков, радиусы которых велики по сравнению с тол-
толщиной пограничного слоя на их поверхности, т. е. по A04) при больших,
но все же ограниченных критическими значениями (см. далее § 118)
рейнольдсовых числах, при которых режим течения остается ламинар-
ламинарным
Подробно изложенный пример точного решения уравнений
Навье — С то кс а в случае движения безграничной вязкой жидкости
при равномерном вращении в ней диска является одним из наиболее
простых и наглядных. Данный пример автомодельного решения далеко
не единственный. Так, уже давно был рассмотрен класс автомодельных
точных решений, соответствующих плоским радиальным течениям не-
несжимаемой вязкой жидкости в конфузоре (диффузоре) с прямолиней-
прямолинейными стенками, пересекающимися в источнике мощности Q1).
Замечая, что размерность Q (в плоском движении [Q] = VL) совпа-
совпадает с размерностью v, убедимся в невозможности выразить по отдель-
]) Hamel G. Spiralformige Bewegungen zahen Flussigkeiten, Jahr.— Ber Dtsch.
Math. Ver., 1917, Bd. 25, S. 34—60.
§ 101 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ 455
ности V и L через Q и комбинацию физических констант \х и р. Это го-
говорит о существовании автомодельных решений типа (в полярных коор-
координатах г, е)
A09)
Р-Ро / \2 (
Отсутствие в постановке задачи характерной длины L заставляет
принять функции /г, /е и Р в форме
(НО)
'(т-Нт)'™
что приведет к структуре решений
г г р г2
Не будем воспроизводить выкладки, но заметим лишь, что, под-
подставляя эти значения скоростей и давления в систему стационарных
уравнений Навье — Стокса C3) гл. X для плоского течения (штрих
означает производную по е) будем иметь
G (е) = const,
F» + F* = — 2Я, A12)
P' = 2F'.
Отсюда вытекает (С — постоянная интегрирования)
а единственная неизвестная функция F(e) определяется из обыкновен-
обыкновенного дифференциального уравнения
0, A13)
на подробностях интегрирования которого1) останавливаться не будем.
Подчернем лишь, что рассмотренный класс движений, так же как и
предыдущий, допускает точные автомодельные решения. Отметим, что
хотя подобная пространственная задача с заданной интенсивностью ис-
источника уже не будет автомодельной (см. только что процитированное
четвертое издание A973 г.) настоящего курса, с. 432, 433), но все же
анализ размерностей, подчеркнем этот существенный факт, сохранив
необходимость решения дифференциальных уравнений с частными про-
производными, уменьшит число независимых переменных на единицу.
К точным автомодельным решениям уравнений Навье — Стокса от-
относится класс движений, рассмотренных первоначально с чисто матема-
математической стороны Н. А. Слезкиным2), а впоследствии конкретизиро-
1) См. Rosenhead L (ed ) Laminar boundary layers — Oxford: Clarendon Press,
1963 p. H4—150, а также ЛойцянскийЛ. Г. Механика жидкости и газа. 4-е изд.—
И.: Наука, 1973, с. 491—494.
2) Слезки н Н. А. Об одном случае интегрируемости полных дифференциальных
движения вязкой жидкости.— Уч. записки МГУ, вып. II, 1934, с. 89, 90.
456 гл XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА
ванных Л. Д. Ландау1). Это —случай пространственных круглых
струй вязкой жидкости, распространяющихся в среде с теми же физи-
физическими свойствами (затопленные незакрученные струи). Воспользуем-
Воспользуемся сферической системой координат (/?, О, е) с осью, расположенной
вдоль оси симметрии струи. Условием незакрученности струи будет
К,=0 и равенство нулю производных по е.
Автомодельное решение задачи можно получить, полагая
vR^-F{4), v. = ?gci), an*= (?);>(то. щ
где вместо G оказывается целесообразным ввести аргумент r)=cos0.
Подставляя выражения A14) составляющих скоростей VR, V9 и
давления р—р0 в систему стационарных уравнений Навье —Стокса
C4) гл. X и вводя функцию f(r\), связанную с F и G равенствами (штрих
означает производную по т))
^(Л) = -/'(Л), О(Л) = -рШ=- A15)
и являющуюся с точностью до множителя vR функцией тока, придем к
системе обыкновенных дифференциальных уравнений
(не)
>' = о.
Из второго уравнения системы A16) сразу следует (Ct — произ-
произвольная постоянная интегрирования)
а из первого после этого легко получить автономное уравнение для f
(Са — новая постоянная интегрирования)
которое непосредственно интегрируется и дает (С3 — еще одна произ-
произвольная постоянная интегрирования)
0. A18)
Уравнение A18) относится к уравнениям типа Риккати и в из-
известных функциях не интегрируется. Подстановкой
f
оно сводится к гипергеометрическому уравнению
~4A-т12Jя//+ (С1Г12 + С2П + Сз)?=0, A20)
которое в случае
ед + С2Л + С,=ДA-т|2) A21)
имеет простые степенные решения
A22)
х) Ландау Л. Д. Новое точное решение уравнений Навье — Стокса.— Докл АН
СССР, 1944, т. 44, с. 311— 314. '
§ 101. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ 457
Случаю неограниченной круглой струи, бьющей из точечного источ-
источника, как показал Л. Д. Ландау (см. предыдущую ссылку), соответ-
соответствуют значения констант С1=С2=С3=0, а следовательно, и Л=0. При
этом функция / равна
/=2A^2). A23)
а+ 1 —л
Задавая струю проекцией на ее ось полного (включающего в себя,
кроме потока количества движения, еще давление и вязкие напряже-
напряжения) импульса / — единственной физической величины, характеризую-
характеризующей конкретную затопленную круглую струю из точечного источника,—
найдем связь между аи/:
^ + 8A+а)(+)Ч8(). A24)
За B 4- а) \ a J
В рассматриваемом сейчас случае конечности величины / мощность
точечного источника Q должна равняться нулю, так как при бесконеч-
бесконечной скорости жидкости в точечном источнике мощность его Q пропор-
пропорциональна первой степени скорости, а / — второй степени скорости, что
при конечности J влечет за собой равенство нулю Q.
Случай конечности обеих этих величин приведет к появлению двух
размерных масштабов длин и скоростей
? = !*, V = -L.
J PQ
Как раньше было разъяснено, при наличии масштабов длин и ско-
скоростей движение уже не будет определяться автомодельным решением
уравнений Навье — Стокса. Соответствующее заданию Q, /, \х и р неав-
гомодельное решение было с математической стороны изучено
В. И. Яиеевы м4), а физическая интерпретация этого решения как
движения вязкой жидкости, эжектируемой струей, бьющей из отверстия
конечной ширины, причем для области вдалеке от источника, была ука-
указана Ю. Б. Р у м е р о м2).
Рассмотренные в настоящем параграфе и другие, не нашедшие в
нем места автомодельные решения уравнений Навье — Стокса сводились
к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений,
которое могло осуществляться различными приближенными или клас-
классическими численными методами. Отыскание общих неавтомодельных
решений, требующее интегрирования уравнений в частных производных,
представляло в свое время непреодолимые трудности. Однако сейчас в
связи с появлением ЭВМ, прочно вошедших в практику расчетов, боль-
большое развитие получили машинные численные методы, изложению кото-
которых, проиллюстрированному несколькими примерами, посвящены по-
последние параграфы настоящей главы. Следует признать, что привлечение
всеобщего внимания к этим методам, позволяющим достаточно близко
подойти к точным решениям, вполне заслужено. Однако не следует пре-
преуменьшать и значение разнообразных приближенных аналитических ме-
методов, представляющих, как правило, решения задач в легко обозримой
форме, наглядно выражающей основные тенденции исследуемых явле-
явлений. В дальнейшем будут приведены примеры как численных, так и при-
приближенных аналитических решений задач механики жидкости и газа5).
!) Ядеев В. И. Об одном классе точных решений уравнений движения вязкой
жидкости.—Жури, эксп. и теор. физики, 1950, т. 20, вып. 11.
*) Румер Ю. Б. Задача о затопленной струе.— Прикл. мат. и мех., 1952, т. XVI,
вып. 2.
8) Обширный обзор решений уравнений Навье — Стокса см.: Berker R. Integra-
Integration des equations du mouvement d'un fluid visqueux incompressible.— Handbuch der Phy-
sik, Berlin J 963, VII, 2, S. 1—384.
458 ГЛ XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА
§ 102. Методы численного решения уравнений Навье — Стокса
движения вязкой несжимаемой жидкости1)
В последние годы исключительно интенсивно развиваются методы
приближенного численного решения уравнений гидрогазодинамики.
Именно эти методы и составляют теперь, наряду с физическим экспери-
экспериментом, главные инструменты исследования задач механики жидкости
и газа.
Чтобы понять причины стремительного распространения вычисли-
вычислительных методов в рассматриваемой области механики, достаточно об-
обратить внимание на уже известные читателю особенности основных
уравнений движения сплошных текучих сред. Характерными чертами
большинства практически интересных задач являются многомерность и
нелинейность, из-за чего возможность их аналитического решения ста-
становится, по существу, нереальной. Даже в случае линейных задач воз-
возникают затруднения, если расчетная область имеет достаточно сложную
форму. К этому стоит добавить, что в решении могут встречаться особые
точки, а сами уравнения — менять свой тип (например, когда число М
становится равным единице). Поэтому вполне естественно, что общие
идеи, относящиеся к отысканию приближенных численных решений
уравнений, сразу нашли в задачах гидрогазодинамики самую благодат-
благодатную почву.
Численные методы широко используются для решения обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений, а также одномерных интегральных
и интегро-дифференциальных уравнений, к которым сводятся отдельные
задачи механики жидкости и газа. Однако самый значительный вклад
в гидрогазодинамику связан с применением численных методов к непо-
непосредственному интегрированию уравнений в частных производных, опи-
описывающих движение, тепломассообмен и более сложные физические яв-
явления в жидкостях и газах. В ряде случаев численное моделирование
становится основным способом исследования задач (движение тел с
космическими скоростями, в агрессивных средах и т. п.).
Развитие ЭВМ не обесценило традиционные аналитические подхо-
подходы, но несколько изменило их роль. Так, асимптотические методы, будучи
средством исследования предельных режимов течений, дают информа-
информацию о порядках величин искомых функций, масштабах их изменения в
тех или иных частях расчетных областей, необходимую для того, чтобы
постановка задач численного моделирования учитывала особенности
изучаемого явления. Аналитические решения, обычно относящиеся к
упрощенным частным случаям, имеют значительную ценность как «эта-
«эталоны» для оценки свойств разностных схем и точности численных реше-
решений.
Естественно, что в развитии численных методов возник ряд собст-
собственных проблем. Среди центральных находится вопрос об адекватности
численных результатов решению исходной задачи, особенно острый в
тех случаях, когда в уравнениях присутствуют малые параметры при
старших производных (например, I/Re).
В численных методах, ориентированных на задачи гидрогазодина-
гидрогазодинамики, к настоящему времени определился ряд направлений. Среди них
выделяются методы конечных разностей, «крупных частиц», конечных
элементов, интегральных соотношений, сеточно-вариационные и другие.
Что касается задач динамики вязкой жидкости, то здесь наибольшие
успехи связаны с применением метода конечных разностей, который и
будет рассматриваться далее. Этот метод выделяется простотой и уни-
лешко.
]) Настоящий и следующие два параграфа составлены по просьбе автора С. Б. Ко-
§ 102. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА 459
версальностью своих основ и может обеспечить высокую точность ре-
результатов.
В настоящем параграфе, помимо изложения некоторых общих пред-
представлений метода конечных разностей, дано краткое описание ряда кон-
конкретных методов этого направления, предназначенных для уравнений
Навье —Стокса движения несжимаемой жидкости. Следующие два па-
параграфа посвящены примерам численных решений внутренней (§ 103)
и внешней (§ 104) задач гидродинамики. Разумеется, в рамках малого
объема можно только обозначить основные представления метода и его
приложений, отослав читателя для основательного изучения этих вопро-
вопросов к специальным руководствам и оригинальным статьям1).
Сущность конечноразностных методов состоит в следующем.
1. Область непрерывного изменения аргумента заменяется дискрет-
дискретной, т. е. состоящей из отдельных точек (узлов). Расстояния между уз-
узлами называют шагами. Совокупность узлов составляет сетку, которая
может быть равномерной (с постоянными в каждом направлении шага-
шагами) или неравномерной.
2. Производится приближенная замена (аппроксимация) дифферен-
дифференциальных уравнений, граничных, начальных и других условий их раз-
разностными аналогами. Совокупность узлов, которым принадлежат вели-
величины, входящие в отдельные аппроксимирующие соотношения, образует
разностный шаблон. Множество таких алгебраических соотношений
дает разностную схему.
Содержание двух первых этапов составляет дискретизацию задачи.
3. В качестве приближенного решения дифференциальной задачи
принимается решение соответствующей разностной задачи — сеточная
функция в виде одно- или многомерной таблицы.
Разностная схема и ее решение зависят от шагов сетки, как от па-
параметров.
Далее кратко остановимся на некоторых основных понятиях и опре-
определениях теории разностных схем, в ряде случаев иллюстрируя изложе-
изложение простыми примерами.
1. Сходимость, аппроксимация, устойчивость. Следующим за введе-
введением разностной сетки этапом является построение аппроксимирующей
системы.
Существует несколько способов получения алгебраических соотно-
соотношений, которыми аппроксимируется исходная дифференциальная зада-
задача. Самый простой и наглядный способ состоит в том, что каждой произ-
производной непосредственно ставится в соответствие тот или иной ее раз-
разностный аналог. Часто пользуются на этой стадии различными полино-
полиномиальными аппроксимациями функций и другими более формальными
методами. Заметим, кроме того, что в качестве исходных объектов ап-
аппроксимации не обязательно должны выступать сами дифференциальные
1) Метод конечных разностей вообще и применительно к задачам механики жид-
жидкости и газа имеет обширную литературу. Отметим лишь некоторые монографии и учеб-
учебные руководства, в которых можно найти многочисленные ссылки и на другие источ-
источники: С а м а р с к и и А. А. Теория разностных схем — М Наука, 1983, Самар-
Самарский А А., Николаев Е. С Методы решения сеточных уравнений.— М.:
Наука, 1980; Map чу к Г. И. Методы вычислительной математики — М: Наука,
1980; Г о д у н о в С. К., Рябенький В С Разностные схемы Введение в теорию —
М.: Наука, 1973; Р и х т м а й е р Р., М о р т о н К Разностные методы решения краевых
задач.—М.: Мир, 1972; Б е л о ц е р к о в с к и й О М Численное моделирование в меха-
механике сплошных сред —М- Наука, 1984; КовеняВ. М, Яненко Н. Н. Метод рас-
расщепления в задачах газовой динамики — Новосибирск- Наука, Сибирское отд-ние, 1981;
Годунов С К. и др Численное решение многомерных задач газовой динамики—М.э
Наука, 1976; Роуч П Вычислительная гидродинамика.— М: Мир, 1980; Пей ре Р.,
Тейлор Т. Д Вычислительные методы в задачах механики жидкости.— Л.: Гидро-
метеоиздат, 1986.
460 ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА
уравнения. Можно использовать также и интегральные формы законов
сохранения физических величин (§ 21—24), записанные для ячеек се-
сеточной области.
Характерной особенностью аппроксимации является ее многовари-
многовариантность. Так, для аппроксимации одной лишь производной du/dx в не-
некотором узле xm=m Ax равномерной разностной сетки с шагом Д* могут
быть выбраны в соответствии с принятым шаблоном, например, следую-
следующие выражения (ит— значение сеточной функции в узле хт):
Дл- Да- 2Дл- 2Их
Зат — *ит-1 + "т-2 п "т — цт-»1 t /t „ч цт-ы "
(s — весовой коэффициент) и т. д.
При аппроксимации уравнений в частных производных количество
возможных вариантов многократно возрастает. В дальнейшем некото-
некоторые свойства разностных схем будет удобно пояснять на примере урав-
уравнений
ди . ди д2и t / i\ 11 ллч
где a(x,t) и f(x, t) —известные функции пространственной координаты
х и времени t> v — положительный коэффициент. Левая часть уравнения
A25), как следует из § 16, представляет собой индивидуальную (лагран-
жеву) производную от величины и, характеризующей жидкую частицу,
при движении последней со скоростью а вдоль оси Ох в нестационарном
неоднородном поле u(x,t). Функция f(x,t) имеет смысл заданного ш>
точника изменения и. Уравнение A26) дополнено членом —vc^a/djc1,
выражающим, обобщенно говоря, диффузионные явления (собственно
диффузию, теплопроводность, вязкость в зависимости от физического
содержания функции и). Первое уравнение относится к гиперболиче-
гиперболическому, второе — к параболическому типам.
Приведенные модельные уравнения схожи по виду с уравнениями
нестационарного одномерного течения идеальной [уравнение A25)] и
вязкой [уравнение A26)] жидкостей, с тем, однако, существенным упро-
упрощением, что множитель а в конвективном члене принят заранее извест-
известным (иногда даже постоянным). Указанное упрощение, снимая принци-
принципиальные трудности, связанные с нелинейностью уравнений гидродина-
гидродинамики, оставляет возможность оценивать на модельных уравнениях раз-
разностные схемы с точки зрения передачи ими тех или иных свойств, при-
присущих явлениям конвекции и диффузии.
Пусть для уравнений A25), A26) поставлена в области — оо<я<
<оо, 0<t^T задача Коши с начальным условием и(х, 0)=и{0)(х). Вве-
Введем в этой полосе прямоугольную равномерную сетку с шагами Дл: и Д/
и обозначим utn, anm /^ значения сеточных функций в узле сетки
Xm=mAxy tn=nAt. Предположим, что производная du/dt в узле xmy tn
аппроксимирована выражением (ип^1 — unm)lAt. Тогда дифференциаль-
дифференциальному уравнению A25) можно поставить в соответствие, например,
102. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
461
следующие алгебраические соотношения:
\-а
М
Ах
A27)
..п
At "*" m 2Ax Im
(m=0, ±1, ±2,...; n=Ot lt 2 T/At—l),
дополненные начальным условием и°т=и@)(хт). Соответствующие этим
схемам шаблоны показаны на рис. 168, а, б, в, г.
71+1
т-1 ГП 777 777+7 777-/ W ГП+1 771-1 VI
- - 71
Рис. 168
Для уравнения A26) в левые части аппроксимирующих выражений
войдет еще член, соответствующий второй производной д2и/дх2. Ее обыч-
обычно представляют в узле хт достаточно понятным выражением
А* V Дл- Ах J Да-2
В результате получатся разностные уравнения вида
\-ат v — :
At Ax Ах2
A28)
ит. п.
Выписанные алгебраические формулы непосредственно дают алго-
алгоритм определения сеточной функции ипт во всех узлах расчетной обла-
области. Действительно, положив п=0 и зная начальное распределение и^,
вычислим и1т для всех т (при t=At), затем и2т (при t=2At) и т. д. «по-
«послойно» вплоть до t=T.
Очевидно, что количество разновидностей аппроксимирующих соот-
соотношений легко увеличить, используя хотя бы иные варианты аппрокси-
аппроксимации производной ди/дх. Кроме того, пространственные производ-
производные можно было бы отнести не к «нижнему» временному слою tny а к
«верхнему» tn+i или же к некоторому промежуточному, вводя весо-
весофф ) д]д {
р
вые коэффициенты а
ру руу
например, ди]дх~ а{ипт — и^_г)
Такое многообразие видов аппроксимирующих соотношений, даю-
дающих, вообще говоря, весьма различные по своим особенностям разност-
разностные схемы, делает необходимым предварительную оценку схем. В ре-
результате этих оценок конструируется разностная схема, обладающая
свойствами, перечень которых во многом определяется классом рас-
рассматриваемых задач. Общие требования к разностным схемам, как пра-
правило, включают устойчивость вычислений к различным возмущениям и
определенную точность результатов при условии приемлемых затрат ре-
ресурсов ЭВМ. Разностную схему принято называть экономичной, если
452 Г Л XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА
количество операций ЭВМ, требуемых для ее реализации, пропорцио-
пропорционально числу узлов разностной сетки. Заметим, что приведенные схемы
были именно такими.
Физическую достоверность и точность решений обычно связывают
с наличием у разностной схемы некоторых свойств, аналогичных свой-
свойствам исходных уравнений (см. ниже о консервативности), а также с
выбором разностной сетки и схемных параметров, учитывающих особен-
особенности решения. Качества, выступающие на первый план в одних зада-
задачах, могут не играть значительной роли в других. Отметим, кроме того,
что построение разностной схемы может не сводиться (и чаще всего не
сводится) к простому арифметическому соединению разностных анало-
аналогов отдельных элементов исходной задачи.
Рассмотрим теперь свойство аппроксимации с более общих позиций,
а также определим два других фундаментальных понятия: сходимость и
устойчивость.
В теории разностных схем принято кратко и обобщенно записывать
математическую формулировку дифференциальной задачи, включая на-
начальные и граничные условия, в виде
Lu=U A29)
где L — дифференциальный оператор, и и /—соответственно искомая
функция непрерывного аргумента и заданная правая часть. Обозначение
L символизирует те операции над функцией и, которые предписаны диф-
дифференциальными уравнениями и дополнительными условиями задачи.
В той части, которая относится к уравнениям, оператор L для уравнения
A25) имеет вид d/dt + ад/дх, а для уравнения A26) d/dt + ad/dx—
—vd2/dx2.
Аналогично, разностная задача, поставленная в соответствие диф-
дифференциальной (аппроксимирующая последнюю), может быть записана
в виде
LhUw=^)y A30)
где Lh — разностный оператор, u{h) — сеточная функция [решение зада-
задачи A30)], f{h) — заданная правая часть, h — шаг сетки (совокупность
пространственно-временных шагов). Понятие разностного оператора
объединяет все алгебраические действия (относящиеся также к началь-
начальным и граничным условиям), посредством которых сеточная функция
u{h) преобразуется в f{h).
Самым естественньш требованием к приближенному решению u{h)
является его сходимость к и при измельчении шага h. Однако непосред-
непосредственному сравнению u{h) и и препятствует их различная природа: одна
функция определена на дискретном множестве точек, другая —на не-
непрерывном. В связи с этим приходится вводить еще одну функцию
[u\h — сеточный аналог и. Правила, согласно которым вводят [u]h, уста-
устанавливаются в зависимости от особенностей функции и. Так, для непре-
непрерывной и естественно определить [u]h как таблицу, составленную из
значений и в узлах сетки («проекция» и на сетку), а для разрывной —
как таблицу, содержащую среднеинтегральные значения и в окрестно-
окрестности каждого узла. Именно [u]h и рассматривается далее как искомое
точное решение («эталонная таблица»), с которым сравнивают решение
и^ задачи A30).
Говорят о сходимости решения u{h) к точному решению [u]h с k-vi
порядком точности относительно шага Л, если норма1) погрешности
]) Под нормой ||г(Л>|| сеточной функции г<Л> понимают неотрицательное число, ха-
характеризующее отклонение этой функции от нулевой во всех точках. В зависимости от
вида задачи используют те или иные определения норм. Так, в качестве нормы можно
применять \\т- *|| = max | z^ | — наибольшую по модулю компоненту z(h) или среднее
ТП,Т1
квадратичное значение от zih) по всем узлам сетки
§ 102 МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
463
[u]h—u{h) приближенного решения стремится к нулю при h-+0 как ве-
величина порядка hk:
Как видно, определение сходимости имеет асимптотический харак-
щ в то время как реальные вычисления ведутся с малыми, но конеч-
шми шагами. Поскольку значение постоянной с зависит от вида схемы,
то в отдельных случаях переход к схеме формально более высокого по-
порядка может и не дать при конечном h желаемого эффекта.
Непосредственная проверка сходимости, как правило, невозможна,
хотя бы уже потому, что неизвестна функция и. Поэтому установление
сходимости проводят в два этапа: через проверку аппроксимации и ана-
анализ устойчивости схемы.
Исследование аппроксимации проводится следующим образом.
Предположим, что в разностную схему подставлено точное решение, т. е.
сеточная функция [u]h (как будет ясно из дальнейшего, для оценки
аппроксимации не обязательно фактически располагать этой функцией).
В результате указанной подстановки получают невязку (погрешность)
аппроксимации
Если норма невязки стремится к нулю при /i->0, будучи при этом вели-
величиной порядка /i\ то схему называют аппроксимирующей исходную за-
задачу A29) на решении и с порядком ki относительно шага h.
Чтобы практически исследовать аппроксимацию, достаточно пред-
представить решение исходной задачи в виде разложения в ряд Тейлора по
степеням h около соответствующих узлов сетки.
Выясним для примера характер аппроксимации дифференциального
уравнения A26) разностным уравнением A28) в окрестности узла xm, tn.
Используя разложения
. А/2 д2и
2 Ы2
А/3 д3и
A31)
l,tn) = U(Xm, tn)±Ax^
дх
. Ал-2 д2и
2 дх2
определив [u]h выражением [u]h\ Xkjs =u(xk, ts) и приняв во внимание,
wou(x,t) удовлетворяет уравнению A26), получим после подстановки
A31) в схему A28):
h)\ __ ы
\t д2и
2 ~dF
д2и
хт^п
\ Ах2).
Отсюда видно, что если при Дх, Д/-Я) выполняется условие А/=гЛх
(r=const), то локальная (в окрестности узла) аппроксимация имеет
первый порядок по обеим переменным. Также легко установить, что схе-
схема с симметричной аппроксимацией производной ди/дх выражением
(ип —ип ,)/BДх) дает невязку порядка О (At, Ax2).
\ /rt+l /71—1
Проверка аппроксимации чаще всего не составляет большого труда;
в случае равномерных сеток достаточно убедиться в аппроксимации в
одной произвольной точке.
Может возникнуть впечатление, что если погрешность аппроксима-
аппроксимации стремится к нулю при Л->0, то это гарантирует сходимость решения
^соответствующей разностной задачи к точному решению [u]h. Одна-
Однако в общем случае это утверждение неверно.
4б4 ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
Дело в том, что входные данные задачи (правые части, коэффици-
коэффициенты, начальные и граничные условия) задаются с некоторой погреш-
погрешностью. Помимо этого, при вычислениях возникают ошибки округления.
Для одной и той же исходной задачи в зависимости от структуры раз-
разностной схемы начальные погрешности могут вести себя по-разному.
В устойчивых схемах не происходит нарастания указанных погрешно-
погрешностей. Наоборот, неустойчивые по начальным данным схемы увеличивают
случайные погрешности и ввиду лавинообразного характера этого явле-
явления непригодны для работы.
Устойчивая схема должна обладать свойствами однозначной разре-
шимости и непрерывной зависимости от входных данных. Второе требо-
требование означает, что малые изменения условий задачи должны вызывать
малые изменения решения.
Можно считать, что для схем, записанных в виде Lhu{h)=f{h\ вклю-
включающем, как уже говорилось, начальные и граничные условия задачи,
значения входных данных определяются правой частью f{h). Условие не-
непрерывной зависимости решения u{h) от входных данных f{h) для линей*
ных разностных задач означает, что u{h) должно быть того же порядка,
что и f{h):
ll
при любой правой части /(Л); с не зависит от h. Что касается нелинейных
задач, то для них пока отсутствуют общие способы исследования устой-
устойчивости. Априорную оценку устойчивости реальных нелинейных задач
вынужденно заменяют подобной оценкой для линейных аналогов этих
задач, имеющей, разумеется, лишь ограниченное значение. Достоверное
определение границ устойчивости возможно в этих случаях лишь в ре*
зультате численных экспериментов.
Для схем, соответствующих нестационарным задачам (уравнениям
гиперболического и параболического типов), наиболее распространен
спектральный метод оценки устойчивости. Об устойчивости схемы судят
по поведению решений специального вида — периодических по про-
пространственным переменным сеточных функций (так называемых гармо-
гармоник) *). Для часто встречающихся разностных схем типа
(/г, /i+l—временные индексы, /?л —линейный разностный оператор с
постоянными коэффициентами) собственные функции имеют вид ип =
*=xneiam (t2=—1, а — волновое число). Условие устойчивости заключа-
заключается в том, чтобы собственные числа — амплитуды каждой гармоники,
называемые также множителями перехода,— при переходе от tn к fn+1
возрастали не более чем в l + O (At) раз. На практике ограничиваются
просто условием невозрастания по модулю амплитуды каждой рассмат-
рассматриваемой гармоники.
Так, для схемы с разностью «назад» по х
С1
_J^L + a "" ""-' =0, a = const >0 A32)
At Ax
(первое из разностных уравнений A27) с опущенным источником f, ап-
аппроксимирующее с 1-м порядком точности по х и t уравнение A25) не-
невязкого движения) применение подстановки и^ =Xneiam дает
А, = 1 — х + ие'«, к = а— >0.
^^ Дат
1) Сеточные функции w(h) указанного вида являются собственными функциями ли-
линейных операторов L* с постоянными коэффициентами, т. е. LhU(h) = Xu(h\ а множители
X именуются собственными числами {значениями) в полной аналогии с определениями
гл. I.
§ 102 МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА 465
Схема устойчива при х<1. Устойчивость подобного типа называют ус-
устной, так как она имеет место при выполнении определенного условия
типа неравенства.
Для аналогичной схемы с разностью «вперед» по х
= о, a = const>0 A33)
+ а
М Ах
получается Х=1+к—xeia, и схема безусловно (т. е. при любых соотно-
соотношениях между А/ и Ддг) неустойчива.
Приведенные примеры показывают, что даже небольшие изменения
вида аппроксимации могут сделать схему неустойчивой и, значит, нера-
неработоспособной.
Подчеркнем, что если аппроксимация устанавливает соответствие
между разностной схемой и исходными дифференциальными уравнения-
уравнениями, то устойчивость является чисто внутренним свойством разностной
схемы и не связана с ее «происхождением».
Для линейных задач справедливо фундаментальное утверждение о
том, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость, причем
порядок точности сходимости k равен порядку аппроксимации kit
Укажем некоторые другие существенные свойства и особенности
разностных схем.
2. Консервативность. Исходные уравнения гидрогазодинамики могут
быть записаны как в обычной, так и в дивергентной (консервативной)
формах. В последнем случае, как уже отмечалось, все пространственные
производные выражаются в виде дивергенции соответствующих векторов
и тензоров. Для несжимаемой жидкости различие между этими форма-
формами ограничено представлением конвективных членов в виде (V-V)V или
V(VV). Одна форма сводится к другой при помощи уравнения нераз-
неразрывности.
Полезно вспомнить, что закон сохранения массы в виде d(p6x)/d/=0
учитывался при выводе дифференциального уравнения количества дви-
движения на стадии преобразования интеграла (§ 21):
что приводило к недивергентной форме конвективных членов.
d p
Другим вариантом преобразования интеграла Tj pV6t является
т
выделение локальной и конвективной производных и запись последней
в форме Эйлера (§ 24):
Tt IpV fiT=if Ipv бт +1pvVn8a=J [i?{pV) + v {pvv)] 6t>
t x a x
что приводит к дивергентному виду. Так, в прямоугольной декартовой
системе координат проекция на ось Охг безразмерных уравнений
Навье —Стокса несжимаемой жидкости запишется в обычной и в ди-
дивергентной формах соответственно:
dt dxk dxt Re
dxk dxt Re
(суммирование по k).
466 ГЛ. XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
Именно благодаря тому, что во втором случае конвективная произ-
производная выражена в виде переноса количества движения через замкну-
замкнутую поверхность (в дифференциальном варианте его заменяет диверген-
дивергенция тензора pVV), обеспечивается следующее свойство: после суммиро-
суммирования соотношений такого типа по нескольким смежным объемам оста-
остаются лишь потоки через внешнюю поверхность суммарного объема, а
потоки через соприкасающиеся поверхности смежных объемов взаимно
уничтожаются.
Подобное свойство можно придать и аппроксимирующей разностной
системе, полученной на основе дивергентной формы исходных диффе-
дифференциальных или интегральных соотношений.
Если при суммировании разностных уравнений по всем узлам сетки
получаются выражения, которые содержат только сеточные величины на
границах области, то такую схему называют консервативной. Ценность
данного свойства состоит в том, что разностные аналоги интегральных
законов сохранения, например теоремы Гаусса — Остроградского, вы-
выполняются независимо от шагов сетки. Так, разностный аналог расхода
среды через канал с непроницаемыми стенками будет одинаковым в лю-
любом поперечном сечении. Неконсервативная разностная схема, вообще
говоря, не обеспечит этого свойства.
Для многих типов задач наличие свойства консервативности весьма
существенно.
3. Дифференциальное приближение. Схемная вязкость. Если под-
подставить в разностную схему разложение функции непрерывного аргу-
аргумента в ряд Тейлора, приняв, что эта функция совпадает с решением и{Н)
в узлах сетки, и затем устремить шаг к нулю, то для аппроксимирующей
системы все «лишние» члены обратятся в нулъ, а оставшиеся образуют
исходную дифференциальную задачу. В том случае, когда после подста-
подстановки удержаны еще и главные (т. е. при наименьшей степени К) члены
погрешности аппроксимации, то получается первое дифференциальное
приближение. Если, кроме того, сохранить и слагаемые с /г в следующей
степени, то совокупность оставленных членов даст второе дифференци-
дифференциальное приближение и т. д. Очевидно, что о свойствах разностного ре-
решения можно судить на основании анализа дифференциальных прибли-
приближений, причем тем точнее, чем выше приближение.
Для примера приведем первое дифференциальное приближение для
схемы A32), считая At пропорциональным Ах:
ди , ди . М д2и а\х д2и ~ ,-~ .
dt дх 2 а/2 2 ал-2 ' '
Продифференцировав A34) по t, получим с точностью до величин по-
порядка Да:: d2u/dt2=a2d2u/dx2. Действительно,
д2и а ди а / ди , х
dt2 ~~ dt dt dt [ dx
д д'л % О t к \ d
dx dt дх v дх
Тогда уравнение A34) примет вид
ди , ди д2и
dt dx ' dx2
где усх=аДхA—х)/2, v.=a/
Видно, что первое дифференциальное приближение отличается от
исходного уравнения членом vcxdzu/dx2 в правой части. Множитель v^
естественно назвать коэффициентом схемной (сеточной) вязкости. При
х<1 vcx>0, и данный член оказывает сглаживающее влияние на реше-
§ 102 МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СРАВНЕНИИ НАВЬЕ - СТОКСА 4G7
ние, а при х>1 эффект отрицательной вязкости дестабилизирует вы-
числения, приводя к возрастанию ошибок.
Полученный результат имеет принципиальное значение. Обратим
внимание на то, что хотя само по себе разностное уравнение A32) по-
появилось в результате аппроксимации уравнения невязкого движения
Du/dt+adu/dx=O, поведение разностного решения, как это следует из
только что полученного дифференциального приближения, на самом
деле отражает свойства некоего воображаемого вязкого потока с коэф-
коэффициентом вязкости vcs. Этим обстоятельством объясняются многие осо-
особенности разностного решения, не имеющие места при движении физи-
чески невязкой среды и порой приводящие к неправильной трактовке
результатов расчета. Помимо упоминавшегося и наиболее существенно-
существенного для практики свойства сглаживания, отметим повышение энтропии и
другие более сложные проявления схемных диссипативных эффектов.
Для схемы A33) с разностью «вперед» по пространству при а>0
и любых соотношениях шагов vrx<0 — схема безусловно неустойчива.
Этот вывод совпадает с полученным спектральным методом.
Заметим, что если бы разностное уравнение учитывало физическую
вязкость среды v (как, например, уравнение A28), аппроксимирующее
дифференциальное уравнение A26) вязкого течения), то первое диффе-
дифференциальное приближение имело бы вид
Ь Я — = (v + vcx)
Ь Я ( + cx).
Ясно, что если vcx~v, то использование такой схемы эквивалентно рас-
расчету течения существенно более вязкой жидкости. Учет влияния схемной
вязкости выходит на первый план при больших числах Рейнольдса.
Надо также иметь в виду, что при решении уравнений с нелинейными
конвективными членами в выражение vcx войдет вместо заданной скоро-
скорости а искомая и, в связи с чем количественная оценка роли схемной вяз-
вязкости становится возможной лишь после решения разностной задачи.
4. Явные и неявные схемы. Приведенные схемы были явными, так
как они содержали лишь одну точку на верхнем (?=fnM) временном
слое и, таким образом, позволяли непосредственно вычислить неизве-
неизвестное un+l по известным ип на нижнем (t=tn) слое.
Явные схемы могут обладать только условной устойчивостью. Необ-
Необходимое условие устойчивости Куранта, Фридрихса и Леви
(КФЛ) требует, чтобы область зависимости решения разностной задачи
(т. е. совокупность узлов, содержащих величины, определяющие реше-
решение в этой точке) включала в себя область зависимости решения диф-
дифференциальной задачи.
Рассмотрим для иллюстрации уже исследованную разностную яв-
явную схему A32), аппроксимирующую дифференциальную задачу
Выясним, какова область зависимости решения разностной задачи в
узле A(Xm, tn+i) плоскости x,t. В соответствии, с шаблоном, показанным
на рис. 168, а, значение и^1 в точке А определяется величинами и1и
С-1 и fm на слое ^ и только ими. В свою очередь ипт определяется
Сит-ъ /т~\ a Un-i —значениями Ыт~ь "m~i, fnm-i на слое tn-i и т. д.
Рассуждая таким образом, придем к выводу, что область зависимости
решения в точке А составлена из узлов, попавших в область прямоуголь-
прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой АС, проходящей по диагоналям
ячеек, вертикальным катетом АВ (х=хт) и горизонтальным катетом
ВС—отрезком оси /=0 длины (n+l)&ty на котором поставлено началь-
начальное условие. На рис. 169, а показана такая область для п=2.
468
ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
С другой стороны, решение исходной дифференциальной задачи ги-
гиперболического типа, имеющей в плоскости х, t характеристики с угло-
угловыми коэффициентами dt/dx=a~\ можно представить в виде
Ах
п
/
/
А
/
/
/
1
> •>¦
>
/
/
/
/
/
/
/
1
N
N
*»-ч
tt —А
a)
d в
D В
С х
Рис. 169
где функция x(t) дает закон движения выделенной частицы, л;о=;г@),
а интегрирование проводится вдоль характеристики. Таким образом, об-
область зависимости решения дифференциальной задачи в точке А пред-
представляет собой отрезок соответствующей характеристики между осью
/=0 и этой точкой. Для случая a=const характеристики являются пря-
прямыми; на рис. 169, а характеристика AD показана штриховой линией с
угловым коэффициентом
tg y= l/a>0. Непосредст-
Непосредственно видно, что условие
КФЛ {AD находится в пре-
пределах треугольника ABC)
выполняется для рассмот-
рассмотренной схемы при tgY^
^At/Ax (условная устойчи-
устойчивость), что как раз совпа-
совпадает с встречавшимся уже
условием х = аД?/Дх^1.
Треугольник ABC зави-
зависимости решения разност-
разностной задачи для аналогичной
схемы с разностью «вперед»
тю х (второе из соотношений A27) с шаблоном, изображенным на
рис. 168, б) показан на рис. 169, б; как видно, при а>0 условие КФЛ
не выполняется ни при каких соотношениях между At и Ах (безуслов-
(безусловная неустойчивость). Если а<0, то, наоборот, безусловно неустойчивой
станет предыдущая схема.
Примем для простоты /=0. Тогда при a=const дифференциальное
уравнение A25) описывает распространение простой волны, когда фик-
фиксированная форма начального возмущения и{0)(х) смещается как одно
целое со скоростью а вдоль оси Ох, а значения функции и(х, t) постоян-
постоянны вдоль характеристик. Интересно выяснить, в какой степени отража-
отражает условно устойчивая схема A32) это свойство решения дифференци-
дифференциальной задачи.
Если положить в схеме х=1, то диагональ сеточной ячейки АС сов-
совпадет с характеристикой AD (рис. 169, а), а из соотношения
= A - х) ипт + шпт_х будет следовать ип^ = и^ = ... = Н)
т. е. разностное решение точно передает распространение простой вол-
волны. Однако проводить вычисления на верхней границе устойчивости уда-
удается редко. Так, если коэффициент а и вместе с ним K=aAt/Ax пере-
переменны на данном временном шаге, то неизбежно имеются узлы, где
х<хтах^1. Тогда, как ясно из предыдущего, область зависимости реше-
решения в данном узле включает не одну, а несколько точек при ?=0, что
уже не соответствует свойствам дифференциальной задачи.
Чтобы количественно оценить влияние х, рассмотрим изменение во
времени кусочно-постоянного («ступенчатого») начального профиля
и°ш : и°т= 0 ПРИ m ^ 0, и°т = 1 при т > 0. Замечая, что
= A - *) К
^ = A - XJ
+3A- хJ
2 A - X) Ш»-\ +
+ 3 A - х) хЪ«
§ 102. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
469
и полагая для примера я=2, вычислим сеточную функцию для значений
схемного параметра х=1, 0,9 и 0,7, сведя результаты в таблицу:
Номер
слоя
3
2
1
0
т
—1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0,001
0,027
0
0,010
0,090
0
0,100
0,300
1
2
0
0,028
0,216
0
0,190
0,510
1
1
3
0
0,271
0,657
1
1
1
4
1
1
1
1
5
1
1
1
1
В тех клетках, где решение при данном и*т зависит от х, помещены три
числа: верхнее — для х=1, среднее — для х=0,9, нижнее — для х=
=0,7. Видно, что численный расчет при х<1 сглаживает профили #?,
причем тем сильнее, чем больше отличается х от единицы, а также что
ширина области «размазывания» градиентов на фронте ступеньки на
каждом временном слое увеличивается на Ах. Вспоминая, что vcx про-
пропорционален 1—х, легко интерпретировать описанные свойства числен-
численного решения как проявления действия схемной вязкости.
Выполнение условий устойчивости на практике часто приводит к
неоправданному потребностями точности уменьшению шага At. С дру-
другой стороны, условия устойчивости содержат параметры дискретизации,
а не только исходной задачи. В связи с этим возникает проблема по-
построения разностных схем, для которых условия устойчивости в меньшей
степени ограничивают шаг At или вовсе отсутствуют (в последнем слу-
случае схемы называют безусловно устойчивыми). Такими соображениями
оправдано появление неявных схем.
Обратимся вновь к гиперболической задаче du/dt + adu/dx=Qy a=
=const. Аппроксимируем ее разностным уравнением
д/
Дл-
отличающимся от A32) только тем, что во втором члене разности взяты
на верхнем слое tn+l (шаблон изображен на рис. 168, г). Спектральный
метод дает |Х|~2=1+2х sin2(a/2) + x2sin2a. Поскольку |А,|<1 при лю-
любых и>0, то схема при а>0 безусловно устойчива.
В неявных схемах несколько неизвестных алгебраически связаны
между собой. Высокая устойчивость таких схем приобретается ценой
усложнения алгебраической стороны задач, особенно многомерных и
нелинейных. Что касается нелинейных разностных уравнений, то их ре-
решение, как правило, проводится методом итераций. Однако даже реше-
решение линейных (или ставших таковыми на данной итерации) многомер-
многомерных сеточных уравнений требует большого числа арифметических дей-
действий. Для вычисления un+l применяют различные варианты метода про-
прогонки или используют приемы, приближенно сводящие многомерную
задачу к набору одномерных.
470 ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА
Поясним метод решения разностных уравнений, называемый про-
прогонкой, на примере простейшей, но достаточно типичной одномерной
краевой задачи. Пусть в узлах хт (т=0, 1, ..., М) определена неиз-
неизвестная сеточная функция ит, удовлетворяющая во внутренних точках
аппроксимирующим трехточечным соотношениям
(m=l, 2, ..., М — 1; am, bm> cm — известные коэффициенты, /m — извест-
известные правые части уравнений) и граничным условиям uo=Uo> uM=U^
Решение этой задачи как системы общего вида при больших М доста-
достаточно трудоемко. С учетом вида системы представим ее решение в виде
двухточечных соотношений
m=0, I, ..., M—l9
что приводит после подстановки в исходные уравнения к рекуррентной
связи между прогоночными коэффициентами Ат, Вт
А ст о F a^
rim — " "~Г~ » Dm —
A + Ь
Г » Dm ;7
amAm-i + Ьт атАт-1 + Ь
Так как из условия uo = Uo следует Л0=0, B0=U0, то можно на основе
этих формул последовательно найти А{, Ви ..., Ам-и BM-t (этап «пря-
«прямой» прогонки). Затем, зная прогоночные коэффициенты и используя
второе граничное условие uM=UM, вычислим в порядке убывания ин-
индексов uM-i, им-г,..., и{ (этап «обратной» прогонки).
Если, как и предполагалось, в каждом узле хт определено одно
число иту то прогонку называют скалярной. Если же величины ит, ат>
bmj cm, fm обозначают матрицы той или иной размерности, то аналогич-
аналогичные по смыслу операции именуют матричной прогонкой.
5. Схемы, основанные на методе установления. Предыдущие схемы
относились к уравнениям, описывающим нестационарные процессы. Од-
Однако и для решения задач в стационарной постановке Lu=f (оператор
L содержит только производные по пространственным переменным)
часто предпочитают пользоваться аппаратом, развитым для нестацио-
нестационарных задач. Для этого к уравнениям добавляют частные производные
по времени от искомых величин, переводя задачу в класс гиперболиче-
гиперболических или параболических. Стационарное поле величин получается как
предел, к которому стремится при больших t решение нестационарной
задачи. Такой подход, являющийся по существу итерационным, и назы-
называют методом установления. Примеры применения этого метода встре-
встретятся в дальнейшем.
Конструирование схем установления предполагает большую свобо-
свободу действий в обращении с производными по времени, чем при решении
собственно нестационарных задач, поскольку при установлении эти чле-
члены обратятся в нуль. Величина шага Д? определяется уже не точностью
расчета временных зависимостей, а только быстротой сходимости к
стационарному решению. В связи с этим более оправданным становит-
становится применение неявных схем.
Перейдем теперь от общих вопросов к выяснению тех свойств урав-
уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости, которые предопределяют
постановку и особенности их численного решения.
Поскольку эти уравнения содержат оператор Лапласа от проекций
скорости, то сами уравнения относятся к эллиптическому или параболи-
параболическому типам соответственно для стационарных или нестационарных
задач. Это же определяет и постановку граничных условий для скоро-
скорости— на всем контуре расчетной области, как, например, для темпера-
температуры в задачах о распространении тепла в теплопроводящей среде. Но
задачи о движении вязкой жидкости значительно сложнее последних.
$ 102. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА 471
Дополнительные проблемы заключаются не только в нелинейности, но
и в присутствии в уравнениях движения еще одной неизвестной функции,
определяющей характер силового поля — гидродинамического давления.
В структуре уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости дав-
давление занимает особое место.
В отличие от задач о течении сжимаемой среды, давление не может
быть выражено в этом случае через какие-либо другие физические пере-
переменные. Так как в системе нет частной производной от давления по вре-
времени, то для него нельзя сформулировать задачу с начальными условия-
условиями и непосредственно применить метод установления. Действительно,
если наряду с начальным распределением скорости со свойством
divV(x, {/, z\ to)=0 все-таки задать некоторое поле давления р(ху уу г)
при t=tOt то из уравнения движения можно будет найти dV/dt и, следо-
следовательно, скоростное поле в следующий близкий момент времени to + dt.
Однако эта функция уже не будет, вообще говоря, подчиняться уравне-
уравнению неразрывности div V(xy у, z\ to + dt)=Q. Отсюда следует, что поле
давления должно формироваться в каждый момент времени так, чтобы
обеспечивать постоянную соленоидальность поля скорости (отсутствие
источников или стоков). При построении разностных схем именно этот
аспект задачи диктует применение ряда специальных приемов.
Поскольку давление входит в уравнение под знаком градиента, то
оно определяется с точностью до произвольной постоянной. Задание этой
постоянной (выбор уровня отсчета) в принципе должно быть единствен-
единственным граничным условием для р. Вместе с тем при численном решении
ряда задач иногда используются и другие комбинации условий для ско-
скорости и давления.
В основе решения лежит, как правило, одна из двух форм записи
уравнений: а) в переменных функция тока — вихрь и б) в «естествен-
«естественных» переменных скорость — давление. Подробный сравнительный ана-
анализ каждого направления приведен в цитированной книге П. Роуча.
В первой группе методов давление исключают из системы посредст-
посредством операции вихря, т. е. используют уравнение переноса завихренности
(§94). В случае двумерных течений остается только одна компонента
fi=rotV, а уравнение несжимаемости выполняется благодаря введению
функции тока -ф.
Приведем соответствующие уравнения в безразмерной форме для
плоского движения:
д< дх ^ ду Re i ад-2 дуЧ ' К '
Af*L) A36)
дх ду дх \ дх J ду \ ду
Применяется и консервативная форма с записью конвективных членов в
w№ d(uQ)/dx + d(vQ)/dy. Система двух полученных уравнений с двумя
неизвестными состоит из параболического уравнения переноса вихря
A35) и эллиптического уравнения Пуассона A36) для функции тока.
Новой задачей является определение отсутствующего в физической
постановке граничного условия для вихря на твердой стенке. По сути,
при использовании переменных Q и -ф это условие является приближен-
приближенным эквивалентом обычного условия прилипания. Рассмотрим для при-
примера вывод приближенных разностных условий для вихря на твердой
поверхности у = 0 при выполнении условий прилипания uo = vo = O, $0 =
=const. Раскладывая г|э в ряд Тейлора по направлению у около стенки
(tfj —значение я|) при у=Ау)
ду
472
ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СГОКСА
и принимая во внимание, что (д\р/ду)о = О, (d2ty/dy2H=—Qo, получим
условие Тома первого порядка точности
йо = — ЛТ • A37)
Если выписать в разложении следующий член ряда -^- (^Л и
6 \ ду* H
учесть, что
то можно прийти к формуле Вудса второго порядка точности
A38)
Возможны и другие варианты граничных условий для Q на стенке1).
а)
Рис. 170
Порядок численного решения системы A35), A36) следующий.
Пусть при t=tn известны сеточные функции Qn, i|)n, un> vn. Тем или иным
способом аппроксимируются производные, входящие в параболическое
уравнение A35). Предположим, например, что применена явная схема
первого порядка относительно At
' ~~ Qn ¦ = — (Vn. V) Qn + 4~ V2qW A39)
At
Re
с шеститочечным шаблоном, изображенным на рис. 170, а; для кратко-
краткости приняты условные обозначения для разностных аналогов простран-
пространственных производных, совпадающие с обозначениями обычных произ-
производных.
Соотношения A39) дают значения Qn+1 при tn+i = tn-\-At во вну-
внутренних узлах сетки и одновременно правую часть сеточного уравнения
Пуассона A36), предназначенного для определения i|)n+1. Это уравнение
с необходимой точностью решается одним из многочисленных методов
(прямым, итерационным, установления). Далее численным дифферен-
дифференцированием я|)п+1 вычисляются un+i и vn+i [например, с использованием
симметричных разностей: un+i (xm, yr) = и^1 = (ф^+1 — 4)S^iL1)/BAy)l
и по формулам A37) или A38)—значения завихренности Qn+1 на гра-
границе области, необходимые для следующего временного шага.
В том случае, когда уравнения используются в рамках метода ус-
установления, не обязательно решать уравнение Пуассона A36) на каж-
1) См., например: Грязнов В. А., Полежаев В. И. Исследование некоторых
разностных схем и аппроксимирующих граничных условий для численного решения урав-
уравнений тепловой конвекции.— Препринт ИПМ № 40, 1974; Тарунин Е. Л. О выборе
аппроксимирующей формулы для вихря скорости на твердой границе при решении за-
задач динамики вязкой жидкости.— Численные методы механики сплошной среды, 1979,
т. 9, № 7.
§ 102 МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА 473
дом шаге At с высокой точностью, а достаточно ограничиться малым чис-
числом итераций.
Условие устойчивости явных схем сильно ограничивает величину
шага At. Последнюю можно значительно увеличить, если обратиться к
неявным схемам. Такова, например, схема первого порядка точности по
времени
M ' Re
(ее шаблон для Q показан на рис. 170, б). Схема линейна благодаря
тому, что скорость в конвективном члене взята на нижнем слое. Непо-
Непосредственные вычисления по схеме A40) затруднительны, так как, во-
первых, требуется обращение блочно-трехдиагональной матрицы, а во-
вторых, необходимо иметь значения Qn+l на границе области, которые в
свою очередь зависят от г|)п+! — решения уравнения Пуассона A36).
Вычисления значительно упрощаются, если использовать двухслой-
двухслойные неявные схемы метода переменных направлений или расщепления,
что сводит задачу к скалярным прогонкам. Так, схема переменных на-
направлений для Q имеет вид
ТТ& ,A41)
М/2 дх ду Re \ дх2 ду2
* ~Q — = ип АопЛ%/г ьп — Ол+1 4- — ( — пп+Уш -4--^- Qrt+1 \
М/2 дх ду Re V ^а ду2 )
Общая идея приведенной схемы переменных направлений заключа-
заключается в том, что для двумерных задач переход от слоя tn к слою tn+l
делается в два этапа с шагами At/2: сначала от /л к tn+l/2=tn + At/2 и
затем от tn+m к ^„+1. На первом этапе производные от неизвестных вели-
величин по одной пространственной переменной (например, по л:) аппрокси-
аппроксимируются неявно (т. е. на слое tn+i/2), а производные по у — явно (на
слое /п); вычисления заключаются в скалярных прогонках Qn+U2 вдоль
отрезков #=const. На втором этапе неявно (на слое /п+1) аппроксими-
аппроксимируются уже производные по у, а производные по х — явно (на слое
/n+i/г), что требует скалярных прогонок Qn+i вдоль отрезков A' = const.
Схема A41) имела бы второй порядок точности по времени, если бы
не использование значений ип, vn в конвективных членах. Кроме того,
по-прежнему остаются затруднения с граничными условиями для вихря
на слоях tn+i/2, tn+i,f которые преодолеваются итерационным путем.
По известным ип+\ vn+i можно найти, если это представляет инте-
интерес, сеточную функцию pn+i. Непосредственное определение pn+l через
его градиенты, вычисленные на сетке из уравнения движения, привело
бы к результатам, зависящим из-за различных погрешностей от пути
численного интегрирования. Поэтому предпочтительнее находить давле-
давление из уравнения Пуассона для р, полученного путем применения опе-
операции дивергенции к векторному уравнению движения
(V)[(V)V\ + FV).
ot Ke
Полагая V-V=0 и преобразуя второе слагаемое справа, получим
[дхду дхду) I дх2 ду2 \дх ду J J
Поскольку после дифференцирования повысился порядок производных
от давления, то для замыкания задачи приходится привлекать в качест-
качестве дополнительных условий сами исходные уравнения. Обычно на гра-
474 ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
нице области ставят условия Неймана, проектируя уравнение движения
на нормаль к границе.
Обобщение данного подхода на трехмерное течение значительно
усложняет задачу. При использовании векторного потенциала V=rott|>
число скалярных уравнений возрастает до шести. Поэтому целесооб-
целесообразнее рассчитывать пространственные течения на основе переменных
«скорость — давление». Такой подход лучше приспособлен и для расче-
расчета потоков с поверхностями раздела.
При обращении к «естественным» переменным основной вопрос со-
состоит в разработке такого способа определения давления, который до-
достаточно эффективно обеспечит соленоидальность поля скорости.
Будем исходить из системы разностных уравнений первого порядка
по времени
+(Vn .V)Kn--^-V2Krl + Vp = Q> V.Kn+1 = 0, A42)
в которой опять приняты условные обозначения для разностных опера-
операторов, совпадающие с обозначениями соответствующих производных, и
предполагается явная схема для уравнения движения. Подобно тому как
это имело место при использовании переменных Q и г|з, возьмем опера-
операцию дивергенции (точнее, ее разностный аналог) от обеих частей урав-
уравнения движения, т. е. вновь обратимся к уравнению Пуассона для р:
Хv v v .[(Vя -V)Vn]-{—-Va(V -Vя).
[(V )]{
Полагая в первом члене правой части V-Vn+t = 0 и решая получившееся
уравнение
f^ i Vя), A43)
/\t К©
дополненное упоминавшимися выше граничными условиями, мы должны
получить как раз такую функцию р, которая после ее подстановки в
уравнение движения A42) дает соленоидальное поле Vn+1 на новом вре-
временном слое.
Подчеркнем, что если в методах, использовавших переменные Q и
гр, давление было «пассивной» функцией, рассчитываемой на основе уже
известного при t=tn+i поля скорости и не связанной ни с предыдущим,
ни с последующим вычислительным процессом, то теперь, несмотря на
известное сходство формул, ситуация в принципе иная. Именно точ-
точностью определения поля р из уравнения A43) обусловлена точность
выполнения условия V- Vn+1s==0.
Уравнение A43) чаще всего решается с помощью итераций или ме-
методом установления и, следовательно, выполняется с некоторой погреш-
погрешностью. Кроме того, при постановке граничных условий (проекций урав-
уравнения движения на нормаль к контуру) может возникнуть определен*
ное разностное несовпадение с уравнениями во внутренних узлах. В ре-
результате на каждом временном шаге разностный аналог уравнения
неразрывности выполняется также с погрешностью. Для устранения
возможного накопления погрешностей и неустойчивости, вызванных этим
явлением, следует учитывать фактическую величину дивергенции ско-
скорости на предыдущем временном слое1). Для этого надо сохранить пер-
первый и последний члены в правой части / уравнения A43).
1) Наг lo w F. Н., Welch J. E. Numerical calculation of time-dependent viscous
incompessible flow of fluid with free surface.— Phys. of Fluids, 1965, v. 8, № 12, p. 2182—
2189.
§ 102 МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА 475
Таким образом, определение сеточной функции Vn+i no Vn прово-
проводится по явной схеме в следующем порядке. Во внутренних узлах рас-
четной области вычисляются по формулам A43) значения /. Далее ре-
решается разностное уравнение Пуассона с граничным условием Неймана
:i определяется давление. После этого на основе разностных проекций
уравнения движения рассчитывается Vn+i.
Усовершенствованием этого метода является применение так назы-
называемого физического расщепления*). В соответствии с идеей этого мето-
метода решение задачи A42) разбивается на два этапа.
На первом этапе учитываются только конвективные и вязкостные
злены, что дает вспомогательную сеточную функцию V:
v ~ v l (Vn . V) Vn — V2Vn = 0 П44)
M v Re ' v '
Сопоставление уравнений A42) и A44) приводит к связи между Vn+1,
уп+1 у ^
1-V/? = О, Vn = V — AtVp. A45)
м r v '
Таким образом, второй этап заключается в добавке к V такого потен-
потенциального вектора (—A/Vp), который обеспечит соленоидальность функ-
функции Vn+1. Для этого следует подчинить р условию
V .Vn+1=V V — Д/У2р=0,
т.е., как и прежде, решить уравнение Пуассона для давления
V2 =V '^
Как видно, в данном подходе благодаря введению сеточной функции V
общий объем вычислений сокращается по сравнению с изложенным вы-
выше. Условие для давления по-прежнему формулируется в виде проекции
уравнения движения на нормаль к границе.
Существует несколько вариантов этого подхода, различающихся
главным образом постановкой разностных граничных условий. Возмож-
Возможны более существенные модификации метода, не требующие непосред-
непосредственного решения уравнения Пуассона для давления, но по сути близкие
к описанным. Один из таких итерационных методов можно назвать мето-
методом последовательных потенциальных добавок.
Рассмотрим переход от слоя tn к слою tn+l. Определим последова-
последовательный ряд функций V@), VA), ..., V(ft), V(ft+i), ..., приближающих неиз-
неизвестную скорость Vn+1, равенствами вида
(Vn • V) Vn — — V2Kn + Vp<k) = 0, A46)
+ ( )
содержащими некоторые функции p{h). Тогда (&+1)-е приближение вы-
выражается через k-e по формуле
A47)
Величины 6р подчиним условию
8p{h+i) = p^k+l)—p{k)= — TV. V(ft), 'A48)
означающему, что поправки к предыдущему распределению давления
l)ChorinA J Numerical solution of Navier — Stokes equations — Math. Com-
put., 1968, v. 22, p 745—762.
476 ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТСКСА
пропорциональны (с некоторым коэффициентом (—^), где ^>0) от-
отклонению поля скорости от соленоидальности, т. е. давление в случае
источника (V-V>0) должно уменьшаться, а в случае стока (V«V<0)—
увеличиваться.
Конвективные и вязкостные члены считают один раз — при опреде-
определении V@) по формуле A46); начальное приближение давления р@) мо-
может быть достаточно произвольным. Далее многократно используются
формулы A47) и A48) до сходимости с требуемой точностью. Это эк-
эквивалентно определению с той же точностью соленоидальной функции
Vn+1=V(e), удовлетворяющей равенству
n. v) vn — — v*vn+ v (V°) + 28p{r))=
Re
s
где р@) + 2 ^(г) представляет собой искомое давление, соответствую-
щее переходу от tn к /п+1.
Если для решения стационарной задачи воспользоваться методом
установления, то итерация примет вид временного шага, а итерационное
соотношение A48) для приращения 8р можно трактовать как разност-
разностный аналог нестационарного дифференциального уравнения
dt
или
A49)
где Л>0 — параметр, выбор значения которого позволяет влиять на
быстроту сходимости итерационного процесса.
В рамках метода установления, как уже отмечалось, целесообразно
применение неявных схем расщепления. Для пояснения сути метода
кратко запишем исходную систему, состоящую из проекций уравнения
количества движения и уравнения неразрывности в форме A49), в
виде
где U — столбец с компонентами Vu V2i VSi p\ L — пространственный
оператор.
Запишем для этой системы неявную разностную схему первого по-
порядка по t, аппроксимировав каким-либо образом пространственные
производные:
или
(E+AtLn)Un+i = Un,
где множители в конвективных членах взяты на слое tn, на что указы-
указывает значок п в обозначении Ln; E — единичный, т. е. обладающий свой-
свойством EU=U, оператор.
Непосредственное решение данной задачи затруднено ее многомер-
многомерностью. Выше рассматривался метод переменных направлений, сводя-
сводящий многомерную задачу к набору одномерных. В последние годы для
решения многомерных задач широкое распространение получил метод
расщепления1). В соответствии с идеей этого метода приближенно за-
1) См., например, указанную в начале настоящего параграфа монографию В.М. Ко-
вени и Н. Н. Яненко.
§ 103. ПРИМЕР ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ЗАДАЧИ 477
меним оператор E+AtLnt действующий на неизвестную функцию 1/л+!,
з
произведением \\(E+AtLns)9 в котором L? (s=l, 2, 3) — операторы,
S=l
содержащие производные только по х8\ Ln= L" + L% + L". Благодаря
тому, что оператор теперь представлен произведением одномерных one-
раторов, разностная схема
(Е + AtLl) {Е + AtLn2) (Е + МЫ) Un+l = Un
легко разбивается на три подсистемы. Действительно, введя промежу-
промежуточные сеточные функции U{i\ Ui2) и приняв для удобства обозначения
рт=(/п+1, и{0) = ип, будем иметь
(Е + AtLns) U{s) = U{s-1] (s = 1, 2, 3; no s не суммировать),
т. е. три одномерные задачи, каждая из которых содержит только ана-
аналоги производных по одному направлению ха. Функции ?/A), f/B), U{3)
определяются в порядке возрастания номеров.
Особенностью данной схемы расщепления является зависимость ре-
результата установления от At, что непосредственно видно из развернутой
записи системы
M
At (Ж + L\Ll + Ln2Lnz) Un+1 + №Ln1Lnj?Un?1 = 0.
От этого недостатка легко освободиться, если сформулировать задачу
для определения не самой функции Un+i, а временного приращения
д[/п+1=Gп+1—Un. Для разностной задачи
At
или
(E+AtLn)AUn+i=— AtLnUn
приближенно представим оператор Е+AtLn так же, как и выше. Обозна-
Обозначая теперь U{0)=—AtLnUn, U{3) = AUn+l и вводя две промежуточные
функции ?/A) и ?/B), придем в этих обозначениях к трем одномерным за-
задачам прежнего общего вида. Развернутая запись схемы
показывает, что при установлении (Un+i = Uny AUn+i=0) получается,
независимо от Д^, решение разностного аналога стационарной задачи
И/=0.
В следующих двух параграфах изложенные здесь некоторые общие
положения и методы решения уравнений гидродинамики найдут приме-
применение для конкретных задач динамики вязкой несжимаемой жидкости.
§ 103. Пример численного решения внутренней задачи:
циркуляционное течение в каверне
Внутренние задачи динамики вязкой жидкости обычно представля-
представляются более простыми, чем внешние, поскольку для них отсутствуют ус-
условия на бесконечности. Последние при численном решении ставятся на
достаточно большом конечном расстоянии R от тела, и выбор величины
R влияет на точность решения. В то же время и для некоторых классов
внутренних задач (например, для течений в каналах) возникают сход-
сходные проблемы, когда приходится формулировать граничные условия
вниз по потоку от начального сечения.
478 ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
Возьмем в качестве примера уже классическую модельную задачу о
плоском стационарном течении в прямоугольной полости (каверне) с
верхней стенкой, движущейся в своей плоскости с постоянной скоростью
Uo (рис. 171). Жидкость, целиком заполняющая каверну, вовлекается в
движение силами вязкости. Такая постановка, будучи геометрически
крайне простой, позволяет отразить многие характерные черты задач,
описываемых уравнениями Навье — Стокса: конвективную нелиней-
нелинейность, различные соотношения между инер-
инерционными и вязкими силами, одновременное
существование областей малых и больших
градиентов и т. п., благодаря чему задача о
каверне широко распространена в качестве
«тестовой» при численном моделировании.
Рассмотрим далее особенности постанов-
постановят ки и некоторые методы, используемые для
решения задачи о каверне, а в конце пара-
параграфа обратимся к результатам решения.
рис 171 Примем за масштабы входящие в поста-
постановку задачи длину L и скорость Uo; тогда
масштабами функции тока и вихря будут LUU
и Uo/L. Таким образом, единственным критерием подобия является чис-
число Рейнольдса Re=?/0L/v, а геометрическим параметром задачи — ве-
величина H=H/L.
Для численного исследования течения в каверне применяются как
переменные «вихрь — функция тока», так и переменные «компоненты
скорости — давление». В первом случае система состоит из уравнения
переноса вихря A35) и уравнения Пуассона для функции тока A36).
Граничные условия для г|) являются нулевыми на всем периметре, так как
все четыре стенки непроницаемы для жидкости. Приближенные условия
для вихря Q на твердой непроницаемой границе были получены в § 102
[формулы A37) и A38)]; в случае подвижной стенки в них вносятся
естественные изменения. Так, разложение г|) в ряд Тейлора около верх-
верхней границы с учетом безразмерного условия (dty/dy)N=l вместо преж-
прежнего д$/ду=О дает аналог условия Тома первого порядка точности:
где индексы N, N—1 соответствуют точке на подвижной стенке и бли-
ближайшей к ней точке на нормали.
Введем равномерную сетку с узлами x{=iAx (* = 0, I, ..., Af=
— I/Ax); yj=]'Ay (/ = 0, 1, ..., N=H/ky). Ограничимся пока простей-
простейшими симметричными аппроксимациями второго порядка точности всех
пространственных производных
A51)
Записав во внутренних точках (/=1, 2, ..., М—1; /=1, 2, ..., N—1)
2(М—l)X(N—1) разностных соотношений, аппроксимирующих стацио-
стационарную задачу A35) и A36), и присоединив к ним указанные разност-
разностные граничные условия для if и Й, получим замкнутую алгебраическую
систему, содержащую, очевидно, произведения компонент неизвестных
сеточных функций Q(j и фу. Нелинейность делает невозможным прямое
решение этой системы и заставляет обращаться к итерациям. Но даже
§ 103 ПРИМЕР ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ЗАДАЧИ 479
если и отвлечься от нелинейности, считая, например, на данной итерации
значения \|^ в уравнении переноса вихря известными, то непосредствен-
непосредственное определение Qi} из-за двумерности будет весьма трудоемким. Можно
огранизовать итерационный процесс, избрав для решения стационарной
задачи метод установления. Для этого в уравнения A35) и A36) надо
включить соответственно dQ/dt и dty/dt, придав итерациям форму вре-
временных шагов. Подобный подход на основе явной схемы, когда, напом-
напомним, пространственные производные берутся на нижнем временном слое
tn=nkt, был применен для решения данной задачи в 1965 г. Л. М. Си-
муни1).
Т. В. Кускова2) использовала неявную схему переменных направле-
направлений первого порядка точности по времени (см. § 102):
/ д\|? \п / дп \п+1/* , ( dty \п ( дп \п .
= ~~\ду~) \1ь) \д7) \di)
)-1, / —_____ \ I
A52)
A/i/2
A<i/2 \ ду J ( дх) + ( дх ) { ду )
At2/2 ~ [дх2 ) \ ду2 )
АУ2 (l?J +i^J +Q *
Здесь верхние индексы, как и прежде, относятся к временным слоям;
д/„ Д?2 — временные шаги (итерационные параметры). Для краткости
записи сохранены обычные обозначения пространственных производных
для соответствующих аппроксимирующих выражений. Как видно из
A52) и A53), вычисления при указанных аппроксимациях заключаются
в скалярных трехточечных прогонках вдоль отрезков у=const и х=
=const. Сначала из соотношений A52) по известным Qn и i|)n опреде-
определяются в два этапа новые значения вихря Qn+1, а затем на основе Qn+i и
f находится по A53) функция тока -фп+1. Итерации прекращаются при
достижении требуемой точности сходимости к решению стационарной
аппроксимирующей системы:
HQn+1—
Если же рассматривать нестационарные (эволюционные) течения,
то характер проведения итераций изменяется. Величина Д^ приобретает
смысл интервала физического времени, a &t2 сохраняет значение итера-
итерационного параметра. После перехода от Qn к Qn+1 на основе уравнений
A52) делаются внутренние итерации в системе A53) до решения с тре-
требуемой точностью уравнения Пуассона, вслед за чем обращаются к сле-
следующему шагу Д*! по времени и т. д.
Как способы аппроксимации конвективных членов в уравнениях
A35), A36), так и методы решения стационарной нелинейной разност-
разностной задачи отличаются разнообразием.
*) Симу ни Л. М. Численное решение задачи движения жидкости в прямоуголь-
прямоугольной яме.—Прикл. мех. и техн. физика, 1965, № 6.
2) Кускова Т. В. Численное исследование двумерных вязких течений несжи-
несжимаемой жидкости.— В кн.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике.—»
М.: Изд-во МГУ, 1971, вып. 3.
480 гл- XI- ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА
Так, в работе И. А. Белова и С. А. Исаева1) для решения
уравнения переноса вихря используется явная трехслойная по времени
схема Адамса — Бэшфорта. Эта схема следует из разложения по t функ-
функции
из которого (dzQ/dt2)n исключается при помощи соотношения
( d*Q \п = (dQ/dtf*1
[ а/2 / At
В результате имеем
dt J 2\dt
Используя исходное уравнение dQ/dt+AQ=0 (Л — стационарный опе-
оператор) для выражения dujdt через пространственные производные, по-
получим после аппроксимации последних схему второго порядка точности
по t
At 2
Очевидно, что вычисления по трехслойной схеме можно проводить
при условии, что функции на двух «нижних» временных слоях уже из-
известны. В связи с этим на «старте» вычислений определение Q1 по из-
известному Q0 выполняется по двухслойной схеме.
Конвективные члены в Л аппроксимировались по схеме Аракавы
(см., например, книгу П. Роуча, цитированную в § 102), обладающей
консервативностью не только по отношению к Q, но и к Q2 и кинетиче-
кинетической энергии. Такое свойство особенно существенно при больших числах
Re, когда вдали от стенки существует область (ядро) практически не-
невязкого течения. Уравнение Пуассона для функции тока решалось ите-
итерационным методом Гаусса — Зейделя. Обсуждение полученных этим
методом результатов приведено ниже.
Помимо рассмотренной обычной сетки, часто применяют иные по
конструкции сетки. Широкое распространение получила так называемая
гибридная (со смещенными узлами) разностная сетка. На этой сетке раз-
разные физические величины определяются в различных пространственных
узлах. Так, для переменных «скорость — давление» элемент сетки в дву-
двумерном случае имеет вид, изображенный на рис. 172, а; в центре прямо-
прямоугольной ячейки определено давление р, а на серединах соответствую-
соответствующих сторон — «расходные» (нормальные к сторонам) составляющие ско-
скорости и и v. Появление «дробных» индексов типа t+1/2, /+1/2 у сеточ-
сеточных величин отражает сдвиг узлов расположения этих величин вдоль
соответствующих осей на полшага относительно точки хи yjt
На гибридной сетке уравнения неразрывности аппроксимируются в
узлах определения р, а проекции уравнения движения на оси Ох и О#—
соответственно в узлах определения и и v. Несомненным достоинством
такой сетки является естественный характер аппроксимации со вторым
порядком точности уравнения неразрывности [так, в узле p<+i/2,j дивер-
дивергенция скорости запишется в виде (ui+u—ии)/Ах+ (fl<+i/2,j+i/2—
х) Белов И. А., Исаев С. А. Циркуляционное движение жидкости в прямо-
прямоугольной каверне при средних и больших числах Рейнольдса.— Журн. прикл. мех. и
техн. физики, 1982, № 1, с. 41—45.
§ 103. ПРИМЕР ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ЗАДАЧИ
481
И проекций градиента давления в уравнениях движения
[например, для продольной проекции в узле u{j имеем др/дх~
^ (Pi+i/a,i—Pi-i/2,j)/A-^]. Так как взаимное расположение узлов, в кото-
которых определены одноименные проекции скорости, сохраняется на гиб-
гибридной сетке обычным, то и аппроксимация членов иди/дх, д2и/дх2,
Л/ду2, ... на ней не отличается от применяемой на обычной сетке.
Особенности гибридной сетки проявляют себя при аппроксимации кон-
конвективных членов с разноименными проекциями скорости udv/dx,
vdujdy (или в консервативной форме d(uv)/dx, d(vu)/dy), поскольку
й и v определены в различных узлах. Поясним это на примере члена
d(vu)ldy9 соответствующего переносу в направлении у продольной со-
составляющей импульса («переносящей» величиной является v> «перено-
«переносимой»— и). Обратимся к фрагменту сетки (рис 172, б), на котором
yj+f/г
to
л
^^ ^
Vi+1/2j+t/2
Ax/Z
PU1/2,J
Ax/Z
X
АЩ^]
A__y
U1— Pi— UF~~ P'2 u
lr7iV^
о)
б)
Pi/2,N-i/2
J»O,#-I U//2,V-/
V01 V 1/2,1
U0,t/2
Pi/2,1/2
L1N
HV2
UM-1,N VM-1/2,N
^ yV2,0 «;.
i=1/2
иМ-1,0 VM-1/2,O X
i = M-1/2
Рис. 172
ради краткости записи последующих выражений использована произ-
произвольная нумерация сеточных величин вместо двойных индексов ijt
i-fl/2, j и т. п. Штриховыми линиями выделена контрольная поверх-
поверхность, ограничивающая элемент, в центре которого расположен узел оп-
определения и2. Введем в точках Л и С, т. е. на серединах горизонтальных
площадок, «переносящую» (расходную) скорость равенствами vB=
= {vi+vi)/2, vB=(vl + v2)/2 и определим тем или иным способом «пере-
«переносимую» скорость в тех же точках иву иа. Тогда будем иметь в узле и2:
Выражениям uB=(uz+us)j2, ив=(и2+и,)/2 соответствует симметричная
16-9487
482 ГЛ. XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
аппроксимация второго порядка. Если же использовать условные выра-
выражения
_ ( и2, если vB >0 (и4, если vtt >0,
ъ, если vB^0, [и2, если vti^0,
то получается несимметричная аппроксимация первого порядка, обла-
обладающая транспортивностью, т. е. отражающая свойство переноса физи-
физических величин механизмом конвекции только вниз по потоку.
Оба варианта соответствуют консервативной схеме. В случае записи
конвективного члена в форме v ди/ду аналогами приведенных выражений
будут
H ; 1 И - ; |-
Ay ~*~ " Ay ) 2 Ay 2 А*/
где г;= (t;B + uH)/2. Во всех рассмотренных выше случаях совокупность
узлов, показанная на рис. 172, б, составляет разностный шаблон для ап-
аппроксимации продольной проекции уравнения движения в узле и2. На
рис. 172, в изображена расчетная область, ячейки гибридной сетки и
отдельные сеточные величины, принадлежащие крайним угловым ячей-
ячейкам и показывающие диапазон изменения каждого из двух простран-
пространственных индексов.
Таким образом, аппроксимирующая система содержит:
1) MXN соотношений, аппроксимирующих со вторым порядом урав-
уравнения неразрывности во всех узлах определения р — центрах того же
количества ячеек сетки, на которые разделена расчетная область;
2) (М—1) XN соотношений, аппроксимирующих проекции на ось Ох
уравнения движения с первым или вторым (в зависимости от способа
аппроксимации конвективных членов) порядком точности во внутрен-
внутренних узлах, предназначенных для продольной скорости и\
3) MX(N—1) подобных соотношений для проекций уравнения дви-
движения на ось Оу во внутренних узлах определения v.
Заметим, что аппроксимация уравнений движения в пристеночных
узлах имеет особенности, обусловленные выходом за пределы расчетной
области одной точки разностного шаблона. Так, если положить, что и2
(рис. 172, б) соответствует щл/г (рис. 172, в), то точка шаблона, содер-
содержащая и4, сместится на Д#/2 ниже дна каверны. Вообще, в пристеноч-
пристеночных узлах имеет место аналогичная ситуация при аппроксимации произ-
производных по нормали к стенке от касательных к ней компонент скорости,
так как последние на сторонах ячеек гибридной сетки не определены.
Для выражения таких производных, а также для реализации условий
прилипания вводят добавочные узлы для касательных компонент ско-
скорости на границах (м10, vou . .., отмеченные крестиками на рис. 172, в)
и аппроксимируют в пристеночных узлах производные по нормали не-
нестандартным (из-за неравномерности сетки) способом. Другим вариан-
вариантом является использование узлов, расположенных за пределами расчет-
расчетной области на полшага от нее, что позволяет сохранить стандартную
форму аппроксимации й приближенно выполнить условия прилипания,
например, в виде равенств: (^,1/2+^,-1/2)/2=0 (неподвижная стенка),
(^г,лг-1/2+^г,^+1/2)/2=1 (подвижная стенка).
Легко убедиться, что в аппроксимирующей системе число разност-
разностных соотношений равно числу неизвестных. Обратим внимание еще на
то, что если просуммировать все разностные уравнения неразрывности,
умноженные на площадь ячейки АхАу, то благодаря консервативности
этих уравнений получится соотношение
А' М
fy-W ~ у'-1/«»°) = °> A55>
§ 103. ПРИМЕР ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ЗАДАЧИ
483
содержащее только расходные компоненты скорости на границе области.
Данный результат выражает равенство нулю сеточного аналога суммар-
суммарного потока жидкости через эту границу. С другой стороны, поскольку
соотношение A55) непосредственно следует и из условий непроницае-
непроницаемости стенок, разностное уравнение неразрывности в одном (любом) уз-
узле является линейной комбинацией этих уравнений в остальных узлах и
граничных условий. Ввиду этого количество независимых разностных
соотношений уменьшается на единицу, позволяя произвольно устанавли-
устанавливать величину давления в какой-либо одной точке. Подчеркнем, что ни-
никакие иные условия для давления при решении разностной задачи не
требуются, что полностью соответствует постановке исходной дифферен-
дифференциальной задачи.
Для численного решения получившейся нелинейной двумерной ал-
алгебраической системы, которую запишем кратко в виде Lhu(h)=0 (Lh —
стационарный оператор, u(h) — искомая сеточная функция), существует
несколько способов. Так, можно построить неявную схему установления
и для компонент скорости, и для давления, если использовать нестацио-
нестационарное (точнее, итерационное) уравнение для давления в форме A49).
По соображениям, изложенным в конце предыдущего параграфа, целе-
целесообразно сформулировать задачу для определения на каждом времен-
временном шаге At не самих функций и, v, р, а временных приращений к ним.
Опуская значок Л, указывающий на сеточный характер величин, запи-
запишем в обозначениях § 102 неявную схему установления *)
дг/П+1
или
где
U
-[•]¦
Приближенная факторизация оператора E + AtL" в виде (E+\tL")X
X(E+ML») позволяет расщепить задачу на две одномерные подсис-
подсистемы
(Е + ML") Ш = — MLnUn,
(Е + MLl) At/'1+1 = AU,
A56)
A57)
где AtT — столбец с элементами Аи, Av, Ар—промежуточная функция,
полученная в результате решения подсистемы A56),
д 1 д2 д
0 аГ
дх Re дх2
0
А дх
дх Re дх2
0
0
О
!) Егоров Ю. Э., Колешко С. Б. Применение метода дробных шагов для чис-
численного решения уравнений несжимаемой вязкой жидкости в естественных перемен-
переменных.—В кн.: Динамика неоднородных и сжимаемых сред. Вып. 8: Газодинамика и теп-
теплообмен—Л.: Изд-во ЛГУ, 1984.
484
ГЛ XI ИНТЕГРИРОВАНИИ УРАВНЕНИЙ НЛВЬС - СТОКСЛ
a
ду
1
Re
0
a2
ду2
ду
0
—
1
1
~Re~
a
a2
0
a
dl
1п
А — итерационный параметр. Как и раньше, здесь употребляются сим-
символические обозначения для аппроксимаций соответствующих производ-
производных. Линейный аналог схемы с постоянными коэффициентами является
безусловно устойчивым. Как следует из вида операторов VI и L", из
первого уравнения (для Аи) подсистемы A56) легко исключается Др,
а из второго уравнения (для Av) подсистемы A57)—Арп+\ и вычисле-
вычисления, таким образом, реализуются трехточечными скалярными прогон-
прогонками.
Приведем в развернутой форме уравнения A56) (соотношения для
продольных, т. е. вдоль отрезков у=const, прогонок):
дх \ Re A ) дх2 _.
(/=1/2, 3/2, ..., N— 1/2; /=1,2, ..., .И—1),
E + At (un L JL) 1 Avij = — At (ЛV + -^) A59)
V ал- Re адг2 У J V ^ I if
'(/=1,2, ..., tf-1; f = 1/2. 3/2, ..., /W-l/2),
ДЯ- = — ~ \-j- ("" + A^) + 4- vn 1 A60)
Л L d* ду 1ц
(i = 1/2, 3/2, ... , M - 1/2; / = 1/2, 3/2, ... , N - 1/2).
Здесь An— разностный аналог оператора конвективно-вязкостных чле-
членов; значения индексов ij соответствуют рис. 172, в.
Граничные условия для продольных прогонок: AuOj=AUM,j=Q —
для уравнений A58) и AvOj=AvM,j=O — для уравнений A59), следую-
следующие из самого определения приращений и равенства нулю в любой мо-
момент времени проекций скорости на вертикальных стенках каверны, за-
замыкают задачу. Уравнения A60) служат для вычисления Д^ по найден-
найденному ранее полю Az7.
Аналогичным образом посредством поперечных прогонок определя-
определяются Ди", Avn+\ а затем вычисляются и значения Дрп+1. Итерации за-
заканчиваются после достижения условия l|L?/||^e, где е—требуемая
точность расчета.
Обратимся теперь к результатам решения задачи о течении в ка-
каверне. На рис. 173, а—в, взятых из цитированной работы И. А. Белова
и С. А. Исаева (переменные «вихрь — функция тока», схема Аракавы),
дана картина линий тока для квадратной каверны при числах Рей-
нольдса соответственно 400, 1000, 2500. Цифрам отвечают следующие
значения безразмерной функции тока ty: 1— (—0,10); 2— (—0,06); 3 —
(—0,01); 4 — 0; 5 — 0,0001; 6—0,001. Выделяются обширная централь-
центральная область циркуляционного движения («центральный вихрь») и вто-
вторичные «угловые вихри» в нижней части каверны. (Здесь и далее при
описании течения в каверне понятие «вихрь» употребляется для услов-
условного обозначения ограниченной области циркуляционного движения.)
§ 103. ПРИМЕР ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ЗАДАЧИ
485
Вначале с ростом числа Рейнольдса размеры угловых вихрей растут,
но при Re>1000 они стабилизируются по величине. Обращает на себя
внимание появление, начиная с Re«1500, еще одного вторичного вих-
оя—около подвижной стенки.
б)
Рис. 173
У
0,5
0
/
1-Re=100
3-Re=1000
i
-0,5
0 0,5
Рис. 174
На рис. 174 изображены профили продольной скорости в среднем
поперечном сечении каверны. Относительная максимальная скорость те-
течения в сторону левой стенки растет при увеличении числа Re, что го-
говорит об усилении интенсивности циркуляционного движения, а сама
точка максимума смещается к дну каверны.
На рис. 175 показаны изобары для течения при Re = 400, рассчитан-
рассчитанного изложенным выше методом установления по неявной схеме рас-
расщепления второго порядка точности с
использованием «естественных» перемен-
переменных и уравнения неразрывности с членом
dpfdt (см. цитированную статью Ю. Э.
Егорова и С. Б. Колешко). Цифрами
обозначены значения безразмерного дав-
давления {p—Pi)/(pUo2) • 100, где pt —дав-
—давление в правом нижнем углу каверны.
Расчет на «гибридной» сетке 60x60 от
начальных нулевых полей и, v, p до вы-
выполнения условия ||Lf/||^10~4 потребо-
потребовал около 200 итераций A2 минут на
ЭВМ БЭОМ-6). Распределение давления
имеет достаточно сложный характер. Выделяются области заметного
повышения давления в окрестности верхнего правого угла, где увлекае-
увлекаемая подвижной границей жидкость подводится к вертикальной стенке,
и область относительного разрежения в верхней части левой стенки.
Расчет на той же сетке при Re =1000 дает качественно такое же рас-
распределение давления, но с относительно более слабым возрастанием
его в правом и падением в левом верхних углах. Течение вблизи дна
квадратной каверны при этих числах Re практически изобарическое.
При измельчении сетки все более ощутимо проявляются особенно-
особенности в окрестности верхних углов, обусловленные самой постановкой за-
задачи — наличием разрыва в граничных условиях в этих точках, сгла-
сглаженного в результате дискретизации. Данные особенности должны при-
привести, в частности, к неограниченному возрастанию в окрестности верх-
верхних углов при Ах, Д//->0 модуля давления.
Следующая серия рисунков (рис. 176, а—в, работа И. А. Белова и
С. А. Исаева) показывает эволюцию течения при изменении соотноше-
соотношения #=#/L, соответственно равного 0,5; 1,4; 2,0. Цифровые обозначе-
обозначения 1—6 имеют тот же смысл, что и на рис. 173; 7—-ф=0,01; 8 — г|) =
=0,02; Re=1000. При малых глубинах (рис. 176, а) наблюдаются две
ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
Рис. 175
крупные области циркуляционного течения — основного и менее интен-
интенсивного слева внизу;_имеется еще один вторичный вихрь у задней стен-
стенки. С возрастанием Н структура вихрей перестраивается: растут разме-
размеры и интенсивность центрального вихря; размеры вихря у передней
стенки уменьшаются, а у
задней — растут. При даль-
дальнейшем (#>1) увеличении
высоты каверны угловые
вихри сливаются, образуя
единый вторичный вихрь во
всю ширину каверны, вра-
вращающийся в противополож-
противоположную сторону и значительно
меньшей интенсивности, чем
основной. _
Для каверн с #=1,4
и 2,0 образуются новые
вихри в нижних углах,
растущие с увеличением
глубины. Это соответствует
известному из опытов обра-
образованию в глубоких кавер-
кавернах ячеистых структур в ви-
виде системы вертикально
расположенных вихрей убы-
убывающей интенсивности в на-
Рис. 176 правлении дна.
§ 104. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 487
Отметим в заключение, что расчет течений при больших числах
Рейнольдса с типичными для них областями резкого изменения пара-
параметров потока требует привлечения неравномерных сеток со сгущением
узлов в этих областях. Использование сеток с равноотстоящими в фи-
физической плоскости узлами приводит, начиная с некоторых чисел Рей-
Рейнольдса, к заметному «размыванию» решений в зонах больших градиен-
градиентов за счет схемных диссипативных эффектов (см. § 102), что может су-
существенно исказить и общую картину. Применяют как заранее задан-
заданные, так и подстраивающиеся (адаптируемые) к разностному решению
сетки. Решение задачи о течении в каверне может дать иллюстрацию
роли сеточных факторов и послужить материалом для соответствующих
методических оценок ').
§ 104. Численное исследование обтекания кругового цилиндра
при умеренных числах Рейнольдса
Среди всевозможных внешних задач динамики вязкой жидкости вы-
выделяются задача об обтекании кругового цилиндра однородным пото-
потоком, перпендикулярным к его оси, и подобная ей задача для сферы. По-
Помимо своей очевидной геометрической простоты, они привлекают еще и
возможностью сравнения с классическими решениями для крайних слу-
чаев: для движения идеальной жидкости (§ 50 и 73) и вязкой при очень
малых числах Рейнольдса (§ 96). Кроме того, обращение к задачам та-
таких течений позволяет исследовать ряд интересных гидродинамических
явлений, типичных для плохо обтекаемых тел.
Серия численных расчетов обтекания кругового цилиндра была от-
открыта работами А. Тома2) A928, 1933 гг., Re=10, 20). К настоящему
времени накоплен обширный материал, демонстрирующий развитие раз-
различных численных подходов. Прояснились и трудности, обусловленные,
в частности, медленным затуханием возмущений параметров потока пои
отходе от тела в области аэродинамического следа.
Рассмотрим далее на примере задачи обтекания кругового цилиндрз
особенности постановки и численных решений. Прежде всего подчерк-
подчеркнем, что, начиная с чисел Re = f/ood/v, составляющих несколько десят-
десятков, при граничных условиях стационарного типа можно получать, в за-
зависимости от накладываемых дополнительных ограничений, как обыч-
обычное стационарное решение, симметричное относительно направления на-
набегающего потока, так и несимметричное, периодически изменяющееся
во времени. Последний случай соответствует развитию возмущений,
обычно присутствующих в реальных потоках, в условиях неустойчивости
стационарного симметричного течения. Для получения стационарной
картины обычно ставят условия симметрии потока и рассматривают те-
течение в одной полуплоскости. В настоящем параграфе будут рассмот-
рассмотрены преимущественно решения в стационарной постановке.
Уравнения Навье — Стокса плоского стационарного течения вязкой
жидкости в цилиндрических (полярных) координатах [ C3) гл. X] запи-
запишем в безразмерной форме, отнеся скорости к 17ее, радиальную коорди-
координату—к радиусу цилиндра a=d/2y давление — к р?/?. Кроме того, вве-
введем вместо г новую переменную ? = 1пг, удобную тем, что постоянному
шагу Д? соответствует относительное сгущение узлов вдоль лучей е =
=const в направлении к телу. Тогда проекции уравнения движения
*) Копчен ов В. И., Край ко А. Н., Левьн М. П. К использованию суще-
существенно неравномерных сеток при численном решении уравнений Навье—Стокса.— Жур-
Журнал вычисл. мат. и мат. физики, 1982, т. 22, № 6, с. 1457—1467.
2) См. книгу: Том А., Э й п л т К. Числовые расчеты полей в физике и технике.—
М.; Л.: Энергия, 1964.
488 Г Л XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА
после умножения на г=ег и уравнение неразрывности примут вид
+ VsVi + e\ + 2V
д\ де а« Re [ а« ае2 дг
A61)
„62)
Граничные условия для проекций скорости в случае обтекания од-
нородным потоком неподвижного цилиндра с непроницаемой поверх-
поверхностью имеют очевидную форму:
на поверхности тела (? = 0):
на бесконечности (?)
l/r->cos e, Ve—>—sin с.
Давление задается в одной точке, например в набегающем потоке.
Как уже отмечалось, из уравнений движения легко исключить дав-
давление, перейдя к уравнению переноса вихря Q. В координатах §, е оно
имеет вид
где
Если ввести равенствами
^«l^L-e-8-^L, Va = -*t = -es^r A65)
г де де дг д%
безразмерную функцию тока г|э, то задача определения зависимых пере-
переменных Q, г|) сведется к интегрированию системы
^_ао_ а^^^^ /a2Q_ a^o_\
ае ag dt де Re \ а?2 ае2 / ' ^ '
?+?--«• 067)
Вывод приближенных условий для вихря на твердой поверхности,
необходимых для конечноразностного решения системы в переменных
«вихрь — функция тока», обсуждался выше. Условия для функции тока
на поверхности цилиндра очевидны:
ф = ^- = 0 при 6 = 0. A68)
При неограниченном удалении от тела имеет место переход к однород-
однородному потоку:
^cose, -!*L->g6sine при g-* oo. A69)
ое О(^
Обратим внимание на существенное обстоятельство, связанное с
практической реализацией условий «на бесконечности». Ввиду того, что
эти условия в действительности приходится ставить на некотором ко-
конечном расстоянии R^>d от тела, в постановку такой геометрически
§ 104. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 489
«урезанной» задачи войдут уже два линейных масштаба: d и R и, следо-
следовательно, два числа Рейнольдса: Re = UMd/v и Re1 = f/0O/?/v>Re. Из-за
большой величины Ret решение в области внешней границы С\ (окруж-
(окружности радиуса R) может меняться весьма заметно и даже осциллиро-
осциллировать, если условия на С{ заданы недостаточно аккуратно; подобные не-
неточности могут исказить решение и вблизи тела
Простейший путь, т. е. выбор заведомо большого R, гарантирую-
гарантирующий расположение контура С\ в области практической однородности ре-
решения, в ряде случаев оборачиваете чрезмерными затратами ресурсов
ЭВМ. Величину R удается уменьшить, если применить на Ct условия в
иных формах: учитывающие асимптотику поведения решения при боль-
больших г, а также так называемые «мягкие» граничные условия. Последние
заключаются в том, что в следе за телом и в прилегающей к нему час-
части потока на расстоянии R ставят условия в виде равенства нулю пер-
первой или второй производных по г от искомых функций. Численные экс-
эксперименты показывают, что такие условия значительно слабее и в мень-
меньшей области деформируют решение, чем поставленные там же обычные
«жесткие» условия A69) или соответствующие условия для скорости.
Вместе с тем понятно, что мягкие условия можно поставить только на
части контура Ct, поскольку они не несут никакой информации о набе-
набегающем на тело потоке.
Исследование асимптотики решения при больших г вместе с чис-
численным решением задачи об обтекании кругового цилиндра содержится
в работах К. И. Б а бен ко, Н. Д. Введенской и М. Д. Орло-
Орловой1). Установлено, что при данном числе Re характер затухания воз-
возмущений различен внутри следа: \и—Uoo\ = O(r~I/2) и вне его: \и—?/то| =
=0(г*). С учетом асимптотического разложения вихря и возмущений
скорости при больших г авторы приводят условия на С\:
Kr(e) = cose + VV(e), Vs (г) = - sine + Ke(e), Q(c) = Q(e), A70)
где отмеченные знаком ~ величины представляют собой первые члены
асимптотических разложений соответствующих функций около С4. Вы-
Выпишем для примера Vr:
VrVepfsin
2 л/? 2BnR/Re)/* \ 2/Re
где F — сила (заранее не известная), действующая на единицу длины
цилиндра.
Влияние применения перечисленных видов условий при r=R на
точность решения задачи об обтекании кругового цилиндра исследова-
исследовалось в работе В. А. Г у щ и н а 2).
В цитированных работах К. И. Бабенко с соавторами использова-
использовались, в отличие от рассмотренных выше постановок, переменные
«вихрь — проекции скорости». При этом система включает, помимо
уравнения второго порядка переноса вихря, еще два уравнения первого
порядка: неразрывности A62) и связи между вихрем и проекциями ско-
скорости A64). Стационарное решение в области 1^г^/?, О^е^я опре-
определяется методом установления. В уравнении переноса вихря, дополнен-
дополненном членом dQ/dt, конвективные члены аппроксимируются явно (на слое
1) Бабенко К. И, Введенская Н. Д, Орлова М. Г. Расчет стационар-
стационарного обтекания кругового цилиндра вязкой жидкостью.—-Жури, вычисл. мат и мат.
физики, 1975, т. 15, № 1, с 183—196 и тех же автоэов: Результаты расчета обтекания
бесконечного кругового цилиндра вязкой жидкостью.— Препринт ИПМ № 38, 1971.
2) Гущин В. А. Численное исследование обтекания тела конечного размера по-
потоком несжимаемой вязкой жидкости — Журн вычисл. мат. и мат. физики, 1980, т. 20,
№5, с. 1333—1341.
490 ГЛ. XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
/п), а члены, соответствующие вязкости,— неявно (на слое tn+i):
К
Д/ Re дг г де
Остальные уравнения, для которых зависимость от времени является
параметрической, записываются на слое tn+i.
С учетом общего четвертого порядка системы необходимо иметь че-
четыре граничных условия. Дополнительно к условиям Vr=VB = Q при
г=\ (^ = 0) ставятся два условия на контуре С\. Если используются
асимптотические условия, то ими в принципе могут быть любые два из
набора A70). Преимущество того или иного сочетания этих двух усло-
условий определяется путем численных экспериментов. В работах К. И. Ба-
бенко с соавторами преимущество отдается условиям для Ve и й.
Таким образом, специфика задачи, записанной в переменных
«вихрь — проекции скорости», проявляется в том, что по крайней мере
три из четырех условий формулируются для проекций скорости. В итоге
отпадает необходимость в самостоятельном приближенном условии для
вихря на твердой границе, отсутствующем в физической постановке и
часто замедляющем вычислительный процесс.
Способ решения не является обычным конечноразностным по обеим
переменным. Для аппроксимации зависимостей 1/г, Уе, й от угла е ис-
используются тригонометрические полиномы с коэффициентами, завися-
зависящими от г и /, совпадающие с искомыми функциями на лучах e = eft=
= 2л?/BЛ!+1), /г=1, 2, ..., 2М+1. Выпишем такое представление для
радиальной скорости:
м
Vr (г, б,/)=2 [а™ <г'') cos me + а™ (г' ') sin тг] *
т=о
Аналогичные тригонометрические аппроксимации вдоль дуг окружно-
окружностей (соответственно с другими коэффициентами Ь^ и bm\ Cm и cjjfy
применяются для V\ и Q. Подстановка этих рядов в исходные уравнения
сводит задачу к системе обыкновенных линейных дифференциальных
уравнений относительно а™ (г9 *я+1)э а(т(г,/л+1),... (не приведенных здесь
ввиду громоздкости), решаемых конечноразностным методом.
В цитированных работах К. И. Бабенко с соавторами решается за-
задача обтекания цилиндра в диапазоне чисел Рейнольдса от 1/8 до 100;
R при этом меняется от 400 до 50, а число узлов на лучах — от 200 до
75; М = 32. Затруднения при малых значениях Re связаны с необходи-
необходимостью увеличения радиуса расчетной граьицы, а при больших — с су-
сужением области следа за телом, что требует большого числа гармоник.
Некоторые из полученных в этих работах результатов будут приведены
ниже.
Использование для решения задачи внешнего обтекания «естествен-
«естественных» переменных «проекции скорости — давление» рассмотрим на при-
примере работы О. М. Белоцерковского, В. А. Гущина и
В. В. Щенникова1).
В § 102 была в общих чертах изложена идея метода «физического
расщепления», заключающаяся в двухэтапном определении неизвестных
скорости Vn+1 и давления р, соответствующего переходу от tn к /п+1, по
известному полю Vn. Напомним, что на первом этапе [уравнение A44)]
определяется промежуточная скорость V с учетом только конвективных
]) Белоцерковский О. М, Гущин В А., Щенников В. В. Метод рас-
расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости.—
Журн. вычисл. мат и мат. физики, 1975, т. 15, № 1, с. 197—207. См. также цитирован-
цитированную в начале § 102 монографию О М Белоцерковского.
§ 104. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 491
и вязкостных членов, а на втором [уравнение A45)] к V добавляется
потенциальный вектор (т. е. учитывается действие сил давления), что
как раз и обеспечивает результату этой добавки Vn+i свойство солено-
идальности. Полезно подчеркнуть, что уже на первом этапе полностью
воспроизводятся вихревые характеристики искомого поля скорости, так
как потенциальная добавка к V, очевидно, является безвихревой.
Обычно применяются «гибридные» сетки со смещенными узлами
(§102, рис. 172, а). При использовании таких сеток существенным во-
вопросом становится способ определения касательной к твердой поверх-
поверхности компоненты вектора V для ячеек, смежных с этой поверхностью
(«пристеночных»). Шаблон на рис. 172, б дает представление о распо-
расположении компонент скорости на слое tn, формирующих значение и в
центральном узле, обозначенном и2. Видно, что если речь идет о вычис-
вычислении касательной к стенке компоненты и в пристеночных (удаленных
на hy№ от твердой поверхности) узлах, то придется оперировать вели-
яинами скоростей в фиктивных ячейках вьутри твердого тела. Авторы
только что указанной работы предложили способ приближенного вычис-
вычисления касательных компонент V в пристеночных узлах, следующий из
граничного условия прилипания в комбинации с уравнением движения
и не требующий введения подобных ячеек. Сущность этого способа по-
поясним далее для случая декартовой прямоугольной системы; для поляр-
полярной системы координат получаются аналогичные выражения.
Разложение в ряд Тейлора касательной компоненты скорости
и(ху у) по нормали у к твердой стенке в пристеночной точке с индекса-
индексами i, 1/2 (x=iAx, у=Ау/2) имеет вид
Используем проекцию уравнения движения на Ох в той же точке, чтобы
выразить д2и/ду2 через др/дх. Учитывая, что «?,"%= О (Д#), получим
Кроме того, заменим (ди/ду)?*у3 на (du/dy)?ti/t с погрешностью О (At). Тог-
Тогда придем к выражению
п+1 Ay f ди \ п Ay2 p
tfi/z 2 \ ду ) i%y% 8
Применяя те же обозначения, что и для внутренних точек, запишем по-
последнее равенство в виде
— Т*1 + О (ДгД ReAi/3, Ay At), A71)
дх J ity9
где
Аппроксимируя далее {duldy)niiVi на трехточечном неравномерном шабло-
шаблоне с шагами Ду/2 и Ау по значениям и% = 0, щ,у2 и щ^;.
itVt 2 б
492 ГЛ XI ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА
a (dpldx)i42 — в средней точке двухточечного шаблона по значениям
if) = Т"^1/-1/» -PW*)
dxj ^x
придем к приближенному разностному соотношению в пристеночных уз-
узлах, связывающему и1У\ со значениями ип и давления р:
A73)
'Л 2 V 2
После дискретизации соотношения A71) временной индекс у функции р
в A73) опущен; имеется в виду поле давления, обеспечивающее солено-
идальность поля скорости при переходе от tn к tn+i.
В рассматриваемом методе разностные соотношения для определе-
определения р получаются для каждой внутренней сеточной ячейки путем под-
подстановки в разностный аналог уравнения неразрывности для этой ячей-
ячейки значений ип+\ t»n+1 из разностных аналогов уравнений движения (за-
(записанных с использованием «промежуточных» величин и, v в узлах
определения соответствующих скоростей на сторонах ячейки). Это экви-
эквивалентно применению в разностной форме операции дивергенции к урав-
уравнениям движения. Однако в пристеночных ячейках (см. рис. 172, а при
/=1/2) ситуация иная, так как уравнение движения непосредственно
аппроксимируется только в тех узлах, где определена величина vi+%i.
В разностный аналог уравнения неразрывности для остальных трех уз-
узлов подставляют: v?Zy2t0 = О (условие непроницаемости), ^?i%» ^Ki1,»/, —
из уравнений A73). В результате получается равенство, связывающее
четыре значения р с известными ипу vn (или и, г;):
д/ 1~ »»« 1(~ »* * г> *
Соотношения A74) являются замыкающими для системы пятиточечных
разностных уравнений Пуассона для значений р, соответствующих внут-
внутренним ячейкам. В итоге удается обойтись без обычных для методов, ис-
использующих «естественные» переменные, граничных условий для р в ви-
виде проекций уравнения движения на нормаль к границе.
Вычисления проводятся в следующем порядке.
1. По известному полю Vя с помощью уравнений A44) определяют-
определяются во всех узлах, кроме пристеночных, сеточные функции й, v. В при-
пристеночных точках используются только что полученные нестандартные
соотношения [вторая формула A73) для и вблизи твердой поверхности
с уравнением у=0 и подобные им формулы при ином расположении
стенок].
2. Решается (обычно методом установления) разностное уравнение
Пуассойа для давления
с замыкающими соотношениями A.74) и аналогичными им вблизи дру-
других частей твердой границы.
§ 104. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
493
3. По формулам A45) для внутренних и первым соотношениям
A73) для пристеночных узлов вычисляются значения ип+\ vn+i. Если
данная схема используется в рамках метода установления для решения
стационарной задачи, то вычисления продолжаются до совпадения с за-
заданной точностью величин на последовательных временных шагах. При
этом, как отмечалось в § 102, нет необходимости на каждом шаге доби-
добиваться решения уравнения A75) с высокой точностью.
Re= 5
0,002
0,828
-0,0001 0,001
1223
-0,0164 -0,0246 -0,0328
Re
2,15
-0,035 -0,05 -0,08 -0,10
Рис. 177
Рассмотрим теперь некоторые расчетные результаты. Рис. 177, а—г
из работы Денниса и Чжена') хорошо иллюстрируют развитие общей
картины симметричного стационарного обтекания при увеличении чис-
числа Рейнольдса, принимающего значения 5, 10, 40, 100. Авторы исполь-
использовали систему уравнений «вихрь — функция тока» в форме A66),
*) D е п n i s С. R., Chang G.-Z. Numerical solutions for steady flow past a circu-
circular cylinder at Reynolds numbers up to 100.—J. Fluid. Mech , 1970, v. 42, part 3, p. 471 —
494
ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
Таблица 13
Re
5
10
40
100
L
0,
4,
13,
53
69
11
29
53
66
s
,6
,8
,2
1,917
1,246
0,524
0,282
2,199
1,600
0,998
0,774
сх
4,116
2,846
1,522
1,056
схф)
—1,044
—0,742
—0,509
—0,393
1
1
1
1
ср{п)
,872
,489
,144
,060
A67), а для решения уравнения Пуассона применили аппроксимацию
г|э в направлении е тригонометрическими рядами. При Re = 5 течение еще
безотрывное; отрыв начинается при значении Re=7. Угол отрыва пото-
потока еь, длина L зоны с обратными токами возрастают с увеличением чи-
чисел Рейнольдса в рассмотренной области их изменения (см. табл. 13).
Рис. 178, а, б, взятые из первой цитированной в этом параграфе ра-
работы К. И. Бабенко с соавторами, показывают изменение завихренности
Q вдоль поверхности при различных значениях чисел Re, а также рас-
распределение Q вдоль лучей e = const при Re=100 (напомним, что угол е
отсчитывается от задней критической точки). Перемена знака Q соот-
соответствует точке отрыва потока от поверхности цилиндра. Рис. 179 изо-
изображает для того же числа Re изменение радиальной и окружной со-
составляющих скорости при отходе от тела вдоль лучей e = const. Отчет-
Отчетливо видно, насколько резко меняется скорость вблизи поверхности тела
даже при таком умеренном числе Re как 100.
Рис. 180 (Деннис, Чжен) иллюстрирует зависимость коэффициента
давления ср = 2(р(г)—P^KpU2^) от угла е на поверхности цилиндра.
Распределение давления далеко от симметрии относительно плоскости
миделева сечения. Полезно сравнить эти результаты с решением задачи
о бесциркуляционном обтекании кругового цилиндра идеальной жид-
жидкостью, приводящим к зависимости cp=l—4sin2e. С ростом числа Re от-
относительное различие между повышенным давлением в передней и по-
пониженным в задней критических точках уменьшается, что приводит к
снижению коэффициента сопротивления давления схр. Это подтвержда-
подтверждается и табл. 13. Коэффициент полного сопротивления сх также уменьша-
уменьшается с ростом числа Re. Рис. 181 (квадратики — расчетные результаты
Денниса и Чжена, кружки — расчеты Таками и Келлера, крестики —
эксперимент Триттона) говорит, кроме того, о вполне удовлетворитель-
удовлетворительном совпадении расчетных и экспериментальных данных.
В заключение коснемся результатов расчета нестационарного (пе-
(периодического) обтекания цилиндра1)- В этой постановке не содержит-
содержится априорное предположение о симметрии течения относительно на-
направления набегающего потока, и решение рассматривается во всем
диапазоне углов 0^в^2я. Как уже отмечалось, начиная уже со срав-
сравнительно небольших чисел Рейнольдса E0—60) присутствующие в ре-
реальном потоке возмущения тех или иных параметров не затухают, а
развиваются, что приводит в конечном итоге к установлению периоди-
периодического (автоколебательного) режима течения. При численном модели-
моделировании подобных процессов вводят начальную искусственную асим-
асимметрию потока или предполагают начальную неоднородность поля плот-
плотности с последующим ее «занулением», т. е. возвратом к однородному
]) Белоцерковский О. М . Белоцерковский С. О, Гущин В. А. Чис-
Численное моделирование нестационарного периодического течения вязкой жидкости в сле-
следе за цилиндром.— Журн. вычисл. мат. и мат. физики, 1984, т. 24, № 8, с. 1207—1216;
Белоцерковский О. М Численное моделирование в механике сплошных сред.—М.:
Наука, 1984.
§ 104, ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 495
0,6
0,2
О
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
Рис. 178
41.
Re = W
i
20
^~
0
Ж
—
б)
fiO
^
8-0 A4-Я
С — и, (у ТО
~0,096
-0,62
1,0
0,6
0,2
0
-0,2
-0,6
\г
20 30 40 SO р
Re=100
Рис. 179
Ср
4 Г
1,0
if)
0,5
0,0
-W
\
у
V
\
0 п/2
Рис.
180
№00
-
^-—
ТС-Е
сх
5
4
3
2
1
X
о x
I
о
Xj
с
с
Я?*
1
'¦4
]XXXX
(
R
b
e
3 5 W 20 10 70 100
Рис. 181
496
ГЛ. XI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
набегающему потоку. На рис. 182 изображена картина линий тока для
Re=102 в последовательные моменты времени с интервалом Д/=2,5
для одного периода Г«12 (*н*,=75, /КОН = 87,5) (масштабом времени
Рис. 182
является величина ajUJ). Расчет показывает определенный рост застой-
застойной зоны, последующее «схлопывание» и выброс жидкости из этой зо-
зоны. Число Струхала, определенное по диаметру цилиндра, при этом рав-
равно 0,167, что хорошо согласуется с экспериментальными данными.
ГЛАВА XII
ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 105. Взаимодействие конвекции и диффузии в потоке
несжимаемой вязкой жидкости. Ламинарный пограничный слой
Представление о ламинарном пограничном слое на поверхности
твердого тела в потоке вязкой жидкости или при смешении потоков и
образовании области взаимодействия между ними, лежит в основе
объяснения и использования многих важных для практики явлений.
Под пограничным слоем понимают тонкую при известных условиях
(см. далее) в поперечном направлении к потоку область течения, где, в
отличие от окружающего ее безвихревого потока, движение является
вихревым и характеризуется сосредоточенными в этой области резкими
изменениями скорости (скоростной пограничный слой), температуры
(температурный пограничный слой), концентрации примеси (концентра-
(концентрационный, или диффузионный, пограничный слой).
Различают ламинарные и турбулентные пограничные слои в зави-
зависимости от ламинарного или турбулентного режима течения в них. В на-
настоящей главе рассматриваются только ламинарные пограничные слои, в
связи с чем эпитет «ламинарный» часто опускается.
Основным условием образования скоростных ламинарных погра-
пограничных слоев является малая вязкость жидкости, точгее, большое зна-
чение рейнольдсова числа потока Re, не достигающее, однако, той крити-
критической величины, при которой режим течения в пограничном слое стано-
становится турбулентным. Аналогично для температурных слоев подобным
условием становится достижение больших значений числа Пекле Ре,
для концентрационных слоев — больших значений Ped (диффузионного
кисла Пекле).
Физическая картина образования пограничных слоев на твердых
поверхностях состоит в следующем. Однородный безвихревой поток, до-
достигнув поверхности твердого тела, «прилипает» к нему частицами, не-
непосредственно соприкасающимися с поверхностью тела, в то время как
соседние слои продолжают двигаться с резко увеличивающимися па
мере удаления от поверхности скоростями, что приводит к завихренно-
завихренности потока. Образовавшиеся вблизи поверхности вихри, с одной сторо-
стороны, сносятся набегающим потоком, участвуя в конвекции, а с другой —
диффундируют в окружающую тело жидкость. Если конвекция велика
по сравнению с диффузией (а это, как далее показывается, соответству-
соответствует большим числам Рейнольдса), на поверхности сохраняется весьма
тонкий слой заметно завихренной жидкости — так называемый пристен-
пристенный пограничный слой. Аналогично, имея некоторую начальную завих-
завихренность, возникшую при выходе из резервуара или сходе с поверх-
поверхности обтекаемого тела, образуются «свободные» пограничные слои:
«затопленные струи» и «следы» за кормой тела.
Создающийся в процессе течения в области пограничного слоя ба-
баланс конвекции и диффузии, а в случае нестационарного пограничного
слоя еще и локального изменения завихренности количественно опреде-
определяется уравнениями Гельмгольца A62) или A63) гл. X. Этот ба-
баланс может дать количественную оценку порядка «толщины» погранич-
пограничного слоя при больших значениях числа Рейнольдса Re=t/«L/v, со-
498 гл хп ламинарный пограничный слои в несжимаемой жидкости
ставленного по скорости набегающего на тело потока (/«,, линейному
размеру тела L и кинематическому коэффициенту вязкости жидкости v.
Увеличение числа Рейнольдса означает возрастание роли конвек-
конвективного ускорения, а тем самым, как это следует из вывода уравнения
Гельмгольца, и конвекции завихренности. Повышение роли этого про-
процесса приводит к двум следствиям:
1) уменьшению с ростом числа Рейнольдса поперечного к потоку
размера области завихренности;
2) благодаря балансу между процессами конвекции и диффузии, со-
сосредоточению их в этой тонкой области.
Первое из этих следствий служит объяснением существования при
больших числах Рейнольдса пограничного слоя, второе говорит о повы-
повышенной интенсивности диффузии в области пограничного слоя и об оп-
определяющем значении в нем диффузии завихренности в поперечном к
поверхности тела направлении.
Прежде чем перейти к анализу движения вязкой жидкости в об-
области пограничного слоя, остановимся на некоторых соображениях, по-
позволяющих дать количественную оценку закона убывания толщины
пограничного слоя в зависимости от возрастания числа Рейнольдса по-
потока.
Удовольствуемся сначала случаем плоского стационарного движе-
движения, когда уравнение баланса между процессами конвекции и диффузии
завихренности A63) гл. X может быть записано в простейшей форме
V-gradQ=vV2Q. A)
Для оценки порядка изменения с ростом числа Рейнольдса величин,
стоящих в левой (конвекция завихренности) и правой (диффузия за-
завихренности) частях этого уравнения, применим прием, использованный
в начале гл. X для вывода условий подобия двух потоков вязкой жид-
жидкости и заключающийся в выражении входящих в уравнения перемен-
переменных величин, выраженных в частях характерных для них постоянных
масштабов. При рассмотрении процессов конвекции и диффузии завих-
завихренности в области пограничного слоя условимся отличать масштабы
продольных длин и скоростей Lo и Uo от соответствующих масштабов
поперечных длин и скоростей б0 и Vo. Введем также масштаб Qo для за-
завихренности.
Что касается первых двух масштабов, то их конкретизация не нуж-
нуждается в особых разъяснениях. За величину Lo можно взять, например,
диаметр обтекаемого жидкостью кругового контура, хорду или макси-
максимальную толщину крылового профиля, внутренний радиус трубы, на
входе в которую образовался пограничный слой, и т. д. За масштаб про-
продольных скоростей Uo естественно выбрать скорость ?/«, набегающего на
тело потока или скорость на входе в трубу. Масштаб завихренности Qo
из дальнейшего рассуждения выпадает, и его нет необходимости конкре-
конкретизировать.
Особого разъяснения заслуживает вопрос о выборе поперечного
масштаба длин б0. Этот масштаб естественно связать с характерным
расстоянием, на которое распространяется диффузия завихренности в
направлении, поперечном к поверхности обтекаемого тела, представляю-
представляющей источник завихренности. Такого, конечного по величине расстояния
в задачах динамики вязкой жидкости, изложенных в предыдущих гла-
главах, не существовало.
Вспомним, например, задачу Стокса об обтекании вязкой жидкостью
сферы (§ 96), или расчет диффузии завихренности, образованной вихре-
вихревой нитью (§ 94). Во всех этих случаях влияние вязкости распространя-
распространялось мгновенно, а в безграничных потоках на бесконечно большие рас-
расстояния. Этот принципиальный факт является прямым следствием обоб-
§ 105 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОНВЕКЦИИ И ДИФФУЗИИ 499
щенного закона Ньютона, выражающего, линейную связь между
тензорами напряжений и скоростей деформаций, и обусловливает эллип-
эллиптический характер дифференциальных уравнений Навье-—Стокса.
Дальнейшее изложение основывается на этих концепциях: беско-
бесконечной скорости диффузии завихренности и безграничной области ее
распространения в неограниченном потоке вязкой жидкости.
Согласно положенному в основу всей динамики вязкой жидкости
обобщенному закону Ньютона, для которого, как уже ранее указыва-
указывалось, характерна бесконечная скорость распространения возмущений,
изменение величины скорости соответствовало бы асимптотическому
стремлению их к своим предельным значениям. Такую асимптотическую
постановку обычно сохраняют при составлении граничных условий для
дифференциальных уравнений пограничного слоя на внешней его гра-
границе и символизируют выражением у-^оо, где у—расстояние данной
точки от поверхности тела.
Под толщиной пограничного слоя как некоторой конечной величи-
величины 6 подразумевают расстояние от поверхности обтекаемого тела до та-
такой точки в потоке (у=6), где практически с заданной степенью при-
приближения можно принять продольную скорость в пограничном слое рав-
равной ее значению в той же точке внешнего безвихревого потока. Геометри-
Геометрическое место таких точек дает приближенное, «конечное», представление
о внешней границе пограничного слоя.
Наличие только что указанных обстоятельств оправдывает истори-
исторически сложившееся представление о конечной толщине пограничного
слоя; однако имеющийся в таком определении произвол в величине до-
допускаемой погрешности делает это определение расплывчатым. В даль-
дальнейшем оказалось предпочтительным иметь дело с менее наглядными, но
более однозначными определениями толщины пограничного слоя, осно-
основанными на интегральных характеристиках распределений продольных
скоростей в нормальных к поверхности тела сечениях пограничного
СЛОЯ.
Каждая из них, являясь переменной вдоль поверхности тела вели-
величиной, может служить местным масштабом для нормального к потоку
сечения пограничного слоя. Введенный ранее масштаб поперечных длин в
потоке б0 будем трактовать как общий для всех сечений порядок тол-
толщины пограничного слоя. Чтобы найти закон зависимости толщины б0
от числа Рейнольдса потока Reo=?/oLo/v, приравняем порядки левой и
правой частей уравнения баланса завихренности A).
Вводя заглавную букву О как символ порядка изменения величины
сростом рейнольдсова числа, заметим, что левая и правая части A) мо-
могут быть оценены так:
Приравняв эти порядки, получим
С/О "О л
откуда будет следовать
=о f-L=^). B)
о [ЛГ
Lo \ У U0L0
Полученное равенство выражает общий для всех плоских, стацио-
стационарных ламинарных пограничных слоев закон изменения их относитель-
относительных толщин обратно пропорционально корню квадратному из рейнолъд-:
сова числа потока. Это — первое основное свойство ламинарного погра-
пограничного слоя.
500 гл хп ламинарный пограничный слой в несжимаемой жидкости
Подчеркнем еще раз, что здесь идет речь об изменении порядка
толщин пограничного слоя в результате общего для всех сечений погра-
пограничного слоя изменения рейнольдсова числа потока, а не изменения их
вдоль поверхности тела при фиксированном рейнольдсовом числе Re0.
Наряду с только что рассмотренным скоростным, или вихревым, по-
пограничным слоем, приходится иметь дело и с другими по физическим
свойствам переносимой субстанции пограничными слоями, как, напри-
например, температурным и диффузионным (концентрационным). Они пред-
представляют собой также тонкие в поперечном к поверхности тела направ«
лении области, в которых сосредоточена интенсивная диффузия тепла
(температуры) или вещества (концентрации), но тонкость этих областей
обусловлена большими значениями не числа Рейнольдса, а числа Пекле
(Ре) и диффузионного числа Пекле (Ped), о которых была речь в конце
гл. X.
Нет необходимости вновь повторять все рассуждения, проведенные
только что для скоростного пограничного слоя, применительно к этим
двум слоям. Заметим лишь, что в случае плоского стационарного рас-
распространения тепла и вещества уравнения баланса конвекции и диффу-
диффузии могут быть представлены в форме равенств
V- grad T=aV2Tt V- grad c=DV2cy
совпадающих с ранее указанным уравнением для завихренности Q, если
в нем заменить Q на Т или с, a v на а или D. Оценивая порядки входя-
входящих в последние уравнения величин и вводя для этого наряду с прежни-
прежними масштабами еще дополнительные: бОт и 60<* соответственно для попе-
поперечных длин в температурном и в диффузионном (концентрационном)
слоях, получим выражения для этих масштабов и выпишем их вместе с
ранее полученным соотношением для порядка толщины скоростного по-
пограничного слоя:
у ="" ° I 77^=" 1 » ~7~ ~ ° ( 77=^ ) » "Г" = ° I ,/-ni- ) • C)
Вводя еще (§ 95) число Прандтля и число Шмидта (диффузионное
число Прандтля)
Рг —
— Ре° Sc Р
I » 0а0D »
получим соотношения между порядками толщин пограничных слоев
выражающие тот факт, что при больших значениях чисел Рг0 и Sc0 (Prd0)
температурные и концентрационные пограничные слои значительно тонь-
тоньше скоростных, а при малых значениях чисел Рг0 и Sc0 (Prd0), наоборот,
значительно толще.
В настоящее время теория ламинарных и турбулентных погранич-
пограничных слоев продолжает привлекать внимание исследователей, образуя
большую самостоятельную область механики жидкости и газа. Наряду
с обширной журнальной научной литературой, относящейся к этой об-
области, существуют и специальные монографии по теории пограничного
слоя !).
1) Перечислим главные из них: Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя (име-
(имеется ряд изданий переводов с немецкого).— М.: Наука, 1974; Лойцянский Л. Г. Аэро-
Аэродинамика пограничного слоя.— М.: Гостехиздат, 194J; Лойцянский Л. Г. Ламинар-
Ламинарный пограничный слой.— М.: Физматгиз, 1962; Laminar boundary layers/Ed, by L. Ro-
Rose nhead— Oxford* Clarendon press, 1963; Evans H. L. Laminar boundary layer
theory.— Addison-Wesley, 1968.
§ 106 ВЫВСД УРАВНЕНИЙ ПРАНДТЛЯ
501
§ 106. Вывод уравнений Прандтля движения вязкой жидкости
в ламинарном пограничном слое. Явление отрыва
Переходя к выводу основного дифференциального уравнения дви-
движения вязкой среды в области ламинарного пограничного слоя, сосре-
сосредоточим в настоящем параграфе внимание лишь на случае плоского,
пристенного стационарного скоростного пограничного слоя. В последую-
последующих параграфах настоящей главы будут рассмотрены более сложные
случаи как нестационарных, так и
пространственных течений, причем
не только в пристенных, но и в сво-
свободных пограничных слоях. В кон-
конце главы будут приведены некото-
некоторые сведения о температурных и
концентрационных пограничных сло-
слоях. Понятие о турбулентном погра-
пограничном слое и эмпирических и полу-
полуэмпирических методах его расчета
можно найти в гл. XIII курса, а о Рис 183
чаминарном и турбулентном погра-
пограничных слоях в сжимаемой, неизотермической среде — газе при сверх-
сверхзвуковых скоростях его движения — в заключительной главе.
Малость при больших значениях числа Рейнольдса потока порядка
толщин пограничного слоя б0 позволяет рассматривать показанную на
рис. 183 ортогональную сетку параллельных контуру тела и нормальных
к ним кривых как прямолинейную декартову систему (х, у) в области
пограничного слоя и сохранить для уравнений Навье — Стокса обычную
их форму:
ди , _. ди \ др { ^ ( д2и д*и\
ди . ди 1 др , (
дх ду р дх \
дх2
дх
дх
ду
dv_
ду''
р ду
дх2 ду2
E)
Принятое только что упрощение в выборе системы координат не яв-
является принципиальным. Весь дальнейший вывод можно было провести,
и не считая указанную на рис. 183 сетку координатных линий прямоли-
прямолинейной1).
Пользуясь принятым ранее методом оценки порядков отдельных чле-
членов системы уравнений E) при помощи постоянных масштабов: продоль-
продольных скоростей — UOy продольных длин — Lo, поперечных — б0, определим,
прежде всего, масштаб поперечных скоростей Vo. Для этого заметим,
что, согласно последнему уравнению системы E)—уравнению несжи-
несжимаемости,— будет (у—О соответствует контуру тела)
» = - \^dy9
так что
i) См. К о ч и н Н. Е , К и б е л ь И. А , Р о з е Н. В. Теоретическая гидромеханика.
Ч. И.—М.: Физматгиз, 1963, с. 550—552, а также монографию Laminar boundary lay-
layers/Ed, by L. Rosenhe ad.—Oxford: Clarendon Press, 1963, p. 201—203.
502 гл. хп. ламинарный пограничный слой в несжимаемой жидкости
и, следовательно,
т. е. поперечная скорость в области пограничного слоя имеет тот же от-
относительный порядок, что и толщина слоя. Это — второе основное свой-
свойство ламинарного пограничного слоя.
Оценивая аналогичным образом члены в левой и правой частях вто-
второго уравнения системы, найдем:
дх
ду
Lo
Согласно приведенным оценкам члены эти имеют при больших зна-
значениях рейнольдсова числа Re0 порядок 1/"|/Re^ или еще более высокий
порядок малости l/(ReoyReo). Что же касается члена, содержащего
производную др/ду, то он, являясь с точностью до не зависящего от Re0
множителя разностью величин порядка lA/Re^, сам должен иметь такой
же порядок. Таким образом, в принятом приближении теории погранич-
пограничного слоя, т. е. при оговоренных выше больших значениях Re0, можно
пренебречь малым значением этого члена и положить др/ду=О, откуда
следует третье основное свойство пограничного слоя: во всех точках
данного, нормального к поверхности тела сечения пограничного слоя
давление имеет одно и то же значение.
Вспомним, что аналогичным свойством строго обладали все рассмот-
рассмотренные в гл. X, XI равномерные прямолинейные движения вязкой жид-
жидкости в цилиндрических или призматических трубах, а также между
близкими друг другу параллельными плоскостями и в малых зазорах
подшипников. В пограничном слое это свойство обеспечивается малой
его толщиной и, как следствие, почти параллельностью линий тока по-
поверхности тела.
Это свойство позволяет в рассматриваемом случае плоского стацио-
стационарного движения жидкости в области пограничного слоя заменить в
правой части первого уравнения системы E) частную производную
др/дх на полную производную dp/dx. Согласно тому же свойству распре-
распределение давления р(х) вдоль пограничного слоя совпадает с распреде-
распределением давления во внешнем безвихревом потоке. Это распределение по
теореме Бернулли, справедливой для набегающего на тело безвихревого
потока идеальной жидкости, можно связать со скоростью во внешнем
потоке. Благодаря тонкости пограничного слоя можно «снести» эту ско-
скорость на поверхность тела, положив ее равной той, зависящей только от
продольной координаты х скорости скольжения 0(х) жидкости по по-
поверхности тела, которая имела бы место в идеальной жидкости, т. е.
при отсутствии пограничного слоя. Скорость U(x) будем в дальнейшем
называть скоростью на внешней границе пограничного слоя или, короче,
внешней скоростью.
Согласно теореме Бернулли имеем
1± = -и-^. G)
р dx dx w
§ 100 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПРАНДТЛЯ 503
Используя ранее принятый способ оценки порядка отдельных членов
системы уравнений E) и основываясь на равенстве G), получим оценку
первого члена, содержащегося в правой части первого уравнения си-
системы E):
р dx
которую присоединим к следующей очевидной оценке остальных членов
этого уравнения:
Lo / ду [ 0 ) \
(9)
-
ду2
Приняв во внимание эти оценки, опустим первое слагаемое в круг-
круглых скобках в правой части первого из уравнений системы E) как малое
по сравнению со вторым, а также все второе уравнение системы E), ко-
которое уже использовано для обоснования третьего свойства погранич-
пограничного слоя.
Перепишем теперь систему E) в виде
ди . ди 1 dp . д2и
дх ду р dx ду2
A0)
или
ния
эквивалентном
виде
ему
и
ди .
дх
по G)
ди ,
дх
ди .
ди _
— О
, более удобном
ди
J ду
~~дп
dx
= 0.
для последующего
изложе-
ой
Уравнения эти, представляющие систему нелинейных уравнений в
частных производных второго порядка параболического типа, были ука-
указаны Л. Прандтлем в 1904 г.J).
Согласно идее Прандтля внешняя скорость U(x), входящая в пер-
первое уравнение A1), считается заданной, заранее рассчитанной по теории
плоского безвихревого обтекания тела идеальной несжимаемой жид-
жидкостью (гл. VII). В такой постановке задачи предполагается, что погра-
пограничный слой по всему контуру обтекаемого тела настолько тонок, что его
искажающее влияние на внешний поток пренебрежимо мало. Можно
сказать, что при этом не учитывается обратное влияние пограничного
слоя на внешний безвихревой поток. В некоторых случаях (плавное об-
обтекание тонких тел) такое пренебрежение обратным влиянием погранич-
пограничного слоя на внешний поток вполне допустимо, в других случаях оно на-
настолько велико, что внешнюю скорость U(x) приходится вычислять по
G), используя экспериментально замеренное распределение давления по
контуру тела.
!) Prandtl L. Uber Flussigkeitsbewegung bei sehr kleincr Reibung Verhandl
d. III. Kongr.— Heidelberg, 1904 (имеется русский перевод в издании ЦАГИ, М, 1931).
504 ГЛ XII ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОГ! В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Уравнения A1) подлежат интегрированию при следующих гранич-
граничных условиях:
и=0, v = 0 при у=0,
u-+U(x) при #->оо, A2)
и = ио(у) при х=х0.
Первые два из них выражают условие прилипания вязкой жидкости
к твердой стенке (у—О)—контуру обтекаемого тела. Третье представ-
представляет собой требование асимптотического стремления продольной ско-
скорости и в области пограничного слоя к скорости U(x) на границе погра-
пограничного слоя с безвихревым потоком. Это граничное условие можно ин-
интерпретировать как операцию «сращивания» решения уравнений Прандт-
ля движения вязкой жидкости в пограничном слое с решением уравнений
Эйлера для безвихревого обтекания тела идеальной несжимаемой жид-
жидкостью.
Характерным для уравнений параболического типа является послед»
нее граничное условие, выражающее задание профиля скоростей ио(у)
в некотором начальном сечении пограничного слоя (х=х0). Согласно
общей теории дифференциальных уравнений в частных производных
решение уравнений параболического типа при заданных граничных ус-
условиях определяется только в области течения, расположенной вниз по
потоку за этим начальным сечением.
В области течения, описываемого параболическими уравнениями,
влияние начального профиля скоростей вверх по потоку не имеет места.
Только благодаря существованию внешнего безвихревого потока, описы-
описываемого уравнениями эллиптического типа, и ранее упомянутому эффек-
эффекту обратного влияния пограничного слоя на внешний поток в этой сме-
смешанной области действия уравнений параболического и эллиптического
типов приходится наблюдать влияние начального профиля на области
пограничного слоя, расположенные вверх по течению относительно на-
начального сечения.
Если отвлечься от сравнительно узкого класса специальных задач,
связанных с необходимостью строгого продолжения вниз по потоку в
пограничном слое заданного начального профиля скоростей, то можно
заметить, что начальное граничное условие не является особенно сущест-
существенным, так как его влияние вниз по потоку быстро убывает с возраста-
возрастанием относительного (выраженного в частях начальной толщины слоя)
расстояния от этого сечения. По сравнению с продольными расстояниями
поперечный размер пограничного слоя настолько мал, что, начиная с не-
некоторого сечения, все остальные будут находиться по числу калибров
пограничного слоя достаточно далеко от начального.
Вопрос о существовании и единственности решения уравнений A1)
при граничных условиях A2) выходит за рамки настоящего курса1).
Теория пограничного слоя позволила объяснить природу явления
отрыва потока от поверхности плавной формы. Явление это тесно связа-
связано со свойством прилипания вязкой жидкости к твердой поверхности об-
обтекаемого ею тела и образованием на ней пограничного слоя.
Механизм вязкого отрыва отличен от механизма описанного в § 57
гл. VII инерционного срыва безвихревого потока идеальной жидкости с
]) Из работ этого направлении заслуживают внимания следующие: Олей-
н и к О. А. О системе уравнений пограничного слоя для нестационарного течения несжи-
несжимаемой жидкости.—ДАН СССР, 1966, т. 168, № 4, с 751—754, и ряд других работ того
же автора, цитированных в только что указанной статье, а также Nickel К. Ein Ein-
deutigkeitssatz fur instanlionare Grenzschichten — Math. Leitschr., 1960, Bd. 74 и его
обзор- Prandtl's boundary layer theory from the viewpoint of a mathematician.— Ann. Rev.
of Fluid Mech, Palo Alto, Calif, 1973, v. 5, p. 405—428.
§ 106 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПРАНДТЛЯ
505
шшь
выступающих острых кромок тела. При наличии вязкого отрыва непо-
непосредственно за ним в так называемом ближнем следе возникают слож-
сложные нестационарные попятные движения с замкнутыми линиями тока.
Стационарный отрыв является результатом взаимодействия трех
факторов: инерции потока, вязкого взаимодействия между смежными
слоями жидкости и с твердой поверхностью и направленного в сторону,
противоположную движению, обратного перепада давления. Процесс
возникновения и развития отрыва в нестационарных условиях будет
рассмотрен особо в § 116.
В кормовой области профиля вниз по течению за точкой минимума
давления М (рис. 184) происходит возрастание давления и dp/dx>0
(эта область носит наименование диффузорной); при этом жидкость в
пограничном слое движется из
области меньшего давления в об-
область большего давления против
подтормаживающего ее перепада
давлений. Если бы жидкость бы-
была идеальна и скорость на по-
поверхности крыла не равнялась
нулю, то запас кинетической энер-
энергии жидкости оказался бы доста-
достаточным для преодоления тормо-
тормозящего поля давлений. В погра-
пограничном слое поле давлений, по
предыдущему, не отличается от
поля давлений в идеальной жид-
жидкости, между тем в непосредственной близости к поверхности тела ско-
скорости очень малы, а следовательно, и кинетическая энергия частиц жид-
жидкости ничтожна. В этих условиях торможение может вызвать останов-
остановку, а далее и попятное (рис. 184) движение под действием перепада
давления, направленного против движения. Встреча набегающего пото-
потока с попятно движущейся в пограничном слое жидкостью приводит к
резкому оттеснению линий тока от поверхности тела, к утолщению по-
пограничного слоя и к отрыву его от поверхности тела. До точки отрыва S,
как видно из рис. 184, (ди/ду)у=с>0, за точкой отрыва (ди/ду)у^.0<.0\
в самой точке будем иметь условие отрыва
' ди \
ШГГ7Т7
Рис. 184
о.
A3)
Приведенное только что объяснение явления вязкого отрыва пока-
показывает, что отрыв такой природы может возникнуть только в диффузор-
ной области пограничного слоя, где вязкие взаимодействия в жидкости
сосуществуют с обратным по отношению к направлению потока перепа-
перепадом давлений. Точка отрыва S, таким образом, всегда располагается
ниже по течению, чем точка М минимума давления (максимума внешней
скорости).
Условие отрыва A3) сохранит свой вид и после перехода к безраз-
безразмерным величинам u'=ulUy y'=y/b. Замечая, что выраженное в этих
новых переменных уравнение для определения положения точки отрыва
(ди'1ду')У'=л = 0 не будет явно содержать рейнольдсово число, заключим,
что безразмерная абсцисса точки отрыва xs/=xs/Li являющаяся корнем
этого уравнения, также не будет зависеть от рейнольдсова числа.
Сделанный только что вывод о независимости положения точки от-
отрыва от рейнольдсова числа, конечно, справедлив только в предположе-
предположении о применимости уравнения Прандтля в предотрывной области. На
самом деле в области отрыва — ее размеры требуют специальной оценки
по рейнольдсову числу — уравнения Прандтля в рассмотренной форме
506 гл хп ламинарный пограничный слой в несжимаемой жидкости
теряют силу. При приближении к точке отрыва тормозящее влияние
стенки резко убывает до нуля, и преимущественное значение производ-
производных по нормали к стенке по сравнению с производными в направлении,
параллельном стенке, исчезает. При этом уже нет оснований пренебре-
пренебрегать величиной д2и/дх2 по сравнению с д2и/ду2 в круглой скобке в пра-
правой части первого из уравнений E). Поперечный размер пограничного
слоя, так же как и поперечная скорость, перестают быть малыми, сущест-
существенным становится и поперечное изменение давления.
Формальное определение положения точки отрыва из соотношения
A3), в которое подставлено в качестве и решение уравнений Прандтля
A1), не может дать точный результат, поскольку уравнения A1), как
уже указывалось, несправедливы вблизи точки отрыва. На смену урав-
уравнениям Прандтля должны прийти либо точные уравнения Навье —
С токе а, что представило бы значительные трудности, либо имеющиеся
в настоящее время приближенные асимптотические методы ').
Большое значение приобретает также факт заметного в этих усло-
условиях искажения внешнего безвихревого потока за счет оттеснения его
линий тока от поверхности тела. При этом теряется возможность той
прямой постановки решения уравнений пограничного слоя, о которой до
сих пор шла речь. Уже нельзя задавать наперед распределения скоро-
скоростей во внешнем безвихревом потоке, которое имело бы место в идеаль-
идеальной жидкости в отсутствие пограничного слоя. В этом случае, как упо-
упоминалось, необходимо учитывать обратное влияние пограничного слоя на
потенциальное обтекание или пользоваться экспериментальным распре-
распределением давления по поверхности профиля.
Неучет «обратного влияния» пограничного слоя на внешний безвих-
безвихревой поток, определенный по теории идеальной жидкости, может при-
привести к значительному искажению явления отрыва. Приведем в связи с
этим поучительный исторический пример. Г. Блазиус2) рассчитал
положение точки отрыва потока от поверхности круглого цилиндра, пре-
пренебрегая «обратным влиянием», т. е. считая распределение внешней ско-
скорости по «закону синуса» (§ 50), и получил значение угловой координа-
координаты точки отрыва 6s « 110°, т. е. за миделевым сечением цилиндра, в то
время как опыты дают 6s ~82°.
К. Хименц3) указал причину ошибки Блазиуса. Проведя решение
уравнений пограничного слоя A1) с использованием экспериментально-
экспериментального распределения внешней скорости, аппроксимированного степенной
зависимостью, он получил полное совпадение результата расчета с опыт-
опытным значением 6s ^82°, причем, как видно, этот результат не исказился
от применения уравнений Прандтля (И) вплоть до точки отрыва. При-
Приведенный факт может служить некоторым оправданием того, что в даль-
дальнейшем мы будем довольствоваться приближенным определением точки
отрыва на основе уравнений Прандтля A1) и соотношения A3) [или
эквивалентного ему равенства нулю в точке отрыва коэффициента тре-
трения cf (см. § 108)], не оговаривая каждый раз условность такого опре-
определения положения точки отрыва.
1) Сычев В. В О ламинарном отрыве.—Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, № 3; Ру-
Рубан А. А., Сычев В. В. Асимптотическая теория отрыва пограничного слоя в несжи-
несжимаемой жидкости.—Успехи механики, изд. ВИНИТИ, 1979, т. 2, вып. 4, с. 57—95;
Brown S. N., Stewartson К. Laminar separation.— Ann. Rev. of Fluid Mech., Palo
Alto, Calif., 1969, v. 1, p. 45—72.
2) В la si us H Grenzschichten in Flussigkeiten mit kleiner Reibung.—Zeitschrift
Math. u. Phys, Bd 56, 1908.
3) Hiemenz K. Die Grenzschicht an eimen in der gleichformigen Fliissigkeitstrom
eingetauchten geraden Kreiszylinder.— Dingl. Polytechn. Journ., v. 326, 1911, p. 321. Под-
Подробное изложение этого вопроса см. в сборнике обзоров: Laminar boundary layer/Ed.
L. Rosenhead.—Oxford: Clarendon Press, 1963, p. 156, 231, 260, 264, 285, 329, а так-
также Шлихтинг Г Теория пограничного слоя.— М.: Наука, 1969, с 160—166 и Л ой-
цянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой.— М.: Физматгиз, 1962, с. 82.
§ 107 РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ПРАНДТЛЯ 507
Тормозящее влияние обратного перепада давления является необ-
необходимым условием отрыва пограничного слоя с поверхности тела. Так,
при постоянстве давления вдоль пограничного слоя отрыв произойти не
может. Условие постоянства давления возникает, например, при обтека-
обтекании тела тонкой сравнительно с размерами тела струей. Внешняя гра-
граница такой струи является свободной поверхностью, так как граничит
с неподвижной средой, в которой давление повсюду постоянно. Отрыв
пограничного слоя от поверхности тела в такой струе не происходит;
тонкие струи прилипают к поверхности тела, вдоль которой они распро-
распространяются. Это любопытное, часто наблюдаемое явление иногда назы-
называют эффектом Коанда по имени румынского инженера А. Коанда, ко-
который обратил внимание на это явление еще в 1910 г.').
Отрыв пограничного слоя обычно относят к числу вредных явлений,
вызывающих резкое повышение сопротивления обтекаемых жидкостью
тел, опасные вибрации их, а в случае внутренних течений по трубам и
каналам к уменьшению полезного расхода жидкости, возрастанию по-
потерь энергии и уменьшению коэффициента полезного действия.
§ 107. Различные формы уравнений Прандтля.
Уравнения Мизеса и Крокко
В приложениях теории плоского ламинарного пограничного слоя в
несжимаемой жидкости предпочтительнее вместо двух уравнений A1)
иметь дело с одним, получаемым из системы A1) путем введения функ-
функции тока ^ (л:, у), как известно, связанной с и и v равенствами
и=д^/ду, v=-d^/dx. A4)
При этом уравнение несжимаемости [второе уравнение в системе
A1)] выполняется тождественно, и уравнения Прандтля приводятся к
одному уравнению в частных производных третьего порядка с соответ-
соответствующими граничными условиями
д д* ~ d ду* '
=0,
A5)
ц | v
ду дх ду дх ду* ~ dx ду* '
г|)=0, д^/ду=О при г/=0,
U(x) при
U(y(y) при х=х0.
Указанные формы уравнений Прандтля A1) и A5) не являются
единственно употребительными. Остановимся на двух, часто встречаю-
встречающихся формах: уравнении Прандтля — Мизеса2) и уравнении Крокко3).
Уравнение Прандтля — Мизеса основано на использовании,
наряду сх, в качестве второй независимой переменной — функции то-
тока \|).
Переход в уравнениях A5) от переменных х, у к переменным
Прандтля — Мизеса |=ж, т]=г|) может быть произведен по формулам
') Подробное описание этого явления, историю его открытия и последующего ис-
использования можно найти в статье: Reba J. Applications of the Coanda-effect.— Sci.
American, 1966, June, p. 84—92.
2) Mises R Bemerkungen zur Hydrodynanvk.— Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech,
1927, Bd. 7, S. 425—431. Уравнения эти, судя по некоторым данным, были установлены
Прандтлем еще в 1914 г.
3) Crocco L A characteristic transformation of the equations of the boundary
layer in gases,—ARC Rep., London, 1939, № 4582.
508 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
(по определению функции тока: дц/дх=д^/дх=—v, д-ц/ду
дх д? дх дк\ д? дг\ ду ду дц дх\
ду2 дц \ дц
Применяя это преобразование к первому уравнению системы A1),
будем иметь (U зависит только от ?)
d? d? дп \ дц
Вводя в рассмотрение «дефект» кинетической энергии в пограничном
слое по сравнению с внешним потоком
г = ±([/»_и«), A7)
или, согласно основному свойству пограничного слоя — постоянству
давления по сечению слоя,— дефект полного напора
получим уравнение ламинарного пограничного слоя в форме Мизеса
дг _. д2г ,/¦* ,л? д2г
A9)
где положено Z= B)^=0= —Uz.
Граничные условия для этого уравнения в частных производных
второго порядка будут следующими:
Z=Z(l) при Т] = 0, 2->0 При Т]->оо;
B0)
2=2О(Г)) ПрИ 5=?0.
Определив в результате интегрирования z(?, rj), можно вернуться
к обычной переменной у, обратив интеграл
и
о
Уравнение пограничного слоя в форме Прандтля — Мизеса A9)
по внешнему виду напоминает уравнение теплопроводности, но для
того нелинейного случая, когда коэффициент температуропроводности-
коэффициент при второй производной в правой части, равный
У2 v yZ—г, — зависит от температуры (в настоящем случае роль тем-
температуры играет дефект кинетической энергии).
Л. Крокко предложил выбрать в качестве независимых перемен-
переменных вместо х, у следующие новые: 1=х, г\=и, а в качестве зависимой
переменной использовать напряжение трения i=\idu/dy.
Для вывода формул перехода от х, у к ?=*, ч)=и имеем два очевид-
очевидных равенства
дг\ р. ди дх .диду да , ди ду
~ai[~" ~дх!%ду1%~дх<})у~Щ9
дц , ди дх .диду ди ду^
дц дх дц ду дц ду дх\
§ 108. ПРОСТЕЙШИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ 509
из которых следует:
~дц
B2)
Пользуясь этими выражениями, установим формулы перехода к
переменным Крокко
ди
ду
дц _
дх
т
И-
ди
дх
- -¦ или
ду/дх\
du dy
ду dl
ду М-
dц т
т dy
п dl '
д д\ д ,дц д д т ду д
дх дх dl дх дц dl |л, д$ дц
д dj- д _,дц д т д
ду ду dl ду дц (и дц
B3)
Применяя формулы перехода B3) к первому уравнению системы
A1) и сокращая обе части полученного при этом равенства на т/|я, бу-
будем иметь
dy , dp dy . дт dp u . дт /о,ч
—— 1| М ^^ М^ ~~"~" ' \^ ~~ ^~~ j ~~~~~ . 1<Ь«ТС^
dl dl dц д>] dg т дг]
Второе уравнение системы A1) — уравнение неразрывности — пре-
преобразуется к виду (дх\/д1=0)
дц , ди л /гкг\
—-гг + —- = 0- B5)
dl d))
Дифференцируя обе части B4) по т], найдем
dri J dl dц dl dц \ т / di^2
Чтобы исключить v, вычтем почленно обе части этого равенства из
умноженных на р обеих частей равенства B5); тогда, замечая еще, что
Л//дг)=цУт, получим следующее уравнение пограничного слоя в форме
Крокко:
dl \ т / dn2 dl dr\ \ т ]
Граничными условиями к нему, согласно B4), будут
-Л—L — 2ku -— при г| = 0, т = 0 при г) = U\
B7)
Т=ТО(Т]) При 1=1о-
§ 108. Простейшие автомодельные решения уравнений
ламинарного пограничного слоя.
Пограничный слой на продольно обтекаемой пластинке
К числу задач, допускающих простейшие автомодельные решения
уравнений Прандтля A1) или A5), относится случай пристенного по-
пограничного слоя на продольно обтекаемой пластинке. Направляя (рис.
185) ось Ох по поверхности пластинки, толщину которой будем счи-
считать пренебрежимо малой, ось Оу по перпендикуляру к поверхности
пластинки, а начало координат выбирая в передней кромке О пластин-
пластинки, заметим, что в этом случае внешний по отношению к пограничному
510
ГЛ XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
слою поток будет однородным, с одинаковой во всей области течения
скоростью t/oo.
Используем уравнение Прандтля A5), приняв во внимание, что в
данном случае ?/=const=?/00, a dU/dx=0. Будем иметь уравнение
ду дх ду дх ду2
ду3
Граничные условия для этого уравнения параболического типа при-
примем в упрощенной Блазиусом *) форме
= 0, ^L = 0 при 0 = 0,
— -> Uoo при у ->-
—- — Uoo при л: = (
ду F
B9)
Принятое Блазиусом упрощение постановки задачи B8), B9) за-
заключается прежде всего в замене профиля скоростей, определяемого
обратным влиянием (торможением) пластинки на набегающий поток,
невозмущенным профилем скоростей u=Uoo при х=0, у>0; это выра-
выражается последним равенством в систе-
системе граничных условий B9). Затем
._/_ условие прилипания жидкости к по-
^ ?~л/г верхности пластинки (O^x^L, z/=0)
заменяется первым условием в систе-
системе B9), выполняемым на луче
и^
В
Рис 185
Эти два упрощения следуют обыч-
обычной постановке параболических задач
и имеют простую физическую интер-
интерпретацию— отказ от учета «концевых
эффектов» на передней и задней кром-
кромках пластинки. Тот факт, что скорость
в точке л:=0, у=0 претерпевает разрыв непрерывности: u=Uoo при
х=—0, и=0 при х=+0, делает точку х=0, у=0 особой, но нисколько
не усложняет приводимого далее решения.
Характерное для параболического уравнения A5) свойство неза-
независимости его решения в данной точке от последующих условий движе-
движения делает решение не зависящим от длины пластинки L, что будет да-
далее использовано для выяснения общей структуры решения.
Перейдем в уравнении B8) и граничных условиях B9) к безраз-
безразмерным переменным, положив (штрих соответствует безразмерным пе-
переменным; Re=?/ooL/v)
У =
Уравнения B8) и граничные условия B9) при этом запишутся в
не содержащем характерные постоянные задачи виде
ду' дх' ду' дх' ду'2
ду'*
у = О, ^L = 0 при у' =0, х' > 0,
ду'
C0)
1) В 1 a s i u s H. Grenzschichten in Flussigkeiten mit kleiner Reibung.—Zeitschr.
Math, u Physik, 1908, Bd. 56.
§ 108. ПРОСТЕЙШИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ 511
—^ -> 1 при x
^1=1 при х'=0, */'>0.
Пусть искомый интеграл этого уравнения, удовлетворяющий гра-
граничным условиям, будет
*'-¦'(*'. *').
а в размерных переменных
Решение задачи \J>(jc, у) в любой фиксированной точке (*, у), как
уже ранее подчеркивалось, не зависит от L. Следовательно, зависи-
зависимость а|/ от своих аргументов х\ у' должна быть такой, чтобы обеспе-
обеспечивалось это свойство. Добиться такого результата можно, положив
Действительно, дело сведется при этом к разысканию решения в фор-
форме, не содержащей L:
C1)
или, если ввести в качестве аргумента
в следующем виде:
ф(л). C3)
Вычисляя входящие в уравнение B8) производные (штрих далее
обозначает производные по т]) и замечая еще, что
дх 4У V vx* ' ду 2 V vx '
найдем
4 л-
Подставляя полученные выражения производных в уравнение
B8), после простых преобразований получим обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение третьего порядка
Ф=0, q/=0 при п=0, C4)
ф7->-2 при т]->оо,
т.е.задача Блазиуса имеет автомодельное решение.
512 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Заметим, что начальное условие при *=0, у>0 выполняется авто-
автоматически и выпадает из системы граничных условий. Уравнение C4)
в элементарных функциях не интегрируется. Б л а з и у с проинтегриро-
проинтегрировал его методом сращивания рядов при малых и больших значениях
т), аналогично тому, как позже это делал Ко крен (§ 101); впослед-
впоследствии уравнение C4) было проинтегрировано численно.
Приведем результаты численного решения уравнения C4) в
ме зависимости безразмерной скорости uJUoo отт] (табл. 14)
Таблица 14
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
и 1
0
0,0664
0,1328
0,1989
0,2647
0,3298
0,3938
0,4563
0,5168
0,5748
л
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
и 1
jj—=—Ф (Л)
0,6298
0,6813
0,7290
0,7725
0,8115
0,8460
0,8761
0,9018
0,9233
0,9411
Я
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
и _ 1
1/оо~ 2 ф т
0,9555
0,9670
0,9759
0,9827
0,9878
0,9915
0,9942
0,9962
0,9975
0,9984
Найдем напряжение трения на поверхности пластинки:
Для этого, пользуясь табл. 14, определим следующее из линейности за-
зависимости u/Uоо при малых т) значение ф"@)
и получим формулу Блазиуса
г* = 0,332
C5)
Отметим две важные закономерности, выраженные последней фор-
формулой: местное напряжение трения пропорционально полуторной сте-
степени скорости набегающего на пластинку потока и изменяется вдоль по
пластинке обратно пропорционально корню квадратному из расстояния
от передней кромки.
Формула Блазиуса дает хорошее совпадение с опытными данными
во всех точках пластинки, кроме точек, близких к ее концам.
Вводя местный коэффициент трения си получим
0,664
C6)
Суммируя напряжения трения по обеим сторонам пластинки, най-
найдем полное сопротивление трения пластинки
Wf = \
= 1,328
C7)
108. ПРОСТЕЙШИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
513
и соответствующий коэффициент полного сопротивления трения пла-
пластинки
_ wf _ 1,328
Re=-
VJ.
C8)
здесь S - площадь «смоченной» поверхности пластинки, равная 2L-1.
Распределение безразмерных продольных скоростей по сечениям
пограничного слоя пластинки
1 JJV]/^) C9)
VA*
1,0
изображено на рис. 186 в координатах и/и», y~}/UJ(vx). Там же нане-
нанесены опытные точки по эксперимен-
экспериментам Ханзена1) для сечений по-
пограничного слоя с абсциссами х=3;
Ю; 15 см. При общем хорошем со-
совпадении теории с опытами можно
заметить некоторое отклонение то-
чек при х=3 см, объясняемое влия-
влиянием передней кромки пластинки,
имевшей клиновидную форму.
Пользуясь табл. 14, найдем
0,5
W//A
W///A
ш
щ
ш,
ш
w
7
W///,
W
7
/
*
+
+ д? =
о X-
. Х =
Зсм
15см
5 6
Рис. 186
D0)
где 6в9 введено для обозначения
ординаты у в точке сечения погра-
пограничного слоя, где скорость и равна
0,99 Оооу т. е. на один процент отли-
отличается от ?/«; аналогично можно
было бы ввести 6999 для ординаты,
где скорость отличалась бы на одну
десятую процента от U» и т. д. Такого рода толщины пограничного слоя
будем в дальнейшем именовать номинальными.
Выполняя численное интегрирование профилей скорости в сечени-
сечениях пограничного слоя, найдем интегральные толщины пограничного
слоя: толщину вытеснения
D1)
и толщину потери импульса
VX
D2)
Последние две «толщины» пограничного слоя не дают количест-
количественного представления о номинальной толщине пограничного слоя
E99«3б*«7,5б**), но имеют то преимущество, что мало зависят от
неточности совпадения м с I/. на границе слоя (при больших у). На-
Например, б* определяется заштрихованной на рис. 186 плоскостью,
i)Hansen M Die Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht an einer einge-
tauchten Platte.—Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech., 1928, Bd. 8, S. 185—199.
17-9487
514 гл. хн ламинарный пограничный слой в несжимаемой жидкости
величина которой мало зависит от того, будет ли выполняться интегри-
интегрирование до конечных абсцисс: 5 или 6.
Из формул D0) — D2) можно заключить, что толщины слоя ра-
растут от передней кромки к задней прямо пропорционально корню квад-
квадратному из абсциссы точки на поверхности пластинки.
Сравнивая C9) с D0) — D2), заметим, что распределение скоро-
скоростей в сечениях пограничного слоя можно рассматривать в одной из
следующих форм аффинного подобия:
=f*{f)==f3{^)'
что эквивалентно условию автомодельности решения задачи Блазиуса.
§ 109. Примеры плоских «свободных» пограничных слоев:
дальний след за телом, «затопленная» струя,
бьющая из точечного источника
В примере, рассмотренном в предыдущем параграфе, пограничный
слой был «пристенным». Дадим два примера «свободных», не связан-
связанных с наличием в потоке твердой стенки пограничных слоев.
Завихренная благодаря прилипанию к поверхности твердого тела
вязкая жидкость сходит с поверхности тела, образуя за его кормой
«след», состоящий из сохранившей
завихренность жидкости. Различа-
Различают «ближний» и «дальний» следы в
зависимости от расстояния рас-
рассматриваемой области следа от зад-
задней кромки тела. Движение в
«ближнем» следе зависит от погра-
0
ничного слоя на поверхности твер-
твердого тела, и поэтому расчет его
представляет значительные трудно-
трудности. Более просто решается вопрос
о «дальнем» следе, в котором дви-
движение не зависит от формы обтека-
обтекаемого тела, а только от испытывае-
испытываемого телом сопротивления W, скорости набегающего потока U» и, ко-
конечно, физических констант жидкости ji и р. Направим ось Ох (рис.187)
по скорости набегающего потока. Возмущение, произведенное телом в
набегающем потоке, вызывает «провал» на профилях скорости в сече-
сечениях следа (рис. 187). Этот провал будет тем слабее, чем дальше вниз
по потоку расположено выбранное сечение. Обозначим возмущение про-
продольной скорости через ии положив
-L
Рис. 187
и примем его для больших значений х за малую величину, квадратом
и высшими степенями которой и ее производных можно пренебречь.
Столь же малы будут и поперечные скорости, как об этом можно су-
судить по уравнению несжимаемости. Уравнение движения в следе све-
сведется при этом к одному
дх
ду2
D3)
при
§ 109. ПРИМЕРЫ ПЛОСКИХ «СВОБОДНЫХ» ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ 515
Из этого уравнения и предположения о плавности перехода к нулю
на бесконечности (duJdy-^О при у-*±оо) следует интегральное ус-
условие
с» оо
— ( u1dy = 0 или \ u1dy = const. D4)
dx J J
—oo
Чтобы понять смысл константы и вычислить ее, выведем инте-
интегральное выражение сопротивления тела через скорости в сечении сле-
следа на большом удалении от тела. Применим теорему количеств движе-
движения в форме Эйлера к контрольной поверхности, охватывающей тело
и имеющей вид прямоугольника со сторонами, параллельными осям
координат. На рис- 187 прямоугольник показан штрихами. Считая сто-
, роны его 2А и 2L достаточно большими, будем иметь с тем меньшей
ошибкой, чем больше эти стороны, и, в частности, чем больше А,
h
pUl -2h — W— ^pu2dy = 0,
-h
* где W — сопротивление тела. В том же приближении получим уравне-
уравнение расхода
h
pUoo • 2А = С ри dy.
ih
Отсюда найдем приближенную формулу сопротивления W тела:
h A ft h
-ft -A -A -A
а считая сечение следа достаточно удаленным (L->oo) и ширину его
достаточно большой (А-*~оо), получим
оо
W= f ры (?/«, —ы)ф. D5)
— оо
Производя здесь замену u^U^—u^ Uoo—u=ui9 и отбрасывая квад-
квадраты малых величин, будем иметь
оо
U7 = p(/oo f uxdy.
так что интегральное условие D4) может быть переписано в форме
оо
где IF-сопротивление тела, след которого изучается. Докажем, что в
достаточном удалении от тела движение в следе за ним определяется
не формой поверхности тела и его размерами, а только одной констан-
константой - сопротивлением тела.
Уравнение D3) аналогично уравнению распространения тепла и
имеет простой интеграл типа источника
!%) D7)
516 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
удовлетворяющий поставленным граничным условиям. Для определе-
определения постоянной С подставим этот интеграл в равенство D6), тогда пос-
после вычисления квадратуры получим
W
Окончательно будем иметь
Закон убывания максимального возмущения на оси следа (г/=0)
представляется формулой
и W D8)
Применяя полученную формулу к следу вдалеке за продольно об-
обтекаемой пластинкой длины L, получим, согласно C7),
Введем понятие условной ширины следа 26 (#) как удвоенной ор-
ординаты такой точки, в которой отношение l—u/Uco к \—um/Uoo принима-
принимает малое заранее фиксированное значение; получим по первому равен-
равенству D9)
6(jt)=cons1>y^, E0)
после чего профили относительных возмущений скорости
можно будет представить в виде
говорящем о наличии аффинного подобия распределения возмущений
продольной скорости по нормальным сечениям следа вдалеке от источ-
источника возмущений — тела, след которого рассматривается. Задача о
«дальнем» следе автомодельна.
Другим характерным типом свободных пограничных слоев служат
так называемые затопленные струи, распространяющиеся в неподвиж-
неподвижной среде с теми же физическими константами, что и у самой струи,
или, в общем случае, с отличными от них.
В простейшей своей постановке задачи эти относятся к случаю
предельно тонкого по поперечному сечению источника струи, но с ко-
конечным, благодаря очень большой скорости истечения, начальным им-
импульсом (секундным количеством движения) /0. К этой упрощенной
постановке можно отнести и задачу о затопленной струе, вытекающей
из сопла конечного диаметра и с конечной начальной скоростью, если
рассматривать только область движения, достаточно удаленную от ис-
источника струи. В этой далекой от источника области движение также
будет определяться импульсом, который можно рассматривать как на-
начальный импульс эквивалентной струи из тонкого источника.
§ 109. ПРИМЕРЫ ПЛОСКИХ «СВОБОДНЫХ» ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ
517
Задача о плоской ламинарной затопленной струе была решена
Г. Шлихтингом *). Применение уравнения Прандтля — Мизеса (§ 107)
к задаче о плоской струе было указано Л. Г. Лойцянским 2).
Направим ось Ох по оси сим-
симметрии плоской струи (рис. 188).
Равенство нулю внешней скоро-
скорости U позволяет написать урав-
уравнение движения вязкой несжима-
несжимаемой жидкости в области плоской
струи в одной из следующих двух
форм:
да , ди д2и ди .dv ~
дх ду ду2 дх ду
E2)
дх ду2 ду3
ду дх ду
В силу симметрии имеем на оси струи
Рис. ,188
— = о, v = 0 или —— = 0, \Ь = 0лри*/=0,
ду ду2
E3)
а на внешней границе струи при переходе к неподвижной, окружающей
струю жидкости будет
или -!---> 0 при у-*- ± оо.
E4)
Наличие таких нулевых граничных условий по у и отсутствие гранич-
граничного условия по х приводит к тривиальному решению м=0, и=0 во всей
области, что противоречит наличию движения жидкости в струе. Чтобы
устранить это противоречие, перепишем первое уравнение системы E2),
используя второе, так:
д2и
ду2 '
д(и2) . д (uv) _
дх ду ~
и проинтегрируем обе его части по у в пределах (—оо, оо). Тогда в
предположении существования интеграла в бесконечных пределах от
первого слагаемого и допустимости перемены порядка операций диффе-
дифференцирования и интегрирования, получим
d С о , , I» ди
— \ и2 dy + uv Loo = v —
dx J УТ ' ду
Подстановка в левой части этого равенства обращается в нуль вследст-
вследствие предельного перехода, а в правой — из-за предположения о плав-
плавности этого перехода, требующего стремления ди/ду-^0 при ±
Таким образом, получим
Л Г иъ dy = 0, Г u2dy= const.
!) Schlichting H. Laminare Strahlausbreitung.— Zeitschr. f. angew. Math, u,
Mech., 1933, Bd. 13, № 4, S. 260.
2) Лойцянский Л. Г. К теории плоских ламинарьых и турбулентных струй.—
Труды ЛПИ, 1955, № 176, с. 101—114
518 ГЛ XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Домножая обе части последнего равенства на постоянную плотность
р, перепишем его в форме
оо
/= ^ pa2dy = const = У0. E5)
Смысл этого равенства заключается в том, что секундное количество
движения, переносимое сквозь поперечное сечение струи, одинаково
для всех сечений. Постоянная /0 служит такой же характерной посто-
постоянной для струи, как интенсивность для точечного источника или стока,
момент для точечного диполя и т. п. Задание величины /0 делает за-
задачу о распространении струи вполне определенной. Решение r/s=u=0
не удовлетворяет интегральному условию E5), которое можно рассмат-
рассматривать как условие нетривиальности решения системы E2) при гра-
граничных условиях E3) и E4).
Условимся выражать продольные координаты х в масштабе длин
L, поперечные координаты у — в масштабе Y=Lf^Re="]/vL/V. Тогда
масштабом 4я функции тока \f будет служить величина W^vVL, где
V — некоторый масштаб скоростей. С другой стороны, согласно E5),
будет (штрихом обозначены безразмерные величины)
так что, положив
~~У V '
составим условие E5) в безразмерном виде
-.. и
Сопоставляя полученные значения ?, будем иметь выражения для
масштабов L и W через V
J2 г
pV '
причем по самому характеру задачи скорость V как масштаб не долж-
должна входить в решение. Напишем общий вид решения в безразмерных
координатах:
и в размерных координатах
Для того чтобы правая часть этого выражения не зависела от V,
общий вид решения должен быть следующим:
1/»). E7)
Действительно, при этом будет
Л,
' § 109. ПРИМЕРЫ ПЛОСКИХ «СВОБОДНЫХ» ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ 519
Полагая
JL^JJLJL-^. E9)
подставим выражение г|/ из E7), переписанного в форме
в третье уравнение системы E2), преобразованное к безразмерным ко-
координатам
ду' дх' ду' дх' ду'2 ду'3
Предварительно вычислим (ф со штрихами означают соответствующие
производные по т|)
ду ду'2
д^- = я'-'V (т,), ^1 = 1 *•-»/, [ф (Т1) _ 2т,ф' (т,)],
dy'z дх' 3
^1 1 2г,Ф" (л)].
^ х
d-v' ду 3
Совершая указанную подстановку, придем к интегрированию обык-
обыкновенного уравнения третьего порядка
<P"' + ^(<f>'2 + W) = 0 F0)
о
при граничных условиях
Ф=0, ф"=0 при т]==0,
F1)
ф'-^О при т±
и интегральном условии E6), которое можно записать в виде
Ф'2(T|)d4=l. F2)
Интегрируя обе части F0) почленно, получим
причем уже удовлетворены первые два условия F1). Интегрируя еще
раз и вводя обозначение
Ф=ф0 при ф'=0,
будем иметь
б
Дальнейшее интегрирование дает
ф
ИЛИ
ф^ — фа 2фо фо — Ф 6
о
Фо+Ф =с
520 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Отсюда найдем
е — 1 е —в
Ф — фо == Фо
— ФоЛ —ФоЛ Фо'
е8 +1 е6 + е б
Вычисляя производную по т),
1 1
ф' (т|) == — CD2 •
б
F3)
ch« К-
и подставляя в F2), получим следующее уравнение для определе-
определения ф0:
36 J
Положим для вычисления интеграла
- ФоЛ = S;
О
тогда предыдущее уравнение перейдет в такое:
3 ^^
ф /1
ch4?
и, замечая, что определенный интеграл равен 4/з, найдем искомое зна-
значение ф0:
Фо= ^=1,6510.
Возвращаясь к F3), а затем к E8), получим
Ч> = 1,6510 Т^^ th @,2752 лП± -2-) . F4)
По самому смыслу функции тока следует, что секундный объемный
расход Q сквозь сечение струи будет равен
Q = 2 (ур)у=оо = 3,3020
Расход растет от сечения к сечению пропорционально корню кубиче-
кубическому из расстояния сечения от источника струи. На выходе из щели
(*=0) расход равен нулю. Вместе с тем, как ранее было указано, се-
секундное количество движения повсюду одинаково и конечно; следова-
следовательно, и на выходе оно тоже конечно. При бесконечно большой скоро-
скорости истечения струи из щели и бесконечной тонкости щели в получен-
.ном результате нет никакого противоречия. С качественной стороны
этот результат выражает известное свойство явления эжекции: расход
.жидкости в струе мал по сравнению с расходом, эжектируемым за счет
существенного по величине количества движения струи. Как видно из
картины линий тока на рис. 188, в рассматриваемом случае бесконечно
тонкой щели струя целиком состоит из частиц жидкости, заполняющей
пространство, куда врывается струя. При истечении струи из щели ко-
конечной ширины это уже будет не так.
§ ПО. ЗАДАЧА О ПЛОСКОЙ сПРИСТЕННОИ» СТРУЕ
521
Имея выражение функции тока F4), найдем распределения про-
продольной скорости и по сечениям струи и максимального значения этой
скорости ит вдоль оси струи
L
ch2 0,2752 У —а
um= 0,4543]/ -*-. F5)
§ ПО. Задача о плоской «пристенной» струе
Рассмотрим пример пограничного слоя смешанного типа — при-
стенную струю1) у в известном смысле объединяющую пристенный слой
на пластинке со свободной струей (рис. 189).
///// /'/'' '////////////////////////Л jr
Рис. 189
Конечно, при нелинейности уравнений движения не может быть
речи о наложении потоков друг на друга; однако, как далее будет пока-
показано, некоторое сходство профиля продольных скоростей вблизи огра-
ничивающей струю плоскости с соответствующим профилем вблизи пла-
пластинки и профиля скоростей вдалеке от плоскости с профилем в струе
все же наблюдается.
Уравнение движения будет
ду дх ду дх
_
ду*
F6)
— ->• 0 при */-> оо.
Для существования нетривиального решения необходимо задать
такую интегральную характеристику движения, которая, подобно им-
импульсу струи, отвечала бы некоторому закону сохранения и тем самым
служила бы количественной мерой данной конкретной полуограничен-
полуограниченной пристенной струи. Заметим, что импульс в данном случае уже не
может сохраняться вдоль струи, так как, в отличие от безграничной
струи, имеется внешняя сила трения жидкости о границу полуплоско-
полуплоскости.
Искомое условие нетривиальности решения выведем, переписав
уравнение пограничного слоя, как и раньше, в форме
д
дх
д
ду
д2и
—
ду2
F7)
умножив обе части почленно на \|? и проинтегрировав поперек слоя от
') А к а т н о в Н. И. Распространение плоской ламинарной струи жидкости вдоль
твердой стенки.— Труды Л ПИ (Энергомашиностроение, Техническая гидромеханика),
№5.-М.: Машгиз, 1953, с. 24—31, а также Glauert M. В. Wall jet.— Journ. Fluid
Mech., 1956, v. 1.
522 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
О до оо, будем последовательно иметь
a ,, 9v , a ,, v оаФ аФ а / .ди\ дъ ди
— (Ф^ ) Н (\|)uy) — а^ — wy -z- = v — I *ф — 1 — v —
дх ду дх ду ду \ ду] ду ду
или, после очевидного сокращения,
ду) ду\ 2
почленное интегрирование дает
Q Q
О
Замечая, что все подстановки равны нулю, найдем
dx
о
откуда следует, что величина (а представляет собой значение функции
тока на внешней границе пограничного слоя)
оо а
С г|ш2 dy = Г ш|> d\p = const = ? F9)
о о
сохраняет одинаковое значение вдоль всего пограничного слоя, а ее за-
задание может служить условием нетривиальности решения.
В дальнейшем в связи с анализом полученного решения будет вы-
выяснено, что величина Е только числовой постоянной отличается от со-
сохраняющегося в сечениях пограничного слоя произведения секундных
объемного расхода Q и отнесенного к единице массы количества дви-
движения К:
Размерность величины Е определится как [U362] = [U3L2/(ULIv)] и
равна
Соображения размерностей в рассматриваемом случае приведут к
общей форме решения [L=E/(vU2)]
которая ввиду отсутствия в условиях задачи характерной скорости дол-
должна перейти в следующую:
т. е. в окончательном виде
EJFi) /I-i-. G0)
§ 110. ЗАДАЧА О ПЛОСКОЙ сПРИСТЕННОЙ» СТРУЕ 523
Подставив это выражение г|? в уравнение F6), убедимся в автомо-
дельности задачи: уравнение сведется к обыкновенному (штрих — про-
производная по г\) дифференциальному уравнению
4F'"+FF"+2F/2 = 0; G1)
граничные условия по F6) примут вид
F = F' = 0 при т] = 0,
G2)
F'-+0 при tj-^oo,
причем присоединяется еще интегральное условие
l9 G3)
о
легко выводимое из системы равенств F9) и G0).
Уравнение G1) допускает интегрирующий множитель F. Найдем,
один раз интегрируя и определяя постоянную интегрирования из гра-
граничных условий G2),
4FF"—2F'2 + PF' = 0. G4)
Совершая в этом уравнении замену переменных F' = <b и принимая
за независимую переменную /% получим линейное уравнение первого по-
порядка
f^_-L<D = _^, G5)
dF 2F 4 V 7
решение которого будет
Q> = F'=CV~F — -F2. G6)
б
Обозначим через F^ значение F при т] = оо и Ф = 0. Тогда постоян-
постоянная С равна
и уравнение G6) может быть преобразовано к виду
*| 6 KV h F^ K f
Постоянную foo определим, подставляя значения
в интегральное условие G3). Получим
7^ = 2,515. G8)
Уравнение G7) интегрируется и приводит к соотношению
Л = 0,7952 [in l±n±L + 2 VI arctg -2^-1 . G9)
L V-Vby- /6 + 2J
Объединяя его с уравнением G7), переписанным в виде
F' = -21 (]/в — 02) = 1,054 (/6 - 92), (80)
б
получим F' в параметрической форме. Нетрудно определить величины
524 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
секундного расхода Q и импульса К; будем иметь
= 2,515
(81)
Каждая из этих величин является функцией продольной координаты х,
т. е. изменяется при переходе от одного сечения струи к другому, но про-
произведение их сохраняет постоянное значение и просто связано с основ-
основной константой Е
QK = ™E. (82)
Приведем еще формулу касательного напряжения трения на твер-
твердой стенке, вдоль которой распространяется струя
тш = [гр) =0,221fi|/^. (83)
На рис. 190 и 191 сравниваются между собой распределения ско-
скоростей во внутренней (от стенки до точки максимума скорости и-пщ
Фт
ио\-
0,8
0,6
4*
42
Профиль блазиуса
Струя у стенки
I I '
™0
0,8
0,6
0Л
0,2
О
ч
\
^—
— -
W 2fl 3J0 4JJ
У/Уит
Рис. 190
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
Рис. .19I
в сечении с ординатой ут) и внешней (за точкой максимума скорости)
областях струи с распределениями скоростей на продольно обтекаемой
пластинке и в безграничной струе. По оси ординат на обоих рисунках
отложено одно и то же отношение и/ит, а по оси абсцисс: для внутрен-
внутренней области отношение у1Уит/2 текущей ординаты к ординате, соответст-
соответствующей точке сечения, где u=Um/2f а для внешней — отношение
(У—УтI(Уит/2—Ут).
Графики оправдывают высказанное ранее соображение о сходстве
между профилями скорости для рассматриваемого случая сложного дви-
движения и для ранее рассмотренных более простых случаев. Практически
полное совпадение наблюдается во внешней области (рис. 191).
§ 111. Общий случай точных автомодельных решений уравнений
стационарного плоского пристенного пограничного слоя
Среди общих решений уравнений плоского стационарного пристен-
пристенного пограничного слоя, соответствующих произвольному заданию ско-
скорости на внешней границе пограничного слоя, своей простотой и нагляд-
наглядностью отличается класс точных автомодельных задач со степенным
§ 111. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИИ 525
заданием внешней скорости. В этом случае решение сводится к интегри-
интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения третьего по-
порядка.
Выясним условия существования автомодельных решений уравне-
уравнения A5). Введем безразмерные переменные
l-f. •-?. (84)
где U(x) —скорость на внешней границе пограничного слоя в данном
сечении х и вместе с тем масштаб продольных скоростей и, 8(х) —тол-
—толщина пограничного слоя (в одном из возможных ее определений), при-
принимаемая за масштаб ординат в соответствующем сечении погранич-
пограничного слоя, произведение U8 — масштаб функции тока; величину Ф на-
назовем приведенной функцией тока.
Вытекающие из равенств (84) выражения размерной функции тока
через «приведенное» ее значение
(85)
подставим в уравнение A5) с сопутствующими ему граничными усло-
условиями и выясним, каковы должны быть функции U (х) и 8(х) для того,
чтобы в результате этой подстановки уравнение в частных производных
A5) привелось к обыкновенному дифференциальному уравнению отно-
относительно приведенной функции тока Ф, которая должна быть функцией
только ?, т. е. не зависеть от х. Предварительно найдем (далее штрих —
символ производной по jc, точка над буквой — по g)
(86)
дхду б2
иФ o $
ду ' ду* б ' ду* б2
Здесь введены обозначения для «параметров подобия»
{/'г = р, ?/z'=P; г = ^- . (87)
v
Величины р и р являются неизвестными функциями х, а обозна-
обозначение одной из них черточкой сверху объясняется наличием своеобраз-
своеобразной сопряженности между ними, заключающейся в том, что при за-
замене U на z одна из них переходит в другую:
р ^± р лри U т* z. (88)
Это свойство, как далее будет выяснено, сохраняется и для более ши-
широкого класса движений, удовлетворяющих условиям обобщенного по-
подобия.
Подстановка значений производных (86) в уравнения и гранич-
граничные условия A5) приводит к дифференциальному уравнению третьего
порядка
ф = ф = 0 при ? = 0, Ф->1 при?-+оо, (89)
Ф = Ф0Ц) при х = х0,
в котором Ф является функцией |, тогда как входящие в уравнение ве-
величины р и р представляют собой функции х.
526 гл. хи ламинарный пограничный слой в несжимаемой жидкости
Для того чтобы, по определению автомодельности, уравнение (89)
было обыкновенным дифференциальным уравнением, следует положить
р = U'z = const, p = Uz' = const (90)
и опустить при этом «начальное» условие, указаное в последней стро-
строке (89).
Для определения U(x) и 8(х) потребуется интегрирование системы
обыкновенных уравнений (90). Ставя условие конечности z=62/v при
U = 0 и вводя постоянную интегрирования с, получим следующие выра-
выражения для ?/, а вместе с тем для гиб
U = схт, z = -?- х1-, б = (^- V хA-т>/2, (91)
cm \cm J '
где введено обозначение
т=Ш- р=г^ *-Чг* (94
Как это следует из первого равенства (91), уравнение (89) будет
иметь автомодельное решение только при степенном распределении ско-
скорости U(x). Особый случай равенства нулю суммы РН Р, приводящий
к показательному закону распределения U(x), далее исключается. По-
Покажем, что интегральные толщины пограничного слоя б* и б**, опреде-
определенные равенствами D1) и D2), и напряжение трения xw на поверх-
поверхности тела (? = 0) выразятся также степенными формулами. Имеем, со-
согласно (85),
а следовательно, можно положить
= В(Р, р)б, (94)
где приняты следующие обозначения:
фA_ф)^ = В(Р, р),
(95)
Ф@;М) = ?(Р, Р).
Сохраняя независимыми параметры р и р, мы бы пришли к двух-
параметрическому решению ф(|; р, ~р). Ограничимся таким соотноше-
соотношением параметров, при котором коэффициент при втором члене в левой
части (89) равен единице, т. е. положим
Р + 1р=1, р = 2A-р). (96)
§ 111. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИИ
527
Заметим, что при таком выборе р исключается случай р-| Р=0,
приводящий к экспоненциальному виду U(x).
Уравнение (89) при условии (96) приобретает более простую одно-
параметрическую форму
Ф -f- ФФ +13 A — Ф2) = О,
(97)
Ф = Ф = 0 при | = 0, Ф->1 при |->оо.
При этом параметр р будет, согласно (92), связан с т равенствами
р=
2т
(98)
т+ 1
а формулы (91) и (94), служащие для определения толщин 6, б*, б** и
напряжения трения т«, примут вид
б2 2 Г 2v -|l/f
v (m+l)c ' L(m+l)cJ
(99)
В этом однопараметрическом приближении связь между физичес-
физическими переменными х, уу ^ и «переменными подобия» ?, Ф будет по (84)
и (91)
6 - f -
A00)
Ф:
0,6
0.2
f/\
-0,14 /
-0,199
Уравнение (97), выведенное в несколько другой форме Фокнером
иСкэн1), было численно проинтегриро-
проинтегрировано Хартри2), указавшим на то, что и/и
решение этого уравнения при т<0, (}<0
перестает быть единственным и допуска-
допускает бифуркацию (две различные ветви
интегральной кривой). При численном
интегрировании уравнения (97) им была
выбрана та из ветвей решения, для
которой асимптотическое стремление
и/У-й при ?->оо было быстрейшим.
В дальнейшем советскими авторами3)
было дано обоснование этого требования,
опирающееся на рассмотрение асимпто-
асимптотик возмущенного, неавтомодельного решения, близкого к рассматри-
рассматриваемому автомодельному.
Табл. 15 содержит значения безразмерной скорости м/?/=Ф(?, [})
(рис. 192) в области пограничного слоя при значениях [J в интервале от
!) Falkner V. М, Skan S. W. Some approximate solutions of the boundary
layer equations.— Phil. Mag., 1931, v. 12.
2) Hartree D. R. On an equation occuring in Falkner — Skan's approximate
treatment of the equations of the boundary layer.— Proc. Cambr. Phil. Soc, 1937, v. 33,
p. II.
8) Куликовский А. Г., СлободкинаФ. А. О выборе автомодельного ре-
решения в теории пограничного слоя — Механика жидкости и газа, 1974, № 4, с. 42—46.
Рис. 192
528 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Табли-
—0,1988
-0.19
-0,18
—0,16
-0.14
—0,10
0,1
0.2
0,3
0,0
ОД
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
6,2
6,4
0,0000
0,0010
0,0040
0,0089
0,0158
0,0248
0,0358
0,0487
0,0636
0,0803
0,0991
0,1423
0,1927
0,2498
0,3126
0,3802
0,4509
0,5230
0,5946
0,6635
0,7278
0,8158
0,8364
0,8789
0,9132
0,9399
0,9598
0,9741
0,9839
0,9904
0,9945
0,9969
0,9984
0,9992
0,9996
0,9998
0,9999
1,0000
0,0000
0,0095
0,0209
0,0343
0,0495
0,0665
0,0855
0,1063
0,1289
0,1533
0,1794
0,2364
0,2991
0,3665
0,4372
0,5095
0,5814
0,6509
0,7162
0,7754
0,8273
0,8713
0,9071
0,9352
0,9563
0,9716
0,9822
0,9893
0,9938
0,9965
0,9981
0,9990
0,9995
0,9997
0,9999
0,9999
0,0000
0,0137
0,0293
0,0467
0,0659
0,0868
0,1094
0,1338
0,1598
0,1874
0,2166
0,2791
0,3463
0,4170
0,4896
0,5621
0,6327
0,6995
0,7605
0,8146
0,8607
0,8986
0,9286
0,9515
0,9681
0,9798
0,9876
0,9927
0,9959
0,9978
0,9988
0,9994
0,9997
0,9999
0,9999
0,0000
0,0198
0,0413
0,0643
0,0889
0,1151
0,1427
0,1719
0,2023
0,2341
0,2671
0,3362
0,4083
0,4820
0,5555
0,6269
0,6944
0,7561
0,8107
0,8574
0,8959
0,9265
0,9499
0,9669
0,9789
0,9871
0,9924
0,9957
0,9977
0,9988
0,9994
0,9997
0,9999
0,9999
0,0000
0,0246
0,0507
0,0781
0,1069
0,1370
0,1684
0,2010
0,2347
0,2694
0,3050
0,3784
0,4534
0,5284
0,6016
0,6712
0,7354
0,7927
0,8422
0,8836
0,9168
0,9425
0,9616
0,9752
0,9845
0,9907
0,«У4б
0,9970
0,9984
0,9992
0,9996
0,9998
0,9999
0,0000
0,0324
0,0659
0,1003
0,1356
0,1718
0,2088
0,2466
0,2849
0,3237
0,3628
0,4415
0,5194
0,5948
0,6660
0,7314
0,7896
0,8398
0,8817
0,9153
0,9413
0,9607
0,9746
0,9841
0,9904
0,9944
0,9969
0,9983
0,9991
0,9996
0,9998
0,9999
0,0000
0,0469
0,0939
0,1408
0,1876
0,2342
0,2806
0,3266
0,3720
0,4167
0,4606
0,5453
0,6244
0,6967
0,7610
0,8167
0,8633
0,9011
0,9306
0,9529
0,9691
0,9804
0,9880
0,9929
0,9959
0,9978
0,9988
0,9994
0,9997
0,9999
0,9999
0,0000
0,0582
0,1154
0,1715
0,2265
0,2803
0,3328
0,3839
0,4335
0,4815
0,5274
0,6135
0,6907
0,7583
0,8160
0,8637
0,9019
0,9315
0,9697
0,9808
0,9883
0,9931
0,9961
0,9978
0,9988
0,9994
0,9997
0,9998
0,9999
0,0000
0,0677
0,1334
0,1970
0,2584
0,3177
0,3747
0,4294
0,4816
0,5312
0,5782
0,6640
0,7383
0,8011
0,8528
0,8940
0,9260
0,9500
0,9612
0,9792
0,9873
0,9924
0,9957
0,9976
0,9987
0,99сЗ
0,9996
0,9998
0,9999
0,0000
0,0760
0,1490
0,2189
0,2858
0,3495
0,4100
0,4672
0,5212
0,5718
0,6190
0,7033
0,7743
0,8326
0,8791
0,9151
0,9421
0,9617
0,9754
0,9847
0,9908
0,9946
0,9970
0,9984
0,9991
0,9995
0,9997
0,9999
0,9999
§ 111. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
529
0,4
0,0000
0,0834
0,1628
0,2382
0,3097
0,3771
0,4403
0,4994
0,5545
0,6055
0,6526
0,7351
0,8027
0,8568
0,8988
0,9305
0,9537
0,9700
0,9812
0,9886
0,9933
0,9962
0,9979
0,9989
0,9994
0,9997
0,9999
0,9999
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,5
,0000
,0903
,1756
,2558
,3311
,4015
,4670
,5276
,5834
,6344
,6811
,7615
,8258
,8860
,9141
,9421
,9621
,9760
,9852
,9913
,9952
,9974
,9986
,9993
,9994
9999
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9
0
0
0
0.6
,0000
,0966
,1872
,2719
,3506
,4235
,4907
,5524
,6086
,6596
,7056
,7837
.8449
,8917
,9264
,9514
,9689
,9807
,9884
,9933
,9962
,9979
,9989
,9995
,9997
,9999
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.8
,0000
,1080
,2081
,3003
,3848
,4619
,5317
,5947
,6512
,7015
,7460
,8194
,8748
,9154
,9443
,9644
,9779
,9867
,9922
,9956
,9976
,9987
,9993
,9997
,9998
,9999
1.0
0,0000
0,1183
0,2266
0,3252
0,4144
0,4946
0,5662
0,6298
0,6859
0,7350
0,7778
0,8467
0,8968
0,9324
0,95<)9
0,9732
0,9841
0,9905
0,9946
0,9971
0,9985
0,9992
0,9996
0,9998
0,9999
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.2
,0000
,1276
,2433
,3475
,4405
,5231
,5959
,6596
,7юО
,7629
,8037
,8682
,9137
,9450
,9658
,9793
,9879
,9931
,9962
,9980
,9989
,9995
,9997
,9999
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1,6
,0000
,1441
,2726
,3859
,4849
,5708
,6446
,7076
,7610
,8058
,8432
,8997
,9375
,9620
,9775
,9871
,9928
,9961
,9980
,9990
,9995
,9998
,9999
0
0
0
0
0
0
0
0
0,
0,
0,
о,
0,
о,
0,
0,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
2,0
0000
1588
2980
4186
5219
6096
6834
7449
7858
8376
8717
9214
9530
9726
9845
9914
9954
9976
9989
9994
9997
9999
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2.4
,0000
,1720
,3206
,4472
,5537
,6424
,7155
,7752
,8235
,8624
,8934
,*шЗ
,9640
,9799
,9892
,9944
,9970
,9985
,9993
,9996
9998
,9999
Р
/
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2,
3,
3,
3,
3,
з,
4,
4,
4,
4,
4,
5,
5,
5,
5,
5,
6,
6,
6,
/
,0
Д
,2
,3
,4
,5
,6
,7
,8
,9
,0
,2
л
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
530 гл. xii. ламинарный пограничный слои в несжимаемой жидкости
р=—0,1988, что соответствует сечению пограничного слоя в точке отры-
отрыва, до ji=2,4. Соответственно этому однопараметрическому решению
были вычислены переводные коэффициенты А($) и В($) (94). Их зна-
значения помещены в табл. 16. В последнем столбце этой таблицы приво-
приводятся также значения функции ?(р), необходимой для определения на-
напряжения т» трения на поверхности тела
/^L A01)
Не будем останавливаться на рассмотрении общего характера по-
полученного однопараметрического решения в зависимости от изменения
параметра р. Отошлем интересующихся к специальным монографиям
по теории ламинарного пограничного слоя1), где подробно описаны
Таблица 16
—0,1988
—0,1950
—0,1900
—0,1800
-0,1700
—0,1600
—0,1500
—0,1400
—0,1200
—0,1000
—0,0500
0,0000
Аф)
2,3588
2,1170
2,0068
1,8716
1,7789
1,7067
1,6470
1,5959
1,5113
1,4427
1,3124
1,2168
в О)
0,5854
0,5814
0,5765
0,5677
0,5600
0,5522
0,5452
0,5386
0,5263
0,5150
0,4905
0,4696
UP)
0,0000
0,0552
0,0857
0,1286
0,1621
0,1908
0,2164
0,2397
0,2818
0,3193
0,4003
0,4696
Р
0,0500
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,8000
1,00
1,20
1,60
2,00
Аф)
1,1417
1,0803
0,9842
0,9110
0,8526
0,8046
0,7640
0,6987
0,6479
0,607
0,544
0,498
В(Р)
0.4515
0,4355
0,4082
0,3857
0,3667
0,3503
0,3360
0,3118
0,2923
0,276
0,250
0,231
С (В)
0,5311
0,5870
0,6867
0,7748
0,8544
0,9277
0,9958
1,1203
1,2326
1,336
1,521
1,687
свойства однопараметрического и двухпараметрического решений в
зависимости от выбора значений параметров. Там же можно найти
решение для случая проницаемой стенки, сквозь которую вдувается или
отсасывается жидкость с теми же физическими константами, что и
жидкость, омывающая поверхность тела.
Степенное распределение скоростей на внешней границе погранич-
пограничного слоя соответствует внешнему плоскому безвихревому обтеканию
клина неограниченной длины, расположенного симметрично по отноше-
отношению к набегающему однородному потоку2). Угол при вершине клина
равен [2т/(т+1)]я = Eя. Значения т = 0, C = 0 относятся к клину с
нулевым углом при вершине, т. е. к обтеканию бесконечно тонкой и
длинной пластинки, в полном соответствии с условиями в задаче Бла-
зиуса, рассмотренной ранее в § 108. Значения параметров т=1, р = 1
делают угол при вершине клина равным я, что приводит к погранич-
пограничному слою на поверхности тела вблизи лобовой критической точки.
Толщины пограничного слоя будут, как это следует из формул (99) для
б, б*, б**, в этой области постоянными и равными
=0,6481/^. б** = Б
С f С
A02)
1) Laminar boundary layers/Ed, by L. R о s e n h e a d.— Oxford, 1963, p. 243—252,
а также Evans H. L. Laminar boundary-layer theory — London: Addison-Wesley Publ.
Сотр., 1969.
2) См. ранее цитированные монографии под редакцией Розенхеда (с. 234) и
Э в а н с а (с. 52—60).
§ 112. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА 531
а напряжение трения т» [см. A01)] меняется вдоль потока по линей-
линейному закону
Tw = ?(l)/ilpc5jc= 1,2326 KJxpc5 x. A03)
Заметим еще, что сходящемуся потоку во внутренней части клина
со скоростью LJ — —с/х (плоский конфузор) соответствует значение
/п=—1, а следовательно, р=оо. Случай больших значений р подробно
рассмотрен в монографии1), почти целиком посвященной описанию
автомодельных плоских и пространственных изотермических и неизо-
неизотермических движений в пограничных слоях. В этой монографии поме-
помещены таблицы, относящиеся к случаю р^>1.
Расходящийся поток внутри клина (плоский диффузор) возможен
только при р> —0,1988; т> —0,0904, так как при этих предельных
значениях р (см. табл. 16) ? = 0, что соответствует отрыву потока от сте-
стенок диффузора и последующему попятному движению жидкости.
Общее автомодельное решение уравнения ламинарного пристен-
пристенного пограничного слоя со степенным распределением скорости на внеш-
внешней его границе было в дальнейшем расширено на область «свободных»
пограничных слоев — струй и аэродинамических следов2), 3), а изло-
изложенное в настоящем параграфе решение легло в основу приближенного
метода, пригодного при произвольном распределении скорости на внеш-
внешней границе пограничного слоя 4).
Последний метод в свое время открыл путь к созданию различных
других приближенных методов и до сих пор используется в инженерных
расчетах. Его изложение дано в следующем параграфе, содержащем
рассмотрение приближенных методов расчета пограничного слоя.
§ 112. Приближенные методы расчета ламинарных пограничных слоев.
Интегральное соотношение Кармана.
Методы Польгаузена и Кочина — Лойцянского
Широко распространенное привлечение для численных расчетов
электронных вычислительных машин (ЭВМ) несколько снизило инте-
интерес к приближенным методам расчета. Однако по ряду обстоятельств:
отсутствие достаточно мощных компьютеров на местах, малая нагляд-
наглядность выходящих из машины результатов и др., приближенные методы
далеко еще не потеряли своего практического значения.
Появившиеся в двадцатых-тридцатых годах приближенные методы
расчета ламинарных пограничных слоев идейно связаны с методами
Ритца и Галеркина — те же полуинтуитивные профили скоростей,
не связанные с точными решениями уравнения Прандтля, а удовлетво-
удовлетворяющие лишь граничным условиям, установленным для этого уравне-
уравнения, определение параметров семейств так называемых «конкурирую-
«конкурирующих» профилей на основании выводимых из уравнения Прандтля
«интегральных соотношений».
С одним из них, наиболее употребительным соотношением Карма-
Кармана, мы вскоре познакомимся, другие можно найти в специальных
1) Evans H. L Laminar boundary-layer theory.— London: Addison-Wesley Pub!.
Сотр., 1969.
2) Stewartson K. Further solutions of the Falkner — Skan equation.— Proc.
Camb. Phil. Soc, 1954, v. 50, p. 454—465; Stewartson K. Falkner —Skan equation
for wakes — AIAA Journ , July 1964, v. 2, № 7.
3) Kennedy E D. Wake-like solutions of the laminar boundary layer equations.—
AIAA Journ., 1964, v. 2, p. 225—231.
4) Кочин Н. Е, Лойцянский Л. Г. Об одном приближенном методе расчета
ламинарного пограничного слоя.— Докл. АН СССР, 1942, т. 36, № 9.
532 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
руководствах1) и отдельных статьях2). В соответствии с методом Рит-
ц а применялись и интегральные соотношения, вытекающие из вариаци-
вариационных принципов механики8).
В конце тридцатых годов эти методы получили принципиальное
улучшение. В качестве «конкурирующих» профилей стали применять
точные решения уравнения Прандтля для частных заданий распреде-
распределения скорости на внешней границе пограничного слоя. Первая попытка
в этом направлении принадлежала Л. Хоуарту4), положившему в
основу точные профили скоростей, соответствующие линейному «одно-
«односкатному» распределению скоростей на внешней границе слоя, но чет-
четкое оформление этой идеи появилось у нас в стране и за рубежом толь-
только в начале сороковых годов, причем, по обстоятельствам военного
времени, независимо друг от друга. По тем же обстоятельствам задер-
задержалось опубликование первой советской работы этого направления, со-
содержавшей метод Кочина — Лойцянского5), в котором «конку-
«конкурирующие» профили скоростей были взяты из точного автомодельного
реш&рия уравнения пограничного слоя при степенном распределении
скорости на внешней его границе (§ 111).
Завершением развития методов этого направления явился опубли-
опубликованный в 1965 г. метод «обобщенного подобия»6), получивший широ-
широкое распространение как в задачах разнообразных ламинарных погра-
пограничных слоев в несжимаемой жидкости, так и в потоках газов больших
до- и сверхзвуковых скоростей (см. § 114 и 148), а в последнее время и
для турбулентных пограничных слоев (§ 138).
В основу метода «обобщенного подобия» положен алгоритм по-
построения последовательных приближенных решений, принципиально от-
отличный и от методов Ритца — Галеркина, и от ранее указанных
других методов. Заданное произвольное распределение скоростей на
внешней границе пограничного слоя заменяется в первом приближении
линейным, во втором — квадратичным и т. д. представлениями, осу-
осуществляющими в каждой точке совпадение приближенного распределе-
распределения скорости на внешней границе с заданным по уклону касательной,
кривизне и последующим «кривизнам». Известный факт преимущест-
преимущественного значения совпадения по уклону касательной и первой кривизне
и относительно малого значения следующих по порядку кривизн, делает
уже второе приближение вполне удовлетворительным, что подтверж-
подтверждают расчеты. Это говорит о быстроте сходимости метода «обобщен-
«обобщенного подобия» (§§ 113 и 114). Каждое приближение приводит к своему
уравнению, не зависящему от вида распределения скорости U(x) на
внешней границе пограничного слоя для частных задач и поэтому назы-
называемому «универсальным». Универсальное уравнение для каждого при-
приближения можно проинтегрировать раз навсегда, составив соответст-
соответствующие таблицы. Для расчета отдельной конкретной задачи достаточно
проинтегрировать обыкновенное дифференциальное уравнение первого
порядка или воспользоваться простой квадратурой.
х) Кочин Н. Е., К и бель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика.
Ч. II.—М.: Физматгиз, 1963, с. 556—566; ом. также Лойцянский Л. Г. Ламинар-
Ламинарный пограничный слой.—М : Физматгиз, 1962, с. 92—113
2) Лойцянский Л. Г. Приближенный метод интегрирования уравнений лами-
ламинарного пограничного слоя в несжимаемом газе.— Прикл. мат. и мех., 1949, т. 13, вып. 5.
8) Лойцянский Л. Г. Интегральные методы теории пограничного слоя.—
Прикл. мат. и мех., 1941, т. V, вып. 3, с. 453—470.
4) Н о w a r t h L. On the solution of the laminar boundary layer equations.— Proa
of the Roy. Soc, ser. A, 1938, v. 164, № 919, p. 547.
б) К о ч и н Н. Е., Лойцянский Л. Г. Об одном приближенном методе расчета
ламинарного пограничного слоя.— Докл. АН СССР, нов. серия, 1942, т. 36, № 9.
б) Лойцянский Л. Г. Универсальные уравнения и параметрические приближе-
приближения в теории ламинарного пограничного слоя.— Прикл. мат. и мех., 1965, т. 29, в. 4.
§ 112. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА 533
В основе приближенных методов теории ламинарного пограничного
слоя лежит использование в той или другой форме интегрального соот-
соотношения Кармана, выражающего теорему количеств движения (тео-
(теорему импульсов) в применении к потоку жидкости в области погранич-
пограничного слоя.
Систему уравнений A1), пользуясь вторым из них, можно тождест-
тождественно преобразовать к виду
д , о\ • д , ч rj dU , д2и
—-(u*) + — (uv) = U— + v—,
дх ду dx ду2
д /т т \ , д /т т \ dU
— (Uu) + — (Uv) = и— ,
дх ду dx
после чего вычитанием по отдельности правых и левых частей этих
уравнений получить
дх ду
Производя почленное интегрирование по у от у = 0 до у = оо либо б,
что соответствует представлению об асимптотическом стремлении u-+U
при у-^оо или понятию конечности толщины пограничного слоя (u=U
при у=б), получим
00,6 ОО.б
J ±[u(U-
l/=o
Используем граничные условия A2) или соответствующие предпо-
предположению о конечности толщины пограничного слоя условия u=U,
ди/ду^О при t/=6.
Предполагая существование интегралов
J u(U-u)dy, J (U — u)dy
о о
и допустимость перемены порядка дифференцирования и интегрирова-
интегрирования в первом интеграле левой части предыдущего равенства, получим
) . (,04)
о о
Вводя следующие обобщения интегральных толщин пограничного слоя
D1), D2) на случай произвольной скорости U(х) на внешней его гра-
границе
о о
сначала получим из A04)
— ШЧ") + U ^L б* = J^E-
а затем, раскрывая производную в левой части, придем к общеприня-
общепринятому выражению интегрального соотношения Кармана (?/'=
=dU/dx) *)
*•• ^1- + 6-)=-^-, A06)
dx U
!) Кйгтап Th. Ober laminare und turbulente Reibung.—Zeitschr. f. angew. Math.
u.Mech., 1921, Bd. 1.
534 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
либо
В правых частях уравнений A04), A06), A07) использовано обо-
обозначение напряжения трения на твердой поверхности обтекаемого тела
) • (Ю8)
Наиболее обоснованным из известных в сороковых годах прибли-
приближенных методов расчета ламинарного пограничного слоя был цитиро-
цитированный в конце предыдущего параграфа метод Кочина — Лойцянс-
кого. В этом методе общие автомодельные решения уравнений при-
пристенного стационарного пограничного слоя (см. § 111) использованы
применительно к неавтомодельным задачам в предположении, что пара-
параметры р и р меняются от сечения к сечению. Ограничимся однопарамет-
рическим подходом, связав между собой р и р соотношением (96), при-
приводящим уравнение (89) к виду (97). Располагая, таким образом, толь-
только параметром р, сможем применять имеющиеся таблицы безразмерной
скорости и/и=ФA, р) и функций ?(р), Л (р) и В(Р), приведенные в пре-
предыдущем параграфе.
Сущность метода Кочина — Лойцянского заключается в разыска-
разыскании неизвестной функции $(x) = U (x)z(x) = U'62/v, а тем самым и
б(х), так как, имея табличное определение безразмерной скорости
и/и = фA, Р) (см. табл. 15) и найдя б (я), можно будет получить ре-
решение конкретной задачи с заданным распределением 0(х) в форме
uw Lew
На первый взгляд для определения 8(х) можно воспользоваться
произвольно принятым условием (96) и, согласно (87), получить урав-
уравнение
1
2 + у Z — ,
интегралом которого будет
б2 S
Однако это решение, связанное только с заданием скорости U(x)
на внешней границе пограничного слоя и не отражающее влияния про-
профилей скорости в сечениях пограничного слоя, должно быть откинуто
и заменено следующим, основанным на применении интегрального со-
соотношения Кармана в любом из видов A04), A06) или A07).
Условимся в дальнейшем использовать в качестве характерной тол-
толщины пограничного слоя интегральную «толщину потери импульса» 6м
D2). Это упрощает расчетную сторону как рассматриваемого сейчас
метода, так и всех дальнейших. При таком выборе толщины погранич-
пограничного слоя роль параметров р и р будут играть величины
(ПО)
112 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Таблица 17
535
/
-0,0681
-0,06
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0,00
0,01
lif)
0,0000
0,064
0,098
0,130
0,155
0,178
0,200
0,221
0,240
H(f)
4,03
3,35
3,12
2,96
2,84
2,74
2,66
2,59
2,53
Fif)
0,821
0,772
0,715
0,658
0,602
0,548
0,495
0,441
0,388
/
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
lit)
0,257
0,274
0,291
0,307
0,323
0,338
0,352
0,366
0,380
HQ)
2,48
2,43
2,38
2,34
2,30
2,26
2,23
2,20
2,18
Fif)
0,336
0,283
0,232
0,180
0,130
0,078
0,028
—0,023
—0,074
Умножим обе части уравнения A07) на ?/6**/v; тогда после простых
преобразований оно перепишется в одной из следующих форм:
A11)
A12)
где,кроме (ПО), введены еще обозначения
A13)
Выражения ?(/), #(/) и F(f) получим, воспользовавшись равен-
равенствами (99), A00) и A13). Составим следующую параметрическую си-
систему соотношений (параметр р):
б"
lit/
A14)
F ф) = - 4(Ш2 (Р) - 2РЛ (Р) В (Р) + 2Ф @, Р) В (Р).
16 значение Л(р),
после чего, исклю-
Задаваясь различными (}, определим по табл.
Ф(°- Р). затем по A14) /(Р). Я(Р). Ш) и
чая р, найдем искомые t,(f)=Tw5"/(\iU), H(f) и
F(/). Числовые значения этих величин помещены
в табл. 17, по которой построены графики ?(/),
H(f),F(f) (рис.193).
Как видно из графика функции F(f), ее мож-
можно заменить линейным представлением
/="(/) «а—6/, а«0,45, Ь~5,35, A15)
причем отклонение от линейного закона A15) не
превзойдет значения 0,03.
^ Уравнение A11) при этом переходит в ли-
линейное обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение
\
F(ffr
>
н
6-
\
4-
3-
У
1-
F,Q
-0,6
0,5
o\s
-0,2 \
0,1 \
•dx
U
U'
U
-ti,J<t 0 0,04 0,08 Г
Рис. 193
536 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
интегралом которого будет
х
о
Из условия конечности / при х = 0, U = 0 следует С=0, и искомое
решение примет окончательный вид
(П6)
причем параметр / в начальной точке (х=0) равен
/@) =
, 1 aU'(x)Ub-l(x)
bUb'1(x)Uf(x)
x=0
Пользование общей для всех задач табл. 17 и относящимися к дан-
данному распределению U(x) в конкретной задаче значениями f(x) по
A16) полностью решает вопрос о приближенном расчете пограничного
слоя по изложенному методу. В точке отрыва S, где, согласно A3), вы-
выполняется условие
ди\ и г д(и/и) 1 и
параметр fst как это непосредственно следует из табл. 17, равен /,=
= —0,0681.
Судя rto проведенным расчетам и сравнению с точными решениями
(см. далее), данный метод приводит к заниженным значениям напря-
напряжения трения на поверхности обтекаемого тела и, сообразно с этим, к
сравнительно с другими методами меньшим величинам абсциссы точки
отрыва. Мы остановимся на этом вопросе в следующем параграфе, где
будут получены результаты, основанные на более совершенных прибли-
приближенных методах.
Изложенный приближенный метод расчета ламинарного погранич-
пограничного слоя основывался на использовании однопараметрического семей-
семейства профилей скорости, представлявших точные автомодельные реше-
решения уравнений Прандтля A1). Такой подход или несколько более об-
общий, заключавшийся в выборе «конкурирующих» однопараметрических
семейств профилей скорости среди других, известных к тому времени
точных решений, возник только в самом конце тридцатых годов. Ранее
для этой цели использовали искусственно образованные аналитические
семейства профилей, схожих по форме с действительными профилями и
совпадающих с ними на внешней (у=6) и внутренней (у = 0) границах
пограничного слоя. Произвол в выборе такого рода конкурирующих на-
наборов профилей скорости породил большое число различных прибли-
приближенных методов.
Основную идею этих методов покажем на примере исторически
ранее всех появившегося и вызвавшего многочисленные подражания ме-
метода К. Польгаузена1). Будучи опубликована одновременно и в
том же журнале, что и ранее процитированная статья Кармана, статья
Польгаузена ставила целью иллюстрацию применения интегрального-
соотношения Кармана.
l) Pohlhausen К. Zur naherungsweisen Integration der Differenzialgleichungen
der laminaren Grenzschichten.— Zeitsch. f. angew. Math. u. Mech., 1921, Bd. 1.
§ 112. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА 537
Польгаузен предложил принять за однопараметрическое семейство
профилей продольных скоростей в сечениях пограничного слоя семей-
семейство многочленов четвертой степени
12 +Я, у X /уу 4 —А, I у у . 6 — X (JLV
U 6 6 2 \6j 2 V б У 6 \6,
= 2? — 213 + 1*+ —Я?A —IK A17)
6
с параметром семейства, равным A,= ?/'62/v, где б — принятая конечной
толщина пограничного слоя, а 1=у/8. Коэффициенты многочлена A17)
были выбраны согласно граничным условиям
д2и VW
г/ = 0, = при у = 0,
^ v A18)
и = ?/, -^ = 0, -^=0 при */ = 6.
Первое из этих условий совпадает с аналогичным условием A2),
второе получено из уравнения A1) путем применения его к твердой по-
поверхности (# = 0, u = v = 0). Третье выражает равенство продольных
скоростей в пограничном слое и внешнем потоке в точке их сращива-
сращивания на конечном расстоянии у = 8 от твердой поверхности, вместо соот-
соответствующего асимптотического условия A2). Наконец, четвертое и
пятое выражают плавность перехода от и к U в точке сращивания
Последние условия и число их заключают в себе произвол, кото-
который, как показали последующие исследования1), чувствительно отра-
отражается на методе. Так, например, вытекающее из уравнения A1) допол-
дополнительное условие (д3и/ду3)у=0 = 0, введенное вместо последнего условия
в системе A18), значительно улучшает точность метода Польгаузена,
лишний раз подчеркивая интуитивный характер этого метода.
С оперативной стороны метод Польгаузена во многом аналогичен
методу Кочина — Лойцянского. Так же, но на основании профилей ско-
скорости в сечениях слоя A17), составляются функции
1
t^ j h-
10 120 '
A19)
U ) b 315 945 9072
Подстановка их в интегральное соотношение Кармана приводит к
сложному нелинейному уравнению первого порядка, которое Польгау-
Польгаузен решал графическим методом изоклин. Определенное из этого урав-
уравнения б (л:) подставлялось в предыдущие равенства, что и давало реше-
решение задачи.
Переход от ^=t//62/v к уже использованному в настоящем параграфе
и принятому в дальнейшем параметру f=U'6**2/v позволяет свести ре-
решение к интегрированию уравнения A11) при принятом обозначении
A13) для функции F(f). В табл. 18 приведены пересчитанные значения
!) Л о й ц я н с к и й Л. Г. Аэродинамика пограничного слоя.— М.; Л.: Гостехиздат,
1941, с. 170—189. См. также более позднюю монографию того же автора: Ламинарный
пограничный слой.-—М.: Физматгиз, 1962, с. 96—98.
538 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Таблица 18
X
8
7,052
7
6
5
4
3
2
1
0
—1
f
0,0831
0,0770
0,0767
6,0689
0,0599
0,0497
0,0385
0,0264
0,0135
0
—0,0140
0,340
0,332
0,331
0,321
0,310
0,297
0,283
0,268
0,252
0,235
0,217
2,29
2,31
2,31
2,33
2,36
2,39
2,43
2,47
2,51
2,55
2,60
F if)
—0,033
0
0,002
0,046
0,098
0,158
0,226
0,300
0,382
0,470
0,563
a.
9
—3
-4
—5
—6
—7
-8
—9
—10
-11
—12
f
—0,0284
—0,0429
—0,0575
—0,0720
—0,0862
-0,0999
-0,1130
—0,1254
-0,1369
-0,1474
—0,1567
l(f)
0,199
0,179
0,160
0,140
0,119
0,100
0,079
0,059
0,039
0,019
0
H(f)
2,66
2,72
2,78
2,85
2,92
3,00
3,08
3,18
3,28
3,38
3,50
F(f)
0,662
0,764
0,870
0,978
1,085
1,198
1,308
1,417
1,523
1,625
1,724
функций ?(/), #(f), F(f), соответствующие методу Польгаузена. Также,
как и раньше, можно, но не столь точно, произвести замену F(f) ее
линейным приближением A15) и получить решение в форме A16). Зна-
Значения постоянных а и Ъ отличны от приведенных ранее для метода Ко-
чина — Лойцянского. Их приближенные значения таковы: а = 0,47,
6 = 6,10.
Как показывают расчеты, метод Польгаузена, в отличие от метода
Кочина — Лойцянского, приводит к завышенным значениям напряже-
напряжения трения на поверхности тела (т„,) и соответственно к завышенному
значению модуля параметра точки отрыва, т. е. к затянутому по срав-
сравнению с действительным положению точки отрыва.
Описание других приближенных методов расчета ламинарных по-
пограничных слоев можно найти в ранее уже цитированной монографии,
изданной под редакцией Л. Розенхеда.
§ 113. Обобщение аффинного подобия на неавтомодельные течения
в пограничных слоях. Метод обобщенного подобия
Соотношения аффинного подобия неоднократно фигурировали в
предыдущем изложении. В частности, в случае пограничного слоя на
продольно обтекаемой пластинке (§ 108) было использовано следующее
выражение условия аффинного подобия профилей скорости в сечениях
пограничного слоя (?=у/6**):
где U„ и б** представляли собой масштабы скоростей и ординат точек
в области пограничного слоя. Предполагая теперь перейти к рассмотре-
рассмотрению приближенного метода расчета любого, не автомодельного, погра-
пограничного слоя, с произвольным, а не только степенным распределением
(§ 111) скорости на внешней его границе, расширим определение аффин-
аффинного подобия в сторону возможной его зависимости от произвольного
числа параметров — будем их называть параметрами обобщенного
аффинного подобия.
Иными словами, будем рассматривать предыдущее соотношение
обычного аффинного подобия в форме «аффинного подобия с парамет-
параметрами»
где х* (*= 1» 2, .
ция х.
¦^-=<P(?.3Clf X,, ...),
..) — некоторые функции х, a U — произвольная функ-
функ§ 113. ОБОБЩЕНИЕ АФФИННОГО ПОДОБИЯ 539
Если считать, что входящие в предыдущее выражение величины %k
могут принимать любые независимые значения, то это выражение пред-
представит многопараметрическое семейство аффинных преобразований в
обычном их смысле. Полагая %h непрерывными функциями х> включим
их наряду с ф и g в общее число «переменных подобия» и, опуская слово
«аффинное», назовем такое подобие «обобщенным», а переменные ф,
IЪ 3d» • • • ~" «переменными обобщенного подобия».
Чтобы использовать принятое определение «обобщенного подобия»
и «переменных обобщенного подобия» для построения приближенного
метода интегрирования уравнения Прандтля A5), предложим следую*
щий эвристический прием.
Примем в качестве «нулевого» приближения обычное аффиннопо-
добное выражение функции тока г|)
4> = W<DF), A20)
где U и 6** — произвольные значения скорости на внешней границе по-
пограничного слоя и толщины потери импульса, а ?=у/б**. Подставляя,
как уже это делалось в предыдущих параграфах, выражение \|? по A20)
в уравнение Прандтля A5), придем в результате к уравнению (штрих —
производная по х\ г, как и прежде, равно 6**2/v)
При этом, учитывая, что выражение A20) в общем случае не является
решением уравнения A5), получим «невязки» принятого допущения
A20) в форме функций от х
M*) = t/'z, J1(x) = Uz'. A21)
Наличие в предыдущем дифференциальном уравнении наряду с g
переменной х по A21) заставляет для выражений производных от Ф
принять символы частных производных.
Включив в число «переменных обобщенного подобия» указанные
только что «невязки» ft и fu будем теперь искать решение уравнения
Прандтля A5) в форме
¦ = W<DF,fi.7t).
Подставим это выражение вновь в уравнение A5). Заметим, что
производные, входящие в уравнение A5), приобретут при этом вид
а2ф Т\]
1дТг tl)\ '
дхду в
_^L_ //J5L dhp__JJ__d*<t>_ азг|) _ U
ду ~ dl * ду* ~ вм а|2 ' Ни? ~ 6"8 ~W '
Исключим в правых частях первых двух равенств выражения Uzf/
и Uzfi\ полученные непосредственным дифференцированием по х па-
параметров fi и /4 A21). Найдем соотношения
Uzf[ = U'zUz' + ?/[/» = fjx + UU"z\
Uzf[ == U'zUz' + Uhz" = fjx + Uhz".
Ввводя следующие по порядку за fi и /4 новые переменные обобщен-
обобщенного подобия
540 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ1
перепишем предыдущие равенства в виде
A22)
Производя подстановку полученных выражений в уравнение A5),
придем к следующему уравнению:
р (ф,
= е р (ф, ар/ар , Q
1 Dah) ~*~ r
где использованы обычные обозначения якобианов
р (Ф, аФ/ag) _ аф агФ аФ агФ
D(l.fi) ~ 36 dtdf,. dh в?
р (Ф, аФ/ар _ аФ агФ аФ
ад ag«
Развивая дальше тот же прием, будем искать решение уравнения
Прандтля A5) в форме
•ф=?/6"Фа, fu A, fIf /2, ...) A23)
с независимыми переменными |, fA, fh (k=\, 2, ...), определенными ра-
равенствами (z=6**2/v)
и соотношениями
A25)
:=[(fc-l)/l + */ll/*+/*+! =9*.
Введенные переменные fk, fk (&=1, 2, ...) и их функции 6Л и Qk об-
обладают следующими свойствами:
1°. Непосредственно убедимся, что удовлетворяется условие сим-
симметрии
fk*±fk, 9^9*, если U^z.
2°. Согласно оценке F) масштаба поперечных длин, получим сле-
следующее выражение для порядка величины и размерности z:
U
Таким образом, величина z имеет размерность времени. Отсюда следу-
следует, что размерности параметров fh и fh определяются равенствами
A26)
что говорит о безразмерное™ переменных fh и Д; независимость их от
рейнольдсова числа вытекает из независимости от него величины z.
§ 113 ОБОБЩЕНИЕ АФФИННОГО ПОДОБИЯ 541
Переходя теперь к составлению преобразованного к переменным
обобщенного подобия Ф, |, fk, fh (fe=l, 2, ...) уравнения A5), подста-
подставим в это уравнение значения -ф и ее производных в переменных обоб-
обобщенного подобия. То же сделаем и с граничными услориями.
, В результате несложных выкладок обнаружим, что левая часть это-
этого уравнения сохранит вид, полученный ею уже на первых ступенях
изложенного приема, а к правой частидобавится сумма якобианов, учи-
учитывающих влияние следующих за Д и /t переменных fh и fh (fe=2, 3, ...).
Искомое уравнение в своем наиболее общем виде, еще не упрощенном
в результате последующих допущений, будет таким:
К этому уравнению присоединяются граничные условия
ф = ф = 0 при 1 = 0, Ф->1 при ?-*оо,
A28)
Ф = Ф0(^) при fk=fM, Д=Д0 (А=1,2, ...)•
Последнее условие, отмеченное индексом 0, выражает тот факт, что
искомая интегральная кривая должна выходить из точки, соответствую-
соответствующей некоторому автомодельному решению. Заметим, что общему авто-
автомодельному решению, изложенному в § 111, будут соответствовать за-
зависящие от показателя степени т в законе скорости U = cxm следующие
значения параметров fM и fM:
A29)
где
b[^l
A =B($) —функция, приведенная в табл. 16. Как и долж-
\т + 1 /
но быть в автомодельном решении, параметры fM и fM не зависят от х.
Уравнение A27) значительно превосходит по сложности уравнение
Прандтля A5), однако обладает по сравнению с ним существенными
преимуществами. В отличие от уравнения A5), которое должно ре-
решаться для каждого конкретного задания U(x) отдельно, уравнение
A27) не содержит явно U(x) и, следовательно, может быть проинтегри-
проинтегрировано один раз навсегда, независимо от того, какая задача предлага-
предлагается для решения. Это позволяет назвать уравнение A27) универсаль-
универсальным. В результате численного интегрирования универсального уравне-
уравнения A27) с «универсальными» граничными условиями A28) составля-
составляются таблицы всех характеристик пограничных слоев, в дальнейшем
уже непосредственно используемые на первом этапе расчета любого по-
пограничного слоя. Решение задачи A27), A28) ценно еще и тем, что оно
дает многопараметрическое семейство профилей безразмерной скоро-
скорости, полученных рациональным образом из уравнений пограничного слоя
A5), а не выдвигаемых из тех или других интуитивных соображений.
Заслуживает внимания также и тот факт, что единственное, объеди-
объединяющее обширный круг задач теории пограничного слоя решение этого
универсального уравнения выражает некоторые общие закономерности,
связывающие характерные для пограничного слоя величины с такими
величинами, как, например, уклон кривой внешней скорости U(x) и ее
кривизна. Аналогичные закономерности могут быть выявлены на основе
542 ГЛ XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
подобного подхода и для температурных или концентрационных погра-
пограничных слоев.
Изложенный метод основан на использовании бесконечного про-
процесса последовательных построений решений универсального уравнения
A27) при граничных условиях A28) и нуждается, конечно, в матема-
математическом доказательстве сходимости этого процесса, к настоящему вре-
времени еще не найденном 1).
С этой оговоркой можно признать, в известном роде, эквивалент-
эквивалентность универсального уравнения A27) и уравнения Прандтля A5), по-
поскольку первое из них было получено из второго преобразованием фи-
физических переменных х, у, -ф (довольствуемся_ стационарным случаем)
к переменным обобщенного подобия |, /,, /ь f2< /2, ..., Ф.
Бесконечное число переменных обобщенного подобия в «универ-
«универсальной» постановке задачи теории ламинарного пограничного слоя
практически сводится к небольшому их числу, оправдываемому подтвер-
подтвержденной расчетами быстрой сходимостью процесса. Следующая отсюда
приближенность метода обобщенного подобия обусловлена при совре-
современной технике машинного счета вынужденно небольшим числом пе-
переменных. Это заставляет упрощать универсальное уравнение, используя
те или иные допущения. К ним прежде всего относится «урезание» чис-
числа переменных, затем «локализация» их по данному переменному, за-
заключающаяся в отбрасывании производных по этой переменной.
Переходя к конкретному упрощению универсального уравнения
A27), откажемся, подобно тому как это имело место в общем случае
автомодельных решений (§ 111), от совокупности переменных fk (&=
= 2, ...) и 6ft (&=1, 2, ...), сохранив лишь переменную /,, явно входя-
входящую в левую часть уравнения A27), и выражения Qk F=1, 2, ...) A25)
в правой его части. Значение такого упрощения вскоре выяснится. Со-
Сохраненную переменную /t выразим через основные переменные fh (k=
= 1, 2, ...), воспользовавшись для этого интегральным_соотношением
Кармана (§ 112). Будем иметь следующее выражение ft [см. A12) и
A13)] (точка над буквой означает производную по ?):
/i = 2{t(/lf ...)-[2 + Я(/ь ...)]/J, A30)
где положено
A31)
оо оо
Уравнение A30) можно было бы вывести интегрированием обеих
частей уравнения A27) от ? = 0 до ? = оо подобно тому, как это делалось
в § 112 для уравнения A1). Для этого следовало бы только заметить,
что появляющиеся при выводе интегралы равны (за толщину слоя при-
1) Изложению метода обобщенного подобия в разных его аспектах посвящен ряд
работ, среди которых отметим следующие: ЛойцяискийЛ Г. Универсальные урав-
уравнения и параметрические приближения в теории ламинарного пограничного слоя.—
Прикл. мат. и мех., 1965, т. 29, №1; и того же автора: Универсальные уравнения теории
ламинарного пограничного слоя и параметрические методы их интегрирования.— Труды
ЛПИ, 1967, № 280; Обобщенно-подобные решения уравнений пограничного слоя.—Сбор-
ник, посвященный шестидесятилетнему юбилею Л. И. Седова, М.: Наука, 1969, с. 301;
Методы подобия в теории интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя.—
Сборник «Вопросы математической физики», посвященный семидесятипятилетнему юби-
юбилею Г. А. Гр и н б е р г а, Л.: 1976, Наука, с. 237—254. Ссылки на статьи, содержащие
разнообразные применения метода обобщенного подобия, приводятся далее.
§ ИЗ. ОБОБЩЕНИЕ АФФИННОГО ПОДОБИЯ 543
иго б"; |=«//6")
5 Ф dl = (Ф)|:Г = - Ф [0, (/*)] = -
~) и V и ) б"
о
Интегралы от якобианов, как это следует из асимптотических (при
х>) формул (~ —знак асимптотического равенства)
дФ d / 6*
fk V 6
равны нулю; действительно,
(Е,/Л) J I di didfk dfk
что и приводит к уравнению A30).
При таком «урезании» переменных fh (fe=2, ...) и задании /4 по
A30) универсальное уравнение A27) и граничные условия к нему при-
принимают вид
!
A32)
ф = 0, Ф = 0 при | = 0,
Ф-> 1 При 1-+- оо,
Ф = Ф*Ш при Д=/2=...=0,
где подразумевается ради краткости записи, что /4 повсюду заменено
своим выражением A30).
Граничное условие в последней строчке для простоты отнесено к
случаю продольного обтекания пластинки (§ 108), но с аргументом | =
=j//6**, отвечающим уравнению
Ф. + Е.Ф А = Ф. + Ф# @) Ф А = 0 0 33>
544 ГЛ XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
которое простым аффинным преобразованием — заменой Ф* на Ф./!;»,
% — на ?/?•—сведется к уравнению C4).
Можно заметить, что уравнение A32) при замене /t по формуле
о
A30), содержащей Ф@, fu ...) и интеграл f [1—Ф(|, fiy . ..)]d|, при-
*0
обретает интегро-дифференциальную форму, лишь незначительно услож-
усложняющую численное интегрирование на ЭВМ.
Проводя указанные два упрощения: «урезание» и «локализацию»,
будем иметь следующие приближения:
1°. Локально-однопараметрическое приближение с одной перемен*
ной fi и локализацией по этой переменной, сводящейся к отбрасыванию
правой части уравнения A32).
Приближение^ основывается на интегрировании уравнения (верхние
индексы при Ф и Д— номер приближения)
= 0, Ф'0):=0 при ?=-0, A34)
Ф10)->- 1 при ?-»- оо,
причем принято
/V0) = 2{r)(fi)-[2+^«"(f1)]/,},
A35)
?<0) (/1) = Ф@)@, А), Я;о)(/х) = J [1 -Ф<
<0)
Это локально-однопараметрическое приближение соответствует ме-
методу Кочина — Лойцянского.
2°. Полное однопараметрическое приближение (?, f4). Ему соответ-
соответствует уравнение
_ f 7<i) /
аФA)
Ф»>=0, Ф'«'=0 при 1=0; 6<f>-vl при 1-^оо,
ф.(|) при f,=0; A36)
?<l> (fj = фA> @, h), Я*1) (/х)
3°. Полное двухпараметрическое приближение с уравнением
5 ИЗ. ОБОБЩЕНИЕ АФФИННОГО ПОДОБИЯ 545
Ф<2> = 0, Ф<2>=0 при 1=0; 6<2>-vl при ?-*-<»,
Ф„а) при /,=0, /2=0;
t{i)Vi, h) = ф 2> @, /lf /,), яB) (/1( /2, = J [ 1 - фB) (t, /lf
О
Указанным приближениям можно дать следующее пояснение. Пол-
Полное однопараметрическое приближение строго отвечало бы предполо-
предположению о линейном характере изменения U(x). Численное решение урав-
уравнения Прандтля A5) для «односкатных» профилей U*{x) было выпол-
выполнено Хоуартом1).
Однопараметрическое приближение в решении универсального
уравнения A27) предполагает учет одной переменной fu которая по
своему определению учитывает влияние уклона касательной к профилю
внешних скоростей U{x). Знак /, определяет конфузорный (/±>0) или
диффузорный (/i<0) характер области пограничного слоя, в которой
ведется расчет.
Двухпараметрическое приближение, которое включает наряду с Д
также и переменную f2=UU"z2y позволяет, очевидно, учесть еще выпук-
выпуклость или вогнутость кривой U(x) и ее местную кривизну. Кроме того,
как вскоре будет показано, входящая в оба приближения величина тол-
толщины потери импульса позволяет интегрально оценить влияние преды-
предыстории потока на характеристики пограничного слоя.
Численное интегрирование уравнения A37) было выполнено
Е. Ф. Озеровой и Л. М. Симуни2), в статье которых можно найти'
подробное изложение численного метода.
Приводим табл. 19 и 20 двух наиболее существенных для расчета
пограничного слоя функций ?B)(/i> М и /iB)(/i, fz). Первая из них фигу-
фигурирует в определении напряжения трения т» на поверхности тела, со-
согласно формуле
B)
Вторая служит для определения зависимости 6**(*)> а тем самым и
fiW и h(x)- Этот второй заключительный этап расчета пограничного
слоя основан на интегрировании обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка A11) или A12), которые в случае обоб-
обобщенного подобия во втором приближении перепишутся (/ = /i2), ^ = /i8))
в форме
^=^7<*> [/»>,/Г]+ .^/<°>, A39)
=Г? [Г, fA (но)
где
A"B>1
/22) = UU" [Z&]2 = UU"
itr{t
Методы решения нелинейного уравнения первого порядка A40) от-
относительно величины zB) = [6**B)]2/v изложены в следующем параграфе.
1) Н о w a r t h L. On the solution of the boundary layer equations.— London, Proc.
Roy. Soc, 1938, A919, p. 164.
2) Озерова Е. Ф., Симуни Л. М Численное решение уравнений двухпара-
метрической теории пограничного слоя.— Труды ЛПИ, Аэротермодинамика, 1970, № 313,
с. 44-53.
18-9487
—0,25
—0,20
—0,15
—0,12
—0,10
—0,08
—0,06
—0,04
—0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
—0,13
—0,0012
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
-0,1225
0,0354
0,0049
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
-0.П5
0,0608
0,0396
0,0037
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—0,11
0,0751
0,0570
0,0293
0,0035
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Таблица 19.
-0,105
0,0882
0,0721
0,0488
0,0296
0,0143
—0,0090
—
—
—
—
—
—
—
—
—0,1
0,1004
0,0858
0,0654
0,0489
0,0368
0,0234
0,0056
—
—
—
—
—
—
—
Значения функции ?( '
-0,095
0,1118
0,0985
0,0802
0,0655
0,0548
0,0437
0,0314
0,0172
—0,0093
—
—
—
—
—
—0,09
0,1227
0,1104
0,0937
0,0804
0,0705
0,0606
0,0501
0,0391
0,0243
—0,0051
—
—
—
—
-0,08
0,1430
0,1323
0,1183
0,1069
0,0982
0,0894
0,0806
0,0714
0,0614
0,0597
0,0572
0,0471
0,0360
0,0166
(Л. /.)
—0,06
0,1787
0,1704
0,1598
0,1514
0,1444
0,1364
0,1284
0,1204
0,1129
0,1036
0,1031
0,1026
0,0934
0,0849
—0,04
0,2101
0,2037
0,1956
0,1895
0,1842
0,1776
0,1699
0,1620
0,1548
0,1471
0,1457
0,1442
0,1371
0,1306
—0,02
0,2380
0,2333
0,2274
0,2230
0,2194
0,2147
0,2083
0,2002
0,1926
0,1855
0,1836
0,1817
0,1754
0,1695
0
0,2639
0,2608
0,2569
0,2538
0,2514
0,2487
0,2448
0,2386
0,2303
0,2208
0,2187
0,2166
0,2103
0,2046
0,02
0,2806
0,2787
0,2764
0,2745
0,2734
0,2721
0,2704
0,2687
0,2616
0,2545
0,2521
0,2498
0,2431
0,2375
0,04
—
—
—
—
—
—
—
0,2923
0,2870
0,2853
0,2822
0,2744
0,2687
0,06
—
—
—
—
—
—
—
—
—
0,3190
0,3131
0,3127
0,3045
0,2986
0,08
—
—
—
—
—
—
—
—
—
0,3511
0,3429
0,3415
—
— <
—0,
-о,
—о.
-о,
-0
-0,
-0
-0
-0
0
0
0
0
0
\
25
20
15
12
10
08
06
,04
,02
,02
,04
,06
,08
-0,13
1,396
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
-0,1225
1,337
1,329
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—0,115
1,2801
1,2704
1,2615
—
—
—
—
—
—
—
—
1
1
1
1
—o,u
,2436
,2329
,2219
,2156
—
—
—
—
—
—
—
—
1
1
1
1
1
1
Таблица 20.
—0,105
,2080
,1965
,1838
,1766
,1722
,1650
—
—
—
—
—
—
—
1
1
1
1
1
1
1
-0,1
,1730
,1611
,1471
,1385
,1331
,1281
,1224
—
—
—
—
—
—
—
Значения функции fx B) {fXt
—0,095
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,1387
,1265
,1117
,1020
,0957
,0897
,0840
,0783
,0711
—
—
—
—0,09
1,1049
1,0925
1,0772
1,0767
1,0596
1,0529
1,0463
1,0401
1,0333
1,0266
1,0023
—
—
—
—0.08
1,038
1,026
1,010
0,9990
0,9908
0,9828
0,9748
0,9669
0,9591
0,9500
0,9485
0,9420
0,9356
0,9282
—0.06
0,9083
0,8966
0,8818
0,8703
0,8611
0,8511
0,8411
0,8308
0,8216
0,8110
0,8073
0,8037
0,7932
0,7839
/*>
—0.04
0,7805
0,7702
0,7571
0,7471
0,7387
0,7284
0,7165
0,7042
0,6932
0,6817
0,6774
0,6732
0,6627
0,6530
—0.02
0,6534
0,6450
0,6342
0,6262
0,6196
0,6111
0,5997
0,5853
0,5717
0,5591
0,5547
0,5503
0,5391
0,5287
0
0,5277
0,5217
0,5139
0,5075
0,5028
0,4974
0,4895
0,4771
0,4606
0,4416
0,4374
0,4332
0,4207
0,4093
0.02
0,3896
0,3826
0,3775
0,3733
0,3701
0,3680
0,3642
0,3574
0,3451
0,3295
0,3251
0,3211
0,3064
0,2939
0
0
0
0
0
0
0
3,04
—
—
—
—
—
—
—
,2794
,2363
,2220
,2210
,2152
,1957
,1820
0
0
0
0
0
0.06
—
—
—
—
—
—
—
—
,1196
,1064
,0974
,0884
,0732
0,08
—
—
—
—
—
—
—
—
0,0235
0,0024
—
—
—
548 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
-0,20
-0,15
-0,12
-0,10
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
Рис. 195
Интеграл этого уравнения содержит произвольную постоянную, для
определения которой требуется задать в начальном (х=х0) сечении не-
некоторую характеристику профиля скоростей; таковой, естественно, явля-
является z(o} = [6**B)]2/v. Эта величина заключает в себе весьма ограничен-
ограниченную информацию о начальном профиле скоростей. Можно было бы уве-
увеличить объем этой информации, повысив порядок уравнения, для чего
достаточно сохранить переменные /2, /з, ... в правой части уравнения
A40), содержащие производные от zB) порядка выше второго. Однако
это чрезмерно усложнило бы практические расчеты, чем и объясняется
принятый нами отказ от учета переменных /2, /3,...
Рассмотрение графиков ?B) и /4B) (рис. 194 и 195), составленных по
табл. 19 и 20 в форме семейства кривых ?B)(fi) и /<2) (Д), зависящих от
параметра f2, позволяет сделать некоторые общие выводы:
§ 114. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ 549
1. Распределения «приведенного» трения ?B)(fi, /2) сильно зависят
от параметра f2. В частности, значения /ls в точке отрыва (?B) = 0) зна-
значительно отличаются друг от друга в зависимости от значения f2.
2. Кривые распределения /^2)(/ь /2) группируются в узкую полосу,
что позволяет приближенно положить
принимая обе величины а и & за постоянные либо считая а функцией f2t
a ft —постоянной, равной приблизительно 6. Использование линейно-
линейности /f}(fi» /2) приведет, как мы уже знаем, к квадратуре A16). Уравне-
Уравнения A39) или A40) могут также легко интегрироваться по табличным
значениям Д2) (/ь f2) на малых ЭВМ и даже на ручных калькуляторах.
3. Результаты первого приближения заключены в приведенных
таблицах при /2 = 0. Кривые ?A)(fi) и /^ (f4) показаны на тех же рис. 194
и 195, что и кривые второго приближения, между которыми они распо-
располагаются.
4. Соответствующие методу Кочина — Лойцянского кривые
$(/) и F(f)=fi(f) показаны на тех же рисунках штриховыми линиями.
Этот метод дает слишком ранний отрыв (? = 0) при /,=—0,0681.
5. Метод Польгаузена обособлен от содержания метода обоб-
обобщенного подобия. Соответствующая ему верхняя штриховая кривая де-
демонстрирует затягивание условия отрыва (fs = —0,1567).
6. В конфузорных областях пограничных слоев (/4>0) кривые
l{2)(fu /2) сближаются, что говорит о возможности пользоваться в этой
области первым приближением (f2 = 0). В диффузорных областях (fi<
<0) кривые ?D)(fi» /2) расходятся, причем можно заметить, что везде,
кроме окрестности точки отрыва (? = 0) пограничного слоя, метод Ко-
Кочина — Лойцянского дает результаты, близкие к кривым второго при-
приближения метода обобщенного подобия при f2>0 [кривая U(x) обра-
обращена при этом к оси Ох своей выпуклостью], а кривая метода Поль-
Польгаузена, напротив, при тех же условиях ближе к кривым метода обоб-
обобщенного подобия при /а<0 [кривая U(x) обращена к оси Ох вогну-
вогнутостью].
Метод обобщенного подобия при наличии табл. 19 и 20 использу-
используется без особого труда в практических расчетах пограничных слоев.
Следует отметить, что в крупных исследовательских организациях, рас-
располагающих мощными ЭВМ, имеются стандартные программы расчета
ламинарного пограничного слоя, которые позволяют обходиться без
приближенных методов вообще и метода обобщенного подобия в част-
частности. Конечно, при этом затрудняются возможности установления об-
общих закономерностей влияния формы кривой U(x) (уклона касатель-
касательной, кривизны кривой) на характеристики пограничного слоя.
§ 114. Примеры применения метода обобщенного подобия
Установление сходимости последовательных приближений при рас-
расчете пограничного слоя по методу обобщенного подобия, а при наличии
сходимости еще и оценка «ее быстроты представляют собой очень слож-
сложную математическую задачу, пока еще не решенную. Остается предпо-
предполагать, что двухпараметрическое приближение, учитывающее влияние
не только уклона касательных к кривой распределения скорости на
внешней границе пограничного слоя U(x), но и кривизны этой кривой,
должно приводить к достаточно точным результатам. Излагаемый далее
пример иллюстрирует справедливость этого предположения.
Отсутствие строгой оценки быстроты сходимости приближений за-
заставляет встать на путь сравнения решений, полученных в первом и во
550
ГЛ. XII ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
ол
Рис. 196
втором приближениях по методу обобщенного подобия, с имеющимися
достаточно точными численными решениями уравнения Прандтля. При-
Примером такого численного решения могут служить опубликованные Тер-
Терри л л ом1) результаты численного расчета плоского стационарного по-
пограничного слоя на поверхности поперечно обтекаемого круглого ци-
цилиндра при теоретическом, законе распределения скорости по обводу
цилиндра (§ 50). Отсылая за подробным описанием методики числен-
численного интегрирования к указанной статье, отметим, что решение вычис-
вычислялось в безразмерном виде, причем продольные длины были отнесены
к радиусу цилиндра а, продольные скорости в сечениях пограничного
слоя — к скорости набегающего потока ?/„, поперечные длины и скоро-
скорости соответственно к величинам a/fRe*,, ?/«/У**е1, где Re«> = U^a/v. Без-
Безразмерной абсциссой, отсчитанной
от лобовой критической точки, слу-
служил угол ху выраженный в радианах.
Приведем сводный график двух
представляющих наибольший ин-
интерес величин: б**(л:) и (duldy)ymtfi
(рис. 196). Как видно из рисунка,
безразмерная толщина потери им-
импульса 6**(*) монотонно возрастает
от некоторого начального значения
в лобовой критической точке, равно-
равного примерно 0,29. Это совпадает со
значением В($), определенным по
табл. 16 при т=»р=1 и с=2, что со-
соответствует закону распределения
скоростей на внешней границе пограничного слоя вблизи лобовой крити-
критической точки U=cx.
Безразмерное напряжение трения растет от нулевого значения при
х = 0 и достигает своего максимального значения в точке х=1, что соот-
соответствует БТ'Чв'. Затем напряжение трения убывает до нулевого значе-
значения при xs=l,82, или, в градусах, я" = 104°30'. Эта точка и является
точкой отрыва S пограничного слоя с поверхности круглого цилиндра.
В этом расчете, напомним еще раз, не учитывается обратное влияние
пограничного слоя на внешний поток, т. е. то значительное искажение,
которое отрыв вносит в теоретическое потенциальное обтекание.
Пример Террилла, как точное решение, принимается нами за свое-
своеобразный эталон (тестовый расчет), с которым сравниваются значения
величин, рассчитанных по двухпараметрическому приближению метода
обобщенного подобия. Приближенная кривая 6**(х) оказалась практи-
практически совпадающей с точной; максимальное отклонение было вблизи
точки отрыва и не превосходило 3% от точного. Кривая однопараметри-
ческого приближения для величины приведенного трения (du/dy)v=Q
заметно отклоняется от точной кривой Террилла (рис. 197).
Расчет по двухпараметрическому приближению приводит к вели-
величине трения, почти полностью совпадающей с точным значением, исклю-
исключая небольшую область в непосредственной близости к точке отрыва
(едва заметное отклонение показано штрихами; на рис. 198 эта область
показана в увеличенном масштабе).
Снять ограничение на число используемых параметров можно было
бы, применяя вместо непосредственного интегрирования уравнения
A32) разложение функции Ф[|, (fk) ] в степенные ряды по параметрам
(/*), однако сходимость таких рядов ограничивается малыми значения-
*) Те Г rill R. M. Laminar boundary-layer flow near separation with and without
suction — Phil. Trans., 1960, A253, p. 55—100.
§ 114. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ
551
у
1
1
/
У
/
V
\
\
\
>
однопарам Vk точн
\\
\
1
двух-
0,3
0,2
0,1
однопарам.
1,2 /,6 2,0 х
Рис. 197
ми параметров. Как можно судить по рис. 199, малость параметров ]г и
fs, рассчитанных для примера Террилла, обеспечивается только вдалеке
отточки отрыва, которая является особой точкой уравнения A32). Ну-
левое значение fs(x) почти во всем интервале х, исключая ближайшую
окрестность точки отрыва,
по-видимому, является
признаком, что можно до-
довольствоваться вторым °>ов
приближением как доста-
достаточно точным решением.
Как показала практи-
практика расчетов, для опреде-
определения 6**(#), а затем
\h f3 можно вполне до-
довольствоваться первым _008_
приближением, так как
относительная погреш- -од
ность в разыскании б*',
-0,04
—i—¦
-'¦
— '¦»
¦ ¦
-^
~^,
ft(x)
f,(x)
^ !
\
\
1
1
быстро растущей на диф- °'160 ^ ^ ff2 /,6 2,0
фузорном участке, мала. ' ' ' ' а:
Влияние второго парамет- Рис. 199
ра \г(х) надо учитывать
только при вычислении напряжения трения т„ через ?B)(/ь /2) вблизи
положения точки отрыва. В этом случае можно полагать: а = 0,4408.
&=5,714.
При более строгом подходе можно учесть погрешность е, вносимую
использованием упрощенного представления
Интегрируя формально при этом допущении равенство A40), по-
получим
If г (х) = | If'1 (t) {a [f2 (/)] + е [fx @, /2 (/)]} dt + if (*0) z (xo)9 A41)
х0
где z(x0) определяется либо через заданное наперед значение $**(*<>) =
=бом, либо через значение z0 в лобовой критической точке обтекаемого
тела (х=0, ?/=0).
552 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Значение z0 может быть определено из условия конечности произ-
производной dz/dx при x = 0, т. е. из уравнения (§ 112)
h (/ю» /20) = О»
которое при заданном поведении U{x)—cx вблизи точки *=0 сводится
в однопараметрическом приближении к уравнению с одной переменной
и имеет корень
/10 = 0,0854, ?0 = J^ = ^ = J
где с зависит от формы носка обтекаемого профиля.
Уравнение A41) можно решить последовательными приближения-
приближениями вида
если весь интервал (xQy x) разбить на мелкие интервалы с узлами в точ-
точках х{, a fz(x) и г(х) заменить ступенчатым представлением. Такого
рода вычисление «шаг за шагом» легко проводится.
Величины ?, Я и /4 в функции от /f, /2f /3, ... могут быть представ-
представлены !) степенными рядами
I = 0,2204 + 1,7350/х — 2,4188/? — 0,2992/2 +
+ 18,234/? - 0,1653/х/2 + 0,0937/3 ,
// = 2,5919 —6,4282/! +21,914/1+1,4741/,—
- 163,06/? - 4,8076/Л - 0,5061/з + • •.,
fx = 0,4408 — 6,7139/! + 6,0189/? — 0,5984/2 —
-7,3611/?- 3,2753/,/, -1,0123/,+ ...f
использование которых на практике ограничено их радиусами сходимо-
сходимости, определяемыми непосредственными вычислениями. Точка отрыва
является особой точкой, при приближении к которой быстрота сходи-
сходимости этих рядов резко падает.
Среди разнообразных применений метода обобщенного подобия в
теории ламинарного пограничного слоя остановимся в настоящем пара-
параграфе на двух пристенных слоях: на проницаемой поверхности (отсос
или сдув жидкости с твердой поверхности) и магнитогидродинамиче-
ском (МГД) пограничном слое в потоке электропроводной жидкости.
Подробное изложение теории ламинарных пограничных слоев на
проницаемых поверхностях (вдув и отсос той же, что и в набегающем
потоке, жидкости или вдув жидкости с иными свойствами) приведено
в специальных монографиях по теории пограничного слоя2).
Метод обобщенного подобия к задачам ламинарного пограничного
слоя на проницаемой поверхности был впервые применен Чаном8), со-
!) Лойцянский Л. Г. Универсальные уравнения и параметрические прибли-
приближения в теории ламинарного пограничного слоя.— Прикл. мат. и мех., 1965, т. XXIX, Ml.
2) Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя/Пер, с нем.,— М: Наука, 1969,
с. 359—386, а также неоднократно ранее цитированный мемуар: Laminar boundary lay-
ers/ed. byRosenhead L.— Oxford: Clarendon Press, 1963, p. 339—348.
3) Chan Y. Y. Loitsianski's method for boundary layers with suction and injecti-
injection.— AIAA Journ., 1969, v. 7, № 3, p. 562, 563.
§ 114. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ 553
ставившим универсальное уравнение и использовавшим для его реше-
решения метод разложения решения в ряд по степеням параметров, относи-
относительно которого были только что сделаны критические замечания. Чис-
Численное решение универсального уравнения в простейших приближениях
на ЭВЦМ для случая проницаемой поверхности было выполнено на
кафедре гидроаэродинамики Л ПИ имени М. И. Калинина А. Л. Лес-
никовым1) и Л. Г. Шишкиной2).
Уравнения ламинарного пограничного слоя на проницаемой по-
поверхности имеют тот же вид (И) или A5), что и на непроницаемой.
Различие сказывается лишь на первом граничном условии на поверх-
поверхности тела. Если обозначить через vo(x) заданную скорость, с которой
жидкость с теми же физическими константами р, \i, v, что и в набегаю-
набегающем потоке, проходит через твердую поверхность [ао>О при вводе
(вдуве) жидкости, ио<О — при ее отсосе] в нормальном к ней направ-
направлении, то первая строка граничных условий для уравнения (И) будет, в
отличие от A2), иметь вид
ы=0, v = v0 при у=0.
Вводя обозначение для переменной в этом случае вдоль поверхно-
поверхности тела функции тока о|>(л:, Q)=tyo(x)y изменим граничные условия на
поверхности тела (у=0) для уравнения A5) на следующие (штрих, как
и раньше, обозначает производную по х):
^Г = ^о = -^ ^" = 0 при у = 0. A42)
Можно сохранить старые граничные условия A5), если ввести но-
новую функцию тока ty*(xt у), связанную с \f>(л:, у) равенством
*, У)\ ¦*(*, 0)=0. A43)
Таким образом, задача сводится к интегрированию уравнения
ду дхду дх ду2
——>Ulx) при
ду
~- = ио(у) при х = х0
ду
с дополнительным по сравнению с A5) слагаемым
= 0 при */ = 0,
ду A44)
в левой части уравнения A44).
Попытка решения этого уравнения в аффинноподобной форме
Ч>* (х, y) = U(х)б" (х)ф-f-JL^U(х)б" (х) Ф* (I)
приведет, аналогично тому, как это имело место в § 111, к уравнению
*Ф* + /0— Ф*') + ЯФ' = 0, A45)
1) Лесников А. Л. Ламинарный пограничный слой на проницаемой поверхно-
поверхности.—Инж.-физ. журн.. 1972, № 5.
2) Шишкина Л. Г. Двухпараметрическое решение уравнений ламинарного по-
пограничного слоя на проницаемой поверхности.— Изв. АН СССР, Механика жидкости к
газа, 1973, № 6.
554 гл. хп ламинарный пограничный слой в несжимаемой жидкости
где, наряду с прежними параметрами f=U'z=U'6**2/v, f = Uz'y появ-
появляется новый «параметр вдува», равный
М*) —2?1 = *?.. (,46)
V V
Повторяя алгоритм, принятый в § 113 для вывода уравнения погра-
пограничного слоя в переменных обобщенного подобия для непроницаемой
поверхности, введем преобразование
^\ Jk = z^^U\ A47)
dxk dx*
Тогда придем к следующему универсальному уравнению движения
вязкой жидкости в пограничном слое на проницаемой поверхности:
дф* а2ф* дф* д2ф \ | 8 /аф ^Ф дФ аф \ |
j+ *( ag aia/ dj Ф )
где введены старые обозначения A25) для 9k и 6» и новое для Лк:
A49)
причем при выводе уравнения A48) использованы соотношения
j = [(Л - 1) h + */il /* + /*« = в„,
= [(* - 1) h + ft/il 7* + 7*+i = К A50)
Интегральное соотношение, выводимое аналогичным изложенному
в § 113 приемом интегрирования обеих частей уравнения A48) по § от
? = 0 до ? = оо, приведется к виду
/1 = 2[С-B + Я)/1-Х1]§ A51)
отличающемуся от A30) наличием последнего члена в квадратной скоб-
скобке в правой части A51).
Довольствуясь, как и в предыдущем параграфе, локализацией по
всем параметрам, кроме fi=f и Kt=%, и урезанием по параметрам, по
которым была проведена локализация, получим универсальное двухпа-
раметрическое уравнение
ЭФ* д3Ф* \ , т, [д<5>* д3Ф* ЭФ* д2Ф
0, ^.-1 при
при / = Я, = 0.
§ 114. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ
555
Уравнение это было проинтегрировано на ЭВМ Л. Г. Шишкиной.
Приведенные в только что цитированной работе графики зависимости
5(/Д) и /(/, К) показаны на рис. 200 и 201.
Отчетливо видно влияние отсоса (Я>0) на затягивание отрыва
пограничного слоя. Вдув (Я<0) со скоростью, нормальной к поверх-
поверхности, наоборот, предваряет отрыв, но способствует переходу ламинар-
ламинарного движения в турбулентное, что также приводит к затягиванию по-
положения точки отрыва.
0/f f
/
/
'л
X,
'Off/
'Of
op
« f
Ofi 0,8
0,2 Ofi
. .
\
/
4/
\
\
\\
i
i&
ft
\
0/2
О -0,15 -0,12 -0,08 -0,0Ц 0
0,08 0 -0,08
f
0,08
0,16 0
Рис. 200 Рис. 201
Для определения толщины пограничного слоя служит уравнение
dx~1nxT~ им ' A53)
причем так же, как и в случае непроницаемой поверхности, числитель
справа может быть приближенно заменен линейной функцией
j(fyX)=a-bf-2aX, A54)
что облегчает интегрирование уравнения A53). Постоянная а была при-
принята равной 0,44, а 6=5,15. Отличие от принятого ранее fc=5,75 не
существенно. В качестве эталона
сравнения с точным решением было
взято уже цитированное в конце
предыдущего параграфа решение
Террилла для двух значений посто-
постоянной безразмерной скорости от-
отсоса vt=0 и ив = 0,5. Как видно
(рис. 202), приближенные решения
Л. Г. Шишкиной (нижние кривые)
мало отличаются от точных (верх-
(верхние кривые). Приближенное реше-
решение при v8 = 0 совпадает с однопара-
метрическим, сравнение которого с
двухпараметрическим и точным ре-
решением Террилла было показано
на рис. 197.
Исследования МГД-пограничных
0,8
0,4
/
/
0
/
/
/
X
\
Лрид^
\-Точн.
\
\ \\
X V
V V
V V
\\
1
О
0,8
Рис. 202
слоев в конце пятидесятых — нача-
начале шестидесятых годов проводились
многими учеными (Ликудис, Россов, By и др.), использовавшими
для этой цели различные методы теории пограничного слоя (автомодель-
(автомодельные решения, однопараметрические методы, разложения по малому па-
параметру) .
556 ГЛ XII ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Первые применения метода обобщенного подобия к МГД-погранич-
ному слою были выполнены на кафедре гидроаэродинамики ЛПИ
В. С. Юферевым1). Расчет следующих приближений был произведен
в дальнейшем югославским ученым 3. Боричичем2).
Предполагая внешнее магнитное поле перпендикулярным к поверх-
поверхности тела (Бл=0, ВУ=В\ обозначения те же, что в § 91), внешнее
электрическое поле отсутствующим (? = 0), а жидкость нейтральной,
воспользуемся общими уравнениями (ПО) и A11) гл. X движения вяз-
вязкой проводящей несжимаемой жидкости, причем остановимся на случае
малых магнитных рейнольдсовых чисел Rem=f/oo^/vm, где vm — кинема-
кинематический коэффициент магнитной вязкости, когда можно пренебречь
зависимостью магнитной индукции В от у и считать, что В=В(х).
Произведя обычные для теории пограничного слоя упрощения, бу-
будем иметь (а — коэффициент электропроводности жидкости)
дх ду р dx ду2 р
а на внешней границе пограничного слоя
rrdU _ 1 dp оВ2 jr
dx p dx p
откуда почленным вычитанием левых и правых частей этих уравнений
получим при принятых условиях уравнения МГД-пограничного слоя в
форме
ди . ди ти \ д2и , оВ2 П1 ч
а » A55)
дх ду
отличающейся от A1) наличием справа дополнительного члена, выра-
выражающего влияние объемной пондеромоторной силы.
Вводя функцию тока ф(х, у) и полагая для краткости оВ2/р=#,
составим основное для последующего уравнение
а» д
ду дх ду дх ду2 ду3 \ ду)%
г|)=0, ^- = 0приу = 0, ^-->?/ при у->оо, A56)
ду ду
#) ПРИ х = х0.
ду
Совершив переход к введенным ранее переменным обобщенного
подобия
ь 6** '
A57)
dxk dxk
l) Юферев В. С. Параметрический метод расчета ламинарного пограничного
слоя в магнитной гидродинамике.—Магнитная гидродинамика, 1966, № 4; Юфе-
Юферев В. С. Об одном приближенном методе расчета ламинарного пограничного слоя в
магнитной гидродинамике.— Механика жидкости и газа, 1967, № 1, 124—«127.
2) Боричич 3. Локально-двухпараметрические уравнения плоского движения
«лооводяшей несжимаемой жидкости.— Магнитная гидродинамика, 1971, № 1, с. 5—10
§ 114 ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ 557
и используя еще новую последовательность переменных
gk=Uk~1^Lz\ A58)
получим универсальное уравнение МГД-пограничного слоя в форме
a I дФ д2Ф дФ
У/г/
дФ дФ\ , г /ЭФ д8Ф дФ д2Ф\| ..--.
Ж"^)+ сЧ*^~*г*)]§ A59)
Ф=^ = 0 при 1=0, 5-*1 при1->оо;
Ф = ФоA) При fi = U=. ¦ - = 0, /,=/„, /2 = /2о, ....
gi = gio, gz = gzo,_- ¦ •,
где наряду с ранее определенными 0А и Qk возникают еще коэффици-
коэффициенты
Cb=[(*-l)/, + A/,]ft+ft+t A60)
и при выводе A59) использованы соотношения
f/z/; = 9,, Uz]k = h, Uzgk = Gk. A61)
Интегральное соотношение приводит к следующему выражению
ДЛЯ/1' /|=2[С-B + Я)/1-ЯА]1 A62)
которое лежит в основе определения толщины потери импульса 6**(#)
согласно уравнению
dz JiW,), (/л),
U (x)
A63)
Общность метода в различных областях применения и аналогия с
предыдущим выступают достаточно наглядно.
В ранее цитированной работе 3. Боричича проведено численное ин-
интегрирование на ЭВМ уравнения A59)_, урезанного по .переменным fhf
fhgk при k>\ и локализованного по /i=/, а также попеременно по
Выпишем общий вид этого уравнения:
ар
Гг/дФ д2Ф ^Ф а2Ф \ . 7 /дФ д2Ф 5Ф а2Ф\ /tCyl4
= гг -+- /g I f A b4)
V dE dldf df dl* ) /&{dl dldg dg дф )
0 = ^ = 0 при Б-0, ^->1при
Ф = ФоF, g) при /=0, Ф = Ф1(Ъ,1)
но будем иметь в виду, что в случае дополнительной (кроме общей по
/) локализации по g в правой части уравнения A64) отсутствует вто-
вторая круглая скобка и принимается во внимание первое граничное усло-
условие в последней строке, относящееся к продольному обтеканию пластин-
558 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
ки электропроводной жидкостью, т. е. к уравнению
Ф«о + -/ооФоо&оо + g A - Фоо) = О,
а при дополнительной локализации по / в правой части уравнения A64)
отсутствует первая скобка и используется второе граничное условие для
уравнения
+ [U + \ /ю
+ /оо A - Ф?о) = О,
7>У7Г
LL
0,2
-0,3 -0,2
Рис. 203
выражающего локально-подобное решение для тела с произвольным
распределением скоростей на внешней границе пограничного слоя U(x)t
но в непроводящей жидкости. Сообразно с той или другой локализацией
определяются и функции /oo(g) или /10(/).
Таблицы и графики, приведенные в цитированной статье 3. Бори-
чича, отчетливо показывают, что магнитный фактор g, совпадающий с
квадратом числа Гартмана (§91), в ко-
тором в качестве характерной длины при-
принята толщина потери импульса б**, зна-
значительно влияет на течение электропро-
электропроводной жидкости в МГД-пограничном
слое. С ростом параметра g приведенный
коэффициент трения ? возрастает, а от-
отрыв пограничного слоя затягивается. Это
отчетливо видно на рис. 203, где цифры
1, 2,..., 5 на кривых обозначают следую-
следующие значения g{: 1— ^=0; 2 — ^=0,05;
3 — ^=0,10; 4 — ^=0,15; 5 — ^=0,20.
Главной целью настоящего параграфа
была демонстрация возможностей приме-
применения метода обобщенного подобия к расчету ламинарных пограничных
слоев в разнообразных физических условиях (проницаемости поверхно-
поверхности, наличия электропроводности жидкости, движущейся в магнитном
поле). Такая направленность не оставила места для подробного количе-
количественного описания отдельных явлений; в связи с этим пришлось ограни-
ограничиться составлением универсальных уравнений и анализом некоторых
результатов их численного решения, в частности вопроса о затягивании
отрыва пограничного слоя.
Метод обобщенного подобия с успехом применяется не только в
теории ламинарных пограничных слоев, но и во многих других вопросах.
Л. Г. Степанянц недавно применил метод обобщенного подобия
к обратной задаче расчета распределений скоростей и температуры по
заданному распределению толщины слоя между двумя твердыми по-
поверхностями и для задач пленочного течения в приближении погранично-
пограничного слоя. Им были рассмотрены следующие задачи: 1) ламинарное
неизотермическое течение вязкого газа сквозь тонкую трубу переменно-
переменного сечения1), 2) гидродинамическая теория смазки при больших числах
Рейнольдса2), 3) движение вязкого газа в тонком слое3), 4) теплооб-
1) Смирнов Б. И., Степанянц Л. Г. Обобщенное подобие ламинарных не-
неизотермических течений вязкого газа в тонких трубах переменного сечения.-—Инж.-физ
журнал, 1982, т. XLII, № 2, с. 285—289. *
2) С м а г а Т. И., С м и р н о в Б. И., С т е п а н я н ц Л. Г. Об одном методе решения
задач гидродинамической теории смазки при больших числах Рейнольдса.—Известив
АН БССР, сер. физ.-энергетич. наук, 1978, № 1, с. 119—124.
3) Смирнов Б. И, Степанянц Л. Г. Метод обобщенного подобия в задачах
движения вязкого газа в тонком слое.— Инж.-физ. журнал, 1981, т. XL, № % с. 204—2i3f
§ 115 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 559
мен при пленочном течении *). Во всех этих случаях составлены соответ-
соответствующие универсальные уравнения и получены новые результаты, рас-
расширившие границы применимости метода обобщенного подобия.
§ 115. Пространственные пристенные пограничные слои.
Свободные пространственные струи
В настоящем общем курсе нет возможности остановиться на много-
многочисленных задачах теории ламинарного пограничного слоя, уже давно
объединенных в соответствующих специальных руководствах, на многие
из которых уже были даны ссылки. Приведем лишь несколько примеров
простейших пространственных задач, дадим в
следующем параграфе понятие о нестационар-
нестационарных, а в § 117 — о температурных погранич-
пограничных слоях при неизотермических движениях
однородной по физическому составу жидкости
и представление о пограничных концентраци-
концентрационных слоях в потоках с примесями.
Простейший пример пространственного
пристенного пограничного слоя дает продоль-
продольное осесимметричное обтекание тела враще-
вращения. Как и в плоском случае, можно отсчиты-
отсчитывать х вдоль контура тела, а у — по нормали
к нему (рис. 204) и рассматривать эти координаты как прямолинейные,
а радиус-вектор г точки М по отношению к оси тела с достаточным при-
приближением считать совпадающим с радиусом поперечной кривизны тела
го(х) в соответствующем нормальном к оси тела его сечении2). При та-
таком подходе основное уравнение пограничного слоя сохранит тот же
вид, что и в плоском случае, а уравнение неразрывности примет обыч-
обычную для продольного осесимметричного движения в цилиндрических ко-
координатах форму
д (ги) , д (го) _ q
дх ду
но с заменой координаты г на го(х). Основной системой уравнений в
этом случае будет следующая:
Рис. 204
дх ду
д {гои)
дх
|
dx
d(rQv)
ду
i5
ду2
A65)
u = v=O при f/=0, u-+U{x) при у-*оо.
Уравнения A65) при помощи преобразования3) (штрих — производная
1) Котельникова О. П., Степанянц Л. Г. Параметрический метод реше-
решения задач теплообмена при пленочном течении жидкости.— Инж.-физ. журнал, 1983,
т. XLIV, № 4, с. 632—636.
2) Отказ от этого упрощающего предположения значительно увеличил бы вычис-
вычислительные трудности (см. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой.— М:
Физматгиз, 1962, с. 154—167).
3) Степанов Е. И. Об интегрировании уравнений ламинарного пограничного
слоя для движения с осевой симметрией — Прикл мат и мех., 1947, т. 11, в. 1; см. так-
также Mangle г W. Ber. aerodyn. Vers.— Anst. Gottingen, 1945, 45/A/17 и того же авто-
автора: Zeitschr. f. Math. u. Mech , 1948, Bd. 28, S. 97—103
560 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
ПО х)
x=$l($)dt, у = го(х)у,
A66)
u = u9 U = U, v = — + -
r0
с формулами перехода
д__ 2 <L.r' A JL — rA.
дх дх д'у' дУ ° дг/
превращаются в уравнения
дх ду dx ду2
ди , dv r\ /1Лт
- + - = 0; A67)
&г ду
u = v = 0 при г/ = 0, w-^t7(ic) при z/->oo,
ничем не отличающиеся от уравнений плоского пограничного слоя. Та-
Таким образом, при расчетах пограничных слоев на телах вращения при
осесимметричном продольном их обтекании, задача сводится к опреде-
определению преобразованного к новым координатам A66) заданного рас-
распределения U(x) скорости на внешней границе пограничного слоя и
последующего рассмотрения плоского пограничного слоя.
Так, например, применим преобразование A66) к случаю погра-
пограничного слоя, образующегося вблизи лобовой критической точки тела
вращения при продольном его обтекании.
Распределение скоростей во внешнем потоке вблизи критической
точки на теле вращения будет линейным (U=cx)\ в этой области мож-
можно считать также го(х)=х. Тогда преобразование A66) сведется к сле-
следующему:
3 ' х х2 ' г
Как об этом можно судить по последнему равенству, рассматри-
рассматриваемая осесимметричная задача свелась к помещенной в § 111 плоской
автомодельной задаче Фокнера — Скэн с показателем степени
т=1/3 (р= 1/2). Таблицы решения этой задачи были приведены в
§ 111. Пользуясь табл. 16, можем определить все интересующие нас ве-
величины в этой пространственной задаче:
б* = —, б** = —, tw = roxw.
го г0
Применяя преобразование A66), выведем аналог интегрального
соотношения Кармана для случая осесимметричного пограничного
слоя на продольно обтекаемом теле вращения. Если пользоваться но-
новыми переменными A66), то, как следует из A67), уравнение Карма-
Кармана для осесимметричного течения должно иметь тот же вид A06), что
и для плоского течения:
^ + -=г— B + Н) = -^ , A68)
dx U pU2
§ 115 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 561
где
о
и аналогично
так что
Напряжение трения т„ будет равно
Подставляя полученные возражения 6**, б', Яит»в уравнение A68),
найдем
а выполняя в первом члене левой части дифференцирование и простые
преобразования, получим искомое выражение интегрального соотноше-
соотношения Кармана для осесимметричного пограничного слоя на теле вра-
вращения
?^ 4i „69,
отличающееся от подобного уравнения для плоского случая последним
слагаемым (го/6**/го) в левой части. К тому же результату можно было
бы прийти, переписав первое уравнение системы A65) на основании вто-
второго в виде
д (W2) . 3 (rouv) =ruU' 4- vr —
дх ^ ду ° ° ду* '
а второе уравнение, после умножения обеих его частей на ?/, так:
d(r0Uu) , д (r0Uv) = ^
Вычитая почленно эти два уравнения одно из другого, получим
l[rou(U-u)) + ^-lrov(U-u)]=roU' («-(/)- vr0 |f.
Интегрируя обе части по у от у=0 до у=оо, найдем
а раскрывая выражение производной в первом члене слева, вновь при-
придем к A69). Все только что изложенное верно при сделанном допуще-
допущении r=rQ или при эквивалентном ему допущении о малости отношения
6/г#. При приближении к хвостовой части тела вращения, когда б уве-
увеличивается, а г0 уменьшается, указанные рассуждения теряют свою
силу.
562 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Приведем пример простейшего однопараметрического расчета по-
пограничного слоя на удлиненном теле вращения. Сохраняя прежние
обозначения, умножим, как это делалось и в случае плоского погранич-
пограничного слоя, обе части уравнения A69) на U6**/v. Преобразовав после это-
этого левую часть, получим аналог интегрального соотношения Кармана
dx U
отличающийся от плоского случая лишь наличием члена (—2го'/г0) в
круглой скобке в правой-части уравнения. Здесь функция F(f) =/ та же,
что и в плоском случае. Заменяя ее линейным представлением
F(f)=a-bft
найдем следующую формулу для параметра /
что и решает задачу в простейшем однопараметрическом приближе-
приближении !).
Наличие преобразования A66) осесимметричного движения в по-
пограничном слое на удлиненных телах вращения в плоское делает излиш-
излишним специальное изложение метода обобщенного подобия применитель-
применительно к этому случаю.
К числу задач о пространственном «пристенном» ламинарном погра-
пограничном слое относятся задачи о движении вязкой жидкости вокруг вра-
вращающегося диска в безграничном или ограниченном объемах жидкости.
Первая из них имеет точное решение на основе уравнений Навье —
Сток с а (см. задачу Кармана в § 101). Вторая, как и многие дру-
другие задачи о пограничных слоях на вращающихся телах (круглом ци-
цилиндре, сфере), рассмотрены в монографии Л. А. Дорфмана2).
Большой интерес представляет пограничный слой вокруг плоскости, ин-
индуцируемый перпендикулярной к этой плоскости вихревой нитью
(модель смерча). Эта задача подробно изложена в монографии
М. А. Гольдштика3).
Литература по пространственным (трехмерным) пограничным сло-
слоям очень велика. Сошлемся на некоторые журнальные источники4). На
специальные монографии ссылки уже были даны в начале главы.
1) Лойцянский Л. Г Ламинарный пограничный слой на теле вращения.—
Докл АН СССР, 1942, т XXXVI, № 6.
2) Дорфман Л. А Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача.— М.: Физ-
матгиз, I960.
3) Гольдштик М. А. Вихревые потоки — Новосибирск: Наука, Сибирское
отд-ние, 1981, с. 190—235.
4) Богданова В. В Универсальные уравнения теории пространственного погра-
пограничного слоя — Механика жидкости и газа, 1968, № 6; К а р я к и н Ю. Е. Магнитогид-
родинамический ламинарный пограничный слой в осесимметричном потоке с закрут-
закруткой.— Магнитная гидродинамика, 1968, № 2; С т р у м и н с к и и Б. В. Скольжение кры-
крыла в вязкой жидкости.—Докл. АН СССР, 1946, т. 54, № 7, с. 575—578; того же автора:
Скольжение крыла в вязком и сжимаемом газе.— Докл АН СССР, т. 54, № 9, с. 769—
772; см. также сводную работу: Струминский В В Теория пространственного
пограничного слоя на скользящем коыле.— Сборник теоретических работ по аэродина-
аэродинамике (ЦАГИ).—М: Оборонгиз, 1957, с. 174—205; S e d n e у R. Some aspects of three-
dimensional boundary layers — Quart. Appl. Mathem., 1957, v. 15, № 2; Rott N., Crab-
tree L. Simplified laminar boundary layers calculations for bodies of revolution and for
yawed wing.—Journ. Aeron. Sc., 1952, v. 19, № 8, p. 556—560; Loos H. G. A simple
laminar boundary layer with secondary flow.— Journ. Aeron. Sc, 1955, v. 22, p. 35—40;
Шевелев Ю. Д. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя.— М.:
Наука, 1977.
§ 115. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 563
Простым примером автомодельного движения в «свободном» осе-
симметричном пограничном слое может служить распространение осе-
симметричной незакрученной струи, бьющей из бесконечно тонкого от-
отверстия в безграничное пространство, заполненное той же жидкостью1).
Общие уравнения стационарного осесимметричного движения вяз-
вязкой жидкости в цилиндрических координатах г, е, х получим из формул
C3) § 86, откидывая производные по / и е.
Будем иметь, обозначая через и> v и w соответственно осевую Vx,
радиальную Vr и трансверсальную Ve составляющие скорости,
иди .ди = \ др ,(дЧ \ ди дЧ\
dx dr р dx \дг2 г дг dx2) '
dv_ , dv_ w2 LEL-L. f d2v . \ dv v .
U ~dx ~dr~ 7 ~ ~ ~p dr [ dr2 717 I2
dw . dw . vw I d2w . 1 dw w . d2w \
дх дг г \ дг2 г дг г2 дх2 )
d (ru) . d (rv) __0
dx dr ~~
Рассматривая область струи как пограничный слой, поперечный
размер которого при больших рейнольдсовых числах мал, будем предпо-
предполагать радиальную скорость v малой по сравнению с продольной и и
трансверсальной w. Вместе с тем откинем в скобках справа д2и/дх2 и
d2wjdx2 по сравнению с радиальными производными. Тогда получим сле-
следующие уравнения распространения осесимметричной струи, общие для
случаев незакрученной и закрученной струи:
du , du 1 dp , / d2u , 1 du \ dp pw2
dx dr p dx \ dr2 r dr J ' dr r
A70)
dw , dw j. vw / d2w . 1 dw w \ d (ru) ,
Ulh ~dr~ ~7~V \lh* r ~dr~ ~ 1* ) * ал-
a(ru) =0
dr
В рассматриваемом случае движение будет происходить в меридиан-
меридианной плоскости, так что
ш = 0? -^ = 0, р = р(х) = const; A71)
dr
последнее равенство является следствием одинаковости давления в без-
безграничном пространстве, окружающем струю. При выполнении равенств
A71) уравнения A70) упрощаются и сводятся к следующим:
O. A72)
dx dr \ dr2 r dr J dx dr
Как это непосредственно следует из соображений размерности, ре-
решение уравнений A72) для случая незакрученной струи, бьющей из
бесконечно тонкого отверстия с нулевым расходом и конечным импуль-
импульсом, будет автомодельным. Действительно, в случае очень больших рей-
рейнольдсовых чисел секундный импульс, одинаковый для всех сечений,
определится как
с»
= const, A73)
l) Schlichting H Laminare Strahlausbreitimg — Zeitschr. fur Angew. Math.
undMech.,,1933, Bd. 13, S. 260.
564 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
и будет иметь порядок (Re=(/L/v)
г
г функция тока -ф= Г ru dr— порядок
UL2/Re = vL.
Следовательно, решение задачи должно иметь вид
а по условию независимости от L
что и доказывает автомодельность задачи.
Для упрощения выкладок будем искать функцию тока в виде
A75)
Найдем (штрих в дальнейшем означает производную по ц)
\ a' Vv ( ,
и = , 0 = -— (а' —
и, подставляя в первое уравнение системы A72), получим искомое обык-
обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка для определе-
определения а (г\)
()'^()'(Г-°-
Граничные условия будут
а=0, а/=0прит]=0,
причем второе вытекает из условия ограниченности продольной скорости
и=а'1(хг\) на оси. Кроме того, имеем условие ограниченности а при
т]-^оо, так как по A75) а пропорционально секундному объемному рас-
расходу жидкости сквозь данное сечение струи.
Уравнение A76) один раз интегрируется непосредственно и дает
i\a"—a'+aa'=0.
Вводя вместо ц новую переменную ? = 1пт], получим уравнение
dt* dl dl
которое при принятых граничных условиях после однократного интегри-
интегрирования сводится к следующему:
da4a — a2
Интегрируя еще раз, получим
Д(П)- • A77)
§ 115 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 565
Для определения константы интегрирования а остается использо-
использовать интегральное условие A73), которое при помощи A75) может быть
переписано в форме
Вычислив по A77)
и подставив его в предыдущее соотношение, найдем
Возвращаясь к A75) и к последующим формулам для и и v, полу-
получим искомое решение задачи
СС2Т]2 __2а2 1 _(
1 ' X
A78)
Форма линий тока и профилей продольной скорости в рассматри-
рассматриваемом случае осесимметричного течения по своему общему характеру
та же, что и в плоском случае.
Секундный массовый расход жидкости сквозь данное сечение струи
будет по A78) равен
М = 2лр \urdr=:2np^) (oo)==8npvx =8я(хх. A79)
Интересно отметить, что этот расход не зависит от секундного количест-
количества движения, характеризующего данную струю, а только от вязкости
жидкости, причем растет пропорционально расстоянию от источника
струи.
Распределение максимальной скорости на оси (г] = 0) по A78) пред-
представится выражением
атах = -^=А-А . A80)
х 8 n\ix
Определяя границу струи как геометрическое место точек, где отно-
отношение u/umax сохраняет некоторое малое, но постоянное значение, убе-
убедимся, что такой условной границей осесимметричной струи будет слу-
служить прямой круговой конус с углом полураствора, пропорциональным
/v2p//o. Замечая, что безразмерная величина /0/(pv2) играет в рассматри-
рассматриваемой задаче роль рейнольдсова числа Re=UL/v, убедимся, что услов-
условная ширина струи уменьшается с ростом числа Рейнольдса по закону
l/^Rei что подтверждает возможность применения в этом случае урав-
уравнений пограничного слоя.
В качестве примера более сложного, неавтомодельного движения
рассмотрим задачу о распространении ламинарной закрученной осесим-
метричной струи в пространстве, затопленном той же, но покоящейся
566 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
жидкостью1). В этом случае удается получить решение в форме асимп-
асимптотического ряда, построенного по обратным степеням расстояния сече-
сечения струи от источника струи.
Уравнения движения вязкой жидкости в пограничном слое — закру-
закрученной струе — представляются системой A70). Они содержат наряду
с продольной и и поперечной v еще трансверсальную компоненту ско-
скорости w, характеризующую крутку струи. Хотя во внешнем потоке, со-
согласно условию задачи, давление повсюду одинаково, все же в самой
струе имеется радиальный перепад давлений, уравновешивающий цен-
центробежные силы, вызываемые закрученностью струи. Этот перепад свя-
связан с трансверсальной скоростью вторым равенством системы A70).
Наличие его вызывает переменность давления и вдоль струи, что не
позволяет пренебрегать членом др/дх в первом уравнении той же си-
системы.
Из системы уравнений A70) могут быть выведены два основных
закона сохранения: количеств и момента количеств движения, из кото-
которых будут следовать два интегральных условия нетривиальности ре-
решений.
Пользуясь последним уравнением системы A70) (уравнением не-
неразрывности), перепишем первое уравнение той же системы после про-
простых преобразований в виде
и, интегрируя поперек струи, получим
Здесь под р понимается давление в точке струи, отсчитанное от дав-
давления вне струи; при этом предполагается существование интеграла в
левой части. Если считать (это можно проверить по полученному далее
решению), что и и ди/дг достаточно быстро убывают с ростом г, то подста-
подстановка обращается в нуль, и предыдущее равенство приводит к первому
интегральному условию задачи
оо
2я С г (р + ри2) dr = const = J09 A81)
о
обобщающему условие A73) на случай закрученной струи. Левую часть
этого равенства назовем потоком полного импульса сквозь сечение струи.
При х-^оо р-^0, и константа в уравнении A81) совпадает с константой
незакрученной струи.
Заметим, что третье уравнение системы A70) после умножения обе-
обеих частей на г и использования уравнения неразрывности может быть
переписано в форме
djruw) d(rvw) +msssvr±n±{rw)l
dx dr dr L r dr v ;J '
или, после повторного умножения на г, еще так:
дх dr { dr L dr J dr )
и проинтегрируем обе части последнего равенства поперек струи. Тогда
1) Лойцянский Л. Г. Распространение закрученной струи в безграничном про-
пространстве, затопленном той же жидкостью.— Прикл. мат. и мех., 1953, т. 17, вып. 1.
§ 115 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 567
при аналогичных предыдущим предположениях о быстроте убывания и
и w с ростом г получим
оо
— \ r2uw dr = 0
dx)
о
или, умножая на постоянную 2яр и интегрируя,
оо
2 яр j r2uw dr = const = Lo. A82)
о
Левая часть представляет перенос главного момента количеств дви-
движения сквозь сечение струи. Момент этот Lo одинаков вдоль всей струи
и, следовательно, может служить мерой закрученности струи.
Наличие двух постоянных вдоль закрученной струи величин /0 и
Lo, однозначно определяющих характерные длину и скорость, служит
препятствием к возможности сведения уравнений A70) к одному обык-
обыкновенному уравнению, что делает задачу неавтомодельной.
Введем в этом случае функцию тока г|) меридианного течения и бу-
будем искать ее в виде разложения
2 ) A83)
где а, а0, аи ...— неизвестные функции той же переменной т|, что и в
случае незакрученной струи. Тогда компоненты скорости в меридианных
сечениях будут (штрих, как и ранее, обозначает производную по ц)
1 дур а' 1 «о 1 , a'i 1 ,
u = —-f- = 1 Г + —"Т+ •••'
Г ОГ Х\ X Т] X2 Т) X9
A84)
г дх х
Окружную скорость w зададим рядом
w = h-4-^L+ ... A85)
X X2
и, наконец, введем еще разложение для давления р, отсчитываемого, на-
напоминаем, от давления окружающей струю жидкости,
^ = iL. + -^-+ ... A86)
р х х2
Здесь Ьи Ь2, ..., си с2, ... — неизвестные функции переменной tj.
Подставляя указанные разложения в систему уравнений A70) и
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систе-
систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения иско-
искомых коэффициентов.
Из первого уравнения системы A70) получим
ci + у\с[ = 0,
A87)
568 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Из второго уравнения той же системы найдем
х)р[ = 0, T|ci = Ь\9 У)с'3 = 2ЬгЬ%% хр[ = Ы + 2bxb3, ..., A88)
а из третьего
b+b b O
1 l ,
A89)
Кроме того, аналогичная операция над интегральными условиями
A81) и A82) приведет к следующей системе интегральных условий:
(,90)
Принимая ось струи rj==O за нулевую линию тока и используя ус-
условие конечности скорости на оси, найдем граничные условия
а = ао = а1= ... =0, а'=ао = а;= ..=0прит1 = 0, A91)
а из условия ограниченности секундного объемного расхода сквозь се-
сечение, или, что то же, значения \f> при т] = оо, получим условие ограни-
ограниченности величин"
а(оо), а0(оо), ... A92)
Далее, по определению скорости закрученности, имеем
61 = 62= ... =0 при t]=0,
A93)
bi = b2= ... =0 при т] = оо,
и, наконец, по определению давления,
ci=c2= ... =0 при tj = oo. A94)
Заметим прежде всего, что из первого уравнения системы A89) сразу
следует существование решения fei=0, удовлетворяющего граничным
условиям A93) и предпоследнему из интегральных условий A90). А тог-
тогда из первых трех уравнений системы A88) и граничных условий A94)
вытекает, что
При этом легко заметить, что функция а(г\) удовлетворяет тому же
уравнению, тем же граничным условиям и интегральному условию, что
и в случае незакрученной струи. С точностью до малых порядка 1/хг
разница сводится к членам, содержащим функции ао(ц) и Ь2(г\), которые
нетрудно разыскать.
Полагая в третьем уравнении системы A87)
<_=А A95)
§ 115 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРИСТЕННЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 569
и переходя от аргумента г\ к новому аргументу |=а/4, связанному с
уже ранее найденным соотношением
-I 2 2
*. 4
придем к гипергеометрическому уравнению
регулярное решение которого при очевидных граничных условиях
? = 0 при г] = 0, g=l при т] = оо
будет
ЛA)
Обращаясь после этого к уравнению A95) и повторяя интегрирова-
интегрирование, получим
где р — постоянная интегрирования.
Функция ao(r|) удовлетворяет условиям A91) и A92).
Для определения Ь2(г\) проинтегрируем второе уравнение системы
A89), которое представляется в виде
rfbl + r\b'2 — Ь2 + y\ab[ + г)а'Ь2 + ab2 = (ц2Ьг — x\b2 + v\ab2)' = 0.
Получим
v\b'2 = (l —a)b2,
откуда следует
^, A96)
причем постоянная интегрирования ^ определяется из последнего интег-
интегрального условия системы A90), которое при bt=0 переписывается в
виде
о
Выполнив интегрирование, найдем
v = JJ^LoJ^ A97)
Давление характеризуется функцией ^(л)» которая удовлетворяет
последнему уравнению системы A88) при bt=0 и равна
Используя полученные выражения неизвестных функций, придем
к следующим приближенным формулам теории закрученной струи
570 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕ.МОЙ ЖИДКОСТИ
(wmax обозначает скорость на оси струи):
—a2n2( I — -a2rJ
U =
4
2а2
а2т|2
3
1 — — <
4
4
х 2
J 1_
л- 2
3
Л A-Т'
«V)
ч 3 л-2
A98)
г2 '
1 2ос2 1 .
Г > Итах — Г" I
Постоянные а и f выражаются через характерные для данной за-
закрученной струи величины: импульс /0> момент Lo и физические констан-
константы р, |i. Что касается константы р, то ее появление, собственно говоря,
связано не с закрученностью струи, а с уточнением приведенного в пре-
предыдущем параграфе решения для незакрученной струи за счет членов
порядка ]/х2 в выражениях проекций скорости и, v и свободного члена
в функции тока. Но предыдущее решение задачи для незакрученной
струи было точным для источника с бесконечно малым диаметром вы-
выходного сечения. Как об этом легко заключить по последней формуле
системы A98), члены, содержащие р, дают поправку на конечность
начального расхода струи1). Пользуясь этой формулой и полагая в ней
д:=0, получим в принятом приближении (Qo — расход в начальном се-
сечении)
2лц 4 2лн 8v
A99)
Отметим несколько важных с качественной стороны выводов. В то
время как продольная и поперечная скорости убывают обратно пропор-
пропорционально первой степени расстояния от источника струи, окружная
скорость (закрутка) убывает обратно пропорционально квадрату того
же расстояния. Этим объясняется тот факт, что при истечении из отвер-
отверстия начальная закрутка не остается заметной вдалеке от выхода струи.
Максимальное значение окружной скорости
1) Решение, соответствующее конечному начальному диаметру истечения незакру-
незакрученной струи, было получено впервые Ю. Б Румером в статье: Задача о затоплен
ной струе.— Прикл. матем. и мех., 1952, т. 16, вып. 2.
§ 116. ПЛОСКИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ 571
достигается на конусе1)
Л За '
В дальнейшем вопрос о ламинарных струях подвергся математиче-
математическому анализу со стороны М. А. Гольдштика2).
§ 116. Плоский нестационарный пограничный слой
Причина сравнительной сложности решения задач нестационарного
пограничного слоя заключается, во-первых, в наличии в его уравнениях
наряду с членами, выражающими конвективное ускорение, еще допол-
дополнительного члена — локального ускорения и, во-вторых, в появлении,
наряду с граничными, еще начальных условий.
Известно, что соотношение между величинами локального и конвек«
тивного ускорений характеризуется порядком величины числа Струхала,
равного частному от деления характерной для данного движения длины
на произведение характерных скорости и времени. Существенные осо-
особенности нестационарных движений проявляются с достаточной отчет-
отчетливостью при сравнительно больших значениях числа Струхала. При
малых значениях этого параметра достаточно пользоваться квазиста-
квазистационарными приемами, т. е. рассматривать нестационарное явление в
каждый момент так, как будто оно стационарно, но имеет в качестве
определяющих параметров их мгновенные значения.
В настоящем общем курсе не представляется возможным углублять-
углубляться в этот сложный раздел теории пограничного слоя и приходится удо-
удовольствоваться рассмотрением лишь одной простейшей задачи, пред-
представляющей интерес с точки зрения понимания механизма диффузии
завихренности от места ее зарождения на поверхности обтекаемого
тела. Это — задача о мгновенном (импульсивном) приведении в поступа-
поступательное, равномерное, прямолинейное движение тела, погруженного в
неподвижную безграничную вязкую, несжимаемую жидкость.
Если по условию задачи тело приобретает установившееся движе-
движение мгновенно, то этого нельзя сказать об окружающей его жидкости.
Естественный интерес вызывают процессы установления движения
жидкости во времени: зарождения и развития пограничного слоя на по-
поверхности тела, появления отрыва и перемещения его вверх по течению,
перехода пограничного слоя в его установившуюся форму, соответст-
соответствующую стационарному обтеканию тела.
Возможность сравнительно простого решения этой задачи объясня-
объясняется тем, что внешний, набегающий на тело безвихревой поток при по-
поступательном, прямолинейном и равномерном движении тела стациона-
стационарен, и скорость на поверхности тела определяется функцией только
одной переменной х. Такое простое решение имеет место до начала
возникновения отрыва и до тех пор, пока отрыв еще не получит своего
полного развития, т. е. в начале разгонного участка.
Обратное влияние пограничного слоя на внешний поток на этапе
развивающегося и перемещающегося отрыва станет заметным и приве-
приведет к появлению времени в числе аргументов скорости внешнего потока.
Пользуясь сравнительной малостью продолжительности разгона и вводя
время в определение толщины пограничного слоя, можно искать реше-
1) Теоретические исследования более сложных ламинарных струй см.: Ко роб-
робко В. И. Теория неавтомодельных струй вязкой жидкости.— Изд-во Саратовского уни-
университета, 1977, ч. I, с. 3—138.
2) Гольдштик М. А. Вихревые потоки.— Новосибирск: Наука, Сибирское от-
отделение, 1981, с. 235—259.
572 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
ние задачи в виде ряда по степеням времени, сходимость которого при
достаточно малых t обеспечена. Это обстоятельство также облегчает ре*
шение.
Уравнения нестационарного пограничного слоя будут отличаться на-
наличием локального ускорения du/dt в левой части уравнения A1), гра-
граничными и начальными условиями. В рассматриваемом сейчас случае
уравнения будут иметь вид
dt дх ду dx ду2 дх ду
u = U(x), v = 0 при # = 0, * = 0,
B00)
w = 0, v = 0 при у = 0 *>0
u-+U(x) при у-+ оо,
u = U@) при x = 0
Первая строка приведенных условий выражает тот факт, что в на-
начальный момент /=0 пограничного слоя еще нет, и жидкость скользит
по контуру цилиндрического тела. При малых значениях времени / по-
пограничный слой еще очень тонок, скорости и близки к своему внешнему
значению U(x), a v мало отличается от нуля. Тогда первое из диффе-
дифференциальных уравнений системы B00) можно привести к линейному
виду, совпадающему по типу с известным уравнением теории теплопро-
теплопроводности в твердом теле (индексы при и, и, f и F в дальнейшем обозна-
обозначают их принадлежность к соответствующему приближению)
Полагая!)
и1=[/(х)Мл)> i\=yK2fii), B02)
получим для определения fi(t|) обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение второго порядка (штрих — производная по г\)
которое при принятых условиях B00) имеет решение в форме известной
гауссовой функции ошибок
что дает первое приближение для продольной скорости
и, = ?/(*) Erf л. B03)
Пользуясь уравнением неразрывности, введем соответствующее это-
этому первому приближению значение поперечной скорости
• B04)
Чтобы разыскать второе приближение, положим в первом уравне-
уравнении системы B00) и^и^
l) Blasius H. Grenzschichten in Flussigkeiten mit kleiner Reibung.—Zeitschr.
Math. u. Phys., 1908, Bd. 56, S. 1—37.
h 116. ПЛОСКИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ 573
Тогда поправка и2 определится из неоднородного также «теплового»
по типу уравнения
ду2 dt dx * дх г ду
= U— Г Erf2 л— -Lnr-^Erfri— 1 +-(ег** — ег**)\ . B05)
dx L У л я J
Разыскивая и2 в форме
u2 = tUd-^UD), B06)
получим для определения функции /2(г|) неоднородное уравнение
/; + 2Л/; - 4/2 = 4 [Erf2 т) - ^4- т^2 Erf л - 1 + 1 (e-v - е"^2)] , B07)
решение которого будет
/2(n) = lBr12-l)Erf2T1 + p-Tie-11'ErfT1+ 1__1<гч' +
+ - е-2ч! + а BгJ + 1) + р Г ^ BП2 + 1) Erf л + Л^л'1 • B08)
я L 2 J
Входящие сюда постоянные а и р определяются из принятых гра-
граничных условий обращения }2(ц) в нуль при т] = 0 и т] = оо; найдем
<209>
Пользуясь вновь уравнением неразрывности, определим поперечную
скорость v во втором приближении
- - Brf — 3t)) Erf2 ti + —ly= [4 - Dri2 — 1) e-] Erf
6 6 У л
H} BЮ)
Поступая аналогичным образом и дальше, можно было бы разыскать
и третье приближение1). Для этого пришлось бы решить неоднородное
уравнение
ду* dt х дх ^ 2 дх ^ х ду 2 ду V 7
Функция иг должна содержать в качестве множителя tz и будет
иметь вид
[S-^+u {^Jрз (л)]' B12)
где функции /3 и ^ удовлетворяют следующим неоднородным уравне-
уравнениям:
h + 2л/з - 8/3 = 49 (т,)э Fl + 2t]F; - 8F3 = 46 (ц) + 4Ф (л).
l) Goldstein S., Rosen head L. Boundary-layer growth.— Proc. Cambr. PhiL
Soc, 1936, v. 32, p. 392—401.
574 г л хп ламинарный пограничный слой в несжимаемой жидкости
Выписывать в развернутом виде правые части не будем, отсылая инте-
интересующихся к только что цитированной работе Голдстейна и Розенхеда;
в этой статье авторы не пожалели труда, чтобы вычислить величину по-
поправки и3 в замкнутом виде *). К сожалению, вопрос об области сходи-
сходимости получаемых таким образом рядов функций
остается открытым.
Для разыскания связи между абсциссой точки отрыва xs и соответ-
соответствующим ей временем ts определим корень уравнения (du/dy)v=(i=Q
или, что то же, (<Эи/<Эт))л=о = О. Тогда получим во втором приближении
'+(¦+?) (?).'—¦
Отрыв может произойти только в области отрицательного значения
продольной производной от скорости на внешней границе слоя ( — <0
и начнется ранее всего в точке с максимальным по абсолютной величи-
величине значением этой производной. Промежуток времени ts от начала дви-
движения до момента возникновения отрыва определится формулой
/ =J= 0» 702 B
~ГЗяМ dxjmax \ dx!n
Замечательно, что момент до начала возникновения отрыва на по-
поверхности тела не зависит от физических свойств жидкости: плотности
и вязкости, а только от максимального наклона кривой распределения
внешней скорости,
В случае круглого цилиндра радиуса а будет (л: — дуга окружно-
окружности, отсчитываемая от передней критической точки)
-I ^=2— cos(-). B15)
а ) dx а \ а )
Максимальное по абсолютной величине значение этой производной до-
достигается при х = па, в кормовой критической точке.
Время, по прошествии которого от момента начала движения от-
отрыв пограничного слоя возникнет в кормовой критической точке, будет,
согласно B14), равно
/,= = 0,351 — . B16)
( 4 \ U
Путь а, который цилиндр, двигаясь со скоростью С/ее, пройдет от на-
начала движения до момента зарождения отрыва в задней кромке, опре-
определится равенством
o=f/ee/i = 0,351a B17)
и равен примерно трети радиуса цилиндра Третье приближение дает
несколько меньшее значение
a = 0,32a. B18)
На рис. 205 штриховой кривой показана зависимость угловой коор-
координаты 6s точки отрыва (в градусах), отсчитанной от передней крити-
!) Авторы допустили в этом расчете ошибки, которые были впоследствии указаны
Вундтом (Wundt H. Wachstum der laminaren Grenzschicht an schrag angestromten Zy-
Under bei Anfahrt aus der Ruhe.— Ing. Archiv, 1955, Bd. 23, N° 3, S. 218) и приняты нами
во внимание.
§ 116. ПЛОСКИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
575
180
160
140
120
100
х
\
\
К
N
ческой точки круглого цилиндра, от безразмерного времени x=WJd
¦(d—диаметр цилиндра). Кривая эта рассчитана по изложенному мето-
методу последовательных приближений. В промежутке времени от т = 0 до
т,=^ооА*=0,16 угол 6s не меняется и равен 180°. Затем, начиная с
этого момента, угол 8° убывает, что соответствует перемещению точки
отрыва по контуру цилиндра вверх по потоку. Сплошной кривой для
сравнения показана та же зависимость,
определенная приближенным методом,
аналогичным методу Польгаузена*).
В отличие от предыдущей, штриховой
кривой, эта сплошная кривая асимпто-
асимптотически (т->оо) стремится к стацио-
стационарному, завышенному, как раньше
уже разъяснялось, значению угла точ-
точки отрыва A07°5').
Оба метода не учитывают обратно-
обратного влияния развивающегося отрыва на
внешний теоретический безвихревой
поток, но в степенном методе Блазиу-
са, кроме того, теряется быстрота схо-
сходимости ряда с ростом времени т, чем
можно объяснить отсутствие асимпто-
асимптотического стремления к стационарно-
стационарному значению угловой координаты точ-
точки отрыва. По-видимому, степенное решение (в третьем приближении)
пригодно по указанной причине лишь при т^0,3.
В настоящее время детально изучены не только случай импульсив-
импульсивного приведения тела в равномерное поступательное движение, но так-
также равноускоренное, со степенным и показательным ростом скорости.
Решение этих и многих других задач нестационарного пограничного
слоя можно найти в ранее упомянутых монографиях по теории погра-
пограничного слоя и цитированных в них оригинальных работах.
Вопрос об условиях отрыва нестационарного ламинарного погра-
пограничного слоя на движущейся поверхности рассматривается в обзоре
Дж. У и л ь я м с а2).
Применение метода обобщенного подобия в теории нестационарного
пограничного слоя, в связи со значительным увеличением числа пара-
параметров подобия, становится сложным и при современных возможностях
ЭВМ выполнимым лишь в локальных приближениях3) либо при до-
дополнительных упрощающих предположениях4).
0,2
0,4
0,6
0,8
Рис. 205
*) S с h u h H. Calculation of unsteady boundary layers in two-dimensional laminar
flow.-Zeitschr. f. Flugwiss., 1953, Bd. 1, S. 122—131.
2) См. книгу: Вихревые движения жидкости: Устойчивость и отрыв пограничного
слоя, свободные и квантовые вихри.— Механика. Новое в зарубежной науке. Вып. 21.—
М.: Мир, 1979, с. 58—100.
8) Бушмарин О. Н, Сараев Ю. В. Параметрический метод в теории неста-
нестационарного пограничного слоя.— Инж.-физ. журн., 1974, т. 27, № 1; Бушмарин О. Н.
Параметрический метод расчета нестационарного ламинарного пограничного слоя в не-
несжимаемой жидкости с отсосом или вдувом.— Инж.-физ. журн., 1976, т. 31, № 4.
4) D j u r i с М. On the universal form of unsteady incompressible boundary layer
equation and its solving.—Publ: de Tlnstit. Math., Belgrad, 1969, v. 9; Ascovic R.
Quelques contributions a l'etude de la couche limite lammaire tridimensionelle en regime
non stationaire, Rap. A—16 du Labor. d'Aerod. de TUniv. Laval, Quebec, Canada, Juin,
1970; S a 1 j n i k о v V. Sur une forme possible d'equations universelles de la couche limite
laminaire instationaire.-- C. R. Acad. Sci., Paris, 22 mars 1971, v. 272, p. 830—833;
Saljnikov V., Djukic Dj. L'universalisation des equations de la couche limite
laminaire instationaire, Recentes recherches sur les couches limites instationaires, Jutam
Symposium 1971; Eichelbrenner E. A. ed., v. 1, Quebec, Canada, 1972, p. 168—205.
576 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Приведенное решение наглядно показывает своеобразие процесса
распространения влияния вязкости на обтекание приводимого в движе-
движение тела. Опыты подтверждают теоретическое описание явления. Доста-
Достаточно внимательно рассмотреть известные фотографии Титьенса1), опи-
описывающие начало движения круглого цилиндра в водяном лотке, чтобы
убедиться в справедливости этого утверждения. На этих фотографиях
отчетливо наблюдается, как вначале отсутствующий (пограничный слой
постепенно утолщается до тех пор, пока при некоторой максимальной
толщине вблизи кормовой критической точки цилиндра не возникает
отрыв слоя. В дальнейшем этот отрыв развивается и распространяется,
стремясь занять свое предельное положение, соответствующее устано-
установившемуся обтеканию цилиндра.
Результаты экспериментов по измерению распределений давления
по поверхности круглого цилиндра на разных стадиях его движения из
состояния покоя, выполненных М. Швабе2), подтверждают, что в нача-
начале движения распределение давлений очень близко к теоретическому,
соответствующему безвихревому обтеканию цилиндра идеальной жид-
жидкостью. Это также говорит о том, что в начале движения пограничный
слой даже на таком плохо обтекаемом в установившемся движении
теле, как круглый цилиндр, весьма тонок, полностью охватывает поверх-
поверхность тела и поэтому не оказывает заметного обратного влияния на
внешний поток. Только после зарождения отрыва и перемещения его от
задней кромки цилиндра вверх по потоку появляется резкая деформа-
деформация кривой распределения давления, заканчивающаяся переходом к
тому обычному распределению, которое наблюдается при реальном,
установившемся обтекании цилиндра.
Аналогично, если тело совершает установившееся движение и в не-
некоторый момент времени это движение нарушается, например внезапно
меняется угол атаки крыла, то переход к новому установившемуся дви-
движению, соответствующему новому положению крыла в потоке, не про-
происходит столь же быстро, как изменение угла атаки, а запаздывает. На
реконструкцию обтекания, в связи с действием в пограничном слое вяз-
вязких сил, необходимо некоторое конечное время. За счет такого рода
затягивания плавного обтекания крыла на закритические углы атаки
можно на короткое время получить заметное увеличение коэффициента
максимальной подъемной силы крыла (динамический коэффициент подъ-
подъемной силы).
Математические трудности, возникающие при рассмотрении задач
теории нестационарного ламинарного пограничншч) слоя, освещены в
обзоре Д. Т. Стюарта3). Пример периодического слоя4) разобран в чет-
четвертом издании настоящего курса (с. 602—604).
§ 117. Температурный и концентрационный пограничные слои
в несжимаемой жидкости
Удовольствуемся в настоящем параграфе рассмотрением простей-
простейшего случая несжимаемой вязкой жидкости с постоянными физически-
физическими характеристиками (плотностью, коэффициентами вязкости, тепло-
1) См., например, Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя: Пер. с нем., М.:
Наука, 1974, с. 42 или Голдстейн С. Современное состояние гидроаэродинамики
вязкой жидкости. Т. I: Пер.-с англ.— М.: ИЛ, 1948, фото 7—8.
2) S с h w a b e M. S. Ober Druckermittlung in der nichtstationaren ebenen Stro-
mung.— Ing.-Archiv, 1935, Bd. 6.
8) Stuart J. T. Unsteady boundary layers, ранее цитированный сборник докла-
докладов на симпозиуме в Канаде, т. 1, с. 1; там же приводятся результаты разнообразных
исследований нестационарных как ламинарных, так и турбулентных пограничных слоев.
4) L i n С. С. Motion in the boundary layer with a rapidly oscillating external flow.—
Proc. 9-th Intern. Congr. Appl. Mech., Brussel, 1957, v. 4, p. 155—167.
§ 117. ТЕМПЕРАТУРНЫЙ И КОНЦЕНТРАЦИОННЫЙ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 577
проводности, диффузии), что вполне допустимо, если скорости движе-
движения значительно меньше скорости звука и малы разности температур и
концентраций примесей. Кроме того, будем пренебрегать диссипацией
механической энергии и внутренними источниками возникновения тепла
и вещества. В последней главе курса, посвященной динамике и термоди-
термодинамике газа при больших скоростях, эти ограничения общности поста-
постановки задач о тепломассопереносе будут сняты.
Как было указано в начале главы, при больших значениях рей-
нольдсова числа потока Re и чисел Ре, Ped, наряду со скоростными
пограничными слоями, будут образовываться температурные и диффузи-
диффузионные концентрационные пограничные слои. В этих тонких по сравне-
сравнению с характерным для потока линейным размером слоях быстрота
изменения температуры или концентрации в поперечном к потоку
направлении будет значительно превышать изменения в продольном
направлении.
Этот важный факт позволяет представить уравнения распростране-
распространения тепла A74) и вещества A82) гл. X при больших значениях тепло-
теплового и диффузионного чисел Пекле в форме (довольствуемся плоским
стационарным движением)
01 I 01 0 1 С/С | ОС »-^ и С /г> 1 f\\
Ul)x~ ~дУ~~alhj*% U~dx ~д~У~ Шр '
Напоминаем, что здесь а и D — коэффициенты температуропровод-
температуропроводности и диффузии. Эти уравнения температурного и диффузионного по-
пограничных слоев должны решаться совместно с уравнениями скорост-
скоростного пограничного слоя
U~dx~ + и~дЦ~~~~^!х~ ~дуъ* ~дх Иу~ 9 * '
которые в принятой постановке являются автономными, не зависящими
от решений уравнений B19). Наоборот, уравнения B19) требуют для
своего решения знания поля скоростей, т. е. предварительного решения
динамической задачи B20).
В качестве граничных условий для уравнений B19) примем сле-
следующие:
T=Twy c=cw при у=0, Г-^Гоо, с-^Соо при у->оо,
B21)
Т=Т0(у)у с = со(у) при х = х09
причем будем предполагать, что температура обтекаемой поверхности
Tw и температура Г«, набегающего потока не зависят от дс, т. е. одинако-
одинаковы вдоль температурного пограничного слоя. Точно так же будем счи-
считать одинаковыми вдоль потока и концентрации примеси вещества на
поверхности cw и вдалеке от нее ?«.
Покажем, что в условиях существования автомодельного решения
для скоростного пограничного слоя (§ 111) уравнения B19) также бу-
будут иметь автомодельные решения. Достаточно показать это для перво-
первого из уравнений B19).
Введем безразмерную температуру в, относя разность температур
Г*— Т к характерному для нее масштабу — разности Tw—Гто. Будем
иметь
U6 6
B22)
19-9487
578 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Вспоминая выражения (86) для производных д\р/ду = и, d$/dx=—v
и непосредственно вычислив (точка — знак дифференцирования по ?>
штрих — по х) производные:
^=(гоогш)ё и = (гоога))ё^,
ду б ду2 б2
подставим эти выражения в первое из уравнений B19). Тогда после оче-
очевидного сокращения членов, содержащих произведение ФЭ, получим
искомое уравнение в переменных подобия
0 = О, B23)
6 & М) = [ j ехР (- a J ф dA
где число Прандтля Рг, для краткости обозначенное буквой о, как уже
было указано ранее, равно отношению v/a кинематического коэффици-
коэффициента вязкости v к коэффициенту температуропроводности а.
Уравнение B23) интегрируется и дает решение в форме^ квадрату-
квадратуры. При принятых граничных условиях B21) решение это [ р = 2 A—р) ]
имеет вид
[ j ( A A /[ ( 1) 1 <224)
причем входящие сюда значения функции Ф(|; (}) могут быть получены
интегрированием по | значений Ф(?, р), представленных в табл. 15.
Как об этом легко заключить по B19) и B21), точно такая же
квадратура B24) определит и автомодельное распределение концен-
концентрации
Э* = Cw~~° =e(?;p,arf), B25)
CW Соо
где подстрочный индекс d относится к распределению концентраций и
соответствующему ему числу Шмидта (Sc = Prd=ad).
Не имея возможности привести занимающие большой объем табли-
таблицы или графики распределений 6(|; [J, о), эквивалентных им по форме
распределений 6(?; [3, od) и даже менее громоздких и наиболее важных
для расчетов температурных и концентрационных слоев распределений
6 @; (}, а), 6 @; р, od), отошлем интересующихся к уже ранее цитирован-
цитированной монографии Эванса, где эти распределения приводятся и подроб-
подробно анализируются.
Вспоминая помещенные в начале настоящей главы рассуждения о
сравнительной толщине скоростных, температурных и концентрацион-
концентрационных пограничных слоев в зависимости от величин чисел Прандтля и
Шмидта, дополним их аналогичными сведениями, относящимися к одно-
одному и тому же значению этих чисел, равному единице, но различным
величинам р.
Если р>0, что соответствует, как уже было выяснено в § 111, кон-
фузорному участку пограничного слоя с ускоряющимся движением жид-
жидкости на внешней его границе, то температурный (так же, как и кон-
концентрационный) пограничный слой толще скоростного. Если [J<0 (диф-
фузорный участок с замедленным движением жидкости на внешней гра-
границе пограничного слоя), то температурный (концентрационный) слой
тоньше скоростного. Эта закономерность, строго выполняемая в авто-
автомодельных пограничных слоях в несжимаемой жидкости, сохраняет свое
§ 117. ТЕМПЕРАТУРНЫЙ И КОНЦЕНТРАЦИОННЫЙ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 579
значение и в газовых потоках больших скоростей и перепадов темпе-
температур.
Остановимся подробнее на двух случаях теплопереноса, соответ-
соответствующих значениям р = 0 и р = 1.
В первом случае (р = 0) имеет место теплоперенос с поверхности
продольно обтекаемой пластинки1). Примем за функцию Ф ее норми-
нормированное значение Фо, заданное стандартной формой уравнения Бла-
зиуса C4). Тогда, замечая, что, согласно этому уравнению, будет
найдем искомое решение B24) в следующей простой форме:
I
B26)
При числе Прандтля о= 1 из этого равенства следует
B27)
что выражает условие подобия при о=1 распределений: 1) разности
между температурой на стенке и в данной точке сечения пограничного
слоя и 2) скорости потока в том же сечении.
В общем случае (аФ1) распределение 6 (у) в температурном по-
пограничном слое не подобно распределению и(у) в гидродинамическом
слое. Для обычных газов с сравнительно мало отличается от единицы
и разница между кривыми 6(|) и Фо*(?) невелика. Для жидкостей о из-
изменяется в широких пределах (а>1 для вязких масел, глицерина; а<1
для жидких металлов) и разница становится весьма заметной. На
рис. 206 приведены кривые распределе-
распределения 6(|) для нескольких значений а, под- /,%
д
= Q
075
°>50
о,25
о
'it
If/
^/?¦46
тверждающие сказанное; кривая для о=
= 1 представляет одновременно и рас-
распределение безразмерной скорости ы/СД».
На рис. 206 отчетливо видна установ-
установленная в начале настоящей главы зако-
закономерность, заключающаяся в том, что
толщина температурного пограничного
слоя возрастает с уменьшением числа
Прандтля а, совпадая с толщиной ско-
скоростного пограничного слоя только при
а=1. При а>1 температурный слой тоньше скоростного, а при а<1,
наоборот, скоростной пограничный слой тоньше температурного.
Рис. 206
') Pohlhausen E. Warmeaustausch zwischen festen Korpern und Flussigkeiten
mit kleiner Reibung und kleiner Warmeleitung.— Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech., 1921,
Bd. 1, S. 115.
19'
580 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Определим местный коэффициент теплоотдачи а(х), равный
B28)
где qw—проекция вектора потока тепла q* (A73) гл. X) на нормаль к
поверхности, т. е. секундное количество тепла, переносимого через еди-
единицу площади этой поверхности, а
/<°) = (f-)_ =t*»@)]o{j[<b;(i)]°^J ; Re, = ^, B29)
и найдем местное число Нуссельта
Nu, = ^ = |/(a)/R^: B30)
характеризующее теплоотдачу в данной точке поверхности пластинки.
Функция /(о), вычисленная Э. Польгаузеном, в интервале 0,6^с^15
равна1)
/(а)^0,664у^, B31)
так что в этом интервале чисел Прандтля можно пользоваться локаль-
локальной формулой теплоотдачи
Nu* ^ 0,332 у^ i/R^7. B32)
Производя интегрирование по всей длине пластинки L, получим вы-
выражение общего числа Нуссельта Nu пластинки
L
/(g
KIT — T \ X\T —T I 2
B33)
или в приближенной форме для указанного ранее диапазона чисел
Прандтля
Nu « 0,664 у/а у Re*,; Re^ = -2_ . B34)
Аналогичные формулы получим и для местного коэффициента мае-
сопереноса (^—секундное количество вещества, переносимого череа
единицу площади)
„.,_ q* — дУ
и соответственно местное диффузионное число Нуссельта
B35)
!) Опыты Элиаса (Zeitschr. I. angew. Math. u. Mech., 1929, Bd. 9, S. 434—453,
и в том же журнале, 1930, Bd. 10, S. 1—14) подтвердили теоретические результаты
Э. Польгаузена.
§ 117. ТЕМПЕРАТУРНЫЙ И КОНЦЕНТРАЦИОННЫЙ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ
581
и суммарное диффузионное число Нуссельта для всей поверхности пла-
пластинки
В случае произвольного fi местное число Нуссельта определяется фор-
формулой
Nux = /C(a;P)Re?f B37)
где положено
/С(а; р) == B — р)-у» |Jехр Г—а J<D'(E)<«"U} .
B38)
Температурному пограничному слою вблизи лобовой критической
точки на цилиндрическом теле соответствует U = cx, [J=l. В этом случае
местное число Нуссельта будет равно
Ыих= — = /C(o; l)Re* = /C(a; 1
Я r v
где коэффициент /C(a; 1) определяется по следующей таблице:
B39)
a
/((a;
1)
0
0,
,6
466
0
0,
,7
495
0
0,
,8
521
0
0,
,9
546
1
0,
,0
570
1
0,
,1
592
7
1
,0
,18
10
1,34
15
1,54
Для круглого цилиндра диаметра d вблизи лобовой критической
точки
U = 21/со sin —
d
= сх,
так что c = AUJd, и формула B39) приведется к виду
B40)
Теория теплоотдачи с поверхности вращающегося диска в безгра-
безграничной и ограниченной областях движения вязкой жидкости в ламинар-
ламинарном режиме изложена в ранее уже цитированной монографии Л. А. Дорф-
мана. Тепломассообмен в неньютоновских жидкостях освещен в сбор-
сборнике статей1).
Для расчета тепловых и концентрационных пограничных слоев с
произвольным распределением скорости на внешней границе скоростно-
скоростного пограничного слоя можно применять метод обобщенного подобия.
Автономное уравнение гидродинамики B20) известным образом (§ 113)
приводится к универсальной форме. Вводя дополнительную последова-
последовательность тепловых параметров, можно привести к универсальному
виду и уравнения B19) 2).
*) Тепломассообмен в неньютоновских жидкостях/Сб. статей под ред. Лыкова А. В.
и Смольского Б. М.— М.: Энергия, 1968.
2) Этому вопросу посвящена статья: Saljnikov V., Djordjevic V. Univer-
salislerung der Gleichung vom Temperaturengrenzschichtproblem — Zcitschr. f. angew.
Math. u. Mech , 1968, Bd. 48, № 8, S. 237—241.
582 ГЛ. XII. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Применение метода обобщенного подобия покажем в последней
главе курса для более общего случая газового потока больших скоро-
скоростей и значительных перепадов температур.
Примером задачи, для которой уравнение скоростного погранично-
пограничного слоя не будет автономным, а окажется связанным с уравнением тем-
температурного пограничного слоя, может служить задача о свободной
ламинарной конвекции1) несжимаемой жидкости вблизи поверхности
вертикальной пластинки бесконечной длины, но ограниченной нижней
кромкой. Температура пластинки Tw поддерживается постоянной; тем-
температура окружающей среды вдали от пластинки равна Г*,.
Движение в пограничном слое вызывается в данном случае наличи-
наличием подъемной (архимедовой) силы, удельное (отнесенное к единице
массы) значение которой может быть представлено в форме
г т
1 W i a
Уравнения движения и распространения тепла в скоростном и тем-
температурном пограничных слоях будут
дх ^ ду ду* ^ё Тж
? + |—О, «f.+*f—a?-; B42)
дх ду дх ду ду2
и = о = 0, 6=1приг/=0; н = 0, 0=0 при у=оо.
Вводя новые переменные (t|) — функция тока)
T_\S(Tw-TJVf. у _ у
[ WT J х1' х'< '
, в (я, у) =0A), B43)
J
выбор которых может быть сделан на основании соображений размер-
размерностей или из условия автомодельности задачи, придем к следующей
системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
Ф + ЗФФ — 2Ф2 + & = 0, Ь + ЗаФ& = О,
B44)
Ф@) = Ф@) = 0, &@) = 1; ф(оо) = &(оо) = 0.
Помещая на нижней кромке пластинки начало координат (лг=О),
будем иметь еще условия: и — О, 0 = 0 при x = 0.
Уравнения B44) были проинтегрированы при помощи разложений
в ряды Э. Польгаузеном2) для воздуха (а=0,733).
На рис. 207 и 208 показаны безразмерные профили температур и
скоростей в сечениях слоя, рассчитанные теоретически; там же приво-
1) Обширному кругу задач ламинарной свободной конвекции посвящена моно-
монография: Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжи-
несжимаемой жидкости.— М.: Наука, 1972, авторы которой возглавляют пользующуюся ши-
широкой известностью школу в Пермском государственном университете. Разнообразные
математические методы решения задачи о свободной конвекции вблизи вертикальной
поверхности изложены в недавно появившейся монографии: С о ков и шин Ю. А.,
Мартыненко О. Г. Введение в теорию свободно-конвективного теплообмена.— Л.:
Изд-во ЛГУ, 1982.
2)Pohlhausen E. Warmeaustausch zwischen festen Кбгрегп und Flussigkeiten
mit kleiner Reibung und kleiner Warmeleitung.— Zeitschr. f. Angew. Math. u. Mech.,
1921, Bd. 1, S. 115.
$ 117. ТЕМПЕРАТУРНЫЙ И КОНЦЕНТРАЦИОННЫЙ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ
583
1,0
0,6
0,2
ч
\
ч
т.
•11см
+ 7
х 4
°2
*/
0 0,3
/ 2
Рис. 207
0,3
0,2
0,1
{
1
+
• Лч
•
X
X ^^^
• >^
0,5
w
1,5
Рис. 208
дятся экспериментальные точки1)» находящиеся во вполне удовлетво-
удовлетворительном совпадении с теорией. Теоретическое значение местного чис-
числа Нуссельта в точке, находящейся на высоте h от нижнего края пла-
пластинки, равно
Nuh - f = 0,508 gft(;;-'") " = 0,359 (Gr
где используется число Грасгофа, равное (§ 95)
Gr =
B45)
Неавтомодельный случай свободной конвекции на поверхности вер-
вертикально расположенной пластинки при произвольном задании темпе-
температуры или потока тепла на ее поверхности исследовал методом обоб-
обобщенного подобия аспирант кафедры гидроаэродинамики ЛПИ им.
М. И. Калинина Н. Л. Золотое2).
») Опыты Элиаса (Zeitschr. f. Angew. Math. u. Mech., 1929, Bd. 9, S. 434—453).
2) Золотов Н. Л. Метод обобщенного подобия в задачах свободной конвекции
с произвольным распределением температуры или теплового потока на вертикальной
стенке,— Мех. жидк. и газа. 1980, № 3; Золотов Н. Л. Двухпараметрическое реше-
решение задачи о свободной конвекции вблизи вертикальной неизотермической пластины.—
Мех. жидк. и газа, 1980, N° 5, с. 490—492.
ГЛАВА XIII
ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
§ 118. Неустойчивость ламинарных режимов течений
и возникновение турбулентности
Рассмотренные в предыдущих двух главах движения вязкой жид-
жидкости относились к числу ламинарных движений. Траектории частиц,
линии тока, поля скоростей и давлений в этих движениях имели совер-
совершенно определенный, «регулярный» характер. Выражением этой регу-
регулярности ламинарного движения служил тот факт, что общая картина
наблюдающихся в действительности ламинарных движений и многие их
детали достаточно хорошо описывались решениями уравнений Навье —
Стокса при соответствующих, также «регулярных», начальных и гра-
граничных условиях. Можно, например, вспомнить пуазейлево движение
вязкой жидкости по круглой трубе, соответствие теоретически рассчи-
рассчитанных характеристик которого (парабола скоростей, формулы расхода
и сопротивления) опытным данным уже давно блестяще подтверждено.
То же относится к многочисленным другим примерам ламинарных дви-
движений вязкой жидкости: движению смазки в узких зазорах между ва-
валом и цапфой подшипника, вполне удовлетворительно описываемому
гидродинамической теорией смазки подшипников, движениям в лами-
ламинарных пограничных слоях, с достаточной точностью рассчитываемым
по теории, изложенной в предыдущей главе, и др.
Отмеченное совпадение результатов расчетов ламинарных течений
с экспериментом служит основой для заключения о справедливости
уравнений Навье — Стокса и их применимости для теоретического опи-
описания движений вязкой жидкости. Не следует, однако, думать, что от-
отсутствие в ряде случаев возможности сделать такое заключение может
служить основанием для утверждения о несоответствии теории действи-
действительности.
Наличие в реальных условиях разнообразных, чаще всего малых по
величине случайных отклонений или «возмущений» может либо очень
слабо изменить рассматриваемое движение — это будет говорить об
устойчивости движения по отношению к малым возмущениям,— либо
полностью его исказить, что имеет место при неустойчивости движения.
Таким образом, в действительности наблюдаются только те из решений
уравнений Навье — Стокса, которые являются устойчивыми по отноше-
отношению к возможным возмущениям.
В устойчивых движениях возникшие случайно или введенные по
воле исследователя в поток малые возмущения не развиваются с тече-
течением времени, а, наоборот, затухают, не влияя заметно на происходя-
происходящие в потоке жидкости процессы. В противоположность этому в не-
неустойчивых движениях малые вначале возмущения растут, существенно
изменяя характер начального движения и способствуя его переходу либо
к новому устойчивому движению, если таковое имеется среди возмож-
возможных решений уравнений Навье — Стокса, либо к некоторому хаотическо-
хаотическому, образованному нерегулярно движущимися и взаимодействующими
между собой жидкими массами. Процессы возникновения и развития
такого рода движений, так же как и их разрушения, носят случайный
характер, требуя для своего изучения статистических подходов.
§ 118. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ РЕЖИМОВ ТЕЧЕНИЙ 585
Эта форма движений вязкой жидкости, широко распространенная
в природе и технических устройствах, носит наименование турбулентных
движений. Турбулентными являются движения воздуха в атмосфере,
течения воды в морях, океанах, реках и каналах, в водопроводных тру-
трубах, в газопроводах, турбинах, насосах и компрессорах, в соплах ракет-
ракетных и реактивных двигателей.
Характерные особенности турбулентного движения просто обнару-
обнаруживаются, если, например, смотреть с моста на поверхность воды в ка-
канале, покрытую мелким плавающим сором или налетом нефти. Можно
заметить, как отдельные тела, участвуя в среднем течении воды в кана-
канале, совершают вместе с тем замысловатые поперечные, а вблизи бере-
берегов даже попятные движения. Аналогичные движения можно наблю-
наблюдать за бортом корабля, особенно вблизи кормовой его части.
Исторически первыми научными наблюдениями турбулентного дви-
движения были известные, относящиеся к 1883 г. опыты английского фи-
физика О. Рейнольдса, в которых он изучал движение воды в круглой ци-
цилиндрической трубе. При повышении скорости ламинарно движущейся
жидкости было замечено, как на подкрашенную и хорошо видимую
вначале прямолинейную струйку начинают накладываться волны, рас-
распространение которых вдоль струйки говорит о появлении возмущений
в ранее спокойном прямолинейном движении. Постепенно с ростом ско-
скорости воды число таких волн и их амплитуда возрастают, пока, наконец,
струйка не разобьется на нерегулярные, перемешивающиеся между со-
собой более мелкие струйки, хаотический характер которых позволяет
судить о переходе ламинарного движения в турбулентное. Описанная
картина перехода полностью соответствует указанной ранее причине
этого перехода. С возрастанием скорости ламинарное движение теряет
свою устойчивость; при этом случайные возмущения, которые вначале
вызывали лишь колебания струек вокруг устойчивого их прямолиней-
прямолинейного положения, быстро развиваются и приводят к новой форме движе-
движения жидкости — турбулентному движению.
В этих опытах Рейнольде впервые обнаружил, что переход лами-
ламинарного движения в турбулентное обусловливается достижением кри-
критического значения некоторого безразмерного числа, или критерия, ко-
которое в дальнейшем получило его имя. По опытам самого Рейнольдса
критическое число оказалось равным ReKp= (McPd/v)Kp=l,3-104; здесь
аср—средняя по расходу скорость, d — диаметр трубы, v — кинематиче-
кинематический коэффициент вязкости. Впоследствии *) им же было открыто су-
существование такого нижнего критического значения ReKp, приблизитель-
приблизительно равного 2000, что при Re<ReKP движение в трубе оставалось лами-
ламинарным, каковы бы ни были введенные в течение возмущения. Вместе
с тем было замечено, что путем удаления возмущений на входе в трубу
или уменьшения начальной их интенсивности можно искусственно за-
затянуть ламинарное движение в область значительно больших значений
числа Рейнольдса. В частности, значение 1,3-104, полученное Рейнольд-
сом, объяснялось наличием плавного входа в трубу в его опытах. Одна-
Однако не удалось получить определенное значение для верхней границы
критического числа; эта граница многократно отодвигалась все более
и более тщательными опытами2) и была доведена чуть ли не до числа
5-104. Конечно, такое затянутое ламинарное движение не терпит появ-
появления даже очень небольших возмущений и сразу же переходит в тур-
турбулентное.
') Reynolds О. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and
the determination of the criterion.— Phyl. Trans, of the Royal Soc., 1895 (русский пере-
перевод в кн.: Проблемы турбулентности.— М.: ОНТИ, 1936, с. 185 и след.).
2) См. гл. V монографии: Шиллер Л. Движение жидкостей в трубах.— М.:
ОНТИ, 1936.
586 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Оставляя в стороне вопрос об опытных значениях критического
рейнольдсова числа для цилиндрических труб с различной формой се-
сечений1), заметим, что на критическое число ReKP сильно влияет откло-
отклонение трубы от цилиндричности, т. е. диффузорность или конфузорность
трубы. Так, в сходящихся трубах (конфузорах) ReKp превышает соот-
соответствующее число для цилиндрической трубы и, наоборот, в расши-
расширяющихся каналах (диффузорах) ReKp сравнительно мало.
Отметим и в дальнейшем подтвердим опытными материалами, что
встречающаяся на практике шероховатость стенок не влияет на значение
критического числа Рейнольдса, что и естественно, так как нижнее чис-
число Рейнольдса связано с устойчивостью потока, а не с наличием или
отсутствием возмущений в нем.
Математическая теория устойчивости ламинарных течений в на*
стоящее время хорошо разработана. В русском переводе имеется моно-
монография: Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической
устойчивости.—М.: Мир, 1971, которая освещает состояние этого воп-
вопроса в простом и ясном изложении и с большим числом самых разно-
разнообразных приложений, включая магнитогидродинамические и вязко-
упругие течения, а также течения газа со взвешенными в нем твердыми
частицами. Эта монография в значительной степени может восполнить
имеющийся в настоящем курсе пробел.
Простейшим разделом общей теории устойчивости ламинарных дви-
движений является теория устойчивости ламинарного потока по отношению
к малым возмущениям. Эта линейная теория получила наибольшее раз-
развитие и излагается во многих специальных курсах и монографиях2).
В последние годы стала развиваться нелинейная теория гидроди-
гидродинамической устойчивости. Основы ее изложены в конце обзора, состав-
составленного Дж. Стюартом и помещенного в только что цитированном
руководстве под ред. С. Розенхеда (с. 562—578). Эта часть теории
устойчивости также пользуется методами теории колебаний, но изуча-
изучает развитие возмущений конечной амплитуды3). Но вопрос об устойчи-
устойчивости ламинарного движения относится лишь к начальной стадии явле-
явления перехода от ламинарного движения к турбулентному. Основное зна-
значение приобретают собственно переходные явления, представляющие
развитие тех случайных возмущений, которые существовали в гГотоке до
потери им устойчивости или в момент потери устойчивости, но заметно
возросли только после потери устойчивости и привели в конечном счете
к развитому турбулентному движению.
Появившиеся в последние десятилетия исследования в этом направ-
направлении показывают, что нелинейные эффекты в вязких потоках крайне
своеобразны. Чрезвычайно характерны в этом смысле явления, возни-
1) См. только что цитированную монографию Л. Ш и л и е р а, гл. VI.
2) К о ч и н Н. Ем К и б е л ь И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика.
Ч. II.— 4-е изд.— М.: Физматгиз, 1963, с. 658—686; Слезкин Н. А. Динамика вязкой
несжимаемой жидкости.—М.: Гостехиздат, 1955, с. 385—432; Шлихтинг Г. Теория
пограничного слоя, гл. XVI и XVII.— М.: Наука, 1974; Линь Ц. Ц. Теория гидроди-
гидродинамической устойчивости.— М.: ИЛ, 1958; Laminap boundary layers, ed. by Rosen-
head S.—Oxford: Clarendon Press, 1963, p. 492—578; Mo ни н А. С, Яглом А. М
Статистическая гидромеханика. Ч. I. Раздел «Гидродинамическая неустойчивость и воз-
возникновение турбулентности».— М.: Наука, 1965, с. 77—161. Этот список дополняет
только что цитированная монография Бетчова Р. и Криминале В. См. также
Решотко Э. Устойчивость ламинарного пограничного слоя и его переход в турбу-
турбулентный (ранее цитированный сборник обзоров «Механика. Новое в зарубежной нау-
науке». Вып. 21 —М.: Мир, 1979, с. 11—57).
3) Краткий обзор работ этого направления с подробной библиографией можно
найти в докладе Г. Гертлера и В. Вельте на симпозиуме по турбулентности в
г. Киото (Япония) 19—24 сентября 1966 г. (Gdrtler Н., Welte W. Recent mathema-
mathematical treatments of laminar flow transition problems.— Physics of Fluids: P. II, 1966,
v. 10, № 9). См. также обзор: Stuart J. T. Nonlinear stability theory.— Annual Review
of Fluid Mechanics, 1971, v. 3, p. 347—370.
§ 118. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ РЕЖИМОВ ТЕЧЕНИИ 587
кающие в круглой трубе при переходе рейнольдсова числа через крити-
критическое значение. Явления эти свойственны и другим случаям ламинар-
ламинарного движения вязкой жидкости, в частности куэттовскому движению
между движущимися параллельными плоскостями, между поверхностя-
поверхностями вращающихся соосных цилиндров и в пограничных слоях.
При входе в начальный участок трубы поток несет возмущения раз-
разнообразной природы. Это могут быть либо возмущения, пришедшие
извне, например из помещения, в котором расположена всасывающая
воздух труба, или из резервуара с водой, вытекающей через трубу, либо
возмущения, образовавшиеся из-за неплавности входа в трубу. По-
Последняя причина обычно бывает доминирующей. Как упоминалось выше,
уже Рейнольде в своих первых опытах заметил, что при значениях Re,
еще далеких от критических, по прямолинейным струйкам краски в на-
начальном участке трубы пробегают дискретные волны или группы волн,
затухающие вниз по течению. Эти накладывающиеся на ламинарный
поток возмущения по мере приближения его к критическому состоянию
становятся все более интенсивными и расплывчатыми, пока, наконец,
не заполнят всю область течения и поток станет полностью турбу-
турбулентным.
Было отмечено последующими исследователями (Л. Шиллер и др.),
что первичные возникновения этих сравнительно редких по частоте по-
появления возмущений не оказывают влияния ни на профили скоростей в
сечениях трубы, ни на общее сопротивление трубы. Только в непосред-
непосредственной близости к кризису влияние этих волн становится заметным:
искажаются профили скоростей, изменяется закон сопротивления.
Тщательное исследование потока в трубе при рейнольдсовых чис-
числах, близких к критическим, показало, что в одном и том же фиксиро-
фиксированном сечении трубы и при том же значении рейнольдсова числа Re =
==«Cprf/v может происходить чередование ламинарных и турбулентных
режимов. Это явление получило наименование перемежаемости (inter-
mittency). Причина перемежаемости режимов течения заключается в
том, что турбулентность, как показали тщательные опыты, образуется
вначале в дискретных областях потока в виде «облачков» или «пятен»
(spots), в случае трубы заполняющих поперечное сечение трубы «проб-
«пробками», которые могут достигать протяженности вдоль трубы порядка
нескольких десятков диаметров трубы, причем эта протяженность зави-
зависит от рейнольдсова числа потока.
Основной количественной характеристикой явления перемежаемо-
перемежаемости служит доля времени существования турбулентного режима в дан-
данном сечении трубы. Эту безразмерную величину, равную нулю, если
течение все время ламинарное, и единице, если течение сохраняет тур-
турбулентную форму, называют «коэффициентом перемежаемости» и обо-
обозначают буквой ^. Величина эта зависит как от рейнольдсова числа
потока, так и от расстояния х от входа в трубу. На рис. 209 и 210 (опу-
(опущены экспериментальные точки) показано изменение коэффициента пе-
перемежаемости в круглой трубе в зависимости от рейнольдсова числа Re
и относительного расстояния от входа в трубу x/d по опытам И. Ротта 1)
на воздухе и воде и Д. Колза2) на воде. Коэффициент перемежаемости
резко возрастает в области критического значения числа Рейнольдса,
причем в ближних к входу сечениях позже, чем в дальних. На рис. 211
кружками, не связанными с кривой, показан профиль скоростей при
Re=2550 и ч = 0,7. Там же приводятся относящиеся к тому же рейнольд-
1) R о 11 a J. С. Experimenteller Beitrag zur Entstehung turbulenter Stromung in
Rohr.-Ing. Arch., 1956, № 24, S. 258—281.
2) Coles D. Interfaces and intermittency in turbulent shear flow. Mecanique de la
turbulence.— Colloque Internat. du Centre Nationale de la Recherche Scientifique (Mar-
(Marseille, France). Изд. этого центра, Париж, р. 229—251.
588 ГЛ XIII ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
сову числу профили скоростей: при ламинарном режиме (^ = 0, сплош-
сплошная кривая —парабола Пуазейля, светлые кружки) и при турбулент-
турбулентном режиме (т=1, штриховая кривая, треугольники).
Отметим важный для дальнейшего факт выравнивания профиля
скоростей при переходе от ламинарного движения к турбулентному. При
этом на оси трубы скорость уменьшается, а на некотором фиксирован-
фиксированном расстоянии от стенки трубы, наоборот, увеличивается. Помещая
W
7
0,8
0,6
OS
0,2
/
/
у.
.
У*
^y
^< —
к
*—
-——
e =26
r\
00-2
n
~~ •yznn
¦ —
=
Ш —
w —¦
¦i —
— —
Рис 209
ЛЙ7 ^/7^? 3Z7/7 ^^ 5ДО
Рис. 210
измеритель скорости на определенном небольшом расстоянии от стен-
стенки, можно по увеличению скоростного напора судить о переходе от ла-
ламинарного движения к турбулентному. Такой прием, как далее будет
показано, с успехом применяется при экспериментальном исследовании
перехода в пограничном слое. Более точное исследование перемежае-
перемежаемости связано с изучением возникновения и развития пульсаций скоро-
скорости в потоке при помощи осциллографической записи показаний термо-
термоанемометра.
WOO 5000
Re
Рис 211
Рис. 212
На рис. 212 приводятся данные о скоростях движения турбулент-
турбулентных «пробок» в трубе. Кривая / представляет выраженную в частях
средней скорости потока скорость передней, а кривая // — задней стен-
стенки «пробки». Как легко заключить из этих двух кривых, передние гра-
границы пробок при закритических режимах движутся быстрее задних,
вследствие чего «пробки» растягиваются, заполняя при своем движении
все большие и большие объемы трубы. Вместе с тем передний край
одной «пробки» догоняет задний край смежной «пробки». Все это приво-
приводит к тому, что при закритических значениях Re в удалении от входа в
трубу устанавливается сплошное турбулентное движение. На том же
рисунке для сравнения приведены кривые /// и IV скоростей на оси
§ 118. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ РЕЖИМОВ ТЕЧЕНИЙ 589
трубы соответственно турбулентного и ламинарного потока, отнесенных
также к средней скорости потока.
Скорость передней стенки «пробки» сначала меньше, но с ростом
рейнольдсова числа становится больше, чем скорость турбулентного по-
потока на оси трубы, а скорость задней стенки значительно меньше этой
скорости. Можно еще заметить, что до критического значения числа
Рейнольдса скорость передней грани «пробки», наоборот, меньше ско-
скорости задней грани; это приводит к сокращению длин образующихся
«пробок» и их исчезновению в ламинарном потоке.
Наряду с движением вязкой жидкости в круглых цилиндрических
трубах Д. Колзом были изучены также и переходные движения в
пространстве между соосными вращающимися цилиндрами1). При пе-
переходе через некоторое значение рейнольдсова числа устойчивое внача-
вначале круговое движение частиц жидкости в плоскостях, перпендикулярных
к оси вращения, сменяется движением с ячеистой структурой замкнутых
вторичных течений, расположенной периодически в направлении, па-
параллельном оси вращения. Такое — его обычно называют тейлоров-
тейлоровским— движение образуется в случае доминирующего вращения внут-
внутреннего цилиндра. В случае же доминирующего значения вращения
внешнего цилиндра устойчивое круговое движение частиц переходит в
спиральное, смешанное ламинарно-турбулентное движение. Эти перио-
периодически расположенные в пространстве спирали, сохраняя свою форму
и взаимное расположение, вращаются как одно целое вокруг общей оси
цилиндров с угловой скоростью, близкой к среднему арифметическому
угловых скоростей цилиндров.
Распределение вдоль спиралей турбулентных «пробок» подчиня-
подчиняется качественно тем же закономерностям, что и в случае смешанного
ламинарно-турбулентного движения по цилиндрической трубе. Коэф-
Коэффициент перемежаемости «у на среднем радиусе принимает значения от
0,3 до 0,7.
Изменяя угловые скорости вращения внутреннего и внешнего ци-
цилиндра, можно отчетливо наблюдать процессы возникновения и разру-
разрушения различных режимов движений вязкой жидкости между вращаю-
вращающимися цилиндрами, от периодических тейлоровских до двоякопериоди-
ческих спиральных структур. Большой интерес заслуживает факт связи
характеристик турбулентности в пробках с тейлоровскими вторичными
течениями, которые, таким образом, служат конечными возмущениями,
способствующими переходу от ламинарного движения к турбулент-
турбулентному2).
Переходные явления в ламинарно-турбулентных потоках привлекают
в настоящее время особое внимание теоретиков и экспериментато-
экспериментаторов. В добавление к изложенному в начале параграфа следует упомя-
упомянуть о достигнутых в настоящее время успехах в углубленном понима-
понимании процессов перехода ламинарных движений в турбулентные, трактуе-
трактуемых с точки зрения нелинейной механики. Широкое применение получил
волновой подход к изучению возмущений, развивающихся в потерявшем
устойчивость ламинарном потоке. Теоретические исследования относятся
главным образом к классическому так называемому куэттовскому кру-
круговому движению между двумя коаксиальными цилиндрами (преиму-
(преимущественно с неподвижным внешним и вращающимся внутренним).
Изучается последовательность преобразований движения потока от
\) См. предыдущую сноску.
2) Рекомендуем интересующимся ознакомиться со статьей: Coles D. Transition in
circular Couette flow.—Journ. Fluid Mech, 1965, v. 21, p. 385—482, в которой вопрос
о переходных явлениях в куэттовском круговом движении разобран с большими по-
подробностями и где приведены многочисленные фотографии визуализированных пото-
потоков.
590 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
чисто азимутального к поперечному волновому, вихревому движению, его
модуляций и, наконец, переход к непериодическому, хаотическому, т. е.
собственно турбулентному движению. Анализируются также свободные
конвективные движения (вихри Рэлея — Бенара), струйные течения
и др. Наиболее характерным для современных исследований явлений в
переходной области и последующем развитом турбулентном движении
стало обращение к представлениям о дискретных вихреобразованиях
сложной структуры, возникновение и взаимодействие которых изучают
как экспериментально, так и численными методами.
В основе общей теории переходных явлений лежат представления о
нелинейных колебаниях, причем для их изучения с успехом применя-
применяется метод фазовых характеристик, заключающийся в сопоставлении
колебательного режима с движением «изображающей точки» и значи-
значительно способствующий пониманию процесса. Теоретическому и экспе-
экспериментальному изучению подвергается характерное для переходных яв-
явлений изменение спектров частот пульсаций, сопровождающее явление
перехода. На пути перехода от упорядоченного ламинарного движения
к хаотическому турбулентному наблюдается рост частот колебаний от
очень редких, дискретных на начальных стадиях перехода до непрерыв-
непрерывного спектра при установившемся развитом процессе турбулентного
движения. Это явление в настоящее время подверглось подробному
численному анализу1) и подтверждено многочисленными опытами2).
Несмотря на эти успехи, вопрос о переходе ламинарных режимов тече-
течений в турбулентные представляет проблему, еще далекую от разреше-
разрешения. Известный специалист в этой области Р. Бетчов замечает, что,
в отличие от собственно ламинарного и турбулентного течений, допу-
допускающих известные «первые приближения», никем до настоящего вре-
времени не было предложено плодотворное «первое приближение» для
режима перехода. Большое значение в связи с этим придается резуль-
результатам эксперимента (см. § 119)s).
§ 119. Переходные явления в пограничном слое. Кризис сопротивления
тел плохо обтекаемой формы
Сходство явлений перехода ламинарных движений в турбулентные
в круглой цилиндрической трубе и в куэттовском круговом движении
распространяется и на движение вязкой жидкости в пограничных слоях
на поверхности твердых тел, в струях и следах за телами. Если усло-
условиться при сравнительно грубом подходе количественно сопоставлять
скорость на внешней границе пограничного слоя со скоростью на оси
трубы, а толщину пограничного слоя с радиусом трубы, то следует вве-
ввести в рассмотрение рейнольдсово число пограничного слоя
ке =
характеризующее поток в данном сечении слоя.
!) Nonlinear dynamics/Ed, by Helleman R.— Annals of the New York Acad.
of Sci, 1980, v. 357, Turbulence, p. 1—55.
2) IUTAM symposium on turbulence and chaotic phenomena in fluids (Kyoto,
5-10 sept. 1983).
3) Механизм перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный еще недо-
недостаточно изучен. Связь его с наличием локальных нестационарных отрывов в вязком
подслое, являющихся следствием пульсаций давления, легла в основу полуэмпириче-
полуэмпирического метода определения точки перехода, предложенного А. А. Дородницыным
и Л. Г. Лойцянским в статье «К теории перехода ламинарного слоя в турбулент-
турбулентный» (Прикл. мат. и мех., 1945, т. 9, вып. 4). Современное изложение вопроса о пере-
переходе ламинарного пограничного слоя в турбулентный см. в обзоре: Г а п о н о в С. А.,
Левченко В. Я. Современные проблемы перехода пограничного слоя.-—Успехи ме-
механики, изд. ВИНИТИ, 1981, Кя 4.
§ 119. ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ 591
Многочисленные опыты по определению критического числа ReeKP
для пограничного слоя на пластине привели к значениям, близким к
критическому числу трубы. Тот же порядок Re^KP был найден и при
обтекании круглого цилиндра, шара и крыловых профилей. При этом
было обнаружено, что относительное расположение критического сече-
сечения пограничного слоя, в котором ламинарный слой переходит в турбу-
турбулентный, существенно зависит от степени возмущенности набегающего
на тело внешнего потока. При изменении этого фактора изменяется и
критическое число Рейнольдса пограничного слоя.
В отличие от переходных явлений, рассмотренных в предыдущем
параграфе, в пограничном слое наличие того или другого режима дви-
движения обусловлено развитием течения вдоль пограничного слоя. Так,
начальный участок слоя обычно бывает ламинарным, за ним располага-
располагается переходная область, где одновременно сосуществуют турбулентные
зоны потока с ламинарными, и, наконец, область развитого турбулент-
турбулентного потока, состоящая из турбулентного ядра и тонкого вязкого под-
подслоя, граничащего с твердой стенкой.
При малой интенсивности возмущений во внешнем потоке в опытах
как с пластинками, так и с крыльями, удавалось затянуть переход на
большие значения ReeKp, чем в случае сильно возмущенных потоков.
Так, например, в пограничном слое на пластине, помещенной в мало-
малотурбулентную аэродинамическую трубу, наблюдалось ламинарное дви-
движение вплоть до критического сечения пограничного слоя, где ReeKP=
=6290, а на полированных металлических крыльях самолета в полете
ReeKp доводилось до величины 9300. Это показывает, что относительный
размер ламинарного участка пограничного слоя на крыле, особенно в
спокойном набегающем потоке, зависит от шероховатости поверхности
крыла вблизи передней его кромки или наличия производственных недо-
недостатков обработки поверхности в этой области крыла. Такое отличие
движения жидкости в пограничном слое от движения в трубе может
быть объяснено тем, что вблизи носика крыла пограничный слой еще
очень тонок, бугорки шероховатости проникают сквозь пограничный
слой и становятся источниками возмущений во внешнем потоке, которые
будут проходить внутрь пограничного слоя через внешнюю его границу.
Вместо Re6, заключающего в себе неточную величину б, можно
рассматривать числа
составленные по более точно определяемым величинам: толщине вытес-
вытеснения и толщине потери импульса. Соответствующие критические их
значения могут быть найдены непосредственно по замерам скоростей в
сечениях слоя или пересчетом. В настоящее время широко используется
число Re**. Значение ReJ^p по опытам на различных крыльях в различ-
различных аэродинамических трубах колеблется от 600 в сильно турбулентных
трубах до 1300 в мало турбулентных (по некоторым данным, относя-
относящимся к трубам с очень малой турбулентностью, число Re^p достигало
значения 2300).
Наблюдающееся различие в значениях Re*^^ разных крыльев
имеет еще одну причину. Подобно тому как это имеет место в трубе
переменного сечения, критическое значение Re?p в пограничном слое
зависит еще от того, попадет ли критическое сечение в конфузорную
или диффузорную части пограничного слоя. В области ускоренного те-
течения (конфузорная часть слоя) Re^ имеет большие значения, чем в
области замедленного течения (диффузорная часть слоя). В случае сво-
свободного пограничного слоя, как, например, в струе или в следе вдалеке
592 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
за телом, критические значения числа Рейнольдса очень малы, и прак-
практически всегда приходится иметь дело с турбулентными струями и сле-
следами за телом.
Теоретическое определение нижнего критического числа Рейнольд-
Рейнольдса пограничного слоя
, под которым понимается значение Re** в
й
р p р
том сечении пограничного слоя, где теряется устойчивость движения,
может быть выполнено с вполне удовлетворительной точностью при по-
помощи однопараметрического приближения. Так, обозначая через
V v /кр
/кр •
*
у
/
\
V
/
/
V
(
Ьд\
/
величины Re** и фЪрмпараметра / в сечении слоя, где теряется устой-
устойчивость ламинарного движения, можно, использовав теорию устойчиво-
устойчивости, получить приближенную связь между Re^pи /кР> представленную
сплошной кривой на рис. 213. Этот гра«
фик в рамках теории устойчивости явля-
является общим для всех плоских погранич-
пограничных слоев, т. е. не зависит от распределе-
распределения скорости U(x) на внешней границе
пограничного слоя.
Из графика непосредственно следует,
что критические числа Re^, соответству-
соответствующие положительным значениям fKp, т. е.
конфузорному участку пограничного
слоя, значительно превышают критиче-
критические числа в области замедленного дви-
движения в диффузорной области. Этот факт
условно выражают, говоря, что ламинар-
ламинарный поток в конфузорной части погра-
пограничного слоя более устойчив, чем в диф-
диффузорной. При этом за количественную
меру устойчивости принимают значение
критического рейнольдсова числа Re|?.
Рассчитав по однопараметрической
теории величины f=f (х) и Re** = Re**(s)
для обтекания с заданным распределени-
распределением скоростей U(x), исключим безразмерную абсциссу х и построим кри-
кривую связи текущих значений f и Re** в тех же координатах, что и на
рис. 213. Это приведет к кривой (на рис. 213 показанной штрихами)*
имеющей наклон противоположного знака и пересекающей основную
кривую. Действительно, в то время как критическое число Рейнольдса
Re«p в диффузорной части пограничного слоя (f<0) меньше, чем в кон-
конфузорной (/>0), текущее число Рейнольдса Re**, наоборот, возрастает
вдоль поверхности тела вниз по потоку, т. е. при переходе от положи-
положительных f к отрицательным. Точка пересечения сплошной кривой со
штриховой определит искомое /кр для данного конкретного случая зада-
задания распределения внешней скорости U(x), а тем самым и абсциссу 5Kp
точки потери устойчивости.
Не следует смешивать эту точку потери устойчивости ламинарного
пограничного слоя ни с началом переходной области, ни с той точкой
перехода ламинарного движения в турбулентное, которая интересует
практику. Под началом переходной области обычно понимают точку
(сечение пограничного слоя), где развивающиеся возмущения нарастают
настолько заметно, что уже начинают изменять ламинарный характер
движения в пограничном слое, а под точкой перехода такую промежу-
Рис. 213
§ 119 ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
593
точную точку переходной области, где турбулентный характер движения
уже значительно проявился, например, в искажении профиля скоростей
в сечениях пограничного слоя. В тех случаях, когда протяженность пере-
переходной области по сравнению с размерами тела невелика или не требу-
требуется большой точности в определении положения перехода, пользование
понятием «точки перехода» вполне приемлемо.
и/и
0,7
0,6
0,5
0,3
ПО
u,<
0
0,1
AV
A\
ЭД
\\
\
\
%
v
0,2
* - - 2,3
°—3,2
Д ifQ
+ - - 5,1
i
f /
i
Ш
0,3
'/
/
/
M/
;
: /
/
ft
6
I
4
к
x/b
Рис. 214
Рис. 215
Экспериментальное определение точки перехода в пограничном слое
производят обычно так. Микротрубку полного напора, отверстие кото-
которой направлено навстречу потоку, заставляют перемещаться вдоль по-
пограничного слоя, оставляя носик трубки D (динамическое отверстие) на
одном и том же малом расстоянии h (рис. 214) от поверхности крыла.
Вычитая из полного напора, регистрируемого отверстием D трубки, дав-
давление в соответствующем сечении пограничного слоя, замеряемое при
помощи отверстия на поверхности крыла, находящегося как раз под
носиком микротрубки, можем определить скорость на выбранном фик-
фиксированном расстоянии от поверхности в различных сечениях погранич-
пограничного слоя.
В связи с утолщением ламинарного пограничного слоя вниз по по-
потоку, безразмерная скорость u/U, измеряемая на одном и том же рас-
расстоянии от поверхности крыла внутри слоя, должна убывать. Действи-
Действительно, относительная координата /г/б точки замера при этом уменьша-
уменьшается, а сама точка как бы все глубже погружается в пограничный слой,
переходя к относительно меньшим скоростям.
На рис. 214 даны профили скоростей в последовательных сечениях
1-6 ламинарного (сплошные кривые), переходного и турбулентного
(штриховые кривые) пограничного слоя на крыле при одном и том же
значении Re набегающего потока. Как было уже показано на рис. 211,
эти профили значительно друг от друга отличаются. Вертикальная пря-
прямая соответствует выбранному расстоянию y=h носика микротрубки от
поверхности крыла. Точки Аи А2, А3 дают значения u/U, регистрируемые
микротрубкой в ламинарной части пограничного слоя. Когда носик труб-
трубки попадает в область переходного или турбулентного режима, величина
ulU от сравнительно малого значения (точка Л3) делает резкий скачок
до значения Л4, а затем снова падает, проходя значения Л5, Ав. Если
отложить на оси ординат (рис. 215) u/U, а на оси абсцисс относительные
594 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
(в частях хорды) расстояния по обводу крыла, то в результате такого
рода построения можно получить кривые, подобные приведенным на
рис. 215. Область слева от вертикальной штриховой линии соответ-
соответствует ламинарному пограничному слою, между штриховой линией и
вертикальными черточками располагается переходная область, и, нако-
наконец, справа от вертикальных черточек имеет место турбулентное дви-
движение. На рис. 215 приведено несколько таких кривых, относящихся к
различным числам Рейнольдса Reoo = ?/oofc/v в интервале от 1,7-10е до
5,Ы0в. Из рассмотрения этих кривых видно, что протяженность обла-
области перехода убывает с ростом рейнольдсова числа набегающего пото-
потока, но все же имеет вполне сравнимые с хордой крыла значения. Экспе-'
риментальное определение точки перехода заключает в себе некоторый
произвол; одни авторы определяют точку перехода как середину обла-
области перехода, другие— как точку минимума на кривой u/U, третьи —как
точку максимума.
Многочисленные экспериментальные исследования как лаборатор-
лабораторного, так и натурного (самолет, корпус корабля) типа показали, что
положение точки перехода существенно зависит от многих параметров
движения. Это прежде всего рейнольдсово число Re и количественные
характеристики турбулентной структуры набегающего потока. Среди
этих характеристик основное значение имеют следующие три: 1) сте-
степень, или интенсивность, турбулентности е, определяемая отношением
осредненной во времени амплитуды пульсаций скорости в набегающем
потоке к его средней скорости; 2) масштаб турбулентности L, характе-
характеризующий пространственную протяженность жидких объемов во внеш-
внешнем потоке, охваченных возмущениями, статистически связанными меж-
между собой в том смысле, что коэффициент корреляции пульсаций скоро-
скоростей в двух каких-нибудь точках этих объемов отличен от нуля, и 3) ча-
частота пульсаций во внешнем потоке п, выбранная по максимальному
значению функции распределения кинетической энергии пульсаций по
частотам *).
Явление перехода, как это было уже отмечено, зависит от распре-
распределения давления во внешнем потоке: в конфузорном участке погранич-
пограничного слоя, где внешний поток ускоряется, переход затягивается, смеща-
смещаясь вниз по потоку, а в диффузорном участке с замедляющимся движе-
движением, наоборот, предваряется, переходя в верхние по потоку участки.
Наконец, важное значение имеет состояние поверхности обтекаемого
тела: степень ее шероховатости, волнистости, нагретости и многие дру-
другие причины.
В последнее время проводятся эксперименты по выявлению роли
примесей, вводимых в малых концентрациях в жидкость в пограничном
слое, в затягивании протяженности ламинарного участка или в умень-
уменьшении интенсивности уже развившейся турбулентности. Особенно по-
полезными в этом смысле оказываются высокополимерные примеси2),
введение которых даже в очень малых дозах значительно сказывается
на режиме течения (эффект Томса).
Остановимся на иллюстрации влияния некоторых из только что
перечисленных факторов на расположение точки перехода ламинарного
движения в турбулентное в пограничном слое.
1) Удовольствуемся пока этими качественными определениями степени, масштаба
я частоты турбулентности набегающего потока; количественное их определение будет
дано позже.
2) Иоселевич В. А., ПилипенкоВ. Н. Турбулентный пограничный слой
жидкости с полимерными добавками.— В кн.: Методы расчета турбулентного погра-
пограничного слоя. Сер. Итоги науки и техники, гл. V.— М.: ВИНИТИ, 1977, а также Lum-
ley J. L. Drag reduction by additives.—Ann. Rev. of Fluid Mech. Palo Alto, Calif.,
USA, 1969, v. 1, p. 367—384.
§ 119. ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
595
0,8
0,7
0,6
0,5
Отрыб ламинарного слоя
Точка перехода
Минимум дабшия
Влияние рейнольдсова числа на положение точки перехода на по-
поверхности гладкого крыла выражается в смещении точки перехода при
возрастании рейнольдсова числа в направлении к передней кромке. Для
разных крыловых профилей это смещение происходит различно, при-
причем оно зависит также от условий опыта, т. е. турбулентности набегаю-
набегающего потока и др. Можно, однако, сделать некоторые общие замечания
по этому поводу.
Если на поверхности крыла за точкой минимума давления суще-
существует точка отрыва ламинарного слоя, то эта точка является самой
нижней (по потоку) возможной точкой перехода, так как сорвавшийся
слой почти мгновенно переходит в турбулентное состояние. С возраста-
возрастанием рейнольдсова числа точка перехода перемещается вверх по потоку
и оказывается расположенной выше по потоку, чем точка отрыва. При
этом ламинарный отрыв перестает осуществляться и заменяется тур-
турбулентным, который либо обра- s,b
зуется, но значительно ниже по
потоку, чем ламинарный, либо
совсем отсутствует. Точка пе-
перехода перемещается по на-
направлению к точке минимума
давления и затем переходит в
конфузорную область слоя.
Схематически это показано на
рис. 216 для верхней поверх-
поверхности крылового профиля с за-
гянутым конфузорным участ-
участком слоя (точка минимума дав-
давления примерно на 45% хор-
хорды); там же для сравнения
приведена кривая перемеще-
перемещения точки потери устойчивости.
Как видно из графика, ламинарный участок пограничного слоя на
этом профиле простирается почти на всю переднюю область крылового
профиля даже при больших значениях рейнольдсова числа. Такого рода
крыловые профили называют ламинаризованными. На обычных крыло-
крыловых профилях точка минимума давления на верхней поверхности распо-
располагается значительно ближе к носику профиля, соответственно этому
уменьшается и участок ламинарного слоя.
Для грубой оценки положения точки перехода на крыловом профи-
профиле с гладкой поверхностью в практически наиболее интересной области
значений рейнольдсовых чисел 10е—107 можно рекомендовать выбирать
за положение точки перехода точку минимума давления.
Опыты Шубауера и Скремстеда1), проведенные в аэродинамической
трубе с интенсивностью турбулентности потока в рабочей части, изме-
изменяющейся в широких пределах, начиная от очень малых значений по-
порядка 0,02%, показали существование двух основных причин возникно-
вения перехода ламинарного слоя в турбулентный: потери устойчивости
ламинарного слоя и наличия интенсивных возмущений во внешнем по-
потоке.
На рис. 217 приведены кривые влияния интенсивности турбулентно-
турбулентности внешнего потока е на местное рейнольдсово число Rex=Uoox/v, со-
составленное для абсцисс точек, отделяющих ламинарный участок погра-
пограничного слоя на продольно обтекаемой пластине от переходной области
и области развитого турбулентного движения в пограничном слое. Как
Ю*
Ю7
Re
10°
Рис. 216
l) Schubauer G. В., Skramstad H. К. Laminar boundary-layer oscillations
and transition on a flat plate.— NACA Rep., 1948, v. 909.
596 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
0,04
можно судить по этим кривым, при интенсивности турбулентности внеш-
внешнего потока, не превосходящей 0,1%, границы ламинарного и турбулент-
турбулентного участков пограничного слоя не зависят от интенсивности турбу-
турбулентности внешнего потока. В этом случае явление перехода объясня-
объясняется первой из указанных ранее причин — потерей устойчивости лами-
ламинарного слоя. Началу переходной области соответствует значение Re*,
несколько меньшее 3- 10е; концу переходной области, т, е. началу обла-
области развитого турбулентного движения, отвечает значение Re*, близкое
к 4-10е.
С возрастанием интенсивности турбулентности внешнего потока
преимущественное значение приобретает вторая причина — влияние
внешних возмущений. Из рис. 217 отчетливо видно, как с возрастанием
интенсивности турбулентности внешнего потока значения рейнольдсо-
вых чисел на границах пере-
переходной области начинают рез-
резко снижаться, размер ламинар-
ламинарного участка уменьшается по-
почти вдвое при сохранении ин-
интенсивности в сравнительно уз-
узких пределах (до 0,36%).
В обычных аэродинамических
трубах интенсивности турбу-
турбулентности могут достигать 1%,
а в других случаях, как, напри-
например, в проточной части турби-
турбины или компрессора, и значи-
значительно больших уровней. При
Рис 217 этом ламинарные участки на
поверхности обтекаемых тел
(крыловые профили, лопатки
рабочего колеса) становятся совершенно незначительными. Наоборот,
при движении тела сквозь покоящуюся жидкость (самолет в спокойной
атмосфере и др.) интенсивность турбулентности набегающего потока
может быть очень малой и ламинарный участок по своей протяженности
окажется значительным. Обращает на себя также внимание наличие за-
заметной области перехода, которым при детальном расчете пограничного
слоя нельзя пренебрегать.
О влиянии интенсивности турбулентности набегающего потока на
длину переходного участка можно судить по эмпирической кривой Грен-
вилл а (рис. 218) '), составленной по данным опытов Шубауера — Скрем-
стеда, Холла — Хислопа и Драйдена (опытные точки опущены) на про-
продольно обтекаемой пластинке. В отличие от рис. 217, по оси ординат
отложена разность Re"— Re^p рейнольдсовых чисел, заключающих в
качестве длины толщину потери импульса в точках перехода и потери
устойчивости. Судя по этой кривой, длина переходного участка быстро
убывает с ростом интенсивности турбулентности е (см. далее § 121),
достигая малых значений при е порядка 2,5—2,8%.
К числу менее изученных факторов следует отнести влияние мас-
масштаба турбулентности (см. далее § 121) набегающего потока на поло-
положение точки перехода. Примером этого влияния могут служить приве-
приведенные на рис. 219 результаты опытов2) над пограничным слоем на
эллиптическом цилиндре, расположенном под нулевым углом атаки в
воздушном потоке, турбулизированном решетками, поставленными впе-
1) См. неоднократно цитированную ранее монографию Шлихтинга, с. 445, рис
16.21.
2) Д р а й д е н X. Л. Современное развитие механики пограничного слоя.— В кн.:
Проблемы механики/Под ред. Р. Мизеса и Т. Кармана.— М.: ИЛ, 1955.
§ 119. ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
597
реди цилиндра на некотором от него расстоянии (размеры ячеек решет-
решетки приводятся на рисунке).
Вихри, созданные стержнями решетки, перемещаясь вниз по потоку,
разрушаются, образуя размытые области возмущенного движения, сред-
средние размеры которых представляют масштаб турбулентности. Масштаб
турбулентности L поддается измерению, а отношение его к линейному
размеру обтекаемого тела, в данном случае меньшему диаметру эллип-
эллипса Z), наряду с интенсивностью турбулентности е служит характеристи-
характеристикой турбулентности набегающего потока.
woo
BOO
1*600
Ш
ОС
I
l« 400
ас
200
1
1
\
\
\
\
\
*(?}
0,06
0,05
1,6 2,4
Рис. 218
0,03
о,ог\
о Решетка 2,5 см
• Решетка 9,5см
а Решетка /2,7см
И
1,5
Рис. 219
График на рис. 219 выражает связь между безразмерной абсциссой
точки перехода ламинарного слоя в турбулентный на поверхности эл-
эллиптического цилиндра и параметром Тейлора1), представляющим со-
собой произведение интенсивности турбулентности на корень пятой сте-
степени из отношения характерного размера тела D к масштабу турбулент-
турбулентности L. Из этого графика видно, что при малых значениях параметра
Тейлора внешние возмущения слабо влияют на размер ламинарного
участка слоя; здесь все определяется внутренней устойчивостью движе-
движения в слое. При сравнительно больших значениях параметра это влия-
влияние резко усиливается— длина ламинарного участка быстро сокраща-
сокращается.
Для качественной иллюстрации влияния продольного перепада дав-
давления на положение точки перехода в пограничном слое при различных
интенсивностях турбулентности набегающего потока могут служить
результаты опытов Е. М. Минского2) (рис. 220). На оси ординат отло-
отложена относительная дуговая абсцисса точки перехода на верхней по-
поверхности крылового профиля 14-процентной толщины, а на оси абс-
абсцисс—степень турбулентности е. Как показывает график, наблюдается
отчетливое смещение точки перехода к носику крыла при возрастании
интенсивности турбулентности набегающего потока.
Протяженность ламинарного участка в лобовой части крыла резко
сокращается также при увеличении угла атаки (кривые рис. 220 отно-
относятся к различным отмеченным на них значениям угла атаки а). Это
1) Теоретическое обоснование выбора этого параметра см. Taylor G. I. Stati-
Statistical theory of turbulence.—Proc. Roy. Soc, London, 1935, v. A151, № 873, p. 421.
2) Минский Е. М. Влияние турбулентности набегающего потока на переход.—
Труды ЦАГИ, 1939, вып. 415.
598
ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
естественно, так как при возрастании угла атаки увеличивается быстрота
восстановления давления, что приводит к повышению диффузорности
пограничного слоя, а это вызывает ослабление устойчивости ламинар-
ламинарного участка пограничного слоя.
Как было отмечено в предыдущей главе, кривизна поверхности при
малых отношениях толщины ламинарного пограничного слоя к радиусу
кривизны сказывается только через скорость внешнего потока. Можно
отметить, что на вогнутых поверхностях даже сравнительно малая кри-
кривизна поверхности оказывает существенное влияние на переход. На вы-
выпуклых поверхностях такое влияние незаметно; явление перехода про-
происходит так же, как и на пластине с соответствующим распределением
давлений.
1,0
0,6
0,4
0,2
1,8
7°
ю
0,6
\
А
о
Р D
V д
\
',ММ
0,25
0,4
0,7
\
Ч
0,2
№
Рис. 220
Рис. 221
Большой практический интерес представляет вопрос о влиянии со-
состояния (обработки) поверхности на положение точки перехода лами-
ламинарного пограничного слоя в турбулентный.
Бугорки шероховатости поверхности играют роль источников воз-
возникновения возмущений в пограничном слое. Эти возмущения присоеди-
присоединяются к тем, которым вносятся в пограничный слой из внешнего потока.
За количественную характеристику влияния одиночного элемента
(бугорка) шероховатости на возникновение перехода в следе за ним или
на положение точки перехода принимают отношение kjb\ высоты k бу-
бугорка шероховатости к толщине вытеснения &*k в точке расположения
этого бугорка на поверхности тела. В качестве оправдания выбора такой
характеристики можно привести кривую Драйдена (рис. 221), выража-
выражающую зависимость рейнольдсова числа в точке перехода Ret=xtUJv
от относительной шероховатости k/b*k. Как видно, использование этой
характеристики позволяет объединить на одной кривой результаты опы-
опытов, относящихся к различным абсолютным шероховатостям k. Об общ-
общности механизма влияния на положение точки перехода возмущений,
возникающих из-за наличия отдельных бугорков шероховатости и затем
развивающихся в области следа за бугорком, и существующих в самом
набегающем потоке, можно судить по графику, представленному на
рис. 2224). Из кривых этого графика следует, что при малой относи-
относительной шероховатости k/8*k положение точки перехода определяется
интенсивностью турбулентности набегающего потока е, а при сравни-
1) Драйден X. Л. Переход ламинарного течения в турбулентное (обзорная
статья в кн.: Турбулентные течения и теплопередача.— М.: ИЛ, 1963).
§ 119. ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
599
гельно большой относительной шероховатости не зависит от этой интен-
интенсивности.
В процитированном обзоре X. Л. Драйдена можно найти разнооб-
разнообразные экспериментальные материалы по вопросу о влиянии шерохова-
шероховатости поверхности на переход ламинарного пограничного слоя в турбу-
турбулентный.
2,0
?'0J
k "
e-0,25
e*0,
To,
76
w
¦—
— —
\
s
=^
0,2 0,4 0,6
Рис. 222
W
?=20,3
0 42 Ofi 46 48
Рис. 223
Экспериментальные исследования структуры пограничного слоя,
выполненные на базе современных методов измерения, показали боль-
большую сложность механизма перехода ламинарного режима течения в
турбулентный. Отсылая интересующихся к подробному докладу И. Та-
Тани1)» отметим лишь некоторые, наиболее своеобразные особенности
рассматриваемого явления.
Прежде всего обращает на себя внимание неустойчивость плоской
формы возмущений. Если при помощи специального устройства, напри-
например колеблющейся нити, натянутой вдоль размаха пластины, вызывать
плоские, одинаковые по размаху возмущения, то они очень быстро теря-
теряют свой плоский характер и приобретают волновое строение с периоди-
периодически чередующимися вдоль размаха вершинами и провалами в распре-
распределениях продольной (по потоку) и поперечной (по размаху) осреднен-
ных скоростей и средней интенсивности пульсаций продольной скорости.'
Вершинам в этих распределениях соответствует сосредоточенность
завихренности потока. Скоростная киносъемка отчетливо показывает
возникновение вихревых петель типа П-образных вихрей с распростра-
распространяющимися вдоль потока вихревыми «жгутами». Эти «свободные», сов-
совпадающие по направлению с линиями тока вихри индуцируют скорости
в плоскостях, нормальных к направлению потока, что способствует пере-
переплетению этих вихревых жгутов и еще большему усложнению структуры
потока.
Общая неустойчивость потока в области перехода приводит к росту
амплитуды продольных пульсаций потока и тем самым к росту местной
интенсивности турбулентности е. При этом, как можно судить по опыт-
опытным кривым Клебанова, Тидстрема и Саржента2), приведенным на
рис. 223, интенсивность е резко возрастает с удалением от источника
возмущения (на рисунке значения | расстояния от источника возмуще-
возмущений в сантиметрах нанесены в виде отметок на кривых).
Максимум г с удалением от источника возмущений смещается от
стенки, достигая при |=20,3 см положения, соответствующего двум
1) T a n i I. Review of some' experimental results on boundary-layer transition.—
Phys. of Fluids, part II, 1967, v. 10, № 9, p. 11—16.
2) Цитируем по только что упомянутому обзорному докладу И. Тани.
600 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
пятым толщины пограничного слоя. Эти кривые относятся к вершинам
поперечного к направлению потока волнообразного распределения воз-
возмущений. В долинах (провалах) этого распределения наблюдаются воз-
возмущения очень малой интенсивности, низкие частоты которых заставля-
заставляют предполагать, что в этих областях долго сохраняются ламинарные
режимы.
Таким образом, в пограничном слое, так же как и в течениях в тру-
трубах, турбулентность возникает в ограниченных областях, сосуществую-
сосуществующих с областями ламинарного течения. Эти турбулентные «облачки»
или «пятна», аналогичные турбулентным пробкам в потоках в трубах,
распространяются по течению в пограничном слое и образуют в пере-
переходной области явление перемежаемости ламинарных и турбулентных
режимов течения.
Наряду с этой очень характерной для переходной области переме-
перемежаемостью, являющейся следствием образования внутри пограничного
слоя замкнутых турбулентных областей — только что упомянутых «об-
«облачков» или «пятен»,— вблизи внешней границы пограничного слоя на-
наблюдается еще другого типа перемежаемость, обусловленная взаимным
проникновением сквозь границу пограничного слоя жидких объемов из
сравнительно слабо возмущенного внешнего потока в заполненную воз-
мущениями большей амплитуды область пограничного слоя.
Следует заметить, что, вообще, о внешней границе турбулентного
слоя, так же как и о границе между вязким подслоем и турбулентным
ядром, можно говорить только как о некоторых, малых по поперечной
толщине зонах, заполненных то ламинарными, то турбулентными по
своей внутренней структуре «протуберанцами», пронизывающими по-
пограничный слой со стороны внешнего потока и вязкого подслоя и при-
придающими всему потоку перемежающийся характер. Во внешней зоне-
так называемом «надслое» — происходит резкое изменение степени тур-
турбулентности потока от значительной по сравнению с внешним потоком
величины до малой степени турбулентности во внешнем потоке.
Несмотря на столь сложный механизм внутренних движений, об-
область пограничного слоя, если рассматривать ее в сравнительно грубом,
осредненном виде, соответствующем данным таких общеупотребитель-
общеупотребительных измерительных приборов, как микротрубки полного напора, соеди-
соединенные со стандартными микроманометрами, оказывается достаточно
простой.
Так, пользуясь экспериментальными профилями скоростей в сече-
сечениях переходной области пограничного слоя, Ж. Перш *) вычислил ус-
условные толщины 6* и б**, а также их отношение Н. Ему удалось пока-
показать, что независимо от продольного перепада давления в пограничном
слое (и даже при переменных числах Маха) величина Н непрерывно
падает от своего ламинарного значения (примерно 2,6) до турбулент-
турбулентного A,3—1,4). На основании обработки большого числа эксперимен-
экспериментальных данных он установил закон изменения безразмерной скорости
в сходственных точках сечений переходного слоя в зависимости от паде-
падения параметра Н и показал, что профили скоростей в сечениях погра-
пограничного слоя в области перехода образуют однопараметрическое семей-
семейство с параметром Н.
Явления в переходной области пограничного слоя на продольно об-
обтекаемой пластине были рассмотрены С. Дхаваном и Р. Нарасимхой2)
1) Persh J. The behaviour of the boundary layer in the region of transition from
laminar to turbulent flow.— Journ. Aeron. Sci., 1955, v. 22, № 6, p. 443, 444.
2) Dhawan S., Narasimha R. Some properties of boundary layer flow during
the transition from laminar to turbulent motion.—- Journ. Fluid Mech., 1958, v. 3, № 4,
p. 418—436.
§ 119. ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ 601
в количественной постановке с точки зрения схемы «перемежаемости»
возникновения в пограничном слое турбулентных «пятен». Коэффициент
перемежаемости у, определение которого уже приводилось в предыду-
предыдущем параграфе, был найден экспериментально при помощи обработки
осциллограмм пульсаций скорости, замеренных малоинерционным теп-
тепловым анемометром. Аналитическим выражением изменения у в функ-
функции от продольной координаты х может служить следующая экспонен-
экспоненциальная функция:
1(-ЛГ), A)
где j4 = const=0,412, a l=(x—xt)ik — безразмерная разность между
продольными координатами: х — внутри переходной области, xt — нача-
начала переходной области, К — условная длина области перехода, опреде-
определяемая по кривой у(х) в виде
А = #7=0,75 ^Т=0,25«
Эта длина, входящая в основное соотношение A), является характер-
характерным линейным масштабом области перехода.
Сравнение профилей осредненных скоростей в переходной области
иР, определенных экспериментально при помощи трубки полного напо-
напора, с теоретическими ламинарными uL и турбулентными ит, показывает,
что имеется простая связь
% l 2 B)
Для средней во времени скорости й, получаемой в результате обработки
осциллограмм, соотношение это еще проще и сводится к линейному
п=A-у)иь+уит. C)
Формула B) может служить для приближенного определения коэф-
коэффициента перемежаемости у по показаниям трубки полного напора.
Для отношения условных толщин пограничного слоя #='6*/6**
было установлено соотношение
H=HT+(HL-HT)e-A*. D)
Изложенная только что эмпирическая теория движения жидкости в
переходной области пограничного слоя — с такого рода теориями нам
придется в дальнейшем еще неоднократно встречаться — позволяет с до-
достаточной для практики точностью описывать количественно не только
кинематическую (профили скоростей, отношение толщин слоя), но и
динамическую (местный и полный коэффициент трения) стороны явле-
явлений. Однако при этом остается неизвестной основная величина — абс-
абсцисса xt начала переходной области, входящая в определение перемен-
переменной I.
При очень малой интенсивности турбулентности г внешнего потока
можно считать, что начало области перехода совпадает с точкой потери
устойчивости ламинарного движения в пограничном слое, расчет поло-
положения которой по графику Re«p (/кр) был уже разъяснен ранее.
Явление перехода ламинарного движения в турбулентное родствен-
родственно с обратным ему возвратом (реверсом) турбулентного движения в
ламинарное, наблюдаемым в конфузорных участках (dpfdx<0) погра-
пограничных слоев. Такого рода «реламинаризация» пограничного слоя мо-
может быть определена на основании существующих модельных схем тур-
турбулентного движения при сравнительно малых значениях рейнольдсова
числа. Установленные локальные критерии реламинаризации, выражае-
выражаемые «критическими» числовыми значениями определяющих движение
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
•
—^
— —
l
P
\
N
i
i
i
\\
1
!
1
1
1
1
1
4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7
602 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
параметров *). Таковы
= j_dU_ =37 # 10-в 2)
кр U2 dx ' *
Ар.кр=--^г-^- = 0,025 3),
где U(x) и р(х) —распределения вдоль пограничного слоя скорости на
его внешней границе и давления в сечениях пограничного слоя; v>=
= VtJp —«динамическая» скорость, о которой будет речь в дальнейшем.
Обратимся к рассмотрению
некоторых эффектов, связанных с
явлением перехода. Если проана-
проанализировать кривые (рис. 224) за-
зависимости коэффициента сопро-
сопротивления сх шара от рейнольдсова
числа, то можно заметить резкое
уменьшение сх в области Re по-
порядка A—3)-105. Такое явление
получило наименование кризиса
сопротивления. Соответствующее
ему критическое число Рейнольд-
iff ^~ ca Re*P> определенное как значе-
значение Re при с*=0,3, оказалось
Рис. 224 сильно зависящим от тех пара-
параметров, которые влияют на пере-
переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный, в частности от ин-
интенсивности турбулентности.
Чем менее турбулентен поток в трубе, тем выше величина ReKp, до-
достигаемая при измерениях сопротивления шара в этой трубе. Так, кри-
кривая Vr(ReKp^270 000) соответствует опытам в аэродинамической трубе
с интенсивностью турбулентности 0,5%, кривая / (ReKp^ 125000)—по-
125000)—потоку с интенсивностью турбулентности 2,5%; остальные кривые соот-
соответствуют трубам с промежуточными значениями степени турбулент-
турбулентности.
Чтобы понять причину отмеченного явления резкого уменьшения
сопротивления шара, обратимся к рассмотрению кривых распределения
давлений по его поверхности (рис. 225). Из этих кривых следует, что
уменьшение сопротивления шара связано с коренной перестройкой всего
окружающего потока. Наблюдаемое вблизи Re = ReKp резкое возраста-
возрастание максимального разрежения, смещение вниз ло потоку линий мини-
минимума давления М и линий отрыва пограничного слоя S говорит об улуч-
улучшении обтекания шара. Это объясняет уменьшение коэффициента со-
сопротивления, так как при лучшем охвате поверхности шара потоком
распределение давлений как бы приближается к тому идеальному (на
рис. 225 показанному штрихами), при котором, согласно парадоксу Да-
ламбера, сопротивление должно равняться нулю.
Следует заметить, что визуальные наблюдения (рис. 226) подтвер-
подтверждают описанную картину улучшения обтекания шара в указанной об-
области рейнольдсовых чисел. Явление это, получившее еще наименование
1) См. составленный А. Н. Секундовым § 1, п. 4 в обзоре: Г и невский А. С,
Иоселевич В. А., Колесников А. В., Лапин Ю. В., Пилипенко В. Н.,
Секундов А. Н. Методы расчета турбулентного пограничного слоя.— Итоги науки
и техники, Механика жидкости и газа, 1978, т. 11, с. 166—170.
2) Kline S. J., Reynolds W. С, Schraub F. A., Runstadler P. W. The
structure of turbulent boundary layers.— Journ. Fluid Mech., 1967, v. 30, p. 741—773.
3) P a t e 1 V. C, Head M. R. Reversion of turbulent to lamimar flow.— Journ.
Fluid Mech., 1968, v. 34, p. 371.
§ 119. ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
603
кризиса обтекания, объясняется изменением расположения на шаре
линии перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный. При
Re, меньших 1,5-10*, на поверхности шара происходит отрыв ламинар-
ламинарного пограничного слоя, переходящего в турбулентный вне шара в ото-
оторвавшемся слое.
При возрастании рейнольдсова числа точка перехода Г, располо-
расположенная в следе за шаром, перемещается навстречу потоку вначале к
поверхности шара. Как толь-
только точка Т достигнет точки
S ламинарного отрыва слоя,
движение в оторвавшемся
слое вблизи точки отрыва
станет турбулентным, пере-
перемешивание с подтекающей
вдоль поверхности шара из
отрывной области жид-
жидкостью усилится, погранич-
пограничный слой увлечет ее за со-
собой, обтекание улучшится, и
точка отрыва (рис. 225) нач-
начнет смещаться вниз по пото-
потоку. Теперь уже точка отрыва
S будет соответствовать от-
отрыву турбулентного слоя,
так как точка перехода бу-
будет находиться выше по по-
потоку, чем точка отрыва тур-
турбулентного пограничного
слоя.
В дальнейшем будет до-
доказано, что точка отрыва
турбулентного пограничного
слоя при том же распреде-
распределении скоростей во внешнем
потоке всегда расположена ниже по потоку, чем точка отрыва ламинар-
ламинарного слоя. В точке перехода Т происходит местный, не получающий даль-
дальнейшего развития отрыв ламинарного слоя, сопровождающийся обрат-
обратным прилипанием уже турбулентного пограничного слоя к поверхности
шара. Такой турбулентный пузырь (английский термин bublle) отрыва
1,0
Р-Ро
1/2/VL
0,6
0,2
О
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
\
\
\
\
\
А
V
«
\ / j
%
// Re 51300; Схш0,313
/URe -298500; 0^0,151
IF Re -424500; Сх~ 0,143
Т
Г
м
с
/II
11
Iv
1 1/
rjj
V
t
^^
— -**
_-^
IV
n
r I
0° 20' 4Om SO'
/20' 140' 160' 18О9
в
Рис. 225
Рис. 226
в развитом своем виде уже давно наблюдался на лобовых участках кры-
крыловых профилей. Появление его и исчезновение приводило к «загадоч-
«загадочным» изменениям подъемной силы и сопротивлений крыльев на больших
углах атаки, к «гистерезису» коэффициента подъемной силы при началь-
604 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
ном возрастании и последующем убывании угла атаки и др. Одно из
первых описаний этого явления можно найти в сборнике статей, вышед-
вышедшем под редакцией С. Голдстейна').
Сущность явления возникновения пузыря заключается в том, что
при сравнительно больших значениях рейнольдсова числа потока ото-
оторвавшийся ламинарный слой крайне неустойчив и сразу же переходит
в турбулентное состояние. При этом оторвавшаяся от поверхности тела
пристеночная граница слоя благодаря возникновению интенсивного ее
обмена жидкими массами с отрывной зоной, где движение жидкости
носит попятный характер, размывается и подсасывается, прилипает к
поверхности тела, образуя замкнутую отрывную зону, как раз и являю-
щуюся пузырем отрыва. Такой пузырь, аналогично развитому отрыву,
но значительно слабее, чем последний, искажает внешний поток, при-
приводит к так называемому сильному взаимодействию между погранич-
пограничным слоем и внешним безвихревым потоком.
Аналогичные замкнутые отрывные зоны наблюдались в окрестности
передней кромки крыловых профилей при сравнительно больших углах
атаки2) и на поверхности эллиптического цилиндра8). Следует отме-
отметить, что образование пузыря наблюдалось только в трубах малой тур-
турбулентности. Увеличение турбулентности набегающего потока приводит
к исчезновению пузыря отрыва. Можно думать, что описанное явление
всегда сопровождает кризис сопротивления, если влияние внешних воз-
возмущений мало.
Кризис сопротивления может осуществляться при рейнольдсовых
числах, значительно меньших критических, если искусственно турбули-
зировать пограничный слой путем введения в него специальных изоли-
изолированных шероховатостей — турбулизаторов. Так, например, в своих
классических опытах Прандтль получал улучшение обтекания шара к
уменьшение его сопротивления, помещая на поверхности шара тонкое
проволочное кольцо (рис. 226).
В опытовых судостроительных бассейнах применяли такого рода
турбулизаторы, чтобы их эффектом заменить недоступное для бассейна
увеличение рейнольдсова числа и тем самым приблизить лабораторные
условия к натурным. Не всегда, конечно, увеличение степени турбу-
турбулентности потока приводит к тому же изменению сопротивления или
подъемной силы, что и увеличение рейнольдсова числа4). Это особенно
относится к крыловым профилям, вблизи лобовой точки которых разви-
развиваются явления кризиса, подобные тем, которые имеют место на поверх-
поверхности круглого цилиндра.
В частности, явлением кризиса обтекания объясняется наблюдае-
наблюдаемый факт резкого различия между максимальными значениями сутх
коэффициента подъемной силы крыла, полученными при лабораторных
исследованиях в аэродинамических трубах (сравнительно малые рей-
нольдсовы числа) и на самолете (большие рейнольдсовы числа). Изве-
Известно, что коэффициент подъемной силы су растет с углом атаки а до
некоторого критического значения акр, при котором достигает своего
максимального значения. Отход су от линейной зависимости от а объяс-
объясняется утолщением пограничного слоя в кормовой (диффузорной) части
слоя и тем самым усилением обратного влияния пограничного слоя на
внешний безвихревой поток. Это влияние приводит к значительному
1) Современное состояние гидродинамики вязкой жидкости/Под ред. С. Голд-
Голдстейна, т. II, § 209.—М.: ИЛ, 1948.
2) G a u 11 D. E. Boundary-layer and stalling characteristics of the NACA 63—009
airfoil section.—NACA Techn. Note, 1949, Nb 1894.
3) Schubauer G. B. Air flow in boundary layer of an elliptic cylinder.— NACA
Rep., 1939, v. 652.
4) Лойцянский Л. Г. Аэродинамика пограничного слоя.— М.: Гостехиздат,
1941, с. 257—260.
§ 119. ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ 605
искажению внешнего потока и, как следствие, к нарушению теоретиче-
теоретически предсказываемой в значительно более широком интервале углов
атаки линейности зависимости ^(а).
Утолщение ламинарного пограничного слоя на лбу крылового про-
профиля приводит к раннему отрыву в области передней кромки, где слой
ламинарен и легко под действием обратного перепада давления отрыва*
ется. В этом случае, если наблюдение производится в малотурбулент-
малотурбулентных трубах или в натурных условиях полета в малотурбулентной атмо-
атмосфере, вероятно образование пузыря отрыва, т. е. замкнутой отрывной
области, которая, расширяясь с возрастанием угла атаки, превратится
в полный разомкнутый срыв потока с поверхности крыла, приводящий
к резкому нарушению циркуляции и уменьшению коэффициента подъ-
подъемной силы.
С возрастанием числа Re при фиксированном угле атаки, в полном
соответствии с только что описанным явлением кризиса, обтекание кры-
крыла улучшается и появляется возможность перейти на большие углы ата-
атаки и получить более высокие значения су, а следовательно, и стйХ. При
этом увеличивается как само с^^, так и критический угол акр. Продол-
Продолжая увеличивать рейнольдсово число, можно добиться высоких значе-
UTIU /»
НИИ Оущах.
Все сказанное относится, конечно, только к таким крыловым про-
профилям, на лобовой части которых при больших углах атаки создаются
условия для появления кризиса обтекания, т. е. к профилям, форма но-
носка которых обеспечивает наличие ламинарного слоя на верхней поверх-
поверхности профиля и отрыв пограничного слоя при ламинарном режиме
движения в нем. Таковы, например, симметричные и малоизогнутые
профили со сравнительно значительным удалением от носка максималь-
максимальной толщины («ламинаризованные» профили).
Существующие так называемые несущие профили, имеющие обычно
значительную кривизну, не обладают этим свойством. С поверхности
такого рода крыловых профилей при больших углах атаки срывается
турбулентный слой. На таких профилях возрастание рейнольдсова чис-
числа не приводит к увеличению критического угла атаки акр, а даже, на-
наоборот, может привести к уменьшению их. Это объясняется уменьше-
уменьшением ламинарного участка на верхней поверхности крыла за счет сме-
смещения вверх по потоку точки перехода и, как следствие, утолщения
турбулентного слоя, что приводит к смещению точки отрыва турбулент-
турбулентного слоя в направлении носка крыла, т. е. к ухудшению обтекания1).
Положение точки перехода оказывает большое влияние не только
на подъемную силу, но и на сопротивление крыла. Как будет далее
выяснено, сопротивление трения поверхности при ламинарном погра-
пограничном слое значительно меньше, чем при турбулентном. В связи с этим
представляется естественным как можно дальше оттянуть вниз по пото-
потоку положение точки перехода и увеличить относительную протяженность
ламинарного участка пограничного слоя. Это достигают прежде всего
тем, что повышают устойчивость ламинарного движения в пограничном
слое выбором такой формы профиля крыла, чтобы максимальная тол-
щина профиля располагалась на 40—60% хорды от носка крыла.
За счет оттягивания максимальной толщины увеличивают длину
конфузорного участка пограничного слоя, в котором, как уже ранее
указывалось, ламинарное движение сохраняет свою устойчивость при
значительно больших местных рейнольдсовых числах Re**, чем в диф-
фузорном. Кроме того, подвергают тщательной полировке лобовую часть
*) См., например, Красильщиков П. П. Влияние числа Рейнольдса и турбу-
турбулентности потока на подъемную силу крыла.— Труды ЦАГИ, 1936, вып. 268, а также
Лойцянский Л. Г. Аэродинамика пограничного слоя.— Л.; М.: Гостехиздат, 194Ц
с. 256-262.
606 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
поверхности крыла, чтобы свести к минимуму возмущения, имеющие
своим источником шероховатость крыла или отдельные выступы на его
поверхности в лобовом участке крыла, где пограничный слой еще отно-
относительно тонок.
Опыт показывает, что такие крылья с затянутым ламинарным по-
пограничным слоем действительно обладают весьма малым сопротивле-
сопротивлением, но легко теряют свое преимущество при малейшем налете на по-
поверхность крыла пыли, капель дождя или даже прилипании насекомых.
В настоящее время разработаны и продолжают разрабатываться
многие другие методы уменьшения сопротивления. Применяют, напри-
например, отсос с поверхности крыла сквозь щели или пористую поверхность
воздуха, накопившего возмущения при прохождении сквозь лобовую
часть пограничного слоя. На место этого возмущенного воздуха посту-
поступает извне почти лишенный возмущений в условиях спокойной атмо-
атмосферы воздух, который сохраняет ламинарный режим движения в по-
пограничном слое. Экономичность такого рода «управления» пограничным
слоем достигается благодаря тому, что отсасывать приходится очень
небольшие количества воздуха, соответствующие малому его расходу
сквозь сечения пограничного слоя.
§ 120. Уравнения Рейнольдса осредненного турбулентного движения
Для описания турбулентного движения Рейнольде1) пред-
предложил следующий, получивший общее применение прием. Регистрируя
во времени скорости и давления в данной точке потока, можно поло-
положить
w=w+w'y р=р-\-р\ E)
где и, vy w, p — действительно существующие в потоке мгновенные -
будем называть их актуальными — проекции скорости и давление, ц,
v, п>, р — осредненные во времени их значения, и\ v\ w\ p' — пульса-
ционные значения, короче, пульсации скорости и давления. _Под осред-
ненным значением актуальной величины <р, обозначаемым ф или <ф>,
будем понимать обычное интегральное среднее по времени t за проме-
промежуток времени Г, называемый периодом осреднения:
Й-Г/2
Ф (*, у% г\ t) = у- J ф (х, у, г; т) dx. F)
/-Г/2
Будем предполагать, что для каждого турбулентного движения су-
существует такой достаточно большой по сравнению с периодом турбу-
турбулентных пульсаций, но малый по сравнению с характерным для осред-
осредненного турбулентного движения интервалом времени (периодом коле-
колебательного процесса, временем прохождения телом своей длины или
др.) постоянный период осреднения 7\ что сглаживание во времени F)
приводит к осредненной величине, при повторном сглаживании уже не
изменяющейся. Это значит, что
Ф = ф. G)
Если в результате осреднения F), проведенного в данной точке в
разные моменты времени t, будут получаться одни и те же значения <р",
то такое осредненное движение называется стационарным, а само тур-
турбулентное движение — квазистационарным.
l) Reynolds О. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and
the determination of the criterion — Phil. Trans, of the Roy. Soc, 1895 (имеется русский
перевод в кн.: Проблемы турбулентности.— М.: ОНТИ, 1936, с. 185 и след.).
§ 120. УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 607
Предположение G) эквивалентно утверждению о равенстве нулю
средних значений пульсаций ф'=ф—«р величины <р. Действительно, в
силу линейности операции осреднения F) и равенства G) имеем
Ф'=Ф —Ф = 0. (8)
В дальнейшем нам придется иметь дело исключительно с квазиста-
ционарными турбулентными движениями. В этом случае осредненное
значение ф будет функцией только координат, так что если я|> означает
еще одну пульсирующую функцию времени и координат, то, согласно
F), получим (черта сверху означает операцию осреднения F), прове-
проведенную над всем выражением, стоящим под этой чертой)
фг|) = <И>. (9)
Если турбулентное движение не квазистационарно, то равенство
(9) приходится вводить как дополнительное свойство осреднения F).
По определению осреднения F) сразу следует, что среднее значе-
значение производной от некоторой функции по координате равно производ-
производной от среднего значения функции по той же координате
дх дх
так как операции дифференцирования по координате и интегрирования
по времени независимы. Таким же свойством обладает и производная
по времени. Действительно, по известной формуле дифференцирования»
интеграла с переменными пределами получим
t+T/2
f
t-T/%
t+T/2
J
/
tT/
J
t-T/2
и, следовательно,
Принятый закон осреднения F) не является единственно возмож-
возможным. Не нарушая линейности операции осреднения по времени F),
можно под знак интеграла вводить некоторую весовую функцию, рас-
распределение которой будет соответствовать преимущественной роли
одних моментов времени по отношению к другим при осреднении па
периоду Т (об этом см. в конце гл. XV).
Кроме осреднения по времени, можно производить и другое осред-
осреднение — по результатам многократно повторяемых опытов. Такое ос-
осреднение называют осреднением по ансамблю, В дальнейшем будет
всегда подразумеваться простейшее осреднение по времени F) и спра-
справедливость соответствующих ему правил G) —A1).
Величина ф-ф, полученная в результате осреднения произведения
двух пульсирующих функций ф и гр, носит наименование одноточечной
(в знак того, что значения ф и if при интегрировании берутся в одной
и той же пространственно-временной точке) двойной корреляции, а
отношение
608 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
называют коэффициентом корреляции между двумя статистически свя-
связанными величинами. Равенство коэффициента корреляции плюс либо
минус единице говорит о полной, детерминированной связи явлений,
описываемых функциями от координат и времени ф и -ф, причем знак
минус — отрицательное значение коэффициента корреляции — говорит
о противоположных фазах колебаний, а равенство коэффициента кор-
корреляции нулю — о статистической независимости явлений. Промежуточ-
Промежуточным степеням статистической связанности (корреляции) пульсирующих
величин отвечают абсолютные значения коэффициента корреляции
между нулем и единицей. Коэффициент корреляции между пульсация-
пульсациями, происходящими в двух разных точках пространства и, вообще го-
говоря, в различные моменты* времени, будет именоваться коэффициентом
двухточечной пространственно-временной корреляции, причем, в зави-
зависимости от количества коррелируемых пульсирующих функций, двой-
двойной, тройной и т. д. корреляции.
Понятие о корреляции как об отражении статистической связан-
связанности явлений и о коэффициенте корреляции как о нормированной ин-
интервалом (—1, 1) мере этой связанности лежит в основе статистических
теорий турбулентности. Корреляции <p/#i|/, q/^'x' и т- Д- именуют
еще «моментами связи» *) или просто «моментами» второго, третьего
и т. д. порядков, присоединяя эпитеты «одноточечный», «двухточечный»
и т. д.
Понятие «момента связи» второго и высших порядков предполага-
предполагает наличие по крайней мере двух коррелируемых величин. Введем для
общности условный термин «моменты первого порядка», понимая под
ним осредненные величины й, v> w, p.
Пользуясь частью постулированными, частью выведенными из оп-
определения закона осреднения F) свойствами, можно получить диффе-
дифференциальные уравнения осредненного движения несжимаемой жидко-
жидкости. Следует лишь предположить, как это и сделал Рейнольде, что
действительное (актуальное) движение, несмотря на всю его иррегуляр-
иррегулярность и влияние на него случайных обстоятельств, связанных с пред-
историей потока, все же строго описывается уравнениями Навье —
С т о к с а . В этом простом, но далеко не очевидном допущении заклю-
заключается основная идея общего подхода к описанию турбулентных дви-
движений, выдвинутая Рейнольдсом. Надо заметить, что существующие
попытки создания чисто статистической теории турбулентных движений,
не опирающейся на уравнения Навье—Стокса, не привели к сколько-
нибудь существенным результатам.
Положив в основу дальнейшего это принципиальное положение,
обратимся к составлению уравнений для осредненных по предыдущему
приему скоростей и давлений. Для этого уравнения Навье — Стокса
в актуальных скоростях и давлениях (опускаем объемные силы и под-
подразумеваем суммирование по дважды повторяемому в одночленах ин-
индексу /)
dVf
dt '
dvt
dv *
dp .
dxt +
0 (i=\
d*vt
r dXjdXj
, 2, 3),
l) Термин «момент связи» был впервые введен А. А. Фридманом и Л. В. Кел-
л е р о м в их основополагающем докладе «Дифференциальные уравнения турбулент-
турбулентного движения сжимаемой жидкости», сделанном на Первом международном конгрес-
конгрессе по прикладной механике в Дельфте (Голландия) в 1924 г. (см. Proceed, of the First
Intern. Congr. for Appl. Mech.— Delft, Holland, 1924, p. 395—405).
§ 120 УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 609
используя последнее уравнение, перепишем в виде
d(*V/> dp , .. dh'c
Р -37 + Р — " Г Г ~Г—I >
а' дх 1 dx- дх-дх.
A2)
до,
—2- = 0 (/=1,2,3).
/
Произведем в этой системе уравнений замену актуальных скоростей
г, и давлений р на осредненные vu p и пульсационные v'c pr по E)
vi = vt + vt (/=1,2,3), р = р + р'-
Тогда, замечая, что
и осредняя обе части равенства по времени согласно F), будем в со-
соответствии с принятыми правилами G) —A1) иметь
^j = ViVj + xw}. A3)
Осредняя по F) обе части уравнений Навье — Стокса и используя
A3), получим
dV( d (vjUj) dp d2vi d ' *
p (- p — = —f- (i 1 (— pViVf),
dt dx - dx. dXjdx. dx.
A4)
v^y
или, используя последнее уравнение системы A4),
A5)
Заметим, что из последних равенств систем A2) и A5) непосред-
непосредственно следует равенство
dv'.
-^- = 0, A6)
dxf
выражающее условие несжимаемости жидкости при пульсационном
движении.
Уравнения Рейнольдса A5) можно рассматривать как пер-
первые в общей системе уравнений переноса турбулентных характеристик
потока, а именно как уравнения переноса количеств движения pviy или,
как еще говорят, переноса импульса, и, соответственно этому, уравне-
уравнения A5), содержащие в качестве искомых неизвестных v{ (/=
= 1, 2, 3) и /?, называть «уравнениями моментов первого порядка».
Отметим положение, которое будет далее подтверждено в более
общем случае: уравнения A5), служащие для определения vu содержат
в своем составе «моменты второго порядка» v'iv), делающие эту систе-
систему незамкнутой. Как вскоре будет показано, уравнения, которые дол-
должны определять входящие в уравнения A5) «моменты второго поряд-
порядка», окажутся содержащими «моменты третьего порядка» и т. д.
20-9487
610 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Так уже с самого начала установления уравнений переноса тур-
турбулентных характеристик потока обнаруживается незамкнутость систе-
системы уравнений переноса. Проблема замыкания этих уравнений не по-
лучила до сих пор рационального решения и требует в каждом отдель-
отдельном случае введения дополнительных, имеющих только приближенный
характер, допущений.
Вспоминая общие уравнения динамики жидкости «в напряже-
напряжениях»
pA + P*le«pL = DivfP 0-1.2,3).
01 ОХ • OX j
можем сказать, что уравнения осредненного турбулентного движения
A5) отличаются от уравнений Навье — Сто.кса наличием дополни-
дополнительного тензора турбулентных напряжений
A7)
с компонентами
nij =— pviVj. A8)
Тензор П, очевидно, симметричен; компоненты его A8) называют
рейнольдсовыми напряжениями. Рейнольдсовы напряжения имеют фи-
физический смысл компонент осредненного переноса количеств пульса-
ционного движения (импульса) пульсационными скоростями. Вот по-
почему первое уравнение A5), содержащее в правой части производные
рейнольдсовых напряжений, носит еще наименование уравнения пере-
переноса импульса (количества движения) пульсаций скорости. В дальней-
дальнейшем будем придерживаться краткого наименования первого уравнения
A5) как «уравнения переноса импульса».
Будем называть тензором полного (суммарного) напряжения тен-
тензор Р, равный
П A9)
и имеющий компоненты
Pt, = - Рб</ + ц (-^ + -^ j + (- pwv). B0)
Опуская аналогичный предыдущему вывод, выпишем уравнения
переноса импульса в цилиндрических координатах
dt дг г дг dz
=—lL + (d2'Vr i * ^r i 1 ^r i ^r l'r 2 d"A i
+ — — (— r9Vr ) + ——(— (ЮМ) + — (— (ЮМ) (—
r or г дг dz r
r de ^ [df* r dr r* de2 dz2 г* г* дг )
+ 7¦? (- f»'J) + -|- (- pS + 7 (- P^). B1)
§ 120 УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 611
[К , - д'°г . Ч д"г . - dv2
Ч а/ Г дг "*" г ае дг
_ а
Г
а
дг \ дг2 г дг г2 де2 дг2 / г дг
— (— pv2
дг
4- Ы + - -f К) + ^- (гу2) = 0.
дг г дг дг
~ - / 1 dvz vr\ ~~7*
pvr , pe8 = —p + 2V,l— — l I — pv6 ,
\ г дг г I
Компоненты полных напряжений в цилиндрических координатах
будут:
дг
dv2 ~
дг
<22)
- _ / 1 dt;2 др8
дг ' дг J Г ь \г де dz
Тот же прием осреднения, что и при выводе уравнения A6), но при-
примененный к уравнению A74) гл. X, позволит получить следующее урав-
уравнение распространения тепла в турбулентном движении:
— 4-и — 4-v— + w— W— (к — — с'пГгЛл-
dt дх ду дг j дх \ дх Р )
Ч B3)
дг \ дг
Здесь действительная (актуальная) температура Т представлена
суммой осредненной температуры Т и пульсационной Т. Физические
константы: плотность р, коэффициенты теплоемкости ср и теплопровод-
теплопроводности X предполагаются постоянными.
Вектор q с компонентами
выражает турбулентный поток тепла.
Уравнение B3) в цилиндрических координатах будет иметь вид
- _ет_ A J^ZL + tT дТ
дг г дг дг J г дг \ дг
I X дТ 'гг</\ I а /л дТ 'фг\ /с\с\
pcpvel М [X pcpvzl . B5)
\ г дг ] дг \ дг ]
г дг
Заменяя в уравнении B3) удельное теплосодержание (энтальпию)
срТ на концентрацию примеси некоторого вещества с, получим урав-
уравнение турбулентной диффузии этого вещества
/—4-17—4-" —4-"—^ = — ^ D-— ~Г~'L-
\ dt дх ду дг ) дх\ дх
ду J дг \ дг /
20*
612 ГЛ XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
где D — коэффициент обычной молекулярной диффузии вещества в
смеси, а вектор т = —pVV с компонентами
тх = —ри'с', my = — pv'cr, mz = — pw'c' B7)
является вектором турбулентного потока вещества.
_ Можно заметить, что уравнение B6) отличается от B3) заменой
срТ на с и X — на pZ); по такому же правилу получим из B5) уравнение
турбулентной диффузии в цилиндрических координатах.
Возвращаясь к системе A5) уравнений неразрывности и переноса
импульса, заметим, что в совокупности этих четырех уравнений име-
имеется десять неизвестных {vu p, jttj; t, /=1, 2, 3). Уравнения A5) не
представляют, таким образом, замкнутую (определенную) систему
уравнений, а поскольку избыток неизвестных относится к рейнольдсо-
вым напряжениям Яц= — pw>/, естественно попытаться вывести из урав-
уравнений Навье — Стокса уравнения переноса рейнольдсовых напряжений
и тем самым замкнуть систему уравнений A5). Составление уравнений
переноса jtti не представляет труда. Обратимся к первому уравнению
системы A2) и выразим в нем каждую актуальную величину как сум-
сумму осредненной и пульсирующей величин. Результат этой замены мож-
можно представить в виде
°~vi . д г- ч , dp &vt д "т-г
dt дх дх дхдх дх
+ Р (ViVj) + f\i +
dt дх. дх1 дх.дх. дх f
dt Г дх^ ' l ' dx
dx. dxj
Замечая, что, согласно первому уравнению A4), первая строка рав-
равна нулю, придем к следующему уравнению для пульсаций скорости:
Р — + Р — (Vfii + VjVt)
01 OX j
B8)
Меняя в этой системе уравнений «свободный» индекс i на п, полу-
получим аналогичное B8) уравнение для v'n
= ъ Г а^ ~pVnV} + pUnVi) (n =
Умножим обе части B8) на ^, а обе части B9) на i/J и сложим
результаты. При этом примем во внимание вытекающее непосредствен-
непосредственно из последнего уравнения системц A5) равенство
— (v'iVnVj) = Vj— (Vfi>n)>
ox i ox j
а также заметим, что
Vt -~ {p'nVj) Л-Уп—- (Vtv'i) = -J-
OX • OX j OX:
§ 120. УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 613
Группируя в полученных равенствах члены и деля обе части на р,
получим
±{V{Vn) + v _JJL = _ v.v ^L + VnV ^ _
dt дх. у dXj dxj J
dVf dvn p' I dvn dv. \ ^
дх. дх. р [ дх{ дхп ) dxj
p dxn ' dxjdx. Vn dxf VlVl V{ дх. VnVl '
где / — «немой» индекс, i, м=1, 2, 3.
Введем обозначение для двойной одноточечной корреляции, или
момента второго порядка,
^/n = xin=--nin. C1)
Р
Проведем операцию осреднения F) над обеими частями уравне-
уравнений системы C0), используя правила осреднения G) —A1); тогда по-
получим искомую систему уравнений
дх. дхf
р> I dVn
—
+ + I {ViVnVj)
р \ дх{ дхп J дх} р дх
-V-<^ + v-rT- C2)
р дхп дх}дх.
или, объединяя последние четыре члена в правой части и используя
очевидные равенства (б0- — символы Кронекера)
приведем уравнения C2) к виду
Ы dxf \ dxf дх. j дх. дх.
Останавливаясь на этой форме уравнения переноса корреляции
пульсаций скорости т1П== v'iv'n, поясним физическое значение слагаемых,,
входящих в уравнение C3). Слева стоит индивидуальная производная
%in по времени, складывающаяся из локальной и конвективной произ-
производных, причем последняя соответствует переносу tin осредненным по-
потоком. Обычно явление, выраженное этой частью уравнения C3), име-
именуют адвекцией. Уравнение C3) представляет собой баланс адвекции
со стоящей справа суммой слагаемых. Первое из них содержит отне-
отнесенные к единице массы компоненты тензорных произведений тензора
турбулентных напряжений П на дифференциальный тензор поля осред-
ненных скоростей. Совокупность этих произведений естественно тракто-
614 ГЛ XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
вать как мощность, затраченную полем осредненных скоростей на об-
образование рейнольдсовых напряжений. Сообразно с этим первое слагае-
слагаемое справа называют генерацией, или порождением турбулентности.
Эти два члена уравнения C3) имеют наглядное значение и подда-
поддаются измерению. Второе слагаемое справа, как содержащее кинемати-
кинематический коэффициент молекулярной вязкости и осредненную сумму по-
попарных произведений компонент дифференциального тензора поля
пульсационных скоростей, представляет «скорость диссипации». Менее
р' ( dv'n dv't \
наглядным и трудно измеримым является слагаемое — 1 .
Р V dxt дхп }
имеющее смысл корреляции пульсаций давления с тензором скоростей
деформации поля пульсационных скоростей. Наконец, последняя груп-
группа слагаемых, стоящая под общим знаком дифференцирования d/dxh
представляет «дивергентную» часть, имеющую смысл диффузии как за
счет пульсаций скоростей и давлений, так и за счет вязкости.
Из уравнения C3) легко выводится уравнение переноса отнесенной
к единице массы и осредненной обычным образом кинетической энер-
энергии пульсационного движения
? = ±^=±т„. C4)
Для вывода этого уравнения положим в уравнении C3) n=i и сохра-
сохраним правило суммирования по повторяющемуся дважды в одночленах
индексу. Непосредственно получим
х^ - дт,, dv. dvf dv,
— + v. — = - 2т,/ —- — 2v —-—l-
dt J drf ! дх; dxj dxf
или, принимая во внимание обозначение C4) и замечая, что, согласно
A6), третий член справа равен нулю, придем, сокращая на множи-
множитель 2, к искомому уравнению переноса кинетической энергии пульсаций
dt ^ i dxj ' dxj dxf dXj dxf [ ' \ 2 p / dx}
• C5)
Уравнения C3) и C5) получат применения в следующей главе и
вместе с уравнением переноса скорости диссипации, вывод которого
опустим, послужат основой современных методов расчета турбулент-
турбулентного пограничного слоя.
Все только что упомянутые уравнения переноса, а также и другие
(уравнения переноса пульсаций вихря, коэффициента турбулентной
вязкости и др.) обладают основным недостатком: кроме искомых, они
содержат еще дополнительные характеристики турбулентности (трой-
(тройные корреляции пульсаций скорости, корреляции этих пульсаций с пуль-
пульсациями давления и др.)> причем по мере присоединения к системе
уравнений переноса новых уравнений возникают и новые неизвестные
корреляционные члены. Так, при составлении предыдущим методом
уравнений переноса тройных корреляций пульсаций скорости появля-
появляются четверные корреляции и т. д., причем доказано эксперименталь-
экспериментально, что двойные, тройные и следующие по порядку корреляции пульса-
пульсаций скорости растут по абсолютной величине, что препятствует сходи»
мости методов.
§ 121. О ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ' 615
Так возникла основная в теории турбулентности проблема замыка-
замыкания системы уравнений турбулентного движения, уже давно привлека-
привлекающая внимание исследователей, но пока еще далекая от своего разре-
разрешения. На пути решения этой фундаментальной проблемы созданы
многочисленные приближенные методы статистического подхода к ре-
решению задач теории турбулентных движений и, в частности, достаточ-
достаточно достоверные методы расчета турбулентных пограничных слоев, о
чем будет идти речь в дальнейшем. Все эти поиски сводятся к выра-
выражению входящих в уравнения переноса сложных корреляций через бо-
более простые, относительно которых легче выдвигать дополнительные
соображения, замыкающие постановку задачи. На этом пути достигну-
достигнуты большие успехи, подкрепляемые широкими возможностями методов
численного расчета на ЭВМ, которые день ото дня совершенствуются.
В задачи настоящего учебника не может входить изложение этих
чрезвычайно разнообразных, подчас идейно схожих между собой ме-
методов, одно перечисление которых заняло бы много места. Отошлем
читателя к нескольким монографиям и обзорам по этому вопросу1).
§ 121. Некоторые сведения о внутренней структуре
турбулентных потоков
Изложенные в предыдущем параграфе уравнения переноса носят
общий статистический характер, но отражают в какой-то мере физиче-
физические процессы, происходящие в действительности. Понимание этих
процессов требует проникновения во внутреннюю структуру турбулент-
турбулентных движений, которую мы сейчас вкратце осветим.
Как уже упоминалось в §§ 119 и 120, турбулентный поток обладает
сложной вихревой структурой, содержащей разнообразные вихревые
образования, разнящиеся как по форме, так и по размерам. Говоря о раз-
размерах вихрей, подразумевают их некоторые средние размеры и при этом
различают мелкомасштабные и крупномасштабные вихревые системы.
В процессах переноса количества движения и кинетической энер-
энергии пульсаций, а также рейнольдсовых напряжений и других турбу-
турбулентных характеристик, участвуют вихри разных масштабов. Особое
место занимают крупномасштабные, «большие» вихри. Изучением их
взаимодействий занимается сравнительно новый раздел теории турбу-
турбулентности, посвященной так называемой когерентной турбулентности2),
которая образуется в турбулентных струях, «следах» за обтекаемыми
телами, в предотрывных областях «пристенных» турбулентных погра-
пограничных слоев, а также в природных условиях (смерчи, циклоныK).
х) Теория турбулентных движений подробно и с большой глубиной изложена в
фундаментальной монографии: Монин А. С, Яглом А. М. Статистическая гидроме-
гидромеханика. Механика турбулентности. Ч. 1.— М.: Наука, 1965; Ч. 2.— М.: Наука, 1967.
Большой интерес сохраняет уже сравнительно давно появившийся обзор: Phil-
Phillips О. М. Shear-flow turbulence.— California: Ann. Review of fluid mechanics, 1969,
v. 1, p. 245—264.
Наиболее доступна по простоте изложения монография Bradshaw P., Cebe-
ci Т., Whitelaw J. Engineering calculation methods for turbulent flow.—London:
Acad. Press, 1981.
Из переводных, достаточно обстоятельных обзоров отметим следующие: Турбу-
Турбулентность, принципы и применения/Под ред. У. Фроста и Т. Моулдена.— М.:
Мир, 1980; Турбулентность/ Под ред. П. Брэдшоу.— М.: Машиностроение, 1980.
Отметим также краткий, но содержательный обзор: Белов И А. Модели турбулент-
турбулентности.—Л.: Изд. Ленинградского механического института, 1986.
2) Г и невский А. С, Власов Е. В. Когерентные структуры в турбулентных
струйных течениях.— В кн.: Модели механики сплошной среды.— Новосибирск: Сиб.
отд-ние АН СССР, Институт теор. и прикл. мех., 1983, с. 91—117.
3) Особенности вихревых структур турбулентных потоков изложены в моногра-
монографии* Albring W. Elementarvorgange fluider Wirbelbewegungen.— Berlin: Acad. Ver-
lag, 1981, S. 305.
616 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
К числу основных лроцессов, вызывающих образование, развитие
и исчезновение вихрей, относятся конвекция {адвекция), генерация (по-
(порождение), диффузия и в последней стадии вырождения диссипация
(переход в тепло), о которых уже ранее упоминалось.
В процессе турбулентной диффузии происходит распад крупных
вихрей на более мелкие, в которых еще инерционные явления преобла-
преобладают над вязкими. Такие находящиеся, как говорят, в «инерционном
интервале масштабов» вихри участвуют в конвекции и турбулентной
диффузии, но в пренебрежимо малой степени подвержены действию
вязкости. Общий процесс дальнейшей деградации вихрей приводит их
в конечном счете к мелким вихрям с малым масштабом, на которые уже
действует вязкая диффузия и последующая вязкая диссипация кинети-
кинетической энергии в тепло. Такая «каскадная» схема1), конечно, несколь-
несколько грубо передает действительные процессы, происходящие в турбу-
турбулентных потоках, но правильно описывает общие тенденции. Вихри ма-
малого масштаба, быстро угасая, не способны сколько-нибудь долго
хранить и переносить вниз по потоку информацию о возмущениях, воз-
возникших в выше расположенных областях потока. Эту роль выполняют
вихри большого и частично инерционного масштабов, благодаря нали-
наличию которых возможно появление «эффекта памяти» в турбулентных
движениях.
Кинетическая энергия крупных вихрей имеет порядок удельной
энергии местного осредненного движения, затем она уменьшается с
уменьшением масштаба и становится пренебрежимо малой у мелких
вихрей.
Количественное определение «масштаба турбулентности» тесно
связано со статистической связанностью пульсаций скоростей в иссле-
исследуемой области возмущенного потока. Мерой этой связи служит коэф-
коэффициент корреляции между пульсациями скоростей в точках жидкого
объема, несущими в себе следы того первоначального вихревого воз-
возмущения, которое постепенно переносится от объемов одного масштаба
к другим, более мелким масштабам. Определив пространственное рас-
распределение коэффициента корреляции, мы тем самым сможем оценить
пространственную структуру турбулентных возмущений и найти на
каждом этапе разрушения вихря его масштаб.
Современная измерительная техника указывает разнообразные пути
изучения внутренней структуры турбулентных течений. Сюда входит
прежде всего непосредственная фотокиносъемка сделанных видимыми
при помощи твердых примесей или газовых пузырьков водяных пото-
потоков2), позволяющая получить картину линий тока, измерить среднюю
интенсивность пульсаций скорости и другие статистические характери-
характеристики, в том числе коэффициент корреляции и масштаб.
В воздушных потоках с успехом используется метод тепловой ане-
анемометрии, основанный на эффекте охлаждения потоком тонкой корот-
!) Истоки ее восходят к Л. Ричардсону (Richardson L. F. Weather pre-
prediction by numerical process.— Cambr. Univ. Press, 1922) и послужили основой извест-
известных работ А. Н. Колмогорова, в которых эта общая схема была применена к
установлению конкретных количественных закономерностей в потоках с большими
рейнольдсовыми числами (сам Ричардсон никаких количественных выводов из предло-
предложенной им схемы не сделал, хотя в последующей работе 1926 г. интуитивно исполь-
использовал эту схему; см. исторический очерк во введении к ч. 1 монографии: М о н и н А. С,
Яглом А. М. Статистическая гидромеханика.— М.: Наука, 1965).
2) Минский Е. М. О пульсации скоростей в открытом потоке.— Техн. замет-
заметки ЦАГИ, 1936, № 105; Минский Е. М., Фидман Б. А. Об экспериментальном
определении некоторых статистических характеристик турбулентных потоков.— Изв.
Энергетич. ин-та им. Г. М. Кржижановского, т. 9; Фидман Б. А. Применение высо-
высокоскоростной киносъемки к исследованию поля скоростей турбулентного потока.— Кзв.
.АН СССР, серия географ, и геофиз., 1946, т. 12, № 2, а также другие работы того же
автора (Изв. АН СССР, ОТН, 1953, № И и др.).
§ 121. О ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ 617
кой платиновой нити, разогреваемой электрическим током. В равновес-
равновесном состоянии по электрическому сопротивлению нити можно судить
об осредненной скорости потока. По отклонениям от равновесия в ком-
компенсационной схеме (колебания шлейфа осциллографа, помещенного в
нулевую ветвь моста) можно судить об интенсивности пульсаций ско-
скорости в потоке и записать эти пульсации в некотором масштабе1)-
Используя разнообразные оптические, электрические, тепловые,
электродинамические, а в настоящее время и лазерные2) приборы,
можно непосредственно регистрировать средние квадратичные значе-
значения пульсаций скорости, средние значения их произведений в одной и
той же или двух различных точках потока. Это дает величину интен-
интенсивности турбулентности, напряжение турбулентного трения и коэффи-
коэффициент корреляции между пульсациями скорости в двух точках потока.
Как далее будет показано, отсюда нетрудно найти и средний масштаб
турбулентности. За деталями эксперимента отсылаем к специальным
руководствам3).
Примем в дальнейшем обозначение заглавными буквами ?/, V, W
проекций осредненной скорости и соответствующими строчными буква-
буквами и, v, w проекций пульсационной составляющей скорости. Сохраняя
принятый знак осреднения во времени в виде черты сверху,, составим три
основные осредненные характеристики пульсационных скоростей —
*) Первые экспериментальные исследования в этом направлении были проведены
голландским физиком И. Бюргерсом и под его руководством Ван дер Хегге
Цийненом в 1924 г. в Дельфте (см Burgers J. M. The motion of a fluid in the
boundary layer along smooth surface.—Proc. of the 1-st Intern. Congr. of Appl. Mech.—
Holland: Delft, 1924, p. 116—120, а также ряд статей указанных авторов в Известиях
Голландской академии наук).
2) Лазерные методы измерения локальных скоростей изложены в обзоре: Ринке-
вичюс Б. С. Допплеровский метод измерения локальных скоростей с помощью лазе-
лазеров.—Успехи физич. наук, 1973, т. 111, вып. 2, с. 305—330. Экспериментальная мето-
методика лазерных измерений в струях с твердыми примесями разработана и внедрена в
инженерную практику группой таллинских ученых: М. К. Лаатсом, Ф. А. Фриш-
маном, А. 3. Розенштейном и др. Под редакцией М. К. Лаатса выпущен сбор*
ник материалов III Всесоюзного совещания по теоретическим и прикладным аспектам
турбулентных течений «Турбулентные двухфазные течения», Таллин, 1979. См. также
другие сборники института термофизики и электрофизики АН ЭстССР под тем же на-
названием, а также работы М. К. Лаатса, относящиеся к периоду 1979—1982 гг.
3) П о в х И. Л. Аэродинамический эксперимент в машиностроении.— Л : Машино-
Машиностроение, 1974, гл. X—XII; Л о йц я некий Л. Г. Аэродинамика пограничного слоя.—
Л.; М.: Гостехиздат, 1941, с. 382—402. Среди работ по термоанемометрии выделяется
недавно вышедшая монография: Ярин Л. П., Генкин А. Л., Кукес В. И. Термо-
Термоанемометрия газовых потоков.— Л.: Машиностроение, 1983. См. также статьи: За-
Захаров Ю. Г., Минский Е. М. Исследование турбулентности с помощью термоане-
термоанемометра.—¦ Техн. заметки ЦАГИ, № 172, 1938; Захаров Ю. Г., Минский Е. М.,
Филиппов М. С. К методике измерения турбулентности термоанемометром.— Труды
ЦАГИ, 1939, № 402. Анализ погрешностей при измерениях термоанемометром можно
найти в работе: Захаров Ю. Г. Измерение средних и пульсационных скоростей воз-»
душного потока при помощи термоанемометра.— Труды ЦАГИ, 1946, № 599. Некото-
Некоторые полезные схемы описаны в работах: Смирнов Г. В. Термоанемометр с подо*
гревом нити переменным током.— Труды Л ПИ, № 217.— Л.: 1961, с. 168—175; Не-
Некоторые электрорадиотехнические методы измерения аэродинамических величин.—
Труды ЛПИ, № 280.— Л.: 1967, с. 107—116. Зарубежная литература по термоанемо-
термоанемометрии также весьма обширна; отметим некоторые работы: Dry den H. Turbulence
investigations at the National Bureau of Standardts.— Proc. 5-th Intern. Congr. AppL
Mech., 1938; Dryden H., Schubauer G., Mock W., Skramstad H. Measure-
ments of intensity and scale of wind tunnel turbulence and their relation to the critical
Reynolds number of spheres.—Techn. Rev. NACA, 1937, v. 581; Hall A. Measurements
of the intensity and scale of turbulence, ARC R&M, 1938, № 1842; Corrsin S. Extended
applications of the hot wire anemometer — Rev. Sci. Instruments, 1947, v. 18, p. 469;
Townsend A. The measurement of double and triple correlation derivatives in isotro-
pic turbulence.—Proc Camb. Phil. Soc, 1947, v. 43, p. 560; Конт-Белло Ж. Тур-
Турбулентное течение в канале с параллельными стенками/Пер, с франц.— М.: Мир, 1968;
сборник статей: Beitrage zur Turbulenzforschung und Messtechnik/Herausgegeben von
H о f f m e i s t e r M. und F 6 r s t e J.— Berlin: Acad. Verlag, 1973.
618 ГЛ XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
корни квадратные из средних квадратичных пульсаций скорости
Эти величины, отнесенные к местной или общей осредненной скорости,
определяют первые статистические характеристики турбулентного пото-
потока— интенсивности турбулентности в разных направлениях.
Возьмем в данный момент времени t две точки в пространстве:
М(х, г/, г) и М {х\ у\ z')> обозначим проекции пульсационных скоро-
скоростей жидкости в этих двух точках пространства соответственно: и, и,
w и и\ v\ w'. В общем случае несимметричный тензор второго ранга с
таблицей
(ии' Тш7 uw' \
vu' vv' vw' I C6)
\wu' wv' ww' /
представит тензор моментов двухточечной корреляции между пульсаци-
онными скоростями в точках М и М'.
Устремив точку М' к точке Af, получим в пределе симметричный
тензор моментов одноточечной связи
uw\
C7)
компоненты которого отличаются только постоянными множителями
(—р) от компонент тензора П турбулентных напряжений A7). Удаляя
точку М' от точки М, будем получать моменты двухточечной связи меж-
между пульсационными скоростями точек потока, все менее и менее между
собою статистически связанными. Компоненты тензораC6) при этом
будут стремиться к нулю.
Введем коэффициенты пространственной корреляции между пульса-
пульсациями скоростей в двух точках: щ(х19 х2, х3) и иДх/, хг', х3)у где */=
=*i + 6lmr, x2—x2+§2mr, x3=x3 + b3mr (б*™— символ Кронекера, m=
= 1, 2, 3), положив
я;у(Г>о,о) =
V
V
и
и.
А
",
l(xx, xt,
¦ (хи xt.
(хи х2,
(л-1. х2,
((•*¦!. Хг,
.хп)
х9)
ха)
*з)
х3)
и,(хь
и. {хх
.+
, х2
(XI
, X,
1 +
; +
» Х\
2, X
*2> Хз)
-г, х2,
г, х3)
г+ г,
'3 + П
хз)
н)
R'fi @, г, 0) = _tV l 2 7_ 2 — , C8)
#// @, 0, г) =-
У и) (хъ х2, х3) У и2} (хъ x2t х3 + г)
Здесь нижние индексы при R в левой части относятся к номерам
проекций коррелируемых скоростей пульсаций, верхний индекс — к но-
номеру координатной оси, в направлении которой расположены точки Af
В общем случае пространственной структуры турбулентности при-
приходится, таким образом, иметь дело с большим числом коэффициентов
двухточечной корреляции.
Интегралы
ffdr, C9)
§ 121. О ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ
619
{lf
где R{lf—один из введенных системой равенств C8) коэффициентов
корреляции, дают систему «масштабов турбулентности» Ь{/}\ в общем
случае крайне сложную.
Обычно довольствуются рассмотрением лишь «продольного» и двух
«поперечных» по отношению к направлению потока масштабов, задавая
их интегралами
jU J {*dr9 D0)
o°o
0,6
о <
О хх
наиболее просто определяемых экспериментально. Масштаб турбулент-
турбулентности представляет вторую статистическую характеристику турбулент-
турбулентности. В зависимости от величины отношения масштабов турбулентно^
сти к характерным размерам по-
потока (радиус трубы, «номиналь-
«номинальная» толщина пограничного слоя
и др.) различают «мелкомас-
«мелкомасштабную» и «крупномасштаб-
«крупномасштабную» турбулентности.
Введем, наконец, третью ха-
характеристику турбулентности —
спектр турбулентности — функ-
функцию F(k) распределения кинети-
кинетической энергии пульсаций по ча-
частотам k этих пульсаций во вре-
времени. Бесконечно малая вели- _ ! , i t ° *qi о*•>*
о,г
•*••<
VV|
•А.
T/d
о SO
х 100
• 150
+ 200
у 300
V V V WVVV
°Sv
1 v
о v
о #vv
чина F{k)dk определяет долю ° о t 2 з ь 5
энергии пульсаций с частотой, rlR
лежащей в интервале (&, k+dk)y Рис.227
в общей, отнесенной к единице
массы осредненной энергии пульсационного движения. Опуская чис-
численный множитель */2, определим эту среднюю по частотам энергию вы-
выражением {и здесь и далее — пульсационная скорость)
u« (k) F (k) dk
1?=±
D1)
F (k) dk
так как из самого определения функции распределения следует, что
D2)
Приведем некоторые количественные результаты, относящиеся к
введенным только что характеристикам турбулентного движения. Нач-
Начнем со свободной турбулентности. Картина убывания интенсивности
турбулентности наблюдается в струе, окруженной спутным потоком
(рис. 227). Приводятся кривые1) распределения Vи2 в сечениях, нор-
нормальных к потоку и находящихся на различных относительных расстоя-
расстояниях x[d от среза сопла. Скорость на выходе из сопла 10,2 м/с, скорость
спутного потока 8,5 м/с. Из кривых следует, что вблизи границы струи
1) К о b a s h i Y. Experimental studies on compound jets.— Proc. of the 2nd Japan
Nat. Congr. for Appl. Mech., 1952, p. 223—226.
620
ГЛ. XIII ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
и спутного потока на выходе из сопла (г//? = 1) возникают возмущения
большой интенсивности, убывающие вниз по потоку. Убывает при этом
и интенсивность турбулентности потока, выходящего из сопла.
Аналогичное, но более детальное исследование провели А. С. Ги-
невский, Л. И. Илизарова и Ю. М. Шубин1). Пользуясь методом тепло-
тепловой анемометрии, авторы измерили целый ряд турбулентных характери-
характеристик струи в спутном потоке: распределение интенсивностей продоль-
продольной ги=Уu2/U и поперечных et = YxP/Uf ew = Vw2/U пульсаций скоро-
скорости, двухточечный коэффициент корреляции/?^ @, y)=RUu(y) и соот-
соответствующий ему масштаб турбулентности L[l] =L(y), а также одното-
одноточечный коэффициент корреляции г между продольной и и поперечной
у, мм
Рис. 228
v пульсациями2). Измерения производились при различных отношениях
т=?/оо/?/0 скорости спутного потока (/«, к скорости Uo на срезе сопла,
из которого вытекала струя. На рис. 228, а приводится сводный график,
который полезно детально рассмотреть. На этом рисунке, относящемся
к сечению струи x/d—20 {х — расстояние сечения от среза сопла, d—
диаметр выходного сечения сопла), приводятся все одноточечные ха-
характеристики: Еи, et, е»; г и отдельно расположенный график величины
AU=(U—Uoo)/(Um—Uсо) избыточной безразмерной осредненной скоро-
скорости U—Г/*,, отнесенной к разности скоростей на оси Um и в спутном по-
потоке ?/«,. По оси абсцисс отложено безразмерное расстояние r\^=yliih
от оси струи, отнесенное к такому значению г/=б«/2, которое соответству-
соответствует точке, где At/=72- Как бы в дополнение к рис. 227, где было показа-
показано убывание интенсивности продольной пульсации с удалением от сре-
!) Гиневский А. С, Илизарова Л. И., Шубин Ю. М. Исследование ми-
микроструктуры турбулентной струи в спутном потоке.— Мех. жидк. и газа, 1966, № 4,
с. 81—88.
2) Используемые здесь обычные обозначения ей, е», е«,; г интенсивности турбу-
турбулентности и коэффициента корреляции не следует смешивать с встречающимися далее
обозначениями е для скорости диссипации и г — для радиальной координаты.
§ 121. О ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ
621
за сопла, на рис. 228, а приводятся данные по убыванию интенсивностей
пульсаций в результате уменьшения скорости струи на срезе сопла или
увеличения скорости спутного потока.
Обращает на себя внимание, во-первых, наличие максимумов ин-
интенсивности пульсаций и затем быстрое спадание интенсивностей при
приближении к «границе» струи, а во-вторых, отличие понятия «грани-
«границы струи» как точки данного сечения, в которой избыточная скорость
равна нулю (г|</2 = 2,2), и такой воображаемой точки, где все возмуще-
возмущения, производимые струей в окружающем ее спутном потоке, равнялись
бы нулю.
Можно заметить, что понятие о такой второй, физически мыслимой
границе было бы количественно трудно определимым, так как между
3,0
2,0
г
20
40 60
а)
60 100
Рис. 229
струей и спутным потоком имеется «пограничный слой», где происходит
плавный переход от струи к спутному потоку. При малых значениях па-
параметра т вторая граница оказалась бы заметно различной для раз-
разных турбулентных характеристик. Заимствуем из только что процитиро-
процитированной работы график (рис. 228, б) распределения по сечению струи ко-
коэффициента двухточечной корреляции продольных скоростей пульсаций
RUu(y) и поперечного масштаба L(y)y определенного по изменению ко-
коэффициента корреляции (верхние кривые) согласно первому интегралу
D0). Обращает на себя внимание факт почти постоянства масштаба в
центральной области струи и изменение его в разные стороны при раз-
разных значениях параметра т на краю струи.
Многочисленные экспериментальные данные по турбулентной струк-
структуре потока в плоской трубе можно найти в книге Ж. Конт-Белло 4).
Рассмотрим некоторые из них. На рис. 229, а и б представлены относя-
относящиеся к сечениям на разных относительных расстояниях x/D от входа
в трубу распределения интенсивности продольных пульсаций, отнесен-
отнесенной к динамической скорости y#=VWp, в функции от безразмерного
расстояния от стенки, составленного различным образом для пристеноч-
пристеночной и центральной частей потока (D — полурасстояние между стенка-
стенками плоской трубы; экспериментальные точки опущены).
Рис. 229, а описывает «пристеночную» область; на оси абсцисс от-
отложена так называемая «универсальная» координата (безразмерное рас-
расстояние от стенки) r\ = yv*/v. В вязком подслое (т]<11,5) интенсивность
продольных пульсаций резко возрастает с удалением от стенки, достигая
максимума примерно в центре переходной области от вязкого подслоя
1) Конт-Белло Ж. Турбулентное течение в канале с параллельными стенка-
стенками.-М.: Мир, 1968.
622
ГЛ. XIII ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
к логарифмической зоне. Затем интенсивность плавно убывает до своего
значения на оси трубы, как это показано на рис. 229, б, отличающемся
от рис. 229, а масштабом абсцисс. Приведенные графики относятся к
потоку с числом Рейнольдса Re=L/cpZ)/v=120 000. Как показывают гра-
графики, приведенные в цитированной книге, интенсивности продольных и
поперечных пульсаций, отнесенные к динамической скорости, слабо за-
зависят от рейнольдсова числа потока.
Опуская графики спектров частот и коэффициентов корреляций —
они имеются в большом количестве в цитированной книге Ж. Конт-Бел-
ло, — покажем лишь один общий график (рис. 230) (эксперименталь-
(экспериментальные точки опущены; их разброс сравнительно с другими графиками зна-
значителен) распределений продольного Lx и двух поперечных Ly и Lz мас-
масштабов турбулентности по сечению тру-
трубы x/Z) =118 при рейнольдсовом числе
Re = 120 000. Продольный масштаб Lx
значительно превосходит по величине
оба поперечных.
L/D
0,80
0,60
ОАО
0,20
(
\
/
N
Ly/D
1—-«
L
0,20 0,40 0/0 0,80 J
Рис. 230
9,см
20
10
5,5
100
У У*
'\S\,zo
W
6,7
Рис. 231
7,3
Для масштабов Lx и Ly характерно наличие максимумов примерно
на 30% полурасстояния между стенками трубы Д считая от стенки
трубы.
Исследования турбулентности в области пограничного слоя также
многочисленны. Изучены как распределения интенсивностей, так и кор-
корреляции масштабов и частотных спектров.
Отсылая читателя к имеющемуся на русском языке обзору X. Драй-
дена1), где собраны систематические материалы по структуре тур-
турбулентного пограничного слоя при наличии продольного отрицательного
и положительного перепадов давления, приведем в качестве примера
диаграмму распределения местной интенсивности турбулентности
V~u?/U в диффузорной области пограничного слоя (рис. 231). Кривые
представляют собой геометрические места точек одинаковой интенсив-
интенсивности турбулентности, показанной справа в процентах.
Возрастание интенсивности турбулентности в данном поперечном
сечении слоя при приближении к стенке объясняется влиянием двух фак-
факторов: увеличением при приближении к стенке абсолютной среднеквад-
среднеквадратичной пульсации скорости и2, подобным показанному на рис. 229, а,
и одновременным уменьшением скорости осредненного движения [/.
Распределение местной интенсивности турбулентности вдоль погранич-
пограничного слоя при данном значении ординаты (у=const) показывает силь-
сильный рост интенсивности в диффузорной части слоя (х>5,5 м). Исклю-
1) Драйден X. Современное развитие механики пограничного слоя.— В кн.:
Проблемы механики.—М.: ИЛ, 1955, с. 277—290.
§ 122. ПЕРЕНОС ИМПУЛЬСА, ТЕПЛА И ПРИМЕСЕЙ 623
чительно высокая интенсивность D0%) имеет место вблизи точки отры-
отрыва турбулентного пограничного слоя (аг8 = 7,84 м).
Частотные (спектральные) характеристики турбулентного погра-
пограничного слоя показывают, что внутри слоя преимущественное значение
имеют колебания частоты, низкой по сравнению с частотами колебаний
вне пограничного слоя. Так, в пограничном слое на пластине в сечении,
соответствующем числу Рейнольдса 1^=650 000, преимущественное
значение имеют частоты до 40—50 Гц, при ReT=l 600 000 — до 20 Гц, а
вне пограничного слоя — порядка 100 Гц. Доля высоких частот (поряд-
(порядка 1000 Гц) совершенно невелика. Понижение частот при переходе к
большим Rex говорит о возрастании масштаба турбулентности с увели-
увеличением толщины пограничного слоя.
Можно заметить простую связь между частотой пульсаций и мас-
масштабом турбулентности. При прохождении крупномасштабного вихря
мимо неподвижного датчика частотомера будет зарегистрировано боль*
шее время, чем при прохождении мелкомасштабного вихря. Отсюда
следует общая закономерность: большим по масштабу вихрям соответ-
соответствует меньшая частота и, наоборот, меньшим — более высокая часто-
частота. Пользуясь взамен частоты обратной по отношению к ней величи-
величиной—длиной волны, убедимся в полном соответствии ранее отмеченно-
отмеченного различия в процессах рассеяния вихрей известному общему закону о
более быстром рассеянии коротких волн по сравнению с длинными1)-
Значительное развитие получило учение о «когерентной» турбу-
турбулентности, объясняющее турбулентное перемешивание на поверхностях
раздела, образующихся, например, в свободных струях или струях в
спутных потоках и следах за обтекаемыми телами, наличием дискрет-
дискретных вихревых структур (кольцевых и тороидальных, П-образных и др.).
Для многих прикладных вопросов и особенно для представляющей боль-
большой интерес теории турбулентного пограничного слоя существование
«когерентных» структур служит объяснением такого специфического яв-
явления, как отрыв турбулентного пограничного слоя от плавной поверх-
поверхности. Подобный вопрос уже был рассмотрен в гл. XII для случая ла-
ламинарного пограничного слоя, в котором явление отрыва подчинялось
простому математическому моделированию. Иначе обстоит дело с тур-
турбулентным пограничным слоем. По современным представлениям во
внешней части турбулентного пограничного слоя развивается крупно-
крупномасштабная турбулентность, по своей структуре представляющая дина-
динамически равновесный процесс взаимодействия крупных, имеющих поря-
порядок размера толщины пограничного слоя вихрей, с одной стороны, рас-
распадающихся на более мелкие, с другой — коагулирующих (срастаю-
(срастающихся) в более крупные вихри, образуя так называемую «когерентную»
структуру. Увлекаемые оторвавшимся пограничным слоем, они заполня-
заполняют «след» за телом, имеющий также когерентную структуру. Подчерк-
Подчеркнем, что в такого рода областях излагаемая далее теория турбулентно-
турбулентного переноса теряет свою справедливость и на смену ей приходит еще не
получившая своего конечного развития теория взаимодействия вихре-
вихревых систем.
§ 122. Перенос импульса, тепла и примесей
в турбулентных движениях. Гипотезы Буссинеска, Фурье и Фика
Предложенное Рейнольдсом выделение из общего турбулентно-
турбулентного движения некоторого более простого осредненного движения не ис-
исключает необходимости учета тех физических процессов, которые в дей-
]) Для ознакомления с общей теорией турбулентности рекомендуем наиболее до-
доступную для этой цели монографию: Хинце И. О. Турбулентность.— М.: Физматгиз
1963.
624 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
ствительности происходят в турбулентных движениях. Линии тока ос-
осредненного движения, непроницаемые для этого условно вводимого дви-
движения, проницаемы для пульсационного движения, которое переносит
из слоя в слой сквозь линии тока осредненного движения количество
движения (импульс), тепло, вещество и другие виды физических суб-
субстанций. Этот перенос аналогично тому, как это имеет место в случае
молекулярного переноса в ламинарных движениях, определяет турбу-
турбулентное трение между слоями в осредненном движении, тепломассопе-
ренос между ними и другие разнообразные явления переноса.
Отличие от ламинарного (молекулярного) переноса здесь в том,
что носителями субстанции в турбулентном переносе являются не срав-
сравнительно ничтожные по массе отдельные молекулы, а конечные объемы
жидкости, как иногда говорят, «моли». В соответствии с этим и сами
процессы турбулентного переноса называют «молярными», в отличие от
«молекулярных» процессов переноса в ламинарных движениях.
С этой точки зрения
прием выделения осреднен-
осредненного движения можно пред-
представить себе так. Действи-
Действительное турбулентное дви-
движение с характерными для
него извилистыми, хаоти-
хаотически переплетающимися
линиями тока и траектори-
^///////////.^^///////ву////////////, ями, заменяется некоторым
упорядоченным слоистым
Рис 232 (но не ламинарным]) дви-
движением. Такую замену мо-
можно выразить принятым в
метеорологических применениях теории турбулентности термином
стратификация (от латинского слова stratus — слой). Стратификация
может производиться по различным характеристикам потоков: скоро-
скорости, плотности, температуре и др.
Рассматривая, например, установившееся осредненное турбулент-
турбулентное движение в плоской трубе (рис. 232), представляют себе линии то-
тока осредненного движения в виде прямых, параллельных оси трубы.
Это — стратификация по скорости. При установившемся движении во
всех сечениях трубы имеет место одинаковый профиль осредненных ско-
скоростей и (у). Форма профиля зависит от свойств турбулентного движе-
движения и будет в дальнейшем определена. Линии тока пульсационного дви-
движения пересекают линии тока осредненного движения, проникают из
одного слоя осредненного движения в другой и создают при этом пере-
перемешивание жидкости сквозь площадки, расположенные вдоль линий то-
тока осредненного движения.
Такого рода перемешивание — его называют турбулентным или мо-
молярным перемешиванием — сопровождается, подчеркнем еще раз, пе-
переносом сквозь границу между слоями импульса, энергии и других ме-
механических или термодинамических параметров осредненного движения
жидкости, тепла, а также заключенных в жидкости примесей (напри-
(например, дыма или пыли в воздухе, ила или песка в воде и т. п.).
Перенос количества движения (импульса) создает турбулентное тре-
трение между слоями, перенос тепла обусловливает турбулентную тепло-
теплопроводность, пергнос примесей— турбулентную диффузию этих приме-
примесей. Механизм турбулентного перемешивания одинаков как для трения,
так и для теплопроводности или диффузии; разница заключается лишь
в особых свойствах переносимой пульсационным движением субстан-
субстанции — количества движения, тепла или примеси.
§ 122. ПЕРЕНОС ИМПУЛЬСА, ТЕПЛА И ПРИМЕСЕЙ 625
В 1877 г. Ж. Буссинеск1), опираясь на аналогию между лами-
ламинарным движением вязкой жидкости и турбулентным осредненным ее
движением, предложил получившую широкую известность формулу для
касательного напряжения т* между слоями осредненного движения
(рис. 232)
т, = л|. D3)
Это равенство по своему внешнему виду напоминает формулу Нью-
Ньютона A) гл. X. Разница лишь в том, что, вместо динамического коэффи-
коэффициента обычной (молекулярной) вязкости jh, в формуле D3) стоит
существенно больший динамический коэффициент турбулентной (моляр-
(молярной) вязкости Л, получивший вначале наименование коэффициента тур-
турбулентного перемешивания (Austauschgrosse по Прандтлю), а под
и подразумевается осредненная скорость турбулентного движения жид-
жидкости.
Подобно тому как динамический коэффициент вязкости представ-
представляет физическую константу жидкости или газа при данных их термоди-
термодинамических состояниях, коэффициент пропорциональности А также
вначале рассматривался как постоянный, совпадающий по размерности
с \i коэффициент. Расчеты турбулентных движений жидкости, произве-
произведенные в этом простейшем предположении о постоянстве величины Л,
показали, что для согласования результатов этих расчетов с опытом ве-
величина А должна на много порядков превосходить \i. Как исторический
курьез можно отметить, что известный специалист по динамике атмос-
атмосферных движений воздуха Ричардсон сравнил динамический коэф-
коэффициент турбулентной вязкости воздуха А с аналогичным коэффициен-
коэффициентом вязкости jli сиропа, а кинематический коэффициент Л/р с кинема-
кинематическим коэффициентом v вязкости сапожной ваксы. Объяснение это-
этому на первый взгляд аномальному обстоятельству дал, по-видимому,,
впервые Г. А. Лоренц2), указавший, что в турбулентных движениях
трение-— турбулентная вязкость, в отличие от обычной вязкости, обус-
обусловливается переносом сквозь слои движущейся жидкости количеств
движения не микроскопических частиц, а перемешивающихся конечных
объемов среды.
Эта идея Лоренца получила свое дальнейшее развитие в период
1915—1925 гг. в работах Тейлора, Ричардсона и Шмидта3),
создавших до появления работы Прандтля (см. далее) модель турбу-
турбулентного перемешивания и указавших роль понятия «пути перемешива-
перемешивания».
Выведем общую формулу турбулентного трения в простейшем слу-
случае установившегося плоского прямолинейного осредненного движе-
движения, представленного на рис. 232. Рассмотрим элементарную площадку
do=dx*l, параллельную линии тока осредненного движения и находя-
находящуюся на расстоянии у от твердой стенки. Через эту площадку прохо-
проходят линир тока пульсационного движения и переносят количества дви-
движения (импульсы) смежных слоев, расположенных как сверху, так и
снизу от площадки на некотором расстоянии /72, причем скоростью пе-
переноса служит поперечная к осредненному потоку пульсационная ско-
!) Boussinesq J. Essai sur la theorie des eaux courantes.— Paris: Memoires
presentees par diverses savants a l'Acad. d. Sci., 1877, v. 23.
2) Lorentz H. A. Vorschlagen der Akad. von Wetenschapen.—Amsterdam, 1897,
Bd. 6.
3) Келлер Л. В. Теория конвекции в турбулентной атмосфере по Тэйлору, Ри-
Ричардсону и Шмидту.— Изв. Гл. Геофизической обсерватории, 1931, № 4, с. 3; там же
обширная библиография.
626 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
рость v'. Касательное напряжение турбулентного трения пху=пух для
краткости обозначим через xt и определим как среднюю во времени
проекцию на ось Ох отнесенного к единице площади переноса количе-
количества осредненного турбулентного движения через площадку, располо-
расположенную вдоль линии тока. Понимая под rtdo силу трения, приложенную
от верхнего слоя, где осредненные скорости больше, к нижнему, будем
считать количество движения, прошедшее из верхнего слоя в нижний,
приобретенным, т. е. положительным, а количество движения, перене-
перенесенное из нижнего слоя в верхний, потерянным, т. е. отрицательным.
Тогда, обозначая чертой сверху среднюю во времени, найдем
или, заменяя приближенно
2 / KU} 2 dy
и произведя очевидные сокращения, получим
т, = —paV = puT- . D4)
dy
Сравнивая равенство D4) с D3), получим выражение для коэффи-
коэффициента турбулентного перемешивания А (р — константа)
A = 9vT, D5)
придающее благодаря наличию скорости v' и V этой эмпирической ве-
величине внутренний, связывающий ее с механизмом турбулентного пере-
перемешивания смысл. Конкретизированная выражением D5) формула
Буссинеска D3), выведенная для простейшего прямолинейного сдви-
сдвигового движения, в полной аналогии с рассуждением, изложенным в на-
начале гл. X, обобщается на случай любого пространственного движения.
Введем допущение о локальной изотропности механизма турбу-
турбулентного перемешивания. Это означает, что коэффициент А является
скалярной величиной. Предположение об анизотропии этого механизма
привело бы к резкому усложнению математической стороны задачи, вы-
вызванному тем, что величина А стала бы в этом случае тензором четвер-
четвертого ранга.
Будем иметь, предполагая связь между тензором рейнольдсовых
напряжений П [см. A7), A8)] и тензором скоростей деформаций в ос-
редненном движении S линейной,
П=а?+6?, D6)
где а и Ь — зависящие от структуры турбулентного движения скаляры,
Е — тензорная единица, компоненты которой равны символам Кроне-
кера бу. Сравнение D6) с выражением D3) для простейшего вида ос-
осредненного движения дает
а=2Л, D7)
а приравнивание линейных инвариантов слева и справа в формуле D6)
позволяет заключить, что
й, D8)
где, по-предыдущему, k представляет собой приведенную к единице
§ 122. ПЕРЕНОС ИМПУЛЬСА, ТЕПЛА И ПРИМЕСЕЙ
627
массы кинетическую энергию пульсационного движения
В дальнейшем остановимся на общепринятых обозначениях
Р
где \it и V/ — соответственно динамический и кинематический коэффици-
коэффициенты «турбулентной вязкости». Тогда придем к следующей форме обоб*
щенной гипотезы Буссинеска:
D9)
E0)
3
а в прямоугольной декартовой системе
Величину
— - pk6if = \it
dv.
гг Vmv'm =
Pt
E1)
. E2)
E3)
можно было бы назвать «турбулентным давлением»,, а равенству E2)
придать форму
~~т~г I dV[ dv - \
Tiij = — QViVj = |i/ 1 — Pt$ij, E4)
V dx; dxf )
в правой части аналогичную обобщенному закону Ньютона вязкой жид-
жидкости A0) гл. X.
Формула Буссинеска в своем начальном виде D3), а в даль-
дальнейшем и в обобщенной форме E1) или E2) получила широкое приме-
применение в гидравлике, метеорологии, океанологии и других областях тех-
техники и естествознания. При этом делались
различные допущения о характере изменений
в потоках величин [it и v*, от постоянства ко-
которых вскоре отказались1). Как заметил сам
Буссинеск, и это потом было подтверж-
подтверждено опытами, \it и vt изменяются по сечению,
нормальному к потоку в трубе или в погра-
пограничном слое, возрастая от нулевого значения
на обтекаемой твердой поверхности до неко-
некоторого максимума, после чего убывают до ми-
минимального значения на оси трубы или на
внешней границе турбулентного пограничного
слоя. О резком возрастании \it=A с удалени-
удалением от твердой поверхности, можно судить по
ис. 233, изображающему результаты опытов
30
И-
го
w
/О 20 30 40 50 60
Рис 233
ж. Лауфера по трубам (кружки на графике) и Г. Шубауера
(крестики) по пограничным слоям2). По оси абсцисс отложено рассто-
расстояние от твердой стенки, отнесенное к имеющей размерность длины
величине v/v*, где г>*="/т«,/р, a rw — напряжение трения на стенке. Поосет
ординат для сравнения с обычной молекулярной вязкостью нанесено
') См. по этому поводу содержащий много интересных замечаний исторического
характера курс: Форхгеймер Ф.: Гидравлика/Пер, с нем — М.; Л.: ОНТИ, 1935.
2) Цитируем по монографии: Хинце И. О. Турбулентность.— М.: Физматгиз,
1963, с. 607.
628 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
отношение \itf\i=A/\i. Можно заметить, что при приближении к твердой
стенке коэффициент турбулентной вязкости быстро убывает. В метео-
метеорологии и океанологии часто рассматривают величину A = \it как воз-
возрастающую функцию расстояния точки измерения от поверхности Зем-
Земли или дна океана.
Формула Буссинеска исторически явилась крупным шагом по пути
замыкания уравнения переноса импульса A6), позволив выразить
шесть неизвестных рейнольдсовых напряжений через одну неизвестную
jit/, но все же не дала полного решения проблемы замыкания. Состав-
Составленная по аналогии с обобщенным определяющим соотношением Нью-
Ньютона для ламинарного движения вязкой жидкости формула Бусси-
Буссинеска легла в основу подавляющего числа методов расчета турбулент-
турбулентных движений жидкости в гидравлике, гидродинамике и их технических
применениях. И вместе с тем эта формула заслуживает ряда критиче-
критических замечаний. Так же как и формула Ньютона, формула Буссине-
Буссинеска относится к числу так называемых локальных формул в том смыс-
смысле, что она определяет значения турбулентных (рейнольдсовых) напря-
напряжений в данной точке потока жидкости в зависимости от осредненных
скоростей деформаций в окрестности той же точки, т. е. не содержит
влияния на определяющее соотношение удаленных от этой точки обла-
областей потока. Такая ограниченность формулы Буссинеска лишает ее
ряда важных применений, как, например, в несимметричных потоках в
каналах с разной шероховатостью стенок. В таких каналах, в явном не-
несоответствии с формулой Буссинеска, точки нулевого турбулент*
ново трения не совпадают с точками максимальной скорости (дп/ду=0).
Вообще можно заметить, что формула Буссинеска D3) не отража-
отражает вихревой структуры потока и размеры обменивающихся количеством
движения вихревых масс, хотя учет этих факторов может быть очень су-
существен для описания некоторых характерных для турбулентности яв-
явлений. Как будет показано в § 140, расчет затухания напряжений тур-
турбулентного трения в следе за возмущающим поток телом, выполненный
на основании локальной формулы Буссинеска, отражает только об-
общую тенденцию этого явления, но не может дать достаточно точное ко-
количественное описание этого «наследственного» процесса. Другие при-
примеры недостаточности формулы Буссинеска можно найти в обзор-
обзорной части диссертации голландского ученого Буйлтьеса1).
При рассмотрении турбулентных потоков в реальных жидкостях и
газах, наряду с переносом количества движения (импульса), часто при-
приходится иметь одновременно дело с переносом тепла и вещества (мас-
(массы). Практически интересные задачи тепломассопереноса в турбулент-
турбулентных потоках обычно допускают простую стратификацию по температу-
температуре и концентрации, совпадающую со стратификацией по скорости.
Пользуясь идеей Буссинеска о придании формуле турбулентного трения
того же вида, что и «ламинарный» закон Ньютона, можно и турбулент-
турбулентным потокам тепла и вещества (массы) придать вид, формально обоб-
обобщающий известные уже нам по предыдущим главам законы Фурье и
Фика.
Обозначим соответственно через A^=\ity Aq и Am коэффициенты
турбулентного переноса импульса (количества движения), тепла и кон-
концентрации примеси. Вспоминая выражения потоков тепла и вещества
B4) и B7) и довольствуясь простейшим случаем установившегося пря-
прямолинейного сдвигового движения вблизи стенки, в котором осреднен-
ные скорости п, температура Т и концентрация взвешенной в жидкости
примеси с будут функциями только расстояния от стенки у, найдем сле-
l) Builtjes P. J. H. Memory effects in turbulent flows.—Depart, of Mech. Eng.,
Delft, Netherland, WTHD, April 1977, № 97, p. 5—8.
§ 122 ПЕРЕНОС ИМПУЛЬСА, ТЕПЛА И ПРИМЕСЕЙ 629
дующие выражения для турбулентных потоков импульса, тепла и веще-
вещества
, . л du
Т;= —pil'v' =Ax— ,
dy
qt = — pCpi/T' = — cpAq — , E5)
dy
mt = — pVc' = —Am^>
dy
тде штрихи отличают пульсации входящих величин от осредненных их
значений, отмеченных черточкой сверху *).
Чтобы подчеркнуть роль поперечной пульсационной скорости v'
как одинаковой для всех рассматриваемых процессов скорости переноса
«субстанции» (импульса, тепла, вещества) из слоя в слой движущейся
жидкости, выразим коэффициенты переноса Лт, Aq, Аш через v' и неко-
некоторые характерные для каждой отдельной субстанции длины «путей
переноса» /т, l'qt /m, положив аналогично D5)
Ах = рУ'/х, Aq = pv'l'g, Am = pv'l'm. • E6)
Смысл определений этих «путей переноса», данный им Прандт-
лем, разъясняется в следующем параграфе. Иногда вместо коэффици-
коэффициентов переноса Лт, Aq, Am вводят отношения их к плотности среды
eT = di. = A=v,, Eq = ^9 em=^L. E7)
Р Р Р Р
Наряду с выражениями турбулентного (молярного) переноса ука-
указанных субстанций составим выражения полных переносов, объединяю-
объединяющих ламинарный (молекулярный) и турбулентный (молярный) перено-
переносы количества движения, тепла и вещества
du , / \ л \ du , , v du
х = \i— + xt = (\i + At) - = (\i + ргх)- ,
dy dy dy
E8)
? + mt (p + Am)^ (pD + pem) -^ .
dy dy dy
Ламинарным (молекулярным) коэффициентам переноса — коэффициен-
коэффициентам вязкости ц, теплопроводности i и диффузии рД введенным в § 117,
соответствуют коэффициенты турбулентных вязкости Лт, теплопровод-
теплопроводности Ад и диффузии Ат.
Формулы E6) дают зависимость величин Лт, Aq, Am от остающихся
неизвестными v\ lx> lq и /т. Заслуга уменьшения числа этих неизве-
неизвестных и, таким образом, приближения к решению проблемы замыкания
уравнений переноса импульса, тепла и вещества принадлежит Л. Пран-
дтлю, который, сохранив роль поперечной пульсационной скорости в
механизме переноса, выразил эту скорость через аналоги величин
/т, t'q, lm и поперечную производную осредненной скорости du/dy.
1) Считая невозможным отказаться от общепринятых обозначений: с для концен-
концентрации и cv для коэффициента теплоемкости при постоянном давлении, предостерегаем
от смешения этих схожих по обозначениям величин.
630 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
§ 123. Теория «пути смешения» Прандтля
Как уже указывалось в конце предыдущего параграфа, развитие
проблемы замыкания уравнений переноса импульса, тепла и вещества
не свелось только к установлению формул D6) — D8), далеко не полно
отражающих действительный механизм переноса этих субстанций. На
рубеже первой четверти нашего века появилась тесно связанная с пре-
предыдущим теория переноса, в значительной степени углубившая пред-
представления в этой области и, в известном смысле, практически замкнув-
замкнувшая уравнения переноса импульса, тепла и вещества.
Теория эта была создана Л. Прандтлем1). Исходя из аналогии
между переносом конечных по объему вихревых масс в турбулентном
движении и переносом молекул в ламинарном движении, Прандтль
предложил простую и наглядную модель переноса субстанции между
слоями осредненного турбулентного движения. По его идее вихревая
масса, выделенная в данном «начальном» слое как некоторый индиви-
индивидуальный объем, перемещается в процессе обмена в нормальном на-
направлении к осредненному потоку и движется в этом направлении до
тех пор, пока не смешается с некоторым смежным слоем, потеряв свою
индивидуальность — отличие в продольной осредненной скорости или,
что при постоянной плотности все равно, импульсе. До сих пор никакой
разницы между описанной только что картиной переноса и изложенной
в предыдущем параграфе нет. Как и прежде, используется представле-
представление о «вихревом объеме», который перемещается из одного слоя в дру-
другой, проходя некоторое расстояние между слоями, определяющее харак-
характерный для этого объема «путь перемешивания», количественное опреде-
определение которого до появления теории Прандтля сохраняло неясность.
Новое в модели Прандтля заключается в допущении о том, что вих-
вихревая масса во все время перемещения из начального слоя в конечный
сохраняет свое отличие в импульсе и только в момент смешения сразу
теряет свою индивидуальность, вызвав тем самым в этом конечном слое
возмущение в осредненной скорости. Это возмущение принимается про-
пропорциональным расстоянию V между начальным и конечным слоями и
величине разности между осредненными скоростями в этих слоях Дм»
ttUduldy. По мысли Прандтля, данное возмущение в осредненной ско-
скорости слоя является причиной возникновения в нем пульсационной ско-
скорости с проекциями и\ v\ так что естественно положить (оэ— знак про-
пропорциональности)
t it du f f, du /rm
и 'соV —, v cr>l — . E9)
dy dy
Эта центральная формула теории Прандтля приводит к выражению
касательной составляющей рейнольдсова напряжения в случае рассмат-
рассматриваемого простейшего прямолинейного сдвигового движения
Если условиться понимать под т напряжение трения, приложенное
к верхней границе слоя со стороны области больших скоростей (т>0)
и, кроме того, ввести осредненную длину /2=Г2, то предыдущее выра-
*) Р г a n d 11 L. Untersuchungen zur ausgebildete Turbulenz.— Zeitschr. f. angew.
Math. u. Mech., 1925, v. 5. См. статью того же автора «Результаты работ последнего
времени по изучению турбулентности», помещенную в русском переводе в кч.: Проб-
Проблемы турбулентности.—М.: ОНТИ, 1936, с. 14—16.
§ 123. ТЕОРИЯ «ПУТИ СМЕШЕНИЯ» ПРАНДТЛЯ
631
жение для т примет окончательный вид
F0)
Единственную остающуюся здесь неопределенной величину I
Прандтль назвал путем смешения (Mischungsweg), почему и вся теория
получила наименование теории пути смешения.
Чтобы не делать оговорки о знаке т, Прандтль предложил придать
формуле F0) вид
= р/2
du
dy
F1)
Для динамического коэффициента турбулентного трения Ax=\it и
кинематического его значения AJp=\xt/p=vt имеют место формулы
= \it = p/2
F2)
Принимая во внимание общность механизмов турбулентного переноса
импульса, тепла и вещества (массы), составим выражения коэффициен-
коэффициентов перемешивания E6) в форме
du
At = \it =
Ад = pig
, Am — |
dy
Для кинематических коэффициентов справедливы равенства
р
Spi ==s *m
F3)
F4)
где допускается разница в выражениях путей смешения для импульса,
тепла и вещества, определенных равенствами
1% — 'т > 1д — 'т'<7» lm — 'т^
F5)
Вспоминая введенные в теории молекулярного (ламинарного) теп-
тепломассообмена число Прандтля и число Шмидта (диффузионное
число Прандтля)
pD
F6)
обобщим эти определения на случай турбулентного тепломассообмена,
положив
-L = -L-, Sq = -I- = -1. F7)
A Z A 8
г Л Л р Л р
Lpnq л<7 Я tn m
Конечно, эти турбулентные критерии принципиально отличаются от
своих ламинарных прототипов прежде всего те*м, что они зависят от
формы движения, а не только от физических постоянных среды. Более
того, характеризуя соотношения между молярными (посредством конеч-
конечных объемов) переносами, на много порядков превосходящими молеку-
молекулярные переносы, турбулентные числа Прандтля и Шмидта лишь слабо
зависят от своих молекулярных значений. Если, скажем, числа Прандтля
(молекулярные) для вязких масел и жидких металлов разнятся в мил-
миллионы раз, то турбулентные числа Прандтля в подобных движениях
столь физически друг от друга отличающихся сред близки друг к другу.
«Носителями» переноса различных субстанций являются одни и те
же «вихревые» массы, но процессы их смешения с окружающей средой
могут быть различными для разных субстанций. Отвлекаясь от активно-
632 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
сти этого процесса на пути перемещения «носителя» из начального слоя
в конечный, т. е. считая субстанцию пассивной, можно полагать, что ко-
коэффициенты переноса должны быть равны между собой, а следователь-
следовательно, по F7) турбулентные числа Прандтля и Шмидта равны единице. На
самом деле переносимая субстанция не полностью пассивна, а имеет
место некоторая разница в активности тепломассопереноса по сравне-
сравнению с переносом импульса (трением). Это приводит к тому, что турбу-
турбулентные числа Прандтля и Шмидта отличаются (не слишком сильно) от
единицы то в одну, то в другую сторону.
Существует обширная литература по экспериментальному определи
нию турбулентного числа Прандтля, особенно для такого «крайней»
случая, как турбулентные движения жидких металлов, в которых моле-
молекулярная теплопроводность очень велика по сравнению с вязкостью (чис-
(числа Прандтля в ламинарном движении имеют порядок 10~3—10~4). Од-
Однако и в этих случаях турбулентное число Прандтля оказывается близ-
близким к единице, оставаясь в пределах 0,5<Рг<<21). В исследованиях по
турбулентному теплообмену в газах чаще всего полагают Prt=l
или 0,7.
К сожалению, результаты экспериментальных работ по определению
средних величин турбулентного числа Прандтля из-за многих усложня-
усложняющих обстоятельств (определение производных от скоростей и темпера-
температур, заданных неточными экспериментальными кривыми, загрязненность
поверхностей и др.) мало точны, а иногда даже противоречивы. Так, на-
например, по опытам Людвига A956) 2) ?rt возрастает от стенки к оси тру-
трубы, а по опытам Сляйхера A957) 3), наоборот, убывает. Теоретическая
сторона этого вопроса плохо поддается изучению даже в полуэмпириче-
полуэмпирической постановке. Некоторые шаги в этом направлении все же сделаны
как в Советском Союзе4), так и за рубежом5).
Простейшим и практически часто достаточным является допущение
о пассивности переносимой субстанции и, следовавательно, о равенстве
чисел ?rt и Sc* единице. Это допущение с успехом использовалось в ис-
исследованиях теплоотдачи со стенок труб и в других случаях пристеноч-
пристеночной турбулентности, но оказалось непригодным для движений в услови-
условиях свободной турбулентности (струи, следы за телом).
Возвращаясь к теории Прандтля, можно отметить сходство введенно-
введенного в ней понятия «пути смешения» с длиной свободного пробега молеку-
молекулы, фигурирующей в кинетической теории газов.
Отдавая должное теории «пути смешения», нельзя не заметить ее
ограниченности, заключающейся в применимости только в той области
потока, где du/dy^O. При приближении к оси трубы или внешней грани-
границе пограничного слоя, где du/dy = 0, роль первой производной от осред-
ненной скорости исчезает. Равенство ее нулю по формулам Прандтля
E9) означала бы равенство нулю пульсационных скоростей и', v\ что
не отвечает действительности. Необходимость замены в формуле Прандт-
Прандтля входящей в нее первой производной старшими по порядку производ-
производными была, в частности, указана самим Прандтлем, но не получила свое-
1) Обзор исследований этого направления можно найти в монографии: Кут а те-
тела д з е С. С, Б о р и ш а н с к и й В. М., Новиков И. И., Федынский О. С. Жид-
кометаллические теплоносители.— М- Атомиздат, 1967.
2) L u d w i e g H. Bestimmung des Verhaltnisses der Austauschkoeffizienten fur
Warme und Impuls bei turbulenten Grenzschichten — Zeitschr. f. Flugwiss., 1956, Bd. 4,
H. 1/2.
3) S 1 e i с h с г С. Experimental velocity and temperature profiles for air in turbu-
turbulent pipe flow.—Paper ASME, 1957, № 57-HT-9.
4) Воскресенский К. Д, Турилина Е. С — В кн.: Теплопередача и тепло-
тепловое моделирование — М.: Изд-во АН СССР, 1958, с. 87.
5) D w у е г Е. О. Eddy transport in liquid-metal heat transfer.— Amer. Inst. Chem.
Engnr. Journal, 1963, v. 9, № 2, p. 261—268.
§ 123 ТЕОРИЯ «ПУТИ СМЕШЕНИЯ» ПРАНДТЛЯ 633
го практического развития1). Это заставляет ограничиваться в примене-
применении теории пути смешения только пристенными областями турбулентных
движений жидкости или, во всяком случае, удаленными от точек пото-
потока, где du/dy = 0 (ось струи или следа).
Формулы Прандтля F0) и F1), опубликованные в 1926 г., выдержа-
выдержали испытание временем и до сих пор с успехом применяются в расчетах
разнообразных турбулентных движений. В условиях чрезвычайной слож-
сложности хаотических движений и взаимодействий отдельных «вихревых»
объемов формулы Прандтля смогли выделить главные определяющие
факторы явления турбулентного переноса. Эти крайне простые и нагляд-
наглядные по виду формулы и поныне являются фундаментальными в теории
турбулентных движений.
Что касается сохраняющейся в формулах Прандтля единственной
неопределенной величины — пути смешения, то, как указал в последую-
последующих своих работах сам Прандтль, эта величина поддается убедительно-
убедительному интуитивному определению, по крайней мере, в ряде простейших слу-
случаев, о которых пойдет речь в дальнейшем. Это позволяет в некотором
ограниченном смысле признать за теорией «пути смешения» Прандтля
значение теории, замыкающей уравнения переноса импульса, тепла и ве-
вещества (массы).
Теория Прандтля, так же как и лежащая в ее основе теория Бусси-
неска, относится к числу локальных теорий турбулентных движений, ос-
основанных на предположении, что турбулентное смешение в данной точ-
точке потока полностью определяется физическими константами р, \i, v и
осредненным движением в непосредственной близости к этой точке. Ана-
Аналитически это выражается в зависимости коэффициентов переноса от со-
совокупности производных duldy, d2u/dyz и т. д. Сама скорость п(у) не
должна входить в число этих аргументов, так как, соединяя с частицей
жидкости, перемещающейся с постоянной вдоль данного слоя скоростью
п(у) поступательно движущуюся систему координат, мы должны были
бы в такой инерциальной (галилеевой) системе отсчета наблюдать те
же динамические явления, что и в неподвижной системе, какова бы ни
была скорость п поступательного движения.
Приведенный ранее вывод формулы Прандтля F0) и других связан-
связанных с нею формул сохранил стиль изложения теории пути смешения
близким к стилю цитированной выше оригинальной статьи Прандтля.
Если положить в основу вывода локальный характер теории пути смеше-
смешения, то, основываясь на методе размерностей, можно прийти к той же
формуле Прандтля F0). По свидетельству лиц, сотрудничавших с
Прандтлем в то время, сам Прандтль вначале пришел к своей формуле
из соображений размерности, а только потом уже подвел под нее тот фи-
физический образ, о котором шла речь в настоящем параграфе.
Примем, что уже в небольшом удалении от стенки коэффициент тур-
турбулентного перемешивания А настолько превышает у, что влиянием
обычной молекулярной вязкости на турбулентную вязкость можно пре-
пренебречь. Иными словами, рассмотрим процесс турбулентного перемеши-
перемешивания без учета влияния на него молекулярной вязкости, хотя такое
влияние на самом деле имеет место, о чем будет сказано далее. Тогда
этот коэффициент чисто турбулентного перемешивания А может быть
представлен одночленной степенной зависимостью (со — знак пропор-
пропорциональности, коэффициент пропорциональности безразмерен)
- F8)
1) Л о й ц^иски й Л. Г. О некоторых ^оиложениях метода подобия в теории тур-
турбулентности.— Прикл. мат. и мех., 1935, т. 2, вып. 2, с. 180—206.
634 ГЛ. XIII ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ"
Попытаемся удовольствоваться сначала зависимостью только от
плотности р и первой производной от скорости du/dyr положив
f)b. F9)
Замечая, что в физической системе размерностей масса — длина —
время (М, L, Т)
1 J l(du/dy J [t*L J
убедимся, что из равенства F9) при сравнении показателей степеней при
М, L и Т вытекает невыполнимая система равенств
а=1, За=1, Ь=1,
т. е. формула вида F9) невозможна. Дополняя ее множителем, содержа-
содержащим некоторую степень длины, т. е. полагая
gj*, [/]=[/,], G0)
получим, приравнивая показатели степеней при М, L и Г, систему урав-
уравнений
а=1, —1=— За + т, 6=1,
которая имеет единственное решение
а=1, т = 2, 6=1,
что, согласно G0), приводит к формулам (коэффициент пропорциональ-
пропорциональности включаем в определение I)
л 1? du Л du 19 fdu\2
dy dy \ dy
du
dy
du
dy
совпадающим с формулами Прандтля F0) и (&1).
Примем теперь во внимание роль второй производной d2u/dy2, для
чего положим
()W-
В этом случае нет необходимости дополнительно привлекать дли-
длину, так как отношение (du/dy)/(d2u/dy2) имеет, очевидно, размерность
длины и, следовательно, должно быть
l = _*(du/dy) .
d2u/dy2
здесь у, — некоторая безразмерная константа, а знак в правой части вы-
выбран так, чтобы вблизи твердой стенки, где dU/dy>0, d2u/dy<0, величи-
величина / была положительной. Подставляя величину / из формулы G2) в F2)
и F1), получим
Л = х*р-^», T^pW'*»4 . G3)
(d*u/dy2J (dhc/dy2J
Формулы G3) были из других, значительно более сложных сообра-
соображений выведены впервые Карманом1), который исходил из предположе-
l) Karman Th. Mechanische Ahnlichkeit und Turbulenz.— Nachr. d. Gesellsch. <L
Wissen. zu Gottingen, Math. Phys. Kl., 1930 (имеется русский перевод в ранее цити-
цитированном сб . Проблемы турбулентности.—М : ОНТИ, 1936, с. 271—286).
§ 124. «СВОБОДЫАЯ> ТУРБУЛЕНТНОСТЬ. ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУИ 635
ния о подобии полей пульсационных скоростей в различных слоях сдви-
сдвигового турбулентного потока.
Формулы Кармана G2) и G3) типичны для локального подхода к
изучению турбулентных движений. Формула Прандтля F0) в этом смыс-
смысле менее типична, так как остающаяся неизвестной величина пути сме-
смешения / оставляет открытой возможность использования для ее опреде-
определения других подходов, о чем можно будет судить из излагаемых далее
примеров применения формул Прандтля и Кармана.
Остановимся на двух примерах, содержащих прямое использование
теории Прандтля с некоторыми дополнениями интуитивного поряд-
порядка относительно закона изменения пути смешения. Обращение к этим ин-
интуитивным соображениям предполагает, кроме того, введение некоторых
постоянных, значения которых определяются путем обобщения экспери-
экспериментальных данных. Это лишает теорию Прандтля строгой внутренней
замкнутости и вынуждает отнести ее к области так называемых полу-
эмпирических теорий. Следует подчеркнуть, что количество подобных
теорий не только в механике жидкости и газа, но и в других областях
наук гораздо больше, чем это принято считать. В настоящей и следую-
следующей главах будем широко пользоваться термином «полуэмпирическая
теория».
§ 124. «Свободная» турбулентность. Затопленные струи.
Дальний след
Переходя к применениям полуэмпирических методов расчета тур-
турбулентных потоков, выделим особо два класса движений: 1) свободные,
происходящие вдалеке от твердых поверхностей и подчиняющиеся зако-
закономерностям так называемой свободной турбулентности, и 2) пристен-
пристенные, в отличие от предыдущих развивающиеся вблизи твердых поверх-
поверхностей и описываемые закономерностями пристеночной турбулентности.
К первому классу относятся всевозможные случаи распространения
турбулентных струй в неподвижной жидкости и в спутных потоках, об-
образования следа за телом и др.
Особенностью свободной турбулентности является отсутствие в дви-
движениях этого класса взаимодействия молекулярных и молярных процес-
процессов переноса. В этих случаях приходится иметь дело с чисто турбулент-
турбулентными движениями и только молярными процессами переноса, что значи-
значительно упрощает расчет. Наиболее простыми в этом случае оказываются
и приемы задания коэффициентов переноса и пути смешения.
Практическое значение теории турбулентных струй в современной
технике ( реактивные и ракетные двигатели, камеры горения парогенера-
парогенераторов, отопительные и вентиляционные системы, аппараты химических
производств и др.) настолько велико, что эта теория давно стала само-
самостоятельным разделом прикладной гидродинамики и ей посвящены об-
обширные монографии1). Удовольствуемся поэтому лишь изложением не-
некоторых наиболее интересных с теоретической стороны результатов с
целью иллюстрации применений полуэмпирических методов к этому раз-
разделу общей гидроаэродинамики.
Начнем с примера непосредственного применения формулы Прандтля
F0). Рассмотрим осредненное турбулентное движение в пограничном
слое, образующемся в области смешения струи очень большого диамет-
диаметра с окружающей ее жидкостью той же плотности.
!) Абрамович Г. Н. Теория турбулентных струй.— М.: Физматгиз, 1960 и
вышедшее под его редакцией в 1984 г. новое издание этой книги; Гиневский А. С.
Теория турбулентных струй и следов.—М.: Машиностроение, 1969; Коробко В. Н.
Теория леавтомодельных струй вязкой жидкости. Ч. II.—-Изд. Саратовского ун-та,
1977.
636 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Выбор осей координат показан на рис. 234. Диаметр струи принят
бесконечно большим, так что движение в пограничном слое можно рас-
рассматривать как плоское.
Уравнения осредненного турбулентного движения в пограничном
слое струи могут быть выведены из уравнений Рейнольдса A5) точно
так же, как уравнения ламинарного по-
пограничного слоя из уравнений Навье -
Стокса. Получим, отбрасывая черточки
» как обозначение осреднения в буквен-
* ff^j?L--~" ных обозначениях,
—^-^-—. ^- ди . ди I дт ди . ди л
\W\\\\\W
1
дх ду р ду * дх ду
В этих уравнениях в связи с отсутст-
отсутствием твердых, ограничивающих поток
рис> 234 поверхностей (влияние стенки трубы
вниз по потоку за точкой О не учитыва-
учитываем) опущены вязкие члены; кроме того,
пренебрегаем производной рди'2/дх по сравнению с дт/ду, а давление
принимаем постоянным во всей области. Следуя Прандтлю, будем счи-
считать величину / постоянной по поперечному сечению области смешения
струи с окружающей жидкостью и изменяющейся от сечения к сечению.
Уравнение G4) представится в форме
ди ди /2 / \ ди дРи ди ди л
дх ду ду ду2 ' дх ду
или, если использовать функцию тока \|>(#, у) осредненного движения,
tlx)
ду дх ду дх ду2 К ' ду2 ду9
Составим граничные условия. Считая скорость в невозмущенной час-
части струи равной ?/0, будем иметь *)
—->G0 при у-+ооу х>0,
G6)
— =?/0 при х = 0, у>0.
Форма границы остается пока неизвестной. Недостающее третье гра-
граничное условие составляется на нижней границе (#->—оо) и будет, оче-
очевидно, иметь вид
-^-->0 при у-> — оо, jr>Ot
ду
G7)
^- = 0 при х = 0, у < 0г
ду
так как область смешения граничит снизу с жидкостью, не имеющей про-
продольной скорости (и=0). Отметим, что вовлечение окружающей жид-
жидкости в струю (так называемая инжекция) имеет место и осуществляет-
осуществляется благодаря наличию на нижней границе поперечной скорости v
(рис.234).
Чтобы определить 1(х) и выяснить, не является ли поставленная за-
задача автомодельной, т. е. не сводится ли в рассматриваемом случае урав-
l) Tollmien W. Berechnung turbulenter Ausbreitungsvorgange.— Zeitschr. An-
gew. Math. u. Mech., 1926, Bd. 6, S. 468—478.
§ 124 «СВОБОДНАЯ» ТУРБУЛЕНТНОСТЬ. ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУИ 637
нение в частных производных G5) с граничными условиями G6) и G7)
к обыкновенному дифференциальному уравнению, применим рассужде-
рассуждение, аналогичное тому, которое уже неоднократно использовалось в тео-
теории ламинарного пограничного слоя.
Обозначим через L совершенно произвольный, условиями задачи не
определенный масштаб длин. В отличие от ламинарного слоя, где мас-
масштаб поперечных длин получался из масштаба продольных длин деле-
делением последнего на fRe, в теории турбулентного слоя при пренебрежении
в уравнениях вязкими членами, а следовательно, и числом Рейнольдса,
продольные и поперечные длины имеют одинаковый масштаб.
Переходя, как обычно, к безразмерным величинам, убедимся, что
уравнение G5) никакой связи между масштабами функции тока W и
длин L не даст, так как оно однородно относительно \f>. Из первого гра-
граничного условия G6) получим связь между масштабами функции тока,
скоростей и длин
"? UL
Следовательно, решение уравнения G5) должно иметь общий вид
(штрихи временно приняты для обозначения безразмерных координат и
функции тока)
или
Но масштаб L отсутствует в постановке задачи, следовательно, ему нет
места и в решении. Отсюда заключим, что функция г|/ должна иметь
форму
Действительно, при этом масштаб L выпадает и размерная функция
тока будет иметь вид
^ Л=|. G8)
Определим теперь вид функции 1(х), при котором такое решение
уравнения G5) возможно. Вычисляя производные (далее штрих — сим-
символ производной по т])
дх ду х
и подставляя их в уравнение G5), получим после простых преобразо-
преобразований
-ФФ"=-?-ф"ф"- G9)
Согласно G8) величина ф является функцией только г\\ следова-
следовательно, в предыдущем уравнении переменная х должна отсутствовать.
Это приводит к равенству
1 = сх, (80)
где с —эмпирическая постоянная, зависящая, как показывают опыты, от
турбулентной структуры пограничного слоя, т. е. от предыстории по-
потока.
638
ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Уравнение G9) сводится после этого к обыкновенному дифференци-
дифференциальному уравнению
ф"(Лр'"+ф)=о,
распадающемуся на два:
с V' + Ф = 0, (81)
Ф"=0. (82)
Уравнение (82) соответствует движению в невозмущенном ядре
струи, т. е. двум первым равенствам G6), которые, согласно G8), мож-
можно теперь переписать в виде
ф(л)==т1» ф'Сл)^- (83)
Обозначим через цх наименьший положительный корень уравнения
ф'(л) = 1 и через ц2 наименьший по абсолютной величине отрицательный
корень уравнения ф/(т|)=0. Тогда, согласно G6), G7) и G8), равенства
х г х 2
представят уравнения прямолинейных границ пограничного слоя смеше-
смешения струи с окружающей ее жидкостью, а ширина струи Ь(х) определит-
определится разностью
Ь(х) = (ц1—ц2)х. (85)
Сравнивая (80) и (85), убедимся,
что принятое ранее допущение о по-
постоянстве пути смешения по сечению
струи эквивалентно допущению о про-
пропорциональности пути смешения ши-
ширине струи в данном ее сечении. Такое
предположение вместе с допущением
о зависимости введенной постоянной с
от предыстории потока, т. е. от дви-
движения до выхода струи в затопленное
той же жидкостью безграничное про-
уже лишено того локального характера, как сама формула
/
и
7
/
/
о а
5
ио
0.8
0,6
02
-2.0 -1,5
Рис. 235
странство, у
Прандтля F0).
Интегрируя обыкновенное (задача автомодельна!) линейное диффе-
дифференциальное уравнение третьего порядка (81), получим общий его инте-
интеграл в форме
г cos v~^- ац + С3 sin -— а
где а = с~2/3 представляет единственную эмпирическую постоянную зада-
задачи. Для определения постоянных интегрирования Си С2 и С3, и гранич-
граничных значений r)t и ц2 имеем четыре уравнения
и одно дополнительное
выражающие условие плавности перехода скоростей к заданным значе-
значениям на границах области смешения.
Опуская простые выкладки, связанные с вычислением этих постоян-
постоянных, приведем результаты:
С,= —0,0062, С2-0,987, С3 = 0,577, arit = 0,981, ar]2= —2,04.
На рис. 235 показаны кривые распределения продольных и попереч-
поперечных скоростей в области смешения. Проведенные в лаборатории Прандт-
§ 124. «СВОБОДНАЯ* ТУРБУЛЕНТНОСТЬ. ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУИ 639
ля опыты прекрасно подтвердили теорию и дали возможность опреде-
определить значения постоянных с или а; они оказались равными: с = 0,0246,
а= 11,8. Ширина Ь области смешения, согласно (85), при этом равна
6*
11,8
Изложенный расчет может быть применен при проектировании аэро-
аэродинамической трубы с открытой рабочей частью, на границе которой об-
образуется описанная выше область смешения *).
Рассмотрим теперь затопленную осесимметричную незакрученную
струю2). Примем ось струи за ось Ох. Обратимся к уравнениям Рей-
нольдса в цилиндрических координатах B1) и произведем в них упро-
упрощения, соответствующие общим положениям пограничного слоя. Заме-
Заметим, что в рассматриваемом случае ve = 0 и равны нулю производные по
е. Кроме того, из соображений симметрии следует равенство нулю каса-
касательных турбулентных напряжений: яег=—pv'sVr и л8х = — pv'sv'x. По тем
же соображениям, что и в теории ламинарной струи (безграничность за-
затопленного пространства), откинем член, содержащий давление; прене-
пренебрежем еще изменением вдоль оси величины vx.
Обозначим для краткости
Ягх = Т = — pVrV'Xt Vx = U, Vr = V\
тогда уравнения турбулентного распространения струи, как это следует
из последних двух уравнений системы B1), будут
ди . ди 1 / дт . т \ 11д
u- + v— =- —- + — = т-
дх дг р \ дг г ) р г дг
д/ч.д
-r(ru) + —
дх дг
Используя формулу Прандтля для турбулентного трения, которая,
как легко сообразить, в настоящем случае (ди/дг<0 при любых г) запи-
запишется в форме
,9 ди ди
дг
получим уравнения распространения струи в виде
ди . ди 1 д Г г2 / ди \21 д . ч , a t ч л /о~ч
Вводя функцию тока г|), связанную со скоростями и, v формулами
w = — —-, 0= — , (б/)
г дг г дх
сведем задачу к решению одного уравнения третьего порядка
(88)
г дг дхдг дх дг [г дг ) дг { [ дг [г дг
К этому уравнению присоединяется условие сохранения импульса
оо оо
2яр Гш*dr" = 2яр Г-i (??¦)*<*/¦:=/„ (89)
J) Абрамович Г. Н. Аэродинамика потока в открытой рабочей части аэроди-
аэродинамической трубы.—Труды ЦАГИ, 1935, вып. 223, 236.
2) См. только что цитированную статью В. Топлмина.
640 ГЛ. XIII ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
и граничные условия
1 dty п
— -*- 0 при Г —> оо.
г дг
Введем масштаб функции тока W и масштаб длин L. Переходя к
безразмерным величинам, убедимся, что уравнение (88) и граничные
условия (90), так же как в первой задаче этого параграфа, никаких огра-
ограничений на ^V и L не накладывают. Из условия (89) получим одну связь
между масштабами Ч? и L:
2лр
Отсюда следует, что искомое решение для -ф должно иметь общий вид
(штрих — символ безразмерных координат и функции тока)
Но в условия задачи масштаб L не входит, не должен он присутствовать
и в решении. Для выполнения этого условия потребуем, чтобы функция
"Ф'С*', т') имела форму
Тогда действительно масштаб L выпадает, а размерная функция тока
определится выражением
(91)
Полагая, как и ранее, путь смешения / функцией только х и подстав-
подставляя выражение (91) в уравнение (88), убедимся, что при наличии функ-
функции тока вида (91) должно выполняться равенство 1 = сх.
Вводя в уравнение (88) новую переменную т], согласно (91), и при-
принимая во внимание формулу для /, убедимся, что задача автомодельна;
будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение (штрих — про-
производная по ц)
л
После почленного интегрирования обеих частей этого уравнения придем
к уравнению второго порядка
ФФ; = с2 (<р" — -2- У + const• г). (92)
V Л /
Постоянная интегрирования здесь равна нулю. В самом деле, при стрем-
стремлений т]-*0 (г->-0), т. е. на оси струи, скорость и остается конечной, а у
стремится к нулю. Вычисляя эти скорости, получим (со — знак пропор-
пропорциональности)
X Ц X \ Т)
следовательно, ф'/л стремится к конечной величине, аф-)-0прит]->0. Со-
Составляя далее производную ди/дг и требуя, чтобы она стремилась к нулю,
когда т]->0, получим
utl 1
дг цх*
§ 124 «СВОБОДНАЯ» ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУИ 641
следовательно,
1 / » ф' \ п п
— [ ф — —> 0 при г| ~> U
откуда и следует равенство нулю константы в уравнении (92).
Выбирая в уравнении (92) вместо т\ переменную т)/>/"?, получим
уравнение и граничные условия, не зависящие от частных значений кон-
констант. Уравнение это интегрируется численным методом.
Поставленная только что задача о распространении круглой струи
может быть решена значительно проще, если вместо теории Прандтля,
изложенной в предыдущем параграфе, использовать другую, также по-
полуэмпирическую теорию Прандтля, относящуюся уже к 1942 г.1). Заме-
Заменим при решении задач свободной турбу-
турбулентности, где обычно профили продоль-
продольных осредненных скоростей имеют пере-
перегиб (рис. 235), выражение F2) коэффи-
коэффициента турбулентного трения А некото-
некоторым упрощенным, основанным на следу-
следующих соображениях. Предположим, что
в сечении М{М2 (рис. 236) скорость не-
непрерывно переходит от некоторого зна-
значения и — Ui к значению и = и2. Так, в
струе, распространяющейся сквозь затоп-
затопленное безграничное пространство, ско-
скорость и{ на внешней границе струи рав-
равна нулю, и2 представляет максимальную Рис. 236
скорость итах на оси струи. В случае аэро-
аэродинамического следа вдалеке за телом скорость ui соответствует мини-
минимальной скорости на оси следа, а «2 = ^<х>—скорости невозмущенного
внешнего потока, набегающего на тело.
Производная ди/ду на краях интервала MiM2 обращается в нуль как
при переходе к однородным потокам, так и в тех случаях, когда точки
Mi и М2 соответствуют максимуму или минимуму скорости. При этом
эпюра скоростей имеет в рассматриваемом интервале точку перегиба,
где д2и/ду2 = 0у и становится близка к прямой линии повсюду, за исклю-
исключением областей, прилежащих к краям интервала. Пользуясь близостью
эпюры скоростей к прямой линии, можем в выражении F2) коэффициен-
коэффициента турбулентного обмена А произвести приближенную замену
ди
ду
и положить
и2 —
' Ь
где b = MiM2— ширина области турбулентного перемешивания. Возника-
Возникающая при этом на краях области ошибка не существенна, так как в вы-
выражении турбулентного трения F2) величина А умножается на произ-
производную dujdy, обращающуюся на краях области в нуль. Таким образом,
коэффициент турбулентного обмена в задачах свободной турбулентно-
турбулентности может быть принят постоянным по сечению, т. е. не зависящим от у
(но, вообще говоря, зависящим от х, т. е. переменным вдоль течения).
Принимая постоянный по сечению слоя путь смешения /, как это уже
ранее указывалось, пропорциональным ширине области обмена ft, полу-
1) Р г a n d 11 L. Bemerkungen zur Theorie des freien Turbulenz.— Zeitschr. Angew.
Math. u. Mech., 1942, Bd. 22, H. 5, S. 241; Go r tier H. Berechnung von Aufgaben der
freien Turbulenz auf Grund eines neues Naherungsansatzes, ibid., S. 244.
21-9487
642 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
чим следующую общую для большинства задач теории свободной тур-
турбулентности формулу коэффициента турбулентного трения
2-и,\у (93)
где k — некоторый постоянный коэффициент пропорциональности; вели-
величины Ь и | u2—ui | меняются от сечения к сечению и представляют собой
неизвестные функции координаты, отсчитываемой вдоль по течению.
Докажем, что в интересующем нас сейчас случае осесимметричного
распространения турбулентной незакрученной струи коэффициент тур-
турбулентного трения А постоянен во всей области струи, т. е. не зависит ни
от х, ни от г. Вспомним, что путь смешения / пропорционален ширине
струи Ь и, как уже ранее было доказано, Ь&эх.
С другой стороны, в настоящем случае
«1 = 0, и2 = итлх (х) = и (х, 0),
а из равенств (87) и (91) следует
и 1х\-и\ _ * *f
"max \Х) — и \г=о — Г~
т дг
т дг
т. е.
г=о г 2лр х I т] Jn=o
Следовательно, по- (93) имеем (а — новая эмпирическая константа)
А = const = а т/р70, ет = — = const =aлП± . (94)
Р r P
Гипотеза постоянства коэффициента турбулентного перемешивания
неоднократно применялась в задачах турбулентного движения в свобод-
свободной атмосфере, в океанах и реках. Для случая турбулентного движения
жидкости в аэродинамическом и тепловом следе та же гипотеза была
сформулирована в 1938 г. Б. Я. Трубчиковым 4).
Уравнения (86) могут быть теперь переписаны в форме
дх дг ' р г дг \ дг J дх дг
отличающейся от уравнений распространения ламинарной струи только
тем, что постоянный кинематический коэффициент молекулярной вяз-
вязкости гзаменен на кинематический коэффициент турбулентной вязкости
ет = оУ/0/р, где а представляет некоторую эмпирическую постоянную, за-
зависящую от турбулентной структуры потока.
Нет необходимости, таким образом, вновь решать задачу, так как
аналогичная с математической стороны задача уже была решена в § 115.
Для сопоставления решений заметим, что при расчете турбулентной
струи необходимо в формулах A78) гл. XII произвести замену
16ла У р У 16яа р
(95)
±1/3 Л f а^-Т/ЗТ!
о У 16л х ' V У 16л
х) Трубчиков Б. Я. Тепловой метод измерения турбулентности в аэродина-
аэродинамических трубах.—Труды ЦАГИ, 1938, вып. 372, с. 16. См. также только что цити-
цитированные статьи Прандтля и Гёртлера.
§ 124. «СВОБОДНАЯ» ТУРБУЛЕНТНОСТЬ. ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУИ 643
Будем иметь
16яа ' р
г,-ill
8ла г р дг
64ла2
(96)
^ г Г JwIt
16ла г р дг2 г з (г \21
L1+7J J
По равенству A79) гл. XII найдем секундный массовый расход
сквозь сечения струи
М = 8яар 1/ — ху (97)
r P
а по A80) той же главы — формулу максимальной скорости на оси струи
umax= -i-l/7<L±. (98)
8ла r p дг
Для облегчения экспериментальной проверки правильности получен-
полученных закономерностей преобразуем формулу продольной скорости [вто-
[второе равенство системы (96) ] к виду
где под R будем подразумевать значение г, при котором и = —ит&т. Из
равенства
1 1
2 (<¦ з
получим
3 1 _ 1^2 — 1 ^0,414
64ла2 х2 ~ R* ~ R*
и, следовательно,
На рис. 237 показан график этой функции и там же нанесены опыт-
опытные точки *); совпадение можно признать вполне удовлетворительным.
В случае незакрученной турбулентной струи, вытекающей из отвер-
отверстия конечного диаметра с конечным начальным расходом, а также тур-
турбулентной закрученной струи сделаем допущение о том, что формулы
1) К u e t h e A. Investigations of the turbulent mixing regions, formed by jets.-
Journ. of Appl. Mech.. 1935, v. 11, N2 3.
21*
644
ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
динамического и кинематического коэффициентов турбулентного трения
(94) остаются справедливыми1).
Обобщая на турбулентную струю ранее выведенные формулы для
ламинарной струи и производя замену v на оУ/0/р, будем иметь вместо
равенства A99) гл. XII
у
/
I
t
j
i
SX>U'
0,6*
0,7-
/7/9
u,u
0,5-
0,4-
л я -
U,0
0,2-
П1 -
\
\
\
\
—^
-2
-1
r/R
8a V —
или, полагая импульс в
начальном сечении струи
равным
следующее выражение
для константы 0:
ft_ d
P"l^a •
Рис. 237
Формула максималь-
максимальной скорости на оси
струи, согласно предпоследнему соотношению системы A98) предыду-
предыдущей главы и принятым выражениям (95) для а и ат], имеет вид
Wmax '
8no
p x
Замечая, что коэффициент, стоящий впереди скобки, представляет
максимальную скорость и^, в первом приближении (d=0) определен-
определенную формулой (98), перепишем предыдущее равенство в виде
Эту формулу можно рассматри-
рассматривать как выражение поправки на
конечность диаметра выходного се-
сечения в распределении максималь-
максимальной скорости на оси струи. Исполь-
Использовав опытные материалы В. С. Ду-
бова2), мы нанесли их (рис. 238)
на прямую (99). Совпадение полу-
получилось вполне удовлетворительным,
если положить а=0,21. Существен-
Существенность поправки очевидна: при d/x=
= 0,18 она достигает 30%.
Заменяя в формулах A98) предыдущей главы а, ат), \i и v их тур-
турбулентными аналогами, получим решение задачи о закрученной турбу-
турбулентной струе. Не выписывая преобразованных формул, что не предста-
представило бы затруднений, приведем результаты сравнения теоретического
о;о
Рис. 238
d/x
Ц20
1) Лойцянский Л. Г. Распространение закрученной струи в безграничном
пространстве, затопленном той же жидкостью.— Прикл. мат. и мех., 1953, т. 17, вып. 1,
с. 14.
2) Дубов В. С. Распространение свободной закрученной струи в затопленном
пространстве.—Труды ЛПИ, 1955, N2 176, с. 137—145.
§ 124 «СВОБОДНАЯ» ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУИ
645
расчета с опытными данными, помещенными в выше цитированной
статье В. С. Дубова. Опыты подтвердили правильность допущения о по-
постоянстве коэффициента турбулентного обмена в незакрученной струе
с конечным диаметром выхода, а также в закрученной струе.
Чтобы дать об этом представление, на рис. 239, а и б приведены рас-
распределения продольных I/, а также окружных w скоростей на разных
расстояниях х от выходного отверстия струи. Интенсивность закрутки
характеризовалась безразмерным параметром
Jod
и в случаях, изображенных на рис. 239, соответствовала значению х =
=0,52. Отсутствие провалов в графиках продольной скорости вблизи оси
при небольших расстояниях от
выходного отверстия показывает,
что этому значению параметра
слабая
Наряду
отвечает сравнительно
закрученность струи.
г, мм
Рис 239
с экспериментальными точками проведены и теоретические кривые, рас-
рассчитанные В. С. Дубовым. Как это следует из графиков, с удалением от
выходного отверстия совпадение теории с опытом улучшается.
Чтобы показать влияние увеличения закрутки, на рис. 240 приведе-
приведены графики продольной скорости при сравнительно сильной закрутке
(х=1,25). При небольших значениях х отчетливо видны провалы в гра-
графиках продольной скорости, убывающие с удалением от выходного от-
отверстия струи.
В непосредственной близости к соплу, из которого происходит исте-
истечение, можно наблюдать даже попятные движения. Нижняя кривая
646
Г Л XIII ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
подтверждает тот факт, что в достаточном удалении от сопла закручен-
закрученная струя ведет себя как незакрученная.
Задача о распределении скоростей в турбулентном следе вдалеке за
телом в случае плоского движения полностью аналогична задаче о ла-
им/с минарном следе, решенной в §109.
' В этом легко убедиться, если опять
ввести малую разность скоростей
вне следа и внутри его
и принять, что путь смешения /про-
/пропорционален ширине следа 26, а
модуль производной \du/dy\ в вы-
выражении кинематического коэффи-
коэффициента турбулентной вязкости ъх
заменить приближенно на отноше-
отношение ulmtjb, где uimax — максималь-
максимальное значение и^ в сечении следа,
имеющее место на его оси. При
80 этом получим
г, мм
du
dy
со Ь2-
• = bu
imax*
С другой стороны, положив ul = uimn^(ylb)9 как и в ламинарном
следе, будем иметь
Ъ 1
pt/co J M(/ = Pt/ootolmax J<P (f) d (f) =W>
следовательно,
bulmax = const
W
A00)
Отсюда заключим, что (k — эмпирическая константа, зависящая от тур-
турбулентной структуры следа)
ет = — = const. A01)
Р^оо
Уравнение Рейнольдса, если откинуть квадраты и высшие степени
малых величин, сведется к уравнению
(Л»—L = eT—-, AU2)
дх ду2
совершенно аналогичному уравнению D3) гл. XII для ламинарного сле-
следа. Решая его при тех же граничных условиях, получим
и 1 = Uoo-u=
1
pulpy*
Вводя величину У как ординату у, при которой ui= у wlmax, найдем
(ЮЗ)
На рис. 241 это равенство представлено в виде кривой в координа-
координатах (uJuimBX, у1У)\ там же нанесены результаты экспериментальных за-
замеров в значительном удалении от тела. Как видно, совпадение вполне
§ 124 «СВОБОДНАЯ» ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ЗАТОПЛЕННЫЕ С ГРУИ
647
удовлетворительно повсюду, кроме непосредственной близости к границе
следа, где экспериментальные точки ложатся несколько ниже, что объяс-
объясняется, вероятно, явлениями «перемежаемости» на границе следа.
Аналогичными методами рассчитываются струи в спутных потоках и
пространственные следы за телом и системами тел. Изложение этих во-
вопросов можно найти в спе-
специальной литературе *).
Вопрос о распределении
температуры или концентра-
ции примеси в потоках в ус-
условиях свободной турбу-
турбулентности упирается в необ-
необходимость правильного вы-
выбора соответствующих ко-
коэффициентов переноса теп-
тепла гд и концентрации приме-
примеси ет. В настоящее время
приходится довольствовать-
довольствоваться рассмотрением экспери-
экспериментальных материалов, ко-
которые до сих пор нельзя еще
назвать исчерпывающими. -2 -/ 0 ifl Zfl
Если бы турбулентные У/У
числа Прандтля и Шмидта
F7) были равны единице,
т. е. eT = eg = em, то профили
скоростей, относительных избыточных температур и концентраций в тур-
турбулентных струях и следах оказались бы подобными между собой. Опы-
Опыты подтверждают наличие подобия профилей избыточных температур и
концентраций, но отчетливо показывают отсутствие подобия между про-
профилями скоростей и избыточных температур, а следовательно, и концен-
концентраций.
Приводим для примера заимствованный из неоднократно уже цити-
цитированной монографии Г. Н. Абрамовича график (рис. 242) результатов
опытов автора монографии и В. Я. Бородачева на плоской нагретой
и содержащей примесь углекислого газа затопленной воздушной струе.
Кривые скорости (штриховая) и избыточной температуры (штрих-пунк-
Рис. 241
1) Сошлемся на уже цитированные на с. 635 монографии Г. Н. Абрамовича,
а также монографии: Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости/Под
ред. С. Голдстейна, т. II.— М.: ИЛ, 1948; Лойцянский Л. Г. Аэродинамика
пограничного слоя.— Л.; М- Гостехиздат, 1941; Шлихтинг Г. Теория погранично-
пограничного слоя/Пер, с нем.— М.- Наука, 1974; Вулис Л. А., Кашка ров В. П. Теория
струй вязкой жидкости.—М.: Наука, 1965; Гиневский А. С. Теория турбулентных
струй и следов.—М.: Машиностроение, 1969; Коробко В. Н. Теория неавтомодель-
неавтомодельных струй вязкой жидкости. Ч. II.— Изд. Саратовского ун-та, 1977.
Укажем еще некоторые из многочисленных отдельных журнальных статей:
Гродзовский Г. Л. Решение осесимметричных задач свободной турбулентности по
теории турбулентной диффузии.— Прикл. мат. и мех., 1950, т. 14, вып. 4; Бушма-
рин О. Н. Турбулентная осесимметричная струя несжимаемой жидкости, вытекающая
в спутный однородный поток той же жидкости.— Труды ЛПИ, Энергомашиностроение,
Техническая гидромеханика, 1953, № 5, с. 15—23, и того же автора: Закрученная струя
в спутном потоке жидкости той же плотности.— Труды ЛПИ, 1955, № 176; Лойцян-
Лойцянский Л. Г. К теории плоских ламинарных и турбулентных струй.— Труды ЛПИ, 1955,
№ 176; Гиневский А. С. Турбулентный след и струя в спутном потоке при наличии
продольного градиента давления.— Изв. АН СССР, Механика, Машиностроение, 1959,
№ 2, а также: Приближенные уравнения движения в задачах теории турбулентных
струй, там же, 1963, № 5, и большое число работ Л. A. By лис а и его сотрудников
как в только что указанной монографии, так и в сб.: Исследование физических основ
рабочего процесса топок и печей.— Алма-Ата, 1956.
648 ГЛ XIII ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
с
Cm
AT
тирная) приведены без указания экспериментальных точек; распределе-
распределение безразмерной концентрации представлено экспериментальными точ-
точками, соответствующими различным безразмерным, отнесенным к шири-
ширине устья струи расстояниям
от выхода струи. Индекс т
отмечает значения величин
на оси, AT — разность темпе-
температур в данной точке струи
и во внешнем пространстве.
График наглядно пока-
показывает, что профили избы-
избыточной температуры и кон-
концентраций в плоской струе
подобны (безразмерные про-
профили совпадают), а профиль
скоростей не подобен им.
Числа Prt и Sct в рассма-
рассматриваемом случае оказыва-
0J5
0,5
0,25
О
\
\ V
\
\
\
о х-Ю Л
° -=^ \ концентрация
n $=йП J
\
V"
4
\ ^
\
\
\
4
скорост
темперо
^^
ь
*тура
0,5
W
1ft1,5
/
Рис. 242
ются близкими к 0,5.
He останавливаясь на
u подробностях, отметим, что
Дж. Тейлор *) предложил другую полуэмпирическую теорию турбулент-
турбулентного движения, получившую наименование «теории переноса завихрен-
завихренности». Согласно этой теории в случае прямолинейного осредненного
движения с распределением скорости и = и(у) будет (т= —pwV — не за-
зависящее от вязкости чисто турбулентное напряжение трения)
дт
—
ду
дсо
—-
ду
д2и
-—-
ду*
д2и
-—-
ду2
A04)
где положено со^ди/ду, а /Та — тейлоровский путь смешения, отличный
от прандтлевского. Как заметил Тейлор, и это подтверждено эксперимен-
экспериментом, коэффициент турбулентного переноса осредненной завихренности
Аш в условиях свободной турбулентности совпадает по величине с коэф-
коэффициентами переноса тепла Aq и вещества Ат, но не равен коэффициенту
переноса импульса Ах.
Подробности вопроса о тепломассообмене в потоках со свободной
турбулентностью можно найти в ранее цитированных специальных мо-
монографиях.
§ 125. Двухслойная схема «пристенной» турбулентности.
Логарифмический профиль скоростей
Закономерности пути смешения и коэффициента турбулентного пе-
переноса при движении жидкости около твердой стенки принципиально от-
отличаются от закономерностей только что рассмотренных свободных тур-
турбулентных движений вдалеке от твердых поверхностей. Наличие суще-
существенного влияния молекулярной вязкости на процессы турбулентного
переноса значительно усложняет изучение пристенной турбулентности.
Чтобы подчеркнуть главную особенность турбулентного движения
около твердой стенки, рассмотрим следующий идеализированный слу-
случай2), просто и наглядно поясняющий суть дела. Предположим, что за-
Taylor G. I. The transport of vorticity and heat through fluids in turbulent
и~м -ohtS 1938.Ser* A> 1932' v* 5- PycCK'перевод в кн-: пР°блемы m*X
2) Prandtl L. Neuere Ergebnisse der Turbulenzforschung.—VDI 1933 Nb 5
Русский перевод в ранее цитированном сб. «Проблемы турбулентности», с. 9. ' " '
0
у
Ламинарн
и(у) /
/
У 0
у ъ
1булент
X
§ 125 ДВУХСЛОЙНАЯ СХЕМА «ПРИСТЕННОЙ» ТУРБУЛЕНТНОСТИ 649
полняющая верхнюю полуплоскость жидкость совершает плоское ста-
стационарное осредненное движение (рис. 243), параллельное безграничной
твердой стенке, совпадающей с осью Ох, причем объемные силы отсут-
отсутствуют. При такой стратификации по осредненным скоростям любые два
поперечные линиям тока сечения
идентичны в кинематическом и ди-
динамическом смысле, т. е. все произ-
производные по х равны нулю, а элемен-
элементы движения могут зависеть только
от ординаты у. Такое движение
является «установившимся». у/ууууу</ууУУУУУУУУ///уууууу/'уууууууууууу.
Сравним между собой ламинар-
ламинарное и осредненное турбулентное дви- Рис- 243
жения такого типа. Замечая, что
и=и(у), и = 0, р=р(у), приведем уравнения ламинарного движения к
виду
|Ll = 0, — = 0,
dy2 dy
откуда следует
и = С,у + С2, р = const.
В рассматриваемом движении единственным граничным условием
является
и = 0 при у = 0,
что дает С2 = 0. Для определения С\ примем в качестве заданной посто-
постоянной напряжение трения на стенке
Тогда распределение скоростей и(у) в ламинарном потоке будет
и^^у. A05>
и профиль скоростей окажется линейным (рис. 243, слева), а напряже-
напряжение трения между любыми слоями в осредненном движении постоянным
и равным напряжению трения на стенке
и — = const =тю.
dy
Перейдем теперь к турбулентному движению, описываемому в на-
настоящем случае уравнением Рейнольдса (т—чисто турбулентное трение)
d?u . di q
Интегрируя его, получим
или, замечая, что напряжение турбулентного трения т= —pu'v' на стен-
стенке равно нулю, так как на стенке не могут существовать нормальные к
ней пульсации v\ получим C3 = xw и, следовательно,
ц|1 + т = тш. A06)
В непосредственной близости к стенке турбулентное трение т значи-
значительно меньше слагаемого \idu/dy, соответствующего молекулярному тре-
650 Г Л XIII ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
нию; в этой области уравнение A06) совпадает с уравнением ламинар-
ламинарного движения, и интегрирование его приведет к линейному профилю
скоростей A05).
Наоборот, в области, удаленной от стенки, слагаемое \idu/dy мало
по сравнению с турбулентным трением т и может быть опущено. Уравне-
Уравнение A06), если напряжение турбулентного трения задать формулой
Прандтля, будет
(^У тш. A07)
Замечая, что расстояние у данной точки от твердой стенки представ-
представляет собой единственную характерную для этой точки в безграничном по-
потоке длину, Прандтль полагает в этом простейшем случае путь смеше-
смешения / пропорциональным у:
1 = ху, A08)
где коэффициент пропорциональности х представляет собой некоторую
числовую константу, определяемую из опыта *).
Уравнение A07) при наличии соотношения A08) просто интегриру-
интегрируется, а интеграл его выражается в логарифмической форме:
у + С. A09)
Сравнение этого распределения скоростей с ранее полученным «ла-
«ламинарным» распределением A05) показывает глубокое различие между
ними. С математической стороны это различие выражается в том, что
линейный профиль скоростей при ламинарном движении становится ло-
логарифмическим при турбулентном движении. Существенно, что эта осо-
особенность турбулентного движения сохраняется вблизи стенки и в случа-
случаях движений более сложных, чем рассмотренная выше упрощенная
схема.
Для определения постоянной интегрирования С нельзя использовать
граничное условие на стенке, так как в пристеночной области уравнение
A07) несправедливо. Приходится выделить вблизи твердой границы
тонкий «вязкий подслой» с линейным профилем скоростей, а затем про-
провести сращивание логарифмического решения с линейным A05).
Примем следующую упрощенную схему. Представим себе поток раз-
разбитым на две резко отличные по структуре области: тонкую пристеноч-
пристеночную область чисто вязкого движения — вязкий (ламинарный) подслой —
и область не зависящего от вязкости полностью турбулентного движе-
движения— турбулентное ядро потока. Принятое разделение, конечно, очень
схематично. На самом деле при удалении от стенки влияние вязкости
убывает непрерывно, а не сосредоточивается в некоторой резко очерчен-
очерченной области. В порядке уточнения такой схемы можно было бы ввести
еще промежуточную между вязким подслоем и турбулентным ядром по-
потока переходную область, где наряду с турбулентным трением фигури-
фигурировало бы и молекулярное трение. Введение такой переходной области
оказывается особенно полезным при изучении тепломассопередачи и бу-
будет в дальнейшем, так же как и теория непрерывного убывания влияния
1) Нельзя не отметить, что в текущей литературе, особенно по техническим при-
приложениям теории турбулентности, эту простейшую, введенную Прандтлем в только что
процитированной популярной статье формулу A08) принимают за общий закон, спра-
справедливый для всех турбулентных пограничных слоев, и приписывают ей даже наимено-
наименование «закона Прандтля». Между тем эта формула имеет место лишь в пристеночной
области. Важность этой формулы и непосредственно выводимого из нее логарифмиче-
логарифмического закона скоростей, как выражающих особенность турбулентного движения вблизи
стенки, неоспорима и должна быть подчеркнута.
§ 125. ДВУХСЛОЙНАЯ СХЕМА «ПРИСТЕННОЙ» ТУРБУЛЕНТНОСТИ 651
вязкости, изложено. Удовольствуемся пока схемой двух областей: вязко-
вязкого подслоя и турбулентного ядра.
Обозначим через бв толщину вязкого подслоя и через ив скорость на
границе между вязким подслоем и турбулентным ядром потока, общую
для обеих областей. Движение в вязком подслое характеризуется вели-
величиной напряжения трения на стенке тю и физическими константами жид-
жидкости [г и р. Рассматривая эти величины с точки зрения теории размер-
размерности, составим из них две возможные комбинации:
¦т- (П0)
Первая из этих величин ь\ имеет размерность скорости, хотя по сво-
своей природе состоит из динамических величин: напряжения и плотности;
назовем ее поэтому динамической скоростью. Вторая имеет размерность
длины и по той же причине может быть названа динамической длиной*).
Для облегчения запоминания этих важных для дальнейшего выражений
можно заметить, что если принять динамическую длину и динамическую
скорость за масштабы длин и скоростей, то составленное при их помощи
число Рейнольдса vjjv будет равно единице.
Легко убедиться, что определенные равенствами (ПО) выражения
динамических скорости и длины могут отличаться только безразмерны-
безразмерными множителями от любых других, имеющих размерности скорости или
длины одночленных комбинаций величин т, р, |ы. Действительно, предпо-
предположим, что длина б может быть представлена в виде степенного одночле-
одночлена, зависящего от физических констант jli, p и напряжения трения на
стенке тю,
б = a\iapbrcw,
где а — некоторая безразмерная константа.
Составляя уравнение связки размерностей [L] = f — —— и
сравнивая показатели степени при М, L, Т слева и справа, получим си-
систему уравнений
а+Ь + с=0, — а—36—с=1, — а—2с=0,
имеющую единственное решение
а=\у Ь = — -у с = — -!
2 2
Отсюда следует
L -L
2 То,2 =а
Аналогично убедимся в том, что всякая одночленная комбинация р,
(i и tw, имеющая размерность скорости, может отличаться от v* только
безразмерным множителем.
Из доказанного следует, что толщина вязкого подслоя бв и скорость
на границе подслоя ив должны быть пропорциональны соответственно ди-
динамической длине /¦ и динамической скорости v*.
') В заграничной литературе для этих величин применяются термины: Schubspan-
nunggeschwindigkeit, friction-velocity, friction-lenght, затруднительные для буквального
русского перевода. Мы обошли эту трудность, введя для этих «приведенных» скорости
и длины эпитет «динамические», так как они выражаются через динамические вели-
величины Tto И V.
652 ГЛ XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Докажем, что коэффициенты пропорциональности у них одинаковы.
Положим
A11)
где а — безразмерная константа. Тогда по A05) будем иметь
т. е. действительно
иъ = ау^ = аот. A12)
Пользуясь полученными формулами, определим постоянную С в ра-
равенстве A09), которое теперь можно переписать в виде
и = ^-\пу + С. A13)
х
На границе вязкого подслоя имеем
х *
так что по A11) и A12) будет
С = о|>.——if.ln (a—) = vja— -1псЛ —-u.ln— .
х V «>•/ *\ х / х vm
Подставляя это значение константы в формулу A13), найдем
— -In а, A14)
X
где
или, переходя от натуральных логарифмов к десятичным (lg),
И. Никурадзе1) проводил опыты над турбулентным движением воды в
длинных цилиндрических трубах круглого сечения с гладкими стенками
в широком диапазоне чисел Рейнольдса Re=ucpd/v (ucv — средняя по рас-
расходу скорость, d — диаметр трубы, v — кинематический коэффициент
вязкости) от критического их значения до Re«3,24- 10е.
На рис. 244 приведены результаты его точных, систематически по-
поставленных опытов по измерению скоростей в сечении трубы. Как это
следует из графика, экспериментальные точки вполне удовлетворитель-
удовлетворительно располагаются по прямой, соответствующей логарифмическому про-
профилю скоростей
^ В = 5,75^т1 + 5,5 = 5,75^-^ + 5,5. A16)
v
Принципиальное значение имеет тот факт, что логарифмическая
формула A16) сохраняет свою форму для всех рейнольдсовых чисел те-
течения, или, как принято говорить, универсальна. В дальнейшем будут
l) Nikuradse J. Gesetzmassigkeiten der turbulenten Stromung in glatten
R5hren.—VDI, Forschungsheft, 1932, Bd. 356. Русский перевод см. в неоднократно
цитированном сб. «Проблемы турбулентности», с. 75—150.
§ 125. ДВУХСЛОЙНАЯ СХЕМА «ПРИСТЕННОЙ» ТУРБУЛЕНТНОСТИ
653
введены степенные формулы для скорости, не обладающие свойством
универсальности. Структура логарифмических формул такова, что влия-
влияние рейнольдсова числа, т. е. вязкости, полностью входит в масштабы
длин /¦ и скоростей у*; это и делает формулу A16) универсальной. С фи*
зической стороны указанное свойство логарифмических формул объясня-
объясняется наличием вязкого подслоя, в котором сосредоточено все влияние
вязкости, и отмеченной ранее пропорциональностью масштабов /• и &•
1,0 1,4 1,8 2.2 2,6 3,0 3,4 3,8 4,2 4,?
Рис. 244
толщине подслоя бв и скорости на его внешней границе ыв. Приведенные
соображения могут служить оправданием именования масштабов /• =
=v/0. и v, = ^Twlp универсальными, а величин y = u/v. и r\=y/L=yv.[v
соответственно универсальными скоростью и координатой.
Согласно A05) в ламинарном подслое в универсальных перемен-
переменных будет существовать равенство
Ф = г], A17)
а на границе подслоя по A11)
Сравнивая формулу A16) с логарифмическим распределением ско-
скоростей A15), убеждаемся в том, что для количественного совпадения
необходимо положить
х~0,4; а«П,5.
Экспериментальные данные отклоняются от прямой A16) лишь в
области сравнительно хмалых значений r\=yvjv, соответствующих точ-
точкам, близким к стенке трубы, где уже становится заметным влияние вяз-
вязкости (переходная область); крайней левой точке горизонтальной шка-
шкалы lgrj^l соответствует примерно граница вязкого подслоя. Пользуясь
координатами ф, т), перепишем линейный профиль скоростей A17) в вяз-
вязком подслое в форме
101е^
654 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
При логарифмическом масштабе абсцисс, принятом на рис. 244, этому
профилю будет соответствовать не показанная на рисунке цепная линия,
переход на которую с прямой A16) и намечается при малых значениях
igT]. Расположение этой цепной линии будет показано далее. Заметим
еще намечающееся отклонение экспериментальных точек вверх от пря-
прямой A16) в правой ее части, зависящее от влияния отличия движения в
круглой трубе от рассмотренного упрощенного случая плоского движе-
движения вблизи безграничной плоскости.
Может вообще возникнуть вопрос о правомерности сравнения теоре-
теоретических результатов, относящихся к идеализированному движению в
безграничной области (рис. 243), с результатами экспериментов в круг-
круглой трубе, проведенных Никурадзе. Ответом служит соображение,
что рассмотренное плоское движение можно представить как предель-
предельный случай движения в трубе, если при фиксированном расстоянии у
точки потока в трубе от ее стенки устремить к бесконечности расстоя-
расстояние между плоскостями в плоской трубе или радиус в круглой цилиндри-
ческой трубе. Правильность такой трактовки будет подтверждена ниже.
Имея в виду некоторое различие между теоретическим логарифми-
логарифмическим профилем скоростей A14) и кривой Никурадзе (рис. 244)
вблизи оси трубы, все же применим равенство A14) к оси трубы, где-
у = а, и = итаху и из полученного результата почленно вычтем A14). Тог-
Тогда придем к следующей формуле «дефекта скорости», как называют раз-
разность итах—иу
содержащей только одну эмпирическую константу х; подставляя х = 0,4,
получим
""""-" ^5,75 lg-2-. A19)
v у
Как далее будет показано (рис. 246), эта простая формула дает хо-
хорошее совпадение с опытом.
Константы х~0,4 и а~ 11,5 представляют собой' две основные эмпи-
эмпирические постоянные, характеризующие турбулентное движение. Иног-
Иногда бывает удобно вводить еще третью постоянную f, выражающуюся че-
через первые две и определяющую уклон логарифмической кривой скорос-
скоростей на границе вязкого подслоя, но со стороны турбулентного ядра.
Взяв производную от обеих частей A14), получим
A20)
Таким образом, проведенный упрощенный теоретический анализ по-
позволяет уловить основные закономерности распределения скоростей при
турбулентном движении в круглой трубе. Необходимость использования
двух эмпирических констант сохраняется и в дальнейшем изложении,
хотя природа самих констант изменяется.
Отмеченная связь между движениями около безграничной плоскос-
плоскости и вблизи стенки круглой трубы, приводящая к совпадению простых
теоретических формул скорости A15) и «дефекта скорости» A18) с
опытными данными, говорит об идентичности локальных свойств турбу-
турбулентного движения в этих областях. Можно заметить, что «дефект ско-
скорости», вычисленный для плоской трубы с конечным расстоянием 2/t
между плоскостями, дает худшее совпадение с опытом. Используем дей-
действительные распределения полного напряжения трения т по сечению
§ 125. ДВУХСЛОЙНАЯ СХЕМА «ПРИСТЕННОЙ» ТУРБУЛЕНТНОСТИ 655
плоской трубы высоты 2ft
=т«,-, A21)
где у — расстояние точки до стенки, a z— от оси, легко выводимые при
установившемся движении из условия равновесия элементарного объе-
объема жидкости между двумя сечениями трубы, и формулу Кармана
для напряжения турбулентного трения G3), справедливую вне вязкого
подслоя (#>6В) (штрих означает производную по у)
рх2 -^г = т,
Уравнение это может быть переписано в форме (знак минус в пра-
правой части выбран в связи с тем, что и"<0)
и" у. 1
легко интегрируется и дает первый интеграл
и' vm
Следуя Карману1), примем
и'=оо при у=09
что приближенно соответствует в действительности очень большой вели-
величине наклона кривой скорости вблизи стенки. Отсюда следует
с=—
2xh 1 — у \—y/h
Интегрирование последнего уравнения приводит к содержащему
лишь одну константу к распределению «дефекта» скорости
A22)
На рис. 245 приводятся для сравнения теоретические кривые A22)
{сплошная линия) и A18) {штриховая линия) при значении х = 0,4; там
же в виде вертикальных отрезков нанесены границы экспериментальных
данных Никурадзе в диапазоне Re от 4-Ю4 до 3,24-10е. Как видно
из графика, простая формула A18) при х = 0,4 удовлетворительно пред-
представляет действительное распределение скоростей; формула A22) при
том же значении х дает несколько заниженные значения «дефекта ско-
скорости».
Пользуясь соотношением A22), можно следующим образом интер-
интерпретировать формулу A18). Фиксируем в плоской или круглой трубе
значение ординаты у и устремим ширину h или диаметр d трубы к бес-
бесконечности. При малых y/h в этом случае получим вместо A22)
"max-" I 1n h
х — In — ,
v. к у
т. е. при ft = a (a — радиус трубы) формулу A18).
Итак, действительно, рассмотренное Прандтлем течение пред-
представляет предельный случай плоской или круглой трубы, если полуши-
полуширину h или радиус трубы а устремить к бесконечности, а расстояние
точки от стенки трубы фиксировать. Профиль дефекта скорости A18) в
!) Кагтап Th. Mechanische Ahnlichkeit und Turbulenz, Nachrichten der Gesell-
schaft der Wissenschaften zu Gottingen.— Math. Phys., Kl., 1930. Русский перевод см.
в кн.: Проблемы турбулентности.—М.: ОНТИ, 1936, с. 274—276.
656
ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
центральной части трубы близок к установленному экспериментально
Д а р с и *) профилю, показанному на рис. 246 штрихами,
. A23)
принятому в курсах гидравлики. Покажем, что этот профиль может быть
получен на основе полуэмпирической теории Прандтля2). С этой целью
0,2 О,ч 0,6 0,8
ю
umat - и
Ы)
[
{
ш
I
1
W
Рис. 245
0 0,4 0,8 у/а
Рис. 246
предварительно заметим, что путь смешения, определенный по экспери-
экспериментальным данным Никурадзе из формулы Пр андтля
rX//^, A24)
al\dyj
может быть представлен графиком (рис. 247), из которого непосредст-
непосредственно следует, что вблизи оси отноше-
отношение l/а почти постоянно. Полагая /=
= fia, a т по A21) равным т=т« r/af
получим по формуле Прандтля F0)
щ
1/а
ОД
0,08
0,04
/
/
//
т
Л
/
/
__
Л
-У
Ш
у/а
/?,4 0,6
Рис. 247
0,8 U0
откуда следует (знак минус по условию
d(u/v.) __l -./-г
V
d(r/a)
-./-г
V а'
После интегрирования и учета граничного условия
И="тах При Г=0,
получим
«тЯу — И
v, 3P \ о / Зр \ а /
что при E = 0,13 даст закон Дар си A23). Как видно из рис. 247, дан-
данное значение р мало отличается от экспериментального р = 0,14 в точке
l) Da г су Н. Recherches experimentales relatives аи mouvement de Геаих dans les
tuyaux.—- Memoires de diverses savantes etrangers, 1858, t. XV.
ilf0fioncHon7KHfi Л* Г* АэР0АИнамика пограничного'слоя.—М.; Л.: Гостехиз-
дат, 1У41, с. ^Уо, J97.
§ 125. ДВУХСЛОЙНАЯ СХЕМА «ПРИСТЕННОЙ» ТУРБУЛЕНТНОСТИ
657
2,0 2,2 2,4 2,6 2jS 3,0 3,2 3,4 3,6 3,3 4,0 4,2 4,4 4,6
Рис. 248
т=0, где определение I по формуле A24), в которой при г=0 числитель
и знаменатель обращаются в нуль, не точно.
Определим среднюю скорость в трубе мср как
а
Ыср = I и • 2я (а — у) dy.
яа2 J
о
Совершая указанное осреднение над обеими частями формулы
A18), получим при х = 0,4
итгх цср
A25)
Принятое в правой ча-
части численное значение
этого отношения 4,08 не-
несколько превышает вели-
чину 3,75, определенную
интегралом, но ближе к
опыту.
Эта формула связи
между максимальной (на
оси трубы) и средней ско-
скоростью по сечению трубы
хорошо подтверждается
на опыте, как это видно
из рис. 248. В отличие от
ламинарного движения в
круглой трубе, при кото-
котором Ишах/ыср=2, в турбу-
турбулентном движении это от-
отношение уменьшается с
ростом рейнольдсова чис-
числа от 1,3 при малых его
значениях (Re«5000) до
1,15 при сравнительно
больших • (Re«3-10e).
Это говорит о резком от-
t>0
_0,3
OJS
0,7
0,6
0,5
0,3
о,г
О,!
1
S
Г
/
/
V
/
/
0
/
0
/
Щ
>' 1
Рр
о 4-/О3
• 23,3-Ю3 _
о 105-Ю3
© 1110-Ю3
¦е 2350-103
о 3240 -1О3
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Рис. 249
4$ 1,0
У/в
658 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
личии формы профиля скоростей в турбулентном движении от парабо-
параболы скоростей в ламинарном движении.
На рис. 249 профили скоростей нанесены в координатах и/и^^ у/а
и это отличие отчетливо видно. Можно заметить, что турбулентные про-
профили располагаются значительно выше или, как принято говорить, бо-
более заполнены, чем ламинарные, причем степень их заполненности воз-
возрастает с рейнольдсовым числом. Экспериментальные точки соответст-
соответствуют цитированным выше опытам Никурадзе.
§ 126. Логарифмические и степенные формулы сопротивления
гладких и шероховатых труб
Выведенные формулы распределения скоростей содержат неизвест-
неизвестную заранее величину ?>¦, связанную с напряжением трения на стенке
трубы. Чтобы сделать задачу определенной, необходимо найти дополни-
дополнительную связь между величинами у* и umax или иср. Такая связь задает-
задается формулой сопротивления трубы турбулентному движению жидкости.
Располагая формулами распределения скоростей и выражением
для толщины вязкого подслоя и скорости на внешней его границе, лег-
легко выведем и искомые формулы сопротивления. Задача сводится к опре-
определению зависимости коэффициента сопротивления Я, входящего в из-
известную по гл. X формулу (Др— перепад давления на участке трубы
длины L, d — диаметр трубы, ucv — средняя скорость)
Ap = l±-f-, A26)
от рейнольдсова числа Re = wcpd/v.
При равномерном установившемся течении жидкости в трубе дви-
движущий перепад Др уравновешивается сопротивлением трения xwnd-L,
4
так что из равенства Д/? = xwnd-L следует
4
Ар=4±тш.
а
Подставляя полученное выражение Ар в формулу A26), получим
Тм/ == А.
Р"ср
8
или, вспоминая еще определение величины динамической скорости у,=
7
отсюда следует
A27)
Для вывода искомой формулы сопротивления, т. е. связи между ко-
коэффициентом сопротивления X и рейнольдсовым числом Re = wcpd/v, вос-
воспользуемся одним из следующих двух приемов: применим формулу ско-
скоростей A16), выведенную из условия сращивания турбулентного ядра
потока с вязким подслоем, к оси трубы (u=umax, y=a) или формулу
скоростей A19), при выводе которой использовано граничное условие
на оси трубы, к границе вязкого подслоя. И в том и в другом случаях
§ 126. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ
659
получим одну и ту же формулу
J^L = 5>75 ig-?b. + 5,5,
vm v
которую можно тождественно переписать так (d=2a):
+ 5,5,
2ut
ср
или, используя A25) и A27),
Многочисленные опыты (Стэнтон и Пэннел, Омбек, Нуссельт, Якоб
иЭрк, Шиллер и Герман, Никурадзе) хорошо подтверждают следующую
1,40
:1,24
[ Ш
^ 0,92
0,76
0,50
\
\
N
\
:=» \
ч
\
\
к
Т7Г
N
к
L
|_
>
%
К-0,0032
+ -
п
R
0,221 ¦
^0,237.
3,8 4,2 4,6 5,0 5,4 5.8 6,2 6,6 7,0 7,4 7,8
Рис. 250
формулу с округленными коэффициентами1):
-0,8. A28)
Формула A28) дает искомую связь K(Re) в неявном виде. Никурад-
зе предложил пользоваться следующей явной зависимостью:
0,221
К = 0,0032 +
Re1
,0,237
A29)
близость которой к эксперименту иллюстрируется сплошной кривой на
рис. 250. На том же рисунке штрихами приведена для сравнения прямая,
соответствующая широко используемой в гидравлике формуле Блазиуса
*- °'3164 A30)
Re0'25 '
применимость которой, как показывает рис. 250, ограничена значениями
Re<105. В левом нижнем углу показана штрих-пунктиром прямая, соот-
соответствующая закону сопротивления A, = 64/Re при ламинарном движении.
Путь расчета установившегося турбулентного движения жидкости в
круглой трубе таков. Задается диаметр трубы d, коэффициент кинемати-
кинематической вязкости жидкости v и потребный объемный расход. По расходу
!) Nikuradse J. цитировано раньше; в русском переводе см. сб. «Проблемы
турбулентности», с. 143.
660 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
и диаметру находим мср, а следовательно, и число Рейнольдса Re= ttcpd/v.
После этого по A29) находим коэффициент сопротивления Я, а затем и
перепад давления Др на заданном участке трубы длины L
L Р"ср
Р~ Т 2
По величине Др найдем
Остается воспользоваться формулой скоростей A16), чтобы задача
могла считаться полностью решенной.
Наряду с выведенными полуэмпирическими соотношениями — лога-
логарифмическим профилем скоростей и логарифмическим законом сопро-
сопротивления— большую роль до сих пор продолжают играть чисто эмпи-
эмпирические степенные соотношения. К числу последних относится только
что упомянутая формула Блазиуса A30), которая представляет частный
случай общего степенного закона сопротивления
A31)
Как показывают опыты, с возрастанием рейнольдсова числа показа-
показатель степени m и коэффициент с изменяются, причем m убывает. Поль-
Пользуясь экспериментальной формулой Блазиуса, Карман1) из соображе-
соображений размерности показал, что степенному закону сопротивления A30)
соответствует степенной профиль скоростей
получивший наименование закона одной седьмой.
Точно так же общей формуле A31) соответствует степенной закон
скоростей
/т=(у!а)п. A32)
Чтобы найти связь между показателями степени m и п, применим тот же
способ, что и при выводе логарифмического закона сопротивления из ло-
логарифмического профиля скоростей. Используя A32), найдем
«„„, яф) V ю\а) У JV а)\а
О О
Применим теперь формулу A32) к границе вязкого подслоя, поло-
положив
у = бв = а —, и = ив = av^
Будем иметь
"max \ av. I «cp «max \ "cpd / V ». /
откуда, согласно A27), после простых преобразований следует
6П4-1 2(/1-1> 2
A33)
Ren
l) Karma n Th. Uber laminare und turbulente Reibung.—Zeitschr. f. angew
Math. u. Mech., 1921, Bd. 1.
§ 126 ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ
661
Сравнивая это выражение со степенной формулой сопротивления
A31), получим
т = 7ТТ' A34)
\ A35)
Отсюда сразу следует, что закону сопротивления Блазиуса A30),
в котором т принято равным 74, соответствует закон одной седьмой для
профиля скоростей.
Приводим графики Никурадзе (рис. 251), иллюстрирующие умень-
уменьшение числа т с ростом рейнольдсова числа.
Наряду со степенной формулой скорости A32) представляет инте-
интерес степенной профиль в координатах u/v*9 y/L=yv*/v, а именно
A36)
С опытом хорошо согласуются формулы
-JL = 8,74(i^O' при 40<^<700,
при 70<-2-*- < 1100,
а также и другие формулы с убывающим показателем степени и возра-
возрастающим коэффициентом.
Основное преимуще-
преимущество логарифмического
профиля скоростей A16)
заключается в том, что
он справедлив в чрез-
чрезвычайно широких преде-
пределах изменения yv*/v, на-
начиная примерно от зна-
значения, равного 40, и, по
имеющимся опытным
данным, до значения, зо
всяком случае не меньше-
меньшего 100 000, что и говорит
об универсальности этого
отношения.
Можно еще указать
степенную формулу со-
сопротивления в такой,
легко выводимой из A36)
О ОА 0 0,4
0 0,3 0 2
Рис. 251
форме (^ — коэффициент сопротивления, зависящий от п):
О 4см
rw =
л+1
втах
1
2 v
В частности, закон одной седьмой (п = */ъ Л = 8,7) дает
-^- = 0,0225 Re-?.
A37)
A38)
Изложенное относилось лишь к движению в гладкой трубе со строго
цилиндрической поверхностью. На практике приходится иметь дело
662
ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
с более или менее шероховатыми трубами, а также с трубами с неточной
цилиндричностью внутренней поверхности — волнистостью.
Изучением влияния различного типа шероховатостей на сопротив-
сопротивление труб занимается гидравлика, располагающая большим числом
разнообразных практических формул для определения сопротивлений
применяемых в технике труб.
Несколько идеализируя и вместе с тем обобщая понятие шерохова-
шероховатости, представим себе, что внутренняя поверхность трубы покрыта бу-
бугорками, имеющими вид зерен примерно одинакового размера. Обозна-
Обозначим через k высоту бугорка шероховатости (практически среднюю высо-
высоту) и условимся называть величину k, выраженную в миллиметрах.
1,0
0,9
0,8
0,5
ОЛ
0,3
0,2
\
\
X
\
Г
\
\
о 15
• 30,6
о 60
• 126
о 507
*^
• <
Jrfboo-
IXC
W
°
bBStfo
^ 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8
Рис. 252
Iff Re
абсолютной шероховатостью, а отношение высоты бугорка & к радиусу
трубы а — относительной шероховатостью. В дальнейшем предполагает-
предполагается, что относительная шероховатость сравнительно невелика (от 0,2
до 7%).
Рассмотрение типичных для труб с указанной зернистой шерохова-
шероховатостью экспериментальных кривых сопротивления, показанных на
рис. 252 *), приводит к следующим заключениям (на кривых за параметр
принята величина a/k, обратная относительной шероховатости):
1) относительная шероховатость не влияет на критическое число
ReKP перехода ламинарного режима в турбулентный; для различных a/k
кривые сходят с известной уже нам ламинарной прямой ^ = 64/Re при
одном и том же значении ReKp, примерно равном 2-Ю3 (логарифм кри-
критического числа Рейнольдса близок к 3,3);
2) переходный режим также почти не зависит от относительной ше-
шероховатости;
3) чем меньше относительная шероховатость, тем в большем диапа-
диапазоне рейнольдсовых чисел наблюдается обычное турбулентное движе-
движение, соответствующее гладким трубам; так, при относительной шерохо-
шероховатости порядка 0,2% кривая сопротивления почти до Re = 5-104 совпа-
совпадает с кривой Блазиуса X = 0,3164/Re0>25 сопротивления гладких труб;
l) Nikuradse J. Stromungsgesetze in rauhen Rohren.—VDI Forschungshefi
1933, № 361.
§ 126. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ 663
наоборот, при k/a порядка 3—7% кривые сопротивления пересекаются
с кривыми гладких труб и резко от них отличаются;
4) при тем больших числах Рейнольдса, чем меньше относительная
шероховатость, коэффициент сопротивления перестает зависеть от числа
Рейнольдса и определяется только относительной шероховатостью; при
этом значения коэффициента сопротивления растут вместе с относитель-
относительной шероховатостью.
Этим основным результатам можно дать наглядное истолкование,
если сопоставить высоту бугорка шероховатости k с толщиной вязкого
подслоя бв.
Схематизируя явление, рассмотрим следующие три случая:
1. Первый предельный режим: бугорки шероховатости погружены в
вязкий подслой (&-Сбв); наличие этих бугорков не нарушает ламинар-
ности подслоя, бугорки обтекаются без отрывов и вихреобразований.
В этом случае нет никакой разницы между гладкой и шероховатой тру-
трубами. Шероховатая труба является гидродинамически гладкой.
2. Второй предельный режим: бугорки шероховатости выходят за
пределы вязкого подслоя (&»6В). Отрывное обтекание бугорков сводит
тормозящее влияние поверхности трубы к сопротивлению плохо обтекае-
обтекаемых тел (бугорков шероховатости), которое не зависит от рейнольдсова
нисла и пропорционально скоростному напору набегающей жидкости.
Этот режим можно назвать режимом развитой шероховатости.
3. Промежуточный режим, когда k имеет тот же порядок, что и бв.
Этот режим является наиболее общим; предыдущие режимы по отноше-
отношению к нему служат предельными.
Дадим полуэмпирическое обоснование турбулентному течению в ше-
шероховатых, трубах. Имея в виду, что в общем случае сопротивление тш
по своей природе представляет собой отнесенное к единице площади сум-
суммарное сопротивление бугорков шероховатости, можно допустить спра-
справедливость формулы сопротивления (uk — скорость на высоте бугорка,
k—некоторая средняя высота бугорка)
где величина kujv играет роль рейнольдсова числа обтекания бугорков.
Отсюда следует, что
или, если разрешить уравнение относительно
Вид функции Ф неизвестен и будет определен из опытов. Важно лишь
отметить, что из предыдущих рассуждений вытекает независимость вида
этой функции от рейнольдсова числа и шероховатости.
Воспользуемся линией вершин бугорков шероховатости y = ky где
u=uky для составления граничного условия при определении постоянной
интегрирования С в выражении A13) логарифмического профиля ско-
скоростей. Тогда получим формулу распределения скоростей в шерохова-
шероховатой трубе
^(Ь) A39)
Отсюда обычным приемом выведем формулу сопротивления. Приме-
Применяя A39) к оси трубы, проделаем далее те же выкладки, что при выводе
664 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
формулы сопротивления гладкой трубы. Будем иметь
Заменим здесь
— и
3,75 4, ^=-
тогда получим формулу сопротивления
3,75 + ^-5,75 lgf = *(^
A40)
9 -
Сравнивая между собой A39) и A40), убедимся, что для опреде-
определения неизвестной функции Ф (kv.lv) имеются два не зависящих
друг от друга пути: один, согласно A39),—по измеренным профилям
____ скоростей, другой, основан-
;/| г1 ' ' -1 ' г~т ный на применении A40),—
по сопротивлениям трубы.
Используя ранее цитирован-
цитированные экспериментальные ис-
исследования Никурадзе, на-
нанесем на одном графике
(рис. 253) функцию Ф (kv.lv),
определенную указанным
0,2 0,6 1,0 1,4 1,8 2,2 2,6 в,о двояким образом:
/
//
vAss
промежуточный
bf* режим
Рл_о 1 РА ппой пошипи
w
о по A33)
• по (М)
*-
МЮ-bj
¦^ • *
^ЛУ ТУ
г*1
На рис. 253 светлыми и черными кружочками нанесены эксперимен-
экспериментальные данные, полученные соответственно по измеренным скоростям
и сопротивлениям. Возможность такого рода сравнения делает опреде-
определение функции Ф (kvjv) более надежным.
В первом предельном режиме, где профиль скоростей должен иметь
обычный вид логарифмического профиля в гладкой трубе, очевидно
будет rj •'
Ф (А-) - 5,75 lgA. + 5,5,
во втором предельном режиме
(-^М= const = 8,48.
Как видно из графика (рис. 253), первый предельный режим имеет
место до значения
что определяет границу использования формул гладких труб неравен-
неравенством
4- < 0,25.
]) Ранее вместо этой полуэмпирической величины быле принято 4,08 [см. формулу
A25)].
§ 126 ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ 665
Пользуясь определением толщины вязкого подслоя, можем, соглас-
согласно A11), 027) и A29), написать
6В _ v _ у 2"cP _ _а_ 4^2 65
a ai\ 2а • иср и* Re У~Х Re J/0,0032 + 0,22 IRe0'237
что дает следующую оценку для области использования формул гладких
труб:
k_ 16,3
Re у 0,0032 + 0,22IRe'237
Второй предельный режим определится по тому же графику рис. 253
условием
или
k
что приведет к оценке границы области развитой шероховатости
J- 390
я Re V 0,0032 + 0,221 Re'0'237 #
Таким образом, каждому значению рейнольдсова числа Re течения
в трубе соответствуют определенные границы относительной шерохова-
шероховатости k/a, в которых можно пользоваться теми или другими формулами.
Практически важен второй предельный режим, для которого функ-
функция O(kvjv) сохраняет постоянное значение, численно равное 8,48.
В этом случае профиль скоростей будет по A39) определяться формулой
JL = 5,751g4 + 8,48, A41)
у* k
а формула сопротивления A40) представится так:
. 1
(а \а *
B1вТ+1.74)
042)
Отметим, что приведенные формулы теории идеализированной шеро-
шероховатости могут применяться для практических расчетов труб, если
знать величину эквивалентной относительной шероховатости kja9 кото-
которую для различных поверхностей можно установить экспериментально1).
Изложенная в настоящем и предыдущем параграфах полуэмпири-
полуэмпирическая теория установившегося турбулентного движения в плоских и ци-
цилиндрических трубах с гладкими и шероховатыми поверхностями имеет
уже более чем полувековую давность и стала общепринятой. Нельзя не
указать на ряд ее недостатков, в частности на отмеченную уже непри-
!) Более подробное изложение теории турбулентного движения жидкости при
наличии шероховатости стенок можно найти в монографии: Шлихтинг Г. Погранич-
Пограничный слой: пер. с нем.— М.: Наука, 1974, а также в отдельных статьях: Лойцян-
ский Л. Г. Об универсальных формулах в теории сопротивления шероховатых труб.—
Труды ЦАГИ, 1936, вып. 250, и там же: Федяевский К. К. Примерный расчет ин-
интенсивности трения и «допускаемых» высот шероховатости для крыла, а также S с h I i-
chting H Experimentelle Untersuchungen zum Rauhigkeitsproblem.— Ing.-Archiv,
1936, Bd. 7 (в этой работе, по-видимому, впервые было введено понятие эквивалент-
эквивалентной шероховатости).
666 ГЛ XIII ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
менимость предсказанного ею логарифмического профиля скоростей
вблизи оси трубы, некоторую необходимую «игру» констант при перехо-
переходе от логарифмического профиля скоростей к логарифмической формуле
сопротивлений и др.
§ 127. Эмпирический метод расчета турбулентного
пограничного слоя на продольно обтекаемой пластине
с гладкой и шероховатой поверхностями
Применение общих уравнений переноса (§ 120) к области турбу-
турбулентного пограничного слоя имеет до сих пор в известной степени фор-
формальный характер. При выводе уравнений турбулентного пограничного
слоя аналогично тому, как это делалось в гл. XII при выводе уравнений
ламинарного пограничного слоя, пренебрегается продольными произ-
производными от характеристик турбулентности по сравнению с поперечными.
Довольствуясь в этом очень сложном и еще до конца не исследо-
исследованном вопросе плоским стационарным движением, представим уравне-
уравнение переноса импульса в области турбулентного пограничного слоя в
следующей упрощенной форме:
ди . ди jj dU . 1 дт ди . dv A /ио\
и (- v — = U 1 , 1 = 0, A43)
дх ду dx p ду дх ду
где т обозначает полное касательное напряжение трения между слоями
осредненного течения и заключает в себе как турбулентное, так и обыч-
обычное вязкое трение
ди —г—: ди .
Т = [1 f>UV = ^ — + Т/«
ду ду
При составлении первого из уравнений A43) откинуты члены
— (—ри'2) и \х(д2и/дх2) как малые по сравнению с основным членом
д%\ду, характеризующим влияние трения. Такое откидывание общепри-
общепринято, хотя и нет твердой уверенности в том, что оно одинаково справед-
справедливо во всех областях пограничного слоя, в частности вблизи отрыва.
Уравнения турбулентного пограничного слоя A43) представляют
собой неопределенную систему уравнений, так как, в отличие от случая
ламинарного слоя, т содержит неизвестное слагаемое т*. Остановимся
на тех простейших приемах расчета турбулентного пограничного слоя,
которые широко применяются на практике и в какой-то мере до поры
до времени ее устраивают. Приемы эти базируются на использовании
интегрального соотношения импульсов
dx U У pU* 6** V '
по внешнему виду совпадающего с аналогичным соотношением A07)
предыдущей главы для ламинарного пограничного слоя и выводимого
из системы уравнений A43).
В уравнении A44) неизвестными являются три величины: 8**, Я и
tw. Для разыскания их необходимо добавить еще два уравнения, связы-
связывающее эти величины, или допустить некоторые упрощения, имеющие,
как правило, интуитивный характер.
В основе эмпирических методов, являющихся наиболее старыми из
существующих — они относятся к сороковым — пятидесятым годам —
лежит соотношение импульсов A44) и следующие эмпирические законо-
закономерности, установленные путем обработки большого числа экспери-
экспериментов:
§ 127. ЭМПИРИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 667
1) Формула Фокнера1)
2т U 6**
с/о=—2-= 0,0131 Re'-V\ Re" = ^—, A45)
г ОО
пригодная, вообще говоря, для расчета турбулентного слоя на продольно
обтекаемой пластине (чему соответствует индекс нуль при cf\ ?/«> — ско-
скорость набегающего потока).
2) Формула Людвига — Тиллмана2)
-. Г\ПЛ?В ¦*—0,268 1 а—0,678л В-** W U ® /1ЛС\
cf = 0,246 Re «10 , Re = , п= , A4b;
v 6**
рекомендованная для турбулентных пограничных слоев с произвольным
распределением U(x) скорости на внешней границе пограничного слоя.
Сравнительно просто решается задача о турбулентном пограничном
слое в случае продольного обтекания гладкой и шероховатой пластин,
когда U=const=?/«,, ?/'=0. При этом интегральное соотношение им-
импульсов A44) сводится к более простому
-тт-. A47>
их
приобретающему определенный вид, если для правой части применить
формулу Фокнера A45), а в левой перейти от б" и х к величинам
Имеем
-^1 = 0,00655 Re**"Ve,
dRex
что после непосредственного интегрирования дает
Re**Ve = L . 0,00655 Re* + С. A48)
6
Предположим сначала, что ламинарный участок пограничного слоя
пренебрежимо мал и турбулентный слой устанавливается прямо с перед-
передней кромки пластины. Тогда 6** = 0 при л;=0 или, что все равно, Re**=0
лри Rex=0; это означает, что С=0.
При таком предположении будем иметь по A48)
Re** = 0,0153 Re^', A49)
или, возвращаясь от рейнольдсовых чисел Re** и Rex к толщине потери
импульса 6** и абсциссе ху
б** = 0,0153 (—Y/? №. A50)
Таким образом, толщина потери импульса в турбулентном погра-
пограничном слое на пластине растет пропорционально абсциссе в степени
шесть седьмых; этот закон мало отличается от линейного. Вспомним,
что в случае ламинарного слоя на пластине толщина потери импульса
возрастала пропорционально корню квадратному из абсциссы, т. е. го-
гораздо медленнее, чем в турбулентном слое.
1) Fa Ik пег у. М. The resistance of a smooth flat plate with turbulent boundary
layer.—Aircraft Engineering, 1943, v. 15, p. 65.
2) L и d w i e g H., T i 11 m a n W. Untersuchungen uber die Wandschubspannung in
turbulenten Reibungsschichten.— Ing.-Archiv, 1949, Bd. 17, S, 288.
668 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Отношение толщины потери импульса к абсциссе представляет со-
собой слабую функцию рейнольдсова числа
8*7* = 0,0153 Re;v?.
Все эти соотношения хорошо соответствуют опытным данным, полу-
полученным в аэродинамических трубах и бассейнах.
По формуле Фокнера и A49) найдем (индекс 0 при коэффициенте
сопротивления отмечает, что рассматривается продольное обтекание пла-
пластинки, при котором dp/dx и dU/dx равны нулю)
^/0 = -^—= 0,0131 Re**"/$ = 0,0131 • 0,0153/eRe~v?. A51)
2 °°
Окончательный вид формулы местного коэффициента трения
с/о = 0,0263 Relv\ A52)
Отсюда уже легко получить и выражение полного коэффициента со-
сопротивления пластины длины L, определяемого формулой
Г - w
Wo—— •
Имеем
L
\iwdx i Re
y
и в силу A52)
С/о = 0,0307 Re-v% A53)
где под Re понимается рейнольдсово число обтекания пластины
Эмпирические формулы A52) и A53) хорошо совпадают с опытом
при больших значениях чисел Рейнольдса и могут с успехом применять-
применяться для расчета сопротивления гладких пластин при тех режимах обтека-
обтекания, когда ламинарный участок достаточно мал.
На рис. 254 приводится сводный график значений С, (индекс 0 на
рисунке опущен), на котором нанесены экспериментальные точки, отно-
относящиеся к самым различным условиям опытов в воздухе и в воде на
пластинах как полностью гладких, так и со специально помещенными
вблизи носовой точки шероховатостями, служащими для преждевремен-
преждевременного создания турбулентного пограничного слоя; опыты проведены в ши-
широких пределах рейнольдсовых чисел ').
Предлагаемая степенная формула A53) в широком диапазоне рей-
рейнольдсовых чисел практически не отличается от логарифмической фор-
формулы Прандтля — Шлихтинга2) (на рисунке — сплошная кривая)
С/о = 0,455 (lgRe)-2'58 A54)
и прекрасно соответствует опытным точкам чисто турбулентного
*) Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости. Т. II.—М.: ИЛ,
1948, с. 40—42.
2) См., например, нашу монографию: Аэродинамика пограничного слоя.— М.: Гос-
техиздат, 1941, с. 313.
§ 127. ЭМПИРИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
669
1
Ж'
№1
I'
Й1
Ш Р
f
•Г о
/
v I
¦ в
Т-О-®А
V
1
V
о \
1
II
1
II
1
1
J
1
>'
О
L
1®
©
1 ®
1 0
1 ®
I
? ®
\®
Q\
о \
0 /
© /
/
•
1
Г
\
\
•\
\
\
#
V
/
/|
J
bill
м
\
\
\
1
1
1ЧНЬШ
СП
I
1
/
/
670 ГЛ XIII ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
обтекания пластины без ламинарного участка в носовой части. Показан-
Показанная штрих-пунктиром степенная зависимость
С/о = 0,074 Rer1/. A55)
пригодна лишь при сравнительно малых Re, примерно до Re = 5-10e. При
больших Re эта прямая отходит от экспериментальных точек, как это
хорошо видно на нижней части рис. 254. Эмпирическое обоснование фор-
формулы A55) связано с использованием для профиля скоростей закона
ооной седьмой, о котором была речь ранее.
Из верхнего графика, приведенного на рис. 254, следует, что коэф-
коэффициент сопротивления пластины с полностью ламинарным слоем зна-
значительно меньше, чем коэффициент сопротивления пластины с полно-
полностью турбулентным слоем. Так, например, если бы каким-нибудь обра-
образом удалось получить обтекание пластины с полностью ламинарным
слоем при Re = 500 000, то коэффициент сопротивления ее был бы равен
С/лам = 0,0018; при полностью турбулентном слое и том же Re имеем
CfTyp6 = 0,005, т. е. примерно в три раза больше. При больших числах
Рейнольдса эта разница становится еще разительнее. Отсюда можно за-
заключить о выгодности затягивания ламинарного слоя на обтекаемом
теле одним из тех путей перемещения точки перехода, о которых говори-
говорилось в начале настоящей главы.
Чтобы рассчитать сопротивление пластины, имеющей в носовой час-
части участок ламинарного пограничного слоя, необходимо разыскать вхо-
входящую в равенство A48) постоянную С, в этом случае уже не равную
нулю.
Заменяя область перехода одной точкой, необходимо условиться о
способе сращивания решений на стыке областей ламинарного и турбу-
турбулентного движений. Наиболее естественным с точки зрения принятых в
предыдущей и настоящей главах приемов является использование пред-
предположения об одинаковости толщины потери импульса в сечении, где
происходит смыкание ламинарного и турбулентного участков; при этом
б** или Re** в начальной точке турбулентного пограничного слоя прирав-
приравниваются их значениям в конце ламинарного участка, рассчитанным по
теории ламинарного пограничного слоя.
Интегрируя обе части уравнения импульсов по х от переднего края
пластины до точки перехода, заключим, что принятое условие сращива-
сращивания представляет собой естественное с физической стороны требование
непрерывности роста полного сопротивления Wx = pU2oo8**(x) участка
пластины от л: = 0 до данного х при переходе абсциссы конца участка за
абсциссу точки перехода.
Обозначая общие для обоих участков пограничного слоя в точке
перехода величины соответствующих чисел Рейнольдса через Re** и
Re,**, получим по A38)
Re**7/« _ Re;*Ve = 0,00765 (Re, — Rexi), A56)
причем, согласно теории ламинарного пограничного слоя на пластине,
будет
Ret* = 0,664 /Re^.
Не останавливаясь на деталях, укажем, что учет влияния величи-
величины Rext на полное сопротивление пластины приводит к переходным кри-
кривым, показанным на рис. 254 штриховыми линиями. Для потоков в аэро-
аэродинамических трубах или других искусственных потоков положение и
форма этих переходных кривых определяются значением параметра Re^.
Значение Rex, зависит от турбулентности набегающего потока, шерохо-
шероховатости поверхности вблизи передней кромки и других причин.
§ 127. ЭМПИРИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
671
Изложенный только что эмпирический метод расчета турбулентного
пограничного слоя относится только к пластине с гладкой поверхностью.
Метод был обобщен на случай шероховатой пластины В. Ф. Дроб-
ленков ым1), предложившим для режима установившейся шерохова-
шероховатости, когда rJpUlo не зависит от рейнольдсова числа, а только от мест-
местной относительной шероховатости 8**/k9 пользоваться степенным законом
сопротивления
Применяя вновь уравнение импульсов, получим уравнение
dx
которое, будучи проинтегрировано при граничном условии б**=0 при
cf-t03
Bfi
4,0
3J0
3,5 4,0 4,5 5Д
Рис. 255
f
—- no формуле A59)
—•¦- no формуле A60)
t
6,0 6,5
*=0, даст формулу изменения толщины б** вдоль пластины
/ х Vv'
б" = 0,008* (-) .
После этого уже нетрудно по A57) найти распределение местного
коэффициента трения
с1о = 7^7 = 0,0139 (^)"V', A58)
а проинтегрировав по длине пластины L,— и коэффициент полного со-
сопротивления пластины
A59)
!) Дробленков В. Ф. Турбулентный пограничный слой на шероховатой кри-
криволинейной поверхности.—Изв. АН СССР, ОТН, 1955, т. 8, с. 17—21.
672 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
3-Ю3 НО4 3-13* 1-Ю5 3-10*
5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 Z5 8JJ 6J 9,0 9J
.0,0010
Рис. 256
Рис. 257
На рис. 255 приведены для сравнения результаты расчета по формуле
A59) и по формуле Шлихтинга1)
С/о = ( 1,89+1,62 lg^-p, A60)
выведенной из более сложных теоретических соображений.
Не будем останавливаться на рассмотрении вопроса о расчете со-
сопротивления пластины при промежуточном режиме течения в погранич-
пограничном слое, соответствующем интервалу шероховатости 1/4<&/бв<6. Ука-
Укажем лишь, что Прандтль и Шлихтинг подробно изучили этот вопрос и
*) Schlichting H. Experimentelle Untersuchungen zum Rauhigkeitsproblem.—
Ing.-Archiv. 1936, Bd. 7.
§ 128. ЭМПИРИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 673
разработали общие номограммы для расчета си и С/о при любом режи-
режиме шероховатости1); приводим их на рис. 256 и 257. Пользуясь этими
номограммами, можно производить разнообразные, конечно, только оце-
оценочные расчеты. Так, например, если задаться абсолютным размером
бугорка шероховатости &, то кривые семейства x/k = const на рис. 256
или L/k = const на рис. 257 представят зависимости местного коэффици-
коэффициента сопротивления от местного или общего рейнольдсовых чисел при
фиксированном х или коэффициента полного сопротивления при фикси-
фиксированной длине пластины L. Кривые семейств Uook/v = const при задан-
заданной абсолютной шероховатости k позволяют определить изменение тех
же коэффициентов при переменных х или L. Можно поступать и наобо-
наоборот, задаваясь величиной х или L, а менять k.
Все изложенное относится, конечно, только к случаю так называе-
называемой общей шероховатости, одинаковой и распределенной равномерно по
всей поверхности пластины. Вопрос усложняется, если шероховатость
имеет характер изолированных неровностей, хотя бы и закономерно рас-
расположенных по поверхности (сварные швы, заклепки и т. п.). Исследо-
Исследование влияния такого типа местных шероховатостей, существенное для
авиации, кораблестроения и других областей техники, требует специаль-
специального рассмотрения2). К числу практически важных относится задача о
турбулентном пограничном слое на диске или круглом цилиндре, вра-
вращающихся в безграничной или ограниченной неподвижным кожухом
жидкости. Подробное рассмотрение этих задач можно найти в моногра-
монографии Л. А. Д ор ф м ан а3).
§ 128. Эмпирический метод расчета турбулентного
пограничного слоя с произвольным распределением скорости
на внешней границе
Эмпирический метод, подобный по своей простоте изложенному в
предыдущем параграфе, может быть построен и для расчета турбулент-
турбулентного пограничного слоя с произвольным распределением скорости пото-
потока на внешней его границе.
Рассмотрим один из таких методов, представляющий аналогию с
однопараметрическим методом расчета ламинарного пограничного
слоя4). Напомним, что для однопараметрического расчета ламинарного
пограничного слоя были введены параметры
' ~ v ' ^ ~~ \iU ' "~ 6" '
из которых первые два можно переписать в виде
U ' pU2 f v #
Наличие в выражениях / и ?; множителя Re** при безразмерных ве-
величинах U'8**/U и xJpU2, характеризующих отнесенные к удвоенному
скоростному напору продольный перепад давления на условной
1) Prandtl L., Schlichting H. Der Winderstandsgesetz rauher Platten.—
Werft, Reederei, Hafen, 1934, Bd. 14.
2) Федяевский К. К. Примерный расчет интенсивности трения и «допускае-
«допускаемых» высот шероховатости для крыла—Труды ЦАГИ, 1936, № 250; Федяев-
Федяевский К. К., Фомина Н. Н. Исследование влияния шероховатости на сопротивление
и состояние пограничного слоя.—Труды ЦАГИ, 1939, № 441.
3) Д о р ф м а н Л. А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращаю-
вращающихся тел.—М.: Физматгиз, 1960, с. 68—92, 135—160, 193—206.
4) Лойцянский Л. Г. Приближенный метод расчета турбулентного погранич-
пограничного слоя на профиле крыла.—Прикл. мат. и мех., 1945, т. 9, с. 433—448.
22-9487
674 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
толщине б** пограничного слоя
U6
и напряжения трения на твердой стенке т», приводит к тому, что в лами-
ламинарном пограничном слое функциональные зависимости ?(f) и H(f) со-
сохраняют свой вид при любых рейнольдсовых числах пограничного слоя.
В случае турбулентного пограничного слоя разыскать для величин
U'8 /U и %JpU2 такой общий множитель G(Re**), чтобы подобно лами-
ламинарному пограничному слою величины
^ ^), A61)
представляющие собой естественное обобщение параметров Бури1), ока-
оказались связанными зависимостью
? = ?(/), A62)
не содержащей рейнольдсова числа, строго говоря, нельзя. Однако, судя
по имеющимся опытным материалам, выбор величины G(Re**) может
быть произведен так, чтобы влияние рейнольдсова числа на зависимость
A62) было сравнительно невелико. Слабую функцию рейнольдсова чис-
числа представляет также и отношение б*/б**=Я. Так, по опытам Ф. Хама2)
для гладких и шероховатых пластин справедливо общее соотношение
, A63)
которое в случае гладкой пластины при использовании формулы сопро-
сопротивления A52) дает
Яв = A-0,78 Re?/»)-1.
Показатель степени при Rex говорит о том, что Но является слабой
функцией Rex. Действительно, величина Яо при переходе от Rex=106 к
Rex=107 уменьшается от 1,41 до 1,33, т. е. примерно на 6%. На шерохо-
шероховатой пластине роль рейнольдсова числа еще меньше, а в случае техни-
технической шероховатости вообще отсутствует. Принимая во внимание эту
слабую изменяемость величины Но с ростом рейнольдсова числа на пла-
пластине (dp/dx = 0), будем либо считать в дальнейшем величину Н не зави-
зависящей от Re* и полагать
# = #(/),
либо учитывать влияние рейнольдсова числа по формулам для пластины.
Не ограничивая себя заранее видом функции G(Re**) и приняв опре-
определенную первым из равенств A61) величину / за формпараметр, выве-
выведем из интегрального соотношения A44) уравнение для определения
формпараметра f. С этой целью умножим обе части A44) на G(Re**);
тогда по A61) получим
G (Re**) ^ + B+ #)/=?. A64)
Первое слагаемое в левой части можно преобразовать так (штрих —
Л) Buri A. Eine Berechnungsgrundlage fur die turbulente Grenzschicht bei b*
schleunigter und verzogerter Grundstromung.— Zurich: Dissertation, 1931; см также
Nikuradse J. Untersuchungen iiber die Stromungen des Wassers in konvergenten
und divergenten Kanalen.—VDI Forschungsheft, 1929, № 289.
2) H a m a F. R. Boundary layer characteristics for smooth and rough surfaces.—
Trans. Soc. Nav. Architects Marine Engrs., 1954, v. 62, p. 333—358.
§ 128. ЭМПИРИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 675
производная по х):
dx
= 1 (f JL\ _ Re*' dG db" — Re** dG/dRe" f =
dx\J V J dRe0* dx G(Re**) '
_d_ / f U \ Re"dG/dRe** Qmc»\ <*6" Re"dG/dRe" *
~dxV U' ) G (Re**) ^ ' dx G (Re") ''
Вводя величину
_ Re"dG/d Re** _ d lg G (Re**)
G(Re**) dig Re** '
по самой своей структуре слабо зависящую от Re**, найдем из предыду-
предыдущего уравнения
Пользуясь равенством A64), исключим отсюда величину G(Re**) ;
dx
тогда получим
или, после раскрытия производной в левой части,
dx и хп
где для краткости принято обозначение
— = — F{f) + — /. 066)
dx и хп U' ' v
A67)
Уравнение A66) по форме ничем не отличается от своего ламинар-
ламинарного аналога A11) гл. XII, которое являлось основным для расчета ла-
ламинарного пограничного слоя. Различие заключается лишь в виде функ-
функциональной зависимости F(f)9 представленной равенством A13) гл. XII
для ламинарного слоя и равенством A67) настоящей главы для турбу-
турбулентного слоя. Если в A67) положить т=1, что соответствует ламинар-
ламинарному слою, то правые части A67) и A13) гл. XII совпадут.
Функцию G(Re**) для области, удаленной от точки отрыва, опреде-
лим, сообразуясь с тем, что множитель Re**, обеспечивавший парамет-
параметру ? в случае ламинарного слоя независимость от рейнольдсова числа,
оставался одним и тем же при наличии и отсутствии продольного изме-
изменения давления в слое. Допустим, что в рассматриваемой сейчас области
это свойство сохраняется и в случае турбулентного слоя. Примем вели-
величину универсализирующего множителя G(Re**) обратно пропорциональ-
пропорциональной местному коэффициенту сопротивления трения пластины (^ = 0),
положив (оо — знак пропорциональности)
Легко видеть, что численное значение коэффициента пропорцио-
пропорциональности здесь несущественно, так как изменение этого ксэффициента
вызовет пропорциональное изменение ? и f, но не повлияет на т, и сле-
следовательно, приведет к такому же изменению F(f)y а при этом вид урав-
уравнения A66) не нарушится.
22*
676 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Положим, следуя A68) и A45),
G(Re")= 153,2 Re/.; A69)
тогда по A65) найдем т=1/6, и функция F(f) будет равна
Линеаризуем функцию F(f)f положив, как на пластине
t«(C)/--l. Я-Я,-1,3-1,4.
Принимая эти значения ? и Я, найдем для F(f) линейное представление
F(f)=a-bf, A71)
аналогичное представлению A15) гл. XII, но в случае турбулентного
слоя с постоянными а и Ь, равными
а=1,17, 6=4,7—4,8. A72)
Уравнение A66) допускает при этом решение в виде простой квад-
квадратуры
г * с\.
?&Га {V*©<i6 +с]
Если принять ламинарный участок на поверхности крылового про-
профиля отсутствующим, то будем иметь
х
f(x) = aJ^\ub-l(l)dl, A73)
Ub(x) J
причем, так же как и в ламинарном слое, точка разветвления потока
(*=0) является особой. Раскрывая неопределенность, найдем
х@) _а=г0>21>
Если учитывать наличие ламинарного участка в интервале абсцисс
), то выражение для f несколько усложнится и примет вид
ш~ X ш ih "Л
Здесь Uu U/ и ft представляют собой значения ?/, V и / в точке перехо-
перехода x=xt, причем ft вычисляется по первой из формул A61)
ut
Окончательно будем иметь
U»{x)
A74)
Согласно принятому уже ранее для пластины условию смыкания ла-
ламинарного и турбулентного пограничных слоев величина Re*** должна
быть рассчитана по теории ламинарного пограничного слоя.
§ 128. ЭМПИРИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 677
Пользуясь формулами A73) или A74), найдем f{x), после чего, со-
согласно первому равенству системы A61), получим уравнение для опре-
определения Re** (x):
Re"G(Re-) =-?-/(*).
Так, например, для полностью турбулентного пограничного слоя на всей
поверхности профиля будем иметь по A73)
Re**G(Re**)= 153,2Re"v« = а- f ^(gjdg. A75)
e"v« = а- f
Выполнив квадратуру, определим Re**(*)> а следовательно, и 6**(*)»
после чего в принятом приближении (?=1), согласно второму равенству
системы A61), найдем формулу для местного коэффициента трения
cf= -^- = ? = 0,0131 Re**-1/e, A76)
аналогичную формуле для пластины, но при Re**, рассчитанном для за-
заданного распределения скорости внешнего потока U(x).
Определив таким образом т«, или с} в функции от х и просуммировав
по поверхности крыла проекции элементарных сил трения iwdx на на-
направление набегающего потока, определим полное сопротивление трения
крыла.
Для дальнейшего может представить еще интерес определение тол-
толщины вытеснения 6*(х). В принятом приближении эта величина равна
б* (х) = #06" (х) = A,3-1,4) б** (*); A77)
числа, стоящие в скобках, показывают границы значений Но при различ-
различных значениях рейнольдсова числа натекания: первое соответствует
высшим значениям, второе — низшим.
Каким бы приближенным ни был изложенный выше эмпирический
подход, во многом опирающийся на аналогию с задачей о турбулентном
пограничном слое на пластине, т. е. на случай постоянства скорости на
внешней границе пограничного слоя, все же результаты расчета по это-
этому методу величины 6**(*), а следовательно, и Re**(x) не уступают по
точности другим, более совершенным методам*). Что же касается вели-
величины С/, то, если оставаться в рамках только что изложенного метода, ее
можно определять по формуле Людвига — Тиллмана A46), зада-
задаваясь при этом значениями Н=Н0 по предыдущему параграфу или
пользуясь более сложными эмпирическими методами, например методом
Трукенбродта, изложенным в монографии Шлихтинга2), а также
более современными методами, о которых пойдет речь в следующей
главе.
Эмпирические методы, как это станет ясным из последующего, да-
далеко еще себя не исчерпали и смогут в будущем сохранить свое значе-
значение, особенно в связи, с одной стороны, со значительным развитием
эксперимента и накоплением новых опытных данных, а с другой — с ис-
использованием неограниченных возможностей машинного счета. Следует
еще принять во внимание, что более совершенные методы могут оттолк-
оттолкнуть практика своей сложностью и малой наглядностью.
*) Указание на это можно найти на с. 119 монографии: Федяевский К. К.,
Гиневский А. С, Колесников А. В. Расчет турбулентного пограничного слоя
несжимаемой жидкости.— Л.: Судостроение, 1973.
2) Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.— М.: Наука, 1969, с. 624—638.
678 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
В совершенствовании эмпирических методов заметную роль могла
бы сыграть статистическая обработка накопленных опытных данных по
течениям в турбулентных пограничных слоях. Подобное исследование
было выполнено в конце шестидесятых годов А. И. Каменецким1),
предложившим следующие эмпирические формулы зависимости основ-
основных характеристик турбулентного пограничного слоя от параметра f:
? = 3- = 1 + 0,1367/ + 0,015/2 + 0,00333/3,
Н = Н0 — 0,0701/ + 0,02913/2 + 0,01083/3 + 0,001606/4, A78)
F = F0 — 4,694/ + 0,0238/2 — 0,0246/3.
Представляется весьма перспективным дальнейшее развитие ука-
указанного подхода на основе использования новых экспериментальных ма-
материалов2).
Существующие эмпирические методы дают особенно заметную по-
погрешность в диффузорной области пограничного слоя (dp/dx>0, dU/dx<
<0) при приближении к точке отрыва. Здесь с особой силой проявля-
проявляется влияние принятых допущений о близости характеристик турбулент-
турбулентного слоя с произвольным распределением давления к их значениям в
пограничном слое на пластине в продольном потоке (dp/dx = 0y dU/dx=
= 0). Отметим, что расчет турбулентного пограничного слоя вблизи точ-
точки отрыва до сих пор является слабым местом во всех, даже современ-
современных теориях.
Область отрыва характеризуется развитой внешней частью, профиль
скоростей в которой может быть уподоблен профилю в аэродинамиче-
аэродинамическом следе за телом или на границе струи. Вблизи точки отрыва и за
нею в сорвавшейся струе влияние рейнольдсова числа становится прене-
пренебрежимо малым. Это допускает простое решение, служащее для опреде-
определения б** — толщины потери импульса. Примем по условию независимо-
независимости от рейнольдсова числа во всей предотрывной области т = 0, следова-
следовательно,
G (Re**) = const = GS
и, кроме того,
Тогда, согласно A66), придем к уравнению
интегралом которого будет
/=с-
Если предположить, что в предыдущей области, граница которой
со второй, предотрывной, областью характеризуется величиной fu рас-
расчет был произведен по ранее изложенному методу, то, сращивая реше-
решения при f = fu определим постоянную интегрирования С как
1) Каменецкий А. И. Новый эмпирический метод расчета турбулентного по-
пограничного слоя в несжимаемой жидкости.—Труды ЛПИ, 1970, № 313, с. 62—67.
2) Computation of turbulent boundary layer, 1968.—Proceedings AFOSR—JFR—
Stanford Conference (Ed. Coles D. E.f H i rst E. A.), 1969, v. 2.
§ 129. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 679
и получим следующее уравнение для расчета / или /=///« вблизи отрыва:
\ s
Замечая, что вблизи отрыва будет справедливо соотношение
найдем соответствующее A80) выражение для отношения толщин поте-
потери импульса в отрывной области
с vu
«к
Исходя из других теоретических соображений и использовав эмпи-
эмпирические данные, Росс и Робертсон1) предложили формулу
$; и)
аналогичную A81) при Я8=2,8. Следует заметить, что выбор числа
#,=2,8 не противоречит экспериментальным данным для значения Я,
в точке отрыва. Исходя из соображений размерности и некоторых об-
общих для теории пограничного слоя допущений, к тому же результату
пришел Г. М. Бам-Зеликович2).
Обобщение только что изложенного эмпирического приема на случай
шероховатой поверхности было выполнено В. Ф. Дробленковым3),
§ 129. Полуэмпирический метод расчета турбулентного
пограничного слоя на продольно обтекаемой пластине
Переходя от эмпирических методов к полуэмпирическим, основанным
на использовании полуэмпирических теорий Прандтля и Карма-
Кармана, укажем, что создатели этих теорий сразу же применили их к рас*
чету турбулентного пограничного слоя на продольно обтекаемой пласти*
не4). Остановимся на теории Кармана, которую изложим, полностью
сохраняя идею вывода и лишь изменяя несколько его математическую
сторону5). Положив в основу интегральное соотношение импульсов
A47) и выражая толщину потери импульса б** в универсальных пере-
переменных (q) = u/v*f r\=yv*/v, h = UJv*)\
tfcO*) <183)
перейдем от независимой переменной г\ к независимой переменной ф/
получив в результате следующее выражение для б** (точка над
1) Ross D., Robertson I. An empirical method for calculation of the growth of
a turbulent boundary layer — Journ. Aeron. Sci., 1954, v. 21, № 5, p. 355—358.
2) Бам-Зеликович Г. М. Расчет отрыва пограничного слоя.— Изв. АН СССР,
ОТН, 1954, No 12.
3) Дробленков В. Ф. Турбулентный пограничный слой на шероховатой кри-
криволинейной поверхности.—Изв. АН СССР, ОТН, 1955, № 8.
4) Сводное изложение этих методов расчета можно найти в монографии: Л о й«
цянский Л. Г. Аэродинамика пограничного слоя. Л.; М.: 1941, с. 310—313 и 335—
338.
5) Лапин Ю. В., Л о й ц я н с к и й Л. Г. Применение метода Кармана к расче-
расчету турбулентного пограничного слоя на пластине в газовом потоке.—Труды ЛПИ, 1961
680 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
буквой —производная по ф):
Величина r\=dr\/d(p в вязком подслое равна единице. В турбулентном
ядре для определения у\ используем соотношение Кармана [вторая фор-
формула в равенствах G3) ] (штрих означает производную по у)
i —
х — константа турбулентности, равная 0,4.
Принимая допущение о постоянстве напряжения трения поперек
слоя т=т» и переходя к универсальным координатам, получим (штрих
теперь означает производную по т])
-? = -*. 085)
ф
Знак минус появляется после извлечения корня в связи с тем, что ф"<0.
В равенстве A85) поменяем местами аргумент и функцию; тогда полу-
получим уравнение г|/г|=х, из которого следует, что
A86)
Если обозначить через / значение производной dy/dv\ на границе
вязкого подслоя т!=т)в=а A20), то равенство A86) примет вид
ц=±—е**, A87)
где а — константа турбулентности, равная 11,5.
Возвращаясь к равенству A84), заметим, что, строго говоря, интег-
интеграл в правой части этого равенства следовало бы разбить на два уча-
участка: 0<ф<а и а<ф<А, и в каждом из них подставить свое значение ij.
Однако ввиду относительной тонкости вязкого подслоя, мало влияюще-
влияющего на значения интеграла A84), можно опустить первый участок, про-
продолжив второй до стенки. Как показывают вычисления, при больших А
заметной разницы в значениях интеграла не получается.
Таким образом, исключая г\ из равенств A84) и A87), получим сле-
следующее выражение для толщины потери импульса:
A-5)Лй, A88)
О
где й=ф/Л=и/[/оо.
Величина x/i, как это видно из ее определения, заметно превосходит
единицу. В таких случаях удобно пользоваться следующим общим пред-
представлением интеграла, содержащего показательную функцию
A89)
легко выводимым интегрированием по частям. В том случае, когда ряд
в квадратных скобках не обрывается, эту форму можно рассматривать
как ряд, выражающий значение интеграла при больших хЛ.
§ 130. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ 681
Выполняя в A88) интегрирование с помощью ряда A89), получим
выражение для толщины потери импульса
АЛ A90)
Найдем еще выражение для формпараметра Я=б*/б**. Способом,
аналогичным показанному выше, можно найти следующее выражение
для толщины вытеснения:
Составляя отношение б*/б**, получим выражение для Я
1-2/(хЛ)
которое при числах Рейнольдса 106—107 дает значение #=1,3, хорошо
согласующееся с опытом.
Возвращаясь к выражению A90), заметим, что при вычислении тол-
толщины потери импульса можно пренебречь вторым слагаемым в скобках
по сравнению с первым. Как показали расчеты, при больших значениях
x/i ошибка, получающаяся в вычислении коэффициента трения при та-
таком приближении, является незначительной.
Приняв для толщины потери импульса такое приближение, подста-
подставим ее выражение в интегральное соотношение импульса. После простых
преобразований получим следующее уравнение:
?^h4(e*h)=dRex; Rex = -^~ .
fx2 v
Беря интеграл от обеих частей этого уравнения и используя граничное
условие Rex=0 при i;.=oo, т. e. /i=0, будем иметь р том же приближении
/и2
Логарифмируя обе части этого равенства *и возвращаясь от переменной
h к cf по равенству Л=/2/С/, получим формулу Кармана
-^ = A + B\g(Rexcf), A91)
где А и В выражаются через постоянные х и а. С опытными данными
лучше совпадают близкие к ним значения: Л=1,7; В=4,15.
Полуэмпирическая формула Кармана представляет неявную зави*
симость между местным коэффициентом сопротивления cf и рейнольдсо-
вым числом Re*. Для коэффициента полного сопротивления трения пла-
пластины длины L уже была ранее указана также логарифмическая форму,
ла Прандтля — Шлихтинга A54).
§ 130. Интегральные методы расчета турбулентных
пограничных слоев
Среди далее излагаемых полуэмпирических методов расчета турбуг
лентных пограничных слоев видную роль в свое время сыграли интегг
ральные полуэмпирические методы, основанные на применении теории
пути смешения Прандтля.
682 ГЛ. XIII ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Остановимся коротко на основных приемах интегральных методов,
отсылая за подробностями к тщательно составленной монографии1), в
первой своей части посвященной подробному изложению интегральных
методов.
В первоначальной форме идея интегрального метода заключалась в
определении профилей скорости в сечениях турбулентного пограничного
слоя путем задания полиномиальных приближений напряжения турбу-
турбулентного трения т и пути смешения / в легко выводимой из закона
Прандтля формуле
f/T^. A92)
Исходя из аналогии с методом Польгаузена, задававшего про-
профили скоростей в сечениях ламинарного пограничного слоя полиномом
четвертой степени [A17) гл. XII], удовлетворявшим граничным услови-
условиям A18) той же главы, в интегральном методе расчета турбулентного
пограничного слоя используют аналогичные полиномиальные приближе-
приближения для напряжения трения
w i=0
где б — конечная толщина пограничного слоя, либо более удобным для
вычислений полиномиальным представлением
|'. A94)
Коэффициенты at и Ь{ в этих формулах выбираются из соответству-
соответствующих граничных условий, примерами которых могут служить следую-
следующие:
— J = 0 при ц = О,
A95)
A96>
) ° при 11=
где §— параметр, равный
Первые условия в обеих строках очевидны, второе в первой строке
следует из уравнений пограничного слоя, третье в первой строке выво-
выводится дифференцированием обеих частей уравнения пограничного слоя
по т) при учете уравнения неразрывности, последнее условие во второй
строке является дополнительным, требующим гладкости перехода т/т*
к нулевому значению на внешней границе по'граничного слоя.
При использовании пяти граничных условий A95) получим профиль
напряжения турбулентного трения соответственно в виде полинома чет-
четвертой степени
JL = 1 _ 4т)8 + Зг]4 + р-п A — Зг]2 + 2гK). A97)
1) Федяевский К. К., Ги невский А. С, Колесников А. В. Расчет тур-
турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости.— Л.: Судостроение, 1973, гл. I
и II.
§ 131. СОПРОТИВЛЕНИЕ ТЕЛА, ДВИЖУЩЕГОСЯ В ЖИДКОСТИ 683
Принимая два условия при rj=O и одно при т]=1, будем иметь
J oo). A98)
W
Многие другие профили т, в том числе двух- и трехпараметрические,
приведены в цитированной монографии К. К. Федя ев с ко го, А. С. Ги-
невского и А. В. Колесникова.
Путь смешения I также представляется различными приближенны-
приближенными выражениями, из которых отметим следующие:
а) по Прандтлю:
1=хУ и 4-=o,H-o,o8fi-4|o,O6fi4
о \ о/ \ о
б) по С. С. Кутателадзе и А. И. Леонтьеву:
1 = ^_Bx-3y)(|J + (x-2y)(|K, х=0,39, Т=0,М;
в) по работам Стэнфордской конференции (см. сделанную ранее
сноску):
L=(!±.)th\*-m], х = 0,41, А = о,О85;
г) по Ч и и Ч а н г у:
1 = 0
д) по Эскудье и Сполдингу:
1 = 0,4.|-0,5 (|
Библиографические ссылки см. в цитированной на с. 682 моно-
монографии.
В выборе профилей т и / для сечений пограничного слоя заключа-
заключается некоторый произвол, смягчаемый иногда дополнительными интуи-
интуитивными соображениями.
Задавшись распределениями т/т«, и //б, подставляют их в основное
уравнение Прандтля A92); после выполнения интегрирования полу-
получают распределение скоростей u/U в функции от у/8 и параметра [},
после чего находят б*, 6** и Я как функции [}. Разыскание $(х) пред-
представляет собой последний этап, в котором для этой цели используют ин-
интегральное соотношение Кармана A44). В том случае, когда для
отношения г/ту, выбирают многопараметрические представления, прихо*
дится наряду с A44) применять следующие за ним интегральные соот»
ношения (энергии и другие). Вот почему изложенный только что интег-
интегральный метод называют «методом интегральных соотношений».
Удовольствуемся этим кратким обзором, отсылая за деталями и
примерами к цитированной монографии, в которой интегральному метот
ду уделено значительное место.
§ 131. Сопротивление тела, движущегося в жидкости.
Профильное сопротивление. Сопротивление трения.
Сопротивление давления
Расчет турбулентного пограничного слоя лежит в основе определе-
определения сопротивления тела при его движении в вязкой жидкости. Примем
следующую терминологию. Полное сопротивление — его называют еще
684
ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Рис. 258
лобовым — складывается из профильного сопротивления, в свою очередь
состоящего из сопротивления трения и сопротивления давления, и индук-
индуктивного сопротивления. Последний вид сопротивления обусловлен конеч-
конечностью размаха тела (неплоским характером обтекания), вследствие
чего местная подъемная сила может давать отличную от нуля проекцию
на направление общего набегающего потока (§ 78). Индуктивное сопро-
сопротивление по самой своей природе отличается от первых двух составляю-
составляющих и рассматриваться здесь не будет.
Сопротивление трения определяется как проекция на направление
движения главного вектора касательных сил, приложенных со стороны
жидкости к поверхности тела, а сопротивление давления соответственно
аналогичной проекцией главного вектора нормальных сил.
Остановимся подробнее на этой второй составляющей профильного
сопротивления. Согласно общему для ламинарного и турбулентного по-
пограничных слоев представ-
представлению, вне области погра-
пограничного слоя поток может
рассматриваться как движу-
движущаяся безвихревым образом
идеальная, т. е. лишенная
вязкого трения, жидкость.
При достаточной тонкости
пограничного слоя и извест-
известном его свойстве передавать
по сечениям слоя на поверх-
поверхность тела давление внешне-
внешнего по отношению к погранич-
пограничному слою потока главный
вектор нормальных сил, со-
согласно парадоксу Даламбера (§ 73), равен нулю, а следовательно, и
сопротивление давления не должно отличаться от нуля. Это было бы
близко к действительности, если бы пограничный слой не возмущал
внешний безвихревой поток. На самом же деле линии тока вследствие
Подтормаживающего влияния стенки оттесняются от поверхности кры-
крыла; такое искажение картины течения приводит к нарушению идеально-
идеального распределения давлений по поверхности крыла.
Пограничный слой не только управляется внешним потоком, но и
оказывает на него обратное влияние. Строго говоря, даже нельзя зада-
задавать наперед распределение давлений или скоростей во внешнем пото-
потоке, так как это распределение в свою очередь зависит от развития погра-
пограничного слоя, а следовательно, является функцией рейнольдсова числа,
шероховатости поверхности и других факторов; однако практически,
если тело обтекается без срывов и рейнольдсовы числа достаточно ве-
велики, то пренебрежение обратным влиянием пограничного слоя на рас-
распределение давлений и скоростей во внешнем потоке оказывается допус-
допустимым. Обратное влияние пограничного слоя на внешнее обтекание
проявляется особенно сильно на участках пограничного слоя, где слой
наиболее толст, как, например, вблизи точки отрыва.
На рис. 258 показаны для сравнения кривые зависимости коэффици-
коэффициентов профильного сопротивления и сопротивления трения серии сим-
симметричных профилей Жуковского от относительной их толщины. На
диаграмме сила сопротивления отнесена к миделевому сечению крыла,
а не к площади в плане; этим объясняется, почему при уменьшении от-
относительной толщины коэффициенты профильного сопротивления и со-
сопротивления трения возрастают. Показанная вертикальными штрихами
разность между коэффициентами профильного сопротивления и сопро-
сопротивления трения определяет коэффициент сопротивления давлений. Рас-
§ 131. СОПРОТИВЛЕНИЕ ТЕЛА, ДВИЖУЩЕГОСЯ В ЖИДКОСТИ
685
смотрение диаграммы, составленной при фиксированном числе Рей-
нольдса (J7eec/v=ss4-10e), приводит к отчетливому выводу о росте роли
сопротивления давления с увеличением относительной толщины профи-
профиля и, наоборот, о повышении значения сопротивления трения при пере-
переходе к тонким профилям *).
Как показывают опыты, сопротивление давления хорошо обтекаемо-
обтекаемого крылового профиля при наличии на его поверхности полностью ла-
ламинарного или полностью турбулентного пограничного слоя убывает с
ростом рейнольдсова числа, что и естественно, так как при возрастании
рейнольдсова числа толщина пограничного слоя уменьшается и внеш-
внешний поток приближается к безвихревому обтеканию профиля идеальной
жидкостью.
re
Рис. 259
Чтобы разобраться в причинах искажения теоретического распреде-
распределения давлений в безвихревом обтекании крылового профиля идеальной
жидкостью, сравним какую-нибудь действительную линию тока
(рис. 259,а, сплошная линия), приходящую в точку М данного сечения
M0Mi пограничного слоя, и показанную на рис. 259, а штрихами линию
тока безвихревого потока идеальной жидкости, совпадающую с преды-
предыдущей в удалении впереди тела. Отрезок ММ' представляет смещение
действительной линии тока по отношению к идеальной. Из условия оди-
одинаковости объемного расхода жидкости в сравниваемых движениях
сквозь сечения М0М=у и М0М'=у—ММ', являющегося следствием сов-
совпадения обеих линий тока вдалеке от тела вверх по потоку, заключим,
что (через U обозначена продольная скорость на внешней границе слоя)
При составлении правой части этого равенства принято во внимание, что
на протяжении малой толщины слоя скорость в безвихревом потоке иде-
идеальной жидкости может быть принята постоянной и'равной ?/. Согласно
последнему равенству отмеченное смещение линии тока в точке М с ко-
координатой у будет равно
MM' = \ 1 — -
На поверхности обтекаемого тела (г/=0) смещение линии тока исче-
исчезает; у обоих сравниваемых потоков, действительного и идеального, об-
общая нулевая линия тока совпадает с поверхностью крыла. При удалении
1) Подробнее см. в кн.: Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жид-
жидкости. Т. И/Под ред. С. Голдстейн а.— М.: ИЛ, 1948, с. 78—85.
686 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
от поверхности крыла смещения действительных линий тока по отноше-
отношению к идеальным возрастают. Наконец, на границе пограничного слоя
(у=б) величина смещения достигает своего максимального значения1)
б
Итак, смещение действительной линии тока относительно линии тока
безвихревого обтекания тела идеальной жидкостью на внешней границе
пограничного слоя равно толщине вытеснения б*.
Докажем, что действительное рас-
распределение давления по поверхности
крылового профиля при плоском его
обтекании вязкой жидкостью совпа-
совпадает с распределением давления при
безвихревом обтекании идеальной
жидкостью полутела (рис. 260), об-
образованного наращиванием на про-
профиль крыла и по обе стороны от нулевой линии тока в его следе толщи-
толщины вытеснения, рассчитанной по действительному распределению давле-
давления; контур этого полутела назовем «эффективным».
Предположим, что задано плоское обтекание крылового профиля ре-
реальной (вязкой) жидкостью, сопровождаемое образованием на теле по-
пограничного слоя, а за телом — аэродинамического следа. Наряду с этим
действительным потоком в пограничном слое рассмотрим в той же обла-
области воображаемый потенциальный поток, который являлся бы непрерыв-
непрерывным продолжением действительного внешнего потенциального потока на
область, занятую пограничным слоем.
По известному свойству пограничного слоя в построенном таким об-
образом потенциальном потоке давления, а следовательно, и продольные
скорости должны совпадать с давлениями и скоростями в потоке на
внешней границе пограничного слоя. Вместо характерного для движения
в пограничном слое убывания скорости от некоторого значения на внеш-
внешней границе слоя до нулевого значения на поверхности крыла, в экви-
эквивалентном по давлениям потенциальном потоке повсюду на данной нор-
нормали будет одинаковая скорость, равная скорости на внешней границе
слоя. Отсюда следует, что рассматриваемый потенциальный поток, об-
обладающий тем же объемным расходом через сечение рассматриваемой
струйки, что и действительный поток в пограничном слое, не сможет за-
заполнить всю область пограничного слоя (включая в понятие погранично-
пограничного слоя и аэродинамический след).
Для определения новой области течения рассмотрим (рис. 259, б)
некоторую точку М сечения пограничного слоя. Отметим сплошной ли-
линией действительную линию тока, проходящую через точку М, а штрихо-
штриховой, идущей в некоторую точку М' на той же нормали,— линию тока по-
потенциального потока, совпадающую с только что указанной действитель-
действительной в удалении от тела вверх по потоку.
Подчеркнем отличие фигурирующего в настоящем рассуждении во-
воображаемого потенциального потока, совпадающего с действительным
повсюду вне пограничного слоя, от ранее рассмотренного потенциаль-
потенциального потока, имеющего с действительным общую нулевую линию тока.
Как видно из рис. 259, действительные линии тока располагаются в
одном случае выше идеальных, в другом, наоборот, ниже.
Составляя условие одинаковости расхода в действительном и вооб-
воображаемом потенциальном потоках сквозь сечения М^М и AfjAT, отсчитан-
]) Здесь и далее можно полагать 6 = оо.
§ 131. СОПРОТИВЛЕНИЕ ТЕЛА, ДВИЖУЩЕГОСЯ В ЖИДКОСТИ 687
ные от внешней границы пограничного слоя, получим
б
так что расстояние между сравниваемыми линиями тока в действитель-
действительном и воображаемом движениях будет равно
б
мм' = Г A — -
На границе пограничного слоя (у=6) ЛШ'=0, и обе линии тока
совпадут. При углублении в пограничный слой величина ЛШ' будет воз-
возрастать, а воображаемые линии тока будут оттесняться от поверхности
крыла. Когда, наконец, действительная линия тока совпадет с поверх-
поверхностью крылового профиля, линия тока воображаемого безвихревого
потока окажется оттесненной от поверхности на расстояние
6
равное толщине вытеснения1). Таким образом, основная, нулевая линия
тока действительного движения (рис. 260), разветвляющаяся в передней
критической точке контура тела, совпадающая далее с контуром тела и
уходящая сквозь аэродинамический след в бесконечность за телом,
должна быть в воображаемом безвихревом потоке заменена на некото-
некоторое бесконечное полутело, образованное наращиванием по нормали к
нулевой линии тока толщины вытеснения, рассчитанной по действитель-
действительному распределению давления.
На рис. 260 показаны сплошной линией основной профиль и нулевая
линия тока в следе за ним, а штриховой — «эффективный» контур, об-
обтекание которого потенциальным потоком эквивалентно по распределе-
распределению давления обтеканию профиля реальной жидкостью. Воображаемый
безвихревой поток, входящий в пограничный слой через внешнюю его
границу (на рисунке не показанную) с теми же скоростями, что и дей-
действительный поток, но в дальнейшем не подвергающийся действию тор-
торможения трением, имеет внутри пограничного слоя большие скорости,
чем действительный поток. При этом воображаемый поток не может
заполнить всю область пограничного слоя, часть плоскости между нуле-
нулевой линией тока в действительном движении и границей полутела в во-
воображаемом течении остается не заполненной жидкостью, а линия у=8*
является граничной линией тока.
Изложенные в настоящем параграфе соображения о простейшем
приеме учета обратного влияния пограничного слоя на внешний безвих-
безвихревой поток были высказаны в предположении о несжимаемости жид-
жидкости. Легко убедиться, что аналогичный прием может быть применен
и в случае пограничного слоя в сжимаемой жидкости — в потоке газа с
до- или сверхзвуковыми скоростями. Достаточно повторить все те же
рассуждения, заменив лишь рассмотрение объемных расходов С udy
у °
или \ udy соответствующими массовыми расходами f pudy или
1) В этом можно видеть происхождение названия толщины вытеснения.
688 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
б
1 pu dy и приняв за толщину вытеснения величину
где рб — плотность на внешней границе слоя. Кроме того, подчеркнем,
что все изложенное в настоящем параграфе относится в одинаковой сте-
степени как к турбулентному, так и к ламинарному пограничным слоям.
Практическое определение формы полутела и последующее вычис-
вычисление сопротивления давления как проекции на направление набегаю-
набегающего потока главного вектора сил давления безвихревого потока иде-
идеальной жидкости на поверхность полутела связано с большими трудно-
трудностями. Поэтому сопротивление давления предпочитают находить как
результат вычитания сопротивления трения из профильного сопротив-
сопротивления; простой приближенный способ вычисления профильного сопро-
сопротивления сейчас будет изложен. Что же касается сопротивления трения,
то оно, по предыдущему, находится суммированием элементарных сил
трения по поверхности.
§ 132. Приближенные формулы профильного сопротивления 1)
Рассмотрим крыловой профиль (рис. 261) в безграничном плоском
потоке жидкости со скоростью на бесконечности, равной (/„, и плот-
плотностью р. Сравним опять два эквивалентных по распределению давле-
давлений потока: 1) действительный, сопровождающийся образованием на по-
поверхности крылового профиля пограничного слоя (а затем следа), и
2) воображаемый безвихревой поток идеальной жидкости, набегающий
Рис. 261
на полутело (на рис. 261 показанное штрихами) и совпадающий с дей-
действительным вне пограничного слоя.
Возьмем какое-нибудь перпендикулярное к направлению скорости
на бесконечности, удаленное от тела вниз по потоку сечение о2 аэроди-
аэродинамического следа, проведем через крайние точки этого сечения соот-
соответствующие им линии тока во внешнем потоке и рассмотрим образован-
образованную таким образом трубку тока.
Обозначим через а4 сечение этой трубки тока, проведенное парал-
параллельно сечению о2 вдалеке перед обтекаемым телом. Тогда, применяя к
отрезку трубки тока между сечениями at и а2 в действительном и вооб-
воображаемом потоках теорему количеств движения в форме Эйлера (§ 24)
в проекции на ось Ох, направленную по скорости набегающего потока,
будем иметь:
!) При изложении этого параграфа принято, что обтекание профиля происходит
без отрыва пограничного слоя.
§ 132 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 689
1) для действительного потока
ОI О2
2) для воображаемого потока
В этих равенствах Rx обозначает сопротивление крылового профиля
в действительном движении, т. е. искомое профильное сопротивление,
Rix — сопротивление давлений части боковой поверхности полутела, от-
отсеченной плоскостью о2, Хр — одинаковую для обоих потоков проекцию
на ось Ох главного вектора сил давлений, приложенных (как показано
на рис. 261 стрелками) к боковой поверхности выделенного объема труб-
трубки, и2 — продольную скорость в потенциальном потоке в сечении о2, а
bl — толщину вытеснения в том же сечении. Вычитая почленно друг из
друга левые части составленных равенств, получим
К — К) 9и\ ~ Р
Заметим, что по определению толщины вытеснения б*
<т, а,
тогда из предыдущего равенства будет следовать
u(u2 — u)dy + Rix.
Устремим теперь сечение о2 на бесконечность вниз по течению. Как
было указано в конце § 73, сопротивление давлений изображенного на
рис. 261 штрихами бесконечного полутела со стремящейся к некоторому
конечному пределу 6^, толщиной б* будет равно нулю; предельный пере-
переход в предыдущем равенстве дает при этом
оо
Rx= lim P \u(u2 — u)dy+ lim Rlx = p f "(^ — u)dy = pt/«6«\
где б^* —толщина потери импульса в сечении следа, удаленном на бес-
бесконечность вниз по течению. Выражение коэффициента профильного со-
сопротивления Схр через толщину потери импульса на бесконечности б^
будет (с — хорда крылового профиля)
С,Р = -^ ^. A99)
Непосредственное нахождение б? не представляется возможным; по-
поэтому выведем приближенную связь этой величины с толщиной потери
импульса на задней кромке крылового профиля1), допускающей простое
теоретическое и непосредственное экспериментальное определение.
С этой целью вспомним вывод интегрального соотношения Кармана
A07) гл. XII. Аналогичный вывод, примененный к уравнениям турбу-
]) С кв а йр Г., Юнг А. Расчет профильного сопротивления крыла.—В кн.: К во-
вопросу о максимальной скорости самолета1.— М.: Оборонгиз, 1941.
690 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
лентного пограничного слоя A43) гл. XIII, приводил к такого же вида
интегральному соотношению A44). Имея в виду применение этого со-
соотношения к следу, выполним интегрирование в пределах (—оо, оо).
Тогда член т«, в правой части выпадет, и интегральное соотношение Кар-
Кармана в настоящем случае примет вид
i«!l l^ L^ 0. B00)
+ 6 + 6 0.
dx U dx U dx
Деля обе части этого уравнения на б** и интегрируя по х вдоль следа
от задней кромки (индекс «к») до бесконечно удаленного сечения вниз
по потоку (индекс оо), получим
ln
С ut J б- и
VK
Довольствуясь случаем малых продольных перепадов давления (срав-
(сравнительно тонкое, мало изогнутое крыло при небольших углах атаки), за-
заменим величину 6*/6**=# П°Д знаком интеграла ее средним значением
Яср = ±(НК+Н00);
тогда, выполняя интегрирование в правой части предыдущего соотно-
соотношения, найдем
ИЛИ
B01)
Подставляя полученное выражение б? в равенство A99), получим
следующую приближенную формулу профильного сопротивления
Uk » ~K B02)
Как показывают измерения распределений давлений по поверхности
крыловых профилей, отношение UJU^ мало разнится от единицы, если
крыловой профиль сравнительно тонок и слабо изогнут, а угол атаки
или соответствующий ему коэффициент подъемной силы су невелики;
последнее имеет место на режимах полета с максимальной скоростью.
Так, например, в этих условиях на крыловом профиле с 14%-ной отно-
относительной толщиной (NACA-2414) при cv=0,18 отношение UJU^ равно
0,9, т. е. на 10% меньше единицы; даже при 25%-ной относительной тол-
толщине и при су=0,25 это отличие от единицы не превосходит 25%.
Величина #«, равна единице, в чем убедимся, полагая u=U—и'=
= ?/„—и! под знаком интегралов в выражениях б* и б** и пренебрегая
в достаточном удалении от задней кромки крыла второй и старшими
степенями малой добавки и'. Величина Я, равная, как уже ранее указы-
указывалось, вблизи точки минимума давления 1,4—1,3, может при прибли-
приближении к задней кромке возрастать при сохранении безотрывного обте-
обтекания до значения 1,8—2,3.
На первый взгляд наличие сравнительно высокого показателя сте-
степени в формуле B02), равного 3,2—3,4, может потребовать точного зна-
§ 132. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 691
ния величины UJU^ что было бы затруднительно как с точки зрения
эксперимента, так и расчета. На самом деле это не так. Если использо-
использовать соотношение A75), из которого легко выводится выражение по-
последнего сомножителя б** /с в формуле B02) через распределение ско-
скоростей внешнего потока U(x) по длине пограничного слоя, то легко убе-
убедиться, что это выражение будет содержать в качестве сомножителя
отношение UJU^ в отрицательной степени, по абсолютной величине
близкой к показателю степени в формуле B02). Таким образом, в окон-
окончательном выражении для Схр близкое к единице отношение UJU^ воз-
возводится в степень, немногим разнящуюся от нуля. Этим фактом может
быть объяснено, почему формула B02), при //«,= 1, #к=1,4 переходя-
переходящая в известную формулу Сквайра и Юнга
С,„=2(^У —, B03)
дает хорошее совпадение расчетов с опытными материалами.
Используя в выражении A74) принятое ранее значение постоянной
а=1,17, округляя коэффициент &=4,7—4,8 до значения &«5, что облег-
облегчает вычисления, и принимая, по предыдущему, G (Re**) = 153,2 Re**1/e,
получим после простых выкладок
Л* =М1^з _i wujdwo+m Re'/.,
с Re1/' (U/UJU/* J
|jt,/c
где положено (с — хорда крылового профиля)
Для определения величины 6**/с следует произвести расчеты по этой
формуле при х/с=хк/с отдельно для верхней и нижней поверхностей
крылового профиля и результаты сложить. При подстановке получен-
полученных таким образом значений F**/с)х=*кв предыдущую формулу входя-
входящая в знаменатель величина (?/к/^«>J5/7~ (Ух/и**K'* может быть сокра-
сокращена со стоящей в числителе величиной UJU^ в степени 2 + -(Як+Я0О),
А
равной 3,2—3,4. Это приведет к следующей расчетной формуле для ко-
коэффициента профильного сопротивления Схр:
п 0,0307
xjc
где, напоминаем, сомножитель, представленный квадратной скобкой,
должен быть вычислен отдельно для верхней и нижней поверхностей, а
результаты сложены. Как видно из этой формулы, распределение U(x)
входит только под знак интеграла. Значение Ut в точке перехода при
больших рейнольдсовых числах мало отличается от соответствующего
значения Um в точке максимальной скорости, или, что то же, минималь-
минимального давления. Отсутствие необходимости в определении величин UK и
#„ на задней кромке делает последнюю формулу удобной для расчетов
профильного сопротивления крыла. Заметим, что в случае продольного
обтекания пластины (?/=const=?7oo) при полностью турбулентном по-
пограничном слое последняя формула совпадает с формулой A53); следу-
следует только обратить внимание на разницу в определении коэффициентов
Cf и Схр: в первом коэффициенте суммарная сила трения относится ко
692
ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
всей смоченной поверхности, т. е. для пластины в плоском потоке к удво-
удвоенной ее длине, во втором — суммарная сила профильного сопротивле-
сопротивления делится на хорду, т. е. в случае пластины на ее длину.
Выведенная только что формула пригодна для расчета профильного
сопротивления при больших рейнольдсовых числах. В случае относи-
относительно малых рейнольдсовых чисел (примерно для Re<5-106), соответ-
соответствующих закору A55) для пластины, можно рекомендовать формулу
Шпейделя1)
0,074
Re1'-
требующую, как и ранее приведенная формула, суммирования последне-
последнего сомножителя для верхней и нижней поверхностей. Существуют номо-
номограммы (сетки), по которым, задаваясь геометрическими параметрами
*' (»
Уы
ft-
Рис. 262
крылового профиля и положением точки перехода, можно определить
коэффициенты профильного сопротивления крыла при данном числе Re
набегающего на него потока2).
Изложенный только что метод расчета профильного сопротивления
крыла можно обобщить3) на случай решетки профилей. Рассмотрим об-
обтекание плоской решетки профилей (рис. 262) с давлениями и скоростя-
скоростями на бесконечности: pl00, Vioo — до решетки и р2«>, V2oo — за решеткой.
Обозначим плотность жидкости через р, вектор-шаг через t\ тогда, ис-
используя теорему количеств движения, будем в случае вязкой жидкости
иметь ту же формулу для определения главного вектора приложенных
к профилю в решетке сил, что и в случае идеальной жидкости, а имен-
именно (§ 56)
R = (р1оо - Ргоо) t+9(t.K
Разница будет лишь в том, что из-за потерь энергии за счет работы
диссипативных сил трения полные напоры перед и за решеткой будут
отличны друг от друга; величина потери напора равна
> = (
р1оо + 1
- (р20О +1
1) Цитируем по монографии: Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя: Пер. с
нем.—М.: Наука, 1974, с. 683.
2) См. цитированную работу Сквайра и Юнга.
3) Лойцянский Л. Г. Сопротивление решетки профилей, обтекаемой вязкой
несжимаемой жидкостью—Прикл. мат. и мех., 1947, т. 11, вып. 4.
§ 132. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 693
Главный вектор R представится как сумма
R = 1 р (VU - VU) t + р (*. V10o) (Vloo - Vuo) + P't,
или в принятых в § 56 обозначениях
R = p(Vm .Vd)t-p(t -Vm)Vd + p't=pVmx(t xVd) + p't.
Первое слагаемое справа представляет силу Жуковского и может
быть обозначено через Rjt второе — силу сопротивления профиля в решет-
решетке; обозначим его через R'. Итак,
причем сила сопротивления R' связана с потерей напора р' простой фор-
формулой
R'=p't.
По сравнению с задачей о единичном крыловом профиле задача о
расчете профильного сопротивления решетки усложняется тем, что по-
пограничные слои, сходящие с отдельных профилей в решетке, на некото-
некотором расстоянии вниз по потоку смыкаются (рис. 262), образуя движе-
движение, не подчиняющееся уравнениям пограничного слоя. Обозначим это
сечение индексом 2 без знака оо и предположим, что неоднородность
поля скоростей в этом сечении следа за решеткой мала. Тогда легко по-
показать1), что потеря напора может быть выражена формулой
где б**—толщина потери импульса в рассматриваемом сечении следа,
(*2оо — угол между вектором скорости V2oo и перпендикуляром к оси ре-
решетки. Используя, как и в случае единичного профиля, изложенный ра-
ранее прием перехода от сечения в следе к сечению на задней кромке про-
профиля (б**«б**, ?/=[/к), будем иметь следующие формулы для потери
напора р/ и силы сопротивления /?':
и \3'2 6** / и \3'2
к I к /?' Т/2 / к 1
В последних формулах фигурирует скорость на бесконечности за
решеткой V2oo, а не средняя векторная скорость Vm, обычно принятая в
теории решеток. Замечая, что 1/2оо cosj}20o=Vmcos(}m, где рт — угол меж-
между Vm и перпендикуляром к оси решетки, будем иметь
3,2 / т/ \ 0,2 с**
) It) T^fm
и соответствующую формулу для силы сопротивления.
Рассматривая среднюю векторную скорость Vm как некоторую ус-
условную скорость на бесконечности, можно было бы принять за сопро-
сопротивление величину составляющей D силы R' на направление скорости на
бесконечности
D = R> cospm = pVl (^~у (тг
г
l) См. только что цитированную нашу статью.
694 ГЛ. XIII. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
и соответствующий ей коэффициент сопротивления писать в виде
п /и \3»2 / V \О>26**
Ъ-Г5-—2 Г (г") 7- B06)
7
Формула B06) аналогична формуле B03) для изолированного кры-
крылового профиля; отличием является лишь множитель (Vm/V2ooH>2, прак-
практически мало отличающийся от единицы. '
Сравнительная простота изложенного метода расчета профильного-
сопротивления объясняется интегральным характером последнего1).
Отдельные составляющие профильного сопротивления: сопротивление
трения и сопротивление давления не поддаются столь простому расчету.
Как это следует из предыдущего, определение профильного сопро-
сопротивления по приближенным формулам требует знания только толщины
потери импульса 8" на задней кромке крылового профиля. Это позво-
позволяет довольствоваться приближенными эмпирическими и полуэмпириче-
полуэмпирическими методами расчета турбулентного пограничного слоя, изложенны-
изложенными в настоящем параграфе, которые с достаточной для практики точ-
точностью дают интегральную величину толщины потери импульса б*\ За-
Заметим, что эти приближенные методы расчета оказываются недостаточ-
недостаточными для определения локального коэффициента трения на поверхности
обтекаемого крылового профиля, а следовательно, и суммарного сопро-
сопротивления трения.
Не следует забывать, что при составлении эмпирических методов
расчета турбулентного пограничного слоя с произвольным распределе-
распределением давления использовались значения входящих в расчет величин для
случая постоянства давления. Этот недостаток особенно сказывается в
сильно диффузорных (dp/dx^0) и, в частности, в предотрывных обла-
областях пограничного слоя.
Этот факт подтверждается опытами по определению потерь в тур-
турбинных и компрессорных решетках2). Произведенные по формуле B06)
расчеты сопротивления турбинных решеток, в которых роль диффузор-
ного участка мала, показали вполне удовлетворительное совпадение с
опытными данными. Трудности возникли при попытках расчета по тем
же приближенным формулам сопротивлений компрессорных решеток,
в которых наблюдаются большие продольные градиенты давления.
В этих случаях необходимы более точные методы расчета турбулентных
пограничных слоев, о которых пойдет речь в следующей главе.
Гидродинамические и гидравлические расчеты некоторых встречаю-
щихся в инженерной практике турбулентных течений (криволинейные
каналы, решетки, диффузоры, вихревые камеры-циклоны и др.) можно
найти в специальных монографиях3).
1) Другой подход к расчету параметров потока за решеткой изложен в моногра-
монографии: Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин.— М.: Физматгиз, 1962
§ 52, 54.
2) Зысина-Моложен Л. М. Расчет потерь в решетках профилей турбома-
турбомашин.— В кн.: Аэрогидродинамика.— М.: Машгиз, 1954, ЦКТИ, книга 27. Сводку резуль-
результатов по исследованию потерь в турбинных колесах и направляющих аппаратах, содер-
содержащую и собственные результаты автора, можно найти в монографии: Кирил-
Кириллов И. И. Газовые турбины и газотурбинные установки.— М.: Машгиз, 1956, с. 134—
166.
3) И д е л ь ч и к И. Е. Аэрогидродинамика технологических аппаратов.— М.: Маши-
Машиностроение, 1983; Гольдштик М. А. Вихревые потоки.— Новосибирск: Наука, Сибир-
Сибирское отд-ние, 1981, гл. IV; Brads haw P., Cebeci Т., White law J. Engineering
calculation methods for turbulent flow.—London—New-York: Acad. Press, 1981, p. 210-
215.
696 ГЛ. XIV. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
нуждающиеся в дополнительных эмпирических, а иногда и просто ин-
интуитивных «модельных представлениях».
Сравнительно простыми являются уравнения моментов первого по-
порядка. Это —уравнения переноса количества движения (импульса) A6)
предыдущей главы. Основными неизвестными в них являются осреднен-
ные скорости и давления, но в состав их входят и моменты второго по-
порядка— рейнольдсовы напряжения. Для замыкания системы уравнений
моментов первого порядка приходится прибегать во всей области погра-
пограничного слоя к гипотезе «турбулентной вязкости» Буссинеска E1)
предыдущей главы. Вблизи твердой поверхности используется теория
Прандтля «пути смешения» с поправкой на демпфирующий фактор, а в
удалении от стенки — гипотеза Клаузера (см. далее). Сложнее об-
обстоит дело с уравнениями для моментов второго порядка, содержащими
моменты третьего порядка, что вынуждает пользоваться для их опреде-
определения так называемыми «модельными соотношениями», уводящими ис-
исходные уравнения в область интуитивных догадок и допущений, осно-
основанных на соображениях теории размерностей (§ 88). Таковы уравнения
переноса рейнольдсовых напряжений C2) или C3) предыдущей главы,
а также переноса кинетической энергии пульсаций C5) той же главы.
Оправданием возможности использования этих и других подобных
им методов, основанных на уравнениях моментов различных порядков,
служит подтверждение их пригодности для решения все более услож-
усложняющихся задач.
Многообразие и сложность современных методов расчета турбулент-
турбулентных пограничных слоев заставляют ограничиться по необходимости
кратким, почти обзорным изложением только некоторых из них, а для
расширения сведений об этих и остальных методах рекомендовать сле-
следующие сборники статей и монографии, многие из которых переведены
на русский язык *).
§ 134. Введение в метод моментов первого порядка.
Двухслойная схема
Под методом моментов первого порядка расчета турбулентного по-
пограничного слоя в плоском стационарном движении будем понимать за-
задачу решения системы уравнений
ди . ди 1 dp , д I ди —г-т\
дх ду р dx ду\ ду )
а)
дх ду
представляющую собой систему уравнений A5) предыдущей главы, уп-
упрощенную обычными допущениями теории пограничного слоя, с харак-
характерными для пограничного слоя граничными условиями, которые не бу-
будем выписывать, где м, v и р — осредненные значения проекций актуаль-
1) Труды советских семинаров/Под ред. акад. В. В. С тру мин с к ого.—В кн.:
Турбулентные течения.— М.: Наука, 1974 и 1977; Механика турбулентных потоков.—
М.: Наука, 1980, а также следующие переводные издания: Методы расчета турбулент-
турбулентных течений, сборник статей/Под ред. В. Ко л л ьм ан а.— М.: Мир, 1984; Турбулент-
Турбулентные сдвиговые течения.— М.: Машиностроение, Сборник 1, 1982; Сборник 2, 1983; Тур»
булентность, принципы и применения/Под ред. У. Фроста и Т. Моулдена.— М.г
Мир, 1980; Турбулентность/Под ред. П. Б р эд шоу.—М.: Машиностроение, 1982. Спе-
циально приспособлена для практических применений монография: Bradshaw P.,
Cebeci Т., Whitelaw J. Engineering calculation methods for turbulent flow.— Lon-
London — New-York: Acad. Press, 1981.
ГЛАВА XIV
НЕКОТОРЫЕ СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 133. «Моментные» методы теории турбулентного
пограничного слоя
Изложенные в предыдущей главе простые эмпирические и полуэм-
полуэмпирические методы расчета турбулентного пограничного слоя не могут
вполне удовлетворить современную практику, так как они позволяют
рассчитывать главным образом интегральные величины пограничного
слоя, такие, как толщина вытеснения и толщина потери импульса. Наи-
Наиболее важные характеристики пограничного слоя — в первую очередь
распределение напряжения трения на твердой границе — эти методы
определяют недостаточно достоверно.
Методы, появившиеся в последнее время, значительно превосходят
по своим возможностям изложенные в гл. XIII, позволяя вычислять не
только трение на поверхности, но и внутренние характеристики турбу-
турбулентных пограничных слоев. Естественно, впрочем, что и их возможно-
возможности ограничены определенными условиями. Многие методы создавались
применительно к конкретным классам задач и поэтому не обладают уни-
универсальностью.
Количество публикаций по методам расчетов турбулентных погра-
пограничных слоев к настоящему времени настолько велико и они так раз-
разнообразны, что не представляется возможным осветить их сколько-ни-
сколько-нибудь полно на страницах учебника по общей механике жидкости и газа.
В данном параграфе лишь кратко обсуждаются общие свойства широ-
широкого класса методов, основанных на «моментных» уравнениях двух пер-
первых порядков, а конкретные применения некоторых из них будут далее
обсуждены в обзорной форме.
Уравнения моментов того или иного порядка были уже ранее вве-
введены в § 120 как уравнения переноса импульса осредненного движения,
рейнольдсовых напряжений, кинетической энергии пульсаций скорости,
но они допускают и иное содержание, отвечающее другим характеристи-
характеристикам турбулентных движений (скорости диссипации, коэффициенту тур-
турбулентного трения и др.). Все они основаны на осреднении преобразо-
преобразованных к различной форме уравнений Навье — Стокса движения не-
несжимаемой вязкой жидкости и в этом условном (поскольку условны
сами приемы осреднения) смысле могут рассматриваться как строгие
следствия уравнений Навье — Стокса. Неудивительно поэтому, что мо-
ментные уравнения разных порядков рассматриваются сейчас как на-
надежный фундамент современных методов расчета турбулентных погра-
пограничных слоев.
Структура моментных уравнений сложна. Мало того, что уравнения,
служащие для определения моментов первого порядка, содержат неиз-
неизвестные моменты второго порядка, а уравнения для моментов второго
порядка — моменты третьего порядка и т. д. Это само по себе делает
системы моментных уравнений незамкнутыми, требующими для своего
замыкания дополнительных допущений — так называемых «связок».
Уравнения моментов содержат, кроме того, разнообразные корреляции
лульсационных скоростей и давлений, для своего определения также
§ 135. «ПРИСТЕННАЯ» ПОДОБЛАСТЬ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 697
ной скорости и давления, и\ vf — пульсационные скорости, а единствен-
единственное рейнольдсово напряжение (—p^V) предполагается выраженным
через основные неизвестные.
В текущей литературе метод момента первого порядка нередко рас-
рассматривается как сравнительно грубый, не позволяющий определять
внутренние характеристики турбулентного пограничного слоя, а дающий,
да и то лишь приближенно, профили осредненных скоростей, напряжение
трения на твердой границе и условные толщины слоя. Однако этот метод
широко используется уже в течение нескольких десятилетий и, по-види-
по-видимому, при умелом подходе может приносить удовлетворительные ре-
результаты. Метод наиболее пригоден для тех потоков, которые опреде-
определяются одним масштабом длин и одним масштабом скоростей. Этому
требованию удовлетворяет общепринятая в методе моментов первого
порядка «двухслойная схема» расчета. Согласнр этой схеме вся область
пограничного слоя разбивается в перпендикулярном к потоку направле-
направлении на две подобласти: 1) «пристенную», граничащую с поверхностью
обтекаемого тела, и 2) «внешнюю», занимающую остальную часть слоя.
«Пристенная» подобласть тоньше «внешней»; так, в случае безгради-
ентного внешнего невязкого потока (продольное обтекание пластины) на
долю каждой из них приходится примерно 20 и 80 процентов номиналь-
номинальной толщины пограничного слоя.
«Пристенная» подобласть состоит из вязкого подслоя, переходного
участка и логарифмической части (§ 125), подчиняющихся «закону стен-
стенки», а «внешняя» подобласть управляется так называемым «законом
следа».
Для каждой из этих двух подобластей по отдельности характерны
свои единственные масштабы длин и скоростей. В безградиентном по-
пограничном слое это ранее (§ 125) названные «универсальными» мас-
масштабы: длин — /•—v/y. и скоростей y.^VWp для «пристенной» подобла-
подобласти и соответственно б* или б** и U (скорость на внешней границе по-
пограничного слоя)—для «внешней» подобласти. Выбор масштабов в
общем случае пограничного слоя с конфузорным (dp/dx<0) и диффузор-
ным (dp/dx>0) участками требует особого рассмотрения (см. далее
§138).
§ 135. «Пристенная» подобласть турбулентного пограничного слоя.
Взаимодействие молекулярной и турбулентной вязкостей
Основным вопросом теории «пристенной» подобласти является ус-
установление непрерывного плавного профиля осредненной скорости в се-
сечениях пограничного слоя взамен ранее изложенного разбиения «при-
«пристенной» подобласти на вязкий подслой и турбулентное ядро течения.
Это непрерывное распределение скоростей должно служить во всей
«пристенной» подобласти от твердой стенки до нижней границы «внеш-
«внешней» подобласти пограничного слоя.
Одно из возможных построений такого профиля скоростей состоит
в следующем1). Оставаясь в рамках задачи о плоском сдвиговом
1) ЛойцянскийЛ. Г. Турбулентное движение жидкости и внутренняя задача.—
Изв. НИИГ, 1933, т. IX и того же автора: Полуэмпирические теории взаимодействия
процессов молекулярного и молярного обмена в турбулентном движении жидкости.—
Труды Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике (Москва, I960).—
М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1962, с. 145—166. Современное изложение этого вопроса
дано в статье того же автора: Демпфирующий фактор к формуле Прандтля для пе-
переходного участка турбулентного пограничного слоя.— Инж. физ. журнал, 1983, т. 45,
№ 6, с. 924—932.
698 ГЛ. XIV МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
движении (§ 125) с характерным для него постоянством во всем сечении
касательного напряжения трения т, равного его значению на стенке
(t=tw), из основного равенства
x = (x-|--p^V B)
получим, согласно гипотезе Буссинеска D3) гл. XIII,
du . du f du\ (' v, \
т = u \- ut — = M — I ( И I • C)
^ dy^ p dy r [dy J [ ^ v ) w
Здесь под \it и vt=\itlp будем понимать соответственно динамический и
кинематический коэффициенты «турбулентной вязкости», учитывающие,
в отличие от прандтлевских ус1Р и v*P, взаимное влияние процессов мо-
молекулярного и молярного (турбулентного) переносов импульса. Сохра-
Сохраним для %t и jiXi йрандтлевскую форму закона турбулентного трения с
неопределенным пока путем смешения /
du f2/ du \ъ 12 du /У|Ч
dy \dy J dy
но будем отличать их от прандтлевских, не зависящих от молекулярной
вязкости и предполагающих линейный закон для /Р:
#2 / du \2 ,2 du 1 /СЧ
t/P = p/p — , jirp = p/P —, /p = xr/. E)
Из равенств D) и E) непосредственно следует
Первый сомножитель в правой части последнего равенства
G)
выражает ту поправку, которую надо принять, чтобы перейти от клас-
классической формулы Прандтля E), не учитывающей влияние молекуляр-
молекулярной вязкости на турбулентный обмен, к искомой D). Эту поправку G),
выражающую демпфирующее влияние вязкости на турбулентный обмен
(трение) в форме множителя, равного квадрату отношения нового, со-
содержащего в себе влияние вязкости, пути смешения / к старому прандт-
левскому 1Ру пренебрегающему этим влиянием, примем за определение
«демпфирующего фактора».
Чтобы найти зависимость «демпфирующего фактора» от расстояния
до твердой стенки, обратимся к теории взаимодействия молекулярного
и турбулентного обмена, изложенной в только что цитированных рабо-
работах. В них устанавливается связь между «переходной» функцией
/ (R) = 1 + — , (8)
v
монотонно изменяющейся от значения /=1 непосредственно на твердой
стенке до значения в ядре турбулентного течения
/ = 1 + ^-1+?*«&, (9)
§ 135. «ПРИСТЕННАЯ» ПОДОБЛАСТЬ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 699
с «локальным рейнольдсовым числом» *)
Re/. A^exV*^L. A0)
V V
В равенстве (9) выражен тот факт, что на внешней границе «пере-
«переходного участка» и вне его кинематический коэффициент турбулентного
трения vt перестает зависеть от вязкости и становится равным vtP. Из
(9) и A0) следует, что в этой области будет справедливо равенство
/« = 1+1*. (И)
Из равенств D), G) и (8) получим
f-l==^.=P^EL^(±Jl%^^-=,DR. A2)
V V \ 1р ) V
Вводя известные нам по предыдущей главе универсальные пере-
переменные
?
преобразуем A0) к виду
R xn?, A4)
а, согласно определению (8) «переходной» функции f и равенству C), в
тех же универсальных переменных найдем
Деля почленно обе части уравнения A4) на соответствующие части
равенства A5), получим после простых преобразований
A6)
Удовольствуемся, как уже упоминалось, частным случаем чисто
сдвигового квазипрямолинейного осредненного движения, в котором
T=const=Tu,2). Тогда, возвращаясь к равенствам A2) и A6) при t=tw,
будем иметь следующее параметрическое (через параметр R) определе-
определение «демпфирующего фактора» D(r\) в функции от универсальной коор-
координаты Ч)
iffbi xV. A7)
Таким образом, дело сводится к заданию вида «переходной» функ-
функции f(R).
Простой, рационально обоснованной модели явления перехода от
ламинарного движения в «вязком подслое» к чисто турбулентному в
1) Величины /, R и связанные с ними понятия «переходной функции» и «локаль-
«локального рейнольдсова числа» были позже использованы в работе Мэллора (Mel-
do г G. L. The effects of pressure gradients on turbulent flow near a smooth wall.—
Journ. Fluid Mech., 1966, v. 24, part 2, p. 255—274) без ссылок на доклад, сделанный
нами на X Международном конгрессе прикладной механики в г. Стреза (Италия) в
I960 г. и опубликованный в Трудах Конгресса (Loitsianski L. Sur l'action reci-
proque de la transmission moleculaire et molaire dans l'ecoulement turbulent.— In: Pro-
Proceed, of the tenth internat. Congr. of appl. mech.— Italy: Stresa, 1960; Elsvier Publ.
Сотр. Amsterdam.— New-York, 1962, p. 202—204) за шесть лет до появления работы
Мэл л ор а.
г) Этому случаю будет также соответствовать движение в переходном участке
в безградиентном (dp/dx=0) турбулентном пограничном слое.
700 ГЛ. XIV. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
«ядре» течения пока не существует. Оставаясь в рамках полуэмпириче-
полуэмпирического подхода к описанию этого процесса, определим его двумя вели-
величинами: положением условной «точки перехода» R=RKp и мерой столь
же условного с количественной стороны понятия о протяженности «об-
«области перехода» в данном сечении турбулентного пограничного слоя1).
Обозначим через /0(R) значение «переходной» функции в переходной
области (R<RKp), а через f»(R) ее значение в «ядре» течения, т. е. вне
переходной области (R>RKp).
В качестве грубого приближения, основывающегося только на зада-
задании положения «точки перехода» R=RKp, можно определить f (R) при по-
помощи разрывной функции
1 при
signx = j
—1 при х< 0,
приняв
A8)
0 при # = 0,
Действительно, при этом
/0(R) при R<Rkp и sign(R —Rkp) = —1,
A9)
/oo(R) при R>RKP и sign(R —RKP)=1.
От разрывного определения «переходной» функции /(R) по формуле
A8) можно перейти к непрерывному, вспоминая, что по определению
функции sign х будут существовать равенства2)
sign x = lim (—arctga*) ,
06-юо \ Я /
t
sign x = lim erf (ax), erf / = -JL f e'v d%> B0)
sign x = lim th (ax) и др.
Опустив знак предела, получим приближенные асимптотические вы-
выражения функции sign л: при больших а в виде непрерывных функций.
Так, сохранив прежние обозначения для функций fo(R) и /«(R) и ис-
использовав, например, последнее равенство в системе B0), будем иметь
следующее непрерывное выражение для «переходной» функции3)
/(R) = |[/o(R) + /co(R)l + ~[/co(R)-/o(R)]th[a(R-RKP)]. B1)
В этом выражении имеются два свободных параметра: RKp и а. Рас-
Распоряжаясь ими, можно получить различные приближенные выражения
«переходной» функции. Сохраним для RKp значение RKp=ll, указанное
Мэллором. Увеличение параметра а приведет к сужению «переход-
«переходного» участка. Примем а=100 и сохраним для больших R ранее упомя-
упомянутую асимптотику /„(R) A1). Что касается асимптотики /0(R) для
1) Лойцянский Л. Г. Демпфирующий фактор к формуле Прандтля для пе-
переходного участка турбулентного пограничного слоя.— Инж.-физ. журнал, 1983, т. XLV,
№ 6, с. 924—932.
2) См., например, Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных ра-
работников и инженеров.—М.: Наука, 1977, с. 832.
3) В статье, цитированной в сноске 1) на этой странице, вместо th была использо-
использована первая в системе B0) функция B/я) arctg, что не отразилось сколько-нибудь за-
заметно на расчетах.
§ 135 «ПРИСТЕННАЯ» ПОДОБЛАСТЬ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
701
малых R, то определим ее выражением
//р\ 1 __[_ -,р2 /ОО\
0{К) = 1 -f- y^ , \?**)
оправданным экспериментально «законом четвертой степени» убывания
кинематического коэффициента турбулентной вязкости vt с приближе-
приближением к твердой стенке, который зададим формулой
-^- = 7х4тL, B3)
V
где 7=0,0092 по опытам Дайслера1) и 7=0,0125 по опытам X а н-
ратти2), х=0,4, а г\ — универсальная ордината, равная yv./v.
Примем для 7 округленное значение 7=0,01. «Переходная» функция
/(R), согласно B1), определится интерполяционным выражением
/(R) = 1B + R + 0,01R2) + — (R — 0,01R2) tha(R — 11), B4)
а демпфирующий фактор D(R) по первому равенству A7) будет равен
!(l— 0,01R)tha(R — 11).
B5)
Совокупность последних двух равенств в соединении со вто-
вторым равенством системы A7) представляет собой параметрическое
определение переход-
переходной функции f и демп- 1,00
фирующего фактора D
как функций т|. На рис. д,75
263 приведен график
D(x\) в виде первой кри-
кривой слева. Эту кривую,
судя по близости «вне-
«внешней границы» пере-
переходного участка к экс-
экспериментально оправ-
оправданному значению r]t»
«35, можно принять
как вполне удовлетво- Рис. 263
ряющее опытным дан-
данным представление демпфирующего фактора, что подтверждается рас-
расчетом профиля скорости, экспериментальный вид которого хорошо из-
известен (см. далее рис. 264).
Некоторая сложность параметрического задания переходной функ-
функции и демпфирующего фактора обычно не служит препятствием для их
численного определения. Все же стоит указать и явную форму этих за-
зависимостей, упрощающую практические вычисления.
Наибольшее распространение получила формула Ван-Дриста
А
/
/>
/Ч
у
/
/
/
25
50
= [ 1—ехр (—ц/А.) ]2, Л,=26,
B6)
представляющая экспоненциальное выражение демпфирующего факто-
фактора; здесь Л» — эмпирический коэффициент, а i\=yvjv, v>=-][xjp.
Заслуживает внимания тот факт, что эта формула выведена на осно-
основе соображений, далеких от полуэмпирических теорий турбулентности.
1) Deissler R. Analysis of turbulent heat transfer, mass transfer and friction in
smooth tubes at high Prandtl and Schmidt numbers —NACA Rep., 1959, v. 1210.
2) Hanratty Th. Study of turbulence close to a solid wall.—Phys. of Fluids,
Supplement, 1967, p. 126—133.
702 гл. xiv. методы расчета турбулентного пограничного слоя
Принятая Ван-Дристом модель покоится на аналогии между двумя со-
совершенно различными по природе явлениями: демпфированием вяз-
вязкостью турбулентного пульсационного движения и ламинарным неста-
нестационарным движением вязкой жидкости вблизи совершающей гармони-
гармонические колебания безграничной пластины. При этом, основываясь на
простых соображениях размерности, Ван-Дрист сопоставил характерную
для турбулентного движения «динамическую скорость» v* с квадрат-
квадратным корнем из произведения кинематического коэффициента вязкости
на круговую частоту колебаний пластинки. Предложим другой вывод
формулы Ван-Дриста B6), основанный на изложенных выше представ-
представлениях о влиянии вязкости на турбулентное трение. Особенно отметим,
что в этом выводе исчезает необходимость введения новой эмпирической
константы Л*, а указывается ее выражение через общепринятые кон-
константы турбулентности хи^.
Примем переходную функцию f(R) и выражающийся через нее
демпфирующий фактор D(R) в форме
exp[-(YRnr,
B7)
-(YRI/rt]}rt,
удовлетворяющей при любых п асимптотическим формулам A1) и B2).
Если вторую строку равенства A7) заменить соотношением R=x2t|2,
следующим из нее при f(R) = l, то по B7) при я=2 получим выражение
демпфирующего фактора
B8)
совпадающее с формулой Ван-Дриста B6), если в ней положить
Л.= 1/(кУт). B9)
что при х=0,4 и 7=0,0092 подтверждает принятое Ван-Дристом значение
константы А=26. Приведенное рассуждение дает новое освещение фор-
формулы Ван-Дриста и позволяет выразить эмпирическую константу А* че-
через основные константы турбулентности х и -у. Заметим, что при /г=1
переходная функция имеет вид
/(R) = l+R[l-exp(-YR)L C0)
приводящий при том же выборе R к выражению демпфирующего фак-
фактора
2 C1)
удовлетворительно описывающему распределение скорости во внутрен-
внутренней части переходной области, но дающему значительное искажение пе-
перехода к логарифмической прямой в области турбулентного ядра.
На рис. 263 приведены сравнительные графики функций /)(т|),
Dv.d (ц) и D0(r\). Отличие между первыми двумя из них мало сказыва-
сказывается на профиле скорости в переходной области благодаря интегрально-
интегральному определению [см. далее формулу C4)] этой скорости.
Несмотря на физическую неубедительность модели Ван-Дриста и
на определенный произвол в выборе формы переходной функции B7) и
особенно соотношения R=x2ri2, связанного с предположением /(R) = l,
расчеты с использованием формулы Ван-Дриста вполне удовлетвори-
удовлетворительно согласуются с опытом. Можно лишь отметить небольшое откло-
отклонение кривой B6) от опытных точек внутри переходной области и не-
несколько запоздалый переход на логарифмическую прямую, расположен-
расположенную чуть выше экспериментальных точек (см. штриховую кривую на
рис. 264).
§ 135. «ПРИСТЕННАЯ» ПОДОБЛАСТЬ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
703
Формулу Ван-Дриста используют при расчетах как безградиентных,
так и градиентных пограничных слоев, производя при этом замену вхо-
входящего в определение v. касательного напряжения трения на стенке tw
текущим его значением в сечении пограничного сцоя %{у). Такое обоб-
обобщение формулы Ван-Дриста или изложенных ранее параметрических
формул непосредственно следует из равенства A6), в котором стоящий
справа член т(у) может быть заменен существующими приближенными
выражениями распределения трения по сечению пограничного слоя1).
Пользуясь так или иначе вводимым демпфирующим фактором, мож-
можно взамен рассмотрения распределений скорости по отдельности в обла-
областях вязкого подслоя и турбулентного ядра течения получить непрерыв*
нов распределение скорости в сечениях всей пристенной подобласти от
20
Рис. 264
твердой стенки до внешней границы этой подобласти. Для этого, вспо-
вспоминая выражение полного напряжения трения т, примем во внимание
равенства C) и D) и удовольствуемся в пристеночной подобласти при-
приближенным равенством т=т„. Тогда т представится в виде суммы
du , ,о / da \2
ТШ=(Х—+р/2(— ,
dy \dy)
C2)
или, переходя от / к /Р=ху и пользуясь демпфирующим фактором G),
<33)
Введение в это равенство универсальных величин A3) преобразует
его к виду
l) Coles D. The law of the wall in turbulent shear flow.— 50 Jahre Grenzschicht-
forschung.— Braunschweig, 1955, S. 153—163; Ротт а И. К. Турбулентный погранич-
пограничный слой в несжимаемой жидкости.—М.: Мир, 1967, с. 75—78, а также Лойцян-
ский Л. Г. Об одной общей формуле теории тепломассопереноса в пристенной об-
области турбулентного пограничного слоя.—Сборник научных трудов «Гидроаэродинз-
мика».—Л.: Изд. Ленингр. политехи, инст., 1983, с. 3—10.
704 ГЛ. XIV. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Разрешая это квадратное относительно d<p/dr\ уравнение, найдем
d(p 2
d^~~ I + VT+ №х\Ю (л) э
C4)
и ? 2dr\
v0 J l + VT-
Обозначая через rji универсальную ординату точки сечения погра-
пограничного слоя, соответствующей концу переходного участка, представим
второе равенство системы C4) в форме
Ф(ч)-Т—-Ш=+\^ =
J 1 + У 1 + 4x2ti2D (ti) J щ
0 T)f
Til
C5)
Сравнивая последнее равенство с логарифмическим профилем ско-
скоростей в турбулентном ядре течения (т^ть)» представленным формулой
A16) предыдущей главы
у*
определим константы А и В:
•Hi
ЫЧи
J
где числовой множитель 2,303 — модуль десятичных логарифмов.
Проведенные вычисления с использованием значений констант
х=0,4, 7=0,0092, t)i=30 и формул C5) позволили построить график рас-
распределения скоростей в «пристенной» подобласти, показанный на
рис. 264, и определить константы А и В. Там же для сравнения штрихо-
штриховой линией дан график распределения скоростей, основанный на исполь-
использовании демпфирующего множителя Ван-Дриста. Можно убедиться,
что значительное различие демпфирующих факторов D(i)) и Z)v.d.(t))>
показанных на рис. 263, слабо сказывается на форме профиля скорости.
Однако все же штриховая линия, соответствующая расчету демпфирую-
демпфирующего множителя по Ван-Дристу, ложится несколько выше опытных
точек.
Значение коэффициента В оказалось равным ?=4,7, что близко к
опытному 4,8. По Ван-Дристу было бы 5v.d.=5,4.
Опытные точки соответствуют наиболее достоверным эксперимен-
экспериментам: (/) — Лауфера1), B) — В игх а р дт а2) и C) — Тсуджи и
Морикавы8). Выполненные в последнее время 4) более точные вычис-
1) Laufer J. The structure of turbulence in fully developed flow.—NACA Rep.,
1954, v.l 174.
2) В сб.: Computation of Turbulent Boundary Layer.—Proceeding AFOSR—IFR—
Stanford Conference, 1968; University of Stanford, Thermosciences Division Dep. of Mech.
Eng., California, USA, 1969, v. 2; exper. 1400, p. 98—123.
8) T s u j i J., Morikawa G. Turbulent boundary layer with pressure gradient
alternating in sign.—Aeron. Quart., 1976, v. 27, № 1, p. 15—28.
4) Лойцянский Л. Г., Зябриков В. В. Демпфирующий фактор в теории
пути смешения Прандтля. Доклад на VI Всесоюзном съезде по теоретической и при-
прикладной механике.—Ташкент, 24—30 сентября 1986 г.
<> 136. ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС В «ПРИСТЕННОЙ» ПОДОБЛАСТИ 705
ления привели к значениям RKp=13, B = 5,l. В цитированной работе
разобран общий случай «градиентного» пограничного слоя и предложе-
предложены параболические аппроксимации демпфирующего фактора, превосхо-
превосходящие по простоте и точности формулу Ван-Дриста B6).
§ 136. Тепломассоперенос в «пристенной» подобласти
В задачу настоящего курса не входит изложение существующих
методов расчета тепломассопереноса. Этому вопросу посвящены мно-
многочисленные специальные руководства и монографии1).
В настоящем параграфе мы остановимся лишь на некоторых прин-
принципиальных вопросах, тесно связанных с турбулентным движением и
сопровождающим его турбулентным переносом тепла. Что касается тур-
турбулентного переноса вещества, то полуэмпирическая теория этих про-
процессов совпадает с аналогичной теорией процессов распространения
тепла, так что все, что будет изложено в настоящем параграфе, в оди-
одинаковой степени относится к тому и к другому процессам.
Решение общей задачи переноса в турбулентных потоках упирает-
упирается, как мы ранее (§ 123) уже видели, в недостаточность наших знаний
о коэффициентах переноса ет, ед, гт. Если для первого из этих коэффи-
коэффициентов удается сконструировать достаточно удовлетворительное полу-
полуэмпирическое выражение, содержащее понятие пути смешения, то для
остальных двух приходится пользоваться либо предположением о пас-
пассивности переносимой субстанции, или, что то же, о равенстве турбу-
турбулентных чисел Прандтля и Шмидта единице, либо задаваться какими-
то эмпирическими средними значениями этих чисел, либо, наконец, при-
принимать в расчет эмпирические их распределения по потоку.
В настоящем параграфе мы остановимся исключительно на рас-
рассмотрении явлений тепломассопереноса в обстановке «пристенной»
турбулентности.
Принципиальное значение для дальнейшего имеет вопрос о том,
сохраняется ли в явлениях переноса тепла деление потока на вязкий
подслой с молекулярной природой переноса {температурный подслой)
и турбулентное ядро, где процессы переноса чисто молярные, не зави-
зависящие от молекулярной структуры жидкости, и каково должно быть
соотношение между толщинами вязкого и температурного подслоев.
Аналогично тому, как это указывалось в теории ламинарного по-
пограничного слоя (§ 117), совпадение толщин вязкого и температурного
подслоев возможно лишь при равенстве молекулярного числа Прандт-
Прандтля единице (Рг=1), так как только при этом осуществляется подобие
профилей распределения скорости и температуры в подслое.
Если молекулярное число Прандтля меньше единицы (Рг<1), что
свидетельствует о повышенной роли теплопроводности жидкости по
сравнению с вязкостью (K>[iCp), молекулярные процессы теплопровод-
теплопроводности сохранят свое значение в области турбулентного ядра, где моле-
молекулярной вязкостью можно пренебречь. Отсюда следует, что при Рг<
<1 толщина температурного подслоя будет превосходить толщину вяз-
вязкого подслоя. Так, например, в жидких металлах (ртуть, расплавы ме-
металлов), для которых Pr<Cl, процессы молекулярной теплопроводности
1) Жука у ска с А А. Конвективный перенос в теплообменниках.— М.: Наука,
1982; Г р е б е р Г., Э р к С, Г р и г у л ь У. Основы учения о теплообмене.— М.: ИЛ,
1958; Patankar S V, Spa Id ing D. В. Heat and mass transfer in boundary lay-
layers — Intertext Books, London, 1970; Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепло-
и массопереноса.— М.; Л.: Госэнергоиздат, 1963, Кутателадзе С. С, Леонть-
Леонтьев А. И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое.— М.: Энергия,
1972.
23-9487
706 Гл- XIV» МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
будут иметь первенствующее значение в большей части турбулентного
ядра.
Наоборот, при молекулярных числах Прандтля, больших единицы
(Рг>1), турбулентный (молярный) характер переноса тепла преобла-
преобладает над молекулярным, т. е. обычной теплопроводностью. Это приво-
приводит к тому, что в некоторой внешней части вязкого подслоя развивается
турбулентный перенос тепла, и, следовательно, температурный подслой
становится тоньше вязкого. Такого рода соотношение между толщина-
толщинами вязкого и температурного подслоев особенно резко проявляется в
потоках очень вязких жидкостей (смазочных масел, глицерина и др.),
у которых Рг»1.
Среди классических результатов в этой области прежде всего
надо упомянуть об аналогии Рейнольдса1), устанавливающей простую
связь между трением и теплопереносом в турбулентном движении при
равных единице ламинарном и турбулентном числах Прандтля, а кро-
кроме того, при отсутствии продольного перепада давления в потоке.
В этих условиях (Pr=(iCpA=l, Рг< = ет/ед=1) уравнения плоских
скоростного и температурного слоев, согласно A), а также B3), E5)
и E7) гл. XIII будут иметь вид
ди , ди д Г/.7 | \ ди
C6)
дх ду ду I ду
а граничные условия, применительно к пластине, расположенной вдоль
оси Ох,
и — v — 0, Т =-Tw при у~0,
C7)
^ = [/00, Т^Тоо при y—oot
где Tw — температура поверхности, Гго — температура вдали от поверх-
поверхности.
Рассматривая систему уравнений C6) и граничных условий C7),
убедимся, что второму уравнению можно удовлетворить, положив
—=зу- = —» C8)
а это выражает тот факт, что распределения скоростей и перепадов
температур в сечениях потока, нормальных к твердой стенке, подобны.
Дифференцируя обе части равенства C8) по у и положив затем у=
=0, получим
Вводя в это равенство напряжение трения iw=ii(du/dy)y=0 и поток
тепла qw==z—^(dTldy)y==0 на поверхности тела, получим соотношение
C9)
выражающее вышеупомянутую аналогию Рейнольдса и связывающее
трение с теплопереносом на твердой непроницаемой стенке в потоке
вязкой жидкости.
l) R ey n о 1 d s О. On the extent and action of the heating surface for steam boi-
boilers— Proceed of the Manchester Literary and Philosophical Society, 1874, v. 14.
§ 136. ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС В «ПРИСТЕННОЙ» ПОДОБЛАСТИ 707
Левая часть последнего равенства равна с,/2, а правая представ-
представляет собой число Стэнтона St, которое в данном случае, когда в
качестве масштабов скорости и температуры выбраны величины Uж и
Гоо, соответствующие набегающему потоку, обозначим через S\x, по-
положив
— = Stoo. D0)
В дальнейшем встретятся выражения числа Стэнтона, построенного
по другим величинам.
Аналогия Рейнольдса C9) для случая потока вдоль непроницае-
непроницаемой стенки и отсутствия продольного перепада давления запишется в
такой краткой форме:
При установившемся турбулентном движении в плоской или круг-
круглой цилиндрической трубе, так же как и в пограничных слоях, на
смену масштабам Uж и Г» приходят скорость и температура жидкости
на оси трубы или на внешней границе пограничного слоя. В случае
трубы предпочитают иметь дело со средними значениями скорости иср
и температуры Гср по сечению трубы, а вместо cf вводят коэффициент
сопротивления трубы А, входящий в известную уже по предыдущему
формулу сопротивления
_ L Рц*р
d 2
Замечая, что при установившемся (безразлично, ламинарном или тур-
турбулентном) движении справедливо соотношение
rw = Др, если L = — ,
4
найдем
-^¦f- = -. D2)
Определяя по C8) указанные средние величины по сечению трубы,
получим
после чего, переписав C9) в форме
<7ш Tw - Tcv ucp
V
и используя D3), придем к аналогии Рейнольдса для трубы в форме
l = __-^___=St. D4)
Здесь St обозначает число Стэнтона, построенное по средним вели-
величинам ыср и Гср.
Расширение аналогии Рейнольдса [C9), D1)] на случай молеку-
молекулярных чисел Прандтля, не равных, но близких к единице, было пред-
708 ГЛ. XIV. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
ложено Тейлором1) и Прандтлем2). Считая, что в этом случае
можно пренебречь малой разницей в толщинах вязкого и температур-
температурного подслоев, а распределения скоростей и температур внутри этих
тонких, совпадающих по толщине слоев принять линейными, будем
иметь (t=const=Ttc, q=const=qWy TB — температура на внешней грани-
границе вязкого подслоя)
ди
D5)
v / у=0 °В
Согласно принятому условию равенства единице турбулентного
числа Прандтля, в турбулентном ядре потока, независимо от условия
Рг=тМ, будет существовать подобие распределений осредненных скоро-
стей и температур, так что {1)х>иъу Too<TB<Tw — скорость и темпера-
температура вдалеке от твердой стенки, на внешней границе турбулентного
пограничного слоя или на оси трубы)
и, следовательно, вне вязкого (или температурного, что при Рг«1 одно
и то же) подслоя имеет место соотношение
1 дТ _ 1 ди .
Тоо~Твду~ </„-«<. ду '
которое можно тождественно переписать в форме (Aq=AXf eq=ex)
срАд(дТ/ду) = Ах(ди/ду)
9ср GV, - Гв
или [cpAq(dT/dy) =q = const=qw\ Ах(ди/ду) =x=const = Tu?],
qJLТш D7)
«J f
что представляет собой очевидное обобщение формулы C9).
Исключим теперь из системы равенств D5) и D7) две величины: бв
и Гв. Будем иметь
litl О
в — » Cpl в — Cpl w — ГГ UB 9
и равенство D7) перейдет в следующее:
qj* = !«! , D8)
рс UOO(TW—TOC) pU2^ [1 + (Рг— 1) "ц/^oJ
или, по принятым ранее обозначениям,
Sf^ = CJH . D9)
1) Taylor G. J. Conditions at the surface of a hot body exposed to the wind.—
Techn. Rep. Adv. Com. Aeron., 1916, v. 2, № 272.
2) Prandtl L. Bemerkung iiber den Warmeubergang im Rohr.— Phys. Zeitsch.,
1928, Bd 29
§ 136. ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС В «ПРИСТЕННОЙ» ПОДОБЛАСТИ
709
Переходя в случае плоской или цилиндрической круглой трубы от
fх и L к средним расходным величинам ucv и Гср (при вычислении
этих величин можно при числе Прандтля, близком к единице, прене-
пренебречь слабым неподобием распределений скоростей и температур в
вязком подслое, составляющем ничтожную часть интервала интегриро-
интегрирования), будем иметь вместо D9)
St = ^ . E0)
1 '(Pri)Vs
Полученные соотношения D9) и E0) дают искомые обобщения
аналогий Рейнольдса D1) и D4) на случай малого отличия числа Рг
от единицы. Переписывая их в форме (а^ 11,5)
= a(Pr-l),
или
убедимся, что в рассматриваемом случае малого отличия Рг от едини-
единицы дело сводится к поправочному слагаемому к классической форму-
формулировке аналогии Рейнольдса D1) и ее преобразованному выражению
g(?r)
50 -
X
a
о
igU
5,3
5,0 -
4,5
?
/
/
X
/
у
Я
(
D4). Новым по сравнению с D1) и
D4) является введение промежуточ-
промежуточной скорости на внешней границе
20
10
I
i
у
f'S,
75 lg.
Рг
12
Рис 265
1,0 7/ 2,0
Рис 266
3,0
вязкого подслоя иъ и известного по гл. XIII отношения wB/y* = a« 11,5.
При этом появляется сохраняющая свое значение в последующем функ-
функция Кармана g(Pr) E1), вид которой, как сейчас будет показано, из-
изменяется с расширением области допустимых значений числа Прандт-
Прандтля Рг.
На рис. 265 показан график (прямая 1) функции g"(Pr), входящей в
формулу E1). Для сравнения там же приведены экспериментальные
точки Игла — Фергюссона1). Совпадение с опытом формулы
Прандтля E1) можно признать удовлетворительным только при числе
Рг, близком к единице.
l) Eagle A., Fer g u s s о n R. On the coefficient of heat transfer from the inter-
internal surface of tube walls,—London: Proceed. Roy. Soc, ser. A, 1930, v. 127.
710 ГЛ. XIV. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Карман1) отказался от «двухслойной» схемы и поместил между
вязким подслоем и турбулентным ядром, в которых соответственно
Ф=т] при 0^т]<5; <p=5,751gT) + 5,5 при т^ЗО,
новый «переходный» (его тогда называли «буферным») слой с распре-
распределением скоростей (рис. 266)
Ф= 11,5^-^ + 5 при 5<г)<30.
Введение переходной области от вязкого подслоя к турбулентному
ядру расширило область применения обобщенной аналогии Рейнольдса
E2). Кривая <?, соответствующая формуле такой «трехслойной» схемы
Кармана (рис. 266)
| [|j| E3)
очень хорошо совпала с опытными данными Игла и Фергюссона до
значений числа Рг порядка 10.
Для дальнейшего продвижения в область больших чисел Прандт-
ля были испробованы «многослойные» схемы, что привело к сложным
методам расчета. Этого недостатка лишена теория непрерывно рас-
распределенного по всей области взаимодействия молекулярных и моляр-
молярных процессов переноса, представляющая расширение теории, изло-
изложенной в предыдущем параграфе, на явление тепломассообмена2).
Следуя обозначениям (8) и A0), принятым в § 135, перепишем си-
систему равенств D5) в следующей форме, добавив выражение для плот-
плотности потока массы ш:
dy
^ E4)
m P^(l+)p^[l
dy \ v I dy
Сохраняя приближенное условие T=const=Tw, положенное в основу
теории взаимодействия молекулярного и молярного обменов в пере-
переходной области от вязкого подслоя к турбулентному ядру, и присоеди-
присоединяя к нему аналогичные предположения q=consl=qw и m=const=m1*
дополним ранее введенные универсальные масштабы скоростей v.=
~ Vт»/р и длин l,=v/v. аналогичными масштабами температур и кон-
концентраций вещества, положив
7\ = -^, c.= *L. E5)
PV pf
Выраженные в частях этих масштабов ординаты у, скорости и> тем-
температуры Т и концентрации вещества с будут далее обозначаться так:
1) Kirman Th. The analogy between fluid friction and heat transfer—Trans.
Amer. Soc. Mech. Engnr., 1939, v. 61.
2) Лойцянский Л. Г. Полуэмпирические теории взаимодействия процессов
молекулярного и молярного обмена в турбулентном движении жидкости.—Труды Все-
Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике.— М.; Л.: Изд-во АН СССР
1962, с. 145—166.
§ 136. ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС В .«ПРИСТЕННОЙ» ПОДОБЛАСТИ 711
Деля обе части равенств E4) соответственно на хт qw и mw и пере-
переходя к универсальным величинам E6), получим следующую систему
уравнений для определения ф(г|), \J(tj) и %(ц):
dx\ ' Pr dr] ' Sc dt] *
В этой системе трех уравнений заключены четыре неизвестные ф, if, x
и R, а переходная функция /(R) уже определена формулой B4). Вспо-
Вспоминая еще равенство A7), согласно которому будет
AdR;
2x I^R/(R)
получим выражения искомых функций ф(т]), \|)(т]) и х(л) в квадрату-
квадратурах в параметрической зависимости от R
E8)
Непосредственное рассмотрение системы E8) обнаруживает, что
второе и третье уравнения этой системы при Pr=Sc становятся тождест-
тождественными. Это соответствует сделанному ранее замечанию о количест-
количественной эквивалентности процессов тепло- и массопереноса. Кроме
того, также непосредственно можно заключить о подобии распределе-
распределений скоростей и избыточных температур, а следовательно, и избыточ-
избыточных концентраций при Pr=Sc= 1.
Содержащиеся в системе E8) квадратуры при задании /(R) в
виде B4) могут быть определены численным методом. Оставим в сто-
стороне возможные здесь упрощения путем перехода к приближенным
формулам демпфирующего фактора.
Обратимся к вопросу о разыскании приближенного явного анали-
аналитического выражения функции g(Pr) и чисел Стэнтона и Шмид-
Шмидта при произвольных больших значениях числа Прандтля Рг, что соот-
соответствует расположению температурного и концентрационного погра-
пограничных слоев глубоко внутри скоростного пограничного слоя.
Используя для выражения f(R) соотношение B2), тем более спра-
справедливое, чем больше число Прандтля, произведем в системе E8)
замену переменных
YR2^/4. E9)
Тогда система E8) перейдет в следующую:
о
t
в » /A
712 ГЛ. XIV. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Уравнение для % опускаем, так как оно ничем не отличается от
уравнения для t|), если число Шмидта Sc заменить на число Прандт-
ля Рг.
Вычисления интегралов, входящих в правые части F0), проще
всего осуществить путем разложения подынтегральных выражений по
степеням / с выделением трансцендентной части
' ^, F1)
о
затабулированной Б. А. Бахметьевым и широко применяемой в
гидравлике1). Получим
ф==8,06(/ + 0,3/5 — 0,291/9 + 0,264/13 — ...),
г|) = 8,06 [B,5/ — 0,225/5 + 0,09/9 — ...) +
+ ± A,125/ -0,1625/5) + 0>0р8г2125/ + f I—M — L
F2)
0,125/9+ ...)•
Используем это решение в области О^т)^т]о, 0^/^/0, соответствую-
соответствующей вязкому подслою, верхнюю границу которого г\0 найдем из усло-
условия, чтобы касательная, проведенная в этой точке к профилю скоростей
<р [первое равенство системы F0)], прошла через точку т]1=30, <pt=
= 13,63 начала логарифмического профиля скоростей, принятого по
уточненной формуле Никурадзе (§ 126) в виде
(p=5,751gri + 5,24. F3)
Для этого надо положить: тH=6,07, /0=0,68. Тогда уравнение каса-
касательной примет вид
9=11,3 lgri - 3,09 F,07^ti^30). F4)
При г]^30 профилем скоростей будет профиль F3). Выбранному уни-
универсальному профилю скоростей соответствуют простые аналитические
выражения для универсального профиля температуры
ip = 11,3lg (л + 4,98-^J - 11,3lg A1,05--^
при 6,07 <т]^ 30,
F5)
ф = 5,75 lg т| — 8,49 + \|>! при 30 ^ tj,
где под фо понимается значение if», вычисленное по второму равенству
системы F2) при /=/0=0,68, а под гр!—значение г|), вычисленное уже
по первому равенству системы F5) при т)=>п1=«=30. Приведем значения
этих величин:
^ 13,46 + lfi + i^i +
+ (8,06 - -^ — 5^1 _ 1^9 \ Рг./<Б @,68Prl'«), F6)
П.Зlg B5,09 + -^-) - 11,3 lg(l, 16 + ^
') Есьман И. Е. Гидравлика.—М.: ГОНТИ НКТП СССР, 1938, с. 365, табл. 58
§ 136 ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС В «ПРИСТЕННОЙ» ПОДОБЛАСТИ 713
Введем в рассмотрение число Стэнтона Stm, построенное по
значениям скорости и избыточной температуры Um и Qm=Tw—Tm на оси
трубы. Сохраняя определение числа Стэнтона в ранее указанной фор-
форме, будем иметь
Stm=——-? — . F7)
Вспоминая обозначения E6), получим
j_ = U^ рс^ {^ _ =
причем, согласно F3) и последнему равенству системы F5), будет
<(jm=5,751gT|m-8,49+^1-=iJ'»-13,73 + t|I;
кроме того,
/2 \* 2тш
V с/ / рит
Отсюда следует
-L = А + (_L\% (ф1 _ 13,73). F9)
M c c
Вводя функцию Кармана g(Pr) равенством, обобщающим правую
часть первого соотношения E1), и сравнивая E1) и F9), получим ис-
искомое выражение функции g(Pr)
= *i-13,73,
а используя систему равенств F6), окончательное ее выражение
g(Pr) = 11,3\g B5,09 + ^i-)_ 11,3lg (l,16+ M
+ i^E. + (8,06 _ ^ - M^- - l^i j PrV.? @,68Pr4 G0)
справедливое для любых
Последнее равенство включает более простое асимптотическое ра-
равенство g(Pr) при больших числах Рг
|^i ^ G1)
Заметим в заключение, что число Стэнтона St, построенное по
средним значениям скорости и избыточной температуры ucv и Tw—Tcp>
будет, аналогично F8), определяться равенством
Фермер Фт^т Фср ^ср Фср
причем, по предыдущему,
Р^т Фср \ Фт
так что, переходя в G2) к средним характеристикам, будем иметь
**m/4>cp
+ 2
714
ГЛ. XIV. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Как об этом можно заключить по кривым зависимости безразмер-
безразмерной температуры yltym={T—Tw) l(Tm—Tw) от безразмерного расстояния
от стенки трубы у/а (рис. 267), с ростом числа Рг профили температуры
становятся более заполненными, так что отношение я^т/\рср приближа-
приближается к единице. Принимая приближенно if>mA|>cp ~ 1 > используем форму-
формулу A25) гл. XIII, переписанную в виде
4,08
+ 1,44 т/Т.
G4)
Фср Фср
На основании этих приближенных соотношений и асимптотическо-
асимптотического представления G1) функции g(Pr), получим по G3) следующее
асимптотическое выражение (при больших Рг) числа Стэнтона:
St — 0,04Х,у'Рг-8/< — @,0124 + 0,0175Л,Уа) Рг-1/* +
+ 0,0985?i1/2Pr-7/< -f О (Рг-9/.). G5)
На рис. 268 приведен график зависимости чисел St и Std (определен-
(определенного в терминах концентрации) от числа Рг или эквивалентному ему
т-тю
r
0,6
О Л
7
(/
/
*- —
7 у
'ю-*/
fa
У/
7
у/а
SiStd
w~2
1О'У
1О~
10
-5
Re -Ю4
• теплообмен
о массообмен
ч
X
0,2 0,6
Рис. 267
1ft
10
10s
Рг, Sc
Рис. 268
по величине числа Шмидта Sc. Опытные точки заимствованы из статьи
Дайслера1)- Штриховая кривая построена по формуле G5) и про-
проверена численным интегрированием функции \|э(г]) по второй и треть-
третьей формулам F0). Сплошная прямая соответствует предельной форму-
формуле Дайслера
St = 0,04^ Рг-3\ G6)
справедливой при очень больших значениях чисел Прандтля и Шмид-
Шмидта. График на рисунке соответствует значению рейнольдсова числа Re=
= 10\ при котором К определялось по формуле Блазиуса A30)
гл. XIII.
Предыдущие рассуждения относились только к тепломассоперено-
су при больших значениях числа Рг и Рг*=1. Случай малых чисел
Рг, что соответствует расплавам металлов или сильно ионизованным
газам, по своему механизму переноса резко отличается от рассмотрен-
рассмотренного случая больших чисел Рг.
При малых числах Рг температурный пограничный слой толще ско-
скоростного, температура «размазана» по широкой по сравнению со ско-
ростным пограничным слоем области. Как это видно из рис. 267, про-
l) Deissler R Analysis of turbulent heat transfer, mass transfer and friction in
smooth tubes at high Prandtl and Schmidt numbers —NACA Rep, 1959, v. 1210.
§ 136 ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС В «ПРИСТЕННОЙ» ПОДОБЛАСТИ 715
фили температуры при малых Рг становятся похожими на «ламинар-
«ламинарные» аналоги скоростей (рис. 192). Литература в этой области тепло-
массопереноса весьма обширна1).
Изложенное в настоящем параграфе только односторонне и в ма-
малой степени осветило общее содержание современного учения о тепло-
массопереносе в турбулентных потоках жидкости (см. ранее указан-
указанные монографии в этой области). Для пополнения материала этого раз-
раздела дадим некоторые дополнительные сведения о распределении тем-
температуры по сечению трубы или пограничного слоя, причем откажемся
от принятого ранее ограничения Рг,=1.
Из второго равенства системы E8) гл. XIII, переписанного в фор- .
ме (знак включаем в определение производной dt/dy)
где произведена замена eq на ex=vtt согласно равенству F7) гл. XIII,
е„ = — = — , G7)
найдем, пользуясь принятым упрощением (^=const=^liJ),
dy
Переходя к универсальным переменным E6) и разделив обе ча-
части последнего равенства на qwy получим
откуда следует
Рг
G8)
о т- + г-*2гJД(л);г-
Pr Pr, dr\
Эти равенства вместе с равенствами C4) решают поставленный воп-
вопрос о распределении температуры по сечениям трубы или пограничного
слоя в интегральной форме, основанной на принятии ранее указанных
приближенных выражений демпфирующего фактора C0) или C2).
Формулы вида G8), обычно фигурирующие в монографиях2), от-
отличаются тем, что в них, так же как и в формулах C4), явно содер-
содержатся характерные для теории Прандтля и ее модификации, изложен-
изложенной в начале настоящей главы, величины х и Х?(т|). В некоторых слу-
случаях, если, например, распределение скоростей задано опытной кривой
или известно из предварительного расчета по той или иной теории, для
определения температур можно воспользоваться интегральной форму-
формулой, не содержащей х и /)(т)), т. е. не связанной в своем выражении с
*) Боришанский В. М., Кутателадзе С. С, Новиков И. И., Федын-
ский О. С. Жидкометаллические теплоносители.— М: Атомиздат, 1967; там же см.
библиографию.
2) См., например, ранее цитированную монографию А. А. Жука у ск аса, с. 106,
формула G.39).
716
ТЛ XIV. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
теорией пути смешения. Такую формулу нетрудно получить1), исклю-
исключив из системы уравнений
G9)
Рг
Pr, v
dx\
которая была применена при выводе формул G8), величину eT/v=v«/v.
Если для краткости ввести обозначения
аг\
(80)
то в результате такого исключения получится следующее простое со
отношение:
lllll
Рг, ф'
Рг
Рг
(81)
Как легко заметить, известное условие подобия профилей скорости и
избыточной температуры
имеющее место при единичных значениях чисел Прандтля Рг и Рг„ за-
заключено в этом равенстве.
Формула (81) в общем случае: ?тФ\у Prt?*l устанавливает линей-
линейную зависимость между обратными величинами производных ф' и \|/,
150\ 1 1 1 1 1 служащую в известном роде обоб-
обобщением аналогии Рейнольдса на
этот общий случай.
Из (81) непосредственно выте-
вытекает следующая интегральная фор
мула для определения температуры
по заданным профилям скоростей и
числам Прандтля Рг и Рг*:
100
50
О
1
/
'
/
^—
f _.
т~
И
dJL
J
(82)
?rt
Pr
0,5
1,0
Рис. 269
He будем останавливаться на
некоторых общих следствиях, выте-
вытекающих из двух последних формул,
и возможном их обобщении на слу-
чай наличия продольного градиента
2*° Ч7! давления, не представляющем той
наглядности, как только что приве-
приведенные выражения (81) и (82J).
Проиллюстрируем приведенные только что рассуждения числен-
численным расчетом распределения относительной избыточной температуры
\|) по формуле (82).
Для отыскания распределения скоростей ф(г|) используем второе
равенство C4), в котором демпфирующий фактор определен совокуп-
х) Лойця некий Л. Г. Об одной общей формуле теории тепломассопереноса в
пристенной области турбулентного пограничного слоя — В кн : Гидроаэродинамика —
Л : Изд ЛПИ, 1983, с. 3—10.
2) По этому поводу см. только что цитированную нашу статью.
§ 137. «ВНЕШНЯЯ» ПОДОБЛАСТЬ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 717
ностью равенства B5) и второго соотношения системы A7). Этому
распределению скоростей соответствует сплошная линия на рис. 264,
достаточно хорошо согласующаяся с опытными точками.
Число Рг, принималось равным 0,8. Числам Рг придавались зна-
значения 5,4; 10 и 30. На рис. 269 им соответствуют кривые 2, 3, 5.
Кривая 1 отвечает значениям Рг*=1, Рг=1, что отражает принятое
распределение скорости ф(т]) =г|)(т]). Насколько допустимо в расчетах
пользоваться значением Рг,= 1 вместо действительного, показывают
штриховые кривые 4 и 6. Согласно этим кривым разница в распределе-
распределениях температуры при Рг,=0,8 и Рг,= 1 для чисел Рг=10 и Рг=30
вполне заметна, но она уменьшается с приближением числа Рг к единице.
Кривая 2 (Рг, = 0,8, Рг = 5,4) аналогична верхней кривой на рис. 7.10,
приведенном в ранее уже цитированной монографии А. А.Жукауска-
са. Сплошная кривая соответствует нашим расчетным значениям, тре-
треугольные точки — экспериментальным данным А. А. Жукаускаса и
А. А. Ш л а нчяу скаса1).
§ 137. «Внешняя» подобласть турбулентного пограничного слоя.
Гипотеза Клаузера
Как уже упоминалось в предыдущем параграфе, метод «момента
первого порядка» вызывает к себе доверие благодаря тому, что сопро-
сопровождается схемой двух подобластей в турбулентном пограничном слое:
«пристенной», управляемой «законом стенки», заключающем в себе
применение теории пути смешения Прандтля с поправкой на влияние
«демпфирующего фактора», и «внешней», описываемой «законом сле-
следа». О «пристенной» подобласти достаточно полно было сказано в
двух предыдущих параграфах.
Обратимся к рассмотрению «внешней» подобласти, занимающей
большую часть пограничного слоя, до 80% его толщины, а в предотрыв-
ной зоне практически и всю область пограничного слоя.
Истоки «двухслойной» модели турбулентного пограничного слоя
принято находить в работах Ф. Клаузера2), хотя идея двухслойной
модели, применительно к ламинарному пограничному слою с характер-
характерной для этой модели проблемой «сшивания» внутреннего и внешнего
решений, была высказана значительно раньше Карманом3).
Внешняя подобласть турбулентного пограничного слоя располага-
располагается между внешней границей «пристенной» подобласти и внешней гра-
границей (в номинальном ее понимании как конечной величины) погранич-
пограничного слоя. В этой области движение жидкости определяется «законом
следа», главной особенностью которого, в соответствии с гипотезой
Клаузера, является постоянство (независимость от у) коэффициента
турбулентной вязкости vt поперек пограничного слоя. Действительный
1) Жукаускас А. А., Шланчяускас А. А. Теплоотдача в турбулентном
потоке жидкости.— Вильнюс: Минтис, 1973, с. 107—111 (цитируем по ранее упомяну-
упомянутой монографии А. А. Жукаускаса).
2) С 1 a u s е г F. H. Turbulent boundary layers in adverse pressure gradients.—
Journ. Aeron. Sci, 1954, v. 21, p. 91—108 и последовавший вскоре обзор того же автора:
Turbulent boundary layer — In: Advances in applied mechanics.— N-Y.: Acad. Press,
1956, v. IV, вышедший в русском переводе в сборнике: Проблемы механики, вып. II.—
М.: ИЛ, 1959. Термины «закон стенки» и «закон следа» были введены Д. Колзом (Co-
(Coles D. The law of the wake in the turbulent boundary layer.—Journ. Fluid Mech., 1956,
v. I, part 2). Им же была построена однопараметрическая форма профилей скорости
в сечениях пограничного слоя в области «закона следа».
3) К а г m a n Th., M i 11 i k a n С. В. On the theory of laminar boundary layers in-
involving separation — NACA Rep., 1934, № 504, а также: Лойцянский Л. Г. Аэро-
Аэродинамика пограничного слоя.— Л.; М.: Гостехиздат, 1941, § 6, с. 191—204.
718
ГЛ. XIV. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
характер изменения vt вдоль этой области определяется «модифициро-
«модифицированной гипотезой Клаузера», предложенной Ю. В. Лапиным и
М. X. Стрельцом1) и излагаемой далее. С развитием турбулент-
турбулентного пограничного слоя и переходом течения в диффузорную часть
(dp/dx>0) весь пограничный слой и его «внешняя» подобласть утол-
утолщаются, а при приближении к точке отрыва «внешняя» подобласть
стремится полностью занять все сечение пограничного слоя.
О 0,4 0,6 у/80
882мм
а)
U-u
0,4 0,6 у/д0
Рис. 270
Различие в структуре турбулентности этих двух подобластей было
наглядно показано следующим, сыгравшим исключительно важную
роль опытом Клаузера, позволившим не только глубже проникнуть
в вихревую структуру этих подобластей, но и поставить под сомнение
применимость гипотезы Буссинеска D3) предыдущей главы для «внеш-
«внешней» подобласти пограничного слоя.
Прут диаметра d=12,7 мм был помещен вблизи твердой стенки
нормально к потоку в сечении пограничного слоя толщиной 60=236 мм
на двух расстояниях у от стенки, определяемых величинами *//6о=16°/о
и *//60=59%. Профили скоростей такого возмущенного движения пока-
показаны сплошными линиями на двух частях рис. 270, а: на левой — для
расположения прута, более близкого к стенке (г//бо=16%), на правой-
для более удаленного (#/60=59%). Распределения скоростей, не воз-
возмущенные прутом, показаны штриховыми линиями. Из графиков мож-
можно сделать заключение, что внутренняя часть пограничного слоя бы-
быстрее возвращается к невозмущенному состоянию, чем внешняя. Дли-
Длины релаксации возмущений можно оценить как 483 мм при у/бо=16% и
1930 мм при у/бо=59%. Отдельные этапы этого процесса показаны на
рис. 270, а в виде зависимостей дефектов скорости, отнесенных к дина-
динамической скорости, от расстояний х данного сечения пограничного слоя
до сечения, содержавшего стержень. На рис. 270, б то же показано в
виде графика зависимости максимального возмущения Аг; от */6о для
указанных двух расположений стержня. Причину этого различия в бы-
быстроте затухания возмущений Клаузер приписал разнице размеров тех
«вихревых масс», которые, перемещаясь вместе с потоком и участвуя
в поперечном к нему движении, создают турбулентную структуру по-
потока в сечениях пограничного слоя. Вблизи твердой поверхности вих-
вихри, образовавшиеся на внешней границе вязкого подслоя (точнее гово-
*) Лапин Ю. В., Стрелец М. X. Модификация гипотезы Клаузера для рав-
равновесных и неравновесных турбулентных пограничных слоев.— Теплофизика высоких
температур, 1985, т. 23, № 3, с. 522—529.
§ 137. сВНЕШНЯЯ» ПОДОБЛАСТЬ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 719
ря, из-за потери устойчивости ламинарного движения на его границе),
имеют размеры порядка толщины вязкого подслоя, т. е. очень малы по
сравнению с общей толщиной пограничного слоя (примерно 1—2% этой
толщины). Возникающая в этой зоне турбулентность может быть опре-
определена как «мелкомасштабная». Наоборот, при достижении внешней
границы пограничного слоя вихри достигают сравнительно больших
размеров, имеющих порядок толщины пограничного слоя. Во внешней
подобласти при этом возникает «крупномасштабная» турбулентность.
Как было отмечено в конце § 94, «время жизни» больших вихрей,
а следовательно, и переносимых ими возмущений, значительно превы-
превышает «время жизни» малых вихрей, чем и объясняется замеченная
Клаузером разница в быстроте затухания возмущений (рис. 270).
Влияние этого своеобразия вихревой структуры турбулентности никак
не учитывается гипотезой Буссинеска, в которой турбулентность
определяется локальной изотропией некоторой воображаемой «турбу-
«турбулентной жидкости» с обычным для вязкой жидкости законом зависи-
зависимости тензора напряжений от тензора скоростей деформаций в осред-
ненном движении и лишь с сильно повышенным значением перемен-
переменного коэффициента турбулентной вязкости. Опыт Клаузера дает пример
турбулентного движения с ярко выраженным явлением роли преды-
предыстории, включая в этот эффект и влияние неоднородности вихревой
структуры потока. Другие примеры будут указаны в конце настоящей
главы.
К л а у з е р подчеркнул это специфическое влияние вихревой
структуры потока на релаксацию возмущений, введя в качестве пара-
параметра, учитывающего внешнюю сторону описанного явления, величину
(83)
имеющую смысл отношения перепада давления на характерной для
пограничного слоя длине 6* к напряжению местного трения т» на твер-
твердой границе пристенного пограничного слоя.
Далее будет показано, что для описания всего многообразия тур-
турбулентных течений в пограничных слоях одного параметра недостаточ-
недостаточно; параметр Клаузера ($ лишь первый из ряда параметров, но сохра-
сохраняющий главное значение в описании явления.
Пограничные слои, во всех сечениях которых параметр р сохраня-
сохраняет одну и ту же величину, Клаузер назвал равновесными. В таких по-
пограничных слоях профили скоростей в сечениях подобны. В этом смыс-
смысле «равновесные» турбулентные пограничные слои представляют авто-
автомодельные решения уравнений турбулентного пограничного слоя. Эта
аналогия с ламинарным пограничным слоем строго осуществляется при
наличии степенного распределения скорости на внешней границе погра-
пограничного слоя1), причем показатель степени в этом распределении мо-
может рассматриваться как параметр, однозначно с ним связанный 2);
так, при Р=0; 0,9; 5,4 этот параметр соответственно равен 0; —0,15;
-0,255.
Под универсальным профилем осредненных скоростей в турбулент-
турбулентном пограничном слое условимся понимать профиль, заданный в таких
универсальных переменных, что форма этого профиля не зависит от
местного коэффициента трения си а следовательно, от местного
1) Alber J. E. Similar solutions for a family of separated turbulent boundary
layers.— AIAA-Paper, 1971, № 71—203.
2) Bradshaw P. The turbulence structure of equilibrium boundary layers.— J
Fluid Mecru, 1967, v. 29, p. 625—645.
720 ГЛ. XIV. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
рейнольдсова числа. В пристенной области (т. е. в вязком подслое, пере-
переходной области и области логарифмического закона) таким профилем
будет служить ранее рассмотренный в § 125 профиль в «универсаль-
«универсальных» переменных <p=u/v. и t]=j/u,/v. Этот профиль, как заметили Люд-
Людвиг и Тиллман1), кроме универсальности по cf (местному рейнольдсову
числу), при не слишком больших значениях dp/dx обладает в при-
пристенной области еще универсальностью по продольному изменению дав-
давления, т. е. не зависит от параметра р. Как показывают опыты, «уни-
«универсальность» по местному рейнольдсову числу сохраняется в профи-
профилях дефекта скорости (U—u)/v,y выраженного в функции от у/Ь. Эта
универсальность распространяется на всю область пограничного слоя,
что позволяет выделить собственное влияние продольного градиента
давления на распределение скоростей по всему сечению пограничного
слоя. С этой целью, как предложил Клаузе р, в качестве условной
толщины пограничного слоя вместо б примем величину
^dj, (84)
и введем в рассмотрение не зависящее от рейнольдсова числа отноше-
отношение двух интегралов
о оо
Толщины б * и б ** связаны с Д соотношениями
l/. (lOl/)/. (86)
A U ?V 2 S \ ?V 2 ) У 2 V '
а параметр Н определится равенством
Параметр G находится в прямой зависимости от (}; при р=0 он ра-
равен 6,8. График функции G(p) будет приведен в последнем параграфе
настоящей главы в связи с его использованием в качестве показателя
неравновесности рассматриваемого там пограничного слоя. Роль G как
параметра неравновесности пограничного слоя проиллюстрируем графи-
графиками: дефекта скорости (U—u)/v. как функции у/б (рис. 271), где б-
здесь и далее — так называемая «номинальная» толщина пограничного
слоя, ранее [формула D0) гл. XII] обозначавшаяся символом б99, и
параметра Н в функции от cf (рис. 272). В качестве параметра на обо-
обоих графиках принята величина G. Экспериментальные точки на рис. 271
опущены; они кучно ложатся на приведенные кривые.
Как уже упоминалось выше, Клцузеру принадлежит также модель
«закона следа». В основе ее лежит допущение о постоянстве кинемати-
кинематического коэффициента турбулентной вязкости vt во внешней части се-
сечений пограничного слоя при возможном изменении его от сечения к
сечению. Опыты не оправдывают это допущение. Как свидетельствуют
современные данные2), отношение vt/(U6*) в функции от безразмер-
1) L u d w i e g H., Т i 11 m a n n W. Investigation of the wall shearing stress in tur-
turbulent boundary layers.—NACA Techn. Memor., 1950, № 1285.
2) Цитируем по отчету Брэдшоу: The turbulence structure of equilibrium boundary
layers.— NPL, Teddington; см. также ранее цитированную статью того же наимено-
наименования в J. Fluid Mech.
§ 137. «ВНЕШНЯЯ» ПОДОБЛАСТЬ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
721
ной координаты у/6 (рис. 273), построенное для трех значений р=
=0; 0,9 и 5,4 (последнее значение р соответствует значительной диффу-
зорности), при приближении к внешней границе пограничного слоя при
всех значениях р убывает. Но, как отмечает в только что цитированной
работе Б р э д ш о у, «терпимое приближение к профилю осредненной
скорости было получено в предположении о постоянстве этой величи-
величины» (подразумевается vt). Это предположение Клаузера с теми или
30
0,2 0,4 0,6 Of у/5
Рис. 271
0,002 0Щ 0,006
Рис. 272
0,03
0,02
0,01
7
[
N
0,2 0,Ь 0,6 0,8 у/д
Рис. 273
другими поправками широко используется в современных методах рас-
расчета турбулентных пограничных слоев1).
Что касается изменения vt вдоль внешней области пограничного
слоя, то и здесь Клаузер пошел на значительные упрощения.
Заметив, что размерность vt определяется произведением скорости
на длину, Клаузер принял за характерную скорость динамическую ско-
скорость и.=Ути>/р, связанную с трением и имеющую определяющее значе-
значение во всей области пограничного слоя, а за длину — размер крупных
вихрей, заполняющих внешнюю область пограничного слоя, пропорци-
пропорциональный толщине пограничного слоя, введенной им как Д (84). Это
привело Клаузера к формуле для кинематического коэффициента вяз-
вязкости V*
или к эквивалентному ей по первому равенству (85) следующему
1) См. Cebeci T, Smith А. М О. Analysis of turbulent boundary layer.—Appl.
Math, and Mech, 1974, v 15.
722
ГЛ. XIV МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
выражению гипотезы Клаузера:
(87)
где коэффициент пропорциональности &, вообще говоря, может быть
функцией параметра р (83). Обработка имевшихся к тому времени
опытов дала показанный на рис. 274 разброс точек, выражающих зави-
зави&(Р)
(тпах=0,2
JO
20
U, м/с
у
\У
и /
¦ >С
/
1 j
V
ldJ3
\di
f
/
\
ч
8*
150
dp м
Tx'c2
100
\ 50
^ 0
-50
-100
-150
Mr
dx
0,10
0,05
125
250
Рис 275
315 х,см
6
,-W3
5-
симость &(Р), достигаю-
Щ™ примерно двадцати-
двадцатипятипроцентной величины.
К л а у з е р отнес этот раз-
разброс к неточностям экспе-
экспериментов и предложил на
всем протяжении погра-
пограничного слоя считать k по-
постоянной величиной, рав-
равной в среднем ?=0,018.
Современные авторы,
пользующиеся допущени-
допущением о постоянстве k, прини-
принимают k равным 0,0168.
Последующие опыты
показали, что k представ-
представляет значительно изме-
изменяющуюся, особенно в не-
неравновесной области,
функцию параметра (J, так
что диаграмма на рис. 274
должна была бы быть рас-
расширена как на большие [J,
так и на меньшие k.
Ярким подтверждением
этого факта могут служить
сравнительно недавно
опубликованные экспери-
экспериментальные данные С и м-
псона, Чью и Шива-
прасада1). Основные
характеристики исследо-
исследованного ими турбулентно-
турбулентного пограничного слоя при-
приведены на рис. 275. Судя
по распределениям скоро-
скорости U(x) на внешней гра-
границе пограничного слоя,
перепада давления A/р)Х
X (dpidx), а особенно по
быстроте изменения (J вдоль пограничного слоя, представленной безраз-
безразмерной величиной (d$/dx)8\ можно заключить о значительной нерав-
неравновесности изученного авторами пограничного слоя.
Экспериментальные данные этих авторов были обработаны
Ю.В.Лапиным и М. X. Стрельцом2). Наиболее интересным
из этих результатов представляется указанное на рис. 276 штрих-пунк-
х) Simpson R. L., Chew Y.-T., Shivaprasad B. G. Structure of separating
turbulent boundary layer. Part 1: Mean flow and Reynolds stresses.— Journ. Fluid -Mech.
1981, v. 113, p. 23—51.
2) См. ссылку на с. 718.
к
-0,020
-0,015 v
-0,010
-0,005
к =0,0168
V *экс
\ *
\ x
\ xxx
A I x ~
3-
1-
125
250
.27, CM
Рис. 276
§ 137. «ВНЕШНЯЯ» ПОДОБЛАСТЬ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 723
тиром изменение коэффициента Клаузера k вдоль пограничного слоя.
Это резкое падение k в предотрывной, неравновесной области (dpldx>
>0) позволяет сделать предположение, что к, а следовательно, и vt
стремятся к нулю. Утолщение пограничного слоя в предотрывной об-
области свидетельствует о росте вихревых масс, заполняющих погранич-
пограничный слой и достигающих по своим средним размерам толщины этого
слоя. Взаимодействие таких «крупных вихрей» описывается законами
«когерентной турбулентности», отличными от законов переноса, выра-
выражаемых гипотезой Буссинеска и теорией «пути смешения», что и
подчеркивается наблюдаемым в экспериментах равенством нулю ко-
коэффициента «турбулентной вязкости» v*. Как указывает П. Б р э д-
шоу1), в движении жидкости в турбулентном пограничном слое мож-
можно выделить «активную» внутреннюю часть, генерирующую вихри,
перенос которых обеспечивает турбулентное трение, и «пассивную» внеш-
внешнюю часть, содержащую уже развитые «большие вихри», подвержен-
подверженные пульсациям давления, но не участвующие в образовании трения.
Механизм взаимодействия этих «больших» вихрей еще полностью не
раскрыт, но допускает в некоторых случаях исследование численными
методами. Этими вопросами занимается современная теория «когерент-
«когерентной турбулентности».
Только что приведенное высказывание Б р э д ш о у подчеркивает
особую важность для характера движения во всем пограничном слое,
включая как внутренние, так и внешние его подобласти, напряжения
трения tw на твердой границе, т. е. нижней границе пристенной подоб-
подобласти. Этим определяется и значительная роль динамической скорости
0.=Уъ7р как основного масштаба скоростей в сечениях пограничного
слоя, с чем приходилось неоднократно встречаться на протяжении пре-
предыдущей и настоящей глав.
Гипотеза Клаузера о постоянстве k, как показало сравнение
расчетов с опытными материалами, сохраняет свое значение в конфу-
зорной (dp/dx<0) и безградиентной (dp/dx=0) частях пограничного
слоя и, с известным приближением, в диффузорной части при малых
отклонениях от равновесного распределения давления. В предотрывных
областях неравновесных пограничных слоев Ю. В. Лапин и
М. X. Стрелец с успехом применили предложенную ими полуэмпи-
полуэмпирическую формулу коэффициента Клаузера k
* - г т
где, напоминаем, р= (dp/dx) F*ДО.
Эта формула, как показали только что упомянутые исследователи,
дает хорошие результаты в случае равновесных слоев (dp/dx=0) и мо-
может с успехом применяться для неравновесных слоев в своем общем
виде (88). При этом формула (88) лишена недостатка первоначальной
формулы Клаузера (87), не удовлетворяющей условиям вблизи точ-
точки отрыва
k^O при т„->0, р-+оо. (89)
Для определения констант А и В авторы соотношения (88) ис-
использовали серии экспериментов A100, 1200, 1300, 2100, 2200, 2300,
3300), приведенные в ранее цитированных Трудах стэнфордской конфе-
конференции, причем на каждом шаге численного расчета выбирались значе-
значения Л и В, приводящие к совпадению с опытом, которые затем усред-
усреднялись по методу наименьших квадратов. Рекомендуемые авторами
значения констант:
__ А = 0,177, В = 7,0. (90)
]) См. цитированную на с. 719 статью П. Брэдшоу.
724 гл. xiv методы расчета турбулентного пограничного слоя
§ 138. Результаты численных расчетов турбулентных
пограничных слоев по методу моментов первого порядка
Проблема расчета турбулентных пограничных слоев по своей слож-
сложности не идет ни в какое сравнение с аналогичной проблемой для ла-
ламинарных течений. И дело здесь не столько в объеме вычислений —
при современном уровне вычислительной техники это не послужило бы
существенным затруднением,— сколько в принципиальных трудностях
самой постановки задач о турбулентных движениях. Отсутствие до сих
пор полной ясности в представлениях о механизме турбулентных дви-
движений проявляется, прежде всего, в незамкнутости системы уравнений
переноса импульса, рейнольдсовых напряжений и других турбулентных
характеристик, а также в недостаточно рациональной обоснованности
тех дополнительных соотношений, называемых «связками», которые
предназначены для приближенного замыкания уравнений переноса.
Для излагаемого в настоящем параграфе метода моментов первого по-
порядка такого рода «связками» служат: теория пути смешения Пранд-
т л я с поправкой на демпфирующий фактор во внутренней, пристенной
подобласти турбулентного пограничного слоя и гипотеза Клаузера—
для внешней подобласти— с модификацией Ю. В. Лапина и М. X. Стрель-
Стрельца, о которой была речь в конце предыдущего параграфа.
Несмотря на существование большого числа разнообразных мето-
методов расчета турбулентного пограничного слоя, а излагаемый в насто-
настоящем параграфе метод является среди них едва ли не самым простым,—
вопрос о достаточно практически приемлемом методе всегда связыва-
связывается со степенью совпадения результатов расчета с опытными данными.
Даже если при расчете используется экспериментальное распределение
внешней скорости, что снимает вопрос об отдельном учете обратного
влияния пограничного слоя на внешний безвихревой поток, то и при
этом сохраняется сомнение в правильности расчетного определения
точки отрыва. Дело в том, что так же, как и в случае ламинарного по-
пограничного слоя (вспомнить конец § 106), уравнения турбулентного
пограничного слоя A), представляющие результат отбрасывания в
уравнениях A5) предыдущей главы членов: д2и/дх2у дт/дх, др/дуу в со-
соответствии с «приближением пограничного слоя», не могут применять-
применяться в области отрыва. В случае турбулентного пограничного слоя поло-
положение усугубляется еще тем, что структура потока в области отрыва
исключает применение модели Буссинеска и формулы D3) гл. XIII,
так как здесь на смену обычному для пристеночных течений механизму
турбулентного обмена приходит взаимодействие «больших вихрей»,
описываемое моделью «когерентной» турбулентности (см. конец § 140).
Обычный способ определения положения точки отрыва становится еще
более «условным», чем в случае ламинарного пограничного слоя. Об-
Общий анализ явления турбулентного отрыва можно найти в монографии
Л. В. Гогиша и Г. Ю. Степанова1). Экспериментальному иссле-
исследованию отрыва турбулентного пограничного слоя посвящены работы
Стрэтфорда2). Существующая литература по моментным мето-
методам расчета турбулентного пограничного слоя настолько велика, что
даже простой библиографический указатель занял бы много места.
1) Гогиш Л. В., Степа нов Г. Ю. Турбулентные отрывные течения.—М.: Нау-
Наука, 1979.
2) Stratford В. S. The prediction of separation of the turbulent boundary lay-
layer.— Journ. of Fluid Mech., 1959, v. 5, part 1, p. 1—16 и там же: An experimental flow
with zero skin friction throughout its region of pressure rise, p. 17—35.
§ 138 РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ 725
Удовольствуемся несколькими рекомендациями монографий и обзо-
обзоров1).
Излагаемый в настоящем параграфе метод моментов первого по-
порядка сводится к численному интегрированию системы уравнений A),
в которой положено
_5V=:V,?f (91)
(^ при 0^у^ут,
vt — оу (92)
ПРИ Ут<У<ОО.
Здесь, кроме принятых в A) обозначений, имеются еще следующие:
v« — кинематический коэффициент «турбулентной вязкости», D(y)—
демпфирующий коэффициент, определенный формулой Ван- Др и -
ста B6) или формулой B8), х — постоянная Кармана, k — мно-
множитель в модифицированной формуле Клаузера (88), U — скорость
на внешней границе пограничного слоя, б* — толщина вытеснения,
Ут=Ут(х) — граница между «внутренней» и «внешней» подобластями
пограничного слоя; f — коэффициент перемежаемости ламинарного и
турбулентного пограничных слоев, принимаемый равным (Ь^б — эмпи-
эмпирический коэффициент)
Себеси и Смит2), заменив в допущении B9) динамическую
скорость v* на скорость ив=11,8 v,, равную скорости на внешней гра-
границе вязкого подслоя, ввели в формулу Ван-Дриста вместо постоянной
Л,=26 новую постоянную Л = 26 A + 11,8 р,) ~7% где /?* = —-^— , а в фор-
мулу Клаузера в правой части последнего равенства системы (92), —
дополнительный множитель, учитывающий влияние рейнольдсова
числа.
Пренебрегая этими поправками, но учитывая влияние коэффициен-
коэффициента перемежаемости f, Ю. В. Лапин и М. X. С т р е л е ц, используя
формулы (88) и (90), произвели расчет пограничного слоя, экспери-
экспериментально изученного Симпсоном, Чью и Шивапрасадом
(см. ранее приведенную ссылку). Рассчитывалась наиболее важная ха-
характеристика пограничного слоя — коэффициент местного трения на
твердой поверхности cf. Желая выяснить сравнительное значение вто-
второго слагаемого в показателе экспоненты (88), Ю. В. Лапин и
М. X. Стрелец провели раздельно два расчета: по полной формуле
(88)—на рис. 276 сплошная кривая — и по той же формуле, но без
второго слагаемого в экспоненте — на рис. 276 штриховая кривая.
!) Прежде всего упомянем исчерпывающий обзор: Гиневский А. С, Иосе-
левич В. А., Колесников А. В., Лапин Ю. В., Пилипенко В. Н., Се кун-
до в А. Н. Методы расчета турбулентного пограничного слоя.— Итоги науки и тех-
техники. Механика жидкости и газа. Т. 11.— М.: ВИНИТИ, 1978, с. 155—304, содержа-
содержащий почти 700 ссылок на советские и зарубежные работы. Большой интерес представ-
представляют монографии: Федяевский К. К., Гиневский А. С, Колесников А. В.
Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости.— Л.: Судостроение,
1973; Сборник: Турбулентность, принципы и применения/Под ред. У. Фроста и
Т. Моулдена.— М.: Мир, 1980, гл. 7—10; Белов И. А. Модели турбулентности.—
Л.: Изд-во Ленингр. механ. ин-та, 1986; Bradshaw P, Cebeci Т., WhitelawJ.
Engineering calculation methods for turbulent flow — London: Acad Press, 1981, гл.
1-7.
2) Цитируем по монографии Bradshaw P, Cebeci T, Whitelaw J., упо-
упомянутой в конце предыдущей сноски; р. 43, 44.
726
ГЛ. XIV. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
¦ t
X
Кривые эти взяли «в вилку» опытные точки, показанные крестиками,
что говорит об относительной близости результатов расчета по полной
формуле (88) к опыту по крайней мере в области 0<Jt<300 см. Экстра-
Экстраполируя кривые до нулевого значения си получим некоторый разброс в
положении точки отрыва. Трудно сказать, есть ли это результат недо-
недостатков формулы (88), нуждающейся еще в уточнении, например, за
счет привлечения следующих производных от р и (/, что практически
трудно сколько-нибудь точно реализовать, или же непригодности во-
вообще расчета, основанного на гипотезе Буссинеска, в этой переходной
к «когерентной турбулентности» области далеко зашедшего за границы
равновесности пограничного слоя.
Подтверждением пригодности выражения коэффициента k по фор-
формулам (88) и (90) в случае пограничного слоя, слабо отличающегося
0 от равновесного (экспе-
(эксперимент «1100» по клас-
классификации, использо-
использованной в ранее цитиро-
цитированных Трудах стэн-
фордской конферен-
конференции), могут служить
приведенные на рис. 277
результаты расчета
Ю. В. Лапиным и
М. X. Стрельцом
двух характеристик: cf
1 2 3 4 дг,м и //=676**. Сплошные
Рис 277 линии на рис. 277 отно-
относятся к расчетам с ис-
использованием модифи-
модифицированной этими авторами формулы для k [(88) и (90)], а штрихо-
штриховые— по классической формуле Клаузера с постоянным значением
?=0,0168. Экспериментальные значения этих величин показаны крести-
крестиками для cf и точками для Н. Изображенные на рис. 277 кривые под-
подтверждают высказанные ранее соображения об удовлетворительности
применения модифицированной формулы Клаузера почти для всего
пограничного слоя, если неравновесность его невелика. Отклонения ре-
результатов расчета по методу, основанному на первоначальной гипотезе
Клаузера о постоянстве коэффициента &, даже в этом случае, соответ-
соответствующем слабой неравновесности пограничного слоя, заметны.
Априорных суждений о пригодности или непригодности метода
моментов первого порядка для отдельных задач с произвольным рас-
распределением скорости на внешней границе пограничного слоя сделать
нельзя. Необходимость проверки достоверности результатов расчета на
основе различных экспериментальных данных сохраняется до сих пор.
Некоторую трудность для численного расчета по двухслойной схе-
схеме составляет необходимость сращивания «внутреннего» и «внешнего»
решений. Вопрос этот подробно изложен в монографии Ю. В. Лапина1).
Сращивание в этих расчетах производилось по напряжению трения т
и коэффициенту турбулентной вязкости v«, а поскольку в основе метода
лежит гипотеза Буссинеска D3) предыдущей главы, то тем самым
и по производной ди/ду. Заметим, что в том случае, когда точка сращи-
сращивания подобластей в сечениях пограничных слоев, приближающихся к
сечению отрыва, попадает сначала в переходную часть «пристенной»
подобласти, а затем и в вязкий подслой, определение ординаты ут точ-
]) Лапин Ю. В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках га-
газа.—2-е изд.—М.: Наука, 1982, с 112
§ 138 РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ 727
ки сращивания сводится к решению сложного трансцендентного урав-
уравнения; решение это выполняется по ходу численного расчета и под-
подтверждает стремление ут к нулю, что соответствует заполнению всего
отрывного сечения «внешней» подобластью, подчиненной «закону
'следа».
Оценивая метод моментов первого порядка, отметим его преиму-
преимущества по сравнению с эмпирическими и полуэмпирическими методами,
изложенными в предыдущей главе. Произведенные расчеты показали
его большую точность по сравнению даже с наилучшим из «старых»
методов — методом «интегральных» соотношений.
К недостаткам метода моментов первого порядка можно отнести
его однопараметричность, имеющую место в первоначальной постановке
метода, опирающейся на гипотезу Клаузера о постоянстве коэффи-
коэффициента k, а также отсутствие рациональных соображений по поводу вы-
выбора величины р как единственного параметра, что неубедительно для
большинства заведомо неравновесных пограничных слоев. В этом смысле
заслуживает особого внимания предложенная Ю. В. Лапиным и
М. X. Стрельцом модификация (88) формулы Клаузера путем вве-
введения множителя, содержащего два параметра: [} и (d$/dxN\ ослабляю-
ослабляющая упомянутый недостаток метода моментов первого порядка.
Из публикаций, содержащих детали численных расчетов турбулент-
турбулентных пограничных слоев по изложенному выше методу моментов перво-
первого порядка, отметим статью Г. Н. Емельяновой1), которая исполь-
использовала в своих расчетах неявную разностную схему и метод прогонки
(см. § 102 настоящего курса). Формула Клаузера применялась в
своем первоначальном, не модифицированном виде, что не позволило
автору приблизиться к предотрывной области и определить точку отры-
отрыва. Результаты сравнены с опытными данными, помещенными в неод-
неоднократно цитированных ранее Трудах стэнфордской конференции.
Метод обобщенного подобия в применении к расчету турбулентных
пограничных слоев покоится на тех же двух полуэмпирических основах,
что и изложенный метод моментов первого порядка. Это — теория «пути
смешения», уточненная введением демпфирующего фактора,— для «внут-
«внутренней» подобласти пограничного слоя и гипотеза Клаузера в своей
первоначальной или модифицированной форме — для «внешней» подоб-
подобласти. Ничего нового с точки зрения уточнения самого механизма тур-
турбулентности метод обобщенного подобия не содержит.
Однако роль метода обобщенного подобия в рационализации прие-
приемов установления определяющих параметров, а также известные вычис-
вычислительные преимущества, позволяют считать его перспективным.
Первые, не явившиеся достаточно общими поиски приложения ме-
метода обобщенного подобия в теории турбулентного пограничного слоя
мало что внесли в широкую постановку проблемы2).
В отличие от ламинарного пограничного слоя, для которого метод
обобщенного подобия был изложен в § 113 и 114, в случае турбулент-
турбулентного пограничного слоя имеется большая свобода в выборе основных
масштабов используемых в методе величин, причем эти масштабы раз-
различаются для «пристенной» и «внешней» подобластей. В остальном
1) Емельянова Г. Н. Численный метод решения уравнений плоского турбу-
турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости с продольным градиентом давле-
давления—Труды ЦАГИ, 1973, вып. 1543.
2) Лойцянский Л. Г. Параметры подобия в теории пограничного слоя —
В кн.: Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды (сб. статей к 60-летию
акад. Л. И. Седова).—М.: Наука, 1969, с. 301—310, § 4: Параметры подобия в тур-
турбулентном пограничном слое; и того же автора: Метод обобщенного подобия в полу-
полуэмпирических теориях турбулентного пограничного слоя.—Механика и энергомаши-
энергомашиностроение.—Л., Труды Л ПИ, 1976, № 352, с. 4—9.
728 гл. xiv. методы расчета турбулентного пограничного слоя
алгоритм остается прежним и, так же как в случае ламинарного погра-
пограничного слоя, приводит к преобразованию основного дифференциального
уравнения пограничного слоя к «переменным обобщенного подобия» —
«универсальному» для всех задач пристенного пограничного слоя виду,
требующему лишь однократного численного интегрирования и состав-
составления таблиц решения, используемых при решении отдельных конкрет-
конкретных задач.
Для внутренней («пристенной») подобласти турбулентного погра-
пограничного слоя характерными масштабами — назовем их «внутренними» —
явятся «универсальные» масштабы (§ 125): длин — /,=v/u*, скоростей —
динамическая скорость и* = Ут«,/р, напряжений трения — т*=
= \х(ди/ду)у==Оу функции тока — v.L = v.
Для внешней подобласти «внешними» масштабами будут: б*, 6** или
какая-нибудь другая условная толщина пограничного слоя — масшта-
масштабами длин, скорость на внешней границе пограничного слоя U(x) —
масштабом скоростей, подходящая по размерности величина р[/2—мас-
р[/2—масштабом напряжений трения, произведения U8\ f/6** или аналогичные —
масштабами функции тока.
Наряду с этими, непосредственно относящимися к соответствующим
подобластям пограничного слоя, возможны и другие, «смешанные»,
масштабы. Так, например, во внешней области вместо U(x) можно ис-
использовать в качестве масштаба скоростей ту же динамическую скорость
у*, что и во внутренней области, а для масштаба напряжений трения
вместо pU2 принять xw или какое-нибудь другое значение напряжения
грения в сечениях пограничного слоя.
Если подчиниться естественному ограничению в выборе масштабов,
потребовав, чтобы они в границах их применения не равнялись нулю
или бесконечности, то совокупность «внутренних» масштабов придется
разбить на две части. К первой по ходу течения зоне пограничного слоя,
включающей точку минимума давления (dp/dx=0)9 но достаточно уда-
удаленной от точки отрыва (^=0), можно отнести только что указанную
систему «внутренних» масштабов. Для второй, следующей за первой,
зоны «внутренней» подобласти пограничного слоя предыдущая группа
масштабов уже непригодна, так как используемая величина напряже-
напряжения трения на твердой стенке т», а следовательно, и v.=YrJp обраща-
обращаются в точке отрыва в нуль, а /. — в бесконечность.
В этой второй зоне «внутренней» подобласти в основу определения
масштабов можно положить нигде в ней не обращающуюся в нуль ве-
величину продольного градиента давления dp/dx, задав
/s = —, vs = \/(-\№
а масштаб функции тока равным us's = v, как и в первой зоне1).
Заслуживает внимания следующее обстоятельство. Если в первой
зоне вне вязкого подслоя и переходной области осуществляется логариф-
логарифмический профиль скоростей, то во второй зоне его место занимает сте-
степенной профиль скоростей. Действительно, в известном выражении рас-
распределения трения т вблизи твердой стенки, т. е. при малых у,
при приближении к точке отрыва первое слагаемое мало и может быть
!) Stratford В. S. The prediction of separation of the turbulent boundary la-
уег.— Journ. Fluid Mech, 1959, v. 5, part 1, p 5.
§ 138 РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ 729
опущено по сравнению со вторым. Сохраняя в этой второй зоне вне вяз-
вязкого подслоя и переходной области формулу Прандтля и линейный
закон пути смешения с той же константой Кармана х, будем иметь
уравнение
du\2 dp
dy) dx
интеграл которого, в отличие от логарифмического закона в первой зоне
пограничного слоя, приобретет вид степенного закона «корня квадрат-
квадратного»
const,
хорошо подтверждаемого опытами *).
Общий вопрос о рациональном выборе масштабов длин, скоростей
и других величин для различных зон вдоль и поперек пограничного слоя
получил интересное по своей идее освещение в ряде статей Б. А. К а де-
дера и А. М. Я г л о м а2), основанных на теории размерности.
Выбор той или другой совокупности масштабов определяет вид
«универсального» уравнения и его решение. В настоящее время на ка-
кафедре гидроаэродинамики Ленинградского политехнического института
им. М. И. Калинина проводятся исследования возможных применений
метода обобщенного подобия к расчету турбулентного пограничного
слоя, пока только в рамках уравнения моментов первого порядка. Пер-
Первое решение универсального уравнения и примеры его применения к
ряду конкретных задач содержатся в опубликованной в 1982 г. работе
В. В. 3 я б р и ко в a J). В качестве закона турбулентного трения во
«внешней» подобласти использовалась формула Клаузера в своем пер-
первоначальном виде (87), так как ее модификация (88) появилась позд-
позднее. Это обстоятельство не позволило автору получить удовлетворитель-
удовлетворительные результаты для неравновесных пограничных слоев и исследовать
течение в предотрывной области пограничного слоя. Отсылая к цитиро-
цитированным работам В. В. Зябрикова, отметим лишь, что, пользуясь во всей
области пограничного слоя «внешними» масштабами б** и U, автор выб-
выбрал для более реального учета изменения напряжения трения т в сече-
сечениях пограничного слоя в качестве масштаба трения его промежуточ-
промежуточную величину тт в точках у=6**9 положив
Т/71 = tW ~\ 6**.
dx
Это несколько усложнило второй этап метода — расчет конкретных
задач, но привело к хорошему совпадению с опытными данными для
равновесных пограничных слоев для случаев нулевого и отрицательного
1) Впервые на этот закон «половинной степени» обратили внимание Е. Е. Со-
лодкин и И. И. Межи ров в 1950 г. (см. ранее дотированный обзор под ред.
А. С. Гиневского, с. 183). Опытное подтверждение см. в статье: Stratford B. S.
An experimental flow with zero skin friction throughout its region of pressure rise.—
Journ. Fluid Mech., 1959, v. 5, part 1, p. 17—35.
2) Кадер Б. А., Яглом А. М. Применение соображений подобия к расчету
замедляющихся турбулентных пограничных слоев.— Доклады АН СССР, 1977, т. 233,
№ 1, с. 52—55, и тех же авторов: Законы подобия для пристенных турбулентных тече-
течений.— Итоги науки и техники, ВИНИТИ, Механика жидкости и газа, 1980, т. 15,
с. 81—155.
3) 3 я б р и к о в В. В. Применение метода обобщенного подобия к расчету тур-
турбулентного пограничного слоя.— Журн. прикл. механики и технической физики, 1982,
№ 5. с. 74—77. Более подробное изложение дано в том же году в статье: Д и к Е. Д.,
Зябриков В. В. Расчет турбулентных пограничных слоев методом обобщенного по-
подобия.—Депонирована в ВИНИТИ (регистр. № 4047—82).
730 Г Л XIV. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
градиентов давления (пластинка, конфузорный участок). В этой первой
публикации автор удовольствовался локальным приближением решения
универсального уравнения. Впоследствии им было рассчитано полное
первое приближение, мало что изменившее в решениях, относящихся к
предотрывным областям в неравновесных пограничных слоях. Это об-
обстоятельство лишний раз подтверждает важность модификации (88)
формулы Клаузера (87), предложенной Ю. В. Лапиным и
М. X. Стрельцом.
§ 139. Обзор применений моделей второго порядка.
Модели: «fe — е», «иV — k — е»
Внедрение в практику расчетов все более мощных электронных вы-
вычислительных машин привлекает внимание исследователей к использо-
использованию уравнений переноса турбулентных характеристик (§ 120), содер-
содержащих в качестве неизвестных моменты второго порядка, но имеющих
в своем составе моменты третьего порядка, причем не только пульсаций
скорости, но и пульсаций давления. Для приведения этих уравнений —
примем для них общее наименование «моделей второго порядка» —
к замкнутой форме необходимым становится использование для отдель-
отдельных членов этих уравнений упрощающих постановку задачи так назы-
называемых «определяющих соотношений». Как показали последние исследо-
исследования1), «модели первого порядка» не менее точны, чем «модели второ-
второго порядка», однако последние требуют значительно большего машин-
машинного времени. Осветим вкратце и эти модели.
Число методов, основанных на использовании моделей второго по-
порядка и отличающихся друг от друга количеством привлекаемых урав-
уравнений переноса и составом неизвестных, выражающих характеристики
турбулентных движений, в настоящее время велико. В гл. 8 ранее цити-
цитированного сборника статей под редакцией У. Фроста и Т. Моулде-
н а можно найти классификацию существующих методов и краткое их
содержание2).
Наиболее положительные отзывы в текущей литературе относятся
к методам, содержащим уравнения переноса кинетической энергии. Сре-
Среди них выделяется метод, основанный на совместном решении уравнений
переноса импульса, кинетической энергии и скорости диссипации —так
называемый метод «k—е». В этом 'методе совместному решению подле-
подлежит система уравнений
а-~ — 0
~ г —и»
дх ду
дх ду р dx ду\ ду
(93)
dk , dk
дх ду ду \ok
д (vt dk\ , (ди\*
ду \ok ду) \ду]
дг . де д I *t де\ , г е л, (ди\2
дх ду dy\oQ ду) k \ду)
*) Chang К. С, Cebeci T. Numerical aspects of turbulence models.—Intern.
Symp. Comput. Fluids Dynamics, Tokyo, 1985.—Prepr. vol. 2, Tokyo, 1985, p. 538—549.
2) См. также ранее цитированную монографию Брэдшоу и др. (с. 45—49), в
которой некоторые из этих методов изложены в доступной для инженеров форме; кри-
критическое рассмотрение можно найти в составленном А. Н. Секундовым § 1 гл. I
ранее указанного обзора А. С. Гиневского и др.'
§ 139 ОБЗОР ПРИМЕНЕНИЙ МОДЕЛЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 731
где положено
,7ТЛ ^ + fc). (94)
~тт ди
— u'v'=vtT.
ду
Для замыкания системы уравнений применяется «связка» П р а н д т-
ля — Колмогорова
v, = Cv —, (95)
8
основанная на локальной аналогии с теорией однородной и изотропной
турбулентности.
В правых частях последних двух уравнений системы (93) вместо яв-
явной записи коэффициентов vk для кинетической энергии k и ve — для ско-
скорости диссипации е — введены «числа Прандтля» ok=vtlx\ и ог =
= V,/Ve.
Система уравнений метода «&—е» содержит целый ряд эмпириче-
эмпирических констант: Cv=0,09, Ci=l,44, Са=1,92, ofe=l,0, a oe определяется
равенством
**х = 0,4. (96)
Подробный разбор этого метода, проиллюстрированный большим
числом расчетов пограничных слоев, экспериментальные данные для ко-
которых помещены в ранее неоднократно цитированных Трудах стэнфорд-
ской конференции, можно найти в статье А. К. Сингхала и
Д. Б. Сполдинга1). Заметим, что как об этом можно судить по вто-
второй строке равенств (94), метод «?—е» содержит в своей основе гипотезу
Буссинеска, которая, как показано в следующем параграфе, неудовлет-
неудовлетворительно отражает свойства турбулентного движения в тех областях
пограничного слоя, где структура потока определяется «крупномасштаб-
«крупномасштабной» турбулентностью. К таковым относится область, расположенная
вблизи внешней границы пограничного слоя, а в предотрывном участке
почти вся_область пограничного слоя. Этот недостаток исключается в
методе xu'v'—k—е», в котором вместо гипотезы Буссинеска использу-
используется уравнение переноса рейнольдсова напряжения, содержащее напря-
напряжение турбулентного трения в качестве неизвестной зависимой перемен-
переменной. Удовольствуемся тем, что приведем систему уравнений метода
«hV—k—ек__
dtTzF , daV* г д ( k2 дпЧ/ \ г /цУе ^ , Г <ди
дх ду ду\ е ду ) \ k ) ду
dk.dk * л/-> д k? dk —7~т ди /П7\
и —f- v — = 0,9Cs u'v e, (97)
дх ду ду е ду ду
дг . дг р д ( k2 дг \ р u'v'e ди Г е2
дх ду ду \ е ду J k ду k
В отличие от системы уравнений метода «fe—е» (93), «числа Прандт-
Прандтля» для u'v', k и е полагаются равными единице. Заключающиеся в
уравнениях (97) постоянные приняты равными2)
С.=0,1, Сф1 = 2,8, Сй=0,09, Се=0,09, Се1 = 1,40, Се2=1,95.
х> Singh al А. К., Sp aiding D. В. Prediction of two-dimensional boundary
layers with the aid of the «k — e» model of turbulence.— In: Computer methods in appli-
applied mechanics and engineering.— North-Holland publishing company, 1981, v. 25, p. 365—
383.
2) Цитируем по монографии: Турбулентность, принципы и применения/Под ред.
У. ФростаиТ. Мрулден а.— М.: Мир, 1980, с. 245.
732 ГЛ. XIV. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
В ранее цитированном сборнике статей «Турбулентность, принципы
и применения» под ред. У. Фроста и Т. Моулдена излагаются раз-
разнообразные моментные методы и помещено сопоставление результатов
расчета по этим методам (п. 8.3.7, с. 246—255). Можно заключить, что
проблема расчета турбулентного пограничного слоя, особенно если в нее
естественно включить и расчет положения точки отрыва, еще очень да-
далека от своего практического завершения.
Сложность существующих моделей турбулентного пограничного
слоя тесно связана с операцией осреднения уравнений Навье — Стокса
и возникающими вследствие этого трудностями в замыкании системы
полученных уравнений при помощи разнообразных «связок» и определя-
определяющих соотношений, приводящих уравнения к численно интегрируемой
форме. Всех этих недостатков лишен сравнительно недавно появившийся
метод, основанный на непосредственном, без предварительной операции
осреднения, интегрировании уравнений Навье — Стокса (В. И. По-
Полежаев, Б. С. Рождественский, С. А. Орзаг, К. С. Пат-
терсон и др.).
В связи с развитием эффективных численных методов решения урав-
уравнений Навье — Стокса движения вязкой несжимаемой жидкости и по-
появлением мощных ЭВМ возникла возможность проведения так называе-
называемых «численных экспериментов», дающих непосредственное модели-
моделирование турбулентных движений. Научная литература в этой области
как советская, так и зарубежная становится все более обширной. Удо-
Удовольствуемся указанием на фундаментальные исследования Б. Л. Рож-
Рождественского и И. Н. Симакина1), в которых изучены дву-
двумерные и трехмерные нестационарные течения несжимаемой вязкой
жидкости в плоском канале бесконечной длины с параллельными стен-
стенками. Авторы отмечают, что результаты их расчетов хорошо отражают
характерные особенности турбулентных течений, причем наилучшее
совпадение с опытом дают расчеты трехмерных течений. Такие характе-
характеристики турбулентных потоков, как коэффициент сопротивления кана-
канала, профиль средней скорости, распределение среднеквадратичных пуль-
пульсаций скорости, расчет воспроизводит с высокой точностью.
§ 140. Релаксационные явления в турбулентных
пограничных слоях. Релаксационное уравнение Хинце
Подобно тому как особенности молекулярной структуры вязкоуп-
ругой жидкости (§ 85) обусловили ряд ее специальных свойств (конеч-
(конечность скорости распространения возмущений, влияние «предыстории»
потока на последующее движение), которые оправдывали ее наимено-
наименование «наследственной» жидкости, так и особенности «вихревой» струк-
структуры турбулентных потоков наделяют последние свойствами, аналогич-
аналогичными только что перечисленным у вязкоупругих жидкостей. Этот заме-
замечательный факт оправдывается многочисленными опытами, из которых
описанный в § 137 опыт Клаузера о замедленной релаксации возмуще-
возмущений в потоке с «крупномасштабной» турбулентностью был исторически
первым. Существуют и теоретические доказательства «наследственно-
1) Рождественский Б. Л., СимакинИ. Н. Моделирование турбулентных
течений в плоском канале.— Журн. вычисл. мат. и мат. физики, 1985, т. 25, № 1, с. 96—
121 (там же обширная библиография). См. также: Шуманн В. У., Гретцбах Г.,
Кляйзер Л. Прямые методы численного моделирования турбулентных течений.—
В кн.: Методы расчета турбулентных течений/Под ред. В. Ко л л ьм а на.— М.: Мир,
1984; Орзаг С. Численное моделирование турбулентных течений.— В кн.: Турбулент-
Турбулентность, принципы и применения/Под ред. У. Фроста и Т. Мо у л д е н а.—М.: Мир,
1980.
§ 140. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ
733
сти» в потоках с «мелкомасштабной» турбулентностью1), где свойство
«наследственности» проявляется сравнительно слабо.
Отметим, что подход к турбулентному движению вязкой жидкости,
как к ламинарному движению некоторой воображаемой «турбулентной»
жидкости, обладающей особыми свойствами, использованный, как об этом
была речь в §122, Буссинеском, не может считаться полностью оп-
оправданным, так какой ни в коей мере не передает все до сих пор до конца
не исследованное многообразие процессов, происходящих внутри тур-
турбулентных потоков. Это, конечно, относится и к только что отмеченной
возможности рассмотрения турбулентного движения как движения не-
некоторой гипотетической вязкоупругой жидкости. Однако если ограни-
ограничиться только частичной аналогией между отдельными оговариваемыми
заранее свойствами, то такой подход вполне приемлем2).
В дальнейшем воспользуемся такой аналогией, сопоставив ее с бо-
более строгим, теоретически оправданным подходом.
Обратимся сначала к интересным и широко поставленным опытам
японских ученых И. Тсуджи и Г. М о р и к а в ы 3). В отличие от обыч-
обычно рассматриваемых в экспери-
экспериментах по пограничным слоям
«гладких» распределений ско-
\
1
\
Рис. 279
рости на внешней границе пограничного слоя U (х) с одним максимумом
и одним конфузорным и диффузорным участками, эти авторы рассмо-
рассмотрели случай более сложного, своеобразного распределения U(x) (рис.
278) с переменным знаком dp/dx при наличии двух диффузорных участ-
участков.
На входном участке /, на рисунке не отмеченном, G=const, U' =
= 0. Далее следуют, как видно из рис. 278, диффузорный участок //
((У<0), конфузорный участок /// (?/'>()), диффузорный участок IV
(U'<0) и начинается конфузорный участок V (t)'>0). На конфузор-
ных участках было обеспечено отсутствие «релахминаризации», на диф-
диффузорных— отрыва пограничного слоя.
Исследование содержит диаграмму Клаузера (§ 137), по кото-
которой можно заключить (рис. 279) о неравновесности рассмотренного по-
пограничного слоя, исключая только входной участок. Сплошная кривая
на диаграмме соответствует G(ji) для равновесных пограничных слоев
с разными, но постоянными вдоль потока значениями р. Штриховая
спиралеобразная кривая выражает отклонение от равновесности на по-
последовательных участках пограничного слоя.
Пользуясь методом тепловой анемометрии, авторы подвергли точ-
точным измерениям величины — u'v' по сечениям пограничного слоя, соот-
соответствующим разным значениям абсциссы х (рис. 280, а, б, в).
!) Crow S. С. Viscoelastic properties of finegrained incompressible turbulence —
Journ Fluid Mech, 1968, v 33, № 1, p. 1—20
2) R i v 1 i n R. S. Quart. Appl. Math , 1957, v. 15, № 212
3) Tsuji J., M о г i k a w a G. Turbulent boundary layer with pressure gradient
alternating in sign.— Aeron Quarterly, 1976, v 27, № 1, p 15—28
734
ГЛ. XIV МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Отрезки прямых слева показывают уклоны касательных к кривым
отнесенного к плотности полного напряжения трения t/p=v ди/ду—u!v'.
На некотором удалении от стенки этот уклон можно отнести к распреде-
распределению только турбулентного трения.
Как это следует из уравнения моментов первого порядка A),
д (т/рI _dp_
ду \y=Q dx
или, пренебрегая обычной вязкостью,
ду Jy=o dx
(98)
(99)
Сообразно с этим отрезки прямых, характеризующие уклоны касатель-
касательных к кривым распределения напряжения трения, должны соответствен-
соответственно представлять положительные уклоны в диффузорных участках погра-
пограничного слоя (dpidx>0) и отрицательные уклоны — в конфузорных,
1,0
0,5
0
0,5
0
0,5
0
<1 \х=2у3м
и V х^
-/A V'/w
1 \ V_
- W»
20 у/е** о
что и отмечено на рис. 280, а, б, в. Как следует из графиков рис. 280, это
условие соблюдается только на участке // (рис. 280, а). В конфузорном
участке /// B,5^x^:3,1) (рис. 280, б) ближние к стенке эксперимен-
экспериментальные точки располагаются по кривым, явно сохраняющим диффузор-
ный тип распределения напряжения турбулентного трения. Наконец, в
последнем диффузорном участке IV (рис. 280, в) условие положитель-
положительности уклона полностью восстанавливается. Только в переходных сече-
сечениях л:=3,1; х=3,3 наблюдается некоторая неопределенность в выпол-
выполнении пристеночных условий. Рассматривая рис. 280 в целом, можно
§ 140 РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ 735
заключить, что, несмотря на присутствие в потоке как диффузорных, так
и конфузорных участков (рис. 278), распределение напряжения трения
сохраняет полученный на участке II диффузорный характер.
Не останавливаясь на других интересных результатах, изложенных
в цитированной статье, подчеркнем, что рис. 280 дает чрезвычайно на-
наглядный пример наличия наследственных явлений в неравновесных тур-
турбулентных пограничных слоях, причем основное проявление этого эф-
эффекта относится к удаленным от стенки точкам потока, где наблюдает-
наблюдается «крупномасштабная» турбулентность. Как показывают выраженные
в «универсальных» масштабах (т. е. отнесенные к динамической скоро-
скорости у.) пристенные профили скоростей, приведенные в цитированной
статье, влияние «наследственности» в этой области «мелкомасштабной>
турбулентности мало заметно. В заключение описания этого эксперимен-
эксперимента приведем график местного коэффициента трения на стенке cf{x),
сравнив его с рассчитанным по извест-
известной нам по § 127 формуле Людви-
Людвига—Тиллмана A46) (рис.281). Как
видно из этого графика, эксперимен-
экспериментальные точки (светлые кружки), начи-
начиная от левой границы конфузорного
участка ///, заметно отходят от пока-
показанного сплошной кривой распределе-
распределения cf по Людвигу — Тиллману.
Из предыдущего сделаем два основ-
основных вывода: 1) «наследственные» явле-
явления в турбулентных потоках опреде-
определяются «вихревой» структурой потока
и 2) крупные вихри («крупномасштабная» турбулентность) обеспечива-
обеспечивают интенсивные эффекты «наследственности», в то время, как мелкие
(«мелкомасштабная» турбулентность) слабо отражают эффекты «на-
«наследственности».
Отсутствие в ламинарных пограничных слоях подобных «вихревых»
структур лишает их свойства «наследственности», но сохраняет за ними,
конечно, обычную молекулярную диффузию возмущений, как, напри-
например, это имеет место в задаче о входном участке трубы.
Для учета «наследственности» методы расчета пограничных слоев,
содержащие в своей основе гипотезу Буссинеска, непригодны, так
как она, по существу, выражает модель ламинарного движения с боль-
большим переменным в пространстве коэффициентом «вязкости». Как вскоре
будет выяснено, использование этой гипотезы может быть сохранено
только в областях «мелкомасштабной» турбулентности, где эффекты
«наследственности» существенно не проявляются.
Для расчета «наследственности» в турбулентных пограничных сло-
слоях необходимо взамен формулы Буссинеска предложить новую фор-
формулу напряжения турбулентного трения, которая учитывала бы релак-
релаксационные процессы. К числу первых, еще, может быть, недостаточно
совершенных попыток в этом направлении можно отнести установлен-
установленное И. О. Хинце1) релаксационное уравнение и его интеграл, кото-
который должен прийти на смену формуле Буссинеска D3) гл. XIII.
Среди нескольких различных по идее выводов релаксационных со-
соотношений следует предпочесть наиболее естественный, основанный на
использовании уравнения переноса касательной компоненты тензора
турбулентных напряжений.
l) Hinze J. О. Gedachniseffekte in der Turbulenz — Zeitschr. f. angewandte Math,
u. Mech , 1976, Bd. 56, S. 403—415.
736 ГЛ. XIV. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
В основу этого вывода И. О. Хинце положил уравнение
du'v' . du'v' ,*ди (у
дх ду ду \ дх дх ' ду ду
дх J ду р ду ду2
представляющее в случае стационарного плоского турбулентного погра-
пограничного слоя уравнение переноса рейнольдсова напряжения C2) или
C3) гл. XIII. Это уравнение подверглось ряду упрощений. Прежде всего
были опущены члены уравнения, содержащие обычную вязкость. Далее
были отброшены, как сравнительно малые, производные по у от величин
u'v'2 и и'р'. Остающийся третий член в правой части был разложен на
два слагаемых, из которых первое связывалось с осредненным деформа-
деформационным движением и принималось равным
ду
а второе определялось наличием турбулентных пульсаций
где k— удвоенная осредненная кинетическая энергия пульсаций скоро-
скорости, е — скорость диссипации, а^и с2 — постоянные коэффициенты.
Приняв эти допущения, можно получить уравнение
и —— + v —— = — (v' — ф) - —c2 — u'v'. A01
д\- ду ду k2
Далее, из соображений размерности принималось
ig-=i G'-c1k*)lt = vt, A02)
кг kt
где Xt — величина, имеющая размерность времени,— полагалась равной
характерному времени турбулентной релаксации. Произведя в уравне-
уравнении A01) только что указанную замену, умножая обе части получен-
полученного таким образом уравнения на Kt и вводя обозначения
Ktu = LXi Xtv = Ly, A03)
получим уравнение Хинце
Lx Ь Ly —— + и'х/ = — v, — f A04
дх ду ду
которое приходит на смену уравнению Буссинеска, ко не содержит
его как частный случай при Lx=Ly=0y так как при этом было бы Xt =
= 0 и vt = 0.
Имеющие размерность длины и пропорциональные времени релак-
релаксации величины Lx n Ly Хинце рассматривает как соответственно «про-
«продольные» и «поперечные» пути релаксации.
Анализируя вывод уравнения Хинце из общего уравнения переноса
рейнольдсовых напряжений, обратим внимание на физическое значение
отбрасываемых при выводе слагаемых в уравнении переноса (§ 120).
Это, прежде всего, члены, содержащие коэффициент обычной (молеку-
(молекулярной) вязкости. Далее, что очень важно, автор пренебрегает, как ма-
малыми, слагаемыми, выражающими турбулентную диффузию. Отсюда
можно заключить, что уравнение Хинце допускает применение только
в тех областях турбулентного пограничного слоя, где господствует «круп-
§ 140. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ 737
номасштабная» турбулентность, т. е. во «внешней» подобласти погра-
пограничного слоя.
Такое заключение подтверждает ранее сделанное замечание о раз-
различии областей применимости формул Буссинеска и Хинце:
первой — во внутренней, пристенной подобласти, второй — во внешней
подобласти турбулентного пограничного слоя. В дальнейшем это ут-
утверждение будет подкреплено примером расчета и сравнением с экспе-
экспериментом.
Опираясь на высказанные соображения и принимая во внимание
тот факт, что основное свойство «крупномасштабной» турбулентности
заключается в «запоминании» предыстории потока, приведем простой
вывод уравнения Хинце A04), основанный на аналогии «крупно-
«крупномасштабного» турбулентного движения с движением максвелловской
вязкоупругой жидкости1). Подчеркнем еще раз, что тождественность
этих двух совершенно различных по природе движений при этом не ут-
утверждается, а используется лишь одно их общее свойство — «наследст-
«наследственность».
Подобно тому как формула Буссинеска D3) гл. XIII рассматри-
рассматривалась как обобщение формулы Ньютона для простейшего плоского
сдвигового ламинарного движения на случай «турбулентной жидкости»
Буссинеска, не обладающей «наследственными» свойствами, так
вязкоупругая жидкость Максвелла с ее ярко выраженными «наслед-
«наследственными» свойствами может быть положена в основу образа «турбу-
«турбулентной жидкости» Хинце. Для этого надо только в определяющем
соотношении B1) § 85 произвести замены: X на Kt, \i на \it, v на vl9 т на
т*=—pu'v\ и на осредненную скорость п (черточку над и в дальнейшем
опускаем), а стоящую в левой части производную по времени т на
индивидуальную производную, в данном плоском стационарном движе-
движении равную
дт , дт
х = и (- v — .
дх ду
При этой замене уравнение B1) гл. X перепишется в виде
p + vd^) + Tt = ^f, A05)
дх ду ) ду
а после замены xt =—pu'v' и введения обозначения A03) для «длин»
(«путей») релаксации,совпадает с уравнением A04).
Во внешней подобласти турбулентного пограничного слоя «продоль-
«продольная» релаксация преобладает над «поперечной», и это позволяет прене-
пренебречь «путем релаксации» Ly по сравнению с Lx. При этом уравнение
A04) перейдет в следующее (LX=L):
г du'v' , —7—7 да /\c\cl\
L — f-wV= — v/— . A06)
дх ду
Допустив еще, что L является функцией только х, можно получить ре-
решение последнего уравнения в форме квадратуры
*) Лойцянский Л. Г. Наследственные явления в турбулентных пограничных
слоях. Симпозиум по численным методам в гидравлике, Телави, апрель 1980.—Водные
ресурсы, 1981, № 3 и того же автора: Наследственные явления в турбулентных дви-
движениях. Доклад на V Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике
(Алма-Ата, 1981).—Механика жидкости и газа, 1982, № 9, с. 5—19.
24-9487
738 гл xiv. методы расчета турбулентного пограничного слоя
Во втором интеграле выражение в скобках (vtdu/dy)i означает, что в
процессе интегрирования по х (или по |) координата у принимает фикси-
фиксированное значение (является параметром).
Расчеты нескольких примеров1) и сравнение результатов этих рас-
расчетов с опытом показали, что можно принять для функции L(x) линей-
линейную зависимость L = ax, где а — константа, имеющая в различных при-
примерах значения в узких пределах 0,3—0,4. При этом предыдущее реше-
решение перейдет в следующее:
M=(jU)^Xu-x— \ Uf) l^dl A08)
Процитированная только что диссертация Буйльтьеса содержит
примеры приложения теории Хинце и принадлежащего ему релакса-
релаксационного уравнения A04). Примеры эти (обтекание полусферического
препятствия в пограничном слое на пластине, плоский аэродинамический
след за поперечно обтекаемым круглым цилиндром, поток за решеткой)
ставили целью показать необходимость применения уравнения Хинце
вместо уравнения Б у ее и нес к а, во всех этих случаях непригодного.
В диссертации указаны и другие примеры неприменимости формулы Бус-
синеска, в частности в задачах о плоских трубах со стенками различной
шероховатости, о пристенных струях и других, не обладающих симмет-
симметрией потоках. Диссертация содержит также обзор теорий, отличных от
теории Хинце.
В заключение укажем, что В. В. 3 я б р и к о в 2) исследовал вопрос
о применимости методов расчета, основанных на гипотезе Буссинеска и
на релаксационном уравнении Хинце, к различным областям погранич-
пограничного слоя.
Напомним, что в «пристенной» подобласти «мелкомасштабная»
структура потока соответствует весьма слабым свойствам «наследствен-
«наследственности», а в близкой к внешней границе пограничного слоя части «внеш-
«внешней» подобласти, наоборот, «крупномасштабность» структуры турбулент-
турбулентного течения проявляется в сильных «наследственных» эффектах. При
этом естественно предполагать допустимость применения гипотезы Бус-
Буссинеска в первой из этих подобластей пограничного слоя, а релакса-
релаксационного уравнения Хинце — во второй.
В. В. Зябриков подтвердил справедливость этих утверждений, про-
произведя сравнительные расчеты экспериментально исследованного Тсуд-
жи и Морикавой3) неравновесного пограничного слоя. Автор ис-
использовал два метода расчета: упомянутый в конце § 138 метод, осно-
основанный на соображениях обобщенного подобия и гипотезе Буссинеска,
и второй, использующий релаксационное уравнение Хинце. На рис. 282
и 283 приведены результаты расчетов напряжения турбулентного трения
этими методами: штриховые кривые У относятся к расчету по первому из
методов, сплошные кривые 2 — по второму; светлые кружки соответству-
соответствуют эксперименту. На рис. 282 изображены распределения безразмерного
трения т/(р?/2) вдоль пограничного слоя на малом расстоянии от стенки
zy=O,l б (б — «номинальная» толщина пограничного слоя). Вдоль этой
прямой в конце области I (вспомнить разметку областей на рис. 278), во
всей области III и начале области IV расчет по гипотезе Буссинеска
ближе к эксперименту, чем расчет по релаксационному уравнению Хин-
1) Built jes P. J. H Memory effects in turbulent flows Afdeling der Werktuig-
bouwkunde — WTHD, 97, Techn Hogeschool, Delft, Univ of Technology, Preprint of
doctors thesis, April 1977.
2) Зябриков В В. Релаксация рейнольдсова напряжения трения в неравно-
неравновесном турбулентном пограничном слое.— Инж-физ. журнал, 1983, т. 44, № 4.
3) См. ранее цитированную их работу.
§ 140 РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ
739
це. Рис. 283 показывает распределения трения, соответствующие слою
на расстоянии от стенки у = 0,7 6. На этой прямой распределение напря-
напряжения трения по всей длине пограничного слоя ближе соответствует ре-
релаксационной теории. Хотя приведенные расчеты носили предваритель-
предварительный характер, чем, возможно, объясняются некоторые отклонения экспе-
экспериментальных точек от соответствующих кривых, все же общая тенден-
тенденция выражена достаточно определенно.
Теория «наследственности» в турбулентных пограничных слоях на-
находится пока еще на ранней стадии своего развития. Наряду с изложен-
изложенной теорией Хинце имеются попытки простого эмпирического учета
влияния «наследственности». Укажем одну из работ этого направле-
направления1), использующую стандартную релаксационную формулу
х
где v0 — турбулентная вязкость в сечении начала релаксации, vp — рав-
равновесное значение коэффициента vt в данном сечении, Дл: — расстояние
от начального сечения, /—
длина релаксации, выра-
выражаемая в частях толщин
слоя б в начальном
сечении. Как показали
эксперименты, / имеет
примерно порядок 5—10 б.
Каунасские ученые2)
произвели систематиче-
систематическое исследование релак-
релаксационных явлений в тур-
турбулентном пограничном
слое на подогреваемой
снизу пластине в плоском
скоростном и температур-
температурном пограничных слоях с
возмущениями в форме
препятствий, имеющих
вид прямоугольных парал-
параллелепипедов. Авторы под-
подвергли детальному анали-
анализу области течения, сле-
следующие за точкой прили-
прилипания к поверхности пла-
пластины сорвавшихся с пре-
препятствий пограничных
слоев. Как и в предыду-
предыдущих работах, наблюдался
рост интенсивности релак-
релаксации рейнольдсовых на-
напряжений и соответствен-
соответственно турбулентного переноса тепла при удалении от поверхности пласти-
пластины. Было отмечено сложное взаимодействие крупномасштабных вихрей
с мелкомасштабными, генерируемыми вблизи поверхности.
f S^
о **
2 л 3А
A
/ ° Z
4 X
ш
Рис. 283
N
х) Hortsmann С С. Turbulence model for nonequilibrium adverse pressure gra-
gradient flows — AJAA Journ , 1977, v. 15, № 2, p 131, 132.
2) ШланчаускасА. А., Пядишюс A. A., 3 и г м а н т а с Г. П. Теплоперенос
в турбулентном пограничном слое при наличии возмущений и их релаксации.— В кн.:
Тепломассообмен — VI, т. 1, ч. 2.—Минск, 1980, с. 185—196.
24*
Г Л А В А XV
ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
§ 141. Основные уравнения движения вязкого газа
В основу изучения движения вязкого газа положим следующие об-
общие допущения:
1) газ совершенен, т. е. давление р, плотность р и абсолютная темпе-
температура Т удовлетворяют уравнению состояния — закону Клапейрона
? = Я7\ A)
который при частном предположении о неизменности коэффициента теп-
теплоемкости при постоянном давлении ср можно еще написать в виде
JL = ±(cpT)=-*-ht B)
Р ср ср
где h — энтальпия (тепловая функция), в общем случае сРу зависящего
от температуры, выражаемая интегралом
т
C)
2) газ представляет собой «ньютоновскую» среду, подчиненную из-
известному уже нам по §84 обобщенному закону Ньютона о линейной связи
между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций. В отли-
отличие от несжимаемой жидкости в случае газа, который будем считать, так
же как и в § 85, средой изотропной, скалярный коэффициент ft, входя-
входящий в основной линейный закон
P = aS + bE, D)
зависит не только от линейного инварианта тензора напряжений рИ +
+ Р22 + Р33, но и от линейного инварианта тензора скоростей деформаций
dVi/dxl-\-dV2/dx2-{-dVJdx3=d\w V, который в случае движения газа с
большими скоростями не будет равен нулю.
Как и ранее в § 84, положим а=2\х и, чтобы найти выражение коэф-
коэффициента Ь, приравняем линейные инварианты обеих частей равенства
D). Будем иметь
Рп + Р22 + Рзз = 2fi div V + 3b. E)
Обобщая принятое в § 84 определение давления для несжимаемой
жидкости, положим
\ (Рп + Р22 + Рзз) = — Р + и' div К, F)
где коэффициент \i' назовем коэффициентом объемной вязкости, или
вторым коэффициентом вязкости.
Подставляя выражение F) в равенство E), найдем
G)
§ 141 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА
741
после чего формула обобщенного закона Ньютона для газа D) примет
вид
" :. (8)
На возможность допущения F) указывал еще Стоке, а после него в
своих лекциях по теории тепла Кирхгоф. Вторая вязкость оказывает су-
существенное влияние на быстро развивающиеся процессы в газе, как, на-
например, взрыв, прохождение газа сквозь скачок уплотнения и др.
В дальнейшем мы удовольствуемся лишь учетом влияния обычной
первой вязкости, а второй вязкостью будем пренебрегать, положив
|i'=0. (9)
При этом
или в матричной форме
(Рхх Рху Pxz^
Pyx Pyy Pyz
\Pzx Pzy pzzj
ди
dx
\_fdv .ди
~2\dx' ~dy
1 (dw . du
1 Гди , dv\ 1 (du . dw V
2 [ду дх) 2 \дг дх )
dv
ду
1 (dv . dw
3) динамический коэффициент вязкости \i является функцией только
абсолютной температуры Т. В дальнейшем используются различные за-
законы этой зависимости. Прежде всего приведем формулу Саттерлэнда
Л'*
A2)
где Ts — постоянная Саттерлэнда, имеющая для воздуха значение, близ-
близкое к 122 К, а Го и \х0 — абсолютная температура и коэффициент вязко-
вязкости, соответствующие некоторому начальному состоянию газа. Широко
также применяется степенная формула
л, A3)
где п=1/2 для сравнительно высоких температур и м=1 для более низ-
низких. По Карману в среднем л=0,76. Иногда считают
п = 8/9 при 90<7<300К,
A4)
п = 3/4 при 250<Г<600К.
Чепмен и Рубезин') предложили для пользования в теории погра-
пограничного слоя простой линейный закон связи \i к Т:
Н-о
*) Chapman D. R., Rubesin M. W. Temperature and velocity profiles in the
compressible laminar boundary layer with arbitrary distribution of surface temperature.—
Journ. Aeron. Sci., 1949, v. 16, p. 547. Русский перевод в сб. «Механика», в. 4.— М.:
ИЛ, 1950, с. 50.
742 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКСГГО
с постоянной С, выбранной из условия возможного приближения к фор-
формуле Саттерлэнда A2) и равной (Tw — температура на стенке, Тм — тем-
температура на внешней границе пограничного слоя)
V» т Л-Т
s
tw+ts
A6)
4) коэффициенты теплоемкости ср и cv, а следовательно, и их отно-
отношение k не зависят от абсолютной температуры газа и являются физиче-
физическими константами газа;
5) коэффициент теплопроводности газа X пропорционален динами-
динамическому коэффициенту вязкости jx, так что число Прандтля Рг=\хср/Х, в
дальнейшем для простоты письма обозначаемое через а, рассматривает-
рассматривается как физическая постоянная газа
lACjA—cr^const. A7)
Для вывода уравнений динамики вязкого газа используем уравне-
уравнение динамики среды в напряжениях F) гл. IV
р — = pf + DivP A8)
dt
и, подставив в него выражение Р из A0), составим следующее основное
уравнение Навье— Стокса динамики вязкого газа:
p^ = pF- grad (p + 11* div Кj + 2 Div (pS). A9)
В проекциях уравнение A9) будет иметь вид
do Г dp . д Г (ди \\ о \
B0)
ду}\
К этим уравнениям присоединяется уравнение неразрывности
| + div(pK) = 0 B1)
или
dp _j_ д(ри) , д(ру) ^_ d(pw) _ 0 ,22ч
dt дх ду дг
Наличие переменной величины Т делает полученную систему урав-
уравнений незамкнутой-, число неизвестных: и, vt w, p, p, \i, T превосходит на
единицу число уравнений. Чтобы получить замкнутую систему уравне-
уравнений, составим еще уравнение баланса тепла в движущемся газе. С этой
целью используем уравнение баланса энергии в дифференциальной
§ 141. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА 743
форме B1) гл. IV
( ?)p7 B3)
и, аналогично тому, как это делалось в гл. V, перейдем от внутренней
энергии cvT к энтальпии Л, связанной с нею известной формулой
Р
Кроме того, удовольствуемся рассмотрением притока тепла только
через теплопроводность, т. е. положим
p<7=div(A, grad T),
где коэффициент теплопроводности X будем считать функцией темпера-
температуры Т и пропорциональным [х согласно A7).
Заменяя в уравнении B3) тензор напряжений Р его выражением
A0), получим
+ 2div(iiVS) — div\(p + -|цdiv v\ vl + div (-?- gradh\,
или, используя очевидное преобразование
и равенство A7), следующую форму уравнения баланса тепла
^. B4)
Входящее под знак дивергенции в правой части произведение векто-
вектора скорости V на тензор S может быть выражено через дифференциаль-
дифференциальные векторные операции над вектором V в форме
VS = grad (у) -1-VxrotV. B5)
Отметим основной для дальнейшего частный случай стационарного
движения при отсутствии объемных сил. Используя B1), получим
и уравнение B4) преобразуется к следующему, как иногда говорят,
«дивергентному» виду:
div \pV (h + —\ — 2[iVS + -[iKdiv V — ^gradftl =0. B6)
Пользуясь выражением B5), можно представить уравнение B6) в
следующем развернутом виде:
Можно указать и другие полезные формы уравнения баланса тепла.
Вспомним уравнение изменения кинетической энергии A6) гл. IV
р A {YLj = pF. V + div (PV) + Nln. B8)
744 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
Заменяя в выражении A7) гл. IV мощности внутренних сил тензор Р по
равенству A0), получим следующее выражение мощности внутренних
сил:
Nin = — 2[iS2 + p div V + - \i (div VJ. B9)
«з
Сравнивая его с соответствующим выражением Nln в случае несжимае-
несжимаемой жидкости, убедимся, что при наличии сжимаемости в выражении
Nln добавляются два новых слагаемых
/?divK+-fi(divKJ;
3
первое из них выражает секундную работу давления, а второе — сил
внутреннего трения при сжатии газа. Диссипируемая мощность, т. е.
необратимая часть мощности внутренних сил с противоположным зна-
знаком равна
ЛГДИС = 2^2 -1ц (div КJ. C0)
о
Выражение диссипируемой мощности C0) в виде разности квадра-
квадратов не позволяет судить непосредственно о знаке этой величины и об ус-
условиях обращения ее в нуль. Покажем, что диссипируемую мощность
можно представить в форме суммы квадратов. Имеем по C0)
ЛГдис = 2|i (S2n + Sl2 + &l + 2S2n + 2S223 + 2&) -
— T I1 (^n "Ь ^22 "Ь ^33 "b 2^11^22 + 2522S33 + 2S33Sn) =
о
= 4ц (S\2 + Sl3 + Si) + 4 |i (A+2&+2& - 2SU52S - 2&t^aS-2Sa^u)
О
или, комбинируя члены во второй скобке,
ЛГдис = 4fi (SJ, + S% + SI) + I ix [(Sn - S22J + (S22 - S33J+ E33 - Sny].
C1)
Из последнего выражения сразу следует, что, кроме тривиального слу-
случая квазитвердого движения газа, о котором уже была речь в § 93 гл. X
при рассмотрении движения вязкой несжимаемой жидкости, механиче-
механическая энергия вязкого газа не будет диссипироваться в тепло и при изо-
изотропном радиальном расширении или сжатии газа, когда скорости сдвига
равны нулю, а скорости относительных удлинений по любым направле-
направлениям в пространстве одинаковы: S11 = S22=533. Заметим, что при учете
второй вязкости диссипируемая в тепло механическая энергия при ради-
радиальном расширении или сжатии газа уже не была бы равной нулю.
Вычитая почленно обе части B8) из B3) и вновь переходя от внут-
внутренней энергии к энтальпии, получим после простых преобразований
следующую форму уравнения баланса тепла:
fAi ^ t* <div ^2 + div fasrad А) • C2)
Сравнив это уравнение с D3) гл. V и приведенными там последую-
последующими рассуждениями, убедимся, что при наличии вязкости движение
уже не может быть баротропным, а при условиях адиабатичности — изэн-
тропическим.
Уравнения B4) или C2) замыкают систему уравнений динамики
вязкого газа по крайней мере в той постановке, которая принята в на-
§ 141. ОСНОВ^$?^У№вЙЗДИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА 745
чале настоящего параграфа. Более широкие постановки, учитывающие
существенные при сверхзвуковых движениях теплоотдачу путем лучеис-
лучеиспускания, явления диссоциации, ионизации и др., требуют специального
изучения.
В число граничных условий, так же как и в несжимаемой жидкости,
входит равенство нулю скорости на неподвижной твердой границе, а при
движении тела в газе совпадение скорости частиц газа, прилегающих к
поверхности тела, с соответствующими скоростями точек поверхности
тела («прилипание» частиц газа к твердой поверхности).
В разреженных газах условие прилипания газа к твердой стенке не
имеет места; при этом наблюдается скольжение газа по стенке, которое
можно считать пропорциональным производной по нормали к поверх-
поверхности обтекаемого тела от касательной составляющей скорости. Не при-
приходится и говорить о том, что условие прилипания совершенно теряет
свою силу в сильно разреженных газах, когда длина свободного пробега
молекулы становится сравнимой с линейными размерами тела. В этом
случае газ уже нельзя рассматривать как сплошную среду. Такого рода
движения газа выходят за рамки механики в узком смысле слова и со-
составляют предмет изучения кинетической теории газов. Заметим, что
вопросы обтекания тел разреженными газами приобрели в последнее
время практическое значение в связи с движением тел на больших вы-
высотах.
В случае внешнего обтекания тел безграничным потоком газа в чис-
число граничных условий входит задание скорости набегающего потока или
скорости движения тела по отношению .к покоящемуся вдалеке от тела
газу; при протекании газа сквозь каналы обычно задают секундный мас-
массовый расход, при изучении распространения струй — секундное количе-
количество движения и т. п.
Граничные условия для температуры могут быть также разнообраз-
разнообразны. Наиболее часто встречается задание распределения температуры по
поверхности обтекаемых тел или на стенках каналов, по которым проис-
происходит течение газа, и температуры набегающего газа. В других случаях
задается распределение теплоотдачи, т. е. секундного количества тепла,
проходящего через единицу площади поверхности.
Согласно закону Фурье последнее эквивалентно заданию производ-
производной от температуры по направлению нормали к поверхности обтекаемого
тела или канала. В такого рода граничных условиях заложено предпо-
предположение об отсутствии скачка температур между обтекаемой стенкой и
прилипающими частицами газа. Эти граничные условия хорошо под-
подтверждаются опытными исследованиями в неразреженных газах (точнее,
при малой по сравнению с размерами обтекаемых тел или каналов вели-
величине длины свободного пробега молекул). В случае же разреженных и
особенно сильно разреженных газов указанные граничные условия теря-
теряют свой смысл. В разреженных газах наряду со скольжением газа обра-
образуется скачок температур, который, так же как и скорость скольжения,
можно принять пропорциональным температурному перепаду в газе
вблизи стенки. В сильно разреженных газах понятие температуры (так
ж$ как и скорости) нуждается в уточнении, которое дается в кинетиче-
кинетической теории газов.
В число граничных условий входит еще задание давления в какой-
нибудь одной точке, обычно вдалеке от обтекаемого тела, во входном
сечении канала или др.
Начальные условия, как и в несжимаемой жидкости, представляют
собой задание в начальный момент времени поля скоростей и темпера-
температур, и, кроме того, давления в какой-нибудь точке.
Вопрос об условиях существования и единственности решений урав-
уравнений Навье — Стокса динамики вязкого газа упирается в многообразие
746 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
постановок задач и пока не получил своего полного математического за-
завершения.
Простейший пример точного решения уравнений Навье — Стокса
динамики вязкого газа дает задача об одномерном стационарном движе-
движении газа в безграничной плоскости, сопровождаемом переходом сверх-
сверхзвукового потока в дозвуковой при прохождении через скачок уплотне-
уплотнения (см. § ПО предыдущего издания настоящего учебника). Однако
решение это лишено физического смысла, так как толщина скачка имеет
порядок длины свободного пробега молекулы, и, следовательно, в об-
области, занятой скачком, модель сплошной среды некорректна, что исклю-
исключает возможность использования уравнений Навье — Стокса. В резуль-
результате этого формального решения получается заниженное по сравнению
с опытным значение толщины скачка. Заметим, что, несмотря на ука-
указанные обстоятельства, теория скачка уплотнения в сплошной газооб-
газообразной среде была предметом многих исследований1).
Среди поисков решений этой проблемы, глубже проникающих в
сущность явления, но все же основанных на модели сплошной среды и
тем самым на уравнениях Навье—Стокса, следует особо выделить ра-
работы, учитывающие влияние термодинамической неравновесности дви-
движения газа в области скачка2). Время пребывания газа в узких преде-
пределах скачка настолько мало, что прирост кинетической энергии молекул
газа (разогрев газа) не успевает равновесно распределиться по всем
степеням свободы молекул двух- или многоатомного газа.
Время релаксации поступательной и вращательной частей энергии
молекулы сравнимо со временем прохождения газа сквозь скачок уплот-
уплотнения, а колебательная часть имеет большее время релаксации. Это от-
отражается на значениях физических констант газа и существенно изме-
изменяет процесс движения, влияя как на толщину скачка, так и на распре-
распределение скоростей и температур в нем. В настоящее время под руковод-
руководством Г. Липмана разработана теория, основанная на кинетических
соображениях. Толщина скачка, рассчитанная по этой теории, удовлет-
удовлетворительно совпала с результатами экспериментов 3).
Точные решения задач динамики газа были ранее малочисленны.
Отметим принадлежащее Л. Г. Степанянцу4) точное решение плоской
задачи о движении вязкого газа вокруг вращающегося цилиндра и в
полости между вращающимися цилиндрами без ограничительных допу-
допущений об изотермичности движения и без отбрасывания инерционных
членов, а также численное исследование свободной конвекции газа в
плоской прямоугольной области, опубликованное В. И. Полежаевым5).
*) Первые решения этой задачи (о=0, 3/4, °°; независимость \х и К от темпе-
температуры) были уже давно даны Рэнкином, Рэлеем, Прандтлем, Тейлором и Гамелем.
Более точное решение принадлежит Бекеру (Becker R. Stosswelle und Detonati-
Detonation—Zeitchr. fur Phys, 1921—1922, Bd. 8, S. 321—322). Уточнению решения Бекера
(a=3/4, ц~УГ) посвящена работа Томаса (Thomas L. G. Note on the Becker's
theory of shock front —Journ. Chem. Phys., 1944, v. 12, p. 449—453) и ряд других ра-
работ. См. Мордухов М., Либи П. О полном решении уравнений одноразмерного
движения вязкого теплопроводного сжимаемого газа.— Механика, вып. I, M.: ИЛ,
1950, а также Л и б е р А., Р о м а н о Ф., Л е в Г. Приближенные решения для ударной
волны в установившемся одномерном течении вязкого и сжимаемого газа.— Механи-
Механика, вып. I, M.: ИЛ, 1952.
2) Лунькин Ю. П. О структуре ударных волн.— Журн. техн. физ., 1957, т. 27,
№ 6.
3) Schmidt В. Electron beam density measurements in shock waves in argon —
Intern. Congr. of applied mechanics, Stanford, 1968; Abstracts, 103.
4) Степанянц Л. Г. Некоторые случаи движения сжимаемого газа.—Труды
ЛПИ; Энергомашиностроение, Техническая гидромеханика, 1953, № 5, с. 111—128.
5) Полежаев В. И. Численное решение системы двумерных нестационарных
уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа в замкнутой области.— Механика
жидкости и газа, 1967, № 2, с. 103—111.
§ 141. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА 747
Создание и внедрение в научную практику ЭВМ вызвало появление
большого числа численных решений динамических и тесно связанных с
ними тепловых задач о движении газа при сравнительно небольших зна-
значениях рейнольдсова числа. Систематическому исследованию подверг-
подверглись задачи одномерного нестационарного течения реального газа, под
которым понимают совершенный газ, обладающий вязкостью, теплопро-
теплопроводностью, диффузией и испытывающий влияние химических реакций.
Точные и численные решения задач одномерных нестационарных движе-
движений такого газа можно найти в специальной монографии 1).
Большой технический интерес представляет особый раздел дина-
динамики вязкого газа — теория «газовой смазки», являющаяся обобщением
изложенной в § 99 и 100 гидродинамической теории смазки несжимае-
несжимаемой вязкой жидкостью на случай «смазки» газом. В этой теории прихо-
приходится иметь дело с нелинейным уравнением Рейнольдса, решение кото-
которого определяется преимущественно приближенными численными метода-
методами. В настоящее время это большая самостоятельная область техниче-
технической газовой динамики. Основная математическая трудность заключа-
заключается в нелинейности уравнений Рейнольдса, обобщенного на случай
сжимаемости «смазывающего» газа. Даже в предположении изотер-
мичности рабочей среды (р~р) в обобщенное уравнение Рейнольд-
Рейнольдса наряду с давлением р входит его квадрат, что делает уравнение не-
нелинейным. Сложны и граничные условия, учитывающие разнообразные
формы вкладышей подшипника и фигурность опор. Интересующихся
подробностями отошлем к первоисточникам — отдельным оригинальным
научным статьям и обзорам 2).
Среди возможных подходов к численному решению задач динамики
вязкого газа наиболее распространен метод конечных разностей, о ко-
котором подробно говорилось в § 102—104 в применении к вязкой несжи-
несжимаемой жидкости. Большим успехом пользуется также метод «крупных
частиц», о котором вкратце упоминалось уже ранее в применении к за-
задачам движения идеального газа. Широкое распространение получили
как явные, так и неявные схемы. Для упрощения алгебраической сто-
стороны разностной задачи в последнем случае обращаются либо к схемам
переменных направлений, либо к «расщеплению» на одномерные
операторы.
Существенной особенностью задач динамики вязкого газа является
то, что давление связано через уравнение состояния с плотностью и тем-
температурой (внутренней энергией) и, следовательно, градиент давления
') Демьянов Ю. А., С е к р и е р у Г. В., И го шин Л И., Киреев В. Т.,
Пинский В. Л. Одномерные нестационарные течения реального газа — Кишинев:
Штиинца, 1980. Там же имеется обширная библиография.
2) Шей ибер г С. А. Газовая смазка подшипников скольжения — В кн • Трение
и износ в машинах, сб. VIII.— М., Институт машиноведения АН СССР, 1953, Степа-
нянц Л. Г. Некоторые методы газодинамической теории смазки — Тр. ЛИП, 1967,
№ 280, 3 а б л о ц к и и Н. Л , С и п е н к о в И. Н. Один способ постановки задачи о
прин\ штельной газовой сма же подшипников скольжения—Тр. ЛПИ, 1966, Л° 265;
Котляр Я- М. К теории воздушных подвесов сферического типа — Пзв АН СССР,
ОТН, 1959, т 6, S t е р а п у а п t s L G , Z a b 1 о t s k у N D.Sipenkov I E Method
of theoretical investigation of externally pressurized gas-lubricated bearings — Trans
ASME, 1969, Paper № 68-LUBS-41; ШейнбергС. А,Жедь В. П., ШишеевМ Д.
Опоры скольжения с газовой смазкой.— М- Машиностроение, 1968; в том же издатель-
издательстве. Константинеску В. Н. Газовая смазка, 1968; PinkusO,Sternlichi В.
Theory of hydrodynamic lubrication — N -Y • McGraw-Hill, 1961; Saibel E A, Mac-
ken N A The fluid mechanics of lubrication — Annual Review of Fluid Mechanics, 1973,
v. 5, p 185—212. Присоединим еще к этому списку недавно вышедш\ю монографию-
Пинегин С. В., Табачников Ю. Б, С и пен ков И. Е. Статические и динамиче-
динамические характеристики газостатических опор.— М.: Наука, 1982 Вопросы газовой смазки
находятся в центре внимания сотрудников кафедры гидроаэродинамики Ленингр. поли-
политехнического института им. М. И. Калинина, руководимых Н. Д Заблоцким, и
сотрудников института машиноведения АН СССР им. А. А. Благонравова во главе с
С. В. П и н е г и н ы м.
748 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
может быть выражен через эти величины, причем отпадает обычное
исключение давления при помощи операции вихря и постановка задачи
о переносе вихря.
В стационарных задачах динамики вязкого газа с успехом приме-
применяют метод установления, чему способствует наличие в уравнении не-
неразрывности производной по времени от плотности.
Значительные трудности возникают в тех случаях, когда в потоке
образуются скачки уплотнения, местоположение которых заранее неиз-
неизвестно. Хотя в методе «сквозлого счета» скачки получаются автоматиче-
автоматически, появляется необходимость сгущения узлов сетки в окрестности скач-
скачков. В задачах динамики идеального газа около скачков могут иметь
место осцилляции параметров; для подавления этих осцилляции исполь-
используют искусственную вязкость или различные варианты сглаживания.
Сходные проблемы появляются и при расчете течений газов с малой фи-
физической вязкостью (ReS>l), и тогда в разностные соотношения вводят
специальные «монотонизирующие» члены.
Методы численного интегрирования уравнений динамики вязкого
газа весьма разнообразны. Сошлемся на сборник статей под редакцией
О. М. Белоцерковского1); там же приведены некоторые задачи,
решенные численными методами, в том числе методом «крупных час-
частиц» 2).
§ 142. Условия подобия потоков вязкого газа
Следуя по тому же пути, что и в § 87 гл. X при изложении вопроса
о подобии при движении несжимаемой вязкой жидкости, составим сис-
систему безразмерных уравнений динамики вязкого газа. Ограничимся рас-
рассмотрением случая неподвижного тела в безграничном, однородном на
бесконечности потоке со скоростью V^, плотностью р», давлением р*,,
температурой Г», энтальпией /*«,, коэффициентом вязкости jioo; величи-
величины ср, cv и отношение cp/cv=k будем считать повсюду в данном потоке
одинаковыми. Обозначим масштаб длин через L и примем в качестве
масштабов других величин их значения на бесконечности. Для случая
стационарного движения без объемных сил уравнения A), A3), B0),
B2), B7) после выделения масштабов примут вид (штрих обозначает
безразмерные величины)
Poc^oo p(pv) i d(p'v') , a_(p^oi _ 0
L [ dx' dy' dz' J
сКсор'Г fAooft' + -Ю^ —^|i' grad' f^h' + VlV
\ 2 J L \ a
—^^p'(TOt'V'xV'—jV'div'V'\] = 09
PcxP' k
Разделим обе части первых трех равенств (проекций уравнения дви-
движения) на коэффициент p«>V^o/L при безразмерном конвективном уско-
ускорении. В четвертом равенстве масштабный множитель исключается. Обе
1) Прямое численное моделирование течений газа.— М.: Выч. Центр АН СССР,
1978.
2) Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в га-
газовой динамике.— М: Наука, 1982.
§ 142. УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ ПОТОКОВ ВЯЗКОГО ГАЗА 749
части пятого равенства разделим на выражение pooV„fi^ZL. Тогда будем
иметь в безразмерных величинах
дх' ду'
div
iv' p'V [h'+-j-~V"\ ^— \t' grad' — + —2-V'2 —
L \ 2 Л / Роо^оо^ \ ОТ Л /
^^V' {rot'V'xV'-*.V'&ivfV'\\ = 0,
РоЛхЛ ^ \ 3 /J
Штрих при символе дифференциальной операции показывает, что опе-
операция производится в безразмерных координатах.
В бесконечном удалении от тела скоростное поле однородно, скоро-
скорости деформаций отсутствуют и движение вязкого газа совпадает с дви-
движением идеального газа. Следовательно, на бесконечности можно при-
применять формулы идеального газа. Будем, в частности, иметь
l != (*l)f (fc
Aj—1
Роо
РосУ2
1
Рослое PooV°« ^оо Ш^ Л
Кроме того, введем обозначение рейнольдсова числа потока
Тогда получим окончательно следующую систему безразмерных уравне-
уравнений стационарного движения вязкого газа:
i ( t ди' . , ди' . , ди' \ I до' . I (о д ( , ди' \ .
У { дх' ^ ду' ^ дг' ) кЩ, дх' ^ Re^ j дх' [* дх' ) ^
,(, dv' , , до' , , dv'
C3)
, / , dw' , , dwf , , ди/ \ 1 до' ,
Р I дх' ^ ду' dz' I Ml дг' ^
ду'
д Г , / аи'
750 ГЛ XV ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
div'
дх' * ду'
rad' f— + (fe- l)MlvH -
[a J
'frot'V'XV'— -K'div'K'U=0,
К этой системе уравнений присоединяются безразмерные граничные
условия, о которых было в общих чертах сказано раньше. Для рассмат-
рассматриваемого случая обтекания тела эти граничные условия приведутся к
заданию в безразмерном виде уравнения поверхности, равенства нулю
на ней величины скорости, заданию распределения безразмерной темпе-
температуры или нормальной ее производной, а также безразмерных значе-
значений скорости, давления и температуры на бесконечности, равных при
ранее выбранных масштабах единицам.
Безразмерная система уравнений и граничных условий движения
вязкого газа представляет некоторый самостоятельный интерес, так как
позволяет изучать не только отдельное единичное движение, но одновре-
одновременно весь класс движений, отличающихся от данного масштабами
линейных размеров тел, скоростей, температур и т. д. Вместе с тем
безразмерная система уравнений позволяет установить необходимые ус-
условия подобия двух движений газа. Предположим, например, что рас*
сматриваются два геометрически, кинематически и динамически подоб-
подобных стационарных обтекания вязким газом тела или системы тел, при-
причем влиянием объемных сил можно пренебречь. Границы обтекаемых
тел в обоих движениях должны быть геометрически подобны и подобно
расположены#по отношению к набегающим потокам, что входит в опре-
определение геометрического подобия, представляющего часть условий об-
общего подобия явлений.
При наличии геометрического подобия безразмерные (т. е. отнесен-
отнесенные к масштабам длин в сравниваемых потоках) координаты в сходст-
сходственных точках будут выражаться одинаковыми отвлеченными числами.
Безразмерные граничные условия будут также одинаковы; одинаковы-
одинаковыми окажутся и безразмерные величины скоростей, давлений, температур
в сходственных точках потока, представляющие решения безразмерной
системы уравнений C3). Следовательно, одинаковы должны быть и са-
сами безразмерные системы уравнений. Как видно из структуры системы
C3), при этом в двух подобных системах должны иметь одно и то же
значение величины: Re^, М^, kno; если задана температура на поверх-
поверхности обтекаемого тела, то из безразмерных граничных условий для тем-
температуры будет еще вытекать одинаковость отношения размерных тем-
температур на стенке в каких-нибудь сходственных точках к температуре
на бесконечности. Это отношение TJT^ температуры на стенке обтекае-
обтекаемого тела Tw к температуре набегающего потока Гте называют темпера-
температурным фактором.
Отсюда следует прямая теорема подобия: если два стационарных
движения однородного (недиссоциированного и неионизованного) вяз-
вязкого газа при отсутствии объемных сил и лучеиспускания подобны меж-
между собой, то соответствующие этим двиоюениям числа Re», M», ft, a и
TJTn одинаковы для обоих рассматриваемых движений. Естественно,
возникает вопрос об установлении достаточных условий, т. е. условий,
обеспечивающих подобие двух гидроаэродинамических явлений. Одна-
Однако решение этого вопроса упирается в необходимость строгого доказа-
доказательства теоремы о существовании и единственности решений уравне-
уравнений.
§ 143 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ГАЗЕ 751
В более общем случае наличия объемных сил, например сил веса,
пришлось бы еще вводить число Фруда, а при нестационарности дви-
движения — число Струхала.
В вопросах динамики вязкого газа наряду с теорией подобия с ус-
успехом применяется и теория размерностей во всех тех ее направлениях,
о которых говорилось в § 88, 101. При этом, конечно, надо иметь в виду
расширение числа параметров, определяющих движение среды.
§ 143. Ламинарный пограничный слой при движении газа
с большими скоростями
Для вывода основных уравнений ламинарного движения вязкого га-
газа в пограничном слое применим прием, ничем по существу не отличаю-
отличающийся от ранее уже использованного для несжимаемой жидкости.
Удовольствуемся рассмотрением плоского стационарного движения
при отсутствии объемных сил. Уравнения динамики B0) и баланса теп-
тепла B7) в этом случае приводятся к виду
у дхгу ду д* 3 дхУ дх) 3 дхУ ду)^ду\ ду) ду\Г дх)'
dv . dv dp . д ( ди\ . д ( ди\ . 4 а / до\ 2 д ( ди\
djpul + li?vl = ^ C4)
дх ду
д[ Л , и2 . и2 \ dth , 4 и2 , v2\ ди . 2 dvl .
dxV \ 2^2; ЧДоТ3 2 Т2/ Г а*/ 3 г ду\^
Перейдем к безразмерной форме этих уравнений, выражая все ве-
величины в характерных масштабах, но, в отличие от предыдущего, при-
примем заранее во внимание различие в пограничном слое масштабов про-
продольных и поперечных координат и скоростей. Поэтому сохраним для х
и и масштабы: L (какой-то характерный для обтекаемого тела размер,
например хорда крыла) и 17«, (скорость набегающего потока), а для у
и v примем свои, пока еще не определенные масштабы У и V. Сохраняя
остальные обозначения, как в § 142, и вынося масштабы, будем иметь,
используя, как и ранее, штрихи для обозначения безразмерных величин:
' _ Рос др' 4 Hoot/» а / , и'\_
L дх' 3 L2 дх' \ дх' )
Y* ду' Г ду' ) LY ду'
ОУ _ _Рэо_ др' , ^ос^оо а I , ди' х ,
-4 ' ~~ Y ду' LY дх' У ду' '
а / , dv' \ 2 М'оо^оо а
а7 J "*" "з к2 аТ* V1 а^' J з lk ay' Vr" ^
752 ГЛ. XV ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
Роо^оо д(рУ) . Р^ д(рУ) ^0
L дх' ^ Y ду'
'
L г дх' \ о 3 2 2 / К ду
3 У ду' J У ду
~ ~2 ' 3 2
Разделим обе части первых трех уравнений на постоянные ком-
комплексы масштабов, стоящие при первых членах слева в этих уравнени-
уравнениях, а обе части четвертого уравнения на p00U00h00/L. Тогда, принимая во
внимание выражения безразмерных комплексов масштабов через числа
Moo, Re«, и k, уже ранее примененные в § 142, получим такую систему
безразмерных уравнений:
+pv = +
дх' ^ YU^ Р ду' !№„ дх' ^ 3 Rex дх'
2 LV Х J
^(u^L\+((ix\ + (иА
дх' Г ду' ) ^ Rex \Y I ду' Г ду') ^ YUX Re№ ду' Г дх' ) '
дх' YU^ r ду' Ш;, КК ду' Re^ КК дх' у дуе
,ди'
дх' J l 3 Яе^ \У J ду' У ду' ] 3 Re^ YV ду'
д(рУ) , LV д(рУ) ^q
дл-' К^ ду'
C6)
1 LV (и 1\кл2 f.mf 9 ди' JL , , dv'
ду' 3 ду'
^ ^ f V , , Г.,
+
2 3
p'=p'h', ц'=/(А').
§ 143 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ГАЗЕ 753
Пользуясь произволом в выборе масштабов У и V, подчиним их ус-
условию, чтобы безразмерные поперечные координаты и скорости, так же
как и составленные с их помощью производные от скоростей по коорди-
координатам, были нулевого порядка по отношению к изменению рейнольдсо-
ва числа, т. е. стремились к конечным величинам при Reoo->~cx>. Это при-
приводит к двум условиям, которые, если включить в определение масшта-
масштабов У и У не зависящие от Re*, коэффициенты пропорциональности, мо-
могут быть записаны в виде
1 _ =1 или У = г—, V = -=. C7)
Используя полученные выражения У и Vf приведем предыдущую систе-
систему уравнений к виду
, , ди' , , ди' 1 dp' . 4 1 д
3 Re.,, дх'
-(n'*!L\ I д (а' ди'\ \ 1 д (и' *' \
' Г ду" ) Т ду' Г дуГЯ*„ ду' Г дх' ) '
дх' ду' Ш'^ ду' дх' \ ду'
, 1 д f , dv' \ , 4 д I , ди' \ 2 д f , ди'
Re^
(рУ) | ^(Р'^) _q
дх' ду'
C8)
ди'
Перейдем в этой системе к пределу при Reoo—^oo или, что все равно,
откинем в ней величины первого и высших порядков относительно малой
величины l/Re^o. Это даст
ди' , , , ди' I до' . д ( , ди'
C9)
.
0
di/' ' дх' ду'
У4 25 - 9487
754 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
JL
ду'
Заметим, что в силу второго равенства можно произвести замену
dp'Jdxr=dp'jdx'; кроме того, пользуясь третьим равенством (уравнени-
(уравнением неразрывности), перепишем левую часть четвертого равенства (урав-
(уравнения баланса тепла) в виде
P'W JL (h'
PV j-r {К + A=l1 mV). D0)
Таким образом, получим следующую первую основную форму без-
безразмерных уравнений плоского стационарного ламинарного погранич-
пограничного слоя в вязком газе при больших скоростях:
, , ди1 . , , ди' 1 dp' д
D1)
^- (А'
Введем в рассмотрение величину энтальпии адиабатически и изэнт
ропически заторможенного газа, или полную энтальпию газа
В случае вязкого газа величина Ло уже не будет постоянной, как в иде-
идеальном газе, а представит некоторую неизвестную функцию координат.
Относя ее к энтальпии набегающего потока /г», получим
Принимая во внимание, что h^^^a^lik—1), найдем
' ±^l*. D3)
Первой основной форме системы безразмерных уравнений погра-
пограничного слоя D1) можно, следовательно, придать вид
, , ди' , , , ди' 1 dp' , д ( , ди' \
к дх' тн ay' kMl dx' т э/ Г а^Г
ду' "'
D4)
ах' ^к в/ аУ' \r aW U j a/
§ 143. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ГАЗЕ 755
Вторую основную форму безразмерных уравнений пограничного
слоя получим из системы D1) путем простых преобразований третьего
уравнения этой системы. Имеем
вместе с тем из первого уравнения системы D1) следует, что
,(,, ди' , , ди' \ 1 , dp' , д ( , ди' \
V дх' ^н ду' ) kMl dx' ^ ду' Г ду' )
Предыдущее равенство переходит при этом в такое:
v dx' ^^ ду' k dx' ^v ' ' V dy' j а ду' Г %
D6)
Имеем, таким образом, вторую основную форму системы безразмер-
безразмерных уравнений плоского стационарного ламинарного пограничного слоя
в вязком газе, движущемся с большими скоростями:
, , ди' , , ди' 1 dp' д ( , ди' \ d(pV) , д (pV) п
У дх' ^^ ду' Ш^ dx' ду' V ду' ) дх' ^ ду'
D7)
<9jt' ^' ^ dA-' \^ / а ду' \ ду' J
Третье уравнение этой системы выражает в явной форме баланс между
безразмерными конвективным изменением энтальпии (левая часть урав-
уравнения), мощностью сил давления (первый член справа), теплом, возник-
возникшим за счет диссипации механической энергии (второй член справа),
и теплом, отводимым путем теплопроводности (третий член справа).
Нетрудно теперь вернуться и к размерной форме тех же уравнений.
Вспоминая выбранные в начале параграфа масштабы, получим системы
уравнений в размерных величинах. Первой основной формой уравнений
будет
dh0
дх ду dx ду\ ду] дх ду
D8)
Pp. /
k M-oo
Вторая основная форма представится в виде
дх ду dx ду\ ду) дх ду
dh dh dp , [ди\* . 1 д ( dh\ tuf>x
дх ду dx \dy] о ду \ ду) ч
k— 1 - [i
1/4 25*
756 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
При желании можно от энтальпии h перейти непосредственно к аб-
абсолютной температуре Т. Тогда третье уравнение системы D9) —урав-
—уравнение баланса тепла — примет вид
{ дТ . дТ \ dp . (ди\* . СР д ( дТ \
Г Р \ д* ду ) dx^^ \ду) о дуУ ду)
Совершая в системе уравнений C8) предельный переход Re»^*»,
мы пренебрегли тем обстоятельством, что в уравнении баланса тепла
имеются члены порядка M4/Re«, которые при сравнительно небольших
ReTO, но, конечно, таких, при которых вообще верна теория пограничного
слоя (примерно Reoo>-100), и значительных числах М«> (например,
Моо>10) уже перестают быть малыми, и откидывание этих членов ста-
становится неоправданным.
В связи с этим дадим физическую оценку порядка величины ML/
/Rgoo. Для этого, наряду с ранее введенными характерными размерами
тела L и пограничного слоя б, рассмотрим еще основной молекулярный
размер — среднюю длину / свободного пробега молекул газа между дву-
двумя последовательными их столкновениями. По известной формуле для
динамического коэффициента вязкости
где v — средняя скорость свободного пробега молекул, выражающаяся
через давление и плотность или скорость звука в виде (k=cp/cv)
nk '
получим
/ = 1,255 /?-.
a
Составим1) характерное для рассматриваемого явления отношение
При больших значениях числа Рейнольдса Reco = f/0OL/v0O оправдывает-
оправдывается соотношение б//- = 1/У^ёто, так что
- = 1,255 \fk
1,255 \fk ,_
б ' l/Re(
Отсюда следует, что интересующая нас величина Моо/У^е^ имеет
порядок отношения длины свободного пробега молекул газа к толщине
пограничного слоя.
Таким образом, можно прийти к заключению, что уравнения погра-
пограничного слоя, выведенные в предыдущем параграфе, справедливы, во-
первых, при достаточно больших рейнольдсовых числах и, во-вторых,
при условии сравнительной малости длины свободного пробега молеку-
молекулы по отношению к толщине пограничного слоя. Последнее условие
означает, что газ не должен быть разреженным.
Если движение газа происходит при малых значениях рейнольдсова
1) Чень X. Ш. Аэродинамика разреженных газов.— В кн.: Газовая динамика.—
М.: ИЛ, 1950, с. 310—357.
§ 143 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ГАЗЕ
757
числа '), то теряется само представление о пограничном слое. Можно
сказать, что пограничный слой становится сравнимым по толщине с по-
потоком в целом F«L), и тогда, в отличие от только что составленной
формулы для отношения //б при больших рейнольдсовых числах, при
малых значениях Re» будет
Рис. 284
Пользуясь отношением 1/8 как основным критерием применимости
уравнений пограничного слоя, можно приближенно наметить области со-
соотношения чисел Рейнольдса Re*, и Маха М*,, для которых при данном
k, сравнительно мало меняющемся от газа к газу, должны применяться
те или другие методы расчета течений вязкого газа. На заимствованной
из цитированной статьи Ченя диаграм-
диаграмме, показанной на рис. 284, нанесены в
полулогарифмическом масштабе линии
связи между М*, и Re^ при трех задан-
заданных значениях параметра //6: 0,01; 1;
10. Эти линии, конечно, весьма условно
разграничивают области применимости
различных методов исследования газо-
газовых потоков.
Правая крайняя область характери-
характеризует совокупность значений Re*, и Мое,
для которой справедливы уравнения
Навье — Стокса. При больших рей-
рейнольдсовых числах в этой области мож-
можно пользоваться уравнениями погра-
пограничного слоя в газе при больших скоростях, если числа Моо значитель-
значительно отличаются от нуля, и уравнениями пограничного слоя в несжимае-
несжимаемой жидкости, если числа Моо мало отличаются от нуля. Асимптотиче-
кий ход ограничивающей рассматриваемую область кривой при очень
малых рейнольдсовых числах показывает, что в этих условиях только
при совершенно незначительных величинах М*,, т. е. при очень малых
абсолютных скоростях движения, допустимо применение уравнений ги-
гидродинамики; это соответствует классической области «медленных дви-
движений», задаче Стокса о шаре и т. п.
Левая крайняя область значений Мм и Re*, относится к сильно раз-
разреженным газам, когда уже вообще нельзя говорить о газе как о непре-
непрерывной среде. Это — область свободного молекулярного движения газа,
описываемого статистическими методами кинетической теории газов.
В настоящее время эти методы заняли свое место в расчетах силовых и
тепловых воздействий разреженной атмосферы на летящее в ней тело
при очень больших высотах полета (супераэродинамика) 2).
Наибольшие трудности представляет промежуточная область. До
сих пор нельзя еще говорить об установившихся методах расчета дви-
движений в пограничных слоях в этой области значений Re«, и М«,, хотя во-
1) В статье, помещенной в Abhandl. aus dem Aerod. Inst. Aachen, 1925, № 4, Кар-
Карман заметил, что рейнольдсово число, как это сразу следует из кинетических сообра-
соображений, примененных при выводе предыдущих формул, может быть представлено в
виде Reоо = (Uoo/v) (L/1). Малость этой величины может иметь место в следующих слу-
случаях- 1) L«/, Uoo^v (броуновское движение мелких частиц, взвешенных в жидко-
жидкости или газе); 2) L»/, ?/оо<г; (обычные условия «медленного* движения тела в вяз-
вязкой жидкости); 3) L</, Uoo^v (движение тел в сильно разреженных газах).
2) Некоторое представление о задачах и методах этого раздела аэродинамики
можно получить, ознакомясь с содержанием гл. X монографии: Хейз У. Д., П р о б-
стин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.— М.: ИЛ, 1962.
25-9487
758 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
просами этого рода для общих движений вязкого газа еще во второй по-
половине XIX века занимался Максвелл, а в начале нашего века Кнудсен,
Милликен и др. Если говорить о той части рассматриваемой промежу-
промежуточной области, которая граничит с крайней правой областью примени-
применимости уравнений Навье — Стокса, то здесь, по-видимому, можно удо-
удовольствоваться введением некоторых поправок в обычные методы меха-
механики жидкости и газа. Поправки эти идут в двух направлениях. Во-пер-
Во-первых, становится существенным введение дополнительных членов в урав-
уравнения Навье — Стокса, выражающих необходимость использования в
этих случаях некоторых нелинейных законов, приходящих на смену ли-
линейным законам Ньютона, Фурье и Фика.
Из кинетических соображений следует, что в рассматриваемой час-
части переходной области, соответствующей слабо разреженным газам, на-
наряду с обычными линейными членами в выражениях компонент тензора
вязких напряжений, векторов потока тепла и вещества, должны еще
входить нелинейные комбинации производных скоростей по координатам
(Д. Барнетт1)). Отношение этих дополнительных членов к основным,
соответствующим линейным законам, имеет как раз порядок величины
ML/Reoo или, согласно предыдущему, квадрата отношения //6— длины
свободного пробега к толщине пограничного слоя.
Кроме того, и это, быть может, имеет наибольшее принципиальное
значение, коренному изменению подлежат граничные условия на по-
поверхности твердого тела как для скоростей, так и для температур. Еще
в 1875 г. Кундт и Варбург, проводя опыты над колеблющимся в разре-
разреженном газе диском, обратили внимание на уменьшение амплитуд зату-
затухания при снижении давления в окружающем газе. Этот факт, не укла-
укладывающийся в законы динамики ньютоновской вязкой жидкости, смог
быть объяснен только при помощи отказа от основного свойства вязких
газов вообще — «прилипания» частиц газа к твердой стенке. Было вы-
выдвинуто предположение о наличии «скольжения» разреженного газа по
поверхности диска, причем в случае изотермического движения газа
скорость uw этого «скольжения» была принята равной
ди
uw=y— .
ду
Входящий сюда коэффициент *f получил наименование коэффициен-
коэффициента скольжения таза. Кундт и Варбург на основании своих опытов пока-
показали, что коэффициент скольжения, имеющий, очевидно, размерность
длины, пропорционален длине свободного пробега молекул и даже бли-
близок к ней по своей численной величине; этот коэффициент обратно про-
пропорционален абсолютному давлению в газе. Теория «коэффициента
скольжения» была.дана в 1879 г. Максвеллом2), предложившим фор-
формулу
7 = 0,998^-/,
в которой величина / выражает долю касательного к поверхности тела
количества движения молекул, теряющегося при ударе молекул о по-
поверхность тела. Эта доля близка к единице.
Молекулы газа при встрече с твердым телом попадают на сложную
по молекулярной структуре «шероховатую» поверхность тела. При этом
*) В а г n e 11 D The distribution of molecular velocities and the mean motion in
a non-uniform gas —Proc. London Mathem. Soc, 1935, v. 40, p 382—435 См. также
Чепмен С, Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов: Пер. с
англ.— М.: ИЛ, 1960.
2) Maxwell С —Philos. Trans of the Roy. Soc. of London, 1879, v. 170, p. 231—
256
§ 144. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ НА ПЛАСТИНЕ 759
только небольшая часть молекул непосредственно отражается от по-
поверхности тела, а подавляющее число молекул «застревает», абсорбиру-
абсорбируется поверхностью и лишь затем диффузно, т. е. независимо от направ-
направления падения на поверхность, испускается, реэмиссирует. Как показы-
показывают опыты, коэффициент / имеет близкие к единице значения при те-
течении воздуха над твердой металлической поверхностью или над ртутью
и несколько отличается от единицы при течении над стеклом или маслом.
При неизотермическом движении разреженного газа граничные ус-
условия для скорости усложняются. Кроме того, возникает необходимость
изменения еще граничного условия для температуры на стенке. Подоб-
Подобно скорости, температура вблизи поверхности тела также претерпевает
скачок, пропорциональный длине / пути свободного пробега молекулы,
а именно
-=^-— *^l*L ;
a k + 1 цср ду
Т — 7Р=
здесь а—коэффициент «аккомодации», введенный Кнудсеном и выра-
выражающий долю той части молекул, которые после соприкосновения с по-
поверхностью при реэмиссии их приобретают среднюю энергию, аккомо-
аккомодированную (приспособленную) к энергии молекул, имеющих темпера-
температуру поверхности тела Тр\ k=cp/cVi Я — коэффициент теплопроводности
газа. Таблицу коэффициентов аккомодации а, так же как и коэффици-
коэффициентов скольжения y» можно найти в цитированной статье Ченя и в спе-
специальных руководствах по кинетической теории газов.
Применение уравнений движения разреженных газов (уравнений
Барнетта) к расчету конкретных потоков, в частности к пограничному
слою, представляет пока еще непреодолимые трудности. В работах это-
этого нового направления физической механики газа продолжают пользо-
пользоваться уравнениями Навье — Стокса, но в качестве граничных условий
принимают в том или другом виде условия скольжения и аккомодации.
В настоящее время имеются специальные руководства по динамике раз-
разреженного газа ').
§ 144. Ламинарный пограничный слой на пластине,
продольно обтекаемой газом с большими скоростями
Для исследования ламинарного пограничного слоя, образующегося
на пластине при продольном ее обтекании вязким газом с большими
скоростями, применим вторую основную форму D7) уравнений в без-
безразмерных величинах. Примем во внимание, что в этом случае dprldx?=
= 0, p/=const = l; будем пользоваться степенным законом вязкости.
Задача сводится к интегрированию системы уравнений
dh' , , , дЬ! /и 1Ч.-2 ,Гда \2 1 а / , dh \ /К1Ч
р'= —, \i'=h'n.
А. А. Дородницын 2) указал общее преобразование координат, при-
придающее уравнениям пограничного слоя в газе форму, близкую к урав-
уравнениям пограничного слоя в несжимаемой жидкости. Преобразование
!) Коган М. Н. Динамика разреженного газа.— М.: Наука, 1967; Шидлов-
ски й В. П. Введение в динамику разреженных газов.— М.: Наука, 1965.
2) Дородницын А. А. Пограничный слой в сжимаемом газа.— Прикл. мат.
и мех., 1942, т. 6, вып. 6.
25*
760 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
это определяется системой равенств
?=fJLd*, r,= f-?-?fc, E2)
J Po J Ро
о о
где ро и р0 — давление и плотность в адиабатически и изэнтропически
заторможенном внешнем потоке.
Используя в случае пластины (^=/7^) вместо р0 и р0 величины рж
и ре», будем иметь (штрих — знак безразмерной величины)
^ E3)
С целью упрощения вида последующих формул откинем временно
штрих в обозначении безразмерных величин; возвращение к размерным
величинам будет в соответствующих местах оговорено.
Формулы перехода от дифференцирования по х, у к дифференциро-
дифференцированию по |, т] будут
дх dl дх &ц ' ду Р дц '
так как рит] являются функциями не только у, но и х.
Первое равенство системы E1) преобразуется к виду
ди . дц ди . ди д [ ди\ ,-л,
+p"f+pyp=pr) E4)
и после сокращения на р и принятия в расчет последних двух равенств
системы E1) дает
dl \ дх
Из второго равенства той же системы (уравнения неразрывности)
вытекает наличие функции тока if, причем
Р ду *" дц ' Р дх dl дх дц dl дх
Отсюда можно заключить о справедливости соотношений
и-2-. u<%- + Pv = -d±. E6)
дг\ дх п1
Сравнивая с уравнением E5), видим, что если ввести обозначение
u^ + pv = v9 E7)
дх
то уравнения E5) и E6) приведутся к виду
иди ~dtL = _d_/hn-1du_\ и=д^ ^„aiL, ^ + ^ = o. E8)
dl to\ дг) \ дг\ J дг\ dl 61 дц
Аналогичному преобразованию подвергнем и третье уравнение сис-
системы E1) —уравнение баланса тепла; будем иметь
dh , дц dh . dh 1 д ( dh \ . tu 1Ч.-2 « f & V
p" + p"^ + pyp prd + {^1)M^p 1)
или, сокращая обе части на р, используя обозначение E7) и последние
два соотношения в системе E1),
а ал
1 i*U (k - 1) Ml/»" f ^-? . E9)
§ 144 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 761
Как и в задаче о пограничном слое на пластине в потоке несжимае-
несжимаемой жидкости будем искать выражение для продольной скорости w(g, ц)
и энтальпии Л(?, ц) в функции от одного аргумента ?, равного
C = TFT- F0)
Тогда, согласно второму равенству системы E8), получим
I
I
оо
Введем для краткости обозначение
тогда будем иметь следующие выражения функции тока \р, скоростей
и и v, а также производных по ? (обозначаемых в дальнейшем штрихом)
от скорости и и энтальпии Л
Подставляя эти выражения в первое из уравнений E8) и в уравне-
уравнение E9), получим систему следующих двух обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений, служащих для определения неизвестных функций
Ф и Л:
F1)
-(k — 1) MU"~V + оф/t' = 0.
4
Отметим, что задача о ламинарном пограничном слое на пластине,
продольно обтекаемой однородным газом, является, так же как и в слу-
случае несжимаемой жидкости, автомодельной, что выражается в возмож-
возможности использования в качестве единственной независимой переменной
? по F0).
Граничные условия для ф будут те же, что и в случае несжимаемой
жидкости:
Ф = 0, ф'=0 при ?=0»
F2)
<р' =2 при ?= оо.
Граничные условия для энтальпии h могут быть разнообразны. Ес-
Если задана постоянная вдоль всей пластины безразмерная (отнесенная к
Гоо) температура Tw, то граничные условия в безразмерной форме будут
h = hw при ? = 0,
F3)
h=\ при ? = оо.
762 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
Если на пластине отсутствует теплоотдача, то граничные условия
для энтальпии сведутся к следующим:
| = 0 при ? = 0,
F4)
h= 1 при ? = оо.
Интегрирование уравнений F1) в общем случае требует примене-
применения численных методов.
Рассмотрим простейший случай, когда связь между коэффициентом
вязкости и температурой линейна (п=1). В этом случае вместо F1) по-
получим систему уравнений
F5)
h" + оф' + - (k — 1) М2ссф'/2 = 0.
4
Первое из этих уравнений, разрешаемое при граничных условиях
F2), формально ничем не отличается от соответствующего уравнения
задачи о пограничном слое на пластине в несжимаемой жидкости. Ин-
Интегрируя второе уравнение системы F5), найдем Л(?) в форме
h@ = j (А- ОМ2.»(?)- | j 1ф"(Q]°dl + Clf F6)
где введено обозначение
ft (С) = 2а 1 [ср" (С)]а К Г [Ф" (Г)]2 dl\ F7)
i о
а постоянные интегрирования С и С4 должны быть определены из гра-
граничных условий F3) или F4). Полагая ?=оо, найдем значение посто-
постоянной Ci = l; полагая ? = 0, получим [по F3)]
il'
F8)
Обозначим через /г* и 7\ значения энтальпии и температуры пласти-
пластины в условиях отсутствия теплоотдачи F4). В этом случае пластина
может играть роль измерителя температуры потока — пластинчатого
термометра.
Дифференцируя F6) и замечая, что по F7) будет ^'(О^О, найдем
С=0, т. е. по F8) при hw=ht получим
(l)MLb()9 F9)
8
или, переходя к размерным температурам,
1] G0)
где, согласно F7),
& @) = 2а J [Ф" @]° dl \ [Ф" O^rfC G1)
§ 144. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 763
Постоянную С в общем случае наличия теплоотдачи с поверхности
ластины можно представить, согласно F8) и F9), в следующем виде:
С- У~К ¦ G2)
¦г ИПОГЧ
О
Проанализируем полученные результаты. Прежде всего, легко убе-
убедиться, что при Моо-^0 соотношения F6) и G2) в переменной ? совпадут
с ранее выведенной формулой B26) гл. XII для несжимаемой жидкости
в переменной ц; полученное таким путем равенство
С
т т
--0- G3)
Т —Т
1 w
дает распределение температур в пограничном слое на пластине, обте-
обтекаемой несжимаемой жидкостью при учете линейного закона связи меж-
между коэффициентом вязкости и температурой.
Возвращаясь к случаю газа, движущегося с большими скоростями,
когда влиянием сжимаемости (числа М*,) пренебрегать нельзя, будем
предполагать, что функция О(^) уже затабулирована для различных а.
Для дальнейшего особенно важно знать величины 0@); приводим их
значения при нескольких а (для газа не превышающих единицу):
о = 0,6; 0,8; 1,0;
&@) = 3,08; 3,58; 4,00.
Обращаясь к формуле G0), видим, что она для случая я = 1 пред-
представляет решение задачи об измерении температуры газового потока
Т=7'оо при помощи непосредственного замера температуры T=TW—Tt
поверхности продольно обтекаемой этим газом пластины, при условии,
что тепло от пластины не отводится (нет теплоотвода через державку и
проволочки измерительной термопары). Как наглядно показывает фор-
формула G0), такой пластинчатый термометр будет вместо температуры
потока Г«, показывать тем большую температуру 7,, чем больше число
Моо, что и естественно, так как пластина тормозит поток и вследствие
диссипации механической энергии потока в тепло должна дополнитель-
дополнительно нагреваться; это торможение связано с повышением энтропии. Одна-
Однако, как это сразу следует из формулы G0), при а=1 и О@) ==4 термо-
термометр будет показывать температуру адиабатического и изэнтропическо-
го торможения
A t)o=l = i oo 1 Н — Мех = 1 0»
при значениях а<1 это уже не так, и Tt<cT0.
Формула G0) может служить для вычисления поправок на показа-
показания пластинчатого термометра в газе с заданным числом а, отличным
от единицы. Величину — $@) называют коэффициентом восстановления.
4
Коэффициент восстановления в широком диапазоне изменения величи-
величины (k—1)mL представляет собой функцию а, мало отличающуюся от
У?, как в этом нетрудно убедиться непосредственной проверкой по при-
приведенной только что таблице значений О@)
764 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
Ту же примерно температуру G0) будет иметь поверхность ракеты,
совершающей полет в атмосфере. При больших М» температура поверх-
поверхности может превзойти допустимые с точки зрения прочности конструк-
конструкции значения. Значительное при высоких температурах лучеиспускание
способствует охлаждению поверхности1).
Для того чтобы определить коэффициент теплоотдачи пластины,
имеющей температуру T=TW, вычислим размерную производную от тем-
температуры по нормали к пластине дТ/ду на поверхности пластины. Име-
Имеем, переходя в правой части к размерным величинам,
Р ду
откуда следует
_ тсо , fUZ Рш fdh\
2 V v^x Роо { dl Lo '
Ho no F6)
кроме того, в случае пластины (р=рэо) по формуле Клапейрона будет
Используя выражение G2) для С, в размерных величинах прини*
мающее форму
U
будем иметь
/з-л ч i т ГТ]
G4)
где, как и в B31) гл. XII, положено
/ (о) = = Х—— ~ 0,664 fa. G5)
•"@)
0
Вводя число Нуссельта Nu, получим, подобно B33) гл. XII,
Принимая во внимание, что коэффициенты теплопроводности нахо-
находятся в том же соотношении, что и динамические коэффициенты вязко-
1) Кибель И. А. Пограничный слой в сжимаемой жидкости с учетом излуче-
излучения.— ДАН СССР, 1939, т. 25, № 4.
§ 144. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 765
сти, т. е. при п=\
Tw
К
и выполняя, кроме того, интегрирование, получим
G6)
входящая сюда величина Tt определяется по G0).
При отсутствии теплоотдачи Tw=Tt и Nu = 0. При наличии тепло-
теплоотдачи, но малых Моо, т. е. при малых скоростях, когда влияние сжимае-
сжимаемости несущественно, Тг = Тео и, следовательно,
Nu = / (a) YReZ = 0,664 jTq i/ReZ. G7)
Это совпадает с ранее полученной в гл. XII формулой B34).
Наконец, при о=1 будем иметь
Nu = 0,664-p^-/R^- G8)
1 W 1 ос
Обращаясь к вопросу о сопротивлении пластины, найдем сначала
напряжение трения xw. Имеем, переходя к размерным величинам,
Vqo* 1 Рос дп
"со ^ос Р ду '
откуда следует
причем ф^@) имеет то же значение фг/@) = 1,328, что и в несжимаемой
среде. Итак, если при я=1 величины \i и р в выражении рейнольдсова
числа соответствуют параметрам в набегающем потоке, то коэффициент
местного трения остается тем же, что и в случае несжимаемой жидкости
n qoo 1 / ^ооРоо^ г 0,664 г 1,328 ,7Qx
Та, = 0,332 I/ , cf = -==-, Cf = -== . G9)
V х I/Re: I/Re"
Как можно заключить из проведенных выкладок, для вычисления
коэффициентов сопротивления и теплоотдачи нет необходимости иметь
явные формулы связи между новым переменным ? и обычным у/~}/ху так
как в окончательные выражения входят лишь значения величин при у=
= 0 или у=оо. Сложнее решается вопрос о распределении скоростей и
температур в сечениях пограничного слоя, так как полученные распре-
распределения скоростей -^-=а — ф; (С) и температур (энтальпии) F6) выра-
жены через аргумент ?, связанный с обычными размерными координа-
координатами по формуле
766
ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
в свою очередь зависящей от распределения температур. Дифференци-
Дифференцируя по t/, получим
ду~ 2 \/ v^ Л (О
Связь между ? и у/~\[х определится интегральным соотношением
На рис. 285 и 286') приводим графики влияния числа М«, на про-
профили скоростей и температур при /2=1, о=0,7 и &=1,4 для пластины,
и
V
0,5
2-
/j
тш-т„
6=0,7
Рис. 285
Рис. 286
температура которой путем охлаждения поддерживается равной темпе-
температуре набегающего потока. На рисунках обращает на себя внимание
факт возрастания с числом Мя толщины скоростного и температурного
пограничных слоев.
Профиль скоростей с ростом числа М*, урезывается, становится бо-
более пологим. Температура при удалении от стенки сначала возрастает,
а затем возвращается к прежнему
значению, причем максимум отноше-
Т — т^
ния — {То—температура адиа-
батически и изэнтропически затор-
заторможенного газа для набегающего
потока), следуя расширению погра-
пограничного слоя, отодвигается от стен-
стенки, но сохраняет неизменной свою
величину.
Сравнение этих кривых с кри-
кривыми, показанными на рис. 287 и 288,
соответствующими случаю искусственного охлаждения пластины (Tw=
= -7*7\х,), говорит о некотором уменьшении толщин пограничных слоев.
На рис. 289 демонстрируется спрямление кривых распределения
скоростей в координатах м/!/», yiU^pJi^x) по мере роста М*, в случае
отсутствия теплоотдачи с поверхности пластины.
Рассмотренное только что решение, справедливое при л=1, при-
пригодно лишь при сравнительно невысоких температурах поверхности пла-
!) Hantzsche W., Wendt H. Die laminare Grenzschicht der ebener Platte mit
und ohne Warmeubertragung, Jahrbuch 1942 der Deutschen Luftfahrtforschung, 40—51.
Из этой работы заимствованы лишь упоминаемые и несколько дальнейших графиков;
изложенный выше метод расчета отличен от метода Хантше и Вендта.
Рис. 287
§ 144. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ
767
стины. Можно без труда и при этом значительно повысить точность рас-
расчета, если вместо простейшего закона в безразмерной форме \i'=hf при-
принять более близкую к действительности, также приближенную линейную
формулу Чепмена— Рубезина A5), аппроксимирующую закон Саттер-
лэнда A2). Разница будет лишь в том, что в правой части уравнения
Too
1,5
0,5
/
w
?
r
-5 ^
/^3
1" ¦—-
17
*—.
*-
*-
6 = 0,
k=ff
/ j
1,0 2/1 3,0 4,0 ?,С 5.0
Рис. 288
Рис. 289
E4) на место произведения [лр (напоминаем, в безразмерных величи-
величинах) встанет не единица, а постоянная Чепмена — Рубезина С, равная
в безразмерных величинах
с
где hB=T8ITOOi a 7S=122 К. Все останется по-прежнему, если в масшта-
масштабы поперечной координаты и функции тока ввести постоянный множи-
множитель Ус.
Тогда для коэффициентов сопротив-
ления вместо G9) будут
формулы
— 0т664 т/с С
'Re
справедливы
(80)
при больших значениях числа Маха зна-
значительно приближающиеся к решениям
на основе общей формулы Саттерлэн-
да, что подтверждается графиками
на рис. 290. На этих двух графиках, отно-
относящихся к низким температурам потока:
700=—86° С (полет на высоте 50 км) и
7^= —233° С (эксперимент в аэродина-
аэродинамической трубе сверхзвуковых скоро-
скоростей), но к высоким, резко возрастаю-
возрастающим с ростом числа Маха температурам
стенки штриховой линией показаны ре-
результаты расчета по простейшей линейной
формуле вязкости G9), а сплошными кри-
кривыми с отметками «Ч.— Р.» и «Сат.» — соответствующие результаты при
принятии формул: A5) — Чепмена — Рубезина и A2) — Саттерлэнда;
пользование формулой Чепмена — Рубезина оправдывается.
Рис. 290
768
ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
Простые эмпирические формулы расчета коэффициента сопротив-
сопротивления пластины предложил Юнг *). Формулы эти
1-я
cf VrF, = 0,664 Го,45 + 0,55-^ + 0,09(ft-1)Mi
(81)
для общего случая задания температур пластины и набегающего газа и
~~ (82)
cf /^7= 0,664 [1 + 0,365 (k — 1) 1С
для случая отсутствия теплоотдачи (пластинчатый термометр) мало
(в пределах 1%) отличаются от теоретических решений для практиче-
практически встречающихся значений о,о чисел Моо<10.
Сравнение некоторых результатов теоретических расчетов2) сопро-
сопротивления при отсутствии теплоотдачи с эмпирической формулой (82)
приведено на рис. 291. Сплош-
Сплошные линии соответствуют теоре-
теоретическим расчетам, штрихо-
штриховые — формуле (82). Верхняя
прямая относится к случаю
п=1, когда, как было доказа-
доказано в настоящем параграфе,
произведение с^Уяёх не зави-
зависит ни ог числа Маха, ни от а.
20
¦ 16
12
8
0,7
0,6
s
\ 1
\
n=U любые б
ч
Л=0.76; б
189,
^~-
6=0,
75
—-
п-0,786,6*0,75
О
1,0
JL. 0,8
Uo° о,б
0,2
<
0
/f]
//
1
/у
4
/
/
/
/
А
/
\
и.
ч
ч
\
ч
/о
Рис. 291
/б
Рис. 292
В заключение приведем еще один график для случая отсутствия
теплоотдачи при о=1, л = 0,76 (рис. 292) распределения температуры в
сечениях слоя при различных числах M«>^10. Обращает на себя вни-
внимание естественный ввиду отсутствия теплоотдачи (охлаждения) с по-
поверхности пластины резкий рост с числом М» температуры стенки и тол-
толщины температурного слоя. Сопоставляя этот график с распределением
скоростей, помещенным на том же рисунке, отметим равенство толщин
скоростного и теплового слоев, имеющее место при о=1. Профили ско-
скоростей имеют перегиб, особенно заметный при больших Мто3).
х) Цитируем по статье этого автора: Пограничные слои.— В кн.: Современное
состояние аэродинамики больших скоростей/Под ред. Л. X о у а р т а, т. I, M.: ИЛ, 1955?
с. 433.
2) Численные методы решения уравнений пограничного слоя на пластине приме-
применялись Эммонсом и Брайнердом (см. Journ. of Appl. Mcch. A-105, 1941, v. 8 и
A-l, 1942, v. 9). При современном развитии ЭВМ задачи этого рода не представляют
трудностей.
3) Подробности, относящиеся к решениям задач о ламинарном пограничном слое-
в газе можно найти в подробном обзоре: Куэрти Г. Ламинарный пограничный слой
в сжимаемой жидкости.— В кн.: Проблемы механики/Под ред. Р. Мизеса и Т. Кар-
§ 144. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 769
Мы удовольствовались пока рассмотрением лишь одного простей-
простейшего случая интегрирования системы уравнений F1), а именно случая
п=1, когда первое уравнение этой системы становится автономным и
интегрируется отдельно от второго. Представляет интерес и другой так-
также простой случай, когда число Прандтля с принимается равным еди-
единице (для воздуха о = 0,72). К этому случаю нам еще придется вернуть-
вернуться при рассмотрении более сложной задачи о ламинарном пограничном
слое при наличии продольного перепада давления, а сейчас ограничим-
ограничимся лишь следующим общим анализом этого случая. Обратимся к первой
форме уравнений пограничного слоя, представленной системой D8). По-
Полагая в третьем уравнении системы о=1, получим линейное относитель-
относительно h0 уравнение в безразмерных величинах
Oho . dhn д ( dhn
Оп —- + pv —- = — u, —-
У дх У ду ду\г ду
которое в случае dp/dx=0, в силу первого уравнения системы D8), име-
имеет очевидный частный интеграл (а и Ь — постоянные)
ho = au-{-b.
Переходя к размерным величинам, можем этот, носящий имя италь-
итальянского аэродинамика Л. Крокко, интеграл переписать в виде
^oo 2
Используя очевидные условия
T=TW при w=0, Г=ГОО при и=[/во, (84)
определим а и Ь\ окончательно найдем следующую связь между распре-
распределениями температур и скоростей (интеграл Крокко)
Т b \ / \ 2 / Т Ъ \ \ Т
Т 2 °° \ U I ^^ \ Т ^^ 2 °° I U ^^ Т *
Обозначая, как и ранее, значком нуль температуру, соответствую-
соответствующую адиабатически и изэнтропически заторможенному газу, будем
иметь для любой точки пограничного слоя
2~~ ) ~ [ 2 'kRTJ~
и, следовательно, на внешней границе слоя {u^U^) и на поверхности
пластинки (w = 0) будет
' ооО ==г ¦* оо I 1 ~Г Моо ) > 1 WO == * W*
Переписывая (85) в форме
и
м а н а.— М.: ИЛ, 1955. К сожалению, обзор доведен только до 1948 г. и посвящен по
преимуществу зарубежным работам. Обзор советских работ примерно за этот же
промежуток времени можно найти в статье: Лойцянский Л. Г. Пограничный
слой.—В кн.: Механика в СССР за XXX лет.—М.: Гостехиздат, 1950, с. 300—320. См.
также монографию. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой.— М.: Физ-
матгиз, 1962, с. 319—352.
770 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
получим равенство
71
ооО W0
служащее обобщением на случай движения совершенного газа при боль-
больших скоростях известного уже нам по гл. XII соотношения подобия
B27). Согласно (86) можно утверждать, что в любом сечении слоя при
о=1 и произвольном показателе степени п в законе зависимости вязко-
вязкости от температуры поле перепадов температур газа, адиабатически и
изэнтропически пересчитанных на покоящийся газ, подобно полю ско-
скоростей.
Разыскание в этом случае профиля скоростей по сечению погранич-
пограничного слоя, а вместе с тем по (85) и профиля температур, представляет
некоторую трудность. Эту трудность надо избежать до проведения чис-
численного интегрирования нелинейного обыкновенного дифференциально-
дифференциального уравнения, к которому сводится задача.
Для составления указанного уравнения исключим <р из совокупности
первого уравнения системы F1) и результата дифференцирования того
же уравнения по ?
(Ап-!ф")'+<рф"=О, (^-1ф//)
Умножим с этой целью первое из этих уравнений на ср'", второе на
ф" и вычтем почленно одно из другого. Получим
(/ГУ)" ф" + ф V2 - (Лп-У)' ф'" = о.
Примем во внимание, что безразмерная энтальпия А является, со-
согласно интегралу Крокко (85), известной функцией безразмерной ско-
скорости и\ кроме того, вспомним, что функция ф(?) была выбрана из ус-
условия и= — ф'(?). Полагая hn-lu'=s, перепишем предыдущее уравне-
уравнение в форме
s^ = -2uhn-1(u)9 (87)
причем предполагается, что h(u) заменено его выражением согласно
(85). Исследование случая о=1 связано, таким образом, с интегрирова-
интегрированием уравнения (87). При этом уже не используется преобразование До-
Дородницына, так как координата у не входит в число аргументов.
Из первого уравнения системы F1), переписанного в преобразован-
преобразованной форме
и очевидных соотношений ф'/;т*=0, ф = 0 при ^ = 0 следует граничное ус-
условие
А = о при и = 0. (88)
du
Кроме того, из определения s следует
s=0 при и=\. (89)
Следовательно, точка s = 0, u = l является особой для нелинейного
уравнения второго порядка (87). Полагая в правой части уравнения и =
= 1 и замечая, что при этом по (85) будет А=1, составим приближен-
приближенное уравнение
du*
§ 144 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ
771
интегральные кривые которого совпадают с искомыми интегральными
кривыми точного уравнения (87) вблизи особой точки w=l, s = 0. Опре-
Определение интегральных кривых приближенного уравнения не составляет
труда. Имеем (А — постоянная интегрирования)
du du2
s du
du
откуда при помощи подстановки — In (As) =z2 и использования гранич-
граничного условия (89) можно получить (erf —известное уже нам по преды-
дущему обозначение интеграла ошибок)
JL.0,8
U~0,6
ол
0,2
6
5
Too 3
г
1
\l/
ь
У
1
\
\
//у
г
'Г
/
/
-0
У
-5
——
\
\"
\
\
12
!6
Задаваясь различными значениями произвольной постоянной^ инте-
интегрирования Л, выберем такую интегральную кривую, чтобы, выйдя из
особой точки по этой кривой и продолжая
ее затем численным методом интегриро-
интегрирования точного уравнения (87), прийти, со-
согласно граничному условию (88), в точку,
где и —0, ds/du = 0. Такой метод часто
приходится применять при решении крае-
краевых задач пограничного слоя. Результаты
только что описанного расчета при отсут-
отсутствии теплоотдачи и показателе степени п
в законе зависимости коэффициента вяз-
вязкости от температуры, равном 0,76, были
уже приведены на рис. 292 и в соответ-
соответствующем месте текста обсуждены. Высо-
Высокие температуры стенки (при Моо=10
более чем в 20 раз превышающие абсо-
абсолютную температуру внешнего потока)
объяснялись отсутствием охлаждения по-
поверхности пластины. Если, например, по-
потребовать, чтобы за счет сильного охлаж-
охлаждения было Ти,= — Г,», то расчет приве-
4
дет к кривым, показанным на рис. 293.
Можно заметить, что при этом максимумы температур сместятся с по-
поверхности пластины внутрь пограничного слоя и значительно умень-
уменьшатся по сравнению со случаем отсутствия теплоотдачи. Толщины ско-
скоростного и температурного пограничных слоев будут опять совпадать,
так как а= 1.
При решении задач теории ламинарного пограничного слоя в газе
при больших скоростях, в частности в случае пластины (dp/dx=0)t
можно с успехом пользоваться переменными Мизеса или Крокко, опи-
описанными в гл. XII (§ 107). В настоящем общем курсе мы не имеем воз-
возможности останавливаться на этом вопросе и отсылаем читателя к ра-
ранее цитированным специальным обзорам по тео'рии ламинарного погра-
пограничного слоя в газе при больших скоростях или к нашей монографии1).
Заметим, что изложенное исследование поведения интегральных кривых
уравнения (87) вблизи особой точки проводилось приемом перехода к
скорости как независимому переменному, близким к применению пере-
переменных Крокко.
у
Рис.293
1) Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой.—М.: Физматгиз, 1962,
с. 334—346.
772 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
Как показано в только что цитированных источниках, применение
переменных Крокко позволяет снизить порядок системы уравнений F1),
в частности, в случае линейной связи между коэффициентом вязкости и
температурой; вместо первого уравнения системы F5), являющегося
уравнением третьего порядка, можно получить уравнение второго по-
порядка
где /(=2тУкеоо?/(р<х?^оо). а штрихи означают дифференцирование по пе-
переменной ц = и/иоо. Несмотря на внешнюю простоту, уравнение это не
может быть разрешено в квадратурах, а требует применения численных
методов интегрирования. Первый случай применения переменных Мизе-
са к задаче о ламинарном пограничном слое на пластине в продольном
газовом потоке был опубликован Карманом и Ченем 4).
§ 145. Ламинарный пограничный слой на конусе
в продольном сверхзвуковом потоке
Можно заметить некоторую аналогию пограничного слоя на про-
продольно обтекаемой пластине и на конусе2). Предположим, что угол по-
полураствора конуса 0о соответствует при заданном числе Маха Мто в на-
набегающем потоке случаю присоединенной к вершине конуса ударной ко-
конической волны. За этой волной движение идеального (невязкого) газа
будет потенциальным и «коническим», т. е. все параметры газа должны
сохранять постоянные значения вдоль любой конической поверхности,
соосной с обтекаемым конусом, имеющей общую с ним вершину и рас-
расположенной между ним и ударной волной. В частности, давление в этом
движении идеального газа должно сохранять постоянное значение на
поверхности обтекаемого конуса, а следовательно, по известному свой-
свойству пограничного слоя, давление будет постоянным и во всем погранич-
пограничном слое в вязком газе. Этот факт сближает движение в пограничном
слое на конусе со случаем продольно обтекаемой пластины. Можно по-
показать, что между этими двумя движениями существует простое соот-
соответствие.
С этой целью сопоставим уравнения пограничного слоя на конусе
в сферических координатах
ди . v ди\ 1 д
дг г дб
v dh\ I 1 д
и соответствующие им граничные условия (Эоо>00 — условный угол,
представляющий границу слоя)
и = 0, v = 0, h = hw (или — =?=о) при е = 0о,
и-*ис, h-+he при 6-^000 (91)
с уравнениями пограничного слоя и граничными условиями на пласти-
1) Karman Th, Tsien H S. Boundary layer in compressible fluid — Journ.
Aeron. Sci., 1938, v. 5.
2) Hantzsche W., W e n d t H Die laminare Grenzschicht an einem mit Ober<
schallgeschwindigkeit angestromten nicht angestellten Kegel — Jahrbuch 1941 der Deut-
schen Luftfahrtforschung, 1—77.
§ 145. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА КОНУСЕ 773
не в том же газе
дх ду) ду У ду)' дх ду
(- dh . - dh \ 1 д I dh \ . (дп у /ооч
о [и \-V — = и — +РЧ — у (92)
^ \ дх ] ду) о ду\ ду) ^\ду) V
п=09 v = 0y h=Hw(mn — =о) при"г/ = 0,
\ ду !
и-+ие, h -+he при у-> оо.
Замечая, что обе задачи автомодельны (в постановках задач нет
характерного масштаба длины), будем искать решение задачи о про-
продольном обтекании пластины в обычном виде:
п=п(О, v = ^u-y h = h{l\ Z = -yT, (93)
а для пограничного слоя на конусе — в аналогичной форме
"w Г w Г
Тогда система уравнений (90) переходит в систему обыкновенных
дифференциальных уравнений
i d
2 dt,
0 (95)
а система (92) — в следующую:
dt,
() () (96)
ft А (
и = 0, 7 = 0, ft = А„ (или ^=о) при С = 0,
\ dl, ]
U-+ Ue, h-^he ПрИ ?->-ОО.
Если в системе (95) совершить дополнительное преобразование
f
Ei = /ЗС. «@ = /3 [^(Ci) ~ f Ci"] , (97)
то она переходит в систему [условия в последних строках (96) и (98),
как обычно, асимптотические]
\ 2 ^ ; dfc dd v «
¦
774 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
(^r; (98)
=o\ при ?i =
при
ничем не отличающуюся от уравнений и граничных условий (96) для
пластины, так что п = и1 V=W.
Отсюда можно заключить, что если функции аргумента ?
ц = ц-(а * = -^Д. *-**«) (99)
У
представляют собой решение для пластины, то, согласно (97), функции
аргумента ?t
^[}] ft = ^(Ci) A00)
дадут искомое решение для конуса.
Сопоставляя эти решения, можно прийти к следующим выводам.
Условные толщины слоя б*, б** но конусе при тех же значениях абсцис-
абсциссы г=х в Уз раз меньше, чем на пластине (б*, б**). Действительно,
имеем, например,
так что
и аналогичные соотношения для толщин потери импульса.
Сравним еще напряжения трения: т» на конусе и "тю на пластине.
Будем иметь
е=е0
так что при одном и том же значении абсциссы г=х напряжение трения
на конусе в l/З^раз больше, чем напряжение трения на пластине. Точно
так же убедимся, что коэффициент полного сопротивления трения на ко-
конусе при прочих равных условиях в - "/3 раз больше соответствующего
3
коэффициента на пластине. Действительно, первый из этих коэффициен-
коэффициентов равен
о о ~~? РА
§ 145. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА КОНУСЕ 775
а второй —
1 -2, \ С- , 2тш(?)
что при равенстве величин we и не приводит к высказанному ранее за-
заключению. Точно в таких же отношениях "/3 и — "/3 находятся местные
и средние коэффициенты теплоотдачи.
К тем же результатам можно прийти с более общей точки зрения,
применяя к уравнениям пограничного слоя на продольно обтекаемом
конусе преобразование Манглера1), заключающееся в переходе от ко-
координат х, у, отсчитываемых вдоль меридианного сечения поверхности
Тела вращения и по нормали к нему, к координатам ху у в соответству-
соответствующем плоском пограничном слое по формулам (го(х) —радиус попереч-
поперечной кривизны тела вращения)
y = rQ(X)y. A01)
Все остальные параметры потока сохраняются:
и = иу ие = ие, г^=г|),
A02)
Р = Р9 Р = Р, h = h, fi=fi,
кроме поперечной скорости и, которая преобразуется согласно равенству
v^JL + I^lyu. (ЮЗ)
Составим уравнения пограничного слоя на теле вращения при про-
продольном его обтекании газом в координатах х и у, причем используем
то приближение, о котором шла речь в § 115 при выводе системы урав-
уравнений A65) гл. XII; тогда получим (для общности в первом уравнении
сохранено слагаемое, определяемое перепадом давления)
/ ди . ди\ due . д ( ди\
РИТ- + Я— =РИ«—+ 7-ПА — ).
\ дх ду] dx dyV dyj
д(грри) [ d(ropv) =()^
дх ду
dh , dh\ 1 д ( dh\ . (ди\*
дх ду) о ду \ ду) \ду)
Введем функцию тока if(jt, у) равенствами
rou = --i-, rQv = -f-, A05)
Р ду р дх
удовлетворяющими второму уравнению системы A04). Применяя пре-
преобразование A01), согласно которому
± = г1 + г0(х)у, f-r.A, A06)
дх дх ду ду ду
l) Mangier W. Zusammenhang zwischen ebenen und rotationssymmetrischen
Grenzschichten in kompressiblen Flussigkeiten — Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech, 1948,
Bd 28, S. 97. Преобразования A01), A03) совпадают с преобразованиями Е. И. Сте-
Степанова (§ 115).
776 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
к системе равенств A05), получим
1 дФ 1 аф /1П7ч
> A07)
откуда следует
—
и и
1 а\|?
Р ду
V
Го
р
•+-
2 at|?
дх
о (х)
\
) (х) У""
р
1 1
р
О08)
Применяя к первому и третьему уравнениям системы A04) преоб-
преобразования A06) и используя для второго уравнения той же системы ра-
равенства A08), получим по A02) следующую систему уравнений в новых
переменных:
- /- ди , - ди \ — due . д (- ди
дх ду ) dx ду \ ду
A09)
^ + ^
дх ду
-(- dh
О U —=-
- dh\ I a /- dh\ , - / ди\2
совпадающую с уравнениями пограничного слоя в плоском газовом по-
потоке; совпадут и преобразованные граничные условия.
Пользуясь этим общим преобразованием в рассмотренном в начале
параграфа частном случае конуса [го(х)=ах]у будем иметь по первому
равенству системы A01)
x=laV, ~y = axy, A10)
о
где a = sin8o (Эо — половина угла раствора конуса). Сравним между со-
собой, например, напряжения трения для конуса tw и для пластины Ти,.
По второму равенству системы A01) получим в соответствующих точ-
точках (jc, у) и (г, у) общее соотношение
(ди\ - 1ди\ (ду\ - - /111Ч
т. = |1» - =iiwl-^\ — ==Ttt,r0 = T^A:. (Ill)
Вспомним, что Хантше и Вендт провели сравнение тю и iw при оди-
одинаковых значениях абсциссы на образующей конуса и вдоль пластины;
по (ПО) это означает, что надо положить
х = — еру? или ах =
Возвращаясь после этого к равенству A11), получим
в полном соответствии с предыдущим результатом. Аналогичным обра-
образом можно получить и остальные соотношения.
В ранее цитированной нашей монографии по теории ламинарного
пограничного слоя можно найти многие другие примеры расчета погра-
пограничного слоя в газе при отсутствии продольного перепада давления.
§ 146. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ 777
§ 146. Ламинарный пограничный слой при больших скоростях
и наличии продольного перепада давлений
Изложим сначала наиболее простой приближенный метод расчета
ламинарного пограничного слоя в газе при наличии заданного продоль-
продольного перепада давлений '), справедливый, как далее будет указано, при
не слишком больших значениях числа Маха, например М«><2.
Рассмотрим случай теплоизолированной поверхности, т. е. примем,
что поток тепла через поверхность равен нулю и, следовательно, имеет
место граничное условие
— = 0 при у = 0. A12)
ду
Удовольствуемся также предположением о=1. Тогда, как легко
убедиться, частным интегралом уравнения баланса тепла (третьего
уравнения системы D8)), удовлетворяющим предыдущему граничному
условию, будет
A0=const
или, если вспомнить D2),
где Ао — постоянная для всех точек пограничного слоя величина. По-
Последнее равенство эквивалентно следующему (Го, так же как Ао, одина-
одинаково для всех точек пограничного слоя):
?) (U4)
Замечая, что вне пограничного слоя поток потенциален, а давление
поперек пограничного слоя не меняется, получим для всех точек слоя
известное изэнтропическое (гл. V) соотношение
к
где и9 — скорость на внешней границе слоя, а р0 — давление в адиабати-
адиабатически и изэнтропически заторможенном газе, одинаковое для всех точек
внешней границы пограничного слоя. По закону Клапейрона найдем со-
соответствующее соотношение для плотности (р0 — плотность адиабатиче-
адиабатически и изэнтропически заторможенного газа):
к
fe-l
(и
1 — —е-
S2^—• (ll6)
2h0
Пользуясь принятой ранее степенной связью между динамическим
коэффициентом вязкости и абсолютной температурой, получим
(т \п / и? \п
Приняв^ во внимание, что интеграл A13) уравнения баланса энергии
уже найден, остановимся на первых двух уравнениях пограничного слоя
!) Дородницын А. А., Л о йц я некий Л. Г. К теории перехода ламинар-
ламинарного слоя в турбулентный.—Прикл. мат. и мех., 1945. т. 9, вып. 4.
26 - 9487
778 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
в размерных величинах
дх ду) dx ду\ ду] дх ду
и, введя для краткости обозначения
A18)
VW0 Vzth
совершим над уравнениями A18) преобразование Дородницына1), в на-
настоящем случае имеющее вид
fd^dx, 4P[i-dga[('-^» A20)
Po J J Po J 1—a2
0 0 0 0
Заметим, что
k_
д__==._Р_^_\^\д_==п ^2\*-i <L _L ^D A
d* po aj Лгдт| d? ддг aij '
A21)
k
dp д _ A —of2I6 _^_ .
ay po dri 1 — a2 dr]
кроме того, по первой из этих формул и соотношению A15)
^ = A _a^-^ = -po-^-(l - a^ • 2aa' =
ax ag /г — 1
^ Ч ^ ^*; A22)
h0 k—
штрих здесь и далее означает дифференцирование по |.
Подставляя полученные выражения в первое из равенств A18),
преобразуем его к виду
ди . ~ ди 1—а2 ' , а Г., очп-i дгЛ /юо\
+У = UUe+V0 — \(\—a2) — , A23)
a^ L a^J
ag at] 1—a2
где положено для краткости
Из уравнения неразрывности следует
к
ау Ро а»1 ' дх д% дх дт\
или
1 дф у 1 дф и аг|
р0 дг\ ' 1 — а2 р0 dl _ * дх
A—а2)*
Вводя опять скорость г; по A24), перепишем последние два равен-
равенства в виде
1 д\р - 1 дг|)
и — - , v — —-,
Ро дц Po dt,
]) Дородницын А. А. Пограничный слой в сжимаемом газе.— Прикл. мат.
и мех., 1942, т. 6, вып. 6.
§ 146 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ 779
откуда сразу получим уравнение неразрывности в переменных Дород-
Дородницына
| + ? = 0. A25)
дЪ дг\
Пользуясь уравнениями A23) и A25), путем, аналогичным уже ра-
ранее примененному в гл. XII, выведем уравнение импульсов в перемен-
переменных Дородницына
О О
где под 6т, понимается конечная толщина пограничного слоя, определен-
определенная как значение г), при котором и^ие. Введем аналогичные условные
толщины пограничного слоя
= J
I ^(гК <127>
о
е — и = — [ие — и + аа(ие
1 — а2
преобразуем уравнение A26) к виду
Тогда, используя тождество ~~°L ие — и = — [ие — и + аа(ие — и)]9
1 — а2 1 — а2
028)
Это и есть искомое уравнение импульсов. При переходе к малым
скоростям (т.е. а -> 0, ^ -> jc, г| -> у, v0 -^ v) получим известное уже нам
по гл. XII уравнение импульсов для несжимаемой жидкости.
Предположим теперь, что профили скоростей в сечениях погранич-
пограничного слоя могут быть заданы однопараметрическим семейством
A29)
не зависящим явно от числа M^, т. е. таким же, как и в случае несжи-
несжимаемой жидкости (Моо = 0). При этом, конечно, сохраняется неявное
влияние числа М«, через величины ие> 6^*, ц и /.
Принятое допущение справедливо при не слишком больших значе-
значениях Моо. Так, например, для пластины (/=0) величина
должна быть независимой от числа М» и равной 0,221. Точные расчеты
показывают, что на самом деле эта величина возрастает с числом М«>,
достигая значений: ? = 0,222 при Моо = 0,65, ? = 0,227 при М« = 1,59 и
? = 0,234 при Моо = 3,05. Изложенное ниже решение, привлекающее к
себе своей простотой, применимо, таким образом, лишь при сравнитель-
сравнительно небольших числах M^. Используя A29), будем иметь
A30)
26*
780 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
После подстановки этих выражений в A28) получим
Умножим обе части этого уравнения на 1—а2 и приведем его к виду
[
2 dll v0 J "e
Теперь можно заметить, что роль формпараметра играет величина
/-—^С, A31)
так как при этом выражение, стоящее внутри фигурных скобок, будет
являться функцией только фсрмпараметра /. Предыдущее уравнение
приводится к виду
или, после выполнения дифференцирования в левой части,
A32)
Таково основное уравнение однопараметрической теории, представ-
представляющей собой простое обобщение теории гл. XII на разбираемый слу-
случай движения газа с большими скоростями. Входящая сюда функция
ничем не отличается от соответствующей функции / для несжимаемой
жидкости.
Вернемся теперь к основной переменной х\ будем иметь, сохраняя
штрих для обозначения производной по х,
_ A34)
-а*) *
Из сделанного ранее предположения о независимости формы про-
профиля A29) от числа М» следует, что вид функции F(f) должен быть
тем же самым, что и в случае несжимаемой жидкости (Мво=0). Это по-
позволяет, так же как и в случае несжимаемой жидкости, заменить функ-
функцию F(f) ее линейным приближением
F(f)=a-bf
и после простого интегрирования уравнения A34) получить
и u-a-, J A35)
о
где положено
Ш-2 + -Ц—4- A36)
§ 146. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ
781
Для воздуха (&=1,4) при & = 5,75 будет /л=2,63. Формула A35)
может быть преобразована к виду
X
ь-1 П—a*) dx9 A37)
более удобному для расчетов. Для пересчета заданного распределения
коэффициента давления ср0(х) по поверхности профиля на распределе-
0,3
0,2
0,1
L
S
1/
Г
Ъ
'//
'/
\л
\м
АЛ
\,
ш
Ж
ж
Ш
У
А
'Л
(л
У/,
%
J
УА
%
%
У,
ш
%
л
//
'/
У,
'А
^«
л
//
^/
УА
>
>Н
Is
^-
/
/
'/
/
'/•
у
у
'у
/
V
/
/
/
/
у
у
у*
,у
/
/
/
/
у
у*
у
/
/
/
у
у
у
/
/
у
у
/
у
у
у
/
у\
r jy
/
у
/
у
у
у
у
у
/
у
у
/
у
ч
у
0,5 0 -0,5 -1,0
-2,0
Рис. 294
ние «(*) при различных Моо<Мкр служит предлагаемая на рис. 294 сет-
сетка кривых.
Сделанное ранее допущение заставляет считать отрывное значение^
при больших докритических скоростях не зависящим от М«>. Вспоминая,
что возрастание числа М« в докритиче-
ской области вызывает резкое увеличение
разрежения, а следовательно, и уклона
ие'(х) за точкой минимума давления, за-
заключим, согласно A35), что это повлечет
за собой убывание х8> т. е. перемещение
«точки» отрыва вверх по потоку. Отсюда
следует, что сжимаемость жидкости при
докритических скоростях предваряет от-
отрыв ламинарного пограничного слоя, т. е.
ухудшает обтекание тела. Расчеты под-
подтверждают это соображение. Так, напри-
например, точка отрыва ламинарного слоя с
верхней поверхности крылового профиля
NACA-4412 при <v=0,146 и /^«=0 лежит
примерно на 11% хорды от передней
кромки, а при Моо=0,4 перемещается в точку, лежащую на 5% хорды
от носика.
Наглядным подтверждением явления смещения точки отрыва вверх
по потоку с ростом числа М^ могут служить результаты опытов Ферри
над кризисом сопротивления шара. В связи с ухудшением обтекания
шара при росте М„ можно ожидать, что для улучшения обтекания шара,
Рис. 295
782 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
происходящего при кризисе обтекания, потребуются тем большие рей-
нольдсовы числа, чем больше число М*,. Наблюдения Ферри над обте-
обтеканием шара при разных М«„ результаты которых приведены на рис. 295,
хорошо подтверждают это предположение. С возрастанием числа М»
от 0,3 до 0,7 условное значение ReKp, соответствующее сх = 0,3, возрастает
от 400 000 примерно до 740 000.
Явлением более раннего отрыва вследствие сжимаемости газа объ-
объясняется также уменьшение сутпгх с ростом М*, при докритических режи-
режимах.
Перейдем к рассмотрению общего случая произвольных (на самом
деле не столь больших, чтобы следовало принять во внимание характер-
характерные для высоких температур газа явления его диссоциации и ионизации)
чисел Mo, и чисел Прандтля, не равных единице ').
В этом случае интеграл A13) уравнений движения и баланса энер-
энергии отсутствует, и необходимо решать полную систему уравнений D8),
которая после простых преобразований третьего уравнения системы
может быть переписана в форме
да . ди dPe . д ( ди\
дх W ду dx дуУ ду)
д(ри) , д(ру) _А
— 1 — — и,
дх ду
ду V ду о ду\ ду) \а ) ду\^ ду
где положено
^Т^тЧ A39)
Тео heo
a h0 представляет собой переменную полную энтальпию D2); в рассмат-
рассматриваемом сейчас общем случае, конечно, Нофк€О. Входящая в послед-
последнее равенство системы A38) функция а(%) выражает некоторую общую
зависимость коэффициента вязкости от температуры (энтальпии).
По определению параметров адиабатически и изэнтропически затор-
заторможенного газа будем иметь
к
Применим к первым трем уравнениям системы A38) общее преоб-
преобразование Дородницына
\ f?-?fy; A41)
найдем
JL = J!ljL + *ljL A^jL-A- A42)
дх Рео dl дх ду\ ду ре0 дг\
1) Дородницын А. А. Ламинарный пограничный слой в сжимаемом газе.—
В кн.: Теоретические работы по аэродинамике, ЦАГИ,—М.: Оборонгиз, 1957, с. 140—
¦ 73.
§ 146. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ 783
кроме того, по A40) (штрих — производная по I)
dx peQ dl k—\ heo
и, следовательно,
—
Применяя преобразование A42) к первому равенству системы A38)
и используя A43), получим
Ре ди , /dt) I P \ ди
Рео д% \дх Рео / дЧ
Рео ду\ L Рео ^1 J
откуда, деля обе части равенства на величину
придем к следующему выражению для первого (динамического) урав-
уравнения:
где положено
^- + у — == — «e"# + vw — \b(X) — \ , A44)
а§ dri хе дх\ I dr\ J
A45)
Вводя функцию тока \|) при помощи равенств
дх peQ dl дх dt\ pe0 dl в° дх '
получим
u = -LfL, 0~—J-5-. (Мб)
Рео ат1 Р^О д5
так что будет
Наконец, преобразуем аналогичным образом третье уравнение си-
системы A38)—уравнение баланса энергии. Введем вместо полной
энтальпии h0 ее безразмерную величину
*~Г-вТ- + 5ГвХ + (Л A48)
784
ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
Применяя к третьему уравнению системы A38) преобразование
A42), получим
ре0 ; дц
Рео
(x)
Рео
после чего, разделив обе части на рре/р5о, окончательно установим сле-
следующий вид уравнения баланса энергии в переменных Дородницына:
Совокупность уравнений A44), A47), A49) и граничных условий
а = 0 = 0 при #п===0>
и = иеA) при г| = оо,
— = 0 при г\ = 0 (если поверхность тела теплоизолирована),
ft = За/ (?) при т] = 0 (если температура поверхности задана),
ft = 1 при т] = оо
представляет собой искомую постановку задачи о плоском ламинарном
пограничном слое на крыловом профиле в газовом потоке больших
скоростей при заданном распределении давления на внешней границе
пограничного слоя.
Рассматривая полученные уравнения, можно заметить, что левые
части первых трех основных уравнений задачи, составленных в пере-
переменных Дородницына, совпадают с соот-
соответствующими уравнениями плоского ла-
ламинарного пограничного слоя в потоке не-
несжимаемой жидкости. Однако правые части
этих уравнений содержат явное влияние
сжимаемости через величины %/%в и Ь (/).
При использовании зависимости коэффи-
коэффициента вязкости от температуры (энталь-
(энтальпии) в форме Чепмена — Рубезина A5) бу-
будем иметь Ь(%) = 1. Действительно, по A5)
Ц, Ch M'eo ео
6(Х)
так что
Рис. 296
В только что цитированной работе А. А. Дородницына наряду с
приближенной формулой A5) принимается другая, также близкая к
формуле Саттерлэнда, но уже нелинейная формула, отвечающая зна-
значению функции Ь(х)
1-х).
Соответствующая этому закону на графике (рис. 296) штриховая
прямая располагается между кривыми Саттерлэнда для Ге = 330 К и
Л, = 660 К, показанными сплошными линиями.
§ 146. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ 785
При наличии такого рода связи между \х и Г, для значения а= 14/19,
справедливого для двухатомных газов, и в предположении об отсутствии
теплоотдачи А. А. Дородницыным было проведено численным методом
определение неизвестных функций и и О для трех случаев задания ивA):
1) параболического распределения u,(l) =Cil + czV\
2) для продольного обтекания пластины ие = const;
3) односкатного профиля ие(%) =Ь0—Ь?.
Пользуясь этими классами решений последовательно для конфузорного
участка пограничного слоя, для области минимума давления и диффу-
зорного участка слоя, А. А. Дородницын построил приближенное одно-
параметрическое решение рассматриваемой задачи, которое является
обобщением решения, изложенного в начале параграфа для случая огра-
ограниченных значений числа Маха набегающего потока.
Составим два основных интегральных соотношения (штрих — про-
производная по §)
( )
— а)) и
A50)
где приняты следующие обозначения:
A51)
Ы Ь* LJ 6Ф
/7 = , Г7а = .
При условии тепловой изоляции поверхности тела (д$/дг\=0 при
т| = 0) второе интегральное соотношение сводится к уравнению
интегрируя и имея в виду условие в лобовой критической точке ив=0,
заключим, что вообще в этом случае будет 6? =0.
Предположим теперь, в отличие от ранее принятого допущения,
ограничивающего рассуждение небольшими значениями М» и Мв, что
профили скоростей и температур в сечениях пограничного слоя могут
быть представлены выражениями
. ДМ.,*). 052)
где роль параметров играют следующие величины:
1) формпараметр
аналогичный рассмотренному в начале этого параграфа;
786 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
2) местное число Маха Ме, связанное с ае соотношением
ь 1
A54)
3) число Прандтля а.
Тогда, подставляя выражения A52) в интегральные выражения
A51) и первое из интегральных соотношений A50), придем для опреде-
определения формпараметра / к тем же уравнениям A34) и A35), что и в
предыдущем простейшем случае. Разница будет лишь в выражении
функции F, которая уже будет зависеть от параметров ае, а и примет
форму
F (/; а., а) = 2?-2/ B + Н-Н*); A55)
при этом приведенный коэффициент трения ? также будет другим, а
именно
Z = ?lb(U{-) ¦ A56)
ие ^ /т|=о
Как показали расчеты, в интервале изменения Мв от нуля до 2,378
и при а=14/19^0,74, что близко к значению числа Прандтля для воз-
воздуха, вид функции F(f; ae> а) слабо зависит от ае. Это подтверждает
_____
^^
ол
1/6
0,1
-0,05
О
Рис. 297
Ц05 0,1
о; г
сделанное в начале параграфа упрощающее допущение о независимо-
независимости F от Ме при не слишком больших числах Маха и позволяет вновь
воспользоваться линейным представлением функции F(f) и получить
значение f(x) в форме A37) при тех же значениях констант а и Ь.
Точно так же и ?(/; ае, а) при а= 14/19 слабо зависит от ае и может
определяться по обычному графику или таблице, как для несжимаемой
жидкости. Напряжение трения т», согласно определению ? A56), выра-
выразится как
(i57)
причем б** вычисляется заранее по известному уже f(x) и формуле
A53), переписанной для переменной х в виде
(l-al)%. A58)
Таким образом, при числе М^, доходящем примерно до значения 2,4,
динамические величины рассчитываются просто. На рис. 297 и 298 при-
§ 147. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 787
водятся зависимости Хп=Тю/Те0 и //<> от / при различных а\ в пределах
от 0,1 до 0,6. Как видно из приведенных графиков, влияние параметра
Ме на эти величины существенно.
§ 147. Преобразование уравнений ламинарного пограничного слоя
в газе к форме уравнений для несжимаемой жидкости
Несколько модифицируя преобразование Дородницына, можно при
некоторых ограничительных условиях привести первое (динамическое)
уравнение системы A38) к точному совпадению с соответствующим
уравнением для несжимаемой жидкости *).
Рассмотрим сначала случай а=1, п=\ и отсутствия теплоотдачи*
(теплоизолированная поверхность).
Обозначим через а скорость звука и заменим для краткости индек-
индексом 1 предыдущий индекс еО, отвечающий адиабатически и изэнтропи-
чески заторможенному значению величины на внешней границе погра-
пограничного слоя. Тогда по известным формулам (гл. V) будет
где под символом Ue понимается величина
Ue = ^-ue. A60)
ае
Кроме того, по тем же формулам найдем
*_?)*"¦_,?. *._#•. A60
Pi \7\ J px
Произведем в первых двух уравнениях системы A38) преобразова-
преобразование координат и скоростей, предложенное К. Стюартсоном:
Pi 0i ai J Pi aP ae
о о
где выражение v приводится ниже A67). При помощи равенств A59) и
A61) преобразование A62; может быть переписано в виде
X 3fe-l k+1 _
A63)
о о е
При принятых ограничительных условиях третье уравнение системы
A38) —уравнение баланса энергии — может быть заменено своим оче-
очевидным интегралом
1 + МеГМ
который при принятых обозначениях запишется в виде
U *--1 _ 1 ! ife—l^ ^— 1 i/2 _ I
„ — 1 "г" л Г —
Те 2а\ 1е 2а\ 1е 2 а> 2 а> %е 2 flJ
A64)
]) Stewartson К, Correlated incompressible ar.d compressible boundary lay-
layers—Proc. Roy. Soc, 1949, v. A200, p. 84—100.
788 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
Формулы преобразования к новым переменным будут
3fe-l fe+l
д V2(fc-i) д dY д д 2(fe-i) p д
Z7 — Же — Т" ~Г~ ZZT > Т" — Же ТГГ '
дл* дХ ддг дК ду ре dY
Заметим, что из равенств
k
M-i ^i * Pi РЛ Pi
следует
В силу A65) и полученного только что соотношения перепишем
первое равенство системы A38) сначала в форме
2fe-H
а затем, разделив обе части на Х?*"х) р, еще так:
ди . ~ ди Ре due , „% ^а /1ССЧ
ы^ + %Т=7"^Т + х'ЧакГ' A66)
где введенная ранее величина v определяется выражением
afe-i k+i
^ !. A67)
ре J
Теперь используем преобразование компонент скорости. Будем
иметь, согласно второй строке A63), вместо A66)
Произведя дифференцирование и воспользовавшись A64), получим
(штрих — производная по X)
Пользуясь легко получаемой из A59) связью между %/ и U/
f' A69)
найдем следующие два представления для выражения, стоящего во вто-
второй круглой скобке в первом члене правой части A68):
'e + 1 М = %eU\V\ -
2
2 2a?
а
§ 147. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 789
2)
-
Умножая первое из этих представлений на первое слагаемое в пер-
первой скобке правой части A68), а второе — на второе слагаемое в той же
скобке, получим вместо A68)
и после очевидных сокращений придем к уравнению
дХ dY dX ^ l dY* * v '
полностью соответствующему уравнению пограничного слоя в несжимае-
несжимаемой жидкости.
Покажем, что преобразованные компоненты U и V удовлетворяют
условию несжимаемости жидкости. С этой целью введем функцию
тока г|>, положив
»-*%• »•—*?• <171>
Воспользуемся вновь формулами преобразования A62) и диффе-
дифференциальными соотношениями A65); тогда^ получим
и аналогично по определению A67) приведенной скорости v
S*-l
3* . «К *|> 1\ _
Итак, имеем
т. е. приведенные компоненты скорости ?/, 1/ действительно соответствуют
некоторому «фиктивному» потоку несжимаемой жидкости, и функция
тока для этого движения в плоскости (X, Y) является одновременно и
функцией тока рассматриваемого газового потока в плоскости (*, у).
Уравнения пограничного слоя в плоскости (X, Y) могут быть запи-
записаны теперь в форме, аналогичной уравнению A5) гл. XII
at ^L*L^L ** *? am
_^L_L^L_// 4-v ?
W ex dY ex dY* ~ Uelx~+Vl дк» *
Граничные условия для системы уравнений A70) и A72) или для
одного уравнения A73) также совпадают с обычными условиями для
несжимаемой жидкости
?/=1/=0 при У=0, и-+ие(Х) при У->оо
или
= ^=0 при К = 0, d?^Ue(X) при
ОХ 01
790 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
Напряжение трения на поверхности тела определится по формуле
2fe-l 2fe-l
(ди\
Основное затруднение, возникающее при практических расчетах по
только что изложенному методу, заключается в том, что при наличии
простой связи действительной скорости внешнего потока ив с продоль-
продольной координатой х соответствующая ей связь Ue(X) в «фиктивном» по-
потоке несжимаемой жидкости может оказаться достаточно сложной, не
подходящей под известный класс точных решений. В других случаях,
наоборот, простая зависимость Ue(X) будет связана со сложным рас-
распределением ие(х).
Остановимся, наконец, на более общем случае, когда число
Прандтля а не равно единице и поверхность тела является теплоотдаю-
щей, но ограничимся вместе с тем допущением о линейности связи вяз-
вязкости газа с его температурой или энтальпией. Примем для количествен-
количественного выражения этой связи неоднократно упоминавшуюся ранее фор-
формулу Чепмена — Рубезина, введя входящую в эту формулу константу
С множителем в первое из преобразований A63).
Введение этой константы не нарушит преобразования, которые были
только что произведены, так что не стоит их повторять. Принципиаль-
Принципиальная разница лишь в том, что интеграл A64) в рассматриваемом сейчас
случае а=^=1 и при наличии теплоотдающей поверхности уже не будет
иметь места и в общей системе уравнений придется рассматривать и
дифференциальное уравнение баланса тепла.
Введем в рассмотрение тепловую функцию 5, положив
S = ^L —I; S->0 при К-*оо. A75)
Произведя в системе уравнений A38) указанное преобразование и
переходя к приведенным скоростям U и V, придем к следующей общей
системе уравнений ламинарного пограничного слоя:
с граничными условиями
?/ = 1/ = 0, S = SW при У = 0,
U-+Ue{X), S + 0 приУ-voo, A77)
U = U0(Y), S = S0(Y) npHX = X0.
Входящая в граничные условия A77) величина
511
при заданных наперед числе Маха набегающего потока Моо и постоянной
адиабаты k играет в случае газового потока больших скоростей роль
«температурного фактора», о котором уже была речь в гл. XII.
Можно заметить, что в ранее рассмотренном частном случае а=1 и
при отсутствии теплоотдачи с поверхности тела будет иметь место инте-
§ 148. МЕТОД ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ 791
грал ho = hu или, согласно A75), S = 0. Тогда система уравнений A76)
упростится и сведется к ранее выведенной системе A70) и A72).
Система уравнений A76) была использована Коэном и Решотко *)
для разыскания автомодельною решения, соответствующего степенному
заданию Ue = cXm и представляющего собой обобщение на случай газо-
газового потока известного уже нам по гл. XII решения Фокнера — Скэн —
Хартри. Коэн и Решотко положили полученное решение в основу созда-
создания приближенного однопараметрического метода расчета ламинарного
пограничного слоя в газе при произвольном распределении внешней ско-
скорости2), представляющего аналог метода Кочина — Лойцянского
(гл. XII), относящийся к случаю газового потока больших скоростей.
Как уже указывалось в конце гл. XII, последний метод является только
ло/сальяо-однопараметрическим, дает преуменьшенное трение и слишком
ранний отрыв; этим недостатком обладает и метод Коэна — Решотко.
Удовольствуемся поэтому приведенными краткими замечаниями по по-
поводу этого метода и перейдем к изложению более точного метода.
§ 148. Метод обобщенного подобия в теории ламинарного
пограничного слоя в газовом потоке больших скоростей
Введем в уравнения A76), согласно A72), функцию тока ^{Ху Y)
и перепишем их в форме
дУ дХ дУ дХ ЗУ2 е dX K г дУ* '
дУ дХ дХ дУ о [ дУ* К дУ2 [ \Ue дУ
A78)
^=д±=09 S = SW при Г = 0,
^г-+ив9 S->0 при К-^оо,
где принято Su, = const и используется дополнительное обозначение для
«параметра сжимаемости»
A79)
Что касается граничных условий в начальном сечении Х=ХОу поме-
помещенных в последней строчке системы A77), то они в полном соответ-
соответствии с приближенным приемом, изложенным в гл. XII для случая не-
несжимаемой жидкости, будут сейчас заменены некоторыми интегральны-
интегральными условиями.
Пользуясь уравнениями движения и баланса энергии в форме A76),
выведем обычным, изложенным в гл. XII приемом следующие два ин-
интегральных соотношения:
J!*LL ^Л 080)
АХ Ue ' dX Ue
М Cohen С. В, Reshotko E Similar solution for the compressible laminar
boundary layer with heat transfer and pressure gradient — NACA Rep, 1956, v. 1293.
2) Cohen C. B, Reshotko E The compressible laminar boundary layer with
heat transfer and arbitrary pressure gradient — NACA Rep, 1956, v. 1294
792 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
где приняты обозначения
л**2 а!
L, — , <L>s t
V V
Г as 1
ld(K/As) JyW
ra((//i/e)i
L d (К/Л**) J
я-?. /-i/iz", /s-f/X
A81)
о
Имеют место соотношения
Lf *)' A82)
Примем в качестве условий в начальном сечении (Х=Х0) следую-
следующие интегральные условия:
Т* = Zl\ Zs = Zs0 при X = Хо. A83)
Как вскоре будет выяснено, эти условия должны быть заданы напе-
наперед для того, чтобы решения системы A80) двух обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений первого порядка с неизвестными величинами
Z** и Z, были определенными.
Введем, в полной аналогии с методом, изложенным ранее в § 113,
систему параметров
fn = Uri—Z"n (л-1,2 ос), A84)
которые в случае произвольного задания функции Ue(X) в классе ана-
аналитических функций могут рассматриваться как независимые перемен-
переменные. Относительно параметра сжимаемости х, определенного равенством
A79), в дальнейшем делается предположение о наличии лишь слабого
количественного его влияния на движение и теплоперенос, вследствие
чего он не включается в число основных параметров. Это предположе-
предположение оправдывается тем, что главная часть влияния сжимаемости уже
учтена в преобразовании Дородницына — Стюартсона. Используя тер-
терминологию § 113, можно сказать, что влияние этого дополнительного па-
параметра сжимаемости х учитывается локально, т. е. сам параметр х
сохраняется в уравнениях A78) и в последующих «универсальных»
уравнениях, но производные по этому параметру опускаются. Полный
учет влияния параметра несколько усложняет вид универсальных урав-
уравнений и необходимые для интегрирования этих уравнений вычисления,
но может быть также осуществлен !).
Процесс приведения уравнений A78) к «универсальному», не со-
содержащему функцию Ue(X) виду ничем не отличается от ранее (§ 113)
выполненного для случая несжимаемой жидкости.
') Это сделано аспирантом кафедры гидроаэродинамики Л ПИ В. Любеновым
(Болгария). Как показали его исследования, использованный в дальнейшем изложе-
изложении локальный подход является достаточно точным. См. Любенов В. Двухпара-
метрическое решение уравнений ламинарного пограничного слоя в газе.—Труды ЛПИ,
1970, № 313, с. 28—35.
§ 148. МЕТОД ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ 793
Перейдем в уравнениях A78) от независимых переменных J, У и
функции тока г|) к новым переменным
Тогда, повторяя в точности те же преобразования, что и в § 113, по-
получим следующую систему «универсальных» уравнений:
дФ
2В* д?2 В2
Ф=^- = 0, 5 = 5* при Е = 0,
5-^1, 5-^0 при ?+00,
Ф = Фо(Б), 5 = S0(g) при f4 = 0, /2=0, ...
Здесь под Фо(?) и S0(l) подразумевается решение задачи продоль
ного обтекания пластины, уже рассмотренное выше (§ 108), а В — нор
мирующий множитель, выбираемый из условия, чтобы первое из урав
нений для этой задачи имело обычный «блазиусовский» вид (точка обоз-
обозначает производную по I)
So + аФА + 2 (<т — 1) х0(Фо + ФД) = О,
A87)
фо = фо = 0, So = Sw при ?=хО,
Фо->1, So + 0 при ^->оо.
Оставляя в стороне вопрос о представлении решения системы A86)
в виде степенных рядов1), рассмотрим результаты численного решения
системы A86) в однопараметрическом приближении, проведенного
С. М. Капустянским 2) по программе, разработанной Л. М. Симуни и
Н. М. Терентьевым 3).
Особенно просто рассматриваемая система решается в случае одно-
параметрического приближения при числе Прандтля, равном единице
1) Капустянский С. М. Ламинарный пограничный слой в газовом потоке-
больших скоростей.—Труды ЛПИ, 1965, № 248, с. 59—64.
2) Капустянский С. М. Однопараметрическое решение уравнений ламинар-
ламинарного пограничного слоя в газовом потоке с произвольными внешней скоростью и пере-
перепадом температуры.— Инж.-физ. журнал, 1965, т. 9, № 6, с. 768—774.
3) Симуни Л. М., Терентьев Н. М. Численное решение однопараметриче-
ского уравнения теории ламинарного пограничного слоя.— Труды ЛПИ, 1965, № 248,-
с. 56—58.
794 ГЛ XV ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
(а=1). Система A86) приводится в этом случае к виду
2Я2
дФ
,
2B2
dg df,
A88)
Ф = —= 0, S = SW при |==
dl
при
где fi — аналог формпараметра однопараметрических методов
Остановимся на некоторых результатах численного решения урав-
уравнений A88).
На рис. 299 приведены кривые зависимости: а) безразмерной ско-
скорости и/ие = дф/д$ и б) тепловой функции 5 при трех значениях пара-
параметра /4: /—/i = 0, 2—/f= —0,05, 3—fi= —0,0646 и при значении темпе-
температурного фактора 5^=0,4 (пересекающиеся стрелки показывают
шкалы, по которым следует вести отсчет).
2 3
JL
"в
0,8
0,7
0,6
0,5
OS
0,3
0,2
0,1
0
/ft
V/
III
№
\//l\-3
I
///
//
I
V
1
a)
i
1
I
fh
/r
f
'1
-2
-3
—^-
6)
0,1
0,2
0,3
0/23$
Рис. 299
Ofi
4,6
г,б
1А
1
1
1
\
\
/
I
I
\
\
\
\
/
/j
У/
V /
1
УЗ
\6
\
\
м1
' I
1
1
I
j у
/
J
V
у
0,36
0,32
0,28
0,20
0,16
0,12
0308
0,04
-ЦЮ -0,08 -0,04 0 0,04 0,08 0J2
Рис 300
На рис. 300 даны графики двух основных расчетных величин ? и Н
в функции от ft. Цифрами 1 и 2 обозначены кривые ?(ft) при S^= —0,4
соответственно по изложенному методу и методу Коэна — Решотко. Об-
Обращают на себя внимание преуменьшенные значения t и абсолютного
отрывного значения параметра /ls, рассчитанных по Коэну — Решотко,
§ 148. МЕТОД ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ
795
по сравнению с однопараметрическим решением Капустянского, пред-
представляющим аналог более точного решения Хоуарта в несжимаемой
жидкости. Цифрой 3 отмечена кривая ?(/4) для значения 5^=0,4. Мож-
Можно заметить, что параметр Sw сильно влияет на отрывное значение па-
параметра fi=fi8, как это отчетливо показано на рис. 301.
На рис. 300 цифрами 4 и 5 показаны для сравнения соответственно
кривые Капустянского и Коэна — Решотко для #(/0 при Sw= — 0,4г
а цифрой 6 — та же величина по Капустянскому при ^ = 0,4.
В аналогичной нумерации на рис. 302 приводятся графики функции
F(fi) и величины отклонения этой кривой от прямой e(/i): 4 — при
Sw=—0,4, 5 — при 5^=0,4.
-o,w
-0,06
-0,06
к
-0,6-0,4-0,2 Q 0,2 0,4
Рис. 301
W 0/77/7
0,08
0,06
0,04
0,02
О
-0,02
-ом
'0,06
0,12
0,10
0,08
0,06
0,02
О
V
\
A
V
\
/
/
10
0,8
0,6
ОЛ
-0,12-0,08-ОМ О ОМ 0,080,12
Рис 302
Графики приведенного коэффициента теплоотдачи ?*(/i) при
Sw=—0,4 показаны на рис. 303: / и 2 — соответственно по Капустянс-
Капустянскому и Коэну — Решотко, 3 — по Капустянскому для 5^=0,4. Значения
S* в точке отрыва в зависимости от температурного фактора Sw пока-
показаны на рис. 301.
Предыдущие результаты от-
относились к простейшему слу-
случаю числа Прандтля, равного
()
единице (а=1). В последующем
-0,10
-0,08
-0,06
-ОМ
О
/
I
<
-0,06
-0,05
-0,04
-0,03
-ОМ -ом
-0,08 ~от
-0,12 -0,08 -ОМ О ОМ 0,08 0,12
Рис. 303
-0,10
О
р
>
\
\
\
1,5-6-1
2,6-6=0,72; .
3,7-6=0,72; .
4,8-6 = 0,72;
\
\
\
\
\
\
х=0
х=0,95
\
-0,02 О 0,02 0,04 0,06 0,08
f
Рис 304
-0,12
0,10
0,08
0,06
ОМ
0,02
О
796
ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
Таблица 21
Tw
•^отр
I
II
1045 К
3,606
0,404
0,345
5
0,800
0,540
1465 К
3,606
0,300
0,260
4,5
0,407
0,335
6.08
0,867
0,560
С. М. Капустянский выполнил численное интегрирование системы урав-
уравнений A86) в случае а?=1 *). В цитируемой статье автор исследует влия-
влияние изменения хиона зависимости ?*(/0 и ?«(/i)> а также на приведен-
приведенный коэффициент трения ?. Подтверждается тот факт, что пренебреже-
пренебрежение производными по х, т. е. использование ^ как локального параметра,
сравнительно слабо отражается на трении, но несколько сильнее на
теплоотдаче. Влияние х и а на ? в конфузорной области пограничного
слоя ничтожно, а в диффузорной — заметнее; влияние тех же парамет-
параметров на F, наоборот, заметно в конфузорной области и ничтожно в диф-
диффузорной; аналогично ведет себя и величина Я.
Значительное количественное воздействие оказывают параметры
х и а на приведенные коэффициенты теплоотдачи ?* или ?«. Удоволь-
Удовольствуемся (рис. 304) приведением графиков F8(fie) (сплошные кривые)
и ?,(/1в) (штриховые). Определение этих величин было дано равенства-
равенствами A81) и A82). Графики соответствуют значению температурного фак-
фактора Sw= —0,4.
Коэффициент теплоотдачи ?3 уменьшается по абсолютной величине
по мере удаления от лобовой критической точки и приближения к точке
отрыва. Кроме того, при данном значении /, резкое уменьшение абсо-
абсолютного значения ?, имеет место с увеличением х. Большой интерес пред-
представляет имеющееся в цитированной статье исследование конкретного
течения при различных числах Маха M« и температурах стенки Г». При-
Приводим табл. 21 результатов расчета абсциссы точки отрыва хогр в при-
примере, рассмотренном ранее Коэном — Решотко (I — по Капустянскому,
II — по Коэну и Решотко).
Из приведенной таблицы видно, что в рассматриваемом случае
сверхзвукового потока при постоянстве числа M^ увеличение темпера-
температуры поверхности тела способствует отрыву; наоборот, при фиксирован-
фиксированной температуре увеличение числа Маха приводит к запаздыванию от-
отрыва. Таблица подтверждает также ранее уже отмеченный факт пре-
уменьшенности значений абсцисс точки отрыва, рассчитанных по методу
Коэна — Решотко; разница между этими значениями и более точными,
полученными С. М. Капустянским, возрастает с ростом числа Маха.
Отошлем интересующихся деталями применения метода: таблица-
таблицами «универсальных» функций и соответствующими им графиками к дис-
диссертации С. М. Капустянского 2).
При скоростях движения газа, сравнимых по величине или не слиш-
слишком превосходящих скорость распространения в нем малых возмущений
1) Капустянский С. М. Однопараметрчческое решение уравнений ламинар-
ламинарного пограничного слоя в газовом потоке больших скоростей при числе Прандтля, не
равном единице.—Труды Л ПИ, 1966, № 265, с. 24—34.
2) Капустянский С. М. Параметрический метод решения уравнений лами-
ламинарного пограничного слоя в случае движения газа с большими скоростями.—Дис-
скоростями.—Диссертация, ЛПИ, 1965. См. также: SaljnikovV,BoricicZ Die universelle Grenz-
schichtgleichungen fur den Fall der kompressiblenen lammaren Stromung — Zeitschr
Math., Mech. Sonderheft — T, 1974, Bd. 74, S. 146—148.
§ 148. МЕТОД ОБОБЩЕННОГО ПОДОБИЯ 797
(скорость звука), возникают специфические для этих режимов движе-
движения явления, теоретический анализ которых, как было показано в пре-
предыдущих параграфах, представляет скорее вычислительные, чем прин-
принципиальные, трудности. Методы интегрирования уравнений погранич-
пограничного слоя и программы численного их интегрирования на ЭВМ в этих
случаях уже разработаны. Более серьезные трудности возникают при
рассмотрении движений газа в пограничных слоях при очень больших
сверхзвуковых, или, как иногда говорят, гиперзвуковых скоростях. Со-
Сопровождающие такого рода движения физико-химические явления очень
сложны, и многие из них и до сих пор еще недостаточно изучены. Основ-
Основное значение имеют явления, сопровождающиеся переходом механи-
механической энергии потока в тепловую. Это, прежде всего, разогрев газа при
прохождении его через скачки уплотнения и особенно через мощную
«головную волну», образующуюся на тупоносых телах. Большое значе-
значение имеет также и диссипация механической энергии в тепло, происхо-
происходящая в пограничных слоях.
Возникающие в этих случаях температуры достигают высоких зна-
значений. Так, например, при возвращении космического корабля в плотные
слои атмосферы Земли со второй космической скоростью (порядка
11 км/с) температура вблизи поверхности может достигать 12—13 тысяч
градусов (при вхождении с первой космической скоростью эта темпера-
температура имеет порядок восьми тысяч градусов). Еще большие скорости, а
следовательно, и температуры могут достигаться при входе метеоритов
в атмосферу Земли.
В условиях такого нагрева воздух уже не может рассматриваться
как однородный газ. При температурах порядка 1000 К основным в со-
составе воздуха является молекулярный азот N2 и в значительно меньшей
доле молекулярный кислород О2 (содержание остальных компонент
мало). Это позволяет с хорошим приближением считать воздух однород-
однородной средой. С повышением температуры энергия столкновений молекул
становится столь значительной, что возникает сначала явление диссоциа-
диссоциации (для кислорода реакция О2=О + О, заметная при температурах по-
порядка 3000 К, для азота N2 = N + N при температурах порядка 6000 К),
а затем и ионизации (начало образования положительных ионов азота
N+ и выделения электронов е~ примерно при 10 000 К и для кислорода
О+ при 8500 К). Такого рода химические реакции приводят к тому, что
воздух при высоких температурах превращается в многокомпонентную
смесь газов (N2, N, О, О2, N+, O+, е" и др.), динамика и термодинамика
которой требуют значительно более сложного анализа, чем в случае од-
однородного газа.
Дело усложняется еще тем, что разогрев газа происходит в столь
тонкой области (толщина скачка уплотнения имеет порядок длины сво-
свободного пути пробега молекулы), что на этом малом пути сообщенная
молекулам при нагреве кинетическая энергия не успевает распреде-
распределиться по всем внутренним степеням свободы молекул, и газ не приходит
полностью в термодинамически равновесное состояние. В таких случаях
говорят, что газ релаксирует, а время, потребное для приобретения газом
равновесного состояния, и эквивалентную этому времени длину, прой-
пройденную газом, называют соответственно временем и длиной релаксации.
Процесс релаксации определяется количеством столкновений моле-
молекул, необходимых для приобретения равновесной энергии в движениях
молекулы с отдельными степенями свободы. Так, например, известно,
что для установления равновесного движения с поступательными степе-
степенями свободы достаточно нескольких столкновений молекул, для вра-
вращательных это уже десятки столкновений, а для колебательных — много
тысяч. Для полного выравнивания энергии молекул по всем степеням
свободы необходимы десятки тысяч столкновений.
798 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
Таблица 22. Зависимость ср кал/(моль*К) от абсолютной температуры Т
Газ
С
СО
со2
О
о2
Температура, К
1000
4,970
7,930
12,96
4,997
8,333
3000
5,170
8,895
14,88
5,002
9,552
5000
5,470
9,100
15,32
5,208
10,20
7000
5,588
9,362
14,84
5,410
10,34
9000
5,810
10,11
14,87
5,513
9,882
11000
7,247
12,16
14,88
5,569
9,098
Неравновесность явлений диссоциации и ионизации газа еще более
усложняет задачу расчета таких потоков.
Наличие в двух- и более атомных молекулах внутренних степеней
свободы существенно влияет на коэффициенты теплоемкости, которые
при достаточно высоких температурах уже нельзя считать физическими
константами газа. Табл. 221) дает представление о значительности
влияния температуры на коэффициент теплоемкости ср для различных
газов. При учете этой зависимости энтальпию газа определяют интегра-
интегралом C).
В конце § 114 отмечалось, что метод обобщенного подобия приме-
применяется не только в теории ламинарного пограничного слоя, но и для
других, в известном смысле «обратных», задач, в которых искомым явля-
являлось распределение давления. Там же были указаны и задачи такого
рода применительно к газовым потокам.
§ 149. Ламинарный пограничный слой
в сверхзвуковом потоке смеси реагирующих между собой газов
Во многих областях современной техники, таких, как авиационная,
космическая, энергетическая, лазерная, химическая технология и мно-
многих других, возникают и используются неоднородные, многокомпонент-
многокомпонентные газовые потоки смесей химически взаимодействующих газов.
Неоднородные по составу среды, все составляющие которых при-
принадлежат к одному и тому же жидкому или газообразному состоянию,
носят наименование гомогенных или однофазных. В зависимости от чис-
числа входящих в них компонент различают двухкомпонентные, трехкомпо-
нентные и т. д. среды.
Неоднородные среды, включающие вещества в разных агрегатных
состояниях (фазах), называют гетерогенными или, по числу входящих
в них фаз, двухфазными, трехфазными и т. д.
Механика и термодинамика неоднородных сред основаны на пред-
предположении о возможности перехода от систем дискретных частиц к
сплошным средам* что достигается процессом осреднения по множеству
частиц. Отличие от кинетической теории газов заключается в том, что
эти частицы по своим размерам далеко превосходят молекулы. Такой
статистический переход, конечно, требует присутствия в элементарном
объеме осреднения достаточно большого числа частиц. Основные труд-
трудности, возникающие при' изучении динамики и термодинамики среды,
связаны с большой сложностью механизмов межкомпонентных и осо-
особенно межфазных взаимодействий, сопровождающих движения таких
сред.
1) Алексеев Б. В. Пограничный слой с химическими реакциями.— М.: Вычис-
Вычислительный центр АН СССР, 1967, с. 19.
§ 149 ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 799
В настоящем параграфе внимание будет сосредоточено лишь на
многокомпонентных смесях газов 1).
Отправляясь от общего приема статистической механики, постули-
постулируем существование так называемой функции распределения частиц, об-
образующих систему, по их положению в пространстве и скоростям. Ха-
Характеризуя положение отдельных частиц их вектор-радиусами г в дан-
данный момент времени / и векторами скорости V, введем функцию распре-
распределения /(г, V, t) как коэффициент пропорциональности в выражении
вероятного числа 8N частиц, расположенных в окрестности (г, г+бг)
данной точки пространства и движущихся со скоростями, находящимися
в интервале (V, V + 6V):
A89)
где символы (бг) и FV) обозначают элементарные объемы в геометри-
геометрическом пространстве координат ху у, z и пространстве скоростей иу v, wy
которые выберем равными (бг) =8х$у Ьг и FV) =би 6v 8w. Эти объемы
сохранят далее обозначения (бг) и FV), как это принято в кинетичес-
кинетической теории газов.
Из определения функции распределения A89) следует выражение
полного числа частиц в системе
A90)
как объемного интеграла по областям изменения положений и скоростей
частиц системы. Равенство A90) выражает принятую нормировку функ-
функции распределения. Относя вероятное число частиц A89) в объеме
(бг) FV) к общему числу частиц A90), можно придать функции рас-
распределения смысл вероятности нахождения частиц в только что указан-
указанном элементарном объеме, и тогда условие нормировки A90) заменится
обычным условием равенства единице суммы вероятностей всех возмож-
возможных положений и скоростей частиц системы.
Относя вероятное число A89) к объему (бг), получим вероятную
плотность распределения частиц по скоростям в интервале (V, V+6V)
^ A91)
6n ^ f(r,V
(or)
а затем и вероятную плотность распределения частиц в пространстве в
данный момент
A92)
Умножая эту плотность на массу m частицы, расположенной в дан-
данной точке пространства, получим массовую плотность, или, короче, плот-
плотность р сплошной среды в данной точке и в данный момент времени
р = пгп. A93)
Рассматривая сплошную неоднородную среду как систему частиц,
состоящую из определенного числа подсистем — компонент <а-го сор-
сорта» — с частицами одинаковой массы, примем для каждой из них свою
функцию распределения /@(r(l'', V@, t). Вводя вместо скоростей отдель-
]) По общему вопросу о движениях гетерогенных сред отсылаем к наиболее рас-
распространенным монографиям: Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных
сред.—М.: Наука, 1978; С о у С. Гидродинамика многофазных систем: Пер. с англ.—
М.: Мир. См. также обзор, составленный Р. И. Нигматулин ым в соавторстве с
А. Н. К р а й к о, В. К. Старковым и Л. Е. Стерниным, «Механика многофаз-
многофазных сред» (Итоги науки и техники, Гидромеханика, т. 6, ВИНИТИ, 1972). Некоторое
представление о трудностях, возникающих при рассмотрении динамики и термоди-
термодинамики неоднородных сред, можно получить, ознакомившись с содержанием § 13 пре-
предыдущего (пятого) издания настоящего учебника.
800 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
ных частиц /-го сорта V{i) средние скорости V(i) в данной точке простран-
пространства, занятого частицами i-ro сорта, и принимая за «вес» осреднения
функцию распределения /(J), найдем
= J_ Г /с
A94)
Для определения средних величин в точках сплошной среды в це-
целом (смеси компонент) примем обычные «формулы смешения» по массе
для плотности
2p(') A95)
@ d)
и по количеству движения для скорости
р7 = 2У)И('), K=~2p(^@. A96)
(О р (О
Отношение плотностей в данной точке
9—= п m =c«> A97)
(О
определяет «концентрацию» с(г) частиц i-ro сорта в данной точке сплош-
сплошной неоднородной среды. Согласно A97) будет
@ р @
_ В дальнейшем придется встречаться только со средними скоростями
V(<) и V, в связи с чем условимся опускать черту над V. Разность ско-
скоростей
V*(C) = V{i)— V A98)
можно трактовать как среднюю скорость распространения i-й компо-
компоненты сквозь сплошную неоднородную среду в данной точке и назвать
скоростью диффузии i-й компоненты.
Уравнение неразрывности i-й компоненты будет иметь ту же форму
A2) или A3) гл. III, что и в случае однородной среды, с той лишь разни-
разницей, что вместо р и V будут стоять соответственно p(i) и V(i), а под /°°
условимся понимать отнесенную к единице объема скорость прироста
массы i-й компоненты за счет реакций перехода от /-й компоненты к i-й.
Очевидно,
/<о = ^ Jifc\ 2 J{i) = 2 ^С)= 0. A99)
(/) (i) <*•/)
Уравнение A3) гл. III при этом переходит в уравнение неразрывно-
неразрывности i-й компоненты:
dt
div (p«>K(t)) = J о = 2 Jm • B00)
Суммируя обе части этого уравнения по всем компонентам, получим, со-
согласно A95) и A96), уравнение неразрывности для смеси в целом
f O. B01)
§ 149. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 801
В уравнении B00) можно освободиться от средней скорости V@
движения отдельной компоненты, выразив ее, согласно A98), через
среднюю скорость среды в целом V и скорость диффузии компоненты
V*(<); получим
^ + div [ft'> (K*@ + V)] = J[i\ B02)
at
или, вводя по A97) концентрацию c(t) = p(i)/p,
д{рс{{)) + div [pc<0 (V*(i) + V)] = /°. B03)
dt
Комбинируя члены
Г $L
Р ^ + pV -grad c«>
o/
и используя уравнение неразрывности смеси B01), окончательно по-
получим
р <?! + PV. grad с«') = /@ — div (рс«>К*@). B04)
dt
Это уравнение носит наименование уравнения концентрации компо-
компоненты. Левая часть уравнения представляет совокупность локального и
конвективного изменения концентрации *-й компоненты в потоке смеси,
правая — характеризует возникновение i-й компоненты за счет физико-
химических превращений ;-х компонент в i-ю и диффузию (распростра-
(распространение) i-й компоненты в смеси. В этом уравнении средняя скорость сме-
смеси V, величины /°'° и их сумма J(i)=^J{fl\ скорости диффузии V*@ так
же неизвестны, как и концентрация с{г). В так называемом диффузион-
диффузионном приближении скорость смеси в уравнении B04) определяют из урав-
уравнения динамики однородной среды со значениями физических констант,
соответствующими смеси. Как будет далее показано, это эквивалентно
отбрасыванию в точном уравнении динамики смеси нелинейного члена,
характеризующего суммарный эффект диффузионных движений компо-
компонент. Такое отбрасывание допустимо при сравнительной малости ско-
скоростей диффузии. Скорость диффузии V*(i) связывают с градиентом
¦grad c(i) концентрации i-й компоненты по закону Фика, а скорость обра-
образования этой компоненты /@ = 2^(/° выражают через физико-химичес-
(/)
кие параметры, входящие в уравнения кинетики процесса образования
компоненты. Такой приближенный «диффузионный» подход, линеари-
линеаризующий уравнение B04) по отношению к концентрации c(i), оказывается
во многих случаях достаточным для изучения движений гомогенных га-
газовых сред.
При требуемом практикой более строгом подходе — это относится
в первую очередь к гетерогенным средам — приходится обращаться к
рассмотрению уравнений динамики в напряжениях и уравнений баланса
энергии как для отдельных компонент, так и для смеси их в целом.
Вывод этих уравнений применительно к отдельным составляющим
смеси основан на тех же принципах, что и в случае однородной сплош-
сплошной среды, отличаясь лишь учетом взаимодействий компонент между
собой и возможного наличия физико-химических превращений одних со-
составляющих смеси в другие. Уравнения динамики и баланса энергии
смеси выводятся из уравнений отдельных ее составляющих путем по-
почленного суммирования этих уравнений по всем компонентам.
802 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
При этом прежде всего встает вопрос о выражении средних по всей
смеси механических и термодинамических характеристик суммарного по-
потока, а также средних значений физических констант через заданную
совокупность значений их для отдельных компонент. Иногда, как это,
например, имеет место для плотностей A95) и скоростей A96), такая-
связь очень проста, в других случаях (это относится, например, к опре-
определению среднего коэффициента вязкости смеси) требует специального
анализа, далеко уходящего за пределы чисто физико-химического рас-
рассмотрения вопроса и заставляющего учитывать движение среды.
Составим уравнения плоского стационарного пограничного слоя в
потоке смеси реагирующих между собой газов, считая все процессы
термодинамически равновесными. Сохраним обозначение плотности р,
давления р, скорости V(u, и), энтальпии А, абсолютной температуры Т
для смеси газов и условимся обозначать индексом i соответствующие
значения этих величин для отдельных, входящих в смесь компонент.
Символом J{i) обозначим отнесенную К единице объема секундную мас-
массовую скорость образования i-й компоненты смеси в данной точке по-
потока. ч *
Довольствуясь стационарным случаем, будем иметь, согласно B00),
уравнение неразрывности для i-й компоненты смеси
1 (Р(ОЫ(О) + 1 (p"V<>) = Л B05)
а для смеси в целом по уравнению B01)
1 ± 0. B06)
(ри) +
дх ду
Динамическое иравнение пограничного слоя для смеси газов при-
примем тем же, что и для однородного газа с плотностью и коэффициентом
вязкости, соответствующими смеси газов, а именно
puf + poZ — f + lLf). B07)
дх ду dx ду \ ду)
Грубая оценка коэффициента вязкости смеси возможна по формуле
У
где введены обозначения: р, jn, m — соответственно плотность, динами-
динамический коэффициент вязкости и молярная масса в данной точке смеси,
а р@, jLi(i), m{i) — то же для i-й компоненты (p(i)— плотность при пар-
парциальном давлении рG) компоненты); с(г) = р(г)/р— массовая, или весо-
весовая, концентрация i-й компоненты в данной точке смеси.
Уравнение состояния i-й компоненты смеси примем в форме
pM^RWpMT™. B08)
Температуры T(i) отдельных компонент смеси будем считать одинако-
одинаковыми и равными общей равновесной температуре Т смеси в данной
точке. Тогда, определяя по закону Дальтона давление смеси р в данной
точке как сумму парциальных давлений p{i\ будем иметь
(
(О МО
= (S я1 V")T=rpt> B09)
Mi)
где газовая константа смеси R определяется равенствами
R = 12 р<'>/?<° = 2 — Я@ = 2 c{i)R(J). B10)
§ 149. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
803
При таком выборе газовой постоянной смеси уравнение ее состояния
сохраняет ту же форму, что и уравнение состояния однородного газа.
Основные особенности процессов движения и тепломассопереноса
в реагирующих смесях газов лежат в термодинамической или, точнее,
в термохимической области. Рассмотрим вывод уравнения теплового ба-
баланса движущейся смеси газов и уравнений диффузии отдельных ее ком-
компонент.
Заметим, что конвективный подвод тепла в смеси ничем не отлича-
отличается от такого же в однородном газе; при составлении левой части урав-
уравнения теплового баланса следует лишь принять во внимание, что энталь-
энтальпия смеси h определяется как сумма произведений энтальпий h(i) отдель-
отдельных компонент на концентрации c{i) этих компонент
(О
В правую часть уравнения баланса тепла, так же как и в уравнение
C2) для однородного газа, войдут члены, выражающие: мощность сил
давления, секундное количество диссипируемой в тепло механической
энергии и тепло, подводимое путем теплопроводности, но, кроме этих
общих для смеси и однородного газа источников тепла, имеются еще
два специфических для движущейся смеси газов источника теплообразо-
теплообразования.
Во-первых, при образовании i-й компоненты смеси с массовой ско-
скоростью /(i) выделяется секундное количество тепла /(Ой*(<), где под h*(i)
подразумевается некоторая характерная для каждой компоненты
энтальпия, представляющая «скрытую» теплоту образования i-й компо-
компоненты. Это приводит к необходимости присоединения к ранее перечис-
перечисленным членам правой части уравнения баланса еще члена
(О
равного, согласно уравнению B05) и соотношению p(i) =
(t)
°У
B12)
Приведем табл. 23 «энтальпий образования» некоторых часто встречаю-
встречающихся газовых компонент *).
Таблица 23
Компонента
Энтальпия h*{i\
ккал/моль
с
264
со
66,77
со,
0
о
58,97
о,
0
с+
523,8
со+
390,4
о+
372,9
282,4
Во-вторых, дополнительной причиной переноса тепла в смеси явля-
является диффузия компонент в снеси. Вспоминая, что скорость диффузии
частиц i-й компоненты в смеси определяется разностью скоростей i-й
компоненты и самой смеси в данной точке, получим выражение послед-
последнего дополнительного члена в виде суммы взятых с обратным зна-
знаком дивергенций векторов потоков тепла отдельных компонент
]) Алексеев Б. В. Пограничный слой с химическими реакциями.— М.: Вычис-
Вычислительный центр АН СССР, 1967, с. 21.
804 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
р<о (у<«—у) Л«> =рс(<) (VA)—V) /i(i>, равной
- - Г р 2с<1) («(<) -«) л<01 - - Г р 2сA) (^ -v) tii]\ • B13)
Таким образом, уравнение баланса энергии для движущейся смеси
газов в пограничном слое приведется к виду (/z*(i)=const)
- «О rf***0! • B14)
J
Основные свойства пограничного слоя, позволяющие упростить пра-
правую часть уравнения теплового баланса, по отношению к дополнитель-
дополнительным членам еще не приняты во внимание. Прежде чем произвести эти
упрощения, сделаем во второй строке тождественное преобразование;
Перенося последние два члена в левую часть равенства и принимая
во внимание уравнение неразрывности для смеси газов B01), перепи-
перепишем уравнение баланса B14) в форме, содержащей в качестве основной
неизвестной разность энтальпий Л@—Л*(<):
dxUt)
Предпоследним членом справа можно, как всегда в пограничном
слое, пренебречь по сравнению с остальными и переписать уравнение
баланса в виде
где для краткости введено обозначение
Л —2^(Л@ —Л^)- B16)
(О
Довольствуясь схемой бинарной смеси (/=1, 2; D{l)=DB)=D), при-
примем обобщенный закон диффузии, согласно которому скорость диффу-
диффузии i-й компоненты определяется через градиенты концентрации и тем-
температуры по формуле
V{i) — V = — ?- graded — — grad T. B17)
ctf) тсA)
Слагаемые в правой части выражают последовательно скорости массо-
диффузии и термодиффузии, т. е. те скорости распространения t-й ком-
§ 149. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 805
поненты относительно смеси, которые возникают за счет неоднородности
полей концентраций этой компоненты, а также температуры, общей для
всех компонент смеси.
Величины D, DT являются соответственно коэффициентами массо-
диффузии (их обычно называют просто коэффициентами диффузии) и
термодиффузии.
Замечая, что входящая в последний член правой стороны уравне-
уравнения B15) разность скоростей v{i)—v, согласно B17), может быть пере-
переписана в виде
I-, B18)
с«> ду т^ ду
получим окончательно следующую форму уравнения баланса тепла в
пограничном слое, образовавшемся в потоке смеси реагирующих газов:
dh . dh dp . /ди\2 , д Л дТ
дх ду dx V ду) ду \ ду
Преобразуем уравнение неразрывности i-й компоненты смеси B00).
Выделяя из скоростей ии vt скорости диффузии и выражая их по фор-
формуле B17), получим в приближении пограничного слоя уравнение
именуемое обычно уравнением диффузии (иногда говорят концентра-
концентрации) i-й компоненты.
Не останавливаясь на дальнейших преобразованиях и возможных
упрощениях1) полученной системы уравнений,— это не отвечает зада-
задачам настоящего, общего курса,— отметим некоторые трудности, связан-
связанные с установлением граничных условий для концентраций. Условия,
которым подчиняются концентрации компонент смеси на твердой поверх-
поверхности обтекаемого смесью газов тела, зависят от каталитических свойств
этой поверхности. Если речь идет о реакции диссоциации, то поверхность
тела может в той или другой степени способствовать рекомбинации ато-
атомов в молекулы. На абсолютно каталитической поверхности обычно кон-
концентрации атомов сА = 0; на абсолютно некаталитической стенке
дсА/ду = 0. Практически приходится иметь дело с промежуточным слу-
случаем и вводить условие баланса потока атомов на стенку и абсорбции их
на стенке со скоростью, пропорциональной некоторой степени концентра-
концентрации атомов:
( дсА\
pwDw I —- I = х» (сл
\ ду / w
где показатель степени п определяет порядок реакции абсорбции атомов,,
а коэффициент xw — каталитическую способность поверхности тела.
При современных возможностях численного расчета на ЭВМ за-
задачи ламинарного пограничного слоя в диссоциирующем газе поддаются
подробному анализу. Особенно просто решаются две предельные задачи:
1) Сошлемся на монографию: Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзву-
гиперзвуковых течений.—М.: ИЛ, 1962, где на с. 376—400 подробно изложены автомодельные
решения этих уравнений. Приведенное у нас уравнение B19) в этой монографии пре-
преобразовано к уравнению относительно полной энтальпии Ло=2 c(t){h{C) — h*{{)) +—u2t
(О 2
а член, выражающий учет термодиффузии, опущен.
806 ГЛ. XV ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
1) случай «замороженного» движения (/(i) = 0), когда все процессы в
диссоциированном газе определяются только конвекцией и диффузией
отдельных компонент (скорость реакций равна нулю), и 2) случай «рав-
«равновесной» диссоциации, когда концентрация является заданной функ-
функцией температуры и давления, а уравнение диффузии отсутствует. В этом
последнем случае решение может быть получено в «универсальном» виде
при помощи метода обобщенного подобия (§ 148) ').
Удовольствовавшись этими общими замечаниями, отошлем интере-
интересующихся к нашей монографии2), где подробно рассмотрен случай ин-
интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя в диссоциирую-
диссоциирующем и рекомбинирующем газе вблизи лба тела вращения3), а также к
существующим обзорам работ в этой области4).
Особую сложность представляют задачи пограничного слоя в ги-
гиперзвуковом потоке при наличии разрушения поверхности тела из-за
высоких температур обтекающего поверхность газа. Появляющиеся
в этих условиях процессы плавления или непосредственного испарения
{сублимации) поверхности тела создают в пограничном слое многоком-
многокомпонентные смеси, содержащие наряду с диссоциированными и ионизо-
ионизованными частицами еще сложные молекулы материала разрушающейся
поверхности. Это приводит к необходимости установления граничных
условий на деформирующейся поверхности, учета тепловых явлений в
самом твердом теле, ограниченном разрушающейся поверхностью, и рас-
рассмотрения условий его механического разрушения (образование трещин
и их «выветривание»).
Несмотря на исключительную сложность этих явлений, требующих
для своего изучения привлечения данных из разнообразных областей
механики, термодинамики и термохимии, в настоящее время, особенно
благодаря замечательным достижениям отечественных ученых, уже
имеются методы расчета5), вполне удовлетворяющие практику.
При движениях тел со скоростями, близкими ко второй космической
скорости (примерно 11 км/с), существенным становится влияние излу-
излучения газа на аэротермодинамические параметры пограничного слоя.
Этот поток излучения сказывается на тепловом потоке к поверхности
тела в носовой его части и оказывается сравнимым с тепловым потоком,
возникающим за счет диссипации механической энергии в пограничном
*) Кривцова Н. В. Ламинарный пограничный слой в равновесно диссоцииро-
диссоциированном газе при произвольном распределении внешней скорости.— Мех. жидк. и газа,
1966, № 6.
2) Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой.— М.: Физматгиз, 1962,
с. 457—470.
3) Подробнее см.: F а у J., R i d е 11 F. Theory of stagnation point heat transfer
in dissociated air — Journ Aeron. Sci, 1958, v. 25, № 2, p. 73—85; русский перевод в
кн.: Проблемы движения головной части ракет дальнего действия.— М.: ИЛ, 1959,
с. 217—256.
4) Людвиг Г., X е й л ь М. Теория пограничного слоя с диссоциацией и иони-
ионизацией— Проблемы механики, вып. IV.— М.: ИЛ, 1963, с. 37—99.
5) Сошлемся на первые советские работы этого направления: Тирский Г. А.
Сублимация тупого тела в окрестности критической точки в плоском и осесимметрич-
ном потоке смеси газов.— Журн. вычисл. мат. и мат. физ., 1961, т. 1, № 5, с. 884—
902; Щенников В. В. Расчет ламинарного пограничного слоя у сублимирующей
поверхности.— Журн. вычисл. мат. и мат. физ., 1961, т. 1, № 5; Анфимов Н. А.
Ламинарный пограничный слой на химически активной поверхности.— Изв. АН СССР,
Мех. и машин., 1962, № 3, с. 3—12 и того же автора: Горение графита в потоке воз-
воздуха при высоких температурах.— Изв. АН СССР, Мех. и машин., 1964, № 5; см.
также Овсянников В. М. Разрушение осесимметричного тела вращения из мате-
материала сложного химического состава в высокоэнтальпийном потоке воздуха.— Мех.
жидк. и газа, 1965, № 5, и обзор в юбилейном сборнике «Механика в СССР за 50 лет»;
Динамика вязких жидкостей и газов, теория ламинарных и турбулентных погранич-
пограничных слоев/Под ред. Л. Г. Лойцянского, § 8, Проблема термозащиты поверхности
тела в гиперзвуковом потоке (составлен Г. А. Тирским).— М.: Наука, 1970, с. 552—
559.
§ 150. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ С ВНЕШНИМ ПОТОКОМ 807
слое. Для ознакомления с существующими исследованиями в этой об-
области можно рекомендовать монографию Бай Ши-и1).
Отметим, наконец, большой интерес к вопросам движения ионизо-
ионизованных газов, так называемой «холодной плазмы» (температура да
15 000 К), обладающих электрической проводимостью и повышенной
теплопроводностью (движения с малыми числами Прандтля). Особа
важное техническое значение имеют задачи движения плазмы в магнит-
магнитном поле.
§ 150. Взаимодействие ламинарного пограничного слоя
с внешним невязким сверхзвуковым потоком
Методы расчета ламинарного пограничного слоя в газовом потоке
больших до- и сверхзвуковых скоростей, изложенные в предыдущих
параграфах настоящей главы, были выдержаны в стиле классической
теории пограничного слоя: распределение давления во внешнем безвих-
безвихревом невязком потоке считалось заданным наперед, а обратное влияние
пограничного слоя на внешний поток, даже в случаях таких очевидных
нарушений предпосылок теории Прандтля, которые имели место в пред-
отрывной области, где поперечные размеры и скорости в пограничном
слое теряют свою сравнительную малость, не принималось во внимание.
В последнее время получил значительное развитие новый, важный
для практики раздел теории пограничного слоя — теория взаимодейст-
взаимодействия пограничного слоя с внешним невязким потоком, расширившая рам-
рамки классической теории на случай движений вязкой среды (несжимае-
(несжимаемой и сжимаемой) в областях, граничащих с особыми точками течений,
такими, как точка отрыва слоя от твердой поверхности и последующего
его «прилипания» к ней, точка нарушения «гладкости» контура, движе-
движений в «донной» области за срезом снаряда, в «ближнем» следе за телом
и др.
Задачи этого рода приобретают особо важное значение в условиях
сверхзвуковых, а еще больше гиперзвуковых потоков, в которых увели-
увеличение роли обратного влияния пограничного слоя на внешний невязкий
поток, а следовательно, и усиление взаимодействия между ними обус-
обусловливаются сравнительно большой толщиной области гиперзвукового
пограничного слоя. Причиной этой особенности гиперзвукового погра-
пограничного слоя является расширение газа при тех высоких температурах,
которые обычно возникают в движениях с большими числами Маха, и
сопутствующее этому расширению уменьшение плотности газа, а тем
самым и уменьшение числа Рейнольдса, что влечет за собой увеличение
роли вязкого трения на поверхности тела.
Как уже отмечалось, путь непосредственного интегрирования урав-
уравнений Навье — Стокса при тех значениях числа Рейнольдса, которые ха-
характерны для теории пограничного слоя первого приближения (уравне-
(уравнения Прандтля), в рассматриваемых случаях оказывается недоступным,
причем не только для аналитического, но и для численного машинного
решения. На помощь приходят асимптотические методы (методы малых
возмущений). Мы уже познакомились с частным случаем применения
такого рода методов, когда рассматривали основной для теории погра-
пограничного слоя прием «сшивания» решений уравнений Прандтля с внеш-
внешним невязким потоком (§ 106).
Сущность асимптотических методов заключается в следующем. Вся
рассматриваемая область течения разбивается на некоторое число под-
подобластей с характерными для каждой из них внутренними масштабами:
линейными продольными и поперечными размерами, скоростями, дав-
1) Б а й Ш и - и. Динамика излучающего газа.— М.: Мир, 1968.
808 гл. xv. динамика вязкого газа
лением и другими механическими или термодинамическими величина-
величинами. Вместе с этими внутренними рассматриваются еще внешние, общие
для всех подобластей масштабы: размер области течения в целом,
скорость ?/«, и др. По этим внешним масштабам строится рейнольдсово
число Re=?/ooL/v, которое предполагается большим, а обратная вели-
величина 1/Re — малой. В каждой из подобластей производится переход от
размерных величин к безразмерным, отнесенным к характерным для
подобласти масштабам, причем делается основное допущение, что при
предельном переходе Re->oo все таким образом нормированные в под-
подобластях величины стремятся к конечным значениям или, как принято
говорить, имеют порядок единицы.
В результате такого предельного перехода уравнения Навье — Сток-
са, составленные для всех подобластей, упрощаются, принимая тот или
другой, зависящий от специфических особенностей движения в данной
подобласти вид (уравнения Эйлера, уравнения Прандтля, уравнения
«медленного» вязкого движения). Решения таких упрощенных уравне-
уравнений, найденные для каждых двух смежных областей, «сшиваются» друг
с другом. Наглядным примером может служить классическая теория
пограничного слоя Прандтля. Предельный переход Re->oo, что соответ-
соответствует «исчезновению» вязкости (v-*0), превращает уравнения Навье —
Стокса в уравнения Эйлера. Но уравнения Эйлера не допускают инте-
интегрирования при граничных условиях, соответствующих прилипанию
среды к поверхности твердого тела (нулевая относительная скорость на
твердой поверхности). Естественно появляется необходимость разбие-
разбиения всей области течения на две подобласти: внешнюю, описываемую
уравнениями Эйлера с граничным условием только «непроницаемости»
поверхности, т. е. равенства на ней нулю нормальной составляющей
относительной скорости, и внутреннюю тонкую пристеночную область —
пограничный слой —в которой условие «прилипания» выполняется, но
благодаря тонкости этой области уравнения Навье — Стокса упрощают-
упрощаются и переходят в уравнения Прандтля. Напомним, что уравнения Пранд-
Прандтля получаются из уравнений Навье — Стокса предельным переходом
Re-*oo уже только после того, как все величины в пограничном слое
отнесены к своим характерным масштабам: продольным, имеющим по-
порядок единицы, и поперечным с порядком 1//Re.
В интересующих нас сейчас асимптотических теориях, наряду с под-
подобластями типа классического пограничного слоя, появляются еще дру-
другие подобласти, порядки которых по продольным и поперечным разме-
размерам, скоростям, перепадам давления и др. отличаются от 1/yRe! Оценка
порядков по рейнольдсову числу масштабов протяженности этих под-
подобластей и механических и термодинамических характеристик движений
среды в них представляет основной этап построения асимптотических
решений. Вторым этапом служит составление рядов по параметрам, ма-
малость которых обеспечивается стремлением внешнего рейнольдсова чис-
числа к бесконечности, и определения коэффициентов этих рядов в том или
другом простейшем приближении. При этом выполняется «сшивание»
асимптотических решений в смежных подобластях.
Не имея возможности в настоящем общем руководстве останавли-
останавливаться на деталях применения асимптотических методов, укажем лишь,
что задача об определении порядков по рейнольдсову числу характер-
характерных масштабов подобластей потока требует в каждом отдельном случае
применения тех или других, во многом интуитивных, физических сооб-
соображений, что особенно относится к сложным сверхзвуковым и гиперзву-
гиперзвуковым задачам.
Основное значение асимптотических методов не сводится только к
учету обратного влияния пограничного слоя на внешний невязкий поток,
§ 150. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ С ВНЕШНИМ ПОТОКОМ 809
выражающегося в искажении внешнего потока за счет оттеснения линий
тока в нем от твердой поверхности, обусловленном подтормаживающим
влиянием твердой стенки (вспомнить § 131). Особо важно, что эти мето-
методы раскрывают природу других весьма важных физических явлений в
сверхзвуковом пограничном слое, одним из наиболее существенных из
которых является противоречащая, на первый взгляд, гиперболическому
и параболическому характеру уравнений движения во внешней и внут-
внутренней областях пограничного слоя возможность распространения воз-
возмущений вверх по потоку. Механизм этого распространения становится
ясным и получает количественное определение благодаря рассмотрению
расположенной непосредственно на твердой поверхности подобласти ма-
малых скоростей, свободно пропускающей волны возмущений вверх по
потоку. Этот эффект носит наименование свободного взаимодействия, а
область пограничного слоя, где он имеет место,— области свободного
взаимодействия.
Остановимся сначала на рассмотрении наиболее простой задачи о
взаимодействии ламинарного пограничного слоя с внешним гиперзву-
гиперзвуковым потоком на продольно обтекаемой пластинке, причем удовольст-
удовольствуемся лишь учетом влияния оттеснения линий тока и отвлечемся от
только что указанного эффекта свободного взаимодействия1). В настоя-
настоящее время эта задача уже рассмотрена в более общем аспекте. Реко-
Рекомендуем недавно опубликованный, глубокий по идеям и широкий по
содержанию обзор по проблеме взаимодействия ламинарного погранич-
пограничного слоя со сверхзвуковым потоком В. Я. Нейланда2).
В основу количественного анализа явления положим известную
связь между давлением в гиперзвуковом потоке и углом отклонения
линий тока от направления набегающего невозмущенного потока.
Условимся различать «местный угол атаки» 0W, образованный каса-
касательной к контуру обтекаемого тела в данной его точке с направлением
невозмущенного потока, и аналогично построенный эффективный мест-
местный угол атаки 8 для эффективного, т. е. полученного наращиванием по
нормали к обтекаемой поверхности толщины вытеснения б*(л:), опреде-
определенной по B21), контура. Углы 0 и Qw сравниваются между собой для
точек, принадлежащих одному и тому же сечению пограничного слоя.
Разность этих углов 9* = 9—0« при их малости может быть приближенно
приравнена значению производной d8*/dx в точке того же сечения по-
пограничного слоя. В случае сжимаемой среды под «толщиной вытесне-
вытеснения» следует понимать величину
B21)
где ре и и& обозначают значения плотности и скорости на внешней гра-
границе пограничного слоя, рассчитанные по распределению давления, уже
исправленному на оттеснение линий тока из-за влияния пограничного
слоя.
Заметим, что в гиперзвуковом потоке (М«>»1) плотность р мала и
можно считать б*«б. Тогда будем иметь основные для дальнейшего
1) Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.— М.: ИЛ,
1962, с. 430—431.
2) Н е й л а н д В. Я. Асимптотическая теория отрыва и взаимодействия погра-
пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа.— Успехи механики, 1981, т. 4, вып. 2;
там же обширная библиография. Кроме того, см. отдельные статьи В. Я. Нейланда
(Механика жидкости и газа, 1971, № 4 и др.).
27 - 9487
810 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
равенства
B22)
В случае продольного обтекания плоской пластинки @^ = 0), когда
зависимость толщин слоя б*, б от продольной координаты является од-
одночленной степенной, предыдущие равенства перейдут в следующие:
A US* б* б rs а ш dd* шт 6* ^ *М б /ООО\
6 = ж — ^ — ; А = Моо ~ Моо — ж Моо — . B23)
dx х х dx xx
Считая, что головная ударная волна образуется во внешнем по от-
отношению к пограничному слою невязком потоке, примем следующую
модель гиперзвукового обтекания вязким газом тонкого крылового про-
профиля с острой передней кромкой.
Внешний однородный поток со скоростью [/«,, плотностью роо, давле-
давлением Рос и температурой Тж проходит сквозь головную ударную волну
на передней острой кромке профиля и только после этого встречается
с внешней границей пограничного слоя у = 8(х)у на которой значения
скорости, плотности, давления и температуры соответственно равны
Не, рб, рб и Га. Область потока между головной ударной волной и внеш-
внешней границей пограничного слоя обычно называют ударным слоем. Для
оценки порядков величин: толщины пограничного слоя б и отношения
давлений рб/р<х> = р/роо отвлечемся от завихренности потока в ударном
слое и, согласно обычной прандтлевской схеме, положим (черта над
буквой означает среднее по сечению слоя значение величины)
i^ ^^ B24)
PU6 H<oo p Роо"б
Примем для зависимости коэффициентов вязкости от температуры
линейный закон A5) и заметим, что в гиперзвуковом потоке (Мео>1)
косой скачок образует столь малый угол с набегающим потоком, что без
большой погрешности можно заменить и6 на [/«,. Кроме того, считая
поверхность тела теплоизолированной, положим Т/Тоо~ "J ML Тогда
вместо B24) получим f^L.
\ Р
ба ~ б*2 о
" ' Р IP»"*
или, вспоминая B23),
B25)
Согласно A06) гл. VIII будем иметь следующее выражение коэф-
коэффициента давления ср:
c-lzh
откуда найдем
§ 150. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ С ВНЕШНИМ ПОТОКОМ 811
В рассматриваемом сейчас случае гиперзвукового обтекания «эф-
«эффективного» профиля из!вестный уже нам по § 64 критерий подобия К=
= Моо0, как это следует из B25), удовлетворяет соотношению пропор-
пропорциональности
^ B27)
Сравнивая B26) и B27), заключим, что искомое действительное
значение отношения давлений р/р«, определяется как функция парамет-
параметра х, который, таким образом, становится обобщенным критерием подо-
подобия гиперзвуковых обтеканий тел, учитывающим ту часть взаимодейст-
взаимодействия пограничного слоя с внешним невязким потоком, о которой только
что была речь.
Приведенные соображения относятся к случаю продольного обте-
обтекания тонкой пластинки, но допускают обобщение и на случай тонкого
клина при продольном его обтекании и при наличии малого угла атаки.
При этом приходится наряду с параметром % учитывать еще влияние
параметра /С»=М«>6и>, так как в этом случае уже нельзя отбрасывать в»
по сравнению с Q* = d&*/dx.
Двумя крайними случаями взаимодействия являются:
1. Слабое взаимодействие (%<1 или порядка единицы). Этот пре-
предельный случай подразумевает сравнительно малые гиперзвуковые ско-
скорости (/С<1) и большие значения рейнольдсова числа (Re,»»!). Рас-
Распределение давления в этом случае мало отличается от невозмущенного
пограничным слоем. Исследование слабого взаимодействия с помощью
асимптотических разложений по степеням малого параметра % не столь
сложно и заключает в качестве нулевого приближения движение, не
учитывающее взаимодействие.
Подробный анализ влияния слабого взаимодействия на распреде-
распределение давлений приводит1) к формуле (для воздуха А = 1,4)
-?-=1 +0,31 Х + 0,05%2 @<Х<4), B28)
Роо
дающей хорошее совпадение с результатами экспериментов в этой обла-
области значения критерия %.
2. Сильное взаимодействие (х»1). В этом случае, отвечающем
очень большим значениям числа Маха (Моо>1) и конечным Re«, эф-
эффекты взаимодействия весьма существенны. При /С»1 правая часть
равенства B26) может быть заменена асимптотическим (при больших
К) рядом
Р ___ k (k -f" 1) if 2 _j_ 3? -f- 1 8k 1 ,
откуда следует оценка величины /?«,/? по К при /С» 1
Роо 2 1.21 2
•(¦?¦)'. B30)
p k(k+l) K2 fc(fc+l)M28a k(k4-\)IA2
Согласно этой оценке будем иметь по B25)
B31)
1) См. ранее цитированную монографию Хейза и Пробстина, с. 447.
27*
812 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
так что
B32)
Возвращаясь к B31), получим искомую оценку для отношения давлений
^1х> B33)
Приведем без вывода *) дающую хорошее совпадение с результата-
результатами экспериментов в воздухе (?=1,4) формулу
0,759 +
Poo
В отличие от слабого взаимодействия, при котором относительная
толщина пограничного слоя имеет порядок 6/Lco ReZ/a (L— длина пла-
пластинки, ReL = ?/ooL/voo), в случае сильного взаимодействия будет 8/Loo
оъЯеТУ4; развитие толщины пограничного слоя вдоль пластинки в случае
слабого взаимодействия определяется обычной закономерностью 6od
сох'/а, в то время как в случае сильного взаимодействия имеет место бо-
более быстрый рост боол:7*; отношение давлений р/р«> в обоих случаях
представляется функциями от одного и того же параметра %=
= М3ооУС/У^вИТ в случае сильного взаимодействия будет справедливо
соотношение р/р^сол:'.
Механизм взаимодействия пограничного слоя с внешним невязким
потоком значительно усложняется в случае тонких, но имеющих затуп-
затупленную переднюю кромку тел. Как мы уже знаем, в этих случаях при
очень больших значениях числа Маха образуются головные ударные
волны сложной криволинейной конфигурации. При прохождении через
такую волну набегающий на тело однородный изэнтропический поток
становится вихревым и неизэнтропическим, причем в условиях, соответ-
соответствующих представлению о сильном взаимодействии, индуцированные
ударной волной завихренность и градиент энтропии в области между
головной волной и внешней границей пограничного слоя могут оказаться
очень интенсивными.
Классическая теория ламинарного пограничного слоя не учитывает
завихренности внешнего потока, а учитывает только скорость на внеш-
внешней границе пограничного слоя. Имевшиеся попытки расширения теории
Прандтля на этот случай не получили достаточного развития. Разобран-
Разобранный эффект оттеснения линий тока при наличии «вихревого взаимодей-
взаимодействия» может значительно исказиться, особенно вблизи передней затуп-
затупленной кромки тела. Упомянем еще, что при гиперзвуковом обтекании
вязким газом .тонких тел вращения, помимо только что указанных эф-
эффектов, важен еще эффект поперечной кривизны тела, который в случае
потоков малых скоростей проявляется лишь на сильно удлиненных тон-
тонких телах.
Значительной частью теории взаимодействия пограничного слоя с
внешним невязким потоком служит изучение явлений отрыва, связан-
связанных с существованием во внешнем потоке скачков уплотнения, которые
взаимодействуют с пограничным слоем.
Не имея возможности останавливаться на специальных вопросах,
отметим некоторые общие обстоятельства, связанные с изучением мест-
местных явлений взаимодействия пограничного слоя с падающими на него
скачками уплотнения и возникающими при этом местными отрывами.
1) См. ранее цитированную монографию ХейзаиПробстина, с. 460.
§ 150. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ С BHFUIHHM ПОТОКОМ 813
Согласно классическим представлениям теории пограничного слоя
в сверхзвуковом потоке передача возмущений вверх по потоку невоз-
невозможна, так как такого рода передача противоречила бы параболическо-
параболическому характеру уравнений движения в области пограничного слоя и ги-
гиперболическому характеру уравнений движения во внешней области.
Между тем такое «предварение» влияния внешнего потока на движение
в пограничном слое наблюдается.
Как уже было отмечено, вблизи точки отрыва, так же как и вблизи
любой другой точки резкого продольного изменения параметров в по-
пограничном слое, нарушается основное допущение, использованное при
выводе уравнений пограничного слоя, а именно, предположение о мед-
медленности изменения величин вдоль по потоку по сравнению с резким
их изменением поперек потока. Восстановление роли продольных произ-
производных приводит к возвращению к уравнениям Навье — Стокса, имею-
имеющим в случае стационарных движений эллиптический характер. Кроме
обычного для стационарных параболических уравнений пограничного
слоя задания граничных условий в начальном сечении, на стенке и на
внешней границе пограничного слоя возникает необходимость задания
граничного условия где-то вниз по потоку, без чего эллиптические урав-
уравнения не дадут определенного решения.
Широкое распространение получили методы, основанные на сращи-
сращивании асимптотических (при Re—>-оо) решений уравнений движения газа
в разных по характеру движения областях. При разработке этих мето-
до<в было установлено, что, в отличие от классической теории погранич-
пограничного слоя с характерными для нее двумя областями: пограничным слоем
и внешним невязким потоком, в асимптотической теории, применитель-
применительно к рассматриваемому сейчас вопросу о движении газа вблизи особой
точки с резким продольным изменением внешних характеристик лами-
ламинарного пограничного слоя, приходится иметь дело с задачей сращива-
сращивания решений в трех расположенных вблизи рассматриваемой особой
точки пограничного слоя зонах. Следуя В. Я. Нейланду1), укажем, что
общий для всех этих зон продольный размер имеет порядок Re~3/*.
Внешняя зона имеет тот же поперечный размер, а течение в ней
в первом приближении может описываться линейной теорией сверхзву-
сверхзвуковых потоков. В непосредственно к ней прилегающей второй, «проме-
«промежуточной», области с поперечным размером порядка Re~l/2 сохраняется
движение, в первом приближении совпадающее с тем, которое было в
невозмущенном пограничном слое вдалеке от рассматриваемой особой
точки. Возмущения в промежуточной области малы и в первом прибли-
приближении не влияют на распределение давлений.
Наконец, третья, «пристеночная» область, играющая в асимптоти-
асимптотических теориях особо важную роль, так как изменение толщины при-
пристеночного слоя является как раз той причиной, которая вызывает воз-
возникновение продольного градиента давления во внешнем потоке, обус-
обусловливает срыв потока с поверхности тела. Эта область имеет сравни-
сравнительно меньшую по порядку толщину, а именно Re~5/s. Хотя течение в
ней описывается обычными по внешней форме уравнениями ламинар-
ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости, однако эти уравнения
имеют принципиальную особенность — стоящий в правой части член
dp/dx уже не является заданным наперед, а должен быть определен в
процессе решения из условия сращивания течения в пристеночной обла-
области с внешним сверхзвуковым потоком. Это условие сохраняет эллип-
эллиптический характер уравнения движения в пристеночной области, так
как оно вместе с известной по § 60 гл. VIII формулой Аккерета для ко-
1) См. приведенную на с. 809 ссылку на составленный В. Я. Нейландом обзор.
814 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
эффициента давлений, вычисленного по линейной теории сверхзвуковых
течений, позволяет выразить величину dp/dx через вторую производную
от толщины вытеснения в вязкой части области течения по формуле
непосредственно вытекающей из предыдущего содержания настоящего
параграфа. В уравнениях асимптотической теории возникает при этом
член, содержащий «старшую» вторую производную по х от неизвестной
функции б*(х), что требует задания второго граничного условия по пе-
переменной х в точке, расположенной вниз по течению за рассматривае-
рассматриваемой особой точкой пограничного слоя.
Этот существенный факт приводит к тому, что возмущения, возни-
возникающие за точкой отрыва, оказывают влияние на выше по течению рас-
расположенные области пограничного слоя, в чем и проявляется эллипти-
эллиптический характер исходных уравнений Навье — Стокса.
Расчеты распределений давления по поверхности тела в срывной
зоне и вблизи ее по асимптотическим теориям приводят к хорошему
совпадению с существующими экспериментальными данными.
Мы лишены возможности в настоящем общем курсе останавливать-
останавливаться на изложении разнообразных методов асимптотических представле-
представлений решений уравнений Навье —Стокса и отсылаем интересующихся к
соответствующим обзорам1).
Изложенные соображения, поясняющие механизм передачи резких
изменений во внешнем потоке (падение ударной волны на пограничный
слой, отрыв пограничного слоя, угловая точка на поверхности тела) по
ламинарному пограничному слою вверх по потоку, описывают широкий
класс явлений как в сверхзвуковом и гиперзвуковом, так и в дозвуковом
движениях газа. Аналогичные по общей структуре процессы имеют, как
уже об этом упоминалось в гл. XII, место и в пограничных слоях в пото-
потоках малых скоростей. Желая подчеркнуть характерную особенность всей
этой группы явлений, заключающихся в возможности всесторонней, как
вниз так и вверх по течению, передачи возмущений в пограничном слое
и их обратного влияния на внешний поток, для такого рода движений
используют ранее упомянутый термин течения со свободным взаимодей-
взаимодействием2).
Вклад советских ученых в эту новую, актуальную и быстро расту-
растущую область общей теории пограничного слоя бесспорно велик. Имена
исследователей, особенно много сделавших для ее прогресса, а также
ссылки на опубликованные ими работы можно найти в тех из только
что цитированных обзоров, которые были составлены советскими авто-
авторами.
х) Brown S. N, Stewartson К Laminar separation.— Ann. Rev. of Fluid
Mech, 1969, v. 1, p. 45—72; Ann. Rev. Inc. Palo Alto, California, USA и в третьем томе
того же ежегодника за 1971 г.: М i k h a i 1 о v V. V., N е i I a n d V. Ya., S у с h e v V. V.
The theory of viscous hypersonic flow, p. 371—396. Особенно рекомендуем вышедшую
в русском переводе монографию: Чжен П. Отрывные течения. Т. 1—3.— М.: Мир,
1972—1973, с обзором А. И. Голубинского, Г. И. Майкапара и В. Я- Ней-
л а н д а «Новые результаты исследований отрывных течений», помещенным в 3-м
томе.
2) Теория течений со свободным взаимодействием в случае турбулентного по-
пограничного слоя разработана значительно меньше. С состоянием вопроса можно озна-
ознакомиться по книге. Гогиш Л. В., Степанов Г. Ю. Турбулентные отрывные тече-
течения.—-М.: Наука, 1979.
§ 1*51. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ
815
§ 151. Турбулентный пограничный слой на пластинке,
продольно обтекаемой газом
Вопрос о влиянии сжимаемости газа на возникновение турбулент-
турбулентности, так же как и на механизм установившейся турбулентности, еще
мало изучен. Теоретические работы по устойчивости ламинарного по-
пограничного слоя при больших скоростях показывают, что при прочих
равных условиях с возрастанием числа М« устойчивость ламинарного
слоя ослабевает; это надо понимать в том смысле, что с ростом М«
должно уменьшаться нижнее критическое число Re^, начиная с кото-
которого возмущения в слое перестают затухать.
Однако опыты1), подтверждая правильность этого положения при-
примерно до Моо = 3,5, показывают, что при дальнейшем росте М*, явление
развивается в противоположном направлении.
Рис. 305
Рис. 306
На рис. 305 приведены экспериментальные данные по изменению с
ростом числа M«, нижнего критического числа Рейнольдса, соответст-
соответствующего точке потери устойчивости ламинарного слоя, т. е. началу пере-
переходной области, и числа Рейнольдса в точке, за которой имеет место
уже развитое турбулентное движение (конец переходной области).
Как следует из приведенных графиков, примерно при Моо = 3,5 до-
достигается максимальное смещение границ переходной области вверх па
потоку и максимальная ширина самой области. При дальнейшем росте
М«, (до Мво=5,8) границы смещаются вниз по потоку, и, по-видимому,
имеют тенденцию продолжать смещаться в том же направлении при
больших Me». Этот факт очень важен с точки зрения решения вопроса о
структуре пограничного слоя на поверхности тел, движущихся с больши-
большими числами Моо, без чего, в свою очередь, невозможен сколько-нибудь
точный расчет сопротивления и теплоотдачи тел.
Причина расхождения теоретических исследований с опытом лежит
в незаконченности теории устойчивости ламинарного слоя в сжимаемой
жидкости при больших скоростях. В последнее время в литературе (см.
только что цитированную статью) высказываются сомнения насчет точ-
точности этой теории, в частности в связи с отсутствием до сих пор учета
l) Korkegi R. Transition studies and skin-friction measurements on an insulated
flat plate at a Mach number of 5,8.—Journ. of the Aeron. Sci., Febr. 1956, v. 23, № 2,
p. 97—107.
816 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
влияния числа М«> на длины волн распространения возмущений и рост
их амплитуды при больших сверхзвуковых скоростях. Как показывают
опыты, возмущения, созданные в потоке, например, при помощи турбу-
лизирующих решеток, при больших значениях М« почти мгновенно
затухают, что говорит о повышенной устойчивости ламинарных течений
при этих значениях Мм. Можно думать, что в такого рода условиях
приведенные ранее соображения об отрывном происхождении явления
перехода ламинарного слоя в турбулентный уже становятся несправед-
несправедливыми. Вероятно, в этом случае причиной перехода служит только по-
потеря устойчивости движения в ламинарном слое, начало которой при
больших числах М*, затягивается в область значительных по величине
рейнольдсовых чисел. Приведенные соображения нуждаются еще в си-
систематической экспериментальной проверке.
Дестабилизирующее влияние на ламинарный пограничный слой
оказывает подвод тепла через обтекаемую поверхность и, наоборот, ста-
стабилизирующее влияние — теплоотвод от поверхности тела. Этот, по-ви-
по-видимому, бесспорный факт доказан теоретически и экспериментально1).
На рис. 306 приведен график, иллюстрирующий это положение резуль-
результатами опытов Хиггинса и Паппаса2) над пластиной при Моо = 2,40.
В настоящее время теория устойчивости движений газа в ламинар-
ламинарном пограничном слое при больших до- и сверхзвуковых скоростях про*
должает развиваться. Не имея возможности изложить результаты этого
специального раздела и указать значительную по объему литературу в
этой области, отошлем читателя к цитированному в конце § 118 обзору
С. А. Гапонова и В. Я. Левченко в «Успехах механики». Ре-
Результаты обширных теоретических и экспериментальных исследований
ученых Сибирского отделения АН СССР в этом направлении получили
обобщение в докторской диссертации С. А. Гапонова «Развитие
возмущений в сверхзвуковом пограничном слое».
Сжимаемость газа при Moo^l оказывает слабое действие на меха-
механизм турбулентного обмена. Опыты советских исследователей (Г. А. Вар-
Варшавский, А. А. Гухман, Н. В. Илюхин, В. Л. Лельчук, В. Н. Тарасова),
относящиеся к 1933—1938 гг., так же как и более поздние опыты зару-
зарубежных ученых (Фрёссель, Юнг, Кинен и Нейман), показали, что при
дозвуковых скоростях можно с успехом пользоваться теми же степен-
степенными или логарифмическими формулами сопротивления, как и для
несжимаемой жидкости, если под скоростью и плотностью понимать их
определенным образом осредненные по сечению трубы значения3). Тео-
Теоретически в бесскачковом потоке такая возможность сохраняется с до-
достаточным приближением и для не слишком больших сверхзвуковых
скоростей (М^1,7L), однако в действительности сверхзвуковые дви-
движения в трубах сопровождаются образованием сложных систем скачков
уплотнения, которые не позволяют рассматривать поток как одномер-
одномерный и пользоваться представлением об установившемся турбулентном
движении.
') Van Driest E. Calculation of the stability of the laminar boundary layer In
a compressible fluid on a flat plate with heat transfer.— Journ. Aeron. Sci., 1952, v. 19,
№ 12, p. 801; Shapiro N. Effects of pressure gradient and heat transfer on a stabi-
stability of the compressible laminar boundary layer.— Journ. Aeron. Sci., 1956, v. 23, № 1,
p. 81—83
2) Цитируем по монографии: Shapiro A. The dynamics and thermodynamics
of compressible fluid flow V. 2.—N. Y., 1953, p. 1077.
3)~ См. монографию: Гухман А. А., Илюхин Н. В. Основы учения о тепло-
теплообмене при течении газа с большой скоростью — М.: Машгиз, 1951, где можно найти
критический обзор большинства советских и зарубежных исследований по этому воп-
вопросу и подробную библиографию. В монографии приведены также удобные для прак-
практических расчетов степенные формулы сопротивления и теплоотдачи труб.
4) D e i s s I e r R. Analytical and experimental investigation of adiabatic turbulent
flow in smooth tubes — NACA Tech. Note, 1950, № 2138.
§ 151. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ 817
Движение газа в турбулентном пограничном слое с большими до-
и сверхзвуковыми скоростями представляет актуальную проблему со-
современной аэродинамики. Пути практического решения этой проблемы
лежат в обобщении на случай движения газа с большими скоростями
эмпирических и полуэмпирических теорий турбулентности в несжимае-
несжимаемой жидкости. Следует заметить, что опытная проверка возможности
применения такого рода теорий для движения газа с большими скоро-
скоростями стала вполне возможной в связи со значительным развитием тех-
техники эксперимента в сверхзвуковых аэродинамических трубах и в по-
полете. Произведенное сравнение теоретических и экспериментальных
результатов показало, что при помощи эмпирических и полуэмпириче-
полуэмпирических методов можно установить вполне удовлетворяющие практику за-
закономерности.
Остановимся на рассмотрении турбулентного пограничного слоя на
продольно обтекаемой газом гладкой пластине. Довольствуясь сначала
случаем теплоизолированной пластины и оставляя в стороне вопрос о
форме профилей скорости и температуры в сечениях слоя, поставим себе
целью составление эмпирической формулы зависимости коэффициента
местного сопротивления cf от местного рейнольдсова числа Re*. Для
этого используем известные эмпирические связи между cf и Re* в изо-
изотермическом движении несжимаемой жидкости. В отличие от этого дви-
движения, где константы jlx и р одинаковы во всем потоке, в рассматривае-
рассматриваемом случае величины \i и р меняются в зависимости от изменения тем-
температуры по сечению слоя. Принимать jlx и р соответствующими темпе-
температуре Гоо набегающего потока нет никаких оснований, так как,
очевидно, вблизи поверхности пластины газ имеет температуру Тю, при
больших Моо значительно превосходящую Т^. Относить цирк темпе-
температуре поверхности Tw представляется более обоснованным1), но ясно,
что при этом получится преувеличенное влияние температуры на вяз-
вязкость и плотность газа. Естественно, является мысль отнести физические
константы газа к некоторой средней температуре Тту большей Т^, но
меньшей Tw. Таккер2) сделал простейшее допущение, положив Тт рав-
равным среднему арифметическому температур Гто и Tw
Пользуясь в этом предположении формулой сопротивления A52)
гл. XIII, будем иметь, обозначая индексом m значения констант газа
при Т=Тт,
у^— = 0,0263 ( PmUocX \ \ B35)
причем (р = const)
Pm оо ^m ( ' т ] /OQ^
Poo ' m f*oo \ ' oo J
Замечая, что нашей целью является разыскание связи между cf и
Rex, которые выражены при помощи заданных наперед характеристик
1) Впервые такое допущение было сделано Т. Карманом в докладе на конгрессе
имени Вольта в Риме в 1935 г.: Карман Т. Проблема сопротивления в сжимаемой
жидкости — В кн.- Газовая динамика.— М.: ГОНТИ, 1939, с. 58—59.
2) Tucker M Approximate calculation of turbulent boundary layer development
in compressible flow — NACA Tech. Note, 1951, № 2337.
818 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
набегающего на пластину потока ?/«>, р«, ц<», т. е.
cf= , Tw , Re,= 9ooUo°X , B37)
исключим из B35) pm и [im на основании B36). Получим сначала
— ] ", B38)
,063 (
10 иг Рт \ I*
с, Re*- 0,0263 f^j ^j = 0,0263 (-^-j . B39)
а затем
Как известно, показатель степени п в законе зависимости коэффи-
коэффициента вязкости от температуры, в практическом диапазоне температур
изменяющийся в пределах от 1 до 1/2, близок к 3/4; не будет большой
ошибки, если для простоты положить л=1. Далее примем коэффициент
восстановления температуры на поверхности пластины равным единице,
т. е. при условии отсутствия теплоотдачи с поверхности пластины будем
считать температуру пластины Tw равной температуре адиабатически и
изэнтропически заторможенного газа, набегающего со скоростью [/« на
пластину. Тогда получим
Т^ 27\ 2Г^ о
Подставляя это выражение в B39). найдем
cf Re;/7 = 0,0263 / -i- \§Л. B40)
2
Интегрируя по всей длине пластины, получим формулу коэффици-
коэффициента полного сопротивления
Cf Rev' = 0,0307/^ -i- \ 7, B41)
представляющую собой обобщение формулы A53) гл. XIII на случай
газа.
Как следует из этих эмпирических формул, влияние числа M«> на
коэффициенты местного и полного сопротивления не зависит от влияния
числа Рейнольдса Rex или Re, так что, принимая обычное обозначение
индексом «0» величин при Моо = 0, будем иметь
C-L=CJ-=,( 1 \'\ B42)
С С ^)
На рис. 307 приводится сравнение формулы B42) — кривая / — с
опытными данными различных авторов1). Верхний предел чисел М»
доведен почти до Моо = 8, причем, как это следует из рис. 307, совпадение
!) На рис. 307 светлые кружки представляют результаты опытов Чепмена и Ке-
Кестера (Chapman D. R, Kester R H Journ. Aero Sci., 1953, v. 20, № 7, p. 441—
449), треугольники — опытов Колза (Coles D. Journ. Aero. Sci, 1954, v. 21, № 7,
p. 433—449), черные точки — опытов Лобба, Винклера и Перша (L о b b R. K-, Win-
Winkle г Е. М., Р е г s h J Journ. Aero. Sci., 1955, v. 22, № 1, p. 1—10).
§ 151. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ
819
формулы Таккера с опытными материалами остается вполне удовлетво-
удовлетворительным и при этих сравнительно больших значениях числа М«,. На
том же рисунке приводится кривая //, отвечающая использованию в ка-
качестве характерной средней температуры Тт температуры Tw поверхно-
поверхности пластины, т. е. кривая
1,0
0,8
0,6
0,2
О
\
>
Рис. 307
Эта кривая подтверждает ранее высказанное соображение о том,
что применение температуры поверхности пластины в качестве средней
температуры в пограничном слое
должно приводить к преувеличению _?_
влияния сжимаемости воздуха (чи ofo
ела Мсо) на коэффициент сопротив-
сопротивления пластины.
Другой, также эмпирический, ме-
метод расчета турбулентного погранич-
пограничного слоя в газовом потоке больших
скоростей на продольно обтекаемой
пластине был опубликован Д. Б.
Сполдингом и С. В. Чи1). Этот
метод, в отличие от предыдущего,
может быть применен и при нали-
наличии теплоотдачи с поверхности пла-
пластины. В методе используются затабулированные эмпирические функ-
функции, что определяет простоту применения метода. Наличие двух проци-
процитированных распространенных литературных источников позволяет опу-
опустить изложение этого метода.
Переходя к полу эмпирическим методам, укажем, что они основы-
основывались на обобщении на случай потоков газа больших скоростей мето-
методов, предложенных в свое время основоположниками полуэмпирических
теорий Прандтлем и Карманом для случая несжимаемой жид-
жидкости (§ 129).
В полуэмпирической теории турбулентного пограничного слоя в
сжимаемом газе при больших скоростях исторически наметились два
направления. Первое из них, открытое работой Ф. И. Франкляи
В. В. Войшеля2), основывалось на непосредственном переносе в
газовую динамику формул полуэмпирической теории Кармана. В даль-
дальнейшем по аналогичному пути пошел Ван-Дрист3).
В работах второго направления использовались переменные Дород-
Дородницына и предполагалось, что формулы полу эмпирических теорий тур-
турбулентности остаются справедливыми, если их составлять в этих пере-
переменных. Ответ на вопрос о том, какое направление дает результаты,
более близкие к действительности, мог дать только опыт при больших
числах М, а ко времени появления обоих направлений опытные мате-
•) Сполдинг Д. Б., Чи С. В. Сопротивление в сжимаемом турбулентном по-
пограничном слое на гладкой плоской пластине с теплопередачей и без нее.— Сб. пере-
переводов «Механика>, 1964, № 6. См. также ранее уже цитированную монографию»
Ю. В. Л а п и н а, с. 161—170.
2) Франкль Ф. И., Войшель В. В. Трение в турбулентном пограничном
слое около пластинки в плоскопараллельном потоке сжимаемого газа при больших
скоростях.—Труды ЦАГИ, 1937, № 321.
3) Van Driest E. R. Turbulent boundary layer in compressible fluids — Journ.
of the Aeron. Sci., 1951, v. 18, № 3 и того же автора: Турбулентный пограничный слой
при различных числах Прандтля.— В сб.: Проблема пограничного слоя и вопросы
теплопередачи.— М.: Энергоиздат, 1960, с. 216—229. В последней из указанных ста-
статей проводится приближенный учет влияния коэффициента восстановления.
820 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
риалы еще отсутствовали. При числах М, немного превышающих едини-
единицу, оба направления давали, естественно, мало отличающиеся друг от
друга результаты. Лишь после того, как были получены данные по со-
сопротивлению трения плоских поверхностей при больших числах М (до-
(доходящих почти до 8), стало ясно, что только первое направление дает
правильные результаты.
В работе Франкля и Войшеля авторы непосредственно обобщили
на случай газового потока метод Кармана, упростив его лишь допуще-
допущением о постоянстве напряжения трения поперек пограничного слоя. Идя
по этому пути, они сначала нашли форму профилей скорости в сечениях
слоя, затем обычным способом получили так называемый «закон сопро-
сопротивления», т. е. связь между местным коэффициентом трения и числом
Рейнольдса пограничного слоя. Исключая это число Рейнольдса из
уравнения «закона сопротивления» и уравнения импульсов, им удалось
получить искомую связь между местным коэффициентом сопротивления
и числом Рейнольдса, построенным по скорости набегающего потока и
абсциссе данной точки на пластине.
Степень приближения, принятая Франклем и Войшелем, позволила
им самим провести вычисления лишь до чисел М, мало превышающих
единицу. Переход к большим числам М потребовал бы, по-видимому,
либо еще большего усложнения и без того сложной вычислительной ме-
методики этих авторов, либо непосредственного применения численных
методов.
Покажем1), что при использовании формулы Кармана и в предпо-
предположении постоянства напряжения трения поперек пограничного слоя
существует более простой путь построения решения, не требующий пред-
предварительного введения понятий о числе Рейнольдса пограничного слоя
и «законе сопротивления». Этот путь в значительной мере упрощает
исследование задач о турбулентном пограничном слое в газовом потоке.
Использование простого асимптотического разложения, уже применен-
примененного ранее в § 129 для несжимаемой жидкости, позволяет обобщить тео-
теорию Кармана сопротивления пластины в несжимаемой жидкости на
случай газового потока с большими числами М.
Ограничимся случаем, когда число Прандтля равно единице (<т=1),
и будем рассматривать обтекание пластины как теплоизолированной
(«пластинчатый термометр»), так и с отводом тепла.
Применим к задаче о турбулентном пограничном слое на пластине
в потоке газа тот же прием, который был использован в § 129 для случая
несжимаемой жидкости. В обозначениях этого параграфа
U и ^оо U ф V*t/
Ф = — э А = —, — = х.э Ti= —
О* f* ^oo h Vw
формула Крокко (85) настоящей главы может быть легко преобразо-
преобразована к виду
где
т
@=1—— (со>0 при нагреве поверхности и о)<0 при охлажде-
' w
нии);
1) Лапин Ю. В., Л о йц я иски и Л. Г. Применение метода Кармана к расчету
турбулентного пограничного слоя на пластине, в газовом потоке.— Труды ЛПИ, 1961,
№217.
§ 151. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ
821
Tt = Too 11 -| M») —температура термометра, равная темпера-
температуре поверхности пластины Tw при отсутствии теплоотдачи (со = 0).
Замечая, что при постоянстве давления по сечению слоя имеет ме-
место равенство
B44)
составим основное соотношение Кармана A85) гл. XIII, которое при
наличии сжимаемости среды будет иметь вид
B45)
Меняя, как и ранее в § 129, аргумент и функцию, получим вместо B45)
уравнение
4 = - B46)
1 л / /Ф \ /Ф
I/ 1 —© — — Y
V \hj \h
первым интегралом которого служит равенство
та = С ехр I —— arcsin
1 Vy
B47)
Для определения константы С приходится задаваться значением произ-
производной dy/dr) на границе ламинарного подслоя со стороны турбулент-
турбулентного ядра. Простейшим допущением является требование, чтобы эта
величина имела то же значение /=1/(ха), что и в случае малых скоро-
скоростей, т. е. чтобы производная ^/(а+О) не зависела от коэффициентов
7 и со. Такое допущение эквивалентно пренебрежению изменением плот-
плотности на протяжении ламинарного подслоя; оно приводит к следующему
результату (п /к)
0)
(О
VI
arcs in
— arcsin
. B48)
Легко убедиться, что при co = v==0 правая часть этого равенства совпа-
совпадает с соответствующим выражением A87) для*несжимаемой жидкости
(§129).
Толщины вытеснения и потери импульса пограничного слоя в слу-
случае газа выразим равенствами
B49)
Используя равенства B44) и B48) и производя преобразования,
аналогичные проведенным в § 129, получим следующее выражение для
822
ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
толщины потери импульса:
у_ П-р-У)*2у» f 5A-5) ^
С и A-й)
J 1 — со п — 7
х ехр
arcsin •
21^7
у у [_
1/1 +
_
4?
Вводя новую переменную
arcsin
@
- arcsm ¦
. B50)
B51)
преобразуем B50) к виду
x (sinУтФ — sin t/y фю) (sin
где положено
= arcsin
Vy
CO
CD
2/7
- arcsin-
B52)
, B53)
1
= arcsin-
/7
Для вычисления определенного интеграла, стоящего в правой части
равенства B52), вновь, применим асимптотическое разложение A89)
гл. XIII. Интегрируя с точностью до члена, содержащего к*Н3 в знамена-
знаменателе, и представляя приближенно а|>в в виде
г|5в = \|)ш -f — > B54)
получим следующее выражение для толщины потери импульса:
б" =
е~хаA— со —
(\ 2-1,5а-у \
V vh V 1 — ш — V /
B55)
Аналогичным способом может быть получено выражение для тол-
толщины вытеснения B49)
1 —
/ со
> [ з — 1,5со — 7 + —
\ 27
. B56)
§ 151. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ
823
Составляя, согласно последним двум равенствам, отношение
6*/6** = #, найдем
B57)
В предельном случае течения несжимаемого газа (v = 0) и отсутст-
отсутствия теплопередачи (со = 0) получаем выражение для Я, полностью сов-
совпадающее с соответствующим равенством в § 129.
Приняв для толщины потери импульса более грубое приближение
(пренебрегая вторым слагаемым в последней круглой скобке равенства
B55)), подставим ее выражение
в- =
B58)
е интегральное соотношение импульсов. После простых преобразований
получим уравнение
^^ ReOT = -^i. B59)
Взяв интеграл от обеих частей этого уравнения и используя гра-
граничное условие Rexul=0 при Л = 0, получим в том же приближении
Re^ B60)
Равенство B60) переходит в пределе в соответствующее выражение
для несжимаемой жидкости (индекс «О»)
-ха
= Re,o. B61)
Далее, разделим обе части равенства B60) соответственно на обе
части равенства B61); тогда будем иметь
е
Переходя в последнем равенстве от h к cf и логарифмируя, получим
1rt cf .xVllge
— 1
Принимая для с/0 степенную зависимость от числа Re*o
с,0= 0,0263 Re;;/'
и вводя обозначения
B63)
B64)
К =
824 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
получим зависимость коэффициента трения от параметров набегающего
потока и условий на стенке в следующей неявной форме:
F + G. B66)
Это уравнение можно свести к трансцендентному уравнению с одним
параметром
lg N+N = L, B67)
если положить
B68)
2 1/ —
Таким образом, выражение для коэффициента трения запишется
в виде
cf0
B69)
где F и К— известные функции, a N определяется из решения уравне-
уравнения B67).
Как показали расчеты, уравнение B67) может быть заменено при-
приближенным, более простым равенством
ЛГ = 0,123+0,8201, B70)
которое оказывается достаточно точным в широком диапазоне измене-
изменения всех параметров. В этом случае равенство B69) принимает вид
Для определения величины G необходимо задаться законом изме-
изменения вязкости с температурой. В качестве такого закона может быть
принята либо формула Саттерлэнда, либо степенная зависимость вязко-
вязкости от температуры. В последнем случае выражение для G будет
Т
где п — показатель степени в законе ji~Tn. Небезынтересно провести
сравнение изложенного метода с методом Ван-Дрийста, основанным на
переносе в газовую динамику формулы Прандтля. После приведения
формулы Ван-Дрийста к виду B66) выясняется, что отличие заключа-
заключается в величине G, которая при принятии степенного закона изменения
вязкости выражается равенством
При рассмотрении равенства B71) обнаруживается, что при боль-
больших значениях числа Рейнольдса величина отношения cf/cf0 очень слабо
зависит от числа Рейнольдса. Действительно, устремляя число Рей-
Рейнольдса к бесконечности (Rex0-^oo) или, что то же, F к бесконечности,
получим следующую предельную формулу для отношения cffcf0:
¦2--*-.
§ 151. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ
825
Эта формула может оказаться полезной при проведении приближенных
расчетов сопротивления трения при больших числах Рейнольдса.
По изложенному методу были проведены расчеты местного коэф-
коэффициента трения. Результаты расчета для случая отсутствия теплопере-
теплопередачи (TJTt = l) и сравнение их с опытными данными различных авторов
показаны на рис. 308. Три кривые на этом рисунке соответствуют трем
различным значениям числа Рейнольдса A06, 107 и 108).
Как явствует из рисунка, расчетные и опытные данные хорошо сов-
совпадают вплоть до больших чисел М«>. Влияние температурного фактора
на коэффициент трения показано на рис. 309.
Рассмотрим два имеющих практиче- Cf/Cf
ское значение частных случая. i$°
cf'cfo
W
Ofi
0,6
0,4
0,2
\
\
Tt '
Лех-/0
w8
6
w7
/
1,4
ьг
t.o
0,6
0,6
0,4
Ю
o\
x V
/0,6
л-
0,2
te?/07
-0,8
\
Рис. 308
Рис. 309
ния:
1) Теплоизолированная пластина.
В этом случае температура стенки Tw равна температуре торможе-
а величины со и у соответственно равны
k— 1
B72)
B73)
Определяющая процесс функция К будет выглядеть так:
/С =
arcsjn
B74)
2) Пластина с подогревом или охлаждением при малых скоростях.
В этом случае, переходя к пределу при у=0, получим
¦ _ 2(VT
— 1)
B75)
В предельном случае течения несжимаемой жидкости при отсутст-
отсутствии теплоотдачи (o) = v = 0) /С=1.
Изложенное решение относится к числу полуэмпирических. Напом-
Напомним, что формула Кармана, положенная в основу вывода уравнения
826 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
B45), становится неверной вблизи внешней границы пограничного слоя,
где все последовательные производные по нормальной к поверхности
пластинки координате от осредненной скорости стремятся к нулю. Не-
Неверно также допущение о постоянстве напряжения трения во всей обла-
области пограничного слоя. Как это непосредственно следует из уравнений
Рейнольдса турбулентного пограничного слоя
*М0. B76)
дх ду dx ду дх ду
при условии dp/dx = Oy отвечающем рассматриваемому случаю продоль-
продольного обтекания пластинки, будет
= 0. B77)
Дифференцируя обе части первого уравнения системы B76) по у
и раскрывая производные во втором уравнении, убедимся, что при */ = 0
будет иметь место система равенств
_(дН\
— I I »
V ди* )
ди . dv\ Л
[Р Ьр — ) =:0>
из которой сразу следует, что
= 0. B78)
Наличие равенств B77) и B78) позволяет считать, что при малых
расстояниях от поверхности пластины можно приближенно полагать
т = const = Tu>. Это в известной степени оправдывает сделанное ранее
допущение, но, конечно, ограничивает справедливость его «пристенной»
областью. Более подробное обоснование изложенного полуэмпирическо-
полуэмпирического метода и обсуждение его результатов можно найти в § 14 (с. 135—
161) монографии Ю. В.Лапина1).
Как следует из сравнения результата расчетов с опытными мате-
материалами, принятое приближение достаточно хорошо передает влияние
числа Маха набегающего потока и температурного фактора на такую
характеристику пограничного слоя, как отношение коэффициента по-
поверхностного трения в газовом потоке больших скоростей к соответст-
соответствующему значению этого коэффициента при отсутствии влияния сжи-
сжимаемости (Моо = 0). Подчеркнем, что в этом отношении ошибки, возни-
возникающие при отдельном определении числителя и знаменателя, могут,
в известной степени, скрадываться, чем, по-видимому, и объясняется
хорошее совпадение результатов расчета с экспериментальными данны-
данными, показанное на рис. 308.
Вопрос о тепловых характеристиках пограничного слоя остался в
стороне, но мог быть легко изучен благодаря наличию равенства B43),
справедливость которого интуитивно оправдывается допущением о ра-
равенстве числа Прандтля единице. При отсутствии этого допущения дело
значительно осложняется в связи с необходимостью введения коэффи-
коэффициента восстановления. Напомним (§ 144), что в случае ламинарного
пограничного слоя на продольно обтекаемой пластине газом с большими
сверхзвуковыми скоростями коэффициент восстановления Ф0@)/4 опре-
определялся аналитическим выражением G1). В случае турбулентного по-
]) Лапин Ю В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках
газа.—М.: Наука, 1982.
$ 152. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ 827
граничного слоя такого простого решения этого вопроса не существует
и обычно довольствуются экспериментальными данными, согласно ко-
которым коэффициент восстановления лежит в пределах 0,88—0,90 и не
зависит от чисел Рейнольдса и Маха.
§ 152. Турбулентный пограничный слой в газовом потоке
при наличии продольного градиента давлений
Проблема расчета турбулентного пограничного слоя в газовом по-
потоке в том общем случае, когда имеется продольный градиент давле-
давлений, представляет большую сложность. По сравнению с подобной зада-
задачей для несжимаемой жидкости, уже один только факт переменности
плотности и появления новой неизвестной —температуры, влияющей на
физические «константы»: коэффициенты вязкости и теплопроводности,—
говорит о дополнительных трудностях в постановке и решении этой
задачи. Если можно было сомневаться в завершенности проблемы рас-
расчета турбулентного пограничного слоя в несжимаемой жидкости (§ 138—
140), то в рассматриваемом сейчас случае газового потока больших ско-
скоростей становится ясным, что аналогичная проблема еще далека от
решения. Вот почему в настоящем параграфе приходится довольство-
довольствоваться лишь указаниями на те пути, по которым происходят поиски
решения этой актуальной задачи. Имея в виду практическую сторону
возможных технических применений, остановимся лишь на методах,
основанных на известной уже нам по предыдущему (§ 135, 137) «двух-
«двухслойной схеме» с разбиением потока на внутреннюю область, подчинен-
подчиненную «закону стенки», и внешнюю — «закону следа». Удовлетворимся в
дальнейшем случаем плоского стационарного «пристенного» турбулент-
турбулентного пограничного слоя в однородном газовом потоке при отсутствии
объемных сил.
Вспомним, что вывод общих уравнений, описывающих турбулентное
движение, начинался с установления законов осреднения скоростей и
других характеристик действительного потока, после чего следовало
применение этих законов к осреднению уравнений Навье — Стокса, а
уже затем упрощение полученных уравнений применительно к задаче
о турбулентном пограничном слое.
Уравнения динамики вязкого газа были выведены в § 141. Их осред-
осреднение выполняется обычным способом предварительного разложения
величин в потоке на осредненные и пульсационные слагаемые с после-
последующим осреднением представленных в таком виде уравнений газовой
динамики. Опустим этот вывод, так же как и дальнейшие упрощения
уравнений по методу пограничного слоя').
Отметим лишь, что с целью упрощения окончательного вида урав-
уравнений, вместо введенного в § 120 непосредственного осреднения пуль-
пульсирующих во времени действительных величин <р по закону
t+T/2
ф = 1 f фЛ, B79)
/-Г/2
будем пользоваться более сложным, но, как оказывается, упрощающим
уравнения осреднением «взвешенным по плотности»
t+T/2 t+T/2
Ф= Г ру dt/ Г pdt> B80)
t-T/2 t-T/2
1) См. ранее цитированную монографию Ю. В. Лапина, где подробно изложен*
этот вывод.
828 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
которое, согласно B79), можно еще определить как отношение
Ф=^-. B81)
Р
Представляя действительную (пульсирующую) величину <р как
сумму осредненной по формулам B80) или B81) <р и пульсации, кото-
которую, в отличие от соответствующей осреднению B79), будем обозначать
двумя штрихами ф", получим
<р=Ф+Ф". B82)
Отметим, что при осреднении по B79) будет
РФ = (Р + Р') (Ф + ф") = РФ + р'Ф + РФ' = РФ + Р'Ф + РФ">
причем второй член справа р/ф = р/<р==0> а по определению B81) най-
найдем, что
рф = рф;
тогда предыдущее равенство перейдет в следующее:
p^ = 0, B83)
которое заменяет присущее осреднению B79) равенство ф' = 0 и имеет
основное значение для упрощения уравнений переноса. Отметим, что
для пульсаций ф" имеет место условие
В принятых сейчас обозначениях, опуская знак осреднения повсю-
повсюду, кроме членов с произведениями пульсаций, будем иметь следующую
систему уравнений плоского стационарного турбулентного пограничного
слоя в газовом потоке:
|(P")+f
дх ду
ди . ди dp . дх /пол\
ри - + pv - = — f + - , B84)
дх ду dx ду
dh.\ . dhn д , , ч
Р^—- +pv—± = -(q + ux),
дх ду ду
где ho = h+u2/2 — полная энтальпия, а под х и q понимаются полные на-
напряжение трения и поток тепла, содержащие в себе как ламинарные
(молекулярные), так и турбулентные (молярные) составляющие и учи-
учитывающие взаимодействие молекулярного и молярного обменов.
Последнее уравнение системы B84) может быть заменено на урав-
уравнение относительно энтальпии h
h d да ди /no-v
B85)
Предполагая, что внешний поток (индекс «в») изэнтропический, а
на внешней границе пограничного слоя справедливо уравнение Бернул-
ли (U — скорость на внешней границе пограничного слоя, в индексе «в»
нет необходимости)
*? B86)
dh.
дх
dh_
ду
ldx^
\dq.
ди
%ду
§ 152. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ 829
запишем граничные условия в обычном виде:
u = v = 0, /io = Aa, при # = 0,
B87)
u-+U, hQ-^he + — U2 при у-+оо.
Для замыкания системы B84) пользуются следующими формулами
турбулентных составляющих напряжения трения и потока тепла
T,= -p5v = ^|f B88)
qt^-^hf = 'Ktd^L. B89)
Первая из них — это формула Буссинеска, вторая — формула
Фурье.
В дальнейшем рассмотрим отдельно внутреннюю и внешнюю под-
подобласти турбулентного пограничного слоя.
Как это уже следовало из предыдущего, полуэмпирические гипоте-
гипотезы турбулентности сохраняют свою применимость при числах Маха,
ненамного превосходящих единицу. Примем еще в качестве допущения,
что эти гипотезы не зависят от выбора способа осреднения, иными сло-
словами, что, пользуясь теорией Прандтля «пути смешения» как для на-
напряжения турбулентного трения хи так и для турбулентного потока теп-
тепла qty можно положить
R = р/ Л = рху [ 1 ew<>] 9
ду ду
B90)
\ — пг /2 ди — nr v*ifi Г1 p-WCv'V^ ди
Ы — pCplq — — рСрКлУ 11 — в Ч \ — •
ду q ду
В последнем равенстве хд и Aq — постоянные, характеризующие тур-
турбулентный поток тепла qu отличные от х = 0,4 и А = 26. По опытам
Мейера и Ротта1) постоянные кч и Aq определяются равенствами
^-\2=0,86, ^-=1,25. B91)
Величину А для газового потока предлагается определять по фор-
формуле2)
Вопрос о численном расчете внутренней области турбулентного по-
пограничного слоя на основе приведенных соображений, естественно, нуж-
нуждается в проверке путем сравнения с опытными данными, которые пока
еще немногочисленны.
Более сложна проблема расчета внешней области, где применение
формулы Клаузера, даже с модификацией Ю. В. Лапина и
М. X. Стрельца, остается до настоящего времени спорным и ожи-
ожидает появления новых исследований. Также неясен метод сращивания
внутренней и внешней областей.
!> Meier Н. V, R о 11 a J. С. Experimental and theoretical investigations of tem-
temperature distribution in supersonic boundary layer.— AIAA Paper, 1970, №744.
2} Cebeci Т., Smith A. M. O. Analysis of turbulent boundary layers — N. Y.:
Acad Press, 1974.
830 ГЛ. XV. ДИНАМИКА ВЯЗКОГО ГАЗА
Использование двухслойной схемы имеет место в капитальной ра-
работе Ривза1), который отказался от применения во внешней области
гипотезы Клаузера, заменив ее тремя интегральными соотношения-
соотношениями: количества движения, первого момента скорости и энергии. Резуль-
Результаты расчета по методу Ривза показали хорошее совпадение с экспе-
экспериментальными профилями скорости в сечениях пограничного слоя и с
распределением местного трения по поверхности тела. Тщательный кри-
критический анализ состояния теории турбулентного пограничного слоя в
газовых потоках можно найти в § 1 ранее цитированного обзора
А. С. Гиневского и др. В указанном параграфе, составленном
А. Н. Секундоеым, дана характеристика существующих методов
расчета, достаточно наглядно рисующая современное положение этого
вопроса. Особо рекомендуем для ознакомления п. 5, посвященный эф-
эффекту влияния сжимаемости газа (с. 173 и начало с. 174) на процессы
развития турбулентного пограничного слоя. Проблема расчета турбу-
турбулентного пограничного слоя в газовом потоке еще далека от той завер-
завершенности, которая позволила бы поместить сколько-нибудь детальное
ее изложение в учебном руководстве.
l) Reews В. L. Tho-layer model of turbulent boundary layer.— AIAA Journ, 1974,
v. 12, № 7, p. 932—939 (имеется русский перевод).
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абрамович Г. Н. 116, 246. 636, 639, 647
Абрамян Б. Л. 388
Акатнов Н. И. 521
Аккерет (Ackeret J.) 224
Албер (Alber J. E.) 719
Алексеев Б. В. 798, 803
Альбринг (Albring W.) 62, 616
Анфимов Н. А. 806
Аравин В. И. 431, 432
Арутюнян Н. X.J388
Аскович (Ascovic R.) 576
Астарита Дж. 369
Бабенко К. И. 489
Бай Ши-и (Pal S. IJ 807
Бам-Зеликович Г. М. 679
Барнетт (Barnett D.) 768
Басин А. М. 330
Батчелор (Batchelor О. К.) 368, 428
Бахметьев Б. А. 712
Бекер (Becker R.) 746
Бекингем (Buckingham E.) 385
Белащенко Д. К. 422
Белов И. А. 480, 486, 615
Белоцерковский О. М. 243, 358, 469, 490, 494, 748
Белоцерковский С. М. 319, 330
Беркер (Berker R.) 457
Бернулли (Bernoulli D.) 88, 90, 96, 163, 192, 2W
502
Бетчов (Betchov R.) 686
Бингам (Bingham E. С.) 364
Блазиус (Blasius H.) 506, 610, 572
Бобылев Д. К. 213
Богданова В. В. 562
Боричич (Boricic Z.) 556—558, 796
Боришанский В. М. 632, 715
Брайнерд (Brainerd J. G.) 768
Браун (Brown S. N.) 506, 814
Бриджмен (Bridgeman P.) 385
Брэдшоу (Bradshaw P.) 615, 694, 696, 719, 721,
723, 725, 730
Брэй (Bray K.) 356
Буземан (Busemann A.) 273, 274, 351, 353
Буйлтьес (Builtifes P. J. H.) 628, 738
Бури (Buri A.) 674
Буссинеск (Boussinesq J.) 625, 627
Бушмарин О. Н. 575, 647
Бюргере (Burgers J. M.) 627
Валландер С. В. 356
Ван Вийнгарден (van Wijngaarden L.) 105
Ван-Дайк (van Dyke M.) 42, 160, 223, 332
Ван дер Хегге Цийнен (van der Hegge Zijnenl
617
Ван-Дрист (van Driest E») 816, 819
Ванье (Wannier G. H.) 442, 447
Варбург (Warburg) 758
Варшавский Г. А. 816
Ватажин А. Б. 400
Ватсон (Watson G. N.) 295, 299, 303, 308
Введенская Н. Д. 489
Вельте (Welte W.) 586
Вендт (Wendt H.) 766, 772, 776
Билля (Willat H.) 213
Винклер (Winkler E. M.) 818
Власов Е. B. 615
Войшель В. В 819. 820
Воскресенский К. Д. 632
By 555
Вуд (Wood А В.) 106
Вулис Л А. 647
Вундт (Wundt H.) 574
Гамель (Hamel G.) 454, 746
Гапонов С. А. 590, 816
Гарднер (Gardner С. S.) 345
Гартман (Hartmann J.) 401
Гевинян Г. М. 365
Гельмгольц (Helmholtz H.) 207, 409, 413
Генкин А. Л. 617
Герман (Hermann R.) 142, 246, 059
Гёртлер (Gortler H.) 383, 385, 408, 442, 686, 641
Гершуни Г. 3. 582
Гесс (Hess R. V.) 345
Гиневский А. С. 602, 615, 620, 635, 647, 677, 682.
683, 725, 830
Глауэрт Г. (Glauert H.) 219
Глауэрт М. (Glauert M. В.) 521
Гогиш Л. В. 213, 724, 814
Гогосов В. В. 400
Годунов С. К. 358, 459
Голдстейн (Goldstein S.) 372, 573, 574. 676, 604.
647, 685
Голт (Gault D. Е.) 604
Голубев В. В. 314
Голубинский А. И. 814
Гольдштик М. А. 158, 213, 377, 562, 571, 694
Гонор А. Л. 185, 187
Горлин С. М. 144
Горощенко Б. Т. 318
Гребер (Groeber H.) 422, 705
Грей (Gray A.) 410
Гретцбах Г. (Gretzbach G.) 732
Григуль (GrijGfull U.) 422, 705
Гринберг Г. А. 401, 408, 542
Гродзовский Г. Л. 647
Громека И. С. 409
Грязное В. А. 472
Гуревич М. И. 206. 213, 293
Гухман А. А 382, 816
Гущин В. А. 489, 490, 494
Гюгонио (Hugoniot P. H.) 112
Давыдов Ю. М. 266, 358. 748
Дайслер (Deissler R.) 701, 714, 816
Даламбер (d'Alembert J ) 1-95, 288, 292
Дарси (Darcy H.) 431. 656
Двайер (Dwyer О. Е.) 632
Двайт (Dwight H. В.) 340
Демьянов Ю. А. 747
Деннис (Dennis С R.) 493—495
Джонс (Jones R. Т.) 369
Джорджевич (Djordjevic V.) 581
Джукич (Djukic Dj.) 575
Дик Е. Д. 729
Домбровский Г. А. 264
Дородницын А. А. 311, 590, 759, 777, 778, 782,
784, 785
ДорсЬман Л. А. 562, 581. 673
Драйден (Drvden H ) 596. 598, 599, 617, 622
Дробленков В. Ф 671, 679
Дубов В. С 644, 645
Дхаван (Dhawan S ) 600
Дюрэнд (Durand W. F.) 338
Егоров Ю. Э. 483. 484
Емельянова Г. Н 727
Есьман И. Е. 712
Жедь В. П 747
Жукаускас А. А 422. 705. 715, 717
Жуковский Н. Е. 181. 183, 206, 213
Жуховицкий А. А. 422
Жуховицкий Е. М. 582
Заблоцкий Н. Д. 747
Забродин А. В. 358
Захаров Ю Г. 617
Зельдович Я Б 136, 151, 155
Зигмантас Г. П 739
832
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Золотое Н. Л. 583
Зоммерфельд (Sommerfeld A.) 434
Зысина-Моложен Л. М. 694
Зябриков В. В. 704, 729, 738
Иванов М. Я. 358
Игл (Eagle A.) 709
Игошин Л. И. 747
Идельчик И. Е. 694
Илизарова Л. И. 620
Илюхин Н. В. 816
Иоселевич В. А. 594, 602, 725
Исаев С. А. 480, 485
Кадер Б. А. 729
Каменецкий А. И. 678
Кантровиц (Kantrowitz A.) 157
Каплан (Kaplan С.) 301
Капустянский С. М. 793, 795, 796
Карман (von K^rmdn Th ) 264, 307, 334, 452, 533,
596, 634, 655, 660, 710, 717, 757, 768, 772, 817,
819
Карякин Ю. Е. 562
Каулинг (Cowling Т.) 758
Кашкаров В. П. 647
Келлер (Keller H. В.) 495
Келлер Л. В. 608, 625
Кеннеди (Kennedy E. D.) 531
Кестер (Kester R. Н.) 818
Кибель И. А. 89. 200, 303, 330, 346, 418, 428, 501.
532, 586
Кинен (Кеепап Р. С.) 816
Киреев В. Т. 747
Кириллов И. И. 694
Кирхгоф (Kirchhoff G.) 207, 320
Клайн (Kline S. J.) 602
Клаузер (Clauser F. Н.) 717—719, 721
Клебанов (Klebanoff P. S.) 599
Кляйзер Л. 732
Кнудсен (Knudsen J. G.) 758
Коанда (Coanda A.) 507
Кобаши (Kobashi Y.) 619
Ковеня В. М. 459, 476
Коган М. Н. 759
Кокрен (Cochran W. G ) 453, 512
Колесников А. В. 602, 677, 682, 683, 725
Колесников Г. А. 319
Колешко С. Б. 458. 483. 484
Колз (Coles D.) 587, 589, 678, 703, 717, 818
Колльман (Kollman W ) 696, 732
Колмогоров А Н. 616
Константинеску В. Н. 747
Конт-Белло (Conte-Bellot J.) 617, 621
Копченов В. И. 487
Коркеги (Korkegi R ) 815
Корн Г. (Korn G ) 700
Корн Т. (Korn Т.) 700
Коробко В Н. 571, 635, 647
Корсин (Corrsin S ) 617
Котельникова О П. 559
Котляр Я. М. 747
Кочин Н. Е. 39, 89 200, 206, 303, 330, 346 418,
428, 501, 531, 532. 586
Коэн (Cohen С В ) 791
Крабтри (Crabtree L ) 562
Крайко А. Н. 358, 487, 799
Красильщиков П П 605
Краснов Н Ф. 353
Кривцова Н. В. 806
Криминале (Criminale V.) 586
Крокко (Crocco L.) 507, 508
Кроу (Crow S С ) 733
Крылов А Н. 359
Кукее В. И 617
Куликовский А Г. 401, 527
Кундт (Kundt A ) 758
Кускова Т. В. 479
Кутателадзе С С 632. 683, 705, 713
Куэрти (Kuerti G ) 768
Кьюз (Kuethe A ) 643
Лаатс М. К. 617
Лаврентьев А. Л. 213
Лаврентьев М. А. 213
Ладыженская О. А. 377
Лайтхилл (Lighthill M ) 341
Ламб (Lamb H ) 303
Ландау Л. Д. 456, 457
Лапин Ю. В. 602, 679, 718, 722-727, 730, 820, «26,
827, 829
Лаплас (Laplace P S ) 104
Лауфер (Laufer J.) 704, 627
Лев (Lew H.) 746
Левин М. П. 487
Леви-Чивитта (Levi-Civitta Т.) 213
Левченко В. Я. 590, 816
Лейбензон Л. С. 258, 433, 437
Лельчук В. Л. 816
Леонтьев А. И. 683, 705
Лесников А. Л. 553
Лёш (Losch F.) 297
Либер (Liber P.) 746
Либи (Libby P. А.) 746
Ликудис (Likoudis P. S.) 555
Линь Цзяо-цзяо (Lin С. С.) 157, 266, 576, 586
Липман (Liepman H W.) 229, 234, 242, 340, 34i^
746
Лобб (Lobb R. К.) 818
Лойцянский Л. Г. 46, 60, 69, 77, 94, 320, 383.
442, 449, 451, 455, 500, 506, 517, 531, 532, 537^
542, 552, 559, 562, 566, 590, 604, 605, 617, 633,
644, 647, 656, 665, 668, 673, 679, 692, 697, 700.
703, 704, 710, 716, 717, 727, 737, 769, 771, 777,
806, 820
Лоренц (Lorentz H. А.) 625
Лукьянов Г А 11
Лумли (Lumley J. L.) 594
Лундгрен (Lundgren T. S.) 401
Лунев В В. 358
Лунькин Ю. П. 746
Лурье А И. 39, 46, 60, 69, 77, 94, 320, 409, 428
Лус (Loos H G.) 562
Лыков А. В. 422, 581, 705
Лзйтон (Laitone E V ) 265
Лэмбоси (Lambosi P.) 409
Любенов В. 792, 794-796
Любимов Г. А. 400, 401
Людвиг (Ludwieg H.) 632, 667, 720, 806
Майер (Meyer Th ) 247
Майкапар Г. И. 814
Максвелл (Maxwell С ) 366, 758
Манглер (Mangier W.) 559. 775
Марручи Дж. 369
Мартыненко О Г. 592
Мартынов А. К. 247
Марчук Г. И. 459
Межиров И. И. 729
Мейер (Meier H. V ) 829
Мейз (Mase G Е ) 39
Мещерский И. В. 213
Мизес (Mises R ) 507, 596, 768
Милликен (Millikan С В.) 717, 758
Минский Е. М 597, 615. 617
Мирзаджанзаде А. X. 365
Мирзоян А А 365
Михайлов В. В. 814
Михайлов Ю А 422, 705
Мок (Mock W ) 617
Монин А С 586. 615, 616
Мордухов (Morduchow M ) 746
Морикава (Morikau a G) 704, 733, 738
Мортон (Morton К W ) 459
Моулдсн Т 615, 696, 725 730, 732
Мэкин (Macken N А ) 747
Мэллор (Mellor G L ) 699
Мэтьюз (Mathews G В ) 410
Навье (Navier L ) 370
Налетова В А 400
Нарасимха (Narasimha R ) 600
Нейланд В Я 809, 813. 814
Нейман (Neumann Е Р ) 816
Некрасов А И. 213 330
Нигматулин Р. И 368. 799
Никкель (Nickel К ) 504
Николаев Е С 459
Никурадзе (Nikuradse J ) 652, 654, 655. 656, 658,
659 661, 662
Ништ М И 330
Новиков И И 632. 715
Нолл (Noll W ) 369
Нумеоов С Н 431 432
Нуссельт (Nusselt W ) 583
Ньютон (Newton I ) 104, 359
Овсянников В М 806
Овсянников Л В 383
Озеен (Oseen С W.) 428
Озерова Е Ф 545
Олейник О А 504
Омбек (Ombeck H ) 659
Орзаг {Orsag S А ) 732
Орлова М. Г. 489
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
833
Осватич (Oswatitsch К.) 246
Оствальд (Ostwald W.) 365
Пакет (Pucket A. E.) 242
Паппас (Pappas С. С.) 816
Паскаль (Pascal В.) 78, 81
Латанкар (Patankar S V.) 705
Пател (Patel V. С.) 602
Патерсон (Patterson G. N.) 151
Паттерсон К. С. 732
Пейре (Peyret R.) 459
Перш (Persh J.) 600, 818
Петров Г. И. 246
Петров Н. П. 433, 441
Пилипенко В. Н. 594, 602, 725
Пинегин С. В. 747
Пинкус (Pinkus О.) 747
Пинский В Л 747
Повх И. Л. 617
Полежаев В И 472, 732, 746
Полубаринова-Кочина П. Я 431, 432
Польгаузеи К. (Pohlhausen К.) 536
Польгаузен Э. (Pohlhausen E.) 579, 580, 582
Полядский В. Ф. 261
Полянский В. А. 400
Поляхов Н. Н. 330
Прандтль (Prandtl L) 117, 129. 219, 247, 273,
310, 503, 629, 630, 631, 641, 642, 648, 650, 672,
673, 708, 746, 819
Пробстин (Probstein R. F ) 356, 757, 805, 809,
811. 812
Пруден (Pruden F. W.) 226
Пуазейль (Poiseuille J. L. М.) 360, 391
Пуассон (Poisson S. D.) 370
Пэннел (Pannel J.) 659
Пядишюс А. А. 739
Райзер Ю. П. 136, 151, 155
Ребиндер П. А. 361
Регирер С. А. 400, 401
Рейнер (Reiner M ) 365, 369
Рейнольде О. (Reynolds О.) 434, 585, 606, 706
Рейнольде У. (Reynolds W. S.) 602
Реслер (Resler E.) 157
Решотко (Reshotko E) 586, 791, 794—796
Ривз (Reews В. L.) 830
Ривлин (Rivlin R S ) 733
Ригельс (Riegels F ) 471
Ридел (Ridell F ) 806
Риман (Riemann В.) 145
Ринкевичюс Б С. 617
Рихтмайер (Richtmyer R D ) 459
Ричардсон (Richardson L F.) 616, 625
Робертсон (Robertson I ) 679
Рождественский Б Л. 381, 732
Розе Н В. 89, 200, 303, 330, 346, 418, 428, 501,
532. 586
Розенхед (Rosenhead L.) 455, 500, 501, 506, 530,
538, 552, 573, 574, 586
Розенштейн А 3. 617
Романо (Romano F ) 746
Росс (Ross D ) 679
Россов (Rossov V. I ) 555
Pott (Rott N ) 562
Ротта (Rotta J. С ) 587, 703. 829
Роуч (Roache P. J.) 459. 480
Рошко (Roshko A) 229, 234, 340, 341, 379
Рубан А А 506
Рубезин (Rubesin M. W.) 741
Румер Ю Б 457. 570
Рунстадлер (Rtinstadler P W ) 602
Рэлей (Rayieigh J W S ) 434, 746
Рэнкин (Rankine W ) 746
Рябенький В. С 459
Сайбл (Saibel E. A ) 747
Сальников (Saljnikov V) 575, 581, 796
Самарский А А 459
Саноян В Г. 296
Сараев Ю В 575
Саржент (Sargent R. F ) 599
Себеси (Cebeci Т.) 615, 694, 696, 721, 725, 730,
829
Седов Л. И. 39, 154, 200, 206, 213, 219, 266, 330,
382, 400. 542
Сеид-рза М К. 365
Секерж-Зенькович Я. И 213
Секриеру Г. В 747
Секундов А. Н 602, 725. 730. 830
Сеи-Венан (Saint-Venant В ) 370
Симакин И. Н 381. 732
Симпсон (Simpson R L ) 722, 725
Симуни Л. М. 479, 545, 793
Сингхал (Sincrhal А. К.) 731
Сипенков И. Е. 747
Сквайр (Squire H. В.) 689, 692
Скремстед (Skramstad H. К.) 595, 596
Скрипач Б. К. 319, 330
Скэн (Skan S. W ) 527
Слезкин Н. А. 258, 411, 428, 429, 437, 455, 586
Слоан (Sloan D. М.) 401, 406, 408
Слободкина Ф. А. 527
Сляйхер (Sleicher С.) 632
Смага Т. И. 558
Смирнов Б. И. 558
Смирнов В. И. 202, 313
Смирнов Г. В. 617
Смит A. (Smith A. M. О.) 721, 725, 829
Смит П. (Smith P.) 401, 406, 408
Смольский Б. М. 581
Соковишин Ю. А. 582
Солодкин Е. Е. 729
Coy (Soo S ) 799
Сполдинг (Spalding D. В.) 422, 683, 705, 731, 819
Спрейтер (Spreiter J. R.) 234
Старков В. К. 799
Степанов Г. Ю. 194, 206, 213, 260, 264, 694, 724,
814
Степанов Е. И. 559. 775
Степанянц Л. Г. 449, 558, 746, 747
Стернин Л. Е. 799
Стоке (Stokes С ) 15, 16, 162, 370
Стрелец М. X. 718, 722—727, 730, 829
Струминский В. В. 562, 696
Струхал (Strouhal V.) 378
Стрэтфорд (Stratford В. S ) 724, 728, 729
Стэнтон (Stanton Т. Е.) 659
Стюарт (Stuart J. T.) 576, 586
Стюартсон (Stewartson К) 506, 531, 787, 814
Сычев В. В. 506, 814
Сэдни (Sedney R ) 562
Табачников В. Г. 319, 330
Табачников Ю. Б. 747
Таками (Takami H.) 495
Таккер (Tucker M.) 817
Тани (Tani I ) 599
Тарасова В. Н. 816
Тарг С. М. 434, 437
Тарунин Е Л. 472
Таунсенд (Townsend A.) 617
Тейлор Дж. (Taylor G. I ) 597, 625, 648, 708, 746
Тейлор (Taylor T D ) 459
Темпль Т. (Temple G ) 730
Терентьев Н. М. 793
Террилл (Terrill R. М ) 550
Тидстрем (Tidstream К. D.) 599
Тиллман (Tillmann W.) 667, 720
Тирский Г. А. 806
Толмин (Tollmien W.) 636, 639
Том (Thorn A ) 487
Томас (Thomas L. G ) 746
Триттон (Tritton D. J.) 495
Трубчиков Б. Я. 642
Трусделл (Truesdell G.) 369
Тсуджи (Tsuji J.) 704, 733, 738
Турилина Е. С. 632
Уайтлоу (Whitelow J ) 615, 694, 696. 725
Уилкинсон (Wilkinson W. L.) 365, 399
Уильяме (Williams J.) 575
Уиттекер (Whittaker E. T.) 295, 299, 303, 308
Уфлянд Я. С 401
Ухов Е. П 246
Уэлч (Welch J. E.) 474
Фабрикант Н. Я. 307, 330
Федерман А. 385
Федынский О. С. 632, 715
Федяевский К. К. 665, 673. 677, 682, 683, 725
Фергюссон (Fergusson R.) 709
Ферри (Ferri А.) 115, 242, 274, 350. 354
Фёрсте (Forste J ) 617
Фидман Б. А. 616
Филиппов М С 617
Филлипс (Phillips О. М ) 615
Финстервальдеп (Finsterwalder S ) 310
Фойхт (Voigt W ) 365
Фокнер (Falkner V. M.) 527, 667
Фомина Н Н 673
Форхгеймер (Forchheimer Ph ) 627
Франкль Ф И 819. 820
Фрёссель (Frossel W ) 816
Фридман А. А. 89, 90, 608
834
именной указатель
Фришман Ф. А. 617
Фрост (Frost W.) 615, 696, 725, 730, 732
Фэй (Fay J.) 806
Хама ((Hama F. R ) 674
Ханзен (Hansen M.) 513
Ханрати (Hanrathy Th ) 701
Хант (Hunt J. С. R.) 401
Хантше (Hantzsche W ) 766. 772, 776
Харлоу (Harlow F.) 358, 474
Хартри (Hartree D. R ) 527
Хед (Head M. R.) 602
Хейз (Hayes W. D) 757, 805, 809, 811, 812
Хейль (Heil M.) 806
Хелеман (Helleman R )
Херст (Hirst E. A ) 678
Хиггинс (Higgins R. M ) 816
Хили-Шоу (Hele-Shaw H. S ) 431
Хилтон (Hilton W. F.) 226, 227, 268
Хименц (Hiemenz K.) 506
Хинце (Hinze J. O.) 623, 627, 735
Хислоп 596
Холл (Hall A.) 596, 617
Хортсман (Hortsmann С. С ) 739
Хоуарт (Howarth L.) 532, 545, 768
Хофмейстер (Hoffmeister M ) 617
Христианович С. А. 258, 261
Хусид Б. М. 369
Чан (Chan Y. Y.) 552
Чанг (Chang Ch. С ) 401, 683
Чаплыгин С. А. 181, 183, 193, 195, 213, 256, 262,
310, 330
Чень (Tsien H. S ) 264, 296, 756, 772
Чепмен Д. (Chapman D. R ) 741, 818
Чепмен С (Chapman S ) 758
Черный Г. Г. 254, 255, 354
Чжен (Chang G.-Z.) 493—495
Чжен (Chang P. К.) 814
Чи С. В. (Chi S. W.) 683, 819
Чорин (Chorin A. J ) 475
Чушкин П. И. 319
Чью (Chew Y.-T.) 722, 725
Шапиро A. (Shapiro A.) 339
Шапиро Н. (Shapiro N ) 816
Шапошникова Г. А. 400
Швабе (Schwabe M. S.) 576
Шведов Ф. Н. 364
Шевелев Ю. Д. 562
Шейнберг С. А. 747
Шерклиф (Shercliff J. A.) 401
Шивапрасад (Shivaprasad В. G.) 722, 725
Шидловский В. П. 759
Шиллер (Schiller L.) 585—587, 659
Шиманский (Szymanski P.) 409
Шишеев М. Д. 747
Шишкина Л. Г. 553, 555
Шланчаускас А. А. 717, 739
Шлихтинг (Schlichting H.) 500. 506, 517, 552.
563, 576, 586. 647, 665, 672. 673, 677, 692
Шмидт (Schmidt В.) 625, 746
Шрауб (Schraub F. А.) 602
Штернлихт (Sternlicht В.) 747
Шу (Schuh H ) 575
Шубауэр (Schubauer G. В.) 595, 596, 604, 617,
627
Шубин Ю. М. 620
Шульман 3. П. 369
Шуманн В. У. 732
Щенников В. В. 490, 806
Эванс (Evans H. L.) 500, 530, 531
Эйлер (Euler L.) 40, 78, 87, 91, 101, 112, 126, 158,
163
Эйплт (Apelt С. J ) 487
Эйхелбреннер (Eichelbrenner E. А.) 575
Элиас (Elias F.) 580, 582
Эмде (Emde F.) 297, 410
Эммонс (Emmons H. W.) 768
Эрк (Erk S.) 422, 659, 705
Эскудье (Escudier M. Р.) 683
Юнг (Young A.) 689, 692, 816
Юрьев И. М. 258
Юферев В. С. 556
Яглом А. М. 586, 615, 616, 729
Якоб (Jacob M.) 659
Яненко Н. Н. 459, 476
Янке (Janke E.) 297, 410
Ярин Л. П. 617
Яиеев В. И. 457
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебания 378
Автомодельность 154, 451
Адвекция 613, 616
Адиабата 85
— изэнтропическая (Пуассона) 98, 100, 127, 128
— ударная Гюгонио 127, 128
Адиабатичность 98
Аналог разностный (сеточный) 459, 462
Аналогия вязкая 430
— Рейнольдса 706
обобщенная 709
Анемометрия тепловая 616
Анизотропия 364
Аппроксимация 459
Аэростатика 78
Базис 13
Барботаж 105
Баротропность 80, 88
Бугорок шероховатости 598
Вектор 12
— главный сил давления 81, 82, 323
— переноса 75
— присоединенный количества движения 323
момента количества движения 323
— сопутствующий тензору 19
Вектор-шаг решетки профилей 204
Величина физически объективная 14
Ветер звуковой 136
Взаимодействие свободное 809
— сильное 811
— слабое 811
Вихреисточник (вихресток) 173
Вихри Рэлея — Бенара 590
Вихрь 50
— изолированный 172
— полый 52
— присоединенный 194, 309
— свободный 310
— скорости 45
Волна головная 139, 143, 797
— звуковая 103, 135, 136
— Маха 221
— отсоединенная 242
— простая 103, 147
— разрежения 148
центрированная 151
— сжатия 147
— ударная отсоединенная 138
плоская 124
сферическая 136
Восстановление давления 119
Время запаздывания 366
— релаксации 366, 797
турбулентной 736
Вход безударный 203
Высота гидравлическая 93
— нивелирная 93
— пьезометрическая 92
— скоростная 92
Вязкость 360
— вторая 740
— динамическая 360, 741
— кинематическая 360
— молярная 625
— объемная 740
— первая 741
— структурная 365
— схемная 466
— турбулентная 625, 696, 698
Газ 10
— вязкий 740
— совершенный 740
Газ Чаплыгина 264
Генерация турбулентности 614, 616
Гидравлика 85, 93, 662
Гидродинамика магнитная 399
Гидростатика 78
Гипотеза Буссинеска 625—627, 696, 731, 735
-Клаузера 696, 718. 722, 724
— плоских сечений 312
— Фика 628, 629
— Фурье 628, 629
Градиент скалярной функции 28
Давление 78, 81, 86, 362, 363
— актуальное 606
— гидродинамическое 86
— гидростатическое 78
— критическое 107
— пульсационное 606
— турбулентное 627
Движение адиабатическое 96
— баротропное 80
— безвихревое 51
— вихревое 50
— изэнтропическое 100
— куэттовское 587, 589
— ламинарное 386
— ламинарное 386
— ползучее 386
— попятное 505
— пуазейлево 584
— слоистое 624
— тейлоровское 589
— турбулентное 585
квазистационарное 606
осредненное 606
стационарное 606
— установившееся 387
Девиатор 24
Девиация потока 205
Дефект кинетической энергии 508
— полного напора 508
— скорости 654
Деформация векторного поля 34, 35
Диада 17
— дифференциальная 33
— координатная 17
— сопряженная 33
Диполь 172, 278, 288
Дискретизация 459
Дисперсия завихренности 416
— механической энергии 415
Диссипация 412
— турбулентная 614, 616
Диссоциация 797
Диффузия 10, 415, 422, 497
— завихренности 416, 498
— турбулентная 624
Диффузор 117, 586
— сверхзвуковой 137
Длина динамическая 651
— крылового профиля 178
— релаксации 797
Дорожка вихревая Кармана 160
Единица тензорная 18
Жидкость 9 и д.
— аномальная 9
— Бингама — Шведова 362
— вязкая 9, 359
— вязкопластическая 362, 364
— дилатантная 365
— идеальная 88, 359
— изотропная 362
— наследственная 367
— неньютоновская 9
836
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Жидкость неоднородная 368
— несжимаемая 59
— ньютоновская 9, 359, 362
— псевдопластическая 365
— реологическая 368
— реопектическая 367
— тиксотропная 367
Задача автомодельная 154
— Блазиуса 510
— Зоммерфельда 437
— Кармана 452
— Кирхгофа 164
— о вязком клине 433
— Прандтля — Майера 247
— Римана о распространении конечных возму-
возмущений 145, 269
—Стокса 423
Закон Архимеда 82
— Дарен 431, 656
— Клапейрона 740
— Максвелла 366
— Ньютона обобщенный 362, 740
реологический 359, 366
— одной седьмой 660
— Паскаля 78, 86
— Пуазейля 391
— релаксации напряжений 366
— следа 717, 718, 720
— сохранения массы 59
полной энтальпии 127
энергии 72
— стенки 717
— термодинамики первый 72
— Фика 422, 628, 629
— Фойхта 365, 366
— Фурье 420, 628, 629
Закрученность струи 567
Запаздывание 366
Запирание потока 107, 115
Звук 103, 135
Значение главное симметричного тензора 25
Игла Осватича 246
Идеальность среды 359
Изобара 59
Изостера 58. 59
Изотропия 362
— нормальных напряжений 78
Изэнтропа 100
Индекс немой 12
— свободный 13
Инварианты Римана 145
— тензора 23
Инжекция 636
Интеграл Бернулли 91
— Крокко 769, 820
— Лагранжа — Коши 163
Интенсивность вихревой трубки 52
— турбулентности 594, 596, 618
Ионизация 797
Источник (сток) 172, 278, 287
Количество движения присоединенное 323
Кольцо вихревое 162
Конвекция 415, 497. 616
— завихренности 498
— свободная ламинарная 582
Консервативность разностной схемы 465, 466
Контур жидкий 43
— эффективный 686
Конус возмущений 222, 335
— Маха 222, 335
Конфузор 586
Концентрация 800
Координата универсальная 653
Координаты лагранжевы 40
— эйлеровы 40
Корреляция 607, 608
— двойная одноточечная 607, 613
Коэффициент аккомодации 759
— волнового сопротивления 225
— восстановления 763
полного давления в сверхзвуковом диффу-
диффузоре 140, 141
— вязкости второй 740
динамический 360. 741
кинематический 360
объемной 740
схемной 460
турбулентной 625, 629
— диффузии 422, 805
Коэффициент диффузии турбулентной 629
— индуктивного сопротивления 315, 340
— корреляции 608
— Клаузера 722, 723
пространственной 618
пространственно-временной двухточечной
608
— массодиффузии 805
— массопроводности 420
— перемежаемости 587, 601, 725
— перемешивания турбулентного 625
— подобия 373
— подъемной силы 196, 315
динамический 576
— пористости среды 432
— присоединенных масс 325, 327
— скольжения 758
— скоростной 107
— сопротивления волнового 225
индуктивного 315, 340
трубы 123. 389, 391, 395, 398, 399
— схемной вязкости 466
— температуропроводности 421
— теплопроводности 420
турбулентной 629
— термодиффузии 805
— турбулентного обмена 631, 641, 642
переноса завихренности 648
импульса 628
концентрации 628
тепла 628
трения 631, 641, 642
— фильтрации 431
Коэффициенты Ляме 30
Кризис обтекания 603, 782
— сопротивления 602, 781
Критерии подобия 377
Критерий Галилея 382
— Рейнольдса 585
Крутка струи 566
Крыло жидкое 194
— конечного размаха 309
— незакрученное аэродинамически 316
геометрически 316
— эллиптическое 317
Линеаризация 386
Линия векторная 41
— вихревая 51
— возмущения 221
— изопотенциальная 170
— Маха 221
— тока 41, 168
Лоб профиля 178
Масса переменная 60
— присоединенная 325, 327
поперечная 329
продольная 329
Массодиффузия 805
Масштаб 374
— турбулентности 594, 596, 597, 616, 619
— универсальный 653
Матрица размерностей 384
— тензора 16
МГД пограничный слой 552, 556
Мера неоднородности векторного поля 33
Метод интегральных соотношений 683
— итераций 469
— касательных клиньев 356
конусов 356
— Кирхгофа 212
— конечных разностей 459
— Кочина — Лойцяиского 532, 534
— крупных частиц 358
— моментов первого порядка 696, 724
— Ньютона 356
— переменных направлений 473
— плоских сечений 357
— подобия обобщенного 532
— Польгаузена 536—538
— последовательных потенциальных добавок
— прогонки 469. 470
— размерностей 382, 383
— расщепления 473. 476. 477
физического 475, 490, 491
— спектральный оценки устойчивости 464
— Трукенбродта 677
— ударного слоя 357
— установления 470
— фазовых характеристик 590
— характеристик 268
— Чаплыгина 262
предметный указатель
837
Механика переменной массы 60
Модель второго порядка 730
— Максвелла 366, 367
— Фойхта 365—367
Момент второго порядка 613
— корреляции двухточечной 618
одноточечной 618
— связи 608
— сил внутренних 96
давления главный 82, 323, 324
Мощность внутренних сил 96
Напор динамический 93
— полный 93
— пьезометрический 93
— скоростной 93
Направление безударного натекания 203
— бесциркуляционного обтекания 183
— характеристическое 146, 270
Напряжение 61
— касательное 63
— нормальное 63
— рейнольдсово 610
— трения 534
чисто турбулентное 648
Наследственность в турбулентном движении 732
и д.
Натекание безударное 203
Невязка аппроксимации 463
Непроницаемость 372
Неустойчивость движения 584
Область многосвязная 162
— односвязная 161
Обтекание гиперзвуковое 252
— клина сверхзвуковое 235
— конуса сверхзвуковое 348
— пластины струйное безграничным потоком 211
в канале конечной ширины 212
потоком конечной ширины 211
циркуляционное 187
— профиля околокритическое 267
тонкого 199
— тел вращения осесимметричное 330
поперечное 303
продольное 297
— сферы 288
— цилиндра бесциркуляционное 174
циркуляционное 175
Окружность основная 184
Определители взаимные 21
Осреднение по ансамблю 607
— по времени 606
взвешенное по плотности 827
Ось главная тензора симметричного 25
скоростей деформаций 48
Отображение конформное 169
Отрыв вязкий 504
— ламинарный 594
— турбулентный 603
Парабола Пуазейля 391
Парадокс гидростатический 81
— Даламбера 290 и д.
Параметр пластичности 399
— сжимаемости 791
— Тейлора 597
— торможения 93
— Чаплыгина 119
Параметры Бури 674
Паскаль-секунда 360
Пелена вихревая 310
Перемежаемость 587, 600, 601
Переменные Дородницына 759, 760
— Крокко 508
— Лагранжа 40
— Прандтля — Мизеса 507
— Эйлера 40
Перемешивание молярное 624
— турбулентное 624
Перенос завихренности 648
— турбулентный 623 и д.
— физической величины сквозь поверхность 75
Период осреднения 606
Плазма И
— низкотемпературная 358, 807
Пластичность 364
Плоскость годографа скорости 171
— течения 171
— физическая 171
Плотность 58
— распределения главного вектора поверхност-
поверхностных сил 68
Плотность распределения мощности внутренних,
сил 71, 72
объемных сил 61
реактивных сил 69
Поверхность вихревая 92
— изопотенциальная 79, 160
— изостерическая 362
— контрольная 75
— свободная 80
— тока 43, 286
— уровня 41
потенциала скоростей 160
Подобие 373—375
— аффинное 374, 375
обобщенное 538, 539
— гиперзвуковых потоков 253, 254
— динамическое 227, 229
— кинематическое 228, 229
— обобщенное 525
Подобласть турбулентного пограничного слоя
внешняя 697, 717 и д.
пристенная 697
Подслой вязкий 591, 650, 705
— температурный 705
Подшипник гидростатический 449
Поле скоростей нестационарное 41
однородное 41
стационарное 41
— физической величины 12
векторное 12
неоднородное 12
нестационарное 12
однородное 12
скалярное 12
стационарное 12
тензорное 12
Поправка Эйнштейна 368
Порождение турбулентности 614, 616
Постоянная Саттерлэнда 741
— Чепмена — Рубезина 767
Постоянные циклические многосвязной области
162
Постулат Жуковского — Чаплыгина 181
Потенциал векторный 282
— двойного слоя 281
— комплексный 171
— объемный действия сил давления 85
— простого слоя 280
— разрывный 206
— скоростей 160
Поток вектора 37
— вещества турбулентный 612
— однородный прямолинейный 278, 287
— спутный 134
— тепла турбулентный 611
Правило Прандтля — Глауэрта 219, 220, 230
Преобразование Дородницына 782
— Дородницына — Стюартсона 787
— Жуковского 183
— конформное 169
— Манглера 775
Прилипание 372, 504
Принцип Гельмгольца минимума диссипируемой
энергии 415
Прогонка матричная 470
— скалярная 470
Произведение диадное 17
— тензоров векторное 26
скалярное 26
тензорное 26
Производная индивидуальная 55, 75
— конвективная 55, 75
в лагранжевом представлении 76
в эйлеровом представлении 76
— лагранжева 55
— локальная 55, 75
— по заданному направлению 27, 28
— полная 55
— пространственная 28, 29
в криволинейной системе 30
в прямолинейной системе 29
в сферической системе 31, 32
в цилиндрической системе 31
— субстанциональная 55
Противодавление 116
Профиль крыловой 178
Жуковского — Чаплыгина 190 и д.
ламинаризованный 595
несущий 605
плохо обтекаемый 181
хорошо обтекаемый 181
Пуаз 360
Пузырь турбулентный 603, 604
Пульсация давления 606
— скорости 606
838
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Путь перемешивания 625
— релаксации 736
— смешения 683
Прандтля 631
Тейлора 648
Работа элементарная внутренних сил давления
удельная 96
Равенства Коши 63, 64
Равновесие бароклинное 84
— баротропное 80, 84
Радиус гидравлический 395
Размерность 383
Распределение источников непрерывное 279
— циркуляции эллиптическое 316
Релаксация 366
— напряжения 366
— турбулентная 736
Реламинаризация 601
Реология 9, 359
Решение автомодельное 154
Решетка профилей плоская 204
Ротация векторного поля 35
Ротор вектора скорости 45
— Флетнера 178
Руль Жуковского 191
Сантипуаз 360
Сантистокс 360
Связка Прандтля — Колмогорова 731
Сектор разрежения 247
Сетка 459
Сечение критическое 107
пограничного слоя 591
Сила архимедова 82
— массовая 60
— объемная 60
— поверхностная 60
— подсасывающая 197
— подъемная 195, 315
гидростатическая 82
— пондеромоторная 400, 656
Символы Кронекера 18
— Леви-Чивита 20
Система аппроксимирующая 459
Скачок уплотнения 100
конический 348
косой 142, 235 и д.
отсоединенный 243
присоединенный 243
сильный 242
слабый 242
прямой 125
Скорость актуальная 606
— внешняя 502
— девиации потока 205
— деформационная 46
— динамическая 651, 721, 723
—диссипации 614
— диффузии 800
— звука 101
адиабатическая 104
изотермическая 104
стандартная 104, 105
— индуктивная 311, 312
— критическая 107
— на бесконечности местная 311, 312
— относительного объемного расширения 48
— осреднения 606
— пульсационная 606
— сопряженная 171
— универсальная 653
След 497, 514
— ближний 505, 514
— дальний 514
— турбулентный 646
Сложение тензоров 18
Слой вихревой 189, 310
— пограничный 453, 497
диффузионный 497, 500
— в несжимаемой жидкости 577
концентрационный 597, 500
— в несжимаемой жидкости 577
ламинарный 497
магнитогидродинамический 552, 556
нестационарный плоский 571
пристенный 497, 501
пространственный 559
свободный 497, 514
скоростной 497, 499, 501
температурный 497, 500
в несжимаемой жидкости 676
турбулентный 497
— равновесный 719
Слой ударный 810
Смазка газовая 747
Смачиваемость 372
Смесь газожидкостная 105
Соотношение импульсов интегральное 666
— Кармана интегральное 533, 534
Сопло Лаваля 118
обратное 139
Сопротивление волновое 224
— давления 684
— индуктивное 315, 684
— крыла 315
— лобовое 683, 684
— полное 683, 684
— профильное 684, 688 и д.
— трения 684
— участка трубы 122, 391
Сохраняемость вихревых линий 89
Спектр потока 42
— турбулентности 619
Спектры Хили — Шоу 431
Способ Лагранжа 40
— Эйлера 40
Среда вязкая 359, 360
— вязкоупругая 365
— гетерогенная 368, 798
— гомогенная 798
— жидкая 10
— идеальная 359
— изотропная 362
— многокомпонентная 368
— многофазная 368, 798
— ньютоновская 740
— сжимаемая 103
— сплошная деформируемая 9
— твердая 10
Степень турбулентности 594
Сток 172
Стоке 360
Стратификация 624, 649
Структура когерентная 623
Струя 43
— затопленная 497, 516
— осесимметричная закрученная 565
незакрученная 563
— пристенная 521
— турбулентная осесимметричная закрученная
644
незакрученная 639
Супераэродинамика 757
Схема двухслойная 651
расчета пограничного слоя 697
— разностная 459
Адамса — Бэшфорта 480
консервативная 466
экономичная 461
Сход плавный 203
Сходимость 462
Текучесть 364
Тело жидкое 10
— Максвелла 367
— твердое 10
— Фойхта 367
Температура актуальная 611
—осредненная 611
—пульсационная 611
Тензор антисимметричный 19
— второго ранга 15
— единичный 18
— кососимметричный 19
— моментов двухточечной корреляции 618
— мультипликативный 17
— напряжений 50, 63
турбулентных 610
— поворота 18
— полного напряжения 610
— симметричный 18
— скоростей деформаций 47
— сопряженный 16
— сферический 24, 26
— транспонированный 16
— шаровой 24, 26
Теорема Бернулли 91
в относительном движении 94
— Гаусса — Остроградского 37
— Гельмгольца 90
вторая 51
первая 46
— Гонора 185
— Жуковского 177, 194
для решетки 206
— Кельвина кинематическая 56
о баротропном движении 158
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
839
Теорема Кельвина о безвихревом движении 165
— количеств движения 67
— Лагранжа 159
— момента количеств движения 69
— о взаимности касательных напряжений 65,
70, 71
— об изменении кинетической энергии в диффе-
дифференциальной форме 72
в интегральной форме 71
количества движения в интегральной
форме 77
— Римана 179
— Стокса 37, 53
для многосвязной области 162
— Эйлера количеств движения в сплошной сре-
среде 77
П-теорема 365
Теория крыла конечного размаха 309
— Ньютона ударная 224
— переноса завихренности 648
— пути смешения Прандтля 631, 696, 784
— размерностей 382, 383
— смазки гидродинамическая 441
— тонкого профиля 198
— ударной трубы элементарная 155 и д.
Теплопроводность турбулентная 624
Термодиффузия 805
Термометр пластинчатый 762
Течение осесимметричное 293
— струйное 206
Толщина вытеснения 513, 687
— пограничного слоя 497, 499
номинальная 513
— потери импульса 513
— профиля 178
относительная 178
Точка отрыва ламинарного пограничного слоя
594
— перехода ламинарного движения в турбу-
турбулентное 592—594
Точки сходственные 373
Траектория 42
Транспортивность аппроксимации 482
Трение турбулентное 624
Труба ударная 155 и д.
Трубка вихревая 51
— Прандтля 94
— скоростная 94
— тока 43, 168
Турбулентность мелкомасштабная 619
— когерентная 615, 623, 723
— крупномасштабная 619
— пристеночная 635
— свободная 635
Турбулизатор 604
Угол атаки 178
геометрический 312
действительный 312
— — местный 224
практический 183
профиля 178
теоретический 183
эффективный 312, 809
— бесциркуляционного обтекания 183
— возмущения 335
— выноса профиля 204
— индуктивный 312, 313
— Маха 335
— скоса потока 312, 313
— установки профиля 204
Удлинение крыла 315
Узел 459
Умножение тензора на вектор 18
на скаляр 18
— тензоров векторное 26
скалярное 26
тензорное 27
Уравнение баланса тепла 421
для вязкого газа 743, 744
энергии 73, 97
— Бернулли 93
— волновое 102, 221
— Гельмгольца — Фридмана 89
— Громека — Ламба 88
— Гюгонио ПО, 127
— динамики в напряжениях 68
для переменной массы 69
— динамической возможности движения 89
— диффузии 805
— концентрации 801, 805
— Крокко 507, 509
— Навье — Стокса динамики вязкого газа 742
— неразрывности 48, 59
Уравнение неразрывности в механике перемен-
переменной массы 60
— несжимаемости 48, 59
— переноса импульса (количества движения)
пульсаций скорости 609, 610
корреляции пульсаций скорости 613
скорости диссипации 614
— пограничного слоя универсальное 541
— Прандтля 682
— Прандтля — Мизеса 507, 508
— Пуассона 280
— распространения тепла в турбулентном дви-
движении 611
— релаксационное Хинце 736
— реологическое 359
— Сен-Венана — Вантцеля 93
— сохранения массы 59
в интегральной форме 76
— сплошности 59
— турбулентной диффузии 611
— характеристическое 24
— Эйлера 87
Уравнения движения твердого тела в жидкости*
323
— моментов первого порядка 609
— Навье — Стокса 370
в сферических координатах 371
в цилиндрических координатах 371
— Прандтля 503
— Рейнольдса осредненного турбулентного дви-
движения 609
— Чаплыгина 258
— Эйлера равновесия среды 79
Ускорение конвективное 54
— локальное 54
— полное 54
в сферических координатах 56
в цилиндрических координатах 56
Условие Вудса 472
— непроницаемости 86
— Тома 472 _ je_
— устойчивости Куранта, Фридрихса и Леви 467
Условия подобия достаточные 377, 750
необходимые 377
Устойчивость движения 584
— разностной схемы 463
безусловная 469
условная 465
Фаза вещества 368, 798
Фактор температурный 750
Формпараметр 592, 674
Формула Аккерета 224, 225
— Бекингема 398
— Био — Савара 283
— Блазиуса 512, 659
— Буссинеска 429, 625-627, 829
— Ван-Дриста 701, 702
— Ванье 447
— Вуда 106
— Дарси 431, 656
— Кармана 681
волнового сопротивления 337
— Кармана — Ченя 265
— Кельвина 57
— Клаузера 722
модифицированная 723
— Крокко 769. 820
— Лэйтона 266
— Людвига — Тиллмана 667, 735
— Никурадзе 659
— Озеена 428
— Петрова 433, 448
— Прандтля 631
для косого скачка 237
— Прандтля — Шлихтинга 668
— Рэлея 211
— Саттерлэнда 361, 741
— Сквайра — Юнга 691
— сопротивления логарифмическа 653, 659
степенная 660, 661
— Стокса 37, 427
— Фокнера 667
— Фурье 829
— Чепмена и Рубезина 741
— Шлихтинга 672
— Шпейделя 692
Формулы изэнтропические 99, 108
Функция давления 85
— Кирхгофа 207
— размернооднородная 384
— сеточная 459
— собственная 464
840
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Функция тока 168
— — в криволинейных координатах 285
приведенная 525
Характеристика 146, 270
— волнового уравнения 221
Хвост профиля 178
Хорда профиля 178
Центр давления 197
Циркуляция вектора 37
— скорости 53
теоретическая 183
Частота пульсаций 594
Числа подобия 377
Число Гартмана 403
— Грасгофа 431
— Маха 107
критическое 143, 267
— Нуссельта 580
диффузионное 580, 581
— Пекле 421
диффузионное 422, 497
— Прандтля 421
диффузионное 422
молекулярное 705
турбулентное 631
— Рейнольдса 377, 585
критическое 585
локальное 699
пограничного слоя 690
фильтрационное 432
— собственное 464
— Струхала 377, 379
— Стэнтона 707, 713
— Фруда 377, 421
— характеристическое 24
— Шмидта 422
турбулентное 631
— Эйлера 377
Шаблон разностный 459
Шаг решетки профилей 204
— сетки 459
Шероховатость 586, 591, 598, 662
— абсолютная 662
— зернистая 662
— местная 673
— общая 673
— относительная 598, 662
эквивалентная 665
— развитая 663, 665
— установившаяся 671
Ширина области турбулентного перемешивания
641
Шнур вихревой 310
Эжекция 520
Эллипс Буземана 273
Энергия внутренняя совершенного газа 96
— кинетическая 71
безвихревого движения 166
пульсационного движения 614
— полная 73, 88
— потенциальная 88
Энтальпия 740
— полная 100, 754
— торможения 100
— удельная 97
Энтропия 412
Эффект Гартмана 406
— Коанда 507
— Магнуса 177
— Томса 594
Ядро турбулентное 650
П-теорема 385