В. В. Белецкий
F«i^^rA\vl
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ
НАМАГНИЧЕННОГО
ОПУТНИКА

МЕХАНИКА КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА
В.В. БЕЛЕЦКИЙ, А.А. ХЕНТОВ
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ
ДВИЖЕНИЕ
НАМАГНИЧЕННОГО
СПУТНИКА
Наукова б|блютека
т. М. Максимовича
КНУ
•м. ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
82570
Ц-3.20
\T~ZJ
МОСКВА"НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1985

39.6
Б 43
УДК 629.783
Белецкий В.В., Хентов А.А. Вращательное движение
намагниченного спутника. - М.: Наука. Главная редакция
физико-математической литературы, 1985. - 288 с.
В книге дается развернутая теория вращательного движения
искусственного спутника Земли в ее магнитном поле при взаимодействии с
собственным магнитным полем спутника. Анализируются эффекты
магнитной "пассивной стабилизации", нерезонансные и резонансные движения,
обсуждаются возможные магнитные эффекты в движении естественных
небесных тел. Исследование проводится современными методами
нелинейной механики.
Табл. 10. Ил. 135. Библиогр. 222.
Рецензент
доктор физико-математических наук В.Н. Рубоповский
Ш257Л
1703030000-078
Б 92-85
053 (02)-85
Издательство "Наука".
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1985

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Магнитное поле Земли и его воздействие на спутник 7
§ 1. Аналитическое описание геомагнитного поля 7
§ 2. Моделирование геомагнитного поля, воспринимаемого
спутником 10
§ 3. О моментах сил, действующих на спутник 22
§ 4. Система координат, связанная с вектором напряженности
геомагнитного поля 24
Глава 2. Движение намагниченного экваториального спутника вокруг
центра масс 27
§ 1. Уравнения движения 27
§ 2. Положения относительного равновесия спутника на круговой
орбите и их устойчивость 30
§ 3. Перманентные вращения спутника в магнитном поле 36
§ 4. Об интегрируемости уравнений вращательного движения
экваториального спутника в геомагнитном поле 54
Глава 3. О пассивной стабилизации намагниченных спутников 62
§ 1. Общие сведения о спутниках, ориентированных по магнитному
полю 62
§ 2. О я-периодических колебаниях симметричного спутника
относительно силовой линии магнитного поля 66
§ 3. Магнитная стабилизация полярных спутников 73
§ 4. О некоторых режимах вращения полярного спутника при
взаимодействии магнитного и гравитационного моментов 100
Глава 4. Влияние магнитных возмущающих моментов на спутник,
стабилизированный в орбитальной системе координат 107
§ 1. Влияние магнитных возмущений на спутник,
ориентированный в ньютоновском центральном поле сил 107
§ 2. Влияние магнитных возмущений на спутник,
ориентированный по вектору скорости аэродинамического потока 116
Глава 5. Демпфирование колебаний спутника за счет потерь энергии
на магнитный гистерезис 123
§ 1. Вращательное движение намагниченного экваториального
спутника 124
§ 2. Вращательное движение полярного спутника в
гравитационном поле ,«*.<•> ;*•♦.} • • 128
§ 3. Вращательное движение-н^м^шичекного полярного спутника. ... 131
1* \*:А"; V з

Глава 6. О полупассивной стабилизации намагниченного спутника в
магнитном поле 133
§ 1. Равномерные вращения спутника при простейшем описании
магнитного поля 134
§ 2. О полупассивной стабилизации спутника 147
Глава 7. Нерезонансное ротационное вращение намагниченного
спутника относительно центра масс 153
§ 1. Уравнения вращательного движения 153
§ 2: Влияние потенциальных составляющих магнитного момента
на вращение спутника 158
§ 3. Влияние вихревых токов на вращение спутника 168
§ 4. О вековых эффектах во вращательном движении спутника с
наэлектризованным экраном 170
§ 5. Вращение спутника при взаимодействии основных
возмущающих моментов 176
Глава 8. Резонансное ротационное вращение намагниченного спутника ... 181
§ 1. Стационарные вращения динамически симметричного
спутника, средняя скорость вращения которого близка к средней
скорости его обращения (синхронизм 1:1) 188
§ 2. Стационарные вращения намагниченного спутника, средняя
скорость вращения которого близка к удвоенной средней
скорости его обращения (синхронизм 2:1) 195
§ 3. Магнитно-гравитационная "стабилизация динамически
симметричного спутника 201
§ 4. Влияние диссипативных моментов на режимы
магнитно-гравитационной стабилизации 206
$ 5. Магнитно-гравитационная стабилизация трехосного спутника. ... 213
§ 6. О возможности использования экстремальных свойств
резонансных движений для исследования резонансных вращений
спутника 223
Глава 9. О резонансных вращениях естественных небесных тел 234
§ 1. Момент приливного трения и его воздействие на вращение
небесных тел 237
§ 2. Эволюция вращения небесного тела под действием
гравитационного и приливного моментов 245
§ 3. Захват в резонансные вращения 254
§ 4. О некоторых условиях устойчивости резонансных вращений
небесных тел в гравитационном поле 261
§ 5. О множестве стационарных вращений намагниченного
динамически симметричного тела при резонансе 2:1 268
Список основных обозначений 278
Список литературы 279

ПРЕДИСЛОВИЕ
Исследование вращательного движения спутников под действием сил
магнитной природы, возникающих в результате взаимодействия
внешнего магнитного поля с собственным магнитным полем спутников, было
начато авторами в шестидесятых годах [18,166-169,171,172].
Интерес к изучению движения относительно своего центра масс
намагниченных спутников в течение многих лет поддерживался в основном
практическими потребностями развивающейся техники космических полетов.
Возможность достаточно просто создать на спутнике сильное магнитное
поле и управлять этим полем привела к разработке разнообразных систем,
использующих магнитные моменты для управления угловым положением
космических аппаратов [120,78,42,2].
Другое направление использования взаимодействия внешнего
магнитного поля с магнитным полем спутника связано с созданием магнитных
демпферов для уменьшения энергии вращательного движения. Большое
значение для приложений имеет также возможность неконтактного
вывешивания проводящего твердого тела в магнитном поле.
Задача о вращательном движении намагниченного спутника
интересовала авторов данной книги, построенной в основном на их работах, прежде
всего как задача динамики твердого тела. Этим обстоятельством, с одной
стороны, определился круг затрагиваемых в ней вопросов, а с другой -
ее преемственность с написанной ранее с тех же позиций книгой [18].
Указанной книгой был начат цикл монографий о вращательных движениях
искусственных и естественных небесных тел, который был продолжен
монографиями [19, 37]. Предлагаемая вниманию читателей монография
принадлежит к этому же циклу.
Остановимся кратко на ее содержании. В первой главе дается описание
внешнего магнитного поля, действующего на спутник, и моментов сил,
им порождаемых. Выявляются свойства поверхностей, образуемых
изменяющимся вдоль орбиты спутника вектором напряженности магнитного
поля. Эти свойства эффективно используются в дальнейшем при анализе
вращательного движения спутников. Во второй главе рассматривается
движение около центра масс намагниченного экваториального спутника.
При моделировании геомагнитного поля диполем, ось которого совпадает
с осью вращения Земли, эта задача оказывается непосредственно
связанной с классической задачей о движении тяжелого твердого тела с
закрепленной точкой Вт однородном поле сил тяжести. Проанализирован вопрос
об интегрируемости в квадратурах уравнений вращательного движения
спутника. Выделены, в частности, случаи интегрируемости, аналогичные
классическим случаям Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Описаны положения
относительного равновесия кругового спутника. Исследовано
расположение его перманентных осей в жестко связанной со спутником системе
координат и в абсолютном пространстве.
5

В третьей и четвертой главах рассматриваются принципиальные вопросы,
связанные с возможностью пассивной стабилизации намагниченного
спутника. Найдены некоторые частные решения уравнений вращательного
движения космического аппарата, на которых одна из его осей отслеживает
силовую линию внешнего магнитного поля. Обнаружено,что, вообще
говоря, не всякое увеличение магнитного момента спутника приводит к
увеличению точности такого отслеживания. Показано, что магнитные моменты
могут, с одной стороны, быть существенным препятствием при
осуществлении пассивной стабилизации по градиенту гравитационного поля или
вектору скорости набегающего потока, а с другой - при определенных
условиях способствовать такой стабилизации. Обнаружена возможность
компенсации эксцентриситетных колебаний спутника на эллиптической
орбите за счет воздействия магнитного момента. Найден режим стабилизации
намагниченного спутника в абсолютном пространстве при взаимодействии
магнитного и гравитационного моментов. Исследованы некоторые
резонансные вращения спутника, период вращения которого соизмерим с периодом
его обращения, и возможности их использования для целей стабилизации.
В пятой главе рассмотрено несколько задач об уменьшении энергии
вращательного движения спутника за счет потерь энергии на магнитный
гистерезис. Эти задачи решаются аналитически. В шестой главе изучаются
стационарные вращения намагниченного спутника при простейшем моделировании
геомагнитного поля и одна из возможностей полупассивной стабилизации.
Седьмая и восьмая главы книги посвящены исследованию движения
спутника, имеющего значительную кинетическую энергию вращения
(ротационное движение около центра масс). В седьмой главе асимптотическими
методами выявляются вековые эффекты во вращательном движении
намагниченного спутника в случаях отсутствия соизмеримостей между периодами
его вращения и обращения (т.е. в нерезонансной ситуации).
Проанализировано вековое влияние потенциальных составляющих магнитного,
гравитационного и аэродинамического моментов, роль вихревых токов, статически
наэлектризованного экрана, находящегося на спутнике, прецессии орбиты.
В восьмой главе исследованы резонансные вращения спутника.
Обоснована возможность магнитно-гравитационной стабилизации намагниченного
спутника в магнитном поле. Показано, что один из принципов отбора
устойчивых по Ляпунову периодических движений многомерных систем
(выражающий некоторое экстремальное свойство таких движений) может быть
эффективно применен для практического нахождения периодических
решений уравнения движения намагниченного спутника около своего центра
масс при взаимодействии магнитного и гравитационного моментов.
Согласно накопленным к настоящему времени данным в Солнечной
системе имеется много больших тел, вращение которых синхронизировано с их
орбитальным движением. В девятой главе книги обоснована
закономерность образования в ходе эволюции наблюдаемой структуры вращений тел
Солнечной системы. Объяснена исключительность при небольших
эксцентриситетах орбит синхронизмов типа 1:1 и 3:2.
В заключение отметим, что готовится к печати в ВИНИТИ книга: С а р ы-
чев В.А., Овчинников М.Ю. Магнитные системы ориентации
искусственных спутников Земли.
Авторы выражают благодарность редактору книги В.Н. Рубановскому,
замечания которого способствовали улучшению содержания и стиля книги.

Глава 1
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
И ЕГО ВОЗДЕЙСТВИЕ НА СПУТНИК
§. 1. Аналитическое описание геомагнитного поля
В 1838 г. К.Ф.Гаусс для описания магнитного поля Земли предложил
теорию, в основе которой лежала гипотеза о том, что это поле вызывается
физическими явлениями, происходящими внутри Земли (внутреннее
поле), и имеет потенциал. В 1885 г. было обнаружено, что хотя основная
часть геомагнитного поля обусловлена внутренними физическими
явлениями, определенное значение имеют и внешние факторы (внешнее поле),
например, кольцевой ток, протекающий вокруг Земли.
В настоящее время главную часть геомагнитного поля принято [1]
описывать следующим бесконечным рядом:
Ux = р3 2 2 (/"cosmX, +/;TsinmXI)(Jr) /ff4cot0i) +
+ Рз 2 2 (EPcosmXx+eFsmmX^l-T1) C(cos0i). (1.1)
В выражении (1.1) введены такие обозначения: Ux — потенциал
геомагнитного поля, р3 - средний радиус Земли, Rx> вх и \х - сферические
координаты точки пространства, в которой вычисляется потенциал. (Rx —
длина радиуса-вектора точки, построенного из центра земной сферы, вх -
угол между этим радиусом-вектором и осью вращения Земли, \х —
географическая долгота точки), P™(cosOx) — присоединенная функция Ле-
жандра первого рода:
O«*0.)= 1-3.5..... (2и - 1)У *" ~t sin'»», X
(л + т)!(л-/и)!
(л - т)(п - /я - 1)
;osv# '" '
(я-«.4)в1+ 1
(п-т)(п -т- !)(« - т - 2)(л - /я - 3)
cosv
2-4.(2/!- 1).(2/1-3)
em =2 для w> 1, а б0 = 1,
1%, i™ — постоянные коэффициенты, соответствующие внутренней, а Е™,
е™ - внешней части поля. Напряженность поля Н с потенциалом (1.1)
определяется [1] так:
H = -gradtf,.

Коэффициенты Е™ и е™ относительно малы и существенно разнятся по
результатам различных анализов. В дальнейшем будем учитывать только
внутреннее поле. Потенциал внутреннего поля (а следовательно, и
коэффициенты /J и /J1 в (1.1)) с течением времени изменяется. Для упрощения
вычисления потенциала геомагнитного поля условно принимается [3],
что коэффициенты 1%* и /™ ряда (1.1) изменяются скачком при переходе к
следующему году, а в течение текущего.года неизменны (используются их
усредненные за время в один год значения).
Основную часть внутреннего поля (главное геомагнитное поле) можно
достаточно точно описать [157] 20 - 30 гармониками ряда (1.1).
Определение коэффициентов ряда (1.1) проводится экспериментально, для чего
нужно знать элементы земного магнетизма в различных точках земной
поверхности. Очевидно, что точность аппроксимации поля отрезком ряда
(1.1) зависит от сходимости этого ряда. Однако поскольку с возрастанием
номера п число коэффициентов, подлежащих определению, резко
возрастает (оно, согласно [1], равно п(п + 2)), то на практике число
определяемых коэффициентов невелико.
Со времен Гаусса, который принял п = 4, было проведено множество
анализов геомагнитного поля. Для облегчения сопоставления результатов
различных исследований Международная Ассоциация геомагнетизма и
аэрономии (МАГА) приняла Международное Аналитическое поле МАП
1965,0 (Вашингтон, 1968) [101]. Это поле построено путем усреднения
коэффициентов полей в нескольких моделях. Поскольку коэффициенты
Международного поля с течением времени изменяются, большое значение
имеет принятый одновременно Международный потенциал U2 векторных
вариаций поля:
-я /Рз\(Л+,)
(/2=рз 2 2 (g™cosmX + /#sinmX)(- \ Рп(со%вх).
п = 1 m = 0 !
Некоторые вопросы, связанные с вычислением коэффициентов
Международного поля, обсуждаются в работе [70]. Принятая модель МАП
1965 Л использовалась до 1975 г. [71]. В 1975 г. на Ассамблее МАГА в
Гренобле принята новая модель геомагнитного поля: МАП 1975,0. Эта модель
описывается геомагнитным потенциалом на эпоху 1975,0, представляемым
отрезком гармонического ряда по сферическим функциям из восьми
гармоник (всего 80 членов) и отрезком ряда из восьми гармоник для
вековых вариаций. Коэффициенты поля на эпоху 1975,0 получены пересчетом
коэффициентов МАП 1965,0, а коэффициенты векового ухода - новые,
полученные усреднением коэффициентов двух моделей [209, 216].
Значения коэффициентов МАП 1975,0 приведены, согласно [57],
в табл. 1. Коэффициенты /„" и /™, представленные в этой таблице,
выражены в гаммах (одна гамма равна 10~5 эрстед). Для пересчета
коэффициентов используются следующие формулы:
С(0 = С(1975,0) + (/- 1975,0)^,
СО = С< 1975,0) + (/- 1975,0)AJ.
Здесь / - время (в годах) периода после 1975 г.
8

00»JCst/»4bWK>>— о slO\(^^Wt<JM>o ON СП ^
К) *- О «-* 4*
'Юи-о 4* W К» и- © W t>* >— © l>J >— © ►-* О
s
69
h-vOWO\4^WUW« 00 »—
I HJ
S© b->
4- oo — © ел -~j-on
. 1
I t^WIO
U Os ts) >J On Q
00 ^ О (Л 00 $
U Ы ^ 00 vO
U» v© OS О <<*
(Л Ы U s) м
_ fsj — ^. ю е- ЮО
00 K* »— U> Ift sO 00 О »—
О vO ^ vO t/tsOSG U) OO
(Si ON 4> sO и vlOO ON ON
I . { I ,11
H- I ь- ,— »- I _ ►- to .—
seosooN-vcwtftA 4* -j -~j ►—
I u>
sj vo *> Ik W
^ SO <sl M SO
О W Os -U 1
-J «J ^ 00
СП ^ OS
W vO»-
1 -1
a
о
II II
ppppppppp
^—"wЪs,l^>,JuTч»o'u>,^-»
II I I I I
OOOOOOOO
pppppppp
In ы ы \о Ь о о о
I I I I I I I I I I
© О О N> U» О О — © *— ►— О О ЫК>ЫМО
W W W W W W W W « W W • « «««WW
n- >0 © 00 © <-H U> 0<ЛО>»- sJW и »- ув О W
I I — I
^ -^ О W
ь - ^ ь
о о о о о о n-
III
>- о *- о о о
ы<^ w *. w
WWW, W W W W W W ~~ ■ *— W ^- V-> W V
www I wwwwwww I wwwwww
NJ 4b NJ 00 н. ^j ы W ►- *» >! «J Ы N) " С
• tli
C/l ►— oj О <*J Ю
и- i— о <л
b Vi "со о
V» *J ON
О VI NO
— I
00 W
I
О
a3
*a|

woY
Рис. 1. Увеличение веса диполъной части
геомагнитного поля с увеличением
расстояния А от поверхности Земли.
95\
90Vf
Д7У I I | || ^
О 10 20 30 35
Ь.тыс. км
Отдельные члены ряда (l.l) допускают определенную физическую
интерпретацию [200]. При учете только коэффициента /? поле, описываемое
разложением (Ы), есть поле, создаваемое диполем, ось которого
совпадает с осью вращения Земли и направлена от северного полюса к южному.
Такую модель геомагнитного поля будем называть прямым диполем.
При учете первых трех членов ряда (l.l) получаем потенциал диполя, ось
которого составляет угол в 168° 26' с осью вращения Земли. Такую
модель поля назовем косым диполем. Следующие члены разложения могут
быть интерпретированы как магнитные потенциалы, создаваемые не одним,
а несколькими диполями.
Как следует из табл. 1, наибольшие по абсолютной величине значения
имеют первые коэффициенты ряда (1.1). Это означает, что основная часть
геомагнитного поля носит дипольный характер. С увеличением расстояния
от поверхности Земли роль высших гармоник магнитного потенциала,
описывающих местные аномалии, ослабевает, а потенциал (1.1) все
ближе приближается к потенциалу диполя. На рис. 1, взятом из работы [166],
показано увеличение веса диполъной части потенциала с увеличением
расстояния h от поверхности Земли. Кривая рассчитана по данным работы
[38], учитывающим 24 первых коэффициента ряда (1.1). По оси ординат
отложено отношение (в процентах) значения квадратного корня из суммы
квадратов коэффициентов первых трех членов потенциала к корню
квадратному из суммы квадратов 24 первых коэффициентов. В дальнейшем при
изучении вращательного движения спутника геомагнитное поле будем
аппроксимировать полем диполя. Магнитный момент диполя будем считать
равным магнитному моменту Земли.
§ 2. Моделирование геомагнитного поля, воспринимаемого спутником
При движении центра масс спутника по орбите вектор геомагнитной
напряженности Н, изменяясь в каждой точке орбиты, вообще говоря,
весьма сложным образом перемещается в пространстве [72, 197].
Годограф вектора напряженности лежит на некоторой конической поверхности.
В тех случаях, когда предпочтительна простота описания поля, а не высокая
точность его аппроксимации, дипольное приближение является вполне
достаточным. Такое приближение использовалось в большинстве аналитических
исследований влияния магнитного поля Земли на движение ее спутника.
10

Для дипольной модели геомагнитного поля конические поверхности,
содержащие годограф вектора напряженности, достаточно хорошо изучены
[166, 184]. Вектор напряженности дипольного поля в точке пространства
с радиусом-вектором Ri, согласно [87], может быть представлен в виде
(1.2)
Здесь це - постоянная земного магнетизма, к - единичный вектор оси
диполя, антипараллельный его магнитному моменту.
Орбиту спутника будем считать кеплеровским эллипсом с
наклонением /, эксцентриситетом е и радиусом-вектором R. На рис. 2 показаны
две правые геоцентрические системы координат XYZ и XYZ. OchZ hZ
совпадают с осью вращения Земли, а оси X, Xf Y, Y лежат в плоскости эква
тора Земли, причем ось X направлена в восходящий узел орбиты спутника
Угол fti — долгота восходящего узла, ain — долгота перицентра П, v — ис
тинная аномалия центра масс спутника G, м- аргумент широты [149]
Опишем сначала, следуя работе [166], изменение вектора Н при движе
нии спутника по орбите в модели прямой диполь, Проекции вектора напря
женности на оси системы XYZ для рассматриваемого случая можно
представить в виде
Нх = z sin/sin2M,
2Д3
Ну = Г Sin
2Я3
2/sin2w,
(1.3)
Н7=-^{\ ~3sin2/sin2w).
z R*
Модуль вектора магнитной напряженности зависит от положения спутника
на орбите:
|Н| = Ц V l+3sin2/sinV.
Я3
(1.4)
Для исследования поверхностей, образуемых вектором напряженности,
введем при i < я/2 геоцентрическую систему координат xxyxz х, получае-
и-%
Рис. 2. Системы координат.
Рйс. 3. Системы координат.
11

мую из системы XYZ поворотом против часовой стрелки вокруг оси ЛГна
угол vx < тг/2 (рис. 3), определяемый из уравнения
1,5 sin2/ /t сч
tg^i = -. (Ь5)
1 ~3sin2/+Vl +3sin2/
Очевидно, что vx > i. Легко показать, что
2- у/\ + 3sin2/'
tg(^i -0 = . , tgi. (1.6)
1 + V 1 + 3sin2/
Теперь, используя выражение
ГТ1 • Л1 -3sin2/
V 1 + 3 sin21
находим
dt .. 1,5(1+sin2/) t
di l+3sin2/
Отсюда следует, что разность (vx - /) максимальна, когда 3sin2 / = 1.
Максимальное значение (vx - /) определяется формулой
VT- 1
\g(vx -/) = •
V~T+ i
Отсюда находим (Pi-/)max%9°44' (когда / %35° 16'). График
зависимости разности (^! - /) от наклонения орбиты показан на рис. 4.
Совместим начало вектора Н с центром земной сферы. Тогда
координаты точки пересечения этого вектора с геоцентрической сферой единичного
радиуса в системе xxyxz х таковы:
1,5 sin /sin 2w
х\н
V 1+3 sin2 /sin2и
sin vx —3 sin / cos {vx - /)sin2 и
У\н= ; . (1.7)
V 1+3 sin2 /sin2 м
cos ^i+3 sin i sin (^ - /)sin2w ^^
г1Я = ; = cos(H,zj).
V 1+3 sin2/sin2 и
Обозначим угол между вектором Н и осью г i через кх и найдем
экстремальные значения этого угла. Ввиду эт-периодичности всех функций (1.7)
по аргументу широты, исследование достаточно провести для значений
we [0, я].
12

kvf-t,epad
Рис. 4. К исследованию конуса,
описываемого в пространстве вектором
геомагнитной напряженности при
движении центра масс спутника по
орбите.
80 1,врад
Вычислим производную
dz\H 1,5 sin /sin 2м
[ sin / cos vx — 2 sin(i'i - /) —
du {\+3sm2isin2uf2X
-3 sin2 /sin(j>i - /)sin2 и ].
Стационарных значений угол к i достигает при значениях аргумента
широты, удовлетворяющих условиям
sin /cos vx -2 sin(^i - /)
м=0, w = 7r/2, sin2w = .
3 sin2 /sin {vx- i)
Легко находим, что кх (0) = кх (я/2) = V\. Третьей стационарной точке
соответствует
cos к
у/Т
sin/
У7
1 + 3 sin2 /-1-3 sin2 /.
Изменение угла кх не может превзойти разности между кх и vx. Разность
. 4+11 sin2 /+3 sin4 /- V1 +3 sin2 /'(4+5 sin2 i)
(cos к i у — (cos Pi )2 —
2 sin2 i y/l +3sin2/
неположительна и обращается в нуль только при / = 0 и / = 7г/2. На
экваториальной орбите конус, описываемый вектором Н, вырождается в
прямую, параллельную оси вращения Земли. На полярной орбите этот
конус разворачивается в плоскость орбиты. Во всех остальных случаях
1с i > рх и, следовательно, конус Н лежит снаружи кругового конуса с
углом 2vx при вершине (показанного пунктиром на рис. 3), касаясь его при
м = эти (л= 0,1,2,...). _
Выясним, при каком значении наклонения орбиты i разность (kx—Vi)
максимальна. Производная
d ,- ч
—(к, -*>,) =
di
= ctg
J-
2+3 sin21 - 2 y/\ +3sin27
- 1,5
1 +sin2/
2(l+3sin2/)(Vl+3sin2/- 1-sin2/) ' l+3sin2/
13

равна нулю при / » 52°б'. Легко показать, что при этом значении /
разность (#с*1 — vx) достигает абсолютного максимума, равного ~ l°ll'.
Итак, конус, образуемый вектором Н, лишь несущественно отличается от
кругового с углом 2р\ при вершине.
Основные закономерности в перемещении вектора Н по конусу можно
выявить, анализируя изменение координат ххн и ухн за пол-оборота
спутника по орбите.
Производная от координаты ухн равна
dy\H
du
1,5 sin /sin 2м
[2cos(*>i -/)+3cos(i>i —0 sin2/sin2 м+sin vx sin / ].
(l+3sin2/sin2w)3/2
Отсюда следует, что функция у хи имеет два экстремума (максимум при
и = 0 и минимум при и = it 12), равные по модулю sin vx.
Вычислим производную
dxiH 3sin/
= ~—— (cos2w -3sin2 /sin и ).
du (l+3sin2/sin2i/)3/2 '
Функция Х\н достигает экстремумов, когда
sin2w =
-1 + \/[ + 3 sin2/'
(1-8)
3 sin2/
Эти экстремальные значения выражаются формулой
ххн =± y/l + 3 sin2/ - 2 Vl + 3 sir?jL (1.9)
sin/
Естественно, верхний знак в выражении (1.9) соответствует максимуму
функции хХИ, а нижний - минимуму. Из формулы (1.8) следует, что
значения аргумента широты и, соответствующие минимуму функции ххн,
принадлежат интервалу (7г/4, я/4 - е х), а значения и, отвечающие
максимуму ххН> принадлежат соответственно интервалу (Зя/4, Зя/4 + е х), когда
значения / принадлежат соответственно интервалу (0, я/2). Здесь ei ^
* 9°44' (в! < я/4 и определяется из выражения sin(tf/4 - ех) = ч/Т/З).
Легко далее показать, что ухн становится равным нулю, ад:,//
достигает экстремумов при одних и тех же значениях и.
Замечание 1. Проведенный анализ изменения вектора магнитной
напряженности вдоль орбиты спутника относился к случаю/ <я/2. Однако
этот анализ может быть легко распространен и на случай / >я/2. Для этого
достаточно заменить систему осей xxyxzl9 показанную на рис. 3, на левую
систему, в которой ось z, повернута относительно Z на угол vx по часовой
стрелке вокруг оси X, а осьхх совпадает с осьюХ При формальной замене
i на (я — /) во всех выкладках, начиная с формулы (1.5), результаты
исследования будут охватывать и орбиты с углом наклонения к
экваториальной плоскости Земли, большим, чем я/2.
14

Замечание 2. Результаты анализа в равной степени относятся как
к круговым, так и к эллиптическим орбитам спутника: вид конуса,
описываемого вектором Н, зависит только от наклонения орбиты; размеры
и форма орбиты здесь несущественны.
Некоторые итоги первого этапа исследования магнитного поля,
воздействующего на спутник, в предположении, что геомагнитное поле -
диполь, ось которого совпадает с осью вращения Земли, представлены на
рис. 5. На рис. 5, а качественно показаны траектории следа вектора Н на
единичной геоцентрической сфере. Связь между номером кривой и
отвечающим ей наклонением орбиты отражена в табл. 2. Стрелки на кривых
соответствуют перемещению по сфере следа вектора Н при возрастании
аргумента широты.
На рис. 5,6 качественно показано сечение конуса, описываемого
вектором Н, плоскостью, ортогональной к оси z t. Внутренность кругового
конуса с углом 2^i при вершине заштрихована. На каждом полуобороте
спутника по орбите точка А достигается следом вектора Н на плоскости при
и = тг/4 - ei, а точка В - при и = Зтг/4 + €i. Здесь величина ei при изменении
наклонения орбиты от 0 до я/2 изменяется соответственно от 0 до €\.
На рис. 5,в качественно показано изменение разности (кх — vx) при
движении спутника по орбите. Точки А и В на рис. 5, в соответствуют
точкам А и В на рис. 5, 6
Чтобы охарактеризовать вращение вектора Н вокруг оси Zi, введем
(рис. 5, г) угол «1 между осью хх и проекцией ИХгУ1 вектора Н на
плоскость Х\У\.
0
\щу
\х1
*
К^*
Ю
Рис. 5. К анализу воздействия дипольного поля на спутник.
15

Таблица 2
Номер кривой
Наклонение орбиты (в
градусах)
1
15
2
30
3
45
4
60
5.
75
6
90
7
105
8
120
9
135
10
150
И
165
Исходя из выражений (1.7), можно найти, что
sin 5i = [sin vt — 3 sin i sin2 и cos(i>i - /)] x
X [2,25 sin2 i sin2 2w + sin2^ + 9 sin2 i sin4 и cos2(*i - /) -
-6 sin i sin Vi sin2u cos(pi -i)]""1'2,
cos 5i = - 1,5 sin 2/[2,25 sin2 i sin2 2w + sin2^ +
+ 9sin2isin4Mcos2(*>i -/) — 6 sin i sin Pi sin2wcos(*>i -i)]""1'2.
Дифференцируя первое из этих выражений по аргументу широты, получаем
dOL\
= 3 sin i [sin Vi cos 2a + 3 sin i cos(i>i - i) sin2w] X
du
X [2,25 sin2 i sin2 2w + sin2 vx + 9 sin21 sin4 и cos2(i>i - i) -
— 6 sin / sin V\ sin2 и cos {v\ - /)]"!.
Пусть a>o - средняя угловая скорость обращения спутника. Вращение
вектора Н вокруг оси zx происходит со средней угловой скоростью 2со0,
но не является равномерным. Неравномерность максимальна на полярной
орбите. На интервале [0, п] изменения аргумента широты средняя скорость
вращения Н больше 2а>0, когда 0 < и < (я/4 - ех) и (Зя/4 + ех) < и < it, и
меньше 2<о0, когда (я/4 - €\)<и<(Зя/4 + ei).
Угловая скорость da.ijdu максимальна и равна 3 sin i/sin vu когда и =
= nv, и минимальна и равна 3 sin //[3 sin/ cos(j>! - i) - sin V\], когда
и-null (здесь « = 0,1,2,3,...). Характерный график зависимости dax /du
от аргумента широты (для случая / = 60°) представлен на рис. 6. На рис. 7
показаны зависимости от наклонения орбиты максимальных (кривая 7) и
минимальных (кривая 2) значений угловой скорости dajdu. Таким
образом, скорость вращения вектора Н вокруг оси zv может колебаться от
1,5 до 3.
Замечание 3. Если ввести орбитальную геоцентрическую систему
координат xyz (рис. 8, а), ось z которой совпадает с нормалью к
плоскости орбиты спутника, а ось х проходит через восходящий узел орбиты, то
проекции вектора Н на оси этой системы, исходя из выражения (1.2),
можно представить в виде
3(ле
Н- = г- sin i sin и cos и,
X R3
Me
(1.10)
sini(l - 3 sin2M),
H- = —— cos i.
z R3
16

к Ct*f/tfti
tl82570
к da,/da
W 90° fff° и,град u *0 60 Unpad
Рис. 6. Характерный график зависимости угловой скорости da Jdu от аргумента
широты (наклонение орбиты постоянно).
Рис. 7. Зависимость экстремальных значений угловой скорости da Jdu от угла
наклонения орбиты.
1,зрад
"тпх "max
Рис. 8. К определению вектора геомагнитной напряженности в заданной точке
орбиты спутника.
Рис. 9. К сравнению моделей геомагнитного поля.
2. А.В. Белецкий
f К и*. 9«:ьчии\

Отсюда следует, что конец вектора Н с проекциями (1.10) (начало
по-прежнему в точке О) в каждый момент времени находится на поверхности
цилиндра
(tf-)2+(#?-^-sini) -(з^йп/япм) . (1.11)
Формулы (1.10)—(1.11) позволяют просто построить вектор Н в заданной
точке орбиты спутника. Для этого построим на плоскости ху окружность
радиуса'Зце sin i/R3 с центром в точке Ох (0, це sin i/Rz) (эта
окружность обозначена цифрой 1 на рис. 8, б). От радиуса ОХА этой окружности,
антипараллельного оси х, отложим угол, равный аргументу широты и
(откладываемый угол должен быть меньше я; если же и > я, то отложить
следует УГОЛ (U - 7ГЛ) > 0, П - 1, 2, 3, . . . ).
Построим теперь сначала радиус ОхВ, а затем, опустив перпендикуляр
ВС, окружность 2 радауса ВС с центром в точке Ох. Соединив точку D
пересечения окружности 2 и радиуса 012? с началом координат О, построим
вектор Н-- — проекцию вектора Н на плоскость ху. Остается найти на оси
z точку Е с аппликатой \хе cos ijR и построить вектор Н (рис. 8, в).
Особенно простым становится описанное построение в случае круговой
орбиты спутника, так как в этом случае R постоянно и положение
окружности 1 на плоскости ху, ее радиус, а также положение точки Е на оси z
не зависят от аргумента широты.
Замечание. Иногда [61,25,174] может быть полезным
максимально простое описание геомагнитного поля, которое бы правильно отражало
его свойства лишь с качественной точки зрения. Как показано ранее, в
модели прямой диполь вектор напряженности поля Н, изменяясь вдоль
орбиты спутника по величине и направлению, описывает в пространстве
некоторые, близкие к круговым конусы, неравномерно вращаясь со средней
угловой скоростью 2о?0 вокруг оси z 1.
Естественным шагом в направлении упрощения модели геомагнитного
поля будет использование модели, в которой вектор Н* постоянной
длины равномерно с угловой скоростью 2о;0 вращается вокруг оси zx на
постоянном угловом расстоянии vx от нее. В качестве модуля напряженности
Я* можно [174] принять среднее по аргументу широты от модуля
напряженности, определяемого формулой (1.4). Тогда в частном случае
круговой орбиты спутника будем иметь
2Ме / =-* / / 3sin2/' \
Я. =—j- Vl+3sin2/ Е ( V . 2 . ) .
тгД3 V 1 + 3 sin2 / /
Здесь Е — полный эллиптический интеграл второго рода.
Описанную сейчас модель назовем упрощенным прямым диполем.
Некоторое представление о точности этой модели по сравнению с моделью
прямой диполь можно получить из рис.9. На рис.9,а показана
зависимость #*(/) (кривая/), а также зависимости от наклонения орбиты
минимальных (#min - кривая 2) и максимальных (#тах - кривая 5)величин
вектора напряженности в модели прямой диполь. На рис. 9, б представлены
зависимости от наклонения орбиты выраженных в процентах отношений
(Ятах - #*)/#тах (кривая/) и (Я* -Ят1п)/Ятах (кривая2). Такимоб-
18

разом, если за меру близости между моделями упрощенный прямой диполь
и прямой диполь принять близость экстремальных значений порождаемых
этими моделями величин напряженности поля, то можно сделать вывод,
что указанные модели достаточно близки.
Проанализируем теперь изменение вдоль орбиты спутника вектора
геомагнитной напряженности, предполагая, что магнитное поле Земли -
диполь, ось которого не совпадает с осью вращения Земли. Иначе говоря,
предположим, что модель геомагнитного поля - косой диполь. Для
исследования, согласно [184], можно эффективно использовать только что
проведенный анализ в модели прямой диполь.
На рис. 10 вектор п - орт нормали к плоскости орбиты спутника ОАС,
ось Zi совпадает с вектором к, ось Х\ направлена в восходящий узел
орбиты спутника на плоскости геомагнитного экватора ОВС Положение оси
диполя определено углами 6^ ъ 11°34; и Х2, описывающими вращение
диполя вместе с Землей. Угол Х2 = <£з' + Х20 (^з - угловая скорость
вращения Земли, Х2о - постоянная), / - угол между осями z и Zb ux — угол
от отрицательного направления оси Х\ до вектора R, отсчитываемый
против часовой стрелки, если смотреть с конца оси z.
Ось £0 направлена в восходящий узел геомагнитного экватора на
плоскости ХОУ. Оси у и У\ на рис. 10 не показаны.
В модели косой диполь проекции вектора Н на геомагнитные оси Xly Ylt
Zx можно описать формулами (1.3), если в них заменить / на /, а аргумент
широты инаы2=7г + Ы1 (и, разумеется, Их на ##,» Ну на НУх и Hz
на Hz,) • Угол и2 - аргумент широты спутника по отношению к плоскости
геомагнитного экватора. Следовательно, если бы начиная с данного
момента времени Земля перестала вращаться, то при движении спутника по
орбите вектор Н перемещался бы по некоторому конусу из числа описанных
ранее для модели прямой диполь. Конечно, этот конус должен быть
построен в осях Х\ Y\Zi, угол при его вершине должен быть определен по
формуле (1.5), в которой наклонение / заменено текущим наклонением /.
Ситуация здесь похожа на ту, которая имеет место при описании орбит
Рис. 10. Системы координат.
Рис. 11. К изучению модели косой диполь.
2*
19

небесных тел, отличных от кеплеровской, с помощью представления таких
орбит как непрерьгоно изменяющихся кеплеровских (известный метод
оскулирующих элементов [149]).
Аналогично, текущий конус Н (ох Ф 0) опишем как непрерывно
изменяющийся (оскулирующий) конус модели прямой диполь. Введем вектор
А = к X п, нормальный к плоскости ZxOz . Модуль вектора А равен sin /.
Угол i < п и отсчитывается от оси Zx к оси г против часовой стрелки,
если смотреть с конца вектора А. Зависимость текущего наклонения от
времени может быть определена из выражения
cos? = cos /cos 51 + sin i sin 5 cos X2. (112)
Период изменения угла / - одни сутки, а амплитуда его изменения 28х
(если / > 5,), либо 2/ (если i < Ьх). Когда Х2 = 0, угол / = |/ - Ьх I,
а когда Х2 = тг, угол / = / + 61. Характерный график зависимости / (Х2)
показан на рис. 11 (кривая 1 построена для случая / = 60°).
Периодическое изменение положения в пространстве плоскости
симметрии ZiOz оскулирующего конуса напряженности в течение суток можно
описать, определяя положение вектора А. На рис. 12 показаны углы ф\ и
ф2, задающие положение этого вектора; угол фх изменяется в интервале
[0, 2тг], а угол ф2 ~ в интервале [0, тг]. Положительное направление на оси
т/i выбирается так, чтобы угол между положительным направлением этой
'оси и вектором А не превосходил я/2. Введенные углы определяются
выражениями
sin фх =
- cos i sin 81 sin X2
V sin21 cos2£! + cos2 / sin2 61 — sin 2/ sin 61 cos 6 j cos X2
sin / cos 6 i — cos / sin 61 cos X2
0.13)
cos фг =
V sin21 cos2 61 + cos2 / sin2 61 — sin 2 / sin 51 cos б i cos X2
cos Ф2--
sin 1 sin 51 sin X2
sin/
(1.14)
Характер изменения углов фх и ф2 существенно зависит от наклонения
орбиты. Если i > 5, то угол фх совершает в течение суток периодические
Ърад
V]\c. 12. Определение положения в пространстве вектора А = к X п.
Рис. 13. К описанию конуса, образуемого вектором геомагнитной напряженности в
модели косой диполь.
20

колебания около своего нулевого значения. Амплитуда этих колебаний
возрастает от нуля до тг/2 с уменьшением наклонения орбиты / от я/2 до / =
= 81# Характерный график зависимости ^i(X2), когда/ > 51, приведен на
рис. 11 (кривая 2, построенная для случая i - 60°). Можно показать, что
угол ф[ в течение суток достигает двух экстремумов i//i* при значениях
Х2 ~ Х2*, причем cos Х2 ♦ = tg 5i ctg /. Угол ф\ имеет локальный минимум,
когда Х2 * удовлетворяет правой ветви кривой 3 на рис. 13. Он
определяется из выражения sin ф\* = - tg 6j ctg/. Кривая 1 на рис. 13 показывает
зависимость минимальных значений угла ф\ от наклонения орбиты.
Угол i^i достигает локального максимума, когда Х2* удовлетворяет
правой ветви кривой 4 на рис. 13. Этот локальный максимум определяется
из выражения sin ф\ * = tg 6! ctg/. Кривая 2 на рис. 13 показывает зави£
симость максимальных значений угла фг от наклонения орбиты /. Еслих
/ < 51, то изменение угла ф{ становится монотонным. Характерный график
зависимости ^i(X2) для этого случая показан на рис. И (кривая 3,
построенная в предположении, что / = 5°). В частности, угол фх достигает/
значения Зя/2 при значениях Х2, удовлетворяющих левой ветви кривой^?
на рис. 13, и значения 7г/2 при значениях Х2, удовлетворяющих левой ветви
кривой 4 на том же рисунке. Левые ветви кривых 3 и 4 на рис. 13
построены с учетом соотношения cos Х2 = tg / ctg 51.
Изменение угла ф2, как это следует из формулы (1.14), носит
колебательный характер. Колебания происходят около значения ф2 = п/2.
Характерный график приведен на рис. 11 (кривая 4, построенная для случая
i = 60°). Можно показать, что в течение суток угол ф2 достигает двух
экстремумов ф2*: абсолютного максимума при значениях Х2,
соответствующих кривой 3 на рис. 13, и абсолютного минимума при значениях Х2,
соответствующих кривой 4 на рис. 13. Максимум ф2 равен я/2 + бь если
/ > 6Ь и я/2 + /, если / < 51# Зависимость максимальных значений ф2 от
наклонения орбиты представлена кривой б на рис. 13. Минимум угла ф2
равен я/2 — 61, если / > б i, и я/2 - /, если / < б i. Зависимость
минимальных значений угла ^ от наклонения орбиты представлена кривой 5 на
рис. 13. Итак, изменение угла ф2 не превосходит 251# Изменение же угла
фх мало для орбит, не очень сильно отличающихся от полярной. Это
означает, что для орбит, близких к полярной, отклонение плоскости
симметрии оскулирующего конуса от соответствующей плоскости в модели
прямой диполь также невелико. Определим еще изменение со временем
аргумента широты и2. Из сферического треугольника ABC (см. рис. 10)
находим
cos б х — cos / cos / sin X2 sin 6 j cos и
sin u2 = z sin и + - ,
sin i sin i sin /
sin X2 sin б1 cos i cos / - cos б1
cos u2 = ~ sin и + - cos u.
sin / sin / sin i
Эти формулы завершают описание конуса геомагнитной напряженности в
дипольном приближении как непрерывно изменяющегося конуса
напряженности модели прямой диполь.
21

§ 3.0 моментах сил, действующих на спутник
Как известно [86], при помещении намагниченного тела в магнитное
поле напряженности Н на это тело будет действовать момент сил,
определяемый формулой
М = 1ХН. (1.15)
В формуле (1.15) через I обозначен магнитный момент тела. Магнитный
момент на спутнике возникает как из-за наличия на нем функционирующих
электрических систем и постоянных магнитов, так и из-за намагничивания
материала, из которого изготовлен спутник, в частности, материала его
оболочки.
Точное нахождение магнитного момента спутника представляет собой
весьма сложную задачу как с теоретической [86, 60, 90], так и с
экспериментальной [58] точек зрения. Отдельные составляющие магнитного
момента можно с достаточной степенью точности считать не зависящими от
внешнего магнитного поля и ориентации спутника. Таковым является
магнитный момент, создаваемый постоянными магнитами и
функционирующими электрическими системами. Другие составляющие магнитного момента,
наоборот, существенным образом зависят от внешнего поля и ориентации
спутника. Таковыми являются наведенный магнитный момент и магнитный
момент, вызываемый токами Фуко.
Вычисление магнитного момента несколько упрощается в связи с тем,
что в части пространства, занятого спутником, внешнее геомагнитное поле
весьма близко к однородному. Как показано в работе [60], магнитный
момент 1#, возникающий за счет намагничивания спутника во внешнем
поле, можно описать формулой
Itf^itfH, (1Л6)
а момент 1ф от вихревых токов - формулой
d*H
*Ф=А2Н ——. (1.17)
at
Индекс (*) при производной здесь и в дальнейшем будет означать
локальную производную от вектора в системе координат, жестко связанной со
спутником.
В этой же работе подробно обсуждаются вопросы вычисления матриц
Лун и Аги.
Формулы (1.16) -(1.17) имеют весьма общий характер. В аналитических
исследованиях, посвященных влиянию магнитного поля на вращение
спутника, для описания наведенного магнитного момента обычно используются
более простые модели [18, 120]. Эти модели соответствуют частным
случаям моделей (1.16) —(1.17).
В частности, известно [43], что достаточно вытянутое симметричное тело
намагничивается в магнитном поле в основном вдоль своей оси симметрии,
причем наведенный магнитный момент оказывается пропорциональным
проекции вектора напряженности внешнего поля на ось симметрии тела.
Учитывая в первом приближении только составляющую магнитного
момента, направленную вдоль оси симметрии спутника, получим, согласно [18],
22

вместо формулы (1.16) более простое выражение
lH=f±Z±u{H.kl)kl. (1Л8)
4я
Здесь через м0 обозначена магнитная проницаемость спутника вдоль его
оси симметрии, v - объем, а кг - орт оси симметрии спутника.
Токи Фуко (вихревые токи), как известно [55], возникают в теле
проводника при пересечении им силовых линий магнитного поля. Будем
считать, что в теле спутника вихревые токи возникают только за счет
составляющей абсолютной угловой скорости, ортогональной к вектору
напряженности геомагнитного поля. Порождаемый этими токами момент
магнитных сил стремится уменьшить указанную составляющую угловой скорости.
Принимая еще, что магнитный момент от вихревых токов пропорционален
величине напряженности внешнего поля и скорости его изменения, можно
вместо формулы (1.17) использовать более простое выражение [18]
1ф = *ф(<^ХН- ) . (1.19)
Здесь кф - постоянный коэффициент, зависящий в основном от формы и
—►
материала, из которого изготовлен спутник, <о— абсолютная угловая
скорость вращения спутника около своего центра масс.
При достаточно быстром вращении спутника вторым членом в скобках
в формуле (1.19) можно пренебречь по сравнению с первым. Тогда
1ф = *ф<о ХН. (1.20)
В тех случаях, когда на спутнике требуется создать большой магнитный
момент [120], используются либо установленные на нем соленоиды, по
обмоткам которых пропускается ток, либо постоянные стержневые магниты.
Соленоиды употребляются в основном в системах активного управления
ориентацией спутника, а постоянные магниты - в системах пассивной
стабилизации по геомагнитному полю.
Современные магнитные материалы позволяют обеспечить большой
магнитный момент при малой массе магнита. В табл. 3 приведены значения
удельного магнитного момента (магнитного момента одного кубического
сантиметра материала) для некоторых магнитных материалов. Расчеты
проведены по данным ГОСТ 17809-72.
Кроме момента магнитных сил, на спутник действуют многие другие
моменты. Для не очень высоких орбит в первую очередь следует учитывать
гравитационный и аэродинамический моменты. Как известно, на спутник
Таблица
Марка сплава
Удельный
магнитный
момент
(эрстед X
Хсм3)
3
ЮН13ДК25А
1115
ЮН13ДК25БА
1115
ЮН14ДК25А
1075
ЮН14ДК25БА
1035
ЮН13ДК24
1035
23

с неравными главными центральными моментами инерции со стороны
притягивающего центра действует гравитационный момент, проекции которого
на главные центральные оси инерции спутника х, у, t приближенно можно
описать [18] следующим образом:
М* = 3 ;Й(с-Я>У27з, ^ = 3-£-(Л-0717з,
к к
Мг = 3—(В-А)У1У2.
Здесь fi - гравитационная постоянная притягивающего центра, А, В и С -
моменты инерции спутника относительно осей х, у и z соответственно,
7ь 72, 7з - косинусы углов между радиусом-вектором R и осями х, у, z.
При выводе формул (1.21) предполагалось, что размеры спутника малы
по сравнению с расстоянием до притягивающего центра.
Взаимодействие спутника с атмосферой может привести к появлению
момента, стремящегося ориентировать спутник по направлению
набегающего потока, а также и к торможению его вращения.
Например, в том случае, когда оболочка спутника имеет ось симметрии,
момент сил, ориентирующий спутник по потоку, может быть представлен
в виде [18]
M = YP*yGcel*vXk^ О-22)
Здесь Ус — скорость центра масс спутника относительно набегающего
потока, ра - плотность потока, ср — коэффициент, ev — орт вектора скорости
V<7, ki - орт оси симметрии оболочки.
Сравнение моментов, действующих на стандартный спутник, показывает
[18, 120], что моменты гравитационной, магнитной и аэродинамической
природы, вообще говоря, сравнимы по величине. Однако применение
специальных устройств (установка на спутнике сильных магнитов или
существенное перераспределение его массы с помощью выдвижения из корпуса
спутника длинной штанги и т.п.) позволяет сделать один из указанных
моментов преобладающим над остальными даже на несколько порядков.
Учитывая это обстоятельство, в дальнейшем часто будет анализироваться
влияние на динамику спутника только одного из моментов. Это
эквивалентно предположению, что остальные моменты существенно меньше
основного по величине и относятся к разряду возмущающих. Вместе с тем будет
исследоваться и взаимодействие сравнимых по величине моментов сил
различной природы. Моменты, создаваемые силами светового давления,
ударами микрометеоритов и т.п., в этой книге не рассматриваются.
§ 4. Система координат, связанная с вектором напряженности
геомагнитного поля
Для изучения движения спутника относительно магнитного поля
потребуется система координатных осей, связанных с вектором геомагнитной
напряженности. Введем такую систему, выбирая ее начало в центре масс
спутника и обозначая ее оси через х2, У г, z2. Осъг2 направим параллельно
24

вектору магнитной напряженности Н в той точке пространства, где
расположен центр масс спутника G.
Для выбора направлений остальных осей системы используем
информацию, содержащуюся в формуле (1.2). Из этой формулы, в частности,
следует, что при дипольной модели геомагнитного поля вектор Н лежит в
плоскости, образуемой радиусом-вектором орбиты R и ортом к оси диполя.
Поэтому, рассматривая случай дипольного поля, естественно, как это
сделано в работе [171], направить ось х2 ортогонально плоскости, содержащей
Рис. 14. К вычислению угловой
скорости системы координат,
связанной с вектором
геомагнитной напряженности.
векторы Кик, так, чтобы, смотря с ее конца, видеть поворот вектора R
к орту к на угол, меньший я, происходящий против часовой стрелки. Осьд»2
дополнит систему до правой тройки.
Вычислим абсолютную угловую скорость введенных осей х2, у2, *2»
моделируя геомагнитное поле диполем, ось которого совпадает с осью
вращения Земли.
На рис. 14 показаны углы Х3 и Х4, определяющие положение в
пространстве оси z2 (начало системы х2у2г2 Здесь совмещено с центром Земли О).
Плоскость орбиты заштрихована.
Используя формулы (1.3) - (1.4), легко находим
sin Х3 =
sin X4 =
cos / sin и
yl — sin2 /sin2M
1 - 3sin2/sin2и
V1 + 3 sin2 / sin2 и
cos X3 =
cos и
VT
sin2 / sin2 и
(1.23)
cosX4 = —
3 sin / sin и Vl - sin2 i sin2 и
yj\ +3sin2 /sin2w
Из выражений (1.23) получаем
d\3 cos/ du
dt 1 - sin2 / sin2 и dt '
а из выражений (1.24) находим
dX4 _ 3sin/cosw(l +sin2 /sin2w)
*
du
Vl -sin2/sin2w(l + 3 sin2 / sin2 u) dt
(1.24)
(1.25)
(1.26)
Теперь приведем выражения для проекций вектора угловой скорости
магнитных осей x2,y2tz2 в модели прямой диполь на оси х2> у2, г2. После пре-
25

образования получим [171]
3 sin i cos м(1 + sin2 /sin2 u) du
y/l -sin2/sin2«(l + 3sin2/sin2w) dt
3 sin / cos / sin и du
Vf 1 - sin21 sin2 w) (1 + 3 sin2 i sin2 u) dt
(1-3 sin2i sin2 w) cos / du
(1.27)
«2. =
(1 - sin2 /sin2 w) vl + 3sin2 i sin2 и dt
Замечание. В случае экваториальной орбиты (/ = 0) при выбранной
модели магнитного поля вектор Н неподвижен в абсолютном пространстве
и ортогонален к плоскости орбиты. В случае полярной орбиты (/ = я/2),
чтобы избежать "скачков" на угол п магнитных осей в окрестности значе-
ний и = 7г/2, 7г, Зтг/2, 2тг, можно направить ось х2 антипараллельно оси Y.
Тогда
3sin и cos и
COS Ал == — —: 7
VI +3sin2w
3(1 + sin2w) du
"*' " l+3sin2w dt '
1 - 3 sin2 и
sin A 4 =
V1 + 3 sin2 и
Wy2 =u;22 =0.
(1.28)
(1.29)
Здесь X4 - угол между осями X и z 2, отсчитываемый против часовой
стрелки, если смотреть с конца оси хг.

Глава 2
ДВИЖЕНИЕ НАМАГНИЧЕННОГО ЭКВАТОРИАЛЬНОГО СПУТНИКА
ВОКРУГ ЦЕНТРА МАСС
Как отмечалось в первой главе, основная часть магнитного поля Земли
достаточно хорошо аппроксимируется диполем, ось которого составляет
угол 61 с осью вращения Земли.
Пусть в начальный момент времени плоскость орбиты спутника
ортогональна оси диполя. Тогда в этот момент времени вектор геомагнитной
напряженности Н во всех точках орбиты ортогонален к ее плоскости, а
изменение направления этого вектора при движении спутника по орбите
будет происходить лишь за счет вращения диполя вместе с Землей. Поэтому,
когда период обращения спутника мал по сравнению с периодом вращения
Земли, это изменение за время одного оборота спутника невелико.
Из таких соображений можно рассматривать идеализированную задачу
о вращении спутника в геомагнитном поле, вектор напряженности
которого сохраняет постоянное направление. С другой стороны, такая задача
является простейшим вариантом весьма сложной задачи о движении спутника
около своего центра масс в геомагнитном поле, а ее рассмотрение
позволяет понять некоторые особенности этого движения.
При моделировании же геомагнитного поля диполем, ось которого
совпадает с осью вращения Земли, вектор Н неизменен по направлению во
всех точках орбиты и ортогонален к ее плоскости для экваториального
спутника. Рассмотрим вращательное движение такого спутника.
§ 1. Уравнения движения
Движение спутника будем анализировать, используя системы
координатных осей, показанные на рис. 15. XYZ - по-прежнему правая
геоцентрическая система координат, ось Z которой совпадает с осью вращения Земли.
Главные центральные оси инерции спутника xyytz и орбитальные оси
*ъ>Уг> 2г имеют началом центр масс спутника. Ось z3 орбитальной системы
направлена по радиусу-вектору R центра масс, а ось д>3 - по нормали к
орбите. Ось z2 по-прежнему направлена вдоль вектора Н в точке G.
Положение спутника в орбитальной системе координат определим
таблицей направляющих косинусов
*3
Уз
*з
X
<*1
01
7i
У
<*2
h
72
г
<*3
03
7з
27

Напряженность геомагнитного поля в принятой модели (прямой диполь)
имеет вид
||__. Z20>
где z2 о - орт оси z2.
Будем считать, что магнитный момент спутника складывается из
постоянной составляющей 10 и магнитного момента оболочки 1#; влиянием
магнитного момента от вихревых токов здесь пренебрежем.
Рис. 15. Системы координат.
Положение постоянного магнитного момента в теле спутника определим
таблицей направляющих косинусов
1о
Vi
*?2 *?3
(2.2)
Элементы этой таблицы будем считать постоянными.
Предположим еще, что ось симметрии оболочки спутника совпадает с
одной из его главных центральных осей инерции, например, осью z. Тогда
магнитный момент оболочки 1# можно согласно формуле (1.18) записать
в виде
Г0э zo
где f = (Aio - l)vfi2el4nR6, Н = njR3 - модуль вектора Н, z0 - орт оси z.
Проекции момента гравитационных сил на оси спутника возьмем в виде
(1.21). Момент, возникающий из-за взаимодействия оболочки спутника с
набегающим потоком, примем, исходя из формулы (1.22) , в виде
1
М = — PacpV&ei/Xzo.
(2.3)
Коэффициент ср зависит [18] от угла атаки (угла между вектором V<~ и
осью z спутника). В рассматриваемом случае экваториального спутника
ср = Ср(<*з)- Будем считать еще, что спутник вдоль свои* главных
центральных осей инерции несет симметричные роторы, обладающие постоянным
относительно спутника моментом количества движения
К = /:,х0+К2уо+Яэ2о (2.4)
и не изменяющие при своем вращении распределение массы спутника. В
выражении (2.4) через х0 и у<> обозначены орты осей х иу соответственно.
28

С учетом введенных моментов динамические уравнения Эйлера,
описывающие вращение спутника, примут вид
dp
А— + (С - B)qr + qK3 - rK2 = 10Н(т)2 03 - i?30j) -
dt
-И 1
- Г 02 0з + З-з (С - В) 727з + —Pa Vh Ср{<*з )«2.
/< 2
dq
В— ^iA-Qpr + rKt -pK3= /о Я(Пэ0Г-*10э) +
rfr (2.5)
+ Г010з+3-^3И-С)717з-—Ра^Ср(аз)«1.
А< 2
С-4 +(B-A)pq+pK2 -qKl =/оЯ(»},02-т?,0,)+ 3-^ (В-A)7lу
at К
«
Дополним систему (2.5) кинематическими соотношениями для направ
ляющих косинусов:
cfa3
—- = OLXq - а2р - о>Пз; (2.6)
rf/Ji tffo rffc
tf/ tff <//
<*7i ^7:
-—= 72',-7з^ + ^1аь =73P-7^ + ^i«2,
* dt
<*7з
= 7i<7-72P + co1a3-
(2.8)
Здесь через ojj обозначена проекция на осьд>3 угловой скорости cj i
обращения спутника по орбите.
Если орбита круговая, то система уравнений (2.5) - (2.8) допускает
существование интеграла энергии типа Якоби
у (Ар2 + Ва2 + Сг2 ) - /0Я(thft + ffcft + т?з0з) -
—Г^+Т^оИТ?+*72+C7i)-w0HP7i +АУ72+Очгз)-
2 2
-«o(*i0i +К2р2+КэМ+-ръУ2с1ср(аз)с1<х,=С1. (2.9)
Здесь С i - постоянная.
29

Интегралу (2.9) можно придать ясный физический смысл, если перейти
в нем к угловым скоростям pr, qn rr относительно орбитальных осей
хъ,уъ,гг.
Получим, преобразуя левую часть выражения (2.9):
-(Ар2, +^ + Сгг2)-/0Я(т?1^ +п2р2 +тЫ33)-
-«o(*iA + *202 +ЛГзРз) + уР.К^/ср(л3)^вэ "Cl (2.9а)
Здесь С\ — новая постоянная.
Интеграл (2.9а) выражает закон сохранения энергии в движении
спутника относительно орбитальных осей: сумма кинетической энергии в
относительном движении и потенциальной энергии магнитных, гравитационных,
аэродинамических моментов и центробежных сил инерции сохраняется.
Предположим, что на борту спутника установлены сильные магниты.
Тогда вращательное движение спутника определяется в основном
взаимодействием его магнитного поля с магнитным полем Земли. Относя прочие
моменты к возмущающим и пренебрегая ими, получим в качестве первого
приближения модельную задачу о движении спутника в магнитном поле.
В такой задаче система уравнений (2.5) — (2.8) имеет интеграл
(Ap + K^Pi + (^+*2)fo+(<> + *3)fc=C6, (2.10)
выражающий постоянство проекции кинетического момента спутника,
подсчитанного относительно его центра масс, на нормаль к орбите.
Если пренебречь намагничиванием оболочки в полете (? = 0), то в случае
круговой орбиты уравнения вращения в магнитном поле с точностью до
обозначений совпадают с уравнениями движения тяжелого твердого тела
с неподвижной точкой. В частности, случай, аналогичный случаю Эйлера,
получается, если 10 = 0. Динамически симметричный спутник с магнитным
моментом, направленным по оси динамической симметрии, движется так
же, как тяжелое твердое тело в случае Лагранжа; если же магнитный
момент лежит в экваториальной плоскости центрального эллипсоида
инерции спутника и А = В = 2 С, то спутник вокруг своего центра масс движется
как тяжелое твердое тело в случае Ковалевской.
Особый интерес для задач пассивной стабилизации спутников
представляют стационарные решения системы уравнений их вращательного
движения. Рассмотрим некоторые из таких решений системы уравнений (2.5) —
(2.8).
§ 2. Положения относительного равновесия спутника
на круговой орбите и их устойчивость
В этом параграфе изучаются частные решения системы (2.5) — (2.8),
соответствующие положениям равновесия спутника в орбитальных осях
х3 Уз гъ или режимам его регулярной прецессии в абсолютном
пространстве. Вдоль таких решений элементы таблицы (2.1) постоянны. В случае
30

Рис. 16. К исследованию положений относительного равновесия экваториального
спутника.
круговой орбиты условия существования искомых решений имеют вид
"0(02*3 -0з^2) = (^-С)со§132^з+/оЯ(т?2^ -тЫ*2)-
1
-Г020з +За>§(С-Я)72 7з + у Ра^р(<*э)<*2,
а;о(Рз*1-01*з) = (С- Л)<4010з + /o#O?30i - r?1U3)+ (2.11)
1
+ Г010з+ЗсооЧЛ -C)7iT3 -уРа^с^)^,
WoOJi*2 -02*i) = (^-"^)Wo/3i02+/o^(r?102-r?2/J1) + 3coo(^-^)7i72.
Система уравнений (2.11), если ее рассматривать как уравнения
относительно неизвестных величин КиК2,Къ> совместна при условии
Ъи>1(Аат +Ва2уг + Са37з)-- Ра^р(<*з)7з =0. (2.12)
Условие (2.12) физически означает, что в положениях относительного
равновесия спутника главный момент магнитных, гравитационных и
аэродинамических сил должен находиться в плоскости орбиты.
Решения системы (2.5) — (2.8), соответствующие положениям
равновесия в орбитальных осях, при различных предположениях о действующих
силах изучались многими авторами. Отметим, например, работы [191, 4,
80,168,129,106-108].
Рассмотрим некоторые из возможных положений относительного
равновесия.
1. Оси х,уу z совпадают с орбитальными осями (рис. 16,я). Частное
решение системы (2.5) — (2.8) имеет вид
«1 =02 = 7з = 1, «2 = <*з ^А =& =7i =72 =0 (2.13)
31

и существует при выполнении условий
a>o*i + /оЯт/! = 0, со0* з + /о#*?з = 0, ср(0) = 0.
2. Оси у и z совпадают с осями jc3 и уъ соответственно, а ось jc антипарал-
лельна z3 (рис. 16, б). Частное решение системы (2.5) — (2.8) имеет вид
«з =02 = 1, 7i = - 1, «i =а2 = 0, =0з = 72 = 7з =0 (2.14)
и существует при выполнении условий
G)0Ki + IqHtix « 0, со0Я з + /0Ят?3 = 0.
3. Оси * и z совпадают соответственно с осями хъ и у3, а ось^ антипарал-
лельна оси z3 (рис. 16, в). Частное решение системы (2.5) - (2.8) имеет вид
«1=03 = 1, 72 =-l, (2.15)
«2 =«3 =01 =02 =71 =73=0
и существует при выполнении условий
а>0К2 + /0#т?2 = 0,
1
о>0Кх + /о#ть + у Ра »g <7>(0) = 0.
4. Оси г и z3 совпадают, а оси х и *3 составляют между собой угол vQ
(рис. 16,г). Частное решение системы (2.5) - (2.8) имеет вид
<*i =02 =cosj>o, - а2 =0i = sim>0, 7з = 1,
«3=03 = 71=72=0 <2Л6>
и существует, если
со0А:3 + 10Нщ = 0, ср(0) = 0,
(В - А)и>% sin vо cos i>o + (^о^2 + А>#*?2 )sin р0 -
- (co0^i + /o#f?i )cos и0 = 0.
5. Оси х3 и: совпадают, а осид>3 и у составляют между собой угол v0
(рис. 16, д). Частное решение системы (2.5) — (2.8) имеет вид
«з = 1, 0i =72= sin ^о, 02 =-7i =cos^0, «i =«2 =0з =7з =0
(2.17)
и существует, когда
cj0K3 + /0#т?з =0,
ЦВ - A)ojq sin v0 cos vQ + (oo0K2 + /o#tj2 )s*n "0 -
- (coqKx + /0Ят?! )cos v0 = 0.
6. Оси x и хз совпадают, а оси ^ и д>3 составляют между собой угол v0
(рис. 16, е). Частное решение системы (2.5) - (2.8) имеет вид
«1=1, 02 =73=cosi>0, -0з =72 = siny0, «2 =«з =0i =7i =0
(2.18)
32

и существует, когда
со0 Кх + /0Ят?, = 0, ср(0) = О,
[4(С - i?)coo + ? ] sin i>0 cos v0 - (o>0 К 2 + /o#i?2 )sin ^o —
- (оэ0Къ + /0#i?3 )cos i>0 - 0.
7. Оси х и z3 совпадают, а оси z и^3 составляют между собой угол 1>0
(рис. 16,лиг). Частное решение системы (2.5) — (2.8) имеет вид
а2 =0з =cosi>o, -ос3 =02 = ani>0, 7i = 1,
(2.19)
<*i =01 =72 = 7з =0
и существует, когда
со0Кх + 10Нщ = О,
[(С - /?)о>5 + f ] sin vQ cos *>0 + (wo^a + /о#т?з )sin i>0 -
1
- (C00K2 + /0Ят?2 )COS I>o Pa *G Cp(~ Sin ^0 )COS l>0 = 0.
8. Оси у и y3 совпадают, а оси z и z3 составляют между собой угол у0
(рис. 16, з). Частное решение системы (2.5) — (2.8) имеет вид
<*i =7з = cos^o, аг = - 7i = sin р0, 02 = 1, ^.20)
«2 =01 =03 =72 =0
и существует, когда
оэ0Кх + 10Нщ = 0, соо^з + /о#т?3 = О,
3(Л - C)coJ sim>0 + —ра К£. tp(siny0) = 0.
Замечание. При помощи поворотов на углы я/2 или я вокруг осей
*3».V3 И23 из решений 1—8, указанных здесь, можно получить другие
родственные им решения.
В работе [108] показано, что могут существовать такие положения
относительного равновесия спутника, при которых ни одна из его главных
центральных осей инерции не совпадает с осями орбитальной системы
координат.
Для исследования устойчивости положений относительного равновесия
используем второй метод Ляпунова [93]. Как известно, если уравнения
возмущенного движения допускают существование знакоопределенной
функции V, производная от которой в силу этих уравнений есть
функция знакопостоянная знака, противоположного знаку самой
функции, или тождественно равна нулю, то невозмущенное движение
устойчиво.
Если известны какие-либо интегралы уравнений возмущенного
движения, то функцию Ляпунова можно пытаться построить по методу Че-
таева [192,117].
3. А.В. Белецкий 33

Как уже отмечалось, система уравнений (2.5) — (2.8) в случае
круговой орбиты спутника имеет интеграл (2.9а). Выпишем еще некоторые
из тривиальных интегралов этой системы:
С2=7?+722+72з = 1> (2.21)
Сэ=Р?+0§+0! = 1, (2.22)
С4=<*з2+0з2+7§ = 1, (2.23)
Cs = fix 7i + 02 72 + 0з 7з = 0. (2.24)
Здесь С2, С3, С4, С5 - постоянные.
Примем за невозмущенное движение решение (2.13). Из интегралов
уравнений возмущенного движения построим связку интегралов
К=К, -3CcogK2 +(BojI+ojqK2 +IoHv2)Y3 + Х2К22 + Х3К|. (2.25)
Здесь VifV2,V3- интегралы (2.9а), (2.21), (2.22), записанные для
возмущенного движения, Х2, Х3 - постоянные, выбираемые так, чтобы
функция (2.25) была знакоопределенной.
Достаточные условия знакоопределенности функции (2.25) в
окрестности решения (2.13) (достаточные условия устойчивости этого решения)
таковы:
А>С, В>С (B-A)cjI +о>0/:2 +/о#7?2>0,
(В-С)ы2о+со0К2+10Нт)2 ~?>0, т^(0)>0.
da3
Условия устойчивости показывают, что по радиусу-вектору траектории
центра масс спутника должна быть направлена наибольшая ось его
центрального эллипсоида инерции. Наличие наведенного магнитного момента
оболочки делает условия устойчивости более жесткими по сравнению
со случаем спутника с ненамагничивающейся оболочкой.
Для исследования устойчивости решения (2.14) функцию Ляпунова
можно построить в виде
К=К, -3Aa>lV2 +(£cog +co0tf2 +/0//??2Жз -
--ра^ср(1)К4 +X2F| + Х3Ц +X4K5.
Здесь Х2,X3,X4 - по-прежнему постоянные, VltV2,V3,VA- интегралы
(2.9a), (2.21) - (2.23), записанные для возмущенного движения,
лежащего в малой окрестности невозмущенного движения (2.14). Достаточные
условия устойчивости решения (2.J4) имеют вид
В>А, (В-А)о>1+со0К2+10Нт)2>0, 3(С-А)о>1 —Р1^ср(1)>0,
(В-С)и>1+со0Кг +/оЯг?2 - —-раК^р(1)>0.
2
Очевидно, что наличие магнитного момента оболочки спутника снова
делает условия устойчивости более жесткими.
34

Условия устойчивости решения (2.17) можно получить с помощью
связки интегралов вида
V= Vi -3coI(Acos2p0 + Bsm2v0)V2 +
+ L4w2 + -JLJ —" + 304-*)<ogeos4 \VZ -~PaK27cp(l)K4 +
L sin^o J 2
+ [604 - 5)co§sin^ocosi>0 ] Vs + X2 V\ + X3 K§ + X4 Kj.
Здесь по-прежнему КЬК2-К5- интегралы (2.9а), (2.21) - (2.24) для
возмущенного движения, соответствующего решению (2.17), Х2, Х3, Х4-
постоянные.
Достаточные условия устойчивости решения (2.17) таковы:
(A -B)(s'm2v0 -cos2j>0)>0,
(A -B)ul(sm2i>0 + 3cos2i>0) + >0,
sin v0
3u20(C~Acos2v0 -#sin2i>0) PaVlcp(l)>0,
2
[зсо20(С - A cos2 v0 - #sin2 v0)--paV2G cp( 1)] X
X (Л - C>j2o + - H +3(Л - £)co20cos4 X
L sim>0 J
x[3(C-A)col-^paV2Gcp(l)\>0.
Для исследования устойчивости решения (2.19) можно использовать
связку интегралов вида
СО0К2 + /о#7?2
sini>0
V sini>n '
1 . cJ-sinvo)
-~P*V2G —. L V* +X2^ +X3Ki +X4KJ.
2 sinj>0
Достаточные условия устойчивости, получаемые с помощью этой связки,
таковы:
В>А, (В-А)ь>1-—-1 —->0,
siny0
Ъ{С-А)и>1 - -раК£ А >0.
2 sini>0
(C-^cog + f = +-f>v*G—1 (-sin*>0)>0.
cos^^o 2 da3
3* 35

Здесь намагничивание оболочки спутника делает условия устойчивости
решения (2.19) менее жесткими.
Устойчивость решения (2.20) можно исследовать с помощью связки
интегралов
F= Vx -3Ao>l V2 +(Вь>1 + а>0К2 +/о#т?2)К3 +
+ 3(Л-С)со§К4+Х2К1+ХзИ+Х4^.
Достаточные условия устойчивости имеют вид
В>А, (В-А)о>1+сооК2 +/о#т?2>0,
3(4 - С)со§ + -paV2G -^ (sin^0)>0,
2 da3
3(Л - C)cog + (В - C)wg + <о0^2 + /o#Th - Г> 0.
Намагничивание оболочки ухудшает условия устойчивости решений (2.20).
В заключение этого параграфа отметим, что как условия
существования положений относительного равнбвесия спутника в орбитальных осях
(2.11), так и рассмотренные только что условия устойчивости некоторых
из них обнаруживают определенную эквивалентность динамических
эффектов, порождаемых постоянной составляющей магнитного момента
спутника 10 и роторами на его борту. Соответствующим образом
подобранные кинетические моменты роторов позволяют компенсировать
постоянный магнитный момент спутника, и, наоборот, соответствующим
образом установленные на борту спутника постоянные магниты позволяют
компенсировать действие роторов; можно, наконец, заставить роторы
и постоянные магниты работать в одном направлении, обеспечивая,
например, устойчивость положений относительного равновесия.
Рассмотрим теперь еще один тип стационарных движений спутника:
перманентные вращения.
§ 3. Перманентные вращения спутника в магнитном поле
Известно [46], что движение спутника вокруг его центра масс можно
в каждый момент времени интерпретировать как вращение вокруг
мгновенной оси, проходящей через центр масс. С течением времени как
положение этой оси в пространстве, так и угловая скорость вращения,
вообще говоря, изменяются.
Поставим задачу: найти частные решения системы уравнений (2.5) —
(2.8), соответствующие вращениям с постоянными угловыми
скоростями вокруг осей, не меняющих своего направления в пространстве,_атакже
определить распределение этих осей в теле спутника и в триэдре XYZ.
Такие оси, лежащие на конусе с вершиной в центре масс спутника, как
известно, называются перманентными, а сами частные решения —
перманентными вращениями.
Задача о перманентных вращениях была впервые поставлена в 1894 г.
для тяжелого тела с неподвижной точкой [220, 103] и в дальнейшем
привлекала внимание многих исследователей. Отметим, например,
работы [62, 68, 118,128, 67,165, 3, 77,122-124].
36

Перманентные вращения возможны, в частности, для спутника,
движущегося по круговой орбите в магнитном поле. Их исследованию
посвящены работы [167, 168, 173]. Если роторы на спутнике отсутствуют и
гравитационными моментами можно пренебречь, то уравнения его враща-,
тельного движения в векторной форме можно представить в виде
d*
— (ЛЗ) + £ ХЛо = 10ХН + Г(г0 -ZsoHzoXZjoL (2.26)
dt
d*z2o _^
— = z20Xco. (2.27)
dt
В уравнении (2.26) через J обозначен тензор инерции спутника для его
центра масс.
Будем считать, что тензор инерции отнесен к главным центральным
осям инерции спутника, тогда
J<3 = Apxo +BqyQ + Oz0.
Поскольку всякая перманентная ось сохраняет неизменное направление
в пространстве, то она, очевидно, остается неизменной и в теле спутника.
Поэтому для перманентного вращения проекции р, qt r постоянны,
ad* (Jcb)ldt = 0. Для нахождения перманентных осей следует решить
уравнение (2.27) совместно с уравнением
со ХУсо+#[г20 XI0] +F(z2o z0)[z2o Xz0] =0, (2.28)
которое получается из уравнения (2.26), если принять, что вектор со
постоянен.
Умножая уравнение (2.28) скалярно на z20, получим
(z20 [со ХУсо]) = 0.
В предположении, что центральный эллипсоид инерции спутника отличен
от сферы, последнее соотношение означает, что векторы z20,co и «/со
компланарны. Плоскость, образованная векторами со и/со, сохраняет
неизменное положение относительно спутника, а в пространстве
поворачивается с угловой скоростью со. Это обстоятельство с учетом того, что
плоскость, содержащая векторы со и z20, должна быть неподвижна в
пространстве (оба вектора постоянны), приводит к заключению, что
перманентные вращения спутника возможны лишь тогда, когда векторы со и
z20 коллинеарны. При этом условии уравнение (2.27) выполняется
тождественно.
Итак, перманентные вращения экваториального спутника, имеющего
круговую орбиту, в магнитном поле могут происходить лишь вокруг
нормали к плоскости его орбиты. Для такого движения направляющие
косинусы вектора z20, которые обозначим & = я, 02 - Ъ и 03 = с,
постоянны.
Вектор угловой скорости спутника со в перманентном вращении равен
coz20 (со означает проекцию вектора со на направление оси z2).
Подставляя эти выражения в уравнение (2.28) и проектируя на оси спутника
x,y,z, получим систему уравнений для определения величин угловых
37

скоростей перманентных вращений:
(С - В)ыЧс = /0#(т?2с - ПзЬ) - f Ас.
{А - С)со2ас = /0#<т?3я - щс) +?ас, (2.29)
(5 - A )co2ab - /оЖт?! Ь-ща).
Поскольку в уравнения (2.29) входят только квадраты угловых
скоростей, направление вращения вокруг перманентной оси не имеет значения.
Чтобы система (2.29) была совместна, величины а, Ьис должны
удовлетворять соотношению
А хЬе - Агас+АъаЪ +Dabc = 0, (2.30)
которое представляет собой уравнение геометрического места
перманентных осей в главных центральных осях инерции спутника.
Здесь введены обозначения
• Л,=(Д-С)1»1. А2=(А-СУПг> А3=(А-В)ъ,
D=d(A -Bl a = .
Между величинами Ах,Аг,Аъ существует очевидное соотношение
Лз= Jib.
Если какая-либо из образующих конуса, соответствующего
сферической кривой (2.30), совмещена с нормалью к плоскости орбиты и
соответствующий ей, согласно (2.29), квадрат угловой скорости
положителен, то спутник будет совершать равномерное вращение вокруг этой
образующей.
Если при этом ни один из направляющих косинусов а, Ь, с не равен
нулю, то
"".-Ы'-e-fH-
А ~С \ \с а ) 1 А-В\ Ъ а \
Пусть х,у, z- координаты какой-либо точки на поверхности конуса
осей перманентных вращений. Тогда уравнение этого конуса в главных
центральных осях инерции спутника запишется в виде
(Aiyz-A2xz + А3ху)>/х2 +у2 + z2' +Dxyz = 0. (2.32)
Полости конуса (2.32) не симметричны. Его направляющими служат
главные центральные оси инерции, для которых со2 - °°. Уравнению (2.30)
удовлетворяют также оси
tf = aii?,, b = 0x112. с= , (2.33)
1 - ао\
38

для которых из уравнений (2.31) получаем со2 =0. Это значит, что
соотношения (2.33) определяют положения равновесия спутника в
магнитном поле. Оси
o2Vi , о2т\2 о2Пг
а ь = с = _ (2.34)
Л В С-оо2
также находятся среда образующих конуса. Для них
Ш
со2 =- . (2.34а)
о2
Коэффициенты ох и о2 определяются из условия
а2 +&2 +с2 = 1. (2.346)
До сих пор перманентные оси спутника определялись на основании систем
уравнений (2.26) - (2.27). Однако в некоторых случаях, как это будет
Рис. 17. К определению
положения спутника в пространстве.
видно в дальнейшем, весьма удобно исследовать те же самые
перманентные вращения с помощью системы уравнений Лагранжа второго рода,
описывающих движение намагниченного спутника вокруг своего центра
масс. Чтобы составить уравнения Лагранжа, введем углы Эйлера,
определяющие положение спутника в пространстве: угол нутации 0,
прецессии ф и собственного вращения кр (рис. 17). Тогда функция Лагранжа
Г в уравнениях вращательного движения спутника будет иметь вид
Г= ~ [,4(^sin0sin<£ + ^cos<p)2 + j9(ij<sin0cos<£ —
2
~0sin</?)2 + C(tf/cos0 +<p)2] + /0#(т?1 sin 0 sin </> +
+ 772sin0cos^ + 773cos0) + —cos20. (2.35)
2
Здесь фув иi£означают производные по времени от соответствующих
углов.
Легко видеть, что угол прецессии ф является циклической
координатой. Этой координате соответствует циклический интеграл
—~ =Рй =4(i//sin0sinY? + 0cosip)$in0sin<0 +
Ъф
+ Z?Wsin0cos^ -0sinv?)sin0cosv? + C(i£cos0 + ^)eos0 = const, (2.36)
39

получаемый из интеграла (2Л0) при Кх =К2 =/С3 =0. Здесь р^
-обобщенный импульс, соответствующий координате ф.
Как известно [56], используя наличие циклического интеграла,
рассматриваемую задачу о вращении спутника в магнитном поле можно
свести к задаче с двумя степенями свободы. Проще всего это сделать, вводя
функцию Рауса R-Рфф - Lu заменяя в ней циклическую скорость ф
через позиционные переменные с помощью интеграла (2.36). Как
известно, функция Рауса, вообще говоря, имеет вид
Здесь R2 -однородная форма второй степени относительно позиционных
скоростей 0 и $М\ — форма первой степени, a R0 не содержит
позиционных скоростей.
В нашей задаче
02
R2 = [А • #sin20 + Ccos20(>*cos2</>+#sin2^)] -
2*i
sin20G4sin2v/?+#cos2i£)+ вф(А -#)sin20sin2v?,
2d) 4я,
~ РФ
R{ = —ЩА -#)sin0sin^cosp + G£cos0], (2.37)
й\
~ p\ ?cos20
#0 = - I0H(V\S\n6sm^ + 7?2sin0cos,/? + 7focos0) .
2ax 2
Здесь введено обозначение
я \U>+Q)= Л sin2 0sin2 $ + #sin2 0 cos2 $ + Ccos2 0.
Функция R0 является потенциалом Рауса (потенциалом приведенной
системы). Уравнения вращения спутника в магнитном поле можно
теперь записать в форме уравнений Лагранжа
d fbR\ bR
= 0.
Э0
(2.38)
d /bR\
ItVbS)
d (bR\ bR
_ —) = o.
dt \Ьф J by
Рассматриваемые перманентные вращения соответствуют положениям
равновесия системы (2.38) и определяются условиями
£ = 0=0, * = <А), 0=0О« Ф = ы = ф0. (2.39)
Здесь Фо*0о,фо - постоянные.
Из системы уравнений # (2.38) следует, что решения (2.39) существуют,
если постоянные ^0^оИ ф0 удовлетворяют уравнениям
Э«р Ъв
40

Эти уравнения имеют следующий явный вид:
^osin2</?osin20o(>l -В) + 2/o#sin0o(T?iCos<po - V2s\x\^0) = 0,
Ф1*т200а2($о)+ (2.40)
+ 2/0#[(т?|Ып<Ро +r?2cos^o)cos0o — i?3sine0l -fsin20o =0.
Здесь введено обозначение
tf2(^)=:^sin2^+^cos2^ -С.
Система уравнений (2.38) обладает интегралом энергии
- R2 +Л0 = const. (2.38а)
В выражении (2.38а) функция (-R2) - положительно определенная
квадратичная форма переменных ф и 0. Поэтому, если для какого-либо
из решений (2.39) функция R0 имеет изолированный минимум при
фиксированном значении циклического импульса р$, то это решение
устойчиво по отношению к величинам \р, 0, ф, 0 по крайней мере для возмущений,
не изменяющих Рф (teopeMa Рауса). А.М. Ляпунов утверждал [94], что
последнее условие несущественно. В частности, можно доказать [117],
что если функция (-R2 +^o) является голоморфной функцией своих
переменных в окрестности решения (2.39), то это решение устойчиво
по отношению к величинами, 0,ф,0,/7^ при любых малых возмущениях,
если, конечно, вдоль такого решения функция R0 имеет изолированный
минимум. _ _
Из выражений (2.37) очевидно, что функция (-R2 +/?o) голоморфна
в окрестности любого из решений (2.39), т.е. наличие изолированного
минимума у функции R0 обеспечивает устойчивость перманентных
вращений спутника при любых малых возмущениях. Поэтому достаточные
условия устойчивости решений (2.39) можно представить в виде
э2я0 .
—7" (*о, *<ь 0о)>О,
Э^ (2.41)
b2R0 . d2R0 . Г b2R0 . V
—Г (*о. V>o, 0о)Х —Г (*о. *о, 0о)~ Г-Гг(Фо,'Ро,0о)\ > 0.
dip до «- 6\p до •*
Выпишем производные, входящие в неравенства (2.41):
Э2До • ., , А-В
-ГТ-(*о, <Аь 0о) = (^-^)^osin20o[-cos2^o+ sin20o X
&r a,((^o, 0о)
X sin2 2</>o] + /o#sin0o(T?i sin^0 +n2cosv?oX
Э2До ♦ -,Г <*г(*о) „ 1
—T~ Wo, *o,0o) ^faoWo -cos2^o + —; —-sin2 20o +
30 I 0i(ft>,0o) J
+ /0#[sin 0o(i?i sin^>o + Чг cos«/?o) + т?з cos0o] + J cos 20o,
41

Э2/?0 •
—— (Фо,*о,0о) =
Ъ\ров
А- В .
ТА-В .- ( 2а2{ур0) \
= - —-— v/'o sin 2^o sin 2^0 1 sin20ol +
L 2 \ e,(^0,9o) >
+ /o#eos0o(j?i cos^>o —172 sin ^0) •
По отношению к циклической координате ф перманентные вращения
неустойчивы. Отметим еще, что, согласно теореме Кельвина—Четаева [192],
если корни 6 2 уравнения
6
\ д*2 ъе2 I 2 Ьф2 ье2 \д#ъо1
имеют вдоль какого-либо из решений (2.39) разные знаки (корни
вещественны и называются коэффициентами устойчивости Пуанкаре), то это
решение неустойчиво. Если оба^ корня отрицательны, то для нашей
гироскопически связанной системы (Ri =£ 0) возможна гироскопическая
стабилизация перманентного вращения. Такая стабилизация, однако, является
временной, поскольку она разрушается при действии диссипативных сил.
Перейдем теперь к исследованию конуса перманентных вращений.
Без ограничения общности можно считать, что А > В > С (это достигается
соответствующим выбором обозначений х, yt z для главных центральных
осей инерции), а также что величины rji, r/2 и т?3 положительны (это
обеспечивается соответствующим выбором положительного направления
на осях х, у у z). Следовательно, можно считать, что положительны
коэффициенты Аг, А2, А3 и/)в уравнении конуса (2.32). Однако надо
учитывать, что теперь в зависимости от положения вектора магнитного
момента в теле спутника трехгранник xyz может быть как правым, так и левым.
В дальнейшем, в частности при построении рис. 18-20, предполагается, что
указанный трехгранник является правым. В случае, если триэдр xyz —
левый, описываемое далее исследование конуса перманентных вращений
спутника сохраняется, а изменяется лишь положение этого конуса относительно
осей xyz.
Если оболочка спутника не намагничивается, то уравнение (2.32)
описывает симметричный конус второго порядка, аналогичный конусу Штауде в
задаче о перманентных вращениях тяжелого твердого тела с неподвижной
точкой. Одна полость конуса опирается на оси х, z, (-у), а другая - на
оси (-*), у, (-z).
В общем случае (ОФ0) конус (2.32) соприкасается с конусом,
получающимся при D = 0, по главным центральным осям инерции спутника,
причем касательные плоскости к поверхностям обоих конусов совпадают
и имеют уравнения z=A$y/A2t z = -A3x/Ait у-А2х/А1 для осей х, у
иг соответственно.
Исследование вида конуса перманентных вращений можно, проводить
как непосредственно, так и с помощью уравнений (2.40). По-видимому,
более наглядные качественные результаты дает прямое исследование
42

уравнения (2.32), в то время как конкретно выбранное перманентное
вращение проще анализировать с помощью уравнений (2.40).
Пересечем поверхность (2.32) плоскостями z = 1 и z = — 1. На
плоскости z = 1 получим кривую, определяемую уравнением
{Аху - А2х+Аъху)\/\ + х2 +yr + Z?Jcy = F,(jt, j>) = 0. (2.43)
Эта кривая проходит через начало координат и, как легко видеть, не имеет
точек в четвертой четверти плоскости ху. Для нахождения координат
х и у ее особых точек [81] решим систему уравнений
3F, х
— = (Аху-А2х + Агху) > == +
Эх VI + * +.v
+ (А3у - A2)y/l+x2 +v2 +Dy = 0, (2.44)
bF{ у
— ={Аху-А2х + Аъху) . - у +
+ И, + Л3л:)\/1+*2 + .V2 +Я* = 0 (2.45)
совместно с уравнением (2.43).
Отметим, что начало координат не является особой точкой кривой (2.43).
Умножая (2.44) сначала на х, а (2.45) на (->')» затем умножая (2.44)
на v, a (2.45) на (-х) и складывая оба уравнения, получим соответственно
х2 -у2 . ,
(А1У-А2х+А*ху) ,; , -(Aty+A2xWl+x2 +у2' = 09{2А6)
\-Ахх-А2у+Аъ[у2 -x2)]y/l+x2 +y2'+D(y2 -*2)=0. (2.47)
Решая совместно (2.43) и (2.47), находим для координат особых точек
соотношение
/*,>>3+Л2х3=0. (2.48)
Из (2.46) получаем
2Аху3 +2А2х3 +А3ху(у2 - х2) + Аху + А2х = 0. (2.49)
Решая совместно (2.48) и (2.49), находим
А{у+А2х+А3(у2 -х2)ху = 0. (2.50)
Теперь из (2-46) получаем
(х2 - У2)[Аху ~ Агх - Аъ(х2 +у2)ху\ =0.
Отсюда для случая х2 Фу2 находим
А{у - А2х=А3(х2 +у2)ху.
Решая это уравнение совместно с (2.50), окончательно находим выражение
для координат особой точки:
x = (At/A2)4*9 y = -(A2/A3)V*. (2.51)
Точка с координатами (2.51) лежит в четвертой четверти плоскости ху и
поэтому не может принадлежать кривой (2.43).
43

Проанализируем еще случай х* =у2. В силу (2.48) следует
рассматривать лишь случай у = -х, что возможно, если Ах = А2. Уравнения (2.43)-
(2.45) при этом условии дают
(2Л, - Аъу)у/\+2у2' - <?У = О,
\П + 2У2
Исключая параметр Д получаем
Агуъ+Ах=0. <2'51а>
Отсюда следует, что у= -{А^Аг)11* = -jc, т.е. и при условии Ах = А2
снова получается решение (2.51). Итак, кривая (2.43) не имеет особых
точек.
Пересекая теперь конус (2.32) плоскостью z = -l, получим в сечении
кривую
(Аху - А2х - A3xy)y/l+x2+y2' + Dxy = F2(x,y) - 0. (2.52)
Для нахождения особых точек этой кривой уравнение (2.52) надо решить
совместно с уравнениями
ЪГ2 х i s ^
—- ={Аху-А2х-Агху) -т s вг - (А2+А3у)у/\+х2+У2 +
Ъх у/\ + х2 +у
+ Яу = 0,
= (^,^-Л2ДГ->1з^У)
уДТ^Ту
P + Hi
Лз*)\/1 + *2 +^2 +
Проделав выкладки, аналогичные описанным при анализе особых точек
кривой (2.43), получим координаты особой точки кривой (2.52):
x = -{AxIAi)4*9 у = (А2/А,)1*3. (2.53)
Эта точка принадлежит кривой (2.52), если между коэффициентами Аг,
А2,Аъ и D существует соотношение
d-[aP +a¥ +аУ3)*2.
Угловая скорость перманентного вращения вокруг оси, проходящей через
особую точку, определяется выражением
со
IoHmy/AV+A^+Aytj ц, т?2 \
А, * \ ЛЧ* АУЧ '
Для выяснения типа особой точки следует определить знак детерминанта
72
det
d2F2 d2F2
Ъхг
d2F2
ЬуЪх
dxdy
d2F2
~ЪуТ
44

при значениях х и у, задаваемых выражениями (2.53). Поскольку, как
можно показать, в особой точке det = 9(А ХА2А3)2^ > 0, то точка с
координатами (2.53) - изолированная особая точка кривой (2.52).
Как уже отмечалось, при D = 0 конус (2.32) вырождается в конус
►второго порядка. Поэтому в отсутствие намагничивания оболочки кривые
(2.43) и (2.52) определяют конические сечения. Уравнение конического
сечения, задаваемого кривой (2.43) при D = 0, в осях хуг с началом в
точке (—Al/A3, А2/А3у 0), повернутых вокруг оси г на угол я/4
почасовой стрелке, имеет вид
х2 - У2 = т1 > <2'54>
Аз
т.е. определяет равностороннюю гиперболу, асимптотами которой служат
прямые х = -Ах/А3 и у = А2/А3. Одна из ветвей гиперболы (2.54)
проходит через начало координат исходной системы хуг.
Исследование уравнения (2.43) показывает, что при D Ф 0 ветви
кривой (2.43) расположены следующим образом: в области jc > 0% / >0 -
между гиперболой (2.54) и осью х, в области х< 0, у > 0 - между этой
гиперболой и осями координат и, наконец, в области х < 0, у < 0 - между
гиперболой (2.54) и осью (-у). В области х > 0, у < 0, как уже
отмечалось, кривая (2.43) не имеет точек.
Известно, что, согласно теореме Декарта [85], число действительных
положительных корней многочлена равно числу перемен знаков в системе
его коэффициентов или меньше этого числа на четное число (равные нулю
коэффициенты уравнения при подсчете числа перемен знаков не
учитываются) .
Освобождаясь от радикала в уравнении (2.43), можно записать его
в одном из двух видов:
(Аг + А3х)2уА -2А2х(А1 +Л3*Ъ'3 + КЛ1 + А3х)2{\ + х2) +
+ (А\ -D2)x2]y2 -2А2х(\+х2)(Ах +А3х)у + А\х2(\ +х2) = 0,
(А2 - А3у)2х* +2А]У(А3у - А2)х3 + [(А2 - А3у)2(\ +у2) +
+ (Л? -D2)y2]x2 +2Aiy{A3y-A2){\+y2)x + A2xy2(\ +/) = 0.
Анализ этих уравнений позволяет с помощью теоремы Декарта установить,
что в области х < 0, у > 0 кривая (2.43) не пересекает асимптоту у =
-А2/А3 по крайней мере, когда D<Al9 и асимптоту jc= -Ax/A3
по крайней мере, когда D<A2. Некоторые итоги исследования кривой
(2.43) представлены на рис. 18. Здесь показано сечение конуса (2.32)
плоскостью z = 1 для случая А =5, В = 3Ч С= 1, г}{ =0,5, г\2 = 0,7 и£> = 0
(кривая /), £>=1 (кривая 2), D-A (кривая J), D= 10 (кривая 4).
Прерывистые линии означают оси координат, в которых записано
уравнение (2.54).
Рассмотрим теперь кривую, определяемую уравнением (2.52). При
D = 0 это уравнение в осях х у ?, получаемых после переноса вершины
трехгранника хуг в точку с координатами (A2/A3t -Al/A3, 0) и
поворота этих осей на угол яг/4 против часовой стрелки вокруг оси (-z ), при-
45

нимает вид
у2 -x2=2AxA2jA\. (2.55)
Уравнение (2.55) описывает равностороннюю гиперболу с асимптотами
x-Ai/A3 и у- ~А2/А3, одна из ветвей которой проходит через начало
координат исходной системы xyz.
При ОФО ветви кривой (2.52) на плоскости z= -1 расположены
следующим образом: в области х>0, у<0 - вне части плоскости ху,
ограниченной ветвью гиперболы (2.55) и осями координат; в области
х < О, у <0 - между указанной гиперболой и осью (-у); в первой
четверти — между той же гиперболой и осью х
Уравнение (2.52) после освобождения от радикала можно представить
в одном из следующих видов:
{Ах - А3х)2у* + 2А2х(А3х - At)y3 + [(А, - А3х)2{\ + х2) +
+ (Л! -D2)x2)y2 + 2А2х(А3х- Л,)(1 + х2)у + А\х2(\ +*2) = 0,
(Л2 + А*у)2х4 - 2Aty(A3y + A2)x3 + [(Аг + А3у)2{\ + >>2) +
+ (Л2 -D2)y2]x2 -2Axy{A2 + А3у)(1+у2)х + АЪ2(\ +^2) = 0.
Анализ числа перемен знаков коэффициентов этих многочленов показывает,
что в области х > О,у > О кривая (2.52) не пересекает прямую х = А\1А3
по крайней мере, если D < Аг; в области х < 0, у < 0 эта кривая не
пересекает прямую>> = — А2/А3 по крайней мере, если D< A i. Всякая прямая
Рис. 18. Сечение конуса перманентных вращений плоскостью 7=1.
46

h-15
Рис. 19. Сечение конуса перманентных вращений плоскостью г = - 1.
х = const > 0 и всякая прямая у = const > 0 либо по два раза пересекают
кривую (2.52) в области х < О, у > О, либо не пересекают ее вовсе.
Кривая (2.52) не имеет точек в области х < 0,j> > 0 плоскости*у по крайней
мере, если D2 <А2 + А\ + Л*, а ее точки могут находиться в этой части
плоскости лишь в облас1 и [85] |
Ах y/D2 -(А]+А\+А\)
<\х\<\ + '
Ах +
у/Б^
(А]+А\+А\)
А2
А,
А2 + yjD2 -(A] + А22 + /ф
rr<y< i +
y/D2 -iA\+A\+A\)
i itpvMV» шоп i и \,jiW4/ «vщjr «w ivauinnjr uuov^vnnn
<0,^>0.При/>< (Л?/3 + Л2/3+л|/3)Э/ кривая
1асти; при £> = (>lf 3 + А22/3 + Л^3) /2 она имеет
которая, как легко видеть, расширяется с увеличением параметра D.
Изложенное позволяет представить следующую картину поведения
кривой (2.52) в области х < (
не имеет точек в этой области;
в ней изолированную точку; при D> (А2/3 + А2 + A2J 3) кривая (2.52)
охватывает особую точку, причем размеры охватываемой ею части
плоскости увеличиваются с увеличением параметра D.
На рис. 19 показано сечение конуса (2.32) плоскостью г = — 1. Кривые
построены для тех же значений коэффициентов, что и кривые на рис. 18.
Особой точке соответствует значение параметра D^ 7,99.
47

Рис. 20. Конус перманентных вращений
спутника (качественно).
Точки пересечения осей (2.34) с
плоскостями z = 1 и z = -1
находятся на прямой у = ^Ax/riiBf,
которая лежит между прямой у =
= i?2*A?i и касательными к
кривым (2.43), (2.52), проведенным
в начале координат. По крайней
мере, по одной точке находится
в каждой из областей х > 0, у > 0
плоскости z = 1 и х < 0,.у < 0
плоскости z= —1. В области х > 0,
У > 0 плоскости z = -1 существуют либо две точки, либо их нет
вовсе.
На рис. 20 показан (качественно) конус перманентных вращений
спутника с вершиной в его центре масс С. Одна из направляющих этого конуса
проходит через оси х, (— у), г\ другая - через оси (- х),у, (- z). При
D = 0 имеем конус второго порядка (его части обозначены на рис. 20
цифрами 1 и 2).
При D Ф 0 часть поверхности, образующей несимметричный конус,
лежит внутри поверхности / (она обозначена цифрой 3), другая часть
охватывает псверхность 2 (она обозначена цифрой 4), и, наконец, если
D > (А\Ъ + Л^у + A J ) , то спутник может совершать перманентные
вращения также и вокруг осей, лежащих на конусе, обозначенном циф-.
рой 5, расположенном внутри поверхности 2 (если />= (Л, +Л2 +
+ ^з )3/2 • конус 5 сжимается до оси 6).
Выделим теперь на конусе перманентных вращений оси,
соответствующие реальным вращениям. Для таких осей квадрат угловой скорости
перманентного вращения, вычисленный в силу выражений (2.31),
положителен, т.е.
Ща-rtxb
аЪ
Числитель этого выражения обращается в нуль для точек плоскости щх -
- Чху = 0. Поэтому реальным вращениям в области х > 0,у > 0 плоскости
z = 1 соответствует ветвь кривой (2.43), лежащая между прямой_у = rfcx/th
и осью дг. В областях х < 0, у > 0 и х < 0, у < О на ветвях кривой (2.43)
нет участков, не соответствующих реальному вращению. Поскольку в
первой и третьей четвертях плоскости z = 1 кривая (2.43) лежит ниже
касательной к ней в начале координат у = А2х/А i, то прямая у = Vixhi
пересекает эту кривую по крайней мере один раз в области х > 0 , у > 0 и
не пересекает ее в области х < 0, у < 0 (А 2 \А х >г\2Ы\)-
В областях х>0,д>>0их<0,.у<0 плоскости z = — 1 реальным
движениям соответствуют ветви кривой (2.52), лежащие выше прямой
У = fyx/rii, в области х > 0,у < 0 нет участков, соответствующих реальным
48

движениям, а в области х < 0, у > 0 вся кривая (2.52) соответствует
реальным вращениям. В области х < 0, у < 0 прямая у = ^x/vi по
крайней мере один раз пересекает кривую (2.52). Точки пересечения прямой
У - Ъгх1У\ с кривыми (2.43) и (2.52) соответствуют положениям
равновесия спутника. Исследуем и> более подробно. Образующие конуса,
соответствующего сферической кривой (2.30), при совмещении которых
с нормалью к плоскости орбиты спутника ок будет находиться в
равновесии, лежат в плоскости ту - г\2х = 0, а их направляющие косинусы
связаны соотношениями
ПъС - ПзЬ-оЬс = 0, та-щс + оас =0, а2 + Ь2 + с2 =1.
Отсюда можно найти а = — * Ь = — . Направляющий косинус
Т7з + О С 7?з + ОС
с следует определить из уравнения
а V + 2т/3ас3 + (1 - о2)с2 -2цъос - ц\ = 0. (2.56)
Согласно теореме Декарта [85], это уравнение имеет не более одного
положительного корня, что в соответствии с изложенным ранее позволяет
заключить, что прямая у = thx/vi в первой четверти плоскости z = 1 только
один раз пересекает кривую (2.43) и, следовательно, из всех образующих
конуса (2.30), лежащих над плоскостью ху, лишь одна дает положение
равновесия. Анализируя число перемен знаков в уравнении (2.56),
находим, что оно имеет также либо три, либо один отрицательный корень.
В положении равновесия сумма моментов действующих на спутник
внешних сил относительно его центра масс должна быть равна нулю.
Приравнивание нулю указанной суммы моментов внешних сил приводит
к уравнению
a sin 20 + 2sin(0 + 02) = 0. (2.57)
Здесь в 2 < 7г/2 — постоянный угол между осью z и вектором 10 такой, что
cos в2 = т?з; в положении равновесия cos 0 = с.
Для осей, направляющие косинусы которых удовлетворяют
неравенствам а > 0, Ь > 0, с > 0, уравнение (2.57) всегда имеет только один корень;
для осей са< 0, b < 0, с < 0 - также только один корень; для осей с
д > 0, 6 > 0, с > 0 - либо два корня при ~д>о* (при 1j = о* уравнение имеет
двукратный корень), либо при с; < о* уравнение (2.57) не имеет ни
одного корня. Значение о* (Ка*<2) определяется из уравнения
Ч-Н -( 2a.V? ) CS*2
V 2о*уД I
Верхние знаки в этом уравнении выбираются, если в2 <тг/4. Итак, в
области х < 0, у < 0 плоскости z = — 1 прямая у = Tfex/rh пересекает кривую
(2.52) только один раз и существует единственное положение равновесия.
В области х > 0, у > 0 этой же плоскости существуют либо два таких
пересечения и два положения равновесия при Ъ > а*,либо при ~о < о* точек
4. A.B. Белецкий
49

пересечения и положений равновесия в этой области нет. Если же а = о*,
то прямая >> = Tfcx/т?! касается кривой (2.52).
Вопрос об устойчивости перманентных вращений в принципе решается
неравенствами (2.41). Проверка выполнения этих неравенств для
отдельного перманентного вращения спутника с заданными параметрами не
представляет труда. Однако анализ условий (2.41) для всего множества
перманентных вращений спутника с произвольными параметрами весьма
• затруднителен ввиду громоздкости входящих в них производных*).
С этой точки зрения желательно получить условия устойчивости в
другой форме, которые, возможно, будут более жесткими, но зато более
обозримыми. Такие условия устойчивости можно получить путем
построения функции Ляпунова в виде связки интегралов (2.9), (2.10), (2.22),
выписанных для системы уравнений (2.26) — (2.27).
Принимая какое-либо из рассмотренных перманентных вращений
спутника за невозмущенное движение, в возмущенном движении, вводя
возмущения л. (/ = 1,..., 6), положим
р = соа + пх, q - <3b + п2, г = сое + п3,
Интегралы (2.9), (2.10), (2.22) системы уравнений (2.26) - (2.27) в
возмущенном движении имеют вид
Vx =Ап\ +Вп\ +Сп\ + 2с5(Аап1 + ВЬп2 + Сспъ)-
-2I0H(rjlnA +т?2я5 +ri3n6)-2jcn6 -^n\,
Vb = Аапх + Bbn2 + Cc/i3 + АпхП4 + Bn2ns +
+ Сп3пь + со(Аап4 + Bbns + Ссп6),
V3 = 2апА +2bn5 +2cn6 +nl + п\ + и*.
Рассмотрим связку интегралов
К= К, - 2 c3V6 + к2 К3 + Х3 V\. (2.57а)
Коэффициенты к 2 и Х3 связки постоянны, причем
к2 =Асо2 +/0Я— = До;2 +/0Я— = С<о2 +/0Я— +f.
я & с
Производная от функции V в силу уравнений возмущенного
движения тождественно равна нулю. Функция V будет положительно
определенной функцией возмущений пп а перманентные вращения в силу тео-
*)Как уже отмечалось, в частном случае отсутствия намагничивания оболочки
спутника конус его перманентных вращений аналогичен конусу Штауде в задаче о
перманентных вращениях тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Для этой
задачи бифуркации и устойчивость перманентных вращений исследованы полностью,
если тело динамически симметрично. В общем случае (А Ф В Ф С ' Ф А) полное
исследование проведено в предположении, что центр масс тела лежит вблизи главной
плоскости инерции; при этом приведена классификация всех возможных случаев,
характеризующихся качественно различными типами бифуркационных диаграмм
[122-124] . Указанные результаты легко переносятся на перманентные вращения
спутника, если его оболочка не намагничивается.
50

ремы Ляпунова будут устойчивыми при выполнении следующих условий:
4Л3*2+/о#— >0,
а
4Лз(^+^)+/оЯ^>0> (2.58)
\ b а / аЬ
4Х3( с2 + Ь2 + я2)+ /о#>0.
V а& дс be i abc
Неравенства (2.58), очевидно, выполняются при Х3 ^ 0 для
перманентных осей с а > О, b > О, с > О, т.е. на ветви кривой (2.43), лежащей в
первой четверти плоскости ху. Поэтому физически реальные вращения,
соответствующие точкам этой ветви кривой (2.43), устойчивы. Условиям
(2.58) также можно удовлетворить выбором достаточно большого
положительного значения Х3 Для перманентных осей, находящихся в
окрестности оси ( — х) (Ь и с положительны и малы, а отрицательно и по
модулю близко к единице), т.е. на ветви кривой (2.43), лежащей в области
х < 0, у > О, также есть участок, которому соответствуют устойчивые
перманентные вращения. Легко проверить, что для перманентной оси,
проходящей через особую точку кривой (2.52),
а неравенства (2.58) не выполнены, однако это обстоятельство,
разумеется, не означает, что такое перманентное вращение неустойчиво.
В заключение рассмотрим некоторые частные случаи. Если спутник
динамически симметричен {А = В Ф О, то без ограничения общности
можно считать, что щ = О- Уравнение конуса перманентных вращений
спутника имеет вид
(A -Oflito-O.
При условии, что А ФС, этот конус вырождается в две плоскости:
xz (Ь = 0) и ху(с = 0). Для осей, лежащих в плоскости ху(а Ф 0, b Ф 0),
согласно (2.29), находим со2 = °°, что физически невозможно. Для осей,
лежащих в плоскости xz, получаем
cj = " - .
(А-С)ас
Оси, соответствующие физически реальным вращениям, отделяются от
прочих осями, обращающими в нуль числитель этого выражения. Положение
таких осей на плоскости xz определяется направляющими* косинусами,
которые можно найти из уравнения (2.56) и выражения
а = — .
т?3 +ос
Уравнение (2.56), как показано ранее, всегда имеет один положительный
и один отрицательный корень, а если о >о*, то отрицательных корней
4* 51

будет три. Итак, когда о > а*, существуют четыре оси, при совмещении
которых с вектором Н спутник будет оставаться в равновесии.
На рис. 21, я заштрихованы показанные качественно части плоскости xz9
в которых находятся оси, не соответствующие физически реальному
движению (предполагалось, что А > С, о > а*). Для осей, лежащих в области
я >0, с>0, выполнены достаточные условия устойчивости (2.58). Имеем
также
Э2Д0 _ Э2Д0 /0//(7hc3+7b*3)
ъ<ръе
ьв2
ас
Отсюда следует, что, согласно теореме Рауса, устойчивые перманентные
вращения возможны также вокруг осей, расположенных в области а > О,
Рис. 21. Вырождения конуса
перманентных вращений
спутника в частых случаях.
^щдд^Г^щЩ
с < О, если 7?i с3 + Tfctf3 < 0; если же в этой области rjiC3 + т^а3 > 0, то такие
вращения неустойчивы согласно теореме Кельвина — Четаева.
Неустойчивыми будут также вращения вокруг осей, лежащих в области а < 0, с > 0,
если т}\С3 + Tfetf3 < 0 (это неравенство выполнено, например, в окрестности
оси (-*)). Если магнитный момент 10 направлен но оси х, то для осей,
лежащих в плоскости xz (кроме случая а = 0, когда угловая скорость
произвольна),
2 10Н(оа-1)
or = .
(А ~С)а
Части плоскости xz, содержащие перманентные оси спутника, вращение
вокруг которых в рассматриваемом частном случае невозможно,
заштрихованы на рис. 21,6 (случай А >С). Перманентные вращения устойчивы,
если а > 0.
Рассмотрим еще перманентные вращения спутника только при учете
магнитного момента оболочки, т.е. предполагая, что 1о = 0. Уравнение
(2.30) в этом случае вырождается в следующее:
f (А -В) a be = 0,
и если А Ф В, то конус перманентных вращений распадается на три
плоскости: ху, yz и xz. Для осей, находящихся в плоскости ху (с = 0), согласно
уравнениям (2.29), получаем о? =0, т.е. при их совмещении с нормалью
к плоскости орбиты спутник будет находиться в равновесии. Поскольку
для таких равновесий силовая функция f /3| имеет изолированный
максимум, то эти равновесия^неустойчивы [93]. Для осей, находящихся в
плоскости xz (Ь = 0), о? = f / {А - О (если А = С, то возможны лишь вращения
52

вокруг главных осей х и £ с произвольной угловой скоростью). Реальное
движение происходит, как очевидно, если А > С. Для такого движения
имеем
Э2До Л - В _ , Э2Л0
= $а2, =0,
Э*2 А-С ЪуЪв
Ъ2Я0 _ 4fa2c2 (А -С)
Ъв2 " ~~ Аа2 +Сс2 *
Поэтому, если А > Z?, перманентные вращения устойчивы (выполнены
неравенства (2.41)); если же А < В - неустойчивы (корни уравнения (2.42)
имеют разные знаки). Для осей, находящихся в плоскости jfг (я = 0),
w2 = f 1(В -С) (если В = С, то возможны вращения только вокруг осей у
и z с произвольной угловой скоростью). Реальные вращения могут
происходить, если В > С. Для них
Jd2R0 _ В-А _ 2 Э2Яр _ Э2Д> _ 4jb2c2(B-C)
д<р2 "" Д-С ' Э^Э(9 " ' Э02 " ВЬ2 + Сс*
Если А> В, то рассматриваемые вращения в силу теоремы Кельвина -
Четаева неустойчивы; если же А < В - устойчивы (выполнены
неравенства (2.41)).
Рассмотрим еще перманентные вращения вокруг главных осей инерции
спутника, у которого магнитный момент возникает только за счет
намагничивания его оболочки. Как следует из уравнений (2.29), такие вращения
могут происходить с произвольной угловой скоростью. Вращение
вокруг оси z, как это следует из рассмотрения функции (2.57а), устойчиво,
если
со2С + Т>Лсо2, oo2C + f >Bco2.
Характеристическое уравнение системы уравнений в вариациях для такого
движения имеет вид (X здесь и в дальнейшем означает корень
характеристического уравнения)
АВХ4 + \АВь>2 +Г (А +В)+(С-В)(С-А)со2]\2 +
+ [(С-Д)со2+П [(С-Л)со2+П =0.
Отсюда легко видеть, что если выполнено одно из двух неравенств :
A(J- >f +Cu)2>Blo2, Bo>2>f +Cco2>,4w2,
то перманентные вращения вокруг оси z неустойчивы.
Анализ связки интегралов (2.57а) показывает, что вращения вокруг
оси х устойчивы, если А > В, А со2 > Со>2 + f . Для такого движения
d2/?0 , b2R0 b2R0 , _
17 -<"-««•'■ -^Г-0' -sr-n-o-'-t,
т.е. оно неустойчиво, когда (А - С) со2 < f (при А >В) или когда (А -
-С) о? >f (при В>А). Вращения вокруг оси у устойчивы, если В>А,
Bcj2 >Co? +J. Они неустойчивы, если (В - С) со2 >f (при А>В) или
53

(Я - Q у < f (при В>А). Для динамически симметричного спутника
(А =Вуу10 =0) конуса перманентных вращении не существует. Возможно
вращейие вокруг любой оси, причем со2 = f (А -О.
§ 4. Об интегрируемости уравнений вращательного движения
экваториального спутника в геомагнитном поле
Система уравнений (2.5), (2.7) при учете только магнитных моментов
и в предположении, что Кг =К2 =Кг =0, представляет собой замкнутую
систему шестого порядка (имея в виду, разумеется, что модуль радиуса-
вектора R - известная функция времени). Поэтому, вообще говоря [150],
для приведения этой системы к квадратурам должно быть известно шесть
независимых первых интегралов. Некоторые вопросы интегрирования
уравнений (2.5), (2.7) обсуждалисьв работах [171, 168].
В случае эллиптической орбиты не видно способов нахождения
интегралов, отличных от интегралов момента количества движения спутника
относительно нормали к орбите (2.10) и тривиальных соотношений между
направляющими косинусами.
В случае круговой орбиты система (2.5), (2.7) становится автономной
и ввиду этого [150] для ее сведения к квадратурам достаточно лишь пяти
независимых первых интегралов, не содержащих времени. Запишем
систему (2.5), (2.7) в симметрической форме
, Adp
(/?-0^+/оЯ(г|2/?3-г]зи2)-Шз
_ ЯсАу
(С-Л)рг+ /О#ОЬ01 -Th03) + F0i03
£dr dpj _
(A-Bfrq+IoHimPi-niPx) ~ &r-M
- d&1 - d&3 - JL
" \p-far " &1Я-&2Р ~ 1
Очевидно, что множитель Якоби [5] первых пяти уравнений этой системы
в случае круговой орбиты спутника равен единице, а тогда, согласно
теореме о последнем множителе [5], для сведения к квадратурам автономной
системы (2.5), (2.7) достаточно не пяти, а только четырех независимых
первых интегралов, не содержащих времени.
Система уравнений (2.5), (2.7) в автономном случае близка к хорошо
изученной системе уравнений [18, 9, 17], описывающей движение твердого
тела вокруг закрепленной точки в ньютоновском центральном поле сил
при приближенном описании поля.
Если орбита спутника круговая, то система (2.5), (2.7) кроме
интегралов (2.10), (2.22) обладает еще интегралом энергии (2.9). Таким образом,
для приведения этой системы к квадратурам достаточно найти еще только
один интеграл, не содержащий времени и не зависящий от трех указанных..
Если центральный эллипсоид инерции спутника вырождается в сферу
(А - В = С) и оболочка спутника не намагничивается, то система уравнений
54

(2.5), (2.7) имеет интеграл
V\P + V2Q +т?з',= const.
Геометрически этот интеграл означает, что при вращении спутника около
своего центра масс конец вектора угловой скорости со перемещается по
плоскости, ортогональной к вектору постоянного магнитного момента
спутника 10 (рис. 22,а). Положение этой плоскости относительно центра
Рис. 22. К исследованию
вращательного движения
экваториального спутника.
масс G спутника определяется начальными условиями. Интеграл (2.10)
в рассматриваемом случае принимает вид
PiP + PiQ +03r =const
и геометрически означает, что конец вектора угловой скорости со при
вращении спутника перемещается по неподвижной плоскости, параллельной
плоскости орбиты (рис. 22,6). Положение этой плоскости относительно
центра масс спутника также определяется начальными условиями.
Если спутник динамически симметричен (А = В) и постоянно намагничен
вдоль оси динамической симметрии (t?j =t?2 =0), то в случае круговой
орбиты система уравнений (2.5), (2.7), как легко видеть, имеет интеграл
г = г0 = const. (2.59)
Заметим еще, что если А = В и 10 = 0, то кроме интеграла (2.59) в случае
круговой орбиты существует еще интеграл
А2р2 + B2q2 +C2r2 -Af Pi = const.
Используя интеграл (2.59), а также интегралы (2.9), (2.10), (2.22),
задачу о вращении динамически симметричного спутника на круговой орбите
в случае т}\ = tj2 = 0 легко привести к квадратурам. Определим положение
спутника в пространстве углами Эйлера так, как это сделано на рис. 17.
Используя известные формулы
р = ф sin0 sin<£ + 0 cos</?,
q = ф sin0 cos«p - 0 sin«p, r = ф cos0 + ^, (2.60)
Pi = sin0 sinip, j32 = sin0 cosy?, 03 = cos0 (2.61)
и вводя переменную V = cos 0, интегралы (2.9)—(2.10) с помощью
интеграла (2.59) можно представить в виде
*20 - И2)+ [ 2 (^jj~ У - 2<**"о У-Р*ь>1 V2 = С7,
ф(1-К2) + Сг0^=С8.
55

Здесь Ст,С6 - постоянные,
/о Me . (no-l)vig
<** =
Ац
0*
4nApln
С =
c_
A
p* — параметр орбиты спутника (в рассматриваемом случае круговой
орбиты, как очевидно, р* = R). Из выписанных выражений следует, что
dip Cs-Cr0V
dt
1
V dt ' (2.63)
Разделяя переменные в уравнгши (2.63), находим
dV
/ . = ± t + const. (2.64)
V/(K)
Интеграл в выражении (2.64) может быть заменой переменных сведен к
эллиптическим интегралам в стандартной форме [161], поскольку/(F) —
полином четвертой степени по переменной V. Обращая квадратуру в
формуле (2.64), можно получить зависимость переменной V от времени.
Интегрируя после этого уравнение (2.62), можно найти ty(t). Зависимость
</?(/) определяется из уравнения
dy d\p
= г0 -
dt
dt
V.
Согласно выражению (2.63), реальным вращениям спутника соответствуют
только те значения F, которые удовлетворяют условию/(F) > 0. Полином
/(F) имеет либо два, либо четыре действительных корня, лежащие в
интервале [-1, 1]. Учитьюая, что
/(-оо)=_оо, /(1><0,
/(-)=-«, /(-!)< 0,
можно в случае четырех действительных корней полинома/(F), лежащих в
интервале [—1, 1 ], получить график функции/(F), показанный на рис. 23, а.
Реальному движению в зависимости от начальных условий соответствует
одна из областей, заштрихованных на рис. 23, а (в случае наличия у
полинома /(F) двух комплексных корней одна из заштрихованных областей
исчезает).
Рис. 23. К исследованию перемещения следа оси симметрии спутника по единичной
сфере.
56

Более подробное исследование возможно, если известен один из корней
поликома /(К), например V = V0. Тогда остальные корни этого полинома
можно будет найти графически.
Легко показать, что для того, чтобы V0 было корнем полинома/(F),
вообще говоря, необходимо, чтобы вращение спутника удовлетворяло
начальным условиям
с1ф dd
— (Ко) = —(Ко) = 0.
dt dt
(2.64а)
При этих условиях
d\fr= Cr0(V-V0)
dt " 1 - V2 *
(if) =(^-^){[2a.+^(K+F0)]co2o(l-^)-C2r20(K-Ko)} =f(V).
(2.65)
Как уже отмечалось, реальному движению спутника соответствует одна
из двух зон, заштрихованных на рис. 23, а, т.е. реальное движение
происходит между какими-либо двумя значениями К, которые являются корнями
полинома /(К). В силу выражения (2.65), один из корней этого полинома
V0, а другой Vi связан с V0 следующим образом:
ГК,-(1-К?)(2|'+К,)
Vo = _ L_£* L . (2.66)
1+/- V\
Здесь T=C2rl/(p,u)l).
Согласно выражению (2.64а), значение скорости прецессии спутника
сохраняет постоянный знак в интервале [К0, Vx], обращаясь в нуль при
V = К0. Если, как это обычно делается при исследовании движения
твердого тела с неподвижной точкой [5], ввести единичную сферу с центром
в центре масс G и изучать движение следа оси z по поверхности этой сферы,
то тангенс угла х > который образует касательная к траектории следа оси z
на единичной сфере с меридианом сферы, определится формулой
Cr„{V- К0)
«В Х- ; Г- (2.67)
±V/00'
Из выражений (2.64а), (2.67) следует, что траектория следа оси z касается
параллели V\, а на параллели V0 имеет точку возврата.
Отметим основные особенности движения спутника. В отсутствие
внешних моментов (а„ = /S, = 0) Vx = V0, т.е. ось симметрии спутника z,
вокруг которой спутнику сообщена начальная угловая скорость (г0),
сохраняет неизменное положение в пространстве. Аналогичного эффекта
(Vx = F0) при наличии внешних моментов (а+Ф0,р*Ф0) можно достичь
только в случае, если / ->оо (т.е. г 0 -»<*> при ограниченных значениях
параметров а* и /3*).
57

Постоянный магнитный момент 10 оказывает стабилизирующее влияние
на вращение спутника вокруг направления Н и дестабилизирующее влияние
на вращение спутника вокруг направления (-Н). Магнитный момент
оболочки стабилизирует как вращение вокруг направления Н, так и вращение
вокруг направления (— Н).
Используя в качестве функции Ляпунова интеграл (А - В, rjl = r\2 — 0)
Л(р2 + q2) - 2I0Hcose -fcos2 в = const, (2.67a)
легко установить, что вращение спутника вокруг направления Н устойчиво
по переменным р, q, в при любом соотношении между параметрами а#,8*
и постоянной г0. Положение равновесия 0 = хг неустойчиво, если 0„ = 0,
а* Ф 0. Действительно, в этом положении потенциальная энергия магнитных
моментов имеет строгий максимум, и это обстоятельство можно
установить, исходя из членов наинизшей степени в разложении потенциальной
энергии в окрестности положения равновесия, что согласно теореме
Ляпунова [93] означает неустойчивость равновесия. Это движение может быть
стабилизировано либо за счет магнитного момента оболочки, либо за счет
закручивания спутника вокруг его оси симметрии. В частности, при
помощи теоремы Лагранжа [192] легко установить, что положение равновесия
0 = 7г устойчиво, если 0, > <**• При этом же условии (которое, впрочем,
может быть ослаблено за счет гироскопической стабилизации при г0 Ф0),
выбирая в качестве функции Ляпунова снова интеграл (2.67а),
можно установить устойчивость вращения спутника вокруг направления
(-н).
Проанализируем теперь графически зависимость между корнями
полинома /(К), выражаемую формулой_ (2.66), которая содержит два
свободных параметра: отношение а*/0* и /..
Разобьем интервал [0, оо) изменения аф/0* на три подынтервала, в
каждом из которых кривые V\ (V0) (а значит, и вращение спутника) имеют
свои качественные отличия.
Рис. 24. Связь между корнями полинома f(V) в случае а*/0* = 5.
Рис. 25. Связь между корнями полинома f(V) в случае /5* = 0.
58

Рис. 26. Связь между корнями
полинома/(К) в случае ос *//?* = 1,5.
1. а„/0* > 2 (характер движения
качественно определяется
постоянным магнитным моментом 10)- В
этом случае каждому значению V0
соответствует единственное
значение Vx.
Полином f(V) в интервале
(-1, 1) имеет два действительных
корня, причем Vx > V0- Вид
траектории следа оси z на единичной
сфере показан на рис. 23,6.
На графике зависимости VX(V0)
кривая, соответствующая значению
/=4(а#/0ф - 1), касается прямой
К0 = —1. Из графиков можно заключить, что вращение вокруг
направления (-Н) устойчиво, если 1>4(а#/р+ - 1) (здесь реализуется
обсуждавшаяся ранее возможность гироскопической стабилизации спутника), и
неустойчиво, если / <4(аф/0„ — 1). Это следует из того, что в первом случае
малому отклонению значения V0 от (—1) соответствует столь же малое
отклонение от (—1) корня Vl9 а во втором случае сколь угодно малое
отклонение значения V0 от (-1) вызывает конечное изменение Vx.
Характерные графики показаны на рис. 24, построенном для случая
aJPt = 5 и / =0 (кривая 1), I = 1 (кривая 2), / =_5 (кривая J),/ = 9
(кривая 4)у I = 16 (кривая 5), / =20 (кривая б), / =30 (кривая 7) и
/ -+оо (кривая #). Вращение спутника вокруг направления (-Н)
устойчиво, если / > 16, и неустойчиво, если / < 16.
На рис. 25 для сравнения показан график Vx (V0) для случая, когда
оболочка спутника не намагничивается (0, = 0) и /1 =0 (кривая i), /1 = 1
(кривая 2), /! = 3 (кривая 3), /х = 4 (кривая 4), /х =6 (кривая 5),
1Х -*оо (кривая б). Здесь Тх = С2 г о /а^со^. Вращение вокруг направления
(-Н ) устойчиво, если 1Х > 4, и неустойчиво, если 1Х < 4.
Таким образом, при а„/0*> 2 картина движения качественно остается
такой же, как и в случае отсутствия намагничивания оболочки. Магнитный
момент оболочки лишь несколько изменяет параметры движения, не
изменяя его качественно»
2. 2 > а*/0, > 1 (магнитный момент спутника 10 сравним с магнитным
моментом его оболочки).
Анализ зависимости (2.66) показывает, что, как и в предыдущем случае,
Vx > VQ. Картина движения соответствует рис. 23,5. Если / <4(а«,/0*-1),
то каждому значению V0 соответствует одно значение Vx. Если же
(<**/0»)2 > I > 4 (a J$ * - 1), то кривые на графике зависимости VX(V0)
59

-f
Рис. 27. Связь между корнями полинома f(V) в случае а*/0* = 0,5.
Рис. 28. Связь между корнями полинома /(К) в случае а* = 0.
имеют по две ветви и каждому значению V0 может соответствовать
либо одно, либо три значения Vx. Анализ функции f(V) для этого случая
показывает, что реальному движению соответствует наименьший из трех
корней.
Кривая / = (аф//3*)2 касается прямой V0 = — 1. Если / > (а«//3*)2,
то каждому значению VQ снова соответствует единственное значение Vl.
Вращение вокруг направления (—Н) устойчиво, если / >4(а«,/0„ — 1),
и неустойчиво, если / < 4 (а „ /0 ф - 1).
Характерные кривые показаны на рис, 26, построенном для случая
а <,//?* = 1,5 и / = 0 (кривая 7), / = 1 (кривая 2), / =2 (кривая 5),
/ = 2,1 (кривая 4), ! = 2,25 (кривая 5),/ = 3 (кривая 6),/ = 10
(кривая 7), / -> со (кривая 8). Если 2,25 < /, либо / < 2, то каждому значению
V0 соответствует единственное значение Vx; если же 2,25 > I > 2, то
кривые имеют по две ветви.
3. 0 < &*/!}*< 1 (качественно вращение спутника определяется
магнитным моментом его оболочки).
На графике Vx (V0) все кривые пересекаются в точке Vx = К0= — aJP*.
Если / < (ос*IP*)2, то кривые имеют по две ветви. Кривая,
соответствующая значению / = (а ♦//?♦) 2, касается прямой V0 = — 1. Если / < 1, то
каждому значению V0 соответствует либо одно, либо три значения V\. Анализ
функции f{V) показывает, что в этом случае реальному движению
соответствует наибольший из корней Vx, если V0 > --а«, //?«,, и наименьший, если
Кривая, соответствующая значению / = 1, в точке Vx = 0 имеет
горизонтальную касательную. Если / > 1, то каждому значению V0 соответ-
60

ствует единственное значение Ух. Таким образом, Vx > V0, если V0 >
> — а*//}*, и Vx < V0, если V0 < — a J/J». Картина-движения в первом
случае качественно описывается рис. 23,5, а во втором — рис. 23,е.
Характерные графики Vх (V0) показаны на рис. 27, построенном для
случая а«7/3„ = 0,5 и / =0 (кривая 7), / = 0,1 (кривая 2), / = 0,2
(кривая 3), / = 0,25 (кривая 4), I = 0,5 (кривая 5), / = 1 (кривая 6), / = 10
(кривая 7), / -*оо (кривая £). Кривые имеют по две ветви при / < 0,25.
На рис. 28 представлен также предельный случай а# = 0 (движение
спутника определяется Л только намагничиванием его оболочки) и / = 0
(кривая /), / =0,1 (кривая 2), / = 0,5 (кривая.?), / = 1 (кривая-^),
/ -»оо (кривая 5).
Итак, магнитное поле оболочки может качественно изменить характер
вращения спутника только тогда, когда величина магнитного момента
оболочки сравнима с величиной постоянного магнитного момента спутника.

Глава 3
О ПАССИВНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ НАМАГНИЧЕННЫХ СПУТНИКОВ
§ 1. Общие сведения о спутниках, ориентированных
по магнитному полю
После отделения спутника от ракеты-носителя в большинстве случаев
необходимо упорядочить его вращение вокруг центра масс с целью
достижения определенной ориентации в пространстве. Ориентированный спутник
обладает рядом преимуществ, связанных, в частности, с более
благоприятными условиями для сбора и передачи информации, лучшим
использованием солнечных батарей и т.п.
По возможности ориентацию спутника в пространстве желательно
поддерживать пассивным образом: без расхода рабочего тела и энергии
бортовых батарей, а лишь за счет стабилизирующего воздействия моментов
внешних сил.
Однако ввиду малости этих моментов необходимым условием такой
пассивной стабилизации является предварительное уменьшение
кинетической энергии вращения спутника. Вопросы, связанные с гашением
кинетической энергии, наряду с другими задачами рассматривались, например,
в работах [42, 49, 61, 112, 113, 115, 120, 131 - 136, 138 - 145, 168, 188,
210, 211, 217]. Одна из возможных систем стабилизации - гравитационная
[115]. Такая стабилизация спутника по градиенту гравитационного поля
использует работу гравитационных моментов.
Другая возможность связана с ориентацией спутника по магнитному
полю Земли, подобно тому, как магнитная стрелка ориентируется вдоль
силовой линии магнитного поля. Однако в случае спутника дело обстоит
значительно сложнее из-за неравномерного вращения и изменения величины
вектора напряженности магнитного поля Земли вдоль орбиты.
В работе [211] отмечается, что даже на высоте 40 000 км магнитное поле
Земли достаточно для получения значительного стабилизирующего момента
при установке на спутнике сильного магнита. Основные достоинства
спутников, ориентированных по магнитному полю, связаны с
возможностью их использования для проведения различных экспериментов по
изучению магнитного поля Земли, а также с созданием начальных условий для
перехода к другим формам ориентации [163]. Важным достоинством
магнитной ориентации является также возможность сравнительно просто
получить большой магнитный момент, пропуская ток нужной силы по
обмоткам соленоидов, установленных на спутнике, и управлять этим
моментом [58, 78, 95]. Чаще всего магнитная ориентация используется на
спутниках, орбиты которых не очень сильно отличаются от полярной [163]. На
рис. 29 показано перемещение в плоскости круговой полярной орбиты
спутника, ориентированного по магнитному полю Земли (модель поля -
прямой диполь). Стрелкой отмечено направление магнитного момента
спутника. Буквы N и S обозначают северный и южный полюса Земли.
62

За один оборот спутника по орбите та его ось, по которой направлен
магнитный момент, делает два оборота вокруг нормали к орбите. Это легко
объяснить, если вспомнить проведенный в первой главе анализ
перемещения вектора Н при движении спутника по орбите.
Система магнитной ориентации впервые использована в качестве
предварительной на американских спутниках серии "Транзит". Первый из них —
'Транзит-1В" был запущен 13 апреля 1960 г. Схема этого спутника [211]
показана на рис. 30. Магнитный момент создается установкой на спутнике
сильного электромагнита (обозначен цифрой 1 на рис. 30). Для
демпфирования колебаний устанавливаются перпендикулярно к вектору магнитного
момента спутника 10 и друг к другу две системы магнитных стержней
(обозначены цифрой 2 на рис. 30). Демпфирование колебаний происходит
за счет рассеивания энергии на гистерезис в материале стержней. Поэтому
стержни изготавливаются из сплавов с большой площадью петли
гистерезиса.
На рис. 31 показано уменьшение угловой скорости вращения спутника
"Транзит-1В" после выведения его на орбиту. Большое значение начальной
скорости объясняется закруткой спутника вокруг оси симметрии для
стабилизации в процессе запуска. Спутник был снабжен устройством "йо-йо"
для быстрого уменьшения угловой скорости. Это устройство состоит из
двух грузов, закрепленных на тросах, обмотанных вокруг спутника. При
освобождении грузов они вместе с тросами сматываются со спутника,
отбирая от него значительную часть кинетического момента, а затем
сбрасываются в пространство. На рис. 31 по оси абсцисс отложено время в
сутках после запуска спутника, а по оси ординат — число оборотов спутника
в секунду вокруг его оси симметрии. Между 6,5 и 7,5 сутками, когда было
сброшено устройство "йо-йо", масштаб по оси ординат не соблюдается (до
и после срабатывания этого устройства масштаб по оси ординат разный).
В остальное время гашение кинетической энергии осуществлялось за счет
потерь энергии на магнитный гистерезис. Скорость гвращения спутника
уменьшилась приблизительно до двух оборотов за период его обращения
по орбите (меньше 0,001 об/с).
Рис. 29. Движение полярного спутника, ориентированного по магнитному полю Земли.
Рис. 30. Принципиальная схема спутника с магнитной системой ориентации.
63

Наблюдение за американскими спутниками показало, что они были
ориентированы по магнитному полю с точностью до нескольких градусов.
Спутник "Транзит-4А" отслеживал направление магнитной силовой линии
с точностью до четырех градусов, а более совершенный."TRAAC" — с
точностью до двух градусов [211].
На рис. 32 показана зависимость угла между вектором магнитного
момента спутника "Injun" и силовой линией геомагнитного поля (значения
отмеченного угла в градусах отложены по оси ординат) от положения
центра масс спутника на орбите. Спутник совершал ^-периодические по
аргументу широты колебания в магнитном поле, и поэтому на рис. 32
рассмотрены лишь значения и из интервала [0, яг]. Видно, что стабилизация
спутника по магнитному полю Земли была достаточно точной.
Рис. 29 — 31 заимствованы из работы [211].
Некоторые параметры американских спутников приведены в табл. 4.
Замечание. Спутник "Тайрос-Г* не был ориентирован по
магнитному полю из-за быстрого вращения вокруг собственной оси.
Эффективная разработка системы пассивной стабилизации спутника в
магнитном поле невозможна без анализа его движения под действием
магнитных моментов. Такой анализ представляет собой, однако, весьма
сложную задачу динамики, что в основном связано с существенным изменением
вектора магнитной напряженности Н вдоль орбиты спутника, описанным в
первой главе. Даже в простейшем случае, рассмотренном во второй главе,
когда вектор Н неизменен по направлению, уравнения движения спутника
достаточно сложны.
Поэтому большинство исследований вращательного движения спутников
в магнитном поле выполнено не аналитическими, а численными методами.
В этой главе описываются результаты, полученные в основном
аналитическими методами в работах [166, 171, 168,188,169, 172, 204,175].
2,7
ад
а/
090б\
0,02
8 12 t.cym О
Рис. 31. Уменьшение угловой скорости спутника "Транзит-! В" после отделения от
ракеты-носителя.
Рис. 32. Зависимость угла между вектором магнитного момента спутника "Injun'* и
силовой линией геомагнитного поля от положения центра масс спутника на орбите.
64

Таблица 4
Параметры
спутника
Название
спутника
Магнитный
момент, эрстед-см3
Момент инерции
относительно оси,
перпендикулярной к
вектору магнитного
момента, г • см2
Безразмерный
параметр <*+
" Injun "
"Транзит-ЗВ"
" 1963 22А "
"Эхо-1 м
" Тайрос-1 "
2,5- !03
7,0- 104
2,5 • 104
2,1 • 104
896
4,4- 106
1.1 • 108
1,627-108
5- 107
1,24 • 10*
114
127
30,8
85
1440
Так же, как и во второй главе, предполагается, что оболочка спутника
имеет ось симметрии, совпадающую с осью z, и что оболочка
намагничивается вдоль этой оси. Тогда движение спутника вокруг его центра масс
можно описать следующим уравнением:
—(/аО + соХ/со = 10ХН + ———
dt 4я
(z0.H)[z0XH]-r
1 <> Iх
+ ^PacpKc[eKXzo] + 3^j[z3oX{/l(z3o-Xo)Xo +
+ В(г30Уо)Уо+С(г30 -z0)zo}].
(3.1)
В этом уравнении учтены действующие на спутник магнитный,
гравитационный и аэродинамический моменты. Разумеется, к уравнению (3.1)
следует добавить соотношения, выражающие зависимость радиуса-вектора R
от времени и изменение вдоль орбиты спутника вектора магнитной
напряженности Н.
Магнитная стабилизация осуществляется за счет создания на спутнике
относительно большого магнитного момента 10. Поэтому в задачах о
магнитной стабилизации основное значение имеет первый член в правой части
уравнения (3.1). Остальные моменты, содержащиеся в правой части этого
уравнения, как правило, существенно меньше первого и играют роль
возмущающих (магнитный момент оболочки может быть значительным для
больших спутников, когда велик объем оболочки). Поэтому при
исследовании решений уравнения (3.1) в первом приближении можно в его правой
части сохранить только член 10 X Н, а в качестве модели магнитного поля
принять диполь, ось которого совпадает с осью вращения Земли. Такая
модель геомагнитного ноля будет использоваться в этой и двух следующих
главах.
Как показано в первой главе, вектор напряженности геомагнитного
поля Н, изменяясь в каждой точке орбиты спутника, совершает в
пространстве неравномерное движение. Это означает, что осуществить идеальную
магнитную ориентацию спутника пассивно нельзя и поэтому следует лишь
стремиться обеспечить достаточно малую амплитуду колебаний спутника
около магнитной силовой линии. В качестве номинальных режимов для
5. А.В. Белецкий
65

магнитной стабилизации спутника естественно выбирать устойчивые
периодические решения уравнения (3.1), имеющие небольшую амплитуду.
Такой выбор целесообразен потому, что амплитуда непериодических
колебаний, лежащих в малой окрестности некоторого периодического режима,
с течением времени, вообще говоря, превзойдет амплитуду последнего.
§ 2. О ^-периодических колебаниях симметричного спутника
относительно силовой линии магнитного поля
Положение спутника в пространстве определим углами Эйлера % , i//3 и
<р3 у вводимыми обычным способом (рис. 33) по отношению к
трехграннику ххух2^. Спутник будем считать динамически симметричным
{А -В) и постоянно намагниченным вдоль оси симметрии z, орбиту
спутника — круговой кеплеровской.
Рйс. 33. Определение
положения спутника в пространстве.
Пренебрегая в правой части уравнения (3.1) всеми членами, кроме
первого, можно привести уравнения движения спутника относительно центра
масс с использованием введенных углов к виду [166,168]
dxdb \fd\l/3\2 _ dф3
du2 *\ du * du
= — Pi sin ф3 cos 03 sin 2м - P2 cos ф3 cos 03 —
- P3 cos ф3 cos 03 cos 2u - P4 sin 03 + P5 sin 03 cos 2м,
d2\l*z dф3 c/03 _ dd3
—г- sin 03 +2 cos 03 - m =
du du du du
= —P1 cos ф3 sin 2m + P2 sin ф3 + P3 sin ф3 cos 2u7
dфз
(3.2)
r = r0
dt
cos 6-
+ = const.
dt
Здесь введены следующие обозначения:
С г о
«Is- — , Pi = 1,5 a* sin /,
А ь)0
Р2 = a»[sin ^i — 1,5 sin/cos(^i - /')],
Р3 = 1,5 a» sin i cos (^ - /),
Л» te л» [cos *>i + 1,5 sin / sin (*>i - /)],
P5 = 1,5 a„ sin / sin (^ - /).
66

В правых частях первых двух уравнений системы (3.2) содержится
свободный безразмерный параметр а,, который при фиксированных инер-
циальных характеристиках и параметрах орбиты спутника может
изменяться лишь за счет изменения модуля магнитного момента 10.
Угол х" между осью симметрии спутника z и вектором напряженности Н
определяется следующим образом:
X = arccos {-1,5 sin /sin 2 и sin ф3 sin 03 —
\/l+3 sin2 / sin2 и
— [sin vx — 3 sin /cos (vx - /)sin2 w]cos ф3 sin 03 +
+ [cos*>n +3sin/sin(^x - /)sin2 m]cos 03} . (3.3)
Как показано в первой главе, вектор магнитной напряженности Н
описывает в пространстве конус, близкий к круговому, а движение этого вектора
по конусу является 7г-периодическим по аргументу широты и.
Будем искать я-периодические решения системы (3.2), при которых
ось z два раза в течение одного оборота спутника по орбите совпадает с
вектором Н.
При отсутствии внешних моментов (а„ = 0) спутник совершает в
пространстве невозмущенное движение по Эйлеру — Пуансо. Искомое я-периоди-
ческое решение системы (3.2) в этом случае представляет собой
регулярную прецессию, а именно равномерное вращение оси z вокруг оси z t по
конусу с углом 2vx при вершине с угловой скоростью, равной удвоенной
угловой скорости обращения центра масс спутника по орбите, т.е.
—- =2, ф3 = 2ы + я.
du
Ось z спутника совпадает с вектором Н в положениях, соответствующих
значениям аргумента широты, определяемых формулой и = ял/2, п = 0, 1,
2, ... Из первого уравнения системы (3.2) дая такого частного решения
можно получить
А
г0 =2а>о — cosj>!.
С
Тогда
d$3 /A \
» 2cos*>! I 1 .
du \ С /
Исследуем зависимость максимального отклонения оси симметрии
спутника от вектора Н на этом порождающем (а# = 0) периодическом решении
от угла наклонения орбиты. Из формулы (3.3) на порождающем решении
находим
Х(а* = 0) = arccos ; {1,5 sin / sin vx sin2 2w +
\/ 1 +3 sin2 isin2 и
+ [ sin P| - 3 sin i cos (vx - /) sin2 u] sin vx cos 2u +
+ [cos j>i + 3 sin / sin (vx - /) sin2 u] cos vx}.
5*
(3.4)
67

На рис. 34 представлены результаты расчета максимальных хтах (по
аргументу широты и при фиксированном значении /) значений угла х»
определяемых формулой (3.4). По оси абсцисс отложено наклонение орбиты в
градусах, а по оси ординат — максимальный угол Xmax» TaK*e
выраженный в градусах (график симметричен относительно прямой / = 90°).
Угол Хтах достигает абсолютного максимума на полярной орбите
(^ 19,5°). Это легко объяснить, так как при / = 90° конус магнитной
напряженности разворачивается в плоскость и движение вектора Н наиболее
Рис. 34. Зависимость от
наклонения орбиты максимального
угла между осью симметрии
спутника и вектором
геомагнитной напряженности на
порождающем решении.
60 80 100 i,epad
отклоняется от равномерного вращения. Отклонение же движения оси z
спутника при а* = 0 от Н происходит именно за счет неравномерного
вращения вектора Н, поскольку конус, который описывает ось z спутника на
порождающем решении, практически не отличается от конуса, образуемого
вектором магнитной напряженности.
Теперь ясно, что наиболее сильные возмущения ориентации, вызванные
неравномерным вращением вектора Н, должен испытывать полярный
спутник (см. также рис. 7). Следует ожидать, что при осуществлении пассивной
ориентации по магнитному полю с заданной точностью наибольшие
трудности могут возникнуть в случае полярной орбиты. По этой причине
исследование возможности стабилизации по магнитному полю полярного спутника
представляет особый интерес.
При наличии моментов внешних сил я-периодическое решение системы
(3.2) будем искать в виде суммы порождающего решения и некоторых,
подлежащих определению, я-периодических функций 03(и) и &(")» т.е.
Яэ^^+^з, tf>3 =2м + тг + фз> (33)
удовлетворяющих условиям
МО) = Фэ(0) = 03(я) = £э0г) = 0.
(3.6)
Подставляя выражения (33) в систему (3.2), можно получить уравнения
для определения функций 0 3 (и) и фг (и), а именно
sin2(^+e3) (-^J - [2 sin 2(14+03)-
du*
1
Т
- т %т(ух + 03)]
djh
du
= 2sin20>! + 03)-
-2m sin(i>, + 03) +cos(*>, + 03) [^^-cos фъ - Pl Pl cos(^3
68

+ 4м) +Р2 cos(^3 +2w)] - (Р4-Р5 cos 2w)sin (vt + 03), (3.7)
_ с1гфг с1ф3 d63
sm(pl^03)—rT + 2 — — cos^i+вэ) +
duA du du
dQ3 Pt + />3
+ [4 cos (yx + 03) - m ] = sin ф3 +
du 2
P — P
+ — sin (ф3 + 4w) - P2 sin (fo + 2u).
2
Если в уравнениях (3.7) a, ->°° (ocbz спутника точно отслеживает
направление Н), то амплитуда изменения угла в3 близка к нулю для всех орбит, а
Ы*, -* ~) =
1,5 sin/[1 -cos(i>| -01 sin4w- 2[sin^ - 1,5sin/cos(pt -01 sin2u
= arcts .
1,5sin/{[1 +008(14 -01 -[l-coifr, -0lcos4u}+2[sinv, - 1,5sin/cos^, -Oleosa
(3.8)
Обозначим t//?ax =max ф3(а+ -* °°). Зависимость ф3тах от наклонения
и
орбиты мало отличается от показанной на рис. 34 зависимостиХтах (О-
При достаточно больших значениях параметра а„ ось z спутника может
совершать колебания малой амплитуды^коло магнитной силовой линии. При
таких колебаниях функции ф3(и) и в3(и) можно в первом приближении
считать малыми и описывать их изменение_пинеаризованными уравнениями.
Линеаризованные относительно ф3 и 03 уравнения (3.7) имеют вид
d2B3 _ dty3 r
—г- - (2 sin 2vx - m sin vx) + [2m cos vx - 4 cos 2v\ +
/Л+^г Р\-Ръ \
+ sin^i^ cos4w +P2 cos2uJ^cosvl(P4 - />5cos2i/)]63-
(Р\-Ръ \ -
- cos ^! I sin 4w - Р2 sin 2u I ф3 -2 sin 2*>i - 2m sin i^ + (3.9)
//>, + />3 Л-^з \
+ cos vA cos4и + P2 cos 2w 1- sin vx{P^ - Ps cos 2w),
sin i>i + (4 cos vx - m ) + I cos 4м +
du2 du \ 2
Pi + P* \- Pi-P*
+ + P2 cos 2w I ф3 = sin 4и - P2 sin 2и.
2 / 2
Решения уравнений (3.9), имеющие период я и удовлетворяющие
краевым условиям (3.6), можно искать в виде
оо оо
ф3(и) = 2 b2n sin2nuf ~в3(и) = 2 сГ1п cos 2nu. (3.10)
я=1 л=0
69

Коэффициенты b2n и а~2пч которые в формулах (3.10) будем считать
постоянными, вообще говоря, можно найти с помощью принципа
гармонического баланса [41]. Эти коэффициенты будут зависеть от параметров а*
и т. Считая параметр а* фиксированным, выберем параметр т так, чтобы
решения (3.10) удовлетворяли краевым условиям (3.6). Тогдатследует
выбрать из условия
оо
2 а2п =0. (3.11)
Разумеется, практически можно вычислить лишь небольшое чисЛо
коэффициентов рядов (3.10). В частности, если удержать в этих рядах только
свободный член и члены со второй гармоникой по аргументу широты,
то Ьъ 1Г0 и J2 определяются из следующей линейной системы
уравнений [166]:
(ЗЛ + Р3 - 16 sin рх)Ь2 - 8(4 cos рх - m)a2 = -4P2 - P2 cos px~b2 +
+ [8 cos 2^i - 2cos^,(2w + P4)- (Л + P3)sinpx]a0 +
+ (Ps cosvl - P2 sinvx)^ = 4smpx(m -2cosj>i)-
-(Л+^3)cosi>! + 2P4sin*>i, (3.12)
[8 sin px(m -4cosj>i)-(Pi-Pa^os^i] b2 +
+ 4(P2 sin px - P5 cos px )fl0 + [-16 (1 + cos 2px ) +
+ 4cos^,(2w+/>4) + (/>1 + 3P3)siny1]tf2 = 4(P2cos*>! + P5sin*>,).
Решение системы (3.12) можно представить в виде
Ь2 = —--, а0 =—~, а2 = ——. (3.13)
АДА
В выражениях (3.13) введены обозначения
А = [8 cos 2px -2cospx(2m + P4)-(Pi + Рз)^рх] X
X { (ЗРХ + Р3 - 16 sin ^t) [-16(1 +cos2i>i)+4(2w +/>4)cos^1 +
+ (Px + 3P3) sin px ] - 8(m - 4 cos px) [8 sin i>i(m - 4 cos *>j)-
-(P, -/>3)cosi/1]} + 4(P2 sini/j -P5 cos*>,){-8P2(w -
- 4 cos px) cos Vi + (P2 sin i^i - Ps cos i>i ) (3Pj + P3 - 16 sin px)},
AZT2 = - [8 cos 2px - 2 cos px(2m + P4) - (P, +P3)sin i/i ] X
X (4P2 [- 16(1 + cos 2px) + 4cos v,(2w + P4) + (Px + 3P3)sin i>,] +
+ 32(w -4cosi>i)(P2 cos^i + P5 sin^)}+4(P2 sin *>! -
- P5 cos p) { 8(m — 4 cos px) [4 sin i^ (m — 2 cos *>i) —
-(Pi +P3)cosi>j +2P4 sin^i] ~4P2(P2 siny, - Ps cosi;,)},
AW0 = [A sin px(m -2cos px)-(Px + P3)cospx +2Р45т^!] X
X { (3P, + P3- 16 sin px) [-16(1 + cos2i>,) +4cos*>!(2w +P4) +
70

+ (Pi + 3P3) sin vx ] - 8(m - 4 cos vx) [8 sin vx (m - 4 cos vx) +
+ (^3 ~Л)со8^11} + (P2 sin^j-Ps cos^,){4P2[8sin^i(w -
-4cosvx)-(Px -P3)cospx] +4(P2cosj'l+/>5sin^l)(3Pl+/3-16sin^1)}-
- P2 cos px { 32(m - 4 cos 1^ XP2 cos i>i + />5 sin у,) +
+ 4/>2 [ -16( 1 +cos2*>,) + 4cosM2m + />4) + (Pi + 3P3)sin px]},
AJ2 = [8 cos 2vx - 2 cos *>i(2m + />4) - (Л +/>3)sin ^] X
X { 4(P2 cos *>, + />5 sin px) (3Pi + P3 - 16 sin px) +
+ 4P2 [S(m - 4 cos i^t) sin px - (Px - P3) cos vx ]} +
+ 4(P2 sin^ -P5 cosi^) {API cosvx-(3Px + P3 - 16sini>,)X
X [A%\nvx{m -2co$px)-(Px + 3/>3)cosi>1 + 2P4 sinj^]} .
Параметр fh выбираем из условия
5Ь + 5*2 = 0.
Пример. Рассмотрим орбиту с углом наклонения / = 60°. Имеем
А =-78,75а3, + 135,3а2 + 804,5а, + 402 +
+ m [92,5m2 + (110 +140а,)m -(93,37а2 + 310а,+653,5)1,
Ab2 =-22,44а* -26,06a2 - 17,65a, + таЛ(-54,75m -
- 26,146а, + 96,95), (3.14)
Аа0 = 1,08а3 -91,35а2 +311,4а, +208 +
+ m(-2\lm2 +680w + 112,46а2 + 60,2а,т - 445,5а, - 664),
Aai = а,[-(0,317а2 + 71,76а, +26,6) +
+ m (17,1m +61,54а, -53,3)].
Параметр m следует определить из уравнения
0,763а3, - 163,11а2 + 284,8а, + 208 +
+ m[-217m2 + 680m -664 + a,(77,3m + 174a, -498,8)] =0.
Это уравнение имеет один или три корня, значения которых представлены
на рис. 35. При а, * 2,42 происходит ветвление решений.
Анализ формулы (3.3) показы- _
вает, что при выборе параметра т
на ветвях 1 и 3 кривых рис. 35 #
угол х не является малым. Если же
а, достаточно велико, а значение т
соответствует ветви 2 кривых &\
рис. 35 (на этой ветви, как легко
видеть, in остается почти
постоянным при изменении а,), осьспут- о\
Рис. 35. Зависимость значений т на тг-пе-
риодическом решении от параметра а,
(/ = 60°). ~*\
7!
2
8 10 а *

ника z в своем движении будет с приемлемой точностью отслеживать
направления Н. _
Например, если а, = 10 и т = 0,965, то
й"0 = -2i = -0,032, 5*2 = 0,402
и максимальное значение угла!:, согласно формуле (3.3), в принятом
приближении не превышает семи градусов. График зависимости угла~х от
аргумента широты в этом случае показан на рис. 36.
В решениях (3.10) возможны резонансы. В частности, в случае / = 60°
(решения (3.14)) резонанс возможен при а* ъ 2,83. Других резонансов в
принятом приближении обнаружить не удается.
Разумеется, получаемые значения m,b2t <Го, а"г могут рассматриваться
лишь как ориентировочные. Во-первых, потому, что они найдены из
линеаризованных уравнений, и, во-вторых, из-за неучета высших гармоник. В
частности, чтобы определить следующее резонансное значение а#,
достаточно сохранить в (3.10) члены с нулевой, второй и четвертой гармониками.
В случае полярной орбиты спутника система уравнений (3.9) имеет вид
<12фЪ _ - £/0з
— + 0,5а#(3 -cos2h)i//3 = 0,5а„ sin 2м +w
du2 du
d26.
+ (4 +1,5а, -0,5а, cos2m)03 =-m(2 + J
(3.15)
du2 * du
Условие того, что, решение системы (3.15), взятое в форме (3.10) (с
сохранением только нулевой и второй гармоник), удовлетворяет краевым
условиям (3.6), можно записать следующим образом:
in[32m2 -а*(31а* -48)] =0. (3.16)
График зависимости m(a«), определяемой уравнением (3.16), показан
на рис. 37. Для всех значений параметра а* существует решение /и = 0,
кх, ер ад
30 60 90 120 1S0 180u,Bt
Рис. 36. Изменение угла между осью симметрии спутника и силовой линией
геомагнитного поля при движении центра масс спутника по орбите.
которое является также и единственным, если а* < 1,55. При т = 0
уравнения (3.15) принимают вид
d2ty
du2
d263
du
+ 0,5a*(3 -cos2m)i//3 = 0,5a* sin 2м,
2 +(4+ 1,5a* -0,5a* cos 2м)0з =0.
(ЗЛ7)
72

Рис. 37. Зависимость значений т на
тг-периодическом решении от
параметра аФ(| = 90°).
Переменные фз и #з
разделились. Первое уравнение
системы (3.17) описывает
перемещения оси симметрии
спутника в плоскости орбиты. Второе
уравнение описывает
перемещения этой оси в плоскости,
ортогональной к плоскости орбиты,
и представляет собой уравнение
Матье, имеющее решение д3 =0. Малые отклонения оси z спутника от
плоскости орбиты остаются малыми, кроме зон параметрического
резонанса [97]. Можно приближенно указать несколько первых значений
параметра а,, в окрестности которых в колебаниях в плоскости,
перпендикулярной к плоскости орбиты, возникают параметрические резонансы:
а, <*3,33; 8; 14.
Анализ показывает, что при достаточно большом значении параметра <*♦
угол между осью симметрии спутника и вектором Н может быть малым на
7г-периодическом решении системы (3.15), соответствующем колебаниям в
плоскости полярной орбиты (на рис. 37 этому решению
соответствует прямая т = 0). Такие колебания рассматриваются в следующем
параграфе.
§ 3. Магнитная стабилизация полярных спутников
Как уже отмечалось, при осуществлении пассивной ориентации в
магнитном поле в наиболее неблагоприятных условиях находится полярный
спутник. Поэтому в этом параграфе подробно, следуя работам [166, 168, 169,
171, 172], рассматриваются колебания такого спутника около силовой
линии геомагнитного поля.
Будем предполагать, что вектор 10 направлен по оси z спутника. Тогда
уравнение (3.1) допускает частное решение, для которого ось z все
время находится в плоскости орбиты, а спутник вращается вокруг
своей главной оси инерции, например оси х, совпадающей с нормалью
к его орбите.
Наряду с уравнениями (3.15), описывающими движение спутника
относительно осей Xiyizi9 будем использовать также уравнения, описывающие
движение спутника относительно магнитных осей x1y2z1. В задачах,
связанных с ориентацией спутника по магнитному полю, последнее удобнее,
поскольку сразу позволяет определить угол между ориентируемой осью
спутника и силовой линией геомагнитного поля. Введем (рис. 38) угол #
между осями z2 и z, а также углы ух (между осями z5 hz),^ (между
осями z з и z2) и</?2 (между осями дс3 и z). Все введенные углы
изменяются в интервале [0, 2я] и отсчитываются от соответствующих осей в
направлениях, показанных стрелками.
73

Угол ifi можно определить из выражений
2 sin и cos и
cos \р 1 =
yj\ + 3 sin2 и
sin «pi =
\J\ + 3 sin2 w
(3.18)
Теперь, используя формулы (1.3) и (1.29), из (3.1) можно получить
следующее уравнение:
d2d i г—» ~ 6sin2w
—— = -a* vl + 3 sin2 w sin i?-0*(l + 3sin2M)sin dcosd+ ;—г.
dir (l + 3sin2w)2
(3.19)
Уравнение (3.19) описьюает вращение спутника вокруг нормали к
Рйс. 38. Системы координат.
плоскости его круговой полярной орбиты. В случае отсутствия
намагничивания оболочки оно переходит в уравнение
d2d , г-=—. 6 sin 2ц
г- + а* \Л +3 sin2 и sin д = :—г ,
du2 (1+3 sin2 w)2
(3.19a)
которое приведено в [18].
3.1. Существование я-лериодических решений уравнения (3.19). Будем
искать, следуя работам [168, 169], я-периодические по аргументу широты
решения уравнения (3.19), соответствующие решениям (3.5)-(3.6)
системы (3.2).
Легко видеть, что уравнение (3.19) не изменяется от замены д на (- д)
им на (-и).
Поэтому можно утверждать, что искомые я-периодические решения
уравнения (3.19) будут удовлетворять краевым условиям
0(0)= 0(я)= 0,
если они удовлетворяют краевым условиям
*(0)=*(ir/2)«0. (3.20)
При отсутствии внешних моментов (а, = 0* = 0) уравнение (3.19) имеет
следующее порождающее решение, удовлетворяющее условиям (3.20):
д0(и) = и - arctg(2 tg и). (3.21)
Решению (3.21) соответствует равномерное вращение оси z в плоскости
орбиты с угловой скоростью, равной удвоенной угловой скорости
обращения центра масс спутника по орбите.
74

Поскольку функция, стоящая в правой часта уравнения (3.19),
ограничена (при конечных значениях параметров а* и 0«) и непрерывна, если
- <*> < и < °°, - °° < $ < °°, то [137] при любых конечных а* и 0* это
уравнение имеет по крайней мере одно решение, удовлетворяющее
краевым условиям (3.20).
Для построения решения уравнения (3.19) при условиях (3.20) и
нахождения условий его единственности можно использовать метод
последовательных приближений и теорию бифуркаций решений нелинейных
уравнений [47,48].
Введем переменную z = 2w; тогда вместо (3.19) будем иметь уравнение
d2-
d2d а, I ГТ^ ( fi. I —Г\
—- =-— V 1+3 sin2—sin 0I1 +—V 1 + 3sin2 — Icostf-
dz2 4 2 \ а, 2 /
1,5 sin z
(l + 3sin2^)'
= g& z)
с краевыми условиями
0(О)=д(я/2) = О.
Система (3.22)—(3.23) эквивалентна интегральному уравнению
d(z)= fK(z,T)g(T,d)dr,
о
ядро которого K(z, т) имеет вид (z € [0, я])
(—-Лт, 0<т<г,
(3.22)
(3.23)
(3.24)
K(z,t) =
z < т < тг.
Если параметр а* = 0, то уравнение (3.24) имеет решение
z
#o(2)=----arctg
2
Ю-
Подставляя это решение в уравнение (3.24), получаем
0(z) = - — Д/l + 3 sin2 - K(zt r)sin 0(т) X
X(l+ — Vl+3sin2— Jcos9Xr)dr+i>o(z). (3.25)
\ a* If.
В качестве первого приближения #*!)(z) к решению уравнения (3.25)
возьмем
d(l>(z) = #oW = |-arctg/2tgiy
75

В качестве второго приближения #(2* (z) к решению этого уравнения
примем
#(2)(z)=-— fy/l + 3sin2 —K(z, r)sin#(i)(7)X
4 о
ХП+— Vl + 3sin2—)cosd(1)(r)rfr + ^0(z).
В качестве (w + 1) -го приближения к решению возьмем функцию
#<" + i)(z) = _-^l / y/i + з sin2— K(z, r)sin *<я>(т) Х
4 о
X /1 + — VI + 3sin2 — jcosi>(w)(r)c/r + <?o00.
(3.26)
Очевидно, что если я-е приближение уже найдено, то формула (3.26) рпре-
деляет (п + 1)-е приближение как непрерывную функцию аргумента z.
Рис. 39. Зависимость функции К(z, г) от аргумента г (аргумент z фиксирован).
Поскольку же первое приближение известно, то можно найти рекуррентную
формулу для приближения с любым номером /{.Очевидно также, что любое
из приближений удовлетворяет краевым условиям (3.23).
Докажем, что последовательные приближения сходятся и имеют своим
пределом непрерывную функцию d(z), т.е.
Urn #(w+1)(z) = i?(z).
Сходимость последовательных приближений эквивалентна сходимости
следующего функционального ряда:
^1>(z)+^2>(z)-d<1>(z)+ ... +#<w + 1>(z)-i»</l>(z)+ ..., (3.27)
поскольку #<л+|) (z) является его частичной суммой. Мажорируем ряд
(3.27) следующим рядом:
l#(1)(z)| + H»(2)(z)-0(1>(z)|+ ... +|tf(w+1)(z)-d(w)(z)| +...
(3.28)
Оценим члены ряда (3.28). Имеем
#(2)(z) - #(1)(z) = - — /Уи-Збш2— K(z, r)sin М1\т) X
4 о 2
X (1 +— x/l+Ssin2— jcos t»(1)(r)dT
76

На рис. 39 показан график ядра K(z, г) как функции аргумента т
(аргумент z считается фиксированным). Вычислим теперь интеграл
я z / z \ тг / т \ z
f K(z,T)dr= /( 1 )TdT+ J ( 1 )zrfr = -— (тг-z).
О 0 \ 7Г / z\7T/ 2
Отсюда следует, что
f\K(z,T)\dT<2- . (3.29)
о 8
Теперь получаем оценку
\*<2\z)-*™(?)\< ^ ll+2±-).
16 \ а* /
Аналогично находим
0<" + 1>(z)-i><w>(z) = -— / K(zf т) ч/771^п2_ х
4 о 2
X | sin #(и)(т) - sin Мп-г >(т) + — \ЛТ3 sin2 — X
( 2ou 2
X [sin2d(w)(T)-sin2^(/,-1>(r)]ljr=- — f K(z, т)у/\ +3sin2— X
J 4 о 2
(
^(»)(T)_ ^("-»)(r) 0<")(т) + ^"-^(т)
X { 2 sin cos
2 2
+ — y/l + 3sin2 — sin[d(">(T)- d("-I>(r)]costd(">(T) + fl<"-' >(t)] Ut.
a* 2 '
И, наконец,
|d<n+1>(z)-d(">(z)|<
< - -^ (1 + 2 — ) / tf (z, г) | d (и)(т) -*<"-> )(т) | dr.
2 \ a. / о
Следовательно, ряд (3.28), а значит и ряд (3.27), мажорируется рядом
(3.30)
Ряд (3.30) сходится, если
а.тг2 1 0. \
-тг(1+2г)<'- <"■>
Следовательно, при условии (3.31), согласно критерию Вейерштрасса [161],
ряд (3.27) в интервале [0,7г] значений аргумента z также сходится, причем
77

равномерно. Итак, выполнение неравенства (3.31) гарантирует
существование непрерывной предельной функции d(z).
Докажем теперь, что предельная функция d(z) является решением
интегрального уравнения (3.25). Переходя в выражении (3.26) к пределу
при л-*°°, получаем
ft* п / т""1
d(z) = Mz) lim / J1 + 3sin2—K(zt r)sin #(;,)(r)X
4 и-~ о 2
X (1 +— л/l+3sin2~ )cos д{п)(т)с!т.
\ (*♦ 2/
Рассмотрим функциональную последовательность
Д/1 + 3sin2 — K(z,T)sm#<l\T)(\ +—у/1 + 3sin2 — )cos#(1)(t) dr,...,
ov 2 V ft* 2/
/yi+3sin2—iT(z, r)sin #(л)(т)( 1 +— VI + 3sin2 —Jcos #(й)(т)<*т.
о 2 : \ a* 2 /
(3.32)
Докажем, что эта последовательность равномерно сходится в интервале
[О, я] изменения аргумента z и имеет своим пределом функцию
/VI + 3sin2 — K(z, r)sin §(т)( 1 + — V 1 + 3sin2 — jcos §(т)с1т.
0 2 \ ft* 2 /
(3.33)
Для этого надо показать, что при достаточно большом значении числа п
модуль разности между функцией (3.33) и и-м членом последовательности
(3.32) может быть сделан меньше сколь угодно малого заданного
положительного числа независимо от значения z.
Имеем, используя оценку (3.29):
/ K(z, т) V 1 + 3 sin2 — sin £(r)( 1 + — у/1 + 3 sin2 — Uos §(т)<1т -
1 о 2 \ ft* 2 /
—}к(г,т)\/1~+3*т2-т*{я\т)( l+—Vl + 3 sin2—Jcos #(л)(т)<*т <
о 2 \ am 2/ I
<(l+2 — )— max |?(г)-*(я)(т)|.
\ ft» / 4 [о,*]
В силу доказанной равномерной сходимости последовательных
приближений tf(w)(r) к предельной функции #(т) из последнего неравенства
следует равномерная сходимость последовательности (3.32) к предельной
функции (3.33). Теперь очевидно, что предельная функция удовлетворяет
интегральному уравнению (3.25).
Докажем еще, что при выполнении условия (3.31) построенное решение
единственно. Пусть при выполнении этого неравенства уравнение (3.25)
имеет два решения #i(z) и #2(^)> не совпадающие на интервале [0, я].
78

Тогда
а*
max I t>2(z)- #i(*)l = — max
10, я) 4 {0,tt]
* / гт"
/л/1 + 3 sin2— K(z,t)X
x|sin^a(T)-sind1(T)+ —^ \/l+3sin2— X
I 2a» 2
. - 1 I «я2 / 0* \
>< [sin2^2(^)-sin2i?1(r)]ldT < [1+2— max| #2(т)~ M?0I.
J I 16 \ а* /|о,я|
Из полученного неравенства следует, что при условии (3.31) &2(т) =
= д! (г). Как раз это и требовалось доказать. v
В задаче о стабилизации спутника в магнитном поле основное значение
имеет магнитный момент 10 (магнитный момент оболочки в этой задаче
обычно гораздо меньше момента 10). Если /3 ,= 0, то из (3.31) получим
следующее условие существования единственного решения уравнения (3.25):
16
а* < —г . (3.34)
Рассмотрим возможность продолжения решения по параметру а*. Пусть
при а* =а*о уравнение (3.25) имеет решение &(z) = d°(z).
Будем искать решение уравнения (3.25), когда а* = а#0 + Да* (здесь
Да,- достаточно малое приращение числа а»), в виде
#(z) = i>(0)(z)+iMz). (3.35)
Подставляя вьфажение (3.35) в уравнение (3.25), после преобразований
получаем
*!(z) + — /Vl + 3sin2 —К{г, r)cosd(0>(T)d1(r)Jr =
4 о 2
\*ьДа,/ m=i \#ьДа*/ т=2 \ Фь Да* /
В выражении (3.36) введены следующие обозначения:
(z \ Да* * / f
q Л )я - — J \Л + 3 sin2 — K(z, r)sin 0О(7)<*1\
ffi, да* / 4 о 2
Да, * /~т d^m>
— /v/l +3dn»-Jffcr) ^5r[dn*(T)le.e.(r)^(r)*.
°-(^)'
= " ^Г/vl + 3sln T*(z<T)l^"Isin*(T)1 •-•• «*"«*•
Теперь следует отдельно рассмотреть два случая [47,48].
79

Если а*0/4 не является собственным значением уравнения
*i(*) + —— /v/i +3sin2 — K(z, T)cosi>0(r)d,(r)(fT=0, (3.37)
4 о 2
то, вводя, согласно теореме Фредгольма [102], резольвенту Г(г, г),
уравнение (3.36) можно переписать в виде
Здесь введено обозначение
\^,Аа#/ \#,,Да*/ 4 о \дьД^/
При достаточно малых Да* уравнение (3.38), как показал Э.Шмидт [47],
имеет единственное малое решение. Следовательно, в этом случае решение
#°(z) может быть единственным образом продолжено в малой
окрестности числа а*о*
Если же а*0/4 является собственным значением уравнения (3.37), то
уравнение (3.36) при достаточно малых Да* может иметь несколько малых
решений, и поэтому продолжение решения #°(z) в малой окрестности
числа а«0 может быть не единственным, т.е. может происходить бифуркация
решений.
Итак, установлено, что уравнение (3.19) всегда имеет по крайней мере
одно я-периодическое решение, удовлетворяющее краевым условиям
(3.20). Это решение будет единственным, если параметры ат и /3,
удовлетворяют неравенству (3.31). Если же неравенство (3.31) не выполнено, то
искомых я-периодических решений может быть несколько.
Приступим теперь к непосредственному отысканию нужных
я-периодических решений и исследованию возможности их использованния в качестве
номинальных движений для стабилизации намагниченного спутника в
магнитном поле.
3.2. я-периодические решения линейной системы (3.17). Исследуем я-пе-
риодические решения первого уравнения системы (3.17), которое
описывает движение оси z спутника в плоскости его орбиты. Будем считать,
что ось х спутника совпадает с нормалью к плоскости орбиты. Легко
показать, что в этом случае предположение о динамической симметрии
спутника несущественно.
Решение будем искать в виде
оо
j//3(w)= 2 b2n sin 2nu.
Подставляя этот ряд в уравнение и используя принцип гармонического
баланса, получим для определения постоянных коэффициентов Ь2п следую-
80

щую бесконечную систему линейных уравнений:
(За. -8)62-0,5а. £, = «.,
-0,5а. Ьг + (3а. -32)F4 -0,5а,66 =0,
._. (339)
-0.5«Л(«-1)+<3й.-8"2)*2Л-°'5аЛ(П+1) = 0>
В уравнениях (3.39) число «=2,3,..,
Эта система позволяет вычислить любое число гармоник в разложении
вида (3.10) функции ф3 (и) в ряд Фурье. В частности, для отыскания
первых гармоник этого ряда достаточно рассмотреть только три первых
уравнения системы (3.39), полагая Ь1п = 0 (при п> 4). Коэффициенты b2,b4,
b6 определяются из линейной системы
(6а. - 16)Ь2 + а,Ь4 = 2а,, -а.&г + (6а. -64)34-а,Ъ6 = 0,
-а.*"4+(6а. _ 144)5"6= 0
и имеют вид
*, =
Ьл =
а.(35а^ -864а. +8832)
4(25,5а* -988а* + 9408a. - 18432) '
: а2.(За.-72)
4(25,5а* -988а? + 9408а. - 18432) *
(3.40)
i &,врад
т: = ц_ zi
6 4(25,5<*J - 988aJ + 9408а, - 18432)
Приравнивая нулю знаменатель, находим три первых резонансных
значения параметра а,: 2,64; 10,8; 25,2.
По формулам (3.40) было рассчитано движение в магнитном поле
спутника с параметрами американского спутника "Injun". График зависимости
угла # от аргумента широты в этом движении показан прерывистой линией
на рис. 40; сплошная линия
на этом рисунке воспроизво- А
дат точное движение спутника
"Injun" по американским
данным. Видно хорошее
качественное и удовлетворительное
количественное совпадение
кривых.
Пусть теперь ^з (и) -
некоторое частное решение первого
из уравнений системы (3.17).
Рис. 40. Сравнительные графики,
характеризующие вращательное
движение спутника с параметрами
спутника "Injun".
6. А.В. Белецкий
81

Рассмотрим возмущенное движение Фз(и) + Аф3(и) (здесь Аф3(и)
-возмущение) . Уравнение возмущенного движения имеет вид
<?Афг
——— + 0,5 ащ (3 - cos 2и)Аф3 = 0.
Для этого уравнения Матье имеется сколь угодно много значений параметра
а*, в окрестности которых наступает параметрический резонанс, и, следо-
♦ вательно, имеет место неустойчивость рассматриваемых периодических
решений. Отметим некоторые такие значения параметра а*: 0,667; 2,66;
6,..., причем, как известно [97], наибольшую ширину (по параметру а*)
имеют первые области.
Для оценки амплитуды колебаний в области главного параметрического
резонанса и ширины резонансной области рассмотрим нелинейное
уравнение (3.41), получаемое из системы (3.7) при т = 0, / = 90°:
<Рфъ -
. у +0,5а*(3 sin фъ -cos фъ sin 2м -sin ^3cos2 w) = 0. (3.41)
В области главного параметрического резонанса решение этого уравнения
следует искать [97] в виде
^з = ЬХ sin (и +6,).
Используем известные разложения
sin^sin^*^,)] =2 2 y2/i-i(*i)sm[(2/i-l)(w+5,)],
оо
cos^sinfa+S,)] =У0(£1) + 2 2 /2W(£i)cos2w(w+6t),
л=1
содержащие в качестве коэффициентов функщнгБесселя первого рода.
Тогда, принимая, что амплитуда колебаний Ьх не очень велика, можно,
используя основную идею метода гармонического баланса, получить из
уравнения (3.41) такие приближенные уравнения для определения
амплитуды Ьх ифазыб^
[Ьх -3fia.Jx(pi)] cos6^ =0, \bx -2,5a,/i(*,)] sin"^ =0.
Здесь У, (bx) — функция Бесселя первого рода первого порядка.
Имеем два решения:
l.cos^!=0, 6,=я/2, -тг/2, фъ=±Ьсоъи\
Ъх -2,5а,У,(^) = 0. (3.42)
2.sin"5i=0, "«! =0, я, ф3 = ±5",sinw,
а амплитуда &1 определяется из уравнения
Ьх -3,5а*У1(^,) = 0. (3.43)
Амплитудно-частотная характеристика, построенная согласно
уравнениям (3.41) - (3.42), показана на рис. 41. Амплитуда колебаний
однозначно определена в интервале 0,571 <а*<0,8. Если а* попадает в этот
интервал, то возникает параметрический резонанс. В области параметрического
резонанса амплитуда Ьх колебаний определяется ветвью (3.42) харакдерис-
82

тики. Она на рис. 41 показана сплошной линией. Ветвь (3.43) на том же
рисунке показана прерывистой линией.
3.3. я-периодические решения нелинейного уравнения (3.19).
Нелинейное уравнение (3.19) позволяет рассматривать как случаи малых
(описываемых также системой (3.17)) отклонений оси z спутника от вектора Н,
так и те случаи, когда эти отклонения нельзя считать малыми. Выпишем
Рис. 41.
Амплитудно-частотная характеристика в области
главного параметрического
резонанса.
0,8 а#
несколько первых членов разложений функций, содержащихся в уравнении
(3,19), в ряды Фурье
s/ \ +3sinV= 1,539 - 0,493 cos 2и - 0,0397 cos Au - 0,00211 cos вы
(0,3619; 0,0975; 0,0933; 0,0933),
sin 2 и
= 0,2305 sin 2u + 0,148 sin 4 и + 0,074 sin 6u
(l+3sin2M)2
(0,1179; 0,0542; 0,0143).
Цифры в скобках означают среднюю квадратическую погрешность [160]
1
V57
f2(u)du - тг
а\
и=1
от аппроксимации каждой из функций f(u) соответственно одним, двумя
и т.д. первыми членами ее ряда Фурье
— + 2 ап cos пи + bn sin пи.
2 и=1
В первой разонансной области тг-периодическое решение уравнения (3.19)
будем искать в виде д =£"cos(2w+ Л). Подставляя это выражение в
уравнение (3.19), получим приближенные уравнения для определения
постоянных <Гн А:
[„4л+3,078а#У1(а) + 2,5^У,(2д)] sinA+1,383 = 0,
[-4* + 3,078a,S1(a) + 2,5Mi(2*)] cosA=0.
Решая эти уравнения, находим:
1.Л=7г/2, д = -а sinlu,
а амплитуда аГ определяется из уравнения
4а ~3907SamJx(a)-2ЖА(2а)= 1,383.
2. Л=37г/2, 1> = д sin 2м.
** 83

а амплитуда а определяется из уравнения
-4а +3,078а#У1(а) + 2,5^У1(2а)=1,383.
Амплитудно-частотные характеристики, построенные согласно
приведенным уравнениям, показаны на рис. 42 и 43. Кривая 1 на рис. 42
соответствует случаю, когда намагничивание оболочки отсутствует' (0* = 0);
на кривой 2 параметр 0, = 0,5; на кривой 3 параметр 0# = 1. Рис. 43 построен
для того случая, когда магнитный момент спутника образуется только за
счет намагничивания оболочки (а, = 0). Прерывистыми линиями на рис. 42
и 43 и в дальнейшем (кроме рис. 46) показываются те участки амплитудно-
частотных характеристик, которым, как можно ожидать [41],
соответствуют неустойчивые решения. При более детальном исследовании можно
обнаружить, что распределение устойчивых и неустойчивых участков вдоль
амплитудно-частотных характеристик несколько сложнее. Могут
существовать небольшие "островки" неустойчивости и "внутри" устойчивых
участков. Основная картина, однако, верно описывается приведенными
рисунками.
Сравнение кривых, приведенных на рис. 42 и 43, показывает, что по
крайней мере в области главного резонанса в я-периодических колебаниях
спутника в плоскости орбиты намагничивание оболочки не вносит
качественных изменений в характер амплитудно-частотных характеристик.
Рассмотрим теперь решения уравнения (3.19) в окрестности найденных
периодических решений. Предположим, что оболочка спутника не
намагничивается, и перепишем уравнение (3.19) в виде
</20
du2
+ 1,539а.* = ат(1,5390 -Vl + 3sin2w'sin 0) +
6 sin 2 и
(1+3 sin2n)2
В окрестности главного резонанса, возникающего за счет наличия
свободного члена, решение этого уравнения будем искать в форме
0 = a cos (2м +Л).
%3
Щ
5 10fim
Рис. 42. Амплитудно-частотные характеристики.
Рис. 43. Амплитудно-частотные характеристики (случай а» = 0).
а, рад
/ <
/ /
/ '
1 / 9
1 *
1 '
/ '
/ '
/ '
—^
84

Однако, в отличие от рассмотренного ранее случая, величины а и А не
обязательно являются постоянными. Будем определять их [41] из системы
дифференциальных уравнений
da d\ d ,'
-—= i4,(3i,A), — *Vl,S39o;-2+Bl(afA). (3.44)
du du
Используем приближенное выражение правой части исходного уравнения
в форме
l,539a,[e -JiCa)]cos(2u +Л) + 1,383 sin 2м.
Теперь система дифференциальных уравнений, определяющих амплитуду
о~и фазу Л, может быть записана в виде
da 1,383 cos Л
du
d\
du
Vl,539«;+2 '
1,383 sin Л
a(Vl,539a„' + 2)
Если ввести функцию
>h =
1,383 a
, cin Л
■V1,539«.|y + J-^i(«)j - 2.
- VT5395:*2s",A+vr535s:l-T-'*")J-5''
то эту систему можно переписать в форме
da _ J_ ЭФ d\ 1 ЭФ
du а ЭЛ ' du а Ъа
Отсюда следует существование интеграла Ф - Ф0 = const. Наличие этого
интеграла позволяет построить амплитудно-фазовый портрет системы
(3.44). Такие кривые (*Г=а(Л)) приведены на рис. 44. На рис.44,я
принято, что 1,539а» =2,89, а постоянная Ф0 равна (—1,51) на кривой 7;
(-1,575) на кривой 2; (-1,6645) на кривой 3\ (-1,7) на кривой 4;
наконец, Ф0 * -1,841 на кривой 5. На рис. 44,5 принято, что 1,539а* = 6,16,
а постоянная Ф0 равна (-2,586) на кривой 7, (-2,58) на кривой 2, (-2,53)
на кривой 3, (-2,48) на кривой 4, (-1,68) на кривой 5 и (-1,58) на
кривой 6.
Стационарные решения (я~и Л постоянны) имеют вид #=±tfsin2t/,
амплитудам определяется из уравнений
-4а + 3,078^ (а) ± 1,383 =
= VI,539< (Vl,539 a;-2) /,(«")-у .
t
Эти уравнения близки к уравнениям, полученным на стр. 83-84 для
определения постоянной амплитуды а (разумеется, при сравнении следует
положить 0*= 0).
На рис. 44,я имеется, как легко видеть, одно устойчивое стационарное
решение при Л = я/2. На рис. 44,6 имеются три стационарных решения
(одно при Л = я/2 и два пои Л = Зя/2). Из двух стационарных решений,
получающихся при Л = Зя/2, устойчиво то, амплитуда которого меньше
(второе - неустойчиво).
85

[SfPad
Рис. 44. Вращение спутника в
окрестности стационарных я-перноди-
ческих решений.
Таким образом,
предположение о распределении ветвей
устойчивых и неустойчивых
решений на
амплитудно-частотной характеристике рис. 42
оправдалось. Рис. 44
показывает также, что амплитуда
колебаний на стационарном
(периодическом с постоянной
амплитудой) решении имеет
меньшее значение, чем в его
малой окрестности, и,
следовательно, действительно для
осуществления стабилизации
спутника по силовой линии
геомагнитного поля
желательно реализовать 7г-периодичес-
кое решение с достаточно
малой амплитудой.
Построим теперь тг-периоди-
ческое решение уравнения
(3.19) при Р, = 0, которое
можно было бы использовать
в окрестности обоих первых резонансов, возникающих за счет влияния
свободного члена этого уравнения. Это решение будем искать в виде
д = ± b2 sin 2w ± 64sin 4w. (3.45)
Величины b2 и bA считаем положительными. При выборе знаков в
выражении (3.45) будем учитывать решение (3.40) линейной задачи.
После подстановки выражения (3.45) в уравнение (3.19) получаем
приближенные уравнения для определения амплитуд Ь2 и Ь4. Выпишем
уравнения, определяющие отдельные ветви амплитудно-частотной характеристики.
1. Первая ветвь (а, мало). Решение имеет вид
д = -&2 s*n 2м - b4 sin Ли,
а коэффициенты Ь2 и Ь4 определяются из уравнений
ЛЬ2 -39USamJo(b4)J1(b2)+0A93Jo(b2)Jl(b4)- 1,383,
16Z>4 - 3,078a,/o(Z>2>/1(b4) +0,439/0(Ь4У1^2)=: 0,888.
Здесь /0 — функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
2. Вторая ветвь характеристики (в линейной задаче магнитный параметр
а* находится между первым и вторым резонансными значениями). Решение
имеет вид
# = b2 sin 2w - b4 sin 4м,
86

а коэффициенты b2 и b4 определяются из уравнений
-4b2 +3,118a#/o(^M 0>2) + 0,493У0(Ь2)У1(Ь4)= 1,383,
16Ь4 - 3,078 <*,Mb2)Jx(b4)- 0,49370(*4)Si (*г) = 0,888.
3. Третья ветвь (в линейной задаче параметр аф больше своего второго
резонансного значения). Решение имеет вид
д = b2 sin 2м + Z>4 sin 4м,
а коэффициенты определяются из уравнений
-4b2 +39№a,Mb4)Jl(b2)-0A93Jo(b2)Jl(bA)= 1,383,
- I664 +3,078 а#/о(Ь2У1(^4)-0,493Уо(^4У1(^2) = 0,888.
На рис. 45 построена амплитудно-частотная характеристика решения,
взятого в форме (3.45). По оси ординат отложены значения амплитуды
(am) колебаний. Прерывистыми линиями показаны участки
характеристики, где решение, вероятно, неустойчиво.
Краевая задача (3.20) для уравнения (3.19а) решалась также
численными методами на ЭВМ. На рис. 46 приведена амплитудно-частотная
характеристика, полученная численным интегрированием (сплошные линии).
Прерывистыми линиями на рис. 46 снова воспроизводятся характеристики,
приведенные на рис. 45. Сравнение характеристик показывает достаточную
точность применяемых приближенных методов. Легко видеть, что при
бифуркациях периодических решений, происходящих в окрестности
резонансных значений параметра а,, их число изменяется на два. Поскольку же,
как показано ранее в этом параграфе, при небольших значениях параметра
а„ существует единственное я-периодическое решение рассматриваемого
вида, то полное число таких решений нечетно.
Замечание. Уравнение (3.19а) недавно было подвергнуто
интенсивному численному исследованию. В работах [111, 143] анализировались его
%5
Щ
кйт.рад к
\ i
\
у
у
i
, J
КУ
/ J
И '
/ /
/ /
/ /
/ '
/ /
i
|_VJ
/
■"—
-**
к am, рад
10
15
Рис. 45. Амплитудно-частотная характеристика, полученная аналитически.
Рис. 46. Амплитудно-частотная характеристика, полученная численно (сплошные
линии).
87

периодические решения и их устойчивость, а в работе [13] исследовалось
все множество решений. Обнаружены сложные бифуркации периодических
движений, наличие решений со стохастическими свойствами и т.п.
Анализ рис. 42 — 46 позволяет сделать некоторые практические выводы.
Стабилизирующие значения параметра ctm следует выбирать в областях,
лежащих между резонансами. Эти области, как легко видеть, расширяются
с ростом значения ат. Для достижения удовлетворительной точности
отслеживания спутником силовой линии геомагнитного поля параметр а* должен
Рис. 47. Схема демпфера.
быть достаточно большим. Например, если выбрать а, между первым и
вторым его резонансными значениями (а* ~~ 7,5), то точность стабилизации
находится в пределах 20 градусов. При выборе значения параметра а,
между второй и третьей ветвями характеристики (а* ^17) стабилизацию
можно осуществить с точностью в 8 градусов (такое значение а*
получается, например, при установке на спутнике "Эксплорер-4" постоянного
магнита весом около 30 граммов с магнитным моментом 4000 эрстед • см3).
Наконец, если а* лежит между третьим и четвертым резонансными
значениями (аф ~~ 35), то точность стабилизации близка к 4 градусам. Очевидно
также, что не всякое увеличение магнитного момента спутника приводит
к уменьшению амплитуды его колебаний в магнитном поле. Это связано
с наличием резонансных зон, показанных на рис. 46. Например, увеличение
параметра а„ с 20 до 25 приводит к заметному ухудшению точности
отслеживания магнитного поля.
Намагничивание оболочки, как видно из характеристик, показанных
на рис. 42, сдвигает амплитудно-частотную характеристику в сторону
меньших значений параметра а# и, следовательно, способствует
стабилизации.
Стабилизация спутников, имеющих намагничивающуюся оболочку
большого объема, как это следует из рис. 43, может осуществляться и без
установки на них дополнительных магнитов.
С увеличением размеров спутника увеличивается и магнитный момент,
необходимый для его стабилизации в' магнитном поле. Например, для
осуществления ориентации по магнитному полю с точностью в несколько
градусов (а* ~~ 50) 3-го советского спутника потребовалось бы установить
на нем постоянный магнит весом порядка десяти килограммов. Разумеется,
соответствующий магнитный момент на спутнике можно создать и за счет
определенным образом расположенных катушек, по обмоткам которых
пропускается ток.
88

3.4. я-периодические решения при наличии линейного трения. До сих
пор предполагалось, что моменты сил, действующие на спутник, имеют
силовую функцию. В реальных конструкциях для гашения колебаний
используются различные демпфирующие устройства.
Рассмотрим, например, демпфер [131], схема которого показана на
рис. 47. В теле спутника имеется сферическая полость 7, внутри которой
помещается сильно намагниченный шар 2. Небольшой зазор между этими
сферическими поверхностями заполняется вязкой жидкостью. Вектор 1ш
магнитного момента шара 2 отслеживает направление магнитной силовой
линии, и при колебаниях спутника около этого направления за счет трения
в зазоре происходит рассеивание энергии.
Если амплитуда этих колебаний невелика, то момент сил трения, по-
видимому, можно с достаточной точностью считать пропорциональным
первой степени угловой скорости колебаний.
Для изучения движения оси z спутника в плоскости орбиты проекцию
момента диссипативных сил на нормаль у г к плоскости орбиты возьмем
в виде
у* * du
где ag — безразмерный коэффициент.
Уравнение колебаний оси z спутника в плоскости орбиты с учетом
диссипации энергии (случай fim = 0) можно теперь записать в виде
d2d d$ . — 6sin 2м
г + ota + <хт VI + 3 sin^wsin i> = —- . (3.46)
du2 * du * (l+3sin2«)2 v '
Будем искать решение этого уравнения в области главного резонанса,
вызванного правой частью, в виде
# = ?со$(2к+Л).
Из уравнения (3.46) можно найти такие приближенные выражения для
определения величин "а и Л [168]:
45sinA-2tf o^cosA- 3,078a„/l(tf)sinA= 1,383,
- 4я cos A — Та ag sin A + 3,078 ост Jx (<F)cosA = 0.
Решая эти уравнения, получаем
2а„5"
cosA=—2— , -4а + 3,078a,/i(a)+ 1,383 sinA=0.
1,383
На рис. 48 построены амплитудно-частотные характеристики. Кривая 1
соответствует случаю ag = 0. На кривой 2 коэффициент <xg =0,2766, на
кривой 3 коэффициент ag = 0,5, на кривой 4 — ag = 1,383, на кривой 5 -
<xg = 2,766 и, наконец, на кривой 6 величина ag = 6,915.
На рис. 49 представлена зависимость сдвига фазы Л от величины
параметра сс+ (цифры на кривых соответствуют цифрам на кривых рис. 48).
Рис. 48 показывает, что наличие диссипации, вообще говоря, приводит
к уменьшению амплитуды колебаний. Амплитудно-частотная
характеристика, состоящая из нескольких ветвей (при с^ = 0), при наличии диссипа-
89

ции становится непрерывной кривой. Если коэффициент сопротивления ag
достаточно велик, то каждому значению параметра а» соответствует
единственное значение амплитуды J, т.е. из трех периодических решений
(получившихся при Л=37г/2, когда Ofc = 0) остается только одно, а явление
колебательного гистерезиса [41] исчезает.
Отметим, что для того, чтобы получить коэффициент сопротивления ag9
равный 0,5, требуется, например, чтобы максимум модуля момента дисси-
пативных сил для спутника типа "Injun" при радиусе его орбиты в семь
тысяч километров и амплитуде колебаний около вектора Н, равной 6
градусам, был равен 0,72 дины на сантиметр.
Для исследования устойчивости полученных решений запишем уравнение
(3.46) в виде
- + 1,539 аф1> =
du*
/ т^ Ю
= а.(1,539 # - VI + 3 sin2M sin #) - ag— +
6 sin2«
du (l+3sin2w)2
В первой резонансной области решение уравнения (3.47)
искать в виде
# = я cos(2w+A),
причем ¥ И Л определим из системы уравнений вида (3.44).
(3.47)
снова будем
5 а# 5 ю *щ
Рис. 48. Амплитудно-частотные характеристики.
Рис. 49. Зависимость сдвига фаз от параметра а*.
90

Из уравнения (3.47) приближенно находим [168]
da 1,383 cos Л aga~
л7"~л/Г539о7+2 2~*
(3.48)
<М 1,383 sinA . , Г1 1
— -—, +s/l,S39a,\- + —J1(a)
du в (VI ,539 а,'+ 2) ' *L2 a
-2.
Стационарные значения амплитуды и фазы можно найти из уравнений
-45" + 3,078a, Jt(а) + 1,383 sinA =
(3.49)
=vi,539<*;(Vb539^; - 2)Loo - y
cosЛ+ —£— = - -£— [Vl,539«; - 2].
1,383 2,766 l
Эти уравнения близки к тем уравнениям, согласно которым построены
амплитудно-частотные характеристики на рис. 48.
Пусть J и Л- какое-либо решение системы (3.49). Рассмотрим близкое
к нему решение
~а = 5", + А?, Л =Л„ + АЛ .
Уравнение в вариациях для системы (3.48) в окрестности решения ~а =1*,
А=А„ имеет вид
d Аа агАа 1,383 (АЛ)
=-.-£-— + ' ,-■ -sinA,,
dw 2 VT75l9a7 + 2
с/ДЛ 1,383(Дя) л/1,539 а ДА а)
= _., — ... sinA, + X
du (J.)2(Vl,539a;+2) 2(aJ2
1,383(AA)
Х{5"ЛЛ(^)-^Ю1~2/1(^)} + _ ; — cosA,.
^(\/1,539аф+2)
Стационарное решение <z*, А, будет асимптотически устойчивым при
выполнении следующих-условий:
- (Vl,539«; + 2)<*^# + 2,766 cos А. < 0,
( 1,383 sinA.
аясГ, cosA, + 2 sinA, J - ■■ " ; + (3.50)
* • • *1 VI ,539 а,+2
+ Vl,539aJJ./0(*J - 2/,(*J] J <0.
Первое из этих условий всегда выполнено. Второе условие выполнено
на участках амплитудно-частотных характеристик, показанных сплошной
линией на рис. 48. Если одно из неравенств (3.50) выполнено с обратным
знаком, то соответствующее стационарное решение неустойчиво. Второе из
неравенств (3.50) выполнено с обратным знаком на участках амплитудно-
частотных характеристик, показанных на рис. 48 прерывистыми линиями.
91

Проведенный анализ показывает, что наличие линейного трения создает
благоприятные условия для осуществления стабилизации спутника в
геомагнитном поле.
3.5. Влияние эллиптичности орбиты. До сих пор предполагалось, что
спутник движется по круговой орбите. Оценим динамические эффекты,
вызываемые эллиптичностью орбиты. Движение оси z спутника в
плоскости эллиптической орбиты описывается уравнением
d4 d& , -_
(1 + е cos v)—г- - 2е sin v— = - [афу/\ + 3 sirru sin # +
dp* dv
6
+ /3«(1 +<?cosi>)3(l + 3 sin2w)sin ^cos^] +—— ■—г X
(l+3sin2M)2
X { sin 2и + e [sin 2w cos v + sin v(l + 4sin2и + 3 sin4и)] }. (3.51)
Для большей простоты предположим, что перигей и восходящий узел
орбиты совпадают. Тогда уравнение (3.51) примет вид
d2& dd
—- — 2 е sin и
du2 du
U U UU . ——,
(1 +ecosw)—py - 2esinn-j~ + [а„лЛ +3sin2Msin# +
+ 0«,(1 +ecosM)3(l + 3sin2w)sin#cos#] =
6 sin 2м
(l+3sin2M)
2tt\2
[2cosm + c(4 - cos2м + 3 sin4a)]. (3.52)
Ранее было показано, что в случае круговой орбиты при достаточно
большом значении параметра а, возможны колебания спутника около силовой
линии геомагнитного поля с достаточно малой амплитудой. Амплитуда
этих колебаний, по-видимому, будет оставаться малой и на эллиптической
орбите с малым эксцентриситетом е (в областях значений параметра а,,
удаленных от резонансных).
Малые колебания спутника около силовой линии геомагнитного поля
описываются уравнением
d2& % d&
(1 + е cos и)—- — 2 е sin и +
du1 du
+ [а,\Л +3sinV+ 0,(1 + e cos w)3(l + 3 sin2M)i>] =
6 sin 2m 6 e sin w(4 - cos 2u + 3 sin4и)
= + . (3.53)
(l+3sin2w)2 (l+3sin2M)2
Выпишем несколько первых членов разложения в ряд Фурье функции
4-cos 2м + 3 sin4M
— sin и = 0,667 sin и + 0,278 sin Зи + ...
(1+3 sin2 и)2
(0,0266; 0,0179).
В скобках выписана средняя квадратическая погрешность от аппроксимации
92

этой функции одним и двумя первыми членами ее ряда Фурье.
Периодическое решение уравнения (3.53) можно искать в виде
оо
#= 2 Ьпйппи.
п = 1
Рассмотрим, например, приближенное решение в форме
d = blsmu + b2sm2u.
Подставляя это решение в уравнение (3.53), получим следующую
приближенную систему уравнений для определения постоянных коэффициентов
Ьх и Ь2:
(1,786а, +3,25 0, - 1)^ + 2,625е0,£2 =4е,
е(2,625 0, - 1,5)*! + (1,539 а, + 2,5 0, - 4)Ь2 = 1,383.
Выпишем решение этой линейной системы уравнений, сохраняя лишь члены,
содержащие эксцентриситет орбиты нулевой и первой степени:
ъ 4(1,539а, + 1,592/?,- 4) ^
1 (1,786а, +3,250. - 1)(1,539а, +2,50, -4) *%
1,383
b = !
1,539а,+2,50, -4
Амплитуда гармоники, появляющейся за счет эллиптичности орбиты,
пропорциональна эксцентриситету орбиты и, следовательно, остается малой
для орбит, мало отличающихся от круговых.
Кроме резонанса (1,539 а, + 2,5 0,) ^ 4, имевшегося на круговой
орбите, в колебаниях спутника появляется новый (эксцентрцситетный)
резонанс (1,786 а, + 3,25 0,) ^ 1. Если пренебречь намагничиванием оболочки
(0, = 0), то резонансы имеют место, когда а, ~~ 0,56 и а, ~ 2,6. Интересно,
что эллиптичность орбиты мало влияет на второе резонансное значение
параметра а,.
Обратим внимание на еще одно важное обстоятельство: существует
возможность компенсировать влияние эллиптичности орбиты на колебания
спутника. Действительно, из выражения для Ьх следует, что первая
(эксцентриситетам) гармоника отсутствует, если 1,539 а, + 1,592 0, » 4.
С учетом четырех первых гармоник решение уравнения (3.53) можно
искать в виде
# = bx sin и + b2 sin 2и + Ьъ sinЗи + b4 sin 4ы.
В отсутствие намагничивания оболочки коэффициенты этого выражения
приближенно могут быть найдены из следующей линейной системы
уравнений:
(1,786а, - I)*, - 0,227a,Z>3 s4e,
- lfiebt +(l,559a, -4)b2 - l,5eb3 -0,247a,£4 = 1,383,
-0,227a,Z>, -4eb2 + (1,539a, -9)b3 -4eb4 = l,668e,
-0,247a,62 -7,5eb3 + (1,539a, - \6)b4 =0,888.
93

Отсюда следует, что резонансные значения параметра аф таковы: 0,561;
2,56; 5,84; 10,4.
Рассмотрим теперь периодические решения нелинейного уравнения
(3.52). С учетом двух первых гармоник будем искать решение этого
уравнения в форме
& = ± Ьх sin и ± b2 sin 2м,
причем коэффициенты Ьх и Ь2 будем считать положительными, а при
выборе знаков учтем результаты решения только что рассмотренного линейного
уравнения (3.53).
Исходя из уравнения (3.52), можно получить приближенные уравнения
для определения величин Ьх и Ь2. Рассмотрим отдельно три случая.
1. Решение имеет вид
# = - bx sinn - 62sin2w.
Тогда величины Ьх и Ь2 определяются из следующей системы уравнений:
bx -3,511a.Mb2)Jl(bx)-3,250.М2Ь2)М2Ьг)-
- 2,625е0, У0(2&, )У, (2Ь2) = 4е,
4b2 + l,5eZ>, -3fl78a.J0(bl)Jx(b2)-2№M2b2)Ji(2b2)-
- 29625ep.J0(2b2)Jx(2bx) = 1,383.
2. Решение имеет вид
d = bx sinw - Ъ2 sin 2u.
В этом случае коэффициенты определяются из системы уравнений
- *i+3,571 a#/0(*2Vi(fti) +3^5Mo(2*iVi(2fc, )-
- 2,625ej3,yo(2Z>, )У, (2b2) = 4е,
4*>2 - lJSebi -3fl78amJo(bx)J1{b2)-2950.Jo(2bx)Jx(2b2) +
+ 2,625ePmJ0(2b2)Jl(2bx) = 1,383.
3. Решение имеет вид
# = 6isinw + &2sin2t/,
aZ?j и b2 задаются уравнениями
-Ьх +3,571а,У0(Л2)У1(Ь1) + 3,25^Уо(2^2)У1(261) +
+ 2,625е/3,У0(2^, )У, (2Л2) = 4е,
-4Z>2 - 1,5*6, +3,078а.У0(Ь1)У1(^2) +
+ 2,Sp.J0(2bl)Jl (2b2) + 2fi25eP.J0(2b2 )JX (2b t) = 1,383.
На рис. 50 построена амплитудно-частотная характеристика
рассматриваемых решений с учетом двух первых гармоник, а на рис. 51 показана
амплитудно-частотная характеристика первой (эксцентриситетной)
гармоники. При построении характеристик принято, что е = 0,01 и 0Ф = 0.
Правая ветвь характеристики на рис. 50 мало отличается от
соответствующей характеристики, представленной на рис. 42. Качественно новым
является то, что в случае эллиптической орбиты колебания оси z спутника
относительно силовой линии геомагнитного поля становятся 27г-периодичес-
94

Рис. 50. Амплитудно-частотные характеристики
колебаний полярного намагниченного спутника в
случае эллиптической орбиты.
Рис. 51. Амплитудно-частотная
эксцентриситетной гармоники.
1
характеристика
кими по аргументу широты. Благодаря наличию на характеристике ветви,
соответствующей устойчивым колебаниям спутника с небольшой
амплитудой, возможность его пассивной стабилизации в магнитном поле
сохраняется и в случае эллиптической орбиты.
3.6. Влияние гравитационного момента на магнитную стабилизацию.
Помимо моментов магнитных сил, на вращательное движение
намагниченного спутника оказывают влияние многие другие моменты. К ним в
первую очередь относится момент- гравитационных сил.
Исходя из уравнения (3.1), можно получить следующее уравнение,
описывающее вращательное движение спутника вокруг оси х, совпадающей с
нормалью к плоскости его круговой орбиты, с учетом магнитного и
гравитационного моментов:
d2d I г-т-ч
+ а„ у 1 +3 sin2w sin Ъ +
du2
P.
(1 +3sin2M)~l,5d
-3d
sin 2 и
1 +3 sin2H
cos 2^ =
1 -5
F
1 +3
6 sir
sin2 и *
sin2 и
2w
sin 2 ^
(3.54)
(l+3sin2w)2
Здесь через dобозначено отношение (В-С)/А.
Угол #, определяемый из уравнения (3.54), вообще говоря, может быть
сделан достаточно малым (при достаточно большом магнитном и
небольшом гравитационном моментах).
Малые колебания оси z спутника около направления Н приближенно
описываются уравнением
d2d Г ; г-1 „ l-5sin2w
du2
+ \<x.\/l +3sin2i/'+Ml +3sin2w)-3rf-
1 + 3 sin2w
# =
6 sin 2u
(1+3 sin2*)2
+ 3rf-
sin2w
1+3 sin2w
(3.55)
95

Выпишем первые члены разложения в ряд Фурье одного из коэффициентов
уравнения (3.55):
1 - 5 sin2w
— = -0,331 + 0,89 cos 2м + 0,291 cos Ли + 0,0495 cos 6w + ...
1 + 3 sin2w
(0,6674; 0,2221; 0,0837; 0,0505).
В скобках снова выписаны значения средней квадратичной погрешности
при аппроксимации функции отрезками ее ряда Фурье.
Будем искать приближенное решение уравнения (3.55) в виде
д - Ьг sin 2w + b4 sin 4м.
Из уравнения приближенно находим выражения коэффициентов Ь2 и Ьл:
Ь2 = {2,349а, +4,1270, - 22,15 -d[18,64 - (2,17а, +
+ 3,70, +2,012d)]} {2,31а2. + 5,6870* +7,329а,0, -
-30,8а, +64-50/3, -^/[25,27-(2,92а, +3,81/3, -0,47</)]} ~\ (3.56)
ЬА = {1,707а, +3,255/3, -3,55+£/[0,94 +
+ (1,142а, +2,3/3, + 2,467</)]} { 2,31 а2. + 5,6870* + 7,329а,0, -
- 30,8а, - 50/3, + 64 - d[25,27 - (2,92а, + 3,810, - 0,47rf)]} "l.
Легко видеть, что наличие малого гравитационного возмущающего
момента, не изменяя качественно характера движения спутника (колебания
остаются тг-периодическими), приводит лишь к некоторому изменению
коэффициентов Ъ2 и Ь4 и резонансных значений параметров.
Например, если d = 0,3, /3, = 0, то согласно выражениям (3.56)
резонансными будут значения параметра а*, равные 2,29 и 10,64(при d = 0
резонансными были значения параметра а„равные 2,64 и 10,8).
Более наглядную картину можно получить, прослеживая эволюцию
амплитудно-частотной характерстики я-периодических решений
уравнения (3.54) в первой резонансной области. Решение этого уравнения
приближенно (в окрестности значения а, = 2,64) будем снова искать в виде
д ="5cos(2w +Л).
Таблица 5
<?*= 1
а,
а
J = 0
*•
(1
(*)</=!-<* >cf=0
10 10е 18' 10 7°2' 3°16'
5 33е 5 22°24* Ю°36'
2 71°3' 2 59°36' П°27'
1 52° 10' 1 ЗГЗО' 20с40'
0 43° 0 19*50' 23° 10'
96

Рис. 52. Амплитудно-частотные характеристики при вза- ^о9рад
имодействии магнитного и гравитационного моментов.
Тогда из (3.54) можно получить уравнения для
определения <Ги Л. Решая их, находим:
1.Л=тг/2, # =-я sin 2м ;
4а - 3,078а, Jx (а ) - (2.50, + 0,993 d)Jx (2а)-
-\.323dJ0(2a)= U83.
3
2.Л= — я. d = a$ii\2u:
2 '
-4а +3,078а,У|(^2) + (2,5/3,+0,993йГ)У1(2а)-
-1,323<//0(2я)= 1,383.
Амплитудно-частотные характеристики
построены на рис. 52 для нескольких значений
параметра d (при построении характеристик
предполагалось, что оболочка спутника не намагничивается). Кривая 1 на рис 52
построена в предположении отсутствия гравитационных возмущений
(d = 0). В этом случае колебания спутника около направления Н возникают
только за счет магнитных эффектов. Кривая 2 построена для случая, когда
d = 0,3. Наконец, кривая 3 соответствует случаю, когда параметр d
максимален (flf= 1).
Из приведенных характеристик видно, что гравитационный момент
увеличивает амплитуду колебаний. Анализ удобно провести с помощью
табл. 5. В последнем столбце этой таблицы выписаны разности амплитуд
в случае максимальных гравитационных возмущений (d = 1) и в случае
их отсутствия для ряда значений параметра а,. Приведенная таблица
показывает, что вклад в амплитуду"# гравитационных моментов и
неравномерности вращения вектора напряженности - величины одного порядка.
Отношение (<Па= г к (а) ^=0 остается примерно постоянным и равным 1,5
при изменении параметра а,. Это значит, что влияние гравитационных
моментов на спутник, ориентированный по магнитному полю, может быть
весьма существенным, хотя возможность такой ориентации сохраняется.
3.7. Влияние аэродинамического момента на ориентацию спутника в
магнитном поле. При использовании низких орбит основными моментами,
определяющими вращательное движение намагниченного спутника, могут
быть магнитный и аэродинамический моменты. Исходя из (3.1), можно
получить следующее уравнение, описывающее вращение спутника вокруг
нормали к плоскости его круговой орбиты при взаимодействии
магнитного и аэродинамического моментов:
d2d [ > „ , cosw 1 2s\nucosd
dx » — м=у | sin & - d\«
du2
0,
■|a*Vl +3sin2i/-
dzAl
(1 +3sin2w)-
VI + 3shvV
5sin2w)
Vl + 3sinV
2(1 +3sin2w)
sin2#-
7. A.B. Белецкий
97

sin 2w 6 sin 2u
~*2, Г— cos 2^= —-. (3.57)
(l+3sin2w) 0+3sin2w)2
При составлении уравнения (3.57) для коэффициента ср принята [18]
приближенная формула ср = dx + d2tos^ (здесь d{ и dt - постоянные
коэффициенты). Кроме того, в (3.57) введены обозначения
tf i * ——г- , d2 .
2/4w§ ' * 2Aul
При небольшом аэродинамическом и значительном магнитном моментах
в области значений параметров, удаленных от резонансных, очевидно,
возможны малые колебания оси z спутника около силовой линии
геомагнитного поля. Такие колебания приближенно можно описать уравнением
d2d Г j г-? Л di + cosu
—Т + a*\A+3sin2w+0.(l +3sin2w) А ^ , ,
Л, -рл,*.—. ~ .„.V* •— ", ^д^
sin "и
1 — 5sin2w 1 6sin2t/ Idi+simi ^.sin2w
d2* # = + , + "
1 +3sin2w J (l+3sin2w)2 >/l + 3sin2w 1 + 3sin2w '
(3.58)
Выпишем несколько первых гармоник разложения коэффициентов этого
уравнения в ряды Фурье
cos и
;= 0,803cosw + 0,145 cos 3w + 0,038 cos 5w
\Л +3sin2M
(0,106: 0,0271; 0,0039),
2 sine/
, 7-=r = 1,142 sin и + 0,173 sin 3w + 0,042 sin 5 и
yl + 3sin2w
(0,1265; 0,0322; 0,0124).
В скобках снова выписаны значения средней квадратичной погрешности
от аппроксимации функций отрезками их рядов Фурье. Разложения
остальных коэффициентов уже приводились.
Будем искать периодическое решение уравнения (3.58) приближенно
в виде
d = b{smu + £2sin 2w.
Здесь коэффициенты bx и b2 считаются постоянными. Исходя из уравнения
(3.58), можно получить следующие приближенные уравнения для
определения 6, nb2:
(1,786а. +3,250, + 0,776rf2. - 1)£, -0,40Ы,.£2 = 1,142с/,.,
-0,401 </,.&,> + (1, 539а.+2,50. + 0,331d2. -4)62 = 1,383+0,441 d2..
Отсюда находим
Ьх =^.[1,142(1,539^ + 2,50.) + О,555</2. -4,015] X
X {(1,786а. +3,250. +0,776</2. - 1)(1,539а. +
98

+ 2,50.+0,331</2.-4)-0,161 <*?,}-',
Ь2 = Ю.383 +0,441 </2.)(1,786a. + 3,250. + 0,776d2. - l) + 0,459d? .]Х
X{(1,786<*. + 3,250. + 0,776tf2. - 1)(1,539<*. +
+ 2,50. + 0,331d2. -4) -0,161 J? J"1.
Резонансы имеют место, если
(1,786а. +3,25/3. + 0,776d2. - 1)Х
Х(1,539а. +2,50. + 0,331<*2. -4)**0,16Ы2..
Например, если j3. = rf2. = f/|.= 0, то резонанс наступает при значениях
параметра а*,равных 0,56 и 2,59.
Итак, качественно новым по сравнению с колебаниями в отсутствие
аэродинамического момента является появление в решении члена bx sin w,
причем коэффициент Ь\ пропорционален величине аэродинамического
момента.
Заметим, однако, что влияние аэродинамической гармоники может
быть компенсировано за счет магнитного момента. Действительно, Ьх =
= 0, если 1,142 (1,539 а.+ 2,5 0.) + 0,555</2. = 4,015. Например, в случае
0. = d2 * = 0 коэффициент Ьх равен нулю, когда а. = 2,28. Это
обстоятельство наряду с выявленной ранее возможностью компенсировать с помощью
магнитного момента влияние эллиптичности орбиты показывает, какие
(быть может, еще не вполне осознанные) перспективы открывает
использование магнитных моментов в системах ориентации спутников.
Исследуем теперь зависимость амплитуды первой гармоники от
параметров, исходя из уравнения (3.57). При небольших значениях параметра а.
решение этого уравнения будем приближенно искать в виде
d = bxsin(u+Ai).
Из уравнения (3.57) можно найти следующие приближенные соотношения
для определения величин Ьх и Кх:
[-ft, +3,О78а./,(£,) + (2,50. + 0,331tf2.)Jr,(2ftl)] sin А, =0, (3.59)
[~^1+3,078a.yl(^1)+(2,5/3.+0,331c/2.)y1(2^l)]cosAl = l,142^1.yo(^i).
Решая эти уравнения, находим:
1. Л! =0, д -bx sin w, а величина£>i определяется из уравнения
-jb, +3,078a.y,(Z>,) +(2,50. + 0,331</2.)/1(2Z>,) = 1,142dx mJ0(bx).
(3.59a)
2. A, = я. д = -bx shim;
bx - 3,078a./,(bx) - (2,50. + 0,331</2 JJx(2bx) = 1A42dx. J0(bx).
(3.596)
Амплитудно-частотные характеристики колебаний спутника,
определяемые уравнениями (3.59), показаны на рис. 53 для случая 0. = d2*=O.
На кривой 1 рис. 53 параметр dx. = —0,269, а на кривой 2 параметр dx. -
= -2,69.
Для сравнения отметим, что для спутника с моментом инерции А -
= 5 • 109 г-см2 (это-экваториальный момент инерции третьего Советского
7* 99

kbf>Prt
Рис. 53. Амплитудно-частотные
характеристики при взаимодействии
магнитного и аэродинамического
моментов.
спутника) и коэффициентом^/ь равным 3 м3, при высоте орбиты 500 км
получаем dx * = -0,313. Построенные характеристики показывают, что
влияние аэродинамических возмущений на спутник, ориентируемый по
магнитному полю, может быть весьма значительным. Поэтому пассивную
магнитную ориентацию разумно, по-видимому, использовать для
спутников, орбита которых достаточно удалена от поверхности Земли.
§ 4.0 некоторых режимах вращения полярного спутника
при взаимодействии магнитного и гравитационного моментов
Предположим, что вдоль оси z спутника установлен постоянный
магнит, а центр масс спутника перемещается по полярной эллиптической
орбите. Тогда система уравнений (3.1) допускает частное решение,
соответствующее вращению спутника вокруг нормали к его орбите под
действием гравитационного и магнитного моментов. Оси у и z при этом
остаются в плоскости орбиты. Такое вращательное движение можно описать
уравнением
(1 +есо$у)
dv2
— 2 е sin v
d$
d
+ — sin 2u?i
dv 2
— l3cos(^, -u)
cgs(<£, + u)\ = 2 e sin v.
(3.60)
Уравнение (3.60) содержит четыре параметра: of, a*, е, co^ (последний
из них входит в выражение и = v + со^, связывающее аргумент широты
с истинной аномалией орбиты).
Согласно рис. 38, положение оси г спутника в системе координат XYZ
неизменной ориентации определяется углом
7* =и+ </?!. . (3.61)
Следуя работе [36], назовем резонансными типа mi.m2 вращательные
движения спутника, подчиняющиеся условию
7*(")=— ы + *ф), ф + 2пт2) = ф). (3.62)
тг
Здесь m, и т2 - целые взаимно простые числа.
Таким образом, на резонансных вращениях (3.62) за каждые т2
оборотов по орбите спутник совершает т х поворотов вокруг своей оси в
100

абсолютном пространстве. Из (3.61) - (3.62) находим, что
резонанс
резонанс
резонанс
0:1,
1:1,
2:1,
d2K
du2
d2K
du2
d2K
du2
+
+
-
a.
2
d
2
3
1
cos к =
cos 2к
a* cosk
0;
= 0
= 0
m, —w2
^i(w) = и + к(и). (3.63)
m2
В случае круговой орбиты спутника его резонансные вращения
соответствуют в среднем равномерным по времени вращениям в абсолютном
пространстве. Ксли безразмерные параметры а* и d малы по сравнению
с единицей, а эксцентриситет орбиты спутника равен нулю, то решения
вида (3.63) уравнения (3.60) можно найти приближенно с помощью
асимптотических методов.
Приведем резонансы и соответствующие им уравнения для функций
к (и), которые дает первое приближение метода усреднения:
(3.64)
(3.65)
(3.66)
Резонансы 0:1, 1:1 и 2:1 назовем главными, поскольку они существуют
на круговой орбите и выявляются уже первым приближением
асимптотических методов.
Уравнение (3.64) имеет устойчивое решение к = Зет/2. Этому решению
соответствует устойчивое положение равновесия оси z спутника в
абсолютном пространстве (в момент прохождения экватора центром масс
спутника его ось z антипараллельна вектору напряженности
геомагнитного поля), обеспечиваемое за счет магнитного момента.
Уравнение (3.65) описывает хорошо известную стабилизацию
спутника по радиусу-вектору его центра масс за счет гравитационного момента.
Устойчивой ориентации соответствуют значения к = 0 и к = я.
Наконец, уравнение (3.66) при к = ет/2 описывает режим устойчивого
отслеживания в среднем осью z спутника текущей силовой линии
геомагнитного поля под действием магнитного момента. Действительно, в первой
главе показано, что за один оборот спутника по орбите вектор
геомагнитной напряженности делает два оборота в пространстве. Это
вращение, однако, происходит неравномерно по времени. В силу же (3.66)
при fc - ет/2 спутник, вращаясь равномерно, также делает два
поворота в абсолютном пространстве за один оборот своего центра масс по
орбите.
При определенных соотношениях между параметрами, содержащимися
в уравнении (3.60), оно имеет точные решения вида (3.61). Отметим
некоторые из этих резонансных решений.
1. Резонанс типа 3:2.
1
*i = - у, <** = 0, d = бе. (3.67)
101

Устойчивость решения (3.67) исследовалась в работе [170].
Соответствующее уравнение в вариациях имеет вид
d2z lecosv
-z = 0.
(3.68)
dv 1 +ecosy
Характеристическое уравнение для уравнения (3.68), как известно
[97], таково:
X2 -2ЛХ+1=0. (3.69)
В выражении (3.69) коэффициент
2d(«) = z,(2ir)+~(2ff).
dv
Здесь zx{y) и z2(v)- фундаментальная система решений уравнения (3.68),
нормированная в точке v = 0 (z, (0) = 1).
Если А2 (е) < 1, то рассматриваемое вращение в первом приближении
устойчиво, а если А2 (е) > 1 - неустойчиво. Численное и аналитическое
исследование устойчивости решения (3.67) показало, что оно неустойчиво,
если е > 0,069, и устойчиво в первом приближении, если е < 0,069. Функция
А (е) монотонно убывает при увеличении эксцентриситета орбиты от нуля
до 0,5 (интервал значений эксцентриситетов, в котором существует
решение (3.67)). На рис. 54 показана часть полученного численного графика
А(е).
2. Резонанс типа 1:2.
1
^ = „f а, = 0, d = - 2е. (3.70)
2
Уравнение в вариациях, соответствующее решению (3.70), имеет вид
d2l
dv2
ecos*>
1 + е cos v
2 = 0.
(3.71)
Устойчивость решения (3.70) в первом приближении зависит от корней
уравнения (3.69). Полученный численно в работе [186] график
зависимости Л (е) для уравнения (3.71) показан на рис. 55. Решение (3.70) устойчиво
кМе)
1
6
4
г
0
-2
-4
-6
\A(ej
-
0,5
| ' >
Ше
Рис. 54. К исследованию устойчивости решения <р, = I//2 уравнения (3.60).
Рис. 55. К исследованию устойчивости решения <£, = - v/2 уравнения (3.60).
102

по Ляпунову в линейном приближении, если е < 0,32046 и 0,9004 < е <
< 0,9174, и неустойчиво при других значениях эксцентриситета орбиты
спутника. Однопараметрические решения (3.67), (3.70) уравнения (3.60)
обусловливаются воздействием на спутник только гравитационного
момента.
Рассмотрим теперь ряд точных резонансных решений уравнения (3.60),
существующих при взаимодействии магнитного и гравитационного
моментов.
3. Резонанс типа 2:1.
Существуют два однопараметрических семейства решений:
*!=!>+ j . е = 0, «* = -<*,; (3.72)
я
^i-"--. e = 09 d = a#. (3.73)
2
Эти решения описывают отслеживание в среднем осью z спутника
силовой линии геомагнитного поля. Решение (3.72) соответствует
расположению вектора магнитного момента спутника по полю, а решение (3.73) -
против поля.
Исследование устойчивости решений (3.72) — (3.73) проводилось
численными и аналитическими методами. Анализ соответствующих этим
решениям уравнений в вариациях показывает [36], что решение (3.73)
неустойчиво, а решение (3.72) устойчиво в первом приближении для всех
а„ = — d < 3, кроме двух областей параметрического резонанса:
0,575 < а, < 0,795; 2,645 < а, < 2,795. (3.74)
В областях (3.74) решение (3.72) неустойчиво.
4. Резонанс типа 1:1.
Существуют [36] следующие точные двухпараметрические резонансные
решения:
ipx =0, oj„ = я/2, а, = 2е\ (3.75)
ifii = я, соп - - я/2, а, = 2е: (3.76)
ifii = - я/2, соя = 0, а, = е; (3.77)
\рх = я/2, а?я = я, а, = е. (3.78)
Значение гравитационного параметра d в решениях (3.75) — (3.78)
произвольно.
Как известно [18, 115, 139, 163], воздействие ньютоновского
центрального поля на спутник с неравными главными центральными моментами
инерции, центр масс которого описывает круговую орбиту, обеспечивает
устойчивую ориентацию спутника в орбитальной системе координат.
На эллиптической орбите такой точной ориентации не существует,
поскольку возникают так называемые эксцентриситетные колебания
спутника.
В предыдущем параграфе обнаружено существование принципиальной
возможности компенсировать влияние эллиптичности орбиты на
вращательное движение спутника за счет магнитных моментов. Наличие решений
103

(3.75) - (3.78) снова показывает, что на полярных орбитах с
определенным расположением перицентра при взаимодействии магнитного и
гравитационного моментов возможна компенсация эксцентриситетных колебаний.
В последнем случае реализуется точная устойчивая ориентация спутника
по радиусу-вектору его эллиптической орбиты, т.е. полная компенсация
влияния эллиптичности орбиты за счет магнитного момента. Имеются два
класса орбит, допускающих такую ориентацию: перицентр орбиты
расположен над полюсом (решения (3.75) - (3.76)) и перицентр - над
экватором (решения (3.77) - (3.78)).
Уравнения в вариациях дл* решений (3.75) - (3.76) совпадают и имеют
вид
d2z d-3ecos*>
—Г + 2 =
dv1 1-е cos v
(3.79)
На рис. 56 в плоскости параметров d и е показаны области устойчивости
(заштрихованы) и неустойчивости решений (3.75) - (3.76), полученные
численным исследованием уравнения (3.79). Области неустойчивости
(параметрического резонанса) начинаются при <?= О в точках d = 0,25;
1,0; 2,25.
ft«c. 56. Области устойчивости
(заштрихованы) и неустойчивости
решений (3.75)-(ЗЛ6).
Рис. 57. Области устойчивости
(заштрихованы) и неустойчивости
решений (3.77)-(3.78).
104

Решениям (3.77) - (3.78) также соответствует одинаковое уравнение в
вариациях вида
d2z d
-— 2=0. (3.80)
dv2 1 + е cos v
Области устойчивости (заштрихованы) и неустойчивости этих решений,
полученные численным исследованием уравнения (3.80), показаны на
рис. 57.
Сравнение рис. 56 и 57 показывает, что существенным условием для
устойчивости решений (3.75) - (3.78) является устойчивое отслеживание
Рис. 58. Области
(3.81)-(3.82).
0}
устойчивости
(заштрихованы) и неустойчивости решений
спутником радиуса-вектора его круговой орбиты в гравитационном поле:
большая ось центрального эллипсоида инерции спутника должна быть
направлена по радиусу-вектору орбиты. Это условие не имеет места лишь
в узких областях устойчивости на рис. 56 при d < 0. Отметим еще, что если
имеется возможность выбора, то для магнитной компенсации эксцентриси-
тетных колебаний лучше использовать орбиты с перицентром над
экватором (решения (3.77) - (3.78)). В этом случае в пространстве параметров
(см. рис. 57) области неустойчивости занимают меньшую часть плоскости,
чем на рис. 56, соответствующем решениям (3.75) - (3.76).
5. Резонанс типа 0:1.
Возможны [36] два семейства трехпараметрических решений вида
(3.63):
Vi(u) = -u +
d = 3a.;
(3.81)
1,(к) = -и-
</=-3<v
(3.82)
Решения (3.81) — (3.82) соответствуют магнитно-гравитационной
стабилизации спутника в абсолютном пространстве: на этих решениях
ось z спутника коллинеарна оси вращения Земли. Один из двух параметров
d ndm произволен так же, как и параметры е и <оя.
Исследование устойчивости решений (3.81) — (3.82) проводилось в
работе [36] численными методами. Обнаружено, что решение (3.81) неус-
тойчиво по крайней мере в окрестности соя = 0. Решение (3.82) в случае
105

О < соя < тг/2 имеет в плоскости параметров (а„, ё) области устойчивости,
мало зависящие от значения о>я. Эти области (заштрихованы) показаны на
рис. 58 для двух значений: cjw = 0 (рис. 58, д)иц = тг/2 (рис. 58, б).
Таким образом, в рамках принятых постановок проведенное при
взаимодействии магнитного, гравитационного и аэродинамического моментов
исследование привело к следующим результатам:
1. Существуют устойчивые периодические режимы ориентации спутника -
относительно:
а) абсолютного пространства (оси Земли),
б) радиуса-вектора орбиты,
в) текущей силовой линии геомагнитного поля.
2. Возможна строгая устойчивая ориентация спутника по
радиусу-вектору эллиптической орбиты за счет компенсации магнитным полем эксцентри-
ситетных колебаний.
3. Возможна строгая устойчивая ориентация спутника в абсолютном
пространстве.

Глава 4
ВЛИЯНИЕ МАГНИТНЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ МОМЕНТОВ НА СПУТНИК,
СТАБИЛИЗИРОВАННЫЙ В ОРБИТАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Как известно [18], при вращательном движении спутника с неравными
моментами инерции в ньютоновском центральном поле сил на круговой
орбите существует устойчивое положение его относительного равновесия
в системе орбитальных осей хъуг z3, при котором наибольшая ось
центрального эллипсоида инерции этого спутника совпадает с направлением на центр
притяжения. Известно также, что при движении спутника в
аэродинамическом потоке ось симметрии его оболочки ориентируется по вектору
скорости набегающего потока. Оба эти обстоятельства с успехом используются
при проектировании систем пассивной ориентации спутника в орбитальной
системе координат.
Обсудим, следуя работам [169, 172], влияние на такую ориентацию
моментов сил, вызываемых взаимодействием собственного магнитного
поля спутника с магнитным полем Земли, на примере вращательного
движения полярного спутника. Будем предполагать, что оболочка спутника
имеет ось симметрии, совпадающую с осью z его эллипсоида инерции,
вектор 10 направлен по оси z, А > В > С, оболочка спутника
намагничивается во внешнем поле вдоль оси симметрии. При этих предположениях
будем рассматривать частное решение уравнения (3.1), соответствующее
вращению спутника вокруг оси х, совпадающей с нормалью к его круговой
орбите.
§ 1. Влияние магнитных возмущений на спутник,
ориентированный в ньютоновском центральном поле сил
Если орбита спутника достаточно удалена от поверхности Земли, то
магнитные возмущающие моменты могут быть основными. Уравнение
вращения спутника вокруг нормали к его орбите с учетом гравитационного и
магнитного моментов можно, исходя из (3.1), представить в виде
—г 2<** sin и sin ipi — a, cos и cos \рх +
dir
+ I 1,5 d —у (1 -5 sin2 ii) I sin 2^| +0, sin 2u cos2\px = 0. (4.1)
При отсутствии магнитных возмущений уравнение (4.1) описывает
плоские колебания кругового спутника в гравитационном поле. При
небольших магнитных возмущениях возможны малые колебания около ра-
107

диуса-вектора орбиты, описываемые линейным уравнением
—— +[3J- 2а, sinw -0,0 -5sin2 u)]ipi = <*, cosw - 0«, sin2w.
du1
(4.2)
Можно показать [96], что при достаточно малых значениях параметров
а, и 0, уравнение (4,2) имеет одно и только одно 27г-периодическое по
аргументу широты и аналитическое относительно а* и 0, решение, если 3d Ф 1.
Если а, = 0„ = 0, то это решение обращается в нулевое порождающее.
Приближенное решение уравнения (4.2) можно получить, применяя
стандартную процедуру асимптотического метода [41]. В частности, если
/}«, = 0, решение этого уравнения в третьем приближении по малому
параметру а, можно искать в виде
\рх =асоьф +а„м1(л, ф, u) + ct\uz(a% Ф,и) + а1и$(а, ф, и).
Здесь переменные а и ф определяются из уравнений
^£ = осфА1(а)^ос1Л2(а)^а1АЛа1
du
— = V37+*.*!(*) +а* Д2(*) + а*Яз(Д
du
причем коэффициенты АтВ„9ип (я = 1, 2, 3) подлежат определению из
уравнения (4.2).
Проведя выкладки, находим требуемое приближенное решение в
следующем окончательном виде:
{cosw Г sin (w + ф) sin (м - ф) 1)
1—77 +Л + Г
l~3d U+lJld* l-2x/37J'
f sin 2к a \ cos(2m + #)
_ a2 1 x _ 1
VJ7 X-ls/Tdt
"f '
4L(l+2<
(1 -3d)(3rf-4) 4 I (1 +2л/з7)(1 + ^3?)
cos(2w - tfO -n 3/ cos3w
;]h:{^
(i-2V37xi-V37)J/ 10-3^)(3rf-4)(3t/-9)
sin (Зм + \fr)
cos 1/ a Г
+ (l-3</)2(3tf-4) + Щ"^
■ V3?)(l + 2 \f37)(2 -/37+ 3)
sin(3u - #) 1 e
(l--/35')(l-2-/37)(2>/lrf,-3)J 4-/37(l-12rf)
Г>Д?(1-12<0-8(1+УЗ?)2 .
X I sin (и + ф) +
L (i + V37)( 1 + 2 >Лз7)2
. Уз7(1-1^) + 8(1-Уз7)г . , ii
+ sm (и - 4») |>. (4.3)
(l —/37)0 - 2 VlSy Ji
108

Таблица 6
Характер возмущений
Резонансные значе«
ния параметров
Колебания за счет
правой части
уравнения
Параметрический
резонанс
Магнитные
моменты
3d=\
3d =1/4
3</=1
3d = 9/4
Эллиптичность
орбиты
3tf=l
3d =1/4
нет
3d = 9/4
В выражении (4.3)
A=const, ф= \у/~3<Г +
а2
;]••
+ const.
y/U(\ - \2d)
Очевидно, что за счет наличия правой части в линейном уравнении (4.2)
в решении (4.3) возможен резонанс, если 3d % 1. Поскольку по
физическому смыслу d < 1, то резонансов при 3d ъ 4 и 3d ^ 9 физически не
существует. Параметрический резонанс в решении (4.3) в первом приближении
возникает, если 3d ^ 1/4; второе приближение выявляет второй
параметрический резонанс, когда 3d % 1; наконец, третье приближение обнаруживает
еще один параметрический резонанс, когда 3d ^ 9/4.
Из решения (4.3) можно получить 2тг-периодическое частное решение
если начальные условия обеспечивают выполнение равенства а - 0. Неко
торые из обнаруженных сейчас резонансов, возникающих за счет взаимо
действия гравитационного и магнитного (возмущающего) моментов,
совпадают с резонансами, возникающими за счет эллиптичности орбиты
найденными в работе (18]. Это видно из табл. 6.
2эт-периодическое решение уравнения (4.2) можно приближенно найти
в виде
•pi =%fli cosm + b2 sin 2u,
причем коэффициенты a t и b2, определяемые подстановкой этого решения
в уравнение (4.2), выражаются следующим образом:
4 -3d -0,50,
*i =-<*„
Ь7=-
9d2 - !5tf + 4-<*2 -0,5/3. + 3,75сфф-О,37502
а2,-МЗ J+ 0,25 0, -1)
(4.4)
9d2 - 1 Sd + 4 - а2 - 0,5 0, + 3,75 dp. - 0,375 02 *
Пример. Рассмотрим спутник с параметрами А = 12,5 кгс-м»с2,
5=12 кгс-мс2, С = 2 кгс-м-с2, /0 = 1,25-103 эрстед-см3, 0, = 0. Для
такого спутника d = 0,8, а, = 0,204.
Отметим, что эта величина магнитного параметра а, вполне реальна.
Например, для третьего советского спутника параметр аф = 0,14. Пусть
заданы начальные условия </> i (0) =0,1 рад, d$ i/du (0) = 0.
109

Из выражения (4.3) можно тогда найти
^i(w) = 0,146 cos и + 0,0455 cos (1,55 и + 3,02) -
- 0,00227 sin (2,55 и + 3,02) - 0,00443 sin (0,55 и + 3,02).
Угол \р 1 достигает максимального значения в 8° 45'. При рассмотрении
для тех же значений параметров спутника решения (4.4) получаем
«pl(i/) = 0,143 cos и - 0,0183 sin 2 и.
Здесь максимальное значение угла \р 1 равно 8° 12'. В обоих случаях
отклонение от положения относительного равновесия сравнительно невелико.
Предположим теперь, что известно какое-либо решение \р i (м) уравнения
(4.2). Для ^исследования этого решения на устойчивость введем
возмущение А кр i (и). Уравнение возмущенного движения, получаемое из уравнения
(4.2), имеет вид
d2A*i
— + [3d- 2а, sin w-0,(1 - 5 sin2t/)]A^i = 0.
dur
Как известно [97], при достаточно малых значениях параметров а* и 0,
это уравнение имеет устойчивые решения, кроме решений,
соответствующих значениям параметра 3d, близким к п2/4 (где п - целое число). При
тех же значениях параметра 3d неустойчивыми будут и решения уравнений
(4.2) и (4.1).
Учитывая, что физически d < 1, неустойчивость будет возникать, если
3d ^ (1/4, 1, 9/4). Все эти значения уже были выявлены при анализе
решения (4.3).
Значения параметра 3d, ограничивающие области параметрического
резонанса, можно найти, используя стандартную процедуру [97]. Например,
если /3* = 0, области неустойчивости имеют вид
4l 3d 72W It 41 3if 72W / J
1 /«.V 5 /а.У
"TAJ) t-<3d<,trA7)*-
4L 16 W / 64W / J
<„<*[,♦ -LfiV ♦ Ц±)' ♦...}.
4[ \6\d J 64\d J J
Размеры приведенных областей неустойчивости, очевидно, зависят от
параметра а,. Они показаны на рис. 59.
Например, если 3d/а, = 10, то области неустойчивости таковы:
1.0,2419 < 3d < 0,2586 (ширина области 0,0167).
2. 0,99963 < 3d < 1,00185 (ширина области 0,00222).
3. 2,25109 < 3d < 2,25175 (ширина области 0,00066).
Первая из выделенных областей неустойчивости в 7,5 раза шире второй,
а вторая — в 3,37 раза шире третьей.
110

1,5
m
\a,paO
4^
Zy
ZJ
/ h
' //
it
It
ft
ft
t
I
I
*
t
s2
*£^>*
.■""
*<££*
/
/
•
j+~*
^z
■~~\
/
0 0,1 0,2 0,Z 0,U 0,5 0,0 0>7 0$ OJS 1 d
Рис. 59. Области неустойчивости колебаний спутника около радиуса-вектора его
орбиты.
Рис. 60. Сравнительные характеристики влияния магнитных возмущений на спутник,
гравитационно ориентированный в орбитальной системе координат.
Рассмотрим теперь 2я-периодические решения уравнения (4.1). Как
следует из приведенных решений линейного уравнения (4.2), в том случае,
когда параметр а* существенно больше, чем параметр 0» (что и будем
предполагать), основное значение в 27г-периодических решениях имеет
член с первой гармоникой по аргументу широты. Будем приближенно
искать решение уравнения (4.1) в виде
</?i = a cos (и + Л).
Исходя из уравнения (4.1), находим два приближенных уравнения для
определения величин а и Л через параметры at,, 0#, d:
[e-(3</+l,5 0.)Si(2ff)]sinA = о,
<*.Ma)+[a-(3d- lfifim)Ji(2a)]co$A = 0.
Из этих уравнений получаем:
1. Л = 0, «/?i =acosu;
a*io(tf) + ^-(3rf+l,5^,)71(2tf) = 0. (4.5)
2. Л=я, крх = — a cosw;
a* J0(a)-a + (3d + 1,5 0.)7t(2*)»0. (4.6)
Амплитудно-частотные характеристики рассматриваемого решения
имеют по две ветви. На рис. 60 эти характеристики построены для
нескольких значений параметра а, (при построении характеристик предполагалось,
что0*= 0).
Наименьшее значение ^ х, максимального отклонения от положения
относительного равновесия спутника в ньютоновском центральном поле
сил соответствует амплитуде а, выбранной на нижней ветви амплитудно-
частотной характеристики при d = 1.
Из представленных характеристик следует, что
111

11 * %0,3° при значении параметра а*, в сто раз меньшем максимального
значения гравитационного (d = 1) (кривая 7, а+ = 0,01):
кр ! т ъ 3° при значении магнитного параметра а*, в десять раз меньшем
максимального значения гравитационного (кривая 2, аф = 0,1);
\р 1 щ * 14° при значении магнитного параметра, в два раза меньшем, чем
максимальное значение гравитационного (кривая 3, а„ = 0,5);
\р j ч ^ 34,5° при равных значениях магнитного и максимального
гравитационного параметра (кривая 4, а, = 1).
При дальнейшем увеличении магнитного момента (а, > 1,075) нижние
ветви характеристик исчезают и исследуемая первая гармоника будет иметь
очень большую амплитуду: из трех периодических решений остается только
одно. Характеристики, однако, показывают, что и при малых магнитных
возмущениях амплитуда колебаний спутника в резонансной области может
быть весьма существенной (кривая 1 рис. 60).
Рассмотрим теперь колебания спутника в окрестности 2 апериодических
решений уравнения (4.1) при /3* = 0. Введем в уравнение (4.1) угол
</? 4 = 2у ! и перепишем его в виде
—-- + 3d sin «л, = 2aJ cos и cos — + 2 sin и sin — 1.
du2 4 \ 2 2 /
Для исследования уравнения асимптотическими методами более удобна
следующая форма его записи:
d2*A
+ 3cfy?4 =
.du
(кр4 фА \
cos и cos — + 2 sin w sin — J + 3d(\p4 - sin </?4 ). (4.7)
Правая часть уравнения (4.7) при небольших магнитных возмущениях
мала. Будем искать решение этого уравнения в первом приближении в виде
V?4 - a cos(w - Л), (4.8)
причем в и Л должны быть определены из системы дифференциальных
уравнений
Здесь величины A i (а, Л) и Bi (а, Л) считаем малыми одного порядка с
правой частью уравнения (4.7).
Подставляя решение (4.8) в уравнение (4.7), получим следующие
приближенные (в разложениях функций sin у и cos у в ряды Фурье по
аргументу широты сохранены только первые члены) выражения его правой
части:
2a* I°(f )c0sM + 4/i(f jsin и cos (w +Л) 1+ 3d[a-2Jl(a)]cos(u+A).
112

После стандартных, согласно [41], выкладок находим
da / я\а. sin Л
da /a\
</и 2 \2/в(л/з7+1) fl
^+1 (4.9)
Стационарные периодические решения определятся, если приравнять
нулю правые части системы (4.9) и найти соответствующие значения
величин а и Л. Проводя выкладки, обнаруживаем, что периодические решения
имеют вид <р 4 (и) = ±а cos и, а постоянная а определяется из уравнения
^«^•^(-i-)*-!-—3rfr-/»<e>a=e^j^<^33"- i>[t ~ ^1<^>1.
Правая часть этого уравнения близка к нулю (в резонансной области
3d * 1, а в нерезонансной а ** 27 i (а)). Поэтому приведенное уравнение
близко к уравнениям (4.5) - (4.6), согласно которым построены
амплитудно-частотные характеристики на рис. 60.
В общем случае систему уравнений (4.9) можно записать в виде
da 2 /а\ЪФ d\ _ 2 /а\ ЭФ
— = Jо I — I — , — — Jo I — 1 •
du а \2/ЭЛ du а \2/ да
Здесь Ф— функция переменных а и Л, имеющая следующий вид:
да»
Ф(а, Л) = cos Л +
л/17+ I
U^ \ а^ >/Jdt Ma)
da.
Теперь очевидно существование интеграла Ф= Ф0 = const, наличие
которого позволяет построить кривые а = а (Л). Такие кривые построены на
рис. 61 для того случая, когда параметр а, = 0,01. На рис. 61,a (rf = 0,27)
имеется одно устойчивое стационарное решение при Л = я. На рис. 61,5
(d = 0,4) имеем три стационарных решения при Л=0и Л = тт. Из двух
стационарных решений, получающихся при Л = 0, устойчиво то, амплитуда
которого меньше, другое - неустойчиво. Наибольшую амплитуду имеет
устойчивое периодическое решение, получающееся при Л = п'.
На рис. 61, а кривая 1 построена при значении постоянной Ф0, равном
0,00015; кривая 2 - при Ф0 = 0,0001; кривая 3 - при Ф0 = 0; кривая 4 -
при Ф0 = —0,0002. На рис. 61,5 кривая 1 соответствует значению Ф0 =
= — 0,0002; кривая 2 — значению Ф0 = 0; кривая 3 - значению Ф0 =
= 0,01375; на кривой 4 величина Ф0 = 0,0141, на кривой5 величина Ф0 =
= 0,02, на кривой 6 величина Ф0 = 0,024 и, наконец, на кривой 7Ф0 =
= 0,025.
8. A.B. Белецкий
113

а9рад
а)
2п л
Рйс. 61. Колебания спутника в
окрестности периодических решений.
к a, fluff
2л Л
Таким образом, распределение устойчивых и неустойчивых движений на
ветвях амплитудно-частотных характеристик, представленных на рис. 60,
действительно является таким, как там предполагалось. Для
стабилизации спутника в орбитальной системе координат наиболее выгодно
реализовать устойчивое периодическое решение, получающееся при Л = 0.
При рассмотрении решений уравнения (4.2) было установлено, что когда
3d ^ 0,25, возникает основной (по ширине области) параметрический
резонанс. Для уточнения интервала значений параметра 3d, в котором
возникает параметрический резонанс, и оценки амплитуды колебаний
проанализируем решение уравнения (4.1), когда 3d ^ 0,25.
Из выражения (4.3) следует, что при малом а, и 0, = 0 решение
уравнения (4.1) в области первого параметрического резонанса можно
приближенно искать в виде
</>i = Ьх sin
(И-
Подставляя это выражение в уравнение (4.1), получаем приближенные
уравнения для нахождения величин Ьх нЛ:
3dJl(2bi)--
3dJl(2bl)-
bi
cos Л — 2a#Jri(bl)sinA=0,
sin \-<xmJi(bx)co$ Л^О.
Решая эту систему уравнений, получаем (случай Ь\ = 0, очевидно, не
представляет интереса):
1.Л = я/4, -Зтг/4;
3dJl(2bl)--± -2cc.Ji(bl) = 0.
2.Л=Зя/4, -тг/4;
(4.10)
3dJi{lbl)-T +2аФЛ(*1) = 0.
(4.П)
114

Амплитуда колебаний спутника однозначно определяется, если
1 -4а„ 1 +4а*
! < d < ! ,
12 12
что с точностью до а* совпадает с вычисленными на стр. 110 границами
первой области неустойчивости, если там приближенно положить d = 1/12.
Установившиеся колебания спутника в области главного
параметрического резонанса имеют вид
^i = ±ЬХ sin(| ~ ~j.
На рис. 62 изображены амплитудно-частотные характеристики,
построенные в соответствии с уравнениями (4.10) и (4.11). При построении
кривых 1 принято, что ост = 0,01; для кривых 2 параметр аф= 0,1. Значения
величины bi в области параметрического резонанса соответствуют ветвям
характеристик, показанных на рис. 62 сплошными линиями.
Из приведенных характеристик видно, что область первого
параметрического резонанса существенно увеличивается с увеличением магнитных
возмущений; при этом замегно возрастает и максимальная амплитуда
колебаний, которая может быть достаточно большой уже при а* = 0,1.
В заключение этого параграфа сравним влияние возмущений от
магнитных моментов и эллиптичности орбиты (влияние эллиптичности орбиты
проанализировано отдельно в работе [15]) на максимальную амплитуду
колебаний оси z спутника около радиуса-вектора его орбиты. В
безразмерном виде магнитные и эксцентриситетные возмущения будем сравнивать
при одинаковых значениях параметров а* и е. Сравнение удобно провести
с помощью табл. 7, где принято а» = е - 0,01.
Из приведенной таблицы следует, что 2я-периодические колебания,
обусловленные эллиптичностью орбиты, имеют несколько большие амплитуды,
Рис. 62. Амплитудно-частотные характеристики в области параметрического резонанса.
чем такие же колебания, возникающие за счет магнитных возмущений.
В области параметрического резонанса наблюдается, однако, обратная
картина.
Сделаем некоторые количественные опенки. Значение магнитного
параметра а* = 0,01 следует считать малым (это, например, на порядок меньше,
чем параметр аф, определенный для третьего Советского спутника).
Однако уже при этом малом значении в резонансной области амплитуда
колебаний спутника около радиуса-вектора его центра масс в гравитационном
поле может достигать 10-12 градусов. Вне этой области амплитуда
колебаний мала.
8*
115

Таблица 7
——________^ Характер возмущений
Характер колебаний ■—^—^__^^
2 я-пери
одические

Параметрический резонанс
Максимальная
амплитуда (в градусах) на
ветвях амплитудно-
частотных
характеристик
Правая
ветвь
Левая
ветвь
Интервал резонансных значений
параметра d
Максимальная амплитуда (в
градусах)
Магнитные
моменты
12,6
23,9
0,08 - 0,0867
22,4
Эллиптичность
орбиты
17,2
31
0,0817- 0,085
14
Если параметр а, больше единицы (такой магнитный параметр будет
иметь, например, спутник с моментами инерции, на порядок меньшими,
чем главные центральные моменты инерции третьего Советского спутника,
и с таким же, как у него, магнитным моментом), амплитуда колебаний
около радиуса-вектора возрастает до десятков градусов во всей области
значений параметра а, и, следовательно, пассивная стабилизация спутника
в орбитальной системе координат на круговой орбите за счет
гравитационных моментов становится невозможной.
При осуществлении гравитационной ориентации американских
спутников сначала производилось их демагничивание, а затем выдвигались
ориентирующие штанги. Например [163], после выдвижения штанг
экваториальные моменты инерции спутника '4963 22А" стали Л = В = 0,97-1010 г-см2.
Остаточный магнитный момент после демагничивания не превышал
100 эрстед-см3. При этом магнитный параметр а« был равен 0,00206 и,
следовательно, магнитные моменты слабо влияли на движение спутника
вокруг его центра масс. Между тем без демагничивания даже выдвижение
ориентирующих штанг позволило бы осуществить гравитационную
ориентацию этого спутника с точностью лишь в пределах 20° (а* = 0,516).
Итак, при пассивной стабилизации космического аппарата в орбитальной
системе координат с помощью гравитационных моментов следует
стремиться по возможности уменьшить его магнитный момент. Особенно это
относится к легким спутникам.
§ 2. Влияние магнитных возмущений на спутник,
ориентированный по вектору скорости аэродинамического потока
Предположим, что орбита спутника расположена достаточно близко от
поверхности Земли, а центр давления аэродинамического потока не
совпадает с центром масс спутника. Тогда на спутник будет действовать момент
аэродинамических сил, стабилизирующий его по касательной к орбите. Для
некоторых спутников при такой стабилизации основными возмущающими
моментами могут быть моменты магнитных сил. Обсудим их влияние на
динамику вращательного движения спутника.
116

Исходя из уравнения (3.1), можно получить следующее уравнение,
описывающее колебания оси z спутника относительно касательной к его
круговой орбите:
d2<p2
+ (a, cos и - d\» )sin <р2 — %а* sin u cos Фг +
du2
IТ( w*—~ Isin 2^2" "•sin 2ucos 2*2 = °- <4-
12)
В отсутствие магнитных моментов (ат = 0* = 0) это уравнение имеет
очевидное решение у 2 = 0 (идеальная стабилизация вперед), а также
решение ip2 = я (идеальная стабилизация назад). Если центр давления для
оболочки спутника находится позади его центра масс, то можно ожидать, что
при небольших магнитных моментах ось z спутника будет совершать малые
колебания относительно касательной к его орбите. Такие колебания можно
описать уравнением
йгУг
—-- + [ a, cos и - dx п + 0,(1 - 5 sin2 и) - d2* ]<p2 =
du*
= 2<*,sinM + 0, sin 2w. (4.13)
Полагая, что параметры аф и 0* существенно меньше параметра </3 =
= — (</i * + d2*), и используя стандартную процедуру асимптотического
метода [41], можно построить решение уравнения (4.13) с любой степенью
точности. Например, если 0Ф = 0, то решение этого уравнения во втором
приближении по малому параметру а« имеет вид
(2sinw at cos(w + ф) cos(m-^)1\
<р2 =flcos ф +а+\ + — + ; +
2| sin2w а г cos(2m + ф)
+ аЧ У3-1№-4) + Тб[ (1+2v^Ki+VrfT) +
cos (2w - ^)
1 -v^7)J/
(4.14)
(l-2VrfT)0
Здесь
я = const, ^ = I л/^з*+ —г—, w + const.
Г 4VG7(4J3-1) J
Решение (4.14) выявляет резонансы в вынужденных колебаниях
спутника, когда d3 * 1 и с/3 % 4, а также параметрические резонансы, когда J3 ^
^1/4 и d3 *1.
2 я-периодические решения получаются из выражения (4.14), когда
начальные условия выбраны так, что а = 0. Отметим совпадение некоторых
полученных здесь резонансных значений параметра с?3 с соответствующими
резонансными значениями параметра d при колебаниях спутника в
ньютоновском центральном поле сил.

С учетом намагничивания оболочки спутника 2^-периодическое решение
уравнения (4.13) можно приближенно искать в виде
кр2 = Ь1 sin и + Ъ2 sin 2м.
Подставляя это выражение в уравнение (4.13), можно найти
коэффициенты &i и Ъ2\
1 4(dx, + d2 „ + 2,750, + 1) (d,. + rf2. + 1,5/}. + 4) - a2.
a2,+0*(rf1*+d2,+ 2,75/3*+ 1)
Zb =-4
(4.15)
4(d,,+rf2. + 2,750.+ l)(tf,,+</2, + l,50»+4)-a2
Рассмотрим, например, спутник с параметрами А - 10кгс*м-с2, /0 =
- 103 эрстед-см3, 0*=О, R = 6,8- 106м, Ра = 6,75 • 1(Г13 кг • с2 /м4. Тогда
для этого спутника параметр а* = 0,204. Согласно [18],
puR2(<li+d2) PaR2zgSgcz
d-+*--—£5 *—£ •
где z^ — аппликата центра давления в триэдре xyz, cz - коэффициент
аэродинамического сопротивления^ - характерная площадь.
Примем zg = — 0,5 м, с2 = 2, 5^ = 3м2. Тогда d3 %4,68 и,
согласно (4.15),
ур2 = 0,111 sin и - 0,0166 sin 2н.
Максимальное значение угла у2 близко к 6°.
Для исследования какого-либо из решений уравнения (4.13) на
устойчивость введем возмущение Ау2(и). Уравнение возмущенного движения
имеет вид
d 2 А^2
:— + [<*♦ cos и + d3 + 0» (1 - 5sin и)] Д^2 = 0.
dur
Известно [97], что нулевое решение этого уравнения устойчиво при всех
значениях параметра d3 и малых величинах параметров (*♦ и 0», кроме
значений с/3» близких к и2/4, где п — любое целое число, которое можно
трактовать как номер резонансной зоны (зоны неустойчивости).
Первые три области неустойчивости при 0* = 0 можно найти в виде
1 а, 7 /аЛ2 1 а, 7 / а* \2
128 \d3/ 4 8</э 128 \ rf3 /
8rf3 128
'-»(*) *-<*<1*й(*)*-- (4,б)
V 16 d3 ) 4 \ 8 d» J
♦ (it)'. 1(1 b.Y
\ 16 d3 / 4 \ 8 rf3 /
k3
+ ...<J3<2,25 +
v3
+ ,
118

2,25\
°>25\
Рис. 63. Облает неустойчивости колебаний
спутника около касательной к круговой
орбите.
Рис. 64. Амплитудно-частотные
характеристики в области параметрического резонанса.
V
0,2
0у1 Qfi *„
'//1 S''Jr*
— /1/ v A—
I I I I I =J
V
0,2
0,75
V* (-iff*)
Первая из этих областей имеет ширину порядка малого параметра а*.
Ширина следующих областей быстро уменьшается с увеличением номера п
зоны неустойчивости. Области неустойчивости при п = 1, 2, 3 показаны на
рис. 63. Например, если а*/</3 = 0, 1, то интервалы неустойчивости таковы:
1. 0,238046 <db< 0,263046 (ширина интервала 0,025).
2. 0,999167 <d2< 1,004167 (ширина интервала 0,005).
3. 2,2527905 <d3< 2,2535375 (ширина интервала 0,000747).
Первый интервал в пять раз шире второго, а второй в 6,7 раза шире
третьего. Следующие интервалы имеют пренебрежимо малую ширину.
Для оценки амплитуды колебаний спутника в области первого
параметрического резонанса используем уравнение (4.12). С точностью до а* (при
0* = 0), как это видно из выражения (4.14), решение в этой области следует
искать в виде
кр2 = a cos
(Н
Исходя из уравнения (4.14), можно приближенно получить следующие
уравнения для определения величин а и Л :
— +2^*У1(я) + а,У,(д) + </2*/1(2д)
sin Л= 0,
[?
+ 2d, Jx (а) - о* У, (а) + d2 *7, (la) cosA= 0.
Решая эти уравнения, находим:
. и
1. Л=0, </>2 =я cos — ;
а
- + 2dx „У, (а) - ct*Jx (a) + d2 *JX (2a) = 0.
4
и
ip2 - - a cos — ;
7Г
2. Л=-
T+2f/l*y,(j) + a*/,(fl) + d2,/1(2flf) = 0.
4
119

Амплитудно-частотные характеристики, соответствующие приведенным
уравнениям, построены на рис. 64 для случая d2 * = 0. На кривой 1 рис. 64
параметр а* = 0Л, а на кривой 2 параметр а* = 0,2. Амплитуда однозначно
определена в интервале
0,25- — <[-<*!*] <0,25+ — , (4.17)
где и возникает параметрический резонанс. Амплитуды колебаний при
резонансе определяются левыми ветвями характеристик, показанных на
рис. 64.
Заметим, что неравенство (4.17) может быть также получено из первого
из неравенств (4.16), если там приближенно положить d$ - 1/4 и отбросить
члены порядка (а*Д/3)2 и выше.
Оценим теперь амплитуду колебаний, возникающих за счет
периодических членов в правой части уравнения (4.13). Предположим, что магнитные
возмущения невелики и а* > 0*. Тогда, как показали рассмотренные
приближенные решения уравнения (4.13), в колебаниях оси z спутника
около касательной к его орбите основное значение имеет член с первой
гармоникой. Для оценки его амплитуды будем приближенно искать решение
уравнения (4.12) в виде <р2 = bx sin (и +Л). Для определения величин Ьх и
Л можно получить следующие уравнения:
[*i + 2dXmJl(b1) + (U5p*+d2*)Ji(2bl)]sinA=0,
2a*/0(*i)+ №i +2</1*/,(М + ОЖ +d2«KM2*i)]cosA=0.
Решая их, находим:
1. Л=0, $г=Ь\ %ти\
величина Ьх определяется из уравнения
Ьх + 2а.МЬх)+ 2di*Jl(bl) + (1.50* + d2.)Jl(2bl) = Q. (4.18)
2. А = я, <р2 = - bi sin и;
величина Ь\ определяется из уравнения
~ЬХ + 2a«J0(bl)-2dl.Jl(bl)-(\,5P*+d2*)J1(2bl)=Q. (4.19)
Амплитудно-частотные характеристики, определяемые уравнениями
(4.18)-(4.19), построены на рис. 65 для нескольких значений
параметра а*: на кривой 1 параметр а* =0,01, на кривой 2 параметр а» = 0,1, а на
2>5Щ,рад
Рис. 65. Амплитудно-частотные
характеристики колебаний намагниченного
спутника около касательной к круговой
орбите.

LCt,pa&
А, рад
ia%pad
А,род
Рис. 66. Вращательное движение спутника в окрестности периодических решений.
кривой 3 он равен единице. Характеристики построены для случая 0» =
С увеличением магнитных возмущений резонансная область
расширяется, а амплитуда колебаний существенно увеличивается. При значительных
магнитных моментах (кривая 3) первая гармоника, по-видимому, уже не
отражает в ерно характера колебаний.
Рассмотрим теперь колебания спутника в окрестности периодических
решений для случая 0* - d2 щ = 0. Перепишем уравнение (4.12) в виде
(считая, что dx * < 0)
d2y2
—г- +(-di*)»/?2 =ou(2sinM cos«p2 - coswcos^2) + (-^i*)(^2- sin *p2).
(4.20)
du2
При небольших магнитных возмущениях правая часть уравнения (4.20)
мала. Будем искать его решение в первом приближении в виде \р2 ~
= a cos (и +Л), причем величины а и Л должны быть определены из системы
уравнений
d\ . ,
= %/г717-1+Я,(я,Л).
da
du
du
Используя следующее приближенное выражение правой части
уравнений (4.20):
Of* [2«/0(tf)sin и - 2/i (a) cos и cos(w + Л)] +
+ (- dx .) [a - 2Ji(a)] cos(u + Л),
после стандартных выкладок [41] можно получить уравнения,
определяющие изменение амплитуды а и фазы Л, в виде
da a*
= - 2J0(a) _ со$Л,
du
dA
du
V^^TT + l
а* . Г 1 1 I
2J0(a) —я — sinA + V-di* - + - J\(a) I
ayf^l +1 L 2 a J
(4.21)
121

Из уравнений (4.21) можно установить, что стационарные периодические
решения {а - const, Л = const) имеют вид крг -±а sin w, причем для таких
решений амплитуда должна удовлетворять уравнениям
а ± laJoia) + 2d, .Jt(a) =yf^(V^d^ - 1) - - /, (а) .
Легко видеть, что правая часть этого уравнения мала при любых значениях
параметра с/, *, и поэтому оно близко к уравнениям (4.18)-(4Л9).
Систему (4-21) можно записать в виде
da 2 ЭФ d\ 2 ЭФ
— = - - — Jo(ah — = - J0(a) — ,
du а о\ du a on
где
V^7+l 2\ 2 Г Ма) 2
Теперь очевидно, что система (4.21) имеет интеграл Ф = Ф0 = const.
Используя этот интеграл, можно построить кривые а = а(Л). Такие кривые
построены на рис. 66. На рис. 66, а, где принято, что параметр у/-dx *= 0,9,
имеется одно устойчивое периодическое решение, когда Л = я/2.
Рис. 66,6 построен в предположении, что параметр V-^i*= 1*04. Здесь
имеются три периодических решения: одно приА= п/2 и два приЛ= 37г/2,
причем в последнем случае одно из них неустойчиво. Номера кривых на
рис. 66,6 отвечают следующим значениям постоянной Ф0: 1) Ф0 = -0,0005;
2) Ф0 = -0,00032; 3) Ф0 = -0,00018; 4) Ф0 = 0; 5) Ф0 = 0,005: 6) Ф0 =
= 0,007. На рис. 66, а аналогично: 1) Ф0 = 0,00025; 2) Ф0 =0,0002; 3) Ф0 =
= 0; 4) Ф0 =-0,0001.
Рассмотрение кривых, приведенных на рис. 66, показывает, что для
стабилизации спутника по вектору скорости набегающего потока следует
стремиться либо компенсировать возмущающие моменты (например, путем
демагничивания спутника), либо реализовать устойчивое периодическое
решение малой амплитуды.

Глава 5
ДЕМПФИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ СПУТНИКА
ЗА СЧЕТ ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ НА МАГНИТНЫЙ ГИСТЕРЕЗИС
Как уже отмечалось в третьей главе, пассивная стабилизация спутника
становится возможной лишь после снабжения спутника устройствами,
обеспечивающими гашение его кинетической энергии. Такие устройства
необходимы как для предварительного успокоения вращения спутника
(до перехода в режим стабилизации), так и особенно для гашения
отклонений спутника от номинального режима стабилизации, вызываемых
погрешностями в задании начальных условий и случайными причинами.
Если время демпфирования не ограничено, то, как показала практика,
для этой цели с успехом может быть использовано явление магнитного
гистерезиса. Это явление состоит в том, что магнитная индукция В(Н) внутри
ферромагнитного стержня зависит не только от напряженности Н внешнего
поля в данный момент, но и от предыстории изменения этого поля. На
спутнике устанавливаются стержни из материалов с большой площадью петли
гистерезиса (например, из пермаллоя) и большим отношением длины к
поперечному размеру (схема спутника показана на рис. 30). При движении
спутника в магнитном поле эта стержни перемагничиваются, причем с
большой точностью можно считать [43], что их наведенный магнитный момент
направлен по оси стержня и пропорционален составляющей вдоль стержня
Нг вектора геомагнитной напряженности Н. За цикл перемагничивания
образуется петля гистерезиса (рис. 67, а), форма которой зависит от
материала стержня. Кинетическая энергия спутника расходуется на работу по пере-
магничиванию стержней, пропорциональную площади петли гистерезиса.
А именно, за цикл перемагничивания единицы объема стержня эта работа
равна $HTdB(HT)l4-n, причем интеграл вычисляется по петли
гистерезиса^].
В большинстве работ, посвященных исследованию демпфирования
колебаний за счет явления магнитного гистерезиса, использовались
эмпирические описания петли гистерезиса и решения уравнений вращательного
движения спутника численными методами. Отметим, например, работы [211,
163, 49]. В работе [42] динамика спутника с гистерезисным демпфером
исследовалась с помощью аналоговой техники.
В этой главе излагаются результаты работы [188], в которой для
простейших моделей петли гистерезиса и в предположении, что оръем и*
стержней 2 на рис. 30 мал, уравнения вращательного движения спутника
исследуются асимптотическими методами. Основное внимание уделено
получению аналитических выражений для скорости изменения амплитуды
колебаний спутника около стабилизируемого положения. Используется ди-
польная модель геомагнитного поля, в которой географические и
геомагнитные полюса совпадают.
123

В единице объема стержня возникает наведенный магнитный момент
В(Нг)/4я, который существенно зависит от формы петли гистерезиса. Для
аналитического описания петли предложены различные эмпирические
соотношения [116]. Одна из простейших - формула Корчинского, согласно
которой
B(HT) = -BQsgnl-^ J+7#r. (5Л)
Здесь В0и у - некоторые постоянные. Зависимость индукции В от
напряженности Нт, описываемая формулой (5.1), показана на рис. 67, б.
д
к8 kB кв
\aj \ф \ф
Рис. 67. Петля гистерезиса и ее аппроксимации.
Недостаток этой модели в том что она не учитывает зависимости
коэффициентов 50 и 7 от максимального значения напряженности Яг. Это может
оказать влияние на точность исследования, если происходит существенное
изменение максимальной величины составляющей Нт. Поэтому, когда
движение спутника в магнитном поле изучается на большом интервале
времени, то при использовании для описания гистерезиса гипотезы Корчинского
можно делить интервал времени на части и изменять соответствующим
образом коэффициенты 50и) в каждой из этих частей. Вероятно, более
точные результаты дает гипотеза Панова, предполагающая, что петля
гистерезиса представляет собой симметричную кривую, например, вида,
показанного на рис. 67, е.
Перейдем теперь к рассмотрению ряда задач, связанных с анализом
влияния магнитного гистерезиса на динамику вращения спутника. Во всех этих
задачах изучается вращательное движение спутника вокруг одной из его
главных центральных осей инерции х, сохраняющей неизменное положение
в пространстве. Предполагается, что перемагничивающиеся стержни
расположены вдоль другой главной центральной оси инерции у.
§ 1. Вращательное движение намагниченного экваториального спутника
Как уже отмечалось, если орбита спутника расположена в плоскости
экватора, то в принятой в этой главе модели геомагнитного поля вектор К
во всех точках орбиты параллелен оси вращения Земли. Пусть магнитный
момент спутника 10 постоянен и направлен по его оси z. Если учитывать
только момент магнитных сил, а остальными пренебречь, то при
соответствующем выборе начальных условий спутник будет совершать движение
в плоскости, перпендикулярной к плоскости его орбиты, поворачиваясь
вокруг оси х неизменного направления. Если орбита круговая, то
уравнение такого вращательного движения спутника имеет вид
d2& _
~- + a,sin# = 0*£(tfsini»)cos& (5.2)
du2
124

Здесь & - угол между вектором Н и осью z спутника, /J» = v*fxel4irAfx,
H=ixe/R3.
Вращательное движение спутника, описываемое уравнением (5.2),
качественно проанализировать достаточно просто, что позволит получить
ясное представление о сущности гистерезисного демпфирования. Очевидно,
что если перемагничивающиеся стержни отсутствуют, то движение
спутника аналогично движению нелинейного математического маятника в
однородном поле тяготения.
При наличии стержней, используя для описания петли гистерезиса
формулу (5.1), уравнение (5.2) можно один раз проинтегрировать. Получим
интеграл вида
/d&Y _ / dd\
I — 1 - 2a, cos # + 20*£o sin #sgn« cost? —J
- _ cos 2^
+ 0*7# = const.
(5.3)
Очевидно, что постоянная в интеграле (5.3) изменяет свое значение
всякий раз, когда меняет знак выражение cos # — . Используя интеграл
du
(5.3), можно исследовать движение на фазовой плоскости
•• =■)
Качественная картина фазовых траекторий показана на рис. 68. Каждая
фазовая траектория или имеет точку прекращения на одном из трех
отрезков оси абсцисс:
; 1-2(-*-#2.-*+*2); з-4(-*3,*э); 5-60r-*2,ir + *2),
или в случае вращения со значительной энергией пересекает ось абсцисс
вне пределов интервала [- тг, 7г] изменения угла #.
fa/du
Рис. 68.Траектории на фазовой плоскости.
125

Углы #2 и #3 (оба угла меньше, чем я/2, и #2 < #з) определяются из
уравнений
a* sin #2 - 0* (#о - 7# sin д2 )cos #2 >
a* sin #3 =/М#о + 7#sin #3)cosi?3.
Если отношение 0 * /а* мало, то малы и величины д2 и #3> а
следовательно, мала и ширина отрезков прекращения траекторий 1-2; 3-4: 5-6.
Если же это отношение велико, то обе величины д2 и #з близки к я/2 и,
следовательно, почти любая точка на оси абсцисс может быть точкой
прекращения фазовых траекторий.
Таким образом, спутник, находящийся в режиме вращения, за счет
рассеивания энергии на гистерезис переходит в режим колебаний, причем в
зависимости от начальных условий ось z спутника попадает либо в
окрестность положения # = О (стабилизация вперед), либо в окрестность
положения # = я (стабилизация назад). Очевидно, что если спутник в начальный
момент находился в режиме колебаний и отношение 0 */а* мало, то
стабилизация назад практически исключена (она возможна только, когда
начальный размах колебаний близок к 2я). Увеличение скорости демпфирования
(увеличение параметра /}«,, например, за счет увеличения объема стержней
v J приводит к уменьшению точности отслеживания осью z направления
вектора Н, поскольку при этом увеличивается ширина отрезков 1-2; 3-4; 5-6.
Для количественной оценки скорости уменьшения амплитуды колебаний
спутника в окрестности положения д = О при небольшом отношении/?*/а*
удобно использовать асимптотические методы [41]. Перепишем уравнение
(5.2) в виде
d2d
—г + a*# = a*(#-sin#)+0*£(#sin#)cosi>. (5.4)
du2
Будем искать решение этого уравнения в виде & = a cos ф, причем а и ф
определим из системы уравнений
da d^ _,
— =А,(а\ — = >/£: + *,(*).
du du
Подставляя это решение в правую часть уравнения (5.4), где для
описания петли гистерезиса использована формула Корчинского, можно
получить следующее ее приближенное выражение:
at* [a - 2Ji (a)] cos ф +
+ 0, [yHJi (2a) cos ф + Во | J0(a) \ щп(а sin ф )].
Здесь J0 и /i - по-прежнему функции Бесселя первого рода.
Легко показать, что разложение функции sgn (sin ф) в ряд Фурье по пе-
4
ременной ф начинается с члена — sin ф. Ввиду этого приближенно находим
da_
du
я
если а > О,
2р.\Ма)\Вр
тгу/а7
О, если а = 0.
126

Интегрируя это уравнение, в случае а > О получаем
da 2Мо А /ссч
/ = + const. (5.5)
а2
Например, полагая приближенно J0(a) * 1 — — (предполагается, что зна-
4
чение амплитуды а в начальный момент не превышает двух радиан), из
формулы (5.5) найдем, что
а = 2 =
Здесь и < In -= , а с9 - постоянная. Наконец, если амплитуда ко-
20. До
лебаний настолько мала, что можно пренебречь ее квадратом, то из
выражения (5.5) можно получить более простой (линейный) закон уменьшения
амплитуды:
20* Я0
* = *о — (и-и0).
а0п\/а?
Здесь и < — + и0, а0 - величина амплитуды а при и = и0.
2/3*/?о _
Построение решения в форме д = a cos ф позволяет получить
симметричную петлю гистерезиса. Действительно, если д = a cos ^, то Нт ~ Hsind ^
* 2/! (я)# cos ф. Примем еще, что
В(НТ) = Я(# sin #) * yjx (a) соъ(ф - Л).
Здесь 7 и Л < тг/2 - постоянные, зависящие от материала стержней. Тогда,
как легко видеть, при изменении переменной ф на 2тг получим на плоскости
(Д Нт) эллипс с центром в начале координат и осями симметрии,
повернутыми относительно осей коорДинат, подобный эллипсу, показанному на
рис. 67, е. С течением времени этот эллипс уменьшается в размерах (когда
из-за демпфирования колебаний уменьшается их амплитуда а), но остается
подобным исходному при а~а0.
Теперь правая часть уравнения (5.4) может быть представлена
приближенно в виде
а* [а - 2Ji (a)] cos ф + fimyJi (a) cos (ф - Л )/<>(*) •
Используя это выражение, находим
da p.y
— * —-So(0)Si(a)sinA.
du 2y/ou
127

В случае малых амплитуд колебаний, принимая, что/0(<0 % 1, Л(я) ^
« а/2, из этого выражения можно найти
а-а0 ехр
0,7sinA
4\/ou
(и - Wo)
]
§ 2. Вращательное движение полярного спутника в гравитационном поле
Как известно, существует устойчивое положение относительного равно-
весия спутника с неравными главными центральными моментами инерции
в ньютоновском центральном поле сил на круговой орбите, когда ось z
спутника, которой соответствует наименьший из его моментов инерции,
направлена по радиусу-вектору центра масс, а средняя ось эллипсоида
инерции у лежит в плоскости орбиты. При выведении спутника из положения
относительного равновесия он будет совершать колебания около этого
положения.
Рассмотрим возможность демпфирования таких колебаний за счет
потерь энергии на магнитный гистерезис в ферромагнитных стержнях
небольшого объема, расположенных вдоль ослу. Поскольку для выбранной
модели геомагнитного поля его вектор напряженности Н в случае полярной
орбиты находится в ее плоскости, то при соответствующем выборе начальных
условий возможны колебания спутника с ферромагнитными стержнями в
плоскости орбиты. Уравнение этих колебаний имеет вид
-—— + 3d sin \рх cos^! = 0,Z?(#sin д)\/\ + 3 sin2 i/cos #. (5.6)
du-
Если для описания петли гистерезиса использовать формулу (5.1), то
уравнение (5.6) можно привести к виду
d2*i
—г" + 3^»/?! = 3</(<pi — sin i/?i cos
du2
+ J3,(2sinMcos^i -coswsin^, )X
X j#0 sgn
7 ^
sin
«pi cos и I -21 + 11-2 — Jsinw cos^i
, (2 sin и sin \pi + cos и cos $x) \ . (5.7)
/Г J
Рассмотрим колебания спутника с не очень большой амплитудой,
считая 0* малым параметром. Будем искать решение уравнения (5.7) в виде
Ух = a cos ij), причем
da d\b . ,
— =At(ah — =V37+*,(tf).
du du
Приближенное выражение правой части уравнения (5.7) таково:
3d соьф [а - Ji(2a)] +2J3*[/0(tf)sinw -/i(fl)cosw cos ф] X
X <В0 sgn[--2/1(a)cos^(2+j\/3c/,sin \j/)cosu +
128

+ У0(я)(1 +2tfV37sin tf/)sinw] +
W* - 1
+ —г [4Jx (a) sin и cos ^ + J0(a)cos w]} = f{uf \J/,atd). (5.8)
/Г J
С практической точки зрения, по-видимому, наиболее важно оценить
скорость изменения амплитуды я, т.е. вычислить величину А{(а). Эта
величина, как известно [41 ], определяется следующим образом:
1 2тг 2тг
Ах{а) = 7-7=:/ / Я", Ф,а)ътфс1ф.
4я2 VJ^ о о
Это значит, что для ее вычисления требуется выделить член с гармоникой
sin ф в разложении функции (5.8) в двойной ряд Фурье по переменным
ф и и. Для этого предварительно следует найти члены с гармониками
sin и sin ф и cos и$\п2ф в разложении в ряд Фурье выражения
sgn[- 27j(flf)(2 +a\/3cFsm ф )cos ф cosu +
+ У0(*)(1 +2fl>/5cTsin0)sinwJ =sgn[</>(*/, ^,д, J)). (5.9)
Функция <р(и, фуа,(1) обращается в нуль при тех значениях аргумента
широты и, которые удовлетворяют соотношению
2JX (а) (2 + a \/37sin ф)соьф
tg«= —; z .
Ма)(\+2ау/1д$1пф)
Из этого выражения при фиксированных значениях величин a, d и ф
можно найти два значения u(a,d, ф), лежащие в интервале (0,27г).
Обозначим меньшее из них через м_ (и_ < я). Тогда большее из этих двух
значений равно и_ + я.
Теперь можно найти коэффициент при гармонике sin и sin ф в
разложении функции (5.9). Для этого сначала определим коэффициент 6 (я, d9 ф)
при sin и в разложении (5.9) в ряд по аргументу широты. Имеем
- 1 2тг
b(a,d^) = — / sgn^(w, ф,а,d)smudu.
я о
Очевидно, что при и-О
0(0, JM,<Os -2Jt(a)(2 +W3dsinij>)cos\F.
Так как рассматриваются колебания небольшой амплитуды и,
следовательно, J0(а) и J\(a) положительны, то
sgn</?(0, ф, я, d) = - sgn [(2 + a\/3(Fsm0)cosф].
Знак функции <р(и,ф,а^) при w<w_ совпадает со знаком функции
¥?(0, ф,а^). При w = w_ происходит смена знака функции *р(и, fca.d),
а при и = м_ +я происходит вторая смена знака этой функции.
Учитывая все изложенное, находим
_ 4 _ -
6(д, </, #) = — cosw_(j, d, ^)sgn [(2 +av3asin^)cos^].
я
9. A.B. Белецкий 129

0,4
\-А,(ф/Вд% ,
ir^t
1/*
*н~\
0,4 0,8 1,2 f,0 a,paO
Рис. 69. К определению зависимости
скорости уменьшения амплитуды
колебаний от параметров спутника.
В особом случае, когда
(2 + fl\/3tf'sin^)cos^ = 0, имеем
= Jo(l +2ay/3dsin\l/)sinu,
- 4 _ _
Ь(д,</, ф)= — sgn(l+2<7\/33sini//).
rr
Теперь коэффициент _ $х (af d)
при гармонике sin и sin ^ в
разложении в ряд Фурье функции (5.9)
можно представить в следующем окончательном виде
1 2тг
тг о
Аналогичным образом можно определить коэффициент £2(0, <?) в раз-
ложении функции (5.9) в двойной ряд Фурье при гармонике cos и sin 2ф
в виде
I 2я _
h(a,d) = - f Ьг(а,<1,ф)$\п2ф(1ф,
7Г О
где
Ь{(а,<1,ф)= sinw_(tf,df i/>)sgn[(2 + 0\/3asin0)cos^].
я
Теперь получаем
da вш Во
— ^iWB-ns [yoWti(«.rf)+A(e)b(e^)].
rfw 4л/3а
Значения интегралов %i(a,d) и %2(a>d) определялись численно на
ЭВМ. Некоторые результаты вычислений показаны на рис. 69.Номеракри-
вых соответствуют следующим значениям параметра 3d: l)3d = 0,09;
2)3d = 0,36; 3) 3d = 0,81; 4) 3d = 1,44; 5) 3d = 2,25; 6) 3d = 3
(максимально возможное значение этого параметра).
Приведенный анализ позволяет получить приближенный закон
изменения амплитуды колебаний спутника, например, путем подходящей
аппроксимации кривых рис. 69.
Поскольку da/du<Q, то с течением времени амплитуда колебаний а
стремится к нулю. При этом из уравнения (5.7) можно приближенно
получить предельное решение
40, В0 P,yiies\n2u
3dn (4-3d)R3
8Mb
p=l,3,5,...
cos(p + 1 )u
p(p + 2)[(p + \Y -3d]
(5.10)
130

Если объем стержней невелик, то амплитуда изменения угла ^\(и) вдоль
решения (5.10) мала. Таким образом, наличие потерь энергии на
магнитный гистерезис при колебаниях спутника можно использовать для
перевода оси z спутника в малую окрестность радиуса-вектора его центра масс
при осуществлении ориентации спутника в орбитальной системе координат
за счет гравитационных моментов. При подборе объема стержней,
используемых для гашения колебаний, следует соблюдать разумное соотношение
между скоростью демпфирования колебаний и требуемой точностью
ориентации, поскольку амплитуда угла </?i(w) в решении (5.10), как легко
видеть, пропорциональна объему стержней.
§ 3. Вращательное движение намагниченного полярного спутника
Предположим, что спутник, имеющий конструкцию, аналогичную
описанной в предыдущем параграфе, постоянно намагничен вдоль своей оси zy
а магнитный момент существенно превосходит все остальные.
Если учитывать только моменты магнитных сил, то при
соответствующем выборе начальных условий возможно вращение спутника вокруг
нормали к его орбите. В этом случае уравнение колебаний оси z спутника
около вектора геомагнитной напряженности имеет вид
d2d
du2
+ а* \Л +3sin2wsin0 =
6sin2w
(1 + 3sin2w)
+ 0,fl(#sin#)cosi>.
(5.11)
Без учета потерь энергии на гистерезис это уравнение рассматривалось
в третьей главе. Там показано, что для стабилизации намагниченного
спутника по магнитному полю выгодно реализовать определенного вида
тт-периодические решения уравнения (5.11). Для этого требуется, чтобы
начальные значения утла $ и производной ddjdu имели вполне определенные
значения. Поскольку же выбрать их абсолютно точно практически
невозможно, возникает задача о выводе спутника на периодический режим
из его окрестности. Рассмотрим возможность использования для этой
цели гистерезисного демпфирования колебаний.
Используя для описания петли гистерезиса формулу (5.1), перепишем
уравнение (5.11) следующим образом:
d2&
—т- + 1,539аф0 =
du1
= а,( 1,5390 -VI +3sin2wsintf) +
6 sin 2 w
+ -
%5
(1 + 3sin2w)2
% | -Z?0cos#sgn — sin^sin2w +
d&]
Ve4
dul 2R
+ (l + 3sin2w)cosd7-|+7^\/l+3sin2wsin20
(5.12)
Рис. 70. Пример численного расчета выхода вращения
спутника на я-периодический стационарный режим.
щ
Щ
\а9рад Y\
п\
г\ *
Л,/ИЙГ|
ж/г
з*/г
9*
131

В окрестности главного резонансного значения параметра а* (когда
1,539а, ъ 4) решение этого уравнения приближенно снова, как и в
третьей главе, будем искать в форме & = acos(2u +Л), где а и Л должны быть
определены из системы уравнений (3.44).
Проводя выкладки, аналогичные описанным в предыдущем
параграфе, находим приближенно, исходя из (5.12):
da l,383cosA 4f}mB0aJUa)
du VI ,539a; + 2
X
я/2 (1 +3s\n2u)du
о фА{а)%тг2и + 1,539a, [aJ0(a)(\ +3sin2w)]2' '
d\ 1^83 sin Л
du a,(VT539
;inA , Л\ 1 1
=r— +VI73^ - + -Л00 -
a*+2) L2 a J
-U-
1^39' g,TMe/,(2g)
a* 2яЯ3
(5.13)
Стационарные ^-периодические решения получаются при тех значениях
я и Л, которые удовлетворяют системе уравнений da/du = 0,dA/du = 0.
Как показывает анализ уравнений (5.13), за счет рассеивания энергии
на перемагничивание стержней можно вывести спутник на тг-периодический
режим колебаний из его окрестности. Пример выхода на такой режим
показан на рис. 70. Кривая получена численным интегрированием
системы (5.13). Начальные условия намеренно выбраны существенно
отличающимися от начальных условий, соответствующих периодическим
колебаниям. При интегрировании принято, что 0*Z?O = 0,3 и 1,539а* = 2,89.
Значение магнитного параметра а, здесь такое же, как и на рис. 44, а.

Глава 6
О ПОЛУПАССИВНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
НАМАГНИЧЕННОГО СПУТНИКА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Как было показано в третьей главе, взаимодействие собственного
магнитного поля космического аппарата с магнитным полем Земли можно
использовать для пассивной ориентации этого аппарата по силовым
линиям геомагнитного поля.
Магнитная система стабилизации обладает рядом достоинств.
Важнейшее из них — возможность сравнительно просто создать на спутнике
большой магнитный момент. Одним из недостатков магнитной стабилизации
является неравномерность вращения спутника в номинальном режиме.
Это создает определенные трудности для научных экспериментов на
спутниках и заставляет в ряде случаев использовать стабилизацию по
геомагнитному полю лишь как промежуточный этап для перехода к другим
формам ориентации, например, к ориентации по градиенту гравитационного
поля Земли [163].
Принципиально возможна [147], однако, такая полупассивная
стабилизация спутника в пространстве, при которой для целей стабилизации
используется лишь основная часть момента внешних сил, действующих
на спутник, выбираемая так, чтобы обеспечить существование
подходящих номинальных режимов. Оставшаяся часть внешнего момента
компенсируется соответствующим управляющим моментом»
В этом случае можно ожидать определенных энергетических выгод по
сравнению с какой-либо системой активной ориентации, поскольку
основная часть стабилизирующего момента здесь создается пассивно.
Пусть, например, М — момент внешних сил, действующих на спутник,
а М« — та часть этого момента, которая используется для стабилизации.
Тогда, воздействуя на спутник управляющим моментом (М, - М),
можно создать идеальные условия для осуществления выбранных режимов
стабилизации. В качестве управляющего может быть использован,
например, магнитный момент, поскольку перспективы его синтеза весьма
широки [78].
В этой главе обсуждается возможность создания полупассивной
стабилизации намагниченного спутника в геомагнитном поле. В качестве
номинальных движений для такой стабилизации используются режимы
равномерного вращения спутника. Эти режимы существуют, если
геомагнитное поле моделируется рассмотренной в первой главе моделью упрощенный
прямой диполь. Стационарные вращения кругового спутника при такой
модели геомагнитного поля изучались в работах [61, 25]. Возможность
полупассивной стабилизации спутника при выборе этих стационарных
вращений в качестве номинальных режимов и наличии программного
управляющего момента обсуждалась в работе [147].
133

§ 1. Равномерные вращения спутника
при простейшем описании магнитного поля
Итак, предположим, что центр масс спутника описывает круговую
орбиту, его магнитный момент складывается из постоянной (в теле
спутника) составляющей 10 и магнитного момента оболочки. В качестве
простейшей модели геомагнитного поля используем поле, вектор
напряженности которого Н* имеет постоянный модуль, а при движении спутника
по орбите вращается с постоянной угловой скоростью сои= 2со0 вокруг
оси г, введенного в первой главе трехгранника Xi$y\,zt9 оставаясь от
этой оси на постоянном угловом расстоянии vx. Положение вектора 10
в теле спутника по-прежнему будем определять направляющими
косинусами 7?1,1?2 ит?3 этого вектора с главными центральными осями инерции
xyz. Магнитный момент оболочки введем с помощью формулы
где *.=0*о-1)|>Я2/41г.
Предположим еще, что спутник вдоль своих главных центральных
осей инерции несет симметричные роторы, обладающие постоянным (в
теле спутника) моментом количества движения К, определяемым
формулой (2.4).
Пренебрегая всеми моментами, кроме магнитных, и считая, что
орбита спутника не зависит от его вращения около центра масс, получаем
следующую систему дифференциальных уравнений, описывающих вращение
спутника в модельном магнитном поле с вектором напряженности Н,:
A—+(C-B)qr+qK3 -rK2=Mx, В^ +(А -СУрг+гКх -рК3=Му,
dt at
dr
C-+(B-A)pq+pK2 -qKx = MX9
dt (6.1)
da4 das
— = <оя04 + <*sr - <*6<7, ~T " °>n$s + <*ьР - «4^ (6.2)
at dt
doit
—-сояЛ +a4q-asp,
dt
dfa dfa
—- = - <ояа4 + far - faq, —- = - o>h<*s + faP - far, (6.3)
dt dt
dfa
—- = -соя<х6 +faq-fap,
dt
dj* * dys dy6
— = ysr-y6q, —- =76p-74r, —— = 74^-7sP. (6.4)
dt dt dt
134

Здесь величины MXt My vlM2 определяются следующим образом:
Mx=I0H.[7i2(fi6smvi +76Cosp1)~T?3(/JsSin^, +
+ 7sCOSi>,)] -f«(06sini>, +76COs^1)(j85sini;l + 75COSP1),
My =I0H .[rhifasinVi +74COs*'j)--Th(ft>sini>1 +7eCos^)] +
+ ?*(/36sinp1 +76cosJ>1)(/$4sinj/1 + 74COs*>!),
Mz=I0HAV\(PsSinvl +75COS^i)~r?2(/34sin^1 +74COS^)].
Положение спутника в пространстве определено по отношению к
системе осей x4y4z4 (рис. 71), вращающихся вокруг оси z, с угловой
скоростью 2о;0> таблицей направляющих косинусов
дс
У
z
х*
<*4
«5
<*6
У*
04
>
Дб
*4
74
7s
7б
причем расположение осей х4,у4 выбрано так, что вектор Н« все время
находится в плоскости y4zA •
Система уравнений (6.1) — (6.4) обладает интегралом энергии типа
Якоби, который можно записать в виде
±(Ар\ + Bq\ +Cr\) - ~{Ау\ +2?7? + Су2) -Оо ■ Н.) -
--2 (Мп*>1 +76COSi/i)2 -coH(Kly4 + #27s + *э7б)"*ю. (6.5)
Здесь через Р+,9+ и г+ обозначены проекции на оси х,уиг угловой
скорости спутника относительно осей x4ly4tz4. Выпишем также некоторые
Рис. 71. Системы координат.
тривиальные интегралы системы (6.1) - (6.4), которые будут
использоваться в дальнейшем:
72+71+7? -!=<•,, so, (6.6)
02+Pi+02-l=oI2 so, (6.7)
13474 +0s7s +0б7б =0,3 so. (6.8)
135

Как уже отмечалось, в качестве номинальных режимов при
осуществлении ориентации спутника в геомагнитном поле желательно использовать
режимы его равномерного вращения. Таковыми будут, например,
положения относительного равновесия спутника в системе осей x4y4z4y
поскольку сами эти оси вращаются в пространстве равномерно. Положения
равновесия спутника в осях x4y4z4 должны удовлетворять следующей
системе уравнений:
о>н№з -y6K2) = oh(B- C)ysy6 +Л/Х,
"я(7б*1 -74*з)=<о^(С--Л)7475 +Му9 (6.9)
соя(74А:2 -ysKi) = w2H(A -ВУу4у5 +М2.
Легко видеть, что если систему (6.9) рассматривать как систему
уравнений относительно величин К\,Кг и#3, то ее определитель равен нулю.
Поэтому для совместности этой системы должно быть выполнено условие
т?,а4 +т?2а5 + т?з +7~7Г (Mn"i +76cos^)\ct6 =0. (6.10)
L 'o«* J
Физически условие (6.10) означает, что в положении относительного
равновесия полный магнитный момент спутника лежит в плоскости J\»z4.
Таким образом, это условие накладывает определенные ограничения на
выбор номинальных режимов для стабилизации.
Из системы уравнений (6.9) можно найти также, что
(*! +соя^74)а4 +(*2 +сояЯ75)<*5 +(*з +<ояС'Уб)<*б =0.
Это условие физически означает, что в положении относительного
равновесия спутника его кинетический момент, вычисленный относительно
центра масс, должен быть расположен в плоскости y4z4.
Для исследования устойчивости решений системы (6.9) можно
использовать метод Четаева построения функции Ляпунова в виде связки
интегралов уравнений возмущенного движения. Принимая какое-либо из
решений системы (6.9) за невозмущенное решение, в возмущенном решении
положим
74=74o+£i> 75=75о+Ь, 7б=7<?о+£з,
04=04О+*4, 05=05O+$S, 06=060+16,
Здесь 74 о > 75 о >7б о ,04 о >05 о, & о ~~ значения соответствующих косинусов
в положении относительного равновесия, а {•/ —возмущения.
Для исследования устойчивости рассмотрим связку интегралов
К=К10+ 2 (ViVi+\iVj). (6.11)
В выражении (6.11) функции Vl0 - Vi3 означают соответственно
интегралы (6.5) - (6.8), записанные для возмущенного движения, М/иА, -
постоянные.
136

Как известно, постоянные щ следует выбрать так, чтобы функция (6.11)
не содержала членов, линейных относительно возмущений. Приведем
выражения ^ для случая, когда величины а60 и 74о отличны от нуля:
_ ЛС02иУ40 +IpH,rilCOSVl +b)HKi -fXi 3040
Pi 1 ■ "—"■"»
2740
/0#* sin^(т?!7so -*h74o) A>#* sini/i(n204o -*?i0so)
A*12 = Г , ^13= —,
2a6o Of6o
где «во — значение а6 в невозмущенном решении. Тогда функция (6.11)
будет иметь вид
К = ЛЙ+*Й+СЙ+ 2 [*„&$ + *«?)]■ (6.12)
/./=1
Коэффициенты ац здесь имеют следующие значения:
«11 = CMi 1 -2Лсо? +.4Хц74о + *1304о),
«12 = 4Xi 1740750 + Xi 3040050»
«i3 = ki304o76o +4Хц74о7бо, «14 ==X1374o04o + ^1з/2,
«is =Xi 304o7so> «16 =Х13/34о7бо1?
«22 = Oii -2^со?+4Хц71о+Х1з^5о),
«23 =Xi3/}sO06O +4Хц7507б0> «24 =Х13740^50>
«25 =Xi37sol350 +^1з/2, «26 =Xi3^50760»
«ззя (Mn -2Cw2+4X11760+Xi3^6o)-f*cos2r;1/2,
«34= X| 3740^60, «35= Xi37so06O,
«3 6 =Х,3|Збо7бо +(Mi3 -t» cos i^i sin*>,)/2,
«44 =М12 +Х13740 + 4X1204, «45 = Xi374o7S0 + 4Xi 204 O0S 0 ,
«46 =Х1374о7бо +4Xi 2040060, «ss =(Pi2 + Xi37so +4Xi20|o),
«56 =Xi37so76o +4X120so06o, «66 = /*i2+Xi376O+4X,206o-?* sin2?,/2.
Если матрица коэффициентов а,-/ удовлетворяет критерию Сильвестра
[85], то рассматриваемое невозмущенное решение устойчиво. Чтобы
выполнить условия Сильвестра, можно пытаться сооветствующим образом
подобрать коэффициенты X/, которые пока оставались произвольными.
Варьируя параметры Kt и /0, можно получить набор решений, удобных
для выбора в качестве номинальных при стабилизации спутников.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие только что полученные
результаты.
1. Однако из возможных решений системы (6.9) соответствует такому
положению относительного равновесия спутника, в котором оси xyz
совпадают с осями x4^4^4. Условие (6.10) в этом случае дает ть =0. Тогда из
уравнений (6.9) находим
Кх = О, К2 = [10Н* (т?з sini> 1 - т?2 cos^O + f m sin рг cospi ],
137

величина К3 остается произвольной. Выражения для постоянных ц{ таковы:
1
Mi 1 = — (Cg>h +/0Я*17з cos^i + cjfjKs + f, cos2^ ),
Mi 2 =— /o^T/2sin^, Mi3 =/0^^3sin^, + $*♦ sin vxcos i^ .
2
Достаточное условие устойчивости изучаемого решения, как это следует
из анализа коэффициентов ац функции (6 Л 2), имеет вид
0iM -2Аа>1)ц12 _ц?4/4>0. (6.13)
Поскольку, как уже отмечалось во второй главе, без ограничения
общности можно считать, что все величины Vi^Vi и т?з неотрицательны, то легко
Рис. 72. Определение
положения спутника в пространстве.
видеть, что неравенству (6.13) всегда можно удовлетворить за счет выбора
достаточно большого значения Кг. Это значит, что рассмотренное частное
решение можно использовать в качестве одного из номинальных при
стабилизации спутника.
2. Предположим, что спутник динамически симметричен и постоянно
намагничен вдоль оси динамической симметрии (например, пусть А =/?,
т? i =1?2=0,т?з = 1,?*=0). В этом случае динамический эффект,
аналогичный действию ротора, можно получить, определенным образом закрутив
спутник вокруг оси симметрии z.
Если положение спутника относительно системы координат x4y4z4
определить углами Эйлера 0, фи \р (рис. 72), то уравнения его вращения
можно [5] записать в виде
d2B ( с!ф V /«** \
А г ~И + со и] sin 0 cos 0 + Сг\ + со» I sin 0 =
dt2 \ dt "/ \ dt 7
- —/0##(cos ф cos ^ sin z^i + sin 0 cos i>i),
(dф \d$
</2tf/
rff"
sin0+2i4
cos 6 -Cr-
dQ
(6.14)
d/
= /<>#* sin ф sin i>!,
r = r0.
.Решениям в = 0о,ф= фо (в0 нф0 — некоторые постоянные) этих уравнений
соответствуют равномерные вращения спутника в системе осей x4yAz4 с
138

угловой скоростью, равной dyldt, или регулярные прецессии в абсолютном
пространстве. Из уравнений (6.14) находим два семейства таких решений:
ч , Л dyp oj&(4-C)sin0ocos0o-/o#*sin(0o+*>i)
а/ Са?я sin 0О
<fy cjJi(A - C)sin0ocos0o +/0Я* sinO>, - 0O)
6) ^=rr, —- = — . (6.16)
at C(jjH sin 0O
Поскольку, как известно, по отношению к циклической координате *р
движение, вообще говоря, неустойчиво, рассмотрим устойчивость решений
(6.15) - (6.16) по части [127] переменных: углам фи 0и скоростям
р+, <7+ и г+. В возмущенном движении примем, что
'-т.
/>+=£7, <7+=Ь, ''+=(-7") +Ь,
7б=7бо+&ь «e^aeo+Sio. 0б=06о+£б.
Здесь |/ - снова возмущения, I ) - значение соответствующей про-
\ dt /0
изводной в силу (6.15) либо (6.16).
Система уравнений (6.14) имеет следующие интегралы:
— [A(pl+ql) + Cr2+] -Io-H, -2w8(C-i4)7esc,0, (6.17)
r++2cj076 =<?i4, (6.18)
<*l +l3i+76-l=c15. (6.19)
Функцию Ляпунова можно построить в виде
V-yio+^sVis-l-^) СТм+ХмК^, (6.20)
где Vхо, VlA и К, 5 - интегралы (6.17), (6.18) и (6.20) соответственно в
возмущенном движении, ц г 5 и X14 - постоянные. Выберем параметр
/il5 следующим образом:
/0#* sin i>i
Mis = ^ . л .
2sm0o
Теперь легко показать, что функция (6.20) будет положительно
определенной функцией своих переменных для всех решений однопараметричес-
кого семейства (6.16), и, следовательно, решения этого семейства
устойчивы по части переменных.
Как показывает анализ уравнений в вариациях, среди решений семейства
(6.15) могут быть неустойчивые. Например, если
A <j02h sin30o </o#* sin vx, (6.21)
то решения семейства (6.15) неустойчивы. Отметим, что неравенство
(6.21) выполнено по крайней мере при малых значениях 0О.
Анализ решений системы (6.9) в общем случае представляется
достаточно сложным. Поэтому весьма желательным было бы иметь еще какой-либо
139

способ отыскания положений равновесия спутника в системе осей xAyAzAi
поскольку тогда можно было бы в каждой конкретной ситуации выбирать
наиболее подходящий вариант.
Рассмотрим поэтому измененную потенциальную энергию И/,, которую,
в силу интеграла Якоби (6.5), можно представить в виде:
у
+ т?2а5 +т?3а6) - -11 о\ - ь>н(КгуА +*27s +*з7б). (6.22)
В выражении (6.22) введены косинусы углов, образованных вектором
Н, с главными центральными осями инерции спутника:
оА = 04 sin vx + 74 cos vx, os = 0s sin i>x + 75 cos Vi,
a6 = 06 sin vx + 76 cos vx.
Известно [129], что положения относительного равновесия спутника
в системе осей xAyAzA будут определены, если решить задачу о
стационарных значениях функции (6.22) при условиях
72+71+72 = 1, (6.23)
a|+al+al = l, (6.24)
74 <*4 + 75 <*5 + 7б °6 = COS VX. (6.25)
Вводя неопределенные множители Лагранжа *>2> *>з и v4, сведем эту
задачу к отысканию стационарных значений функции И>вида
1 IН К
И/=-— (Aу\ +Ву\ + Су\) V*^a^ +т>^5 +^за6)- —^ а* -
2 соя 2<о^
~(*l74 + *27s + *з7б) + ^2(74^4 +75^5 + 76^) +
OJ//
+ у *>з(74 +75 +7?) + у ^4(а2 +ai +a2).
Искомые положения относительного равновесия спутника можно найти
из уравнений
-—=0, -— = 0, / = 4,5,6.
Выпишем эти уравнения в явном виде:
К К
(ръ - А)уА +р2ол - = 0, (i>3 -B)ys + Ws --1- в 0, (6.26)
К I Н
(р3 - С)76 + v-tOb — = 0, ^- т?, + v2yA + vAoA = 0.
=— *?2 + ^2 7s + *M as = 0, (6.27)
140

~2— *?з + *>27б +^4^6 аб=0.
Таким образом, получены девять уравнений (6.23) - (6.25) и (6.26) -
(6.27) для определения шести направляющих косинусов oit 7/ (* = 4, 5, 6)
и трех множителей Лагранжа. Если первое уравнение системы (6.27)
умножить на <х4 > второе - на а5, а третье - на а6 и сложить все эти уравнения, то
снова получим условие (6.10). К сожалению, разрешить систему (6.23) —
(6.25), (6.26) - (6.27) относительно направляющих косинусов и
множителей Лагранжа достаточно сложно.
Поэтому естественно в тех случаях, когда расположением и величинами
одного из векторов 10, К (или даже их обоих) можно распоряжаться по
своему усмотрению, обратить исходную задачу, подбирая эти векторы так,
чтобы желаемое положение относительного равновесия спутника стало
возможным.
Предположим, например, что обоими векторами 10и К можно
распоряжаться свободно. Покажем, что в этом случае их соответствующим
выбором можно сделать любое положение спутника в системе осей х4 у4 z4
положением его относительного равновесия. Действительно, пусть заданы
произвольные значения направляющих косинусов а/ и 7/ (/=4,5,6),
удовлетворяющие уравнениям (6.23) — (6.25), т.е. задано произвольное
положение спутника в системе осей*4y^z4- Для того чтобы это положение
могло быть положением относительного равновесия, достаточно, чтобы
были выполнены шесть уравнений (6.20) - (6.27). Но этим уравнениям
при выбранных произвольно значениях множителей Лагранжа можно
удовлетворить, выбирая векторы 10 и К так, что
Кг = соя[(^з - А)уА + v2a4], К2 = со# [(*>3 - B)ys +J2Os],
hVl e—- 0>2 74 + »40*\ /07?2 =— 0>275 + Ws),
torn я—-1^2 76 +^4^6 т-°ч-
Таким образом, если на выбор обоих векторов 10 и К не наложено
никаких ограничений, то любое положение спутника в системе осей х4 у 4 *4
может быть сделано положением его относительного равновесия.
Для устойчивости этого относительного равновесия, как известно [39],
достаточно, чтобы соответствующие ему значения о( и 7/ и величин Kh
/0, г?/ доставляли изолированный минимум функции (6.22) при условиях
(6.23) - (6.25).
Если измененная потенциальная энергия Wx в положении равновесия
не имеет минимума, то это равновесие либо неустойчиво, либо возможна
его гироскопическая стабилизация. Однако, согласно известной теореме
Кельвина - Четаева [192], такая стабилизация является временной,
поскольку она разрушается диссипативными силами. Итак, отсутствие
минимума функции Wx в положении относительного равновесия означает
неустойчивость этого равновесия в вековом смысле.
141

Предположим теперь, что величины Ки К2 и Къ зафиксированы, а
выбор 10 может быть сделан произвольно. Зафиксируем значения
направляющих косинусов 7/* Примем, что
Г/= 7/о, / = 4,5,6. (6.28)
В выражениях (6.28) величины 7/о — постоянные, удовлетворяющие
условию (6.23). . Геометрически выбор постоянных 7/о означает, что
избранная ось спутника в положении относительного равновесия совмещена
с осью симметрии zx конуса магнитной напряженности. Такое
относительное равновесие возможно, если оставшуюся систему из восьми уравнений
(6.24) - (6.25), (6.26) — (6.27) удается разрешить относительно десяти
параметров: /0, Ц \, Чг, *7з, ^4, os > °ь, vi, *>з, *>4 > три из которых связаны
соотношением
т??+г?22+г?| = 1. (6.29)
Следовательно, один из параметров остается свободным, и его можно
выбрать произвольно. Зафиксируем, например, величину р4 = ^4о> а
систему уравнений (6.24) - (6.25), (6.26) - (6.27), (6.29) будем решать
относительно величин /0, г\х, щ, т?з, <*4 > о$, Оь, "2, *>з •
Из системы уравнений (6.27) находим
- WH /„ ~ х» „ * / ~ - °^н
w;
2
/оП1 = — (^740+^40^4), /0Т?2 =7— (^750 + *>40<*5 ), (6.30)
Из уравнений (6.26) следует, что
К К
(^~^3)740+ L Г*Ъ<>4, (^-^3)750+—^- =^2^5, (6.31)
СОЯ <0Я
*3
(С-^з)7бо+ =^а6.
Возводя в квадрат каждое из этих уравнений и складывая их, получим
з
2 Kf
1=1 2
5 + (АКгу40+ВК2у50+СК3у60)-
<*н ОД
2 б
*>з 2 *(/-з)7/о+Л274!о+Д275о+С27£о~
<^Я /=4
- 2^(^740 +*7lo + Cy\Q) + v\ =v\. (6.32)
Умножим теперь первое из уравнений (6.26) на 74 о > второе - на 7s о >
а третье - на 7во и сложим все эти уравнения. Получим
1 6
*>з = Л740 + Ву\о + С7бо + 2 *(/_3)7/о - »г cos vx. (6.33)
соя /= 4
142

Подставляя выражение (6.33) в уравнение (6.32), находим
* 3 , 2
—- 2 *? + (Л/:1740+М2750+О:з7бо) + ^-
г( 1**</-з)7/о)2 ( 2^3)7/о)Х
С0Я / s 4 ^я / = 4
X (Л72о + *7so +С72о)=: ^sin2^. (6.34)
Здесь введено обозначение
о\ =Л27?о + *27lo +С27?о -{Ат10 + BjU + Cy260)2 =
= (^- Q27?o7io +(C- Л)27|о7?о + (Л - *)273o7?o.
Очевидно, что величина о\ неотрицательна при любых значениях 7/о»
удовлетворяющих условию (6,23), и обращается в нуль лишь в том случае,
когда в положении относительного равновесия ось zx совпадает с одной
из главных центральных осей инерции спутника. Возможность
существования относительного равновесия спутника с выбранными величинами
направляющих косинусов 7/= 7/о > как легко видеть, теперь зависит от
непротиворечивости уравнения (6.34): поскольку его правая часть неотрицательна,
то неотрицательной должна быть и левая часть. Если это условие
выполнено, то из уравнения (6.34) получим
1 f , 1 з 2
*a=±~ Ы+^Г 2 */+—'(Л*174о+/Жа750+а:э7бо)-
r ( I *(/-з)7/о)2 ( Z Ка-з)Ун>)(Ау1о +57io + C7S0)}
% / = 4 ^я / = 4 i
(6.35)
После этого значение множителя i>3 можно будет определить из уравнения
(6.33), значения направляющих косинусов о4,о$ и о6 в положении
относительного равновесия в случае^ ^0 определятся из уравнений (6.31),
а значения параметров /о, ^7i, т?2, т?3 - из уравнений (6.29) - (6.30).
Следовательно, вообще говоря, соответствующим подбором магнитного момента
10 спутника можно добиться того, что в положении относительного
равновесия по оси симметрии zx конуса напряженности будет расположена
произвольная ось спутника.
Проанализируем теперь более подробно случай Кг=К2 = К3 =?„ =0.
Этот случай рассматривался в работе [25]. Имеем
*>2 =±a3/sin vl9 (6.36)
»>з =Aylo +Я750 +С7бо +ctg^,a3. (6.37)
Если параметр v2 = 0, то одна из главных центральных осей инерции
спутника совпадает с осью zx. Если это, например, ось z, то
74о==7$о=:0, 7бо = 1,
о6 = cos vx, o\+o\= sin2i>,, ръ = А.
143

Теперь из равенств (6.30) находим, что
причем, поскольку параметр vA0 произволен, то величина вектора 10
также произвольна и, как легко установить из равенств (6.30), этот вектор
совпадает по направлению с вектором Н,. Итак, если вектор магнитного
момента спутника 1о составляет угол ух с его главной центральной осью
инерции, то существует относительное равновесие такое, когда указанная
главная центральная ось совпадает с осью z, конуса напряженности,
образуемого вектором Н#, а вектор 10 параллелен (или антипараллелен)
вектору Н*.
Предположим теперь, что о\ > 0. Тогда из уравнений (6.26) - (6.27)
можно найти, что
о4 =74о(<
о6 =7бо(<
col f a7 /
Н. L sin у, \
Задача решена. Формулы (6.38) определяют положение вектора Н„
в теле спутника при его относительном равновесии. Величины а,- не
зависят, как следует из (6.38), от постоянной р4о и определяются только
положением оси z4 в теле спутника, углом vx и моментами инерции
спутника. В формулах (6.39) имеется одна произвольная постоянная: vA0.
Из выражений (6.38) видно, что каждому направлению оси z, в теле
спутника соответствуют два динамически неэквивалентных положения
вектора Н*. Эти два положения становятся динамически эквивалентными,
лишь когда vx = я/2 (тогда эти положения отличаются лишь поворотом на
угол я вокруг нормали к плоскости полярной орбиты спутника).
Наконец, выясним в рассматриваемом сейчас частном случае Кх =К2 =
= Аз = f* = 0 физический смысл параметра v40. Умножая уравнения (6.27)
на а,- (/ = 4,5,6) и суммируя, получим
10 • Н*
*>40 =-1>2<*>$1>1 + 5~ *
Обращаясь к равенству (6.36), находим
*>40 = -~V {(Io-HjTctg*, Цо-Н. I}.
со
и
144

Теперь очевидно, что любое значение параметра vA0 обеспечивается
выбором соответствующего модуля вектора 10.
Как уже отмечалось, для решения вопроса об устойчивости
относительного равновесия спутника достаточно исследовать поведение измененной
потенциальной энергии Wt при условиях (6.23) — (6.25) в малой
окрестности положения равновесия. В частности, для устойчивости равновесия
в вековом смысле достаточно наличия у функции Wx условного максимума
в положении равновесия. В работе [199] предложен удобный метод
решения вопроса об условной знакоопределенности функции. Для исследования
устойчивости стационарных вращений этот метод был применен в работах
„[84, 151, 125]. Используя результаты работ [199, 84, 151, 125], задачу об
устойчивости относительного равновесия спутника можно свести к
исследованию знаков главных миноров седьмого, восьмого и девятого порядков
матрицы из вторых частных производных от функции №по переменным
7/» °i 0 = 4,5,6), j>2 > *>з, *>4 • Эта матрица в рассматриваемом нами частном
случае имеет вид
0
0
0
ал
Os
Об
74
7s
7б
0
0
0
74
7s
7б
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о*
о$
о6
Оа
74
0
v3-A
0
0
"2
0
0
Os
7s
0
0
v3-B
0
0
"2
0
o6
7б
0
0
0
v3-C
0
0
Vi
74
0
Оа
Vl
0
0
Pa
0
0
Естественно, что значения направляющих косинусов и множителей Лаг-
ранжа, содержащиеся в элементах матрицы, должны быть выбраны в
исследуемом положении относительного равновесия.
Согласно результатам работ [199, 151, 25], для решения вопроса об
устойчивости относительного равновесия спутника, когда а3 Ф 0,
достаточно рассмотреть квадратное уравнение относительно множителя Лагран-
жа р4 вида
OsvIq- о9*>4о + ffiо = 0, (6.40)
где
о6 =—- [+ о\ ctg vx - (a7 - А )(а7 - В)(а7 - С)],
о%
°1 2 ,
а9=~Г1 sin vx {т4оО'зо-Я)0'зо-С) +
SUTPj
+ 7so(^o -С) too -Л) + 76о("зо -A)(v30 -В)), (6.41)
Охо =(А - *зо)374о +(Я- ^зо)375о + (С- ^зо)37бо.
7s
0
Os
0
"2
0
0
Va
0
7б
0
Об
0
0
"2
0
0
»*
10. A.B. Белецкий
145

Пусть0>4о)i и (*>4о)г — корни уравнения (6.40),причем(^40)2 —
больший из них. Тогда достаточные условия вековой устойчивости
относительного равновесия спутника могут быть сведены к двум неравенствам:
*8>0, *>4 0>0>4 0)2. (6.42)
Если эти неравенства не выполнены, то относительное равновесие либо
неустойчиво, либо возможна его гироскопическая стабилизация.
Гироскопическая стабилизация возможна, когда [192] выполнены неравенства
Рис. 73. Области устойчивости и неустойчивости (не заштрихованы).
Рис. 74. Секторы устойчивости (заштрихованы).
"40 <0>4o)l» ^8 >0 ИЛИ 08 <0, (*>4o)l <(^4o)<(^4o)2- ОтНОСИТвЛЬНОв
равновесие неустойчиво, если а8 >0, (*>4o)i< "40 < ("40)2* или а8 < О,
"4 0 <(^4o)i> или а8 <0, "4о>("4о)2- Области вековой устойчивости,
возможной гироскопической устойчивости и неустойчивости,
соответствующие выписанным неравенствам, показаны на рис. 73 на плоскости
(^8,"4о)- Область, отмеченная цифрой 1, соответствует вековой
устойчивости; области, отмеченные цифрой 2, - неустойчивости, а цифрой 3, —
возможной гироскопической стабилизации относительного равновесия
спутника.
Исследуем более подробно, используя работу [151], первое из
неравенств (6.42). Очевидно, что для семейства относительных равновесий
спутника, соответствующих знаку плюс при первом члене в квадратных
скобках выражения (6.41), неравенство а8 > 0 выполнено, если
(а7 - А )(а7 - В)(о1 - С) < 0. (6.43)
Без ограничения общности можно считать, что А > В > С. Тогда знак
неравенства (6.43) определяется знаком множителя (а7 - В). Уравнение
а7 = В определяет на сфере (6.23) два больших круга:
уЛГ^Чь ±у/А^ТуА = 0. (6.44)
Круги (6.44) пересекаются в точках у5 = ± 1 и разбивают сферу на четыре
сектора (рис. 74). В тех секторах, которые содержат точки у4 - ± 1,
неравенство (6.43) выполнено (эти секторы на рис. 74 заштрихованы). В самой
точке 74s ± 1 неравенство (6.43) превращается в равенство. В случае
полярной орбиты спутника (vx = 7г/2) неравенство а8 > 0 может быть
выполнено только в заштрихованных секторах. Области, где а8 >0,
146

являются некоторыми областями влияния наименьшей из осей
центрального эллипсоида инерции спутника. Если vx <я/2, то эти области шире
заштрихованных на рис.74. Действительно, неравенство а8 >0 может иметь
место и там, где (6.43) не выполняется за счет положительного члена
о\ ctg*>! в выражении (6.41). В пределе при vx ^0 (орбиты, близкие к
экваториальным) неравенство а8 >0 может быть выполнено на всей сфере
(6.23).
Для семейства относительных равновесий спутника, соответствующих
знаку минус при первом члене в квадратных скобках в выражении (6.41),
неравенство а8 > 0 может быть, очевидно, выполнено только при
выполнении неравенства (6.43). Область выполнения неравенства а8 > о для
решений этого семейства, вообще говоря, уже, чем для семейства,
рассмотренного ранее. При vx -> 0 она вообще исчезает. При vx = яг/2 (полярная орбита)
области выполнения неравенства а8 > 0 совпадают для обоих семейств.
Устойчивые положения относительного равновесия из числа только что
рассмотренных могут быть использованы как в качестве первого
приближения в задаче о колебаниях спутника в геомагнитном поле (при
применении для описания этого поля более точных моделей, чем упрощенный
прямой диполь), так и в качестве номинальных движений в системах
полупассивной стабилизации в магнитном поле.
§ 2.0 полупассивной стабилизации спутника
Обсудим теперь [147] возможность реализации системы полупассивной
стабилизации спутника в магнитном поле, использующей в качестве
номинальных найденные в предыдущем параграфе положения относительного
равновесия.
Как уже отмечалось во введении к этой главе, идеальные условия для
реализации исследованных ранее положений относительного равновесия
в геомагнитном поле можно обеспечить, если воздействовать на спутник
управляющим моментом (М* - М). Однако управляющий момент зависит
от движения спутника вокруг своего центра масс. Поэтому для
осуществления нужного управления потребуется непрерывная информация о
положении спутника в пространстве, которую не всегда можно иметь.
Поступим поэтому иначе: управляющий момент возьмем в виде
(М*0 - М0). Здесь нижние индексы (0) означают, что моменты вычислены
вдоль номинального, избранного для стабилизации движения спутника.
Можно ожидать, что сформированное таким образом программное
управление создаст благоприятные условия для реализации выбранного режима
ориентации.
Предположим, например, что спутник, центр масс которого
перемещается по круговой орбите, имеет постоянный собственный магнитный момент
1о(Кх -К2 =" К3 = ?„ = 0)и снабжен катушками, пропускание тока по
обмоткам которых позволяет создать нужный управляющий момент.
Будем учитывать только взаимодействие спутника с геомагнитным полем.
Прочими моментами пренебрежем, считая их малыми по сравнению с
моментом магнитных сил. В качестве модели геомагнитного поля примем
прямой диполь, в качестве стабилизирующего момента - момент
магнитных сил, создаваемый упрощенным дипольным полем, который был

рассмотрен в предыдущем параграфе этой главы, а в качестве номинальных
движений при стабилизации спутника - рассмотренные там же положения
относительного равновесия в системе осей х*уА z4. При
сформулированных условиях управляющий момент Мупр, воздействующий на спутник,
должен иметь вид
МУпр = I00X(H,-H). (6.45)
Здесь loo — вектор магнитного момента спутника в движении, принятом
за номинальное, Н — напряженность дипольного поля в модели прямой
диполь.
Из формулы (6.45) следует, что управляющий момент лишь
компенсирует разницу между дипольным полем и основной (согласно рис. 9) его
частью, описываемой моделью упрощенный прямой диполь.
Движение спутника около своего центра масс с учетом управляющего
момента (6.45) можно описать следующим уравнением:
— (УоО + со X -КЗ =IoXH + I00X(H,-H). (6.46)
dt
Обратимся теперь к конкретным примерам использования решений,
рассмотренных в предыдущем параграфе.
В случае полярного спутника векторы напряженности полей,
создаваемых прямым диполем и упрощенным прямым диполем, перемещаются
в плоскости орбиты, причем вектор Н« вращается с постоянной угловой
скоростью. Предположим, что вдоль оси z спутника расположен
постоянный магнит с магнитным моментом /0. Тогда в поле упрощенного прямого
диполя существует устойчивое вращение спутника, для которого ось z
отслеживает направление вектора Нф, а ось х спутника направлена по
нормали к плоскости его орбиты. Достаточное условие устойчивости такого
вращения с помощью неравенства (6.13) можно записать в виде А > В.
Будем предполагать, что это условие выполнено. Если управляющий момент
отсутствует, то вращение оси z спутника в плоскости орбиты можно
описать уравнением
42Фз
—— + 0,5 а, [3 sin ф3 - sin(2w + ф3 )] = 0. (6.47)
du2
Это уравнение выделяется из системы (3.7) при условии, что
/л =?3 =0, Vi =7г/2.
Если на спутник действует управляющий момент вида (6.45), то
вращение спутника описывается уравнением
dH
у- + 0,5а„ {(1 -3cos2w)[sin2M-sin(2w + ^3)] +
du2
+ 3 sin 2м [cos 2м - cos(2 w +1^3 )]} =0. (6.48)
Как легко видеть, уравнение (6.47) не имеет решения ф3 = 0, и поэтому
идеальное отслеживание осью z направления Н„ без управления
невозможно. В третьей главе показано, что амплитуда изменения угла ф3 может быть
весьма значительной особенно при значениях параметра а«, близких к
резонансным.
148

Например, приближенное решение уравнения (6.47) в окрестности
первого резонансного значения а, можно искать в виде
фг = b2sin(2u + Л ). (6.49)
Величины Ь2 и Л в выражении (6.49) постоянны. Для их определения,
используя уравнение (6.47), можно получить следующие приближенные
выражения:
1. Л = 0, аА=-
2. Л-77,
<**=-
bJxib2)-J0{bi)
Sb2
мь2) + бмь2)
Соответствующая амплитудно-частотная характеристика показана на
рис. 75. _
В отличие от уравнения (6.47), уравнение (6.48) имеет решение ф3 = 0,
и, следовательно, возможна идеальная ориентация спутника по направлению
Н*. Разумеется, для осуществления такой ориентации важно, чтобы решение
ф3 = 0 было устойчивым. Рассмотрим соответствующее этому решению
уравнение в вариациях. Это уравнение имеет вид
#Фэ
—— + 0,5аф(3 -cos2w)^/3 =0. (6.50)
du2
Поскольку исследуется устойчивость тривиального решения, для
возмущений в (6.50) сохранено обозначение фъ.
Для устойчивости нулевого решения уравнения (6.48) необходимо,
чгобы_ было устойчиво нулевое решение уравнения (6.50). Коэффициент
при ф$ в уравнении (6.50), как легко видеть, не может принимать
отрицательных значений. Поэтому нулевое решение этого уравнения
устойчиво по крайней мере, когда [97]
0,57га, JT(3 -cos2a)dw<4.
о
(6.51)
Из неравенства (6.51) следует, что устойчивость имеет место по
крайней мере, когда а„<8/37г2. При больших значениях параметра а, нуле-
кЪ^рад
Рйс. 75. Амплитудно-частотная х арак-
теристика.
Рис. 76. К нахождению областей
неустойчивости.
149

вое решение уравнения (6.50) может быть неустойчивым. Как известно
[97], ввиду периодичности коэффициента при Фз в уравнении (6.50)
могут существовать такие интервалы значений параметра а, (области
параметрического резонанса), внутри которых возникает неустойчивость.
Характеристическое уравнение для тривиального решения уравнения (6.50)
имеет вид (3.69). Поэтому тривиальное решение уравнения (6.50)
неустойчиво при значениях параметра а*, обеспечивающих выполнение
неравенства |и(а*)|>1, причем
2v(aJ = [ *3 i(") + ^Ool (6.52)
В (6.52) функции Фг1(и) и фъ г(") выражают два частных решения
уравнения (6.50), образующие^ его фундаментальную систему решений,
нормированную в_точке w(0)(^3i(0)= 1).
Как решения Фъ\(ц)<> Фз2(и)> так и интервалы значений параметра
аф, в которых возникает неустойчивость, определялись численно. Часть
графика зависимости v(am) показана на рис. 76. Найдены следующие
интервалы неустойчивости по параметру <хт:
(0,56-0,79), (2,6-2,74),
(5,96 - 6,04), (10,64- 10,68),
(16,6 - 16,68), (23,92 - 24,0),
(32,56-32,68),
(42,52-42,64), (53,88-53,92).
Таким образом, введенный управляющий момент в рассмотренном
частном случае создает благоприятные условия для ориентации спутника,
обеспечивая его устойчивое (кроме некоторых интервалов изменения
параметра а*) равномерное вращение в дипольном поле.
Исследованное только что вращательное движение было плоским.
Рассмотрим теперь пример, показывающий, что с помощью управляющего
момента I00X (H* - Н) можно в поле, создаваемом диполем,
реализовать устойчивые пространственные движения спутника, найденные в
предыдущем параграфе. Попытаемся, например, использовать положение
относительного равновесия спутника в системе осей x4yAz4i когда оси
xyz спутника совпадают с осями x4y4z4, а вектор магнитного момента
10 лежит в плоскости yz, составляя угол vx с осью z. Такое решение,
согласно неравенству (6.13), устойчиво, если О А. В поле,
создаваемом диполем, без управляющего момента указанное решение
отсутствует, а вращение спутника, ориентированного в магнитном поле, является
существенно неравномерным (§2 главы 3).
При наличии управляющего момента существует частное решение
уравнения (6.46), соответствующее вращению спутника, в котором оси xyz
совпадают с осями х4у4 z4. Исследуем это решение на устойчивость.
Положение спутника относительно трехгранника x4y4z4 определим
углами Эйлера 0, ф,*р, вводимыми так, как показано на рис.72.
150

Рйс. 77. Зоны неустойчивости
(заштрихованы) тривиального решения
уравнения (6.54).
Рис. 78. Зоны неустойчивости
(заштрихованы) тривиального решения
уравнения (6.55).
1\град
При малых отклонениях спутника от.исследуемого решения таблица
направляющих косинусов между осями триэдров xyz и х4 у* z4 имеет вид
X
У
Z
х4
1
-(*+*)
0
Уа
^+*>
1
-0
*4
0
в
1
Поскольку нас интересует устойчивость тривиального решения (в=ф=
= ^ = 0), то, сохраняя для возмущений обозначения 0,#,ifc получаем
следующую систему уравнений в вариациях:
d26 2(B+A-C)atl dd
__
•2а,:
du
Л С-В
+ 4 +а
.(Oi jSinV, + О) зСОЯ»!) I 0 = 0,
d2(j>+*)
du2
+ а, 1 0|2sini>i(i// + i/>) = 0.
(6.53)
(6.54)
151

В этих уравнениях введены обозначения
3 3
at | = sin/sin2wcos2m sin2;sin2Hsin2wcosi>i +
2 2
+ (1 -3sin2/sin2H)sini>,sin2M,
3 3
a, 2 = — sin/sin22w sin 2/sin2Mcosi>lcos2w +
2 2
+ (1 -3sin2/sin2tt)sini>iC0s2w,
« 3
a13 =—sin2/sin^!sin2w+ (1 -3sin2/sin2i/)cosiv
2
Если в уравнении (6.53) сделать замену вида
Г (В+А-С) 1
0(н) = 0(Юехр / rfu ,
L 2a, 2 J
то это уравнение можно привести к следующей форме:
d4 [ С-В
4 + a,(a12sin*', +a13cosi>I)-
du2 [ A
H
Г№ + ^-С)ап12 (B+A -C) d ioxx\\ ^
[ Aol2 J Л €/i# \ at 2 / J
Как известно [97], нулевое решение каждого из уравнений (6.54) и
(6.55) (а следовательно, и (6.53)) устойчиво, кроме ряда интервалов
значений параметров спутника. В частности, на рис. 77 представлены
некоторые из интервалов неустойчивости для уравнения (6.54), а на рис. 78 -
некоторые из интервалов неустойчивости для уравнения (6.55). Эти
интервалы неустойчивости определены численно для спутника, моменты
инерции которого связаны соотношением C=2i4 =4B. На рис. 78
масштаб по оси ординат соблюдается лишь внутри полос, содержащих
приведенные кривые. По оси абсцисс на рис. 77, 78 отложены наклонения орбиты
в градусах, а по оси ординат — значения параметра a» x. Ширина зон
неустойчивости тривиальных решений мала. С увеличением безразмерного
параметра аФ1 кривые, ограничивающие зоны неустойчивости,
растягиваются по оси ординат. Вне зон неустойчивости исследуемое тривиальное
решение может быть устойчивым.
Рассмотренные примеры показывают принципиальную возможность
разработки системы полупассивной стабилизации намагниченного
спутника, использующей в качестве номинальных движений устойчивые
регулярные прецессии спутника в поле упрощенного прямого диполя.

Глава 7
НЕРЕЗОНАНСНОЕ РОТАЦИОННОЕ ВРАЩЕНИЕ
НАМАГНИЧЕННОГО СПУТНИКА
ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС
Во многих случаях кинетическая энергия вращения спутника
существенно превосходит работу, выполняемую воздействующими на него
внешними силами на ограниченном интервале времени. Такое движение спутника
обычно называют ротационным [18].
Если бы внешние моменты вообще отсутствовали, то движение спутника
относительно его центра масс происходило бы так же, как движение
твердого тела около закрепленной точки в случае Эйлера — Пуансо [5].
Можно ожидать, что и при наличии малых внешних моментов вращение
спутника будет близко к невозмущенному по Эйлеру — Пуансо по крайней
мере на некотором конечном интервале времени. Ввиду малости
внешних моментов для анализа ротационного вращения спутника можно
применять хорошо разработанный аппарат асимптотических методов теории
колебаний [41,53,54].
Однако эффективность применения этих методов во многом будет
определяться рациональным выбором переменных, описывающих
эволюцию невозмущенного вращения спутника под влиянием возмущающих
моментов. Эти переменные, с одной стороны, должны полностью
описывать движение спутника около своего центра масс, а с другой —
наличие информации об их изменении должно давать ясное представление
об отличии возмущенного движения от невозмущенного. Хорошим
примером в этом плане могут служить различные системы оскулирующих
элементов в задаче о возмущенном движении центра масс спутника по
орбите [149]. Аналогичная система переменных может быть
использована для изучения возмущенного движения спутника относительно его
центра масс [18].
§ 1. Уравнения вращательного движения
Как известно [5], вектор кинетического момента тела L, вычисленный
относительно его центра масс, при отсутствии внешних моментов
остается постоянным. Эллипсоид инерции тела 1 рис. 79 катится без
скольжения по плоскости, ортогональной к вектору L. Геометрическое место
точек соприкасания А на поверхности эллипсоида образует замкнутые
кривые 2 (полодии), а на плоскости, вообще говоря, незамкнутые
кривые 3 (герполодии). В невозмущенном движении имеются два периода:
время, в течение которого точка А описывает полодию, и время, в
течение которого тело делает один оборот вокрут вектора L.
Как показали работы [14, 16, 189], возмущенное ротационное
вращение спутника удобно анализировать в специальной системе перемен-
153

ных Ь,р,о,у9$,ф. Здесь L — как и раньше, модуль вектора L
кинетического момента спутника, вычисленного относительно его центра масс,
углы р и а определяют положение вектора L в пространстве по отношению
к орбитальной правой прямоугольной системе координат X2Y2Z2, ось
Х2 которой направлена в перицентр орбиты, a Z2 - по нормали к орбите
рис. 80. Вместо угла о между проекцией вектора L на плоскость орбиты
и направлением на ее перицентр в некоторых случаях будет
использоваться угол £ = о + соп между той же проекцией вектора L и направлением
hie. 79. К геометрическому
описанию невозмущенного
вращения тела.
на восходящий узел орбиты. В случае отличия поля, действующего на
спутник, от центрального ньютоновского орбита спутника даже в
ограниченной задаче (без учета влияния вращательного движения на
орбитальное движение), вообще говоря, будет отличаться от кеплеровской. Тогда
элементы П1,<оя,/, показанные на рис. 2, начинают оскулировать, а пе-
рицентрическая система координат X2Y2Z2 начинает изменять свою
ориентацию в пространстве. Векторы К/,К$г, Кя, введенные на рис. 80,
означают составляющие абсолютной угловой скорости трехгранника
X2Y2Z2. Наконец, углы Ф,^,0 (рис. 81) определяют положение главных
центральных осей инерции спутника х,у, z относительно правого
трехгранника LiL2L9 связанного с вектором кинетического момента L (ось
L2 лежит в плоскости орбиты X2OY2 и ортогональна к плоскости Z2OL).
Обобщая уравнения,полученные в работах [14, 16, 189], на случай
эволюционирующей орбиты спутника, можно получить следующую систему
дифференциальных уравнений, описывающих изменение введенных
переменных L, р, о,$,ф9Ь:
dp 1 (bU bU\ Мх
— = I—cosp 1 + — +
dt Isinp \дф Ьо J L
+ £iSin(co7r + о) -Kn sin/cos^* + а),
do 1 dU M2
— = — — + —— - *я +tf,-ctgpcos(co7r + а) +
at Lsmp op Lsmp
+ /bnctSPsinisin(wir + o) - A^cos/,
dL dU
— = +M3,
dt дф
dV
— =Z,sin#sin<£<x>s^|
(i-f)-
154

1 / bU bU\
[cos#— J-
Lsind \ дф Ъкр )
M2costy -Misrnty
(7Л)
d>\j /sin2<p cos2^\ 1/
Hi" \ А В )" 1\
dU bU \
— ctg#+ —ctgp)
Ъд Эр /
M{cos\j/ +M2sm\J/ M2 &i
ctgd ctgp cos(cjw + a) -
L L sinp
sinp
sin/sin (cjn + a),
It
(1 sin2»/? cos2<z>\
1 ZL)
С Л Я /
1 bU A/,cos^+M2sim//
+ + .
Lsind 3d Lsind
Здесь U — силовая функция потенциальной составляющей момента
внешних сил, действующих на спутник (предполагается, что этот момент
зависит только от положения спутника в пространстве и от положения его
центра масс на орбите), М\,М2 иЛ/3 — проекции на оси LlfL2 nL
соответственно непотенциальной составляющей указанного момента,
_ di _ dn}
Kv =
doom
dt
Система (7.1) должна быть дополнена уравнениями, описывающими
измерение с течением времени истинной аномалии v (или аргумента широты
м), а также, вообще говоря, и элементов орбиты. Эти известные [149]
дифференциальные уравнения здесь не выписаны. Отметим только, что
в случае эллиптической кеплеровской орбиты спутника его истинная ано-
ZA i AZ
Рис. 80. Системы координат.
Рис. 81. Определение положения спутника в системе координат, связанной с вектором
его кинетического момента.
15<

малия связана со временем уравнением
dv
— = (1 -е2Г3/2соо(1 -ecos^)2. (7.2)
dt
Для спутника, совершающего ротационное движение около центра
масс при слабой эволюции орбиты, переменные Lt р, a,<p, фу # в системе
(7.1) можно по относительной скорости их изменения разделить на
быстрые и медленные. В частности, если все три оси центрального эллипсоида
инерции спутника различны, то в системе (7.1) переменные L, р, о
будут медленными, а переменные </?. ф, #, вообще говоря, будут
быстрыми. Истинная аномалия v может быть быстрой или медленной переменной
в зависимости от того, каково соотношение между периодом обращения
по орбите и характерным временем в невозмущенном вращении спутника
(например, временем, в течение которого описывается полодия). Если
центральный эллипсоид инерции спутника близок к сфере, то из
переменных ф,у,Столько угол убудет быстрой переменной, а ^и# —
медленными.
Система уравнений (7.1) при различных предположениях о
возмущающих силах исследовалась в работах многих авторов как для случаев,
когда между скоростями изменения быстрых переменных
отсутствуют целочисленные соотношения (нерезонансные задачи), так и дляЪгу-
чаев, когда такие соотношения имеют место (резонансные задачи).
Отметим одну из первых работ [190], посвященную исследованию
резонансных вращений спутника в гравитационном поле.
В частных случаях система уравнений (7.1) может существенно
упрощаться. Например, для динамически симметричного спутника (А = 3)
при условии, что М\ ~М2 =Мз = #/ =Ап =Кп = 0, а силовая функция
U не зависит от угла <р, из системы (7.1) можно выделить следующую
замкнутую подсистему уравнений:
dL^^bU^ Jlp_ \_(W ЪЦ\ do__ 1_ _Э£
dt Ъф ' dt Lsinp \Ъф да / dt Lsinp dp
Cr dty L 1 tbU bU \
cos# = —, =— --(—ctgp+ ctgfll. (7.3)
L dt A L\bp dtf / K
Уравнение для угла <^, от которого не зависят правые часта системы (7.3),
не выписано. Проекция г абсолютной угловой скорости спутника на ось
z его динамической симметрии остается постоянной, т.е. существует
интеграл
г* г0. (7.4)
В силу этого система (7.3) имеет четвертый порядок. В некоторых
случаях эта система может иметь интегралы, позволяющие понизить ее
порядок [18]. Например, если силовая функция 47не зависит явно от
времени, то существует интеграл энергии
L2 -2,4C/=const. (7.5)
156

Если силовая функция {/зависит от времени, но только через
комбинацию (а-о>о0> то существует интеграл, обобщающий интеграл энергии
(7.5), вида
L2 - 2AU - 2Aoj0Lcosp = const. (7.6)
Как уже отмечалось, в случае ротационного вращения спутника
переменные, входящие в систему (7.1), могут быть разделены на быстрые
и медленные. Обычно основное значение для анализа возмущенного
вращения спутника имеет характер изменения медленных переменных.
Использование асимптотических методов [41, 53] позволяет изучить
эволюцию медленных переменных на конечном (но асимптотически большом!)
интервале времени с помощью системы дифференциальных уравнений,
упрощенной по сравнению с исходной системой (7.1). При ее построении
может быть полезным, как показали работы [158, 159], аппарат
неприводимых тензоров.
Упрощенная система чаще всего строится с помощью замены правых
частей дифференциальных уравнений для медленных переменных
функциями, получаемыми с помощью вычисления интегрального среднего по
быстрым переменным от исходных правых частей. Считая, например,
что в системе (7.3) переменные ф и v являются быстрыми, а средние
скорости их изменения несоизмеримы, можно для медленных переменных
L,pyo в первом приближении получить следующую систему
дифференциальных уравнений [18]:
dL dp _J ЭОЛ _do__ -1 Э«У)
dp ' dp L0s\np bo ' dp Z0sinp dp
Символом < > здесь и в дальнейшем будет обозначаться усредненное значение
соответствующей функции. В частности, при получении системы (7.7)
предполагалось, что связь истинной аномалии со временем задается
соотношением (7.2), а
1 27Г2Я (1-е2)372
«/> = г / / —r-Udtydp.
(2тг)2 оо а;00 + ecosi>)
Поскольку правые части системы (7.7) не зависят от истинной аномалии
рч то эта система имеет интеграл
<{/> = const, (7.8)
который позволяет построить кривые р(о) на плоскости (р,о).
Исследование нерезонансного вращательного движения спутника на основании
системы (7.3) с учетом главных силовых воздействий проведено в [18].
В этой главе книги обобщены некоторые результаты, полученные в [18].
и описаны новые результаты. Основное внимание уделяется влиянию
магнитного момента на вращательное движение спутника. Оценивается
влияние на вращение спутника несовпадения оси геомагнитного диполя с
осью вращения Земли. Рассмотрена новая задача о движении около центра
масс спутника, несущего статически наэлектризованный экран,
используемый для защиты от радиации, а также эволюция невозмущенного вращения
спутника при взаимодействии основных возмущающих моментов.
157

§ 2. Влияние потенциальных составляющих магнитного момента
на вращение спутника
Основная часть магнитного момента, действующего на спутник, имеет
потенциальный характер и описывается силовой функцией
[/М = 1Н. (7.9)
Для исследования влияния магнитного момента на вращение спутника
удобно определять положение вектора L не относительно трехгранника
Рис. 82. Системы координат.
Х2 Y2Z2y а относительно XYZ. На рис. 82 показаны вводимые с этой целью
углы Pi и 2,, аналогичные по смыслу введенным ранее углам р и 2. В
этом и следующем параграфах данной главы эволюция орбиты спутника
учитываться не будет. При этом предположении легко показать, что форма
уравнений (7.1), записанных относительно переменных L, р, о(2), у, ф, #,
сохранится, если вместо переменных р и 2 ввести переменные Pi и 2,
Разумеется, что при таком преобразовании члены в правых частях
системы (7.1) должны быть выражены в новых переменных. Чтобы выразить
силовую функцию (7.9) через переменные Pi, 2i, v>, Ф, #, используем
следующие таблицы направляющих косинусов:
X
Y
Z
Ii
к\ 1
к2\
*Э1
Ьг
*12
к22
*3 2
L
к\ъ
к2ъ
*зз
L\
L2
L
X
«11
«21
«3 1
У
«12
«2 2
«3 2
Z
«13
«2 3
«3 3
Здесь
кц =cospiCOsZ!, Ли --sinZi, kl3 ssinpiCos£i,
к21 =cosp1sin21, A^^osS!, к2Ъ = sinp,sin2b (7.10)
*з i s - sinp,, *32=0, *33=cosp,,
Лц = cos^cos# -costfsin^sini/',
«2i = cos<£sin^+cos#sin<pcos^, a3i =sindsinv?, (7.11)
<*i 2 = — sin<pcos\(j — cos#cos<isini/s
158

<*22 = — sin^sin^ + cos#cos</?cos^, a32 = sin#cos<^,
a13 =sin#sin^, a23 = — sintfcosi//, a33=cos#.
Будем считать, что спутник имеет постоянный в триэдре xyz магнитный
момент 10 (положение этого вектора определяется таблицей (2.2)).
Предположим также, что оболочка спутника намагничивается вдоль своей
оси симметрии, совпадающей с осью z. Магнитный момент оболочки 1#
определим формулой (1.18). Скалярное произведение (7.9) запишем как
сумму произведений соответствующих проекцией векторов I и Н на оси
Xt Y, Z. Получим
^м = loxHx + A) yHy + lozHz +
/*<> - 1
+ — *Wx(4)x +#к.(г0)г +^z(z0)z]2. (7.12)
В выражении (7.12) введены следующие обозначения:
R
Н\ = — [sinX2 sinSj - 3(k • еЛ )coswl,
Me
Ну- ^[cosXjSin^! тЗ(к-e£)cosisinu], (7.13)
R3
Hz-—I [cos61 - 3(k • еЛ )sin/sintt],
R*
(г0)х^ос13к1{ + a23*i2 + <*зз*1з,
(zo)r=ai3*21 + a23fc22 +«33*23, (*o)z =«13*31 + <*зз*зз, (7.14)
/0Л'=Л*11 +^2*12,+ ^3*13> IoY~hkl\ +^2*22 +/з*23> (7.15)
/oz=/i*3i +/з*зз-
/i = /o(i?i«n +r?2a12 +т?3а13), 72 =/0(T?ia2i +т?2(х22 + т?3а23),
/з=/о(Ч1«з1 + *?2<*3 2 + *?з<*зз),
к eR =coswsin51sinX2 - sinwcos/sin6iCOsX2 + cos5i sin/sinw.
Через eR здесь обозначен единичный вектор радиуса-вектора R центра
масс спутника; выражения (7.13) обобщают формулы (1.3) в случае
5,*0.
Кроме магнитного момента, существенное влияние на вращение
спутника могут оказывать другие моменты, в первую очередь гравитационный
момент. Если для проекций этого момента на оси х,учг использовать
выражения (1.21), то гравитационный момент допускает [18]
существование силовой функции Ur вида
ит =т ~j[U -я)т1 +W -скуЦ. (7.16)
159

Если эволюцией орбиты спутника пренебречь, то связь истинной
аномалии v со временем будет описываться уравнением (7.2). Тогда,
переходя в системе (7.1) от дифференцирования по времени к
дифференцированию по р, получим эквивалентную ей систему, в правых частях
которой вместо силовой функции U появится силовая функция Uv, причем
Uv =Uy/—(\ +ecosi0"2. (7.17)
Во многих случаях переменные v и Х2 можно считать' быстро
изменяющимися по сравнению с переменными p(Pi), Lfa(Li). При
независимом усреднении силовой функции магнитных моментов UMV по
переменным v и Х2 возникает необходимость вычисления квадратур вида
1 2тг 2я p\Hsdvd\2
4тг О О ЦеО +£COS*>) 2
1 2п 2п pt HSHK dv d\2
Isk = TT S f * f * 42 , S9K=X.Y.Z.
Выпишем значения этих квадратур, используя результаты работ [18,
208,66J:
3 / 3 \
1Х =0, 1у = sin/cos/cos6i, Iz =11 sin2/jcos5t,
1 9
hx =— /isin25! +—/7sin25, -3/3sin26, +
+ 9/5lsin2/cos251 +-~cos2/sin26i
lsin2/cos25! + — cos2/sin26| L
/yy = — /,sin26i -3/2cos2/sin26i + 9 /6 cos2 it sin2 /Cos2 51 +
2 \
1 \ 9
+ — cos2/sin25i) +—/5cos2/sin26i,
2 / 2
^z=/iCos25| +9/6sin2/lsin2/cos261 +—cos2/sin25l J +
9
+ — Д sin2/sin2 5, -6/2sin2/cos25,, (7Л8)
2
Avy = -3/4cos/sin26, + 9/8[sin2/cos261 +
1 . , \ 9
+ — cos2/sin25i jcos/ + —/9cos/sin28i,
2
160

Ixz = -3/4sin/(cos26| +—sin26|) +
/ 1 \ 9
+ 9/8sinnsin2/cos2&i + — cos2/sin2S|) + — /9sinisin26|,
\ 2 /2
/yZ=—3/2 sin/cos/1cos251 + —sin26i 1+
+ 9/6 sin/cos/lsin2 /cos2 61 + — cos2 /sin25i )+-r /5sin/cos/sin261.
Здесь введены следующие обозначения:
3
Л=Г+Зе2 + |е4,
/2=j[l+|e2(l+2sin2co^ + ^<1+4sin2^)l
/з = -~[l +|e2(l +2cos2w„) + -|4 (l +4cos2coff)|,
/4=-|-(6+e2)sin2coff,
/5 »JO + 3е2) + -щ(7ап2 2<o„ + 5cos2 2to„),
X (l +3e2 t-jl^j + lcos4 w„(l +e2 +^4),
cos4 w„/ , 35 Л 3
X (l +3e2 +-^HJ + |sin4W7r(l + e2 + ■£),
/8=-^sin2co7r[6+-|-(3 + 2sin2cjw)J,
/9 =fg-sin 2сЦб + -|-(3 + 2 cot'co,)!.
sin2 2cjw X
Для спутника, центральный эллипсоид инерции которого близок к сфере
и который совершает ротационное движение около центра масс, из
оставшихся после усреднения по v и Х2 переменных L,p(px)> a(£t) быстрой
будет только переменная ф. Выпишем выражение силовой функции UMV9
11. А.В.Белецкий 161

усредненной независимо по переменным v,\2 и ф. Имеем
Iot*e
Шьлу)- [(Vi sin ^» +1?2 cos<^)sin # + % cos#] X
X (/у sinpt sin Xi +lz cospt) + v——— X
X {( 1-—sin2i>J[/A:xsin2pl cos22i +/yysin2p1 sin22i +
+ /zz Cos2P! +2 sin рД/д-у sinPj sin Eicos Ъх +
+ /^z cosp^os Si +/y7 cosp^in 20] +
•f
^sin2^* + IyY * hz% (7.19)
Для выявления динамических эффектов во вращении спутника,
обусловленных только потенциальной составляющей его магнитного момента,
пренебрежем пока всеми другими воздействиями и эволюцией орбиты (Л/х =
= М2 = Мъ = К( = Кп = Кп = 0). Система дифференциальных уравнений,
описывающих в первом приближении эволюцию медленных переменных
в нерезонансном вращении намагниченного спутника с близкими
моментами инерции в магнитном поле, примет вид
dp, 1 jH(/Ml,^ dZt 1 ЪШЫР)
dv Lsinp1 bZi ' dv Lsinp, bpx
d$ /pf ( i Л
L=I0, ^-= V y* (1 -e2r3/2Lsin#sin^cos<^~ - -I-
Z, sin i> ty (7.20)
d* A*/, 24-3/2, a/1 Sin2* COS2^\
— = V — 0 -* ) £ cos#
dt ii \C А В J
1 Э<£/м„>
Л sin # Ьд
Система уравнений (7.20) кроме интеграла L = L0 (который существует
уже после однократного усреднения силовой функции по переменной ф,
если, конечно, Л/i = М2 = Мг = К( = Кп = Ка= 0) имеет еще интеграл
I2[/sin2</> cos2 «А щ cos2#]
~[\А~*1в~ /Sin С "Г <£/м"> = С01Ш' (7e2I)
Система (7.20) весьма сложна для аналитического исследования эволюции
невозмущенного вращения намагниченного спутника.
162

Однако, если спутник динамически симметричен (А = В) и намагничен
вдоль оси динамической симметрии (т?3 = 1), указанное исследование
значительно упрощается. Возмущенное ротационное вращение динамически
симметричного спутника в первом приближении будет описываться
замкнутой системой уравнений
dpx _ 1 b<UMV) </Si_ 1 b(UMU)
dp I0sinp1 32i ' dp L0 sin px dpt
которая имеет следующие интегралы:
д = #0 = const,
7оМе Л rw . . ^ ч /i0 - 1 ill v
(7.22)
cos#0(/y sin px sin 24 +/^ cosp^* v
471 n/^T
X 111- -rsin2^0)[/ArA'Sin2plcos221 +/ry sin2p1sin22l +
+ IZz cos2px + 2sinp1(/Ary sin px sin 2^ cos 2^ +
+ fxz cos Pi cos 2! +/yz cos Pi sin 20] f = const. (7.23)
Выражение (7.23) определяет перемещение вектора кинетического
момента спутника по сфере L = L 0.
Из интеграла (7.23) следует, что в рассматриваемом случае магнитный
момент не вносит возмущений во вращение спутника около центра масс
только тогда, когда оболочка спутника не намагничивается и #0 ~ W2,
т.е. когда кинетический момент L0 расположен в экваториальной
плоскости эллипсоида инерции спутника. Если же магнитный момент 10
расположен в теле спутника произвольно, то, как это следует из системы (7.20) и
интеграла (7.21), магнитный момент оказывает влияние на вращение
спутника, вообще говоря, при любых значениях угла нутации, даже тогда, когда
оболочка спутника не намагничивается.
Рассмотрим теперь несколько примеров исследования возмущенного
ротационного вращения спутника, описываемого уравнениями (7.22).
Будем считать, что эксцентриситет орбиты мал, и пренебрежем поэтому
в выражениях (7.18) членами, содержащими множители е2 не*. Получим
1Х =0, /у = — -=sin /cos/cos51, Iz - (l —-^sin2/)cos6b
/A'Ar=-^sin261 +-g(sin2/cos2«i +-xcos2/sin261),
/yy =: — TTCos2/sin25l + —sin25l +
-|-cos2/(sin2/cos2бi + — cos2/sin2бi),
•8i +-~-sin2/(sin2/cos2 б i + ^cos2/sin26j +
(7.24)
lzz = cos2
11* 163

9
+ -rrsin2/sin26l -3 sin2/cos26!,
lo
lyz = —•xsin/cos/lcos2^ +~ sin^! 1 +
+ —sin/cos/(sin2/cos251 + — cos2/sin251 J.
1. Вращение экваториального спутника (/=0).
Используя (7.24), можно представить силовую функцию (UMV > в виде
((/МУ> = cos St cos pt + и Х
T^f * " 4, .CT
X II — — sin2^0)(-TSin26lsin2pl + cos25lcos2pl 1 + const.
Из системы (7.22) тогда получим
Pi = Рю.
dZt /Ojuecos#0 e (Po - Ocosp10 ix\
. cos б i + v X
X (l--|sin2^0)(|sin26l -cos26A
Таким образом, вектор кинетического момента экваториального спутника
под действием потенциальной составляющей его магнитного момента,
оставаясь постоянным по величине, равномерно (по истинной аномалии)
вращается вокруг нормали к плоскости своей орбиты на постоянном угловом
расстоянии Р|0 от этой нормали.
2. Вращение постоянно намагниченного спутника.
Во многих случаях (например, при наличии на спутнике сильных постоянных
магнитов) магнитный момент, обусловленный намагничиванием оболочки,
существенно меньше магнитного момента, вызываемого постоянной
намагниченностью спутника. Если намагничиванием оболочки пренебречь, получим
(tluv)s e_t cos#0(/y sinP!sin 2i +/z cosp^ + const,
dpi lonely . _
cos v0cos Si,
dp
L
oV/wpT
(7.25)
dZi I0iie
= 3==rcosd0(/yctgplsinli -/z),
1y =
164
Y = — -r sin/cos/cos6lf Iz =| 1 —*r sin2/]cos5i.

В силу первого уравнения системы (7.25) ее стационарные точки Zt =
= Il0,p1 =Рю (Рю и ^ю _ некоторые постоянные) лежат либо на
меридиане Zt = 7г/2, либо на меридиане Zt = Зяг/2. Стационарные значения угла
рх определяются приравниванием нулю правой части второго из уравнений
системы. Перемещение вектора кинетического момента спутника в
пространстве определяется интегралом
/у sin px sin Si + lz cospx = const, (7.26)
а стационарные точки pl0, Z10 системы (7.25) находятся из выражений
1
--^sin2/
C*gPio =
— sin/cos/sin Zl0
v _ 7Г 3
(7.27)
Для случаев, когда sin2/ < 2/3, характерные зависимости P^Z^,
задаваемые интегралом (7.26), показаны качественно на рис. 83,а, а для
случаев, когда sin2/ > 2/3, те же кривые представлены на рис. 83,5. Если
2/3, особые точки кривых имеют координаты
sin2 / =
Рю = ^io ""^ и
7Г v 3
Рассмотрим угол между вектором кинетического момента спутника и
единичным вектором ер z направления из центра сферы L = Ь0в точку
с координатами Zi = Zl0, P! = р10 (значения р10 и Z^0 определяются
формулами (7.27)). Имеем
cos(L,ep E ) = sinpl0(sinp1sinZlsinZ10+cosplctgp10) =
sinpl0
sin Zk
(/у sin Pi sin Zt +/z cos Pi).
С учетом интеграла (7.26) отсюда следует, что указанный угол постоянен,
т.е. вектор кинетического момента L прецессирует на постоянном угловом
расстоянии (определяемом начальными условиями) от стационарной точки
ifit*P*9
kPf>pM
Рис. 83. Качественный вид зависимостей ?,(£,), определяемых интегралом (7.26).
165

Рис. 84. Траектории конца вектора кинетического момента постоянно
намагниченного спутника на сфере L- L0.
(р10,210). Легко показать, что угловая скорость этой прецессии постоянна
(по истинной аномалии) и равна 10це cos #0cos 5 i у/ \ + 3cos2 i'l2>/nplLo.
Траектории конца вектора L на сфере L = L0 показаны на рис. 84.
Рис. 84,л соответствует зависимости pl(li)> представленной на
рис. 83,д. а рис. 84,5 - зависимости pi(^l)y представленной на рис. 83, б.
3. Влияние магнитного момента оболочки. Дня
оценки эволюции невозмущенного вращения спутника, вызванного только
магнитным моментом его оболочки, примем, что в формуле (7.19) множитель
/0 равен нулю. Тогда система эволюционных уравнений (7.22) примет вид
dpx (juo - \)vii\
dv
2*1,0
^(l-|sin^o))
n-|sin2i»o)>
(7.28)
X [(Iyy - lxA-)sinpx sin Si +/yZ cosp1 ]cos Y.x,
dbx _ (aiq - 1)ид2
dv 2itL0\T^m
[i -> cos2Pi ]
Uxx cos2 Si +/yy sin2 Si -/zz)cospl +IYZ— sin 2^ .
2 sin p1 J
Стационарные точки р10,210 системы (7.28) определяются из выражений
« _ 7Г 3 , л /у^ sin Ею
^ Z /7
'ZZ
УУ
210=0,тг,
(7.29)
а перемещение конца вектора кинетического момента L спутника по сфере
L=Lo задается интегралом, который можно представить в виде
(hz -fxx)c°s2Pi +(/yy ~/A-A')sin2p1sin22:l +
+ 21 yz cos pl sin px sin Si = const.
(7.30)
166

Из вида интеграла (7.30) следует, что траектории на сфере L = L0
симметричны относительно плоскости YZ. Используя выражение (7.30), можно
получить
sin 2t —X/ctgPl ± >/-^ + f/ct?V (7.31)
sin2 Pi
В формуле (7.31) введены следующие обозначения:
х hz j. Iyz Izz - Ixx
Wy-Ixx (Iyy -Ixx)1 1xx-1yy
Траектории конца вектора L на сфере L=L0 показаны на рис. 85 для
случая X/ < 0 (если X/ > 0, картина будет симметрично повернута
относительно оси Z). Рис. 85,а построен для случая ?7 < 0, рис. 85,6 - для случая
f 7 > 0. Семейство траекторий, как это следует из (7.29), содержит две пары
полюсов на меридиане симметрии YZ и еще одну пару полюсов на оси Х.Олг
на из этих трех пар — неустойчивые полюсы. В частности, если ?7 < 0,
неустойчивые полюсы лежат на оси X, а если ? 1 > 0, неустойчивыми будут одна
из пар полюсов, лежащих в плоскости YZ. Для полярной орбиты (/=90°) из
формул (7.29) следует, что все полюсы находятся на осях X, Y, Z,
поскольку р{0 = 0, я/2, я. В отличие от первых двух примеров, прецессия вектора
L вокруг осей, проходящих через полюсы, происходит, как это следует из
уравнений (7.28), неравномерно (даже по истинной аномалии). Разумеется,
используя интеграл (7.30), систему (7.28) можно проинтегрировать в
квадратурах. Примеры 1 — 3 при &х = 0 рассмотрены в [18]. Учет перекоса
диполя (6t Ф 0) не вносит качественных изменений в характер вращения
спутника.
В общем случае (/0 Ф 0 и оболочка намагничивается) траектории конца
вектора L можно строить, используя интеграл (7.23). Из вида этого
интеграла следует, что указанные траектории симметричны относительно
плоскости YZ. Картина траекторий, изображенных на рис. 85, искажается:
полюсы смещаются, области влияния каждого из полюсов одной пары не
равны друг другу.
Рис. 85. Траектории конца вектора кинетического момента спутника, имеющего
намагничивающуюся оболочку, на сфере Is LQ.
167

§ 3. Влияние вихревых токов на вращение спутника
В предыдущем параграфе рассматривалось воздействие на вращение
спутника потенциальных составляющих магнитного момента. Однако, как
уже отмечалось в первой главе, при движении спутника в геомагнитном
поле в его проводящей оболочке возникают вихревые токи,
взаимодействие которых с полем приводит к появлению момента вида (1.15). Изучение
динамики вращательного движения проводящего тела в магнитном поле
представляет собой весьма сложную, до сих пор нерешенную в общей
постановке задачу, требующую совместного решения уравнений
электродинамики и механики. Интерес к этой задаче увеличивается в связи с
возможностью использования сил, возникающих из-за вихревых токов, для
демпфирования колебаний спутников [120] и для неконтактного вывешивания
тела в магнитном поле [74].
Отметим некоторые из работ [72, 18, 60, 90, 66, 201 - 203, 99,91, 89,
100], посвященные как вычислению момента сил, действующего на
проводящее тело, помещенное в магнитном поле, так и исследованию его
вращательного движения в частных случаях.
В этом параграфе мы получим систему уравнений, описывающих
изменение медленных переменных в нерезонансном ротационном вращении
спутника с магнитным моментом (1.20), а также рассмотрим некоторые
особенности такого вращения.
Итак, предположим, что на спутник действует только момент сил вида
М=*Ф[[£ХН]ХН]. (7.32)
Будем описывать ротационное вращение переменными L9 ply 2t, ф9
1,.# и считать, что переменные *>, Х2, Ф — быстрые. После независимого
усреднения правых частей дифференциальных уравнений по быстрым
переменным получим следующую систему эволюционных уравнений для
медленных переменных (К§ = К& = К* = 0):
dv л/^Т1 ^ A * l с \
X l'jrX*»l*13 + /*у(*11*2Э + *l 3*2 l) + /yy*J 1*23 +
+ /yz(*23*31 +*33*2t)+/A-z(*13*31 + *11*33> + /*Z*3 1*33 J ,
dv N/^fsinp1L V A В ) С I
X [/*Х*!2*13 + 'УУ*22*2Э + 'ху(*1Э*22 +*12*2з) +
+ /*Z*12*33+/yZ*2 2*33],
*£„ ***?£ Ln*d(i!^+^V-—|x
dv VV^f L v A B ' c J
X [Ixx(k\3 - l) + IYY(kh - l) + /zz(*§3 - 1) + 2/*у*,з*2з +
+ 2/xz*i3*33+2/yZ*23*33], (7.33)
168

•fi- V^O -e2)-^£sindsin^cos^(j - j)+
+ —74? —^+—T^ ~ -)™2d[Ixx(kh + *?, -2) +
4V*<pTV ABC/
+ /zz(*ii-2) + 2/Ary(*,2*22+*11*2l) + /yy(*i2+*ll-2) +
+ 2/*Z*ll*3 1+2/yz*2 1*3l],
rf7
/pT « ,„ / ! sin2<4 cos2tf\
'^(НН1'**^*"-2»*
+ /yy(*li +*b -2) + /Z2(*!i -2) + 2IXY(kllk2l + £,2*22) +
+ llxz ki 1*3 i+2/yz*21*31].
Из-за сложности системы (7.33) ее исследование проводилось в
основном численными методами для конкретных спутников, параметры которых
известны. Можно указать, однако, частный случай, который допускает [18]
достаточно подробное исследование аналитическими методами, — вращение
динамически симметричного тела (А = В) в поле с постоянной
напряженностью. Такая ситуация возникает, если орбита спутника расположена в
плоскости земного экватора, а несовпадением оси магнитного диполя
Земли с ее осью вращения можно пренебречь (5 х = 0).
При указанных предположениях из системы (7.33) получаем
dp. /sin2# cos2iT
- " ' + 1 sin pt cos pt,
=-**(-
dv v\ A
dv dv f
rfS, dL
l=0, — = —^== [—- + -—-)L sin3plt (7.34)
MP.
dd Кьцге / 1 1\
= Ф^£_( sin2d(l+cos2p.).
Будем считать, что коэффициент Кф постоянен и положителен. Из второго
уравнения системы (7.34) следует, что угол £i постоянен, т.е. вектор L
все время находится в одной плоскости, образованной начальным
положением вектора L и осью Z. В силу теоремы об изменении момента
количества движения спутника относительно его центра масс, проекция вектора L
на ось Z остается постоянной, так как вектор (7.32) ортогонален к ochZ.
Из третьего уравнения системы (7.34) следует, что величина L монотонно
убывает. Это позволяет утверждать, что вектор L в процессе эволюции
169

стремится совпасть с нормалью к плоскости орбиты спутника.
Следовательно, угол Pj стремится либо к нулю, либо к я.
Система (7.34) допускает интеграл
(sintf)2^<c-^>(cost>)2C/^-c>
= const. (7.35)
tgpi sin pj
Из интеграла (7.35) следует,что при pt -*0 угол & -►0(7г),если О А. Если
же С <А, то при рх ->0(7г) угол # -*тг/2. Иначе говоря, под действием
момента сил, порождаемого вихревыми токами, динамически сжатый спутник
будет стремиться к вращению вокруг оси симметрии, которая сама
стремится совпасть с нормалью к плоскости орбиты спутника. Динамически
вытянутый спутник, наоборот, будет стремиться к вращению вокруг оси,
лежащей в экваториальной плоскости его центрального эллипсоида
инерции, причем эта ось снова стремится совпасть с нормалью к плоскости
орбиты спутника.
Разумеется, рассмотренный только что частный случай является
исключительным, поскольку допускает существование в пространстве
фиксированной оси (нормаль к плоскости орбиты), вращение вокруг которой
происходит с постоянной угловой скоростью. В случае орбиты
произвольного наклонения (или хотя бы при учете перекоса геомагнитного диполя
(Si Ф 0)) такая ось отсутствует, и поэтому можно ожидать, что с течением
времени величина L будет стремиться к нулю. Чтобы убедиться в этом,
составим уравнение, описывающее изменение с течением времени модуля
вектора L. Усредняя правую часть этого уравнения по переменной ф,
получим
dL Г „ /sinV cosV\ cos2fll \ , (Н. L)2 \
Очевидно, что правая часть приведенного уравнения неположительна и
обращается в нуль только тогда, когда L = 0 или когда векторы L и Н
коллинеарны. Поскольку же положение вектора Н в пространстве
непрерывно изменяется, то модуль вектора L непрерывно убывает.
В работе [18] проведено приближенное интегрирование системы (7.33)
в случае А = В и Ь i = 0. Оно показало, что под действием момента от
вихревых токов вектор L с течением времени будет стремиться к некоторому
фиксированному направлению в пространстве, а угол & будет стремиться
либо к 0, либо к тг/2. Более детальное исследование влияния вихревых
токов на вращение спутника можно найти в работах, указанных в начале
этого параграфа.
§ 4,0 вековых эффектах во вращательном движении спутника
с наэлектризованным экраном
В качестве одного из средств защиты запускаемых искусственных
спутников от радиации могут использоваться устанавливаемые на них
статически наэлектризованные экраны. В этом случае при вращении спутника в
магнитном поле Земли заряженные частицы экрана взаимодействуют с
полем, что, вообще говоря, может приводить к возникновению значительных
170

Рис. 86. Спутник, несущий наэлектризованный экран.
возмущающих моментов. Рассмотрим, следуя
работе [32], влияние этих моментов на движение
спутника относительно своего центра масс.
Как известно [87], движение заряженной
частицы с массой mv и зарядом е„, имеющей скорость V„,
малую по сравнению со скоростью света cs, в
магнитном поле с напряженностью Н можно описать
следующим дифференциальным уравнением:
ть
dt
* — [V^XHl.
(7.36)
Выражение, входящее в правую часть уравнения
(7.36), обычно называют силой Лоренца.
Предположим, что спутник I (рис. 86) находится
в геомагнитном поле и снабжен наэлектризованным экраном 2, состоящим
из частиц имеющих одно и то же отношение заряда ev к массе тр.
Вычислим главным момент Ме сил Лоренца относительно центра масс G
спутника вместе с экраном, считая, что магнитное поле однородно в части
пространства, занимаемой спутником. Получим
Ме = М(1> + М<2> + М<3>.
В выражении (7.37) введены следующие обозначения:
M(1) = a,2m„(r,,.H)[c3Xr„], аэ = e3/(csM3),
V
М(2) = аэЛ/э(Рэ- H)VG>
М(3)=-аэЛ/э(р.Ус)Н.
(7.37)
(7.38)
(7.39)
(7.40)
Суммирование в выражении (7.38) распространяется на все точки
экрана, Мэ — масса экрана, а еэ — его суммарный заряд, рэ — радиус-вектор
центра масс Gy экрана (см. рис. 86), VG - скорость центра масс спутника,
г „ — радиус-вектор точки экрана с массой mv, сЗ - абсолютная угловая
скорость спутника.
Оси x,y,z, показанные на рис. 86, представляют собой главные
центральные оси инерции спутника вместе с экраном. Проекции м£г\ М,
(1)
М2(1>
момента (7.38) на оси х, у и z легко выразить через элементы
тензора инерции экрана
-/,
"yz
,-Л
ху
"уу
<zy
-/
yz
171

в виде
Мх" = <bWx*Hx +JyzHy +JzHz)-r(JxyHx +/2Л, + JyzHz )],
Л/»> = о,[г(ЛЯх +/хуЯу +JxzHz)-p(JxzHx +JyzHy +J3HZ)],
(7.41)
Мг(1) - ChlPVxyHx +J2Hy +Jyz#z) - q{JxHx +JxyHy +JXZHZ)],
2 Ji = Уд;^ + y2z "~ /x* » 2 У2 ~ /xx "*" /zz "" /yy >
2 «/3 s^x ^Jyy ~~ Jzz •
В выражениях (7.41) через р, 4, r wHx,Hy,Hz обозначены проекции на
оси х, у и z соответственно векторов со и Н.
Заметим, что если тело с массой Мэ состоит из частиц, имеющих
одинаковое отношение заряда к массе, с суммарным зарядом еэ, то среднее по
времени значение главного момента сил Лоренца, возникающих в однородном
постоянном магнитном поле, может быть [87] представлено в виде
М,= ~— [LXHJ. (7.42)
2Мэс5
Здесь L — момент количества движения тела относительно его центра масс.
Известно [87, 59], что воздействие на заряженное тело момента (7.42)
заставляет вектор кинетического момента тела равномерно прецессировать
вокруг направления постоянного вектора напряженности поля (теорема
Лармора). Отметим еще работу [92], в которой рассматривался вопрос
об интегрируемости уравнений движения наэлектризованного тела с
неподвижной точкой в постоянном магнитном поле под действием
момента (7.42). Задача о влиянии на вращение тела момента (7.37) гораздо
сложнее в первую очередь из-за изменения вектора напряженности
геомагнитного поля вдоль орбиты спутника.
Будем считать, что кинетическая энергия вращательного движения
космического аппарата существенно превосходит работу действующих на него
внешних моментов. Для описания движения аппарата около своего центра
масс воспользуемся системой уравнений (7.1). Геомагнитное поле
аппроксимируем диполем с компонентами вектора напряженности, задаваемыми
выражениями (7.13).
Влияние на вращение спутника момента (7.37) удобно оценить,
определяя положение вектора L в пространстве с помощью углов р\ и Zi (см.
рис. 82). Предположим, что спутник динамически симметричен (А = В), а
его орбита не эволюционирует. Тогда в системе уравнений (7.1)
переменные ф9 кр, v и Х2 будут быстрыми, а остальные — медленными.
Если защитный экран представляет собой тело вращения с осью
симметрии z, то систему уравнений, описывающих эволюцию медленных
переменных под действием момента (7.37), можно представить в виде
</р, _ Шх > dZi _ Шг >
dv L ' dv Lsinp, *
dL - d& (M2cos\j/ - Mx sin ^>
А =ШЗ>' А
dv dv
172

Система уравнений (7.43), в правые части которых входят проекции
момента М = pV1 (1 + е cos v)~2Me/ Vj7, получена из системы (7.1) после
усреднения по быстрым переменным.
Выпишем входящие в систему (7.43) усредненные выражения,
соответствующие моменту (738):
<
2 \/lip\ I \ А С /
I sin2 # cos2 # \ . , \
+ ( + Ujxx sin2 d+J2Zcos2 &) /ycosZj,
(Л,1))и 2^U{Jxx _y22)( 1 --1 W*cos2* +
/ sin21> cos2 # \ , , )
+ 1 + )(/x*sin2# + ./2rcos2imX
X (/ycosp! sin Si - /^sinpi),
<Af£I}> = 0, <JJf5l)cos0-Af|(l)sin*> =0.
Чтобы получить составляющие правых частей системы (7.43),
соответствующие моменту (7.39), требуются квадратуры вида
р.3'2 *«'
Fpq = , _ / (1 + е cos и)-2 VPHQ dv d\2, P,Q = X, Y, Z, (7.44)
An2 y/JT о v
/T7
Vx = y/ — [e sin v cos « - (1 + e cos i>)sin u],
P,
VY = y/ — [e sin v sin u + (1 + e cos j>)cos м] cos i,
P.
Kz = -v/— [e sin v sin и + (1 + e cos i»)cos м] sin i.
P*
Вычисляя квадратуры (7.44), находим
3 He
Fxx ~ r e s"1'cos u» cos 81,
8 p\
8 p\
Fxy~~ Y e s'n'cos' s'n ш* cos * i'
3 Me
— — Г-4 + 7--2.
8 Pi
Fxz ~ 7 (- 4 + 7 sin2 i)e sin w„ cos 81,
1»L
8 P2.
Fy^- = - — —у e sin <л)п sin i cos / cos 51,
173

15 He
Fyy = т e s'n' cos шп cos icos 51,
8 p\
3 fie
Pyz = г e(4 - 5 sin21) cos i cos соя cos 51,
8 p\
^Z* = ~ — —т e sin ш» sin ,cos 51>
8 p:
15 He
Fzy~ r e sur j cos i cos w„ cos 8,,
8 pi
3 Me
— esin/coso>ffcos6,(4 — 5sip {
К
jtf<2>%=.
Fz^ = ~—2 e s'n'cos ш* cos * • (^ — 5 sin2 0.
8 p*
<M\" > = аэЛ/э2с cos d(ki xkx 3FXX + kltk2 *FXY + *i i*33^*z +
+ A:21*13FyA' + A:21A:23Fyy + A:21A:33/ryZ+A:3iA:i3Fz^ +
+ *3i*23f,zy + *3i*33/rzz)i
Ш 2 > = a3Af3zccos i>(/c12fci3FYA. + kX2k23FXY +
+ ki2kz3^xZ ^^22^13^YX + k22k23FYy + #2 2^3 3 ^Yz)>
<Л/£2)> =аэ^э2ссо5 1>[А:?з/;лгАГ + А:1з^2з(/гл'у + /гулг) +
+ ^i3^33(/rA^z+/7ZA:) + ^23A:33(/ryz + ^zy) + ^23^yy+^33/rzz],
<^^2)cos^-A/(i2)sin^> = --^-1 zcsind[(*ii +^12^^ +
+ (A:b + *I2)Fyy + *!1FZ2 + (/:llA:21 + kl2k2 2) (F*y +Fy *) +
+ kllk3l(Fxz + FZx) + k2ik3i(FYz+FzY)].
Здесь zc проекция вектора рэ на ось z спутника.
Наконец, для усредненных составляющих правой части системы (7.43),
соответствующих моменту (7.40), можно получить следующие выражения:
Ш(!3)> =-a3M3zccos&(kllkl3Fxx+kl3k2lFXY + kl3k3lFxz +
+ *i ^э^у* + k2lk23FYY + *гз*з i^yz +
+ *11&зз/^х + *21*зз^у + *з1*зз^),
<Л/23)> =-a3Af3zccos^(/:12/:13/rAr^+^13A:2 2^>y + *i2^23^yAr +
+ *22£23^уу+*12*зз^Л'+*22*ЗЗ^у),
<#J3)> =~<yifi2)>,
< Л/^3) cos ф - М(!3) sin ^ > = - (М£2)cos ^ - Л?(!2)sin ф >.
Используя выписанные выражения, находим, что система
дифференциальных уравнений (7.43), описывающая вековую эволюцию вращения
спутника под действием момента (7.37), имеет два интеграла: t> = t>0 =
174

= const и L=L0 = const. Вековое же изменение углов рх и Si определяется
следующей системой уравнений:
dpx
= - а2 cos Si + а3 sin Sb
dv
<*Si
=-<*! + (а2 sin Si +cr3 cosSi)ctgPi.
dv
Здесь введены такие обозначения:
а, - -^^г \Vxx ~ Jzz)(-A - -J7W d0cos2 d0 н
2Vmp; L *л c/
/ sin2d0 cos2 д0 \ 1
+1 + I (/** sin2 d0 +/Z2 cos2 d0) +
3a3peA/3zccos d0
^ — esin/cos/sincowcosob
«2
2V«pT
C** - Лг) f — - —j sin2 d0 cos2 «o
/ sin2 d0 cos2 d0 \ , ,1
I + — 1 (Jxx sin2 d0 + Л* cos2 d0) +
3a3peA/3zccosd0
2p2Lo
e cos 2/ sin cow cos 5!,
3a3jueA/3zccosd0
a3 = „ ■■■ ecosicoso>ncos5!.
2plL0
Система уравнений (7.45) теперь может быть записана в виде
dpi 1 ЭФ e/Zi _ 1 ЭФ
с/у sinpi dSi ' tfi> sinpi Эр!
(7.45)
(7.46)
где
Ф =<*! cos Pi + a2 sin Pi sin S! + a3 sin Pi cos Si. (7.47)
Очевидно, что функция (7.47) является интегралом системы (7.46).
Этот интеграл определяет перемещения конца вектора кинетического
момента спутника по сфере L =L0-
Введем единичный вектор I, положение которого в триэдре XYZ
определяется координатами р* и ST, так что
cospi = - -7т- , sinp! sin Si = —— ,
sin p* cos St = -^г- , S2 = a2 +Й2 +«з.
a*
175

Тогда из интеграла (7.47), который можно привести к виду
Ф- -o*[cospi cospf +sinp! sinpf cos(2i - Sj")],
следует, что угол между векторами L и 1 с течением времени не
изменяется.
Таким образом, под действием момента (7.37) вектор кинетического
момента спутника прецессирует на постоянном угловом расстоянии,
определяемом начальными условиями, от направления вектора I. Легко
показать, что указанная прецессия происходит равномерно по истинной
аномалии с угловой скоростью а*.
Если орбита спутника имеет нулевой эксцентриситет, то углы р* и 2*
определяются следующим образом:
3 sin21 — 2 я 3
ctgP?-— ГТ-ТТ > Л'Т.Т». а-48)
3sini cos! sin Si 2 2
В этом случае влияние момента (7.37) на вращение спутника
эквивалентно влиянию момента, порождаемого взаимодействием постоянного
магнита, расположенного вдоль оси динамической симметрии спутника,
с дипольным геомагнитным полем.
В работах [82, 83, 195, 196] также анализировалось воздействие на
вращательное движение спутника взаимодействия статически
наэлектризованного экрана с магнитным полем Земли. Предполагалось, что геомагнитное
поле образовано прямым диполем, защитный экран — сфера, а центр масс
спутника описывает круговую кеплеровскую орбиту.
§ 5. Вращение спутника при взаимодействии
основных возмущающих моментов
На вращение многих искусственных спутников существенное влияние
оказывали [222] моменты гравитационных, магнитных и
аэродинамических сил, а также эффекты, связанные с эволюцией орбиты спутника.
Вековые возмущения, вносимые во вращение динамически симметричного
спутника указанными факторами, рассматривались в книге [18]. В этом
параграфе обобщаются некоторые из полученных там результатов.
Дополнительно учитывается воздействие на спутник момента (7.37).
Будем считать, что спутник динамически симметричен (А -В) и
постоянно намагничен вдоль оси своей динамической симметрии. Влиянием fta его
вращение намагничивания оболочки, вихревых токов и сил светового
давления пренебрежем. Для описания гравитационного момента будем
использовать формулу (1.21). Аэродинамический момент возьмем в виде (1.22)
с постоянным коэффициентом ср.
После независимого усреднения правых частей системы (7.1) по
быстрым переменным ф, vy Х2 можно получить следующую систему уравнений,
описывающую вращательное движение спутника:
dp 1 ЪФ1 da 1 ЭФ!
dv sinp Ъо * dv sinp Эр
(7.49)
176

Функция Oi в системе (7.49) имеет вид
Ф1 =<U„)IL0 +(Knu+Kai>cosi+ a% cos/- a2sin/)cosp +
+ [(Kiv + «з ) со5(соя + о) + (tfn j, sin i + ai sin i + a2 cos 0 sin(con + a)J sin p.
(7.50)
В выражении (7.50) учтены только вековые компоненты переменных
di dSli dojjj
dv dv dv
Функция < {/„ > есть усредненная по быстрым переменным силовая функция
внешних моментов, воздействующих на спутник, полученная после
перехода в системе (7.1) к аргументу у (формула (7.17)).
Для большинства из запушенных спутников движение узла орбиты
гораздо заметнее, чем изменение элементов ? и соп. Поэтому примем в первом
приближении, что Kiv = Knv = 0. Подставляя теперь в формулу (7.50)
значения усредненных силовых функций магнитных, гравитационных и
аэродинамических моментов, получим
Ф1 =/?! sinp sin a + 02 cosp - kgcos2p + 03 sin pcosa. (7.51)
Здесь введены следующие обозначения:
0i =(Кпи+ <*i ft/cosei|sin/coswir +
+ a2 cos i cos cjn - cT3 sin u)n - ka ,
02 -(kjcosdi + Si + An„)cos/- a2sin/,
- ( 1 ~\
03 = I ^йр —r- */ cos 5 J +ai Isin i sin cjw + a2 cos / sin <оя + a3 cos о>я,
/0 Me cos i^o 3 ЛР / 3 0 \
^oVMP* 4L° ^* \ 2 /
VJup7cpcosd0 2* yl+e2+2ecos*>
*a= 7*7 / Pa —77т 5 (г + еов!0А>.
47г10 о а (1+ecosi/)2
Система (7.49) имеет интеграл
Ф, = const, (7.52)
который определяет траектории конца вектора L на сфере L = L0. Для
построения этих траекторий преобразуем выражение (7.51). Введем в
трехграннике Хг Y2Z2 направление, задаваемое углами р = р*иа=а*, причем
02 01
cosp* = , sinp* sin а* = ,
к° ~ к° (7.53)
sinp*coso*= -, *£= 0i+0l+$3.
ко
12. А.В. Белецкий W

Теперь выражение (7.51) можно привести к виду
4>i =- A:a[cospcosp* + sin p sin p* cos (a- a*)] -kgcos2p,
или, если ввести угол А* между вектором L и направлением,
определяемым координатами (р*, а*),
Oi = - *а cos A* - kg cos2p. (7.54)
Если гравитационный момент отсутствует (kg - 0), то стационарные точки
Ро,о0 системы (7.49) будут определяться условиями
sin(a0 - a*) = 0, cosp# - sinp#ctgp0cos(o-a*) = 0.
Решая эта уравнения, получаем:
1. а0 = <Л Ро =Р*.
2. а0 = о* +я, Ро = тг-р*.
Отсюда в силу интеграла (7.52) следует, что без учета гравитационного
момента вектор L в своем вековом движении прецессирует на постоянном
угловом расстоянии А* от оси с координатами (р*, о*), определяемыми
формулами (7.53). Можно показать, что скорость такой прецессии
(производная по истинной аномалии от угла поворота вектора L вокруг
оси (р*, а*)) постоянна и равна ка. Конкретное значение угла А* зависит
от начальных условий.
Если kg Ф 0, то уравнения (7.49) имеют вид
dp
— = - ка sin p* sin(a - о*),
dv
Чо (7-55)
= ka[tosp* - sinp*ctgpcos(a~ a*)] +2A^ cos p.
dv
Стационарные точки р = p0, о = а0 системы (7.55) определяются из
следующих условий:
sin(a0 -a*) = 0,
cos p - sin p ctg Ро cos(a0 -о ) + 2 — = 0.
(7.56)
Первое из этих условий показывает, что а0 = а*, либо о0 = о*+ я, т.е.
траектории, описываемые вектором L на сфере L - L0, симметричны
относительно меридиана о- о*.
Второе из уравнений системы (7.56) можно, разрешив относительно
cos p*, представить в виде
cosp* = cosp0 -2— sin2p0 ±y/1 -( —) sin22p0 . (7.57)
Графики зависимостей cosp*(cosp0), построенные согласно
выражению (7.57) для ряда положительных значений отношения параметров
kg/ka, показаны на рис. 87. На прямой 1 отношение kg/k0 равно нулю,
а на кривых, обозначенных цифрами 2, 3, 4 и 5, это отношение равно соот-
178

Рис. 87. К исследованию стационарных решений уравнений векового движения
вектора кинетического момента спутника при взаимодействии возмущений.
Рис. 88. Траектории векового движения вектора кинетического момента спутника при
взаимодействии возмущений.
ветственно 0,5; 0,9; 1,0 и 1,1. Если kg/ka < 0, то графики зависимостей
cos p*(cos Ро) получаются из кривых, приведенных на рис. 87, с помощью
их зеркального отображения относительно оси cos р<>. Сплошными линиями
на рис. 87 показаны участки кривых, соответствующие устойчивым
стационарным точкам системы (7.55), а прерывистыми линиями — участки
кривых, соответствующие неустойчивым стационарным точкам. Из рис. 87
следует, что, когда ка > 2kgy существуют только две стационарные точки
системы (7.55), т.е. качественно структура траекторий конца вектора L
на сфере L = А0 не отличается от случая kg = 0. Если ка/2 < kg < кОУ то
могут существовать в зависимости от значения р* две или четыре
стационарные точки системы (7.55). Бифуркационные значения р*, согласно [19],
удовлетворяют уравнению
/к \2/3
(sinp*)2/3+(cospV/3 = 2(-^J .
В частности, если значение р*, полученное из формулы (7.57),
удовлетворяет неравенству
(sin/О2'3 +(cosp*)2/3>(2-^-V/3',
12* 179

то система (7.55) имеет две стационарные точки, а при обратном знаке в
приведенном неравенстве таких точек будет четыре. Если же kg > ка, то
всегда существуют четыре стационарные точки указанной системы, одна из
которых неустойчива, а три устойчивы. В последних двух случаях
траектории конца вектора L на сфере L = L0 могут качественно отличаться от
соответствующих кривых в случае kg = 0. Для построения траекторий на
сфере! =Z0 используем интеграл (7.52) в виде
cos Д* = const ~ cos2p (7.58)
ко
и очевидное неравенство
cos(p + р*)<cos A* <cos(p - р*). (7.59)
С помощью выражения (7.58) нетрудно построить семейство траекторий
cos A*(p) на плоскости (cos Д*, р) внутри области, ограниченной
косинусоидами cos (р + р *) и cos (р - р*). После этого легко перейти на сферу L =
= L0i учитывая, что указанные косинусоиды соответствуют меридианам
а = а* + я и а=а*, а точки экстремумов этих косинусоид соответствуют
стационарным точкам р = п — р*ир = р* при отсутствии гравитационного
момента. На рис. 88 построены траектории конца вектора кинетического
момента спутника на сфере L- L0 для случаев, когда ka>2kg и
существуют две стационарные точки системы (7.55) (рис. 88,а), и для случаев,
когда таких точек может быть четыре (рис. 88, б).
Проведенный анализ показал, что взаимодействие наэлектризованного
экрана с геомагнитным полем приводит качественно к тем же вековым
эффектам во вращении динамически симметричного спутника
относительно своего центра масс, что и воздействие на космический аппарат
магнитных и аэродинамических возмущений и перемещения восходящего узла
орбиты.

Глав а 8
РЕЗОНАНСНОЕ РОТАЦИОННОЕ ВРАЩЕНИЕ
НАМАГНИЧЕННОГО СПУТНИКА
В этой и следующей главах изучается ротационное вращательное
движение искусственных и естественных небесных тел в предположении, что
между средними скоростями изменения быстрых переменных,
описывающих это движение, существуют определенные целочисленные соотношения.
Такие движения называются резонансными (или синхронными). В
обобщенном смысле синхронизацию "можно определить как свойство
материальных объектов самой различной природы вырабатывать единый ритм
совместного существования, несмотря на различие индивидуальных ритмов
и на подчас крайне слабые взаимные связи9* [39].
Существенный сдвиг наметился и в понимании места явления
синхронизации* среди прочих явлений природы. Если раньше это явление казалось
чем-то экзотическим и крайне редко встречающимся, то с течением
времени мы, по-видимому, приближаемся к пониманию того, что синхронизация,
возможно, — явление принципиально общее, отражающее одну из форм
самоорганизации материи. В эвристическом плане велико значение
гипотезы Молчанова о том, что "эволюционно зрелые колебательные системы
неизбежно резонансны, а их строение задано (подобно квантовым системам)
набором целых чисел" [104,105].
Резонансные движения имеют ряд необычных (по сравнению с
нерезонансными) свойств. Укажем, в частности, на возможность
самосинхронизации вибраторов, помещенных на общем основании [39]. Недавно
обнаружено, что многие естественные небесные тела совершают резонансные
движения [213, 119] (более подробные сведения об этом можно найти в
следующей главе). Отметим еще, что некоторые из вращений спутника,
используемые в качестве номинальных движений в системах его
стабилизации, являются резонансными. Например, известная система
гравитационной стабилизации спутника по радиусу-вектору его центра масс на
круговой орбите [18, 115] представляет собой резонансное вращение типа 1:1
(средняя угловая скорость вращения спутника равна средней скорости его
обращения).
Синхронизацию в динамических системах можно рассматривать как
следствие сильного проявления устойчивого, упорядоченного поведения
их фазовых траекторий [218, 119, 40]. С другой стороны, благодаря
недавним достижениям теории многомерных динамических систем стало
ясно, что в таких системах весьма ординарны и движения со
стохастическими свойствами [69, 109, 45, 121]. Построены примеры простых систем
(с трехмерным фазовым пространством) со сложными свойствами. В
частности, как уже отмечалось, стохастические движения обнаружены при
исследовании решений уравнения (3.19 а). Показано, что в фазовом простран-
181

стве трехмерных систем могут существовать притягивающие структуры,
целиком состоящие из неустойчивых траекторий [109, 152]. Движения
внутри указанных структур носят стохастический характер и чрезвычайно
сложны [10]. Хаотизация движений в многомерных системах является
сильным проявлением возникающей при определенных условиях
неустойчивости их фазовых траекторий.
Условия перехода фазовых траекторий от упорядоченного к
стохастическому поведению не вполне ясны [45,121,152]. В частности, для
обоснования гипотезы Молчанова надо было бы доказать, что отмеченные ранее
притягивающие структуры в фазовом пространстве многомерных систем
(с хаотическим поведением внутри них) с течением времени разрушаются.
В настоящее время неясно, как это можно сделать.
Возможно, однако, что на гипотезу Молчанова следует смотреть более
широко. Например, известно, что при движении точки в поле
ньютоновского тяготения одного притягивающего центра существует компактное
множество начальных условий, приводящих только к замкнутым (а значит,
резонансным!) эллиптическим орбитам. Не удовлетворяют ли
гипотезе Молчанова и некоторые из законов природы (в частности,
закон ньютоновского тяготения)? Не являются ли и они продуктом
эволюции?
Как и во всякой начинающей развиваться теории, первостепенное
значение в теории многомерных динамических систем имеет формулирование
общих принципов. Эффективность таких принципов может быть
опробована при исследовании некоторых из полученных в предыдущих главах
уравнений, которые, с одной стороны, "достаточно" многомерны, а с
другой - "достаточно" просты. Для понимания возникновения сильной
неустойчивости фазовых траекторий (и связанного с этим явления
турбулентности), вероятно, важное значение будет иметь обнаруженная недавно
универсальность бифуркации удвоения периода периодических движений.
Понимание же принципов отбора устойчивых движений, вероятно, поможет
найти условия упорядоченного поведения многомерных динамических
систем. В последнем параграфе данной главы показывается
эффективность использования одного экстремального свойства устойчивых
по Ляпунову резонансных движений для отыскания периодических
вращений спутника при взаимодействии гравитационного и магнитного
моментов.
Будем считать, что эллипсоид инерции спутника близок к сфере,
величина отношения A max | U\ /L2 в системе (7.1) мала по сравнению с единицей,
а величины LKn , LKn, LK(, Mlf M2, Мъ имеют либо тот же порядок, что и
max \U\, либо малы по сравнению с max \U\. Указанные предположения
позволяют изучать резонансные вращения спутника, угловая скорость
которого имеет один порядок с угловой скоростью его обращения, используя
асимптотические методы [53].
Возможность реализации какого-либо резонансного вращения, вообще
говоря, определяется наличием соответствующих резонансных членов в
разложении силовой функции U в ряд Фурье по быстрым переменным.
При этом в качестве одной из быстрых переменных в системе (7.1) —(7.2)
вместо истинной аномалии v удобнее использовать среднюю аномалию М,
которая в невозмущенном эллиптическом движении по орбите изменяется
182

с постоянной скоростью согласно выражению
— =со0. (8.1)
dt
Разложения часто используемых в небесной механике функций от истинной
аномалии в ряды Фурье по аргументу М хорошо известны [149 ].
Будем считать, что силовая функция U, входящая в правые часто
системы (7.1), является суммой силовой функции (7.16) гравитационного
момента и силовой функции (7.9), порождаемой потенциальной
составляющей магнитного момента. Для силовой функции (7.16) можно получить
[19, 205 ] следующее выражение:
3 "
Ur = j{(i4 -B)[a0Ql + al0lsin\l/ +Д201 ь\т\2ф +
2 R
+ tf121 sin(i//+2i>-2o) + fl ,21(tf/ -2*> + 2a) +
+ tf22i sin 2(0 +v-o) + a22i sin 2(0 — i> + a) +
+ ^101 cos ф +^201 cos20 + b02l cos2(i>-a) + b121cos(0 +2*>-2a) +
+ 6121cos(0 -2i> + 2a) + &221cos2(0 + y-a) + &221 cos2(0 -*> + a)] +
+ (^-C)[flfoo2+fljo2sin0+fli22Sin(0+2^—2a)+a"i2 2Sin(^-2^ + 2a)+
+ £202 cos 20 + ^02 2cos2(^ — 0) +
+ 622 2cos2(0 +^-a) + F222cos2(^-^ + a)]}. (8.2)
Здесь введены обозначения
tfoo 1 = ~" 0 ~ sin2dcos2$) + — sin2p(3 sin2дcos2^ - 1),
2 4
, 1
tfioi = — sintfcostfcosVsinpcosp, a20i = — —costfsin</?cos«psin2p,
2
1
<*i2i = ~~ sintfcosflcosVsinpO-cosp),
1
aX2l = sinflcostfcos^sinpO + cosp),
^221 ^ — cos д sinv?cos^(1 -cosp)2,
4
a2 21 = — cos #sin^cos</>(l + cos p)2,
4
6101 = - sin^sin^cos^sinpcosp, 6201 = — (cos2^cos2^-sin2«p)sin2p,
4
£021 = —sin2p(3sin2tf cosV - 1), (8.3)
183

1
&i2i = — sin#sinv>cosi£sinp(l -cosp),
1
bi2i = sin#sinv>cos</>sinp(l + cosp),
2
6221 ~ (cos2 ^ cos2v?- sin2sp)(l -cosp)2,
о
^2 2i = (cos2#cos2v?-sin2 </?)(! +cosp)2,
о
1 <> 1
*oo2 =~~ sinz# +— surp(3cos*d - 1),
2 4
1
al02 = sin#cos#sinpcosp, ахгг = sin flcos#sinp(l-cosp),
1
fl122 = — sin#cos#sinp(l +cosp),
1 - , 1 a -
^202 = "" sin # sin p, ^022 =—sin2p(3cos 0 - 1),
4 4
1
^222 = Sin2^(l -COSp) ,
о
1
^2 2 2 = Sin #(1 + COS p) .
о
i
Для выражения содержащихся в (8.2) функций от истинной аномалии v
через среднюю аномалию М используем следующие разложения [214]:
_ °° cos2p °°
/Г3 = 2 akR(e) cos КМ, —г—= 2 акС(е) cos KMy (8.4)
sinlv
= 2 bk s(e)sin KM.
R* fc=i
Анализируя теперь с помощью (8.4) комбинации быстрых переменных ф
и Му содержащиеся в (8.2), легко установить, что все синхронизмы,
порождаемые силовой функцией (7.16), описываются соотношением
ёф К dM
7=Т7"> К=1,2,3,... (8.5)
dt 2 dt
Для случая круговой орбиты, как показывает анализ коэффициентов в
выражениях (8.4), силовая функция (7.16) порождает лишь синхронизмы,
соответствующие значениям числа К, равным 2 и 4.
Для выявления синхронизмов, порождаемых силовой функцией
магнитного момента (7.9), следует записать ее более подробно с
использованием соотношений (7.13) — (7.15). Ввиду громоздкости соответствующего
выражения приведем его только для случая постоянно намагниченного
184

спутника (магнитный момент оболочки отсутствует). Имеем
^м = Г [«оо + «oisin2M +a02co$2u 4^03sin ^2 +
2 Я3
+ я04 cosX2 + «о s sin(X2 + 2м) + д0б cos(X2 + 2м) +
+ fl07»n(^2 ~2w)+fl08COs(X2 - 2м) + tf09 sintf/ + ax о cos # +
+ д,, sin(^ + 2м) + дj 2 sin(^ - 2м) + д 13 cos(\^ + 2м) +
+ <*14cos(^ -2M) + a15sin(^ + X2) + fli6sin(^ — X2) +
+ «i7cos(^ +X2)+ffi8cos(i// - X2) + tfi9cos(^ +X2 + 2м) +
+ tf2ocos(^ + X2 -2M) + tf2isin(^ +X2 +2w)+a22sin(^ +X2 —
—2m) + д2 з cos(J/ - X2 — 2м) + д2 4 sin(^ — X2 - 2м) +
+ 02scos(^ — X2 +2M) + tf26sin(^ - X2 +2м). (8.6)
В выражении (8.6) введены следующие обозначения:
«оо =1 sin/cos 1*2 3 +( +sin2/|А:зз|^т] cos$i,
«01 =Cn^13Sin/C0S5i, fl02 = -(*23С081 + *з 3)CqSin/COSfii,
Доз -— Cf,*l3sln8i, д04 = ( cos2 /1*2 з-^зз cos i\cn sin Si,
1
«05 - "Г [(l-coei")*i3 + *23COs/ + *33]Cr, sin6,,
1
«06 =—(*2ЭС08' + *Зз)Сц COS/sin6!,
1
Д07 -— [(1 + COS 0*13 +*23COS/ + *33]CTJ SUlSi,
«08=—(*зз +*2 3Cos/)QsineiCos/,
2
Д09-СО86! —sinjcos i(-Arik2! + 5^*22)+ ( sin2/UT?*3, ,
д,0= sin /cos i(Bnk2\ + Ank22)~\~- - sin2/bn*31 cosfij,
вц=- sin/cosS,^*!! +An(kt2 + k3l)-cos i(-Ank2l + B4k22)]t
д12 =— sin/cosSj^*, i +i4T?(*31 -*,2)-cosi(-Ank2l +^22)],
1
«13 = — sin/cosfi! [Ацки -Br}(kl2 + k31)-cosi(Bnk2l + Апк22)],
185

1
Я, 4 =— Sin/COS 6 ! [-А^кц +#т?(^12 ~*3 1)-СО$|(Ли*2 1 + ^r?*2
л, 5 = — sin б, — (kxxBr}+kX2Ar))+l — -cos2/jX
Х(-Апк2х + #r?*2 2) + cos/*3i^J,
1
8i[-j(*u*n+*i2>«ii) + (y -cos2/jx
*(-Ank2l +Br}k22) + k3l cosiaJ,
a,, = — sin 5,1 (-A«kx i + #r>*i2) + ( cos2/)x
X(Bnk2i + 44*22)-*3i#?|COs/[
al6 =— sin
МТ^*11 +^^i2)+(y-cos2/jX
ais=— sin
о
X(BY1k2X +A1lk22)-k3lBr)cosi
]•
<*i9 =— sinSi [-(1 - cos i)(-A1)kx j + Z?„fr12) + cos/(-Z?yj£22 +
4
+ /lT?A:21) + cos2/(5T,A:21 +^7,^2 2)+^т?*з i + #n *з 1 cos/],
1
#20 =— sin6j [-(1 + cosi)(-AT)kx x + Bnkx 2) + cos i(Ank2\ -
-Впк22) +cos2i(Ar)k22 +^^2i)+^r?A:3i +#rj*3i cos/L
1 ,
Д21 =— sin 6, [(1 -cos/)(/!„£, 2 + Вцкх x) + cos*i(Br}k22 -
4
-Лnk21) + cos i(Ank2 2 + Яг?*21) - cos 1 fc3,Л ч + #,,*31J ■
1 ,
#22 =—sin в! [(1 + cos/)(-4п*i 2 + Яц*и) +coszi(Br}k22 -
-^r/^2!) + cos/(/lT,/:22 + В^к2Х) -~А1}к<ь\ cos/ + Bnksi],
a23 =— sin6,[(l -cos/)(->!,,*,, +#т,А;12) +
4
+ cos/(#r?£22 ~Ацк2Х >+cos2/(/4n£22 +^^21)-^r?^3i +#tj*3i
1
^24 = sin5i[(l -cos/)(i4nA:i2 + Br]kx x ) + cos2i(Ank2, -
-*4A:2 2)+COS/(i4t?*22 +^2l) +COS/*3,i4„ +вт,*31].

1
a2S = — sin б2 [(1 + cos i)(-A„kx i +Bnkx 2) + cos /( -Ar)k2X +
4
+ #tj*22) + cos2i(BYlk21 +^tj*22) - *31^„ + cos/*3,#n],
1
a26 =: sin 51 [(1 +cos/)(i4T)^i2 +Bnk\ i) + cosa/(i44*21 -
-#T?*2 2) + cos/(£nA:2i +^T?/c22) + cos/*3i^r7 + *4*3iL
^t? ~ 0?i sin кр + n2 cos <p)cos tf - т?з sin #, ^ = r\\ cos y-r\2 sin <p,
Crj = fai sin ^ + ^2 cos</?) sin # + r73cos д.
Если теперь, используя разложения (8.4), перейти от аргумента широты
к средней аномалии М, то функция (8.6) будет содержать комбинации трех
быстрых переменных фу Ми Х2.Возможные синхронизмы между вращением
спутника вокруг своего центра масс и вращением Земли вокруг своей оси
(между скоростями изменения переменных ф и Х2) здесь рассматриваться
не будут. Синхронизмы между переменными фиМ, порождаемые функцией
(7.9), снова, как можно показать, будут описываться формулой (8.5)
(если пренебречь намагничиванием оболочки спутника, то сохраняются
только синхронизмы, соответствующие четным числам А'). Если орбита
спутника круговая, то при наличии момента сил с силовой функцией (7.9)
возможны синхронизмы, соответствующие значениям К = 2,4,8 (если
же пренебречь намагничиванием оболочки, то при е = О возможен только
синхронизм типа 2:1, т.е. йфШ = 2о;0).
Для спутника, орбита которого имеет малый эксцентриситет, основное
значение имеют синхронизмы, существующие в случае круговой орбиты.
Известно также, что синхронизмы высокого порядка (соответствующие
большим значениям числа К в формуле (8.5)), вообще говоря, не
реализуются. Некоторые теоретические оценки реализуемости синхронизмов
высоких порядков в динамических системах, содержащих быстрые и
медленные переменные, приведены, например, в работе [64].
Рассмотрим теперь стационарные резонансные вращения намагниченного
спутника в окрестности основных соизмеримостей, описываемых
формулой (8.5), полагая, что его орбита имеет нулевой эксцентриситет, сам
спутник постоянно намагничен вдоль оси z (771 =т?2 =0),а магнитный момент
оболочки отсутствует.
Будем учитывать воздействие на спутник магнитного и гравитационного
момента, а также движение узла и вращение оскулирующей орбиты в
своей плоскости. Как известно [149], если через Wb обозначить, проекцию
возмущающего ускорения на бинормаль к оскулирующей орбите спутника,
то в возмущенном движении будем иметь
d£lx R sinw d'u \/цр*' Я
— = *п=-=- -тт^. — = —£2 7=7 ^ctg/staH.
dt \ЦР* sin/ dt Rz Viip*
Тогда в возмущенном движении
— = о>о(1 - ej*l2(\ + е cos v)2 - Кп cos /. (8.7)
dt
187

§ 1. Стационарные вращения динамически симметричного спутника,
средняя скорость вращения которого близка к средней скорости
его обращения (синхронизм 1:1)
Предположим, что спутник динамически симметричен и имеет круговую
орбиту. Следуя работам [28,31], для изучения вращения спутника в
синхронизме 1 : 1 (в формуле (8.5) число К = 2) введем [53] расстройку к,
т.е. примем, что
^=м + к, (8.8)
и усредним функцию (7.16) по аргументу широты, а функцию (8.6)
независимо по переменным w и Х2 с учетом соотношения (8.8). Усредненные
таким образом силовые функции гравитационного и магнитного моментов
примут вид (пз = ± 1) •
(Ur > = — а)1(А -С) sin2# + — sin2p(3cos2tf- l)-
sin2#(1 + cos p)2cos 2(к + £ ) , (8.9)
/ofb/^cosSj
2Л3
Эволюция вращательного движения спутника будет определяться
уравнениями
dp 1 /HU) d(U) \
я _ _ 1. _ , cospl-АГо sin/cosS,
dt Lsinp \ Э2 Ък /
< UM) =——j cos &(2 cos / cos p- sin i sin p sin 2). (8.10)
dl, 1
dt L sin p
dL b<U>
dt Ък
b{U)
Эр
- + Kn (sin / ctg p sin 2 — cos /),
(8.11)
dK L 1 lb <U)
Tt =-(<°° -KaCOSi)+-7-TVJ£-ctg*
<(/> \ Kn sin /sin 2
-—Vctgp) : ,
Эр / smp
d<
+
dt L Ък
d^ I 1 1 \ 1 Ъ<и)
— =( — IZ, cos fl +
dt \ С A J Lsind Ъд
Здесь < U) =<J7r> +<t/M)»a величина К& содержит только вековые
составляющие производной dQ^/dt. Система уравнений (8.11) имеет два
188

интеграла:
sin2i
- К si L (cos / cos p + sin / sin p sin 2) = const, (8.12)
Z, cos tf = const. (8.13)
Силовые функции (8.9) - (8.10) не зависят от угла <р. Поэтому система
из первых пяти уравнений (8.11) замкнута. Найдем стационарные решения
этой системы вида
р = р0, 2 = 2<ь k=Ko, * = *о. /^=^о, (8Л4)
где Ро, 20, к0, #о. L>q — постоянные.
Угол i вдоль решений (8.14) изменяется, как легко видеть,
пропорционально времени. Решения (8.14) существуют при выполнении условий
cos 20 = 0, (8.15)
sin2(fc0 + 2o) = 0, (8.16)
1 ЪШ)
. + £n(sin / ctg p0sin 20 - cos /) - 0, (8.17)
L0sinpo Эро
L0 1 (bW>
-(co0 -Kncos0 + I ctg#0 +
Э < U > \ sin / sin 20
+—— ctgpo 1 - Kn ; = 0. (8.18)
op0 / sin Po
Индекс "О" при переменных в выражениях частных производных от
силовой функции здесь и в дальнейшем означает, что эти производные
вычисляются на стационарном решении. Условия (8.15) - (8.16) показывают, что
я 3
2)0 =- , — я; к о + 20 = 0, 2тг. (8.19)
2 2
Комбинируя различные значения углов к0 и Е0, удовлетворяющие уело*
виям (8.19), можно установить, что существуют только два динамически
различных типа стационарных решений (8.14). На этих решениях угол
между направлением линии пересечения плоскостей ху и L%L2 и
направлением оси X изменяется либо как угол между осями х$ и А", либо как угол
между осями z3 и X. Поскольку ось х3 коллинеарна касательной к орбите
спутника, а:3- радиусу-вектору, то можно утверждать, что на
стационарных решениях (8.14) линия пересечения плоскостей ху wL{L2 отслеживает
либо направление касательной, либо радиуса-вектора орбиты. Если
указанная линия отслеживает направление касательной к орбите, то
я 3
£0 =~ , к0=0 или 20 =— я, к0=я. (8.20)
Если же эта линия отслеживает направление R, то
я 3 3 я
2° = "Т« *o=-r* или 2° = -Г*, Ко = — . (8.21)
189

Уравнения (8.17) - (8.18) определяют стационарные значения переменных
#,р и L. Поскольку параметров, подлежащих определению, три, а
уравнений, которым они должны удовлетворять, только два, то значение одного
из них, например #0> можно выбрать произвольно. Таким образом, система
(8.11) имеет однопараметрическое семейство решений типа (8.14). Модуль
кинетического момента спутника на решениях (8.14) можно определить
из выражения
1 ЪШ)
L0 = Ао)0 + ctg #o +
+ АКп [sin i sin p0sin 20 - cos /(1 - cos p0)].
Если угол #0 выбран произвольно, то угол р0 следует определить из
уравнения
€i !cosp0[2 -6cos2#o - sin2#0cos20c0 +20)] -
- sin/sin 2actgp0(l -a7cos#0) + cos/(l + 2a7cos#0) -
- sin2&ocos2(ко + %o)e\ i =0.
Здесь
_3ojI(A -C) ^/p^MgCosg!
SK^Lo 2KfiLoR
Это уравнение с помощью замены
Си [2-6cos2fl0 -sm2fl0cos2(K0 + S0)]
Vsin'/O -a,cosfl0)2 + [cos/(l +2^,005^) -eMsin 2 fl0cos2(K0 +20)]a
sin/(l -a7 cos#0)
sinp, = —7- ,
Vsii?i(l -a7cosfl0)2 + [cos/(l + 2a7 cos^0)-e,, sin2 tf0cos2(к0 + L0)12
cos/(l + 2or7costf0) -eltsin2t?0cos2(K0 +S0)
cosp, = ~
Vsin2/(1 -cr7cosfl0)2 + [cos/(l+2a7cosfl0) - eM sin* fl0cos2(K0 +£0)12
можно привести к уравнению
e0ocospo - ctgp0sm20sinpt + cosp Г = 0. (8.22)
Уравнение (8.22) может быть исследовано теми же методами, что и
второе из уравнений системы (7.56). Если | €0о I < £оо> то уравнение (8.22)
имеет только два решения; если же | €00 1>*оо» то таких решений всегда
четыре, причем
(eSo)2/3 = (sinpr)2/3+(cospr)2/3.
Возможные положения на единичной сфере следа вектора кинетического
момента на стационарных решениях (8.14) показаны (качественно) и
перенумерованы на рис. 89. Левые части окружностей на этом рисунке
соответствуют меридиану 20 = я/2 единичной сферы, а правые - меридиану
20 = Зя/2. Единичная сфера построена в осях Х2 Y2 Z2.
Исследуем теперь устойчивость найденных стационарных решений.
Характеристическое уравнение системы уравнений в вариациях для реше-
190

Ыпр* >0,oo$pf >0
<*ао
Az2
ш
№г
т
\&00\>Ъ00
AZ2
1Ч2
SinyO* < OnZQSpf >0
AZ2
2^-К
z2
""Ш?
sinpf*>0, cospf<0
|S^|< 5^
a
z2
♦ z2
|*ot|>8,
да
AZ2
*z2
*vB*
sinpf<09 сощ* <0
Az2
VW2
A*2
A^2
m
AZ2
4ч^
Рис. 89. Расположение стационарных точек системы (8.11) на единичной сфере.
ний (8.14) имеет вид
Г А 1 Ь2Ш) 2 1 / 1 Э2Ш> cospo bW)
I А Ък1 A VLoSinpo dps L0sin2p0 Эр0
1 \Г Э2((/>
- £ftsin/sin 20—;— Ц^п , ~~~sin' sin so +
siirpo /L dfCo
_1 / b2(U)\2 1 d2<£/> Э2Ш> 11
L0sinpo \Эк0д2о/ L0smp0 Эк2, 9Sj J)
Отсюда получаем следующие два необходимых условия устойчивости
решений (8.14):
Э2<{/>
—г- <о,
Эк0
(sin/ sin 20
т (1 -a7cos#0)
shrpo
191

+ ei, [6cos2d0 + sin2#0cos2(K0 + 20) - 2] J > 0.
Необходимые условия устойчивости выполнены для стационарных
решений, соответствующих точкам, обозначенным на рис. 89 цифрами
1, 3-5, 7-10, 12-14, 16-18,20-22,24-26, 28-31,
(8.23)
если А > С, для решений (8.20) и, если А < С, для решений (8.21).
Необходимые условия устойчивости нарушены, а стационарные вращения,
соответствующие точкам, обозначенным цифрами 2, 6, 11, 15, 19, 23, 27, 32,
неустойчивы.
Для получения достаточных условий устойчивости решений (8.14)
построим [192] связку интегралов вида
V=Vi + I (М/^ + Х/К2). (8.24)
i = 2
Здесь Ух и У2 - интегралы (8.12) и (8.13) соответственно, записанные для
возмущенного движения, коэффициенты ц,- и X/ постоянны. Интегралы
17з. К». Vs и Ув отвечают записанным для возмущенного движения
тривиальным интегралам
cos2k + sin2* = К sin2# + cos2# = 1,
sin2p + cos2p = 1, sin2 I + cos21 = 1
соответственно.
Выберем коэффициенты p,- следующим образом:
1 Г
р2 = i A'n(cosp0cos/ + sin/sin p0 sinZ0) +
costf0 I
/ sin2 i>0 cos2tf0 \)
+ (co0-^ncos/) ~Lo[— +—-—)\>
p3 = cjI(A - C)(l +cosp0rsin2#oCOs2(K0 + Z0),
16
3 L2 3
p4 = — cjUA - C) —-^ - — u)ftA - C)(l + cosp0)2cos(Ko + 20),
4 2A 16
/is =—: —ul(A - C)sinp0(3cos2#o - 0 +
2sinp0
—(-■
sinpo I 4
+ /^n^oSin/sinS0(l -a7cos#0)} =
1 f 3 о
* { iol(A - C)(l +cospo)sin2d0cos2(K0 + 20)'
2cosp0 I 8
+ /^n^ocos/(l +2a7cos#0)L
192

з
Цб = col(A - C)(l +cospo)2sin2d0cos2(K0 + 20) +
16
/ К
+ sin/sinp0sin20(l —cticos&o).
2
Теперь, анализируя связку (8.24), можно получить достаточные условия
устойчивости решений (8.14) в виде
b2(U)
Ьк0
2- <0, tfnsinZ0(l -a7cosi>o)>0,
sin E0(l ~a7cos#o)
(8.25)
{sin i sin 20(1 - or7 cos d0 ) _
r + e,, [6cos2#0 +
sinJ p0
+ sin2#0cos2(K0 + 2<
o)-2]}>0.
При выполнении необходимых условий устойчивости стационарные
вращения, соответствующие точкам, обозначенным на рис. 89 цифрами 1, 3, 5,
7, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 28, 29, 31, будут удовлетворять
неравенствам (8.25), если cos2#0 < 3/7, для решения (8.20) и, если cos2#0 >
> 0,2, для решений (8.21). Вращения, соответствующие остальным точкам
ряда (8.23), устойчивы, если cos2t>0 > 3/7, для решений (8.20) и, если
cos2до < 0, 2, для решений (8.21). Хотя в рассматриваемом случае
синхронизма 1:1 в силовой функции UM отсутствуют соответствующие
резонансные члены, магнитный момент оказывает существенное влияние на
вращение спутника. Действительно, при отсутствии магнитного момента
стационарные вращения, соответствующие точкам, обозначенным цифрами 17-31
на рис. 89, отсутствуют, а для вращений, соответствующих точкам 5, 7 и
13, не могут быть выполнены достаточные условия устойчивости.
Если эволюцией орбиты можно пренебречь (К^ = 0), то из уравнения
(8.17) получаем
- sin I ctg po sin 20 cos #0 — 2 cos i cos *>0 + e2 cosp0 [6 cos2 #0 -
- 2 + sin2#0cos2(K0 + 2o)] + e2 sin2i>0cos2(/Co + So)2* 0. (8.26)
Здесь e2 =3o>l(A - О&ЦЛ/оЩРеСОьд^.
Осуществляя в уравнении (8.26) замену
€2[6cos2T?0 ~2 + sin2t?0cos2(K0 + 20)]
Coo =
smpi =
cospi -
Vsin21 cos2 #o + [e2 sin2 do cos2 (ко + 20 ) - 2cos / cos d0 ]2
sin / cos #0
sin2 /cos2 #0 + [e2 sin2 d0 cos2(к0 + 20) - 2 cos / cos #0]2
€2 sin2 i?o cos2(k0 + 20) - 2 cos / cos 00
Vsin21 cos2#0 + fo sin2^0cos2(fc0 + 20) - 2cos/ cos #0]2
снова приходим к уравнению (8.22). Качественная картина расположения
устойчивых и неустойчивых стационарных точек аналогична показанной
на рис. 89. Достаточные условия устойчивости решений (8.14) имеют в
13. А.В. Белецкий 193

этом частном случае следующий вид:
d2(U)
<0,
sin 20 cos d0
о - sin2d0 cos2(k0 + So)] +
sin / sin Z0
+ r cos
surpo
|e2[2 -6cos2#,
do}>0, r?3cosd0sin2o <0.
Наконец, чтобы выявить в чистом виде воздействие на вращение спутника
гравитационных возмущений, пренебрежем не только эволюцией орбиты,
A *b,fiad
nv-
n/zV
№0,рад а>
n/zV
с
тг/Z п р0Урад
Рис. 90. К определению стационарных значений углов р и #.
п/2 ,. п Ро>Рад
о)
но и магнитными возмущениями. В этом случае система (8.11) имеет
кроме интегралов (8.12) и (8.13) еще интеграл вида
L(\ - cosp) = const.
Стационарное значение угла р0 определяется однозначно из уравнения
sin2 д0 cos 2 (к 0 + 20)
cospo = X
2 -sin2#0cos2(K0 +20)-6cos2#o
(8.27)
Углы к0 и So могут принимать любые значения, удовлетворяющие условию
(8.16) (для существования стационарных решений (8.14) выполнение
условия (8.15) в рассматриваемом частном случае не требуется). Угол до
по-прежнему может быть выбран произвольно.
Графики зависимостей Ро(#о), удовлетворяющих условию (8.27),
показаны на рис. 90. Рис. 90, а соответствует случаю cos2(k0 + 20) = 1.
Здесь Ро существует, если 125° 18' <#0 < 54°42'. Рйс. 90, б соответствует
случаю cos2(k0 + Z0) =—1- Здесь р0 существует, если 0<#0^45°,
54°42' < до < 125°18' и 135° <#0 < 180°. Необходимые условия
устойчивости выполнены для решений, представленных на рис. 90, а, если А < С,
и для решений, представленных на рис. 90, б, если А > С
Для исследования устойчивости стационарных решений по переменным
р, d, L, к + 2 можно снова использовать связку интегралов вида (8.24),
заменяя используемый в ней интеграл V3 записанным для возмущенного
движения интегралом
[sin 2 (к + 2)]2 + [cos2(k + 2)]2 = 1.
194

Принимая, что
-1 Г£0 . 2ft L0 2ft 1
(А2 = — sm2i?o + cos2d0 - w0 =
cos д0 l А С J
1 Г ig 9 , Ы
s cos t?0 <*o (A r- C) cos dQ sin2p0 cos i>0
L0 L С 4 i4
r2
3 , 3 , , 1
+ — cjI(A - О cos #0 - —<*>5(i4 -Q(l + cosp0) cos#0cos2(k0 + 2o)L
8
3 , , ,
Мз = co§ (4 - О О + cosp0) sin2 #o cos2(k0 + 20),
Z,2 3 3
/i4= + -~a>S(>t -O coJ504-00 + cospo)2cos2(K0 +20),
2Л 4 16
3 ,
/Lts = — G>l(A - О (3 COS2^0 - О =
о
3 , * ,
= cog (Л -00 +cosp0)2sin2i?ocos2(fco + 20),
16
Мб = Хб = О,
находим следующие достаточные условия устойчивости стационарных
вращений:
d2<U) cos2(Ko + 2)o)
—— <0, (А - О ~ <0.
ОК о COS Ро
В силу этих условий решения, представленные на рис. 90,6, устойчивы,
если А > С и Ро < я/2.
Для остальных решений второе из выписанных условий не выполнено.
§ 2. Стационарные вращения намагниченного спутника,
средняя скорость вращения которого близка
к удвоенной средней скорости его обращения (синхронизм 2:1)
Как отмечалось во введении к этой главе, для спутника, вращающегося
под воздействием гравитационного и магнитного моментов на
слабоэллиптической орбите, среди возможных синхронизмов между орбитальным и
вращательным движениями основное значение имеют синхронизмы 1:1 и
2:1. Синхронизм 1:1 рассмотрен в предыдущем параграфе. Вращение
спутника в синхронизме 2:1 рассмотрим в данном параграфе. В отличие от
синхронизма 1:1, когда резонансные члены содержались только в силовой
функции гравитационного момента, в синхронизме 2:1 такие члены
имеются как в силовой функции гравитационного, так и в силовой функции
магнитного моментов. Поэтому при вращении спутника в синхронизме 2:1
резонансные свойства указанных моментов проявляются в полной мере.
В первой главе показано, что угловая скорость, близкая к удвоенной
средней угловой скорости обращения спутника по орбите, является харак-
13* 195

терной угловой скоростью при описании изменения вектора напряженности
геомагнитного поля вдоль орбиты спутника. Средняя угловая скорость
вращения вектора Н (если 6i = 0) равна удвоенной угловой скорости
обращения спутника. Среднюю угловую скорость, близкую к удвоенной
угловой скорости обращения, будет, следовательно, иметь спутник,
идеально ориентированный по силовой линии геомагнитного поля. Однако, как
отмечалось в третьей главе, идеальной ориентаиии спутника по магнитному
полю пассивно достичь нельзя из-за неравномерного вращения вектора Н.
Можно стремиться лишь к осуществлению такой ориентации в среднем или
использовать полупассивную ориентацию (глава 6).
Новые возможности в указанном плане открывает резонансное
взаимодействие магнитного и гравитационного моментов. Вообще говоря,
известно, что при использовании для пассивной стабилизации спутника моментов
определенного типа, например гравитационных (магнитных), прочие
моменты, например магнитные (гравитационные), как правило (см. главу 4),
проявляют себя в качестве возмущающих факторов, вызывающих уходы
спутника от движения, принятого за номинальное при стабилизации.
Воздействие на спутник гравитационного момента в резонансной ситуации,
как это ни кажется парадоксальным на первый взгляд, может
способствовать ориентации спутника по геомагнитному полю. Это основано на
следующих общих соображениях. Среди устойчивых вращений спутника в
гравитационном поле существует вращение, близкое к резонансной прецессии с
соотношением 2:1 между частотой прецессии и частотой обращения.
Аналогичное движение существует у намагниченного спутника, подверженного
одновременному влиянию магнитных и гравитационных моментов. Это
решение содержит несколько свободных параметров: угол при вершине
конуса прецессии и соотношения модулей магнитного и гравитационного
моментов. С другой стороны, вектор магнитной напряженности в диполь-
ном приближении (51 = 0) описывает в пространстве коническую
поверхность с тем же соотношением частот. Выбирая подходящим образом
указанные свободные параметры, можно совместить конус прецессии с
конусом магнитной напряженности. Таким образом, обеспечивается
стабилизация спутника по магнитному полю за счет использования одновременно
гравитационного и магнитного моментов.
По-видимому, подобные эффекты могут играть определенную роЛь и
во вращениях некоторых естественных спутников планет, если эти планеты
и их спутники обладают собственными магнитными полями. Влияние
магнитных моментов может способствовать возникновению синхронизма
2:1 в их вращательном движении.
Реализации указанных идей в приложении к искусственным спутникам
посвящены работы [29, 30, 27, 114]. Изложение этих работ будет дано
в настоящей главе. Возможность существования синхронизма 2:1 у
намагниченных естественных небесных тел обсуждается в работе [98].
Изложение ее результатов наряду с некоторыми другими вопросами,
связанными с резонансными вращениями небесных тел, содержится в следующей
главе.
В этом параграфе мы рассмотрим стационарные вращения в
синхронизме 2:1 намагниченного спутника, центральный эллипсоид инерции которого
близок к сфере, а центр масс описывает круговую орбиту. Как и в преды-
196

дущем параграфе этой главы, учтем эволюцию узла и вращение оскулирую-
щей орбиты в своей плоскости.
Будем считать, что на спутник воздействуют гравитационный момент с
силовой функцией (8.2) и магнитный момент с силовой функцией (8.6).
Лдя исследования вращений спутника в синхронизме 2:1 произведем
замену переменных
ф = 1и + к (8.28)
и усредним функцию (8.2) по аргументу широты, а функцию (8.6) по
переменным и и Х2 независимо с учетом соотношения (8.28). При
усреднении будем считать [53], что переменные, медленные в силу системы (7.1),
и расстройка к сохраняют постоянные значения. Получим
3
<(/г> =— со2, {(А -Д)[2(1 ~sin2#cos2<p) + sin2p(3sin2i»cos2</>-- 1)-
о
- sin 2д cos2$ sin р(1 + cosp)sin(K + 22) - sin d sinp X
+ (1 + cosp)sin2v?cos(K + 22)] +(Л -C)[2sin2# +
+ sin2p(3cos2#- l) + sin2#sinp(l +cosp)]} , (8.29)
<<7M> = L^-i—4 — sin/(l + cosp)X
R {4
X [cos<£sin(K + 2) + sin у cos t? cos(k + 2)J +
1
T
1 \
+ sin i? sin у cos / cos p- -^sin / sin д sin \p sin p sin 21 +
/oT?2^cos6i I 1 a ш . u
+ - j sin # cos <p cos p cos i ~—sin; sin # cos ^ sin p sin 2 -
- — sin /(1 + cosp) [sin у sinOc + 2) - cos # cos ^>cos(k + 2)| / +
/oM^3Cos5! f 1
+ . ^ ) cos # cos | cos p sin | cos # sin p sin 2 -
R3 \ 2
sin i(l + cos p) sin # cos (к + 2) J. (8.30)
Используя силовые функции (8.29)-(8.30), можно получить следующую
систему эволюционных уравнений, описывающих вращение спутника:
dp 1 d(U) ctgp Э<£/>
dt Lsinp Э2 L Ък
- Kn sin / cos 2,
</2 1 d(U) dL b(U)
— = — -— +Ka(sin/ctgpsin 2 -cos/), — = — ,
dt L sin p Эр dt Ък
dK / sin2<p cos2</> \
— = -2(co0-*nCOsi) + ^— —J- (8.31)
1?7

sin i sin 2
1 lb{U) b{U) \
-7(ir-ct8P+"^-ctgd)-^
d& / 1 1 \ 1 / d<l/> Э<(/> \
=1 sin #sind>cos<p{ —' 1+ -I cos ft - ■ ■ » ),
dt \A B/ Lsmd\ дк Ъ$ J
dip i 1 sin2tf cos2^ \ 1
— = Z,cos# — ~ — +
dt \ С А В } L sin
L2 Г/ sin2</> cos2«p\ 0 cos2t> 1
Г (Т + Т) Т" J-2(«e-JC0cotOi-
I sin ft 3d
Здесь функция < U) представляет собой сумму силовых функций (8.29) и
(8.30), An — среднее значение производной d£lx/dt.
Система (8.31) имеет интеграл
I?
2
-<£/>- Кп L(cos / cos р + sin / sin p sin 2) = const. (8.32)
Чтобы найти стационарные решения системы (8.31) вида
р = Ро, 2 = 20, L = L0, ft = ft0, * = *<>, <Р = <Аь (8.33)
где Ро, 20, /*о, #о, Ко, ^о - постоянные, следует приравнять нулю
правые части этой системы и решить полученную систему уравнений. Проще
всего найти стационарные решения в случае динамически симметричного
(А = В) спутника, намагниченного вдоль оси динамической симметрии
(t?i =Щ =0).
В этом частном случае силовые функции (8.29)-(8.30) не зависят от
угла у, кроме интеграла (8.32) существует еще интеграл (8.13), а вместо
стационарных решений вида (8.33) можно рассматривать стационарные
решения вида (8.14) замкнутой системы из первых пяти уравнений
системы (8.31).
Эти решения существуют при выполнении следующих условий:
cos 20 = cos(k0 + 220) = sin(K0 + 20) = 0, (8.34)
Э<1/>
+ КnL0 sin p0(sin i ctg p0 sin 20 - cos i) = 0, (8.35)
Эро
L0 1 (b(U)
-2(ы0-~КпСОЬ1)+—- -—-I— ctgp0 +
A L0 \ opo
d(U) \ sin/sin 20
+ ТТ" ct8 *o I - ЛГп —Г = 0. (8-36)
3ft0 / sinpo
Условия (8.34) показывают, что на стационарном решении (8.14) угол
между линией пересечения плоскостей ху и L iL2 и направлением на
восходящий узел орбиты изменяется так же, как угол между указанным
направлением и вектором, расположенным в плоскости орбиты спутника и
вращающимся вокруг нормали к его орбите с угловой скоростью 2со0
в сторону движения центра масс по орбите (когда аргумент широты равен
нулю, этот вектор совпадает с радиусом-вектором R). Из условий (8.34)
198

получаем
7Г 3 Я 3
Можно рассматривать только два динамически различных стационарных
решения, описываемые выражениями (8.21).
Уравнения (8.35)-(8.36) определяют значения 0о>Ро и/,0 на
стационарных решениях. Как и в предыдущем параграфе при исследовании
стационарных вращений динамически симметричного спутника в синхронизме
1:1, параметров, подлежащих определению, три, а уравнений, которым они
должны удовлетворять, только два. Поэтому значение одного из этих
параметров, например 0О» можно выбрать произвольно. Величина L0
определяется из уравнения
L\ - {2а>о +/Tn[sin/sin X0 sinp0 -cos/(2 -cosp0)]} X
Э<(/>
X AL0 - А —— ctg tfo = 0.
Рассматриваемой нами задаче удовлетворяет следующее приближенное
решение этого уравнения:
L0 = 2Aco0 +^/Tn[sin/sinp0 sin 20 - cos/(2 -cosp0)] +
1 3<t/>
+ — —— ctg <V (8.37a)
2co0 Ьдо
Угол Ро определяется (при заданном 0О) из уравнения
€i 1 [(3 cos2 д0 - l)sinp0 cospo + sin t>0 cos 0o(cospo +cos2p0) X
17
X sin(K0 + 2Z0)1 + л7 I -^sin i sin 0O sin p cos(k0 + 20) -
1
sin i cos 0O cos Po sin Z0 - cos / cos &0 sin p0
2
1
+ — sinp0(sin /ctgpo sin 20 - cos/) = 0. (8.38)
2
Если в этом уравнении осуществить замену
1 _ tg2 _. 2 ig —
COS Ро = - ~ » Sin Ро =
1 + tg2 — 1 + tg2 •—■
2 2
то получим уравнение четвертой степени относительно tg(p0/2).
Следовательно, при заданных параметрах спутника и определенном значении 0О на
каждом из меридианов 20 = я/2, Зет/2 может существовать до четырех
стационарных значений р0.
Проще всего исследовать стационарные вращения динамически
симметричного спутника в случае 0О = я/2. В этом случае, осуществив в уравне-
199

нии (8.38) замену
2еп
Со о
V sinz i +1 cos i а7 sin / I
m sin/
sinp! = ^
V sin4* i +1 cos i a7 sin i I
3
cos i a7 sin /
2
COSPi ="
/.,. / . 3 ~1T
V sin i +1 cos / + — a7 sin; I
можно снова привести его к виду (8.22). Расположение стационарных
точек на единичной сфере будет определяться рис. 89. Анализируя уравнение
в вариациях, можно найти следующие необходимые условия устойчивости
исследуемых стационарных решений:
т?3 <0, sin 20(~2в| х sin3p0 + sin/sin So)>0.
При выполнении первого из этих условий второе будет выполнено для
точек 1,3,4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16 рис. 89 и не выполнено для
остальных точек рис. 89, соответствующих случаю sin p? > 0. Достаточные
условия устойчивости стационарных вращений можно получить, снова
используя связку интегралов в виде (8.24), где
ц2 =—\ — о>1(А - 0(1 +cosp0)sinp0sin2o -
/o^3MeCOs5! /oMetoCOSfi! )
_* sin | sin p0 sin 20 + — cos i cos Po ,
2Д3 R3 J
3/0T73MeCOs5!
Мз= 7Z5 sini(l+cosp0),
o/v
3 2, л ^ L* З/оМе^зСОЗб! #
/[i4= — cog(4 -Q--— ГГз sin i(l+cos Po),
4 2A oR
1 / 3/oJVbCOSSi . e Д
Ms = - I 77^ sini+/:n£,ocosi 1 =
2cosp0 \ 4Л3 /
= I u>l(A - C)sinp0 +A:nI0sin/sin20 ),
2sinp0 \ 4 /
/u6 = r sin i(l + cos Po) + Kn L0 sin i sin p0 sin 20.
8Я3
200

Эти условия имеют вид
т?з<0,
Кп(sin/sin So -2€ц sin3po)>0,
Ка sin S0 > 0.
Анализ достаточных условий устойчивости показывает, что устойчивы
стационарные решения, соответствующие точкам 1, 3, 5, 7, 10, 12, 14, 16
рис. 89, если А > С, и точкам 4, 8,9,13, если А < С Если #0 - я/2 и, кроме
того, АГп = 0, то угол р0 однозначно определяется из выражения
/oi?3/*eSin/cos8i
cos р0 = —; :;— •
R3(A-,QcjI
Углы к0 и So могут принимать любые значения, удовлетворяющие
условию sin(K0 + Eo) = 0.
§ 3. Магнитно-гравитационная стабилизация
динамически симметричного спутника
Среди стационарных вращений симметричного спутника (А = В, т?! = 7?2 -
= Ка = 0) вида (8.14) особый интерес представляют такие, для которых
ось симметрии спутника перемещается по поверхности кругового конуса
с углом 2?i при вершине, совпадая с вектором геомагнитной
напряженности дипольного (6i =0) геомагнитного поля при значениях аргумента
широты и = Kir/2 (К = 0, 1, 2, 3, ...), т.е. когда ось z отслеживает в среднем
вектор Н, а вектор L0 коллинеарен оси симметрии конуса магнитной
напряженности. Эти вращения удовлетворяют условиям
Po = ^i-/, к0 = 2о=Зя/2, *о = ^1» L = L0 (8.39)
и существуют, если безразмерный параметр ? = /0ть M*cos bxj3ix{A - С)
принимает значения
Г =
sin2(^i - 0 (3 cos2^! - 1) + sin2i/t [cos(yj - i) + cos2(?i - /)J
4cos^i [- sin i cos(i>i - 0 + 2 cos i sin(vx - /)] + 6sin i sin vx sin(vx - i)
(8.40)
Угол *>i(0 определяется формулой (1.5). Отметим, что соотношение
между постоянными к о и S0 в (839) несколько отличается от получаемого из
выражений (8.21). Используя возможность в принципе выбирать любую
пару значений к0 и S0 из (8.37), выберем ее здесь так, чтобы на
стационарном решении угол #0 был острым (и, следовательно, положительное
направление оси симметрии спутника было бы в среднем ориентировано по
вектору геомагнитной напряженности). График зависимости параметра {",
определяемого из выражения (8.40), от наклонения орбиты показан на
рис. 91 (случай полярной орбиты исследуется особо в дальнейшем). Как
видно из рис. 91, решения (8.39) существуют для большинства наклонений.
Исключение составляют только орбиты, близкие к экваториальным, где
требуемое значение f становится очень большим (по постановке задачи UT
201

-WY
Рис. 91. Зависимость безразмерного
параметра £ от наклонения орбиты на режима*
магнитно-гравитационной стабилизации.
и ^м сравнимы по величине). Особенно интересно, что решения (8.39)
существуют только при наличии гравитационного момента. Действительно,
если А -* С, то f -*°°. Таким образом, оказывается, что гравитационные
моменты помогают стабилизировать спутник в геомагнитном поле.
Составив систему уравнении в вариациях для решений (8.39), можно
получить следующие необходимые условия устойчивости этих решений:
b2<U)
<0,
Э2<{/)|7 Ъ2{Ц) \2 /Э2<^)\/Э2<{/)\1
Эк о vpo
Производные, входящие в эти неравенства, имеют вид
Э2<£/> 3 ,
= - — соЦА - С) sin 2vx sin (^t - /) [1 + cos(*/j - /)] -
lQ 8
Экс2
3 AtfaMeCOsS, л
_ ^ sin p, sin l[ 1 + COS(l>j - /)] ,
4 Л3 ,
:— = — o>l(A -0{cos2(y, -/)(3cos2y, - 1)-
dpg 4
- sin vi cos i>! [sin(vi - 0 + 2 sin2(*>i - 01} -
3M^cos5i Г 3
—. I — sin / sin V\ cos(i^! - i)•
R3 L 4
1
+ — sin i cos vx sin (*>i - i) + cos j cos(i>! - i)cos
A
э2<(/> з 0
-— = col(A - О sin 2^ sin(^i -0(1+ cos(i>i - /)]
32o 2
/oi?3MrCOs5, f 3 _ . 1 . .
—. *-{— sin/sm*>i [1 + cos(^!- i)]+—sin/ cos y, cos(*>!
-4
82t/ 3 ,
= cjj^ _ QSin2^i sin(i^, -0(1 + cos(i>! - /)]
Эк0Э20 4- • - ' ~ ~"
3 /o^a^cosSj
~4 Д*
sin ?i sin /[ 1 + cos(pi -*/)].
202

Численный анализ показывает, что необходимые условия устойчивости
будут выполнены, если выполнены неравенства
А<С, Т7з>0. (8.41)
Первое из неравенств (8.41) означает, что вектор геомагнитной
напряженности устойчиво отслеживается только наименьшей осью центрального
эллипсоида инерции спутника.
Для получения достаточных условий устойчивости снова используем
связку интегралов вида (8.24), в которой Vx соответствует записанному
для возмущенного движения интегралу (8.32). при условии, что ЛГП = 0;
остальные интегралы в связке имеют те же значения, что и раньше.
Постоянные множители Ц/ выберем следующим образом:
1 Г /sin2i»o cos2 do \1
р2 = 2w0 - LQ l~- + — I ,
costf I \ А С /J
3 Г /oto^cosSj sin/ 1
p3 = — sin#oO +cosp0) Wl(A -Osinp0cos#0 + ~3 ,
'3 , l\ 3
fi4«-coSM-C)-T- +— —— X
4 2A 8 sin #o
r , /o^?3^cos6i
X [coq{A -C)(l + cosp0)sinp0cos#0 + -sin/(l+cosp0)L
Я3
3 ~ „ 3cos#0
Us =—<*l(A -C)(3cos2#0 -1) +
8 8 sin po
r
Z/oTbPcCOsS)
Я3
3
cjq (A - C)(\ + cos Po) sin #0 + —v ,ДГТ sin /1 =
8 cos Po
[w?M
C)sin tf0 cosi90 sin p0 +
/оР^з cos5, 4/0i73pffcos5,
3 sin / sin d0 + —v '"■L-b3 - cos i cos #0 L
Л3 ЗД3
3 .
p6 =— u>o(>4 - C)(\ +cosp0) sinposin #0 cos dQ +
4 '
/oi?3PrCos6, ( 3
+ . — sjn ,- sjn ^ ^ + cos po) + sin po cos
2R* I 4
#o sin / .
Анализируя связку интегралов, получаем достаточные условия
устойчивости стационарных вращений (8.39) в случае синхронизма 2:1:
ЪНи> Эа(£/>
—— <о, г-<°*
Эк0 Э20
ЪЧУ) ЪНУ) I b2(U) V Э2<{/> <
Эк§ Э2§ \Эк0д£0 / * Ър1
203

Выполнение этих неравенств для решений (8.39) проверялось* численно.
Обнаружено, что приведенные достаточные условия устойчивости
выполнены, если выполнены неравенства (8.41).
Если наклонение орбиты приближается к эт/2, то погрешность решений,
получаемых из системы (8.31), возрастает, так как при i ->7г/2 угол р0
в решении (8.39) стремится к нулю, а в точке р = 0 система (8.31) имеет
особенность. Между тем магнитная стабилизация чаще всего используется
как раз тогда, когда орбита спутника близка к полярной [120]. Поэтому
рассмотрим отдельно случай полярной орбиты, определяя положение
вектора кинетического момента спутника в пространстве углами р, и Si (см.
рис. 82). Силовые функции WT) и <UM) в новых переменных примут вид
3 . (sin2 д
<Ur > =— о>1(А -С){ (1 +sin2p,sin2X,) +
4 12
+ cos2#(l -sin2Pisin2Ii) + sin tfcostf sinK X
X [sinpi cospi (1+cos2£j)-sin Iicospi] + .
+ sin д cos д cos к [cos Z {(sin p ] sin Z, + cos 2p,)] \ , (8.42)
3/0T?3/Ltrcos6, /
< U*i ) ~ - • 5 — [sin p! sin д sin к +
4Я3 \
2 \
+ cospiCOs£1sin^cosK-sin2iSin^sinK +— cospi cos flj I. (8.43)
Решения (8.39) теперь (при/ =я/2) превратятся; в следующие:
P..--J . !.•-«.-J- • »> = {-< L=2A«°- (844)
На решениях (8.44) вектор L0 ортогонален к плоскости орбиты, ось
симметрии спутника находится в плоскости орбиты и вращается вокруг
Lo с угловой скоростью 2со0, отслеживая в среднем вектор Н. Решения
(8.44) существуют при любых соотношениях между моментами инерции
и магнитным моментом спутника.
Уравнения в вариациях дают единственное необходимое условие
устойчивости этих решений, а именно
т?з>0. (8.45)
Построением функции Ляпунова в форме (8.24) можно получить
достаточные условия устойчивости решений (8.44) в виде
т?з > 0, /0т?зйе cos Ь i - ii{C - А) > 0. (8.46)
В частности, при выполнении условия (8.45) и А>С решения (8.44)
устойчивы в силу неравенств (8.46) независимо от соотношения между
моментами инерции и магнитным моментом спутника. Заметим, что если
О А и ? = -1, т.е. рассматривается продолжение решений семейства
(8.39) на случай полярной орбиты, то достаточные условия устойчивости
также выполнимы.
Оценим теперь размеры области притяжения решений (8.39). Очевидно,
что при попадании в эту область спутник будет вращаться в режиме,
близком к режиму магнитной стабилизации.
204

О ЪО 60 t\apad
Рис. 92. К оценке размеров резонансной зоны для полярного спутника.
Рис. 93. К оценке размеров резонансной зоны для спутника, имеющего орбиту
произвольного наклонения.
(8.47)
Рассмотрим сначала частное решение вида
я 3
^o=Pio_t* j 210=—я, L=L0, кФк'о
первых пяти уравнений системы, получаемой из системы (8.31) после
перехода к переменным Pi, 2i. Решение (8.47), как легко видеть,
соответствует движению оси симметрии спутника в плоскости полярной орбиты.
Уравнения преобразованной указанным образом системы (8.31) для
решения (8.47) дают
dL b(U)
dt
Ьк
dK
dt
= -2co0 +-
Здесь < U) есть сумма силовых функций (8.42) - (8.43). Поле очевидных
преобразований получим
d2K
—— +l,5t*8cosK=0. (8.48)
dvr
Здесь а8 -1^т\ъ\хесо%Ъх\А\1 — безразмерный параметр. Фазовые
траектории уравнения (8.48) в предположении, что г\ъ >0, показаны на рис. 92.
Значение постоянной hx интеграла энергии
/dK
\du
+ За8 sin к -hx.
(8.49)
уравнения (8.48) на сепаратрисе равно За8. Таким образом, в силу (8.49)
область притяжения решений (8.47) (резонансная зона) имеет ширину,
равную VЗа8 для случая полярной орбиты.
В общем случае (/ Фп/2) аналогичную точную оценку аналитически
получить весьма сложно, однако ее можно найти приближенно. Из системы
(8.31) в предположении, что А - Я, получаем
d2 к
Г 1 1 ( b(U) b<U) M dL
1 d /Э<{/> . b{U) \
( ctgp + ctgt?).
L dt \ dp * 30 /
(8.50)
205

Пренебрегая членами высшего порядка малости по сравнению с основными
в правой части уравнения (8.50) и учитывая, что dLjdt = Э < U) /Эк ,
находим
d2K 3 sin д -
г - :; (1 + cosp) [<о1(А - С) cos # sin p cos (к + 22 ) +
du2 AA <о1
+ ^J1?L L-^ f sin(K + 2 )] =0.
R*
Используя для анализа решений системы (8.31) основную идею метода
последовательных приближений Пикара [150], примем в качестве
нулевого приближения к этим решениям значения переменных р, 2, #,k,L на
решении (8.39). Тогда в первом приближении, которым и ограничимся,
расстройка к будет определяться из уравнения
d2K З(С-Л)
—г- + — -Pcosk=0, (8.51)
du2 AA
которое имеет интеграл
2 З(С-Л)
(■=•)
2 0 sin к = const. (8.52)
В уравнении (8.51) введен безразмерный параметр 0:
0 = - sini>i [1 + cos 0>! - /)] [cos vx sin(i>, - i) + 3f sin /].
Из интеграла (8.52) находим, что в первом приближении ширина
резонансной зоны для решений (8.39) равна\/Ъ(С — А)&/2А. Заметим, что в случае
полярной .орбиты эта оценка совпадает с точной, получаемой из уравнения
(8.48). График зависимости параметра /3 от наклонения орбиты показан
на рис. 93. Очевидно, что для большинства наклонений резонансная зона не
уже, чем найденная строго для полярной орбиты, и, следовательно,
резонансный эффект значителен.
§ 4. Влияние дассипативных моментов
на режимы магнитно-гравитационной стабилизации
Кроме моментов сил, имеющих силовую функцию, на спутник могут
воздействовать моменты неконсервативной природы. Такими моментами
могут быть моменты, создаваемые различными демпфирующими
устройствами, устанавливаемыми на спутнике, неконсервативные составляющие
магнитного момента, момент приливного трения и т.п. Влияние указанных
моментов на ротационное вращение спутника около своего центра масс
описывается членами ЛЛ, М2 иМ3в системе (7.1). Во многих случаях
моменты, имеющие силовую функцию, оказываются существенно больше,
чем неконсервативные моменты. Однако последние могут существенным
образом изменять качественную картину вращательного движения
спутника, особенно на больших интервалах времени. Оценка влияния диссипатив-
ных моментов с помощью стандартных асимптотических методов [53] во
206

многих случаях наталкивается на существенные трудности, связанные с
малостью этих моментов.
Рассмотрим аналитическую процедуру, позволяющую получать условия
устойчивости стационарных решений эволюционной системы уравнений,
описывающей вращательное движение спутника, с учетом малых диссипа-
тивных моментов.
Пусть задана система дифференциальных уравнений в векторной форме
dx ' -
= еХ(х, М, е) + 6 X (л\ Л/, е). (8.53)
dM
Здесь х(х±9х2у... ,*го) - m-мерный вектор, Х(Х^1) 9Х^2\ ... ,Х*т*) и
Х(Х^,ЛГ*2*,... 9Х^т^) - вещественные векторные функции, е,"ё —
малые положительные параметры, причем €"< € (например, Г= е*, где к> 1).
Будем считать, что правые части системы (8.53) могут быть разложены
в сходящиеся степенные ряды
Х(х, М, е) = Хх(х, М) + еХ2(х, М) + €2Х3(х, М) + ...,
X(xtMf€)^Xl(xtM)^€X2(xfM)^€2X3(xtM) + ...,
члены которых в свою очередь допускают представление в виде
сходящихся рядов Фурье по аргументу М.
Заметим, что уравнения системы (7.1) во многих случаях можно
привести к форме (8.53), переходя в (7.1) от дифференцирования по времени
к дифференцированию по средней аномалии М. Как известно [53], системе
dx
— =еЛг(х,Л/,е) (8.54)
dm
можно поставить в соответствие усредненную автономную систему
^ =€2«,е), (8.55)
dm
если в (8.54) осуществить замену переменных вида
x = £ + €w(£M, e), (8.56)
где
2в,е) = 21Й) + е22Й) + ...,и(£Де) =
=«1ам)+еи2ал/)+...
В выражениях (8.56) через { (€ь (г* • • •»€т) обозначены новые
неизвестные функции, а М/({,Й) - некоторые искомые периодические (по М)
функции.
Осуществим теперь замену (8.56) в полной системе (8.53). Получим
d% Ъи d% Ъи
+ е +6 =
dM Ъ% dM ЪМ
= €X[^eu(iMt€lMf€] +eYR + «i(fctff €),tf,e],
где
Ъи d% т _8w d%i
17 dM ~/=i Ъ%! dM '
207

Теперь находим
Ъи
е-
+!Х[$ + end.M, е).М,е]\ . (8.57)
Здесь Е - единичная матрица порядка т, [Е+е Эы/д£] "' - матрица,
обратная к матрице [Е+е Эu/Э £].
В силу (8.55) — (8.56) выражение (8.57) можно представить в виде
~ = е2«, е) + ef (f( Л/, e) (8.58)
аМ
Здесь введено обозначение
= Г_ дм I"1-
Jf(fc М, е) = £ + е —-\ Х[$ + ем(£ М, е). М, е]
Поставим теперь в соответствие системе (8.58) следующую автономную
систему:
-~»eX«,e)+ef(£e) (8.59)
ам
с помощью замены
! = !+?и(М/,е) (8.60)
где
Щ е)= S1(|) + eS2(l) + e2Z3(l)+ . • • ^
й(1,М,б) = «1(?,Л/) + е172(С'М) + б217з(?,Л/) + ...
В выражениях (8.60) через 17 (£",Л/, е) обозначены некоторые
периодические w-мерные функции аргумента М. Из систем (8.58) - (8.60) можно
получить следующую систему векторных уравнений для определения
коэффициентов 21 (!) и 22(!):
v ' эл/ Э!
= *ЬЙ1 их&М) + Т2(1М). (8.61)
В качестве функций Хх (!) и 22(£) можно выбрать [53] средние по
аргументу М значения функций 1С\(%,М) и 3^(!,Л0 соответственно. Тогда
функции w"j(!,Л/) и w2(!,AQ можно будет найти из системы (8.61).
Решения системы (8.59) аппроксимируют решения исходной системы
(8.53) на асимптотически больших интервалах времени. Предположим
теперь, что €~= ек (где к > 1). Тогда, чтобы учесть влияние вторых членов
208

в правых частях системы (8.53), требуется удержать в правах частях
системы (8.59) по крайней мере члены порядка е*, т.е. рассмотреть систему
(8.59) в виде
4ir-e£i(*) + ea£a(f) + ... + e*Zil(F) + eZl(f). (8.62)
clM
Заметим, что согласно (8.58), 18.61) функция 2j (£) равна среднему по
аргументу М значению функции Хх (f, Щ.
Достаточно часто встречаются случаи, когда отличие динамической
системы, порождающей систему (8.53), от гамильтоновой определяется
только членами Х(х,М, е). Известно [56], что если гамильтонова система
имеет состояние равновесия, то оно может быть устойчивым, но не
асимптотически. Поэтому в том случае, когда для решения вопроса об
устойчивости состояния равновесия используется характеристическое
уравнение системы уравнений в вариациях, оно может иметь корни
с отрицательными вещественными частями только при учете членов
Х(х М,е).
Предположим, например, что при указанных условиях система
имеет стационарное решение % - const. Если это решение невырождено,
то в его малой окрестности найдется стационарное решение системы (8.62).
Очевидно, что для исследования влияния на устойчивость этого решения
второго слагаемого в (8.53) достаточно провести линеаризацию правых
частей системы
~ =€£,({) + €2,(|") (8.64)
в окрестности стационарного решения системы (8.63).
Иногда, однако, удержание только членов порядка Г в системе (8.59)
не позволяет добиться того, чтобы все корни характеристического
уравнения имели отличную от нуля действительную часть. В этих случаях
приходится удерживать в системе (8.59) и члены, малые по сравнению с
членами порядка б~, что приводит к значительному усложнению исследования.
Например, в работе [88], где при исследовании устойчивости резонансного
(типа 1:1) вращения небесного тела использовалась процедура, аналогичная
описанной, пришлось сохранить в системе (8.59) члены порядка €€. Как
известно [53], формальный аппарат метода усреднения может быть развит
не только для систем вида (8.53), правые части которых представимы
рядами Фурье, но и для более широкого класса систем. Основными
условиями применимости этого формального аппарата является существование у
правых частей системы (8.53) средних по аргументуМзначений и
достаточная гладкость этих правых частей. Очевидно, что приведенные только что
преобразования могут быть проделаны для любой системы вида (8.53),
допускающей применение метода усреднения.
Оценим теперь, используя описанную методику, влияние на устойчивость
режимов магнитно-гравитационной стабилизации, проанализированных в
14. A.B. Белецкий 209

предыдущем параграфе, малого момента линейного трения, создаваемого
демпфером, показанным на рис. 47.
Примем, что момент, действующий на спутник со стороны демпфера,
имеет вид
M = Cj(ft2-5). (8.65)
Здесь cg - постоянный коэффициент, «2 - абсолютная угловая скорость
сферы 2 (см. рис. 47), <5 - абсолютная угловая скорость спутника. Будем
Рис. 94. Определение положения оси сферы
демпфера в пространстве.
считать, что действующие на спутник гравитационный и магнитный
моменты много больше момента (8.65). Эволюцией орбиты и вращением
геомагнитного диполя вместе с Землей пренебрегаем, рассматривая
упрощенную модель геомагнитного поля.
Вращение спутника опишем системой уравнений (7.1), в правые части
которых входят производные от силовых функций (8.2) и (8.6), а также
проекции
Л/, = cg(n2Ll -wLi), M2=cg(Sl2Lj -w^), M3=cg(Sl2L -coL)
(8.66)
момента (8.65). Здесь Sl2L , >«2/.,» «l и ojl .,g>l ,, col - проекции на
оси Li9L2,L абсолютных угловых скоростей сферы 2 и спутника
соответственно, причем
/ 1 1 \ / 1 1 \
со/, = 11 I sin tfcos #sin ф, ojl = 11 Isintfcosdcos^,
/ sin2»/? cos2fl\
Система уравнений (7.1) с учетом моментов (8.66) не замкнута, поскольку
эти моменты зависят не только от вращения спутника, но и от вращения
сферы демпфера. Поэтому рассмотрим вращательное движение сферы 2.
Предположим, что магнитный момент этой сферы направлен по ее оси z 5,
и определим положение этой оси в пространстве углами 04 и.^4 (рис.94),
вводимыми относительно осей Jti,Vi,Zi, показанных на рис. 3. Линия
ON лежит в плоскости xt уг и ортогональна к плоскости zxzA. Угловая
скрость сферы складывается из трех составляющих:
«21 =
dt
о22 =
_ <fy>4
dt
«2 3 -"
deA
17
(8.68)
210

В силу предположения о том, что ось zs сферы идеально отслеживает
вектор геомагнитного поля, составляющие £22! и!22з легко найти (они
определяются только перемещением в пространстве вектора Н). Используя
выражения (1.7), можно получить
0ll._2Jfi!!L.J^2 _£!».). (8.6,)
ххН { dt \-z\H dt )
1 dzlH
Теперь, используя (1.7) и (8.69) - (8.70), получаем
sin I sin ^! + cos(^i — /)
ф4 = Mcosfo - /) + А . ... X
VI + 3suri
X arctg [VI + 3 sm 2/ tg w] + / ;— \du + 7r,
wo I xXH(\ -z\H) dt J
j (8.71)
04 = / ^2 з du + const. (8.72)
OJo
Значения нечетной я-периодической по аргументу широты функции П2з
по модулю, вообще говоря, много меньше соответствующих значений
функции J2 21. Угол 04» как следует из результатов первой главы, близок к
постоянному значению.
Составляющая $222 определяется вращением сферы демпфера.
Выпишем уравнение ее вращения вокруг оси z5:
drx
— + Cg'i = Cg"zr (8.73)
Здесь ri = £l\x cos 04 + ^22» wz — проекция абсолютной угловой
скорости спутника на ось zSt Cg - момент инерции сферы демпфера
относительно оси Z5, Cg^Cg/oJoCg.
Найдем приближенное решение уравнения (8.73), аппроксимируя
зависимости (8.69) и (8.71) следующим образом:
—- = 2со0(1 + Х5 cos2w), (8.74)
dt
\р4 = 2и + Xs sin 2w + я. (8.75)
Выражения (8.74)-(8.75) правильно описывают основные особенности
движения оси zs сферы демпфера, отслеживающей геомагнитное поле.
Параметр Х5 (') выберем как полуразность минимального (при и = я/2)
и максимального (при и = 0) значений за период изменения четной
функции £2 21, определяемой выражением (8.69). Получим
Х5 (0 = -— sin/ {— __ L . \. (8.76)
3 sin 1 cos(i>i - 1) — sin vx
3 • I l
: —— sin/ {
2 [ sin vx
14* 211

Функции sin ф4 и cos i//4 (где Фа определяется выражением (8.75))
разложим в ряды Фурье по аргументу широты и сохраним в этих разложениях
только несколько первых членов, учитывая, что согласно (8.76) параметр
I Х5 (О I < 0,75. Примем, что
sin ф4 = -/0(Xs)sin2w-/i(X5)sin4w,
cos ф4 = ~Jo(ks)cos2u + «/i(X5) — /i(X5)cos4w.
Здесь /o(Xs) и /i(Xs) - функции Бесселя. Составляющей П2з угловой
скорости 122 ввиду ее малости по сравнению с составляющей Q2i
пренебрежем и в дальнейшем будем считать, что в 4 - vx. Общее решение
уравнения (8.73) можно представить в виде
гх ^Cxe-'g" +c^~V fco^e^du. (8.78)
Здесь с i - произвольная постоянная.
Теперь, используя выражения (8.67), (8.74)—(8.75) и (8.77) и считая,
что вА = j>i, можно приближенно (отбрасывая члены порядка малого
отношения (А - С)/А) вычислить квадратуру в формуле (8.78), а затем
найти $222 =ri — Й2 1 cosi>i. Как показано в начале этого параграфа, для
оценки влияния момента (8.65) на устойчивость режимов (8.39) магнитно-
гравитационной стабилизации достаточно добавить в правые части первых
пяти уравнений системы (8.31) (полагая в ней А = В, К^ - 0) члены,
содержащие проекции Mit М2 и Мъ из системы (7.1), используя в качестве
указанных проекций выражения (8.66), усредненные по переменной и с
учетом соотношения (8.28). При усреднении используются отмеченные
ранее упрощающие предположения. Составив теперь уравнения в вариациях
для решений (8.39) и использовав критерий Льенара - Шипара [56]
отрицательности вещественных частей всех корней характеристического
уравнения системы уравнений в вариациях, получим следующие достаточные в
силу усредненной системы, типа (8.62) условия асимптотической
устойчивости режимов (8.39):
</54<0, </21(<*12<*5 4-<*5 2<*14)>0,
d\X + d22 +d44 +^55 <0f (dn +d22)d$4 -dl4dsl >0,
fdsi \
Vl~ CtgPl ~d*1 )^23>0, (^44+^55)^54 +C?14^51>0,
[^54(^11 + <*2 2)-^14</5 1]^2 1(^12^5 4 -dS2di4)^
1
(8.79)
L0 sin p0
Г d2<U) bHU) / Э2<£/>\21
Х[~Т" cts^-^i|>o.
Здесь введены следующие обозначения:
d2(U) 1 Г b2(U) b2(U)l
dS4*———, rf14= —: - +COSPO-T"!— ,
OKq ZoSUiPo L OKqOLq OKq J
212

1 ЪЧЦ) Ъ2{Ц) 1 Э2Ш>
Aosinpo ЭроЭ^о Эк0Э20 L0sinp0 Эро
о
</15 = _—X5y0(^5)sin vx cos vlt
l Г э2<*/> ъЧи) Л
dne—7^-hl+/?(X5)sin2i;1], </s$=—*
2<o0f* Г X5 ]
<*22 = " 1 +Л)(Хз)—COS!*! Sin^, Ctgpo ,
с/з i = - —r sin2 pt [Xs + 2J0(Xs )/i (Xs)],
4co0Ca 4co0cg
d3 s - j- J0(X5 )sin vx cos i;b c/44 = 70(Xs )cos*i>i,
dS\ -2<^QcgsmvxQO%Vx L/i(Xs)+y0(X5)-~-J .
Силовая функция < U), входящая в эти неравенства, равна по-прежнему
сумме функций (8.29) и (8.30) (при условиях А =Дт/, =т?2 =0).
Численная проверка неравенств (8.79) показывает, что они выполняются для
решений (8.39), если выполнены неравенства (8.41). Таким образом, воздействие
на спутник диссипативного момента (8.65) обеспечивает асимптотическую
устойчивость стационарных решений вида (8.39) эволюционной системы.
В работе [203] показано, что момент от вихревых токов,
индуцированных в теле спутника пр^его движении относительно центра маСсс в
магнитном поле, способствует захвату спутника в резонансное вращение с
соотношением частот 2:1 и обеспечивает такому вращению асимптотическую
устойчивость.
§ 5. Магнитно-гравитационная стабилизация трехосного спутника
Предположим теперь, что спутник имеет трехосный центральный
эллипсоид инерции, а положение вектора постоянного магнитного момента
спутника в осях хуг произвольно (определяется направляющими косинусами
f?i*fh и т?3). Эволюцией орбиты пренебрежем (К^ =0). Нас будут
интересовать решения (8.33) системы эволюционных уравнений (8.31). Из
последних двух уравнений этой системы на решениях (8.33) можно [114]
выразить L0:
U- —^ 5 т— . (8.80)
/ shr<po cos Vo \ cos*a0
\ А В J С
213

Для того чтобы обратить в нуль правые части системы (8.31) на
решениях (8.33), можно пытаться подобрать значения следующих свободных
параметров, содержащихся в системе (8.31):
А ~# 4/u,/oT?iCos6,
g = — —, os -
А - С Зц(А - С)
4м*/о*?2 cos б! 4де/01?3 cosSj
66= , -.
3juW - Q 3fx(A - О
Выделим из множества стационарных решений (8.33) системы (8.31)
такие, на которых одна из осей спутника, например z, описывает конус с
углом 2vx при вершине (см. рис.3), располагаясь определенным образом
относительно вектора геомагнитной напряженности в его усредненном
по вращению Земли движении.
Проанализируем два типа таких режимов стабилизации по магнитному
полю. Первый тип стабилизации: ось z отслеживает в среднем вектор
<Н> с проекциями
3jUeCOS6!
< Нх > = ? sin 2/ shr и,
2Я3
<ЯУ> = -^|- cosStO-Ssiirtsin2!!), (8.81)
3/Lle COS 6 i
<HZ) = 5 sini sin2w,
2Д3
получаемыми усреднением выражений (7.13) по вращению Земли.
Поскольку проекции (8.81) только множителем cosfii отличаются от
соответствующих проекций (1.3), то вектор с проекциями (8.81)
описывает в пространстве конус с углом 2*>i при вершине. С другой стороны,
выражения (8.81) показьгоают, что дипольное геомагнитное поле с St Ф О
после усреднения указанным только что образом по вращательному
движению Земли становится качественно эквивалентным упрощенному диполь-
ному (5г = 0). При первом типе стабилизации ось z спутника совпадает с
вектором < Н > при и = яи/2 (в этом параграфе везде п = 0, 1, 2, ... ), т.е.
два раза в течение одного оборота центра масс спутника по орбите.
Второй тип стабилизации: ось z описывает конус с углом 2j>i при
вершине, опережая вектор с проекциями (8.81) на пол-оборота по конусу.
Рассмотрим сначала режимы стабилизации первого типа. Для них в (8.33)
следует положить
к0=Б0=—, Po=*>i-4 ^0 = ^1 (8.82)
Анализируя уравнения системы (8.31), можно установить, что решения
(8.82) существуют только при выполнении следующего условия:
sin #o sin </?o cos </>0 sin p0(l + cos p0) = 0. (8.83)
Из (8.83) следует, что $0 = тгя/2. Если <р0 - ял, то режимы стабилизации
214

первого типа существуют, когда параметры (54 -б7) удовлетворяют
системе уравнений
$5=0,
64 [sin p0 cos p0(3 sin2 d0 - 1)- sin d0cosd0(cosp0 + cos2p0)] +
/ 3 1
+ 56 cos <po l — sin 1 sin p0 cos d0 + —sin 1 cos p0 sin d0 -
\ 4 2
- cos 1
i sinPo sin do 1 + 57 ( sin 1 sin d0 sin p0
do)
1 Po cos p0(3 cos2 d0 - 1) + sin d0 coi
[*
16 1 Г 3
sind0cosd0 +56cos<po sin/(l + cosp0)sind0 -
1 1
—sin 1 sin Po cos d0 - cos i cos p0 cos d0 +
2 J
Г 3 l
57 I sin/(1 + cosp0)cosd0 +—sin 1 sin p0 sin d0 +
L 4 2
f cos Po sin d0 I + sin d0 cos d0(l - 3 cos2p0) -
+ —sin 1 cos Po cos d0 - cos 1 sin p0 cos d0 ] +
2
+ sin Po cos p0(3 cos2 d0 - 1) + sin d0 cos d0 (cos p0 + cos 2p0 ) = 0,
64| cos2d0 sin Po(l + cos p0) - sin d0 cos d0(l - 3 cos2p0) +
+ cos /
16
- cos2d0sinp0(l +cospo) sin d0cosd0 =0. (8.84)
Решения линейной относительно 54, 6б, 67 системы (8.84) определялись
численно. Некоторые из полученных результатов представлены на рис. 95 и
96, где показаны зависимости 64(/) и 57(0 соответственно при различных
значениях произведения 66cos^0- Значения произведения б6 cos <р0 на
представленных кривых, обозначенных цифрами 1 -5, равны (-10), (—5),
0,5 и 10 соответственно.
Если кр = (2л + 1)я/2, то режимы стабилизации первого типа существуют,
когда параметры (64 - 57) удовлетворяют следующей системе уравнений:
б6=0,
/3
— о4 sin Po cos Ро + 5S sin кр0 I —sin / sin p0 cos d0 +
1 \
+ — sin / cos Po sin d0 - C)6s i sin d0 sin p0 I +
. / 3 l
+ 57 I sin 1 sin Po sin d0 + — sin / cos p0 cos d0 -
215

- cos i cos #0 sin Po / + sin p0 cos p0 (3 cos2 d0 - 1) +
+ sin &o cos d0(cos po + cos 2po ) = 0,
Г 3 l
&s sini^o I sini(l +cosp0)sind0 sin/sinp0cos#0 -
I 4 2
]+67[-ls
]
(8.85)
-sin /(1 + cosp0)cos #0 +
- COS I COS &o COS Po
+ — sin i sin Po sin #0 + cos i sin #0 cos p0 | +
+ sin #0cos #oO - cos2p0) - cos2#0 sinp0(l + cosp0) -
16
sin #0 cos #0 = 0.
Численное исследование системы (8.85) показывает, что ее решения
существуют только тогда, когда параметры 54 и 67 очень велики (больше
103). По постановке задачи (I U\ < L /А) столь большим значением
указанных параметров должны соответствовать очень малые (меньше 10~4)
значения отношения (А - С) /А. Для искусственных спутников такие
решения, вероятно, малоприемлемы, и поэтому исключим их из рассмотрения.
34 i
и
11
11
i»
t,i,iti,i,i,ift,t,t,(,i,t,t,tA
f *~-F*
I
5 ^
s\ii
Upad
i,pad
-50\-l
Рис. 95. Зависимость параметра 64 от наклонения орбиты на режимах стабилизации
первого типа при ypQ = лп.
Рис. 96. Зависимость параметра 57 от наклонения орбиты на режимах стабилизации
первого типа при у?0 = эти.
216

Режимы стабилизации второго типа существуют, если в решениях (8.33)
параметры удовлетворяют условиям
ет 3
«о = —, 20 = — ет, р0 = »\ - U #о = "г. (8.86)
2 ,2
Так же, как и режимы стабилизации первого типа, решения (8.86)
существуют только при выполнении соотношения (8.83), и, следовательно, снова
должны быть <ро - ети/2.
Если <ро = яп, то режимы стабилизации второго типа существуют, если
параметры спутника удовлетворяют следующим уравнениям:
55=0,
б4 [sin Ро cos р0(3 sin2 d0 - 1) + s*n #о cos d0 (cos p0 + cos2p0)] +
/ з 1
+ 56cos fo I — -J sin I sin p0cos d0 + "^ sin / cos p0 sin d0 -
4
-cos/sin ~
in do sin ро) + 57 ( ^ &п ' sul Ро sin d0 +
+ -r sin i cos ро cos d0 — cos / cos d0 sin Po I +
+ sin Po cos Po (3 cos2 do — 1) — sin d0 cos d0 (cos p0 + cos 2p0) = 0,
Г , (8-87>
54 sin do cos d0 (1 -3cos2p0) + cos2d0sinpo(l + cosp0)-
+ 56 cos «po I ~" "T sin / sin d0(l + cos p0) +
!6 • . n
—r-sin d0 cos d0
+ — sin / sin po cos d0 + cos / cos p0 cos d0 J —
571 ~ sin 1 cos d0 (1 + cos p0) + -r sin / sin p0 sin d0 +
+ cos 1 cos po sin d0 j — sin d0 cos d0 (1 — 3 cos2 p0) —
- cos 2d0 sin po (1 + cos p0) + -j"sin ^° cos ^° = ^-
Некоторые из решений системы (8.87) представлены на рис. 97 й 98, где
показаны зависимости 54 (/) и 57 (/) от произведения 56cosip0- Значения
этого произведения на кривых рис. 97,98 такие же, как на кривых,
обозначенных соответствующими цифрами, рис. 95, 96. Проведем сравнение
найденных режимов магнитно-гравитационной стабилизации трехосного
спутника первого и второго рода при у = лет. Как видно из рис. 95,96 и 97,98,
эти режимы проще всего реализовать, если 66cos^0 = 0.B этом случае
нужные параметры 54 и 67 слабо зависят от наклонения орбиты / и поэтому
могут быть заданы с не очень большой точностью. Если же произведение
66cos^0 ^ 0, то параметры б4 и 67 существенно зависят от /, а при i->ет/2
становятся очень большими на решениях систем (8.84) и (8.87).
\ 217

fflk
2,5h
itpad о
-2,5\-
5 <t 7
2 1
J L.
£_
♦/ \s
i
//
/ I
' I
# I
i t
wad
Рис. 97. Зависимость параметра Ь4 от наклонения орбиты на режимах стабилизации
второго типа при у0 = пп.
Рйс. 98. Зависимость параметра 6, от наклонения орбиты на режимах стабилизации
второго типа при *р0 - пп.
Рис. 99. Зависимость параметра 64
второго типа при <р0 ~ (2я + 1)я/2.
Рис. 100. Зависимость параметра 6.
второго типа при v>0 = (2п + 1)я/2.
от наклонения орбиты на режимах стабилизации
от наклонения орбиты на режимах стабилизации

Если <Ро = (2я + 1) я/2, то режимы стабилизации второго типа
существуют при выполнении следующих условий:
$6=0,
—б4 sin р0 cos ро + Ь$sin <Po (■" т s*n; s*n ^ocos d0 +
(-*4sin/J
do sin poj*
/3 . . .
J — sin / sir
>s / cos d0 sin Po I + sin p0 cos p0 (3 cos2 d0 - 1) -
+ -г sin / cos po sm u0 — cos z sin
+ 57[ -j sin / sin po sin d0 + -r sin / cos p0 cos d0 -
- sin do cos d0 (cos po + cos 2p0) = 0, (8.88)
[3 1
— -r sin i (1 + cos p0)sin d0 + -z sin / sin p0 cos d0 +
+ cos/cos d0cos Po I— 67 J ~ sin /(1 +cosp0)cosd0 +
+ -r sin / sin po sin d0 + cos / sin d0 cos p0
— sin d0cosd0(l —3 cos2po)-cos2d0sinp0(l +cosp0) +
+ -r-sin d0 cos d0 = 0.
Примеры решений системы (8.88) приведены на рис. 99 и 100, где
представлены зависимости £4 0) и 57 (/) от произведения 65sinip0 в силу
уравнений (8.88) и (8.86). Произведение 55sin^0 на кривых рис. 99 и 100
принимает следующие значения: кривая 1 - (—10); кривая 2 - (—5);
кривая J — (0); кривая 4- (5); кривая 5- (10).
В случае полярной орбиты на режимах стабилизации угол р0 = 0.
Поэтому так же, как и в третьем параграфе этой главы, рассмотрим случай
полярной орбиты отдельно, задавая положение вектора кинетического
момента спутника в пространстве углами рх и Si так, как это показано на
рис. 82. Силовые функции UT и UM, усредненные по аргументу широты
с учетом (8.28), можно записать в новых переменных следующим образом:
<Ur) = -~а>1(А -£){(sin2^ + cos2</>cos2d)(sin2Pt +
+ cos2 Pi cos2 Sx + sin2 Sx)+ 2 sin2dcos2^(cos2pi +
+ sin2 px cos2 2i) + sin dcos^> [ —(1 + cos2 Si)(sin(/>cosK +
+ cos d cos <0 sin к)sin 2px - 2 cos d cos <p cos к cos Si cos 2pi +
+ 2 cos St sin кр sin к ] + 2 sin d cos <p sin Si X
X [ sin «p (cos Pi cos к + sin Pi cos Si sin к) + \
219

— -т sin # sin кр cos pi) + T72[ - sin к cos \p sin px —
+ cos ip cos t> (cos pi sin к - sin pt cos к cos Si)]} +
+ |a>S04 -C){sin2^(l+sin2PiSin2Si) + 2cos2^ X
о
X (1 - sin2 Pi sin2 Si) + sin 2d sin к [ sinpiCOspi(l + cos2Si)-
— sin Sx cos Pi ] + sin 2d cos к [ cos Sx (sin px sin Si + cos 2pi)]}, (8.89)
3 yte I0 cos 51 \ (
< UM > = ^ 4 17Д —cos <£ sin p cos к + cos pi sin к cos Si +
+ sin к sin pi cos # sin ^ + cos к cos Pi cos Si cos d sin \p +
+ cos ^ cos к sin Si — cos # sin к sin <p sin St -
J + T?J--siii
— cos fc cos \p cos Pi cos Si — cos к sin Pi cos д sin <p +
+ sin к cos Pi cos 2j cos # sin <p — sin <p cos д sin Sx -
2 \
— cos # cos кр sin к sin Ъх—-г sin # cos pi cos <p 1+
+ *b (— sin к sin & sin pt - sin # cos к cos pi cos Si +
+ sin d sin к sin S1 — — cos # cos Pi 1 л (8.90)
Рассматриваемым ранее режимам стабилизации в новых переменных
для случая полярной орбиты соответствуют решения вида
Pi=Pio=|, Si=Sio=-§tt, » = *o=f, L=L0, </> = *o, (8.91)
а расстройка к = к0 = Зя/2 (для режимов стабилизации первого типа) и
к = к0 = 7г/2 (для режимов стабилизации второго типа). Решения (8.91)
существуют, если 65 = 66 = 0 при любых значениях параметров 54 .и б7.
Следовательно, из рассмотренных ранее семейств решений системы
(8.31) на случай полярной орбиты могут быть продолжены только
решения, соответствующие значению 56 = 0, если $ = тгл, и решения,
соответствующие значению б5 = 0, если ^0 = (2и + 1)я. Итак, рассматриваемые
режимы магнитно-гравитационной стабилизации трехосного спутника с
близкими моментами инерции практически нереализуемы в случае
полярной орбиты, поскольку соответствующие решения эволюционных
уравнений неустойчивы по параметрам 55 или б6. Из рис. 95 — 100 следует, что
нереализуемы и режимы стабилизации на орбитах, очень близких к
полярной. Разумеется, это утверждение не относится ко всем возможным
режимам магнитно-гравитационной стабилизации (например, таким, в которых
ось спутника, отличная от оси z, отслеживает геомагнитное поле).
Для исследования устойчивости режимов магнитно-гравитационной
стабилизации, проанализированных в этом параграфе, составим систему
уравнений в вариациях для решений (8.33) системы (8.31).Характеристи-
220

ческое уравнение системы в вариациях можно привести к виду
\6+АЧ\4+А%\2 +At=0. (8
В уравнении (8.92) введены следующие обозначения:
A\=-a\ia\6,
А% =*?i(*?*2*?6 +а03а°12аЧб +4*2*?6 +*Мз*?б -
-а%а%аЪ -«?«*,в?, -«8«М7 -<&#«?•),
А% -fMaW^ +a%a%a%a\3a\s + а\3а%а%а°6а\6 +
+ а%а%а%а\га%п + «$вДОвМ, + а\а%а%а\2а\6 -
- а%а%а%аЪа\6 -а2в$я2«?з*?7 - a%a%a%a\3a\s -
-вШв?,в?6 -вМвОДав?, -А?^в?2а?5),
о ctgp0 Э*<<У> 1 Ь2 < £/)
Lo Эк0Э^о Losin Ро ЭГ0Э^о
о ctgflp Ъ2{Ц) 1 Э2<£/>
ff в = ———■— —— —-— ——. ^
Lo dfc0 3S0 Losin^o 3<po9S0
о ctgi»0 b2{U) 1 d2<£/>
Д7 S ——— ,
L0 Эко Z-oSin «?o Э^0Эк0
. ctgdo b2{U) 1 Э2<(/> / i i\
ae=—;—7—7 y . . . , + Iosirn?ocos2vgo(-J~-^/
L0 ЪкоЬфо L0sind0 d<fil \A И /
*9
0_ ctgflp b2iU) ctgpp d2 (U)
'л — —' ————— ——————-• — - —————
ctgflp d2(U) ctgpp d2<t/> 1 d<U)
a°0 я - _ T
lo Эко L0 ЭроЭ^о I0sin2^0 3#0
sin2^0 cos2«p0 ctgd0 d<U) 1 Э2<£/>
Л Я Z,g Э#0 losing 3#09po
о 1 d2<U) cosflp d<U)
L0sin^o 3^S £0sin2#0 Э#0
/1 sin2^0 cos2v?o\
\C А В I
U) /1 sin2^0 cos2</?o \
-—+ cosiM /,
»o \C А В /
a* — l Э<
*?7 =
L\ sin #o d#o
Э2<£/>

Рис. 101. К оценке размеров резонансных
зон для режимов стабилизации трехосного
спутника.
Здесь < U) - по-прежнему сумма
функций (8.29) и (8.30),выражения
коэффициентов а и ?2. а%, я?, а? 5, а?6 сов*
!\\^)\у\^\\1,рад падают с соответствующими
выражениями введенных в предыдущем
параграфе этой главы коэффициентов
<*i2, ^fi4, d21, </гз, ^52, ^54
(разумеется, с заменой в них функции (U) на
сумму функций (8.29) и (8.30)).
Можно показать, что все корни
уравнения (8.92) будут иметь
нулевые действительные части, если
выполнены условия (дают устойчивость в линейном приближении)
/4?>0, А°2>09 А°3>0, {Al)2>AAU%* (8.93)
Если хотя бы одно из неравенств (8.93) выполнено с обратным знаком, то
по крайней мере один из корней уравнения (8.92) имеет положительную
вещественную часть и, следовательно, соответствующее стационарное
решение системы (8.31) неустойчиво. Неравенства (8.93) на режимах магнитно-
гравитационной стабилизации проверялись численно. На рис. 95 — 100
участки кривых, показанные пунктиром, соответствуют неустойчивым
решениям, а остальные соответствуют решениям, для которых выполнены
необходимые условия устойчивости (8.93). Неравенства (8.93)
выполнены, если А > С, на участках кривых рис. 95 - 100, показанных сплошной
линией, и, если А < С, на участках тех же кривых, выделенных
дополнительно штрихами.
Достаточные условия устойчивости рассмотренных режимов магнитно-
гравитационной стабилизации снова можно получить с помощью связки
интегралов вида (8.24), в которой интеграл (8.13) должен быть заменен
записанным для возмущенного движения интегралом sin2^ + cos2<p = 1,
а интеграл (8.12) - интегралом (8.32) при Кц = 0.
Постоянные ju,- удается подобрать так, чтобы указанная связка
интегралов не содержала членов, линейных относительно возмущений. Однако
получаемые условия устойчивости (так же, как и выражения д,) весьма
громоздки и по этой причине не приводятся. По-видимому, возможна
лишь их численная проверка для конкретных решений.
Аналогично тому, как это было сделано в третьем параграфе этой главы,
можно оценить размеры области притяжения проанализированных
стационарных решений системы (8.31). Уравнение, подобное уравнению (8.51),
в случае трехосного спутника будет иметь следующий вид:
d2 к 3 (С-А)
HF 16 А
+ — - 0° cos к = 0. (8.94)
Для режимов стабилизации, удовлетворяющих условию <р0 — *>*> входящий
222

в уравнение (8.94) параметр 0° определяется выражением
/3° = [ 1 +cos(*>i -/)][2sin(*>i -/)(64 - l)sin2*>! +
+ 3(66cos^icos^0 —6-7 sin i^t) sin / ],
а для режимов стабилизации с ^0 = (2w + 1) я/2 - выражением
0° = [ 1 + cos (*>! - ОН -2 sin (z>! - О sin 2 ^ +
+ 3(65cos i^i sin <po — 67sin J>i)sin/].*
На рис. 101 показаны зависимости параметра 0°, определяющего
размеры резонансных зон режимов магнитно-гравитационной стабилизации, от
наклонения орбиты для некоторых из решений системы (8.31), представ-
ленных на рис. 95, 96. Цифры и обозначения на кривых рис. 101
соответствуют цифрам и обозначениям на кривых рис. 95,96.
Рассмотрение кривых на рис. 101 обнаруживает, что режимы
стабилизации могут стать неустойчивыми из-за потери резонансных свойств вращений
вследствие уменьшения размеров (либо полного исчезновения)
резонансных зон.
§ 6.0 возможности использования экстремальных свойств
резонансных движений для исследования резонансных
вращений спутника
Н.Г.Четаев в работах [193, 194] поставил задачу об отыскании таких
частных решений гамильтоновои системы, которые остаются устойчивыми
по Ляпунову для широкого класса возмущающих потенциальных сил
определенной структуры. Четаев показал, что устойчивыми могут быть только
те из указанных частных решений, которые соответствуют некоторым
дискретным значениям постоянной И интеграла энергии рассматриваемой
системы. В частности, для канонической системы, описывающей
пространственное движение материальной точки в декартовых координатах в
потенциальном силовом поле, уравнение, определяющее отмеченные значения /г,
совпадает с уравнением Шредингера. Таким образом, в этом случае правила
отбора устойчивых траекторий подчиняются условиям квантования.
Заметим, что полученное Четаевым необходимое условие устойчивости может
быть интерпретировано как экстремальное свойство некоторого
функционала в фазовом пространстве гамильтоновои системы [193].
Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений в нормальной
форме вида
— = *Лг.*ь....хя) + е//(/.х1,....*||. е). (8.95)
Здесь/ — время, е < 1 - малый положительный параметр, /=1, 2,..., я.
Будем считать, что правые части системы (8.95) определены при всех
вещественных значениях t и значениях jc/, принадлежащих некоторой
замкнутой вещественной области. Предположим также, что правые части
этой системы непрерывны и периодичны по времени и имеют непрерывные
производные (до второго порядка включительно) по переменным */ и
параметру е.
223

Предположим, что система (8.95) при е = 0 допускает семейство
порождающих периодических решений периода, равного периоду по времени
правых частей этой системы, зависящее .от произвольных параметров as
(s = 1,2, .», к < и). Тогда, как известно [96], при € Ф О непрерывно
переходят в периодические решения системы (8.95) лишь те из порождающих
периодических решений, в которых параметры ots удовлетворяют
некоторым дополнительным условиям вида
/>,(<*!,...,<**) = О, s=l,...ffc (8.96)
Функции Ps могут быть получены с помощью операции вычисления
интегрального среднего по времени вдоль порождающего решения от
определенных функций переменных дг,- и t.
И.Г.Малкин показал, что условиям (8.96), вообще говоря, будут
удовлетворять только некоторые из возможных наборов параметров ots и
только часть из них будет приводить к устойчивым периодическим решениям.
Таким образом, в этом случае снова имеет место квантование устойчивых
движений.
Предположим теперь, что существует вещественная функция D(ai9 ...
..., а*)»удовлетворяющая условиям
ps = -7—' s=1'. •••*■
dots
Тогда можно показать, что параметры as, соответствующие устойчивому
периодическому решению системы (8.95) при € =£0, доставляют экстремум
введенной функции D. Это — интегральный критерий устойчивости [39].
Он может быть эффективно использован для исследования устойчивости
резонансных движений в многомерной системе, содержащей медленные и
быстрые переменные [39, 64]. Представление части условий устойчивости
периодических решений динамической системы в виде условий экстремума
некоторой многомерной функции весьма удобно. Это позволяет
использовать для выделения устойчивых периодических решений хорошо
разработанный аппарат отыскания экстремумов функций многих переменных
[50,51,153, 162].
Интегральный критерий устойчивости оказался весьма удобным
средством исследования устойчивости периодических и резонансных движений
многих конкретных систем. Важной особенностью этого критерия является
то, что функции, входящие в него, задаются на порождающих, а не
действительных решениях системы (8.95). Это обстоятельство существенно
упрощает его использование, поскольку порождающие решения предполагаются
известными.
Возникает, однако, важный вопрос: соответствуют ли экстремальным
свойствам некоторых порождающих решений системы (8.95), выражаемым
интегральным критерием, аналогичные свойства точных решений этой
системы, либо интегральный критерий — только "технически" удобная
форма представления условий устойчивости?
Рассмотрим неавтономную динамическую систему вида
-^- = */(*ь...,*„,/), /=1,2,...,/?, (8.97)
224

правые части которой периодически зависят от времени и в некоторой
области изменения своих переменных удовлетворяют условиям теоремы
Коши — Пикара, а все движения, возможные в этой системе, сохраняют ее
фазовый объем. Тогда [21, 75] для того, чтобы система (8.97) допускала
устойчивое по Ляпунову периодическое решение периода, кратного
периоду ее правых частей, необходимо и достаточно выполнение двух следующих
условий:
1. Система допускала существование в своем фазовом пространстве
такого открытого множества ненулевой меры, что начинающиеся в нем при
t = to траектории */(/) остаются при любых t > t0 в некотором
компактном множестве, содержащем внутри себя начальную точку лг/(/0).
2. Существовала функция к (xi, ..., хп, t) из множества функций,
непрерывных по дг/ и / в указанном компактном множестве и периодических по •
аргументу t с периодом, соизмеримым с периодом правых частей системы
(8.97), такая, что функция
K(xi0)= Mm -f/ K(xdt)9...9xm{t)tt)dt (8.98)
непрерывна в точке дг/ (г0), соответствующей рассматриваемому
периодическому решению, и принимает в ней строго экстремальное значение.
Заметим, что квадратура в выражении (8.98) вычисляется вдоль точных
(а не порождающих!) решений системы (8.97). Поэтому приведенная
теорема отражает реальное экстремальное свойство решений такой
динамической системы. Если же система (8.97) — математическое описание
некоторого явления или процесса, то указанное экстремальное свойство
является для него законом природы. При определенных условиях приведенная
теорема применима и к устойчивым решениям многомерной системы с
соизмеримыми частотами (резонансным решениям).
По-видимому, впервые экстремальные свойства резонансных движений
обнаружен в 1973 г. в работе [219] {принцип минимального
взаимодействия) при анализе орбитальных движений некоторых естественных небесных
тел с учетом гравитационного взаимодействия между ними и влияния
центрального тела. Авторы предположили, что параметры орбит должны
соответствовать минимуму среднего значения силовой функции, описывающей
их гравитационное взаимодействие. Затем было обнаружено, что указанные
минимумы достигаются, когда периоды орбитальных движений этих тел
соизмеримы. Таким образом, в данном частном случае роль функции
к(х/,/) в выражении (8.98) играет силовая функция гравитационного
взаимодействия тел.
Полученная в предыдущем параграфе система уравнений (7.1) — (7.2)
является частным случаем системы (8.97) при воздействии на спутник
только потенциальных моментов. Следовательно, резонансные решения
системы (7.1) — (7.2) можно пытаться найти как экстремали некоторого
функционала. Предположим, что вдоль главной оси z центрального
эллипсоида инерции спутника установлен постоянный магнит, а центр масс
спутника описывает невозмущенную эллиптическую полярную орбиту. Тогда
при использовании для описания геомагнитного поля модели прямой
15. А.В.Белецкий
225

диполь система уравнений (7.1) — (7.2) при вращении спутника под
действием гравитационного и магнитного моментов допускает частное решение,
в котором ось х спутника нормальна к плоскости его орбиты. Такое
решение можно исследовать, используя выделяющуюся из (7.1) - (7.2)
систему уравнений
dl bU dty L dv
—=—, — =- — = (l-e2)3/2a>0(l+ecosi02. (8.99)
dt d\p dt A dt
Здесь U— сумма силовых функций гравитационного и магнитного
моментов. Система (8.99) после перехода к аргументу v вместо t может быть
сведена к уравнению (3.60).
В 1976 г. в работе [35] описаны некоторые результаты численного
исследования периодических решений уравнения (3.60) при аф = 0. Выдвинута
гипотеза, что максимумы средних значений силовой функции
воздействующего на спутник гравитационного момента достигаются на устойчивых
периодических решениях этого уравнения. Численные расчеты подтвердили
справедливость этой гипотезы.
Отыскание максимумов средних значений суммарной силовой функции
гравитационного и магнитного моментов, которая для уравнения (3.60)
является одной из функций к(х/, /), позволяет [36] выделить устойчивые
периодические решения этого уравнения при любых соотношениях между
параметрами d и а,. С точностью до составляющих, не зависящих от
вращательного движения спутника, указанная силовая функция имеет вид
иъ=—~ЛВ- C)cos2^, +-^-~ [3sin(^, - и) - sin(v7i + и)]. (8. 100)
2 /г Шъ
Очевидно, что при е Ф 1 всякая задача Коши для уравнения (3.60)
с начальными условиями 1ю, </ю имеет единственное решение \р\ =
~li(*Mi(blio)> непрерывно зависящее от начальных условий. Символ
lio означает производную d^xldv при v = v0. Поэтому функция
\ т id
К»(«Рю,/ю)= Ит — /(1 +ecosi>H—sinV,(i>,*io,*'io)-
г-оо Т о 12
~y[3sin(^1(^^10,^'io)~«)-sin(v?1(^^io^U)+w)]|^ (8.101)
представляющая собой преобразованное выражение интегрального
среднего от функции (-£/э)» вычисленное вдоль решений уравнения (3.60),
зависит от начальных условий ito>lio»
Согласно гипотезе, сформулированной в работах [35, 36], минимумы
функции (8.101) по переменным iio,l'io достигаются на начальных
условиях, соответствующих периодическим решениям уравнения (3.60).
Определяемые таким образом начальные условия в свою очередь зависят
от параметров d,a0,e,<joni содержащихся в уравнении. Для упрощения
исследования сузим класс его объектов. Будем в дальнейшем
рассматривать в основном круговые орбиты (е = 0) и только решения уравнения
(3.60), удовлетворяющие условию «/?ю =0.
226

м
........и t t*<
'liMinmV
2.7
Рис. 102. Зависимость 1/4(*',„) (<»(!■ 0).
*J
V
0.7
i /.7 •..
-/ a
i
-
• •
• •• • V
. • • • •••••••••••••
• •
.-
• ■ ■•
fC
Рис. 103. Зависимость U4(/, 0 > (e = 0, </ # 0).
«>l
••• . •
-/.7 •, , • -v.y
♦...•
0:1
-v
i
••
•••
•
►
• •
• •
2.7
•
• • • •
• •• •
*.7 ^
•
♦
•
•
Рис. 104. Зависимость U4(*>\ о) (е * °»<* * 0).
Будем называть резонансными типа mx\m2i как и в третьей главе,
вращения спутника, связанные условием ^i(w) = /c(w) + {jnx -m2)ulm2,
причем к(м+2тгт2) = к(м). На рис. 102-104 представлены полученные
численно зависимости tftte'io) и указано, каким резонансным
вращениям спутника соответствуют минимумы этой функции. Точки на рисунках
дают значения функции U4 на выбираемых частных решениях уравнения
(3.60). Рис. 102 построен в предположении, что rf = e = 0, a, = 0,05, соя =
= -7г/2; на рис. 103 параметр а, =0,05, е = 0, </ = 0,2, <оя = -тг/2.
На рисунках ясно видны локальные минимумы функции Kite i
(^отвечающие главным резонансам. При отсутствии гравитационного момента
(</ = 0; см. рис. 102) наблюдаются лишь магнитные резонансы 0 : 1 и
2:1. Подключение гравитационного момента (</=£0; см. рис. 103)
сохраняет эти резонансы и добавляет резонанс 1:1.
15*
227

Рис. 105. Зависимости начальных значений $\ 0 от параметра a* id = 3).
В общем случае эллиптический орбиты (еФО) могут выявиться
экстремумы функции (8.101), отвечающие другим резонансам. Так, для
случая е = 0,1, а, =0,1, d = 0,1, ion=—ir/2 (рис.104) четко видны
резонансные ямы для резонансов 0:1, 1:1, 2:1, 3:1, 4:1.
Просматривается также резонанс (—1:1) (обратное вращение) и резонансы 3:2 и
5 : 2. С изменением значений параметров некоторые из отмеченных
резонансов могут исчезать, а другие, наоборот, появляться.
Опишем более подробно результаты исследования периодических
решений уравнения (3.60), соответствующих главным магнитным резонансам
2:1 и 0 : 1 для спутника, имеющего круговую орбиту.
На рис. 105 — 107 показаны зависимости начальных условий у/ю>
соответствующих резонансным решениям типа 2 : 1 при \рхо =0, от
магнитного параметра а* для трех значений гравитационного параметра:
d = 3 (рис.105), d = 0 (рис.106) и d= -3 (рис.107). Начальные
значения */10, лежащие на участках кривых рис. 105 — 107, показанных
сплошными линиями, дают тг-периодические по истинной аномалии v
Рис. 106. Зависимости начальных значений *р\ 0 от параметра a* id = 0).
Рис. 107. Зависимости начальных значений </, 0 от параметра а* (с/ = - 3).
228

Рис. 106
Рис, 107

kam(pr»)
Рис. 108
к am(fy-vj
2h
1\-
kamcfi-vj
I— *'
I •
I /
I /
/ *4
I / J/
I ' //
/ //>
U | /Лг
UL- L-
^^^ •»•****" ^«^
/^'"^^~^~
V ^-*"**^^ ^
_^^^ +
^^ *
•
• ^
• X
/ y^
/ _4*г
* JF
1 *i
* jf/
1 J* /
1 * 1
1 j к
' ^ V
1 *.
10
Рис. 109
Рис. 108. Зависимости от параметра
а* максимальных значений разности
[*i (»>) - *>] на резонансных решениях
типа 2:1 (d = 3).
Рис. 109. Зависимости от параметра
а* максимальных значений разности
[*i (*>) - *>] на резонансных решениях
типа 2:1 id = 0).
Рис. 110. Зависимости от параметра
а* максимальных значений разности
[li (») - "] на резонансных решениях*
типа2:1 «**- 3).
решения уравнения (3.60), а значения ^'10, лежащие на "пунктирных'*
участках кривых 2тг-периодические решения этого уравнения. Особо
(жирно) выделены участки кривых, отвечающие устойчивым в первом
приближении периодическим решениям.
Случай d = 0 (см. рис. 106) соответствует чисто магнитной
стабилизации; случаи d = ± 3 (см. рис. 105,107) соответствуют предельным
возможным значениям гравитационного параметра. Наблюдается
традиционная для нелинейных уравнений картина ветвления решений при
изменении параметров. В частности,при </ = 0 количество тг-периодических
решений при любом аф нечетно: одно решение, если а, € (0; 3,8), три
решения, если а, € (3,8; 12,2), пять решений, если а# Е (12,2; 25), и т.д.
Количество "чистых** 2я«периодических решений четно и в рассматрива-
230

&*
-5
-10
10
щ
10
5
0
-5
40
*2&
V *>j?*^
"*T^ ^**
* Jr ^w^
*» r .^^^^
+ f ttf^
**ZF
* -*
• +'
1 *>*
У -
1 1 »
5 10 «#
\.
^^*%
Рис. 111. Зависимости от параметра а* начальных значений v?'i о Для периодических (с
периодами я и 2 я) решений уравнения (3.60) {d - 3).
Рис. 112. Зависимости от параметра а* начальных значений у\ 0 для периодических
решений уравнения (3.60) (d = 0).
ПА
ю
40
A am(Y>f +vj
2\-
1\-
10
Рис. ИЗ. Зависимости <р\0 от а* для периодических решений уравнения
(3.60) ((/=-3).
Рис. 114. Зависимости от а* максимальных значений суммы (<р, + v) на резонансных
типа 0 :1 решениях уравнения (3.60) (</=3).

Рис. 115. Зависимости от а* максимальных значений функции (^, + v) на
резонансных решениях типа 0 :1 уравнения (3.60) (d = 0).
Рис. 116. Зависимости от а* максимальных значений суммы (*, + v) на резонансных
решениях типа 0:1 уравнения (3.60) (d = - 3).
емой области изменяется от нуля (в окрестности а* ~ 0) до восьми
(в окрестности а* ~-15).
На рис. 108 — 110 показаны зависимости максимальных значений
am((p! -v) разности <£i (*>)-*> на исследуемых резонансных решениях
типа 2 : 1 от параметра а» при тех же, что и на рис. 105 — 107, величинах
параметра d(3,0, -3). Указанная разность характеризует отклонение
спутника от чисто резонансного вращательного движения. На устойчивых
решениях am(^! - v) имеет наименьшие значения при малых параметрах
d и а,.
В третьей главе книги было показано, что при d = - а* существует
точное устойчивое решение уравнения (3.60), соответствующее
резонансу 2 : 1 (для этого решения функция ат^ - v) = 0). Поэтому можно
ожидать малых значений функции am(^i - v) в окрестности d = — а„.
Это действительно наблюдается. На рис. 110 отмечено точное устойчивое
решение с am(^i -*>) = 0 ПРИ а* =3, а в окрестности а„ =3 видны
устойчивые решения с малыми амплитудами.
Аналогичные результаты (с аналогичными обозначениями) приведены
на рис. 111 - 116 для периодических решений уравнения (3.60),
соответствующих резонансу 0:1 (е = 0, <^10 =0). Зависимости у'ю от
параметра а# для 7г- и 2тг-периодических решений показаны на рис. Ill (d = 3),
рис. 112 (d = 0) и рис.113 (</ = -3). Зависимости am^ +i>)
-амплитуды колебаний в абсолютном пространстве от а, для тех же значений
гравитационного параметра d, как и на рис. 111 — 113, показаны
соответственно на рис. 114 — 116.
232

Из результатов третьей главы следует, что при 0<а<0,75 и d =
= -За, существует устойчивая точная ориентация спутника в
абсолютном пространстве (amfai + *>) = 0). Тогда при изменении параметра d в
окрестности соотношения d = — За, по непрерывности можно ожидать
малости функции am(v?i +p) на устойчивых периодических решениях
уравнения (3.60). Отражение этой ситуации находим на рис. 115 (d=0)
в окрестности а, ~0. Если rf = —3 (рис. 116), точное решение (am(ipi +
+ *>) = 0) существует при а* = 1, но оно неустойчиво. При уменьшении
величины параметра d кривые, показанные на рис. 116, в окрестности
точки amfai +^) = 0, аф = 1 изменяются следующим образом: точка d =
= —За,, am(</?i +р) = 0 перемещается в сторону меньших а,, а область
неустойчивости в окрестности этой точки уменьшается и исчезает при
d = — 2,25 и а„ =0,75. При дальнейшем уменьшении величины d кривые
эволюционируют к виду, показанному на рис. 115.
Таким образом, использование сформулированных в начале этого
параграфа экстремальных свойств устойчивых периодических решений
динамических систем позволяет эффективно отыскивать такие решения в
конкретных системах.

Глава 9
О РЕЗОНАНСНЫХ ВРАЩЕНИЯХ
ЕСТЕСТВЕННЫХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
В качестве объекта для проверки своей, отмеченной в предыдущей
главе гипотезы А.М. Молчанов предлагает Солнечную систему. Физические
условия в этой системе, по-видимому, не очень существенно (в смысле
их влияния на эволюцию) изменились за последние 4-5 миллиардов
лет (этими цифрами оценивается возраст земной коры). Поэтому- близкая
к известной сейчас динамическая модель Солнечной системы имела
достаточно времени для эволюции.
За последние 10-15 лет наши представления о движении многих
естественных тел Солнечной системы коренным образом изменились. В 1968 г.
А.М. Молчанов опубликовал [218] таблицы, показывающие, что
орбитальные движения планет вокруг Солнца, а также орбитальные движения
спутников больших планет являются резонансными (либо очень близки к
резонансным). Под резонансностью понимается достаточно точное
выполнение соотношения
2"i"o/ = 0. (9.1)
Здесь И/ - числа натурального ряда, со0/ - средняя угловая скорость
обращения /-и планеты (либо /-го спутника), г - номер планеты (либо
спутника).
Основное возражение против выдвинутой гипотезы о полной резонанс-
ности орбитальных движений в Солнечной системе базируется на том,
что, как известно, отношение любых иррациональных чисел всегда
можно аппроксимировать отношением специально выбранных рациональных,
причем точность аппроксимации может быть сколь угодно высокой.
Поскольку же угловые скорости обращения планет и их спутников известны
только приближенно, то всегда найдется бесконечное число достаточно
больших чисел nh которые с заданной точностью обратят в нуль
выражения (9.1). Это означает, что при измерении частот колебательной
системы с погрешностями, вообще говоря, нельзя провести четкой границы
между резонансной и нерезонансной ситуациями. Единственным
разумным условием для отделения резонансной системы от нерезонансной
является, по-видимому, требование достаточной малости чисел щ в
формуле (9.1), так как принято считать несущественными резонансы
высоких порядков (когда числа «/взаимно просты и велики). С этой точки
зрения гипотеза о резонансной структуре Солнечной системы
правдоподобна. Почти все натуральные числа щ в таблицах Молчанова малы.
Рассмотрим теперь современные [213, 119] данные о вращательных
движениях некоторых тел Солнечной системы. Хорошо известно, что
234

Луна в среднем обращена одной стороной на Землю, т.е. средняя скорость
ее обращения равна средней скорости вращения (синхронизм 1 :1).
В течение почти ста лет с 1889 г. (после наблюдений Скиапарелли)
считалось, что Меркурий также вращается в синхронизме 1:1с периодом
88 суток. Эти данные были неоднократно подтверждены, и уверенность
в их правильности была столь сильной, что когда в 1960 г. было
обнаружено, что перепад температур между освещенной Солнцем и
неосвещенной сторонами Меркурия не соответствует общепринятой модели его
вращения, для спасения этой модели была даже выдвинута гипотеза о
перераспределении тепла через аргонную атмосферу Меркурия [213].
Проведенная в 1965 г. радиолокация Меркурия показала, что период его
вращения равен 59 суткам.. Д. Коломбо обратил внимание на то, что новый
период вращения Меркурия составляет 2/3 от периода его обращения.
Было обнаружено, что наблюдения Скиапарелли допускают
неоднозначную трактовку и период вращения в 59 суток следует из этих
наблюдений с высокой точностью. Таким образом, Меркурий за два оборота по
орбите делает три оборота вокруг своей оси или находится в синхронизме 3:2.
Остановимся на возможных интерпретациях вращения Венеры.
Известно, что центры масс Венеры и Земли перемещаются вокруг Солнца
по орбитам, близким к круговым. Период обращения Венеры 224,7 суток.
По истечении 584 суток происходит так называемое соединение Венеры
и Земли, т.е. возникает ситуация, при которой обе планеты располагаются
на одной прямой с Солнцем (по одну сторону от Солнца). В 1962 г. было
обнаружено медленное обратное вращение Венеры вокруг своей оси
(Венера вращается в сторону, противоположную направлению ее обращения).
Рис. 117. К интерпретации вращения
Венеры.
Радиолокация Венеры, проведенная советскими и американскими^ учеными,
показала, что период ее вращения близок к 243 суткам. Если принять для
периода вращения 243,16 суток, то одна и та же ось Венеры будет
направлена к Земле в каждом их соединении. Будем вести отсчет углов от
положения соединения. На рис. 117 цифрой / обозначена орбита Венеры,
цифрой 2 - орбита Земли, \ps - угол между радиусами-векторами центров
масс Венеры и Земли, <^6 - угол между радиусом-вектором центра масс
Венеры и некоторой осью Венеры, лежащей в плоскости ее орбиты,
стрелки показывают направление перемещения Венеры и Земли по их
орбитам. Вращение Венеры в нашу эпоху обычно описывается следующим
образом [213]:
— =5—= 5(woB-wo3), w°p=5wo3 -4cooB. (9.2)
235

Здесь сооВ и соо3 - средние угловые скорости обращения Венеры и Земли
соответственно, со§р - средняя угловая скорость вращения Венеры. При
таком описании вращение Венеры оказывается синхронизированным не
только с ее орбитальным движением, но и с орбитальным движением
Земли.
Вращение Венеры, однако, достаточно хорошо [185] описывается и
отличным от приведенного выражением
2с0вР = 2woB - Зооокь (9-2а)
где со0ю — средняя скорость обращения Юпитера.
В силу (9.2а) вращательное движение Венеры оказывается
синхронизированным с орбитальным движением Юпитера.
Что касается других планет Солнечной системы, то они вращаются
слишком быстро, чтобы можно было говорить о синхронизации
вращательного движения с их медленным движением по орбите (резонансы
невысокого порядка отсутствуют). Однако скорости вращения планет не
остаются постоянными. Например, в 1966 г. американский ученый Р.Уэллс
установил, что 350 миллионов лет назад в году было 400 суток, а
продолжительность суток равнялась 21,9 часа. Это выявилось при анализе
структуры коралловых рифов, так как обнаружено, что ежесуточно в этой
структуре образуется одна складка [213].
Установлено, что все естественные спутники планет, периоды вращения
которых известны, вращаются подобно Луне в резонансе 1:1. Так
вращаются спутники Юпитера: Но, Европа, Каллисто, спутник Сатурна Япет.
Как показала обработка информации, полученной с "Маринер-9",
вышедшего в окрестность Марса в ноябре 1971 г., в резонансе 1 : 1 вращаются и
оба спутника Марса [207].
Приведенные данные о вращательном движении ряда небесных тел
порождают следующие вопросы: в какой период эволюции сформировались
наблюдаемые синхронизмы; чем объясняется исключительность в
Солнечной системе синхронизмов типа 1:1 и 3: 2; могут ли в будущем у
каких-либо естественных тел сформироваться синхронизмы, отличные от
отмеченных; является ли вращение Венеры существенно резонансным
(т.е. захвачена ли она в резонанс и имеет ли, следовательно,
квазистационарную угловую скорость) или ее угловая скорость непрерывно
изменяется, а используемые для описания вращения Венеры резонансные
соотношения — лишь удобные формулы, связывающие между собой
существующие в настоящее время угловые скорости? Обсуждению
принципиальных сторон сформулированных вопросов и анализу влияния на их
решение магнитных моментов посвящена данная глава.
Очевидно, основную роль в происходившей эволюции динамических
характеристик больших тел Солнечной системы, по крайней мере спустя
некоторое время после зарождения их прообразов, стали играть
гравитационные и приливные моменты. Определенное влияние на движение тел,
которые имели магнитный момент, могли оказывать и силы магнитной
природы.
В этой главе основное внимание будет уделено анализу эволюции
вращательного движения естественных небесных тел под действием
гравитационных, магнитных и приливных моментов. При этом влияние гравита-
236

ционного момента со стороны центрального тела будем описывать
силовой функцией (7.16), а влияние магнитного момента — силовой
функцией (7.9).
§ 1 ♦ Момент приливного трения и его воздействие
на вращение небесных тел
По-видимому, одним из основных факторов, определяющих эволюцию
вращательного движения ближайших к Солнцу планет и близких
спутников больших планет, является так называемое приливное трение [65].
Известно, что если скорость вращения спутника 1 (рис. 118) отлична от
скорости его обращения вокруг притягивающего центра 2, то поверхность
спутника деформируется с образованием приливных горбов 3. Ось
симметрии горбов отклоняется от направления радиуса-вектора R центра масс
спутника на угол 7, зависящий от модуля вектора (со-со О (здесь со-
абсолютная скорость вращения спутника, а сог - угловая скорость его
обращения по орбите). Отклонение оси симметрии происходит в
сторону вращения спутника, если его скорость вращения превосходит скорость
обращения, либо в противном случае — в противоположную сторону. При
фиксированной скорости вращения тела угол у можно задать [215],
вводя так называемое приливное число (?, а именно igly = 1IQ.
Перемещение приливных горбов в небесном теле, вообще говоря,
приводит к перераспределению его массы и, следовательно, к некоторому
изменению его моментов инерции. Однако для большинства небесных
тел эти изменения пренебрежимо малы.
Притяжение приливных горбов притягивающим центром создает
момент сил, который стремится уменьшить скорость вращения спутника,
если она больше орбитальной, либо увеличить ее в противоположном
случае. Заметим, что приливные деформации достаточно велики. Например,
влияние Луны приводит к подъему земной коры Примерно на полметра
[130].
Рис. 118. К обоснованию
возникновения приливного момента.
Существует несколько способов описания приливного момента [65,
213, 34]. Д. Дарвин задает приливный момент в виде бесконечного ряда.
Согласно Г. Макдональду, масса приливных горбов обратно
пропорциональна Л3, а приливный момент лежит в плоскости, ортогональной к
плоскости, образованной векторами R и (со - coj) X R. Тогда для приливного
момента, действующего на спутник, можно получить следующее
выражение:
М=7"6 {[епХел]Хея) sin27. (9.3)
237

Здесь еп - орт вектора (c3-c3i), постоянный коэффциент 1\ =
= 1,5/2//я2/*«, причем постоянный коэффициент /2 зависит от упругих
свойств спутника, / - универсальная гравитационная постоянная, Rm —
средний радиус спутника, т- масса, сосредоточенная в притягивающем
центре.
Угол 7, вообще говоря, увеличивается с увеличением величины
разности (со — c3i). Точный вид этой зависимости, однако, неизвестен. Если
принять линейную зависимость 2\у\ = /3 |сЗ - <2Х |, то для приливного
момента (9.3), согласно работе [34], получим выражение
М =Гб {№ - "i)X еЛ] X еЛ } . (9.4)
R
Здесь б г- постоянный коэффициент (б = 1Х /3).
Достаточно простую формулу (9.4), правильно отражающую основные
свойства приливного момента, будем использовать в дальнейшем
анализе. Для выяснения роли приливного трения в вековой эволюции
вращательного движения естественных небесных тел исследуем сначала
динамику их вращения при наличии только приливного момента в форме
(9.4). Такая задача рассматривалась, например, в работах [20, 34, 176,
181, 185, 206]. Центральный эллипсоид инерции большинства
естественных небесных тел близок к сфере. Считая вращательное движение
небесного тела нерезонансным ротационным и пренебрегая эволюцией его
эллиптической орбиты, можно, используя систему дифференциальных
уравнений (7.1), получить следующую систему эволюционных уравнений
(правые части системы (7.1) с моментом (9.4) усреднены независимо по
быстрым переменным: ф и средней аномалии тела):
dp 8 ( . ,,„ Г/sin2^
— = —— ship -2со0», +0 -e2?'2L (—-£- +
dt 2Lp\ l |Л А
cos2</A , cos2tfl 1
+ Jsinz# + cosp(y2 +U3Cos2a)| ,
do б , , ,Л Г/sinV cos</>\ _ "cos2#1
— = r(l ^<?2)3/2u3sin2a ( - + |sin2tf + ,
dt 2p\K [\ А В ) С У
dL Ь [ , .„ Г / sin2P\
— =—J viuocosp -(1 -e2)3nL\ v2ll - -~\ -
^3 , If/sinV cos2«p\ „ cos2#l]
— sin2pcos2o ( + —Isin2* + | , (9.5)
d# /1 1\ 5 /sin2*
— = Z,sin#sin<z>cos</>( — - — J +——sin#cos<>| —
dt * *\A Bl 4p$ \ A
c.2
+
+ 1(1 -<?2)3/2[(-3+cos2p)t>2 -y3sin2pcos2aJ,
В CI
238

d\p /1 sin2<0 cos2«p\ 6sin^cos<p
dt \C А В ) 4pJ
xl J(i -e2)3/2[(-3 + cos2p)u2 - u3sin2pcos2a].
Здесь введены обозначения
15 , 45 л 5 * , 2 3 4 3 1 ^
У! = 1 + —e2 + — e4 + —e6, u2 = 1 + 3e2 + — e4, u3 =— e* + — .
2 8 16 8 2 4
(9.6)
Система (9.5) - (9.6) представляет собой весьма сложную систему
нелинейных уравнений. Отметим некоторые из положений равновесия этой
системы, выделенные в работе [198]:
Я ViG)0B
р = 0, * = 0(тг), *»-, а = 0(я), £ = — —- , (9.7)
2 ^2\1 "" ^ /
Я/3 \ 7Г Ui6J(w4
,=о, *~2(-.). .-у. -ад. f^TTF • <М>
Я Я/3 \ Vi(O0A
р-0. „-0М, *-т. а = -(Г| ^%2(1_g2)3/2 . (9-9)
я /3 \ я эт/3 \ u,cj0i4
Рассмотрение системы уравнений в вариациях для решений (9.7) — (9.10)
показывает, что стационарные вращения (9.9) — (9.10) неустойчивы.
Необходимые условия устойчивости решений (9.7) сводятся к
неравенствам В>С,В>А, а решений (9.8) - к неравенствам А>В,А>С.
Очевидно, что решения (9.7) — (9.10) соответствуют вращениям тела
вокруг его главных центральных осей инерции.
Из системы (9.5) следует, что
lim 0(0 = 000. (9.11)
f—*■ о©
Для выявления качественного характера эволюции вращательного
движения тела под действием приливного момента требуется прежде всего
установить, как изменяются с течением времени переменные L и р.
Правые части системы (9.5) содержат, с одной стороны, члены,
пропорциональные параметру 5, а с другой стороны, - члены, пропорциональные
произведению этого параметра на разности обратных величин главных
центральных моментов инерции небесного тела. Для тела, центральный
эллипсоид инерции которого близок к сфере, вторые из указанных
членов много меньше первых. Если же в правых частях первых трех
уравнений системы (9.5) сохранить только главные по порядку величин члены,
239

то получим следующую замкнутую систему уравнении:
dp clq Г 1 1
— = — sinp -Vx + —(1 -e2)3/2fo0>2 +«3COs2a)cospl,
dt £o L 2 J
—- = ao! ^icosp (1 -e2)3/2t0[2v2 -(v2 + y3cos2a)sin2p] 1 , (9.12)
dt [ 2 J
da a0v3 , ,„
— =--^(l _e2)3/2sin2a.
rf/ 2
Здесь f0 =Ь1А<а>0, a0=S/i4pt-
Исследование системы (9.12) позволяет проанализировать поведение
кривых to(p) на плоскости (?0,Р)- На этой плоскости в силу первых двух
уравнений системы (9.12) существует единственная стационарная точка
с координатами
Р = 0, Го=Гоо=»1М1-*)3/2. (9.13)
Эта точка соответствует обращению в нуль среднего приливного момента
[212, 34]. Таким образом, параметр ?0о (а следовательно, и предельная
угловая скорость тела) существенно зависит от эксцентриситета орбиты е.
График зависимости £0о(*)в соответствии с (9.13) построен на рис. 119.
Производная dp/dtB силу системы (9.12) обращается в нуль, если
2vx
р = 0,7г, cosp = Г-Т75 • (9.14)
' " (l-e2)3/2?0(u2+y3cos2a)
Производная d^Q/dt равна нулю, если
2чЗ/2> 2"2 -sin2p(u2 + u3cos2a)
cosp=(l - е2)3/2?о - . (9.15)
2vi
Производные dp/dt (в соответствии с (9.14)) ndj;0ldt (в соответствии с
(9.15)) могут принимать нулевые значения в некоторых зонах на
плоскости (to, Р)» которые, как легко показать, не имеют общих точек (эти зоны
заштрихованы на рис. 120). Вне указанных зон обе переменные р и ?0
изменяются монотонно, а внутри каждой из них монотонно изменяется
хотя бы одна из переменных р или £0> и поэтому траектории ?0(р) уходят
с течением времени из заштрихованных зон. Эти зоны имеют ширину
порядка квадрата эксцентриситета орбиты спутника (напомним, что для
большинства естественных спутников эксцентриситет орбиты очень мал).
Качественная картина поведения траекторий ?0(Р) системы (9.12)
представлена на рис. 120 (по определению: ?0 >0, 0<р<п). Все
траектории асимптотически приближаются к стационарной точке (9.13). Если
эксцентриситет орбиты спутника равен нулю, то средняя скорость его
вращения в стационарной точке равна средней угловой скорости его
обращения (резонанс 1:1); если же е^0,3, то средняя скорость вращения
спутника в стационарной точке в 1,5 раза больше средней угловой скорости
его обращения (резонанс типа 3 : 2). И вообще, для каждого значения
числа К из формулы (8.5) можно подобрать соответствующее значение е
240

0,2 o%u 0,6 ae e
9 p
Рис. 119. К определению зависимости предельной угловой скорости вращения
спутника от эксцентриситета его орбиты.
Рис. 120. Эволюция вращательного движения небесного тела под действием
приливного момента.
так, чтобы предельное вращение спутника было резонансным. Можно
показать [34, 212J, что для других моделей приливного момента скорость
вращения спутника в стационарной точке также зависит от эксцентриситета
орбиты спутника, увеличиваясь при его увеличении, хотя характер этой
зависимости, разумеется, отличается от вида, заданного формулой (9.13).
Интересно [176], что если в начальный момент времени угол между
вектором кинетического момента спутника и нормалью к его орбите
острый, а начальная скорость вращения соответствует точке плоскости
(?о> Р)> лежащей выше кривой (9.14) (в далеком прошлом вращение
многих естественных небесных тел, по-видимому, удовлетворяло этим
условиям), то угол р в процессе эволюции будет сначала увеличиваться,
а лишь затем начнет уменьшаться до значения, близкого к нулю,
наблюдаемого сейчас у большинства небесных тел, скорость вращения которых
сравнима с угловой скоростью их обращения. Сделаем некоторые
количественные оценки. Если в системе (9.12) осуществить [206] замену
переменных
Геи =?ocosp,
?02 =-?osinpcosa,
то эта система примет вид
dfoi
?оз =-?0sinpsina,
(9.16)
dt
«о
i=a0[y, -y2(l-e2)3/2foi],
«оз
<*о_
2
<*о
-2=~ — 0-*2)3/:Ч02(»2-»з),
dt 2
(9.17)
(1-*2)3/2Гоз(и2+»з)-
dt 2
Система (9.17) легко интегрируется, поскольку это система линейных
16. А.В. Белецкий 241

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Получаем
--1--ьг(1 *-е2)3'2
?oi=[ttoi)o-?oo]e' We +foo,
f02=tf02)0* 2W°
(1 _„*)3/2(i>2 -u3)
(9.18)
<l-*a)3/2<i>i+w,)
Гоз=«оз)<>е 2w«
Здесь (fol')0, (?ог)о и(?0з)о - начальные значения соответствующих
неременных, М — по-прежнему средняя аномалия спутника.
В случае круговой орбиты спутника два первых уравнения системы
(9.12) не содержат переменной о. Эта система имеет интегралы о = const и
foSin2p
= const. (9.19)
f о cosp -1
Она может быть проинтегрирована с помощью замены (9.16), где а = 0.
При больших значениях f0 угол р вдоль кривых f0(P) на рис. 120
изменяется гораздо медленнее, чем величина f0. На круговой орбите изменение
скорости вращения спутника, когда она значительно превосходит скорость
его обращения (?0 существенно больше единицы), на ограниченном
интервале времени можно приближенно описать следующим образом [176]:
2cosp0 fru ч 2cosp I f a0(l+cos2p0)A/
[2 cosp I Г
(fo)o-— г схр -
1 + cos2poj [
1 + cos2p0 [ 1 + cos2Poj [ 2co0 J
Здесь (f0)o и Ро — начальные значения соответствующих переменных.
Отсюда следует, что, когда величина а0М(\ +cos2p0)/2co0 изменяется
на единицу, скорость вращения спутника уменьшается примерно в 2,7 раза.
Итак, скорость эволюции вращательного движения спутника определяется
параметром а0/со0»что следует также и из выражений (9.18).
Если предположить, что угловые скорости перечисленных ниже небесных
тел в десять раз превосходят существующие и направлены так же, как
существующие, число Q принять равным 100 [76], то для уменьшения в
2,7 раза угловой скорости вращения этих тел при существующих в нашу
эпоху условиях потребуется: для Луны (а0/о;о % 7 • 10"8) примерно восемь
миллионов лет; для Меркурия (а0/<о0 ** 0,6 • 10"1 °) примерно 650
миллионов лет: для Венеры (а0/со0 * 10"10) около одного миллиарда лет; для
спутников Юпитера (с учетом приливного воздействия.только со стороны
Юпитера): Ио (<х0/со0 ^3,5 • 10"6)примерно 220 лет, Каллисто (а0/со0 *
^ 6,6 • 10"8) примерно сто тысяч лет.
Очевидно, что эволюция вращения спутников больших планет
происходит гораздо быстрее, чем, например, Меркурия и Венеры (этим фактом,
по-видимому, объясняется вращение в резонансе 1 : 1 всех спутников с
близкими к круговым орбитами, параметры вращения которых хорошо
известны). Напротив, приливное влияние Солнца в современную эпоху
слабо сказывается на вращении Земли и внешних планет. Например, для
242

уменьшения в 2,7 раза существующей угловой скорости Марса при учете
приливного воздействия со стороны Солнца (а0/<о0 ^ 1,65 • 10"1 э)
потребуется примерно пять миллиардов лет. Однако, если принять модель
образования Солнечной системы из протопланетного облака, развитую в работе
[79], то можно предположить, что в далеком прошлом приливное
воздействие Солнца на вращение планет могло быть гораздо более заметным. Как
следует из формулы (9.3), приливный момент пропорционален пятой
степени среднего радиуса небесного тела и, следовательно, параметр а0
пропорционален кубу среднего радиуса. Согласно [79], размеры протопла-
нет могли быть очень велики (например, размеры Протовенеры могли быть
порядка 6 • 105 км), и поэтому их приливная эволюция могла проходить
на несколько порядков быстрее, чем в настоящее время. Иными словами,
приливная эволюция вращений планет была наиболее сильной в эпоху их
формирования.
Если тело динамически симметрично (А = В), то характер его финальных
вращений под действием приливного момента можно исследовать [34]
более подробно непосредственно из системы (9.5). Первые четыре
уравнения этой системы замкнуты, а последнее из них можно не рассматривать
для динамически симметричного тела. Из третьего уравнения системы (9.5)
с учетом (9.11) имеем, принимая, что Л > С,
lim #(/) = — • (9-20)
г-* °о 2
Тогда в силу (9.11) и (9.20) изменение переменных р и L в пределе будет
определяться первыми двумя уравнениями системы (9.12), где следует
считать, что cos2а = 1. Интегральные кривые ?0(р) будут качественно
соответствовать кривым, показанным на рис. 120 (зоны, заштрихованные
на рис. 120, в этом частном случае исчезают). Таким образом, под
действием приливного момента динамически симметричное тело стремится к
вращению вокруг наименьшей оси его центрального эллипсоида инерции,
а сама эта ось стремится совпасть с нормалью к орбите тела. Отметим,что,
если А < С, то lim #(г) = 0(тг) и предельное вращение спутника снова
г-* °°
происходит вокруг наименьшей оси его центрального эллипсоида инерции
(на этот раз вокруг оси z), которая совпадает с нормалью к орбите
спутника.
Многие планеты в Солнечной системе имеют естественные спутники,
другие, вообще говоря, могли иметь их в прошлом. При определенных
условиях (достаточная близость орбиты спутника к поверхности
центрального тела, либо большая масса спутника) приливный момент, создаваемый
на планете спутником, может быть сравним с приливным моментом,
возникающим за счет воздействия Солнца на планету, либо даже превышать его.
Например, приливный момент, создаваемый Луной на Земле, заметно
превосходит соответствующий момент от Солнца. Поэтому для
завершения описания эволюции вращательного движения тела под действием
приливного момента следует рассмотреть еще взаимодействие приливного
момента от центрального тела и спутника. Этому вопросу посвящена работа
[181] и, отчасти, работа [176]. Итак, предположим, что вокруг точечного
притягивающего центра движется по кеплеровскому эллипсу планета,
16* 243

умеющая точечный спутник, орбита которого лежит в одной плоскости
с орбитой планеты относительно притягивающего центра (например,
притягивающий центр — Солнце и обе орбиты расположены в плоскости
эклиптики). Обозначим через R=pJ(\ +ecos*0H/*« =Pi*/(l +<?,cosi>J
соответственно ридиус-вектор центра масс планеты относительно
притягивающего центра и спутника относительно центра масс планеты: р+ и Р1+,ек
eM9v и vm — соответственно параметры, эксцентриситеты и истинные
аномалии орбит планеты и спутника. Будем учитывать воздействие на
вращение планеты только приливных моментов в виде (9.4) со стороны
притягивающего центра и спутника планеты соответственно. Будем считать
также, что центральный эллипсоид инерции планеты близок к сфере. Тогда
в системе (7.1) будут три быстрые переменные: углы \[/,vvi v*. Усредняя
правые части системы (7.1) независимо по переменной ф и средним
аномалиям планеты и спутника и пренебрегая эволюцией орбит, получим систему
эволюционных уравнений, описывающих вращение планеты под действием
указанных приливных моментов. Сохраняя в приливных моментах только
главные (по порядку малости) члены, будем иметь
dp sinp ( f0 ]
— = { - Ai +— cosp[A2 + A3cos2a + A3#cos2(a + A<l)H ,
dt f0 l 2 J
(9.21)
—- = Ajcosp (2A2 -sin2p[A2 + A3cos2a + A3l|tcos2(a + A J]} .
Л 2
Уравнение для переменной o(t) не выписано. Здесь Д4 - угол между
направлением из притягивающего центра на перицентр орбиты планеты и
направлением из центра масс планеты на перицентр орбиты ее спутника,
дух(е) со0, MiOO A 5i;2(g) S,u2(Q ^ ^
д =—— + г—, А2 =—— + -— >0,
Ар\ wo Ар\% % Ар\ Ар\*
А 5^з(^) А Мз(е,)
Apt Ap\.
о>0 - по-прежнему средняя угловая скорость обращения планеты, со0 * —
средняя угловая скорость обращения спутника планеты, 8 # — постоянный
коэффициент в формуле (9.4) для приливного момента, создаваемого
спутником,Vi(e)yv2(e),v3(e) и МО, МО, уз(0 -функции (9.6) после
подстановки в их выражения соответственно эксцентриситета орбиты
планеты и спутника.
Из физических соображений следует, что |co0*/w0 I > 1. Если спутник
обращается около планеты в сторону, противоположную направлению
обращения планеты около притягивающего центра (обратный спутник), то
угловую скорость <о0* будем считать отрицательной. Система (9.21) имеет
в общем случае одну из следующих двух стационарных точек,
соответствующих той скорости вращения планеты, при которой действующий на нее
суммарный приливный момент в среднем равен нулю:
Р = 0, fo=foo=A1/A2, A!>0; (9.22) *
Р = я, fo=foo = -Ai/A2, Д,<0. (9.23)
244

О vr/2 ir р О п/2 тг /9
Рис. 121. Приливная эволюция вращения планеты, имеющей спутник (случай Д, < 0).
Рис. 122. Приливная эволюция вращения планеты, имеющей спутник (случай Ах = 0).
Легко видеть, что стационарная точка (9.23) может существовать только
у планеты, имеющей обратный спутник. Интегральные кривые f0(P)
системы (9.21) проще всего построить, если пренебречь квадратами
эксцентриситетов е н£ф. В случае &t >0характер этих кривых качественно снова
описывается рис. 120 (координаты стационарной точки определяются
выражениями (9.22)). Если А, <0, кривые ?0(Р)показаны на рис. 121.
Предельный случай Ах = 0 представлен на рис. 122. Здесь имеется
единственная асимптотически устойчивая стационарная точка f00 = 0, р = 7г/2, а
поведение интегральных кривых определяется интегралом fо tg3psin2p = const.
При произвольных эксцентриситетах общий характер поведения
интегральных кривых fо (р) сохраняется (любая из них стремится к
стационарной точке), хотя, если Ai Ф09 монотонность изменения переменных р
(в верхней из зон, показанных пунктиром на рис. 120, 121) и f 0 (в нижней
из этих зон) может нарушаться. Однако, как и для системы (9.12),
размеры указанных зон малы (имеют ширину порядка квадрата наибольшего
из эксцентриситетов), зоны не имеют общих точек, а следовательно, новых
(отличных от (9.22) и (9.23)) стационарных точек у системы (9.21)
появиться не может. Характер кривых ?0(Р)> показанных на рис. 122 для
случая Aj = 0, остается качественно неизменным при произвольных
эксцентриситетах.
Очевидно, что при наличии прямого спутника скорость вращения
планеты, при которой средний приливный момент обращается в нуль, больше, чем
в его отсутствие, а при наличии обратного спутника эта скорость
соответственно меньше. Обратный спутник может стабилизировать обратное вращение
планеты (рис. 121). Заметим, что в Солнечной системе обратные спутники
встречаются довольно часто. Их имеют, например, Юпитер, Сатурн и Уран.
§ 2. Эволюция вращения небесного тела
под действием гравитационного и приливного моментов
В предыдущем параграфе выявлены основные свойства приливного
момента. Вращательное движение многих небесных тел, по-видимому,
в основном определялось действующими на них со стороны
притягивающего центра гравитационным и приливным моментами. Предполагая, что
245

характерный размер тела много меньше размеров его орбиты, будем
считать, что воздействие гравитационного момента на тело можно описать
силовой функцией (7.16). Будем считать также, что центральный эллипсоид
инерции тела близок к сфере, его начальная угловая скорость достаточно
велика (хотя бы одного порядка со скоростью обращения со0) и выполнено
соотношение
со0 ^ шах
1\U\ J_\
\ L ' Ар\ У
Указанные условия выполнены для большинства крупных тел Солнечной
системы. Вращение тела можно описать системой уравнений (7.1) — (7.2),
в которой переменные ф и v будут быстрыми. Наличие гравитационного
момента с силовой функцией ^7.16) приводит к возможности
возникновения синхронизмов между вращательным и орбитальным движениями тела.
Эти синхронизмы описываются формулой (8.5). В частности, если число К
в формуле (8.5) равно двум, получаем синхронизм 1 : 1 (тело вращается
подобно Луне), а если К равно трем - синхронизм 3 : 2 (тело вращается
подобно Меркурию).
Особое место режимов синхронизации в динамических системах
определяется известным фактором перекачки энергии между степенями свободы
резонансной системы [52, 29, 164, 176]. В частности, вращение тела в
окрестности режимов синхронизации (в так называемых резонансных
зонах) может сопровождаться перекачкой энергии с вращательного на
орбитальное движение. Эффект такой перекачки энергии, однако, мало
сказывается на параметрах орбиты, поскольку энергия орбитального
движения обычно существенно превосходит энергию вращательного.
Возможна поэтому определенного рода резонансная устойчивость
вращательного движения тела.
Правые части системы уравнений, описывающей вращательное движение
небесного тела под действием гравитационного и приливного моментов,
содержат следующие независимые малые параметры: параметр е[ею~
= (В -А)/А, е2о = (А - С)/А], отражающий влияние гравитационного
момента, ие = d/Apicoo, отражающий влияние приливного трения. Как
известно, в настоящее время приливные моменты, действующие на планеты и
спутники, значительно меньше гравитационных. В частности, используя
данные работы [215], отношение величин гравитационного и приливного
моментов, действующих на Луну со стороны Земли, можно оценить как
104. Однако в далеком прошлом положение могло быть совсем иным.
Как отмечалось в предыдущем параграфе, протопланеты могли иметь
характерные размеры, на несколько порядков большие, чем имеют планеты
в настоящее время. Отношение же eje, как легко показать,
пропорционально кубу характерного размера небесного тела. Поэтому в прошлом это
отношение могло быть даже много большим единицы. Процесс сжатия прото-
планет привел к современному состоянию, когда б/е < 1 . Таким образом,
история эволюции вращательного движения ряда больших тел Солнечной
системы, испытавших на себе существенное влияние приливного трения
(Луна, Меркурий, близкие спутники планет), может быть разделена [185]
на ряд периодов, соответствующих различным величинам отношения
246

(9.24)
€"/€: в начальном периоде эволюции это отношеже, вероятно, превосходило
единицу, в конечном - существенно меньше единицы.
Провести строгий анализ вращательного движения небесного тела с
учетом основных возмущающих моментов и эволюции орбиты в настоящее
время не представляется возможным. Для приближенного анализа можно
использовать то обстоятельство, что без учета приливного момента и
эволюции орбиты система (7.1) может быть записана в гамильтоновой форме.
Основываясь на теореме Колмогорова — Арнольда о сохранении торов
условно-периодических движений гамильтоновых систем [6, 7] и
асимптотических методах, будем исследовать эволюцию вращательного движения
небесного тела при взаимодействии гравитационного и приливного
моментов. Такой подход к указанной задаче использовался в работах [176-178].
Канонически сопряженными, согласно [19,155,156], будут следующие
пары переменных:
(Ь,ф), (L cos p=Pi, а),
(L cos d = р2, <р).
Функция Гамильтона имеет вид
1 Г р\ -» л / sin2ip cos2^ \\
Правые части уравнений Гамильтона с функцией (9.25) содержат среднюю
аномалию тела, но только в членах, пропорциональных малому параметру
6 (в функции Н от Л/зависит лишь силовая функция U).
Характерные особенности эволюции вращательного движения тела
можно обнаружить, рассматривая вращение динамически симметричного тела
(А = В), центр масс которого перемещается по круговой орбите. В этом
случае гамильтониан системы (9.24) - (9.25) можно записать следующим
образом:
#=y[-^+(I2-p?)j]+Y "§(<:-Л)(7з)2. (9.26)
Здесь 7з — косинус угла между осью г тела и радиусом-вектором его
орбиты, выраженный в канонических переменных:
7з
Рг I 1рГ I Pi I P\ \
- — yj\ _ —_ cos5 + у/1 I — Cos5 sinф + sin S cos ф\,
L* Li , Li \ Li J
S = о - v.
Канонические уравнения с гамильтонианом (9.26) примут вид
dL
~dt '
d\p
dl~ '
ЪН
ЪН
' ~ъТ '
dpx _ ЪН dp0 _ ЪН
dt Ъо dt Ъ<р
da _ ЪН dy ЪН
dt Ърх ' dt Ър2
(9.27)
Очевидно, что координата ^-циклическая, в силу чего соответствующий ей
импульс р2 постоянен. Это позволяет, понизив порядок системы (9.27) на
247

две единицы, привести ее к системе четвертого порядка
dL ЪН dpj ЪН d±_bH_ dS _ ЪН
~dt ~~ Ътр ' dt bS ' dt ~ Ы ' dt~ Ьрх
с гамильтонианом
(9.28)
Я = —- -w0p, +—vl(C-A)yl.
/.si. 2»
(9.29)
Если угловая скорость прецессии спутника (L/A) имеет одинаковый
порядок со средней скоростью обращения оо0, то в невозмущенном вращении
(А-С) фазовые траектории системы (9.28) лежат на двумерном торе
(L0,L0 cospo). Величины!0 и р0 постоянны. Согласно теореме
Колмогорова - Арнольда [6, 7], при выполнении условия
э*я
Ы1
Э2Я0
ЫЪрх
ЭЯо
Э2Я0
dLdpi
Э2Я0
Эр?
_Э«о_
эя0
31
эя0
Эр,
п
ы
*Рх
^0
(9.30)
и достаточно малых возмущениях переменные действия, определяемые из
уравнений (9.28), будут вечно близки к своим невозмущенным значениям.
Здесь#0 = L2/2A — o>0Pi. Выполнение условия (9.30) очевидно.
Итак, переменные L и р при учете только малых консервативных
возмущений на неограниченном интервале времени остаются близкими к
постоянным значениям, причем это имеет место при любых соотношениях между
величинами L/A и о)0 (для случая, когда LIA>a>0y этот факт был
установлен в работе [33]). Теперь очевидно, что вековое изменение
переменных L и р может происходить только за счет влияния приливных моментов,
изучавшихся в предыдущем параграфе. Это вековое изменение в
нерезонансной ситуации можно приближенно описать следующей системой
уравнений (получающейся из системы (9.12) при е - 0):
dp
dt
во
Го
sinp(-l +
Го
cosp
cos р — — (1 + cos2p)
(9.31)
Благодаря наличию интеграла (9.19) интегральные кривые f0(p) легко
построить. На рис. 123 приведено семейство интегральных кривых системы
(9.31) согласно работе [20]. Ниже прямой f 0 = 1 на оси ординат отложены
значения переменной f0, а выше этой прямой - значения l/f0. На рис. 123
отмечены также современные положения Земли,4 Венеры и Урана.
Аналогичную аналитическую процедуру, хотя и с меньшей степенью
строгости, можно использовать [176] и для анализа вековой эволюции
вращательного движения тела в общем случае. Функцию Гамильтона (9.25)
248

можно представить в виде
Я = Я0(Р, cft + eH&q.M) + €2Я2(Р, £М) + ...
... = Я0(?,-5)+Я(Л£М).
Здесь Р i\q — векторы обобщенных импульсов и обобщенных координат
соответственно.
Система нулевого приближения (А = в ~ О легко интегрируется. В этом
приближении ф-LtjA +s (s — произвольная постоянная), а остальные
канонические переменные остаются постоянными. Тогда в возмущенном
вращении (АФВ ФСФА) имеем
dL _ ЪН dpx _ ЪН dp2 _ ЪН
dt bs dt Ъо ' dt Ъ$ '
~« ~ ~ (9 32)
d^_bfi_ da ЪН_ <hp_ ЪН
dt Ы ' dt Ьрх ' dt Ър2
В системе (9.32) все переменные являются медленными. Для такой
системы известен [44] метод замены переменных, сохраняющий гамильтонову
форму усредненных уравнений. В частности, чтобы.получить члены
порядка б в правых частях усредненной системы, достаточно просто усреднить
функцию Нг по времени^ (разумеется, с учетом выражения для угла \р в
нулевом приближении).
Предположим, что мы нашли функцию Гамильтона усредненной системы
уравнений, соответствующей системе (9.32), в виде
ic=eJC1+e2M,2+...
Тогда гамильтониан усредненной системы, соответствующей гамильтоновой
Рис. 123. К исследованию вековой эволюции вращательного движения динамически
симметричного кругового спутника под действием гравитационного и приливного
моментов. Цифры, нанесенные на кривых, показывают значения постоянной в
интеграле (9.19), соответствующие эаим кривым.
249

системе с гамильтонианом (9.25), запишется следующим образом:
ЗС = #0 +eXi + е2ЗСг + ... (9.33)
К гамильтоновой системе с гамильтонианом (9.33) можно применить
результаты классической теории возмущений. Фазовое пространство
системы, вообще говоря, является прямым произведением многомерного
тора на область евклидова пространства той же размерности. Согласно
теореме Колмогорова — Арнольда [6], при малом возмущении гамильтониана
большинство инвариантных торов, с несоизмеримыми частотами не исчезает,
а лишь несколько деформируется. Функция (9.33) имеет стандартный
[7] вид
?С(^5) = Яо(Ро) + еЗС1(?,^ + ..._ _ (9.34)
в области Fразового пространства Р,q (где Р = (Р0,РХ),Р0 - вектор «о
измерений, Рх - вектор пх = (п-щ) измерений, соответственно q-
= (<7о > Ях) - быстрые и медленные переменные (mod 2 тг) ). При е = 0 имеем
так назьюаемое собственное вырождение.
Предположим, что выполнены следующие условия [7]:
а) вековая часть возмущения Кх = (2 я) ~11*$Щ dq0 не зависит от фаз
медленного движения, т.е. Кх =W\(P)\
б) определители частот по импульсам
Э2#0
ЪР%
Фо,
Э2ЗС,
ЪР\
фо.
не обращаются тождественно в нуль.
Тогда при достаточно малых е для большинства начальных условий из
F движение, определяемое каноническими уравнениями с функцией
Гамильтона (9.34), условно-периодично. Для этих начальных условий
движение близко к условно-периодическому движению:
dP0 Jq^dH^ ^L-0 *?j = ^i
dt ~ ' dt " ЬР0 ' dt " ' dt ЬРХ '
Предположим, что величины L\A и со0 несоизмеримы. Тогда
усредненные уравнения вращательного движения спутника с удержанием членов
порядка б в гамильтониане (9.33) можно записать в виде [176]
dp dL
— =0, =0,
dt dt
do ЗА «,/0
= co5(l -e2)~3/2cosp[e2o(3cos2#- l) + e10(l-sin2#cos2»/?],
dt 41
(9.35)
d* Г^ 3A <> <> x» <> 1
= ею sin#sin</>cosv>— + cjl(l-e2y*'2(2-3shrp)L
dt L A 4L J
d*p ~ Г L ЗА _ _ ,.^ „ 1
— = (e10cosV + e2())cos# — + — cog(l~e2)""3/2(2-3sin2p) .
dt L A AL J
250

Рис. 124. Семейство кривых р,(^>) в силу интеграла (9.36).
Система уравнений (9.35) может быть проинтегрирована в квадратурах
благодаря наличию интеграла
— +cos2^i = const.
ставя
№)fe--4
const.
(9.36)
Представляя этот интеграл в канонических переменных, получим
+ COS ч
Сю
На рис. 124 изображены кривые р2 (<р) в соответствии с интегралом (9.36).
В силу системы (9.35) переменные L и L cosp=Pi будут переменными
действия для гамильтоновой системы с гамильтонианом (9.22). С помощью
канонического преобразования
_ ЭФ(/, </»)
Ъ\р
^ ЭФ(/, р)
э/
с производящей функцией Ф(/,<р) =SPtd\p (интеграл вычисляется вдоль
кривой,определяемой соотношением (9.36))можно ввести третью
переменную действия /.
Проверим теперь выполнение условий невырожденности гамильтониана
(9.33). Первое из этих условий д2Н0/Ы2 ФО, очевидно, всегда
выполнено. Проверим второе условие
|Э2ЗС, Э2ЗС,
Эр?
Э/Эр,
Эр,Э/
aa3ft
э/2
йо.
(9.37)
251

Функция Ki, входящая в определитель (937), может быть представлена
в виде
JC, = — е20 - т,т2 +— АоЛ(\ -егГл^|(е10-2€2о) +
L2 3 Г
1 =— его - тгт2 +— Ao>l(l -e2y3l2Uel0-2e20y
+ (ею+2е20)— I,
'.-7(3^-,Н(,-'>-",+-П
**2 =(^20 +el0COS2(^)l
('4}
После перехода к переменным действие - угол (/, V") получим т2 =
- т 2 (I, /, ?) • Условие (9.37) теперь можно представить в форме
Э2ЗГ, ЪгКх
Ьр\ Э/2 / Эга у
/ ЭтЛ2 V Э/ /
\Ьрг)
Выполнение приведенного неравенства очевидно, поскольку его левая
часть зависит от импульса р\, а правая часть не зависит. Таким образом, для
большинства начальных условий переменные L cos p и / в силу усредненных
уравнений с гамильтонианом (9.33) будут вечно близки к найденным
постоянным значениям.
Резонансные торы (торы, на которых частоты системы с
гамильтонианом (9.33) соизмеримы) при наличии возмущений разрушаются. При этом
с течением времени переменные действия могут сколь угодно далеко
уходить от своих невозмущенных значений [8] (так называемая диффузия
Арнольда). Однако средняя скорость такого ухода, как установлено в
работе [ПО] при достаточно общих предположениях о гамильтониане, очень
мала (она убывает экпоненциально, когда возмущения убывают по
линейному закону).
Вековые изменения переменныхL ирмежду резонансными зонами
можно приближенно описать первыми двумя уравнениями системы (9.12).
Если в процессе эволюции вращательного движения тела оно не застревает
в окрестности одной из возможных соизмеримостей (8.5) между
вращательным и орбитальным движениями, а указанные соизмеримости под
действием приливного трения успевают нарушиться прежде, чем
переменные L и р в силу диффузии Арнольда претерпят заметные изменения, то
вековая эволюция этих переменных качественно будет снова описываться
кривыми, показанными на рис. 120.
Таким образом, в изучаемой эволюции вращательного движения тела
потенциальные (гравитационные) и диссипативные (приливные) моменты
играют принципиально различную роль. Потенциальные моменты
обеспечивают существование стационарных резонансных вращений, а
диссипативные моменты вызывают вековую эволюцию вращения и захват небесного
252

тела в режимы синхронизации с его орбитальным движением. Поскольку,
как уже отмечалось, в далеком прошлом приливные моменты могли быть
гораздо больше существующих (и соответственно быстрее проходила
эволюция вращательного движения), возможно, что близкие к наблюдаемым
вращения некоторых естественных небесных тел возникли уже на
начальных этапах формирования Солнечной системы. Однако имеющие место
даже в настоящее время [119] изменения угловых скоростей вращений ряда
небесных тел показывают, что эволюция вовсе не ограничивается
указанным начальным этапом.
В далеком прошлом угловые скорости многих больших тел в
Солнечной системе могли быть существенно больше существующих [213, 119].
В процессе приливной эволюции эти тела проходили через
многочисленные соизмеримости между средними угловыми скоростями своего
вращательного и орбитального движений.
Характер эволюции вращательного движения небесного тела
существенным образом связан с возможностью застревания в окрестности
отмеченных соизмеримостей, описываемых формулой (8.5). Это зависит от ряда
факторов. Большое значение имеют, в частности, величины членов силовой
функции (7.16), определяющих существование синхронизмов
(резонансные составляющие силовой функции). В функции (7.16) резонансные
члены имеют порядок efK(e)y причем функция/^(е) пропорциональна
эксцентриситету орбиты е в случае К= 1 в формуле (8.5), пропорциональна
ек~~г для нечетных значений К> 3, пропорциональна е<*~~4)/2 для четных
К > 6, и, наконец, для К * 2 и К = 4 эта функция имеет порядок единицы
[176].
Согласно результатам работы [79], эксцентриситеты орбит большинства
планет в далеком прошлом были малыми и, вероятно, оставались
таковыми в течение всего времени существования Солнечной системы. Поэтому
величины резонансных членов в функции (7.16) быстро уменьшаются с
увеличением порядка синхронизма. Застревание же вращения тела на каком-
либо синхронизме, вообще говоря, возможно лишь тогда, когда величина
ему соответствующей резонансной составляющей в гравитационном
моменте не меньше величины приливного момента [213,176,178,64].
По этой причине в начальном периоде приливной эволюции, когда Ж >е,
небесное тело может при подходящих значениях эксцентриситета своей
орбиты застревать только на "финальных" синхронизмах
(соответствующих рис. 119). Возможно, что резонансные вращения некоторых тел
Солнечной системы сформировались уже в этом периоде эволюции. Так как
орбиты большинства из них, по-видимому, были близки к круговым,
образовывались в основном синхронизмы типа 1:1.
Чем больше отношение eje, тем больше синхронизмов вида (8.5) у тел,
имеющих эллиптическую орбиту, может реализоваться в принципе.
Например, как отмечалось в работах [176,178], для Луны в настоящее время
необходимое условие реализуемости (модуль приливного момента не
больше соответствующей данному синхронизму составляющей гравитационного
момента) выполнено только для синхронизмов типа 1:1, 3:2, 2:1 и 5:2.
Выполнение необходимого условия существования какого-либо из
синхронизмов (8.5), конечно, не означает, что этот синхронизм будет
реализован у небесных тел. Чтобы какой-либо из возможных синхронизмов
253

превратился в действительно реализующийся, должны быть выполнены,
как минимум, два условия. Во-первых, система дифференциальных
уравнений, описывающая вращательное движение тела под действием
потенциальных и приливных моментов, должна иметь устойчивое
квазистационарное решение, соответствующее этому синхронизму. Во-вторых,
вероятность захвата тела в резонансное вращение должна быть не очень мала.
Указанные вопросы обсуждаются в следующих параграфах этой главы.
§ 3. Захват в резонансные вращения
Чтобы оценить вероятность захвата небесного тела во вращательное
движение, синхронизованное с его орбитальным движением, рассмотрим
частный случай вращения тела, когда одна из главных центральных осей
инерции (ось,у) параллельна нормали к плоскости орбиты тела [213, 119,
185 , 34, 178, 26, 22, 179]. Вектор L кинетического момента тела
относительно его центра масс в этом случае ортогонален к плоскости орбиты,
а система осей L\L2L не изменяет своей ориентации в пространстве. Если
ось L х направить в перицентр орбиты, то уравнения вращательного
движения тела примут вид
dty _ L
dt " В *
dL 3 ц 5 / dp L \
dt 2 R3 v R6 \ dt В J
Если ввести расстройку к = 2ф — КМ и усреднить правые части этой
системы по быстрой переменной Л/, то в окрестности синхронизмов (8.5)
вращение спутника будет в первом приближении описываться уравнением
d2K п2 _/ dK \
—, +Tsin2K = -6(,4— +as). (9.38)
Здесь
5 =5(1 -e2J6/Bco0al a* =(1 -e2)3/2u2.
as = KaJ2 - vl9 n2 = 3(A - C)fk(e)/B, A>C,
am ~ большая полуось орбиты небесного тела.
Функция /i (e) в уравнении (9.38) имеет порядок е, /2(е) порядка
единицы, функция fK(e) при К> 2 имеет порядок е*~2. Уравнение (9.38)
при Ъ - 0 эквивалентно уравнению движения некоторого математического
маятника. Часть фазовой плоскости (dic/dM, к) в окрестности устойчивой
точки, соответствующей строгому резонансу (I = Mw0/2), образует
резонансную зону. Границей этой зоны является сепаратриса. В резонансной зоне
вращение спутника мало отличается от резонансного, так как в ней
BKoj0 I Bloq / /i (A - С)
2 2 V pi Во>1
В силу приведенного неравенства ширина резонансной зоны быстро умень-
254

шается с возрастанием порядка синхронизма для всех реальных тел»
имеющих орбиту малого эксцентриситета. Под порядком синхронизма между
вращательным и орбитальным движениями спутника будем понимать
число К + 2, если К в формуле (8.5) - нечетное, и число 1 + К/2, если К в
(8.5) - четное.
Известно [53], что медленные переменные совершают периодические
колебания около своих значений, полученных из усредненных уравнений.
Если амплитуда таких колебаний превосходит ширину резонансной зоны,
то динамическая система проскакивает соответствующий резонанс. Это
одна из причин нереализуемости синхронизмов высокого порядка.
Параметр а5 в уравнении (9.38) может принимать как положительные,
так и отрицательные значения. Его знак зависит от знака разности между
угловой скоростью тела в рассматриваемом синхронизме и ее значением
в точке (9.13). В частности, для Луны (К = 2) параметр as < О, а для
Меркурия (К = 3) этот параметр положителен.
Стационарные точки K=K.-const у уравнения (9.38) существуют
только, когда
25|а51<"2. (9.39)
При выполнении условия (9.39) значение к „ определяется из выражения
. л 2бя5
$1П2КФ = ; .
Проведем, следуя работе [185], полное качественное исследование
фазовых кривых уравнения (9.38) на фазовой плоскости (к, dKJdM) и
оценим меру траекторий, попадающих в резонансную зону. Поскольку
уравнение (9.38) инвариантно относительно преобразований сдвига
расстройки к и средней аномалии М, а также я-периодично по к, то его
фазовые траектории ведут себя идентично в любой вертикальной полосе
шириной я на фазовой плоскости. Если в правой части уравнения (9.38)
временно отбросить член с dic/dM, то его порядок может быть понижен с помощью
интеграла
1 /dK \2 п2 „
т" (згг) -т-cos к * да*к = *• <9-40>
2 \dM / 2
Фазовые траектории уравнения (9.38) в силу интеграла (9.40) показаны
на рис. 125 (случай 5 = 0) и рис. 126 (здесь предполагается, что а$ < 0 и
выполнено условие (9.39)).
Ординаты стационарных точек А0у А, и А2 на рис. 126 равны нулю, а их
абсциссы равны соответственно
к-=тагсЧ-^?)' £_«.) и_(1+,.).
Часть фазовой плоскости, заштрихованная на рис. 125, образует
резонансную зону. Эта зона, как легко видеть, возникает за счет резонансных
составляющих силовой функции (7.16). Только внутри нее вращение
небесного тела является качественно резонансным (угловая скорость тела
квазистационарна и близка к значению, соизмеримому со средней угловой
скоростью его обращения).

kdx/dM
dx/dM.
*
\I
Рис. 125. Фазовые кривые уравнения (9.38) в случае 6=0.
Рис. 126. Фазовые кривые уравнения (9.38) в случае 6 Ф0{а§ <0).
Очевидно, что воздействие на тело приливного момента приводит, с
одной стороны, к появлению возможности его захвата в резонансные
вращения (особая точка типа центра на рис. 125 становится устойчивым
фокусом или узлом), а с другой стороны, - к деформации (или даже
полному исчезновению) резонансной зоны. В случае 7> Ф 0 под резонансной
зоной для уравнения (9.38) будем понимать область колебательных
решений этого уравнения, лежащих в области притяжения точки А0 на рис. 126.
Предположим, что as < 0. Тогда [11] при М^°° фазовые траектории
уравнения (9.38) стремятся либо к асимптотически устойчивой точке А0,
либо к асимптотически устойчивому периодическому вращательному
движению в области с1к/с!М>0. Эторешение ограничено по производной
следующим образом: dic/dM < (и2 - 2&z5 )/25я4 • Существует единственное
критическое значение параметра я4 - я* > при котором уравнение (9.38)
имеет в области с1к/<1М>0 псевдопериодическое решение, пересекающее
ось к фазовой плоскости в точках А х цА2 (см. рис. 126). Для а+
справедливы, например, такие оценки:
— [у/п2со$2к + -bas(Tt + 4к„) - %/п2 со%2к + +5ду(я -4к*)] <
Ь
п2 - 2das
<а*< - ) ~ ■ .
Iby/n2cos2k, +bas(n ~-4к^)
Когда параметр 5 мал по сравнению с и2, критическое значение
параметра а4 можно найти приближенно в виде
n\K(\-e2)^2v2~2vl |
'•" Тп '
Если ал >а% и выполнено условие (9.39), упомянутое ранее
периодическое вращательное движение отсутствует и вся фазовая плоскость является
областью притяжения точки А 0. Если же а4 < а± (и снова выполнено
условие (9.39)), то часть фазовых траекторий стремится к точке А0, а другая
часть - к периодическому вращательному движению, причем область
притяжения последнего растет с уменьшением а4 по сравнению с а+.
256

П. Голдрайх и С. Пил предложили оценивать меру начальных условий,
приводящих к захвату спутника в резонансные вращения [213]. Введем
такую меру в рассматриваемом нами случае, следуя работе [185]. Из
проведенного исследования фазовых траекторий уравнения (9.38) следует,
что если а4 >а*, то захват происходит с вероятностью единица (при любых
начальных условиях вращение спутника с течением времени становится
строго резонансным). В случае жеаА <а+ захват в синхронизм,
соответствующий заданному числу К> происходит только, если выбранные начальные
условия позволяют фазовой траектории попасть в заштрихованную на
рис. 126 область Д все внутренние точки которой принадлежат области
притяжения точки А0. Будем выбирать начальные условия на вертикальной
прямой (/ - /), проходящей через точку А!. Предельная фазовая кривая,
которая может в принципе попасть в окрестность точки А 0, должна,
начавшись в точке А4, пересечь ось к в точке А2. Затем эта кривая при а4 >д*
попадает в область Д при а4 = Д» — в точку А, и, наконец, при а4 < а*
асимптотически приближается к устойчивому вращательному движению.
Выделим в случае аА < ат еще одну предельную траекторию, которая,
начавшись в точке Аг (отрезок АХАА больше отрезка АуА3), приходит
в точку А1 (см. рис, 126). Очевидно теперь, что все фазовые траектории,
начинающиеся внутри отрезка A jЛ 3, попадают в область D. Считая
равновероятным нахождение изображающей точки в начальный момент в любой
точке отрезка АХА4, можно поэтому ввести вероятность Р захвата в данный
синхронизм как отношение длин отрезков А гА 3 и А \АА.
Вычисление так введенной вероятности захвата аналитически связано
с определенными. трудностями, поскольку неизвестно аналитическое
выражение для фазовых траекторий, начинающихся в точках А3 и Л4.
Вероятности захвата, однако, всегда можно найти численно либо, когда
отношение б /л2 мало, приближенно аналитически в виде
/2а1
/> = vL_i_ . (9.41)
я* +а4
На рис. 127 показана рассчитанная по формуле (9.41) зависимость
вероятности захвата от отношения aJaA\ На рис. 128 построены кривые
зависимости от эксцентриситета орбиты небесного тела вероятностей его
захватов в синхронизмы 1 :2 (кривая /), 1 :1 (кривая 2), 3 :2 (кривые 3),
2 : 1 (кривые 4), 5 : 2 (кривые 5). При построении предполагалось, что
гравитационный параметр тела | А - С\/В такой же, как у Луны.
Когда параметр а5 положителен, проведенный анализ фазовых кривых
уравнения (9.38) остается справедливым. Чтобы получить картину их
расположения на фазовой плоскости, достаточно на рис.126 изменить
направления обеих осей координат на противоположные (асимптотически
устойчивое вращательное движение в этом случае существует в области
dic/dM<0).
Таким образом, чтобы тело, вращающееся вокруг нормали к плоскости
своей орбиты, могло быть с достаточной вероятностью захвачено в какой-
либо из синхронизмов, отличный от синхронизма 1 : 1, его орбита должна
иметь заметный эксцентриситет. Вероятность захвата в наблюдаемое сейчас
вращение Луны близка к единице, для Меркурия она порядка КГ1, а для
17. A.B. Белецкий
257

Рис. 127. Зависимость вероятности захвата от отношения aJaA.
Рис. 128. Зависимость от эксцентриситета орбиты небесного тела вероятностей его
захватов во вращательные движения, синхронизированные с орбитальным движением
этого тела.
Венеры (при описании ее вращения с помощью формулы (9.2)) порядка
10"2. Эти оценки получены с учетом приливного момента, создаваемого
Землей на Луне и Солнцем на Меркурии и Венере.
По-видимому, векторы кинетических моментов L небесных тел в
далеком прошлом не были ортогональны к плоскостям их орбит. Поэтому
резонансные вращения этих тел в соответствии с рис. 123 не будут
описываться уравнением (9.38). Однако в этом общем случае вероятности
захватов в резонансные вращения по крайней мере не должны превосходить
вероятностей захватов этих тел в соответствующие синхронизмы при р = 0:
в общем случае в резонансных зонах на переменные, описывающие
вращение тел, накладываются более жесткие условия, чем в случае р = 0. Более
подробно этот вопрос обсуждается в следующих параграфах этой главы.
Подведем некоторые итоги. Под действием гравитационного и
приливного моментов, создаваемых притягивающим центром, небесное тело либо
застревает в одном из синхронизмов (8.5), либо эволюционирует до
попадания в стационарную точку, соответствующую обращению в нуль среднего
приливного момента. Чем больше величина среднего приливного момента
в некотором режиме синхронизации, тем меньше вероятность захвата тела
в этот синхронизм. Поскольку же величина угловой скорости тела, при
которой обращается в нуль средний приливный момент, никак не связана
с величиной угловой скорости, при которой обеспечивается синхронизация
с орбитальным движением, то легко понять, что, вообще говоря, весьма
трудно ожидать достаточной вероятности захватов в режимы
синхронизации. В предыдущем параграфе показано, что значение средней угловой
скорости вращения тела, при которой обращается в нуль средний
приливный момент, является непрерывной функцией эксцентриситета его орбиты.
Для приливного момента в форме (9.4) эта угловая скорость равна
орбитальной, если е = 0, и поэтому легко объяснить захват в синхронизм 1 : 1
небесных тел, имеющих либо круговую, либо близкую к круговой орбиту.
Однако уже для Меркурия вероятность захвата в наблюдаемый синхронизм
3 : 2 мала, а для Венеры вообще ничтожна.
258

Резонансная зона для существующего в настоящее время вращения
Венеры, как известно [213], образуется за счет влияния гравитационного
поля Земли, а не Солнца. При малом эксцентриситете орбиты Венеры
(е^ 0,0068) средний гравитационный момент, создаваемый на Венере
Солнцем, оказывается на несколько порядков меньше среднего
гравитационного момента, создаваемого Землей. Возможно [79], что вращение
Венеры всегда было обратным. Тогда, как показано в работе [213], при
уменьшении угловой скорости Венеры до существующей сейчас Венера должна
была проскочить ряд синхронизмов, размеры резонансных зон которых
и вероятности захватов сравнимы с соответствующими величинами у
движения, описываемого формулой (9.2) .Если в далеком прошлом момент
количества движения Протовенеры был направлен почти по нормали к ее
орбите, а вращение было обратным (р ~* я), то в нерезонансной ситуации
в силу первого из уравнений системы (9.12) и рис. 123 угол р будет иметь
значение, близкое к я, в течение очень большого промежутка времени
(скорость изменения угла р пропорциональна sin p). Указанная ситуация
сохраняется и в резонансном случае [23, 24] при описании вращения
Венеры формулой (9.2). Отличие состоит только в том, что если в отсутствие
резонанса средняя угловая скорость вращения Венеры монотонно убывает,
что при наличии резонанса за счет перекачки энергии с орбитального на
вращательное движение эта угловая скорость остается близкой к
постоянному значению, пока не нарушатся условия существования данного
синхронизма, если, конечно, он действительно существует.
Вопрос о времени пребывания динамической системы в устойчивом
режиме синхронизации мало исследован. Что касается резонансных
вращений естественных небесных тел, то здесь в указанном направлении можно
привести лишь самые общие соображения [176]. Разрушение резонансного
вращения тела может произойти либо при возникновении какого-либо
случайного возмущения, либо в результате существенного уменьшения
размеров резонансной зоны из-за эволюции орбиты тела или переменных,
характеризующих его вращение. Однако указанные изменения (кроме,
разумеется, случайного возмущения) происходят очень медленно по
сравнению с характерным временем эволюции вращения тела в нерезонансном
случае. Поэтому время пребывания тела в каком-либо устойчивом
резонансном вращении, вообще говоря, должно намного превосходить время,
необходимое для перехода тела из одного резонансного вращения в другое.
Недостаточно большая величина вероятности захвата в наблюдаемое
сейчас вращение для Меркурия и пренебрежимо малая для Венеры привели,
с одной стороны, к поискам отличных от приливных моментов факторов
диссипативного характера, могущих способствовать захвату, а с другой
стороны, - к сомнениям в том, что Венера действительно захвачена в
резонансное вращение. Анализировалось, в частности, влияние на вращение
Венеры трения ее поверхности об атмосферу и трения ее мантии о жидкое
ядро [213]. Как следует из результатов предыдущего параграфа,
возможности объяснения захватов небесных тел в резонансные вращения с
помощью приливного трения, по-видимому, наиболее распространенного
в Солнечной системе, могут быть существенно расширены. Рис. 122
показывает, что приливные моменты могут вызвать и захват тела в обратное
вращение, что считалось невозможным [212, 213].
17* 259

Вероятности захватов Меркурия и Венеры в наблюдаемые сейчас
вращения, вообще говоря, могли заметно превосходить приведенные ранее
оценки, если эти планеты имели, хотя бы в период захватов, спутники, (прямой
у Меркурия и обратный у Венеры). Оба спутника должны обращаться
быстрее, чем вращаются соответствующие планеты. Если принять допуще-
щение, что существующая сейчас динамическая структура Солнечной
системы сформировалась в далеком прошлом [79], то и эти спутники должны
были существовать в то время. Гипотеза о возможной роли спутников в
kRC9KM
80
60\
Щ
20
Рис. 129. Некоторые параметры
гипотетических спутников Меркурия
и Венеры, обеспечивающих их
захваты в существующие сейчас
вращения с вероятностью единица.
10* 2-10* R,km
формировании существующих сейчас вращений Венеры и Меркурия была
предложена в работе [176] (подробно рассмотрена в работе [181]), а затем
редактором перевода в книге [119].
На рис. 129 показаны построенные на основании формул (9.22) - (9.23)
примеры зависимостей радиуса Rc спутника Венеры (кривая 1) и Мерку-*
рия (кривая 2) от радиуса орбиты этого спутника при условии, что
приливные моменты, создаваемые спутником и Солнцем, обеспечивают захват
соответствующих планет в наблюдаемые сейчас вращения с вероятностью,
равной единице [181]. Для расчета принято, что орбиты спутников
круговые, плотности спутников равны плотностям соответствующих планет,
спутники — однородные шары, а приливное воздействие на планету
определяется приливным числом Q = 100 для Солнца и числом Q = 10 для
спутника [213]. Можно показать, что получаемый радиус спутника слабо
зависит от изменения приливных чисел Q спутника и Солнца (радиус
пропорционален корню шестой степени из отношения этих чисел). Поэтому
неточное задание приливных чисел, как и изменение приливного числа
спутника с изменением размеров его орбиты, не должно оказать заметного
качественного влияния на полученные выводы. Разумеется, однако, что
рис. 129 не позволяет сделать каких-либо строгих количественных
заключений: спутники могли быть больших размеров и соответственно дальше*
удалены от планеты, могли обеспечивать не захват с вероятностью единица,
а лишь способствовать получению достаточной вероятности захвата.
Под действием приливного горба, создаваемого спутником на планете,
как показано в работе [176], большая полуось и эксцентриситет орбиты
спутника небольшого эксцентриситета, который обращается быстрее, чем
вращается планета, будут уменьшаться. Следовательно, с течением времени
такой спутник должен, приближаясь к планете подобно спутнику Марса
Фобосу, либо упасть на нее, либо сгореть в ее атмосфере. Например, время
жизни спутника Венеры, удовлетворяющего кривой 1 рис. 129,с начальным
радиусом орбиты 20 000 км можно оценить в несколько миллионов лет.
260

Возможно, именно по этой причине спутники Венеры и Меркурия не
наблюдаются в настоящее время.
Небольшие по размерам гипотетические спутники Венеры и Меркурия,
параметры которых удовлетворяют кривым i, 2 рис. 129, не вносят
больших количественных изменений во вращательные движения указанных
планет, а лишь обеспечивают их захват в наблюдаемые сейчас вращения.
Однако из рис. 120 - 122 следует, что массивный спутник планеты может
привести к существенным количественным изменениям в параметрах,
характеризующих ее вращение. Пример такого сорта, по-видимому, дает
система Земля - Луна [130]. Из рис. 122 следует также, что наличие у
планеты массивного обратного спутника может даже привести к
превращению вращения самой планеты из прямого в обратное. В частности, в работе
[221] выдвинуто предположение, что вращательное движение Венеры с
момента ее образования претерпело существенные количественные изменения,
причиной которых был существовавший у нее массивный спутник, который
в настоящее время является Меркурием. Научная информация, полученная
от 'спускаемых аппаратов автоматических станций "Венера-И" и
"Венера-12", согласно [12] допускает предположение о возможной роли
гипотетического спутника Венеры в эволюции ее вращения. В существенном
приливном воздействии такого спутника на Венеру, быть может, кроется
причина столь различных физических условий на Земле и Венере.
Наконец заметим, что определенную роль в процессе эволюции
вращательного движения естественных небесных тел мог играть процесс сжатия прото-
планет до современных размеров [20, 79]. Очевидно, что сжатие протопла-
неты мало сказывается на изменении положения ее оси вращения в
пространстве, но существенно изменяет угловую скорость. Возможно [20, 206],
что современное разнообразие наклонений и вращений планет является
результатом взаимодействия двух факторов: приливного трения и сжатия
планет.
§ 4.0 некоторых условиях устойчивости резонансных
вращений небесных тел в гравитационном поле
Во втором параграфе этой главы среди необходимых условий
реализуемости синхронизмов типа (8.5) у естественных небесных тел отмечено
условие' существования у системы дифференциальных уравнений
вращательного движения этих тел устойчивого квазистационарного решения,
соответствующего каждому из таких синхронизмов. Некоторые из условий
такого типа будут получены в данном параграфе.
На рис. 120 следует, что при небольших значениях угла р нерезонансное
вращение небесного тела под действием гравитационного и приливного
моментов может быть неустойчивым, когда средняя угловая скорость
вращения тела не менее чем в два раза превосходит скорость его обращения
[180]. Указанная неустойчивость имеет место, если f0 > f0, где
45 5
2 + 15е2 + — е4+ — е6
4 8
f о = : : 7Т- (9.42)
<1-*^*т**т)
261

ч
**,
12
10
В
6
it
2
\
1
1
1
I
1 1 1 L*.
Рис. 130. К определению минимальной угловой
скорости вращения небесного тела, при которой его
нерезонансное вращение вокруг нормали к плоскости
орбиты неустойчиво.
График зависимости параметра £0от
эксцентриситета орбиты тела, описьюаемой
формулой (9.42), показан на рис. 130.
Очевидно поэтому, что реализуемость в
Солнечной системе какого-либо синхронизма при
отмеченном ограничении на скорость
вращения будет определяться в первую очередь
величиной минимального угла между вектором
кинетического момента тела и нормалью к его
орбите, при котором рассматриваемое резо-
и 0,2 0,4 0%6 Ofi e нансное вращение может быть устойчивым.
Если этот минимальный угол оказьюается
достаточно большим, то такой синхронизм не может сохраняться
длительное время у тела, первоначальное вращение которого было прямым
(р <7г/2). Действительно согласно [146] большие тела в Солнечной
системе в период ее формирования вращались вокруг осей, близких к нормалям
к их орбитам. Проведенный же в предыдущих параграфах анализ эволюции
вращения небесного тела показал, что при воздействии приливного трения
угол между осью вращения тела и нормалью к его орбите в основном
лишь убьюает.
Поэтому может оказаться, что за все время эволюции вращательного
движения небесного тела, первоначально участвовавшего в прямом
вращении, указанный угол никогда не был достаточно велик, чтобы большинство
из возможных синхронизмов (8.5) могли быть реализованы.
Некоторые из тел Солнечной системы первоначально могли находиться
в обратном (р > я/2) вращении [79]. Из рис. 120 следует, что при обратном
нерезонансном вращении тела угол р монотонно убывает. Поэтому
возможность обнаружить в Солнечной системе тела, находящиеся в обратном
резонансном вращении, определяется возможностью стабилизации угла р
за счет резонансных свойств движения.
Перейдем теперь, следуя работе [187], к исследованию устойчивости
стационарных резонансных вращений небесных тел под действием
гравитационного и приливного моментов со стороны притягивающего центра с
учетом ухода узла и перицентра орбиты. Вращательное движение тела
будем описывать системой уравнений (7.1), в правые части которых
входят силовая функция (8.2) и проекции Ми М2, Мъ приливного
момента (9.4).
Примем, что К,- = 0. Будем предполагать также, что центральный эллипсоид
инерции тела, вращательное движение которого исследуется, близок к
сфере, приливный и гравитационный моменты имеют одинаковый порядок
(это соответствует начальному этапу формирования Солнечной системы),
эксцентриситет орбиты тела невелик, а угловые скорости вращения и
обращения тела сравнимы по величине.
262

Для исследования стационарных резонансных вращений небесного тела
произведем в системе (7.1) замену переменных
КМ
0= + к (9.43)
2
и перепишем ее в виде (полагаем, что связь истинной аномалии со
временем задается соотношением (7.2))
dp I [bU bU \ Мх
— = —~ I-— cosp-— j-A-nsin/cosa+— ,
at Lsmp\oK до / L
da 1 bU Мг
— = +An(sin/ctgpsina-cosO+ +£я,
dt Isinp Эр Lsinp
dL bU
— = —- + A#3, (9.44)
dt Ък
d& /1 1\ 1 / bU bU\
— = Lsin#sin<pcos<p( — - —I + (cos#— — ) +
dt \A ВI ZsiniU Эк d«p I
M2cos(KM/2 +к)-Мх sm(KM/2+K)
/sinV cosV\ 1 /36^ bU \
{ + ( — ctg# + — ctgp)
\ А В I L\bb bp 1
dK _ Kcj0
Tt 2~
sin / sin a M, cos(KM/2 + к ) + M2 sin (KM/2 + к ) M2
- Ka —: г ctg & - —-ctgp,
smp L L
d\p 11 sin2<0 cos2<^\
— = Z,cos#( I
dt \C А В 1
MiCOsiKM/2 + к) + M2sm(KM/2 + к)
2.л „Ло2.Лч j w
+ +
Z,sin# Э#
Z,sin*>
Усредним силовую функцию (8.2) по средней аномалии М с учетом
соотношения (9.43) и сохраним в усредненных выражениях только старшие
по порядку величин резонансные и нерезонансные члены (и соответственно
отбросим члены, которые существенно меньше оставленных).
Для нечетных (начиная с трех) значений числа К (а также К = 2)
усредненная силовая функция (8.2) примет вид
LJL
+"5221cos2(fc + a))] +(A-C)[a002Ql(e) + Q2(e)b222cos2(K+o)]} .
(9.45)
Функции Qi (e) и Q2 (e) зависят от эксцентриситета орбиты, а последняя
263
< Ur >= т — {(А - B)[a00iQi(e) + Q2(e)(a22, sin2(K + a) +

<{/г>=Т~Г (H-£)[*ooiGi(e) + G3(e)(*i2isin(K+2a) +
из них еще и от числа К. Основные члены в разложениях этих функций в
ряды по степеням эксцентриситета орбиты тела имеют порядок единицы
для функции Qx (е) и порядок е^к ~~2^ для К = 2, 3, 5, . .. (здесь все
значения К, кроме первого, нечетные) для функции Q2 (e).
В случае четных К > 4 усредненная силовая функция (8.2) может быть
записана в виде
IJL
2pl
+ £12iCOs(K+2a))] +(i4-C)[flfoo2Gi(^) + G3(^)5"122sin(K + 2a)]} .
(9.46)
Здесь функция Q.$(e) имеет порядок е^к 4)/2.
Пусть теперь
р = р0, о=о0* &=дот *=*о, L=L0, ^=<Аъ (9.47)
где р0,%о* #о» к<>*£(ь<А> постоянны, - какое-либо стационарное
решение системы (9.44), в правые части которой подставлена функция (Ur)
(в зависимости от значения числа К функция (9.45) либо (9.46)),
средние значения переменных Кп и Кп и выражения для проекций
усредненного приливного момента. Сохраняя только старшие (по порядку)
члены в указанных проекциях, получим
5sinp [ L{\ -е2Уп \
<М\)- — {-UiOj0+ cosp(u2 +u3cos2a)l ,
р\ \ 1А \
6.Z(l-e2)3"
<Af2> = - ■ sinpsin2a- v3,
2Лр\
(М3>=-т— |yico0cosp + — (1 -e2)3/2[(-2+s\n2p)vi +u3sin2pcos2a]},
р% I 2A )
I (KM \ /KM \\
Ш, cosl + к J + M2 sinf + к I J=
6(1 -e2)I3/2 6-1(1 -e2)6
= _ a>Q^7(^)sinpcosK + -— ^e(^)sinpcospcosK +
6.Д1 -e2)6
*Ap\
6-Z,(l -e?2)6
б
4Ap\
sinpcosp[v?9(e)cosKcos2a -^10(^)sinKsin2a] +
sinp У10(e)cosKcos2a - ^9(e)sinKsin2a],
/ (KM \ I KM \\
(M2cosI +Kl~Misinl + kJ/-
264

8(1-e2)13'2 _ . 8 L(\ -e2)6
AAp\
b
8
2p\
■L(\-e2f
AAp\
■L(\ -e2)6
^7(e)co0sinpsinic — ^8(e)sinpcospsinic
*Ap\
sinpcosp[^9(e)sinKcos2a + ^i0(^)cosKsin2aJ
sinp[«/?lo(e)sinKCos2a + <09(e)cosKsin2a].
Последние два из выписанных выражений отличны от нуля только для
четных значений числа А'. Функции i7(*)< ^8(^)» $Ае) и <Р\ъ{ё) зависят от
эксцентриситета орбиты тела и от А. Разложения этих функций в ряды по
ступеням е начинаются с членов порядка ек,г для функций *pi(e) и Фъ(е)
и с членов порядка е^К12"2^ для функций ^ie) и <Pi о(е)> когда К > 4. Если
К - 2, то функции ipy(e), ip%(e\ *p9(e), yx о(<0 имеют порядок е.
Для исследования стационарного решения р'<ь0о>#<ьКоДо><А>
системы (9.44) на устойчивость составим соответствующую этому решению
систему уравнений в вариациях. Характеристическое уравнение системы
в вариациях можно представить в виде
X6 + Я,Х5 + Я2Х4 +ВЪ\Ъ +В4\2 + В5\+В6 = 0. (9.48)
Здесь постоянные коэффициенты /?, весьма сложным образом
выражаются через параметры Po,o0,d0,K0tLo и w
В частности,
25 1 д2(ЦГ)
Если эксцентриситет орбиты тела невелик и К. ФА, то
8
х I ~^l Г3"cos р0 + ~кСО5р0) ~ 2 ъ&Г (тcosp0)}
Теперь можно показать, что два из корней полинома (9.48) имеют
следующую структуру:
.1 . В\ — B\Di „ „
x,=v^+ 3 ' 2 ^fr»?').
2Я2
(9.49)
Из выражений (9.49) можно заключить [53, 63], что рассматриваемое
стационарное резонансное вращение небесного тела при достаточно малых
е и в неустойчиво, если
Въ -BxB2i>Q. (9.50)
265

Из неравенства (9.50) следует, что при К = 2 и всех нечетных К > 3
вращение неустойчиво, если угол р0 удовлетворяет неравенству
1 — cos2p0 + 2cosp0 + —cospo < 0.
К К
(9.51)
Анализ неравенства (9.51) показывает, что рассматриваемое резонансное
вращение неустойчиво, если Po>Pi*, причем р^ определяется
следующим образом:
cospj
2 ГТ7
* = !+— -V2+— .
К К2
(9.52)
Некоторые значения угла Pi*, вычисленные по формуле (9.52),
приведены в табл. 8. Кривая 1 на рис. 131 показывает зависимость Pi*(A')
в силу (9.52). Эта кривая имеет асимптоту р1ф = 114°27'.
Для четных К>6 неравенство (9.50) выполнено, если
1 - cos2p0 + 4cosp0 + —cosp0 < 0.
К К
Стационарное вращение неустойчиво, если р0 >Рг*> причем
cosp2
* \ KI К2
(9.53)
(9.54)
Кривая 2 на рис.131 дает зависимость р2*(А') в силу (9.54). Эта
кривая имеет асимптоту р2* = 103°39'. Некоторые значения р2* для четных
К>6 приведены в табл.9.
Таким образом, на один из вопросов, поставленных в начале данного
параграфа, получен отрицательный ответ: стабилизации угла р>тг/2 за
счет резонансности вращения не происходит. Неисследованными остались
лишь случаи К = 1 и К = 4. Первый из них не представляет большого
интереса, так как первоначальная угловая скорость большинства небесных
тел заметно превосходила их скорость обращения [213]. Если же К =4,
выражение коэффициента В$ сильно усложняется и соответствующее
аналитическое исследование устойчивости в общем случае становится
весьма затруднительным. Некоторые численные результаты приведены в
следующем параграфе.
Таблица 8
К
Р\*
2
74°27'
Таблица 9
К
(>2*
6
86° 34'
3
84°
5
94° Г
8
90°
7
99° 2'
9
102° 4'
10
92° 35'
12
94°22'
266

Рис. 131. Зависимости критических значений
угла р от порядка синхронизма.
1Q0Y
60
\Р^*Р*9
20
О
U 6
12 К
В частном случае А =В,К& = 0 полином (9.48) вырождается: у него
появляется двукратный нулевой корень. Остальные корни при небольшом
эксцентриситете орбиты и четных К > 6 определяются из уравнения
Х4+-
25
I
ъчиг)
X2-
2А2р\
8
Ъ2ШТ)
Ък1
X
3 +cos2p0 ,cosp0 -4cosp +
А А
ъЧит) /
х—г- :
Н(з*г)
Д2 + —-4cosp0j = 0.
1 +cos2p0 cospo
Полученное ранее условие неустойчивости стационарных резонансных
вращений, когда Ро >Рг*> разумеется, сохраняет свою силу и в этом частном
случае. Однако здесь можно выделить новое условие неустойчивости таких
вращений.
По крайней мере один из корней уравнения (9.55) будет иметь
положительную вещественную часть, если угол р0 удовлетворяет условию
8
2 + -_4cosp0<0. (9.56)
Неравенство (9.56) выполнено, а рассматриваемые стационарные
резонансные вращения неустойчивы при достаточно малых е и е, если р0 <
<Рз*> причем
cosp3,
-1 1
" 2 + А*
(9.57)
На рис. 131 кривая 3 изображает зависимость Рз*(А) согласно формуле
(9.57). Кривая имеет асимптоту р3* =60°. Соответствующие значения
Рз* для некоторых К приведены в табл. 10.
Следовательно, так же, как и при р > тг/2, резонансной стабилизации
нерезонансных вращений тела при небольших значениях угла р не
происходит. Обнаруженная сейчас неустойчивость является продолжением
на резонансную ситуацию отмечавшейся в начале этого_параграфа
неустойчивости нерезонансного вращения тела, когда f 0 > ?о- Можно ожидать,
267

Та блица 10
К
6 8
1
10
12
33°33' 41°24' 45°37' 48°1Г
что при К>А аналогичная неустойчивость при недостаточно большом
значении р0 имеет место и в общем случае К& Ф 0,АФВФСФА.
Однако для получения этого результата требуется, как минимум, иметь
величины Ро,о0,$0,к0,£0,<А) в зависимости от параметров тела.
Нахождение указанных величин само по себе представляет трудную задачу,
которую, вероятно, можно решить только численно.
Отметим в заключение, что выявленные условия неустойчивости
стационарных резонансных вращений естественных небесных тел играли
особенно важную роль на начальном этапе динамической эволюции
Солнечной системы, когда приливные моменты могли даже превосходить
гравитационные. Если в настоящее время ввиду очень слабой приливной
эволюции вращений большинства естественных небесных тел их угловые
скорости могут длительное время сохранять значения, близкие к резонансным,
даже когда соответствующие резонансные вращения неустойчивы, то в
прошлом неустойчивость резонансных вращений, вероятно, приводила к
быстрому разрушению соизмеримостей типа (8.5).
§ 5. О множестве стационарных вращений намагниченного динамически
симметричного тела при резонансе 2 :1
В предыдущих параграфах обсуждались некоторые условия
реализуемости у естественных небесных тел синхронизмов вида (8.5). Эти
условия в основном носили качественный характер. Даже необходимые
условия устойчивости резонансных вращений вида р0 <Pi«,Po <Р2*»Ро >
>р3*по существу носят качественный характер, поскольку, -вообще
говоря, неизвестно, при каких значениях р0, удовлетворяющих этим
неравенствам, резонансные вращения тела будут устойчивыми, и
существуют ли такие р0. Неясно также, каким образом может повлиять на
реализуемость отдельных синхронизмов возможное в процессе формирования
Солнечной системы воздействие на вращение некоторых небесных тел
потенциальных моментов, отличных от гравитационного, в частности,
магнитного момента. Для получения ответов на эти и некоторые другие
вопросы требуется детальное количественное изучение резонансных
вращений небесных тел, возможное, по-видимому, только с использованием
ЭВМ.
В этом параграфе излагаются результаты работы [98], посвященной
исследованию всех возможных вращений в синхронизме «2 : 1
динамически симметричного (А = В) постоянно намагниченного по оси
динамической симметрии небесного тела, центр масс которого описывает круговую
кеплеровскую орбиту и на которое воздействуют гравитационный,
магнитный и малый по сравнению с ними приливный моменты, порождаемые
268

центральным телом. Будем считать, что центральное тело, подобно Земле,
имеет собственное магнитное поле дипольного характера.
Вращательное движение спутника будет описываться системой
уравнений (7.1), в которой U - сумма силовых функций (7.16) и (7.9), Мх>
М2, М3 — проекции на оси Li,L2,L момента (9.4), А,- = АГЛ = Кп = 0.
Будем считать также, что центральный эллипсоид инерции спутника
близок к сфере. Вводя расстройку к с помощью соотношения (8.28) и
усредняя силовые функции независимо по аргументу широты и вращению
центрального тела, можно получить систему эволюционных уравнений,
аналогичную системе (8.31), описывающих вращение спутника в
синхронизме 2 : 1 под действием гравитационного и магнитного моментов с
суммарной силовой функцией <£/):
tf/> = -<o2oU - C)[2sin2# + sin2p(3cos2<> _ i) +
о
+ sin2#sinp(l + cosp)sin(fc + 22)] +
I0cos8iHe
3
— sin/(l +cosp)sindcos(K + 2) -
4
1 1
sin/costfsinpsinE + cos/cos#cosp I.
2 J
Угол / означает наклонение орбиты спутника к экваториальной плоскости
центрального тела, дх — угол между осью вращения центрального тела и
осью его магнитного диполя. Стационарные решения эволюционной систе- *
мы уравнений вида (8.14) существуют, как показано во втором параграфе
восьмой главы, при выполнении условий (8.34) — (8.36). Из возможных
комбинаций углов 20 и к0, связанных условием (8.34), можно
ограничиться только двумя:
а)20=Т> ко=3~; 6)S0=3~-, *о=-7.
Величины углов р0 и #0 на стационарных решениях (один из этих
углов может быть выбран произвольно) связаны следующим образом:
sin2^о(3cos2#0 - 1) + sin2#0(c°sPo +cos2p0)sin(/c0 + 2 20) +
+ 68 [3sin/sin#oSinp0cos(K0 + 20) -
- 2sin/cos^0cosp0sin2:0 - 4cos/cos^0sinp0] = 0, (9.58)
$8=2/oPeCOs6,/.[3MU-C)].
Если б 8 = 0, то на спутник действует только гравитационный момент.
Этот случай рассматривался в работах [180,182,183]. Из уравнения (9.58)
при 58 = 0 можно найти
-3 ±УЩ8 + ?4)' _ 2(cosp0 + cos2p0)
9 + ?2 ' sin2p0
COs2^0 = 7Г7Г2 , f4 = —— . (9.59)
269

График зависимости #0(Ро)> построенный согласно выражению (9.59),
показан на рис. 132, е. Кривые симметричны относительно прямой д0 =
=7г/2. Цифрами 1 здесь, а также на других графиках рис. 132, 133
отмечены участки кривых, соответствующие стационарным решениям, для
которых Ко =37г/2,20 = 7г/2, а цифрами 2 отмечены участки кривых,
соответствующие стационарным решениям, для которых к0 =я/2,20 =Зя/2.
В общем случае (58^о) уравнение (9.58) с помощью замены г» =
= tg(p/2) можно привести к виду
4(1 -3cos2#о)+$з(3sin/sin#0 -4cosicos#0) , 12sin#0 ,
r\ + r\ - г; +
б 8 sin (к о + 220)sin/cos#0 58sin/
4(3cos2#0 — l) + 6g(3 sin/sin #0 -4cos/cost?0) 7 4sin#0
+ гф +(
58sin(K0 + 220)sin/cosi>o \*>8 sin/
(9.60)
Корни уравнения (9.60) определялись численными методами на ЭВМ.
Характерные графики зависимостей #о(Ро)> построенные для случая /= 1
радиан, показаны на рис. 132, 133. На рис. 132 параметр 58 отрицателен
и принимает следующие значения: - 25 (рис. а), -5 (рис. б), - 1,4(рис. в),
- 0,7 (рис. г), - 0,2 (рис. д). На рис. 133 параметр 58 положителен и имеет
следующие значения: 0,5 (риса), 1,1 (рис. б), 1,7 (рис. в), 3,5 (рис. г),
5 (рис. д), 25 (рис. е).
При наличии приливного момента в малой (порядка отношения
максимума модуля приливного моменту к максимуму модуля гравитационного
момента) окрестности построенных решений, вообще говоря, существуют
стационарные решения полной (с учетом приливного момента) системы
усредненных уравнений вида (8.62). Чтобы оценить влияние на
устойчивость стационарных решений приливного момента, требуется, как
показано в восьмой главе, иметь выражения проекций приливного момента,
входящие в систему (7.1), усредненные вдоль построенных стационар-
ir/2 it О it/2 it О it/2 it
Рис. 132. Зависимости р0(д0) ПРИ стационарных вращениях спутника в синхронизме
2 :1 (параметр 6в отрицателен).
270

г
2J
г/
V
у1
(М
Г24
ч
r**J /Гх А
\А\ \(б) г\
2,
\\2
V
_!
Ф
TsJ
dj
3ffl
к
Г)
L/
7
(
i
^ra
(д)
ZJ
л
№>
2,
^П
5j
/r/2 *r О n/Z n 0 rt/2 П
Рис. 133. Зависимосто р0(#о) при стационарных вращениях спутника в синхронизме
2:1 (параметр б8 положителен).
ных решений по быстрым переменным. Выпишем эти выражения,
сохранив только основные члены в приливном моменте. Имеем
8 / L \
<М\> =—I -a>0sinp + —sinpcospl,
R6 \ 1А J
Ь I L L - 2 \
R6\ A 2A )
Ь ( L
<M2> = 0, <M3)= — [ +co0cosp +
5 L
<A/iCos0 + M 2 sin ^ > = — sinp(l + cosp)cos(K + 22),
< M2 cos \p - Мл sin ф) =
~4AR*
• sinp(l + cosp)sin(*+2E).
Теперь можно составить характеристическое уравнение,
соответствующее системе уравнений в вариациях для стационарных резонансных
решений, существующих, по нашему предположению, в малой окрестности
решений Ро, #0, к0 * ^о. ^о при наличии приливного момента.
Характеристическое уравнение имеет вид
25 Л 1 ЪЧи) ,
X5 +—тХ4 г-Л3 +
AR6 А Ък20
д2Ш)
2A2R6 Эк20
X sinp0(l +cosp0)
V) Г
Г"5"
cos2p0 +5cosp0 -—sin(K0 + 21*0)ctgt50 X
-DAD,—— + } Х +
271

5_ Г/ dHU) у
+ 2A*R6 l\dKfl9Z0 /
x{Dl[-
ьчи>
(9.61)
1 -cos2p0 +cosp0 sin(K0 +22o)ctgt?0sinpo X
X (1 +cosp0)
-Z)3 cos#0(l -
2cosp0)-
1 sin#0
sin(K0 +2Z0) (cospo +cos2p0)
2 sinpo
Ь
В уравнении (9.61) введены следующие обозначения:
Т
£>! = —cog — г {(- l + 3cos2^o)sin3p0 +
' Vpo \
Ц sin"*
1
+ — sin2#0(l +cosp0 +2cosp0 sin2p0)sin(K0 + 220)|
I0He cos
2R3Ll
3 ,
£i
sin i sin
£o
cos
sin3
Po
D2 = —coq(A - Osin2#0sinp0(l +cosp0)sin(K0 + 220) +
/0Pecos^i Г 3
+ _ I _ — sin/sin #o(l +cosp0)cos(fc0 + 20) —
1 1
sin i cos d0 sin Po sin 20 ,
2 J
/>з =
2 ^o(^ - о
4 Lo sin Po sin d0
X [1,5 sin2p0 sin2^o - cos2#0(cosp0 +cos2p0)sin(K0 + 220)]
/oM*cos6i
LoR3 sin Po sin #0
1
Г3 • •
— sin i
14
sin Po cos #o cos(k0 + 20) +
+ — sin i cos Po sin #0 sin 20 + cos i sin p0 sin #0
2
Используя критерий Льенара — Шипара [56], можно получить следующие
достаточные условия устойчивости рассматриваемых стационарных
резонансных решений эволюционной системы уравнений:
£>9 =/>4 -3 -cos2p0 +cosp0 sin(K0 +220)ctg #0sinp0 X
X (L + cospo)
l + 0s(2
cospo - 1)>0,
272

0io =Ф! -DAD6)\Dn -1 -cos2p0+cosp0-
1 1
sin(K0 + 220)ctgd0 sinpo(l +cosp0)| +
2 J
+ D8 cos#o(2cosp0 - 1) +
1 sin d0 1 \
+ — sin(fc0 +220) (cospo + cos2p0) J>0,
2 cos Po J I
4£>4 + A> < 0, Z)7Z>9(D406 - D\) + DADi 0 > 0. <9'62)
В неравенствах (9.62) введены обозначения
D* =(Л -C)sind00 +cosp0) [-4 sin («о+ 2 S0) cos d0 sin Po + 358sini],
Ds = (A - C)sin d00 + cos Po) [- 8 sin(K0 + 2S0)cos d0 sin p0 + 358 sin i],
D6 =(A - O(sinr>o(l +cosp0) [- 16sin(K0 + 220)cosd0 sinp0 +
+ 368 sin/] +268 sin(K0 + 2Z0)sin/cos d0 sinp0]} ,
(A - С)
Dn = —r—^4(3 cos2 do - l)sin3p0 + 2 sin(K0 + 2S0) X
sin3 Po
X (1 +cosp0 +2cosp0 sin2p0)sin2d0 - 258 sin(K0 + 220)sin/cos d0},
(A - C)
DB {6sin2p0 sin2#0 - 4sin(K0 + 2S0) X
sin Po sin d0
X (cos Po + cos 2p0) cos 2d0 - 68(3 sin i sin p0 cos d0 +
+ 2 sin(k0 + 2S0)sin i cos p0 sin d0 + 4cos i sin p0 sin d0)}.
Если 68 = 0 или i = 0, то характеристическое уравнение (9.61)
вырождается. Один из его корней обращается в нуль, а остальные определяются
из следующего уравнения:
л 26 . 1 Э2<(/> , 8 ЬЧи) .
AR6 А Ък1 2A2R6 Ък\
_ 5 - cos2p0 - — sin (к0 + 2S0)ctg d0 sin p'0(l + cosp0) + 5 cos p0
2
i2 b2{U)
x+
1 / 5 \2 d2(U) Г
+ ~7 ~7^T I —ГТ~~0 -cospo)|- 1 -cos2Po+cosp0 -
1 1
sin(K0 + 2S0)ctgd0sinp0(l +cosp0) =0.
В этих частных случаях из-за вырождения полинома (9.61) по
уравнениям в вариациях нельзя установить устойчивости рассматриваемых
стационарных резонансных вращений. Однако, если один из корней хараюерисш
ческого уравнения (9.63) имеет положительную нещее шейную числи, m
18. A.B. Белецкий 273

соответствующее стационарное решение эволюционной системы
неустойчиво. Легко показать, что уравнение (9.63) имеет корни *с положительной
вещественной частью при невыполнении одного из следующих неравенств:
(A -C)cos#0sin(Ko +2£0)>0, (9.64)
1
1 + coszp0 - cospo +— ctg #o sinp0(l +cosp0)sin(K0 + 2Z0)>0, (9.65)
1
- 1 - cos2p0 + 5cosp0 ctg #0 sinp0(l + cosp0)sin(K0 + 2I0)> 0.
2 (9.66)
Неравенства (9.62), (9.64) - (9.66) на стационарных решениях
исследовались численно. На рис. 134, 135 заштрихованные области соответствуют
устойчивым вращениям спутника для характерного случая / = 1 рад
(стационарные вращения при остальных значениях р0 и §8 неустойчивы). На
отдельных участках оси абсцисс рис. 134, 135 использован укрупненный
масштаб. Рис. 134 построен для семейства стационарных решений
эволюционной системы вида (8.62), являющихся продолжением по параметру 6
ее решений, соответствующих значениям к0 = Зя/2, 2о = тг/2 при 6 = 0, а
рис. 135 - продолжением стационарных решений, соответствующих
значениям к0 = я/2, Zo = Зя/2. При положительных значениях параметра 58
стационарные решения, удовлетворяющие заштрихованным областям,
устойчивы, если А < С, и неустойчивы, если А > С При отрицательных
значениях 68 эти решения, наоборот, устойчивы, если А > С, и неустойчивы,
если А < С На рис. 132, 133 участки кривых, соответствующие
устойчивым при наличии приливного момента стационарным вращениям, выделены
штриховкой.
Из численного исследования неравенств (9.64)-(9.66) следует, что при
отсутствии магнитного момента неустойчивы стационарные вращения тела,
соответствующие точкам, расположенным на рис. 132, е выше точек Ль
А~>, Аъ, А* из-за нарушения неравенства (9.66). Точка А} имеет
координаты д0 = 43,7°, ро = 68,9°; точка А2 д0 = 78°, р0 = 79,7°; Аъ 00 =
= 102°, Ро = 79,7°; А* д0 = 136,3°, р0 = 68,9°. Обнаруженная
неустойчивость стационарных вращений при Ро > 79°42', А - В, 68 =0 является
непосредственным продолжением на случай К = 4 неустойчивости таких
вращений в гравитационном поле при четных К> 6 и р0 > Рг * (табл. 9).
Проведенное исследование условий существования и устойчивости
стационарных вращений динамически симметричного тела в синхронизме 2:1
выявило ряд интересных фактов. Анализ рис. 134, 135 показывает, что
наличие магнитного момента в принятой форме не влияет на обнаруженную
в предыдущем параграфе неустойчивость стационарных вращений в
гравитационном поле при больших значениях угла р0. В частности, обратные
резонансные вращения тела по-прежнему неустойчивы, если угол между
вектором кинетического момента тела и нормалью к его орбите близок к я.
Если магнитный момент мал по сравнению с гравитационным (мал
параметр 68), то рассматриваемые стационарные резонансные вращения
неустойчивы, когда угол Ро меньше некоторого предельного значения. Здесь
мы имеем продолжение на случай К = 4, А = В полученной в предыдущем
параграфе неустойчивости стационарных резонансных вращений тела в гра-
274

Рис. 134. Области устойчивости стационарных вращений спутника (заштрихованы),
близких к решениям с к0 - Зэт/2, Е0 = я/2.
Рис. 135. Области устойчивости стационарных вращений спутника (заштрихованы),
близких к решениям с к0 = я/2, £0 = Зя/2.
витационном поле при четных К> 6н небольших р0. Однако, когда
магнитный момент сравним с гравитационным, некоторые из стационарных
вращений динамически симметричного тела в синхронизме 2:1 могут быть
устойчивыми даже при р0 = 0 (например, рис. 135: 4,2 > б8 > 2,7).
Следовательно, у планет, имеющих магнитное поле, вероятность обнаружить
естественные спутники, вращающиеся в синхронизме 2:1, вообще говоря, выше,
чем у планет, лишенных магнитного поля. Напомним, что у большинства
небесных тел углы между их осями вращения и нормалями к орбитам,
вероятно, были всегда небольшими.
Информация, представленная на рис. 132 - 135, выявляет еще одну
важную причину, препятствующую реализации синхронизма 2:1 (а также,
по-видимому, и большинства других синхронизмов) в Солнечной системе.
Стационарные решения эволюционной системы уравнений,
соответствующие этому синхронизму, как легко видеть, возможны только при
некоторых значениях 2 и к и определенным образом связанных между собой
значениях углов р и д (разумеется, у каждого естественного небесного тела
инерционные характеристики и параметр 58 фиксированы). Более того,
отмеченные стационарные вращения при наличии приливного трения могут
быть устойчивыми только в некоторых достаточно узких интервалах
значений указанных углов. Из результатов § 5 восьмой главы следует, что если
центральный эллипсоид инерции тела близок к сфере и не симметричен, то
для существования стационарных вращений этого тела в синхронизме 2:1
должны быть связаны между собой значения уже не двух, а трех углов:
р, # и «р. Аналогичная ситуация, вероятно, имеет место и для других
синхронизмов. Очевидно поэтому, что для захвата небесного тела в некоторое
стационарное резонансное вращение необходимо, чтобы, когда его средняя
скорость вращения достигает в процессе эволюции одного из значений,
соизмеримых со средней угловой скоростью обращения тела по орбите,
каждый из углов I, р, #, у попадал, эволюционируя, в некоторый узкий
18*
275

интервал своих значений, обеспечивающих существование и устойчивость
этого стационарного вращения.
В частности, в окрестности синхронизма 2:1 величина модуля
кинетического момента тела L (а следовательно, и средняя угловая скорость
вращения тела) должна быть близка к значению, определяемому из выражения
(8.37а), поскольку в резонансной зоне разность (L - L0) имеет порядок
квадратного корня из отношения | А - С \ /А. Тогда в силу интеграла вида
(8.13) угол д должен быть близок к значению #0> а угол р - к значению р0
в силу уравнения (9.58).
Очевидно, что вероятность попадания каждого из углов д, р, S, \р в
определенный момент приливной эволюции в нужный интервал своих
значений мала. Поэтому мала и вероятность захватов тела в стационарные
резонансные вращения, равная, вообще говоря, произведению вероятностей
нахождения каждого из отмеченных углов в соответствующем интервале.
Если же захвата в резонансное вращение не происходит, то
соответствующее этому синхронизму близкое к рациональному соотношение между
средними угловыми скоростями вращения и обращения тела не может
сохраняться в течение длительного времени. Действительно, из-за малых
размеров резонансньрс зон, соответствующих любому из изучаемых
синхронизмов, величина Z,, не являющаяся стационарной (даже в среднем)
при своем изменении под действием возмущений, с течением времени
достигнет границы резонансной зоны и пересечет ее, а тогда угловая
скорость тела благодаря приливному трению будет изменяться до достижения
ею следующего резонансного значения.
Следовательно, если некоторое стационарное резонансное вращение
небесного тела неустойчиво (вероятность попадания в процессе* эволюции
переменных, описывающих вращение тела, в интервалы значений,
обеспечивающих устойчивость этого вращения, мала), то соответствующая
такому вращению граница резонансной зоны является опасной в смысле
близости средней угловой скорости вращения тела к ее значению в
рассматриваемом синхронизме. Исключение в указанном смысле представляет
собой ситуация, возникающая в финальной стадии процесса приливной
эволюции вращательного движения, когда р ъ О, а средняя угловая скорость
вращения небесного тела стремится к некоторому предельному значений,
увеличивающемуся, согласно рис. 119, с увеличением эксцентриситета
орбиты тела. Как уже отмечалось, если эксцентриситет орбиты равен нулю,
толредельное значение средней угловой скорости вращения соответствует
синхронизму 1:1; если же эксцентриситет орбиты достаточно велик, то
оно может соответствовать при подходящем значении е любому из
других синхронизмов. В частности, чтобы предельное значение средней
угловой скорости тела соответствовало синхронизму 2:1, эксцентриситет его
орбиты должен быть около 0,4. Независимо от того, является ли средняя
угловая скорость вращения тела в финальной стадии эволюции
резонансной или нет, эта угловая скорость, так же как и угол р, в дальнейшем
не имеют вековых уходов и все время остаются вблизи своих
постоянных (при неизменных параметрах орбиты) значений, даже при возможных
изменениях других йеременных (например, углов 2, #, </?).
Следовательно, если даже стационарные вращения, соответствующие какому-либо из
синхронизмов, возникающих в финальной стадии приливной эволюции
276

вращения небесных тел, не реализуется или неустойчивы (в частности,
из-за "неподходящих" значений углов Е, #, <р), то тем не менее границы
резонансных зон этих синхронизмов безопасны с точки зрения близости
средней угловой скорости вращения к ее резонансному значению.
Суммируя результаты § § 3 - 5 этой главы, заключаем, что в Солнечной
системе, большие тела которой имеют малые эксцентриситеты орбит,
маловероятно (или совсем невозможно) обнаружить синхронизмы,
отличные от 1 :1 и 3 :2. Ни одно из них не имеет эксцентриситета орбиты,
достаточного для реализации в финальной стадии эволюции вращения
других синхронизмов, кроме 1:1 и 3:2. Вероятность же застревания
на промежуточных синхронизмах мала из-за недостаточной вероятности
захвата и неустойчивости большинства таких синхронизмов.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
А, В, С - главные центральные моменты инерции спутника
е - эксцентриситет орбиты
Н - напряженность геомагнитного поля
10 - постоянная составляющая магнитного момента спутника
I - наклонение орбиты
К - кинетический момент роторов, установленных на спутнике
Кп - скорость изменения долготы восходящего узла
К^ - скорость изменения долготы перицентра орбиты спутника
kj - орт оси симметрии оболочки спутника
L - кинетический момент спутника относительно его центра масс
М - средняя аномалия
ptq,r- проекции угловой скорости вращения спутника на его главные центральные
оси инерции
UT - силовая функция гравитационных моментов
UM - силовая функция магнитных моментов
и - аргумент широты
V^ - скорость центра масс спутника
а* - параметр, характеризующий постоянный магнитный момент спутника
0*, ? - параметры, характеризующие намагничивание оболочки спутника
е - малый параметр
Ц\ I т\г 1 ^з ~ направляющие косинусы, определяющие положение постоянного
магнитного момента относительно спутника
Л - фазовая расстройка
/к - гравитационная постоянная
це - постоянная земного магнетизма
м о - магнитная проницаемость материала оболочки спутника
v - истинная аномалия
ра - коэффициент аэродинамического сопротивления
П t - долгота восходящего узла орбиты спутника
сЗ - угловая скорость вращательного движения спутника
а>я - долгота перицентра орбиты спутника

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Х.Адам Н.В., Бельков а ИМ., Орлов В.П., Осипов Н.К., Тюрмина Л.О. Сферический
анализ геомагнитного поля на эпохи 1955 и 1958 гг. - Геомагнетизм и
аэрономия, 1962, т. 2, №5.
2. Алпатов А.П., Драное с кий В.И., Салтыков Ю.Д., Хорошилов B.C. Динамика
космических аппаратов с магнитными системами управления. - М.:
Машиностроение, 1978.
З.Анчев А. О перманентных вращениях твердого тела с одной неподвижной точкой
и их устойчивости. - Прикладная математика и механика, 1965, т. 29, № 2.
4. Анчев А. О стабилизации относительного равновесия спутника с маховиками. -
Космические исследования, 1966, т. 4, № 2.
5.Аппель А. Теоретическая механика, т. 2. - М.: Физматгиз, 1960.
6. Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно-
периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. - Успехи
математических наук, 1963, т. 18, № 5.
1. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в
классической и небесной механике. - Успехи математических наук, 1963, т. 18, № 6.
8.Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями
свободы. - Доклады АН СССР, 1964, т. 156, № 1.
Э.Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. - М.: Наука, 1977.
10. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре
аттрактора Лоренца. - Доклады АН СССР, 1977, т. 234, № 2.
11. Б арба шин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим
фазовым пространством. - М.: Наука, 1969.
М.Барсуков В.Л. В зеркале соседней планеты. - Правда, 1979, № 14.
13. Баталова З.С, Мельниченко Н.А. О структуре фазового пространства и
бифуркациях уравнения движения намагниченного спутника в плоскости круговой
полярной орбиты. - Космические исследования, 1983, т. 21, №4.
14.Белецкий В.В. Движение искусственного спутника Земли относительно центра
масс. - В кн.: Искусственные спутники Земли. М.: АН СССР, 1958, № 1.
15. Белецкий В.В. О либрации спутника. - В кн.: Искусственные спутники Земли.
М.: АН СССР, 1959, №3.
16. Белецкий В.В. Эволюция вращения динамически-симметричного спутника. -
Космические исследования, 1963, т. I, № 3.
11. Белецкий В.В. Об одном случае движения твердого тела около закрепленной
точки в ньютоновском поле сил. - Прикладная математика и механика, 1963,
т.27,№1.
IS.Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс-
М.: Наука, 1965.
19. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном
поле. -М.: МГУ, 1975.
Ю.Белецкий В.В. Приливная эволюция наклонений и вращений небесных тел. - М.:
Препринт Ин-та прикладной математики АН СССР, 1978, № 43.
21. Белецкий В.В., Касаткин Г.В. Об экстремальных свойствах резонансных
движений. - Доклады АН СССР, 1980, т. 251, № 1.
22.Белецкий В.В., Лавровский Э.К., Хентов А.А. О некоторых резонансных
вращениях небесных тел. - В кн.: Аннотации докладов 4-го Всесоюзного съезда по
теоретической и прикладной механике. Киев: Hayкова думка, 1976.
279

23.Белецкий В.В., Левин ЕМ., Погорелое Д.Ю. К вопросу о резонансном вращении
Венеры. - Астрономический журнал, 1980, т. 57, № 1.
24. Белецкий В.В., Левин ЕМ, Погорелое Д.Ю. К вопросу о резонансном вращении
Венеры, II. - Астрономический журнал, 1981, т. 58, № 1.
25. Белецкий В.В., Новогребельский А.Б. Существование устойчивых относительных
равновесий искусственного спутника в модельном магнитном поле. -
Астрономический журнал, 1973, т. 50, № 2.
26. Белецкий В.В., Погорелое Д.Ю. Плоские резонансные вращения спутника на
эллиптической орбите. - Прикладная математика и механика, 1979, т. 43, № 3.
21. Белецкий В.В., Садов Ю.А., Хентов АА. О динамике двух пассивных систем
стабилизации ИСЗ. - В кн.: Труды шестого Симпозиума ИФАК. Ереван: АН СССР, 1974.
28. Белецкий В.В., Хентов А.А. О стационарных вращениях намагниченного спутника
в магнитном поле. - В кн.: Аннотации докладов второй Чатаевской конференции
по аналитической механике, устойчивости движения и оптимальному управлению.
Казань: АН СССР, 19.72.
29. Белецкий В.В., Хентов А.А. Магнитно-гравитационная стабилизация спутника. -
Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1973, №4.
30. Белецкий В.В., Хентов А.А. О магнитно-гравитационной стабилизации спутника. -
В кн.: Аннотации докладов 24-го Конгресса МАФ. Баку: ВИНИТИ, 1973.
Ъ\.Белецкий В.В., Хентов А.А. О стационарных вращениях намагниченного спутника
в магнитном поле. - В кн.: Проблемы аналитической механики, теорий
устойчивости и управления. М.: Наука, 1975.
32. Белецкий В.В., Хентов А.А. О вековой эволюции вращательного движения
спутника, снабженного наэлектризованным экраном. - Космические исследования,
1982, т. 20, №3.
33. Белецкий В. В., То ржевский А.П. Устойчивость быстрых вращений осесимметрич-
ного спутника в гравитационном поле. - Доклады АН СССР, 1972, т. 203, № 1.
34. Белецкий В.В., Трушин СМ. Устойчивость обобщенных законов Кассини. - В кн.:
Механика твердого тела. Киев: Наукова думка, 1974, № 6.
35. Белецкий В.В., Шляхтин А.Н. Экстремальные свойства резонансных движений. -
Доклады АН СССР, 1976, т. 231, №4.
36. Белецкий В.В., Шляхтин А.Н. Резонансные вращения спутника при
взаимодействии магнитного и гравитационного полей. - М.: Препринт Ин-та прикладной
математики АН СССР, 1980, №46.
37. Белецкий В.В., Яншин AM. Влияние аэродинамических сил на вращательное
движение искусственных спутников. - Киев: Наукова думка, 1984.
38. Бенькова #•#. Магнитное поле Земли на больших высотах. - В кн.: Труды
третьего совещания по вопросам космогонии. М.: АН СССР, 1954.
ЪЭ.Блехман ИМ. Синхронизация динамических систем. - М.: Наука, 1971.
40. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. - М.: Наука, 1981.
41. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974.
42.Боевкин В.И., Гуревич Ю.Г., Павлов Ю.Н., Толстоусов Г.Я. Ориентация
искусственных спутников в гравитационных и магнитных полях. - М.: Наука, 1976.
АЪ.БоэортР. Ферромагнетизм. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1956.
44. Бурштейн Э.Л., Соловьев Л.С Гамильтониан усредненного движения. - Доклады
АН СССР, 1961, т. 139, №4.
45. Бутенин И.В., Яеймарк ЮМ., Фуфаев И.А. Введение в теорию нелинейных
колебаний. - М.: Наука, 1976.
46. Бухгольц ИМ. Основной курс теоретической механики. - М.-Л.: ОГИЗ, Гостех-
издат, 1945.
47. Вайнберг ММ., Треногий В.А. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных
уравнений и их дальнейшее развитие. - Успехи математических наук, 1962,
т.17,№2.
48. Вайнберг ММ., Треногий В.А. Теория ветвления решений нелинейных
уравнений. -М.: Наука, 1969.
49. Вандерслайс Д.Л. Анализ динамики спутника с гравитационно-градиентной
системой стабилизации и пассивным демпфированием. - В кн.: Проблемы ориентации
искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1966.
280

50. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука,
1980.
51. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1981.
52. Витг А.А, Горелик Г.С. Колебания упругого маятника, как пример колебаний
двух параметрически связанных линейных систем. - Журнал технической
физики, 1933, т. 3.
53. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных
колебательных систем. -М.: МГУ, 1971.
54. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Лекции по асимптотическим методам исследования
стационарных резонансных режимов нелинейных колебательных систем. - В кн.:
Труды пятой летней математической школы. Киев: Наукова думка, 1968.
55. Вонсовский СВ., ШурЯ.С. Ферромагнетизм. - М.-Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1948.
56. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. - М.: Наука, 1966.
57. Геомагнитное международное аналитическое поле 1975 г. - Геомагнетизм и
аэрономия, 1977, т. 17, № 1.
58. Гехт Е., Мэнджер У Магнитная система управления угловым положением
спутников серии "Тайрос". - В кн.: Проблемы ориентации искусственных спутников
Земли. М.: Наука, 1966.
59. Голдстейн Г. Классическая механика. - М.: Наука, 1975.
60. Голубков В.В. Вычисление момента сил, действующих на тело в магнитном
поле. - М.: Препринт Ин-та прикладной математики АН СССР, 1971, № 50.
61. Гончарский А.А., Хентов А.А О некоторых режимах вращения намагниченного
спутника-гиростата в геомагнитном поле. - Известия вузов, Радиофизика, 1972,
т. 15, №11.
62. Граммель Р. Гироскоп, его теория и применения, т. I. - М.: Изд-во иностранной
литературы, 1952.
63. Гуртов ник А.С., Неймарк Ю. И. Интегральные многообразия некоторых
нелинейных систем. - Известия вузов, Радиофизика, 1972, т. 15, № 11.
64. Гуртовник А.С., Неймарк Ю.И. О синхронизации динамических систем. -
Прикладная математика и механика, 1974, т. 38, № 5.
65. Дарвин Д. Приливы и родственные им явления в Солнечной системе. - М.:
Наука, 1965.
66. Драное с кий В. И., Яншин A.M. Влияние диссипативных моментов от вихревых
токов на ориентацию спутника, стабилизированного вращением. - Космические
исследования, 1975, т. 13, №4.
67. Дрофа В.Н. О перманентных осях движения тяжелого гиростата около
неподвижной точки. - Прикладная математика и механика, 1961, т. 25, №5.
68. Жуковский Н.Е О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные
однородной капельной жидкостью. Собрание сочинений, т. 2. - М.: Гостехиздат,
1948.
69. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных
систем. - Успехи физических наук, 1971, т. 105, № 1.
70. Змуда А.Д. Геомагнитное поле и его аналитическое представление. -
Геомагнетизм и аэрономия, 1973, т. 13, № 6.
71. Змуда А.Д. Обсуждение вопросов МАП 1965,0 на Ассамблее МАГА в Киото. -
Геомагнетизм и аэрономия, 1974, т. 14, № 2.
72. Зонов-Ю.В. К вопросу о взаимодействии спутника с магнитным полем Земли. -
В кн.: Искусственные спутники Земли. М.: АН СССР, 1959, № 3.
73. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -
М.: Наука, 1965.
74. Канцельсон О.Г, Эделъштейн А.С. Магнитная подвеска в приборостроении. -,М.:
Энергия, 1966.
75. Касаткин Г.В. Экстремальные свойства устойчивых резонансных движений. -
Прикладная математика и механика, 1981, т. 45, № 6.
76. Каула У. Введение в физику планет Земной группы. - М.: Мир, 1971.
77. Ковалев А.М., Киселев AM. О конусе осей равномерного вращения гиростата. -
В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наукова думка, 1972, № 4.
78. Коваленко АЛ. Магнитные системы управления космическими летательными
аппаратами. - М.: Машиностроение, 1975.
281

79. Козлов Н.Н., Энеев ТМ. Численное моделирование процесса образования планет
из протопланетного облака. - М.: Препринт Ин-та прикладной математики
АН СССР, 1977, №134.
80. Колесников Н.Н. Регулярная прецессия свободного гиростата. - Прикладная
математика и механика, 1966, т. 30, № 3.
81. Корн Г.. Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1968.
82. Кузнецов ЛИ., Чикова И.В. О прямых положениях равновесия, их устойчивости
и колебаниях спутника с электростатической зашитой. - В кн.: Колебания и
устойчивость механических систем. Л.: ЛГУ, 1981.
S3. Кузнецов Л.И., Чикова Н.В. Плоские колебания тела на круговой орбите под
действием лоренцовых сил. - Вестник ЛГУ, 1981, вып. 2, № 7.
84. Кузьмин П.А. Стационарные движения твердого тела и их устойчивость в
центральном поле тяготения. - В кн.: Труды межвузовской конференции по
прикладной теории устойчивости движения и аналитической механике. Казань:
Издание Казанского гос. университета, 1964.
85. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Физматгиз, 1959.
86. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Электродинамика сплошных сред. - М.: Физматгиз,
1959.
87. Ландау Л.Л., Лифшиц ЕМ. Теория поля. - М.: Наука, 1967.
ЪЪ.Лидов М.Л., Нейштадт А.И. Метод канонических преобразований в задачах о
вращении небесных тел и законы Кассини. - М.: Препринт Ин-та прикладной
математики АН СССР, 1973, №9.
89. Линьков Р.В. Медленные движения проводящего волчка при резонансном
взаимодействии с переменным магнитным полем. - Журнал технической физики, 1980,
т. 50, №6.
90. Линьков Р.В., Урман ЮМ. Силы и моменты, действующие на проводящую
оболочку, вращающуюся в магнитном поле. - Журнал технической физики, 1977, т. 47,
№5.
91. Линьков Р.В., Урман ЮМ. Быстрые вращения проводящего магнитного волчка в
неоднородном переменном магнитном поле. - Журнал технической физики,
1978, т. 48, №6.
92. Лунев В.В. О сферических движениях КЛА под действием сил нулевого
потенциала. - В кн.: Труды десятых Чтений, посвященных разработке научного наследия и
развитию идей К.Э.Циолковского. М.: АН СССР, 1976.
93. Ляпунов AM. Общая задача об устойчивости движения. - М.: Гостехиздат, 1950.
94. Ляпунов AM. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости. -
В кн.: Собрание сочинений, т. I. M.: АН СССР, 1954.
95. Мак-Илвейн Р.Д. Изменение кинетического момента спутника при помощи
магнитного поля Земли. - В кн.: Проблемы ориентации искусственных спутников
Земли. М.: Наука, 1966.
96. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. - М.: Гостехиздат,
1956.
97. Малкин И.Г Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1966.
9Ъ.Малышкин Г.И., Хентов А.А. О множестве стационарных вращений
намагниченного естественного спутника при резонансе 2:1. - Известия АН СССР, Механика
твердого тела, 1981, № 1.
99. Мартыненко Ю.Г. Движение проводящего твердого тела около неподвижной
точки в магнитном поле. - Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1977, № 4.
100. Мартыненко Ю.Г., Урман ЮМ. О малых колебаниях быстро закрученного
твердого тела в магнитном поле. - Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1981,
№1.
101. Международное аналитическое поле. - Геомагнетизм и аэрономия, 1969, т. 9, № 3.
102. Михлин С.Г Лекции по линейным интегральным уравнениям. - М.: Физматгиз,
1959.
103. Млодзеевский Б.К О перманентных осях в движении тяжелого твердого тела
около неподвижной точки. - Труды отделения физических наук общества
любителей естествознания, 1894, т. 7, № 1.
104. Молчанов A.M. Резонансы в многочастотных колебаниях. - Доклады АН СССР,
1966, т. 168, №2.
282

105. Молчанов A.M. О резонансной структуре Солнечной системы. - В кн.:
Современные проблемы небесной механики и астродинамики. М.: Наука, 1973.
106. Морозов В.М. Об устойчивости движения гиростата под действием
гравитационных, магнитных и аэродинамических моментов. - Космические исследования,
1967, т. 5, №5.
107. Морозов В.М. Некоторые задачи об устойчивости движения спутника. М.: МГУ,
Кандидатская диссертация, 1968.
108. Морозов В.М. Об устойчивости относительного равновесия спутника при действии
гравитационного, магнитного и аэродинамического момента. - Космические
исследования, 1969, т. 7, № 3.
109. Неймарк ЮМ. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. -
М.: Наука, 1972.
НО.Нехорошее Н.Н. О поведении гамильтоновых систем, близких к
интегрируемым. - Функциональный анализ и его приложения, 1971, т. 5, № 4.
111. Овчинников М.Ю. Периодические движения спутника с магнитом на круговой
полярной орбите. - В кн.: Аэрофизика и прикладная математика. М.: МФТИ,
1980.
112. Овчинников М.Ю. Периодические движения осесимметричного гравитационно-
ориентированного спутника с демпфером. - М.: Препринт Ин-та прикладной
математики АН СССР, 1982, № 90-
113. Овчинников М.Ю. Близкие к стационарным периодические движения
осесимметричного спутника с магнитным демпфером. - М.: Препринт Ин-та прикладной
математики АН СССР, 1982, № 178.
114. Огаркова Т.Н., Хентов А.А. О магнитно-гравитационной стабилизации трехосного
спутника. - Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1980, № 4.
115. Охоцимский Д.Е., Сарычев ВЛ. Система гравитационной стабилизации
искусственных спутников. - В кн.: Искусственные спутники Земли. М.: АН СССР, 196.
№16.
116. Паноеко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. - М.: Физмат-
гиз, 1960.
117. Пожарицкий Г.К. О построении функции Ляпунова из интегралов уравнений
возмущенного движения. - Прикладная математика и механика, 1958, т. 22, № 2.
118. Пожарицкий Г.К. Об устойчивости перманентных вращений твердого тела с
закрепленной точкой, находящегося в ньютоновском центральном поле сил. -
Прикладная математика и механика, 1959, т. 23, № 4.
119. Приливы и резонансы в Солнечной системе / Под ред. В.П.Жаркова. - М.: Мир,
1975.
120. Проблемы ориентации искусственных спутников Земли / Под ред. С.Ф.Сингера. -
М.: Наука, 1966.
121. Рабинович М.И. Стохастические колебания и турбулентность. - Успехи
физических наук, 1978, т. 125, № 1.
122. Рубановекий В.Н. О бифуркации и устойчивости стационарных движений систем
с известными первыми интегралами. - В кн.: Задачи исследования устойчивости и
стабилизации движения, вып. 1. М.: ВЦ АН СССР, 1975.
123. Рубоповский В.Н. О бифуркации и устойчивости перманентных вращений
тяжелого твердого тела в случае, когда его центр масс расположен вблизи главной
плоскости эллипсоида инерции. - Прикладная математика и механика, 1982,
т. 46, №5.
124. Рубоповский В.Н. О бифуркации и устойчивости перманентных вращений
тяжелого твердого тела в случае, когда его центр масс лежит вблизи главной
плоскости инерции. - В кн.: Задачи исследования устойчивости и стабилизации
движения, вып. 2. М.: ВЦ АН СССР, 1982.
125. Рубоповский В.Н., Степанов С.Я. О теореме Рауса и методе Четаева построения
функции Ляпунова из интегралов уравнений движения. - Прикладная
математика и механика, 1969, т. 33, № 5.
126. Румянцев В.В. Устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела. -
Прикладная математика и механика, 1956, т. 20, № 1.
127. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных.-
Вестник МГУ, Серия "Математика, маханика" 1957, №4.
283

128. Румянцев В.В. Об устойчивости движения гиростатов. - Прикладная математика
и механика, 1961, т. 25, № 1.
129. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. - М.: ВЦ
АН СССР, 1967.
130. Рускол Е.Л. История системы Земля - Луна. - Земля и Вселенная, 1965, № 5.
131. Садов ЮА. Периодические движения спутника с магнитным демпфером в
плоскости круговой орбиты. - Космические исследования, 1969, т. 7, № 1.
132. Садов ЮА. Быстрое вращение спутника с магнитным демпфером. Движение
демпфера. - Космические исследования, 1970, т. 8, № 4.
133. Садов ЮА. Быстрое вращение спутника с магнитным демпфером. Движение
вектора кинетического момента в консервативном приближении. - Космические
исследования, т. 12, № 4.
134. Садов ЮА. Быстрое вращение спутника с магнитным демпфером. Учет изменений
состояния демпфера. - Космические исследования, 1978, т. 16, № 3.
135. Садов ЮА., Тетерин А.Д. Влияние поступательных степеней свободы поплавка
магнитного демпфера на динамику спутника с гравитационной системой
ориентации. - М.: Препринт Инта прикладной математики АН СССР, 1974,
№103.
136. Садов ЮА., Тетерин А.Д. Исследование периодических движений спутника с
магнитным демпфером. - М.: Препринт Ин-та прикладной математики АН СССР,
1979, №35.
137.Сансоне Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 2. - М.: Изд-во
иностранной литературы, 1954.
138. Сарычев В А. Условия устойчивости системы гравитационной стабилизации
спутников с гиродемпфированием. - Astronautica Acta, 1969, v. 14, № 4.
139. Сарычев В А. Вопросы ориентации искусственных спутников. Итоги науки и
техники. Серия: Исследование космического пространства. - М.: ВИНИТИ, 1978.
140. Сарычев В А., Луканин К.В. Оптимальные параметры системы гравитационной
стабилизации спутников с гиро демпфированием. - М.: Препринт Ин-та
прикладной математики АН СССР, 1971, № 46.
141. Сары чев В А., Сазонов В.В. Оценка влияния диссипативного магнитного момента
от вихревых токов на быстрое вращение спутника. - Космические исследования,
1982, т. 20, №2.
142. Сарычев В.А.. Сазонов В.В. Влияние диссипативного магнитного момента на
вращение спутника относительно центра масс. - Известия АН СССР, Механика
твердого тела, 1983, №2.
143. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Овчинников М.Ю. Периодические колебания
спутника относительно центра масс под действием магнитного момента. - М.:
Препринт Ин-та прикладной математики АН СССР, 1982, № 182.
144. Сарычев В.А., Пеньков В.И. Динамика гравитационной системы стабилизации
спутника с демпфирующей пружиной. - В кн.: Управление в пространстве, т. I.
М.: Наука, 1976.
145. Сарычев В А., Пеньков В.И. О быстродействии гравитационной системы
стабилизации спутников с демпфирующей пружиной. - Космические исследования,
1977, т. 15, №5.
146. Сафронов B.C. Допланетное облако и его эволюция. - Астрономический журнал,
1966, т. 43, №4.
147. Семенчук В.Е., Хентов А.А. О равномерных вращениях намагниченного
свободного твердого тела в геомагнитном поле. - В кн.: Динамика систем. Горький:
Издание Горьковского госуниверситета, 1980.
148. Соколов Л.В. Магнитный демпфер для системы гравитационной ориентации. -
В кн.: Управление в пространстве, т. I. M.: Наука, 1973.
149. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Под ред.
Г.Н.Дубошина. - М.: Наука, 1971.
150. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: Физматгиз, 1959.
\5Х.Степанов С.Я. О множестве стационарных движений спутника-гиростата в
центральном ньютоновском поле сил и их устойчивости. - Прикладная математика
и механика, 1969, т. 33, № 4.
152. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г.Синая и Л.П.Шильникова. - М.: Мир, 1981.
284

153. Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах. - М.: Наука,
'1978.
154. Телеснин Р.В., Яковлев В.Ф. Курс физики. - М.: Учпедгиз, 1960.
155! Торжевский А.П. Быстрое вращение искусственного спутника вокруг центра
масс в резонансном режиме. - Космические исследования, 1968, т. 6, № 1.
156. Торжевский А.П. Движение искусственного спутника относительно центра масс
и резонансы. - Astronautica Acta, 1969, v. 14, № 3.
157. Тюрмина J1.0. Описание главного магнитного поля Земли. - Геомагнетизм и
аэрономия, 1972, т. 12, №4.
158. Урман ЮМ. Неприводимые тензоры и их применение в задачах движения
твердого тела в силовых полях. - В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наукова думка,
1983.
159. Урман ЮМ., Денисов Г.Г. Применение неприводимых представлений группы
вращений к задаче о прецессионных движениях твердого тела с закрепленной
точкой. - В кн.: Динамика систем. Горький: Горьковский университет, 1974, №2.
160. Фихтенгольц ГМ. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3. -
М.-Л.: Физматгиз, 1960.
161. Фихтенгольц ГМ. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2. -
М.: Физматгиз, 1962.
162. Федоров В.В. Численные методы максимина. - М\: Наука, 1979.
163. Фишелл Р.Е., Мобли Ф.Ф. Система пассивной гравитационно-градиентной
стабилизации искусственных спутников Земли. - В кн.: Проблемы ориентации
искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1966.
164. Хазин Л.Г., Цельман Ф.Х. О нелинейном взаимодействии резонирующих
осцилляторов. - Доклады АН СССР, 1970, т. 193, № 2.
165. Харламов П.В. О равномерных вращениях тела, имеющего неподвижную точку.
Прикладная математика и механика, 1965, т. 29, № 2.
166. Хенюв А.А. Пассивная стабилизация искусственных спутников по магнитному
полю Земли. - Космические исследования, 1967, т. 5, №4.
167. Хенюв А.А. Движение около центра масс экваториального спутника на круговой
орбите при взаимодействии магнитного и гравитационного полей Земли. -
Прикладная математика и механика, 1967, т. 31, №5.
168. Хенюв А.А. Колебания намагниченного искусственного спутника Земли около
своего центра масс. - М.: МГУ, Кандидатская диссертация, 1967.
169. Хенюв А.А. Влияние магнитного и гравитационного полей Земли на колебания
спутника вокруг своего центра масс. - Космические исследования, 1967, т. 5, № 4.
170. Хенюв А.А. Об устойчивости по первому приближению одного вращения
искусственного спутника Земли вокруг своего центра масс. - Космические
исследования, 1968, т. 6, №5.
171. Хенюв А.А. Использование консервативных магнитных моментов для
стабилизации ИСЗ по магнитному полю Земли. - В кн.: Механика космического полета.
М.: Машиностроение, 1969.
172. Хенюв А.А. Влияние геомагнитного поля и аэродинамических моментов на
движение спутника около своего центра масс. - В кн.: Механика космического
полета. М.: Машиностроение, 1969.
173. Хенюв А.А. О перманентных вращениях экваториального спутника в
геомагнитном поле. - Известия вузов, Радиофизика, 1972, т. 15, № 3.
174. Хенюв А.А. Некоторые вопросы вращательного движения намагниченного
спутника в геомагнитном поле. - В кн.: Труды шестых Чтений, посвященных
разработке научного наследия и развитию идей К.Э.Циолковского. Секция: Механика
космического полета. М.: АН СССР, 1973.
П5. Хенюв А.А. Влияние магнитного поля Земли на вращение искусственного
спутника относительно своего центра масс. - В кн.: Современные проблемы небесной
механики и астродинамики. М.: Наука, 1973.
176. Хенюв А.А. Синхронизация спутников. - В кн.: Динамика систем. Горький:
Горьковский университет, 1974, №4.
177. Хенюв А.А. Некоторые вопросы синхронизации в Солнечной системе. - В кн.:
Тезисы докладов Всесоюзной конференции: Проблемы нелинейных колебаний
механических систем. Киев, 1974.
285

178. Хентов А А. Об эволюции вращательного движения некоторых небесных тел. -
Астрономический журнал, 1975, т. 52, № 5.
179. Хентов А А. О синхронизации вращений свободного твердого тела в
гравитационном поле. - В кн.: Тезисы докладов Всесоюзной конференции по качественной
теории дифференциальных уравнений. Рязань, 1976.
180. Хентов А А. Об одном режиме синхронизации движений небесных тел. -
Астрономический журнал, 1976, т. 53, № 6.
181. Хентов А А. К вопросу о захвате некоторых небесных тел в резонансные
вращения. - Астрономический журнал, 1976, т. 53, №5.
182. Хентов А А. О реализуемости синхронизма 2:1 у естественных небесных тел. -
В кн.: Третья Всесоюзная Четаевская конференция по устойчивости движения,
аналитической механике и управлению движением. Аннотации докладов.
Иркутск, 1977.
183. Хентов АА. К вопросу об устойчивости вращений небесных тел,
синхронизированных с их движением по орбите. - В кн.: Тезисы докладов Всесоюзной
конференции памяти Г.В.Каменкова. М.: 1978.
184. Хентов АА. Об одном описании главной части геомагнитного поля,
воспринимаемого спутником. - Космические исследования, 1979, т. 17, № 4.
\&5. Хентов А А. Динамика формирования резонансных вращений естественных
небесных тел. - Астрономический журнал, 1982, т. 59, № 4.
186. Хентов А А. Об одном вращательном движении спутника. - Космические
исследования, 1984, т. 22, № 1.
187. Хентов АА.^ Об обратных резонансных вращениях естественных небесных тел. -
Астрономический журнал, 1985, т. 62.
188. Хентов А А.. Клеев В.И. Колебания ИСЗ вокруг своего центра масс с учетом
потерь энергии на магнитный гистерезис. - Космические исследования, 1970,
т. 8, №5.
189. Черноусько Ф.Л. О движении спутника относительно центра масс под действием
гравитационных моментов. - Прикладная математика и механика, 1963, т. 27,
№3.
190. Черноусько Ф.Л. Резонансные явления при движении спутника относительно
центра масс. - Журнал вычислительной математики и математической физики,
1963, т. 3,№3.
191. Черноусько Ф.Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника. - Прикладная
математика и механика, 1964, т. 28, № 1.
192. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. - М.: Гостехиздат, 1955.
193. Четаев Н.Г. Об устойчивых траекториях динамики. - В кн.: Устойчивость
движения. Работы по аналитической механике. М.: АН СССР, 1962, с. 245 - 249.
194. Четаев Н.Г. Об устойчивых траекториях динамики. - В кн.: Устойчивость
движения. Работы по аналитической механике. М.: АН СССР, 1962, с. 250-268.
195. Чикова Н.В. Возмущение лоренцовыми силами вращательного движения тела
в центральном гравитационном поле. - В кн.: Колебания и устойчивость
механических систем. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1981.
196. Чикова Н.В. О нелинейных резонансах в задаче движения тела около центра масс
под действием лоренцовых сил. - Вестник Ленинградского университета, 1983,
вып. 1,№1.
197. Шевнин А.Д. О возмущающем моменте спутника, движущегося в магнитном поле
Земли. - Космические исследования, 1965, т. 3, №5.
198. Шинкарик Т.К. Исследование движения небесного тела под действием приливного
момента. - Бюллетень Института теоретической астрономии, 1979, т. 14, № 7.
199. Шостак Р.Я. О признаке условной определенности квадратичных форм п
переменных, подчиненных линейным связям, и о достаточном признаке условного
экстремума функции п переменных. - Успехи математических наук, 1954, т. 9, № 2.
200. Яновский Б.М. Земной магнетизм. - М.: Государственное издательство технико-
теоретической литературы, 1953.
201. Яншин A.M. Экспериментальное определение моментов от вихревых токов. -
Космические исследования, 1975, т. 13, № 2.
202. Яншин A.M.. Заблуда СМ. Динамика магнитного демпфирования быстро
вращающихся ИСЗ. - Космические исследования на Украине, 1977, № 10.
286

203. Яншщ A.M., Заблуда СМ. Установившиеся собственные вращения ИСЗ в
магнитном поле. - Космические исследовании пи Украине, 1977, № И.
204. Beletskii V. V. New Investigations of Motion of an Artificial satellite about its Center of
Mass in: Dinamics of Satellite, 1969, cd. B. Morando, Springer-Verlag, 1970.
205. Beletskii V. V. Resonance Rotation of celestial Bodies and Cassini Laws. - Celestial Me-
chanics, 1972, v. 6, N. 3.
206. Beletskii V.V. Tidal Evolution of inclinations and Rotations of Celestial Bodies. -
Celestial Mechanics, 1981, v. 23, N. 3.
207. Burns J. Dynaniical characteristics of Phobos and Deimos. - Reviews of Geophysics and
Space Physics, 1972, v. 10, N. 2.
208. Colombo G. On the Motion of Explorer XI around its Center of Mass. - Preprint Amer.
Astronaut. Soc, 1962, N. 5.
209. Fdbiano E.B., Peddle N. W. A model of the geomagnetic field for 1975. - Journal
Geophysical Res., 1976, v. 81, N. 14.
210. Fischell R.E. Magnetic Damping of the Angular Motions of Earth Satellites. - ARS
Journal, 1961, v. 31, N. 9.
211. Fischell R.E. Passive Magnetic attitude Control for Earth Satellites. - Preprint American
Aeronautical Society, 1962, N. 8.
212. Goldreich P., Peale S. Spin-Orbit Coupling in the Solar System. - The Astronomical
Journal, 1966, v. 71, N. 6.
213. Goldreich P., Peale S. The dynamics of planetary rotations Annual Review of Astronomy
and Astrophysics, 1968, v. 6, N. 2.
214. Jarnagin M.P. Expansions in elliptic motion. - Astronomical papers, 1965, v. 18.
215. Mac-Donald G, Tidal friction. - Reviews of Geophysics, 1964, v. 2, N. 3.
216. Malin S.R., Barraclough D.R., Harwood J.M., Leaton B.R. A model of the geomagnetic
field of epoch 1975. - Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 1975,
v. 43, N. 3.
217. Mesch E„ Schweizer G.t Stopfkuchen K. Investigation of earth satellites with magnetic
attitude stabilisation. - Control division. Dornier-Werke, Germany, 1965.
2\%.Molchanov A.M. The Resonance structure of the Solar system - ICARUS, 1968, v. 8,
N.2.
219. Ovenden M.W., Feagin Т., Graff О. On the principal of least interaction action and the
Laplacion satellites of Jupiter and Uranus. - Celestial Mechanics, 1973, v. 8, N. 3.
220. Staude O. Uber permanente rotations Achsen der Beweung eines shweher Korpers um
einem festen Punkt. - J. fur die reine and angew. Mat., 1894, Bd. 113.
221. Van Flandern T.C, Carrington R.S. A dynamical investigation of the conjecture .that
Mercury is an escaped satellite of Venus. - ICARUS, 1976, v. 28, N. 4.
222. Weggins L.E. Relative Magnitudes on a Space-Enviroment Torques on a Satellite.
AIAA Journal, 1964, v. 2, N. 4.

Владимир Васильевич Белецкий
Анатолий Аронович Хентов
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ
ДВИЖЕНИЕ
НАМАГНИЧЕННОГО
СПУТНИКА
Серия: "Механика космического полета",
№18
Редактор В.Н.Рубоповский
Технический редактор В.В.Лебедева
Корректоры Т.В. Обод, Е.А. Янышева
Набор осуществлен в издательстве
на наборно-печатающих автоматах
ИБ№ 12313
Сдано в набор 14.01.85
Подписано к печати 10.04.85
Т-07458. Формат 60 х 90 1/16
Бумага офсетная № 1
Гарнитура Пресс-Роман
Печать офсетная. Усл.печл. 18,00
Усл.кр.-отт. 18,00. Уч.-изд.л. 19,04
Тираж 1100 экз. Тип. зак. 386
Цена 3 р. 20 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство "Наука"
Главная редакция
физико-математической литературы
117071 Москва В-71,
Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства "Наука"
630077 г.Новосибирск-77,
ул.Станиславского, 25