/
Author: Белецкий В.В.
Tags: техника средств транспорта космос искусственные спутники физика твердого тела твердое тело небесные тела спутники
ISBN: 978-5-93972-597-2
Year: 2007
Text
В. В. Белецкий
Регулярные и хаотические
движения твердых тел
Перевод с немецкого А. Р. Логунова,
под редакцией автора
Москва ♦ Ижевск
2007
УДК 629.195.1
65.50
Интернет-магазин • физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru технологии
Белецкий В. В.
Регулярные и хаотические движения твердых тел. — М.-Ижевск: НИЦ
«Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований,
2007.- 132 Ь.
В книге рассмотрены модельные задачи динамики твердых тел, применительно
к телам небесным и земным. Особое внимание уделено сочетанию регулярности
и хаотичности движения.
С этой точки зрения описывается динамика корпуса двуногоходящего аппарата;
проблемы ориентации и стабилизации искусственных и естественных небесных тел;
основы теории динамических биллиардов в гравитационном поле.
Последний раздел книги содержит краткий обзор важнейших результатов
автора в многолетних (с 1956 года) исследованиях проблем вращательных движений
небесных тел, включая «обобщенные законы Кассини» резонансных вращательных
движений небесных тел.
Книга содержит большое количество рисунков, демонстрирующих сочетание
регулярных и хаотических траекторий в фазовом пространстве.
ISBN 978-5-93972-597-2
© В. В. Белецкий, 2007
© Институт компьютерных исследований, 2007
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Оглавление
Предисловие 5
Лекция 1. Двуногая ходьба 7
1. Модельные задачи динамики и энергетики 7
2. Модельная задача управления двуногой ходьбой 15
3. Регулярные и хаотические движения корпуса двуногого
шагающего механизма 19
4. Уравнения пространственного движения корпуса двуногого
шагающего механизма 30
Лекция 2. Регулярные и хаотические движения в задачах
ориентации искусственных спутников 33
1. Ориентация ИС в магнитном и гравитационном поле 33
2. Ориентация небесных тел в поле с двумя центрами тяготения 47
3. Эволюция пространственного вращательного движения
спутника Солнца 53
Лекция 3. Прикладные задачи устойчивости 63
Лекция 4. Бильярд в гравитационном поле 82
1. Постановка задачи 82
2. Алгоритм вычисления 83
3. Периодические решения 86
4. Отображение Пуанкаре 99
5. Некоторые замечания 107
Лекция 5. Вращательное движение небесных тел: обзор 111
1. Устойчивость спутника на круговой орбите 112
2. Задача о стационарном движении и устойчивости шара и
твердого тела под воздействием взаимного притяжения .... 114
3. Уравнения эволюции пространственного вращательного
движения спутника 116
4
Оглавление
4. Эволюция пространственного вращательного движения
искусственного спутника Земли в земном гравитационном поле 118
5. Эволюция пространственного вращательного движения
искусственного спутника Земли относительно
эволюционирующей плоскости его орбиты 119
6. К теории прецессии и нутации земной оси 122
7. Влияние приливного момента на эволюцию вращательного
движения 124
8. Резонансные вращательные движения небесных тел и
обобщенные законы Кассини 126
\
Предисловие
Настоящее издание составлено из пяти лекций, которые автор читал
в университетах Германии и Австрии (технические университеты и
институты Дармштадта, Дуйсбурга, Гамбурга, Ганновера, Карлсруэ, Мюнхена,
Штутгарта и Вены) в 1989, 1991 и 1993/94 годах.
Эти лекции были предназначены для научных сотрудников указанных
высших учебных заведений и для студентов старших курсов и охватывали
прежде всего проблемы прикладной динамики: моделирование динамики,
энергетики и управления ходьбой, регулярные и хаотические движения
корпуса двуногого шагающего механизма, регулярные и хаотические движения
в задаче ориентации спутника в магнитном или гравитационном полях с
одним или двумя центрами, а также эволюцию вращательного
пространственного движения спутника Солнца.
Особое внимание уделено анализу устойчивости, при помощи которого
исследуются проблемы, связанные со стабилизацией двуногой ходьбы,
задача об устойчивом движении шара и тела под действием взаимного
тяготения и устойчивость движущегося по круговой орбите спутника. И наконец,
лекции содержат еще и анализ динамики электромагнитных или
аэродинамических тросовых систем на круговых орбитах и затрагивают
чрезвычайно интересную проблему регулярного и хаотического движения маятника
с освобождающейся связью.
Результаты, представленные в первых четырех лекциях, были
получены автором и его учениками в последние несколько лет; заключительная
же часть содержит некоторые итоги моей многолетней (с 1956 года)
работы над проблемами вращательного движения небесных тел. Каждая лекция
имеет свою собственную нумерацию формул и иллюстраций и может быть
рассмотрена и использована независимо от остальных лекций.
За помощь в работе над рукописью и ряд ценных замечаний я
благодарю г-на X. Глокера, сотрудника кафедры В механики Мюнхенского
технического университета. Особую признательность я хочу выразить г-ну
профессору Ф. Пфайферу, ставшему инициатором опубликования этих лекций, —
за внимание и помощь, оказанные мне на кафедре В механики
Мюнхенского технического университета, где я работал после получения премии
Александра фон Гумбольдта.
6
Предисловие
В заключение мне хотелось бы поблагодарить Фонд Александра фон
Гумбольдта, при поддержке которого была осуществлена данная
публикация.
В. В. Белецкий
\
Лекция 1
Двуногая ходьба
1.1. Модельные задачи динамики и энергетики
1.2. Модельные задачи управления двуногой ходьбой
1.3. Регулярные и хаотические движения корпуса двуногого шагающего
механизма
1.4. Уравнения пространственного движения корпуса двуногого шагающего
механизма
1. Модельные задачи динамики и энергетики
В этой лекции мы рассмотрим динамику передвижения на двух ногах,
а также энергетические затраты, сопряженные с ходьбой и ее
стабилизацией. Эти вопросы весьма актуальны как в контексте исследования шагающих
роботов, так и для изучения движения биологических двуногих.
Динамика системы передвижения может быть описана, например,
уравнениями Лагранжа, а энергозатраты можно выразить как работу
обобщенных сил. Этот метод математического моделирования по сути верен, но
достаточно сложен. Имеет смысл начать исследование с более простых
математических моделей. Такого рода модель можно получить из общих
теорем механики:
mr = R + Р, (1)
К = R х г + М. (2)
Эти теоремы описывают движение r(t) центра масс системы и
изменение кинетического момента К под действием силы реакции R опоры
и веса Р системы. Здесь т — масса системы, г — вектор, соединяющий
точку опоры и центр масс, а М — управляющий момент в точке опоры,
который здесь будем полагать равным нулю, М = 0.
8
Лекция 1
Работа Е9 затрачиваемая на изменение положения системы, может быть
приблизительно задана в виде суммы трех слагаемых: затрат на
изменение положения центра масс (Ее), затрат на перестановку переносимой
ноги (Ев) и затрат на изменение кинетического момента (Ек)'-
Е = ЕС + ЕВ + ЕК. (3)
В описываемой модели реакция опоры играет роль управления; работа
по изменению положения центра масс состоит из работы реакции опоры
в радиальном (Rr) и трансверсальном направлениях (RT):
т
Ее = j{\Rrf\ + \Rrre\}dt. (4)
о
Здесь г, 9 — полярные координаты центра масс.
Используя соотношения (1), (3) и (4), рассмотрим теперь три типа
движений.
Я
а)'
Ъ)
Рис. 1
с)
1. Маятниковое движение (медленная ходьба) (см. рис. 1 а). Центр масс
движется относительно точки опоры как опрокинутый математический
маятник.
Здесь
г = I = const; 9 - у sin в = 0.
Маятниковый тип ходьбы осуществляется, когда
К2 < дн,
где V* — максимальная скорость.
(5)
(6)
1. Модельные задачи динамики и энергетики 9
2. Быстрая (спортивная) ходьба (см. рис. 1Ь).
Центр масс движется прямолинейно, но неравномерно:
z = Я = const; х - %х = 0. (7)
л.
3. Бег (см. рис. 1 с).
Центр масс движется вдоль дуги параболы:
х = V = const; z = —д. (8)
В таблице 1 приведена удельная работа
затрачиваемая на движение центра масс системы. Формулы содержат числа
Фруда (безразмерные скорости) Fr и i*Y* для средней скорости V и
максимальной скорости V*:
Fr^V/уДШ, Fr* = V*/y/^H, Fr<Fr*. (10)
Приведенные в таблице 1 значения были вычислены следующим
образом.
1. Для маятниковой ходьбы Ее = 0 для 0 < t < Т и Ее ф 0 для t = 0
и t — Т (импульсное управление). Начальная Vi ' и конечная Vi
скорости по модулю равны: |Vi '| = |V; ^ = К. Переход от Vi '
к V; ' происходит через начальный V и конечный V" импульсы,
действующие вдоль ноги. Отсюда можно видеть, что |V'| = |V"| = Vs.
причем V8 = V* tg в, a tg в = L/2H. Поэтому Ее = 2
(¥)-
рт2 fv2\
~~h ) • Отсюда следуют приведенные в таблице 1 значения Е#.
4#
2. Для случая быстрой (спортивной) ходьбы имеем
Т/2 Г/2 y/H*+(L/2)2
Ес= f \Rrr\dt = 2 f Rrrdt=^- f rdr = ^Jf
-Т/2 О Н
и значения Е*9 приведенные в таблице 1.
10
Лекция 1
3. В случае бега имеется то же импульсное управление, что и при
маятниковой ходьбе, только направленное на этот раз по вертикалям.
Поэтому Ее
зом, Ее
значения Е*
= PL2 (дН\
дТ/2, Т = L/V. Таким обра-
откуда и следуют приведенные в таблице 1
Таблица 1
Тип движения
я*
Области наименьшей
удельной работы Е*
Е* при Ft1 ~ 0.1,
:|~0.8
1
АН *
Fr < Fr* < 1
0.02
2
L
АН
Fr<l< Fn
0.2
3
L 1
AH Fr2
KFr< Fr*
2.0
В таблице 1 приведены также интервалы значений чисел Фруда, при
которых рассматриваемые типы движений могут осуществляться с
наименьшими энергетическими затратами.
Итак, мы можем сделать следующий важный вывод: если число
Фруда меньше единицы, то энергетически оказывается более выгодна ходьба;
если же число Фруда больше единицы, то энергетически предпочтительнее
становится бег.
Для человека значение Fr = 1 приблизительно соответствует
скорости 10 км/ч. Это обычная скорость спортивной ходьбы; максимальная же
скорость может превышать 15 км/ч — разумеется, при этом главной целью
является уже не наиболее выгодное с точки зрения энергетических затрат
движение, а завоевание золотой медали.
Рассмотрим теперь изменение энергетических затрат с учетом
движения переносимой ноги. Для трех описанных типов движения имеем:
EZ =
Ев + Ес __ , HFr2
PL "^ L
+ <
—Fr2
4Я *'
_L__
АН'
Jl. 1
[АН' Fr2'
(1.)
(2.)
(3.)
(И)
1. Модельные задачи динамики и энергетики
11
Здесь через /i обозначено отношение массы ноги к общей массе
системы. Из структуры формулы (11) видно, что существует некоторая
оптимальная длина шага £0пт и некоторое оптимальное значение Е*от удельной
работы (см. табл. 2).
Тип движения
' -^опт
^*опт
Области наименьшей
работы Е*
Таблица 2
1
2^нтк
y/JLFrFr*
Fr <Fr*<l
2
2^/JiHFr
л/pFr
Fr<\< Fr*
3
2y/jlHFr2 ,
л/Д 1
К Fr < Fr* j
Вывод тот же: ходьба энергетически более выгодна, если число Фруда
меньше единицы; если же число Фруда больше единицы, то энергетически
более выгодным становится бег.
На рисунке 2 показана зависимость оптимальной удельной работы от
значения числа Фруда.
//=0.64
Рис.2
Три области на диаграмме соответствуют трем типам движения:
медленная ходьба (маятниковое движение), быстрая (спортивная) ходьба и бег.
Отсюда следует, к примеру, что энергетические затраты человека,
движущегося со скоростью 4.5 км/ч (медленная ходьба), составляют 100 Вт;
12
Лекция 1
человек, бегущий со скоростью 14.5 км/ч, затрачивает 1500 Вт; а вот
тиранозавр, двуногий хищник мелового периода, при передвижении со
скоростью 15 км/ч (что соответствует быстрой ходьбе) затрачивал 150 кВт.
Как рассматриваемая модель может быть соотнесена с другими
моделями? На рис. 3 представлен ряд энергетических кривых, вычисляемых из
уравнений Лагранжа для многозвенных моделей ходьбы и бега с
постоянной длиной шага.
Рис. 3. (По Ю. В. Болотину.)
Огибающая этих кривых фактически совпадает с модельной
энергетической кривой, показанной на предыдущей диаграмме (см. рис. 2).
При рассмотрении биомеханической системы необходимо принимать
во внимание энергетические затраты на поддержание
жизнеобеспечивающих функций. Вполне корректным будет допустить, что некоторая
мощность Nq, затрачиваемая на жизнеобеспечение, является величиной
постоянной. Это допущение может быть включено в формулу удельной работы
в виде еще одного слагаемого:
Е* -2+/X""27 + iV (12)
1. Модельные задачи динамики и энергетики
13
где
s =
2#'
Fr =
V5#'
По =
N0
PVgE'
(13)
Из формулы (12) видно, что для биомеханической системы
существует некоторая оптимальная длина шага и некоторая оптимальная скорость
ходьбы, а именно:
mmE;=>s = (n0rfi)1/2, Fr = (n0/V^)1/2.
(14)
При оптимальном процессе общая затрачиваемая мощность Na
делится на две равные части: ровно половина ее затрачивается на движение,
другая же половина используется для жизнеобеспечения системы, а потому
Na = 2iV0.
(15)
Энергетически более выгодная ходьба может оказаться мало
комфортабельной; принимая во внимание это соображение, рассмотрим случай,
когда центр масс движется прямолинейно и равномерно1. Согласно
уравнениям (1), (2), это может быть достигнуто только определенным
выравниванием изменений кинетического момента, для чего необходимо произвести
дополнительную работу. Имеем по постановке
2' 2
z = я, x = vt, te
и, согласно (1), (2), при М = 0:
R=-P, К = Ме, M@=PVt, te
I Т
2* 2
(16)
(17)
Если двуногий шагающий механизм моделируется как твердое тело
с парой не имеющих массы ног и нулевым расстоянием между центром
масс и точкой подвеса, то
К = J9. (18)
Здесь J — момент инерции тела относительно его центра масс, а 0 —
угловая скорость тела. Уравнения (17) имеют периодическое решение
е-^ЗК'-?). <е
Z Z
2' 2
(19)
Такую походку назовем комфортабельной.
14 Лекция 1
Таким образом, мы имеем Ее из (4), где t € — ~, \г , а также
Т/2
E* = ECPLK, E*= / |Мвв|Л. (20)
-Т/2
Согласно (4) и (16)-(20), получаем
Е* = 4Я(<7 + К)' (21)
где
<т = \ ln(l + s2)2; 0 < <т ^ 2; s = £/2Я;
144 JV2
Подробнее формула (21) выводится так: Е — Ее Л- Ек, причем Ее =
Т/2 Т/2 т
= I {|Лгг| + |ЛгГ0|}А,а£?1с= / |Мвв|А. Здесь Rr = Pf-, Яг =
-Т/2 ^ -Т/2
= -Pf, Г = V#2+X2, Г = У|, Г^ = Vf И X = Vt, t € [~f, |].
Далее имеем J^^-— = ^e = ^ж- ^ТС1°Да да* случая периодических дви-
Г 2П
жений в = ~у t2 — i ( ~ J . Учитывая все эти значения, получаем (21).
Для антропоморфной системы <т~2, а к ~ 1, и поэтому
совокупная работа при такой ходьбе втрое превышает энергетические затраты на
«спортивную» ходьбу (табл. 1, тип 2). Таким образом, за комфортабельность
приходится расплачиваться энергетическими потерями.
В поисках компромисса между необходимыми энергетическими
преимуществами и желаемой комфортабельностью обратим внимание на
следующую задачу [I]2.
Предположим, некоторая фиксированная точка тела движется
комфортабельно; таким образом, для различных точек мы получаем различные
энергетические затраты на движение. Искомой точкой окажется та, что
характеризуется наименьшими энергозатратами.
На рисунке 4 показана система координат, жестко связанная с телом.
Точка С здесь является центром масс, точка 0 — это точка подвеса обеих
2См. литературу в конце главы.
2. Модельная задача управления двуногой ходьбой 15
z\ м
0.61
-Об]
Рис.4
ног. В этой системе проведены изолинии одинаковых энергозатрат,
обеспечивающих комфортабельное движение любой точки конкретной изолинии.
Штриховкой обозначена та часть тела, для точек которой задача
комфортабельности вообще не имеет решений. Можно видеть, что
минимальным энергозатратам соответствует «головная часть»: нести голову
комфортабельно — это не только приятно, но еще и энергетически выгодно.
До сих пор мы рассматривали модель «твердое тело на невесомых
ногах». Теперь перейдем к задачам плоской двуногой ходьбы, решаемым
с использованием такой модели.
2. Модельная задача управления двуногой ходьбой
В качестве модели двуногого шагающего механизма рассмотрим
твердое тело, снабженное парой невесомых ног без ступней (рис. 5). Ходьба
состоит лишь из ряда одноопорных фаз, в каждой из которых участвует
только одна нога; при этом контакт ноги с поверхностью является
точечным.
Нелинейное уравнение, описывающее колебания тела при
горизонтальном движении точки подвеса ног, имеет следующий вид [1]:
[1 + j/2(cos 0-1)4- 1н(\<р(т) 4 к) sin0]0"+
4- [/xi(\<р(т) 4- к) cos 0 - /л2 sin 0]0'2-
- sin 0 4- [a*i cos в 4- ibW - СМт) + к) = 0. (22)
16
ЛЕКЦИЯ 1
р=ОС, 0=2±COz
Рис. 5
Здесь
Х(р(т) + л = (ж - я«/)/р,
А - L/p,
<р(т) = г/то - [т/то] - а,
а = s/L = const,
dT — и dt,
то = u;T,
w = {Mgp/[J + Mp(p + ft)]}
/il = Mp?/[J + Mp(p + fc)]J
M2 = Mp/i/[J + Mp(p + /i)]
1/2
(23)
2. Модельная задача управления двуногой ходьбой 17
Смысл параметров и значения координат
х, xv, h, L, s, p, ©, a, (3 (24)
становится ясен из рис. 5. Параметр р, например, представляет собой
расстояние от центра масс до точки подвеса ноги, М — масса тела, J — момент
инерции тела относительно его центра тяжести, а Т — период шага.
Величины ии qm рис. 5 суть управляющие моменты в коленном и бедренном
суставах опорной ноги.
Далее, как было описано, мы вводим еще величину безразмерной
длительности шага го, безразмерные параметры А, а, /л±, /i2 и функцию <р;
квадратными скобками (например, [z]) обозначается целочисленная часть
числа (в данном случае z).
Таким образом, уравнения колебательного движения тела приобретают
вид (22). Это нелинейное негамильтоново уравнение, содержащее при к = О
периодически изменяющиеся разрывные коэффициенты, получено мною
в 1974 году и исследовалось позднее многими другими авторами.
Уравнение движения (22) описывает колебания тела при заданном
поступательном движении x(t)9 z = h точки подвеса ноги и заданного
процесса а, /3, xv постановки ноги на поверхность. Рассмотрим сначала
периодические колебательные движения; это позволит нам вычислить величины
управляющих моментов в суставах и работу, которая затрачена на
осуществление движения.
Если горизонтальное движение точки подвеса равномерно (т. е. к = 0),
движение определяется как «комфортабельное». При комфортабельной
ходьбе нелинейное уравнение (22), описывающее колебательные движения
тела, имеет периодическое решение:
е = в(т), в(т + т0) = в(т), (25)
которое в общем случае неустойчиво.
Однако можно стабилизировать как колебательные движения, так и
поступательное движение тела [2]. Опишем схематично линейный алгоритм
управления с обратной связью. Необходимые управляющие моменты в
бедренных и коленных суставах будут выражены в явном виде.
Теперь дополним уравнения, описывающие колебания тела, еще одним,
управляющим уравнением. Управление обеспечивает устойчивость
поступательного и колебательного движения механизма при условии, что
коэффициенты обратной связи выбраны из области устойчивости.
При
<д = е - ё(т) (26)
18 Лекция 1
линейные уравнения движения и обратной связи принимают вид
«" - Хо# - Xi« = 0.
(27)
Здесь х<ь Xi — коэффициенты обратной связи, а а = /ii 4- № < 1.
Условия устойчивости, таким образом, будут следующими:
<?Хо - Xi - 1 > 0,
Xi > Хо,
(<тхо - Xi - I)2 ~ 4(xi ~ Хо) > 0.
(28)
На рисунке 6 показана область устойчивости в плоскости хо> Xi (за~
штрихованная область).
Xi~Хо
Рис. 6
Рассмотрим теперь энергозатраты для N шагов:
NT
W
^ J [|q(e-C*)| + |u(d-/3)
dt.
(29)
На рисунке 7 показана зависимость энергозатрат от начальных
условий. Экстремумы соответствуют периодическим движениям, а минимум —
3. Регулярные и хаотические движения
19
_L
Л=2.55
Л = 1.25
=0.85
W-*-
-0.05
0
Рис. 7
0.05 $!
устойчивым периодическим движениям; результат этот отнюдь не очевиден.
Итак, периодические устойчивые движения энергетически более выгодны,
нежели произвольное поведение.
При некотором изменении параметров возникает бифуркация с
удвоением периода колебательных движений тела. Причиной такой бифуркации
и связанных с нею новых периодических движений является то, что
энергетически она оказывается предпочтительнее, чем комфортабельная ходьба.
Один из примеров движения нового типа приведен на рисунке 8.
Здесь на фазовой плоскости показаны два периодических
колебательных состояния тела. Наряду с изображенными пунктиром стандартными
колебаниями на графике представлены четырехпериодические колебания
тела (четырехшаговый период). Такие состояния могут быть найдены
путем минимизации функционала (29) энергозатрат (см. рис. 7).
3. Регулярные и хаотические движения корпуса двуногого
шагающего механизма
Рассмотрим проблему регулярных и хаотических движений корпуса
двуногого шагающего механизма, используя при этом несколько фазовых
20
Рис.8
портретов точечных отображений колебаний тела с устойчивыми и
хаотическими движениями [3-5]. Эту проблему мы исследовали совместно
с доктором М. Л. Пивоваровым.
Представленные ниже фазовые портреты соответствуют естественному
неустойчивому движению. Это означает, что управляющие моменты в
коленном и бедренном суставах опорной ноги используются только для
осуществления равномерного прямолинейного (комфортабельного) движения
точки подвеса ноги, т. е. при к = 0в уравнении (22).
Под воздействием определяемого таким образом момента в бедренном
суставе обладающий весом корпус аппарата может двигаться по-разному.
Движение при этом может быть описано с помощью метода точечного
отображения Пуанкаре на фазовой плоскости, где отображения соответствуют
началу каждого шага. Этим методом получаем картину регулярных и хао-
3. Регулярные и хаотические движения
21
6-
4-
2-
0-
2-
4-
6-
l' '.- • • '" -Ч J
;" *• • .. - **?
• * **.,, " .*•* .**. . ••. •
" ■'■^N'•;■.--> ::iV*' <.-..■?">£•.
.-■■ -•••7 .••:'\j*x •;?:' :••;. v.v•-.«. г-.'*■•.
••*.*'".: ' ..* " . •."'* ". • '
, :'• :'[ • ' -. •■". '". ' •'"'. ': л- "' • •;! J
. ' " ' * •' J
^ ■ ' '•-.•• ': ' '. •' V
-1 1— 1 1 1 1 1 1 Ч 1 1 1 '' 1 1
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Рис. 9. А = 1. Короткий шаг, малая скорость. В этом случае мы имеем дело с
движением тела «голова вниз», различные периодические вращения тела устойчивы.
В море хаоса образуется множество островков устойчивости. Существует
устойчивое однопериодическое движение «голова вниз» (одношаговый период). В
окрестности можно отметить и устойчивое пятипериодическое движение «голова вниз»
(пятишаговый период). Большой остров с центром (# = 0, #' = 4) соответствует
периодическому вращению тела с одношаговым периодом
тических движений тела и представление об их эволюции при изменении
параметров.
Рассмотрим уравнение (22) при к = 0. Это уравнение нелинейно, нега-
милътоново и имеет периодически изменяющиеся разрывные
коэффициенты.
Для дальнейшего рассмотрения зададим следующие значения
величин: /X! = 0.2, //2 = 0.3. Если не оговариваются другие значения
параметров а и го, то а = 0.5 и то = 1.0. (Движения при а ф 0.5 весьма суще-
22
ЛЕКЦИЯ 1
ственно отличаются от случая а = 0.5; ср. рис. 17 и рис. 10.) Параметр Л
изменяется от портрета к портрету.
На представленных фазовых портретах (рис. 9-17) вдоль
горизонтальной оси откладываются переменные #, а вдоль вертикальной — #'.
Ч 1 1 1 l-i—I 1 М 1 h——4 1 М
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Рис. 10. Л = 5. Увеличение длины шага. Два устойчивых острова в море хаоса
соответствуют колебаниям тела «голова вниз» и периодическому вращению
3. Регулярные и хаотические движения 23
U *—Н I—Ч U—4 1 1 111 ^+J
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Рис. 11. Л = 7.25. Дальнейшее увеличение длины шага. Первая бифуркация. Остров
устойчивости распадается надвое: «голова вниз вперед» и «голова вниз назад».
Периодическое движение «голова вниз вперед» асимптотически устойчиво внутри
некоторой области притяжения (аттрактор). Периодическое движение «голова вниз
назад» неустойчиво (репеллер)
24
ЛЕКЦИЯ 1
6-
4-
2-
°v
-2-
-4-
-6-
"'■'>.■' •' ' ,°" ' • V;.; •'
.•••'•' ''*... * ". ' ' ' . . ;** ' *' * ''
1 1 1 11 1 1 1 1 Ч 1- t т'|1
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Рис. 12. Л = 8.75. При дальнейшем увеличении А происходит сближение аттрактора
и репеллера
3. Регулярные и хаотические движения
25
6 +
4 +
-4 +
-6 +
С? *
+ .■' •--•"' ... •"••If-. ' . • • .* /";'
./М
+-
-4-
-4-
-4-
Ч-
Ч-
-+-
-I-
-4-
-4-
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Рис. 13. Л = 9. Аттрактор (справа) теперь соответствует некоторому периодическому
движению «голова вверх вперед». Наклон тела вперед очень велик, тело почти
горизонтально — это примерно соответствует позе конькобежца. Репеллер (слева)
аналогично представляет движение «голова вверх назад»
26
Лекция 1
1.5
1.4 +
1.з 4
1.2 +
"1
1.0 +
0.9 +
0.8 +
0.7
1.0
:■••./.:> "ч
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Рис. 14. Л = 9. «Увеличенный» фазовый портрет с прежним значением Л. Структура
аттрактора вблизи периодического движения, соответствующего позе конькобежпа.
На рисунке показано точечное отображение траектории
3. Регулярные и хаотические движения 27
6 +
4 +
-2 4
-4 4
-6 4
04'
.'V.-
! .
-4-
-4-
-I 1_
-4-
-+-
-4-
-4-
-4-
-4-
■4-
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Рис. 15. Л = 10. Изменение устойчивости. Движение «голова вверх вперед» теперь
становится неустойчивым
28
Лекция 1
6-
4-
2-
0-
\
■2-
4-
6-
" '
" .'■• • # "■ ^ • ' ' '• "
* ""» '•' . • •
'' .' .• ••' ••',-.•. '
'-.'' ' ■•' •-• ' ' ■
U 1 1 1 1 1 1 1 1 ^—1 1 к!
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Рис. 16. Л = 11. Репеллер и аттрактор сливаются в предельном устойчивом
движении «голова вверх». Устойчивые колебания тела в естественном положении (голова
вверху)
3. Регулярные и хаотические движения
29
Рис. 17. Л = 5, но а — 0.55. Увеличение значения параметра а (свыше 0.5)
приводит к неустойчивости периодического вращения. Аттрактор справа соответствует
асимптотически устойчивым колебаниям тела в положении «голова вниз вперед»
30 Лекция 1
Замечание
Некоторые выводы касательно устойчивости могут быть сделаны на
основании изучения линеаризованных уравнений движения.
Аппроксимация условия устойчивости периодического движения в окрестности # = 0
при а = 0.5 приводит к неравенству
/iiA2 > 12 (30)
как к условию неустойчивости. В нашем случае, при fix = 0.1, это
эквивалентно условию А > 11.
Такое значение получается из линеаризованного уравнения движения
в виде
d2(<fc?)
dr2
+ (MiAV ~ 1)W = 0 (31)
го
2dr = i. (32)
Поэтому при а = 0.5 неравенство (30) выполняется.
Следует отметить также, что очевидная на фазовой плоскости
устойчивость однопериодического вращения является следствием неравномерности
такого вращения.
4. Уравнения пространственного движения корпуса
двуногого шагающего механизма
Далее рассмотрим задачу о движении в пространстве. Моделью
двуногого шагающего механизма нам послужит твердое тело, снабженное парой
многозвенных невесомых ног (см. рис. 18). Для составления уравнений
движения используют обе общие теоремы механики — закон импульса и закон
момента количества движения. Первый описывает движение центра масс
системы, второй — изменение кинетического момента под воздействием
сил реакции опоры и веса системы.
В системе координат NXYZ с вертикальной осью Z можно
определить следующие радиус-векторы:
тс = NC — от N до центра масс С;
го — N0 — от N до точки подвеса ног 0;
гj — от N до точки опоры ноги j (J = I, 2);
р — от 0 до С, т. е. гс = г0 + р.
4. Уравнения пространственного движения
31
Рис. 18
Далее определим Р = Mg как вектор силы тяжести, обусловленной
2
массой тела, а вектор R = ]Г) R^• — как сумму сил реакции опоры R^.
Из закона импульса получаем
R=-P + M[r0 +a>xp + u>x (о?хр)], (33)
где о; — вектор угловой скорости тела.
Закон момента количества движения дает
{1}ш + ш х {/}о> + Мрх го = р х Р - ]Г(г0 - г,-) х R,. (34)
Здесь {/} — тензор момента инерции относительно точки подвеса 0.
Если бы ходьба состояла только из одноопорных фаз, то общую
реакцию опоры можно было бы получить из сил реакции несущей ноги
(Ri/ = R), поскольку реакция второй ноги оказывалась бы равной нулю
(R^ = 0). Учитывая это и используя уравнения (33) и (34), мы можем тогда
записать основное уравнение движения [1]:
{1}и> + и> х {/}о> = [р + (г0 - г„)] х (Р - Мг0)-
- М(го - г„) х [а? х р + а; х (а> х р)]. (35)
32
Лекция 1
Управляющие моменты uj, в г-м суставе опорной ноги можно
представить как
ut = (rt - г„) х R^ (г = 0, 1, 2, ...), (36)
где rj, — радиус-вектор от N к г-му суставу несущей ноги. Естественно,
для второй ноги все управляющие моменты будут тождественно равны
нулю, uj, = 0, так как по постановке ноги безмассовые.
Поскольку вектор-функции ro(£), ru(t) и rj,(£) известны, из
уравнения (35) теперь можно получить уравнение движения тела, из (33) —
искомые значения реакции опоры, а (36) даст необходимые управляющие
моменты.
Из (35) получаем также уравнение (22) для случая плоского движения
двуногого тела.
Литература к лекции 1
1) Белецкий В. В. Двуногая ходьба. — М.: Наука, 1984
2) Белецкий В. В., Голубицкая М. Д. Устойчивость и резонансные явления
при двуногой ходьбе. Прикладная математика и механика. — 1991. —
№2.
3) Белецкий В. В. Регулярное и хаотическое движение корпуса двуногого
шагающего механизма. Препринт. — М.: Институт прикладной
математики им. М. В. Келдыша, 1990. — № 52.
4) Beletsky V.V. Nonlinear effects in dynamics of controlled two-legged
walking. В сб. Nonlinear Dynamics in Engineering Systems, ed. W. Schieh-
len. — Springer Verlag, 1990.
5) Beletsky V. V. Regular and Chaotic Dynamics of Two-Legged Walking.
В сб. European Mechanics Colloquium, Euromech 307, Walking Machines
(8-10 Sept., 1993). — University of Duisburg, Germany.
Лекция 2
Регулярные и хаотические движения
в задачах ориентации искусственных
спутников
2.1. Ориентация НС в магнитном и гравитационном поле
2.2. Ориентация небесных тел в поле с двумя центрами притяжения
2.3. Эволюция пространственного вращательного движения спутника
Солнца
1. Ориентация ИС в магнитном и гравитационном поле
Рассмотрим уравнение плоского движения спутника относительно
центра масс под воздействием магнитного и гравитационного моментов на
эллиптической полярной орбите (см. рис. 1). Это уравнение имеет следующий
вид [1]:
(1 + ecos^)ifL-^- — 2esini/-7^ + -7rsm26—
dv2 dv 2
-~ [3 cos(0 - u) - cos(0 + u)] = 2e sin v,
(1)
Здесь v — истинная аномалия, lj — постоянное наклонение радиус-вектора
перигея орбиты спутника к плоскости земного экватора, е — эксцентриситет
орбиты, п2 = 3(А — С)/В — гравитационный параметр, соответствующий
моменту гравитационных сил, Л, В, С — главные моменты инерции
спутника, а = I/j,E/Bfj, — параметр магнитного момента, воздействующего на
спутник.
Магнитное поле рассматривается как дипольное с магнитным
моментом цЕ; при этом ось диполя совпадает с осью Земли, а // — гравитационная
34
Лекция 2
Рис. 1
постоянная. Вращательное движение происходит вокруг оси с моментом
инерции В.
Предполагается, что направление постоянного магнитного момента I
совпадает с осью спутника, соответствующей моменту инерции С.
Следовательно, 0 — угол между этой осью и мгновенным радиус-вектором
орбиты.
Это уравнение в различных видах было получено мною 30-35 лет назад
и с тех пор изучалось десятками авторов ([2, 3]).
Положим, к примеру, в уравнении плоских колебаний (1) а = 0 и
получим [2, 4]
(1 + ecosi/)—- —2esinu^- +n2sin<S = 4esinz/.
dv2 dv
5 = 29.
(2)
Уравнение (2) описывает плоские колебания на эллиптической орбите под
воздействием только гравитационных моментов.
В качестве следующего примера подставим в уравнение (1)
значения п2 = 0 и е = 0, а также введем независимую переменную и и новый
угол у>. Здесь (р — угол между осью, соответствующей моменту инерции С,
и мгновенным радиус-вектором Я магнитного поля Земли (см. рис. 1).
Таким образом, получаем [4]:
gl+cn/i + ssin^sin^e, з1п2ц2 ч2.
du2 (1 + 3 sin2 u)2
(3)
1. Ориентация ИС в магнитном и гравитационном поле 35
Уравнение (3) описывает плоские колебания на круговой орбите в том
случае, когда учитываются только магнитные моменты.
Далее рассмотрим проблему регулярных и хаотических движений
в ориентации спутника. Эти вопросы исследованы мною совместно с
доктором М. Л. Пивоваровым в [5].
Введем фазовую плоскость «угол-угловая скорость» (9, 9) и
рассмотрим ряд фазовых портретов уравнения (1) при различных значениях
параметров. (Параметр и равен нулю, если не оговорено другого.) Фазовые
портреты получены методом точечного отображения Пуанкаре. Период
точечного отображения совпадает с орбитальным периодом. Расчетный интервал
значений 9 выбирается соответствующим умеренным угловым скоростям.
В этом интервале происходят процессы движения, представляющие
интерес в смысле практической реализации. (Речь идет об ориентации спутника
вдоль радиус-вектора, вдоль магнитных силовых линий и т. д.)
Точность, с которой определяются «острова устойчивости» в «море
хаоса», продиктована здравым смыслом и соображениями практической
целесообразности.
На рисунке 2 представлен фазовый портрет с параметрами е = 0.1,
п2 = 0.1 и а = 0. Учтены гравитационный момент и эксцентриситет
орбиты. Магнитный момент не учитывается. На этом типичном фазовом
портрете мы видим несколыю «островов устойчивости». Центры островов
соответствуют устойчивым движениям
9 = ^щ^и + ф), ф + 2т'тг) = ф). (4)
Здесь к, га, га' — взаимно простые числа. Движение (4) называется
«резонансом к к m» (k:m). На последующих иллюстрациях показаны типы
резонанса для каждого из «островов».
Резонанс лунного типа 1:1 при ориентации спутника относительно
Земли соответствует периодическим колебаниям относительно текущего
радиус-вектора. Резонанс 3:2 представляет собой вращение меркурианского
типа. Резонанс 2:1 —ориентация относительно магнитных силовых линий.
Введем среднее значение потенциала
и(е<>, ©о) = Ит J [и (9(0о, ©£>, *), t) dt (5)
t—»оо ь J
to
вдоль решения 9(9о, 9q, t) уравнения (1) с начальными условиями 9о, 9q.
Как выясняется, это среднее значение потенциала имеет локальный
минимум при устойчивых резонансных движениях (4). Я называю это явление
экстремальным свойством резонансных движений.
36
Лекция 2
е
Of-
f^mm~m4 . ' '
F^
I- - Л"л»
t'-.••••. '.v..-
1 ч* V -'*..
1 J •' .Ч: - •
%
s~ s
-
m\-'-'■'■ '•'•>.*
]//". ;^v>.
V *-""."•
т.. .L.y»*^'~*'
-"•\
!.'•;• •■.:."-■:.s ■-..*■
;•/>"•"" ^Л.-у
*% л * ;•*..'
- ■» ».i £.. г- ■
* 1 "■ ■
.........
. -
.'/'- *j •>
'*V-^vV
".■--'-'C
—i—
^-""ЧЧ"*»"Ч
'iq
•■!•' • -
ад
-*. '*/">'' J
' .'" / I
* t
V • '•' '-•
Ш . 1» ' ' * ' j
•-.. J
2:1
7:4
Li 3:2
1:1
1:2
-3.14 -1.57 0.00 1.57
e=0.1; n2=0.1; a=0
Рис.2
3.14
В
о о о
о
\
и
0.025
о
- ° °°о ° о о о о о*
О OQ00O
«W* 2:1 !
3:2 1
_ 1_ 1
-0.5
-0.25
0 0.25
Рис. 3
0.5 Вк
На рисунке 3 мы видим соответствующие центрам «островов»
(показанных на рис. 2) минимумы с параметрами е = 0.1, п2 = 0.1 и а = 0.
Теперь примем во внимание диссипативныи момент, а именно:
приливной момент [6]. Для случая а = 0 уравнение принимает вид
(1 + ecosi/)^ + [fl(l + ecosi/)5 - 2esini/]^ +
dv2 dv
+ n2 sin 0 cos 0 = 2e sin z/, (6)
причем здесь параметром диссипации является /3 > 0.
1. Ориентация ИС в магнитном и гравитационном поле 37
На рисунках 4-5 представлен тот же случай, что и на рисунке 2, т. е. е =
= 0.1, га2 = 0,1, с учетом диссипативного приливного момента при 0 =
= 0.005 и 0 = 0.002. Движение системы эволюционирует к главным резо-
нансам, причем количество таких резонансов зависит от параметра
диссипации 0. Побочные резонансы «проходятся» без застревания траектории на
них.
в'| 1
-1*' ■ ■ ■■ ■■<■■■■ ■■.■!
-3.14 -1.57 0.00 1.57 3.14
О
Рис. 4
На рисунках 4-5 хорошо видны ряды резонансных впадин, в которые
«сваливаются» траектории.
Условия, наложенные на параметры, для осуществления каждого из
резонансов приведены в таблице 1.
В таблице 2 показано, какая доля траекторий «поглощается» каждым из
резонансов. Резонанс 1:1с периодичностью колебаний Т и 4Г соответствует
здесь случаю т! = 1 или т' = 4в (4). Из таблиц 1 (аналитические данные)
и 2 (численные данные) видно также, что при 0 = 0.005 резонансы 1:2 и 2:1
невозможны.
Условия, наложенные на параметры, для осуществления
резонанса (к:2) имеют следующий вид [6]:
/?<Ф*(е)-^, (7)
Лекция 2
-3.14
к
1
2
3
4
fc:2
1:2
1:1
3:2
2:1
Условия (7) при малых е
0 < fen2
/3<оо
/3 < |еп2
0 < ±£е2п2
4
Условия (7) при е = 0.1 и п2
Р < 0.005
у9< оо
/3 < 0.035
/3 < 0.00425
-0.1
Таблица 2
fc:2
0.005
0.002
1:2
0.000
0.060
1:1
ТЮ.740
4ТЮ.125
ТЮ.680
4Т:0.050
3:2
0.155
0.155
2:1
0.000
0.190
£
1.000
1.000
1. Ориентация ИС в магнитном и гравитационном поле
39
где
7Г
ф*(е) = /, 1 9ЧЧ/2 / (2 + еcosv) <x*[kr(v) - 2v] dv
7г(1 - e2)3/2 J
(8)
V£
v eyT^
e* sin v
т(у) = 2arctg*/^—-tg£ -
4 ' °ui+e 2 1 + eeosz/
Для малых значений е
t(z/) « ^ — 2esinz/,
(9)
(10)
и поэтому
Ф1«-|е, Ф2«1, Фз^|е, Ф4«уе2
(И)
и т. д.
9'
/\« «■•*.;
#*;>*
.': Ъ.-.-•
-it ':v-'
,.v, *'. »v *
-3.14 -1.57 0.00
Рис. 6
1.57
3.14
0
К примеру, для значений е = 0.4, п2 = 3 и /? = 0.057 устойчивых
резонансов уже не существует. Вместо них возникает странный аттрактор,
фазовый портрет которого приведен на рисунке 6.
40
Лекция 2
6J
-1
1
!:::*> ''
A •••.... v«, ..
1"" *4*
|> с .
■ft. * *
IV*'*.":'
1
•■.' . '•
I 1 1 ll.l
■ •• «i:b-i"'--. .-
• ■' ■ i::J
. .... 1 1 1 1 I ■ ■
> <i
7:2
13:4
3:1
11:4
5:2
2:1
3:2
1:1
1:2
-3.14 -1.57 0.00 1.57
e=0.3; n2=0.1; a = 0
Рис. 7
3.14
О
Вернемся к задаче без диссипации. На рисунках 7 и 8 показаны
случаи е = (0.3; 0.7), п2 = 0.1, а = 0.
Многие цепочки островов при е = 0.3 почти совершенно исчезают
в разрастающемся хаосе при увеличении эксцентриситета орбиты —
подходящего режима стабилизации здесь практически больше не существует.
На рисунке 9 показан в большом увеличении фрагмент фазового
портрета с рисунка 8. На рисунке 10 представлен случай е = 0.05, п2 = 0.1,
а = 0. Следует обратить внимание на возникшую неоднозначность
резонанса, порождаемого одним и тем же порядком (1:1).
Значения параметров е = 0, п2 = 0 и а = 0.05 на рисунке 11
соответствуют некоему «магнитному спутнику», движущемуся по круговой
орбите, без гравитационного момента. Порядки (i:j) можно
интерпретировать следующим образом: устойчивая ориентация вдоль линий магнитного
поля (2:1); ориентация в абсолютном пространстве параллельно оси
диполя (0:1); ориентация вдоль радиус-вектора (1:1). В последнем случае область
устойчивости очень невелика.
На рисунке 12 показаны минимумы усредненного потенциала с
рисунка 11 при двух главных резонансах (2:1) и (0:1).
1. Ориентация ИС в магнитном и гравитационном поле
О'
Г" '!"■' •;'!". "' ••"i-.i-T
—1 rVi hmiv'i ■ ■ i'Ti'i ■ iViiiti .'^T^'wn' ■ i'vVVi i i """■'i'V Inini 1:2
-3.14 -1.57 0.00 1.57 ЗЛ4
e
-1.57 0.00 1.57
e=0.7; n2=0.1; a=0
Рис. 8
О'
-0.74
-0.76
-0.78
-0.80
-0.82
-0.84
-0.86
-0.88
-0.90
-0.92
-0.94
-0.96
Г'>.''■-'■. л'
И" •,.••,•;•••■;
р/- ■•. •
г-''
и^: ц__
4, ■" л*
/•' . '-Л
■ ■ 11 ■ i ■ ■ ■ ■
-*•
.-А1
«
Ч "' ••
ч
5:2
1:1
3:2
1:2
-3.14
-1.57 0.00 1.57
е=0.7; тг2=0.1: а=0
3.14
е
Рис. 9
42
Лекция 2
9J
. 4 N-" • ' ..-4. . 4" .<•
* "4 \V
\ vvd
1:1 @
1:1 Ф
-3.14 -1.57 0.00 1.57 3.14
9
e=0.05; n2=1.75; a=0
* Рис. 10
B'J
2f
j». *%^ _,
<H
с - ■ >
It <»-*..^: •'?—
Z> <!'.'.'..
2:1
1:1
0:1
-3.14 -1.57
0.00
1.57
e=0; n2=0; a=0.05
Рис. 11
3.14
e
1. Ориентация ИС в магнитном и гравитационном поле
43
-J&B
и\
о
BBftftf"^0
о
0:1
-0.05
ц 1^Ч*йшйтаи -
2:1
Рис. 12
в'Г
14
-141
"У
•. ... 1 У ' •. • * • . у,.- » • • • ' •■'
t.->
-2
-3.14
■+*^Р*Ч«Ч»*^4«*ЧИ»и»в*ири*ч
2:1
1:1
0:1
-1.57
0.00
1.57
е=0; гс2=0.2; а=0.05
3.14
в
Рис. 13
44
Лекция 2
Uooaaafflgffo —Lftg**ff» q Q5 °0%%
0:11
1:N
*>
°^тт^тгттп
-2:1-
Рис. 14
-3.14 -1.57 0.00 1.57
е=0; п2=1.5; а=0.05
Рис. 15
3.14
О
1. Ориентация ИС в магнитном и гравитационном поле
45
24
J
1 » •• " " **
4* " ■• •■....«..*•■"" '"«.•■ '.'■ •!. •'
iV; >..... .....-•• ;;,V: K?**\^m
у\ «.*"- • ■ •-" **■ * ^г^
\^}<*v \^v> <П (^
Т..'-,,;'*.■«•/.: •.-V:\ Vj I • .
1".' ' ':. • %: '■ Г..'' ..• \ • ' ,!■ VJ ' ."• -•- ^V> ^%—
Ь..-у, ;..;,-ч...--w..-^ Х^
±£?''.".«'.'•<' vi'..'' .Si';" '?V'-..4:
1-.' ./^.и&ДОСЗЕ*;»' ,. . . .•'!':
к... " ..:>з&у
Fftr.'-'M •. :^ч?теу?Ут.:лЧ^-^^: ~•4•*■"-,
1 i ■ i i
" " " - ..
'.•"•* v •. I
*ч'*:.\'\.- 1
^^h)
.•' J Lf
^*s Jr \
s ••**]
^^ада
-14
-24-
-3.14
2:1
1:1
0:1
-1.57 0.00 1.57
e=0; n2=0; a=0.2
Рис. 16
3.14
9
e';
2;
<
1;
;
0-
-1:
-0.
-/"• •.. j.-.г... ...*v/*.
^ -if.--... s*'?u ?.'**:? 4:;\ \.;*. •• // „ /; •;
.. "s. т-*;;- - - * ■• v'v.""..' Х.ш .
,;'_ •• ' '."»'. *.".• - . /',*"**,...' — ~ ...
1 1 1 1 i
2:1
0:1
-3.14 -1.57 0.00 1.57
e=0; n2=0; a=0.3
Рис. 17
3.14
e
46
Лекция 2
0'
■г • ^.
i 4v*> / \ r.v. .-■;• /•- ,-*: .*. .•;•.'
-3.14 -1.57 0.00 1.57
e=0; n2=0; a=0.35
Рис. 18
2:1
0:1
3.14
9
9'
2*
Of'
-It
-2}
-33
.. . %
* 4
-3.14
-1.57
. л t
0.00 1.57
e=0; n2=3.0; a=1.0
Рис. 19
3.14
e
2. Ориентация небесных тел в поле с 2 центрами тяготения 47
Незначительное увеличение гравитационного момента на рисунке 13
(е = 0, п2 = 0.2, а — 0.05) приводит к улучшению условий ориентации
вдоль радиус-вектора (1:1), однако в то же время и к хаотизации движений
в окрестности соседних резонансов.
На рисунке 14 для этого случая изображены минимумы усредненного
потенциала при устойчивых резонансах (2:1) и (0:1) в магнитном поле.
Гравитационное поле обусловливает возникновение локального минимума
при резонансе (1:1).
На рисунке 15 представлен случай е = 0, п2 = 1.5, a = 0.05.
Дальнейшее увеличение гравитационного момента ведет к усложнению фазового
портрета. Здесь мы имеем возможность наблюдать возникновение 2я--пе-
риодических устойчивых движений с большой амплгаудой и значительное
уменьшение области «магнитной ориентации».
Далее рассмотрим задачу без гравитационного момента.
На рисунке 16 представлен фазовый портрет для случая е = 0, п2 = 0,
a = 0.2 с 27г-периодическими «магнитными» колебаниями без
гравитационного момента. При незначительном увеличении значения параметра a
87г-периодические колебания исчезают; острова устойчивости вновь
погружаются в море хаоса.
На рисунке 17 представлен фазовый портрет для случая е = 0, п2 =
= 0, a = 0.3; здесь мы видим 27Г- и б7г-периодические колебания. Внутри
острова 2:1 возникла бифуркация, вследствие которой появляются бтг-пери-
одические колебания.
На рисунке 18 показана эволюция предыдущего случая при малом
изменении параметра а (здесь е = 0, п2 = 0, a = 0.35).
Наконец, рисунок 19 иллюстрирует случай е = 0, п2 = 3, a = 1.
Взаимодействие максимального гравитационного момента со средним по
значению магнитным моментом ведет к полной хаотизации картины.
2. Ориентация небесных тел в поле с двумя центрами
тяготения
Теперь рассмотрим движение небесного тела относительно центра масс
под воздействием моментов двух центров тяготения.
Материальная точка массы т движется по кеплеровской круговой
орбите радиуса R в гравитационном поле материальной точки массы М
(см. рис. 20). Центр О инерции твердого тела К конечного размера движется
вокруг точки М по круговой кеплеровской орбите радиуса р < R.
Ориентация твердого тела К относительно радиус-вектора, направленного к центру
48 Лекция 2
m=Mr
Рис. 20
инерции этого тела, определяется углом (3 между этим радиус-вектором
и одной из главных осей инерции тела. Рассмотрим плоские движения
данного тела; отклонения орбит от кеплеровской круговой орбиты при этом
учтены не будут. Положение центра инерции О относительно точки т
определяется углом а. Поскольку р < R, имеем ~г > 0. На тело К воздействуют
at
гравитационные моменты, порождаемые центрами притяжения Миш.
Движение тела К относительно его центра масс при такой постановке
задачи описывается следующими уравнениями:
fl + n
da2 2 Ll-A3/2J
sm2/3 + ^-
Аз/2
/(«, /3)
1 - A3/2
A2 sin 2(3 - 2Asin(2/3 + a) + sin(2/3 + 2a)
e/(a, /?) - 0,
e =
m
*-£•
(l + A2-2Acosa)5/2
Z(A - C)
(12)
n
AT " Д' " В
здесь А, В, С — главные моменты инерции, как они были определены
в уравнении (1). Резонансные движения описываются формулой
/3 = pa + /(a), (13)
где /(a) — периодическая функция, ар — рациональное число.
2. Ориентация небесных тел в поле с 2 центрами тяготения 49
Из КАМ-теории следует, что
Д*~ехр(-1/Дг), (15)
где Дг — ширина зоны резонанса, а А8 — ширина области хаоса.
В системе Земля-Луна М соответствует массе Земли, т — массе Луны,
а К — искусственному спутнику Земли. В этом случае е = m/М = 1/81.3 =
= 0.01235. Значения А сверху ограничены в силу того, что орбита спутника
в системе Земля-Луна находится совершенно вне сферы влияния Луны —
лишь в этом случае рассматриваемая задача имеет смысл. Названные
условия выполняются при значении А < 0.83.
На рисунках 21-23 представлены расчеты для А = 0.7 и п2 = 0.3.
Возмущения в данном случае относительно велики, что выражается в больших
значениях А (тело К находится вблизи т). На рисунке 21 показан фрагмент
фазовой плоскости с относительно слабо возмущенными прямыми
вращениями спутника. Здесь видно, что хаос пока проявляется еще очень слабо.
Области резонанса (кроме той, что соответствует значению р = 0) узкие.
При обратном вращении, напротив, хаотические движения выражены
отчетливо. Зоны регулярных орбит, «острова резонанса», достаточно широки —
это хорошо видно на рисунке 22. Увеличенный фрагмент этого фазового
портрета представлен на рисунке 23, где обнаруживаются не только
резонансные острова, порядок которых кратен 1/2, но и острова более высоких
порядков.
На рисунке 24 показан случай А = 0.7, п2 = 3.0. Здесь мы
наблюдаем бифуркацию периодических движений и неоднозначность резонанса,
порождаемого одним и тем же порядком (р = 0).
Резонанс в окрестности значения /3' = —5 можно рассматривать как
модель резонансов венерианского типа. Значение е в системе Солнце-Венера-
Земля весьма существенно меньше вышеприведенного значения. Значения
параметров е, А и п2 в этой системе проиллюстрированы на рисунке 25
и соответствуют данным [8].
На рисунке показан фазовый портрет зоны предполагаемого
резонансного вращения Венеры. Впрочем, как выяснилось, в действительности
вращение Венеры происходит за пределами этой зоны.
Здесь в едином масштабе представлены относительное положение
исследуемой резонансной зоны с периодом обращения Венеры Tres = 243.1650
суток и данные [8], согласно которым действительный период обращения
50
Лекция 2
Pi
■ ,9 т* » ,
f». ■ !
о4?; j *;=■•..
v;:4/;4 "V
-3.14 -1.57 0.00 1.57
A=0.7: n2=0.3
Рис. 21
у J л::■■' \ ч-у /• Jy^. \ ч
-3
-4*
"f-^^ jrrwi*.>s- •^Iv.:*;*?' а.«*ъкш»ъ* *^yJ
i^r',1 •"•■•"ТТ.T*1*""•*. itj» »ё V•""■а,ГГ."Т<*",'« •''*"■*■<
— б'Т^^^1 I i » i » I ■ » ■ i » « i I I't « I I I I I l » I I 'ч^^^^^Т^
-ЗЛ4 -1.57 0.00 1.57
A=0.7; n2=0.3
Рис. 22
P
2. Ориентация небесных тел в поле с 2 центрами тяготения
F
-5-Ь
1 ,''■
1 '
П7
1 ■''"
111111
t • •• .
-*.«&;
,*' г
•;^ч'-
■ ■■ linn
■■f=--u-^-
«£-'*.. »
4:" •'•■•''
. ' • • ''..
■■^37/
• ..
"i.
•"^>ЧГ*-
1 I111 1 i 1 1 I11 11 1 1 11 11 1 1
* *4
s . 1
4,1
'\
111111
p=—A
р=-Ц
p=-5
р=-Ц
-3.14 -1.57 0.00 1.57 /?
Л=0.7; п2=0.3
Рис. 23
0'5
-2
-3
44-
з!
2* \
\\
0
v \ /
. /
\
' \ /
. *.v v.\-
*
У
? /1
:< /Л Г- " • .1 М
.%^y •.
i 11 11 И i
i i 11111 11 i
Нт+ч^**^*
-3.14 -1.57 0.00 1.57
Л=0.7: n2=3.0
Рис. 24
52
Лекция 2
-3
-5.1
-7.
-9.
-11.
-13.
-15.
inn ищи и имi ц 11111»r11
Венера
p=-5
£ = 3.00410"
A = 0.723332
n2 =2.457 10"5
T =243.022±0.006 сут.
Ггез =243.1650 сут.
243.028 сут.
243.016 сут.
0.
2. 3.
Рис. 25
Венеры составляет То = 243.022 ± 0.006 суток. Границы интервала
измеренного значения обозначены пунктиром.
На рисунке хорошо видно, что расстояние, на которое действительное
значение удалено от области резонанса, примерно в десять раз превышает
ширину самой резонансной зоны.
i
3. ЭВОЛЮЦИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА СОЛНЦА 53
3. Эволюция пространственного вращательного движения
спутника Солнца [9]
Здесь мы рассмотрим эволюцию пространственного вращательного
движения спутника относительно его центра масс. Спутник движется по
круговой или эллиптической гелиоцентрической орбите. Он обладает
динамической симметрией и оборудован кососимметрично расположенными
лопастями (см. рис. 26).
Рис. 26
Эти лопасти могут быть, к примеру, панелями солнечных батарей,
солнечными рулями и т.д. На гелиоцентрической орбите наибольшим влия-
54 Лекция 2
нием обладает момент давления солнечного излучения; моментами других
сил мы можно пренебречь.
Для сил давления солнечного света введем и будем использовать
особую модель: момент М в ней состоит из некоторой «консервативной» части
и так называемого «пропеллирующего момента». Схожая модель
использовалась мною ранее при исследовании аэродинамики искусственных
спутников [10].
Теперь введем эволюционные переменные [4] (см. рис. 27).
• I — L/Lo — безразмерная величина модуля вектора кинетического
момента L;
• три эйлеровых угла (<£>, ф, #), определенные в связанной с вектором
кинетического момента системе координат;
• два угла, описывающие положение вектора кинетического момента
относительно орбитальной системы координат.
нормаль к плоскости орбиты
Рис. 27
Теперь определим две пары таких углов. Первая пара состоит из угла (3
между L и г и угла поворота А вектора L вокруг г. Вторая пара
образована углом р между L и расположенном на нормали к плоскости орбиты
вектором п и углом поворота к вектора L вокруг п.
Эти две пары углов связаны соотношениями
cos p = sin 0 cos A,
sin p sin к = sin /3 sin A, (16)
sin p cos к — cos 0.
3. ЭВОЛЮЦИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА СОЛНЦА 55
Поскольку имеет место динамическая симметрия, уравнение для угла
вращения <р не рассматривается. Далее, ^-движение обладает очень высокой
скоростью. Усреднение уравнений относительно этой переменной выделяет
из системы и уравнение для ф, которое в дальнейшем мы также не будем
рассматривать.
Таким образом, у нас остаются уравнения для эволюционных
переменных I, #, /? и А:
й. =/[-a + cos2#]cos/?,
~- = —-г sin $ cos г? cos/?,
d Г 1 (17)
~- = -sinA + т U- ^sin2^
dv I l 2
^ = -ctg/?cosA + ^t-cosi?.
dv I
sin/?,
При этом независимая переменная v описывает истинную аномалию
орбиты. Члены, содержащие параметр N, описывают консервативные
эффекты. Члены, содержащие / и а, соответствуют «эффекту пропеллирова-
ния», а члены без коэффициентов соответствуют движению по орбите.
Для / = 0 получаем
I = /0 = const, г? = г?о = const, sin /? cos A + — cos #o cos /? = Фо = const.
(18)
Консервативный эффект вызывает прецессию вектора кинетического
момента. Скорость прецессии относительно направления на Солнце при
больших N пропорциональна N: ^ ~ у- cos#o-
При / ф О «эффект пропеллирования» приводит к сильной модуляции
ориентации вектора кинетического момента относительно этого
направления. Одновременно аналогичные модуляции охватывают переменные /3 и L
Эффекты такого рода в аэродинамике спутников были описаны в моей
статье [10].
На рисунке 28 представлена фазовая траектория на плоскости (р, к).
Накладываясь друг на друга, «эффект пропеллирования» и прецессия
порождают так называемую пульсирующую прецессию вектора / вокруг
оси Солнце-спутник. Наиболее интересный эффект при этом
заключается в резком переходе от движения в направлении к Солнцу к движению
56
Лекция 2
-4. -2. 0. 2. 4. 6.
Рис. 28
в обратном направлении. Расчеты показывают, что переходы часто
труднопредсказуемы, то есть хаотичны. Хаос этот является следствием самой
природы динамической системы и может быть наглядно
продемонстрирован в соответствующем фазовом пространстве. Рассмотрим это подробнее.
Наша система (17) имеет следующий первый интеграл:
J(ctgtf)asintf = С. (19)
Этот интеграл позволяет понизить порядок системы до третьего путем
исключения переменной I и до второго путем перехода к новой независимой
переменной Л. Полученная в результате система второго порядка зависит
от Л и является 27г-периодической. Это означает, что в общем случае
движение может быть описано в фазовом пространстве $, (3 при фиксированном
значении С как совокупность регулярных и хаотических траекторий,
которые определяются методом точечного отображения Пуанкаре. В этом случае
рассматривается 27г-отображение по переменной А.
На следующих рисунках даны точечные Л-отображения Пуанкаре на
плоскости (#, /?) при заданных значениях а = 0.3 и С — 1.
Рисунок 29 соответствует случаю, когда членами, описывающими
движение по орбите, можно пренебречь, то есть iV-1 = 0, /iV-1 ф 0. В этом
случае в пространстве (#, /3) существует новый интеграл:
sin2 /3 cos 0(tg #)2a = С. (20)
Все траектории регулярны и соответствуют интегральным кривым.
Формально рисунок 29 описывает случай N~~l = 0, AT"1/ = 0.15.
3. ЭВОЛЮЦИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА СОЛНЦА
57
Д рад f
0, рад
Рис. 29
Для случая, показанного на рисунке 30, заданы значения N~x —
= 4.42 • 10~5, /iV_1 = 0.15. Здесь вместо интегральных кривых мы видим
множество цепочек, состоящих из крошечных островков.
Рисунок 31 иллюстрирует случай N~x = 0.01, fN'1 = 0.15.
Регулярные траектории в центре образуют остров, окруженный морем хаоса.
Во внутренней зоне большого острова можно видеть цепочку маленьких
островков, соответствующих 97г-периодическому устойчивому движению.
На рисунке 32 показан случай JV-1 = 0.1, iV"1/ = 1.05, когда
хаос проявляется уже более отчетливо. Мы видим здесь множество новых
цепочек островов (Ия--, 127Г-, 137г-периодические движения).
Следующие примеры (см. рис. 33-35) демонстрируют нарастающий
хаос и многочисленные резонансы при различных значениях N и /.
На последней иллюстрации (рис. 36) показан пример полностью
хаотического движения.
В работах [11, 12] мы показали, что существует консервативный
эффект, который вкупе с эффектом пропеллирования порождает только
регулярные периодические движения. В этом случае последнее уравнение
системы (17) принимает следующий вид:
£ = -ctg/3cosA+ у (|sin2^ - l) cos/3. (21)
На рисунке 37 (ср. с рис. 31) представлена соответствующая фазовая
траектория на плоскости (#, /?) (не точечное отображение!) для следующих
58
Лекция 2
А рад f
2.4
1.1
~ ~^,'t<>;;.Z. 1..:.:
Y'/ ^
С2>
> u
0. ,|гг11|1111|1111|1111|111Ц|||Ц111Ц1ггцщцп1Ц1иц|||цц|||1 inpinyirr
.0 .5 1.0 0, рад
\ • РИС. 30
А рад J
2.1
0.
•^. \
llll|l 11Ц1ИЦ11Щ111Ц111Ц1111ЦИ ЦП 1Ц1 Ml I II 1Ц 111 l| II ll|ll 1Ц1ПЦ1
.0 .5 1.0 tf, рад
Рис. 31
3. ЭВОЛЮЦИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА СОЛНЦА 59
.0 .5 1.0 <#, рад
Рис. 32
Рис. 33
значений параметров: iV""1 = 0.01, fN~x = 0.15, а = 0.3, Ао = 0.0 и Iq =
= 2.39. Сравнивая линии на обоих рисунках, можно утверждать, что мы
имеем дело с совершенно разными движениями.
60 Лекция 2
2.8 4
2.6 \
2.4 i
2.2 \
2.0-1
1.8 i
1.6 4
i
1.4-1
-
•
о;1»,**"
[|Ш111111;и1111111|П1111111|1Н111Н1|111111111|1И11111ци111111ЦШ1111ЩМ11|щцпи111щии11иц||^
.3 .5 .7 .9 1.1
Рис. 34
1.
Литература к лекции 2
1. Белецкий В. В., Хентов А. А. Вращательное движение намагниченного
спутника. — М: Наука, 1985.
3. ЭВОЛЮЦИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА СОЛНЦА 61
/?, рад f. <'::..
II ■ I ЦМ 'I I .■
tv/ ;.;hv:-.-''^-./V" •'=■ '?"/:'• A'--V vV-%..: л...-..-;Л
0. fi i i'i| i'i if \ I iV 11 ii и |i м ц 11 щi u ц in i |i 11Щ i ii i'i i n 11 ii i pi i Ц11 n'| 11 ii11
.0 .5 1.0 0, рад
Рис. 36
2. Белецкий В. В. О либрации спутников. Искусственные спутники Земли,
3. - 1959.
3. Xiaohua Tong, Rimrott, Fred P.J. Numerical Studies on Chaotic Planar
62 Лекция 2
Motion of Satellites in an Elliptic Orbit. Chaos, Solitons & Fractals. Vol. 1,
No.2.-1991.
4. Beletsky V. V. Motion of an Artificial Satellite about its Center of Mass.
NASA Transl. Publ. — Jerusalem, 1966 (оригинальная статья на русском,
1965).
5. Белецкий В. В. Регулярные и хаотические движения в задаче об
ориентации спутника. Препринт. — М.: Институт прикладной математики
им. М. В. Келдыша, 53, 1990.
6. Белецкий В. В. Движение спутника около центра масс в
гравитационном поле. — М.: Изд-во Московского университета, 1975.
7. Белецкий, В.В., Пивоваров, М.Л., Старостин, Е.Л. Регулярные и
хаотические движения в задаче об ориентации небесного тела в поле
с двумя гравитационными центрами. Препринт. — М.: Институт
прикладной математики им. М.В.Келдыша, 128, 1990.
8. Bills В. G., Kiefer W. S., Jones R. L. Venus gravity: a harmonic analysis. J.
Geopbys. Research. 92, No. B.10. - 1987.
9. Белецкий В.В., Старостин Е.Л. Регулярное и хаотическое вращение
спутника Солнца в поле солнечной радиации. Препринт. — М.:
Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша, 68, 1991.
10. Beletsky V.V. Per Einflufi der aerodynamischen Momente auf die
Drehbewegung der Proton-Satelliten. Zeischrift fur Flugwissenschaften.
B. 21, No. 2.-1973.
11. Белецкий В.В., Прокофьева Е.В., Старостин Е.Л. Динамика
вращательного движения космического аппарата в поле солнечной радиации.
Препринт. — М.: Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша,
47, 1992.
12. Beletsky V. V, Starostin E.L. Regular and chaotic rotations of the satellite
in sunlight flux. В сб. Nonlinearity and Chaos in Engineering Dynamics. —
Ed. Prof. Thompson. John Wiley & Sons, 1994.
Лекция 3
Прикладные задачи устойчивости
• Система с циркуляцией
• Стабилизация двуногой ходьбы
• Консервативная система с гироскопическими силами
• Задача о движении шара и тела под воздействием взаимного
притяжения
• Уравнения колебательного движения и устойчивость спутника,
движущегося по круговой орбите
• Система с циркуляцией и гироскопическими силами
• Электромагнитная тросовая система на орбите
• Система с диссипацией
• Аэродинамическая тросовая система на орбите
Эта лекция посвящена прикладным задачам устойчивости. Я расскажу
здесь об определенных результатах, полученных в последние годы мною
и моими учениками в ходе исследований устойчивости и стабилизации
космических и робототехнических систем.
В качестве моделей будут рассматриваться главным образом такие,
которые позволяют описывать весьма существенные результаты с
минимальными затратами. Такая постановка задачи даст нам фундамент для
дальнейшего более тщательного анализа.
Все рассматриваемые задачи основаны на одной и той же системе двух
линейных дифференциальных уравнений, не зависящих от времени.
В связи с этим нас интересует представление областей устойчивости
в пространстве коэффициентов характеристических уравнений или
непосредственно в пространстве коэффициентов дифференциальных уравнений.
64
Лекция 3
Простым примером исследуемых систем является так называемая
система с циркуляцией
х + ацх + а12у = О,
у 4- а21Я + «222/ = О
с характеристическим уравнением
А4 + а2Х2 +«4 = 0,
л ^ л (2)
«2 = ЙЦ Н- а22» «4 = «11«22 — «12«21-
Условия устойчивости в пространстве коэффициентов
характеристического уравнения выглядят следующим образом:
а2 > 0, а4 > 0, а| > 4а4, (3)
или, соответственно, в пространстве коэффициентов дифференциального
уравнения:
«п+«22>0, ац022 > с, (ац - агг)2 + 4с> 0, c = a2iai2. (4)
Система (1) является системой с циркуляцией, если ai2 ф а2\. При
этом случаи с положительным и отрицательным с = а2\а\2 качественно
отличны друг от друга. В частном случае ai2 = &2\ = к система (1)
является консфвативной и с положительно. При отрицательном с система (1)
в общем случае не консервативна.
Область устойчивости (3) в пространстве коэффициентов (а2, а±)
характеристического уравнения показана штриховкой на рис. 1.
В пространстве коэффициентов (ai 1,022)» с = const,
дифференциальных уравнений имеются области устойчивости (4), заштрихованные на
рис. 2.
Областям устойчивости соответствуют при этом мнимые значения всех
решений характеристического уравнения (2).
Стабилизация двуногой ходьбы является примером, в общем
случае, неконсервативной системы. Эта задача была исследована мною в
сотрудничестве с моей ученицей М. Д. Голубинкой [1] и описана в первой из
представленных в данной книге лекций.
В качестве модели двуногого шагающего механизма выбрано тело
с невесомыми ногами и без ступней [2]. Нелинейное уравнение
колебаний тела при горизонтальном движении точки подвеса ног приведено нами
в той же первой лекции ((22)-(23)). Если такое горизонтальное движение
равномерно, оно определяется как комфортабельное. При
комфортабельной ходьбе уравнение (22) (лекция 1), нелинейное уравнение колебаний
тела, содержащее разрывные коэффициенты, имеет периодическое решение,
в общем случае неустойчивое.
Прикладные задачи устойчивости
65
I. с>0
И. с=0
81) ^Цо—®">i—*-'
% U
Рис.2
Ь) ^2=0, а21^0
Однако и колебания тела, и горизонтальное перемещение можно
стабилизировать. Для этого используется линейный управляющий алгоритм
с обратной связью. Необходимые управляющие моменты в бедренных и
коленных суставах следует синтезировать в явном виде.
66
Лекция 3
Значениям управляющих параметров хо> Хь обеспечивающим
устойчивость (см. (27)н[28) в первой лекции), как раз и соответствует случай
вышеописанной системы с существенной циркуляцией: в уравнении (1)
имеем
«п = ахо - 1, «12 = <rxi ~ !> ,кч
«21 = -ХО, «22 = -XI
и с — хо(1 — <?Xi) < 0 в области устойчивости.
Линейные уравнения движения и обратной связи, а также условия
устойчивости и области устойчивости были описаны нами в первой
лекции (см. (27), (28) и рис. 6).
Теперь перейдем к рассмотрению консервативной системы с
гироскопическими силами
х 4- ацх + а\2у + 2ол/ = О,
у + а2\Х + а<пУ - 2и& = 0, (б)
«21 = «12 = k
с характеристическим уравнением
\
А4 + A2 [an 4- «22 + 4a;2] + (a22«n - к2) = 0.
Существенную роль здесь играет наличие кориолисова ускорения (2иу,
—2шх). Условия устойчивости в пространстве коэффициентов
дифференциального уравнения выглядят следующим образом:
(«22 - «и)2 + 8u72(a22 + an) + 16a;4 + 4fc2 > 0,
«li + «22 4- 4a;2 > 0, (7)
«11«22 > к .
На рисунке 3 штриховкой показаны области устойчивости на
плоскости коэффициентов. Мы видим здесь серповидную область
гироскопической устойчивости, ограниченную касательными друг к другу параболой
и гиперболой.
Далее перейдем к рассмотрению задачи плоского движения шара
и тела под воздействием взаимного притяжения (см. рис. 4).
При определенных условиях существования
Прикладные задачи устойчивости
«22А
67
«11
2
Рис.3
Рис.4
имеется положение относительного равновесия; речь идет о стационарном
движении
Ф = ш0, r = Ro, e = e0. (9)
Здесь
С/ = U/M, М :
Мо + М'
(10)
68
Лекция 3
через U = U(R, 0) обозначен гравитационный потенциал, через Мо —
масса шара, через М — масса тела, a R, ip, в представляют собой координаты
(указанные на рис. 4). Введем сюда еще
М
/го = М/М = 1 +
Мо'
Ъ 4 в/М,
(11)
где В — главный момент инерции вокруг оси, нормальной к плоскости
орбиты.
Исследование угловой и орбитальной устойчивости положений
относительного равновесия (9) приводит к уравнениям (6) и условиям (7) со
следующими значениями коэффициентов и переменных:
4ДоЧ ,,2 d2U
Ь + Щ
эк2
а-п = -■
b + Rl d2U
ъщ дв2
к =
b + Rl d2U
Ч ы%
двЖ
(12)
к = ai2 = a2i,
х = Р, У = #<
Чь + Щ'
в-On
(13)
На следующих рисунках приведено несколько результатов, полученных
мною и моей ученицей О. Н. Пономаревой [3].
В качестве примера тела мы рассмотрим невесомый стержень, к концам
которого крепятся массы гщ, гаг (см. рис. 5).
На рисунке 6 на плоскости I к:
('
ТП2
>' Во)
показаны кривые,
ТПг + 7712
ограничивающие сверху область устойчивости радиально расположенного
стержня (9 = 0).
Такой стержень устойчив не всегда: он должен быть достаточно
коротким — слишком длинные стержни неустойчивы. В частности,
симметричный стержень малой массы ( mi m2 ~ 0, mi = 7712 ) устойчив только
Мо
тогда, когда выполняется условие
~4" < \1ъ-уМ = у/1 - л/2 » 0.318.
Здесь I — длина стержня, а Rq — радиус орбиты.
(14)
Прикладные задачи устойчивости
69
Рис. 5
11
R
1.6
1.2
0.8
0.4
\
V.-0 \
1
j \Md=1 A
л /
1 1 1 1 1 —
0 0.2
0.6
Рис. 6
1.0
Случай симметричного стержня следует рассмотреть подробнее.
На рисунке 7 показаны область устойчивости радиального
стержня (в = 0, двойная штриховка) и область гироскопической устойчивости
трансверсального стержня (0 = 7г/2, простая штриховка) на плоскости
параметров. Не заштрихованной на рисунке оставлена область плоскости, где
относительное равновесие неустойчиво.
Непрерывным изменением параметров мы можем перейти от задачи
«гравитационной устойчивости» Луны или искусственного спутника к
задаче гироскопической устойчивости орбитального движения небольшого
70
ЛЕКЦИЯ 3
т ■
т
0.5
1\
ш 2\
ffll 3
ffll
8И
7 П!^
0.5
1
0.5 0
/*=
/
Рис. 7
спутника с 24-часовым периодом обращения (геостационарный спутник).
Для тела с симметрией, близкой к сферической, условие устойчивости
будет следующим:
\ В ^ 1 М0
<±-
МД2-ЗМ + М0 (15)
для <фадиальных» положений относительного равновесия (0 = 0).
Равновесное положение 0 = 7г/2 тогда неустойчиво. С другой стороны, имеем
условие гироскопической устойчивости для «трансверсальных» положений
относительного равновесия (0 = 7г/2):
>±-
М0
МВ%'ЗМ+~Мо' (16)
При этом равновесное положение 0 = 0 неустойчиво. Возможные ситуации
показаны на рисунке 8: устойчивость (1), неустойчивость (2 и 3) и
гироскопическая устойчивость (4).
В следующем примере рассмотрим уравнения колебаний и
устойчивость движущегося по неизменяемой круговой орбите спутника под
воздействием гравитационного момента [4]:
В-С
л ъВ-С
•4wn—
7 + ^о
•• , гВ-А
А
В-С
А. _
—а = 0,
-7 = 0,
(17)
0 + Зи/о
0 = 0.
%
Прикладные задачи устойчивости
0м <5\
71
М,
'М
^
Рис. 8
Здесь А, В, С — главные моменты инерции. Можно видеть, что
совокупное вращательное движение спутника разложимо на два не связанных
одно с другим частных движения: продольное движение — тангаж (0)
и крен-рыскание (а, 7)-
Продольное движение устойчиво только в том случае, когда
А > С. (18)
Рыскание и крен описываются первыми двумя уравнениями (17).
Теперь введем новые переменные и параметры:
Д А С
л 2В-С
«22 = С^о
>В-А
UJ
С '
up В-А-С
2 Vac
CL\2 = С&21 = к = О,
(19)
(20)
При этом получим как раз уравнения (6) и следующие условия
устойчивости (7) [4, 5]:
ЦВ - С)С + (В - А)А + (В - А- С)2 > 0,
(В-А)(В-С)>0,
[А(В-А)-АС(В-С)]2+2(В-А-С)2[А(В-А)+4С(В-С)}+ ( '
+ (В - А - С)4 > 0.
72 Лекция 3
Кроме того, из рассмотрения продольного движения следует, что
должно соблюдаться условие А > С. Теперь давайте перейдем к рассмотрению
условий (18) и (21) на плоскости (5, е) (см. рис. 9), где
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Рис.9
В большем треугольнике, где S > 1 > е9 то есть
В > А > С, (23)
условия (18), (21) выполняются. Можно наглядно пояснить (23) следующим
образом.
Движение а = 7 = © = 0 (относительное равновесие) устойчиво, если
наибольшая ось инерции направлена вдоль локальной вертикали, а
наименьшая — вдоль нормали к плоскости орбиты.
Численное определение условий устойчивости (18), (21) показывает,
что устойчивость существует не только в области (23), но также и на узкой
Прикладные задачи устойчивости
73
полоске вне ее (на рисунке 9 она показана частой штриховкой) — это область
гироскопической устойчивости.
Линейная теория либрации Луны и условия (23), являющиеся
условиями устойчивости в линейном смысле, были известны еще Лагранжу (1780).
Однако в полной форме (21) необходимые условия устойчивости впервые
были исследованы в моей работе [4] (1959). Кроме того, в [4] дается строгое
обоснование условий устойчивости (23) как достаточного условия в самом
общем случае.
Перейдем к рассмотрению системы с циркуляцией и
гироскопическими силами, описываемой уравнениями (6), где
«12^«21. (24)
Характеристическое уравнение выглядит теперь следующим образом:
А4 + а2Х2 + а3Х + а4 = 0. (25)
Здесь
«2 — «22+«ll+4cJ2, СЦ = «22^11-«21^12, «3 — 2(jj(ai2~a2l) ф 0. (26)
Взаимодействуют три фактора: консервативные члены,
циркуляционные и гироскопические. Попарное взаимодействие любых двух из этих
факторов приводит к возникновению устойчивых областей. Результатом же
одновременного взаимодействия всех трех факторов (см. рис. 10) оказывается
неустойчивость!
Итак, мы можем сформулировать теорему.
Теорема. Если в уравнении (25) аз ф 0, то существуют такие
значения Xi, что ReXi > 0; таким образом, исследуемое движение неустойчиво.
Общая теорема для этого типа движения была доказана доктором
А. В. Карапетяном.
В задачах об электромагнитных тросовых системах на орбитах в
качестве модели троса мы можем использовать невесомый продольно-упругий
стержень, через который пропущен ток силы / (см. рис. 11).
Пусть система движется вокруг Земли по экваториальной орбите с
угловой орбитальной скоростью о;о. Напряженность магнитного поля Земли
обозначим через Я. Учитывая градиент тяготения, электромагнитные силы
и продольную упругость стержня, получим уравнения движения для зонда,
закрепленного на одном из концов стержня, в следующем виде:
£ _ $> _ 2^j _ зcos2 0 + яГ-Zl = о,
(27)
ё + 2(<? + Щ + 3sintf cost? = -a0IH.
*I1A
и~
и~
и
м
V
"*22
консервативные члены
устойчивость
консервативные и гироскопические члены
устойчивость
консервативные и циркуляционные члены
«12 «21» ^=0
устойчивость
«22
Рис. 10
консервативные, гироскопические
и циркуляционные члены
й12 a2UUJ=Q
неустойчивость!
2
и
Прикладные задачи устойчивости
75
'ч
rrrrrrrrrrr^
Рис. 11
Здесь
г = га/U dr = (do/dt, Е = Еа/гшо^,
(28)
причем параметры имеют следующий смысл: (га, $) — полярные
координаты зонда в базисе, лежащем в плоскости орбиты, I — длина стержня, т —
масса зонда, Еа — модуль упругости стержня. Параметр ао объединяет
в себе только константы и является безразмерным в (27).
В случае постоянного тока U = Iq = const и
\а01Н\ < |, £>3cos2t?o,
стационарные движения существуют при # = #о> г = го:
^~То— = ^ cos2 ^°' ^8*п ^° cos ^° ^ ~ао1оН.
(29)
(30)
Линеаризация уравнений движения (27) около этого стационарного
решения дает
где
и - 2v + (3 sin 2rfo)t; + ~w = 0,
# + 2u + (3 cos 2i?o)^ = —aoroHSI,
u = Sr v == Го<ЭД.
(31)
(32)
В общем случае (J/ ^ 0. При I = I0 = const имеем £7 = 0. Тогда
линеаризованные уравнения (31) снова запишутся в форме (6) с параметрами
«11 = 3cos2t?(b ai2 = 0, a2i = 3sin2i?o? «22 = Е/го, ш = 1 (33)
76 Лекция 3
и характеристическим полиномом (25), где
а2 = т| + 3cos2tf0 + 4, а3 = -6sin2tf0, a4 = зЦ cos2tf0. (34)
Если sin2i?o ф 0, то аз ф 0. Это означает, что положение
равновесия неустойчиво. Создание магнитной системы с токами неизменной силы
невозможно. Ситуацию можно спасти, введя управление током (61 Ф 0,
например, 51 = bv), что эквивалентно введению диссипации.
Рассмотрим систему с диссипацией:
х + ацх + ai2y + Ьцх + 2а;?/ = 0,
у + а2\х + а22г/ 4- Ь22£ - 2и;± = 0, Ьц > 0, Ь22 > 0.
(35)
Характеристическое уравнение выглядит следующим образом:
А4 + aiA3 4- a2A2 4- a3A 4- a4 = 0, (36)
ГДе \s
ai - Ьи + b22, a2 = ЬцЬ22 4- an + a22 4- 4a;2,
«з = «ц622 4- а22Ьц 4- 2a;(ai2 — a2i), a4 = аца22 _ ai2a2i.
Условия для асимптотической устойчивости следуют из критерия Рауса-
Гурвица:
аг > 0, a = ^>0, a4 > 0, а4 < а2а - а2. (38)
Связь этого критерия с условиями устойчивости системы без диссипации
проиллюстрирована на плоскости параметров (аг, а4) (см. рис. 12).
Области устойчивости показаны штриховкой. Оба не представленных
здесь случая (сц = 0; аз ф 0) (циркуляционно-гироскопическая
неустойчивость) и (а\ ф 0; аз = 0) приводят к значениям а — оо или a = 0
и, следовательно, всегда дают в результате неустойчивость. В обоих этих
частных случаях областей устойчивости не существует (рис. 12).
Кроме того, можно вывести два важных частных случая.
— Если ai2 = a2i (условие консервативности системы) и
одновременно an < 0, а22 < 0, тогда аз < 0. Это означает, что диссипация
нарушает гироскопическую устойчивость в консервативных системах.
Прикладные задачи устойчивости
77
a, 1)U<=U 2)Qi£=U
Рис. 12
— В общем случае не только as ф О, но и а\ ф 0. Асимптотическая
устойчивость, таким образом, возможна; следовательно, результатом
диссипации может стать циркуляционно-гироскопическая устойчивость.
Последний случай особо важен для электромагнитных тросовых
систем. Допустим, что в уравнении (31) 81 = bv, a^b > 0; тогда имеем
характеристическое уравнение в форме (36), причем
а\ = а0ЬгоН ф0, а2 = 4 + — + 3cos 2i?0,
as = а0ЬЕН - б sin 2tf0, а4 = Зр- cos 2tf0.
Итак, асимптотическая устойчивость возможна. Основными условиями
устойчивости являются следующие (см. рис. 13):
1) Ь>6.(0о), 2) (-f < ^о < f) V (§«■ < ^о < f w)
(39)
Мой ученик доктор Е.М.Левин провел вычисления с учетом массы
и жесткости троса при изгибе [6]. Результаты этих вычислений были
представлены им на схеме (рис. 14).
Здесь I — сила тока (в амперах), dt — диаметр троса, mt — масса
троса, W — мощность в режиме генерации, F<p — трансверсальная сила
78
Лекция 3
^ггггттттгттт
Рис. 13
100 W, кВт
10 F Н
^1000
га„ кг
вращение-И
100
10
Gt, ом
Ню
100
1000
100 /, Ампер
в силовом режиме, Gt — электрическое сопротивление в расчете на 10 км
длины (в омах).
Следующий проект, использующий тросовую систему на орбите,
предназначен для исследования атмосферы (рис. 15).
Уравнения движения составлены для тех же самых условий, что
и в предыдущем примере с электромагнитной тросовой системой; вместо
Прикладные задачи устойчивости
79
Рис. 15
электромагнитных сил в уравнения входит величина, характеризующая
сопротивление воздуха, и учтен градиент плотности атмосферы. Это дает нам
безразмерные уравнения движения зонда, находящегося на конце троса:
х - 2у - Ъх = -cpavx - Е(г - l)f,
у + 2х = -cpav{Ro + у)- Е(г - 1)|,
г 4 гА/1 = лД2 + у2, г = о;0*, Я = Ea/ttiuqI,
v = Va/ljqI = \/(До + 2/)2 + *2-
(41)
(42)
Здесь Уд — орбитальная скорость. Для плотности атмосферы ра
существенно значима высота соответствующего атмосферного слоя:
Ра = Ра(Д), Л = \/№ + ^)2+2/2-
При
Е > 3, с/>а(До)Д^ < Зг0
существует стационарное движение
Е
г о
У о
CPa(Ro) p2 ^
Я-3' *и~ 3
Линеаризация уравнений (41) и (45) дает
-Ф$-
%2-
(43)
(44)
(45)
0+(::йС;)+2("*)+Чэд)=»- <->
80
Лекция 3
что соответствует системе (35) с ш = — 1 и
Ац = ^-т. а22 = 3 + Ь —, а12 = Е—г-, a2i = Ь—«- + к,
^) Л§<0, Ьц = А 622 = 2)8, /3 = cPaR0.
Отсюда получаем характеристическое уравнение (36) со следующими
значениями:
а.
аг = 3/3, а2 = 4 + 2/32 + Я, а3 = 2к + № 1 + -^ , а4 = ЪЕ
НУ
г.3-
(48)
Градиент к плотности атмосферы дает циркуляционный член (а±2 —
— a2i = —к Ф 0), однако возможная неустойчивость компенсируется
трением о воздух (/3).
Главное условие устойчивости можно сформулировать следующим
образом:
Е > - ^£±Щ (49)
\ > dRPa\Q- 14У;
Это означает, что трос должен быть достаточно жестким. На схеме из [6]
(см. рис. 16) представлены результаты расчетов, проведенных
Е.М.Левиным с учетом массы и жесткости изгиба троса. Нижняя граница области
устойчивости, согласно Левину, практически совпадает с той, что
соответствует описываемым нами аналитическим условиям устойчивости (49). На
рисунке 16 через hа обозначена высота зонда, через dt — диаметр троса,
а через mt — его масса.
Аэродинамическая стабилизация. Система уравнений (41) имеет
следующее стационарное решение:
*о=0, |уо| = 1 + ^|3, Уо<0, (50)
так называемый «полет стрелы» с аэродинамической стабилизацией.
Главные условия устойчивости в этом случае могут быть
сформулированы в следующем виде:
m>3ro, (№ _з) + | ^ЦЯ. (и)
Первое условие требует, чтобы аэродинамические силы непременно
были больше, чем силы, порождаемые гравитационными градиентами.
Второе неравенство означает, что возможная в силу градиента плотности
атмосферы неустойчивость должна компенсироваться трением о воздух.
Прикладные задачи устойчивости
81
мм
30
10
3
1
0.3
0.1
100 ПО 120 hAi*M
Рис. 16
Литература к лекции 3
1. Белецкий В. В., Голубицкая М.Д. Устойчивость и резонансные
явления при двуногой ходьбе. Прикладная математика и механика, № 2. —
1991. (См. также: Beletsky V. V. Nonlinear effects in dynamics of controlled
two-legged walking. Nonlinear Dynamics in Engineering Systems. Ed.
W. Schiehlen. - Springer-Verlag, 1990.)
2. Белецкий В. В. Двуногая ходьба. — М.: Наука, 1984.
3. Белецкий В. В., Пономарева О. Н. Параметрический анализ
устойчивости относительного равновесия в гравитационном поле. Космические
исследования, т. 28, №5. — 1990.
4. Белецкий В. В. О либрации спутников. Искусственные спутники Земли,
№3.-1959.
5. Beletsky V. V. Motion of an Artificial Satellite about its Center of Mass. —
Jerusalem, 1966. (См. также: NASA-Transl. Publ., 1966; оригинальная
монография на русском языке, 1965.)
6. Beletsky V. V., Levin E. M. Dynamics of space tether system. — San Diego:
UniveltPubl., 1993. (Оригинальная монография на русском языке, 1991.)
Лекция 4
Бильярд в гравитационном поле:
регулярные и хаотические движения1
4.1. Постановка задачи
4.2. Алгоритм вычисления
4.3. Периодические решения
4.4. Отображение Пуанкаре
4.5. Некоторые замечания
1. Постановка задачи
В этой лекции мы рассмотрим проблему динамического бильярда.
Будут рассмотрены регулярные и хаотические движения точечной массы,
движущейся в однородном поле тяготения внутри некоторого вертикально
расположенного круга. Мы будем исходить из допущения, что соударения
точечной массы с границей нашего круга абсолютно упруги. Для того чтобы
исследовать воздействие параметров системы и энергетической
постоянной на характер движения, вводят фазовую плоскость в координатах угол
и угловая скорость движения в точке соударения. Мы рассмотрим ряд
полученных методом точечного отображения Пуанкаре фазовых портретов
дифференциального уравнения на различных энергетических уровнях. На
иллюстрациях будут представлены хаотические и регулярные (в частности,
периодические) решения задачи, причем существование и устойчивость
симметричных и несимметричных периодических решений (одно-, двух-,
..., шестизвенные периодические траектории) мы исследуем аналитически
и численно, а для хаотических решений рассчитаем показатели Ляпунова.
1Эти исследования проведены мною совместно с моими коллегами Г.В.Касаткиным
и Е. Л. Старостиным.
2. Алгоритм вычисления
83
На рисунке 1а представлены две возможные динамические модели
рассматриваемой задачи.
/ \
/ \ ' / у !
\ / / * / (
Рис. 1а
Слева на рисунке изображена материальная точка внутри вертикально
расположенного круга; справа — нитяной маятник. Уравнения движения
в этой задаче могут быть представлены в следующем виде:
г=-е, ||г||<1, v+ = v_ - 2(v_ . n)n; (l)
"f -Зг ,=\/fr- <2)
При этом (см. рис. lb) R — радиус-вектор к материальной точке,
скорость которой обозначена через V, Т — текущее время, I — радиус круга,
д — постоянное ускорение в однородном гравитационном поле, а е —
единичный вектор в вертикальном направлении; v_ и v+ здесь — безразмерные
мгновенные скорости массы незадолго до и вскоре после соударения, an —
нормаль, направленная внутрь круга.
Уравнения (1) обладают первым интегралом, и это интеграл энергии
\v2+y = h, (3)
где у — вертикальная координата рассматриваемого центра масс (см.
рис. lb).
2. Алгоритм вычисления
Фазовое пространство в нашей задаче (1) четырехмерно. Во время
удара известно расстояние от массы до центра (||г|| = 1) и установлен фик-
84
граница круга
центр масс
соударение е=1
Рис. lb
сированный уровень энергии; таким образом, фазовое пространство имеет
всего лишь два измерения. Используя кинематические условия
_ (х\ _ ( rsnia \
\yj \—r cos a)'
_ (я\ __ / fsma-
\У/ \—г cos а
+ г cos aa
+ г sin olol
(4)
можно ввести фазовую плоскость с координатами а и а и исследовать
фазовые траектории в этой плоскости. Здесь а — угол, а а — угловая
скорость движения к точке соударения. Уравнения движения от одного удара до
следующего можно проинтегрировать полностью, что очень удобно в
дальнейшем исследовании.
Обозначив фазовые переменные на начало n-го звена траектории
через хп, уп, ж'п, у'п (хп+Уп = !)> получим, с учетом (1), следующие
уравнения:
Уп+1
Уп+1
—уТ2 + упт + уп,
''п{уп+1 ~ ^n+i) ~ (Уп ~ т)2жп+12/п+1,
-2хп+1уп+1хп - (уп - т)(у1+1 - хп+1).
(5)
В силу
4 + Уп = 1.
2 | 2
жп+1 "г 2/п+1
(6)
2. Алгоритм вычисления
85
получим также
г3 - 4упт2 + А{х2п +у1- уп)т + 8(хпхп + упуп) = 0. (7)
Отсюда можно получить алгоритм, определяющий зависимость
состояния п 4-1 от состояния п:
(хп, Уп, &п, Уп) => г(7) => (хя+1, 2/n+i)(5) => жп+1, j/n+i(5). (8)
При исследовании существования и устойчивости представляется
целесообразным исключить из (5) параметр г и, используя (4), перейти к
новым переменным
а, а = а, 6 = —г. (9)
Далее мы видим, что угловая координата а, угловая скорость а = а
и радиальная скорость ft = — г соударений п и п +1 связаны друг с другом
следующими уравнениями:
an+i cosan+i + ftn+i sinan+i = an cosan — ftn sinan, (10)
о (bn+i - ап+\) sin2an+i + an+i6n+i cos2an+i - sinan+i =
(П)
= - (bn - a£) sin 2an - anftn cos 2an - sin an,
|(an+i + &n+i) ~ cosan+i = |(a* + ft*) - cosan(= Л). (12)
Мы определяем некоторую траекторию как «fc-звенную
периодическую», если ровно после к соударений ее координаты принимают свои
первоначальные значения. Возможны одно-, двух- и вообще многозвенные
движения; условия существования таких движений содержатся в
уравнениях (10Н12).
Для вариаций координат дополнительно используется линеаризованная
форма отображения (10)—(12):
(8n+i\ f^n\
Pn+i J = Qn{oLn, any bn) I pn J , (13)
Qn+i/ \Qn/
где
Sn = 8an, pn = San, qn = Sbn (14)
86
Лекция 4
Р
Q'
—asina±6cosa cos a ±sina
(b2 —a2) cos 2a q= 2ab sin 2a — cos a —a sin 2a ± 6 cos 2a ±a cos 2a -f b sin 2a
sin a a b
(15)
Для Р действителен верхний, а для Q — нижний знак.
Характеристическое уравнение можно записать в следующем виде:
det||ft-A£||=0, (16)
где
fi = PolQk-iPk~iQk-2... РГгЯо (17)
и
det||P{|-=det||Q|| = 6, det||«|| = bo1b*-ibfcii---6o = 1- (18)
Можно записать характеристическое уравнение
(l~A)(A2 + 2sA + l) = 0 (19)
\
и с его помощью исследовать устойчивость движения.
Некоторое fe-звенное периодическое движение устойчиво тогда и
только тогда, когда модуль его параметра не превышает 1, то есть когда
величина |з| меньше или равна 1:
INK 1- (20)
Определение значений параметра s — относительно трудоемкий
процесс; эти значения могут быть получены численно или аналитически, в
зависимости от того, что в каждом частном случае оказывается
предпочтительнее.
3. Периодические решения
Каждое периодическое движение принадлежит некоторому однопара-
метрическому множеству. Параметром является либо начальный угол ао
(тогда энергетическая постоянная h есть функция от ao, h = h(ao)), либо h
(если ао имеет постоянное значение для всякого движения,
принадлежащего данному множеству).
Итак, на введенной плоскости параметров (ao, h) мы получаем
возможность исследовать условия существования и устойчивости (эти условия
показаны на рис. 2).
3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
87
2.0 Н
1.5 Н
1.0 i
0.5 Н
0.0
-0.5
-1.0 d
-1.5-
/3.4 43/2.2
з.з
2.1
/4.4
зл
/Ль S'\<<^
2.3 // / / 6А**
граница
неустойчивость
устойчивость
—|—1 i "|—i—i—i—i—i—|—I—I—I—I—г—|—г1 I I I I—| I i—г-1—i—|—iir 1—г—1 OLq
30 60 90 120 150 180
Рис.2
Области, в которых существуют периодические движения, обозначены
сплошными линиями и пунктиром: сплошные линии соответствуют
устойчивым решениям, а пунктирные — неустойчивым.
На рисунке показана также граница движения
Из сохранения энергии
h = — cosao-
^а2 + ~г2 -eosa = /&
непосредственно следует область движения в пространстве (а, а):
1 .2 i
-а — cosa < h
(21)
(22)
(23)
и тем самым граница движения (21) в пространстве (ао, Л).
Для классификации отдельных траекторий введем понятие г-го
узла Ui(ai, a,i, bi)c фазовыми координатами, соответствующими моменту
начала г-го звена периодического движения. Индексом к.т обозначим fc-звен-
ное движение с порядковым номером га: например, индекс 3.2 означает, что
88
Лекция 4
речь идет о трехзвенной траектории с порядковым номером 2, индекс 4.5
относится к траектории из 4 звеньев с порядковым номером 5, и т.д.
Описание каждого множества траекторий будет включать в себя
следующие элементы: узлы (символ £/:), условия существования (символ 3:),
условия устойчивости (символ St:\ другие свойства траекторий (символ Д:)
и представления траекторий посредством отображения Пуанкаре на
плоскости (а, а).
Периодические траектории с индексами 1.1...6.1 и точечные
отображения их малой окрестности представлены на рисунках 3 с
индексами 1.1.. .6.1.
1. Однозвенные периодические траектории.
1.1. Вертикальный скачок без верхнего удара (траектория 1.1 на
рис. 3).
U: Щ = (од = 0, а0 = 0, 60 ф 0).
3: а = 0, -К А < 1.
St: s = 26q — 1, то есть при — 1 < h < —0.5 — движение устой-
* чиво, а при —0.5 < h < 1 — неустойчиво [1] (см. рис. 2).
Д: а) это — единственное множество однозвенных траекторий;
б) скачки с h = —0.625 и h — —0.75 устойчивы в линейном
смысле и неустойчивы в нелинейном.
2. Двухзвенные периодические траектории.
Д: существует только три множества двухзвенных периодических
траекторий.
2.1. Вертикальный скачок с верхним ударом (траектория 2.1 на рис. 3).
U: Щ = (0, 0, Ьо), иг = (тг, 0, bi = ^/Щ^~±).
3: а = 7г, h > 1.
St: s — 7 — 2bobi(bo — b\)2, то есть при 1 < h < 1.25 — движение
неустойчиво, а при h > 1.25 — устойчиво [1] (см. рис. 2).
2.2. Симметричная параболическая арка (траектория 2.2 на рис. 3).
U: Щ = ( а0, 0, 60 = . 1 ), Щ = (-а0, 0, Ь0).
\ д/cosoo/
3: 0 < а < 5» Л = тг-^ cosa0.
2 2 cos ao
3. Периодические решения
89
i i^rTi 111111111 и 111—l.U
1.0-
0.0
-0.5-3
I I I I I I I I I|I I I I I I II I|I I I IHI I I TII I I I I I I I |
1 -1.0 -0.5 0.0 0.5 a 1.0
1.1. h=-0.7
-0.5
-2.5-
1111111111
2 0
2.1. /i=1.3
1.5-
a л
"I | M I И I I II llll II
2 4 ,
0.5H
-0.5H
-1 "11111111 11 111 i7T?l i i i i l ГТ
-1 0
I I I I II 1.5 1 I I I I I I I I I | I I I I I I ГI 1 | Г I I I I I I I I |
1 -1.5 -0.5 0.5 1.5
2.2. fc=-0.25 a
Рис. 3, 1.1-2.2
90
Лекция 4
— 1 | щ мин ппПтгинтм и i in пит i—l.o 1 ■ ' * ■"' ■ ■ ■ 111 i ■ >'i l i 11 м ■ »■'■■'■ i
-1 0 x 1 -1.5 -0.5 0.5 1.5
2.3. h=0.l a
lq
У 3
ii ii 111 и i n i — 1.U-
-0.5-
11111111 ri 11П111
x 1 -1.0 -0.5 0.0 0.5 a 1.0
X 3.1. Л=-0.5 а
lib
тг|~ 1 »0 "l 1111111111»111 iTTTl 11
1 -1.0 -0.5 0.0
3.2. /i=-0.5
Рис. З, 2.3-3.2
3. Периодические решения
91
мин и i П—1.0 111111 и i и 11iniTl i и i iTtTu 11111111 и i и
х 1 -1.0 -0.5 0.0 0.5 а 1.0
4.1. Л=-0.5
Рис. 3, 3.3-4.1
92
~1 I I I I I I I I I I I I I | МП I I I I 11 IM I 11 I I I I I I I I I I I—1.0
-1 0
I I 11 11 I I I I I I I I I I1111 I I 11 I I I I I I I I I I I I I 11 11
x 1 -1.0 -0.5 0.0 0.5 a 1.0
X 4.2. Л=-0.7 а
4.4. /i=2.0
Рис. 3, 4.2-4.4
3. Периодические решения
93
2i
U
-1-Э
1 -2
i i i i i i i гч | i i i i i i i i i ; i i i i i
х 1 -2.5 -1.5 -0.5
4.5. /1=0.42
2q
а
1111it11111 —2» 11и1111и11111им1111и11111|иiи11иi
1-2-1 0 1^2
4.6. /г=0.401
I И I I I I I I I | 1.U-
\ 111 iTTI I rjl < ffi 11 Щ11111111 i |
x 1 -1.0 -0.5 0.0 0.5 a 1.0
5.1. /г=-0.5
Рис. 3,4.5-5.1
94
Лекция 4
Ь
0-3
-1
LOCK
0.5-
0.0-1
-0.5-3
111 mi ii i iiiuTli iyf iftuii r 111111111111 — 1.0-
T 1 -1.0 -0.5 0.0 0.5 a 1.0
5.2. Л=-0.5
5.4. /i=2.0
Рис. З, 5.2-5.4
3. Периодические решения
6.1. Л=-0.5
Рис. 3,5.5-6.1
96 Лекция 4
St: s = 1—2S2,5 = 1—cos2ao—cos2 2ao, то есть при О < ao < j,
1 >/5- 1 - 7Г ^
кроме ao = ^ arccos -1—r—, движение устойчиво, а при j <
< olq < ^ — неустойчиво (см. рис. 2).
Д: период движения Т — 4^/cosoo.
2.3. «Параболический полумесяц» (траектория 2.3 на рис. 3)
U: Щ = U, оо, 6о = у/а% + ^2\ U, = (-f, сю, Ьо).
3: а0 = |, 0 < Л < (10 - >/2)/8 « 1.073.
5t: s = 8л/2а1 — 1, то есть движение устойчиво при 0 < h <
< л/2/8 « 0.177 и неустойчиво при >/2/8 < /г < (10 — >/2)/8
(см. рис. 2).
Д: a) h = ttQ.
б) если </>о — угол между начальной скоростью v0 и
радиус-вектором из начальной точки в центр окружности, то для
S устойчивых траекторий верно |tg</>o| < \. При устойчивых
о
движениях угол между двумя дугами парабол не
превышает 37°.
3. Трехзвенные периодические траектории.
Вероятно, существует всего четыре различных множества трехзвенных
периодических траекторий.
3.1. Несимметричные «п»-образные траектории (3.1 на рис. 3).
U: Щ = (ао, ао, &о)>
иг = (аь аи bi),
U2 = (а2 = аь а2 = -аь Ь2 = h).
Зависимость ai(ao) следует из уравнения (sinao — sinai) x
х sin(ao + 2ai) — 2(cosao — cosai) sinaosin2ai = 0.
Значения а,г(ао), Ы(ао), i = 0, 1 вычисляются аналогично.
3: 0 < a0 < 122° (или -0.625 <h< 0.989).
St: 0 < a0 < 42° (или -0.625 < h < -0.347) - движение
устойчиво,
ao > 42° — движение неустойчиво (см. рис. 2).
Д: естественно, существует и зеркально-симметричное
множество этих траекторий.
3. Периодические решения 97
3.2. Симметричные трехзвенные траектории (3.2 на рис. 3).
U: могут быть вычислены
3: 0 < а0 < 42° (или соответственно -0.625 < h < 0.951).
St: всегда неустойчивы.
3.3. Треугольник вершиной вниз (3.3 на рис. 3).
U: могут быть вычислены.
3: 67° ^ а0 < ^.
St: 73° ^ а0 ^ 75.5° (или соответственно 0.7775 < ft ^ 0.7977)
(см. рис. 2). Неустойчивы для всех других значений а0.
3.4. Треугольник вершиной вверх (3.4 на рис. 3).
U: могут быть вычислены.
3: 2L < ао < Е (иди соответственно 1.073 та —^-~ < ft < со).
4 о о
St: 48.5° ^ ао < тг (или соответственно 1.4803 < ft < оо) —
устойчивы;
j < ао ^ 48.5° — неустойчивы (см. рис. 2).
4. Четырехзвенные периодические траектории.
4.1. «Птичка» (траектория 4.1 на рис. 3).
U: С/0 = (oq9 а0 = 0, Ь0 = l/v^);
Ui = (а\ = 0, а\ = —6osinao, &i = \/2 — 6ocosao);
£/2 = {0L2 = —ао, а2 = 0, &2 = Ьо);
С^з = («з = 0, а3 = -аь Ь3 = bi).
3: 0 < ао < 7г; ft = i - cos ao.
Sfc s = 1 - 2s2, 8 = (6 - 7cosa0 - 8cos2a0 + 8cos3a0)/(2 -
— cosao); т.е.
устойчивы при 0 < ао < ? (или соответственно —0.75 <
< ft < -0.25);
неустойчивы при £ < ао < - 4- axcsin У—j— « 141°20'
(или соответственно —0.25 < ft < 1.031);
устойчивы при ~ + arcsin ^—j < ао < 7г (или
соответственно 1.031 < ft < 1.25).
98 Лекция 4
Д: все траектории изохронны, период Т = 4/у/2.
4.2. Симметричные W-образные траектории (4.2 на рис. 3).
3: 0 < с*о < а* « 39°, h = cosao.
4 cos ao cos 2ao
St: всегда неустойчивы.
4.3. Четырехугольник «баварский ромб» (4.3 на рис. 3).
3: 66°55'«a* <а0<|.
St: a* < a0 ^ 73°48' (или соответственно 1.152 < h < 1.621) -
неустойчивы;
73°48' < а0 < 90° (или соответственно 1.621 < h < оо) —
устойчивы.
4.4. Четырехугольник «ранец» (4.4 на рис. 3).
3: 25°38' < а0 < 45°.
St: устойчивы только при 27° 22' < а0 < 27°57'.
4.5. Первый экзотический четырехугольник (4.5 на рис. 3).
Зе 29°29' < а0 < 45° (или соответственно 45° < а2 < 80°40')
(0.177 « v^/8 <h< 1.032) (см. рис. 2).
S£: устойчивы только при 41° 22' < ao < 45° или соответственно
45° < а2 < 49°22' (д/2/8 < Л< 0.2).
4.6. Второй экзотический четырехугольник (4.6 на рис. 3).
3: 3°12/ < а0 < 25°55' или соответственно 25°55' < а2 < 42°4'
(-0.34 < Л < -0.95).
St: устойчивы только при 16°3' < ао < 25°55' (или
соответственно 25°55' < а2 < 33°33').
5. Пятизвенные траектории.
5.1. Несимметричные траектории (5.1 на рис. 3) с одним скачком.
Таковые существуют и являются устойчивыми только при
нескольких значениях h < 0.
5.2. Симметричные траектории, составленные из пяти
параболических дуг. Всегда неустойчивы.
5.3. Пятиугольник вершиной вверх. Существует и является
устойчивым при больших значениях h > 0.
5.4. Пятиугольник вершиной вниз. Всегда неустойчив.
4. Отображение Пуанкаре
99
5.5. «Пятиконечная звезда» вершиной вверх. Существует и устойчива
при больших значениях h > 0.
5.6. «Пятиконечная звезда» вершиной вниз. Всегда неустойчива.
6. Шестизвенные траектории.
Из полного множества шестизвенных траекторий рассмотрим лишь
один важный пример.
6.1. Симметричные траектории, составленные из трех параболических
дуг. Устойчивы при 0 < а < 62°. В точке а « 53°17', s =
= 1 вследствие бифуркаций могут возникнуть двенадцатизвенные
траектории.
Интересно отметить, что для так называемого круглого бильярда Бирк-
гофа траектории существуют при всех углах ао. Если же речь идет
о бильярде в гравитационном поле, то здесь обычно существуют лишь
периодические траектории с симметрией относительно вертикального
диаметра круга.
4. Отображение Пуанкаре
Рассмотренные выше случаи дают нам возможность перейти к
построению основных элементов фазового портрета. Возьмем для примера
энергетический уровень h = —0.5 (рис. 2): здесь мы видим, что существуют
устойчивые периодические движения с индексами 1.1, 3.1, 4.1, 6.1.
Объединив эти точечные отображения с рисунками 3, 1.1... 6.1, мы получим
фазовый портрет для h = —0.5. Можно сравнить его с полученным
вычислительным путем фазовым портретом для h — —0.5, представленным
на рисунке 6. В обоих случаях мы видим множество островов в море
хаоса, причем наиболее значительные группы островов на портретах
совпадают.
Эволюция фазового портрета по мере изменения энергетического
уровня показана на рисунках 4-9, 11-17. Можно выделить три основных типа:
1. -К й<0.
Для значений от h = — 1 до h = —0.75 в колебательном движении
наблюдается высокая регулярность (см. рис. 4). Из множества
периодических движений с малым количеством звеньев существует лишь
однозвенный скачок (центральная точка на рисунке 4).
100
Лекция 4
h=-0.75
-0.5-Э
Рис.4
/ь=-0.625
| ■.■ ■ ii ■ > ■ | ч i М ■ ■ ■ ■ М ■ ■ i! ■ i.11 ■ ■■i!t ■ ii|i ■ ■ ■ 111 ■ ■ t■и ■ | ■.. Ч i ).■■■,.,.■!.
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 <*
Рис. 5
4. Отображение Пуанкаре
101
Л=-0.5
Рис. 6
h=-0A
102
Лекция 4
С ростам h регулярность постепенно исчезает. В интервале значений
от h = —0.75 до h = —0.25 мы можем наблюдать все возрастающий
хаос (см. рис. 5, 6, 7).
Основные группы островов (значения до h = —0.5) соответствуют
одно-, трех- и четырехзвенным движениям. При h > —0.5 однозвенный
скачок становится неустойчивым (центральная область на рисунке 6)
и в результате бифуркации переходит в двухзвенное движение 2.2.
В интервале значений от h = —0.25 до h = 0 хаос еще более возрастает
(этот процесс проиллюстрирован рисунками 8 и 9). При h — 0 в море
хаоса лишь движение с индексом 2.2 остается устойчивым, прежде чем
перейти вследствие бифуркации в движение типа 2.3.
На рисунке 10 приведены показатели Ляпунова для регулярных и
хаотических движений с энергетическим уровнем h = 0.
2. 0 < h< 1.
В этом интервале значений мы сталкиваемся с ярко выраженными
проявлениями хаоса (рис. 11 и 12).
3. h > 1.
Переход к вращательному движению.
4. Отображение Пуанкаре
103
-1.0
/г=0.0
max
0.8-,
0.6 Н
0.4-
0.2-
регулярные
хаотические
хаотические
0.0-
| I 1 I I I I II "I | I 1 I i I I I I I | I I I I I 1 I I I | I I I I I I I I 1 | I I I I I I I I » | I » Г» I 1 I I I |
log10n
Рис. 10
104
Лекция 4
1.0Н
-1.0-
А: • :-•• \ :*t. --ч* •♦.• "• *' . # ••• «... '*• •».•.■*,. «.*\
&' •' i * " *•" **'*' •*■ '': •**". л**.'* • • * "*• •ч * *£?'* .,**. " • -. * "Л
. - % ••« V '. ..*"*' ^Г ••. •. *•*. .*».* -..-••• "•* л •• ^- к'*' ,.,«• '..Vv
♦ ^'.O. .' '\v\ч" •;"" *..\r "••".'•*• :'/ 'C/*-*V ••*•*'• '*• ."'.'^'./ir.
\ '...*' .*<•>.:(• **•' :.** •■•• „■'•% • '• v j / '•*• У.4-: *y
■ i i i i i
0.0
Рис. 11
/i=0.1
l.(H
y/T\ .% •*i'.»^V л!*4* *.: .*• ".♦•^. ...'.'.'*" •<*•'"••;• *"i;.." ...».'**• ;* {ia*
*.'i > • . - ' «^ •.'* !..?: . •*.M:.*; '•- ;'*" • > * •••"' J-" '••»-'.'- /•" \ ••
v'> " ":'•).': r;'" •%.-:"«: ^: •! '• *.; V> у v 1:«-- ',<!•;• .-.Г;'' */"/.'<.•• :^
-.*-:.. ■*
/1=0.78
1111)1111 ■^ffP^F^f*ffffl I I I I | I I I I I I l I I ■[ I I I I
-1.0 0.0 1.0 2.0 «
Рис. 12
4. Отображение Пуанкаре
105
а 2.0-Г
-2.0-
h=1.2
«2.0
/г=1.35
111 ■ i nlW|T'>
-1.0 0.0
I 1111111111 11111 11111 11111 111111 I
1.0 2.0 3.0
4Ю
Рис. 14
106
Лекция 4
2.0 -,
1.0:
;
0.0-
^ctr^^m
^^^^g
ШЗШ^Еч!
-1.0
-2.0
ЯЫ.5
11111111
-1.0
I I I I I I I I I I I I I'l I I I I I I I I I I I I I I I I I M [ I Mill
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 ol
Рис. 15
/г=2.0
-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 ex
Рис. 16
5. Некоторые замечания
107
В интервале значений от h = 1 до h = 1.5 мы наблюдаем всё более
усиливающуюся иррегулярность (см. рис. 13-15), которая, однако, при
дальнейшем росте энергетического уровня убывает (см. рис. 16).
Начиная со значения h = 2.5, наблюдается уже ярко выраженная
регулярность (см. рис. 17).
5. Некоторые замечания
В этой связи нами были исследованы также и некоторые интересные
нелинейные эффекты, к каковым относятся, например, следующие:
1. Неустойчивость, возникающая вследствие резонансов: на рисунке 2
они выглядят как неустойчивые точки на устойчивых линиях.
2. Бифуркации с удвоением периода, возникающие при понижении
энергетического уровня; например, для трехзвенной траектории при h =
= 1.4803 или четырехзвенной траектории при h = 1.6521 и т.д.
3. Круговые движения и периодические траектории, составленные не
только из парабол, но и из дуг окружностей.
108
Лекция 4
Круговые движения г = 1, г = 0 в пространстве (а, а) происходят
вдоль интегральных кривых
только если
1-2 г.
-a —cos а = п,
a +cosa > 0.
(24)
(25)
При этом возможны колебательные движения при — 1 < h < 0 и
вращательные движения при ft > 1.5 (см. рис. 18, где область
а2 + cos a < 0
(26)
заштрихована).
3-]
a J
24
н
он
-И
-24
Л=1.5
Л=1.5
i i i i I i I i i | i i i i | i i i i | i i i i | i I i i | i i i I |
-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5
а
Рис. 18
Если выполняется неравенство (26), то траектории состоят не только
из дуг окружностей, но и из параболических дуг. Такие траектории
5. Некоторые замечания 109
могут быть и периодическими, подобно показанным на рисунке 19а
(с*о = 120°, do = л/0^5) и 19Ь. Соответствующие движения частью
свободны, а частью идут по дуге окружности. Впрочем, такие
траектории, по всей видимости, неустойчивы.
4. Движение при абсолютно неупругом соударении.
Если в результате абсолютно неупругого соударения энергия движения
оказывается в интервале 0 < h < 1.5, возможна дальнейшая
эволюция движения с новыми соударениями. Обозначив через ho значение
энергии перед ударом, а через hr — значение энергии после удара, мы
можем записать
*r-Ao = -fSA8(l-§AS)S (27)
(см. рис. 20).
Отсюда видно, что lim hn = 0. Таким образом, движение сходится
п—»оо
к предельному циклу с амплитудой 7г/2.
Кроме того, после к соударений (к < оо) можно получить
периодическое колебательное движение, причем значение h будет лежать в
интервале -0.982 ^ h < 0.
no
ЛЕКЦИЯ 4
2.0 -q
к i
1 t\ -
l.o-
1 flJ
l.U"
u.o-
и.и:
u.o-
1 fl '
l.U:
1ft-
i.6 j
\
.б1'"-!
.'о'1'' -b
.5 "О
/
/
/
/
\
6 6
/
/
/
/
/
\
\i
5 i
/f
/
/ /
/ /
/ /
6 i
.5 2
.0
u*=-0.982
^
Рис. 20
Литература к лекции 4
1. Иванов А. П., Маркеев А. П. Динамика систем с односторонними
связями. Прикладная математика и механика, 53. № 4. —1989. — С. 539-548.
I
Лекция 5
Вращательное движение небесных тел:
обзор
5.1. Устойчивость спутника, движущегося по круговой орбите: достаточные
условия
5.2. Задача о стационарном движении и устойчивости шара и твердого тела
под воздействием взаимного притяжения
5.3. Уравнения эволюции пространственного вращательного движения
спутника
5.4. Эволюция пространственного вращательного движения
искусственного спутника Земли в земном гравитационном поле
5.5. Эволюция пространственного вращательного движения
искусственного спутника Земли относительно эволюционирующей плоскости
орбиты
5.6. К теории прецессии и нутации земной оси
5.7. Влияние приливного момента на эволюцию вращательного движения
5.8. Резонансные вращательные движения небесных тел и обобщенные
законы Кассини
В этой лекции будут кратко описаны результаты моей многолетней
(с 1956 года) исследовательской работы над проблемами вращательного
движения небесных тел.
112 ЛЕКЦИЯ 5
Рис. 1
1. Устойчивость спутника, движущегося по круговой
орбите: достаточные условия
Рассмотрим гравитационный потенциал U, действующий между
шаром (или просто материальной точкой) с массой Мо (например, Землей)
и некоторым телом с массой М (например, искусственным спутником
Земли) (см. рис. 1):
U = и f dm = U(R 7 i 7")
J y/R2 + 2R(x'j + уY + *V) + x'2 + V12 + z'2
(1)
Здесь /i = /Mo, / — гравитационная постоянная, V — объем тела (это
значит, что М = ] dm), R = |R| — расстояние между центрами масс шара
и тела, ж7, у', , г' — координаты элемента массы dm в главных осях инерции
тела.
И наконец, 7? 7'» 7" ~ направляющие косинусы вектора R к осям х\
У', z'.
Если ртах = т^* yV2 + у'2 + z'2 существенно меньше R (р <^С Д), то
из (1) следует
^^ + ^(Л + Я + С)-§^(Л72 + В7'2 + С7"2), (2)
1. УСТОЙЧИВОСТЬ СПУТНИКА НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ 113
где А, В, С — главные моменты инерции тела. В первом приближении
траектория тела представляет собой кеплеровскую орбиту. Рассмотрим
круговую орбиту R = R0 = const с орбитальной угловой скоростью ш и так
называемым гироскопическим потенциалом
Up = \u\Af + В(3'2 + С/3"2), (3)
где /?, /?', /3" — направляющие косинусы нормалей п плоскости орбиты
к осям х\ у\ zf тела; тогда закон сохранения энергии имеет вид [1, 2]:
±( Ар2 + Bf + Cf2) + §w W + ВУ2 + Cif2)-
-±u>2(A02 + Bp,2 + C(3"2) = h = const. (4)
Мы также можем принять во внимание, что одним из решений
уравнений движения является движение, подобное лунному, когда оси тела
ориентированы относительно плоскости орбиты и радиус-вектора R:
р = £ = г = 0, 7 = 7' = /3 = /3" = о, 7" = /3' = 1. (5)
Используемые в (4) и (5) координаты р, q9 , f соответствуют при этом
компонентам относительной угловой скорости тела по осям х\ г/', z1\
Стационарное движение (5) мы определяем как положение
относительного равновесия, устойчивость которого исследуется ниже.
В силу
72 + 7'2+7"2 = 1, /?2+/?'2 + /?"2 = 1 (6)
мы можем переписать закон сохранения энергии (4) в виде
V 4 1(Ар2 + Bq2 + Cf2) + \и\А - С)72 + (В - С)У2]+
+ ±u2[(B-A)(32 + (B-C)(3"2] = hQ. (7)
Если
В > А > С, (8)
то V — положительно определенная функция Ляпунова и — = 0. Поэтому
неравенство (8) представляет собой достаточное условие устойчивости для
положения относительного равновесия (5) в строго нелинейном смысле.
Условия (8) означают, что (см. рис. 2)
114
Рис.2
для устойчивости положения относительного равновесия
твердого тела на круговой орбите в ньютоновском гравитационном
поле достаточно, чтобы большая ось инерции была направлена
вдоль локальной вертикали, а меньшая — вдоль нормали к
плоскости орбиты.
Этот результат был получен автором в 1956 году, однако публикация
состоялась лишь в 1959 году, в работе [1], а затем в книге [2].
2. Задача о стационарном движении и устойчивости шара
и твердого тела под воздействием взаимного
притяжения
Под воздействием гравитационного потенциала (1) орбиты спутника
в общем случае не являются чисто кеплеровскими орбитами. Орбитальное
и вращательное движения спутника сопряжены, т. е. оказывают взаимное
влияние одно на другое, что существенно усложняет анализ их
стационарных решений и параметров устойчивости, как было уже показано в моей
статье [1] и книге [2]:
1. Существует некоторая круговая орбита, представляющая собой
стационарное движение
*=*• "2=-ш{Ш)0
(9)
2. Задача о стационарном движении
115
с положением относительного равновесия (5) спутника, если
выполняются условия
(!).<»• (£).-* (SO.-* ™
Индекс «О» здесь означает, что условия (10) действительны вдоль
траектории стационарного движения.
2. Уравнения движения имеют четыре первых интеграла: один интеграл
энергии и три интеграла кинетических моментов. Используя эти
интегралы, можно составить функцию Ляпунова и исследовать
устойчивость движения.
3. Для устойчивости вышеописанного стационарного движения в строго
нелинейном смысле по Ляпунову достаточно, чтобы
a) В > А, В>С\
С2
b) Сц > -г— (С22С33 - Сгз)>
Аз
С44С55 — С45 >
С55С14 — СцСц
15.
с) А3 = ВВ%{
дВ?
Дз
3V
(И)
к°*2
_в_
1 + ко + fco-^j
где
ay
д2и
а72'
Си
С22 = Щ(1 + к0), Сзз =
^14 = ~ог>а ' С15 = —
>о,
д2и
г _еи__(Ру_ г _
55 ~ W ay2' *~Щд1л
(1+^§>
В
д2и
С23 = Вко, (12)
здд7' ° aw'
а значение &о > 0 достаточно велико.
Все эти условия должны выполняться вдоль траектории
стационарного решения. Используя в качестве примера приближение (2), можно
еще раз привести условия (Па), (lib) к виду (8). Чтобы судить об
устойчивости орбиты, следует рассматривать условие (11с) (см.
третью лекцию).
116 ЛЕКЦИЯ 5
3. Уравнения эволюции пространственного
вращательного движения спутника
Рассмотрим твердый спутник с симметричным распределением массы
А = В ф С (13)
в потенциальном поле с потенциалом U. Положение вектора кинетического
момента L в пространстве мы определяем при помощи углов р и а;
положение спутника относительно вектора кинетического момента описывается
эйлеровыми углами #, ф, (р. Таким образом, полностью вращательные
движения спутника могут быть представлены следующим набором координат:
L, р, a, tf, ф, (р. (14)
При U = О имеем, в силу (13), невозмущенное движение — так
называемую регулярную прецессию:
L = Lo, р = ро, а — а^^ # = #0,
\# ; Lo dtp . _ Q (\ Л (15)
Все значения координат в (15) постоянны.
Если U =£ О, то говорят о возмущенном движении. Для этого случая
предполагается симметричная потенциальная функция, обладающая свой-
ftTT
ством ~- = 0. Это означает, что
д(р
U = Щр, а, 0, ф, uot), (16)
где ujq = 27г/Г, аГ- орбитальный период. Во всех наших задачах мы
имеем также 11(ф + 27г) = 17(ф); U(u>ot 4- 2п) = U((Jot) и т.д. Возмущенные
вращательные движения спутника описываются следующими
уравнениями [2]:
dL
dt
= &и_. dP = 1 fdUrn,n_dU\.
дф" dt Ьзтр\дф Р да)'
da _ 1 Э£/, # L 1 (диы.„лМдиы.„Лт /17ч
й-ШГр-а? -dt=A-l{-dtctgp + Wctg*)' (17)
м_«е*ди. dv=Lcos#(i_A + dU
dt L дф" dt \C А) дд'
(*-i)
3. Уравнения эволюции движения спутника цу
Эти уравнения (17) имеют один первый интеграл
Lcostf = L0cos$o- (18)
Как видим, все уравнения вращательных движений (17) делятся на две
не связанных друг с другом группы: в первую группу входят уравнения для
переменных L, р, а, #, ф, не зависящие от <р9 вторая состоит из одного
уравнения для ср.
f L max|C/|
Угловое движение принято полагать быстрым, если ^ ^> р—L. Для
анализа такого движения можно воспользоваться методом теории
возмущений, что в первом приближении соответствует методу осреднения.
Итак, введем осредненный потенциал
2тг
и =
hlUd^ (")
тогда в силу (17)—(19) имеем:
L = Lo, cosi? = cost?o,
# Lo 1 fdU . , dU . n \ Lo
-M-^-T0\-d-pCtgP+^ Ctg*°) " T« (20)
dip
~dt
а также
= L0costf0 (i -±) + § « Locos^o (1 -1) ,
dp _ 1 dU da _ 1 dU
(21)
eft Lo sin /?9a' d£ Lq sin p dp '
Таким образом, в (21) потенциал зависит лишь от р, а и т:
17 = Щр, а, т), г = ^о*. (22)
Это означает, что возмущение вращательного движения спутника
распадается на два не связанных между собой движения: во-первых, квазирегуляр-
ная прецессия (20) спутника вокруг его вектора кинетического момента L,
|L| = Lo = const, и, во-вторых, эволюционное движение (21) вектора
кинетического момента. Таким образом, можно ограничиться исследованием
всего двух уравнений движения (21).
(25)
118 Лекция 5
Потенциал (22) часто можно представить в виде
U = U(p,*,T), ^=п(1"е2)3/', (23)
dv (l + ecosz/)z
где v = u(uot) — истинная аномалия орбиты, е — ее эксцентриситет.
Если к «быстрым» переменным относится не только ф9 но и г, то это
приводит к осредненному потенциалу
27Г 27Г 27Г 27Г
^ = г^ / lud^dr = --^ / [и}1"6 * ^dt/>dv. (24)
(2тг)2 У У ^ (2тг)27У (1+ecos*/)2 ^ V '
0 0 0 0
Таким образом, получаем уравнения эволюции
dp = 1 9i7 da = _l__dU
dr Lq sinp да' dr Losinp dp
и первый интеграл
t/(/>, a) = const. (26)
4. Эволюция пространственного вращательного движения
искусственного спутника Земли в земном
гравитационном поле
Вследствие (2), (13) имеем
ff-i^a+.«^-ch-. (27)
Здесь р — угол между вектором кинетического момента L и нормалью п
к плоскости орбиты, а а — угол между проекцией L на плоскость орбиты
и радиусом перигея, то есть угол поворота L вокруг п.
Осредненный потенциал (24) принимает вид
2
^ = i(Tr5)i75(j4-c'){isin2,?+isin2p(3cos2,?-1)} (28)
и вследствие (25) получаем
5. Эволюция движения относительно плоскости его орбиты 119
Вектор кинетического момента прецессирует вокруг нормали к
плоскости орбиты на постоянном угловом расстоянии ро и с постоянной угловой
скоростью —-.
Период такого прецессионного движения искусственного спутника
Земли составляет, как правило, величину порядка нескольких дней. (Для
сравнения: период прецессии земной оси равен примерно 26 тысячам лет.)
Поскольку и период эволюции траектории спутника имеет приблизительно
ту же продолжительность, в дальнейшем ее также следует учитывать.
5. Эволюция пространственного вращательного движения
искусственного спутника Земли относительно
эволюционирующей плоскости его орбиты
Вследствие сплюснутости земного шара, у орбит спутников
изменяются в первом приближении только положения узла fi траектории и аргумента
перигея uv Это может быть описано соотношениями
^ZL = f^|(5cos2i-l)^^.
dr 2P2
Здесь Re — радиус Земли на экваторе, Р = const — параметр орбиты
спутника, г = const — наклон орбиты относительно экватора, е = 0.0016331 —
безразмерный параметр, характеризующий сплюснутость земного шара.
Мы видим, что плоскость орбиты сохраняет свой наклон и вращается
вокруг земной оси с угловой скоростью К& согласно (30). Сама же орбита,
в свою очередь, вращается в этой плоскости с угловой скоростью Кш из (30).
Учитывая эти вращательные движения, получим вместо (29) новые
уравнения эволюции вращательных движений спутника в виде
-~ = i^QsinisinS,
dr
= 2Кд cos р - Kq (cos г — sin г ctg p cos S), (31)
dr
тт. ^ 3 (A-C)ujq 2
e=,+*,-!; ^=|£чо(1_б;)3/2(3с°5^о-1)-
120 Лекция 5
Соотношения (31) могут быть представлены также в виде
dp = 1 дФ dY, = 1 дФ
dr Losinp 9E' dr Losinp 9/?' (32)
Ф = —LoKg cos2 p + £oZfn(cos г cos p + sin г sin p cos E).
Уравнения (31) имеют первый интеграл
Ф(р, Е) = Ф0, (33)
которым описываются траектории вектора кинетического момента. Каждая
траектория замкнута. При этом возможны два типа траекторных множеств
(см. рис. 3): траектории с двумя стационарными точками и траектории с
четырьмя стационарными точками. Стационарные точки траекторий
описываются формулами:
Е = 0, тг; р = ро; (34)
К9 sin 2p0 - Kq, sin(p0 =F i) = 0- (35)
Рис. 3
Рисунок 4 позволяет графически определить численные значения
решений уравнения (35) на плоскости [cospo, cosi] при различных значениях
параметра |«|, где к = — -=~.
I
5. Эволюция движения относительно плоскости его орбиты
0.9 1.0 1.1 0.91.0 1.11
121
cos р0
1.1 1.0 1.1 1.0 0.9
Рис.4
Можно видеть, что множество траекторий (33) имеет только две
стационарные точки, если
\2к\2/3 < sin2/3 г + cos2/3 г,
и четыре стационарные точки, если
\2к\2/3 > sin2/3 г + cos2/3 г.
(36)
(37)
В первом случае обе стационарные точки устойчивы; во втором случае
имеем три устойчивые и одну неустойчивую стационарные точки.
Замечание. Структура уравнений (34)-(35) и неравенств (36)-{37)
типична для теории вращательного движения спутников. Аналогичные
уравнения получаются, к примеру, при исследовании вращательного движения
спутников под воздействием аэродинамических, магнитных и
гравитационных полей [2], а также в теории резонансных вращательных движений
небесных тел и обобщенных законов Кассини [3].
122 Лекция 5
6. К теории прецессии и нутации земной оси
Вращение Земли происходит под воздействием гравитационных
моментов Солнца и Луны.
На рисунке 5 показаны используемые нами в дальнейшем координаты
и углы:
р — угол между вектором кинетического момента L Земли и нормалью п
к плоскости лунной орбиты;
Е — угол между проекцией L на плоскость лунной орбиты и линией узлов,
то есть угол поворота вектора кинетического момента L вокруг п;
Д — угол между L и нормалью N к плоскости эклиптики;
а — угол между проекцией L на плоскость эклиптики и линией узлов, то
есть угол поворота вектора кинетического момента L вокруг N;
г — наклон плоскости лунной орбиты к плоскости эклиптики.
Согласно схеме, представленной на рисунке 5, действительны
следующие соотношения:
cosA = cos г cos p -f sin г sin p sin E
cos p = cos г cos A — sin г sin Д sin a.
ось лунной орбиты
п
плоскость
лунной орбиты
эклиптика
(38)
(39)
Рис.5
6. К ТЕОРИИ ПРЕЦЕССИИ И НУТАЦИИ ЗЕМНОЙ ОСИ 123
Далее примем следующие обозначения:
С и А — моменты инерции Земли вокруг своей оси и соответственно
перпендикулярной ей оси;
тм и гпе — массы Луны и Земли;
ем и е# — эксцентриситеты орбит Луны и Земли;
$о — угол между L и земной осью (#о « 0);
L0 = |Lo|;
шм и u>e — средние угловые скорости Луны и Земли;
U — угловая скорость прецессии плоскости орбиты Луны;
обусловлена возмущениями, вызываемыми Солнцем (с периодом Г,
равным 18.6 лет).
Кроме того, введем параметры
8 L0 v 'тм + гпЕ (1_e2f)3/2'
8 Lo wM(l - е|)3/2
и рассмотрим функцию
Ф = -L0KM cos2 p - LQKS cos2 Д + LqKq cos Д, (41)
где cos Д определяется формулой (38).
Используя Ф(р, £) в виде (41), мы можем теперь представить
уравнения эволюции в виде (32) и получить (аналогично тому, как мы делали это
выше, см. (33)) первый интеграл
Ф(Л Е) = Ф0, (42)
описывающий некоторое множество траекторий.
Все траектории вектора кинетического момента являются
замкнутыми относительно прецессирующей плоскости лунной орбиты.
124 Лекция 5
В классической теории прецессия и нутация земной оси этого эффекта
не описывают. Из (41), (32), (38), (39), где $о ~ 0, cosi ~ 1, sin2 г ~ О,
sin г Ф 0 и 5 = a + i^nr, непосредственно следуют классические уравнения
прецессии и нутации земной оси
-j— = —2Км sin г cos A cos(<5 — Kqt) ,
I (43)
^ = 2(#м + tfs) cos Д + 2КМ sin i-S^A sin(5 - Jfor),
решение которых в первом приближении дает прецессию
& = 2(tfM + #s) cos До = и>Р. (44)
Во втором приближении получим классические формулы прецессии
и нутации:
Д = До 4- <$Д, а = шрт + да,
sin(o;p ~ Kq)t
\
8 А = —2Км sin г cos До
8 а — —2Км sin г
ир-Кп ' (45)
cos2Д0 cos(o;p - Kq)t
sin Д0 ujp — Kq
Для земной оси период прецессии составляет приблизительно
26000 лет, а период нутации — около 18.6 лет.
Уравнения (32), (41) действительны в общем случае для любых
спутников в полях с двумя гравитационными центрами (как, например, для
искусственного спутника в поле системы Земля-Луна1), что ведет к различным
значениям частот нутации и прецессии.
7. Влияние приливного момента на эволюцию
вращательного движения
Теперь включим в рассмотрение еще и диссипативный момент (в
нашем случае — приливной) и изучим его влияние на эволюцию
вращательного движения небесного тела.
1 Здесь рассмотрена Земля в поле Солнца и Луны. Здесь не рассматривался случай
искусственного спутника в поле системы Земля-Луна, но может быть, если захотим, рассмотрен
аналогичным образом.
7. Влияние приливного момента на вращательное движение 125
Приливной момент может быть смоделирован соотношением [4]:
М = -^\ivb xer] хег. (46)
-jr[wb х ег] х ег.
Здесь и>ъ — относительная угловая скорость небесного тела, ег = £, г =
= |г|, г — радиус-вектор орбиты, д = const. Таким образом, учитывая (13),
получаем уравнения эволюции в следующей форме [4]:
dt рб \
vicjo cos р - (1 - е2)3/2£
-г- sin2 р cos 2сг
sin2?? , cos2
v2U-|sin2H
dp _
A" ~~ 2LP6
sin/J -2u>0t>i + (1 - e2)3/2L
sin2?? , cos2??
da
dr
dd
dt
sin2 г? , cos2 г?
x cos p(v2 + г>з cos2a)} ,
^зт^со8^(1-1)(1-в^х
x [^(cos2 p-3) — vs sin2 />cos2cr] ,
(47)
С
где
V3
|e2 + ^ (48)
и a;o = ^г, Г — период орбиты, Р — параметр орбиты, е — эксцентриситет
орбиты.
Из третьего уравнения в (47) следует, что а -> 0 или а -> 7г. Обычно
для естественных небесных тел С > А В силу четвертого уравнения в (47)
это приводит к # —» О или г? = 7Г, то есть к аксиальному вращательному
движению. Итак, основными уравнениями эволюции остаются следующие
уравнения из (47):
dL = _S_
dt PQ . С
dp
~dt
< viujq cosp- (1 - e2)3/2L
V2- ^(v2 + v3)sm2p
]}■■
= -^-g sinp I -2u)0vi + (1 - e2)3/2^ cos p ■ (v2 + v3) \ .
(49)
126
Лекция 5
Эти уравнения описывают эволюцию движения и показывают, что
при t —► оо переменные р и L принимают значения
/0 = 0,
Cwo (l-e2)3/2(l + 3e2 + |e4)'
О
(50)
Это означает, что движение переходит в прямое осевое вращение с угловой
скоростью Со = тт^" (50) вокруг нормали к орбите.
Если небесное тело движется по круговой орбите, то е — 0 и
уравнения (49) имеют первый интеграл:
Со sin2 p
Cocosp-1
const, Co
Си>о'
(51)
На рисунке 6 показаны интегральные кривые (49) с современными
фазовыми координатами Земли, Урана и Венеры.
8. Резонансные вращательные движения небесных тел
и обобщенные законы Кассини
Средний потенциал U в форме (24) действителен только для
нерезонансного вращения. Однако возможен также случай, когда для ф выполня-
8. Резонансные вращательные движения небесных тел 127
ется равенство
ф = ±ки0Ь + 5, \8\<6*, к = 1,2,3,... (52)
В таких случаях говорят о возникновении «&:2-резонанса» между угловой
скоростью ф прецессии и орбитальной угловой скоростью u)q. Здесь ф уже
не может рассматриваться как быстрая переменная. Поэтому введем в
уравнения малый параметр е:
А = 1 + еА\ В = 1 + еВ', С = 1 + еС'\ (53)
это означает, что наше небесное тело имеет квазишаровидную форму. Тогда
средний потенциал [U] принимает вид
2тг
№ = ^/и(...,$т + 69т)<1т, T = u0t, (54)
о
и мы получаем следующие уравнения движения [3]:
dp I d[U] ctgpd{U]
at Lsmp oYi L ok
^тг = -т-: т{ h i^QfsinictgpsmE-cosz],
dt Lsmp dp
dt дк '
dn (k , , к \ , /sinV , cos^\ /ггч
- = -(-a;o + Xu,J + (-r- + -§-J- (55)
ctgp+-r-r-ctgi? -Knsini
*)
Здесь
K = ^-|wo«-w,r = *-w», ^ = ^--K'«. <5 + ^ = « + S. (56)
128 Лекция 5
Вращение плоскости орбиты в пространстве здесь учтено посредством
угловой скорости ^ = Kq, а скорость вращения орбиты в этой плоскости —
через %*Кы.
Для среднего потенциала [U] в (55) получим
[U] = \*Ц{А - В)[У2} + (А- С)[7"2]}, (57)
[У2] « а00 + а22 sin2(к + S) + 622 cos2(к + S),
аоо = о (1 — sin2 ft cos2 (p) 4- - sin2 Р(3 sin2 $ cos2 <£> — 1),
«22 = —j— sin (pcos ipcos #(1 + cosp) ,
^22 = о (1 + cos p)2 [sin2 <£> — cos2 (p cos2 г?],
ft"2] » -sin2tf+7sin2p(3cos2#-1) ^^ sin2^(l+cosp)2cos2(^+E),
если ограничиться только главными членами и разрешить в (57) только
значения к = 2 (движение, аналогичное лунному) и к = 3 (движение,
аналогичное движению Меркурия). Для этих частных случаев имеем
резонанс 1:1 (к = 2): Ф^(е) = Ф2 (е) = 1 + 0(е2),
резонанс 3:2 (А? = 3): Фк(е) = |е 4- 0(е3).
Уравнения (55)-(57) в качестве стационарного решения имеют движение
# = $0, <р = Ц>о> L = L0, Р = ро> S = Ео, к = ас0 (58)
со следующими свойствами:
1. *о = f, W) = 0,
^ - |w0 + Кш + /<Ъ cos(i ± po), k = 2, 3,
2. -^4 (ЧгП + Kn[±smictgPo-cosi}=0, (59)
Losinpo V дР /о
4. Ко = 0, 7Г.
8. Резонансные вращательные движения небесных тел 129
Вышеперечисленные свойства представляют собой обобщенные законы
Кассини. Как частный случай, они включают в себя законы движения,
эмпирически открытые Кассини в 1693 году для движения Луны.
Уравнения (55)-(57) с решениями (58)-(59) дают, таким образом, достаточно
строгое нелинейное обоснование [3] для эмпирических законов Кассини.
Задаваемые в (59) соотношения описывают, в частности, следующие
свойства [3]:
1. Первый обобщенный закон Кассини.
Поскольку К и, Kq <С uq, небесные тела вращаются вокруг главной
оси инерции с резонансной угловой скоростью П = -~ « uq (Луна)
или соответственно Q = -§■ « ^а;о (Меркурий).
2. Второй обобщенный закон Кассини.
Угол po(i) между осью вращения и нормалью к плоскости орбиты
является константой. Используя (57) и сокращенные обозначения
LX -
Р
X
sinp*
получим
Если
SL0KQ
3 "1
SL0Kq
д/sin2 г
\^ - ^;,
{[ЗВ-(2 + Ф*)С] +
0
— cosp
4- (a + cosz)2
sin г
л/sin2 г + (а 4- cos г)2
из (59), 2.
[В-(2-
*
Vshi
*к)А]},
cos г 4- а
2 г 4- (а + cos г)2
, по аналогии с (35), следующее уравнение:
sin(poTP*) + 2^sin
cos2/3 р* + sin2/3 р*
то уравнение (61) имеет четыре решения;
cos2/3 р* 4- sin2/3 р*
2р0 = 0.
< х2/3,
если же
> х2/3,
(60)
yyyjj
(61)
(62)
(63)
то всего два.
130
Лекция 5
3. Третий обобщенный закон Кассини.
Ось вращения небесного тела, нормальная к плоскости его орбиты,
и ось прецессии плоскости орбиты лежат в одной и той же
(вращающейся) плоскости. Это означает также, что линии узлов плоскости
орбиты и экватор небесного тела совпадают (см. рис. 7). Иначе говоря,
имеет место 1:1-резонанс между прецессией оси вращения и
прецессией орбиты.
лунный экватор
эклиптика
орбита луны
0=1°32'О6"
г=5°08'43"
Рис. 7
4. Это свойство не имеет аналога в законах Кассини. Назовем его
«законом совпадения фаз». На примере Луны это означает, что всякий раз,
когда Луна проходит свой перицентр, угол между лежащей в плоскости
орбиты осью инерции и линией узлов равен углу между
радиус-вектором орбиты и этой же линией узлов. Для Меркурия такое совпадение
фаз происходит каждое второе обращение вокруг Солнца. Упомянутая
ось инерции названа осью, отслеживающей радиус-вектор орбиты.
Движение многих небесных тел аналогично движению Луны и
демонстрирует резонанс 1:1; таково, к примеру, движение спутников Марса
Фобоса и Деймоса, а также лун некоторых других планет. Эти и подобные
им движения используются в космической технике для пассивной
стабилизации искусственных спутников.
Исследование проблем устойчивости стационарного движения (58)-
(59) полностью проведено в работе [3]. Ниже приведены основные
результаты этого исследования.
8. Резонансные вращательные движения небесных тел 131
Необходимыми и почти достаточными условиями устойчивости
резонансного движения 1:1 являются следующие:
1) ось вращения — короткая ось эллипсоида инерции;
2) отслеживающая ось — длинная ось эллипсоида инерции;
3) — [3 4- 2л/Щ < cos ро < 1, ро ф Ро> где р$ — так называемое «неустой-
±0
чивое решение» уравнения (61).
Условия устойчивости 3:2-резонансного движения аналогичны. Первое
и второе условия совпадают с вышеуказанными, к третьему следует
добавить ро ф тг; кроме того, необходимо еще одно, четвертое, условие: е Ф 0.
Условие ро ф Pq означает, что должно выполняться неравенство
Кп sin Е0 {|u;g sin3 ро [ЗВ - (2 + ФК)С+
+ В-(2- ФК)А] - LqKq sinEosini\ < 0. (64)
Первые же два условия устойчивости, как видим, совпадают с
неравенством (8).
В примере с Луной имеем Фк = Ф2 « 1, Ео = ?, Кп < 0. Поскольку
выполняется (8), будет, разумеется, выполняться и условие (64). Для
Меркурия имеем Ео = |тг, Кп < 0, Kq sin E0 > 0, Фк = Фз « |е и, в силу (53),
В-С ~ е{В' - С"), В-А~ е{В' - А'). Следовательно,
{ } = -{§u;*sin3po(l- |e)j + L0|tfn|sini} + 0(e),
и условие (64) также выполнено.
Литература к главе 5
1. Белецкий В. В. О либрации спутников. Искусственные спутники Земли,
№3.-1959.
2. Beletsky V. V. Motion of an Artificial Satellite about its Center of Mass. —
Jerusalem, 1966. (См. также: NASA-Transl. Publ., 1966; оригинальная
книга на русском языке, 1965.)
3. Beletsky V. V. Resonance Rotation of Celestial Bodies and Cassini Laws.
Celestial Mechanics. — 1972. — V. 6. No. 3.
4. Beletsky V. V. Tidal Evolution of Inclinations and Rotations of Celestial
Bodies. Celestial Mechanics. - 1981. - V. 23. No. 3.
Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать через наш
Интернет-магазин Mathesis:
http://shop.rcd.ru,
или по электронной почте
subscribe@rcd.ru
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ФТИАН, Нахимовский проспект, д. 36/1, к. 307, тел.: 129-53-49
2. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414, тел. 135-54-37
3. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 1 этаж)
4. Российский государственный университет нефти и газа им.
И.М.Губкина, ГЗ (3-4 эт.), книжные киоски фирмы «Аргумент».
5. Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
«Библиоглобус» (м. «Лубянка», ул. Мясницкая, 6)
Долгопрудный: Книжный магазин «Физматкнига»
новый корп. МФТИ, 1 эт. тел.: 409-93-28
С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
Издательство СПбГУ, Магазин №1,
Университетская набережная, 7/9
Белецкий Владимир Васильевич
Регулярные и хаотические движения
твердых тел
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерная верстка С. В. Высоцкий
Корректор Г. Г. Тетерина
Подписано в печать 04.06.2007. Формат 60 х 84Vi6.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 7,67. Уч. изд. л. 7,32.
Гарнитура Тайме. Бумага офсетная №1. Заказ №16.
АНО «Институт компьютерных исследований»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500-295