Движение искусственного спутника относительно центра масс - Белецкий В.В.

Author: Белецкий В.В.

Tags: техника средств транспорта астрономия космическая техника искусственные спутники спутники

Year: 1965

Similar

Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения

Элементы динамики космического полета

Очерки о движении космических тел

Text

6T5. 2
Б 43
УДК 629.195.1
Владимир Васильевич Белецкий
Движение искусственного спутника
относительно центра масс
М., 1965 г., 416 стр. с илл.
(Серия: «Механика космического полета»)
Редактор Д, А. Абашева
Гехн. редактор А. А. Благовещенская Корректор Т. С. Плетнева
Сдано в набор 29/1V 1965 г. Подписано к печати 9/Х 1965 г. Бумага 84xlO8V32.
Физ. печ.л. 13. Условн. печ. л. 21,84. Уч.-изд. л. 19,72.
Тираж 3000 экз. Т-13714. Цена книги 1 р. 19 к. Заказ № 1489.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров СССР
по печати. Измайловский проспект, 29.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .......................... 8
Введение • • 9
Глава 1. Анализ моментов сил, действующих на спутник . . 17
§ 1. Системы координат. Предварительный анализ влияния
ньютоновского поля сил на твердое тело ...... 17
§ 2. Моменты, действующие на произвольное твердое тело
в ньютоновском поле сил ............. 29
§ 3. Моменты аэродинамических сил и их аппроксимации 36
§ 4. Моменты, создаваемые магнитным полем ...••. 46
§ 5. Моменты сил светового давления и их аппроксимации 52
§ 6. Оценка относительного влияния моментов различных
сил ............. ....... 55
Глава 2. Стабилизация и либрационное движение спутника
в ньютоновском поле сил ............. 58
§ 1. Уравнения движения спутника относительно центра
масс в ограниченной задаче. Интеграл типа Якоби.
Устойчивое положение относительного равновесия . . 58
§ 2. Плоские колебания на круговой орбите ...... 64
§ 3. Плоские колебания спутника на эллиптической орби-
орбите. Нелинейное и линейное уравнения. Предваритель-
Предварительный анализ ............. 71
§ 4. Эксцентриситетные колебания ........... 74
§ 5. Малые плоские колебания на эллиптической орбите
при малом эксцентриситете ............. 77
§ 6. Некоторые нелинейные колебания на слабоэллипти-
слабоэллиптической орбите ................... 80
§ 7. Нелинейные плоские колебания на эллиптической
орбите ....................... 87
§ 8. Малые пространственные колебания спутника около
положения относительного равновесия на круговой
орбите ...................... 104
§ 9. Малые пространственные колебания на эллиптической
орбите ....................... 112
§ 10. Система гравитационной стабилизации искусствен-
искусственных спутников ................... 115
Глава 3. Влияние добавочных факторов на стабилизацию и
либрацию спутника 122
§ 1. Влияние аэродинамических моментов на стабилиза-
стабилизацию и либрацию спутника 122

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. О влиянии сжатия Земли на либрационное движение
спутника в гравитационном поле .......... 134
§ 3. О возможности стабилизации спутника относительно
магнитного поля Земли и стабилизации на Солнце
моментами сил светового давления ......... 141
Глава 4. О взаимосвязи поступательного и вращательного дви-
движения твердого тела в ньютоновском поле сил . • 145
§ 1. Уравнения движения и их первые интегралы .... 146
§ 2. Частное решение уравнений движения — относитель-
относительное равновесие ................... 148
§ 3. О телах, удовлетворяющих условиям существования
относительного равновесия ............. 152
§ 4. Исследование устойчивости относительного равно-
равновесия 157
§ 5. Анализ условий устойчивости относительного равно-
равновесия ........................ 161
§ 6. Об одном частном случае поступательно-вращатель-
поступательно-вращательного движения 171
Глава 5. Ротационное движение спутника и уравнения в оску-
лирующих элементах 175
§ 1. Ротационное движение и метод его исследования . . 175
§ 2. Некоторые вероятностные характеристики невозму-
невозмущенного движения ................. 176
§ 3. Возмущенное движение. Уравнения в оскулирующих
элементах ................. 180
§ 4. Случай возмущений, имеющих силовую функцию . . . 183
§ 5. Уравнения для динамически несимметричного тела 189
Глава 6. Влияние гравитационных возмущений на ротацион-
ротационное движение спутника .............. 191
§ 1. Области возможного и невозможного движения для
динамически симметричного спутника. Регулярные
прецессии в гравитационном поле ......... 191
§ 2. Вековые гравитационные возмущения . 206
§ 3. Общие особенности движения ........... 210
§ 4. Случай круговой орбиты. Предварительный анализ 212
§ 5. Случай круговой орбиты. Интегрирование уравне-
уравнений движения 215
§ 6. Случай эллиптической орбиты ........... 218
§ 7. Влияние гравитационных возмущений на спутник
с трехосным эллипсоидом инерции 224
Глава 7. Влияние аэродинамических возмущений на ротацион-
ротационное движение 229
§ 1. Влияние восстанавливающего аэродинамического мо-
момента. Вековые эффекты .............. 229
§ 2. Влияние вращения атмосферы на вековые возму-
возмущения , , ,238

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 3. Периодические возмущения. Анализ движения на кру-
круговой орбите .... ....... 240
§ 4. Влияние момента сил аэродинамической диссоциации 243
Глава 8. Анализ вековых возмущений при совместном влиянии
гравитационных и аэродинамических моментов и эво-
эволюции орбиты 251
§ 1. Движение вектора кинетического момента относи-
относительно орбиты при наличии ее эволюции 251
§ 2. Уравнения векового движения вектора кинетического
момента относительно эволюционирующей орбиты
при наличии гравитационных и аэродинамических
возмущений .....-.• 253
§ 3. Предварительный анализ уравнений векового движе-
движения. Интегрируемые случаи • 259
§ 4. Взаимодействие аэродинамических и гравитационных
возмущений. Классификация движений ....... 264
§ 5. Влияние регрессии орбиты 280
§ 6. Средний коэффициент аэродинамического сопроти-
сопротивления 285
Глава 9. Влияние магнитного поля и моментов сил светового
давления на вращение и ориентацию спутника . . . 290
§ 1. Влияние взаимодействия магнитного поля спутника
с магнитным полем Земли . 290
§ 2. Влияние вихревых токов на вращение и ориентацию
спутника 297
§ 3. Влияние моментов сил светового давления на вра-
вращение и ориентацию спутника Солнца . ..... .305
§ 4. Взаимодействие основных возмущений 312
Глава 10. Движение около центра масс некоторых из запу-
запущенных искусственных спутников ......... 317
§ 1. Третий советский спутник . . 317
§ 2. «Эксплорер-ХЬ и «Эксплорер-IV» 341
Глава 11. Использование ориентированного на Землю спутни-
спутника для исследований, связанных с Солнцем . . . 353
§ 1. Расчет времени освещения при постоянной ориента-
ориентации орбиты относительно Солнца 354
§ 2. Расчет изменения ориентации орбиты со временем 362
§ 3. Определение полного времени освещения 366
§ 4. Дополнения . 375
Приложение 1. О движении твердого тела вокруг закреплен-
закрепленной точки в ньютоновском поле сил 379
§ 1. Уравнения движения. Первые интегралы 379
§ 2. Устойчивость стационарных вращений ...... .382
§ 3. Некоторые случаи интегрирования уравнений и ис-
исследования движения . 390
Приложение 2. Орбита экваториального спутника Земли . . 400
Литература . , .411

ПРЕДИСЛОВИЕ
После запуска первого искусственного спутника
Земли и в связи с последующими успехами в освоении
космического пространства резко возрос интерес к раз-
различным вопросам, связанным с изучением космоса.
В частности, большой интерес представляют вопросы
теории движения искусственных космических объектов.
Настоящая книга посвящена одному из разделов ди-
динамики космических полетов — движению искусствен-
искусственного космического объекта относительно его центра
масс. Основная цель книги — описание методов иссле-
исследования и выявление основных эффектов такого движе-
движения. Рассматривается круг вопросов, ограниченный рам-
рамками динамики твердого тела.
В основу книги положены ряд опубликованных ра-
работ [6—18, 59] автора и лекции, прочитанные им на
механико-математическом факультете Московского го-
государственного университета в 1962—1963 гг. Исполь-
Использованы также некоторые результаты других авторов.
Задачи, рассматриваемые в книге, неоднократно об-
обсуждались с Д. Е. Охоцимским, М. Л. Лидовым,
В. А. Сарычевым, Ю. В. Зоновым. Записи упомянутых
выше лекций, сделанные К. С. Жигаловским, суще-
существенно помогли работе над книгой. А. И. Лурье и
Т. В. Харитонова внимательно прочитали рукопись и
сделали ряд ценных замечаний. Всем этим товарищам
автор выражает свою глубокую признательность.
В. Белецкий

ВВЕДЕНИЕ
Ряд геофизических и динамических задач, связан-
связанных с освоением и изучением космического простран-
пространства, требует анализа вращательного движения искус-
искусственных космических объектов относительно центра
масс. Так, например, исследование излучений Солнца
возможно лишь при наличии освещения Солнцем при-
приборов, установленных на искусственном спутнике, а
условия освещенности зависят от движения спутников
относительно центра масс. От положения спутника от-
относительно набегающего потока зависят показания раз-
различных приборов, предназначенных для изучения со-
состава и строения верхней атмосферы; положение спут-
спутника относительно магнитного поля Земли влияет на
показания магнитометров. Движение около центра масс
влияет также на средний коэффициент аэродинамиче-
аэродинамического сопротивления и, следовательно, на параметры
орбиты и время существования спутника; есть также
ряд других задач, требующих знания ориентации спут-
спутника в пространстве.
Другой круг вопросов, требующий анализа движе-
движения спутника относительно центра масс, связан с воз-
возможностью получения пассивной ориентации спутников,
то есть ориентации, обусловливаемой влиянием момен-
моментов внешних сил. В этих задачах существенным яв-
является нахождение естественных ориентированных по-
положений спутника, анализ устойчивости этих положе-
положений и движения в их окрестности.
Как задача механики движение спутника около
центра масс представляет и самостоятельный интерес.

Ю ВВЕДЕНИЕ
Это движение можно разделить на два основных типа.
Если кинетическая энергия вращения спутника мала
по сравнению с работой внешних сил, то возможно дви-
движение либрационного типа, то есть колебания спутника
около некоторого среднего положения в системе коор-
координат, связанной с каким-либо подвижным направле-
направлением (радиус-вектор орбиты, вектор магнитной напря-
напряженности земного магнитного поля и т. п.). Такое дви-
движение обусловливается ориентирующим действием
моментов внешних сил. Движение Луны под влиянием
гравитационных моментов Земли относится к указан-
указанному типу движения.
Если же кинетическая энергия вращения спутника
велика по сравнению с работой внешних сил, то дви-
движение на небольшом интервале времени будет близко
к невозмущенному, то есть к эйлерову движению сво-
свободного тела. Моменты внешних сил будут вносить
в движение малые возмущения, которые, однако, могут
носить вековой характер (накапливаться с течением
времени). Например, ось вращения Земли под дей-
действием притяжения Луны и Солнца медленно прецесси-
рует в пространстве. Движение такого типа назовем ро-
ротационным.
В классической небесной механике теория движения
небесных тел около центра масс развивалась примени-
применительно к конкретным телам (Луна, Земля) [94], что
позволило сделать ряд упрощений, отсутствующих в об-
общем случае; при этом рассматривалось в основном
влияние гравитационных моментов. Сложность задачи
о вращательном движении искусственных космических
объектов обусловливается произвольностью формы и
распределения масс объекта, произвольностью началь-
начальных данных, многочисленностью факторов, влияющих
на движение. Кроме гравитационных моментов следует
учитывать еще аэродинамические и электромагнитные
моменты, диссипативные эффекты, связанные с трением
оболочки спутника об атмосферу и взаимодействием
металлической оболочки с магнитным полем Земли;
влияние эволюции орбиты спутника, влияние моментов
сил светового давления на космический объект, движу-
движущийся по межпланетной орбите, и т. д. Отметим также,

ВВЕДЕНИЕ И
что современные методы исследования (теория устойчи-
устойчивости, теория колебаний, асимптотические методы) по-
позволяют получить новые результаты и в том круге во-
вопросов, которым занималась классическая небесная ме-
механика.
В предлагаемой работе, содержащей одиннадцать
глав и два приложения, изучаются эффекты вращатель-
вращательного движения искусственных космических объектов и
рассмотрены некоторые смежные задачи. Глава 1 посвя-
посвящена в основном анализу моментов сил, действующих
на спутник. Рассмотрены гравитационные моменты как
в центральном ньютоновском поле сил, так и, согласно
[63], при отклонении поля от центрального. Моменты
аэродинамических сил давления и трения выводятся
при определенных упрощающих предположениях; упро-
упрощения введены и при рассмотрении моментов от взаимо-
взаимодействия магнитного поля спутника с магнитным полем
Земли; предлагаются аппроксимирующие выражения
для диссипативных моментов сил, вызываемых вихре-
вихревыми токами в металлической оболочке спутника. Сле-
Следуя [41], рассматриваются и аппроксимируются моменты
сил светового давления.
В этой же главе описываются системы координат и
направляющих косинусов, употребляемые в дальнейшем.
В главах 2 и 3 рассмотрены либрационные движе-
движения спутников. Здесь показано, что гравитационные мо-
моменты обеспечивают устойчивое относительное равнове-
равновесие спутника на круговой орбите при расположении
наибольшей оси эллипсоида инерции спутника по ра-
радиусу-вектору орбиты, наименьшей оси — по нормали
к плоскости орбиты и, следовательно, средней оси — по
касательной к орбите. Исследованы плоские и простран-
пространственные колебания около этого положения. На эллип-
эллиптической орбите такого относительного равновесия не
существует. Но анализ нелинейных колебаний на эл-
эллиптической орбите показывает наличие устойчивых пе-
периодических («эксцентриситетных») колебаний около
направления радиуса-вектора. Исследованы условия по-
появления резонанса в плоских и пространственных ко-
колебаниях. Возможность практического приложения
исследованных в главе 2 эффектов иллюстрируется

12 ВВЕДЕНИЕ
описанием (по работе [60]) системы гравитационной
стабилизации искусственных спутников. Рассмотрено
влияние аэродинамических моментов на колебания спут-
спутника около положения относительного равновесия. Сле-
Следует особо отметить наличие некоторых устойчивых
«косых» положений равновесия, когда ось спутника со-
составляет постоянный, отличный от нуля угол с радиу-
радиусом-вектором орбиты. Такие положения могут возник-
возникнуть при взаимодействии гравитационных и аэродина-
аэродинамических моментов. Анализируется влияние сжатия
Земли на колебания спутника. Показана возможность
стабилизации спутника относительно магнитного поля
Земли и, с помощью моментов сил светового давления,
относительно направления на Солнце.
Строго говоря, орбита спутника зависит от движения
около центра масс, В главе 4 рассматриваются взаимо-
взаимосвязные задачи о поступательном и вращательном дви-
движении спутника в ньютоновском поле сил. Здесь наибо-
наиболее полно и строго доказывается описанный выше ре-
результат об устойчивости относительного равновесия
спутника в гравитационном поле. Проанализированы
достаточные условия устойчивости в общей форме, оце-
оценены допустимые возмущения, на частной задаче рас-
рассмотрено влияние формы спутника на его орбиту; рас-
рассмотрен ряд других вопросов.
В главах 5—9 излагается теория ротационного
движения спутника. В главе 5 выводятся и исследуются
уравнения в оскулирующих элементах, наиболее удоб-
удобные для исследования такого движения. Эти уравнения
описывают эволюцию вектора кинетического момента
в пространстве и эволюцию эйлерова движения отно-
относительно вектора кинетического момента. Исследование
возмущенного движения удобно проводить асимптоти-
асимптотическими методами теории колебаний. Осреднение по
быстрому вращению и по орбитальному движению
центра масс спутника позволяет выявить вековые эф-
эффекты возмущенного движения. Более точное прибли-
приближение к решению («второе приближение») получается
осреднением только по быстрому вращению (без осред-
осреднения по орбитальному движению). Показано, что в ин-
интересном для практики случае динамически симметрич-

ВВЕДЕНИЕ 13
ного спутника при возмущениях, имеющих потенциал,
возмущенное движение «во втором приближении» раз-
разлагается на квазирегулярную прецессию вокруг вектора
кинетического момента и на прецессионно-нутационное
движение этого вектора, сохраняющего постоянную ве-
величину; при этом уравнения движения вектора кинети-
кинетического момента не зависят от других уравнений и для
некоторых важных случаев могут быть проинтегриро-
проинтегрированы до конца. Аналогичные мчетоды исследования могут
быть применены при произвольных моментах (в част-
частности, при диссипативных) и для произвольного спут-
спутника, обладающего трехосным эллипсоидом инерции.
В этой же главе рассмотрены некоторые вероятно-
вероятностные характеристики невозмущенного движения.
В главе 6 рассматривается влияние гравитационных
возмущений. С помощью интеграла Якоби исследуются
для круговой орбиты области возможных движений оси
динамически симметричного спутника. Показано, в част-
частности, что ось динамически вытянутого спутника может
совершать ограниченные колебания в окрестности ра-
радиуса-вектора орбиты, а ось динамически сжатого спут-
спутника — в окрестности нормали к плоскости орбиты.
Если же составляющая абсолютной угловой скорости
по оси симметрии все время остается равной нулю, то
ось динамически сжатого спутника может совершать
ограниченные колебания в окрестности касательной
к орбите. Если кинетическая энергия относительного
вращения спутника достаточно велика, то областью воз-
возможных движений становится вся единичная сфера и
движение можно рассматривать как ротационное. Для
такого движения исследуются вековые гравитационные
возмущения и общие особенности движения на круговой
и эллиптических орбитах; для круговой орбиты, со-
согласно общей теории главы 5, построено решение «во
втором приближении» в эллиптических функциях; ана-
аналогичное приближенное решение получено для эллипти-
эллиптической орбиты. Сравнение с численным интегрированием
точных уравнений показывает, что решение «второго
приближения» обладает очень высокой точностью.
Основной эффект гравитационных возмущений — ве-
вековая прецессия вектора кинетического момента вокруг

14 ВВЕДЕНИЕ
нормали к плоскости орбиты. На этот эффект накла-
накладываются периодические нутационные колебания век-
вектора кинетического момента (период сравним с перио-
периодом обращения по орбите). В целом движение вектора
кинетического момента таково, что, например, для кру-
круговой орбиты этот вектор описывает замкнутую кони-
коническую поверхность в орбитальной системе координат
(вращающейся вместе с радиусом-вектором орбиты).
Для спутника, обладающего трехосным эллипсоидом
инерции, как показано в [71], эффекты аналогичны. Ана-
Аналогичный анализ проведен в главе 7 для аэродинами-
аэродинамических возмущений. Здесь основным эффектом являет-
является вековая прецессия вектора кинетического момента
вокруг направления касательной к орбите в ее перигее;
в случае круговой орбиты вектор кинетического момента
отслеживает в орбитальной системе координат напра-
направление, тем более близкое к текущему вектору скоро-
скорости, чем больше величины аэродинамических моментов.
Таким образом, аэродинамические моменты оказывают
определенное стабилизирующее действие на закручен-
закрученный спутник. Влияние момента сил аэродинамической
диссипации приводит, приближенно говоря, к «опроки-
«опрокидыванию» динамически вытянутого спутника (то есть
к вращению в режиме «кувыркания») и к стабилизации
динамически сжатого спутника (стремление к чистому
вращению вокруг оси симметрии). При этом вектор ки-
кинетического момента (в пределе — ось вращения) стре-
стремится совпасть с направлением касательной к орбите в
ее перигее, так что спутник имеет тенденцию устано-
установиться в режиме наибольшего аэродинамического сопро-
сопротивления (в пределах применимости приближенной тео-
теории ротационного движения; при достаточно малых ки-
кинетических энергиях возможен переход к движению
либрационного типа).
В главе 8 проводится анализ совместного влияния
вековых гравитационных и аэродинамических возмуще-
возмущений с учетом влияния эволюции орбиты под действием
сжатия Земли. Проводится классификация движений.
Торможение спутника в атмосфере и соответствую-
соответствующая эволюция орбиты зависят от движения относи-
относительно центра масс спутника через коэффициент аэро-

ВВЕДЕНИЕ 15
динамического сопротивления, причем при быстрых
вращениях спутника — от некоторого среднего значения
этого коэффициента. Определение среднего значения
аэродинамического коэффициента и зависимость его от
ориентации спутника также рассмотрены в главе 8.
В главе 9 изучаются вековые эффекты, вызываемые
взаимодействием магнитного поля спутника с магнит-
магнитным полем Земли. Эти эффекты в основном сводятся
к прецессионно-нутационному движению вектора кине-
кинетического момента относительно направлений, завися-
зависящих от положения орбиты относительно земного маг-
магнитного диполя. Диссипативные эффекты, вызываемые
вихревыми токами в оболочке спутника, приводят
к опрокидыванию или стабилизации спутника (в за-
зависимости, соответственно, от того, вытянутый он или
сжатый), причем вектор кинетического момента стре-
стремится к некоторому направлению, фиксированному от-
относительно орбиты и земного диполя.
Анализ влияния моментов сил светового давления
на спутник Солнца показывает, что эти моменты оказы-
оказывают определенное стабилизирующее воздействие на за-
закрученный спутник: вектор кинетического момента от-
отслеживает в орбитальной системе координат некоторое
направление, тем более близкое к радиусу-вектору, чем
больше величина момента сил светового давления. В ор-
орбитальной системе вектор кинетического момента опи-
описывает замкнутую коническую поверхность. В этой же
главе дается анализ совместного влияния основных воз-
возмущающих факторов: основной части аэродинамических
и магнитных возмущений, гравитационных возмущений,
эволюции орбиты.
Глава 10 описывает фактическое движение относи-
относительно центра масс некоторых спутников — 3-го совет-
советского спутника и — по американским данным [84, 85] —
американских спутников «Эксплорер-XI» и «Экспло-
pep-IV». Анализ этого движения показывает, что оно
удовлетворительно согласуется с имеющейся теорией.
Глава 11 носит прикладной характер. Здесь иссле-
исследуются условия освещенности Солнцем приборов, уста-
установленных на спутнике, ориентированном на Землю.
При заданном угле зрения прибора оптимизация угля

16 ВВЕДЕНИЕ
установки прибора на спутнике, часа и дня запуска,
а также оптимизация орбиты позволяет обеспечить, даже
при малых углах зрения прибора, суммарное время
освещения в несколько десятков часов, что вполне до-
достаточно для многих научных исследований.
В приложении 1 рассмотрена задача о движении
твердого тела около закрепленной точки в ньютонов-
ньютоновском поле сил. Результаты этого приложения частично
использованы в главах 1, 2 для объяснения гравита-
гравитационных эффектов в движении спутников. Эта задача
имеет и самостоятельный интерес. Здесь содержится
постановка задачи, указаны ее первые интегралы и ин-
интегрируемые случаи; дан анализ устойчивости частных
решений (постоянных вращений) и исследованы неко-
некоторые движения, в которых легко усматриваются эф-
эффекты, вызываемые возмущающим действием ньюто-
ньютоновского поля сил.
В приложении 2 рассмотрено движение эквато-
экваториального спутника Земли. Результаты этого приложе-
приложения использованы в главах 3, 4.

ГЛАВА 1
АНАЛИЗ МОМЕНТОВ СИЛ,
ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК
§ 1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ НЬЮТОНОВСКОГО ПОЛЯ СИЛ
НА ТВЕРДОЕ ТЕЛО
1. Системы координат. В дальнейшем будут упо-
употребляться следующие основные системы координат
_JJi
CXYZ — неподвижная (абсолютная)_система с нача-
началом _координат в центре С Земли; ось У —по оси Зем-
Земли, I и Z — в экваториальной плоскости Земли, ось Z
направлена в точку весеннего равноденствия (рис. 1,д).
OXYZ— система с осями, параллельными соответ-
соответствующим осям предыдущей системы, но начало коор-
координат совпадает с центром масс О спутника.
OXYZ— «перигейная» система: ось Z направлена па-
параллельно радиусу-вектору перигея орбиты, ось У па-
параллельна нормали к плоскости орбиты, а ось X парал-
параллельна касательной в перигее орбиты, в сторону движе-
движения центра масс О спутника (рис. 1, а).
Oxyz—«орбитальная» система: ось z направлена по
текущему радиусу-вектору орбиты, оси у и х парал-
параллельны соответственно нормали к плоскости орбиты и
трансверсали. Орбита может приниматься оскулирую-
щей (рис. 1, а, б).
OL\L2L — система, связанная с вектором кинетиче-
кинетического момента L вращательного движения спутника.
Ось OL направлена по L; OLX расположена в пло-
плоскости OLY перпендикулярно к OL и образует тупой
угол с У; ось OL2 дополняет систему до правой
(рис. 1, в, г).
Oxfyfzf— подвижная система, оси которой напра-
направлены по главным центральным осям инерции спутника
(рис. 1,6, в).

МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК [ГЛ. 1
18
нУнн система, связанная с магнитным полем
Земли; ось Оун параллельна вектору Н магнитной
напряженности.
У\
Рис. 1. Основные системы координат.
Взаимное положение этих систем определим сле-
следующими таблицами направляющих косинусов:
х' у' zr х' у' z' х' у' z'
л: а а' а" X аг а2 а3 X ах а2 а3
У Р Р Р r Pi P2 РЗ Г Pi P2 РЗ
z у у' у" Z Yi Y2 Y3 ^ Yi Y? Y3

§ 1]
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
19
X'
«11
«21
У'
«12
«22
z'
«13
«23
хн
Ун
X'
«Я
Ря
У'
«Я
Ря
z'
«я
р;
X
X #j
F а2
У
h
h
z
с\
С2
L «31 «32 «зз zh Ун Ун
X ml m2 m
Y пх п2 п
£** ft л ГСп К
X
Y
ро
Отметим три свойства матриц направляющих коси-
косинусов:
1) Сумма квадратов элементов строки (столбца)
равна единице. Например, а2+р2+у2=1.
2) Сумма попарных произведений элементов двух
строк (столбцов) равна нулю. Например, ''
"
3) Каждый элемент матрицы равен своему алгеб-
алгебраическому дополнению. Например, а/=р//у—Py"«
Для некоторых из выписанных направляющих коси-
косинусов будут употребляться следующие выражения:
ах = — sin и sin Д + cos и cos <Q, cos /,
bx = — cos Д sin /,
cx = cos и sin SI + sin и cos SI cos /,
| A.1.1)
c2 = sin и sin/,
a3 = — cos SI sin и — sin Д cos и cos /,
Ьъ = sin SI sin /,
^3 = cos SI cos д — sin SI sin # cos /.
Здесь u = (On+v> где соя— угловое расстояние перигея
орбиты от линии узлов (рис. 1,я), v — истинная анома-
аномалия, SI—долгота восходящего узла орбиты от точки
2*

МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК
[ГЛ. Т
Весны, в которую, по предположению, направлена
ось Z; / — наклон орбиты к экватору.
Очевидно также, что
= аа1
Pi =
Yi =
ycv а2 = о!
ус2У р2 = а'а2 + p'ft
Y^a» Y2 = а'
A.1.2)
Пусть еще Ч* — угол между проекцией Oz' на плоскость
Oyz и осью Oz\ 0 — угол, образуемый осью Oz' с пло-
плоскостью Oyz\ Ф — угол между осью Ох' и плоскостью
Oz'x, так что совмещение трехгранников Oxyz и Ох'у'г'
осуществляется посредством трех последовательных по-
поворотов на углы Ф, 0, Ф вокруг осей Ox, Oyy Oz'
(рис. 1,6). Тогда
a = cos© cos Ф,
a' = — cos в sin Ф,
a" = sin0,
A.1.3)
p ^гсозЧ^тФ-Н sin^
p7 = cos 4; cos Ф — sin ¥ sin в sin Ф,
p" = -- sin XF cos в,
Y =8тЧ/8тФ — cos Чг sin в cos Ф,
Y = sin 4? cos Ф + cos ¥ sin в sin Ф,
Пусть p — угол между вектором L и осью OY, a —
угол, отсчитанный от оси OZ до проекции вектора L
на плоскость OZX (рис. 1,г). Тогда
= cospsina,
==—sinp,
1 = cospcosa,
i = sin p sin a,
= cosa,
, = — sin a, k = sin p cos o.
A.1.4)

§ 1]
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
21
Направляющие косинусы ац выразим через эйлеровы
углы ft, г|>, ф (рис. 1, в):
ап = cos ф cos г|) — cos ft sin ф sin г|),
а21 = cos ф sin г|} -\- cos ft sin <p cos г|),
а31 = sin ft sin ф,
а12 = — sin ф cos г|) — cos ft cos ф sin г|?,
а22 = — sin (psinip + cosftcoscpcoSTlj, A.1.5)
а32 = sin ft cos ф,
<z13 = sin ft sin ip,
a23 = — sin ft cos ip,
a33 —cosft.
Часто будут употребляться выражения аз, Рз, Y3 через р,
a, ft, \|э. С помощью A.1.4) и A.1.5) получаем
a3 = sin ip sin ft cos p sin a — cos ip sin ft cos a-f-
+ cos ft sin psina,
p3 = — sin г|з sin ft sin p-f- cos ft cos p,
Y3 = sin ф sin ft cos p cos a -f-cosi|) sin ft sin a +
-f- cos ft sin p cos a.
A.1.6)
Вместо координат р, a иногда будут употребляться
координаты 9, К: 9 — угол между L и ОХ, X отсчиты-
вается от оси OZ до проекции вектора L на пло-
плоскость OZY. Тогда, например,
m = cosG, п — — sin G sin Я,, & = sinGcosA, A.1.4а)
и соответственно изменяются A.1.6).
При анализе конкретных задач будут употребляться
также средние по if) значения аз, Рз, \з и некоторых
их комбинаций, выписанные ниже. Средние значения

A.1.7)
22 моменты сил, действующих на спутник [гл.
величин обозначим чертой над этими величинами:
а3 = cos ft sin р sin а, р3 = cos ^ cos p,
у3 = cos ft sin p cos а,
а2 = ^ sin2 ft -f (l — |- sin2 ft) sin2 p sin2 a,
p| = Isin2ft + (l — -| sin2ft) cos2p,
7з = -2" sin2 ft-f- f 1 — -^ sin2 ft) sin2 p cos2 a,
а3Рз=A — -^ sin2 ft] sinpcosp sin a,
/3 \
a3v3 = A — -g- sin2 ft) sin2 p sin a cos a,
РзУз = И —j sin2ftjsinpcospcosa,
al = ~2 cos ft sin2 ft sin p sin a +
+ cosftfl — -j sin2 ft) sin3p sin3a,
а^з = cos ft sin p sin a [I sin2 ft +
+ (l—у sin2 ft) sin2 p cos2 a].
Отметим также, что
Y" = Y3COSv-f a3sinv, p// = p3, arr = a3cosv~Y3sinv, A.1.8)
и аналогично для направляющих косинусов осей х\ у'.
Обозначим еще значения аи biy c{ при v = 0 (то есть при
и = (х*п) через аи Ъи С{. Тогда
I = max -f nbx + kcv §\ = /м2 -f /г^2 +.
' «3 «3 • о О
A.1.9)
Введем угль^_р1_ и аи описывающие положение L
относительно OXYZ, аналогично тому как углы р и a

§ I) СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 23
описывают положение L относительно OXYZ. Тогда
a^sinpjSinaj, p§ = cosplf Y3 = sinpx cosar A.1.10)
При этом направляющие косинусы аз, рз, 7з будут иметь
вид A.1.6), если сделать замену р, а->рь в\.
2. Предварительный анализ моментов гравитацион-
гравитационных сил. Моменты гравитационных сил являются одним
из важнейших факторов, влияющих на вращение искус-
искусственных небесных тел, и, по-видимому, основным фак-
фактором, влияющим на вращение естественных небесных
тел. Исследование полезно начать с элементарного ана-
анализа влияния гравитационного поля на твердое тело.
Рассмотрим сначала действие ньютоновского цент-
центрального поля сил, отвлекаясь от движения центра масс
спутника. Пусть центр масс спутника находится на рас-
расстоянии R от центра притяжения. Свяжем с центром
масс спутника правую прямоугольную орбитальную си-
систему координат xyz. На частицу спутника с массой dm
и координатами х, yf z действует ньютоновская сила F
по направлению к центру притяжения:
где ^—гравитационная постоянная (для Земли ц,»
&398 602 кмъ1сек2)у а единичный вектор г0 определяется
направляющими косинусами
COS (X, Го) = у , COS (у, Го) = -у ,
cos (z, r0) = ^ "JT ,
A.1.12)
Размеры спутника малы по сравнению с расстоя-
расстоянием R до центра притяжения. Это значит, что действие
силы F на частицы спутника можно рассматривать
лишь при малых (по сравнению с R) значениях х, у, z.
Тогда с точностью до членов второго порядка мало-
малости компоненты силы F по осям х, у, z выражаются

24 МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК [ГЛ. 1
следующим образом:
Р \к dm х
X 7?2 * D '
__ \idrn
R2 R
A.1.13)
Результирующая всех элементарных сил —|я dm//?2,
входящих в выражения для Fz, приложена к центру
масс спутника и параллельна радиусу-вектору центра
масс. Под действием этой результирующей центр масс
движется по кеплеровой орбите. Вторые члены в выра-
выражениях Fz для всех частиц, а также все силы Fx и Fy
своим суммарным воздействием создают момент, повора-
поворачивающий спутник около центра масс. Рассмотрим, на-
например, картину силовых линий этого поля сил в пло-
плоскости zx орбиты (в любой другой плоскости, содержа-
содержащей ось «г, картина будет такой же). Дифференциальное
уравнение силовых линий
dz F{zl) 2z
~dx Fx ~x
после интегрирования дает уравнение семейства сило-
силовых линий
Они изображены на рис. 2. Направления действия сил
указаны стрелками. Частица, перемещаясь под дей-
действием силового поля, будет стремиться к оси zy то есть
к радиусу-вектору центра масс. Представим себе, что
в поле сил, изображенном на рис. 2, находится некото-
некоторая жидкая масса. Тогда частицы жидкости будут
стремиться в направлении к оси z. Это широко извест-
известное явление наблюдается, например, на Земле в прили-
приливах и отливах мирового океана под действием Луны и
Солнца.
Если в рассматриваемом поле сил находится абсо-
абсолютно твердое тело, центр масс которого совпадает
с центром поля, то тело будет поворачиваться около
центра масс. Пусть для наглядности тело представляет

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
25
собой вытянутую осесимметричную фигуру, например
типа гантели (две равные точечные массы на концах
стержня, имеющего пренебрежимо малую массу). Тогда
40
*-*
'1 '1 ■
mm —
у
——■
N
,—"
*^
\
/
/
——■
\
/
f
/
/
1
—*.
N
V
\
J
/
^4
\
>
\
\
1
1 Ю
I
/
v
A
1\
,
/
/F
Sy
\\\\
1 II
и
I 1
2 1 1
1 i
41
i 1 ^
1
i
\
J у
|Л
м
f
jL
/\
\
о ■■■
a
J
i /
I i
1 I
I I
1
\
\
Щ
i
\
u^mi"»'
/
/
\l
J
i
\
\
\
с
/
X
10
Рис. 2. Поле возмущающих сил.
легко видеть, что если в начальный момент ось тела
близка к направлению оси г, то при малом возмущении
движение может иметь либрационный (колебательный)
характер. Как видим, действие ньютоновского поля сил
сказывается в том, что появляется одна ось устойчи-
устойчивости равновесия, а именно ось <г, совпадающая с ра-
радиусом-вектором, связывающим гравитирующий центр
и центр масс рассматриваемого тела. Ось х, перпенди-

26 МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК [ГЛ. I
кулярная к радиусу-вектору и лежащая в плоскости
орбиты, является осью неустойчивого равновесия.
Пользуясь написанными выше выражениями для Fx,
FVi F{z] возмущающего поля сил, можно вычислить мо-
момент этого поля относительно начала координат для
любой точки х, у, z. Получим
^p Мг = 0. A.1.14)
Для круговой орбиты -jj3" = GJ, где (о — угловая ско-
скорость движения центра масс на орбите. Для гантели
с полудлиной / и полумассой т0, помещенной в пло-
плоскости орбиты, восстанавливающий момент
Му = — 3/я0/2со2 sin 2a0,
а в плоскости, перпендикулярной к плоскости орбиты и
проходящей через радиус-вектор, восстанавливающий
момент (как это следует из рассмотрения картины си-
силовых линий)
sin 2р0,
где а0 и Ро — углы между положительным направле-
направлением оси г и осью гантели, отсчитываемые в рассматри-
рассматриваемых плоскостях против часовой стрелки, если смо-
смотреть с положительных направлений соответственно
осей у и х. В плоскости, перпендикулярной к радиусу-
вектору, момент равен нулю. Таким образом, ньютонов-
ньютоновское поле сил стремится расположить вытянутое тело
по радиусу-вектору орбиты.
В этом рассмотрении не учтено движение центра
масс тела. Вследствие движения центра масс спутника
по орбите на ньютоновское поле сил будет наклады-
накладываться действие центробежных сил. Характер этого
действия можно хорошо проследить на том же простом
примере гантели.
Для простоты рассмотрим круговую орбиту, по кото-
которой движется центр масс спутника с угловой ско-
скоростью со. Тогда на каждую точку т(х, yt z) действует
центробежная сила Ф = (о2гхс1тту гх — расстояние от
точки т до оси вращения, то есть до оси, проходящей

§ 1] СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 27
через гравитирующий центр перпендикулярно к пло-
плоскости орбиты. Очевидно,
cos(/О0 = 77' cos(rvV) = 0, cos(t\Tz)
где гх = Vx2-\-(R + zJ, а компоненты центробежной
силы
Момент силы Ф относительно центра масс спутника бу-
будет иметь для рассматриваемой гантели компоненты
Мх = — яго/2со2 sin 2р0, Му = 0, Mz = — m0P(xP sin 2у0.
где Yo — угол между осью х и осью гантели, отсчитывае-
отсчитываемый аналогично углам а0 и ро. Из рассмотрения сило-
силовых линий в плоскости, нормальной к радиусу-вектору,
следует, что момент Мг будет стремиться установить
гантель вдоль оси х. В плоскости, перпендикулярной
к плоскости орбиты, центробежные силы дают восста-
восстанавливающий момент MXi который, как следует из рас-
рассмотрения силовых линий в плоскости у9 z, стремится
установить ось гантели по направлению радиуса-век-
радиуса-вектора. В плоскости орбиты центробежная сила не со-
создает момента.
Таким образом, по всем трем осям при совместном
действии гравитационного и центробежного моментов
будут действовать восстанавливающие моменты:
по нормали к плоскости орбиты
Му = — 3mo/2co2 sin 2а0,
по касательной к орбите
Мх = — 4mo/2co2 sin 2р0,
по радиусу-вектору орбиты
Мг = — то12а2 sin 2у0.
Можно думать, что для трехмерной гантели указан-
указанные моменты гравитационных и центробежных сил бу-
будут стремиться установить оси гантели по осям х, у, г.
ПерехЬдя к общему случаю произвольного твердого

28 МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК [ГЛ. 1
тела, из соображений аналогии можно заключить, что
ньютоновские и центробежные силы будут иметь тенден-
тенденцию установить тело так, чтобы две из главных цент-
центральных осей инерции, подобно осям трехмерной ган-
гантели, совпали соответственно с радиусом-вектором ор-
орбиты и перпендикуляром к нему в плоскости орбиты.
Такое положение тела на орбите назовем относитель-
относительным равновесием. Возникает вопрос: какое именно из
положений относительного равновесия будет устой-
устойчивым?
Следует ожидать, что вдоль радиуса-вектора должна
быть направлена наибольшая ось эллипсоида инерции,
так как, по аналогии с гантелью, вытянутость вдоль
радиуса-вектора наилучшим образом способствует вос-
восстанавливающему действию ньютоновского поля сил.
В самом деле, в приложении 1 показано, что в непо-
неподвижном ньютоновском поле абсолютное равновесие
устойчиво тогда и только тогда, когда большая ось эл-
эллипсоида инерции совпадает с направлением на центр
притяжения. Но тогда следует ожидать, что второй
осью в плоскости орбиты (в случае круговой орбиты,
направленной по касательной к траектории) должна
быть средняя ось эллипсоида инерции. Действительно,
в этом случае наилучшим образом используется остав-
оставшаяся динамическая «вытянутость» тела для стабили-
стабилизации его положения вдоль касательной к орбите под
действием центробежных сил. Такое положение средней
оси следует и из того, что она не может быть располо-
расположена по бинормали к орбите, так как относительное
равновесие тела есть абсолютное вращение вокруг на-
направления бинормали, а вращение свободного тела
около средней оси инерции неустойчиво; ньютоновские
и центробежные силы не ликвидируют эту неустойчи-
неустойчивость.
Отметим, что в курсе Тиссерана [94] указывается
полученное выше распределение осей эллипсоида инер-
инерции. Тиссеран пришел к этому распределению путем
приближенного анализа уравнений движения и каче-
качественных соображений.
В следующих главах методами Ляпунова — Четаева
[54, 74] будет показано, что предварительные соображе-

§ 2] МОМЕНТЫ В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ СИЛ 29
ния настоящего параграфа приводят к правильным
условиям устойчивости относительного равновесия: ука-
указанное выше распределение осей эллипсоида инерции
является достаточным условием устойчивости относи-
относительного равновесия.
§ 2. МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ
НА ПРОИЗВОЛЬНОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО
В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ СИЛ
1. Центральное ньютоновское поле сил. На точку
массы dm, как было показано, действует элементарный
момент A.1.14). Суммированием по всему объему спут-
спутника можно получить моменты, действующие на спут-
спутник. Определим компоненты элементарного момента
гравитационных сил по осям, связанным со спутником,
например компоненту dmx> по оси х'. Используя свой-
свойство 3) матрицы направляющих косинусов (см. § 1),
получим после подстановки MXi My, М2 из A.1.14)
dmx< = Мха + Му$ + Мгу =
= з -g. dm {x'y + уУ + г V) {уУ - zV).
Так как оси, связанные с твердым телом, направлены
по главным центральным осям инерции, то
J х'у' dm = 0, f x'zr dm = 0, f tjrzr dm = 0.
Кроме того, введем главные центральные моменты
инерции
A.2.1)

30
МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК
[гл. i
Проинтегрировав элементарный момент dmX' по всему
объему тела, получим теперь суммарный момент Мх'
и, совершенно аналогично, Му^ Мг'
A.2.2)
то есть
где еп /\ f, kr — единичные векторы соответственно
по направлениям радиуса-вектора орбиты и главным
центральным осям инерции тела. Из последней форму-
формулы видно, что М _]_ ет.
Эти моменты получены в предположении, что раз-
размеры тела в достаточной степени малы по сравнению с
расстоянием до притягивающего центра.
Если отказаться от этого предположения, то силовая
функция £/, действующая на спутник произвольной
формы, определяется соотношениями
A.2.3)
,2 ,2 , r2
P =x' +У
Здесь ф*(г)—силовая функция, действующая на эле-
элемент dm тела и зависящая только от расстояния от
точки тела до центра притяжения. Интеграл взят по
всему объему V тела. С гравитирующим центром С (на-
(находящимся вне твердого тела) свяжем неподвижную
систему координат XYZ._Определим взаимное положе-
положение систем координат CXYZ и Ox'y'z' таблицей напра-
направляющих косинусов (§ 1) и координатами XqYqZq центра

§ 2] МОМЕНТЫ В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ СИЛ 31
масс тела. Тогда
A.2.3')
При этом выражение для г, входящее в A.2.3), прини-
принимает вид
+ 2Z0 (x'y, + У'у2 + 2'y3) + a:/S + У'" + г'2. A.2.3")
Выпишем для случая A.2.3) компоненты элементарной
силы притяжения по осям х', у', z'\
и-
Компоненты элементарного момента запишутся в виде
т*' = У%- - z'ty = IF • Т (У'У" ~ 2'У') dm>
и аналогично для тУ', /я*'. Суммарный момент в проек-
проекции на ось х1 получается интегрированием элементар-
элементарного момента тХ' по всему объему V:
Учитывая A.2.3), замечаем, что в этом выражении пер-
dU u dU
выи интеграл равен-j-r, а второй — соответственно-^-.
Аналогично определяются^' и Л!*'. Значит, компонен-
компоненты момента ньютоновских сил, действующих на спутник

32 МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК [ГЛ. t
произвольной формы, будут иметь вид
A.2.4)
Можно из общих выражений A.2.4) в предположении,
что расстояние от спутника до притягивающего центра
значительно больше размеров самого спутника, полу-
получить приближенные выражения A.2.2). Пусть подын-
подынтегральная функция ф* — ньютоновская силовая функ-
функция
^ ц A.2.5)
+ У '2
Разложим подкоренное выражение в ряд по степеням
малых членов J-• "Tf» "
порядка малости. Тогда
малых членов J-• "Tf» "^г с учетом членов до второго
Предположим, что момент вычисляется относительно
начала координат системы xfy'z\ не совпадающего
с центром масс, но главные оси инерции спутника
совпадают с осями хг, у', z' координат. Интегрируя
A.2.3) по всему объему V с «подстановкой A.2.5) и уче-
учетом A.2.1), получим
| |^ + Су"!). A.2.7)
Здесь х'о, у'о, 2ц — координаты центра масс спутника.
Первый член в выражении A.2.7) есть ньютоновская

§ 2] МОМЕНТЫ В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ СИЛ 33
силовая функция для того случая, когда вся масса тела
сосредоточена в одной точке. Все остальные члены по-
получаются за счет отличия спутника от материальной
точки.
Можно отметить три задачи о движении твердого
тела под действием силовой функции A.2.7):
1. Движение около закрепленной точки. Начало ко-
координат системы x'y'z' считается неподвижным. Эта за-
задача является обобщением классической задачи о дви*
жении тяжелого тела. Классическая задача получается,
если формально положить в A.2.7) Л=В = С = 0.
2 Движение спутника около центра масс на задан-
заданной орбите центра масс. В этом случае х^ = у^ = г^ = 09
а движение центра масс считается происходящим по
известной кеплеровой орбите (тем самым определяется
в A.2.7) R как функция времени). Такая постановка
задачи, которую можно назвать ограниченной, приме-
применяется в классической небесной механике.
3. Как движение около центра масс, так и движение
самого центра масс определяется силовой функцией U
A.2.7) (где x'0 = y'0 = z'0 = 0) или A.2.3); тогда посту-
поступательное и вращательное движение взаимосвязаны и,
строго говоря, орбита не будет кеплеровой. Отметим,
что моменты инерции / можно написать как / = Мр*2,
где М — масса спутника, р* — радиус инерции, причем
р* имеет порядок размера спутника. Так как р*<С#,
а члены в функции U A.2.7), отличающие ее от ньюто-
ньютоновской силовой функции, имеют порядок [—-) , то
форма спутника несущественно влияет на орбиту. По-
Поэтому наиболее естественной постановкой задачи о дви-
движении спутника является классическая ограниченная
постановка 2. Однако в ряде случаев имеет смысл рас-
рассматривать и более строгую постановку 3.
2. Влияние отклонения поля от центрального. До
сих пор предполагалось, что на тело действует цент-
центральное ньютоновское поле сил. Реальное поле Земли
отличается от центрального; Земля представляет собой
тело, близкое к сжатому сфероиду. Гравитационные
моменты с учетом сжатия Земли можно получить,
3 В. В. Белецкий

34 МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК (ГЛ. 1
например, так, как это сделано В. А. Сарычевым [63] *).
Введем три правые прямоугольные системы коорди-
координат (см. § 1): CXYZ — абсолютная система координат;
Oxyz — орбитальная система координат; оси системы
координат Ox'y'z' направлены вдоль главных осей цент-
центрального эллипсоида инерции искусственного спутника.
С точностью до членов первого порядка малости от-
относительно сжатия выражение для силовой функции,
определяющей действие гравитационного поля Земли на
спутник, можно записать в виде
м
где
X == Хо + xfix + у\ + г'а3,
Здесь косинусы аг-, рг*, Y* определяются согласно
A.1.1) —A.2.1); Мо — масса Земли, / — постоянная тя-
тяготения, М — масса спутника, /?э — экваториальный ра-
радиус Земли, /?п — полярный радиус, ад — сжатие, w —
угловая скорость вращения Земли, g3 — ускорение силы
земного тяготения на экваторе, х\ у', z'—координаты
n_epejvieHHoft точки спутника в системе координат Ox'y'z';
Хо, Уо, Zo — абсолютные координаты центра масс спут-
спутника.
При вычислении интеграла A.2.8) воспользуемся
малостью отношения характерного линейного размера /
спутника к расстоянию R между центрами масс спут-
спутника и Земли. Разлагая в A.2.8) подынтегральную
функцию в ряд по степеням -—-, ~У -^ и пренебрегая
членами выше второго порядка малости по сравнению
*) Моменты гравитационных сил с учетом сжатия Земли впер-
впервые, по-видимому, рассматривались Роберсоном [89]. См. также за-
заметку А. И. Лурье [53],

§2]
МОМЕНТЫ В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ СИЛ
35
с единицей, получим после интегрирования следующее
выражение для силовой функции:
-т\1-±.*(зп г)]
4- 57 -^ • -^ • ■§- [(В + С - A) Yp,
■§
, A.2.9)
где /4, S, С — главные центральные моменты инерции
спутника.
Компоненты момента сил в проекции на оси, связан-
связанные со спутником, имеют вид
-+- Юе — -^5 (y p3 -f- y"P2) — 2e
^ § (y"P, + YP3) - 27 -§- p3Pi }.
■Y'Pi)
A.2.10)

36 МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК [ГЛ. !
§ 3. МОМЕНТЫ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ
И ИХ АППРОКСИМАЦИИ
При движении спутника в разреженных слоях атмо-
атмосферы из-за взаимодействия молекулярного потока
с оболочкой спутника возникает ряд эффектов в движе-
движении спутника относительно центра масс. Отметим неко-
некоторые из возможных эффектов:
1. Центр давления не совпадает с центром масс.
Возникает восстанавливающий (опрокидывающий) мо-
момент. При этом вектор-скорость набегающего потока не
лежит в плоскости орбиты, так как Земля вращается и
увлекает атмосферу, а плоскость орбиты можно счи-
считать неподвижной. Указанный момент стремится стаби-
стабилизировать спутник по направлению набегающего по-
потока.
2. Наличие скорости собственного вращения обусло-
обусловливает появление диссипативных моментов, вызываю-
вызывающих торможение вращения спутника, и некоторые дру-
другие эффекты.
3. Плотность атмосферы неодинакова в каждой
точке поверхности спутника (ближе к Земле — плотнее),
что вызывает добавочный малый момент (градиентный
эффект) [87].
4. Существует еще малый эффект, связанный с на-
наличием собственных тепловых скоростей молекул.
Тепловыми скоростями молекул можно пренебречь
(они в среднем весьма малы по сравнению со ско-
скоростью движения спутника по орбите); градиентный эф-
эффект также не будем рассматривать. Рассмотрим только
эффекты, указанные в пунктах 1 и 2. Компоненты мо-
момента аэродинамических сил по осям, связанным со
спутником, в общем случае зависят от ориентации этих
осей относительно набегающего потока и от компонент
р, q, r угловой скорости вращения спутника относи-
относительно потока. Ввиду малости линейной скорости вра-
шения оболочки спутника по сравнению со скоростью
движения центра масс спутника зависимость момента
сил от р, q, r можно принять линейной. Пусть /', /,
к' — единичные векторы по главным центральным осям
спутника. Тогда вектор момента аэродинамических сил

§ 3] МОМЕНТЫ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ 37
можно, вообще говоря, записать в виде*)
Ст = CTi' + С2т/ + СП\ Р = Pj' + Pij + Pzk\
Здесь Vo — скорость центра масс спутника относительно
потока, ev — единичный вектор по направлению этой
скорости, ра — плотность потока. Коэффициенты С?, Ijk
зависят от положения спутника относительно потока.
В частном случае для симметричной конфигурации
спутника (ось симметрии совпадает с k') имеем
Cf=C2I = 0. Коэффициент С? и коэффициенты Ijh
(некоторые из них могут быть равны нулю) зависят
только от угла атаки — угла между ev и k\ Явная
зависимость коэффициентов от углов определяется ха-
характером соударения молекул набегающего потока
с поверхностью спутника.
По современным представлениям, наиболее вероя-
вероятен следующий механизм взаимодействия молекул на-
набегающего потока с поверхностью спутника. Частица
при соударении отдает практически всю свою энергию
и приходит в температурное равновесие с местом удара
(несколько теперь нагретым). Когда это нагревание
пройдет, частица выходит в пространство с тепловой
скоростью, равной тепловой скорости молекул оболочки
спутника. Так как эта тепловая скорость существенно
меньше тепловой скорости наружных частиц, то можно
идеализировать эту картину гипотезой абсолютно неупру-
неупругого удара, когда частицы полностью теряют свою энер-
энергию при столкновении со спутником (и не отражаются).
В этом случае элементарная сила dF, действующая
на площадку dS, будет
dF = — f^, f = ~Фа^2 cos yvdS. A.3.1)
*) Вывод этих формул, но для более частного случая, будет дан
ниже.

38 МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК [ГЛ. 1
Здесь V—скорость площадки относительно набегаю-
набегающего потока, ра — плотность потока, с — коэффициент,
yv — местный угол атаки (угол между внешней нор-
нормалью к площадке и вектором V). Элементарный мо-
момент
rsXdF, A.3.2)
где rs — радиус-вектор центра площадки dSy проведен-
проведенный из центра масс спутника. Подставляя A.3.1)
в A.3.2) и учитывая
П • V П - V /1 о о\
cos Y^ = \n\\v\ = ~V' ^ -3*3)
получим
dM = 1 с9а (n-V)VXrs dS, A.3.4)
причем
rs, A.3.5)
где Vo — скорость центра масс спутника относительно
набегающего потока, ft — вектор угловой скорости вра-
вращения спутника. (Строго говоря, ft является вектором
угловой скорости вращения спутника относительно
атмосферы, которая вращается вместе с Землей; но для
случая достаточно быстрых вращений спутника можно
считать, что ft — вектор абсолютной угловой скорости,
так как переносная угловая скорость (вращения атмо-
атмосферы) мала по сравнению с |ft|.)
Величины линейной скорости поверхности \Qrs\
весьма малы по сравнению с Vo. Поэтому, подставляя
A.3.5) в A.3.4), пренебрежем членами порядка ft2. Ин-
Интегрируя по омываемой потоком части S* поверхности
спутника, получим выражение полного момента аэро-
аэродинамических сил в виде
cpV f {(n • \Q X rs\)(ev X r
i
i*
ev)№Xrs\Xr$}dS; (L3.6)

§3]
МОМЕНТЫ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ
здесь ev= -тт-— единичный вектор по направлению
скорости центра масс спутника относительно набегаю-
набегающего потока. Область S* интегрирования, строго говоря,
определяется неравенством V • #>0, однако, ввиду
малости второго слагаемого в A.3.5) по сравнению
с первым, будем считать, что область интегрирования
не зависит от вращения тела и определяется неравен-
неравенством Vo • #>0. Тогда для осесимметричного спутника
S*=S*Ff), где бу —угол атаки, то есть угол между
Vo и осью симметрии спутника.
Пусть Ф(г, р2)=0, р2 = х2 + у2,— уравнение поверхно-
поверхности спутника, симметричного относительно своей оси 2.
Тогда компоненты единич-
единичного вектора п будут
A.3.7)
fix —
где
ф,=
■-о„х,
<
Уф2
дФ
— »
dz
fly = ^лУ,
2Ф-2
+ 4р2Ф-2
^Ф
ф2
Рис. 3. Система координат, свя-
связанная с вектором скорости и со
Пусть система коорди- спутником,
нат хуг выбрана так, что
ось у всегда лежит в плоскости zV0 (рис. 3); назо-
назовем эту систему полусвязной. Кроме того, положение
точки поверхности спутника в системе координат хуг
определим цилиндрическими координатами z, p, <р, где
Ф отсчитывается в плоскости, нормальной г, от оси у,
так что
y = pcosq), x = — psinqp. A.3.8)
Тогда Ф, пг и ап не зависит от ср. Область интегриро-
интегрирования S* зависит только от угла атаки 6v, причем ин-
интегрирование по ф проходит, ввиду симметрии области

40
МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК
[ГЛ. I
интегрирования относительно___плоскости zy, в пределах
от некоторого фо(б^) До —<poFv). Свяжем с xyz еди-
единичный репер /, / к. Тогда r = i + j+k
evXk= sin by I,
A.3.9)
По формулам векторной алгебры имеем:
n
(Q
p q r
x у z
tlx fly nz
■—r2(tp+Jq + kr) +
-\-Xxp~ + УЯ + zr) (ix -\-jy + kz),
A.3.10)
где p, q, r — компоненты Q по х, у, г. Учитывая A.3.7) —
A.3.10) и отбрасывая все_члены, содержащие в подын-
подынтегральной функции sin ф (так как эти члены обра-
обращаются в нуль при интегрировании от фо(бу) до
), можно A.3.6) привести к следующему виду:
A.3.11)
cFv)=c {Wl
W2 sin by- W3 cos 6„
Первый член в этой формуле дает восстанавливающий
момент аэродинамических сил давления, остальные чле-
члены — диссипативный момент сил аэродинамического
трения.
В A.3.11) Wt (/-1, 2, 3) и Tj (/-1, 2, 3, 4, 5)
зависят только от 6у и даются следующими фор-
формулами, выраженными через интегралы по части S*Fy)

§ 3] МОМЕНТЫ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ
поверхности тела:
41
W2= Г zonp cos ф dS,
W3 = Г лг^о cos ф <afS,
/j = cos 6K Г #г"р2 dS -j- sin bv Г аяр3 cos
/2 = cos bv I ^r^p cos ф dS +
-f-sin6K Г [ал2:р2cos2ф-f- P2 sin2ф(Aгг—onz)\dS,
/3 = cos bv j \(n2 — anz) p2 sin
+ sin bv j (z2 + p2 sin2 ф)аяр*со8
/4 = sin 6K J га„р2 cos2 ydS +
+ cos by f nzzp cos
/5 = cos 6K J [(z2 + p2 cos2 ф) nz +
sin
J \(
>2СО82ф)а„рСО8 ф —
•z(nz — onz) p cos ф] dS.
A.3.12)
Для точного расчета движения нужно вычислять эти
интегралы для каждого конкретного тела отдельно. Но
для выявления основных качественных и количествен-
количественных эффектов, общих для различных тел, удобно вме-
вместо точных значений Wt и Tj взять какие-либо аппро-
аппроксимирующие формулы, отражающие структуру этих
интегралов.
Займемся сначала восстанавливающим моментом, то
есть аппроксимацией коэффициента сFу). Используя

42 моменты сил, действующих на спутник [гл. 1
формулу Остроградского в применении к первому инте-
интегралу из выражения A.3.6) (см. [41], а также § 5 на-
настоящей главы), можно показать, что коэффициент
cFv) имеет следующий простой смысл:
cFv) = cS0(bv)z0(bv), A.3.13)
где S0Fy)—площадь поперечного сечения потока,
определяемая ниже, a zo(Sv)—расстояние от центра
давления, лежащего на оси симметрии спутника, до
центра масс.
В самом деле, рассмотрим в A.3.6) только часть
момента М, не содержащую Q. Дополним омываемую
потоком часть S* поверхности тела до замкнутой по-
поверхности, состоящей из S* и цилиндрической поверх-
поверхности Si, образующая которой параллельна потоку,
а направляющей служит граница S*; поверхность замы-
замыкается плоским днищем So, перпендикулярным к напра
Рис. 4. К вычислению моментов сил
аэродинамических и светового давления.
влению потока (рис. 4). По формуле Остроградского
Гаусса
rs(nev)dS = fffevdx,
где т — объем, ограниченный поверхностью S0+Si+S*.
Учитывая, что на Si п • ev = 0, а на So n • £у = 1, полу-
получим (меняя направление нормали на So на противопо-
противоположное)
/ frs(n-ev)dS = f frsdS-{-xev.

§ 3] МОМЕНТЫ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ 43
Подставив в рассматриваемую часть формулы A.3.6),
имеем:
f
So
rsdS.
Пусть О — центр масс спутника; О' — его проекция на
50; ООГ = | Rs |; rs = Rs + r's, где r's лежит в плоско-
плоскости So; так как ev X Rs = °> то М = -g* ^Pa^v ^ I r's d$-
s,
Последний интеграл есть r0s50, где rOs — вектор центра
тяжести С днища относительно О'. Итак,
s,
Очевидно, можно ввести z0 — координату «центра давле-
давления», лежащего на оси z (проекцией которого на So и
является точка С). Получим, вводя единичный вектор I,
нормальный к ev и к ros>
то есть окончательно (с учетом zo = z'o, k = k')
\b)z'0(bv)evXk'. A.3.14)
Сравнивая с A.3.11), приходим к A.3.13).
Очевидно, что
^(я — bv)=~cFv). A.3.15)
Это отражает свойства абсолютно неупругого соударе-
соударения: момент сил зависит только от величины и положе-
положения относительно спутника сечения SEy), потому сFу)
не изменяется при указанном повороте. Из вида W2 и
W3 A.3.12) следует, что при 6v = 0, я U73@) = U72@) =0,
так как тогда интегрирование проходит по всей боковой
поверхности тела, т. е. по ф в пределах от 0 до 2я. По-
Поэтому можно допустить, что W2 = sm 6у /г(бу), W3=
= sin 6у/зFг), и тогда с(бу) из A.3.11) представится в

44 моменты сил, действующих на спутник [ГЛ. 1
виде
7Fу) = c{Wx (bv) cos bv + f2(by)- [f2 (by) + /3(by)] cos2by].
A.3.16)
Будем искать с (by) в виде степенного ряда по степеням
cos60. Учитывая A.3.15), можно заметить, что простей-
простейшая аппроксимация A.3.16) такова:
где а§ и а* —постоянные. Тогда
c(bv) = a* + a*cos4v. A.3.17)
При этом, согласно A.3.13), легко вычислять коэффи-
коэффициенты аь0 и а\ через постоянные 5@) го(О) и^(|г)го(т)'
но можно выбирать а£ и а\ другим способом, с тем
чтобы аппроксимирующая формула A.3Л7) достаточно
хорошо отражала истинную зависимость c(bv). Для вы-
вытянутого тела, например, может быть аь0 > 0, а\ < 0.
В самом простом случае можно положить даже
аб = 0, 7(Ьу) = аЬ. A.3.18)
Согласно A.3ЛЗ) тогда а§>0 означает, что центр да-
давления лежит «впереди» центра масс (го>О), и abQ < 0
означает, что центр давления лежит «позади» центра
масс (zo<O) при Ьу<-к. Если часть молекул отра-
отражается не абсолютно неупруго, то условие A.3Л5) мо-
может быть не выполнено, так как тогда не безразлично,
летит ли спутник «вперед носом» или «вперед днищем».
Хотя общие формулы для этого случая здесь не выводи-
выводились, но можно представить и на этот случай аппрокси-
аппроксимирующую формулу типа
(K) A.3.19)
которая и дает простейший учет того факта, что
с(л-Ьу)Фс(Ьу). A.3.20)

§ з] Моменты аэродинамических сил 45
Будем в основном оперировать аппроксимирующей фор-
формулой A.3.17), а при рассмотрении добавочных эффек-
эффектов, связанных с условием A.3.20), будем пользоваться
аппроксимирующей формулой A.3.19). Отметим, что
если спутник симметричен еще относительно некоторой
плоскости, нормальной к оси вращения спутника (на-
(например, спутник, имеющий форму эллипсоида враще-
вращения, и т. п.), то с(л — 6у) =c(dv) независимо от харак-
характера отражения молекул. В этом случае в аппроксими-
аппроксимирующей формуле также следует положить а6{ = 0. За-
Заметим еще, что для малых углов атаки можно принять
с F) = с @) = а60 + а\ -f a\ = const.
Обратимся теперь к аппроксимированию Tj. В каче-
качестве аппроксимирующих формул возьмем основные
члены величин Tj. Интегралы, содержащие в подынте-
подынтегральной функции множитель coscp, как было сказано
выше, можно представить в виде sin6y/Ey). Учитывая
это, видим, что Ti можно считать положительной вели-
величиной при любом значении 6у, так же как и Г3 и Г5; по-
поэтому для этих функций основная часть является некото-
некоторой постоянной (причем положительной по физическому
смыслу) величиной. Относительно Г3 и Т$ следует еще
заметить, что разность Г3— Т$ обращается в нуль
при интегрировании по всей боковой поверхности (то
есть при 6у = 0, я). Поэтому основные части Г3 и Г5,
аппроксимируемые постоянными величинами, равны
друг другу. Величины Т2 и Г4 нельзя аппроксимировать
постоянными числами; их можно аппроксимировать по-
постоянными величинами, умноженными на синус угла
атаки. Итак, будем предполагать, что
3» sh> 22V' !
fk = const, k=l, 2, 3, 4. j
Как видно из A.3.12), нельзя, вообще говоря, считать,
что /2=h\ но это не является существенным для иссле-
исследования движения.
Фактическое вычисление величин A.3.21) можно про-
провести по тем же формулам A.3.12), например, полагая
бу = 0 и bv = -^ и взяв среднее арифметическое от двух

46 МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК (ГЛ. 1
этих крайних значений h\ можно искать и другие при-
приближенные оценки для h\ размерность величин h есть
[см4]. Вычисление h существенно упрощается для кон-
конкретных тел (например, цилиндр, конус, сфера и т. д.). Так
или иначе, будем считать Ik известными величинами.
Моменты аэродинамических сил наиболее существен-
существенны для спутников, пролетающих на достаточно близком
расстоянии от Земли. Сравнение моментов аэродинами-
аэродинамических сил с моментами гравитационных сил (см. гла-
главу 3 и § 6 настоящей главы) показывает, что в типичных
случаях аэродинамические моменты преобладают на вы-
высотах до 300 км, а гравитационные — на высотах свыше
600 км.
§ 4. МОМЕНТЫ, СОЗДАВАЕМЫЕ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
Искусственные спутники, двигаясь по орбите вокруг
Земли, взаимодействуют с магнитным полем Земли. Это
взаимодействие обусловливается наличием токовых си-
систем и постоянных магнитов на спутнике, намагничива-
намагничиванием металлической оболочки спутника, возникновением
вихревых токов в оболочке и т. п.
Как известно [50], момент М сил, возникающих от
взаимодействия внешнего магнитного поля с напряжен-
напряженностью Н и собственного магнитного поля тела, обла-
обладающего магнитным моментом /, дается векторным
произведением
М НХ1. A.4.1)
Из причин, вызывающих появление магнитного момента
на спутнике, остановимся сначала на следующих:
а) Наличие токовых систем на спутнике и постоян-
постоянных магнитов в приборах. Будем для простоты предпо-
предполагать, что эти причины вызывают постоянный магнит-
магнитный момент /0, направленный вдоль оси симметрии спут-
спутника:
/о = *'/о. A.4.2)
Здесь V — единичный вектор вдоль оси симметрии.
б) Намагничивание оболочки спутника в магнитном
поле Земли. Для достаточно вытянутых тел возникаю-
возникающий при этом магнитный момент 1Х можно считать на-

§ 4] МОМЕНТЫ, СОЗДАВАЕМЫЕ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ 47
правленным вдоль оси симметрии тела, а его вели-
величину — пропорциональной составляющей внешнего поля
по этой оси:
h = ^-v{H-k')k'. A.4.3)
Здесь [Ло — магнитная проницаемость, v — объем обо-
оболочки спутника. Таким образом, суммарный магнитный
момент примем в виде
1 }'. A-4.4)
Согласно A.4.4) вектор магнитного момента направлен
по продольной оси спутника. Следовательно, здесь пре-
небрегается поперечной составляющей 1^ вектора /.
В более общем случае предположим, что магнитная
проницаемость вдоль оболочки \х^ и поперек оболочки
\х± различна. Тогда формула для момента магнитных
сил такова:
}. A.4.5)
Здесь вектор /о магнитного момента собственного поля
спутника расположен произвольно относительно спут-
спутника. Если |ij_<C|ir то поперечной составляющей век-
вектора намагничивания можно пренебречь; допуская еще,
что рассматриваемое направление «вдоль оболочки» со-
совпадает с направлением оси симметрии спутника, а /0
дается формулой A.4.2), приходим к формуле A.4.4)*).
Вектор Н магнитной напряженности Земли примем
в виде [51]
? A.4.6)
*) В работе [78] применяется формула A.4.4), эквивалентная
допущению |А ^ — 1=0. В работе [79] применяется другая формула,
эквивалентная допущению |Xj = 0. Обе формулы качественно одина-
одинаковы и отличаются друг от друга только значением постоянного
множителя. Строго говоря, между компонентами U наведенного маг-
магнитного момента и компонентами Нк внешнего поля имеет место
связь It = -jT-athHh, где а^ — симметричный тензор [50].

48 МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК [ГЛ. 1
где Не — направление оси магнитного диполя Земли,
ет — единичный вектор по направлению радиуса-век-
радиуса-вектора R орбиты, [1Е — величина магнитного момента
земного диполя (\1е~8 • 1025 эрстед • см3). Примем для
простоты, что Ue совпадает с осью Земли. Введем не-
неподвижную систему координат XYZ, ось Y которой, как
и в § 1, совпадает с осью Земли, но ось Z направлена в
узел орбиты. Тогда компоненты И A.4.6) будут
-щ- 3 sin / sin и cos и.
~- 3 sin / cos / sin2 и,
A.4.7)
Обратимся теперь к рассмотрению моментов, вызы-
вызываемых вихревыми токами в оболочке спутника. Точное
вычисление этих моментов сопряжено с существенными
трудностями и требует конкретизации формы оболочки
и ее свойств. Однако, опираясь на основные свойства
момента сил, вызываемых вихревыми токами, можно по-
построить формулы для этих моментов, достаточно хо-
хорошо моделирующие истинную картину. Здесь будут по-
получены именно такие моделирующие формулы.
Вихревые токи возникают в оболочке при вращении
спутника в магнитном поле. Относительно момента сил,
который вызывается вихревыми токами, можно сделать
следующие весьма оправданные предположения:
а) При вращении тела вокруг силовой линии внеш-
внешнего магнитного поля в оболочке тела вихревые токи не
возникают; они возникают только при вращении попе-
поперек силовых линий. Пусть О — угловая скорость враще-
вращения тела, а Н —вектор магнитной напряженности вне-
внешнего поля; тогда вихревые токи появляются только за
счет части Qj_, угловой скорости, где Q± есть проек-
проекция Q на направление, лежащее в плоскости (ПН) и
нормальное к Н-
б) Вихревые токи приводят к диссипации энергии и,
следовательно, к уменьшению угловой скорости Q, а
именно к уменьшению ее составляющей й^ (так как

§ 4] МОМЕНТЫ, СОЗДАВАЕМЫЕ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ 49
другая составляющая £2ц, параллельная //, вихревых
токов не вызывает). Это значит, что появляется момент
сил Му направленный против вектора И\ и, как можно
считать, пропорциональный Qj_, |Qj_| = | fisind^l.
в) Так как момент сил должен иметь вид A.4.1), а
величина магнитного момента / за счет вихревых токов
обусловливается величиной напряженности внешнего
магнитного поля Я, то, считая / пропорциональным Я,
найдем по A.4.1), что Л1 пропорционально Я2. В силу
сказанного в пунктах а), б), в) момент от вихревых то-
токов имеет вид
A.4.8)
где 6Н— угол между Я и Н, е±н — единичный вектор
по направлению Qj_; k<p — коэффициент диссипации, за-
зависящий от параметров оболочки тела, а также от его
ориентации. Пусть x'y'z'—система координат, жестко свя-
связанная со спутником, имеющим симметричную оболочку
и соответственно динамическую симметрию; осью симмет-
симметрии является ось г'. Тогда компоненты момента рассма-
рассматриваемых сил по осям, нормальным к х\ у', z' и лежа-
лежащим в плоскостях соответственно х'Я, у'Н% г'Я, таковы:
кфН~р sin (xf> И]
кФН2д sin (у\
A.4.9)
Здесь p,qyr — компоненты угловой скорости тела по
осям х', у\ z'\ внх', в ну'* внг'— единичные векторы по на-
направлениям р±, qA , г±, определяемым аналогично
направлению Qj_. Пусть 60 — угол между z' и Н\ соот-
соответственно 61 = (х',Н), Ь2 = (у\ Н). Тогда матрица на-
направляющих косинусов осей х\ у', zr и вих'» вну*,
имеет вид
х' sin61 —cos6lCtg62 —cos5lCtg50
у' — cos62ctg51 sin52 — cos62ctg50 ( ' ' *
zr — cos60ctg61 — cos60ctg62 sin6Q
4 В. В. Белецкий

50 МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК [ГЛ. 1
Введем правую систему координат OxHyHzH, причем
ось ун направлена по /У, а хн и zH пока произвольны
(см. § 1). Суммарный момент
A.4.11)
составленный из компонент A.4.9), можно теперь раз-
разложить по осям x\y\z', пользуясь матрицей A.4.10) и
матрицей косинусов из § 1 и учитывая, 4TOSin261=l—$2Н,
и т. д. Получим тогда компоненты М по осям x\y',z':
Му, =
= — кф [H2Q-(H • fi) //} =
Коэффициент диссипации &ф зависит, вообще говоря,
от формы и ориентации спутника относительно И. Точ-
Точное определение коэффициента связано с конкретизацией
формы спутника. Так как коэффициент кф существенно
положителен, то будем приближенно считать его неко-
некоторой известной, не зависящей от ориентации постоян-
постоянной величиной, имеющей следующую структуру:
и п* / ^об
кф — uo,r4i gft '
где /0,1 — продольный или поперечный моменты инерции
поверхности спутника, АОб — толщина оболочки спут-
спутника, 'Я — удельное объемное сопротивление материала
оболочки. Если Н и $1 определены в электромагнит-
электромагнитных единицах, то а*01—безразмерные коэффициенты.
Например, для сферической оболочки радиуса аСф
*) Более точно М = &Ф#Х (#Х й + Я), но при достаточно
больших Q можно пренебречь Я. Эта формула выводится так:
deH . Й
в A.4.12) Q = Qa6c—^пер, причем QnepX//= Я--^ =H — -jj-H.
После векторного умножения на Н следует вышеприведенное выра-
выражение для М (где Qa§£ снов^ обозначена ^)»

§ 4]
Моменты, создаваемые магнитным полем
51
имеем [38]
В более общем случае k = АО/(РЯ,
например,
A.4.13)
); можно принять,
= *
оф
+ «о Ря + «*Ря + аРн)■
Выпишем компоненты момента сил, вызываемых вихре-
вихревыми токами, в проекции на оси X ,У, Z, связанные с маг-
магнитным диполем Земли. Направляющие косинусы рн,
Р#» $"н oce** спутника с вектором И магнитной напря-
напряженности будут
A.4.14)
Выписывая компоненты момента М^, My, Mj, учтем
A.4.12), A.4.14) и еще соотношения типа рщ~\-да2 =
= ——^ ~ (где Ly —компонента вектора кинетиче-
ского момента). После простых преобразований получим
CAh
[^Ф —-г кф 1 ГРз тт-
A.4.15)
Afy —/У» Аф-f
Ж7 = -
Hx\4l
"X

52
МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК
[ГЛ.
§ 5. МОМЕНТЫ СИЛ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ
И ИХ АППРОКСИМАЦИИ
При движении искусственного космического тела по
орбите вокруг Земли и особенно вокруг Солнца на это
движение может существенно влиять сила светового да-
давления солнечного излучения. Моменты силы светового
давления могут существенно влиять на движение спут-
спутника относительно центра масс.
Следуя работам А. А. Карымова [41, 42], выведем
интегральные выражения для сил и моментов, вызывае-
вызываемых воздействием светового потока на поверхность спут-
спутника.
1. Силы и моменты, действующие на спутник произ-
произвольной формы. Величина рс светового давления на рас-
расстоянии R от центра Солнца дается формулой
где с — скорость света, Ео—величина потока энергии
светового давления на расстоянии Ro от центра Солн-
Солнца. Пусть /?0—радиус орбиты Земли, тогда EQ=
= 1200 ккал/м2 • час= 1,39 • 106 эрг . сек/см2, а рс0=
= £0/с = 4,64. 10 дн/см2 = 4,72- 10~8 Г/ш2.
Рассмотрим взаимодействие потока света с элемен-
элементарной площадкой dS. Будем считать, что угол падения
светового потока равен
углу отражения, падаю-
>г щий и отраженный пото-
г^Ъч. ки лежат в одной плоско-
' ^1^ сти, нормальной к dS
(рис. 5). Элементарная
dS
tf\
Рис. 5. К вычислению моментов
сил светового давления.
(р ) р
сила df, воздействующая
на площадку dS, склады-
складывается из силы dfv вы-
вызываемой падающим по-
потоком, и силы df2, вызы-
вызываемой отраженным потоком. Пусть ео — коэффициент
отражения, то есть отношение плотности энергии отра-
отраженного потока к плотности энергии падающего потока.
Тогда элементарная сила dfl=df<^)-\-dff\ где dfw
вызывается частью потока, полностью поглощаемого,

§6]
МОМЕНТЫ СИЛ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ
53
a dfW— отражаемой частью потока. Очевидно, df^
направлена по потоку. Обозначим через т орт, противо-
противоположный этому направлению, а через п — орт внешней
нормали, так что п -t^cos^* (рис. 5). Так как сила
светового давления на площадку AS, нормальную к по-
потоку, равна рсД5, то на площадку, расположенную под
углом к потоку, будет действовать сила
z0), A.5.1)
причем множитель A—го) появился потому, что рас-
рассматривается не отраженная часть потока. Отражаю-
Отражающаяся часть потока вызывает при своем падении на
площадку dS силу dff\ а при своем отражении —
силу а?/2, причем суммарная сила направлена, очевидно,
по внутренней нормали к площадке (зеркальность отра-
отражения). По модулю каждая из элементарных сил df&
и df2 равна рс{п • t)dSeo, а модули их проекций на п
будут рс (п -тJп dS е<ь так что
Пусть Si — освещенная часть поверхности тела, то есть
та часть, где выполнено неравенство т •#>(). Тогда ре-
результирующая сила светового давления, действующая на
тело, будет
(o)+o,
+ = -pc* f(t-n)dS,
s,
A.5.3)
= -2/>Ля|
Результирующий момент сил светового давления будет
A.5.4)
n)dS,
М ' = 2рс j n X rs(T • nfdS,
s,
5»

54 МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК [ГЛ. 1
где rs— радиус-вектор (относительно центра масс тела)
текущей точки поверхности тела. Подынтегральные вы-
выражения и область интегрирования зависят от пара-
параметров поверхности тела и его ориентации. Поэтому вы-
вычисление сил и моментов сопряжено с определенными
трудностями и требует, вообще говоря, конкретизации
формы тела. Однако выражение для М+ в A.5.4) ана-
аналогично выражению для моментов аэродинамических
сил при абсолютно неупругом ударе (первый член фор-
формулы A.3.6)) и может быть упрощено, так же как и
выражение для F+. Упрощение проводится совершенно
аналогично тому, как это было сделано в § 3 для мо-
момента аэродинамических сил. В результате получим
F+=pcS2^ M+ = pcS2>zXr0S. A.5.5)
Здесь S2 — площадь проекции освещенной части поверх-
поверхности на плоскость, перпендикулярную к потоку;
fos — радиус-вектор центра тяжести области S2 относи-
относительно проекции центра масс спутника на ту же пло-
плоскость, содержащую область S2. Величины F~ и М~
приходится определять прямым интегрированием для
конкретных тел. Некоторые результаты такого вычис-
вычисления приводятся в [41].
2. Формулы для симметричного спутника. Для осе-
симметричной поверхности тела момент сил светового
давления будет зависеть, очевидно, только от положе-
положения оси симметрии спутника в пространстве, так как по-
поворот вокруг оси симметрии ничего не меняет. Тем не
менее точное вычисление моментов сил светового давле-
давления сопряжено с такими же трудностями, как и вычис-
вычисление моментов аэродинамических сил. При этом нельзя
отдать предпочтения какому-либо одному характеру от-
отражения квантов света от поверхности тела, так как этот
характер определяется свойствами поверхности тела.
Поэтому для исследования движения удобно взять ра-
разумные аппроксимирующие формулы, подобные аппро-
аппроксимирующим формулам момента аэродинамических
сил. Из A.5.4) для тел вращения можно получить
[13, 42]
М^Щ^-егХк'. A.5.6)

§ 6] ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ МОМЕНТОВ РАЗЛИЧНЫХ СИЛ 55
Для случая полного поглощения имеем:
ac(es)$=PcS(es)z'0(es). A.5.7)
Здесь ег — единичный вектор по направлению радиуса-
вектора орбиты (предполагается, что рассматривается
спутник Солнца); k' — единичный вектор по направле-
направлению оси симметрии спутника; e.s — угол между этими на-
направлениями, так что | erX k'\ =sin e.s; R — текущее рас-
расстояние от центра Солнца до центра масс спутника;
А?о — фиксированное значение R (например, в началь-
начальный момент); ac(es) —коэффициент момента сил свето-
светового давления; 5 — площадь «тени» на плоскости, нор-
нормальной к потоку; Zq—расстояние от центра масс до
центра давления. Размерность ас совпадает с размер-
размерностью М. Будем считать, что ac = ac(cos as) и будем
аппроксимировать ас полиномами по степеням cos e.s.
Конкретные выражения ac(coses) будут рассмотрены
при исследовании движения в главе 9 *).
§ 6. ОЦЕНКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ВЛИЯНИЯ МОМЕНТОВ
РАЗЛИЧНЫХ СИЛ
Проведем оценку величин моментов различных сил,
действующих на спутник [96]. Будем оценивать макси-
максимальные значения моментов гравитационных Mgi аэро-
аэродинамических Ма, магнитных МНу сил светового давле-
давления Мс для спутника Земли, имеющего следующие ха-
характеристики: коэффициент аэродинамического момента
Cm = CxSz = 3M3 = 3 • 106 см3 (что соответствует характер-
характерной площади S = 3m2, расстоянию от центра масс до
центра давления z=0,5 м при Сх = 2)\ разность момен-
моментов инерции А — С = 3 • 109 г • см2; магнитный момент
спутника / = 3,5 • 103 г1/з • см^21сек.
*) Строгий вывод формулы A.5.6) для симметричного спутника
и точные выражения для ac(coses) (в интегральном виде) даны
в работе [42].
Отметим еще, что в работе [77] вводится в рассмотрение не
только световое давление Солнца, но и давление, вызванное отра-
отраженным и собственным излучением Земли, и исследуется движение
около центра масс под влиянием этих факторов.

56
МОМЕНТЫ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СПУТНИК
[ГЛ. I
Эти характеристики соответствуют примерно спутни-
спутникам типа 3-го советского спутника.
Плотность атмосферы можно для оценок взять со-
согласно [56, 57 и др.]. Магнитный момент земного ди-
диполя |Хя = 8« 10?5 г1/з • см^/сек\ давление солнечного излу-
излучения на орбите Земли рСо = 4,64 • 10~5 дн/см2. Оценим
также момент Мм от ударов микрометеоритов, приняв
плотность метеоритного вещества в окрестности Земли
рм =1,5- 10~20 г/см3 [96], а скорость спутника относитель-
относительно метеоритного вещества 7-ь8 км/сек.
ю
Рис. 6. Моменты сил, действующих на спутник Земли,
в зависимости от высоты h орбиты: Mg — гравитацион-
гравитационный момент; Ма — аэродинамический момент; Мн — мо-
момент магнитных сил; Мс — момент сил светового да-
давления; Л1М — момент от воздействия микрометеоритов.
Результаты расчета представлены на рис. 6. Мы ви-
видим, что до высот над поверхностью Земли 200—300 км
преобладают аэродинамические моменты, на высотах,
больших 500 км, преобладают гравитационные моменты.
Магнитные моменты везде сравнимы с гравитацион^
ными. Следует отметить, что величина магнитного мо-
момента может быть гораздо больше (на два-три порядка)
при наличии на спутнике сильных постоянных магнитов,
сильных токовых систем и т. п. Моменты сил светового
давления на один-два порядка меньше гравитационных
на рассмотренном диапазоне высот (до 3000 км), од-
однако уже при Л>700 км эти моменты сравнимы с аэро-
аэродинамическими или их превосходят. Оказывается, что

► 6]
оценка влияния моментов различных сил
моменты сил светового давления будут больше гравита-
гравитационных на высотах больших, чем /1^35 000—40 000 км.
В области высот 300—500 км сравнимы по величине гра-
гравитационные, аэродинамические и магнитные моменты.
Момент от ударов микрометеоритов всегда пренебре*
жимо мал.
10
IOd
•/О''
-/О"
Рис. 7. Моменты сил светового давления Мс и
гравитационных Mgy действующих на спутник
Солнца, в зависимости от расстояния до Солнца
(в астрономических единицах).
Для спутника Солнца картина относительного влия-
влияния моментов будет несколько иной. По-видимому, мо-
моменты магнитных сил пренебрежимо малы, малы также
и моменты гравитационных сил. Будут преобладать мо-
моменты сил светового давления, что хорошо видно на
рис. 7, где сравниваются гравитационные и световые мо-
моменты для космического аппарата, движущегося по ор-
орбите вокруг Солнца. В рассматриваемом случае моменты
сил светового давления на несколько порядков больше
гравитационных. Даже для космических аппаратов,
имеющих инерционные характеристики на 2%-3 порядка
больше рассмотренных, сохраняется преобладающее
влияние моментов сил светового давления.

ГЛАВА 2
СТАБИЛИЗАЦИЯ
И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ СИЛ
Если кинетическая энергия вращения спутника до-
достаточно мала по сравнению с работой моментов внеш-
внешних сил, то движение спутника будет носить либрацион-
ный характер; спутник будет колебаться около некото-
некоторого положения устойчивого относительного равновесия.
Выявление таких положений равновесия и исследование
либрационного движения представляет особенный инте-
интерес для задачи стабилизации и ориентации космических
аппаратов с помощью моментов внешних сил.
§ 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА ОТНОСИТЕЛЬНО
ЦЕНТРА МАСС В ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ.
ИНТЕГРАЛ ТИПА ЯКОБИ. УСТОЙЧИВОЕ ПОЛОЖЕНИЕ
ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
Будем считать, что движение спутника относительно
центра масс не влияет на орбиту, так что орбита яв-
является кеплеровой эллиптической орбитой. Это допуще-
допущение справедливо ввиду малости размеров спутника по
сравнению с размерами орбиты. Такая постановка за-
задачи, которую назовем ограниченной, обычно приме-
применяется в классических задачах о прецессии Земли и ли-
либрации Луны [94].
Подставляя в уравнения Эйлера выражения A.2.2)
моментов гравитационных сил, получим
B.1.1)

§ 1] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ 59
Для относительных направляющих косинусов имеем со-
соотношения:
dy r rr I da r ff
—L. = у'f — у'л Л- coct? —— = а г — ct q — (
at at
B.1.2)
Здесь со — угловая скорость движения центра масс по
орбите. Система B.1.1) —B.1.2) дифференциальных
уравнений замкнута: имеем 9 уравнений и 9 неизвест-
неизвестных. Отметим, что не все переменные независимы (по
свойству матрицы направляющих косинусов). Систему
можно дополнить уравнениями для р, р', р":
^. = р'г-РЧ -^ = р>-рг, !%- = M-Vp- B.1.3)
Система B.1.1) — B.1.3) не интегрируется, по-види-
по-видимому, в конечном виде. Действительно, по теории по-
последнего множителя Якоби для интегрирования этой
системы нужно знать четыре первых интеграла, не зави-
зависящих от времени и отличных от тривиальных (соотно-
(соотношений между косинусами). Между тем можно указать
в лучшем случае только два интеграла этой системы,
а именно: если эллипсоид инерции является эллипсои-
эллипсоидом вращения, то есть если А =5, то имеется первый ин-
интеграл системы
г = г0, B.1.4)
и, кроме того, в случае круговой орбиты при произволь-
произвольных моментах инерции существует интеграл типа Якоби
1(Л/>2 + Bq* + Cr>) + 4 gJC4y2 + By'2 + Су) -
— со (Ар$ + Bq§' + Crp") = h B.1.5)
(в существовании этого интеграла легко убедиться хотя
бы простой подстановкой в уравнения B.1.1) —B.1.3),
учитывая, что на круговой орбите -^ = со2 = const).

60 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
Выразим этот интеграл через относительные угловые
скорости:
~р = р — сор, ~q = q — cop', 7= г — сор". B.1.6)
Подставляя B.1.6) в B.1.5), получим
) = A. B.1.7)
Интеграл B.1.7) дает закон сохранения энергии в
следующем виде:
здесь Т — кинетическая энергия в относительном движе-
движении, Vi — потенциальная энергия ньютоновских сил,
Уг — потенциальная энергия центробежных сил. С по-
помощью этого интеграла можно найти условия устойчи-
устойчивости относительного равновесия.
Относительное равновесие, как видно из уравнений
движения, действительно существует; при этом матрица
относительных направляющих косинусов (см. § 1 гла-
главы 1) вырождается в единичную.
Компоненты угловой скорости спутника в относитель-
относительном равновесии будут иметь значения р = г = 0, q = ay.
В относительном равновесии спутник все время одной
стороной «смотрит» на Землю.
Частное решение уравнений движения, дающее отно-
относительное равновесие тела на круговой орбите, запи-
запишется так:
= q=r = 09 <x = P' = y"=M
а' = а" = р = р" = у = у' = 0. j
B.1.8)
При таких значениях направляющих косинусов ось у'
совпадает с нормалью к плоскости орбиты, ось z' совпа-
совпадает с радиусом-вектором, ось х' совпадает с касатель-
касательной к круговой орбите спутника.
Применим теорию Ляпунова к нахождению условий
устойчивости этого частного решения.
До Ляпунова устойчивость исследовалась с помо-
помощью линеаризованных уравнений. Но линеаризованные

§ 1] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ 61
уравнения могут дать неверный ответ на вопрос об
устойчивости. Исследование устойчивости на основе не-
нелинейных уравнений сводится к отысканию некоторой
функции Ляпунова. Если имеются интегралы уравнений
движения, то можно, следуя Н. Г. Четаеву, попытаться
применить для построения функции Ляпунова метод
связок интегралов. Подробное изложение теории Ляпу-
Ляпунова и доказательства теорем об устойчивости и неустой-
неустойчивости можно найти в книгах А. М. Ляпунова [54],
Н. Г. Четаева [74], И. Г. Малкина [55], Г. Н. Дубошина
[33] и др.
Если движение B.1.8) принять за невозмущенное, то
возмущенное движение можно записать в виде
р, q, г, 1 +ДХ, а', а", р, 1 + Д2, р", Y, Y'. 1 + ^ B.1.9)
A1? A2, A3 и остальные выписанные величины характе-
характеризуют отклонения возмущенного движения от невоз-
невозмущенного; все они отличны от нуля.
По 1-му свойству матрицы косинусов имеем:
у=\— Y2-Y/2> p/2 = l-p2 — р. B.1.10)
Подставим эти значения у" и р'в интеграл B.1.7) и по-
постоянные перенесем направо:
] = йо. B.1.11)
Здесь h0 — новая постоянная.
Левая часть этого равенства обращается в нуль
только для невозмущенного движения B.1.8). При
В>А>С B.1.12)
эта функция будет положительной. Таким образом, ин-
интеграл B.1.11) является положительно-определенным
при условии B.1.12).
Производная от V в силу уравнений движения по
определению (так как это есть интеграл уравнений дви-
движения) равна нулю. Следовательно, по теореме Ляпунова

62 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
условия B.1.12) являются достаточными условиями
устойчивости относительного равновесия.
Смысл этих условий виден из таблички B.1.13) зна-
значений направляющих косинусов в относительном равно-
равновесии и обозначений моментов инерции, соответствую-
соответствующих осям тела:
А В С
х' у' zf
Касательная к орбите х 1 О О B.1.13)
Нормаль к плоскости орбиты у О 1 О
Радиус-вектор орбиты z О 0 1
Проведенный анализ дает возможность сформулиро-
сформулировать следующий результат: для устойчивости относитель-
относительного равновесия спутника на круговой орбите доста-
достаточно, чтобы по радиусу-вектору была направлена наи-
наибольшая ось эллипсоида инерции спутника, по нормали
к плоскости орбиты — меньшая ось и, следовательно,
по касательной к орбите — средняя ось (рис. 8).
Заметим, что здесь доказывается устойчивость только
движения около центра масс, а круговая орбита остает-
остается невозмущенной. В главе 4 исследованием полной по-
постановки задачи будет доказана достаточность условий
B.1.12) для устойчивости невозмущенного движения как
относительно возмущений около центра масс, так и от-
относительно весьма малых возмущений орбиты.
Условия B.1.12) отвечают максимуму суммарной си-
силовой функции ньютоновских и центробежных сил; эти
условия можно пояснить соображениями, изложенными
в конце § 1 главы 1.
Наличие устойчивого положения относительного ра-
равновесия спутника на орбите может быть использовано
для создания системы пассивной гравитационной стаби-
стабилизации [60]. Подробнее об этом сказано в § 10 настоя-
настоящей главы.
Чтобы спутник колебался около положения относи-
относительного равновесия (а не переворачивался), кроме со-
соблюдений условий B.1.12) нужно еще, чтобы кинетиче-
кинетическая энергия движения спутника относительно центра
масс была достаточно мала.

§ 1] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ
63
Существенная положительность слагаемых в левой
части B.1.11) позволяет оценить амплитуды возмущен-
возмущенного движения. Очевидно, что для направляющих коси-
косинусов имеют место оценки:
f <
Зсо2 (А — С) '
(В —А) '
у'2<
p<-
Зсо2 (В — С) '
2/г0
(В — С) #
B.1.14)
Постоянная h0 вычисляется подстановкой в левую
часть интеграла энергии B.1.11) начальных данных. По
этим оценкам можно определить
границы колебаний спутника.
Если h0 достаточно велико, то
тело будет вращаться как угод-
угодно быстро; чтобы такого враще-
вращения не было, надо, чтобы
B.1.14')
Зсо2 (A - C)
2/z0
Зсо2 (В — С)
2h0
со2 (В — Л)
W(B — С)
Эти четыре условия «неперево-
рачиваемости» тела можно свести
к одному. Второе и четвертое
условия выполнены, если выпол-
выполнено условие 2Л0<(о2 (В — С).
А так как В — Л<В — С, то это
условие выполнено, если выпол-
Ри:. 8. Устойчивое поло-
положение эллипсоида инер-
инерции спутника на орбите
(ось z направлена по
радиусу-вектору орбиты,
у — по нормали к пло-
плоскости орбиты, х — по
касательной к орбите;
В > А > С).
нено третье из условий B.1.14'):
2/i0<co2(B — А). Поэтому усло-
условия B.1.14') сводятся к совмещению 1-го и 3-го из не-
неравенств B.1.14'), что дает окончательное условие
Л0<П1т|!со2(Л-С), ^(Д-
B.1.15)

64 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
Это и есть условие ограниченности колебаний спутника,
наложенное на начальные данные. Заметим еще, что
при h0 -> 0 будет иметь у -> 0, у' -> О, р -> 0, р" -> 0, как
это видно из условий B.1.14).
Отметим также, что направляющие косинусы у, у',
р, р" полностью определяют положение тела, а угловые
скорости р, qf r полностью определяют угловую скорость
тела. Поэтому устойчивость движения относительно этих
переменных, доказанная с помощью B.1.11), является
устойчивостью движения тела относительно всех пере-
переменных, определяющих это движение.
§ 2. ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
Единственный случай, когда уравнения B.1.1) —
B.1.3) интегрируются до конца, — это случай плоского
движения на круговой орбите.
В плоском случае компоненты относительных угловых
скоростей р — г — 0, д=£0. Введем угол в между осью zf
спутника и радиусом-вектором. Тогда
^ = 6, Y" = cose, 7= —sine, р = р'/ = О.
Подставляя эти значения переменных в интеграл
B.1.11), получим интеграл энергии для плоских колеба-
колебаний в виде
lfie + -|co(^-C)sin2e = A0. B.2.1)
Отсюда следует, что
в = ± yr^-3tf^~-s\n*e. B.2.2)
Это уравнение можно интегрировать. Предварительно
рассмотрим картину движения по фазовой плоскости
F, 0). Подберем три значения /?0 так, чтобы
1°. -^>3со2^=
B.2.3)
Пи Л Г*
3°.

§2]
ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
65
и построим для каждого из этих значений h0 фазовую
траекторию 0F) согласно B.2.2.). Будем считать Л>С.
В результате получим картину фазовых траекторий,
изображенную на рис. 9. Видим, что точки 0 = 0, я яв-
являются точками устойчивого равновесия, а точки в=-у,
Рис. 9. Колебания спутника на круговой
орбите. Фазовая плоскость.
-у я— точками неустойчивого равновесия. Иначе го-
говоря, в устойчивом равновесии наибольшая из двух осей
х\ z' эллипсоида инерции — ось zf — направлена по
радиусу-вектору. При больших значениях /i0, удовлетво-
удовлетворяющих неравенству 1° из формул B.2.3), спутник вра-
вращается все время в одну сторону (ротационное движе-
движение). При малых ho (неравенство 3° из B.2.3)) движе-
движение будет периодическим. Движение по сепаратрисе, на
которой ho удовлетворяет равенству 2° из B.2.3), будет
5 В. В. Белецкий

66 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. U
лимитационным: при t-+<x> фазовая точка на сепара-
сепаратрисе стремится к точке равновесия (неустойчивого).
Типичные движения — ротационные и периодические.
Лимитационное движение является особым.
Можно рассмотреть случай Л<С; устойчивое поло-
положение равновесия будет в этом случае при в = -тр,
©=—я. Физически это значит, что наибольшая ось
эллипсоида инерции (на этот раз ось х') снова будет
направлена на притягивающий центр в устойчивом от-
относительном равновесии.
Условие ограниченности колебаний 3° из B.2.3) мож-
можно записать в виде
Так как всегда из физических соображений имеют
место неравенства —g—<1, |coseo|<l, то получим
®о I < ® V&- Здесь @о — начальное возмущение угловой
скорости движения около центра масс. Для обычных ор-
орбит искусственных спутников Земли оказывается, что
во~0,05ч-0,1 °/сек. Это значит, что либрационное дви-
движение возможно лишь при весьма малых начальных воз-
возмущениях угловой скорости вращения около центра масс
спутника.
Разделяя теперь в B.2.2) переменные и интегрируя,
получим
в
de
B.2.4)
В
Это эллиптический интеграл. Перепишем его в нор-
нормальной форме. Введем модуль эллиптического инте-
интеграла k:
^^ B.2.5)

ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ 67
Рассматриваем случай &2<1, который, согласно 3°
B.2.3), соответствует ограниченным колебаниям спут-
спутника. Введем новую переменную ф формулой
sin 0 = k sin ф. B.2.6)
Тогда B.2.4) запишется в виде
Б v* *o; -
Фо
B.2.7)
В правой части этого равенства получен эллиптический
интеграл в нормальной форме. Обозначим
Фо
F= [ d<? -_, B.2.8)
тогда обращение интеграла B.2.7) дает
^ т }- B-2-9)
Из B.2.9) следует, что
|sin0|<^, max| sin © | = k.
Последнее равенство позволяет получить амплитуду ко*
лебаний.
Период 7 колебаний угла G дается формулой
Т= ^1L^.= rJLl—^.-mLL. B.2.10)
В 2
где К — полный эллиптический интеграл первого рода:
2
К(&) = 'f ^ . 2 , B.2.11)
о
«. 2я ^
а 70 = период обращения центра масс спутника,
Если k не очень велико, то эллиптический интеграл
5*

68 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
удобно разложить по k2:
Г+ ... [. B.2.12)
Подставляя B.2.12) в B.2.10), получаем
Т = -
То
в
1411■" ^„ + , B.2.13)
Для малых колебаний &2<С1, и этой величиной можно
пренебречь; тогда
==• B-2Л4)
Заметим, что так как K(k2)^-^, то из B.2.10) сле-
т
дует Г> — ° -, то есть период конечных коле-
/
баний всегда больше периода малых колебаний. Далее,
А q f
так как по физическому смыслу <1, то Т>—^=гл
в уз
т
Легко понять, что --— — это период малых колебаний
гантели на круговой орбите, так как для гантели можно
считать С = 0, А —В. Таким образом, наименьший воз-
т
можный период колебаний Tmln = —^=r ж 0,577Г0. Если
период обращения спутника Г0 = 90 мин, то 71mIn = 61 мин
10 сек. Поскольку наибольший период колебаний, оче-
т
видно, бесконечно велик, то всегда —~г < Т < оо. Это,
в частности, означает, что всегда можно найти такие па-
параметры Л, В, С спутника и такие начальные данные
Go, Go, что период колебаний Т будет равен периоду об-
обращения TQ. Из B.2.10) видно, что указанные значения

§2]
ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
69
параметров удовлетворяют трансцендентному уравне-
нию
В '
Пример расчета периода и амплитуды
колебаний для плоского движения. Пара-
Параметры возьмем близкие к параметрам 3-го советского
ИСЗ. Можно положить с большой степенью точности
■** с% г* ■** ^ г\ г*
d
Период обращения центра масс спутника вокруг
Земли в начале движения был Т0=106 мин, что соот-
соответствует со = 0,056 °/сек. Будем давать спутнику различ-
различные начальные угловые скорости вращения около центра
масс и рассмотрим два начальных значения угла нута-
нутации: 6о = О и 0о=Юо. Результаты расчета амплитуд ко-
колебаний и периодов колебаний приводятся в таблице К
Таблица 1
ё0, °1сек
0,00
0,01
0,02
0,05
0,07
0,074
0,075
0о
©max
0
7°40'
15°25'
41°40'
68°35'
90°
= 0
Т, мин
79,5
80,5
91
122
оо
е,=
0тах
10°
12°35'
18°30'
43°25'
—
90°
= 10°
Т, мин
79,5
80
81
92
оо
Строчки таблицы, содержащие 0тах = 9Оо и Г = оо, соот-
соответствуют лимитационным движениям.
Все, что говорилось до сих пор, относится к области
движения, находящейся в фазовом пространстве внутри
сепаратрисы (рис. 9). Если &2>1, то получим область
в фазовом пространстве, находящуюся вне сепаратрисы.
Интеграл B.2.4) в этом случае удобно представить в
виде
е

70
СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. 2
Делая с этим эллиптическим интегралом преобразова-
преобразования, аналогичные предыдущим, и обращая его, можно
получить
B.2.15)
во
* _ С de
J Vi Ж
О V 1 ~~ К1 •
В зависимости от начальных условий 0 будет монотонно
возрастать или убывать с некоторыми колебаниями в
угловой скорости вращения. Чем больше Л, тем меньше
амплитуда этих колебаний и тем ближе ©(/) прибли-
приближается к линейной зависимости. Период изменения 0 на
2я будет
Т =
4K(k\)
А —С
В
R\ ,2
со 1
B.2.16)
Пусть, например, спутник закручен против движения
его центра масс. Тогда относительно неподвижной си-
системы координат он будет вращаться со средней угловой
скоростью w =(о
k.
, А —С
В
'ИГ
. Отсюда видно,
-W
что если начальные данные выбраны так, что удо-
удовлетворяется трансцендентное уравнение k\K(kl) =
о А — С
о—-g—, то средняя угловая скорость абсолют-
абсолютного вращения спутника будет равна нулю. Спутник будет
ориентирован в абсолютном пространстве (совершая
только некоторые колебания относительно неподвижного
направления). Однако легко видеть, что такая ориента-
ориентация в абсолютном пространстве неустойчива.

§3] ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ 71
В заключение отметим, что плоское относительное
движение спутника на круговой орбите полностью совпа-
совпадает с плоским движением твердого тела относительно
закрепленного центра масс в ньютоновском поле сил
(см. приложение 1).
§ 3. ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СПУТНИКА
НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ.
НЕЛИНЕЙНОЕ И ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЯ.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Уравнения движения на эллиптических орбитах ка-
качественно отличаются от уравнений на круговой орбите,
так как их коэффициенты будут переменными (перио-
(периодическими).
Рассмотрим уравнение плоских колебаний на эллип-
эллиптической орбите. Тогда р = г = 0, y'/=:cos0, Y=—sin 0,
<7 = co + G, причем со, переносная угловая скорость, — ско-
скорость вращения центра масс спутника по орбите, и урав-
уравнения B.1.1) дают
G+З-^з-^-^-sin 6cosO = — ю. B.3Л)
Если орбита круговая, то со=О, -£г= const = со2. В общем
случае со^О. Сделаем замену независимой переменной:
введем истинную аномалию v вместо времени /. С этой
целью присоединим еще уравнения движения самого
центра масс спутника:
B.3.2)
Здесь е — эксцентриситет, Р — фокальный параметр ор-
орбиты. Отсюда
= A -f-ecosv)C6" —
B.3.3)

72 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
(штрихи означают производные по v). Подставляя
B.3.3) в B.3.1) и сокращая на £, получим
ry Ul 11
B.3.4)
Это и есть искомое уравнение плоских колебаний на
эллиптической орбите.
Введем 6 = 26, тогда уравнение примет вид
A + е cos v) 6" — 2е sin v 6' -f- n2 sin 6 = 4^ sin v,
2_~A-C B.3.5)
n — d B .
Без ограничения общности можно считать az2>0 (за-
(замена переменных 6 = 6i + n меняет только знак послед-
последнего члена в левой части B.3.5)). Нелинейное уравнение
B.3.5) содержит периодические коэффициенты и перио-
периодическую правую часть. Если £ = 0, то получаем урав-
уравнение колебаний на круговой орбите.
Отметим одно частное решение уравнения B.3.5):
если частота собственных колебаний п удовлетворяет
равенству п2 = 6е, то имеется решение 6 = v, то есть
V
® = -^.В перигее v = 0, 6 = 0 — спутник «смотрит» осью
на центр притяжения. В апогее v — n, ® = -ъ ось спут-
спутника направлена по касательной к орбите. При следую-
следующем прохождении перигея v = 2n, 6 = я, то есть спутник
перевернулся и опять «смотрит» на центр притяжения,
но другим своим концом. Иначе говоря, спутник непре-
непрерывно (но неравномерно по времени) вращается в одну
сторону так, что принимает исходное положение через
два оборота центра масс спутника по орбите.
Рассмотрим малые плоские колебания на эллиптиче-
эллиптической орбите. Линеаризуя уравнение B.3.4), получим
A + е cos v) в" — 2е sin v в/ + п2@ = 2е sin v. B.3.6)
Введем вместо в новую переменную г, связанную с G
соотношением

§ 3] ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ 73
Тогда уравнение B.3.6) принимает вид
+ gcosv \z = 2e sin v. B.3.8)
1 -f- e cos v ) v '
Уравнение B.3.8) — уравнение типа Хилла (с периоди-
периодическими коэффициентами), в котором имеется периоди-
периодическая правая часть. Если исключить просто интегри-
интегрируемый случай /г2 = 1, который, как будет показано ниже,
является резонансным случаем, то уравнение B.3.8) не
интегрируется при е=£0. Поэтому для решения уравне-
уравнения B.3.8) следует применять приближенные методы.
При е<^п2 удобно применить для решения уравнения
метод Крылова — Боголюбова [19], взяв в качестве ма-
малого параметра эксцентриситет орбиты е.
Из предыдущих параграфов известно, что при нуле-
нулевых начальных условиях на круговой орбите будет все
время иметь место относительное равновесие. На эллип-
эллиптической орбите за счет правой части в B.3.8) и в
B.3.5) получаются вынужденные колебания, которые
назовем эксцентриситетными колебаниями. Чтобы при-
приближенно определить эксцентриситетные колебания, пре-
пренебрежем членами сев левой части уравнения B.3.8),
а правую часть оставим без изменения; тогда
Вынужденные колебания из уравнения B.3.8) сразу на-
находим в виде
^ B.3.9)
Более точные формулы для вынужденных (эксцен-
триситетных) колебаний будут получены в следующих
параграфах.
При п2^\ получается, как видно из B.3.9), резо-
резонанс. Исследование нелинейного уравнения (см. ниже)
показывает, что колебания в области резонанса при ма-
малых е будут велики, но ограничены. При больших е не-
нелинейное уравнение в области резонанса может иметь
неограниченно возрастающее решение, то есть при боль-
больших е спутник может реально перейти из колебатель-
колебательного режима"движения во вращательный режим.

74 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
Заметим, что рассматриваемый резонанс физически
реален, так как в области физических значений параме-
1 Д Q
тров Л, В, С имеем —g— < 1, а резонансное значение
—о— — "Т находится внутри этой области.
Решение с точностью до первой степени е назовем
решением в первом приближении; с точностью до е2 —
решением во втором приближении и т. д. Решение в
третьем приближении, полученное из линейного урав-
уравнения, удовлетворять нелинейному уравнению с такой
— — б3
же точностью не будет, так как sin6 = 6—зТ+ '*' и
если 6~£, то член б3 дает в решении нелинейного урав-
уравнения члены порядка £3, отличные от членов такого же
порядка в решении линейного уравнения. Поэтому ре-
решение линейного уравнения имеет смысл рассматривать
в приближении не выше второго.
§ 4. ЭКСЦЕНТРИСИТЕТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Будем искать частное решение неоднородного урав-
уравнения B.3.8) в виде
ye B.4.1)
Тогда для фе> получится уравнение
B.4.2)
где штрихи означают производные по аргументу
x = cosv. B.4.3)
Частное решение уравнения B.4.2) можно искать в
виде ряда по малому параметру е. Ряд будет сходиться,
согласно теории Пуанкаре, для достаточно малых зна-
значений е. Пусть

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
75
Подставляя в B.4.2) и приравнивая члены при оди-
одинаковых степенях &, получим систему уравнений
B.4.5)
Из этой системы последовательно находим частные
решения для ф^, которые являются полиномами fe-й сте-
степени:
1
_ 1
Ф.(*.1,=
1
„2 —
B.4.6)
m-k
Здесь, во избежание путаницы, коэффициенты
(k— 1)-го полинома обозначены через ат, а коэффи-
коэффициенты &-го полинома — через Ьт% Для их определения
получаются рекуррентные соотношения:
*« = •
, — b и т — b . 1 ^9 4Я^
< * fv xl fit» ■ /C —~~ 1 j l^i.T".L)l
1 B.4.9)
для т = 0, 1, 2, ..., £ — 2.
Видим, что два старших члена [fe-й и (k—1)-й] fe-ro по-
полинома определяются из B.4.8) по соответствующим
[(k—1)-му и (k—2)-му] старшим членам (k—l)-ro поли-
полинома. Последующие члены &-го полинома определяются

76 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
из B.4.9) по только что определенным старшим членам
этого полинома и по заранее известным членам
[(k—3)-му и (k—1)-му] предыдущего, (k—1)-го поли-
полинома.
Например, коэффициенты полинома
определяются через коэффициенты полинома
Фв1 = ао + а1х' ао = 0, аг= д2_4
следующим образом: из B.4.8) имеем
h — П2 —9,' л2 —4 ' *i = °»
а из B.4.9), учитывая, что a_i=0, получим
О ^
Построенное решение B.4.1), B.4.4), B.4.6) —B.4.8)
представляет интерес как пример точного частного ре-
решения неоднородного уравнения типа Хилла. Для рас-
рассматриваемого конкретного случая колебаний спутника
на эллиптической орбите имеет смысл рассматривать
только первые члены этого решения, а именно члены
B.4.6), которые как раз и дают искомую формулу
вынужденных колебаний. В силу B.3.7), B.4.3) и
B.4.1) члены B.4.6) дадут эксцентриситетные колеба-
колебания в виде
р. 2е sin v j I , е \
*>*— (l+ecosv) \ п2 — \ "Г- „2_4 COSV^~
„2 л?Г„2 1ч sin2v» B.4.10)
Члены с е\ k > 3, можно не рассматривать по сооб-
соображениям, указанным в конце предыдущего пара-
параграфа.
ПриАг2^1 решение B.4.10) непригодно (резонансный
случай.) Колебания в области резонанса будут рассмо-
рассмотрены ниже. Физически не может быть другого резонанса

§ 5] МАЛЫЕ ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 77
в вынужденных колебаниях, так как п2 = 3—g—<3 и,
следовательно, второй член в скобках формулы B.4.10)
всегда ограничен.
§ 5. МАЛЫЕ ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ
ОРБИТЕ ПРИ МАЛОМ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТЕ
Для малых е уравнение B.3.8) превращается в ура^
внение Матье, так как с точностью до первых степеней е
получим
4
cos v
Для приближенного решения уравнения B.3.8) при
малых е воспользуемся методом Боголюбова — Крылова
[19]. С этой целью уравнение B.3.8), используя B.5.1),
представим в виде
(n2 — l)zcosv}. B.5.2)
При £ = 0 получаем решение в нулевом приближении:
г = a cos V, Ч? = nv + W*. B.5.3)
Фаза Ч?* и амплитуда а колебаний определяются на-
начальными условиями. Будем искать решение уравнения
B.5.2) в виде
г = a cos Ч? + еих (ЧГ, v, a), B.5.4)
причем а, Ч? должны удовлетворять уравнениям
% = еА1(а), ^ = п + еВ1(а). B.5.5)
Подставляя B.5.4) в B.5.2) с учетом B.5.5), получим
после преобразования
— 2еп (Л, sin W + Вха cos ¥) -)-
= е 12 sin v + efr^-1) [cos (v + W) + cos (v-¥)] 1. B.5.6)
На е это уравнение можно сократить.

78 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
В правую часть, как видим, входят гармоники
cos(v + 4;), cos(v—4я), а гармоники sin W и cos 4я не
входят. Поэтому
Л1 = 0, Вх = 0. B.5.7)
Теперь определим п{ так, чтобы левая и правая части
B.5.6) (с учетом B.5.7)) были равны. Будем искать щ
в виде
щ = уи sin v + аи cos (v — Ч?) + Ри cos (v + ¥).
Подставляя в B.5.6) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых гармониках, получим
B.5.8)
2я+1 '
Член с Yn появился за счет наличия правой части в ура-
уравнении B.3.8) и эквивалентен первому слагаемому в
B.4.10). Таким образом, в первом приближении реше-
решение будет иметь следующий окончательный вид:
B.5.9)
Здесь в силу B.5.7) a = const, 4;==nv+."lF*, причем а и
4я* определяются начальными данными.
Видим, что, кроме резонанса при л2=1, в эксцентри-
ситетных колебаниях появляется еще так называемый
9 1 О
параметрический резонанс при nz = -^. Все члены с
множителем а в решении B.5.9) являются в первом
приближении решением уравнения Матье.
Рассмотрим без вывода решение уравнения B.3.8)
в следующем приближении — с удержанием членов по-
порядка е2. Тогда коэффициент уравнения B.3.8) следует
представить в виде
- ( - 1>>е CQS V + ( - !)

§ 5] МАЛЫЕ ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Решение во втором приближении ищем в виде
причем
da
Оказывается, что Ai=A2^0\ Bi = 0;
79
B.5.10)
2. B.5.11)
), так что
dv
cos ^v
sin V)
"( ;
B.5.12)
Последние члены в а^ и м2 дают периодическое решение
уравнения B.3.8) — эксцентриситетные колебания, со-
совпадающие с B.4.10). Новых параметрических резонан-
сов во втором приближении, как видим, не появляется.
В этом состоит отличие решения B.5.10) от решения
уравнения Матье, где во втором приближении появ-
появляется новый резонанс. Отметим еще, что в третьем при-
приближении А3 = В3=0 выявляется резонанс в окрест-
g
ности п2 = -£ [37]. Так как п2 <. 3, то других резонан-
сов быть не может. Решение B.5.10) — B.5.12) годится
при произвольных начальных данных, которые опреде-
определяют постоянные а, Ч*"*. Представляет интерес решение
при нулевых начальных данных. Если бы орбита была
круговая, то такое решение оставалось бы все время
нулевым (относительное равновесие). На эллиптической
орбите этого не будет из-за наличия вынужденных ко-
колебаний. Итак, пусть во = 0, ©q = 0 при v=0. Тогда

80
СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ, 2
с точностью до членов с е2 включительно получим;
G 1
G — —1—
1 -f- е cos v '
г = р^г { sinv- i- sin o)v} +
m, — —
n2 —
2B/г +
n2—1
2n—1) '
B.5.13)
§ 6. НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
НА СЛАБОЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ
1. Периодические колебания. Будем искать периоди-
периодическое решение уравнения B.3.5), то есть колебания, об-
обусловленные наличием правой части в этом уравнении.
Решение ищем в виде ряда Фурье по v. Сперва опреде-
определим первую гармонику этого ряда. Пусть
6 = a cos Ч?, Ч? = v-\-WQy B.6.1)
где Ч^о—постоянная фаза колебаний, а а — постоян-
постоянная амплитуда колебаний, подлежащие определению.
Отметим, что sin (a cos Ч?) разлагается в следующий
ряд Фурье:
sin(acos4r) =
= 2 2 (—l)kJ2k+1(a)cosBk+l)V^2Jl(a)cosW. B.6.2)
Здесь /2fe+i(a)—бесселева функция первого рода по-
порядка 2&+1; в последнем приближенном равенстве со-
сохранена только первая гармоника этого ряда. Подста-
Подставим B.6.1) и B.6.2) в B.3.5), учтем, что Ч? = у

— 2/г2Ух (a) sin ^Fo — 4^ = 0.
§ 6] КОЛЕБАНИЯ НА СЛАБОЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ 81
соберем и приравняем нулю коэффициенты при члене,
не содержащем гармоник, и членах с первыми гармо-
гармониками cos v, sin v:
B.6.3)
Из B.6.3) следует ЧГ0 = у или Чг0 = —~- и соответ-
соответственно
а из B.6.1) соответственно получим
6==j:asinv. B.6.5)
Заметим, что в случае малой амплитуды а имеем
А(а)~~2> в этом случае получим из выражения B.6.4)
п2 — а ^ е , откуда, с учетом B.6.5),
то есть получим ту же формулу для первой гармоники
вынужденных колебаний, что и в линейных уравнениях
[см. B.4.10)].
Знаки + в B.6.4) соответствуют двум ветвям одной
и той же кривой, которая дает амплитудно-частотную
характеристику первой гармоники вынужденных перио-
периодических колебаний.
Пример. Пусть £ = 0,01. Построим по формуле
B.6.4) график амплитудно-частотной характеристики
(рис. 10). На этом рисунке вместо амплитуды а угла б
нанесена амплитуда -j угла в. Знаками + и — отме-
отмечены соответствующие ветви кривой B.6.4).
При /г2 </г^ ^ 1,12 имеется одно периодическое ре-
решение, а при п2 > п\ — три периодических решения;
одно из них будет при этом неустойчиво, а именно то,
которое соответствует пунктирному участку на плюс-
кривой (это будет показано в следующем параграфе),
Q В. В. Белецкий

82
СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
Видим, что на том участке, где имеется единственное
периодическое решение, его максимальная амплитуда
с&тах = ЗГ (при п2 = п%), в то время как при значениях
резонансного, амплитуда колебаний
1°
я2, далеких от
имеет порядок
р
1°
иии
зг
0,5
ОД
--
——
~—-
0
у
--
1
\\
\
I
\
1
1
®
\
е=0,01
Рис. 10. Периодические колебания спутника на эллип-
эллиптической орбите. Амплитудно-частотная характеристика.
Будем теперь искать вынужденные колебания с уче-
учетом второй гармоники.
Предыдущий анализ линейной и нелинейной задач
позволяет заключить, что эти колебания следует искать
в виде _
n2v. B.6.6)
Рассмотрим случай +'а\ случай —а получается про-
простой заменой знака.
Подставим B.6.6) в B.3.5)_ и все тригонометриче-
тригонометрические члены кроме члена п2 sin б обозначим S; тогда, со-

§ 6] КОЛЕБАНИЯ НА СЛАБОЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ 83
бирая члены при одинаковых гармониках, получим
(...)sin3v. B.6.7)
Займемся членом sin 6. Используя разложения
B.6.8)
()
оо
cos (a sin W) == Уо (a) + 2 2 J2k (a) cos 2AT,
учитывая B.6.6), после преобразований получим
со со
+ 22 2 4n@i)Afe+i(e)[sinBA + l — 4/rc)v +
+ 2 2 2 /»+i («0 4. (a) [sin 2 BA +1 - «) v +
+m)v]. B.6.9)
Выделим члены с первой гармоникой. Она может со-
содержаться только в первой половине B.6.9), куда вхо-
входят только нечетные гармоники, а именно при 2fe+l —
— 4m=±l, — в двойной сумме. Иначе говоря, условия,
наложенные на k и т, при которых получится первая
гармоника, таковы:
2k = 4m, 2k + \=4m—\. B.6.10)
Кроме того, первая гармоника имеется еще только
в первой сумме выражения B.6.9). Обозначим коэф-
коэффициент при первой гармонике 5i. В силу сказанного
тогда
]. B.6.11)
ffisl
6*

84 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
Вторая гармоника содержится только во второй поло-
половине формулы B.6.9). Условия на k и т в коэффициен-
коэффициентах при второй гармонике находятся аналогично и ока-
оказываются следующими:
и коэффициент S2 при второй гармонике имеет вид
S3 = 2^,Ja+l(al)[J4k(a)-JVl+4(a)\' B-6.12)
Учитывая теперь B.6.7), получим окончательно, при-
приравнивая к нулю коэффициенты при первой и второй
гармониках:
— a — 4* + /i2S1 = 0, — 4al — ~ea-{~n2S2 = 0. B.6.13)
Решение этой системы трансцендентных уравнений по-
получить точно нельзя. Будем искать решение прибли-
приближенно. Сделаем предположение о том, что аА — малая
величина. Тогда
Теперь система B.6.13) запишется так:
— а — 4в —(- ti2 — 2»Д (п) = О,
— 4ах —-тг еа-\- я2ах [Уо (а) — У4 (я)] = О.
B.6.14)
Учтем, что /4(—а)=— /i(a), J0(—a)=J0(a). Тогда из
первого уравнения B.6.14) получим формулу B.6.4)
обеих ветвей амплитудно-частотной характеристики пер-
первой гармоники, а из второго уравнения B.6.14), соот-
соответственно, формулу для а4:
Предположение о малости а4 оправдалось (множи-
(множитель е). Например, при е = 0,01 имели в случае п^\
а ^30°, тогда ai^0,3°. Для небольших а можно прене-
пренебречь величиной Л (а) по сравнению с /о (а). При

=1> Ш = %, /4(а) = 0.
§ б) КОЛЕБАНИЯ НА СЛАБОЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ 85
весьма малых а можно приближенно считать
Тогда
4е
^г2 — 1) (/г2 — 4) *
то есть получим амплитуды в том же виде, что и из
линейной задачи (ср. с B.4.10)).
2. Установившиеся колебания в случае параметриче-
параметрического резонанса. Уже отмечалось, что в колебаниях
спутника около центра масс имеется резонанс за счет
периодичности коэффициентов. Такой резонанс — пара-
параметрический — получается, когда п2 ж -j. Рассмотрим
установившиеся колебания.
Колебания в области параметрического резонанса
представляются рядом Фурье по дугам, кратным -^ v.
Будем искать первую гармонику колебаний в области
параметрического резонанса в виде
Ро). B.6.16)
Подставляя в уравнение B.3.5) и применяя выкладки,
аналогичные предыдущим, получим два случая:
1^ sinW —0 я2 — а 4 8 (<1(\М\
I) ъш тг0 — v, п —и or / ч > ^.o.i/;
1 , з
Т + 1Г*
2) cos Ч^О, п2 = а \j^a) . B.6.18)
Из этих формул можно заключить, что амплитуда
однозначно определена в области
|~|в<л»<-1+4в. B.6.19)
Если п2 попало в этот интервал, то будут возникать
резонансные колебания; если п2 вне интервала B.6.19),
то резонанса нет. На интервале B.6.19) амплитуда

86
СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ ftVt. 2
реальных резонансных колебаний определяется толь-
только ветвью B.6.17) (рис. 11). В области однозначного
аз
0,2
J
1
. /
■ 1
1
/
/
/
/
/
/
1
1
1
/
/
/
У
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
0,0/
0,255
Рис. 11. Параметрический резонанс пои
колебаниях спутника на эллиптической
орбите. Амплитудно-частотная характери-
характеристика.
значения а, то есть на интервале B.6.19), резонансные
колебания будут косинусоидальными:
Пример. Пусть 6 = 0,01. Тогда область резонанс-
резонансных значений п2 такова: 0,245 < п2 < 0,255. Максималь*
ная амплитуда колебаний 0~14°, как это видно на
рис. 11.
Относительно резонанса в окрестности п2 = -^ см.
пункт 3 § 7 настоящей главы.

§ 71 НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 87
§ 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ
1. Квазигармонические колебания. В предыдущем
параграфе были рассмотрены частные — периодиче-
периодические— режимы колебаний, появляющиеся за счет воз-
воздействия правой части уравнения B.3.5). Рассмотрим
теперь в первом приближении влияние этого фактора
(то есть наличия синусоидального возбуждения) на
колебания в целом как в резонансном случае, так и в
окрестности резонанса. Это рассмотрение позволит,
в частности, установить «место» периодических решений
ео множестве всех решений.
Будем считать, что колебания близки к гармониче-
гармоническим, и перепишем соответственно этому уравнение
B.3.5) в виде
V' + n?b = e[4slnv-\-2b'sinv — 6"cosvJ-f
+ tt2f6-sin6] = /(v, 6, Ь\ 6"). B.7.1)
По методу Боголюбова — Крылова [19], допуская, что
f—малая величина, решение уравнения B.7.1) в пер-
первом приближении ищем в виде
6 = a cosT, W = v+x, B.7.2)
где амплитуда а и фаза х должны удовлетворять урав-
уравнениям
*L = Ax(a,*), -^- = п-\+В1(я, х), B.7.3)
причем Ai и Bi суть частные, периодические по к реше-
решения системы
2л
B.7.4)

88 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ ГГЛ. 2
где
fo — х, acosT, — arising, an?cosy¥) =
= e [4 sin (T — x) — 2 sin (У — x) ал sin W —
— cos PF-и) ал2 cos Y] + /г2 [а cos 4я-sin (a cos ¥)]. B.7.5)
Подставляя B.7.5) в подынтегральные выражения в пра-
правых частях B.7.4) и взяв интегралы, легко затем нахо-
находим из B.7.4) периодические по х выражения для Аи
Si. Система B.7.3) принимает вид
da 4e \ дФ
. -г__ рло v ■
л- » + lcos>l- . *<
B 7 6)
где /i(a) —функция Бесееля первого порядка, а
Здесь /о (а)—функция Бесселя нулевого порядка. От-
Отсюда сразу следует, что уравнения B.7.6) имеют пер-
первый интеграл
Ф = Ф0, B.7.8)
наличие которого позволяет свести задачу к квадрату-
квадратурам и тем самым проанализировать зависимости a(v),
x(v). Однако более нагляден анализ интегральных кри-
кривых B.7.8) на плоскости (а, х). Для этого удобно пред-
представить B.7.8) в виде
С(*1)
sin х = Jjj , B.7.9)
где Со — постоянная интегрирования, а
^--1=-тр- ... B.7.10)
На рис. 12 изображен вид интегральных кривых для
п2<\ (л2 = 0,8) при 6 = 0,01. Видно, что при н = ~- су-
существует один устойчивый стационарный режим а =
= const, соответствующий периодическому решению,

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
рассмотренному в предыдущем параграфе. При любых
других начальных данных (ограниченных рамками по-
поставленной задачи) получим периодическое изменение
а в ограниченных пределах, причем максимальное зна-
значение а, как видно из рис. 12, будет всегда большим,
чем значение а в стационарном режиме.
Отсюда следует вывод, существенный для практиче-
практического осуществления гравитационной стабилизации на
эллиптической орбите: нужно стремиться осуществить
о, род
Рис. 12. Колебания спутника на эллиптической орбите.
Амплитудно-фазовая характеристика для п2 = 0,8.
стационарный периодический режим колебаний, так как
этот режим дает наименьшее отклонение спутника от
положения относительного равновесия (по сравнению
с любыми другими режимами колебаний).
Отметим, что с увеличением п от 0 до 1 картина ин-
интегральных кривых на плоскости (а, к) эволюционирует
так, что максимальные значения а увеличиваются.
На рис. 13 дана картина интегральных кривых для
(я2=1,2) при 6 = 0,01. Видно, что кроме уже ука-
указанного стационарного режима с амплитудой #Пх =
появилось еще два стационарных режима и == — -^я с
амплитудами а*2, #*, причем а\ > а*2 > а* и, кроме того,

СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЁ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ.
режимы с а* и а* устойчивы, а режим с а* не-
неустойчив.
С увеличением п от 1 картина интегральных кривых
эволюционирует так, что стационарные значения
a — a*v a = a*2 растут, а стационарное значение а = а*г
убывает.
а,рад
тс
Рис. 13. Колебания спутника на эллиптической орбите. Амплитудно-
фазовая характеристика для п2 = 1,2.
Стационарные амплитуды а* 2 3 определяются не-
непосредственно из уравнений B.7.6) приравниванием
к нулю их правых частей. Это дает
B.7.11)
— 1) (f — 4 (а)) = а +
Так как при малых а у^У^я), а в окрестности не
очень малых а имеем я~1, то приближенно уравнение
B.7.11) дает формулу B.6.4). Отметим еще, что зна-
значение я=1 соответствует точке разветвления периоди-

§7]
НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
91
ческих решений (при е^Ои п>\ их имеется три, а при
п<1 —только одно) [66].
При лг=1, как следует из B.7.11), получим 2/i(a) =
о. cfi
= а qp 4е; приближенно, учитывая, что Ji(^)="j—'2Г*
имеем
B.7.12)
Эта формула дает выраже-
выражение амплитуды колебаний
через эксцентриситет орби-
орбиты в резонансном случае.
Отметим еще одну фор-
формулу. При произвольных
начальных данных амплиту-
амплитуда а достигает максимально-
максимального значения, как видно, при
я ( 3 \ D
к = ~2-( и х = — ifrtj.B част-
частности, из B.7.9) и B.7.10)
следует, что движение,
имеющее вначале нулевую
амплитуду @0=0), достиг-
достигнет максимальной амплиту-
амплитуды атах, определяемой соот-
соотношением (полагаем x = -|-
<2
max
что
в резонансном случае
=1) дает
B.7:13)
f
1,5
0,5
1
1
1
\l
1
1
1/
1
1
1
1 t
V
1
/
/
/
/
J
/
n
/
о
0J
Рис. 14. Максимальная ампли*
туда колебаний на эллиптиче-
эллиптической орбите. Точное значение
(пунктир) и приближенный ра-
расчет (сплошная линия).
На рис. 14 приведены сравнительные значения указан-
указанных максимальных амплитуд, рассчитанных по формуле
B.7.13) и определенных непосредственным численным
интегрированием исходного уравнения B.3.5). Видим,
что совпадение достаточно хорошее при малых эксцен-
эксцентриситетах (е< 0,02-^0,03).

92 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
Определим приближенно кривую разветвления.
В формуле B.6.4) заменим бесселеву функцию Ji(a)
двумя первыми членами ее разложения в ряд по а. То-
Тогда получим относительно а кубическое уравнение
в._1£^1в± *•-<>, B.7.14)
дискриминант которого
Уравнение B.7.14) имеет одно действительное решение,
если D>0, и три действительных решения, если D<0.
Таким образом, уравнение кривой разветвления есть
D = 0, то есть
Если£>\^-( -—2п * то Уравнение B.3.5) имеет
одно 2я-периодическое решение, в противном случае,
^ /2\8/2 (п2 — 1)8/з
при е < lyl -—о——' таких решении имеется три.
Кривая разветвления, как можно легко получить из
B.7.15), на всем интервале 1 </г < ]/3 своего опре-
определения монотонно возрастает от е = 0 при п—\ (здесь
кривая касается оси п) до £ = е# при п = УЗ. Как-видно
из B.7.15), е^= q- = 0,444 ... При е>е* имеется всегда
только одно периодическое решение при любых физи-
физически реальных п. (По этому поводу см. также [66, 37,
72]). Заметим, что уравнение B.7.15) кривой разветвле-
разветвления получено анализом лишь первой гармоники перио-
периодического решения; тем не менее кривая B.7.15), по-
видимому, весьма близка к истинной кривой разветвле-
разветвления, так как отражает все ее основные качественные
свойства, обнаруженные в [66, 37] и дает близкие коли-
количественные характеристики. Например, точное значе-
значение е* = 0,446 (указано в [37]), а кривая B.7.15) дает,
как было упомянуто, е* = 0,444...

§ 7] НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 93
Подробный анализ периодических решений уравне-
уравнения B.3.5) проведен в работах [66, 37]. В работе [72]
также рассматривались решения уравнения B.3.5),
близкие к произвольным решениям на круговой ор-
орбите. Это же уравнение рассматривается в [43].
2. Периодические колебания почти-симметричного
спутника при произвольных эксцентриситетах. В ра-
работе [72] Ф. Л. Черноусько рассмотрел движение, близ-
близкое к произвольному движению на круговой орбите. При
этом асимптотическое решение при малых эксцентриси-
эксцентриситетах строится не на базе гармонических (линейных)
колебаний, как это сделано выше, а на базе нелиней-
нелинейных колебаний, описываемых уравнением B.3.5) при
е = 0.
Такой прием позволяет рассмотреть движение как
в области колебаний, так и в области вращений.
Другой случай, исследованный Ф. Л. Черноусько
в этой же работе, предполагает, что Д2<С1, то есть тело
близко к динамически симметричному; эксцентриситет
орбиты произволен @<;^<1). В качестве независимой
переменной в этом случае возьмем время т, отсчитан-
отсчитанное от перигея и отнесенное к периоду обращения спут-
спутника, деленному на 2я:
! arctg у |
— e , _v e у 1 — e2 sin v
+ e lgT Г
B.7.16)
В качестве новой искомой функции возьмем угол вА
между главной центральной осью инерции (момент
инерции относительно которой равен С) и радиусом-
вектором перигея:
Тогда уравнение B.3.5) принимает вид
где v рассматривается как функция т, определенная ра-
равенством B.7.16). Из B.7.17) видно, что динамически
симметричный спутник совершает равномерное вращение

94 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
вокруг центра инерции. При малом п движение спутни-
спутника будет близко к равномерному вращению и решение
уравнения B.7.17) можно искать в виде
B.7.18)
где Q — постоянная, а фе—искомая функция. Прибли-
Приближенное решение можно провести асимптотическими ме-
методами. При этом, если 2Q не целое число, движение
в первом приближении остается равномерным враще-
вращением. Более интересны резонансные случаи 2Q = m, где
т — целое число, а из этих случаев наиболее интересен
случай главного резонанса т = 2, когда период враще-
вращения спутника близок к периоду его обращения по ор-
орбите, что соответствует 2я-периодическим колебаниям
в орбитальной системе координат. Подставим B.7.18)
в B.7.17). Тогда для любого целого т коэффициенты
уравнения B.7.17) периодичны по т с периодом 2я и
для получения решения в первом приближении нужно
осреднить коэффициенты уравнения по этому периоду.
Тогда получим
B.7.19)
Фш = — / (l+£cosv)cos[mt(v)—2v]rfv,
Я A ^) 2Q l
где t(v) определяется формулой B.7.16). Решение ура-
уравнения B.7.19), как известно, дается в эллиптических
функциях. Сопоставление B.7.18) и решения уравне-
уравнения B.7.19) показывает, что движение является враще-
вращением с угловой скоростью £2 = т/2, на которое наклады-
накладываются медленные вращения или колебания. Это асимп-
асимптотическое решение справедливо с точностью до величин
порядка п на интервале времени порядка \\п (много
больше периода обращения спутника). Положениями
равновесия уравнения B.7.19) являются точки ф0 =
= Ля/2 (& = 0, ±1, ±2, ...); они соответствуют враще-
вращению с постоянной угловой скоростью. Так как в момент
прохождения перигея фе равно углу между главной

§7]
НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
95
осью инерции с моментом С и радиусом-вектором, то
вращение с постоянной угловой скоростью Q = ra/2 воз-
возможно лишь при условии, что в перигее одна из глав-
главных центральных осей инерции направлена по радиусу-
вектору.
Если Фт(£)>0, то положения равновесия фе = кл
устойчивы, они соответствуют направлению оси наи-
наименьшего момента инерции С по радиусу-вектору в пе-
перигее орбиты; остальные положения неустойчивы. При
Фт(£)<0, наоборот, устойчивыми будут такие движе-
движения, когда ось наименьшего момента инерции в перигее
орбиты направлена по касательной к орбите. Часто-
Частота малых колебаний относительно устойчивого режима
вращения равна /г "^j Фт (<?) |. Из формулы для Фт
можно получить
e + O(e2) Ф2{е)= 1 -|
Фз (е) = \е + О И, Ф4(е) = -£
Наиболее интересен случай главного резонанса (т = 2);
в остальных случаях вращение спутника на орбитах,
близких к круговым, будет почти
равномерным. В случае круговой
орбиты и т = 2 осредненное ура-
уравнение B.7.19) совпадает с точным
уравнением колебаний в орбиталь-
орбитальной системе. При любых е случай
т — 2 соответствует периодическому
решению уравнения B.3.5) колеба-
колебаний в орбитальной системе.
Очень интересным является факт
смены устойчивого режима колеба-
колебаний, что связано с переменой знака
Ф2(е). Функция Ф2(е) была подсчитана численно. Ока-
Оказалось, что она монотонно убывает и проходит через
нуль при £«0,682 (рис. 15). Таким образом, периодиче-
периодическое решение — стационарный режим вращения спутни-
спутника с периодом вращения, равным периоду обращения,—
Рис. 15. Зависимость
Ф2 (*).

96 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОНМОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
устойчиво, если в перигее ось наименьшего момента
инерции направлена:
при е<ео^О,682 по радиусу-вектору;
при е>ео^О,682 по касательной к орбите.
3. Периодические колебания произвольного спутника
при произвольных эксцентриситетах. Если оба пара-
параметра уравнения B.3.5)—п2 и е — произвольны (не
малы), то анализ движения представляется весьма за-
затруднительным; однако такой анализ можно провести,
широко использовав расчеты на вычислительных маши-
машинах. Такое исследование было проведено В. А. Злато-
устовым, Д. Е. Охоцимским, В. А. Сарычевым,
А. П. Торжевским и изложено в их совместной ра-
работе [37]. Как уже было указано, наибольший интерес
представляют периодические решения, ибо устойчивые
периодические движения могут быть использованы в ка-
качестве номинальных движений для системы гравита-
гравитационной стабилизации на эллиптических орбитах. В ра-
работе [37] исследуются нечетные периодические решения
с периодом, равным периоду обращения спутника по
орбите.
О 2я-периодических решениях уравнения B.3.5) из-
известно следующее. Доказано [66], что для всех значе-
значений параметров п2 и е, заполняющих область Е(\п2\<^
<;3; О^е <i 1), существует по крайней мере одно нечет-
нечетное 2я-периодическое решение. Область Е делится кри-
кривой разветвления (бифуркационной кривой) на две под-
подобласти £i и Е3. Кривая разветвления выходит по каса-
касательной к оси п2 из точки главного резонанса (п2=1\
е — 0). В области Es существуют три периодических ре-
решения Go, в+, G-, из которых Go и Q+ сливаются на кри-
кривой разветвления и пропадают при переходе в об-
область Ei. В области Ei существует одно периодическое
решение 0_ (введено обозначение 6 = 6/2).
На круговой орбите (е = 0) уравнение B.3.5) пере-
переходит в уравнение свободных колебаний математиче-
математического маятника, которое интегрируется в эллиптических
функциях (см. § 2 этой главы). Упомянутые выше 2я-
периодические решения при е = 0 имеют вид:

§ 7] НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 97
в области Е3 C>п2>1):
2) 0+ = arcsin(£sn/zv), ^2 = ~т(-т^)
" Ч аV/V
3) 0_ = — arcsin (k sn nv)\
в области Ex (—3</г2<1):
G_=0.
В этих формулах значения k2, а значит, и (-г—)
V "v /v=0
определяются из уравнения
Для значений эксцентриситета, отличных от нуля, эти
решения являются порождающими. На круговой орбите
тривиальные решения при положительных п2 опреде-
определяют положение устойчивого равновесия.
Отыскание нечетных 2я-периодических решений ура-
уравнения B.3.5) эквивалентно решению краевой задачи
для этого уравнения с краевыми условиями
то есть определению всех значений 6@), для которых
выполняется условие 0(я)=О, что и было сделано чи-
численными методами. В результате решения краевой за-
задачи, в частности, получено, что кривая разветвления,
выходя из точки п2=1, £ = 0, проходит через точку п2=3,
^ = 0,446.
На рис. 16 построена зависимость начальной угло-
угловой скорости ©@) от параметрам для ряда значений п2.
Периодическим решениям в+ и во отвечают положи-
положительные, а решению в- — отрицательные значения в@).
Начальные данные для решения в+ на рисунке ле-
лежат выше кривой разветвления (пунктирная линия).
7 В. В. Белецкий

98 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
Положительные значения в@) ниже кривой разветвле-
разветвления соответствуют решению Go.
Рис. 16. Зависимость начальной скорости
в @), соответствующей перкодичзским реше-
решениям, от параметров п2 и е. Пунктиром от-
отмечена кривая разветвления.
С целью исследования устойчивости полученных чи-
численно периодических решений запишем уравнение в ва-
вариациях для уравнения B.3.5):
A + е cos v) -g- — 2е sin v -^ + п2х cos 20* = 0, B.7.20)

§ 71 НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 99
где G* — исследуемое на устойчивость периодическое
решение, х — малое отклонение от этого решения.
Подстановкой «к = ут: это уравнение приво-
приводится к виду
, f n2 cos 26* + еcos v ) _n
"~М 1+^cosv \ U
(ср. с уравнением B.3.8)).
Характеристическое уравнение для уравнения в ва-
вариациях B.7.20) можно записать следующим образом:
А2_2ЛА,+ 1=0. B.7.21)
Здесь
Xi и х2— решения уравнения в вариациях, образующие
фундаментальную систему и удовлетворяющие началь-
начальным условиям
(хг@)=\, f*2@) = 0,
Ui@) = 0, U2@)=l.
Если |Л|<1, то корни характеристического уравне-
уравнения являются комплексно-сопряженными и периодиче-
периодическое решение в первом приближении устойчиво. Ура-
Уравнение И| = 1 дает границу области устойчивости перио-
периодического решения. Если |Л|>1, периодическое реше-
решение неустойчиво.
Значения л:4Bя) и х2Bя) определялись численным
интегрированием уравнения в вариациях B.7.20). Ре-
Результаты исследования корней характеристического
уравнения B.7.21) представлены на рис. 17, где в пло-
плоскости п2, е построены границы областей устойчивости
периодических решений (тонкие линии) и кривая раз-
разветвления (жирная линия), выходящая из точки (п2=1,
е — 0). Область Е3 существования трех периодических
решений расположена на рис. 17 левее и выше кривой
разветвления. Одному периодическому решению соот-
соответствует область Еи расположенная правее и ниже
кривой разветвления.

100
СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. 2
В результате анализа выяснилось, что решение Of
всегда неустойчиво, а решение во устойчиво в обла-
области £3, за исключением зоны параметрического резо-
резонанса, начинающейся в точке \п2 = -£, е = 0). Границы
Щ 02 0,3 Ofi 0,5 0,6
Д7 0,8 0,9 е
Области устойчивости решении
Рис. 17. Области существования од-
одного и трех периодических решений
и области устойчивости решений
е0 и а
области параметрического резонанса определяются со-
соотношением (при малых е)
'* ~~ 4 ^ 200 * ~ 51200
Область устойчивости периодического решения 6_ более
сложна. Для этого решения точка Ы2=-^> £ = 0)
является начальной точкой области параметрического
резонанса, границы которой в первом приближении
имеют вид B.6.19). Очень интересен переход области

§7] НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЛОСКОСТИ КОЛЕБАНИЯ 101
/стойчивости от положительных к отрицательным значе-
значениям п2 через точку (д2=0, £ = 0,682). При этом в устой-
устойчивом случае около радиуса-вектора при п2>0 колеб-
колеблется ось меньшего, а при п2<0 — ось большего мо-
момента инерции (см. также [72] и предыдущий пункт
настоящего параграфа).
Расчет границы области устойчивости решения в-
при е->1 сопряжен с большими трудностями, так как
уравнение B.3.5) имеет особенность при e=l, v =
= B&+1)я (& = 0, ±1, ±2, ...). По-видимому, при
п2>0 обе граничные кривые, сливаясь, подходят с вер-
вертикальной касательной к точке (д2=0, е=1), а при
п2<0 асимптотически стремятся к прямой e = L
Из результатов работ [2, 58] вытекает, что необхо-
необходимые условия устойчивости периодических решений
уравнения B.3.5), полученные при рассмотрении по
первому приближению, являются и достаточными для
почти всех значений параметров п2, е.
Рассмотрим теперь поведение решений в окрестности
исследованных периодических решений. Наглядной ха-
характеристикой автономной системы с одной степенью
свободы является ее фазовый портрет. Для неавтоном-
неавтономной системы с периодическими коэффициентами анало-
аналогичную роль играет стробоскопическая картина, обра-
образуемая точками фазовых траекторий в дискретные
моменты времени, отличающиеся друг от друга на вели-
величину, кратную периоду системы. Сдвиг времени на
период определяет преобразование точек фазовой пло-
плоскости. Периодическому решению отвечает неподвиж-
неподвижная точка такого преобразования. Периодическое реше-
решение будет устойчивым, если образ достаточно малой
окрестности неподвижной точки остается малым при
произвольном числе последовательных преобразований;
при этом стробоскопическая картина фазовых траекто-
траекторий, близких к периодическим, дает замкнутые кривые,
окружающие неподвижную точку.
В качестве примера на рис. 18 приведена стробоско-
стробоскопическая картина фазовых траекторий для п2=3, е = 0,2.
По осям отложены угол в и угловая скорость G в пери-
перигее. Неподвижная точка О соответствует устойчивому

102
СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. 2
периодическому решению во- Точки с номером
п= 0, 1, 2, ... получены преобразованием за я периодов.
Начальное положение фазовых точек выбрано на оси в.
На рисунке изображены замкнутые кривые, окружаю-
окружающие неподвижную точку. Видна также устойчивая суб-
субгармоника с периодом
4л — точки Pi и Р2,
переходящие одна в
другую за период 2я.
Точки Si, S2, S3, пере-
переходящие друг в друга
за период 2я, соответ-
соответствуют устойчивой, а
точки Si, S2, S3 — не-
неустойчивой субгармо-
субгармонике с периодом 6я.
Видны также кривые,
окружающие устойчи-
устойчивые точки Ри Р2 и St,
S2, S3. Кривые, окру-
окружающие различные не-
неподвижные точки дан-
данной субгармоники за
период 2л, отобра-
отображаются друг в друга.
Кроме периодиче-
периодических движений относи-
относительно радиуса-векто-
радиуса-вектора большой интерес
представляют периоди-
периодические движения отно-
относительно направления,
неподвижного в абсо-
абсолютном пространстве,
например около на-
направления, параллель-
параллельного большой оси эл-
эллиптической орбиты. Оказывается, что во всей области
Е параметров (/г2, е) существует одно такое 2я-перио-
дическое решение. Порождающим для него является ре-
Рис. 18. Стробоскопическая картина
фазовых траекторий в окрестности
периодического решения ©0 для
л2 = 3ие = 0,2.

§7]
НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЛОСКОСТИ КОЛЕБАНИЯ
103
шение 01 = 0, имеющееся при я2 = 0 и отвечающее посту-
поступательному движению в абсолютном пространстве Fi—
угол между осью инерции спутника и радиусом-векто-
радиусом-вектором перигея орбиты).
0,6 0,8 е
Рис. 19. Линии А = const и область
устойчивости периодического реше-
решения, соответствующего колебаниям
около направления большой полуоси.
Устойчивость этих решений определяется коэффи-
коэффициентом А характеристического уравнения.
На рис. 19 в плоскости я2, е изображены линии по-
постоянного значения А. Область устойчивости соответ-
соответствует той части плоскости, где |Л|<1. Граница этой
области, выделенная на рис. 19 жирной кривой, состоит
из отрезков координатных осей (Л = 1), части верхней

104 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
границы области Е и линии А = — 1, выходящей из точки
(я2 = 0, е—1) и имеющей в этой точке вертикальную
касательную. Часть области Е, лежащая правее и выше
кривой А = — 1, отвечает неустойчивым решениям.
§ 8. МАЛЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СПУТНИКА
ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
В § 1 настоящей главы были выписаны уравнения
движения спутника около центра масс под действием
гравитационных сил: динамические B.1.1) и кинемати-
кинематические B.1.2) — B.1.3), которыми можно воспользо-
воспользоваться для вывода уравнений малых пространственных
колебаний спутника. В случае малых колебаний а==
= 1+г], р'=1+%, y"=1+£, где т), %, £> так же к*к и
а', а", р, р", y» у\ малы по сравнению с единицей. Три-
Тривиальные интегралы дают г]=—у (if ~Ь a' -f- о!'2) и
аналогичные формулы для %, g. Видим, что ц и анало-
аналогично % я1—малые второго порядка; следовательно, мож-
можно положить a = |3/=Y//== *• Далее имеем q — со + х, гдех—
малая первого порядка; компоненты р, г тоже величины
первого порядка малости. Линеаризируем уравнения
B.1.2) — B.1.3) для направляющих косинусов. Получим
r = _a'_(oY', а" = х, р = у'-аа', J ^
Y = — х, а" = — y- J
Теперь система B.1.1) динамических уравнений после
использования выписанных соотношений запишется
в виде
~с
^2.8.2)
Малые плоские колебания выделились, как видим, в от-
отдельное уравнение, не зависящее от поперечных коле-

МАЛЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
105
баний. Отсюда вытекает разумность отдельного рас-
рассмотрения плоских колебаний; такое рассмотрение было
проведено в предыдущих параграфах. Поперечные ко-
колебания (у" и а') взаимозависимы.
Три уравнения B.8.2) имеют переменные коэффи-
коэффициенты, для определения которых следует добавить со-
соотношения B.3.2) эллиптической теории движения
центра масс спутника.
Рассмотрим физический смысл малых углов а', у', а"
(рис. 20). Возьмем орбитальную систему координат xyz
и систему x'y'z' главных
центральных осей инер- z z,
ции спутника. Из рис. 20,
на котором Oei — проек-
проекция Oz' на плоскость zy,
получим, используя ма-
малость а",
о!' = cos / xOzr =
Таким образом, а" опи-
описывает колебания оси zf
«вдоль» плоскости xz ор-
орбиты.
Из интеграла $у +
+ |ЗУ + Р/У==0 для на-
направляющих косинусов в
случае малых колебаний
следует, что у' = —Р". Тогда из рис. 20 получим р" =
= — y' = slnZe2Oz'~ Ze2Oz', где Ое2— проекция Oz' на
плоскость xz. Таким образом, у' описывает колебания
оси z' «поперек» плоскости орбиты. Введем Ое3 — проек-
проекцию О у' на плоскость zy, тогда а'= /.у'О&з. При фикси-
фиксированной оси z' угол а' описывает поворот спутника во-
вокруг оси z'. Из этого рассмотрения виден физический
смысл малых углов. Можно назвать а" углом тангажа,
а а' и у' — соответственно углами крена и рысканья.
При этом a" = G, y' = —4я, аг = Ф, где в, Ч> Ф — углы,
введенные в § 1 главы К
Рис. 20. Определение углов для
ма^ых колебаний.

106
СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОИНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. 2
В случае круговой орбиты будем иметь (о = 0, £=
= со2 = const. Тогда уравнения B.8.2) примут вид
В
а" = 0,
A
•V , 9B — A
В —С
B.8.3)
то есть получим систему линейных уравнений с постоян-
постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение
системы B.8.3) имеет вид
(I2 + п2) (к4 + а№ + Ь) = 0,
А —С
B.8.4)
Для устойчивости движения необходимо, чтобы все
корни характеристического уравнения B.8.4) были чи-
чисто мнимыми, для чего в свою очередь необходимо и
достаточно, чтобы величины п2, a, b, а? — АЬ были по-
положительны, то есть
1°. 1—
2°.
3°. F —е)F—1)>0;
4°. {8 + 3F — е)8 + F—1)F — е)}2—
— 16е(в —е)(в—1)>0; e = -J
B.8.5)
Если не выполнено хоть одно из этих условий, движение
неустойчиво. Если все условия выполнены, движение
устойчиво, но только в линейном приближении. Ура-
Уравнения B.8.3) и условия B.8.5) встречаются в класси-
классической теории либрации Луны, изложенной, например,
в трактате Тиссерана [94], где анализ ограничен рам-
рамками приложения к телу, близкому к динамически сфе-

МАЛЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
107
рическому. В результате этого допущения условия
B.8.5) существенно упрощаются.
Проведем подробный анализ условий B.8.5).
0 0,5 1,0 195 2,0 2,5
ШШ\ область ЦЩ область ШЩ область былолнения
неустойчивости устойчивости необходимых условии
"i устойчивости
Рис. 21. Области устойчивости и неустойчивости.
Рассмотрим плоскость б, г (рис. 21). По физиче-
физическому смыслу моментов инерции имеем:
1+6<е, 1+е>6, е + 6>1. B.8.6)
Имеет смысл рассматривать только ту часть плоскости
е, б, в которой выполнены неравенства B.8.6) (заштри-
(заштриховано на рис. 21).
Г. Пусть 1-е из условий B.8.5) не выполнено. Тогда
е>1; в этой области рассматриваемое движение (отно-
(относительное равновесие) неустойчиво (области неустойчи-
неустойчивости на плоскости е, 6 рис. 21 заштрихованы редкой
косой штриховкой).

108
СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ.
2°. Рассмотрим 3-е из условий B.8.5); если
(б — е) (б — 1)<0, то движение неустойчиво. Это нера-
неравенство выполняется в двух случаях: е>б>1; е<6<1.
Новую область неустойчивости дает лишь второе из
написанных неравенств.
3°. 4-е из условий B.8.5) можно записать в виде
F(e, 6)>0. Области устойчивости и неустойчивости раз-
разграничены кривой F(e, б)=0. Это — кривая четвертого
порядка. Получающуюся отсюда зависимость еF)
можно сосчитать численно в интересующей нас об-
области. Результат расчета приведен в таблице 2.
6
£
0
0
0,1
0,11
0,2
0,22
0,3
0,33
0,4
0,44
0,5
0,55
0,6
0,67
0,7
0,79
0,8
0,92
0,854
1,00
Та
0,9
1,07
блица 2
1,0
1,33=4/3
Обозначим эту кривую е**F). Выше этой кривой
F(ey 6)<0 и движение будет неустойчивым. В малень-
маленькой оставшейся области между кривыми е**(8) и е=6
выполнены условия 1°, 3° и 4° из B.8.5); проверим еще
выполнение 2-го из условий B.8.5). В левой части 2-го
из условий B.8.5) прибавим и отнимем (б — е)е. Тогда
после простых преобразований это условие запишется
в виде
4F — е)е + F— 1) + A _б+еJ>0 B.8.7)
и, как легко теперь проверить, выполняется в узкой об-
области, заштрихованной густой косой штриховкой на
рис. 21. В самом деле, если неравенство B.8.7) превра-
превратить в равенство, то получившаяся кривая, которую
обозначим 8*(б), будет гиперболой, проходящей через
точки
4 2
6=1, £=т и 6 = 0, 8 = -о~.
Ниже гиперболы, вплоть до прямой 8 = 6, выполняется
неравенство B.8.7); поэтому в узкой области, ограни-
ограниченной кривыми е**(б), 8 = 6, е=1, 6+8=1, выполнены

§ 8] МАЛЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 109
все необходимые условия устойчивости. По теореме Ля-
Ляпунова, если движение неустойчиво в первом прибли-
приближении, то оно вообще неустойчиво, то есть в области,
косо заштрихованной на рис. 21, движение неустойчиво.
Необходимые условия устойчивости B.8.5) не являются
достаточными. Поэтому неизвестно, будет ли движение
действительно устойчивым, если параметры взяты из об-
области, заштрихованной косой густой штриховкой на
рис. 21, в которой выполнены условия B.8.5).
Условия B.8.5), как будет показано ниже, выпол-
выполнены еще в треугольнике, ограниченном прямыми 6 = 1,
е=1, 1+е = 6. В этой области движение будет действи-
действительно устойчивым по Ляпунову, так как попадание
точки в эту область означает выполнение условия
В>А>С, которое, как было показано раньше, является
достаточным условием устойчивости.
Докажем, что в указанном треугольнике условия
B.8.5) выполнены (этот треугольник на рис. 21 покрыт
клетчатой штриховкой). Условие 1° (е<1), очевидно,
выполнено. Выполнение условия 2° тоже очевидно, если
его представить в виде B.8.7), так как в рассматривае-
рассматриваемой области 6>1, 6>8. Условие 3° (F—1) F — е)>0),
очевидно, выполнено. Осталось проверить четвертое из
условий B.8.5). Фигурную скобку в этом условии пред-
представим в виде левой части неравенства B.8.7). Тогда
исследуемое условие запишется в виде
С другой стороны, {4F —е)8 + F—1)}2> 168F—8)F—1),
так как это последнее неравенство эквивалентно нера-
неравенству {4F — 8)8 — F—1)}2>0. Значит, выполнено и
исследуемое четвертое из условий B.8.5).
Некоторое дополнение к проведенному анализу усло-
условий устойчивости содержится в § 1 главы 6.
Выписывая теперь решение уравнений малых коле-
колебаний, предположим, что все параметры взяты из об-
области 6>1>е, 1+е>6, так как этого условия доста-
достаточно для устойчивости относительного равновесия.
Для угла тангажа получим
а" = Ао sin (mt + а*), п = ^3 -Ц^- , B.8.8)

110
СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. 2
где Ао и а* — постоянные интегрирования, определяе-
определяемые начальными условиями. Обозначим:
кг = ± )
B.8.9)
Тогда
у' = Д sin (А^со* -f- кх) -f- Л2 sin (Я2со/ -|- х2),
а' = Axkx cos (^jco^ -f- Xj) -f- Л2А2 cos (k2a
k2 =
1 (
c \ T ^
B.8.10)
Здесь Au A2i xi, X2 — постоянные интегрирования, опре-
определяемые начальными условиями. Видим, что углы
крена и рысканья слагаются из двух колебаний с раз-
различными частотами.
Рассмотрим поведение hi и Яг. Ограничимся об-
областью выполнения достаточных условий устойчивости
6>1>8, 1 + е>6. На рис. 22 дана зависимость Xi и Х2
от б при e = const._H3 B.8.9) видно, что Xi>X2, Я2<1
(когда 1+8=6, то Яг = 1). В силу выполнения достаточ-
достаточных условий устойчивости получим еще l<Xi<[2. Та-
Таким образом, рассматриваемые безразмерные частоты
в пространственных колебаниях ограничены и удовле-
удовлетворяют следующим условиям:
0
B.8.11)

МАЛЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
111
Период, соответствующий к2, может быть сколь угодно
большим (при малых Х2).
Рассмотрим еще частоту п B.8.8). Она имеет смысл
там, где 1+е>б. Поэтому частота п ограничена вели-
величиной яГр; я<ягр, причем
2-6
К б < 2.
На рис. 23 даны зависимость я от б при e = const и
2,0 г
z
1
11
\/
W/
у
0J0.
У
//
/
/
У/
V
f
/
У/
/у
s H
У
у
6 С
/^
8 1
у
8
у
f
t,o-
■1»
- £ —
- £ —
:
к
1
0,9
— —
*--
1,0
2,0
Рис. 22. Зависимость безразмерных
частот А,!, Х2 пространственных коле-
колебаний от £ = С/А и 6 = В/Л.
Рис. 23. Зависимость без-
безразмерной частоты п
колебаний от е = С/А и
6 = В/А.
граничная кривая ягр(б). Сплошные отрезки кривых на
этом рисунке имеют физический смысл, пунктирные
физического смысла не имеют. Максимальная возмож-
возможная частота колебаний по углу тангажа, как это
видно из рис. 23, равна nmax=

112
СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ
ГГЛ. 2
§ 9. МАЛЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ
Займемся только поперечными колебаниями по уг-
углам крена и рысканья, так как они не зависят от коле-
колебаний в плоскости орбиты, которые были разобраны
раньше. Введем вместо переменной t переменную v —
истинную аномалию. Используем соотношения B.3.2),
B.3.3) и сделаем в уравнениях B.8.2) подстановку:
у =
B.9.1)
где у и а — новые переменные. Тогда получим:
— da .
d\
е sin v ~
е cos v + Ь\ A + ^ cos v) ~
— (X -
d2у |_ е cos v + й] D + еcos v)
1 -J- ^ cos v
^ sin v 7- ~
— С -
: — в - б — с+А
: —в г б + с — л
~Q
B.9.2)
Первое из уравнений B.8.2) переходит в уже исследо-
исследованное уравнение B.3.8). В уравнениях B.9.2) нет сво-
свободных членов, то есть не будет вынужденных колеба-
колебаний. Но из-за периодичности коэффициентов могут воз-
возникать параметрические резонансы.
В качестве нулевого приближения к решению ура-
уравнений B.9.2) можно взять решение для круговой ор-
орбиты (е = 0). Тогда для малых е можно построить при-
приближенное решение. Выпишем уравнения, разлагая
коэффициенты в ряд по е и сохраняя члены только

§9]
МАЛЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ИЗ
первого порядка малости. Тогда получим систем\
d2v i л~.. т. da
d2a
dv2
Fy = — {a3asin
a =— {acosv —
B.9.3)
Естественно, что решение этой системы корректно
искать с точностью тоже только до первых степеней е.
Если £ = 0, то получаем уравнения для круговой ор-
орбиты. Систему B.9.3) решаем методом последователь-
последовательных приближений. Подставляем решение для круговой
орбиты в правые части и интегрируем неоднородную
систему линейных дифференциальных уравнений с по-
постоянными коэффициентами.
Решение на круговой орбите запишем в символиче-
символическом виде:
Y = -A/ sin "Ф"/, a = ktAi cos Ч^, 4f/ = A^v-)-*^. B.9.4)
(Опущен знак 2 суммирования по 1=1, 2). Найдем Fy
и Fa, подставив B.9.4) в соответствующие выражения
B.9.3). Тогда получим
1
B.9.30
(Снова символическая запись. Это сумма четырех чле-
членов: суммирование по /=1, 2 и по 6=—1, +1.) Теперь
уравнения движения примут вид
B.9.5)
= —%- [kt + 663] COS (¥, + 6V) =
8 В. В. Белецкий

114 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
Нетрудно заметить, что частное решение неоднород-
неоднородной системы B.9.5) можно искать в следующем виде:
у = eMit ь sin (Vi + uv). a = eNit 6 cos (¥/ + fiv). B.9.6)
я определения
.5), получим сис
г-{U + бJ]Mit
Для определения М/,б и jV/,6, подставляя B.9.6)
в B.9.5), получим систему алгебраических уравнений
6 = ^,6. j
Это система восьми уравнений с восемью неизвест-
неизвестными. Каждая пара коэффициентов М^ь, Nitb легко
определяется из системы двух соответствующих линей-
линейных алгебраических уравнений B.9.7). Сумма решений
B.9.4) и B.9.6) и описывает поперечные колебания
в случае эллиптической орбиты (с учетом B.9.1)). Для
амплитуд Mit 6, Ntt ь получим дробно-линейные выраже-
выражения, числитель которых произвольный (из-за произволь-
произвольности постоянных интегрирования Лг), а знаменатель —
определитель D системы B.9.7). Те значения парамет-
параметров системы, при которых D обращается в нуль, яв-
являются резонансными значениями. Если параметры
системы близки к резонансным значениям, то возникает
параметрический резонанс в поперечных колебаниях.
Уравнение D = 0 имеет вид
B.9.8)
Но корни этого уравнения суть х. = №:9 /=1, 2, как
это видно из сравнения с уравнением B.8.4). Следова-
Следовательно, резонансные значения параметров удовлетво-
удовлетворяют одному из соотношений
(Х/±1J = ^; /=1,2, у=1, 2. B.9.9)
Рассмотрим график A,i, ta в зависимости от б при
e = const (рис. 22) и выделим резонансные значения Лг\
1°. Рассмотрим случай i4=\. Тогда из B.9.8) полу-
получим A,i±l = ±X2; А,2±1 = ±Я4, откуда__следует, что B.9.8)
выполняется только при значениях К% и Я2, лежащих на

* 10] СИСТЕМА ГРАВИТАЦИОННОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ Ц5
границе области их определения (рис. 22), на которой
эллипсоид инерции вырождается; этот случай малоин-
малоинтересен. Например, A,i—1=А,2 возможно только при
%2,— 1, Л*1 = 2.
2°. « = /. a) A,i±l = ±A,i. Здесь возможное решение
^1=y не имеет физического смысла, так как A.i>l.
__ 1
б) А,2±1 = ±А,2; возможное решение к2 = является
единственным реальным резонансным случаем на эл-
эллиптической орбите в пространственных колебаниях.
Итак, при значении Ад, близком к -^, возникает пара-
параметрический резонанс.
§ 10. СИСТЕМА ГРАВИТАЦИОННОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ
Проведение научных исследований в межпланетном
пространстве с помощью искусственных спутников часто
требует точной трехосной или одноосной ориентации
спутника на Землю в течение длительного времени.
Применение активных систем ориентации при значи-
значительном времени существования спутника приводит
к ряду трудностей, связанных с большим расходом энер-
энергии или рабочего тела, весом и сложностью этих
систем.
Возможно создание пассивных систем стабилизации
на основе использования свойств магнитных и гравита-
гравитационных полей, эффектов светового давления, сопроти-
сопротивления атмосферы и др. Важное положительное свой-
свойство пассивных систем заключается в том, что эти си-
системы могут функционировать продолжительное время
без расходования энергии или рабочего тела. Наиболее
существенный недостаток пассивных систем — сравни-
сравнительно малая величина управляющих моментов.
В статье Д. Е. Охоцимского и В. А. Сарычева [60]
рассматривается возможность стабилизации спутника
относительно трехгранника#, образованного радиусом-
вектором, трансверсалью и бинормалью к орбите, то
есть относительно орбитальной системы координат.
8*

116 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
Принцип стабилизации основан на использовании опи-
описанного и проанализированного в предыдущих парагра-
параграфах свойства ньютоновского поля сил определенным
образом ориентировать движущееся в нем тело, обла-
обладающее трехосным эллипсоидом инерции. Ниже изла-
излагается указанная статья [60].
Если спутник движется в центральном ньютоновском
поле сил по круговой орбите, то существуют четыре
устойчивых положения относительного равновесия, со-
соответствующие совпадению наибольшей оси эллипсоида
инерции спутника с радиусом-вектором и наименьшей
оси с бинормалью к орбите (рис. 8). Положения устой-
устойчивого равновесия переходят одно в другое при поворо-
поворотах спутника на 180° вокруг радиуса-вектора и бинор-
бинормали к орбите. В абсолютной системе координат по-
положению относительного равновесия соответствует
вращение спутника вокруг бинормали к орбите с угло-
угловой скоростью, равной угловой скорости движения цент-
центра масс спутника по орбите.
При отсутствии внутреннего рассеивания энергии ве-
величина амплитуд малых колебаний спутника относи-
относительно равновесного положения не меняется с тече-
течением времени. Точность стабилизации определяется на-
начальными значениями углов и угловых скоростей
спутника. Введение диссипативных сил в систему пре-
превращает положения устойчивого относительного равно-
равновесия спутника в асимптотически устойчивые. Тогда
амплитуды собственных колебаний, обусловленных на-
начальными значениями углов и угловых скоростей, стре-
стремятся к нулю.
Простейшая схема, позволяющая ввести диссипатив-
ные силы и стабилизировать колебания искусственного
спутника относительно орбитальной системы координат
на круговой орбите, такова. Внутри гравитационно
устойчивого спутника находится центральная сфериче-
сферическая полость, заполненная вязкой жидкостью. Колеба-
Колебательное движение спутника приводит к перемещению
вязкой жидкости относительно корпуса спутника и рас-
рассеиванию энергии. Сферу можно заменить полостью,
образованной двумя сферическими оболочками. Для за-
заданной толщины слоя и плотности вязкой жидкости,

§ Ю1
СИСТЕМА ГРАВИТАЦИОННОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
117
&**-яп Ж—
заключенной между сферическими оболочками, суще-
существует оптимальная вязкость, обеспечивающая макси-
максимальную скорость рассеивания энергии колебаний.
Основной недостаток схемы демпфирования колеба-
колебаний спутника с помощью вязкой жидкости заключается
в том, что для сравнительно быстрого рассеивания энер-
энергии требуется большое количество жидкости, так как
оказывается, что в опти-
оптимальном случае демпфиро-
демпфирования момент инерции жид-
жидкости должен быть сравним
по величине с максималь-
максимальным моментом инерции
спутника. Эффективность
этой схемы несколько повы-
повышается, если поместить
жидкость в замкнутый то-
роидальный объем, распо-
расположенный вне спутника.
Д. Е. Охоцимский в
1956 г. предложил более эф-
эффективную схему стабили-
стабилизации и демпфирования.
Эта схема представлена на
рис. 24. К телу спутника с
помощью сферического
шарнира присоединено вто-
второе тело, которое назы-
называется стабилизатором. Ста-
Стабилизатор выполнен в виде
двух одинаковых по длине жестко скрепленных друг с
другом штанг с равными грузами на концах. Системы
координат OiXitjiZi и О2х2у2^2 суть главные центральные
трехгранники, связанные соответственно со спутником и
стабилизатором. Положение стабилизатора относи-
относительно тела спутника фиксируется центрирующими пру-
пружинами.
Параметры стабилизатора (длина штанг, вес, угол
раствора между штангами) выбираются таким обра-
образом, чтобы при жестком закреплении стабилизатора от-
относительно спутника система спутник — стабилизатор
Рис. 24. Система спутник —
стабилизатор: / — спутник,
2 — стабилизатор, 3 — центри-
центрирующие пружины, Р — сфери-
сферический шарнир.

118 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
была гравитационно устойчивой. В положении устойчи-
устойчивого равновесия системы спутник — стабилизатор
штанги расположены в плоскости орбиты, О^х^\О2х2,
Oiyi\\O2y2 и параллельна касательной к круговой ор-
орбите, OiZi\\OzZ2.
Нежесткое фиксирование взаимного положения спут-
спутника и стабилизатора с помощью упругой связи осу-
осуществлено с целью ввести в систему линейные демп-
демпфирующие члены, используя относительную подвиж-
подвижность спутника и стабилизатора. Практическая реали-
реализация линейного демпфирования в системе спутник —
стабилизатор возможна, например, с помощью магнит-
магнитного демпфера, действие которого основано на ис-
использовании токов Фуко, или жидкостного демпфера.
Подобные демпферы широко применяются в приборо-
приборостроении.
Предлагаемая схема позволяет при любых инерцион-
инерционных характеристиках спутника обеспечить его стабили-
стабилизацию относительно орбитальной системы координат.
В среде без сопротивления форма спутника не имеет
значения. Движение системы определяется инерцион-
инерционными характеристиками спутника и стабилизатора и
координатами сферического шарнира относительно трех-
трехгранников OiXiHiZi И O2X2lj2Z2.
Моменты инерции стабилизатора пропорциональны
квадрату длины штанг, а максимальный размер штанг
определяется лишь требованиями жесткости конструк-
конструкции. Поэтому необходимое для удовлетворительного
переходного процесса соотношение между моментами
инерции спутника и стабилизатора легко обеспечи-
обеспечивается с помощью малых масс на концах штанг за счет
увеличения их длины. В конструктивном отношении
удобны, по-видимому, складные, или телескопические,
штанги либо штанги, выполненные из металлических
лент, свертывающихся под действием сил упругости
в трубки.
Упругую связь между спутником и стабилизатором
можно не вводить, если спутник без стабилизатора
гравитационно устойчив и шарнир расположен на глав-
главной центральной оси, соответствующей среднему по ве-
величине моменту инерции спутника. Роль фиксирующих

§ 10] СИСТЕМА ГРАВИТАЦИОННОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ Ц9
упругих связей в этом случае играют гравитационные
моменты.
Схема системы спутник — стабилизатор на рис. 24
является наиболее простой и в то же время общей, так
как она решает поставленную задачу стабилизации при
любых параметрах спутника. Рассмотрение более слож-
сложных форм стабилизатора ничего нового к этой схеме не
добавляет.
До сих пор речь шла о движении системы спутник —
стабилизатор на круговой орбите в среде без сопроти-
сопротивления. На эллиптической орбите к убывающим по ам-
амплитуде собственным колебаниям добавляются выну-
вынужденные эксцентриситетные колебания, вызываемые
неравномерностью вращения орбитальной системы коор-
координат. Эксцентриситетные колебания происходят в пло-
плоскости орбиты.
Амплитуда эксцентриситетных колебаний пропорцио-
пропорциональна величине эксцентриситета орбиты и зависит от
инерционных характеристик спутника и стабилизатора.
Частота эксцентриситетных колебаний совпадает с ча-
частотой обращения центра масс системы спутник —
стабилизатор по орбите, и, следовательно, угол откло-
отклонения спутника относительно орбитальной системы
координат по времени меняется" очень медленно. Экс-
Эксцентриситетные колебания легко рассчитываются и мо-
могут быть учтены при обработке результатов экспери-
экспериментов, проводимых на спутнике.
При движении спутника на орбитах с высотой, мень-
меньшей 600 кму необходимо учитывать влияние атмосферы,
которое сводится в основном к силам сопротивления,
приложенным в центрах давления спутника и стабили-
стабилизатора и направленным против скорости центра масс
системы спутник — стабилизатор.
Гравитационно устойчивая схема системы спутник —
стабилизатор будет одновременно и аэродинамически
устойчивой при неизменном положении равновесия
спутника и стабилизатора относительно орбитальной
системы координат, если выполнены следующие усло-
условия:
1) оси 0{Р и О2Р (рис. 24) являются осями геомет-
геометрической симметрии спутника и стабилизатора;

120 СТАБИЛИЗАЦИЯ И ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 2
2) и спутник и стабилизатор не являются аэроди-
аэродинамически неустойчивыми;
3) аэродинамическое торможение (отношение силы
сопротивления к массе) стабилизатора не больше аэро-
аэродинамического торможения спутника, то есть спутник
как бы выполняет роль парашюта по отношению к ста-
стабилизатору.
Сформулированные условия являются достаточными.
Эти условия, учитывая гравитационную устойчивость
системы спутник — стабилизатор и наличие упругой
связи, могут быть ослаблены.
На круговой орбите учет сопротивления атмосферы
приводит к увеличению частот собственных колебаний
системы спутник — стабилизатор. Второй эффект воз-
воздействия сопротивления атмосферы на колебания си-
системы связан с увлечением атмосферы вращающейся
Землей и зависит от наклонения и высоты орбиты и
положения центров давления спутника и стабилизатора.
Максимальная амплитуда вынужденных колебаний,
возникающих вследствие вращения атмосферы, как по-
показывают расчеты, не превышает нескольких градусов
и убывает с высотой. Частота колебаний совпадает с ча-
частотой обращения центра масс системы по орбите. Вра-
Вращение атмосферы не влияет на колебания в плоскости
орбиты и сказывается лишь на колебаниях системы,
выводящих ее из плоскости орбиты.
На эллиптической орбите влияние атмосферы Земли
на движение системы спутник — стабилизатор более
сложно, что связано с изменением плотности атмо-
атмосферы с высотой.
При достаточно хорошем знании аэродинамических
сил, действующих на спутник и стабилизатор, колеба-
колебания, обусловленные воздействием атмосферы, могут
быть рассчитаны и учтены.
Следует отметить, что в принципе можно исключить
влияние сопротивления атмосферы на колебания си-
системы спутник — стабилизатор. Для этого достаточно
выполнить спутник и стабилизатор аэродинамически
нейтральными и обеспечить равенство величин их аэро-
аэродинамического торможения. При выполнении этих
условий сопротивление атмосферы сказывается лишь

§ 10] СИСТЕМА ГРАВИТАЦИОННОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ 121
на поступательном движении системы спутник — стаби-
стабилизатор и не влияет на колебательное движение си-
системы.
Требование застабилизировать спутник в заданном
устойчивом положении равновесия накладывает ограни-
ограничения на начальные условия спутника после его отде-
отделения от последней ступени ракеты-носителя. Значения
углов и угловых скоростей спутника должны быть
такими, чтобы в процессе успокоения переход из одного
устойчивого положения равновесия в другое был исклю-
исключен. Если это условие не выполнено, то систему грави-
гравитационной стабилизации следует ввести в рабочий
диапазон с помощью активной системы успокоения,
уменьшающей начальные амплитуды до необходимой
величины. Уменьшение начальной угловой скорости
системы возможно также за счет увеличения ее момен-
моментов инерции в процессе раскрывания штанг стабилиза-
стабилизатора, находившихся до выведения спутника на орбиту
в сложенном состоянии.
Предлагаемая система гравитационной стабилизации
может работать длительное время и не требует при
этом расходования энергии на стабилизацию. Точность
стабилизации спутника определяется лишь точностью
изготовления системы спутник — стабилизатор и в прин-
принципе может быть сколь угодно высокой. Вес стабилиза-
стабилизатора, обеспечивающего оптимальный переходный про-
процесс, при длине штанг, равной удвоенному макси-
максимальному линейному размеру спутника, не превышает
нескольких процентов от веса спутника.
Подробный анализ описанной системы стабилизации
дается в работах В. А. Сарычева (см. [64, 65] и др.).

ГЛАВА 3
ВЛИЯНИЕ ДОБАВОЧНЫХ ФАКТОРОВ
НА СТАБИЛИЗАЦИЮ И ЛИБРАЦИЮ СПУТНИКА
§ 1. ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ
НА СТАБИЛИЗАЦИЮ И ЛИБРАЦИЮ СПУТНИКА
1. Условия устойчивости относительного равновесия.
Плоские колебания. Рассмотрим влияние восстанавли-
восстанавливающего аэродинамического момента (первый член в
A.3.14)) на колебания спутника около центра масс.
В настоящем параграфе для исследования совместного
влияния аэродинамических и гравитационных моментов
удобно будет принять, что осью симметрии поверхности
спутника является ось х'\ тогда k в выражении A.3.11)
есть единичный вектор по направлению оси х\
В орбитальной системе xyz напишем проекции век-
вектора скорости центра масс спутника относительно вра-
вращающейся вместе с Землей (с угловой скоростью w)
атмосферы:
V х = Vo A + е cos v) — wR cos /,
Vy
wR sin / cos u, Vz = Voe sin v,
C.1.1)
Компоненты момента A.3.11) (без диссипативных чле-
членов) по связным осям x'y'z' будут иметь следующий
вид, определяемый с помощью приведенной в § 1 гла-
главы 1 матрицы направляющих косинусов осей х'у'z' и xyz:
= i-pc(by) K{VW+ Vffi"+ Vzi'\,
l -,
Vgy).
cos bv = -I (Vxa +
C.1.2)

ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ
123
При наличии сопротивления Р и е эволюционируют,
то есть зависят от времени. Но изменение параметров
Р, е происходит очень медленно, и для приближенного
рассмотрения на одном или нескольких оборотах можно
принять P = const, £ = const. Так как скорость вращения
атмосферы /?оу~0,5 км/сек на порядок меньше орби-
орбитальной скорости 1/о~8 км/сек, то в первом приближе-
приближении можно принять оу~О. Примем еще е = 0 (круговая
орбита). При сделанных предположениях cos6y = a-
Тогда суммарный момент аэродинамических и гравита-
гравитационных сил имеет по осям x'y'z' компоненты
М*> = 3(о2(Л — C)y"y+ \
Ml = ЗаJ {В — A) yy' — \
) а/,
C.1.3)
I
со
= const, p = const, V = const, j
В рассматриваемом случае будет существовать интеграл
типа Якоби
(a) = Ao, C.1.4)
C.1.5)
Здесь р, q, r — компоненты (по осям tfy'z?) относитель-
относительной угловой скорости вращения спутника. Так как
U(a) = U(l)-±^\a_i(a'2 + a»2 + t?)+ ..., где С =
= 1 — а, то функция h0—U(l) обращается в нуль только
в положении относительного равновесия p = g = r = p =
z=^/ = y = Y = a/ = ar/ = t> = 0 и, кроме того, положительна
при выполнении условия B.1.12) гравитационной устой-
устойчивости и условия
£| C.1.6)
Условие C.1.6) дает
сA)<0.
C.1.7)

124 ВЛИЯНИЕ ДОБАВОЧНЫХ ФАКТОРОВ НА СТАБИЛИЗАЦИЮ [ГЛ. 3
Иначе говоря, для устойчивости относительного равнове-
равновесия спутника достаточно, чтобы спутник был гравита-
гравитационно устойчив и, кроме того, коэффициент аэродина-
аэродинамического момента в невозмущенном движении был от-
отрицателен. Можно считать, что c=x'0Scx, где х'о — коор-
координата центра давления, S — характерная площадь,
сх — коэффициент аэродинамического сопротивления.
Тогда условие C.1.7) эквивалентно условию х'о <0, то
есть для устойчивости достаточно, чтобы центр давления
лежал позади центра масс спутника по отношению к на-
набегающему потоку.
Отметим, что рассматриваемое равновесие не яв-
является единственным устойчивым положением равнове-
равновесия. Приравнивая к нулю суммарный аэродинамический
и гравитационный момент, получим новые условия ра-
равновесия: а' = 0, у'=0, 3cd2(.4 — CW'y + ±pV*c(a)a''==O.
Можно найти такое у" = const ф 1 и соответствующие
значения у, а, а", которые удовлетворяют этому усло-
условию; тем самым найдем новые положения равновесия.
В этом случае одна ось спутника совпадает с нормалью
г 1 4
Рис. 25. Взаимодействие аэродинамических и гравитационных
моментов: / — центр масс, 2 — центр давления, 3 — направление
к центру Земли, 4 — направление полета.
к плоскости орбиты, остальные две повернуты относи-
относительно касательной и радиуса-вектора орбиты.
На рис. 25 изображен спутник, для которого «обыч-
«обычное» устойчивое положение относительного равновесия
не имеет места. В первом из изображенных на рис. 25
положений спутник гравитационно устойчив, аэродина-

§ 1] ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ 125
мически неустойчив. В третьем из изображенных поло-
положений, наоборот, гравитационно неустойчив, аэродина-
аэродинамически устойчив (рис. 25, в). Устойчивым будет неко-
некоторое «косое» положение равновесия (рис. 23,6), про-
промежуточное между положениями, изображенными на
рис. 25, а и рис. 25, в.
Пусть в — угол между осью zr спутника и радиу-
радиусом-вектором орбиты. Тогда уравнение плоских колеба-
колебаний запишется в виде:
ё + п2 sin © cos О — bv sin 0 = 0, C.1.8)
А£ ^^ C.1.9)
(независимая переменная % = (ut). Из этого уравнения
видно, что имеются следующие положения относитель-
относительного равновесия 0 = 6*:
1°. в* = 0, я— старые положения равновесия, суще-
существующие и при наличии только гравитационных момен-
моментов.
К
2°. cos в* = -^ новые положения относительного
равновесия, которые в случае отсутствия аэродинамики
(£у = 0) дают cosO* = 0, в*=±~, то есть вторую
пару гравитационных положений равновесия. Второе по-
положение относительного равновесия имеет место, когда
-~ =|£уг|<1. Заметим, что \bv\ —модуль аэродина-
аэродинамического момента, \п2\—модуль гравитационного мо-
bv
мента, то есть 1у — ~~^ относительное влияние аэро-
аэродинамического момента по сравнению с гравитационным
моментом. Оценим численное значение этого параметра
для разных высот h над поверхностью Земли.
Если с = const, то можно считать, что c = x'QcxS.
Тогда, учитывая, что У = со/?, получим из C.1.9)
lv = kp(/?з+ЛJ, k= fi/? °n • Здесь Из —радиусЗемли;

126 ВЛИЯНИЕ ДОБАВОЧНЫХ ФАКТОРОВ НА СТАБИЛИЗАЦИЮ [ГЛ. 3
h — высота орбиты над поверхностью Земли, р — плот-
плотность атмосферы.
Приведем таблицу изменения gv с высотой для спут-
спутника, имеющего параметры
с = 2;хо =0,5 м; S =
м2
А —С=30 кГ-м-сек2;k =-^ м?/кГ• сек2«О,05м2/кГ• сек2
(см. таблицу 3). В таблице для каждого значения h
приведены значения р в технических (кГ • сек2/м4) и фи-
физических (г/см3) единицах; если приведенные значения
|у по модулю меньше единицы, то приводятся также
значения угла равновесия в*, соответствующего дан-
данному lv.
Таблица 3
h, км
200
225
250
300
400
500
600
720
800
900
р, кГ-сек2/м*
4,52 .ю-;;
2,18 .10""
1,12 -10""
3,61 -10"*
6,75 .10""
2,245-103
6,95 -10""
1.02 .10~14
3.74 • 10~5
1.99 -105
р, г/см*
4,43. иг1;;
2,12.10" 1*
1,10-103
3,53-10" u
6,60-10 5
2.21.10"ь
6,80-10" J°
1,00-10" !
3.67-107
1,95-10~17
97,5
47,4
24,5
8.0
1.55
0.530
0.169
0,026
0.01
0.005
в*
58°
80°
88°,5
89°,3
89°,5
Напомним, что без аэродинамики положение относи-
относительного равновесия было бы в* = 90°, а без гравита-
гравитационных моментов в* = 0.
Зависимость плотности от высоты для высот выше
700 км берется по данным книги Митры [56], а до
600 км — из данных, полученных с помощью ИСЗ [57].
Из таблицы следует, что на высотах 200-^250 км аэро-
аэродинамические моменты преобладают над гравитацион-
гравитационными; при Л = 300-ь 500 км аэродинамические и грави-
гравитационные моменты сравнимы; на высоте 600 км грави-
гравитационные моменты преобладают, а на высотах более
700 км аэродинамическими моментами можно прене-
пренебречь.

§ 1] ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ 127
Выпишем интеграл Якоби для плоского случая, счи-
считая для простоты с = const:
в2 = й — /г2 sin2 в — 2&KcosO. C.1.10)
Здесь теперь 6v = const.
Картину движения удобно исследовать на фазовой
плоскости (G, G). Рассмотрим различные возможные
случаи.
1°. n2>0, bv<0. Допустим n2>\bv\, то есть аэроди-
аэродинамический момент меньше гравитационного момента.
При этих условиях спутник будет аэродинамически и
гравитационно устойчив при в* = 0 (рис. 26). При
в* = я — гравитационно устойчивое, но аэродинамически
неустойчивое положение, поэтому в окрестности этого
значения область устойчивости сужена. В точке Р на
рис. 26, а имеем неустойчивое положение равновесия; в
этой точке cos 0* = —£-. Периоды колебаний в окрест-
окрестности в = 0 больше, чем при наличии только гравита-
гравитационных моментов. Размах колебаний может быть
больше я. Чем больше гравитационные моменты по
сравнению с аэродинамическими, тем шире область в
окрестности точки в = я. Если аэродинамические момен-
моменты увеличиваются, то область около точки я становится
\К\
уже. В пределе при 2 -> 1 область около точки G = n
исчезает. Для случая |6у|>п2 фазовые траектории бу-
будут иметь вид, изображенный на рис. 26, б; колебания
носят «аэродинамический» характер.
Если п2>0, 6у>0, то получим физически аналогич-
аналогичный случай, только центр давления симметрично переме-
переменит свое положение относительно центра масс.
2°. n2<0; bv<0. Тогда при в = 0 спутник гравита-
гравитационно неустойчив, но имеет аэродинамическую устой-
устойчивость. В этом случае, представленном на рис. 25, в%
фазовые траектории имеют вид, изображенный на
рис. 26, в. Новое положение равновесия cos 6* = —^-
устойчиво в этом случае. Положения 6 = 0, я неустой-
неустойчивые. При by —> 0 положения устойчивого равновесия

128 ВЛИЯНИР ДОБАВОЧНЫХ ФАКТОРОВ НА СТАБИЛИЗАЦИЮ [ГЛ. 3
стремятся к | и о-я (случай гравитационных колеба-
колебаний около в = у и 0 = yjr). Если bv увеличивать, то
при bv = n2 снова получим картину рис. 26, б.
п2>0, bv<0,n2>\bv\
Рис. 26. Взаимодействие аэродинамических и
гравитационных моментов. Фазовая плоскость.
Видим, что если аэродинамические моменты меньше
гравитационных по модулю, то гравитационные колеба-
колебания искажаются аэродинамическими колебаниями. Если
же больше аэродинамические моменты, то картина ко-

§ 1] ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ 120
лебаний качественно носит аэродинамический характер.
Иначе говоря, аэродинамические моменты оказывают
большее влияние на качественную картину, чем грави-
гравитационные. Это, как будет показано в дальнейшем (гла-
(глава 8), имеет место и при быстром пространственном
движении около центра масс.
Случай n2<0, bv>0 аналогичен рассмотренному,
только центр давления симметрично перемещен по от-
отношению к центру масс.
Из C.1.10) еще следует, что если &1 < п cos2 в0 +
2
1p в случае 1°
+ 2bvcos&o<2bv<0 в случае 2°, то движение будет иметь
характер колебаний.
2. О малых пространственных колебаниях под влия-
влиянием аэродинамических и гравитационных моментов.
Из предыдущего ясно, что молено так задать параметры
спутника и начальные данные, чтобы осуществлялось
одно из устойчивых положений равновесия: ® = в*, где
®* = 0, я, или совв* = -^-. Рассмотрим малые колебания
около основного устойчивого положения равновесия
0 = 0. Уравнения малых колебаний на эллиптической ор-
орбите получаются линеаризацией моментов C.1.2) и до-
добавлением их к уравнениям B.8.2), переходом к новой
независимой переменной — истинной аномалии v (вме-
(вместо времени t)—и введением новых зависимых перемен-
переменных формулами B.9.1). Тогда получим систему неодно-
неоднородных линейных уравнений с периодическими по v ко-
коэффициентами:
d2Y , е cos v -f- п\ D 4- е cos v) ~ — da
7^~1 Y a
1-fecosv
i a ^^ a = 0,
1 6 1 -f e cos v
C.1.11)
9 В. В. Белецкий

130 ВЛИЯНИЕ ДОБАВОЧНЫХ ФАКТОРОВ НА СТАБИЛИЗАЦИЮ [ГЛ. 3
| е cos v + b\ (I + е cos v) .
1 -\~е cos v
: 1^'ro*v C.1.11)
wR sin /
o v u u A 4- £ cos vK 9 n A — С
Здесь £ = -^3- = p3 —» /г2 = 3—g—.постоянные
fli 2 з, 5i 2 з определяются формулами B.9.2), величины
Vx(v), Vy(v), Vz(v), Ко-формулами C.1.1), C.1.2)
(эти формулы частично использованы в записи уравне-
уравнений C.1.11)). Можно принять р = рлехр (/?—/?я), где ин-
индексом я помечены значения величин в перигее. Для
случая малых аэродинамически устойчивых колебаний
co = const<0.
Уравнения C.1.11) описывают малые колебания спут-
спутника в орбитальной системе координат на произвольной
эллиптической орбите с учетом гравитационных и аэро-
аэродинамических моментов (и с учетом вращения атмо-
атмосферы).
В этих уравнениях величины у, г, а пропорциональ-
пропорциональны, согласно B.9.1), соответственно углам рысканья,
тангажа и крена по отношению к оси z\ которая не яв-
является осью геометрической симметрии спутника (та-
(таковой является ось хг). Угол рысканья для оси z' в не-
некотором смысле эквивалентен углу крена вокруг оси х\
поэтому первое из написанных уравнений не содержит
аэродинамических членов из-за симметрии оболочки
спутника относительно оси х'.
Однородные части первого и третьего из уравнений
C.1.11) в принципе ничем не отличаются от уравнений
без аэродинамических членов (только периодические ко-
коэффициенты усложняются). В правой части третьего из
уравнений C.1.11) появился член, обусловленный вра-
вращением атмосферы; этот член сообщает спутнику выну-
вынужденные колебания. Что касается второго уз уравнений
C.1.11), по крайней мере с точностью до первой сте-

§ 1] ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ 131
пени е, вынужденные колебания угла тангажа, вызван-
вызванные влиянием аэродинамики, будут иметь качественно
тот же вид, что и вынужденные (эксцентриситетные) ко-
колебания, изученные в предыдущей главе. При более
точном рассмотрении вынужденных аэродинамических
колебаний (с точностью до е2 и выше) следует учиты-
учитывать зависимость от эксцентриситета е плотности атмо-
атмосферы р и модуля скорости V. Заметим, что в этом урав-
уравнении содержится член Vvy, появляющийся за счет влия-
влияния вращения атмосферы; таким образом, тангаж свя-
связан с рысканьем. Но эта связь весьма слаба, так как
малы и Vy (скорость вращения атмосферы мала) и у
(колебания по постановке малы). Этот член приводит
к добавочным вынужденным колебаниям, но амплитуда
этих колебаний будет иметь более высокий порядок ма-
малости по сравнению с амплитудой основных колебаний.
Поэтому членом Vyy можно пренебречь.
Выписанные уравнения можно решать и исследовать
теми же методами, что и при наличии только гравита-
гравитационных моментов.
Пусть, например, пренебрегаем вращением атмо-
атмосферы; орбита эллиптическая. Вынужденные колебания
по углу тангажа будут тогда, как это следует из вто-
второго из уравнений C.1.11), в первом приближении иметь
вид
(приближенно £«(D2 = const, K^const, р~ря). Видим,
что аэродинамика несколько изменяет амплитуду и ре-
резонансные значения параметров. Интересно, что аэроди-
аэродинамические и гравитационные вынужденные колебания
могут компенсировать друг друга: при 2ог ^ у ря | с01 -g-
вынужденные колебания в первом приближении отсут-
отсутствуют.

132 ВЛИЯНИЕ ДОБАВОЧНЫХ ФАКТОРОВ НА СТАБИЛИЗАЦИЮ [ГЛ. 3
Если учесть вращение атмосферы, а орбиту принять
круговой (co = const), то уравнения C.1.11) можно напи-
написать в виде
d2yf
dt2
~W
d2a"
dt2
- da' ~
— a2co —^- = 0,
= kT cos u.
o!'= kw y' cos u,
Sin /, tf ==
*•==— ^ 9-^
sin L
C.1.13)
Здесь (оя — угловое положение перигея.
Уравнения поперечных колебаний имеют вид, анало-
аналогичный уравнениям при отсутствии аэродинамических
моментов, только за счет вращения атмосферы доба-
добавился член с kT, вызывающий вынужденные колебания.
Кроме того, тангаж зависит от рысканья (третье урав-
уравнение).
Вынужденные поперечные колебания находятся в
виде
а' —М cos и, y'—N sin a.
Тогда в правой части уравнения для а!' получим выра-
выражение -кШ sxxx'lu и вынужденные колебания в а" бу-
будут иметь амплитуду, пропорциональную kN~w27 то
есть второго порядка малости. Поэтому вынужденными
колебаниями в а" можно пренебречь.

§ 1] ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ 133
Для определения М и N получим обычным образом
систему алгебраических уравнений. Детерминант D си-
системы и выражения для М, N имеют вид
Если ИФОУ амплитуды вынужденных колебаний малы
(порядка kf/a>). Те случаи, в которых D близок к нулю, —•
резонансные. Для спутника с параметрами, близкими
к параметрам 3-го советского спутника, можно получить
следующую оценку амплитуд рассмотренных вынужден-
вынужденных колебаний: jV»0,3°; Af ~2,5°. Уравнение по крену а'
(то есть по рысканью относительно оси симметрии обо-
оболочки) непосредственно содержит «вынуждающую си-
силу», поэтому амплитуда М по крену гораздо больше, чем
амплитуда N по рысканью у' (то есть по крену относи-
относительно оси х'), которая зависит от «вынуждающей силы»
только косвенно, через угол крена.
Так как моменты аэродинамических сил стабилизи-
стабилизируют ось х' геометрической симметрии спутника по на-
направлению набегающего потока и на невысоких орбитах
(до ~400 км) могут на один-два порядка превосхо-
превосходить значения моментов гравитационных сил, то в этих
случаях целесообразно использовать моменты аэродина-
аэродинамических сил для пассивной стабилизации спутника.
Наиболее естественным и целесообразным путем созда-
создания системы пассивной стабилизации представляется
путь сочетания гравитационной и аэродинамической ста-
стабилизации, поскольку, как показывает проведенный ана-
анализ, возможно создать такую конструкцию спутника, в
которой эти два эффекта дополняют и усиливают друг
друга (см. [60, 65], а также § 10 главы 2 настоящей
книги).
Более подробный анализ влияния аэродинамики на
колебания спутника имеется в работах [60, 67, 91].

134 ВЛИЯНИЕ ДОБАВОЧНЫХ ФАКТОРОВ НА СТАБИЛИЗАЦИЮ [ГЛ. 3
§ 2. О ВЛИЯНИИ СЖАТИЯ ЗЕМЛИ
НА ЛИБРАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ
СПУТНИКА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
1. Уравнения движения и их анализ. Сжатие Земли
вызывает медленный поворот плоскости орбиты [61].
В сочетании со стабилизирующим (относительно ор-
орбиты) эффектом гравитационных моментов поворот пло-
плоскости орбиты вызывает вынужденные колебания спут-
спутника относительно этой плоскости. Но эти колебания
очень малы.
Задача о влиянии сжатия Земли на колебания спут-
спутника рассмотрена в [63] следующим образом. Используя
направляющие косинусы § 1 главы 1 между орбиталь-
орбитальной и абсолютной системами координат и кинематиче-
кинематические соотношения Пуассона для этих направляющих ко-
косинусов, а затем используя еще уравнения в оскулирую-
щих элементах движения центра масс спутника в поле
сжатого сфероида [61], можно получить выражения для
проекций ри Яи ft абсолютной угловой скорости враще-
вращения орбитальной системы координат на орбитальные
оси х, у, г в виде
di
da
R2
di
-p •■^5sin2/sin«.
C.2.1)
Положение спутника относительно орбитальной систе-
системы координат определим при помощи трех независимых
углов \Р, в, Ф (см. § 1 гл. 1). Тогда положение подвиж-
подвижной системы Ox'y'z' относительно орбитальной опреде-
определяется направляющими косинусами A.1.3), а компоненты
абсолютной угловой скорости по осям Ox'y'z' будут
C.2.2)
q = W + О cos Ф + г У + Pla'
Г = W

§2]
ВЛИЯНИЕ СЖАТИЯ ЗЕМЛИ
135
Уравнения вращательного движения спутника запишем
в форме Эйлера B.1.1), только заменив их правые ча-
части на компоненты Мх>, Му>, Mz> A.2.10) момента гра-
гравитационных сил. Тогда уравнения Эйлера вместе с
A.2.10), C.2.1), C.2.2), A.1.1) —A.1.3) дают замкнутую
систему уравнений вращательного движения спутника в
гравитационном поле Земли.
Для частного случая движения центра масс спут-
спутника по экваториальной орбите (/ = 0) уравнения вра-
вращательного движения упрощаются и принимают вид
dt
С^т
VixP а„
R2
p",
C.2.3)
На круговой экваториальной орбите для уравнений
C.2.3) существует интеграл типа Якоби
-Ь -у [С (W' + ФJ + А (Фа + в sin ФJ+
= Л. C.2.4)

136 ВЛИЯНИЕ ДОБАВОЧНЫХ ФАКТОРОВ НА СТАБИЛИЗАЦИЮ [ГЛ. S
Из интеграла C.2.4) следует, что относительное равно-
равновесие спутника на круговой орбите, определяемое реше-
решением Чг = 6 = Ф = г1г = @ = Ф = 0, устойчиво, если В>А>С.
Эти неравенства не зависят от е и совпадают с ранее
указанными достаточными условиями устойчивости
B.1.12), полученными при рассмотрении движения в
ньютоновском центральном поле сил.
При помощи интеграла C.2.4) внутри области устой-
устойчивости B.1.12) можно получить оценку для напра-
направляющих косинусов:
у2 >^ —
2Л
Р//2
C.2.5)
Р2<
Для Земли е = 0,0016 и влияние сжатия на величину
оценки не превышает 0,5%.
Рассмотрим малые колебания спутника относительно
орбитальной системы координат в случае произвольного
расположения орбиты в пространстве. Уравнения этих
колебаний получаются из полных уравнений обычной
линеаризацией тригонометрических функций:
C.2.6)
м- R2 -

§21
ВЛИЯНИЕ СЖАТИЯ ЗЕМЛИ
137
и. R2
1р-ф- ш2Ь2,
= - E - А)
-С)
C.2.6)
Ограничиваясь исследованием вынужденного реше-
решения системы C.2.6) внутри области устойчивости B.1.12)
равновесного положения спутника на круговой орбите,
будем искать это решение с точностью только до первых
степеней е и е. Это приближенное решение представляет
собой сумму эксцентриситетных колебаний B.3.9) и
функций Ч^о, Фю, ©10, которые представляют собой вы-
вынужденное решение следующей системы уравнений:
СФ10 + (В - А) со2Ф1О -(С + А-В)
10 =
R2
+ 4 (В
+ (С + Л - В) соФ1О =
= — 5е (В — С)(д2-^ sin 2/ sin со/,
-3(Л — С)со2в1О =
- Л2
= 4е (А — С) со2 -—- sin2 / sin 2co*;
о = const, /? = const.
C.2.7)

138 ВЛИЯНИЕ ДОБАВОЧНЫХ ФАКТОРОВ НА СТАБИЛИЗАЦИЮ [ГЛ. 3
При вычислении 6ю, Ч'ю, Фю в правых частях уравне-
уравнений C.2.7) следует считать е = 0. Определив Ч'ю, ©ю, Фю
из C.2.7), получим искомые суммарные выражения для
Ч**, 0, Ф:
С) + А R\ . .
-D2-sin2i sin со/,
3 (В — С)
0 =
Я
1_С) — 4В
sin
OD
Ф=е
/?э2
-иг sin 2/cos со/.
C.2.8)
— С)
При достаточном удалении от границ области устой-
устойчивости тривиального решения на круговой орбите
(В>А>С) влияние е на вынужденное решение неве-
невелико.
В таблице 4 приведены обусловленные сжатием зна-
значения амплитуд углов W, 0, Ф в зависимости от -g- = -g-
R
—
полагалось
\ A
при t = 65° и -g- = -g-= 0,9. В расчетах
равным единице. Из таблицы видно, что в широком ди-
диапазоне изменения е/б амплитуда колебаний углов не
превышает 127.
Таблица 4
е,
ф,
е/6
мин
мин
мин
дуги
дуги
дуги
0,8
—11,9
— 0,5
7,7
0,7
—9,8
—1,1
5,6
0,6
—8,8
—1,8
4,6
0,5
-8,2
—2,6
3,9
0,4
-7,7
—3,6
3,5
0,3
—7,4
-4,9
3,2
0,2
—7,2
-6,7
3,0
0,1
—7,0
-9,0
2,8
Резонансные явления в первых членах формул C.2.8)
внутри области В>А>С невозможны, так как В>С и
3(Л—С)— АВ<—В.
Второй член в разложении для угла 0, определяемый
эллиптичностью орбиты, исследован в предыдущей
главе.

§ 2]
ВЛИЯНИЕ СЖАТИЯ ЗЕМЛИ
139
При А = В = С спутник вращается с постоянной угло-
угловой скоростью относительно неподвижной в абсолют-
абсолютном пространстве оси. Линеаризованными уравнениями
C.2.6) этот случай не может быть описан.
2. Плоские колебания экваториального спутника
Земли. Рассмотрим случай плоских колебаний на некру-
некруговой экваториальной орбите и сравним эти колебания
с колебаниями на эллиптической орбите. Уравнения дви-
движения центра масс на экваториальной орбите в поле
тяготения сжатой Земли приведены в приложении 2.
После замены независимой переменной t->v с по-
помощью интеграла площадей (П2.2) и уравнения траек-
траектории (П2.5а) из приложения 2 получим из второго
уравнения C.2.3) при р' = 1, p = p// = O, <D = 4j-, ^ = 0
уравнение плоских колебаний в виде
2e • 4a* en a sn a dn a -^ + ti
= 4^ • 4a* en # sn й dn a, a = a*
C.2.9)
6 = 26,
которое в пределе при е->0 (a,->-j, cn^
sn^->siny, dn^->ljпереходит в уравнение B.3.5) пло-
плоских колебаний на эллиптической орбите. Из C.2.9)
видно, что на круговой экваториальной орбите (е = 0)
решение имеет такой же вид, как на круговой орбите
в случае несжатой Земли.
Линеаризуя уравнение C.2.9) для_ случая малых
колебаний, введем вместо б угол в = -^- и сделаем за-
замену
C.2.10)
[сп2 и — sn2 и]

140 ВЛИЯНИЕ ДОБАВОЧНЫХ ФАКТОРОВ НА СТАБИЛИЗАЦИЮ [ГЛ. 3
Тогда для г получим линейное неоднородное уравнение
типа Хилла
d2z "л2 — 4?а♦ [сп2 и sn2 и k? — (en2 и — sn2 и) dn2 и]
^ \+e(cn2u — sn2u) Z~
= 2е • 4а„ en a sn a dn a. C.2.11)
Здесь k — модуль эллиптического интеграла (см. прило-
_ / ~ 1 \
жение 2). В пределе при е->0 (£->0, u*->y и т# д*)
получим из C.2.11) уравнение B.3.8) малых колебаний
на эллиптической орбите. Найдем приближенно выну-
вынужденные (эксцентриситетные) колебания. Будем искать
только первый член разложения частного решения урав-
уравнения C.2.11) в ряд по эксцентриситету. В силу мало-
малости сжатия Земли е заменим эллиптические функции
их приближенными значениями: sn# ^ sin -^-, сп а ж
~ C0SF » dn w« 1, где К — полный эллиптический инте-
интеграл первого рода. В этих предположениях эксцентриси-
эксцентриситетные колебания найдутся из уравнения
Отсюда, учитывая еще C.2.10), получим для эксцентри-
ситетных колебаний
sin—тг—
в, = -^— 5-^- , C.2.12)
По формулам приложения 2 можно пред ста вить а# в виде
~1/г2—./?2~ _
а* = "]/ 1 "~"Je ргC~^) • в пределе при е-*0,
л/ 1
а,,-* -^ , 2/С~>я получим первый член B.3.9) эксцентри-
ситетных колебаний на эллиптической орбите. Видим,
что за счет сжатия Земли несколько изменилось резо-
резонансное значение параметра п2. Формула C.2.12) дает
для случая экваториальной орбиты более точный ре-
результат, чем вторая из формул C.2.8).

§ 3] МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И СВЕТОВОЕ ДАВЛЕНИЕ 141
§ 3. О ВОЗМОЖНОСТИ СТАБИЛИЗАЦИИ СПУТНИКА
ОТНОСИТЕЛЬНО МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ
И СТАБИЛИЗАЦИИ НА СОЛНЦЕ МОМЕНТАМИ СИЛ
СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ
1. О стабилизации относительно магнитного поля,
Если спутник обладает собственным магнитным полем
с магнитным моментом /, то действующий на спутник
момент сил, как видно из A.4.1), будет равен нулю,
если вектор / параллелен вектору напряженности Н
внешнего магнитного поля. Отсюда следует принципи-
принципиальная возможность ориентировать и стабилизировать
спутник относительно магнитного поля Земли, подобно
тому как ориентируется стрелка компаса. Учитывая, од-
однако, что вектор Н неравномерно вращается вдоль ор-
орбиты спутника, следует ожидать, что точную ориента-
ориентацию осуществить, вообще говоря, нельзя, так как будут
иметь место вынужденные колебания оси / относитель-
относительно Н вследствие неравномерного вращения вектора Я.
Рассмотрим этот эффект в простом случае плоских ко-
колебаний на полярной (/==90°) круговой орбите (считая,
что магнитные полюсы Земли совпадают с географиче-
географическими). Отметим, кстати, что для экваториальной ор-
орбиты имеем, согласно A.4.7), #=const. Поэтому ориен-
ориентация спутника по магнитному полю может быть осу-
осуществлена точно. Для полярной орбиты в случае
плоских колебаний имеем уравнение
B^L = — {/0-f ая#cos фя} //sin <ря, аи = ^° ~l v.
C.3.1)
Здесь фи — угол между осью z' симметрии спутника и
вектором //; величина Я, как следует из A.4.7), будет
(при t = 90°, R = Rq) равна
C.3.2)
Рассмотрим движение во вращающейся системе ко-
координат, одна из осей которой совпадает с Н. Тогда
относительная (<7оти) и переносная (<7пер) угловые

142 ВЛИЯНИЕ ДОБАВОЧНЫХ ФАКТОРОВ НА СТАБИЛИЗАЦИЮ [ГЛ. 3
скорости вращения будут
о 1 4- sin2 и /о о о\
?отн = Фя > ?пер = Л» 1+3sin2a » (О.6.6)
где co = const — угловая скорость движения центра масс
спутника.
Подставляя 9 = <7отн + <7пер в C.3.1), учитывая C.3.3),
получим уравнение плоских колебаний спутника отно-
относительно магнитной силовой линии в виде
ф" + ~в V°H sln ф" + анН*sln ф" cos
Для рассматриваемого случая u = (o(t — /*), где /* — мо-
момент прохождения экватора. Видим, что даже на кру-
круговой орбите уравнение колебаний имеет переменные
(периодические) коэффициенты (за счет периодичности
Н (и) вдоль орбиты) и правую часть, появляющуюся в
результате неравномерности вращения Н вдоль ор-
орбиты. Эта периодическая правая часть сообщает оси
спутника вынужденные колебания относительно магнит-
магнитной силовой линии.
Для оценки характеристик вынужденных колебаний
линеаризуем уравнение C.3.4) и заменим переменные
коэффициенты некоторыми постоянными значениями.
Получим
фя-Ь /^фя = £осо2 sin 2#, ##=тг (Л/^+ ан1
C.3.5)
В C.3.5) черта над Я и Я2 означает осреднение по и.
Вместо правой части уравнения C.3.4) взята синусо-
синусоидальная функция с теми же частотой и максимальной
амплитудой колебаний, что и в правой части C.3.4).
Тогда, как легко получить из C.3.5), вынужденные ко-
колебания будут описываться формулой
^?. C.3.6)
Таким образом, период вынужденных колебаний равен
половине периода обращения спутника по орбите; в вы-

§ 3J МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И СВЕТОВОЕ ДАВЛЕНИЕ 143
нужденных колебаниях наступает резонанс при /гн~2со.
Если значения параметров не близки к резонансным, то
колебания спутника относительно направления магнит-
магнитной силовой линии будут достаточно малы. Пусть, на-
например, на спутнике установлен постоянный магнит с
/0=104 гс • см3 (что вполне реально); примем // = 0,3 гс,
В=\0 кем2, радиус орбиты R0 = 7000 км. Тогда Ан^
~0,1^6°. Проведенный анализ показывает возможность
по крайней мере приближенной ориентации спутника по
магнитному полю Земли. При такой ориентации ось
спутника отслеживает направление, которое совершает
два полных оборота за один период обращения спутни-
спутника по орбите.
2. Стабилизация на Солнце моментами сил светового
давления. Рассмотренные в главе 1 моменты сил свето-
светового давления могут стабилизировать спутник по напра-
направлению на Солнце. Рассмотрим, например, космический
аппарат, движущийся по орбите вокруг Солнца. Будем
считать, что возмущения в орбите пренебрежимо малы
и орбита является круговой. Момент, действующий на
такой спутник Солнца, примем в виде A.5.6), A.5.7) и
рассмотрим плоское движение спутника под действием
этого момента. Уравнение плоских колебаний имеет вид
В1ЙГ + A5 (cos 8*) zo (cos 8*)sin es = °- <3-3-7)
Для оценки стабилизирующего эффекта примем Sz'0 =
= const. Тогда интегрирование уравнения C.3.7) дает
интеграл энергии в виде
~ — ~^cose, = £0. C.3.8)
Отсюда обычным образом получается максимально до-
допустимое значение начальной угловой скорости: £°тах =
Если ^>е^тах, то спутник будет вра-
вращаться непрерывно в одном направлении. При ^<е^тах
возможна стабилизация: спутник может совершать ог-
ограниченные колебания около направления на Солнце,

144 ВЛИЯНИЕ ДОБАВОЧНЫХ ФАКТОРОВ НА СТАБИЛИЗАЦИЮ [ГЛ. 3
Возьмем значение светового давления равным зна-
чению на орбите Земли: рс = 4,72- 10~8 ^-, а парамет-
параметры спутника выберем такими: Sz^ = 1 ж3; В= 10 кГм • сек2.
Тогда оказывается ^тах = 0,0186°/^/с, что состав-
составляет достаточно ощутимую величину, чтобы можно
было говорить о практическом использовании светового
давления для стабилизации спутника. Один из вариан-
вариантов такой стабилизации рассмотрели О. В. Гурко и
Л. И. Слабкий в работе [26], где предложено использо-
использовать совместно гравитационный и световой стабилизи-
стабилизирующие эффекты. В работе [42] А. А. Карымов исследо-
исследовал условия устойчивости относительного равновесия
осесимметричного спутника в поле сил светового
давления.

ГЛАВА 4
О ВЗАИМОСВЯЗИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО
И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ СИЛ
Если тело, движущееся в ньютоновском центральном
поле сил, не является материальной точкой, а является
твердым телом конечного размера, то его поступатель-
поступательное и вращательное движение, строго говоря, взаимо-
взаимосвязаны; центр масс тела движется не по кеплеровой
траектории.
Для реальных спутников эта взаимосвязь очень сла-
слабая. Поэтому при исследовании движения спутника
около центра масс естественно предположить, что посту-
поступательное и вращательное движения не взаимосвязны
и центр масс движется по кеплеровой орбите. Эта поста-
постановка, которую можно назвать ограниченной, обычно и
применяется при исследовании вращения небесных тел.
Такая постановка применяется и в других главах этой
книги.
Тем не менее задача о взаимосвязном поступательно-
вращательном движении благодаря строгости общей по-
постановки представляет существенный теоретический ин-
интерес и исследование этой задачи может в дальнейшем
пригодиться для развития и уточнения некоторых тео-
теорий небесной механики, например теории движения
Луны. Представляют интерес, конечно, и различные
оценки эффектов взаимосвязности поступательного и
вращательного движений для искусственных спутников
Земли.
Задача о поступательно-вращательном движении в
последнее время привлекла внимание многих авторов
как в СССР [10, 11, 29, 30, 44, 45], так и за рубежом
[83, 92].
\0 В. В. Белецкий

146 ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 4
§ 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ИХ ПЕРВЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Рассмотрим задачу о движении твердого тела в
ньютоновском центральном поле сил в самом общем
виде.
Пусть неподвижный гравитирующий центр С нахо-
находится вне твердого тела._Свяжем с точкой С неподвиж-
неподвижную систему координат XYZ, а с центром масс тела —
подвижную систему x'y'z', оси которой направлены по
главным центральным осям инерции тела. Взаимополо-
Взаимоположение этих систем определим таблицей направляющих
косинусов, приведенной в § 1 главы 1, и координатами
XoYoZo центра масс тела. Силовая функция U действия
гравитирующей точки на тело определится интегралом
A.2.3), A.2.5). Если размеры тела малы по сравнению
с расстоянием до притягивающего центра, то есть
/ = у х'2 + у'2 + z'2 <С1 /?, то силовую функцию можно
представить в виде A.2.7) при х'о — ^ = г^ = 0. Заметим,
что в реальных случаях вполне достаточно для U рас-
рассматривать приближенное значение A.2.7), так как от-
отбрасываемые члены очень малы. Для Луны -д-= 0,0045,
для искусственных спутников -^ = 10~4-г-10~6. Такие эф-
эффекты, как размеры областей устойчивости в устойчивом
движении, величины возмущений, выводящие движение
из колебаний около устойчивого положения, и т. д., бу-
будут отличаться в точном случае от приближенного слу-
случая на величины порядка -^, то есть будут весьма малы.
Если же требуется большая точность (как это может
быть, например, в теории движения Луны, где отбрасы-
отбрасываемые члены дают ~0,5% от основных членов), то сле-
следует рассматривать более точное значение U, например
определяемое формулами A.2.3), A.2.5). Имея это в
виду, в дальнейшем повсюду под U будем понимать
либо точное выражение A.2.3), либо приближенное
A.2.7) (в последнем случае положим x'Q = y'Q = z'Q = 0).

1] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ИХ ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 147
Уравнения движения имеют вид
М-
dt2 dXQ
dP dYQ
'-■&• <«■•>
dp_
dt
dq
A^ + (C-B)qr=Mx-,
D.1.2)
Как известно, если силовая функция U зависит от всех
абсолютных направляющих косинусов, то компоненты
момента сил имеют вид
м _ dU ~ dU ~ dU ~ dU ~
_ dU ~ dU
iui = —XT- (Xi xr"
y da3 l da,
dU s
dU - dU
ду2 дуг
dU s ,
dU ~ dU ~ x dU ~ dU -
D.1.3)
В относительных направляющих косинусах (y, /» Y")
те же компоненты принимают вид A.2.4), а для прибли-
приближенного значения A.2.7) силовой функции (при х^=у'0=
= 2q = 0)— вид A.2.2). Уравнения D.1.2) замыкаются
кинематическими соотношениями Пуассона
!.
U\>\ --_ f-ft /jft aYl -__. i-y Qy,
dt
4f = gyl-py2.
D.1.4)
10*

148 ПОСТУПАТЕЛЬНО ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 4
Уравнения D.1.1) —D.1.4) имеют четыре первых инте-
интеграла, вывод которых не представляет трудностей и
дается, например, в [И].
Кинетические энергии движения центра масс и дви-
движения около центра масс неразрывно связаны одним
интегралом энергии, так что имеет место «перекачка»
кинетической энергии поступательного движения в энер-
энергию вращательного движения и обратно (учитывая, ко-
конечно, взаимосвязность и с потенциальной энергией U).
Интеграл энергии имеет вид
.5)
Существуют еще три интеграла кинетического мо-
момента:
М (Г0Е0 - Zofо) + Лра, + Bq^ + Cra3 = Lv D.1.6)
^ - XX) + Ых + Bqfo + Сгрз = Ц, D.1.7)
-^0L-^,+ Bq~b + Cr~b = L3. D.1.8)
Уравнения движения имеют, конечно, еще и тривиаль-
тривиальные интегралы — соотношения между направляющими
косинусами. Нам понадобятся следующие два из три-
тривиальных интегралов:
-i=o, DЛ-9)
2-1=0. D.1.10)
§ 2. ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ —
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ
Будем теперь искать следующее частное решение си-
системы D.1.1) — D.1.4): движение центра масс спутника
по круговой орбите радиуса R с постоянной угловой
скоростью со и относительное равновесие тела, а именно
расположение главных центральных осей инерции тела
по радиусу-вектору, касательной и бинормали круговой
орбиты во все время движения.

§ 2] ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ 149
Такое движение представляет интерес хотя бы по-
потому, что оно является идеализацией реально суще-
существующих в природе движений, например движения
Луны относительно Земли.
Если по радиусу-вектору направлена ось zr (ось мо-
момента инерции С), а по нормали к плоскости орбиты —
ось у' (ось момента инерции В), то указанное движение
запишется так:
~ ~ J D.2.1)
Y = Y' = Pi = Рз = 0, / = р2=1, J
/? = /?о. % = 0> Фя = 0, Фя = 0, /? = 0, D.2.2)
причем в D.2.2) введены_сферические координаты центра
масс Ry фя, г|)Д, так что X0 = R cos tyR sin фН, Yo=R sin г|)д,
Zq=R cos tyR cos фд. Движение происходит в плоскости
XZ. Из уравнений Эйлера D.1.2) с моментами D.1.4)
видно, что для существования такого движения нужно,
чтобы
Индекс 0 означает, что величины рассматриваются вдоль
решения D.2.1) — D.2.2).
Далее, анализ кинематических соотношений D.1.4)
и уравнений D.1.1) движения центра масс с учетом ус-
условия D.2.3) показывает [11], что для движения D.2.1),
D.2.2) должно быть
,_ 1 (d(J\
~" MRo\dR)o'
Следовательно, должно выполняться условие
(жH < Ов D<2*5)
Условия D.2.3) —D.2.5) являются необходимыми и до-
достаточными условиями существования движения D.2.1),
D.2.2). Отметим, что условия D.2.3) суть условия су-
существования условного экстремума U в рассматривае-
рассматриваемом движении по переменным у, у'у у", на которые на-
наложена связь D.1.10). Условие D.2.5) показывает, что
действующая сила — притягивающая. Формула D.2,4)

150 ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 4
определяет угловую скорость движения центра масс
тела, так что период обращения
V MR0
~MRo\dR)o
(обобщение третьего закона Кеплера). Для приближен-
приближенного значения A.2.7) силовой функции U из D.2.6) по-
получим
3 А + В — 2С
D.2.7)
откуда видим, что период Т отличается от кеплерова пе-
-Д-) , где / — размер
тела. Для малых тел, следовательно, отличие очень
мало, как и все эффекты взаимозависимости поступа-
поступательного и вращательного движений. Естественно, что
для достаточно больших тел отличие от кеплерова дви-
движения может быть существенным. Как указал Г. Н. Ду-
бошин в своем выступлении на конференции в ГАИШ
A962), центр масс тела, движущийся по круговой ор-
орбите, может иметь скорость, которая была бы гипербо-
гиперболической, если бы вся масса тела была сосредоточена
в его центре масс.
Примеры. Рассмотрим движение по круговой ор-
бите тела типа гантели. Пусть полудлина гантели /,
масса, закрепленная на конце гантели, т\ массой стерж-
стержня пренебрежем. Центр масс гантели может двигаться
по круговой орбите в трех случаях: ось гантели на-
направлена по радиусу-вектору, или по касательной к ор-
орбите, или по нормали к плоскости орбиты (по термино-
терминологии Г. Н. Дубошина — «спица», «стрела» и «попла-
«поплавок»). Если косинус угла между осью гантели и радиу-
радиусом-вектором обозначить y» то силовая функция будет
l/l2+j R
Здесь R — расстояние от центра притяжения до центра

§2]
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ
151
масс гантели. Далее,
>" —Elf Г - +.
dR
_ а Г Y_+"_ I~~V 1 1
L A + 2aY + a2K/2 A - 2aY + a2K/3 J j '
Главные центральные моменты инерции таковы: про-
1.8
1,6
К*
1—
/
-/
/ 1
'О 0J 0,2 0,3 0,4 03
О 0,1 0,2 03
Рис. 27. Зависимость квадрата отношения
скорости V к круговой скорости Vo от пара-
параметра a = l/R: а) для случая «спицы»; б) для
случаев «поплавка» и «стрелы».
дольный равен нулю, а два поперечных равны 2т/2 ка-
каждый. Рассмотрим теперь величину V скорости центра
масс гантели на круговой орбите. Согласно D.2.4)

152 ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 4
I/2 == 7?оо>2 = — /?о-^- (^"H' где М = 2т. Будем рассма-
рассматривать отношение квадрата скорости V к квадрату кру-
круговой скорости Vo на орбите радиуса Ro:
p4
Г — ( v\2 ^ у2 — °
^ \V0) \i
M\i
1°. «Спица». В этом случае у=1,
Видим, прежде всего, что отличие от кеплерова движе-
ния имеет порядок даже не а =-^-, а а2 = 1-^-1 , то есть
для малых тел пренебрежимо мало. С другой стороны,
видим, что для достаточно больших тел скорости сильно
отличаются от круговых. При а = 0,47 ^ = 2, то есть
скорость будет параболической. Однако для этого надо,
чтобы тело имело размеры порядка размеров орбиты!
На рис. 27, а изображена зависимость С (а).
2°. «Поплавок» и «стрела». В этом случае у — О»
и скорость всегда меньше круговой (рис. 27,6).
§ 3. О ТЕЛАХ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ
УСЛОВИЯМ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
Следует отметить, что для приближенного значения
A.2.7) силовой функции U условия D.2.3) выполнены
тождественно. Если рассматривать точное значение
A.2.3) — A.2.5) силовой функции, то условия D.2.3) бу-
будут обозначать равенство нулю следующих интегралов

§ 3) УСЛОВИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ 153
по объему тела:
D.3.1)
Можно указать большое количество тел, для которых
условия D.3.1) выполнены точно (см. ниже). Если ус-
условия D.3.1) точно не выполнены, то, поскольку при-
приближенно они выполнены всегда, неточность их выпол-
выполнения для реальных малых тел будет мала. За счет этой
неточности будут вноситься малые постоянно действую-
действующие возмущения, порядок малости которых ясен из вы-
вывода приближенного значения A.2.7) для силовой функ-
функции U.
Условие D.2.5) для реальных случаев всегда выпол-
выполнено, так как оно выполнено для главного члена разло-
разложения £/, а остальные члены малы по сравнению с глав-
главным и не могут нарушить неравенство D.2.5). Условием
D.2.5) заниматься не будем, а перейдем к рассмотрению
некоторых тел, точно удовлетворяющих условиям D.2.3)
или, что то же, условиям D.3.1). Введем сферические
координаты в системе осей x\y\z\ связанных с телом:
х' = р' sin 9' sin q/, у' = р' sin 9' cos q/, zf = p' cos 9'.
Тогда
1 T _
*м, 2
Ф2 ^(ф ) P2 (в » Ф )
= f dy' f d%' f F(p', 9')a(p', 0', q>') sin<p' dp'.
*/ e/ e/ COS ф
' J ( '\ ' (t\' '\
Ф1 01 \ф / Pi \y > Ф /
Здесь Ftf, 90 = ^^ sr. o{p\ 9'f <p')-
(^ + 2^p'cose' + p'2)
закон изменения плотности тела. В частности, для
односвязного «выпуклого» тела будем иметь р{ = 0,

154 ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 4
p'2 — p'2(Q\ ф') — уравнение поверхности тела; cpj^O,
Наложим теперь условие, что тело «замкнуто» по ф',
то есть интегрирование по ф' происходит в полных пре-
пределах от 0 до 2я (шар, эллипсоид, тор и т. п. тела, даже
«подковообразные» тела, если ось z' пересекает обе дуги
«подковы»). При этом условии преобразуем интегралы
следующим образом:
2л Л 2л
J / (ф') rfq/ = J f (ф') dtf + f f <q>') d<(f =
О О Л
о
где <p" = q/ — я. Тогда
Ц
/* /7(р/, в')о(р', в',
Р; (в',,')
W f F(p', в')
Х
Из этих выражений для Л (с sin ф' под интегралом) и
для /2 (с cos ф") сразу видно, что если форма тела та-
такова, что
qo, D.3.2)
/=1, 2,
и если распределение плотности подчиняется аналогич-
аналогичному закону, то есть
я) = 5(р/, в', ф"), D.3.3)

УСЛОВИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
155
то получим /i = 0, /2 = 0, то есть условия D.3.1) или
D.2.4), что то же, выполнены точно. Таким образом,
тело, обладающее в форме и плотности определенной
симметрией относительно своих главных центральных
осей инерции, удовлетворяет условиям D.2.4) существо-
существования относительного равновесия. Условия симметрии
D.3.2), D.3.3)—довольно слабые условия. На рис. 28
Рис. 28. Пример тела, удовлетворяю-
удовлетворяющего условию симметрии: а) сечение
плоскостью zf = const; б) сечение
плоскостью, проходящей через ось zf.
приведен пример тела, удовлетворяющего второму из
условий D.3.2) (изображение сечения тела плоскостью
2/ = const и сечения, содержащего ось z'). Как видно,
условие означает, что тело имеет одну ось симметрии.
Любое сечение, содержащее эту ось, симметрично отно-
относительно этой оси; но различные сечения не тождествен-
тождественны друг другу, так что тело, вообще говоря, не является
телом вращения.
Можно отказаться от наложения условий на форму
тела. В самом деле, интегрирование можно- распростра-
распространить на некоторую часть пространства, заведомо удовле-
удовлетворяющую условиям D.3.2) и включающую в себя
объем пространства, занятый рассматриваемым телом.

156
ПОСТУПАТЕЛЬНО- ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. 4
При этом плотность вновь получившегося тела а Ф О,
если рассматриваемая точка принадлежит твердому
телу, и 5=0 в противном случае. Если распределение
таким образом опреде-
определенной плотности удо-
удовлетворяет требованию
D.3.3), то условия D.2.4)
для рассматриваемого
твердого тела будут вы-
выполнены.
Физически условие
D.3.3) означает, что рас-
распределение плотности в
теле имеет одну ось сим-
симметрии (в вышеуказан-
вышеуказанном смысле) — ось z'. По
самому определению си-
системы координат x'y'z'
ось симметрии должна
совпадать с одной из
главных осей инерции
тела. В относительном
равновесии эта ось на-
направлена по радиусу-век-
радиусу-вектору орбиты.
Очевидно, что найден-
найденному условию могут удо-
удовлетворять разнообразные тела, имеющие три неравных
главных центральных момента инерции (А ф ВФ С).
Проверим это на простом примере.
Пример. Пусть тело представляет собой три пер-
перпендикулярных друг к другу стержня полудлин 1и /2, /з,
на концах которых укреплены попарно равные массы
Ши пт>2, #*з, так что массы, укрепленные на данном стерж-
стержне, равны друг другу, но не равны массам, укрепленным
на других стержнях. Стержни пересекаются в их сере-
середине, и /i направлено по оси z тела, k — по у и /3 — по х
(рис. 29). Если пренебречь массой стержней, то рассма-
рассматриваемое тело представляет собой сумму дискретных
масс; поэтому силовая функция дается следующей
/77,
Рис. 29. Пример тела с неравными
главными центральными момен-
моментами инерции, удовлетворяющего
условиям существования относи-
относительного равновесия.

§ 4] УСТОЙЧИВОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ 157
суммой:
= 3
У{ 1 ! \.;i D.3.4)
где обозначено: а/ = -~-; <y1 = y"> Y2 = y'> Y3 = Y-
Для рассматриваемого тела три главных централь-
центральных момента инерции не равны. Можно потребовать, на-
например, чтобы 5>Л>С, то есть чтобы lint\ > /Зягз > й.т^
Очевидно, U и Ш{ всегда можно выбрать так, чтобы
эти условия выполнялись. Условия D.2.3) существова-
существования относительного равновесия выполнены. В самом
деле,
J L_Ua
D.3.5)
В невозмущенном движении уг = 0> / = 2, 3, (y1 = U» так
что имеем (—г) =0, что и требовалось доказать.
V^Y /о
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
Движение D.2.1), D.2.2) примем за невозмущенное
и будем искать его устойчивость. Возмущенное движе-
движение тогда описывается параметрами
D.4.1)
Pi Рз
Y Y'
Возмущенное движение, при использовании сфериче-
сферических координат /?, \|)Д, фД центра масс, будет иметь

158 ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 4
следующие интегралы. Из D.1.5) получим
/^ = У^2 -f- 2/?0со2А + 2<в/?^/ + ю2 А2 — (о2/?2,^ -f- /?2г/2 -+-
+ 4w/?o Ay + /?о^л "Ь А?1 ~Ь 25(ол: + fix2 + С г2 —
_2\dU к . «W .. . ^ ../ г Ш г , 1
2 ^y2
VL —I • Vi
) = const. D.4.2)
Из D.1.7) будем иметь
+ 5сот] + Вхц + СгРз + о C) = const. D.4.3)
Интегралы D.1.9) и D.1.10) принимают вид
D.4.4)
В выражениях D.4.2), D.4.3) приняты следующие
упрощающие обозначения:
ч U Л В С тт л г,
а) вместо -^ , -др -^, -ду записано снова f/, л, В,
С; в дальнейшем следует помнить, что эти величины
обозначают соответственно силовую функцию и главные
центральные моменты инерции, отнесенные к массе тела;
б) все производные от U взяты в невозмущенном
движении, то есть при /? = /?о, v = v/ = 0, y"=1; таким об-
W ( ди\
разом, например, -gjr обозначают l-jnrj и т. д.;
в) оC), оC) в выражениях для J*i и А обозначают
совокупность членов выше второго порядка малости.
Согласно известным теоремам [54, 74], для устой-
устойчивости невозмущенного движения достаточно сущест-
существования знакоопределенного интеграла уравнений
возмущенного движения. Будем искать такой интеграл
в виде следующей квадратичной связки интегра-

§ 4] УСТОЙЧИВОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ 159
лов D.4.2) — D.4.4):
L = A-2<*f2 + gV2 + tVz+^fl D.4.5)
Здесь k0 — некоторая постоянная величина, a g и / —
функции; выбором kOj f и g займемся позднее.
Функция Ляпунова D.4.5) будет положительно-опре-
положительно-определенной, если она не будет содержать членов первого
порядка, а квадратичная форма, образуемая членами
второго порядка, — положительно-определенная. Члены
третьего и более высоких порядков не влияют на знако-
знакоопределенность L. Так как
6U . d2U дЩ ,
ду» "г ^Y дуп У -+- ду, ду,> У
1 (PU дЦ\ дЩ
f = tfB + <*Bx - ^ B/?0o)A + Rly + Bx).
то условия ее положительной определенности и будут
достаточными условиями устойчивости невозмущенного
движения D.2.1), D.2.2).
Выберем теперь g и / следующим образом:
D.4.6)
Благодаря такому выбору / и g в функции Ляпунова L
D.4.5), во-первых, исчезают линейные члены (с учетом
еще условия D.2.3)); во-вторых, члены второго порядка
содержащие £; в-третьих, члены второго порядка, содер-
содержащие т], за исключением члена с т]2; наконец, благо-
благодаря выбору функций g и f квадратичная форма, вхо-
входящая в Ly приобретает невырожденный вид и может
быть сделана положительно-определенной. В силу
всего сказанного функция D.4.5) принимает следую-
следующий вид:
-О2 —!
Ах + 2с23ух + о C). D.4.7)

160 ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 4
Здесь оC) содержит только члены выше второго по-
порядка малости относительно возмущений, а коэффи-
коэффициенты Cij имеют следующие значения:
dU
D.4.8)
Эта квадратичная форма D.4.7) распадается на три
части. Первая строчка D.4.7) содержит две однотипные
квадратичные формы, положительно-определенные, если
В > Л, В > С. D.4.9)
Вторая строчка содержит только существенно положи-
положительные члены, если k0 выбрано положительным, что и
будем предполагать. Тогда и с3з>0. Остальные члены в
D.4.7) в общем случае не распадаются на более про-
простые квадратичные формы, и поэтому их нужно анали-
анализировать совместно. Матрица квадратичной формы, со-
содержащей эти члены, такова:
А у х у /
^11 ^12 ^13 ^14 ^15
х с" с" с" О О D-4Л0)
х ИЗ ^23 ^33 и и
Y с1А 0 0 с4,с45
У' с\5 0 0 сАЪ съъ
Квадратическая форма по переменным А, г/, ху у, у' будет
положительно определенной, если все главные диаго-
диагональные миноры в D.4.10) положительны. Положитель-
Положительность первых трех из этих миноров эквивалентна

§5]
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЙ
161
следующим условиям:
ди
dR'
где 6В==—2-—безразмерный параметр.
О, D.4.11)
D.4.12)
При любом положительном kOi как нетрудно прове-
проверить, имеют место неравенства
4£0 — 1 > — > ——
Поэтому D.4.11), D.4.12) выполнены, если выполнено
D.4.12). Таким образом, условие D.4.12) является един-
единственным для положительности всех трех первых диаго-
диагональных миноров D.4.10). Положительность 4-го и 5-го
миноров определителя D.4.10) E-й минор совпадает с
самим определителем) дает остальные условия устой-
устойчивости. Выписывая их и присоединяя ранее полученные
условия, получим следующую систему достаточных ус-
условий устойчивости относительного равновесия:
а) В > Л, В > С;
б) с«>-£-,
■) *-**{-£
D.4.13)
§ 5. АНАЛИЗ УСЛОВИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
Так как в невозмущенном движении ось у' (то есть
ось момента инерции В) тела направлена по нормали
к плоскости орбиты, то условие D.4.13, а) означает, что
по нормали к плоскости орбиты должна быть напра-
направлена ось наибольшего момента инерции, то есть наи-
наименьшая ось эллипсоида инерции.
11 В. В. Белецкий

162 ПОСТУПАТЕЛЬНО ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 4
Условия б) и в) содержат некоторые интегралы по
объему тела (то есть условия устойчивости даются в ин-
интегральной форме). Займемся условием в). Ниже будет
показано, что это условие выполняется при достаточно
большом k0. Таким образом, это условие служит лишь
для выбора величины произвольной постоянной k0-
Учитывая D.2.4) и то обстоятельство, что здесь рас-
рассматриваются величины, отнесенные к М, то есть можно
считать М=1, условие в) запишем так:
d2U I dU 3fto-l-*o62B
+Г<0' D'5Л)
при &о=О это условие не выполнено, так как оно не вы-
выполнено для главного члена U* = -~ потенциала U:
~Щ2 ![1ЛГ~ ~W реальных случаях доба-
добавочные члены в потенциале U малы по сравнению с
главным членом и не могут изменить знак неравенства.
Поэтому действительно k0 должен быть не равен нулю
(тем самым оправдывается введение квадратичного чле-
k 2
на -тд-Л в функции Ляпунова D.4.5)). При больших kb
условие D.5.1) выполнено. В самом деле, при £0—*°°
d2U I dU З — б*
оно переходит в условие —2*4 Г < ^. Так
df\ R oR 1 -4- о„
I В
как бв имеет порядок отношения размера тела к рас-
расстоянию до центра притяжения, то в реальных случаях
&в очень мало по сравнению с единицей и выписанное
условие превращается приближенно в известное усло-
вие [31] для ньютоновского потенциала: "^2" + "^""^5"<0-
Для основного члена это условие заведомо выполнено:
d2U* , 3 dU* |i ^А ~ тт
•^oj- -f- -д -^п" = ~" "вг < 0- Остальные члены в U и чле-
члены с 6в не могут изменить знак этого неравенства. По-
Поэтому в реальных случаях всегда можно выбрать такое
достаточно большое значение k0, что условие D.5.1) бу-
будет выполнено.

§ 5)
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ
163
Обратимся теперь к условиям D.4.13,6). Содержа-
Содержащиеся в этих условиях параметры Си и Сц являются
следующими интегралами по объему тела:
С С Г
J J J
f [ f
J J J
где 7i и 72 даются формулами D.3.1). По условиям
D.2.3) существования частного решения имеем /i=/2 = 0.
Можно указать множество тел, для которых и Са — с1Ъ = 0.
В общем случае не ясно: если выполнено условие
/i=/2 = 0 существования относительного равновесия, бу-
будет ли одновременно выполняться С14=й5=0? Однако
для класса тел, указанного в § 2, как легко проверить
способом, совершенно совпадающим с описанным в § 2,
одновременно выполнены не только условия Ji=/2 = 0,
но и условия с14 = с15=0. Во всех случаях, когда
Ci4 = Ci5 = 0, условия D.4.13,6) превращаются в следую-
следующие:
D.5.3)
tdU _ дЧ/\ tdU_ _
Условия D.5.3) вместе с условием D.2.3) показывают,
что силовая функция в невозмущенном движении имеет
условный максимум по переменным у, у\ у", стесненным
связью D.1.10). А так как условия D.4.13, а) суть усло-
условия максимума силовой функции центробежных сил, то
для устойчивости относительного равновесия достаточ-
достаточно, чтобы в невозмущенном движении суммарная сило-
силовая функция ньютоновских и центробежных сил имела
максимум по параметрам вращательного движения тела.
Если же с14 =/= ci5 Ф 0, то вместо D.5.3) следует рас-
рассматривать общие условия D.4.13, б).
Заметим теперь, что интегралы, входящие в усло-
условия D.2.3) существования и условия D.4.13) устойчи-
устойчивости относительного равновесия, легко вычисляются
11*

164 ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 4
приближенно разложением подынтегральных выражений
х' у' z'
в ряд по степеням -тт-, -тт-, -я- (членами выше вто-
Ко Ко /<о
рого порядка малости пренебрегаем). Это эквивалентно
подстановке в условия D.2.3) и D.4.13) вместо силовой
функции A.2.3) ее приближенного значения A.2.7). Вы-
Вычисленные таким образом интегралы будут отличаться
от своих точных значений на величины порядка -5-» то
есть в реальных случаях весьма мало (численная оцен-
оценка величины приведена выше, в § 1).
Упрощенные таким образом условия D.4.13) будут
точными достаточными условиями устойчивости, по-
поскольку при их выполнении функция Ляпунова D.4.5)
будет знакоопределенной в силу того, что форма с до-
достаточно малыми коэффициентами, прибавленная к
форме того же порядка, не меняет ее знакоопределен-
знакоопределенности [55].
При таком приближении условия D.2.3) существова-
существования относительного равновесия выполнены тождествен-
тождественно. Кроме того, в условиях D.4.13) устойчивости полу-
получим:
и условия устойчивости D.4.13,6) запишутся так:
А — С > 0, В — С > 0. Эти условия вместе с D.4.13, а)
дают следующее достаточное условие устойчивости:
В > А > С, D.5.4)
которое означает, что в невозмущенном движении мень-
меньшая ось эллипсоида инерции тела направлена по нор-
нормали к плоскости невозмущенной орбиты, а большая ось
эллипсоида инерции — по радиусу-вектору орбиты.
Как было только что указано, условие D.5.4) являет-
является одним из точных достаточных условий устойчивости,
так как при выполнении неравенства D.5.4) функция
Ляпунова D.4.5) остается положительно-определенной
/ l \
1при достаточно малых "тг~1«

§ 5] УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ 165
Более того, условия D.5.4) являются основными ус-
условиями устойчивости, так как им сопутствует наиболь-
наибольшая область устойчивости.
Если -д— не очень мало, надо обращаться к более
общим условиям D.4.13) устойчивости. При малых ■^-
обобщенные достаточные условия D.4.13) позволяют об-
обнаружить другие положения устойчивого относительного
равновесия, второстепенные по сравнению с основным,
описываемым условием D.5.4). Области устойчивости
этих новых случаев весьма малы и имеют порядок по
крайней мере -^ по-отношению к области устойчивости
основного случая.
Тем не менее наличие таких случаев устойчивого
равновесия представляет определенный интерес. Рас-
Рассмотрим этот случай на примере трехмерной гантели,
введенной в § 3 (рис. 29).
Дифференцированием D.3.5) по R нетрудно убе-
убедиться, что в этом случае Ci4=Ci5=0, поэтому условия
устойчивости D.4.13,6) имеют вид D.5.3). Эти условия
устойчивости можно записать так:
А — С>6*, (Л — С — 6*)(£ — С — б!)>б22. D.5.5)
Здесь 6*, бь $2 — малые по абсолютному значению
величины: |б*| <т/2 (-п- + -бг+ • • •) • Правая часть
первого из неравенств D.5.5) весьма мала по сравне-
сравнению с левой частью. Если 6*>0, то направление осей
эллипсоида инерции в случае устойчивого равновесия
будет определяться условием D.5.4). Условия D.5.5)
в этом случае налагают лишь добавочные ограничения
на величины главных центральных моментов инерции.
Но если конфигурация тела такова, что 6*<0, то воз-
возможно устойчивое равновесие и в случае С>Л, то есть
когда по радиусу-вектлру направлена средняя ось эл-
эллипсоида инерции, а наибольшая ось направлена по
касательной к орбите. Однако при* этом, в силу пер-
первого условия D.5.5), величины моментов инерции С и А
должны быть очень близки: С>А>С— |б*|. При этом

166 ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 4
должно еще быть, в силу второго из условий D.5.5),
В > С + Ь\ + Л-С-6' . D.5.6)
Для рассматриваемого примера трехмерной гантели
имеем
D.5.7)
Условие D.5.3) требует положительности этого выраже-
выражения. Так как_первая из фигурных £кобок положительна
при любом o&i, то выбором ai и аз всегда можно до-
добиться выполнения условия устойчивости D.5.3). При
этом выбор ai не должен противоречить условию
В>С>АУ которое можно записать в виде
/зяг3 > l\mi > llm2. D.5.8)
Разлагая D.5.7) в ряд, условие Д>0 запишем в виде
m\l\>mzl\ A—"з"а1 + ф)» гДе Ф содержит члены выше
второго порядка малости по o&i и аз. Так как аА и аз —
очень малые величины, то ф можно отбросить, и полу-
получившееся условие не противоречит условию D.5.8)
только в том случае, если lints > llnti > l\mz (l — ~ai)»
то есть устойчивое равновесие рассматриваемого тела
при ориентации средней оси по вертикали возможно
только в случае, когда эллипсоид инерции отличается
от эллипсоида вращения лишь на величину порядка
\7г) ' Остается наложить условие устойчивости D.5.6),
где А — С— 6* = А дается формулой D.5.7), а 6^ и (>1 —
малые величины порядка не ниже am/2, a =-5-. Ясно,
что выполнение условия D.5.6) легко обеспечить вы-
выбором достаточно малого С, чему не препятствует
условие D.5 8). В самом деле, условие D.5,6) запишется

УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ 167
о 9 * Оо
так: /7Zi/i >/7*2/2+61-!——, и получим полную систему
А
неравенств
/l/7*l,
. л Л 5 —«\
> /3/7*3 ^1—-3aiJ'
*2
l\nt\ > /7*2/2,
которая всегда непротиворечива при достаточно малом
л*2
/7*2/2 независимо от знака члена 61 -\——.
А
Еще раз напомним, что этот случай устойчивого от-
относительного равновесия второстепенен по сравнению
с основным случаем D.5.4).
Подчеркнем, что полученные условия устойчивости*
являются условиями устойчивости как движения около
центра масс, так и движения самого центра масс. Од-
Однако допустимые возмущения в движении центра масс,
то есть возмущения, при которых движение еще не те-
теряет устойчивости, весьма малы. Оценку допустимых
возмущений движения около центра масс и движения
самого центра масс можно провести по функции Ляпу-
Ляпунова D.4.7). В самом деле, L = L0=const, а так как L
является суммой положительно определенных квадра-
квадратичных форм, то каждая такая форма по величине
меньше, чем L (причем членами выше второго порядка
малости, входящими в L, можно при оценке прене-
пренебречь). При оценке можно также ограничиться при-
приближенным значением силовой функции Ut чтобы не
привлекать в оценку членов высшего порядка малости.
Тогда, например, для направляющих косинусов у, у'> ]*и
Рз получим оценку
Y ^ Зсо2 (А — С)' т ^ ЗоJ (В — С) '
~ L L

168 ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 4
Если Y2<1 и y'2<h т0 движение (по у и у') будет
колеблющимся около положения относительного равно-
равновесия. Эти условия эквивалентны одному условию
1о<Зсо2(Л —С), D.5.9)
которое и дает допустимые величины начальных возму-
возмущений. Аналогично ограниченность по Pi и р3 будет при
условии L0<co2(B — С), а полная ограниченность коле-
колебаний около центра масс (так как у, у', |3i, р3 с избыт-
избытком определяют положение спутника) — при условии
Lo < min {Зсо2 (А — С), со2 (В — С)}.
Пусть, например, начальные возмущения имеются
только в плоскости орбиты и только в движении около
центра масс. Тогда
LQ = В A + k0 JL\ xl + 3(о2 {А - С) y*. D.5.10)
Так как даже при весьма больших k0, потребных для
положительной определенности формы L(ko~ 10ч-100),
величина ko—% для реальных искусственных спутников
мала A0-j-10), то этой величиной можно пренебречь.
Если 0о — начальное отклонение оси спутника от рав-
цовесного положения, х0=Оо, то условие D.5.9) приво-
приводит к условию
^^ |cos0o| <co
(так как —g— < 1 по физическому смыслу моментов
инерции). Эта оценка и дает порядок допустимых воз-
возмущений в данном случае. Видим, что 0О должно иметь
порядок угловой скорости вращения центра масс по не-
невозмущенной орбите (то есть 0,01 °/сек+ 0,1 °/сек для
искусственных спутников). Приведенные оценки совпа-
совпадают с оценками, полученными в ограниченной задаче
(глава 2, § 1). Но рассматриваемая задача, в отличие
от ограниченной, позволяет оценить возмущения орбиты.

§ 5] УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ 169
Например, для тех же начальных возмущений D.5.10)
имеем из функции Ляпунова D.4.7) оценку возникаю-
возникающих возмущений радиальной скорости:
Совмещая это условие с условием D.5.9) непереворачи-
ваемости спутника, получим оценку
R2 < Зсо2 (А — С). D.5.11)
(Моменты инерции отнесены к массе спутника.) Воз-
Возмущения в радиальной скорости приводят к появлению
эллиптичности орбиты (эллиптичность следует пони-
понимать в оскулирующем смысле). Для оценки этого эф-
эффекта можно приближенно воспользоваться формулами
a n9 ^ sin v р.
эллиптической теории: R = R2—р—со ж Roae sin v; здесь
Р — фокальный параметр орбиты, v — истинная ано-
аномалия, е — эксцентриситет орбиты. Тогда неравенство
D.5.11) запишется в виде
и это неравенство должно выполняться в любой точке
орбиты, то есть при любом v, что дает окончательную
оценку для возмущений эксцентриситета за счет взаимо-
взаимосвязи поступательного и вращательного движений:
*2<3JT- D.5.12)
Так как, если только Л и С не очень близки друг
к другу, А — С имеет порядок /2, где / — размер тела,
то£< УЗНг-j .Например, для спутника, движущегося
на высоте 630 км над поверхностью Земли (R0=7 • 106л*)
и имеющего размеры /~7 ж, получающиеся возмуще-
возмущения в эксцентриситете имеют порядок е~№~6.
Если имеются начальные возмущения только в ROi
то LQ = Rl и условие непереворачиваемости D.5.9) дает

170 ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. 4
оценку допустимого возмущения радиальной скорости
С).
Для спутника, движущегося по орбите с периодом
—100 мин и имеющего размеры ~10 м, получим из
этой оценки
\R0\ < 1(Г2 м/сек=\ см/сек,
что составляет ~10~6 VQy где Vo — скорость движения
центра масс спутника по невозмущенной орбите.
Таким образом, взаимосвязь поступательного и вра-
вращательного движения очень слаба для реальных спут-
спутников. Допустимые отклонения от круговой орбиты
имеют порядок отношения размеров спутника к рас-
расстоянию до центра притяжения. Поэтому, хотя полу-
полученные условия устойчивости обеспечивают устойчи-
устойчивость при возмущениях как вращательного, так и
поступательного движения, следует все же иметь в виду
указанную малость допустимых возмущений поступа-
поступательного движения.
Анализ, проведенный в настоящем параграфе, позво-
позволяет заключить, что основным условием устойчивости
является условие D.5.4). В других возможных усло-
условиях устойчивости на само тело и на область устойчи-
устойчивости накладываются жесткие ограничения (например,
тело отличается от динамически симметричного на ве-
величину порядка малости -тт- и области устойчивости
имеют порядок малости-б-]. Поэтому достаточные усло-
условия устойчивости D.5.4) следует считать основными
условиями и полученный результат можно сформулиро-
сформулировать так:
для устойчивости относительного равновесия твер-
твердого тела на круговой орбите в ньютоновском цен-
центральном поле сил достаточно, чтобы в невозмущенном
движении большая ось эллипсоида инерции тела была
направлена по радиусу-вектору орбиты, меньшая ось —
по нормали к плоскости орбиты и, следовательно, сред-
средняя ось — по касательной к орбите.
Этот результат совпадает с результатом исследова-
исследования ограниченной задачи (глава 2, § 1).

§6] ОБ ОДНОМ ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ 171
§ 6. ОБ ОДНОМ ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ
ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим такое движение тела, когда траектория
центра масс является плоской, а ось у' тела_ в течение
всего времени движения совпадает с осью У, нормаль-
нормальной к плоскости орбиты. Такое движение возможно, как
нетрудно убедиться, если -т-г = 0. При этом движении
у' = 0, q = г = О, Мх = Mz = 0.
В плоской задаче можно положить у" = cos 0,у=—sin G,
где 0 — угол между радиусом-вектором центра масс и
осью тела. Тогда f/=£/@, R). В результате из уравне-
уравнений D.1.2) остается только уравнение
4(НФ8)-аГ = 0. D.6.1)
Здесь фд — угловая скорость движения центра масс
спутника. К этому уравнению присоединим два инте-
интеграла D.1.5) и D.1.7) уравнений движения. Эти инте-
интегралы для плоского случая запишутся в виде
яJ - U (/?, 0) = А, D.6.2)
R + В (в + фл) = L2. D.6.3)
Система D.6.1) — D.6.3) замкнута относительно иско-
искомых переменных /?, 0, ф^. Возможно такое строение
тела, что U не будет зависеть от 0 (например, одно-
однородно-плотное тело вращения, симметричное, кроме
того, относительно плоскости орбиты в силу условия
—- = 0j. Для такого тела -^f = 0; из D.6.1) следует
= const, и тогда из D.6.2) и D.6.3)
j) -U(R) = Ао, R4R = Ко. D.6.4)
Итак, в этом случае тело равномерно вращается во-
вокруг своей оси, нормальной к плоскости орбиты; орбита
не зависит от вращения тела, но зависит от его формы
через U. Уравнения D.6.4) интегрируются обычным

172
ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. 4
способом: траектория получается обращением интеграла
==, D.6.5)
Г
R
а последующее интегрирование второго из уравнений
D.6.4) дает закон движения. Чтобы остановиться на
чем-либо конкретном, рассмотрим случай приближен-
приближенного потенциала D.2.7) (х'о = у'о = z'o = 0). Если А ФВФ
ФСФА, то уравнения D.6.1) — D.6.3) принимают вид:
D.6.6)
Для случая динамической симметрии Л = С получим,
D.6.7)
1 ц
Уравнения по форме совпадают с уравнениями движе-
движения экваториального спутника Земли (см. приложе-
приложение 2) и интегрируются совершенно так же, поэтому все
качественные эффекты движения центра масс рассмат-
рассматриваемого тела будут иметь вид, совершенно тожде-
тождественный с эффектами орбиты экваториального спут-
спутника; будет иной только количественная характеристика
этих эффектов. Основное отличие движения эквато-
экваториального спутника от движения в ньютоновском цент-
центральном поле сил сказывается в наличии векового дви-
движения перигея орбиты со скоростью
— R
Дсоя = 2яе -р|-
за один оборот спутника по орбите.
D.6.8)

§ 6] ОБ ОДНОМ ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ 173
В формуле D.6.8) /?э — экваториальный радиус Зем-
Земли, е — параметр, определяемый величиной сжатия
Земли; Р — фокальный параметр орбиты. Формула
D.6.8) приближенная, верна лишь с точностью до пер-
первых степеней е и предполагает, что е<Се, где е — экс-
эксцентриситет орбиты. (В более общих предположениях
движение приходится рассчитывать прямо по общим
формулам.)
Для рассматриваемой здесь задачи формуле D.6.8)
эквивалентна формула
4^« D.6.9)
Рассмотрим следующий пример. Спутник массы
М=1000 кг и с разностью моментов инерции В — Л =
= 49 • 103 кем2 (например, гантель с полудлиной 1=7 м
и полумассой -о- = 500 кг) вращается по орбите с фо-
фокальным параметром Р = 7«10б м. Тогда Д(оя=3я« 10~12
за один оборот спутника, что составит приблизительно
2" за 100 лет. Видим, что возмущения в орбите, вызы-
вызываемые формой спутника, столь малы, что, например,
эффекты теории относительности Эйнштейна могут быть
гораздо существеннее. Как доказано в общей теории от-
относительности (см., например, [68], стр. 292), пери-
перицентры небесных тел за один оборот тела по орбите
имеют смещение
Дсоэя = ~^-, ag = — . D.6.10)
Здесь ag — так называемый гравитационный радиус,
Mq — масса центрального тела, с — скорость света, / —
гравитационная постоянная; ag—малая величина по
сравнению с размерами тел. Для Земли ccg=0,443 см=*
= 4,43 • 10 м. Сравнение D.6.10) и D.6.9) дает
Для оценок можно считать, что В — Л«М/2, где /■—
размер спутника (для гантели это будет выполнено

174 ПОСТУПАТЕЛЬНО ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГГЛ. 4
точно); тогда
Дсоя ~* Р
Для Р = 7-106 м и /0=7 л имеем -д^ « 1,3- 103, то есть
эффект теории относительности в 1000 раз сильнее эф-
эффекта формы тела; чтобы эти эффекты были сравнимы,
надо, чтобы отношение гравитационного радиуса <xg
к размеру тела / имело такой же порядок, как отноше-
* ag l
ние размера тела к размерам орбиты, то есть / ~р""»
тогда 12~аёР. Пусть 12 = 2аёР и возьмем Р = 7-106 м.
Тогда /«250 м. Таким образом, для тел с размером
в несколько сот метров (спутник-станция) эйнштейнов-
эйнштейновский эффект и эффект формы тела сравнимы (для рас-
рассматриваемой орбиты). С увеличением размеров орбиты
увеличиваются и размеры тела, для которого сравнимы
эффекты формы и эйнштейновский.
Для Луны эффект ее формы на несколько порядков
больше эйнштейновского эффекта. В. Т. Кондурарь ука-
указал, что возмущения в движении Луны, вызываемые ее
«эффектом формы», имеют такой же порядок, как и не-
некоторые другие возмущения, учитываемые современной
теорией Луны.

ГЛАВА 5
РОТАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
И УРАВНЕНИЯ В ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТАХ
§ 1. РОТАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ
И МЕТОД ЕГО ИССЛЕДОВАНИЯ
Если кинетическая энергия вращения спутника су-
существенно больше работы возмущающих сил, то дви-
движение на небольшом интервале времени будет близко
к невозмущенному. На достаточно большом интервале
времени действие малых возмущающих моментов мо-
может привести к накоплению возмущений в движении и
к постепенной его эволюции. Движение такого типа
назовем ротационным. Для эффективного исследования
возмущенного вращения спутника наиболее целесооб-
целесообразно применить метод вариации постоянных (анало-
(аналогичный методу оскулирующих элементов при анализе
возмущенных орбит в небесной механике). Постоянные
параметры — интегралы невозмущенного движения —-
в возмущенном движении считаются переменными, и
ищутся дифференциальные уравнения, связывающие эти
параметры.
Невозмущенное вращение спутника относительно
центра масс описывается уравнениями Эйлера — Пу-
ансо. Геометрически это движение можно интерпретиро-
интерпретировать как качение трехосного эллипсоида инерции тела
вокруг вектора кинетического момента по неподвижной
плоскости, перпендикулярной к этому вектору [1].
Исследование значительно упрощается, если элли-
эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения. Этот
случай динамической симметрии космического аппарата
часто встречается на практике.
В дальнейшем будут рассматриваться в основном
динамически симметричные спутники и попутно будут

176 РОТАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА [ГЛ. б
описаны некоторые результаты, справедливые для спут-
спутников, не обладающих динамической симметрией.
Невозмущенное движение динамически симметрич-
симметричного спутника является регулярной прецессией: вели-
величина L вектора кинетического момента, две его угловые
координаты р, а, угол нутации О, угловые скорости пре-
прецессии и вращения ij}, ф спутника, а также осевая со-
составляющая r = (p + ^cosO угловой скорости являются
постоянными (смысл углов р, а, О, г|э, ф см. в § 1
главы 1). Эти параметры являются удобными в качестве
оскулирующих элементов возмущенного движения.
Первые три элемента описывают изменение вектора
кинетического момента, остальные элементы описывают
движение вокруг вектора кинетического момента. Вме-
Вместо угловых скоростей -ф и ф прецессии и собственного
вращения можно рассматривать в качестве оскулирую-
оскулирующих элементов просто углы ty и ф, меняющиеся в регу-
регулярной прецессии линейно по времени. Если моменты
внешних сил не зависят от ф, то удобно вместо ф рас-
рассматривать в качестве оскулирующего элемента проек-
проекцию г полной угловой скорости на ось симметрии спут-
спутника.
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
При отделении спутника от ракеты-носителя в ре-
результате толчка, неизбежного при срабатывании меха-
механизма разделения, спутник приобретает какую-то слу-
случайную угловую скорость вращения относительно центра
масс. Представляется интересным рассмотреть вероят-
вероятностные характеристики возникающей при этом регу-
регулярной прецессии. Характер вращения спутника опре-
определяется величиной угла О нутации. При значениях О,
близких к нулю, происходит почти чистое собственное
вращение спутника относительно оси симметрии; при О,
близких к 90°, происходит «кувыркание» спутника.
Пусть в результате толчка при разделении появи-
появились случайные составляющие Лро=£, Л^о^Л» Сго=£
кинетического момента по главным центральным осям

§ 2] ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 177
спутника. Угол О является функцией случайных ве-
величин:
Будем считать, что случайные величины g, т], £ неза-
независимы и распределены по нормальным законам с ну-
нулевыми математическими ожиданиями. Плотности рас-
распределения этих случайных величин запишем в виде
2а? г. , ч 1 л 2а?
Здесь о\, а\ — дисперсии рассматриваемых случайных
величин.
Вероятность того, что cos О не превзойдет по своей
величине некоторого значения г, дается интегралом
9 0 9
BЯ)8^
Здесь
х у z
Отметим, что k = ■—- = гу*\ , где [р0] и [г0] — допусти-
а2 ^ I' 0J
мые разбросы поперечной и продольной угловых скоро-
скоростей. Указанный интеграл нетрудно вычислить, пере-
переходя в подынтегральной функции к сферическим коор-
координатам. Получим для вероятности Р и плотности
dP
Р = -^ ее распределения формулы
Г\ — A — I
k
^ w 2 [1 — т2 A — >
12 В. 3. Белецкий

178
РОТАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
[ГЛ. 5
Рассмотрим графики плотности р(х) при различ-
различных значениях k (рис. 30). При й>1 графики имеют
\к~0,5
У
\
к = 0,9
р i
т
i
9Л1
1
к fit
и/
к=2
f
^
—
1
г!
1
]
1
11
но
k
50
25
I
1
1
р
II
||
III
11!
и!
/|\
0
ьь
j
/
——
1
к-0,
1-
-
г ^
Рис. 30. Плотность распределения вероятности
случайной величины т = cos %.
максимум при т=0. Вероятность получения углом О зна-
значений в некотором интервале вблизи 0 = 90° больше, чем
вероятность принять значение из такого же интервала
вблизи О = 0, и тем больше, чем больше величина й.
Значит, более вероятно, что режим вращения спутника

§2]
ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
179
будет близок к режиму кувыркания. При k=l равно-
равновероятно любое значение —1<т<1. При k<\ более ве-
вероятны значения т, близкие по модулю к 1, что соот-
соответствует режиму собственного вращения. Отметим, что
при сравнимых [р0], [г0] случаям к^>\ и k<\ соответ-
А А
ствуют соотношения ^-^>1, £-<1. Поэтому можно
сказать, что для динамически вытянутого спутника бо-
более вероятен режим кувыркания, а для динамически
сжатого — режим собственного вращения. Сжатые спут-
спутники, как будет показано в следующих главах, и в
возмущенном движении устойчивее вытянутых: под дей-
действием диссипативных сил угол О стремится умень-
уменьшиться; вытянутые спутники в таких условиях стре-
стремятся перевернуться.
Рассмотрим график (рис. 31) интегральной харак-
характеристики P(cosO<cos85°), то есть кривую вероят-
вероятности того, что О будет иметь значения 85°<Ф<95°.
1.0
0,5
р
i
1
I
1
/
£*•—"
.——
— ■ ■*
гут:
1,
25 50 ' 75
Рис. 31. Вероятность Р события 85° < ft < 95°.
Видим, что при больших k вероятность кувыркания
спутника близка к единице. При к= 18, например, имеем
Р = 0,73, а при /г = 29 — уже Р=0,93. На рис. 32 приве-
приведены значения величины ДО(&), определяющие интер-
интервал 90° — Дд<О<90° + ДО, в котором будет лежать
угол О с наперед заданной вероятностью Р0=0,95.
12*

180 РОТАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА [ГЛ. 5
Видно, что 85° < ft < 95° с указанной вероятностью при
Подобным образом можно рассчитать вероятност-
вероятностные характеристики других параметров. Оказывается,
юо
50
0
J
1
-\
д -
\
ч
■—-
Р.5
Ы)
—
75
■к-
±=
-*-
ю
Рис. 32. Значения, принимаемые случайной величиной
Дй {% = 90° ± ЬЩ с вероятностью Р = 0,95.
например, что если а\=-о\, то математическое ожидание
угловой скорости прецессии определяется формулой
§ 3. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ.
УРАВНЕНИЯ В ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТАХ
Как было указано в § 1 настоящей главы, в качестве
оскулирующих переменных можно выбрать
Z, p, a,
, <р(<р или г).
E.3.1)
Пусть на спутник действует возмущающий момент
внешних сил Ж. Тогда по теореме о кинетическом мо-
моменте получим в проекциях на оси XYZ «перигейной»
системы (см. § 1 главы 1)
dt
-£=М2. E.3.2)

§ 31 ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ 181
На основании таблицы A.1.4) запишем:
LX = L sin p sin a, Z,K = Zcosp, Lz = Z, sin p cos а. E.3.3)
Дифференцируя E.3.3), учитывая E.3.1) и разре-
разрешая получившуюся систему уравнений относительно L,
р, а, получим первую группу уравнений в оскулирую-
щих элементах, а именно первые три уравнения в вы-
выписанной ниже системе E.3.6). Для получения второй
группы уравнений используем следующий принцип: на-
направляющие косинусы осей тела с неподвижными ося-
осями и производные по времени от этих направляющих
косинусов должны выражаться через выбранные пере-
переменные одинаково в возмущенном и в невозмущенном
движениях.
Положение связанной системы координат Ox'y'z'
относительно неподвижной системы координат OXYZ
определяется таблицей направляющих косинусов, при-
приведенной в § 1 главы L
Будем считать, что ось z' является осью динамиче-
динамической симметрии спутника, а р, q, r суть проекции абсо-
абсолютной угловой скорости вращения спутника на оси
х', у', zr соответственно. В таком случае имеют место
кинематические соотношения Пуассона:
а3 = qax — /?а2, р3 = #i — Ph, Ъ = ЯУг ~
Учитывая, что поперечные моменты инерции равны
(А=В), правые части соотношений Пуассона можно
выразить через компоненты вектора кинетического мо-
момента L по осям X, Y, Z неподвижной системы коорди-
координат. После несложных выкладок получим:
E.3.4)
Подставляя в E.3.4) выражения из E.3.3) и A.1.6),
а также выражения для а и р из первой группы ура-
уравнений в оскулирующих элементах, получим систему
трех уравнений для двух неизвестных О, \f>. Система
решается однозначно, ибо одно из исходных уравнений

182
РОТАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
[ГЛ. 5
является следствием двух других. Для гр, например, по-
получим уравнение, приведенное ниже, в системе E.3.6).
Уравнение для О имеет вид
Ф = — [Мх (cos a cos г|) — sin а cos p sin г|)) + MY sin г|) sin p —
— Mz (sin о cos ф + cos о cos p sin Щ. E.3.5)
Однако для определения оскулирующего элемента
® часто целесообразнее использовать конечное кине-
кинематическое соотношение, имеющее место и в невоз-
невозмущенном, и в возмущенном движениях: cos $=-£-; его
можно получить и интегрированием уравнений в оску-
лирующих элементах, используя E.3.5). При этом
г рассматривается как оскулирующий элемент, уравне-
уравнение для которого, приведенное в E.3.6), является про-
просто одним из динамических уравнений Эйлера для слу-
случая А=В. Наконец, если моменты сил зависят от ф, то
уравнения замыкаются кинематическим соотношением,
дающим проекцию г полной угловой скорости спутника
на его ось симметрии. В результате полную систему
уравнений в оскулирующих элементах для динамически
симметричного спутника запишем в виде
I = (Мх sin a -f~ Mz cos о) cos p -f- MY cos p,
[(Msina + Mzcosa)cosp — MFsinp],
Ж* cos ° ~ Mz sin a)'
sin a cos p cos ф) + ctg p cos o]
MY sin p ctg d cos ф-j-^z fg ^ (
— cos a cos p cos ф) -f- ctg p sin a]},
—ij)cosft — a(—sin i^ sin ft sinp +
+ cos d cos p) + p cos ф sin d,
- [ЛГха3 + ЛГгРз + Afzv3], cos Ь = ■— .
E.3.6)

§ 4] ВОЗМУЩЕНИЯ, ИМЕЮЩИЕ СИЛОВУЮ ФУНКЦИЮ 183
Здесь а3, Рз, Уз определяются формулами A.1.6). Так
L ^ \М\
как в ротационном движении часто -j^> J-^-L. то
в этом случае можно применять приближенную фор-
формулу движения для скорости прецессии: "ф^-д-; в не-
невозмущенном движении эта формула справедлива точно.
Систему уравнений в оскулирующих элементах можно
выбрать по-разному в зависимости от конкретной за-
задачи. Например, вместо первых трех уравнений E.3.6)
иногда удобнее пользоваться уравнениями E.3.2); кроме
того, два последних уравнения в E.3.6), конечно, экви-
эквивалентны одному уравнению E.3.5) для Ф. Система
E.3.6) содержит шесть дифференциальных уравнений и
одно конечное соотношение и, таким образом, имеет
шестой порядок. Если моменты сил не зависят от ф, то
система E.3.6) расщепляется на систему пятого по-
порядка и отдельное уравнение для определения ф@.
В целом полученная система дифференциальных ура-
уравнений движения спутника относительно центра масс
в оскулирующих элементах, конечно, не является более
простой, чем уравнения Зйлера. Но достоинство системы
E.3.6) состоит в том, что она позволяет использовать
удобные приближенные методы анализа (асимптотиче-
(асимптотические методы [22], специальные методы численного ин-
интегрирования [61]) для достаточно простого и точного
исследования качественной и количественной картины
движения.
§ 4. СЛУЧАЙ ВОЗМУЩЕНИЙ,
ИМЕЮЩИХ СИЛОВУЮ ФУНКЦИЮ
1. Уравнения движения и их первые интегралы. Как
следует из результатов главы 1, моменты гравитацион-
гравитационных сил имеют силовую функцию, зависящую только от
положения оси симметрии тела в пространстве. Таким
же свойством обладают консервативная часть аэроди-
аэродинамических моментов, магнитные моменты, моменты сил
светового давления и некоторые другие. Для этого
важного частного случая уравнения E.3.6) могут
быть преобразованы к более простому виду, причем

184 РОТАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА [ГЛ. 5
оказывается возможным применить приближенные ме-
методы исследования непосредственно к полученным ура-
уравнениям, без конкретизации моментов сил.
Пусть возмущающие моменты определяются силовой
функцией
и=и[а*Ь> Y8. *(/)]. E.4.1)
Здесь v — истинная аномалия. Тогда компоненты рас-
рассматриваемого момента по осям неподвижной системы
координат будут
,„ dU o dU АД dU dU
Подставляя E.4.2) и A.1.6) в уравнения E.3.6) в оску-
лирующих элементах и учитывая соотношения типа
^ = p3sina, -*L = —a3sina —T3cosa, ^=p3cosa
и т. п., получим полную систему уравнений в оскули-
рующих элементах в виде
dU ■ _ 1 \dU dU \ • \dU
~d$' p —riifS* p~"*f"r LT^IF1
E.4.3)
Так как U не зависит от <р, то уравнение для ф можно
не выписывать. В силу наличия первого интеграла
г = г0 E.4.4)
система E.4.3) имеет четвертый порядок.
Можно, конечно, из E.3.5) получить дифференциаль-
дифференциальное уравнение для О:
Система E.4.3) может иметь еще первые интегралы
кроме интеграла E.4.4). В самом деле, из E,4.3)

§4] ВОЗМУЩЕНИЯ, ИМЕЮЩИЕ СИЛОВУЮ ФУНКЦИЮ 185
можно получить -jj-(L2 — 2AU) = — -gfBAU). В ряде
задач, например в задаче о движении гироскопа около
закрепленной точки, U от времени может не зависеть, и
тогда сразу получаем интеграл энергии в виде
L2 — 2AU = const, E.4.6)
который может пригодиться для исследования движения.
Из первых двух уравнений E.4.3) можно получить
J^(lcosp) = -^. E.4.7)
Пусть U зависит от времени t и координаты а только
через параметр к = о — оH^, coo = const. Этот случай
встречается, например, при рассмотрении движения на
круговой орбите (ооо — угловая скорость движения
центра масс по круговой орбите). Легко построить ана-
аналогичный случай и для эллиптической орбиты.
~ dU dU
Тогда имеем ~^f= — ^o-gjj" и, используя предыду-
предыдущие формулы, получаем интеграл энергии типа Якоби:
L2 — 2AU — 2Лсоо1 cos p = const. E.4.8)
Уравнения E.4.3) позволяют исследовать как быстрые
вращения, так и колебания. Пусть, например, го = О,
тогда cosd=0 и U не зависит от Ф. Можно искать та-
такое решение, чтобы р = 0, a = a0 = const, что возможно
при наложении определенных условий на U (именно
-i т— =0|. Тогда остаются только уравнения
sin р ф р=0 J^
J
= -g^-, из которых можно получить
V 1 ди п
Это — уравнение плоских колебаний в плоскости ор-
орбиты.
2. Анализ уравнений в случае быстрых вращений.
По самому выбору переменных уравнения E.4.3) наи-
наиболее удобны для исследования движения при наличии

186 РОТАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА [ГЛ. 5
быстрых вращений. К этим уравнениям удобно приме-
применить различные приближенные методы исследования,
например асимптотический метод Боголюбова — Кры-
Крылова (схема Волосова [22]). При быстрых вращениях,
то есть при больших L, гр возрастает почти равномерно
и достаточно быстро (по сравнению не только со ско-
скоростью изменения оскулирующих элементов, но, по
предположению, даже и по сравнению с угловой ско-
скоростью v движения центра масс спутника по орбите).
Поэтому для выявления основных эффектов движения
(вековых, долгопериодических и периодических) удобно
усреднить уравнения движения по быстрой перемен-
переменной г|). Проводя такое усреднение, например, в первом
из уравнений E.4.3) и учитывая, что U, согласно
E.4.1) и A.1.6), зависит от гр периодически с перио-
периодом 2я, получим для осредненного движения
2л
о
то есть L = Lq и, следовательно, cos О = cos до. Кроме
того,
2л
1 dU I dU п 1
v Lo sin р до ' Lo sin p ф ' 2з
E.4.9)
*ф0- E.4.10)
Иначе говоря, спутник совершает регулярную пре-
прецессию с почти постоянной угловой скоростью E.4.10)
вокруг постоянного по величине вектора кинетического
момента, направление которого меняется в простран-
пространстве согласно уравнениям E.4.9). Видим, что задача об
эволюции движения в этом случае свелась к исследо-
исследованию системы E.4.9) всего двух уравнений, легко при-
приводимых к каноническому виду. Отметим, что осредне-
осреднение правых частей уравнений движения E.4.3) оказа-
оказалось эквивалентным осреднению силовой функции.
Уравнения E.4.9) инвариантны относительно преобразо-
преобразования р, а->0, Я (смысл углов 0, Я — см. § 1 главы I)

§ 4] ВОЗМУЩЕНИЯ, ИМЕЮЩИЕ СИЛОВУЮ ФУНКЦИЮ 187
и любого аналогичного преобразования. Будем считать,
что орбита спутника — невозмущенная эллиптическая,
и, используя B.3.2), перейдем от независимой перемен-
переменной t к новой независимой переменной v. Введем функ-
функцию Uv и ее среднее по г|) значение:
2л
U^ = —=—— -£/, Uv = — f Uvd$. E.4.11)
о
Тогда уравнения E.4.9) можно написать в виде
" }^ У_ /г л \0\
dv LQ sin р до ' dv Lo sin p dp ' ^ ' '
С точки зрения механики осреднение по г|) экви-
эквивалентно пренебрежению в решении высокочастотными
колебаниями весьма малой амплитуды, которые накла-
накладываются на более плавные колебания, описываемые
уравнениями E.4.12). Высокочастотные колебания, обу-
обусловленные влиянием г|>, назовем вибрационными коле-
колебаниями. Уравнения E.4.12) в общем случае не инте-
интегрируются, так как U зависит от v. Эти уравнения
описывают весьма медленные вековые и долгопериоди-
ческие эффекты движения, а также периодические эф-
эффекты, обусловленные влиянием v. Период этих перио-
периодических колебаний соизмерим с периодом обращения
спутника по орбите. Вековые и долгопериодические
члены изменяются весьма медленно по сравнению со
скоростью движения центра масс спутника по орбите.
Для их выявления можно осреднить уравнения движе-
движения не только по ф, но и по v. Независимое осреднение
по каждой фазовой переменной (-ф, v) допустимо, если
частоты этих переменных несоизмеримы, что мы всегда
будем предполагать. Такое двойное осреднение уравне-
уравнений E.4.3) сводится к осреднению по v уравнений
E.4.12). Получим
dp I dUv do 1 dUv
dv LQ sin p do ' dv Lo sin p dp
E.4.13)
=== l Г Г P*
} ~~~ DяJ J J YVP A + * cos vJ

188 РОТАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА [ГЛ. 5
В E.4.13) Uv уже не зависит от v, поэтому существует
первый интеграл уравнений E.4.13):
Z7V(P> о) = const, E.4.14)
который дает траекторию вектора кинетического мо-
момента (в его вековом и долгопериодическом движе-
движении). Воспользовавшись E.4.14), затем можно довести
интеграцию уравнений E.4.13) до конца, выявив также
и закон движения вектора кинетического момента.
Решение уравнений E.4.12) дает картину движения
по крайней мере на порядок более точную, чем решение
уравнений E.4.14). Укажем интересный частный слу-
случай, встречающийся на практике, когда даже и урав-
уравнения E.4.12) интегрируются в замкнутом виде. Пусть
Uv зависит от а и v только через их разность xv —о — v;
Uv—(Jv(py Xv). Координата xvecTb угол между теку-
щим радиусом-вектором орбиты г и проекцией век-
вектора L на плоскость орбиты. Таким образом, углы р, xv
дают положение вектора L во вращающейся системе
координат пу т, г, где п направлено по нормали к пло-
плоскости орбиты, т — по трансверсали. Уравнения E.4.12)
принимают вид
dp 1 <*D d>tv 1 дФ
E.4.15)
Поскольку Ф содержит только р и xv и не зависит от
v явно, то уравнения E.4.15) имеют первый интеграл,
дающий траекторию вектора L во вращающейся си-
системе координат:
Ф = const. E.4.16)
Этот интеграл позволяет проинтегрировать уравнения
E.4.15) до конца. Его можно рассматривать как след-
следствие E.4.8) при L = L0. Как будет показано ниже,
к виду E.4.15) сводятся уравнения движения под дей-
действием таких важных возмущений, как гравитационные
и аэродинамические (но только на круговой орбите), и
возмущений от светового давления на произвольной эл-
эллиптической орбите спутника Солнца.

§ 5] ДИНАМИЧЕСКИ НЕСИММЕТРИЧНОЕ ТЕЛО 189
В общем случае уравнений E.3.6) (при произволь-
произвольных моментах сил, не имеющих силовой функции) так-
также целесообразно применить метод осреднения для
выявления основных эффектов движения. Этим спосо-
способом, например, ниже будут исследованы вековые воз-
возмущения под влиянием моментов диссипативных сил,
вызываемых аэродинамическим трением и вихревыми
токами.
§ 5. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИ
НЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА
До сих пор рассматривались уравнения в оскулирую-
щих элементах для динамически симметричного тела.
В общем случае трехосного эллипсоида инерции тела
(АФВФС) быстрые вращения его удобно рассматри-
рассматривать в тех же переменных L, р, а, гр, Ф, ф, которые были
введены для изучения движения динамически симмет-
симметричного тела. Вывод таких уравнений дан Ф. Л. Черно-
усько [71]. Обозначим
Мг = (Мх sin о + Mz cos а) cos p — MY sin p, I
\ E.5.1)
Y cos p. )
Очевидно, Mi, 2, з есть проекция вектора момента М
внешних сил на оси соответственно Li, L2, L (см. § 1
главы 1). Положение связных осей х\ у', z' относи-
относительно осей Li9 L2, L определим таблицей направляю-
направляющих косинусов ctij, приведенной в § 1 главы 1.
Первая группа уравнений, очевидно, имеет тот же
вид, что и для динамически симметричного тела:
Проекции вектора со абсолютной угловой скорости спут-
спутника на оси х\ у\ z' равны
р= pa21 + a (a31 cos р — ап
q = ра22 + о (а32 cos р — а12 sin р) — Ь sin ф-f- ipa32,
г = ра23 +■ ° (азз cos р — а13 sin
E.5.3)

190 РОТАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА [ГЛ. 5
С другой стороны, проектирование вектора L на эти же
оси дает
Lx =Ap = Ls\n$s\nq, Ly =Bq = L sin ft cos cp, ]
L, = Cr = L cos 0. ) E-5-4>
Подставим в E.5.4) p, q, г из E.5.3), p, а из E.5.2) и
ац из A.1.5) и разрешим систему относительно ft, ф, гр.
Получим
л г . a . /1 1 \ , Af2 cos ib — Мi sin ib
ft = I Sin ft Sin ф COS ф (-j — -g j -| ^-£ ,
E.5.5)
Система E.5.2) и E.5.5) образует искомую замкнутую
систему уравнений в форме, удобной для применения
асимптотических методов. При А =В получаем уравне-
уравнения E.3.6) для ф и г}) и уравнение E.3.5) для ft.

ГЛАВА 6
ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
НА РОТАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
§ 1. ОБЛАСТИ ВОЗМОЖНОГО И НЕВОЗМОЖНОГО
ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО
СПУТНИКА. РЕГУЛЯРНЫЕ ПРЕЦЕССИИ
В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
1. Предварительный анализ областей возможного и
невозможного движений. Рассмотрим условия, при ко-
которых будет иметь место либо либрационное, либо рота-
ротационное движение. Пусть орбита круговая. Интеграл
B.1.11) для случая динамически симметричного спутника
(А = В, А Ф С) можно записать в виде
F.1.1)
Здесь Т — кинетическая энергия относительного враще-
вращения спутника (относительно системы координат, свя-
связанной с текущим радиусом-вектором орбиты); р'' =
= cos0n; Y" = coser> где 0n, ег — соответственно углы,
образуемые осью спутника с направлениями нормали п
к плоскости орбиты и текущего радиуса-вектора г ор-
орбиты. Индексом «нуль» помечены начальные значения
величин. Так как Г>0, то F.1.1) дает возможность
определить области возможного и невозможного дви-
движения оси спутника.
Случай 1: А>С (динамически вытянутый спут-
спутник). Области возможного движения оси спутника опре-
определяются неравенствами
. F.1.2)
Учитывая, что p" = cos 0n = cos %sin ег, где % — угол по-
поворота оси спутника вокруг направления радиуса-век-

192
ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. б
тора, отсчитанный от меридиана пг, имеем
— sin гг < р" < sin е„ 0 < Эл < я, F.1.3)
и неравенства F.1.2) — F.1.3) дают возможность по-
построить области возможных движений оси спутника на
единичной сфере при различных значениях k (рис. 33);
эта область симметрична относительно содержащейся
в ней плоскости орбиты спутника. Если £>0, то об-
области возможных движений суть некоторые окрестности
направлений ± г. Ось спутника как бы отслеживает
п ~
Рис. 33. Области возможного и невозможного движений оси
симметричного спутника в гравитационном поле при г0ф0.
радиус-вектор, а в частном случае k = 3 в течение всего
времени движения совпадает с радиусом-вектором. При
0>£>—1 область возможного движения включает
в себя полосу единичной сферы в окрестности плоскости
орбиты, за исключением «шапок» в окрестностях ±п>
При £<—1 областью возможных движений служит уже
вся единичная сфера.
Случай 2: Л<С (динамически сжатый спутник).
Области возможного движения
совпадают с областями невозможного движения
предыдущего случая. При & = — 1 ось спутника совпа-
совпадает с нормалью к плоскости орбиты в течение всего
бремени движения. При —1<6<0 ось спутника дви-

§ 1] ОБЛАСТИ ЁОЗМОЖНОГО И НЕВОЗМОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ 193
жется в окрестности нормали; при £>3 область воз-
возможного движения — вся единичная сфера.
Таким образом, для вытянутого спутника устойчи*
вым относительным равновесием является расположе-
расположение вдоль радиуса орбиты, а для сжатого спутника -—
расположение осью по нормали к плоскости орбиты.
Учитывая фактическое значение F.1.1) величины £,
все сказанное об областях возможного движения можно
свести в таблицу 5.
Таблица 5
Области возможного движения при различных значениях
2 Т
L и при фиксированных значениях s°, p°
—-—
w IА — С |
A>C
0 < lT < 3 cos2 e^ —
"л
окрестности
± г
3 cos2 e°r - cos2 p^ <
вне окрестностей
± n
3 cos e 4- sin p^ < I,*
вся сфера
A <C
0 < lT < cos2 p^ —
окрестности
± n
cos2 p^ - 3 cos2 e°r < lr <
< 3 sirl2 B°r + COS2 p^
вне окрестностей
± г
3 sin 8 ■+- cos p < ^«
вся сфера
Из таблицы 5 видно, что если |т>4, то есть
Го>2со2|Л-С|, F.1.4)
то независимо от начального положения оси областью
возможных движений служит вся сфера без ограниче-
ограничения, в то время как в противоположном случае об-
области движения могут быть так или иначе ограничены.
Это наводит на мысль* что если условие F.1.4) не
выполнено, то движение носит в той или иной степени
колебательный характер (или близкий к колебатель-
колебательному), а при выполнении неравенства F.1.4) движение
13 В. В. Белецкий

194 ЁЛИЯНИЁ ГРАВИТАЦИОННЫХ ЁОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 6
уже удобно трактовать как возмущенное по отношению
к невозмущенной регулярной прецессии спутника. Не-
Неравенство F.1.4) дает поэтому некоторый критерий воз-
возможности применения приближенных методов исследо-
исследования, например методов осреднения, используемых
в настоящей работе.
Если постоянная проекция г0 полной угловой ско-
скорости на ось симметрии тождественно равна нулю
(го=О), то области возможного движения для этого
случая можно существенно уточнить [75]. В самом деле,
тогда интеграл F.1.1) принимает вид
г>о.
Поэтому, например, при А>С области допустимого
движения будут даваться неравенствами
- VA -е)(З/2- k) < р" < VA -е)(З/2 -*), e = 4-
Эти неравенства, очевидно, представляют более узкие
области, чем аналогичные неравенства F.1.2) для
г0Ф0. Качественно картина, однако, не изменится и
останется такой, как на рис. 33.
Для случая динамически сжатого (А<С) спутника
области возможного движения уточнятся более суще-
существенно. В самом деле, в этом случае ft>0 и искомые
области получаются из неравенств
V (E-l)(k~3y)^f>" ^V(&-l)(k-3y). F Л .5)
Эти области изображены на рис. 34. Основной их осо-
особенностью является наличие новой точки устойчивого
равновесия: y"~ P//s=0. Иначе говоря, динамически сжа-
сжатый спутник, находящийся в относительном равновесии
с осью симметрии, расположенной по касательной к ор-
орбите, будет устойчив относительно возмущений, при
которых не появляется вращений вокруг оси симметрии
(то есть сохраняется условие го^О). Это несколько до-
дополняет результаты главы 2. На плоскости е, б (рис.21)
указанному положению условно-устойчивого относи-
относительного равновесия соответствует отрезок е=6, е<1,
лежащий на границе области необходимых условий

§ 1] ОБЛАСТИ ВОЗМОЖНОГО И НЕВОЗМОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ 195
устойчивости*). Возвращаясь к условиям F.1.5), отме-
отметим, что области возможного движения имеют разный
характер в зависимости от значения параметра
3(8-1).
1°. 3(е—1)<1. Тогда k = 0 соответствует положе-
положению равновесия оси спутника по касательной к орбите;
Рис. 34. Области возможного и невозможного движения
оси симметричного спутника в гравитационном поле при
О
при 0<£<3 — движение в окрестности этого положе-
положения; при 3 < k < . 1 . движение в окрестности
плоскости орбиты, не заходящее в некоторые окрест-
окрестности нормали к плоскости орбиты; при k> п—-г
| 1 — ь\
областью возможных движений служит вся сфера.
2°. 3(е—1)>1. Тогда 6 = 0 соответствует положе-
положению равновесия; при 0 < k < j—| движение
в окрестности этого положения (причем области воз-
*) Параметр е = "т имеет разный смысл на рис. 21 и в этом
параграфе. На рис. 21 предполагается, что по касательной к орбите
расположена ось момента инерции Л, а в этом параграфе анализи-
анализируются различные положения — в том числе и по касательной к ор-
орбите — оси момента инерции С»
13*

196 ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 6
можного движения вытянуты поперек орбиты, в то
время как в предыдущем случае — вдоль орбиты); при
г < k < 3 движение не может заходить только в не-
которые окрестности радиуса-вектора; наконец, при
k>3 областью возможных движений является вся
сфера. Для любого k рассмотренные области суще-
существенно точнее, чем области, получаемые из рис. 33 для
случая го=О (то есть £>0), и, таким образом, допол-
дополняют рассмотренную ранее картину для г0Ф0 (области,
соответствующие &<0 на рис. 33).
2. Области возможного и невозможного движения.
Полный анализ. Предыдущий анализ позволил провести
простейшую классификацию областей возможного дви-
движения с помощью кривых нулевой относительной ско-.
рости. Однако построенные области излишне широки
в том смысле, что не позволяют более точно судить
о характере движения внутри этих областей. Возможен,
вообще говоря, более подробный анализ, позволяющий
детализировать структуру рассматриваемых областей
в общем случае го=О (выше такая детализация была
проведена для частного случая го=О). В дальнейшем
изложении будут, в частности, использованы резуль-
результаты Р. Прингля, полученные им (другим способом)
в работе [88].
Интеграл B.1.11), учитывая B.1.6), запишем в виде
А Ср2 + ?) = 2А0 - iW8 + 2соСг0р"-Зсо2 (С-Л) Y > 0, |
2Ао = Л(^+^) + ^р;'2-2соСгХ + Зсо2(С-ЛO;/2. |
F.1.6)
Условие реального движения запишется в виде
Знак равенства отвечает кривым, ограничивающим об-
области возможного движения. Рассмотрение семейства
(по Ъ) этих кривых на пло-скости р", у" внутри области,
ограниченной окружностью
2 2 = 1, F.1.8)

§ 1] ОБЛАСТИ ВОЗМОЖНОГО И НЕВОЗМОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ 197
эквивалентно рассмотрению полушария единичной
сферы, причем окружность F.1.8) является меридианом
симметрии. При этом отметим следующие характерные
точки:
Р" = 0, y'/=1 — след радиуса-вектора орбиты;
р" = 0, y" = 0 — след трансверсали;
P"=l, y" = 0—-след нормали к плоскости орбиты.
Кривые второго порядка F.1.7) являются гипербо-
гиперболами при А>С (вытянутый спутник) и эллипсами при
А<С (сжатый спутник); центр и того и другого семей-
семейства кривых определяется координатами
Сг0
F.1.9)
Если кривая F.1.7) пересекает окружность F.1.8), то
координаты y"> р" точек пересечения определяются ра-
равенствами
Y =
ft" ——
i
А2®2
AA — ЗС ( 3(C — A)
A I A
4А — ЗС
Эти точки пересечения стягиваются к точкам
Сг0
Р =
(оDЛ — ЗС) *
Если
Аса
< 1 и (или)
Crn
F.1.10)
со (АА — ЗС)
< 1, то точки
F.1.9) и (или) F.1.10) являются особыми точками се-
семейства кривых на единичной сфере. Наконец, введем
кривизны Ki и Кг рассматриваемого семейства кри-
кривых в точках соответственно y" = 0> Р"=1 и y//==0,
3 (А — С)
3(С
F.1.И)

198
ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. б
Рассмотрение параметров F.1.9) — F.1.11) вместе
с неравенством F.1.7) позволяет полностью классифи-
классифицировать области возможного движения. Без ограниче-
ограничения общности предполагаем го>0.
Классификацию удобно проводить на плоскости па-
параметров -~, -д- (рис. 35); соответствующие классы
областей изображены на
рис. 36. Рассмотрим сна-
сначала случай Л>С, при
этом всегда
<т
Тип 1:
Cr0
Ad)
Области возможного
движения стягиваются к
точкам F.1.10), соответ-
соответствующим направлению
в плоскости радиус-век-
радиус-вектор— нормаль к плоско-
плоскости орбиты, под углом
р2
Рис. 35. Классификация областей
возможного движения на плоскости
параметров —, —=-.
СО А
этой нормали,
P2- Области не-
невозможного движения
стягиваются к нормалям
к плоскости орбиты. Та-
Таким образом, точки
F.1.10) отвечают реальному устойчивому движению оси
симметрии спутника: неподвижному положению в орби-
орбитальной системе (под углом р2 к нормали к плоскости
орбиты и под углом тг к трансверсали). В арсо$ю?ном
пространстве это движение является устойчивой регу-
регулярной прецессией (см. пункт 3 этого параграфа).
Тип 2: 1<^<Н^З£.
В этом случае |/Ci|>l, то есть кривизна гиперболы
больше, чем кривизна окружности F.1.8); области воз-
возможного движения стягиваются к точкам F.1.10), но
области невозможного движения стягиваются только

§ i] области возможного и Невозможного движения
к направлению отрицательной нормали (C" = —1)
к плоскости орбиты.
Тип За: -_j_ < _..
Тогда |/Ci|<l й семейство кривых не имеет особых
точек, кроме р"=±1; к точке р"=1 стягиваются
Тип!
Тип 2
Тип 3* 3
а об
Тип 5б
Тип в
Тип 5й
Тип 7
Рис. 36. Области возможного и невозможного движения в общем
случае.
области возможного движения, а к точке Р"= — 1—об-
1—области невозможного движения. (Таким образом, воз-
возможно устойчивое вращение вытянутого спутника

200 ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 6
вокруг оси, нормальной к плоскости орбиты.) Этим ис-
исчерпываются возможные случаи для вытянутого спут-
спутника.
Рассмотрим теперь сжатый спутник (Л<С<2Л).
Q
При этом область 1 < —т < 2 разобьем на полобласти
С 4 4 С
1<-j<-o-h-«-<-t-<2. В первой подобласти эллипсы
F.1.7) вытянуты вдоль оси y"> во второй подобласти —
вдоль оси р". Всегда -д~ < ,4Л _ зС) ю ' т# е* Pi < Рг
С 4
Рассмотрим подобласть 1 < -д- < -g-.
Тип 4: —х_>-^-.
Тогда |/(i|<l и эллипс, проходящий через точку
р"=1, лежит частично вне окружности F.1.8), частич-
частично — внутри этой окружности. Области возможного
движения стягиваются к точке F.1.9) и области невоз-
невозможного движения — к точкам р//==1 и р" = — 1. Таким
образом, точка F.1.9) в рассматриваемом случае отве-
отвечает реальному устойчивому движению оси симметрии
спутника: неподвижному положению в орбитальной си-
системе под углом pi, cospi —pi, к нормали к плоскости
орбиты и под углом y K радиусу-вектору орбиты.
^ - А А — ЗС ^ Сг0 . 1
Тип 5а: -л <—г*-<1.
Тогда \К\\>\ и эллипс, проходящий через точку
р"=1, лежит целиком внутри окружности F.1.8). Об-
Области возможного движения стягиваются к точке
F.1.9), а области невозможного движения — только
к точке р" — — 1.
Тип 36: ^->1.
Области возможного движения стягиваются к точке
р"=±1, а области невозможного движения — к точке
р" = — 1. От типа За отличается только тем, что гра-
границы областей суть дуги эллипсов, вытянутых вдоль
оси у'\ в то время как для типа За это были дуги ги-
гипербол.

§ 1] ОБЛАСТИ ВОЗМОЖНОГО И НЕВОЗМОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ 201
4 С
Обратимая теперь к подобласти "з"<~2'<2. В этом
случае эллипсы F.1.7) вытянуты вдоль оси р".
\ _ 4Л-ЗС
Тип об:
А
От типа 5а отличается только вытянутостью эллип-
эллипсов вдоль оси р" (а не у'\ как в 5а); области возмож-
возможного движения стягиваются в точки F.1.9), а области
невозможного движения — в точку р" =— 1.
т о Сго ^ 4А — ЗС I . 1
Тип о: —j—< т < 1.
Аы А |
В этом случае /Сг> 1, то есть эллипс, касающийся
окружности в точке р" =— 1, имеет кривизну большую,
чем окружность (в противоположность случаю 56).
Области возможного движения стягиваются в точку
F.1.9), а области невозможного движения стягиваются
в точки F.1.10). (У Прингля в работе [88] этот случай
проанализирован неверно и иллюстрирующий его чер-
чертеж ошибочен.)
Области возможного движения стягиваются в точку
р"=±1, а области невозможного движения — в точки
F.1.10).
4А-ЗС
Тип Зв: 1 <
" Аа #
От 36 отличается только тем, что области движения
ограничены дугами эллипсов, вытянутых вдоль оси р"
(а не вдоль оси у", как в 36). Области возможного
движения стягиваются к точке р"=±1, области невоз-
невозможного движения — к точке р" =— 1.
Из предыдущего анализа в частном случае го=О
следуют результаты работы [75], изложенные в конце
пункта 1 настоящего параграфа, а также, как уже
было отмечено, следует наличие устойчивых положений
оси вращения закрученного спутника в орбиталь-
орбитальной системе координат. Рассмотрим такие движения
несколько подробнее, следуя работе Ф. Л. Черно-
усько [70].
3. Регулярные прецессии спутника в гравитационном
поле и их устойчивость. Проведенный анализ позволяет
заключить, что равновесные положения оси симметрии

202 влияние гравитационных возмущений [гл. 6
спутника в орбитальной системе координат, соответ-
соответствующие регулярной прецессии в неподвижной си-
системе, могут быть трех типов: 1) типа F.1.9); 2) типа
F.1.10); 3) совпадение оси симметрии спутника с нор-
нормалью к плоскости орбиты (при произвольной скорости
вращения вокруг этой оси). В [70] показано, что других
регулярных прецессий быть не может. При этом
где фп — угловая скорость собственного вращения, со —
угловая скорость прецессии, равная угловой скорости
движения центра масс спутника по орбите, а 9П — угол
оси спутника с нормалью к плоскости орбиты (угол
нутации), так что cos9n~P". Тогда возможные режимы
регулярной прецессии удобно представить в виде трех
однопараметрических семейств:
6л = 0, a" = Y" = 0, р"=1, Фл = Фл0; F.1.12)
y"=o, p^
F.1.13)
„0 a"=0, p"=cos9rt0, фл0=4(Л-С)С-1а)со8е/г0-
F.1.14)
Параметром в F.1.12) служит фп0, а в F.1.13) и
F.1.14)—угол Эпо, лежащий, по допущению (го>О),
в первой четверти. Решения F.1.13) — F.1.14) получены
другим способом в работах В. Т. Кондураря и Г. Н. Ду-
бошина (см., например, [34, 46]).
Найдем достаточные условия устойчивости движе-
движений F.1.12) — F.1.14), следуя методу Н. Г. Четаева.
Первый интеграл уравнений относительного движения
спутника на круговой орбите B.1.11) в случае дина-
динамической симметрии имеет вид
Кроме того, из-за условия динамической симметрии
имеем первый интеграл г + ор = г0. Будем подбирать
постоянные k\, $ так, чтобы первый интеграл V=
=Л + к\Го •+• ^2/"о имел строгий минимум при значениях

5 1] ОБЛАСТИ ВОЗМОЖНОГО И НЕВОЗМОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ 203
своих аргументов, соответствующих одному из движе-
движений F.1.12) — F.1.14). Заметим, что для всех этих дви-
движений
/? = <7 = 0, г = фл0.
В возмущенном движении
p = uv q = uv г = фл0 + й3, а" = а;'в + и4,
где анв» Рнв» Yhb — значения направляющих косинусов
в невозмущенном движении; при этом при подстановке
в функцию Ляпунова V один из направляющих коси-
косинусов следует исключить с помощью соотношения
а-\-$" ~\-у" =1. Тогда, как легко убедиться, первый
интеграл V, рассматриваемый как функция переменных
пи имеет строгий минимум в точке щ = 0 при нижесле-
нижеследующих условиях. Для невозмущенного движенияF.1.12)
фл0>(Л-С)со/С при Л<С, 1
} F.1.15)
Фл0>4(Л — С)о/С при Л>С. )
Для невозмущенного движения F.1.13)
Л<С. F.1.16)
Для невозмущенного движения F.1.14)
Л>С. F.1.17)
В силу известной теоремы об устойчивости условия
F.1.15) —F.1.17) являются достаточными условиями
устойчивости движений F.1.12) — F.1.14) соответ-
соответственно.
Сопоставим найденные достаточные условия с необ-
необходимыми условиями устойчивости. Эти условия полу-
получатся, если линеаризовать уравнения движения около
решений F.1.12) —F.1.14) и потребовать, чтобы веще-
вещественные части всех корней характеристического

204
ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 6
уравнения системы линейного приближения были не по-
положительны.
Исследование устойчивости движения F.1.12) при-
приводит к следующим необходимым условиям. Пусть
е= С/Л, s = (pnO/co. Тог-
Тогда при е ^> 1 для
устойчивости необхо-
необходимо, чтобы выполня-
выполнялось одно из двух не-
неравенств:
s< 4(8-1-1),
F.1.18)
С//д а при е < 1 необходи-
необходимо либо
5>4(8 —1), F.1.19)
либо одновременное
выполнение двух усло-
условий:
/1—8—85
— 4е — &s <
<2 —е —es.
F.1.20)
Достаточные усло-
условия F.1.15) лишь стро-
строгим знаком неравенст-
неравенства отличаются от пер-
первого условия F.1.18)
и условия F.1.19). На рис. 37 изображены области,
определяемые неравенствами F.1.18) — F.1.20), в пло-
плоскости параметров е, 5. В области / заведомо имеется
устойчивость (выполнены достаточные условия), в об-
областях 2 — неустойчивость (нарушены необходимые
условия), а в области 3 выполнены лишь необходимые
Рис. 37. Области устойчивости (/),
неустойчивости B) и выполнения не-
необходимых условий устойчивости C)
в случае вращения спутника вокруг
оси, нормальной к плоскости орбиты.

§ 1] ОБЛАСТИ ВОЗМОЖНОГО И НЕВОЗМОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ 205
условия устойчивости. Границы областей /, 2 и 2, 3
имеют асимптоту е = 0, а граница областей 2, 3 при
е<1 пересекает ось е при е=е*=C У~Ь — 5)/2 » 0,854.
Отметим, что в области 3 есть точки (s->—оо, а также
прямая 8=1), соответствующие заведомо устойчивым
режимам движения. Устойчивость рассматриваемого
движения анализировалась также в работе [93], в кото-
которой, однако, график областей устойчивости неверен,
особенно вблизи е=1: на нем нет области неустойчи-
неустойчивости при е>1.
Необходимые условия устойчивости движений
F.1.13), F.1.14) получены в работе Г. Н. Дубошина [34].
Для устойчивости движения F.1.13) необходимо А^С,
Найденное выше достаточное условие F.1.16) отличает-
отличается от необходимого лишь строгим знаком неравенства.
Для устойчивости движения F.1.14) необходимо
либо А^-С (е<1), либо одновременное выполнение
двух условий [34]:
е>у, COSOn0> 27е2(е_1) '
F.1.21)
На рис. 38 для движения F.1.14) даны области заве-
заведомой устойчивости /, неустойчивости 2 и область 3
выполнения необходимых условий F.1.21). Криволиней-
Криволинейная граница между областями 2, 3 имеет минимум
6по=я/4 при е = С/Л = 5/3.
Рассмотрим некоторые частные случаи. При фпо=
«=—со (s =— 1) решение F.1.12) описывает поступа-
поступательное движение спутника, ось динамической симме-
симметрии z' которого перпендикулярна к плоскости орбиты
(фпо — относительная угловая скорость). Из получен-
полученных выше условий следует, что это движение может
быть устойчивым лишь для спутника, у которого
При фгго=О E = 0) движение F.1.12) представляет
собой положение относительного равновесия спутника

206
ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 6
на круговой орбите, при котором его ось zr перпенди-
перпендикулярна к плоскости орбиты. Условия F.1.15), F.1.20)
показывают, что это положение равновесия устойчиво
при А<С и неустойчиво при С/А<е*«0,854. Этот ре-
результат вытекает также
f
з
с/л
из рассмотрения главы 2
(рис. 21).
При 0rt0 = Y движе-
движения F.1.13), F.1.14) пе-
переходят в два других по-
положения относительного
равновесия спутника на
круговой орбите: ось zf
направлена по касатель-
касательной к орбите или по ра-
радиусу-вектору R. Из по-
полученных условий сле-
следует, что ориентация оси
спутника zr по касатель-
касательной к орбите устойчива
при А<С и неустойчива
при Л>С, что несколько
расширяет результаты главы 2 (рис. 21), а ориентация
ее по радиусу-вектору устойчива при Л>С и неустойчива
при А<С.
§ 2. ВЕКОВЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
Общая теория ротационного движения динамически
симметричного спутника под действием возмущений,
имеющих силовую функцию (глава 5, § 4), полностью
применима к случаю гравитационных возмущений.
Из A.2.7) и E.4.11) с учетом A.1.8) следует, что
движение динамически симметричного спутника в гра-
гравитационном поле определяется силовой функцией
. F.2.1)
Рис. 38. Области устойчивости (/),
неустойчивости B) и выполнения
необходимых условий устойчи-
устойчивости C) для спутника, ось сим-
симметрии которого нормальна к
трансверсали орбиты.
Согласно E.4.11) и E.4.13) получим осредненные по

§ 2] ВЕКОВЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 207
а также по \|) и по v значения £/v:
X sin2 p cos2 (a — v), F.2.2)
F.2.3)
(отброшен несущественный для движения аддитивный
член).
Как было показано в § 4 главы 5, возмущенное дви-
движение будет являться регулярной прецессией вокруг
постоянного по величине вектора кинетического мо-
момента L с постоянным угловым расстоянием /&=='О<о
между осью симметрии и вектором L\ вековое движе-
движение вектора L определяется уравнениями E.4.13),
F.2.3):
do
do 3 j/""jl (А — С) Г 3
Г 3 . 9 а I /с п л\
L ^ T°sp0* ( ]
В вековом движении вектор кинетического момента
прецессирует вокруг нормали к плоскости орбиты на
постоянном угловом расстоянии с угловой скоростью,
пропорциональной (с постоянным коэффициентом про-
пропорциональности) угловой скорости движения центра
масс по эллиптической орбите. В частном случае кру-
говои орбиты получим V —со0/, ~^ = ©о и прецессия
L будет происходить равномерно по времени. Переходя
в E.4.10) к независимой переменной v и осредняя по v,
получим выражение для угловой скорости прецессии
оси спутника вокруг вектора L :
т, Т Lo 3 У^А-С
2л А * 2 P*l> Lo
— 3cos2pcos2d). F.2.5)
Здесь Т — период обращения спутника.
Формула F.2.5) дает не только основной член в вы-
выражении угловой скорости прецессии, но и вековую

208
ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 6
(постоянную здесь) добавку к этой скорости за счет
влияния гравитационных возмущений. Добавочный член
в реальных случаях весьма мал по сравнению с основ-
основным членом.
Правые части формул F.2.4), F.2.5), как следует из
самого смысла осреднения по v, показывают изменение
элементов движения при изменении истинной аномалии
v на один радиан.
Примеры. 1. Найдем максимальное приращение
угла а при изменении v на 1 радиан, если угол нута-
нутации О=0 (Ь = Сго — вращение относительно оси г'с уг-
угловой скоростью Го) и центр масс спутника движется
по круговой орбите. Тогда [w]max = T7^ D ~ 1) '
В таблице 6 приведена зависимость со0 от высоты h ор-
орбиты.
Таблица 6
Л, км
ю0, °1сек
225
0,0675
300
0.0664
500
0.0635
1000
0.0571
Значения Да в функции величин —- и -q приведены
в таблице 7.
Таблица 7
-J-l-F- , °lpad
\ -
од
0,01
0,001
0,5
—4,1
—0,41
—0,041
2
8,2
0,82
0,082
11
(82)
8,2 |
0,82
101
(820)
(82)
8,2

§2]
ВЕКОВЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
209
Значения Да, обведенные в правом верхнем углу таб-
таблицы, показывают, что в этой области формулы, полу-
полученные осреднением, не верны, так как здесь не выпол-
выполняется предположение о достаточно медленном движе-
движении вектора кинетического момента по сравнению с
движением центра масс спутника.
2. Найдем максимальное приращение угла а при из-
изменении v на 1 радиан, если угол нутации 0 = 90°
(L = Ap0 — вращение относительно поперечной оси с уг-
угловой скоростью ро); спутник движется по круговой ор-
орбите. Тогда |-^-1 =Да = —-г~A гI • Резуль-
L dv Jmax 4 р0 \ A) J
таты расчета сведем в таблицу 8.
Таблица 8
\. А
ол
0,01
0.001
0.5
4.1
0.41
0,041
2
—2,05
—0,205
—0,0205
11
—3,85
—0.385
—0.0385
101
—4,0
—0,4
—0,04
Для третьего советского спутника приближенные
значения параметров таковы: -£- = 2,5; /?0~2,5 °/сек\
О~90°. Тогда Да = 0,7 °1рад, а при произвольном
р==р0 получим Да = 0,7 cos ро°/рад.
3. Период Т3 лунно-солнечной прецессии земной оси
вычисляется по легко находимой из F.2.4) формуле:
1 . 3 А —С ( 0П
где М3/Л1Л=81—отношение масс Земли и Луны,
360
360
360 0/
л = -2з~ /суш — угловые скорости
14 В. В. Белецкий

210 влияние гравитационных возмущений [гл. в
соответственно движения Земли вокруг Солнца и дви-
движения Луны вокруг Земли; го = 3&О°/сут — угловая ско-
скорость собственного вращения Земли; ро = 23°,5—наклон
А с
экватора Земли к эклиптике; —^—=0,0033. Вычисле-
Вычисления дают: Т ^26 000 лет.
о
§ 3. ОБЩИЕ ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ
Уравнения E.4.12) при подстановке в них значе-
значения Uv из F.2.2) дают
-JL = N0(l +£cosv)cos(a — v)sin(a — v) sinp,
da
-_. = iV0 A + ^ cos v) cos2 (a — v) cos p,
uV
F.3.1)
F.3.2)
Согласно общей теории (§ 4 главы 5), движение вокруг
вектора кинетического момента остается почти неизмен-
неизменной регулярной прецессией, причем параметры L = L0,
r = r0, О=0о остаются постоянными, а скорость прецес-
прецессии ф в силу E.4.10) и F.2.2) будет
A + е cos v) cos2 (a — v) X
X {(l — I" sin2 o) cos2 p — |- sin О cos О sin2 pf « ^. F.3.3)
Исследование возмущенного движения сводится к ис-
исследованию уравнений F.3.1) движения вектора L.
В решении этих уравнений на вековое движение F.2.4)
накладываются еще периодические колебания аир
с небольшой (при малых значениях No) амплитудой и
периодом, сравнимым с 2я. Так как v меняется сравни-
сравнительно быстро, а a—медленно, то a — v меняется бы-
быстро и поэтому многократно проходит через экстремаль-
экстремальные значения (в тех точках, где x = a — v имеет значе-
значения ±4я; л=*0, 1, 2, ...J.

§ 3] ОВЩИЕ ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЙ 211
Угол V между касательной к траектории и меридиа-
меридианом на единичной сфере определяется формулой
te v = ^г- = cte (° ~v)cos P- <6-3-4)
При a — v = 0 и a — v=±jx получим tgV=oo, и, сле-
следовательно, траектория касается параллели (и имеет
точку экстремума). При a — v=±y и a — v=±-^n
получим tg V=0: траектория имеет точку возврата. Из
F.3.4) следует также, что траектория может проходить
значения р = 90° только под прямым углом к экватору
единичной сферы, а также, что при ро<9О° точки воз-
возврата являются точками минимума р, а точки каса-
касания— точками максимума р (рис. 39). При р>90э
Рис. 39. Движение вектора кинетического момента под
действием гравитационных возмущений: а) эллиптиче-
эллиптическая орбита; б) круговая орбита.
картина обратная, в результате чего заострения траек-
траектории р(а) обращены к полюсам единичной сферы. При
р<90° траектория проходится в одном направлении
(в сторону увеличения а, если Afo>O), а при р>90° —
в противоположном. Следует еще отметить, что ампли-
амплитуда колебаний р тем меньше, а скорость изменения a
тем больше, чем ближе значение р к 0 или я. Так как
при прохождении через Р = *2" направление движения
14*

212
ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. б
меняется, то в окрестности Р = -9" траектории носят спе-
специфический характер — имеют петли. Траектории для
этого случая изображены на рис. 40. В окрестности
р.град
89,5
п б, град
90,4
Рис. 40. Движение вектора кинетического момента в окрестности
плоскости орбиты (гравитационные возмущения).
р = у скорость изменения а, как видно из второго
уравнения F.3.1), весьма мала; поэтому петли траек-
траектории имеют очень малую ширину и сдвигаются очень
медленно. В частности, существуют периодические
траектории (с неподвижной петлей).
§ 4. СЛУЧАЙ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
В случае круговой орбиты приблизительную неиз-
неизменность величины L вектора кинетического момента
можно доказать с помощью интеграла энергии Якоби
B.1.5). Этот интеграл энергии после простых преобра-
преобразований приводится к виду
Индексом 0 отмечены начальные значения соответствую-

§ 4] СЛУЧАЙ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ 213
щих величин. Решая относительно L последнее квад-
квадратное уравнение (и выбирая перед радикалом знак
плюс из-за условия L = L0 при р = ро), получим
L = соЛсоБр -f- А)A —2-^—cosp0 —
где 0 1—2~") содержит члены только второго и выше
порядка малости, причем coA<^L0 в силу основного до-
допущения о ротационном движении. Отсюда с точностью
до членов по крайней мере первого порядка малости
L^L0. На самом деле это равенство справедливо с точ-
точностью до членов второго порядка, так как величина
-у— (cosp — cosp0) является величиной по крайней мере
второго порядка малости, поскольку cos р — cos р0 —
малая величина по крайней мере первого порядка, как
будет ясно из дальнейшего.
В случае круговой орбиты е = 0, -Цр —соо. Введем
новую переменную xv=a — v. Тогда уравнения F.3.1)
принимают вид E.4.15):
— = No sin p sin xv cos xv, -^ = 1 — Af0 cos p cos2 xv, F.4.1)
и имеют первый интеграл E.4.16):
cos2 xv sin2 p + a* cos p = C, a* = ~-. F.4.2)
В силу основного допущения о том, что кинетическая
энергия вращения достаточно велика, следует считать
величину jV0 достаточно малой, а величину а* — доста-
достаточно большой (по абсолютной величине). Однако, если
движение рассматривается на небольшом интервале

214 ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ (ГЛ. 6
значений v (порядка одного оборота по орбите, что
представляет интерес, например, при исследований
движения спутника Солнца), допустимо рассмотрение
случая |jV0|>1.
Уравнение F.4.2) можно записать в виде
cos zL = УС — a* cos p; cos zL = cos xv sin p, F.4.3)
где zL — угол между вектором кинетического момента
L и текущим радиусом-вектором орбиты г.
Из F.4.3) следует, что — sin p < cos eL < sin p. Это
неравенство вместе с интегралом F.4.3) позволяет по-
построить траектории следа вектора L на единичной
сфере. Подробно процесс построения таких траекторий
описан в главе 8. Оказывается, что синусоиды ± sin p
переходят в меридиан сферы, относительно которого все
Рис. 41. Движение вектора кине- Рис. 42. Движение вектора
тического момента относительно кинетического момента от-
орбитальной системы координат, носительно орбитальной
1NQ1 > 1. системы координат. \NQ1 < 1.
траектории симметричны (меридиан симметрии). На
этом меридиане лежат полюсы 1, 2, 5, 4 траекторий;
один из полюсов неустойчив (рис. 41). Вектор L опи-
описывает замкнутую кривую во вращающейся системе ко-
координат #, *с, г вокруг одного из полюсов 2, 5, 4. На
рис. 41 разобран случай а*>0. При а*<0 получится
симметричная (относительно экватора сферы) картина.

§ 5] СЛУЧАЙ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ 215
Полюсы 3 и 4 имеются не всегда, а только когда а*
достаточно мало. Координата р* этих полюсов, как вид-
но из F.4.1), определяется равенством
При больших а* эти «косые полюсы» сползают к по-
полюсу п, совмещаясь с ним в пределе при |а*|=2. При
|а*|>2, то есть при |М0|-<1, прецессия вектора L про-
происходит только относительно нормали п к плоскости ор-
орбиты. Траектория конца вектора кинетического момента
во вращающейся системе координат при этом будет
иметь вид, показанный на рис. 42. Этим случаем доста-
достаточно малых возмущений ограничимся в дальнейшем
рассмотрении.
§ 5. СЛУЧАЙ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Выразим cos xv и sin xv через р с помощью F.4.2),
подставим в первое из уравнений F.4.1) и введем пере-
переменную x = cosp. Будем считать, что 0<А'0<1. Без огра-
ограничения общности потребуем, чтобы xvo =0 при v = 0.
Тогда C = sin2 po + a* cos ро и первое из уравнений F.4.1)
сводится к квадратуре
- хг = /2ЛГ0 /П*), f (х) = (х - хг) (х - х2) (х - *3),
Sin2p Х2 = -щ— COSp0, X3
F.5.1)
Имеем x2>Xi>x3y f(x)-+±oo при л:->±оо; следова-
следовательно, в интервалах хг<х<х^ и х{<х<х2 имеют место
соответственно положительный максимум и отрицатель-
отрицательный минимум; область реального движения (f(x)>0)
будет x3<x<Xi. Интегрируя теперь F.5.1), обращая эл-
эллиптический интеграл, получим для x = cosp
F.5.2)
О1/Т-Цу— и = у\— yv0cosp0v.
2 у 1 — No cos po

216 ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 6
Далее, из F.4.2) после некоторых преобразований не-
нетрудно получить
сп (и, k)
cos х = —г о .
1/ 1 — No cos p0 sn2 (u, k) ~ sin2 p0 sn4 (u, k)
F.5.3)
Кроме того, F.4.3) дает
cose^ = cos e^ocn (ii, k)\ cose^0 = sinp0. F.5.4)
Нетрудно показать, что модуль эллиптических функ-
функций k<\ при jV0<1. Если в F.5.2) — F.5.4) положить
вместо р новую переменную р = я — р и заменить Мо на
|Л^о|, то получим формулы для случая /V0<0, |NO|<1.
Проанализируем движение на основе формул F.5.2) —
F.5.4). Под периодом Т9 колебаний угла р будем пони-
понимать угол изменения истинной аномалии v, соответствую-
соответствующий однократному изменению угла р от некоторого зна-
значения р = р* до этого же значения р*. Как следует из
F.5.2),
т
F.5.5)
Здесь K(k2)—полный эллиптический интеграл первого
рода; вторая часть формулы F.5.5) получена разложе-
разложением в ряд по Л^о. Из F.5.2) следует, что величина
-~sin2p0 есть амплитуда колебаний cos р, которая, как
видно, стремится к 0 при р0 —► 0, я. Амплитуда Др малых
колебаний угла р легко получается отсюда и оказывается
|Лр| = -~sinp0 . Например, для спутника с параме-
параметрами, близкими к параметрам третьего советского спут-
спутника, в § 2 настоящей главы был получен вековой уход
Aa = -22-cosp0 = 0,7cosp0 °/рад; для амплитуды Ар со-
соответственно получим Др = 0°,7 sin dq.

§ 5] СЛУЧАЙ КРУГОВОЙ ОРъШЫ 217
Формула F.5.2) показывает, что при произвольном
ро угол р не может достигнуть нуля, так как всегда вы-
выполняется неравенство cos po + -2^sin2po < 1, эквива-
эквивалентное очевидному неравенству No cos2 -у- < 1. Если
ро=О, то при любом v текущее значение р — 0, то есть
вектор L все время совпадает с нормалью к орбите.
Как следует из F.4.1), угол xv возрастает с некото-
некоторыми колебаниями, а период cos xv (см. F.5.3)) в два
раза больше периода нутационных колебаний:
Гк = 2ГР = 4КР . F.5.6)
VI — N0cospo
При изменении истинной аномалий v на угол Тк угол uv
изменится на 2я, поэтому угол а меняется за это же
время на величину
~ sin2 Po)] .
F.5.7)
Формула F.5.7) дает вековое приращение Да угла о
при изменении v не на 2я (один оборот спутника по ор-
орбите), а при изменении v на угол 2ГР, равный удвоен-
удвоенному периоду нутации.
Формула F.5.7), в отличие от F.2.4), показывает,
что и при ро — 90° будет иметь место вековой уход век-
вектора L (второго порядка малости).
Можно найти такое значение ро = р*, при котором
векового ухода не будет. Положив в F.5.7) Да=0, по-
получим (приближенно)
-441
Искомое значение р* при положительном Wo несколько
превышает 90°, а при отрицательном Af0 несколько
меньше 90°. При значении Р, = Ро траектория р(а) по-
получится замкнутой (периодической). В точности р^ соот-
соответствует решению трансцендентного уравнения ГР==я.

218
Влияние гравитационных возмущений
[ГЛ.
§ 6. СЛУЧАЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
Движение вектора кинетического момента в случае
эллиптической орбиты (еФО) описывается уравнения-
уравнениями F.3.1). Малость множителя No позволяет получить
приближенные решения уравнений F.3.1) при исполь-
использовании, например, метода последовательных приближе-
приближений или других методов.
Уравнения F.2.4) дают решение в первом приближе-
приближении:
+ 1V о / л* /* 1 \
-nr-COSp0V. @.0.1)
Формулы F.6.1) содержат только члены, описывающие
вековые движения. Чтобы получить следующее прибли-
приближение, можно подставить F.6.1) в правые части ура-
уравнений F.3.1) и проинтегрировать последние. Однако в
силу малости No достаточно при такой подстановке ис-
использовать нулевое приближение р = ро, а = ао. Тогда ин-
интегрирование уравнений F.3.1) дает
Р = Ро + ^ sin ро | [cos 2 (v — о0) — cos 2a0]
-f e [cos (v — 2а0) — cos 2а0] +
+ -1 [cos Cv - 2а0) - cos 2а0]} = Р; + Др (v),
а = ао + ^Г cos po{v — *si
+ sin 2a0] + -J [sin Cv — 2a0) -+- sin 2a0] | ==s
В этих формулах обозначено: pj, a* — сумма постоян-
постоянных членов, а Ap(v) и Aa(v) —периодические добавки,
описывающие колебания вектора L кинетического мо-
момента, накладывающиеся на основное (вековое) дви-
движение»
Рассмотрим картину периодического движения век-
вектора L. При этом полезно рассмотреть сначала уже

§ 6] СЛУЧАЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ 219
разобранный в §§ 4, 5 случай круговой орбиты. В этом
случае е = 0, и из F.6.2) получим
Др = — Мо sin р0 cos 2 (v — а0), Да = -j- No cos р0 sin 2 (v—а0).
F.6.3)
Угловым перемещениям Др и Да поставим в соответ-
соответствие линейные перемещения на поверхности единичной
сферы
Д 6
Тогда из F.6.3) получим
-j- sin р01 I -£-
sin р0 cos
Таким образом, периодическое движение конца вектора
кинетического момента L в случае круговой орбиты
происходит по эллипсу F.6.4). Поскольку еще имеет ме-
место и вековое движенце, то эллипс F.6.4) перемещается
по сфере, причем его центр движется по параллели, со-
соответствующей р== р*. В результате этих двух движе-
движений получается траектория (рис. 39), имеющая, как
было показано в § 3, точки возврата.
В случае эллиптической орбиты е ф 0. Основное от-
отличие движения на эллиптической орбите от движения
на круговой орбите состоит в том, что чередующиеся
максимумы и минимумы значений р не равны друг
другу. Из уравнений F.3.1) видно, что р достигает
экстремальных значений при sin 2 (a — v)=0 или, при-
приближенно, при sin2(a0 — v)=0, то есть при а0 — v = fiyt
м=1, 2, 3, ... Обозначив экстремальные значения р
через pi, i=l, 2, 3, 4, получим из F.6.2):
Pi = Ро + ^оsin Po [ 2"sin2 ao + -j (cosa0—cos 2ao)j,
P2 = Po — wo sin Po [ o"cos2 ao—4 (sln <*о—cos 2ao)l,
1 e \
Рз = Po + Nosin Po [ 2~sin2 °o — -3 (cosao+cos 2ao)J,
P4 = Po — Nosin Po [ cos2 ao 4-g- (sin ^o+cos 2ao)J .

220 ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 6
При iVosinpo>O pi и рз—максимумы, р2 и р4—мини-
р4—минимумы; наличие членов, содержащих е, предопределяет
неравенство максимумов (р1=£рз), а также неравенство
минимумов (р2=£р4). При N0>0, 0<!ао<^900 легко убе-
убедиться, что р1>рг, Р2<Рз, Р2>Р4, Р1>рз и характер зави-
зависимости p(v) будет такой, как это изображено на рис. 43.
Рис. 43. Схема зависимости p(v) на
эллиптической орбите.
При ао=О минимумы оказываются равными: р2 = р4 при
е = 0, кроме того, и максимумы равны между собой:
Р1 = рз-
Аналогичным путем нетрудно получить график пе-
периодической части от a(v — a0); этот график на интер-
интервале 0<v — ао<2я также будет иметь 4 экстремума
B минимума и 2 максимума). Его основное отличие от
графика рис. 43 состоит в наличии сдвига по фазе отно-
относительно кривой p(v — Go).
Рассматривая графики p(v — (То) и a(v — во) со-
совместно, можно построить фигуры, описываемые на еди-
единичной сфере следом вектора L кинетического момента.
Как ясно из предыдущего, эти фигуры описываются век-
вектором L за счет периодических членов и являются ана-
аналогами эллипса F.6.4) для круговой орбиты, то есть
не учитывается вековое смещение центров фигур. На
рис. 44, а показана схема фигуры для случая ао=О,
е ф 0. В этом случае минимумы равны (р2=р4). Полный
период движения по фигуре равен периоду То обраще-
обращения центра масс спутника по эллиптической орбите. При
уменьшении эксцентриситета размеры внутренней и

§6]
СЛУЧАЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
221
внешней петель фигуры приближаются друг к другу
(рис. 44, б, б), так что в пределе при е -> 0 петли сли-
сливаются в один эллипс F.6.4); период движения следа
вектора L по этому эллипсу становится Г = Г0/2
(рис. 44, б). Общий случай а0 Ф 0, е ф 0 изображен схе-
схематично на рис. 44, г. С учетом векового движения цен-
центров фигур получится, что траектория следа вектора L
Рис. 44. Траектория вектора кинетического момента в пе-
периодическом движении (вековое движение исключено).
на единичной сфере, как было показано в § 3, будет
иметь точки заострения, и в общем случае, соответствую-
соответствующем рис. 44, г, траектория будет иметь вид, указанный
на рис. 39. Таким образом, в случае эллиптической ор-
орбиты картина движения зависит не только от эксцентри-
эксцентриситета е орбиты, но и от начального положения век-
вектора L относительно радиуса-вектора перигея орбиты,
то есть от параметра во.
Напомним, что на движение L еще накладывается
движение оси спутника вокруг вектора L, которая с по-
постоянным углом нутации Фо прецессирует вокруг век-
вектора кинетического момента.
В заключение приведем некоторые числовые при-
примеры, иллюстрирующие существенность рассмотренных
эффектов.
Пример 1. Периодическое движение век-
вектора L. Начальные условия выбраны согласно F.5.8).
Спутник Земли движется по круговой орбите (£ = 0) на
д
высоте h — 500 км\ О0 = 0; -£- = 2,5; г<>= 10 °/сек. Траек-

222
ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 6
-89.*
тория конца вектора L в этом случае изображена на
рис. 45. Оказалось, что L совершает незначительные
колебания: по р — более за-
заметные (Др = 0°,8), по а —
ничтожные (Да=0°,0036).
2. Движение на
сильно эллиптической
орбите. Высота апогея
Ла = 10 000 км; высота пери-
перигея hn = 300 км; е = 0,421; пе-
период обращения Г0=205т=
= 3h25m. Параметры спутни-
л
Kd. Uo — V у м)— *^ /СсгС, ~р=г ——
=--2,5. Начальные данные: сго=45°; ро=45°. Оказалось,
что период изменения р приблизительно равен периоду
б,градр}грсд
б, град
Рис. 45. Периодическая траек-
траектория вектора кинетического
момента.
49
Ъ
47
46
О 99 140 166 189 214 251/
333{
Рис. 46. Пример зависимостей р (v) и a (v).
обращения спутника по орбите (рис. 46). Размах коле-
колебаний [Др]тах=0°,5. Основной эффект — вековое измене-
изменение а: за один оборот спутника по орбите вектор L повора^
адр.ается вокруг нормали к плоскости орбиты на Да=2°,7,

§6]
СЛУЧАЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
3. Оценка влияния вибрационных ч л е-
нов (обусловленных прецессией). Решение
проведено численным интегрированием неосредненных
уравнений E.4.3) (сплошные кривые на рис. 47), а также
Рис. 47. Пример зависимостей р (v)
и a (v) с учетом вибрационных чле-
членов (сплошные линии) и без их
учета (пунктирные линии).
по приближенным формулам настоящей главы (пунктир-
(пунктирные кривые на рис. 47). В примере взяты следующие зна-
значения параметров и начальных данных: А — 50 кГ * м • сек2,
С=20 кГ. м • сек2, Lo = 3,49 кГ • м • сек, *0 = 70°, что соответ-
соответствует начальной угловой скорости прецессии ^ = 4°/сек
и угловой скорости по оси симметрии Го — 3,4 °/сек\ ор-
орбита сильно эллиптическая: Лл^ЗОО км, /га = 10 000 км
(^ = 0,421; Р^9478 км). Начальные данные: ао = О,
ро=45°. Видим из рис. 47, например, что если за
счет периодических членов приращение р составляет

224 ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ТЛ. 6
(Др)п~0°,15, то за счет вибрационных членов (Др)в~
~0°,001-h0°,005.
Можно заключить, что основные эффекты движения
обусловлены влиянием вековых членов: это влияние
должно всегда учитываться. В тех случаях, когда тре-
требуется повышенная точность анализа, кроме вековых
членов должны быть учтены периодические члены. Ви-
Вибрационные члены учитывать нет необходимости, так
как они пренебрежимо малы.
§ 7. ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
НА СПУТНИК С ТРЕХОСНЫМ ЭЛЛИПСОИДОМ
ИНЕРЦИИ [71]
Примененный в предыдущих параграфах метод ис*
следования — метод осреднения — является, по суще-
существу, асимптотическим методом Н. М. Крылова —
Н. Н. Боголюбова [19] в форме, развитой В. М. Волосо-
вым [23, 24], которым рассмотрена система вида
x = eX(x,y,t,e), y = V(x, у, t, г). е<1, F.7.1)
где х, X — n-мерные, а у, Y — m-мерные вектор-функ-
вектор-функции, е — малый параметр. Величины х будут «медлен-
«медленными», а у — «быстрыми» переменными. Общее решение
невозмущенной (вырожденной) системы
х = const, y = Y(xy у, U 0), F.7.2)
которая получается из F.7.1) при е —0, предполагается
известным. Обозначим это решение, удовлетворяющее
произвольным начальным данным f/(^o)=f/o, через
У(Х9 Уоу 0- Асимптотическое решение системы F.7.1) в
k-м приближении ищется в виде
где переменные |, т) удовлетворяют системе £-го прибли-
приближения
= еД (I) + еМ2 (!)+...+ еМ4 (I), 1

§ 7] СПУТНИК С ТРЕХОСНЫМ ЭЛЛИПСОИДОМ ИНЕРЦИИ 225
причем Л4(|) получается осреднением функции X вдоль
решений невозмущенного движения F.7.2):
АгA) = М,{ХA,у, <,0)}. F.7.5)
to + T
Mt[f(x, У, /)} = lim 4- Г fk. </(*. f/o. <)• 'I*"- F-7-6)
Предполагается, что результат осреднения в F.7.5) не
зависит от начальных данных tQ, y0, что имеет место для
широкого класса случаев. В работах [23, 24] указан ал-
алгоритм построения функций иг, viy Aiy В{ и формули-
формулируются теоремы, обосновывающие метод. При некоторых
общих ограничениях отличие &-го приближения F.7.3)
от точного решения будет для переменных х величиной
порядка ekt а для переменных у — величиной порядка
sh~l на интервале изменения / порядка е~1. Система
F.7.4) значительно проще исходной, так как уравнения
для | автономны и интегрируются отдельно. Системы
уравнений E.3.6), E.4.3), E.5.2) и E.5.5) возмущенного
вращения спутника относятся к типу F.7.1). Роль «быст-
«быстрых» переменных играют, например, эйлеровы углы,
роль «медленных» переменных — величина и угловые
координаты вектора кинетического момента. В предыду-
предыдущих параграфах метод осреднения применялся для ис-
исследования уравнений E.4.3) вращения динамически
симметричного спутника. Этот же метод может быть с
успехом применен для исследования уравнений E.5.2)
и E.5.5) вращения спутника с трехосным эллипсоидом
инерции.
Такое исследование проведено Ф. Л. Черноусько [71].
Им рассмотрены два способа введения малого пара-
параметра е: 1) эллипсоид инерции мало отличается от сфе-
сферы, так что Л=/0 + е/Г; B = J0 + eB'; CWo + eC; 2) угло-
угловая скорость относительного движения спутника суще-
ственно больше средней угловой скорости соо = -^г-
* о
орбитального движения (Го — период обращения спут-
спутника), так что е~-т^-<С1; моменты инерции произ-
вольные (А^В^С). Здесь будет изложен второй из
15 В. В. Белецкий

226 ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. б
указанных случаев, как наиболее интересный и непо-
непосредственно обобщающий предыдущие результаты. Этот
случай соответствует большой кинетической энергии вра-
вращения (по сравнению с работой внешних сил).
Компоненты момента гравитационных сил для трех-
трехосного спутника могут быть представлены в виде
3 _ __
Мх = Зщ A + е cosvK A — е2)'3 2 Ру (ЙАу-Рз52у)>
y=i
3
М2 = 3^A + е cos vK(l -ё2)'3 2 Р/
у = 1
>7./
АГз = 3^ A + е cos vK(l -e2) 2 Ру (РАу-РАу).
Sij = Aanan + Bai2aj2 + Cai3ajz.
Здесь аи, т даются формулами A.1.5), а р;- суть на-
направляющие косинусы радиуса-вектора г с осями Lu
Z,2, L. Нетрудно определить, что
Pj = cos p cos (v — а), Рз = sin (v — а), р3 = sin p cos (v—а)
Уравнениями движения являются уравнения E.5.2) и
E.5.5) после подстановки в них выражений Мг из
F.7.7). Невозмущенное движение (е = 0) будет движе-
движением Эйлера — Пуансо, величины L, p, a, a также кине-
кинетическая энергия Т постоянны. Функция \p(t) предста-
вима в виде ty = tyi(t) -\-ty2(t), причем О, ф, xpi периодичны
по / с периодом т движения вектора L по полодиям
(или получают за время т постоянное приращение 2я);
^2=~^7-> причем периоды т и т', зависящие от L и Г,
вообще говоря, несоизмеримы. В возмущенном движе-
движении величина Т удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению
J- 2Г лл , г „._ .а Г .а/§1п2ф , COS2 ф 1
X (М2 cos яр — Мх sin )
\ F.7.8)

§ 7] СПУТНИК С ТРЕХОСНЫМ ЭЛЛИПСОИДОМ ИНЕРЦИИ 227
«Медленными» (х) переменными в возмущенном дви-
движении будут L, р, а, Г, а «быстрыми» (у) — ф и г|). Ве-
Величина Ф выражается через Т и ср при помощи соотно-
соотношения
n2cp . cos2cp\ 9 а cos2 й "I /с - пч
/ + 1) 2°J F-7-9>
Так как
СОл A + # COS '
a /W/ — «о, то уравнения движения имеют следующую
структуру:
X = е2^(х, г/, v), у = Го (х, у) + е2Г, (х, г/, v), v = е/ (v).
F.7.11)
При построении решений типа F.7.3) для системы
F.7.11) обнаруживается, что Mi = Pi = 0, Al = Bl = A3^0,
A2=Mt{X}. Решение для «медленных» переменных бу-
будем искать в виде
1,у,у)}. F.7.12)
Погрешность решения для медленных переменных бу-
будет порядка е2 на интервале времени порядка е~2, что
соответствует числу оборотов спутника по орбите по-
порядка е (так как Av~e~!). Для построения осреднен-
ной системы F.7.12) нужно осреднять правые части
уравнений движения (при фиксированных «медленных»
переменных и v) по движению Эйлера — Пуансо. Эти
правые части — периодические функции d, cp, t|) с перио-
периодами 2я, а периоды т и т' несоизмеримы. В этом случае,
как можно показать [71], осреднение по времени эквива-
эквивалентно независимому осреднению по периоду т и пе-
периоду т', то есть
т х'
6 6
т 2л
2Й7 f f
6
6 о F.7.13)
15»

228
ВЛИЯНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 6
Здесь Мф означает осреднение по -ф, a Mi — по О и ф,
связанным соотношениям F.7.9), производимое по зам-
замкнутым траекториям (полодиям) вектора кинетического
момента в движении Эйлера — Пуансо. Осреднение при-
приводит к следующему результату (после перехода к но-
новой независимой переменной — истинной аномалии v):
L = L , Т = TQ,
-_£- = N A 4- е cos v) sin p sin (a — v) cos (a — v),
dv
do
= iV A -f- ^ cos v) cos p cos2 (a — v),
B-+-C — 2Л +
n, K(k)-E(k)
2 A —<
]}■
7.14)
Здесь /C(fe), E(k)—полные эллиптические интегралы
первого и второго рода соответственно,
м_. (B-C)BT0A-Ll)
(A-B)(L20-2T0C) "
F.7.15)
Этот результат верен для полодий, охватывающих ось х*
(L2>2TB)\ для полодий, охватывающих ось zf (L2<2TB)f
нужно поменять местами Л и С в формулах F.7.14),
F.7.15). Видим, что уравнения F.7.14) имеют точно та-
такой же вид, как и уже изученные уравнения F.3.1),
только постоянный коэффициент jV имеет более слож-
сложную структуру. Нетрудно проверить, что в случае дина-
динамической симметрии (С=В) N переходит в выражение
jV0 из F.3.1) после замены обозначений моментов инерции.
Таким образом, возмущенное движение спутника
складывается из движения Эйлера — Пуансо вокруг
вектора кинетического момента и движения самого век-
вектора кинетического момента, описываемого уравнениями
F.7.14).

ГЛАВА 7
ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
НА РОТАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЕ
§ 1. ВЛИЯНИЕ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГО
АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО МОМЕНТА. ВЕКОВЫЕ ЭФФЕКТЫ
Восстанавливающий аэродинамический момент ,мож-
но представить в виде A.3.11) (первое слагаемое; дисси-
нативные члены пока не учитываем). Пусть с(8у)=-"
= c(cos6v). Тогда составляющие вектора восстанавли-
восстанавливающего аэродинамического момента по осям перигей-
ной системы координат записываются в виде
Мх = 4 9,Vc (cos
: = -о РУС (cos 6V
cos5
COb v)y —
cosv,
1 -[-£ cos v
l+<fcosvCOS/sinV'
G.1.1)
1+fcos v
Здесь Vy и вторые слагаемые в выражениях Vx, Vz об-
обусловлены вращением Земли с угловой скоростью w.
Составляющая скорости за счет вращения Земли соста-
составляет 1-5-5% от V, поэтому иногда можно пренебре-
пренебрегать членами с до. Можно найти силовую функцию,

230 ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 7
порождающую момент G.1.1):
(а§cosbv +1 a\cos2bv
±a\cos3
, G.1.2)
причем последнее равенство получено аппроксимирова-
аппроксимированием c(cos8v) в соответствии с формулой A.3.19). Те-
Теперь применимы формулы главы 5; в частности, траек-
траектория векового движения вектора кинетического момента
определяется согласно E.4.14).
Рассмотрим сначала движение без учета вращения
атмосферы. В этом случае
(е 4- cos v) a3 —
G.1.3)
У 1 + е2 + 2е cos v
V= ]/-£
Здесь введены следующие обозначения: ря — плотность
атмосферы в перигее орбиты, р.
- _ Ра (*)
и„ ■— —
безразмер-
безразмерная функция плотности, ра@) = 1. Примем, например,
ра = ехр(—А), где h rr f £
где h = r-rn= 1+fcosv -j£j-
превышение текущей точки орбиты над перигеем, Н—так
называемая высота однородной атмосферы, принимаемая
постоянной величиной. Введем обозначения:
2л
2e cos v
A -\-е cos vJ
2л
_ 1 Г
г~~2п J
G.1.4)

§ 1]
ВЛИЯНИЕ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГО МОМЕНТА
231
2л
_ 1 Г
sin2 v
2л
'.-■к!
Ра
(е + cos vK dv
J* = -br
A + £ cos vJ у 1 -+- е2 •+- 2*? cos v
(g-f~cos v) sin2 v dv
1 A + е cos уJ V '
G.1.4)
Эти величины зависят при фиксированной высоте hn пе-
перигея от высоты ha апогея, а также от Н (рис. 48).
Рис. 48. Зависимость интегралов Jt
от высоты ha апогея орбиты при
фиксированной высоте /гл перигея
орбиты.
Аэродинамические возмущения в движении вектора L
удобно рассматривать в координатах Э, Я (глава 1, § 1),
используя соответственно A.1.4а). Учтем также A.1.7)
при получении осредненного значения E.4.13) силовой
функции G.1.3). Получим согласно E.4.14) траекторию

232 ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ |ГЛ. 7
вектора L в вековом движении:
Uv = Uvt+Uv2=Ul G.1.5)
V~uP
V
Р„{cos6cos* [««У, +|У4sin2* +
+ ■§- (Л - Л) (l -1 sin2 *) cos2 0 +
-f fl — | sin2*) [-^-Z, — fl»y5cos2A,]cos39cos0'}> G.1.6)
-1sin2*) sin2p. G.1.7)
Часть Uv2 имеет такую же структуру, как и вековая
часть силовой функции гравитационных моментов F.2.3).
В сумме они дадут
-^p = klsm'p. G.1.8)
Таким образом, член Uv2 вносит только некоторую коли-
количественную поправку в уже рассмотренный гравитацион-
гравитационный эффект; при анализе совместного влияния аэродина-
аэродинамических и гравитационных возмущений (см. главу 8)
член Uv2 не будет играть самостоятельной качественной
роли; поэтому основным членом аэродинамических воз-
возмущений является Uvl G.1J)). Уравнения возмущенного
движения для возмущений £/Vi, согласно результатам §4
главы 5, будут иметь вид
dv~LosinG d9 ' rfv

§ 1] ВЛИЯНИЕ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГО МОМЕНТА 233
то есть могут быть представлены в виде
+ abJ5{jsm2$ + (\ — ~sin2^cos2^]-f
V n \ ' G.1.10)
+ 3cosd(l~ySin2d)[-J-y4-^75cos2^]cos20},
_cos 0=Рл^ fl*/5cosftn — 2-sin2djX
X cos 0 sin2 0 cos X sin X.
Укажем основные свойства аэродинамических возму-
возмущений £/vi, делая попутно упрощения.
1. Все интегральные коэффициенты в G.1.6) (то есть
h — /3, At hf h) равны нулю при е = 0; следовательно,
на круговой орбите вековых возмущений нет.
2. Величина 1$ на порядок меньше других интеграль-
интегральных коэффициентов, как это видно из рис. 48 и из са-
самого вида интегралов G.1.4). Поэтому /5 можно прене-
пренебречь, положив /5~ 0. Тогда из G.1.10) следует 0~0о, то
есть под влиянием аэродинамических возмущений век-
вектор L прецессирует на постоянном угловом расстоянии
вокруг направления перигейной касательной со скоро-
скоростью прецессии -т- из G.1.10), где следует положить
/5 = 0, 0 = 0о- Влияние члена /5 исследовано в конце на-
настоящего параграфа.
3. Коэффициент а\ф0, если одновременно выпол-
выполнены два условия: а) достаточно велика доля молекул,
отражающихся от спутника по законам, отличным от аб-
абсолютно неупругого соударения, б) форма спутника от-
отличается от двоякосимметричной (то есть спутник, хотя
и обладает осью симметрии, но выглядит по-разному
с носа и кормы). Так как условие а) скорее всего не
выполняется, то можно, видимо, считать, что
а\
и полагать а,6х = 0. Для двоякосимметричных спутников

234
ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 7
это условие выполнено независимо от выполнения усло-
условия а). Тогда, принимая во внимание пункты 2 и 3, по-
получим
4
G.1.11)
В простейшем случае A.3.18) a£ = aJ=0 (момент аэро-
аэродинамических сил зависит от угла атаки синусоидально)
получим
d% Ря VJP
~dv~z==lT~L—cos%aoJv G.1.12)
Как следует из G.1.11) и G.1.12), для спутника, вра-
вращающегося в режиме кувыркания @ = 90°), аэродина-
аэродинамический восстанавливающий
момент не создает векового
эффекта. Из общих формул
G.1.10) видно, что это утвер-
утверждение несправедливо, если
Рис. 49. Траектории веко-
векового движения вектора ки-
кинетического момента под
влиянием аэродинамических
возмущений в случае ра-
раРассмотрим предельный
случай а\ =£ 0, а\ = аь0 = 0, что
соответствует гипотезе, ис-
используемой в [79]. Тогда тра-
ектория_ _
£7Vi + UV2 = const
sin2p = const.
принимает вид
(У2 -У3) cos2 9 +
венства нулю основных чле- Характер семейства траекто-
нов в коэффициенте аэро- t ^ » *
динамического момента Рии ™ эллиптической орбите
/аб==аб==0. аь , цу (еФО, J2=r:h) изображен на
0 2 ' ] рис. 49. Вектор кинетиче-
кинетического момента будет прецессировать вокруг нормали п
к плоскости орбиты или вокруг перигейной касательной
Vn в зависимости от того, будет ли соответственно
V
cos 90,

ЁЛИЯНМЁ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГО МОМЕНТА
235
где ро, 60 — начальные координаты вектора кинетиче-
кинетического момента. Отметим еще раз, что гораздо более
реален случай |а\| <С| #о I' Ia2|•
Рассмотрим влияние малого коэффициента /5, кото-
которым пренебрегли при получении основных результатов
анализа — формул G.1.11), G.1.12). Подставляя 0 = const
в правую часть второго из уравнений G.1.10) и переходя
к переменной X вместо v, получим уравнение, интегри-
интегрируемое в квадратурах. Его решение приближенно опи-
описывает нутационные колебания вектора L. Полагая
получим
X cos # cos 0O sin 0O sin2 К G.1.13)
где А/ — приближенная средняя
скорость вековой прецессии, оп-
определяемая формулой G.1.11).
Следовательно, малый круг 0 =
= 0о за счет влияния /5=£0 (по-
(появления Д0) несколько растяги<
вается и превращается в овал
(рис. 50). Формулы G.1.13) по-
показывают, что нутационные ко-
колебания по 0 возможны только
при 6*2 Ф0, то есть если коэффи- действии аэродинамиче-
циент аэродинамического момен- '^гоТугла атаки""
та не является постоянным и,
следовательно, момент аэродина-
аэродинамических сил зависит от угла атаки не синусоидально.
Для реальных спутников описанные колебания по 0 не
превышают 2—3°.
В силу имеющихся колебаний 0 в малой окрестности
перигея будут иметь место искажения траектории. По-
Покажем приближенно, как это происходит. Для простоты
в траектории G.1.5) будем учитывать только члены, со-
содержащие cos 0, и отбросим члены, содержащие cos2 0
и cos30. Тогда интеграл уравнений G.1.5) может быть
Рис. 50. Траектория кон-
конца вектора кинетического
момента в малой окрест-
окрестности аэрополюсов при
й

236 ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ (ГЛ. 7
записан в виде
где С—постоянная интегрирования, ек — постоянная,
зависящая от /г- и а*. Пусть ел>0. Схема траекторий,
соответствующих решению G.1.14), показана на рис.50.
Кривая 0(Х) представляет собой при С<1 овал, при
С=1—восьмерку, касающуюся плоскости ЛТ, при
С>1 — восьмерки, не соприкасающиеся с плоскостью
XY (то есть образующие отличный от нуля угол с У).
Q
На кривых С>1 при Х = 0 имеем cos e = -f-r:—< 1» то
есть 1<С<1+е^; значения Я, = 90° не могут быть до-
достигнуты на этих кривых (X колеблется в ограниченных
пределах; граничное значение X* определяется при
Q ] \
G = 0:cos2A,*= .Такая картина наблюдается только
Н I
в малой окрестности @~ 2-^-3°) перигея. При расшире-
расширении области движения траектории конца вектора L
превращаются в овалы, близкие к окружностям. При
ел<0 картина будет такой же, только повернутой на
90° вокруг оси X.
Рассмотрим несколько числовых примеров.
Пример 1. Примем следующие характеристики ор-
орбиты, конструкции спутника и его вращения вокруг
центра масс: hn = 225 км\ Аа=900/сж; ря — 3,28 X
XIО1 кГ-сек21мА\ | 1о 1=500 кГ-м-сек2-10°/сек; харак-
характерная площадь S = 6 м2; расстояние от центра масс до
центра давления 2^ = 0,3 м. Аэродинамический коэффи-
коэффициент имеет максимальное и минимальное значения со-
соответственно стах=18, Стт = 3. По этим данным можно
рассчитать коэффициенты q£ и а\, а затем по формуле
G.1.11)—скорость вековой прецессии. Результаты рас-
расчета изображены на рис. 51, где заштрихована область
возможных значений угловой скорости вековой прецес-
прецессии в зависимости от угла нутации Ф и угла 9 между
вектором L и направлением касательной к перигею.
Видим, что в режиме кувыркания (90>'&>80°) угловая
скорость вековой прецессии может достигнуть в рассма-

§ 1]
ВЛИЯНИЕ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГО МОМЕНТА
237
триваемом примере 50° за сутки. (Отметим, что за сутки
спутник совершает 15—16 оборотов по орбите.)
zpad/oym
Рис. 51. Угловая скорость вековой пре-
прецессии вектора кинетического момента
под влиянием аэродинамических возму-
возмущений для спутника типа второго со-
советского.
Пример 2. Для третьего советского спутника мож-
можно принять стах = 2,4, ст1п = 2,1, ^=0,3 м. Динамиче-
Динамические параметры третьего спутника приводились в приме-
примерах главы 6. Параметры орбиты примем такими же, как
в предыдущем примере. Оказывается тогда, что скорость
вековой прецессии Я, = 3-г-4° за сутки (~0°,2 за обо-
оборот), а амплитуда долгопериодических нутационных ко-
колебаний Д0~О°,5.

238 ЁЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 1
§ 2. ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ АТМОСФЕРЫ
НА ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
Чтобы выявить основные эффекты, обусловливаемые
влиянием вращения атмосферы, примем для c(8v) про-
простейшую аппроксимирующую формулу A.3.18); тогда
из G.1.3)
где cos 8V определяется из G.1.1). В G.2.1) достаточно
сохранить члены только первого порядка малости отно-
относительно w. Тогда Uv запишется в виде
X
slnv —1/1-
{ - COS / COS v a" +
-|- sin г cos («я-|- v) p" -)- cos / sin v y"}• G.2.2)
Обозначим:
i 0 J\ j—-™ LUo t
2
_ / Гоч / /
Км- 2я j/ A + * cos vJ Vl+e2 4- 2*? cos v
G.2.3)
где 7i взято из G.1.4);
2я
— 2 Гр
0
Тогда двукратно, по \f и по v, осредненное значение Uv
будет
y^W Qucos
оcos * (cos' cos 0 + S^ / sin (од sin 0 sin k\
G.2.5)

§ 2]
ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ АТМОСФЕРЫ
239
Обозначим также
^n e;=.
cos 9*=-
sin /sin co^
l/cos2 / -f- sin2 / sin2 соя
G.2.6)
G.2.7)
cos nw = cos 9j; cos 0 -f sin 9^ sin 9 sin X. G.2.8)
= \ pnwP2alS0 cos ft /cos2 / -f- sin2 / sin2 соя,
Тогда
cos xw =
G.2.9)
есть уравнение траектории, которое можно еще написать
так:
cos Q = C0~aw cos kw. G.2.10)
Так как
Pw l/cos2 / + sin2 / sin2 (x)n Sn Pw
v- ^= —■/ T= G.2.11)
есть величина малая, то траектория мало отличается от
cos9 = cos90, то есть, как и следовало ожидать, влияние
вращения атмосферы мало по сравнению с основным
атмосферным влиянием.
Определим полюсы траекторий. Уравнения движения
имеют вид G.1.9) (надо только подставить L/v из G.2.5))
и могут быть записаны так:
-^ = -j£- — -£- cos 8„, -\- -^- sin %w ctg 9 sin X,
dv
= Л sin Qw sin
G.2.12)
Тогда из уравнений получаем координаты Хп, 9П полюса:
^ = 90oB70°), ± tg 6U =
It? — k$ cos 0
•. G.2.13)

240 ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. ?
Так как ks<^kFi то полюс близок к 9п = 0, я, отклоняясь
от этого значения, как показывают оценки, на 2—3°.
Уравнение траектории G.2.9) (то есть силовую функ-
функцию) можно представить в виде
Vkr+k2s — 2kFks cos Q*w cos 7iL = const, G.2.14)
где kl—угловое расстояние вектора кинетического мо-
момента от полюса прецессии Яп, 9П. Отсюда следует, что
вектор кинетического момента прецессирует вокруг по-
полюса, координаты Хи, Эп которого определяются соотно-
соотношениями G.2.13), на постоянном угловом расстоянии xL
со скоростью
Таким образом, влияние вращения атмосферы при-
приводит к небольшому смещению полюса прецессии век-
вектора кинетического момента (согласно G.2.13)) и к не-
небольшому изменению скорости прецессии этого вектора
(согласно G.2.15)).
§ 3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ.
АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
До сих пор рассматривались лишь вековые эффекты,
вызываемые восстанавливающим аэродинамическим мо-
моментом. Рассмртрим более точную картину движения с
учетом периодических (по v) возмущений. Такой анализ
тем более необходим, что вековые аэродинамические воз-
возмущения возникают только на эллиптической орбите и
отсутствуют в случае круговой орбиты (если сделать
весьма оправданное предположение, что^^О). Примем
простейшую аппроксимацию A.3.18) для коэффициента
аэродинамического момента и соответствующее этой ап-
аппроксимации выражение G.2.1) для Uv\ вращением ат-
атмосферы пренебрежем. Осредним G.2.1) по г|э, учитывая
выражение для cos бу G.1.3) и выражение A.1,6)

§ 31 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 241
для а3, уз- Получим
X #о cos ft sin p [(e -f- cos v) s5 n a — sin v cos a]. G.3.1)
Это же выражение в переменных 0, К согласно A.1.4а)
имеет вид
U v — 2 » ^ ряра A + е cos vJ X
X #0 cos * \(е + cos v)cos ® — s*n v s'n ^ cos ^1- G.3.2)
Уравнения движения в переменных р, а согласно
E.4.12) имеют вид
--£- — Pv [(^ -f- cos v) cos a + sin v sin a],
1 \ G.3.3)
—- = — Pv ctg p [(£ -f- cos v) sin a — sin v cos a],
^v — 2" Ц Pa A+ecosvJ
а в переменных 0, % — аналогично
-g-= pv sinv sin X, -^ = Pv[(^ + co) g
G.3.5)
Из G.3.5) хорошо видно, что на монотонное увеличение
угла X (вековое возмущение, рассмотренное в § 1) в
рассматриваемой постановке накладываются еще перио-
периодические (по v) колебания угла 0 (и К). Однако для
наиболее интересного здесь случая круговой орбиты
(е = 0), когда отсутствует вековое возмущение, удобнее
рассматривать уравнения G.3.3), которые заменой
а — v = xv приводятся к виду E.4.15) и имеют первый
интеграл E.4.16):
cos p — rC sin p sin xv = const, n* =
G.3.6)
16 В. В. Белецкий

242 ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 7
представляющий траекторию L во вращающейся (ор-
(орбитальной) системе координат. Обозначим через Л угол
между L и текущим вектором скорости центра масс
спутника. Тогда sin p sin kv =cos Л, и траектория век-
вектора L запишется в виде
cos р — п* cos Л = const. G.3.7)
Отсюда нетрудно убедиться, что траектория вектора L
на единичной сфере есть окружность, центр которой ле-
лежит на меридиане, проходящем через след нормали к
плоскости орбиты и след вектора скорости центра масс;
центр окружности лежит на угловом расстоянии р* от
нормали к плоскости орбиты, причем
tgp* = -"*. G.3.8)
Оказывается также, что скорость движения вектора
L кинетического момента по этой окружности постоян-
постоянна и равна
— 1Л+/Г. G.3.9)
dv ~ '*!'"•
Видим, что если я* очень мало (то есть влияние возму-
возмущений очень мало), то р*~0 и вектор кинетического мо-
момента вращается вокруг нормали к плоскости орбиты
с угловой скоростью Х'А ^ — 1, то есть остается почти
неподвижным в абсолютном пространстве. Если же я*
очень велико, то р* близко к тт- и вектор кинетического
момента вращается вокруг направления набегающего
потока. Таким образом, аэродинамический момент ока-
оказывает определенное стабилизирующее влияние на за-
закрученный спутник.
Заметим, что однократно (по \|)) осредненная теория
будет достаточно точной даже при таких больших воз-
возмущениях, при которых двукратно осредненная (по я|)
и по v) теория неточна. Критерий границы применимо-
применимости теории приблизительно таков: движение, полученное
осреднением, должно совершаться существенно медлен-
медленней, чем движение, по которому осреднили. В данном

6ЛЙЯНИЁ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ДИССИПАЦИИ 243
случае требуется, чтобы —;— <C! ~т~ • Пусть, напри-
например, \j)=14 °/секч а угловая скорость движения по орбите
-^- = 0,07 °/сек\ тогда теория будет достаточно точной
при ,А <С^200, то есть, например, при лг ^ Ю-т-20.
Двукратное осреднение проходит здесь лишь при n<Cl.
§ 4. ВЛИЯНИЕ МОМЕНТА СИЛ
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ДИССИПАЦИИ
Момент сил аэродинамической диссипации был полу-
получен в главе 1 в виде A.3.11) (второе и следующие сла-
слагаемые). Для коэффициентов диссипации примем аппро-
аппроксимирующие формулы A.3.21).
Введем вместо полусвязной системы координат си-
систему, связанную со спутником. Пусть репер этой си-
системы /',/, k\ причем ось симметрии направлена по Л'.
Тогда
k = k\ j =jr cos ф0 + /' sin ф0, / = —jf sin ф0 + /' cos <p0,
G.4.1)
где /, У, k—репер полусвязной системы, а ф0 — угол
поворота связной системы относительно полусвязной.
Можно показать, что
cos (ел„ I') . cos (e , J')
-, sinT0 = .Л G-4-2)
Далее, пусть р, q, r — компоненты угловой скорости по
связным осям. Тогда
г = г, р = — q sin ф0 + р cos ф0, q = q cos ф0 + р sin ф0.
G.4.3)
Подставим теперь в A.3.11), в диссипативную часть,
выражения G.4.1) и G.4.3) с учетом G.4.2), введем ап-
аппроксимирующие значения A.3.21) функций A-3.12).
Тогда момент диссипативных сил в проекции на связные
16*

244
ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[РЛ. 1
оси запишется в виде
Ма = | сРаК0 {/' [- />/
+7' [- ^
+ V [- гЛ + (р cos (ОО + ^ cos {CjI ) /J } • G.4.4)
Отсюда виден смысл величин /г-: Л — коэффициент дис-
диссипации по оси симметрии, /3 — коэффициент диссипа-
диссипации по поперечной оси. Эти члены приводят к затуха-
затуханию скоростей вращения спутника. Члены с /2 и /4 вы-
вызовут изменение ориентации спутника.
Вращение атмосферы учитывать здесь не будем.
Тогда
cos (ev, /') = -у- [Ухаг + VzYiI.
cos
G.4.5)
b sinv,
/? cos (^, /') + q cos (^, j') =
{V
Здесь аи Y* — направляющие косинусы репера /', /', k!
с перигейной системой координат XYZ (см. § 1 главы 1).
Так как
Ж V» F У»
*-. G.4.6)
то уравнение движения относительно оси симметрии W
будет
, G.4.7)
?срл±{Ух (Lx - Сга3) + Vz (Lz -

§ 41 ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ДИССИПАЦИИ 245
а компоненты момента сил по перигеиным осям коорди-
координат
Vz(-aay3)]
Му = 1 ср. Vo { - 4" (Zk -
— 1
± c?
^(-Мз)!
Сгу3)-
G.4.8)
Уравнения движения вектора кинетического момента
запишем в виде
= My, L = Mz.
G.4.9)
Исследуем вековую эволюцию движения. Перейдем, ис-
используя B.3.2), от независимой переменной t к новой
независимой переменной v и осредним G.4.7) — G.4.9)
по ф и v. Введем
2я
1 Г
2я
= -^ со Р -7г- / р п , гт- flfv = -^- р /Wf
2 г^ 2я J r A4- е cos vJ 2 f л *
G.4.10)

246
ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
(ГЛ. 1
В осредненных комбинациях A.1.7) значения напра-
направляющих косинусов вектора L выразим через отноше-
отношения компонент L к его модулю (cosp = -~- и т. д.).
Получим следующие уравнения векового движения:
i cos®-£
1 cos ft Z,
LXLY
I Nd
Cr' = — Woa/ir H—V- sin2 *
Cr
G.4.11)
Здесь штрих означает производную по v, a ko, ki, k\
имеют значения:
(Ь) = N$ [bf sin2 Ь + ^ cos2 b\ ,
G.4.12)
Заметим, что на круговой орбите М? = 0, ^f = ^f = О
и движение будет носить весьма простой характер. Этот
случай разберем попутно. В общем случае эллиптиче-
эллиптической орбиты из уравнений G.4.11) для L'z и Ly сле-
следует, что
7^ = const. G.4.13)
Это значит, что плоскость, проходящая через вектор L
к касательную в перигее орбиты — ось X, сохраняет
свое положение в пространстве, и если вектор L дви-
движется, то только в этой плоскости. Далее, из первых
трех уравнений G.4.11) имеем
L' = — £о£ + cos ft (#*+ #>)£*. G.4.14)

§ 4] ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ДИССИПАЦИИ 247
Поскольку
LX=Lcos9, — Zsin99' = Zx — I'cos9, G.4.15)
то, подставляя в правую часть G.4.15) U из G.4.14) и
Lx из G.4.11), получим после сокращения на L sin 9
9' = — ki cos ft sin 9,
откуда
v
— f
&
cosfr tfv
G.4.16)
где #2(ft) и cos ft, вообще говоря, медленно меняются
в силу уравнений движения G.4.11). В первом прибли-
приближении можно положить Ы (ft) cos ft ж k<i (ft0) cos ■fro* Но и
при учете медленного изменения ^(ftjcosft сохранится
та же асимптотическая картина, что и при постоянном
^fcosft, так как асимптотически ^cosft имеет вполне
определенный знак. Видим из G.4.16), что если
^cosftX), то 8-> 0; если #2cosft<0, то 9->л при
v->oo. И тот и другой случай означает, что вектор ки-
кинетического момента стремится совпасть с направле-
направлением касательной к орбите в ее перигее. Приближенно
можно считать
-v0). G.4.17)
ру р рие вектора L
сохраняется неизменным. Возвращаясь к G.4.14), имеем
Для круговой орбиты fe = 0 и направление вектора L
В G414)
G.4.18)
+ cos ft sin2 ft cos 9 Nf [-|- + -^-J
:o>O не обращается в нуль на к]
a N° — Q при е = 0, то N} можно считать малым по
Так как £о>О не обращается в нуль на круговой орбите,

248 ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 7
сравнению с k%\ кроме того, ниже будет показано, что
О -> 0 или #в>->"; поэтому асимптотически в фигурных
скобках стоит величина существенно отрицательная и
L -> О при V—>оо; вместе с тем уменьшается и угловая
скорость прецессии Ф ~ ~т • Приближенно можно по-
положить ko— const и пренебречь N\, тогда
£ = А,ехр{—ft£(v —vb)}. G.4.19)
В таком же приближении, как видно из последнего
уравнения G.4.11), можно получить угловую скорость
в проекции на ось симметрии спутника:
= гоехр
[ £-L(v-vo)J. G.4.20)
Рассмотрим, как ведет себя угол ft. Имеем
d cos ft Cr T/ , С r r/ /
— = —_//-j-. — /-; подставляя значения и и f
из G.4.11), получим
?cos 9 sin2 ft{-^-sin2 ft — -^-
Снова пренебрегая N\ по сравнению с No и интегри-
интегрируя, получим
{£ Aj?(v-vb). G.4.21)
Отсюда ft->0, если -^ ~jt<®> И **~>f"» если
-~ 4- > 0. Если предположить, что коэффициенты
диссипации приблизительно одинаковы: Л«/з, то О—>0
при А<С и ft"->Y ПРИ А>С- Иначе говоря, динамиче-
динамически сжатый спутник стабилизируется вокруг оси симме-
симметрии (ft->0), а динамически вытянутый спутник опро-
опрокидывается (Ф~>2~)' Учитывая еще асимптотику поло-

§ 4] ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ДИССИПАЦИИ 249
жения вектора кинетического момента (см. G.4.17)),
можно сформулировать следующую общую закономер-
закономерность: под влиянием сил аэродинамической диссипации
спутник стремится установиться в режиме наибольшего
аэродинамического сопротивления. Действительно, век-
вектор L стремится установиться вдоль линии наиболь-
наибольшего аэродинамического напора (касательная к пери-
перигею орбиты), а угол Ф меняется так, что к набегающему
потоку в перигее орбиты устанавливается наибольшая
плсщадь поверхности спутника.
Замечание 1. При малых угловых скоростях про-
проведенное рассмотрение неверно, так как метод осредне-
осреднения верен лишь для достаточно больших угловых скоро-
скоростей вращения. Однако асимптотика правильно описы-
описывает тенденции движения.
Замечание 2. Затухание вращения, как видно, бу-
будет происходить быстрее, чем движение вектора L по
направлению к касательной орбиты, так как скорости
затухания вращения определяются параметром No» а
скорость движения L—параметром Ni, порядок ко-
которого —eN^, где е — эксцентриситет орбиты.
Пример. Затухание периода вращения первого со-
советского спутника (рис. 52) объяснялось Варвиком [95]
влиянием атмосферного трения. Основной эффект вы-
вызывает при этом трение об атмосферу длинных антенн
спутника. Задаваясь параметрами антенн, можно по из-
известному торможению вращения определить плотность
атмосферы в перигее орбиты (hn = 220 км), которая, по
Варвику, оказалась ря = 3,8-103 г/см3, что достаточно
хорошо совпадает с другими определениями плотности.
Представляет интерес обратная задача определения ко-
коэффициентов диссипации по известному затуханию и
плотности атмосферы. Из G.4.20), G.4.19) нетрудно по-
получить соответственно для
ft = 0 и #==90°
Гф = К ехр ф- Av, Гф = Гф° exp ^
где Гф и 7ф—периоды вращения (О^О) или прецессии
(ф==90°). Полагая Л^«р/>, рл = 3,8.10~13 г/см\

250
ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 7
Р = 6600 км, Av = 320»2k (что соответствует —20 суткам
полета), Р = 6 сек, Г = 9,2 сек (как на рис. 52), получим
для декремента затухания
или
значение
4,00
Рис. 52. Период Т вращения первого советского спутника
в зависимости от дат (d) октября 1957 года.
2,14- 10, а для -^ (или -~) значение 0,855 см2/г. Для
сравнения укажем, что, как показано в главе 10, период
прецессии третьего советского спутника увеличился со
135 сек до 195 сек за 280 оборотов по орбите. Это соот-
соответствует декременту затухания, равному 2,11 • 10~4.

ГЛАВА 8
АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
ПРИ СОВМЕСТНОМ ВЛИЯНИИ
ГРАВИТАЦИОННЫХ И АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ
МОМЕНТОВ И ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТЫ
§ 1. ДВИЖЕНИЕ ВЕКТОРА КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
ОТНОСИТЕЛЬНО ОРБИТЫ ПРИ НАЛИЧИИ ЕЕ ЭВОЛЮЦИИ
До сих пор орбита спутника принималась невозму-
невозмущенной. Однако фактические орбиты искусственных
спутников эволюционируют под влиянием различных
возмущающих факторов. Для орбит искусственных
спутников Земли наиболее существенными возмущаю-
возмущающими факторами являются влияние атмосферы и влия-
влияние сжатия Земли. Как известно [61], влияние атмо-
атмосферы в первом приближении не вызывает изменения
положения орбиты в пространстве, а вызывает только
эволюцию формы орбиты. Такая эволюция орбиты при
исследовании вращательного движения спутников легко
может быть учтена параметрически (введением в соот-
соответствующие формулы вместо постоянных значений фо-
фокального параметра Р и эксцентриситета е медленно ме-
меняющихся со временем значений Р и е). Сжатие Земли
вызывает [61] изменение положения орбиты в простран-
пространстве, и учет влияния этого изменения на эволюцию вра-
вращательного движения спутника нужно рассмотреть спе-
специально.
В самом деле, в случае отсутствия возмущений на
вращательное движение спутника вектор кинетического
момента сохраняет свое направление в пространстве и,
следовательно, меняет свое положение относительно
эволюционирующей орбиты. А так как возмущенное
вращение спутника зависит от положения вектора ки-
кинетического момента относительно орбиты, то возникает
необходимость совместного учета влияния эволюции ор-
орбиты и возмущенного движения вектора кинетического
момента относительно орбиты.

252 АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 8
Ограничимся рассмотрением вековых эффектов. Ис-
Исследование будем проводить в переменных 8 и Я —
«аэродинамических» координатах вектора кинетического
момента. Посмотрим, какие бесконечно малые измене-
изменения углов 8 и К вызывает бесконечно малое изменение
положения орбиты в пространстве вследствие влияния
сжатия Земли. Складывая затем эти бесконечно малые
изменения углов 6 и К с бесконечно малыми измене-
изменениями, вызванными влиянием возмущений на враща-
вращательное движение спутника, и переходя к мгновенным
угловым скоростям, получим систему дифференциаль-
дифференциальных уравнений движения вектора кинетического момента
с учетом всех рассматриваемых факторов.
Как известно, сжатие Земли вызывает вековые уходы
долготы восходящего узла <Q> и долготы перигея со* [61]:
Здесь /?э — экваториальный радиус Земли, е =
= 0,0016331—безразмерная величина, определяемая ве-
величиной сжатия Земли.
Положение вектора L кинетического момента отно-
относительно перигейной системы координат XYZ зададим
направляющими косинусами т, я, k A.1.4а). Положе-
ние_перигейной системы XYZ и неподвижной системы
XYZ относительно друг друга дается той же таблицей
направляющих косинусов из главы 1, § 1, что и для
вза.имоположений орбитальной системы xyz и системы
XYZ, только следует положить v = 0, то есть а = (ол.
Тогда положение вектора L относительно системы ко-
координат XYZ задается направляющими косинусами
«з» Рз» Тз A.1.9). Если на вращательное движение спут-
спутника не действуют возмущающие моменты, то а°, р!>,
^з = const, то есть вектор L сохраняет направление в
пространстве. Если при этом орбита спутника движется
в пространстве согласно (8.1.1), то бесконечно малым
перемещениям с/о)л и dQ углов йл и JJ будут соответ-

$ 2] ВЕКОВОЕ ДВИЖЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА 253
ствовать бесконечно малые перемещения dQ и dX уг-
углов 6 и Л, определяемые из условий
да0 да0 да0,
^a + ^dK + ^d^o, I (8Ь2)
Частные производные находятся без труда, но несколько
громоздко, поэтому их выражения выписывать не будем.
Укажем только конечный этап выкладок: исключая dX
из двух последних уравнений (8.1.2), получим выраже-
выражение для я?6:
dQ = [cos/cos A, + sinG)jt sin / sin X]d£l -\-cosXda^. (8.1.3)
Затем из любого уравнения (8.1.2) (например, из пер-
первого), подставляя туда (8.1.3), получим выражение
для dX:
— sin 8 dX = — [— sin 8 cos (оя sin / +
+ cos 6 (— sin X cos i + cos X sin ол sin /)] d£l +
)я cose sin Я,. (8.1.4)
Теперь можно написать полные уравнения движения
вектора кинетического момента относительно орбиты
с учетом ее эволюции и возмущающего действия грави-
гравитационных и аэродинамических моментов. При этом в
настоящей главе учтем только действие восстанавливаю-
восстанавливающего аэродинамического момента, а влиянием диссипа-
тивного аэродинамического момента, рассмотренным в
§ 4 главы 7, здесь пренебрежем.
§ 2. УРАВНЕНИЯ ВЕКОВОГО ДВИЖЕНИЯ ВЕКТОРА
КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА ОТНОСИТЕЛЬНО
ЭВОЛЮЦИОНИРУЮЩЕЙ ОРБИТЫ ПРИ НАЛИЧИИ
ГРАВИТАЦИОННЫХ И АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Для выявления совместного действия аэродинамиче-
аэродинамических и гравитационных сил вместе с учетом регрессии
орбиты достаточно в правые части уравнений G.1.10)
добавить члены, соответствующие возмущениям Un
G.1.8) (эти возмущения вызваны гравитационным

254
АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 8
моментом и той частью аэродинамического момента, ко-
которая аналогична гравитационному), причем входящий
в Un член sin2р== 1—sin28sin2Х\ кроме того, следует
добавить члены, соответствующие смещениям (8.1.3) и
(8.1.4). Получим
-\-a\{Ji— У3)A — |sin2d)
2L0
рл Y\xP я^/31 cos 6 sin2 X + k^ [— cos соя sin /
-f ctg 6 (— sin I cos / -f cos X sin ол sin /)] —
(8.2.1)
X cos 6 sin 6 cos X sin X + ~ A —-j si #) X
X ("З ^ (Л—С)—рл /jiP a?731 sin 9 sin к cos Я -}
+ &Л [cos / cos Я + sin соя sin i sin Я.1 -f- ka cos Я,.
В уравнениях (8.2.1) учтены все рассмотренные до
сих пор вековые возмущения (за исключением аэродина-
аэродинамической диссипации) и эволюция орбиты. Однако, как и
в § 1 главы 7, можно пренебречь членами, содержащими
множителями малые величины У5 и а\. Уравнения
(8.2.1) тогда значительно упростятся. Приведем некото-
некоторые результаты численного интегрирования уравнений
(8.2.1), полагая a\ = Q (но /5т^0). Эти результаты

§ 2] ВЕКОВОЕ ДВИЖЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА 255
позволят составить первое представление о взаимодей-
взаимодействии рассматриваемых факторов. Более подробный
анализ будет проведен в последующих параграфах.
Рассмотрим сначала только совместное влияние
аэродинамики и эволюции орбиты, пренебрегая пока
гравитационными возмущениями. Результаты анализа и
численного интегрирования позволяют сделать следую-
следующие заключения. Угол X прецессии вектора кинетическо-
кинетического момента изменяется, монотонно возрастая, со скоро-
скоростью, колеблющейся около некоторого среднего значения,
близкого к скорости аэродинамической прецессии, опре-
определяемой формулой G.1.11). Угол 6 нутации вектора
кинетического момента совершает почти периодические
колебания, причем период колебаний 8 приблизительно
совпадает со временем изменения угла X на 2я, то есть
с периодом вековой прецессии. Разность между наи-
наибольшим и наименьшим значениями угла Э имеет поря-
порядок 10—30°, то есть колебания угла нутации более зна-
значительны, чем при учете только аэродинамики. Факти-
Фактически это означает, что за счет эволюции орбиты (как
будет показано ниже, за счет ухода узла орбиты) полюс
прецессионно-нутационного движения вектора кинетиче-
кинетического момента несколько смещается.
На рис. 53 и 54 представлен типичный пример зависи-
зависимости 8, X и X от времени (по оси абсцисс отложено п —
число оборотов спутника по орбите). Пример сосчитан для
значений параметров, близких к параметрам второго со-
советского спутника. На рис. 55 схематически изображена
картина движения — траектория 6(Я). Начало коорди-
координат— след перигейной касательной на единичной сфере,
сплошная кривая —след вектора кинетического момента,
пунктирная окружность — след оси спутника, если закре-
закрепить вектор кинетического момента. Разомкнутость траек-
траектории 8(А,), как будет показано ниже, объясняется вековой
эволюцией перигея орбиты. Все петли этой кривой мало
отличаются друг от друга, так что при изменении угла X
на 2я угол 6 принимает значение, близкое к исходному.
В результате след вектора кинетического момента на
каждом периоде угла X описывает почти одну и ту же
кривую, причем, как видно из рис. 55, близкую к окруж-
окружности, центр которой, однако, не совпадает со следом

256
АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 8
500
в,град
100
\
\
-70-
-40-
■10-
/
/
2t\
Х0=2п
я- п
&о~ г
\
\
/
/
\500
\
\
\
\
У
60
\
1000
в
\
\
/
/
оп t, cum
80 v >
п
-500
Рис. 53. Изменение угловых координат вектора кинети-
кинетического момента в вековом движении под влиянием
аэродинамических возмущений и эволюции орбиты. Спут-
Спутник типа второго советского.
-0,6 г-
500
1000
1500
-0,8
-1.0
1
■ц
\
\| 1/
/
м
Ч—-ч
\
\
\
г-
\/
V
г
\
\
V
1
1
1
\
\
\/
М
/7 *
0-8L
8 =-
л:
t
Рис. 54. Изменение угловой скорости вековой процессии
вектора кинетического момента под влиянием аэродинамиче-
аэродинамических возмущений эволюции орбиты.

ВЕКОВОЕ ДВИЖЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
25?
п-300
О Ю20 в,град
л-330
перигейной касательной. На рис. 55 изображен только
один виток рассматриваемой кривой. Следует отметить,
что, как видно из рис. 53, 54, амплитуда колебаний ско-
скорости прецессии i и угла нутации 8 постепенно изме-
изменяется. Это изменение вызвано долгопериодическим эф-
эффектом, обусловленным эволюцией перигея орбиты; с
течением времени умень-
уменьшение амплитуды коле-
колебаний, видное на рис. 53,
54, прекращается, и ам-
амплитуда снова начинает
возрастать до исходного
значения.
Рассмотренная карти-
картина движения спутника
около центра масс выяв-
ляет своеобразную гиро- I
скопическую стабилиза- \
цию относительно напра-
вления перигейной каса-
касательной, то есть относи-
относительно направления ско-
скорости центра масс в точ-
точке наибольшей интенсив-
интенсивности аэродинамических
Рис. 55. Траектория векового
движения вектора кинетического
г, момента под влиянием аэродина-
сил. В самом деле, хотя мических возмущений и эволюции
перигейная касательная орбиты,
вследствие эволюции ор-
орбиты поворачивается в абсолютном пространстве, уг-
угловое расстояние между вектором кинетического мо-
момента и перигейной касательной изменяется относитель-
относительно начального значения несущественно, так что ось
спутника совершает прецессионно-нутационное движе-
движение относительно изменяющегося со временем направле-
направления перигейной касательной.
В этом параграфе не анализировалось еще влияние
гравитационных моментов. Это влияние может быть
весьма существенным для спутников типа второго совет-
советского, обладающих большими инерционными характе-
характеристиками. Отметим, что аэродинамическая и гравита-
гравитационная прецессии происходят вокруг разных осей:
17 В. В. Белецкий

258 АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 8
аэродинамическая — вокруг перигейной касательной, а
гравитационная — вокруг нормали к плоскости орбиты.
Поэтому при взаимодействии аэродинамических и грави-
гравитационных возмущений получится, вообще говоря, слож-
сложное прецессионно-нутационное движение около некото-
некоторого полюса. Этот полюс будет, вообще говоря, подвиж-
подвижным вследствие эволюции орбиты. Пример расчета
траектории 8(Х) по уравнениям (8.2.1) дан на рис. 56.
в, град
Рис. 56. Траектория вектора кинетического момента в ве-
вековом движении для спутника типа второго советского.
(Влияние аэродинамических и гравитационных возмущений
вместе с эволюцией орбиты.) Вдоль траектории указаны
номера п витков орбиты.
Параметры и начальные данные взяты те же, что и для
примера, приведенного на рис. 53—55, только доба-
добавлены— весьма существенные в данном случае — грави-
гравитационные возмущения. В данном примере центром пре-
цёссионно-нутационного движения по-прежнему остается
центр аэродинамической прецессии. Это обусловлено

§ 3] ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СЛУЧАИ 259
тем, что при р = 90° действуют только аэродинамические
возмущения, а скорость гравитационной прецессии ме-
меняет знак при переходе через значение р = 90°. Сильное
влияние гравитационных возмущений сказывается в
большом «сжатии» траектории, вызванном тенденцией
гравитационных возмущений сохранить постоянным зна-
значение угла р между вектором кинетического момента и
нормалью к плоскости орбиты.
Влияние эволюции орбиты имеет тот же характер,
что и на рис. 55: несколько смещается полюс прецес-
сионно-нутационного движения вектора кинетического
момента, и это движение становится «разомкнутым», так
что при Х = 0 и Х=2я значения 8 несколько отличаются
друг от друга (но отличаются очень мало).
Расчеты показывают, что во всех случаях имеет ме-
место своеобразная устойчивость движения относительно
орбиты: движение относительно эволюционирующей ор-
орбиты мало отличается при прочих равных условиях от
движения относительно неподвижной орбиты.
Уравнения (8.2.1) поддаются также непосредствен-
непосредственному анализу, позволяющему выявить все основные осо-
особенности движения вектора кинетического момента.
Этот анализ проводится в последующих параграфах на-
настоящей главы.
§3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
УРАВНЕНИЙ ВЕКОВОГО ДВИЖЕНИЯ.
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СЛУЧАИ
Уравнения (8.2.1) векового движения вектора кине-
кинетического момента можно представить в виде
Ф = _ kl sin2 6 sin2 % — k\ {X) cos 6- &2cos2 0 — kl{\) cos3 6 +
+ &Л [sin 8(cos^ sin(ояsin / — sinXcos/)-f-
-)- cos 6 cos соя sin / J — k^ sin 9 sin I. (8.3.2)
17*

260 АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 8
Здесь обозначено:
+ 4/5 [^ + A-4 sin»*) cos» Я.]}.
(X) = —j^- Рл (l — I sin2d) [^- У4 — a*/5 cos2 A,] cos
В формулах (8.3.1), (8.3.2) член с £о характеризует
вековое действие гравитационных моментов, а также
часть действия аэродинамических моментов (ai). Ос-
Основное вековое действие аэродинамических моментов ха-
характеризуется членами с коэффициентами k\ и &з> а
также #2-
Остальные члены в (8.3.2) обусловлены эволюцией
орбиты и, следовательно, поворотом в абсолютном про-
пространстве рассматриваемой перигейной системы коор-
координат. Как видим, эти члены пропорциональны скоро-
скорости kn ухода узла орбиты или скорости k^ ухода пери-
перигея орбиты.
Заметим, что — sin 8 sin A, = cos р, где р — угол между
вектором кинетического момента и нормалью к плоско-
плоскости орбиты, и введем еще координаты 8*, Я* северного
полюса мира. Тогда
sin / cos ©я = cos 6*, sin / sin о)я = sin 6* cos V,
cos / = — sin 8* sin АЛ
cos 8 cos 8* + sin 8 sin 0* cos (X — X*) = cos и*,
где и* — угол между вектором кинетического момента
и направлением на северный полюс мира; функцию Ф
(8.3.2) можно представить в следующем, удобном для

§ 3] ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СЛУЧАИ 261
исследования виде:
cos в — ;
+ k n^ cos к* + ka cos p. (8.3.3)
Так как cosx* зависит от соя, а соя = соло + &о^, то
функция Ф (8.3.2) зависит от v (причем только через
cosx*) и, следовательно, уравнения (8.3.1), вообще го-
говоря, не интегрируются в замкнутом виде. Для многих
советских спутников скорость few ухода перигея очень
мала по сравнению со скоростью kn ухода узла и тем
более по сравнению с kj, ; = 0, 1, 2, 3. Можно положить
в первом приближении &« = 0, тогда сол^Юло, функция Ф
не зависит от v и уравнения (8.3.1) имеют первый ин-
интеграл ф|^^о:=Фо, то есть
—k*0 cos2 p — k\ cos 8 — k\ cos2 8—k\ cos3 0 -f kn cos x* = Фо,
(8.3.4)
причем входящие в cos х* величины 6*, А,* будут по-
постоянными, так как при наличии векового ухода только
узла орбиты перигейные оси остаются на постоянном
угловом расстоянии от направления на полюс мира.
Уравнение (8.3.4) является уравнением траекторий
следа вектора кинетического момента на единичной
сфере, имеющей центром центр масс спутника. Фор-
Формула (8.3.4) учитывает одновременное влияние на траек-
траекторию аэродинамических моментов, гравитационных мо-
моментов и вековой уход (регрессию) узла орбиты. За
время, равное периоду прецессионно-нутационного дви-
движения вектора кинетического момента, формула (8.3.4)
достаточно точно описывает траекторию движения. На
большем интервале времени движение постепенно иска-
искажается за счет влияния векового ухода (регрессии) пе-
перигея орбиты. Но это влияние можно учесть при помощи
той же формулы (8.3.4), считая сол медленно меняю-
меняющимся параметром. Такое рассмотрение является
применением метода оскулирующих элементов к урав-
уравнению траекторий. При этом, согласно (8.3.3), в ле-
левую часть формулы (8.3.4) следует еще добавить член
cos р.

262 АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 8
Другой предельный случай имеет место, когда ре-
регрессией узла орбиты можно пренебречь по сравнению
с регрессией перигея, так что можно положитьАл =0.
В точности это отвечает полярной орбите * = 90°. Тогда
функция Ф (8.3.2) снова не зависит от v и уравнения
(8.3.1) имеют интеграл
— k*0 cos2 р — k\ cos 9 — k\ cos2 6 — £* cos3 0 + k& cos p = Фо.
(8.3.5)
Наконец, для экваториального спутника /=0, cosx* =
='cosp, регрессия узла складывается с регрессией пери-
перигея и уравнения (8.3.1) имеют первый интеграл
— £*cos2p — ftjcos 6 — ^cos2 0 — £*соь3 3 +
= 001, (8.3.6)
отличающийся от (8.3.5) только значением постоянного
коэффициента при cos p. Для спутников, близких к эк-
экваториальным (некоторые американские спутники), дви-
движение около центра масс можно изучать, видимо, на ос-
основе уравнения (8.3.6).
Укажем еще один естественный случай, когда ура-
уравнения (8.3.1) имеют первый интеграл. Из несложных
преобразований [8] следует, что если отсутствуют аэро-
аэродинамические и гравитационные возмущения, то суще-
существует интеграл
cos x* = const. (8.3.7)
Смысл этого интеграла прост. Если на спутник не дей-
действуют возмущающие моменты, то вектор кинетического
момента сохраняет свое направление в абсолютном про-
пространстве. В частности, сохраняется постоянным угол и*
с направлением на полюс мира, что и описывается ин-
интегралом (8.3.7). Формула (8.3.7) позволяет рассмотреть
движение вектора кинетического момента относительно
регрессирующей орбиты в рассматриваемом случае от-
отсутствия возмущающих моментов. Траектория конца
вектора кинетического момента на единичной сфере
представляет собой подвижную окружность постоянного
радиуса и*, которую вектор кинетического момента

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СЛУЧАИ
263
описывает с угловой скоростью kn и центр (А,*, 0*) ко-
которой движется по окружности постоянного радиуса i
с угловой скоростью few вокруг направления нормали
к плоскости орбиты (рис. 57).
Как было показано в главе 7 и как следует из
(8.3.4), в случае действия только основной части аэро-
аэрой (&* 0 k k 0)
р
= 0, k^ — kn = 0) век-
век2**
динамических возмущений
тор кинетического момен-
момента прецессирует вокруг
направления перигейной
касательной. При этом,
если пренебречь несуще-
несущественными членами с /5,
угловое расстояние 0 ме-
между вектором кинетиче-
кинетического момента и пери-
перигейной касательной оста-
остается постоянным, а ско-
скорость прецессии также
постоянна (по v), как это
описывается формулами
G.1.11) или G.1.12).Если
действуют только грави-
гравитационные возмущения
=r-kn =0), то вектор ки-
кинетического момента пре-
прецессирует с постоянной
(по v) угловой скоростью
F.2.4) вокруг направления нормали к плоскости ор-
орбиты, находясь от этого направления на постоянном
угловом расстоянии р0.
Таким образом, след перигейной касательной на еди-
единичной сфере является полюсом аэродинамической пре-
прецессии, а след нормали к плоскости орбиты на единич-
единичной сфере — полюсом гравитационной прецессии. Будем
кратко называть их соответственно аэрополюсом и гра-
виполюсом, отличая положительные направления тер-
термином «север». Условимся еще для краткости называть
траектории следа вектора кинетического момента на
Рис. 57. Траектория конца век-
вектора кинетического момента на
единичной сфере в случае отсут-
отсутствия моментов возмущающих сил.
Ось X—направление перигейной
касательной; ось Y—направление
нормали к плоскости орбиты.

264 АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 8
единичной сфере просто траекториями вектора кинети-
кинетического момента.
Перейдем теперь к анализу движения при взаимо-
взаимодействии отдельных факторов.
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ
И ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ.
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ
В дальнейшем анализе по соображениям, указанным
в главе 7, примем всюду а^ = 0. Это, в частности, вле-
влечет за собой &* = 0в формуле (8.3.2) и других. Кроме
того, коэффициент k*Q в этом случае зависит только от
гравитационных членов.
В формулах (8.3.2) и следующих считалось, что
k*v k\ зависит от X согласно (8.3.3). Однако в главе 7
было показано, что эта зависимость весьма слабая в
силу малости коэффициента /5 по сравнению с Ju h-
Члены с /5 приводят лишь к небольшим искажениям
траектории, и ими можно пренебречь, полагая, что/5 = 0.
Заметим, что переменность коэффициентов k\ и k\
вызвана исключительно зависимостью коэффициента
аэродинамического момента от угла атаки б. Если же
Cm = const=a£, то а^ = 0 и, следовательно, £* —О,
k\ — const и упомянутого эффекта не будет. Но и при
С?п=/F) эффект, как показано в главе 7, мал. Траек-
Траектории вне малых окрестностей аэрополюсов будут близ-
близки к окружностям 0 = const, что имеет место как при
постоянном моменте аэродинамического сопротивле-
сопротивления (&* = 0), так и в случае его зависимости от угла
атаки (к\Ф 0).
На основе сказанного можно считать, что /б = 0 и,
следовательно, k\ = const и &* = const. В этом предпо-
предположении подробно исследуем траектории вектора кине-
кинетического момента при взаимодействии аэродинамиче-
аэродинамических и гравитационных сил без учета регрессии орбиты.
Так как влияние регрессии орбиты мало, то исследова-
исследование задачи без учета этого влияния дает основное пред-
представление о характере движения спутника около центра

§ 4]
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ
265
масс. После того как будет составлено это представле-
представление, не трудно будет учесть и влияние регрессии ор-
орбиты.
В рассматриваемом случае, согласно (8.3.4) (k*2 — 0y
kn = 0), уравнение траектории имеет вид
— k*0 cos2 p — k\ cos в — kl cos3 0 = ФО, )
cosp = — sin 0 sin Я.
а и
В системе координат 0, p на единичной сфере всякой
паре 0, р соответствуют две точки, симметрично распо-
расположенные относительно большого круга, проходящего
через грави- и аэрополюсы. Этот большой круг назовем
меридианом симметрии.
Так как случай действия только аэродинамики без
гравитации (то есть случай ko = O) был разобран в
главе 7, то будем полагать k*0 Ф 0.
Тогда формулу (8.4.1) траектории вектора кинети-
кинетического момента можно записать в виде
cos р = /Со —
(8.4.2)
причем, в силу второго из равенств (8.4.1), в действи-
действительном движении должно быть
— sin 0 < cos p < sin 0.
(8.4.3)
Все траектории симметричны относительно меридиана
симметрии. На меридиане симметрии одно из нера-
неравенств (8.4.3) превращается в равенство. Характер
траектории зависит от трех параметров: Со, [л*, £*» гДе
Со — произвольная постоянная, определяемая началь-
начальными условиями, a \l* и £* имеют значения
Ц —Т5Г— '
*;
*
3^1—|-81п«ф)(Л-О
fl— -|sin2#j(^ — С)
(8.4.4)

266
АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 8
Если коэффициент аэродинамического момента постоя-
постоянен (не зависит от угла атаки), то #2=0 и £* = 0. Таким
образом', параметр £* характеризует влияние на движе-
движение зависимости коэффициента аэродинамического мо-
момента от угла атаки.
-fids
л
Рис. 58. Процесс построения траектории вектора кинетического
момента.
Для того чтобы проиллюстрировать метод исследова-
исследования траекторий, проведем анализ множества траекторий
для случая [I* > 0, С* > 0. Имеем
cosр
то есть на рассматриваемом промежутке @, л) значе-
значений 0 функция / монотонно убывает от / = |i* + £* до
/= — (и-* + |*) (Рис- 58, а). Построим на том же гра-
графике семейство прямых ( = Cq. Отнимая от каждого Со

§ 4] КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИИ 267
величину f, получим семейство Со — / (рис. 58,6). Дей-
Действительное движение возможно только в области поло-
положительных значений функции Со — /. Извлекая квад-
квадратный корень (со знаками + и —), получим картину
зависимости cosp@, СО), изображенную на рис. 58, в.
Наконец, в силу (8.4.3) значения cos p в действитель-
действительном движении будут лежать между синусоидами sin 9
и —sin Э (рис. 58, г). Осталось перейти на единичную
сферу. С этой целью заметим, что синусоиды ±sin9 на
плоском чертеже (рис. 58, г) соответствуют меридиану
симметрии на единичной сфере; точки cosp = 0, 0 = 0, я
соответствуют аэрополюсам, а точки cos p= ± 1,0 = -к
соответствуют гравиполюсам. Так как рассматривается
интервал значений р на [0, я], на котором cos p моно-
монотонно убывает, то можно заключить, что траектории на
полушарии единичной сферы, лежащем по одну сторону
■меридиана симметрии, имеют такой же характер, как и
зависимость cosp@, СО) между синусоидами ±sin9 на
плоском чертеже (рис. 58, г). В результате получим
класс траекторий на единичной сфере, изображенный на
рис. 59, а. Напомним, что траектории симметричны от-
относительно меридиана симметрии.
Рассмотрим некоторые особенности полученного
класса траекторий. Видим, что имеются траектории двух
типов: часть траекторий носит аэродинамический харак-
характер, то есть является замкнутыми кривыми с центром
•в аэрополюсе. Влияние гравитационных возмущений ска-
сказывается на этой части траекторий в большем или мень-
меньшем сжатии этих траекторий, обусловленном тенденцией
гравитационных возмущений сохранить постоянным зна-
значение угла р между гравиполюсом и вектором кинетиче-
кинетического момента. Другая часть траекторий носит «грави-
«гравитационный» характер: это замкнутые кривые, имеющие
полюсами некоторые точки на меридиане симметрии,
тем более близкие к гравиполюсам, чем сильнее влия-
влияние гравитационных возмущений по сравнению с аэро-
аэродинамическими. В зависимости от этого же фактора об-
область «аэродинамических» траекторий будет более или
менее широкой, стремясь в пределе к «гравиэкватору»
при стремлении к нулю аэродинамических возмущений.

268
АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
\тл. а
ас £----(-
д.Ю.
Рис. 59. Различные классы траекторий вектора кинетического
момента при взаимодействии гравитационных и аэродинами-
аэродинамических возмущений (вековое движение):
а) трехполюсный; б) однополюсный; в) четырехполюсный;
г) пятиполюсный, первый подкласс;

§4!
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ
269
Ж)
Рис. 59.
д) шестиполюсный, первый подкласс; е) пятиполюсный, вто-
второй подкласс; ж) шестиполюсный, второй подкласс. Точками
отмечены положения полюсов: а. ю. — аэроюг, а. с. — аэро-
аэросевер, г. ю. — гравиюг, г. с. — грависевер.

270 АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 8
Обе группы траекторий разделяются траекториями, дви-
движение вдоль которых носит асимптотический характер:
вектор кинетического момента стремится совпасть с пе-
ригейной касательной. Рассмотренный класс траекторий
можно назвать трехполюсным, имея в виду наличие
трех полюсов траекторий: одного аэродинамического и
двух гравитационных.
Чтобы проследить эволюцию траекторий при увели-
увеличении доли аэродинамических возмущений, а также
чтобы выявить другие возможные классы траекторий,
следует провести более подробное исследование.
С этой целью найдем положение полюсов траекто-.
рий. Очевидно, полюс есть такая точка 6*, р*, которая
является точкой касания траектории, отвечающей неко-
некоторому фиксированному Со, и меридиана симметрии
(подразумевается, что рассматривается плоская интер-
интерпретация траекторий, изображенная, например, на
рис. 58, г.). Аналитически условия касания синусоиды,
отвечающей меридиану симметрии, и траектории, отве-
отвечающей искомому Со, запишутся так:
cosp*= sine*, -JLcospj = cos6*. (8.4.5)
Система (8.4.5) определяет траекторию (постоянную
Со), касательную к изображению меридиана симметрии
на плоскости в,cos p, и точку в] касания, для которой
уравнения (8.4.5) дают относительно cos в* квадратное
уравнение с решениями
cos е*1},B) = --LA ± yi-3\iV). (8.4.6)
Каждому из этих 9(i),B) соответствует ветвь с параме-
параметрами С01 и С02, причем одна из них касается синусоиды
внутренним, другая — внешним образом; в случае £*=0
* ц*
cos6/ =-тр. (Рассматривается одно полушарие — «гра-
висеверное». В гравиюжном полушарии все будет сим-
симметрично.) Зная 6A), B), можно теперь по первому из
уравнений (8.4.5) вычислить значения соответствующих

§ 4] КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ 271
констант С01 и С02; при этом оказывается, что
ЦI С02 = 27£*2 ^ 3[х С ) 2
то есть если обе точки касания существуют, то Сои от-
отвечающее 6A), будет меньше, чем С02, отвечающее 6B),
так как из предыдущей формулы следует, что
С01 — Со2<О.
Из формулы (8.4.6) очевидно, что 0 < cos 9*2) < cos 0*1),
то есть
Y > е(*2) > 0*!). (8.4.7)
Если существуют обе точки касания, то точка 0B) опре-
определяет устойчивый, а точка fyi)—неустойчивый полюсы
семейства траекторий.
Рассмотрим условия, при которых действительно су-
существуют обе точки 0(i) и 0B). Для этого прежде всего
нужно
ИТ<|. (8.4.8)
Заметим, что, согласно (8.4.6) и (8.4.7), для существо-
существования обеих точек достаточно, чтобы cos0(i)<l, что
приводит, согласно (8.4.6), к условию
£* — 2>0. (8.4.9)
Итак, если выполнены условия (8.4.8) и (8.4,9), то
существуют две точки касания. Это соответствует классу
траекторий, изображенному на рис. 59, в, именно четы-
рехполюсному классу траекторий.
Если же |j,* + 3£*— 2<0, то существует только одна
точка касания 0B), определяющая полюс траекторий, и
тогда получим трехполюсный класс траекторий, рассмо-
рассмотренный выше (рис. 59, а). Во всей остальной части
квадранта fi*>0, £*>0, а именно в части, удовлетво-
удовлетворяющей неравенствам
II*?"* s -L т* •s. -L
и
(8.4.10)

272 АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ГГЛ. 8
точек касания нет; в плоской интерпретации все траек-
траектории пересекают меридиан симметрии, так что все
траектории носят аэродинамический характер. Влияние
гравитационных возмущений сказывается только в боль-
большем или меньшем «сжатии» аэродинамических траекто-
траекторий (рис. 59,6). Этот класс назовем однополюсным.
Отметим своеобразную устойчивость аэродинамиче-
аэродинамических траекторий по отношению к гравитационным воз-
возмущениям. Уже при некоторых конечных значениях р,*
и £* траектории принимают аэродинамический характер
(напомним, что [i* и £* пропорциональны отношениям
аэродинамических возмущений к гравитационным).
И наоборот, чтобы полностью уничтожить область траек-
траекторий аэродинамического типа, нужно устремить \х* и £*
к нулю, то есть придать гравитационным возмущениям
бесконечно большие значения по сравнению с аэродина-
аэродинамическими возмущениями. При наличии же сколь угодно
малых аэродинамических возмущений уже появляется
некоторая малая область, содержащая траектории аэро-
аэродинамического типа (с полюсом в аэрополюсе).
До сих пор рассматривался квадрант |u*>0, £*>0.
Рассмотрим другие области значений \х* и £*. Для квад-
квадранта £*<0, jj.*<0 все будет симметрично, только глав-
главный аэрополюс будет находиться в аэросевере. Будем
иметь четырехполюсный класс в области
fi* + 3F + 2<0, (8.4.11)
трехполюсный класс в области
ИЧ-ЗР + 2>О (8.4.12)
и однополюсный класс в областях
и . \ (8.4.13)
м«1ЗСЧ2<0 IC'K |
Рассмотрим теперь случай ц*<0, £*>0. Пусть сна-
сначала
ЗС* + ц*<0, (8.4.14)

§ 4] КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ 273
Тогда /=— sin 6(ji* + 3!;* cos26)>0 и задача аналогична
рассмотренному выше случаю ji*<0, £*<0, то есть мы
должны, вообще говоря, получить однополюсный, трех-
полюсный и четырехполюсный классы. Покажем, од-
однако, что четырехполюсного класса не будет. В самом
деле, для существования четырех полюсов нужно, чтобы
существовала точка 6(i}, иначе говоря, согласно (8.4.6)
ДОЛЖНО быТЬ COS 6*1) < 1, ИЛИ -^- A + "|Л + 3 | JA* | £*) < 1,
что приводит к неравенству (8.4.9) ji*-b3c;*>2, а это
противоречит неравенству (8.4.14). Что касается трех-
полюсного случая, то он возможен, пока
cos 6*2) > — 1. (8.4.15)
Заметим, что в рассматриваемом квадранте
cos 6*2) = ^(l - Vl Ч- 31 |х-1 С*) < 0. (8.4.16)
Неравенство (8.4.15) приводит к условию (8.4.12):
3£* * 20
Итак, если £*>0, [а*<0 и 0>3£* + м<*> — 2, то полу-
получим трехполюсный класс, а если 3£* + |i*< — 2, то одно-
однополюсный. Аэрополюс будет находиться в аэросевере
@ = 0).
Рассмотрим теперь случай 3£*-Ь[х*>0. Тогда /=0 при
cos26 = —о?*-, то есть функция не является монотон-
монотонен 1А I и* I
ной, а имеет минимум при cos 6=1/ '«С ' и максимум
при cos 6 = —у -UU-. Величины этих минимума и ма-
максимума равны
f _ + 11 ич i/"Jj*!1
/mln, max— — 3 I ^ If 3£* '
Покажем, что всегда имеется точка 0B) внешнего каса-
касания синусоиды с траекторией УС0 — /F). В самом деле,
из (8.4.6) видим, что для рассматриваемого случая
cos 6B) < 0, а условие cos 0B) > — 1 приводит к усло-
условию 3£* + |1*-ь2>0, что выполнено в силу (8.4.16). Точка
внутреннего касания 6<i) существует, если cos0B)<l,
то есть если 3£* + ц* —2>0. Итак, если 0<3g* + |i*<2,
J8 3. В. Белецкий

274 анализ вековых возмущений [гл.8
то существует одна точка касания — внешняя, что при-
приводит, ввиду немонотонного характера функции /(G),
к пятиполюсному классу траекторий (рис. 59).
Если же 3£*-Ьм<*>2, то существуют внешняя и вну-
внутренняя точки касания, что в сочетании с немонотонно-
немонотонностью функции /@) приводит к шестиполюсному классу
траекторий (рис. 59). Однако поведение траекторий лю-
любого из этих двух классов в окрестности полюсов ме-
меняется в зависимости от значений параметров р,* и £*,
а именно, каждый из классов (пятиполюсный и шести-
полюсный) можно разделить на два подкласса следую-
следующим образом.
Рассмотрим максимальные и минимальные значения
функции F(C0, O)=YCo — / на «граничной» траектории,
то есть такой траектории, где
mln F(CQ9 в) =
Тогда
Г _2|„*
_|„п/|
max F(Co, Q) = F(Ca, 0m) = /|
Если это значение F(Co, 6m)>l, то ему не отвечает ре-
реальное значение cos 6(i), то есть граничная траектория в
области реальных своих значений будет иметь только
минимум. Тогда пятиполюсный и шестиполюсный классы
траекторий будут представлены подклассами, изобра-
изображенными на рис. 59, г, д. Эти подклассы характеризуют-
характеризуются наличием двойного полюса (два близко расположен-
расположенных полюса) у пятиполюсного класса и тройного полюса
(три близко расположенных полюса) у шестиполюсного
класса (в окрестности аэросевера), причем существует
траектория, охватывающая эти полюсы и не охватываю-
охватывающая противоположного аэрополюса (аэроюга). Если же
F(Со, 6т) <1, то граничная траектория в области реаль-
реальных своих значений будет достигать и максимума и ми-
минимума, и тогда пятиполюсный и шестиполюсный классы
будут представлены подклассами, изображенными соот-
соответствен*10 на рис. 59, е, ж. Эти подклассы характерны

§ 4] КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ 2?5
тем, что отсутствует траектория, охватывающая двойной
полюс в пятиполюсном классе и тройной полюс в шести-
полюсном классе. Зато имеется траектория, охватываю-
охватывающая в обоих классах три полюса. Например, в пятипо-
пятиполюсном охватывается двойной полюс в окрестности
аэросевера и полюс в аэроюге. Аналогичная траектория
в шестиполюсном классе охватывает два полюса в окре-
окрестности аэросевера и полюс в аэроюге, а полюс в аэро-
аэросевере остается вне граничной траектории.
Как уже было указано, тот или иной подкласс будет
иметь место в зависимости от того, больше или меньше
единицы величина F(C0, Qm)=y -^ \\i*\y -§лг« Назо-
Назовем первым подклассом подкласс F(Co, 6?п)>1 или, что
то же, £* < -27* 1И* I3» a вторым подклассом — подкласс
£* ъ> — I и* I3
» ^ 27 ' ^ ' '
Осталось разобрать случай |i*>0, £*<0. Этот случай
подобен только что рассмотренному: вся картина будет
симметрична предыдущей, только поменяются местами
аэросевер и аэроюг. Будем иметь шестиполюсник, если
3£* + м,* + 2<0; пятиполюсник, если — 2<3£* + jx*<0;
трехполюсник, если 0<3£* + р,*, и однополюсник, если
2<3£*-f-|i*. Пятиполюсник и шестиполюсник делятся на
два подкласса: | £* | > -pf №** B-й подкласс) и | £* | < -^ ji*3
A-й подкласс).
Классификация траекторий следа вектора кинетиче-
кинетического момента на единичной сфере закончена. Для удоб-
удобства все результаты сведены в таблицу 9. На рис. 60
изображена плоскость параметров \х*, £* и выделены
области, в которых имеет место тот или иной класс
траекторий.
Теперь осталось только рассмотреть, какая часть
плоскости параметров ц,*, £* отвечает физически реаль-
реальным значениям аэродинамических и гравитационных па-
параметров спутника.
Заметим прежде всего, что почти все классы и траек-
траектории обусловлены переменностью коэффициента аэро-
аэродинамического сопротивления. В самом деле, если этот
18*

Таблица 9
Условие
3£* -J- |я* < 0
3
Класс
Шестиполюс-
ник
Пятиполюсник
Трехполюсник
Однополюсник
Четырехпо-
Четырехполюсник
Подкласс
1П>-§-ц-
Характерный признак
Тройной полюс в окрестности
аэроюга
Тройной полюс: аэросевер и два
в окрестности аэроюга
Двойной полюс в окрестности
аэроюга
Тройной полюс: аэросевер и два
в окрестности аэроюга
Главный аэрополюс—аэроюг
Главный аэрополюс — аэроюг
>
>
S
О
го
а
X
го
о
S

li* <0
3C4-|i'<2
0 < 3£* + yi* < 2
— 2<3£* + H*<0
3S* + ^*<-2
Шестиполюс-
ник
Пятиполюсник
Трехполюсник
Однополюсник
Четырехпо-
Четырехполюсник
S*>^l|i'l»
. Г < ■§• 11*' 1*
Тройной полюс в окрестности аэро-
аэросевера
Тройной полюс: аэроюг и два в окре-
окрестности аэросевера
Двойной полюс в окрестности аэро-
аэросевера
Тройной полюс: аэроюг и два
в окрестности аэросевера
Главный аэрополюс — аэросевер
Главный аэрополюс — аэросевер
>
о
о
е
s
>
со
I
гп

278
АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 8
коэффициент постоянен, то имеем а£ = 0, то есть £* = 0,
и тогда останутся только трехполюсный класс при
|р,*|<2 и однополюсный при |р,*'|>2. Здесь особенно
четко видна устойчивость траекторий аэродинамического
Рис. 60. Области в плоскости |а*, £*, соответ-
соответствующие различным классам траекторий.
типа по отношению к гравитационным возмущениям:
уже при |(i* |>2, то есть при аэродинамических возму-
возмущениях, превосходящих более чем в два раза гравита-
гравитационные, получаем траектории аэродинамического типа
(прецессия вектора кинетического момента около аэро-
аэрополюсов), хотя форма траекторий и будет более или ме-
менее сильно искажена гравитационными возмущениями.
Рассмотрим общий случай £* ^ 0, pi* Ф 0. Согласно
формулам (8.4.4) видим, что ^х* может принимать по
абсолютной величине весьма большие значения (при
больших а^РлР2^1 и малых А—С), а также может менять

КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ 279
знак из-за члена 1 — -^-sin^ и, вообще говоря, из-за
А—С. Поэтому практически можно рассматривать всю
ось [г*. Далее, из (8.4.4) видим, что
..* ts*r* es* l ° 1
fA —A S» » A —
о E » a — a . •
3 l_|Sin^ 4*4
При изменении a6 и Ф изменяется наклон К* этой пря-
прямой к оси £* и прямая «заметает» область реальных
значений параметров \х* и^*. Нетрудно убедиться, что
при реальных значениях ag, a\ и О рассматриваемая
прямая может принять любой наклон к оси £*, за
исключением области, лежащей между осью £* и пря-
прямой [i* = —я- С*. При этом внутри области реальных
значений параметров оказываются все рассмотренные
классы траекторий. Иначе говоря, все указанные классы
траекторий реально возможны.
Как было указано выше, характер траектории век-
вектора кинетического момента определяется главным об-
образом аэродинамическими и гравитационными возмуще-
возмущениями, по сравнению с которыми влияние регрессии ор-
орбиты несущественно. Поэтому в настоящем параграфе
было проведено подробное исследование взаимодействия
аэродинамических и гравитационных возмущений, кото-
которое позволяет сделать следующие два основных вывода
о характере этого взаимодействия:
1. Аэродинамические возмущения обладают опреде-
определенной устойчивостью по отношению к гравитационным
возмущениям. Чтобы полностью исчезли траектории аэро-
аэродинамического типа, нужно, чтобы гравитационные возму-
возмущения были бесконечно велики по сравнению с аэродина-
аэродинамическими. А траектории гравитационного типа исчезают
уже при конечном отношении величины аэродинамических
возмущений к величине гравитационных возмущений.
2. При наличии взаимодействия гравитационных и
аэродинамических возмущений в некоторых случаях су-
существенное влияние на характер траекторий оказывает
характер зависимости аэродинамического мрмента от
угла

280 АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 8
§ 5. ВЛИЯНИЕ РЕГРЕССИИ ОРБИТЫ
Рассмотрим сначала влияние регрессии узла орбиты,
пренебрегая влиянием регрессии перигея. Тогда множе-
множество траекторий вектора кинетического момента дается
формулой (8.3.4), из которой видно (учитывая преды-
предыдущие формулы зависимости р и %* от 6 и X), что при
добавлении влияния регрессии узла орбиты к гравита-
гравитационным и аэродинамическим возмущениям траектории
остаются замкнутыми, так как 0 будет периодической,
периода 2я, функцией от X. Это значит, что возмущения
от регрессии узла орбиты сказываются только в иска-
искажении формы траектории. Это искажение будет неве-
невелико в тех реальных случаях, когда скорость регрессии
узла орбиты kfi мала по сравнению со скоростями аэро-
аэродинамической и гравитационной прецессии.
Таким образом, можно говорить об устойчивости
траекторий по отношению к влиянию регрессии узла ор-
орбиты в том смысле, что движение вектора кинетического
момента относительно регрессирующей орбиты при до-
достаточно больших аэродинамических и гравитационных
возмущениях мало отличается от движения относитель-
относительно нерегрессирующей орбиты.
Чтобы исследовать подробнее влияние регрессии
узла орбиты, а в дальнейшем и влияние регрессии пе-
перигея, остановимся на случае действия только аэроди-
аэродинамических возмущений.
Рассмотрим сначала совместное влияние аэродина-
аэродинамики и регрессии узла орбиты при отсутствии других
возмущений, положив для простоты, что коэффициент
момента аэродинамических сил не зависит от угла
атаки. Тогда из (8.3.4) получим уравнение траектории
конца вектора кинетического момента в виде
k*
cosx* = C0-f ел cos0, ел =-т-=-. (8.5.1)
Из (8.5.1) и выражения cos и* через Я, 6 следует, что
траектории симметричны относительно меридиана Я=Х*,
проходящего через аэрополюсы и полюсы регрессии
(северный и южный полюсы мира). Построение множе-
множества траекторий проводится аналогично построению,

§5]
ВЛИЯНИЕ РЕГРЕССИИ ОРБИТЫ
281
проведенному в § 4. Имеем из выражения для cos х*
cos (9 -f- 9*) < cos х* < cos (9 — 9*). (8.5.2)
Строим по (8.5.1) множество кривых cos х* = /@, Со) и
гра.ничные кривые cos (9 — 9*) и cos@H-0*) (рис. 61).
От рис. 61 легко перейти к изображению траекторий на
QOSZ
Рис. 61. Построение траекторий конца вектора
кинетического момента при наличии регрессии
узла орбиты; максимум и минимум функции
cos р = / (Э, Со) достигаются при Э* и я — Э*
соответственно.
единичной сфере: точки (cos0*,O), (—cos 0*, п) соответ-
соответствуют аэрополюсам; точки A, 0*), (—1, я — 8*) соот-
соответствуют полюсам регрессии. Граничные кривые
cos @ + 9*) и cos (9 — 0*) соответствуют меридиану сим-
симметрии траекторий; этот меридиан, как было указано,
проходит через аэрополюсы и полюсы регрессии.
Кривые cosx*@) (рис. 61) тем круче, чем больше
параметр ел по абсолютной величине, то есть чем
больше величина скорости аэродинамической прецессии
вектора кинетического момента по сравнению со ско-
скоростью регрессии узла орбиты. При en ->оо кривые вы-
вырождаются в вертикальные прямые 0 = const, что соот-
соответствует окружности 0 —const на единичной сфере; при
en = 0 имеем соответственно cos x* = const, то есть се-
семейство окружностей на единичной т:фере с центром

282 АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 8
в полюсе регрессии. В общем случае траектории на еди-
единичной сфере представляют собой замкнутые кривые,
имеющие полюсами некоторые две точки на меридиане
симметрии Х = Х*. Найдем эти точки. Из общих уравне-
уравнений движения (8.3.1) вектора кинетического момента
следует, что в общем случае, пренебрегая только регрес-
регрессией перигея орбиты, а также, как и выше, полагая
/5 = 0, aJ = O, положение полюса 0О, Яо (Во ¥= 9) можно
определить системой
то есть
— kn {sin 0O cos 0* — cos 0O sin 0* cos (Xo — A,*)] +
+ (^i 4- 3£з cos2 0O) sin 0o—2£o sin 0O cos 0O sin2 X=0,
— kf^ sin 0O sin 0* sin (X* — Xo) -f
+ 2k*0 sin2 0O sin Xo cos A,0=0.
* *
В рассматриваемом случае £о = О, £з = 0; тогда вто-
второе из уравнений (8.5.3) дает Хо=Х*> после чего из пер-
первого уравнения получим
(Хо = Г). (8.5.4)
Например, при 0* = 6О° получим прие^ ==—3 Э0=13°,
при ел =—10 Эо = 5°. Так как в реальных случаях ско-
скорость аэродинамической прецессии превосходит скорость
регрессии узла в несколько раз, то смещение полюса 0О
от аэрополюса будет невелико, порядка 5-г-10°.
Рассмотрим, какова форма траектории (8.5.1). С этой
целью введем дугу Д большого круга, соединяющую по-
полюс 0о, Хо траекторий и текущую точку 0, X траектории.
Тогда
cos A = cos 0 cos 0O + sin 0 sin 0O cos (X — X*). (8.5.5)
Исключая cos (X — X*) с помощью cos к* (§ 3) и учиты-
учитывая (8.5.4), получим
cos Л sin 0* - cos х* sin Эо = — cos 0 е^ sin 0Q.

§ 5] ВЛИЯНИЕ РЕГРЕССИИ ОРБИТЫ 283
После подстановки cos x* из (8.5.1) получим оконча-
окончательно
Следовательно, семейство траекторий на единичной
сфере есть семейство концентрических окружностей
с центром в точке Эо, Ко, определяемой соотношениями
(8.5.4).
Так как в случае действия только аэродинамических
возмущений траектории являются окружностями с цент-
центром в аэрополюсах, то заключаем, что влияние регрес-
регрессии узла орбиты на эти траектории приводит к их сме-
смещению в целом вдоль меридиана К = К* и к некоторому
изменению радиуса окружности (при равных начальных
данных) согласно (8.5.5) и (8.5.6).
Теперь осталось рассмотреть, как искажаются траек-
траектории (8.5.1) или, что то же, (8.5.6) под действием ре-
регрессии перигея орбиты. Из соображений непрерывной
зависимости траекторий от параметров следует, что при
малых аэродинамических возмущениях траектории дол-
должны быть близки к траектории «уходящего» типа, по-
подобной изображенной на рис. 57. Наоборот, если аэро-
аэродинамические возмущения велики, то регрессия орбиты
должна мало сказаться на форме траектории и траек-
траектория должна быть близкой к окружности малого круга
на единичной сфере с центром в аэрополюсе.
В самом деле, непосредственное исследование траек-
траекторий в этом случае путем введения переменного пара-
параметра со в уравнение (8.5.1), а также численное интегри-
интегрирование уравнений движения показывают, что если ско-
скорость аэродинамической прецессии вектора кинетиче-
кинетического момента превосходит скорость регрессии орбиты,
то траектория будет иметь пульсирующий характер
(около смещенного аэрополюса), как на рис. 62, а. Для
орбит первых советских спутников увеличение радиуса
траектории за один оборот вектора кинетического мо-
момента около полюса прецессии составляло величину по-
порядка 0,5-5-1°.
Если, наоборот, скорость регрессии орбиты велика
по сравнению с аэродинамическими возмущениями, то

284
АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 8
получим траектории с вековым уходом полюса прецес-
прецессии (рис. 62,6). Промежуточным является случай с од-
одновременными уходом и пульсацией (рис. 62, в).
На рис. 53, 55, 56 хорошо видна пульсация траек-
траекторий.
\
б)
в)
Рис. 62. Влияние регрессии перигея орбиты на траекторию
вектора кинетического момента (схема): а) скорость ре-
регрессии меньше скорости аэродинамической прецессии;
б) скорость регрессии больше скорости прецессии; в) про-
промежуточный случай.
При одновременном учете гравитационных возмуще-
возмущений влияние регрессии узла и перигея носит аналогич-
аналогичный характер. Влияние регрессии узла приводит к фи-
фиксированному смещению полюса гравитационно-аэроди-
гравитационно-аэродинамической траектории. Влияние регрессии перигея при-
приводит к эволюции траектории (пульсация, уход полюса
прецессии) без существенного искажения основной
формы траектории. Совместное влияние различных фак-
факторов будет еще рассмотрено в главе 9.

§ 6] КОЭФФИЦИЕНТ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 285
§ 6. СРЕДНИЙ КОЭФФИЦИЕНТ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО
СОПРОТИВЛЕНИЯ
Для задачи определения времени жизни спутника
при известной атмосфере или для обратной задачи оп-
определения параметров атмосферы по известному тормо-
торможению спутника необходимо знать некоторый средний
коэффициент сопротивления. В самом деле, вследствие
быстрой прецессии спутника около центра масс и вслед-
вследствие движения центра масс спутника по орбите спут-
спутник может занимать самые различные положения по
отношению к набегающему потоку; поэтому коэффи-
коэффициент сопротивления быстро меняется со временем и
будет зависеть от многих параметров. Это создает труд-
трудности при расчете эволюции орбиты. Однако предста-
представляется очевидным, что основная картина эволюции
орбиты определяется некоторой средней картиной сопро-
сопротивления атмосферы, которую можно описать, подходя-
подходящим образом определив средний коэффициент аэроди-
аэродинамического сопротивления. Такой коэффициент будет
зависеть только от вековой эволюции движения около
центра масс спутника и не будет зависеть от быстрых
вращений. Зависимость коэффициента CR аэродинами-
аэродинамического сопротивления от угла атаки б можно аппрокси-
аппроксимировать формулой, аналогичной формуле A.3.17) для
коэффициента аэродинамического момента. В соответ-
соответствии с этой формулой примем
CR = CQ + C2 cos2 6. (8.6.1)
Орбиту примем эллиптической, влиянием вращения
атмосферы пренебрежем, тогда cos 6 определяется из
G.1.3). Чтобы выявить среднее значение CR на од-
одном витке орбиты спутника, нужно осреднить (8.6.1)
по периоду прецессии и по периоду обращения; послед-
последнее осреднение эквивалентно осреднению по v с весом
. оаметим еще, что средний коэф-
dv V^P A + * cos vJ
фициент сопротивления должен отвечать действитель-
действительному торможению, то есть учитывать не только положе-
положение тела относительно набегающего потока, но и вели-
величину динамического напора этого потока. Ясно, что

286
АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 8
на эллиптической орбите динамический напор будет раз-
различным в различных точках орбиты, в отличие от кру-
круговой орбиты; поэтому осреднение по периоду обраще-
обращения нужно проводить с весом по динамическому напору.
Необходимость этого иллюстрируется следующим при-
примером. Пусть вытянутый спутник вращается в режиме
кувыркания @ = 90°), то есть вращается в некоторой
W
...
— —
.
_——-
4.
N
у
)
/
500
Рис. 63. Интегральные величины,
входящие в выражение среднего
коэффициента аэродинамического со-
сопротивления.
«плоскости прецессии», и пусть эта плоскость перпенди-
перпендикулярна к плоскости орбиты. Если положение плоскости
прецессии таково, что при прохождении через перигей
она перпендикулярна к набегающему потоку, то тормо-
торможение и, следовательно, средний коэффициент сопроти-
сопротивления будут больше, чем в случае прохождения через
перигей «ребром» к набегающему потоку. На круговой
орбите этого отличия не будет, так как если в какой-
либо точке орбиты плоскость прецессии перпендикуляр-
перпендикулярна к потоку, то всегда найдется точка, в которой пло-
плоскость прецессии расположена «ребром» к потоку; то-
тогда, вследствие равенства динамического напора в лю-
любой точке круговой орбиты, средний коэффициент сопро-

§ 61 КОЭФФИЦИЕНТ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 287
тивления не зависит от положения плоскости прецессии
в какой-либо фиксированной точке орбиты.
Учитывая все сказанное, определим средний коэффи-
коэффициент CR аэродинамического сопротивления по формуле
2я 2я
.0 0
2я
1 Г „о dt
(8.6.2)
Проводя указанные в (8.6.2) осреднения по v и г|), по-
получим
__L r%a(^ + COSVJ .
~~ 2л J (l-f*cosvJ U '
2Я
_J_ Г Pa Sin2 V .
2л J (i ^-алло*л2 uv»
2я
7o_JL Г ра1
Г __ Pa
A +^ cos vJ
-*>, Pa = ^
(8.6.3)
' 2 Jo
7 7.
На рис. 63 изображены отношения -Л- и -^Л рас-
рассчитанные для экспоненциального закона изменения
плотности со значением параметра Я = 30 /еж, высотой
перигея Л = 225 км и для различных высот апогея. Ви-
Видим, что Ji>7z и только на круговой орбите 7^—7г. Из
(8.6.3) видно, что CR зависит только от квазипостоянных
параметров. В течение времени прохождения одного
витка орбиты спутника можно считать Э и К постоян-
постоянными. Однако 9 и X медленно меняются от витка к вит-
витку и, следовательно, меняется режим сопротивления.

АНАЛИЗ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
(ГЛ. 8
Как следует из результатов этой главы, только за счет
взаимодействия аэродинамических и гравитационных
возмущений угол G может периодически колебаться с
амплитудой в десятки градусов; поэтому и торможение
спутника будет меняться
периодически.
Рассмотрим частный
случай, соответствующий
указанному выше при-
примеру кувыркания спутни-
спутника в плоскости, перпен-
перпендикулярной к плоскости
орбиты. Тогда ft = 90°,
Я = 0 (вектор кинетиче-
16
12
Ю
\
\
1
i
\
\
\
У
и
—
\
\
>
V
\^
к=€
\~пп°
Л.
JU
50
ского момента лежит в
плоскости орбиты) и
по (8.6.3) имеем при
9 = 0
Сд = LR = Со -+- С>2 ■- -у~,
(8.6.4)
при 6=
= Су? = Со + Сз —
Рис. 64. Средний коэффициент
аэродинамического сопротивления.
-у- •
(8.6.4)
Для вытянутого спут-
спутника С0>0, С2<0. Так
как /i>/2, то получим CR > C"R. Условие 6 = 0 означает,
что плоскость прецессии перпендикулярна к набегающе-
набегающему потоку в перигее орбиты, а условие 6 = -g- означает,
что указанная плоскость проходит перигей «ребром»
к потоку. Поэтому результат (8.6.4) является естествен-
естественным: в первом случае сопротивление в среднем больше,
чем во втором случае.
Рассмотрим более общие значения параметров. На
рис. 64 изображена зависимость СдF, К) для сильно
вытянутого спутника (С0=18; С2 = — 15,2). Принято

§ 6] КОЭФФИЦИЕНТ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 289
0 = 85°, Ал=_225 км, ha =900 км. Видим, что амплитуды
изменения CR по А, малы |АСд<1|, однако амплитуды
по 8 велики. В § 2 настоящей главы приводился пример
(рис. 56), когда взаимодействие гравитационных и аэро-
аэродинамических возмущений привело к изменению Э на
60° (от 90° до 30°) за 25 оборотов спутника по орбите
(с последующим возрастанием Э до значения, близ-
близкого к первоначальному, к 48-му обороту спутника).
Как видно из_рис. 64, такое изменение 0 вызовет изме-
изменение Сп от Ся=10,8 до Ся=15,6, то есть коэффициент
сопротивления возрастает в полтора раза. Следова-
Следовательно, возможны такие случаи, когда движение около
центра масс существенно сказывается на движении са-
самого центра масс спутника, вызывая периодические ва-
вариации в торможении.
Следует отметить, что при е — 0 У1 = 72 = -к-. Уо = 1
и, как следует из (8.6.3), CR будет зависеть только от
cos2 p = sin2 8 sin2 К. Вековых возмущений на круговой
орбите аэродинамика не вызывает, а вековые гравита-
гравитационные возмущения не изменяют угла р, и поэтому Cr
может остаться неизменным, если только угол р не из-
изменится за счет влияния других возмущений. Например,
этот угол могут изменить магнитные возмущения, рас-
рассматриваемые в следующей главе.
Таким образом, в торможении спутника могут иметь
место долгопериодические вариации, обусловленные
эволюцией вращательного движения спутника. Этот
факт следует учитывать при анализе орбит, при опре-
определении плотности атмосферы по торможению спутни-
спутников [52] и в других подобных задачах. [См. по этому
поводу также гл. 10 (рис. 87).]

ГЛАВА 9
ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
И МОМЕНТОВ СИЛ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ
НА ВРАЩЕНИЕ И ОРИЕНТАЦИЮ СПУТНИКА
§ !. ВЛИЯНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
СПУТНИКА С МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ ЗЕМЛИ
Рассмотрим влияние <на вращение спутника его
собственного магнитного поля с постоянным вектором /
магнитного момента, направленного по оси симметрии
спутника, а также влияние намагничивания оболочки.
Моменты сил, действующие на спутник, определяются
формулами A.4.1) —A.4.4) главы 1. Можно написать
силовую функцию U, действие которой на спутник вы-
вызывает эти моменты сил. Оказывается, что
о— 1 v
4эх 7^"
(9.1.1)
где аз, Рз> Уз—направляющие косинусы оси симметрии
спутника с осями X, У, Z (см. § 1 главы 1) (ось У
совпадает, по предположению, с осью магнитного ди-
диполя Земли; ось Z будем считать в настоящей главе
направленной в узел орбиты, иначе говоря, Д^О), а ком-
компоненты поля Hj, Ну, Hj определяются по формулам
A.4.7). Далее, для исследования движения снова пол-
полностью применима теория, изложенная в § 4 главы 5.
Введем функцию f/v E.4.11) и двукратно осредним ее,
как в E.4.13); тогда можно легко написать уравнения
E.4.13) векового движения вектора кинетического мо

§ 1] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ 291
мента и уравнение его траектории E.4.14). Имеем
и = - 1T '
(\ + е cos v)
+ \kH (Иfa, + Hv p3 + Wzy3J } • (9.1.2)
Введем угловые координаты рь ai вектора L (§ 1
главы 1). Направляющие косинусы а3, |33, уз будут иметь
вид A.1.6), только в правых частях вместо р и а сле-
следует писать pt и ai. Осредняя (9.1.2) один раз (по г|))
и отбрасывая в средних значениях a!j, p^, Уз член
ySin2/& (который не влияет на движение вектора кине-
кинетического момента), получим осредненное значение L/v
в виде
. (9.1.3)
Здесь а^, р°, у®— направляющие косинусы вектора ки-
кинетического момента с осями XYZ, определяемые по
A.1.10). Подставляя (9.1.3) с учетом A.1.10) в E.4.12)
получим уравнения движения вектора L во втором
приближении (то есть осредненные только по г|) с уче-
учетом замены р, а на pi, ал). Из (9.1.3), в частности, сле-
следует, что если оболочка спутника не намагничивается
(&я = 0), то тем не менее будет иметь место возмущен-
возмущенное движение вектора L за счет наличия собственного
магнитного поля спутника с магнитным моментом /0.
Наличие /0 не вызывает возмущений в движении только
в частном случае 1&> = -^, то есть когда спутник вра-
вращается вокруг поперечной оси. Следует отметить, что
/ гпо А / /О 1 Д\
есть модуль проекции / на L и возмущения вызы-
вызываются именно этой компонентой /. Если, например, /
расположен не по оси симметрии спутника, то IL=f-Q
даже приА = -2~и возмущения не исчезают. Кроме того,
19*

292 влияние магнитного поля и светового давления [гл.
при О1 = -2" остаются возмущения за счет намагничи-
намагничивания оболочки спутника (т#'есть когда кнф0).
Выявим вековые возмущения в pi, О\. С этой целью
осредним (9.1.3) еще раз — по истинной аномалии v.
Обозначим
2л
'.-■к!
Hsdv
0 — A + ^cosvJ
753Ч
Jsk
In
_Lf_
2л J „2
HsH
sHk
5 ==: -<л , Y у £j к — 2\, i ,
Тогда
f1(e, ©„),
-| e4) - 6 sin2 / f2 (e, «
+ 9sin4/ Д^, ©я),
/гг = 9 sin*/[/,-/,].
JjY = — 3 sin I cos / [f2 — 3 sin2 i Д],
in r _
+ "Yg- cos2 (оя sin2 «л + 7g sin4 ©J +
jgg cos4 со„ + щ cos2 ©я sin2 ©л+у^ sin4 ©„J,
/2 {e, »я) = j + j e2 [cos2©л + 3 sin2 ©я] +
-f yg-
(9.1.5)
(9.1.6)

§ 1] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ 293
Так как эксцентриситет входит в эти выражения в сте-
степени выше первой, то для орбит с небольшим эксцен-
эксцентриситетом можно с большой точностью считать, что
движение не зависит от е и, следовательно, от оя.
В этом случае, пренебрегая членами с в2 и е\ полу-
получим
27 с^7
= -д- sin2 / cos2 /, J-yy = 1 — 3 sin2 i-\~-g sin4 /,
9 "'-9: (9.1.7)
Jjy= — 3sin /cos/ Г у—-g- sin2/!.
Дважды осредненное значение Uv можно теперь запи-
записать в виде
-\ sin2 а) -^ (Уу ^
^Fa^)}. (9.1.8)
Согласно общей теории § 4 главы 5 и учитывая, что
Y^2= 1—a^2 — р^2, можно написать уравнение траектории
вектора кинетического момента в виде
+ \kH (l - 4 sin' *) Щ- [(Уу, - У?г) af +
= const. (9.1.9)
Тогда движение вдоль этой траектории будет описы-
описываться уравнениями E.4.13) с учетом (9.1.8), а именно

294 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. 9
следующими уравнениями:
cos ft (У^ ctg pl sinaj —.
-+ ^(l-ysin^j^-^y^-y^
(9.1.10)
X sinpx sin ox cos a1+/£pr
Разберем частные случаи.
1. / = 0 (экваториальная орбита). Тогда Ург ===== 1Э
Jyy~l, Jx==J'xx~Jfz~ — Jxy—Q- ВектоР ^ прецесси-
рует вокр^уг нормали к плоскости орбиты (совпадаю-
(совпадающей с осью Земли) на постоянном угловом расстоянии
р1==ро с постоянной угловой скоростью
(9.1.11)
Дример. Пусть -& = 0 и kH = 0\ примем Р = 7000 км\
=Vy где V — скорость движения центра масс
спутника (орбита круговая); пусть 1^8 км/сек, Lo =
= Сг0, С = 500 кг*м2, го=О,1 рад/сек; имеем также \хЕ =
= 8 • 1025 гс*см3; примем /0 = 1200 гс-см3; тогда за один
оборот спутника по орбите (Av = 360°) имеем согласно
(9.1.11) вековой уход вектора L равным Aai=l°,8.
2. Оболочка не намагничивается: kH = 0. Движение
происходит только за счет постоянного магнитного мо-
момента /0 спутника. Тогда, как нетрудно показать, век-
вектор L кинетического момента прецессирует на постоян-
постоянном углодом расстоянии я — Kq от полюса, координаты

§ 1) ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ 295
которого о*, р* определяются формулами
at=±-5- (9.1.12)
х -у sm / cos *
(то есть полюс _лежит в плоскости ХУ, нормальной
к линии узлов Z и проходящей через ось Земли У).
Скорость прецессии вектора L постоянна (по v) и
дается выражением
(91Л31
3. /о=О, то есть первоначальным магнитным полем
спутника можно пренебречь; учитываем только намаг-
намагничивание оболочки (кн1оФО). Обозначим a? = cosO,
po = cospj; таким образом, Ф — угол между векто-
вектором L и осью X. Из вида Uv (9.1.9) следует,_что траек-
траектории симметричны относительно плоскости УХ, то есть
плоскости, нормальной к линии узлов орбиты. Решая
квадратное относительно cos Ф уравнение (9.1.9), полу-
получим
cos Ф = —10 cos р! ± /Со +- So cos2 Pi. (9.1.14)
Здесь Со — постоянная интегрирования, а
j /2 г г
XX ZZ \ XX ZZ) XX ZZ
В зависимости от значений параметров орбиты (угла i)
может быть Яо^О и £о^О. Учитывая, что cos Ф =
= sinpisinai, то есть —sinpi<cos ©<sin рь с помощью
(9.1.14) обычным образом (см. § 4 главы 8) можно
построить траектории следа вектора L на единичной
сфере. Эти траектории изображены на рис. 65 для слу-
случая Я0<0; для случая Х0>0 картина будет симметрично
повернута относительно оси У. Семейство траекторий
содержит две пары полюсов на меридиане симметрии
(то есть на^ меридиане УХ) и еще пару полюсов — след
оси Е (+Z и — Z); одна из этих пар — неустойчивые

206 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. 9
полюсы. При £о<О неустойчивыми полюсами (сед-
(седлами) являются полюсы — следы оси Z (то есть ai =
= 0, я; Pi = -7fb при £о>О неустойчивые полюсы — одна
из пар на меридиане симметрии. Положение полюсов
oj, р* на меридиане симметрии проще всего определить
Рис. 65. Траектории векового движения вектора кинетического
момента под влиянием намагничивания оболочки спутника (сле-
(слева — случай £0 < 0, справа — случай £0 > 0).
из уравнений движения (9.1.10), приравняв к нулю пра-
правые части (напомним, что /0 = 0, 10кнФ0 в рассматри-
рассматриваемом случае). Получим
(9.1.16)
=
XX
У У
Отсюда, в частности, следует, что для полярной орбиты
(/ = 90°, J~xy=0) будем иметь р* = 0, -^-, я, а так как для
/ = 90° £о>О, то, в зависимости от начальных данных,
прецессия будет идти либо вокруг линии X (нормаль
к плоскости орбиты), либо вокруг оси У (ось Земли,
лежащая в данном случае в плоскости орбиты). Ко-
Конечно, прецессия совершается неравномерно: имеет ме-
место прецессионно-нутационное движение с переменными
согласно (9.1.10) скоростями. Пользуясь (9.1.9), можно
свести задачу к квадратурам.

§ 2] ВЛИЯНИЕ ВИХРЕВЫХ ТОКОВ
4. В самом общем случае за счет наличия 1оФОу
kH=£0 картина траекторий, изображенных на рис. 6^
искажается: полюсы смещаются (хотя плоскость YX
остается плоскостью симметрии), области движения
около каждого полюса одной пары не равны друг другу
(одна область расширяется, другая — сужается); поло-
положение полюсов будет зависеть не только от параметров
орбиты, но и от параметров спутника.
Замечания. 1. Здесь не учитывалось, что ось
магнитного диполя Земли не совпадает с осью враще-
вращения Земли. Учет этого фактора не вызывает принци-
принципиальных трудностей; вращение оси диполя Земли было
учтено, например, в работе [78], причем вводилось еще
одно осреднение — по периоду вращения Земли.
2. Исследование влияния поперечной составляющей
1± магнитного момента / спутника показывает, что
при некоторых условиях возможно качественное изме-
изменение движения относительно вектора L: вместо непре-
непрерывного вращения вокруг оси симметрии спутника мо-
могут появляться колебания относительно этой оси [21].
§ 2. ВЛИЯНИЕ ВИХРЕВЫХ ТОКОВ НА ВРАЩЕНИЕ
И ОРИЕНТАЦИЮ СПУТНИКА
Рассмотрим вековые эффекты во вращении спутника,
вызываемые влиянием вихревых токов, возникающих
при вращении спутника в магнитном поле Земли. Мо-
Моменты сил, действующих на спутник, примем в виде
A.4.15) главы 1. (Эднократно осредняя (по г|э) эти вы-
выражения, получим, считая йф = &oo=const:
Двукратное (по ф и по v) осреднение дает (с учетом
перехода от независимой переменной / к независимой

298 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ (ГЛ. 9
переменной v):
(9.2.2)
кк + Jxx)
Здесь коэффициенты JSk определяются формулами
(9.1.5) —(9.1.7).
Уравнения векового движения вектора кинетического
момента будут иметь вид:
dl-
(9.2.3)
dv
dv
= Mr
где Mj, My, M-£ определяются по (9.2.2).
Так как в уравнения (9.2.3) входит кроме перемен-
переменных Lj, Ly, L-2 еще переменная Ь, то следует соста-
составить уравнения для ■& аналогично тому, как это дела-
делалось в § 4 главы 7 при исследовании влияния аэроди-
аэродинамической диссипации.
Для определения вековой эволюции cos § получим
следующее уравнение:
L2-
ХУ
z.2
) 4
I my»'
(9.2.4)
Теперь система уравнений (9.2.3) и (9.2.4) замкнутая
L
зная ее решение, можно затем определить r = -^rcosft
и Ф ~ ^д-» L=Y Lj-{- Ly-\- L~. Основные особен-
особенности движения можно исследовать путем приближен-
приближенного интегрирования системы (9.2,3), (9.2.4). Рассмот-

§ 2] ВЛИЯНИЕ ВИХРЕВЫХ ТОКОВ 2§9
рим сначала простейшие случаи. Предположим, что
внешнее поле плоскопараллельное и имеет постоянную
напряженность, то есть Н= const. Это будет выполнено
для орбиты экваториального спутника (/ = 0; ось маг-
магнитного диполя Земли, по предположению, совпадает
с географической осью Земли). Тогда прямо из ыеосред-
ненных выражений A.4.15) для компонент момента по-
получим, что Му=0 и, следовательно, Ly — Ly. В (9.2.2)
все J$k, кроме Jyy> будут равны нулю. Можно в этом
случае ограничиться только одним осреднением по \|э.
Тогда можно использовать (9.2.1), полагая Иу = Й,
//- = //- = 0. Уравнения для Lj и Ly запишутся в виде
(независимая переменная t)
LY = ~ Д//2^, Ly = — Ш°1у. (9.2.5)
Lx
Отсюда следует —,— = igo1 — const, то есть движение
7
вектора L происходит в неподвижной плоскости oi —
= const, проходящей через L и //. Используя найден-
найденные интегралы движения, можно теперь с помощью
(9.2.4) и (9.2.5) получить для L, О, pi уравнения:
(9.2.6)
Здесь pi — угол между L и Н. Из (9.2.6) видно, что L
монотонно уменьшается; это, в сочетании с интегралом
Ly = L°y, позволяет установить, что pi -> 0. Уравнения
(9.2.6) допускают еще интеграл [35]
2 _2е_ ]
*-1 (cos*I-«=Dtgp1sinp1> I
с \ (9.2.7)
e = -j, D = const.

COO* ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. 9
Так как pi~>0, то из этого интеграла следует, что ft-*0
при е>1 иФ->-^-при е<1. Чтобы получить явные за-
зависимости функций от времени, достаточно проинтегри-
проинтегрировать уравнения приближенно. Интегрируя (9.2.5), по-
полагая в первом приближении Ф = д0, получим
4 ехр {-
(
j = 4 ехр {
Я2
cos2 %
sin2 О
) }(*-*„),
откуда видно, что действительно
то есть вектор L стремится совпасть по направлению
с Я и его величина стремится к постоянному значению.
Вместе с тем стремится к постоянному значению и ско-
рость прецессии \|)^-j-->—j-- Уравнение (9.2.4) в рас-
рассматриваемом случае можно проинтегрировать в виде
. (9.2.9)
Асимптотически имеем Lj « Ly и тогда
-*0), (9.2.10)
то есть
рот,
если
k0 ф
~ < О {Л < С), и, наобр-
, если ^
(Л > С).
Этот вывод выше был сделан и прямо по формуле
(9.2.7). Соответственно получим Cr->L-> Ly = const

§2]
ВЛИЯНИЕ ВИХРЕВЫХ ТОКОВ
301
или Сг->0. Иначе говоря, динамически сжатый спутник
стабилизируется так, что его вращение стремится к по-
постоянному вращению вокруг оси симметрии, которая
стремится совпасть с //; динамически вытянутый спут-
спутник, наоборот, опрокидывается и стремится к постоян-
ному вращению t|> = -j- вокруг поперечной оси, стре-
стремящейся совпасть с Н.
Однако экваториальная орбита (// = const) предста-
представляет собой исключительный случай. На произвольной
орбите, вследствие вращения вектора //, следует ожи-
ожидать, что все компоненты угловой скорости будут зату-
затухать до нуля и величина вектора L будет стремиться
к нулю (а не к постоянному значению), поскольку не
будет какого-либо фиксированного направления, отно-
относительно которого момент сил равен нулю. Это видно
из общих выражений (9.2.2) для компонент момента
сил.
Рассмотрим, например, случай полярной орбиты
(г = 90°), для простоты положив еще е = 0 (круговая
орбита). Тогда ось X неподвижной системы XYZ на-
направлена по нормали к плоскости орбиты. Из (9.1.7)
видно, что коэффициенты J^y и У^Г в (9.2.2) равны
нулю. Интегрируя теперь (9.2.3) (полагая прибли-
приближенно О —#0 и обозначая До = Д('&о)), получим
(9.2.11)
то есть все компоненты L стремятся к нулю при
v->oo. Отсюда имеем:
. (9.2.12)

302 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. 0
Пусть X — угол_между осью Z и проекцией вектора L
на плоскость ZY орбиты. Тогда из (9.2.11)
ч
-у при v->oo.
(9.2.13)
Если 9 — угол между вектором L и осью X, то из
(9 2.11) и (9.2.12) имеем
)р -vo)]X
(9.2.14)
где для краткости обозначено аЕ— p9/2fr- Ao» Отсюда,
поскольку Jyz^^yy^^yy и ^11 ~^~^Ty ^ ^z~z > полу-
получим: cos9->0 при v~>oo, 6~>-9" ПРИ v"~>o°- Соотно-
Соотношения (9.2.13) и (9.2.14) показывают, что вектор кине-
кинетического момента стремится_установиться параллельно
оси магнитного диполя (оси У).
Наконец, интегрирование уравнения (9.2.4) в рас-
рассматриваемом случае дает
-^J Uv» (9-2.15)
откуда вытекает такое же поведение угла нутации О,
как и в случае экваториальной орбиты: О->0, если
$■, если ^-

§ 2] ВЛИЯНИЕ ВИХРЕВЫХ ГОКОВ 303
Далее, в силу (9.2.12) видно, что осевая составляю
щая г = —^— угловой скорости стремится к нулю.
Вращение стремится полностью затухнуть (в отличие от
случая экваториального спутника). Для вычисления
скорости векового затухания осевой составляющей г
угловой скорости можно воспользоваться непосред-
непосредственной интеграцией уравнения С -^=-^ Mz>. Здесь
Мг' определяется формулами A.4.12), A.4.14). Делая
элементарные преобразования, осредняя двукратно по
\|) и по v и интегрируя, получим
= roexpj -gMv, (9.2.16)
где
4
I i}\ L-L- \
4 Jyy у "~3Try +% у ~
Пусть, например, орбита спутника экваториальная,
а оболочка — сферическая. Тогда У-ру Ф 0, а остальные
/fes равны нулю; Л = С, и поэтому, как следует из
(9.2.4), /& = 'б1о, причем ^0=0 в силу того, что. невозму-
невозмущенное движение для сферического спутника является
просто вращением вокруг одной фиксированной отно-
относительно спутника (и относительно внешнего простран-
пространства) оси. Тогда

304 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. 9
Коэффициент &0Ф Для рассматриваемого случая сфери-
сферической оболочки будет иметь значение A.4.13). Фор-
Формула (9.2.16) со значением diE из (9.2.17) эквивалентна
формуле, полученной, например, в [38], однако отли-
отличается от этой формулы учетом изменения ориента-
ориентации pi оси вращения относительно магнитного поля И.
В самом деле, из (9.2.6) следует, что в рассматривае-
рассматриваемом случае tgp2 = tgp°expj ^^-(v — v0) J и что если
= P
р5 =■- -к-, то p1 = Pi в течение всего времени движения;
тогда г, как видно из (9.2.16), (9.2.17), будет иметь по-
постоянный декремент затухания. Если же Р?^у. то
pi-^0 и декремент -#--»0, то есть г будет затухать
медленнее, чем в случае ■р1=-~. Наконец, в случае
Pi = 0 будет pi=0 и, как и следовало ожидать, никакого
затухания не будет.
Пример. Для спутника, по параметрам близкого
к первому советскому спутнику, можно принять А =
о
= С = -^ас5фр0я, гдеро = 836 кг/ж3 - средняя плотность
материала спутника, аСф = 0,3 м — радиус спутника;
в коэффициенте A.4.13) примем ftC6=10~3 ж; $ = 2,8 X
Х10~8 ом*м (алюминий) A сш=109 см/сек); # = 0,3 гс,
причем, очевидно, !IZ/— dv — И2dt. Тогда по форму-
формулам (9.2.16), (9.2.17), где еще примем р1 = ро —-£.,
получим, что угловая скорость г уменьшается в е раз
за 70 суток [38]. По оценкам [38, 90] для спутника типа
американского «Авангарда» такое же затухание в в раз
происходит за 11 суток.
Нетрудно провести интеграцию линейных относи-
относительно Lj, Ly, /^уравнений (9.2.3) с моментами (9.2.2)
в самом общем случае (в том же предположении, что
приближенно в (9.2.2) можно считать Ф=Фо). Анализ
решения показывает, что основные качественные осо-

§ 3] ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ НА СПУТНИК СОЛНЦА 305
бенности движения в общем случае будут аналогич-
аналогичными особенностям движения на полярной орбите, а
именно:
1) вектор кинетического момента будет асимптоти-
асимптотически стремиться к некоторому направлению в про-
пространстве (например, к оси магнитного диполя Земли
в частных случаях экваториальной и полярной ор-
орбит);
2) угловые скорости вращения спутника стремятся
полностью затухнуть (за исключением случая эквато-
экваториальной орбиты);
3) спутник стремится при своем вращении стабили-
стабилизироваться или опрокинуться (Ф->0 или
симости от знака коэффициента -^
-о") в зави-
завиКонечно, как и при рассмотрении моментов сил аэро-
аэродинамической диссипации, анализ перестает быть вер-
верным, когда угловые скорости вращения станут доста-
достаточно малы; тогда движение спутника перейдет из ро-
ротационного режима в либрационный, что не может быть
описано формулами настоящего параграфа.
§ 3. ВЛИЯНИЕ МОМЕНТОВ СИЛ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ
НА ВРАЩЕНИЕ И ОРИЕНТАЦИЮ СПУТНИКА СОЛНЦА
Примем, что искусственный спутник движется по эл-
эллиптической орбите вокруг Солнца, и предположим, что
можно пренебречь моментами всех сил, кроме сил све-
светового давления; для этих моментов примем аппрокси-
аппроксимирующую формулу A.5.6). Наличие момента сил
A.5.6) эквивалентно наличию силовой функции
U (cos es) = — -£ J ae (cos ts) d (cos zs\
то есть согласно E.4.11) для произвольной эллиптиче-
эллиптической орбиты
R2
^f()d() (9.3.1)
20 В. В. Белецкий

306 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. 9
Рассмотрим два случая: ac = ctoc и ao = aiocos es.
1) ас = аос. Тогда
cos es = y3 cos v -f- a3 sin v,
где v — истинная аномалия, а у3, а3 определяются фор-
формулами A.1.6); среднее по ф значение функции L/v
будет
Uv = т="cos ^ s^n Р cos (a — v)»
то есть имеет вид, приводящий к уравнениям E.4.15);
поэтому согласно E.4.16) траектория вектора L дается
формулой
a R2
ф = Lo cos p %Л cos ft cos e, = const,
cos eL = sin p cos xv, xv = a — v.
(9.3.2)
Здесь гь — угол между вектором!, кинетического мо-
момента и текущим радиусом-вектором /?; траектория
(9.3.2) замкнута во вращающейся вместе с радиусом-
вектором R системе координат. Подставляя (9.3.2)
в E.4.15), можно получить скорости изменения коорди-
координат во вращающейся системе; однако движение по
траектории (9.3.2) допускает более простую интерпрета-
интерпретацию. Обозначим
a R2
по= °^JL cos ft, tg p* = — /г0. (9.3.3)
Тогда оказывается, что траектории (9.3.2) представляют
собой на единичной сфере семейство концентрических
окружностей
C (9.3.4)
с полюсами, имеющими координаты
а) xVA) = 0, pa)=p*; б) нуB)=я, рB) = л — р*, (9.3.5)

§ 3] ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ НА СПУТНИК СОЛНЦА 307
где р* определяется из (9.3.3); в формуле (9.3.4) %
означает угловое расстояние от полюса (9.3.5, а) до век-
вектора L. Траектории для по>0 изображены на рис. 66.
Обозначим hi угол поворота вектора L вокруг по-
полюса (9.3.5). Тогда скорость вращения вектора L ока-
оказывается равномерной
по v и дается формулой
(9.3.6)
dv ~~
Из (9.3.3) и (9.3.6) вид-
видно, что если световые мо-
моменты очень малы (мо~
~0), то направление на
полюс близко к нормали
к плоскости орбиты и
dl
скорость " движения —р^~
вектора кинетического
момента во вращающей-
вращающейся системе кооплинат Рис* 66< тРаект<>Рии движения
ся системе координат вектора кинетического момента
близка к ^ 1, то есть в относительно орбитальной си-
неподвижной системе ко- стемы координат под влиянием
ординат вектор L почти моментов сил светового давления,
покоится. Наоборот, при
больших значениях п0 сказывается стабилизирующее
влияние светового давления и полюсы (9.3.5)
смещаются в направлении текущего радиуса-вектора
R (Р*->")' а скорость (9.3.6) движения вектора L во
вращающейся системе увеличивается.
Рассмотрим теперь другой случай.
2) ac = aiccoses. Тогда
cos2 е,,
-v). (9.3.7)
Функция Um снова имеет вид, приводящий к уравне-
уравнениям E.4.15), поэтому согласно E.4.16) траектория
20*

308 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. 9
вектора L во вращающейся системе координат будет
LQ cos p — jy= 11 — - sin2 G j cos2 eL = const. (9.3.8)
Уравнения движения в абсолютных координатах р, о со-
согласно (9.3.7) и E.4.12) имеют вид
d9 а\с%1 I 3 n \
— = -—- 1 sin2 О sin p cos (a — v) sin (o-v),
— = ^Ы^ (l — ~sin2ft) cospcos2(a — v).
(9.3.9)
Уравнения (9.3.9) полностью совпадают с уравнениями
F.3.1) движения под воздействием гравитационных мо-
моментов, если только в F.3.1) положить е = 0 и выбрать
No равным постоянному множителю в правых частях
(9.3.9). Поэтому все результаты, изложенные в § 4
главы 6 для круговой орбиты, переносятся на рассма-
рассматриваемый случай влияния светового давления на эл-
эллиптической орбите спутника Солнца, если
Основные результаты, изложенные в § 4 главы 6, отно-
относятся к случаю |tti]<l, когда траектории имеют вид,
указанный на рис. 42; в этом случае стабилизирующее
действие светового давления сказывается весьма слабо.
Рассмотрим подробно случай |fti|>l, когда траек-
траектории имеют вид, указанный на рис. 41. Здесь стаби-
стабилизирующее действие светового давления уже сказы-
сказывается существенно в появлении областей, в которых
движение вектора L отслеживает радиус-вектор ор-
орбиты. Отметим, что для траекторий спутника Солнца ин-
интересны сравнительно небольшие интервалы времени
(порядка половины периода обращения). На таких ин-
интервалах времени допустимо рассматривать достаточно
большие значения параметра щ.

$ 3] ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ НА СПУТНИК СОЛНЦА 309
Полюсы указанных областей даются формулами
к*=0, jc;cosp* — —. Рассмотрим случай Mi>0 (случай
Mi<0 получается без труда из решения для fti>0).
Тогда траектории вектора имеют вид, указанный на
рис. 41. Первое из уравнений (9.3.9) можно записать в
виде
do
-^-z=tll Sin р COS Hv Sin
(9.3.10)
причем согласно (9.3.8)
_2_
(9.3.11)
Отсюда, учитывая (9.3.2), выражаем cos xv и sin xv че-
через p и, подставляя в (9.3.10), получим
dx
dv
—l].
(9.3.12)
Учитывая, что согласно выражениям (9.3.11) и (9.3.2)
2
C0=cos2ttvosin2p0+— cosp0, и условившись за начальное
значение v брать такое vo, что при v = vo xv=Xv0=0,
найдем корни подрадикального выражения в (9.3.12);
х2 = — — cos р0, х3 = cos р0.
Возможны три случая:
а) х2 > хх > х& когда — 1 < Cosp0 < —— 1,
2 1
б) хг > х2 > х3, когда —— 1 < c6s р0 < —,
в) хх > х3 > х2, когда — < cos р0 < 1.
(9.3.13)

310 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ (ГЛ. g
В случае а) интегрирование уравнения (9.3.12)
дает
и = /l—^icosp0 (v — v0),
у П\ s*n Po
2 У 1 — nx cos p0
Этот случай соответствует движению в окрестности нор-
нормали к плоскости орбиты (область а на рис. 41). Вме-
Вместо второй координаты xv удобнее по (9.3.11) выписать
угловое расстояние еь от радиуса-вектора орбиты. По-
Получим
СО8 6^ = СО8е^0Сп(й, k),
cos г10 = sin p0.
Полный период движения вектора L будет
Т = 4K(k2)/V^—nxcospQ.
В случае (9.3.13,6) движение будет происходить в ок-
окрестности текущего радиуса-вектора орбиты (область б
на рис. 41) и интегрирование уравнения (9.3.12) дает
cos р = cos р0 + 2 (— — cos p0) sn2 (и, Л),
2 У\ — tit cos
Полный период обращения вектора L таков:
п{ sin р0 '
а угол eL определяется по формуле
cos tL = cos eL0 dn (й, k), cos 6L0 = ± sin p0.
Случай (9.3.13, в) дает те же траектории, что и случай
(9.3.13,6), только отсчитанные от другого экстремума.

§3] ВЛИЯНИЕ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ НА СПУТНИК СОЛНЦА 311
Однако для этих траекторий удобно написать самостоя-
самостоятельные формулы:
cos р = cos р0 — 2 (cos р0 — —} sn2 (и, k),'
, 2у/ij cosp0—
У п\ sin2 p0 + 4 cos p0 (/Zj — 1)
Уп\ sin2 р0 + 4 cos р0 (пх — 1) '
cos eL = cos eL0 dn (и, k), cos eL0 = ± sin p0.
2
Естественно, что при замене cosp0->-^ cosp0 и сме-
т
щении фазы колебаний на -j эти формулы переходят
в формулы случая (9.3.13, б).
До сих пор рассматривался случай п{>0. Если же
«1<0, то подстановка в указанные формулы р = я — р
вместо р и \rii\ вместо п{ дает решение для этого случая.
Таким образом, световое давление оказывает определен-
определенное стабилизирующее влияние (по отношению к напра-
направлению на Солнце) на закрученный спутник.
Пример. Пусть ^- = Жтах = 5 • 1(Г7 кГм, * = О,
L0=l,5 кГм' сек, ро = 9О°; начальные данные соответ-
соответствуют случаю (9.3.13, а). Тогда р* = 73°, то есть полюс
прецессии вектора L будет отстоять на 17° от текущего
радиуса-вектора орбиты; период прецессии вектора L
Г = 2,0 рад=114°, что соответствует на орбите §емли
времени 1Г«114 суток.
В заключение отметим, что изложенные результаты
применимы и для спутника с тремя неравными главными
центральными моментами инерции, лишь бы момент сил
записывался в виде A.5.6), где к'— единичный век-
вектор по одной из главных центральных осей инерции
(большей или меньшей). Угол нутации Ф при этом сле-
следует вводить в формулы осредненным. Для случая

312 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. 9
чистого невозмущенного вращения @ = 0) результаты
применимы полностью, как показывает более строгое
рассмотрение полных уравнений движения трехосного
спутника в форме E.5.2), E.5.5).
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОСНОВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Назовем возмущения линейными, если для них мож-
можно построить силовую функцию, линейно зависящую от
направляющих косинусов вектора L с осями коорди-
координат. К линейным возмущениям принадлежит основная
часть аэродинамических возмущений (обусловленная си-
синусоидальной зависимостью момента сил от угла ата-
атаки), возмущения от собственного магнитного поля спут-
спутника с постоянным магнитным моментом /, а также
влияние регрессии орбиты. Гравитационные возмущения
являются нелинейными.
Перечисленные факторы можно считать в ряде слу-
случаев основными действующими возмущениями. Поэтому
проведем анализ векового движения при взаимодействии
этих факторов. Будем пренебрегать движением перигея
орбиты, весьма медленным для многих советских спут-
спутников по сравнению с движением узла орбиты. Иначе
говоря, положим ^ = 0, kf^ ф 0.
Как следует из результатов предыдущих и этой глав,
вековое движение вектора кинетического момента в рас-
рассматриваемом случае определяется «силовой функцией»
4- kn [AsincojrSin / + /zcos/ + mcoso)jtsin i]—
m = sin p sin a, k = sin p cos a,
- cos ft, ka = ■
(9.4.1)
Здесь at1 F^, ci определяются по формулам A.1.1), в ко-

§4]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОСНОВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
313
торых только следует положить <Q,=0, « = сол; величины
Jj, Jy определяются по (9.1.6). После преобразований
получим
ф = /я \ cosco.t sin i[kn ~h^ kj) — ka >-f-#cos /(£л — kf\-\-
( 1 \
-f- ife sin сол sin /1 ^ H-y^/l— n?kg. (9.4.2)
Обозначим:
sinp* sin a*== —
cosp* = —
sin соя sin /
sin p* cos a* =
A| = < cosconsin i Ikn -hirk;) — ka > +
(9.4.3)
+ cos2 / (^ — £7J + sin2 сол sin2 / [k^ + -j */) ' (9'4*4)
Тогда
ф = — £2 {cos p cos p* + sin p sin p* cos (a — a*)} — kg cos2 p=
2=5 — £2 cos A — kg cos2 p. (9.4.5)
Выражение в фигурных скобках в (9.4.5) есть косинус
угла Д между вектором L кинетического момента и на-
направлением, определяемым согласно (9.4.3) координа-
координатами р*, а*. Пусть %д — угол поворота вектора L во-
вокруг направления р*, а*. Рассмотрим только линейную
часть в (9.4.5), то есть положим kg = 0. Тогда, очевидно,
fc. (9.4.6)
d\
Иначе говоря, под влиянием линейных возмущений
(в данном случае — основных частей аэродинамических
и магнитных возмущений, а также регрессии узла орбиты)
вектор кинетического момента в вековом движении

314 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. 9
равномерно (по v) прецессирует с угловой скоростью k
(9.4.4) вокруг полюса р*, а* (9.4.3) на постоянном уг
ловом расстоянии До от этого полюса. Конечно, одновре
менно существует полюс с координатами я — p*t а*
р*ё*-поординаты
полюса при отсутстт
гравитационных
бсзмущений
устойчивый пс -
люсрб=б\
р
— — неустойчивый
ломсрП,б=б,
ycfnod'/uSb/uno
Рис. 67. Положение и устойчивость полюсов рп траекторий
векового движения вектора кинетического момента под влия-
влиянием аэродинамических, магнитных, гравитационных возмущений
и эволюции узла орбиты.
С добавлением гравитационных возмущений уравне-
уравнения движения имеют вид
(9.4.7)
4£- = — fesin(a— a*),
~^- = As {cos р*—sin p* ctg p cos (а—а*)} ~f 2/^cos p
и траектория вектора L дается интегралом этих урав-
уравнений
Ф = Ф0- (9.4.8)

§4]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОСНОВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
315
Все траектории симметричны относительно меридиана
a=G*. Их полюсы оп, рп лежат на этом меридиане
(<Jn = <J*, о* + я) и определяются решением уравнения
к* {cos p* + sin p* ctg рп} + 2^ cos рп = 0. (9.4.9)
Это уравнение проще всего разрешить относительно
cosp*, а затем рассматривать обращение функции
cos р* (cospn). Имеем
cos р* = cos рп {— 2esin2pn ± V1 — е2 sin2 2рп},
(9.4.10)
Графики cosp* (cospn) при разных значениях е>0
1
приведены на рис 67*). Видим, что при е<
А"
существует
Рис. 68. Траектории векового движения вектора кинетиче-
кинетического момента под влиянием аэродинамических, магнитных,
гравитационных возмущений и эволюции узла орбиты.
только два полюса траекторий, как и при только ли-
линейных возмущениях**); при у<8<1 может быть
*) При е* < 0 получим зеркальное отображение рис. 67 от-
относительно оси cos рп.
**) В частности, при г = 0 из графиков следует, что полюс рп
«порождает» сам себя (cos рп = cos p*) и свой антипод:
cos рд = —cos р*, то есть рд = л — р*, ац = о* -+- л,

316 ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. 9
два или четыре полюса в зависимости от значения р*,
а при е > 1 всегда существует четыре полюса. Один из
четырех полюсов, как показывает анализ, неустойчив,
а три — устойчивы. Благодаря несимметричному поло-
положению полюсов траектории на единичной сфере доста-
достаточно причудливо изогнуты. Анализ положения полюсов
показывает определенную устойчивость линейных воз-
возмущений по отношению к нелинейным. В самом деле,
если линейные возмущения превосходят нелинейные бо-
более чем в два раза (k%> 2kg)y то траектории носят ка-
качественно «линейный» характер (только более или ме-
менее искажается форма траекторий — рис. 68, а). Наобо-
Наоборот, как бы ни было велико kg, всегда существует неко-
некоторая область, обусловленная влиянием линейных фак-
факторов, в которой траектории носят качественно «негра-
«негравитационный» характер (рис. 68,6). С аналогичным
фактом мы уже встречались при анализе совместного
влияния гравитационных и аэродинамических возмуще-
возмущений (глава 8).
Что касается способа построения траекторий, то он
тождествен способу, описанному в главе 8. Согласно
(9.4.5), (9.4.8) имеем
Cos Л = Со — е cos2 p, cos (р + р*) < cos Л < cos (p—р*).
(9.4.11)
С помощью (9.4.11) нетрудно построить семейство
траекторий cos Д (Со, р) на плоскости (cos Д, р) внутри
области, ограниченной косинусоидами cos(p + p*) и
cos(p — р*), а затем перейти на единичную сферу, имея
в виду, что указанные косинусоиды соответствуют ме-
меридианам симметрии (а=а* + я и о=о*), точки экстре-
экстремумов этих косинусоид соответствуют линейным полю-
полюсам р = я— р*, р = р*, а точки cosA=±cosp*, p = 0, n
соответствуют гравитационным полюсам. С помощью
такого рассмотрения и получим картину, изображенную
на рис. 68.

ГЛАВА 10
ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО ЦЕНТРА МАСС
НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ
ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ
Информация о действительном движении искусствен-
искусственного космического объекта относительно центра масс
может быть получена от датчиков, установленных на
борту спутника, показания которых передаются на Зем-
Землю с помощью радиотелеметрии. Датчики измеряют не-
некоторые параметры, позволяющие судить о действитель-
действительном вращении спутника. С этой целью используются,
например, магнитометры, измеряющие ориентацию спут-
спутника относительно магнитного поля Земли; манометры
и другие приборы, реагирующие на положение спутника
относительно набегающего потока воздуха; датчики сол-
солнечной ориентации; датчики линии земного горизонта
и др. Кроме того, сведения об ориентации спутников
представляют радиотехнические измерения — по моду-
модуляции радиосигналов; оптические измерения — по на-
наблюдениям изменения блеска спутника и т. д.
В настоящей главе приводятся сведения о фактиче-
фактическом вращении и ориентации некоторых из запущенных
до сих пор искусственных спутников. Приводится сра-
сравнение фактического движения около центра масс с тео-
теорией такого движения. Попутно дается представление
о некоторых методах получения информации о фактиче-
фактическом движении спутника около центра масс.
§ 1. ТРЕТИЙ СОВЕТСКИЙ СПУТНИК
На третьем советском искусственном спутнике Земли
для измерения напряженности земного магнитного поля
использовался магнитометр самоориентирующегося ти-
типа [27].

318 ДВИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ СПУТНИКОВ [ГЛ. 10
Конструкция магнитометра содержит подвижную
рамку, нормаль к которой с помощью специальных дат-
датчиков и следящей системы совмещается в любой мо-
момент времени с направлением полного вектора магнит-
магнитного поля. Углы поворота рамки относительно корпуса
спутника замеряются двумя датчиками и передаются на
Землю телеметрической системой. Знание зависимости
этих углов от времени позволяет определить параметры
движения спутника около центра масс и его ориентацию
в пространстве.
Рассмотрим методику решения этой задачи и резуль-
результаты определения параметров вращения и ориентации
спутника [9].
1. Метод определения параметров ориентации и вра-
вращения спутника. Рассмотрим принцип определения па-
параметров вращения и ориентации спутника по показа-
показаниям датчиков магнитометра.
На ограниченном интервале (например, в течение од-
одного оборота спутника по орбите) влияние возмущаю-
возмущающих сил сказывается мало. Поэтому в первом прибли-
приближении можно положить, что на ограниченном интервале
времени движение спутника около центра масс является
движением Эйлера — Пуансо. В частности, для третьего
советского спутника, имевшего два равных главных цен-
центральных момента инерции, движение около центра масс
в указанном приближении являлось регулярной прецес-
прецессией с постоянной угловой скоростью прецессии гр, углом
нутации О и с постоянной угловой скоростью собствен-
собственного вращения ф. Неподвижную систему координат и
положение относительно нее вектора L кинетического
момента определим несколько иначе, чем в предыдущих
главах. Пусть X7Z—абсолютная система координат:
ось 2 направлена на полюс мира, ось X — на точку
Весны; пусть ро — угол между L и осью У, у0 — угол
между плоскостями LT и XV. Задача определения вра-
вращения и ориентации спутника сводится к определению
на каждом витке орбиты параметров О, ф, if>, p0, Yo> а
также к привязке положения спутника ко времени, то
есть определению в какой-либо момент времени значе-
значений углов вращения и прецессии ф0 и ф0. При этом не-

§ 1]
ТРЕТИЙ СОВЕТСКИЙ СПУТНИК
319
обходима по крайней мере одна привязка на каждом
витке орбиты.
На рис. 69 изображена схема рамок магнитометра.
Ось внешней рамки совпадает с осью спутника, и внеш-
внешняя рамка может вращаться вокруг этой оси. Угол ее
поворота Д телеметри-
руется на Землю датчи-
датчиком, показания которого
обозначим д{. Угол Д от-
считывается от некоторой
фиксированной оси х' в
спутнике, перпендикуляр-
перпендикулярной к оси симметрии
спутника z'. Когда Д = 0,
ось х' нормальна к внеш-
внешней рамке.
Ось внутренней рам-
рамки перпендикулярна к
оси внешней рамки. Нор-
Нормаль к внутренней рамке
всегда устанавливается
в направлении вектора
J
Рис. 69. Схема рамок магнито-
магнитометра.
магнитной напряженности
Н путем поворота внеш-
внешней и внутренней рамок
на необходимые для это-
этого углы относительно
корпуса спутника. Угол поворота внутренней рамки теле-
метрируется на Землю датчиком, показания которого
обозначим q2. Конструктивной особенностью магнитомет-
магнитометра, установленного на третьем спутнике, является зависи-
зависимость q2 от qi (при отсутствии обратной зависимости),
а именно, благодаря наличию определенной системы ше-
шестеренок в узле ориентации, к показаниям датчика q%
добавляется 7з показаний датчика q^ Таким образом,
независимая часть показаний q2 равна Л—q2 — -j qx.
Угол q2 — ~%Я\ с точностью до аддитивной постоянной,
определяющей нулевое значение Л, есть угол между
осью симметрии спутника z' и вектором магнитной

320 ДВИЖЕНИИ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ СПУТНИКОВ [ГЛ. 10
напряженности Н (рис. 69). Угол А есть угол между пло-
плоскостью г'Н отсчета угла Л и фиксированной плоскостью
в спутнике, проходящей через ось х\ Таким образом,
углы Л и Д полностью определяют положение спутника
относительно магнитной силовой линии.
Зададим положение Н двумя координатами рн и
ун, определенными аналогично координатам р0 и у0. Так
как орбита спутника известна, а магнитное поле Земли
для целей определения ориентации спутника тоже мож-
можно считать достаточно хорошо известным, то рн и ун из-
известны как функции времени (см. подробнее в [9]).
Тогда зависимость Л(/) и Д(/) от времени определяется
зависимостью Л и Д от параметров ориентации и вра-
вращения спутника. Следовательно, параметры вращения и
ориентации можно найти по телеметрическим данным,
Имеем, например,
cos Л = cos ря cos Л^ -f- sin ря sin Л^ cos xv,
cos Л^ = cos Ф cos p0 -f- sin Ф sin p0 cos if,
cos ar
cos Ф — cos p0 cos Л
Ctg aY =
Y =
sin
0<Л<180°,
A0.1.1)
где г|) — эйлеров угол прецессии.
Таким образом, система A0.1.1) дает зависимость
Л = Л (f, p0, Yo, Ф, 'Ф, -Фо)-
Параметры собственного вращения в эту формулу не
входят, так как Л описывает только положение оси спут-
спутника. От собственного вращения будет зависеть другой

§ 1] ТРЕТИЙ СОВЕ-ГСкИЙ СПУТНИК 321
телеметрический угол, а именно Л. Оказывается, что
А = <р-4-v,
v = v(p0, Yo> Рю Ую "Фо + Ш
(Ю.1.2)
v не зависит от ф, а от р, y, ф + ф^ зависит периодически.
Таким образом, угол А зависит линейно от угла <р и
только от ф, что дает возможность по q\~A определить
угловую скорость собственного вращения ф путем выде-
выделения линейной составляющей в этой записи.
Зависимости углов A(t) и Д(/) от времени, опреде-
определяемые по замерам датчиков магнитометра, имеют со-
согласно соотношениям A0.1.1) и A0.1.2) вид некоторых
кривых колебательного характера, период колебаний ко-
которых в первом приближении равен периоду Т$> = -г-
прецессии (при достаточно быстрой по сравнению с вра-
вращением Н прецессии).
Для третьего советского спутника поправки к пер-
первому приближению Гф оказались малыми A—2%) и
практически определялись сравнением показаний магни-
магнитометра с показаниями других приборов.
Зная ф и ф, из формулы \ут—1|фсо8* = ф находим
угол нутации (К,Для определения параметров ориента-
ориентации ро и Yo был использован алгоритм последовательных
приближений параметров р0, у<ь ^о, Ф, ф, приводящий
к наилучшему согласованию теоретической и экспери-
экспериментальной кривых в смысле метода наименьших квад-
квадратов [49]. Математически задача сводится к решению
системы алгебраических линейных неоднородных урав-
уравнений, коэффициенты которой меняются от приближе*
ния к приближению. В качестве первого приближения
на одном витке можно взять значения параметров, по-
полученные из тех или иных соображений, или опробовать
целую серию значений параметров. На других витках в
качестве первого приближения можно взять результат
расчета на предыдущем витке.
2. Результаты обработки данных эксперимента. Из
сказанного в пункте 1 следует, что для определения па-
параметров прецессионного движения можно поступить
21 В. В. Белецкий

322 ДВИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ СПУТНИКОВ [ГЛ. 10
двояким образом: (I) либо путем подбора постоянных,
входящих в выражение для Л(/) наравне с координа-
координатами ро, Yo, *фо, отыскать Ф, г|), (II) либо найти О и г|) не-
непосредственно из записей qi и q2 и подбирать затем
только ро, Yo, ^o.
Были использованы оба эти способа. Критерием вер-
верности произведенного расчета было совпадение сосчи-
сосчитанной при окончательных значениях искомых параме-
параметров кривой и экспериментальной кривой, полученной по
телеметрии. Для всех обработанных витков было полу-
получено вполне удовлетворительное совпадение расчетной
и экспериментальной кривых. Результаты расчета обо-
обоими способами хорошо согласуются друг с другом. Раз-
Разница между угловыми координатами для обоих методов
не превышает 10—15°. Исключение составляет пара-
параметр г|H (начальная привязка положения оси спутника).
Значения этого параметра, полученные двумя методами,
в отдельных случаях разнятся на 30—40°. Это значит,
что при вычислении ориентации приборов требуется до-
дополнительная коррекция по параметру г|H. Изменение гр0
ведет в основном только к смещению экстремумов за-
записей приборов; поэтому, имея эти записи, нетрудно по-
подобрать г£0 такое, чтобы вычисленная ориентация со-
согласовалась с записью соответствующего прибора. Как
показано в пункте 3, для такого согласования действи-
действительно достаточно вариации г|H в пределах 30° от исход-
исходного значения.
Обратимся теперь к результатам обработки мате-
материалов.
Угловая скорость собственного враще-
вращения. Зависимость ф(Л^), где /V — номер витка, изобра-
изображена на рис. 70.
Видим, что угловая скорость вращения затормози-
затормозилась от значения 0,375 град • сек'1 на третьем витке до
нуля на интервале между 17-м и 42-м витком. На 42-м
витке ф= — 0,184 град-сек-1, то есть вращение спут-
спутника вокруг оси симметрии изменило свое направление
на противоположное. В дальнейшем ф колеблется около

§ 1]
ТРЕТИЙ СОВЕТСКИЙ СПУТНИК
323
среднего значения фСр~—0,1 град • сек~1 в пределах
0>ф> —0,2 град-сек~1.
Такое поведение угловой скорости, возможно, объяс-
объясняется взаимодействием токов в системе электропровод-
электропроводки спутника с магнитным полем Земли. В самом деле,
магнитное поле, создаваемое токами на спутнике, за-
заведомо несимметрично и нестационарно и поэтому бу-
будет по-разному взаимодействовать с магнитным полем
& град/сел
0.4
0,2
\
V
1
\
1
\
\
50
/
о
100
У
15
Ч
0
J
У
10
\ 1
V
25
\
\
0
-0.2
Рис. 70. Угловая скорость собственного вра-
вращения третьего советского спутника. Штри-
Штриховой линией обозначены участки кривой, по
лученные экстраполяцией.
Земли, увеличивая или уменьшая скорость вращения
спутника в зависимости от его положения относительно
магнитного поля Земли. Оценки показывают, что для
третьего спутника такой эффект может быть достаточно
сильным, чтобы затормозить вращение спутника на пер-
первых витках так, как это видно на рис. 70. Если даже
приближенно представить влияние указанных токов как
влияние некоторого фиксированного собственного маг-
магнитного поля спутника, то несимметричность этого поля
относительно оси вращения спутника приводит к коле-
колебаниям спутника вокруг этой оси. Отметим еще, что су-
существующее малое отклонение распределения масс спут-
спутника от осесимметричного тоже может привести (при
") к колебаниям относительно оси симметрии.
21*

324 ДВИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ СПУТНИКОВ [ГЛ. 10
Возможно, что некоторую роль сыграло и взаимо-
взаимодействие токов Фуко в оболочке спутника с магнитным
полем Земли, а также влияние трения об атмосферу.
Другие факторы (изменение моментов инерции при от-
открытии и закрытии жалюзи, столкновения с микрометео-
микрометеоритами и т. д.) влияют на изменение угловой скорости ф
пренебрежимо мало.
Период прецессии. На рис. 71 даны величины
периода прецессии на каждом витке. Эти периоды полу-
получены непосредственно с записей датчиков магнитометра.
Тф.сеп
180
160
140
/
/
"Г
0
j>
о-
-—
•
- -
40 SO 120 160 200 240 280 H
Рис. 71. Период прецессии третьего советского
спутника.
Для согласования с показаниями других приборов при-
приходится изменять эти периоды на 2—5 сек. Из рис. 71
видно, что период прецессии увеличивается от 135—
136 сек на первых витках до 195 сек на 283-м витке.
Увеличение периода прецессии, то есть уменьшение уг-
угловой скорости \j> прецессии, можно объяснить влиянием
диссипативных факторов электромагнитного характера.
Влияние этого эффекта на г|? сказывается в меньшей сте-
степени, чем на ф, потому что начальная угловая скорость
прецессии в несколько раз больше начальной угловой
скорости собственного вращения. Отметим, что некото-
некоторая неравномерность возрастания периода прецессии мо-
может объясняться не только неточностью обработки дан-
данных, но, по-видимому, отражает в некоторой степени
действительно происходящие колебания угловой скоро-

§ 1]
ТРЕТИЙ СОВЕТСКИЙ СПУТНИК
325
сти прецессии, аналогичные колебаниям угловой скоро-
скорости собственного вращения.
В таблице 10 даны (в угловых градусах в секунду)
угловые скорости прецессии, которые использовались в
N
I. ф
II. ф
N
I. ф
II. ф
1
2,65
2,52
56
2,30
—
3
2,52
2,52
68
2,14
2,20
5
2,57
2,61
70
2,18
2,24
15
2,56
2,51
81
2,14
2,175
17
2,51
—
82
—
2,13
Табл
42
2,50
2,35
и ца 10
54
2,30
2,29
109
2,14
2,11
качестве постоянного параметра в задаче (I) определе-
определения параметров ориентации ро, Yo> и угловые скорости
прецессии, полученные наравне с р0, Yo b задаче (II)
с пятью подбираемыми параметрами.
Наибольшее различие между значениями 1.ф и II. ф
(~0,05-г-0,06 град• сек~1) характеризует точность опре-
определения угловой скорости прецессии. Это соответствует
ошибке в 3^6 сек в определении периода прецессии.
Угол нутации. Для третьего советского спутника
соотношение поперечного и продольного моментов инер-
А А
ции составляет -т=г ^ 2,5. Зная -* , <р, ф, можно вычис-
вычислить угол нутации О по формуле, приводившейся в
пункте 1. Оказалось, что угол нутации близок к 90°,
отклоняясь на отдельных витках от этого значения не
более чем на 6° (табл. 11). Это значит, что спутник
движется в режиме «кувыркания».
Абсолютная ориентация вектора кине-
кинетического момента. Как было указано выше, ко-
координаты ро и yo вектора L определялись двумя спосо-
способами: в задаче с тремя варьируемыми параметрами (I)
и в задаче с пятью варьируемыми параметрами (II).

326 движение некоторых из запущенных спутников [гл. ю
Таблица 11
N
|90° — Ф|
N
191° — # |
1
5°,5
54
3°
3
5°,5
56
3°
5
6°
68
2°
15
3°
70
3°
17
2°
81
3°
42
3°
109
2°
На рис. 72 приведены результаты, полученные обоими
способами.
роград
уо,град
160
№
120
inn
lUU
80
60
20
о
^^
Я
f
Л
fi?
/Z7Z7 Й?М /7
N
/
У
ф
1
i
о
-йР-
о о о/способ
д л tJlcnOCOt
40 60 80 100120 140
N
Рис. 72. Ориентация (абсолютная) вектора кинетического
момента третьего советского спутника. Пунктирная кри-
кривая — I способ, сплошная кривая — II способ.
Соответствие между способами (I) и (II) удовлетво-
удовлетворительное. Наибольшая разница (в одном случае) —
примерно 15°; в остальных случаях разница порядка
5—10°, что характеризует точность определения ориен-
ориентации вектора кинетического момента. Различие между

§ 1] ТРЕТИЙ СОВЕТСКИЙ СПУТНИК 327
координатами на отдельных витках объясняется медлен-
медленным движением вектора кинетического момента в про-
пространстве вследствие действия возмущающих факторов.
На рис. 72 приведены также кривые, описывающие
с точностью до 5—10° (без выпадающих точек 5-го,
68-го, 82-го витков) полученные зависимости po(iV) и
(ЛГ)
)
Ориентация вектора кинетического мо-
момента относительно орбиты. Положение век-
вектора кинетического момента L относительно перигей-
ной системы XYZ (см. § 1 главы 1) зададим углом 0
между L и осью X и углом % между плоскостью ор-
орбиты ZX и плоскостью LX. Тогда с помощью таблиц на-
направляющих косинусов (глава 1, § 1) нетрудно по уг-
углам ро, Yo вычислить 8, X, учитывая, что
cos (I, X) =
cos(Z,, K) = cos(£, Z) = sin p0 sin Yo»
cos (L, Z)===cos(Z,, K)=cosp0.
Результаты расчета представлены на рис. 73, 74. Ви-
Видим, что А в среднем изменяется равномерно, со ско-
скоростью ~0,76° за оборот. Угол 8 между вектором кине-
кинетического момента и перигейной касательной монотонно
изменяется от значения ~85° на первом витке до зна-
значений, близких к нулю, на 100—ПО витках. Скорость
изменения 0 на первых 10-г-20 витках ~1,5° за оборот,
затем скорость изменения 0 уменьшается до величины,
близкой к нулю. Таким образом, движение вектора L
происходит так, что к концу рассматриваемого интер-
интервала времени (от 1-го до 109-го витка) вектор L стре-
стремится совместиться с направлением перигейной каса-
касательной. На рис. 74 движение вектора L изображено
в полярных координатах 0, X; начало координат — след
вектора скорости центра масс спутника в перигее. Кри-
Кривая на рис. 74 построена по кривым рис. 73, описываю-
описывающим движение вектора кинетического момента в сред-
среднем. Отклонение отдельных точек, соответствующих

328 ДВИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ СПУТНИКОВ [ГЛ. 10
экспериментальным данным, от средней кривой не пре-
превышает 10° (заштрихованные области на рис. 73, 74).
Так как угол нутации Ф между осью спутника и век-
вектором L кинетического момента близок к 90° и на-
направление вектора L на последних витках близко к
А
80
20
град
Шгы
Щ
20 30 40 50 60 70 80 90 Ю0 110
Рис. 73. Ориентация вектора кинетического момента
относительно орбиты.
направлению вектора скорости в перигее, то спутник на
этих витках проходит перигей в режиме наибольшего
аэродинамического сопротивления, что ведет к уменьше-
уменьшению времени жизни спутника.
Сравнение фактического движения век-
вектора L с теорией движений. На рис. 74 приве-
приведена траектория вектора L, «средняя» по эксперимент
тальным данным, а также некоторые траектории, сосчи-

§ 1]
ТРЕТИЙ СОВЕТСКИЙ СПУТНИК
329
тайные теоретически (сплошные линии). При теорети-
теоретическом расчете вычислялось только вековое движение
вектора L. Началадые данные брались близкими к экс-
экспериментальным. Параметры спутника либо задавались
фиксированными, если они были достаточно хорошо из-
няя по экспе
Li риментц траек-
траектория и область
разбрособ экспе-
экспериментальных
данных
/J,M'- расчетные
40 траектории
Рис. 74. Траектории вектора кинетического момента относи-
относительно орбиты. Вдоль траекторий поставлены номера витков.
вестны, либо подбирались так, чтобы теоретическая кри-
кривая была близкой к средней по экспериментальным дан-
данным кривой. Учитывалась эволюция узла и перигея ор-
орбиты. В расчете учитывались моменты гравитационные,
аэродинамические, магнитных сил, вихревых токов и
аэродинамической диссипации.
Отличие расчетных кривых от «среднеэксперимен-
тальных» обусловлено неточностью экспериментальных
данных (до ±10°, а в выпадающих точках больше чем
10°); неточностью принятой при обработке и расчете

330 ДВИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ СПУТНИКОВ [ГЛ. 10
схемы движения («почти регулярная» прецессия, кото-
которая не учитывает экспериментально установленных ко-
колебаний угловой скорости ф); неточностью схемы рас-
расчета (только вековое движение) и принятой интерпре-
интерпретации моментов внешних сил. Тем не менее угловое
расстояние между «среднеэкспериментальным» положе-
положением L и сосчитанным положением не превосходит ве-
величины порядка 10°. Характер эволюции движения в экс-
экспериментальном и расчетном случаях тоже близок. Это
позволяет заключить, что принятая модель движения в
пределах точности эксперимента достаточно хорошо от-
отражает реальное движение.
В силу перечисленных неточностей представляется
целесообразным сравнивать с экспериментом не одну
расчетную кривую, а пучок кривых, полученных варьи-
варьированием начальных данных и параметров моментов
сил. Некоторые кривые этого пучка и изображены на
рис. 74. При этом оказывается, что изменение принятых
в расчете значений параметров моментов внешних сил в
1,2—1,5 раза качественно искажает картину движения;
следовательно, расчетные значения параметров позво-
позволяют достаточно надежно судить о величине действую-
действующих моментов и их относительном вкладе в движение.
Исключение составляют моменты диссипативных сил
(аэродинамических и от вихревых токов). На рассмо-
рассмотренном относительно небольшом интервале времени
A00—110 витков) эти моменты влияют на движение L
очень мало, а на изменение величины L и, следователь-
следовательно, \j? влияют почти одинаково, так что не представляется
возможным определить, какими преимущественно фак-
факторами вызвана наблюдаемая диссипация. В расчете
было принято, что диссипация от вихревых токов и аэро-
аэродинамическая диссипация вносят примерно равный
вклад в затухание вращения. На рис. 75 изображено
расчетное изменение периода Гф прецессии на 1 —
ПО витках (сплошная линия) и экспериментальные зна-
значения 7"ф (точки) на некоторых витках этого интервала.
Наибольшее влияние на движение L оказывают в
первую очередь моменты гравитационных сил и отчасти
аэродинамические и магнитные моменты. Оказалось, что

1]
ТРЕТИЙ СОВЕТСКИЙ СПУТНИК
331
проекция /l вектора / на вектор L направлена против
вектора L. Формально это описывалось введением от-
отрицательного значения величины /ocosft. К концу рас-
рассматриваемого интервала времени (при Э, близких к 0)
влияние гравитационных моментов уменьшилось по
сравнению с влиянием аэродинамических и магнитных
моментов, которое при-
примерно одинаково на всем
рассмотренном интер-
интервале.
Интегрирование ура-
уравнений векового движения
велось в «аэродинамиче-
«аэродинамических» переменных Э, К.
Так как в предыдущих
главах рассматривалось
влияние на вековое дви-
движение отдельных факто-
факто180
ПО
160
150
130
\Ttf
/
/
/.
V
У
У
о
о
о о-эпспериы
расчет
ент
25
/25
Рис. 75. Период прецессии.
50 75 100
ров или совместное влия-
влияние нескольких, но не
всех факторов, то пред-
представляется полезным выписать полные уравнения веко-
векового движения. В этих уравнениях учитываются все
факторы, рассмотренные в предыдущих главах и влияю-
влияющие на вековую эволюцию ротационного движения (за
исключением моментов сил светового давления). Ура-
Уравнения имеют следующий виД:
dv
dv
1
Lsin6
{Мду cos A, + Mz sin A,},
р = i {(Ж|cos %-MdY sin %)cos Э - Mdx sin G},
*L = (Mz cos X — Мду sin A,) sin в + Мдх cos в,
d cos ft
лда.
дН
A0.1.3)

332 ДВИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ СПУТНИКОВ [ГЛ. 10
Аэродинамические члены:
cos ft < a^Jl -f- -у Л s*n2 * +
—-о-sin2 ft | cos2 Я,
2Z
j sin
-f 3 A — j si n2 ft) I -j- У4 — а*У5 cos2 A, J cos2 9 J
A0.1.4)
+
- т sin2 *) cos e-
X
X cos 9 sin 9 cos A, sin A..
Коэффициенты /f_ определяются по формулам G.1.4).
При постоянных ра, е коэффициенты /* постоянны.
Гравитационные члены и часть аэродинамических:
2L
P'
— ря
cos9 sin2 Я,,
sin 0 sin X cos I.
A0.1.5)
Члены, обусловленные эволюцией орбиты:
Л7 = kn [— cos соя sin / + ctg 0 (— sin I cos / -f-
+ cos к sin сол sin /)] — k^ ctg 0 sin A,,
Tf = kn [cos / cos A,+sin oonsin /sin A,]+ £0cos A,,
"fi?2 *f"/?2
". ^0 =-ККГ E COS2 / — 1),
«л = С0л0
A0.1.6)

§ 1] ТРЕТИЙ СОВЕТСКИЙ СПУТНИК
Магнитные члены:
kH (l - i sin* о) [fe - 72J)
=wb {cos
_ | sin*
A0.1.7)
Здесь обозначено:
а = cos 0 cos сол cos /+sin 0 sin k sin /~f-sin 0 Cos A, sin сол cos /,
p = cos OcoscOjxsin /—sin 0sin A,cos /-(-sin 0cos^sincon sin/,
ae = — cos сол cos / -f- ctg 0 sin к sin i-\-ctg 0 cos к sin сол cos /,
Pe = — cos 0Я sin / — ctg 0 sin к cos /-f-ctg 0 cos к sin сол sin /,
cl = cos к sin / — sin к sin со cos /,
p, = — cos к cos / — sin к sin co_ sin /.
Коэффициенты /s, JkSi k, s=X> F, 2 определяются по
формулам (9.1.6); эти коэффициенты почти постоянны
(слабо меняются за счет сол).
Члены аэродинамической диссипации:
д*
Мдх* = - kd0Lx+ k\ cos * -^
cos
Md/ = — ktLY-\-kdlcos^-
"X Y
M°i = — k°0Lz+ kl cos О
LXL
LX = L cos 0, IK = — I sin 0 sin к,
Lz — L sin 0 cos к,
A0.1.8)

334 ДВИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ СПУТНИКОВ [ГЛ. 10
l = cos#sin2d^-
1 cos 0 sin2 0 | -~ sin2 Ф — -~ cos2 ft >,
Nn — — о PNd № — — о PNd
Коэффициенты Л/о и N\ определяются по формулам
G.4.10).
Члены, обусловленные вихревыми токами:
A0.1.8)
= cos сол cos / Ж-^
л sin / My—sin сол
Мдун = — sin / Жj + cos / УИ37,
= sin соя cos / Mj
7 = - а" {(Уи
sin / My
соя УИj,
si
3l
Z.2
A0.1.9)
FFli+TH+%li+-zf +
XY
£_ = cos «л cos i Lx — sin / LY -\- sin юл cos i Lr
Lj = cos <ол sin i Lx -\- cos i LY + sin ид sin / Z-z,
I j = — sin соя Z.x + cos ш л Lr

§ 1]
ТРЕТИЙ СОВЕТСКИЙ СПУТНИК
335
При расчете было принято:
/?э = 6371 км; ^ = 398602,0 кмг/сек2;
liE = 8,06 • 1025 г1/* • см^/сек;
1=0,0016331; рл = 2,12 • 1(Г13 г/смг;
Р = 6917 км; £ = 0,0487.
В таблице 12 приводятся основные данные для од-
одного из расчетных вариантов (вариант II), изображен-
изображенных на рис. 74 (для других вариантов данные близки).
В таблице приведены некоторые размерные и безразмер-
безразмерные величины, характеризующие основное влияние мо-
моментов сил на эволюцию движения.
Ориентация относительно Солнца. Зная
р0, yo, можно вычислить ориентацию вектора кинетиче-
кинетического момента относи-
относительно Солнца по форму-
формулам:
cos 0О = cos р0 cos хо +
-f- sin p0 sin x© cos [х*э
cosx© = sin До cos/*,
0<%o<180°,
80
60
sin/*
sin :
20
sin
/
I
о
о
о
о
N
0 20 40 60
100 /20
— sin x ' Рис- 76. Ориентация вектора кине-
° тического момента относительно
Здесь 00 — искомый угол Солнца,
между вектором кинети-
кинетического момента и направлением на Солнце, /*«*
«23°,5—наклон экватора к эклиптике, <QO~долгота
Солнца от точки Весны. Результат расчета представлен
на рис. 76. Видим, что 6О возрастает от 30° на первом
витке до 90° на 100-м витке. Учитывая, что угол нута-
нутации близок к 90° (кувыркание спутника), а также учи-
учитывая наличие собственного вращения, заключаем, что
спутник освещается (и обогревается) Солнцем сравни-
сравнительно равномерно.

336 ДВИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ СПУТНИКОВ [ГЛ. 10
Таблица 12
1
2
3
4
5
6
Начальные данные и моменты
инерции
а) Аэродинамический момент (ма-
(максимальный)
Amax ^oVT*
iVa рЗ/2
б) Л™ах
а) Гравитационный момент
—§-£(^-C)(l—|в1п**)
б)-2^A481'П2»)-3^-С)
а) Момент магнитных сил
IoiiEcos$/P3
б) -%=со8*
LQPVvP
а) *а
б) *«
а) Безразмерный декремент затуха-
затухания для интервала N = 110 витков
*»~^ А 1 Р9/2/11 д
б) Начальное значение момента
диссипативных сил
Я0=24°
ео=84°
L =2,327- 108 г-см2/се/с
#0=85о
Л=5.109 г-еж2
С =2 • 109 г • еж2
—296,204 дн • еж
—0,001161
2648,13 дн • сл|
0,010369
—424,457 дя • ел
—0,001662
—0,000585
—0,000074
3,61 • 1<Г4
92,280 дн • ел/

§ 1] ТРЕТИЙ СОВЕТСКИЙ СПУТНИК 337
3. Расчет ориентации приборов спутника в простран-
пространстве. Положение оси / какого-либо прибора или любой
оси спутника определим относительно системы коорди-
координат х'у'? углом j между осью / и осью z' спутника и
углом а, отсчитываемым от х' к у' против часовой
стрелки и являющимся углом между осью хг и проек-
проекцией / на плоскость х'у'. Положение оси / задается
также направляющими косинусами m0, n0, kOy относящи-
относящимися соответственно к осям х', у', z'\ m0 = sin/cosa,
no=sin / sin a, k0 = cos j.
Ориентация относительно магнитного
ноля Земли. Теперь можно полностью определить
положение спутника относительно магнитного поля
Земли. В самом деле, угол Л между осью z' и вектором
магнитной напряженности Н дается графиком A = q2—
—о<7ь отсчитываемым от определенного уровня, кото-
который можно найти на каждом витке анализом экстре-
экстремумов записей; угол A = <7i есть угол между плоскостью
отсчета угла Л и плоскостью zfxr (отсчитывается против
часовой стрелки). Таким образом, положение спутника
относительно вектора магнитной напряженности полно-
полностью определяется всюду, где есть записи А и Л. При-
Примеры этих записей вместе с уровнем отсчета для Л изоб-
изображены на рис. 77, 78 (где обозначено: /—запись А,
// — запись q2i /// — запись Л, IV — уровень, от кото-
рого отсчитывается Л).
При известных А и Л просто вычисляется угол кт
между Н и осью / любого прибора:
cos нт = cos у cos Л + sin у sin Л cos (A + о). A0.1.10)
На рис. 79 изображен пример расчета по формуле
A0.1.10): угол между осью фотоумножителя [48] (/=90°,
а=114о) и вектором магнитной напряженности на 2-м
витке. Заметим, что по записям qi и q2 на 2-м витке
(рис. 77) видно, что вектор кинетического момента бли-
близок к направлению магнитной силовой линии (колеба-
(колебания Л почти отсутствуют), то есть угол между осью
спутника и вектором Н близок к 90°. Поэтому угол kHi
не имеет хорошо выраженных короткопериодических
22 В. В. Белецкий

338 ДВИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ СПУТНИКОВ [ГЛ. 10
•ч.
/г
/
п
щ
W
ч
л/
t
-
J
W
1 Ь.
ш
л
л*/
я
■V"
-ч.
1 i
^.
Rf
ОС
■л.
1У
Й7
:/?
к
р-
G Л? 100 150 200 250 300 350 Ш W 500 550 600 650 700 750 800 850
t,cen
Рис. 77. Запись магнитометра и ориентация спутника относительно
магнитного поля на 2-м витке.
10
0 50 (
\
\
1
1
)
Г
1 50! /С
>
1
Г\
/\
V
\150 1
\
■
J
1
[
/,
f
(Н)й
\
\
\
\
ъ
г
1
к
Г
\
\
\
\
\
\
А
г\
11
1
J
I
Г
\ш
list
Jk
en
W
i
q
275
250
225
200
175
150
125
ЮО
75
50
25
0
-25
-50
'75
Рис. 78. Запись магнитометра и ориентация спут-
спутника относительно магнитного поля на 15-м
витке. Наклонная прямая — линейная часть
записи Д.

§11
ТРЕТИЙ СОВЕТСКИЙ СПУТНИК
339
колебаний, связанных с прецессией спутника. Долгопе-
риодические колебания, связанные с вращением спут-
спутника вокруг собственной оси, видны хорошо.
Определение ориентации заданной оси
спутника относительно заданного напра-
направления в пространстве. Основой для расчета
служат углы Эйлера ф = фо + Ф^, if = ifo +1|^, 'О' = 'в'о и абсо-
абсолютные координаты ро, уо вектора кинетического мо-
момента. Угол 0 между заданным направлением V в про-
пространстве и осью I прибора просто вычисляется с
хн1,град
200
wo
О 50 WO ISO 200 250 300 350 Ш <t50 500 550 600 650 700 750 BOO Q50
Рис. 79. Угол между магнитной силовой линией и осью фотоумно-
фотоумножителя на 2-м витке.
помощью следующих _шатриц направляющих косинусов:
1) между системами XYZ и LiL2L (см. § 1 главы 1; вы-
выражаются через ро и уо)\ 2) между системами x'y'z' и
LiL2L (выражаются через ф, г|?, Ф); матричное произве-
произведение этих двух таблиц направляющих косинусов опре-
определяет направляющие косинусы осей спутника с абсо-
абсолютными осями; 3) затем табличка m, n, k направляю-
направляющих косинусов заданной оси / в спутнике позволяет вы-
вычислить положение оси I в пространстве; 4) наконец,
табличка направляющих косинусов направления V с
абсолютными осями дает теперь возможность вычислить
угол 0 между / и V. Вычислялся, например, угол 0
между заданной осью в спутнике и вектором скорости
центра масс спутника.
Вычисления показали, что для удовлетворительного
согласования расчета с записями приборов нужно про-
провести коррекцию параметров, полученных обработкой
записей магнитометра. Корректировались параметры ф0
и г|H в пределах 30°. Неточность в определении пара-
параметра фо приводила к расхождению между положениями
22*

340 ДВИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ СПУТНИКОВ [ГЛ. 10
с:
со
о
о
1
5?
I
1
. ■
1
1.
И
II
—>—
-
__
^—-
'
—-—
=*■
- III.
С0"
— -
—| 1—
—-
— —
sac:
1 —
^*-
и -
Ni 14
■■ES
——
——
1—
——
С
——
— —
■;■ —
——
■■■
■ 1»
е-—
— —
С
——-
и. —
»^ —
— —
— —
I
'%)
•^
——i
— 1—
FT—»
"■■ —
——
——
.^-^
(
—*>
— —
— —
——«
— —
>
s
н
5 §.
^
8?
53
s я
II
§1
о <u
Я OQ
В се
О О*
О
о
О)
4

§ 2] «ЭКСПЛОРЕР-ХЬ И «$КСПЛОРЁР IV» 341
экстремумов, найденных расчетом, и экстремумов запи-
записей на 20—30 сек. Влияние неточности параметра ср0 ме-
менее существенно, чем влияние параметра if>0, и приводит
главным образом к изменению величины экстремумов.
Другие параметры (ро, Yo> ф, Ф> Ф) почти не подверга-
подвергались коррекции; их вариация мало влияет на результат
расчета; отметим, что ошибка в определении величины ij?
приводит на большом интервале времени к накоплению
ошибки в расчете и смещению экстремумов. Если при
номинальном г|? происходило такое смещение, то вели-
величина ij) корректировалась. Величины р0 и Yo корректиро-
корректировались только для тех витков, у которых р0 и Yo выпа-
выпадают из системы значений р0 и Yo на других витках.
Для коррекции использовались записи масс-спектро-
масс-спектрометра [40] и ионизационного манометра [57]. На рис. 80
приведен пример расчета угла 0 между осью манометра
и вектором скорости центра масс спутника. Для сравне-
сравнения на этом же рисунке нанесены показания соответ-
соответствующего прибора. Результаты расчета ориентации
приборов третьего советского спутника были использо-
использованы при обработке показаний этих приборов с целью
выявлений характеристик верхней атмосферы, магнит-
магнитного поля Земли и т. д. [28, 40, 48, 57].
§ 2. «ЭКСПЛОРЕР-Xb И «ЭКСПЛОРЕР-IV»
Хорошим способом определения ориентации спутни-
спутников является способ, основанный на использовании ана-
анализа радиосигналов. Если, например, на спутнике уста-
установлена остронаправленная антенна, то наибольшая
мощность принимаемого сигнала будет иметь место по
оси диаграммы направленности антенны; существует од-
однозначная зависимость между мощностью принимаемого
радиосигнала и углом а между осью антенны и направ-
направлением «станция наблюдения — спутник». Если спутник,
например, закручен вокруг оси, совпадающей с осью
диаграммы направленности антенны, то измерения угла
а позволяют определить положение оси закрутки в про-
пространстве и изменение этого положения с течением време-
времени. Возможны и другие способы определения положения

342 ДВИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ СПУТНИКОВ [ГЛ. 10
оси закрутки по характеру радиосигнала. Например,
если диаграмма направленности содержит много
«лепестков», то время длительности записи сигнала, со-
соответствующее определенному лепестку, отнесенное к
полному периоду кувыркания спутника, позволяет опре-
определить угол между осью кувыркания спутника и напра-
направлением «станция — спутник». Анализ радиосигналов
служил основным средством для определения ориента-
ориентации ряда американских спутников серии «Эксплорер».
Наиболее подробные и интересные данные опубликова-
опубликованы Науманном и его коллегами [84, 85] и др. о спутнике
«Эксплорер-XI», а также о других спутниках этой серии.
Ниже излагаются некоторые результаты из [84, 85].
Таблица 13
Некоторые параметры спутников «Эксплорер»
Параметры
Ау г -см2
С, г-см2
А— С, г-см2
^±з(А-С),дн.см
I г —^ « /г/ —г-, дн- см
L pd л рЗ
1у1 -т-, дн- см
z гз
/?, л:л/
/, г/?а(?
к&Х;, град/суш
L> г • см2/сек
Д/, (за сутки), г • см2/сек
*) Для первых 20 дней.
*•) После 26 дней.
«Эксплорер-Х1»
1,627. 108
0,040 • 108
1,587-108
111,92
148,14
450
7512
28,8
—5,0036
1,276-108
—0,223 -107 •)
—0,0143- 107 **)
«Эксплорер-IV»
4,752 • 107
0,056 • 107
4,696 • 107
31,78
-3500
7616
51,0
—3,6505
4,568 -107
—0,0076 -107

§ 2] «ЭКСПЛОРЕР-ХЬ И «ЭКСПЛОРЕР-IV» 343
Спутники «Эксплорер-XI» и «Эксплорер-IV» имеют
вытянутую форму с большим отношением поперечного
момента инерции к продольному (см. табл. 13). Такие
спутники, будучи закрученными вокруг продольной оси,
сравнительно быстро опрокидываются («Эксплорер-XI»—
за 26 дней) за счет влияния диссипативных факторов
(моменты внешних сил, упругое рассеивание и т. д.).
Поэтому начиная с некоторого момента можно счи-
считать, что спутник вращается вокруг поперечной оси
(точнее говоря, поперечная ось спутника составляет не-
некоторый малый угол с вектором кинетического момента,
то есть угол нутации О близок к 90°). Тогда по радиона-
радионаблюдениям непосредственно определяется положение
вектора кинетического момента в пространстве, как это
указано выше. Это положение было бы неизменным,
если бы на спутник не действовали моменты возмущаю-
возмущающих сил. Однако в силу действия этих моментов вектор
кинетического момента медленно перемещается в про-
пространстве. Для спутника «Эксплорер-XI» такое измене-
изменение положения вектора кинетического момента изобра-
изображено на рис. 81, где приведены наблюдаемые изменения
двух угловых координат вектора кинетического момента:
прямого восхождения а, и склонения б (d — время в
сутках от 27 апреля 1961 г.). Величина модуля вектора
кинетического момента достаточно хорошо известна. Это
есть произведение поперечного момента инерции на уг-
угловую скорость кувыркания; период кувыркания легко
определяется из записи радиосигналов. Зная модуль
вектора L и две его угловые координаты, легко вычис-
вычислить наблюдаемые компоненты Lx, LY, Lz, а затем диф-
дифференцированием определить производные Lx, LYy Lz, ко-
которые, очевидно, равны компонентам действующего на
спутник момента внешних сил. Этот вычисленный по
данным наблюдений момент внешних сил затем можно
сравнить с теоретически определенным моментом сил.
Рассматриваются моменты аэродинамические, грави-
гравитационные и магнитные в той форме, в какой они напи-
написаны в главе 1 и исследованы в главах 6—9. При этом,
рассматривается только вековая часть этих моментов,
то есть момецты, осредненные по двум периодам:

344 ДВИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ СПУТНИКОВ [ГЛ. 10
периоду прецессии (кувыркания) спутника и периоду
его обращения по орбите.
Если принять аэродинамический момент зависящим
от угла атаки синусоидально, то, согласно результатам
главы 7, для кувыркающегося спутника р—"о") сРеД*
нее (вековое) значение этого момента будет равно нулю.
о
-зо
-90
\ 120
240
120
0
240
120
0
240
120
А
\
\
\
• набл)
/
/
У
юдаема
\
ч
я орие
-~-
ч
нтацш
• I
А
вычисленная ориентация под дейстби
ем гравитационных моментов, момента
магнитных сил D50днсм) и момента
аэродинамических сил E0дн с
•м)
/
'±1
Г-
\
•ч
_ Ч х.
*
f ' ■'■■
Ч
0 20 40 60 SO
100 120 /40 /60 /80 200
Рис. 81. Наблюдаемая ориентация вектора кинетического мо-
момента «Эксплорера-Х1».
Поэтому аэродинамический момент учитывался только
для первых 20 дней со дня запуска спутника «Экспло-
рер-Х1»—27 апреля 1961 г. (см. рис. 81). В дальней-
дальнейшем, поскольку спутник опрокинулся (Ф ~ -у), аэроди-
аэродинамический момент принимается равным нулю. Остают-
Остаются существенными гравитационный момент и, как пред-
предполагалось, индуцированный магнитаый момент (то есть
момент сил, обусловленный намагничиванием оболочки

§ 2] «ЭКСПЛОРЕР-Xl» И «^КСПЛОРЕР-iV» 345
спутника), а также момент, обусловленный постоянным
магнитным полем спутника. Этот последний момент при
/fr = -^- в среднем равен нулю, но поскольку О не равно
в точности -о-» то, как оказалось, влияние постоянного
магнитного поля спутника является довольно существен-
существенным, что, впрочем, может быть объяснено тем, что имеет
место не только продольная, но и поперечная состав*
ляющая постоянного магнитного момента. В результате
этого проекция IL магнитного момента / на вектор L
не равна нулю даже при tr = -g-,4To и вызывает суще-
существенный эффект. Наоборот, вычисленный момент сил
от намагничивания оболочки спутника оказался недо-
недостаточно хорошо соответствующим наблюдаемому мо-
моменту сил. Это ясно видно на рис. 82. На этом рисунке
сплошной линией изображена разность между наблю-
наблюдаемыми моментами и гравитационными моментами.
Гравитационные моменты могут быть вычислены точно,
так как моменты инерции спутника известны (табл. 13).
Указанный на рис. 82 «остаточный» момент может быть
объяснен индуцированным магнитным моментом или по-
постоянным магнитным моментом. Индуцированный мо-
момент подбирался так, чтобы вычисленная амплитуда ко-
колебаний приблизительно совпадала с наблюдаемой ам-
амплитудой. Тогда оказалось, что нужно взять (-4") Сио~~-
— 1) ^ = 384 дн • см. Из рис. 82 видно, что вычисленный
индуцированный момент по характеру соответствует на-
наблюдаемому, но корреляция не очень убедительна.
С другой стороны, полагая, что действует постоянный
магнитный момент такой, что -^7^= 148,14 дн • см>
получаем, как видно из рис. 82, очень хорошее совпа-
совпадение наблюдаемого и вычисленного момента сил. По-
Поэтому делается вывод, что наблюдаемое движение обус-
обусловлено гравитационным моментом и моментом от взаи-
взаимодействия магнитного поля Земли с постоянным маг-
магнитным моментом спутника. На рис. 83 изображены на-
наблюдаемые моменты вместе с гравитационными и

346 ДВИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ СПУТНИКОВ [ГЛ. 10
магнитными на интервале с 35-го по 180-й день после
запуска. Изображена также разность между наблюдае-
наблюдаемым моментом и суммой гравитационного и магнитного
моментов. Видим, что эта разность не превосходит
^
80
0
on
-oil
ЧРО
120
on
OU
0
-80
-120
80
n
и
-80
i
ч.
ч
—
У
/
у
И
—
/
\
/с
N
\
Разность макфмЖ7/бдаешмии1
""-""-" вшационшми моментами_
а а Йнйшфобаннш магю/ятй mo*
a a Лостттш магт/тш маме*
(М8,Нднсм)
\
\
т
\
\
i
i
//
1
/
7
—^
1
/
' Л-
/■
J
//
/
S
38 42 46 50 54 58 S2~66 70 74 78 82
Мни после 27о пр. 1961г.
Рис. 82. Анализ моментов сил («Эксплорер-Х1»).
5 дн • см, в то время как максимальное значение наблю-
наблюдаемого момента составляет около 120 дн*см. Это го-
говорит о хорошем согласовании наблюдаемых величин с
теорией.
Сравнение наблюдаемого движения вектора кинети-
кинетического момента с фактическим движением дается на
рис. 84, 85. В первые дни (до 20-го дня после запуска —
рис. 84) кроме гравитационных и магнитных моментов

«ЭКСПЛОРЕР-Х1» И «ЭКСПЛОРЕР-IV»
347
Мх, днем
B0
420
460
■ наблюдаемые моменты
. угнные магнитные моменты
- гроос "
40 60 80 100 120 ПО 160
Дни после 27апреля 1Шг
Рис. 83. Анализ моментов сил.

80
40
€
-40
-80
20,29
Щ л
20,5
/7,23+
//,38
/ЗАО*/
/4,38+ f
Щ/
//5,5
г^—
W
\
л- 4 наблюдаемая ориентация
•о-о бычисленная ориентация
80 /20 /60 200 240 280 320 0 40 80ос,град
Рис. 84. Ориентация вектора кинетического момента «Эксплорера XI» в первые 20 дней.

д, град
80 120 /60 200 240 280 320 0 40 сс,град
Рис. 85. Ориентация вектора кинетического момента с 26-го по 90-й день.

350 ДВИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ СПУТНИКОВ [ГЛ. 10
учитывались аэродинамические моменты. Чтобы приве-
привести теорию в соответствие с наблюдениями, надо было
взять IL ~ — 450 дн • см, а для аэродинамического
момента — величину 50 дн • см. Начиная с 26-го дня
после запуска можно принять, что спутник движется в
режиме кувыркания, и аэродинамикой можно прене-
пренебречь; для характеристики магнитного влияния было
взято, как указано, IL -— — 148,14 дн • см (рис. 85).
Как видно из рис. 84 и 85, имеется превосходное согла-
согласование вычисленного и наблюдаемого движения.
донные
телеметрии
температура,
вычисленная по
ориентации
Ч 12 24 35 48
Рис. 86. Температура внутри спутника «Эксплорер-IV».
60 дтпГ
оосле запуска
Данные по ориентации «Эксплорера-IV» гораздо ме-
менее точные, чем по ориентации «Эксплорера-XI», но и
эти данные могут быть объяснены влиянием возмущаю-
возмущающих моментов. Более интересным представляется тот
факт, что полученные из радионаблюдений данные по
ориентации «Эксплорера-IV» позволяют хорошо объяс-
объяснить некоторые имевшиеся эффекты. Например, на
рис. 86 изображено (точками) изменение температуры
внутри спутника, полученное по телеметрическим дан-
данным. Наряду с этим на рис. 86 (сплошной линией) изоб-

*ЗКСПЛОР£Р-Х1» И <ЭКСПЛОРЕР-1У»
351
ражена температура, вычисленная по известной из на-
наблюдений ориентации вектора кинетического момента
относительно Солнца. Видно хорошее совпадение на-
наблюдаемой и предсказанной температур.
Так как ориентация спутника изменяется, то ме-
меняется и эффективная площадь сечения (средняя по пе-
периоду кувыркания спутника), поэтому меняются вели-
величина силы торможения и период обращения по орбите.
На рис. 87 изображено (сплошной линией) наблюдае-
наблюдаемое изменение периода обращения спутника «Экспло-
pep-IV». Наряду с этим на рис. 87 изображено измене-
изменение эффективной площади при прохождении через пери-
—•—•— спорость изменения
периода обращения
—а- -*.—*.- относительная &
на щЫ
площади
-1.0J
О 5 /О 15 20 25 30 35 40 45 50 d
Рис. 87. Наблюдаемое изменение периода обращения спутника
«Эксплорер-IV» и относительной величины эффективной пло-
площади.
гей орбиты. Это изменение вычислено по наблюдаемому
изменению ориентации вектора кинетического момента
спутника. Из сравнения двух кривых хорошо видно,
что силы торможения меняются в основном качественно
так же, как и эффективная площадь сечения спут-
спутника.
Результаты, изложенные в этой главе, позволяют
заключить, во-первых, что имеющаяся теория быстрого
вращения спутника позволяет в ряде случаев достаточно
хорошо объяснить фактические эффекты, выявленные

352 ДВИЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЗАПУЩЕННЫХ СПУТНИКОВ [ГЛ. Iff
по данным наблюдений; во-вторых, эти эффекты носят
достаточно существенный характер и могут влиять на
температурный режим спутника, на его торможение (то
есть на орбиту и время существования) и другие ди-
динамические и физические характеристики.
В заключение отметим, что определение параметров
вращения и ориентации возможно по данным радио-
радионаблюдений, по показаниям магнитометров, датчиков
солнечной ориентации, показаниям ионных ловушек и
манометров, по оптическим наблюдениям изменения
блеска спутника и т. п. В каждом конкретном случае
обычно разрабатывается методика определения ориен-
ориентации применительно к данному случаю. Не останавли-
останавливаясь на этом подробно, отсылаем читателя к перво-
первоисточникам. Вопросы определения параметров враще-
вращения и ориентации спутников рассматривались, напри-
например, кроме уже цитированных работ, в работах [25, 82,
86] и др.

ГЛАВА 11
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВАННОГО
НА ЗЕМЛЮ СПУТНИКА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ,
СВЯЗАННЫХ С СОЛНЦЕМ [59]
Ряд научных задач, для решения которых исполь-
используются искусственные спутники Земли, требует опре-
определенной ориентации спутника. К числу таких относятся
задачи, связанные с исследованием Солнца, в частности
по изучению солнечной радиации и корпускулярного
излучения Солнца. Показания приборов, предназначен-
предназначенных для других исследований, часто также не безраз-
безразличны к ориентации спутника относительно Солнца, и
для правильной интерпретации этих показаний нужно
иметь информацию о положении прибора относительно
Солнца.
Наиболее естественным видом ориентации спутника
для проведения исследований, связанных с Солнцем,
служит такая ориентация, при которой одна из осей
спутника направлена все время на Солнце. Однако ис-
исследования Солнца возможны и при других видах
ориентации спутника (и даже с помощью неориентиро-
неориентированных спутников). При этом либо необходима уста-
установка специальной следящей системы, обеспечивающей
ориентацию оптической оси прибора на Солнце, либо
приходится примириться с тем, что освещение прибора
Солнцем будет проходить лишь в те промежутки вре-
времени, когда угол между осью прибора и направлением
на Солнце будет достаточно мал — меньше угла чув-
чувствительности (угла зрения) прибора.
Рассмотрим задачу об освещении Солнцем прибо-
приборов, установленных на спутнике, ориентированном од-
одной осью на Землю, а другой осью — по нормали к пло-
плоскости орбиты. Такая ориентация спутника необходима
23 В. В. Белецкий

354 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВАННОГО СПУТНИКА [ГЛ. 11
для решения ряда задач, связанных с изучением и
освоением космического пространства; поэтому есте-
естественно поставить вопрос об условиях освещенности
Солнцем приборов, установленных на спутнике, ориен-
ориентированном указанным образом. Результаты анализа
Показывают, что обеспечить освещение Солнцем при-
прибора с небольшим углом зрения можно в течение не-
нескольких десятков часов, чего вполне достаточно для
проведения ряда научных исследований.
§ 1. РАСЧЕТ ВРЕМЕНИ ОСВЕЩЕНИЯ ПРИ ПОСТОЯННОЙ
ОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ ОТНОСИТЕЛЬНО СОЛНЦА
Орбита спутника имеет переменную по времени
ориентацию относительно Солнца. Изменение ориента-
ориентации вызывается годовым движением орбиты вместе
с Землей относительно Солнца, а также прецессией ор-
орбиты вокруг Земли из-за возмущений, связанных с
отличием поля тяготения Земли от центрального. Изме-
Изменение ориентации орбиты относительно Солнца суще-
существенно влияет на возможное время освещения при-
прибора, закрепленного на спутнике. Поэтому это измене-
изменение необходимо учитывать.
Изменение ориентации происходит сравнительно мед-
медленно, и за время одного оборота спутника вокруг
Земли угол v между нормалью к плоскости орбиты и
направлением на Солнце (угол наклона) изменится
мало. Как показывает расчет, изменение v за оборот не
превосходит 0°,5, а для орбиты с наклонением /^65°
к экватору Земли не превосходит 0°,25. Можно поэтому
приближенно считать угол v на протяжении одного обо-
оборота постоянным. Задача об определении полного вре-
времени освещения может быть разбита тогда на задачу
об определении времени освещения при постоянном зна-
значении v и задачу об изменении угла v с течением вре-
времени. Решение задачи с постоянной ориентацией (v =
= const) орбиты дается в настоящем параграфе.
Будем считать, что спутник ориентирован идеально,
то есть не совершает колебаний около указанного выше
положения. При идеальной ориентации спутника на
Землю ось прибора, установленная под углом 6 к би-

РАСЧЕТ ВРЕМЕНИ ОСВЕЩЕНИЯ
355
нормали, опишет за время одного оборота спутника по
орбите круговую коническую поверхность около бинор-
бинормали с углом раствора б. Для орбит с небольшим экс-
эксцентриситетом можно с большой точностью принять,
что угловая скорость движения оси прибора относи-
относительно бинормали постоянна. Временем освещения при-
прибора считается время нахождения Солнца внутри угла
зрения прибора.
Рис. 88. Схема, иллюстрирующая возможные соотношения
между параметрами р, 6, v: а) 6 > р, v > 6 -f- р; б) 6 > р,
6 — p<v<6 + p; . в) 6 > р, v < 6 — р; г) 6 < р, р — 6 <
< v < р + 6; д) 6 < р, v < р — 6.
За время существования спутника вследствие его
движения Солнце может неоднократно войти в угол зре-
зрения прибора и выйти из этого угла. Следует поэтому
различать время освещения непрерывное, то есть про-
промежуток времени, в течение которого Солнце непре-
непрерывно находится внутри угла зрения прибора, и полное
время освещения, равное сумме всех интервалов непре-
непрерывного освещения в течение всего времени существо-
существования спутника.
Введем в рассмотрение единичную сферу, описанную
около центра масс спутника (рис. 88). Пусть бинормаль
23*

356
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВАННОГО СПУТНИКА [ГЛ. 11
к орбите спутника пересекает сферу в точке В, а линия,
соединяющая центр масс спутника и Солнце, пересе-
пересекает сферу в точке S. Тогда угловое расстояние между
бинормалью и направлением на Солнце измеряется от-
отрезком BS = v дуги большого круга.
Пусть ось прибора пересекает единичную сферу
в некоторой точке А. Тогда за время одного оборота
спутника по орбите точка А опишет на единичной сфере
окружность (В, б) с центром в точке В радиуса б.
Прибор будет работать, если угловое расстояние между
точками А и S не превышает угла зрения р прибора,
то есть в случае, когда какая-нибудь дуга окружности
(В, б) лежит внутри окружности (S, р) с центром в S
и радиусом р. Считаем, что всегда 6<-|-. Простой ана-
анализ приводит к таблице 14 условий освещенности при
Таблица 14
Соотношения между
параметрами
б > р
6<р
v>6-j-p
б — p<v<6-|-p
V < б — р
v>5 + P
р — б < v < p-j-б
V < р — б
Наличие и характер освещенности прибора
Нет освещения (рис. 88, а)
Имеет место освещение на части
орбиты (рис. 88, б)
Нет освещения (рис. 88, в)
Нет освещения
Имеет место освещение на части
орбиты (рис. 88, г)
Имеет место освещение на всей
орбите (рис. 88, д)
различных значениях параметров (возможные соотно-
соотношения между параметрами иллюстрируются на рис. 88).
Эта таблица дает условия освещения как для слу-
случая v = const, так и для общего случая v=v@- Заме-
Заметим, что пока не обсуждается вопрос о влиянии на
освещение затмений спутника, то есть вхождений спут-
спутника в земную тень (этот вопрос будет рассмотрен

§ и
РАСЧЕТ ВРЕМЕНИ ОСВЕЩЕНИЯ
357
в § 4 настоящей главы). Время освещения пропорцио-
пропорционально длине дуги АВ'С = 2г. Обозначим через Го пе-
период обращения спутника по орбите, через Т — время
освещения в течение одного оборота спутника, тогда
Г=Г04-. A1.1.1)
Из сферического треугольника BAS (рис. 88, г)
имеем
cos р — cos v cos б /лл л ЛЧ
cose = —. 7—т . A1.1.2)
sin v sin б v '
Таким образом, при заданных р, v, б по формулам
A1.1.1) и A1.1.2) можно определить время освещения
60
50
40
30
20
10
О
Рис. 89. Зависимость освещенности на
одном обороте от величины угла v при
б > р = 5°: 1) б = 6°; 2) б = 10°; 3) 6 = 15°
и т. д.; 10) 6 = 50°.
в течение одного оборота. При переменном v длина
дуги 8 будет меняться от оборота к обороту.
На графике рис. 89 дана зависимость e(v) для раз-
различных б при р = 5° для случая б>р. Из этого графи-
графика видно, что для заданного р выгодно иметь малые
/
\
\
/к,
4
<5
Ш
fa
8 9
10
\
Ю 20 30 40 50 60

358
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВАННОГО СПУТНИКА [ГЛ. 11
значения v, так как тогда выбором соответствующего б
можно обеспечить большие времена освещения, чем при
больших v.
На графике рис. 90 показана зависимость e(v) при
разных б для значений б < р. В этом случае не имеет
смысла постановка задачи о максимальном времени
е,град
160
120
100
80
60
40
20
\
\
\
3
\
\
\
\
1—~.
2
\
\
\
/
\
\
V
\
/
\
\
^\
\
\^
X
123456
789/0
цград
Рис. 90. Зависимость освещенности на одном
обороте от величины угла v при б <С р = 5°:
1) 6=1°; 2) 6 = 2° и т. д.; 5) 6 = 5°.
освещения в течение оборота спутника вокруг Земли,
так как это максимальное время равно периоду обра-
обращения Го объекта по орбите для всех б<р. Если же
б>р, то, как видно из рис. 89, существует некоторое
оптимальное v = vmax, при котором время освещения
будет наибольшим. Поэтому естественно поставить за-
задачу о наилучшем выборе параметров.
Рассмотрим две такие задачи.
1. Пусть задан угол v, то есть задано положение
орбиты относительно Солнца. Определим, каков дол-
должен быть угол установки прибора б, чтобы время
освещения Т было максимальным, и какова величина

§ 1] РАСЧЕТ ВРЕМЕНИ ОСВЕЩЕНИЯ
этого максимума. Оказывается, что формула
359
COS V
дает оптимальное значение угла б. Видно, в частности,
что при v^>p имеем 6OnT~v. Подставляя оптимальное
значение угла бопт в формулы A1.1.2), A1.1.1), по-
получим
Т = -^-arcsin-^- (П 1 4)
max Jt sin v " \ • • /
T
На рис. 91, 92 дана зависимость о — ——^ от v и за-
J о
ВИСИМОСТЬ бопт ОТ V ДЛЯ р = 5° И р=10°.
б
0.5
о*
0,3
0,2
0J
1
\
>
V
N
"—«*-
— —
36
27
18
9
О Ю 20 30 40 50 60 70 80 90
Рис. 91. Зависимость максимального времени освещения на
одном обороте Ттах = Т0о от величины угла v (в минутах):
1) для р = 5°; 2) р = 10°.
2. Рассмотрим обратную задачу. Пусть задан угол
установки прибора б. Определим, при каком v время
освещения достигает наибольшего значения и какова
величина этого наибольшего значения. Решая эту за-
задачу, получим
cos б ^ То . sin p
тах Я
cosvonT =
cos р
sin v
В дальнейшем часто будет рассматриваться орбита
с 1 = 65°, периодом обращения Т0 = 90 мин и высотой
перигея hn = 225 км. Такую орбиту будем называть

360
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВАННОГО СПУТНИКА [ГЛ. И
типовой. Вопрос об оптимальном выборе орбиты будет
рассмотрен ниже (§ 3).
Было показано, что уменьшение v благоприятно
сказывается на увеличении времени освещения. Ввиду
этого при заданном наклонении орбиты по отношению
к земному экватору целесообразно выбрать час запуска
допт,град
80
20
У
/
/
/
о
20
60
SO v, град
Рис. 92. Зависимость оптимального угла установки
прибора от величины угла v: 1) для р = 5°; 2) р = 10°.
так, чтобы угол v был возможно меньше. Пусть запуск
совершается в период весеннего равноденствия B2 мар-
марта). Тогда (см. § 2) наименьшее значение v, получае-
получаемое выбором часа запуска, для типовой орбиты будет
составлять v«25°.
Для углов зрения прибора примем значения р = 2°,5,
р = 5°, р=10°. Тогда по формуле A1.1.3) получим соот-
соответственно следующие значения оптимального угла б:
бопт = 24о50', бопт = 24°45/, бопт = 23о00' и для продолжи-
тельности освещения за время одного оборота будем
иметь соответственно Г^З мин, Г=5,5 мин, Г=12 мин
(при условии, что период обращения Г0 = 90 мин).

§ 1]
РАСЧЕТ ВРЕМЕНИ ОСВЕЩЕНИЯ
361
На рис. 93 дан график зависимости наибольшего
времени освещения на одном обороте от дня запуска
при оптимальном выборе часа запуска (жирная сплош-
сплошная линия) и зависимость оптимального угла установки
прибора от дня запуска (тонкая сплошная) для значе-
значения р = 5°.
О W №* . град
ап Март Апрель Май Ишиь Июль Абгуст Сентябрь
Рис. 93. Зависимость максимального времени освещения
(Т \
0 __ max \ и оптимального уГла установки бопт
1 о /
от дня года (на типовой орбите, для р = 5°).
Особенности графика объясняются следующим обра-
образом. Выбором оптимального часа запуска можно до-
добиться того, что угол v примет наименьшее возможное
в данный день года значение vmm (пунктир*)). Однако
это значение (в зависимости от времени года) может
быть меньше или больше угла зрения прибора. Так,
при угле зрения р = 5° наименьшее vmin будет меньше р,
если запуск происходит в ноябре — январе или в мае —
июле. В другие дни запуска наименьшее достижимое
будет больше 5°. Но, как было показано ранее, если
*) График зависимости vmin от дня запуска представлен на
рис. 93 на основании расчетов, проведенных в следующем параграфе,

362 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВАННОГО СПУТНИКА 1ГЛ. 11
v<p, то можно добиться освещения в течение полного
оборота спутника по орбите. Для этого нужно только,
чтобы угол установки прибора б был меньше, чем
р —v.
Область б<р — v на графике заштрихована. Таким
образом, в ноябре — январе и мае — июле (при р = 5°
и в соответствующие дни для других значений р) за-
задача о выборе оптимального б решается неоднозначно.
Выбором любого б из заштрихованной на графике об-
области обеспечивается освещение прибора в течение
всего оборота. Время освещения в течение оборота бу-
будет равно Г = Г0~90 мин.
Иное положение складывается при v>p, например,
в январе — апреле и июле — ноябре для р = 5°. Здесь
для каждого дня запуска существует только одно опти-
оптимальное значение бОпт, определяемое формулой A1.1.3),
которое обеспечивает максимум времени освещения,
определяемый формулой A1.1.4). При v = p имеем осо-
особый случай, так как при этом бОпт = 0.
Заметим, что при v<p можно выбрать б однозначно,
если к требованию наибольшего времени освещения до-
добавить еще какое-либо требование. Например, если вы-
выбрать б следующим образом: 6=v при v<yp и 6 =
= р — v при "р<v<p, то ось прибора будет подходить
к Солнцу на наименьшее угловое расстояние (по срав-
сравнению с другими б при тех же v и р).
§ 2. РАСЧЕТ ИЗМЕНЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ
СО ВРЕМЕНЕМ
За сутки v может измениться на величину порядка
3°, что в рассматриваемой задаче весьма существенно.
Выведем зависимость угла v от времени. Пусть (рис. 94)
OAS — плоскость эклиптики, OS — направление на
Солнце, EAD — орбита спутника, / — наклонение ор-
орбиты к плоскости эклиптики, Д — долгота восходящего
узла орбиты от точки Весны, i и Д — аналогичные эле-
элементы по отношению к экватору, ао — долгота Солн-
Солнца от точки Весны, /* — наклон экватора Земли к

§ 2] ИЗМЕНЕНИЕ ОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ СО ВРЕМЕНЕМ 363
плоскости эклиптики G*^23°,5). Тогда
cosv = — sin(ao — «Q,) sin 7, ao = а% -f 2я -~-,
1 г
cos/=cos/*cos/-f sin J* sin /cos Д,
~* sin/ _,.. ^ !> A1.2.1)
где Тг — продолжительность года, а^—начальное зна-
значение ссо, То—период обращения по орбите, а—радиус
Земли, а_— большая полуось орбиты, е — эксцентриситет
орбиты, 8 = 0,00163, <^о —
начальное значение дол-
долготы восходящего узла.
В качестве единицы
времени удобнее взять
величину ао, так как
^0 '
Подставляя это выра-
выражение в формулы, опре-
определяющие v, получим за-
зависимость v(a0), описы-
описывающую изменение угла
наклона v в течение года.
Расчеты показывают,
что для типовой орбиты
коэффициент /(—3,5. Если орбита проходит через полю-
полюсы G = 90°), то прецессии нет: /( = 0,<Q, = До. Для эква-
экваториальной орбиты (/=0) прецессия максимальна, но
не влияет на изменение угла_ v со временем, так как
в этом случае / = /* = const, Д=0, то есть для эквато-
экваториальной орбиты изменение v не зависит от часа за-
запуска.
Рис. 94. Схема взаимного рас-
расположения плоскости орбиты AOD,
экваториальной плоскости £Оу и
плоскости эклиптики OAS.

364
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВАННОГО СПУТНИКА [ГЛ. 11
На рис. 95 построены кривые v(a0) при / = 65° в за-
зависимости от значения <Q,o (<Q,o=O, 30, ..., 330°) в день
21 марта (а0=О°).
По углу Д и координатам точки выведения на ор-
орбиту можно определить час запуска. Таким образом,
зная день запуска, всегда можно выбрать час запуска
так, чтобы v изменялось по выбранной кривой.
V, град
180
0
180 210 240 270 300 330 0 30
ocQyzpad
Рис. 95. Зависимость угла v от дня года (типовая орбита с на-
наклоном / = 65°). Цифры вблизи кривых — соответствующие зна-
значения cf{, (градусы).
Изменение v на участках почти равномерного изме-
изменения (рис. 95) со скоростью примерно 3°,5 в сутки
обусловлено влиянием прецессии орбиты. Влияние го-
годового движения для типовой орбиты слабее. Годовое
движение вносит поправку к скорости изменения v,
благодаря которой в течение года наклон к оси aQ
участков почти равномерного изменения v меняется так,
Av
что в разное время года
Ааг
:3,5±6*, где
Разумеется, это не относится к окрестностям максиму-
максимумов и минимумов кривой v(ao).
Все минимумы и максимумы лежат на одной кри-
кривой— огибающей семейства: cos vor= ±sin /. Наилуч-

§2]
ИЗМЕНЕНИЕ ОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ СО ВРЕМЕНЕМ
365
шие условия для освещения на данной орбите имеют
место в окрестности летнего и зимнего солнцестояния.
21 декабря имеем max(vmax) ~ 179°, то есть
rninA80° — vmax) ~ 1°, а 22 июня имеем min(vmin) ~ 1°.
В любой другой день отклонения Vmin от нуля будут
больше. Заметим, что если бы орбита касалась поляр-
полярных кругов (/=66° 30'), то наименьшее из vmin было бы
равно нулю.
По графику рис. 95 видим, что в течение почти двух
месяцев летом и зимой можно добиться значений
Q, град
/
/
/
/
/
I
I
i
I
!
1
|
1
1
I
i
\
\
\
\
\
\
\
90 г
60
30
66,570 80 90 100 110 113,5
1,град
Рис. 96. Зависимость изменения интервала
долготы от наклонения орбиты.
v<5°, что при угле зрения прибора р = 5° позволит обес-
обеспечить непрерывное освещение в течение одного или
более полных оборотов спутника по орбите.
Отметим, что не для всякой орбиты наилучшими вре-
временами года будут лето и зима. Это имеет место для
орбит с наклонением к экватору 1^.90° — /* и i^>
>90°+/*, когда наименьшее из vmin (или 180° — vmax)
достигается в точках зимнего и летнего солнцестоя-
солнцестояния.
Если наклон орбиты 90°+/*>*'>90° — /* (/^90°),
то возможно достижение наименьшего из vmin (или
180° — Vmax) в двух точках в окрестности точки летнего
солнцестояния и в двух точках в окрестности точки зим-
зимнего солнцестояния (причем это наименьшее значение

Збб ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВАННОГО СПУТНИКА [ГЛ. 11
будет нуль), а именно для таких четырех точек
в году а£2)=а^ет ± Дао; ag>4)== а™м ± Да0, где а^т и
азим — точки летнего и зимнего солнцестояния, a AaQ
зависят от i (рис. 96). В случае орбиты, проходящей
над полюсами, пары точек а^ и а^, а^ и а^ сли-
сливаются; наилучшими днями года будут только две точ-
точки в году: точки весеннего и осеннего равноденствия.
§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО ВРЕМЕНИ ОСВЕЩЕНИЯ
Ввиду того что ориентация орбиты меняется с тече-
течением времени, необходимо учесть этот фактор при изу-
изучении вопроса об освещении. При этом наибольший
интерес представляет вопрос о том, как обеспечить или
максимальное время непрерывного освещения, или ма-
максимальное суммарное время освещения.
Рассмотрим сначала задачу о максимальном вре-
времени непрерывного освещения. Эта задача более про-
проста, чем задача о максимальном суммарном времени
освещения.
В течение времени существования спутника, запу-
запущенного с параметрами a^, «Г£о, нормаль к плоскости
его орбиты достигнет в некоторый момент (а^, Дл)
положения, соответствующего минимальному углу v =
= Vmin с направлением на Солнце, после чего угол v
начнет возрастать. Рассмотрим, какое время непрерыв-
непрерывного освещения можно обеспечить в зависимости от до-
достижимого значения vmin. В случае vmin>p можно обе-
обеспечить непрерывное освещение только на части орбиты
спутника. Максимально возможное время непрерывного
освещения определяется по A1.1.4), а для обеспечения
достижения этого времени необходимо, чтобы устано-
установочный угол б был выбран оптимальным образом по
A1.1.3), ГДе V-Vmin.
Однако более интересен случай vmjn<p. В этом слу-
случае оказывается возможным достичь значений v мень-
меньших, чем угол зрения прибора р. В § 1 было показано,
что в случае v<p можно достичь освещения на всем
протяжении орбиты. Поэтому при переменном v время

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО ВРЕМЕНИ ОСВЕЩЕНИЯ
367
непрерывного освещения может быть весьма большим,
оно определяется длительностью нахождения угла v
в диапазоне v<p. Там же было показано, что освеще-
освещение на всем обороте возможно при v<p — б. Отсюда
следует, что оптимальный угол установки для получе-
получения максимума непрерывного освещения есть бОпт = 0.
На рис. 97 дана зависимость времени непрерывного
освещения от достижимого Vmin при vmin<p для р = 2°,5;
Ттах>час
120
—
^
V
\
/0
Рис. 97. Зависимость максимального
времени непрерывного освещения от
Vmin (Для типовой орбиты i = 65° и
угла установки 6 = 0): 1) р = 2°,5;
2) р=5°; 3) р = 10°.
5°; 10° и угле установки 6=0 для орбиты с / = 65°. Ви-
Видим, что при р = 5° можно достичь непрерывного осве-
освещения в течение примерно 58 час, то есть в течение
почти двух с половиной суток. При р=10° можно обе-
обеспечить непрерывное освещение в течение почти 120 час.
Это возможно, когда наименьшее vmin~l°, что дости-
достижимо только в дни летнего и зимнего солнцестояния
B2 июня и 21 декабря).
Из графиков на рис. 97 видим, что если наименьшее
Vmin недостижимо, то в некоторой его окрестности вели-
величина достижимого времени непрерывного освещения
близка к максимальной.
Отметим, что орбита с 1 = 65° не является наилучшей
для обеспечения освещения. В § 2 было указано, что
для орбит с 113°,5>/>66°,5 можно обеспечить достиже-
достижение v = 0 в окрестности четырех дней в году, а не двух,

368
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВАННОГО СПУТНИКА [ГЛ. 11
как для орбиты с / = 65°. Таким образом, с ростом i
увеличиваются возможности для обеспечения макси-
максимального времени освещения. Кроме того, с ростом /
увеличивается и продолжительность максимального вре-
времени освещения вследствие того, что уменьшается ско-
скорость прецессии орбиты, а также вследствие того, что
наименьшее достижимое vmin при 113°,5>/>66°,5 равно
= 0, в то время как для орбиты / = 65° наименьшее
—1°. При />90° направление прецессии орбиты
противоположно направлению прецессии при *<90°, что
позволяет частично компенсировать годовое движение
орбиты. Вследствие этого
угол v наклона орбиты
меняется медленнее, что
увеличивает возмож-
возможность непрерывного осве-
освещения. При i, близких
к 113°,5, скорость прецес-
прецессии сильно превосходит
скорость годового дви-
движения, поэтому скорость
изменения v снова увели-
увеличивается, то есть воз-
возможности для непрерыв-
непрерывного освещения умень-
уменьшаются. Следовательно,
существует некоторое
оптимальное /опт > 90°,
при котором можно обес-
обеспечить наибольшее непре-
непрерывное освещение. На
/оо
66J570
Рис. 98. Зависимость максималь-
максимального времени освещения от на-
наклонения орбиты: 1) р = 5°;
2)р = 2°,5; 3) р = 1°,5.
рис. 98 показана зависи-
зависимость времени непрерыв-
непрерывного освещения от i для орбиты, параметры которой
(кроме i) совпадают с параметрами типовой орбиты.
Видим, что оптимальным значением является t = 96°,5,
при котором можно обеспечить непрерывное освещение
в течение Тт&х~605 час для р = 5°, 7"тах = 309 час для
р = 2°,5, Гтах=186 час—при р=Г,5. Это время осве-
освещения обеспечивается в окрестности следующих дней в
году: 5 марта и 6 апреля, 5 сентября и 7 октября.

§ 3] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО ВРЕМЕНИ ОСВЕЩЕНИЯ 369
Ниже будет показано, что наибольшее суммарное
время освещения имеет тот же порядок, что и наи-
наибольшее непрерывное время освещения; поэтому орбита,
наилучшая для обеспечения наибольшего непрерывного
времени освещения, будет наилучшей и для обеспече-
обеспечения наибольшего суммарного времени.
Обратимся теперь к определению суммарного вре-
времени освещения. Здесь, в зависимости от угла уста-
установки прибора б и угла наклона орбиты v, различаются
следующие три случая:
1. Возможно освещение только на части орбиты.
Полное время освещения является суммой времени
освещения в течение каждого оборота; этот случай бу-
будет при б>р.
2. Возможно освещение как на части орбиты спут-
спутника, так и (через некоторое время) на всей орбите;
этот случай будет при б<р.
3. Возможно только непрерывное освещение; этот
случай будет только при 6=0 (он разобран выше).
Обратимся к случаям 1 и 2. Рассмотрим пока за-
задачу об определении суммарного времени освещения
Гх при произвольных параметрах.
На рис. 89, 90 уже были приведены графики зависи-
зависимости времени освещения от v при заданном б. Эти
графики можно использовать в случае переменного v.
Пусть v меняется от vo к vmin и снова возрастает до v0.
Изменение v по такой схеме (vo -> vmin -> v0) всегда
можно обеспечить выбором дня и часа запуска при до-
достаточно большом времени существования спутника.
Такая схема обеспечит при соответствующем выборе
Vmin наибольшее полное время освещения, возможное
на рассматриваемом интервале дней существования
спутника. Не нарушая общности, положим, что vo при
заданном б определяется равенством vo=6+p, так как
если vo>6+p, то освещения вообще нет, а если vo<
<б + р, то рассмотрим другое б —такое, чтобы выпол-
выполнялось равенство. При v = v0 имеем е = 0 и время осве-
освещения ^о=О. Через один оборот спутника по орбите бу-
будем иметь v = vo+Av, e = ei и время освещения tx = TQ
24 В. В. Белецкий

370 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВОЧНОГО СПУТНИКА [ГЛ. 11
и т. д. Очевидно, что суммарное время освещения
vmln
где суммирование производится по всем значениям ег-,
проходимым при изменении v.
Непосредственный подсчет по формуле A1.3.1) за-
затруднителен ввиду того, что, во-первых, приходится сум-
суммировать большое число ординат ег- и, во-вторых, рас-
расстояние Av между суммируемыми ординатами не явля-
является постоянным, так как за один оборот наклон орбиты
меняется в разных случаях по-разному. Приближенно
сумму A1.3.1) заменим некоторым определенным инте-
интегралом. В самом деле, сумму A1.3.1) можно предста-
Vo
вить в следующем виде: Тъ = -~ ^е. Дл*, где
v
min
приращение числа оборотов спутника за время измене-
изменения v от vi до vi+i (А^г= 1). Отсюда
Vo Vo
2Т0 Г dn Tr p dan
Т*~— j e(v)wdv = ^ yE(v)-^-rfv. A1.3.2)
vmin vmin
Последнее равенство получено в силу того, что
dn —*Jb Тг '
dn dn dar
dv daQ dv
Интеграл A1.3.2) дает полное время освещения
только для случаев б>р. Для случая б<р время осве-
освещения определяется формулой A1.3.2) только тогда,
КОГДа Vmin>p — б. ЕСЛИ Же Vmin<p— б, ТО
р+б
Tz~-^ f e(v)-^flfv + Ar. A1.3.3)
f
р-6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО ВРЕМЕНИ ОСВЕЩЕНИЯ
371
Здесь AT — время непрерывного освещения. Оно равно
времени изменения v от значения v = p — б до значения
v = vmin и снова от v = vmin до v = p—б. Это время мо-
может быть рассчитано непосредственно по графикам
v = v(ao) (Рис- 95)-
Кривые v(ao) в окрестности минимумов аппрокси-
аппроксимируем гиперболой:
i-l?Th=h 7=v-vmln + «. «o = ao-aS« 01-3.4)
где а — действительная полуось гиперболы; а™—значе-
а™—значение а©, при котором v = Vmin; Ф — половина угла рас-
раствора асимптот гиперболы;
e(v).
я — VmIn
-dv. A1.3.5)
/
vmin
При расчетах можно принять | tg q> | одним и тем же
для всех кривых v(a©) на рис. 95. Параметр а зависит
а,град
20 г
12
1
О 4 S 12 16
Рис. 99. Аппроксимация зависимости a (vmJn).
20 2ч
Утт,град
от Vmin- Эту зависимость можно определять из условия,
что при некотором а<э» одном и том же для всех кривых,
истинная кривая v(a©) сливается с асимптотой гипер-
гиперболы. Тогда зависимость a(vmin) можно аппроксимиро-
аппроксимировать прямой, изображенной на рис. 99 (для кривых
24*

372
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВАННОГО СПУТНИКА [ГЛ. 11
рис. 95, то есть для типовой орбиты). Зависимость e(v)
определяется формулой A1.1.2).
На рис. 100 представлена зависимость суммарного
времени освещения от достижимого наименьшего на-
наклона орбиты v = vmin для случая б>р при р = 5°. Из
графика видно, что для каждого б существует некото-
некоторое оптимальное значение vmm, при котором время
Т£, час
зч-
30
26
22
ъ
/2
(
3
(
4 1
/\
1
—>
5
ч
ft
/7
—
/
/^
\ 9
0 2 4 в 8 10 12 /4 18 18 20 22
Рис. 100. Зависимость суммарного времени
освещения от достижимого vmttl (для типо-
типовой орбиты р = 5°): 1) 6 = 6°; 2) 6 = 7°;
3N = 8°; 4) 6 = 10°; 5) 6 = 12°; 6) 6 = 15° •
7) 6 = 17°; 8) 6 = 20°; 9) 6 = 25°.
освещения будет наибольшим. Зависимость максималь-
максимального времени освещения 7тах от достижимого vmin
представлена на рис. 101. Чтобы обеспечить достиже-
достижение этого максимального времени, необходимо устано-
установить оптимальный угол б опт, зависимость которого от
достижимого vmin (для случая б>р) изображена на
рис. 102.
Ввиду того что при б<р характер освещения каче-
качественно иной (возможно непрерывное освещение на всем
обороте), характер зависимости максимального*времени
освещения Гтах от достижимого vmm тоже будет иным.
Расчеты в некоторых случаях следует вести по формуле
A1.3.3). Зависимость rmax(vmln) для б<р предста-
представлена на рис. 101. Видно, что эта кривая пересекается

§3]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО ВРЕМЕНИ ОСВЕЩЕНИЯ
373
тахчас
60
50
30
20
/4
\ /
"^—.
1—■ ,
Ю 15
20 25
\/т1П,град
с кривой rmax(vmin) для б>р в точке vmin—5° (при
р = 5°). Таким образом, если достижимое в рассматри-
рассматриваемое время года vmin>5°, то следует устанавливать
оптимальный угол бопт>р = 5° в соответствии с рис. 102.
Если же достижимое
Vmin<5°, то оптимальный Т,
угол бопт<Р = 5°. При
этом расчеты показали,
ЧТО ПрИ Vmln<5° Выбор
оптимального угла бопт
возможен в широких пре-
пределах: при изменении на
1—2° максимальное вре-
время освещения Гтах почти
не меняется. На рис. 103
представлена зависи-
зависимость достижимого ма-
максимального времени ос-
освещения от угла установ-
установки б при б<р = 5° и при
фиксированных
ЖИМЫХ Vmin-
Из этого графика вид-
видно, ЧТО еСЛИ Vmin<4°, ТО
при изменении б в ин-
интервале от 0 до 3—4°
время освещения почти
не меняется. Можно взять в качестве оптимального б
значение бОпт = 0, так как в этом случае освещение бу-
будет непрерывным.
Поскольку для типовой орбиты l°<vmin<25°
(рис. 95), то, как видно из графиков на рис. 101 и 102,
в лучшем случае можно обеспечить время освещения
7\пах~ 58 час для р = 5° и аналогично 7\паХ~27 час для
р = 2°,5. В худшем случае можно обеспечить время осве-
освещения Гтах~15 час для р = 5° и 7'тах^6 час для р = 2°,5.
Так как известна зависимость vmin от дня года
(рис. 95) и зависимость Гтах от vmin (рис. 101), то
можно построить зависимость Гтах от дня года. Гра-
Графики этой зависимости, приведенные на рис. 104, пока-
показывают, какое наибольшее время освещения можно
Рис. 101. Зависимость максималь-
ного суммарного времени освеще-
дости- ния от vmIn (для типовой орбиты
ПРИ Р = 5°): ]> ДЛЯ 6<Р' 2) ДЛЯ
§ > р; сплошная кривая в области
^Д 5о_ продо^Жениепунктир-
продо^Жениепунктирной кривой 2 (кривая /, не пока-
занная на этом интервале, прой-
Дет ниже сплошной линии).

374
Использование ориентированного спутника [гл. и
получить в окрестности рассматриваемого дня года при
оптимальном выборе часа запуска и угла установки
прибора. Видно, что наилучшими временами года
являются зима и лето: в окрестности дней зимнего и
летнего солнцестояния можно получить время освеще-
освещения порядка 57—58 час для р = 5° и 27 час для р = 2°,5.
При этом освещение может быть непрерывным в тече-
течение указанного времени, если установить 6=0. Из этих
25
го
w
<*
/,
У
1 /
//
У*
А
у
У
10
15 20
'max
60
50
40
30
20
/0
0
■—■
/
2
~r
4
А
—
.
-^
2 3 4 .5 а
о, град
Рис. 102. Зависимость опти- Рис. 103. Зависимость макси-
максимального угла установки при- мального времени освещения
бора от vmjn: 1) р = 5°; (при6<р = 5°) от угла уста-
2) р = 2°,5. новки прибора: 1) vmin == Г;
О\ », ОО. О\ ., QO.
^/ vmm ^ » °) vmjn — о i
v vmin — ^ f О) Vmin = О .
графиков видно также, что в течение двух месяцев
в году, а именно в области 22 июня±15 суток и 21 де-
декабря ±15 суток, можно обеспечить суммарное время
освещения более 50 час при угле зрения прибора р = 5°;
в случае угла зрения р = 2°,5 в эти же периоды можно
обеспечить суммарное время освещения более 16 час.
В худшем случае — в окрестности дней весеннего или
осеннего равноденствия — можно обеспечить освещение
прибора в течение 15 час при угле зрения р = 5° и в те-
течение примерно 6 час при угле зрения р = 2°,5.
На рис. 104 указана также зависимость величины
оптимального угла установки прибора бопт от дня года.

§4]
ДОПОЛНЕНИЯ
375
Согласно сказанному в окрестности дней солнцестояния
эта зависимость неоднозначна: можно взять любое 6 из
заштрихованной на графике области, чтобы получить
время освещения, приблизительно равное указанному
ах,?ис
т, бопт, град
У
[
1
\
\
у
/
/
\
\
У,
60
го
°/80 210 240 270 300 330 0 30 60 90 120 150
Октябрь Ноябрь ДекабрьЯнбарьФебраль Март Апрель' Май ' Июнь ' Июль 'АвгустСентябрь
Рис. 104. Максимальное полное время освещения, достижимое
в окрестности заданного дня, и оптимальный угол установки при-
прибора (для типовой орбиты при р = 5°): 1) зависимость TmgLYi от aQ;
2) зависимость vmin от aQ: 3) зависимость бопт от aQ; 4) области
60ПТ при vmin < р.
на графике. В частности, при 6 = 0 освещение будет не-
непрерывным.
§ 4. ДОПОЛНЕНИЯ
Рассмотрим вопрос о влиянии затмений спутника
(его вхождений в земную тень) на условия освещения.
Пусть 0 — угол между направлениями из центра
Земли на Солнце и на спутник. Тогда
cos 0 = sin v cos (a — ф)>
В
sin v '
А
sinv '
, — Ц), В = sin(a0 — <Q,)cos/.
Здесь п — угол между радиусом-вектором орбиты и ли-
линией пересечения орбиты с эклиптикой.

376 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВАННОГО СПУТНИКА [ГЛ. 11
Пусть R — радиус Земли, г—радиус-вектор орбиты;
нетрудно показать, что если cos 9 < — 1/1 — (—J »
то спутник находится в тени Земли, а если cos Э >
> —1/1 — (—J , то спутник освещен Солнцем. В част-
ности, если выполнено условие |cosv|> , то спут-
ник освещается Солнцем в течение всего оборота (rmln—
расстояние до перигея спутника от центра Земли).
Пусть, например, высота перигея орбиты ftTC = 300 км.
Тогда |cos v| >0,9550, что выполнено, если v<17°40'.
Если Лтс=250 км, то спутник непрерывно освещен Солн-
Солнцем при v<15° 15'.
Отсюда следует, что в случаях, наиболее интересных
для рассматриваемой в настоящей работе задачи, воз-
возможность затмений ни в коей мере не влияет на ре-
результаты, полученные в предыдущих разделах. Дей-
Действительно, области незатменности (v<15°) наиболее
интересны, так как при таких значениях v можно до-
достичь наибольших времен освещения. Например, чтобы
можно было достичь непрерывного освещения прибора
в течение примерно 58 час (при р = 5°), нужно, чтобы
v<5°. Это условие с избытком обеспечивает и выполне-
выполнение условия незатменности. Области, где возможны за-
затмения (v>15°), с точки зрения достижения наиболь-
наибольшего суммарного времени освещения менее интересны.
Но и здесь, как можно показать, можно избежать не-
неблагоприятного влияния затмений, выбрав для уста-
установки прибора не только угол относительно бинормали,
но и определенный (в зависимости от начальных дан-
данных) угол относительно перпендикулярной к бинормали
оси. Этим можно добиться, чтобы участок орбиты, на
котором Солнце входит в угол зрения прибора, лежал
вне области затменности.
Оценим влияние неравномерности вращения спут-
спутника при движении по эллиптической орбите. Так как
значения угловой скорости со на орбите с эксцентри-
эксцентриситетом е заключены в пределах

§4j
ДОПОЛНЕНИЯ
377
(где cocp = p2 , P — фокальный параметр орбиты, \i —
гравитационная постоянная), то время освещения в те-
течение одного оборота Т будет заключено в пределах
Ттт,час
200
/60
120
80
40
О 2 4 6 8 10 12 14 Ю 18 20 ^
р,град
Рис. 105. Минимальное время освещения Tmln
в зависимости от угла зрения прибора:
1) с введением программного поворота оси
прибора; 2) без введения поворота.
.—•*
———
— ■"
———
*****
.—
400
300
200
WO
О
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ~
p, граб
Рис. 106. Максимальное время освещения Гтах
в зависимости от угла зрения прибора:
1) с введением программного поворота оси
прибора; 2) без введения поворота.
^о П(\+еу <Т <То п{у-еу • Следовательно, время
освещения с учетом поправки на эллиптичность орбиты
будет Т= То —-A ± 2е). При е ^0,01 поправка не пре-
превышает 2%. Так как изменение со носит систематиче-

378 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОРИЕНТИРОВАННОГО СПУТНИКА [ГЛ. 11
ский характер, то оно может быть учтено при рас-
расчете.
В заключение отметим, что введение следящей си-
системы или программного управления положением оси
прибора с ограниченным отклонением от среднего поло-
положения позволяет сильно (в 2—10 раз) увеличить время
освещения. Фактически введение таких механизмов
эквивалентно существенному увеличению угла зрения
неподвижного прибора.
На рис. 105 и 106 показаны зависимости наимень-
наименьшего и наибольшего времени освещения от угла зре-
зрения прибора как при неподвижной установке прибора,
так и при осуществлении по программе изменения
угла б установки прибора в пределах 6mm<6<90°, где
COS V *
—= cos6olII.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ВОКРУГ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКИ
В НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ СИЛ
Гравитационные моменты оказывают существенное
влияние на вращение искусственных спутников. Иссле-
Исследование влияния этих моментов на тело, закрепленное
в одной точке, помогает глубже понять эффекты, вызы-
вызываемые гравитационными моментами в движении спут-
спутников.
§ 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пусть неподвижная точка тела О закреплена на рас-
расстоянии R от центра притяжения О*. Поместим в не-
неподвижную точку тела начало О неподвижной системы
координат OXYZ, причем ось OZ направлена от центра
притяжения. Свяжем с точкой О еще подвижную си-
систему координат Ox'y'z', оси которой направлены по
главным осям инерции тела. Пусть у, у', у" — напра-
направляющие косинусы этих осей с осью OZ. Силовая функ-
функция U ньютоновского поля сил, действующего на твер-
твердое тело, дается формулой A.2.3).
Уравнения движения твердого тела около закреплен-
закрепленной точки О имеют вид
(ПЫЛ)
dt dt * dt * г \

380
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКИ
[П. 1
Наряду с точными уравнениями движения (П 1.1.1)
будем рассматривать приближенные уравнения в пред-
предположении, что расстояние R велико по сравнению с раз-
размерами тела. В этом случае силовая функция имеет вид
A.2.7). Подставляя это приближенное значение сило-
силовой функции в (П 1.1.1), получим уравнения движения
в виде [15]
A
£Г
з £• (с - в) у у,
= ~ Щ {zft - xoy") + 3 -| (A - C)y"
dr
(П 1.1.3)
= ~-Mg (xft' - у ft) + 3 £. (B - A) yy'.
Здесь g — ускорение силы тяготения на расстоянии R
от центра притяжения,^, y'Q, z'o— координаты центра
масс тела. Уравнения движения (П 1.1.1), (П 1.1.2)
имеют три первых интеграла:
интеграл энергии
Ар2 + Bq2 + Сг2 — 2U (y, у\ у") = А, (П 1.1.4)
интеграл момента количества движения
Ару + Bqyr + Cry" = k (П 1.1.5)
и соотношение между направляющими косинусами
" = 1. (П 1.1.6)
В случае приближенного рассмотрения ньютоновского
поля интеграл (П 1.1.4) является алгебраическим и
имеет вид
■+ 3 |- (Ay* ^Ву'2-\- Су) = А, (П 1.1.6а)

§ 1] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 381
Принципиальное значение имеет вопрос о наличии у си-
системы (П 1.1.1), (П 1.1.2) или системы (П 1.1.2),
(П 1.1.3) четвертого интеграла. Укажем три случая
существования четвертого интеграла и, следовательно,
интегрируемости уравнений.
1. Аналог случая Лагранжа в задаче о движении
тяжелого тела. Система точных уравнений движения
(П 1.1.1), (П 1.1.2) имеет четвертый интеграл
г = г0У (П 1.1.7)
если
А = В (П 1.1.8)
V'-f--Y|U0. (П 1.1.9)
Последнее условие выполнено, в частности, если U за-
зависит только от у", то есть U—U (у"). Это условие
выполнено, например, для приближенного значения
A.2.7) силовой функции ньютоновского поля сил, если
центр масс тела лежит н$ оси динамической симметрии
тела, то есть при условии х'0 = у'0 = 0.
2. Система (П 1.1.2), (П 1.1.3) имеет четвертый ин-
интеграл
x'op + y'Qq-\-z'Qr = const, (П 1.1.10)
если тело обладает полной динамической симметрией
(А = В = С).
3. Аналог случая Эйлера в задаче о движении тя-
тяжелого тела. Если тело закреплено в центре масс, то
есть
то уравнения движения (П 1.1.2), (П 1.1.3) имеют чет-
четвертый интеграл
ЛУ + BY + C2r2 - 3 -| (BCf + АСу'2 + АВу"*) = L
(П 1.1Л2)
Интеграл (П 1.1.12) впервые нашел Ф. де Брун [76],
рассматривая задачу о движении тела, каждая частица

382 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКИ [П. 1
которого притягивается к некоторой неподвижной пло-
плоскости, проходящей через неподвижную точку тела, си-
силой, прямо пропорциональной расстоянию до плоскости.
Уравнения движения этой задачи по виду совпадают
с уравнениями (П 1.1.3) при условии (П 1.1.11) и от-
отличаются от этих уравнений только смыслом постоян-
постоянной величины, обозначенной в уравнениях (П 1.1.3)
через 3-~. Задача, имеющая интеграл (П 1.1.12), све-
сведена к квадратурам в [81] и другим способом — в [69].
Е. И. Харламовой в [69] предложена также геометри-
геометрическая интерпретация движения для частного случая,
когда константа k в интеграле (П 1.1.5) равна нулю.
Ю. А. Архангельский в [3, 4, 5] доказал, что рас-
рассматриваемая задача не имеет других однозначных об-
общих алгебраических интегралов, кроме указанных
в этом параграфе.
§ 2. УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ВРАЩЕНИЙ [16]
1. Тело, закрепленное в центре масс. Рассмотрим
движение твердого тела около центра масс при прибли-
приближенном представлении ньютоновского поля сил. Тогда
уравнения движения допускают интегралы (П 1.1.6а),
(П 1.1.5), (П 1.1.12), (П 1.1.6). По определению у" —
косинус угла с той осью, которой соответствует момент
инерции С; величине у' соответствует в этом смысле мо-
момент инерции В, величине у — момент инерции А.
Уравнения движения в рассматриваемом случае до-
допускают частное решение
r = rOj /? = 0, ? = 0, Y"=l, Y = 0, y' = 0, (П 1.2.1)
которое описывает вращение тела с постоянной угловой
скоростью г0 вокруг главной оси инерции, причем на-
направление оси вращения совпадает с направлением на
центр притяжения.
Исследуем устойчивость этого движения.
Возмущенное движение
y, / (П 1.2.1а)

§ 2] УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ВРАЩЕНИЙ 383
описывается в первом приближении линейной системой,
имеющей характеристическое уравнение
Я2 {Я4+тЯ2-(-«}= О, (П 1.2.2)
т = — Зсо2 (а + Ь) + г2 A + ab), п = C«2 — г2J ab,
«=-^. Ь = ^, <* = ■£. (П 1.2.3)
Если выполнено хотя бы одно из неравенств
КО, т<0, т2 — 4/г<0, (П 1.2.4)
то среди корней уравнения (П1.2.2.) найдется по край-
крайней мере один корень с положительной вещественной
частью. Соответствующее иевозмущенное движение бу-
будет неустойчивым.
Пусть вращение совершается вокруг средней оси
инерции, то есть Л>С>В или В>С>А. Тогда п<0 и
при любых г0 вращение вокруг средней оси инерции не-
неустойчиво.
Пусть теперь вращение совершается вокруг наиболь-
наибольшей оси эллипсоида инерции. Тогда
С<А С<В. (П 1.2.5)
Из интегралов (ШЛ.ба), (П1.1.12), (П1.1.6) нетрудно
получить следующие интегралы:
Ар2 + Bq2 + Сг2 + Зсо2 {(А - С) у2 + (В - С) у'2] = Vl
(П 1.2.6)
+ Зсо2 (А — С) (С — В) (Y2 + Y/2) = Vl (П 1.2.7)
Здесь V?, V2 —постоянные. Квадратичная форма Vl
является в силу условия (П 1.2.5) знакоопределенной от-
относительно переменных р, q, yy у'. Следовательно, дви-
движение устойчиво относительно этих переменных. Но
тогда из (П1.2.6) сразу следует устойчивость относи-
относительно г, а из (П 1.1.8) —относительно у". Таким обра-
образом, вращение вокруг оси наименьшего момента инер-
инерции устойчиво при любых г0.

384 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКИ [П. 1
Пусть теперь
ОД С>£, (П 1.2.8)
то есть вращение происходит вокруг оси наибольшего
момента инерции (вокруг наименьшей оси эллипсоида
инерции). Тогда а>0, Ь>0. Найдем достаточное усло-
условие устойчивости вращения. Можно получить следую-
следующие интегралы возмущенного движения (П 1.2.1а):
2Ару + 2Bqi + 2« - Cr0 (Y
А2р2 + Я2?2 + CV + 2С2г(£ -
- ЗоJ{5 (С - A) f + А (С - В) Y2} = У8.
Будем искать функцию Ляпунова в виде
где х — произвольный пока множитель. Тогда L =
где V — квадратичная форма, a w содержит члены
только третьего порядка.
Если квадратичная форма V знакоопределенна, то
будет знакоопределеннои и L. Квадратичная форма V
имеет вид
= (l-f nA)Ap2 — 2гоA +
+ Y2 {Зсо2 (А - С) A + *Д) + Cr\ (I
и будет положительно определенной, если
Кривая
(bf^Hl+S)

§ 1] УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ВРАЩЕНИЙ 383
в точке з^яов — -£-A—УШ) >—-£- имеет минимум
( Уа+Vb ]2
^(к1) = 1-— /— \ . Взяв теперь в функции L в каче-
I 1 + У ab J
стве х величину щ, получим следующий вывод: враще-
вращение вокруг оси наибольшего момента инерции устой-
устойчиво, если
г2
>
Покажем теперь, что при обратном знаке в этом нера-
неравенстве движение неустойчиво.
Так как всегда имеют место неравенства а<1 и 6<1,
а + ь ^ ( YTi+yj J „ ч
!— < < ' ■ > . Рассмотрим сначала случай,
-|- ао [ \ -\-у ab )
то
когда г\ <ЗоJ-^-р^. Тогда т<0 и движение неустой-
неустойчиво. Пусть теперь
Тогда
(П 1.2.10)
Так как, в силу а<1, 6<1, из (П1.2.9) при обратном
знаке неравенства следует, что г2 < Зсо2, то из (П1.2.10)
подавно будем иметь
/-2A — /обJ>3оJ(/а — УЬ)\ (П 1.2.11)
Но, как нетрудно убедиться, выражение т2 — 4/г, вхо-
входящее в одно из неравенств (П 1.2.4), можно предста-
представить в виде
т?-ы = {г2 A -УЩ-Ы{УЪ-уьУ) [г\ A + УЩ -
В силу (П1.2.11) и (Ш.2.9) с обратным знаком нера-
неравенства имеем т2 — 4п<0, то есть невозмущенное дви-
движение неустойчиво.
25 В. В. Белецкий

386 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКИ [П. 1
Итак, для устойчивости вращения вокруг наимень-
наименьшей оси эллипсоида инерции необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие (П1.2.9). Угловую скорость
г ==уЗсо-—/— -■ можно назвать критической угло-
1 -f- у аЬ
вой скоростью.
Заметим, что если г^^Зсо2, то и подавно выполнено
условие устойчивости (П 1.2.9). Оценим, при каких ве-
величинах угловой скорости движение будет устойчи-
устойчиво. Для поверхности Земли имеем g = 9,81 м/сек2,
/? = 6 371 000 м, г0 > j/~3-| =0,00215 рад/сек, то есть
вращение будет устойчивым уже при угловых скоростях
порядка 0,1 °/сек и только при весьма малых угловых
скоростях устойчивость теряется.
Итак, в рассмотренной задаче вращение устойчиво
вокруг большей оси эллипсоида инерции при любой уг-
угловой скорости, а вращение вокруг меньшей оси эллип-
эллипсоида инерции устойчиво при условии, что угловая ско-
скорость превосходит некоторую критическую величину.
В противном случае вращение неустойчиво. Вращение
вокруг средней оси инерции неустойчиво.
Из всего сказанного следует также, что тело, закре-
закрепленное в центре масс в центральном ньютоновском
поле сил, может находиться в равновесии только тогда,
когда одна из осей эллипсоида инерции направлена
к притягивающему центру. При этом равновесие будет
неустойчивым, если эта ось является меньшей или сред-
средней, и устойчивым, если с направлением на притягиваю-
притягивающий центр совпадает наибольшая ось эллипсоида инер-
инерции. В принятых здесь обозначениях условием устойчи-
устойчивого равновесия является условие (П1.2.5).
Отметим еще, что можно найти оси перманентных
вращений тела и исследовать их устойчивость. Это сде-
сделано Г. К. Пожарицким в работе [62].
2. Устойчивость стационарного вращения в случае
A = B>U=UD").Уравнения движения (П1.1.1),(П1.1.2)
в случае Л = В, £/=£/(y") имеют частное решение
р = 0, ? = 0, r = rQy v = 0, Y' = 0, Y"=l> (П 1.2.12)

§ 2] УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ВРАЩЕНИЙ 387
которое описывает вращение с постоянной угловой ско-
скоростью вокруг оси кинетической симметрии, если ее на-
направление в пространстве совпадает с направлением на
притягивающий центр.
Возмущенное движение р, q, г = го + £, у, y'> y"=l + f>
имеет интегралы:
V2 = A (py + wO + С (£6 +1 + ro6),
В выражении Vi функция £/A + 6) разложена в ряд
по б, так что w содержит члены выше второго порядка
малости.
Следуя методу Н. Г. Четаева [73], будем искать
функцию Ляпунова L в виде квадратичной связки ин-
интегралов
L =
Производная от L в силу уравнений движения
dL
так как Уз = 0- Поэтому невозмущенное движение устой-
устойчиво, если L — знакоопределенная функция.
Функцию L можно представить в виде L=V+w*y
где V—квадратичная форма, а до* содержит члены
выше второго порядка малости. Функция L знакоопре-
деленна, если знакоопределенна квадратичная форма К
25*

388
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКИ [П. 1
Эта форма имеет вид
V = Ар* + 2кАру - [- (Щг
Если выполнено условие
(П 1.2.13)
то существует такое х, что V будет положительно опре.-
деленной квадратичной формой.
у "± cos 9
С>А8
Рис. 107. Сжатый эллипсоид инерции в поле
возмущающих сил.
Таким образом, условие (П1.2.13) является доста-
достаточным условием устойчивости невозмущенного движе-
движения (П 1.2.12). Исследованием уравнений первого при-
приближения нетрудно показать, что при
y'=i
<0

УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ВРАЩЕНИЙ
389
невозмущенное движение неустойчиво. Следовательно,
(П1.2.13) является необходимым и достаточным усло-
условием устойчивости в произвольном силовом поле U(y")t
в частности в ньютоновском.
Рис. 108. Вытянутый эллипсоид инерции в поле
возмущающих сил.
Если£/ = —Mgz'jf,то условие (П 1.2.13) дает извест-
известное условие устойчивости стационарного движения тя-
тяжелого твердого тела в случае Лагранжа [73]:
(П 1.2.14)
В случае стационарного движения в ньютоновском поле
при приближенном его рассмотрении U = — Mgz'oy" —
—^-^(С — А)у и условие (П1.2.13) запишется так:
(П 1.2.15)
Это условие при С>А является более жестким, чем ус-
условие (П 1.2.14), а при С < Л — менее жестким, что и

390 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКИ [П. 1
следовало ожидать, так как при С>А поле возмущаю-
возмущающих сил действует дестабилизирующим образом
(рис. 107), а при С<Л—восстанавливающим образом
(рис. 108).
При го = О п z'0 = 0 получим достаточное условие
устойчивости равновесия тела, закрепленного в центре
тяжести.
При z'0 = 0, г0 Ф 0 получаем условие устойчивости
вращения около центра масс /*2>4-£-—^—3-^,кото-
/*2>4-£-—^—3-^,которое совпадает с условием (П1.2.9) для случая Л = В.
§ 3. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ
И ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
1. Случай плоского движения тела. Это движение
имеет место при выполнении условия
--а (П 1А1>
Тогда уравнения движения имеют частное решение р = 0,
r = 0, y' = 0, q = — ft, 7" = cos ft, Y = sin^> где ft опреде-
ляется из уравнения В-^2 ~^~== 0» которое легко
интегрируется. Получаем
t—tn =
./ / 2 . '
(П 1.3.2)
Характер движения тела при различных значениях на-
начальных данных можно определить обычным энергети-
энергетическим анализом, известным в теории колебаний [20].
В случае приближенного рассмотрения ньютонов-
поля условие (П 1.3.1) эквивалентно условию

§ 3] НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ 391
у'0 = 0 н решение (П 1.3.2) имеет вид
(П 1.3.3)
где
а = Ухг02-{-г£ , 6= arcsin ■—-== arccos (— -J-j ,
■—
2Mga /a ...ч 3 g A — С гкч
/-cos(O0 + 6)—T-|-—g—cos2d0,
Обращение интеграла (П 1.3.3) дает решение задачи.
Пусть тело закреплено в центре масс, то есть а = 0.
В этом случае движение совершенно тождественно
плоскому движению спутника на круговой орбите под
действием гравитационного момента и, следователь-
следовательно, описывается формулами, приведенными в § 2
главы 2.
2. Случай А = 5, U— U(y"). Тогда первые интегралы
уравнений движения можно представить в виде
Здесь Ь — -д. Пусть 0, i|), ф — углы Эйлера, причем
0 — угол между осью симметрии тела и направлением
от центра притяжения к закрепленной точке, \|) — угол
прецессии. Интегралы энергии и кинетического момента
имеют тогда вид
А (П 1.3.4)
sin2 6 if = k — br0 cos 9. ]

392 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКИ [П. 1
Переменные в системе этих двух уравнений легко разде-
разделяются, и задача сводится к квадратурам
] - [к - brou]^ f («),
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
Обращение интеграла (П 1.3.5) дает зависимость и от
времени, после чего можно определить как функции вре-
времени остальные искомые величины.
В частном случае, когда
получим решение классической задачи о движении тя-
тяжелого твердого тела в случае Лагранжа.
Если
то получим решение задачи о движении твердого тела
в ньютоновском поле сил при приближенном рассмотре-
рассмотрении этого поля для случая, аналогичного случаю Ла-
Лагранжа.
3. Об одном случае движения твердого тела около
закрепленной точки в ньютоновском поле сил [17]. Рас-
Рассмотрим следующее движение тела около закрепленной
точки в ньютоновском поле сил. Пусть тело обладает
динамической симметрией (А = В), закрепленная точка
совпадает с центром масс тела и, кроме того, началь-
начальные условия таковы: поперечные составляющие угловой
скорости равны нулю (ро=<7о = О), а продольная состав-
составляющая произвольна (г0Ф0). Если бы не было ньюто-
ньютоновского поля сил, то тело в этом случае, как известно,
сохраняло бы постоянное направление оси симметрии в
пространстве. Поэтому все эффекты в движении оси
тела для рассматриваемого примера обусловливаются

§ 3] НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ 393
только наличием ньютоновского поля. Действие ньюто-
ньютоновского поля проступает в этом примере в чистом виде,
не будучи осложнено более общими начальными усло-
условиями. Именно поэтому исследование указанного дви-
движения представляет интерес.
Рассматриваемая задача о движении твердого тела
около закрепленной точки интегрируется в квадратурах
как частный случай двух более общих интегрируемых
случаев, рассматриваемых выше (аналога случая Эй-
Эйлера и аналога случая Лагранжа).
Квадратуры (П 1.3.4) в этом случае имеют вид
= A -^2)[А + т^и?\ -[к-Ьгои]*=/(и),
k —
где
т = 3^~^, «>2 = 4> и = cos 9.
Для рассматриваемых начальных данных (pQ=qQ=O)
имеем:
А = —той**, k = brouQ
и, следовательно,
(IJ=««).
(П 1.3.6)
(П 1.3.7)
Анализ движения можно провести, не занимаясь обра-
обращением эллиптических квадратур (П 1.3.6), (П 1.3.7).
Из (П 1.3.6) следует, что реальное движение происхо-
происходит в интервале значений и, ограниченных двумя значе-
значениями: начальным и0 и значением щ, связанным с щ со-
соотношением

394 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКИ [П. 1
На единичной сфере с центром в центре масс тела след
оси тела будет описывать, таким образом, кривую ме-
между параллелями и0 и и1в
Пусть V — угол между кривой, описываемой следом
оси тела, и меридианом на единичной сфере; тогда
Отсюда видно, что tg V=0 при и = и0, то есть на парал-
параллели и = и0 имеется точка возврата. При и = щ tg V= oo,
то есть траектория касается параллели щ.
На параллели tii скорость прецессии, как легко по-
показать, максимальна: ^>{Ui) =ipmSLX. Введем среднюю ско-
скорость прецессии
<*> = у № («о) + Ф (иг)\ = ~ ф (и,). (П 1.3.9)
Подставляя (П 1.3.8) в (П 1.3.7) и учитывая (П 1.3.9),
получим
Здесь 0i определяется через 0О и параметры задачи со-
согласно (П 1.3.8). Если j-<^i\, то есть действие возму-
возмущений мало, то с точностью до членов первого порядка
малости
ф ^^ 00. (П 1.3.11)
Рассмотрим формулу (П 1.3.8). Схематически зависи-
зависимость для разных значений параметра
представлена на рис. 109. По этим кривым можно по-
понять картину движения. Рассмотрим сначала область
£>0 или, что то же, т>0, то есть вытянутое тело. Эта
область заключена между диагоналями Uo=±Ui и со-
содержит в себе ось и{. Если £ = £2>1, то каждому зна-
значению Uq соответствует только одно значение и^ тем бо-

§3] НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ f 395
лее близкое к и0, чем больше £, при этом |mi|||
знаки и\ и и0 совпадают. Кривая для £=1 касается
оси п\. При £ = £i<l каждому значению и0 может соот-
соответствовать одно или три значения и\ (полином f(u{)
будет вместе с и0 иметь два или четыре действительных
корня). Но реальному движению соответствует значе-
значение пи совпадающее по знаку с и0 (это легко обнару-
обнаружить, рассматривая по формуле (П 1.3.6) зависимость
О-
\
^Г__]_ __\ _\J
Рис. 109. Границы и0, щ области движения.
f(u) в этом случае). Снова будет иметь место условие
В рассматриваемом случае (£>0) движение будет
иметь следующий характер: параллель щ лежит ближе
к полюсу единичной сферы, чем параллель щ\ кривая,
как было указано выше, касается параллели щ и имеет
на &о точку возврата (рис. ПО, а). Для сжатого тела
т<0, то есть £<0. В этом случае каждому значению и0
всегда соответствует одно значение п\ (рис. 109). При
этом, если £<—-!, например £ = £з или £=£4 на рис. 109,

396 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКИ [П. 1
то знак Ui совпадает со знаком и0 и |tti|<|wo|. Точки
возврата будут лежать на начальной параллели щ, бо-
более близкой к полюсу, чем щ (рис 110,6). Если же
£=£0> — 1у то знак щ противоположен знаку и0 и след
оси спутника при движении будет пересекать экватор
единичной сферы; качественно картина движения будет
иметь вид, как на рис. 110, б.
Отметим, что кривая £= —4 (рис. 109) касается го-
горизонталей щ— ± 1 в точках п\= ± 1. Из этого следует,
а)
Рис. ПО. Траектории оси тела на единичной сфере.
что движение щ — и\ — ±.\ (вращение вокруг оси, совпа-
совпадающей с направлением на центр притяжения) будет
устойчиво, если |£| = |£з|^-4, и неустойчиво при
ISI===I^4|<4, так как в первом случае бесконечно ма-
малому отклонению щ от единицы будет соответствовать
бесконечно малое отклонение щ от единицы, а во вто-
втором случае, как видно из рис. 109, щ отклоняется от
единицы на конечную величину при сколь угодно малом
отклонении щ от единицы. При £>0, то есть для вытя-
вытянутого тела, как ясно из рис. 109, движения uo = Ui=±l
всегда устойчивы. Таким образом, необходимыми и до-
достаточными условиями устойчивости вращения вокруг
вертикально расположенной оси являются условия
Этот результат совпадает с одним из результатов § 2,
где условия устойчивости получены методом Ляпунова—

§ 3] НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ 397
Четаева. Заметим, что при £-*+0 £/i-»±l, что соот-
соответствует превращению пространственного движения в
плоское при г0—►(). В этом случае (ф) -*0, как видно
из (П 1.3.10), и след оси симметрии вытянутого тела бу-
будет колебаться, проходя через полюс (м±= +.1 или —1
в зависимости от знака и0) между крайними значениями,
ограниченными параллелью 0o=arccosao. Если £ —> — 0,
то t/i->—щ и ось симметрии сжатого тела будет коле-
колебаться, проходя экватор между параллелями, отстоя-
отстоящими на одинаковое расстояние от экватора.
Если Го близко к нулю, во всяком случае г0<С(о, то
(для случая сжатого тела)
(A\~SLr cos9°
W~ А Л) sin29o
и период прецессии будет
Т —2n
1 ф — г
С
г0 С cos 60 #
Период нутации будет близок к периоду плоских коле-
колебаний
V За2
К — полный эллиптический интеграл первого рода.
Рассмотрим отношение периодов
То 2K(cos2Q) С r0 cos90 /п
77- /гс=х"згт!1;?в^ (И
Так как
- к (cos2 е0) = 1 + (if cos2 e0 + D • т
то для случая небольших колебаний в узкой полосе
около экватора F0 = 90° — 6*, 6* мало) будем прибли-
приближенно иметь
г -т sin е*
То А г±
ЦЕЛ w '

398 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКИ [П. 1
Так как по предположению г0<Со> и Э* мало, то на од-
одном периоде прецессии будет очень много нутационных
периодов, то есть небольшой кусок траектории на еди-
единичной сфере будет содержать много «лепестков». Но
при увеличении расстояния начальной точки от эква-
экватора вместе с амплитудой нутационных колебаний рас-
растет и ширина «лепестков» траектории за счет роста
/C(cos20o) в числителе и уменьшения sin2 6о в знамена-
знаменателе формулы (П 1.3.13). Отметим еще, что в общем слу-
случае разность к — щ — щ косинусов граничных широт,
как следует из (П1.3.8), дается формулой
,(,|; „. = {. (П 1.3.14)
Для случая весьма быстрого вращения тела имеем
<С 1 % <^ * и> как ВИДНО из рис. 109, 01 = 0о + б,
где б мало. Тогда из формулы (П1.3.8)
Д = 2хЛA-|ф.
то есть
(J(^^]o. (П 1.3.15)
Период прецессии согласно (П 1.3.11) будет в этом слу-
случае большой величиной порядка —-:
т _
1 ♦ —
Q А-С "
3 —jy— cos 0О'О)
(го\
Оценим период нутационных колебаний для быстро
вращающегося тела.
Пусть и = щ-\-х, где х—малая величина. Тогда из
(П 1.3.6) имеем, оставляя под радикалом члены только
первого и второго порядка малости:
-g- = Ух

§ 3] НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ 399
Отсюда полупериод нутационных колебаний
dx л
т-/
Видим, что колебания угла нутации будут быстрыми.
Траектория на единичной сфере будет содержать
большое количество мелких «лепестков».
В заключение отметим, что при Л ^> С движение бу-
будет близким к плоским колебаниям (в том же смысле,
что и при го->О), так как в предельном случае (С = 0)
формулы (П 1.3.6) и (П 1.3.7) сразу дают плоские ко-
колебания.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ОРБИТА ЭКВАТОРИАЛЬНОГО
СПУТНИКА ЗЕМЛИ
Решение задачи о движении точки в плоскости эква-
экватора сжатого сфероида, использованное в главах 2 и 4,
основывается на существовании двух интегралов движе-
движения для случая любой центральной силы, зависящей от
расстояния, вследствие чего задача может быть сведена
к квадратурам [80] или подвергнута непосредственному
качественному анализу [47]. Небезынтересно рассмотреть
это решение применительно к конкретной задаче о дви-
движении экваториального искусственного спутника Земли.
Решение этой задачи в полярных координатах выра-
выражается в эллиптических функциях. Учитывая, что об-
общую задачу о движении спутника удобно решать в
оскулирующих элементах [61], полезно выявить харак-
характер их изменения в случае, допускающем точное реше-
решение, чтобы проследить связь между свойствами движе-
движения и поведением оскулирующих элементов.
В настоящем приложении рассматриваются свой-
свойства траектории и поведение оскулирующих элементов
орбиты экваториального спутника.
Для потенциала V с точностью до членов первого
порядка малости относительно сжатия Земли имеем
V4 + " <П2Л>
где R — расстояние от спутника до притягивающего
центра, е — безразмерный коэффициент, причем соглас-
согласно [39] примем г — а# к-, т = —■—*-, RQ — экватори-
Z 59
альный радиус Земли, Q — угловая скорость вращения

П. 2] ОРБИТА ЭКВАТОРИАЛЬНОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ 401
Земли, g3 — ускорение силы тяжести на экваторе;
aR — сжатие Земли: а# = —^>—-, где /?п —полярный
радиус Земли; численное значение 6 = 0,0016331. Кроме
того, \x = fM, где f — постоянная тяготения, М —
масса Земли.
Рассматриваемое движение будет плоским; оно имеет
интеграл площадей и интеграл энергии:
*2 C (П22)
|^ = Л, (П2.3)
где
. 21* *
Здесь ф* — угол между начальными направлениями ра-
радиуса-вектора г и вектора скорости V, фд — полярный
угол, отсчитанный от фиксированного направления.
Характер движения определяется корнями полинома
Предположим, что А<0. Такое условие, в отличие от
случая А>0, приводит к траекториям, не уходящим в
бесконечность.
В случае А<0 полином (П 2.4) имеет либо один, либо
три действительных положительных корня. Реальным
начальным скоростям, сообщаемым искусственному
спутнику Земли, соответствует случай трех действитель-
действительных корней 0<и3<и2<ии причем в действительном дви-
движении Р(и)>0 и принимает значение в интервалах
из^и^С th или щ ^ и <^ оо. Второму интервалу соответ-
соответствует периодическое движение, проходящее через центр
притяжения. При начальных данных, соответствующих
реальным случаям, движению искусственного спутника
Земли соответствует изменение и в первом из указанных
интервалов.
Корни ии и2, и3 могут быть выражены через коэф-
коэффициенты полинома (П 2.4) решением кубического
2§ В, В, Белецкий

402
ОРБИТА ЭКВАТОРИАЛЬНОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ
[П. 2
уравнения Р(и)—О. Тогда интегрирование уравнений
движения приводит к уравнению траектории эквато-
экваториального спутника
1 jl ilL —
sn2
-, (П2.5)
6С3
(П 2.6)
Следовательно, радиус-вектор является периодической
функцией аргумента <рд периода Гд:
'Г(*> (П2'7)
Здесь К — полный эллиптический интеграл первого рода.
Так как ТпФ2п, то при повороте радиуса-вектора на
2я вокруг центра притяжения расстояние до спутника
не будет равно исходному. Равенство исходному рас-
расстоянию достигается при повороте
на угол TR. Это значит, что траек-
траектория, вообще говоря, не является
замкнутой, а имеет вид, схематич-
схематично указанный на рис. 111.
Из (П 2.5) видим, что в точках
x=0l И 6mln=01+ у ^(f^—
ц3)
min
R достигает соответственно своего
наибольшего и наименьшего значе-
С С
ния: /?а = — ,/?я= —. Таким об-
щ и2
Рис. 111. Схема траек-
траектории экваториаль-
экваториального спутника.
разом, и2 и
смысл:
имеют следующий
где /?аи Ил—соответственно апогейное и перигейное
расстояния. Величины Ra и Rn можно считать доста-
достаточно точно известными на основании теории движения
спутника по эллиптическим орбитам, чтобы не прибе-
прибегать к громоздким формулам, соответствующим реше-

П. 2] ОРБИТА ЭКВАТОРИАЛЬНОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ 403
нию кубического уравнения Р(и)=0. В дальнейшем бу-
будем считать Ra и Rn известными точно. Вводя пара-
параметры
и условившись отсчитывать движение от перигея (в пе-
перигее фя = Фяя = 0), можно записать уравнение траекто-
траектории (П 2.5) в виде
2.5а)
В пределе при е —>0 cni|) ^ ^
(П 2.5а) превращается в эллиптическую траекторию.
За время, прошедшее между двумя последователь-
последовательными прохождениями спутником перигея, радиус-вектор
перигея повернется на угол Дсрд = Гд — 2я. Определим
зависимость ДфД от параметров орбиты. Так как, со-
гласно одной из формул Вьета, U\-\-u2-\- иг = ——^ =
2s\iR9
= —, то
4Л
дф^ = 4*(*2> , - 2я, (П 2.8)
где в силу (П 2.6)
В случае отсутствия возмущения Л = 0 и из (П 2.8) по-
получаем Дфя = 0. В общем случае Дфд Ф 0.
Выразим (П 2.8) через Р и ё. Имеем следующие со-
соотношения:
(П 2.9а)
4
4Л(й2 — uz) = -
26*

404 ОРБИТА ЭКВАТОРИАЛЬНОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ [П. 2
Так как, кроме того,
Я = #яA-+■*), (П2.10)
то формулы (П 2.8) и (П2.10) дают искомую зависи-
зависимость Дфд от параметров орбиты:
&q>R = f (#Лу е).
На рис. 112 представлена эта зависимость для /?я=
Г1я при кл =320 км. Видим, что скорость ухода
рад
0,00850
0,00810
°'00770
\
-0,50°
■0,45*
\
\
\
Щ 0,06 0,08
Рис. 112. Вековой уход перигея
орбиты экваториального спутника
(/ 320
перигея не превышает 0°,6за оборот. Для орбиты с боль-
большей высотой перигея скорость ухода будет меньше. Ви-
Видим также, что скорость ухода перигея зависит от вытя-
нутости орбиты ё почти линейно.
Кривизна ха траектории в апогее (то есть при
Фя=Фд1) не равна кривизне хл в перигее (то есть при
)
Р2
3-2ё^-(

П. 2] ОРБИТА ЭКВАТОРИАЛЬНОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ 405
Легко показать, что всегда х«<хл. Следовательно,
траекторию можно представить как некоторую вращаю-
вращающуюся в своей плоскости овальную фигуру, более ост-
острую в перигее и менее заостренную в апогее (рис. 111).
Зная траекторию спутника, можно, интегрируя
(П2.2), определить зависимость движения от времени.
Рассматриваемая задача может быть решена и обыч-
обычным в небесной механике методом оскулирующих эле-
элементов.
Уравнения в оскулирующих элементах для случая
центральной возмущающей силы имеют вид (см. [32])
■g=5lSinv, (П2.11)
da) I
== — j^cosv, (П2.12)
Tt =0. (П2.13)
dt ~ e
dP
Здесь Sx= у — S(R), a S(/?) — ускорение возмущаю-
возмущающей силы, е — эксцентриситет оскулирующего эллипса,
Р — его фокальный параметр; абсолютное значение ра-
Р
диуса-вектора орбиты задается формулой R = l . e cQS y.
Угол v отсчитывается от направления из центра при-
притяжения на перигей орбиты; это направление не являет-
является неподвижным в пространстве, а составляет перемен-
переменный угол соя с некоторым фиксированным направлением.
В силу центральности возмущения в уравнения оскули-
оскулирующих элементов не входит уравнение для определе-
определения угла i наклона орбиты к экватору и долготы Д вос-
восходящего узла орбиты, так как угол i остается постоян-
постоянным (* = 0), а движение узла суммируется с движением
перигея орбиты в общий эффект вращения орбиты в ее
плоскости, описываемый уравнением (П 2.12).
Из (П2.13) имеем Р = Ро, то есть фокальный пара-
параметр экваториальной орбиты остается постоянным. Это
свойство проявляется при любых центральных возму-
возмущениях [32] и в некоторой степени характеризует

406 ОРБИТА ЭКВАТОРИАЛЬНОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ [П. 2
постоянство формы орбиты во вращающейся системе
координат.
Перейдем в уравнениях (П2.11) и (П2.12) от аргу-
аргумента времени к аргументу истинной аномалии v.
В общем случае формула перехода дана, например,
в [36] и [61]. В рассматриваемом случае связь dt и dv
можно получить следующим образом. В случае цен-
центральных сил имеем интеграл площадей R2-~^- = С —
= У\1Р. Но так как полярный угол фН равен y# = v +
dv С d®-. da
+ С0л' то li^'W dF9 где ~1Г определяется со-
согласно (П 2.12). Следовательно,
dt — R2
1,/£5cosv
e V \i ° cos v>
dt = -
R2dv
C> COS V
(П2.14)
Уравнения (П2.14) и дают связь между дифференциа-
дифференциалами dt и dv. Заметим, что, как следует из (П2.14),
v может быть и не монотонной функцией времени. По-
Поэтому переменная v не всегда удобна в качестве аргу-
аргумента.
Уравнения в оскулирующих элементах для случая
центрального возмущающего ускорения S(R) прини-
принимают вид
*,-—■- f-p—• (П2Л5>
V\iP e-\- у — R2S cosv
l2S<?sinv
1/ — R
de r ** (П2.16)
y j-
R2S(R)cosv
dv
При этом предполагается -^ Ф 0.

П. 2] ОРБИТА ЭКВАТОРИАЛЬНОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ 407
Решение уравнений (П2.15), (П2.16) для любых
S(R) сводится к квадратурам. Обозначим
и введем новые переменные е = у, ecosv = u. Тогда ин-
интеграл уравнения (П 2.16) запишется так:
Т f
= const. (П2.17)
Отсюда определяется е как функция v, после чего из
(П2.15) взятием квадратуры определяется cort = o)rt(v).
В частном случае движения спутника в экваториальной
плоскости Земли имеем
Тогда (П 2.17) дает следующее уравнение для опреде-
определения e(v):
(П2.18)
Определяя отсюда e(v)> имеем из (П2.15) для ухода
перигея формулу
— R2
е —2" A -J- е cos vJ cos v dv
-^Гт • (П2.19)
e — e —2" A + e cos vJ cos v
po
Для определения ухода перигея Дозл: за один оборот
следует взять интеграл (П2.19) от 0 до 2я. Вычислен-
Вычисленная таким образом зависимость Л(ол(е0) представлена
на рис. 112.
В принятом на рис. 112 масштабе линии, изображаю-
изображающие зависимости ДфК(е)__и До)я(^о), практически совпа-
совпадают. С точностью до е формулы (П 2.8) и (П2.19)
дают эквивалентные результаты:
= 2л8^г, До)л = 2л^-%. (П2.20)

408
ОРБИТА ЭКВАТОРИАЛЬНОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ
[П. 2
На рис. 113, 114 приведены зависимости оскулирую-
щих элементов от v для различных начальных данных.
На рис. 113 хорошо видим как периодические, так и
вековой уходы долготы перигея сол- При малых экс-
эксцентриситетах периодические колебания (оя довольно ве-
велики (при ео = О,О1 амплитуда колебания равна
примерно 10°). Колебания эксцентриситета е неве-
невелики и почти не зависят от начальных значений е0 (см.
рис. 114).
Рис. 113. Поведение оскулирующей долготы перигея орбиты
(для случая hn = 320 км): 1) начальное значение эксцентриси-
эксцентриситета ^0 = 0,01; 2) £0 = 0,02 и т. д.; 9) го = О,О9.
Из (П 2.18) следует, что при v = 0 е = етах = е0, а при
v = n ет{п^е0 — 2е f-^-j , если только значение е0 до-
достаточно велико, чтобы £min>0. Тот факт, что оскули-
рующий эксцентриситет меньше в апогее, чем в перигее,
означает, что кривизна траектории в апогее больше, чем
в перигее, как это было указано выше. При очень ма-
малых е0 (сравнимых по величине с е или еще более ма-
малых) характер зависимости £(v) изменяется по срав-

П. 2]
ОРБИТА ЭКВАТОРИАЛЬНОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ
409
нению с изображенным на рис. 114, причем всегда по-
получается е(у) >0.
На рис. 115 представлена зависимость e(t) при ма-
малых е0. Следует отметить, что при малых е0 < г Щ-
R
0,08
0,06
0,04
0,02
Рис. 114. Поведение оскулирующего эксцентриситета орбиты.
Обозначения те же, что и на рис. 113.
4JJ
J
b
4
6M
8.
0
JL
W
P.
4tc
0
ч
г
^—
^^^—- .
^-—
4000
t,cen
Рис. 115. Поведение оскулирующего эксцентриситета
орбиты при малых начальных значениях эксцентриси-
эксцентриситета: 1) <?0 = 0,001; 2) <?0 = 0,0016; 3) ео = 0,002,
4) е0 = 0,003; 5) е0 = 0,008; 6) е0 = 0,009; 7) eQ = 0,010.
зависимость v от времени становится не монотонной и,
как было указано выше, v становится неудобной в ка-
качестве независимой переменной. В частности, для кру-
круговой орбиты v = const и не может служить независимой
переменной. В самом деле, уравнения (П2.11), (П2.12),

410 ОРБИТА ЭКВАТОРИАЛЬНОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ [П. 2
-Я2
(П2.14) имеют решение v = 0, е = ео — &--£-, P=PQ, R=
= /?0,соя= 2° (t — AO + Qjto» которое показывает,
что круговая орбита в оскулирующих элементах описы-
описывается эллипсом, вращающимся с угловой скоростью
(ол= г2° , причем спутник всегда находится в пери-
гее этого эллипса (v = 0). Этот пример принадлежит
Т. М. Энееву. Видим, что в возмущенном движении
иногда может быть -—■=0 для сколь угодно малых
возмущений E Ф 0).

ЛИТЕРАТУРА
1. Аппе ль П., Теоретическая механика, т. II, Физматгиз, I960.
2. Арнольд В. И., Малые знаменатели и проблемы устойчивости
движения в классической и небесной механике, Успехи матема-
математических наук, 1963, т. 18, вып. 6, 91—192.
3. Ар х а н г е л ьский Ю. А., Об однозначных интегралах в за-
задаче о движении твердого тела в ньютоновском поле сил, При-
Прикладная математика и механика, 1962, т. XXVI, вып. 3,
568—571.
4. Архангельский Ю. А., Об одной теореме Пуанкаре, отно-
относящейся к задаче о движении твердого тела в ньютоновском поле
сил, Прикладная математика и механика, 1962, т. XXVI, вып. 6.
5. Архангельский Ю. А., Об алгебраических интегралах в
задаче о движении твердого тела в ньютоновском поле сил,
Прикладная математика и механика, 1963, т. XXVII, вып. 1.
6. Б е л е ц к и й В. В., Движение искусственного спутника Земли
относительно центра масс, Сб. «Искусственные спутники Земли»,
Изд-во АН СССР, 1958, вып. 1, 25—43.
7. Б е л е ц к и й В. В., О либрации спутника, Сб. «Искусственные
спутники Земли»», Изд-во АН СССР, 1959, вып. 3, 13—31.
8. Б е л е ц к и й В. В., Классификация движений искусственного
спутника Земли около центра масс, Сб. «Искусственные спутни-
спутники Земли», Изд-во АН СССР, 1961, вып. 6, 11—32.
9. Белецкий В. В., Зон о в Ю. В., Вращение и ориентация
третьего советского спутника, Сб. «Искусственные спутники
Земли», Изд-во АН СССР, 1961, вып. 7, 32—35
10. Белецкий В. В., Либрация спутника на эллиптической ор-
орбите, Сб. «Искусственные спутники Земли», Изд-во АН СССР,
1963, вып. 16, 46—56.
П.Белецкий В. В., Некоторые вопросы поступательно-враща-
поступательно-вращательного движения твердого тела в ньютоновском поле сил,
Сб. «Искусственные спутники Земли», Изд-во АН СССР, 1963,
вып. 16, 68—93.
12. Белецкий В. В., Некоторые вопросы движения искусствен-
искусственных спутников относительно центра масс, Сб. «Проблемы дви-
движения искусственных, небесных тел», Изд-во АН СССР, 1963,
218—228,

412 ЛИТЕРАТУРА
13. Белецкий В. В., Эволюция вращения динамически сим-
симметричного спутника, Космические исследования, 1963, т. 1,
вып. 3, 339—385.
14. Белецкий В. В., Движение искусственных спутников отно-
относительно центра масс. Второй всесоюзный съезд по теоретиче-
теоретической и прикладной механике, Москва, 29 января — 5 февраля
1964 г., Аннотации докладов, АН СССР, Москва, 1964.
15. Белецкий В. В., Об интегрируемости уравнений движения
твердого тела около закрепленной точки под действием цен-
центрального ньютоновского поля сил, Доклады Академии наук
СССР, 1957, т. 113, вып. 2, 287—290.
16. Белецкий В. В., Некоторые вопросы движения твердого тела
в ньютоновском поле сил, Прикладная математика и механика,
1957, т. XXI, вып. 6, 749—758.
17. Белецкий В. В., Об одном случае движения твердого те-
тела около закрепленной точки в ньютоновском поле сил, При-
Прикладная математика и механика, 1963, т. XXVII, вып. 1,
175—178.
18. Б е л е ц к и й В. В., Орбита экваториального спутника Земли,
Сб. «Искусственные спутники Земли», Изд-во АН СССР, 1962,
вып. 13, 53—60.
19. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптоти-
Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Физматгиз,
1958.
20. Булгаков Б. В., Колебания, т. I, Гостехиздат, 1949.
21. Вдов и н В. А., Влияние взаимодействия магнитного поля
спутника с магнитным полем Земли на движение спутника око-
около его центра инерции (дипломная работа), Московский физико-
технический институт, 1963.
22. В о л о с о в В. М., Усреднение в системах обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений, Успехи математических наук, 1962,
т. XVII, вып. 6 A08), 3—126.
23. В о л о с о в В. М., О методе усреднения, Доклады Академии
наук СССР, 1961, т. 137, № 1, 21—24.
24. В о л о с о в В. М., О высших приближениях при усреднении,
Доклады Академии наук СССР, 1961, т. 137, № 5, 1022—1025.
25. Г р и г о р е в с к и й В. М., О быстрых изменениях периода вра-
вращения относительно поперечной оси второго советского искус-
искусственного спутника Земли, Доклады Академии наук СССР
1961, т. 137, № 3, 572-675.
26. Гурко О. В., С л а б к и й Л. И., Использование силовых влия-
влияний гравитационного и светового полей Солнца для ориентации
космических аппаратов, Сб. «Искусственные спутники Земли»,
Изд-во АН СССР, 1963, вып, 16, 34—45.
27. Долгинов С. Ш., Жузгов Л. Н., П ушков Н. В., Пред-
Предварительное сообщение о геомагнитных измерениях на третьем
советском искусственном спутнике Земли, Сб. «Искусственные
спутники Земли», Изд-во АН СССР. 1958, вып. 2, 50—53
28. Долгинов С. III., Жузгов Л. Н., П ушков Н. В./тюр-
_ мина Л. О., Ф р я з и н о в И. В., Некоторые результаты изме
рения постоянного магнитного поля Земли с третьего искус-

ЛИТЕРАТУРА 413
ственного спутника Земли над территорией СССР, Геомагне-
Геомагнетизм и аэрономия, 1962, т. 2, № 6, 1061 — 1075.
29. Д у б о ш и н Г. Н., О дифференциальных уравнениях поступа-
поступательно-вращательного движения взаимно притягивающихся тел,
Астрономический журнал, 1968, т. 35, вып. 2, 265—276.
30. Д у б о ш и н Г. Н., О вращательном движении искусственных
небесных тел, Бюлл. ИТА АН СССР, 1960, т. 7, 511—520.
31. Дубошин Г. Н., О периодических движениях в системе спут-
спутников Сатурна, Труды ГАИШ, 1945, т. XV, 158—250.
32. Дубошин Г. Н., Небесная механика (основные задачи и ме-
методы), Физматгиз, 1963.
33. Д у б о ш и н Г. Н., Основы теории устойчивости движения,
Изд-во Московского университета, 1952.
34. Дубошин Г. Н., О вращательном движении искусственных
небесных тел, Бюлл. ИТА АН СССР, 1960, т. VII, вып. 7 (90)
511-520.
35. Егоров С. С, Влияние вихревых токов в оболочке спутника
на его вращение и ориентацию (дипломная работа), Московский
гос. университет, 1963.
36. Егоров В. А., Об определении истинной аномалии в возмущен-
возмущенном движении, Астроном, журнал, 1958, т. 35, вып. 1, 166-—168.
37. Златоустов В. А., О х о ц и м с к и й Д. Е., С а р ы ч е в В. А.,
Торжевский А. П., Периодические решения в задаче о пло-
плоских колебаниях спутника на эллиптической орбите, Космиче-
Космические исследования, 1964, т. 2, вып. 5, 658—666.
38. 3 о н о в Ю. В., К вопросу о взаимодействии спутника с маг-
магнитным полем Земли, Сб. «Искусственные спутники Земли»,
Изд-во АН СССР, 1959, вып. 3, 118—124.
39. И д е л ь с о н Н. И., Теория потенциала и ее приложение к тео-
теории фигуры Земли и геофизике, ГТТИ, 1936.
40. И с т о м и н В. Г., Изменение концентрации положительных
ионов с высотой по данным масс-спектрометрических измере-
измерений на третьем спутнике, Сб. «Искусственные спутники Земли»,
Изд-во АН СССР, 1961, вып. 6, 127-Л31.
41. Карымов А. А., Определение сил и моментов сил светового
давления, действующих на тело при движении в космическом
пространстве, Прикладная математика и механика, 1962,
Т. XXVI, вып. 5, 867—876.
42. Карымов А. А., Устойчивость вращательного движения гео-
геометрически симметричного искусственного спутника в поле сил
светового давления, Прикладная математика и'механика, 1964,
т. XXVIII, вып. 5, 923-930.
43. К и л л ь И. Д., О периодическом решении одного нелинейного
уравнения, Прикладная математика и механика, 1963, т. XXVII,
вып. 6, 1107—1110.
44. Кондурар.ь В. Т., Проблема движения двух эллипсоидов под
действием взаимного притяжения, II, Труды ГАИШ, 1939, т. 9.
вып. 2, 307—369.
45. К о н д у р а р ь В. Т., О возмущениях поступательно-вращатель-
поступательно-вращательного движения спутника и планеты, вьдзываемых их сжатием,
Астроном, журнал, 1962, т. 39, вып. 3, 516—526.

414 ЛИТЕРАТУРА
46. К о н д у р а р ь В. Т., Частные решения общей задачи о посту-
поступательно-вращательном движении сфероида под действием при-
притяжения шара, Астроном, журнал, 1959, т. XXXVI, вып.* 5,
890—901.
47. Кондурарь В. Т., Проблема движения двух эллипсоидов
под действием взаимного притяжения, I, Астроном, журнал,
1936, т. 13, 563—588.
48. Красовский В. И., Шкловский К. С., Гальпе-
Гальперин Ю. И., Светлицкий Е. М., Кушнир Ю. М., Б о р-
довский Г. А., Обнаружение в верхней атмосфере электро-
электронов с энергией около 10 кэв, Сб. «Искусственные спутники Зем-
Земли», Изд-во АН СССР, 1961, вып. 6, 113—126.
49. Крылов А. М., Лекции о приближенных вычислениях, Гостех-
издат, 1950.
50. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных
сред, Гостехиздат, 1957.
51. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М, Теория поля, Физматгиз, 1960.
52. Лидов М. Л., Определение плотности атмосферы по наблюдае-
наблюдаемому торможению первых искусственных спутников Земли, Сб.
«Искусственные спутники Земли», 1958, вып. 1, 9—20.
53. Л у р ь е А. И., Момент гравитационных сил, действующих на
спутник, Прикладная математика и механика, 1963, т. 27, вып. 2,
377—378.
54. Л я п у н о в А. М., Общая задача об устойчивости движения,
Гостехиздат, 1950.
55. М а л к и н И. Г., Теория устойчивости движения, Гостехиздат,
1952.
56. М и т р а С. К., Верхняя атмосфера, ИЛ, 1955.
57. М и х н е в и ч В. В., Данилин Б. С, Р е п н е в А. И., С о к о-
л о в В. А., Некоторые результаты определения структурных па-
параметров атмосферы с помощью третьего советского искусствен-
искусственного спутника Земли, Сб. «Искусственные спутники Земли»,
Изд-во АН СССР, 1959, вып. 3, 84—97.
58. М о з е р Ю., Новый метод построения решений нелинейных диф-
дифференциальных уравнений, сборник переводов «Математика»,
1962, т. 6, вып. 4, 3—10.
59. Охоцимский Д. Е., Белецкий В. В., Использование ори-
ориентированного на Землю спутника для исследований, связанных
с Солнцем, Сб. «Искусственные спутники Земли», Изд-во АН
СССР, 1963, вып. 16, 94—123.
60. Охоцимский Д. Е., С а р ы ч е в В. А., Система гравитацион-
гравитационной стабилизации искусственных спутников, Сб. «Искусственные
спутники Земли», Изд-во АН СССР, 1963, вып. 16, 5—9.
61. О х о ц и м с к и й Д. Е., Энеев Т. М., Таратынова Г. П.,
Определение времени существования искусственного спутника
Земли и исследование вековых возмущений его орбиты, Успехи
физических наук, 1957, т. XIII, вып. 1а, 34—50.
62. П о ж а р и ц к и й Г. К., Об устойчивости перманентных враще-
вращений твердого тела с закрепленной точкой, находящегося в нью-
ньютоновском центральном поле сил, Прикладная математика и
механика, 1959, т. ХХШ, вып. 4, 722—793.

ЛИТЕРАТУРА
415
63. С а р ы ч е в В. А., Влияние сжатия Земли на вращательное дви-
движение спутника, Сб. «Искусственные спутники Земли» Изл-во
АН СССР, 1961, вып. 6, 3—11.
64. Сарыче в В. А., Исследование динамики системы гравитацион-
гравитационной стабилизации, Сб. «Искусственные спутники Земли» Изл-во
АН СССР, 1963, вып. 16, 10—33. '
65. С а р ы ч е в В. А., Влияние сопротивления атмосферы на си-
систему гравитационной стабилизации ИСЗ, Космические исследо-
исследования, 1964, т. 2, вып. 1, 23—32.
66. Т о р ж е в с к и й А. П., Существование нечетных периодических
решений нелинейного дифференциального уравнения второго по-
порядка, Космические исследования, 1964, т. 2, вып. 5, 667—678.
67. Ф и л и п п о в и ч И. В., Влияние аэродинамики на колебания
спутника в гравитационном поле (дипломная работа), Москов-
Московский гос. университет, 1962.
68. Фок В. А., Теория пространства, времени и тяготения, Гостех-
издат, 1958.
69. X а р л а м о в а Е. И., О движении твердого тела вокруг непо-
неподвижной точки в центральном ньютоновском поле сил, Известия
Сибирского отделения АН СССР, 1959, № 6.
70. Ч е р н о у с ь к о Ф. Л., Об устойчивости регулярной прецессии
спутника, Прикладная математика и механика, 1964, т. XXVIII,
вып. 1, 155—157.
71. Ч е р н о у с ько Ф. Л., О движении спутника относительно
центра масс под действием гравитационных моментов, При-
Прикладная математика и механика, 1963, т. XXVII, вып. 3,
474—483.
72. Ч е р н о у с ь к о Ф. Л., Резонансные явления при движении
спутника относительно центра масс, Журнал вычислительной
математики и математической физики, 1963, т. 3, № 3, 528—538.
73. Ч е т а е в Н. Г., Об устойчивости вращения твердого тела с од-
одной неподвижной точкой в случае Лагранжа, Прикладная мате-
математика и механика, 1954, т. XVIII, № 1, 123—125.
74. Ч е т а е в Н. Г , Устойчивость движения, Гостехиздат, 1955.
75. Auelmann R. R., Reqions of Librations for a Simmetrical
Satellite, AIAA Journal, 1963, vol. 1, № 6, 1445—1447.
76. F. de Brun, Rotation kring en fix punkt, Ofversigt of Kongl
Svenska Vetenskaps-Akademiens Vorhandlingar, Stookholm, 1893.
77. Clancy T. F. and M i t с h e 11 T. P., Effects of Radiation For-
Forces on the Altitude of an Artificial Earth Satellite, AIAA Journal,
vol. 2, № 3, 1964, 517—524.
78. С о 1 о m b о G., On the Motion of Explorer XI around its
Center of Mass, Preprint Amer. Astronaut. Soc, 1962, № 45.
79. Hagihara Y., Rotation of an Earth Satellite in Flight along
its Orbit, Smithsonian Contribs Astrophys., 1961, vol. 5, № 9,
113—143.
80. Jilden H., Comtes Rendus, 1880, vol. 91, 957—959.
81. Kobb G., Sur le probleme de la rotation d'un corps autour d'un
point fixe, Bulletin de la Societe Mathematique, 1895, vol. XXIIЬ
82. L u n d q u i s t C, Spacial Orientation of the Explorer Satellites,
Space J., 1958, vol. 1, № 3, 15-20.

416 ЛИТЕРАТУРА
83. Moran J. P., Effect of Plan Librations on the Orbital Motions
of a Dumbbell Satellite, ARS Journal, 1961, vol. 31, № 8, 1089—
1096.
84. Naumann R. I., Recent Information Gained from Satellite Ori-
Orientation Measurement, Planetary and Space Science, 1961, July,
vol. 7, 445—453.
85. N a u m a n n R. I., Observed Torque-Producting Forces Acting
Satellites, Dynamics of Satellites, Symposium Paris, May 28—30,
Springer-Verlag, 1962, Berlin—Gottingen—Heidelberg, 1963,
238—256.
86. N о t n i P., О 1 e а к Н., Der Lichtwechsel der Tragerrakete von
Sputnik HI. Monatsber. Deutsch. Akad. Wiss., Berlin, 1959, Bd. 1,
№ 7—10, 394—396.
87. N о t n i P., О 1 e а к H., Die Bewegung eines rotierenden zylin-
derformigen Satelliten in der Atmosphere, Veroff, Sternwarte Ba-
belsberg, 1959, Bd. 13, № 3.
88. P г i n g 1 e R., Jr., Bounds on the Librations of a Symmetrical Sa-
Satellite, AIAA Journal, 1964, vol. 2, № 5, 908—913.
89. R о b e г s о n R. E., Gravitational Torque on a Satellite Vehicle,
Journ. Franklin Inst, 1958, vol. 265, 13—22.
90. Rosen stock H. В., The Effect of the Earth's Magnetic
Field on the Spin of the Satellite, Astronautica acta, 1957, vol. 3,
№ 3, 215—226.
91. Schrello D. M., Aerodynamic influences on satellite librations,
ARSJ, 1961, vol. 31, № з, 442—444.
92. S с h i n d 1 e г G. M., Satellite Librations in the Vicinity of
Equilibrium Solutions, Astronaut, acta, 1960, vol. 6, № 5, 233—240.
93. Thomson W. Т., Spin Stabilization of Altitude Against Gra-
Gravity Torque, Journal of the Astronaut. Sciences, 1962, vol. IX,
31—33.
94. Tisserand F., Traite de Mecanique Celeste, vol. II, Paris,
1891.
95. Warwick I. W., Decay of spin in Sputnik 1, Planetary and
Space ScL, 1959, vol. 1, № 1, 43—49.
96. W e g g i n s L. E., Relative Magnitudes on a Space-Environment
Torques on a Satellite, AIAA Journal, 1964, vol. 2, № 4, 232—233.